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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL

FOLLETO “MODELOS DE PRONÓSTICOS PARA NEGOCIOS”

Elaborado por: Ing. Bolívar Bernal Mojica Ing. Izael Urieta

Panamá, 25 de enero de 2013


MODELOS DE PRONÓSTICOS

El uso de distintos modelos para la realización de pronósticos para la entrega de productos y servicios es cada vez más importante. Por esta razón hemos decidido documentar las técnicas de atenuación para el desarrollo de pronósticos según el comportamiento de la serie de tiempo

El documento presenta en principio una introducción en la cual se da a conocer los conceptos más importantes relacionados con el Análisis de una Serie de Tiempo. Aquí se define como realizar el Análisis Descriptivo de la Serie y posteriormente se presentan algunos Indicadores de Eficiencia de uso común para evaluar el modelo que mejor se ajusta a los datos

En los capítulos siguientes se presentan las distintas técnicas para realizar pronósticos según el comportamiento de la serie en estudio. Para el caso se presentaran los modelos que a juicio de los autores resultan más fáciles de comprender por los lectores, en gran parte por la simplicidad que proponen los mismos en la matemática empleada para el análisis. Esta sencillez en el modelo matemático no implica que la validez de los mismos sea menor.

Con este documento esperamos satisfacer todas las dudas que le han surgido con respecto al tema que aquí se expone. Invitamos a los lectores a realizar las sugerencias que consideren con la intención de mejorar la primera edición de este documento que con mucho gusto hemos preparado para Ustedes

Autores


I.

INTRODUCCIÓN A LOS PRONÓSTICOS Desde los inicios de la Historia, el ser humano siempre ha sentido la necesidad de poder predecir el futuro, en un principio recurría a todo de tipo de técnicas basadas en creencias populares y ritos para definirlo. Con el avance de la “ciencia como la base del conocimiento” se empieza a pensar en un conjunto de herramientas para describir patrones de comportamiento que pudiesen darnos luces de los valores futuros más probables. Es allí donde aparecen las primeras técnicas de Análisis de Series Temporales para finales del Siglo XIX; ejemplo de esto es el uso de las técnicas de regresión. Con el pasar de los años han aparecido diversas técnicas, de las más simples (como los métodos de suavización) hasta las más refinadas (como los Métodos ARIMA), que han permitido pronosticar con mayor precisión diversas variables de interés. Esto ha sido acompañado con el desarrollo de medios informáticos que han hecho más fácil el cálculo laborioso que representaba el uso de estas técnicas Existen diversos paquetes computacionales que permiten realizar evaluaciones de los datos que se han recolectado, aquí algunos de los más populares:      

Minitab Statistical Package for Social Sciences (SPSS) Statistical Analysis System (SAS) E-Views Easy Forecast Plus Forecast Pro

La generación de un pronóstico preciso y útil implica dos consideraciones básicas: Primero: Reunir los datos que sean aplicables para la tarea de pronósticos y que contengan información que pueda producir pronósticos precisos Segundo: Seleccionar una técnica de pronóstico que utilice al máximo la información contenida en los datos y los patrones que éstos presenten COMPONENTES DE UNA SERIE DE TIEMPO: Para evaluar la técnica que mejor se ajusta a los datos debemos definir primero las componentes de una serie de tiempo: La Tendencia de una serie de tiempo es el componente de largo plazo que representa un crecimiento o disminución en la serie de tiempo sobre un periodo amplio El Componente Cíclico es la fluctuación en forma de onda alrededor de la tendencia. Por general está influenciada por cambios de expansión y contracción económicas La Componente Estacional es un patrón de cambio que se repite a sí mismo año tras año. La variación estacional puede reflejar condiciones de clima, días festivos, etc.


El Componente Aleatorio mide la variabilidad de las series de tiempo después de que se retiran los otros componentes. Contabiliza la variabilidad aleatoria en una serie de tiempo ocasionada por factores imprevistos y no recurrentes Antes de elegir el Modelo de Pronóstico que mejor se ajusta a los patrones encontrados en los datos, se deberá realizar una Exploración de Patrones en los Datos. VISUALIZACIÓN DE LOS DATOS POR MEDIO DE GRÁFICAS: Por simple que parezca, la primera evaluación que se hace a los datos es realizar un diagrama de dispersión de los mismos. De esta forma se podrá con la inspección de la gráfica que se obtiene determinar si una o más de las componentes antes mencionadas están presentes en la Serie de Tiempo. Para ilustrar este caso veremos el Caso de las Empresas Marine Motors y Electronic Store, cuyos valores de ventas se presentan a continuación: Ventas Mensuales de Marine Motors Ene-08 a Dic-09 Periodo ene-08 feb-08 mar-08 abr-08 may-08 jun-08 jul-08 ago-08 sep-08 oct-08 nov-08 dic-08

Ventas (Unidades) 113 128 125 138 145 153 150 162 167 173 177 185

Periodo ene-09 feb-09 mar-09 abr-09 may-09 jun-09 jul-09 ago-09 sep-09 oct-09 nov-09 dic-09

Ventas (Unidades) 191 183 200 207 201 216 223 242 233 256 261 270


Para el caso de Marine Motors se puede apreciar en el gr谩fico de serie de tiempo que existe una marcada tendencia a la alza en la venta de productos. Por lo tanto se debe esperar que para los meses siguientes la venta aumente si los distintos factores econ贸micos se mantienen a iguales condiciones Ventas Trimestrales de Electronic Store T1-84 a T4-93 Periodo T1-84 T2-84 T3-84 T4-84 T1-85 T2-85 T3-85 T4-85 T1-86 T2-86 T3-86 T4-86 T1-87 T2-87 T3-87 T4-87 T1-88 T2-88 T3-88 T4-88

Ventas (Unidades) 147 251 273 249 139 221 260 259 140 245 298 287 168 322 393 404 259 401 464 479

Periodo T1-89 T2-89 T3-89 T4-89 T1-90 T2-90 T3-90 T4-90 T1-91 T2-91 T3-91 T4-91 T1-92 T2-92 T3-92 T4-92 T1-93 T2-93 T3-93 T4-93

Ventas (Unidades) 264 402 411 385 232 309 310 293 205 234 285 258 193 263 292 315 178 274 295 311


En el caso de Electronic Store se da un comportamiento estacional a lo largo del periodo de estudio. Lo que no se puede distinguir de forma clara es si existe o no una leve tendencia, aunque de estar presente esta componente es más débil que la de estacionalidad COEFICIENTE DE AUTOCORRELACIÓN: Una primera medida de asociación o fuerza entre los datos es el Coeficiente de Autocorrelación. Este coeficiente mide la correlación existente entre una variable desfasada uno o más periodos y la misma variable en el periodo t n

Rk =

∑(Y − Y )(Y

t =k +1

t −k

t

n

∑(Y − Y ) t =1

−Y )

2

t

En donde Rk = coeficiente de correlación para un desfase de k periodos Y = media de los valores de la serie Yt = observación en el periodo t Yt-k = observación en k periodos anteriores o en el periodo t – k n = total de observaciones Los patrones de datos que incluyen componentes de tendencia, estacionalidad e irregularidad se pueden estudiar usando el enfoque del análisis de autocorrelación. Los coeficientes de autocorrelación para diferentes desfases de tiempo de una variable se emplean para identificar patrones en las series de tiempo de los datos


Para ilustrar este cรกlculo veamos el Ejemplo de Electronic Store. Para ello se calcularรก el coeficiente de correlaciรณn para un periodo de desfase

Periodo Yt T1-84 147 T2-84 251 T3-84 273 T4-84 249 T1-85 139 T2-85 221 T3-85 260 T4-85 259 T1-86 140 T2-86 245 T3-86 298 T4-86 287 T1-87 168 T2-87 322 T3-87 393 T4-87 404 T1-88 259 T2-88 401 T3-88 464 T4-88 479 T1-89 264 T2-89 402 T3-89 411 T4-89 385 T1-90 232 T2-90 309 T3-90 310 T4-90 293 T1-91 205 T2-91 234 T3-91 285 T4-91 258 T1-92 193 T2-92 263 T3-92 292 T4-92 315 T1-93 178 T2-93 274 T3-93 295 T4-93 311 Promedio= 284.20

Yt - Prom -137.2 -33.2 -11.2 -35.2 -145.2 -63.2 -24.2 -25.2 -144.2 -39.2 13.8 2.8 -116.2 37.8 108.8 119.8 -25.2 116.8 179.8 194.8 -20.2 117.8 126.8 100.8 -52.2 24.8 25.8 8.8 -79.2 -50.2 0.8 -26.2 -91.2 -21.2 7.8 30.8 -106.2 -10.2 10.8 26.8

Yt-k - Prom -137.2 -33.2 -11.2 -35.2 -145.2 -63.2 -24.2 -25.2 -144.2 -39.2 13.8 2.8 -116.2 37.8 108.8 119.8 -25.2 116.8 179.8 194.8 -20.2 117.8 126.8 100.8 -52.2 24.8 25.8 8.8 -79.2 -50.2 0.8 -26.2 -91.2 -21.2 7.8 30.8 -106.2 -10.2 10.8 Totales=

(Yt - Prom)*(Yt-k - Prom) 4555.04 371.84 394.24 5111.04 9176.64 1529.44 609.84 3633.84 5652.64 -540.96 38.64 -325.36 -4392.36 4112.64 13034.24 -3018.96 -2943.36 21000.64 35025.04 -3934.96 -2379.56 14937.04 12781.44 -5261.76 -1294.56 639.84 227.04 -696.96 3975.84 -40.16 -20.96 2389.44 1933.44 -165.36 240.24 -3270.96 1083.24 -110.16 289.44 1.143E+05

(Yt - Prom)^2 18823.84 1102.24 125.44 1239.04 21083.04 3994.24 585.64 635.04 20793.64 1536.64 190.44 7.84 13502.44 1428.84 11837.44 14352.04 635.04 13642.24 32328.04 37947.04 408.04 13876.84 16078.24 10160.64 2724.84 615.04 665.64 77.44 6272.64 2520.04 0.64 686.44 8317.44 449.44 60.84 948.64 11278.44 104.04 116.64 718.24 2.719E+05


Dividiendo los valores de 1.143E+05 / 2.719E+05 se obtiene R1 = 0.42059. Este mismo cálculo se puede realizar para un desfase de dos, tres, cuatro periodos o más. Existe un gráfico de suma utilidad conocido como Función de Autocorrelación. En dicho gráfico se presentan los valores de las correlaciones para k periodos desfasados, para ilustrar mostraremos este gráfico para 12 desfases para la Serie de Tiempo de Electronic Store, según la forma del Gráfico se puede corroborar la presencia de las distintas componentes de la serie de tiempo inspeccionadas en la exploración visual de los datos K R

1 0.42059

2 0.19349

3 0.31146

4 0.73328

5 0.17660

6 -0.11961

K

7

8

9

10

11

12

R

-0.05240

0.29818

-0.19314

-0.44132

-0.34628

0.02897

Gráfico de la Función de Autocorrelación (con límites de significancia de 5% para las autocorrelaciones) 1.0 0.8

Autocorrelación

0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 1

2

3

4

5

6 7 Desfase

8

9

10

11

12

El Gráfico de la Función de Autocorrelación suele presentar unas franjas de color rojo que representan los límites de significancia de las autocorrelaciones calculadas. Para que una Autocorrelación sea significativa debe sobrepasar las franjas rojas del Gráfico indicando así que la fuerza entre esos dos periodos presenta significancia A manera de resumen presentaremos los comportamientos de los Gráficos de Funciones de Autocorrelación según el Patrón de las Componentes de la Serie de Tiempo Autocorrelación y Tendencia Pura: en una serie con tendencia pura notará que el valor de la autocorrelación para un periodo de desfase tendrá una correlación muy alta, casi cercana a 1, e irá decayendo lentamente hasta llegar a cero, como se presenta a continuación:


Función de autocorrelación para C1 (con límites de significancia de 5% para las autocorrelaciones) 1.0 0.8

Autocorrelación

0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 1

2

3

4

5

6 7 Desfase

8

9

10

11

12

Autocorrelación y Estacionalidad: una serie tendrá un patrón estacional cuando se presente un coeficiente de autocorrelación significativo en el periodo de desfase correspondiente; cuatro en los datos trimestrales o doce en los datos mensuales. Como se presenta a continuación: Función de autocorrelación para C1

(con límites de significancia de 5% para las autocorrelaciones) 1.0 0.8

Autocorrelación

0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 1

2

3

4

5

6 7 Desfase

8

9

10

11

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Autocorrelación y Estacionariedad: una serie tendrá estacionariedad cuando se presente un coeficiente de autocorrelación significativo en el primer periodo de desfase o en el primer y segundo periodo de desfase. Como se presenta a continuación:


Función de autocorrelación para C1 (con límites de significancia de 5% para las autocorrelaciones) 1.0 0.8

Autocorrelación

0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 1

2

3

4

5

6 7 Desfase

8

9

10

11

12

MEDICIÓN DEL ERROR EN EL PRONÓSTICO Cada técnica particular de pronóstico posee cierto grado de error. Las medidas de dicho error implican una función de la diferencia entre el valor real y su pronóstico. Esta medida es conocida como residuales. De manera formal se definirá como residual a la diferencia entre el valor real y su valor de pronóstico A continuación mostraremos varias de las medidas del error de los pronósticos realizados: Desviación Absoluta Media (DAM): equivale al promedio de los errores absolutos n

DAM =

∑ Y − Yˆ t

t =1

t

n

Error Medio Cuadrático (EMC): equivale al promedio de los residuales cuadrados n

EMC =

∑ (Y − Yˆ ) t =1

t

n

t

2


Porcentaje de Error Medio Absoluto (PEMA): equivale al error porcentual de los residuales absolutos n

PEMA =

∑ t =1

Yt − Yˆt Yt n

Porcentaje Medio de Error (PME): equivale al error porcentual de los residuales. Si el pronóstico no presenta sesgo, su valor será muy próximo a cero. Si el resultado del porcentaje en un valor negativo grande, el método de pronóstico está sobreestimando de manera consistente. Por otro lado si el porcentaje es un valor positivo grande, el método de pronóstico esta subestimando de manera consistente

Yt − Yˆt Yt PME = t =1 n n

Debido a la simplicidad que implican los cálculos de los distintos indicadores de error en los pronósticos no se mostrará un ejemplo en esta sección


PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO Presto Fácil: Presto Fácil es una financiera que se ha logrado consolidar en el mercado nacional. Para analizar la cartera de préstamos de dicha financiera se han registrado los montos en préstamos comprendidos entre el 2005 y el 2010. Estos se presentan a continuación Préstamos de Presto Fácil por trimestre, 2005-2010 (en millones de dólares) Año I Trim II Trim III Trim IV Trim 2005 2313 2495 2609 2792 2006 2860 3099 3202 3161 2007 3399 3471 3545 3851 2008 4458 4850 5093 5318 2009 5756 6013 6158 6289 2010 6369 6568 6646 6861 a. Calcule las autocorrelaciones para 1 y 2 periodos de desfase. Muestre en un correlograma la significancia de ambos cálculos b. Determine con dicho correlograma si los datos presentan patrones de estacionalidad c. Determine los valores pronosticados para cada periodo asumiendo que el pronóstico se resolverá a través de la fórmula Ft = Ft - 1 d. Para los pronósticos encontrados evaluar DAM, EMC, PEMA, PME Pricing Company: Un inversionista desea determinar si existe un patrón sobre las utilidades por acción de la compañía que opera en varios estados de los Estados Unidos de América. Los datos son los siguientes: Utilidades por acción de Pricing Company, 2003-2010 (en dólares por acción) Año I Trim II Trim III Trim IV Trim 2003 0.40 0.29 0.24 0.32 2004 0.47 0.34 0.30 0.39 2005 0.63 0.43 0.38 0.49 2006 0.76 0.51 0.42 0.61 2007 0.86 0.51 0.47 0.63 2008 0.94 0.56 0.50 0.65 2009 0.95 0.42 0.57 0.60 2010 0.93 0.38 0.37 0.57 a. Describa cualquier patrón existente en la serie temporal presentada b. Determine los valores pronosticados para cada periodo asumiendo que el pronóstico se resolverá a través de la fórmula Ft = Ft - 1 c. Para los pronósticos encontrados evaluar DAM, EMC, PEMA


Mercado Inmobiliario: Un indicador importante de la salud financiera de la economía es la venta de viviendas. Es por ello que se presenta a continuación la venta trimestral de viviendas de un país: Viviendas Vendidas en el país X, 2003-2010 (en miles de viviendas) Año I Trim II Trim III Trim 2003 121 144 126 2004 153 152 130 2005 161 179 172 2006 178 185 165 2007 192 204 201 2008 211 212 208 2009 227 248 221 2010 256 299 294

IV Trim 116 123 138 142 161 174 185 239

a. Describa cualquier patrón existente en la serie temporal presentada b. Determine los valores pronosticados para cada periodo asumiendo que el pronóstico se resolverá a través de la fórmula Ft = Ft - 1 c. Para los pronósticos encontrados evaluar DAM , EMC, PEMA


II.

PROMEDIOS MÓVILES Y MÉTODOS DE SUAVIZACIÓN EXPONENCIAL PARA SERIES ESTACIONARIAS Se entenderá que una serie es del tipo estacionaria cuando los datos suelen variar con respecto a un valor medio en forma netamente aleatoria. Para ello se presentará a continuación los modelos usados con mayor frecuencia para este caso: Media Móvil Simple Un promedio móvil se obtiene encontrando la media de un conjunto específico de valores y empleándolo después para pronosticar el siguiente periodo Debemos destacar que la técnica solo emplea los últimos “n” periodos de datos conocidos. Dicho modelo funciona mejor cuando los datos son del tipo estacionarios. No maneja muy bien la presencia de tendencia o estacionalidad en la serie de tiempo. En este modelo el analista es quien debe definir el número de periodos que se emplearán para el pronóstico. Es preferible un número pequeño para cambios súbitos en el nivel de la serie, ya que de esta forma se dará mayor peso a los valores más recientes de la misma

Yˆt =

Yt −1 + Yt −2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Yt −n n

Como se aprecia en la fórmula en promedio móvil en “t” es la media aritmética de las “n” observaciones más recientes Media Móvil Ponderada Un promedio móvil ponderado se obtiene encontrando la media ponderada de los “n” últimos periodos en el pronóstico Cuando el investigador siente que debe variar los pesos de las “n” últimas observaciones que empleará para realizar el pronóstico surge la técnica de las medias móviles ponderadas como herramienta para predecir Yˆt =W1 * Yt −1 +W2 * Yt −2 +⋅⋅⋅ +Wn * Yt −n

W1 +W2 + ⋅ ⋅ ⋅ +Wn =1

La asignación de los pesos se pondrá dar de forma tal que se pueda reducir la medida del error para la serie de tiempo presentada Suavización Exponencial Simple Es un procedimiento para revisar constantemente un pronóstico a la luz de las experiencias más recientes Si se examina con más detalle el método, este viene a ser una especie de media móvil ponderada pero donde los pesos se van atenuando en el tiempo, siendo mayor para la observación más reciente y menor para la observación mas distante.


Debemos agregar que el coeficiente de suavización “α”, está comprendido entre cero y uno. En la práctica el valor de “α” es determinado en función de aquel que minimice la medida del error. Con el uso del computador es posible definir el mismo a través de la iteración de dicho valores Yˆt =αYt −1 +(1 −α)Yˆt −1

De igual forma que la media móvil simple y la media móvil ponderada, este método se emplea en series de tiempo del tipo estacionarias. Para el modelo se recomienda 6

que el valor de

Yˆ1 =

∑Y t =1

t

y el resto del pronóstico de t = 2 en adelante se realice

6

con la fórmula antes presentada EJEMPLO ILUSTRATIVO: Para ilustrar los métodos explicados en esta sección emplearemos los datos de ventas de una compañía de las últimas 43 semanas a fin de mejorar la planificación operacional de la empresa. Para ello se realizará el pronóstico a través de: • • •

Media Móvil Simple a tres periodos Media Móvil Ponderada a tres periodos con ponderadores de 0.50 al mes más reciente, 0.30 al mes anterior y 0.20 al mes más distante Suavización Exponencial Simple con un coeficiente de suavización de 0.20

Adicional presentaremos la DAM para cada uno de los tres modelos para los valores de los parámetros definidos Sem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Venta 61 61 74 75 71 51 56 77 70 78 72 85 63 63 76 78

MMS-3

Error

MMP-3

Error

65.3 70.0 73.3 65.7 59.3 61.3 67.7 75.0 73.3 78.3 73.3 70.3 67.3

9.7 1.0 -22.3 -9.7 17.7 8.7 10.3 -3.0 11.7 -15.3 -10.3 5.7 10.7

67.5 71.9 72.8 61.8 57.5 65.5 69.3 75.4 73.4 79.7 71.4 67.4 69.5

7.5 -0.9 -21.8 -5.8 19.5 4.5 8.7 -3.4 11.6 -16.7 -8.4 8.6 8.5

SES 65.5 64.6 63.9 65.9 67.7 68.4 64.9 63.1 65.9 66.7 69.0 69.6 72.7 70.7 69.2 70.5

Error -4.5 -3.6 10.1 9.1 3.3 -17.4 -8.9 13.9 4.1 11.3 3.0 15.4 -9.7 -7.7 6.8 7.5


17 84 18 79 19 80 20 85 21 59 22 56 23 57 24 58 25 64 26 55 27 62 28 67 29 62 30 55 31 64 32 61 33 62 34 53 35 46 36 49 37 49 38 55 39 52 40 52 41 57 42 66 43 46 Pronostico= DAM=

72.3 79.3 80.3 81.0 81.3 74.7 66.7 57.3 57.0 59.7 59.0 60.3 61.3 63.7 61.3 60.3 60.0 62.3 58.7 53.7 49.3 48.0 51.0 52.0 53.0 53.7 58.3 56.3 7.5833

11.7 -0.3 -0.3 4.0 -22.3 -18.7 -9.7 0.7 7.0 -4.7 3.0 6.7 0.7 -8.7 2.7 0.7 2.0 -9.3 -12.7 -4.7 -0.3 7.0 1.0 0.0 4.0 12.3 -12.3

74.4 80.6 80.3 80.5 82.3 71.0 62.7 57.1 57.3 60.8 58.3 60.3 63.1 63.5 59.5 60.9 60.7 62.1 57.3 51.3 48.9 48.4 52.0 52.3 52.6 54.5 60.5 54.2 7.1325

9.6 -1.6 -0.3 4.5 -23.3 -15.0 -5.7 0.9 6.7 -5.8 3.7 6.7 -1.1 -8.5 4.5 0.1 1.3 -9.1 -11.3 -2.3 0.1 6.6 0.0 -0.3 4.4 11.5 -14.5

72.0 74.4 75.3 76.3 78.0 74.2 70.6 67.9 65.9 65.5 63.4 63.1 63.9 63.5 61.8 62.3 62.0 62.0 60.2 57.4 55.7 54.4 54.5 54.0 53.6 54.3 56.6 54.5 7.6160

12.0 4.6 4.7 8.7 -19.0 -18.2 -13.6 -9.9 -1.9 -10.5 -1.4 3.9 -1.9 -8.5 2.2 -1.3 0.0 -9.0 -14.2 -8.4 -6.7 0.6 -2.5 -2.0 3.4 11.7 -10.6

Vale la pena resaltar que los valores del DAM variarán para los métodos de media móvil ponderada y para suavizado exponencial en la medida que se cambien los parámetros. Por esta razón invitamos al lector para que pruebe con distintos valores hasta obtener los que minimicen el DAM


PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO Helados Don Frío: Esta pequeña heladería está ubicada cerca de un colegio de la localidad. Los jóvenes suelen comprar con bastante frecuencia el helado de mango que tiene un sabor espectacular. Para los dueños de dicha heladería es importante tener un estimado de las ventas mensuales de dicho helado para planificar así la producción del mismo. Por ello se presenta a continuación la venta de los últimos doce meses de este helado: Mes Venta

1 220

2 215

3 195

4 180

5 220

6 235

Mes Venta

7 170

8 210

9 190

10 230

11 220

12 250

a. Pronostique la demanda para el siguiente mes utilizando el Método de Media Móvil Simple a tres meses. Determine también la DAM b. Pronostique la demanda para el siguiente mes utilizando el Método de Media Móvil Ponderada a tres meses. Las ponderaciones serán las siguientes: mes más reciente 0.50, mes anterior 0.30 y mes más antiguo 0.20. Determine también la DAM de dicho modelo c. Pronostique la demanda del siguiente mes utilizando el Método de Suavización Exponencial Simple. Utilice un coeficiente de suavización de 0.40. Determine de igual forma la DAM d. Basado en el indicador de eficiencia propuesto (DAM) cuál elegiría Usted como mejor modelo para pronosticar. Justifique su respuesta de forma breve y concisa


III.

ANÁLISIS DE TENDENCIA PARA SERIES CON TENDENCIA PURA Se entenderá que una serie de tiempo presenta tendencia pura sí de forma consistente la misma presenta un comportamiento a la alza o a la baja en el largo plazo. Tal como se realizó en el capítulo anterior se presentarán los modelos más usados para dicho caso: Regresión Lineal con Tendencia Cuando los datos presentan una tendencia pura, ya sea lineal, exponencial, potencial u otro tipo de comportamiento que pueda ser transformado a lineal resulta sencillo y conveniente el uso del modelo de regresión lineal. Para el cálculo de los estimadores se deberá tener presente el concepto de los Mínimos Cuadrado Ordinarios. Este principio no será definido en este apartado del documento por la derivación matemática que representa. Invitamos al lector a que se informe del mismo en textos del Área de Estadística Matemática para una mayor comprensión Cuando la serie de tiempo presenta tendencia lineal de los datos se propone un modelo bajo las siguientes ecuaciones: Yˆt = a + b * t

b=

n( ∑ XY ) − ( ∑ X )( ∑Y ) n

(∑ X ) − (∑ X )

a=

2

2

∑Y − b ∑ X n

n

EJEMPLO ILUSTRATIVO: Para ilustrar los métodos explicados en esta sección emplearemos los datos de ventas de una compañía que vende motores fuera de borda de los últimos 15 meses. Para ello se realizará el pronóstico para los próximos cuatro meses a través del modelo de regresión lineal con tendencia Queremos destacar la importancia del uso adecuado de los distintos modelos de pronóstico es por ello que utilizaremos la técnica de media móvil simple a tres periodos para los datos para que el lector comprenda que el uso incorrecto de un modelo puede llevar a estimaciones equivocadas y luego de ello se presentarán los resultados para el modelo de regresión lineal con tendencia y los cálculos del DAM y el PEMA De igual forma mostraremos en un gráfico los resultados de las estimaciones con el modelo de media móvil simple a tres periodos


Media Movil Simple a tres periodos Mes Venta 1 654 2 658 3 665 4 672 5 673 6 671 7 693 8 694 9 701 10 703 11 702 12 710 13 712 14 711 15 728 Pronostico(t=16)=

MMS-3

Error

Error Abs %

659.0 665.0 670.0 672.0 679.0 686.0 696.0 699.3 702.0 705.0 708.0 711.0 717.0

13.0 8.0 1.0 21.0 15.0 15.0 7.0 2.7 8.0 7.0 3.0 17.0

1.93% 1.19% 0.15% 3.03% 2.16% 2.14% 1.00% 0.38% 1.13% 0.98% 0.42% 2.3%

El lector podrá que para la técnica empleada se subestima el valor de la venta, es decir que los pronósticos de demanda siempre aparecen por debajo de la línea de las ventas reales (línea en color rojo) lo que implicaría que para el mes 16 para el cual se


pronostica la demanda tiene una alta probabilidad de ser un valor muy por debajo de la que se podría presentar es por ello que se hace necesario utilizar otra técnica de pronóstico adecuada. A continuación mostramos los resultados que se obtendrían de utilizar la regresión lineal como modelo de tendencia

Regresión Lineal con Tendencia Mes Venta 1 654 2 658 3 665 4 672 5 673 6 671 7 693 8 694 9 701 10 703 11 702 12 710 13 712 14 711 15 728 Pronostico(t=16)= Pronostico(t=17)= Pronostico(t=18)= Pronostico(t=19)= A= B=

650.31 4.9357

RLT 655.25 660.19 665.12 670.06 674.99 679.93 684.86 689.80 694.74 699.67 704.61 709.54 714.48 719.41 724.35 729.29 734.22 739.16 744.09

Error 1.25 2.2 0.1 1.9 2.0 8.9 8.1 4.2 6.3 3.3 2.6 0.5 2.5 8.4 3.6

DAM= PEMA=

Error Abs % 0.19% 0.33% 0.02% 0.29% 0.30% 1.33% 1.17% 0.61% 0.89% 0.47% 0.37% 0.06% 0.35% 1.18% 0.5%

3.7 0.54%


Como podrás apreciar la línea de tendencia presenta un mejor ajuste a la información pues no tiende a subestimar o sobreestimar a través del pronóstico de venta que se desea hacer por el uso del modelo propuesto. Invitamos al lector a realizar los cálculos de los parámetros de la intersección (A) y de la pendiente (B), ya que los mismos solo se presentaron en la tabla y se obvio los cálculos respectivos para la obtención de estos


PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO Lechería La Vaquita Feliz: La Vaquita Feliz suministra leche grado A en diversas tiendas de comestibles independientes en el Área Metropolitana. La administración desea elabora un pronóstico de la cantidad de galones de leche vendidos semanalmente. Para ello lleva un registro de las ventas de las últimas doce semanas. A continuación se muestran los valores: Mes Venta

1 2536

2 2859

3 3250

4 3327

5 3421

6 3526

Mes Venta

7 3423

8 3712

9 3888

10 3925

11 4066

12 4200

a. Pronostique la demanda para la venta de galones de leche para las próximas tres semanas b. Determine la DAM y el PEMA


IV.

MODELO DE DESCOMPOSICIÓN ESTACIONAL PARA DATOS QUE PRESENTAN TENDENCIA CON ESTACIONALIDAD Es común encontrar series de tiempo que presentan estas dos componentes juntas. Para modelar el comportamiento de las mismas, se propone un modelo que une el efecto de ambas componentes por medio de una función multiplicativa de ambas. Este modelo parte de la premisa que el pronóstico es el resultado del efecto multiplicativo de la componente de tendencia por la componente de estacionalidad Yˆt =Tt ∗S t

Para fines prácticos sólo se presentará el modelo para cuando los datos han sido agrupados en periodos trimestrales (en la práctica los datos de ventas de las empresas son presentados de esta forma). Para comprender mejor los cálculos necesarios para estimar de manera más eficiente los pronósticos mostraremos un ejemplo para este modelo EJEMPLO ILUSTRATIVO: Se cuenta con los datos de unidades vendidas trimestralmente de una compañía de los últimos ocho años. Con la información suministrada presente el pronóstico de las ventas para los cuatro trimestres del próximo año Año 1

2

3

4

Trim

Venta

I II III IV I II III IV I

121 144 126 116 153 152 130 123 161

II

179

III

172

IV I

138 178

II

185

III

165

IV

142

Año 5

6

7

Trim I II III IV I II III IV I II III IV I

8

II III IV

Venta 192 204 201 161 211 212 208 174 227 248 221 185 256 299 294 239

Para realizar el pronóstico para el próximo año es necesario tener presente que el gráfico de la serie de tiempo mostrada presenta puntos máximos y mínimos de forma cíclica. Es por ello que debemos desestacionalizar los datos para suavizar la información y obtener una serie sin los efectos de la estacionalidad trimestral propia de la serie de tiempo mostrada. Para desestacionalizar se procede a realizar un


doble suavizado con Media Móvil Centrada (CMA), la cual no debe ser confundida con el método expuesto en capítulos anteriores. El centrado consta de dos etapas presentadas a continuación:

MAt =

Yt −2 + Yt −1 + Yt + Yt +1 4

CMAt =

MAt + Mat −1 2

A continuación presentaremos los valores obtenidos para los datos mostrados al igual que la gráfica respectiva de las dos series de tiempo, la venta real (Y t) y la serie suavizada con Media Móvil Centrada (CMAt)

Tal como se puede apreciar el suavizado nos da como resultado una línea en color verde sin los efectos de la estacionalidad presente en la serie de tiempo original. En la tabla a continuación se muestran todos los resultados de los cálculos respectivos, tanto para la MAt como para la CMAt Año

Trim

Venta

MAt

CMAt

1

I II III IV

121 144 126 116

126.75 134.75

130.75


2

3

4

5

6

7

8

I II III IV I II III IV I II III IV I II

153 152 130 123 161 179 172 138 178 185 165 142 192 204

136.75 137.75 139.50 141.5 148.25 158.75 162.50 166.75 168.25 166.50 167.50 171 175.75 184.75

135.75 137.25 138.63 140.50 144.88 153.50 160.63 164.63 167.50 167.38 167.00 169.25 173.38 180.25

III IV I II III IV I II III IV I

201 161 211 212 208 174 227 248 221 185 256

189.50 194.25 196.25 198.00 201.25 205.25 214.25 217.50 220.25 227.5 240.25

187.13 191.88 195.25 197.13 199.63 203.25 209.75 215.88 218.88 223.88 233.88

II III

299 294

258.50 272.00

249.38 265.25

IV

239

Una vez obtenidos os cálculos de la Media Móvil Centrada se debe proceder a realizar una regresión sobre la serie de tiempo centrada para obtener la componente de tendencia (Tt) en el modelo propuesto. En este caso se obtuvo el siguiente valor: Tt = a + b ∗t Tt =108.1796 + 4.2721 ∗t

Para obtener la componente estacional de la serie de tiempo propuesta se deben obtener los Índices Estacionales (SI), que para el caso presentado serán cuatro ya que la información se presentó trimestralmente, estos índices se obtienen por medio de las siguientes formulaciones:


SFt =

Yt CMAt

SI = Pr omedio( SFt ) , para cada trimestre Recuerde que el valor del promedio de los SI debe ser igual a 1.0000, de no ser así debe normalizar los mismos. Veamos los cálculos respectivos para el ejemplo mostrado en esta sección:

El gráfico muestra como el cálculo de los factores estacionales eliminan el efecto de la tendencia de en la serie de tiempo. A continuación mostramos los valores obtenidos de forma tabular:

Año

Trim

Venta

CMAt

SF

1

I II III IV

121 144 126 116

130.75

0.8872


2

3

4

5

6

7

8

I II III IV I II III IV I II III IV I II

153 152 130 123 161 179 172 138 178 185 165 142 192 204

135.75 137.25 138.63 140.50 144.88 153.50 160.63 164.63 167.50 167.38 167.00 169.25 173.38 180.25

III IV I II III IV I II III IV I

201 161 211 212 208 174 227 248 221 185 256

187.13 191.88 195.25 197.13 199.63 203.25 209.75 215.88 218.88 223.88 233.88

II III

299 294

249.38 265.25

IV

239

1.1271 1.1075 0.9378 0.8754 1.1113 1.1661 1.0708 0.8383 1.0627 1.1053 0.9880 0.8390 1.1074 1.1318 1.0741 0.8391 1.0807 1.0755 1.0420 0.8561 1.0822 1.1488 1.0097 0.8264 1.0946 1.1990 1.1084

Con los valores obtenidos del Factor Estacional se obtendrテ。 el テュndice estacional de cada trimestre respectivo:

Aテ前

SI NORM.

2

3

4

5

6

7

8

I

1.1271

1.1113

1.0627

1.1074

1.0807

1.0822

1.0946

1.0951

1.0650

II

1.1075

1.1661

1.1053

1.1318

1.0755

1.1488

1.1990

1.1334

1.1022

TRIM.

1

PROM. DE FILA


III IV

0.8872

0.9378

1.0708

0.9880

1.0741

1.0420

1.0097

0.8754

0.8383

0.8390

0.8391

0.8561

0.8264

1.1084

GRAN PROM .

1.0330

1.0046

0.8516

0.8282

1.0283

1.0000

La normalización de los promedios según periodo trimestral se obtiene de dividir el promedio de fila entre el gran promedio, ejemplo el valor de 1.0650 proviene de dividir 1.0951 entre 1.0283 Encontrados los valores de la Función de Tendencia y los Índices Estacionales podemos pronostica para los cuatro trimestres del próximo año. A continuación mostramos los datos tabulados y la gráfica que se obtiene del pronóstico indicado

Año 1

Trim

Venta

I II III

121 144 126

Tt 112.45 116.72 121.00

SI 1.0650 1.1022 1.0046

Yt 119.76 128.66 121.55


2

3

4

5

6

7

8

9

IV I II III IV I II III IV I II III IV I

116 153 152 130 123 161 179 172 138 178 185 165 142 192

II III IV I II III IV I II III IV I

204 201 161 211 212 208 174 227 248 221 185 256

II III

299 294

IV

239

I II III IV

125.27 129.54 133.81 138.08 142.36 146.63 150.90 155.17 159.45 163.72 167.99 172.26 176.53 180.81 185.08 189.35 193.62 197.89 202.17 206.44 210.71 214.98 219.26 223.53 227.80 232.07 236.34 240.62 244.89 249.16 253.43 257.70 261.98

0.8282 1.0650 1.1022 1.0046 0.8282 1.0650 1.1022 1.0046 0.8282 1.0650 1.1022 1.0046 0.8282 1.0650 1.1022 1.0046 0.8282 1.0650 1.1022 1.0046 0.8282 1.0650 1.1022 1.0046 0.8282 1.0650 1.1022 1.0046 0.8282 1.0650 1.1022 1.0046 0.8282

103.75 137.96 147.49 138.71 117.90 156.16 166.33 155.88 132.05 174.36 185.16 173.05 146.21 192.56 204.00 190.21 160.36 210.76 222.83 207.38 174.51 228.96 241.67 224.55 188.66 247.16 260.51 241.71 202.82 265.36 279.34 258.88 216.97


PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO Pricing Company: Un inversionista desea determinar si existe un patrón sobre las utilidades por acción de la compañía que opera en varios estados de los Estados Unidos de América. Los datos son los siguientes: Mes Venta

1 220

2 215

3 195

4 180

5 220

6 235

Mes Venta

7 170

8 210

9 190

10 230

11 220

12 250

a. Describa cualquier patrón existente en la serie temporal presentada b. Determine los valores pronosticados para cada periodo asumiendo que el pronóstico se resolverá a través de la fórmula Ft = Ft - 1


V.

INFERENCIA ESTADÍSTICA EN LOS MODELOS DE PRONÓSTICO Para el Análisis de las Series Temporales es necesario cumplir con una serie de supuestos que se hacen para el mismo. A continuación detallaremos los mismos: Normalidad de los errores Una vez que se realiza el pronóstico con la técnica adecuada, se debe partir por encontrar el error del pronóstico el cual es igual a:

error = YREAL − YPRONOSTICADA Al tener cada uno de estos errores se puede realizar una prueba de bondad de ajuste que me permita establecer si la distribución de los errores pertenece a una distribución normal. Estas son algunas de las pruebas que se pueden emplear:    

Prueba de bondad de ajuste de Chi Cuadrado Prueba de bondad de ajuste de Kolmogórov-Smirnov Prueba de Shapiro-Wilk Prueba de Anderson-Darling

Para el cálculo de la normalidad de los errores, daremos explicación a la técnica de Shapiro Wilk a través de un ejemplo. Invitamos al lector e revisar el resto de las otras pruebas o el uso de paquetes estadísticos para las mismas: Suponga que los siguientes datos representan los errores de estimación de un pronóstico realizado para las ventas de un producto dado:

-17.3786 -9.6637 -8.9028 -7.7310 -4.5000 -3.6000 3.0254 3.2768 4.1022 6.8152 7.4522 9.0960 10.1200 11.2817 13.8777 15.4203 Para el cálculo del estadístico de Shapiro Wilk se seguirán los siguientes pasos: Paso 1: Ordenar los valores del menor al mayor, que para nuestro caso ya están dispuestos de esa forma Paso 2: Calcular el promedio de las observaciones

Pr omedio =

( −17.3786) + ( − 9.6637 ) + ... + (13.8777 ) + (15.4203) 16


Pr omedio = 2.0432 Paso 3: Calcular la suma de los desvíos cuadrados con respecto a la media

∑( X − Pr omedio)

2

= ( −17.3786 − 2.0432) + ( −9.6637 − 2.0432 ) +... 2

∑( X −Pr omedio )

2

2

=1382.3526

Paso 4: Calcular el numerador del estadístico W de prueba, el cual llamaremos b: k

b = ∑an−i +1 ( X n−i +1 − X i ) i =1

Donde k es el valor del total de observaciones (n), dividida por 2. En el caso de que la división no de exacta se elige el entero superior Para nuestro caso será k = 16/2 = 8. Por lo tanto b será el resultado de:

b = a16 ( X 16 − X 1 ) + a15 ( X 15 − X 2 ) + ... + a9 ( X 9 − X 8 ) Los valores de a16, a15, a14, a13, a12, a11, a10, a9, se obtendrán de la siguiente tabla

n-1+i 10 9 8 7 6 5 4 3 2

2

0.7071

3

0.7071 0.0000

4

0.6872 0.1677

5

0.6646 0.2413 0.0000

Valor de n 6

0.6431 0.2806 0.0875

7

0.6233 0.3031 0.1401 0.0000

8

9

0.6052 0.6134 0.0174 0.0561

0.5888 0.3244 0.1976 0.0947 0.0000

10 0.5739 0.3291 0.2141 0.1224 0.0399


n-1+i 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6

11

0.5601 0.3315 0.2260 0.1429 0.0695 0.0000

12

0.5475 0.3325 0.2347 0.1586 0.0927 0.0303

13

14

0.5359 0.3325 0.2412 0.1707 0.1099 0.0539 0.0000

Valor de n 15

0.5251 0.3318 0.2460 0.1802 0.1240 0.0727 0.0240

16

0.5056 0.3290 0.2521 0.1939 0.1447 0.1005 0.0593 0.0196

0.5150 0.3306 0.2495 0.1878 0.1353 0.0880 0.0433 0.0000

17

18

0.4968 0.3273 0.2540 0.1988 0.1109 0.0725 0.3590 0.0000

0.4886 0.3253 0.2553 0.2027 0.1587 0.1197 0.0837 0.0496 0.0163

19 0.4808 0.3232 0.2561 0.2059 0.1641 0.1271 0.0932 0.0612 0.0303 0.0000

Reemplazando los respectivos valores obtenemos:

b = 0.5056(15.4203 − ( - 17.3786 ) ) + 0.3290(13.8777 − ( - 9.6637 ) ) + ... b = 36.1971 Paso 5: Calcular el estadístico W de prueba:

W =

b2 n

∑(X i =1

W =

i

− Pr omedio) 2

( 36.1971) 2 1382.3526

= .9478


Paso 6: Comparar el estadístico W de prueba contra el valor crítico obtenido de la tabla que a continuación presentaremos. Tome en cuenta que cuanto más cercano a uno sea el valor de W calculada, los datos se aproximan mejor a una Distribución Normal. Es por eso que si W de prueba es mayor que W crítica (la que se obtiene de la tabla) se acepta Normalidad

Valores de W tabulados para una Prueba de Shapiro & Wilks

N 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

0.01 0.753 0.687 0.686 0.713 0.730 0.749 0.764 0.781 0.792 0.805 0.814 0.825 0.835 0.844 0.851 0.858 0.863

Nivel de Significancia del 0.05 0.767 0.748 0.762 0.788 0.803 0.818 0.829 0.842 0.850 0.859 0.866 0.874 0.881 0.887 0.892 0.897 0.901

0.10 0.789 0.792 0.806 0.826 0.838 0.851 0.859 0.869 0.876 0.883 0.889 0.895 0.901 0.906 0.910 0.914 0.917

Para nuestro caso el valor crítico para un nivel de significancia del 5% y una N de 16 observaciones el valor es de 0.887. Dado que W calculada es de 0.9478, la cual es mayor que W crítica. Se puede decir que los errores de los pronósticos siguen una Distribución Aproximadamente Normal Independencia de los errores Aparte de la prueba de normalidad es necesario que los errores no estén correlacionados, para ello se puede realizar observar la Función de Autocorrelación de los errores. En el caso de estas correlaciones habrá independencia si ninguna correlación es significativa


Función de autocorrelación para C1 (con límites de significancia de 5% para las autocorrelaciones) 1.0 0.8

Autocorrelación

0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 1

2

3

4

5

6 Desfase

7

8

9

10

11

Intervalos de confianza para el pronóstico Además del pronóstico propiamente en un conjunto de datos en series de tiempo. Si el modelo cumple con los dos supuestos anteriores se puede construir un intervalo de confianza para el pronóstico. El cual será válido para una muestra grande (al menos 30 observaciones). A continuación la ecuación que define el intervalo de confianza:

LI = YPRONOSTICADA − Zα / 2 ( EEYˆ ) LS = YPRONOSTICADA + Zα / 2 ( EEYˆ ) EEYˆ =1.25 * DAM

EJEMPLO ILUSTRATIVO: Suponga que se empleo un modelo de Suavizado Exponencial Simple para pronosticar las ventas de periódicos para la siguiente semana. Para ello tiene recogido los datos de las ventas de los últimos 30 lunes, 30 martes, … Una vez se realizaron los respectos análisis a los supuestos se encontró que los errores presentan normalidad e independencia. Para el siguiente lunes se obtuvo que el pronóstico de venta para el Supermercado Kung Fu es de 35 ejemplares, con una desviación absoluta media de 3.256. Encuentre el intervalo de confianza para el pronóstico con un nivel de confianza de 95% EEYˆ = 1.25 * DAM = 1.25 * 3.256 = 4.07

LI = 35 −1.96 * 4.07 = 27.0228 LS = 35 + 1.96 * 4.07 = 42.9772

Por lo tanto, se debe esperar que la cantidad a vender el próximo lunes es un valor ubicado entre 27 y 43 ejemplares, con un nivel de confianza del 95%

Pronosticos para negocios [teoria]  
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