Issuu on Google+

Tæ To¸n-Tin, Trêng THPT Phan §¨ng Lu, NghÖ An Së GD & §T NghÖ An Trêng THPT Phan §¨ng Lu --------------o0o---------------

§Ò thi thö ®¹i häc lÇn 2 N¨m häc 2008 - 2009 ( M«n: To¸n. Thêi gian lµm bµi: 180 phót )

PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh C©u I (2 ®iÓm). Cho hàm sè y = (x - 2)2(x + 1), ®å thÞ lµ (C). 1. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè ®· cho. 2. T×m trªn (C) ®iÓm M cã hoµnh ®é lµ sè nguyªn d¬ng sao cho tiÕp tuyÕn t¹i M cña (C), c¾t (C) t¹i hai ®iÓm M vµ N tho¶ m·n MN = 3. C©u II (2 ®iÓm)

1  x + 1. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh  1 +  y

1 =1 y +1 , víi Èn x, y ∈ ¡ . 1 =2 x −1

1 8 1 2 2 2. G¶i ph¬ng tr×nh 2 cos x + cos ( x + 3π ) = + sin 2( x − π ) + 3cos( x + 10,5π ) + s in x , 3 3 3 víi Èn x ∈ ¡ . C©u III (2 ®iÓm) 2 1. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®êng th¼ng y = 3 vµ ®å thÞ hµm sè y = x − x − x . 2. Cho 3 sè d¬ng x, y, z tho¶ m·n x +3y+5z ≤ 3 . Chøng minh r»ng 3 xy 625 z 4 + 4 + 15 yz x 4 + 4 + 5 zx 81 y 4 +4 ≥ 45 5 xyz. C©u IV (1 ®iÓm). Cho h×nh hép ®øng ABCD.A'B'C'D', cã AB = a, AD = b, AA' = c vµ ®¸y ABCD lµ h×nh b×nh hµnh cã gãc BAD b»ng 600. Gäi M lµ ®iÓm trªn ®o¹n CD sao cho DM = 2MC. TÝnh kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn mÆt ph¼ng BDA' theo a, b, c. PhÇn riªng (ThÝ sinh chØ ®îc chän mét phÇn riªng thÝch hîp ®Ó lµm bµi) C©u Va (Theo ch¬ng tr×nh n©ng cao) 1. Trong kh«ng gian víi hÖ trôc Oxyz, cho hai ®êng th¼ng x − 4 y −1 z + 5 d1 : = = ; 3 −1 −2

 x = 2+t  d 2 :  y = −3 + 3t  z =t 

a. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®êng th¼ng ®ã. b. Trong tÊt c¶ c¸c mÆt cÇu tiÕp xóc víi c¶ hai ®êng th¼ng d1 vµ d2; ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu cã b¸n kÝnh nhá nhÊt 2. T×m phÇn thùc cña sè phøc z = (1 + i ) n . Trong ®ã n ∈ ¥ * vµ tho¶ m·n log 4 ( n − 3) + log5 ( n + 6 ) = 4 . C©u Vb (Theo ch¬ng tr×nh chuÈn) 1. Trong không gian với hệ trôc tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4;0;0) , B(0;0; 4) và mặt phẳng (P): 2 x − y + 2 z − 4 = 0 a. Chứng minh rằng đường thẳng AB song song với mặt phẳng (P). Viết phương trình ®êng th¼ng d ®i qua ®iÓm A, vu«ng gãc víi ®êng th¼ng AB vµ song song víi (P). b. Tìm điểm C trên mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC đều. 2 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh x 2 − 2 x + 6 + 4log3 ( x −2 x +6) = ( x 2 − 2 x + 6)log3 5 , víi Èn x ∈ ¡ ------------------------------------ HÕt --------------------------------------

1


Tæ To¸n-Tin, Trêng THPT Phan §¨ng Lu, NghÖ An ®¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm M«n To¸n- Thi thö §H lÇn 2 -N¨m häc 2008-2009 - Trêng THPT Phan §¨ng Lu-NA Néi dung

§iÓm

C©u I 1.

2.0 1.0

y = + ∞ ; Lim y=− ∞ . Hµm sè cã tËp x¸c ®Þnh lµ ¡ ; Lim x →+∞ x →−∞

0. 25

y’ = 3x2 - 6x; y’ = 0 ⇔ x = 0 hoÆc x = 2 x y’

-∞

0 +

2 0

+∞

-

0

4

y

+ +∞

-∞

0.25

0

Hµm sè ®ång biÕn trªn mçi kho¶ng (-∞; 0) vµ (2; +∞); hµm sè nghÞch biÕn trªn kho¶ng (0; 2). §iÓm (0; 4) lµ ®iÓm C§ cña ®å thÞ hµm sè; ®iÓm (2; 0) lµ ®iÓm CT cña ®å thÞ hµm sè. §iÓm 0.25 U(1; 2) lµ ®iÓm uèn cña ®å thÞ hµm sè. §å thÞ giao víi c¸c trôc täa ®é: (-1; 0), (2; 0), (0; 4).

0.25

2. Gi¶ sö M(x0; y0) thuéc (C), x0 lµ sè nguyªn d¬ng. Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi (C) t¹i M lµ y = (3x02 - 6x0)x - 2x03 + 3x02 + 4. Goi tiÕp tuyÕn nµy lµ (t). Hoµnh ®é giao ®iÓm cña (C) vµ (t) lµ nghiÖm PT: x3 - 3x2 - (3x02 - 6x0)x + 2x03 - 3x02 = 0 ⇔ (x - x0)2(x + 2x0 - 3) = 0 ⇔ x = x0 hoÆc x = -2x0 + 3. M(x0; x03 - 3x02 + 4); N(-2x0 + 3; -8x03 + 24x02 - 18x0 + 4). MN2 = 9x02 - 18x0 + 9 + 81x02(x0 - 1)2(x0 2)2. MN2 = 9 ⇔ 9x02 - 18x0 + 81x02(x0 - 1)2(x0 - 2)2 = 0 ⇔ 9x0(x0 - 2)(1 + 9x0(x0 - 1)2(x0 - 2)) = 0. V× x0 lµ sè nguyªn d¬ng nªn x0 = 2. VËy M(2; 0). (Lu ý: NÕu thÝ sinh nh×n trªn ®å thÞ, nhËn thÊy cã trôc hoµnh lµ mét tiÕp tuyÕn tho¶ m·n BT, do ®ã cã ®iÓm M(2; 0) lµ mét ®iÓm cÇn t×m, th× cho 0.5 ®iÓm)

2

1.0 0.25 0.25 0.25 0.25


Tæ To¸n-Tin, Trêng THPT Phan §¨ng Lu, NghÖ An C©u II. 1.

2.0 1.0

 x + y + 1 = xy + x §K x ≠ 1; y ≠ -1. Quy ®ång ®a vÒ hÖ   x + y − 1 = 2 xy − 2 y

0.25

 y + 1 = xy  y + 1 = xy ⇔ x + y + 3 = 2x + 2 y y = 3− x

⇔ 

(rót ®îc y = 3 - x)

x2 − 4x + 4 = 0  x = 2 4 − x = x (3 − x) ⇔ ⇔ ; VËy nghiÖm cña hÖ lµ  y = 1 y = 3 − x y = 3− x  

0.5

x = 2  y =1

0.25

2. TX§: ¡ ; Trªn ®ã PT đã cho tương đương với PT 6 cos x + cos x = 8 + 3si n 2 x − 9sin x + s in x (1) ⇔ 6 cos x − 6sin x cos x + cos 2 x − sin 2 x + 9sin x − 8 = 0 2

2

⇔ 6 cos x(1 − s inx) + 2 − 2sin 2 x + 9sin x − 9 = 0

(1)

1.0 0.25 0.25

⇔ (1 − sin x)(6 cos x + 2sin x − 7) = 0 π sin x = 1 ⇔ x = + k 2π (k ∈ ¢ ) 0.25 2 PT 6cosx + 2sinx - 7 = 0 v« nghiÖm v× 6 2 + 22 < 72. VËy nghiÖm cña PT ®· cho lµ π 0.25

x=

2

+ k 2π

(k ∈ ¢ )

C©u III. 1.

2.0 1.0

x = − 3 Hoµnh ®é giao ®iÓm cña hai ®å thÞ: x2 - x - x - 3 = 0 ⇔  x = 3

0.25

3

S=

x 2 − x − x − 3 dx

0.25

− 3 0

=

3

x 2 − 3 dx + ∫ x 2 − 2 x − 3 dx =

− 3

0

= (3x - x3/3)

0 − 3

0

3

∫ ( 3 − x ) dx + ∫ ( − x 2

− 3

+ (-x3/3 + x2 + 3x)

0

3 0

2

+ 2 x + 3 ) dx

0.25

=9+ 2 3

0.25

2. 3 xy

1.0 + 5 zx

625 z + 4 4

⇔ x 2 + 42 + x

9y2 +

81y + 4 +15 yz 4

4 + 25 z 2 + 4 2 9y 25 z 2

x + 4 ≥ 45 5 xyz 4

45

(chia hai vÕ cho biÓu thøc d¬ng 15xyz)

0.25

(*) Ta cã VT (*) ≥

( x + 3 y + 5z )

2

2

2 2 2  + + + ÷ ≥ 9  x 3 y 5z 

(

3

x3 y 5 z

)

2

+

(

36 3

x3 y 5 z

)

2

2 2 2 2 2 2 + ) ta lu«n cã (V× víi c¸c ®iÓm O(0;0), A( x; ), B ( x + 3 y; + ), C ( x + 3 y + 5 z; + x x 3y x 3 y 5z OA + AB + BC ≥ OC ) §Æt t =

(

3

x3 y 5 z

)

2

, v× x, y, z lµ c¸c sè d¬ng: x + 3y + 5z ≤ 3 nªn 0 < t ≤ 1 .

3

0.25

0.25


Suy ra

9

(

3

x3 y 5 z

)

Tæ To¸n-Tin, Trêng THPT Phan §¨ng Lu, NghÖ An 2

+

(

36 3

x3 y 5 z

)

2

= 9t +

36 36 = 36t + − 27t ≥ 72 − 27 = 45 , ®¼ng thøc xÉy ra khi t = t t 0.25

1. VËy (*) ®îc chøng minh, ®¼ng thøc xÉy ra khi x = 3y = 5z = 1 C©u IV. d ( M , ( BDA ')) ME 2 ME MD 2 = = = = , do ®ã d ( A, ( BDA ')) AE 3 AE AB 3

B

A

F H

B ' A'

C

E D

M C '

D'

AF ⊥ BD; AH ⊥ A ' F Khi ®ã d(A, (BDA')) = AH. Tam gi¸c ABD cã AB = a, AD = b, gãc BAD b»ng 60 0 nªn 2S ab 3 AF = ABD = BD 2 a 2 + b 2 − ab Trong tam gi¸c vu«ng A'AF (vu«ng t¹i A), ta cã 1 1 1 abc 3 = + ⇒ AH = 2 2 2 AH A' A AF 3a 2b2 + 4a 2 c 2 + 4b 2 c 2 − 4abc 2 VËy d ( M , ( BDA ')) =

1.0 0.25 0.25 0.25

0.25

2abc 3 3 3a b + 4a 2 c 2 + 4b 2 c 2 − 4abc 2 2 2

C©u Va (Theo ch¬ng tr×nh n©ng cao) 3.0 1. 2.0 a. 1.0 r Đường thẳng d1 đi qua điểm M1(4; 1; -5) và có véc tơ chỉ phương u = (3; −1; −2) r 0.25 Đường thẳng d2 đi qua điểm M2(2; -3; 0) và có véc tơ chỉ phương u ' = (1;3;1) r ur uuuuuur r ur uuuuuur u , u ' = ( 5; − 5;10 ) , M 1M 2 = (−2; − 4;5) ⇒ u , u ' .M 1M 2 = 60 0.25     r ur uuuuuur u , u ' .M 1M 2 60 60   d ( d1 , d 2 ) = = = = 2 6 . VËy d(d1, d2) = 2 6 . r ur 0.5 2 2 2 5 6 u , u '  5 + ( − 5) + 10   b. 1.0 Giả sử S(I, R) là mét mÆt cÇu bÊt kú tiếp xúc với hai đương thẳng d1, d2 t¬ng øng tại hai điểm A và B khi đó ta luôn có IA ⊥ d1, IB ⊥ d2 vµ IA + IB ≥ AB . Suy ra 2R ≥ AB, dấu ®¼ng thøc xảy ra khi vµ chØ 0.25 khi I là trung điểm AB và AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d1, d2 uuur r uuur r  AB ⊥ u  AB . u = 0 A∈d1, B∈d2 nên A(4 + 3t; 1- t; -5-2t), B(2 + t’; -3 + 3t’; t’);  uuur ur ⇔  uuur ur . Gi¶i hÖ nµy t×m 0.5  AB ⊥ u '  AB . u ' = 0 ®îc A(1; 2; -3) và B(3; 0; 1) ⇒ I(2; 1; -1). Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; -1) và bán kính R= 6 nên có phương trình là: ( x − 2 ) + ( y − 1) 2 + ( z + 1) 2 = 6 2

2. Hµm sè f(x) = log 4 ( x − 3) + log5 ( x + 6 ) lµ hµm sè ®ång biÕn trªn (3; +∞) vµ f(19) = 4. Do ®ã ph¬ng tr×nh log 4 ( n − 3) + log5 ( n + 6 ) = 4 cã nghiÖm duy nhÊt n = 19 . π π w = 1 + i = 2(cos + i sin ) . Với n = 19 áp dụng công thức Moavrơ ta cã: 4 4 19 π 19π  3π 3π   19  z = w19 = ( 2)19  cos + i sin + i sin ÷ = ( 2)  cos ÷ 4 4  4 4   

4

0.25 1.0 0.5 0.5


Tæ To¸n-Tin, Trêng THPT Phan §¨ng Lu, NghÖ An 3π 2 = −( 2)19 . = −512 . 4 2 C©u Vb (Theo ch¬ng tr×nh chuÈn) 1. a. uuur r Ta cã AB (−4;0; 4) ; mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến là n(2; −1; 2) . Suy ra uuur r AB.n = −4.2 + 0 + 2.4 = 0 và A ∉ ( P) ⇒ AB //( P) V× ®êng th¼ng (d) vu«ng gãc víi AB vµ song song víi (P) nªn vÐc t¬ chØ ph¬ng cña ®êng x = 4 + t r uuur r  th¼ng (d) lµ u =  AB, n  = (4;16; 4) . VËy ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) lµ  y = 4t z = t  Suy ra phần thực của z là :

( 2)

19

cos

3.0 2.0 1.0 0.5

0.5

b.

1.0

2 x − y + 2 z − 4 = 0  Gi¶ sö C(x; y; z). §iÓm C thuéc mp(P) vµ tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Òu nªn  AC = AB  BC = AB 

0.25

Ta cã

2 x − y + 2 z − 4 = 0  2 2 2  ( x − 4) + y + z = 32  2 2 2  x + y + ( z − 4) = 32

0.25

x = z  ⇔ 2 x − y + 2 z − 4 = 0 Gi¶i hÖ nµy ®îc x= 0, x = 20/9. VËy C(0; -4; 0); C(20/9; 44/9;  x 2 + y 2 + z 2 − 8 x − 16 = 0  20/9). 2. 2 §K x¸c ®Þnh: x2 -2x + 6 > 0 ⇔ x ∈ ¡ . §Æt t = log 3 ( x − 2 x + 6 ) . PT trë thµnh 3t + 4t = 5t PT 3t + 4t = 5t cã nghiÖm duy nhÊt t = 2. Gi¶i ®îc x = -1; x = 3. VËy nghiÖm cña PT ®· cho lµ x = -1, x = 3. ------------HÕt------------

5

0.5 1.0 0.5 0.25 0.25


Đề số 3 (xấp 3)