Page 1

MEHANIKA I STATIKA

TE@I[TE Beograd, 2010. god.


TE@I[TE TE@I[TE KRUTOG TELA

Циљ теме је упознати се са:

1

Појмом тежишта тела

2

Тежиштем хомогеног тела

3

Начинима одређивања тежишта тела

4

Тежиштем хомогених тела једноставног облика


TE@I[TE TE@I[TE KRUTOG TELA

 На сваки делић крутог тела које се налази у близини површине Земље делује сила која је усмерена вертикално наниже, ка центру Земље, а која се назива сила теже.  Та сила је последица привлачења тела од стране Земље.  Како су димензије тела знатно мање од полупречника Земље силе теже које делују на поједине делиће тела Земље, могу се сматрати паралелним. Оне имају и особину да при р ма каквом обртању р у тела за сваки д делић крутог ру тела задржавају константну величину.  За поље теже које испуњава та два услова каже се да је хомогено поље теже.


TE@I[TE TE@I[TE KRUTOG TELA

 Ако се једно круто тело издели на n делића, на сваки делић д д делује уј сила теже тако д да формира р р јједан д систем   се ф паралелних сила G1, G2 ,..., Gn , као на слици.

 Нападне тачке ових сила имају координате: C1  x1, y1, z1  ,C2  x2 , y 2 , z2  ,...,Cn  xn , y n , zn    Резултанта овог система сила биће означена са G њен интензитет једнак је тежини тела и биће: G  G1  G2 ,..., Gn   Gi


TE@I[TE TE@I[TE KRUTOG TELA

  При било каквом обртању тела силе Gi нападају тело у истим нападним тачкама и остају увек међусобно паралелне, при чему се мењају ј само правци њихових нападних линија.   Сходно С томе, и резултанта G овог система при било б ком положају тела пролази увек кроз исту  тачку тела С. Та тачка је средиште паралелних сила Gi и назива се тежиште тела.


TE@I[TE TE@I[TE KRUTOG TELA

 На основу овога може да се дефинише тежиште тела:  тежиште тела јје тачка чији ј се положајј не мења према р крутом ру телу, а кроз коју пролази нападна линија резултанте сила теже делића датог тела при било каквом положају тела у простору.

 Координате К тежишта тела као средишта система паралелних сила теже, биће:

xC

G  x   ,y i

G

i

G  y   i

C

G

i

, zC

G  z   i

G

i


TE@I[TE TE@I[TE KRUTOG TELA

 Круто тело чија је маса неједнако распоређена по његовој запремини назива се нехомогено тело тело.  Ако је маса распоређена подједнако по читавој запремини тела, тела за такво тело се каже да је хомогено тело. Тежиште хомогеног тела  У случају хомогених тела се подразумева да је тежина сваког делића тела тела, па и тела у целини целини, пропорционална његовој запремини, тј. G1    V1, G2    V2 ,..., Gn    Vn и G   V , где је: - V - запремине појединих делића тела; - V - укупна запремина тела; и -  - тежина тела по јединици запремине, тј. специфична тежина тела.


TE@I[TE TE@I[TE KRUTOG TELA

 Заменом тих величина у предходне једначине добијају се координате тежишта хомогеног тела:

xC

V  x   ,y i

i

V  y   i

C

i

, zC

V  z   i

i

V V V  Из ових једначина се види да положај тежишта тела зависи само од његовог геометријског облика, а не и од његове специфичне тежине. Зато се тачка С ових тела назива тежиште запремине тела V. Тежиште материјалне равне површине  Када је у случају хомогеног тела једна димензија знатно мања од друге две и константна је, а притом је у јједној д јр равни,, такво тело јје хомогена плоча мале д дебљине или материјална равна површина (или само површина, подразумевајући да има своју тежину).


TE@I[TE TE@I[TE KRUTOG TELA

 У случају таквих тела тежина сваког делића тела, па и тела у целини, пропорционална је његoвој површини, тј. ј G1   1  A1, G2   1  A2 ,..., Gn   1  An и G   1  A, где је: - A - површине појединих делића тела; - A - укупна површина тела; и -  1 - тежина тела по јединици површине.  Пошто се р ради о р равном телу, у његoва површина р може да се поклопи с равни Оху (као на слици), па су координате нападних тачака сила: C1  x1, y1  ,C2  x2 , y 2  ,...,Cn  xn , y n  и C  xC , yC   Координате тежишта материјалне површине одређују се на основу познатих једначина, не узимајући у обзир последњу јједначину: д у Ai  xi Ai  y i   xC  , yC  A A


TE@I[TE TE@I[TE KRUTOG TELA

Тежиште материјалне линије  Ако А хомогено тело има две димензије ј знатно мање од треће, а при том су константне величине, такво тело назива се материјална линија или само линија линија, при чему се подразумева да има своју тежину (доња слика).


TE@I[TE TE@I[TE KRUTOG TELA

 Тежина сваког делића таквих тела па и целог тела, пропорционална је његовој дужини, тј. G1   2  L1, G2   2  L2 ,..., Gn   2  Ln и G   2  L, где је: - L - дужине појединих делића линије; - L - укупна дужина линије; и -  2 - тежина линије по јединици дужине.  Заменом тих вредности за тежине појединих делића, као и тежине линије у познатим једначинама, добијају се координате тежишта линије: Li  xi Li  y i Li  zi    xC  , yC  , zC  L L L  У случају да је линија у равни равни, а не у простору, простору координате тежишта су само xс и ус, што значи да се употребљавају само прве две горње једначине.  Према томе, тежишта хомогених тела одређују се као тежишта одговарајућих запремина, површина или линија.


TE@I[TE TE@I[TE KRUTOG TELA

 Приликом одређивања тежишта хомогених тела препоручује се коришћење појединих чињеница које доводе до једноставнијег ј ј решења. Симетрија  Ако тело има раван, осу или тачку, односно центар симетрије, његово тежиште лежи у тој равни, или оси, или пак или, пак, у тачки (центру) симетрије. симетрије  Чињеница да тежиште тела које има раван симетрије лежи у њој доказује се тако што се тело подели том равни на два дела. То су потпуно једнаки делови, имају једнаке тежине. чије се нападне тачке налазе на подједнаком растојању од равни симетрије. симетрије  Значи, то су две паралелне силе истог смера и интензитета,, па је ј њихова р резултанта у (тежина ( тела)) на половини њиховог растојања, односно лежи у равни симетрије.


TE@I[TE TE@I[TE KRUTOG TELA

 Како нападна линија резултанте, тј. укупне тежине тела пролази кроз тежиште, и тежиште лежи у равни симетрије. ј  На исти начин може се показати да, уколико тело има осу у симетрије, р ј тежиште се налази на њој. ј Ако тело има центар симетрије, тежиште се налази у њему.  Из особине симетрије произлази да се тежиште лопте, правоуглог паралелопипеда, ваљка, кружног прстена, кружне и правоугаоне плоче, као и других хомогених тела која имају центар симетрије налази у њиховом геометријском центру симетрије.

 На основу тих особина, ако тело има центар симетрије, може се одмах одредити положај тежишта.  Ако тело има раван или осу симетрије, симетрије постављањем координатног система тако да једна од оса лежи у равни р ј , или да д се једна ј д оса поклапа с осом симетрије, р ј , симетрије, поједине координате тежишта тела биће једнаке нули, што знатно олакшава решавање проблема.


TE@I[TE TE@I[TE KRUTOG TELA

Растављање и допуњавање  Ако хомогено тело може да се растави на одређени број једноставних тела чији је положај тежишта познат, у свако тежиште као нападну тачку поставља се одговарајућа ј ћ тежина.  Тако се по предходним једначинама или применом графичке ф методе у случају ј тела која ј леже у јједнојј равни одређује положај тежишта.  При томе број компонената у сваком збиру мора да буде једнак броју једноставних тела на које је тело р растављено.  Када се ради о телима која имају изрезе, ако је познат положај било тежишта тела, било тежишта делова на које је тело растављено без изреза, као и положај тежишта изрезаних делова, примењује се допуњавање.


TE@I[TE TE@I[TE KRUTOG TELA

 Допуњавање је посебан случај растављања.  У тежиште сваког растављеног дела поставља се oдгoвapajyћa тежина, чији су вектори усмерени на једну страну, а у тежишта изрезаних делова поставља се oдгoвapajyћa тежина, чији су вектори усмерени на супротну страну од вектора тежина растављених делова.  Значи, З у јједначинама за одређивање ђ тежишта чланови с тежинама изрезаних делова узимају се са знаком ,,-’’. Директно срачунавање положаја тежишта  Ако тело не може да се растави на коначан број делова чија д ј су у тежишта позната,, то р растављање врши р се на велики број врло малих делова, па било која тачка у тим делићима може да се узме за тежиште.


TE@I[TE TE@I[TE KRUTOG TELA

 На тај начин, применом једначина за одређивање координата тежишта тела, она се срачунава.  Ако се подели тело на велики број делића и када се узме гранични у р случај у ј да д њихова запремина р тежи нули, у , онда суме у једначинама за одређивање координата тежишта прелазе у одговарајуће интеграле: запреминске, површинске или линијске. ј  Интегралним рачуном се једноставније долази до резултата.  Међутим, Међутим такав начин одређивања тежишта тела скопчан је с тешкоћама математичке природе, тако да се р уј за одређивање др ђ тежишта тела јједноставног д примењује облика.


TE@I[TE TE@I[TE KRUTOG TELA

Експериментално одређивање положаја тежишта  Положај тежишта нехомогених тела сложених облика јако је тешко одредити, или њихово одређивање изискује много времена, па није прихватљиво за техничку праксу.  Такви примери су одређивање тежишта друмских и шинских возила, авиона итд., у случају ј којих ј познавање тежишта има велики значај за одређивање појединих уређаја на њима (као што је уређај за кочење возила) возила), па и за одређивање стабилности саме конструкције.  Зато се примењују експериментални начини, којима се на једноставан и доста поуздан начин одређује положај тежишта.  Овде ће бити приказана два начина.


TE@I[TE TE@I[TE KRUTOG TELA

 Један од начина је да се тело сложене конфигурације веша за једну тачку преко ужета и пусти да заузме равнотежни положај, ј као што је ј приказано на слици.  На тело делују две силе, сила тежине у тежишту и реакција у ужету. Према аксиоми 1, те две силе морају да имају исту нападну линију. линију То значи да ће се тежиште налазити на правој која се поклапа с ужетом.  Поступак се понови тако што се тело веша о другу тачку и пусти да заузме равнотежни положај (слика б) б). У пресеку праваца ужета у та два положаја тела налази се д прецизнијег р ц ј одређивања др ђ положаја ј његово тежиште. Ради тежишта тело се веша за више тачака. Правци ужета при таквом вешању тела називају се тежишне линије.


TE@I[TE TE@I[TE KRUTOG TELA

 Још један начин, који се често примењује, биће приказан на примеру одређивања тежишта камиона.  Најпре Н ј се измери тежина камиона G, G а затим се измери притисак једне осовине нпр осовине, нпр. предње предње. Положај тежишне линије b (слика б) одредиће  се из услова равнотеже  M Fi  0 : B FA FA  L  G  b  0  b  L G

 На тај начин одређен је положај тежишта у односу на осу x.  Висински положај тежишта одређује се тако што се издигне нпр., издигне, нпр предња осовина тако да се камион нагне под неким углом у односу на хоризонталу, па су тада д линије ј сила обрнуте р у за тајј уугао у односу д у на нападне камион. Понављањем поступка срачунава се висински положај тежишта.


TE@I[TE TE@I[TE KRUTOG TELA

Тежиште хомогене дужи  Ако је дуж хомогена, она има центар симетрије који се налази на њеној половини, па се тежиште дужи поклапа с њим. Тежиште равног хомогеног лука  Ако је дат хомогени кружни лук полупречника R, који лежи у равни , као на слици, његoво тежиште биће б ћ ван самог лука.


TE@I[TE TE@I[TE KRUTOG TELA

 Како је лук симетрична фигура, његово тежиште биће на оси симетрије.  Зато је координатни систем најпогодније поставити тако да му је почетак у центру кривине О, а оса y да се поклопи с осом симетрије.  У том случају координата тежишта xC  0 , па је потребно одредити само координату yC тежишта.


TE@I[TE TE@I[TE KRUTOG TELA

 Дужина лука L подели се на довољно велики број делова n' , то су лукови мале дужине Li који се могу сматрати дужима с тежиштем у Ci.  Ако се посматра i-ти део Li , његова пројекција на осу x биће Xi. Спајањем тачке О и тачке Ci добија се троуга OCi Ci" , који је сличан троуглу IJJ1.  На основу сличности може да се постави пропорција: OCi

IJ  " OCi J1I


TE@I[TE TE@I[TE KRUTOG TELA

xC  0

yC 

R  sin

 А како је OCi  R , OCi"  y i , IJ  Li и J1I  X i , то је Li  y i  R  X i . L Li једнак  Збир Зб пројекција ј ј дужина  ј јје пројекцији ј ј укупне дужине лука на осу x, тј. X i  X , а на слици се види да је X  2  R  sin .  Из геометрије се зна да је дужина лука L  R  2   , где је угао  дат у радијанима. Применом познатих једначина добија б се: Li  y i R   X i R  X R  2  R  sin  yC     , L L L R  2 


TE@I[TE TE@I[TE KRUTOG TELA

 Ако је угао   45   4rad , ради се о четвртини круга. Ако се координати систем Оху постави тако да осе пролазе кроз крајње ј тачке лука, а кроз тачке О и С се постави оса  , као на слици.

 У предходној једначини уместо осе y ставља се оса  и заменом вредности за угао    4 радијана, као и C добија тежишта : sin  се 4 координата 2 2 2 2 C  R


TE@I[TE TE@I[TE KRUTOG TELA

 Координате тежишта у координатном систему Оху су xC  yC  C  cos  , па се заменом вредности за C и cos  4  2 2 , добија: 2R xC  yC 

 Ако је угао   90   2rad , ради се о полукругу, као на слици.

 Како је sin  2  1 , добијају се координате тежишта: 2R xC  0 и yC 


TE@I[TE TE@I[TE KRUTOG TELA

Тежиште хомoгених паралелограма  Сви паралелограми, квадрат, правоугаоник, ромб и ромбоид, имају центар симетрије.  Центар симетрије квадрата и правоугаоника налази се у пресеку дијагонала или у пресеку симетрала страница, а ромба и ромбоида у пресеку дијагонала или у пресеку линија које спајају средишне тачке двеју паралелних страница.  Тежишта тих хомoгених површина приказана су на слици.


TE@I[TE TE@I[TE KRUTOG TELA

Тежиште хомогеног троугла  Тежиште хомогеног троугла налази се у пресеку тежишних линија, као на слици.

 Тежишна линија је она која спаја теме с тачком на половини наспрамне странице. То је лако доказати ако се троугао издели на велики број малих површина Ai облика трака, паралелних са страницом а.  Тада те површинице могу да се сматрају дужима, чије је тежиште Ci на половини те дужи.


TE@I[TE TE@I[TE KRUTOG TELA

 Ако се споје тежишта сваке дужи дужи, добиће се дуж која спаја теме А с тачком I на средини странице а, а то је тежишна линија. ј Троугао р у има три р тежишне линије. ј  Тежиште троугла дели тежишну линију у односу 1 : 2. Ако се повуче паралела са страницом а из тежишта тежишта, она дели висину ha у истом односу, тако да се тежиште налази на ha l3 од д странице р ц а. На исти начин тежиште јје на hbl3 и hd l3 од страница с и d. Међутим, ако се положај тежишта мери од темена троугла, оно је на 2/3 висине.


TE@I[TE TE@I[TE KRUTOG TELA

Тежиште хомогеног кружног исечка  Тежиште површине хомогеног кружног исечка OBD, полупречника R, налази се на његовој оси симетрије. Ако се координатни почетак поклопи с тачком О, координата ј тежишта xС = 0, је 0 па треба б одредити само координату тежишта yC (слика а).

 Ако се површине поделе на довољно велики број делова полупречницима д у р ц који ј пролазе р кроз р тачкуу О,, може се сматрати да су ти делови равнокраки троуглови са заједничким теменом у тачки О.


TE@I[TE TE@I[TE KRUTOG TELA

 Тежишта су им на кружном луку полупречника 2/3R од темена О. О Тежиште кружног исечка поклапа се с тежиштем кружног лука EI полупречника 2/3R, па су рд тежишта кружног ру исечка: координате 2 R  sin xC  0 и yC    3  Хомогени Х полукруг добија б ј се када јје угао исечка   90   2 радијана (слика б). Координате његовог тежишта биће: тежишта, 4R xC  0 и yC  3 


TE@I[TE TE@I[TE KRUTOG TELA

 Хомогена четвртина круга је када угао исечка в) Ако се оса  постави   45   4 радијана (слика в). тако да се поклопи с осом симетрије, координата C биће:

4 2 R C  3   Координате К тежишта у координатном систему Оху О су xC  yC  C  cos  , па се заменом вредности за C и cos  4  2 2 , добија: 4R xC  yC  3 


TE@I[TE TE@I[TE KRUTOG TELA

Тежиште призме, ваљка и лопте  Сва та тела имају центар симетрије, тако да се тежиште тела поклапа с њим. На слици је приказан положај тежишта призме, ваљка (или цилиндра) и лопте.


TE@I[TE TE@I[TE KRUTOG TELA

Тежиште пирамиде, конуса и полулопте  Та тела немају центар симетрије, па на тај начин није могуће одређивање положаја тежишта. Овде је дат положај њиховог тежишта без извођења:

 Тежиште Т пирамиде и конуса (купе) ( ) (слика ( а и б) налази се на њиховој оси, и то на једној четвртини висине од базиса (1/4· H) или на три четвртине висине од врха S(3/4 · H).  Тежиште полулопте (слика в) налази се на 3/8 · R изнад центра C1 базног круга.


TE@I[TE TE@I[TE KRUTOG TELA

Резиме

дат јје појам ј о тежишту у тела.

одређивање тежишта хомогених тела.

тежишта хомогених тела одређују се као тежишта одговарајућих запремина, површина или линија.

0720 - Тежиште - Тежиште крутог тела