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组合数学学习笔记(3):二项式定理 ssdf93 June 3, 2011

目 录 1 前言

1

2 Pascal公 公式

1

3 重要的公式

2

4 组合证明法

3

5 二项式定理

4

6 多项式定理

5

7 牛顿二项式定理

5

8 后记

7

1

前言 上次,我们探讨了如何生成排列和组合,以及逆序列的一些问题. 这次,我们将一起讨论二项式定理和多项式定理。

2

Pascal公 公式

Pascal公式:       n n−1 n−1 = + k k k−1 这个公式有多种证明方法,我们介绍两种. 证明1: ,然后展开,证明方法略。 用公式法,将左边的式子乘以 (n−k)+k n 证明2:  用组合证明法, nk 表示从n个数的k-组合总数,假设x在这n个数中,则选择的方  案可分为有x的组合和没x的组合,没x的组合满足 n−1 k 个,而有x的组合,满

1


n−1 k−1



个。从而,上述等式得证。

另外还有3个公式,很容易证明。     n n = k n−k     n n−1 k =n k k−1       n n n + + ··· + = 2n 0 1 n

重要的公式

3

对于Pascal公式,我们进行更加深刻的讨论:       n n−1 n−1 = + k k k−1 对于右边的第一项,我们可以迭代运用Pascal公式,继续展开。       n n−1 n−1 = + k k k−1       n−2 n−2 n−1 = + + k k−1 k−1         n−3 n−3 n−2 n−1 = + + + k k−1 k−1 k−1 = ···         0 0 1 n−1 = + + + ··· + k k−1 k−1 k−1 因为

0 k



= 0所以有:   n−1 X t  n = k k−1 t=0

如果我们将n替换为n+1,k替换为k+1,则有:   X n   n+1 t = k+1 k t=0

2


对于右边的第二项,我们也可以迭代运用Pascal公式,继续展开。       n n−1 n−1 = + k k−1 k       n−2 n−2 n−1 = + + k−2 k−1 k         n−3 n−3 n−2 n−1 = + + + k−3 k−2 k−1 k = ···           n−k−1 n−k−1 n−k n−2 n−1 + = + + + ··· + −1 0 1 k−1 k  由于 n−k+1 = 0,并且用n+k+1替换n,有 −1 

4

n+k+1 k

 =

 k  X n+t t

t=0

组合证明法

在前面,我们初次运用了组合证明法,证明了Pascal公式,这一小节,我们一 起再次讨论这个方法。 下面,给出几个公式,我们都尝试用组合证明法证明。 n  2 X n k=0

k

 =

2n n



等式的右边,表示的是从2n个元素的集合的n-组合个数,那么,我们可以这样 考虑,从前n个中选择k个,从后n个中选择n-k个。k可以为0到n的任意数,根  n  2 据乘法原理,前n个选k个,后n个选n-k个的总方案数为 nk n−k = nk ,再根据 加法原理,得到左式,于是等式成立。那么对应更一般的形式    r   X m n m+n = k r−k r

r ≤ min(m, n)

k=0

可以用类似的方法证明。 第二个等式:       n r n n−k = r k k r−k

n≥r≥k

等式左边表示从n个元素中选择r个,再从r个元素中选择k个,等式右边是直接  从n个元素中选择k个,为什么要乘以 n−k r−k 呢?因为,对于集合{1, 2, 3, 4},子 集{1, 2}可能是从{1, 2, 3}选择来的,也可能是从{1, 2, 4}选择来的,所以对于 子 集{1, 2}, 它 可 能 有 多 种 不同 的 来 历 , 于 是 , 我 们 相 当 于 , 在 剩 下 的 部 分(n − k部分)找到了我们在 kr 中没有被选择的r − k部分。于是等式成立

3


第三个等式: k

    n n−1 =n k k−1

等式左边,可以表示为从n个人中选择k个人出来,组成一队,然后在这k个人 中选择一个队长的总方案数。 等式右边,可以先从n个人中选择1个人当队长,然后再从剩下的n-1个人当中选 择一个人当他的队员。 故等式成立

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二项式定理

二项式定理我们在高中就接触过了,公式如下: n   X n n−k k (x + y)n = x y k k=0

其中 k 叫做二项式系数。 二项式定理的证明可以用数学归纳法证,也可以这样分析: (x+y)n = (x+y)(x+y) · · · (x+y),对于展开后得到多项式的其中一项,xi y j 一 定存在i + j = n i n−i 所以对于每一个x y 来说,它是从n个(x+y)中的选出i项x,其余的都是都   n 选y,有 i 个,于是xi y n−i 的系数为 ni ,然后对每一项求和,故上式得证.  n

当令y=1时,该公式为: n

(1 + x) =

n   X n k=0

当x=y=1时,就证明了公式

n 0



+

n 1



k

xk

+ ··· +

n n



= 2n

令x=1,y=-1时,有         n n n n n − + − · · · + (−1) =0 0 1 2 n 将负号项移到等式右边,有:         n n n n + + ··· = + + ··· 0 2 1 3

(n ≥ 1)

(n ≥ 1)

转换成文字描述就是,S的具有偶数个元素的组合的个数的和等于奇数个的个 数和,值都为2n−1 . 容易观察到,二项式系数具有单峰性,即当n为偶数时           n n n n n < < ··· < > ··· > 0 1 n/2 n−1 n

4


当n为奇数时:             n n n n n n < < ··· < = > ··· > 0 1 (n − 1)/2 (n − 1)/2 n−1 n  n 综上,于是我们有二项式系数 k 最大值为:     n n = bn/2c dn/2e 其中bxc表示弱取整(向下取整),表示小于等于x的最大整数。 对应dxe表示强取整(向上取整),表示大于等于x的最小整数。

多项式定理

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类似二项式系数,我们定义多项式系数   n n! = n1 n2 · · · nt n1 !n2 ! · · · nt ! 其中n = n1 + n2 + · · · + nt 当t=2时,对应的就是二项式系数。 多项式系数也满足Pascal公式,即:

 n1 



n n2

···

n−1 n1 − 1 n2 · · ·

nt

nt

=

  +

n1

n−1 n2 − 1 · · ·

n

X

  +· · ·+ nt n1

 n−1 n2 · · · nt − 1

证明略。 下面介绍多项式定理 (x1 + x2 + · · · + xt ) =

n n1

n2

···

nt

 xn1 1 xn2 2 · · · xnt t

其中求和是对所有满足n1 + n2 + · + nt = n的正整数解的求和。 定理证明略

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牛顿二项式定理

我们讨论了二项式定理,在1676年,牛顿推广了二项式定理,并得到了(x + y)α 的展开式,其中α为任意实数。

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所谓牛顿二项式就是:   α α(α − 1) · · · (α − k + 1) = k k! 所谓的牛顿二项式定理就是: α

(x + y) =

∞   X α

k

k=0

当α为正整数n时,当k > n则,

n k

ak y α−k



0 ≤ |x| < |y|

= 0上式就变为了一般的二项式定理

如果令x = 1, y = z且|z| < 1,则有 (1 + z)α =

∞   X α k z , k

|z| < 1

k=0

如果n为正整数,选择α = −n     α −n −n(−n − 1) · · · (−n − k + 1) = = k! k k n(n + 1) · · · (n + k − 1) = (−1)k k   k n+k−1 = (−1) k 因此,对|z| < 1有: −n

(1 + z)

=

∞ X

  n+k−1 k (−1) z , k k

|z| < 1

k=0

用−z代替,有:  ∞  X n+k−1 k z , k k=0   如果令n=1,则 n+k−1 = kk = 1,有 k (1 − z)−n =

|z| < 1

X 1 = (−1)k z k , 1+z

|z| < 1

k=0

和:

X 1 = zk , 1−z k=0

牛顿二项式定理在生成函数中运用广泛。

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|z| < 1


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后记

二项式等内容全部学习完了,呵呵,公式比较多,关键是巧记吧,特别是 用组合分析证明的思想,会有事半功倍的效果。以上内容参考自Richarda A. Brualdi的《组合数学》和屈婉玲等人的《离散数学》 如果你发现什么错误,请批评指正。我的联系方式: 邮箱:ssdf93@gmail.com GoogleTalk:ssdf93@gmail.com MSN:ssdf93@hotmail.com twitter & facebook:ssdf93@gmail.com 网站:cupdish.com 最后感谢大家的阅读和支持!

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组合数学学习笔记(3):二项式定理