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UNIDAD EDUCATIVA FISCOMISIONAL “SANTO TOMÁS APÓSTOL RIOBAMBA”

INTEGRANTES: CRISTÓBAL BONIFAZ JHONATAN PAGUAY STALIN MASSON CURSO: 3º DE BACHILLERATO “B” TEMA: GEOMETRÍA ¿CÓMO MEDIR LA TIERRA?

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ÍNDICE Introducción ………………………………………………………………………………………….3 Objetivos generales ………………………………………………………………………………..4 Para que nos ayuda saber Geometría …………………………………………………………...5 Medición de objetos de gran tamaño usando sombras……………………………………….6 Eratóstenes Matemático, Astrónomo, Geógrafo……………………………………………….8 Eratóstenes mide el radio de la tierra…………………………………………………………...9 El Inti Raymi………………………………………………………………………………………...12 Los solsticios y los equinoccios………………………………………………………………...12 En Ecuador en qué fecha el sol cae en forma perpendicular……………………………...14 La colaboración en los proyectos científicos…………………………………………………14 Ejecución de la medición y análisis de resultados…………………………………………...14 Conclusiones……………………………………………………………………………………….15 Bibliografía …………………………………………………………………………………………15

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INTRODUCCIÓN.

La  geometría,  es  una  rama  de  la  matemática  que  se  ocupa  del  estudio  de  las  propiedades  de las  figuras  en  el  plano  o  el  espacio,  incluyendo:  puntos,  rectas,  planos,  politopos.  Es  la  base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico.

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OBJETIVO GENERAL

El  objetivo  de  la  Geometría  es  estudiar,  medir  y  calcular  las   figuras,  los  cuerpos  y  las características  de  los  mismos.  Además  busca  estudiar  las  relaciones  matemáticas  entre puntos, rectas, ángulos, superficies, sólidos, etc. Un  objetivo  del  informe  es  hacer una estimación del radio terrestre siguiendo el método que usó Eratóstene.

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Para que nos ayuda saber Geometría. Se  ocupa  de  las  propiedades  del  espacio,   como  son:  puntos,  rectas,  planos,  polígonos, poliedros,  curvas,  superficies,  etc.  Sus  orígenes  se  remontan  a  la  solución  de  problemas concretos  relativos  a  medidas  y  es la justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo el compás, el teodolito y el pantógrafo. Así  mismo,  da  fundamento  teórico  a  inventos  como  el   sistema  de  posicionamiento  global  (en especial  cuando  se  la  considera  en  combinación  con  el análisis matemático  y sobre  todo  con las  ecuaciones  diferenciales)  y  es  útil  en  la  preparación  de  diseños  (justificación  teórica  de  la geometría descriptiva, del dibujo técnico e incluso en la fabricación de artesanías).

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Medición de objetos de gran tamaño usando sombras. Lo  que  pasa  es  que  los  rayos  del  Sol  son  paralelos  entre  sí,  más  los  rayos  del  farol  no  lo  son. Esta  última  parte  queda  clara,pero  ¿cómo  pueden   ser  paralelos  los  rayos  del  Sol,  si  ellos  se cruzan entre sí en el punto de donde parten?

Los  rayos   de   Sol  que caen   sobre  la  Tierra  se  pueden  considerar  paralelos,  porque  el  ángulo  entre  ellos  es  tan pequeño, que prácticamente  resulta  imperceptible.  Un  simple  cálculo geométrico puede aclarar esta  confusión.  Imagínese  que  salen  dos  rayos  desde  cualquier  punto  del  Sol  y  caen  sobre  la

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Tierra  a   una   distancia  aproximada  de  un  kilómetro  entre   ellos.   Ahora  bien,  si  colocamos  una punta  del compás  sobre el  Sol  y  trazamos  una  circunferencia  de radio igual a la distancia entre el  Sol  y  la  Tierra  (150.000.000  km),  nuestros dos rayos –radios de  la circunferencia– tienden un arco de un kilómetro de longitud. La longitud total de esta gigantesca circunferencia es igual a: L = 2 x π x 150.000.000 = 940.000.000 km Un  grado  de  esta circunferencia,  evidentemente,  es  360 veces  menor, es decir, que mide unos 2.600.000  km;  un minuto de  arco  es 60 veces menor que el grado, o sea que mide unos  43.000 km,  y  un  segundo  de arco  es 60 veces menor, o  sea que mide unos 720 km. Pero nuestro arco tiene   la  longitud  de  1  km;  es  decir,  corresponde  a  un  ángulo  de  1/720  segundos.  Ese  ángulo resulta  imperceptible,  incluso  para  los  instrumentos  astronómicos;   por  lo  tanto,  podemos considerar que los rayos de Sol caen a la Tierra en forma paralela.

No  podemos  argumentar  el  método  examinado  sin  efectuar  las  correspondientes consideraciones geométricas, estableciendo la proporción entre la altura y su sombra. Si  llevamos  a  la  práctica el método de las sombras, constataremos su  inexactitud.Las sombras tienen  un  contorno  difuso  por  lo  cual  no   se  pueden  delimitar  con  precisión;  por  lo  que  su demarcación carece de exactitud. Esto  ocurre,  porque  el  Sol  no  es  un  punto  sino  un  gran  cuerpo luminiscente,  que  emite  rayos desde varios puntos. La  Figura  muestra  que  a  la  sombra  BC  del  árbol  se  le  suma  la   sombra   CD  debida  a  la penumbra,  la  misma  que  se  va  desvaneciendo  progresivamente.  El  ángulo  CAD  entre  los límites  de  la  penumbra corresponde al ángulo en el que siempre podemos ver el disco del Sol, y mide   aproximadamente  medio  grado.  Debido  a  que  tenemos  dos  sombras,  se  presenta  un 7


error.  Si  la posición del sol es baja, este error hace que la medida se desvíe de su valor un 5% ó más. A  este  error  se  le   unen  otros,  por  ejemplo,  los  accidentes  del  terreno,  y  el resultado  es  poco preciso. En sitios montañosos no se puede aplicar este método.

Eratóstenes Matemático, Astrónomo, Geógrafo. Eratóstenes (Cirene, 276 a. C. – Alejandría, 194 a.  C.)  fue un matemático, astrónomo y geógrafo griego, de origen cirenaico. Eratóstenes  era  hijo  de  Aglaos.  Estudió  en   Alejandría  y  durante  algún  tiempo  en  Atenas.  Fue discípulo  de  Aristón de Quíos, de Lisanias de Cirene y  del  poeta Calímaco y también gran amigo de  Arquímedes.  En  el  año  236  a.  C.,  Ptolomeo  III  le  llamó  para  que  se  hiciera  cargo  de  la Biblioteca  de  Alejandría,  puesto  que  ocupó  hasta  el  fin  de  sus  días.  La  Suda  afirma  que,  tras perder  la  vista,  se  dejó  morir  de  hambre  a  la  edad  de  80  años;  sin embargo,  Luciano  dice  que llegó a la edad de 82 años; también Censorino sostiene que falleció cuando tenía 82 años. Eratóstenes  poseía  una  gran variedad de conocimientos y aptitudes para el estudio. Astrónomo, poeta,  geógrafo  y  filósofo,  su  apellido  fue   Pentathlos,  nombre  que  se  reservaba  al  atleta vencedor  en  las cinco competiciones  de  los  Juegos  Olímpicos.  Suidas  afirma  que  también era conocido  como  el  segundo  Platón  y  diversos  autores  dicen  que  se le  daba  el  sobrenombre  de Beta,  por  la  segunda  letra  del  alfabeto   griego,  porque  ocupó  el  segundo  lugar   en  todas  las ramas de la ciencia que cultivó.

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Eratóstenes mide el radio de la tierra. Una   de  sus   principales  contribuciones  a  la  ciencia  y  a   la  astronomía  fue  su  trabajo  sobre  la medición  de  la  Tierra.  Estando  en  la  Biblioteca  de  Alejandría,  encontró  un  informe  de observaciones  sobre  Siena,  ciudad  situada  a  unos  800  Km.  al sur  de  Alejandría,  en  el  que  se decía  que  el  día  del  solsticio de  verano  (21 de  junio) a mediodía, los objetos (como por ejemplo, los  obeliscos)  no  producían  sombra  y  en  el  fondo  de  los  pozos  podía  verse  la  luz  del  sol.  Esto se  debe  a que está  ciudad está sobre la línea del trópico (en realidad, 33' al norte del Trópico de Cáncer)

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Las  únicas  herramientas  de  Eratóstenes  fueron  palos,  ojos,  pies y  cerebro,  y además  el  gusto por  la  experimentación. Con  estos  elementos  dedujo  la  circunferencia  de  la Tierra  con un error bastante pequeño, lo que constituye un logro notable para el año en que tuvo lugar. Otros  logros   suyos  son:  la  creación  de  uno  de  los  calendarios  más  avanzados de  su  época  y una  historia  cronológica  del  mundo  desde  la   guerra  de  Troya.  Realizó  investigaciones  en geografía  dibujando  mapas  del  mundo  conocido, grandes  extensiones  del  río  Nilo  y describió la región de Eudaimon, actual Yemen, en Arabia. Suidas  afirma   que,  desesperado  tras  perder  la   vista,   se  dejó  morir  de  hambre  a  la  edad  de ochenta años (año 194 a.C., en Alejandría)

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Revise con detenimiento el Experimento 1 del Documento 7 libro6_medicion_tierra.pdf (pags 8, 9, 10) y póngalo en práctica con sus compañeros, describa el procedimiento, capture fotos del experimento y añada a este informe

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El Inti Raymi ¿Qué es el Inti Raymi, porqué y en qué fecha se celebra? Inti  Raymi  (en quechua ‘fiesta del Sol’) es una antigua ceremonia religiosa andina en honor al Inti (el padre sol), que se realiza cada solsticio de invierno en los Andes. Durante  la  época  de  los  Incas,  el  Inti  Raymi  era  el  más  importante   de  los  cuatro  festivales celebrados  en  el  Cusco  ,  según  relata el Inca Garcilaso de la Vega (1539­1616), que  significaba el  inicio  de  una nueva  etapa, el "tiempo circular  inca"(debido no concebían el tiempo como lineal sino  como  un  círculo  cronológico)  así  como  el  origen  mítico  del  Inca,quien  fuese enviado por el Sol(como  dios  ordenador  de  las  acciones  de  las  poblaciones  del  antiguo  mundo).  Su celebración  duraba  15  días,  en  los  cuales  había  danzas,  ceremonias  y  sacrificios.  El último Inti Raymi con la presencia del Inca fue realizado en 1535. En  1572  el  virrey  Francisco  Álvarez  de  Toledo  (1515­1584)  la  prohibió  por  considerarla  una ceremonia  pagana  y  contraria  a  la  fe  católica.   Se  siguió  realizando  de  manera  clandestina, como protesta a la " extirpación de idolatrías" En  1944,  Faustino  Espinoza  Navarro  efectuó  una  reconstrucción  histórica  del  Inti  Raymi.  La reconstrucción   se  basa  en la  crónica  de  Garcilaso  de  la  Vega  y sólo  se  refiere  a  la  ceremonia religiosa.  Desde  esa fecha  en  adelante,  la  ceremonia  vuelve  a  ser  un evento  público  y  de  gran atractivo turístico. Aunque  hoy  conocemos a  esta  celebración  con  su  nombre  quechua  de  Inti  Raymi,  en  realidad se  trata  de   una  festividad  común  a  muchos  pueblos  prehispánicos  de  los  Andes,  y  que seguramente precede con mucho a la formación del Imperio incaico. El  Inti  Raymi  aún  se  celebra  como  rito  sincrético  en  muchas  comunidades  andinas.  En  el callejón  interandino  septentrional  del  Ecuador,  por  ejemplo,  el  conjunto  de  festividades relacionadas  abarca  todo  el mes de junio  y parte de julio, teniendo cada ciudad sus propios  ritos y  costumbres,  y  llegando  a  paralizarse  la  vida  cotidiana  como  efecto  de las celebraciones, que toman las avenidas noche y día.

Los solsticios y los equinoccios ¿Qué son los solsticios y que los equinoccios? Los  solsticios  (del  latín  solstitium  (sol  sistere),  "Sol  quieto")  son  los  momentos  del  año  en  los que  el  Sol  alcanza  su  mayor  o  menor  altura  aparente  en  el cielo, y  la  duración  del  día  o  de  la noche  son  las  máximas  del  año,  respectivamente.  Astronómicamente,  los  solsticios  son  los momentos  en  los  que  el Sol alcanza la máxima declinación norte (+23º 27’) o sur  (−23º 27’) con respecto al ecuador terrestre. En el solsticio de verano del hemisferio Norte el Sol alcanza el  cenit al mediodía sobre el Trópico de  Cáncer  y   en  el  solsticio  de  invierno  alcanza  el  cenit   al  mediodía  sobre  el  Trópico  de Capricornio.  Ocurre  dos  veces  por  año:  el  20  o  el  21  de  junio  y  el 21  o el  22  de  diciembre  de cada año. En  el  solsticio  de  verano  del  hemisferio  Sur  el  Sol  alcanza  el  cenit al mediodía sobre el Trópico de  Capricornio,  y  en  el  solsticio  de  invierno  alcanza  el  cenit  al  mediodía  sobre  el  Trópico  de 12


Cáncer.  Ocurre  dos  veces  por  año: el  20  o  el  21  de  diciembre  y  el 21  o el  22  de  junio  de cada año. A lo largo del año la posición del Sol vista desde la Tierra se mueve hacia el Norte y hacia el Sur. La  existencia  de  los  solsticios  está  provocada  por  la  inclinación  del  eje  de  la  Tierra  sobre  el plano de su órbita. En  los   días  de  solsticio,  la  duración  del  día  y  la  altitud  del  Sol  al  mediodía  son  máximas  (en  el solsticio  de  verano)  y  mínimas  (en  el  solsticio  de  invierno)  comparadas  con  cualquier otro  día del  año.  En la  mayoría  de las culturas antiguas  se celebraban festivales conmemorativos de los solsticios. En  zonas  templadas,  las fechas de los solsticios son idénticas a las del paso astronómico de la primavera  al  verano  y  del  otoño  al  invierno.  Las fechas del solsticio de invierno y del solsticio de verano están invertidas en ambos hemisferios. Solsticio es un término astronómico relacionado con la posición del Sol en el ecuador celeste. Se  denomina  equinoccio  al  momento  del  año  en que el Sol está situado en el plano del ecuador terrestre.  Ese  día  y  para  un  observador  en  el  ecuador   terrestre,   el  Sol  alcanza  el  cenit.  El paralelo  de  declinación  del  Sol  y  el  ecuador  celeste  entonces coinciden.  La  palabra  equinoccio proviene del latín aequinoctium y significa «noche igual».2 Ocurre  dos  veces  por  año:  el  20  o  21  de  marzo  y  el  22  o  23  de  septiembre  de  cada  año,3 épocas  en  que  los  dos  polos  de  la Tierra se encuentran a igual distancia del Sol, cayendo  la luz solar por igual en ambos hemisferios. En  las   fechas  en  que  se  producen  los  equinoccios,  el  día  tiene  una  duración  igual  a  la  de  la noche  en  todos  los  lugares  de  la  Tierra.  En  el  equinoccio  sucede  el  cambio  de  estación  anual contraria en cada hemisferio de la Tierra.

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En Ecuador en qué fecha el sol cae en forma perpendicular En el ecuador el Sol sale a los 23° Sur, por el Este. Culmina al Sur, donde alcanza su altitud máxima: 68°. Se pone a los 23° Sur, en el Oeste. Permanece sobre el horizonte durante 12 horas. Es en el solsticio de invierno que es en el mes de Diciembre

La colaboración en los proyectos científicos La  DFG  fomenta   proyectos  de  investigación  que  están  a  cargo  de  científicos  alemanes  y  le entrega  los  fondos  para  realizar  la  cooperación internacional con otros científicos. El objetivo es promover la cooperación en el marco de proyectos de investigación de alto valor científico. La  DFG  se  hace  cargo  de  aportar  recursos  correspondientes  a  la parte alemana, mientras que se espera cofinanciamiento del proyecto correspondiente al país de la contraparte. Un  Grupo  de   Investigadores  está  constituido  por  un   equipo  de  investigadores  que  trabaja  en conjunto  en  un  proyecto que se extiende más  allá de las opciones de financiamiento disponibles en  los  Programas  Individuales  o  Programas  Prioritarios,  en  términos  de  enfoque  temático, duración   y  finanzas.  Unidades  de  Investigación  proveen  el  personal  y  recursos  materiales necesarios   para  realizar  proyectos  cooperativos  intensivos   y  a  mediano  plazo  (generalmente seis  años).  Las   Unidades  de  Investigación  frecuentemente  contribuyen  a  establecer  nuevas líneas de investigación. Los  Centros  Colaborativos  de  Investigación  son  centros  de  investigación  pertenecientes  a universidades  proyectados  a  largo  plazo,  en  los  cuales  científicos  e  investigadores  trabajan juntos en un programa de investigación interdisciplinario.

Ejecución  de  la  medición  y  análisis  de  resultados:  Descripción  de  cómo  realizaron  la medición  y  los  cálculos  respectivos  para obtener el resultado de la medición de la tierra y cálculo de objetos de gran altura usando sombras. Asumió  de  manera  correcta  que  el  Sol  se  encontraba  a  gran  distancia  y  que  sus  rayos,  al alcanzar  la  tierra,  lo  hacían  en  forma  (prácticamente)  paralela.  Esto  ratificaba  su idea de que la superficie  de  la  Tierra  era  curva  pues,  de  haber  sido  plana,  no  se  hubiese  producido  esta diferencia  entre  las  dos  ciudades.  El  siguiente  paso  fue  medir  en  Alejandría  el  ángulo  que formaban  los   rayos  del  sol  con la  vertical  que  por  construcción  es  igual  al  ángulo  cuyo  vértice está  en  el  centro  de  la  Tierra  (ver  gráfico  superior).  Este  ángulo  resulto  ser  de  7º 12'  (  =  7'2º) que  unido  al  hecho  conocido  de  que  la  distancia  entre  las  dos  ciudades  era  de  5.000 estadios, dieron  como  conclusión que la circunferencia de la Tierra medía  360∙5000/7'2; es decir,  250.000 14


estadios.  Aunque  no  se  tienen  datos  exactos,  se   sabe  que  el  estadio  equivale  a  unos  160m (actualmente  se  suele  tomar  158m).  Por  tanto,  250.000   estadios  son  aproximadamente 250.000*160/1000  =  40.000  Km.  Esto  equivale  a  un  radio de 6.366 Km. o 6.286 si tomamos los 158m, contra los 6.371 Km. que son los admitidos hoy en día.

Conclusiones: ● ●

Llegamos a la conclusión de que la Tierra era esférica El  estudio  realizado por  Eratóstenes  para realizar  la medición de la tierra a dado un gran aporte a la ciencia. ●   Bibliografía: http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa http://es.wikipedia.org/wiki/Eratóstenes http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/practica/eratostenes.htm http://www.astromia.com/biografias/eratostenes.htm http://www.librosmaravillosos.com/geometriarecreativa/capitulo01.html http://www.buenastareas.com/ensayos/Trabajo­Colaborativo­3­Algebra­Trigonometria­y/2 6673548.html http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/practica/eratostenes.htm

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Geometría  

integrantes: cristobal bonifaz , jhonatan paguay , stalin masson trabajo de investigación / geometría

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