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UFSC Matemática (Violeta)

21) Resposta: 38

Comentário 01. Incorreta. f(0, 3) = f(0, 4) = 0 1 <0 02. Correta. m < 0 ⇒ m – 2

⇒m–1<m–

1 <m 2

1  Logo, f  m −  = m – 1  2

04. Correta. Pela função f(x) = x ∀ x ∈ z 08. Incorreta. Im(f) = z 16. Incorreta. f(0, 5) = 0, mas f(–0, 5) = –1 32. Correta. Veja o exemplo:

De –3 a 3 a soma das áreas é:

S=3+2+1+1+2

De –5 a 5, teremos:

S=5+4+3+2+1+1+2+3+4

Logo, de –n a n, teremos S = n + 2 . [1 + 2 + 3 + ... + n – 1] (1 + n − 1) . n − 1 S=n+ 2 . 2

S = n + n2 – n S = n2

22) Resposta: 15

Comentário 01. Correta.

Perímetro da base = 10,5 h = 21

S = 3 . 3,5 . 21 S = 220,5 cm2

1


02. Correta.

f(x) = |x| – cos x raízes: |x| = cos x

Graficamente,

Como os gráficos se interceptam em dois pontos, a equação |x| = cos x possui duas raízes reais.

04. Correta. A . B não é inversível, pois:  −1 2   1 5 0 A =  2 0 B =     −3 0 1  −2 −1

 −7 −5 2   −1 2   1 5 0   AB = 2 0 .  =  2 10 0       −3 0 1  1 −10 −1  −2 −1

det (A . B) =

Como det (A . B) = 0, então (AB) não é inversível.

= 70 – 40 + 0 – 20 – 0 – 10 = 0

08. Correta. M = C . (1 + i)t M3 = 10000 . (1 + 0,01)3 M3 = 10000 . (1,01)3 M3 = 10000 . 1,030301 M3 = 10303,01 16. Incorreta. tg

23π 14π + sec = −1 4 3

Cálculo da MDP 23π 16π 7π = + 4 4 4 14π 12π 2π = + 3 3 3

Portanto: 7π 2π tg + sec 4 3 (–1) + (–2) = –3 32. Incorreta. log2 (cos x) = 1 → cos x = 2

2

Como –1 ≤ cos x ≤ 1, não existe solução.


23) Resposta: 15

Comentário 01. Correta.

O volume do octaedro regular pode ser calculado como o volume de duas pirâmides: 1 . Sb . H V=2. 3

Sb = área da base H = altura

R=6 A diagonal d corresponde ao diâmetro da esfera. d = 2R  2 =2.6

Sb = 2 Sb = (6 2 )2 Sb = 72

 2 = 12 =

12 2

.

2 2

=6 2

H=R H=6

1 . 72 . 6 3

V=2.

V = 288

Provar que AABCD = AADE Como a região ADPB é comum, vamos provar que A1 = A2. Considere os triângulos ∆ECB e ∆ECD, observe que possuem a mesma base EC e que suas alturas são a distância entre os segmentos paralelos BD // EC , assim AECB = AECD. Como ∆ECB e ∆ECD possuem a região ECP em comum, temos que A1 = A2.

02. Correta. BD//EC

04. Correta.

Traçando uma mediana a partir de B em AC:

Temos uma propriedade que segundo a qual a mediana divide o triângulo ABC em dois triângulos de mesma área: S (∆ABX) = S (∆BXC), portanto, a área de EMC é menor que a metade da área total.

3


08. Correta. Considere o quadrilátero ABCD

Em ABD, 2α + θ + γ = 180o Em BCD, 2β + θ + γ = 180o

Logo, 2α = 2β α=β

Daí concluímos que γ = θ.

Como 4x = 360o x = 90o

Assim, as diagonais são perpendiculares. Além disso, ABP e APD são semelhantes com um lado em comum. Logo são congruentes. Daí concluímos que PB = PB e AB = PC . Com diagonais perpendiculares no ponto médio, temos um losango.

16. Incorreta.

24) Resposta: 28

Comentário Descontos sucessivos de 10% e 20%. Valor inicial: x Desconto de 10% ⇒ Novo valor 90%x Desconto de 20% ⇒ Novo valor 80%(90%x) = 72%x Desconto acumulado de 28%

4

Em CQP, temos QP = PC = CQ =  .  Em PBN, sen 60o = x 3  = 2 x 2 x= 3 Como x ≠ , P não é ponto médio.


25) Resposta: 53

Comentário 01. Correta.

 1 1 S = − ,   2 2

02. Incorreta. 2 5 < 2 +

6 , elevando-se ambos os membros ao quadrado:

(2 5 )2 < (2 + 6 )2 20 < 4 + 4 6 + 6 20 < 10 + 4 6 10 < 4 6 ⇒ elevando ao quadrado: 102 < (4 6 )2 100 < 96 04. Correta. Observe que: 12 = 1 22 = 4 32 = 9  10002 = 1 000 000

Portanto, existem 1000 naturais quadrados perfeitos de 1 a 1 000 000.

08. Incorreta. 0, 999... + 0, 444... = 1 + 0,424242...

9 4 + 9 9 42 1+ 99 11

2 5 3+2 33 3 = 3 = 3 = 5 . 99 = 55 99 + 42 141 141 47 3 141 47 99 99 99 1+

16. Correta. Observe o que ocorre numa sequência mais curta. (11 . 1!) . (22 . 2!) . (33 . 3!)         1. 1. 2 . 2 . 2 . 1 . 3 . 3 . 3 . 3 . 2 . 1 (1 . 2 . 3) . (1 . 2 . 3) . (1 . 2 . 3) . (1 . 2 . 3) (3!)4

O raciocínio é análogo para (11 . 1!) . (22 . 2!) . ... . (1010 . 10!) = (10!)11

32. Correta. Observe que para a e b ∈ R, a e b positivos. (a – b)2 ≥ 0 a2 – 2ab + b2 ≥ 0 a2 + b2 ≥ 2 ab ÷(ab) a b + ≥ 2 b a

5


26) Resposta: 26

Comentário 01. Incorreta. Resto da divisão de P(x) por x + k Pelo teorema do resto temos: resto = P(–k). 02. Correta. P(x) = xn + an – 1 . xn – 1 + ... + a1x + a0.

Se 1 + an – 1 + ... + a1 + a0 = 0, então P(1) = 1 + an – 1 + ... + a1 + a0 = 0.

04. Incorreta. Dois polinômios são idênticos quando os termos de mesmo grau possuem os mesmos coeficientes, e não por possuírem as mesmas raízes. Se: P(x) = a1xn + a2xn – 1 + ... + an m(x) = b1xn + b2xn – 1 + ... + bn

Então: P(x) ≡ m(x) ⇒ a1 = b1  a 2 = b 2    an = bn

08. Correta.

P(x) = K(x) . Q(x)

Se α é raiz de K(x), então: P(α) = K(α) . Q(x) P(α) = 0 . Q(x) P(α) = 0

Isto é, α é raiz de P(x).

16. Correta.

27) Resposta: 15

Comentário 01. Correta.

mr = tg (π – α) ± –

1 2

ms = tg α = –tg(π – α) =

6

1 2

Logo, a equação de s é y =

x . 2


02. Correta. Se (a, b) pertence à reta 2x – y = 0 ⇒ 2a – b = 0 a b 1 1 1 S= 1 0 1 =5 ⇒ S= (1 + 3b − a − b) = 5 2 2 3 1 1

⇒ 2a − b = 0  2 . 2b − a = 9 3b = 18 b=6 2a = 6 a=3 (3, 6) = (a, b) a+b=9

ou

 2a − b = 0  2 2b − a = −11 3b = − 22 22 b= − 3 2a = b 22 3 11 a= − 3 2a = −

22   11  − , −  = (a, b) 3 3

Mas o ponto (a, b) ∈ 1o quadrante. Portanto, (3, 6) = (a, b) ⇒ a + b = 9.

 − x + 2, 0 ≤ x ≤ 2  04. Correta. f: [0, 5] → R, f(x) =  4 8  3 x − 3 , 2 < x ≤ 5

S = A1 + A2 S=2+6 S = 8 u.a.

08. Correta. C1 → R1 = 9 cm C2 → R2 = 4 cm C3 → R3 = 1 cm Logo:

R4 =

R1 − R2 9−4 = = 2,5 cm 2 2

Portanto: d(C3, C4) = R3 + R4 = 1 + 2,5 = 3,5 cm

7


16. Incorreta. x2 + y2 –6x – 4y + 12 = 0 C(3, 2) 9 + 4 – R2 = 12 R=1

Observe que se b = –1 <

3− 3 , então y = –x, que 4

não tem ponto em comum com a circunferência.

De outro jeito: y = bx x2 + y2 – 6x – 4y + 12 = 0 Substituindo, temos: x2 + b2x2 – 6x – 4bx + 12 = 0 (1 + b2)x2 + (–6 – 4b)x + 12 = 0

Para que se tenha pelo menos um ponto em comum, a equação (*) deve ter ∆ ≥ 0.

(–6 – 4b)2 – 4 . (1 + b2) . 12 ≥ 0 36 + 48b + 16b2 – 48 – 48b2 ≥ 0 –32b2 + 48b – 12 ≥ 0 (÷) –4 8b2 – 12b + 3 ≤ 0

(*)

∆ = 144 – 4 . 8 . 3 = 48 b=

12 ± 48 16

b=

12 ± 4 3 16

b=

3± 3 4

Devemos ter

3− 3 3+ 3 <b< . 4 4

28) Resposta: 76

Comentário 01. Incorreta. A Copa ocorre de 4 em 4 anos, portanto, temos uma P.A.: {1950, 1954, 1958, ..., 2014} an = a1 + (n – 1)R 2014 = 1950 + (n –1) . 4 64 = (n – 1) . 4 64 n–1= 4

n – 1 = 16 n = 17

02. Incorreta.

8

A + G = 45  ⇒ A = 45 − G 4  A = 5 . G 4 45 − G = G 5 225 − 5G = 4G 225 = 9G G = 25


04. Correta. log (log x) < 1

Condição de existência: x > 0 log x > 0 ⇒ x > 1 log (log x) < 1 ⇒ log x < 10 ⇒ x < 1010 ∴ 1 < x < 1010. Se 1 < x < 1010, então x < 1010.

08. Correta. L(x) = –1120 + 148 x – x2 b −(148) xV = − ⇒ xV = = 74 2a 2( −1) 16. Incorreta. Vi = K . r4 Reduzindo r à metade, o novo volume será: r Vf = K .    2

Vf = K .

r 16

4

4

Isso significa que Vf =

Vi . 16

32. Incorreta.

x + py − z = 1   3 x + 2 y − 3z = 4

com p =

Como o número de equações é menor que o número de variáveis, o sistema será indeterminado ou impossível. Como as equações não são proporcionais, o sistema é impossível. 2 2  x + y − z = 1 (3) 1 1 3 −1 ou perceba:  3 2 −3 4 3 3x + 2y − 3z = 4 1 1 1 1 ≠ = = 3x + 2y − 3z = 3 1 3 3 3 4 Fazendo 1 − 2  3x + 2y − 3z = 4 2

2  x + y − z = 1 2 3 ⇒  3 3x + 2y − 3z = 4

○ ○

0 = –1, o que é um absurdo.

64. Correta.

○ ○

3136 ≅ 1,234 2541

Logo, o aumento foi de 23,4%, aproximadamente.

29) Resposta: 20

Comentário 01. Incorreta. Espaço amostral:

Soma menor ou igual a 6 15 P= 36

9


02. Incorreta. 986

7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 = 5040

04. Correta. 1   x +  x

100

 100 100 − 50  1 T51 =  x .    50   x

50

 100 50 −50 x .x T51 =   50 

 100 T51 =   50 

08. Incorreta. {F, A1, A2, A3, A4, A5, A6}

F, __, __, __ 6! C36 = = 20 3! 3!

16. Correta. 40 . 39 . ... . 10 30! 40 . 39 . ... . 30 . 29 . 28 . ... . 10 M= 30 . 29 . 28 . ... . 10 . 9 . 8 . ... . 2 . 1 M=

13

11

40 . 39 . 38 . 37 . 36 . 35 . 34 . 33 . 32 . 31 M= 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 .1 3

M = 40 . 13 . 38 . 37 . 34 . 11 . 31, que é inteiro.

32. Incorreta. S O R T E P5 – 2 . P4 ⇒ 120 – 2 . (24) = 72 30) Resposta: 12

Comentário Outro jeito:

Pitágoras Em APM: AM = 12 Assim, x = 12

10

Usando potência de ponto COP: (CO)2 = (CP) . (CQ) x2 = 18 . 8 x2 = 144 ⇒ x = 12

Resolução Comentada da Prova de Matemática  

Os professores do Energia Florianópolis resolveram e comentaram a prova violeta de Matemática do Vestibular UFSC 2013.

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