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ENGENHARIA ECONÔMICA I

Edson de Oliveira Pamplona José Arnaldo Barra Montevechi

2001


SUMÁRIO • CAPÍTULO I - GENERALIDADES • CAPÍTULO II - MATEMÁTICA FINANCEIRA II.1 - Juros Simples II.2 - Juros Compostos II.3 - Fluxo de Caixa II.4 - Relações de Equivalência II.5 - Séries Perpétuas II.6 - Taxa Efetiva, Nominal e Equivalente

II.1 II.2 II.4 II.5 II.16 II.17

• CAPÍTULO III - ANÁLISE DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTOS III.1 - Generalidades III.2 - Taxa Mínima de Atratividade III.3 - Critérios Econômicos de Decisão III.4 - Circunstâncias Específicas III.5 - Problemas Propostos

III.1 III.1 III.2 III.9 III.13

• CAPÍTULO IVa – DEPRECIAÇÃO DO ATIVO IMOBILIZADO IVa.1 – O Ativo Imobilizado IVa.2 – Métodos de Depreciação

IVa.1 IVa.5

• CAPÍTULO IVb - INFLUÊNCIA DO IMPOSTO DE RENDA IVb.1 – Influência do Imposto de Renda IVb.2 – Lucro tributável negativo IVb.3 – Somente custos

IVb.1 IVb.3 IVb.5

• CAPÍTULO V - FINANCIAMENTOS V.1 - Amortização de Dívidas V.2 - Exercícios Propostos

V.1 V.7

• CAPÍTULO VI - ANÁLISE DE SENSIBILIDADE • CAPÍTULO VII - ANÁLISE DA VIABILIDADE ECONÔMICA DE UM PROJETO INDUSTRIAL • REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS • TABELAS FINANCEIRAS 2


CAPÍTULO I - GENERALIDADES

Os estudos sobre engenharia econômica iniciaram nos Estados Unidos em 1887, quando Arthur Wellington publicou seu livro "The Economic Theory of Railway Location", texto que sintetizava análise de viabilidade econômica para ferrovias. Engenharia econômica é importante para todos que precisam decidir sobre propostas tecnicamente corretas, e seus fundamentos podem ser utilizados tanto para empresas privadas como estatais. Todo o fundamento da engenharia econômica se baseia na matemática financeira, que se preocupa com o valor do dinheiro no tempo. Pode-se citar como exemplos de aplicação: • • • •

Efetuar o transporte de materiais manualmente ou comprar uma correia transportadora; Fazer uma rede de abastecimento de água com tubos grossos ou finos; Substituição de equipamentos obsoletos; Comprar carro a prazo ou à vista.

Para fazer um estudo econômico adequado alguns princípios básicos devem ser considerados, sendo os seguintes: a) devem haver alternativas de investimentos. É infrutífero calcular se é vantajoso comprar um carro à vista se não há condições de conseguir dinheiro para tal; b) as alternativas devem ser expressas em dinheiro. Não á possível comparar diretamente 300 horas/mensais de mão de obra com 500 Kwh de energia. Convertendo os dados em termos monetários teremos um denominador comum muito prático. Alguns dados entretanto são difíceis de converter em dinheiro. Exemplos que ocorrem muito nos casos reais são: boa vontade de um fornecedor, boa imagem da empresa ou status. São os chamados intangíveis; c) só as diferenças entre as alternativas são relevantes. Numa análise para decidir sobre o tipo de motor a comprar não interessa sobre o consumo dos mesmos se forem idênticos; d) sempre serão considerados os juros sobre o capital empregado. Sempre existem oportunidades de empregar dinheiro de maneira que ele renda alguma coisa. Ao se aplicar o capital em um projeto devemos ter certeza de ser esta a maneira mais rendosa de utiliza-lo; e) nos estudos econômicos o passado geralmente não é considerado; interessa-nos o presente e o futuro. A afirmação: "não posso vender este carro por menos de $ 3


10000 porque gastei isto com ele em oficina" não faz sentido, o que normalmente interessa é o valor de mercado do carro. Os critérios de aprovação de um projeto são os seguintes: • critérios financeiros: disponibilidade de recursos; • critérios econômicos: rentabilidade do investimento; • critérios imponderáveis: fatores não convertidos em dinheiro. Neste curso, a atenção especial será sobre os critérios econômicos, ou seja, a principal questão que será abordada é quanto a rentabilidade dos investimentos.

4


CAPÍTULO 2 – MATEMÁTICA FINANCEIRA A Matemática Financeira se preocupa com o valor do dinheiro no tempo. E pode-se iniciar o estudo sobre o tema com a seguinte frase: “NÃO SE SOMA OU SUBTRAI QUANTIAS EM DINHEIRO QUE NÃO ESTEJAM NA MESMA DATA” Embora esta afirmativa, seja básica e simples, é absolutamente incrível como a maioria das pessoas esquecem ou ignoram esta premissa. E para reforçar, todas as ofertas veiculadas em jornais reforçam a maneira errada de se tratar o assunto. Por exemplo, uma TV que à vista é vendida por R$500,00 ou em 6 prestações de R$100,00, acrescenta-se a seguinte informação ou desinformação: total a prazo R$600,00. O que se verifica que soma-se os valores em datas diferentes, desrespeitando o princípio básico, citado acima, e induzindo a se calcular juros de forma errada. Esta questão será melhor discutida em item deste capítulo. Uma palavra que é fundamental nos estudos sobre matemática financeira é JUROS. Para entendermos bem o significado desta palavra vamos iniciar observando a figura II.1 a seguir. Cada um dos fatores de produção é remunerado de alguma forma. Como pode-se entender, então, os juros é o que se paga pelo custo do capital, ou seja, é o pagamento pela oportunidade de poder dispor de um capital durante determinado tempo. A propósito estamos muito acostumados com "juros", lembrem dos seguintes casos: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

compras à crédito; cheques especiais; prestação da casa própria; desconto de duplicata; vendas à prazo; financiamentos de automóveis; empréstimos.

Como pode-se ver o termo é muito familiar se lembrarmos do nosso dia a dia. Podemos até não nos importar com a questão, mas a pergunta que se faz é: o quanto pagamos por não considerarmos adequadamente a questão? E concluindo, nota-se a correspondência entre os termos "juros" e "tempo", que estão intimamente associados. A seguir será discutido o que é juros simples e juros compostos, além de outros pontos importantes em matemática financeira.

II.1 - JUROS SIMPLES Ao se calcular rendimentos utilizando o conceito de juros simples, tem-se que apenas o principal, ou seja o capital inicial, rende juros. O valor destes juros pode ser calculado pela seguinte fórmula: J=P.i.n


onde: • • • •

P = principal J = juros i = taxa de juros n = número de períodos

O valor que se tem depois do período de capitalização, chamado de valor futuro (F), pode ser calculado por: F=P+J F = P + P.i.n F = P(1 +i.n) A fórmula acima é pouco utilizada, porque na maioria dos cálculos em matemática financeira usa-se juros compostos que será discutido a seguir.

Salário

Aluguel

Trabalho

Terra

Técnica

Administração

Lucros

Capital

Royalty

JUROS

Figura II.1 - Fatores da produção considerados em economia

6


II.2 - JUROS COMPOSTOS Com juros compostos, no final de cada período, o juro é incorporado ao principal ou capital, passando assim a também render juros no próximo período. Podemos deduzir a expressão da seguinte maneira: •

No primeiro período: F1 = P + P . i = P . (1 + i)

No segundo período: F2 = F1 + F1 . i = F1 . ( 1 + i) = P . (1 + i).(1 + i) = P . (1 + i)2

No terceiro período: F3 = F2 + F2.i = F2 . (1 + i) = P . (1 + i)2. (1 + i) = P . (1 + i)3

Se generalizarmos para um número de períodos igual a n, tem-se a expressão geral para cálculo de juros compostos, dada por: F = P . (1 + i)n A fórmula acima é muito utilizada, e através dela pode-se constatar que para o primeiro período o juros simples é igual aos juros compostos. EXEMPLO II.1 - Para um capital de R$ 100.000,00 colocado a 20% a.a. durante 3 anos, qual o valor futuro para os casos de considerarmos juros simples e juros compostos? FIM DO ANO

JUROS SIMPLES

JUROS COMPOSTOS

O 1 2 3

7


EXEMPLO II.2 - Vamos fazer uma aplicação em CDB de R$ 30.000 a uma taxa de 1,9 % para um período de 35 dias. Qual o valor da rentabilidade líquida e dos juros? Em relação a poupança esta aplicação é interessante?

II.3 - FLUXO DE CAIXA É a representação gráfica do conjunto de entradas (receitas) e saídas (despesas) relativo a um certo intervalo de tempo. Um exemplo de fluxo de caixa pode ser visto na figura II.2.

entradas (receitas)

tempo dias, meses,anos....

despesas operacionais, manutenção, etc...

Figura 2 - Fluxo de caixa A engenharia econômica vai trabalhar com gráficos do tipo da figura II.2, assim como os fundamentos da matemática financeira. Os gráficos de fluxo de caixa devem ser feitos do ponto de vista de quem faz a análise. Para entender este conceito, vamos imaginar que uma máquina custa R$ 20.000,00 à vista ou 5 prestações de R$ 4.800,00. Para a venda a vista o fluxo de caixa é diferente do ponto de vista do comprador para o do vendedor, isto pode ser visto na figura II.3. 8


4.800,00 comprador 0

1

2

3

4

5

20.000,00 20.000,00 0 1

2

3

4

5

vendedor

4.800,00

Figura II.3 - Fluxo de caixa sobre diferentes pontos de vista

II.4 - RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA As relações de equivalência permitem a obtenção de fluxos de caixa que se equivalem no tempo. Para calcular as relações uma ferramenta que é muito utilizada é a tabela financeira. A simbologia que será utilizada é: • • • • • •

i = taxa de juros por período de capitalização; n = número de períodos a ser capitalizado; P = quantia de dinheiro na data de hoje; F = quantia de dinheiro no futuro; A = série uniforme de pagamento; G = série gradiente de pagamento;

II.4.1 - Relações entre P e F Esta relação de equivalência pode ser entendida pela a observação da figura II.4 a seguir.

F

0 1

P

2

dado P

n

0 1

2

n

achar F Figura II.4 - Equivalência entre P e F 9


O valor F pode ser obtido por: F = P . (1 + i)n O fator (1 + i)n é chamado de fator de acumulação de capital de um pagamento simples. Este fator é encontrado nas tabelas para diversos i e n. Outra maneira de se apresentar a forma analítica, com o objetivo de se utilizar as tabelas é a seguinte expressão: F = P . (F/P,i,n) O termo (F/P,i,n) é uma forma mnemônica de se representar (1 +i)n. Para achar P a partir de F, o princípio é o mesmo apresentado no caso anterior. A expressão analítica é: P = F/(1 + i)n O fator 1/(1 +i)n é chamado de valor atual de um pagamento simples. A forma mnemônica, para consulta em tabelas é: P = F . (P/F,i,n) O termo (P/F,i,n) é também encontrado nas tabelas.

EXEMPLO II.3 - Conseguiu-se um empréstimo de R$ 10.000,00 em um banco que cobra 5% ao mês de juro. Quanto deverá ser pago se o prazo do empréstimo for de cinco meses. Resolver o problema analiticamente e utilizando as tabelas anexas.

10


EXEMPLO II.4 - Achar o valor do fluxo caixa abaixo no período 4 a uma taxa de 5% a. p.

200 0

300 1

2

3

4

100

5

6

8

7

400

EXEMPLO II.5 - Uma aplicação financeira de R$ 200.000,00 rendeu após 7 meses o valor de R$ 300.000,00. Qual a taxa mensal "média" de juros desta aplicação?

EXEMPLO II.6 - Uma aplicação de R$ 200.000,00 efetuada em uma certa data produz, à taxa composta de juros de 8% ao mês, um montante de R$370.186,00 em certa data futura. Calcular o prazo da operação.

11


II.4.2 - Relações entre A e P Esta relação de equivalência pode ser entendida pela a observação da figura II.5 a seguir.

A 0 1

2

n

0 1

P

dado A

2

n

achar P

Figura II.5 - Equivalência entre A e P Para se calcular P a partir de A, pode-se deduzir a seguinte expressão: P = A (1 +i) -1 + A (1 + i) -2 + A(1 +i) -3 + ..... + A (1 +i) -n P = A [ (1 + i) -1 + (1 + i) -2 + (1 +i) -3 + ..... + (1 +i) -n] Nota-se que o termo que multiplica A é o somatório dos termos de uma PG, com número limitado de elementos, de razão (1+ i)-1. A soma dos termos pode ser calculada pela seguinte expressão:

S

a - a .r = 1 n n 1- r

Que resulta em:

n   -1 (1 + i)  P =A  n    (1 + i) . i  A outra maneira de se calcular P, mas utilizando as tabelas é representada por:

P = A (P / A, i, n) O termo (P/A, i, n), que é chamado de valor presente de uma série uniforme, é encontrado nas tabelas financeiras e é igual a :

12


(P / A, i, n) =

( 1 + i)

n

(1 + i)

n

- 1 .i

Das expressões que relacionam P e A, pode-se chegar a maneira de se calcular A a partir de P. Esta relação é dada por:

n   .i ( 1 + i )  A=P  n  = P ( A/P , i, n )   (1 + i) − 1  O termo (A/P, i, n) é conhecido como fator de recuperação de capital de uma série uniforme de pagamentos, muito utilizado para cálculo de prestações no comércio.

EXEMPLO II.7 - Um empresário pretende fazer um investimento no exterior que lhe renderá US$ 100.000 por ano, nos próximos 10 anos. Qual o valor do investimento, sabendo-se que o empresário trabalha com taxa de 6% ao ano?

EXEMPLO II.8 - O que é mais interessante, comprar um carro usado por R$ 4.000,00 à vista, ou R$ 4.410,00 em 3 vezes, sendo a primeira prestação no ato da compra?

13


EXEMPLO II.9 - Vale a pena pagar à vista com 20% de desconto ou a prazo em 3 pagamentos iguais, sendo o primeiro hoje?

EXEMPLO II.10 - Calcular a prestação de um financiamento de valor de R$2.000,00 com 8 pagamentos iguais, considerando uma taxa de 13 % ao mês. Calcular a taxa real em relação à inflação.

EXEMPLO II.11 - Calcular na data zero a equivalência para os fluxos de caixa. Para o item a, a taxa de juros é de 15% e para b igual 20% a) 10000

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

anos

14


b) 10000 0

1

2

3

4

5

6

7

anos

15000

II.4.3 - Relações entre F e A Esta relação de equivalência pode ser entendida pela a observação da figura II.6 a seguir.

A

0 1

2

dado A

n

0 1

2

achar F

n

F

Figura II.6 - Equivalência entre A e F Para se calcular F a partir de A, pode-se deduzir a seguinte expressão: F = A + A (1 +i) 1 + A (1 + i) 2 + A(1 +i) 3 + ..... + A (1 +i) n -1 F = A [ 1 + (1 + i) 1 + (1 + i) 2 + (1 +i) 3 + ..... + (1 +i) n - 1] 15


Nota-se que o termo que multiplica A é o somatório dos termos de uma PG, semelhante a relação entre P e A vista antes, com número limitado de elementos, de razão (1+ i) 1. A soma dos termos calculada pela fórmula de somatório dos termos de uma PG finita leva a seguinte expressão:

n   -1 (1 + i)  F =A    i   A outra maneira de se calcular F, mas utilizando as tabelas é representada por:

F = A (F / A, i, n) O termo (F/A, i, n), que é chamado de fator de acumulação de capital de uma série uniforme, é encontrado nas tabelas financeiras e é igual a :

n ( 1 + i) - 1 (F / A, i, n) = i Das expressões que relacionam F e A, pode-se chegar a maneira de se calcular A a partir de F. Esta relação é dada por:   i   = F (A/F, i, n) A=F n    (1 + i) − 1  O termo (A/F, i, n) é conhecido como fator de formação de uma série uniforme de pagamento.

EXEMPLO II.12 - Quanto deve-se depositar anualmente numa conta a prazo fixo que paga juros de 12% ao ano, para se ter R$ 500.000,00 daqui a 14 anos?

16


II.4.4 - Séries Gradiente As séries gradiente possuem a forma esquemática apresentada na figura II.7. Nota-se que para a utilização das tabelas financeiras elas necessariamente precisam ter as formas apresentadas na figura. Esta série é utilizada, algumas vezes, para se estimar gastos com manutenção. Principalmente em equipamentos mecânicos, que com o passar do tempo, normalmente necessitam de maiores desembolsos da empresa, para mantê-los funcionando adequadamente.

(n-1)G 3G 2G G

0

1

0

2

1

3

2

n

4

3

n

4

G 2G 3G (n-1)G

Figura II.7 - Séries gradiente Do mesmo modo que as relações apresentas nos outros itens, a série gradiente pode ser transformada em valor presente, valor futuro ou série uniforme, que podem ter estas relações de equivalência representadas por:

P = G (P/G, i, n) A = G (A/G, i, n) F = G (F/G, i, n) 17


Para utilizar estas relações é necessário a consulta as tabelas financeiras. Não serão aqui mostradas as relações analíticas, que como nos casos anteriores também existem. EXEMPLO II.13 - Calcular na data zero a equivalência para os fluxos de caixa.

0

1

2

3

4

5

a) Taxa = 10%

100 110 120 130 140 0

1

2

3

4

5

b) Taxa = 10%

1000 1200 1400 1600 1800

8000

900 800

c)

700 Taxa = 12%

600 0

1

2

3

4

500 5

18


II.5 - SÉRIES PERPÉTUAS Estas séries também chamadas infinita ou custo capitalizado, tem estes nomes devido a possuírem um grande número de períodos. Este é um fato comum em aposentadorias, mensalidades, obras públicas, etc... O valor presente da série uniforme infinita é:

n   -1 (1 + i)  P =A  n    (1 + i) . i  n   -1 (1 + i)  P = lim n → ∞ A  n    (1+ i) . i    1 1   P = A lim n → ∞ − n  i (1 + i) .i  

P=A.

1 i

EXEMPLO II.14 - Quanto deverei depositar em um fundo com a finalidade de receber para sempre a importância anual de R$ 12.000,00 considerando ser a taxa anual de juros igual a 10%?

EXEMPLO II.15 - Qual a menor quantia que um grupo deve cobrar hoje, para dar uma renda anual de R$ 6.000?

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II.6 - TAXA EFETIVA, NOMINAL E EQUIVALENTE Taxa efetiva de juros é aquela em que a unidade de tempo coincide com a unidade do período de capitalização. Como exemplo pode-se pensar 140 % ao ano com capitalização anual, esta é uma taxa efetiva pois há coincidência entre as unidades de tempo da taxa e o período de capitalização. Outro exemplo de taxa efetiva é 10% ao mês com capitalização mensal, que da mesma maneira é uma taxa efetiva. A taxa efetiva é que tem de ser utilizada na maioria dos cálculos em matemática financeira e engenharia econômica, por isto tem de estar muito claro seu significado e a equivalência entre ela e outras maneiras de se apresentar taxas de juros. Vejamos primeiramente a equivalência entre duas taxas efetivas: F

0 1

2

12 meses

P

12 F = P(1 + i m )

(1)

F

0

1 ano

P

1 F = P(1 + i A )

(2)

Como (1) = (2), tem-se que:

12 1 (1 + i m ) = ( 1 + i A ) Do mesmo modo, pode-se relacionar:

(1 + i d )

360

12 1 2 = (1 + i m ) = ( 1 + i A ) = (1 + i s )

20


A taxa nominal, ao contrário da efetiva, a unidade de tempo da taxa é diferente do tempo do período de capitalização. Como exemplo, pode-se pensar nos seguintes casos, 120% ao ano com capitalização mensal ou 15% ao mês com capitalização anual. É preciso tomar cuidado com o uso deste tipo de taxa em cálculos, freqüentemente ela é imprópria para o uso, e então é necessário convertê-la para uma efetiva correspondente. Existe confusão quanto a esta taxa, e muitas vezes é usada para mascarar realmente qual a taxa de juros que esta envolvida no empreendimento. Para converter taxa nominal em efetiva pode-se utilizar o seguinte raciocínio:

F

0 1

2

m

P

F=P(1 + i )

m

(1)

F

0

1

P

F=P(1 +iE) (2) Como

iN = i x m e (1) = (2), tem-se: (1 + i)

m

= (1 + iE)

iE = (1 + i)

 

iE = 1 +

m

-1 m

iN  m 

-1

21


Com a expressão acima pode-se converter uma taxa nominal em uma efetiva. Um cuidado importante quanto a esta taxas apresentadas, é o entendimento do conceito que esta por trás de cada uma. Na literatura existente e no próprio mercado financeiro existem diferenças quanto a nomenclatura. O que é necessário estar certo na hora de se fazer um cálculo é se o tempo da taxa coincide com seu período de capitalização. EXEMPLO II.15 - A taxa do sistema financeiro habitacional é de 12% ao ano com capitalização mensal, portanto é uma taxa nominal, achar a efetiva correspondente.

EXEMPLO II.16 - A taxa da poupança é de 6% ao ano com capitalização mensal, portanto é uma taxa nominal, achar a efetiva correspondente.

EXEMPLO II.17 - Qual o juro de R$ 2.000,00 aplicados hoje, no fim de 3 anos, a 20 % ao ano capitalizados mensalmente?

EXEMPLO II.18 - Qual a taxa efetiva anual equivalente a 15% ao ano capitalizados trimestralmente? 22


EXEMPLO II.19 - Calcular as taxas efetivas e nominal anual, correspondente a 13% ao mês?

EXEMPLO II.20 - Peço um empréstimo de R$ 1.000,00 ao banco. Cobra-se antecipadamente uma taxa de 15% sobre o valor que é entregue já líquido, e depois de um mês paga-se R$ 1.000,00. Qual a taxa efetiva de juros deste empréstimo?

23


CAPÍTULO III - ANÁLISE DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTOS

III.1 - GENERALIDADES Após a classificação dos projetos tecnicamente corretos é imprescindível que a escolha considere aspectos econômicos. E é a engenharia econômica que fornece os critérios de decisão, para a escolha entre as alternativas de investimento. Infelizmente, nem todos os métodos utilizados são baseados em conceitos corretos. Por esta razão é muito importante ter cuidado com uso de alguns destes métodos, e principalmente, conhecer suas limitações. Um dos métodos, que é muito utilizado, e que possui limitações do ponto de vista conceitual é o PAY-BACK ou método do tempo de recuperação do investimento. O método do PAY-BACK consiste simplesmente na determinação do número de períodos necessários para recuperar o capital investido, ignorando as consequências além do período de recuperação e o valor do dinheiro no tempo. Normalmente é recomendado que este método seja usado como critério de desempate, se for necessário após o emprego de um dos métodos exatos. Neste curso será estudado três métodos de avaliação, que convenientemente aplicados dão o mesmo resultado e formam a base da engenharia econômica. Estes métodos são exatos e não apresentam os problemas observados, por exemplo no PAY-BACK. Os métodos são: • • •

método do valor presente (VP); método do valor anual uniforme (VA); método da taxa interna de retorno (TIR).

Este métodos são equivalentes e indicam sempre a mesma alternativa de investimento, que é a melhor do ponto de vista econômico. Embora indicarem o mesmo resultado, existe é claro vantagens e desvantagens um em relação ao outro, e que serão comentadas ao longo do curso.

III.2 - TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE (TMA) Os métodos de avaliação que serão apresentados, para efeito de avaliar méritos de alternativas para investimento, apresentam como principal característica o reconhecimento da variação do valor do dinheiro no tempo. Este fato evidência a necessidade de se utilizar uma taxa de juros quando a análise for efetuada através de um deles. A questão é definir qual será a taxa a ser empregada. 24


A TMA é a taxa a partir da qual o investidor considera que está obtendo ganhos financeiros. Existem grandes controvérsias quanto a como calcular esta taxa. Alguns autores afirmam que a taxa de juros a ser usada pela engenharia econômica é a taxa de juros equivalente à maior rentabilidade das aplicações correntes e de pouco risco. Uma proposta de investimento, para ser atrativa, deve render, no mínimo, esta taxa de juros. Outro enfoque dado a TMA é a de que deve ser o custo de capital investido na proposta em questão, ou ainda, o custo de capital da empresa mais o risco envolvido em cada alternativa de investimento. Naturalmente, haverá disposição de investir se a expectativa de ganhos, já deduzido o valor do investimento, for superior ao custo de capital. Por custo de capital, entende-se a média ponderada dos custos das diversas fontes de recursos utilizadas no projeto em questão.

III.3 - CRITÉRIOS ECONÔMICOS DE DECISÃO III.3.1 - Método do valor presente (VP) O método do valor presente, também conhecido pela terminologia método do valor atual, caracteriza-se, essencialmente, pela transferência para o instante presente de todas as variações de caixa esperadas, descontadas à taxa mínima de atratividade. Em outras palavras, seria o transporte para a data zero de um diagrama de fluxos de caixa, de todos os recebimentos e desembolsos esperados, descontados à taxa de juros considerada. Se o valor presente for positivo, a proposta de investimento é atrativa, e quanto maior o valor positivo, mais atrativa é a proposta. A idéia do método é mostrada esquematicamente, na figura III.1 a seguir. dado 0

1

2

3

4

n

fluxo previsto obter VP

0

1

2

3

4

n

fluxo equivalente

Figura III.1 - valor presente EXEMPLO III.1- Numa análise realizada em determinada empresa, foram detectados custos operacionais excessivamente elevados numa linha de produção, em decorrência da utilização de equipamentos velhos e obsoletos. 25


Os engenheiros responsáveis pelo problema propuseram à gerência duas soluções alternativas. A primeira consistindo numa reforma geral da linha, exigindo investimentos estimados em $ 10.000, cujo resultado será uma redução anual de custos igual a $ 2.000 durante 10 anos, após os quais os equipamentos seriam sucateados sem nenhum valor residual. A segunda proposição foi a aquisição de uma nova linha de produção no valor de $ 35.000 para substituir os equipamentos existentes, cujo valor líquido de revenda foi estimado a $ 5.000. Esta alternativa deverá proporcionar ganhos de $ 4.700 por ano, apresentando ainda um valor residual de $ 10.705 após dez anos. Sendo a TMA para a empresa igual a 8% ao ano, qual das alternativas deve ser preferida pela gerência?

26


III.3.2 - Método do valor anual (VA) Este método caracteriza-se pela transformação de todos os fluxos de caixa do projeto considerado, numa série uniforme de pagamentos, indicando desta forma o valor do benefício líquido, por período, oferecido pela alternativa de investimento. É também chamado de valor anual uniforme. A idéia do método é mostrada na figura III.2. Como geralmente, em estudos de engenharia econômica a dimensão do período considerado possui magnitude anual, foi convencionada a adoção da terminologia Valor anual. O projeto em análise só será atrativo se apresentar um benefício líquido anual positivo, e entre vários projetos, aquele de maior benefício positivo será o mais interessante. dado 0

1

2

3

4

n

fluxo previsto obter

VA 0

1

2

3

4

n

fluxo equivalente

Figura III.2 - Valor anual

EXEMPLO III.2 - Resolver o exemplo III.1 pelo método do valor anual.

27


III.3.3 - Método da Taxa Interna de Retorno (TIR) Por definição, a taxa interna de retorno de um projeto é a taxa de juros para a qual o valor presente das receitas torna-se igual aos desembolsos. Isto significa dizer que a TIR é aquela que torna nulo o valor presente líquido do projeto. Pode ainda ser entendida como a taxa de remuneração do capital. A TIR deve ser comparada com a TMA para a conclusão a respeito da aceitação ou não do projeto. Uma TIR maior que a TMA indica projeto atrativo. Se a TIR é menor que a TMA, o projeto analisado passa a não ser mais interessante. O cálculo da TIR é feito normalmente pelo processo de tentativa e erro.

EXEMPLO III.3 - Resolver o exemplo III.1 pelo método da TIR.

Da solução do exemplo III.3 cabe uma reflexão. Através da análise pura dos resultados qual a melhor opção? Vamos colocar os resultados do VP, VA e TIR, na tabela a seguir. VP

VA

TIR

REFORMA COMPRA 28


Como falado anteriormente, os métodos sempre indicam a melhor alternativa de investimento, do ponto de vista econômico. As duas taxas de retorno do problema são superiores à taxa mínima de atratividade, portanto são propostas atrativas. Como a TIR da reforma é maior que alternativa de compra, deveria ser dada preferência à primeira, contrariando o resultado obtido pelos dois métodos anteriores. Entretanto o procedimento correto da análise indica que deve-se fazer um exame da taxa interna de retorno calculada para o fluxo da diferença entre os investimentos das propostas. No caso do exemplo, será melhor aplicar $30.000 na alternativa de compra obtendo um retorno de 12% a.a. ou será mais interessante investir $ 10.000 na alternativa de reforma com um retorno de 15,1% e os $20.000 de diferença à taxa mínima de atratividade? A análise incremental é um complemento necessário ao método da taxa interna de retorno na medida que se responde a este tipo de dúvida.

III.3.4 - Análise Incremental para o método da Taxa Interna de Retorno No caso de alternativas de investimento mutuamente exclusivas deve-se examinar a taxa de retorno obtida no acréscimo de investimento de uma em relação à outra. Sempre que esta taxa for superior à TMA, o acréscimo é vantajoso, isto faz com que a proposta escolhida não seja necessariamente a de maior taxa de retorno. Entretanto, para proceder a análise incremental deve-se certificar de que as propostas tenham TIR maior que a TMA.

EXEMPLO III.4 - Aplicar para o exemplo III.1 a análise incremental.

29


III.3.5 - Método da Taxa Interna de Retorno (TIR) e os fluxos de caixa que apresentam mais de uma inversão de sinal Na maioria dos fluxos de caixa, há apenas uma mudança no sinal, isto é, o investimento inicial (sinal negativo) geralmente resulta numa sequência de rendas líquidas ou economias de custo (sinais positivos). Essa situação normalmente leva a uma única solução. Entretanto, se ocorrer mais que uma inversão no sinal, surgirão outras taxas de retorno. Em álgebra, a regra de sinais de Descartes afirma que poderá haver tantas raízes positivas, quantas são as mudanças na direção do sinal do fluxo de caixa. Para entender o problema, consideremos o fluxo de caixa a seguir.

diagrama de fluxo de caixa 10.000 1.600 0

1

2

10.000

O equacionamento que permite o cálculo das taxas é:

30


0 = 1.600 - 10.000 x (1+ i)-1 + 10.000 x (1 +i)-2 Resolvendo esta equação chega-se a dois resultados, o primeiro é i = 25% e o segundo é i = 400%, que não apresentam significado econômico nenhum. Uma resolução apropriada para este problema requer a consideração de uma taxa de juros auxiliar. Por exemplo, para o fluxo anterior considera-se que os $1.600 do período 0 sejam reinvestidos a uma taxa auxiliar de 20% por um período. A taxa auxiliar pode ser a TMA. Desta forma o fluxo de caixa passará a ter apenas uma inversão de sinal, conforme pode-se observar a seguir. diagrama de fluxo de caixa 10.000

0

1

2

-10.000+1.600x(1+0,2) = - 8.080

O equacionamento que permite o cálculo da taxa é: 0 = -8.080 + 10.000 x (1+ i)-1 Resolvendo esta equação chega-se a apenas um resultado, sendo i = 23,8%.

III.4 - ANÁLISE DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTO SOB CIRCUNSTÂNCIAS ESPECÍFICAS III.4.1 - Alternativas com vidas diferentes Existem casos em que se torna necessário decidir entre propostas de investimento cujos horizontes de planejamento são diferentes. Por exemplo, considere a comparação entre duas propostas com duração estimadas de 6 e 12 anos. Como será aplicado o capital disponível depois do término do projeto mais curto, durante o período compreendido entre os términos de ambos projetos? A solução válida para este problema requer que todas as consequências das alternativas sejam levadas para um horizonte de planejamento comum. Supõe-se, por exemplo, que se admita a alternativa mais curta poder ser substituída ao fim de seis anos por uma outra idêntica. O procedimento comumente adotado para o caso de vidas diferentes é o seguinte: 31


• •

calcula-se o mínimo múltiplo comum das vidas das alternativas propostas; repete-se os fluxos tantas vezes até atingir este tempo.

Desta maneira compara-se alternativas de diferentes durações numa base temporal uniforme. O método do valor anual uniforme implicitamente já considera a repetição do investimento, tornando desnecessária a utilização do procedimento mencionado.

EXEMPLO III.5 - Uma certa operação pode ser executada satisfatoriamente tanto pela máquina X como pela máquina Y. Os dados pertinentes às duas alternativas são os seguintes:

Custo inicial Valor residual Vida de serviço em anos Despesas anuais

MÁQUINA X $ 6.000 0 12 $ 4.000

MÁQUINA Y $ 14.000 20% do custo inicial 18 $ 2.400

Comparar as alternativas, pelo método do valor presente, supondo uma taxa mínima de atratividade de 12% ao ano.

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III.4.2 - Existência de restrições financeiras Pode-se lidar com alternativas que são mutuamente exclusivas no sentido que apenas uma, das várias alternativas disponíveis, é necessária para preencher uma dada função, todas as outras tornam-se supérfluas. Outro tipo de exclusividade mútua, refere-se ao caso em que uma ou mais das alternativas podem ser aceitas, mas, devido às limitações de capital, nem todas as alternativas podem ser aceitas. Chama-se ao primeiro caso de exclusividade mútua "Financeira". Geralmente a cada ano as empresas elaboram uma relação de futuros investimentos, denominada "Orçamento de capital". Um fato que frequentemente ocorre nesta ocasiões é a limitação de recursos para financiar todas as solicitações provenientes das diversas gerências. A existência de restrições financeiras coloca a alta administração diante da necessidade de selecionar aquele conjunto de alternativas, o pacote orçamentário, economicamente mais interessante, cuja a demanda por recursos não supera o volume disponível.

EXEMPLO III.6 - Suponha que uma ou mais das propostas apresentadas na tabela a seguir podem ser aceitas porque não são tecnicamente equivalentes, isto é, cada uma desempenha função diferente.

Alternativa A B C

Investimento inicial 10.000 20.000 50.000

Benefícios anuais 1.628 3.116 7.450

Valor presente 1.982 2.934 4.832

Taxa interna de retorno 10% 9% 8%

SUPOSIÇÕES: a vida esperada de cada proposta é de 10 anos. O valor residual esperado de cada proposta é zero. A TMA é de 6% ao ano. O capital total disponível para o investimento é de $ 75.000.

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III.4.3 - Alternativas com vidas perpétuas O valor presente de uma série anual uniforme perpétua é conhecido como custo capitalizado. Sabe-se que:

n   -1 (1 + i)  P =A  n    (1 + i) . i  Para n tendendo para o infinito:

n   -1 (1 + i)  P = lim n → ∞ A  n   . i  (1 + i)  

1 1  P = A lim n → ∞  − n  i .i (1 + i)   P=A .

1 i

EXEMPLO III.7 - Seja um apartamento que possua as seguintes características: • • • •

investimento inicial = $ 100.000; vida do projeto = infinita; valor mensal de aluguel menos gastos do proprietário = $ 650; TMA = 1% ao mês

Calcular o Valor Econômico do Apartamento na data zero. Verificar a viabilidade do investimento.

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III.5 - PROBLEMAS PROPOSTOS 1) Numa análise das oportunidades para redução de custos efetuada pelo departamento de transporte de uma usina siderúrgica foi detectada a possibilidade de atingir-se tal objetivo, substituindo-se o uso de caminhões alugados, para transporte de produtos em processamento na área de laminação, por conjunto e tratores carretas. Se implementada a modificação, deverá haver uma redução anual de despesas da ordem de $ 350.000 correspondentes ao aluguel pago pelo uso de caminhões. Um estudo de simulação realizado determinou a necessidade de adquirir-se dois tratores e cinco carretas, totalizando um investimento de $ 350.000. Os custos de mão de obra, combustível e manutenção foram estimados em $ 200.000 no primeiro ano, aumentando anualmente $ 5.000, devido a elevação do custo de manutenção, proporcionado pelo desgaste dos veículos. Considerando-se a TMA da empresa igual a 8% ao ano, verificar a viabilidade da preposição, levando-se em conta que a vida econômica estimada para os equipamentos foi de cincos anos com valor residual nulo.

35


2) Determinada indústria pretende comprar uma máquina que custa $43.400 e estimou o seguinte fluxo de caixa: ANOS Valores

0 -43.400

1 10.000

2 9.000

3 8.000

... ...

8 3.000

9 2.000

10 11.000

Há uma previsão de aumento de lucro de $ 10.000 ao final do primeiro ano, $ 9.000 no segundo e assim sucessivamente. Ao final de 10 anos o equipamento poderá ser vendido por $ 10.000. Admitindo uma TMA de 6% ao ano, especifique as equações que permitam, com auxílio das tabelas, calcular o valor presente do fluxo de caixa.

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3) Duas escavadeiras estão sendo consideradas para a compra por uma empresa construtora, a GIANT e a TROJAN. Ambas tem capacidade requerida, mas a GIANT é considerada mais maciça que a TROJAN e acredita-se que terá vida mais longa. As estimativas dos aspectos que serão influenciados pela escolha são as seguintes:

Custo inicial da entrega Custo de manutenção no primeiro ano Acréscimo anual no custo de manutenção durante a vida da máquina Vida econômica Valor residual

TROJAN $40.000 $8.000 $800

GIANT $60.000 $5.000 $400

4 anos $4.000

6 anos $6.000

A máquina TROJAN requererá uma revisão custando $ 5.000 ao final do segundo ano. A máquina GIANT requererá uma revisão custando $ 4.000 ao final do terceiro ano. Compare os valores presente usando uma TMA de 15% ao ano.

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4) Resolver o problema anterior pelo critĂŠrio do valor anual uniforme.

38


5) Planeja-se construir um edifício de 3 andares. É esperado que alguns anos mais tarde, mais 3 andares deverão ser construídos. Dois projetos foram feitos: Projeto A: é um projeto convencional para um edifício de 3 andares. O custo é de $ 420.000. Projeto B: projeto para 6 andares, mas serão construídos somente 3, por enquanto. O custo inicial deste projeto é de $490.000. Com o projeto A serão gastos $500.000 para aumentar mais 3 andares numa data futura. Com o projeto B se gastará somente $400.000 pelo aumento de mais 3 andares. A vida dos edifícios é de 60 anos, com valor residual nulo. Os custos de manutenção serão $1.000 por ano mais baratos no projeto B que no projeto A, durante 60 anos. Outras despesas anuais, inclusive seguro, serão as mesmas para os dois projetos. Com taxas de descontos de 3% ao ano, qual a data do aumento de mais 3 andares que justifica a escolha do projeto B?

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6) Uma empresa está considerando dois planos alternativos para a construção de um muro ao redor de sua nova fábrica. Uma cerca como um "galinheiro" de aço galvanizado requer um custo inicial de $ 35.000 e custos anuais estimados de manutenção de $300. A vida esperada é de 25 anos. Uma parede de concreto requer um custo inicial de apenas $ 40.000, mas necessitará reparos pequenos a cada 5 anos a um custo de $ 1.000 e reparos maiores a cada 10 anos a um custo de $ 5.000. Supondo-se uma taxa de juros de 10% ao ano, e uma vida perpétua, determinar: a) o valor presente dos dois planos; b) o custo anual equivalente para os dois planos.

40


7) Os projetos X e Y são duas propostas mutuamente exclusivas. O projeto X requer um investimento presente de $ 250.000. As receitas anuais estimadas para 25 anos são de $ 88.000. As despesas anuais estimadas, sem o imposto de renda, são $ 32.000. O imposto de renda anual estimado é de $ 24.000. O projeto Y requer um investimento presente de $ 350.000. As receitas anuais estimadas para 25 anos são de $ 100.000. As despesas anuais estimadas, sem o imposto de renda são $ 40.000. Imposto de renda anual estimado: $ 24.000. Em cada projeto é estimado um valor residual de $ 50.000 ao final dos 25 anos. Assumindo uma TMA depois do imposto de renda de 9% ao ano, faça os cálculos necessários para determinar qual dos projetos é recomendado pelo critério da taxa interna de retorno.

41


8) Elabore o grรกfico: valor presente X taxa de desconto, e comente a respeito.

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9) Um fabricante de peças esta analisando uma modificação em seu processo de produção. Duas alternativas estão em consideração, sendo que ambas exigem a realização de inversões, resultando, em contrapartida, em redução dos atuais custos de produção. Cada uma das alternativas apresenta as seguintes características:

custo inicial redução anual de custos valor residual vida econômica

alternativa A $ 10.000 $ 2.400 nulo 8 anos

alternativa B $ 15.000 $ 2.700 nulo 8 anos

A alternativa A exigirá, contudo, após 5 anos de utilização, uma inversão adicional de $ 5.000 destinada a promover uma modificação no projeto original. Sendo o custo do capital para a empresa igual a 7% ao ano, verificar qual das alternativas é mais atrativa. Utilizar o método da taxa interna de retorno e admitir que, para fazer face ao desembolso no quinto ano de operação da alternativa A, será constituído um fundo de reserva a partir da capitalização de depósitos anuais iguais durante os cinco anos, a uma taxa de 10% ao ano.

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10) Uma empresa esta considerando a compra de um pequeno computador para seu departamento de pesquisas. Várias alternativas mutuamente exclusivas estão em estudo. As estimativas relativas a cada uma são: Computador

A B C D

Custo inicial computador $

280.000 340.000 380.000 440.000

do valor estimado $

residual economia anual líquida resultante do novo computador X condições existentes 240.000 46.000 280.000 56.000 310.000 62.000 350.000 72.000

A empresa pretende manter o computador durante 10 anos, época em que será vendido. Se a TMA é de 15% ao ano, usar o método do valor presente para determinar que alternativa deve ser escolhida.

44


11) Usar o mĂŠtodo da taxa de retorno para selecionar dentre as alternativas descritas no problema 10.

45


12) Um superintendente está estudando as seguintes propostas de investimentos que foram recebidas dos departamentos (E) produção, (F) controle da qualidade e (G) expedição: Proposta

Investimento inicial ($)

E1 E2 F1 F2 G1

2.000 4.000 4.000 8.000 4.000

Excesso anual de recebimentos sobre despesas ($) 275 770 1.075 1.750 1.100

As propostas E1 e E2 são mutuamente exclusivas por razões técnicas; F1 e F2 são também mutuamente exclusivas. Cada uma das alternativas tem vida esperada de 10 anos e valor residual zero. A firma adota uma TMA de 10% ao ano. a) Que propostas devem ser recomendadas se o capital para o investimento for ilimitado? b) Que propostas devem ser recomendadas se apenas $ 14.000 estiverem disponíveis para novos investimentos?

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CAP. 4a – DEPRECIAÇÃO DO ATIVO IMOBILIZADO O ATIVO IMOBILIZADO O Ativo Imobilizado é um subgrupo do Ativo Permanente que por sua vez é localizado no Ativo de uma empresa. O Ativo Imobilizado é registrado na contabilidade de uma companhia através de seu custo de aquisição. Este custo pode ser tanto aquele pago pelo ativo, quanto o seu custo de fabricação ou construção. No caso de compra de terceiros, o custo de aquisição é determinado pelo seu valor de compra mais os gastos complementares necessários à sua posse, instalação e funcionamento. Em resumo, o custo de aquisição normalmente é constituído de: • Valor de compra • Gastos com transporte do Bem • Prêmio de seguro pelo transporte • Gastos com a instalação • Gastos necessários à transferência do Bem.

Principais Grupos de Contas do Ativo Imobilizado Em vista da infinidade de tipos de ativos fixos, costuma-se agrupa-los em contas, cujos títulos indicam com razoável precisão a natureza dos bens nelas registrados. Os bens que compõem o Ativo Imobilizado podem ser, quanto à existência, de dois tipos: • Bens tangíveis • Bens intangíveis Os bens tangíveis são aqueles que existem fisicamente, que podem ser vistos, tocados e sentidos. As principais contas que agrupam os bens tangíveis são: •

Terrenos

Edificações

Máquinas e Equipamentos

Veículos

Móveis e Utensílios

Ferramentas

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Os bens intangíveis são aqueles que existem mas não podem ser vistos ou tocados. Representam direitos assegurados à companhia proprietária, ou seja, esta detém sua posse jurídica. Os principais tipos de bens intangíveis são: •

Patentes

Marcas de Indústria e de Comércio

Direitos de uso de processo (Know-How)

Direitos de Publicação

Direitos de Exploração e Extração

É conveniente lembrar que estes bens são considerados Ativo Imobilizado se forem destinados à manutenção da atividade da companhia.

Contabilidade da Depreciação Como norma básica a lei das sociedades por ações dispõe: No Balanço Patrimonial os elementos do Ativo Imobilizado serão registrados pelo custo de aquisição, deduzido o saldo da respectiva conta de depreciação, amortização ou exaustão. A diminuição de valor dos elementos do Ativo Imobilizado será registrada periodicamente nas contas de depreciação, quando corresponder à perda do valor dos direitos que tenham por objeto bens físicos sujeitos a desgaste ou perda de utilidade por uso, ação da natureza ou obsolescência. As depreciações vão sendo registradas a cada ano em contas específicas acumuladoras de saldo e em contrapartida esses valores serão computados como custo ou despesa operacional, em cada exercício social. Quando o bem chega a 100% de depreciação e ainda existir fisicamente (caso normal nas empresas) deixa de ser depreciado. O Ativo é baixado contabilmente quando for vendido, doado ou quando cessar sua utilidade para a empresa. Do ponto de vista econômico, e este é o conceito que deve ser adotado em estuodos de investimentos, a depreciação não é considerada como um custo, mas como uma fonte de recursos para as operações da firma que poderá ser utilizada a critério da administração. A depreciação é um custo ou despesa operacional sem desembolso. EXEMPLOS DE BENS SUJEITOS À DEPRECIAÇÃO • Prédios e Edificações • Veículos • Máquinas e Equipamentos • Móveis e Utensílios • Ferramentas EXEMPLOS DE BENS NÃO SUJEITOS À DEPRECIAÇÃO • Terrenos • Antigüidades 48


Obras de arte

Baixa do Ativo Imobilizado Os motivos mais freqüentes para a baixa do Ativo Imobilizado são a venda ou a cessação de utilidade para a companhia. Em qualquer dos casos, é necessário que o valor do bem baixado seja retirado contabilmente dos registros da empresa. Se o bem for vendido, o resultado contábil da baixa (lucro ou prejuízo) será a diferença entre seu valor pelo qual o bem for vendido e seu valor contábil, que por sua vez é o custo original menos a depreciação acumulada. Se o seu valor contábil for nulo, no caso de já estar totalmente depreciado, o valor da venda será o lucro da transação. Se o bem for baixado por motivo da cessação de utilidade (obsolescência, danos irreparáveis, etc), e ainda tiver valor contábil, este será o valor da perda que irá para a demonstração de resultados. Uma firma A que compre um equipamento usado de uma firma B iniciará o processo de depreciação sobre este equipamento (baseando-se no valor da transação), mesmo que este equipamento já tenha sido totalmente depreciado na contabilidade da firma B. Vemos, pois, como podem surgir vantagens para firmas de um mesmo grupo, mas que sejam pessoas jurídicas independentes, ao transacionarem equipamentos usados entre sí.

Apresentação nas Demonstrações Financeiras NO BALANÇO PATRIMONIAL: PERMANENTE Imobilizado Edificações Máquinas e Equipamentos Móveis e Utensílios Veículos Depreciação Acumulada

2.000 1.000 500 600 4.100 (400) 3.700

NA DEMONSTRAÇÃO DE RESULTADOS A depreciação deve ser apropriada ao custo de produção (é um custo indireto de fabricação) ou então como despesa de depreciação no grupo de “outras despesas operacionais”. O prejuízo ou lucro na baixa do Ativo Imobilizado deve ser apresentado na Demonstração de Resultados do exercício como Receita (no caso de lucro) ou Despesa (no caso de prejuízo) não Operacional. 49


Demonstração de Resultados Receita Bruta de Vendas - Impostos Proporcionais (ICMS, IPI, Outros) Receita Líquida de vendas - Custo do Produto Vendido (MP, MOD, CIF) Despesa de Depreciação Lucro Bruto - Despesas Operacionais Despesas Administrativas Vendas Financeiras Despesa de Depreciação Lucro Operacional - Despesas não operacionais (Ex: Venda Ativo) +Receitas não Operacionais (Ex: Venda Ativo) Lucro Antes do Imposto de renda - IR / Contribuição Social Lucro Líquido

1000 -120 880 -350 -100 430 -100 - 80 - 50 - 80 120 -10 +20 130 -40 90

Métodos de Depreciação Há vários métodos de depreciação, entre os quais, cumpre mencionar: • Método Linear • Soma dos Dígitos • Método Exponencial • Máquinas / hora O método mais utilizado no Brasil é o método linear.

Método Linear de depreciação No método Linear o valor depreciável, obtido subtraindo-se do custo original do Ativo (C 0) o seu valor residual contábil (R), é dividido pela vida contábil (n), indicando a quota de depreciação (d) a ser deduzida anualmente. A quota anual de depreciação pode ser expressa pela seguinte fórmula: A legislação admite que se considere o valor residual igual a zero, o que é interessante para as empresas, pois aumenta o valor da quota anual de depreciação, reduzindo o imposto de renda. d =(Co - R) / n A taxa anual de depreciação é calculada pela seguinte fórmula: T = 100 / n 50


Onde T representa a taxa percentual anual de depreciação. Atualmente, são as seguintes as taxas limites de depreciação anual, fixadas pela Instrução Normativa 162, de 31/12/1998, da Secretaria da Receita federal (tabela resumida):

Ministério da Fazenda Secretaria da Receita Federal

Instrução Normativa SRF nº 162, de 31 de dezembro de 1998 DOU de 07/01/1999, pág. 5 Fixa prazo de vida útil e taxa de depreciação dos bens que relaciona. O SECRETÁRIO DA RECEITA FEDERAL, no uso de suas atribuições e tendo em vista o disposto no art. 253, § 1°, do Regulamento do Imposto de Renda, aprovado pelo Decreto n° 1.041, de 11 de janeiro de 1994, resolve: Art. 1° A quota de depreciação a ser registrada na escrituração da pessoa jurídica, como custo ou despesa operacional, será determinada com base nos prazos de vida útil e nas taxas de depreciação constantes dos anexos: I - Anexo I: bens relacionados na Nomenclatura Comum do MERCOSUL - NCM; II - Anexo II: demais bens. Art. 2° Esta Instrução Normativa entra em vigor na data de sua publicação. EVERARDO MACIEL Anexo I - Bens relacionados na Nomenclatura Comum do MERCOSUL - NCM

Bens

Taxa anual de depreciação

ANIMAIS VIVOS

20 %

Exceção: Galos, Galinhas, Patos, Gansos, Perus, Peruas E Galinhas-D'angola (Pintadas), Das Espécies Domésticas, Vivos

50 %

OBRAS DE PLÁSTICOS

20 %

Correias de transmissão e correias transportadoras

50 %

OBRAS DE BORRACHA (Correias Transportadoras Ou De Transmissão, De Borracha Vulcanizada)

50 %

OBRAS DE COURO

50%

OBRAS DE MADEIRA (caixotes, caixas, engradados, barricas e embalagens semelhantes, de

20 %

madeira; carretéis para cabos, de madeira; paletes simples, paletes-caixas e outros estrados para carga, de madeira; taipais de paletes, de madeira; barris, cubas, balsas, dornas, selhas e outras obras de tanoeiro)

TAPETES E OUTROS REVESTIMENTOS PARA PAVIMENTOS, DE MATÉRIAS TÊXTEIS

20 %

OUTROS ARTEFATOS TÊXTEIS CONFECCIONADOS (cortinados, cortinas e estores;

20 %

sanefas e artigos semelhantes para camas para uso em hotéis e hospitais; sacos de quaisquer dimensões, para embalagem) encerados e toldos; tendas; velas para embarcações, para pranchas à vela ou para carros à vela; artigos para acampamento

25 %

PRODUTOS CERÂMICOS

20 %

OBRAS DE VIDRO

20 %

OBRAS DE FERRO FUNDIDO, FERRO OU AÇO

10 %

construções, de ferro fundido, ferro ou aço, exceto as construções pré-fabricadas: Pontes e elementos de pontes, Torres e pórticos

4%

recipientes para gases comprimidos ou liquefeitos, de ferro fundido, ferro ou aço

20 %

51


OBRAS DE ALUMÍNIO

10 %

construções de alumínio

4%

recipientes para gases comprimidos ou liquefeitos, de alumínio

20 %

FERRAMENTAS

20 %

aparelhos mecânicos de acionamento manual, pesando até 10kg, utilizados para preparar, acondicionar ou servir alimentos ou bebidas

10 %

OBRAS DIVERSAS DE METAIS COMUNS (cofres -fortes, portas blindadas e compartimentos

10%

para casas-fortes, cofres e caixas de segurança e artefatos semelhantes, de metais comuns) (fichários)

REATORES NUCLEARES, CALDEIRAS, MÁQUINAS, APARELHOS E INSTRUMENTOS MECÂNICOS (turbimas, motores, bombas, ar-condicionado, queimadores,

10 %

fornos, etc.) "bulldozers", "angledozers", niveladores, raspo-transportadores ("scrapers"), pás mecânicas, escavadores, carregadoras e pás carregadoras, compactadores e rolos ou cilindros compressores, autopropulsores

25 %

máquinas automáticas para processamento de dados e suas unidades; leitores magnéticos ou ópticos, máquinas para registrar dados em suporte sob forma codificada, e máquinas para processamento desses dados, não especificadas nem compreendidas em outras posições

20 %

máquinas e aparelhos para selecionar, peneirar, separar, lavar, esmagar, moer, misturar ou amassar terras, pedras, minérios ou outras substâncias minerais sólidas (incluídos os pós e pastas); máquinas para aglomerar ou moldar combustíveis minerais sólidos, pastas cerâmicas, cimento, gesso ou outras matérias minerais em pó ou em pasta; máquinas para fazer moldes de areia para fundição

20 %

-Máquinas e aparelhos para obras públicas, construção civil ou trabalhos semelhantes

25 %

caixas de fundição; placas de fundo para moldes; modelos para moldes; moldes para metais (exceto lingoteiras), carbonetos metálicos, vidro, matérias minerais, borracha ou plásticos

33,3 %

ferramentas eletromecânicas de motor elétrico incorporado, de uso manual

20 %

aparelhos ou máquinas de tosquiar de motor elétrico incorporado

20 %

aparelhos elétricos para telefonia ou telegrafia, por fio, incluídos os aparelhos telefônicos por fio conjugado com um aparelho telefônico portátil sem fio e os aparelhos de telecomunicação por corrente portadora ou de telecomunicação digital; videofones

20 %

gravadores de dados de vôo

20 %

Gravador-reprodutor de fita magnética, sem sintonizador

20 %

Gravador-reprodutor e editor de imagem e som, em discos, por meio magnético, óptico ou opto-magnético

20 %

-Discos para sistemas de leitura por raio "laser":

33,3 %

-Fitas magnéticas para reprodução de fenômenos diferentes do som e da imagem

33,3 %

-Cartões magnéticos

33,3 %

aparelhos transmissores (emissores) para radiotelefonia, radiotelegrafia, radiodifusão ou televisão, mesmo incorporando um aparelho de recepção ou um aparelho de gravação ou de reprodução de som; câmeras de televisão; câmeras de vídeo de imagens fixas e outras câmeras ("camcorders")

20 %

aparelhos de radiodetecção e de radiossondagem (radar), aparelhos de radionavegação e aparelhos de radiotelecomando

20 %

aparelhos receptores para radiotelefonia, radiotelegrafia ou radiodifusão, exceto de uso doméstico

20 %

VEÍCULOS E MATERIAL PARA VIAS FÉRREAS OU SEMELHANTES, APARELHOS MECÂNICOS (INCLUÍDOS OS ELETROMECÂNICOS) DE SINALIZAÇÃO PARA VIAS DE COMUNICAÇÃO

10 %

VEÍCULOS AUTOMÓVEIS, TRATORES, CICLOS E OUTROS VEÍCULOS TERRESTRES

20 %

52


tratores

25 %

veículos automóveis para transporte de 10 pessoas ou mais, incluindo o motorista

25 %

veículos automóveis para transporte de mercadorias

25 %

veículos automóveis para usos especiais (por exemplo: auto-socorros, caminhões-guindastes, veículos de combate a incêndios, caminhões-betoneiras, veículos para varrer, veículos para espalhar, veículosoficinas, veículos radiológicos), exceto os concebidos principalmente para transporte de pessoas ou de mercadorias

25 %

veículos automóveis sem dispositivo de elevação, dos tipos utilizados em fábricas, armazéns, portos ou aeroportos, para transporte de mercadorias a curtas distâncias; carros-tratores dos tipos utilizados nas estações ferroviárias

10 %

motocicletas (incluídos os ciclomotores) e outros ciclos equipados com motor auxiliar, mesmo com carro lateral; carros laterais

25 %

reboques e semi-reboques, para quaisquer veículos; outros veículos não autopropulsores

20 %

AERONAVES E APARELHOS ESPACIAIS

10 %

EMBARCAÇÕES E ESTRUTURAS FLUTUANTES

5%

-Barcos e balsas infláveis

20 %

INSTRUMENTOS E APARELHOS DE ÓPTICA, FOTOGRAFIA OU CINEMATOGRAFIA, MEDIDA, CONTROLE OU DE PRECISÃO; INSTRUMENTOS E APARELHOS MÉDICO-CIRÚRGICOS

10 %

ARTIGOS PARA DIVERTIMENTO OU PARA ESPORTE

10 %

Anexo II - Demais Bens Bens

Taxa anual de depreciação

Instalações

10 %

Edificações

4%

Estas taxas são as cargas máximas de depreciação anual, permitidas pelo governo. Obedecidos estes limites, a legislação brasileira permite que qualquer método de depreciação seja utilizado. Entretanto, a necessidade de se observar limites permitidos pelo governo conduz a uma depreciação mais demorada se forem utilizados outros métodos que não o da depreciação linear. Um outro aspecto a ser considerado é a escolha da data a partir da qual o bem passa a ser depreciado: normalmente deve ser depreciado a partir da data de entrada em funcionamento. Se for adquirido para uso posterior, a depreciação não deverá ser computada durante o período de inatividade, salvo se houver possibilidade de erosão, obsolescência ou existência de outro fator que determine o imediato início de depreciação. Para bens usados a taxa de depreciação será fixada tendo em vista o maior dos seguintes prazos: •1. Metade da vida útil admissível para o bem novo ou •2. Restante da vida útil, considerada em relação à primeira instalação 53


DEPRECIAÇÃO ACELERADA Desde que comprovada a atividade operacional dos equipamentos fixos em mais de um turno de trabalho (8 hs/dia), poderá ser aplicado um coeficiente de aceleração sobre a taxa de depreciação normal, visando reduzir a vida contábil do ativo. As normas fiscais que regulam a depreciação acelerada estão contidas no artigo 312, decreto no 3.000 de 26/03/1999. Coeficientes de Depreciação Acelerada: • 1 turno de 8 hs/dia: 1,0 • 2 turnos de 8 hs/dia 1,5 • 3 turnos de 8 hs/dia 2,0 Assim, por exemplo, se a operação de uma máquina de terraplanagem, cuja depreciação normal seja de 20% ao ano, for realizada em período contínuo de 16 hs/dia, a empresa poderá adotar a taxa máxima de depreciação acelerada de 30%. A legislação prevê, ainda, para bens que operam em condições ambientais desfavoráveis, a possibilidade do uso de taxas maiores, mediante solicitação corroborada por laudo técnico emitido pelo Instituto Nacional de Tecnologia. Ver mais sobre depreciação no decreto 3000 de 1999 no site da Secretaria da Receita Federal: http://www.receita.fazenda.gov.br

EXEMPLO Determinada empresa estuda a possibilidade de aquisição de um trator de 65 hp, no valor de $ 400.000,00. Se esta empresa utiliza o método de depreciação linear, pergunta-se: a. Qual a quota de depreciação linear b. Qual o valor contábil do trator no sexto ano de utilização c. Qual o lucro ou prejuízo contábil se o trator for vendido por $ 70.000,00 no terceiro ano de utilização d. Quais seriam os registros contábeis no segundo ano de utilização e. Caso o trator fosse utilizado em 2 turnos, qual o seu valor contábil no segundo ano?

Método da Soma dos Dígitos O método da soma dos dígitos considera uma carga de depreciação anual maior nos anos iniciais decrescendo à medida que avança a vida contábil do Ativo Fixo. Para uma vida contábil de, por exemplo, cinco anos, a soma dos dígitos (SD) é igual a: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 Genericamente: SD = N ( N + 1) / 2 Onde N é o número de anos de vida contábil. A quota de depreciação no ano n é: 54


dn = [(N - ( n - 1 )) / SD] x (Co - R)

EXEMPLO Para o exemplo anterior, considerando uma vida contábil de 5 anos, determinar: a. Qual a quota de depreciação no primeiro ano b. Qual a quota de depreciação no quarto ano c. Qual o valor contábil ao final do segundo ano

Método Exponencial Este método também considera uma carga de depreciação decrescente. O valor contábil do bem pode ser determinado para um ano genérico n a partir da fórmula: Cn = C0 ( 1 – T )n Onde T é a taxa exponencial de depreciação. Caso se conheça o valor residual esperado, pode-se determinar a taxa exponencial de depreciação pela equação: T = 1 - (R/Co )(1/N) EXEMPLO Para o caso do exemplo anterior, assumindo-se uma taxa de depreciação exponencial de 30 %, pede-se: a. Indicar o valor contábil ao final do segundo ano b. Qual a quota de depreciação no primeiro ano c. Determinar a taxa de depreciação exponencial que deveria ser utilizada para que se tenha, ao final de quatro anos de vida, o valor residual de $ 100.000,00.

55


Método Máquina / Hora Sendo C0 o investimento fixo e P.O. o Potencial Operativo em horas do equipamento, a taxa de operação / hora (TMH) do equipamento em unidades monetárias é dada por: TMH = C0 / P.O.

EXEMPLO Determinada máquina custa $ 400.000,00 e estima-se que possa funcionar 20.000 horas com operação normal. Quais são as quotas de depreciação para os quatro primeiros anos se a utilização da máquina nesse período for a seguinte: • 1º ano de operação – 3.000 hs • 2º ano de operação – 2.500 hs • 3º ano de operação – 2.000 hs • 4º ano de operação – 4.000 hs SOLUÇÃO C0 = P.O. = TMH = As quotas de depreciação nos quatro primeiros anos são as seguintes: ANO

Horas Utilizadas

1

3.000

2

2.500

3

2.000

4

4.000

TMH

Quota de depreciação

EXERCÍCIOS: 1. Preencher os quadros de “despesas de depreciação por ano” e “valor contábil no final do ano” admitindo as seguintes suposições: • Custo de aquisição do ativo depreciável: $ 80.000,00 • Valor residual contábil esperado: $ 8.000,00 • Vida contábil: cinco anos

56


SOLUÇÃO DESPESA DE DEPRECIAÇÃO POR ANO ANO

LINEAR

SOMA DOS DÍGITOS

EXPONENCIAL

1 2 3 4 5

VALOR CONTÁBIL NO FINAL DO ANO ANO

LINEAR

SOMA DOS DÍGITOS

EXPONENCIAL

0 1 2 3 4 5 2. Sabendo da possibilidade de considerar o valor contábil igual a zero e, ainda que, para o caso do problema anterior, a taxa máxima de depreciação anual permitida pelo governo é de 20% por ano, compare os critérios Linear e Soma dos Dígitos. 3. Suponha um edifício com custo inicial de R$ 3.000.000,00, sendo que o valor do terreno incluído é de R$ 200.000,00. Determinar: a) A quota de depreciação anual; b) a vida contábil; 57


c) a depreciação acumulada no décimo ano; d) o valor contábil do edifício após 10 anos e e) o lucro ou prejuízo se o edifício for vendido por R$ 1.500.000,00 ao final do décimoquinto ano. f) o lucro ou prejuízo se o edifício for vendido por R$ 900.000,00 ao final do trigésimo ano.

Importância da Depreciação na Análise de Investimentos Qual a vantagem em depreciar contabilmente um equipamento? Como a depreciação entra nos custos (ou despesas) na demonstração de resultados, automaticamente diminuirá os lucros tributáveis, e consequentemente, o impostos de renda a pagar. Sabemos, da matemática financeira, que quanto mais cedo se tiver o dinheiro na mão, mais vantajoso é. Dessa forma, todos gostariam de depreciar seus ativos fixos o mais depressa possível. Entretanto, como já vimos, o governo limita a taxa de depreciação anual por motivos óbvios. Se o tempo de vida de um equipamento for maior que, por exemplo, 10 anos, e o governo limita a depreciação em 10 % ao ano, convém ficar quieto e depreciá-lo em 10 anos mesmo. É perfeitamente normal um equipamento já totalmente depreciado estar em condições de operação e continuar sendo utilizado (mas não mais depreciado).

58


CAP. 4b – INFLUÊNCIA DO IMPOSTO DE RENDA A influência do Imposto de renda1 Do ponto de vista de um indivíduo ou de uma empresa, o que realmente importa, quando de uma Análise de investimentos, é o que se ganha após os impostos. A carga tributária representa um ônus real, cujo efeito é o de reduzir o valor dos fluxos monetários resultantes de um dado investimento. Isto ocasiona, muitas vezes, a transformação de projetos rentáveis antes da consideração de sua incidência em antieconômicos quando o imposto de renda for levado em conta. Portanto, torna-se importante a inclusão do imposto de renda na análise econômica de projetos. O imposto de renda incide sobre o lucro tributável da empresa que, por sua vez, é influenciado por procedimentos da contabilidade da depreciação, que visam assegurar condições para a reposição dos ativos fixos da empresa, quando isto se tornar necessário à continuidade das operações. Por esta razão, a legislação tributária permite às empresas deduzirem de seu lucro anual a correspondente carga de depreciação para fins de cálculo do imposto de renda. Conforme legislação em vigor, o imposto de renda, em geral, é apurado pela aplicação de uma alíquota de 15% sobre o lucro tributável da empresa. Para lucros tributáveis superiores a R$ 240.000,00 por ano (R$ 20.000,00 por mês) é aplicada uma taxa de 10 % sobre o lucro que excede a este limite. Também incidente sobre o lucro tributável, a contribuição social deve ser considerada na análise de investimentos. Para empresas industriais a alíquota da contribuição social é de 8% sobre o lucro tributável. Nem sempre o lucro contábil é igual ao lucro tributável, ou seja, aquele sobre o qual incide a alíquota do imposto de renda. Apurado o resultado contábil, a este deverão ser feitos alguns ajustes, chamados de inclusões ou exclusões. EXEMPLO Um investimento de $ 30.000,00 em um equipamento proporcionará redução nos desembolsos anuais de $ 10.000,00. A vida econômica do equipamento é de 5 anos, após a qual o equipamento será vendido por $ 7.000,00. Considerando que a taxa máxima de depreciação para este tipo de equipamento é de 15 % e que a empresa utiliza o método linear, calcular a taxa interna de retorno do investimento antes e após o imposto de renda. A alíquota de imposto de renda é de 35%. A taxa mínima de atratividade da empresa, após os impostos é de 18 % ao ano. Pergunta-se: a) Qual a TIR do investimento antes dos impostos. b) O investimento é viável após os impostos?

1

OLIVEIRA, J. A. N. Engenharia Econômica: uma abordagem às decisões de investimentos. Mc Graw-Hill


c) Qual a TIR do investimento após os impostos se o equipamento operar em condições que lhe permita taxa máxima de depreciação de 40%. Avalie a variação da rentabilidade devido à alteração da taxa máxima de depreciação. SOLUÇÃO a) TIR antes do Imposto de Renda:

b) Análise após o imposto de renda (T = 15%): ANOS

Fluxo antes do Depreciação IR anual

Valor Contábil

Lucro Tributável

IR

Fluxo depois do IR

Lucro Tributável

IR

Fluxo depois do IR

0 1 2 3 4 5 c) Análise após o imposto de renda (T = ANOS

Fluxo antes do Depreciação IR anual

): Valor Contábil

0 1 2 3 4 5

60


Propostas que envolvem lucro tributável negativo Determinadas alternativas de investimentos podem apresentar o lucro tributável negativo. Isto pode ocorrer também devido a quota de depreciação ser maior que o valor do fluxo antes do imposto de renda. Se a alternativa citada faz parte de uma empresa que apresenta lucro, o lucro tributável negativo da alternativa de investimento pode ser considerada como um abatimento no lucro tributável da empresa como um todo, reduzindo o imposto de renda a pagar. Esta redução do imposto de renda deve ser encarada como uma vantagem fiscal, e deve ser somada ao fluxo após o imposto de renda. Mesmo quando se analisa projetos independentes de empresas, o fato de aparecer lucro tributável negativo não significa que o governo pagará imposto de renda para a empresa pelo fato desta estar dando prejuízo, mas sim que o prejuízo acumulado será compensado de lucros futuros posteriormente, por meio de mecanismos fiscais, proporcionando economias futuras de imposto de renda. EXEMPLO Pretende-se adquirir, em uma indústria, um guindaste de 8 toneladas. O custo de aquisição é de $500.000,00, e permitirá reduzir despesas de $ 100.000,00. Espera-se que a vida econômica do equipamento atinja 10 anos, após a qual não terá valor de mercado. Considerando uma TMA de 16% ao ano e a taxa de imposto de renda de 35%, analise a viabilidade da aquisição. SOLUÇÃO

ANOS

Fluxo antes do Depreciação IR anual

Valor Contábil

Lucro Tributável

IR

Fluxo depois do IR

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 61


Caso de Propostas que somente apresentam custos Quando não há meios de quantificar monetariamente as receitas (ou as reduções de custos) proporcionadas por um investimento que é necessário à empresa, a decisão se fará através da análise de menor custo. Mesmo nestes casos o imposto de renda deverá ser considerado, pois no caso da aceitação do projeto, as despesas da empresa se elevarão, diminuindo o lucro tributável e, consequentemente o imposto de renda da empresa como um todo. As despesas adicionais se dão tanto pela própria despesa anual de operações e manutenção, como pela despesa de depreciação do ativo imobilizado. Dessa forma a diminuição do imposto de renda causada pelo aumento das despesas deve ser considerado como fluxo positivo do projeto. EXEMPLO Dois sistemas de ar condicionado estão sendo estudados para instalação nos escritórios de certa empresa. São os seguintes os parâmetros estimados para cada uma das alternativas: Discriminação Sistema A Sistema B Investimento inicial $ 15.000 $ 12.000 Custos anuais de operação e $ 2.000 $ 3.000 manutenção Valor residual nulo Nulo Vida econômica 5 anos 5anos A administração da empresa definiu que, caso os custos anuais não superem $ 5.000, o sistema mais econômico deverá ser instalado. Caso contrário, este investimento deverá ser adiado para uma época mais oportuna. Sendo a taxa mínima de atratividade da empresa, após os impostos, de 7 % ao ano, qual decisão deve ser tomada? Considerar que a taxa de depreciação dos sistemas de ar condicionado seja de 20% e a empresa se encontre na faixa de 35% para efeitos de imposto de renda. SOLUÇÃO

62


Sistema A: ANOS

Fluxo antes do Depreciação IR anual

Valor Contábil

Lucro Tributável

IR

Fluxo depois do IR

Fluxo antes do Depreciação IR anual

Valor Contábil

Lucro Tributável

IR

Fluxo depois do IR

0 1 2 3 4 5

Sistema B: ANOS 0 1 2 3 4 5

63


Considerações adicionais Uma fórmula geral para o cálculo do valor presente, considerando o efeito do imposto de renda e a depreciação, pode ser extraída da seguinte demonstração: Sendo: DEPj – Despesa da depreciação no período j Cj – Fluxo de caixa, no período j, antes do IR C’j – Fluxo de caixa, no período j, após o IR τ - Alíquota do imposto de renda A fórmula geral do valor presente, após o imposto de renda será dada por: n n  VPL = - C 0 + ∑ C j (1 + i )− j  (1 − τ) + τ ∑ DEPj (1 + i )− j j =1  j=1 

Onde o terceiro termo do lado direito da equação representa o valor presente da economia proporcionada pela dedução da depreciação do lucro antes do imposto de renda. CUIDADO: A depreciação já foi considerada no fluxo de caixa? Um ponto a ser destacado é se a depreciação já foi ou não computada no fluxo de caixa antes do imposto de renda. Na forma corriqueira da engenharia econômica, os fluxos de caixa são elaborados com os recebimentos e desembolsos nos quais ainda não foi computada a depreciação. Assim, na análise de investimentos, deve-se proceder conforme orientado até o momento, ou seja, considerar a depreciação apenas como um elemento dedutível para efeitos do cálculo do imposto de renda. Entretanto, na análise de projetos industriais, é comum que o fluxo de caixa seja proveniente de uma projeção das demonstrações de resultados. Nesse caso, o lucro líquido já considera a depreciação como despesa e o imposto de renda é calculado já com a dedução da depreciação. Mas, como a depreciação é uma despesa sem desembolso, e o fluxo de caixa deve refletir a movimentação financeira, deve-se somar a depreciação ao lucro líquido após o imposto de renda.

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Problemas PROBLEMA 1 Visando avaliar a melhor alternativa entre adquirir ou fazer o leasing de equipamentos, a UDT (divisão de transportes da USIMINAS) solicitou um estudo à UDE (divisão de engenharia industrial) no sentido de tomar a decisão mais viável para a empresa. Entre estes equipamentos está o guindaste telescópico de 13 ton. Para o qual foram coletados os seguintes dados: • Custo de aquisição: $ 850.000,00 • Valor de mercado após 5 anos $ 170.000,00 • Horizonte de planejamento 5 anos • Custos mensais de operação e manutenção: $ 9.092 • Taxa mínima de atratividade da USIMINAS: 18% ao ano • Valor do aluguel: $ 218,00 por hora O valor do aluguel já inclui os custos de operação e manutenção. A média mensal de horas a serem trabalhadas pelo guindaste é de 102 horas, entretanto, de acordo com a pesquisa efetuada junto às empresas de leasing, existe uma franquia de 200 horas mensais. Pergunta-se: a. Qual o melhor, alugar ou comprar? b. Faça suas considerações sobre um ponto de equilíbrio entre a compra e o aluguel.

ANOS 0 1 2 3 4 5

Fluxo antes do Depreciação IR anual

Valor Contábil

Lucro Tributável

IR

Fluxo depois do IR


PROBLEMA 2 Estuda-se a possibilidade de adquirir uma frota de 20 veículos para evitar o alto preço cobrado pelo arrendamento mercantil. Cada veículo custa $13.000,00, e pode ser vendido ao final de três anos por $8.000,00. As despesas de manutenção, inexistentes no caso do arrendamento, são estimadas em $1.500,00 por ano para cada veículo comprado. As despesas de operação são as mesmas em ambos os casos enquanto que as despesas com seguro são de $1.200,00 por ano, com desembolso durante o ano. O arrendamento, que inclui as despesas de manutenção e seguro, custa para a empresa a quantia de $160.000,00 anuais pelos 20 carros, mas proporciona a possibilidade de ser totalmente abatido para efeito de imposto de renda. A taxa de imposto de renda (mais contribuição social) para a empresa é de 42 %. Considere uma TMA de 15% a.a.. É interessante a compra dos veículos? Faça os cálculos pelo método do valor anual. Qual o valor de aluguel que igualaria as alternativas? O que você decidiria? PROBLEMA 3 Certa firma industrial está considerando a possibilidade de instalar uma linha de transportadores controlada eletronicamente. O investimento inicial será de $ 180.000,00, mas causará redução de despesas de operação anual de $ 50.000,00 O investimento será inteiramente depreciado em 15 anos pelo método linear. Entretanto, ao final de 12 anos, o equipamento será inútil para a empresa e, nesta época, será retirado de operação sem nenhum valor de venda. Determinar a taxa de retorno de empreendimento, considerando que a alíquota do IR é de 30% ao ano. PROBLEMA 4 Para uma determinada tarefa, posso comprara duas máquinas diferentes. Uma PIF ou uma PAF, com o mesmo desempenho técnico. Máquina PIF: • Custo Inicial: $ 320.000,00 • Custo anual fixo: $ 20.000,00 • Custo operacional: $ 50,00 por hora Máquina PAF: • • •

Custo Inicial: $ 200.000,00 Custo anual fixo: $ 30.000,00 Custo operacional: $ 80,00 por hora O custo de oportunidade do capital é de 15 % ao ano, após o imposto de renda. Tanto a máquina PIF, como a PAF durarão 10 anos e serão depreciadas em 10 anos (linearmente). A firma está na faixa de 30% para fins de IR. Calcular o ponto de equilíbrio quanto ao número de horas anuais de uso das máquinas.

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PROBLEMA 5 O projeto de viabilidade econômica da unidade industrial de fertilizantes do complexo carboquímico catarinense apresenta a seguinte projeção da demonstração de resultados, durante os próximos 15 anos: Receita Líquida 850.000 Custo dos Produtos Vendidos (630.000) Lucro Bruto 220.000 Despesas com vendas (1.500) Despesas administrativas (6.000) Depreciação (18.000) Lucro operacional 194.000 Despesas não operacionais (6.000) Lucro Líquido antes do IR 188.000 Imposto de Renda (65.000) Lucro Líquido após o IR 122.000 Supondo que o investimento total é de $ 500.000, sendo $ 100.000 de capital de giro, e que somente se utilizará capital próprio. Deseja-se analisar a viabilidade econômica do projeto. Considere o valor residual dos investimentos fixos nulo e a taxa mínima de atratividade de 15% ao ano.

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CAPÍTULO V - FINANCIAMENTOS V.1 - AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS A disponibilidade de recursos é, sem dúvida, fundamental para a concretização de um investimento. Se os recursos próprios forem insuficientes as empresas devem recorrer a empréstimos. O valor desses empréstimos, ou seja, o principal, evidentemente terá que ser restituído à instituição financeira, acrescido de sua remuneração, que são os juros. À forma de devolução do principal mais juros, chama-se de “sistema de amortização”. Os sistemas mais usados serão vistos a seguir.

A) SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (PRICE) Também conhecido como “Sistema Price” ou “Sistema de Prestação Constante” é muito utilizado nas compras de prazos menores e no crédito direto ao consumidor. Neste sistema as prestações são constantes, ou seja, correspondem a uma série uniforme “A”. A parcela de juros decresce com o tempo, ao passo que a parcela de amortização aumenta com o tempo. Graficamente pode-se apresentar este comportamento da seguinte maneira:

Juros Prestação Amortização n Como em todos os sistemas corretos de amortização, no sistema Price a prestação é a soma da amortização com os juros do periodo, ou seja: pk = ak + jk Onde: pk ak jk

-

prestação no periodo k amortização no período k juros no periodo k


Além disso, os juros no período k são calculados sobre o saldo devedor anterior: jk = i*(Saldo devedor)k-1 Nota-se, portanto, que quanto menor o saldo devedor menores serão os juros e, como as prestações são constantes no sistema Price, a amortização crescerá com o tempo. A prestação p é calculada da seguinte forma: pk = p = P* (A/P; i; n ) Onde P é o principal, ou seja, o valor do empréstimo. As fórmulas do Sistema Francês de amortização são apresentadas no quadro abaixo: Período (k)

0 1 2 ... k

Saldo devedor (SD k)

Prestação (pk)

Amortização (ak)

Juros (jk)

Po = P P1 = Po - a1 P2 = P1 - a2

p = P(A/P,i,n) p

a1 = p - j1 a2 = p - j2

j1 = i Po j2 = i P1

Pk = Pk-1 - ak = 0

p

ak = p - jk

jk = i Pk-1

Pode-se calcular o saldo devedor após a k-ézima prestação a partir da seguinte fórmula: Sdk = p (P/A; i; n-k) Ou seja, o saldo devedor é o valor presente das prestações futuras. EXEMPLO V.1 Montar o quadro de amortização para um financiamento de R$1.000,00, a juros de 36% aaccm, com prazo de 4 meses, amortizável pelo sistema Price em 4 prestações mensais. Calcular também o saldo devedor, imediatamente após a segunda prestação, sem o uso da tabela. Solução:

Período (k)

Saldo devedor (SD k)

Prestação (pk)

Amortização (ak)

Juros (jk)

0 1 2 3 4 69


E o saldo devedor após a segunda prestação é:

B) SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) É o sistema normalmente utilizado para financiamentos de longo prazo. Neste sistema as amortizações são constantes e calculadas da seguinte forma:

a=

P n

Onde P é o principal e n é o número de prestações. O saldo devedor após o pagamento da k - ézima prestação é dado por: Sdk = P - k a Graficamente a prestação pode ser representada assim:

Juros Prestação Amortização n As fórmulas do SAC são apresentadas no quadro abaixo: Período (k)

0 1 2 ... k

Saldo devedor (SD k)

P P - P/n P - 2P/n ... P - kP/n

Prestação (pk)

P/n + i P P/n + i P - iP/n ... P/n+iP-(k-1)iP/n

Amortização (ak)

P/n P/n ... P/n

Juros (jk)

iP iP - iP/n ... iP - (k - 1)iP/n

EXEMPLO V.2 Elaborar a tabela financeira pelo sitema SAC para o financiamento do exemplo anterior. Calcular também, o saldo devedor após a segunda prestação. Solução:

70


Período (k)

Saldo devedor (SD k)

Prestação (pk)

Amortização (ak)

Juros (jk)

0 1 2 3 4 E o saldo devedor após o segundo pagamento, sem utilização da tabela, pode ser calculado assim:

O PERIODO DE CARÊNCIA A concessão de um período de carência é muito utilizada pelas instituições financeiras. Durante o período de carência paga-se somente juros e o principal permanece inalterado, ou ainda, não se paga juros e estes são capitalizados acrescendo o principal. Se, no exemplo anterior, fosse concedido dois meses de carência, a tabela financeira do financiamento ficaria assim: Período (k)

Saldo devedor (SD k)

Prestação (pk)

Amortização (ak)

Juros (jk)

0 1 2 3 4 5 6

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C) OUTROS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO O Sistema Americano : Neste sistema paga-se apenas os juros e o principal é devolvido ao final do empréstimo. Sistema de Pagamento Único : É muito utilizado para financiamentos industriais de capital de giro. Paga-se, neste caso, juros e principal no final do empréstimo. Nada mais do que achar F dado P. Pagamento antecipado : Aqui os juros são cobrados antecipadamente e o principal é devovido ao final do empréstimo. É uma forma conhecida de “aumentar” a taxa de juros efetiva cobrada por uma instituição financeira. Decididamente este não é um sistema correto sob o ponto de vista da matemática financeira. Para que um sistema seja correto o valor presente das prestações, descontado à taxa de juros do financiamento, deve ser igual ao principal.

V.2 Exercícios Propostos V.2.1. Para uma dívida de R$ 50.000,00, uma taxa de juros de 10% ao período e um plano de 5 prestações construa um quadro de amortizações pelo sistema: a) PRICE b) SAC c) SAC com um período de carência. a) Sistema Price Período (k)

0 1 2 3 4 5 b) Sistema SAC: Período (k)

0 1 2 3 4 5 72


c) Sistema SAC com um período de carência: Período (k)

V.2.2. Considere uma dívida de $100.000,00 a ser resgatada em 25 prestações com 4% de juros. Depois de quantas prestações o valor da prestação do sistema PRICE passa a ser superior à do sistema SAC.

V.2.3. Uma pessoa fez um empréstimo de R$ X a juros de 4% ao mês e saldou a dívida pelo SAC em 10 prestações. A soma dos valores nominais das prestações foi de R$ 50.000,00. Se a dívida tivesse sido paga pelo sistema Price, qual seria a soma dos valores das prestações?

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CAPÍTULO VI - ANÁLISE DE SENSIBILIDADE Até o momento, as análises de investimento efetuadas partiram do princípio que todas as previsões se efetivariam. Na realidade, os fluxos de caixa foram elaborados a partir da projeção de valores mais prováveis. Sabe-se, entretanto, que por melhor que tenha sido elaborada a previsão, o fluxo de caixa não será exatamente aquele imaginado inicialmente. A incerteza sempre estará presente.

VI.1. Conceitos de risco e incerteza Vários são os fatores que levam à incerteza, entre eles pode-se citar: • Fatores econômicos: Super ou subdimensionamento de oferta e demanda, alterações de preços de produtos e matérias-primas, investimentos imprevistos, etc. • Fatores financeiros: falta de capacidade de pagamento, insuficiência de capital, etc. • Fatores Técnicos: Inadequabilidade de processo, matéria-prima, tecnologia empregada, etc • Outros: fatores políticos e institucionais adversos, clima, problemas de gerenciamento de projetos, etc. Na literatura da área é comum a diferenciação entre risco e incerteza. A condição de incerteza é caracterizada quando os fluxos de caixa associados a uma alternativa não podem ser previstos com exatidão, ou seja, não é possível quantificar em termos de probabilidade as variações nos fluxos de caixa. Quando é possível mensurar, através de distribuições de probabilidade, as variáveis de entrada, considera-se que a situação é de risco. Existem várias técnicas para se avaliar investimentos em condições de risco e, algumas destas técnicas possibilitam como importante resultado a obtenção de distribuição de probabilidades de variáveis como Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retorno. De posse de tal distribuição pode-se calcular a probabilidade de inviabilidade de um investimento. Entretanto tais técnicas fogem do escopo deste curso, sendo inseridas no curso de Engenharia Econômica II. Para se avaliar investimentos em condições de incerteza, o método mais utilizado, e mais simples, é a análise de sensibilidade.

VI.2. Análise de sensibilidade O fato de se fazer a análise de sensibilidade não exclui a possibilidade de aplicação de métodos de risco mais apurados, ao contrário, complementa, pois auxilia na identificação das variáveis mais importantes para se trabalhar. A intenção é observar quão sensíveis são os valores como Valor presente, Taxa interna de retorno, Valor anual, etc., a partir da variação de parâmetros de entrada como vida útil, custos, receitas, quantidade vendida, preços, investimentos, taxas de descontos, etc.


É interessante a elaboração de gráficos que demonstrem este comportamento e a análise pode ser enriquecida se questões como as seguintes forem avaliadas: • Qual o menor preço do produto para que o projeto seja viável? • Qual a quantidade mínima que deve ser produzida para que o investimento ainda seja rentável? • Para os parâmetros de entrada “mais provável”, “otimista” e “pessimista” qual será o resultado econômico e financeiro da proposta em análise? • E muitas outras questões. EXEMPLO VI.1 Suponha o lançamento de um calçado de inverno. Os meses considerados são: maio, junho e julho. Os seguintes dados foram levantados pela empresa: Investimento em adequação de equipamentos e treinamento: Receita prevista (10.000 pares/mês a R$ 10,00/par): Custos variáveis (10.000 pares/mês a R$ 4,00/par): Custos fixos: Valor residual:

R$ 100.000,00 R$ 100.000,00 R$ 40.000,00 R$ 20.000,00 R$ 30.000,00

A taxa mínima aceitável pela empresa é de 10% ao mês. Analise a atratividade do investimento e analise a sensibilidade quanto à variação na quantidade vendida. Qual a quantidade mínima aceitável? Solução:

75


EXEMPLO VI.2 Uma empresa está considerando a possibilidade de lançar um novo produto no mercado. A instalação da nova linha requererá um gasto de R$55.000,00 para investimentos fixos e R$ 5.000,00 para capital de giro. Estima-se uma vida econômica, para o projeto, de 10 anos. a empresa espera vender uma produção anual de 5.000 toneladas a um preço unitário de R$10,00. Os custos operacionais anuais foram estimados em R$35.000,00. Se a firma pretende um retorno após os impostos de, no mínimo, 10% ao ano, pede-se: 1. Verificar a atratividade do projeto. 2. Analisar a sensibilidade do projeto para uma variação negativa de 15% no preço de venda. 3. Calcular o preço de venda mínimo para obtenção da rentabilidade requerida. 4. Verificar a sensibilidade do projeto para um acréscimo de 20% no valor do investimento fixo. A taxa de imposto de renda é de 35% e a taxa máxima de depreciação é de 10%. Solução: 1. Atratividade do projeto Ano Fluxo antes do Depreciaçã Lucro IR o tributável

IR

Fluxo depois do IR

0 1 ... 10 10

2. Sensibilidade para -15% no preço de venda:

Ano Fluxo antes do Depreciação Lucro IR tributável

IR

Fluxo depois do IR

0 1 ... 10 10

76


3. Cálculo do preço mínimo de venda:

4. Sensibilidade para mais 20% no investimento fixo:

Ano Fluxo antes do Depreciação Lucro IR tributável

IR

Fluxo depois do IR

0 1 ... 10 10

EXEMPLO VI.3 Uma usina siderúrgica está considerando duas alternativas para obtenção de 3800 m3/ano de oxigênio necessário ao refino do aço, até o início de operação da nova fábrica daqui a três anos. A primeira é comprar oxigênio ao preço de $ 0,90/m3. A segunda alternativa consiste numa reforma da fábrica existente, orçada em $ 500,00, para produzir oxigênio a um custo de $ 0,71/m3. Em caso de se optar pela compra de oxigênio, a fábrica existente será vendida hoje por $ 1500,00. Caso se decida pela reforma, o valor de revenda da fábrica será de $ 500,00 ao final dos três anos. Admitindo-se uma TMA para a empresa de 10% a.a., pede-se: 1. Verificar a alternativa mais econômica; 2. Testar a sensibilidade da decisão para uma variação de 20% a mais no orçamento da reforma. 3. Qual o preço de equilíbrio do m3 de oxigênio, para o caso do ítem 1. 77


CAPÍTULO VII - ANÁLISE DA VIABILIDADE ECONÔMICA DE UM PROJETO INDUSTRIAL

Uma das etapas mais importantes na elaboração de um projeto industrial é a análise de sua viabilidade econômica e financeira. Este capítulo visa apresentar, utilizando-se de informações das etapas anteriores de um projeto, uma metodologia de cálculo para que se possa concluir sobre a viabilidade de um projeto. É necessário, portanto, um correto levantamento dos custos e das receitas adicionais decorrentes do investimento. Para um perfeito entendimento dos quadros que serão apresentados e, para que a classificação dos itens seja adequada, deve-se conhecer a terminologia usual da área de custos: Terminologia em custos industriais:

Gasto: conceito amplo que significa sacrifício financeiro de uma maneira geral. O sacrifício é representado por entrega ou promessa de entrega de dinheiro ou outros ativos. Engloba, portanto, investimento, custo, despesa e perda.

Investimento: gasto ativado em função de sua vida útil ou de benefícios atribuíveis a futuros períodos. Cita-se como exemplo: Estoques, Aplicações, máquinas e equipamentos, construções civis, marcas e patentes, ações de outras empresas.

Custo: Gasto relativo a bem ou serviço utilizado na produção de outros bens ou serviços. Ex: consumo de matérias primas na produção, salário dos empregados da área de produção, energia elétrica usada na produção, depreciação de máquinas da produção.

Despesa: Gasto relativo a bem ou serviço consumidos para obtenção de receitas. Ex: salários da administração geral, depreciação de ativos fora da produção, comissão de vendedores. O custo de produção torna-se despesa quando o produto é vendido, mas costuma-se chamá-lo de custo do produto vendido.

Perda: gasto com bem ou serviço consumidos de forma anormal e involuntária. Não é um sacrifício feito com a intenção de obtenção de receitas. Ex: valor dos danos provocados por incêndios ou enchentes, obsoletismo de estoques, gasto com mão de obra durante uma greve, refugos anormais, unidades defeituosas.

78


Desembolso: Pagamento resultante da aquisição do bem ou serviço. Pode ser defasado ou não do gasto.

VII.1. INVESTIMENTO O investimento pode ser classificado da seguinte forma: a) Fixo b) Giro O investimento fixo é composto por equipamentos, terrenos, construções civis, instalações industriais, móveis, etc. O investimento em giro é o capital de giro necessário para por em marcha a empresa, ou seja, disponibilidades, estoques, e os recursos necessários para sustentar as vendas a prazo. Ao final da vida do projeto estima-se o valor residual de venda do investimento fixo e considera-se o desativamento do capital de giro como uma entrada de caixa.

VII.2. CUSTOS DE PRODUÇÃO Os custos de produção são aqueles que ocorrem na fabricação do produto e são classificados em Variáveis e Fixos. Os Custos Variáveis são aqueles que variam de acordo com a quantidade produzida. Os principais custos variáveis de produção são os seguintes: - Matérias Primas, Embalagens e Materiais Auxiliares - Fretes - Mão-de-Obra Direta - Consumo de Energia Elétrica (no processo produtivo) - Água Industrial - Combustível Os Custos Fixos normalmente não variam proporcionalmente à produção. Os principais são os seguintes: - Mão-de-Obra Indireta - Manutenção - Seguros - Demanda de Energia Elétrica - Despesas de Aluguel relativas à fabricação

79


VII.3. DESPESAS GERAIS As Despesas Gerais são aquelas que, mesmo importantes para a operação, não fazem parte da fabricação de um produto. Podem, também, ser classificadas em fixas e variáveis. Considera-se, nesta metodologia, como principais Despesas Gerais Variáveis as seguintes: - Despesas Variáveis com Vendas (Comissão de vendedores) - Despesas Financeiras com Desconto de Duplicatas Como Despesas Gerais Fixas considera-se: - Despesas Administrativas - Impostos fixos (IPTU, Taxas diversas)

VII.4. OUTRAS DESPESAS E DESEMBOLSOS DEPRECIAÇÃO CONTÁBIL: É uma despesa sem desembolso que pode ser considerada para efeito de abatimento no Imposto de Renda. DESPESAS FINANCEIRAS: Referem-se aos juros de financiamentos de médio e longo prazos e podem ser abatidas para efeito de Imposto de Renda. AMORTIZAÇÃO DE FINANCIAMENTOS: A Amortização é um desembolso e não uma despesa, e portanto não é dedutível do Imposto de Renda. IMPOSTOS PROPORCIONAIS: São os impostos proporcionais à Receita Bruta de Vendas como, p. ex., ICMS, IPI e PIS/FINSOCIAL. A Receita Líquida de Vendas é obtida subtraindo estes impostos da Receita Bruta. IMPOSTO DE RENDA: O Imposto de Renda incide sobre o lucro tributável. A legislação atual fixa uma alíquota de 15% sobre o lucro e um adicional de 10% sobre o lucro que exceder a 300.000 UFIR'S. Deve-se considerar ainda o efeito da Contribuição Social sobre o lucro tributável, sendo que esta ainda pode ser abatida do Imposto de Renda.

VII.5. RECEITAS Para efeito de análise econômica de projetos considera-se apenas as Receitas Operacionais, ou seja, o produto da quantidade produzida pelo preço.

80


VII.6. PONTO DE EQUILÍBRIO É o nível de produção onde ocorre o equilíbrio entre a receita total e os custos totais, a partir do qual a empresa passa a ter lucro. Veja o gráfico:

Ponto de Equilíbrio 180

Receita

160 140 Ponto de Equilíbrio

120

Custo Total

100 Custos

Custo Variável

80 60

Custo Fixo

40 20 0 0

Q*

100

200

300

Quantidade

E o ponto de equilíbrio é dado por: Q*= CF / (p - cv) Onde : Q* CF pcv -

Ponto de Equilíbrio Custo fixo total Preço de venda Custo variável unitário

81


VII.7. RENTABILIDADE DO EMPREENDIMENTO E DO ACIONISTA A taxa interna de retorno do empreendimento considera o capital total investido no projeto, como se fosse utilizado apenas capital próprio, ou seja, obtêm-se a rentabilidade total do investimento. Por outro lado pode-se também calcular a rentabilidade do acionista ou do capital próprio investido. A rentabilidade do acionista é calculada considerando as prestações como saídas de caixa onde elas efetivamente ocorrem, não se esquecendo que a parcela de juros é dedutível para fins de Imposto de Renda enquanto a amortização não o é. Neste caso utiliza-se, para o cálculo da TIR do acionista, o investimento efetuado pelos proprietários. Se a rentabilidade do empreendimento for maior que a taxa de juros do financiamento, ocorrerá o efeito da Alavancagem financeira positiva fazendo com que a rentabilidade do acionista seja maior que a rentabilidade do projeto como um todo.

VII.8. APLICAÇÃO Determine as taxas internas de retorno do empreendimento e do acionista de um projeto de uma fábrica de cimento que apresenta as seguintes características: - Produção anual: 400 ton./ano - Preço: $ 10.000/ton. - Custo variável de produção: $ 4.000/ton. - Custo fixo de produção: $ 300.000/ano - Despesas gerais variáveis: $ 1.500/ton. - Despesas gerais fixas: $ 200.000/ano - Investimento fixo: $ 2.000.000 - Capital de giro: $ 200.000 - Taxa de depreciação: 10% - Parcela de investimento financiada: 50% - Taxa de juros do financiamento: 10% a.a. - Amortização: em 7 anos pelo sistema SAC ( com dois anos de carência) 82


- Valor residual do investimento fixo: - Vida útil do projeto : - Produção no primeiro ano:

$ 200.000 10 anos 70% da capacidade normal

83


Quadro do Fluxo Financeiro do Empreendimento Em $ 1.000 Descrição Receita Bruta (-) Impostos Prop. Receita Líquida Custo Var. Prod. Custo Fixo Prod. Lucro Bruto Desp. Ger. Var. Desp. Ger. Fixas Depreciação Despesas Finan. Lucro Antes IR IR/Contrib. Social Lucro Líq. Após IR (+) Depreciação (-) Amortização (-) Investimentos (+)Liber. Financiam. (+) Valor Residual Fluxo de Caixa Empr.

0

1 2.800

2 4.000

3 4.000

4 4.000

5 4.000

6 4.000

7 4.000

8 4.000

9 4.000

10 4.000

2.800 1.120 300 1.380 420 200 200

4.000 1.600 300 2.100 600 200 200

4.000 1.600 300 2.100 600 200 200

4.000 1.600 300 2.100 600 200 200

4.000 1.600 300 2.100 600 200 200

4.000 1.600 300 2.100 600 200 200

4.000 1.600 300 2.100 600 200 200

4.000 1.600 300 2.100 600 200 200

4.000 1.600 300 2.100 600 200 200

4.000 1.600 300 2.100 600 200 200

560 196 364 200

1.100 385 715 200

1.100 385 715 200

1.100 385 715 200

1.100 385 715 200

1.100 385 715 200

1.100 385 715 200

1.100 385 715 200

1.100 385 715 200

1.100 385 715 200

915

400 1.245

-2.200

-2.200

564

915

915

915

915

915

Taxa Interna de Retorno do Empreendimento =

915

915

35,68%


Quadro do Fluxo Financeiro do Acionista Em $ 1.000 Descrição Receita Bruta (-) Impostos Prop. Receita Líquida Custo Var. Prod. Custo Fixo Prod. Lucro Bruto Desp. Ger. Var. Desp. Ger. Fixas Depreciação Despesas Finan. Lucro Antes IR IR/Contrib. Social Lucro Líq. Após IR (+) Depreciação (-) Amortização (-) Investimentos (+)Liber. Financiam. (+) Valor Residual Fluxo de Caixa Acion.

0

1 2.800

2 4.000

3 4.000

4 4.000

5 4.000

6 4.000

7 4.000

8 4.000

9 4.000

10 4.000

2.800 1.120 300 1.380 420 200 200 110 450 157,5 293 200

4.000 1.600 300 2.100 600 200 200 110 990 346,5 644 200

4.000 1.600 300 2.100 600 200 200 110 990 346,5 644 200 220

4.000 1.600 300 2.100 600 200 200 88 1.012 354,2 658 200 220

4.000 1.600 300 2.100 600 200 200 66 1.034 361,9 672 200 220

4.000 1.600 300 2.100 600 200 200 44 1.056 369,6 686 200 220

4.000 1.600 300 2.100 600 200 200 22 1.078 377,3 701 200 220

4.000 1.600 300 2.100 600 200 200

4.000 1.600 300 2.100 600 200 200

4.000 1.600 300 2.100 600 200 200

1.100 385 715 200

1.100 385 715 200

1.100 385 715 200

915

400 1.245

-2.200 1.100 -1.100

493

844

624

638

652

Taxa Interna de Retorno do Acionista =

666

681

915

57,90% 85


VII.9. EXERCÍCIO PROPOSTO Em um estudo de implantação de um projeto industrial, chegou-se aos seguintes dados: 1) Do estudo de mercado: - Tipos de produto : - Preços Unitários :

AeB A: $ 20 B: $ 25

2) Da engenharia: - Valor do terreno :

doado

- Área de construção : - Custo do m2 da construção industrial: - Valor dos equipamentos e utensílios: 3) Tamanho: - Produção anual:

450 m2 $ 800 $ 340.000

A: 10 mil unidades B: 10 mil unidades

4) Custos: - Matérias primas e mat. secundários: $ 6 mil/mês - Energia Elétrica: $ 2 mil/mês - Combustíveis: $ 1 mil/mês - Fretes: $ 300/mês - Água industrial: $ 1 mil/mês - Embalagem: $ 1,5 mil/mês - Mão-de-Obra (considerar totalmente fixa): $ 1,5 mil/mês - Encargos sobre Mão-de-Obra: 80 % - Taxa de Seguro: 0,6 % por ano sobre equipamentos e construção civil - Taxa de manutenção: 0,5 % a.a. para construção civil 2,0 % a.a. para equipamentos - Taxa de IPI : 10 % para o prod. A Produto B isento - PIS/FINSOCIAL: 2 % da receita de vendas (sem considerar o IPI)


- ICMS :

18 % sobre a diferença entre receita (sem IPI) e matérias primas - Despesas com comissão de vendedores 2% da Receita (Sem IPI) - Despesas administrativas: $ 2 mil/mês - Considerar 2 % de eventuais para cada subgrupo 5) Financiamento: - Parcela do investimento fixo financiado: 60 % - Taxa de juros: 8 % a.a. - Sistema de amortização: Em 10 anos pelo SAC (incluindo 2 anos de carência) 6) Outros dados: - Valor residual do investimento fixo: - Vida útil do projeto: - Depreciação: - Primeiro ano de atividade: - Segundo ano : - Terceiro ano em diante:

10 % do investimento 10 anos 4% para construções civis 10 % para equipamentos 70 % da capacidade 90 % da capacidade Capacidade normal

7) Subsídios para a determinação do capital de giro: NECESSIDADES: a) Disponibilidades: 10 dias de faturamento (sem IPI) b) Estoques: Matérias Primas: 7 dias do custo de matérias primas. Produtos em elaboração: 2 dias sobre a média entre o custo de produção e o custo de matérias primas Produtos acabados: 3 dias do custo de produção Peças e materiais de reposição: 15 dias do custo de manutenção c) Financiamento das vendas: 30 dias (prazo médio de recebimento) calculados sobre o custo global. (Supondo que toda venda seja financiada)

87


COBERTURA a) Crédito de fornecedores : Matérias-primas e materiais secundários: 30 dias do custo de matérias-primas; Peças e materiais de reposição: 30 dias do custo de manutenção; b) Outras fontes: 30 dias sobre ICMS e PIS/FINSOCIAL

DETERMINE A VIABILIDADE ECONÔMICA E FINANCEIRA DO PROJETO !!!

88


Quadro do Fluxo Financeiro do Empreendimento Em $ 1.000 Descrição Receita Bruta (-) Impostos Prop. Receita Líquida Custo Var. Prod. Custo Fixo Prod. Lucro Bruto Desp. Ger. Var. Desp. Ger. Fixas Depreciação Despesas Finan. Lucro Antes IR IR/Contrib. Social Lucro Líq. Após IR (+) Depreciação (-) Amortização (-) Investimentos (+)Liber. Financiam. (+) Valor Residual Fluxo de Caixa Empr.

0

1

2

3

4

5

6

Taxa Interna de Retorno do Empreendimento =

7

8

9

10


Quadro do Fluxo Financeiro do Acionista Em $ 1.000 Descrição Receita Bruta (-) Impostos Prop. Receita Líquida Custo Var. Prod. Custo Fixo Prod. Lucro Bruto Desp. Ger. Var. Desp. Ger. Fixas Depreciação Despesas Finan. Lucro Antes IR IR/Contrib. Social Lucro Líq. Após IR (+) Depreciação (-) Amortização (-) Investimentos (+)Liber. Financiam. (+) Valor Residual Fluxo de Caixa Acion.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Taxa Interna de Retorno do Acionista = 90


ROTEIRO DE CÁLCULO DE UM PROJETO

1. Programa de vendas DESCRIÇÃO Quantidade Vendida

ANO 1 Produto A Produto B

Preço

Produto A Produto B

Receita de Vendas

Produto A Produto B

Receita (Sem IPI) IPI

Produto A Produto B

Receita Bruta

ANO 2

ANOS 3 a 10


2. Custos Operacionais DESCRIÇÃO

ANO 1

ANO 2

ANOS 3 a 10

1. Custo Variável de Produção 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Eventuais (2%) Total Parcial

2. Custo Fixo de Produção 2.1 2.2 2.3 2.4 Eventuais Total Parcial

CUSTO DE PRODUÇÃO 3. Despesa Geral Variável 3.1 3.2 Eventuais Total Parcial

4. Despesa Geral Fixa 4.1 4.2 Eventuais Total Parcial

5. Impostos Proporcionais 5.1 5.2 5.3 5.4 Eventuais Total Parcial

CUSTO GLOBAL 92


3. Capital de giro (a plena produção) DESCRIÇÃO

ANO 3 (Projeção)

1. Necessidades 1.1 Caixa 1.2 Financiamento das Vendas 1.3 Estoques Matérias Primas Produtos em Elaboração Produtos Acabados Peças e Materiais de reposição

TOTAL DAS NECESSIDADES 2. RECURSOS 2.1 Fornecedores 2.2 ICMS 2.3 PIS / FINSOCIAL

2.4 Capital de Giro Próprio

TOTAL DOS RECURSOS

4. Investimentos DESCRIÇÃO

VALOR

1. Terrenos 2. Construções 3. Equipamentos 4. Capital de Giro Próprio

TOTAL DO INVESTIMENTO

93


5. Depreciação ANO

DEPRECIAÇÃO

VALOR CONTÁBIL

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6. Quadro de Financiamento ANO

SALDO DEVEDOR

AMORTIZAÇÃO

JUROS

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

94


TABELAS FINANCEIRAS

Fator Nome ( F/P, i, n ) Fator de Valor Futuro de um Pgto Simples ( P/F, i, n ) Fator de Valor Presente de um Pgto Simples ( F/A, i, n ) Fator de Valor Futuro de uma Série Uniforme ( A/F, i, n ) Fator de Valor Anual de um Valor Futuro ou Fator de Formação de Capital ( P/A, i, n ) Fator de Valor Presente de uma Série Anual ( A/P, i, n ) Fator de Valor Anual de um Valor Presente ou Fator de Recuperação de Capital ( P/G, i, n ) Fator de Valor Presente de uma Série Gradiente ( A/G, i, n ) Fator de Valor Anual de uma Série Gradiente ( F/G, i, n ) Fator de valor Futuro de uma Série Gradiente

Fórmula (1+i)n ( 1 + i ) -n ( 1 + i )n – 1 i _____i_____ ( 1 + i )n - 1 ( 1 + i )n – 1 ( 1 + i )n . i ( 1 + i )n . 1 ( 1 + i )n – i ( 1 + i )n – 1 – ni i2 ( 1 + i )n ( 1 + i )n – 1 – n.i i. (( 1 + i )n – 1) ( 1 + i )n – 1 – ni i2

95


Fator de Valor Futuro de um Pgto Simples n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 40 45 48 50

1% 1,0100 1,0201 1,0303 1,0406 1,0510 1,0615 1,0721 1,0829 1,0937 1,1046 1,1157 1,1268 1,1381 1,1495 1,1610 1,1726 1,1843 1,1961 1,2081 1,2202 1,2324 1,2447 1,2572 1,2697 1,2824 1,2953 1,3082 1,3213 1,3345 1,3478 1,3613 1,3749 1,3887 1,4026 1,4166 1,4308 1,4889 1,5648 1,6122 1,6446

2% 1,0200 1,0404 1,0612 1,0824 1,1041 1,1262 1,1487 1,1717 1,1951 1,2190 1,2434 1,2682 1,2936 1,3195 1,3459 1,3728 1,4002 1,4282 1,4568 1,4859 1,5157 1,5460 1,5769 1,6084 1,6406 1,6734 1,7069 1,7410 1,7758 1,8114 1,8476 1,8845 1,9222 1,9607 1,9999 2,0399 2,2080 2,4379 2,5871 2,6916

3% 1,0300 1,0609 1,0927 1,1255 1,1593 1,1941 1,2299 1,2668 1,3048 1,3439 1,3842 1,4258 1,4685 1,5126 1,5580 1,6047 1,6528 1,7024 1,7535 1,8061 1,8603 1,9161 1,9736 2,0328 2,0938 2,1566 2,2213 2,2879 2,3566 2,4273 2,5001 2,5751 2,6523 2,7319 2,8139 2,8983 3,2620 3,7816 4,1323 4,3839

4% 5% 6% 1,0400 1,0500 1,0600 1,0816 1,1025 1,1236 1,1249 1,1576 1,1910 1,1699 1,2155 1,2625 1,2167 1,2763 1,3382 1,2653 1,3401 1,4185 1,3159 1,4071 1,5036 1,3686 1,4775 1,5938 1,4233 1,5513 1,6895 1,4802 1,6289 1,7908 1,5395 1,7103 1,8983 1,6010 1,7959 2,0122 1,6651 1,8856 2,1329 1,7317 1,9799 2,2609 1,8009 2,0789 2,3966 1,8730 2,1829 2,5404 1,9479 2,2920 2,6928 2,0258 2,4066 2,8543 2,1068 2,5270 3,0256 2,1911 2,6533 3,2071 2,2788 2,7860 3,3996 2,3699 2,9253 3,6035 2,4647 3,0715 3,8197 2,5633 3,2251 4,0489 2,6658 3,3864 4,2919 2,7725 3,5557 4,5494 2,8834 3,7335 4,8223 2,9987 3,9201 5,1117 3,1187 4,1161 5,4184 3,2434 4,3219 5,7435 3,3731 4,5380 6,0881 3,5081 4,7649 6,4534 3,6484 5,0032 6,8406 3,7943 5,2533 7,2510 3,9461 5,5160 7,6861 4,1039 5,7918 8,1473 4,8010 7,0400 10,2857 5,8412 8,9850 13,7646 6,5705 10,4013 16,3939 7,1067 11,4674 18,4202

7% 1,0700 1,1449 1,2250 1,3108 1,4026 1,5007 1,6058 1,7182 1,8385 1,9672 2,1049 2,2522 2,4098 2,5785 2,7590 2,9522 3,1588 3,3799 3,6165 3,8697 4,1406 4,4304 4,7405 5,0724 5,4274 5,8074 6,2139 6,6488 7,1143 7,6123 8,1451 8,7153 9,3253 9,9781 10,6766 11,4239 14,9745 21,0025 25,7289 29,4570

8% 1,0800 1,1664 1,2597 1,3605 1,4693 1,5869 1,7138 1,8509 1,9990 2,1589 2,3316 2,5182 2,7196 2,9372 3,1722 3,4259 3,7000 3,9960 4,3157 4,6610 5,0338 5,4365 5,8715 6,3412 6,8485 7,3964 7,9881 8,6271 9,3173 10,0627 10,8677 11,7371 12,6760 13,6901 14,7853 15,9682 21,7245 31,9204 40,2106 46,9016

(F/P, i, n) Taxas 9% 10% 11% 12% 13% 1,0900 1,1000 1,1100 1,1200 1,1300 1,1881 1,2100 1,2321 1,2544 1,2769 1,2950 1,3310 1,3676 1,4049 1,4429 1,4116 1,4641 1,5181 1,5735 1,6305 1,5386 1,6105 1,6851 1,7623 1,8424 1,6771 1,7716 1,8704 1,9738 2,0820 1,8280 1,9487 2,0762 2,2107 2,3526 1,9926 2,1436 2,3045 2,4760 2,6584 2,1719 2,3579 2,5580 2,7731 3,0040 2,3674 2,5937 2,8394 3,1058 3,3946 2,5804 2,8531 3,1518 3,4785 3,8359 2,8127 3,1384 3,4985 3,8960 4,3345 3,0658 3,4523 3,8833 4,3635 4,8980 3,3417 3,7975 4,3104 4,8871 5,5348 3,6425 4,1772 4,7846 5,4736 6,2543 3,9703 4,5950 5,3109 6,1304 7,0673 4,3276 5,0545 5,8951 6,8660 7,9861 4,7171 5,5599 6,5436 7,6900 9,0243 5,1417 6,1159 7,2633 8,6128 10,1974 5,6044 6,7275 8,0623 9,6463 11,5231 6,1088 7,4002 8,9492 10,8038 13,0211 6,6586 8,1403 9,9336 12,1003 14,7138 7,2579 8,9543 11,0263 13,5523 16,6266 7,9111 9,8497 12,2392 15,1786 18,7881 8,6231 10,8347 13,5855 17,0001 21,2305 9,3992 11,9182 15,0799 19,0401 23,9905 10,2451 13,1100 16,7386 21,3249 27,1093 11,1671 14,4210 18,5799 23,8839 30,6335 12,1722 15,8631 20,6237 26,7499 34,6158 13,2677 17,4494 22,8923 29,9599 39,1159 14,4618 19,1943 25,4104 33,5551 44,2010 15,7633 21,1138 28,2056 37,5817 49,9471 17,1820 23,2252 31,3082 42,0915 56,4402 18,7284 25,5477 34,7521 47,1425 63,7774 20,4140 28,1024 38,5749 52,7996 72,0685 22,2512 30,9127 42,8181 59,1356 81,4374 31,4094 45,2593 65,0009 93,0510 132,7816 48,3273 72,8905 109,5302 163,9876 244,6414 62,5852 97,0172 149,7970 230,3908 352,9923 74,3575 117,3909 184,5648 289,0022 450,7359

14% 15% 1,1400 1,1500 1,2996 1,3225 1,4815 1,5209 1,6890 1,7490 1,9254 2,0114 2,1950 2,3131 2,5023 2,6600 2,8526 3,0590 3,2519 3,5179 3,7072 4,0456 4,2262 4,6524 4,8179 5,3503 5,4924 6,1528 6,2613 7,0757 7,1379 8,1371 8,1372 9,3576 9,2765 10,7613 10,5752 12,3755 12,0557 14,2318 13,7435 16,3665 15,6676 18,8215 17,8610 21,6447 20,3616 24,8915 23,2122 28,6252 26,4619 32,9190 30,1666 37,8568 34,3899 43,5353 39,2045 50,0656 44,6931 57,5755 50,9502 66,2118 58,0832 76,1435 66,2148 87,5651 75,4849 100,6998 86,0528 115,8048 98,1002 133,1755 111,8342 153,1519 188,8835 267,8635 363,6791 538,7693 538,8065 819,4007 700,2330 1.083,6574

20% 25% 30% 40% 50% 1,2000 1,2500 1,3000 1,4000 1,5000 1,4400 1,5625 1,6900 1,9600 2,2500 1,7280 1,9531 2,1970 2,7440 3,3750 2,0736 2,4414 2,8561 3,8416 5,0625 2,4883 3,0518 3,7129 5,3782 7,5938 2,9860 3,8147 4,8268 7,5295 11,3906 3,5832 4,7684 6,2749 10,5414 17,0859 4,2998 5,9605 8,1573 14,7579 25,6289 5,1598 7,4506 10,6045 20,6610 38,4434 6,1917 9,3132 13,7858 28,9255 57,6650 7,4301 11,6415 17,9216 40,4957 86,4976 8,9161 14,5519 23,2981 56,6939 129,7463 10,6993 18,1899 30,2875 79,3715 194,6195 12,8392 22,7374 39,3738 111,1201 291,9293 15,4070 28,4217 51,1859 155,5681 437,8939 18,4884 35,5271 66,5417 217,7953 656,8408 22,1861 44,4089 86,5042 304,9135 985,2613 26,6233 55,5112 112,4554 426,8789 1.477,8919 31,9480 69,3889 146,1920 597,6304 2.216,8378 38,3376 86,7362 190,0496 836,6826 3.325,2567 46,0051 108,4202 247,0645 1.171,3556 4.987,8851 55,2061 135,5253 321,1839 1.639,8978 7.481,8276 66,2474 169,4066 417,5391 2.295,8569 11.222,7415 79,4968 211,7582 542,8008 3.214,1997 16.834,1122 95,3962 264,6978 705,6410 4.499,8796 25.251,1683 114,4755 330,8722 917,3333 6.299,8314 37.876,7524 137,3706 413,5903 1.192,5333 8.819,7640 56.815,1287 164,8447 516,9879 1.550,2933 12.347,6696 85.222,6930 197,8136 646,2349 2.015,3813 17.286,7374 127.834,04 237,3763 807,7936 2.619,9956 24.201,4324 191.751,06 284,8516 1.009,7420 3.405,9943 33.882,0053 287.626,59 341,8219 1.262,1774 4.427,7926 47.434,8074 431.439,88 410,1863 1.577,7218 5.756,1304 66.408,7304 647.159,82 492,2235 1.972,1523 7.482,9696 92.972,2225 970.739,74 590,6682 2.465,1903 9.727,8604 130.161,11 1.456.109,61 708,8019 3.081,4879 12.646,2186 182.225,56 2.184.164,41 1.469,7716 7.523,1638 36.118,8648 700.037,70 11.057.332,32 3.657,2620 22.958,8740 134.106,82 3.764.970,74 83.966.617,31 6.319,7487 44.841,5509 294.632,68 10.331.079,71 283.387.333,4 9.100,4382 70.064,9232 497.929,22 20.248.916,24 637.621.500,2


Fator de Valor Presente de um Pgto Simples n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 40 45 48 50

1% 0,9901 0,9803 0,9706 0,9610 0,9515 0,9420 0,9327 0,9235 0,9143 0,9053 0,8963 0,8874 0,8787 0,8700 0,8613 0,8528 0,8444 0,8360 0,8277 0,8195 0,8114 0,8034 0,7954 0,7876 0,7798 0,7720 0,7644 0,7568 0,7493 0,7419 0,7346 0,7273 0,7201 0,7130 0,7059 0,6989 0,6717 0,6391 0,6203 0,6080

2% 0,9804 0,9612 0,9423 0,9238 0,9057 0,8880 0,8706 0,8535 0,8368 0,8203 0,8043 0,7885 0,7730 0,7579 0,7430 0,7284 0,7142 0,7002 0,6864 0,6730 0,6598 0,6468 0,6342 0,6217 0,6095 0,5976 0,5859 0,5744 0,5631 0,5521 0,5412 0,5306 0,5202 0,5100 0,5000 0,4902 0,4529 0,4102 0,3865 0,3715

3% 0,9709 0,9426 0,9151 0,8885 0,8626 0,8375 0,8131 0,7894 0,7664 0,7441 0,7224 0,7014 0,6810 0,6611 0,6419 0,6232 0,6050 0,5874 0,5703 0,5537 0,5375 0,5219 0,5067 0,4919 0,4776 0,4637 0,4502 0,4371 0,4243 0,4120 0,4000 0,3883 0,3770 0,3660 0,3554 0,3450 0,3066 0,2644 0,2420 0,2281

4% 0,9615 0,9246 0,8890 0,8548 0,8219 0,7903 0,7599 0,7307 0,7026 0,6756 0,6496 0,6246 0,6006 0,5775 0,5553 0,5339 0,5134 0,4936 0,4746 0,4564 0,4388 0,4220 0,4057 0,3901 0,3751 0,3607 0,3468 0,3335 0,3207 0,3083 0,2965 0,2851 0,2741 0,2636 0,2534 0,2437 0,2083 0,1712 0,1522 0,1407

5% 0,9524 0,9070 0,8638 0,8227 0,7835 0,7462 0,7107 0,6768 0,6446 0,6139 0,5847 0,5568 0,5303 0,5051 0,4810 0,4581 0,4363 0,4155 0,3957 0,3769 0,3589 0,3418 0,3256 0,3101 0,2953 0,2812 0,2678 0,2551 0,2429 0,2314 0,2204 0,2099 0,1999 0,1904 0,1813 0,1727 0,1420 0,1113 0,0961 0,0872

6% 0,9434 0,8900 0,8396 0,7921 0,7473 0,7050 0,6651 0,6274 0,5919 0,5584 0,5268 0,4970 0,4688 0,4423 0,4173 0,3936 0,3714 0,3503 0,3305 0,3118 0,2942 0,2775 0,2618 0,2470 0,2330 0,2198 0,2074 0,1956 0,1846 0,1741 0,1643 0,1550 0,1462 0,1379 0,1301 0,1227 0,0972 0,0727 0,0610 0,0543

7% 0,9346 0,8734 0,8163 0,7629 0,7130 0,6663 0,6227 0,5820 0,5439 0,5083 0,4751 0,4440 0,4150 0,3878 0,3624 0,3387 0,3166 0,2959 0,2765 0,2584 0,2415 0,2257 0,2109 0,1971 0,1842 0,1722 0,1609 0,1504 0,1406 0,1314 0,1228 0,1147 0,1072 0,1002 0,0937 0,0875 0,0668 0,0476 0,0389 0,0339

8% 0,9259 0,8573 0,7938 0,7350 0,6806 0,6302 0,5835 0,5403 0,5002 0,4632 0,4289 0,3971 0,3677 0,3405 0,3152 0,2919 0,2703 0,2502 0,2317 0,2145 0,1987 0,1839 0,1703 0,1577 0,1460 0,1352 0,1252 0,1159 0,1073 0,0994 0,0920 0,0852 0,0789 0,0730 0,0676 0,0626 0,0460 0,0313 0,0249 0,0213

Taxas 9% 0,9174 0,8417 0,7722 0,7084 0,6499 0,5963 0,5470 0,5019 0,4604 0,4224 0,3875 0,3555 0,3262 0,2992 0,2745 0,2519 0,2311 0,2120 0,1945 0,1784 0,1637 0,1502 0,1378 0,1264 0,1160 0,1064 0,0976 0,0895 0,0822 0,0754 0,0691 0,0634 0,0582 0,0534 0,0490 0,0449 0,0318 0,0207 0,0160 0,0134

(P/F, i, n) 10% 0,9091 0,8264 0,7513 0,6830 0,6209 0,5645 0,5132 0,4665 0,4241 0,3855 0,3505 0,3186 0,2897 0,2633 0,2394 0,2176 0,1978 0,1799 0,1635 0,1486 0,1351 0,1228 0,1117 0,1015 0,0923 0,0839 0,0763 0,0693 0,0630 0,0573 0,0521 0,0474 0,0431 0,0391 0,0356 0,0323 0,0221 0,0137 0,0103 0,0085

11% 0,9009 0,8116 0,7312 0,6587 0,5935 0,5346 0,4817 0,4339 0,3909 0,3522 0,3173 0,2858 0,2575 0,2320 0,2090 0,1883 0,1696 0,1528 0,1377 0,1240 0,1117 0,1007 0,0907 0,0817 0,0736 0,0663 0,0597 0,0538 0,0485 0,0437 0,0394 0,0355 0,0319 0,0288 0,0259 0,0234 0,0154 0,0091 0,0067 0,0054

12% 0,8929 0,7972 0,7118 0,6355 0,5674 0,5066 0,4523 0,4039 0,3606 0,3220 0,2875 0,2567 0,2292 0,2046 0,1827 0,1631 0,1456 0,1300 0,1161 0,1037 0,0926 0,0826 0,0738 0,0659 0,0588 0,0525 0,0469 0,0419 0,0374 0,0334 0,0298 0,0266 0,0238 0,0212 0,0189 0,0169 0,0107 0,0061 0,0043 0,0035

13% 0,8850 0,7831 0,6931 0,6133 0,5428 0,4803 0,4251 0,3762 0,3329 0,2946 0,2607 0,2307 0,2042 0,1807 0,1599 0,1415 0,1252 0,1108 0,0981 0,0868 0,0768 0,0680 0,0601 0,0532 0,0471 0,0417 0,0369 0,0326 0,0289 0,0256 0,0226 0,0200 0,0177 0,0157 0,0139 0,0123 0,0075 0,0041 0,0028 0,0022

14% 0,8772 0,7695 0,6750 0,5921 0,5194 0,4556 0,3996 0,3506 0,3075 0,2697 0,2366 0,2076 0,1821 0,1597 0,1401 0,1229 0,1078 0,0946 0,0829 0,0728 0,0638 0,0560 0,0491 0,0431 0,0378 0,0331 0,0291 0,0255 0,0224 0,0196 0,0172 0,0151 0,0132 0,0116 0,0102 0,0089 0,0053 0,0027 0,0019 0,0014

15% 0,8696 0,7561 0,6575 0,5718 0,4972 0,4323 0,3759 0,3269 0,2843 0,2472 0,2149 0,1869 0,1625 0,1413 0,1229 0,1069 0,0929 0,0808 0,0703 0,0611 0,0531 0,0462 0,0402 0,0349 0,0304 0,0264 0,0230 0,0200 0,0174 0,0151 0,0131 0,0114 0,0099 0,0086 0,0075 0,0065 0,0037 0,0019 0,0012 0,0009

16% 0,8621 0,7432 0,6407 0,5523 0,4761 0,4104 0,3538 0,3050 0,2630 0,2267 0,1954 0,1685 0,1452 0,1252 0,1079 0,0930 0,0802 0,0691 0,0596 0,0514 0,0443 0,0382 0,0329 0,0284 0,0245 0,0211 0,0182 0,0157 0,0135 0,0116 0,0100 0,0087 0,0075 0,0064 0,0055 0,0048 0,0026 0,0013 0,0008 0,0006

17% 0,8547 0,7305 0,6244 0,5337 0,4561 0,3898 0,3332 0,2848 0,2434 0,2080 0,1778 0,1520 0,1299 0,1110 0,0949 0,0811 0,0693 0,0592 0,0506 0,0433 0,0370 0,0316 0,0270 0,0231 0,0197 0,0169 0,0144 0,0123 0,0105 0,0090 0,0077 0,0066 0,0056 0,0048 0,0041 0,0035 0,0019 0,0009 0,0005 0,0004

18% 0,8475 0,7182 0,6086 0,5158 0,4371 0,3704 0,3139 0,2660 0,2255 0,1911 0,1619 0,1372 0,1163 0,0985 0,0835 0,0708 0,0600 0,0508 0,0431 0,0365 0,0309 0,0262 0,0222 0,0188 0,0160 0,0135 0,0115 0,0097 0,0082 0,0070 0,0059 0,0050 0,0042 0,0036 0,0030 0,0026 0,0013 0,0006 0,0004 0,0003

19% 0,8403 0,7062 0,5934 0,4987 0,4190 0,3521 0,2959 0,2487 0,2090 0,1756 0,1476 0,1240 0,1042 0,0876 0,0736 0,0618 0,0520 0,0437 0,0367 0,0308 0,0259 0,0218 0,0183 0,0154 0,0129 0,0109 0,0091 0,0077 0,0064 0,0054 0,0046 0,0038 0,0032 0,0027 0,0023 0,0019 0,0010 0,0004 0,0002 0,0002

20% 0,8333 0,6944 0,5787 0,4823 0,4019 0,3349 0,2791 0,2326 0,1938 0,1615 0,1346 0,1122 0,0935 0,0779 0,0649 0,0541 0,0451 0,0376 0,0313 0,0261 0,0217 0,0181 0,0151 0,0126 0,0105 0,0087 0,0073 0,0061 0,0051 0,0042 0,0035 0,0029 0,0024 0,0020 0,0017 0,0014 0,0007 0,0003 0,0002 0,0001

25% 0,8000 0,6400 0,5120 0,4096 0,3277 0,2621 0,2097 0,1678 0,1342 0,1074 0,0859 0,0687 0,0550 0,0440 0,0352 0,0281 0,0225 0,0180 0,0144 0,0115 0,0092 0,0074 0,0059 0,0047 0,0038 0,0030 0,0024 0,0019 0,0015 0,0012 0,0010 0,0008 0,0006 0,0005 0,0004 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

30% 0,7692 0,5917 0,4552 0,3501 0,2693 0,2072 0,1594 0,1226 0,0943 0,0725 0,0558 0,0429 0,0330 0,0254 0,0195 0,0150 0,0116 0,0089 0,0068 0,0053 0,0040 0,0031 0,0024 0,0018 0,0014 0,0011 0,0008 0,0006 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

35% 0,7407 0,5487 0,4064 0,3011 0,2230 0,1652 0,1224 0,0906 0,0671 0,0497 0,0368 0,0273 0,0202 0,0150 0,0111 0,0082 0,0061 0,0045 0,0033 0,0025 0,0018 0,0014 0,0010 0,0007 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

40% 0,7143 0,5102 0,3644 0,2603 0,1859 0,1328 0,0949 0,0678 0,0484 0,0346 0,0247 0,0176 0,0126 0,0090 0,0064 0,0046 0,0033 0,0023 0,0017 0,0012 0,0009 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

45% 0,6897 0,4756 0,3280 0,2262 0,1560 0,1076 0,0742 0,0512 0,0353 0,0243 0,0168 0,0116 0,0080 0,0055 0,0038 0,0026 0,0018 0,0012 0,0009 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

50% 0,6667 0,4444 0,2963 0,1975 0,1317 0,0878 0,0585 0,0390 0,0260 0,0173 0,0116 0,0077 0,0051 0,0034 0,0023 0,0015 0,0010 0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

98


Fator de Valor Futuro de uma sĂŠrie anual n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 40 45 48 50

1% 1,0000 2,0100 3,0301 4,0604 5,1010 6,1520 7,2135 8,2857 9,3685 10,4622 11,5668 12,6825 13,8093 14,9474 16,097 17,258 18,430 19,615 20,811 22,019 23,239 24,472 25,716 26,973 28,243 29,526 30,821 32,129 33,450 34,785 36,133 37,494 38,869 40,258 41,660 43,077 48,886 56,481 61,223 64,463

2% 1,0000 2,0200 3,0604 4,1216 5,2040 6,3081 7,4343 8,5830 9,7546 10,9497 12,1687 13,4121 14,6803 15,9739 17,293 18,639 20,012 21,412 22,841 24,297 25,783 27,299 28,845 30,422 32,030 33,671 35,344 37,051 38,792 40,568 42,379 44,227 46,112 48,034 49,994 51,994 60,402 71,893 79,354 84,579

3% 1,0000 2,0300 3,0909 4,1836 5,3091 6,4684 7,6625 8,8923 10,1591 11,4639 12,8078 14,1920 15,6178 17,0863 18,599 20,157 21,762 23,414 25,117 26,870 28,676 30,537 32,453 34,426 36,459 38,553 40,710 42,931 45,219 47,575 50,003 52,503 55,078 57,730 60,462 63,276 75,401 92,720 104,408 112,797

4% 1,0000 2,0400 3,1216 4,2465 5,4163 6,6330 7,8983 9,2142 10,5828 12,0061 13,4864 15,0258 16,6268 18,2919 20,024 21,825 23,698 25,645 27,671 29,778 31,969 34,248 36,618 39,083 41,646 44,312 47,084 49,968 52,966 56,085 59,328 62,701 66,210 69,858 73,652 77,598 95,026 121,029 139,263 152,667

5% 1,0000 2,0500 3,1525 4,3101 5,5256 6,8019 8,1420 9,5491 11,0266 12,5779 14,2068 15,9171 17,7130 19,5986 21,579 23,657 25,840 28,132 30,539 33,066 35,719 38,505 41,430 44,502 47,727 51,113 54,669 58,403 62,323 66,439 70,761 75,299 80,064 85,067 90,320 95,836 120,800 159,700 188,025 209,348

6% 7% 8% 9% 10% 11% 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 2,0600 2,0700 2,0800 2,0900 2,1000 2,1100 3,1836 3,2149 3,2464 3,2781 3,3100 3,3421 4,3746 4,4399 4,5061 4,5731 4,6410 4,7097 5,6371 5,7507 5,8666 5,9847 6,1051 6,2278 6,9753 7,1533 7,3359 7,5233 7,7156 7,9129 8,3938 8,6540 8,9228 9,2004 9,4872 9,7833 9,8975 10,2598 10,6366 11,0285 11,4359 11,8594 11,4913 11,9780 12,4876 13,0210 13,5795 14,1640 13,1808 13,82 14,49 15,19 15,94 16,72 14,9716 15,78 16,65 17,56 18,53 19,56 16,8699 17,89 18,98 20,14 21,38 22,71 18,8821 20,14 21,50 22,95 24,52 26,21 21,0151 22,55 24,21 26,02 27,97 30,09 23,276 25,13 27,15 29,36 31,77 34,41 25,673 27,89 30,32 33,00 35,95 39,19 28,213 30,84 33,75 36,97 40,54 44,50 30,906 34,00 37,45 41,30 45,60 50,40 33,760 37,38 41,45 46,02 51,16 56,94 36,786 41,00 45,76 51,16 57,27 64,20 39,993 44,87 50,42 56,76 64,00 72,27 43,392 49,01 55,46 62,87 71,40 81,21 46,996 53,44 60,89 69,53 79,54 91,15 50,816 58,18 66,76 76,79 88,50 102,17 54,865 63,25 73,11 84,70 98,35 114,41 59,156 68,68 79,95 93,32 109,18 128,00 63,706 74,48 87,35 102,72 121,10 143,08 68,528 80,70 95,34 112,97 134,21 159,82 73,640 87,35 103,97 124,14 148,63 178,40 79,058 94,46 113,28 136,31 164,49 199,02 84,802 102,07 123,35 149,58 181,94 221,91 90,890 110,22 134,21 164,04 201,14 247,32 97,343 118,93 145,95 179,80 222,25 275,53 104,184 128,26 158,63 196,98 245,48 306,84 111,435 138,24 172,32 215,71 271,02 341,59 119,121 148,91 187,10 236,12 299,13 380,16 154,762 199,64 259,06 337,88 442,59 581,83 212,744 285,75 386,51 525,86 718,90 986,64 256,565 353,27 490,13 684,28 960,17 1.352,70 290,336 406,53 573,77 815,08 1.163,91 1.668,77

(F/A, i, n) Taxas 12% 13% 1,0000 1,0000 2,1200 2,1300 3,3744 3,4069 4,7793 4,8498 6,3528 6,4803 8,1152 8,3227 10,0890 10,4047 12,2997 12,7573 14,7757 15,4157 17,55 18,42 20,65 21,81 24,13 25,65 28,03 29,98 32,39 34,88 37,28 40,42 42,75 46,67 48,88 53,74 55,7 61,7 63,4 70,7 72,1 80,9 81,7 92,5 92,5 105,5 104,6 120,2 118,2 136,8 133,3 155,6 150,3 176,9 169,4 200,8 190,7 227,9 214,6 258,6 241,3 293,2 271,3 332,3 304,8 376,5 342,4 426,5 384,5 482,9 431,7 546,7 484,5 618,7 767,1 1.013,7 1.358,2 1.874,2 1.911,6 2.707,6 2.400,0 3.459,5

14% 1,0000 2,1400 3,4396 4,9211 6,6101 8,5355 10,7305 13,2328 16,0853 19,34 23,04 27,27 32,09 37,58 43,84 50,98 59,12 68,4 79,0 91,0 104,8 120,4 138,3 158,7 181,9 208,3 238,5 272,9 312,1 356,8 407,7 465,8 532,0 607,5 693,6 791,7 1.342,0 2.590,6 3.841,5 4.994,5

15% 1,0000 2,1500 3,4725 4,9934 6,7424 8,7537 11,0668 13,7268 16,7858 20,30 24,35 29,00 34,35 40,50 47,58 55,72 65,08 75,8 88,2 102,4 118,8 137,6 159,3 184,2 212,8 245,7 283,6 327,1 377,2 434,7 501,0 577,1 664,7 765,4 881,2 1.014,3 1.779,1 3.585,1 5.456,0 7.217,7

20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 2,2000 2,2500 2,3000 2,3500 2,4000 2,4500 2,5000 3,6400 3,8125 3,9900 4,1725 4,3600 4,5525 4,7500 5,3680 5,7656 6,1870 6,6329 7,1040 7,6011 8,1250 7,4416 8,2070 9,0431 9,9544 10,9456 12,0216 13,1875 9,9299 11,2588 12,7560 14,4384 16,3238 18,4314 20,7813 12,9159 15,0735 17,5828 20,4919 23,8534 27,7255 32,1719 16,4991 19,8419 23,8577 28,6640 34,3947 41,2019 49,2578 20,7989 25,8023 32,0150 39,6964 49,1526 60,7428 74,8867 25,96 33,25 42,62 54,59 69,81 89,08 113,33 32,15 42,57 56,41 74,70 98,74 130,16 171,00 39,58 54,21 74,33 101,84 139,23 189,73 257,49 48,50 68,76 97,63 138,48 195,93 276,12 387,24 59,20 86,95 127,91 187,95 275,30 401,37 581,86 72,04 109,69 167,29 254,74 386,42 582,98 873,79 87,44 138,11 218,47 344,90 541,99 846,32 1.311,68 105,93 173,64 285,01 466,61 759,78 1.228,17 1.968,52 128,1 218,0 371,5 630,9 1.064,7 1.781,8 2.953,8 154,7 273,6 484,0 852,7 1.491,6 2.584,7 4.431,7 186,7 342,9 630,2 1.152,2 2.089,2 3.748,8 6.648,5 225,0 429,7 820,2 1.556,5 2.925,9 5.436,7 9.973,8 271,0 538,1 1.067,3 2.102,3 4.097,2 7.884,3 14.961,7 326,2 673,6 1.388,5 2.839,0 5.737,1 11.433,2 22.443,5 392,5 843,0 1.806,0 3.833,7 8.033,0 16.579,1 33.666,2 472,0 1.054,8 2.348,8 5.176,5 11.247,2 24.040,7 50.500,3 567,4 1.319,5 3.054,4 6.989,3 15.747,1 34.860,0 75.751,5 681,9 1.650,4 3.971,8 9.436,5 22.046,9 50.548,1 113.628,3 819,2 2.064,0 5.164,3 12.740,3 30.866,7 73.295,7 170.443,4 984,1 2.580,9 6.714,6 17.200,4 43.214,3 106.279,7 255.666,1 1.181,9 3.227,2 8.730,0 23.221,6 60.501,1 154.106,6 383.500,1 1.419,3 4.035,0 11.350,0 31.350,1 84.702,5 223.455,6 575.251,2 1.704,1 5.044,7 14.756,0 42.323,7 118.584,5 324.011,6 862.877,8 2.045,9 6.306,9 19.184 57.138 166.019 469.818 1.294.318 2.456,1 7.884,6 24.940 77.137 232.428 681.237 1.941.477 2.948,3 9.856,8 32.423 104.136 325.400 987.794 2.912.217 3.539,0 12.322,0 42.151 140.585 455.561 1.432.303 4.368.327 7.343,9 30.088,7 120.393 466.960 1.750.092 6.331.512 22.114.663 18.281,3 91.831,5 447.019 2.093.876 9.412.424 40.583.319 167.933.233 31.593,7 179.362,2 982.106 5.151.724 25.827.697 123.723.326 566.774.665 45.497,2 280.255,7 1.659.761 9.389.020 50.622.288 260.128.295 1.275.242.998

99


Fator de Valor Anual de um Valor Futuro ou Fator de Formação de Capital n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 40 45 48 50

1% 1,0000 0,4975 0,3300 0,2463 0,1960 0,1625 0,1386 0,1207 0,1067 0,0956 0,0865 0,0788 0,0724 0,0669 0,0621 0,0579 0,0543 0,0510 0,0481 0,0454 0,0430 0,0409 0,0389 0,0371 0,0354 0,0339 0,0324 0,0311 0,0299 0,0287 0,0277 0,0267 0,0257 0,0248 0,0240 0,0232 0,0205 0,0177 0,0163 0,0155

2% 1,0000 0,4950 0,3268 0,2426 0,1922 0,1585 0,1345 0,1165 0,1025 0,0913 0,0822 0,0746 0,0681 0,0626 0,0578 0,0537 0,0500 0,0467 0,0438 0,0412 0,0388 0,0366 0,0347 0,0329 0,0312 0,0297 0,0283 0,0270 0,0258 0,0246 0,0236 0,0226 0,0217 0,0208 0,0200 0,0192 0,0166 0,0139 0,0126 0,0118

3% 1,0000 0,4926 0,3235 0,2390 0,1884 0,1546 0,1305 0,1125 0,0984 0,0872 0,0781 0,0705 0,0640 0,0585 0,0538 0,0496 0,0460 0,0427 0,0398 0,0372 0,0349 0,0327 0,0308 0,0290 0,0274 0,0259 0,0246 0,0233 0,0221 0,0210 0,0200 0,0190 0,0182 0,0173 0,0165 0,0158 0,0133 0,0108 0,0096 0,0089

4% 1,0000 0,4902 0,3203 0,2355 0,1846 0,1508 0,1266 0,1085 0,0945 0,0833 0,0741 0,0666 0,0601 0,0547 0,0499 0,0458 0,0422 0,0390 0,0361 0,0336 0,0313 0,0292 0,0273 0,0256 0,0240 0,0226 0,0212 0,0200 0,0189 0,0178 0,0169 0,0159 0,0151 0,0143 0,0136 0,0129 0,0105 0,0083 0,0072 0,0066

5% 1,0000 0,4878 0,3172 0,2320 0,1810 0,1470 0,1228 0,1047 0,0907 0,0795 0,0704 0,0628 0,0565 0,0510 0,0463 0,0423 0,0387 0,0355 0,0327 0,0302 0,0280 0,0260 0,0241 0,0225 0,0210 0,0196 0,0183 0,0171 0,0160 0,0151 0,0141 0,0133 0,0125 0,0118 0,0111 0,0104 0,0083 0,0063 0,0053 0,0048

6% 1,0000 0,4854 0,3141 0,2286 0,1774 0,1434 0,1191 0,1010 0,0870 0,0759 0,0668 0,0593 0,0530 0,0476 0,0430 0,0390 0,0354 0,0324 0,0296 0,0272 0,0250 0,0230 0,0213 0,0197 0,0182 0,0169 0,0157 0,0146 0,0136 0,0126 0,0118 0,0110 0,0103 0,0096 0,0090 0,0084 0,0065 0,0047 0,0039 0,0034

7% 1,0000 0,4831 0,3111 0,2252 0,1739 0,1398 0,1156 0,0975 0,0835 0,0724 0,0634 0,0559 0,0497 0,0443 0,0398 0,0359 0,0324 0,0294 0,0268 0,0244 0,0223 0,0204 0,0187 0,0172 0,0158 0,0146 0,0134 0,0124 0,0114 0,0106 0,0098 0,0091 0,0084 0,0078 0,0072 0,0067 0,0050 0,0035 0,0028 0,0025

8% 1,0000 0,4808 0,3080 0,2219 0,1705 0,1363 0,1121 0,0940 0,0801 0,0690 0,0601 0,0527 0,0465 0,0413 0,0368 0,0330 0,0296 0,0267 0,0241 0,0219 0,0198 0,0180 0,0164 0,0150 0,0137 0,0125 0,0114 0,0105 0,0096 0,0088 0,0081 0,0075 0,0069 0,0063 0,0058 0,0053 0,0039 0,0026 0,0020 0,0017

Taxas 9% 1,0000 0,4785 0,3051 0,2187 0,1671 0,1329 0,1087 0,0907 0,0768 0,0658 0,0569 0,0497 0,0436 0,0384 0,0341 0,0303 0,0270 0,0242 0,0217 0,0195 0,0176 0,0159 0,0144 0,0130 0,0118 0,0107 0,0097 0,0089 0,0081 0,0073 0,0067 0,0061 0,0056 0,0051 0,0046 0,0042 0,0030 0,0019 0,0015 0,0012

10% 1,0000 0,4762 0,3021 0,2155 0,1638 0,1296 0,1054 0,0874 0,0736 0,0627 0,0540 0,0468 0,0408 0,0357 0,0315 0,0278 0,0247 0,0219 0,0195 0,0175 0,0156 0,0140 0,0126 0,0113 0,0102 0,0092 0,0083 0,0075 0,0067 0,0061 0,0055 0,0050 0,0045 0,0041 0,0037 0,0033 0,0023 0,0014 0,0010 0,0009

11% 1,0000 0,4739 0,2992 0,2123 0,1606 0,1264 0,1022 0,0843 0,0706 0,0598 0,0511 0,0440 0,0382 0,0332 0,0291 0,0255 0,0225 0,0198 0,0176 0,0156 0,0138 0,0123 0,0110 0,0098 0,0087 0,0078 0,0070 0,0063 0,0056 0,0050 0,0045 0,0040 0,0036 0,0033 0,0029 0,0026 0,0017 0,0010 0,0007 0,0006

12% 1,0000 0,4717 0,2963 0,2092 0,1574 0,1232 0,0991 0,0813 0,0677 0,0570 0,0484 0,0414 0,0357 0,0309 0,0268 0,0234 0,0205 0,0179 0,0158 0,0139 0,0122 0,0108 0,0096 0,0085 0,0075 0,0067 0,0059 0,0052 0,0047 0,0041 0,0037 0,0033 0,0029 0,0026 0,0023 0,0021 0,0013 0,0007 0,0005 0,0004

13% 1,0000 0,4695 0,2935 0,2062 0,1543 0,1202 0,0961 0,0784 0,0649 0,0543 0,0458 0,0390 0,0334 0,0287 0,0247 0,0214 0,0186 0,0162 0,0141 0,0124 0,0108 0,0095 0,0083 0,0073 0,0064 0,0057 0,0050 0,0044 0,0039 0,0034 0,0030 0,0027 0,0023 0,0021 0,0018 0,0016 0,0010 0,0005 0,0004 0,0003

14% 1,0000 0,4673 0,2907 0,2032 0,1513 0,1172 0,0932 0,0756 0,0622 0,0517 0,0434 0,0367 0,0312 0,0266 0,0228 0,0196 0,0169 0,0146 0,0127 0,0110 0,0095 0,0083 0,0072 0,0063 0,0055 0,0048 0,0042 0,0037 0,0032 0,0028 0,0025 0,0021 0,0019 0,0016 0,0014 0,0013 0,0007 0,0004 0,0003 0,0002

15% 1,0000 0,4651 0,2880 0,2003 0,1483 0,1142 0,0904 0,0729 0,0596 0,0493 0,0411 0,0345 0,0291 0,0247 0,0210 0,0179 0,0154 0,0132 0,0113 0,0098 0,0084 0,0073 0,0063 0,0054 0,0047 0,0041 0,0035 0,0031 0,0027 0,0023 0,0020 0,0017 0,0015 0,0013 0,0011 0,0010 0,0006 0,0003 0,0002 0,0001

16% 1,0000 0,4630 0,2853 0,1974 0,1454 0,1114 0,0876 0,0702 0,0571 0,0469 0,0389 0,0324 0,0272 0,0229 0,0194 0,0164 0,0140 0,0119 0,0101 0,0087 0,0074 0,0064 0,0054 0,0047 0,0040 0,0034 0,0030 0,0025 0,0022 0,0019 0,0016 0,0014 0,0012 0,0010 0,0009 0,0008 0,0004 0,0002 0,0001 0,0001

(A/F, i, n) 17% 1,0000 0,4608 0,2826 0,1945 0,1426 0,1086 0,0849 0,0677 0,0547 0,0447 0,0368 0,0305 0,0254 0,0212 0,0178 0,0150 0,0127 0,0107 0,0091 0,0077 0,0065 0,0056 0,0047 0,0040 0,0034 0,0029 0,0025 0,0021 0,0018 0,0015 0,0013 0,0011 0,0010 0,0008 0,0007 0,0006 0,0003 0,0001 0,0001 0,0001

18% 1,0000 0,4587 0,2799 0,1917 0,1398 0,1059 0,0824 0,0652 0,0524 0,0425 0,0348 0,0286 0,0237 0,0197 0,0164 0,0137 0,0115 0,0096 0,0081 0,0068 0,0057 0,0048 0,0041 0,0035 0,0029 0,0025 0,0021 0,0018 0,0015 0,0013 0,0011 0,0009 0,0008 0,0006 0,0006 0,0005 0,0002 0,0001 0,0001 0,0000

19% 1,0000 0,4566 0,2773 0,1890 0,1371 0,1033 0,0799 0,0629 0,0502 0,0405 0,0329 0,0269 0,0221 0,0182 0,0151 0,0125 0,0104 0,0087 0,0072 0,0060 0,0051 0,0042 0,0035 0,0030 0,0025 0,0021 0,0017 0,0015 0,0012 0,0010 0,0009 0,0007 0,0006 0,0005 0,0004 0,0004 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000

20% 1,0000 0,4545 0,2747 0,1863 0,1344 0,1007 0,0774 0,0606 0,0481 0,0385 0,0311 0,0253 0,0206 0,0169 0,0139 0,0114 0,0094 0,0078 0,0065 0,0054 0,0044 0,0037 0,0031 0,0025 0,0021 0,0018 0,0015 0,0012 0,0010 0,0008 0,0007 0,0006 0,0005 0,0004 0,0003 0,0003 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000

25% 1,0000 0,4444 0,2623 0,1734 0,1218 0,0888 0,0663 0,0504 0,0388 0,0301 0,0235 0,0184 0,0145 0,0115 0,0091 0,0072 0,0058 0,0046 0,0037 0,0029 0,0023 0,0019 0,0015 0,0012 0,0009 0,0008 0,0006 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

30% 1,0000 0,4348 0,2506 0,1616 0,1106 0,0784 0,0569 0,0419 0,0312 0,0235 0,0177 0,0135 0,0102 0,0078 0,0060 0,0046 0,0035 0,0027 0,0021 0,0016 0,0012 0,0009 0,0007 0,0006 0,0004 0,0003 0,0003 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

35% 1,0000 0,4255 0,2397 0,1508 0,1005 0,0693 0,0488 0,0349 0,0252 0,0183 0,0134 0,0098 0,0072 0,0053 0,0039 0,0029 0,0021 0,0016 0,0012 0,0009 0,0006 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

40% 1,0000 0,4167 0,2294 0,1408 0,0914 0,0613 0,0419 0,0291 0,0203 0,0143 0,0101 0,0072 0,0051 0,0036 0,0026 0,0018 0,0013 0,0009 0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

45% 1,0000 0,4082 0,2197 0,1316 0,0832 0,0543 0,0361 0,0243 0,0165 0,0112 0,0077 0,0053 0,0036 0,0025 0,0017 0,0012 0,0008 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

50% 1,0000 0,4000 0,2105 0,1231 0,0758 0,0481 0,0311 0,0203 0,0134 0,0088 0,0058 0,0039 0,0026 0,0017 0,0011 0,0008 0,0005 0,0003 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

100


Fator de Valor Presente de uma SĂŠrie Uniforme n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 40 45 48 50

1% 0,9901 1,9704 2,9410 3,9020 4,8534 5,7955 6,7282 7,6517 8,5660 9,4713 10,3676 11,2551 12,1337 13,0037 13,8651 14,7179 15,5623 16,3983 17,2260 18,0456 18,8570 19,6604 20,4558 21,2434 22,0232 22,7952 23,5596 24,3164 25,0658 25,8077 26,5423 27,2696 27,9897 28,7027 29,4086 30,1075 32,8347 36,0945 37,9740 39,1961

2% 0,9804 1,9416 2,8839 3,8077 4,7135 5,6014 6,4720 7,3255 8,1622 8,9826 9,7868 10,5753 11,3484 12,1062 12,8493 13,5777 14,2919 14,9920 15,6785 16,3514 17,0112 17,6580 18,2922 18,9139 19,5235 20,1210 20,7069 21,2813 21,8444 22,3965 22,9377 23,4683 23,9886 24,4986 24,9986 25,4888 27,3555 29,4902 30,6731 31,4236

3% 0,9709 1,9135 2,8286 3,7171 4,5797 5,4172 6,2303 7,0197 7,7861 8,5302 9,2526 9,9540 10,6350 11,2961 11,9379 12,5611 13,1661 13,7535 14,3238 14,8775 15,4150 15,9369 16,4436 16,9355 17,4131 17,8768 18,3270 18,7641 19,1885 19,6004 20,0004 20,3888 20,7658 21,1318 21,4872 21,8323 23,1148 24,5187 25,2667 25,7298

4% 0,9615 1,8861 2,7751 3,6299 4,4518 5,2421 6,0021 6,7327 7,4353 8,1109 8,7605 9,3851 9,9856 10,5631 11,1184 11,6523 12,1657 12,6593 13,1339 13,5903 14,0292 14,4511 14,8568 15,2470 15,6221 15,9828 16,3296 16,6631 16,9837 17,2920 17,5885 17,8736 18,1476 18,4112 18,6646 18,9083 19,7928 20,7200 21,1951 21,4822

5% 0,9524 1,8594 2,7232 3,5460 4,3295 5,0757 5,7864 6,4632 7,1078 7,7217 8,3064 8,8633 9,3936 9,8986 10,3797 10,8378 11,2741 11,6896 12,0853 12,4622 12,8212 13,1630 13,4886 13,7986 14,0939 14,3752 14,6430 14,8981 15,1411 15,3725 15,5928 15,8027 16,0025 16,1929 16,3742 16,5469 17,1591 17,7741 18,0772 18,2559

6% 0,9434 1,8334 2,6730 3,4651 4,2124 4,9173 5,5824 6,2098 6,8017 7,3601 7,8869 8,3838 8,8527 9,2950 9,7122 10,1059 10,4773 10,8276 11,1581 11,4699 11,7641 12,0416 12,3034 12,5504 12,7834 13,0032 13,2105 13,4062 13,5907 13,7648 13,9291 14,0840 14,2302 14,3681 14,4982 14,6210 15,0463 15,4558 15,6500 15,7619

7% 0,9346 1,8080 2,6243 3,3872 4,1002 4,7665 5,3893 5,9713 6,5152 7,0236 7,4987 7,9427 8,3577 8,7455 9,1079 9,4466 9,7632 10,0591 10,3356 10,5940 10,8355 11,0612 11,2722 11,4693 11,6536 11,8258 11,9867 12,1371 12,2777 12,4090 12,5318 12,6466 12,7538 12,8540 12,9477 13,0352 13,3317 13,6055 13,7305 13,8007

Taxas 8% 9% 0,9259 0,9174 1,7833 1,7591 2,5771 2,5313 3,3121 3,2397 3,9927 3,8897 4,6229 4,4859 5,2064 5,0330 5,7466 5,5348 6,2469 5,9952 6,7101 6,4177 7,1390 6,8052 7,5361 7,1607 7,9038 7,4869 8,2442 7,7862 8,5595 8,0607 8,8514 8,3126 9,1216 8,5436 9,3719 8,7556 9,6036 8,9501 9,8181 9,1285 10,0168 9,2922 10,2007 9,4424 10,3711 9,5802 10,5288 9,7066 10,6748 9,8226 10,8100 9,9290 10,9352 10,0266 11,0511 10,1161 11,1584 10,1983 11,2578 10,2737 11,3498 10,3428 11,4350 10,4062 11,5139 10,4644 11,5869 10,5178 11,6546 10,5668 11,7172 10,6118 11,9246 10,7574 12,1084 10,8812 12,1891 10,9336 12,2335 10,9617

(P/A, i, n) 10% 0,9091 1,7355 2,4869 3,1699 3,7908 4,3553 4,8684 5,3349 5,7590 6,1446 6,4951 6,8137 7,1034 7,3667 7,6061 7,8237 8,0216 8,2014 8,3649 8,5136 8,6487 8,7715 8,8832 8,9847 9,0770 9,1609 9,2372 9,3066 9,3696 9,4269 9,4790 9,5264 9,5694 9,6086 9,6442 9,6765 9,7791 9,8628 9,8969 9,9148

11% 0,9009 1,7125 2,4437 3,1024 3,6959 4,2305 4,7122 5,1461 5,5370 5,8892 6,2065 6,4924 6,7499 6,9819 7,1909 7,3792 7,5488 7,7016 7,8393 7,9633 8,0751 8,1757 8,2664 8,3481 8,4217 8,4881 8,5478 8,6016 8,6501 8,6938 8,7331 8,7686 8,8005 8,8293 8,8552 8,8786 8,9511 9,0079 9,0302 9,0417

12% 0,8929 1,6901 2,4018 3,0373 3,6048 4,1114 4,5638 4,9676 5,3282 5,6502 5,9377 6,1944 6,4235 6,6282 6,8109 6,9740 7,1196 7,2497 7,3658 7,4694 7,5620 7,6446 7,7184 7,7843 7,8431 7,8957 7,9426 7,9844 8,0218 8,0552 8,0850 8,1116 8,1354 8,1566 8,1755 8,1924 8,2438 8,2825 8,2972 8,3045

13% 0,8850 1,6681 2,3612 2,9745 3,5172 3,9975 4,4226 4,7988 5,1317 5,4262 5,6869 5,9176 6,1218 6,3025 6,4624 6,6039 6,7291 6,8399 6,9380 7,0248 7,1016 7,1695 7,2297 7,2829 7,3300 7,3717 7,4086 7,4412 7,4701 7,4957 7,5183 7,5383 7,5560 7,5717 7,5856 7,5979 7,6344 7,6609 7,6705 7,6752

14% 0,8772 1,6467 2,3216 2,9137 3,4331 3,8887 4,2883 4,6389 4,9464 5,2161 5,4527 5,6603 5,8424 6,0021 6,1422 6,2651 6,3729 6,4674 6,5504 6,6231 6,6870 6,7429 6,7921 6,8351 6,8729 6,9061 6,9352 6,9607 6,9830 7,0027 7,0199 7,0350 7,0482 7,0599 7,0700 7,0790 7,1050 7,1232 7,1296 7,1327

15% 0,8696 1,6257 2,2832 2,8550 3,3522 3,7845 4,1604 4,4873 4,7716 5,0188 5,2337 5,4206 5,5831 5,7245 5,8474 5,9542 6,0472 6,1280 6,1982 6,2593 6,3125 6,3587 6,3988 6,4338 6,4641 6,4906 6,5135 6,5335 6,5509 6,5660 6,5791 6,5905 6,6005 6,6091 6,6166 6,6231 6,6418 6,6543 6,6585 6,6605

16% 0,8621 1,6052 2,2459 2,7982 3,2743 3,6847 4,0386 4,3436 4,6065 4,8332 5,0286 5,1971 5,3423 5,4675 5,5755 5,6685 5,7487 5,8178 5,8775 5,9288 5,9731 6,0113 6,0442 6,0726 6,0971 6,1182 6,1364 6,1520 6,1656 6,1772 6,1872 6,1959 6,2034 6,2098 6,2153 6,2201 6,2335 6,2421 6,2450 6,2463

17% 0,8547 1,5852 2,2096 2,7432 3,1993 3,5892 3,9224 4,2072 4,4506 4,6586 4,8364 4,9884 5,1183 5,2293 5,3242 5,4053 5,4746 5,5339 5,5845 5,6278 5,6648 5,6964 5,7234 5,7465 5,7662 5,7831 5,7975 5,8099 5,8204 5,8294 5,8371 5,8437 5,8493 5,8541 5,8582 5,8617 5,8713 5,8773 5,8792 5,8801

18% 0,8475 1,5656 2,1743 2,6901 3,1272 3,4976 3,8115 4,0776 4,3030 4,4941 4,6560 4,7932 4,9095 5,0081 5,0916 5,1624 5,2223 5,2732 5,3162 5,3527 5,3837 5,4099 5,4321 5,4509 5,4669 5,4804 5,4919 5,5016 5,5098 5,5168 5,5227 5,5277 5,5320 5,5356 5,5386 5,5412 5,5482 5,5523 5,5536 5,5541

19% 0,8403 1,5465 2,1399 2,6386 3,0576 3,4098 3,7057 3,9544 4,1633 4,3389 4,4865 4,6105 4,7147 4,8023 4,8759 4,9377 4,9897 5,0333 5,0700 5,1009 5,1268 5,1486 5,1668 5,1822 5,1951 5,2060 5,2151 5,2228 5,2292 5,2347 5,2392 5,2430 5,2462 5,2489 5,2512 5,2531 5,2582 5,2611 5,2619 5,2623

20% 0,8333 1,5278 2,1065 2,5887 2,9906 3,3255 3,6046 3,8372 4,0310 4,1925 4,3271 4,4392 4,5327 4,6106 4,6755 4,7296 4,7746 4,8122 4,8435 4,8696 4,8913 4,9094 4,9245 4,9371 4,9476 4,9563 4,9636 4,9697 4,9747 4,9789 4,9824 4,9854 4,9878 4,9898 4,9915 4,9929 4,9966 4,9986 4,9992 4,9995

25% 0,8000 1,4400 1,9520 2,3616 2,6893 2,9514 3,1611 3,3289 3,4631 3,5705 3,6564 3,7251 3,7801 3,8241 3,8593 3,8874 3,9099 3,9279 3,9424 3,9539 3,9631 3,9705 3,9764 3,9811 3,9849 3,9879 3,9903 3,9923 3,9938 3,9950 3,9960 3,9968 3,9975 3,9980 3,9984 3,9987 3,9995 3,9998 3,9999 3,9999

30% 0,7692 1,3609 1,8161 2,1662 2,4356 2,6427 2,8021 2,9247 3,0190 3,0915 3,1473 3,1903 3,2233 3,2487 3,2682 3,2832 3,2948 3,3037 3,3105 3,3158 3,3198 3,3230 3,3254 3,3272 3,3286 3,3297 3,3305 3,3312 3,3317 3,3321 3,3324 3,3326 3,3328 3,3329 3,3330 3,3331 3,3332 3,3333 3,3333 3,3333

35% 0,7407 1,2894 1,6959 1,9969 2,2200 2,3852 2,5075 2,5982 2,6653 2,7150 2,7519 2,7792 2,7994 2,8144 2,8255 2,8337 2,8398 2,8443 2,8476 2,8501 2,8519 2,8533 2,8543 2,8550 2,8556 2,8560 2,8563 2,8565 2,8567 2,8568 2,8569 2,8569 2,8570 2,8570 2,8571 2,8571 2,8571 2,8571 2,8571 2,8571

40% 0,7143 1,2245 1,5889 1,8492 2,0352 2,1680 2,2628 2,3306 2,3790 2,4136 2,4383 2,4559 2,4685 2,4775 2,4839 2,4885 2,4918 2,4941 2,4958 2,4970 2,4979 2,4985 2,4989 2,4992 2,4994 2,4996 2,4997 2,4998 2,4999 2,4999 2,4999 2,4999 2,5000 2,5000 2,5000 2,5000 2,5000 2,5000 2,5000 2,5000

50% 0,6667 1,1111 1,4074 1,6049 1,7366 1,8244 1,8829 1,9220 1,9480 1,9653 1,9769 1,9846 1,9897 1,9931 1,9954 1,9970 1,9980 1,9986 1,9991 1,9994 1,9996 1,9997 1,9998 1,9999 1,9999 1,9999 2,0000 2,0000 2,0000 2,0000 2,0000 2,0000 2,0000 2,0000 2,0000 2,0000 2,0000 2,0000 2,0000 2,0000

101


Fator de Valor Anual de um Valor Presente ou Fator de Recuperação de Capital n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 40 45 48 50

1% 1,0100 0,5075 0,3400 0,2563 0,2060 0,1725 0,1486 0,1307 0,1167 0,1056 0,0965 0,0888 0,0824 0,0769 0,0721 0,0679 0,0643 0,0610 0,0581 0,0554 0,0530 0,0509 0,0489 0,0471 0,0454 0,0439 0,0424 0,0411 0,0399 0,0387 0,0377 0,0367 0,0357 0,0348 0,0340 0,0332 0,0305 0,0277 0,0263 0,0255

2% 1,0200 0,5150 0,3468 0,2626 0,2122 0,1785 0,1545 0,1365 0,1225 0,1113 0,1022 0,0946 0,0881 0,0826 0,0778 0,0737 0,0700 0,0667 0,0638 0,0612 0,0588 0,0566 0,0547 0,0529 0,0512 0,0497 0,0483 0,0470 0,0458 0,0446 0,0436 0,0426 0,0417 0,0408 0,0400 0,0392 0,0366 0,0339 0,0326 0,0318

3% 1,0300 0,5226 0,3535 0,2690 0,2184 0,1846 0,1605 0,1425 0,1284 0,1172 0,1081 0,1005 0,0940 0,0885 0,0838 0,0796 0,0760 0,0727 0,0698 0,0672 0,0649 0,0627 0,0608 0,0590 0,0574 0,0559 0,0546 0,0533 0,0521 0,0510 0,0500 0,0490 0,0482 0,0473 0,0465 0,0458 0,0433 0,0408 0,0396 0,0389

4% 1,0400 0,5302 0,3603 0,2755 0,2246 0,1908 0,1666 0,1485 0,1345 0,1233 0,1141 0,1066 0,1001 0,0947 0,0899 0,0858 0,0822 0,0790 0,0761 0,0736 0,0713 0,0692 0,0673 0,0656 0,0640 0,0626 0,0612 0,0600 0,0589 0,0578 0,0569 0,0559 0,0551 0,0543 0,0536 0,0529 0,0505 0,0483 0,0472 0,0466

5% 1,0500 0,5378 0,3672 0,2820 0,2310 0,1970 0,1728 0,1547 0,1407 0,1295 0,1204 0,1128 0,1065 0,1010 0,0963 0,0923 0,0887 0,0855 0,0827 0,0802 0,0780 0,0760 0,0741 0,0725 0,0710 0,0696 0,0683 0,0671 0,0660 0,0651 0,0641 0,0633 0,0625 0,0618 0,0611 0,0604 0,0583 0,0563 0,0553 0,0548

6% 1,0600 0,5454 0,3741 0,2886 0,2374 0,2034 0,1791 0,1610 0,1470 0,1359 0,1268 0,1193 0,1130 0,1076 0,1030 0,0990 0,0954 0,0924 0,0896 0,0872 0,0850 0,0830 0,0813 0,0797 0,0782 0,0769 0,0757 0,0746 0,0736 0,0726 0,0718 0,0710 0,0703 0,0696 0,0690 0,0684 0,0665 0,0647 0,0639 0,0634

7% 1,0700 0,5531 0,3811 0,2952 0,2439 0,2098 0,1856 0,1675 0,1535 0,1424 0,1334 0,1259 0,1197 0,1143 0,1098 0,1059 0,1024 0,0994 0,0968 0,0944 0,0923 0,0904 0,0887 0,0872 0,0858 0,0846 0,0834 0,0824 0,0814 0,0806 0,0798 0,0791 0,0784 0,0778 0,0772 0,0767 0,0750 0,0735 0,0728 0,0725

8% 1,0800 0,5608 0,3880 0,3019 0,2505 0,2163 0,1921 0,1740 0,1601 0,1490 0,1401 0,1327 0,1265 0,1213 0,1168 0,1130 0,1096 0,1067 0,1041 0,1019 0,0998 0,0980 0,0964 0,0950 0,0937 0,0925 0,0914 0,0905 0,0896 0,0888 0,0881 0,0875 0,0869 0,0863 0,0858 0,0853 0,0839 0,0826 0,0820 0,0817

Taxas 9% 1,0900 0,5685 0,3951 0,3087 0,2571 0,2229 0,1987 0,1807 0,1668 0,1558 0,1469 0,1397 0,1336 0,1284 0,1241 0,1203 0,1170 0,1142 0,1117 0,1095 0,1076 0,1059 0,1044 0,1030 0,1018 0,1007 0,0997 0,0989 0,0981 0,0973 0,0967 0,0961 0,0956 0,0951 0,0946 0,0942 0,0930 0,0919 0,0915 0,0912

10% 1,1000 0,5762 0,4021 0,3155 0,2638 0,2296 0,2054 0,1874 0,1736 0,1627 0,1540 0,1468 0,1408 0,1357 0,1315 0,1278 0,1247 0,1219 0,1195 0,1175 0,1156 0,1140 0,1126 0,1113 0,1102 0,1092 0,1083 0,1075 0,1067 0,1061 0,1055 0,1050 0,1045 0,1041 0,1037 0,1033 0,1023 0,1014 0,1010 0,1009

11% 1,1100 0,5839 0,4092 0,3223 0,2706 0,2364 0,2122 0,1943 0,1806 0,1698 0,1611 0,1540 0,1482 0,1432 0,1391 0,1355 0,1325 0,1298 0,1276 0,1256 0,1238 0,1223 0,1210 0,1198 0,1187 0,1178 0,1170 0,1163 0,1156 0,1150 0,1145 0,1140 0,1136 0,1133 0,1129 0,1126 0,1117 0,1110 0,1107 0,1106

12% 1,1200 0,5917 0,4163 0,3292 0,2774 0,2432 0,2191 0,2013 0,1877 0,1770 0,1684 0,1614 0,1557 0,1509 0,1468 0,1434 0,1405 0,1379 0,1358 0,1339 0,1322 0,1308 0,1296 0,1285 0,1275 0,1267 0,1259 0,1252 0,1247 0,1241 0,1237 0,1233 0,1229 0,1226 0,1223 0,1221 0,1213 0,1207 0,1205 0,1204

13% 1,1300 0,5995 0,4235 0,3362 0,2843 0,2502 0,2261 0,2084 0,1949 0,1843 0,1758 0,1690 0,1634 0,1587 0,1547 0,1514 0,1486 0,1462 0,1441 0,1424 0,1408 0,1395 0,1383 0,1373 0,1364 0,1357 0,1350 0,1344 0,1339 0,1334 0,1330 0,1327 0,1323 0,1321 0,1318 0,1316 0,1310 0,1305 0,1304 0,1303

14% 1,1400 0,6073 0,4307 0,3432 0,2913 0,2572 0,2332 0,2156 0,2022 0,1917 0,1834 0,1767 0,1712 0,1666 0,1628 0,1596 0,1569 0,1546 0,1527 0,1510 0,1495 0,1483 0,1472 0,1463 0,1455 0,1448 0,1442 0,1437 0,1432 0,1428 0,1425 0,1421 0,1419 0,1416 0,1414 0,1413 0,1407 0,1404 0,1403 0,1402

15% 1,1500 0,6151 0,4380 0,3503 0,2983 0,2642 0,2404 0,2229 0,2096 0,1993 0,1911 0,1845 0,1791 0,1747 0,1710 0,1679 0,1654 0,1632 0,1613 0,1598 0,1584 0,1573 0,1563 0,1554 0,1547 0,1541 0,1535 0,1531 0,1527 0,1523 0,1520 0,1517 0,1515 0,1513 0,1511 0,1510 0,1506 0,1503 0,1502 0,1501

16% 1,1600 0,6230 0,4453 0,3574 0,3054 0,2714 0,2476 0,2302 0,2171 0,2069 0,1989 0,1924 0,1872 0,1829 0,1794 0,1764 0,1740 0,1719 0,1701 0,1687 0,1674 0,1664 0,1654 0,1647 0,1640 0,1634 0,1630 0,1625 0,1622 0,1619 0,1616 0,1614 0,1612 0,1610 0,1609 0,1608 0,1604 0,1602 0,1601 0,1601

17% 1,1700 0,6308 0,4526 0,3645 0,3126 0,2786 0,2549 0,2377 0,2247 0,2147 0,2068 0,2005 0,1954 0,1912 0,1878 0,1850 0,1827 0,1807 0,1791 0,1777 0,1765 0,1756 0,1747 0,1740 0,1734 0,1729 0,1725 0,1721 0,1718 0,1715 0,1713 0,1711 0,1710 0,1708 0,1707 0,1706 0,1703 0,1701 0,1701 0,1701

(A/P, i, n) 18% 1,1800 0,6387 0,4599 0,3717 0,3198 0,2859 0,2624 0,2452 0,2324 0,2225 0,2148 0,2086 0,2037 0,1997 0,1964 0,1937 0,1915 0,1896 0,1881 0,1868 0,1857 0,1848 0,1841 0,1835 0,1829 0,1825 0,1821 0,1818 0,1815 0,1813 0,1811 0,1809 0,1808 0,1806 0,1806 0,1805 0,1802 0,1801 0,1801 0,1800

19% 1,1900 0,6466 0,4673 0,3790 0,3271 0,2933 0,2699 0,2529 0,2402 0,2305 0,2229 0,2169 0,2121 0,2082 0,2051 0,2025 0,2004 0,1987 0,1972 0,1960 0,1951 0,1942 0,1935 0,1930 0,1925 0,1921 0,1917 0,1915 0,1912 0,1910 0,1909 0,1907 0,1906 0,1905 0,1904 0,1904 0,1902 0,1901 0,1900 0,1900

20% 1,2000 0,6545 0,4747 0,3863 0,3344 0,3007 0,2774 0,2606 0,2481 0,2385 0,2311 0,2253 0,2206 0,2169 0,2139 0,2114 0,2094 0,2078 0,2065 0,2054 0,2044 0,2037 0,2031 0,2025 0,2021 0,2018 0,2015 0,2012 0,2010 0,2008 0,2007 0,2006 0,2005 0,2004 0,2003 0,2003 0,2001 0,2001 0,2000 0,2000

25% 1,2500 0,6944 0,5123 0,4234 0,3718 0,3388 0,3163 0,3004 0,2888 0,2801 0,2735 0,2684 0,2645 0,2615 0,2591 0,2572 0,2558 0,2546 0,2537 0,2529 0,2523 0,2519 0,2515 0,2512 0,2509 0,2508 0,2506 0,2505 0,2504 0,2503 0,2502 0,2502 0,2502 0,2501 0,2501 0,2501 0,2500 0,2500 0,2500 0,2500

30% 1,3000 0,7348 0,5506 0,4616 0,4106 0,3784 0,3569 0,3419 0,3312 0,3235 0,3177 0,3135 0,3102 0,3078 0,3060 0,3046 0,3035 0,3027 0,3021 0,3016 0,3012 0,3009 0,3007 0,3006 0,3004 0,3003 0,3003 0,3002 0,3001 0,3001 0,3001 0,3001 0,3001 0,3000 0,3000 0,3000 0,3000 0,3000 0,3000 0,3000

35% 1,3500 0,7755 0,5897 0,5008 0,4505 0,4193 0,3988 0,3849 0,3752 0,3683 0,3634 0,3598 0,3572 0,3553 0,3539 0,3529 0,3521 0,3516 0,3512 0,3509 0,3506 0,3505 0,3504 0,3503 0,3502 0,3501 0,3501 0,3501 0,3501 0,3500 0,3500 0,3500 0,3500 0,3500 0,3500 0,3500 0,3500 0,3500 0,3500 0,3500

40% 1,4000 0,8167 0,6294 0,5408 0,4914 0,4613 0,4419 0,4291 0,4203 0,4143 0,4101 0,4072 0,4051 0,4036 0,4026 0,4018 0,4013 0,4009 0,4007 0,4005 0,4003 0,4002 0,4002 0,4001 0,4001 0,4001 0,4000 0,4000 0,4000 0,4000 0,4000 0,4000 0,4000 0,4000 0,4000 0,4000 0,4000 0,4000 0,4000 0,4000

45% 1,4500 0,8582 0,6697 0,5816 0,5332 0,5043 0,4861 0,4743 0,4665 0,4612 0,4577 0,4553 0,4536 0,4525 0,4517 0,4512 0,4508 0,4506 0,4504 0,4503 0,4502 0,4501 0,4501 0,4501 0,4500 0,4500 0,4500 0,4500 0,4500 0,4500 0,4500 0,4500 0,4500 0,4500 0,4500 0,4500 0,4500 0,4500 0,4500 0,4500

50% 1,5000 0,9000 0,7105 0,6231 0,5758 0,5481 0,5311 0,5203 0,5134 0,5088 0,5058 0,5039 0,5026 0,5017 0,5011 0,5008 0,5005 0,5003 0,5002 0,5002 0,5001 0,5001 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000

102


Fator de Valor Presente de uma SĂŠrie Gradiente

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 40 45 48 50

1% 0,0000 0,9803 2,9215 5,8044 9,6103 14,3205 19,9168 26,3812 33,6959 41,8435 50,8067 60,5687 71,1126 82,4221 94,4810 107,2734 120,7834 134,9957 149,8950 165,4664 181,6950 198,5663 216,0660 234,1800 252,8945 272,1957 292,0702 312,5047 333,4863 355,0021 377,0394 399,5858 422,6291 446,1572 470,1583 494,6207 596,8561 733,7037 820,1460 879,4176

2% 0,0000 0,9612 2,8458 5,6173 9,2403 13,6801 18,9035 24,8779 31,5720 38,9551 46,9977 55,6712 64,9475 74,7999 85,2021 96,1288 107,5554 119,4581 131,8139 144,6003 157,7959 171,3795 185,3309 199,6305 214,2592 229,1987 244,4311 259,9392 275,7064 291,7164 307,9538 324,4035 341,0508 357,8817 374,8826 392,0405 461,9931 551,5652 605,9657 642,3606

3% 0,0000 0,9426 2,7729 5,4383 8,8888 13,0762 17,9547 23,4806 29,6119 36,3088 43,5330 51,2482 59,4196 68,0141 77,0002 86,3477 96,0280 106,0137 116,2788 126,7987 137,5496 148,5094 159,6566 170,9711 182,4336 194,0260 205,7309 217,5320 229,4137 241,3613 253,3609 265,3993 277,4642 289,5437 301,6267 313,7028 361,7499 420,6325 455,0255 477,4803

4% 0,0000 0,9246 2,7025 5,2670 8,5547 12,5062 17,0657 22,1806 27,8013 33,8814 40,3772 47,2477 54,4546 61,9618 69,7355 77,7441 85,9581 94,3498 102,8933 111,5647 120,3414 129,2024 138,1284 147,1012 156,1040 165,1212 174,1385 183,1424 192,1206 201,0618 209,9556 218,7924 227,5634 236,2607 244,8768 253,4052 286,5303 325,4028 347,2446 361,1638

5% 0,0000 0,9070 2,6347 5,1028 8,2369 11,9680 16,2321 20,9700 26,1268 31,6520 37,4988 43,6241 49,9879 56,5538 63,2880 70,1597 77,1405 84,2043 91,3275 98,4884 105,6673 112,8461 120,0087 127,1402 134,2275 141,2585 148,2226 155,1101 161,9126 168,6226 175,2333 181,7392 188,1351 194,4168 200,5807 206,6237 229,5452 255,3145 269,2467 277,9148

6% 0,0000 0,8900 2,5692 4,9455 7,9345 11,4594 15,4497 19,8416 24,5768 29,6023 34,8702 40,3369 45,9629 51,7128 57,5546 63,4592 69,4011 75,3569 81,3062 87,2304 93,1136 98,9412 104,7007 110,3812 115,9732 121,4684 126,8600 132,1420 137,3096 142,3588 147,2864 152,0901 156,7681 161,3192 165,7427 170,0387 185,9568 203,1096 212,0351 217,4574

7% 0,0000 0,8734 2,5060 4,7947 7,6467 10,9784 14,7149 18,7889 23,1404 27,7156 32,4665 37,3506 42,3302 47,3718 52,4461 57,5271 62,5923 67,6219 72,5991 77,5091 82,3393 87,0793 91,7201 96,2545 100,6765 104,9814 109,1656 113,2264 117,1622 120,9718 124,6550 128,2120 131,6435 134,9507 138,1353 141,1990 152,2928 163,7559 169,4981 172,9051

8% 0,0000 0,8573 2,4450 4,6501 7,3724 10,5233 14,0242 17,8061 21,8081 25,9768 30,2657 34,6339 39,0463 43,4723 47,8857 52,2640 56,5883 60,8426 65,0134 69,0898 73,0629 76,9257 80,6726 84,2997 87,8041 91,1842 94,4390 97,5687 100,5738 103,4558 106,2163 108,8575 111,3819 113,7924 116,0920 118,2839 126,0422 133,7331 137,4428 139,5928

(P/G, i, n)

9% 0,0000 0,8417 2,3860 4,5113 7,1110 10,0924 13,3746 16,8877 20,5711 24,3728 28,2481 32,1590 36,0731 39,9633 43,8069 47,5849 51,2821 54,8860 58,3868 61,7770 65,0509 68,2048 71,2359 74,1433 76,9265 79,5863 82,1241 84,5419 86,8422 89,0280 91,1024 93,0690 94,9314 96,6935 98,3590 99,9319 105,3762 110,5561 112,9625 114,3251

Taxas 10% 11% 0,0000 0,0000 0,8264 0,8116 2,3291 2,2740 4,3781 4,2502 6,8618 6,6240 9,6842 9,2972 12,7631 12,1872 16,0287 15,2246 19,4215 18,3520 22,8913 21,5217 26,3963 24,6945 29,9012 27,8388 33,3772 30,9290 36,8005 33,9449 40,1520 36,8709 43,4164 39,6953 46,5819 42,4095 49,6395 45,0074 52,5827 47,4856 55,4069 49,8423 58,1095 52,0771 60,6893 54,1912 63,1462 56,1864 65,4813 58,0656 67,6964 59,8322 69,7940 61,4900 71,7773 63,0433 73,6495 64,4965 75,4146 65,8542 77,0766 67,1210 78,6395 68,3016 80,1078 69,4007 81,4856 70,4228 82,7773 71,3724 83,9872 72,2538 85,1194 73,0712 88,9525 75,7789 92,4544 78,1551 94,0217 79,1799 94,8889 79,7341

12% 0,0000 0,7972 2,2208 4,1273 6,3970 8,9302 11,6443 14,4714 17,3563 20,2541 23,1288 25,9523 28,7024 31,3624 33,9202 36,3670 38,6973 40,9080 42,9979 44,9676 46,8188 48,5543 50,1776 51,6929 53,1046 54,4177 55,6369 56,7674 57,8141 58,7821 59,6761 60,5010 61,2612 61,9612 62,6052 63,1970 65,1159 66,7342 67,4068 67,7624

13% 0,0000 0,7831 2,1692 4,0092 6,1802 8,5818 11,1322 13,7653 16,4284 19,0797 21,6867 24,2244 26,6744 29,0232 31,2617 33,3841 35,3876 37,2714 39,0366 40,6854 42,2214 43,6486 44,9718 46,1960 47,3264 48,3685 49,3276 50,2090 51,0179 51,7592 52,4380 53,0586 53,6256 54,1430 54,6148 55,0446 56,4087 57,5148 57,9580 58,1870

14% 0,0000 0,7695 2,1194 3,8957 5,9731 8,2511 10,6489 13,1028 15,5629 17,9906 20,3567 22,6399 24,8247 26,9009 28,8623 30,7057 32,4305 34,0380 35,5311 36,9135 38,1901 39,3658 40,4463 41,4371 42,3441 43,1728 43,9289 44,6176 45,2441 45,8132 46,3297 46,7979 47,2218 47,6053 47,9519 48,2649 49,2376 49,9963 50,2894 50,4375

15% 0,0000 0,7561 2,0712 3,7864 5,7751 7,9368 10,1924 12,4807 14,7548 16,9795 19,1289 21,1849 23,1352 24,9725 26,6930 28,2960 29,7828 31,1565 32,4213 33,5822 34,6448 35,6150 36,4988 37,3023 38,0314 38,6918 39,2890 39,8283 40,3146 40,7526 41,1466 41,5006 41,8184 42,1033 42,3586 42,5872 43,2830 43,8051 43,9997 44,0958

20% 0,0000 0,6944 1,8519 3,2986 4,9061 6,5806 8,2551 9,8831 11,4335 12,8871 14,2330 15,4667 16,5883 17,6008 18,5095 19,3208 20,0419 20,6805 21,2439 21,7395 22,1742 22,5546 22,8867 23,1760 23,4276 23,6460 23,8353 23,9991 24,1406 24,2628 24,3681 24,4588 24,5368 24,6038 24,6614 24,7108 24,8469 24,9316 24,9581 24,9698

25% 0,0000 0,6400 1,6640 2,8928 4,2035 5,5142 6,7725 7,9469 9,0207 9,9870 10,8460 11,6020 12,2617 12,8334 13,3260 13,7482 14,1085 14,4147 14,6741 14,8932 15,0777 15,2326 15,3625 15,4711 15,5618 15,6373 15,7002 15,7524 15,7957 15,8316 15,8614 15,8859 15,9062 15,9229 15,9367 15,9481 15,9766 15,9915 15,9954 15,9969

30% 0,0000 0,5917 1,5020 2,5524 3,6297 4,6656 5,6218 6,4800 7,2343 7,8872 8,4452 8,9173 9,3135 9,6437 9,9172 10,1426 10,3276 10,4788 10,6019 10,7019 10,7828 10,8482 10,9009 10,9433 10,9773 11,0045 11,0263 11,0437 11,0576 11,0687 11,0775 11,0845 11,0901 11,0945 11,0980 11,1007 11,1071 11,1099 11,1105 11,1108

35% 0,0000 0,5487 1,3616 2,2648 3,1568 3,9828 4,7170 5,3515 5,8886 6,3363 6,7047 7,0049 7,2474 7,4421 7,5974 7,7206 7,8180 7,8946 7,9547 8,0017 8,0384 8,0669 8,0890 8,1061 8,1194 8,1296 8,1374 8,1435 8,1481 8,1517 8,1545 8,1565 8,1581 8,1594 8,1603 8,1610 8,1625 8,1631 8,1632 8,1632

40% 0,0000 0,5102 1,2391 2,0200 2,7637 3,4278 3,9970 4,4713 4,8585 5,1696 5,4166 5,6106 5,7618 5,8788 5,9688 6,0376 6,0901 6,1299 6,1601 6,1828 6,1998 6,2127 6,2222 6,2294 6,2347 6,2387 6,2416 6,2438 6,2454 6,2466 6,2475 6,2482 6,2487 6,2490 6,2493 6,2495 6,2498 6,2500 6,2500 6,2500

45% 0,0000 0,4756 1,1317 1,8103 2,4344 2,9723 3,4176 3,7758 4,0581 4,2772 4,4450 4,5724 4,6682 4,7398 4,7929 4,8322 4,8611 4,8823 4,8978 4,9090 4,9172 4,9231 4,9274 4,9305 4,9327 4,9343 4,9354 4,9362 4,9368 4,9372 4,9375 4,9378 4,9379 4,9380 4,9381 4,9381 4,9382 4,9383 4,9383 4,9383

50% 0,0000 0,4444 1,0370 1,6296 2,1564 2,5953 2,9465 3,2196 3,4277 3,5838 3,6994 3,7842 3,8459 3,8904 3,9224 3,9452 3,9614 3,9729 3,9811 3,9868 3,9908 3,9936 3,9955 3,9969 3,9979 3,9985 3,9990 3,9993 3,9995 3,9997 3,9998 3,9998 3,9999 3,9999 3,9999 4,0000 4,0000 4,0000 4,0000 4,0000

103


Fator de Valor Anual de uma SĂŠrie Gradiente n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 40 45 48 50

1% 0,0000 0,4975 0,9934 1,4876 1,9801 2,4710 2,9602 3,4478 3,9337 4,4179 4,9005 5,3815 5,8607 6,3384 6,8143 7,2886 7,7613 8,2323 8,7017 9,1694 9,6354 10,0998 10,5626 11,0237 11,4831 11,9409 12,3971 12,8516 13,3044 13,7557 14,2052 14,6532 15,0995 15,5441 15,9871 16,4285 18,1776 20,3273 21,5976 22,4363

2% 0,0000 0,4950 0,9868 1,4752 1,9604 2,4423 2,9208 3,3961 3,8681 4,3367 4,8021 5,2642 5,7231 6,1786 6,6309 7,0799 7,5256 7,9681 8,4073 8,8433 9,2760 9,7055 10,1317 10,5547 10,9745 11,3910 11,8043 12,2145 12,6214 13,0251 13,4257 13,8230 14,2172 14,6083 14,9961 15,3809 16,8885 18,7034 19,7556 20,4420

3% 0,0000 0,4926 0,9803 1,4631 1,9409 2,4138 2,8819 3,3450 3,8032 4,2565 4,7049 5,1485 5,5872 6,0210 6,4500 6,8742 7,2936 7,7081 8,1179 8,5229 8,9231 9,3186 9,7093 10,0954 10,4768 10,8535 11,2255 11,5930 11,9558 12,3141 12,6678 13,0169 13,3616 13,7018 14,0375 14,3688 15,6502 17,1556 18,0089 18,5575

4% 0,0000 0,4902 0,9739 1,4510 1,9216 2,3857 2,8433 3,2944 3,7391 4,1773 4,6090 5,0343 5,4533 5,8659 6,2721 6,6720 7,0656 7,4530 7,8342 8,2091 8,5779 8,9407 9,2973 9,6479 9,9925 10,3312 10,6640 10,9909 11,3120 11,6274 11,9371 12,2411 12,5396 12,8324 13,1198 13,4018 14,4765 15,7047 16,3832 16,8122

5% 0,0000 0,4878 0,9675 1,4391 1,9025 2,3579 2,8052 3,2445 3,6758 4,0991 4,5144 4,9219 5,3215 5,7133 6,0973 6,4736 6,8423 7,2034 7,5569 7,9030 8,2416 8,5730 8,8971 9,2140 9,5238 9,8266 10,1224 10,4114 10,6936 10,9691 11,2381 11,5005 11,7566 12,0063 12,2498 12,4872 13,3775 14,3644 14,8943 15,2233

6% 0,0000 0,4854 0,9612 1,4272 1,8836 2,3304 2,7676 3,1952 3,6133 4,0220 4,4213 4,8113 5,1920 5,5635 5,9260 6,2794 6,6240 6,9597 7,2867 7,6051 7,9151 8,2166 8,5099 8,7951 9,0722 9,3414 9,6029 9,8568 10,1032 10,3422 10,5740 10,7988 11,0166 11,2276 11,4319 11,6298 12,3590 13,1413 13,5485 13,7964

7% 0,0000 0,4831 0,9549 1,4155 1,8650 2,3032 2,7304 3,1465 3,5517 3,9461 4,3296 4,7025 5,0648 5,4167 5,7583 6,0897 6,4110 6,7225 7,0242 7,3163 7,5990 7,8725 8,1369 8,3923 8,6391 8,8773 9,1072 9,3289 9,5427 9,7487 9,9471 10,1381 10,3219 10,4987 10,6687 10,8321 11,4233 12,0360 12,3447 12,5287

Taxas 8% 9% 10% 11% 12% 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,4808 0,4785 0,4762 0,4739 0,4717 0,9487 0,9426 0,9366 0,9306 0,9246 1,4040 1,3925 1,3812 1,3700 1,3589 1,8465 1,8282 1,8101 1,7923 1,7746 2,2763 2,2498 2,2236 2,1976 2,1720 2,6937 2,6574 2,6216 2,5863 2,5515 3,0985 3,0512 3,0045 2,9585 2,9131 3,4910 3,4312 3,3724 3,3144 3,2574 3,8713 3,7978 3,7255 3,6544 3,5847 4,2395 4,1510 4,0641 3,9788 3,8953 4,5957 4,4910 4,3884 4,2879 4,1897 4,9402 4,8182 4,6988 4,5822 4,4683 5,2731 5,1326 4,9955 4,8619 4,7317 5,5945 5,4346 5,2789 5,1275 4,9803 5,9046 5,7245 5,5493 5,3794 5,2147 6,2037 6,0024 5,8071 5,6180 5,4353 6,4920 6,2687 6,0526 5,8439 5,6427 6,7697 6,5236 6,2861 6,0574 5,8375 7,0369 6,7674 6,5081 6,2590 6,0202 7,2940 7,0006 6,7189 6,4491 6,1913 7,5412 7,2232 6,9189 6,6283 6,3514 7,7786 7,4357 7,1085 6,7969 6,5010 8,0066 7,6384 7,2881 6,9555 6,6406 8,2254 7,8316 7,4580 7,1045 6,7708 8,4352 8,0156 7,6186 7,2443 6,8921 8,6363 8,1906 7,7704 7,3754 7,0049 8,8289 8,3571 7,9137 7,4982 7,1098 9,0133 8,5154 8,0489 7,6131 7,2071 9,1897 8,6657 8,1762 7,7206 7,2974 9,3584 8,8083 8,2962 7,8210 7,3811 9,5197 8,9436 8,4091 7,9147 7,4586 9,6737 9,0718 8,5152 8,0021 7,5302 9,8208 9,1933 8,6149 8,0836 7,5965 9,9611 9,3083 8,7086 8,1594 7,6577 10,0949 9,4171 8,7965 8,2300 7,7141 10,5699 9,7957 9,0962 8,4659 7,8988 11,0447 10,1603 9,3740 8,6763 8,0572 11,2758 10,3317 9,5001 8,7683 8,1241 11,4107 10,4295 9,5704 8,8185 8,1597

(A/G, i, n) 13% 0,0000 0,4695 0,9187 1,3479 1,7571 2,1468 2,5171 2,8685 3,2014 3,5162 3,8134 4,0936 4,3573 4,6050 4,8375 5,0552 5,2589 5,4491 5,6265 5,7917 5,9454 6,0881 6,2205 6,3431 6,4566 6,5614 6,6582 6,7474 6,8296 6,9052 6,9747 7,0385 7,0971 7,1507 7,1998 7,2448 7,3888 7,5076 7,5559 7,5811

14% 0,0000 0,4673 0,9129 1,3370 1,7399 2,1218 2,4832 2,8246 3,1463 3,4490 3,7333 3,9998 4,2491 4,4819 4,6990 4,9011 5,0888 5,2630 5,4243 5,5734 5,7111 5,8381 5,9549 6,0624 6,1610 6,2514 6,3342 6,4100 6,4791 6,5423 6,5998 6,6522 6,6998 6,7431 6,7824 6,8180 6,9300 7,0188 7,0536 7,0714

15% 0,0000 0,4651 0,9071 1,3263 1,7228 2,0972 2,4498 2,7813 3,0922 3,3832 3,6549 3,9082 4,1438 4,3624 4,5650 4,7522 4,9251 5,0843 5,2307 5,3651 5,4883 5,6010 5,7040 5,7979 5,8834 5,9612 6,0319 6,0960 6,1541 6,2066 6,2541 6,2970 6,3357 6,3705 6,4019 6,4301 6,5168 6,5830 6,6080 6,6205

20% 0,00000 0,45455 0,87912 1,27422 1,64051 1,97883 2,29016 2,57562 2,83642 3,07386 3,28929 3,48410 3,65970 3,81749 3,95884 4,08511 4,19759 4,29752 4,38607 4,46435 4,53339 4,59414 4,64750 4,69426 4,73516 4,77088 4,80201 4,82911 4,85265 4,87308 4,89079 4,90611 4,91935 4,93079 4,94064 4,94914 4,97277 4,98769 4,99240 4,99451

25% 0,00000 0,44444 0,85246 1,22493 1,56307 1,86833 2,14243 2,38725 2,60478 2,79710 2,96631 3,11452 3,24374 3,35595 3,45299 3,53660 3,60838 3,66979 3,72218 3,76673 3,80451 3,83646 3,86343 3,88613 3,90519 3,92118 3,93456 3,94574 3,95506 3,96282 3,96927 3,97463 3,97907 3,98275 3,98580 3,98831 3,99468 3,99804 3,99893 3,99929

30% 0,00000 0,43478 0,82707 1,17828 1,49031 1,76545 2,00628 2,21559 2,39627 2,55122 2,68328 2,79517 2,88946 2,96850 3,03444 3,08921 3,13451 3,17183 3,20247 3,22754 3,24799 3,26462 3,27812 3,28904 3,29785 3,30496 3,31067 3,31526 3,31894 3,32188 3,32423 3,32610 3,32760 3,32879 3,32974 3,33049 3,33223 3,33300 3,33317 3,33323

35% 0,00000 0,42553 0,80288 1,13412 1,42202 1,66983 1,88115 2,05973 2,20937 2,33376 2,43639 2,52048 2,58893 2,64433 2,68890 2,72460 2,75305 2,77563 2,79348 2,80755 2,81859 2,82724 2,83400 2,83926 2,84334 2,84651 2,84897 2,85086 2,85233 2,85345 2,85432 2,85498 2,85549 2,85588 2,85618 2,85641 2,85690 2,85708 2,85712 2,85713

40% 0,00000 0,41667 0,77982 1,09234 1,35799 1,58110 1,76635 1,91852 2,04224 2,14190 2,22149 2,28454 2,33412 2,37287 2,40296 2,42620 2,44406 2,45773 2,46815 2,47607 2,48206 2,48658 2,48998 2,49253 2,49444 2,49587 2,49694 2,49773 2,49832 2,49876 2,49909 2,49933 2,49950 2,49963 2,49973 2,49980 2,49994 2,49999 2,50000 2,50000

45% 0,00000 0,40816 0,75783 1,05280 1,29796 1,49882 1,66117 1,79074 1,89297 1,97275 2,03442 2,08168 2,11760 2,14471 2,16504 2,18021 2,19146 2,19977 2,20589 2,21037 2,21364 2,21602 2,21775 2,21901 2,21991 2,22056 2,22104 2,22137 2,22162 2,22179 2,22191 2,22200 2,22207 2,22211 2,22214 2,22217 2,22221 2,22222 2,22222 2,22222

50% 0,00000 0,40000 0,73684 1,01538 1,24171 1,42256 1,56484 1,67518 1,75964 1,82352 1,87134 1,90679 1,93286 1,95188 1,96567 1,97560 1,98273 1,98781 1,99143 1,99398 1,99579 1,99706 1,99795 1,99857 1,99901 1,99931 1,99952 1,99967 1,99977 1,99984 1,99989 1,99993 1,99995 1,99996 1,99998 1,99998 2,00000 2,00000 2,00000 2,00000

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