Page 1

έχει συντελεστή διεύθυνσης λ: y  yΑ  λ  χ  χ Α 

Διανύσματα Διάνυσμα ονομάζεται κάθε προσανατολισμένο ευθύγραμμο  τμήμα. Η απόσταση των άκρων ενός διανύσματος AB λέγε ται μέτρο και συμβολίζεται AB

● Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A  χ Α , yΑ  και Β  χΒ , yΒ  με χ 1  χ 2 είναι: y  yΑ 

● λα  Αν

y1 χ1

 χ1    ● α / /β  det α, β  0  χ2

 

y1

y2

κάθετη στον άξονα χ ' χ : χ  χ Α . ● Εξίσωση ευθείας που διέρχεται

από το σημείο A  χ Α , yΑ  και είναι

 

 

 

Ευθεία ● Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A  χ Α , yΑ  και Β  χΒ , yΒ  με χ Α  χΒ είναι: λ 

yΒ  yΒ . χΑ  χΑ

● Εξίσωση ευθείας που διέρχεται

από το σημείο Α  χ Α , yΑ  και

κέντρο Ο  0, 0  και ακτίνα ρ :

χ  ρ  συνφ και y  ρ  ημφ με φ  0,2π ε : χχ1  yy1  ρ2 : Εξίσωση εφαπτομένης του κύκλου στο

σημείο του Μ  χ 1 , y1 

c :  χ  χ 0    y  y0   ρ2 : εξίσωση 2

και ακτίνα ρ.

● Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και

ε :  χ  χ0  χ  χ1   y  y0  y  y1   ρ2 : Εξί-

έχει συντελεστή διεύθυνσης λ: y  λχ .

● Εξίσωση ευθείας που τέμνει τον

σωση εφαπτομένης του κύκλου στο ση-

άξονα yy στο A  0, β  και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ: y  λχ  β ● Εξίσωση της διχοτόμου της 1ης – 3ης γωνίας των αξόνων: y  χ

μείο του Μ  χ 1 , y1 

c : χ  y  Aχ  Βy  Γ  0 με A2  Β2  4Γ  0 είναι εξίσωση 2

2

● Εξίσωση ευθείας που τέμνει τον άξονα χ ' χ στο A  α, 0  και τον y ' y στο B  0, β  :

χ y   1. α β

 2

και

ε 1  ε 2  λ1  λ2  1

Α Γ · Αν Β  0 τότε η ευθεία έχει εξίσωση y   χ  Β Β

Γ · Αν Β  0 τότε Α  0 και η ευθεία έχει εξίσωση χ   Α  ·Είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ  Β,  Α  και κάθετη στο  διάνυσμα η   Α, Β  .

● Απόσταση του σημείου Μ  χ 0 , y0  από την ευθεία Αχ 0  Βy0  Γ

ε : Aχ  Βy  Γ  0 : d  M, ε  

σα την ευθεία δ των γεωμετρικό τόπο των σημείων του

   1 1 χ ΑΒ | det AB, AΓ   2 2 χ ΑΓ

Άξονας συμμετρίας ο χ ' χ y 2  2pχ : εξίσωση παραβολής

p  με εστία Ε  , 0  και διευθε2  p . τούσα δ : χ   2

yy1  p  χ  χ1  : Εξίσωση εφα-

πτομενης της παραβολής στο σημείο της Μ  χ 1 , y1  .

Άξονας συμμετρίας ο χ ' χ

χ 2  2py : εξίσωση παραβολής

με εστία Ε  0, p  και διευθε2

Α 2  Β2

● Εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ:

Παραβολή Ονομάζουμε παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετού-

θετούσα δ.

● Γενική εξίσωση ευθείας: Αχ  Βy  Γ  0 με Α  0 ή Β  0 .

 ΑΒΓ  

2

επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από την εστία Ε και τη διευ-

● Αν ε 1 : y  λ1 χ  β1 και ε 2 : y  λ2 χ  β2 τότε ε 1 / /ε 2  λ1  λ2

Α 2  Β2  4Γ . 2

κύκλου με κέντρο Κ   Α ,  Β  και ακτίνα ρ 

● Εξίσωση της διχοτόμου της 2ης – 3ης

γωνίας των αξόνων: y   χ

2

κύκλου με κέντρο το σημείο Κ  χ 0 , y0 

y  yΑ .

A  χ 1 , y1  και B  χ 2 , y2  τότε:

Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυ    σμάτων α και β και το συμβολίζουμε α  β τον πραγματι           κό αριθμό α  β  α  β  συν α, β . Αν α  0 ή β  0 τότε   α  β  0 . Ισχύουν:               ● αβ  βα ● α  β  α  β  0 ● α  β  α  β  α  β    2         ● α  β  α  β   α  β ● α  β  α  προβα β ● α 2  α              ●  λα   β  α  λβ  λ α  β ● α  β  γ  α  β  α  γ     ● Αν α   χ 1 , y1  και β   χ 2 , y2  τότε α  β  χ 1 χ 2  y1y2   χ1 χ 2  y1y2   αβ  και συν α, β     . 2 α β χ1  y12  χ 22  y22

Παραμετρικές εξισώσεις κύκλου με

παράλληλη στον άξονα χ ' χ :

0

 χ  χ2 y1  y2   , ● Μέσο του ΑΒ: M 1  ● AB   χ 2  χ 1 , y2  y1  2   2  2 2 ● AB   χ 2  χ1    y2  y1 

κέντρο Ο  0, 0  και ακτίνα ρ.

yΒ  yΑ  χ  χΑ  χΒ  χ Α

από το σημείο A  χ Α , yΑ  και είναι

 

χ12  y12 ,

c : χ 2  y 2  ρ2 : εξίσωση κύκλου με

● Εξίσωση ευθείας που διέρχεται

 ονομάζεται γωΗ κυρτή γωνία ΑΟΒ   νία των διανυσμάτων α και β και  . Ισχύουν: συμβολίζεται α,β       ● ΒΑ  α  β ● ΟΜ  α  β          ● ΑΒ  ΟΒ  ΟΑ ● α  β  α  β  α  β

  Αν α   χ 1 , y1  και β   χ 2 , y2  τότε:     ● α  β   χ1  χ2 , y1  y2  ● λα   λχ1, λy1  ● α 

Κύκλος

 yΑΒ  yΑΓ

|

p τούσα δ : y   2 χχ1  p  y  y1  : Εξίσωση εφα-

πτομένης της παραβολής στο σημείο της Μ  χ 1 , y1  .


Έλλειψη Ονομάζουμε έλλειψη με εστίες Ε και Ε΄ το γεωμετρικό τόπο

Ασύμπτωτες : y 

β β χ και y   χ α α

των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμα από τα

Ε και Ε΄ είναι σταθερό και μεγαλύτερο του ΕΕ΄.

C :

Εστίες πάνω στον χ ' χ

β 

α 2  γ 2 εξίσωση έλ-

Ε  γ, 0  και μεγάλο άξονα 2α. χχ1 α2

yy1 β2

 1 εξίσωση εφαπτομένης της έλλειψης στο

σημείο της Μ  χ 1 , y1  Παραμετρικές εξισώσεις: χ  α  συνφ, y  β  ημφ, φ   0, 2 π  Εστίες πάνω στον y ' y χ y C : 2  2  1 με β  β α 2

2

εΜ :

β

2

yy1 α

2

γ  1 εκκεντρότητα της έλλειψης. α Όμοιες λέγονται οι ελλείψεις που έχουν την ίδια εκκεντρότητα. ε 

Υπερβολή Ονομάζουμε υπερβολή με εστίες Ε και Ε΄ το γεωμετρικό

τόπο των σημείων του επιπέδου των οποίων η απόλυτη

τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από τα Ε και Ε΄ είναι Εστίες πάνω στον χ ' χ C :

χ y   1 με β  α2 β2 2

γ 2  α2

εξίσωση υπερβολής με εστίες Ε    γ, 0  , Ε  γ, 0  εΜ :

χχ1 α2

yy1 β2

 1 εξίσωση

εφαπτομένης της έλλειψης στο σημείο της Μ  χ 1 , y1 

2 .

ώστε α  κβ  υ με 0  υ  β .

 1 εξί-

χ  β  συνφ, y  α  ημ φ, φ   0 , 2 π 

2

 1 εξίσωση ε-

● α, β  Ζ με β  0 , τότε υπάρχουν μοναδικοί κ, υ  Ζ τέτοιοι

στο σημείο της Μ  χ 1 , y1 

σταθερή και μικρότερη του ΕΕ΄.

β2

Θεωρία αριθμών

2

σωση εφαπτομένης της έλλειψης Παραμετρικές εξισώσεις:

χχ1

γ 1 α Ισοσκελής υπερβολή: είναι α  β οπότε έχει εξίσωση

Ε   0,  γ  , Ε  0, γ  και μεγάλο χχ1

ε 

χ 2  y 2  α 2 και εκκεντρότητα ε 

α γ

α2

α α χ και y   χ β β

Εκκεντρότητα υπερβολής:

2

yy1

φαπτομένης της έλλειψης

στο σημείο της Μ  χ 1 , y1  Ασύμπτωτες : y 

εξίσωση έλλειψης με εστίες

άξονα 2α. εΜ :

γ 2  α2

Ε   0,  γ  , Ε  0, γ  .

λειψης με εστίες Ε    γ, 0  ,

εΜ :

y2 χ 2   1 με β  α2 β2

εξίσωση υπερβολής με εστίες

χ 2 y2   1 με α 2 β2

C :

Εστίες πάνω στον y ' y

● α περιττός: α  2κ  1, κ  Ζ

● α άρτιος: α  2κ, κ  Ζ

● Το γινόμενο δύο διαδοχικών ακεραίων είναι άρτιος

● Το τετράγωνο περιττού είναι της μορφής 8λ  1, λ  Ζ .

Αν α,β,γ ακέραιοι τότε: ● β | α  α  κβ, κ  Ζ

● α | β και β | α τότε α  β ή α  β

● α | β και β | γ τότε α | γ

● α | β και β  0 τότε α  β

● α | β και α | γ τότε α | λβ  μγ για κάθε λ, μ  Ζ ●  α, β  : Μέγιστος κοινός διαιρέτης των α, β  Ζ ● Αν α, β  Ν τότε  α, β    β, υ  , υ το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του α με το β.

● Αν  α,β  δ τότε υπάρχουν κ, λ  Ζ , τέτοιοι ώστε δ  κα  λβ .

● α,β πρώτοι αν  α, β   1 ● α | γ , β | γ και

 α, β   1

● α | βγ και  α, β   1 τότε α | γ τότε αβ | γ

●  α, β  : Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των α, β  Ζ  ● Αν α, β  Ζ  τότε  α, β   α, β   α  β .

● Τα κοινά πολλαπλάσια δύο ακεραίων είναι πολλαπλάσια του Ε.Κ.Π. ● Αν p πρώτος και p | αβ , α, β  Ζ , τότε p διαιρεί έναν τουλάχιστον από τους α, β

b-lykiou-kateythinsi  

        Μ χ ,y . Άξονας συμμετρίας ο χ'χ   y y λχ χ    ● Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από τα σημεία    2 2 2 τον y'y στο ...