Issuu on Google+

Matematikos vadovėlio mokomąjį komplektą X klasei sudaro: Vadovėlis Pirmoji knyga Antroji knyga

ISBN 978-5-430-05565-3

Apsilankyk www.knyguklubas.lt • Rasi naujausių knygų • Sužinosi, ką skaito tavo bendraamžiai • Dalyvausi diskusijose


Turinys Pratarmė / 4 1. Didieji ir mažieji skaičiai Liliputai ir milžinai / 6 1.1. Matiniai skaičiai / 8 1.2. Veiksmai su standartinės išraiškos skaičiais / 12 1.3. Laipsniai ir šaknys / 16 1.4. Laipsnių savybių taikymas (problemų sprendimas) / 20 Apmąstau, ką išmokau / 22 1 testas / 23 2. Trupmeniniai reiškiniai Sveikieji ir trupmeniniai reiškiniai / 24 2.1. Ar visada galima apskaičiuoti trup­me­ni­nio reiškinio skaitinę reikšmę / 27 2.2. Trupmeninių reiškinių prastinimas / 30 2.3. Veiksmai su trupmeniniais reiškiniais / 32 2.4. Įvairių reiškinių pertvarkiai (problemų sprendimas) / 36 Apmąstau, ką išmokau / 38 2 testas / 39 3. Racionaliosios lygtys Lygtys ir jų sprendiniai / 40 3.1. Racionaliųjų lygčių sprendimas / 42 3.2. Žodinių uždavinių sprendimas (problemų sprendimas) / 46 Apmąstau, ką išmokau / 50 3 testas / 51 4. Tikimybių teorija Kas padeda mums apsispręsti / 52 4.1. Tikimybinis bandymas ir jo baigtys / 54 4.2. Statistinė ir klasikinė įvykio tikimybės apibrėžtys / 58 4.3. Baigčių skaičių nustatyti padės kom­binatorika (problemų sprendimas) / 64 4.4. Kai bandymo baigtys nėra vienodai tikėtinos (problemų sprendimas) / 68 Apmąstau, ką išmokau / 70 4 testas / 71

5. Kvadratinė funkcija Linksmieji kalneliai / 72 5.1. Priklausomybės y = x2 grafikas ir savybės����� / 74 5.2. Priklausomybės y = ax2 grafikas ir savybės����� / 76 5.3. Grafiko y = x2 transformacijos���/ 80 �� 5.4. Kaip nubraižyti y = ax2 + bx + c grafiką� /�� 84 �� 5.5. Kaip nubraižyti y = a(x – x1)(x – x2) grafiką� /�� 88 �� 5.6. Kvadratinės funkcijos savybių taikymas (problemų sprendimas)� ��/ �� 92 Apmąstau, ką išmokau / 94 5 testas / 95 6. Nelygybės Liksime skolingi ar turėsime pelno / 96 6.1. Kvadratinių nelygybių, kurių dešiniojoje pusėje nulis, sprendimas grafiniu būdu / 98 6.2. Kvadratinių nelygybių, kurių dešiniojoje pusėje ne nulis, sprendimas grafiniu būdu (problemų sprendimas) / 103 6.3. Nelygybių sprendimas intervalų metodu / 108 Apmąstau, ką išmokau / 112 6 testas / 113 7. Kartojimo uždaviniai 8. Priedai Atsakymai / 130 Uždavinių atsakymai / 130 Testų atsakymai / 136 Kartojimo uždavinių atsakymai / 137

Projektiniams darbams rekomenduojama medžiaga / 140 Terminų rodyklė / 142


4

Tikimybių teorija

Kas padeda mums apsispręsti Mokymosi uždavinys

Išsiaiškinti, ką nagrinėja tikimybių teorija, ugdytis supratimą, kad teisingas įvykių tikimybių suvokimas padeda tinkamai apsispręsti ir kasdieniame gyvenime. Nuo pat seniausių laikų žmonės, stebėdami savo aplinką, gamtoje vykstančius reiškinius, bandė spėti, prognozuoti, apibendrinti. Turbūt esate girdėję nemažai liaudies posakių, padedančių spėti būsimus orus. Pamąstykime, iš kur galėjo kilti toks posakis: „Jei dūmai iš kamino kyla aukštyn, bus giedra diena, o jei leidžiasi žemyn, bus lietaus.“ Senovės lietuviams, kurie daugiausia vertėsi žemdirbyste, orai visais metų laikais buvo svarbūs, todėl buvo saugomos vertingos žinios, perduodamos iš kartos į kartą. Diena iš dienos, metai iš metų, stebėdami orus, senoliai atkreipė dėmesį į tai, kad dažniausiai prieš giedrą dieną dūmai kyla į viršų, o jų vaikai ir vaikaičiai šiomis žiniomis jau naudojasi prognozuodami. Kaip manote, ar šios prognozės visuomet pasitvirtindavo? Dabar taip pat mes stebime aplinką, darome išvadas, bandome numatyti ateitį. Žinoma, šių dienų orų prognozės remiasi moksliniais tyrimais, todėl jos daug tikslesnės. Tačiau ir kasdienėje veikloje kai kuriuos įvykius stengiamės nuspėti tiesiog stebėdami. Sakykime, į mokyklą vykstate autobusu, tačiau, prieš prasidedant mokslo metams, nepasitikslinote jo grafiko. Rugsėjo pirmąją savaitę kasdien iš namų išeidavote tuo pačiu metu ir autobuso sulaukdavote po poros minučių. Kaip elgsitės antrą savaitę: ar būtinai ieškosite autobuso grafiko, ar tiesiog išeisite iš namų tuo pačiu laiku? Kodėl? Ar gali atsitikti taip, kad vieną rytą autobuso teks laukti gerokai ilgiau? Kuo remdamiesi darote išvadas? Daugelis išvadų tiek gamtos, tiek socialiniuose ar kituose moksluose gaunama atliekant bandymus, stebint ir statistiškai apdorojant gautus duomenis. Panagrinėkime Statistikos departamento pateiktus duomenis apie įmonių, namų ūkių ir asmenų naudojimąsi internetu 2007 metais.

52


Naudojimasis internetu 2007 m. (procentais) Šalis

Įmonės, besi­ naudojančios internetu

Įmonės, turin­ čios interneto svetaines ar tinklalapius

Namų ūkiai, turintys inter­ neto prieigą namie

Asmenys, reguliariai be­ sinaudojantys internetu

ES

93

63

54

51

Ai̇̃rija

95

64

57

51

Èstija

94

62

53

59

Jungti̇̀nė Karalỹstė

93

75

67

65

Lãtvija

86

39

51

52

Lénkija

92

53

41

39

Lietuvà

89

48

44

45

Pagalvokime, kiek žmonių turėjo dalyvauti apklausoje, kad gautume šiuos duomenis, ir ką gi jie reiškia. Antai, kaip suprasti, jog 45 % Lietuvõs asmenų reguliariai naudojasi internetu? Ar tai reiškia, kad apklausus 100 savo mokyklos mokinių, galima tikėtis, jog 45 iš jų reguliariai naudojasi internetu? O gal normalu, kad apklausos rezultatas skirsis nuo pateiktų Statistikos departamento duomenų? Taigi kam reikalingi lentelėje pateikti duomenys, kada ir kaip jais galima pasinaudoti? Siekdami numatyti, kokiu dažnumu bus koks nors įvykis, mes ne visada juk atliekame bandymus ar remiamės statistika. Kartais mums atrodo, kad tiesiog jaučiame, koks bus atsakymas. Antai su draugu neapsisprendžiate, kaip praleisti laisvalaikį: eiti į kiną ar į koncertą, ir galvojate mesti monetą. Ar galite, prieš ją mesdami, garantuoti, kuria puse ji iškris? Tačiau, matyt, nustebtumėte išgirdę, kad jei šį bandymą pakartosime daug sykių, tai apie pusė jų rodys, jog reikia išsirinkti kiną, kita pusė – jog koncertą. Mokslo šaka, nagrinėjanti, kokiems dėsniams paklūsta įvairūs atsitiktiniai įvykiai, t. y. tokie įvykiai, kuriuos galima stebėti daugybę kartų tokiomis pat sąlygomis, bet niekada nežinoma, koks bus konkretus rezultatas (baigtis), vadinama tikimýbių teòrija. Šiame skyriuje ir išsiaiškinsime, kokie bandymai laikomi tikimybiniais ir kaip galima apskaičiuoti įvykio tikimybę, nedarant bandymų. Taip pat aptarsime ne tik įvykio tikimybės sąvoką, bet ir kitas sąvokas, susijusias su šia mokslo šaka. 4. Tikimybių teorija

53


4.1. Tikimybinis bandymas ir jo baigtys Mokymosi uždaviniai

Pateikti tikimybinio bandymo pavyzdžių. Užrašyti paprasčiausio tikimybinio bandymo baigčių aibę. Kartojant bandymą daug sykių, nustatyti baigties santykinį dažnį. Matyt, kiekvienam iš Jūsų teko mesti monetą� ir stebėti, kuria puse ji iškrito, kai norėjote išsiaiškinti, kas pirmas pradės kokį nors žaidimą�. Mesti monetą� atrodo są�žiningas būdas nustatyti dalyvavimo eiliškumą�. Jau turite pakankamai patirties ir suprantate, jog skaičiaus ar herbo iškritimas yra atsitiktinis įvykis, nes iš anksto numatyti jo baigties (konkretaus rezultato)� negalime. Mes pavartojome žodį „atsitiktinis“. O ką� gi jis reiškia? Atlikite klasėje bandymą� su moneta. Iš pradžių bandykite spėti, kuria puse iškris Jūsų mesta moneta, o tada, ją� metę, pamatysite, ar spėjimas pasitvirtino. Kuri Jūsų klasės mokinių dalis atspėjo bandymo rezultatą�? O jeigu jį pakartotumėte, galbūt iš antrojo karto jau visiems pavyktų atspėti, kuria puse iškris moneta? Turbūt visi suvokiate, kad jeigu moneta simetriška, tai nuspėti kiekvieno bandymo rezultato negalite. Tačiau nuojauta kužda, kad jei monetą� mėtytume pakankamai ilgai, tai, ko gero, skaičiaus ir herbo tikėtis galima būtų vienodai. Atlikime nedidelį tyrimą� ir patikrinkime, jog, monetą� metus labai daug kartų, ji skaičiumi atsisuks maždaug tiek pat kartų kaip ir herbas. Paimkite bet kokią� monetą�. Dabar meskite ją� 50 kartų ir suskaičiuokite, kiek kartų išmesta 50 moneta iškrito skaičiumi, o kiek – herbu. Apskaičiuokite, kurią� metimų dalį moneta atsisuko skaičiumi, kurią� – herbu? Rezultatą� užrašykite trupmena. Pavyzdžiui, jeigu iš 50 metimų skaičiumi atsisuko 23 kartus, tai gausime trupmeną� 23 = 0,4�. 50

Tęskite bandymą� ir monetą� meskite dar 50 kartų. Suskaičiuokite, kiek iš viso, t. y. iš 100 metimų, moneta iškrito skaičiumi. Palyginkite gautą� rezultatą� su pirmuoju. Ar jis ženkliai pasikeitė? O kokį rezultatą� gautumėte, jei monetą� mestumėte dar 50 kartų, t. y. iš viso 150 kartų? Palyginkite savo gautą� rezultatą� su klasės draugų rezultatais. Suskaičiuokite, kiek iš viso kartų visi klasės mokiniai metė monetą� ir kiek kartų iš visų metimų moneta iškrito herbu.

54


Kokį herbo iškritimo dažnį gavote? Ar nuojauta, kad tiek herbas, tiek skaičius, bandymą kartojant daug kartų, iškris panašų skaičių kartų, pasitvirtino? Prie kokio rezultato artėjo jūsų trupmenos reikšmė, kai monetą metėte dažniau? Sakome, kad atliekame bandymą, kai numatome, kas bus atliekama (vieną kartą metama moneta) ir kas stebima (stebima, kuria puse ji iškrito). Rezultatus, kuriuos matome atlikę bandymą, vadiname bañdymo baigtimi̇̀s, o jų visumą – baigčių̃ áibe. Mūsų bandymo baigčių S ir H aibę žymėsime su riestiniais skliaustais, baigčių kodus atskirdami kabliataškiu: {S; H}. Tikimýbiniu bañdymu vadiname tokį bandymą, kurį galime pakartoti kiek norime sykių, tačiau niekada nežinome, kokia konkrečia baigtimi kaskart jis pasibaigs. Kitaip tariant, tikimybinio bandymo baigtys visada yra atsitikti̇̀nės. Jei bandymą kartojame labai daug sykių, tai galime apskaičiuoti kiekvienos baigties santykinį dažnį. Kiek sykių buvo matoma baigtis Baigtiẽs santyki̇̀nis dãžnis = Kiek sykių kartotas bandymas Kuo daugiau sykių kartosime bandymą, tuo mažiau keisis kiekvienos baigties santykinis dažnis, t. y. jis artės prie kažkokios pastovios trupmenos reikšmės. Ši reikšmė ir rodys bandymo baigtiẽs tikimýbę, t. y. kokio rezultato galime tikėtis, jei bandymą kartotume labai daug sykių.

Projektinis darbas „Bandymai su moneta“

Padiskutuokite, ką reiškia pasakymas „bandymas kartojamas daug sykių“. Ar Jūs, mėtydami monetą, bandymą atlikote tikrai pakankamai daug sykių? Diskusija seksis lengviau, jei pasidomėsite, kaip plėtojosi tikimybių teorija, kokie pasaulio mokslininkai labiausiai prisidėjo prie šios mokslo šakos vystymosi. Paieškokite informacijos apie G. de Biufono (Buffon; 1707–1788), K. Pirsono (Pierson;1875–1936) ir kitų mokslininkų atliktus bandymus su monetomis ir jų rezultatus (žr. projektiniams darbams rekomenduojamos literatūros sąrašą p. 140).

4. Tikimybių teorija

55


Uždaviniai Pratimai

1. Metama simetriška moneta. Stebima, kuria puse iškris. a)� Užrašykite šio bandymo baigčių aibę. b)� Moneta metama tris kartus. Pirmus du kartus iškrito skaičius. Kaip manote, kuris teiginys teisingas? A Trečią� kartą� metama moneta iškris skaičiumi; B Trečią� kartą� metama moneta iškris herbu; C Trečią� kartą� metant monetą�, vienodai tikėtina, kad ji iškris skaičiumi ir herbu. 2. Metamas taisyklingas šešiasienis žaidimo kauliukas. Stebima, kuriuo akučių skaičiumi jis iškris. a)� Užrašykite šio bandymo baigčių aibę. b)� Išmetus pirmus šešis kartus, 5 akutės iškrito du kartus. Ar metant kauliuką� dar šešis kartus, 5 akutės iškris dažniau? Kodėl? 3. Įsukamos vaizduojamų loterijos ratų rodyklės ir stebima, ties kokiomis geometrinėmis figūromis kiekviena jų sustojo. Kokiu ratu naudojantis, visos bandymo baigtys vienodai tikėtinos?

A

B

C

4. Užrašykite aprašyto bandymo baigčių aibę. Ar bandymo baigtys vienodai tikėtinos? a)� Metamas standartinis šešiasienis žaidimo kauliukas ir stebima, kuriuo akučių skaičiumi jis iškrinta. b)� Metamas šešiasienis žaidimo kauliukas, kurio išklotinė vaizduojama brėžiniu, ir stebima, kuriuo akučių skaičiumi jis iškrinta. c)� Iš dėžės, kurioje yra 5 žali (ž)�, 3 raudoni (r)� ir 7 mėlyni (m)� kamuoliukai, atsitiktinai traukiamas vienas kamuoliukas, ir stebima, kokios jis spalvos. 5. 50 kartų buvo metamas taisyklingas šešiasienis žaidimo kauliukas ir stebima, kuriuo akučių skaičiumi jis iškrinta. Gauti rezultatai surašyti lentelėje: Akučių skaičius

1

2

3

4

5

6

Dažnis

6

8

12

10

7

7

Apskaičiuokite kiekvienos bandymo baigties santykinį dažnį. Matematika gyvenime

6. Pavasarį pasodinus 5000 eglaičių sodinukų, rudenį iš jų buvo prigiję 4325. Kurią� dalį visų sodinukų sudaro prigijusieji?

56


7. Apklausus 50 mokyklos dešimtokų, kaip jie vertina savo matematikos dalyko žinias pagal 10 balų sistemą, gauti tokie rezultatai: Balai

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Mokinių skaičius

3

2

5

7

8

10

8

4

3

Apskaičiuokite santykinį dažnį, kad atsitiktinai išrinktas dešimtokas savo matematikos žinias vertina: a) 8 balais; b) nepatenkinamai (2 arba 3 balais); c) labai gerai (9 arba 10 balų); d) ne mažiau kaip 5 balais. 8. Laura, apklaususi 100 atsitiktinai pasirinktų savo mokyklos mokinių, išsiaiškino, kad 24 iš jų pasisako prieš uniformų dėvėjimą. a) Kuri maždaug apklaustųjų dalis pasisakė prieš uniformas: A 1;

B 1;

2

3

C 1;

D 1?

4

5

b) Kiek maždaug mokyklos mokinių būtų už uniformą, jeigu mokykloje yra 850 mokinių? 9. Penki geriausi mokyklos krepšininkai dalyvavo baudų mėtymo varžybose. Kiekvienas krepšininkas į krepšį mėtė po 30 kartų, ir jų pataikytų metimų santykiniai dažniai buvo tokie: Viliaus 2 , Juliaus 2 , Luko 5 , Gyčio 4 ir Vaido 8 .

a) b) c) d)

3

5

6

5

15

Kiek kartų į krepšį pataikė Vilius? Kiek kartų Gytis į krepšį nepataikė? Kuris iš krepšininkų laimėjo turnyrą? Kurie krepšininkai užėmė antrąją ir trečiąją vietą?

Matematika matematikoje

10. Apskaičiuokite du trečdalius skaičiaus 27. 11. Koks yra skaičius, jeigu jo dvi trečiosios lygu 27? Problemos

12. 10a klasėje mokosi 24 mokiniai, o 10b klasėje – 25 mokiniai. Abi klasės į mokyklos tarybos rinkimus iškėlė po vieną kandidatą. 2 10a klasės mokinių 3

mano, kad rinkimus laimės jų klasės mokinys, tačiau jiems pritaria tik 2 10b 5

klasės mokinių. Kuris kandidatas, Jūsų nuomone, laimės rinkimus, jei: a) visi abiejų klasių mokiniai dalyvaus rinkimuose; b) rinkimuose dalyvaus po 21 kiekvienos klasės mokinį? 4. Tikimybių teorija

57


4.2. Statistinė ir klasikinė įvykio tikimybės apibrėžtys Mokymosi uždaviniai

Paaiškinti, kada taikoma klasikinė įvykio apibrėžtis, remiantis ja, apskaičiuoti paprastų įvykių tikimybes. Nurodyti, kuris su bandymu susijęs įvykis labiau (mažiau) tikėtinas, kokie įvykiai vadinami vienodai tikėtinais, priešingais. Pateikti su bandymu susijusių būtinojo ir negalimojo įvykių formuluočių pavyzdžių. Praeitame skyrelyje išsiaiškinome, kaip apskaičiuojamas bandymo baigties santykinis dažnis, įsitikinome, kad jis gali būti laikomas baigtiẽs tikėtinùmo matù, kai bandymas kartojamas pakankamai sykių. Kitais žodžiais tariant, jau išsiaiškinome statistinę įvykio tikimybės apibrėžtį. Suprantama, kad bandymu nustatyti baigčių tikimybes, ypač kai jis sudėtingesnis arba turi daug galimųjų baigčių, labai jau ilgai truktų. Todėl jau XVI–XVII amžiuje matematikai ieškojo būdų, kaip, neatliekant bandymo, įvertinti jo baigčių ar kitų, su jomis susijusių, įvykių tikimybes. Jie svarstė maždaug taip: ������������������������������������������������������������������������������������� šeši žaidėjai susitaria, kad mes šešiasienį žaidimo kauliuką ir žaidimą pradės tas žaidėjas, kuriam pirmajam iškris reikiamas akučių skaičius. Kokia tikimybė, kad žaidimą pradės pirmasis kauliuką metantis žaidėjas? ������������������������������������������������������������������������������ visai nesunku ir be bandymo susigaudyti! Juk kauliukas turi 6 lygiavertes sieneles, tai bet kurio akučių skaičiaus iškritimas po pirmojo metimo yra vienodai tikėtinas, t. y. tikimybė išmesti 6 akutes pirmam žaidėjui lygi vienai iš šešių. Lentelėje pateikiami keli įvykiai, susiję su šešiasieniu žaidimo kauliuku. Panagrinėkime, kokios baigtys (galimi stebėjimo rezultatai) jiems yra palankios. Įvykis Iškrito 5 akutės Iškrito nelyginis akučių skaičius Iškrito lyginis akučių skaičius Iškritusių akučių skaičius dalus iš 3 Iškrito ne mažiausias ir ne didžiausias akučių skaičius Iškritusių akučių skaičius didesnis už 6 Iškritusių akučių skaičius ne didesnis už 6

58

Palankiosios baigtys

Palankiųjų baigčių skaičius

1

  

3

3

 

2

4

Nėra 

0 6


Įvykį „iškrito 5 akutės“ vadiname elementariúoju į̇́vykiu, nes jis turi tik vieną palankiąją baigtį iš šešių vienodai galimų. Sakysime, kad tokio įvykio tikimybė lygi

1 . Teiginį „tikimybė, kad kauliukas iškris 5 akutėmis lygi vienai šeštajai“ užrašysime 6 taip: P (iškrito 5 akutės) = 1 . (Raide P žymėsime tikimybę, o šalia skliaustuose trum6

pai nurodysime įvykį, apie kurį kalbama.)

Įvykis „iškrito nelyginis akučių skaičius“ nėra elementarusis, nes jo palankiosios baigtys yra net trys iš šešių galimų, t. y. jis bus įvykęs, jeigu iškris arba viena, arba trys, arba penkios akutės: P (iškrito nelyginis akučių skaičius) = 3 = 1 . 6

2

Užduotis 1. Apskaičiuokite šio skyrelio lentelėje pateiktų įvykių tikimybes. 2. Kuris iš pirmųjų penkių lentelėje nurodytų įvykių yra: a) labiausiai tikėtinas (palankiųjų baigčių skaičius yra didžiausias); b) mažiausiai tikėtinas (palankiųjų baigčių skaičius yra mažiausias); c) kurie įvykiai yra vienodai tikėtini? 3. Atidžiai panagrinėkite antrąjį bei trečiąjį lentelėje aprašytus įvykius ir jų tikimybes. Ką gautumėte, apskaičiavę šių įvykių tikimybių sumą? Ką ji reiškia? 4. Ką galite pasakyti apie paskutinių dviejų įvykių tikimybes? Apibendrinkime: įvykiai vadinami vienódai tikė́tinais, jeigu jų palankiųjų baigčių skaičius yra toks pat. Vienodai tikėtinų įvykių tikimybės yra lygios. P (iškrito lyginis akučių skaičius) = P (iškrito nelyginis akučių skaičius) = 1 . 2

Sakysime, iš dviejų įvykių labiaũ (mažiaũ) tikė́tinas tas, kuriam įvykti yra daugiau vienodai galimų palankiųjų baigčių, t. y. tikimybė jam įvykti didesnė. Visos bandymo baigtys (elementarieji įvykiai), kurios nėra palankiosios nagrinėjamam įvykiui, sudaro pri̇́ešingąjį į̇́vykį. Įvykio ir priešingojo įvykio tikimybių suma lygi 1. P (iškrito nelyginis akučių skaičius) + P (iškrito nelyginis akučių skaičius) = = 1 + 1 = 1. 2

2

Įvykis, kuris neturi palankiųjų baigčių, t. y. atliekant bandymą, jis niekada neįvyksta, vadinamas ne­galimúoju į̇́vykiu. Tokio įvykio tikimybė lygi nuliui. P (iškritusių akučių skaičius didesnis už 6) = 0. 4. Tikimybių teorija

59


Įvykis, kuriam palankios visos baigtys, t. y. atliekant bandymą, jis visada įvyksta, vadinamas būtinúoju į̇́vykiu. Tokio įvykio tikimybė lygi vienetui. P (iškritusių akučių skaičius ne didesnis už 6) = 1. Sakome, įvyksta su bandymu susijęs atsitikti̇̀nis į̇́vykis, jeigu būna bent viena jo palankioji baigtis. Klasikinė į̇́vykio tikimýbės apibrėžtis Palankiųjų baigčių skaičius P(įvykio) = Visų vienodai galimų baigčių skaičius Jei bandymas turi n vienodai galimų baigčių, tai kiekvienos iš jų tikimybė lygi 1 . n

Taikydami klasikinę įvykio tikimybės apibrėžtį, visada gerai apgalvokite, kokia to bandymo baigčių aibė: kiek joje yra baigčių ir ar visos jos vienodai tikėtinos. Tada apmąstykite, kokios bandymo baigtys palankios Jūsų nagrinėjamam įvykiui. 1 pavyzdys Klasėje yra 12 mergaičių ir 13 berniukų. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai prie lentos atsakinėti bus pakviestas berniukas? P (prie lentos pakviesti berniuką) =

Berniukų skaičius  Mokinių skaičius

 =

13 25

2 pavyzdys Klasėje, kurioje yra 25 mokiniai, renkamas seniūnas ir pavaduotojas. Kokia tikimybė, kad Vytas taps seniūnu, o Rasa – pavaduotoja? P (seniūnu išrinkti Vytą, = pavaduotoja – Rasą)

Skaičius būdų seniūnu išrinkti Vytą, o pavaduotoja – Rasą Mokinių porų skaičius (tvarka poroje svarbi)

  =

1 600

3 pavyzdys Klasėje, kurioje yra 25 mokiniai, renkami du atstovai į mokinių parlamentą. Kokia tikimybė, kad bus išrinkti Vytas ir Rasa? P (atstovais išrinkti   = Vytą ir Rasą)

60

Skaičius būdų atstovais išrinkti Vytą ir Rasą Mokinių porų išrinkimo skaičius (tvarka poroje nesvarbi)

   =

1 300


Uždaviniai Pratimai

1. Metama moneta ir stebimas įvykis „iškrito skaičius“. Suformuluokite įvykį, ku­ris metant žaidimo kauliuką būtų taip pat tikėtinas, kaip ir įvykis „iškrito skai­čius“. 2. Metamas standartinis šešiasienis žaidimo kauliukas. Pasakykite keletą su šiuo bandymu susijusių įvykių, kurie būtų vienodai tikėtini. 3. Metamas standartinis žaidimo kauliukas ir stebima, kiek akučių iškrito. Suformuluokite keletą būtinųjų ir negalimųjų, su šiuo bandymu susijusių įvykių. 4. Metamas standartinis žaidimo kauliukas ir stebima, kiek akučių iškrito. Suformuluokite įvykius, priešingus įvykiams: a) „iškrito 2 akutės“; b) „iškrito ne daugiau kaip 2 akutės“; c) „iškrito mažiau negu 2 akutės“; d) „iškrito pirminis akučių skaičius“; e) „iškritusių akučių skaičius yra trijų kartotinis“. 5. Apskaičiuokite priešingųjų įvykių tikimybę, jeigu įvykių tikimybė lygi: a) 1 ; 3

b) 8 ; 11

c) 0,7;

d) 1.

Matematika gyvenime

6. Alma sužinojo, kad jos draugės Vitos gimtadienis yra sausio mėnesį. a) Kokia tikimybė, kad Alma per pirmąjį bandymą atspės draugės gimimo dieną. b) Kokia tikimybė atspėti Vitos gimimo dieną, jeigu žinoma, kad 2010 metais jos gimtadienis yra savaitgalį? c) Kokia tikimybė atspėti Vitos gimimo dieną, jeigu žinoma, kad 2010 metais jos gimtadienis yra savaitgalį, bet ne pirmosios ir ne paskutinės savaitės? 7. Atsitiktinai gamykloje patikrinus 300 naujų vienos rūšies gaminių, 15 tarp jų rasta nekokybiškų. Santykiniu dažniu įvertinkite tikimybę, kad atsitiktinai paimtas tos rūšies gaminys yra kokybiškas. 8. Tikimybė, kad studentas išlaikys matematikos egzaminą, lygi 0,85. Apskaičiuokite tikimybę, kad studentas egzamino neišlaikys. 4. Tikimybių teorija

61


9. Į žaidimo dėžę metamas rutuliukas, galintis vienodai įkristi į bet kurį iš keturių jos skyrelių. Atliekant bandymą, stebima, į kurį skyrelį įkrito ka­ muo­liukas. a) Surašykite visas galimas šio bandymo baigtis. b) Kiek yra palankiųjų baigčių: A – „rutuliukas įkrinta į III skyrelį“; B – „rutuliukas įkrinta į I arba III skyrelį“; C – „rutuliukas įkrinta į bet kurį skyrelį“; D – „rutuliukas neįkrinta į II skyrelį“; E – „rutuliukas neįkrinta į I, II, III ir IV skyrelį“; c) Kuris iš b dalyje nagrinėjamų įvykių yra būtinas, o kuris negalimas? d) Kuris iš b dalyje nagrinėjamų įvykių – A, B ar D – yra mažiausiai tikė­ tinas? Labiausiai tikėtinas? e) Suformuluokite kiekvienam b dalyje aprašytam įvykiui priešingąjį įvykį. f) Suformuluokite dar keletą su šiuo bandymu susijusių būtinųjų ir negalimųjų įvykių. 10. Knygyno loterijoje parduota 100 loterijos bilietų, iš kurių 5 laimingi: 3 laimi knygą, o 2 – kompaktinę plokštelę. Laura nusipirko vieną bilietą. Apskaičiuokite įvykių tikimybes: a) Laura laimės knygą; b) Laura laimės kompaktinę plokštelę; c) Laura nieko nelaimės; d) Lauros pirktas bilietas bus laimingas. 11. Klasėje mokosi 25 mokiniai: 12 mergaičių ir 13 berniukų. Iš jų 5 berniukai ir 8 mergaitės lanko muzikos mokyklą. Vienas klasės mokinys atsitiktinai renkamas dalyvauti mokyklos koncerte. Apskaičiuokite įvykių tikimybes: a) dalyvauti koncerte išrinktas berniukas; b) dalyvauti koncerte išrinkta muzikos mokyklą lankanti mergaitė; c) dalyvauti koncerte išrinktas muzikos mokyklos mokinys. Matematika matematikoje

12. Metami du žaidimo kauliukai: šešiasienis ir ketursienis (jų sienelėse yra atitinkamai nuo 1 iki 6 ir nuo 1 iki 4 akučių) ir skaičiuojama iškritusių akučių suma. Baikite pil­dyti lentelę ir, remdamiesi ja, apskaičiuo­ kite, kad: a) P (suma lygi 4); b) P (suma yra lyginis skaičius); c) P (suma yra pirminis skaičius); d) P (suma yra dviženklis skaičius).

62


13. Ant keturių kortelių surašyti skaitmenys 1, 4, 6, 9. Į jas nežiūrint, iš eilės traukiamos dvi kortelės ir dedamos viena šalia kitos. Taip gaunamas dviženklis skaičius. a) Užrašykite visus tokiu būdu galimus gauti dviženklius skaičius. b) Apskaičiuokite tikimybes: P (gautas skaičius yra lyginis); P (gautas skaičius yra nelyginis); P (gautas skaičius yra septynių kartotinis); P (gautas skaičius yra penkių kartotinis); P (gautas skaičius ne didesnis už 96). c) Kurie iš b dalyje nagrinėtų įvykių priešingi, kuris būtinas ar negalimas? 14. Ant stalo padėtos šešios užverstos kortelės su skaičiais: Traukiama, bet kuri viena kortelė ir stebima, koks skaičius ant jos užrašytas. Apskaičiuokite ir palyginkite tikimybes šių bandymo baigčių: „ištrauktas skaičius yra trijų kartotinis“, „ištrauktas skaičius yra penkių kartotinis“, „ištrauktas skaičius yra septynių kartotinis“. Problemos

15. Kubas, kurio visos sienelės nudažytos, supjaustytas į 1000 lygių kubelių. Apskaičiuokite tikimybes, kad atsitiktinai paimtas vienas kubelis: a) neturės nudažytų sienelių; c) turės dvi nudažytas sieneles; b) turės vieną nudažytą sienelę; d) turės tris nudažytas sieneles. Pavyzdys Kubo visos sienos nudažytos. Šis kubas buvo supjaustytas į 27 vienodus kubelius. Paskui atsitiktinai paimamas vienas kubelis. Apskaičiuokite tikimybę, kad paimtas kubelis turi tris nudažytas sieneles. Sprendimas Nudažytą kubą supjaustę, gausime mažus kubelius, kurių arba nė viena sienelė nenudažyta, arba nudažyta viena, dvi, trys sienelės. 

Nudažytos 3 sienelės

Nudažytos 2 sienelės

Nudažyta 1 sienelė

Nė viena sienelė nenudažyta

8 kubeliai

12 kubelių

6 kubeliai

1 kubelis

P (atsitiktinai paimtas kubelis turi tris nudažytas sieneles) = 8 . 27

4. Tikimybių teorija

63


PROBLEMŲ SPRENDIMAS

4.3. Baigčių skaičių nustatyti padės kombinatorika Mokymosi uždaviniai

Gebėti rasti visų bandymo baigčių skaičių, įvykio palankiųjų baigčių skaičių, sudarant galimybių sąrašą, lentelę, braižant galimybių medį arba taikant kombinatorinę sudėties ar (ir) daugybos taisyklę. Apskaičiuoti nesudėtingo įvykio tikimybę. Tikimybinių bandymų ir su jais susijusių uždavinių gali būti pačių įvairiausių, tačiau, kiekvieną iš jų sprendžiant, teks nustatyti visų bandymo baigčių ir nagrinėjamo įvykio palankiųjų baigčių skaičių, kurios ne visuomet būna akivaizdžios. Tokiais atvejais gali praversti kombinatorika. Panagrinėkite keletą šios srities taikymo pavyzdžių. 1 pavyzdys Žaidimo ratas padalytas į 5 lygias dalis. Įsukama rodyklė ir stebima, kurioje dalyje ji sustoja. Kiek baigčių turi šis bandymas? Atsakymas. 5 baigtys: {A; B; C; D; E}. 2 pavyzdys Yra du žaidimo ratai. Pirmajame yra dvi lygios dalys, o antrajame – penkios. Kiekvieno rato rodyklė įsukama ir stebima, kurioje dalyje ji sustoja. Kiek baigčių turi šis bandymas? Šio bandymo baigtis užkoduokime dviem ženklais, t. y. dviejų elementų rinkiniais. Tokius rinkinius patogu išrašyti pildant galimýbių lentẽlę.

I ratas

Baigtys

A

B

C

D

E

1

1A

1B

1C

1D

1E

2

2A

2B

2C

2D

2E

Atsakymas. 10 baigčių: {1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 2A, 2B, 2C, 2D, 2E}.

64

II ratas


3 pavyzdys Tarkime, žaidimas vyksta su 2 pavyzdžio abiem ratais. Žaidėjas įsuka bet kurio rato rodyklę (pirmojo arba antrojo) ir stebi, kurioje dalyje ji sustoja. Kiek baigčių turi šis bandymas? Sukant pirmąjį ratą, galimos dvi baigtys: {1; 2}, o sukant antrąjį ratą – penkios baigtys: {A; B; C; D; E}. Bendrą baigčių skaičių randame pritaikę kombinatorinę sudėties taisyklę: 5 + 2 = 7. Atsakymas. 7 baigtys: {1; 2; A; B; C; D; E}. 4 pavyzdys Žaidimas vyksta su 2 pavyzdžio žaidimo ratais. Iš pradžių įsukama antrojo rato rodyklė, o paskui du kartus iš eilės – pirmojo rato rodyklė. Kaskart stebima, kokiose dalyse sustoja rodyklės. Kiek baigčių turi šis bandymas? Šio bandymo baigtis surašysime ir suskaičiuosime vaizduodami galimýbių mẽdį. Kiekviena baigtis yra trijų elementų – raidės ir dviejų skaičių – rinkinys.

Atsakymas. 20 baigčių. 2 ir 4 pavyzdžiuose aprašytų bandymų baigčių skaičių galėjome apskaičiuoti ir greičiau – pritaikę kombinatòrinę daugýbos taisỹklę: 2 pavyzdyje: 2 × 5 = 10 ; Baigčių skaičius Baigčių skaičius Bendras baigčių ir skaičius pasukus I ratą pasukus II ratą 4 pavyzdyje: 5 Baigčių skaičius pasukus II ratą

×

2

ir

Baigčių skaičius pasukus I ratą

×

2

ir

Baigčių skaičius pasukus I ratą

=

20 Bendras baigčių skaičius

.

O kiek ketvirtajame bandyme būtų „laimingų“ baigčių, jeigu žaidimas būtų laimimas tada, kai antrojo rato rodyklė abu kartus sustoja tuo pačiu skaičiumi pažymėtoje dalyje? 4. Tikimybių teorija

65


Uždaviniai Pratimai

1. Surašykite visas nurodyto bandymo baigtis. a) Metamas ketursienis žaidimo kauliukas (šalia pavaizduota jo išklotinė) ir stebima, kiek akučių yra apatinėje kauliuko sienelėje. b) Jūs renkatės, kurią savaitės dieną lankysite baseiną. c) Iš Jūsų klasės vienas mokinys renkamas į mokyklos parlamentą. d) Iš dėžės, kurioje yra trys pilki (b), ir keturi mėlyni (p) su­nu­meruoti rutuliukai, atsitiktinai ištraukiamas vienas ru­tu­liukas. 2. Moneta metama tris kartus. a) Baikite pildyti galimybių medį, vaizduojantį visas šio bandymo baigtis:

b) Pritaikę daugybos taisyklę, nustatykite visų šio bandymo baigčių skaičių. 3. Moneta metama penkis sykius ir kaskart užrašoma, kuria puse ji iškrinta. Kiek baigčių turi šis bandymas? 4. Metami du skirtingų spalvų žaidimo kauliukai ir stebima, kiek iškrito akučių. a) Baikite pildyti lentelę, vaizduojančią visas bandymo baigtis. Kiek baigčių turi šis bandymas? b) Kiek yra baigčių, kai abiejų kauliukų iš­ krito tas pats skaičius akučių? 5. Metama moneta ir standartinis šešiasienis žaidimo kauliukas. Stebima, kuria puse iškrito moneta ir keliomis akutėmis atsisuko kauliukas. Nubraižykite bandymo baigčių lentelę ir apskaičiuokite tikimybes: a) P (S; 1); b) P (H; nelyginis); c) P (S; 3 kartotinis); c)  P (H; daugiau kaip 3 akutės).

66


6. Trijose dėžėse yra įvairių figūrėlių: pirmojoje yra penki kubeliai, sunumeruoti nuo 1 iki 5, antrojoje – septyni rutuliai, sunumeruoti nuo 1 iki 7, o trečiojoje – trys tetraedrai, sunumeruoti nuo 1 iki 3. Apskaičiuokite, kiek baigčių turi šie bandymai: a) Viena figūrėlė traukiama iš bet kurios dėžės. b) Iš kiekvienos dėžės traukiama po vieną figūrėlę. Matematika gyvenime

7. Parduotuvėje norime nusipirkti rėmelius nuotraukai. Yra trijų dydžių rėmeliai: maži (M), vidutiniai (V) ir dideli (D). Kiekvieno dydžio rėmelius galime rinktis iš trijų spalvų: baltą (b), gelsvą (g) arba pilką (p). Išvardykite įvykio „perkame vienus rėmelius“ visas galimas baigtis. 8. Pasirenkama viena šeima, kurioje auga trys vaikai. a) Braižydami galimybių medį, surašykite, kaip berniukai ir mergaitės gali būti pasiskirstę šeimoje. b) Apskaičiuokite P (šeimoje auga tos pačios lyties vaikai). 9. Linas pamiršo savo elektroninio pašto slaptažodžio paskutiniuosius tris ženklus, bet pamena, kad tai yra trys skirtingos jo vardo raidės. a) Kiek yra galimų tokio slaptažodžio variantų? b) Kokia tikimybė slaptažodį atspėti iš pirmojo karto? Matematika matematikoje

10. Ant kortelių surašyti skaitmenys. Imamos bet kurios dvi kortelės. Jos dedamos viena šalia kitos, ir gaunamas dviženklis skaičius. a) Išvardykite visas bandymo baigtis. b) Išvardykite baigtis, kai gaunamas skaičius yra lyginis. 11. Monika spėlioja, kokį natūralųjį skaičių sugalvojo jos draugė Laura. Išvardykite visus galimus Monikos pasirinkimo variantus, jeigu ji žino, kad Lauros sugalvotas skaičius yra: a) pirminis ir mažesnis už 30; b) didesnis už 5, bet ne didesnis už 15. Problemos

12. Mažoje valstybėje automobilio numerį sudaro dvi raidės, parenkamos iš 15 raidžių, ir trys skaitmenys, parenkami iš 10 skaitmenų. Trijų vienodų skaitmenų rinkinys nevartojamas. Apskaičiuokite tikimybę, kad numeriui vartojamos visos raidės ir visi skaitmenys yra skirtingi.

4. Tikimybių teorija

67


PROBLEMŲ SPRENDIMAS

4.4. Kai bandymo baigtys nėra vienodai tikėtinos Mokymosi uždavinys

Spręsti uždavinius, kuriuose aprašomas neklasikinis bandymas nesunkiai gali būti keičiamas klasikiniu. Ligi šiol kalbėjome apie klasikiniùs bañdymus, t. y. tokius bandymus, kurių baigtys yra vienodai tikėtinos. Tačiau taip būna ne visada. Išnagrinėkime situaciją. Savininkas, norėdamas į savo kavinę pritraukti kuo daugiau lankytojų, sugalvojo pramogą – loteriją. Žaidėjas, sumokėjęs 4 Lt, gali sukti loterijos rato rodyklę ir išlošti tą pinigų sumą, kuri užrašyta ant rato dalies ties sustojusia rodykle. Jei rodyklė sustoja ant ribinės linijos, žiūrima į rato dalį pagal laikrodžio rodyklę. Žaidimo ratas suskirstytas į tris dalis: baltą, pilką ir mėlyną. Baltoji dalis sudaro pusę, o pilkoji – aštuntadalį rato. Jei būtumėte kavinės savininkas ir norėtumėte turėti kuo daugiau pelno, ant kokios spalvos rato dalies rašytumėte skaičių 10 (lankytojas išlošia 10 Lt), skaičių 5 (lankytojas išlošia 5 Lt) ir skaičių 2 (lankytojas išlošia 2 Lt)? Matyt, visi suvokiate, kad didžiausią sumą Jums, kaip kavinės savininkui, reikėtų užrašyti ant mažiausios rato išpjovos, o mažiausią sumą – ant didžiausios, t. y. štai taip: O dabar pagalvokite, kaip galite apskaičiuoti tikimybę, kad žaidėjas išloš vieną ar kitą sumą. Akivaizdu, kad baigtys – „rodyklė sustos ties skaičiumi 2“, „rodyklė sustos ties skaičiumi 5“ ir „rodyklė sustos ties skaičiumi 10“ – nėra vienodai tikėtinos. Tačiau mums visai nesunku ratą padalyti į 8 lygias dalis ir tada mūsų bandymas taps labai panašus į klasikinį. Tada: P (rodyklė sustos ties skaičiumi 2) = 4 = 1 ; 8 2 3 P (rodyklė sustos ties skaičiumi 5) = ; 8 P (rodyklė sustos ties skaičiumi 10) = 1 . 8

Ar galėtumėte suformuluoti keletą su šiuo bandymu susijusių įvykių ir apskaičiuoti jų tikimybes?

68


Darbas grupėmis

1. Metamos trys monetos: 1, 2 ir 5 centų vertės. Tada skaičiuojama iškritusių centų suma (jei iškrinta herbas, tariame, kad iškrito 0 centų). a) Kokias skaičių sumas galime gauti? b) Kokia kiekvienos sumos iškritimo tikimybė? 2. Metami du simetriški šešiasieniai žaidimo kauliukai, kurių išklotinės vaizduojamos paveiksle, ir skaičiuojama ant iškritusių sienelių užrašytų skaičių suma. a) Užpildykite lentelę, vaizduojančią visas galimas iš­ kritusių akučių sumas; b) Kokią skaičių sumą gauti yra didžiausia tikimybė? c) Apskaičiuokite: P (gauta suma yra lyginis skaičius); P (gauta suma yra pirminis skaičius); P (gauta suma yra dviženklis skaičius); P (gauta suma yra ne didesnė už 8). 3. Įsukama vaizduojamo suktuko rodyklė ir stebima, kokia raide pažymėtoje dalyje ji sustoja (jei rodyklė sustoja ant ribinės linijos, žiūrima į rato dalį pagal laikrodžio rodyklę). a) Apskaičiuokite tikimybes rodyklei sustoti: A dalyje, B dalyje, C dalyje.  b) Nusakykite būtinąjį įvykį. c) Nusakykite įvykį, kurio tikimybė lygi 11 . 18

4. Duotos penkios kortelės, kuriose parašyti skaičiai:

Traukiame vieną jų ir padedame, tada traukiame antrą ir ją padedame pirmajai iš dešinės. Gauname dviženklį skaičių. Kokia tikimybė, kad jis lyginis? 5*. Dėžėje yra 3 mėlynos ir 4 raudonos trinkelės. Iš dėžės traukiamos bet kurios dvi trinkelės ir atkreipiamas dėmesys į tai, kokių jos spalvų. Apskaičiuokite tikimybę, kad ištrauktos trinkelės bus skirtingų spalvų.

4. Tikimybių teorija

69


Apmąstau, ką išmokau AŠ

ir galiu paaiškinti, pateikti pavyzdžių, ką reiškia: 4.1 tikimýbių teòrija, tikimýbinis bañdymas, baigti̇̀s, baigčių̃ áibė, atsitikti̇̀nis į̇́vykis, palankióji baigti̇̀s; santyki̇̀nis dãžnis; 4.2 į̇́vykio tikimýbė; klasiki̇̀nė į̇́vykio tikimýbės apibrėžti̇̀s, vienódai tikė́tini į̇́vykiai (bai̇̃gtys); būtinàsis į̇́vykis, negalimàsis įvykis, pri̇́ešingieji į̇́vykiai; 4.3 kombinatòrinė sudėtiẽs taisỹklė, kombinatòrinė daugýbos taisỹklė, galimý­ bių mẽdis, galimýbių lentẽlė; 4.4 klasiki̇̀nis bañdymas, neklasiki̇̀nis bañdymas.

R A NT

U

S

UP

AŠ SU

GEBU

4.1.1 išsiaiškinti, ką nagrinėja tikimybių teorija, ugdytis supratimą, kad teisingas įvykių tikimybių suvokimas padeda tinkamai apsispręsti ir kasdieniame gyvenime; 4.1.2 pateikti tikimybinio bandymo pavyzdžių; 4.1.3 užrašyti paprasčiausio tikimybinio bandymo baigčių eilę; 4.1.4 kartodamas bandymą daug sykių, nustatyti baigties santykinį dažnį; 4.2.1 paaiškinti, kada taikoma klasikinė įvykio apibrėžtis ir, remdamasis ja, apskaičiuoti paprastų įvykių tikimybes; 4.2.2 nurodyti, kuris su bandymu susijęs įvykis labiau (mažiau) tikėtinas, kokie įvykiai vadinami vienodai tikėtinais, priešingais; 4.2.3 pateikti su bandymu susijusių būtinojo ir negalimojo įvykių formuluočių pavyzdžių; 4.3.1 gebėti rasti visų bandymo baigčių skaičių, įvykio palankiųjų baigčių skaičių, kai reikia sudaryti galimybių sąrašą, lentelę, braižyti galimybių medį ar taikyti kombinatorinę sudėties ar (ir) daugybos taisyklę; 4.3.2 apskaičiuoti nesudėtingo įvykio tikimybę. 4.4.1 spręsti uždavinius, kuriuose aprašomas neklasikinis bandymas nesunkiai gali būti keičiamas klasikiniu.


4 testas 1. Metamos dvi vienodos simetriškos monetos. Kokia tikimybė, kad viena mo­ neta iškris herbu? (2 taškai) 2. Standartinis šešiasienis žaidimo kauliukas metamas vieną kartą. Apskaičiuokite tikimybę, kad: a) iškritusių akučių skaičius yra šeši; (1 taškas) b) iškritusių akučių skaičius dalijasi iš trijų. (1 taškas) 3. Loterijos būgne yra 6 bilietai, kurių laimėjimai dideli, 124 – maži ir 12 tuščių bilietų. Kokia tikimybė išsitraukti vieną bilietą, kurio laimėjimas didelis? (1 taškas)

4. Mokykloje vyksiančiam renginiui ieškoma vedėjų. Organizatoriai nutarė vedėją išrinkti atsitiktiniu būdu. Į atranką atvyko 5 merginos ir 3 vaikinai. 1. Kiek yra galimybių išrinkti vieną renginio vedėją? (1 taškas) 2. Kiek yra galimybių išrinkti renginio vedėjų porą (merginą ir vaikiną)? (1 taškas) 3. Kuris įvykis labiau tikėtinas, burtais renkant tik vieną renginio vedėją: A – „renginio vedėja išrinkta mergina“ ar B – „renginio vedėju išrinktas vaikinas“? Atsakymą pagrįskite.   (2 taškai) 5. 1. Kiek yra triženklių natūraliųjų skaičių? (1 taškas) 2. Kokia tikimybė, kad atsitiktiniai pasirinkto triženklio natūraliojo skaičiaus visi skaitmenys yra nelyginiai? (2 taškai)


Matematikos vadovėlio mokomąjį komplektą X klasei sudaro: Vadovėlis Pirmoji knyga Antroji knyga

ISBN 978-5-430-05565-3

Apsilankyk www.knyguklubas.lt • Rasi naujausių knygų • Sužinosi, ką skaito tavo bendraamžiai • Dalyvausi diskusijose


matematika_10kl