Page 1

Задача скачана с сайта www.MatBuro.ru ©МатБюро - Решение задач по высшей математике

Тема: Линейное программирование ЗАДАНИЕ. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом. f = 2X1 + X2 – 2X3 J min  X 1 + X 2 − X 3 ≥ 8;  X − X + 2 X ≥ 2;  1 2 3  − 2 X 1 − 8 X 2 + 3 X 3 ≥ 1;  X i ≥ 0(i = 1,2,3). РЕШЕНИЕ. Будем решать эквивалентную задачу F = -2X1 - X2 + 2X3 J max  X 1 + X 2 − X 3 ≥ 8;  X − X + 2 X ≥ 2;  1 2 3  − 2 X 1 − 8 X 2 + 3 X 3 ≥ 1;  X i ≥ 0(i = 1,2,3). Введем дополнительные переменные, чтобы привести задачу к каноническому виду: F = -2X1 - X2 + 2X3 J max  X 1 + X 2 − X 3 − X 4 = 8;  X − X + 2 X − X = 2;  1 2 3 5  − 2 X 1 − 8 X 2 + 3 X 3 − X 6 = 1;  X i ≥ 0(i = 1,2,3,4,5,6 ). Так как нет единичных векторов, вводим искусственный базис: F = -2X1 - X2 + 2X3 –Mz1 – Mz2 – Mz3J max  X 1 + X 2 − X 3 − X 4 + z1 = 8;  X − X + 2 X − X + z = 2;  1 2 3 5 2  − 2 X 1 − 8 X 2 + 3 X 3 − X 6 + z 3 = 1;  X i ≥ 0(i = 1,2,3,4,5,6 ). Получили расширенную задачу с опорным планом (0,0,0,0,0,0,8,2,1). Составим cимплекстаблицу: Базис z1 z2 z3 F

План 8 2 1 -11M

x1 1 1 -2 2

x2 1 -1 -8 8M+1

x3 -1 2 3 -4M-2

x4 -1 0 0 M

x5 0 -1 0 M

x6 0 0 -1 M

z1 1 0 0 0

z2 0 1 0 0

z3 0 0 1 0

В последней оценочной строке есть отрицательные оценки (смотрим на коэффициенты при М, пока искусственный базис не выйдет), поэтому нужно делать шаг симплекс-метода. Выбираем столбец с наименьшей оценкой, а затем разрешающий элемент – по наименьшему отношению свободных членов к коэффициентам столбца (последний столбец). Результат шага запишем в таблицу (разрешающий элемент будем выделять жирным). Аналогично будем повторять шаги.

1


Задача скачана с сайта www.MatBuro.ru ©МатБюро - Решение задач по высшей математике Базис z1 z2 x3 F

План 25/3 4/3 1/3 -29/3M+2/3

x1 1/3 7/3 -2/3 -8/3M+2/3

x2 -5/3 13/3 -8/3 -8/3M-13/3

Базис z1 x2 x3 F

План 115/13 4/13 15/13 -115/13M+2

x1 16/13 7/13 10/13 -16/13M+3

x2 0 1 0 0

x3 0 0 1 0

x4 -1 0 0 M

x5 -5/13 -3/13 -8/13 5/13M-1

x6 -1/13 2/13 1/13 1/13M

Базис z1 x1 x3 F

План 57/7 4/7 5/7 -57/7M+2/7

x1 0 1 0 0

x2 -16/7 13/7 -10/7 16/7M-39/7

x3 0 0 1 0

x4 -1 0 0 M

x5 1/7 -3/7 -2/7 -1/7M+2/7

x6 -3/7 2/7 -1/7 3/7M-6/7

Базис x5 x1 x3 F

План 57 25 17 -16

x1 0 1 0 0

x2 -16 -5 -6 -1

x3 0 0 1 0

x3 0 0 1 0

x4 -7 -3 -2 2

x4 -1 0 0 M

x5 1 0 0 0

x5 0 -1 0 M

x6 -1/3 2/3 -1/3 -1/3M-2/3

x6 -3 -1 -1 0

z1 1 0 0 0

z1 1 0 0 0 z1 1 0 0 0

z1 7 3 2 M-2

z2 0 1 0 0

z3 1/3 -2/3 1/3 4/3M+2/3

z2 5/13 3/13 8/13 8/13M+1

z3 1/13 -2/13 -1/13 12/13M

z2 -1/7 3/7 2/7 8/7M-2/7 z2 -1 0 0 M

z3 3/7 -2/7 1/7 4/7M+6/7 z3 3 1 1 M

Искусственный базис выведен, но в единственном столбце с отрицательной оценкой (Х2) все коэффициенты отрицательны, то есть функция не ограничена на множестве допустимых решений, оптимальный план найти невозможно.

2

simplex method  

rus language