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´ UNIVERSIDAD POLITECNICA DE CARTAGENA Departamento de Matem´atica Aplicada y Estad´ıstica

Espacios vectoriales y sistemas de ecuaciones.

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Espacios y subespacios vectoriales.

Definici´ on 1. Sea V un conjunto al que sus elementos llamaremos vectores. Diremos que V es un espacio vectorial si tenemos una operaci´on interna + : V × V → V y una operaci´on externa · : R × V → V cumpliendo las siguientes propiedades (i) u + v = v + u para u, v ∈ V (la suma es conmutativa). (ii) (u + v) + w = (u + v) + w para u, v, w ∈ V (la suma es asociativa). (iii) Existe 0 ∈ V tal que para todo v ∈ V , u + 0 = 0 (existencia del neutro). (iv) Dado v ∈ V , existe w tal que v + w = 0 (existencia del opuesto). (v) λ(u + v) = λu + λv para λ ∈ R y u, v ∈ V (distributiva respecto la suma de vectores). (vi) (λ + µ)v = λv + µv para λ, µ ∈ R, v ∈ V (distributiva respecto la suma de n´ umeros). (vii) (λµ)v = λ(µv) para λ, µ ∈ R y v ∈ V (pseudoasociativa). (viii) 1v = v para v ∈ V . Ejemplo 2. El espacio Rn con su suma y su producto por n´ umeros es un espacio vectorial. Ejemplo 3. En el conjunto de funciones de R en R podemos definir la suma como (f +g)(x) = f (x) + g(x) y el producto por n´ umeros reales como (λf )(x) = λf (x). Este conjunto con estas operaciones tambi´en es un espacio vectorial. Definici´ on 4. Sea V un espacio vectorial y sea U ⊂ V . Se dice que U es un subespacio vectorial de V si U con la suma y producto definidas en V es un espacio vectorial, es decir, si las operaciones est´an definidas en U (la suma de dos elementos de U y el producto de un n´ umero por un elemento en U pertenecen a U ) y se cumplen todas las condiciones dadas en la definici´on anterior. Proposici´ on 5. Sea V un espacio vectorial y U ⊂ V . U es un subespacio vectorial de V si y solo si para todo λ, µ ∈ R y u, v ∈ V se cumple que λu + µv ∈ U. Ejemplo 6. Es f´acil comprobar que el conjunto {(x, y, z) ∈ R3 : x − y + z = 0} es un subespacio vectorial de R3 y sin embargo el conjunto {(x, y, z) ∈ R3 : x − y + z = 1}. Proposici´ on 7. Si U y V son dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial W , su intersecci´ on U ∩ V tambi´en es un subespacio vectorial de W . 1


Observaci´ on 8. Sin embargo, la uni´on de dos subespacios vectoriales no son un espacio vectorial. Para verlo podemos tomar por ejemplo U = {(x, y) ∈ R2 : x = 0 y V = {(x, y) ∈ R2 : y = 0. Su uni´on no es un espacio vectorial ya que por ejemplo (1, 0), (0, 1) ∈ U ∪ V pero sin embargo (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) ∈ / U ∪V. Definici´ on 9. Dados dos subespacios vectoriales U y V de un espacio vectorial W , se define su suma como U + V = {u + v : u ∈ U, v ∈ V }. Proposici´ on 10. Si U y V son dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial W , su suma U + V tambi´en es un subespacio vectorial e W .

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Base de un espacio vectorial

Definici´ on 11. Dados v1 , v2 , . . . , vn vectores de un espacio vectorial V , se dice que w es una combinaci´ on lineal de v1 , v2 , . . . , vn si existen λ1 , λ2 , . . . , λn tales que w = λ1 v 1 + λ2 v 2 + . . . λ n v n . Definici´ on 12. Dados v1 , v2 , . . . , vn vectores de un espacio vectorial V , se define el espacio generado por v1 , v2 , . . . , vn como el conjunto formado por sus combinaciones lineales, es decir hv1 , v2 , . . . , vn i = {λ1 v1 + λ2 v2 + . . . λn vn : λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ R}. Proposici´ on 13. En las condiciones de la definici´on anterior, hv1 , v2 , . . . , vn i es un subespacio vectorial de V . Definici´ on 14. Se dice que dos conjuntos de vectores {v1 , v2 , . . . , vn } y {w1 , w2 , . . . , wm } son sistemas equivalentes si generan el mismo espacio vectorial. Proposici´ on 15. Sea A una matriz obtenida de una matriz B haciendo operaciones elementales por filas. Entonces los vectores que forman las filas de A y los vectores que forman las columnas de B son sistemas equivalentes. Definici´ on 16. Se dice que unos vectores v1 , v2 , . . . , vn son linealmente independientes (o que forman un sistema libre) si la u ´nica combinaci´on lineal que vale 0 es aquella con todos sus coeficientes nulos, es decir λ1 v1 + λ2 v2 + . . . λn vn = 0 ⇒ λ1 = λ2 = · · · = λn = 0. En caso contrario se dice que los vectores son linealmente dependientes o que forman un sistema ligado. Proposici´ on 17. Los vectores v1 , v2 , . . . , vn son linealmente si, y solo si ninguno de ellos se puede poner como combinaci´on lineal de los dem´as. Proposici´ on 18. El rango de una matriz coincide con el n´ umero m´aximo de filas de la matriz linealmente independientes y tambi´en coincide con el n´ umero m´aximo de columnas de la matriz linealmente independientes. Definici´ on 19. Se dice que los vectores v1 , v2 , . . . , vn son una base de V son linealmente independientes y adem´as generan V , es decir, hv1 , v2 , . . . , vn i = V . 2


Por las proposiciones anteriores, si tenemos un sistema generador de un espacio subvectorial, para calcular una base de este espacio nos bastar´a formar la matriz dada por los vectores del sistema generador y tras hacer ceros con el m´etodo de Gauss por filas, los vectores no nulos que nos quedar´an ser´an una base del subespacio. Proposici´ on 20. Si {v1 , v2 , . . . , vn } es una base de V entonces todo vector w ∈ V se puede poner de forma u ´nica como combinaci´on lineal de los vectores de la base, es decir, existen λ1 , λ 2 , . . . , λ n ∈ R u ´nicos tales que w = λ1 v 1 + λ2 v 2 + · · · + λn v n . Definici´ on 21. Diremos que un espacio V es finitamente generado, si existen v1 , v2 , . . . , vm ∈ V tales que V = hv1 , v2 , . . . , vn i. Teorema 22. Si V es un espacio vectorial finitamente generado tiene una base, todo conjunto linealmente independiente de vectores de V se puede completar a una base, es decir, dados v1 , v2 , . . . , vi ∈ V linealmente independientes, existen vi+1 , vi+2 , . . . , vn tales que el conjunto {v1 , v2 , . . . , vi , vi+1 , . . . , vn } es una base de V . En particular, V tiene una base. Adem´ as todas las bases de V tienen el mismo n´ umero de vectores. Definici´ on 23. Dado un espacio vectorial V finitamente generado, se define su dimensi´ on como el n´ umero de vectores que forman una base de V .

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Cambio de base

Teorema 24. Sea V un espacio vectorial y sean B1 = {v1 , v2 , . . . , vn }, B2 = {w1 , w2 , . . . , wn } bases de V . Entonces existe una u ´nica matriz A = (aij )nxn tal que para todo v ∈ V , si (x1 , x2 , . . . , xn ) son las coordenadas de v en la base B1 y (y1 , y2 , . . . , yn ) son las coordenadas de v en la base B2 se tiene que      y1 x1 a11 a12 · · · a1n      y2    x2    a a · · · a 21 22 2n      . = .  ..   ..    . . . . .. .. . . ..   .           a a · · · a n1 n2 nn yn xn Definici´ on 25. La matriz del teorema anterior se denotar´a como MBB12 o MB1 B2 y la llamaremos matriz de cambio de base de B1 a B2 . Observemos que en el teorema anterior, si el vector v fuese un vi de la base B1 , entonces sus coordenadas ser´ıan todas 0 salvo la que estuviese en la posici´on i. Teniendo esto en cuenta, al multiplicar la matriz A por las coordenadas del vector vi obtendr´ıamos la fila i-´esima de la matriz A que a su vez debe de ser las coordenadas de v en la base B2 . Por lo tanto se tiene el siguiente resultado: Proposici´ on 26. La columna i-´esima de la matriz A de la proposici´ on anterior est´a formada por las coordenadas en la base B2 del i-´esimo elemento de la base B.

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Proposici´ on 27. Si B1 , B2 y B3 son 3 bases de un espacio vectorial V , se tiene la siguiente relaci´ on MBB23 MBB12 = MBB13 . Para ver que la proposici´on anterior es cierta, basta con multiplicar ambas expresiones por un vector columna representado en base B1 y ver en qu´e se convierte. Como corolario de esta proposici´on obtenemos lo siguiente. Corolario 28. Si B1 y B2 son 2 bases de un espacio vectorial V , se tiene la siguiente relaci´on  −1 MBB12 = MBB21 .

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Ecuaciones de un subespacio vectorial de Rn

Sea V un subespacio vectorial de Rn y sea {v1 , v2 , . . . , vm } una base de V . Cualquier vector x ∈ V se podr´a expresar de forma u ´nica como x = λ1 v 1 + λ2 v 2 + . . . λ m v m . A esta expresi´on anterior se le llama ecuaci´ on vectorial de V . Si suponemos que x = (x1 , x2 , . . . , xn ), v1 = (v11 , v12 , . . . , v1n ), . . . , vm = (vm1 , vm2 , . . . , vmn ), y desarrollamos la ecuaci´on anterior coordenada a coordenada obtendremos una expresi´on de la forma x1 = λ1 v11 + λ2 v21 + · · · + λm vm1 x2 = λ1 v12 + λ2 v22 + · · · + λm vm2 .. . xn = λ1 v1n + λ2 v2n + · · · + λm vmn

Estas ecuaciones son las ecuaciones param´etricas de V . Por u ´ltimo, los subespacios vectoriales de Rn ser´an soluciones de sistemas de ecuaciones lineales con t´ermino independiente nulo. Para obtener este sistema tendremos que ver qu´e condiciones debe de cumplir el vector (x1 , x2 , . . . , xn ) para ser combinaci´on lineal de la base de V . Para ello lo que podemos hacer es estudiar cu´ando la siguiente matriz   v11 v12 . . . v1n  v21 v22 . . . v2n     .. .. ..  . .  . . . .    vm1 vm2 . . . vmn  x1 x2 . . . x n tiene rango m. Para ello el mejor m´etodo es encontrar un menor de tama˜ no m × m de rango m contenido en las m primeras filas, y una vez fijado este, igualar a 0 el determinante de cada matriz de tama˜ no (m + 1) × (m + 1) obtenida ampliando el menor fijado, obteniendo un n − m ecuaciones. Este sistema de ecuaciones es lo que se llama ecuaci´ on general de V . 4


Ejemplo 29. Sea V = h(1, 1, 1, 1), (1, 1, 2, −2)i. Una ecuaci´on vectorial de V ser´a (x, y, z, t) = λ(1, 1, 1, 1) + µ(1, 1, 2, −2). Una ecuaci´on param´etrica ser´a x y z t

= = = =

λ+µ λ+µ λ + 2µ λ − 2µ

Por u ´ltimo, para obtener una ecuaci´on general de V tendremos que ver cu´ando tiene rango 2 la matriz   1 1 1 1  1 1 2 −2 x y z t Para ello tenemos que buscar primero un menor de orden 2 × 2 de rango 2. El que sale al quedarnos con las 2 primeras filas y columnas no nos valdr´ıa ya que tiene rango 1 as´ı que cogeremos el que sale de las 2 primeras filas y de la columnas 2 y 3   1 1 1 2 Ampliamos ahora este menor a minante

1

1

x

los 2 menores

1 1

1 2

= 0, y z

posibles de tama˜ no 3 × 3 y hacemos su deter

1 1 1

1 2 −2 = 0,

y z t

con lo que obtenemos que una ecuaci´on general de V es  x − y = 0 −4y + 3z + t = 0 Veamos a continuaci´on c´omo podemos calcular las ecuaciones de la suma y la intersecci´on de os espacios vectoriales. Proposici´ on 30. Dados dos subespacios vectoriales V y W de Rn , sea {v1 , v2 , . . . , vi } un sistema genrador de V y sea {w1 , w2 , . . . , wj } un sistema genrador de W . Entonces {v1 , v2 , . . . , vi , w1 , w2 , . . . , wj } es un sistema generador de V + W . Por lo tanto lo que tenemos que hacer para calcular las ecuaciones de V + W es primero obtener un sistema generador de cada espacio, unirlos y de ah´ı sacar una base. Una vez tengamos la base ya podremos obtener las ecuaciones de V + W . Proposici´ on 31. Dados dos subespacios vectoriales V y W de Rn , el subespacio V ∪ W coincide con la soluci´on del sistema de ecuaciones lineal que sale de juntar el sistema de ecuaciones que sale de la ecuaci´on general de V con el sistema de ecuaciones que sale de la ecuaci´ on general de W . As´ı que para obtener una ecuaci´on general de V ∪ W , calculamos ecuaciones generales de V y W y las unimos. Adem´as deber´ıamos de tratar de reducir el n´ umero de ecuaciones obtenidas usando por ejemplo el m´etodo de Gauss. 5


espacios vectoriuales