Issuu on Google+

Tο Πυθαγόρειο Θεώρημα: Η εξέλιξη των Μαθηματικών μέσα από τρεις αποδείξεις-Οι πρωτεργάτες των επιστημονικών ανατροπών αντιμέτωποι με τα συμφέροντα των ισχυρών και τις προκαταλήψεις των προκατόχων τους

Έρευνα στα πλαίσια του μαθήματος «Διερευνητική Εργασία για την Α’ Λυκείου»


Εισαγωγή " Για να φανταστούμε την χρησιμότητα των μαθηματικών στη ζωή μας , αρκεί να φανταστούμε την ζωή μας χωρίς μαθηματικά."

Λάο Τσε. Κινέζος φιλόσοφος ( 6oς π.Χ αιώνας).

Πράγματι φανταστείτε τον κόσμο μας χωρίς τη δυνατότητα να μετράμε: το βάρος μας , το ύψος μας , τα χρήματα που πληρώνουμε ή μας πληρώνουν , τα λίτρα πετρελαίου που καταναλώνουμε , τα λίτρα λαδιού , τις θερμίδες όταν κάνουμε δίαιτα , τα ml γάλατος που πίνουμε , τον μισθό που παίρνουμε , το δάνειο που πληρώνουμε , το επιτόκιο των καταθέσεών μας , το Φ.Π.Α που αποδίδει ο επιχειρηματίας , τις κιλοβατώρες του ρεύματος που ξοδεύουμε τις τηλεφωνικές μονάδες αστικές και υπεραστικές , τα τέρματα που πέτυχε ο ΠΑΟΚ στον χθεσινό αγώνα , τις νίκες που απολείπονται για να πάρει το πρωτάθλημα , το σκορ ενός αγώνα μπάσκετ , τα ποσοστά επιτυχίας του τάδε παίκτη , τα στατιστικά του αγώνα , τους βαθμούς που πρέπει να γράψουμε για να μπούμε στο πανεπιστήμιο ,τις βάσεις εισαγωγής μας , τους ψήφους που χρειάζεται ο τάδε υποψήφιος στις εκλογές για να εκλεγεί δήμαρχος ή βουλευτής , τα ποσοστά κάθε κόμματος , τον αριθμό βουλευτών που εκλέγει στο κοινοβούλιο , το μέγεθος ενός ανέμου ή ενός σεισμού , τη θερμοκρασία του σώματος μας για να δούμε αν έχουμε πυρετό , την εξωτερικη και την εσωτερική θερμοκρασία , τα επιτρεπτά για την ανθρώπινη υγεία όρια ρύπων της ατμόσφαιρας, τα επιτρεπτά όρια εκπομπής ραδιενέργειας και......... και......... και ............ Οι σκέψεις αυτές δείχνουν ότι η επιστήμη έχει βάλει τη σφραγίδα της στο σύνολο της ζωής μας, υλικής και πνευματικής, στις επωφελείς αλλά και στις κακές της πλευρές. Η επιστήμη είναι το πιο σημαντικό φαινόμενο της σύγχρονης εποχής, το κύριο συστατικό του πολιτισμού μας. Αλλά, αν αυτό είναι αλήθεια, τότε το σημαντικότερο ερώτημα για την ιστορία του πολιτισμού μας είναι: πώς προέκυψε η σύγχρονη επιστήμη; Είναι γνωστό ότι η Αρχαία Ελλάδα έβαλε τα θεμέλια των μαθηματικών Επιστημών και ειδικά στον τομέα της Γεωμετρίας και της Λογικής. Τα έργα των αρχαίων Ελλήνων Μαθηματικών όσα βέβαια διασώθηκαν αποτέλεσαν την βάση για την παραπέρα εξέλιξη των μαθηματικών Επιστημών. Ονόματα όπως Ευκλείδης,


Αρχιμήδης, Πυθαγόρας, Θαλής έγιναν αντικείμενο μελέτης της ιστορίας των Μαθηματικών. Η αξιωματική τοποθέτηση των Μαθηματικών ξεκίνησε από την αρχαία Ελλάδα. Τότε θεμελιώθηκε η επίλυση του μαθηματικού προβλήματος με την διαδικασία ανάλυσης, σύνθεσης, απόδειξης καθώς και της απόδειξης ισχύος του αντιστρόφου. Τα Μαθηματικά αναπτυχθήκανε στην Αρχαία Ελλάδα για να εφαρμοσθούν στην γεωργία, μηχανική, πολεμική τέχνη, αστρονομία, γεωδαισία. Αναπτυχθήκανε όμως και για να αποτελέσουν προϊόν της ανθρώπινης σκέψης και χρησιμοποιηθήκανε στην δομημένη λογική και την φιλοσοφία. Χωρίς αμφιβολία, η ανάπτυξη όλων των κλάδων των μαθηματικών προήλθε αρχικά από πρακτικές αναγκαιότητες και από διερευνητικές παρατηρήσεις πραγματικών αντικειμένων. Αλλά, αφού αρχίσουν υπό την πίεση των αναγκαίων εφαρμογών, οι μαθηματικές θεωρίες αποκτούν τη δική τους εσωτερική προωθητική δύναμη, η οποία, στις περισσότερες των περιπτώσεων, οδηγεί πολύ πέρα από τα όρια της άμεσης χρησιμότητας. Αυτή η υπέρβαση από την εφαρμοσμένη προς τη θεωρητική επιστήμη διαπιστώνεται τόσο κατά τις εξελίξεις στην αρχαιότητα, όσο και στη συμβολή μηχανικών και φυσικών στα σύγχρονα μαθηματικά (R. COURANT, What is Mathematics) Ξεκινώντας από αυτούς τους προβληματισμούς, ασχοληθήκαμε στην παρούσα διερευνητική εργασία με ένα από τα πιο συναρπαστικά και ασφαλώς πιο φημισμένα και χρήσιμα θεωρήματα της στοιχειώδους γεωμετρίας: το πυθαγόρειο θεώρημα και τις συνέπειές του. Αν υπάρχει ένα θεώρημα του οποίου η γέννηση δικαιούται να θεωρηθεί μια μεγάλη στιγμή στα μαθηματικά τότε το Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι το πιο κατάλληλο, γιατί είναι ίσως το πρώτο πραγματικά μεγάλο θεώρημα των μαθηματικών. Οι Πυθαγόρειοι κατατάσσονται, σαφώς, μεταξύ των πρώτων θεωρητικών οι οποίοι επιχείρησαν να προσδώσουν στη γνώση της φύσης ένα θεμέλιο ποσοτικό, μαθηματικό: τους αριθμούς. Η ανακάλυψη, όμως, της ασυμμετρίας τάραξε την πυθαγόρεια πίστη περί αριθμητικής δομής και φύσης του κόσμου ενώ οι συνέπειές της επηρέασαν σημαντικά την Πλατωνική Ακαδημία αλλά και γενικότερα την εξέλιξη της μαθηματικής επιστήμης. Σκοπός της εργασίας είναι να εισαχθούν οι μαθητές στην έννοια της απόδειξης, μέσα από τη διερεύνηση και τη σύγκριση πολλαπλών αποδείξεων, και να μελετηθεί ο τρόπος ανάπτυξης και εξέλιξης της μαθηματικής σκέψης. Η έρευνα πραγματοποιήθηκε στα πλαίσια του μαθήματος «Ερευνητική Εργασία» με μαθητές της Α΄Τάξης του 3ου ΓΕΛ Κορωπίου και κατά το χειμερινό τετράμηνο του σχολ. Έτους 2011-2012. Οι μαθητές που πήραν μέρος, χωρίστηκαν σε έξι ομάδες και εργάστηκαν με υλικό που άντλησαν είτε από το Διαδίκτυο είτε από αντίστοιχα βιβλία, είτε από συζητήσεις μέσα στην τάξη. Είναι οι ακόλουθοι: Ομάδα 1: Τσιπλάκης Θωμάς, Παπαγεωργάκης Χρήστος, Παπαχρήστου Γιώργος, Μακρής Κων/νος, Μόσχος Κων/νος, Κατσόλας Φώτης Ομάδα 2: Νικολού Ευάγγελος, Γιαλαμάς Γεώργιος, Βαλσάμη Μελίνα, Θεοχάρης θανάσης Ομάδα 3: Σγουανσίχα Δομένικος, Αγγελής Πέτρος, Βατουσιάδης Αντώνης Ομάδα 4: Κωνσταντίνου Κυριάκος, Κυριακού Χάρις Ομάδα 5 : Σταυρίδη Φανή, Ζίρα Τζένη Ομάδα 6 : Λάμπρου Γιάννης, Κώνστας Κωνσταντίνος


Ραλλάτου-Λιβ Σοφία Μαθηματικός, Μ.ed

Πηγές:    

B.L.Van Der Waerden «Η Αφύπνιση της Επιστήμης», Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης Howard Eves « Μεγάλες στιγμές των Μαθηματικών» τόμοι 1και 2, εκδόσεις Τροχαλία http://www.telemath.gr/mathematical_ancient_times/index.php http://mathmosxos.blogspot.com/2011/01/blog-post_1985.html

Μέρος Α: Τα Μαθηματικά πριν τον Πυθαγόρα Πηγές των Αιγυπτιακών Μαθηματικών Όλες οι γνώσεις μας για τα αιγυπτιακά μαθηματικά προέρχονται από έναν πολύ μικρό αριθμό κειμένων - γύρω στα δώδεκα - το αρχαιότερο των οποίων χρονολογείται περίπου από το 1850 π.Χ. και το πιο πρόσφατο από το 750 μ.Χ. Αναφέρουμε μερικά στοιχεία για τα πιο σημαντικά από τα κείμενα αυτά. Η αιγυπτιακή ιερογλυφική αρίθμηση αποκαλύφθηκε εύκολα .Το σύστημα , τουλάχιστον τόσο παλιό όσο οι πυραμίδες ,βασιζόταν , όπως ,ίσως περιμέναμε στην κλίμακα του δέκα . Οι Αιγύπτιοι σκάλιζαν αριθμούς σε πέτρα , σε ξύλο ή άλλα υλικά . Χρησιμοποιούσαν ένα απλό σύστημα επανάληψης και διαφορετικά σύμβολα για καθεμία από τις έξι δυνάμεις του 10. Μια κατακόρυφη γραμμή παριστάνε τη μονάδα , το ανεστραμμένο πεζό ύψιλον το 10 , ένα σύμβολο που μοιάζει με τον αριθμό 9 και 100 , ένα άνθος λωτού το 1000 , ένα λυγισμένο δάκτυλο το 10.000 , ένας γυρίνος το 100.000 και μια γονατιστή ανθρωπινή φιγούρα το 1.000.000. Οι σημαντικότερες πήγες και στοιχειά που μας βοήθησαν για την αποκρυπτογράφηση είναι οι πάπυροι τους:

Αιγυπτιακοί πάπυροι με Μαθηματικά Ο πάπυρος Rhind Η σημαντικότερη πηγή για τα αιγυπτιακά μαθηματικά είναι ο πάπυρος Rhind, που φέρει το όνομα του Σκοτσέζου δικηγόρου A.H. Rhind (1833-1863).Μια συλλογή από ογδόντα τέσσερα προβλήματα που ασχολούνται με την αριθμητική , τη γεωμετρία και τη στοιχειώδη άλγεβρα .Έχει 6 μετρά μήκος και 8 εκατοστά πλάτος . Επέζησε κάτω από εντυπωσιακές καλές συνθήκες και είναι το παλαιότερο εγχειρίδιο μαθηματικών που έφτασε σε μας σχεδόν άθικτο .Κάθε ένα από τα ογδόντα τέσσερα προβλήματα ακολουθείται από μια λεπτομερή λύση βήμα προς βήμα . Επίσης μερικά από τα προβλήματα συνοδεύονται από σχεδία.


Πάπυρος Rhind

Ο πάπυρος της Μόσχας Η δεύτερη σημαντική πηγή μας για τα αιγυπτιακά μαθηματικά είναι ο πάπυρος της Μόσχας που γράφτηκε περί το 1850 π.Χ., στην ιερατική γραφή και αυτός. Αγοράστηκε το 1893 από τον Ρώσο ευγενή V.S.Ο πάπυρος αυτός αγοράστηκε στην Αίγυπτο το 1983 είναι όσο μακρύς και πάπυρος του Rhind .Είναι γραμμένος από ένα άγνωστο γραφέα της δωδέκατης δυναστείας και είναι λιγότερο προσεγμένος από οποιονδήποτε πάπυρο . Περιέχει 25 παραδείγματα , τα περισσότερα πρακτικά προβλήματα , όχι πολύ διαφορετικά από αυτά του Rhind εκτός από δυο τα όποια έχουν ιδιαίτερη σημασία.

Πάπυρος της Μόσχας

ΟΙ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ Οι άνθρωποι της εποχής του λίθου δεν χρειάζονταν τα κλάσματα, άλλα με την εμφάνιση πιο προηγμένων πολιτισμών την εποχή του χαλκού εμφανίστηκε και η ανάγκη για την έννοια και τα σύμβολα των κλασμάτων. Οι Αιγυπτιακές ιερογλυφικές επιγραφές έχουν ειδικά σύμβολα για τις κλασματικές μονάδες, για τα κλάσματα με αριθμητική μονάδα ο


αντίστροφος κάθε ακεραίου παριστανόταν με την τοποθέτηση επάνω από το σύμβολο του αριθμού ενός επιμηκυμένου ωοειδούς σχήματος. Στην Ιερατική μορφή των παπύρων το επιμηκυμένο αυτό σχήμα αντικαθιστάται από μια τελεία, η οποία τοποθετείται επάνω από το σύμβολο του αριθμού. Κλασματικές μορφές χρησιμοποιούνται πολύ στην εποχή του Αχμή αλλά η έννοια του κλάσματος γενικότερα παρέμενε ένα μυστήριο για τους Αιγυπτίους.

Κλάσματα

ΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Η βασική αριθμητική πράξη στην Αίγυπτο ήταν η πρόσθεση. Οι γνωστές σε μας πράξεις του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης γίνονταν με διαδοχικό διπλασιασμό. Η δική μας λέξη « πολλαπλασιασμός» ή πολλαπλότητα εμπνέεται από την αιγυπτιακή αυτή διαδικασία. Ο πολλαπλασιασμ��ς για παράδειγμα, του 69 με το 19 γινόταν με τον εξής τρόπο: πρόσθεταν το 69 στον εαυτό του και έβρισκαν 138, στη συνέχεια πρόσθεταν το 138 στον εαυτό του κι έφθαναν στο 276, διπλασίαζαν πάλι το αποτέλεσμα και έβρισκαν 552 και κάνοντας άλλη μια φορά το ίδιο έβρισκαν 1104, το οποίο είναι προφανώς το γινόμενο 16*69. Μετά, έγραφαν 1104+138+69=1311 εφόσον 19=16+2+1. Μερικές φορές χρησιμοποιούσαν τον πολλαπλασιασμό με το δέκα, επειδή κάτι τέτοιο ήταν φυσικό επακόλουθο του δεκαδικού ιερογλυφικού συμβολισμού.


Οι παραστάσεις των αριθμών στην Αρχαία Αίγυπτο

Αριθμοί στην ιερατική γραφή

Διαίρεση

Πολλαπλασιασμοί


Οι γραφείς στη Αρχαία Αίγυπτο

ΑΛΓΕΒΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Τα αιγυπτιακά προβλήματα που αναφέραμε έως τώρα είναι αριθμητικά . Υπάρχουν όμως και αλλά τα οποία κάλλιστα θα μπορούσαμε να ονομάσουμε αλγεβρικά . Τα προβλήματα αυτά δεν αναφέρονται σε συγκεκριμένα αντικείμενα , όπως ψωμί και ζύθος , ούτε ζητούν την εκτέλεση πράξεων σε γνωστούς αριθμούς . Αντίθετα , ζητούν κάποιες λύσεις αντίστοιχες με αυτές των γραμμών εξισώσεων .Ο άγνωστος αναφέρεται ως ΄΄ αχά ‘’ ή σωρός .Το πρόβλημα 24 , για παράδειγμα , ζητά την τιμή του σωρού , αν ο σωρός και το ένα έβδομο του σωρού είναι 19 . Η λύση που δίνει ο Rhind δεν είναι αυτή των σημερινών βιβλίων , αλλά μοιάζει πολύ με τη διαδικασία που αποκαλούμε σήμερα ΄΄ μέθοδο της λανθασμένης παραδοχής ΄΄.

Τα μαθηματικά των πυραμίδων Μαθηματικά, αρχαία Αίγυπτος, παπυρολογία, τιτάνιες συγκρούσεις μεταξύ γηγενών και ασιατικής καταγωγής φαραώ, πειρατικές επιθέσεις, παιδιά που εγκαταλείπονται σ' ένα


καλάθι στο ποτάμι, αποσιωπημένες μητέρες, υιοθετημένοι γιοι που κάνουν θαύματα στην επιστήμη και τη δημόσια διοίκηση, αλλά και το μυστήριο των πυραμίδων: όχι το ποιος τις έχτισε, αλλά το πώς θα μπορούσε να μετρηθεί ο όγκος τους. Οι πυραμίδες οι οποίες χτίζονταν για πάνω από 1,500 έτη για να δοξάσουν τους Φαραώ κατά τη διάρκεια των ζώων τους , και ακόμα περισσότερο μετά από τους θανάτους τους . Οι πυραμίδες έχουν προσελκύσει ένα κοινό προσκυνητών που βρήκε σε αυτά τα μνημεία κρυφές συνδέσεις για τα πάντα στον κόσμο , από τις αριθμητικές τιμές του π μέχρι και για τη χρυσή αναλογία της ευθυγράμμισης των πλανητών και των αστεριών. Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι ήταν οι πρώτοι που χρησιμοποίησαν τα μαθηματικά στην τέχνη . Φαίνεται ήδη ότι σκάλιζαν μαγικές , ιδιότητες , στη χρυσή τομή και τα χρησιμοποιούσαν στη διακόσμηση των εξαιρετική τους πυραμίδων

Αν πάρουμε μια διαγώνια τομή , της Μεγάλης Πυραμίδας του Χέοπα , παίρνουμε ένα σωστό τρίγωνο που ονομάζεται επίσης ως Αιγυπτιακό Τρίγωνο

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΑΔΥΝΑΜΙΕΣ Για πολλά χρόνια πιστεύουμε ότι οι Έλληνες είχαν μάθει τα πρώτα στοιχεία της γεωμετρίας από τους Αιγυπτίους . Ο Αριστοτέλης υποστήριζε ότι η γεωμετρία ανατήχθηκε στην κοιλάδα του Νείλου επειδή οι εκεί ιερείς είχαν ελεύθερο χρόνο να ασχοληθούν με τη θεωρητική γνώση. Είναι πιθανό οι Έλληνες να δανείστηκαν ορισμένες απλές μαθηματικές έννοιες από την Αίγυπτο , εφόσον η χρήση των κλασματικών μονάδων συνεχίστηκε στην Ελλάδα και στη Ρώμη έως και τα μεσαιωνικά χρόνια. Προφανώς, όμως, υπερέβαλαν στην εκτίμηση του χρέους τους. Η γνώση που υπάρχει στους περισωζόμενους παπύρους είναι κυρίως πρακτικής φύσης και το κυριότερο στοιχείο των περισσότερων προβλημάτων ήταν οι υπολογισμοί. Είναι αλήθεια ότι υπάρχουν και θεωρητικά ερωτήματα σε ορισμένα σημεία, αλλά ο λόγος ύπαρξής τους ήταν μάλλον η βελτίωση κάποιας τεχνικής και όχι της κατανόησης. Ακόμα και η αιγυπτιακή γεωμετρία, η τόσο φημισμένη, ήταν τελικά ένας κλάδος εφαρμοσμένης αριθμητικής. Οι Αιγύπτιοι δεν αξιοποίησαν το δώρο που τους δόθηκε. Τα μαθηματικά του Αχμή ήταν ίδια με αυτά των προγόνων και των απογόνων του. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ :

http://www.angelfire.com/mn3/theopage/math01.html http://www.google.gr/imghp?hl=el&tab=wi Bruins, E.M ‘’ Egyptian Arithmetic ‘’ ,Janus 1981 Bruins, E.M ‘’ The Part in Ancient Egyptian Mathematics Gillings , R.J ‘’ What is the Relation Between the EMLR and rhRMP Recto?


εκδόσεις Γ.Α.

Carl B. Boyer-Uta C. Merzbach «Η ιστορία των Μαθηματικών» Πνευματικού

Βαβυλωνία Η Βαβυλωνία ανήκει στη Μεσοποταμία και είναι μια εύφορη πεδιάδα μεταξύ των ποταμών Τίγρη και Ευφράτη. Η περιοχή είχε στο κέντρο της τον Σουμεριακό πολιτισμό, που άκμασε πριν από το 3.500 π.Χ.. Ήταν ένας προηγμένος πολιτισμός έχοντας οικοδόμηση των πόλεων, υποστήριξη των κατοίκων με ταχυδρομική υπηρεσία. Το αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιούσαν έχει βάση το 60. Περίπου το 2.300 π.Χ. οι Σημίτες εισβάλλουν στο χώρο και οι δύο πολιτισμοί αναμειγνύονται. Οι Σημίτες επινοούν τον άβακα ως εργαλείο για την καταμέτρηση και αναπτύσσουν κάπως αδέξια τις αριθμητικές μεθόδους με προσθήκη της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης σε όλους τους φορείς στους οποίους συμμετέχουν. Οι Σουμέριοι ωστόσο επαναστατούν και από το 2.100 π.Χ. παίρνουν στα χέρια τους τον έλεγχο και πάλι. Ωστόσο, ο Σουμεριακός πολιτισμός θα αντικατασταθεί από τον Βαβυλωνιακό. Οι Βαβυλώνιοι, με επικεφαλής τον Χαμουραμπί, υποτάσσουν όλη τη Μεσοποταμία και ιδρύουν το Πρώτο Βαβυλωνιακό Κράτος. Οι Σουμέριοι είχαν αναπτύξει μια μορφή γραφής που βασιζόταν σε σχήματα που έμοιαζαν με σφήνες (σφηνοειδής) και ήταν γραμμένη σε πήλινα δισκία (πολλά από αυτά σώζονται μέχρι σήμερα). Οι Βαβυλώνιοι θα υιοθετήσουν τον ίδιο τρόπο γραφής. Τα δισκία αυτά, αν και δεν περιέχουν δύσκολα θέματα όσον αφορά τα μαθηματικά, είναι συναρπαστικά. Για παράδειγμα, υπάρχουν προβλήματα που αφορούν το σκάψιμο ενός καναλιού, για να προστατέψει τους κατοίκους από τις πλημμύρες του Τίγρη και του Ευφράτη και να ποτίσει τα χωράφια. Τα περισσότερα από αυτά τα κείμενα είναι γραμμένα στα Σουμεριακά, ενώ μερικά είναι γραμμένα στα Σημιτικά. Το αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιούν εξακολουθεί να έχει σαν βάση το 60, πράγμα που τους οδηγεί στη διαίρεση του κύκλου, του χώρου όπως και του χρόνου σε πολλαπλάσια του αριθμού αυτού. Αν και οι μέθοδοί τους διέφεραν σε πολλά σημεία από τις δικές μας (π.χ. για να υπολογίσουν το γινόμενο δύο αριθμών χρησιμοποιούσαν τους τύπους αβ= (α+β) – α – β και αβ= (α+β) – (α-β), κατάφεραν να αναπαριστούν μεγάλους αριθμούς και κλάσματα να κάνουν περίπλοκες μαθηματικές πράξεις, αλλά και να σχηματίσουν γραμμικές εξισώσεις, ακόμη και 4ου βαθμού με τη βοήθεια πινάκων. Πολλές φορές οι μέθοδοι που χρησιμοποιούσαν


ήταν βολικοί στο δικό τους σύστημα αρίθμησης. Επίσης, ήδη από το 1.700 π.Χ. έχουμε στοιχεία για τον υπολογισμό πυθαγόρειων τριάδων, καθώς και σύνθετων προβλημάτων που λύνονται με τη χρήση μεθόδων γραμμικής άλγεβρας ή αρκετά σύνθετων εξισώσεων. Δεν έμειναν όμως μόνο στα Μαθηματικά χρησιμοποιώντας τα ως υπόβαθρο, υπολόγισαν με ακρίβεια τη διάρκεια του ηλιακού κύκλου, κα έφτασαν, έτσι, στην κατασκευή ενός σεληνοηλιακού ημερολογίου, όπως και στην χαρτογράφηση των απλανών αστέρων και του ζωδιακού κύκλου, λόγω της παράλληλης ανάπτυξης της Αστρολογίας. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ: http://mslamias.blogspot.com/2008/03/blog-post.html

ΚΙΝΕΖΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΝΕΟΥ ΚΟΣΜΟΥ Παρ’ όλο που τα σύγχρονα μαθηματικά και η σύγχρονη αντίληψη μας για τους αριθμούς είναι προϊόντα των δυτικών, τα μαθηματικά των κινέζων και των ιθαγενών Αμερικανών εξακολουθούν να παρουσιάζουν ενδιαφέρον. Και οι δυο πολιτισμοί ήταν απομονωμένοι από τις επιδράσεις άλλων λαών, ιδιαίτερα ο πολιτισμός των ιθαγενών Αμερικάνων. Μας δίνεται, επομένως, η ευκαιρία να εξετάσουμε τις έννοιες των Κινέζων και των ιθαγενών Αμερικανών για τους αριθμούς ως κάτι που αναπτύχθηκε ανεξάρτητα. Αυτό μας επιτρέπει να διερευνήσουμε αν η αντίληψη που έχουμε σήμερα για τους αριθμούς έχει επηρεαστεί ριζικά από αυτούς που τους επινόησαν, κυρίως δηλαδή από τους Βαβυλώνιους, τους Αιγυπτίους και τους Έλληνες, Με άλλα λόγια, αναπτύσσουν οι άνθρωποι σε ξεχωριστές κοινωνίες εντελώς διαφορετικά συστήματα αριθμών ή οι ομοιότητες είναι μεγαλύτερες από τις διαφορές; ΑΡΧΑΙΑ ΚΙΝΑ Ο αρχαίος πολιτισμός της Κίνας ήταν είτε σύγχρονος είτε νεότερος από τον πολιτισμό της Μεσοποταμίας και της Αιγύπτου. Παρότι υπήρχαν περιορισμένες επαφές της Κίνας με την Ινδία, πιθανόν ακόμα και με τη Δύση, δεν είναι σίγουρο ποιος επηρέαζε ποιον. Μια ανάλυση των πρώτων μαθηματικών της Κίνας στηρίζει την άποψη περί ανεξάρτητης ανάπτυξης. Ακόμα κι αν δεχτούμε κάποια αμοιβαία επίδραση, είναι σχεδόν σίγουρο ότι τα μαθηματικά των Κινέζων, κατά το μεγαλύτερο κομμάτι της Ιστορίας τους, ήταν απομονωμένα από τους άλλους πολιτισμούς. Μια λογική υπόθεση για την αρχή του κινέζικου πολιτισμού είναι μεταξύ 2852 και 2738 π.χ., την εποχή της βασιλείας του Φου-χι, ο οποίος αναφέρεται ως ο πρώτος αυτοκράτορας της Κίνας. Κυριάρχησε στην Κίνα μετά την ενοποίηση της Άνω και Κάτω Αιγύπτου, τότε που χτίζονταν οι πυραμίδες και υπήρχε


η αυτοκρατορία των Σουμέριων στη Μεσοποταμία. Κατά την κυριαρχία του Φου-χι, οι κινέζοι έκαναν διεξοδικές αστρονομικές παρατηρήσεις. Τα μαθηματικά τους, επομένως, είχαν ήδη αρχίσει ν’ αναπτύσσονται. Με την υποστήριξη του Κίτρινου αυτοκράτορα, Χουανγκ-τι, ο οποίος ανέβηκε στο θρόνο το 2704 π.Χ., αναφέρεται ότι γράφτηκε ένα κείμενο με θέμα την αστρονομία και καθιερώθηκε ένα σύστημα που είχε ως βάση το εξήντα (εξηκονταδικό) κι όχι το δέκα (δεκαδικό), παρ’ όλο που τα μεταγενέστερα κινέζικα μαθηματικά βασίζονταν σ’ ένα δεκαδικό σύστημα. Η ενασχόληση με τα μαθηματικά συνεχίστηκε κατά τη διάρκεια ολόκληρης της τρίτης χιλιετίας. Τα κινέζικα μαθηματικά απογειώθηκαν το δέκατο τρίτο αιώνα μ.X. όταν, σύμφωνα με αναφορές, στη χώρα λειτουργούσαν περισσότερες από τριάντα σχολές μαθηματικών. Το συνολικό επίπεδο μαθηματικού πολιτισμού των Κινέζων ήταν ανώτερο από το επίπεδο τόσο των Βαβυλωνίων όσο και των Αιγυπτίων. ΤΟ ΚΙΝΕΖΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Η διαφορά του κινέζικου συστήματος αριθμών οφείλεται εν μέρει στη δομή της κινέζικης γλώσσας. Στο κινέζικο λεξικό περιλαμβάνονται τετρακόσιες είκοσι μονοσύλλαβες λέξεις, και η καθεμία μπορεί να εκφωνηθεί με τέσσερις τόνους, κάτι που σημαίνει ένα σύνολο περίπου 1.700 ήχων. Για να μπορέσουν να εκφραστούν οι χιλιάδες έννοιες, κάθε λέξη πρέπει να έχει παραπάνω από ένα νόημα. Στην κινέζικη γλώσσα δεν υπάρχουν χρόνοι, γένη και άρθρα. Από την άλλη , η γραπτή γλώσσα στηρίζεται σε πάνω από σαράντα πέντε χιλιάδες ξεχωριστά πικτογραφήματα ή χαρακτήρες, και κάθε χαρακτήρας επαρκεί για να εκφράσει μια ολόκληρη ιδέα. Ως εκ τούτου, τα ομιλούμενα κινέζικα έχουν λίγες λέξεις ( αλλά έχουν πολλές διαλέκτους ), ενώ η γραπτή γλώσσα έχει πολλές χιλιάδες σύμβολα. Επομένως, η γραπτή γλώσσα, που βασίζεται σε πικτογραφήματα κι όχι φωνητικές λέξεις, μπορούσε να διαβαστεί από όλους τους εγγράμματους Κινέζους της αρχαιότητας παντού στην αυτοκρατορία. Αυτό αποτελούσε μια ενωτική δύναμη, που δεν υπήρχε στις περισσότερες άλλες κοινωνίες, η οποία βοηθούσε στο να παραμείνουν ενωμένοι οι Κινέζοι, παρέχοντας στην κυβέρνηση τη δυνατότητα ενός εκτεταμένου ελέγχου. ΚΙΝΕΖΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τέσσερα κλασσικά έργα διασώζονται από την αρχαία Κίνα, τα οποία μας βοηθούν να καταλάβουμε τα κινέζικα μαθηματικά πριν από το 1000π.Χ. Το πρώτο είναι το ΣουΤζινγκ ή Ιστορικοί Κανονισμοί, το οποίο τοποθετείται χρονικά στο τέλος της τρίτης χιλιετίας και μπορεί να γράφτηκε από τον αυτοκράτορα Γιάο (περίπου 2357-2258 π.χ.). Αυτό το έργο αναφέρει ότι δύο αδέλφια αστρονόμοι, ο Χο και ο Χι, προκάλεσαν την οργή του αυτοκράτορα γιατί δεν κατόρθωσαν να προβλέψουν μια ηλιακή έκλειψη. Αυτό το αρχαίο κινέζικο έργο, περιλαμβάνει αρκετά πολύπλοκους αστρονομικούς υπολογισμούς ώστε να προβλέπουν μια έκλειψη, αποτελεί πρόκληση για εκείνους τους υπολογισμούς που έγιναν στην αρχαία Ελλάδα κάπου χίλια πεντακόσια χρόνια


αργότερα. Το δεύτερο έργο είναι το Ι-Τζινγκ ή το βιβλίο των αλλαγών, το οποίο έγινε πρόσφατα δημοφιλές στο ευρύ κοινό της Δύσης. Μπορεί να γράφτηκε από τον ΟυόνΟυάνγκ το δωδέκατο αιώνα π.χ. Το Ι-Τζινγκ δεν είναι στην πραγματικότητα ένα βιβλίο μαθηματικών, αλλά ένα βιβλίο που χρησιμοποιούνταν από τους Κινέζους επί χιλιετίες για να μαντέψουν ποια πορεία δράσης έπρεπε ν’ ακολουθήσουν σε σημαντικά θέματα. Ωστόσο, αναφέρει το μαγικό τετράγωνο, μια τετραγωνική διάταξη εννέα αριθμών τέτοια ώστε οι τρεις οριζόντιες σειρές, οι τρείς κάθετες σειρές και οι δύο διαγώνιοι όταν αθροίζονται να καταλήγουν όλες στον ίδιο αριθμό. H μέθοδος προβλέψεων του ΙΤζινγκ χρησιμοποιεί εξήντα τεσσάρων εξαγράμμων και δείχνει ότι οι Κινέζοι ενδιαφέρονταν για τις έννοιες των μεταθέσεων και των συνδυασμών. Κατά πάσα πιθανότητα, αυτές οι έννοιες ήταν παλαιότερες από το βιβλίο και μπορεί ν’ αποτελούσαν τμήμα του κινέζικου πολιτισμού για πολλούς αιώνες πριν από το 1200π.χ. Μαθηματικά χειρόγραφα που έχουν διασωθεί από την αρχαία Κίνα μοιάζουν με τα βαβυλωνιακά και τα αιγυπτιακά έργα, παρουσιάζουν δηλαδή στον αναγνώστη μια σειρά προβλημάτων. Το πρώτο αληθινά μαθηματικό κείμενο που διασώθηκε ήταν το Τζόου-μπέι, το οποίο πιθανόν να γράφτηκε γύρω στο 1100 π.χ. και περιέχει ημερολογιακούς υπολογισμούς αλλά και υλικό σχετικό με τα κλάσματα. Το έργο αναφέρεται επίσης στη διαίρεση μιας γραμμής σε μήκη των τριών, τεσσάρων και πέντε μονάδων, κάτι που αφορά πιθανότατα στο ορθογώνιο τρίγωνο με μήκη πλευρών τρία, τέσσερα και πέντε. Επομένως, εκείνη την εποχή, οι Κινέζοι μπορεί να γνώριζαν το πυθαγόρειο θεώρημα. Το τελευταίο από τα τέσσερα κλασσικά έργα, ένα έργο που χαίρει μεγάλης εκτίμησης, είναι το Τζιου-Τζαν Σουά-σου ή Η αριθμητική σε εννέα κεφάλαια. Θεωρείται ότι γράφτηκε από τον Τσανγκ Τσανγκ γύρω στο 200 π.χ. αλλά βασίζεται σε πολύ παλαιότερα έργα, κάποια από τα οποία χρονολογούνται πριν από το 1000π.χ. Περιέχει 246 προβλήματα χωρισμένα σε εννέα κεφάλαια. Τα θέματα περιλαμβάνουν προβλήματα που σχετίζονται με τη φορολόγηση, την τοπογράφηση, τα ποσοστά και τον υπολογισμό του εμβαδού τριγώνων, κύκλων και τραπεζίων. Περιλαμβάνει επίσης προβλήματα που σχετίζονται με τα συστήματα γραμμικών εξισώσεων, με το πυθαγόρειο τρίγωνο, με τις τετραγωνικές και κυβικές ρίζες και με τη χρήση του κανόνα της λαθεμένης παραδοχής, τον οποίο συναντήσαμε και στα αιγυπτιακά μαθηματικά. Οι Κινέζοι όχι μόνο έλυναν εξισώσεις που περιείχαν αγνώστους υψωμένους στο τετράγωνο ή στον κύβο, αλλά και απλές εξισώσεις όπου ο άγνωστος ήταν υψωμένος στη δέκατη δύναμη. Οι Κινέζοι έλυναν αόριστες εξισώσεις, τις οποίες ονόμαζαν ντάι γεν. Σε μια εξίσωση που δεν είναι αόριστη υπάρχει μια απάντηση, ή ένα μικρό σύνολο απαντήσεων. Σε μια αόριστη εξίσωση υπάρχει άπειρο πλήθος απαντήσεων. Για παράδειγμα, με το σημερινό σύστημα χαρακτήρων και συμβόλων θα μπορούσαμε να έχουμε την 3χ + 4y = 17. Μπορούμε να λύσουμε ως προς χ αν αντικαταστήσουμε το y με κάποια τιμή. Αυτό ακριβώς το χαρακτηριστικό κάνει «αόριστη» την εξίσωση, οι


λύσεις δηλαδή δεν είναι σαφώς καθορισμένες. Αυτές οι εξισώσεις έχουν πολλές εφαρμογές στον πραγματικό κόσμο. Πιθανόν η πιο σημαντική συνεισφορά της Αριθμητικής σε εννέα κεφάλαια στη θεωρία των αριθμών είναι το ότι αναφέρεται σε αρνητικούς αριθμούς. Εδώ έχουμε στοιχεία ότι οι Κινέζοι από τόσο παλαιά, πιθανόν πριν από το 1000π.χ., βρήκαν τυχαία έναν εντελώς νέο αριθμό, κάποιον που δεν συμπεριλαμβανόταν στους φυσικούς αριθμούς ή στα θετικά κλάσματα. Ωστόσο, δεν αποδέχτηκαν πλήρως τους αρνητικούς αριθμούς γιατί, παρ’ όλο που τους χρησιμοποιούσαν στους υπολογισμούς , δεν επέτρεπαν στους αρνητικούς αριθμούς να αποτελούν λύσεις εξισώσεων. Στο σύνολό τους, τα κινέζικα μαθηματικά ήταν ανώτερα από τα μαθηματικά τόσο των Βαβυλωνίων και των Αιγυπτίων, αλλά ήταν λιγότερο πολύπλοκα από τα μαθηματικά των Ελλήνων. Ενώ πολλές από τις προσπάθειες τους είχαν ως στόχο την επίλυση πρακτικών προβλημάτων , ασχολήθηκαν επίσης, σε περιορισμένο βαθμό, με τις αποδείξεις. Είχαν σε μεγάλη εκτίμηση αυτούς που σπούδαζαν μαθηματικά και ασκούσαν το επάγγελμα του μαθηματικού. Στην πραγματικότητα, οι μαθηματικοί ήταν απαραίτητα μέλη των Αυλών των βασιλέων στην αρχαία Κίνα, γιατί κάθε νέος αυτοκράτορας διέταζε να υπολογιστεί ξανά το κινέζικο ημερολόγιο. ‘Έτσι , όχι μόνο η βασιλική Αυλή είχε στη διάθεσή της τις σωστές ημέρες για τον εορτασμό των σημαντικών θρησκευτικών γιορτών, αλλά και οι πιο απλοί άνθρωποι είχαν στη διάθεσή τους ένα ημερολόγιο για την παρακολούθηση της πλημμύρας των ποταμών, των εποχών που ήταν κατάλληλες για να φυτεύουν, καθώς και των ηλιακών εκλείψεων. Επομένως, ήταν στα χέρια του αυτοκράτορα, με τη βοήθεια των υπολογισμών που έκαναν οι αστρονόμοι και οι μαθηματικοί του, να αποδεικνύει στο λαό ότι ήταν ευνοούμενος του Ουρανού και ότι κυβερνούσε με θεϊκή εντολή. Οι Κινέζοι μαθηματικοί έδειχναν μεγάλο ενδιαφέρον για τον υπολογισμό όλο και καλύτερων προσεγγίσεων της τιμής του π, του λόγου δηλαδή της διαμέτρου του κύκλου προς την περιφέρειά του. Η ακρίβεια αυτού του υπολογισμού αποτελεί ένα πρόχειρο μέτρο του μαθηματικού πολιτισμού της κοινωνίας. Οι αρχαίες κοινωνίες που δεν ενστερνίστηκαν του υπολογισμούς και τα μαθηματικά χρησιμοποιούσαν συνήθως την τιμή 3 ως καλύτερη προσέγγιση. Για παράδειγμα, οι Εβραίοι χρησιμοποιούσαν την τιμή 3 για το π όταν κατασκεύαζαν το ναό του Σολομώντα. Η προσέγγιση των Βαβυλωνίων ήταν λίγο καλύτερη. Μερικές φορές χρησιμοποιούσαν το 3 και άλλες χρησιμοποιούσαν το 3,125 , όπου το σφάλμα είναι της τάξης του 0,52%. Τα μαθηματικά δε χρησιμοποιούνταν μόνο στις βασιλικές Αυλές των Κινέζων, αλλά και οι απλοί έμποροί ήταν απαραίτητο να μπορούν να χρησιμοποιούν τις βασικές πράξεις της αριθμητικής. Αφού το κινέζικο σύστημα δεν καθοριζόταν από τη θέση, τα γραπτά αριθμητικά ψηφία δεν μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν στους απευθείας υπολογισμούς, γιατί οι Κινέζοι κατέγραφαν την τάξη τιμής-θέσης, κάνοντας μ’ αυτές τις τάξεις υπερβολικά άβολους τους υπολογισμούς. Αντί γι’ αυτό οι κινέζοι


έκαναν νοητικά όλους τους υπολογισμούς και μετά χρησιμοποιούσαν ένα υπολογιστικό πινάκιο, από το οποίο προήλθε ο άβακας ήταν μια επίπεδη ξύλινη επιφάνεια με ζωγραφισμένες γραμμές που σχημάτιζαν ένα ορθογώνιο με τετράγωνα. Ράβδοι μήκους περίπου δέκα εκατοστών τοποθετούνταν σε διαφορετικά τετράγωνα για να συμβολίζουν τις μονάδες, ενώ τα ίδια τετράγωνα συμβόλιζαν μεγαλύτερους αριθμούς. Χρησιμοποιούνταν δύο είδη ράβδων, κόκκινες για τους θετικούς αριθμούς και μαύρες για τους αρνητικούς. Υπάρχουν αναφορές ότι οι Κινέζοι ήταν εξαιρετικά επιδέξιοι με τους πίνακες αρίθμησης και μπορούσαν γρήγορα να εκτελούν ιδιαίτερα πολύπλοκες πράξεις. Οι Κινέζοι αγαπούσαν τις επαναλήψεις στα σχήματα και τους αριθμούς άρα, δεν μας προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι η πρώτη αναφορά (άγνωστης προέλευσης) στα μαγικά τετράγωνα έκανε την εμφάνισή της στα Εννέα Κεφάλαια. Λέγεται ότι το τ��τράγωνο το έφερε στον άνθρωπο μια χελώνα απ’ τον ποταμό Λο, την εποχή του θρυλικού αυτοκράτορα Γίι, ο οποίος ήταν, κατά την παράδοση υδραυλικός μηχανικός. Το πρωτόγονο αυτό έργο, που, ίσως να είναι της ίδιας εποχής μ’ αυτής του Πυθαγόρα, περιέχει κανόνες για την κατασκευή ορθογωνίων τριγώνων με τη βοήθεια τριάδων σχοινιών τα μήκη των οποίων σχηματίζουν Πυθαγόρειες τριάδες όπως 3,4 και 5 ή 5,12 και 13 ή 8,15 και 17 ή 12,35 και 37. Γνωρίζουμε τόσα λίγα για την καταγωγή και την περίοδο γραφής των Σουλβασούτρας ώστε δεν μπορούμε να πούμε με σιγουριά αν οι κανόνες αυτοί έχουν σχέση με την αιγυπτιακή τοπογράφηση ή το μεταγενέστερο διπλασιασμός του βωμού στην Ελλάδα. Επίσης, ο λαός της Κίνας ενδιαφερόταν ιδιαίτερα για την αστρολογία, τα ωροσκόπια και την πρόβλεψη του μέλλοντος. Συχνά απαιτούνταν πολύπλοκοι υπολογισμοί για να εκτελεστούν οι σωστές διαδικασίες. Επομένως, το ευρύ κοινό έδειχνε πραγματικό και άμεσο ενδιαφέρον για τη μυθολογία των μαθηματικών.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Carl B. Boyer-Uta C. Merzbach «Η ιστορία των Μαθηματικών» εκδόσεις Γ.Α. Πνευματικού ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΕΓΚΥΚΛΟΠΑΙΔΕΙΑ: ΒΙΚΙΠΑΙΔΕΙΑ GOOGLE: (ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ) ΚΙΝΕΖΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Τα μαθηματικά στους αρχαίους λαούς της Αμερικής


Με τον αδόκιμο πλέον όρο Αζτέκοι εννοείται ο κυρίαρχος πολιτισμός της πρόσφατης μετακλασικής περιόδου στην πυκνοκατοικημένη λεκάνη του Μεξικού, ο οποίος έφθασε στο σημείο να ελέγξει τις μεγάλες μεσοαμερικανικές περιοχές, βόρεια του κόλπου του Τεχουαντεπέκ (Tehuantepec). Αν και ανεπτυγμένος πολιτισμός δεν κατάφερε να δημιουργήσει ιδιαίτερα επιτεύγματα στον τομέα των μαθηματικών. Οι Μάγια ήταν ένας λαός Ινδιάνων της Κεντρικής Αμερικής. Καταλάμβανε μια συνεχή έκταση στο νότιο Μεξικό, στη Γουατεμάλα και στο βόρειο Μπελίζ και μιλούσε διάφορες γλώσσες της γλωσσικής οικογένειας των Μάγια. Το πιο αξιοθαύμαστο γεγονός είναι ότι οι Μάγια ήταν ο πρώτος λαός του κόσμου που χρησιμοποίησε τον αριθμό «0», αιώνες πριν χρησιμοποιηθεί στην Ευρώπη στην οποία τον έφεραν οι Άραβες, που τον είχαν μάθει από τους Ινδούς. Αυτή η αφηρημένη αντίληψη, τόσο συνηθισμένη για μας σήμερα, αποτελεί ένα μεγάλο κατόρθωμα και επέτρεψε στους Μάγια να φτιάξουν ένα από τα καλύτερα αριθμητικά συστήματα όλων των εποχών. Η χρήση του «0» και το εικοσαδικό σύστημα που χρησιμοποιούσαν (αντί δεκαδικό όπως το δικό μας), τους επέτρεπαν να κάνουν πολύπλοκους λογαριασμούς. Παρίσταναν τη μονάδα με μια τελεία (•) και την αξία 5 με ένα ραβδί (-) Τον αριθμό 0 τον αναπαρίσταναν μ’ ένα κοχύλι ή ένα λουλούδι. Σε κάποιες σημαντικές περιπτώσεις, αναπαρίσταναν τους αριθμούς με ανθρώπινα κεφάλια. Οι αριθμοί γράφονταν σε στήλες που διαβάζονταν από κάτω προς τα πάνω. Με αυτό τον τρόπο, δημιουργούσαν ένα σύστημα «κατά θέσεις» ή τοποθέτησης για τη σημειογραφία των αριθμών, που τους επέτρεπε να γράφουν μεγάλους αριθμούς. Στο δικό μας αριθμητικό σύστημα, τοποθετούμε τις δεκάδες αριστερά από τις μονάδες, πιο αριστερά τις εκατοντάδες, μετά τις χιλιάδες, κλπ. Με τον ίδιο τρόπο, οι Μάγια έγραφαν τις μονάδες (1 έως 19) στην κατώτερη σειρά, από πάνω τις εικοσάδες, πιο πάνω τις εικοσάδες εικοσάδων και ούτω καθ’ εξής. Το 0 το χρησιμοποιούσαν με τον ίδιο τρόπο που το κάνουμε εμείς: σήμερα η τοποθέτηση ενός μηδενικού σημαίνει ότι πολλαπλασιάζουμε τη μονάδα επί 10 ή επί 100 ή επί 1000, σύμφωνα με το πόσο αριστερά γράφουμε το 0. Οι Μάγια πολλαπλασίαζαν επί 20 ή 200 ή 2000, σύμφωνα με το πόσο ψηλά το έγραφαν. Το σύστημα είναι σχεδόν ίδιο με το σημερινό δεκαδικό και, οπωσδήποτε, πιο απλό από το Ρωμαϊκό σύστημα, όταν πρόκειται για μεγάλους αριθμούς και πολύπλοκους λογαριασμούς. 1410-1530 μ.Χ. Οι Ίνκας έφτιαξαν ένα αριθμητικό σύστημα με βάση το 10, για να παρακολουθούν τις καθημερινές δραστηριότητες του μεγάλου πληθυσμού τους (Μέσα σε 200 χρόνια είχαν πληθυσμό 6-12.000.000 άτομα). Το αριθμητικό τους σύστημα βασιζόταν στα κουιπού. Τα κουιπού ήταν περίπλοκα συστήματα σπάγκων με κόμπους που χρησίμευαν για την καταχώρηση και αποθήκευση αριθμητικών πληροφοριών. Το σύστημά τους ήταν δεκαδικό, θεσιακό, μη ψηφιακό. Οι Ίνκας έκαναν τις πράξεις τους χρησιμοποιώντας ένα είδος άβακα, το γιουπάνα. Το γιουπάνα ήταν μια πλάκα χωρισμένη σε τετράγωνα πάνω στα οποία τοποθετούσαν σπόρους καλαμποκιού που τους μετακινούσαν από τετράγωνο σε

τετράγωνο για να κάνουν τους λογαριασμούς τους Το Quipu είναι ενός τύπου κομποσκοίνι στο οποίο κατέγραφαν μια σειρά από δεδομένα στην αυτοκρατορία των Ίνκας και το οποίο το χρησιμοποιούσαν και ως μνημονικό εργαλείο. Εκτιμάται ότι η αυτοκρατορία των Ίνκας έφτασε τον αριθμό των δώδεκα εκατομμυρίων κατοίκων και η εδαφική της έκταση ήταν εξακόσιες χιλιάδες


τετραγωνικά χιλιόμετρα. Η διοικητική αποτελεσματικότητα αυτού του πληθυσμού απέρρεε από μια ιεραρχία με απόλυτες εξουσίες. Η γραφειοκρατία συνεχώς κατέγραφε τις υπό έλεγχο περιοχές. Ημερησίως έστελναν πολλές οδηγίες και ελάμβαναν πολλά μηνύματα. Τα μηνύματα μεταφέρονταν γρήγορα μέσα από ένα εκτεταμένο οδικό δίκτυο, με τη χρήση ενός απλού αλλά αποτελεσματικού συστήματος δρομέων. Το εργαλείο στη διαδικασία μεταφοράς πληροφοριών ήταν το Quipu(s). Το χρώμα των σπάγκων ήταν σημαντικό καθώς αντιπροσώπευε το προς καταμέτρηση είδος. Επειδή τα χρώματα δεν επαρκούσαν πολλές φορές χρησιμοποιείται ένα χρώμα για την περιγραφή περισσοτέρων ειδών. Με λίγα λόγια το quipu ήταν ο τρόπος που δημιούργησαν οι Ίνκας για να μπορούνε να μετράνε το οτιδήποτε από τον πληθυσμό που είχε η πόλη τους μέχρι και να κάνουν πράξεις αριθμητικές για να βρούνε πόσα μέτρα είναι ένας χώρος http://stat-athens.aueb.gr/~esi/proceedings/18/pdf/159-164.pdf http://lit.ionio.gr/sozonp/history.html

Ινδία Κείμενα στην Ινδία - Tα αρχαιότερα γραπτά κείμενα που έχουν βρεθεί στην Iνδία είναι τα «Eδικτα του Asoka»(273-232 π.X.). Oπότε, όλα τα ινδικά γραπτά κείμενα, ακόμη και παλαιότερα κείμενα που διέσωσε η προφορική παράδοση, έχουν καταγραφεί από τον 3ο αιώνα π.X. και μετά. Tο παλαιότερο κείμενο με κάποια μαθηματικά στοιχεία που διασώθηκε προφορικά είναι το «SulvaSutra», το οποίο περιέχει μια συλλογή από αναπόδεικτους κανόνες σχετικούς με θρησκευτικές τελετές και με διαδικασίες κατασκευής βωμών. Oι τρεις παλαιότερες εκδόσεις του έργου, που έχουν γίνει σε μεταχριστιανικούς χρόνους, διαφέρουν μεταξύ τους κατά ένα μεγάλο μέρος του περιεχομένου τους, πράγμα που σημαίνει ότι είναι πολύ πιθανόν να περιέχουν πολύ περισσότερα στοιχεία από όσα περιείχε το αρχικό κείμενο. Mε δεδομένα ότι: α) η αρχική σύνθεση του έργου στην καλύτερη εκδοχή έγινε ανάμεσα στο 500 και το 200 π.X. (οπωσδήποτε μετά την εποχή του Πυθαγόρα) και β) το ελληνικό κράτος των Σελευκιδών είχε στενότατες πολιτικές και οικονομικές σχέσεις με την Iνδία και υπάρχουν έντονες ελληνικές επιρροές στο θέατρο, τη γλυπτική και σε άλλες πτυχές του ινδικού πολιτισμού, ενώ η επίδραση των ελληνικών Mαθηματικών και της Aστρονομίας στην εξέλιξη αυτών των επιστημών στην Iνδία υπήρξε καθοριστική, μπορούμε να είμαστε βέβαιοι ότι οι Eλληνες προηγήθηκαν των Iνδών στη διατύπωση και την απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Aυτοί που ισχυρίζονται ότι οι αρχαίοι Kινέζοι γνώριζαν το Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουν αποκλειστικές πηγές αναφοράς το περιεχόμενο δύο κινέζικων έργων, του «Chou-Pei» και του «Chiu-ChangSuan-Shu».


Tα έργα αυτά έχουν γραφεί πολλούς αιώνες μετά την εποχή του Πυθαγόρα και σίγουρα πολύ αργότερα από τη σύνθεση των «Στοιχείων» που έγινε από τον Eυκλείδη γύρω στο 300 π.X. Oι βαβυλωνιακές πήλινες πλάκες, οι οποίες έχουν περιεχόμενο που θα μπορούσε να σχετισθεί με το Πυθαγόρειο Θεώρημα και τις πυθαγόρειες τριάδες και θεωρείται ότι ανήκουν στην προ-Σελευκιδών εποχή, είναι τρεις, μολονότι και αυτή η χρονολόγηση δεν είναι απολύτως ασφαλής

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡHΜΑ ΣΤΟΥΣ ΣΟΥΜΕΡΙΟΥΣ

(Το Πυθαγόρειο Θεώρημα σε σφηνοειδή γραφή)

2500 π.Χ. Οι Σουμέριοι ζύγιζαν, υπολόγιζαν τη γη σε «σαρ», μετρούσαν τα υγρά σε «κα», χρησιμοποιούσαν κλάσματα και είχαν σύστημα αριθμών με βάση το 60. Για τους Σουμέριους τα μαθηματικά φαίνεται να έχουν ένα καθαρά ωφελιμιστικό χαρακτήρα, εξυπηρετώντας το σκοπό μιας «αναδιανεμητικής οικονομίας». Στην ανάπτυξη των μαθηματικών οδήγησε η ανάγκη να καταγραφούν τα προϊστορίας όπως και για το καταμερισμό της γης Η ανάπτυξη της γραφής συνδέεται με την καταγραφή των αριθμών γιατί τα εμπορεύματα που μεταφέρονταν , συνοδεύονταν από «έγραφα» όπου είχαν και αριθμούς και το είδος που μεταφέρονταν. Επίσης με τη δημιουργία γραφής οι διαχειριστές των ναών χρησιμοποιούσαν ιδεογράμματα για να καταγράψουν τις τεράστιες ποσότητες προϊόντων που συγκέντρωναν εκεί. Οι Σουμέριοι γνώριζαν τέσσερις βασικές πράξεις: πρόσθεση, αφαίρεση, διαίρεση και πολλαπλασιασμό. Οι Σουμέριοι μπορούσαν να δουλέψουν με μεγάλους αλλά και με πολύ μικρούς αριθμούς, χρησιμοποιώντας τα κλάσματα, ενώ γνώριζαν την τετραγωνική ρίζα και τον κυβισμό. Το αριθμητικό σύστημα των Σουμερίων βασίζονταν στο εξαδικό και στο δεκαδικό. Είχαν δύο σύμβολα την απλή σφήνα που παριστάνει την μονάδα και την διπλή σφήνα που παριστάνει την δεκάδα. Αυτά αποτελούντο μοναδικό «ψηφίο» του συστήματος αυτού, το οποίο ήταν θεσιακό. Για παράδειγμα στον αριθμό 1858 το


πρώτο «8» αναφέρετε σε εκατοντάδες ενώ το δεύτερο «8» σε μονάδες. Κάτι που φαντάζει σαν μειονέκτημα είναι ότι στο αριθμητικό τους σύστημα δεν υπάρχει το μηδέν. Κάτι αν γινόταν σήμερα θα προέκυπτε μεγάλη σύγχυση. Πηγες: http://lit.ionio.gr/sozonp/history.html www.xrysalogia.gr/soumerioi.html http://www.thalesandfriends.org/gr/images/books/yliko/taxideftis/komotini.doc

Μέρος Β: Πυθαγόρας και Πυθαγόρεια Σχολή ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Μεγάλος Έλληνας μαθηματικός και φιλόσοφος, αρχηγός αρχαίου και πολιτικού κινήματος. Γιός του Μνήσαρχου και της Πυθαϊας γεννήθηκε το 580 πχ στη Σάμο και πέθανε γύρω στα 490 πχ στο Μεταπόντο της Κάτω Ιταλίας. Το όνομά του, μάλλον το οφείλει στην Πυθία, η οποία είχε προβλέψει τη γέννηση και τη σοφία του, όταν ρωτήθηκε απ’ τον Μνήσαρχο. Η προσωπικότητά και το έργο του Πυθαγόρα υπήρξαν τόσο σημαντικά στην αρχαία Ελλάδα, εξαιτίας της μυστικότητάς με την οποία περιβαλλόταν η διδασκαλία του, δεν έχουμε συγκεκριμένες πληροφορίες για τη ζωή του. Λέγεται ότι ήταν μαθητής του φιλόσοφου Φερεκύδη στη Λέσβο και του Θαλή και του Αναξίμανδρου στη Μίλητο. Σε ηλικία 18 ετών μόνο κέρδισε μια πρώτη νίκη και στέφθηκε Ολυμπιονίκης στο αγώνισμα της πυγμαχίας, που τότε λογιζόταν απ` τα σπουδαιότερα του στίβου. Είναι βέβαιο ότι έμεινε 22 χρόνια στην Αίγυπτο κοντά στους ιερείς της Μέμφιδας της Ηλιούπολης και της Διόσπολης. Όταν όμως ο Βασιλιάς των Περσών Καμβούσης κατέλαβε την Αίγυπτο, ο Πυθαγόρας μεταφέρθηκε αιχμάλωτος στη Βαβυλώνα και έτσι είχε την ευκαιρία να συναναστραφεί με τους Πέρσες μάγους. Ελευθερώθηκε μετά από 12 χρόνια με τη μεσολάβηση του Έλληνα γιατρού του Βασιλιά Δημοκήδη. Λέγεται ακόμα ότι πήγε και στην Ινδία, και μυήθηκε εκεί στα τελετουργικά των Βραχμάνων, στους ναούς σπηλιές της Ελοράκα της Ελεφάντα. Αυτές οι σπηλιές, απ’ ότι λέγεται πήγαιναν μέχρι το Θιβέτ, περνώντας, μέσα από κανάλια ανάμεσα από διάφορες μυστηριακές σχολές. Επέστρεψε στη Σάμο σε ηλικία 56 ετών. Αλλά και στη Σάμο δεν έμελλε να παραμείνει αρκετά, γιατί ο τύραννος Πολυκράτης διοικούσε απολυταρχικά στην πατρίδα του. Έφυγε λοιπόν και εγκαταστάθηκε στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας, όπου μαζί μ’ άλλους ομόφρονες του ίδρυσε σχολή, Οι ιδέες του έκαναν ξεχωριστή εντύπωση, κυρίως στου νέους, και γρήγορα οδηγήθηκε στο δικαστήριο με την κατηγορία της διαφθοράς των νέων και της αθεΐας , όπου όμως τελικά αθωώθηκε. Σχετικά με το θάνατό του, κατά μία άποψη πέθανε εξόριστος στο Μεταπόντο , κατά άλλη όμως σκοτώθηκε σε μια επιδρομή των δημοκρατικών κατά της σχολής με αρχηγός τον Κρότωνα. Πάντα είναι βέβαιο ότι η σχολή του Πυθαγόρα, στον Κρότωνα έκλεισε για πολιτικούς λόγους και πολλοί απ’ τους μαθητές του σκοτώθηκαν. Η ζωή και το έργο του Πυθαγόρα παραμένουν ένα μυστήριο εξαιτίας της απώλειας των ντοκουμέντων της εποχής του.


Πολλοί έγραψαν τη βιογραφία του, συμπεριλαμβανόμενου και του Αριστοτέλη αλλά καμία από αυτές δεν σώθηκε. Μια επιπλέον δυσκολία που αντιμετωπίζουμε στην προσπάθεια μας να καθορίσουμε με ακρίβεια το έργο του Πυθαγόρα είναι το γεγονός ότι η οργάνωση που ίδρυσε ήταν μεν μυστική αλλά είχε κοινοβιακή μορφή. Η ιδιοκτησία και η γνώση θεωρούνταν κοινές και, κατά συνέπεια, η οποιαδήποτε ανακάλυψη δεν αποδίδονταν σ’ ένα συγκεκριμένο μέλος της οργάνωσης . Είναι, ίσως , πιο σωστό να μιλάμε για τη συνεισφορά των Πυθαγορείων και όχι του Πυθαγόρα αν και στην αρχαιότητα συνηθιζόταν ν’ αναγνωρίζεται μόνον ο αρχηγός. Η Πυθαγόρεια σχολή ήταν συντηρητική πολιτικά και με αυστηρό κώδικα συμπεριφοράς. Τα μέλη της ήταν φυτοφάγα, προφανώς επειδή πίστευαν στη μετεμψύχωση ή τη μετοικεσία της ψυχής. Η σφαγή λοιπόν ενός ζώου ίσως να σήμαινε την καταστροφή της καινούργιας κατοικίας ενός φίλου που είχε πεθάνει. Ένα άλλο χαρακτηριστικό της τάξης των Πυθαγορείων ήταν η πεποίθηση τους ότι οι φιλοσοφικές και μαθηματικές σπουδές αποτελούν έναν κώδικα ηθικής ζωής. Ο Πυθαγόρας είναι το δεύτερο πρόσωπο που αναφέρεται με το όνομά του στην ιστορία των μαθηματικών. Ο Πυθαγόρας με τη διδασκαλία του, αποσκοπούσε στα εξής: Πρώτον, στο να οδηγήσει τον άνθρωπο στην κατανόηση των νόμων της φύσης και δεύτερον, στο να βελτιώσει και να αναπτύξει τις ικανότητές του. Για τον Πυθαγόρα και τους υποστηρικτές του, τους πυθαγορείους η ουσία των πραγμάτων βρίσκεται στους αριθμούς και στις μαθηματικές σχέσεις. Όπου οι αριθμοί και οι μαθηματικές σχέσεις είναι οι νόμοι που διέπουν τον φυσικό αλλά και τον πνευματικό μας κόσμο. Ο Πυθαγόρας απέδιδε στους αριθμούς μεταφυσικές ιδιότητες, λέγοντας ότι αυτοί οι αριθμοί, διέπουν τις κινήσεις των αστέρων και ότι κατέχουν ορισμένη θέση στο Διάστημα. Ο Πυθαγόρας θεωρείται αυτός που επινόησε τις λέξεις «Φιλοσοφία» (αγάπη της σοφίας) και «Μαθηματικά» ( αυτό που μαθαίνεται), προσπαθώντας να περιγράψει την πνευματική τους δραστηριότητα. Λέγεται ότι έδινε δύο ειδών διαλέξεις: η μία ήταν αποκλειστικά για τα μέλη της κοινωνίας και η άλλη για τους υπόλοιπους. Πιστεύουμε ότι ο Πυθαγόρας ανακοίνωσε σ’ αυτές τις πρώτες διαλέξεις τις μαθηματικές ανακαλύψεις του. Ο Πρόκλος, αφού περιέγραψε το γεωμετρικό έργο του Θαλή, συνεχίζει: «Ο Πυθαγόρας, ο οποίος είναι μεταγενέστερος, μετέτρεψε αυτήν την επιστήμη σε εκπαίδευση θεωρητικής μορφής, εξετάζοντας τις αρχές της και αναζητώντας την αλήθεια των θεωρημάτων με τρόπο θεωρητικό και καθόλου πρακτικό. Ανακάλυψε τη θεωρία των αναλόγων και την κατασκευή των σχημάτων του σύμπαντος.(Thomas 1939 σελ. 149). Ακόμη και αν δεν θεωρήσουμε τα παραπάνω απόλυτα αληθή, είμαστε αναγκασμένοι να δεχθούμε ότι οι Πυθαγόρειοι έπαιξαν σημαντικό ρόλο –ίσως τον πιο κρίσιμο-στην ιστορία των μαθηματικών. Στην Αίγυπτο και στην Μεσοποταμία, τα στοιχεία της αριθμητικής και της γεωμετρίας ήταν κυρίως ασκήσεις με στόχο την εφαρμογή αριθμητικών διαδικασιών σε συγκεκριμένα προβλήματα, είτε αυτά αφορούσαν στο ζύθο και στις πυραμίδες είτε στη μοιρασιά των κληρονομιών. Δεν είχαν κανένα στοιχείο νοητικής δομής και τίποτα που να μοιάζει με τη φιλοσοφική αναζήτηση αρχών. Συχνά, θεωρείται ότι ο Θαλής έδωσε μια ώθηση προς αυτήν την κατεύθυνση, μολονότι η παράδοση υποστηρίζει την άποψη του Εύδημου και του Πρόκλου ότι η καινούργια έμφαση στα μαθηματικά οφείλεται στους πυθαγορείους. Αυτοί θεωρούσαν τα μαθηματικά πιο συγγενικά προς την αγάπη της σοφίας παρά προς τις απαιτήσεις της ζωής.


Η τάση αυτή συνεχίζει να υπάρχει μέχρι σήμερα. Δεν γνωρίζουμε πόσο προχώρησαν οι πυθαγόρειοι προς αυτήν την κατεύθυνση, και τουλάχιστον ένας διαπρεπής μελετητής θεωρεί όλοι την αναφερόμενη συνεισφορά του Πυθαγόρα αβάσιμη. Είναι, πράγματι, πολύ δύσκολο να διαχωρίσουμε την ιστορία από την μυθολογία επειδή ο Πυθαγόρας σήμαινε τόσα πράγματα στον κόσμο – ήταν ο φιλόσοφος , ο αστρονόμος , ο μαθηματικός , ο κατακριτής των οσπρίων , ο άγιος, ο προφήτης , ο τσαρλατάνος, Επηρέασε, όμως σημαντικά την ιστορία και αυτό δεν μπορούμε να το αρνηθούμε. Οι οπαδοί του, είτε ξεγελασμένοι , είτε εμπνευσμένη διέδωσαν τις σκέψεις του στο μεγαλύτερο μέρος του ελληνικού κόσμου. Ο κατά τον Πυθαγόρα εξαγνισμός της ψυχής περιλάμβανε δύο μέρη :αυστηρή δίαιτα και τελετουργίες που θύμιζαν τη λατρεία του Ορφέα και του Διονύσου , η αρμονία, όμως, και τα μυστήρια της φιλοσοφίας και των μαθηματικών έπαιζαν σημαντικό ρόλο σε αυτές τις τελετουργίες. Ποτέ τα μαθηματικά δεν έπαιξαν τόσο μεγάλο ρόλο στη ζωή και στη θρησκεία όσο την εποχή των πυθαγορείων. Αν, λοιπόν, είναι δυνατόν, να αποδώσουμε, στον Πυθαγόρα τον ίδιο ή στους Πυθαγορείους συνολικά, συγκεκριμένες ανακαλύψεις, πρέπει να κατανοήσουμε το είδος της δραστηριότητας της σχολής τους, σύμφωνα με την παράδοση.

ΚΥΡΙΑ ΠΗΓΗ: Carl B. Boyer-Uta C. Merzbach «Η ιστορία των Μαθηματικών» εκδόσεις Γ.Α. Πνευματικού ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΕΓΚΥΚΛΟΠΑΙΔΕΙΑ: ΒΙΚΙΠΑΙΔΕΙΑ

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Tο Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι το πιο σημαντικό θεώρημα της Γεωμετρίας. Πολλοί ερίζουν για την πατρότητα της διατύπωσης και της απόδειξής του. Το θεώρημα κατέχει κεντρική θέση σχεδόν σε κάθε κλάδο της επιστήμης, θεωρητικής ή εφαρμοσμένης. Έχει προταθεί ακόμη και ως μέσο επικοινωνίας με εξωγήινα όντα, εάν και όταν τα ανακαλύψουμε. Και, επεκτεινόμενο στον τετραδιάστατο χωρόχρονο, διαδραματίζει σημαντικότατο ρόλο στη θεωρία της σχετικότητας του Αϊνστάιν. Ένα από τα πιο συναρπαστικά και ασφαλώς πιο φημισμένα και χρήσιμα θεωρήματα της στοιχειώδους γεωμετρίας είναι , λοιπόν, το λεγόμενο πυθαγόρειο θεώρημα που λέει ότι «σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δυο καθέτων πλευρών».


Αν και η παράδοση έχει αποδώσει το περίφημο θεώρημα στον Πυθαγόρα, η εξέταση πήλινων πινακίδων με σφηνοειδή γραφή, που βρέθηκαν στην Μεσοποταμία τον 20ό αιώνα, αποκαλύπτει ότι οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι που έζησαν πάνω από χίλια χρόνια πριν το Πυθαγόρα, γνώριζαν το θεώρημα. Το θεώρημα το γνώριζαν επίσης οι αρχαίοι ινδοί και Κινέζοι της εποχής του Πυθαγόρα ή και νωρίτερα, όπως αποδεικνύεται από σχετικές εργασίες τους, Αυτές οι μη ελληνικές και πιθανόν προ ελληνικές αναφορές στο θεώρημα δεν περιέχουν όμως αποδείξεις του , και ίσως είναι αλήθεια ότι ο Πυθαγόρας ή κάποιο μέλος της διάσημης αδελφότητας του ήταν ο πρώτος που έδωσε μια λογική απόδειξη στο θεώρημα.

ΤΑ ΑΠΟΦΘΕΓΜΑΤΑ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΑ 

Άσε τους μεγάλους δρόμους και πάρε τα στενά.

 Όσο ο Άνθρωπος συνεχίζει να είναι ο άσπλαχνος καταστροφέας των κατώτερων ζώντων όντων δεν θα γνωρίσει ποτέ υγεία και ειρήνη. Γιατί όσο οι άνθρωποι κατασφάζουν τα ζώα, θα σκοτώνουν ο ένας τον άλλο. Πράγματι, αυτός που σπείρει τον καρπό του φόνου και του πόνου δεν μπορεί να δρέψει χαρά και αγάπη.  Είναι αδύνατο να θεωρείται ελεύθερος αυτός που είναι δούλος στα πάθη του και κυριαρχείται από αυτά. 

Ψεύδος δ' ήν περ' τι λέγηται, πράως έχε.

o

Αν λέγεται κάποιο ψέμα, να το αντιμετωπίζεις με ηρεμία

 Ποίει ά κρίνεις είναι καλά, καν ποιών μέλλης αδοξείν. Φαύλος γαρ κριτής παντός καλού πράγματος όχλος.

Πράξης, δ' αισχρόν ποτε μήτε μετ' άλλου μήτ' ιδίη. Πάντων δε μάλιστ' αισχύνεο σ’αυτόν. 

Ποτέ να μην κάνεις τίποτα αισχρό, ούτε μαζί με άλλον, ούτε μόνος σου. Περισσότερο απ' όλους να ντρέπεσαι τον εαυτό σου o


Ο κόσμος είναι αριθμοί.

► Να κάνεις αυτά που νομίζεις πως είναι σωστά, έστω κι αν κάνοντας αυτά πρόκειται να σε κακολογήσουν. Γιατί ο όχλος είναι κακός κριτής κάθε καλού πράγματος.

 

μην τρως την καρδιά σου (μη στεναχωριέσαι) μην οξύνεις επιθετικές διαθέσεις)

να μη σε κυριεύει η επιθυμία, αλλά να αδιαφορείς

μη δεσμεύεσαι και μη δυσκολεύεις τη ζωή σου)

Σοφέ! Αναγκασμένος να ζεις μες στον απλό κόσμο, πρέπει να είσαι μια σταγόνα λάδι που επιπλέει στο νερό, αλλά δεν αναμειγνύεται μαζί του. *** Η μεγαλύτερη δύναμη και ο πιο μεγάλος πλούτος είναι να αποκτήσει κανείς την εγκράτεια. *** Μην ψάχνεις την ευτυχία: είναι πάντοτε μέσα σου. *** Ο θεός δεν έχει καλύτερη κατοικία πάνω στη γη, από την καθαρή ψυχή. Αν δεν μπορείς να έχεις έναν πιστό φίλο, να είσαι ο ίδιος ο φίλος του εαυτού σου. *** Το κύπελλο της ζωής θα ήταν πολύ γλυκανάλατο, αν δεν έπεφταν μέσα μερικά πικρά δάκρυα. *** Με την άδικη πατρίδα σου να συμπεριφέρεσαι όπως με την μητρυιά: Να σιωπάς. *** Προτίμησε να ‘χεις δύναμη περισσότερη στην ψυχή παρά στο σώμα *** Πριν από κάθε ωραίο απόκτημα προηγείται κοπιαστική άσκηση που την συνοδεύει η εγκράτεια. Ο άνθρωπος είναι θνητός με τους φόβους του, και αθάνατος με τις επιθυμίες του. *** Ή πρέπει να σιωπήσεις, ή να πεις κάτι καλύτερο από τη σιωπή. *** Στα χρόνια της τυραννίας ο λαός είναι ένα σκουλήκι που επιτρέπει να τον ποδοπατήσουν. Στα χρόνια της δημοκρατίας είναι ένας αρκούδας που καταβροχθίζει τους ηγέτες του.


Εκείνος που ακολουθεί τη σύνεση, ακολουθεί τους θεούς. *** Μη γίνεις μέλος του επιστημονικού συλλόγου: οι πιο σοφοί όταν μαζεύονται σε συλλόγους γίνονται χυδαίοι μικροαστοί. *** Από τη στιγμή που κάποιος έχει συναίσθηση του κακού που έκαμε, από τότε αρχίζει η διαδικασία της βελτίωσής του. Η Αρχή είναι το ήμισυ του παντός. Ο Πυθαγόρας χρήζει παγκόσμιας αναγνώρισης. Το όνομά του είναι σήμερα ταυτισμένο με το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Σε ολόκληρο τον κόσμο γνωρίζουν τον μεγάλο αυτόν φιλόσοφο και μαθηματικό από το θεώρημά του και τον τιμούν ιδιαίτερα. Στο Άμστερνταμ, υπάρχει οδός που φέρει το όνομά του. Αγάλματα και μεγάλοι πίνακες ζωγραφικής αναφέρονται στον Πυθαγόρα και τη θεωρία του. Πολλά βιβλία και μελέτες σύγχρονων μαθηματικών έχουν γραφτεί για τη μεγάλη αυτή φυσιογνωμία των μαθηματικών, τον Πυθαγόρα.

Η εσωτερική σχολή του Πυθαγόρα Η εσωτερική σχολή του Πυθαγόρα θεωρείτε το πρώτο πανεπιστήμιο του κόσμου, όπου η διδασκαλία γινόταν με μυστηριακό και συμβολικό τρόπο. Πρώτος ο Πυθαγόρας εισήγαγε στην Ελλάδα το σύστημα της πρακτικής φιλοσοφίας, της ηθικής των ανθρωπίνων καθηκόντων. Η φιλο-σοφία του υποβοηθούσε τον άνθρωπο να εξυψώσει βαθμιαία την ψυχή και το νου του συμβάλλοντας με τον τρόπο αυτό στην πρόοδο της ίδια της ανθρωπότητας. Παρόλο που η σχολή του, ριζοσπαστικά για την εποχή του , δεχόταν και άνδρες και γυναίκες , η διδασκαλία του προοριζόταν για λίγους ή όπως εκείνος έλεγε : «μη είναι προς πάντας πάντα ρητά». Συνήθιζε να διαχωρίζει τους μαθητές σε εξωτερικούς και εσωτερικούς ( την διάκριση αυτή ο Πυθαγόρας την είχε διδαχτεί από τους Αιγύπτιος Ιερείς οι οποίοι εφάρμοζαν ένα παρόμοιο σύστημα διδασκαλίας ). Οι εξωτερικοί μαθητές ήταν εκείνοι που παρακολουθούσαν τις «δημόσιες» ακροάσεις κατά τις οποίες ο Πυθαγόρας επέλεγε τους μελλοντικούς Εσωτερικούς Μαθητές του. Στο ακροατήριο αυτό μιλούσε για τον σεβασμό στους νόμους, την αλληλεγγύη , την ομόνοια ,την φιλία κ.λ.π. Η εισδοχή των μαθητών στην Σχολή καθώς και η διδασκαλία γινόταν όπως τις σχολές Μυστηρίων. Ο υποψήφιος έπρεπε να περάσει κάποιες Δοκιμασίες για να μπορέσει να γίνει αποδεχτός στον χώρο και να μαθητεύσει στην Σχολή.


Οι πυθαγόρειοι πίστευαν ότι οι μορφασμοί, το γέλιο και η φυσιογνωμία του ανθρώπου υποδούλωναν τον χαρακτήρα του γι αυτό πάρα πολλές φορές ο Πυθαγόρας και οι «Μαθηματικοί» του παρακολουθούσαν αρκετά τους υποψήφιους πριν να τους επιλέξουν . «Η φύση αγαπάει να κρύβεται» όπως έλεγε ο Ηράκλειτος για τον λόγο αυτό οι Εσωτερικοί μαθητές τηρούσαν όρκο σιωπής . Το ρήμα μυώ : κλείνω τα μάτια, ή κλείνω το στόμα , γνωστό σε όλες τις Σχολές Μυστηρίων, προδιαθέτει τον υποψήφιο να μην αποκαλύψει στους αμύητους όλα όσα πρόκειται να διδαχτεί. Εξάλλου εκείνοι οι οποίοι δεν είχαν «σφυρηλατήσει» το πνεύμα τους κινδύνευαν να παραμορφώσουν τις αλήθειες . Ο μαθητής δεν θα έπρεπε να είναι ασθενής χαρακτήρας γι αυτό και μια από τις πρώτες δοκιμασίες ήταν να περάσει μια νύχτα σε ένα σπήλαιο όπου κατά τον θρύλο υπήρχαν κακά πνεύματα και φαντάσματα. Αυτός που αδυνατούσε να παραμείνει δεν γινόταν δεχτός. Επίσης έπρεπε να ξεπεράσει την υπεροψία και να καταλάβει αυτό που ο Σωκράτης έλεγε : «ένα ξέρω ότι δεν ξέρω τίποτα». Για το λόγο αυτό έβαζαν τον νεόφυτο για μερικές μέρες μόνο του να διαλογιστεί πάνω σε μια γεωμετρική μορφή. Αφού γινόταν αυτό τον παρουσίαζαν στο αμφιθέατρο μπροστά σε όλους όπου εκεί οι παλιότεροι μαθητές τον έκαναν να αντιμετωπίσει τη δοκιμασία της υπεροψίας και να αντιληφθεί, όπως αναφέρει ένας μύθος από την ανατολή ,ότι, για να δεχτείς κάτι καινούργιο πρώτα από όλα πρέπει να αποβάλεις αυτό που ήδη έχεις. Στην αρχική φάση οι δοκιμασίες ήταν ψυχολογικού τύπου ( έλεγχος και στερέωμα των συγκινήσεων ) όπου ο σκοπός βέβαια ήταν να μπορέσει ο μαθητής να βρει την διάνοια και την ηθική ικανότητα ώστε να μπορέσει να αντεπεξέλθει στις ίδιες τις δοκιμασίες της καθημερινής ζωής. Αφού ξεπερνούσε τις πρώτες αυτές «δυσκολίες» γινόταν Νεόφυτος. Εδώ οι δοκιμασίες ήταν κυρίως πάνω στην φαντασία του. Αυτό στηρίζονταν στην διδασκαλία του Πυθαγόρα που έλεγε ότι «πρέπει να μάθουμε να δούμε τα πράγματα όπως ακριβώς είναι και όχι όπως θα θέλαμε να τα φανταστούμε». Να αποκτήσει ο μαθητής αντικειμενικότητα και κοινή λογική. Αφού περνούσε από την φάση αυτή γινόταν Ακουσματικός όπου για πέντε ολόκληρα χρόνια δεν είχε άλλο δικαίωμα από το να ακούει την διδασκαλία ( οι μαθητές άκουγαν μόνο την φωνή χωρίς να βλέπουν τον Πυθαγόρα). Από εκεί εξάλλου πήρε το όνομα της και η Σχολή «Ομακοείον», χώρος όπου όλοι ακούνε μαζί. Μερικά από τα μαθήματα της φάσης αυτής ήταν: το μυστικό της δυαδικότητας του ανθρώπινου όντως , ψυχολογία, ασκήσεις για την ηθική ανάπτυξη της προσωπικότητας, αυτοέλεγχος . Τα μυστικά των μαθηματικών , την μυστηριακή δύναμη του Χρυσού Αριθμού , μάθαιναν εκείνοι οι μαθητές οι οποίοι εκτός των άλλων είχαν συμπληρώσει το 28ο έτος της φυσικής τους ηλικίας.


Από την φάση αυτή και μετά μπορούσαν αν ήθελαν να ξαναενταχθούν στην κοινωνική ζωή ( από όπου είχαν αποτραβηχτεί , για να μπορέσουν να μαθητεύσουν) βοηθώντας τους συνανθρώπους τους. Ονομάζονταν έτσι πολιτικοί ( «καθίσταται έτσι χρήσιμος στους ομοίους του, οφείλει να ακτινοβολεί περί εαυτόν την θερμότητα και το φως που έλαβε»). Λίγοι ήταν αυτοί όμως οι οποίοι έφταναν σε ένα ανώτερο στάδιο , γινόταν Σεβαστικοί ή Μαθηματικοί . Αυτός ο βαθμός του τάγματος επέτρεπε στον μυημένο πραγματική κυριαρχία τόσο στον ίδιο του τον εαυτό όσο και επί του περιβάλλοντος κόσμου, ορατού και αόρατου. Κύριο μέλημα τους ήταν τα μαθήματα και η εποπτεία της Σχολής, ενώ ταυτόχρονα οι ίδιοι δίπλα στον Πυθαγόρα μυούνταν στα μυστήρια της φύσης, της αστρονομίας και της αστρολογίας. Για τους Πυθαγόρειους η συντροφικότητα και η φιλία είχαν ύψιστη σημασία γιατί καθρέπτιζε την Παγκόσμια Αγάπη. Ο ίδιος ο Πυθαγόρα πρότρεπε τους μαθητές του να αναπτύξουν φιλία μεταξύ τους, μάλιστα όταν κάποτε τον ρώτησαν «τι εστί φίλος» εκείνος απάντησε «το άλλο εγώ». Πυθαγόρας και Αριθμοί H Πυθαγόρεια Σχολή πρέσβευε ότι η ουσία των όντων ήταν ο «αριθμός», κάτι αφηρημένο, το οποίο δεν γινόταν αντιληπτό από τις αισθήσεις, αλλά μόνο από τη νόηση. Συνεπώς, η ουσία των όντων δεν ήταν υλική, ούτε προσιτή στις αισθήσεις. H ουσία καθίστατο, για τους Πυθαγόρειους, νοητή και συλληπτή μόνο με την αφηρημένη σκέψη. Mε αυτό τον τρόπο οι σοφοί αυτής της Σχολής εξομοίωναν το άπειρο με το υλικό στοιχείο το ανεπίδεκτο μέτρησης και καθορισμού. Eισήγαγαν, δηλαδή, την έννοια της «ύλης», που θεωρούνταν στοιχείο το οποίο ανθίστατο σε κάθε καθορισμό, καθώς και πηγή της κάθε οντολογικής και ηθικής ατέλειας. Σημειώνουμε όμως ότι οι Πυθαγόρειοι έδιναν στο άπειρο και κάποια ηθική υπόσταση, με την έννοια ότι θεωρούσαν το «τέλειον πέρας» καλό, ενώ το «ατελές άπειρο» κακό. • ΙΑΜΒΛΙΧΟΣ: ΠΥΘΑΓΟΡΙΚΟΣ ΒΙΟΣ , εκδόσεις Πύρινος Κόσμος • ΠΥΘΑΓΟΡΟΥ ΧΡΥΣΑ ΕΠΗ , εκδόσεις ΠΑΠΥΡΟΣ • ΤΑ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΜΥΣΤΗΡΙΑ , Γιώργος Σιέτος , Εκδόσεις Πύρινος Κόσμος. • ΠΟΡΦΥΡΙΟΥ Η ΖΩΗ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΑ , Εκδόσεις Πύρινος Κόσμος • Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ ΚΑΙ Η ΜΥΣΤΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΙΣΜΟΥ Π. ΓΡΑΒΙΓΓΕΡ Εκδόσεις ΙΔΕΟΘΕΑΤΡΟΝ

Οι αριθμοί συμφωνά με τον Πυθαγόρα Όταν αρχίζουμε να εξετάζουμε την έννο��α των αριθμών σύμφωνα με τον Πυθαγόρα, βρισκόμαστε ξαφνικά μέσα σε ένα σύμπαν από μπλεγμένες σκέψεις και αναλαμπές έμπνευσης .Οι Έλληνες είναι σίγουροι ότι κατείχαν τις βασικές


υπολογιστές ικανότητες την εποχή που άρχισαν τις εκτεταμένες εμπορικές συναλλαγές με τους Φοίνικες τον 8 αιώνα π.Χ. Οι δεξιότητες αυτές ονομάζονταν λογιστικές και αποτέλεσαν εργαλείο για τους εμπόρους και τους γραφείς. Η λογιστική περιλάμβανε τις πράξεις της πρόσθεσης , της αφαίρεσης του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης . Περιλάμβανε επίσης τις σχέσεις ακέραιων αριθμών αλλά και κλασμάτων . Όλες αυτές οι δεξιότητες ήταν απαραίτητες για τους εμπόρους και τους γραφείς . Επομένως η λογιστική ήταν αυτό που λεμέ σήμερα αριθμητική. Οι Έλληνες σπούδαζαν αυτό που ονομάζονταν αριθμητική, την πνευματική μελέτη των αριθμών, και θεωρούσαν την αριθμητική ένα γνωστικό αντικείμενο αντάξιο των αληθινών επιστημόνων . Ιδιαίτερα οι πυθαγόρειοι είχαν σαγηνευτεί από την θεωρεία των αριθμών η οποία μπορεί να ξεκίνησε από μια και μονό μια ανακάλυψη που έκανε ο ίδιος ο Πυθαγόρας: αυτό που ανακάλυψε ήταν η σχέση μεταξύ του μήκους μιας τεντωμένης χορδής και του τόνου που παράγει όταν την χτυπήσουμε . Ο Πυθαγόρας αναρωτήθηκε τι παράγει αυτές τις αρμονίες μεταξύ των διαφόρων μηκών της χορδής. Κατέληξε στο συμπέρασμα ότι οι αρμονίες ήταν ξεκάθαρο αποτέλεσμα των λόγων ορισμένων αριθμών όπως για παράδειγμα των λόγων 1 προς 2,3 προς 4 και 2 προς 3 . Παρατηρούμε λοιπόν, ότι οι Πυθαγόρειοι δείχνουν εξαιρετικό ενδιαφέρον για τη μελέτη των σχέσεων των αριθμών όπως αυτοί εφαρμόζονται σχεδόν οπουδήποτε: στα μαθηματικά , στην επιστήμη , στην αστρονομία , στη θρησκεία , στην πολιτική τα πάντα εξαρτιόνταν από τους αριθμούς. Είναι εκπληκτικό , ωστόσο , ότι οι αριθμοί για τον Πυθαγόρα περιλάμβαναν μόνο τους φυσικούς αριθμούς. Τα κλάσματα δε θεωρούνταν αληθινοί αριθμοί γιατί , στην πραγματικότητα , επρόκειτο για λόγους -για σχέσεις μεταξύ 2 ακεραίων αριθμών. « Μια στιγμή όμως» μπορείτε να πείτε. «Αυτό μας πάει προς τα πίσω. Έχουμε ήδη κλάσματα από τους Αιγύπτιους και τους Βαβυλώνιους». Πολύ σωστά , και ο σοφός Πυθαγόρας απλώς αγνόησε αυτό που χρειάστηκαν αιώνες για να επιτευχθεί. Γιατί λοιπόν θα πρέπει να θεωρούμε σπουδαίο μαθηματικό τον Πυθαγόρα , αφού φαίνεται πως εγκατέλειψε τα κλάσματα για να ασχοληθεί μόνο με τους φυσικούς αριθμούς. Μπορούμε τώρα να αντιληφθούμε την σύνδεση ανάμεσα στον ισχυρισμό του Πυθαγόρα - ότι τα πάντα εξαρτώνται από τους αριθμούς και την στενή σχέση των Ελλήνων με την απαγωγική επιστήμη. Αν όλα τα πράγματα εξαρτώνται από τους αριθμούς τότε για να μάθουμε όλες τις αλήθειες το μονό που πρέπει να κάνουμε είναι να συνάγουμε αναγωγικά τις αλήθειες για τους αριθμούς. Προσπαθώντας να γεφυρώσουν το χάσμα ανάμεσα στη θεωρία των αριθμών και στον πραγματικό κόσμο, οι Πυθαγόρειοι αναγκάστηκαν να υποστηρίξουν κάποιες εξαιρετικά παράξενες θεωρίες. Στην πραγματικότητα ανέπτυξαν ένα είδος αριθμητικού μυστικισμού που ακόμη και σήμερα είναι ολοφάνερος στην αριθμολογία. Για παράδειγμα οι περιττοί αριθμοί ήταν αρσενικοί και οι άρτιοι ήταν θηλυκοί. Τα τέλεια τετράγωνα , όπως το 4 και το 9 συμβολίζουν την δικαιοσύνη , το 5 συμβολίζει το γάμο - τη συνένωση του περιττού με τον άρτιο. Το 6 ήταν ο αριθμός της ψυχής και το 7 συμβόλιζε την αντίληψη και την υγεία . Τα ουράνια σώματα έπρεπε να βρίσκονται σε αποστάσεις που οι μεταξύ τους λόγοι να είναι καθορισμένοι και έπρεπε να είναι αρμονικά διατεταγμένα. Έχουμε επομένως την


αρμονία των ουράνιων σφαιρών. Αυτή καθαυτή η ύλη ήταν στην ουσία φτιαγμένη από αριθμούς. Η ίδια η δημιουργία του σύμπαντος προκλήθηκε από αριθμούς. Άρχιζε με το 1 ( τη μονάδα , το περιορισμένο ) το οποίο μετά διαχωριζόταν σε 2 ( τη δυαδική ) με βάση την αρχή του απεριόριστου . Οι Πυθαγόρειοι έπαιζαν με χαλίκια για να δημιουργούν διάφορα σχήματα τα οποία αποκάλυπταν περισσότερες αλήθειες για τους αριθμούς. Οι αριθμοί που μπορούσαν να σχηματίσουν τρίγωνα ήταν το 6 , το 10 και το 15.Στη συνέχεια παρατήρησαν ότι αυτοί οι τριγωνικοί αριθμοί (το 3 , το 6 ,το 10 και το 15 ) ήταν διαδοχικά αθροίσματα φυσικών αριθμών. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4+5=15 1+3=4=2*2 1+3+5=9=3*3 1+3+5+7=16=4*4 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ: B.L.Van Der Waerden «Η Αφύπνιση της Επιστήμης», Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης Carl B. Boyer-Uta C. Merzbach «Η ιστορία των Μαθηματικών» εκδόσεις Γ.Α. Πνευματικού

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΜΟΥΣΙΚΗ Τα μπλουζ δεν είναι αμερικανική μουσική επινόηση. Ήταν οι αφρικανοί σκλάβοι που έπαιζαν μπλουζ στην Αμερική - οι πρόγονοι αυτών των αφρικανών «μουσικών» χρησιμοποιούσαν, στην πρωτόγονη μουσική τους, τις ίδιες φυσικές νότες που «έπαιζαν» οι Κινέζοι, οι Ινδοί και οι αρχαίοι Έλληνες, χωρίς να έχουν την παραμικρή συνεννόηση για τις «μελωδίες» που απολάμβαναν. Η αρχέγονη μουσική δημιουργούσε ένα ευχάριστο αίσθημα - ο «μουσικός» ένιωθε την ψυχή του να αγαλλιάζει, χωρίς να σκέφτεται το πώς και το γιατί. Ο πρώτος θνητός που προβληματίστηκε, πριν από 2.600 χρόνια, για ποιο λόγο συμβαίνει κάτι τέτοιο ήταν ο Πυθαγόρας από τη Σάμο. Δεν είχε μουσικές φιλοδοξίες. Όμως, ως φιλόσοφος και μέγας μαθηματικός (στον οποίο αποδόθηκε, το ήδη γνωστό πολύ πριν από αυτόν, ομώνυμο γεωμετρικό θεώρημα), συνειδητοποίησε ότι μόλις χτυπούσε μια χορδή σε συγκεκριμένες υποδιαιρέσεις του μήκους της, παράγονταν αυτές οι «μαγικές» φυσικές νότες. Ο δαιμόνιος μαθηματικός επινόησε μια σχέση που συνέδεε τις νότες με τους αριθμούς. Οι αριθμοί -η ουσία των μαθηματικών- κυβερνούσαν, πλέον, τη μουσική: η αρμονία της ψυχής προέκυπτε μέσα από την αρμονία των αριθμών. Και η ψυχή ήταν μόνο ένα από τα ενδιαφέροντα του Πυθαγόρα. Οι μαθητές του, οι Πυθαγόρειοι, ερμήνευαν -μέσα από τα μαθηματικά και ειδικά τους αριθμούς- την κρυφή τάξη του Σύμπαντος, και απέδιδαν στη μυστικιστική πυθαγόρεια οκτάβα την ενότητα όλων


των δυνάμεων και των δραστηριοτήτων του φυσικού κόσμου (μια πρώιμη Θεωρία των Πάντων). Η «μουσική των σφαιρών» ήταν η μαθηματική ερμηνεία για τους ήχους που παράγονταν από την περιστροφή των πλανητών στο ουράνιο στερέωμα όλα τα φαινόμενα αποδίδονταν σε συνδυασμούς παλλόμενων μικροσκοπικών χορδών, οι ταλαντώσεις των οποίων παρήγαν σωματίδια που αντιστοιχούσαν σε νότες (μια πρώιμη Θεωρία Χορδών) Η ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΚΛΙΜΑΚΑ Από τους Πυθαγόρειους ξεκινάει μια μαθηματική αισθητική θεώρηση του σύμπαντος. Πεποίθησή τους είναι ότι τα πάντα στη φύση είναι αρμονικά συνδεδεμένα σε ένα σύστημα αριθμητικών αναλογιών. Μια από τις μεγάλες προσφορές στην ανθρωπότητα είναι η έννοια της μουσικής κλίμακας. Η μουσική, τα ωραία ακούσματα βασίζονται στη διαδοχή ήχων με συγκεκριμένο λόγο συχνοτήτων (μουσικά διαστήματα). Οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν ότι συνηχούν αρμονικά δύο χορδές όταν έχουν λόγους μηκών αντίστοιχα 2:1, 3:2, 4:3 και 9:8. (Σήμερα αυτό έχει επιβεβαιωθεί από τη Φυσική με την ανάλυση Fourier και τις έρευνες του Helmholtz. Όταν δυο νότες συνηχούν, η αρμονία που παράγεται οφείλεται στην σύμπτωση των αρμονικών τους συνιστωσών και αυτό γίνεται μόνο, όταν ο λόγος συχνοτήτων τους είναι λόγος μικρών φυσικών αριθμών). Η οκτάβα π.χ. είναι το μουσικό διάστημα που προκύπτει από το λόγο 2:1. Αν κρουσθεί δηλ. μια χορδή και ξανακρουσθεί η μισή χορδή αφού δεσμευθεί η υπόλοιπη, οι δύο ήχοι που ακούγονται είναι πανομοιότυποι αλλά σε διαφορετικό ύψος. Το επόμενο διάστημα είναι το 3:2, κατόπιν το 4:3 και έπειτα το 9:8. ΧΑΡΙΣ ΚΥΡΙΑΚΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ ΚΥΡΙΑΚΟΣ Ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που παρατήρησε τις αρμονικές ταλαντώσεις και ο πρώτος που διατύπωσε τη σχέση αυτών των αρμονικών ταλαντώσεων. Δηλαδή, ότι η χορδή πάλλεται εκτός απ’ όλο της το μήκος και σε τμήματά της, που είναι ακέραιες υποδιαιρέσεις το αρχικού της μήκους. Έχοντας τη γνώση ότι το μήκος της χορδής είναι αντιστρόφως ανάλογο προς το ύψος (τη συχνότητα) του ήχου, μπόρεσε να καθορίσει και τα ύψη των ήχων που παράγονται από αυτές τις αρμονικές ταλαντώσεις. Η πίστη του Πυθαγόρα και των μαθητών του στη σχεδόν μαγική δύναμη του αριθμού στη φύση και στον άνθρωπο, τον οδήγησε στην ανακάλυψη του αριθμού που παράγει όλες τις νότες της μουσικής. Ο αριθμός αυτός είναι ο 2/3. Τα 2/3 της χορδής έδιναν τον πιο συγγενή ήχο στον θεμέλιο ήχο (μετά το 1/2, που ήταν ταυτοφωνία). Το ύψος του ήχου που παρήγαν τα 2/3 της χορδής είναι 3/2 του θεμέλιου ήχου. Όλες οι νότες λοιπόν παράγονται από τον ίδιο αριθμό ως εξής: ΝΤΟ1 x 3/2 = ΣΟΛ 3/2 ΣΟΛ 3/2 x 3/2 = ΡΕ 9/8 ΡΕ 9/8 x 3/2 = ΛΑ 27/16


ΛΑ 27/16 x 3/2 = ΜΙ 81/64 κ.ο.κ. Δηλαδή με συνεχόμενες 5ες. H τιμή όμως που προκύπτει για την νότες ΜΙ και Λα δεν συμφωνεί με την κλίμακα των αρμονικών. Δηλαδή η ΜΙ 5/4 με την ΜΙ 81/64 έχουν διαφορά 1/64 Επίσης η ΛΑ 5/3 με την ΛΑ 27/16 έχουν διαφορά 1/48 Κάτι άλλο που είναι αξιοσημείωτο είναι ότι η δωδέκατη στη σειρά νότα που θα παραχθεί με τις συνεχόμενες 5ες θα πρέπει να είναι η διπλάσια της ΝΤΟ1, δηλαδή η ΝΤΟ2. Όμως δεν βγαίνει ακριβώς διπλάσια, υπάρχει μια διαφορά. Δηλαδή ΝΤΟ1 x (3/2) x (3/2)...12 φορές = ΝΤΟ2 περίπου (2,0272865) Το ίδιο συμβαίνει και αν παράγουμε τις νότες με διαίρεση (μια 5η χαμηλότερα) με 3/2 ΝΤΟ1 : 3/2= ΦΑ4/3 ΦΑ4/3 : 3/2= 16/9 ΣΙb κ.ο.κ. Πάλι δε συμφωνεί με την ΝΤΟ1 μετά τον κύκλο των δώδεκα φθόγγων. Οι νότες με τον πολλαπλασιασμό με 3/2 θα είναι συνεχόμενες 5ες ως εξής: ΝΤΟ, ΣΟΛ, ΡΕ, ΛΑ, ΜΙ, ΣΙ, ΦΑ #, ΝΤΟ #, ΣΟΛ #, ΡΕ #, ΛΑ #, ΜΙ # (ΦΑ), ΝΤΟ. Με διαίρεση με 3/2 θα ακολουθούν την αντίθετη φορά. ΝΤΟ, ΦΑ, ΣΙb, ΜΙb, ΛΑb, ΡΕb, ΣΟΛb, ΣΙ, ΜΙ, ΛΑ, ��Ε, ΣΟΛ, ΝΤΟ. Οι νότες στην Πυθαγόρεια κλίμακα διαμορφώνεται ως εξής: ΝΤΟ1, ΡΕ 9/8 , ΜΙ 81/64 , ΦΑ 4/3 , ΣΟΛ3/2 , ΛΑ 27/16 , ΣΙ 243/128 και ΝΤΟ2 Την περίοδο της Αναγέννησης, με τη ραγδαία πρόοδο της επιστήμης, αλλά και με τη διάθεση του ευρωπαϊκού κόσμου να απαλλαγεί από τις προλήψεις, τη θρησκοληψία και τον σκοταδισμό του Μεσαίωνα, η μουσική απαίτησε και αυτή τη δική της ελευθερία. Η ανάπτυξη της πολυφωνίας, της συγχορδίας και των μουσικών έργων με πολλές μετατροπίες που έγινε δυνατή μετά τον συγκερασμό της κλίμακας, έδωσε μια ποικιλομορφία και άνοιξαν καινούργιοι ορίζοντες στη μουσική σύνθεση και ακρόαση. Φαίνεται όμως πως πλέον μετά από μια περίοδο ελευθερίας, πολλές φορές άσκοπης και εγκεφαλικής, οδεύει προς τον αυτοδέσμευσή της. Σ’ αυτό τον δρόμο χρειάζεται οι νέοι μουσικοί να ερευνήσουν και όσο μπορούν να αντιληφθούν τη φύση του μουσικού φαινομένου, για να μην περιπλανώνται άσκοπα σε αναζητήσεις μορφής ή ποικιλίας, αλλά να αποκτήσουν κάποια κριτήρια. Ίσως ο συνθέτης δεν δημιουργεί τη μουσική, αλλά χρειάζεται να την ανακαλύπτει μέσα στα πράγματα που υπάρχουν γύρω του και απλώς να την κάνει ήχο. Ίσως ο μυστικισμός του Πυθαγόρα και πολλών παραδόσεων των αρχαίων λαών να περιβάλλει απλώς την ουσία των αντιλήψεών τους. Πίσω από αντιλήψεις που μπορεί να φαίνονται μυστικιστικές ή θρησκευτικές δοξασίες υπάρχει η φιλοσοφία και η στάση ζωής χιλιάδων χρόνων, απλώς αυτή αποδίδεται με κάποιον τρόπο ποιητικό -όπως συνήθως οι παραδόσεις- και αυτό ίσως ξενίζει στην εποχή του ορθολογισμού και της ταχύτητας. Η αναζήτηση της αρμονίας του σύμπαντος που οι αρχαίοι κόσμοι αναζητούσαν στην μουσική, στους αριθμούς και τα σχήματα, η σύγχρονη επιστήμη την αναζητά στον


μικρόκοσμο, στον μακρόκοσμο και στις κοσμικές δονήσεις. Η διαφορά τους έγκειται στο ότι οι αρχαίοι λαοί δεν χρησιμοποίησαν την γνώση για να χωριστούν από την φύση, ούτε για να την υποτάξουν. Η γνώση δεν τους τροφοδοτούσε την αλαζονεία, αλλά τον θαυμασμό και την αγάπη για τον κόσμο που ανήκαν. Αντίθετα, ο σύγχρονος άνθρωπος προσπάθησε μέσω της επιστήμης και της δύναμης που του έδινε αυτή, να αυτοαναγορευτεί σε «Θεό», υψώθηκε πάνω από τη φύση σαν κυρίαρχος και βιώνει πλέον την μοναξιά και τον φόβο της μοναχικής του κορυφής. Αστρονομία. Στην Αστρονομία, πιθανολογείται πως πρώτος ο Πυθαγόρας ήταν αυτός που θεώρησε πως η γη είναι στρογγυλή. Ακόμη ήταν αυτός που δέχτηκε πρώτος πως η γη περιφέρεται γύρω από το «Κεντρικό Πυρ» (την «Εστία του Παντός») και δημιουργείται έτσι μια περιστρεφόμενη «ουράνια σφαίρα». Όμως οι Πυθαγόρειοι αργότερα ήταν αυτοί που έκανα γνωστή αυτή τη θεωρία και μάλιστα την ανέπτυξαν ακόμη περισσότερο. Πίστευαν δηλαδή πως γύρω από το κεντρικό πυρ δεν περιστρεφόταν μόνο η γη, αλλά περιστρέφονταν και άλλες σφαίρες: μια με όλους τους απλανείς αστέρες, ανά μία με τον Ήλιο και τη Σελήνη και ανά μια με τους τότε γνωστούς πλανήτες (Άρης, Ζευς, Κρόνος, Ερμής, Αφροδίτη). Για να συμπληρωθεί λοιπόν ο ιερός αριθμός δέκα (10), παραδέχτηκαν ότι υπάρχει και άλλο ένα ουράνιο σώμα με κυκλική κίνηση γύρω από το κοινό κέντρο, η «Αντίχθων».

Αυτό το σώμα δεν ήταν ορατό από τη Γη, γιατί δε φαινόταν από το κατοικημένο μέρος της. Ακόμη υποστήριζαν ότι οι αριθμητικοί λόγοι, από τους οποίους εξαρτάται η αρμονία στη Μουσική, θα πρέπει να συντελούν και στην αρμονική δομή του Σύμπαντος. Συνεπώς, από τις αποστάσεις μεταξύ των ουράνιων σωμάτων θα προκαλείται μια ουράνια Μουσική, την οποία όμως οι άνθρωποι δεν αντιλαμβάνονται, επειδή συνεχίζεται αδιάκοπα και αδιατάραχτα.

Η Μουσική των Ουράνιων Σφαιρών Πολλούς αιώνες πριν η ΝΑΣΑ αποδείξει την ύπαρξη την Μουσικής στο Σύμπαν, ο Πλάτων ονόμαζε την μουσική ως την ομορφιά του Σύμπαντος κι έλεγε ότι η «η Μουσική είναι η κίνηση του ήχου για να φτάσει την ψυχή και να της διδάξει την


αρετή», ότι «η μουσική είναι ένας ηθικός κανόνας. Δίνει ψυχή στο σύμπαν, φτερά στη σκέψη, απογειώνει τη φαντασία, χαρίζει χαρά στη λύπη και ζωή στα πάντα". Πιο πριν όμως ο Πυθαγόρας ο Σάμιος, αυτός ο μέγιστος των μεγίστων φιλόσοφος, μαθηματικός, γεωμέτρης και μουσικός, είχε φτάσει σε τέτοιο επίπεδο ευαισθησίας ώστε ν’ ακούει (όχι βέβαια με τα φυσικά αυτιά) τη συμφωνία του ουρανού, τη μουσική των ουράνιων σφαιρών και 6 αιώνες π.Χ. από τον Κρότωνα της Ιταλίας αυτός και οι μαθητές του “θεμελίωναν την θεωρία τους για τους αριθμούς. Ανακάλυπταν τις αρμονικές σχέσεις των αριθμών στη μουσική και βάσει αυτών ερμήνευσαν τον Σύμπαντα Κόσμο. Η μουσική για τους Πυθαγόρειους ήταν πάνω από όλα μαθηματικά. Η ουσία της ήταν οι αριθμοί και η ομορφιά της η έκφραση των αρμονικών σχέσεων των αριθμών. Η μουσική ήταν ακόμα η εικόνα της ουράνιας αρμονίας. Οι αρμονικές σχέσεις των αριθμών μεταφέρονταν στους πλανήτες. Οι πλανήτες καθώς περιστρέφονται παράγουν διάφορους μουσικούς ήχους, «αρμονία των σφαιρών», που δεν τους ακούμε” : «Εστίν ουν η ουσία των πραγμάτων αρμονία και αριθμός σφαιρών στρεφομένων»!! 2.500+ έτη μετά, στο σήμερα, η σύγχρονη επιστήμη έχει απόδειξη μέχρι κεραίας όλα όσα έλεγαν ο Πλάτων και ο Πυθαγόρας για την μουσική των ουράνιων σφαιρών. Όπως μας λέγει ο Ιάμβλιχος, στο «Περί Πυθαγόρειου βίου, 938 – 958», ο Πυθαγόρας χρησιμοποιώντας κάποιον άρρητο και δυσκολονόητο θεϊκό τρόπο, τέντωνε την ακοή του και προσήλωνε τον νου του στις «μεταρσίαις» (υπερκόσμιες) «του κόσμου συμφωνίαις», ακούοντας μυστικά, όπως έδειχνε, μόνον αυτός και κατανοώντας την καθολική των σφαιρών και των κατ’ αυτάς κινούμενων αστέρων αρμονία, που ήταν κάτι πληρέστερο από εκείνη των θνητών και απέδιδε «κατακορέστερον μέλος». Η υπερκόσμια αυτή συμφωνία, έλεγε, είναι αποτέλεσμα εξ ανόμοιων μεν και ποικίλων ταχύτατων ήχων και μεγεθών και συνακόλουθων στοιχείων, που έχουν αναμεταξύ τους εναρμονισθεί με κάποια μουσική διάταξη, αποτελούμενη από κίνηση και μελωδικότητα περιστροφή άμα και ποικιλόμορφη ωραιότητα. Από την υπερκόσμια αυτή συμφωνία εμπνεόμενος, σαν να είχε βάλει σε τάξη και αυτή λογική του νου του, όπως όταν μιλούμε για άσκηση σωματική, επινοούσε όσο ήταν δυνατόν κάποιες εικόνες ίδιες με αυτές που έβλεπε, τις οποίες παρείχε στους μαθητές του μιμούμενος με τα μουσικά όργανα και την φωνή την υπερκόσμια συμφωνία. Γιατί σε αυτόν μόνον από όλους τους ανθρώπους της γης θεωρούσε ότι ήταν κατανοητοί και μπορούσε να ακουσθούν οι κοσμικοί αυτοί φθόγγοι. Οι αρχαίου Έλληνες ταύτιζαν τα ουράνια σώματα ή ορθά τις τροχιές του με τις νότες της μουσικής, ήτοι ΝΤΟ, ΡΕ, ΜΙ, ΦΑ, ΣΟΛ, ΛΑ ΣΙ, ΝΤΟ, δηλαδή με τους νόμους της μουσικής. Κάτι που έχει επαληθευθεί από σύγχρονους επιστήμονες, ότι δηλαδή συγκεκριμένες νότες αποδίδουν συγκεκριμένα γεωμετρικά σχήματα – στερεά. ΠΗΓΗ: Η μουσική των Ουράνιων Σφαιρών http://thesecretrealtruth.blogspot.com/2011/10/blogpost_1067.html#ixzz1cXQOCBG5


Μέρος Γ: Συνέπειες και επιπτώσεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Ό άρρητος λόγος των αριθμών

Ο Πυθαγόρας διδάσκων μαθηματικά στην σχολή του Α.ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Άρρητος αριθμός ονομάζεται ο κάθε αριθμός ο οποίος δεν είναι δυνατό να εκφραστεί ως κλάσμα δυο ακέραιων, μη μηδενικών αριθμών (μ/ν, όπου μ και ν είναι μη μηδενικοί ακέραιοι αριθμοί), σε αντίθεση με τους ρητούς αριθμούς, οι οποίοι μπορούν να εκφραστούν ως κλάσμα ακεραίων. Παραδείγματα άρρητων αριθμών είναι το π ή το e (O αριθμός e στα ελληνικά λέγεται έψιλον ή απλά “ε”) είναι ένας άρρητος αριθμός και ταυτόχρονα η βάση των φυσικών ή νεπέριων λογαρίθμων. Συχνά καλείται και αριθμός του Όυλερ (Euler) ή σταθερά του Ναπιέρ. Eίναι ένας από τους σημαντικότερους αριθμούς στα μαθηματικά. Υπάρχει μια ποικιλία ισοδύναμων ορισμών του αριθμού e. Η αξία του, με προσέγγιση τριακοστού δεκαδικού ψηφίου είναι:e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352. Οι άρρητοι αριθμοί είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί οι οποίοι δεν είναι ρητοί. Οι άρρητοι αριθμοί έχουν άπειρο αριθμό, μη επαναλαμβανόμενων περιοδικά, δεκαδικών ψηφίων. Πεπεισμένοι οι Πυθαγόρειοι, ότι τα πάντα στον κόσμο (= κόσμημα από το ρήμα κοσμώ) είναι αναλογίες φυσικών αριθμών προσπάθησαν να βρουν το λόγο της διαγωνίου δ προς την πλευρά α ενός τετραγώνου αλλά και το λόγο της πλευράς προς τη διαγώνιο ενός κανονικού πενταγώνου που μάλιστα το είχαν και έμβλημά τους. Δηλαδή προσπάθησαν να βρουν ένα τμήμα μ (κοινό μέτρο) ώστε δ = κ∙μ και α = λ∙μ (οπότε ο λόγος δ/α θα ήταν ίσος με κ/λ). Οι ιστορικοί μιλάνε για μια από τις


μεγάλες στιγμές των Μαθηματικών και ταυτόχρονα για την πρώτη μεγάλη κρίση στα θεμέλιά τους. Οι Πυθαγόρειοι έκαναν πρώτοι τη διαπίστωση ότι τα τμήματα δ και α είναι ασύμμετρα. Δεν είναι δυνατόν να βρεθεί ένα κοινό μέτρο όσο και αν μικραίνει το μ και έτσι ο λόγος δ/α δεν μπορεί να γραφεί ως κλάσμα (λόγος) φυσικών. Είναι άρρητος λόγος. Οι Πυθαγόρειοι έτσι ήρθαν αντιμέτωποι με το άπειρο, την επ’ άπειρο χωρίς αποτέλεσμα ελάττωση του μ. (Με σημερινή ορολογία τα άπειρα δεκαδικά ψηφία χωρίς καμία περιοδικότητα που προσεγγίζουν έναν άρρητο αριθμό). Κατασκεύασαν όμως ένα σύστημα «ανθυφαιρετικών γνωμόνων» με το οποίο διαπίστωσαν την περιοδικότητα του (με σημερινή ορολογία) συνεχούς κλάσματος που αναπαριστά το λόγο δ/α (τη σημερινή ρίζα 2 ), και επινόησαν τους πλευρικούς-διαμετρικούς αριθμούς. (Με σημερινούς όρους δύο ισοσυγκλίνουσες ακολουθίες στο ρίζα 2, η μια με έλλειψη και η άλλη με υπερβολή). Κατόρθωσαν έτσι να καθυποτάξουν αυτήν την απειρία και να φθ��σουν στο θαυμαστό επίτευγμα να μπορούν να προσεγγίσουν οσονδήποτε το λόγο διαγώνιος/πλευρά ενός τετραγώνου. Πυθαγόρεια Εγκλήματα Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι ο θεός είναι η Μονάδα (1). Η ιδέα ήταν η εξής: τα πάντα γύρω μας είναι αριθμοί και οπουδήποτε και αν κοιτάξουμε βλέπουμε αριθμούς: 2 άνθρωποι, 5 δέντρα, 7 πέτρες, 3 άλογα κ.λ.π. Άρα οι αριθμοί φτιάχνουν τον Κόσμο. Όμως, όλους τους αριθμούς τους φτιάχνει η μονάδα (2=1+1 ή 5=1+1+1+1+1). Επομένως, ο αριθμός 1 δημιούργησε τα πάντα γύρω μας...το 1 είναι ο θεός! Όταν ρωτούσαν τον Πυθαγόρα για τους δεκαδικούς όπως το 1,5 απαντούσε: το 1,5 είναι ρητός, δηλαδή ένα κλάσμα: 1,5=3/2. Και το κλάσμα δημιουργήθηκε απο τους αριθμούς 3 και 2, τους οποίους δημιούργησε η Μονάδα. Οπότε και τους δεκαδικούς τους δημιουργεί η Μονάδα. Κάποτε ένας μαθητής του, ο Ίππασος, πειραματιζόταν με το θεώρημα του Δασκάλου: το Πυθαγόρειο Θεώρημα (σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών του). Αναρωτήθηκε πόσο θα ήταν η υποτείνουσα, αν το ορθογώνιο τρίγωνο είχε τις δυο κάθετες πλευρές ίσες με τη μονάδα. Τότε, το τετράγωνο της υποτείνουσας θα πρέπει να ισούται με 1+1. Δηλαδή, υπάρχει κάποιος αριθμός που αν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του ισούται με 2! Σήμερα γνωρίζουμε ότι αυτός ο αριθμός είναι η ρίζα του 2 και τον ονομάζουμε άρρητο: δεν υπάρχει κλάσμα


ακεραίων που να ισούται με αυτόν. Αυτό σημαίνει ότι είναι αδύνατον να δημιουργηθεί ο αριθμός αυτός απο τη μονάδα! Επομένως, υπάρχουν αντικείμενα στο Κόσμο που δεν μπορεί να τα δημιουργήσει η Μονάδα! Η κοσμοθεωρία του Δασκάλου είχε καταρρεύσει... Ο Ιππασος πνίγηκε μυστηριωδώς σε ένα ναυάγιο. Στον Κρότωνα, στην πόλη της Κάτω Ιταλίας στην οποία βρισκόταν η Πυθαγόρεια Σχολή, ξέσπασαν ταραχές. Οι περισσότεροι Πυθαγόρειοι δολοφονήθηκαν. Το Ομακοείο παραδόθηκε στις φλόγες. Ο ίδιος ο Πυθαγόρας φυγαδεύθηκε στο Μεταπόντιο. Η Πυθαγόρεια φιλοσοφία όμως δεν πέθανε. Οι νεοπυθαγόρειοι όπως ονομάστηκαν έδρασαν στην Ελλάδα μέχρι αιώνες αργότερα.

Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Φ Εισαγωγή Ένας από τους επηρεασμούς της Τέχνης από αυτές τις αναζητήσεις των Πυθαγορείων είναι ότι σε αυτούς πιστώνεται ιστορικά η πρώτη μελέτη του δεύτερου λόγου που αναφέρθηκε προηγουμένως, αυτού της διαγωνίου προς την πλευρά ενός κανονικού πενταγώνου, του περίφημου αριθμού Φ, της χρυσής τομής.

Της πιο αρμονικής διαίρεσης ενός τμήματος σε δύο άνισα τμήματα. Οι Αρχαίοι Έλληνες δεν τον ονόμαζαν ούτε Φ ούτε χρυσή τομή, τον ονόμαζαν διαίρεση σε μέσο και άκρο λόγο, όπως τουλάχιστον εμφανίζεται αργότερα στα «Στοιχεία του Ευκλείδη». Οι Ευρωπαίοι κατά την Αναγέννηση, έκπληκτοι διαπίστωσαν τη γνώση και χρήση του από τους αρχαίους Έλληνες. Τον έλεγαν θεία αναλογία (divina proportione) και έχουμε πάρα πολλές μαρτυρίες για τη χρήση του στην Αναγέννηση (Luca Paccioli, Davinci κ.α.). Χρυσή τομή τον ονόμασε ο Martin Ohm Γερμανός


μαθηματικός, αδερφός του γνωστού φυσικού περίπου το 1835. Φ τον ονόμασε ο Mark Barr Αμερικανός μαθηματικός στις αρχές του 20ου αιώνα προς τιμή του Φειδία από το αρχικό του γράμμα και έκτοτε είναι γνωστός ως «number phi» ή «golden ratio». Ο μεγάλος Kepler έλεγε ότι δύο είναι τα διαμάντια της Γεωμετρίας, το ένα είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα και το άλλο αυτή η διαίρεση σε μέσο και άκρο λόγο. Υπάρχει μεγάλη συζήτηση για τον υπερτονισμό της αισθητικής αξίας της χρυσής τομής, αυτό όμως δεν μειώνει καθόλου την αξία της Πυθαγόρειας αναζήτησης για τις αναλογίες. Γιατί κατόπιν τη σκυτάλη πήραν οι Μαθηματικοί της Ακαδημίας του Πλάτωνος, ο Θεαίτητος και ο μεγάλος Εύδοξος. Ο Εύδοξος και αργότερα ο Αρχιμήδης έθεσαν τις βάσεις για το σύστημα των πραγματικών αριθμών στο οποίο σήμερα βασίζεται όλος ο απειροστικός λογισμός. Πιο συγκεκριμένα, ο Εύδοξος στον οποίο αποδίδεται ολόκληρο το 5ο βιβλίο των στοιχείων του Ευκλείδη έδωσε μια επέκταση της έννοιας της αναλογίας, έναν ορισμό που ουσιαστικά ισοδυναμεί με τις τομές που εισήγαγε ο μαθηματικός Dedekind (1831–1916), ως ένα τρόπο κατασκευής των πραγματικών αριθμών από το σύνολο των ρητών. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ: Απόσπασμα από σειρά άρθρων δημοσιευμένα στο περιοδικό "Ευκλείδης" της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας.Τα άρθρα αυτά περιέχονται και στο φυλλάδιο "Τέχνη και Μαθηματικά" που διανέμεται από το μουσείο Ηρακλειδών στα σχολεία που το επισκέπτονται. http://maths-art.blogspot.com/2009/02/blog-post_26.html

O αριθμός Φ έχει πάρει το όνομα του - Συμβολισμό από τον ΦΕΙΔΙΑ , ο οποίος ήταν ο πρώτος που τον χρησιμοποίησε . Ο Φειδίας ήταν Αθηναίος Γλύπτης (5ος αιώνας π.Χ) και στενός συνεργάτης του Περικλή (Τρία αγάλματα της Αθηνάς έστεισε ο Φειδίας στην Ακρόπολη: την Πρόμαχο, τη Λημνία και τη Χρυσελεφάντινη .... Όμοιο σε μέγεθος και υλικά κατασκευής ήταν και το άγαλμα του χρυσελεφάντινου Δία της Ολυμπίας, έργο του ίδιου γλύπτη και ένα από τα επτά θαύματα του αρχαίου κόσμου.)


Ο χρυσός κανόνας εμφανίζεται πολύ συχνά σε καταστάσεις, αντικείμενα και διαδικασίες των οποίων η λειτουργία εξελίσσεται σε βήματα, αλλά όχι πάντα και απαραίτητα. Ο εν λόγω αριθμός έχει να κάνει και με την αρμονία, γι' αυτό και συχνά συναντάται στην τέχνη ή στη γεωμετρία Πατέρας του ΧΡΥΣΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - Φ - είναι ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ . Ο Πυθαγόρας (585 - 500 π.Χ.) γεννήθηκε στη Σάμο, αλλά έζησε και έδρασε στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας.Ο Πυθαγόρας είναι ένας από τους μεγαλύτερους αρχαίους Έλληνες φιλοσόφους και ιδρυτής της Πυθαγόρειας σχολής. Πυθαγόρας είναι ο πρώτος που ονόμασε τον εαυτό του "φιλόσοφο" και ο πρώτος που ανακάλυψε τα μουσικά διαστήματα από μία χορδή , ανύψωσε την γεωμετρία σε ελεύθερη επιστήμη, γιατί θεώρησε τις αρχές της από πάνω προς κάτω και όχι με βάση τα υλικά αντικείμενα.. Για τους πυθαγόρειους η ουσία των πραγμάτων βρίσκεται στους αριθμούς και στις μαθηματικές σχέσεις. - Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ και η "ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ" . Την φράση "ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ" σίγουρα την έχετε ακούσει. Χρησιμοποιείται ευρύτερα και σημαίνει να "βρούμε την σωστή λύση" , την κατάλληλη λύση δηλαδή που πρέπει ή που ταιριάζει σε κάποιο πολιτικό ή κοινωνικό ή οικονομικό θέμα κ.λ.π. Η "ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ" όμως έχει "ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ " , είναι γνωστή ως το "γεωμετρικό πρόβλημα" της "Χρυσής Τομής" . Το πρόβλημα της "ΧΡΥΣΗΣ ΤΟΜΗΣ" έχει ως εξής (με απλά λόγια): Να διαιρεθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα σε μέσο και άκρο λόγο , δηλ σε δύο μέρη τέτοια (μη ίσα μεταξύ τους) , ώστε το ένα να είναι μέσο ανάλογο του ευθύγραμμου τμήματος και του άλλου μέρους. Ακόμα πιο απλά ...: Να διαιρεθεί (το ευθύγραμμο τμήμα) σε εκείνο το σημείο όπου ο λόγος του "μικρότερου τμήματος" προς "το μεγαλύτερο τμήμα" να είναι ΙΣΟΣ με τον λόγο του "μεγαλύτερου τμήματος" προς το "συνολικό μήκος του τμήματος " .!!! ή αντιστρέφοντας τα κλάσματα ... Ο ΛΟΓΟΣ ΤΟΥ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΥ ΠΡΟΣ ΤΟ ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ = ΜΕ ΤΟΝ ΛΟΓΟ ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΜΗΚΟΣ (ΟΛΟ) ΠΡΟΣ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟ ΤΜΗΜΑ. Με την γεωμετρική κατασκευή του διαίρεσης (τομής) ενός ευθύγραμμου τμήματος σε ΜΕΣΟ και ΑΚΡΟ λόγο ασχολείται ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ στο σύγγραμμα του "ΣΤΟΙΧΕΙΑ" και το θέτει ως εξής : "Nα διαιρεθεί ευθύγραμμο τμήμα σε δύο μέρη τέτοια , ώστε το ορθογώνιο που έχει βάση το δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα και ύψος το μικρότερο από τα δύο τμήματα , να είναι ισοδύναμο προς το τετράγωνο που έχει πλευρά το άλλο τμήμα" . Ο όρος "ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ" για το πρόβλημα αυτό καθιερώθηκε το 1835 , επειδή θεωρήθηκε ότι με την τομή αυτή έχουμε το κριτήριο του ΩΡΑΙΟΥ στην Αρχιτεκτονική στην Ζωγραφική και γενικά σε όλες τις ΤΕΧΝΕΣ και όχι μόνο όπως θα διαπιστώσουμε στα επόμενα άρθρα μας. Κατά τον ΙΕ αιώνα ο Λούκα Πατσιόλι χρησιμοποιεί ευρύτατα την τομή αυτή στα συγγράμματα του για τα κανονικά στερεά σώματα και την ονομάζει "ΘΕΙΚΗΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑΝ" (δεν έχει και άδικο...) ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ Μαθηματική ανάλυση -Αριθμητική αναλογία έχουμε όταν σε μια ποσότητα προστεθεί μια άλλη ποσότητα.


-Γεωμετρική αναλογία έχουμε όταν μια ποσότητα πολλαπλασιαστεί με μία άλλη ποσότητα. Με λίγα λόγια: Αριθμητική αναλογία: πρόσθεση (+) Γεωμετρική αναλογία: πολλαπλασιασμός (x) Ο αριθμός [φ] παρουσιάζει και τις δύο ιδιότητες: Έστω χρυσό ορθογώνιο με πλάτος 1 cm. Αφού το μήκος ενός χρυσού ορθογωνίου ισούται με το πλάτος του επί [φ], έχουμε:

(Κόκκινο χρώμα: αρχικό ορθογώνιο - μπλε χρώμα: νέο ορθογώνιο) Πλάτος: 1 Μήκος: 1 x φ = φ Ας φτιάξουμε τώρα ένα νέο χρυσό ορθογώνιο με πλάτος το μήκος του αρχικού: Νέο πλάτος: φ Είδαμε ήδη ότι στα χρυσά ορθογώνια το μήκος ισούται με το πλάτος επί [φ], άρα Νέο μήκος: φ x φ Αυτό αποτελεί μια γεωμετρική αναλογία. Αλλά ξέρουμε ήδη ότι: Νέο μήκος = μήκος αρχικού ορθογωνίου + πλάτος α.ο. Νέο μήκος = φ + 1 Αυτό αποτελεί μια αριθμητική αναλογία. Αφού αυτές οι δύο εκφράσεις περιγράφουν το ίδιο πράγμα είναι ισοδύναμες, άρα: [φ] + 1 = [φ] x [φ] Ο Φ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Με κανόνα και διαβήτη Η χρυσή τομή ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ μήκους λ μπορεί να γίνει με κανόνα και διαβήτη.

Κατασκευάζουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές ΑΒ=λ και BC = λ/2, οπότε η υποτείνουσα AC θα είναι 5λ/2. Με το διαβήτη χαράσσουμε έναν κύκλο κέντρου C και ακτίνας λ/2,


οπότε προσδιορίζεται το σημείο D, σημείο τομής του κύκλου και της AC. Με κέντρο το Α χαράσσουμε έναν κύκλο ακτίνας AD, ο οποίος τέμνει την ΑΒ στο σημείο S. Εύκολα αποδεικνύεται ότι ΑΒ/ΑS = 5+1 ότι το S δηλαδή τέμνει την ΑΒ με χρυσή τομή.

Χρυσό τρίγωνο Χρυσό λέγεται κάθε ισοσκελές τρίγωνο στο οποίο ο λόγος της μεγάλης πλευράς προς τη μικρή θα είναι ίσος με φ. Κάθε ισοσκελές με γωνία κορυφής 360 είναι χρυσό. Μ��ορούμε να το αποδείξουμε φέρνοντας τη διχοτόμο μιας από τις παρά τη βάση γωνίες – στο σχήμα της Β – τα τρίγωνα ABC και ABD είναι όμοια, οπότε (AC) = φ(AB)

Η διχοτόμος της γωνίας Β = 720 δημιουργεί απέναντι πλευρά χρυσή τομή

στην

ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ FΙBONACCI ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Η ακολουθία αριθμών στην οποία ο κάθε αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων είναι γνωστή ως ακολουθία Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, ... (κάθε αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων). Επιπλέον, ο λόγος δύο διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας τείνει προς την αποκαλούμενη Χρυσή Τομή, ή Χρυσή αναλογία, ή Αριθμόφ =1.618033989. Ο αντίστροφος της Χρυσής Τομής 1/φ= 0.618033989, με αποτέλεσμα να ισχύει: 1/φ=φ-1. Ένα ορθογώνιο τετράπλευρο του οποίου ο λόγος των πλευρών είναι ίσος με 1/φ ονομάζεται Χρυσό Ορθογώνιο. Η ακολουθία Fibonacci παράγεται από τη σχέση f(1) = f(2) = 1 , f(n+1) = f(n) + f(n-1), και απαντάται συχνά σε πολλούς τομείς των μαθηματικών και των άλλων επιστημών. Είναι όμως σημαντικό και το πόσο συχνά συναντάται στη φύση, σε μοτίβα όπως τα λουλούδια ή τα φύλλα των φυτών.


"Οι αριθμοί Fibonacci είναι το αριθμητικό σύστημα της φύσης. Εμφανίζονται παντού στη φύση, από τη διάταξη των φύλλων στα φυτά μέχρι το μοτίβο των πετάλων στα λουλούδια, τις πευκοβελόνες, ή τα στρώματα του φλοιού ενός ανανά. Φαίνεται πώς οι αριθμοί Fibonacci σχετίζονται με την ανάπτυξη κάθε ζωντανού οργανισμού, ενός κυττάρου, ενός σπυριού σταριού, μιας κυψέλης μελισσών, ακόμα της ίδιας της ανθρωπότητας. "

ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙ ΧΡΥΣΗΣ ΤΟΜΗΣ Ο χρυσός φ Στην άκρη του νήματος βρίσκονται πέντε ερωτήματα καθένα από τα οποία περιμένει την απάντησή του ΠΥΘΑΓΟΡΑ 1. Υπάρχει αριθμός τέτοιος ώστε εάν τον υψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί κατά μία μονάδα; Ποιος είναι αυτός ο αριθμός; 2. Υπάρχει αριθμός τέτοιος ώστε εάν τον ελαττώσεις κατά μία μονάδα να αντιστραφεί; Ποιος είναι αυτός ο αριθμός; 3. Χωρίζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα σε δύο κομμάτια. Στη γλώσσα της ελληνικής Γεωμετρίας λέμε ότι κάνουμε μια ΤΟΜΗ η οποία είναι ΧΡΥΣΗ εφόσον ο λόγος του μεγάλου προς το μικρό είναι ίσος με το λόγο ολόκληρου προς το μεγάλο. Ποια είναι η τιμή αυτού του λόγου; 4. Το κανονικό δεκάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο. Η ακτίνα του κύκλου είναι βέβαια μεγαλύτερη από την πλευρά του. Πόσες φορές; 5. Η ακολουθία Fibonacci1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025 . . Καθένας από τους όρους της προκύπτει από το άθροισμα των δύο που προηγούνται. αν = αν-1 + αν-2 . Αν φτιάξουμε μια ακολουθία με όρους τους λόγους των διαδοχικών όρων της ακολουθίας θα έχουμε

Θα διαπιστώσουμε ότι «συγκλίνει» σε κάποιο αριθμό. Ποιος είναι αυτός ο αριθμός; «Εκείνος» δοκίμασε να δώσει απαντήσεις στα τέσσερα από τα ερωτήματα. Όσο για το πέμπτο περίμενε τη δεκαετία του 1970 να ανακαλυφθεί το κομπιουτεράκι και τότε το «είδε» κάνοντας πράξεις. Δοκίμασε το πρώτο . Υπέθεσε ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο x x2= x + 1 x2-x-1= 0 x = (1+5) /2 Δοκίμασε το δεύτερο . Υπέθεσε ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο y y – 1 = 1/yy = (1+5) /2 Δοκίμασε το τρίτο. Υπέθεσε ότι ο ζητούμενος λόγος είναι ίσος με τον αριθμό z


z = α/β = β/γ ή α/β = β/(α-β) ή α(α-β) = β2 ή α2 – αβ –β2 = 0 ή ή α2 – αβ –β2 = 0 (α/β)2-(α/β) –1 = 0 z2–z-1 = 0 z = (1+5) /2 Δοκίμασε να απαντήσει στο τέταρτο. Σχεδίασε το δεκάγωνο και είδε ότι κάθε ισοσκελές τρίγωνο που

δημιουργείται με μία πλευρά (L) του δεκαγώνου και δύο ακτίνες (R) στα άκρα της είναι ισοσκελές με γωνία κορυφής 360., οπότε οι δύο άλλες γωνίες του είναι 720. Φέρνοντας τη διχοτόμο της ΟΑΒ είδε η γωνία ΟΑΔ θα είναι 360 και η ΟΔΒ = 720 άρα τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΔΑΒ θα είναι όμοια και ισχύει ΟΑ/ΑΒ = ΑΔ/ΔΒ . Αλλά ΟΑ =R ΟΔ=ΑΔ=ΑΒ=L και ΔΒ= R-L , οπότε R/ L= L/ R-LR2- RL- L2 = 0 R = L (1+5) /2 Η ακτίνα του κύκλου είναι (1+5) /2 φορές μεγαλύτερη από την πλευρά του κανονικού δεκαγώνου Το πέμπτο το αντιμετώπισε με ένα κομπιουτεράκι. Υπολόγισε με το κομπιουτεράκι, τις τιμές αυτών των λόγων, σε δεκαδικούς και είδε ότι 2/1 = 2 3/2 = 1,5000000 5/3 = 1,666666 8/5 = 1,6000000 13/8 = 1,6250000 21/13 = 1,6153846 34/21 = 1,6190476 55/34 = 1,617647 89/55 = 1,6181818 144/89 = 1,6179775 233/144 = 1,6180555 377/233 =1,6180257 610/ 377 = 1,6180371 987/610 = 1,6180327 1597/987=1,6810344 2584/1597=1,6180338 4181/2584 = 1,6180340 6765/4181 = 1,6180339 10946/6765 = 1,6180339 17711/10946 = 1,6180339 28657/17711 = 1,6180339 46368/28657 = 1,6180339 Διαπίστωσε ότι από τον λόγο 6765/4181 και μετά, το κομπιουτεράκι έφθανε στα φθάνει στα όρια του, στα δέκα δηλαδή ψηφία από τα οποία τα εννέα είναι


δεκαδικά. Οι λόγοι που ακολουθούν δεν είναι μεταξύ τους ίσοι αλλά το κομπιουτεράκι αδυνατεί να το δείξει. Του έδειχνε συνεχώς έναν αριθμό ο οποίος συμπίπτει σε εννέα δεκαδικά ψηφία με τον αριθμό φ. Και είναι γεγονός ότι το όριο της ακολουθίας που είχε δημιουργήσει ήταν ο φ. Το γενικό συμπέρασμα. Και στις τρεις περιπτώσεις ο ζητούμενος αριθμός είναι ίσος με (1+5) /2ή με επτά δεκαδικά ψηφία ίσος με 1, 6180339. . . ο αριθμός αυτός διεθνώς συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα φ Είναι ο λεγόμενος ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ή ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ.

Θεώρημα Στα μαθηματικά, ένα θεώρημα είναι μια πρόταση που αποδεικνύεται με βάση προηγουμένως αποδεκτές ή αποδεδειγμένες προτάσεις όπως τα αξιώματα. Η βασική ιδιότητα των θεωρημάτων είναι ότι παράγονται χρησιμοποιώντας ένα πεπερασμένο σύνολο από συμπερασματικούς κανόνες και αξιώματα χωρίς επιπλέον υποθέσεις. Αυτό δεν έχει να κάνει με τη σημασιολογία της γλώσσας: η έκφραση που προκύπτει από μια παραγωγή είναι συντακτική συνέπεια όλων των εκφράσεων που προηγούνται. Στα μαθηματικά, η παραγωγή ενός θεωρήματος ερμηνεύεται συχνά ως απόδειξη της αλήθειας της έκφρασης που προκύπτει, αλλά διαφορετικά παραγωγικά συστήματα μπορούν να δώσουν άλλες ερμηνείες, ανάλογα με το νόημα των κανόνων παραγωγής. Ορισμένα θεωρήματα είναι προφανή, με την έννοια ότι έπονται από ορισμούς, αξιώματα, και άλλα θεωρήματα με προφανή τρόπο, και οι αποδείξεις τους δεν περιέχουν ιδιαίτερα εκπληκτικούς και ενδιαφέροντες συλλογισμούς. Κάποια άλλα λέγονται βαθειά: οι αποδείξεις τους μπορεί να είναι εκτεταμένες και δύσκολες, να χρησιμοποιούν περιοχές των μαθηματικών που θεωρούνται μακρινές από τη διατύπωση του θεωρήματος, ή να καταδεικνύουν εκπληκτικές διασυνδέσεις μεταξύ απομακρυσμένων κλάδων των μαθηματικών. Ένα θεώρημα μπορεί να είναι απλό στη διατύπωσή του, αλλά να έχει βαθιά απόδειξη. Κλασσικό παράδειγμα είναι το τελευταίο θεώρημα του Φερμά, και υπάρχει πλήθος άλλων παραδειγμάτων από απλά, αλλά δύσκολα θεωρήματα στη θεωρία αριθμών και τη συνδυαστική, ανάμεσα σε άλλες περιοχές. Ορολογία Τα θεωρήματα συχνά υποδηλώνονται από αρκετούς άλλους όρους. Η ίδια η ετικέτα Θεώρημα φυλάσσεται για τα σημαντικότερα αποτελέσματα, ενώ τα


αποτελέσματα που είναι λιγότερο σημαντικά ή διακρίνονται με άλλους τρόπους ονομάζονται από την ακόλουθη ορολογία: 

Η πρόταση είναι μία δήλωση που δεν συνδέεται με κάποιο συγκεκριμένο θεώρημα. Αυτός ο όρος μερικές φορές υπονοεί για μια δήλωση ότι έχει απλή απόδειξη ή ότι είναι βασική συνέπεια ενός ορισμού που χρειάζεται να δηλωθεί αλλά είναι αρκετά εμφανής ώστε να μην χρειάζεται απόδειξη. Η λέξη πρόταση μερικές φορές χρησιμοποιείται για το δηλωτικό μέρος ενός θεωρήματος. Το λήμμα είναι ένα "προθεώρημα", μία δήλωση που σχηματίζει μέρος της απόδειξης ενός μεγαλύτερου θεωρήματος. Η διάκριση μεταξύ των θεωρημάτων και των λημμάτων είναι μάλλον αυθαίρετη, μιας και το μείζον αποτέλεσμα του ενός μαθηματικού είναι η ελάσσων αξίωση ενός άλλου. Το Λήμμα του Γκάους και το Λήμμα του Ζορν, για παράδειγμα, είναι αρκετά ενδιαφέροντα ώστε μερικοί συγγραφείς να τα παρουσιάζουν χωρίς να έχουν πρόθεση να τα χρησιμοποιήσουν στην απόδειξη κάποιου θεωρήματος.

Το πόρισμα είναι μια πρόταση που συνεπάγεται με μικρή ή και καθόλου απόδειξη από ένα άλλο θεωρήμα ή ορισμό. Αυτό σημαίνει ότι η πρόταση Β είναι πόρισμα της πρότασης Α αν η Β μπορεί γρήγορα να συναχθεί από την Α.

Η Αξίωση (ή αίτημα) είναι ένα απαραίτητο ή ανεξάρτητα ενδιαφέρον αποτέλεσμα που μπορεί να είναι μέρος της απόδειξης μιας άλλης δήλωσης. Παρά το όνομα, οι αξιώσεις πρέπει να αποδειχθούν.

Υπάρχουν και άλλοι όροι, που χρησιμοποιούνται λιγότερο συχνά, οι οποίοι προσδίδονται συμβατικά σε αποδεδειγμένες δηλώσεις, έτσι ώστε ορισμένα θεωρήματα να αναφέρονται με ιστορικά ή συνηθισμένα ονόματα. Για παράδειγμα: 

Ταυτότητα, που χρησιμοποιείται για θεωρήματα τα οποία δηλώνουν μια ισότητα μεταξύ δύο μαθηματικών εκφράσεων. Παραδείγματα αποτελούν η Ταυτότητα του Όιλερ και ηΤαυτότητα του Βαντερμόντ. Κανόνας, που χρησιμοποιείται για ορισμένα θεωρήματα, όπως ο Κανόνας του Μπαίυες και ο Κανόνας του Κράμερ, που αποδεικνύουν χρήσιμους τύπους.

Νόμος. Παραδείγμα αποτελούν ο Νόμος των μεγάλων αριθμών, ο Νόμος των συνημιτόνων και ο Νόμος μηδέν-ένα του Κολμογκόροφ.[4]

Αρχή. Παραδείγματα αποτελούν η Αρχή του Χαρνάκ, η Αρχή του ελαχίστου άνω φράγματος, και η Αρχή της θυρίδας.


Το Αντίστροφο ενός άλλου θεωρήματος. Για παράδειγμα, αν ένα θεώρημα δηλώνει ότι το Α έχει σχέση με το Β, τότε το αντίστροφό του θα δήλωνε ότι το Β έχει σχέση με το Α. Το αντίστροφο ενός θεωρήματος δεν είναι απαραιτήτως πάντα αληθές.

Λίγα πασίγνωστα θεωρήματα έχουν ακόμα πιο ιδιοσυγκρατικά ονόματα. Ο Αλγόριθμος διαίρεσης είναι ένα θεώρημα που εκφράζει το αποτέλεσμα της διαίρεσης στους φυσικούς αριθμούς και τους γενικότερους δακτυλίους. Το Παράδοξο των Μπανάχ–Τάρσκι είναι ένα θεώρημα στη Θεωρία μέτρου του οποίου το αποτέλεσμα αποτελεί παράδοξο καθώς βρίσκεται σε αν��ίθεση με την κοινή διαίσθηση για τον όγκο στον τρισδιάστατο χώρο. Μία μη-αποδεδειγμένη δήλωση που πιστεύεται πως είναι αληθής καλείται εικασία (ή ενίοτε υπόθεση, αλλά με διαφορετικό νόημα από το παραπάνω). Για να θεωρηθεί εικασία, μια δήλωση πρέπει συνήθως να προταθεί δημόσια, οπότε το όνομα του ατόμου που έκανε την πρόταση μπορεί να προσκολληθεί στην εικασία, όπως με την Εικασία του Γκόλντμπαχ. Άλλες διάσημες εικασίες αποτελούν η Εικασία του Κόλλατζ και η Υπόθεση του Ρίμαν. Εις άτοπον απαγωγή Η απαγωγή σε άτοπο (λατινικά reductio ad absurdum, καθαρεύουσα εις άτοπον απαγωγή) είναι μία από τις σημαντικότερες και συχνότερα χρησιμοποιούμενες μεθόδους μαθηματικής απόδειξης. Ωστόσο, η απαγωγή σε άτοπο δεν χρησιμοποιείται αποκλειστικά στα μαθηματικά και την τυπική λογική. Γενικότερα, είναι η συλλογιστική μέθοδος κατά την οποία αποδεικνύεται η αλήθεια μιας πρότασης με βάση το γεγονός ότι η αντίθετη της είναι ψευδής ή λανθασμένη. Η δομή του επιχειρήματος είναι τέτοια ώστε για να αποδειχθεί πως μία πρόταση είναι αληθής, ξεκινάμε από την υπόθεση πως η αντίθετη της είναι αληθής (δηλαδή η αρχική πρόταση είναι ψευδής),και καταλήγουμε σε ένα συμπέρασμα που αποτελεί αντίφαση. Τότε, εφόσον η αντίφαση προέκυψε από διαδοχή έγκυρων συλλογισμών προς ισοδύναμες προτάσεις, η αρχική πρόταση θα πρέπει να είναι σε κάθε περίπτωση αληθής. Ή αντίστοιχα, για να αποδειχθεί πως μία πρόταση είναι ψευδής, ξεκινάμε από την υπόθεση πως είναι αληθής, και καταλήγουμε σε ένα συμπέρασμα που αποτελεί αντίφαση. Τότε, εφόσον η αντίφαση προέκυψε διαδοχή έγκυρων συλλογισμών προς ισοδύναμες προτάσεις, η αρχική πρόταση θα πρέπει να είναι σε κάθε περίπτωση ψευδής. Που βρίσκονται όμως οι ρίζες της αποδεικτικής διαδικασίας, μιας διαδικασίας που έπαιξε καθοριστικό ρόλο στην πορεία εξέλιξης των μαθηματικών; Ξεκίνησε από το Θαλή, αναπτύχθηκε από τον Πυθαγόρα και τους Πυθαγορείους ενώ


συστηματοποιήθηκε από τον Πλάτωνα και τον Αριστοτέλη. Οι πρώτες μέθοδοι απόδειξης κάνουν την εμφάνισή τους κατά τον 6ο-5ο πΧ αιώνα όπου η ανάπτυξη της φιλοσοφίας στην Ελλάδα χαρακτηρίζεται από τα λεγόμενα «λογικά μαθηματικά», αυτά δηλαδή που ακολουθούν τους κανόνες της λογικής. Οι πρώτες αποδεικτικές μέθοδοι, κάτω από την επίδραση των σοφιστών και των Πυθαγορείων, είναι διαισθητικές και εμπειρικές, και προτεραιότητα είχε η οπτική αναπαράσταση. Κατά την περίοδο, όμως, του 4ου-3ου πΧ αιώνα, κάνουν την εμφάνισή τους τα λεγόμενα «παραγωγικά και αξιωματικά μαθηματικά». Τότε, λόγω της επίδρασης της Ελεατικής φιλοσοφίας και του Πλάτωνα, αναδείχθηκε η ανάγκη χειρισμού ιδεατών αντικειμένων και οι μέθοδοι αποδείξεων χάνουν τον εμπειρικό τους χαρακτήρα και ακολουθούν την αυστηρότητα των κανόνων της λογικής και της αξιωματικής θεμελίωσης της Γεωμετρίας. Επιπλέον, η απόδειξη που βασίζεται σε κανόνες κυριάρχησε έναντι στην οπτική αναπαράσταση. ΠΗΓΕΣ: www.stangrist.com/fibonacci.htm ellinon-pnevma.blogspot.com users.sch.gr/kassetas/ed0math24.htm http://www.atopo.gr/egkiklopedika/136/ http://grmath4.phpnet.us/mathimatika.htm http://www.ethnos.gr/article.asp?catid=22733&subid=2&pubid=72063 http://el.wikipedia.org/wiki/%CE% http://douligeris.com/?p=732 http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_triantafyllou.dimos.pdf http://www.artofwise.gr/html/categories_content/epistimes/xrysoskanonas.html

Γεωμετρική Άλγεβρα Γύρω στον 4ο με 5ο αιώνα δηλαδή κατά την εποχή του Πλάτωνα ένα είδος μαθηματικών η ‘’αριθμητική άλγεβρα,, η οπoία ήταν καθιερωμένη εκείνη την εποχή, αντικαταστάθηκε από την γεωμετρική άλγεβρα. Σε αυτή (για εκείνη την εποχή) νέα άλγεβρα, δεν επιτρεπόταν η πρόσθεση ευθειών και εμβαδόν ή εμβαδόν και όγκων. Αυτό το είδος μαθηματικών καθιέρωσε το ότι κάθε εξίσωση ή τύπος (που τότε είχαν ανακαλύψει οι μεσοποτάμιοι π.χ. xy=Α , x+- y=b) έπρεπε να ερμηνεύονται γεωμετρικά. Η γεωμετρική άλγεβρα (και ιδιαίτερα η ελληνική), δίνει την εντύπωση στον σύγχρονο αναγνώστη ότι είναι υπερβολικά τεχνητή και δύσκολη. Η άποψη τους αυτή όμως, αμφισβητήθηκε από αυτούς που ασκήθηκαν και χρησιμοποίησαν τις πράξεις της, την θεωρούσαν ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο. Μια χαρακτηριστική ιδιότητα είναι η επιμεριστική a(b+c+d)=ab+ac+ad, που για τους νέους έλληνες σπουδαστές δεν είναι προφανής. Ο αρχαίος έλληνας μπορούσε εύκολα να θεωρήσει τα εμβαδά των ορθογωνίων στο παραπάνω θεώρημα, το οποίο απλά λέει ότι το ορθογώνιο με πλευρές το a και το άθροισμα των τμημάτων b,c.d έχει το ίδιο εμβαδόν με το άθροισμα των ορθογωνίων με πλευρές a και


b,a και c και a και d. Επίσης, η ταυτότητα (a + b)2=a2+2ab+b2 είναι προφανής από το σχήμα που παρουσιάζει τα τρία τετράγωνα και τα δύο ίσα ορθογώνια της ταυτότητας.

a2

ab

ab

b2

Γιατί όμως, οι Αρχαίοι Έλληνες, και ιδιαίτερα οι Πυθαγόρειοι ήταν αυτοί που έθεσαν τις βάσεις για τη γεωμετρική άλγεβρα; Για τους Πυθαγόρειους, οι αριθμοί ήταν «η αρχή του Σύμπαντος», ο κόσμος δημιουργήθηκε «καθ΄ ομοίωσιν των αριθμών», ο ουρανός ήταν για αυτούς «αρμονία και αριθμοί». Και, όπως αναφέρει ο Αριστοτέλης (Μετά τα Φυσικά Α 5), υποστήριζαν αυτές τις απόψεις ακριβώς γιατί ασχολούνταν οι ίδιοι με τα μαθηματικά. Θα έλυναν αυτοί οι ικέτες των αριθμών τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις όχι αριθμητικά αλλά χρησιμοποιώντας ευθύγραμμα τμήματα και χωρία μόνο και μόνο για την απόλαυση του ορατού; Είναι δύσκολο να το πιστέψει κανείς. Πρέπει να υπήρχε κάποια άλλη θεώρηση για τη γεωμετρικοποίηση της άλγεβρας. Και πράγματι, αυτή δεν είναι δύσκολο να βρεθεί: είναι η ανακάλυψη της ασυμμετρίας. Η διαγώνιος του τετραγώνου δεν είναι σύμμετρη με την πλευρά. Αυτό σημαίνει ότι όταν η πλευρά επιλεγεί ως μονάδα μήκους, η διαγώνιος δεν μπορεί να μετρηθεί. Το μήκος της δεν είναι δυνατόν να εκφραστεί ούτε με ακέραιο αριθμό, ούτε με κλάσμα. Για τους Πυθαγορείους, αριθμός σημαίνει ποσότητα, επομένως ακέραιος αριθμός. Η λογική τους αυστηρότητα ούτε τα κλάσματα ακόμα τους επέτρεψε να δεχτούν: τα αντικαθιστούσαν με λόγους ακεραίων. Οι ‘Ελληνες ενδιαφέρονταν για την ακριβή γνώση, για τη «διαγώνιο καθεαυτή», όπως λέει ο Πλάτων, και όχι για μια αποδεκτή προσέγγιση. Στο πεδίο των αριθμών, η εξίσωση x 2 = 2 δεν μπορεί να επιλυθεί, όπως επίσης και στο πεδίο των λόγων των αριθμών. Αλλά είναι δυνατόν να επιλυθεί στο πεδίο των ευθυγράμμων τμημάτων: πράγματι, η διαγώνιος του μοναδιαίου τετραγώνου είναι μια λύση. Κατά συνέπεια, προκειμένου να επιλύσουμε ακριβώς τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις, πρέπει να περάσουμε από το πεδίο των αριθμών σε εκείνο των γεωμετρικών μεγεθών. Η γεωμετρική άλγεβρα είναι έγκυρη και για τα άρρητα ευθύγραμμα τμήματα και είναι, παρ’ όλα αυτά μια ακριβολογική επιστήμη. Είναι επομένως, η λογική αναγκαιότητα και όχι η απλή απόλαυση του ορατού, εκείνη που υποχρέωσε τους Πυθαγόρειους να μετατρέψουν την άλγεβρά τους σε γεωμετρική μορφή. Βιβλιογραφία

 

B.L.Van Der Waerden «Η Αφύπνιση της Επιστήμης», Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης Carl B. Boyer-Uta C. Merzbach «Η ιστορία των Μαθηματικών» εκδόσεις Γ.Α. Πνευματικού


Ευπαλίνειο όρυγμα

Το Ευπαλίνειο όρυγμα

Το Ευπαλίνειο όρυγμα είναι μια σήραγγα μήκους 1036 μέτρων κοντά στο Πυθαγόρειο της Σάμου, η οποία κατασκευάστηκε κατά τον 6ο αιώνα π.Χ. για να χρησιμεύσει σαν υδραγωγείο. Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό του ήταν ότι ανοίχθηκε ταυτόχρονα και από τις δυο πλευρές του βουνού: το όρυγμα αυτό ήταν αμφίστομον όπως το χαρακτήρισε ο Ηρόδοτος, χάρις στον οποίον έγινε γνωστό. Οι δυο σήραγγες συναντήθηκαν περίπου στο μέσον με αξιοθαύμαστη ακρίβεια, κάτι που ήταν σημαντικό επίτευγμα για τα τεχνολογικά δεδομένα της εποχής. Ένα μέρος του ορύγματος είναι σήμερα επισκέψιμο. Το Ευπαλίνειο όρυγμα είναι ένα μηχανικό έργο, αξεπέραστο στην ιστορία της μηχανικής τεχνολογίας και τεκμήριο του υψηλού επίπεδου τεχνογνωσίας των Ελλήνων μηχανικών και των ολοκληρωμένων γνώσεών τους στην εφαρμογή της Γεωμετρίας, της Τοπογραφίας, της Γεωδαισίας και της Οπτικής στην αρχαία Ελλάδα πολύ πριν από τον 6ο αιώνα π.Χ. Ο αρχιτέκτονας Ευπάλινος χρησιμοποίησε το Πυθαγόρειο θεώρημα για να φτιάξει αυτό το μηχανικό θαύμα για την εποχή του στο νησί της Σάμου.


Ιστορικά στοιχεία

Τομή που δείχνει τις δυο σήραγγες (1)-η κύρια σήραγγα, (2)-η μικρότερη για τον αγωγό του νερού και (3) κάθετο όρυγμα πρόσβασης Η κατασκευή του ορύγματος έγινε με εντολή του τυράννου Πολυκράτη και εκτιμάται ότι η κατασκευή του κράτησε 10 χρόνια. Ο σχεδιαστής και μηχανικός του έργου ήταν ο Ευπαλίνος, γιος του Ναυστρόφου από τα Μέγαρα. Το άνοιγμα της σήραγγας είναι περίπου 1.80x1.80 μ. και το μήκος της 1036 μέτρα. Μερικά μέτρα κάτω από την κύρια σήραγγα έχει σκαφτεί μια μικρότερη, από την οποία περνούσε το νερό. Εκτιμάται ότι ο σκοπός του ορύγματος ήταν όχι μόνο να μεταφερθεί νερό από την πηγή πίσω από το βουνό προς στην πρωτεύουσα της Σάμου (το σημερινό Πυθαγόρειο), αλλά αυτό να γίνει με τρόπο που δεν ήταν ανιχνεύσιμος από επιδρομείς, οι οποίοι θα μπορούσαν εύκολα, αν έβλεπαν τον επιφανειακό αγωγό, να τον καταστρέψουν και να στερήσουν την πόλη από τον βασικότερο πόρο της. Από το όρυγμα λοιπόν το νερό οδηγούνταν μέσα από το τείχος της πόλης. Ο λόγος για τον οποίο υπάρχουν δυο παράλληλες σήραγγες, είναι ότι κατά το χρόνο σχεδιασμού και υλοποίησης του έργου η πηγή βρισκόταν σε ορισμένο ύψος (υψηλότερο από το επίπεδο της στοάς), αλλά μετά την κατασκευή της κύριας στοάς, η πηγή άρχισε να αναβλύζει χαμηλότερα, συνεπώς δε μπορούσε πλέον με φυσική ροή να οδηγηθεί στη στοά αυτή. Για το λόγο αυτό έγινε αναγκαία η διάνοιξη μιας βοηθητικής, μικρότερης σήρ��γγας, σε χαμηλότερο επίπεδο. Η μικρότερη σήραγγα διανοίχτηκε μέσα από την κύρια στοά, με τη βοήθεια κάθετων ορυγμάτων. Ο Ηρόδοτος, η μοναδική πηγή που έχουμε για το Ευπαλίνιο όρυγμα, περιγράφει και την κύρια αλλά και τη βοηθητική σήραγγα. Σύγκριση μεγεθών που αναφέρει ο Ηρόδοτος: Όρος με ύψος 150 οργιές. Το όρος αυτό έχει ύψος περίπου 225 μέτρα. Υπολογιζόμενο μήκος της οργιάς σε μέτρα 1,50 μέτρα Μήκος του ορύγματος: 7 στάδια. Το μήκος του είναι 1036 μέτρα. Το κάθε στάδιο είχε 100 οργιές. Το μέγεθος που αναφέρεται από τον Ηρόδοτο, 7 στάδια, αντιστοιχεί σε 700 οργιές, δηλαδή με βάση το υπολογιζόμενο μήκος οργιάς (1,5 μέτρο), το μήκος του ορύγματος υπολογίζεται σε 1050 μέτρα.


Ύψος και πλάτος 8 πόδια. Το ύψος και πλάτος του είναι περίπου 1,8 μέτρα κατά μέσο όρο. Η κάθε οργιά είχε 6 πόδια. Με βάση το υπολογιζόμενο μήκος οργιάς (1,5 μέτρο) το κάθε πόδι ήταν 0,25 μέτρα, και το ύψος και πλάτος του ορύγματος υπολογίζεται σε 2 μέτρα Πηγες:http://6epal-esp-thess.thess.sch.gr/webquest/gr/task.html http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%95%CF%85%CF%80%CE%B1%CE%BB%CE %AF%CE%BD%CE%B5%CE%B9%CE%BF_%CF%8C%CF%81%CF%85%CE%B3%CE %BC%CE%B1

Αρχιτεκτονική και Κατασκευές 

Στον κόσμο της αρχιτεκτονικής και των κατασκευών κτιρίων το πυθαγόρειο θεώρημα είναι απαραίτητο ιδιαίτερα σε κατασκευές με τριγωνικό σχήμα όπως στέγες και αετώματα καθώς και στους υπολογισμούς διαστάσεων. σχέση με τριγωνικό σχήμα στέγες και τα αετώματα.

Πλοήγηση 

Σημαντική είναι η μέθοδος τριγωνισμού για την επισήμανση μιας θέσης όταν είναι γνωστά τα δυο σημεία αναφοράς και με τη βοήθεια μιας γωνίας 90 μοιρών. Τα κινητά τηλέφωνα μπορούν να ανιχνευθούν μέσω της μεθόδου του τριγωνισμού. Τα συστήματα πλοήγησης αυτοκινήτων βασίζονται σε αυτή τη μέθοδο. Τριγωνισμός μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί σε συνδυασμό με μια πυξίδα για τον προσδιορισμό της γεωγραφικής θέσης ενός ατόμου. Επίσης η NASA χρησιμοποιεί επίσης τριγωνισμό για να καθορίσει τη θέση του διαστημικού σκάφους, στέλνει ένα μήνυμα προς το σκάφος, το οποίο επιστρέφει στη συνέχεια το σήμα πίσω. Χρησιμοποιώντας αυτά τα στοιχεία οι επιστήμονες υπολογίζουν τη θέση του σκάφους στο διάστημα..

Τοποθεσία Σεισμός 

Οι γεωλόγοι χρησιμοποιούν επίσης το Πυθαγόρειο Θεώρημα για την παρακολούθηση της σεισμικής δραστηριότητας. Οι σεισμοί είναι αποτέλεσμα δυο διαφορετικού τύπου κυμάτων- ένα που είναι πιο αργό και ένα άλλο ταχυτερο.Με τον τριγωνισμό υπολογίζουν την απόσταση που διανυθηκε από το ταχύτερο κύμα και την απόσταση που διανυθηκε από το αργό κι έτσι προσδιορίζουν το κέντρο και την πηγή του σεισμού.

Έρευνα τόπου εγκλήματος 

Σημαντική είναι η συμβολή του πυθαγορείου και στην Ιατροδικαστική ανακριτές το χρησιμοποιούν για τον προσδιορισμό της τροχιάς της σφαίρας τροχιά αυτή που ονομάζεται τροχιά Bullet δείχνει την πορεία του βλήματος πριν από την πρόσκρουση και δίνει πληροφορίες για την προέλευση της σφαιρας.Ακομη,


μπορούν να υπολογίσουν την απόσταση του πυροβολισμού και την γωνία πρόσκρουσης κι έτσι μπορούν να διαπιστώσουν αν ο θάνατος προηλθε από αυτοκτονία ‘η ανθρωποκτονία καθώς και τις θέσεις του θύματος και του δράστη κατά τη διάρκεια της επίθεσης.

Arrow ή τροχιάς Πυραύλων 

Τοξότες χρησιμοποιούν το Πυθαγόρειο θεώρημα για να καθοριστεί η σωστή πορεία για να χτυπήσει ένα στόχο. Εάν οι υπολογισμοί είναι ακριβείς, το βέλος θα χτυπήσει. Αν όχι, το βέλος μπορεί να είναι χαμηλότεροι ή χάσετε το σήμα. Καθοδηγούμενη πυραυλικά συστήματα χρησιμοποιούν μια παρόμοια μέθοδο για να χτυπήσει με ακρίβεια τους στόχους τους.

Read more: Real Life Χρήσεις του Πυθαγόρειο θεώρημα | eHow.com


Pithagoras project