Issuu on Google+

ÜNİTE TRİGONOMETRİ

• Trigonometriye Giriş

ADAPAZARI MESLEK YÜKSEKOKULU


TRİGONOMETRİ  (Trigonometriye Giriş) 

                          Hedefler   

 

Bu üniteyi çalıştıktan sonra;    Açısal  ölçüm  birimlerini  öğrenip,  bunlar  arasındaki  dönüşümleri  yapabilmek,  Verilen açıların esas ölçüsünü bulabilmek       için gerekli bilgi ve becerilere sahip olacaksınız.                       


2

Adapazarı Meslek Yüksekokulu – Matematik Modülleri

       

İçindekiler    TRİGONOMETRİ    Trigonometriye Giriş    Açı ve Açısal Ölçü Birimleri  Esas ölçü                             


TRİGONOMETRİ (Trigonometriye Giriş)

  TRİGONOMETRİYE GİRİŞ    Yunanca  trigonon (üçgen) ve metria (metre, ölçü) sözcüklerinin birleşmesinden  meydana  gelen,  geometrik  hesaplamaların  matematiksel  bağıntılar  yardımıyla  yapıldığı matematik konusudur.  Trigonometriyle ilgili en eski belgeler Öklid zamanına yani MÖ üçüncü yüzyıla  kadar uzanır. Zamanla eski yunan ve Türk‐İslam matematikçileri 

trigonometrinin 

gelişmesine  büyük  katkıda  bulunmuş  ve  genel  olarak  bugün  kullanılan  biçime  getirenler olmuşlardır.  Trigonometri,  astronomi  ve  geometride  olduğunu  kadar  periyodik  olayları  incelemek  için  de  kullanılır.  Örneğin;  aylık  ortalama  hava  sıcaklığı  veya  güneşin  doğuş zamanı gibi…     

AÇI   Hedef:  Açı  ve  açı  ölçülerini  kavrayabilecek,  bunlarla  ilgili  uygulamalar  yapabileceksiniz.    Tanım:  Doğrusal  olmayan  ve  başlangıç  noktaları  ortak  olan iki ışının birleşim kümesine açı denir.                                     [OA ∪ [OB = AOB   

YÖNLÜ AÇI   Tanım:  Bir  düzlemde  çizilen  açının  kenarlarının  belli  bir  sıraya  göre  yazılmasıyla  oluşan açıya yönlü açı denir.   Bir açıya iki tür yön verebiliriz:   

3


4

Adapazarı Meslek Yüksekokulu – Matematik Modülleri   i. Saatin dönme yönüne ters yönde yani  pozitif yönde,      ii. Saatin dönme yönünde yani negatif  yönde.      

BİRİM ÇEMBER    Tanım:  Analitik  düzlemde  merkezi,  koordinat  eksenlerinin  kesiştikleri  nokta  olan  orjin (başlangıç noktası) ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember denir.    Birim çember : { (x,y)  x, y   IR, 

1 } 

Yarıçapı 1 birim olduğundan çevresi 2  dir.    ’ ’

’ ’

’ =  

 

’ =      

AÇI ÖLÇÜSÜ BİRİMLERİ    Derece: Bir çemberin çevre uzunluğunun 

 ını gören merkez açısının ölçüsüne 1 

derece denir ve 1° ile gösterilir. Öyleyse bir çemberin tüm yayının ölçüsü 360° dir.  (1°) nin  Buna göre  1°  

 ine  1 dakika ( 1′), 1 dakikanın  60′ 

3600′′   dir. 

ine 1 saniye (1′′) denir. 


TRİGONOMETRİ (Trigonometriye Giriş)      Örnek:     18260′′  yı derece ve dakika türünden yazmaya çalışalım.       Çözüm:         18260′′   3600′′       

                   18000′′        5°                          260′′       60′′     

    240′′       4′ 

                           20′′     

 

Buna göre;    18260′′  = 5°4′ 20′′ olarak bulunur. 

   Örnek:    30° 43 ′46 ′′ +  22 °55′ 18′′  toplamının sonucunu bulalım.     

       Çözüm:             30° 43 ′46 ′′    22 °55′ 18′′      52 °98′ 64′′  düzenlersek       52 °99′ 04′′        53 °38′ 64′′  bulunur.     Radyan:  Bir  çemberde  yarıçap  uzunluğundaki  bir  yayı  gören  merkez  açının  ölçüsüne 1 radyan denir. Öyleyse bir çemberin tüm yayının ölçüsü 2  radyandır.     Örnek:    Yarıçapı 6 metre olan çemberin merkez açısının karşısındaki yayın    ölçüsü 36 metre ise bu çemberin merkez açısının ölçüsünün kaç radyan    olduğunu bulalım.         Çözüm:    Çemberdeki  yayın  uzunluğu:  (çemberin  çevresi).       ç         şeklinde bulunur.   

Yarıçap: r= 6 metre ise çevre: 2    

R

36 metre = 12 .              R= 

     2. . 6

12  dir. 

 = 3 olarak bulunur. 

5


6

Adapazarı Meslek Yüksekokulu – Matematik Modülleri   Grad: Bir çemberin 

ini gören merkez açının ölçüsüne 1 grad denir. Öyleyse bir 

çemberin tüm yayının ölçüsü 400 graddır.    Gördüğümüz açı ölçüleri birbirine dönüştürülmek istenirse; 

  veya sadeleştirirsek 

 genel bağıntısı elde edilir. 

 

 

 Örnek:   a) 240° kaç radyandır? 

 

   b) 

 kaç derecedir? 

    

   c) 150 grad kaç radyandır? 

 

  Çözüm:  a) 

D

R

  ise   

R

    

   

  R

   

  dir. 

  D b)   

R

  ise       

D

       D

180 . 

 

 270° dir. 

     R c     

G

   

   

R

     R

 

 dir. 

   

  Alıştırma  1. 53° 15′ 36′′    14° 20′ 40′′ farkını bulunuz.      radyanın grad ve derece türünden değerini bulunuz. 

2.

3. 315° nin radyan ve grad türünden eşitini bulunuz.     


TRİGONOMETRİ (Trigonometriye Giriş)    

SARMAL FONKSİYON    Tanım:  Reel  sayılardan,  birim  çemberin  üzerine  yani  noktalarına  bir  fonksiyon  tanımlayalım.  Bu  fonksiyon,  aynı  zamanda  her  aralıktaki  reel  sayılarla  birim  çemberin noktaları eşlesin. Böylece her reel  sayıya  birim  çember  üzerinde  bir  nokta,  birim çember üzerindeki her noktaya da bir  reel sayı karşılık gelir.  İşte tanımlanan  bu  fonksiyona  sarmal  fonksiyon denir ve S ile gösterilir.  : 

Ç  olup  örtendir,  fakat  birebir 

değildir.    Buna göre ; 

 

i.

K noktasına karşılık gelen 

  +360° ,  +2.360°, ……  +k.360° ( 

reel sayılarına  AK yayının veya AOK  açısının derece türünden ölçüleri denir.      ii.

K noktasına [0°, 360°  aralığında karşılık gelen  AOK açısının ESAS ÖLÇÜSÜ denir.  Öyleyse,   0°

 ye AK yayının veya  360° dir. 

  Dikkat : Verilen bir açının esas ölçüsünü bulmayı sadece derece için değil,  aynı şekilde radyan ve grad içinde yapabiliriz.   

7


8

Adapazarı Meslek Yüksekokulu – Matematik Modülleri      Örnek:      

a) 1395° nin esas ölçüsü kaçtır?  b) 13  nin esas ölçüsünü bulalım.    c) ‐2390° nin esas ölçüsünü bulalım.    d) 1740 gradın esas ölçüsü kaç graddır?       nin esas ölçüsü kaç   dir? 

 e)    

Çözüm:  

a)   1395°     360°     

  1080°       3                   1395° = 315° + 3. 360°       315°  

 

    esas ölçü     devir(dolanım) sayısı 

 b) 13  = 1  + 6. 2   olduğundan esas ölçü    dir.   

 

c) ‐2390°    360°                         Not:  Negatif  sayılarda  bölme  işlemini    tanıma uygun yaptığımızda  kalan esas ölçüdür.      ±  2520°       ‐7                                      130°         2390°   °    7 .360°      d) 1740     400     

           1740G = 140G + 4. 400G 

1600       4     140 

 e)

  = 

.

.

  =   + 3. 2

 

   

         Not: Radyan cinsinden verilen rasyonel sayılarda,             paydanın 2 katına göre pay parçalanır. 

 

 

 

 

   


TRİGONOMETRİ (Trigonometriye Giriş)       Alıştırma  Sizde aşağıda verilen açıların esas ölçülerini bulunuz.  1.

      2.   

210G          3.       1000° 

9


test