Issuu on Google+

Prezenta culegere de teste este realizată de autori talentaŃi şi entuziaşti, în conformitate cu standardele naŃionale de evaluare şi programa de gimnaziu pentru disciplina matematică. Culegerea se adresează elevilor şi profesorilor de matematică ce-şi desfăşoară activitatea în gimnaziu, contribuind la buna lor pregătire în vederea succesului lor la orice tip de evaluare la matematică. Testele sunt ingenios concepute şi acoperă toată tematica programei de matematică din gimnaziu. Rezolvând testele din această culegere, elevii din gimnaziu au posibilitatea să-şi actualizeze, să-şi clarifice şi să-şi consolideze toate cunoştinŃele prevăzute de programa şcolară la matematică. Varietatea problemelor întâlnite în teste, procedeele şi metodele de rezolvare utilizate, contribuie la îmbogăŃirea experienŃei elevilor în rezolvarea cu succes a problemelor de matematică cu care se vor confrunta la diferite evaluări. Autorii acestei culegeri de teste şi-au valorificat cu pricepere experienŃa didactică, au consultat numeroase cărŃi şi reviste de specialitate, oferind elevilor de gimnaziu o carte deosebit de utilă în pregătirea lor la matematică. În mod sigur cartea răspunde aşteptărilor tinerilor cititori din gimnaziu şi suntem convinşi că va avea succesul bine meritat.

Lector univ. drd. Gheorghe Neagu Universitatea din Bacău

3


Introducerea modalităŃilor de evaluare externă a elevilor din ciclul gimnazial reprezintă un element de noutate şi, implicit, o provocare. Lucrarea a fost concepută în spiritul inovaŃiei. Matematica în sine este un joc al ineditului, al descoperirii. În experienŃa didactică, în lucrul explicit cu elevii, prin feedback, s-a probat gradul de eficienŃă al materialelor auxiliare aflate la îndemâna dascălilor şi micilor candidaŃi. S-a observat că evaluările se diferenŃiază de testele pregătitoare printr-un ”ceva” de domeniul noutăŃii şi surprizei. După părerea noastră, acest “ceva” Ńine de forma de prezentare a conŃinutului teoretic. Astfel, în testele propuse de noi, am încercat o corelaŃie, zicem noi ingenioasă, între conŃinut şi formă cu caracter nu numai informativ, ci şi formativ şi aplicativ. Culegerea se adreseaza atât elevilor, cât şi profesorilor ca o împărtăşire a experienŃei noastre. Autorii

4


Capitolul

EVALUĂRI INIłIALE

1 • Test 1: Partea I: 1. Rezultatul calculului 3,5–1,2 este egal cu …. 2. Dacă A = {1;2;3;4;5;6} şi B = {45;5;6} , atunci A ∩ B = .... 3. Rezultatul calculului 1991 ⋅ 1990 − 1991 ⋅ 1989 este egal cu …. 4. Dintre numerele 1,23 şi 1,2(3) mai mare este numărul egal cu …. 5. Câtul împărŃirii cu rest a numărului 125 la 3 este egal cu …. 6. 24 ha = … m 2 . 7. Trei băieŃi s-au cântărit câte doi în toate combinaŃiile posibile. Ei au obŃinut următoarele măsuri 85 Kg, 89 Kg şi 94 Kg. BăieŃii cântăresc împreună ... kg. 8. Rezultatul calculului 32 − 90 este egal cu …. Partea a II-a: 9. Suma a doua numere naturale a şi b este 22. ÎmpărŃind pe cel mai mare la cel mai mic, obŃinem câtul 1 şi restul 4. DeterminaŃi cele două numere. 10. a) Media aritmetică a numerelor 1,2; 2,34 şi x este egală cu 3,813. AflaŃi numărul x. b) Ştiind că două treimi dintr-o sumă de bani înseamnă 400.000 lei, aflaŃi acea sumă de bani. 11. Se consideră şirul de numere naturale 1; 2; 2; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; .... Să se determine al 2006-lea termen al şirului. 12. Terenul de sport al unei şcoli este în formă de dreptunghi cu perimetrul de 400 m şi lungimea cu 40 m mai mare decât lăŃimea. Terenul este înconjurat de o pistă cu lăŃimea de 3 m. CalculaŃi: a) perimetrul exterior al pistei; 5


b) aria terenului de sport; c) aria pistei. • Test 2: Partea I: 3 4 şi mai mic este numărul …. 2 3 2. Media aritmetică a numerelor 4,5 şi 7,5 este egală cu …. 1 3. SoluŃia ecuaŃiei 2 x − 3 = este egală cu …. 2 7 este supraunitară” este 4. Valoarea de adevăr a propoziŃiei “fracŃia 5 …. 1 2 4 5. Rezultatul calculului + : este egal cu …. 2 3 9 6. Perimetrul pătratului cu latura de 7,3 cm este egal cu ... cm. 7. Suma numerelor care împărŃite la 4 dau câtul 3 este egală cu …. 8. Cardinalul mulŃimii A = { x ∈ ℕ 2 < x ≤ 7} este egal cu ….

1. Dintre numerele

Partea a II-a: 9. Media aritmetică a trei numere este 134,5. AflaŃi numerele ştiind că primul număr este cu 22,5 mai mare decât al doilea, iar al treilea este dublul primului.

(

10. Dacă a = (1 + 2 + 3 + ... + 1994 ) :1995 şi b = 217 : 48 calculaŃi 2 ( a + b ) − 1 .

11. ArătaŃi că

1 1 1 1 + 2 + ... + 2 < . 2 3 4 49 2

6

)

1995

: 8665 ,


12. Dintr-un carton în formă de pătrat, cu latura de 6 cm, se construieşte o cutie cu înălŃimea de 1 cm. AflaŃi volumul cutiei.

7


Capitolul

MULłIMEA NUMERELOR NATURALE

2 • Test 3: OperaŃii cu numere naturale; reguli de calcul cu puteri Partea I: 1. Rezultatul calculului 357:3 este egal cu .... 2. SoluŃia ecuaŃiei 2 x − 11 = 7 este egală cu …. 3. Rezultatul calculului 235 : 224 este egal cu …. 4. Cel mai mic număr natural care împărŃit la 24 dă restul 19 şi câtul nenul este egal cu .... 5. Dintre numerele 244 şi 421 mai mare este numărul …. 6. Rezultatul calculului 325 − 244 + 2025 : (226 − 17 ⋅ 13) este egal cu …. 7. Dacă a + b = 13 şi c = 9 , atunci a ⋅ c + b ⋅ c este egal cu …. 8. Rezultatul calculului 2 ⋅ 23 ⋅ 25 este egal cu …. Partea a II-a: 9. EfectuaŃi: a) 3+4+5+…+2010. b) 3+6+9+…+2010. c) 4+7+10+…+3001. 10. Suma a două numere este egală cu 538. ÎmpărŃind numărul mai mare la cel mic obŃinem câtul 47 şi restul 10. DeterminaŃi cele două numere. 11. Fie numerele A = 214 ⋅ 2512 ⋅ 1113 şi B = 240 ⋅ 56 ⋅ 78 . a) Cu câte zerouri se termină fiecare dintre ele? b) Cu câte zerouri se termină numărul A ⋅ B ? c) Care este ultima cifră nenulă a produsului A ⋅ B ?

8


12. Un număr de patru cifre are ultima cifră 6. Dacă se mută această cifră în faŃa numărului se obŃine un număr mai mare cu 4194 decât numărul iniŃial. Să se afle numărul iniŃial. • Test 4: Divizor, multiplu. Criteriile de divizibilitate cu 10, 2, 5, 3, 9 Partea I: 1. Divizorii naturali ai numărului 12 sunt .... 2. Multiplii lui 7 mai mici dacât 30 sunt …. 3. Dintre numerele 121; 143 şi 243, divizibil cu 3 este numărul .... 4. Cel mai mic număr natural de forma 234x divizibil cu 5 este egal cu …. 5. Dacă numărul xy este divizibil cu 9 şi x − y = 1, atunci numărul xy este egal cu …. 6. Cel mai mare număr natural de forma 24x divizibil cu 2 este …. 7. Valoarea de adevăr a propoziŃiei “5554 este divizibil cu 5” este …. 8. Dacă A = D30 şi B = M 2 , atunci A ∩ B = .... Partea a II-a: 9. DemonstraŃi că 2 + 22 + 23 + ... + 22006 este divizibil cu 3.

(

)

10. a) ArătaŃi că abc − cba ⋮9.

b) AflaŃi numerele de forma x5 x divizibile cu 9. 11. ArătaŃi că numărul natural 91996 − 71992 este divizibil cu 10. 12. DemonstraŃi că numărul 5n + 3 ⋅ 2n − 125 este divizibil cu 5 şi cu 9.

prof. Ciprian Ştefănescu, Brăila

9


• Test 5: Numere prime şi numere compuse. Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime. ProprietăŃi ale relaŃiei de divizibilitate Partea I: 1. Numerele prime mai mici decât 30 sunt …. 2. Descompunerea în produs de puteri de numere prime a numărului 420 este egală cu …. 3. Suma a două numere prime este 39. Produsul celor două numere este egal cu …. 4. Dacă 1ab + ab ⋮31, atunci valoarea expresiei a + b este egală cu ….

(

)

sau cu .... 5. Un număr natural împărŃit la 60 dă restul 45. Restul împărŃirii aceluiaşi număr natural la 15 este egal cu …. 6. Numărul divizorilor naturali ai numărului 320 este egal cu …. 7. Valoarea de adevăr a propoziŃiei “ 310 + 710 este număr prim” este …. 8. Cel mai mic număr natural de forma abab , cu cel mai mic număr de divizori este egal cu ….

Partea a II-a: 9. ArătaŃi că: a) dacă ( 2 x + 3 y )⋮5 , atunci (12 x + 18 y )⋮5. b) dacă ( 2 x + y )⋮3 , atunci ( 5 x + 7 y )⋮3.

10. DeterminaŃi numerele prime a şi b ştiind că 3a + 16b = 54. 11. Să se arate că dacă a a ⋅ b + c şi a a ⋅ c + b, atunci a bc + cb. 12. DeterminaŃi numerele naturale x şi y ştiind că x 2 ⋅ ( y + 3) = 864.

10


• Test 6: C.m.m.d.c, c.m.m.m.c, relaŃia dintre ele, probleme care se rezolvă folosind divizibilitatea Partea I: 1. Cel mai mare divizor comun al numerelor 45 şi 70 este egal cu …. 2. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 12 şi 15 este egal cu …. 3. Valoarea de adevăr a propoziŃiei “15 şi 38 sunt prime între ele” este …. 4. Dintre numerele 1236 şi 3612 mai mulŃi divizori are numărul …. 5. Dacă numerele 37x şi 2 sunt prime între ele, atunci x ∈ {...}. 6. Un divizor comun al numerelor 24 şi 60 este egal cu …. 7. Un multiplu comun al numerelor 40 şi 25 este egal cu …. 8. Cel mai mare multiplu comun al numerelor 30 şi 20, mai mic decât 150 este egal cu …. Partea a II-a: 9. Suma a două numere naturale este 120. DeterminaŃi numerele ştiind că cel mai mare divizor comun al lor este egal cu 15. 10. DeterminaŃi cel mai mic număr natural care împărŃit pe rând la 5; 6 şi 8 dă resturile 4; 5 şi respectiv 7. 11. AflaŃi cel mai mic număr natural care împărŃit pe rand la 24; 40 şi 48 dă de fiecare dată restul 17. 12. DeterminaŃi două numere naturale ştiind că cel mai mare divizor comun al lor este 15, iar cel mai mic multiplu comun al lor este 360.

• Test 7: Evaluare finală, mulŃimea numerelor naturale

Partea I: 1. Cel mai mare divizor comun al numerelor 120 şi 150 este egal cu …. 2. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 12 şi 25 este egal cu …. 3. Numărul numerelor de forma xy divizibile cu 10 este egal cu …. 4. Cel mai mare divizor comun al numerelor 2n + 3 şi 5n + 8 , n ∈ ℕ este egal cu …. 11


5. Un multiplu al numărului 7, divizibil cu 5 este egal cu …. 6. Dacă a + 3b = 9 şi a este număr prim, atunci valoarea numărului natural b este egală cu …. 7. Un divizor al numărului 230 este egal cu …. 8. MulŃimea D30 \ D18 este egală cu …. Partea a II-a: 9. Să se arate că numărul A = 7 ⋅ 12n ⋅ 3n +1 + 6 ⋅ 4n +1 ⋅ 9n + 2 + 18n +1 ⋅ 2n +1 este divizibil cu 2001, oricare ar fi n ∈ ℕ *. 10. Numerele 348, 790 şi 1180 împărŃite la acelaşi număr natural dau resturile 12, 6 şi respective 4. AflaŃi cel mai mic împărŃitor. 11. Dacă A = 2a + b + 5c şi B = 15a + 46b + 20c, a, b, c ∈ ℕ, să se demonstreze că A⋮ 7 ⇔ B ⋮ 7. 12. AflaŃi numerele de forma abc , mai mici decât 500, dacă: a) dau restul 5 la împărŃirea cu 9; b) (a+b+c) ⋮ 7 şi ( acb +2) ⋮ 7.

• Test 8: Evaluare finală, mulŃimea numerelor naturale Partea I: 1. Descompunerea în produs de puteri de numere prime a numărului 2010 este egal cu …. 2. Cel mai mare divizor comun al numerelor 45 şi 32 este egal cu …. 3. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 18 şi 30 este egal cu …. 4. Dintre numerele 18, 19 şi 20 numărul prim este egal cu …. 5. D60 ∩ M 5 = {...}.

{

}

6. A = x ∈ ℕ x = 14a3b⋮3 = {...}.

3n + 5 ∈ ℕ sunt egale cu …. n +1 8. Numerele de forma 7 x3 y divizibile cu 15 sunt egale cu …. 7. Numerele naturale n , pentru care

12


Partea a II-a: 9. Numerele 4277; 4998 şi 6079 împărŃite la un număr natural nenul dau resturile 17; 18 şi respectiv 19. AflaŃi împărŃitorul. 10. AflaŃi numerele naturale a şi b ştiind că produsul lor este 6750, iar cel mai mare divizor comun al lor este 15. 11. ArătaŃi că numerele A = 2n ⋅ 5n +1 + 7 şi B = 2n +1 ⋅ 5n + 3 sunt prime între ele, unde n ∈ ℕ. 12. AflaŃi numărul natural abc, scris în baza 10, ştiind că  ab  bc 10 ⋅  − 1 + = 82.  c  a

13


Capitolul

3

MULłIMEA NUMERELOR RAłIONALE POZITIVE

• Test 9: FracŃii echivalente; fracŃie ireductibilă; noŃiunea de număr raŃional; forme de scriere a unui număr raŃional; ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ Partea I: 1. Scrierea sub formă de fracŃie zecimală a numerelor

25 7 11 37 ; ; şi 10 3 2 5

este .... 2. Scrierea sub formă de fracŃie ordinară a numerelor 1,(2); 21,(34); 4,5(6) şi 1,23(13) este .... 7 9 3. Dintre numerele şi mai mare este numărul …. 3 5 12 11  4 4. Dacă mulŃimea A =  ;2,5; ;5;7;  , atunci A ∩ ℕ = ... şi 3 2 3 A ∩ ℚ = .... …. 5. Ordinea descrescătoare a numerelor 1,234; 1,(234); 1,2(34) şi 1,23(4) este …. 5 6. Valoarea naturală a numărului n pentru care fracŃia este 6 n este egală cu …. echivalentă cu fracŃia 24 125 7. FracŃia ireductibilă echivalentă cu este egală cu …. 375 13 8. Amplificând fracŃia cu 5 se obŃine fracŃia egală cu …. 14

14


Partea a II-a:  1 1 1  3 5 2 9. Fie mulŃimile A =  n ∈ ℕ < <  şi B =  n ∈ ℕ > >  . 7 n 2 2 n 3   DeterminaŃi A ∪ B, A ∩ B, A \ B şi B \ A. 10. DeterminaŃi cifrele 3 ⋅ a,(b) + 2 ⋅ b, a = 30.

a

şi

b

11. DeterminaŃi n ∈ ℕ , astfel încât fracŃia

12. ArătaŃi că fracŃia

din

baza

10

astfel

încât

3n + 7 să se simplifice. 2n + 3

7n + 5 este ireductibilă, oricare ar fi n ∈ ℕ. 4n + 3

• Test 10: Adunarea numerelor raŃionale pozitive; scăderea numerelor raŃionale pozitive; înmulŃirea numerelor raŃionale pozitive Partea I: 4 7 + este egal cu …. 15 10 2. Rezultatul calculului 1,3 + 2,(5) este egal cu …. 3 11 3. Rezultatul calculului 2 − 1 este egal cu …. 5 13 4. Rezultatul calculului 2, 45 − 11, 29 este egal cu …. 3 1 5. Rezultatul calculului 4 ⋅ 2 este egal cu …. 7 31 6. Rezultatul calculului 2,5 ⋅ 3,71 este egal cu …. 1 7. Scrierea numărului ca o sumă de două numere raŃionale cu acelaşi 5 numitor este egală cu …. 1. Rezultatul calculului

15


11 13 mai mare decât este egal cu …. 5 2

8. Numărul cu Partea a II-a:

9. CalculaŃi: 1 1 1 1 a) + + + ... + . 2⋅ 4 4 ⋅6 6⋅8 2008 ⋅ 2010 1   1  1  1  b) 1 +  ⋅  1 +  ⋅  1 +  ⋅ ... ⋅ 1 + .  2  3  4  2010  25 7 2x + 3 y 3x + 1 şi d = , ,b = ,c = 2 2 2x + 3y 3x + 1 7 ( x + 2 ) + ( 2 y + 1) x, y ∈ ℕ *. ArătaŃi că numerele a, b, c sunt simultan numere naturale dacă şi numai dacă d este număr natural. 10. Fie a =

1 2 3 4 5 + + + + = 1, a +1 b +1 c +1 d +1 e +1 a 2b 3c 4d 5e calculaŃi + + + + . a +1 b +1 c +1 d +1 e +1 11.

Dacă

a , b, c , d , e > 0

şi

1  12. Fie mulŃimea A =  n ∈ ℕ*, n ≥ 2  . n   1 1 1 a) CalculaŃi + + . 2 3 6 b) ScrieŃi numărul 1 ca sumă a 12 elemente distincte din mulŃimea A. c) Numărul 1 poate fi scris ca sumă de elemente distincte din A, având numitorii numere prime?

16


• Test 11: Ridicarea la putere cu exponent natural; reguli de calcul cu puteri; împărŃirea numerelor raŃionale pozitive; ordinea efectuării operaŃiilor Partea I: 2

3 1. Rezultatul calculului   este egal cu .... 4 11

6

4 4 2. Rezultatul calculului   :   este egal cu …. 5 5 4 3. Rezultatul calculului : 0, 25 este egal cu …. 5 211 este egal cu …. 4. Inversul numărului 122 1 4 1 1 5. Rezultatul calculului + :  −  este egal cu …. 12 5  2 3  1 2 2 6. Rezultatul calculului + : este egal cu …. 2 3 9  17 21  34 7. Rezultatul calculului  :  : este egal cu ….  3 4 7 2

 2  11 11 8. Rezultatul calculului 2 :   + : este egal cu …. 5 10 3

Partea a II-a: 9. EfectuaŃi:  8  3 33   3 2   12 5    1 a)  +  −  +  −  −  2 − +    ⋅ 3 . 7 14    3  35  2 35   14 35   1 2   b)  2 + 2 − ⋅ [ 0,(1) + 0,(2) ] : 3,1(6). 2 3    1 2 5  7 1  1  12 1  c)  + +  : − 6 ⋅  ⋅ :  5 ⋅ − 1  . 18  4  25 3   2 3 6  12 17


10. DeterminaŃi cel mai mic număr raŃional nenul care împărŃit la 2 3 11 numerele , şi să dea câturi numere naturale. 5 4 12 11. ArătaŃi că 0,999 <

1 1 1 + + ... + < 0,9999. 1⋅ 2 2 ⋅ 3 1999 ⋅ 2000

 202505 202505  xy + yx . 12. DeterminaŃi numărul natural A =  + : y 0 y  11 ⋅ x ⋅ y  x0 y

• Test 12: Media aritmetică; ecuaŃii în mulŃimea numerelor raŃionale pozitive; probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaŃiilor Partea I: 1. Media aritmetică a numerelor

1 2 3 ; şi este egală cu …. 5 5 5

2 3 = este egală cu …. 3 2 3. Media aritmetică ponderată a numerelor 2; 3 şi 4 cu ponderile 1; 2 şi 3 este egală cu …. 4. SoluŃia ecuaŃiei 0,8 x − 5 = 14 este egală cu .... 5 5. Un număr este egal cu din alt număr, iar suma lor este 130. 8 Produsul celor două numere este egal cu …. 2 14 6. ÎnmulŃind un număr cu , apoi rezultatul înmulŃirii cu , obŃinem 3 13 11 . Numărul iniŃial este egal cu …. 15 x x x 7. SoluŃia ecuaŃiei + = este egală cu …. 2 3 6 11 8. Media aritmetică a cinci numere este . Suma celor cinci numere 4 este egală cu ….

2. SoluŃia ecuaŃiei x +

18


Partea a II-a: 9. RezolvaŃi ecuaŃiile: a) 0,(1x) + 0,(2 x) + ... + 0,(9 x) = x. 1  3  2 7   8 2 b) 12 :   2 :  1 + 1 ⋅ x   ⋅ + 1  = 5. 3   4  3 8   11 3  c) 0,(6) x + 2 x − 0,(3) = 4 − 2( x + 1) + 3,(6). 10. Un elev are o sumă de bani. DeterminaŃi suma de bani ştiind că după 1 1 1 ce a cheltuit din ea, apoi din rest, apoi din noul rest şi încă 120 4 6 3 lei, i-au mai rămas 600 lei.

11. AflaŃi media aritmetică a zece numere raŃionale, ştiind că media aritmetică a primelor două numere este 5, media aritmetică a următoarelor trei numere este 25, iar media aritmetică a ultimelor cinci numere este 200. 12. Maria are 11 ani şi mama sa are 39 de ani. Peste câŃi ani vârsta mamei va fi de trei ori mai mare decât vârsta Mariei?

• Test 13: Evaluare finală, mulŃimea numerelor raŃionale pozitive Partea I: 5 7 + este egal cu …. 6 8 7 3 2. Rezultatul calculului 2 − este egal cu …. 5 4 2x 1 1 3. SoluŃia ecuaŃiei − = este egală cu …. 3 2 5 11 13 4. Dintre fracŃiile − şi − mai mare este fracŃia …. 3 5 1. Rezultatul calculului

19


5. Media aritmetică ponderată a numerelor 3 şi 7 cu ponderile 2 şi 3 este egală cu …. 1 2 6. Rezultatul calculului 2 ⋅ 1 este egal cu …. 2 5 4 2 7. Rezultatul calculului : este egal cu …. 15 5 11 n 8. Dacă fracŃiile şi sunt echivalente, atunci valoarea numărului 9 27 natural n este egală cu …. Partea a II-a: 9. RezolvaŃi în mulŃimea numerelor naturale nenule ecuaŃia

1 1 1 + = . x y 3

10. CalculaŃi: 15 a) 0, 0(6) + ⋅ 1, 28 − 2 ⋅ [ 0,125 − 0,08(3) ]. 64 1 1  b) 0,5 ⋅  + − 0,1(6)  : 2,5. 3 4  11. Un automobil a parcurs o distanŃă în trei zile astfel: în prima zi a 7 1 parcurs din drum, a doua zi a parcurs din distanŃa rămasă, iar a 20 5 treia zi a parcurs restul de 624 km. a) CâŃi km are întreaga distanŃă? b) CâŃi km a parcurs automobilul a doua zi? 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 2007 2008 ; . 12. Fie şirul de fracŃii ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;...; 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 2 1 a) AflaŃi câŃi termeni are şirul. 1008 b) Să se afle al câtelea termen este fracŃia . 1001 c) Să se afle care este al 2008-lea termen.

20


• Test 14: Evaluare finală, mulŃimea numerelor raŃionale pozitive Partea I: 15 2 1 − : este egal cu …. 6 5 2 2. Media aritmetică ponderată a numerelor 4; 8 şi 10 cu ponderile 2; 3 şi 5 este egală cu .... 7 3. din 125 este egal cu …. 5 25 27 29 4. Ordinea crescătoare a numerelor ; şi este …. 26 28 30 1 5. Dacă triplul unui număr este 8 , atunci numărul este egal cu .... 9 x x 5 6. SoluŃia ecuaŃiei + = este egală cu …. 2 3 4 7. Valorile naturale ale numărului a pentru care au loc relaŃiile 2 3a 7 < < sunt …. 5 20 10 8. Cel mai mic număr natural nenul care înmulŃit cu numerele raŃionale 1 5 4 ; ; dă de fiecare dată un număr natural este egal cu …. 7 21 15

1. Rezultatul calculului

Partea a II-a: 9. Se consideră numerele raŃionale pozitive: 12 102 1002 10002 A= + + + şi 48 408 4008 40008 1 1 1 1 1 2 3 2004 B = 1 + + + + ... + + + + + ... + . 2 3 4 2005 2 3 4 2005 CalculaŃi B − A, A B şi ( B − 2000 )

A+1

.

 1  10. Fie mulŃimea S =  abc = ( x + 1) ⋅ ( x + 2 )  . CalculaŃi suma  abc  elementelor mulŃimii S . 21


11. DeterminaŃi ultimele trei zecimale ale numărului raŃional

12. Fie a, b, c, d ∈ ℕ * astfel încât numerele

2007 22008

.

a 3 b3 c 3 d3 , , şi sunt bcd acd abd abc

naturale. ArătaŃi că: a) a 4 + b 4 + c 4 + d 4 = 4abcd .

b) a 2004 + b 2004 + c 2004 + d 2004 = 4 ( abcd ) c) a 2005 + b 2005 + c 2005 + d 2005 = ( abcd )

2005

501

.

( a + b + c + d ). prof. Călin Burduşel

22


Capitolul

DREAPTA

4 • Test 15: Punct, dreaptă, semiplan, semidreaptă, segment (descriere, reprezentare, notaŃii); poziŃiile relative ale unui punct faŃă de o dreaptă; puncte coliniare; poziŃiile relative a două drepte Partea I: 1. În figura alăturată, BC ∩ ED = { A}. StabiliŃi valoarea de adevăr a propoziŃiilor: b) FB∩AD=∅ (.....); a) A∈(DA) (.....); c) A∈(BC) (.....); d) D, A, E coliniare (......); e) [AD]⊂AD (......); f) C∈AB (......). g) AD+AE = ED (......); h) [AC]∩(AB)=∅ (......). 2. DesenaŃi o dreaptă CD. HaşuraŃi diferit figurile geometrice [CD şi

[ DC.

Rezultatul intersecŃiei [CD ∩ [ DC este egal cu …, iar rezultatul reuniunii [CD ∪ [ DC este egal cu …. 3. Dacă semidreptele [ AB şi [ AC sunt opuse, atunci ordinea punctelor A, B, C este …. 4. Numărul semidreptelor determinate de patru puncte distincte coliniare este egal cu …. 5. Numărul maxim de drepte diferite care trec prin câte două puncte dintre patru puncte distincte este egal cu …. 6. Dacă punctele A, B, C sunt coliniare, în această ordine, aflaŃi: a) [ AB ] ∪ [ BC ] = ...; b) [ AB ] \ [ BC ] = ...;

c) [ AC ] ∩ [ BC ) = ...; d) [ AB ] \ ( BC ] = ....

23


7. Se consideră punctele coliniare A, B, C , D în această ordine. CompletaŃi tabelul de mai jos cu valorile de adevăr a propoziŃiilor: ∈ A B C D

[ AB … … … …

(BC … … … …

[BA … … … …

(DC … … … …

8. DesenaŃi segmentele (AB) şi (BC) astfel încât punctele A, C, B să fie necoliniare.

Partea a II-a: 9. DesenaŃi trei semiplane astfel încât să nu existe niciun punct comun tuturor celor trei semiplane şi astfel încât oricum am alege două semiplane ele să aibă puncte comune. 10. Fie punctele A, B, C , D ∈ d . PrecizaŃi ordinea celor patru puncte pe dreapta d , în fiecare din situaŃiile de mai jos: a) [ AB ] ∩ [CD ] = ∅; b) [ AB ] ∩ [CD ] = {C};

c) [ AB ] ∩ [CD ] = [ AB ] ;

d) [ AB ] ∪ [CD ] = [ AD ] ;

e) [ AD ] \ [ BC ] = [ AB ).

11. DesenaŃi patru puncte A, B, C , D distincte două câte două astfel încât să fie îndeplinite simultan condiŃiile: a) oricare trei din cele patru puncte să fie necoliniare; b) segmentele [ AB ] şi [CD ] să nu aibă puncte interioare comune; c) segmentele [ AD ] şi [ BC ] să nu aibă puncte interioare comune; d) segmentele [ AC ] şi [ BD] să nu aibă puncte interioare comune.

12. DeterminaŃi numărul de segmente determinate de 100 de puncte coliniare distincte două câte două. 24


• Test 16: DistanŃa dintre două puncte; lungimea unui segment; segmente congruente; mijlocul unui segment; simetricul unui punct faŃă de un punct; construcŃia unui segment congruent cu un segment dat Partea I: 1. În figura alăturată avem patru puncte coliniare A, B, C , D . PrecizaŃi valoarea de adevăr a propoziŃiilor: a) AC = AB + BC …; b) AD = AB + CD …; c) BC = BD − CD …; d) AD = AB + BC + CD …; e) AD = AC + BC …; f) BC = AD − AB − CD …. 2. Fie segmentul AB cu lungimea de 32 cm. Dacă punctul M este mijlocul segmentului [ AB ] şi punctul P este mijlocul segmentului

[ AM ] ,

atunci lungimea segmentului [ PB ] este egală cu … cm.

3. Dacă T este mijlocul segmentului [ PQ ] şi TP = 4 cm, atunci lungimea segmentului PQ este egală cu … cm. 4. Fie A, B, C , D puncte coliniare în această ordine astfel încât AD 3 ⋅ AB = 4 ⋅ CD şi 4 ⋅ AC = 5 ⋅ BD. Valoarea raportului este …. BC 5. Dacă B este simetricul lui A faŃă de punctul O , iar C este OB simetricul lui A faŃă de B, atunci valoarea raportului este .... BC 6. Punctele A, B, C , D sunt situate pe dreapta d în ordinea dată. Valoarea de adevăr a propoziŃiei “ AB ⋅ CD + AD ⋅ BC = AC ⋅ BD ” este …. 7. Pe o dreaptă considerăm punctele coliniare M , N , P în această ordine. Dacă MN = 8 cm şi NP = 4 cm, atunci lungimea segmentului determinat de mijloacele segmentelor [ MP ] şi [ MN ] este egală cu …. 8. Punctele A, B, C sunt coliniare astfel încât AB = 6 cm, AC = 2 cm şi BC = 8 cm. Dacă M este mijlocul segmentului [ AC ] , iar N ∈ AB astfel încât MN = 3 cm, atunci lungimea segmentului NB este egală cu … cm. 25


Partea a II-a: 9. Fie punctele coliniare A1, A2, A3, ..., A100 în această ordine, astfel încât A1A2=1 cm, A2A3=2 cm, A3A4=3 cm, …, A99A100=100 cm. a) aflaŃi lungimea segmentului A25A48; b) dacă M este mijlocul segmentului A50A52, determinaŃi lungimea segmentului MA70 . 10. Pe semidreapta [OX se consideră punctele A1, A2, A3, ..., A100, astfel încât OA1=1 cm, A1A2=2 cm, A2A3=3 cm, ..., A99A100=100 cm. Dacă M este mijlocul segmentului [OA100], calculaŃi lungimea segmentului OM. 11. Fie A, B, C, D patru puncte coliniare, în această ordine astfel încât 2 ⋅ AC = AB + AD şi BD = 233 cm. AflaŃi lungimea segmentului BC. 12. Dacă A, B, C, D sunt puncte coliniare, în această ordine, atunci are loc relaŃia: AD BC  1 1  + = +  ⋅ BD. AB CD  AB CD 

• Test 17: Evaluare finală, dreapta Partea I: 1. Dacă O, A, B şi P sunt coliniare, O∈[AB] şi P este mijlocul [AB], OA = 20 cm, OP = 30 cm, atunci lungimea segmentului [OB] este egală cu ... cm. 2. Se consideră trei puncte A, B, C astfel încât B ∈ ( AC ) . StabiliŃi valoarea de adevăr a propoziŃiilor: a) C ∈ ( AB …; b) ( CA ∩ ( CB = ∅ …; c) C ∈ AB \ [ AB ] …;

d) [ BC ⊂ ( AC …; e) ( BA ∪ ( BC = AB …; f) CA ∩ [ AB = [ AC ] …. 3. Fie punctele A, B, C coliniare în această ordine astfel încât AB = BC. Dacă punctul M este simetricul lui A faŃă de C şi P este mijlocul PC segmentului [ BM ] , atunci valoarea raportului este egală cu …. AM 4. Numărul minim de drepte determinate de 2010 puncte este …. 26


5. ConstruiŃi două segmente care să aibă acelaşi mijloc. 6. Dacă M , P ∈ [ AB ] , M ≠ P astfel încât AM ⋅ AP = BM ⋅ BP, atunci AM AP + este egală cu …. PB MB 7. Dacă punctele A, B, C sunt coliniare, în această ordine astfel încât AB = 14 cm şi 4 ⋅ BC = 3 ⋅ AC , atunci lungimea segmentului [ AC ] este egală cu … cm. 8. În figura alăturată, AC ∩ BD = {O}. PrecizaŃi valoarea de adevăr a propoziŃiilor:

valoarea număr natural a sumei

A ∉ (aC D ∈ [bD F ∈ [aA [OC ⊂ [aG (OG ⊂ (aE (OG ⊂ {OG A, O, C coliniare [ DF ] ⊂ [aG

… … … … … … …

C ∈ (aE [OB ⊂ (bD (OB ⊂ (bD (OB ⊂ [bD [OG ⊂ [aF [OB ⊂ [bE FC ∩ OB = ∅

… … … … … … …

(CG ∩ [ AF ] = ∅

Partea a II-a: 9. Fie punctele A, B, C coliniare în această ordine şi punctele M , N , P mijloacele segmentelor ( AB ) , ( BC ) şi ( AC ) . Dacă AM = 5 cm şi MC = 11 cm, atunci determinaŃi lungimile segmentelor AB, BC , AC , MP şi NP. 10. Pe semidreapta (OX se iau în ordine punctele A, B, C şi M , N , P mijloacele segmentelor [ BC ] , [CA] şi respectiv [ AB ]. AflaŃi valoarea raportului

OM + ON + OP . OA + OB + OC 27


11. Fie un segment [ AB ] , punctul O mijlocul său şi un punct M situat

pe prelungirea [ AB ]. ArătaŃi că 2 ⋅ OM = MA + MB.

12. Se consideră punctele A1 , A2 , A3 , ..., A10 coliniare, în această ordine, astfel încât A1 A2 = 1 cm, A2 A3 = 2 cm, ..., A9 A10 = 9 cm. Să se calculeze: a) lungimea segmentului [ A1 A10 ];

b) distanŃa dintre mijloacele segmentelor [ A1 A4 ] şi [ A7 A10 ].

28


Capitolul

UNGHIURI

5 • Test 18: DefiniŃie, notaŃii, elemente; interiorul unui unghi, exteriorul unui unghi; unghi nul, unghi cu laturile în prelungire; măsurarea unghiurilor cu raportorul; unghiuri congruente; unghi drept, ascuŃit, obtuz Partea I: 1. Urmărind figura 1, completaŃi spaŃiile punctate: a) m ( ∢BAC ) + m ( ∢CAD ) = ...; b) m ( ∢ADE ) + m ( ∢ADC ) = ...;

figura 1

c) m ( ∢BAD ) + m ( ∢DAE ) = ...; d) 2. 3. a)

m ( ∢BCD ) − m ( ∢ACD ) = .... Laturile unghiului ∢MOP sunt semidreptele …. Urmărind figura 1, precizaŃi valoarea de adevăr a propoziŃiilor: C ∈ int ( ∢BAE ) …; b) B ∈ ext ( ∢ADC ) …; c) D ∉ int ( ∢CAE ) …;

d) A ∈ ∢CDA …; e) E ∉ int ( ∢ABC ) …; f) CD ⊂ int ( ∢BAE ) ….

4. În figura 2, m ( ∢BOC ) = m ( ∢BOD ) = 90 şi m ( ∢AOB ) = 40. PrecizaŃi: a) un unghi drept …; b) un unghi obtuz ...; figura 2 c) un unghi nul ...; d) un unghi cu laturile în prelungire ….

5. ConstruiŃi un unghi cu măsura de 115  . 6. 7 = ...". 7. PrecizaŃi două unghiuri congruente din figura 2. 8. UrmăriŃi figura 2 şi precizaŃi valoarea de adevăr a următoarelor propoziŃii:

a) m ( ∢DOA ) = 40 …; b) m ( ∢AOC ) = 130 …; c) m ( ∢DCO ) = 180 …. 29


Partea a II-a: 9. Fie un unghi ∢ABC şi P ∈ int ( ∢ABC ) . Fără a utiliza raportorul,

arătaŃi că m ( ∢ABC ) > m ( ∢PBC ) .

10. Dacă m ( ∢AOB ) = 120 şi semidreptele [OC , [OD sunt situatre în

1 ⋅ m ( ∢BOD ) 2 m ( ∢COD ) = 48 , atunci calculaŃi m ( ∢AOC ) şi m ( ∢BOD ) .

interiorul

∢AOB

astfel

încât

m ( ∢AOC ) =

şi

11. Fie A, O, B trei puncte coliniare, în această ordine. Semidreptele [OP şi [OQ împart unghiul ∢AOB în trei unghiuri congruente. Dacă D ∈ int ( ∢QOB ) şi m ( ∢DOB ) = 35 , atunci aflaŃi m ( ∢POD ) şi

m ( ∢QOD ) .

12. Fie unghiul cu laturile în prelungire ∢AOB şi OP1 , [OP2 , [ OP3 ,..., [OPn semidrepte diferite incluse în acelaşi semiplan definit de dreapta AB. AflaŃi câte unghiuri proprii diferite se formează.

• Test 19: Calcule cu măsuri de unghiuri; unghiuri complementare, unghiuri suplementare; unghiuri adiacente; bisectoarea unui unghi Partea I: 1. EfectuaŃi: a) 1735'48"+ 1257 '36"; b) 47 − 214 '25"; c) 11 23'45"⋅ 2; d) 47 : 2. 2. Dintre figurile de mai jos, figura … conŃine unghiuri adiacente.

figura 1

figura 2 30

figura 3


3. Bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare formează un unghi cu măsura de …  . 4. Complementul unghiului de 72 este egal cu …. 5. Bisectoarele a două unghiuri adiacente complementare formează un unghi cu măsura de .... 6. Suplementul unghiului de 26  este egal cu …. 7. În figura de mai jos, A, O, B sunt coliniare, m ( ∢DOE ) = 70 , iar semidreptele

(OP, ( OQ

sunt bisectoarele unghiurilor ∢AOD, ∢BOE.

Măsura unghiului ∢POQ este egală cu …  .

8. În figura de mai jos, m ( ∢AOB ) = 90 , iar

( OE este

bisectoarea

unghiului ∢DOB. Valoarea lui x este egală cu …  .

Partea a II-a: 9. AflaŃi măsura

unui

unghi

ştiind că media aritmetică 3 complementului şi suplementului său este din măsura unghiului. 2

a

10. Fie unghiurile suplementare ∢AOB şi ∢BOC astfel încât m ( ∢AOB ) > m ( BOC ) . Dacă punctele M şi P sunt în interiorul unghiului ∢AOB astfel încât m ( ∢MOP ) = m ( ∢BOC ) şi (OX , (OY 31


sunt bisectoarele unghiurilor ∢MOA şi respectiv ∢POB, arătaŃi că m ( ∢XOY ) ≤ 90. În ce situaŃie avem egalitate? 11. Fie semidreptele încât

(OA1, ( OA2 ,..., ( OAn+1 ,

m ( ∢A1OA2 ) = 1 ,

în această ordine, astfel

m ( ∢A2OA3 ) = 2 ,..., m ( ∢An OAn +1 ) = n .

DeterminaŃi numărul natural nenul n, ştiind că m ( ∢A1OAn+1 ) = 91. 12. Unghiurile ∢AOB şi ∢COD sunt complementare, unghiul ∢COD este inclus în interiorul ∢AOB , semidreapta ( OC este inclusă în

interiorul unghiului ∢AOD şi m ( ∢AOB ) = 2 ⋅ m ( ∢COD ) . AflaŃi măsurile celor două unghiuri şi măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor ∢AOC şi ∢BOD .

• Test 20: Unghiuri opuse la vârf, congruenŃa lor; unghiuri formate în jurul unui punct, suma măsurilor lor Partea I: 1. Suma măsurilor unghiurilor formate în jurul unui punct este egală cu … . 2. Măsura unghiului format de bisectoarele a două unghiuri opuse la

vârf este egală cu …  . 3. Două unghiuri opuse la vârf sunt complementare. Măsura unui unghi din cele două este egală cu …  . 4. Fie unghiurile ∢AOB, ∢BOC , ∢COA congruente, în jurul punctului O. Măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor ∢AOB şi ∢AOC este egală cu …  . 5. Valoarea lui x din figura alăturată este egală cu …  . 6. Măsura unghiului ∢AOD din figura de mai jos este egală cu …  .

32


7. În figura de mai jos, A, O, B şi C , O, D sunt coliniare, iar semidreptele ( OP, ( OT sunt bisectoarele unghiurilor ∢AOD, ∢AOC.

Măsura unghiului ∢POT este egală cu …  .

8. Fie AB şi CD două drepte concurente în O. Dacă 2 ⋅ m ( ∢AOC ) = 3 ⋅ m ( ∢BOC ) , atunci măsura unghiului ∢BOD este egală cu …  .

Partea a II-a: 9. Unghiurile ∢AOB, ∢BOC , ∢COD, ∢DOA sunt unghiuri în jurul unui este unghi drept, m ( ∢DOC ) = 21 şi

punct astfel încât ∢BOC m ( ∢AOB ) = m ( ∢AOD ) + 27.

ArătaŃi că punctele

D , O, E

sunt

coliniare, unde ( OE este bisectoarea unghiului ∢AOB. 10.

Se

dau

punctele

A, O, B

şi

C , O, D

coliniare.

Dacă

m ( ∢BOC ) = 40 şi M ∈ int ( ∢AOD ) astfel încât m ( ∢AOM ) = 30 , atunci calculaŃi: a) m ( ∢BOM ) ; b) m ( ∢DOM ) ; c) m ( ∢COD ) . 

11. Se consideră dreptele AC şi BD concurente în O. Ştiind că bisectoarea unghiului ∢AOB formează cu semidreapta [OC un unghi cu măsura de 115 , aflaŃi măsurile unghiurilor cu vârful în O.

33


12. Fie n ∈ ℕ * şi unghiurile proprii ∢A1OA2 , ∢A2OA3 , ..., ∢An OA1 în

jurul punctului O, cu m ( ∢A1OA2 ) , m ( ∢A2OA3 ) ,..., m ( ∢AnOA1 ) numere naturale pare în ordine crescătoare. a) Să se determine valoarea maximă a lui n. b) Pentru n determinat la punctual a), calculaŃi măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor ∢A5OA6 şi ∢A9OA10 .

• Test 21: Evaluare finală, unghiuri Partea I: 1. Măsura unui unghi cu laturile în prelungire este egală cu …  . 2. Suma dintre complementul şi suplementul unui unghi este de 110.

Măsura unghiului este egală cu …  . 3. Dacă unghiurile ∢AOB şi

∢BOC

sunt

adiacente

şi

m ( ∢AOB ) = 2 ⋅ m ( ∢BOC ) = 70 , atunci măsura unghiului format de 

bisectoarele celor două unghiuri adiacente este egală cu …  . 4. Dacă m ( ∢MAP ) = 99 , atunci unghiul ∢MAP este: a) ascuŃit; b) drept; c) obtuz; d) nul; e) alungit. 5. Rezultatul calculului 17 24'35"− 2 25'33" este egal cu .... 6. Fie unghiurile adiacente ∢AOB şi ∢BOC , semidreptele [OP,[OT bisectoarele celor două unghiuri şi m ( ∢AOT ) = 90 , m ( ∢COP ) = 60. Măsura unghiului ∢POT este egală cu ...  . 7. Unul dintre cele 6 unghiuri congruente din jurul unui punct are măsura egală cu …  . 8. Rezultatul calculului ∢AOB ∩ ∢AOC , C ∉ [OB , este egal cu ….

Partea a II-a: 9. AflaŃi măsurile a patru unghiuri în jurul unui punct, dacă fiecare, începând cu al doilea are măsura cu 18  mai mare decât măsura celui precedent. 34


10. Fie unghiurile ∢AOB şi ∢AOC adiacente suplementare. Dacă bisectoarea [OP a unghiului ∢BOC formează cu bisectoarea [OT a unghiului ∢AOP un unghi cu măsura de 35  , atunci aflaŃi măsura unghiului ∢AOC. 11. Se dau unghiurile adiacente suplementare ∢AOB şi ∢BOC , iar semidreapta [OD este opusă semidreptei [OB. Fie punctele M ∈ int ∢AOB, N ∈ int ∢BOC , P ∈ int ∢COD şi Q ∈ int ∢DOA ArătaŃi că dacă bisectoarele unghiurilor ∢AOM , ∢COP şi ∢BON , ∢DOQ sunt respectiv semidrepte opuse, atunci punctele M , O, P şi N , O, Q sunt respectiv coliniare. 12. Fie unghiul propriu ∢AOB şi punctele M , N , M în interiorul unghiului ∢AOB, iar N în exteriorul unghiului ∢AOB. Semidreapta

[OP este bisectoarea unghiului ∢AOM , m ( ∢BOM ) = 2 ⋅ m ( ∢BON ) . Dacă [OQ este

m ( ∢POB ) = 60

şi

bisectoarea unghiului

∢AOP, atunci aflaŃi măsura unghiului ∢NOQ.

• Test 22: Evaluare finală, unghiuri Partea I: 1. Suma măsurilor a două unghiuri opuse la vârf este de 17  . Unul dintre cele două unghiuri are măsura egală cu …. 2. Suplementul unui unghi cu măsura de 112  este egal cu …  . 3. Raportul măsurilor a două unghiuri suplementare este 5. Măsurile celor două unghiuri sunt …  şi …  . 4. Rezultatul calculului 2613''− 5 este egal cu …. 5. Complementul unui unghi cu măsura de 17  este egal cu …  . 6. Fie unghiurile ∢AOB şi ∢AOC neadiacente suplementare, B ∈ int ∢AOC . Dacă

m ( ∢BOC ) = 60 ,

∢AOC este egală cu …  . 35

atunci măsura unghiului


7. Dacă unghiurile ∢AOB şi ∢BOC sunt adiacente suplementare, [OP este bisectoarea unghiului ∢BOC , [OQ semidreapta opusă semidreptei [OP şi m ( ∢BOQ ) = 120 , atunci măsura unghiului ∢POC este egală

cu …  . 8. Măsura unghiului format de bisectoarele a două unghiuri opuse la

vârf este egală cu …  .

Partea a II-a: 9. Se consideră unghiul ∢COD în interiorul unghiului ∢AOB, astfel încât m ( ∢AOC ) = 12 şi m ( ∢BOD ) = 18. DeterminaŃi măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor ∢AOB şi ∢COD. 10. În interiorul unghiului drept ∢AOB considerăm semidreptele

[OX ,[OY ,[OZ astfel încât m ( ∢XOZ ) = 45 şi X ∈ int ∢AOY , Y ∈ int ∢XOZ , Z ∈ int ∢YOB. DeterminaŃi măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor ∢AOX şi ∢BOZ . 11. Bisectoarele unghiurilor adiacente ∢AOB şi ∢BOC formează un unghi cu măsura de 10  . a) ArătaŃi că 80 < 5 ⋅ m ( ∢AOB ) + 4 ⋅ m ( ∢BOC ) < 100. b) Dacă 5 ⋅ m ( ∢AOB ) + 4 ⋅ m ( ∢BOC ) = 90 , atunci arătaŃi că [OB este bisectoarea unghiului ∢AOC. 12. Fie AB şi CD două drepte concurente, AB∩CD={O}. Fie [OP bisectoarea ∢ AOC, [OT bisectoarea ∢ POB şi [OR bisectoarea ∢ TOD. a) dacă m( ∢ POR)=140°, aflaŃi m( ∢ AOC) şi m( ∢ AOD); b) dacă m( ∢ POR)=25°, aflaŃi m( ∢ AOC) şi m( ∢ AOD).

36


Capitolul

CONGRUENłA TRIUNGHIURILOR

6 • Test 23: Triunghi: definiŃie, elemente; clasificarea triunghiurilor, perimetrul. ConstrucŃia triunghiurilor, cazuri de congruenŃă: L.U.L., U.L.U., L.L.L. Partea I: 1. Perimetrul triunghiului echilateral cu latura de 7 cm este egal cu ... cm. 2. Dacă triunghiurile ∆ABC şi ∆MPQ au AB = MP, BC = PQ şi ∢B ≡ ∢P , atunci cele două triunghiuri sunt congruente conform cazului de congruenŃă …. 3. ConstruiŃi triunghiul ∆ABC ştiind că: a) AB = AC = 6 cm şi m ( ∢BAC ) = 40 ;

b) BC = 7 cm; m ( ∢ABC ) = 60 şi m ( ∢ACB ) = 30 ; c) AB = 5 cm, AC = 6 cm şi BC = 7 cm. 4. În triunghiul ∆RST , unghiul opus laturii [ ST ] este unghiul …, iar latura opusă unghiului ∢RST este latura …. 5. ConstruiŃi un triunghi dreptunghic isoscel. 6. Dacă ∆ABC ≡ ∆MPQ, AB = 3 cm şi PQ = 5 cm, atunci produsul MP ⋅ BC este egal cu …. 7. În triunghiul ∆MAC unghiurile alăturate laturii [ MA] sunt … şi …. 8. Dacă M ∈ int ∆ABC şi P ∈ ext∆ABC , atunci valoarea de adevăr a propoziŃiei “ MP ∩ ∆ABC = ∅ ” este ….

Partea a II-a: 9. În ∆ABC , fie D ∈ (BC), astfel încât AD=CD. Dacă perimetrul triunghiului ABC este de 37 cm, iar perimetrul triunghiului ABD este de 25 cm, să se afle lungimea laturii AC.

37


10. Fie O mijlocul segmentului [ AB ] , iar punctele C şi D astfel încât ∢OAD ≡ ∢OBC ( D, O, C coliniare). DemonstraŃi că ∆OAD ≡ ∆OBC. 11. Dacă D este mijlocul laturii

arătaŃi că AD <

( BC )

a triunghiului ∆ABC , atunci

AB + AC . 2

12. În exteriorul triunghiului ∆ABC ascuŃitunghic se construiesc triunghiurile echilaterale ∆ATB şi ∆ACS . DemonstraŃi că triunghiurile ∆ATC şi ∆ABS sunt congruente.

• Test 24: Metoda triunghiurilor congruente Partea I: 1. În triunghiul isoscel ∆ABC , AB = AC , fie M mijlocul laturii ( BC ) . DemonstraŃi că ∢BAM ≡ ∢CAM . 2. În triunghiul isoscel ∆ABC , AB = AC , fie [ AM

bisectoarea

unghiului ∢BAC , M ∈ ( BC ) . DemonstraŃi că BM = CM . 3. DemonstraŃi că un triunghi isoscel are două unghiuri congruente. 4. Se consideră un triunghi dreptunghic ∆ABC ,

m ( ∢A ) = 90 , AC = 4 cm,

AB = 3 cm şi punctele

M ∈ CA, N ∈ AB

astfel încât A ∈ ( CM ) , B ∈ ( AN ) , AM = 3 cm şi DemonstraŃi că BC = MN . 5. În triunghiul isoscel ∆ABC , AB = AC , se duce [ AD , D ∈ ( BC ) . Dacă perimetrul ∆ABC este egal cu perimetrul ∆ABD este egal cu 20cm, atunci AD = ... . 6. Fie triunghiul ∆ABC , M mijlocul laturii [ AC ] şi T ∈ BC

BN = 1 cm. bisectoarea 32cm, iar astfel încât

m ( ∢TMC ) = 90. Dacă TC = 3cm, atunci AT = ... . 7. Fie triunghiul ∆ABC , dreptunghic în A şi m ( ∢B ) = 30. Dacă BC = 10 cm şi D este simetricul punctului C faŃă de A , atunci perimetrul triunghiului BCD este egal cu …. 38


8. Fie triunghiul ∆ABC , m ( ∢BAC ) = 120 , AB = AC = 12 cm şi M mijlocul lui [ BC ]. Lungimea segmentului [ AM ] este egală cu ....

Partea a II-a: 9. Se dă triunghiul isoscel ∆ABC , AB = AC . Dacă punctele D, E sunt mijloacele laturilor [ AB ] , [ AC ] , atunci arătaŃi că BE = CD. 10. Pe laturile [OX şi [OY ale ∢XOY se iau punctele A, A ' ∈ [OX , B, B '∈ [OY astfel încât OA = OB, OA' = OB'. Dacă AB '∩ A' B = {M } , să se arate că: a) [OM este bisectoarea unghiului ∠XOY ; b) triunghiurile ∆AMA ' şi ∆BMB ' sunt congruente.

11. Fie triunghiul ∆ABC şi [ AD, D ∈ ( BC ) bisectoarea unghiului ∢BAC. Prelungim [ AB ] cu segmentul [ BE ] ≡ [ DC ] , B ∈ ( AE ) şi [ AC ]

cu segmentul [CF ] ≡ [ BD ] , C ∈ ( AF ) . Dacă AE = AF , atunci arătaŃi că triunghiul ∆ABC este isoscel. 12. Fie XOY şi YOZ două unghiuri adiacente congruente. Dacă

(

A ∈ OX , B ∈ ( OZ , M ∈ ( OY

astfel

încât

A, M , B

necoliniare

şi

OA = OB, atunci demonstraŃi că triunghiul MAB este isoscel. Denis Turcu

• Test 25: Evaluare finală, congruenŃa triunghiurilor Partea I: 1. Un triunghi are … unghiuri exterioare. 2. Un triunghi are lungimile laturilor de 5 cm, 4 cm şi 7 cm. Perimetrul triunghiului este egal cu … cm. 3. ConstruiŃi triunghiul ∆ABC ştiind că AB = 5 cm, m ( ∢A ) = m ( ∢B ) = 40.

39


4. Se dă triunghiul

∆ABC

cu

m ( ∢A ) = 50 , m ( ∢B ) = 60

şi

m ( ∢C ) = 70. Măsurile unghiurilor exterioare ale triunghiului sunt egale cu …. 5. ConstruiŃi un triunghi echilateral cu latura de 4 cm. 6. Numărul triunghiurilor din figura de mai jos este egal cu ….

7. Dacă punctul M este mijlocul laturii [ BC ] a triunghiului ∆ABC şi al laturii [ AD ] a triunghiului ∆ABD atunci ∆BAM ≡ ... .

8. În triunghiul ∆ABC , m ( ∢ABC ) = 100 , AD ⊥ BC , D ∈ BC. Atunci măsura unghiului ∢DAB este egală cu ….

Partea a II-a: 9. Fie punctele coliniare A, B, C, D (în această ordine). Fie M şi N în semiplane opuse astfel încât ∆ABM ≡ ∆ABN . ArătaŃi că ∆CDM ≡ ∆CDN . 10. Se dă segmentul [ AB ] şi punctele C şi D de aceeaşi parte a dreptei AB astfel încât ∢CAB ≡ ∢DBA, ∢DAB ≡ ∢ABC şi AC ∩ BD = {O}. ArătaŃi că: a) AC = BD; b) triunghiurile ∆DOC şi ∆AOB sunt isoscele.

11. În triunghiul isoscel ∆ABC , AB = AC avem punctele M ∈ ( AB ) şi

P ∈ ( AC ) astfel încât AM = AP. Dacă CM ∩ BP = {S}, arătaŃi că triunghiurile ∆MSB şi ∆PSC sunt congruente.

40


12. Fie dreptunghiul ABCD cu AB>BC. Bisectoarea unghiului ABC taie CD în Q şi AD în P. Fie [DT bisectoarea unghiului PDQ, T∈(BP). Dacă CT∩AD={M} şi AT∩CD={S}, arătaŃi că SQ=DM. • Test 26: Evaluare finală, congruenŃa triunghiurilor Partea I: 1. Dacă perimetrul unui triunghi isoscel este de 19 cm şi o latură este de 5 cm, atunci lungimile celorlalte două laturi sunt egale cu ... sau cu …. 2. ConstruiŃi un triunghi ∆ABC ştiind că AB = 5 cm, BC = 5 cm şi AC = 6 cm. 3. Dacă triunghiul ∆ABC este dreptunghic, m ( ∢B ) = 90 , atunci latura

[ AB ] se numeşte ….

4. Dacă ∆ABC ≡ ∆RST şi ∆ABC ≡ ∆RTS , atunci triunghiul ∆ABC este: a) isoscel; b) echilateral; c) oarecare. 5. ConstruiŃi un triunghi ∆MPQ ştiind că MP = 4 cm, MQ = 5 cm şi m ( ∢M ) = 120.

6. Dacă ∆ABC ≡ ∆HGT , m ( ∢B ) = 74 şi HT = 5 cm, atunci lungimea segmentului [ AC ] este egală cu ... cm, iar măsura unghiului ∢HGT

este egală cu ...  .

( )

( )

( )

 = 40 , m R  = 70 atunci m C  = ... . 7. Dacă ∆NPR ≡ ∆CDE şi m P

8. În triunghiul ∆DEF , punctul M este mijlocul lui [ EF ] . Ştiind că  ≡ ... . ∆DEM şi ∆DFM au perimetre egale, atunci DEF

Partea a II-a: 9. Fie triunghiul ∆ABC şi D ∈ ( AB ) , E ∈ ( AC ) , BE ∩ CD = {F }, BF = CF , DF = EF . ArătaŃi că: a) BD = CE ; b) AB = AC ; c) ∢ACB ≡ ∢ABC; 41


d) dacă M ∈ ( BC ) , MB = MC , atunci punctele A, F , M sunt coliniare. 10. Punctele A, B, C , D sunt coliniare, în această ordine. De o parte şi de alta a dreptei AB se consideră triunghiurile ∆ABE şi ∆DCF astfel încât ∆ABE ≡ ∆DCF . DemonstraŃi că: a) AF = DE; b) dacă AD ∩ EF = {M } , atunci M este mijlocul segmentului [ EF ]. 11.

Pe

latura

( AB )

a

triunghiului

isoscel

∆ABC , AB = AC ,

m ( ∢BAC ) = 20 se ia un punct D astfel încât AD = BC. În exteriorul triunghiului ∆ABC se construieşte triunghiul echilateral ∆ADE. DemonstraŃi că [CD este bisectoarea unghiului ∢ACE. (admitem cunoscut faptul că suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este

180  ).

12. Fie triunghiul isoscel ∆ABC , AB = AC şi punctele P şi Q în interiorul său astfel încât AP = PB = AQ = QC. Dacă BP ∩ AQ = {S } , să se demonstreze ∢SPQ ≡ ∢QCB.

42


Capitolul

PERPENDICULARITATE

7 • Test 27: Drepte perpendiculare, oblice; distanŃa de la un punct la o dreaptă. ÎnălŃimi în triunghi; concurenŃa înălŃimilor. Criterii de congruenŃă pentru triunghiuri dreptunghice: I.C., I.U., C.C., C.U.. Aria triunghiului Partea I: 1. Fie triunghiul echilateral ∆ABC . Dacă distanŃa de la punctul A la dreapta BC este de 7 cm, atunci distanŃa de la punctul B la dreapta AC este egală cu … cm. 2. ConstruiŃi înălŃimile unui triunghi obtuzunghic. 3. Fie un punct P în interiorul unghiului ∢AOB. Dintre numerele d ( P; OA ) şi d ( P; O ) mai mare este …. 4. Aria triunghiului dreptunghic cu catetele de 6 cm şi 8 cm este egală cu … cm 2 . 5. ConstruiŃi triunghiul ∆ABC dreptunghic în A ştiind că AB = 4 cm şi AC = 7 cm.

6. Ortocentrul punctul ….

triunghiului

dreptunghic

∆MST , m ( ∢S ) = 90 este

7. Fie triunghiul dreptunghic isoscel ∆ABC , m ( ∢A ) = 90. Dacă AB = 7 cm, atunci distanŃa de la C la dreapta AB este egală cu … cm. 8. În triunghiul isoscel ∆ABC , AB = AC , fie M ∈ ( BC ) astfel încât m ( ∢BMA ) = 90. DemonstraŃi că BM = CM .

Partea a II-a: 9. În triunghiul ∆ABC , punctul M este mijlocul segmentului [ BC ]. DemonstraŃi că distanŃele de la punctele B şi C la dreapta AM sunt egale. 43


10. Fie triunghiul dreptunghic ∆ABC , m ( ∢A ) = 90. Notăm cu B ' simetricul punctului B faŃă de punctul A. Dacă AB = 5 cm şi m ( ∢C ) = 30 , atunci calculaŃi perimetrul triunghiului ∆BB ' C.

11. Se dă triunghiul dreptunghic ∆ABC , m ( ∢A ) = 90 şi P ∈ ( BC ) . Perpendiculara în P pe dreapta BC intersectează pe AC în M şi pe AB în T . DemonstraŃi că BM ⊥ TC. 12. Fie triunghiul ABC echilateral şi punctele P, R, Q pe laturile (AB), (BC), (CA) astfel încât AP=BR=CQ. Perpendicularele în P, R, Q pe AB, BC, CA intersectează BC, AC, AB în punctele T, M, S. DemonstraŃi că ∆SMT este triunghi echilateral.

44


Capitolul

MODELE PENTRU TEZĂ

8 • Test 28: Model de teză pe semestrul I Partea I: 1. Cel mai mare divizor comun al numerelor 45 şi 70 este egal cu ….

 5 1  13 este egal cu …. + :  6 4  36

2. Rezultatul calculului 

3. Media aritmetică a numerelor 11; 13 şi 8 este egală cu .... 4. Un multiplu al numărului 17 este egal cu …. 5. Un unghi are măsura de 25  . Unghiul format de bisectoarea sa cu una din laturi are măsura egală cu …  . 6. ConstruiŃi un triunghi ∆MPQ ştiind că MP = 3 cm, PQ = 4 cm şi MQ = 5 cm. 7. Fie unghiurile ∢AOB şi ∢BOC adiacente suplementare cu m ( ∢BOC ) = 120. Dacă [OE este bisectoarea unghiului ∢AOB, atunci măsura unghiului ∢EOC este egală cu …  . 8. Două unghiuri complementare au măsurile 2x şi 3x + 15. Valoarea lui x este egală cu …  .

Partea a II-a: 9. Să se determine cel mai mic număr natural care împărŃit pe rând la numerele 5; 12 şi 15 se obŃine de fiecare dată restul 3 şi câtul diferit de zero. 10. Într-un depozit erau 188 tone de cărbune, iar în altul 240 tone de cărbune. În acelaşi număr de zile, din primul depozit s-au vândut câte 15 tone de cărbune pe zi, iar din al doilea depozit s-au vândut câte 18 tone de cărbune pe zi. După câte zile a rămas de 3 ori mai mult cărbune în depozitul al doilea decât a rămas în primul depozit? 45


11.

Fie

∆ABC ,

∢AIB ≡ ∢AIC ,

N ∈ ( AC ) , astfel încât AM = AN triunghiul ∆ABC este isoscel.

şi

M ∈ ( AB ) ,

I ∈ int ∆ABC ,

IM = IN .

DemonstraŃi că

12. Se consideră segmentul [ AB ] de lungime AB ∈ ℕ, n ∈ ℕ, n ≥ 2 şi punctele

M 1 , M 2 ,..., M n ,

[ AB ] , [ AM 1 ] , ..., [ AM n−1 ].

respectiv

mijloacele

segmentelor

DeterminaŃi n ştiind că:

AB + AM 1 + ... + AM n = 35840. prof. Narcis Gabriel Turcu, Brăila • Test 29: Model de teză pe semestrul I Partea I: 1. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 12 şi 15 este egal cu …. 2 5 2. Rezultatul calculului : 22 + este egal cu …. 3 6 11 17 3. Dintre numerele şi mai mic este numărul …. 15 21 4. SoluŃia ecuaŃiei 2 x + 1 = 5 este egală cu …. 5. Măsura complementului unghiului de 37  este egală cu …  . 6. Dacă punctele A, B, C sunt coliniare, în această ordine şi AB = 4 cm, BC = 6 cm, atunci lungimea segmentului determinat de mijloacele segmentelor [ AB ] şi [ AC ] este egală cu …cm. 7. Două unghiuri adiacente au măsurile de 30  şi 80. Măsura unghiului

format de bisectoarele celor două unghiuri este egală cu …  . 8. ConstruiŃi un triunghi ∆ABC ştiind că AB = 9 cm, m ( ∢A ) = 20 şi m ( ∢B ) = 40.

Partea a II-a: 9. DeterminaŃi toate numerele naturale n astfel încât 297 şi 319 împărŃite la n să dea resturile 9 şi 7. 46


10. Fie mulŃimile A = { x ∈ ℕ 7 < x ≤ a, unde a este număr natural} şi B = { y ∈ ℕ y este divizibil cu 5}. DeterminaŃi numerele naturale a

ştiind că mulŃimea A ∩ B are 20 elemente.

11. Din mijlocul unei laturi a unui triunghi se construiesc segmente perpendiculare pe celelalte două laturi. DemonstraŃi că dacă cele două segmente sunt congruente, atunci triunghiul este isoscel. 12. Fie unghiul ∢AOB ascuŃit. În semiplanul determinat de OA, care nu-l conŃine pe B, se duc dreptele OX ⊥ AO, OY ⊥ OB şi [OE bisectoarea unghiului ∢XOB. Dacă m ( ∢XOE ) =

calculaŃi m ( ∢AOB ) şi m ( ∢XOB ) .

13 ⋅ m ( ∢AOB ) , atunci 8

• Test 30: Model de teză pe semestrul I Partea I: 1. Dintre numerele 1254; 2541; 1542 şi 1245 divizibil cu 5 este numărul egal cu .... 2. Transformat în fracŃie ireductibilă, numărul 1,(3) este egal cu …. 1 7  3. Rezultatul calculului  3 − 1  ⋅ − 0,5 este egal cu .... 7  26  x 4. Fie x un număr natural, x > 1. Dacă fracŃia este ireductibilă, 6 5x atunci fracŃia este: 24 5 a) echiunitară; b) subunitară; c) supraunitară; d) echivalentă cu . 30 5. Măsura suplementului unghiului de 75  este egală cu …  .

47


6. Fie unghiurile ∢AOB şi ∢BOC adiacente complementare cu m ( ∢BOC ) = 66. Dacă [OE este bisectoarea unghiului ∢AOB, atunci măsura unghiului ∢EOC este egală cu …  . 7. ConstruiŃi un triunghi ∆RST ştiind că RS = 6 cm, RT = 8 cm şi

m ( ∢SRT ) = 65. 8. Dacă punctele A, B, C , D coliniare, în această ordine şi AB = 6 cm, AB = BC , C este mijlocul segmentului [ AD ] , atunci lungimea

segmentului [ AD ] este egală cu … cm.

Partea a II-a: 2 dintr-un drum, un călător constată că mai are de 5 parcurs încă 14 km până la jumătatea drumului. Să se afle lungimea drumului şi cât mai are de parcurs călătorul. 9. După ce a parcurs

10.

Fie numerele de forma ab, scrise în baza 10 cu a ⋅ b ≠ 0, care

îndeplinesc condiŃia ab − ba = a ⋅ b + b. a) ArătaŃi că 9a = b ⋅ ( a + 10 ) . b) DeterminaŃi toate numerele ab care îndeplinesc condiŃia dată. 11. Se consideră unghiurile adiacente ∢ AOB şi ∢ BOC. Bisectoarea unghiului ∢ AOB formează cu semidreapta ( OC un unghi cu măsura de 750 , iar bisectoarea unghiului ∢ BOC formează cu semidreapta ( OA un unghi drept. AflaŃi măsura unghiului ∢ AOC. 12. Fie A, B, C , D, E , F puncte coliniare în această ordine şi un punct O ∉ AB. Dacă ∢AOC ≡ ∢COE şi ∢BOD ≡ ∢DOF , atunci arătaŃi m ( ∢AOF ) − m ( ∢BOE ) m ( ∢COD ) = . 2

48


Capitolul

OLIMPIADE ŞI CONCURSURI

9 • Test 31: Concursul interjudeŃean “CongruenŃe”, Brăila, 2008 1. Să se arate că: a) 7 + 7 2 + 73 este divizibil cu 57. b) 7 + 7 2 + 73 + ... + 7 2010 este divizibil cu 399. Gazeta Matematică 2. Se consideră segmentul [ AB ] de lungime AB ∈ ℕ, n ∈ ℕ, n ≥ 2 şi punctele

M 1 , M 2 ,..., M n ,

[ AB ] , [ AM 1 ] , ..., [ AM n−1 ].

respectiv

mijloacele

segmentelor

DeterminaŃi n ştiind că:

AB + AM 1 + ... + AM n = 35840. Narcis Turcu, Brăila 3. ArătaŃi că nu există numere naturale de forma abc care verifică relaŃia 2

2

ab − bc = abc. Nicolae Stănică, Brăila • Test 32: Olimpiada judeŃeană de matematică, Brăila, 2008 1. Se consideră punctele A1 , A2 , A3 , ..., A10 coliniare, în această ordine, astfel încât A1 A2 = 1 cm, A2 A3 = 2 cm, ..., A9 A10 = 9 cm. Să se calculeze: a) lungimea segmentului [ A1 A10 ];

b) distanŃa dintre mijloacele segmentelor [ A1 A4 ] şi [ A7 A10 ]. Constantin Pătrană, ConstanŃa

2. Un număr se numeşte "miraculos" dacă este natural şi este egal cu suma pătratelor a doi divizori distincŃi ai săi. 49


a) Să se dea un exemplu de număr "miraculos". b) Să se arate că există cel puŃin 2008 numere "miraculoase". Marius Damian, Brăila 3. Fie triunghiul isoscel ABC ( AB = AC ) şi punctele P şi Q în interiorul

său astfel încât AP = PB = AQ = QC . Dacă BP ∩ AQ = {S } , să se demonstreze că ∢SPQ ≡ ∢QCB. Nicolae Stănică, Brăila

4. Despre numerele naturale nenule a, p, q se ştie că ap + 1 se divide cu q şi aq + 1 se divide cu p. DemonstraŃi că: a) numerele p şi q sunt prime între ele; pq − 1 b) a ≥ . p+q Elena Drăgan, Rm. Vâlcea

• Test 33: Olimpiada judeŃeană de matematică, Brăila, 2007 1. Fie mulŃimile A = { x ∈ ℕ 7 < x ≤ a, unde a este număr natural} şi

B = { y ∈ ℕ y este divizibil cu 5}. DeterminaŃi numerele naturale a

ştiind că mulŃimea A ∩ B are 20 elemente.

Nicolae Stănică, Brăila

2. Să se determine a şi b , cifre în baza 10 ştiind că: ab

abb = ab

20⋅a + 2⋅b

. Viorel Botea, Brăila

3. În triunghiul dreptunghic ABC,

m ( ∢A ) = 90 , AB<AC, fie

AD ⊥ BC, D∈ (BC). Pe semidreapta (AD alegem punctele P şi Q astfel încât DP=BD, DQ=CD, D ∈ (AP) şi P∈ (DQ). DemonstraŃi că CP ⊥ BQ. Nicolae Stănică, Brăila 50


4. Fie punctul B∈ (AC) şi D, E două puncte de o parte şi de alta a dreptei AC, astfel încât triunghiurile ABD şi BCE să fie echilaterale. Dacă perpendiculara din D pe AB intersectează EC în P, perpendiculara din E pe AB intersectează pe AD în F şi punctele P, B, F sunt coliniare, atunci demonstraŃi că AB=BC. Nicolae Stănică, Brăila • Test 34: Olimpiada locală de matematică, GalaŃi, 2007 1. AflaŃi numărul natural x din ecuaŃia x a = 4096 , ştiind că: 1004    4 5 6 1006   2 3 4 a =  2006 −  + + + ... +   :  + + + ... + . 1005    3 4 5 1005  3 4 5  2. Se consideră dreptele AB şi CD care se intersectează în punctul O. Fie [OE, [OF, [OP bisectoarele unghiurilor ∢AOC , ∢AOE şi respectiv ∢AOD . Ştiind că m ( ∢BOE ) = 1200 , să se calculeze m ( ∢BOF ) .

3. Să se găsească numerele naturale de forma ab , scrise în baza zece, pentru care

( ab, ba ) = a + b . NotaŃia

( m, n )

reprezintă cel mai mare

divizor comun al numerelor naturale m şi n . 4. a) Dacă numărul natural nenul A este de forma A = 2k ⋅ 3 p , unde k , p ∈ ℕ * , să se determine numărul de divizori naturali ai lui A. b) Să se determine câte numere naturale nenule n, mai mici decât 100, există, pentru care n 2 să aibă de două ori mai mulŃi divizori naturali decât n.

51


Capitolul

SOLUłII ŞI SUGESTII DE REZOLVARE

10 • Test 1: Partea I: 1. 2,3. 2. {5,6} . 3. 1991 . 4. 1,2(3). 5. 2. 6. 240000. 7. 134. 8. 8. Partea a II-a: 9. a + b = 22, a = b ⋅ 1 + 4, b > 4 ⇒ b + 4 + b = 22 ⇒ b = 9, a = 13 . 10. a)

b)

1, 2 + 2,34 + x = 3,813 ⇒ x = 7,899 . 3

2 ⋅ S = 400.000 ⇒ S = 600.000 . 3

11. Fie n un număr din şir. El apare de n ori în şir. Fie x ultimul număr care apare de x ori până cel mult la poziŃia 2006. Avem x ( x + 1) 1 + 2 + ... + x + k = + k = 2006, unde k ∈ {0,1, 2,..., x + 1} . Atunci 2 x ( x + 1) ( x + 1)( x + 2 ) ⇔ x x + 1 ≤ 4012 ≤ x + 1 x + 2 , cum ≤ 2006 ≤ ( ) ( )( ) 2 2 62 ⋅ 63 < 4012 < 63 ⋅ 64 ⇒ x = 62 , deci numărul căutat este 63. 12. a) L = l + 40,2 ( L + l ) = 400 ⇒ l = 80, L = 120 . 52


Perimetrul exterior al pistei este 2 (126 + 86 ) = 424 m. b) aria terenului de sport este 120 ⋅ 80 = 9600m 2 . c) aria pistei este 126 ⋅ 86 − 120 ⋅ 80 = 1236m 2 .

• Test 2: Partea I: 4 1. . 3 2. 6. 7 3. . 4 4. A. 5. 2. 6. 29,2. 7. 54. 8. 5. Partea a II-a: a+b+c = 134,5; b = a − 22,5; c = 2a ⇒ a = 106,5; b = 84; c = 213. 9. 3 10. a = (1 + 1994 ) ⋅ 1994 : 2 :1995 = 997 ,

( ) 

b =  217 : 22 

8 1995

( )

: 23

665

(

= 217 : 216

)

1995

: 21995 = 1 , deci

2 ( a + b ) − 1 = 1995. 1 1 1 1 1 1 + 2 + ... + 2 < + + ... + = 2 3 4 49 2 ⋅3 3⋅ 4 48 ⋅ 49 1 1 1 1 1 1 1 1 47 48 1 = − + − + ... + − = − = < = . 2 3 3 4 48 49 2 49 98 96 2

11.

53


12. Baza este un pătrat de latură 4 cm, deci volumul este 4 ⋅ 4 ⋅ 1 = 16cm3 . • Test 3: Partea I: 1. 119. 2. 9. 3. 211 = 2048 . 4. 43. 5. 244 . 6. 486. 7. 117. 8. 29 = 512 . Partea a II-a: 9. a) 3+4+5+...+2010= ( 3+2010 ) ⋅ 2008 : 2 = 2021052.

b) 3+6+9+...+2010 = 3 ⋅ (1 + 2 + ... + 670 ) = 3 ⋅ 670 ⋅ 671: 2 = 449570. c) 4+7+10+...+3001=3 ⋅ 1+1+3 ⋅ 2+1+...+3 ⋅ 1000+1= =1000+3 ⋅ (1 + 2 + ... + 1000 ) = 1000 + 3 ⋅ 1001 ⋅ 1000 : 2 = 1502500. 10. a + b = 538, a = b ⋅ 47 + 10, b > 10 ⇒ b ⋅ 47 + 10 + b = 538 ⇒ b = 11, a = 527.

11. Fie numerele A = 214 ⋅ 2512 ⋅ 1113 şi B = 240 ⋅ 56 ⋅ 78 .

a) A = 214 ⋅ ( 52 ) ⋅ 1113 = 1014 ⋅ 510 ⋅ 1113 ⇒ 14 zerouri. 12

B = 240 ⋅ 56 ⋅ 78 = 106 ⋅ 234 ⋅ 78 ⇒ 6 zerouri.

b) A ⋅ B = 1030 ⋅ 1113 ⋅ 224 ⋅ 78 ,U (1113 ) = 1,U

(( 2 ) ) = 6,U ((7 ) ) = 1 ⇒ 30

zerouri.

(( 2 ) ) = 6,U ((7 ) ) = 1 ⇒ 6

c) A ⋅ B = 1030 ⋅ 1113 ⋅ 224 ⋅ 78 ,U (1113 ) = 1,U

4 6

este ultima cifră nenulă a produsului A ⋅ B. 54

4 6

4 2

4 2


12. 6abc = 4194 + abc6 ⇒ 6000 + abc = 4194 + 10 ⋅ abc + 6 ⇒ abc = 200. • Test 4: Partea I: 1. 1,2,3,4,6,12. 2. 0,7,14,28. 3. 243. 4. 2340. 5. 54. 6. 248. 7. F. 8. {2,6,10,30} . Partea a II-a: 9. 2 + 22 + 23 + ... + 22006 = 2 (1 + 2 ) + 23 (1 + 2 ) + ... + 22005 (1 + 2 ) = = 3 (1 + 2 + ... + 22005 )⋮3 .

10. a) abc − cba = 100a + 10b + c − 100c − 10b − a = 99 ( a − c )⋮9. b) x5 x⋮9 ⇒ x + 5 + x⋮9. Cum x ∈ {1, 2,...,9} ⇒ x = 2. SoluŃia problemei este 252. 11.

(

U ( 91996 − 71992 ) = U ( 92 )

998

− ( 74 )

498

) = U (1 − 1) = 0 ⇒ (9

12. x = 5n + 3 ⋅ 2n − 125 = 125 (10n − 1) . Dacă n = 0 ⇒ x = 0⋮5,9. Dacă n ≠ 0 ⇒ x = 53 ⋅ 99...9⋮5,9.

55

1996

− 71992 )⋮10.


• Test 5: Partea I: 1. 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 2. 22 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 3. 74 4. 3 sau 7 5. 0 6. 14 7. F 8. 1111 Partea a II-a: 9. a) ( 2 x + 3 y )⋮5 ⇒ 6 ( 2 x + 3 y )⋮5 ⇒ 12 x + 18 y ⋮5. b) ( 2 x + y )⋮3 ⇒ 7 ( 2 x + y )⋮3 ⇒ (14 x + 7 ) y⋮3,9 x⋮3 ⇒ (14 x + 7 y − 9 x )⋮3 ⇒ ⇒ ( 5 x + 7 y )⋮3.

10. Cum 54 şi 16b sunt numere pare rezultă că 3a este un număr par, deci a este un număr par prim, deci a = 2, iar b = 3. 11. a a ⇒ a a ⋅ b . Cum a a ⋅ b + c ⇒ a ( a ⋅ b + c − a ⋅ b ) ⇒ a c . Analog

a b . Din a c ⇒ a 10c , dar a b , deci a 10c + b ⇒ a cb . Analog a bc , deci a bc + cb. 12. 864 = 25 ⋅ 33 , x 2 este pătrat perfect.

x2 1 22 24 32

y+3

x

y

864 216 54 96

1 2 4 3

861 213 51 93

56


22 ⋅ 32 24 ⋅ 32

24 6

6 12

21 3

• Test 6: Partea I: 1. 5. 2. 60. 3. A. 4. 1236 . 5. {1,3,5,7,9} . 6. 2. 7. 400. 8. 120. Partea a II-a: 9. a + b = 120, ( a, b ) = 15 ⇒ a = 15m, b = 15n, ( m, n ) = 1. De aici rezultă că 15 ( m + n ) = 120 ⇒ m + n = 8 şi cum ( m, n ) = 1 înseamnă că perechea

( m, n ) ∈{(1,7 ) , ( 7,1) , ( 3,5) , ( 5,3)} , deci numerele căutate sunt date de perechea ( a, b ) ∈ {(15,105 ) , (105,15 ) , ( 45,75 ) , ( 75,45 )}. 10. a = 5 x + 4, a = 6 y + 5, a = 8 z + 7 ⇒ a + 1 = 5 ( x + 1) , a + 1 = 6 ( y + 1) ,

a + 1 = 8 ( z + 1) , deci a + 1 este multiplu comun al numerelor 5,6 şi 8.

Dar a trebuie să fie cel mai mic, deci a + 1 = [ 5,6,8] = 120 ⇒ a = 119.

11. a = 24 x + 17, a = 40 y + 17, a = 48 z + 17 ⇒ a − 17 = 24 x, a − 17 = 40 y, a − 17 = 48 z, , deci a − 17 este multiplu comun al numerelor 24,40 şi 48. Dar a trebuie să fie cel mai mic, deci a − 17 = [ 24, 40, 48] = 240 ⇒ a = 257.

57


12. ab = ( a, b ) [ a, b ] = 5400. Din ( a, b ) = 15 ⇒ a = 15m, b = 15n, ( m, n ) = 1 şi atunci mn = 24 ⇒ înseamnă că perechea ( m, n ) ∈{(1, 24 ) , ( 24,1) , ( 3,8 ) , (8,3)} , deci numerele căutate sunt date de perechea

( a, b ) ∈ {(15,360 ) , ( 360,15) , ( 45,120 ) , (120, 45)}.

• Test 7: Partea I: 1. 30. 2. 300. 3. 9. 4. 1. 5. 35. 6. 2. 7. 1. 8. {5,10,15,30} . Partea a II-a:

9. A = 7 ⋅ ( 22 ⋅ 3) ⋅ 3n +1 + 6 ⋅ ( 22 ) n

n +1

⋅ ( 32 )

n+ 2

+ ( 2 ⋅ 32 )

n +1

⋅ 2n +1 =

= 7 ⋅ 22 n ⋅ 32 n +1 + 6 ⋅ 22 n + 2 ⋅ 32 n + 4 + 32 n + 2 ⋅ 22 n + 2 = 22 n ⋅ 32 n +1 ⋅ ⋅ ( 7 + 6 ⋅ 22 ⋅ 33 + 3 ⋅ 22 ) = 22 n ⋅ 32 n +1 ⋅ 667 = 22 n ⋅ 32 n ⋅ 2001 ⇒ A este divizibil cu 2001, oricare ar fi n ∈ ℕ *. 10. 348 = xa + 12, 790 = xb + 6,1180 = xc + 4, x > 12. De aici rezultă că xa = 336, xb = 784, xc = 1176 , deci x este cel mai mic divizor comun al numerelor 336, 784 şi 1176, mai mare decât 12. Deoarece

( 336, 784,1176 ) = 23 ⋅ 3 ⋅ 7 ⇒ x = 14.

11. 2 B − A = 7 ( 4a + 13b + 5c ) ⇒ 2 B − A⋮ 7. Dacă A⋮ 7, atunci 2 B ⋮ 7, dar

( 2,7 ) = 1

implică B ⋮ 7. Reciproc, dacă B ⋮ 7, atunci 2 B ⋮ 7 şi cum

2 B − A⋮ 7 ⇒ A⋮ 7. 58


12. a ∈ {1,2,3,4} , b, c ∈ {0,1,...9} , abc = 9 x + 5 ⇒ 99a + 9b + a + b + c = = 9 x + 5 ⇒ ⇒ a + b + c = 9 y + 5, a + b + c⋮ 7 ⇒ a + b + c = 14.

( acb = 98a + 7c + 2a + 3c + b = 7 (14a + c ) + 2a + 3c + b ⇒ 2a + 3c + b + 2⋮ 7. Dar a + b + c⋮ 7 , deci: 2a + 3c + b + 2 − ( a + b + c )⋮ 7 ⇒ a + 2c + 2⋮ 7 ⇒ a + 2c ∈ {5,12,19}.

Din analiza cazurilor rezultă abc ∈ {149, 275,338, 464}.

• Test 8: Partea I: 1. 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 67 . 2. 1. 3. 90. 4. 19. 5. {5,10,15, 20,30,60} .

6. {14031,14130,14034,14430,14133,14331,14232,14037 .

14730,14136,14631,14235,14532,14334,14433} . 7. 0,1. 8. 7230,7530,7830,7035,7335,7635,7935 .

Partea a II-a: 9. 4277 = xa + 17, 4998 = xb + 18,6079 = xc + 19, x > 19. De aici rezultă că xa = 4260, xb = 4980, xc = 6060 , deci x este un divizor comun al numerelor 4260, 4980 şi 6060, mai mare decât 19. Deoarece ( 4260,4980,6060 ) = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 ⇒ x ∈ {20,30, 60} . Numerele 4277; 4998 şi 6079 împărŃite la un număr natural nenul dau resturile 17; 18 şi respectiv 19. AflaŃi împărŃitorul. 10. ab = 6750 , ( a, b ) = 15 ⇒ a = 15m, b = 15n, ( m, n ) = 1. De aici rezultă că mn = 30 şi cum ( m, n ) = 1 înseamnă că perechea 59


( m, n ) ∈{(1,30 ) , ( 30,1)( 2,15) , (15, 2 ) , ( 5,6 ) , ( 6,5) , ( 3,10 ) , (10,3)} , deci numerele căutate sunt date de perechea ( a, b ) ∈ {(15, 450 ) , ( 450,15) , ( 30, 225) , ( 225,30 ) , ( 75,90 ) , ( 90,75) ,

( 45,150 ) , (150,45 )}.

11. Fie d = ( A, B ) . A = 5 ⋅ 10n + 7 , B = 2 ⋅ 10n + 3 .  A⋮ d  2 A⋮ d ⇒ ⇒ 5 B − 2 A⋮ d ⇒ 1⋮ d ⇒ d = 1, deci sunt prime între ele,   B⋮ d 5B ⋮ d unde n ∈ ℕ. 12. 10 (10a + b − c ) a + (10b + c ) c = 82ac ⇒ 100a 2 + 10b ( a + c ) + c 2 = 92ac ,

de unde rezultă că c = 2k , k ∈ {1, 2,3, 4}.

50a 2 + 5b ( a + 2k ) = 2k ( 45a + a − k ) ⇒ a − k ∈ M 5 . Analizând cele opt cazuri rezultă abc = 386.

• Test 9: Partea I: 1. 2,5;2, ( 3) ;5,5 şi 7, 4 .

2. 1, ( 2 ) ;21, ( 34 ) ;4,5 ( 6 ) şi 1, 2 ( 31) .

7 . 3 4. {4,5,7} şi A . 5. 1,23(4) ; 1,2(34) ; 1,(234) şi 1,234. 6. 20. 1 7. . 3 65 8. . 70 3.

60


Partea a II-a: 1 1 1 9. < < ⇒ 2 < n < 7, n ∈ ℕ ⇒ A = {3, 4,5,6} . 7 n 2 3 5 2 30 30 30 > > ⇒ > > ⇒ 20 < 6n < 45, n ∈ ℕ ⇒ B = {4,5,6,7}. 2 n 3 20 6n 45 A ∪ B = {3, 4,5,6,7} , A ∩ B = {4,5,6} , A \ B = {3} şi B \ A = {7}. b ba  10. 3 ⋅  a +  + 2 ⋅ = 30 ⇒ 48a = 5 ( 90 − 7b ) , ( 5,48 ) = 1 ⇒ a = 5, b = 6. 9 10   11. Fie d = ( 3n + 7, 2n + 3) .

3n + 7⋮ d 2 ( 3n + 7 )⋮ d ⇒ ⇒ 2 ( 3n + 7 ) − 3 ( 2n + 3)⋮ d ⇒ 5⋮ d ⇒ d = 5.  2n + 3⋮ d 3 ( 2n + 3)⋮ d

3n + 7 = 5 x, 2n + 3 = 5 y ⇒ n = 5 ( x − y ) − 4 ⇒ n = 5k + 1, k ∈ ℕ. 12. Fie d = ( 7 n + 5, 4n + 3) .

7 n + 5⋮ d 4 ( 7 n + 5 )⋮ d ⇒ ⇒ 7 ( 4n + 3) − 4 ( 7n + 5 )⋮ d ⇒ 1⋮ d ⇒ d = 1,  4n + 3⋮ d 7 ( 4n + 3)⋮ d 7n + 5 deci fracŃia este ireductibilă, oricare ar fi n ∈ ℕ. 4n + 3

• Test 10: Partea I: 29 1. . 30 2. 3,8 ( 5 ) . 49 . 65 4. 8,84 . 3.

61


5. 9 . 6. 9, 275 . 1 2 + . 15 15

7. De exemplu 8.

87 . 10

Partea a II-a: 9. a) 1 1 k +2−k 1 1 1  1 1 1 = ⋅ = ⋅ − + + + ... + ⇒ k ( k + 2) 2 k ( k + 2) 2  k k + 2  2 ⋅ 4 4 ⋅ 6 6 ⋅ 8 +

1 1 1 1 1 1 1 1  = ⋅  − + − + ... + − = 2008 ⋅ 2010 2  2 4 4 6 2008 2010 

=

1 1 1  251 ⋅ − . = 2  2 2010  1005

1  3 4 2011 2011  1  1  1  b) 1 +  ⋅ 1 +  ⋅  1 +  ⋅ ... ⋅  1 + = .  = ⋅ ⋅ ... ⋅ 2 3 4 2010 2 3 2010 2         10. Fie a, b, c simultan numere naturale.

7 ∈ℕ ⇒ 2x + 3 y

7⋮ 2 x + 3 y, 2 x + 3 y ≥ 5 ⇒ 2 x + 3 y = 7. b ∈ ℕ ⇒ 2 x + 3 y ⋮3 x + 1 ⇒ 7⋮3 x + 1 ⇒ x = 2, y = 1 şi rezultă imediat că 25 d= = 1∈ ℕ. 16 + 9 Reciproc, fie d este număr natural.

x ≥ 1 ⇒ ( x + 2 ) ≥ 9 ⇒ ( 2 y + 1) ≤ 16 ⇒ y = 1, x = 2 ⇒ a = 1, b = 1, c = 1∈ ℕ. ObservaŃie: abc = 1 ⇒ a = b = c = 1 , dacă sunt numere naturale. 2

2

62


a 2b 3c 4d 5e + + + + = x. a +1 b +1 c +1 d +1 e +1 2b   3 3c   4 4d  a   2  1 + + + +  + + + +  a +1 a +1  b +1 b +1  c +1 c +1  d +1 d +1

11.

5e   5 + +  = 1 + x ⇒ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 1 + x ⇒ x = 14.  e +1 e +1 12. 1 1 1 6 + + = = 1. 2 3 6 6 a) 1 = 384 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 16 + 24 + 32 + 64 + 96 + 128 = 384 384

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + + + + . 384 192 128 96 64 48 24 16 12 6 4 3 b) Fie p1 , p2 ,..., pm , m numere prime distincte astfel încât 1 1 1 + + ... + = 1. După aducere la acelaşi numitor am p1 p2 pm obŃine de exemplu p2 ⋅ ... ⋅ pm + p1 ⋅ α = p1 ⋅ p2 ⋅ ... ⋅ pm , de unde ar rezulta că p2 ⋅ ... ⋅ pm ⋮ p1 care este evident fals. =

• Test 11: Partea I: 9 1. . 16 5

4 2.   . 5 16 3. . 5 122 4. . 211

63


293 . 60 7 6. . 2 2 7. . 9 13 8. . 2

5.

Partea a II-a: 9.  8 39 11 9  10 21 10 a)  + + −  ⋅ = ⋅ = 1.  35 70 70 14  3 70 3 5 2 1   16 − 1  77 6 77  b)  2 + − ⋅  :  3 + ⋅ = . = 2 3 3  90  18 19 57   12 12 1  1  12 4  65 1 16 52 c)  ⋅ −  ⋅ :  −  = ⋅ ⋅ = .  6 7 3  4  5 3  21 4 15 63 5 4 12 m 10. a ⋅ , a ⋅ , a ⋅ ∈ ℕ. a = , m, n ∈ ℕ∗ , ( m, n ) = 1. Deoarece perechile 2 3 11 n de numere ( 5, 2 ) , ( 4,3) , (12,11) sunt numere prime între ele rezultă că

5, 4,12⋮ n, iar m⋮ 2,3,11 . Pentru a-l găsi pe cel mai mic trebuie ca m = [ 2,3,11] = 66, iar n = ( 5, 4,12 ) = 1, deci a = 66. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ... + = − + − + ... + − = 1⋅ 2 2 ⋅ 3 1999 ⋅ 2000 1 2 2 3 1999 2000 1 1999 =1− = , 2000 2000 999 1998 1999 9999 9995 1999 0,999 = ,0,9999 = . = < > = 1000 2000 2000 10000 10000 2000

11.

64


12. A = 202505 ⋅

x+ y 11 ⋅ x ⋅ y ⋅ = 2005. x ⋅ y ⋅ 101 11( x + y )

• Test 12: Partea I: 2 1. . 5 5 2. . 6 10 . 3. 3 95 4. . 4 5. 4000 . 143 6. . 140 7. 0. 55 8. . 4 Partea a II-a: 9. 1x 2 x 9x a) + + ... + = x ⇒ 10 + 20 + ... + 90 + 9 x = 99 x ⇒ x = 5. 99 99 99 1  3  2 7   8 2 b) 12 :   2 :  1 + 1 ⋅ x   ⋅ + 1  = 5. 3   4  3 8   11 3  11  5 15   8 5 37 37  11  5 15   8 5  :  :  + ⋅ x  ⋅ +  = 5 ⇒  :  + ⋅ x  ⋅ + = ⇒ 3   4  3 8   11 3   4  3 8   11 3 15 11  5 15   8 4 5 15 5 4 ⇒  :  + ⋅ x  ⋅ = ⇒ + ⋅ x = ⇒ x = . 3 8 2 9  4  3 8   11 5 65


c)

6 3 6 9 x + 2x − = 4 − 2x − 2 + 3 + ⇒ x = . 9 9 9 7

10. 600+120=720. 720:2=360. 360 ⋅3 = 1080. 1080 : 5 = 216 . 216 ⋅ 6 = 1296 . 1296 : 3 = 432 . 432 ⋅ 4 = 1728 lei. 11. a1 + a2 = 10 , a3 + a4 + a5 = 75, a6 + a7 + ... + a10 = 1000. a1 + a2 + ... + a10 = 542,5. 10 12. 39 + x = 3 (11 + x ) ⇒ 6 = 2 x ⇒ x = 3 ani.

• Test 13: Partea I: 41 1. . 24 53 . 2. 20 21 3. . 20 13 4. − . 5 27 5. . 5 7 6. . 2

66


2 . 3 8. 33.

7.

Partea a II-a: 9. 3x + 3 y = xy ⇒ 3 y = xy − 3 x ⇒ 3 y = x ( y − 3) ⇒ 3 y − 9 = x ( y − 3) − 9 ⇒ 3 ( y − 3) = x ( y − 3) − 9 ⇒ ( x − 3)( y − 3) = 9. Din

analiza

cazurilor

posibile rezultă ( x, y ) ∈ {( 6,6 ) , ( 4,12 ) , (12, 4 )}.

6 15 128 3  125 83 − 8  1  1 1  17 + ⋅ − 2⋅ −  = + − 2⋅ −  = . 90 64 100  1000 900  15 10  8 12  60 5  7 16 − 1  25 1 5 2 1 ⋅ − = ⋅ ⋅ = . b) : 10  12 90  10 2 12 5 12

10. a)

11. a) 624 : 4 = 156. 156 ⋅ 5 = 780. 780 :13 = 60. 60 ⋅ 20 = 1200km. b) 156km. 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 2007 2008 12. Fie şirul de fracŃii ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;...; ; . 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 2 1 2008 ⋅ 2009 a) 1 + 2 + 3 + ... + 2008 = = 2017036. 2 2007 ⋅ 2008 b) (1 + 2 + 3 + ... + 2006 + 2007 ) + 1008 = + 1008 = 2016036. 2 c) Fie n, k ∈ ℕ , n cel mai mare număr natural astfel încât 1 + 2 + ... + n + k = 2008. n ( n + 1) Atunci + k = 2008 ⇒ n ( n + 1) + 2k = 4016 ⇒ n = 62, k = 55. 2 55 Al 2008-lea termen este . 9 67


• Test 14: Partea I: 51 . 1. 30 2. 8,2. 3. 175. 25 27 29 4. ; şi . 26 28 30 73 . 5. 27 3 6. . 2 7. 3,4. 8. 105. Partea a II-a: 9. 1 1 1 1 A = + + + = 1 şi 4 4 4 4 2004  1 1 1 2 1 3  1 B = 1 +  +  +  +  +  +  + ... +  + = 2 2 3 3 4 4 2005 2005         = 1 + 1 + ... + 1 = 2005. B − A = 2005 − 1 = 2004, AB = 12005 = 1 şi

( B − 2000 ) A+1 = ( 2005 − 2000 )1+1 = 25. 10. 100 ≤ ( x + 1) ⋅ ( x + 2 ) ≤ 999 ⇒ x ∈ {9,10,...,30} . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ... + = − + − + ... + − = 10 ⋅ 11 11 ⋅ 12 31 ⋅ 32 10 11 11 12 31 32 1 1 11 = − = . 10 32 160

68


11.

2007 2

2008

=

52008 ⋅ 2007 5

2008

⋅2

2008

=

...25 ⋅ 2007 10

=

2008

...175 102008

= ...,...175.

a 3 b3 c 3 d 3 a3 b3 c3 d3 ⋅ ⋅ ⋅ =1⇒ = = = =1⇒ bcd acd abd abc bcd acd abd abc ⇒ a 3 = bcd ⇒ a 4 = abcd şi analoagele, de unde, prin adunare se obŃine

12.

a) a 4 + b 4 + c 4 + d 4 = 4abcd .

b) Din a 3 = bcd şi b3 = acd ⇒ a, b ∈ ℕ.

a

2004

+b

Analog 2004

+c

2004

b = c = d.

a3

b ⇒ a 4 = b 4 ⇒ a = b, deoarece a b De aici rezultă imediat că 3

=

+ d 2004 = 4 ( abcd )

2005

c) a 2005 + b 2005 + c 2005 + d 2005 = ( abcd )

501

• Test 15: Partea I: 1. a) F. b) F. c) A. d) A. e) A. f) A. h) A. g) A. 2. [CD ] respectiv CD . 3. C , A, B . 4. 12. 5. 6. 6. a) [ AC ] .

b) [ AB ) . c) [ BC ) . d) [ AB ] .

69

ş i că

( a + b + c + d ).


7. ∈ A B C D

[ AB A A A A

(BC F F A A

[BA A A F F

(DC A A A F

8. A

B

C

Partea a II-a: 9.

10. a) A − B − C − D, A − B − D − C , B − A − C − D, B − A − D − C. b) A − B = C − D, B − A = C − D. c) C − A − B − D, C − B − A − D. d) A − C − B − D. 70


e) A − B − D − C. 11. A

B D C

12. 1 + 2 + ... + 99 =

99 ⋅ 100 = 4950. 2

• Test 16: Partea I: 1. a) A. b) F. c) A. d) A. e) F. f) A. 2. 24. 3. 8. 4. 8. 1 5. . 2 6. A. 7. 2. 8. 4 sau 10. Partea a II-a: 9. Fie punctele coliniare A1, A2, A3, ..., A100 în această ordine, astfel încât A1A2=1 cm, A2A3=2 cm, A3A4=3 cm, …, A99A100=99 cm. ( 25 + 47 )( 47 − 25 + 1) = 828cm. a) A25 A48 = 25 + 26 + ... + 47 = 2 71


b) MA70 = MA52 + A52 A70 = 10. OM =

50 + 51 + 52 + 53 + ... + 69 = 1139,5cm. 2

OA100 1 + 2 + ... + 100 = = 2525cm. 2 2

11. Fie AB = x, BC = y, CD = z ⇒ 2 ( x + y ) = x + x + y + z ⇒ y = z = 232 . 12. Fie AB = x, BC = y, CD = z. AD BC  1 1  x+ y+ z y 1 1 + = + + =  +  ( y + z ) care se  ⋅ BD ⇔ AB CD  AB CD  x z x z verifică prin calcul direct.

• Test 17: Partea I: 1. 8. 2. a) A. b) F. c) A. d) A. e) F. f) A. 1 3. . 8 4. 1. 5. Fie trei puncte necoliniare. Se simetrizează două puncte faŃă de cel de-al treilea. 6. 2. 7. 56. 8. A ∉ (aC D ∈ [bD

A A

C ∈ (aE [OB ⊂ (bD 72

F F


F ∈ [aA [OC ⊂ [aG (OG ⊂ (aE

(OG ⊂ [OG A, O, C coliniare [ DF ] ⊂ [aG

F A F A

(OB ⊂ (bD (OB ⊂ [bD [OG ⊂ [aF [OB ⊂ [bB

F F A A

A

FC ∩ OB = ∅

F

A

(CG ∩ [ AF ] = ∅

A

Partea a II-a: 9. AB = 2 ⋅ 5 = 10cm. BC = 11 − 5 = 6cm. AC = 5 + 11 = 16cm. MP = 8 − 5 = 3cm. NP = 8 − 3 = 5cm. OB + OC OC + OA OA + OB + + OM + ON + OP 2 2 2 10. = = 1. OA + OB + OC OA + OB + OC 11. Cazul M − A − B . OM = AM + AO, OM = BM − BO, AO = BO ⇒ 2OM = AM + BM . Analog cazul A − B − M . 12. a) A1 A10 = 1 + 2 + ... + 9 =

9 ⋅ 10 = 45. 2

1+ 2 + 3 + 4 7 +8+9 = 5cm. A1 N = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 33cm. 2 2 MN = 33 − 5 = 28cm.

b) A1 M =

• Test 18: Partea I: 1. a) m ( ∢BAD ) .

b) m ( ∢CDE ) . c) m ( ∢BAE ) .

73


d) m ( ∢BCA ) .

2. OM , [OP . 3. a) A. b) F. c) F. d) A. e) F. f) F. 4. a) ∢BOC . b) ∢AOC . c) ∢BOB . d) ∢DOC . 5. Se construieşte cu rigla şi raportorul. 6. 25200" . 7. ∢BOC ≡ ∢BOD . 8. a) m ( ∢DOA ) = 40 . b) m ( ∢AOC ) = 130 . c) m ( ∢DCO ) = 180 .

Partea a II-a: 9. Conform axiomei de adunare a unghiurilor: Cum m ( ABP ) , m ( ∢PBC ) > 0 ⇒ m ( ∢ABC ) > m ( ∢PBC ) . 10. Cazul 1. Semidreapta ( OC este inclusă în interiorul unghiului  AOD. m ( ∢AOC ) = x ⇒ m ( ∢BOD ) = 2 x, x + 48 + 2 x = 120 ⇒

⇒ m ( ∢AOC ) = 24 , m ( ∢BOD ) = 48.

Cazul 2. Semidreapta ( OD este inclusă în interiorul unghiului  AOC. m ( ∢AOC ) = x ⇒ m ( ∢BOD ) = 2 x, x + 2 x − 48 = 120 ⇒ 74


⇒ m ( ∢AOC ) = 56 , m ( ∢BOD ) = 112. că

m ( ∢AOB ) = 120

şi

semidreptele [OC , [OD sunt situatre în interiorul ∢AOB astfel încât 11. Cazul 1. Semidreapta ( OP este inclusă în interiorul unghiului  AOQ. m ( ∢QOD ) = 60 − 35 = 25 , m ( ∢POD ) = 60 + 25 = 85.

Cazul 2. Semidreapta ( OQ este inclusă în interiorul unghiului  AOP. m ( ∢POD ) = 60 − 35 = 25 , m ( ∢QOD ) = 60 + 25 = 85. 12.  AOP1 ,  AOP2 ,...,  AOPn ⇒ n unghiuri.  , POP  ,..., POP  , POB  ⇒ n unghiuri. POP 1

2

1

3

1

n

1

    P 2 OP3 , P2 OP4 ,..., P2OPn , P2OB ⇒ n − 1 unghiuri.     P 3OP4 , P3OP5 ,..., P3OPn , P3OB ⇒ n − 2 unghiuri. …………………………………………………   P OP , P OB ⇒ 2 unghiuri. n −1

n

n −1

 P n OB ⇒ 1 unghi.

În total avem 1 + 2 + ... + ( n − 1) + n  + n =

n ( n + 3) 2

unghiuri proprii.

• Test 19: Partea I: 1. a) 3033'24"; b) 44 45'35"; c) 22 47 '30"; d) 2330' . 2. 3. 3. 90. 4. 18. 5. 45. 6. 154. 7. 125. 8. 23. 75


Partea a II-a: 90 − a + 180 − a 3 9. = ⋅ a ⇒ a = 54. 2 2 10. Cazul 1.

(

) (

)

⇒m   + M ∈ Int AOP XOY = m BOC

(

) (

 − m BOC  m AOB

) = 90.

2     ⇒ Cazul 2. P ∈ Int AOM ⇒ x = m AOP , y = m POM , z = m MOB

(

⇒m  XOY

)

( )   z + y x + y x + z m ( AOB ) − m ( BOC ) =x+ − = = < 90. 2

(

2

)

(

2

)

2

(

)

11. Cazul 1. 1 + 2 + ... + n = 91 ⇒ n n + 1 = 182 ⇒ n = 13.

(

)

(

)

Cazul 2. 360 − 1 + 2 + ... + n = 91 ⇒ n n + 1 = 538 ⇒ n ∈∅. 12.

m ( ∢AOB ) = a, m ( ∢COD ) = b ⇒ a + b = 90 , a = 2b ⇒ a = 60 , b = 30. Măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor ∢BOD este egală cu 30 +

60 − 30 = 45. 2

• Test 20: Partea I: 1. 360. 2. 180. 3. 45. 4. 120. 5. 36. 6. 101. 7. 90. 8. 108. 76

m ( ∢AOC ) şi


Partea a II-a: 9. Fie m ( ∢AOD ) = x. Atunci

(

)

 = x + x + 27 + 90 + 21 = 360 ⇒ x = 111 ⇒ m DOE = 111 +

111 + 27 = 180 ⇒ punctele D, O, E sunt coliniare. 2

10. a) m ( ∢BOM ) = 150 .

b) m ( ∢DOM ) = 10 . c) m ( ∢COD ) = 180. 11. Fie m ( ∢AOB ) = x şi m ( ∢BOC ) = y. Avem

x + y = 115 , x + y = 180 ⇒ x = 130 , y = 50. 2

12. a) 2 + 4 + ... + 2 ( n − 1) + k  = 360 , unde k , n ∈ ℕ , n maxim şi 

2 ( n − 1) < k . Rezultă imediat că avem 18 unghiuri.

b) Măsura unghiului cerut este

10 18 + 12 + 14 + 16 + = 56. 2 2

• Test 21: Partea I: 1. 180. 2. 80. 105 3. . 2 4. c) obtuz. 5. 1459'2" . 6. 50. 7. 60. 77


8. [OA . Partea a II-a: 9. a + a + 18 + a + 36 + a + 54 = 360 ⇒ a = 63. măsurile sunt egale cu 63 ,81 ,99 şi 117 . 10. m ( ∢AOP ) = 2 ⋅ 35 = 70 ⇒ m ( ∢AOC ) = 90 − 70 = 20.

11. Fie [OT , [OS bisectoarele unghiurilor ∢AOM , ∢COP. Înseamnă că ≡  ≡ SOP  ceea ce înseamnă că [OM , [OP sunt TOM AOT ≡ SOC semidrepte opuse, adică M , O, P sunt coliniare. Analog pentru N , O, Q coliniare.

(

)

(

) (

)

(

)

 = m POM  = 2 x, m BOM  = 60 − 2 x, 12. Fie m  AOQ = x ⇒ m AOP

(

)

  = 60 − 2 x . iar m BON 2   = x + 60 + 60 − 2 x = 90. m NOQ 2

(

)

• Test 22: Partea I: 17  . 2 2. 68. 3. 150 şi 30.

1.

4. 2113'' . 5. 73. 6. 120. 7. 60. 8. 180. 78


Partea a II-a: 9. Fie [OM bisectoarea unghiului ∢AOB

şi

[ON

bisectoarea

unghiului ∢DOC . Studiem cazul ( OM inclusă în interiorul unghiului ∢NOC. Notăm

m ( ∢DON ) = x, m ( ∢AOM ) = y

şi

m ( ∢NOM ) = a.

Atunci 18 = y + a + x,12 = y + x − a ⇒ a = 3. Alte poziŃii se tratează analog. 10. Notăm m ( ∢AOX ) = 2a, m ( ∢BOZ ) = 2b. 45 . ăsura unghiului format de 2 ∢AOX şi ∢BOZ este egală cu

Atunci 2a + 2b + 45 = 90 ⇒ a + b = bisectoarele

unghiurilor 135 a + 45 + b = . 2

11. Bisectoarele unghiurilor adiacente ∢AOB şi ∢BOC formează un unghi cu măsura de 10  .  = 2 y. a) Notăm m  AOB = 2 x, m BOC

(

)

(

)

x + y = 10 ⇒ 0 < x < 10 ,8 x + 8 y = 80 ,0 < 2 x < 20 ⇒

⇒ 80 < 10 x + 8 y < 100.

b) Din 5 ⋅ m ( ∢AOB ) + 4 ⋅ m ( ∢BOC ) = 90 ⇒ 10 x + 8 y = 90 şi cum

(

) (

)

 , deci [OB 8 x + 8 y = 80 ⇒ x = 5 , y = 5 , de unde m  AOB = m BOC

este bisectoarea unghiului ∢AOC. 12.

(

)

(

)

(

)

  = 180 − 2 x, m POT  = 180 − 2 x + x = a) m  AOC = 2 x ⇒ m BOC 2

79


x . 2 m( ∢ POR)=140° ⇒   x  90 −  + 2 x 2   x  = 140 ⇒ x = 20 ⇒ m  AOC = 40 ,  90 −  + 2 2  m  AOD = 160 . = 90 −

(

(

)

)

b)m( ∢ POR)=25° ⇒     x  90 −  + 2 x   x 2    = 25 ⇒ x = 80 ⇒ 180 −  90 −  +  2 2     m  AOC = 160 , m  AOD = 20.

(

)

(

)

• Test 23:

Partea I: 1.21. 2. L.U .L. 3. a) Se construieşte mai întâi un unghi de măsură 40 şi se notează vârful său cu A . Pe laturile unghiului se iau punctele B şi C astfel încât AB = 6 cm şi AC = 6 cm, apoi se unesc aceste două puncte. b) Se construieşte mai întâi un segment de lungime 7 cm şi se notează capetele segmentului cu B şi C.În acelaşi semiplan determinat de dreapta BC , cu vârfurile în B şi C se construiesc două unghiuri de

măsuri 60 respectiv 30 . La intersecŃia celor două semidrepte va fi vârful A al triunghiului ∆ABC . c) Se construieşte, de exemplu, un segment de 5 cm. Cu centrul în capetele segmentului, notate cu A şi B, se construiesc două cercuri de raze 6 cm respectiv 7 cm. Unul din punctele de intersecŃie ale celor două cercuri se notează cu C. 80


4. R respectiv RT. 5. Se construieşte un unghi drept şi se notează vârful său cu A . Pe laturile unghiului se iau punctele B şi C astfel încât AB = AC .Se trasează segmentul de dreaptă BC . 6. 15. 7. M şi A. 8. F. Partea a II-a: 9. AD + BD + AC = 25 ⇒ DC + BD + AC = 25 ⇒ BC + AC = 25. Dar AB + AC + BC = 37 ⇒ AC = 12. 10. Unghiurile AOD şi BOC vârf. ∆OAD ≡ ∆OBC (U .L.U .) .

sunt congruente fiind opuse la

11. Fie M simetricul lui D faŃă de A. Înseamnă că AC = BM şi AB + BM AB + AC AM < = . 2 2

(

)

(

) ( )

 = 60 + m BAC  = m SAB  ⇒ ∆ATC ≡ ∆ABS ( L.U .L.) . 12. m TAC

• Test 24: Partea I: 1. ∆AMB ≡ ∆AMC ( L.L.L.) ⇒ ∢BAM ≡ ∢CAM . 2. ∆AMB ≡ ∆AMC ( L.U .L.) ⇒ BM = CM .

 ≡C . 3. Fie ∆ABC , AB = AC . ∆ABC ≡ ∆ACB ( LU . .L.) ⇒ B 4. AN = AB + NB = 4 . ∆ABC ≡ ∆AMN ⇒ BC = MN . 5. 4cm. 6. 3cm. 7. 30cm. 8. 6cm.

81


Partea a II-a: 9. ∆BCD ≡ ∆CBE ( L.U .L.) ⇒ BE = CD.   ' ≡ OBA ', ∆OBA ' ≡ OAB ' ( LU . .L ) ⇒ OA ' B ≡ OB ' A, OAB 10. ' ≡ MBB '. Atunci ∆MAA ' ≡ ∆MBB ' (U .LU MAA . .) ⇒ MA = MB. ⇒ ∆MAO ≡ ∆MBO ( L.L.L.) ⇒  AOM ≡ BOM

[OM

este

deci şi

bisectoarea

unghiului ∠XOY .

11. ∆ADE ≡ ∆ADF ( L.U .L.) ⇒ DE = DF . ∆BDE ≡ ∆CFD ( L.L.L.) ⇒  ≡ FCD ⇒ ⇒ DBE ABC ≡  ACB ⇒ riunghiul ∆ABC este isoscel. 12. Fie ∆AOM ≡ ∆BOM ( L.U .L.) ⇒ MA = MB ⇒ triunghiul MAB este isoscel.

• Test 25: Partea I: 1. 6. 2. 16. 3. Se construieşte mai întâi un segment de lungime 5 cm şi se notează capetele segmentului cu A şi B.În acelaşi semiplan determinat de dreapta AB , cu vârfurile în A şi B se construiesc două unghiuri de măsuri 40 . La intersecŃia celor două semidrepte va fi vârful C al triunghiului ∆ABC . 4. 130 ,120 ,110 . 5. Se construieşte un segment de 4 cm. Cu centrul în capetele segmentului se construiesc două cercuri de raze 4 cm. Capetele segmentului şi unul din punctele de intersecŃie ale celor două cercuri determină triunghiul căutat. 6. 8. 7. ∆CDM . 8. 10. 82


Partea a II-a:

 ≡ NBA  ⇒ MBC  ≡ NBC . 9. ∆ABM ≡ ∆ABN ⇒ MBA ∆MBC ≡ ∆NBC ( LU . .L.) ⇒ MC = NC , analog MD = ND.

∆CDM ≡ ∆CDN ( L.L.L.) .

10. a) ∆CAB ≡ ∆DBA (U .LU . .) ⇒ AC = BD. b) ∢CAB ≡ ∢DBA ⇒ ∆OAB este isoscel, deci AO = BO, dar AC = BD ⇒ CO = DO, de unde ∆DOC este isoscel.  ≡ SCB  ⇒ ∆SBC 11. ∆ABP ≡ ∆ACM ( L.U .L.) ⇒  ABP ≡  ACM ⇒ SBC este isoscel, deci SB = SC . Cum MS = AB − AM = AC − AP = PC ⇒ triunghiurile ∆MSB şi ∆PSC sunt congruente ( L.U .L.) . 12.

∆BCQ

este dreptunghic cu un unghi de

45 , de unde

CQ = BC = AD. ∆DQP este dreptunghic cu un unghi de 45 , DT  ⇒ DT = TQ. bisectoarea lui PDQ  ≡ QCT  , TA = TC , ∆CQT ≡ ∆ADT ( L.U .L.) ⇒ DAT

(

) (

)

 =m  m CTA ADS = 90 ⇒ ∆CTS ≡ ∆ATM ( C .U .) ⇒ AM = CS ⇒ DM = AM − AD = CS − CQ = SQ .

• Test 26: Partea I: 1. 7 şi 7 sau 5 şi 9. 2. Se construieşte, de exemplu, un segment de 5 cm. Cu centrul în capetele segmentului, notate cu A şi B, se construiesc două cercuri de raze 5 cm respectiv 6 cm. Unul din punctele de intersecŃie ale celor două cercuri se notează cu C. 3. catetă. 4. a) isoscel. 83


5. Se construieşte mai întâi un unghi de măsură 120 şi se notează vârful său cu M . Pe laturile unghiului se iau punctele P şi Q astfel încât MP = 4 cm şi MQ = 5 cm, apoi se unesc aceste două puncte. 6. 5 respectiv 74. 7. 70. . 8. DFE

Partea a II-a: 9. a) ∆FDB ≡ ∆FEC ( LU . .L.) ⇒ BD = CE.  ≡ ECB  ⇒ ∆ABC este isoscel, de b) ∆BDC ≡ ∆CEB ( L.L.L.) ⇒ DBC unde AB = AC. c) vezi punctul b)  ≡ CAF  ⇒ [ AF este bisectoarea d) ∆AFB ≡ ∆AFC ( L.L.L.) ⇒ BAF  . Cum AM este mediană în triunghiul ∆ABC isoscel cu unghiului BAC baza ( BC ) , rezultă că punctele A, F , M sunt coliniare. 10. a)  ≡ CDF  .∆ADE ≡ ∆DAF ( L.U .L.) ⇒ AF = DE. ∆ABE ≡ ∆DCF . ⇒ EAB b)  , ∆AEF ≡ ∆DFE ( L.L.L.) ⇒  . ∆ADE ≡ ∆DAF ⇒  ADE ≡ DAF AFE ≡ DEF

∆AFM ≡ ∆DEM (U .L.U .) ⇒ EM = MF ⇒ M este mijlocul segmentului

[ EF ].

180 − 20 = 80. 2 ∆EAC ≡ ∆BCA ( L.U .L.) ⇒ AC = CE.∆ADC ≡ ∆EDC ( L.L.L.) ⇒ ≡ ECD ACD ⇒ [CD este bisectoarea unghiului ∢ACE.

11. m ( ∢EAC ) = 60 + 20 = 80 , m ( ∢BCA ) =

12. Cazul A − S − Q.

 ≡ QCB . ∆APB ≡ ∆AQC ( L.L.L.) ⇒  ABP ≡  ACQ ⇒ PBC 84


Fie BS ∩ CQ = {O} ⇒ ∆OBC este isoscel, OB = OC ⇒ OP = OQ ⇒ ∆OPQ este isoscel.  180 − m BOC  180 − m POQ m ( ∢SPQ ) = = = m ( ∢QCB ) ⇒ 2 2 ⇒ ∢SPQ ≡ ∢QCB. Analog se tratează şi cazul A − Q − S .

(

)

(

deci

)

• Test 27: Partea I: 1. 7. 2.

A

B

C

H

3. d ( P; O ) . 4. 24. 5. Se construieşte un unghi drept şi se notează vârful său cu A . Pe laturile unghiului se iau punctele B şi C astfel încât AB = 4 cm şi AC = 7 cm.Se trasează segmentul de dreaptă BC . 6. S. 7. 7. 8. ∆AMB ≡ ∆AMC ( I .C.) ⇒ BM = CM . 85


Partea a II-a: 9. Fie B ', C ' proiecŃiile lui B, C pe AM . ∆BB ' M ≡ ∆CC ' M ( I .U .) ⇒ BB ' = CC '. 10. Fie triunghiul dreptunghic

(

)

' = 2 ⋅ 30 = 60. Deci ∆BAC ≡ ∆B ' AC ( C.C .) ⇒ BC = B ' C.m BCB triunghiul BB ' C este echilateral, de unde perimetrul triunghiului ∆BB ' C este egal cu 3 ⋅ ( 2 ⋅ 5 ) = 30cm. sunt înălŃimi, adică M este 11. În triunghiul BCT AC şi PT ortocentrul triunghiului BCT . Cum înălŃimile oricărui triunghi sunt concurente rezultă că BM este înălŃime în acelaşi triunghi, deci BM ⊥ TC. 12. Cazul 1. M − A − C , B − C − T , A − B − S . ∆BPT ≡ ∆CRM ( C .U .) ⇒ BT = CM ⇒ MA = CT .

∆TCM ≡ ∆MAS ( L.U .L.) ⇒ MT = MS , analog MT = ST , deci ∆SMT este triunghi echilateral. Cazul 2. A − M − C , B − T − C , A − S − B. Se tratează asemănător.

• Test 28: Partea I: 1. 5. 2. 3. 32 3. . 3 4. 17. 25 5. . 2 6. Se construieşte, de exemplu, un segment de 3 cm. Cu centrul în capetele segmentului, notate cu M şi P,se construiesc două cercuri de 86


raze 4 cm respectiv 5 cm. Unul din punctele de intersecŃie ale celor două cercuri se notează cu Q. 7. 150. 8. 15. Partea a II-a: 9. n = 5 x + 3, n = 12 y + 3, n = 15 z + 3; x, y, z ≠ 0.n − 3 = 5 x, n − 3 = 12 y, n − 3 = 15 z. Cum numărul trebuie să fie cel mai mic, înseamnă că n − 3 = [5,12,15] ⇒ n = 63. 10. Fie z numărul de zile. 240 − 18 z = 3 (188 − 15 z ) ⇒ z = 12.

 ≡ CAI . 11. ∆AIM ≡ ∆AIN ( L.L.L.) ⇒ BAI

∆AIB ≡ ∆AIC (U .LU . .) ⇒ [ AB ] ≡ [ AC ] ⇒ ∆ABC este isoscel.

12.

Fie l l l AB = l ∈ ℕ ⇒ l + + 2 + ... + n = 35840 ⇒ l ( 2n + 2n −1 + ... + 2 + 1) = 2 2 2 n +1 2 −1 = 2n ⋅ 35840 ⇒ l ⋅ = 2n ⋅ 35840 ⇒ l ( 2 n +1 −1) = 2n +10 ⋅ 5 ⋅ 7. Deoarece 2 −1 2 n+1 −1 este impar, nu poate fi decât 1,5,7 sau 35. Convine doar n = 2.

• Test 29: Partea I: 1. 60. 2. 1. 11 3. . 15 4. 2. 5. 53. 6. 3. 7. 55. 87


8. Se construieşte mai întâi un segment de lungime 9 cm şi se notează capetele segmentului cu A şi B. În acelaşi semiplan determinat de dreapta AB , cu vârfurile în A şi B se construiesc două unghiuri de măsuri 20 respectiv 40 . La intersecŃia celor două semidrepte va fi vârful C al triunghiului ∆ABC .

Partea a II-a: 9. 297 = n ⋅ x + 9,319 = n ⋅ y + 7, n > 9 ⇒ 288 = n ⋅ x,312 = n ⋅ y . Înseamnă că n trebuie să fie divizor comun al numerelor 288 şi 312, mai mare decât 9, deci n ∈ {12, 24} . 10. În mulŃimea A trebuie să fie numerele 10,15,...,105, dar să nu fie 110, deci 105 ≤ a < 110 ⇒ a ∈ {105,106,107,108,109}. 11. Fie E şi F picioarele perpendicularelor duse din mijlocul M al laturii BC pe laturile AB, AC ale triunghiului ABC.  ≡ FAM  , ceea ce înseamnă că mediana ∆AME ≡ ∆AMF ( C.I .) ⇒ EAM

din A este în acelaşi timp şi bisectoarea unghiului BAC , deci triunghiul ABC este isoscel. 13 a, a + 2b = 90. De aici 8 rezultă că m ( ∢AOB ) = 40 , şi m ( ∢XOB ) = 130 .

12. Fie m ( ∢AOB ) = a, m ( ∢AOE ) = b ⇒ a + b =

• Test 30: Partea I: 1. 1245. 4 2. . 3 3. 0. 4. c) supraunitară. 88


5. 105. 6. 78. 7. Se construieşte mai întâi un unghi de măsură 65 şi se notează vârful său cu R . Pe laturile unghiului se iau punctele S şi T astfel încât RS = 6 cm şi RT = 8 cm, apoi se unesc aceste două puncte. 8. 24.

Partea a II-a: 9. 14 + 14 = 28 km o cincime din drum. 28 ⋅ 5 = 140 km. 10. a) 10a + b − (10b + a ) = a ⋅ b + b ⇒ 9a − 9b = a ⋅ b + b ⇒

9a = a ⋅ b + 10b ⇒ 9a = b ( a + 10 ) .

b) Din punctul a) rezultă imediat că ab ∈ {53,84}.

(

 m ( BOC ) ) = 90 ⇒   11. + m ( BOC ) = 75 , m ( AOB ) + 2 2    3 ( m ( AOB ) + m ( BOC ) ) = 330 ⇒ m ( AOC ) = 330 : 3 = 110 .  m AOB











12. Fie m ( ∢AOB ) = a, m ( ∢BOC ) = b, m ( ∢COD ) = c, m ( ∢DOE ) = d , m ( ∢EOF ) = e .

a + b = c + d,b + c = d + e ⇒ a + b + d + e = b + c + c + d ⇒ ⇒ m ( ∢COD ) =

m ( ∢AOF ) − m ( ∢BOE ) 2

a+e =c⇒ 2

.

• Test 31: Concursul interjudeŃean “CongruenŃe”, Brăila, 2008 1. a) 7 + 7 2 + 73 = 7 ⋅ ( 7 0 + 71 + 7 2 ) = 7 ⋅ 57⋮57 . 89


b) Suma conŃine 2010 termeni, deci se pot forma 670 grupe de câte 3 termeni: S= 7 + 7 2 + 73 + ... + 7 2010 = 7 ⋅ ( 7 0 + 71 + 7 2 ) + ... + 7 2008 ⋅ ( 7 0 + 71 + 7 2 ) S= 57 ⋅ 7 ⋅ ( 70 + 73 + ... + 7 2007 )⋮399 .

2. AB AB 1  1 AB + + ... + n = AB ⋅  1 + + ... + n 2 2 2  2

1 1 − n +1 2n +1 − 1  2 = AB ⋅ = AB ⋅  1 2n  1− 2

2n +1 − 1 ∈ ℕ ⇒ există k ≥ n, k ∈ ℕ şi 2n astfel încât AB = 2k ⋅ p ; 35840 = 210 ⋅ 5 ⋅ 7 .

AB ∈ ℕ, AB ⋅

p∈ℕ ,

p impar,

2n +1 − 1∈ {1,5, 7,35} , n ≥ 2 ⇒ n = 2 .

(

2

)

3. Avem ab = 100a + bc bc + 1 .

( ) = {0;1; 4;9;6;5} , U (100a + bc (bc + 1)) = {0; 2;6} şi b ≠ 0 ⇒

Din U ab

2

b ∈ {4;6} .

2

2

Dacă b = 4 , relaŃia devine a 4 = 100a + 4c + 4c . Pentru a = 4 ⇒ c ∈ {2;7} care nu verifică relaŃia.

(

)

2

Pentru a = 5, avem U 4c + 4c ≠ 5 , deci nu verifică relaŃia. Pentru a = 6 , 642 > 900 + 492 + 49 , în acest caz nu avem soluŃii. 2

2

Dacă b = 6 , relaŃia devine a 6 = 100a + 6c + 6c .

(

)

Pentru a = 6 , avem c ∈ {2;7} şi 662 ≠ 600 + 6c ⋅ 6c + 1 .

Pentru a = 7, 762 > 900 + 692 + 69 , deci nu se verifică relaŃia.

90


• Test 32: Olimpiada judeŃeană de matematică, Brăila, 2008 9 ⋅ 10 1. a) Avem 1 + 2 + 3 + ... + 9 = = 45, deci A1 A10 = 45 cm. 2 b) Notăm cu M şi N mijloacele segmentelor [ A1 A4 ] , respectiv [ A7 A10 ]. 1 1 A1 A4 = 3 cm şi NA10 = A7 A10 = 12 cm . 2 2 În final, MN = A1 A10 − A1 M − NA10 = 45 cm − 3 cm − 12 cm = 30 cm.

Atunci A1 M =

2. a) Numărul 20 este "miraculos" deoarece 20 = 22 + 42 şi 2, 4 ∈ D20 . b)

Pentru

fiecare

20k = ( 2k ) + ( 4k ) 2

2

2

şi

k ∈ ℕ* ,

cum

avem

2k , 4k ∈ D20 k 2 ,

obŃinem o infinitate de numere miraculoase, adică cel puŃin 2008. 3. Construim AD ⊥ BC , D ∈ BC. ∆ABD ≡ ∆ACD (I.C.) Din ∢BAD ≡ ∢CAD .

rezultă

△ APB ≡△ AQC (L.L.L.) deci ∢PAB ≡ ∢QAC . Din ∢BAD ≡ ∢CAD şi ∢PAB ≡ ∢QAC rezultă că ∢PAD ≡ ∢QAD. △ APQ

este isoscel de bază [PQ] şi ∢PAQ , deci AD ⊥ PQ.

[ AD

este bisectoarea unghiului

Fie SB ∩ AD = {M } . Avem ∢SPQ ≡ ∢SBC (au acelaşi complement, ∢BMD ). Dar ∢PBC ≡ ∢QCB (diferenŃe de unghiuri congruente). Deducem că ∢SPQ ≡ ∢QCB. 4. a) Fie d ∈ ℕ* cel mai mare divizor comun al numerelor p şi q. Atunci   d p  ⇒ d aq + 1 p aq + 1  ⇒ d 1.  d q ⇒ d aq  * Cum d ∈ ℕ , rezultă că d = 1, adică ( p, q ) = 1. 91


b) Avem p aq + 1  ⇒ p ap + aq + 1 p ap 

şi q ap + 1  ⇒ q ap + aq + 1 . q aq  Cum p şi q sunt prime între ele, deducem că pq ap + aq + 1, de unde obŃinem că pq − 1 pq ≤ ap + aq + 1 ⇔ a ( p + q ) ≥ pq − 1 ⇔ a ≥ . p+q

• Test 33: Olimpiada judeŃeană de matematică, Brăila, 2007 1. A conŃine 20 elemente În condiŃiile problemei, mulŃimea A trebuie să conŃină elementele:10; 15;20; 25; …; 105. Deci a ∈ {105;106;107;108;109}.

( )

2. 20 ⋅a + 2 ⋅ b = 2 ⋅ (10a + b ) = 2 ⋅ ab sau abb = ab ab

2 ab

⇒ abb = ab

2

2

sau 10 ⋅ ab + b = ab ⇒ b⋮ ab ⇒ b = 0 şi a = 1 ⇒ ab = 10. 3. ∆BDP dreptunghic isoscel ⇒ m ( ∢DBP ) = 45 (1)

∆CDQ dreptunghic isoscel ⇒ m ( ∢DCQ ) = 45 (2) Din (1) şi (2) obŃinem BP ⊥ CQ ⇒ P este ortocentrul triunghiului

BCQ, deci CP ⊥ BQ.

4. Fie AB=a şi BC=b. ∆DEF isoscel ( m ( ∢EDF ) = 120 şi m ( ∢DEF ) = 30 ) ⇒ DF=DE=a+b .

∆DEP

isoscel ( m ( ∢DEP ) = 120 şi m ( ∢PDE ) = 30 ) ⇒ EP=DE=a+b .

Din U.L.U.

⇒ ∆ DBF ≡ ∆ EBP ⇒ 92

DB=BE.


• Test 34: Olimpiada locală de matematică, GalaŃi, 2007

2 4 4 2 + = 2⇒ = 2− . 3 3 3 3 3 5 5 3 + = 2⇒ = 2− . 4 4 4 4 ...................................

1.

1004 1006 1006 1004 + =2⇒ = 2− . 1005 1005 1005 1005 Însumând aceste relaŃii se va obŃine:

4 5 1006 1004  2 3 + + ... + = 2 ⋅1003 −  + + ... . 3 4 1005 1005  3 4 Deducem că a = 1 şi x = 4096. 2. Notăm m ( ∢AOC ) = 2a , m ( ∢AOD ) = 2b .

Avem m ( ∢AOE ) = m ( ∢COE ) = a şi m ( ∢AOP ) = m ( ∢DOP ) = b . Cu notaŃiile făcute, avem 2a + 2b = 1800 ⇒ a + b = 900 . m ( ∢BOC ) = m ( ∢AOD ) = 2b (unghiuri opuse la vârf)

m ( ∢BOE ) = 1200 ⇒ m ( ∢BOC ) + m ( ∢COE ) = 1200 ⇒ 2b + a = 1200 .

De aici se va obŃine a = 600 , b = 300 . Cum [OF este bisectoarea ∢AOE , înseamnă a m ( ∢AOF ) = m ( ∢EOF ) = = 300 . 2 m ( ∢BOF ) = m ( ∢BOE ) + m ( ∢EOF ) = 1200 + 300 = 1500 . 3.

Notăm

a+b=c.

Vom

avea

ab = m ⋅ c, ba = n ⋅ c

unde

m, n ∈ ℕ*, ( m, n ) = 1 . ab + ba = c ( m + n ) ⇔ 11( a + b ) = c ( m + n ) ⇔ 11( a + b ) = ( a + b )( m + n ) . Cum a+b≠0, vom obŃine m + n = 11 , deci ( m, n ) ∈ {(1, 10 ) ; ( 2, 9 ) ; ( 3, 8) ; ( 4, 7 ) ; ( 5, 6 )} . 93


Din ab = m ⋅ c, ba = n ⋅ c , obŃinem 10a + b = ma + mb (10 − m ) a + (1 − m ) b = 0 ⇒ .  10b + a = na + nb (1 − n ) a + (10 − n ) b = 0 łinând acum seama de faptul că m + n = 11 , se observă că cele două relaŃii din sistem sunt echivalente. Pentru m = 1 ⇒ 9a = 0 ⇒a = 0, nu convine. Pentru m = 2 ⇒ 8a = b ⇒ a = 1 şi b = 8 ⇒ ab = 18

Pentru m = 3 ⇒ 7a = 2b ⇒ a = 2 şi b = 7 ⇒ ab = 27 Pentru m = 4 ⇒ 6a = 3b ⇒ 2a = b ⇒ ab ∈ {12, 24, 36, 48} .

Pentru m = 5 ⇒ 5a = 4 ⇒ a = 4 şi b = 5 ⇒ ab = 45 . În concluzie, ab ∈ {12, 21, 18, 81, 24, 42, 27, 72, 36, 63, 45, 54, 48, 84}. 4. Divizorii naturali ai numărului A sunt:

k + 1 numere

1, 2, 22 , ... 2k 3, 3 ⋅ 2, 3 ⋅ 2 , ... 3 ⋅ 2 2

k

k + 1 numere

........ 3 p , 3 p ⋅ 2, 3 p ⋅ 22 , ... 3 p ⋅ 2k k + 1 numere În total sunt p + 1 astfel de linii de divizori. Înseamnă că, numărul A are ( k + 1)( p + 1) divizori naturali. b) Dacă ar exista n ∈ ℕ * , n ≤ 100 , astfel încât n 2 să aibă de două ori mai mulŃi divizori naturali decât

n , atunci considerăm

n = p1m1 ⋅ p2 m2 ⋅ ... pk mk este descompunerea în factori primi a lui n , m1 , m2 , ... mk ∈ ℕ*, p1 , p2 , ... pk

numere

94

prime,

atunci

numărul


divizorilor lui n este ( m1 + 1)( m2 + 1) ... ( mk + 1) iar numărul divizorilor lui n 2 este ( 2m1 + 1)( 2m2 + 1) ... ( 2mk + 1) . CondiŃia din enunŃ devine: 2 ( m1 + 1)( m2 + 1) ... ( mk + 1) = ( 2m1 + 1)( 2m2 + 1) ... ( 2mk + 1) . Pe de altă parte:

( 2m1 + 1)( 2m2 + 1) = 4m1m2 + 2m1 + 2m2 + 1 = = 2m1m2 + 2m1 + 2m2 + 2 + 2m1m2 − 1 =

= 2 ( m1 + 1)( m2 + 1) + 2m1m2 − 1 > 2 ( m1 + 1)( m2 + 1) . Avem 2m1m2 > 1 deoarece m1 , m2 ∈ ℕ * . Înseamnă că, pentru k ≥ 2 :

( 2m1 + 1)( 2m2 + 1) > 2 ( m1 + 1)( m2 + 1) 2m3 + 1 > m3 + 1 ..... 2mk + 1 > mk + 1. De aici va rezulta că:

( 2m1 + 1)( 2m2 + 1) ... ( 2mk + 1) > 2 ( m1 + 1)( m2 + 1) ... ( mk + 1) Pentru k = 1, n = p1m1 , n 2 = p12 m1

2m1 + 1 = 2 ( m1 + 1) (imposibil).

95

şi condiŃia din enunŃ devine


BIBLIOGRAFIE 1. Bălăucă, Artur şi colaboratorii, Aritmetică, algebră,geometrie. Auxiliar la manualele alternative, clasa a VI-a, Editura Taida, Iaşi, 2007 2. Centrul pentru educaŃie şi dezv. CreativităŃii, Teste pentru AbilităŃi Intelectuale Generale, C.E.D.C., Bucureşti, 1991 3. Crăciun, Gheorghe şi alŃii, Duelul matematic, Editura Tiparg, Piteşti, 2007 4. Crăciun, Gheorghe şi alŃii, Maratonul Matematic, Editura Tiparg, Piteşti, 2009 5. Eckstein, Ghe. Giurgiu, D.B. şi alŃii, Olimpiadele şi concursurile de matematică V-VIII 2008, Ed. Bîrchi, Timişoara, 2008 6. Petrică, Ion şi alŃii, Matematică, manual pentru clasa a VI-a, Editura Petrion, Bucureşti, 1998 7. Roşu, Ion şi alŃii, Matematică: clasa a VI-a, semestrul I, Editura Tiparg, 2007 8. Stănică, Nicolae Cătălin, Gauzin, Ana, Fătu, Nicolae, Testarea naŃională 2004, Editura Olimpiada, Brăila, 2004 9. Turcitu, George şi alŃii, Matematică, manual pentru clasa a VIa, Editura Radical, Drobeta Turnu Severin, MehedinŃi, 1999 10. www.sorinborodi.ro

96


CUPRINS

Capitolul 1 EVALUĂRI INIłIALE Capitolul 2 MULłIMEA NUMERELOR NATURALE Capitolul 3 MULłIMEA NUMERELOR RAłIONALE POZITIVE Capitolul 4 DREAPTA Capitolul 5 UNGHIURI Capitolul 6 CONGRUENłA TRIUNGHIURILOR Capitolul 7 PERPENDICULARITATE Capitolul 8 MODELE PENTRU TEZĂ Capitolul 9 OLIMPIADE ŞI CONCURSURI Capitolul 10 SOLUłII ŞI SUGESTII DE REZOLVARE

EnunŃuri

SoluŃii

5

52

8

54

14

60

23

69

29

73

37

80

43

85

45

86

49

89

52

BIBLIOGRAFIE

96

CUPRINS

97

Sugestii şi observaŃii se pot transmite pe adresa: evaluarelamatematica@yahoo.com

97


Evaluare la matematica