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Matemรกticas

1


Dirección de contenidos educativos

Felipe Ricardo Valdez González Autores

Hugo Balbuena Corro, David Block Sevilla, Silvia García Peña Gerencia de publicaciones escolares

Agustín Pérez Allende

Gerencia de desarrollo de producto

Jesús Arana Trejo

Coordinación ejecutiva de secundaria y bachillerato

Áurea Ireri Madrigal Mondragón

Edición

Cristóbal Bravo Marván

Coordinación de corrección

Abdel López Cruz Corrección

Ilah De La Torre

Dirección de arte y diseño

Quetzatl León Calixto Diseño de la serie

Equipo SM

Diseño de portada

Claudia Adriana García Villaseñor Coordinación Gráfica

César Leyva Acosta

Diagramación

Martha Angélica Ramos Gómez Ilustración de interiores

Ismael Vázquez Eduardo Hernández Pablo Guzmán

Coordinación de iconografía e imagen

Ricardo Tapia García

Iconografía

Zyanya Zavaleta Ortiz Digitalización e imagen

Carlos A. López Fotografía

©iStock, 2018, © AFP, 2018, Archivo SM, Carlos Vargas Archivo digital

Lilia Alarcón Piña

Tecnología editorial

Josué Lara Cortés

Producción

Valeria Salinas, José Navarro

Matemáticas 1. Secundaria. Conecta Más. Primera edición, 2018 D. R. © SM de Ediciones, S. A. de C. V., 2018 Magdalena 211, Colonia del Valle, 03100, Ciudad de México, México Tel.: (55) 1087 8400 www.ediciones-sm.com.mx ISBN En trámite Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro número 2830 No está permitida la reproducción total o parcial de este libro ni su tratamiento informático ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright. La marca Ediciones SM® es propiedad de SM de Ediciones, S. A. de C. V. Prohibida su reproducción total o parcial. Impreso en México/Printed in Mexico Matemáticas 1. Secundaria. Conecta Más. Se terminó de imprimir en


Presentación A los alumnos y a sus familias, ¡bienvenidos a Conecta Más! Conecta Más es un nuevo proyecto educativo integral, que está presente en varios países de Iberoamérica construyendo comunidad. Conecta Más ofrece a los alumnos oportunidades para aprender más, mejor y de manera diferente los contenidos de las asignaturas del currículo oficial. Este proyecto se basa en un modelo de educación para la vida, sobre el que se construyen las actividades con las cuales se desarrollan las diferentes dimensiones de la persona. Para Conecta Más, los aprendices del siglo xxi requieren adquirir no solo los conceptos y procesos tradicionales, sino desarrollar estrategias para aprender a pensar, para trabajar y para vivir plenamente en el mundo. Esto es lo que hace de Conecta Más un proyecto emocionante y divertido, que los impulsa a aprender y comprender para tomar decisiones. El proyecto Conecta Más, asimismo, está pensado para que las escuelas se conviertan en zonas de reflexión sensibles a las necesidades particulares de todos; que estén llenas de un espíritu enérgico que centre a toda su comunidad —directores, docentes, padres y madres de familia y alumnos— en los procesos de enseñanza y aprendizaje que giran en torno al pensamiento y a la formación valoral. Además, el proyecto incorpora tecnología, de modo que las actividades y los contenidos interactivos enriquezcan las clases y faciliten, tanto a aprendices como a profesores, la comprensión de lo fundamental. Todo lo anterior se presenta en un rico entorno gráfico, atractivo y artístico, que constituye un ambiente propicio para crecer y desarrollarse. En los libros impresos y en los cibertextos (libro digital) de Conecta Más hay contenidos, textos, actividades, cápsulas, talleres, entre otras secciones, que favorecen la aplicación de lo aprendido en una diversidad de contextos. Nuestro deseo es que disfruten Conecta Más tanto como nosotros lo hemos hecho al construirlo.

3


Guía de uso SECU

ENCI

9

A

Traz o

cerc ha: es

tructur sirve de a constru soporte pa que ra la cción de te ch arcos y bóve os, das.

Secuencias didácticas Se identifican con un nombre y un número; el nombre alude al tema que se va a estudiar. Cada secuencia está formada por varias lecciones en las que se desarrollan los contenidos matemáticos.

trián

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Lecc

a) Si 3m n ha cer cá si se lculos eligen ni tr y un azos tres a tip , estim tipos o C). de ba a rra cu si siempr e es ales quie posi ra (p ble fo b) Co or ej empl rmar un rta tir triáng o, do as de cent s ba ulo pape ímet rras l qu ro) y tipo e sim úsal A as pa ulen ra fo las ba rmar Con la triáng rras (repr s barra esen ulos . Com ta ca s… da m pleta etro la si A, B y gu co n iente C ¿Se tabla. un

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A, C y A, B y B, C y C, D y A, A y

75-alu

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Dibujos a escala

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D

para contestar Considera la tabla no calcules tolas preguntas, pero s faltantes. davía las medida

Áreas verdes

A

C

26.

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B, B y C ❋ Va lida los re a las sulta tern dos as de con nece tus co med sario idas mpa que con llegu las qu ñeros. En en a tre to una e sí se pu conc dos lusión com ede ente cons ). n truir triáng qué dist ingu ulos e (aún no es

72

qué

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cada 3 de de ente a es adam rdid xim go. , la pé apro de rie mpo cian el ca erdi ritos desp n; en s dist ico se stribució ión en lo ? éx M di mpo filtrac es de aliza d de el ca udad s en la re 1. An n y la o en ació les ci ades cipa a falla la evapor ciud s prin , debido n las . a de En la ua agua ua: ¿e caus de ag ás ag d del 2 L, a 10 L cia m r cada la mita erdi po cia L sp 1 de sperdi e se se de dónd pues plica mpo, a) Ex

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¿Para qué se usan los dibujos a escala?

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usar án ba com rras o la de m que ader se m a de uest varia ra. s med A id

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72

SECUENCIA

Lecc ión 1. Se

17:35

Estacionamiento

más grandes a) ¿Qué copias serán l? que el dibujo origina

es?

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onde

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17

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17:36

62 Centro comercial

será b) De esas, ¿cuál grande?

la copia más

Lecc

ión 25

Dibujo original

Copia 1

Lado A

6

12

Lado B

6

copia 5 se obtienen sumando 3 a las de la original?

Lado C

Copia 2

Copia 3

En la figura original, D mide lo doble que C. las ¿Sucede lo mismo en demás copias?

Copia 5

Copia 6

Películ

12

Costo

4

Lado D

8

Lado E

12

Regl a de

20

2. Calcula las medida

9

6

s de los lados de

las copias

l, E es

a) En el dibujo origina

Costo Regl a de

la tabla. 1 y 5, y anótalas en

1 y 5 a partir de las

en tus copias?

Regl a de

dos copias?

MÁS

b) En el dibujo origina

las y 5 no cumplen con ❋ Si tus copias 1 error y corrígelo. gua dónde está el

cia:

B: $3

Abono

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13/12/17 20:52

no 48

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Actividades Problemas que animan a pensar para encontrar vías de solución, tareas para desarollar fuera del libro y ejercicios para consolidar lo aprendido. Las modalidades de trabajo se indican mediante iconos:

60°

ia Polon 260

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de un y más la do ha Cuan repite s, que se d de vece dato da r canti a moda; mayo s de un hay má un conjunto cir, tener es de puede tos das. de da más mo dos o

MÁS

a: Mod s; es etro rám os pa n es rdo co ? acue que iana n de : dato med levisió y la metro enta para a te od pará cu ia: poca , la m ne en lorar una Med ha o edia se tie muc la m r o va ven ho de íses analiza n. uc pa m ué s situació b) ¿Q , se alejan ral le cent decir n: 15 ETO encia esos levisió tend MPROM ha te ve en ida de muc e se ME CO evisión Ven é med sión qu la tel n: n qu televi uso de juegos. ente levisió No ab Com eo ca te ad de . o. id po as ino st un los vid cant Ven spue ni de n, los comb des r cada tar la so tus re en vi bie a s le es te lid activida Má repr tiviudio, o, va ve el la ac para grup ario con est labores útil las de po di ❋ En ce más sy con tiem física cas. nlas pare ánto sti páre n cu s. domé com igue paíse a, y íses? vest od pa In m o. os 15 y la grup n es iana a en do co med abaj para 4. Tr ia, la com med sión n la televi lcule rior. poca a) Ca ante ha o dad muc ven e qu eran onsid b) ¿C

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EA En un mism S o plano carte sia traza no es posib r las grá le que co fic rrespon as difere de na ntes va un mi ria smo fen ntes de esta ma ómen o. De ne ra comp es po sib ara y tom rlas visua le lm ar cie rtas de ente cision es.

características anterio

Actividad de inicio de secuencia Sirve para identificar el contenido matemático que trabajarás y para recuperar conocimientos previos que te serán útiles durante el desarrollo de la secuencia.

nden

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as vis total

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tas (x ) total (y)

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Películ Costo

e lo mismo en tus l, C + D = A + B. ¿Ocurr

A: $6

nden

medidas que calcu-

A y B. ¿Esto sucede igual a la suma de

ráfica

as vis

Abono

Películ

identificaron la copia ñero. Comenten cómo

copias cuadriculado, las 3. Dibuja, en papel ad anterior. laste en la activid

La g

.

1. Tr abaj a co n un de co com rrespo pañe nden cia en ro. Anot en, en tre am cada bas cant tabla, idad los da Abono es. tos Fe

9

stas con un compa ❋ Valida las respue más grande.

DESCUBRO MÁS

Copia 4

os

El lado B de la copia 5 que mide 3 unidades más (9 el lado B del original contra 6). ¿Esto significa que las medidas de la

en pes

DESCUBRO MÁS

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ica 2 mo si Técn os co mer s nú : an lo cimal tiplic o de mul punt • Se an er vi no tu l s de = 56 spué o 7×8 s de mer s cifra ese nú : tan la ctores y to cuen oduc los fa el pr • Se o de ne en po punt se fras de ci 6 0.05

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8_ ×__ __7__ 8 _ = 10 × 100 7 × ___ ___ 100 10

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= 1 000

Núm

Taller de matemáticas Actividades para integrar lo aprendido durante la secuencia y afianzar las ideas más importantes de ella. Puedes trabajarlas en casa (como tarea o para preparar un examen).

r de Talle

ero, álge bra y varia ción • Propor s ru edas ciona una G, H lidad e I, e

ticas

má mate

4. La

la fid de I está tres. a. unida n en cada la copi gran e que a adas des en a) ¿Q suelv . Cu nifica unida ué ru 1. Re ando 1 sig n 0.6 eda e la G da 0.6 a rresponde es la nor qu cuat may escala le co r o me ro vu or? al a) La yo in eltas, orig es ma ¿Y la gura H co copia men ¿la mpl or? eta escala, n esa ¿Cóm Co b) Co • o lo mpl sabe et al? s? in a la ta porc orig bla y iona escala? figura de la lid an or ota lo ad. . que en el fact s fact .3c)km lado 23 uál es ó ¿C or un ¿C rri es de uánt • co copia prota. Re en la Encu os diente una pis mide entr s po as en a al ? uánto dría men z vuelt .5 cm • ¿C tene os do × __3 de 25 rrer die cada • Pr s solu r Á al mi 4 s de co imer origin ci M S rueda? despué a so BRO onquese . lución carrera CU la ES ? so . D G: cada pe G • Se a ganó ben 5. la pista r gu.2 , H: se de $2 a atlet a de nda Si po H banco , ca b) Un solu pagar a vuelt a? I: ❋deVa ción presta el berá 4 de un , signifi r I 1 de vuelt . mi __ os lid .25 G: o ga añ $2 a tu s uánt 1 con 10 s resp pagar , H:cesario pa d guie de tre • ¿C ne nte re uest recorre dentro 3 I: ida as co que es ia se la ca, nt cuad 1 José, taron? stanc n el doble de 1 ro. nco a presAp ué di elresto , más __4. el ba • ¿Q que le licar del gr be pagar presta estada de lo el le pr e 0? de up e bl .5 fa s fa se qu o. mo ctor 08 o ct l do $5or peso es × men de pr ¿Cuánt por préstaCo.00 nos de mo de a y × __1 ten r cada opor e o me la in présta banco , de $500 c) Po l dobl form rre. b (este úl cionalidal por un ad $400.00 0? ació timo más de e reco s años n de 0.0 equi de × b__a 00 agará km qu l sir en tre $1 equi vale 10 • ¿P Ta0 ll y de a divi vale a ap er de r cada devolve dir en licar lina po deberá m so o ? suce ga tr nt a e km uá temá b). L de siva • ¿C En0 ca men de1.25 ti e 8.24 do da ca te lo um rri ta s ns co bla se s factor un re vil co 85 indica es de tomó rá en au sta n propor las vu le ga d) Un ciona eltas ustib 2 L? lidad de tre comb n 65.9 . s rued rá co uánto as en • ¿C recorre granad 53 etros as. Co 13/12/17 20: kilóm mplét uántos alas y • ¿C anota los J as. oblem los pr

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3

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12

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Núm

ero, álge bra y varia ción Las ex • Ecuacio pres nes ione des s alge (tien en el braica se re sign s de pres o =) enta la ac incógn en la n co tivid itas. s qu ad 2 Por ah n literal e ha se lla es (le y un or man a, aom tras). 3. Pa solo ecua ra ca ás ca A la se tr cione s cant abaj da un ntid s y so núm arán ades idad n igua ero qu a de la ecua desc es de s ecua ldacion onoc ple. e scon enco es co cion El in idas ocid ntra es de n un ciso que ron a incó as se les c) es la ac en la tá re llam tivid gnita activ suel a) a ad 2, . idad to. sust 1 y ve rifiqu ituyan la en qu incó c) 12 gnita e la y = 96 igua por ; 12(8 ldad el ) = 96 se cu b) ; 96 e) m= 96 d)

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97

tesis se us tamb an ién multi para indica plicació r lo mi smo qu n: 8(12) es e8× 12.

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DESCU

BRO En un MÁ reloj, el engr S de la mane cilla de anaje horas las av 1 cuando anza __ 12 de vuelt el de a 1 vuelt los a. ¿Cuá minutos, dient nt os es po dría cada engran tener aje?

97

❋ En grup

x

Ecuaci ón

o y co n ay uda Reso del pr lver ofes una or, an de ha ecua alicen cerlo ción ejem es m la si sign edia guie plo, nte “e ifica enco en la nte in ecua l cam form nt ción ació ino de rar el va n. lor de regres la in • el o co cógn cam n las ita. Un ino de oper x acio __ a man ida co • el nes cam 3 − 15 = mienz era inve ino de 24 rsas a … en x, 15, se ”. Po regr se di r mul vide tiplic eso (con 117. entr las op a po Este e 3, se r3y núm er ac se ero es ione resta llega s inve 4. Le 15 y la so al va e ca se rs lu lo as ción llega da ad r de ) com de la grises la in a 24 iv ienz . cógn ecua a indica inanza en 24 ita, qu ción y an das n el , se su . seña ot e en cam ma lan el este ino de a en los caso cam recu ida, es ino de adro que a) Pi s lo perm regres enso que ite fo o qu un corr rmul por e sirv núm espo 4, re ar la e pa nde. sto 13 ero, lo ec ra ¿Qué La ua enco s fle mul ción y el núm ntra tiplic chas resu ero pe r la so . Las an o ltado aran lución nsé? b) Pi es 15 jaenso . . ÷4 un por núm 3, le er 9.8. ¿Q sumo 2. o, lo m + 13 ultip 3 y el ué nú lic o resu mer ltado o pe nsé? ×4 es

15

17

− 2.3 ×3

ón

21:01

Conceptos Cuando es necesario, aparecen resaltados los conceptos, algoritmos o información importante.

÷3

y

− 13 Resol uc el cam ión media ino de nte regres o Ecuaci

184289

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41

Núm

ero, álge bra y varia ción • Propor com ciona prar paga lidad una r, ad emás mercanc de 16 ía o del pr % de cont l tota ecio rata , un l. r un impu serv a) De esto icio, term llam en m ina, ado ucho para impu s ca cada esto sos prod al va debe ucto lor ag mos , el pr rega do (IV ecio Reprod co A), n IVA uctor Precio y an de Bl sin IV ót ualo en ray A ($) Tablet la ta a bl Precio 2 400.0 a. Bocin con IV 0 a A ($) Bl uetoot 9 000.0 Reprod h 0 2 784.0 uc b) En 0 de M tor el re 1 600.0 P3 cuad 0 za la ro se info expl 4 000.0 rmac ican 0 ión y dos Métod man haz lo qu eras o1 de ca e se Se ca pide lcular lcula desp 16% tor de los pr ués. del pr ecio Blus con ecio ray m sin IV IVA. ás $3 Anal A y se 84.0 Métod i0 de o impu suma, po Se ca 2 esto r ejem lcula da $2 plo, de $2 direct 784. $2 40 00. 400. 0. am 00 de 00 = l repr 2 400 ente 11 6% od × 1.16 ucdel = $2 valo c) Vu 784. r de elve 00. l pr a ca oduc que to, po no ha lcular el r ej yas resu empl usad precio co ltado o, 11 o la s. 6% prim n IVA de 4. Co er ca a ve mpl z y ve da prod eta la ucto rifica tabla. us que se ob ando un teng an lo método s mis Sala mos

41

3. Al

13/12/

17

21:20

Puestas en común Dinámicas grupales para comparar o validar respuestas y explicar o justificar métodos de resolución.

Precio sin IVA ($ )

Comed

or

16 00

0.00

IVA (16% ) Precio co IVA ($ n )

Recám

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10 80

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Escrito

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1 600.0

0

❋ En grup o, co torio . Com mpleta el si ente guie n si 1 856.0 nte m es si 0 • Ll ét mila 6 032.0 amam r al qu odo pa ra ca 0 os x e us lcular al pr tede ecio s usar el pr • x sin IV ecio on. + 0.16 sin IV A. En x = $1 tonc A de 856. es l escr 00; 1. x + 16 • De i16x = %x = spej $1 85 amos 6.00 :x=

DESCU

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A un cliente O MÁS le escrito rio tie dicen “Este ne un de 20 a reb %, aja en efe pero si lo pa cti rebaja vo, le hago ga de 15 otra %”. formas de int Hay dos que dic erpret ar lo e convien el vended or, un e más que la al clien a ot esas do ra. ¿Cuáles te s mane son ras?

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-062-0

71-alu

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69

69

14/12/

17

17:36

5


CÁPSULAS En tu libro encontrarás diferentes cápsulas que amplían la información del contenido estudiado.

En contexto Preguntas que incitan la observación y el análisis de tu contexto.

Lecc

Adem ás de la ¿qué otras “taza”, unida de ca des pacid ad se usan en la cocin a?

ión 3.

1. An

ota,

¿Cuá

ntas

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2. Us

Descubro Más Preguntas para ampliar lo aprendido y desarrollar el pensamiento matemático.

Tic Más Sugerencias de páginas web y actividades que fortalecen tu aprendizaje.

DESCU

BRO

De las MÁS fracc ion marca das en es ¿con cuále la taza, s no el proc edimien funciona lecció n anter to 1 de la ior?

SECUENCIA

4

Jerarquía de operaciones Lección 12.

Un convenio matemático

16

1. Trabaja en equipo. Analicen la información y respondan.

MÁS IDEAS Al escribir cantidades de dinero, se suele incluir dos cifras después del punto decimal (centavos o centésimos de peso); por ejemplo, $6.20 en lugar de $6.2 o $3.00 en lugar de $3.

184289

-012-0

La mamá de Roberto comprará tamales para el desayuno: 3 de mole, 2 de rajas con queso y 4 de dulce. Cada tamal cuesta $7.50.

a el proc expr edim esió iento n co 1 de n pu la le nto de cimal cción an te .

3 __ 4 =

17-alu

mno-r

espues

tas

rior para 1 conv __ ertir a) ¿C 4 = on qu las fra é fra ccio nes cció 1 __ n no en su b) Ut 8 = pudi iliza ste em el pr plea deci oced 2 __ mal. r el pr 3 = No us imiento oced 2 imie es ca ¿Qué nto 1? lculad para escr suce ibir ora. de co la fra n el ❋ Co cció __2 residu mpa n o? 3 en no del re ra las re tación spue cuad con stas ro. punt con o las de Exis ten tus co fra mpa ccio intent ñero a conv nes qu s. e Com num ertir no so ente erad las en n eq n la or en ui un vale info tre de a ex ntes rmac pres nom • el a ió ió un n in n residu con ador a fra pu , suce cció o nu siera) n de de qu nto deci nca cimal y es 0 mal e... (se po med . Cuan iant dría do se e la di • la segu expr visión ir di esió vidien de n infin do ta ita, po decimal nt as ve del co r ejem ces co cien plo: 1 __ te tie m o se ne un 3 = 0.33 qui33... a pa rte qu e se Al co repite 7 __ njun de m le lla 6 = 1.16 aner 66... ma pe to de ci a fras riodo riódi que ca. Ot . A la se re ra m expr 20 sobr ___ pite aner esió e el de 11 = 1.81 n de a de perio 81... cimal manera escr do. ibir los nú se le co infinita 1 __ desp noce mer 3 = 0.3 ués os an com del pu o ex terio presión nto res es se decim colo 1 __ cand al pe 6 = 1.16 o un a lín ea 20 ___ 11 = 1.81

16

a) Subrayen la expresión que sirve para calcular cuánto pagará la mamá de Roberto. 3 + 7.5 × 2 + 7.5 × 4 + 7.5

3 + 2 + 4 × 7.5

3 × 2 × 4 + 7.5

3 × 7.5 + 2 × 7.5 + 4 × 7.5 13/12/

b) ¿Cuánto pagará?

17

c) En un grupo, varios alumnos subrayaron la expresión 3 + 2 + 4 × 7.5; pero al efectuar las operaciones, algunos obtuvieron 67.5 y otros, 35.

Me comprometo Sugerencias de acciones para que mejores la convivencia escolar, tu proceso de aprendizaje y, en general, tu calidad de vida.

• ¿Qué hicieron los que obtuvieron 67.5?

• ¿Y los que obtuvieron 35?

• ¿Cuál consideran que es el resultado correcto? TIC MÁS Consigan una calculadora científica y hagan algunas pruebas para determinar si utiliza jerarquía de operaciones.

Para evitar confusiones, en matemáticas hay un convenio llamado jerarquía de operaciones, que establece lo siguiente. • Si en una expresión con varias operaciones hay paréntesis, se resuelve primero lo que hay dentro de ellos y enseguida se eliminan. • Después se resuelven los exponentes y las raíces (estas operaciones las estudiarán más adelante). • Luego, las multiplicaciones y las divisiones. • Finalmente, las sumas y las restas. • Cuando hay dos o más operaciones con la misma jerarquía, estas se resuelven de izquierda a derecha.

jerarquía: nivel

de importancia.

21:20

d) Comenten la información del recuadro. e) Si se considera la jerarquía de operaciones, ¿cuál es el resultado correcto de la

SECU

ENCI

1

expresión 3 + 2 + 4 × 7.5 = ? ❋ Resuelvan las operaciones del inciso a) usando la jerarquía de operaciones y corroboren si subrayaron correctamente la primera vez.

A

Conv y vic ersión d e fra ever sa ccion

34

Glosario Significado de conceptos nuevos o de palabras que en matemáticas tienen un sentido diferente al usual.

Lecc

ión 1.

184289-034-039-alumno 34

1. En

13/12/17 21:19

Dife

la ta bla se

3 A: __ 10 de un

idad

35 C: __

10 de unida

29_ E: __ de 100

24_ G: __ 5

d

unida

100 de un ida

ME CO

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rente

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Long

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2 B: __

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10 + __9_ 100 de un ida

carton cillo .

¿Cuá

d

D: 3 __ 5

decim ales

expre sar m

10 de unida

d

ás larg

F: d 10 de unida 1 d I: __ 10 de unida 24 H: __ d 10 + __6_ 100 de un idad a) Co 11_ J: __ mpl 100 de un eta la ida tiras d tercer de ca a co da re lum ngló na de 2. Tr n, cu abaj la ta ál de a en bl a an las do equi cillo terio , tijer pos s es r. Es de as, ci más cribe, nta ad tres o cu larga. para atro hesi a) Co la pa in va, es rten reja cuad tegrante tiras de s. Nec ras y cada una esita integr rectangu regla rán un lares ante grad del eq de 30 pliego uada b) Di uipo cm de de ca . vida ). Ca rton n su long da un s un en ce itud a de idad ntés y 2 esta es en imos s tiras cm de déci (obs anch mos repr erve o (u 2 cm esen y su n la na pa bdiv imag ta un ra idan en de a un al m idad ejem enos . plo). uno de lo s dé cimos c) Us en su s un sus idad resp es 30 cm uest corr as de para co espo nstr la ac ndie uir la tivid ntes s 10 3. El ad 1 . tiras cuad com de la para ra do seis ndo tabla que colo físic se m ante res: amen uest rior • de te la ra se y va rojo, ___ s pa 1 pint liden rejas ará de del cu 10 de la de tir supe adra as rfi do ci . e • de verd 1_ e, ___ 100 . • de gris, ___ 26_ 100 . • de anar anja do, 0. • de 3. amar illo, 0.08 • de . azul , 0.25 . 3 __

MPR

OMET Al tra O ba siemp jar en equip re o, aporta me esfuerz r o del pr algo a la so por oblem lución a.

16 uencia

Sec

n 54.

Lecció

an?

o sum

¿Cuánt

lo que

X

ica. se ind

Z

lulo cua Y triáng marca hoja un o solo. spués, en una mar un alo. De a) Traza Y y Z. para for y recórt ralos X, ódalos quiera y nómb y reacom gulos gulos án sus án s tre Y ta sus te, cor en Z Finalm

1. Haz

X

X

MÁS

Z

Y

∡Z?

gulos sus án marca lquiera, adas. punte ulo cua líneas triáng a otro rcan las y recort que ma bleces b) Traza do z los y C. Ha ¿Cuánto

es ∡X

+ ∡Y +

ralos A, y nómb

A B A

IDEA

El valor S un nú de las cifras mero de de posic ión. Po pende de su r ejemp el nú me lo, en tiene ro 111.111 un va cada 1 lor dif erent e. 111.111

B

100 +

10 + 1

C

1 + __ + __1 10

_ 100 + __1__ 1 000

A

12

Más libros Sugerencias de lecturas que se relacionan con los contenidos matemáticos de la lección.

C

¿Cuánto

B

S

+ ∡B +

reja. Las

∡C?

rectas

anaranja

das son

s entre

paralela

sí. 184289

-012-0

17-alu

mno-r

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12

RO MÁ DESCUB a

mide cad lo ¿Cuánto ngu de un triá ángulo ? equilátero an los sum ¿Cuánto de un agudos ángulos o? rectángul lo ngu triá

B A

C D

ROS MÁS LIBaprender más

s Si quiere tas en ulos y rec sobre áng lúdico, lee to un contex vagos. no es de n, El billar diversió y go jue Ciencia, Bosch. de Carlos 118

lumno

14-121-a

184289-1

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es ∡A

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2. Trabaj

118

Más ideas Información complementaria o sugerencias para resolver una actividad.

E

gulos r de án l un pa color azu . en con ientes respond a) Marqu los cor C? de ángu A, B y ángulos los an nto sum b) ¿Cuá

13/12/

17

uno verde os y con

os intern

altern

13/12/17

20:56

edid a

l es m

21:20

a?

s


RESPUESTAS DEL TALLER DE MATEMÁTICAS

Respuestas del taller de matemáticas Para que puedas evaluar tu desempeño y detectar en qué necesitas mejorar.

Lección 7 p. 25 1.

−6, +5, +1 a) R. T. −8, −4, −3, +3, • −12 − (−8) = −4 −8, +8 +1.2, −5, +5, −7, +7, b) R. T. −3.2, +3.2, +7.4, • +8.6 − (−3.2) = +11.8 1 1 __ 2 __ , − __2 , −2, +2, −3, +3 c) R. T. − 3 , −1, + 2 13

__ 1 __ 5 • − __3 − (+ 2 ) = − 6

−2.8 d) R. T. −15.1, +2.8, • −15.1 − (−2.8) = −12.3

Lección 9 p. 29 1.

c) 1

b) 2

a) 5

1 f) __6

1 e) __3

d) __12

1 i) __ 60

1 h) __ 10

g) __23

Lección 11 p. 33 1.

sobrino? Verificación

o recibe cada Total de barras ¿Cuánt 1 __ 9 3 __ 9

Sábado 1

1

Sábado 2

3

Sábado 3

5

5 __ 9

Sábado 4

7

7 __ 9

Sábado 5

8

8 __ 9

2. a) 1 e) __17

3.

a) 1 e) 0.1

b) 2 5 f) __7 b) 2 f) 0.45

Lección 14 p. 39 1.

a) 4 − 1 + 2 = 5 c) 5 × 1 − 2 = 3 =1 e) (5 − 4) ÷ (3 − 2)

2.

División 1 __

9 × __9 = 1

1

1÷9=9

9 × __9 = 3

3

3÷9= 9

9 × __9 = 5

5

5÷9= 9

7 9 × __9 = 7

7÷9= 9

8

8÷9= 9

3 __

5 __

9 × __9 = 8

7 __

8 __

d) 1 3 h) __4

c) 2 2 g) __5

d) 1 h) 0.75

c) 2 g) 0.4

b) 3 + 2 − 1 = 4 d) (5 + 1) ÷ 3 = 2 f) 5 − 4 − 2 + 1 = 0

Evaluac ión

Primer

b) 3 ÷ 3 + 3 ÷ 3 = 2 d) 3 + 3 + 3 ÷ 3 = 7

a) 3 × 3 ÷ 3 × 3 = 9 c) 3 × 3 + 3 + 3 = 15 3. 12 d) 9 4. c) 7 b) 3 a) 5 − 4n pesos 5. b) R. T. 4(m − n) = 4m 90 = 360 min a) R. T. 3 × 60 + 2 × 80 = 1 080 pasajeros × 13) − (20 + 4 × c) R. T. 13 × 10

period

o (Secu

1. Relac

encias

1-10)

iona las colum fracción nas. An equivale nte a cad ota, en el pa réntes a núme is, la let Fracción ro decim ra que al. corresp onde a a) __3 la 4 Núme ro decim b) __4 al 5 ( ) 0.8 125 14 c) ___ 20 ( ) 0.7 50 13 0 d) ___ 16 ( ) 0.7 600 76_ e) ___ 100 ( ) 0.7 000 ( ) 0.8 2. Anali 000 za la inf ormaci ón y ha z lo qu En una e pide. carrera de 100 metro s los com petidore s obtuv Corredo ieron los r tiempos mostrad Marcos os. Tiempo en segun Guillermo dos 19.05 Tania Diecinuev e segund os con cin co décimo Andrea s 19.60 Lorenzo Diecinuev e segund os con 15 centésimo Julia s a) Escrib 19 __1 e los 5 tiempos menor de los a mayo 19 __3 corred r. ores en 4 notación decim al y ord énalos de

224 13/12/17 21:18

no 224

184289-224-232-alum

Evaluaciones finales Actividades diversas para evaluar lo aprendido.

19

b) Ubica en la sig uiente inicial recta nu de cad mérica a uno; los tie por eje mpos mplo, de los M para corredo Marco res. Us s. a

3. Subra ya las

operacio

nes cu

a) 5 + (−3

)+2

d) (−7 + 3)

+ (7 −

-212-215

-alumno

ultado

20

es 0.

b) −4 − (−2

)+2

3)

e) −13 + (−1

3) + 26

212

184289

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la letra

c) −7 + (−7) f) 15 − (−5

− 10)

212

13/12/17

21:13

BIBLIO

GRAFÍA

Recurs os reco menda Libros dos pa recom ra el al endado umno s

Allen Pa

ulos, Joh n, Un ma temático Carlos, lee el per Claudia iódico, México, Españ Gómez, a, Tusqu Santilla Una ven na, 20 ets, 19 tana a 03. 96. las forma sberge s, Biblio r, Hans teca Juv Magnus Perero enil Ilu , El dia , Maria strada, blo de no, His los núme toria e Iberoa ros, Ma historias mérica, dri d, Sirue 1994. de matem la, 1997 Pickover áticas, . México, , A. Cli ford, El Grupo Librero, libro de Ed ito rial 2012. las ma temáticas Singh, : de Pit Simon ágoras , Los Sim a las 57 pson y dimens Tahan, las ma iones, Esp Malba temáticas aña, , El hom , Españ bre que a, Ariel VanClea cal culaba, , 2013. ve, Jan México, ice, Ma Noriega temáticas Editores para niñ Enlace , 1994. os y jóv s web enes, Mé recom xico, Lim endado Cuéntam usa, 19 s (fech e. Págin 97. a de co a del Ins cuentam nsulta tituto e.inegi. Naciona : dicie org.mx/ l de Est mbre Descarte adística de 2017 s. Mater y Geog ) iales did rafía recurs ácticos ostic.e interacti ducacion recurs vos pa .es/desca ostic.e ra el ap ducacion rtes/w rendiz eb/indic .es/desca Divulg aje de e_u aMAT. las rte d.php s/web/in matem Centro áticas dice_m Matem Virtua l de Div ática Esp iscelane ulgaci a.php añola www.div ón de ulgam las Ma at.net/ temáti Eduteka cas de la Real . Porta l educ Socieda los am ativo con d biente conten s escola idos pa www.ed res ra docen con el uteka.or uso de tes y dir g Edute www.ed las tic ectivos ka. Sim uteka.or para en ulacio g/instal ne riq Ejercicio s ables.ph uecer de ma temáti s prácti p3 cas y fís cos de aulavirt matem ica ual.inae ba.edu.m áticas para sec Matec undaria x/ejercic havos. ios_prac Proyec ticos/pa to para compu tadora ginas/ la enseñ ejercicio anza de arquim s_sec_ edes.ma las ma mate.htm temáti tem.un html cas asi l am.mx/P Matem stida po áticas UEMA www.ma r divertida C/PUE temati MAC_20 s. Juego casdiv 08/mate s intera ertidas.c Proyec ctivos chavos/ to Cifras om/Zo htm naflash . Intern l/index. recurs /zonafla et en el ostic.e sh Au .html ducacion la. Minis Aula. Mi terio de .es/prim nisterio Educaci aria/cifra de Educ recurs ón de s/web/ ostic.e Españ ducacion ación de Esp Proyec a to Gaus aña .es/gaus Recurso s. Intern s/web/in s intera et en el ctivos dice.h www.jun sobre tm me tadeand dida, fra indice alucia cciones .htm .es/averr y decim oes/aver ales Red ILC roes/h tml/adju E ntos/2 red.ilc 00 7/12/0 e.edu.m 5/0005/ x/ Bosch,

Enzen

Bibliografía Recomendaciones de libros para los que gustan de las matemáticas.

232

184289

-224-232

-alumno

232

13/12/17

21:18

7


Índice

Secuencia 1

Secuencia 4

Conversión de fracciones en decimales y viceversa

Lección

Jerarquía de operaciones

1

Diferentes maneras de expresar medidas

12

2

Escritura decimal de una fracción

14

3

¿Cuántas cifras hay después del punto?

16

Lección

4

El saldo de la caja

18

13

Una sola expresión y varias operaciones

36

14

Paréntesis dentro de paréntesis

38

5

Números opuestos y valor absoluto

20

6

Quitar no siempre perjudica

22

7

Más sobre números con signo

24

15

Adivinanzas

40

16

Expresiones algebraicas y ecuaciones

42

17

Balanzas en equilibrio y ecuaciones

44

18

Otras propiedades de la igualdad

46

Lección

Secuencia 6 Proporcionalidad directa

Secuencia 3

19 Dibujos a escala

Multiplicación y división de fracciones

8

34

Ecuaciones I

Números con signo I

Lección

Un convenio matemático

Secuencia 5

Secuencia 2

Lección

12

Lección

8

La mitad de un cuarto

26

9

Vueltas alrededor de un circuito I

28

10

Vueltas alrededor de un circuito II

30

11

¿Qué número multiplicado por 3 da 4?

32

48

20

Más del doble, pero menos del triple

50

21

Más dibujos a escala

52

Secuencia 7 Variación lineal I

Lección

22 Reglas de correspondencia I

54

23 Reglas de correspondencia II

56

24 Puntos en el plano

58

25 La gráfica también informa

60


Secuencia 8

Secuencia 12

Porcentajes

Lección

Ecuaciones II

26 No cuánto, sino qué parte

62

27 Terrenos sembrados

64

28 1% y 10%

66

29 IVA y otros porcentajes

68

30 Problemas de porcentaje

70

Secuencia 9

Lección

72

Triángulos posibles e imposibles

74

Secuencia 10 33 Tiempo frente al televisor

76

Niveles de contaminación por ozono

78

34

Temperaturas máxima y 35 mínima

80

Secuencia 11

La incógnita en ambos miembros

88 90

Secuencia 13

Lección

41 Copias de copias

92

Bicicleta con cambios de 42 velocidad

94

43 Otros engranajes

96

Variación lineal II 44 Costos de producción Lección

98

45 Automóviles en carretera

100

46 Recipientes con agua

102

47 Vámonos de excursión

104

Secuencia 15

Problemas multiplicativos con decimales

Sucesiones

36

Multiplicar y dividir entre 10, 100, 1 000…

82

37

Técnicas para multiplicar decimales

84

Lección

39

Secuencia 14

Datos estadísticos I

Lección

86

Factores de proporcionalidad

31 Estructuras con triángulos 32

La incógnita en un solo miembro

40 Problemas diversos

Trazo de triángulos Lección

38

48 Mosaicos Lección

49

Símbolos en lugar de palabras

106 108

50 Construcción de sucesiones

110

51 Diferentes pero equivalentes

112

9


Secuencia 16

Secuencia 20

Ángulos, triángulos y cuadriláteros

Lección

Más gráficas circulares

52 El barandal I

114

53 El barandal II

116

54 ¿Cuánto suman?

118

55 ¿Posible o imposible?

120

Lección

56 Medidas de rectángulos Lección

122

57

Unas fórmulas surgen de otras I

124

58

Unas fórmulas surgen de otras II

126

Lección

59 ¿Quién ocupa más espacio?

128

60 Cuerpos y prismas

130

61 Fórmulas de volumen I

132

62 Fórmulas de volumen II

134

Lección

10

136

64 La discriminación en México

138

67 Números en la recta I

144

68 Números en la recta II

146

69 Números ocultos

148

70 Del 0 al 1

150

Números con signo II

Lección

71

¿Dónde se usan números con signo?

152

72

Sumas y restas de números con signo

154

73 Juegos con números

156

Secuencia 23 Problemas de división con decimales

Datos en gráficas circulares 63 Los jóvenes del año 2010

142

Secuencia 22

Secuencia 19

Lección

66 Mi comunidad escolar

Comparación de fracciones y decimales

Secuencia 18 Volumen de prismas I

140

Secuencia 21

Secuencia 17 Perímetro y área I

65 Cuidado del medioambiente

Lección

74

Por cada multiplicación, dos divisiones

158

75

Técnicas para dividir decimales

160

76

Multiplicaciones que achican, divisiones que agrandan

162


Secuencia 24

Secuencia 28

Análisis de la regla de tres 77 La regla de tres Lección

Un mismo problema, varias 78 técnicas

Volumen de prismas II 164

91 Perímetro, área y volumen

192

166

Despeje de literales en 92 fórmulas de volumen

194

93 El dm3 y el litro

196

Lección

Secuencia 25

Secuencia 29

Variación lineal III 79 Comisiones por ventas Gráficas y reglas de correspondencia

170

94 En el elevador

81 La ecuación de la recta

172

95

80 Lección

82

Aumenta o disminuye el valor

176

84 ¿Qué conviene preguntar?

178

¿Qué criterio de congruencia 86 se usa? 87

Triángulos congruentes en cuadriláteros

180

200 202 204

Azar y probabilidad Lección

98 Seguro, probable o imposible

206

99 Resultados posibles

208

100 Probabilidad frecuencial

210

182

Evaluación del primer periodo (Secuencias 1-10)

212

184

Evaluación del segundo periodo (Secuencias 11-20)

216

Evaluación del tercer periodo (Secuencias 21-30)

220

Respuestas del taller de matemáticas

224

Bibliografía

232

Secuencia 27 Perímetro y área II Lección

Más sobre la media y la mediana

198

Secuencia 30

83 Triángulos congruentes Criterios de congruencia de triángulos

¿Qué significa que la media sea 2.73 niños?

96 El valor de en medio 97

Congruencia de triángulos

85

Lección

174

Secuencia 26

Lección

Datos estadísticos II

168

88 Polígonos regulares y círculo

186

89 Despeje de variables

188

90 Cálculo de medidas

190

11


SECUENCIA

1

Conversión de fracciones en decimales y viceversa Lección 1.

Diferentes maneras de expresar medidas

1. En la tabla se muestra la longitud de diez tiras de cartoncillo.

Longitud de las tiras

¿Cuál es más larga?

3   ​​ de unidad A: __ ​​  10

9     2  ​​ + ___ B: __ ​​  10 ​​  100 ​​ de unidad

 ​​ de unidad C: __ ​​  35 10

5  ​​ de unidad D: 3 ​​ __ 10

29  ​​ de unidad E: ​​ ___ 100

3  ​​ de unidad F: __ ​​  10

245  ​​ de unidad G: ​​ ___ 100

24 ​​ + ___ H: ​​ __ ​​  6   ​​ de unidad 10 100

1  ​​ de unidad I: ​​ __ 10

11    J: ___ ​​  100 ​​ de unidad

a) Completa la tercera columna de la tabla anterior. Escribe, para la pareja de tiras de cada renglón, cuál de las dos es más larga.

ME COMPROMETO Al trabajar en equipo, siempre me esfuerzo por aportar algo a la solución del problema.

2. Trabaja en equipos de tres o cuatro integrantes. Necesitarán un pliego de cartoncillo, tijeras, cinta adhesiva, escuadras y una regla graduada. a) Corten tiras rectangulares de 30 cm de longitud y 2 cm de ancho (una para cada integrante del equipo). Cada una de estas tiras representa una unidad. b) Dividan sus unidades en décimos y subdividan al menos uno de los décimos en centésimos (observen la imagen de ejemplo).

2 cm

30 cm

c) Usen sus unidades para construir las 10 tiras de la tabla anterior y validen sus respuestas de la actividad 1 comparando físicamente las parejas de tiras correspondientes.

MÁS IDEAS El valor de las cifras de un número depende de su posición. Por ejemplo, en el número 111.111 cada 1 tiene un valor diferente. 111.111

3. El cuadrado que se muestra se pintará de seis colores: 1   ​​de la superficie •• de rojo, ​​ ___ 10 del cuadrado. 1   ​​.  •• de verde, ​​ ____ 100 26 ____ •• de gris, ​​    ​​.  100

•• de anaranjado, 0.3. 1 ___ 1 100 + 10 + 1 + ​__ ​  10   ​​  + ​​     ​​  + ​ ____ ​ 1   ​​  100 1 000

•• de amarillo, 0.08. •• de azul, 0.25.

12


Número, álgebra y variación • Número a) Ordena los colores de la siguiente manera: del que ocupará más superficie al que ocupará menos.

 b) Colorea el cuadrado de acuerdo con la cantidad de cada color indicada al inicio de la actividad. c) Intercambia tu cuadrado con el de algún compañero. Verifiquen que las superficies coloreadas abarquen todo el cuadrado y que sean del tamaño correcto.

DESCUBRO MÁS ¿Cómo se representarían 0.005 de unidad en el cuadrado?

d) Una vez que estén seguros de que colorearon bien el cuadrado, verifiquen si el orden que propusieron en el inciso a) es correcto. ❋❋ En grupo y con ayuda del profesor, constaten si todos están de acuerdo con el orden en que van los colores. 4. Escribe los números que completan las igualdades.

MÁS IDEAS

2 a) 0.28 = ​​ ___   ​​ + ____ ​​  8   ​​  

28 b) 0.28 = ​​ ____   ​​ 

12   ​​   c) 1.12 = 1 + ​​ ____ 100

12 d) 1.12= 1​​ ____   ​​  100

1   ​​ + ____ ​​  2   ​​ + ____ ​​  3   ​​   e) 0.123 = ​​ ___

123 f ) 0.123 = ​​ ____   ​​ 

3   ​​ + ____ ​​  9     ​​ g) 2.39 = 2 + ​​ ___

239 h) 2.39 = ​​ ____    ​​

10

100

10

100

10

1000

100

1    ​​ + ____ ​​  5   ​​   i) 0. 015 = ​​ ____ 100

Las fracciones con

100

1000

3    ​​   k) 0. 003 = ​​ ____ 1000

denominador 10, 100, 1 000, 10 000, etcétera, se pueden expresar en notación decimal; por

1000

ejemplo:

100

7  ​​ = 0.7 (siete décimos) __ ​​  10 28  ​​ = 0.28 (veintiocho y ​​ ___ 100

15 j) 0. 015 = ​​ ____   ​​  1000

centésimos).

5. Ubica en cada recta el número que se indica. a) 0.2

0

1

0

1

b) 0.25

c) 1

0

0.8

13


Secuencia 1

Lección 2. ¿Qué tipo de balanzas se usan en los mercados de tu localidad?

Escritura decimal de una fracción

1. Trabaja en equipo. Anoten el peso neto de la caja para que la balanza esté equilibrada; usen una expresión con punto decimal.

​​ __18 ​​ kg

__ ​​  18 ​​ kg

Peso neto kg

​​ __18 ​​ kg

2. A continuación se presentan dos procedimientos incompletos para convertir la 3 fracción ​​ __  ​​en su expresión con punto decimal. Complétalos. 8

Procedimiento 1

Procedimiento 2

Se busca una fracción decimal equivalente a __ ​​  3 ​​, es decir, una frac8 ción cuyo denominador sea 10, 100 o 1 000…

Se divide 3 entre 8 hasta obtener 0 en el residuo.

8⎮3

3 _____ 375 ​​ __  ​​ = ​​      ​​ 8 1 000

Esta última fracción es fácil de escribir en notación decimal: _____ ​​  375  ​​  = 1 000

El resultado de la división es

.

3. Convierte cada fracción en su expresión decimal. Utiliza el procedimiento que prefieras. 3 ​​ __  ​​ =

7  ​​ = ​​ ___

9 ​​ __  ​​ = 4

___ ​​  7  ​​ = 20

31 ​​ ___   ​​ =

9 ​​ ___   ​​ =

19 ​​ ___   ​​ =

7 ​​ = ​​ __

13 ​​ ___   ​​ = 4

7 ​​ = ​​ __

34 ​​ ___   ​​ =

2

2

10

8

25

8

4 ​​ = ​​ __ 5

50

25

❋❋ Compara los resultados con los de tus compañeros. Lean y comenten la siguiente información. 14


Número, álgebra y variación • Número Algunas fracciones son equivalentes a una fracción decimal, como se ve en los ejemplos:

fracción decimal: su denominador es 10, 100, 1 000, 10 000…

3 ____ 75 17  ​​ = _____ __ ​​  1 ​​ = ___ ​​  5   ​​ = 0.5 ​​ __  ​​ = ​​      ​​ = 0.75 ​​ ___ ​​  2 125   ​​ = 2.125 4 100 2 10 8 1 000

Estas fracciones se caracterizan porque, al dividir el numerador entre el denominador, en algún momento se obtiene un residuo igual a 0 (como en el caso de __ ​​  3 ​​). 8

4. En la tabla hay cantidades de medicina que pueden ponerse en la jeringa.

A: 1.4 mL

B: 0.8 mL

C: 2.6 mL

D: 4.2 mL

E: 2 __​​  35 ​​ mL

F: 1​​ __25 ​​ mL

2  ​​ mL G: 4 ​​ __ 10

H: ​​ __45 ​​ mL

a) Completa las igualdades escribiendo la otra letra que corresponde a la misma cantidad de medicina. A=

B=

C=

D=

b) Marca, donde corresponde, cada letra en la jeringa para verificar tus respuestas.

Taller de matemáticas

ME COMPROMETO

1. Juega con un compañero. Por turnos, cada uno tacha un número del tablero, lo convierte en fracción y marca dicha fracción en la recta numérica. Gana el primero que coloque tres marcas consecutivas, es decir, que entre ellas no haya una del contrincante. Usen colores diferentes para distinguir las marcas de cada uno. 0.6

1.35 0.5

0.75

0.55 0.7

1.3

3  ​​ ​​ __ 3 ​​ ​​ __ 9  ​​ 1  ​​ ​​ __ 1 ​​ ​​ __ 2 ​​ ​​ __ 1 ​​ ​​ __ 7  ​​ ​​ __ 4 ​​ ​​ __ 0 ​​ __ 5 5 5 5 10 10 2 10 10

1.2 1.75

1.7 0.3

0.4 1.6

0.65

6 ​​ ​​ __ 13 ​​ ​​  3 ​​ ​​ __ 8 ​​ ​​ __ 9 ​​ ​​ __ 19 ​​   11 ​​ ​​  7 ​​ ​​ __ 17 ​​ ​​  1 ​​ __   __   __   __ 5 5 5 5 10 10 2 10 10

0.2 0.1

1.9 0.9

1.25 1.4

0.25 1.8

Al jugar, respeto las reglas acordadas y sé ser un buen ganador (o perdedor).

2

8.0 1.5

15


Secuencia 1

Lección 3. Además de la “taza”, ¿qué otras unidades de capacidad se usan en la cocina?

¿Cuántas cifras hay después del punto?

1. Anota, junto a cada flecha, la expresión con punto decimal correspondiente.

2. Usa el procedimiento 1 de la lección anterior para convertir las fracciones en su expresión con punto decimal. 3 ​​ __  ​​ = 4

DESCUBRO MÁS De las fracciones marcadas en la taza, ¿con cuáles no funciona el procedimiento 1 de la lección anterior?

1 ​​ = ​​ __ 4

1 ​​ = ​​ __ 8

2 ​​ = ​​ __ 3

a) ¿Con qué fracción no pudiste emplear el procedimiento 1?  2 ​​en notación con punto b) Utiliza el procedimiento 2 para escribir la fracción ​​ __ 3 decimal. No uses calculadora.

¿Qué sucede con el residuo?  ❋❋ Compara las respuestas con las de tus compañeros. Comenten la información del recuadro. Existen fracciones que no son equivalentes a una fracción decimal. Cuando se intenta convertirlas en una expresión con punto decimal mediante la división de numerador entre denominador, sucede que... •• el residuo nunca es 0 (se podría seguir dividiendo tantas veces como se quisiera) y •• la expresión decimal del cociente tiene una parte que se repite de manera infinita, por ejemplo: 20 1 ​​ = 0.3333... ​​ __ 7 ​​ = 1.1666... ​​ ___ ​​ __   ​​ = 1.8181... 11 3

6

Al conjunto de cifras que se repite de manera infinita después del punto se le llama periodo. A la expresión decimal se le conoce como expresión decimal periódica. Otra manera de escribir los números anteriores es colocando una línea sobre el periodo. 20 1 ​​ = 0.3 ​​ __ 1 ​​ = 1.16 ​​ ___ ​​ __   ​​ = 1.81 11 3

16

6


Número, álgebra y variación • Número 3. Expresa las fracciones en notación decimal y señala claramente cuál es el periodo. Puedes usar calculadora. 1 a) ​​ __  ​​ =

1 b) ​​ __  ​​ = 7

6

c) __ ​​  1 ​​ =

1 d) ​​ ___   ​​ = 11

9

4. En cada renglón de la tabla aparece una de las fracciones anteriores y dos números en notación decimal que se aproximan a ella; es decir, ninguno de los dos números decimales es igual a la fracción, pero ambos son cercanos a ella.

Fracción

Números decimales que se aproximan

__ ​​  16 ​​

0.16; 0.17

__ ​​  17 ​​

0.142; 0.143

__ ​​  19 ​​

0.111; 0.112

1  ​​ ​​ __ 11

0.090; 0.091

¿Qué aproximación es mejor?

DESCUBRO MÁS Al sumar seis veces la fracción __ ​​  16 ​​se obtiene un entero. ¿Qué se obtiene al sumar seis veces 0.16? ¿Y al sumar seis veces 0.17? Entonces, ¿cuál de esos dos números decimales es una mejor aproximación de __ ​​  16 ​​?

a) Completa la tabla anotando cuál de los dos números propuestos es una mejor aproximación de cada fracción. ❋❋ En grupo y con ayuda del profesor, valida tus respuestas. Comenten cómo determinaron la mejor aproximación para cada fracción. Las fracciones que no tienen una fracción decimal equivalente (su expresión decimal tiene cifras que se repiten indefinidamente) se pueden aproximar mediante números con una cantidad finita de cifras decimales, por ejemplo: 0.28 y 0.29 son dos aproximaciones distintas de la fracción __ ​​ 27 ​​.

Taller de matemáticas

DESCUBRO MÁS ¿Cuántas veces hay que sumar __ ​​  27 ​​ para obtener 2 enteros? Considerando eso, ¿qué decimal es una mejor aproximación de __ ​​  27 ​​: 0.28 o 0.29?

1. Juega con un compañero. Por turnos, cada uno tacha una fracción del tablero, la convierte en un número con punto decimal y marca dicho número en la recta numérica. Gana el primero que coloque tres marcas consecutivas, es decir, que entre ellas no haya una del contrincante. Usen colores diferentes para distinguir las marcas de cada uno. ​​  _1_ 10  ​​

_1​​  9_ ​​  10

​​  __3 2  ​​

8​​   ​​ __ 5

​​  _1_7 10  ​​ 

1​​   ​​ __ 4

​​  __9 5  ​​

1​​   ​​ __ 2

​​  _1_3 10  ​​ 

_1​​  3_ ​​ 20

7​​   ​​ __ 5

_7​​  5_ ​​  10

​​  _7_ 10  ​​

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

​​  __2 5  ​​

6​​   ​​ __ 5 3​​   ​​ __ 5

​​  __5 4  ​​

3​​   ​​ __ 4

​​  _9_ 10  ​​

_​​ 11_ ​​  10

​​  _2_7 20  ​​

4​​   ​​ __ 5

1​​   ​​ __ 5

​​  __7 4  ​​

17


SECUENCIA

2

Números con signo I Lección 4.

El saldo de la caja

1. Reúnete con el resto del grupo para jugar “El saldo de la caja”.

MÁS IDEAS Para indicar que un número es negativo se pone un signo de menos antes del numeral: −5. Los números positivos se representan únicamente con el numeral: 5. O bien, con el signo de más antes de él: +5.

•• Preparen un juego de tarjetas de papel (una para cada integrante del grupo) y consigan una caja donde quepan todas. •• Cada jugador piensa un número comprendido entre −10 y +10 (menos 10 y más 10) y lo escribe en una tarjeta. •• Por turnos, cada jugador muestra su tarjeta, escribe en el pizarrón el número que anotó en ella (positivo o negativo) y la mete en la caja. •• Los números positivos (con signo +) representan dinero que se tiene (a favor) y los negativos (con signo −), dinero que se debe (en contra). •• Una vez que todas las tarjetas están en la caja (y los números correspondientes anotados en el pizarrón), los jugadores deben averiguar el saldo de la caja; es decir, cuánto dinero se tiene o se debe en total.

saldo: cantidad positiva

❋❋ Con ayuda del profesor, validen los resultados obtenidos.

(a favor) o negativa (en contra) que resulta de una cuenta.

2. Tres grupos de secundaria, A, B y C, jugaron “El saldo de la caja”. Abajo se muestran las tarjetas que se recolectaron en cada caso.

Caja B

Caja A

18

−3

−6

+5

−2

−3

−4

+10

+7

+5

−4

+1

+5

+3

0

+6

−9

−8

+9

−7

+2

+2

−6

−9

+1

−9

+7

−1

+8

+1

−5

+4

+2

−5

+4

0

−1

+5

−6

0

−4


Número, álgebra y variación • Adición y sustracción

Caja C

− 2

+10

−5

−4

+1 +5

+2

+4

+6

−9

+5

−2

+9

−1

−3

−1

−6

+1

0

a) ¿Cuál es el saldo de cada caja? Caja A:

Caja B:

Caja C:

b) ¿Qué caja tiene mayor deuda? c) ¿Cuál tiene saldo a favor? ❋❋ Con ayuda del profesor, comparen sus resultados; si no coinciden, localicen los errores y corrijan. 3. Trabaja en equipo. Completen la tabla, pero para ello consideren el saldo de cada caja que obtuvieron en la actividad anterior.

Caja A

Caja B

Caja C

Agreguen un número en cada caja para que el saldo quede en 0. Agreguen un número en cada caja para beneficiarla, es decir, que mejore su saldo. Agreguen un número en cada caja para perjudicarla, es decir, que empeore su saldo. Agreguen dos números en cada caja para que ni se beneficie ni se perjudique, es decir, que su saldo no varíe. ❋❋ Con ayuda del profesor, revisen sus respuestas y corrijan lo necesario, en particular, vean si todos tienen claro cuándo la caja se beneficia y cuándo se perjudica. 19


Secuencia 2

Lección 5. números opuestos:

aquellos que están a la misma distancia del 0; por ejemplo, +2 y −2. d =2 − 3 − 2 − 1 0

1

2

3

Números opuestos y valor absoluto

1. Analiza el procedimiento que pensaron en el grupo D para calcular el saldo de su caja. •• •• •• ••

d=2

Tachar todos los ceros. Tachar todas las parejas de números opuestos, por ejemplo: −3 y +3 o +9 y −9. De los números no tachados, sumar por separado los positivos y los negativos. Finalmente, a la suma de mayor valor absoluto restar la de menor valor absoluto para obtener el saldo de la caja, teniendo cuidado de anteponer al resultado el signo correcto.

Caja D

+2

+5

−2

+9

+3

−7

valor absoluto:

distancia de un número al 0; por ejemplo, el valor absoluto de −3 es 3 (está a tres unidades de distancia del 0). − 3 − 2 − 1 0

1

2

3

−4

−5

−5

−8

−3

−9

+10

+4

0

−7

+1

−1

−8

+6

+4

0

−4

+5

2. Haz lo que se pide y responde. a) ¿Por qué el saldo de la caja no se altera al tachar ceros?

 b) ¿Por qué el saldo de la caja no se altera al tachar parejas de números opuestos?



d=3

c) Termina de tachar las parejas de números opuestos en la actividad anterior.

MÁS IDEAS Un número es mayor que otro si está a su derecha en la recta numérica; en cambio, un número tiene mayor valor absoluto que otro si está más lejos del 0. 20

d) Suma los números positivos que no están tachados y anota el resultado (no te olvides del signo).  e) Haz lo mismo para los negativos que no tachaste.  f) ¿Cuál de los dos resultados tiene mayor valor absoluto? 


Número, álgebra y variación • Adición y sustracción g) ¿Cuál de los dos resultados es mayor?  h) Resta los valores absolutos que obtuviste y verifica que el valor de la caja es −14. ❋❋ En grupo y con ayuda del profesor, valida tus resultados. Comenten la diferencia entre que un número sea mayor que otro y que un número tenga mayor valor absoluto que otro. 3. Ubica los números que faltan para que en cada recta haya una pareja de números opuestos, es decir, a la misma distancia del 0. −1

0

0

35

−1 300 a) Explica por qué dos números opuestos no son dos números iguales.

  b) ¿Qué se puede decir de los números m y n si sabemos que m + n = 0?

 4. Considera una caja E cuyo saldo se desconoce. Responde y haz lo que se pide. a) Se agregaron dos números, uno positivo y otro negativo, y el saldo de la caja se benefició. ¿Qué característica deben tener esos números? 

 b) Se agregaron dos números, uno positivo y otro negativo, y el saldo de la caja se perjudicó. ¿Qué característica deben tener esos números? 



DESCUBRO MÁS ¿Qué número negativo es mayor que un positivo? ¿Qué número negativo tiene mayor valor absoluto que un negativo?

c) Encuentra tres números, uno positivo y dos negativos, para que al agregarlos a la caja, el saldo se beneficie.

 21


Secuencia 2

Lección 6.

Quitar no siempre perjudica

1. Contesta o haz lo que se indica para la caja E.

Caja E

+2

+5

+6 +10

−4

−8

+2

0

+4

−3

−6

+5

−10

+4

−8

−5

a) ¿Cuál es el saldo de la caja E?

.

b) Saca un número de la caja (táchalo) para que el saldo se perjudique. Anota .

aquí el número que sacaste.

c) Ahora quita un número para beneficiar el saldo de la caja. .

Anótalo aquí.

DESCUBRO MÁS Si se quita un número y el saldo de la caja se perjudica, ¿qué signo tiene el número eliminado?

❋❋ Valida tus respuestas en grupo. Entre todos, completen y comenten la siguiente frase. Si se saca un número y el saldo de la caja se beneficia, el signo del número que se .

quitó es

2. Trabaja en equipo. Completen la siguiente tabla.

Si se sacan…

22

Para que el saldo de la caja se…

Los dos números pueden ser…

El saldo original Ahora es… de la caja era…

dos números cualesquiera

perjudique

−6

dos números cualesquiera

beneficie

−6

dos números, uno positivo y otro negativo

perjudique

−6

dos números, uno positivo y otro negativo

beneficie

−6

dos números, uno positivo y otro negativo

ni se beneficie ni se perjudique

−6


Número, álgebra y variación • Adición y sustracción 3. Anota lo que falta en los espacios.

Caja

Números originales en la caja

¿Qué se le hace a la caja?

Operación para calcular el nuevo saldo

F

−7, +2, +4, +5, −6

Se agrega +3

−2 + (+3)

G

−5, +7, +9, +1, −8

Se saca +7

− (+7)

H

+3, 0, +9, −10, −7

Se agrega −5

+ (−5)

I

−8, −4, +5, +9, −6

Se saca −8

− (−8)

J

+7, −3, −2, +1, −5

Se saca −3

− (−3)

K

−1, +4, +6, +1, −9

Se agrega −1

+ (−1)

L

−4, −5, +5, +4, −6

Se saca −5

− (−5)

M

−9, 0, −3, +8, +7

Se agrega −3

+ (−3)

Saldo original

❋❋ Valida las respuestas con tus compañeros. En particular, asegúrense de que todos estén de acuerdo en qué sucede al restar (quitar) un número negativo. 4. Completa los siguientes enunciados. a) Si saco un número para que la caja se beneficie, el número debe ser

. b) Si saco un número para que la caja se perjudique, el número debe ser

Saldo nuevo

MÁS IDEAS Al sumar (agregar) o restar (quitar) números con signo, se usan paréntesis para no confundir el signo del número (positivo o negativo) con el de la operación (suma o resta).

. c) Si saco dos números y el saldo de la caja no varía, los números deben ser

. d) Si agrego un número positivo y otro negativo para que la caja se beneficie, el debe ser mayor que el valor

valor absoluto del número absoluto del

.

e) Si agrego un número positivo y otro negativo para que la caja se perjudique, debe ser mayor que el

el valor absoluto del número valor absoluto del

.

MÁS IDEAS En este contexto, restar (quitar) un número negativo equivale a quitar una deuda, por eso el saldo de la caja se beneficia. 23


Secuencia 2

Lección 7.

MÁS IDEAS Si se agrega una pareja de números opuestos, no se altera el saldo de la caja. Esta propiedad de los números opuestos resulta útil para resolver la actividad 1.

Más sobre números con signo

1. Trabaja en equipo. Escriban los números que hacen falta en cada caja y hagan lo que se pide. En ninguna caja debe haber números iguales ni ceros. a) Caja A

•• •• •• ••

Esta caja debe contener seis números con signo. Su saldo debe ser −5. Se debe poder sacar un −4. Escribe la operación y el resultado que corresponden a quitar −4 al saldo original de la caja A.

b) Caja B

•• •• •• ••

Esta caja debe contener cinco números con signo. Su saldo debe ser −3.5. Se debe poder sacar un +5. Escribe la operación y el resultado que corresponden a quitar +5 al saldo original de la caja B.

c) Caja C

•• •• •• ••

Esta caja debe contener cinco números con signo. 3 Su saldo debe ser −​​ __  ​​. 4 1 ​​. Se debe poder sacar un −​​ __ 4 1 ​​ al saldo Escribe la operación y el resultado que corresponden a quitar −​​ __ 4 original de la caja C.

d) Caja D

•• •• •• ••

Esta caja debe contener cuatro números con signo. Su saldo debe ser +3.6. Se debe poder sacar un −7. Escribe la operación y el resultado que corresponden a quitar −7 al saldo original de la caja D.

24


Número, álgebra y variación • Adición y sustracción

Taller de matemáticas 1. Escribe los números que hacen falta en cada caja y haz lo que se pide. Nuevamente ninguna caja puede tener números iguales ni ceros. a) Caja E

•• •• •• ••

Esta caja debe contener siete números con signo. Su saldo debe ser −12. Es posible sacar un −8. Escribe la operación y el resultado que corresponden a quitar −8 al saldo original de la caja E.

b) Caja F

•• •• •• ••

Esta caja debe contener diez números con signo. Su saldo debe ser +8.6. Es posible sacar un −3.2. Escribe la operación y el resultado que corresponden a quitar −3.2 al saldo original de la caja F.

c) Caja G

•• •• •• ••

Esta caja debe contener ocho números con signo. Su saldo debe ser ­−__ ​​ 53 ​​. Es posible sacar un +​​ __12 ​​. Escribe la operación y el resultado que corresponden a quitar +​​ __12 ​​al saldo original de la caja G.

d) Caja H

•• •• •• ••

Esta caja debe contener tantos números como tú decidas. Su saldo debe ser −15.1. Es posible sacar un −2.8. Escribe la operación y el resultado que corresponden a quitar −2.8 al saldo original

MÁS IDEAS Restar un número es lo mismo que sumar su opuesto; por ejemplo, −2 − (−3) = −2 + (+3) = +1.

de la caja H.

25


SECUENCIA

3

Multiplicación y división de fracciones Lección 8.

La mitad de un cuarto

1. Resuelve los problemas usando fracciones. Responde en tu cuaderno.

DESCUBRO MÁS

Si una tabla de __ ​​ 34 ​​ m se corta a la mitad, ¿qué fracción de metro medirá cada parte?

a) Varios jóvenes improvisaron una banca uniendo los extremos de cinco tablas 3 de ​​ __  ​​m de largo. ¿Cuál es, en metros, la longitud total de la banca? 4 b) Luis va en coche al trabajo 20 veces al mes, durante diez meses al año. En cada 1  ​​ del tanque de gasolina. ¿Cuántos tanques de viaje de ida y vuelta utiliza ​​ ___ 10 gasolina consume anualmente para ir al trabajo? ❋❋ Analiza si en los incisos a) y b) usaste un método similar a la siguiente técnica. En caso de no ser así, aplícala y verifica que obtengas los mismos resultados. Para multiplicar una fracción por un número entero, basta con multiplicar el numerador de la fracción por el número entero. Por ejemplo, __ ​​ 34 ​​m × 5 = ___ ​​ 15   ​​ m = 3 __ ​​  34 ​​ m. 4 2. Completa las multiplicaciones y simplifica los resultados. 1 ​​× 3 = a) ​​ __ 3

b) __ ​​  1 ​​ ×

4  ​​ × 5 = d) ​​ ___ 15

6

3 e) ​​ ___   ​​ × 10

= __ ​​  1 ​​

c) __ ​​  1 ​​ ×

2

6

= ___ ​​  9  ​​  

= __ ​​  1 ​​ 3

f) 3 __ ​​  14 ​​× 2 =

10

3. En la tienda de la familia de Luis venden rebanadas de __ ​​ 1 ​​de pastel. Para compar8 tirlas con dos amigos, Luis lleva las rebanadas sobrantes a la escuela y divide cada una en tres partes iguales. El lunes llevó una rebanada. a) El rectángulo representa un pastel completo. Señala la parte que le correspondió a cada persona el lunes.

b) Anota los datos que faltan en la tabla.

MÁS IDEAS

Cuando se reparten __ ​​ 28 ​​ entre tres, a cada quien le corresponde lo doble que cuando se reparte __ ​​  18 ​​ entre tres. 26

Fracción de pastel que Luis reparte entre tres Fracción de pastel para cada persona

Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

__ ​​  18 ​​

__ ​​  28 ​​

__ ​​  58 ​​

__ ​​  38 ​​

__ ​​  78 ​​


Número, álgebra y variación • Multiplicación y división ❋❋ Verifica que al multiplicar por 3 la fracción de pastel para cada persona, se obtiene la cantidad de pastel repartida. 4. Un artesano, que necesita trozos de madera pequeños, corta tiras en partes iguales.

Medida de la tira

__ ​​  34 ​​ m

​​ __45 ​​ m

​​ __13 ​​ m

​​ __23 ​​ m

Número de trozos

3

2

5

5

Medida de cada trozo División correspondiente

​​ __34 ​​ ÷ 3 = __ ​​  14 ​​

a) Anota, en la tercera fila de la tabla, la medida de cada trozo. b) Valida tus respuestas del inciso anterior: si multiplicas la medida de cada trozo (fila 3) por el número de trozos (fila 2), obtendrás la medida de la tira correspondiente (fila 1). c) Anota, en la última fila de la tabla, las divisiones que correspondan. 5. Analiza las técnicas del recuadro y úsalas para resolver las operaciones que aparecen después. Para dividir una fracción entre un número natural se puede… ​​  4 ÷5 2  ​​ = __ ​​  25 ​​; o bien, •• dividir el numerador: __ ​​ 45 ​​ ÷ 2 = _____ 4 ​​ ÷ 2 = _____ ​​  4   ​​ = ___ ​​  4  ​​ = __ ​​  52 ​​. •• multiplicar el denominador: ​​ __ 5 2×5

4 ​​÷ 2 = a) ​​ __ 5

1 b) ​​ __  ​​÷ 2 = 5

c) __ ​​  1 ​​÷ 4 =

e) ___ ​​  3  ​​ ÷ 3 =

9

10

10

8 d) ​​ __  ​​÷ 4 = 9

1 f) ​​ ___   ​​ ÷ 3 = 10

6. Resuelve los problemas en tu cuaderno.

DESCUBRO MÁS

•• Si el numerador de __ ​​ 23 ​​ se multiplica por 5, se obtiene una fracción cinco veces mayor: __ ​​ 10   ​​ 3 1 o 3 ​​ __3 ​​. •• Si el denominador de __ ​​ 23 ​​ se multiplica por 5, se obtiene una fracción 2   ​​. cinco veces menor: __ ​​ 15 •• Si tanto el numerador como el denominador de __ ​​  23 ​​ se multiplican por 5, ¿qué se obtiene?

a) Ana debe entregar un pedido de 20 kg de jamón, pero solamente le queda un 3 paquete de 5 kg y otros paquetes de ​​ __  ​​kg. ¿Cómo puede completar los 20 kg? 4 b) Una hoja del tipo A tiene un espesor de ___ ​​  1  ​​ mm. ¿Qué espesor tiene un paquete 10 de 100 hojas tipo A? c) Veinte hojas del tipo B tienen un espesor de 4 mm. ¿Qué espesor tiene una sola hoja tipo B? 27


Secuencia 3

Lección 9.

Vueltas alrededor de un circuito I

1. Analiza la información y responde. Un tren da vueltas en un circuito de 60 km. 3  ​​ vueltas? a) ¿Cuántos kilómetros recorrerá después de 2 ​​ __ 4

b) ¿Y después de 0.25 vueltas? c) Escribe los datos que faltan en la tabla.

DESCUBRO MÁS

Vueltas

0.5 vueltas es lo mismo 5  ​​ de vuelta o __ que __ ​​  10 ​​  12 ​​ vuelta. ¿Qué significa 0.25 vueltas?

0.25

​​ __25 ​​

0.5

Kilómetros recorridos

1

1 __ ​​  12 ​​

2 ​​ __34 ​​

2

3

3.5

5

5 ​​ __14 ​​

60

d) Una manera de calcular los kilómetros recorridos en cinco vueltas es con la multiplicación 5 × 60 km. ¿Con qué operación se calcula la distancia recorrida en __ ​​ 25 ​​ de vuelta?

 Así como “cinco veces 60 km” corresponde a la multiplicación “60 km × 5”, tam2 ​​de 60 km” corresponde a una multiplicación: “60 km × __ bién “​​ __ ​​ 25 ​​”. Es decir, obte5 2 2 ner __ ​​  5 ​​de una cantidad equivale a multiplicarla por __ ​​ 5 ​​. ❋❋ En grupo, valida los datos que anotaste en la tabla. Comenten cómo debe ser el número de vueltas para que el total de kilómetros recorridos sea menor que 60. 2. Sin hacer cálculos escritos, subraya cada operación con el color que se indica. Si el resultado es menor que 60. Si el resultado es mayor que 60, pero menor que 120. Si el resultado es mayor que 120. 2  ​​ a) 60 × ​​ __

3 b) 60 × ​​ __  ​​ 4

c) 60 × __ ​​  25 ​​

7 d) 60 × ​​ __  ​​

3

3

e) 60 × 0.4

f) 60 × 1.5

g) 60 × 0.75

h) 60 × 2.1

1   ​​ i) 60 × 1​​ __

5 j) 60 × ​​ __  ​​

k) 60 × 2 __ ​​ 1 ​​

3 l) 60 × 2 ​​ __  ​​ 4

2

3

28

2


Número, álgebra y variación • Multiplicación y división 3. Analiza la información y responde o haz lo que se pide. Un modo de obtener el resultado de 60 × __ ​​ 2 ​​ es 3 1 __ conseguir primero ​​   ​​de 60, dividiendo 60 en3 tre 3, y luego multiplicar el resultado por 2.

÷3

×2

×2

÷3

60

a) ¿Se obtiene el mismo resultado si se invierte el orden de esas operaciones, es decir, si primero se multiplica por 2 y luego se divide entre 3?

 60

b) Haz la prueba y anota los resultados en el esquema.

4. Haz lo que se pide con las multiplicaciones de la actividad 2. a) Resuelve de las dos maneras las multiplicaciones a), b), c) y d). Verifica que se obtiene lo mismo con ambos métodos y usa los resultados para validar si subrayaste del color correcto esas multiplicaciones. b) Resuelve las multiplicaciones e), f), g) y h). Recuerda que multiplicar por 0.4 y 4   ​​es lo mismo. por ​​ ___ 10

c) Resuelve las multiplicaciones i), j), k) y l). Ten en cuenta que para multiplicar 60 por 2 __ ​​ 1 ​​, se puede multiplicar 60 por 2, después 60 por __ ​​ 1 ​​y, finalmente, sumar 3 3 ambos resultados. ❋❋ Valida tus respuestas con dos o tres compañeros. Completen las siguientes oraciones. •• Multiplicar 60 × 5 equivale a sumar

veces 60.

•• Multiplicar 60 × __ ​​ 34 ​​ equivale a obtener __ ​​  34 ​​ de

.

DESCUBRO MÁS ¿Qué operación es equivalente a multiplicar por __ ​​  13 ​​?

75   ​​ de 60. •• Multiplicar 60 × 0.75 equivale a obtener ​​ ____ 100

•• Multiplicar cualquier número por __ ​​ 1 ​​es lo mismo que dividirlo entre 2

.

DESCUBRO MÁS

Taller de matemáticas 1. Escribe los números que faltan. Si el número no es entero, usa una fracción. a) 60 ×

= 300

b) 60 ×

= 120

c) 60 ×

= 60

d) 60 ×

= 30

e) 60 ×

= 20

f) 60 ×

= 10

g) 60 ×

= 40

h) 60 ×

= 6

i) 60 ×

=1

Al multiplicar un número, no siempre se obtiene un número más grande. Da un ejemplo de ello.

29


Secuencia 3

Lección 10.

MÁS IDEAS Para dividir una fracción entre un número n se puede dividir su numerador entre n, o bien, multiplicar su denominador por n.

hectómetro: unidad de longitud equivalente a 100 metros. Su abreviación es hm.

Vueltas alrededor de un circuito II

1. Analiza la información y responde. Un tren de juguete viaja en un circui2 ​​ de hectómetro. to de ​​ __ 5 a) Indica, con fracciones de hectómetro, qué distancia recorre el tren cuando da... •• 10 vueltas:  1 ​​ vuelta:  •• ​​ __ 2

1 ​​ vuelta:  •• ​​ __ 4

b) El primer diagrama muestra una 1 ​​ de __ __ manera de calcular ​​  ​​  25 ​​, que 4 2 consiste en dividir __ ​​ 5 ​​entre 2, dos veces.

Vueltas

Hectómetros ​​ __25 ​​

1 (÷ 2)

Anota, en el diagrama, la fracción que falta junto a una de las flechas.

​​ __12 ​​

(÷ 2)

__ ​​  15 ​​

(÷ 2) c) El segundo diagrama muestra una manera de calcular __ ​​ 2 ​​ de __ ​​  25 ​​: prime3 1 2 ro se calcula __ ​​   ​​ de __ ​​  5 ​​, dividiendo __ ​​  25 ​​ 3 entre 3, y después se multiplica por 2 (para obtener __ ​​ 2 ​​ de __ ​​  25 ​​).

(÷ 2) __ ​​  14 ​​

Vueltas

3

Escribe la fracción que falta en el segundo diagrama. 2 ​​ vueltas, __ d) Si el tren completa 4 ​​  3

Hectómetros __ ​​  25 ​​

1 (÷ 3) ​​ __13 ​​

(÷ 3)

2  ​​ ​​ __ 15

(× 2)

(× 2) __ ​​  23 ​​

¿cuántos hectómetros recorre? 

❋❋ Compara tus respuestas con las del resto del grupo. Observen que una manera de calcular __ ​​  2 ​​de una cantidad consiste en calcular primero __ ​​ 1 ​​de esa cantidad y luego 3 3 duplicar el resultado. Usen esa idea para calcular a qué fracción de hectómetro 2 ​​ de __ es igual ​​ __ ​​  25 ​​ de hectómetro. 5 3  ​​ hm. 2. El circuito del tren ahora mide ​​ __ 4

a) Anota los datos que faltan en la tabla.

Vueltas Hectómetros recorridos

30

​​ __14 ​​

__ ​​  13 ​​

__ ​​  12 ​​

__ ​​  23 ​​

1 __ ​​  34 ​​

1 __ ​​  23 ​​

2

2 __ ​​  23 ​​

4

5 __ ​​  13 ​​


Número, álgebra y variación • Multiplicación y división 4 ​​ de __ b) Completa los pasos para calcular ​​ __ ​​  25 ​​ km. 7

Paso 1

Paso 2

Calcular __ ​​  17 ​​ de __ ​​  25 ​​.

Multiplicar el resultado anterior por 4.





c) Lee la técnica que se describe a continuación y verifica que corresponda a la que completaste en el inciso anterior. Para calcula el resultado de una fracción de fracción, basta multiplicar entre sí tanto los numeradores como los denominadores; por ejemplo: 4 ​​ de __ ​​ __ ​​  25 ​​ = _____ ​​  47×× 52   ​​ = ___ ​​  8  ​​  7 35

❋❋ Analiza con el grupo por qué se le llama “multiplicar” a la operación que consiste en obtener __ ​​  2 ​​ de __ ​​  34 ​​. Después, comenten la siguiente información. 3

El número total de kilómetros que recorre el tren al dar n vueltas a un circuito que mide m kilómetros es n veces m kilómetros, es decir, n × m kilómetros, independientemente de si n y m son números enteros o fracciones. Si da 5 vueltas de 60 km, el total de kilómetros es 60 × 5 = 300 km. Si da __ ​​  2 ​​ de vuelta de __ ​​  34 ​​hm, el total es __ ​​ 34 ​​ × __ ​​  2 ​​ = _____ ​​  3 × 2   ​​ = ___ ​​  6  ​​ = __ ​​  1 ​​ hm. 3

3

4×3

12

2

Es decir, obtener una fracción de otra fracción también es multiplicar. 3. Resuelve y simplifica.

MÁS IDEAS

2 ​​ × __ ​​  1 ​​ = a) ​​ __

b) __ ​​  34 ​​ × __ ​​  1 ​​ =

5   ​​ × __ ​​  25 ​​ = d) ​​ ___

e) ___ ​​  1  ​​ × __ ​​  1 ​​ =

3

2

12

3   ​​ × ___ ​​  10  ​​ g) ​​ ___ 10

3

6

10

3

10

2

h) __ ​​  34 ​​ × __ ​​  4 ​​ =

c) ___ ​​  3  ​​ × __ ​​  1 ​​ =

3

f) __ ​​  45 ​​ × __ ​​  54 ​​ = i) ___ ​​  5  ​​ × ___ ​​  13   ​​ = 5 13

Si se multiplican dos fracciones de las formas ​​ __ab ​​ y __ ​​  ba ​​, es decir, en las que el denominador de una de ellas es el numerador de la otra y viceversa, el resultado siempre es 1.

❋❋ Con ayuda del profesor, compara tus resultados con los del grupo. Resuelvan las siguientes multiplicaciones de fracciones mixtas. a) 2 __ ​​  2 ​​ × __ ​​  1 ​​ = 3

2

3  ​​ × 2 __ ​​  1 ​​ = b) 5 ​​ __ 4 6

1 ​​ × 4 __ ​​  1 ​​ = c) 3 ​​ __ 5 3

4 ​​ × 1 __ ​​  1 ​​ = d) 2 ​​ __ 7 2

31


Secuencia 3

Lección 11.

¿Qué número multiplicado por 3 da 4?

1. En una hoja, traza una línea de 20 cm y divídela en tres segmentos iguales. a) ¿Cuánto mide cada segmento? b) Multiplica por 3 la medida que encontraste y verifica si obtienes los 20 cm. ❋❋ Valida con dos o tres compañeros tus respuestas. Comenten si alguien halló una medida que, multiplicada por 3, da exactamente 20 cm. Si no la encontraron, expresen la medida con una fracción y verifiquen de nuevo si al multiplicarla por 3, obtienen 20 cm. Anótenla a continuación. 20 cm ÷ 3 = 2. Analiza la información y responde. Algunos robots que se fabrican en un taller dan pasos grandes y otros, pasos pequeños. Los pasos se miden con una unidad llamada vara; por ejemplo, el robot A avanza una vara con cinco pasos. a) ¿Qué fracción de vara avanza el robot A con cada paso? b) Anota, en la tabla, la medida de los pasos de otros robots. Verifica, para cada robot, si al multiplicar por 5 la medida de un paso se obtiene la distancia que recorre con cinco pasos.

MÁS IDEAS El robot B avanza el doble que el A con la misma cantidad de pasos (cinco). Esto significa que los pasos del robot B miden el doble que los del A.

Robot

Distancia que avanza con cinco pasos

Tamaño de un paso

Verificación

A

1 vara

__ ​​  15 ​​ de vara

5 × __ ​​  15 ​​ = 1

B

2 varas

C

5 varas

D

7 varas

E

14 varas

F

15 varas

c) A continuación se explica una manera de dividir 7 varas entre 5 para obtener el tamaño de un paso del robot D. Léela y compárala con la que tú usaste. 32


Número, álgebra y variación • Multiplicación y división •• El resultado de dividir una vara entre 5 es __ ​​ 15 ​​ de vara. •• Si en lugar de dividir una vara entre 5, se dividen siete varas entre 5, el resul1 ​​ de vara. tado será siete veces mayor; es decir, siete veces ​​ __ 5 7 ​​de vara o 1 __ ​​ 25 ​​. •• Por tanto, el resultado de dividir siete varas entre 5 es igual a ​​ __ 5

3. Escribe los cocientes usando fracciones. Simplifica cuando sea posible. a) 3 varas entre 4 =

b) 6 varas entre 4 =

c) 5 varas entre 6 =

d) 5 varas entre 3 =

e) 10 varas entre 8 =

f) 30 varas entre 8 =

Taller de matemáticas

DESCUBRO MÁS

1. Analiza la información y completa la tabla. Cada sábado, María lleva barras de cereal a sus nueve sobrinos y les pide que las distribuyan en partes iguales.

Total de barras

¿Cuánto recibe cada sobrino?

Verificación

División

Sábado 1

1

__ ​​  19 ​​

9 × ​​ __19 ​​ = 1

1 ÷ 9 = __ ​​ 19 ​​

Sábado 2

3

=3

Sábado 3

5

=5

Sábado 4

7

=7

Sábado 5

8

=8

Dados dos números diferentes de 0, ¿siempre existe un tercer número que multiplicado por uno de los dos da el otro? Por ejemplo, ¿qué número multiplicado por 2 es igual a 3?, ¿y cuál multiplicado por 3 da 2?

MÁS IDEAS El resultado de dividir m unidades entre n es la fracción __ ​​  m n   ​​ de unidad.

2. Resuelve usando fracciones. a) 2 × __ ​​  12 ​​ =

b) 5 × ​​ __25 ​​ =

c) 3 × __ ​​  23 ​​ =

d) 4 × ​​ __14 ​​ =

e) 1 ÷ 7 =

f) 5 ÷ 7 =

g) 2 ÷ 5 =

h) 3 ÷ 4 =

3. Resuelve con números decimales. Puedes usar calculadora. a) 2 × 0.5 = e) 1 ÷ 9 =

b) 5 × 0.4 = f) 5 ÷ 11 =

c) 3 × 0.6 = g) 2 ÷ 5 =

d) 4 × 0.25 = h) 3 ÷ 4 =

DESCUBRO MÁS Una mezcla de pintura está compuesta por pintura roja y blanca, más agua. Las pinturas roja y blanca juntas son __ ​​ 35 ​​ de la mezcla, y hay el triple de pintura blanca que de roja. ¿Qué fracción de toda la mezcla representa la pintura roja? 33


SECUENCIA

4

MÁS IDEAS Al escribir cantidades de dinero, se suele incluir dos cifras después del punto decimal (centavos o centésimos de peso); por ejemplo, $6.20 en lugar de $6.2 o $3.00 en lugar de $3.

Jerarquía de operaciones Lección 12.

Un convenio matemático

1. Trabaja en equipo. Analicen la información y respondan. La mamá de Roberto comprará tamales para el desayuno: 3 de mole, 2 de rajas con queso y 4 de dulce. Cada tamal cuesta $7.50. a) Subrayen la expresión que sirve para calcular cuánto pagará la mamá de Roberto. 3 + 7.5 × 2 + 7.5 × 4 + 7.5

3 + 2 + 4 × 7.5

3 × 2 × 4 + 7.5

3 × 7.5 + 2 × 7.5 + 4 × 7.5

b) ¿Cuánto pagará?  c) En un grupo, varios alumnos subrayaron la expresión 3 + 2 + 4 × 7.5; pero al efectuar las operaciones, algunos obtuvieron 67.5 y otros, 35. •• ¿Qué hicieron los que obtuvieron 67.5?

 •• ¿Y los que obtuvieron 35?

 •• ¿Cuál consideran que es el resultado correcto?  TIC MÁS Consigan una calculadora científica y hagan algunas pruebas para determinar si utiliza jerarquía de operaciones.

jerarquía: nivel

de importancia.

Para evitar confusiones, en matemáticas hay un convenio llamado jerarquía de operaciones, que establece lo siguiente. •• Si en una expresión con varias operaciones hay paréntesis, se resuelve primero lo que hay dentro de ellos y enseguida se eliminan. •• Después se resuelven los exponentes y las raíces (estas operaciones las estudiarán más adelante). •• Luego, las multiplicaciones y las divisiones. •• Finalmente, las sumas y las restas. •• Cuando hay dos o más operaciones con la misma jerarquía, estas se resuelven de izquierda a derecha. d) Comenten la información del recuadro. e) Si se considera la jerarquía de operaciones, ¿cuál es el resultado correcto de la expresión 3 + 2 + 4 × 7.5 = ? ❋❋ Resuelvan las operaciones del inciso a) usando la jerarquía de operaciones y corroboren si subrayaron correctamente la primera vez.

34


Número, álgebra y variación • Multiplicación y división 2. Considera la jerarquía de operaciones y calcula mentalmente el resultado de cada expresión. a) 16 + 8 ÷ 4 =

b) (16 + 8) ÷ 4 =

c) 14 × 2 + 8 × 2 = 50 e) ​​ ___   ​​× 5 = 2

d) (14 × 2 + 8) × 2 =

50 f) ​​ _____   ​​  =

2×5

g) 32 + 10 × 5 =

h) (32 + 10) × 5 =

3. En la expresión f) de la actividad anterior, algunos alumnos obtuvieron 125 y otros, 5. ¿Cuál de los dos resultados es correcto y por qué?

MÁS IDEAS La línea de fracción, aparte de indicar división, funciona como un paréntesis; es decir, el resultado de las operaciones arriba de la línea de fracción se divide entre el resultado de lo que está debajo. Por ejemplo, la expresión ______ ​​  202 ++ 410    ​​  equivale a 30 ÷ 6 = 5.

   4. Explica si los paréntesis en la expresión (3 × 5) − (20 ÷ 4) = 10 son necesarios o prescindibles.

    5. Trabaja en equipo. Calculen el resultado de las expresiones. a) 2 − (3 + 2) + 5 × 3 = 14 − 9    ​​ = c) ​​ _____ 3+2

9 d) 14 − ​​ __  ​​+ 2 =

3

e) 10 + 2.5 × 4 =

3

f) (10 + 2.5) × 4 =

g) 35 − 4 × 3 + 15 ÷ 3 = i) 5 + 3 × __ ​​ 1 ​​ =

b) 2 − 3 + (2 + 5) × 3 =

h) (35 − 4) × 3 + 15 ÷ 3 =

1 j) (5 + 3) × ​​ __  ​​ =

k) (5.3 − 4.3 + 3.5) × 6 =

3

l) 5.3 − 4.3 + 3.5 × 6 =

6. Escriban los paréntesis necesarios para obtener el resultado que se muestra en cada expresión. a) 3 × 5 + 3 − 2 × 7 + 1 = 11

b) 3 × 5 + 3 − 2 × 7 + 1 = 23

c) 3 × 5 + 3 − 2 × 7 + 1 = 8

d) 3 × 5 + 3 − 2 × 7 + 1 = 3

e) 3 × 5 + 3 − 2 × 7 + 1 = 5

f) 3 × 5 + 3 − 2 × 7 + 1 = 144

TIC MÁS Consigan una calculadora científica y úsenla para validar sus resultados de las actividades 5 y 6.

35


Secuencia 4

Lección 13.

3

Una sola expresión y varias operaciones 1. Analiza la información y haz lo que se indica.

13.50

María compró tres bolígrafos a $13.50 cada uno, dos cuadernos a $59.00 por pieza y una regla de $32.00.

×

a) Escribe los números y signos que faltan en el esquema con base en la información del problema. b) Anota la expresión que contiene las operaciones mostradas en el esquema. Luego, resuélvela y verifica que obtienes el mismo resultado.

MÁS IDEAS La jerarquía de operaciones también se usa al escribir números en notación desarrollada. Por ejemplo: 4 853 = 4 × 1 000 + 8 × 100 + 5 × 10 + 3 × 1.

  2. La figura mostrada se dividió en tres partes para calcular su área.

35 m

40 m

45 m

÷2

50 m

a) Completa el esquema que representa la situación. b) Anota la expresión que contiene las operaciones mostradas en el esquema. Luego, resuélvela y verifica que obtienes el mismo resultado.

 36


Número, álgebra y variación • Multiplicación y división

DESCUBRO MÁS

3. Analiza la información y responde o haz lo que se pide. Se quiere construir, con alambre, un marco como el que se muestra.

4.1 cm

A la siguiente expresión le falta un paréntesis para calcular la cantidad de alambre que se necesita para hacer el marco: 4 × 6.7 + 5.2 + 4.1 ¿Dónde va el paréntesis que falta?

5.2 cm 6.7 cm

a) Completa la expresión para calcular el total de alambre que se necesita. 4 × 6.7 + 4 ×

+

×

b) ¿Qué cantidad de alambre se requiere? 4. Analiza el problema y responde. Laura está en una tienda de ropa. Comprará cuatro pares de calcetas, a $60.00 cada par; tres playeras a $125.00 cada una; y un pantalón de $250.00. Por toda la compra le descontarán $50.00 y pagará con un billete de $1 000.00. ¿Cuánto le darán de cambio? a) Completa y resuelve la expresión para calcular cuánto dinero recibirá de cambio. 1 000 − (

)=

b) Consigue una calculadora y verifica el resultado de la expresión anterior.

DESCUBRO MÁS Encuentra otra expresión que sirva para calcular cuánto recibirá de cambio Laura, pero que no use paréntesis.

5. Trabaja en equipo. Formulen un problema que se resuelva con la siguiente expresión. 4 × 35 + 3 × 28 + 2 × 25 =

   ¿Cuál es la respuesta al problema que formularon?  En grupo y con ayuda del profesor, analicen algunos de los problemas formulados. Verifiquen que los datos y las operaciones necesarias para resolverlos coinciden con los de la expresión inicial. 37


Secuencia 4

Lección 14.

Paréntesis dentro de paréntesis

1. Trabaja con un compañero. Relacionen, mediante líneas, cada expresión con su resultado. Algunas expresiones tienen el mismo resultado. a) 7 × (3 + 8) ÷ 7 =

5

100 b) ​​ _____   ​​  = 4×5

6

c) 2.1 − (3.5 + 2.1) + (5 + 3.5) =

4.6

d) [20 − (8 − 3)] − (9 − 4) =

11

e) 3 − 0.5 × 2 + 4

40

f) [(3 + 4) × 5] − 5 + 2 × 5 =

10

g) 4.6 + [20.7 − (11.6 + 9.1)] = ❋❋ En grupo y con ayuda del profesor, analicen cómo resolvieron cada caso. En particular, expliquen cómo eliminaron los paréntesis. Después, lean la siguiente información y comenten si coincide con lo que hicieron. Cuando se necesita agrupar operaciones que ya tienen paréntesis ( ), se usan corchetes [ ] y, si es necesario agrupar otras que ya tienen corchetes, se colocan llaves { }. Para eliminar estos signos de agrupación se sigue el mismo orden: primero los paréntesis, después los corchetes y al final las llaves. 2. Trabaja con un compañero. Resuelvan las expresiones. a) 140 ÷ [30 − (2 − 7)] = b) [3 − (0.5 × 2)] × 4 = 5  ​​ = c) (3 + 2.1) × ​​ __ 3

DESCUBRO MÁS En la expresión del inciso f) hay signos de agrupación innecesarios. ¿Cuáles son?

2 ​​] = d) 5 + [(3 + 7) × ​​ __ 7

e) 16 − [(3 × 2) − 0.5] − (0.5 × 5) = f) 30 ÷ {(15 − 6) ÷ [3 + (18 − 3)] ÷ 5} = g) 5 + [(4 + 6) × [8 − 5)] ÷ 2 = h) [(15 + 6) ÷ (3 + 4)] × (5 − 1) = ❋❋ Usen una calculadora para validar sus resultados; si no coinciden, identifiquen los errores y corrijan.

38


Número, álgebra y variación • Multiplicación y división

Taller de matemáticas 1. Escribe, en cada espacio vacío, uno de los números 1, 2, 3, 4 o 5 y coloca los paréntesis necesarios para obtener el resultado que se indica. No debe haber números repetidos en una misma expresión. a)

+

= 5

b)

+

=4

c)

×

= 3

d)

+

÷

=2

e)

÷

f)

+

= 1

=0

2. Escribe los signos de operación o paréntesis necesarios para obtener los resultados que se indican. a) 3

3

3

3 = 9

b) 3

3

3

3=2

c) 3

3

3

3 = 15

d) 3

3

3

3=7

3. Analiza la información y responde. La expresión 3a significa “tres veces a”, o bien, “3 por a”. ¿Cuál es el valor de la expresión 3a si a = 4? 4. Calcula el valor de las siguientes expresiones si a = 2. a) 3a − 1 =

b) 3(a − 1) =

c) 3a + 1 =

d) 3(a + 1) =

5. Escribe una expresión para calcular el resultado de cada problema. Usa paréntesis cuando se requiera.

MÁS IDEAS Los paréntesis también se usan para indicar multiplicación; por ejemplo: 3(5 − 1) = 3 × 4 = 12.

a) Felipe compró tres películas que duran 60 min cada una y dos que duran 90 min cada una. ¿En cuánto tiempo verá las cinco cintas? Expresión:  b) Don Luis quiere comprar cuatro carretillas. Cada una cuesta m pesos, pero de cada una le descuentan n pesos. ¿Cuánto deberá pagar? Expresión:  c) Un tren de pasajeros tiene 20 vagones. En trece hay diez compartimientos para cuatro personas; en los restantes hay 80 lugares en cada vagón. ¿Cuál es el mayor número de pasajeros que puede llevar el tren? Expresión: 

39


Secuencia 5

SECUENCIA

5

Ecuaciones I Lección 15.

Adivinanzas

1. Trabaja en equipo. Resuelvan las adivinanzas y verifiquen que las respuestas cumplan con lo que dice cada una de ellas. a) Pensé un número, le sumé 15 y el resultado fue 24. ¿Qué número fue? b) Pensé un número, le resté 13 y obtuve 26. ¿De cuál se trata? c) Pensé un número, lo multipliqué por 12 y el resultado fue 96. ¿Qué número fue? d) Pensé un número, lo dividí entre 5 y obtuve 25. ¿De cuál se trata? e) Pensé un número y lo multipliqué por 3; luego sumé 15 y el resultado fue 36. ¿Qué número fue? f) Pensé un número y lo multipliqué por 5; luego resté 15 y obtuve 75. ¿De cuál se trata? g) Pensé un número y lo dividí entre 3; luego sumé 15 y el resultado fue 23. ¿Qué número fue? h) Pensé un número y lo dividí entre 6; luego resté 15 y obtuve 4. ¿De cuál se trata? literal: letra que se usa

para representar una cantidad.

MÁS IDEAS La expresión “3 por x” o “tres veces x” se expresa 3x, para no confundir la literal x con el signo de multiplicar ×.

2. Expresen, en lenguaje algebraico, las adivinanzas de la actividad anterior. Usen una literal (por ejemplo, x) para representar el número pensado. El inciso a) ya está resuelto. a) x + 15 = 24

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

❋❋ Con ayuda del profesor, validen sus respuestas. Comenten la información del recuadro.

40


Número, álgebra y variación • Ecuaciones Las expresiones algebraicas de la actividad 2 se llaman ecuaciones y son igualdades (tienen el signo =) en las que hay una o más cantidades desconocidas que se representan con literales (letras). A las cantidades desconocidas se les llama incógnitas. Por ahora, solo se trabajarán ecuaciones con una incógnita. 3. Para cada una de las ecuaciones de la actividad 2, sustituyan la incógnita por el número que encontraron en la actividad 1 y verifiquen que la igualdad se cumple. El inciso c) está resuelto. a)

b)

c) 12y = 96; 12(8) = 96; 96 = 96

MÁS IDEAS Los paréntesis también se usan para indicar multiplicación: 8(12) es lo mismo que 8 × 12.

d)

e) f) g) h) ❋❋ En grupo y con ayuda del profesor, analicen la siguiente información. Resolver una ecuación significa encontrar el valor de la incógnita. Una manera de hacerlo es mediante “el camino de regreso con las operaciones inversas”. Por ejemplo, en la ecuación __ ​​  x ​​− 15 = 24… 3

•• el camino de ida comienza en x, se divide entre 3, se resta 15 y se llega a 24. •• el camino de regreso (con las operaciones inversas) comienza en 24, se suma 15, se multiplica por 3 y se llega al valor de la incógnita, que en este caso es 117. Este número es la solución de la ecuación. 4. Lee cada adivinanza y anota en los recuadros lo que corresponde. Las flechas grises indican el camino de ida, que permite formular la ecuación. Las anaranjadas señalan el camino de regreso que sirve para encontrar la solución. a) Pienso un número, lo multiplico por 4, resto 13 y el resultado es 15. ¿Qué número pensé? ÷4

+ 13

Ecuación

÷3

15

x ×4

b) Pienso un número, lo multiplico por 3, le sumo 2.3 y el resultado es 9.8. ¿Qué número pensé?

9.8

y ×3

− 13 Resolución mediante el camino de regreso

− 2.3

Ecuación

+ 2.3 Resolución mediante el camino de regreso

41


Secuencia 5

Lección 16.

Expresiones algebraicas y ecuaciones

1. Analiza la información y responde o haz lo que se pide. a) Expresa, en lenguaje algebraico, el perímetro del rectángulo (x representa la medida de uno de los lados).

 b) Considera que el triángulo es equilátero y expresa algebraicamente su perímetro.

 c) ¿Cómo se expresa algebraicamente que el perímetro del triángulo es igual al del rectángulo?

6



DESCUBRO MÁS La ecuación que planteaste al final de la actividad 2 sirve para encontrar cuánto vale n, es decir, cuál es el número que va en la casilla roja. Más adelante aprenderás a resolver este tipo de ecuaciones.

x

2. En la pirámide, cada número de una casilla corresponde a la suma de los dos de arriba. Si n representa el número en la casilla roja… a) ¿cuál es la expresión algebraica del número en la casilla azul? b) ¿y la expresión algebraica del número en la

31

? ?

45 ?

182

casilla verde? c) ¿Qué ecuación relaciona las dos expresiones anteriores con el número de la casilla inferior (182)?

 ME COMPROMETO Aunque no conozca un método para resolver un problema, siempre intento descubrir la solución.

3. De nuevo, cada número de una casilla corresponde a la suma de los dos de arriba. a) Representa algebraicamente el número en la casilla roja.  b) ¿Cuál es la expresión algebraica del número en la casilla azul?  c) ¿Y la expresión algebraica del número en la casilla verde?  d) ¿Qué ecuación relaciona las dos expresiones anteriores con el número de la casilla inferior (137)?

 42

43

? ?

24 ?

137


Número, álgebra y variación • Ecuaciones 4. Anota lo que falta en la segunda columna de la tabla.

Expresión en lenguaje común

Expresión en lenguaje algebraico

El doble de un número

El triple de un número, más cinco

La mitad de un número

Un tercio de un número, menos ocho

El doble de un número, más el mismo número

Un número más su mitad

DESCUBRO MÁS

El costo de un libro, menos veinte pesos

¿Entre cuánto debo dividir un número para obtener su 50%?, ¿y para obtener su 20%?

El costo de una camisa, menos 20% del costo 5. Completa la tabla. Anota, en la primera columna, las expresiones algebraicas de la actividad anterior. Para obtener la ecuación de la segunda columna, iguala la expresión a algún valor que tú inventes. Finalmente, resuelve cada ecuación para obtener las soluciones de la tercera columna. El primer renglón está resuelto.

Expresión algebraica

Ecuación

Solución

2n

2n = 20

n = 10

MÁS IDEAS En el ejemplo resuelto, la expresión algebraica (2n) representa el doble de un número (n); la ecuación indica que el doble del número es 20 y la solución de la ecuación nos dice que el número es 10.

❋❋ En grupo y con ayuda del profesor, valida tus resultados. Si sucede que dos o más compañeros formularon la misma ecuación, deben tener la misma solución (si no se equivocaron al resolverla). 43


Secuencia 5

Lección 17. masa: cantidad de materia

de un cuerpo (usualmente medida en kilogramos).

Balanzas en equilibrio y ecuaciones

1. Trabaja en equipo. En cada balanza, averigüen y anoten la masa del objeto que tiene forma de pentágono.

Balanza A

Balanza B

MÁS IDEAS En el habla cotidiana, llamamos “peso” a la masa de un objeto, aunque en realidad son conceptos físicos distintos; por ejemplo, una persona tiene la misma masa en la Tierra que en Marte, pero pesa menos en el planeta rojo.

5 kg

1 kg

10 kg

Balanza C

1 kg

10 kg

Balanza D

15 kg

10 kg

15 kg

10 kg

1 kg

Balanza E

5 kg

15 kg

1 kg 5 kg

1 kg

Balanza F

10 kg

5 kg

1 kg

15 kg 1 kg 1 kg

2. Escriban, para cada balanza de la actividad anterior, una ecuación que represente la relación entre ambos platillos. Llamen x a la masa del objeto que tiene forma de pentágono. Balanza A:

Balanza B:

Balanza C:

Balanza D:

Balanza E:

Balanza F:

❋❋ Con sus compañeros y con ayuda del profesor, validen las ecuaciones que plantearon. Asimismo, revisen cuáles se pueden simplificar y expliquen la forma en que pueden hacerlo. Después, comenten la siguiente información. 44


Número, álgebra y variación • Ecuaciones Se llaman términos de una ecuación a las expresiones que van separadas por el signo + o el signo −; mientras que los miembros de una ecuación son las dos expresiones separadas por el signo =. Por ejemplo, la ecuación x + 1 + 10 = 1 + 15 tiene en total cinco términos (x, 1, 10, 1, 15). Los tres que están a la izquierda del signo = constituyen el primer miembro de la ecuación; los que están a la derecha, el segundo miembro. Una manera de simplificar la ecuación anterior consiste en sumar los términos en cada miembro: x + 1 + 10 = 1 + 15; x + 11 = 16. Otra manera de simplificar es restando un mismo número en ambos miembros (es parecido a quitar la misma masa en ambos platillos de una balanza). En la ecuación x + 11 = 16, podemos restar 11 en ambos miembros y quedaría así: x + 11 − 11 = 16 − 11; x = 5. 3. Trabaja en equipo. Contesten o hagan lo que se indica.

Balanza G

x

x

10 kg

MÁS IDEAS

Balanza H

15 kg x

1 kg

n

n

n

5 kg

n

n

10 kg

Si se quitan (o agregan) pesos iguales en ambos platillos de una balanza equilibrada, el equilibrio se mantiene. De manera análoga, si se restan (o suman) números iguales en ambos miembros de una ecuación, la igualdad se conserva.

a) ¿Cuál es la masa (x) de cada objeto pentagonal en la balanza G?  b) ¿Cuál es la masa (n) de cada objeto pentagonal en la balanza H?  c) Debajo de cada balanza… •• escriban la ecuación que representa la relación entre ambos platillos. •• simplifiquen la ecuación hasta que descubran cuánto vale la incógnita (x o n). d) ¿Coinciden los valores de x y n del inciso anterior con sus respuestas de los incisos a) y b)?  ❋❋ En grupo y con ayuda del profesor, validen sus respuestas. En particular comenten si coinciden las respuestas de a) y b) con las de c); si no es así, averigüen en qué se equivocaron y corrijan. 45


Secuencia 5

Lección 18.

Otras propiedades de la igualdad

1. Completa la tabla con base en la información de las balanzas.

Balanza A

x

x

Balanza B

15 kg

x

y

y

y

Balanza C

z

ME COMPROMETO Al aprender una técnica nueva para resolver un problema, no me limito a memorizarla, sino que me esfuerzo por comprender por qué funciona.

z

z

1 kg 1 kg

Balanza D

10 kg

z

10 kg

y

n

15 kg

n

Balanza

Ecuación

Ecuación simplificada

A

x + x + x = 15

3x = 15

Solución

10 kg

1 kg

Comprobación 3(5) = 15

B C D ❋❋ Con tus compañeros y con ayuda del profesor, revisa los resultados de la tabla. Vean si simplificaron correctamente las ecuaciones y comenten qué hicieron para encontrar la solución. Después, analicen la información del recuadro. La ecuación 3x = 15 significa “tres veces x es igual a 15” o “tres por x es igual a 15”. Para encontrar el valor de la incógnita, se dividen ambos miembros de la ecuación 3x 15 entre tres: ​​ ___   ​​ = ​​ ___  ​​. Tres por x entre tres es igual a x, 15 entre 3 es igual a 5; por 3 3 tanto, la solución es x = 5. 2. Anota en los recuadros lo que corresponde; después, haz lo que se indica.

y=x+4

a) Asigna valores a x y y en la ecuación 1 para que se cumpla la igualdad. Anótalos aquí:

Ecuación 1 Sumar 3 en ambos miembros de la ecuación y simplificar

Ecuación 4

x= Restar d en ambos miembros

b) Verifica que los valores que asignaste en la ecuación 1 también son solución de las ecuaciones 2, 3 y 4.

Ecuación 2 2(y + 3) = 2(x + 7) Ecuación 3

46

;y=


Número, álgebra y variación • Ecuaciones

Taller de matemáticas 1. Responde con base en la figura. Considera que los triángulos son equiláteros. a) ¿Qué expresión algebraica corresponde al perímetro del cuadrado?  b) Representa algebraicamente el perímetro de uno de los triángulos.  c) ¿Qué expresión algebraica representa el pe-

x

rímetro de los cuatro triángulos?  d) Expresa algebraicamente el perímetro de la figura completa.

DESCUBRO MÁS

2. Resuelve los siguientes problemas. a) El doble de un número más el mismo número es igual a 543. ¿Cuál es ese número?

¿Cómo expresarías en lenguaje común la ecuación 2x + x = 30?, ¿y la ecuación 2(x + x) = 30?

b) Por el costo de una mesa, más el costo del traslado, me cobran $872.00. El mueble cuesta el triple que el traslado. ¿Cuánto cuesta la mesa y cuánto, el traslado?

3. Analiza la información y responde. Niza pagó $435.00 por imprimir un libro. Los costos de la impresión se muestran en el anuncio.

Costo por impresión

a) Escribe una ecuación que sirva para saber cuántas páginas tiene el libro de Niza.

$75.00 por las cubiertas

$3.00 por página

  b) Resuelve la ecuación que escribiste.

 c) ¿Cuántas páginas tiene el libro?

47


SECUENCIA

6

¿Para qué se usan los dibujos a escala?

Proporcionalidad directa Lección 19.

Dibujos a escala

1. Luis hará seis copias a escala del croquis que se muestra.

B

Considera la tabla para contestar las preguntas, pero no calcules todavía las medidas faltantes.

A

C

a) ¿Qué copias serán más grandes que el dibujo original?

Áreas verdes

D

Estacionamiento



Centro comercial

b) De esas, ¿cuál será la copia más grande? E



DESCUBRO MÁS El lado B de la copia 5 mide 3 unidades más que el lado B del original (9 contra 6). ¿Esto significa que las medidas de la copia 5 se obtienen sumando 3 a las de la original?

Dibujo original

Copia 1

Lado A

6

12

Lado B

6

Lado C

4

Lado D

8

Lado E

12

Copia 2

Copia 3

Copia 4

Copia 5

Copia 6

9 12 20 6

9

❋❋ Valida las respuestas con un compañero. Comenten cómo identificaron la copia más grande.

DESCUBRO MÁS En la figura original, D mide lo doble que C. ¿Sucede lo mismo en las demás copias?

2. Calcula las medidas de los lados de las copias 1 y 5, y anótalas en la tabla. 3. Dibuja, en papel cuadriculado, las copias 1 y 5 a partir de las medidas que calculaste en la actividad anterior. a) En el dibujo original, E es igual a la suma de A y B. ¿Esto sucede en tus copias? b) En el dibujo original, C + D = A + B. ¿Ocurre lo mismo en tus dos copias?

  ❋❋ Si tus copias 1 y 5 no cumplen con las características anteriores, en grupo averigua dónde está el error y corrígelo. 48


Número, álgebra y variación • Proporcionalidad 4. Una manera de calcular la medida de C en la copia 5 es la siguiente. Primero se calcula a cuánto corresponde en la copia una unidad de la figura original y luego se multiplica ese número por el factor adecuado. a) Completa el diagrama y las dos oraciones. •• El lado B mide 6 unidades en el dibujo original y

Dibujo original 6

Copia 5 9

÷6

÷6

uni-

1

dades en la copia 5.

×2 •• El lado C mide

unida-

×4 4

des en el dibujo original y unidades en la copia 5. 5. Anota, en la tabla, a cuánto corresponde en cada copia una unidad del dibujo original.

Dibujo original

Copia 1

1

2

Copia 2

Copia 3

Copia 4

Copia 5

Copia 6

DESCUBRO MÁS Saber a cuánto corresponde en la copia una unidad de la figura original facilita calcular todas las medidas de la copia.

6. Anota, en la tabla de la actividad 1, las medidas de las copias 2, 3, 4 y 6. Dibuja las copias en papel cuadriculado. ❋❋ A partir de las copias que dibujaste en esta actividad, valida tus respuestas considerando las preguntas de la actividad 1 (qué copias serían más grandes que la original y cuál sería la mayor de todas). Si hay discrepancias, asegúrate de entender en qué te equivocaste y corregir el error. 7. Los amigos de Luis le tomaron una fotografía mientras estaba parado al pie de la estatua de un importante personaje de su comunidad. a) Aproximadamente, ¿cuántas veces es más grande la estatua que Luis?

  b) Si Luis tiene 13 años de edad y es de estatura media, ni muy alto ni muy bajo, ¿cuánto estimas que puede medir?

  c) ¿Cuál es la altura aproximada de la estatua?

 49


Secuencia 6

Lección 20.

Más del doble, pero menos del triple

1. En la tabla, escribe las medidas que calculaste en la lección anterior y contesta las preguntas que aparecen después. Por el momento, deja vacía la columna de la copia 7.

Dibujo original

Copia 1

Factor de escala

1

2

Lado A

6

12

Lado B

6

Lado C

4

Lado D

8

Lado E

12

factor de escala: número

que al multiplicarse por una medida de la figura original, arroja la medida correspondiente de la copia.

Copia 2

Copia 3

Copia 4

Copia 5

Copia 6

Copia 7

9

12

20

6

9

a) ¿En qué copia los lados miden el doble que los del dibujo original?  ¿Cuál es el factor de escala de esta copia? b) ¿En qué copia los lados miden el triple que los del modelo original? ¿Cuál es su factor de escala? c) ¿Qué copia está entre las dos anteriores, es decir, es mayor que una de ellas, pero menor que la otra? d) Los lados de la copia 2 miden más del doble que los del dibujo original, pero menos del triple. Por tanto, a partir de esto se deduce que el factor de escala agranda más del doble, pero menos del triple. ¿Cuál es ese factor de escala? ❋❋ Con base en la información del recuadro, valida tu respuesta anterior. Verifica que todas las medidas de la copia 2 se obtienen a partir de ese factor de escala (puedes usar calculadora). 1 ​​ unidades. Es En la copia 2, a cada unidad del dibujo original le corresponden 2 ​​ __ 2 decir, el factor de escala de la copia es 2 __ ​​ 1 ​​ o 2.5. 2

50


Número, álgebra y variación • Proporcionalidad 2. Anota, en la tabla de la actividad 1, los factores de escala de las copias 2 a 6. 3. El factor de escala de una nueva copia (la 7) es 0.25. Anota dicho factor en la tabla de la actividad 1. a) Indica si la copia 7 es mayor, menor o igual que el dibujo original y explica cómo lo averiguaste.

    b) Completa los siguientes métodos para calcular cuánto mide en la copia 7 el lado que en la figura original mide 6 unidades.

DESCUBRO MÁS ¿Cuánto calculas que mide el pescado?

Método 1 Como el factor de escala es

, a cada unidad de la figura original le correspon-

den 0.25 unidades en la copia. Entonces, a 6 unidades de la original le corresponden veces 0.25 unidades en la copia, es decir, 6 ×

=

.

Método 2 Como el factor de escala es 0.25, todas las medidas de la copia son ____ ​​ 25   ​​ de las

100 25 ____  ​​ de 6 en la originales. Por tanto, el lado original de 6 unidades debe medir ​​    100

copia, o bien, simplificando,

de 6, es decir,

.

c) Calcula las demás medidas de la copia 7 y anótalas en la tabla de la actividad 1. ❋❋ En grupo y con ayuda del profesor, valida los resultados de las actividades 2 y 3. Comenten la siguiente información. 7 ​​, entonces… Si un factor de escala es ​​ __ 4 7 ​​de unidad en la copia; •• a cada unidad de la figura original le corresponden ​​ __ 4 7 ​​de la medida original. •• cualquier medida de la copia equivale a ​​ __ 4

4. Ordena los factores de escala, desde el de la copia más pequeña hasta el de la más grande. × 1.2

× 1.19

× 0.8

× 0.75

× 2

× 3

2 ​​ × ​​ __ 3

7 ​​ × ​​ __ 4

  51


Secuencia 6

Lección 21.

Más dibujos a escala

1. Se harán cinco copias a escala del dibujo que se muestra. En la tabla 1 se indican varias medidas del original y una medida de cada copia. Antes de calcular las medidas que faltan en la tabla, responde las preguntas. a) ¿Qué copia será la más pequeña?  ¿Cómo lo sabes?   F

E

b) ¿Qué copia será la más grande?  ¿Cómo lo sabes? 

A

 D

C

c) Dos copias saldrán del mismo tamaño. ¿Cuáles son? B

¿Por qué? 

 Tabla 1 Dibujo original Factor de escala

1

Lado A

4

Lado B

10

Lado C

6

Lado D

2

Lado E

5

Copia 1

Copia 2

Copia 3

Copia 4

Copia 5

3 5 2 1 1

MÁS IDEAS Un dibujo a escala debe tener la misma forma que el original. Por ejemplo, si en la figura original una medida es el doble de otra, lo mismo debe suceder en las copias. Esta propiedad permite detectar cálculos o trazos mal hechos en los dibujos a escala. 52

2. Calcula las medidas de la copia 1 y anótalas con lápiz en la tabla 1. a) Las medidas del dibujo original cumplen las siguientes tres relaciones. Indica si sucede lo mismo con las medidas que calculaste de la copia 1. ¿El lado A mide lo doble que el lado D?  ¿El lado C mide lo triple que el lado D?  ¿El lado B mide lo doble que el lado E? 


Número, álgebra y variación • Proporcionalidad b) El lado A mide 4 unidades en el dibujo original y 3 en la copia 1. El lado B mide 10 unidades en el original, ¿cuánto mide en la copia 1? Para averiguarlo, completa el diagrama. c) Dado que a cada unidad del dibujo 3 original le corresponden ​​ __  ​​ de uni4 dad en la copia 1, el factor de esca3 la es ​​ __  ​​. Anótalo en la tabla 1. 4

Dibujo original

Copia 1

4

3

÷4

÷4 1

× 10

× 10 10

d) Verifica las demás medidas de la copia 1 y corrígelas si es necesario. Corrobora que se cumplan las tres relaciones del inciso a).

ME COMPROMETO Al validar mis respuestas, no me limito a corregir lo que respondí mal, sino también analizo dónde estuvo mi error para no repetirlo en el futuro.

e) Calcula las medidas de las demás copias y anótalas en la tabla 1. También verifica que se cumplan las tres relaciones del inciso a) y anota todos los factores de escala en la tabla 1. ❋❋ Valida con tus compañeros las medidas y los factores que anotaste en la tabla 1. Comenten si acertaron cuál sería la copia menor y cuál, la mayor.

Taller de matemáticas 1. En la tabla 2 se indican las medidas del dibujo y algunas medidas de cinco copias a escala. Responde sin llenar la tabla.

A

a) ¿Qué copia será la más pequeña?

D

b) ¿Y la más grande?

B

c) Dos copias saldrán del mismo tamaño. ¿Cuáles son?

C

E

d) Calcula y anota los datos que faltan en la tabla 2.

Tabla 2 Dibujo original Factor de escala

1

Lado A

3

Lado B

5

Lado C

1

Lado D

4

Lado E

2

Copia 1

Copia 2

Copia 3

Copia 4

Copia 5

4 6 2 6 3

53


SECUENCIA

7

Variación lineal I Lección 22.

Reglas de correspondencia I

1. Haz lo que se pide. Después, analiza la información del recuadro.

Tabla 1 Edades Ana (A) José (J) 6

12

7

13

14

20

36

42

a) Completa la tabla 1, que muestra las edades de dos personas a lo largo de varios años. b) Indica con una ✔ qué afirmaciones se cumplen siempre, es decir, son verdaderas sin importar la edad de José. •• La edad de Ana es igual a la de José multiplicada por 2. •• La edad de Ana es igual a la de José más 6. •• La edad de José es igual a la de Ana más 6. En la tabla 1 todos los valores de la segunda columna se pueden obtener sumando 6 a los de la primera. Esto se expresa con la siguiente regla de correspondencia: “La edad de Ana es igual a la edad de José más 6”; o bien, si se usan letras: “A = J + 6”. 2. Cada tabla muestra una relación entre dos conjuntos de cantidades. a) Anota las cantidades que faltan en las tablas.

MÁS IDEAS Para comprobar las reglas de correspondencia que elegiste, sustituye en ellas alguno de los valores de la primera fila y verifica si obtienes el valor del correspondiente de la segunda fila.

b) Debajo de cada una hay tres reglas de correspondencia para las variables involucradas. Subraya la correcta para cada tabla.

Diámetro (d)

2

3

5

Circunferencia (c)

6.28

9.42

15.70

c = 3.14d

Tabla 3

c = 4.28 + d

36 31.40 c = 3d + 0.28

Parque de diversiones, plan A: $50.00 la entrada más $15.00 por juego

Juegos visitados (n)

2

5

7

Costo total (c)

$80.00

$125.00

$155.00

c = 40n

c = n + 120

Tabla 4

10

15

c = 15n + 50

Parque de diversiones, plan B: $250.00 la entrada (incluye número ilimitado de juegos)

Juegos visitados (n)

2

5

Costo total (c)

$250.00

$250.00

c = 248 + n 54

Medidas del círculo

Tabla 2

c = 50n

7

10

c = 250

15


Número, álgebra y variación • Funciones

Tabla 5

Parque de diversiones, plan C: entrada gratuita, $25.00 por juego

Juegos visitados (n)

2

5

7

Costo total (c)

$50.00

$125.00

$175.00

c = n + 48

c = 25n

10

c = 25

Préstamo bancario

Tabla 6 Cantidad prestada (c)

$2 500.00

$3 880.00

$24 624.00

Interés anual (i)

$500.00

$776.00

$4 924.80

i = 0.2c

i = c − 2 000

i = 500

Velocidad (v)

100 km/h

50 km/h

25 km/h

Tiempo (t)

2h

4h

8h

t = 200 ÷ v

Tabla 8

10 km/h

t=v

Tarifa bimestral por el consumo doméstico de agua en la zona B

Metros cúbicos de agua adicionales a la cuota asignada (m)

0

1

Costo (c)

$56.13

$59.45

c = 56.13 + m

$36 240.00

Un vehículo recorre 200 km

Tabla 7

t = v ÷ 50

15

c = 56.13 + 3.32m

2

3 $66.09

c = 56.13

❋❋ En grupo y con ayuda del profesor, efectúa lo siguiente. •• Comparen sus resultados. Si dudan de alguna regla, sustituyan las letras por los valores de la tabla y verifiquen que obtengan igualdades. •• Identifiquen en qué tabla las cantidades de un conjunto no dependen de las del otro. 3. Trabaja con un compañero y completen las tablas.

x

MÁS IDEAS

Tabla 9

Tabla 10

Tabla 11

y = 5x + 1

y = 5x

y = __ ​​  5x ​​

y

x

y

x

1

1

1

5

5

5

10

10

10

y

Las reglas de correspondencia se suelen escribir usando la letra x para los valores del primer conjunto y la y para los del segundo.

55


Secuencia 7

Lección 23.

Reglas de correspondencia II

1. Considera las relaciones entre dos conjuntos de cantidades que trabajaste en la lección anterior. a) Indica, en la segunda columna de la tabla que se muestra, qué relaciones son de proporcionalidad y cuáles no; justifica en la tercera columna cada respuesta.

Número de tabla

¿La relación es de proporcionalidad directa?

Porque...

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ❋❋ En grupo y con ayuda del profesor, lleva a cabo lo siguiente. •• Comparen sus respuestas y comenten cómo determinaron qué relaciones son de proporcionalidad directa. •• Analicen en qué son semejantes las reglas de correspondencia de las relaciones que son de proporcionalidad directa. •• Comenten la información del recuadro.

MÁS IDEAS En las relaciones de proporcionalidad, al aumentar dos, tres o n veces la cantidad de un conjunto, la correspondiente del otro aumenta de igual manera.

56

Cuando una relación entre dos conjuntos de cantidades es de proporcionalidad directa, hay un número (siempre el mismo) que multiplicado por cualquier valor de un conjunto da el valor correspondiente en el otro conjunto. Ese número es la constante de proporcionalidad. La regla de correspondencia de una relación de proporcionalidad directa suele escribirse en la forma y = kx; las literales x, y representan cantidades de los dos conjuntos y k es la constante de proporcionalidad. Por ejemplo: y = 3.14x; y = 0.2x; y = 5x.


Número, álgebra y variación • Funciones 2. A continuación se presentan reglas de correspondencia de varias relaciones. a) Coloca una ✔ si la relación es de proporcionalidad y un ✖ si no lo es. y = 2x

3  ​​b a = ​​ __ 4

n = 0.1m

d = 2t + 1

u = 0.5v

z = 100w + 15

h = 0.14g

p = 33d − 100

b) Selecciona una de las relaciones que marcaste con una ✔ y una de las que tienen un ✖ y haz, en tu cuaderno, las tablas correspondientes para verificar tus respuestas. 3. Reúnete con un compañero y anoten lo que falta en la tabla. Vean el ejemplo.

Descripción de la relación

Regla de correspondencia

Cada artículo cuesta $8.00; por tanto, por x artículos se pagan 8x pesos .

y = 8x

Cada litro de gasolina alcanza para recorrer 12 km; por tanto, con x litros se recorren 12x kilómetros.

y = 12x

y = 6x

y = 2.54x

En un baño de 5 minutos se usan 40 L de agua; por tanto, para un baño de x minutos se requieren litros de agua.

x representa...

número de artículos

y representa...

precio que se paga

medida de un lado de un hexágono

distancia en pulgadas

distancia en centímetros

ME COMPROMETO duración del baño (minutos)

consumo de agua (litros)

Cuido el agua y no consumo más de la necesaria.

Por medio costal de cemento hay que agregar 14 L de agua a la mezcla; por tanto, si se usan x costales se requieren x litros. ❋❋ En grupo y con ayuda del profesor, validen sus respuestas. Comenten cómo hallaron la expresión algebraica que relaciona la duración del baño con la cantidad de agua utilizada. ¿En qué otro caso de la tabla anterior puede usarse una estrategia similar? 57


Secuencia 7

Lección 24.

Puntos en el plano

1. Analiza la información y responde. 8

Se han localizado varios puntos en el plano.

6 Eje de las ordenadas

Punto C: coordenadas (5, 8)

C

7

Punto A: coordenadas (4, 3) Punto B: coordenadas (2, 5)

y

B

5

F

4

A

3

E

2 1

D x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 Eje de las abscisas

a) ¿Cuáles son las coordenadas del punto E? b) ¿Y las coordenadas del punto D? c) ¿Y las de F? d) Localiza un punto en las coordenadas (6, 1) y márcalo como G. e) Considera que los puntos A, B y C son tres vértices de un rectángulo.

MÁS IDEAS El plano cartesiano se llama así en honor a René Descartes, matemático y filósofo del siglo xvii, quien tuvo una idea genial: representar puntos, líneas y figuras mediante coordenadas y ecuaciones.

¿Cuáles son las coordenadas del cuarto vértice? f) Considera que los puntos B y C son dos vértices de un triángulo isósceles. Anota las coordenadas de cuatro puntos que podrían ser el vértice faltante.

  ❋❋ Compara tus resultados con los de tus compañeros; si hay diferencias, averigüen a qué se debe. Comenten, en grupo, la siguiente información. El plano de la actividad 1 es un plano cartesiano. Tiene dos ejes perpendiculares: el horizontal, llamado eje de las abscisas o eje x, y el vertical, denominado eje de las ordenadas o eje y. El punto en el que se cortan los ejes se denomina origen; sus coordenadas son (0, 0). Las coordenadas de un punto sirven para localizarlo en el plano cartesiano. Por ejemplo, las coordenadas del punto G son (6, 1), el primer número corresponde al eje de las abscisas y el segundo, al eje de las ordenadas. Se dice que 6 es la abscisa del punto y 1, su ordenada.

58


Número, álgebra y variación • Funciones

Taller de matemáticas 1. Localiza, en el plano cartesiano, los puntos A, B y C.

Punto

Coordenadas

A

(1, 2)

B

(3, 6)

7 6 Eje de las ordenadas o eje y

C

y

8

(4, 8)

D E

5 4 3 2 1

F

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x

Eje de las abscisas o eje x

a) Traza una línea recta que pase por los tres puntos y prolóngala. b) En la tabla, anota las coordenadas de tres puntos que también estén sobre la recta que trazaste. Llama a los puntos D, E y F. c) Si el plano estuviera más grande y pudieras trazar el punto G de coordenadas (10, 20), ¿estaría en la misma recta? ¿Cómo lo sabes?  

d) El punto (15, 25), ¿estaría en la misma recta? ¿Cómo lo sabes?  e) Completa las coordenadas de los siguientes puntos para que también estén sobre la misma recta. •• (1.5, •• (

, 1)

)

•( • (0,

, 4.4) )

• (7, •(

) , __ ​​  32 ​​)

f) Completa la regla de correspondencia que a cada abscisa (x) de un punto de la recta anterior le asocia su ordenada (y). y=

DESCUBRO MÁS ¿Qué recta está más inclinada hacia el eje de las ordenadas: y = 2x o y = 3x?

g) En tu cuaderno, traza un plano cartesiano y ubica tres puntos cuyas coordenadas cumplan con la regla y = 3x. Verifica que hay una recta que pasa por los tres puntos. Elige otros puntos de esa recta y cerciórate de que también cumplen con la regla y = 3x.

59


Secuencia 7

Lección 25.

La gráfica también informa

1. Trabaja con un compañero. Anoten, en cada tabla, los datos que faltan y la regla de correspondencia entre ambas cantidades.

Festival de cine China-Japón

Abono A: $60.00 la entrada más $40.00 por película Películas vistas (x)

0

Costo total (y)

1

2

3

$100.00

5 $260.00

Regla de correspondencia: y = 

Abono B: $300.00 la entrada sin límite de películas Películas vistas (x)

0

Costo total (y)

1

2

3

5

$300.00

Regla de correspondencia: y = 

Abono C: entrada gratuita, $60.00 por película Películas vistas (x)

0

1

Costo total (y)

2

3

5 $300.00

Regla de correspondencia: y =  a) En el plano cartesiano se trazaron cuatro puntos; comprueben que sus coordenadas corresponden a la tarifa del abono A. Por ejemplo, el punto (5, 260) indica que por ver cinco películas hay que pagar $260.00. y

MÁS IDEAS

500

400 Costo en pesos

En un mismo plano cartesiano es posible trazar las gráficas que corresponden a diferentes variantes de un mismo fenómeno. De esta manera es posible compararlas visualmente y tomar ciertas decisiones.

600

300

200

100

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Películas vistas

60

x


Número, álgebra y variación • Funciones b) Observen que los cuatro puntos están alineados. Únanlos con una línea recta y prolónguenla hasta el punto que corresponde a nueve películas. Usen la recta que trazaron y respondan. •• ¿Cuánto hay que pagar por ver siete películas con el abono A?  •• ¿A cuántas películas corresponde un pago total de $220.00?  ❋❋ En grupo y con ayuda del profesor, comenten la información del recuadro. Los pares de valores (x, y) que se generan con la regla de correspondencia y = 40x + 60 pertenecen a puntos que están alineados, es decir, se puede trazar una recta que pase por todos. Las relaciones como esta, cuya gráfica es una línea recta, se llaman relaciones lineales. 2. Traza, en el plano cartesiano de la actividad anterior, las rectas que pertenecen a la relación entre el número de películas y el costo correspondiente para los abonos B y C. Usa las rectas para responder, en tu cuaderno, lo siguiente.

DESCUBRO MÁS Observa que el punto (1.5, 120) pertenece a la recta que trazaron; sin embargo, no tiene sentido decir “por ver 1.5 películas se pagan $120.00”. Es decir, cualquier pareja (cantidad de películas, costo correspondiente) está en la recta que trazaron, pero no todos los puntos de esa recta tienen sentido en este contexto. Da otro ejemplo de puntos de la recta que no tienen sentido en el contexto del problema.

a) ¿Cuánto se debe pagar con cada abono por ver seis películas? b) Los puntos del abono B están alineados horizontalmente. ¿Por qué? c) ¿Cuánto debe pagar alguien que va al festival, pero no ve ninguna película? Haz el cálculo con cada abono. d) Una de las gráficas pasa por el origen, es decir, por el punto donde se cortan los dos ejes. ¿Qué gráfica es? ❋❋ En grupo y con ayuda del profesor, comenten lo siguiente. La gráfica de una relación de proporcionalidad es un conjunto de puntos sobre una recta que pasa por el origen. Por ejemplo, de las tres gráficas anteriores, solo la del abono C corresponde a una relación de proporcionalidad. Es la única en la que por el doble de películas se paga el doble de dinero; por la mitad de películas, la mitad de dinero, etcétera. Las relaciones de proporcionalidad son un tipo de relación lineal.

Taller de matemáticas 1. Usa las rectas que trazaste en el plano cartesiano y responde. a) ¿A partir de cuántas películas conviene más el abono A que el C?

 b) ¿A partir de cuántas películas conviene más el abono B que cualquiera de los otros dos? 

61


SECUENCIA

8

Porcentajes Lección 26.

No cuánto, sino qué parte

1. Analiza la información y responde. En las principales ciudades de México se desperdician aproximadamente 3 de cada 10 L de agua, debido a fallas en la red de distribución; en el campo, la pérdida es de 1 L por cada 2 L, a causa de la evaporación y la filtración en los distritos de riego. a) Explica dónde se desperdicia más agua: ¿en las ciudades o en el campo?

    b) ¿Cuántos litros de cada 100 se desperdician en las ciudades?  c) ¿Y en el campo?  d) ¿Qué porcentaje de agua se desperdicia en el campo?  e) ¿Y en las ciudades? 

MÁS IDEAS Un porcentaje como 30% se expresa de varias maneras, además de con el símbolo de porcentaje: 30    con una fracción, ___ ​​ 100 ​​; con un decimal, 0.3; y como una relación entre dos números, 30 de cada 100.

2. Lee la información y responde o haz lo que se pide. Para preparar una naranjada, Luisa pone dos vasos de agua por cada tres de jugo. Ana, en cambio, pone tres vasos de agua por cada cuatro de jugo. a) ¿Alguna de las naranjadas sabe más a naranja o saben igual?  b) ¿Cuántos vasos de jugo debe poner Luisa para preparar 35 vasos de naranjada? ¿Y Ana? c) Considerando lo anterior, ¿qué naranjada sabe más a naranja?  ❋❋ En grupo, valida los resultados de las actividades 1 y 2. Comenten la siguiente información.

DESCUBRO MÁS En la naranjada de Luisa, ¿qué porcentaje de la bebida corresponde al jugo: menos de 50%, 50% exacto o más de 50%? 62

El sabor a naranja depende de la cantidad de jugo, pero también de la de agua; es decir, depende de la relación entre ambas cantidades. Esta relación se llama razón o proporción y se puede expresar de varias maneras, por ejemplo, “de cada 5 3 vasos de naranjada, 3 son de jugo” o también “​​ __  ​​de la naranjada es jugo”. 5 Las razones también se expresan como tantos por ciento, por ejemplo: la razón “de cada cinco vasos de naranjada, tres son de jugo” se puede expresar como “de cada 100 vasos de naranjada, 60 son de jugo”, o bien, “60% de la naranjada es jugo”.


Número, álgebra y variación • Proporcionalidad 3. Trabaja con un compañero. Analicen la información y respondan. Para comprar a crédito (por un año) un refrigerador, María preguntó en diferentes lugares cuánto le cobraban de interés. En la tabla se muestra lo que averiguó: en algunas tiendas le informaron el interés que tendría que pagar (columna izquierda); en otras, la cantidad total por pagar, formada por el costo de lo comprado más el interés (columna derecha). En la tienda A le dieron ambos datos. a) Completen la tabla.

Interés que se cobra por el crédito Tienda A

$1.00 por cada $4.00 de compra

Tienda B

​​ __15 ​​del costo de la mercancía

Tienda C

20% del costo de la mercancía

se va pagando poco a poco; por ejemplo, mensualmente a lo largo de un año. interés: cantidad de dinero extra que se paga por un préstamo o un crédito.

Cantidad total por pagar en 1 año Por cada $4.00 de compra, hay que pagar $5.00 en total.

Tienda D

Al final, se debe pagar $125.00 por cada $100.00 de compra.

Tienda E

Por cada $3.00 de compra, se debe pagar $5.00 en total.

Tienda F

compra a crédito: que

$8.00 por cada $100.00 de compra

b) ¿En qué tienda le conviene comprar?  c) Consideren que el refrigerador que María quiere comprar cuesta $10 200.00. Calculen, en su cuaderno, cuánto tendría que pagar de interés en cada tienda y usen los resultados para verificar su respuesta a la pregunta anterior. 4. En cada fila de la tabla está expresada la misma razón de tres formas distintas. Completen los textos y comparen sus respuestas con las de otra pareja de compañeros.

En una ciudad...

Con dos números

Con una fracción

Con un tanto por ciento

Tres de cada cinco automóviles son particulares.

de los automóviles son particulares.

de los automóviles son particulares.

de cada viajes se hacen en transporte público.

7  ​​ de los viajes se hacen ​​ __ 10 en transporte público.

de los viajes se hacen en transporte público.

de cada están asegurados.

de los autos están asegurados.

30% de los autos están asegurados.

autos

MÁS IDEAS Los porcentajes, como las demás razones, ayudan a ver qué tan grande o pequeña es una cantidad en comparación con otra. Por ejemplo, un interés de 3 pesos por cada 5 es mucho mayor que uno de 8 pesos por cada 100, pues el primer interés equivale a 60% del precio, mientras que el segundo equivale a 8%.

63


Secuencia 8

Lección 27.

Terrenos sembrados

1. Analiza la información y responde o haz lo que se pide. Julián, Arnulfo y Catalina sembraron en sus terrenos distintas variedades de maíz. Cada uno destinó 35% de la superficie de su terreno a la variedad A, 15% a la B, 5% a la C, y lo demás al maíz tradicional. a) Los siguientes rectángulos representan los terrenos. Marca la parte que se destinó a cada tipo de maíz.

Julián

Arnulfo

Catalina

b) ¿Quién destinó más superficie a la variedad A?  c) ¿Quién destinó a la variedad A una fracción más grande de su terreno?

 d) Anota los datos que faltan en la tabla. Los terrenos de Julián, Arnulfo y Catalina miden 2 700 m2, 7 200 m2 y 16 200 m2, respectivamente.

Superficie sembrada Arnulfo Catalina

Julián

Total

Tipo de maíz

Tradicional (45%) Variedad A (35%) Variedad B (15%) Variedad C (5%) Total (100%)

MÁS IDEAS Para calcular 5% de una cantidad, basta con dividirla entre 20. Usa este procedimiento para verificar tus resultados en la fila de la variedad C de maíz. 64

7 200 m2

2 700 m2

16 200 m2

26 100 m2

e) Explica, en tu cuaderno, cómo calcular… •• 5% de una cantidad.

• 15% de una cantidad.

•• 35% de una cantidad.

• 45% de una cantidad.

❋❋ Compara tus resultados con los de tus compañeros. Comenten por qué para calcular 5% de una cantidad basta dividirla entre 20.


Número, álgebra y variación • Proporcionalidad 2. Otros agricultores sembraron la variedad C de maíz en una parte de sus terrenos. Los siguientes rectángulos representan sus terrenos; las partes coloreadas, lo sembrado con maíz C. Anota el porcentaje al que corresponde cada parte sombreada. Juan

Jacinto

Gregorio

3. Las superficies coloreadas corresponden a las partes en las que se sembró maíz C en tres terrenos más. Debajo de cada una se indica el porcentaje del terreno que se sembró con ese maíz. Andrés Manuela

Antonio

20%

25%

75%

a) ¿Qué terreno es el más pequeño?  b) ¿Y el más grande?  c) Traza en tu cuaderno los tres terrenos completos y verifica tus anticipaciones.

DESCUBRO MÁS

Taller de matemáticas 1. La tabla contiene datos de los terrenos de otros cinco agricultores que decidieron sembrar la variedad C de maíz. Completa los datos que faltan.

María Área total

Alejandra

5 400 m2

Área sembrada Tanto por ciento del área total que está sembrada

Ramón

20%

Sergio

Pepe

8 400 m2 3 200 m2

1 200 m2

50%

25%

2 100 m2

800 m2 10%

En una fotocopiadora se hace una reducción de un dibujo de la siguiente manera: se da la orden “Copia a 75%”, se obtiene la copia y se indica de nuevo la misma orden. ¿Cuánto medirá al final un lado que en el dibujo original mide 16 cm? ¿Qué orden hay que dar a la fotocopiadora para que un segmento de 20 cm mida 16 cm en la copia? 65


Secuencia 8

Lección 28.

1% y 10%

1. Calcula los porcentajes que se indican en la tabla. Puedes usar calculadora.

$270.00

$1 800.00

$60.00

$12 453.00

$180.36

1% 2% 10% 30% 32% a) En tu cuaderno, explica cómo obtener sin calculadora 1% y 10% de cualquier cantidad. b) Completa el procedimiento. Para calcular 32% de 270 se puede hacer lo siguiente: •• 30% de una cantidad es tres veces 10%; en este ejemplo, 30% de 270 es tres veces

, es decir,

.

•• 2% de una cantidad es dos veces 1%; por tanto, 2% de 270 es dos veces , es decir,

.

•• 32% de una cantidad es igual a 30% más 2%; así, 32% de 270 es 81 + 5.4 =

.

❋❋ Valida tus resultados con el grupo. Redacten un método para calcular cualquier porcentaje usando 1% y 10% de la cantidad.

ME COMPROMETO Al trabajar en pareja, cumplo con mi parte de la tarea y ayudo a mi compañero cuando lo requiere.

2. Reúnete con un compañero. Por turnos, alguien calcule mentalmente uno de los porcentajes de la tabla y anótelo; el otro verifique el resultado con calculadora. Terminen una fila antes de pasar a otra.

$1 000.00 20% 12% 55% 110% 115%

66

$500.00

$200.00

$50.00

$140.00


Número, álgebra y variación • Proporcionalidad Una manera de calcular 115% de 140 es la siguiente. •• 100% de 140 = 140 •• 10% de 140 = 14 •• 5% de 140 = 7 •• Finalmente: 115% de 140 = 140 + 14 + 7 = 161 3. Una familia, cuyo ingreso anual fue de $332 640.00, gastó en el año $116  424.00 en comida. ¿Qué tanto por ciento de su ingreso total gastaron en alimentos? a) A continuación se muestra un procedimiento para resolver el problema anterior. Complétalo. Puedes usar calculadora.

Cantidad

Tanto por ciento que la cantidad representa del ingreso anual

$332 640.00

100%

$332 640 ÷ 100 = $3 326.40

1%

DESCUBRO MÁS Una familia gastó 35% de su ingreso en alimentos. ¿Qué parte del ingreso no se gastó en comida?

$116 424.00

4. Completa la tabla. En esta hay otros gastos de la familia y los tantos por ciento que representan de su ingreso.

Rubro Tanto por ciento del ingreso total Cantidad gastada ($)

Alimentación

Salud

Educación

Transporte

8%

116 424

Otros

Total 100%

106 444.8

24 000

332 640

5. Explica por qué es incorrecta la siguiente afirmación. Si el porcentaje del ingreso que una familia A gasta en alimentos es mayor que el porcentaje que gasta una familia B, significa que la familia A gasta más dinero en comida.

     67


Secuencia 8

Lección 29.

IVA y otros porcentajes

1. Trabaja en equipo. Lean la información y hagan lo que se pide. Los miembros de una banda de rock ahorran 8% del dinero obtenido en las presentaciones de cada mes para comprar instrumentos. a) Anoten, en la segunda fila de la tabla, el ahorro de los meses de enero a junio. b) Dividan, para cada mes, la cantidad ahorrada entre el ingreso de ese mes, y anoten los cocientes en la última fila. c) Cerciórense de que todos los cocientes anteriores dan 0.08. Asimismo, verifiquen con calculadora que al multiplicar el ingreso de cada mes por ese factor, se obtiene el ahorro mensual.

× 0.08

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

Ingreso ($)

1 600

6 400

14 800

21 200

45 600

14 400

Ahorro (8% del ingreso)

128

Ahorro ​​ ______    ​​  Ingreso

0.08

8 Para calcular 8% de una cantidad, basta con multiplicarla por ​​ ____    ​​ o por 0.08. En 100 n ____ general, n% de una cantidad A es igual a ​​     ​​ × A. 100

DESCUBRO MÁS En la actividad 2, ¿en qué se parecen los datos de la primera y la última fila de la tabla? Anota una conclusión en tu cuaderno.

Como porcentaje Como tantos de cada 100 Como fracción

Como decimal

68

d) En julio, la banda no pudo ahorrar 8%. Obtuvo un ingreso de $16 800.00 y guardó $1 176.00. Calculen qué porcentaje del ingreso ahorró el grupo ese mes. Para saber qué porcentaje es una cantidad B de otra cantidad A, basta con dividir B entre A y anotar el cociente como fracción de denominador 100. 2. Completa la tabla con las distintas maneras de expresar un tanto por ciento.

50%

75%

40%

2%

33%

0.02

0.33

5 de cada 100

50  ​​ = __ ___ ​​  100 ​​  12 ​​

40    ___ ​​  100 ​​ = __ ​​  25 ​​

0.75

0.4


Número, álgebra y variación • Proporcionalidad 3. Al comprar una mercancía o contratar un servicio, en muchos casos debemos pagar, además del precio, un impuesto llamado impuesto al valor agregado (IVA), de 16% del total. a) Determina, para cada producto, el precio con IVA y anótalo en la tabla.

Reproductor de Blu-ray

Tableta

Bocina Bluetooth

Reproductor de MP3

Precio sin IVA ($)

2 400.00

9 000.00

1 600.00

4 000.00

Precio con IVA ($)

2 784.00

b) En el recuadro se explican dos maneras de calcular los precios con IVA. Analiza la información y haz lo que se pide después. Método 1 Se calcula 16% del precio sin IVA y se suma, por ejemplo, $2 400.00 del reproductor de Blu-ray más $384.00 de impuesto da $2 784.00. Método 2 Se calcula directamente 116% del valor del producto, por ejemplo, 116% de $2 400.00 = 2 400 × 1.16 = $2 784.00. c) Vuelve a calcular el precio con IVA de cada producto usando un método que no hayas usado la primera vez y verifica que se obtengan los mismos resultados. 4. Completa la tabla.

Precio sin IVA ($)

Sala

Comedor

16 000.00

10 800.00

IVA (16%) Precio con IVA ($)

Recámara

Cocina

900.00

1 600.00

Escritorio

Baño completo

1 856.00

6 032.00

DESCUBRO MÁS A un cliente le dicen “Este escritorio tiene una rebaja de 20%, pero si lo paga en efectivo, le hago otra rebaja de 15%”. Hay dos formas de interpretar lo que dice el vendedor, una conviene más al cliente que la otra. ¿Cuáles son esas dos maneras?

❋❋ En grupo, completa el siguiente método para calcular el precio sin IVA del escritorio. Comenten si es similar al que ustedes usaron. •• Llamamos x al precio sin IVA. Entonces x + 16%x = $1 856.00 •• x + 0.16x = $1 856.00; 1.16x = •• Despejamos: x =

= 69


Secuencia 8

Lección 30.

DESCUBRO MÁS Si el precio del pan sube de $5.00 a $6.00, ¿cuál es el porcentaje de aumento? Si baja de $6.00 a $5.00, ¿en qué porcentaje se reduce el precio?

Problemas de porcentaje

1. Trabaja con un compañero. a) Expliquen cuáles de las siguientes tres afirmaciones no pueden ser ciertas y por qué. •• El pan cuesta ahora 120% de lo que costaba el año pasado.

  •• En un año, considerando los intereses, hay que pagar al banco 120% de lo que prestó originalmente.  •• De los trabajadores de una fábrica, 120% son hombres.

  b) Escriban, en su cuaderno, más ejemplos de situaciones en las que un porcentaje puede ser mayor que 100% y casos en que es imposible. 2. Analicen la información y respondan en su cuaderno. En el plano de una casa hecho a escala 1 a 50, la superficie que ocupa la cocina representa 28.5% de la superficie de la planta baja. a) ¿Qué porcentaje de la superficie de la planta baja representa la cocina en la casa real? b) En el plano de una casa, las medidas de las longitudes son distintas a las reales, pero hay otros valores numéricos que son los mismos en el plano y en la casa real. Da un ejemplo de uno de esos valores. 3. Resuelve los problemas. En cada caso, argumenta y justifica tus respuestas. Puedes usar calculadora. a) Se hace un descuento de 15% en los productos de un almacén. El último día, el gerente pone un letrero que dice: “10% adicional al 15%”. El joven que atiende no sabe si debe restar primero 15% del precio y a lo que resulte restarle 10%, o bien, si debe restar de entrada 25% del precio. Averigua si las dos formas de interpretar lo que dice el letrero son equivalentes o si hay una con la que el descuento es mayor. Anota y justifica tu conclusión.

  70


Número, álgebra y variación • Proporcionalidad b) Por el precio de un reloj más 16% de IVA se pagaron $1 424.48. ¿Cuánto cuesta el reloj sin IVA?  •• Si se ofrece 10% de descuento sobre el precio del reloj sin IVA, ¿cuál será la cantidad que se pagará con IVA? c) Al comprar una cámara fotográfica, un cliente pagó $560.00 de IVA.

MÁS IDEAS Si para calcular 116% de una cantidad x se multiplica por 1.16, ¿con qué operación se regresa a la cantidad original?

¿Cuánto cuesta la cámara sin IVA?  d) En una escuela secundaria hay 700 alumnos, de los cuales 30% cursan primer grado; de estos, 40% son niñas. •• ¿Qué porcentaje de los alumnos de la escuela representan las niñas de primer grado?  •• ¿Qué porcentaje de la población total de la escuela corresponde a los niños de primer grado?  e) Para un estudio, Laura visitó un estanque y separó 36 especímenes de un anfibio, que corresponden a 8% de la población total en el estanque. ¿Cuál es la población total de anfibios?  ❋❋ En grupo y con ayuda del profesor, comenta y valida tus respuestas de la actividad 3. Hagan lo siguiente. •• Para el problema a), usen las dos interpretaciones con un precio, el que ustedes quieran, para que comprueben si lo que resulta no contradice su propuesta. •• Para el inciso b), discutan por qué es incorrecto restar 16% a $1 424.48 para calcular el precio del reloj sin IVA. •• Para el c), apliquen 16% de IVA al costo que encontraron y vean si obtienen $560.00. •• En el caso del d), analicen si alguno de los siguientes razonamientos es correcto, si ninguno lo es o si ambos lo son. »» El número total de alumnas en primer grado es igual a 0.4 × (0.3 × 700). »» El número total de alumnas en primer grado es igual a 0.12 × 700. •• Escriban, en una cartulina, un resumen de las técnicas que aprendieron en la secuencia. Péguenla en un lugar visible del salón.

71


SECUENCIA

9

cercha: estructura que

sirve de soporte para la construcción de techos, arcos y bóvedas.

Trazo de triángulos Lección 31.

Estructuras con triángulos

1. Se usarán barras de madera de varias medidas para hacer una cercha triangular como la que se muestra. A 7m B 2m C

9m

D 5m E 3m a) Sin hacer cálculos ni trazos, estima si siempre es posible formar un triángulo si se eligen tres tipos de barra cualesquiera (por ejemplo, dos barras tipo A y una tipo C).

 b) Corta tiras de papel que simulen las barras (representa cada metro con un centímetro) y úsalas para formar triángulos. Completa la siguiente tabla.

Con las barras…

¿Se puede formar un triángulo?

A, B y C

A, C y D

A, B y E

B, C y D

C, D y E

A, A y B

B, B y C

❋❋ Valida los resultados con tus compañeros. Entre todos comenten qué distingue a las ternas de medidas con las que sí se puede construir triángulos (aún no es necesario que lleguen a una conclusión). 72


Forma, espacio y medida • Figuras y cuerpos geométricos 2. Se desea construir un triángulo, pero solo se tienen dos barras: una de 6 m y otra de 4 m. Así que una de las barras se cortará en dos. a) ¿Qué barra no conviene partir en dos y por qué? 

 b) Matías dice que si eliges la barra grande, no importa dónde la cortes, pues siempre se podrá formar un triángulo con la barra de 4 m y las dos que resulten de la partición. Muestra, con un contraejemplo, que Matías está equivocado.

   3. Trabaja en equipo. En cada fila de la tabla hay tres medidas de segmentos con los que se quiere formar triángulos. Discutan y anoten si consideran posible o imposible trazar el triángulo.

Triángulo cuyos lados miden...

MÁS IDEAS En matemáticas, un contraejemplo es un recurso para mostrar que una afirmación de tipo general es falsa. Por ejemplo, para la afirmación “Cualquier número siempre es más pequeño que su doble”, el número 0 es un contraejemplo (pues el doble de 0 es 0).

¿Es posible o imposible trazarlo?

5 cm, 5 cm y 5 cm

6 cm, 4 cm y 7 cm

8 cm, 3 cm y 3 cm

9 cm, 5 cm y 4 cm

3 cm, 7 cm y 6 cm

2 cm, 4 cm y 10 cm

3 cm, 4 cm y 15 cm

4. En grupo, establezcan un criterio para determinar cuándo es posible formar un triángulo con medidas específicas de sus tres lados. Anoten sus conclusiones.

   ❋❋ Validen su criterio proponiendo algunas ternas de medidas con las que sí se pueda trazar un triángulo y otras con las que no. 73


Secuencia 9

Lección 32.

DESCUBRO MÁS ¿Podrías haber empezado trazando el segmento de 3 cm? ¿Cuáles serían las instrucciones para este caso?

Triángulos posibles o imposibles

1. Sigue las indicaciones para trazar, en tu cuaderno, un triángulo cuyos lados midan 4 cm, 2 cm y 3 cm. Paso 1. Marca un segmento de 4 cm. Después, abre el compás a 2 cm y, apoyándolo en un extremo del segmento, traza una circunferencia.

2

3 4

3

2

4

Paso 3. Ubica un punto donde se corten ambas circunferencias.

2

Paso 2. Traza, con centro en el otro extremo del segmento, una circunferencia de 3 cm de radio.

4

Paso 4. Une ese punto con los dos extremos del segmento original.

3

2 2

3

4

Has construido un triángulo cuyos lados miden 4 cm, 2 cm y 3 cm. TIC MÁS Descarga el programa GeoGebra en www.redir. mx/SCMM1-074a y descubre cómo usarlo para trazar triángulos con el método de la actividad 1.

❋❋ Analiza con tus compañeros el método y, entre todos, propongan una terna de medidas para las que no funcione. Verifiquen que con las medidas que propusieron no es posible construir un triángulo si se siguen los pasos del método anterior. 2. Traza, en tu cuaderno y con el método de la actividad anterior, un triángulo que tenga tres lados iguales, otro con dos lados iguales y uno más con tres lados diferentes. Después, lean en grupo la siguiente información. Los triángulos que tienen… los tres lados desiguales se llaman triángulos escalenos. dos lados iguales se conocen como triángulos isósceles. tres lados iguales se llaman triángulos equiláteros.

74


Forma, espacio y medida • Figuras y cuerpos geométricos 3. Trabaja en equipo. Anoten, en cada fila de la tabla, una posible medida del tercer lado, de manera que se pueda trazar el tipo de triángulo que se indica.

Tipo de triángulo

Medida de dos lados

Medida del tercer lado

Isósceles

10 cm, 3 cm

10 cm

Escaleno

11 cm, 8 cm,

R. T. 4 cm

Isósceles

2.5 cm, 1.5 cm

2.5 cm o 1.5 cm

Escaleno

__ ​​  34 ​​ m , __ ​​  12 ​​ m

R. T. 1 m

ME COMPROMETO Al trabajar en equipo, no tengo miedo de expresar mi opinión y preguntar lo que no entiendo.

Taller de matemáticas 1. Traza, en tu cuaderno, un triángulo isósceles que tenga un lado de 6 cm y otro de 2 cm (tú elige la medida del tercer lado). ¿Todos los triángulos que se tracen con estas características van a ser idénticos? ¿Cómo lo sabes? 

    2. Traza, en tu cuaderno, un triángulo escaleno que tenga un lado de 3 cm y otro de 4 cm (tú determina la medida del tercer lado). ¿Todos los triángulos que se tracen con estas características van a ser idénticos?  ¿Cómo lo sabes? 

 

3. Explica por qué el diagrama muestra que es imposible construir un triángulo cuyos lados midan 9, 5 y 3 unidades.

  

5

3 9

   

75


SECUENCIA

10

Datos estadísticos 1 Lección 33.

Tiempo frente al televisor

1. En la tabla se muestra el tiempo diario que ven televisión los integrantes de tres familias. En tu familia, ¿cuántas horas al día ven televisión?

Familia A

Familia B

Familia C Juan: 0 min Paulina: 0 min María Luisa: 120 min Pedro: 80 min Adriana: 60 min Luz María: 140 min Guillermo: 400 min

Carlos: 140 min Fernando: 70 min Teresa: 150 min Daniel: 80 min Luisa: 140 min

Francisco: 70 min Rosalía: 90 min Julián: 150 min Matías: 150 min

a) ¿Qué familia consideras que ve más televisión?  b) Argumenta tu respuesta. 

  ❋❋ Compara tus respuestas y argumentos con los de tus compañeros. Comenten la información del recuadro.

MÁS IDEAS La media, la moda y la mediana se llaman medidas de tendencia central. Aunque la media aritmética es la que más se utiliza, en algunos casos son más útiles la mediana o la moda.

Un conjunto de datos numéricos tiene distintos valores representativos, como los siguientes. •• La media aritmética o promedio: se obtiene al sumar los datos y dividir el resultado entre la cantidad de estos. •• La mediana: es el valor de en medio cuando los datos están ordenados (si hay dos valores centrales, se obtiene la media de ambos para calcular la mediana). •• La moda: es el dato que más veces se repite, es decir, el de mayor frecuencia. 2. Calcula la media aritmética, la mediana y la moda del tiempo que ve la televisión cada familia. Después, responde las preguntas.

Media

Mediana

Moda

Familia A Familia B Familia C a) Si se considera la media aritmética, ¿qué familia ve más televisión?  b) ¿Si se considera la mediana? c) ¿Y con la moda? 76

.


Análisis de datos • Estadística 3. En el mapa se muestra el tiempo promedio diario que ven televisión los ciudadanos de 15 países. 100°E

140°E

180°

100°W

60°W

20°W

20°E

80°

60°

China 157

Reino Unido 220

EUA 282

Japón 264

Polonia 260

Países Bajos 200 Océano Francia Atlántico

España 239

40°

Italia 262

20°

221

Corea del Sur 196

Océano Índico 0°

N

Australia 204

20°

Suecia 153

Alemania 221

40°

60°E

Océano Ártico

Rusia 239

60°

20°

140°W

Océano Ártico

80°

W

Brasil 224

E

20°

S

40°

40°

Promedio de minutos de televisión diario 60°

60°

153 1:235 000 000

80°

80° 180°

0

2 350

282 100°E

140°E

180°

140°W

100°W

60°W

20°W

20°E

60°E

4700 7 050 km Elaboración propia con datos de ‹https://www.ofcom.org.uk/__data/assets/pdf_file/0032/26969/icmr_3.pdf›, fecha de consulta: 13 de septiembre de 2017.

a) Calcula la media aritmética, la mediana y la moda de los datos. Media:

Mediana:

Moda:

b) ¿Qué países ven mucha o poca televisión de acuerdo con esos parámetros; es decir, se alejan mucho de la media, la moda y la mediana? Ven mucha televisión: Ven poca televisión: ❋❋ En grupo, valida tus respuestas. Comenten qué medida de tendencia central les parece más útil para representar la cantidad de televisión que se ve en esos 15 países. 4. Trabaja en grupo. Investiguen cuánto tiempo diario ve el televisor cada uno. a) Calculen la media, la mediana y la moda, y compárenlas con las de la actividad anterior. b) ¿Consideran que ven mucha o poca televisión comparado con esos 15 países?



MÁS IDEAS Cuando hay más de un dato que se repite la mayor cantidad de veces, hay más de una moda; es decir, un conjunto de datos puede tener dos o más modas. parámetro: dato que

se tiene en cuenta para analizar o valorar una situación.

ME COMPROMETO No abuso de la televisión ni de los videojuegos. Más bien, los combino con estudio, actividades físicas y labores domésticas.

  77


Secuencia 10

Lección 34.

Niveles de contaminación por ozono

1. Analiza la información y responde o haz lo que se pide. El Índice Metropolitano de la Calidad del Aire (IMECA) mide, como su nombre lo indica, la calidad del aire a partir de la cantidad de ciertos contaminantes (por ejemplo, el ozono) en la atmósfera.

Interpretación del IMECA Rango Calidad del aire

0-50

51-100

101-150

151-200

>200

Buena

Regular

Mala

Muy mala

Extremadamente mala

IMECA, Ciudad de México, 1 de febrero de 2016

MÁS IDEAS El ozono en la capa más baja de la atmósfera es un contaminante peligroso para la vida, pues, entre otros aspectos, es factor de riesgo para diversas enfermedades respiratorias. Las emisiones de los tubos de escape de los automóviles son la principal fuente de contaminación por ozono.

78

Hora

Noroeste

Noreste

Centro

Suroeste

Sureste

7:00

77

105

78

40

61

8:00

74

106

80

40

63

9:00

74

107

80

40

65

10:00

76

108

81

41

67

11:00

74

109

84

41

70

12:00

78

110

87

47

73

13:00

83

110

88

71

74

14:00

90

110

103

103

92

15:00

106

110

111

107

88

16:00

108

112

107

102

78

17:00

91

110

94

82

61

18:00

93

111

96

51

59


Análisis de datos • Estadística a) Calcula los datos que faltan en la tabla.

Valores representativos del IMECA entre las 7:00 y las 18:00, Ciudad de México, 1 de febrero de 2016 Valor representativo Mediana

Media

Moda

Noroeste

Zona

Noreste

Centro

Suroeste

Sureste

b) Ordena, de mejor a peor calidad del aire, las cinco zonas de la tabla anterior. Considera los tres valores representativos de cada una.

 c) Argumenta tu respuesta. 

  d) Imagina que los siguientes textos son tres encabezados de periódicos. Anota, debajo de cada uno, qué medida de tendencia central (media, mediana o moda) se utilizó en cada caso.

ME COMPROMETO El 1 de febrero, la zona suroeste de la Ciudad de México tuvo un IMECA representativo de 49.

El 1 de febrero, la zona suroeste de la Ciudad de México tuvo un IMECA representativo de 40.

El 1 de febrero, la zona suroeste de la Ciudad de México tuvo un IMECA representativo de 63.75.

Uso el transporte público y la bicicleta para trasladarme a lugares cercanos.

❋❋ Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Comenten la importancia de conocer los niveles de contaminación en su localidad. 79


Secuencia 10

Lección 35.

Temperaturas máxima y mínima

1. Analiza la información y haz lo que se pide. ¿Cuál es la temperatura de un día normal en tu localidad?

La gráfica muestra las temperaturas de un día en cinco ciudades de la República Mexicana.

Temperaturas del 7 de septiembre de 2017 35

Temperatura en grados centígrados

30 25 20 15 10 5

0 1:00 4:00 7:00 10:00 13:00 16:00 19:00 22:00 Hora CDMX

rango: diferencia (resta) entre el valor más grande y el más pequeño de un conjunto de datos numéricos.

Saltillo

Chihuahua

Monterrey

Veracruz

a) Responde sin hacer cálculos (solo viendo la gráfica). •• ¿Qué ciudad estimas que tiene mayor rango en la variación de temperatura?

 •• ¿Y cuál tiene un rango menor?  b) Para comprobar tus respuestas, anota las temperaturas mínima y máxima de cada ciudad, y calcula los rangos respectivos.

Temperatura mínima

DESCUBRO MÁS

80

CDMX

Ciudad

¿Cómo se nota en la gráfica si el rango de temperatura de una ciudad es pequeño?

Temperatura máxima

13 °C

19 °C

Rango 19 − 13 = 6 °C

Monterrey

°C

°C

°C

Saltillo

°C

°C

°C

Veracruz

°C

°C

°C

Chihuahua

°C

°C

°C


Análisis de datos • Estadística 2. Anota los datos faltantes en la tabla (temperaturas, temperaturas medias y rangos de temperatura).

1:00

4:00

7:00

10:00

13:00

°C

14 °C

°C

15 °C

17 °C

22 °C

°C

21 °C

22 °C

°C

14 °C

14 °C

Veracruz

26 °C

°C

Chihuahua

19 °C

18 °C

CDMX Monterrey Saltillo

16:00

19:00

22:00

Media

Rango

°C

16 °C

14 °C

°C °C

26 °C

28 °C

27 °C

°C

°C °C

°C

°C

°C

21 °C

°C

°C °C

26 °C

27 °C

28 °C

°C

28 °C

27 °C

°C °C

°C

26 °C

30 °C

27 °C

°C

21 °C

°C °C

a) Determina si las afirmaciones son falsas (F) o verdaderas (V). •• La ciudad donde se registró la temperatura más alta es también la de mayor temperatura media. •• Las ciudades con rangos de temperatura similares tienen temperaturas medias similares. •• La ciudad con el rango de temperatura más pequeño es la que presenta menor variación de temperatura. ❋❋ En grupo y con ayuda del profesor, validen sus respuestas. Comenten por qué en los pronósticos del tiempo en los medios de comunicación normalmente se informa cuáles serán las temperaturas máxima y mínima de un día, pero no se notifica sobre la temperatura media.

DESCUBRO MÁS

Taller de matemáticas 1. Investiga las temperaturas máxima y mínima de un día en tu localidad, durante cinco días consecutivos. Usa los datos para llenar la tabla.

Día 1

Día 2

Día 3

Día 4

Día 5

Media

¿Para qué puede servir conocer la temperatura media o el rango de temperatura durante varios días consecutivos?

Rango

Temperatura mínima Temperatura máxima Media Rango

81


SECUENCIA

11

Problemas multiplicativos con decimales Lección 36.

Multiplicar y dividir entre 10, 100, 1 000…

1. Haz lo que se pide. a) Encuentra el número que multiplicado por… • 10 da 400:

• 100 da 2 000:

• 10 da 2 400:

• 1 000 da 25 000:

b) Resuelve. • 250 × 10 =

• 35 × 100 =

• 120 × 1 000 =

• 18 × 10 000 =

2. Completa, en tu cuaderno, las técnicas para multiplicar de manera rápida los números naturales por 10, 100 y 1 000.

DESCUBRO MÁS ¿Por qué para multiplicar un número natural por 10 se pone el mismo número y se añade un 0 a la derecha?

•• Para multiplicar un número por 10 se agrega un 0 a la derecha del número. •• Para multiplicar un número por 100... •• Para multiplicar un número por 1 000... 3. Utiliza las técnicas que anotaste para resolver las actividades. Verifica los resultados con la calculadora. a) Un paquete grande de papelería se forma con diez chicos. Anota los datos que faltan.

Paquete chico

25 gomas

Paquete grande

50 lápices 300 plumones

500 hojas

1 000 clips

b) Encuentra y anota los números que faltan. • 37 × 100 = •

• 20 × 10 =

× 1 000 = 42 000 •

• 25 ×

= 250 000 • 40 ×

• 110 × 1 000 =

× 100 = 67 000 • = 4 000

• 200 ×

× 10 = 450 000 = 2 000

4. Haz lo que se pide. a) En tu cuaderno, anota una forma de resolver el siguiente problema sin usar la multiplicación. Escribe aquí el resultado. El precio de un plumón es de $12.75. ¿Cuánto cuestan diez plumones?  82


Número, álgebra y variación • Multiplicación y división b) Resuelve con calculadora.

× 10

× 100

× 1 000

7.75 21.5 0.415 5. Trabaja en equipo. Completen, en su cuaderno, las técnicas para multiplicar números con punto decimal por 100 y 1 000. Observen el ejemplo. •• Para multiplicar por 10 un número con punto decimal, por ejemplo, 3.75, se recorre el punto un lugar a la derecha: 3.75 × 10 = 37.5 •• Para multiplicar por 100 un número con punto decimal, por ejemplo, 12.3, se… •• Para multiplicar por 1 000 un número con punto decimal, por ejemplo, 47.69, se…

DESCUBRO MÁS ¿Qué número multiplicado por 10 da 1? ¿Qué número multiplicado por 100 da 1? ¿Qué número multiplicado por 1 000 da 1?

6. Resuelvan con las técnicas anteriores. Al terminar, verifiquen los resultados con calculadora.

× 10

× 100

× 1 000

2.45 0.025 1.0055 7. Escribe los números que faltan. Puedes usar calculadora. a)

× 10 = 70

b)

× 10 = 7

c)

× 10 = 0.7

d)

× 100 = 250

e)

× 100 = 25

f)

× 100 = 2.5

❋❋ Valida tus respuestas con un compañero. En su cuaderno, expliquen cómo encontrar, con una sola operación, el número que multiplicado por 100 da 250. 8. Resuelvan con calculadora las divisiones. Después, busquen una técnica para solucionarlas sin ella.

÷ 10

÷ 100

÷ 1 000

250 32 7.25 0.4 ❋❋ Reúnanse con el resto del grupo y entre todos redacten técnicas para dividir números con punto decimal entre 10, 100 y 1 000. 83


Secuencia 11

Lección 37.

Técnicas para multiplicar decimales

1. Si conoces una forma de multiplicar 0.3 × 0.15 sin calculadora, anótala en tu cuaderno y compárala con las que están a continuación. Para multiplicar dos números con punto decimal, como 0.3 y 0.15, se efectúa lo siguiente. Técnica 1 •• Escribir los números como fracciones decimales: 0.3 = ___ ​​ 3  ​​ y 0.15 = ____ ​​  15  ​​.  10

100

​​  15  ​​ = _____ ​​  45  ​​.  •• Multiplicar esas fracciones: ___ ​​ 3  ​​ × ____ 10

100

1 000

= 0.045. •• Escribir el resultado con punto decimal: _____ ​​  45  ​​  1 000

Técnica 2 •• Multiplicar los números como si no tuvieran punto decimal: 3 × 15 = 45. •• Contar el número de cifras a la derecha del punto decimal que tienen los factores: 0.3 tiene una y 0.15 tiene dos, es decir, son tres en total. •• Escribir el punto decimal en el resultado, de manera que tenga la cantidad anterior de cifras decimales (en el ejemplo son tres cifras). Si es necesario, añadir ceros para que después del punto haya esa cantidad de cifras: 0.045.

MÁS IDEAS Al trabajar en equipo, se dispone de más información e ideas que las que tiene cada integrante por separado. Así es más probable que resuelvan con éxito las tareas propuestas.

2. Reúnete con un compañero. Utilicen las técnicas anteriores para resolver las siguientes multiplicaciones, como en los ejemplos. Verifiquen sus resultados con calculadora. Con la técnica 1: 5 a) 0.5 × 0.3 = ​ ___   ​ × ___ ​  3  ​ = ______ ​​  5 × 3  ​​  = ____ ​​  15  ​​ = 0.15 10

10

10 × 10

100

b) 3.25 × 1.2 =  c) 0.05 × 1.02 =  d) 0.125 × 0.8 =  Con la técnica 2: e) 0.5 × 0.12 = 0.060 = 0.06, pues 5 × 12 = 60 y en total hay tres cifras decimales. f) 5.2 × 0.02 =  g) 7.65 × 0.7 =  h) 10.52 × 2.05 =  i) 0.125 × 0.5 = 

84


Número, álgebra y variación • Multiplicación y división 3. Las dos técnicas anteriores están relacionadas. Analiza, en grupo, el caso del recuadro y encuentra esa relación. Para multiplicar 0.7 × 0.08... Técnica 2

Técnica 1

___ ​​  8     ​​ = _______ ​​  7 × 8    ​​ = _____ ​​  56  ​​  = 0.056 ​​  7  ​​ × ____ 10 100 10 × 100 1 000

•• Se multiplican los números como si no tuvieran punto decimal: 7 × 8 = 56 •• Se cuentan las cifras después del punto de los factores y ese número de cifras se pone en el producto: 0.056

Taller de matemáticas 1. Resuelve los problemas. a) La escala 0.6 a 1 significa que a cada unidad de la figura original le corresponden 0.6 unidades en la copia. •• Con esa escala, ¿la copia es mayor o menor que la original? •• ¿Cuál es el factor de escala? •• ¿Cuánto mide en la copia un lado que en la figura original mide 25.5 cm? b) Una atleta ganó la carrera después de correr diez vueltas en una pista. Recorrió 23.3 km. •• ¿Cuánto mide una vuelta de la pista?  1  ​​ de vuelta?  •• ¿Qué distancia se recorre con __ ​​ 10

c) Por cada peso que le presta el banco a José, dentro de tres años deberá pagar $2.25. •• ¿Pagará más del doble o menos del doble de lo que le prestaron?  •• ¿Cuánto deberá devolver en tres años por un préstamo de $508.50?  d) Un automóvil consume 8.24 L de gasolina por cada 100 km que recorre. •• ¿Cuánto combustible gastará en un recorrido de 250 km?  •• ¿Cuántos kilómetros recorrerá con 65.92 L? 

DESCUBRO MÁS Si por cada peso que presta el banco se deben pagar $2.25, significa que es necesario pagar el doble de la cantidad prestada, más __ ​​  14 ​​. ¿Cuánto se debe pagar al banco por préstamos de $400.00, de $500.00 y de $1 000.00?

85


SECUENCIA

12

Ecuaciones II Lección 38.

DESCUBRO MÁS Si x representa el costo de las medicinas, ¿qué expresión corresponde al costo de los honorarios médicos?

La incógnita en un solo miembro

1. Trabaja en equipo. Analicen la información y respondan. En una visita al médico, Hugo debe pagar $750.00. El monto incluye los honorarios médicos y el costo de las medicinas. a) Si los honorarios médicos valen cinco veces lo de las medicinas, ¿qué ecuación tiene como solución el costo de estas? Subráyenla. x ​​ = 750 x + ​​ __ 5 x − 5x = 750

x + 5x = 750 x + x + 5 = 750

b) Resuelvan la ecuación que subrayaron y anoten el costo de las medicinas.



MÁS IDEAS

c) Anoten el costo de los honorarios médicos. 

En la actividad 1, la suma de ambos costos es 750 y uno de ellos es cinco veces el otro.

3x

2. Respondan con base en la figura. a) ¿Qué ecuación sirve para saber cuánto miden los lados del rectángulo?

Perímetro = 24 cm

 b) Resuelvan la ecuación anterior y anoten las medidas de la figura. Ancho:

Largo:

c) Verifiquen que, con las medidas que anotaron, el perímetro es 24 cm.

 IVA: impuesto al valor

agregado.

3. El costo de un teléfono celular, con el IVA de 16% incluido, es $4 500.00. a) Subrayen la ecuación que sirve para calcular el costo sin IVA. x − 0.16x = 4 500

x + 16x = 4 500

x + 0.16x = 4 500

x − 16x = 4 500

b) Resuelvan la ecuación que subrayaron y anoten lo que se pide. Costo sin IVA: Total: 86

IVA:

x


Número, álgebra y variación • Ecuaciones ❋❋ Comparen sus resultados con los de otro equipo. Verifiquen si eligieron la misma ecuación en los problemas 1 y 3 y cómo hicieron para resolverlas. Después, comenten la información del recuadro.

MÁS IDEAS En la actividad 3, el costo sin IVA, más el IVA, da el costo total.

Una ecuación puede simplificarse al agrupar términos de un mismo lado del signo igual o al efectuar la misma operación en ambos miembros.

DESCUBRO MÁS

Por ejemplo, en la ecuación x + 0.15x = 828… Al agrupar los términos en el primer miembro, se obtiene 1.15x = 828; al dividir entre 1.15 ambos miembros, se obtiene x = 720.

¿Por qué x + 0.15x es igual a 1.15x? ¿Cuánto es x − 0.15x?

4. Resuelve las ecuaciones en tu cuaderno. a) x + 4x = 235

b) 184 = 5y – y

c) z + 0.05z = 45.15

d) a − 0.15a = 850

e) 43 + n + 24 + n = 137

f) m + __ ​​  1 ​​ m = 126 2

5. Para cada problema, contesta las preguntas y haz lo que se indica. a) Dos canastas, A y B, contienen fresas. La canasta A tiene 52 fresas más que la B y entre ambas canastas hay 520 fresas. Considera que x es la cantidad de fresas de B. •• Anota, en términos de x, la expresión algebraica que corresponde a la

DESCUBRO MÁS Si x es la cantidad de fresas de la canasta A, ¿cuál es, en términos de x, la expresión que indica la cantidad de fresas de B?

cantidad de fresas de A:  •• Escribe una ecuación que sirva para calcular cuántas fresas hay en cada canasta.

 •• Resuelve la ecuación anterior y completa los textos. A contiene

fresas.

B contiene

fresas.

b) De los tres ángulos de un triángulo, el ángulo B mide 30º más que el A y el ángulo C mide 12º menos que el B. •• Anota las expresiones algebraicas que corresponden a las medidas de los ángulos A, B y C. Considera que x es la medida del ángulo A. Ángulo A:

Ángulo B:

Ángulo C:

•• Escribe una ecuación para calcular las medidas de los ángulos y resuélvela.

 •• ¿Cuánto mide cada ángulo? Ángulo A:

Ángulo B:

Ángulo C: 87


Secuencia 12

Lección 39.

La incógnita en ambos miembros

1. Trabaja en equipo. En cada problema, respondan o hagan lo que se indica. a) Con base en la información del esquema, hay que encontrar un valor de s con el que se llegue al mismo resultado (m) por cualquiera de las dos rutas.

5s

•• ¿Qué expresión algebraica representa la ruta anaranjada?

 •• ¿Qué expresión algebraica corresponde a la ruta azul?

×5

−4

s

m +2

×3 s+2



•• ¿Qué ecuación expresa la igualdad entre las dos rutas?

 •• Resuelvan la ecuación anterior y escriban aquí la solución. 

MÁS IDEAS El signo igual no solo sirve para expresar un resultado, también se usa para relacionar dos expresiones que valen lo mismo.

•• Verifiquen que con el valor de s que encontraron se llega al mismo resultado (m) con ambas rutas. Ruta anaranjada:

Ruta azul:

b) Si un número se multiplica por 2 y luego se resta 5, se obtiene el mismo resultado que si ese número se resta de 22. •• Subrayen la ecuación que sirve para hallar dicho número. 2x − 5 = x − 22

2(x − 5) = x − 22

2x − 5 = 22 − x 2(x − 5) = 22 − x •• ¿Cuál es el número buscado?  •• Verifiquen que el número encontrado cumple con las condiciones del problema.

 2. Resuelve las ecuaciones. a) 3x + 2 = 2x + 5

 b) 5z − 7 = 13 − 3z

 88


Número, álgebra y variación • Ecuaciones ❋❋ Con ayuda del profesor, validen sus respuestas de las actividades 1 y 2. Comenten si usaron las mismas ecuaciones para resolver los problemas y si hicieron lo mismo para simplificarlas y encontrar la solución. 3. En el siguiente esquema se muestra una técnica para resolver ecuaciones. Anota lo que falta.

6(n + 1) = 4(n + 3)

Efectuar multiplicaciones para eliminar paréntesis

Reducir términos semejantes

Restar 6 en ambos miembros

6n + 6 − 6 = 4n + 12 − 6

Restar 4n en ambos miembros Reducir términos semejantes

Efectuar divisiones

2n  ​​ = __ ​​ __ ​​  62 ​​ 2

DESCUBRO MÁS ¿Cuánto es x + (70 − x)? ¿A qué datos del problema corresponde esa suma?

4. Resuelve el problema completando los textos. Las edades de una mamá y su hija suman 70 años. Dentro de 5 años, la edad de la mamá será el triple que la de la hija. ¿Cuál es la edad actual de la hija? Expresiones algebraicas de las edades actuales: hija: x ; mamá: 70 − x. Expresiones algebraicas de las edades en 5 años: hija:

; mamá: 

Ecuación que relaciona los datos del problema:  Edades actuales: hija:

; mamá:

5. Responde para resolver el problema. Trabaja en tu cuaderno. Hilda y Jorge tenían $2 500.00 entre los dos, pero Jorge le dio $500.00 a Hilda y ahora ella tiene cuatro veces lo que tiene él. ¿Cuánto dinero tenía Jorge inicialmente? a) Si en un principio Jorge tenía x pesos, ¿cuánto tenía Hilda en términos de x? b) Si Jorge le dio $500.00 a Hilda, ahora tiene x − 500. ¿Cuánto tiene Hilda? c) El dinero actual de Hilda es cuatro veces lo que tiene Jorge. ¿Qué ecuación expresa esta relación? d) ¿Cuál es la solución de la ecuación anterior? e) ¿Cuánto dinero tenía Jorge al inicio? f) ¿Cuánto tenía Hilda originalmente? 89


Secuencia 12

Lección 40.

Problemas diversos

1. Une, mediante líneas, cada problema con la ecuación que lo resuelve.

Problemas

Ecuaciones

a) El perímetro de un rectángulo es 1 500 m. Si el largo excede al ancho en 1.5 m, ¿cuánto miden los lados de la figura? b) Una varilla de 16.5 cm se dividió en tres partes, de manera que cada una excede en 1.5 cm a la anterior. ¿Cuánto mide cada parte?

MÁS IDEAS 12% puede expresarse 12  ​​, o bien, como como ___ ​​  100 0.12.

c) El costo de un juguete más el envío es 16.50 dólares. El envío cuesta 20% del costo del juguete. ¿Cuánto vale el juguete? d) Un comerciante vende una chamarra en $750.00 y obtiene una ganancia de 20% sobre el costo original. ¿Cuál es el costo original de la chamarra?

x + 0.20x = 16.50 x + x + 1.5 + x + 3 = 16.5 x + x + 1.5 = 750 x + x + 0.20 = 16.50 x + 0.20x = 750 x + x + 0.20 = 750

2. A partir de la actividad anterior, anota los datos que faltan en la tabla. Resuelve las ecuaciones en tu cuaderno.

Problema

Expresiones algebraicas de los datos

Ecuación

Solución

Largo:

Largo:

Ancho:

Ancho:

Parte corta:

Corta:

Parte media:

Media:

Parte larga:

Larga:

Costo del juguete:

Costo del juguete:

Costo del envío:

Envío:

Costo original de la chamarra:

Costo original:

Ganancia:

Ganancia:

a)

b)

c)

d)

90

Comprobación


Número, álgebra y variación • Ecuaciones

Taller de matemáticas 1. Resuelve los problemas.

DESCUBRO MÁS

a) La suma de tres números es 128. El segundo número es el doble del primero y el tercero supera en tres unidades al segundo. ¿Cuáles son los números?

Expresiones algebraicas

Ecuación y solución

¿Por qué x − 0.30x es igual a 0.70x?

Respuesta

b) Después de aplicar un descuento de 30%, el precio de venta de una camisa es $350.00. ¿Cuál es el precio sin descuento de la prenda?

Expresiones algebraicas

Ecuación y solución

Respuesta

c) Un lado de un triángulo mide el doble de otro, el tercer lado mide 6 cm y el perímetro es 18 cm. ¿Cuánto mide cada lado de la figura?

Expresiones algebraicas

Ecuación y solución

Respuesta

2. En el primer diagrama, encuentra el valor de x y los números de las casillas vacías. En el segundo diagrama, halla el valor de x y los valores de A y B. Usa ecuaciones para resolver los acertijos. 14

a) El número que falta en cada casilla vacía corresponde a la suma de los dos que tiene arriba.

16

x



48



x

 b) Cada número sobre un lado del triángulo corresponde a la suma de los números en los vértices que forman ese lado.

26

24

  

A

34

B

91


SECUENCIA

13

Factores de proporcionalidad Lección 41.

Copias de copias 1. Se harán tres copias del plano que se muestra: las medidas de la copia A serán el triple de las del dibujo original; las medidas de B, el doble de las de la copia A; las de C, el doble de las de B.

a

b c

d

a) ¿Cuántas veces serán más grandes las medidas de B que las originales?

 b) ¿Y las de la copia C?  e

c) Anota las medidas que faltan en la tabla.

Plano original

MÁS IDEAS Aplicar el factor de escala × 2 a una figura y asignarle a la figura resultante el factor × 3 equivale a utilizar desde el principio el factor × 6.

f

Medida a

7

Medida b

2

Medida c

3

Copia A

Copia B

Copia C

Medida d Medida e Medida f d) En el esquema, los números de los óvalos indican por cuánto se deben multiplicar las medidas de un dibujo para obtener las de otro (son los factores de escala). Encuentra y anota los que faltan.

× × ×3

Plano original

DESCUBRO MÁS Se aplica el factor de escala m y después el n. ¿Es posible obtener lo mismo usando un solo factor?, ¿cuál? 92

Medida a

7

Medida b

2

×2

Copia A

×2

Copia B

Copia C

❋❋ Valida tus resultados con el grupo. Analicen la información de la cápsula “Descubro más” y comenten si alguno usó un método similar para llenar las tablas.


Número, álgebra y variación • Proporcionalidad 1 ​​de las originales, es decir, cua2. Considera otras dos copias: las medidas de D son ​​ __ 4 tro veces menores; las medidas de E son tres veces mayores que las de D.

a) En la tabla, calcula y anota las medidas de las copias D y E. También escribe, en el óvalo superior, el factor de escala que, aplicado a las medidas originales, produce las de E.

× × __ ​​  14 ​​

Plano original Medida a

7

Medida b

2

Medida c

3

×3

Copia D

Copia E

Copia F

Medida d Medida e Medida f 3 b) Las medidas de la copia F son ​​ __  ​​de las del dibujo original. Calcula sus medidas 4 y anótalas en la tabla anterior.

Aplicar el factor de escala × __ ​​  34 ​​ equivale a producir primero una reducción con 1 ​​ y después una ampliación factor × ​​ __ 4 con factor × 3.

DESCUBRO MÁS La copia F debe ser igual a la E. ¿Por qué?

× __ ​​  34 ​​ × __ ​​  14 ​​

×3

c) Si se aplican los factores en otro orden, es decir, si primero se amplía × 3 y después se reduce × __ ​​ 14 ​​, ¿se obtiene una copia igual o diferente a la anterior? Calcúlalo.

DESCUBRO MÁS

× __ ​​  14 ​​

×3

Se aplica a una figura el factor de escala × 4. Enseguida, a la copia obtenida se le aplica el factor de escala × __ ​​ 14 ​​. ¿La figura final es mayor, menor o igual que la inicial?

Plano original Medida a Medida b 3. Anota los factores que faltan.

× __ ​​  23 ​​ ×2

×3

× __ ​​  12 ​​

× __ ​​  13 ​​

× __ ​​  13 ​​

93


Secuencia 13

Lección 42.

Bicicleta con cambios de velocidad

1. Para que te familiarices con los engranajes, organízate con tu grupo para llevar una bicicleta al salón. Comenten lo siguiente.

¿Qué bicicletas son más comunes en tu localidad: con o sin velocidades?

a) Las bicicletas sin velocidades tienen una rueda dentada (plato) en la que se coloca el pedal y otra más pequeña (piñón) fija a la rueda trasera. •• Cuando el pedal da una vuelta, el plato también da una y el piñón da… ¿más de una vuelta o menos?

 b) Las bicicletas de velocidades tienen piñones de distinto tamaño. •• ¿Cuándo cuesta más trabajo girar el pedal: en el momento en que la cadena está sobre el engranaje más pequeño o cuando está sobre el más grande?

 •• ¿Por qué piensas que sucede eso?  •• Si se quiere que con cada vuelta del pedal la llanta trasera avance lo más posible, ¿qué piñón se debe usar? 

DESCUBRO MÁS Un engrane X tiene el triple de dientes que un engrane Y. Cuando el engrane X da una vuelta, ¿cuántas da el engrane Y?

2. Las ruedas A y B están engranadas (giran juntas). A tiene 24 dientes; B, 12.

A

B

a) Cuando A da una vuelta, ¿cuántas da B? b) Completa la tabla.

Vueltas que da A Vueltas que da B

1

3

6

8 30

32

40

60

c) El número de vueltas de B es proporcional al de A. ¿Qué significa esto?

  d) ¿Qué factor, al multiplicar las vueltas de A, da el número de vueltas de B? 94


Número, álgebra y variación • Proporcionalidad El factor de proporcionalidad es el número que al multiplicar (o al dividir) el número de vueltas de una rueda, arroja el número de vueltas correspondientes de otra rueda. e) Anota, en el óvalo junto a la tabla anterior, el factor de proporcionalidad correspondiente. C B

3. La rueda B tiene doce dientes; la C, 36. a) Cuando B da una vuelta, ¿C da menos o más de una?  b) ¿Cuántas vueltas da C cuando B da tres?

c) ¿Qué fracción de vuelta da C cuando B da una vuelta?  d) Completa la tabla.

Vueltas que da B

1

3

Vueltas que da C

6 2

4

5

10

1 ​​del de B. Esa fracción es un factor e) Verifica que el número de vueltas de C es ​​ __ 3 de proporcionalidad. Anótalo en el óvalo correspondiente.

C

A

4. En este engranaje, A tiene 24 dientes; B, 12; y C, 36.

B

a) Si A da tres vueltas, ¿cuántas da B?  ¿Y cuántas da C? b) Completa la tabla y verifica que… •• al multiplicar las vueltas de A por 2 se obtienen las de B. 1 ​​ •• al multiplicar las vueltas de B por ​​ __ 3 (o al dividirlas entre 3) se obtienen las de C.

A

B

__ ​​  12 ​​

1

1

2 3

c) Los dos números del inciso anterior son factores de proporcionalidad. Anótalos en los óvalos correspondientes.

1

4 5 3

d) ¿Qué factor aplicado a las vueltas de A arroja las de C? Escríbelo en el óvalo que corresponde.

C

__ ​​  53 ​​

6 7 8

​​ __73 ​​

MÁS IDEAS Multiplicar una cantidad por m y el resultado por __ ​​  1n ​​  equivale a multiplicar directamente por __ ​​  m n   ​​. 95


Secuencia 13

Lección 43.

Otros engranajes

1. Las ruedas A, B y C están engranadas. A tiene 120 dientes; B, 60; y C, 12.

A

B C

a) Si A da una vuelta, ¿cuántas da B? ¿Y cuántas da C?

×2

b) Completa la tabla.

A

c) Anota, en los óvalos, los factores de proporcionalidad.

1

B

C

5 6

2. En otro engranaje, cuando D completa tres vueltas, E da una.

1 1

a) ¿Qué rueda es más grande?

b) ¿Cuántos dientes podría tener cada una? Encuentra al menos dos soluciones. •• Primera solución. D: •• Segunda solución. D:

, E: , E:

3. Las ruedas D, E y F están engranadas. Cuando D da tres vueltas, E completa una; si E da dos vueltas, F da una.

× __ ​​  12 ​​

D

E

3

1 2

a) ¿Qué rueda es la mayor?

F 1

12 ¿Cuál es la menor?

ME COMPROMETO Cuando detecto que mi compañero se equivocó, se lo hago notar de manera respetuosa y constructiva. Cuando me hacen ver mis errores, me esfuerzo por aprender de ellos.

96

6

b) Completa la tabla y anota, en los óvalos, los factores de proporcionalidad.

4

c) ¿Cuántos dientes podría tener cada rueda? Halla al menos dos soluciones. •• Primera solución. D: •• Segunda solución. D:

, E: , E:

, F: , F:

❋❋ Compara tus resultados con los de tus compañeros. Si hay diferencias, averigüen a qué se deben y corrijan lo necesario.


Número, álgebra y variación • Proporcionalidad 4. Las ruedas G, H e I están engranadas. Cuando G da cuatro vueltas, H completa una e I, tres. a) ¿Qué rueda es la mayor?

¿Y la menor?

¿Cómo lo sabes?

 

c) ¿Cuántos dientes podría tener cada rueda? Encuentra al menos dos soluciones. , H:

En un reloj, el engranaje de la manecilla de las 1  ​​ de vuelta horas avanza __ ​​  12 cuando el de los minutos, 1 vuelta. ¿Cuántos dientes podría tener cada engranaje?

× __ ​​  34 ​​

b) Completa la tabla y anota los factores de proporcionalidad.

•• Primera solución. G:

DESCUBRO MÁS

G

H

I

4

1

3

, I: 1

•• Segunda solución. G:

, H:

, I:

❋❋ Valida tus respuestas con el resto del grupo. Comenten la información del siguiente recuadro. Aplicar el factor de proporcionalidad × __ ​​  a ​​ equivale a aplicar sucesivamente los b 1 factores × a y × __ ​​   ​​ (este último equivale a dividir entre b). b

Taller de matemáticas 1. En cada tabla se indican las vueltas de tres ruedas engranadas. Complétalas y anota los factores de proporcionalidad.

J

K

L

M

N

O

3

6

12

15

5

1

1

2

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

6

2

1

12

2

10

3

12

3

3

1

4

97


SECUENCIA

14

¿Tu escuela cuenta con un buen botiquín?

Variación lineal II Lección 44.

Costos de producción

1. Analiza la información y haz lo que se pide o responde. Los alumnos de una escuela harán cajitas de cartón para regalo y las venderán entre familiares y amigos; el dinero recaudado se usará para renovar el botiquín escolar. Tres alumnos presentaron proyectos con los costos de producción que se muestran a continuación.

Proyecto de Leticia Se requiere una inversión inicial de $30.00 y cada caja tiene un costo de producción de $3.00.

Número de cajas

0

1

2

Costo de producción ($)

30

33

36

3

4

5

10

20

50

Proyecto de Martín El costo de producción por caja es de $4.00. No se requiere inversión inicial.

Número de cajas

0

Costo de producción ($)

1

2

3

4

4

5

10

20

40

20

50

Proyecto de Marcela Se requieren $100.00 para la inversión inicial; fabricar cada caja cuesta $2.00.

Número de cajas

0

1

Costo de producción ($)

100

102

2

3

4

5

10

20

50

a) Completa las tablas anteriores. b) Si se requiere fabricar 60 cajas, ¿qué proyecto tiene menor costo de producción?

DESCUBRO MÁS ¿A partir de qué cantidad de cajas el proyecto de Marcela es siempre más barato que los otros dos?

98

¿Cuál es ese costo?

c) ¿Con qué proyecto es más barato fabricar 100 cajas? ❋❋ Valida tus respuestas y procedimientos con otros compañeros. Identifiquen en qué proyecto hay una relación de proporcionalidad entre la cantidad de cajas y el costo de producción. Para los proyectos en los que la relación no es de proporcionalidad, argumenten cómo lo determinaron.


Número, álgebra y variación • Funciones 2. Considera que x es el número de cajas producidas y c, el costo de producción. Subraya la regla de correspondencia de cada proyecto. Proyecto de Lety: x = 30 + 3c

c = 3x + 30

x = 3 + 30c

c = 30x + 3

c = x + 4

x = 4c

x=c+4

c = 100x + 2

x = 2 + 100c

c = 2x + 100

Proyecto de Martín: c = 4x Proyecto de Marcela: x = 100 + 2c

3. Completa las tablas. Los datos provienen de los proyectos de otros cinco alumnos.

Regla de correspondencia

Costo de producción de cada caja ($)

Inversión inicial ($)

3.5

20

1.2

500

c = 1.5x + 200 c = 5x

DESCUBRO MÁS A partir de cierta cantidad de cajas hay un proyecto que siempre es más barato que los demás, ¿cuál es su regla de correspondencia?

c = 2.5x + 75

4. Las tablas son de los proyectos de otros tres alumnos. Anota debajo de cada una su regla de correspondencia.

Número de cajas

Costo total ($)

Número de cajas

Costo total ($)

Número de cajas

Costo total ($)

0

10

0

25

0

0

1

15

1

29

1

4.5

2

20

2

33

2

9

3

25

3

37

3

13.5

4

30

4

41

4

18

5

35

5

45

5

22.5

❋❋ Compara tus respuestas y procedimientos con los de tus compañeros. Comenten cómo encontraron la regla de correspondencia a partir de cada tabla y cómo pueden verificar que es la correcta. 99


Secuencia 14

Lección 45.

Automóviles en carretera

1. Trabaja en equipo. Consideren las siguientes situaciones de tres automóviles en una carretera. Automóvil A: inicia en el kilómetro 0 y avanza a una velocidad promedio de 60 km/h. Automóvil B: inicia en el kilómetro 60 y avanza a una velocidad promedio de 60 km/h. Automóvil C: se encuentra detenido en el kilómetro 60. a) Junto a cada recta, anoten A, B o C, según el automóvil al que corresponde. y 250

Distancia (km)

200

150

100

50

x 0 1 2 3 Tiempo (h)

DESCUBRO MÁS Si la regla de correspondencia es d = 60t + 60, ¿en cuánto tiempo llega el vehículo al kilómetro 300?

MÁS IDEAS Una manera de comprobar si un punto pertenece a una recta es sustituir las coordenadas del punto en la regla de correspondencia y verificar si se cumple la igualdad.

100

b) Anoten A, B o C debajo de cada expresión algebraica, según el automóvil al que corresponde. Consideren que t es el tiempo (en horas ) y d, la distancia (en kilómetros). d = 60t + 60

d = 60

d = 60t

c) Escriban A, B o C debajo de cada pareja de coordenadas para indicar a qué recta pertenece cada punto. Pueden asignar más de una letra a cada pareja. (0, 0)

(0, 60)

(1, 60)

(1, 120)

(2, 60)

(2, 120)

❋❋ Comparen sus respuestas con las de otro equipo y comenten cómo identificaron las gráficas y las reglas de correspondencia. Para cada punto del inciso c), expliquen cómo se interpretan las coordenadas; por ejemplo, ¿qué señala el 2 en el punto (2, 60)?, ¿qué indica el 60?, ¿cómo se interpretan ambas coordenadas juntas?


Número, álgebra y variación • Funciones 2. Las gráficas muestran la relación entre la distancia recorrida y el tiempo transcurrido para tres automóviles que avanzan a distinta velocidad promedio. y 250

D F

Distancia (km)

200

150

100

E

50

x

0 1 2 Tiempo (h)

a) Describan la situación de cada automóvil, es decir, en qué kilómetro se encuentran cuando inician el conteo de tiempo y a qué velocidad avanzan. D:  E: 

MÁS IDEAS

F:  b) Completen la tabla. Cada regla de correspondencia asocia a la cantidad de tiempo trascurrido (x) y la distancia recorrida por el vehículo (y).

Kilómetro en el que inicia

Automóvil

Velocidad a la que avanza (km/h)

Regla de correspondencia

Verde

y = 120x

Azul Rojo c) A continuación se muestran las coordenadas de varios puntos; algunos de ellos no están en la gráfica anterior, pero es posible saber de qué recta son. Anoten D, E o F debajo de cada pareja de coordenadas para indicar a qué recta pertenece cada punto. (1, 120)

(1.5, 180)

(2, 90)

(5, 90)

(8, 960)

(10, 750)

❋❋ Comparen sus respuestas con las de otros equipos. Comenten cómo identificar en las rectas el kilómetro en el que está cada automóvil y cómo calcular la velocidad a la que va. Platiquen también cómo se puede saber si un punto de ciertas coordenadas pertenece o no a una recta a partir de la regla de correspondencia.

La regla de correspondencia indica la relación que hay entre las coordenadas de los puntos de una gráfica. Por ejemplo, si la regla es y = 20x + 30, significa que en las coordenadas de cada punto el valor de y es 20 veces el valor de x, más 30.

MÁS IDEAS Una recta puede prolongarse tanto como se quiera; por ejemplo, las rectas de la actividad 2 podrían extenderse hasta saber cuántos kilómetros ha recorrido cada automóvil después de 10 horas.

101


Secuencia 14

Lección 46.

Recipientes con agua

1. Trabaja en equipo. Analicen la información y respondan o hagan lo que se pide. A un recipiente vacío se le agrega cierta cantidad de agua y se pesa el contenedor: la báscula marca 50 g. Después se agrega otra porción de agua idéntica a la anterior: ahora el recipiente y el líquido pesan 70 g. a) Imaginen que se continúan agregando cantidades idénticas de agua. Completen la tabla.

Porciones de agua

0

1

2

3

4

5

Peso del recipiente (gramos) b) Tracen la gráfica correspondiente. y 150

MÁS IDEAS En la regla de correspondencia y = 2x + 5, el 2 es el coeficiente de la x. En la gráfica, este número se obtiene al analizar cuánto aumenta (o disminuye) la y cuando la x aumenta una unidad.

Peso total (g)

100

50

0 1 2 3 4 5 6 Porciones de agua

x

c) ¿Cuál es la regla de correspondencia que relaciona el número de porciones de agua (x) con el peso del recipiente (y)?

 ❋❋ Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Comenten, para la regla de correspondencia que encontraron, ¿qué número representa el peso del recipiente vacío?, ¿cuál representa el peso de cada porción de agua?, ¿dónde se observan estas cantidades en la gráfica? 102


Número, álgebra y variación • Funciones 2. Completa la tabla. Esta indica situaciones similares a las de la actividad 1, con otros recipientes a los que se les agrega porciones idénticas de agua.

Regla de correspondencia

Peso de cada porción de agua (g)

Peso del recipiente vacío (g)

35

50

50

100

DESCUBRO MÁS Una regla de correspondencia es y = 60x + 200. Si el peso del recipiente con agua es 800 g, ¿cuántas porciones de agua tiene?

y = 30x + 50 y = 25x + 30

y = 35x + 50

3. La gráfica corresponde a otros recipientes a los que se les agrega porciones iguales de agua. y 150

Peso total (g)

100

50

0 1 2 3 4 5 6 Porciones de agua

x

a) Completa la tabla.

Recta verde

Recta azul

Peso del recipiente vacío Peso de cada porción de agua Regla de correspondencia ❋❋ Compara tus respuestas con las de dos o tres compañeros. Comenten cómo encontraron el peso de cada porción de agua a partir de la gráfica. 103


Secuencia 14

Lección 47.

¡Vámonos de excursión!

1. Los alumnos del grupo 1º A planean ir de excursión y necesitan rentar un autobús. Han consultado los precios que ofrecen tres líneas de autobuses de acuerdo con la distancia del viaje.

Línea A Kilómetros Costo ($)

MÁS IDEAS En cada línea de autobuses, el aumento en la tarifa por cada 20 km se mantiene constante.

Línea B Kilómetros Costo ($)

Línea C Kilómetros Costo ($)

20

2 200

20

3 000

20

1 600

40

3 400

40

4 000

40

3 200

60

4 600

60

5 000

60

4 800

80

5 800

80

6 000

80

6 400

100

7 000

100

7 000

100

8 000

a) Si van a un lugar que está a 20 km de la escuela, ¿qué línea les conviene rentar?

 b) ¿Y si van a un lugar a 60 km de la escuela?  c) ¿Y para un lugar a 120 km?  d) ¿Cuánto se paga en cada línea por un viaje de 200 km? Línea A:

Línea B:

Línea C:

❋❋ Compara tus resultados con los de otros compañeros. Comenten si el costo de un viaje de 200 km es el doble del costo de un viaje de 100 km en cada línea de autobuses. 2. Trabaja en equipo. a) Anoten la regla de correspondencia que relaciona la cantidad de kilómetros (x) con el costo (y) para cada línea de autobuses. Línea A:

Línea B:

Línea C:

b) Tracen las gráficas correspondientes en su cuaderno. Analícenlas y respondan. •• ¿Para qué distancias conviene contratar la línea A?  •• ¿Y la línea B?  •• ¿Y la C?  104


Número, álgebra y variación • Funciones ❋❋ Comparen sus respuestas con las de otros equipos. Comenten cómo encontraron las reglas de correspondencia y qué significa cada uno de los números de dichas expresiones.

Taller de matemáticas 1. Con la longitud del fémur se puede calcular la estatura aproximada de una persona. a) Representa algebraicamente las relaciones de los recuadros; expresa la medida del fémur con x y la estatura con y. Mujer: Hombre: b) En las expresiones anteriores, ¿qué significa el número que multiplica a la variable x?

 Fémur

    c) ¿Cuál es la estatura de una mujer cuyo fémur mide 45 cm? 

Estatura aproximada de una mujer: 47 cm más 2.6 veces la longitud del fémur

DESCUBRO MÁS Si y = 7x + 9, entonces ¿x = ...?

¿Y para el caso de un hombre? 

d) ¿Cuánto mide el fémur de un hombre de 1.79 m de estatura?

Estatura aproximada de un hombre: 64 cm más 2.3 veces la longitud del fémur



¿Y el de una mujer de 1.51 m de estatura?  e) ¿Cuál es tu estatura?  Según la expresión algebraica del primer inciso, ¿cuánto mide tu fémur?  f) Traza, en tu cuaderno, las gráficas correspondientes a las expresiones que hallaste en el inciso a).

105


SECUENCIA

15

Sucesiones Lección 48.

Mosaicos

1. Trabaja en parejas. Para cada sucesión de figuras, dibujen la quinta figura y completen la tabla.

Sucesión A

Figura 1

DESCUBRO MÁS Si la sucesión A continúa, ¿alguna figura tendrá 9 999 mosaicos? ¿Cómo lo sabes?

Figura 2

Número de figura

Figura 3

1

2

Figura 4

3

4

Figura 5

5

50

100

Cantidad de mosaicos Sucesión B

Figura 1

Figura 2

Número de figura

Figura 3

1

2

Figura 4

3

4

Figura 5

5

50

100

Cantidad de mosaicos Sucesión C

Figura 1

sucesión: conjunto

ordenado de objetos matemáticos (números, figuras, líneas…). 106

Figura 2

Número de figura Cantidad de mosaicos

Figura 3

1

2

Figura 4

3

4

Figura 5

5

50

100


Número, álgebra y variación • Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes

Sucesión D

Figura 1

Número de figura

Figura 2

1

2

Figura 3

3

4

5

Figura 4

50

100

Cantidad de mosaicos

Figura 5

MÁS IDEAS La sucesión D es muy parecida a la C. Esto ayuda a completar una tabla a partir de la otra.

Sucesión E

Figura 1

Número de figura

Figura 2

1

2

Figura 3

3

4

5

Figura 4

50

Figura 5

100

Cantidad de mosaicos 2. Escriban un método para calcular la cantidad de mosaicos a partir del número de figura de las sucesiones de la actividad anterior. Observen el ejemplo. A: Se multiplica el número de figura por 2. B: 

DESCUBRO MÁS Una figura de la sucesión D tiene 3 998 mosaicos, ¿qué número de figura es?

 C:   D:   E:   ❋❋ Con el resto del grupo, validen sus respuestas de las actividades 1 y 2. Comenten si los métodos para calcular la cantidad de mosaicos son los mismos para cada sucesión o hay algunos que, aunque sean diferentes, arrojan los mismos resultados. 107


Secuencia 15

Lección 49.

Símbolos en lugar de palabras

1. Considera la siguiente sucesión de figuras formadas con palillos.

Sucesión F

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

a) Dibuja la cuarta figura y completa la tabla.

Número de figura

1

2

3

4

5

50

100

Cantidad de palillos b) ¿Cómo se calcula la cantidad de palillos a partir del número de figura?

 c) Completa el siguiente texto. La figura 8 tendrá 3 × 8 palillos; la figura 17, 3 × 17 palillos; la 1 000, palillos; la figura n,

palillos.

Cuando se usan letras, como n, para representar números, no se emplea el signo × para indicar multiplicación porque puede confundirse con la letra equis (x). En lugar de escribir 3 × n, se anota 3n, que significa “tres por n” o “tres veces n”.

DESCUBRO MÁS Si n vale 1, ¿cuánto valen las siguientes expresiones? 5n 5n + 1 5n − 4 ¿Y si n vale 2?

2. A partir de los métodos que propusiste en la actividad 2 de la lección anterior, escribe expresiones para la cantidad de mosaicos que se emplearán para la figura n de cada sucesión. Observa el ejemplo. Sucesión A: 2n Sucesión B:  Sucesión C:  Sucesión D:  Sucesión E:  Sucesión F:  ❋❋ En grupo y con ayuda del profesor, valida las respuestas de la actividad 2. Comenten si hay expresiones que se escriben de manera diferente a pesar de que son equivalentes, es decir, arrojan siempre el mismo resultado

108


Número, álgebra y variación • Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes

Taller de matemáticas 1. Completa la tabla para cada sucesión y responde.

MÁS IDEAS

Sucesión G

Figura 1

Número de figura

Figura 2

1

2

3

4

La cantidad de rombos en la sucesión G es la misma que la del número de figura, es decir, la figura 1 tiene un rombo; la 2, dos rombos; la n, n rombos.

Figura 3

5

50

100

n

Cantidad de rombos Cantidad de triángulos Total de polígonos Sucesión H

Figura 1

Número de figura

Figura 2

1

2

3

4

Figura 3

5

50

100

n

Cantidad de hexágonos Cantidad de triángulos

MÁS IDEAS La expresión para n del total de polígonos corresponde a la suma de las expresiones anteriores en esa columna.

Cantidad de cuadrados Total de polígonos a) Una figura de la sucesión H tiene 38 cuadrados. ¿Cuántos hexágonos tiene esa figura? ¿Y cuántos triángulos? b) Una figura de la sucesión G tiene en total 101 polígonos. ¿Cuántos rombos tiene? ¿Y triángulos? c) ¿Qué figura de la sucesión H tiene 178 polígonos en total? dos tiene dicha figura?

¿Cuántos cuadra-

¿Y hexágonos?

109


Secuencia 15

Lección 50.

Construcción de sucesiones

1. Trabaja en pareja. Consideren la sucesión de números. 4, 9, 14, 19, 24, 29… a) Subrayen la expresión que funciona como regla para generar la sucesión anterior. 5n 5n + 1

5n − 1

b) ¿Cómo la supieron?

  

La regla de una sucesión es “multiplicar por 5 el lugar que ocupa el término y sumar 6 al resultado”. ¿Cómo lo expresas algebraicamente? ¿Y si la regla fuera “restar 3 al cuádruple del lugar que ocupa el término”?

2. Completen la tabla para generar sucesiones de números. El renglón de la expresión 7n ya está resuelto.

Valores de n

Expresión de la sucesión

DESCUBRO MÁS

7n

1

2

3

5

10

50

100

7

14

21

35

70

350

700

n + 10 n−1 3n − 1 7n − 7

❋❋ Validen sus respuestas con otra pareja de compañeros. Comenten cómo se calculan los términos de una sucesión a partir de su expresión. Analicen juntos la siguiente información. Las expresiones como… n + 6

3n 4n + 2

se llaman expresiones algebraicas. La literal (letra) puede tomar diferentes valores. Cuando la expresión algebraica se usa para generar una sucesión de números, n representa el lugar que ocupa cualquier término. Por ejemplo, en la sucesión cuya expresión es 4n + 2, el término que está en el quinto lugar es 4 × 5 + 2 = 22. El término que está en el lugar 100 es 4 × 100 + 2 = 402.

110


Número, álgebra y variación • Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes 3. Relacionen cada sucesión con la expresión algebraica que la genera. a) 2n − 6

(

) 1, 3, 5, 7…

b) 2n

(

) −4, −2, 0, 2…

c) 2n − 1

(

) −4, −9, −14, −20…

d) n − 15

(

) 2, 4, 6, 8…

e) −5n + 1

(

) −14, −13, −12, −11…

DESCUBRO MÁS Cuando cada término de una sucesión es mayor que el anterior se dice que la sucesión es creciente. Si cada término es menor que el anterior, la sucesión es decreciente. ¿Qué sucesiones de las que has trabajado en esta lección son crecientes?, ¿y cuáles, decrecientes?

4. Anoten los primeros cinco términos de la sucesión que genera cada expresión algebraica. 1 ​​  n + 1: a) ​​ __ 2

b) 0.6 + 0.1n: c) −n + 1: d) −2n: 5. Inventa una regla de correspondencia para una sucesión… a) en la que todos sus términos sean positivos:  b) en la que todos sus términos sean negativos: 

MÁS IDEAS A la expresión algebraica que genera una sucesión de números se le llama regla de correspondencia o regla general.

c) que tenga términos fraccionarios:  d) que tenga términos con punto decimal:  e) en la que cada término sea mayor que el anterior:  f) en la que cada término sea menor que el anterior:  g) que sea creciente, pero tenga términos negativos:  h) que sea decreciente, pero tenga términos positivos:  i) que corresponda a los números impares (1, 3, 5…):  j) que comience en −7 y sea creciente:  ❋❋ Valida con un compañero las respuestas de las actividades 3, 4 y 5. Si tienen dudas en las respuestas de la actividad 5, usen las reglas de correspondencia que propusieron para calcular algunos términos de cada sucesión y ver si cumplen con las características indicadas.

TIC MÁS Usa una hoja de cálculo para generar sucesiones.

111


Secuencia 15

Lección 51.

Diferentes pero equivalentes

1. Trabaja en grupo. Analicen los tres diferentes razonamientos con los que se puede obtener la regla de la sucesión mostrada y completen la tabla. En los tres casos, n es el número de figura y la regla debe arrojar el número de palillos a partir del número de figura.

Figura 1

MÁS IDEAS La expresión 3n − (n −1) equivale a 3n − n + 1

Figura 2

Razonamiento Se considera la herradura de la figura 1 formada por 3 palillos. El número de herraduras es igual a n, pero hay que restar los palillos que se cuentan doble (rojos).

Figura 3

Ayuda visual Figura 1

Figura 2

Regla Figura 3 3n − (n − 1)

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 1

Figura 2

Figura 3

El número de palillos rojos es igual a n. El número de palillos azules es igual a n + 1.

Se consideran las esquinas que se forman con dos palillos. El número de estas es igual a n. Luego hay que sumar un palillo (el de color café).

MÁS IDEAS Una forma de comprobar que dos reglas de una sucesión son equivalentes es dar valores a n y comprobar que se generan los mismos números con cada regla.

❋❋ Con ayuda del profesor, validen las reglas que escribieron. Si respondieron bien, las expresiones de la tercera columna deben ser equivalentes. 2. Trabaja en equipo. En la tabla se muestran dos expresiones que funcionan como regla general de la sucesión mostrada. Comenten cómo se obtuvieron ambas expresiones y verifiquen que sean equivalentes.

Figura 1

112

Figura 2

Figura 3


Número, álgebra y variación • Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes

Ayuda visual

Figura 1

Regla

Figura 2

Figura 3 4n + 3

Figura 1

Figura 2

Figura 3 2(2n + 1) + 1

Taller de matemáticas 1. Completa la tabla a partir de la sucesión. Después, responde o haz lo que se pide.

Figura 1

Número de figura Cantidad de hexágonos Cantidad de triángulos Cantidad de rombos Cantidad de trapecios Total de polígonos

Figura 2

1

2

Figura 3

3

4

5

n

a) Verifica que la expresión algebraica del total de polígonos corresponde a la suma de las expresiones anteriores.

DESCUBRO MÁS

b) Una figura de la sucesión anterior tiene 44 triángulos, ¿qué número de figura es?  c) Otra figura de la sucesión tiene 22 triángulos, ¿cuántos hexágonos tiene?

¿Y

cuántos rombos? d) ¿Hay una figura de la sucesión que tenga 100 polígonos en total? sabes? 

¿Cómo lo

Inventa una sucesión de figuras en la que cada una tenga distintos tipos de polígonos y encuentra la expresión algebraica para el total de polígonos de la figura n.

113


SECUENCIA

16

Ángulos, triángulos y cuadriláteros Lección 52.

¿Cómo influye la inclinación de una escalera en su seguridad y facilidad de uso?

El barandal I

1. Trabaja en pareja. Respondan sin medir los ángulos (más adelante podrán comprobar si sus respuestas son correctas).

E

F

B C J K

H

G

A D

I L

a) Marquen con rojo cinco ángulos que midan lo mismo que el ángulo A y con azul cinco ángulos que midan lo mismo que el B.

MÁS IDEAS

El símbolo ∡A se lee “Medida del ángulo A”.

DESCUBRO MÁS Si dos ángulos adyacentes forman una media vuelta y por tanto suman 180°, ¿cómo se puede obtener la medida de uno a partir de la del otro?

A = ¿? A + B = 180°

114

B = 68°

b) Consideren que el ángulo A mide 75° y anoten las medidas de los siguientes ángulos. ∡B =

∡C =

∡D =

c) Expliquen cómo determinaron la medida de cada ángulo. ∡B:  ∡C:  ∡D:  ❋❋ Comparen sus respuestas y explicaciones con sus compañeros de grupo y mencionen cómo supieron la medida del ángulo C. Después, lean y comenten la siguiente información. Los ángulos opuestos por el vértice son aquellos que comparten el mismo vértice y los lados de uno son prolongación de los lados del otro. Por ejemplo, los ángulos N y M son opuestos por el vértice.

N

M


Forma, espacio y medida • Figuras y cuerpos geométricos 2. Considera el barandal de la actividad 1. a) Anota tres parejas de ángulos opuestos por el vértice. •

y

y

y

b) Para averiguar cómo se relacionan las medidas de los ángulos opuestos por el vértice, completa el siguiente razonamiento. •• El ángulo A más el B suman 180° porque forman un ángulo de media vuelta. •• El ángulo C más el B suman vuelta. •• Como A y C suman

porque forman un ángulo de media

con el ángulo

, entonces A y C 

3. Calcula la medida de los ángulos que se indican.

M

115°

50°

N

A

B

100° Q

P

a) ∡M =

b) ∡A =

c) ∡P =

∡N =

∡B =

∡Q =

MÁS IDEAS R

S

x + 10°

x

x

C

x + 15° 5x

4x + 5°

D

G

d) ∡R =

e) ∡C =

f) ∡G =

∡S =

∡D =

∡H =

H

❋❋ Valida con tus compañeros las respuestas. En particular, comenten cómo son entre sí las medidas de dos ángulos opuestos por el vértice y qué ecuaciones plantearon en los casos que aparece la literal x.

En estos casos, la literal x representa una medida en grados; por ejemplo, uno de los ángulos mide x grados.

DESCUBRO MÁS Si x + 10° + x = 180°, ¿cuál es el valor de x? 115


Secuencia 16

Lección 53.

El barandal II

1. Trabaja en pareja. Ahora el ángulo A mide 60 grados.

A

B C

a) ¿Cuánto miden los ángulos B, C y D?

D

∡B = J

∡C =

K

I L

∡D = b) ¿Y los otros cuatro ángulos? ∡I =

∡J =

∡K =

∡L =

2. Analicen la información y completen la tabla que aparece después. rectas paralelas:

aquellas que, por más que se prolonguen, nunca se cortan; es decir, siempre conservan la misma distancia entre sí.

Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, se forman parejas de ángulos que tienen nombres específicos; por ejemplo, en la figura, A y E son ángulos correspondientes, mientras que A y G son ángulos alternos internos.

MÁS IDEAS

El símbolo ∠A se lee “Ángulo A”.

F E G H B A C D

Parejas de ángulos Características

Ángulos correspondientes ∠A y ∠E; ∠C y ∠G

¿Están del mismo lado de la transversal o de distinto lado?

¿Los dos ángulos están entre las dos rectas paralelas o fuera de ellas?

¿Tienen el mismo o diferente vértice?

¿Cómo son entre sí sus medidas?

116

Ángulos alternos internos ∠A y ∠G; ∠D y ∠F De distinto

Uno dentro y otro fuera


Forma, espacio y medida • Figuras y cuerpos geométricos

DESCUBRO MÁS

3. Para averiguar cómo se relacionan las medidas de los ángulos correspondientes, calca el dibujo que se muestra, corta por la línea punteada y pon encima del ángulo E su ángulo correspondiente A. a) ¿E y A tienen la misma o diferente

F

medida? 

G B

b) Escribe dos parejas de ángulos co-

Traza, en tu cuaderno, un sistema de rectas que no sean paralelas y que las corte una transversal. ¿Los ángulos correspondientes son iguales?

E H

A

C D

rrespondientes que no estén en la tabla anterior.  4. Para averiguar cómo se relacionan las medidas de los ángulos alternos internos, completa el siguiente razonamiento. Los ángulos A y E miden lo mismo por ser ángulos 

.

Los ángulos G y E miden lo mismo por ser 

.

Como los ángulos A y G miden lo mismo que el

ME COMPROMETO Ante un problema nuevo, echo mano de lo que ya sé; por ejemplo, en la ventana y en la puerta hay sistemas de paralelas y transversales que las cortan.

, entonces A y G

 ❋❋ Compara las respuestas con las de tus compañeros. Hagan un razonamiento similar al anterior para justificar que los ángulos D y F del barandal tienen la misma medida.

Taller de matemáticas 1. Calcula las medidas de los ángulos que se indican.

A

E B

H

62º

N

G

D C

F

M= 125º

P

Q

∡A =

∡B =

∡G =

∡N =

∡H =

117


Secuencia 16

Lección 54.

¿Cuánto suman? X

1. Haz lo que se indica. a) Traza en una hoja un triángulo cualquiera y recórtalo. Después, marca sus ángulos y nómbralos X, Y y Z.

Y

Z

Finalmente, corta sus tres ángulos y reacomódalos para formar uno solo. X

X

Y

Z

Y

Z

¿Cuánto es ∡X + ∡Y + ∡Z? b) Traza y recorta otro triángulo cualquiera, marca sus ángulos y nómbralos A, B y C. Haz los dobleces que marcan las líneas punteadas.

A

A B

C

B

A C

¿Cuánto es ∡A + ∡B + ∡C?

DESCUBRO MÁS

2. Trabaja en pareja. Las rectas anaranjadas son paralelas entre sí.

¿Cuánto mide cada ángulo de un triángulo equilátero? ¿Cuánto suman los ángulos agudos de un triángulo rectángulo? A

B

C D

E

MÁS LIBROS Si quieres aprender más sobre ángulos y rectas en un contexto lúdico, lee El billar no es de vagos. Ciencia, juego y diversión, de Carlos Bosch.

118

a) Marquen con color azul un par de ángulos alternos internos y con verde uno de ángulos correspondientes. b) ¿Cuánto suman los ángulos A, B y C? 


Forma, espacio y medida • Figuras y cuerpos geométricos c) Para comprobar su respuesta anterior, completen el siguiente razonamiento. Los ángulos D, C y E suman

porque forman un ángulo de media vuelta.

El ángulo A es igual al ángulo D porque son 

.

El ángulo B es igual al ángulo E porque son 

.

Entonces, A + C + B = del triángulo ABC suman

+C+

= 180°; es decir, los tres ángulos interiores vuelta.

❋❋ Verifiquen si llegaron a la siguiente conclusión; si no fue así, comenten por qué. Las medidas de los ángulos interiores de cualquier triángulo siempre suman 180° (media vuelta). 3. Considera los siguientes cuadriláteros.

a) ¿Supones que la suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero es siempre la misma?  b) Si tu respuesta anterior fue afirmativa, ¿cuánto consideras que es esa suma? 

 c) Para comprobar tus respuestas anteriores, haz y responde lo siguiente.

diagonal: segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono; por ejemplo, en la figura que se muestra, la línea punteada es una diagonal.

Traza una diagonal en cada cuadrilátero. ¿En cuántos triángulos se dividió cada cuadrilátero?  ¿Cuánto suman los ángulos interiores de cada triángulo?  Entonces, ¿cuánto suman los ángulos interiores de cada cuadrilátero?  ❋❋ Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Redacten una conclusión grupal acerca de la suma de los ángulos interiores de los cuadriláteros e ilústrenla con tres cuadriláteros diferentes. 119


Secuencia 16

Lección 55.

¿Posible o imposible?

1. Responde y haz lo que se pide. a) Si en un triángulo un ángulo mide 30° y otro 70°, ¿cuánto mide el tercer ángulo? b) Con base en las indicaciones, traza en tu cuaderno un triángulo que tenga un ángulo de 30° y otro de 70°. Verifica que el tercer ángulo mide lo que respondiste en la pregunta anterior. •• Se traza un segmento que será uno de los lados del triángulo.

•• Se coloca el transportador en un extremo del segmento y se traza un ángulo de 30 grados.

•• Se coloca el transportador en el otro extremo del segmento y se traza un ángulo de 70 grados.

•• Se verifica que el otro ángulo mida 80 grados.

❋❋ Valida las respuestas con tus compañeros. Comenten la siguiente información. ángulo agudo: aquel que

mide menos de 90 grados. ángulo recto: el que mide

90 grados. ángulo obtuso: aquel que mide más de 90 grados, pero menos de 180 grados.

Los triángulos que tienen… •• un ángulo recto se llaman triángulos rectángulos. •• un ángulo obtuso se denominan triángulos obtusángulos. •• tres ángulos agudos se llaman triángulos acutángulos. 2. Trabaja en equipo. Determinen y anoten si es posible o imposible construir un triángulo que sea al mismo tiempo… a) isósceles y acutángulo:  b) equilátero y rectángulo: 

120

.


Forma, espacio y medida • Figuras y cuerpos geométricos c) rectángulo e isósceles:  d) rectángulo y obtusángulo:  ❋❋ Comenten sus respuestas con el grupo. Para los triángulos que se pueden construir, tracen ejemplos; para los que no, argumenten por qué es imposible la construcción.

Taller de matemáticas 1. Responde o haz lo que se indica. a) Dos rectas se cortan formando cuatro ángulos iguales, ¿cuánto mide cada uno?  b) Si las rectas anaranjadas son paralelas… •• ¿cuánto mide el ángulo M?  •• ¿y el N? 

2x − 5º x + 20º

c) ¿Cuánto mide cada uno de los ángu-

M

los agudos de un triángulo rectángu-

N

lo isósceles?  d) Los ángulos interiores de un cuadrilátero miden x, 2x, 3x y 4x. ¿Cuántos grados mide cada uno?  2. Completa la tabla indicando si es posible o imposible construir cada figura y argumenta por qué.

Características de la figura Un triángulo con ángulos de 90, 20 y 60 grados.

¿Es posible o imposible?

¿Por qué?

DESCUBRO MÁS En cierto triángulo isósceles un ángulo mide 10° más que cualquiera de los otros dos. ¿Cuánto mide cada ángulo?

Un cuadrilátero con dos ángulos rectos y dos obtusos.

Un triángulo con ángulos de 1, 2 y 177 grados.

Un cuadrilátero con ángulos de 110, 70, 100 y 80 grados.

121


SECUENCIA

17

Perímetro y área I Lección 56.

Medidas de rectángulos

1. Imagina rectángulos diferentes (pequeños, grandes, angostos…) y objetos con forma de rectángulo (losetas, ventanas, mesas, canchas deportivas…). Describe qué medidas son necesarias y qué procedimiento utilizarías para calcular su perímetro y su área.

   

explícito: que se expresa de manera clara y evidente, es decir, sin información oculta o lugar para dobles interpretaciones.

2. Determina el área y el perímetro de cada rectángulo. Considera que en algunos casos la medida de los lados no se da explícitamente. a) Rectángulos trazados en una cuadrícula. La unidad de área es un cuadrado pequeño y la unidad de longitud es un lado de ese cuadrado.

DESCUBRO MÁS Explica por qué el área del rectángulo verde no es seis cuadrados.

A=

P=

A= P=

b) Rectángulo con medidas reales. 11 cm

4.5 cm

A= 122

P=


Forma, espacio y medida • Magnitudes y medida c) Rectángulo con medidas no reales. 25 m

A= P=

13 m

DESCUBRO MÁS

d) Rectángulo con medidas ocultas. El radio del círculo pequeño mide 3 unidades y el radio del círculo grande, 5 unidades.

¿Qué relación hay entre las medidas de los radios y las de los lados del rectángulo?

A= P=

3u

5u

e) Rectángulo con medidas representadas con literales. El largo mide m y el ancho mide n. m

A= P=

n

❋❋ En grupo, analiza cada respuesta. En caso de haber diferencias, averigüen a qué se deben (tengan en cuenta que puede haber más de una respuesta correcta). Analicen la información del recuadro y comenten por qué es importante usar literales en el ejemplo que ahí se menciona. El primer resultado del inciso e) es la expresión general del área de cualquier rectángulo y, al mismo tiempo, la fórmula con que se calcula. La expresión con palabras es “área (del rectángulo) es igual a largo por ancho”. En este caso, la expresión con literales es A = mn, aunque normalmente se utilizan las literales b (base) y h (altura), de manera que la fórmula más conocida es A = bh, pero ambas expresiones dicen lo mismo.

DESCUBRO MÁS ¿Por qué se suele escribir A = bh en lugar de A = b × h?

123


Secuencia 17

Lección 57.

Unas fórmulas surgen de otras I

1. Analiza la información y responde o haz lo que se indica. romboide: cuadrilátero sin ángulos rectos, con dos pares de lados opuestos de igual medida y paralelos entre sí, y con lados adyacentes desiguales.

El romboide ABCD se transformó en el rectángulo EFGH, mediante el corte y el reacomodo que se muestran con línea punteada. D

C

H

G

E

F

h

A

B b

a) Anota, junto a la figura, las medidas (ancho y largo) del rectángulo a partir de las del romboide. b) ¿Cuál es el área del cuadrilátero EFGH?

¿Y la de ABCD? 

c) Completa el texto.

DESCUBRO MÁS Las dos figuras de la actividad 1 tienen la misma área. Explica por qué.

Cualquier romboide puede transformarse en un base y la misma también es

trapecio: cuadrilátero

con la misma

. Por tanto, la fórmula del área del romboide .

2. El romboide MNOP se formó con dos trapecios CDEF. Contesta o haz lo que se indica.

con un solo par de lados paralelos.

F

b

P

E

O

h C

D

M

N

B

a) Con base en las medidas del trapecio (B, b, h), anota las del romboide. Base del romboide:

Altura del romboide:

b) ¿Cuál es el área del romboide?  c) ¿Y la del trapecio?  d) Completa el texto. La base del romboide MNOP es B + b y su altura es es

. Como la superficie del trapecio CDEF es la mitad de la super-

ficie del romboide, el área del trapecio es 124

. Por tanto, su área

.


Forma, espacio y medida • Magnitudes y medida ❋❋ Con ayuda del profesor, valida tus respuestas. Comenten si todos expresaron de la misma manera las áreas del romboide MNOP y el trapecio CDEF. Después, analicen la siguiente información. En un trapecio se distinguen tres dimensiones: la base mayor (B), la base menor (b) y la altura (h). La fórmula del área del trapecio expresada con palabras es “base mayor más base menor por altura entre dos”. 3. Otra manera de transformar el trapecio en un romboide consiste en hacer un corte paralelo a las bases y a la mitad de la altura y después reacomodar las piezas. b h

MÁS IDEAS Un trapecio es isósceles si los lados no paralelos son del mismo tamaño. En un trapecio escaleno, los cuatro lados tienen distinta medida. Un trapecio rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto.

B

a) Anota las medidas del romboide a partir de las del trapecio. Base del romboide:

Altura del romboide:

b) ¿Cuál es el área del romboide?  c) ¿Cuál es el área del trapecio?  (B + b)h 2

h ​​)  .     ​​ = (B + b)(​​ __ d) Considera que B = 9, b = 2 y h = 4. Verifica que _______ ​​  2

 4. Observa la figura y responde. a) ¿Qué fórmula conoces para calcular el área de un cuadrado?  b) Si la unidad de medida es la superficie de un cuadrito, ¿cuál es el área del cuadrado central? c) ¿Y la del cuadrado exterior?

diagonal: segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono. Un ejemplo en un cuadrilátero es el siguiente:

d) ¿Qué relación hay entre las áreas de ambas figuras?

 e) Verifica que un lado del cuadrado exterior mide lo mismo que la diagonal del central. f) ¿Cómo calcularías el área de un cuadrado usando la medida de su diagonal?

 125


Secuencia 17

Lección 58.

Unas fórmulas surgen de otras II

1. Analiza la información y responde.

MÁS IDEAS Todos los cuadrados son rombos, pero no todos los rombos son cuadrados.

Tanto los rombos como los cuadrados tienen cuatro lados iguales, pero difieren en que el cuadrado siempre tiene cuatro ángulos rectos, mientras que el rombo puede tener ángulos agudos y obtusos. D d

d

D

a) ¿Cuál es el área del rectángulo de la derecha?  b) ¿Qué relación hay entre el área del rectángulo y la del rombo?

MÁS IDEAS Dd significa lo mismo que D × d (diagonal mayor por diagonal menor).

 c) Considerando la respuesta anterior, ¿cuál es el área del rombo?  d) Si el área del rectángulo es Dd, ¿cómo se expresa el área del rombo a partir de

MÁS IDEAS Para la siguiente lección deberás traer un objeto pequeño de metal (cuchara, moneda, llavero con algunas llaves, tornillo, etc.); o bien, una piedra pequeña, del tamaño de una canica. Es importante que los objetos no representen un peligro al ser manipulados, como cuchillos o piedras cortantes. También necesitarás un recipiente pequeño (bote de medicina, frasco de perfume, probeta, etc.), de preferencia con la forma más extraña que encuentres. Con esta actividad reflexionarás cómo comparar el volumen de los objetos entre sí, usando la capacidad de los recipientes. 126

sus diagonales? 2. A partir de las medidas del rectángulo y el romboide, contesta o haz lo que se indica. C

D

G

H h

B

A

h E

b

F b

a) ¿Cuál es el área del rectángulo ABCD? b) La diagonal AC divide al rectángulo en dos triángulos iguales. Expresa, usando las medidas b y h, el área de uno de los triángulos.  c) ¿Cuál es el área del romboide EFGH? d) La diagonal EG divide al romboide en dos triángulos iguales. Expresa, usando las medidas b y h, el área de uno de los triángulos.  e) Completa el texto. Cualquier triángulo corresponde a la mitad de un

o de un

. Como la fórmula del área de un rectángulo o de un romboide es

, entonces la fórmula del área de un triángulo es

.


Forma, espacio y medida • Magnitudes y medida

Taller de matemáticas 1. Anota los datos que faltan en la tabla. En algunos casos se necesita información para la fórmula del perímetro.

Figura

Dimensiones

Fórmula del área

Fórmula del área con palabras

Fórmula del perímetro

base: b altura: h

h b

No hay suficiente información

h b

l

Área igual a lado por lado

b h B

D

Dd  ​​ A = ​​ __ 2

d

h b

2. Calcula el perímetro y el área de cada figura. Haz los cálculos en tu cuaderno. 4 cm 5.6 cm 4 cm 12 cm

5.6 cm

8.9 cm 4 cm

4.5 cm 4 cm 8 cm

12 cm

127


SECUENCIA

18

Volumen de prismas I Lección 59.

¿Quién ocupa más espacio?

1. Reúnete con tres o cuatro compañeros. Al final de la lección anterior se pidió que trajeran algunos objetos pequeños. volumen: cantidad de espacio que ocupa un cuerpo.

a) Acomódenlos de menor a mayor volumen y anoten en qué orden quedaron.

  b) Describan el procedimiento que usaron para comparar los volúmenes.

         ❋❋ Expliquen a los demás equipos su procedimiento. Anoten el método de otro equipo que les parezca más eficiente.

DESCUBRO MÁS ¿Qué pesa más: 1 kg de plumas o 1 kg de plomo? ¿Qué ocupa más volumen?

2. A continuación hay información sobre varios pares de objetos. Explica, en cada caso, cuál tiene más volumen. Si no se puede saber, justifica por qué. a) El objeto A pesa 5 kg; el B, 7 kg.

  b) De una barra de plastilina se cortaron dos porciones: una pesa 250 g; la otra, 300 g.

  c) La cara superior del prisma rectangular A mide 600 cm2; la del prisma B, 800 cm2.

  128


Forma, espacio y medida • Magnitudes y medidas d) Se cortaron dos tramos de un rollo de alambre: el tramo A mide 10 m; el B, 15 m.

  e) Sucesivamente, dos cuerpos, A y B, se sumergen en un recipiente con agua y se sacan de este. El nivel del agua sube más con B.

  f) En la caja A cupieron 60 cubos; en la B, 30. Los cubos de las cajas son del mismo tamaño.



DESCUBRO MÁS Imagina dos latas idénticas de atún del mismo tamaño: una de ellas cerrada y la otra abierta y vacía. ¿Cuál desplazará más líquido al sumergirlas en agua? ¿Cuál tiene mayor volumen?

 ❋❋ Con ayuda del profesor, compara tus respuestas con las del resto del grupo. Si difieren, identifiquen por qué y disciernan quién tiene razón. Comenten la información del recuadro. Hay varias maneras de comparar el volumen de dos cuerpos; por ejemplo... •• si son objetos sólidos, se pueden sumergir en agua; el de mayor volumen será aquel que desplace más líquido. •• si son del mismo material, el que pese más ocupará más volumen. •• si son objetos en los que solo cambia la longitud (por ejemplo, dos tramos de alambre), el más largo tendrá mayor volumen. •• si su forma lo permite, el de mayor volumen será aquel al que le quepan más cubos del mismo tamaño. 3. Forma un equipo de tres o cuatro integrantes. Al final de la lección anterior se pidió que trajeran algunos recipientes. a) Organícenlos de menor a mayor capacidad y anoten en qué orden quedaron.

    b) Describan, en su cuaderno, el procedimiento que usaron. 4. Escojan un recipiente y uno de los objetos pequeños. Comparen el volumen del objeto con el volumen de aire en el interior del recipiente. Expliquen, en su cuaderno, el procedimiento que siguieron.

capacidad: volumen que

le cabe a un recipiente; por tanto, la capacidad y el volumen son dos conceptos relacionados entre sí.

MÁS IDEAS En los recipientes no interesa tanto medir su volumen, sino su capacidad, es decir, lo que les cabe.

129


Secuencia 18

Lección 60. prisma recto: cuerpo

geométrico formado por dos caras planas, paralelas e iguales entre sí (llamadas bases), y caras laterales rectangulares (tantas como lados tiene cada base).

Cuerpos y prismas

1. Trabaja en equipo. Analicen los cuerpos y respondan o hagan lo que se indica.

Cuerpo A

Cuerpo B

Cuerpo C

Cuerpo D

Cuerpo E

Cuerpo F

a) Anoten lo que falta en la tabla.

A

B

C

D

E

F

¿Cuántas unidades cúbicas tiene el cuerpo? ¿Es un prisma recto? b) ¿Qué cuerpos tienen igual volumen?  c) ¿Cuál tiene el doble de volumen que C?  ❋❋ Comparen sus respuestas con las de otros equipos. Comenten por qué consideraron que un cuerpo es prisma o no. 130


Forma, espacio y medida • Magnitudes y medidas 2. El cubo sólido está formado alternadamente por centímetros cúbicos blancos y azules. a) ¿Cuál es el área total del cubo?



centímetro cúbico (cm3): espacio ocupado

por un cubo cuyas aristas miden 1 cm. área total de un prisma: suma de las áreas

de todas sus caras.

b) ¿Qué área del cubo es azul?

 c) ¿Cuál es el volumen del cubo?

 3. El prisma mostrado tiene un volumen de 32 cm3. Sus dimensiones son 32 cm de largo, 1 cm de ancho y 1 cm de altura. Si se acomoda verticalmente, se vería como una torre de 32 niveles.

a) ¿Cuál es el área total del prisma?  b) En tu cuaderno, dibuja otros tres prismas rectos rectangulares que se puedan construir con 32 cm3. Después, anota sus medidas en la tabla.

Largo

Ancho

Altura

Área total

Volumen

Prisma 1

32 cm3

Prisma 2

32 cm3

Prisma 3

32 cm3

c) Los tres prismas que dibujaste tienen el mismo volumen, pero no necesariamente la misma área total. ¿Por qué sucede esto?

     ❋❋ Con apoyo del profesor y de tus compañeros, valida los resultados de esta página. Comenten si sus tablas tienen respuestas diferentes y si son correctas. Después, analicen la información del recuadro. El volumen de cualquier prisma rectangular recto se calcula multiplicando tres cantidades: el largo de la base por el ancho de la base por la altura del prisma. 131


Secuencia 18

Lección 61.

Fórmulas de volumen I

1. Expresa el volumen de cada cuerpo en centímetros cúbicos. Observa que en algunos casos las medidas se indican con cubitos (cm3).

2.5 cm 3 cm

V=

2 cm 8 cm

V=

3 cm

3.5 cm 4.2 cm

V= V=

V=

❋❋ Compara tus respuestas con las de otros compañeros. Comenten en qué se fijaron para poder obtener el volumen de cada prisma. Después, discutan la información del recuadro. Dado que al multiplicar largo por ancho de la base de un prisma rectangular se obtiene el área de la base, el volumen también se puede calcular de la siguiente manera: volumen de un prisma rectangular = área de la base × altura del prisma.

DESCUBRO MÁS Al calcular el volumen de un prisma rectangular, cualquier cara puede ser considerada como base. ¿Por qué?

2. En este prisma rectangular las medidas están representadas con literales. Contesta las preguntas.

h

a

b

a) ¿Cuál es el área de la base del prisma?  b) ¿Cuál es el volumen del prisma?  c) ¿Cuál es la expresión algebraica que permite obtener el volumen del prisma?

 d) ¿Cómo se expresa algebraicamente el área total del prisma?

 132


Forma, espacio y medida • Magnitudes y medidas

MÁS IDEAS

3. Trabaja en equipo. Calculen el volumen del objeto en forma de T.

El objeto en forma de T puede pensarse como un prisma rectangular al que se le quitaron dos partes.

9 cm 15 cm

3 cm

4 cm

V= 3 cm

4. Un prisma rectangular con medidas a (largo), b (ancho) y c (altura) se cortó para formar dos prismas triangulares iguales. a) ¿Cuál es el volumen del prisma rectangular?  b) ¿Y el volumen de cada prisma

c

triangular?  c) ¿Cuál es el área de la base del pris-

a

b

ma rectangular?  d) ¿Y el área de la base del prisma b

triangular?  ❋❋ Validen sus respuestas con otro equipo de compañeros. Comenten si cualquier prisma rectangular se puede partir en dos prismas triangulares iguales y cuál es la relación entre sus volúmenes. Analicen la información del recuadro.

c

a

ab El volumen del prisma triangular anterior es ____ ​​ abc    ​​,  que también se escribe (​​ ___   ​​)(c). 2 2 ab Como (​​ ___  ​​) es el área de la base y c, la altura, el volumen se calcula de la misma 2 manera que con los prismas rectangulares:

volumen del prisma triangular = área de la base × altura del prisma.

Taller de matemáticas 1. Calcula el volumen de un prisma triangular de medidas a = 7, b = 3 y c = 4.



133


Secuencia 18

Lección 62.

Fórmulas de volumen II

1. El prisma rectangular que se muestra abajo se formó uniendo dos prismas iguales con bases trapezoidales (forma de trapecio). Las medidas están representadas con literales.

b

c

a d

a) Anota lo que falta en la tabla.

Prisma rectangular Área de la base

(a + b) c

Altura

d

Prisma trapezoidal

d

Volumen b) Completa el enunciado. El volumen de un prisma trapezoidal se obtiene

el área

de la base (que es un trapecio) por la

MÁS IDEAS La notación matemática sirve, entre otras cosas, para economizar la escritura, por ejemplo, en lugar de anotar “volumen del prisma A” o “volumen de A”, se escribe simplemente VA.

2. Calcula el volumen del prisma A.

4 cm

VA =

2 cm

8 cm 6 cm

134

.

Prisma A


Forma, espacio y medida • Magnitudes y medidas 3. El prisma B es idéntico a A. Calcula su volumen dividiéndolo en dos prismas: uno rectangular y otro triangular. Verifica que obtienes el mismo resultado que en la actividad 2.

4 cm

Volumen del prisma rectangular:

Volumen del prisma triangular:

2 cm

8 cm 6 cm

Suma de los dos volúmenes:

Prisma B

Taller de matemáticas 1. Calcula el volumen de la viga en forma de H.

40 cm

12 12 m cm

2m

m 1212cm 12 cm

12 cm

V= 2. El dibujo representa una cuña en forma de prisma trapezoidal, de las que se usan para detener las puertas.

¿Para qué más se usan las cuñas?

2.5 cm

2.5 cm

3.5 cm 6 cm

a) ¿Cuál es su volumen?

135


SECUENCIA

19

Datos en gráficas circulares Lección 63.

Los jóvenes del año 2010

1. Responde con base en la gráfica.

Distribución de la población total de México por grupos de edad 12-14 años de edad 6.7 millones 5.9%

¿En qué sector de la gráfica estabas tú en 2010? ¿Y tus papás?

15-19 años de edad 11.2 millones 10% Otros rangos de edad 78 millones 68.2%

Jóvenes 35.8 millones 31.8%

20-24 años de edad 9.7 millones 8.6% 25-29 años de edad 8.3 millones 7.4% Elaboración propia con datos de la Fundación Idea.

a) ¿De qué edad a qué edad abarca la categoría “Jóvenes” de la gráfica?

 b) Calcula la población de México en el año 2010 de dos maneras distintas. A partir de los datos en el círculo de la gráfica:  A partir de la cantidad de jóvenes entre 15 y 19 años de edad:  c) Las respuestas del inciso anterior no son iguales, pero sí cercanas. Explica a qué se debe.



MÁS IDEAS En el número 6.7 millones, el .7 se refiere a 7 décimos de millón.

d) De acuerdo con la gráfica, en 2010 había 6.7 millones de jóvenes entre 12 y 14 años de edad. ¿A qué cantidad sin punto decimal equivale 6.7 millones?

 e) En 2010, el número real de jóvenes entre 12 y 14 años de edad era de 6 666 775. ¿Por qué se anotó en la gráfica “6.7 millones” y no “6.6 millones”?

 f) En 2010 había 35 831 471 jóvenes en México. ¿Por qué en la gráfica se anotó 35.8 y no 35.9?

 136


Análisis de datos • Estadística

2. Analiza la información y responde. a) En 2010, 27 521 540 jóvenes vivían en el medio urbano y 8 309 931 en el medio rural.

Jóvenes en México por lugar de residencia, 2010

•• Anota “Urbano” o “Rural” junto al sector circular correspondiente. Escribe también las cantidades que correspondan en millones, pero usando una sola cifra después del punto decimal.

sector circular: parte del círculo delimitada por dos radios. Sector circular

b) En 2010, el grupo de menor edad (12-14 años) era, aproximadamente, la quinta parte de la población joven; esa misma fracción correspondía al grupo de mayor edad (25-29 años); el grupo más numeroso (15-19 años) tenía la tercera parte de la población total; y el grupo faltante (20-24 años) correspondía al resto.

Distribución por grupo de edad Hombres jóvenes, 2010

Radio 2

Radio 1

•• Escribe, junto a cada sector circular, el grupo de edad correspondiente y la cantidad de jóvenes en millones (de nuevo con una sola cifra decimal). Considera que en 2010 había aproximadamente 18 millones de hombres jóvenes en nuestro país. ❋❋ En grupo y con ayuda del profesor, valida tus respuestas. Comenten en qué se fijaron para identificar el sector correspondiente y cómo calcularon la cantidad de jóvenes de cada uno. 137


Secuencia 19

Lección 64.

La discriminación en México

1. La gráfica circular muestra parte de los resultados de la Encuesta Nacional sobre Discriminación en México llevada a cabo en 2010. Se encuestó a una muestra de 52 095 personas en todo el país.

¿Usted cree que en México se trata a las personas de forma distinta según su tono de piel o piensa que se les trata igual? ¿Tú qué responderías? 12% 28% 17.3%

1.3% 1%

Se les trata en forma desigual Se les trata en forma desigual, en parte Se les trata igual, en parte Se les trata igual Otra No sabe (NS)/No contestó (NC) Consejo Nacional para Prevenir la Discriminación (Conapred), Encuesta Nacional sobre Discriminación en México. Enadis 2010, en Conapred [en línea], disponible en ‹http://www.conapred.org.mx/userfiles/files/Enadis2010-RG-Accss-002.pdf›, fecha de consulta: 19 de agosto de 2017.

40.4%

a) ¿Cuánto suman todos los porcentajes de la gráfica?  b) ¿Cuál fue la respuesta más común?  c) ¿Cuántos encuestados opinan que a las personas se les trata en forma desigual o desigual, en parte?  d) ¿Tú qué opinas?  2. Los resultados de la gráfica de barras también pertenecen a la encuesta. Las cifras se refieren a porcentajes.

DESCUBRO MÁS Los porcentajes de cada barra no siempre suman 100%. ¿Por qué ocurre?

En lo personal, ¿alguna vez ha sentido que sus derechos no han sido respetados por…? No tener dinero

26.0%

Su apariencia física

20.2%

Su edad Ser hombre / mujer

5.6%

67.6%

0.7%

4.3%

74.6%

0.9%

19.8%

4.3%

75.3%

0.7%

19.2%

4.1%

75.9%

0.8%

Su religión

16.9% 3.6%

78.7%

0.7%

Por su educación

16.6% 3.3%

72.9%

0.9%

Por su forma de vestir

16.6% 3.1%

78.6%

1.7%

Provenir de otro lugar

15.0% 3.5%

80.2%

1.3%

El color de su piel

15.0% 3.0%

81.1%

0.9%

Su acento al hablar

14.7% 2.9%

81.6%

0.9%

Sus costumbres o cultura

14.1% 3.0%

82.0%

0.9%

0 20 40 60 80 100

138

Sí Sí, en parte No NS/NC


Análisis de datos • Estadística a) ¿Cuál es el principal motivo por el que los encuestados piensan que no se respetan sus derechos?  b) De los encuestados, 19.7% considera que no se respetan sus derechos por su forma de vestir. Si se redondea este porcentaje a 20%, ¿cuántos eligieron esta opción?  c) ¿Qué motivo de discriminación fue elegido por casi la cuarta parte de los encuestados?  d) ¿Qué causa eligieron 9 de cada 50 personas?  e) ¿Consideras que tus derechos no han sido respetados por alguno de los motivos que se mencionan en la gráfica? En caso afirmativo, argumenta por qué piensas así.

 

ME COMPROMETO Evito la discriminación y entiendo que la diversidad nos enriquece como sociedad.

❋❋ Valida con el grupo las respuestas de las actividades 1 y 2. Comenten qué responderían a las preguntas que están como títulos de ambas gráficas.

Taller de matemáticas 1. Las gráficas corresponden a tres respuestas de la gráfica en la actividad anterior: “No tener dinero”, “Apariencia física” y “Forma de vestir”. Anota a cuál de esos motivos de discriminación corresponde cada una.

139


SECUENCIA

20

Más gráficas circulares Lección 65.

Cuidado del medioambiente

1. Analiza la información y responde o haz lo que se pide. a) De acuerdo con datos del Inegi, aproxima1  ​​ damente ​​ ___   de los hogares en México no 10 dispone de suministro de agua. El círculo mostrado representa el total de los hogares. Colorea de azul la parte del círculo que corresponde a los hogares que disponen de agua y de rojo los que no tienen. Escribe, en cada parte, la etiqueta pertinente: “Con suministro de agua” y “Sin suministro de agua”. 1 ​​de los municipios o las __ b) Poco más de ​​  3 delegaciones da tratamiento a las aguas residuales.

En el círculo, representa con un color a los municipios y las delegaciones que dan tratamiento a las aguas residuales (considera un tercio) y con otro color a los que no. Escribe, en cada parte, la etiqueta que corresponda: “Dan tratamiento a aguas residuales” y “No dan tratamiento a aguas residuales”. c) Haz una gráfica circular con los datos de la tabla. Escribe lo que representa cada parte.

ME COMPROMETO No genero basura innecesaria y la separo de acuerdo con las leyes de mi localidad.

Distribución de la basura que se genera en México 3  ​​ del total __ ​​  10

Estado de México y Ciudad de México

2  ​​ del total ​​ __ 10

Jalisco, Veracruz, Guanajuato, Tamaulipas y Nuevo León

​​ __12 ​​ del total

El resto de los estados

❋❋ Valida las respuestas con un compañero. Comenten cómo dividieron cada círculo para representar las fracciones pedidas. 140


Análisis de datos • Estadística 2. Responde con base en la gráfica y analiza la información que aparece después.

Uso de focos ahorradores en los hogares de México ¿En tu casa se usan focos ahorradores?

Aproximadamente... a) ¿en qué porcentaje de los hogares se usan focos ahorradores?

Usan focos ahorradores

No usan focos ahorradores

 b) ¿en qué porcentaje de hogares no se usan?  Las gráficas circulares son una manera de presentar datos numéricos contenidos en un texto o una tabla. Cada sector circular debe ser proporcional a la cantidad que representa. Por ejemplo, a 25%, que es la cuarta parte de 100%, le corresponde un sector circular de un cuarto de círculo, es decir, con un ángulo central de 90°.

25% 90º

3. Trabaja en equipo. La tabla muestra los materiales que recibe un centro de acopio para separarlos y reutilizarlos.

Material

Porcentaje (%)

Papel y cartón

39

PET

23

Vidrio

13

Fierro, lámina y acero

9

Otros

16

PET: tipo de plástico muy usado en textiles y envases de bebidas. Las siglas provienen del inglés polyethylene terephthalate.

Representen los datos en una gráfica circular. Consideren que los sectores deben ser proporcionales a los porcentajes y que el círculo completo representa 100%. ❋❋ En grupo, comparen sus gráficas. Expliquen cómo dividieron el círculo para representar los porcentajes requeridos. 141


Secuencia 20

Lección 66.

Mi comunidad escolar

1. Trabaja en equipo. Investiguen los datos indicados y completen las tablas (todos los datos se refieren a los alumnos de tu grupo). Hagan una gráfica circular para cada tabla, luego anoten el título que le corresponde y las etiquetas de los sectores circulares.

Género

MÁS IDEAS Usa lo que sabes sobre porcentajes y proporcionalidad para determinar cuánto deben medir los ángulos de cada sector circular.

Hombres

Mujeres

Número de hermanos 0 1 2 3 4 o más

Forma de llegar a la escuela Caminar Transporte público Automóvil particular Otro

142


Análisis de datos • Estadística

Hermanos o familiares en la escuela No tiene

Sí tiene

❋❋ Comparen sus gráficas con las del resto del grupo. Comenten cómo determinaron las medidas de los ángulos en cada sector circular.

Taller de matemáticas 1. Trabaja en equipo para investigar alguna característica de los miembros de tu comunidad escolar. a) Determinen qué quieren investigar y formulen una pregunta con opciones limitadas de respuesta. Por ejemplo: •• ¿Cuál consideras que es el mayor problema de la comunidad escolar? (Falta de comunicación entre alumnos y profesores, bullying, instalaciones poco adecuadas, bajo aprovechamiento escolar…).

MÁS IDEAS Si una pregunta tiene demasiadas respuestas posibles, consideren para las opciones de respuesta solo las más comunes y agrupen todas las demás en una categoría llamada “Otra respuesta”.

•• ¿Qué mejoras le harías a tu escuela si tuvieras recursos ilimitados? (Renovación de mobiliario, talleres o actividades complementarias, canchas deportivas, involucrar más a los tutores o padres de familia…). •• ¿Cuánto dinero gastas al transportarte diario a la escuela? (Nada, menos de $10.00, entre $10.00 y $20.00…). •• ¿Qué asignatura te gusta más? (Matemáticas, Español, Educación Física…). b) Discutan y decidan a quiénes le harán la pregunta (compañeros de grupo, maestros, padres de familia…). c) Determinen la cantidad de personas a quienes les harán la pregunta (10, 15, 20…). d) Recolecten y registren los datos que obtengan. e) Decidan la mejor manera de presentar los datos a sus compañeros, por ejemplo: tabla, gráfica de barras, gráfica circular. f) Presenten su investigación a sus compañeros de grupo y comenten sus resultados. Entre todos, decidan qué investigación es la más interesante y cuál, la más útil (se puede hacer algo de provecho con esos datos).

143


SECUENCIA

21

Comparación de fracciones y decimales Lección 67.

Números en la recta I

1. A cuatro alumnos se les pidió representar los números 0, 8, 16 y 24 en la siguiente recta. Anota, en cada caso, si la solución es correcta o incorrecta, y explica por qué.

MÁS IDEAS El tamaño de la unidad no debe variar en una misma recta; por ejemplo, el segmento del 0 al 8 debe ser del mismo tamaño que el del 8 al 16.

a) José lo hizo así:

0

8

¿Es correcto?

16

24

¿Por qué? 

  b) Pedro hizo lo siguiente: 0

8

¿Es correcto?

16

24

¿Por qué? 

  c) María lo hizo así:

0

8

16

24

¿Es correcto?

¿Por qué? 

  d) Rosa resolvió así:

0

8

¿Es correcto?

24

16

¿Por qué? 

  e) Y tú, ¿cómo lo harías? Usa la recta que hay al inicio de la lección para responder. 144


Número, álgebra y variación • Número 2. Haz lo que se indica en cada recta. 1 ​​, ​​ __ 1 ​​ y __ ​​  3 ​​. a) Representa los números − ​​ __ 4 4 2

​​ __12 ​​

0

3 1 ​​, ​​ __  ​​ y 2. b) Representa los números ​​ __ 4

DESCUBRO MÁS

2

En una de las rectas solo hay un lugar para colocar el primer número, pero en las otras, el primer número tiene varios lugares posibles. ¿A qué se debe esta diferencia?

__ ​​  13 ​​

9   ​​ . c) Representa los números −0.3, 0.6 y ​​ __ 10

0

❋❋ Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Entre todos analicen la información del recuadro y muestren al menos otro ejemplo para cada caso. Al representar números en una recta numérica es importante tener en cuenta la siguiente información. •• No siempre hay un lugar fijo para el 0, de manera que, como en el caso b) de la actividad 2, es correcto ubicarlo donde parezca conveniente. •• Si dos o más números están ubicados, entonces ya hay una unidad de medida establecida que se debe conservar en esa recta. •• Si solo está ubicado un número, o ninguno, es necesario establecer una unidad de medida; el tamaño puede ser cualquiera, pero una vez elegido, se debe mantener igual. •• Si un número a es mayor que un número b, la distancia en la recta del 0 al número a debe ser mayor que la distancia del 0 al número b. En la actividad 1, Rosa no tuvo en cuenta esto: 24 es más grande que 16 y, sin embargo, la distancia del 0 al 24 es más pequeña que la de 0 a 16. 3. Anota los números que corresponden a las marcas señaladas en las rectas. 0

2

0

0.25

1.25

0.7

1

145


Secuencia 21

Lección 68.

Números en la recta II

1. Reúnete con un compañero para resolver las actividades. a) El dibujo representa una pista de 8 km. Ubiquen a cada corredor en su posición aproximada, como se muestra en el ejemplo (corredor E).

0

1

2

7

3

6

5

E

4

Corredor

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

Kilómetros recorridos

6 __ ​​  34 ​​

21  ​​ ​​ __ 3

6

5 ​​ __34 ​​

__ ​​  16   ​​ 3

18  ​​ ​​ __ 3

6.5

5​​ __13 ​​

13  ​​ ​​ __ 2

7.25

¿Qué corredores están empatados?  b) Ubiquen en la recta numérica, en su posición aproximada, los siguientes números. 5 __ 3 4 ___ 15 3 6 1 ​​, ​​ __ 2 ​​, ​​ __ 1 ​​, ​​ __ ​​ __  ​​, ​​ 2 ​​, ​​ __ ​​, ​​ __   ​​ ​​    ​​, ​​ __ ​​, ​​ __ ​​, 0.5, 0.2, 0.3 3 3 2 6 6 9 6, 18 6 9

0

expresiones equivalentes: formas

distintas de representar un mismo número. Por ejemplo, 2 y 1 + 1, __ ​​ 34 ​​ y __ ​​  15  ​​,  o bien, 20 1 __ 0.5 y ​​  2 ​​ son expresiones equivalentes (valen lo mismo).

1

c) Si ubicaron bien los números, varios se sobrepusieron; es decir, son expresiones equivalentes del mismo número. Escriban, en el espacio correspondiente, los números que son equivalentes a los que se indican. 1 ​​ = ​​ __

=

1 ​​ = = 0.3 ​​ __

2 ​​ = ​​ __

=

5 ​​ __  ​​ =

3

3

146

2

6

=


Número, álgebra y variación • Número d) Expliquen cómo hicieron para ubicar el número 0.333...

    2. Averigüen, de preferencia mentalmente, cuál es el número mayor en cada pareja y subráyenlo. Si los números son equivalentes, subrayen ambos. 3 __ 5 a) ​​ __  ​​ y ​​   ​​ 4

b) __ ​​  7 ​​ y 1

7 ​​ y 1 c) −​​ __

d) 1.5 y −2

e) __ ​​  6 ​​ y 1

f) __ ​​  1 ​​ y __ ​​  1 ​​

1 ​​ y __ ​​  37 ​​ g) ​​ __

h) __ ​​  1 ​​ y −0.5

i) __ ​​  25 ​​ y __ ​​  47 ​​

​​  5 ​​ j) __ ​​  1 ​​ y __

k) __ ​​  3 ​​ y __ ​​  2 ​​

l) __ ​​  4 ​​ y __ ​​  64 ​​

3 __  ​​ y ​​  4 ​​ m) ​​ __ 4

12  ​​ n) ___ ​​  6  ​​ y −​​ ___

o) 1.5 y __ ​​  4 ​​

2 ​​ y __ ​​  4 ​​ p) ​​ __

q) ___ ​​  5  ​​ y __ ​​  7 ​​

r) ___ ​​  11  ​​ y 0.75

6

6

2

2

2

3

2

3

12

6

12

8 2 ​​   ​​ y −​​ __ s) −​​ ___ 12

6 2

6

3

6

3

v) 0.2 y 0.200

3

6

6

6

6

12

t) __ ​​  2 ​​ y __ ​​  34 ​​

3 u) __ ​​  1 ​​ y −​​ __  ​​

3

3

w) −0.02 y −0.2

2

MÁS IDEAS Algunas veces, para comparar números con signo no es necesario hacer cálculos, solo hay que verificar si... •• uno es positivo y otro negativo; en este caso, el positivo siempre es mayor. •• ambos son positivos; en este caso, el mayor es el que está más lejos del 0. •• ambos son negativos; en este caso, el mayor es el que está más cerca del 0.

x) −1.5 y −1.25

❋❋ Escojan tres parejas de fracciones que hayan comparado haciendo razonamien4 ​​ es mayor que __ tos distintos, por ejemplo: ​​ __ ​​  25 ​​ porque __ ​​  47 ​​ es mayor que __ ​​  1 ​​ y __ ​​  25 ​​ es 7 2 1 __ menor que ​​   ​​. Escriban en su cuaderno los razonamientos y, posteriormente, 2 compártanlos con el grupo para que entre todos formen un “repertorio de maneras de comparar fracciones”. 3. Escojan cinco parejas de números de la actividad anterior y ubíquenlos en la recta.

−2

0

2

4. Aproximen las siguientes fracciones usando notación decimal. Las aproximaciones solo deben tener dos cifras después del punto. 2 ​​ ≈ ​​ __ 3

2  ​​ ≈ ​​ ___ 11

5 ​​ __  ​​ ≈ 9

❋❋ Validen sus respuestas con otra pareja de compañeros. Comenten las distintas maneras que usaron para comparar fracciones o determinar si son equivalentes. 147


Secuencia 21

Lección 69.

DESCUBRO MÁS Si la longitud total es 20, ¿cuál es la longitud de la quinta parte? ¿Y de las dos quintas partes?

Números ocultos

1. En la recta, el segmento del 0 al 20 está dividido en cinco partes iguales.

20

0

a) Explica por qué el número que corresponde al punto señalado no puede ser 3.

  b) ¿Qué número corresponde al punto que señala la flecha?  2. Anota, en cada recta, el número que corresponde al punto señalado. a) El segmento del 0 al 15 está dividido en cinco partes iguales.

15

0

b) El segmento del 0 al 1 está dividido en cinco partes iguales.

1

0

c) El segmento del 0 al 20 está dividido en seis partes iguales.

20

0

❋❋ En grupo y con ayuda del profesor, valida tus respuestas de los incisos a) y b). Entre todos, completen la tabla en la que se dan tres posibles respuestas al número señalado en la recta c): una es correcta, otra es una buena aproximación y una más es incorrecta. Anoten, en la columna de comentarios, por qué es correcta o incorrecta cada respuesta y cuál de ellas es una buena aproximación.

Respuesta 6 __   ​​ ​​  20 3

6.667

148

¿Es correcta, incorrecta o una buena aproximación?


Número, álgebra y variación • Número 3. Anota los números que corresponden a los puntos señalados en las rectas. a) El segmento del 0 al 5 está dividido en tres partes iguales.

DESCUBRO MÁS 5

0

b) El segmento del 0 al 5 está dividido en ocho partes iguales.

5

0

En el inciso a), si el número del extremo derecho fuera 1, el número que correspondería al punto señalado sería __ ​​  23 ​​. Pero el último número no es 1, sino 5 veces 1; por tanto, el número buscado es…

4. En la siguiente recta, el segmento AB se dividió en siete partes iguales.

A

1

B

__ ​​  97 ​​

a) ¿Qué número le corresponde al punto A?

¿Y al punto B? 

b) Anota otro número que se ubique en el segmento AB.  c) Escribe un número que se ubique fuera del segmento AB.  ❋❋ Con ayuda del profesor, compara tus resultados con los de tus compañeros. En caso de que haya diferencias, averigüen quién tiene razón y por qué. Después comenten la información del recuadro. El problema de dividir, por ejemplo, un segmento del 0 al 7 en cuatro partes iguales puede resolverse de la siguiente manera. •• Cada parte es __ ​​ 14 ​​de 7 unidades y eso es lo mismo que __ ​​ 74 ​​de una unidad. 7 ​​de una unidad es lo mismo que 1 __ ​​ 34 ​​de unidad o 1.75. •• ​​ __ 4

•• Lo anterior significa que el número que corresponde a la primera marca 7 ​​; a la segunda, ___ después del 0 es ​​ __ ​​  14   ​​; a la tercera, ___ ​​  21   ​​; y a la cuarta, ___ ​​ 28   ​​, que es 4 4 4 4 igual a 7. 0

__ ​​  74 ​​

14  ​​ ​​ __ 4

__ ​​  21   ​​ 4

7

5. ¿Qué número corresponde al punto señalado con la flecha? 

0

4

149


Secuencia 21

Lección 70.

Del 0 al 1

1. En la siguiente recta, la flecha señala el punto medio del segmento que va 1 ​​ a __ de ​​ __ ​​  2 ​​. 3

3

0

​​ __13 ​​

1

​​ __23 ​​

a) Anota el número que corresponde al punto señalado con la flecha.

ME COMPROMETO

b) A continuación se presentan cuatro razonamientos distintos para encontrar el número que señala la flecha. Escribe, en cada caso, si es correcto o incorrecto.

Al validar un procedimiento, no me conformo con decir si es correcto o incorrecto, sino que explico por qué.

1 ​​ a __ •• El segmento que va de ​​ __ ​​  2 ​​ mide __ ​​  1 ​​. La mitad de __ ​​  1 ​​ es __ ​​  1 ​​, entonces, el nú3

3

3 1 1 __ __ ​​  3 .​​  mero que señala la flecha es​​    ​​ + ​​   ​​ = __ 3 6 6

3

6

5 ​​  1 ​​, es decir, ​​ __  ​​.  •• El número que señala la flecha es __ ​​  1 ​​ + __ 3

2

6

1 ​​ vale lo mismo que __ •• ​​ __ ​​  2 ​​ y __ ​​  2 ​​ vale lo mismo que __ ​​  4 ​​. El número que está a la 3

6 3 3 2 4 __ __ __ mitad entre ​​   ​​ y ​​   ​​ es ​​   ​​.  6 6 6

6

1 ​​, ​​es decir, ​​ __ 1 ​​.  •• El número que señala la flecha es la mitad de ​​ __ 3

6

2. Anota el número que corresponde al punto señalado en las rectas.

a)

b)

c)

d)

0

​​ __35 ​​

0

0

−1

​​ __12 ​​

0.2

​​ __45 ​​

__ ​​  23 ​​

0.3

1

1

1

−​​ __23 ​​

−​​ __13 ​​

0

❋❋ Valida con un compañero los resultados de las actividades anteriores. Después, analicen la siguiente información. 150


Número, álgebra y variación • Número Entre dos números cualesquiera (fraccionarios o decimales) siempre hay otros números fraccionarios o decimales. Una forma de encontrarlos es mediante el uso 8 15 8 ___ 16 7 ​​ y ​​ __ 7 ​​ = ​​ ___ 14  ​​ y ​​ __ de números equivalentes. Por ejemplo, entre ​​ __  ​​ está ​​ ___  ​​, pues ​​ __  ​​ = ​​    ​​. A 6 6 12 6 12 6 12 esta característica de los números fraccionarios y decimales se le llama propiedad de densidad. 3. En la recta A, el segmento que va del 0 al 1 se dividió en diez partes iguales. En la recta B, una de estas partes se amplió y también se dividió en diez partes idénticas. En la recta C, una de estas partes se amplificó y de nuevo se dividió en diez partes iguales.

Recta A 0

1

Recta B 60  ​​  ​​  ___ 100

70  ​​  ___ ​​ 100

Recta C 0

4

a) Anota los números que corresponden a los puntos señalados con flechas y después contesta lo que se pide. 1  ​​ y ___ •• Escribe un número comprendido entre ​​ ___ ​​  2  ​​.   10

10

•• Anota un número comprendido entre 0.4 y 0.5.  ❋❋ Con ayuda del profesor, compara los resultados de la actividad anterior con los 4 ​​ y __ del grupo. Comenten cómo encontrarían dos números decimales entre ​​ __ ​​  3 ​​. 7 5

MÁS IDEAS Una manera rápida de encontrar un número entre otros dos es reescribir ambos números de manera conveniente; por ejemplo, para hallar un número entre __ ​​  14 ​​ y __ ​​  25 ​​ conviene reescribir ambas 5   ​​ y __ fracciones como ​​ __ ​​  8   ​​. 20 20

Taller de matemáticas 1. Juega “del 0 al 1” con el resto del grupo. •• El profesor piensa un número mayor que 0 y menor que 1, y lo anota en un papel sin que los alumnos vean. •• Los estudiantes, organizados en equipos, tienen derecho a hacer hasta diez preguntas para averiguar el número. •• El profesor solo puede contestar sí o no a cada pregunta. •• En el pizarrón se van anotando las preguntas y las respuestas. •• Al final, cada equipo dice un número y gana el que se haya acercado más al que pensó el profesor.

151


SECUENCIA

22

Números con signo II Lección 71.

¿Dónde se usan números con signo?

1. Analiza la información y responde.

MÁS IDEAS

a)

Estado de cuenta

Usualmente, los números positivos se representan sin signo: 711; aunque no es incorrecto colocar el signo de más antes del número: +711.

No. 00542557

Saldo anterior

$711.00

Su pago, ¡gracias!

− $711.00

Cargos del mes

$719.72

Cargo por redondeo del mes anterior

$0.60 Subtotal

Crédito por redondeo mes actual*

MI TELÉFONO

$720.32 −$0.32

Total

$720.00

*El crédito por redondeo se cargará a su próximo estado de cuenta.

•• En el estado de cuenta hay dos números opuestos, ¿cuáles son?

 •• Completa la suma que da como resultado el total que se pagará. 719.72 + 0.60 +

= $720.00

•• El total que se pagará también se puede calcular con una resta, ¿con cuál?

 Sin contar la clase de matemáticas, ¿dónde has visto números negativos?

b)

Temperaturas máximas y mínimas registradas en diversas regiones del mundo Temperatura Temperatura Región Elevación Elevación más alta más baja África

55.0 °C

38.1 m

−23.9 °C

1 635 m

Sudamérica

48.9 °C

205 m

−32.8 °C

268 m

Norteamérica

56.7 °C

−54 m

−63.0 °C

646 m

Europa

54.0 °C

−220 m

−66.1 °C

2 341 m

Antártida

−7.0 °C

2 500 m

−89.2 °C

3 420 m

World Meteorological Organization’s World Weather & Climate Extremes Archive, “Global Weather & Climate Extremes”, disponible en ‹wmo.asu.edu›, fecha de consulta: 21 de agosto de 2017.

•• ¿En qué región se registró la temperatura más alta?  •• ¿Y la más baja? •• ¿En qué región es mayor la diferencia entre las temperaturas mínima y máxima?

 152

¿De cuántos grados es esa diferencia?


Número, álgebra y variación • Adición y sustracción •• Representa, en la siguiente recta, las temperaturas máxima y mínima de Europa y la Antártida.

−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80

•• Si el origen o punto de referencia de las elevaciones es el nivel del mar, ¿qué significa una elevación de −54 m?  c)

Estadísticas del Torneo Clausura 2017 de la Liga MX Equipo

PG

PE

PP

GF

GC

DG

Tijuana

9

4

4

30

22

+8

Monterrey

7

6

4

26

18

Guadalajara

7

6

4

21

18

Toluca

8

3

6

21

20

Santos L.

5

11

1

25

20

Atlas

7

5

5

24

20

UANL

7

4

6

26

12

Monarcas

6

6

5

19

16

América

7

3

7

19

19

Pachuca

6

6

5

16

16

Cruz Azul

5

6

6

19

20

Necaxa

5

6

6

16

21

Veracruz

7

0

10

14

20

León

5

5

7

21

23

Querétaro

5

4

8

21

27

Jaguares

5

4

8

18

28

UNAM

5

3

9

21

30

Puebla

4

4

9

18

25

¿Cuáles son las temperaturas usuales de tu localidad? ¿Se han registrado temperaturas negativas?

−1

PG: partidos ganados; PE: partidos empatados; PP: partidos perdidos; GF: goles a favor; GC: goles en contra; DG: diferencia de goles.

•• Anota las diferencias de goles faltantes en la última columna de la tabla. •• ¿Qué significa que la diferencia de goles de un equipo sea 0?

 ❋❋ Verifica los resultados de la última columna de la tabla. Si sumas los goles en contra con la diferencia de goles, debes obtener los goles a favor de cada equipo.

DESCUBRO MÁS Otra manera de verificar los resultados de la última columna es con la resta GF − DG. ¿Qué obtienes en ese caso?

153


Secuencia 22

Lección 72.

Sumas y restas de números con signo

1. Toña y Alfredo juegan a tirar dos dados: uno negro y otro rojo. El negro tiene números positivos; el rojo, negativos. Suman ambos números y anotan el resultado de cada tirada. Después de seis tiradas, suman los resultados; gana la suma de mayor valor absoluto. a) Anota los datos que faltan en la tabla.

Tiros de Toña

Tiros de Alfredo

3 + (−4) =

−5 + 4 =

−6 + 3 =

+ 2 = −4

−2 +

= +3

−1 +

+ (−5) = −4

1 +

2 +

−4 + 3 =

= −3

−3 + 5 =

= −1

−6 +

b) ¿Quién ganó?

= +4

=0

.

c) Redacta, en tu cuaderno, técnicas para sumar dos números con signo cuando… •• ambos son positivos. •• ambos son negativos. •• uno es positivo y el otro negativo.

ME COMPROMETO Al validar respuestas, acepto cuando me equivoco e intento aprender del error.

❋❋ Con ayuda del profesor, validen lo que escribieron. Comenten si sus técnicas expresan la misma idea (no necesariamente con las mismas palabras). 2. En otra ronda, Toña y Alfredo cambiaron las reglas del juego: ahora a los puntos del dado rojo le restan los del negro. Nuevamente gana la suma de mayor valor absoluto. a) Anota los números que faltan en la tabla.

Tiros de Toña

−2 − 1 =

−1 − 5 =

−5 − 3 =

−6 − 3 =

− 3 = −4

−2 −

= −3

− 4 = −8

−5 −

−4 − 5 =

−5 − 6 =

−6 − 4 =

−3 − 3 =

b) ¿Quién ganó? 154

Tiros de Alfredo

= −7


Número, álgebra y variación • Adición y sustracción 3. Toña y Alfredo cambiaron nuevamente las reglas: a los puntos del dado negro le restan los del rojo. Anota los números que faltan en la tabla.

Tiros de Toña

Tiros de Alfredo

3 − (−6) =

2 − (−1) =

1 − (−3) =

4 − (−1) =

− (−1) = 7

3 −

2 −

=8

5 − (−5) = 6 −

− (−3) = 4 =4

2 − (−4) = = 12

5 −

a) ¿Quién ganó?

= 10

.

b) Redacta una técnica para restar dos números con signo mediante una suma.

 ❋❋ En tu cuaderno, escribe tres restas de números con signo y resuélvelas con tu técnica; después, dáselas a un compañero para que las resuelva con la suya. Si hay diferencias en los resultados, revisen las técnicas de ambos e identifiquen dónde está el error.

MÁS IDEAS En una resta, al primer término se le llama minuendo; al segundo, sustraendo; y al resultado, diferencia.

4. Trabaja en equipo. Analicen esta técnica para restar números con signo. •• 4 − (−5) = 4 + 5 = 9 •• −4 − (−5) = −4 + 5 = 1 •• 4 − 5 = 4 + (−5) = −1 •• −4 − 5 = −4 + (−5) = −9 a) ¿En qué consiste la técnica?  b) Usen la técnica que prefieran para resolver las restas. •• 8 − 3 =

• −6 − (−13) =

4 ​​ − __ •• ​​ __ ​​  1 ​​ = 5

• 11 − (−7) =

2

•• −2.5 − 5.2 = •• −9 − 15 =

3 2 ​​ − (−​​ __  ​​) = • ​​ __ 4 3

• −4.9 − (−3.1) =

5 1 ​​) =  ​​ − (−​​ __ •• −​​ __

• 7.3 − (−0.4) =

8 8  ​​ − (−​​ __ ​​) = •• −​​ __ 5 5

3 • ​​ __  ​​− 0.5 = 4

6

3

155


Secuencia 22

MÁS IDEAS

Lección 73.

En un cuadrado mágico, la suma de números en línea vertical, horizontal o diagonal siempre da el mismo resultado.

Juegos con números

1. Completa los cuadrados mágicos y verifica las sumas. a) En este caso todas las sumas deben dar 0.

Horizontales 3

−4

1

Verticales

3 + (−4) + 1 = 0

0

Diagonales 3+0+

−4 + 0 +

=0

=0

b) Ahora todas las sumas deben dar −9.

Horizontales

Verticales

Diagonales

Verticales

Diagonales

−2

−3

−1

c) En este, las sumas deben dar 3.6.

Horizontales

1.2

0.2

−2.2

1 ​​. d) Ahora todas las sumas deben dar −​​ __ 2

Horizontales

​​ __13 ​​ −​​ __16 ​​ −​​ __13 ​​

156

Verticales

Diagonales


Número, álgebra y variación • Adición y sustracción 2. Anota los números que faltan en la tabla.

a

21

8

9.5

b

15

17

−7.6

a−b

6

6

−​​ __35 ​​

−3

−​​ __23 ​​

−8

11

5

−11

0

Taller de matemáticas 1. Completa los esquemas: en el A, cada número debajo de otros dos corresponde a la suma de ambos; en el B, cada número debajo de otros dos corresponde a la resta del primero menos el segundo. Esquema A (se suma) −5

3 −2

−1

−6

4

2

−19

Esquema B (se resta) 5

3 2

−1

6

−4

4

−5

2. Anota los números que faltan en la estrella mágica, de manera que la suma de cuatro de ellos en línea recta siempre sea la misma.

−6

1

5

−2

−1 4

157


SECUENCIA

23

Problemas de división con decimales Lección 74.

Por cada multiplicación, dos divisiones

1. Con la siguiente información se pueden plantear tres problemas: uno de multiplicación y dos de división. Dato 1 Ernesto da doce pasos.

Dato 2 Cada paso mide __ ​​  34 ​​ m.

Dato 3 En total, Ernesto avanza 9 m.

a) Para plantear los problemas, basta con proporcionar dos datos y preguntar por el tercero. Si se dan los datos 1 y 3, y se pregunta por el 2, se obtiene este problema: •• Al dar doce pasos, Ernesto avanza 9 m. ¿Cuánto mide cada paso? 3 •• Resultado: cada paso mide ​​ __  ​​m. Operación: 9 ÷ 12 = __ ​​ 34 ​​. 4

b) Escribe los otros dos problemas en tu cuaderno. 2. Anota, en tu cuaderno, los tres problemas que se obtienen al preguntar por cada uno de los datos de cada inciso. Resuélvelos y anota el resultado y la operación. a)

ME COMPROMETO

b)

No uso el automóvil para ir a lugares cercanos a los que puedo llegar en transporte público. c)

d)

158

Dato 1 Luis reparte tres pasteles.

Dato 2 Luis reparte los pasteles entre cuatro amigos.

Dato 3 A cada amigo le corresponden __ ​​  34 ​​ de pastel.

Dato 1 El auto recorrió 425.6 km.

Dato 2 El combustible del auto rinde 17.5 km por litro.

Dato 3 El auto consumió 24.32 L de gasolina.

Dato 1 El frasco de medicina contiene 12 dL.

Dato 1 El factor de escala es __ ​​  34 ​​.

Dato 2 Una dosis es de 0.5 dL.

Dato 2 Un lado A de la figura original mide 4 cm.

Dato 3 El frasco rinde 24 dosis.

Dato 3 El lado A′ de la copia mide 3 cm.


Número, álgebra y variación • Multiplicación y división ❋❋ Con tus compañeros, revisa los problemas que elaboraron y hagan en grupo lo siguiente. •• En cada uno de los problemas, analicen si se entiende el planteamiento y lo que se pregunta. •• Verifiquen si en cada inciso efectuaron tres problemas: uno que se resuelve con multiplicación y dos con división. •• Identifiquen al menos una división cuyo cociente sea mayor que el dividendo y al menos una multiplicación cuyo producto sea menor que uno de los factores. 3. Formula un problema con cada operación. Procura que se relacione con una situación de la vida cotidiana. a) 1.8 ÷ 10 = 0.18



MÁS IDEAS 12 ÷ 4 = 3 Dividendo Cociente Divisor

  

MÁS IDEAS 3 × 4 = 12 Factores Producto

b) 0.25 ÷ 0.05 = 5



MÁS IDEAS



Cuando el divisor es un número natural, por ejemplo, el 10 del inciso a), pueden plantearse problemas de repartir una cantidad en partes iguales. Pero cuando el divisor es decimal, como en el inciso b), deben explorarse otro tipo de relaciones, por ejemplo, ver cuántas veces una cantidad es igual a otra.

  c) 25 × 0.1 = 2.5

    d) 5.2 × 2 = 10.4

   ❋❋ En grupo y con ayuda del profesor, valida que los problemas que plantearon se resuelven con las operaciones indicadas. 159


Secuencia 23

Lección 75.

Técnicas para dividir decimales

1. Analiza la información y haz lo que se pide. Se empacarán 4 000 naranjas en bolsas; se pondrán 16 en cada una. a) Verifica que se necesitan 250 bolsas. b) Si se empacaran el doble de naranjas y se colocaran 16 en cada bolsa, ¿cuántas bolsas se necesitarían?  c) Utiliza los resultados anteriores para calcular, sin hacer cuentas escritas ni usar calculadora, los números de bolsas que faltan en la tabla.

Dividendo (total de naranjas)

4 000

8 000

2 000

4 000

4 000

2 000

8 000

Divisor (naranjas por bolsa)

16

16

16

8

32

8

32

Cociente (bolsas)

250

2. Trabaja en tu cuaderno. Efectúa, en grupo y con la ayuda del profesor, lo que se indica. a) Comparen cómo calcularon los resultados anteriores. b) Observen que algunos cocientes se repiten, averigüen a qué se debe y anoten una conclusión. c) Escriban, a partir de su conclusión, tres divisiones que tengan el mismo cociente. Verifiquen los resultados con calculadora. ❋❋ Vean si su conclusión coincide con la información del recuadro.

DESCUBRO MÁS La propiedad de las divisiones que tienen el mismo cociente se parece mucho a una propiedad de las fracciones equivalentes. ¿Cuál es?

Cuando el dividendo y el divisor se multiplican o se dividen por un mismo número, se obtiene otra división con el mismo cociente. 3. Trabaja con un compañero. a) ¿La propiedad del recuadro anterior funciona cuando el dividendo o el divisor son números con punto decimal? Lleven a cabo lo siguiente para averiguarlo. •• Resuelvan, con calculadora, la división 0.8 ÷ 4 =  •• Multipliquen por un mismo número, el que ustedes quieran, el dividendo (0.8) y el divisor (4) y hagan nuevamente la división. Comprueben que el cociente que obtienen es igual al anterior.

160


Número, álgebra y variación • Multiplicación y división b) Cuando se tiene una división de números con punto decimal, con la propiedad del recuadro anterior se puede obtener otra división de números sin punto decimal que tenga el mismo cociente. Inténtenlo con la división 0.7 ÷ 0.35. En el siguiente inciso se explica cómo hacerlo. c) Enseguida se muestra cómo resolver la división 0.7 ÷ 0.35 sin usar calculadora. Completen lo que falta. Paso 1. El dividendo y el divisor se multiplican por 100: 0.7 × 100 = 0.35 × 100 =

;

.

Paso 2. El nuevo dividendo se divide entre el nuevo divisor:

÷

=

.

d) Verifiquen, con calculadora, que el cociente anterior sea igual al de 0.7 ÷ 0.35. Cuando el divisor, el dividendo o ambos son números con punto decimal, es posible multiplicar los dos términos por la potencia de 10 adecuada (10, 100, 1 000...) para obtener una división equivalente (con el mismo cociente), pero sin números con punto decimal. 4. Usa la técnica del recuadro anterior para resolver sin calculadora las divisiones. Considera si debes multiplicar por 10, 100, 1 000 u otra potencia de 10. a) 1.25 ÷ 0.25 = (1.25 × 100) ÷ (0.25 × 100) = 125 ÷ 25 =  b) 0.725 ÷ 0.5 =  c) 1 ÷ 0.1 =  d) 24.7 ÷ 24.7 =  5. Trabaja con un compañero: uno indique, con una paloma, el intervalo donde está el cociente de cada división y el otro verifique con calculadora.

TIC MÁS Verifica con calculadora los resultados de la actividad 4.

El cociente está entre… 0y1

1y2

2 y 10

10 y 100

100 y 1 000

6 ÷ 0.2 0.6 ÷ 0.2 0.6 ÷ 2 6 ÷ 0.02 0.06 ÷ 0.02 0.006 ÷ 0.02 ❋❋ En grupo y con ayuda de su profesor, expliquen cómo hicieron para saber en qué intervalo va cada cociente. 161


Secuencia 23

Multiplicaciones que achican, divisiones que agrandan Lección 76.

1. Reúnete con un compañero. Jueguen al laberinto contra otra pareja. Reglas •• Ambas parejas empiezan el juego con 100 puntos. •• Cada pareja traza, en su laberinto, un camino continuo desde la salida hasta la meta. •• Deben efectuar cada operación con los puntos que tienen hasta ese momento; el resultado de la operación será el nuevo puntaje con que continuarán su camino. •• No se puede pasar dos veces por una misma operación. •• Pueden usar calculadora. •• Gana la pareja que llegue con más puntos a la meta.

MÁS IDEAS

100

Una regla para hacer el juego más retador es que las operaciones se resuelvan sin calculadora.

×2

÷2

÷ 0.1

× 10

÷ 0.100

× 0.01

× 0.19

÷ 100

× 0.2

×4 ÷ 0.01

÷ 0.5

× 0.5

Meta

❋❋ En grupo, analicen algunos juegos ganadores. Determinen qué pareja obtuvo el mejor puntaje. Revisen si es posible lograr uno mayor y expliquen por qué. 162


Número, álgebra y variación • Multiplicación y división 2. Jueguen ahora con el siguiente laberinto. Las reglas son las mismas de la actividad anterior. 100

× 0.5

÷ 0.5

×5

÷2

÷ 0.2 ÷ 0.005

÷ 30 ÷ 0.02

× 10 ÷ 10

÷ 0.1

÷ 0.2

÷2

×3

Meta

❋❋ En grupo, discutan cuál es el mayor puntaje posible. Anoten sus conclusiones en su cuaderno.

Taller de matemáticas 1. Completa el diagrama con las palabras mayor o menor. Después, ejemplifica cada caso.

mayores que 1,

Multiplicación Si ambos factores son…

el producto es que cualquiera de los factores.

mayor que 1,

MÁS IDEAS menores que 1,

el producto es que cualquiera de los factores.

División Si el divisor es…

el cociente es que el dividendo.

Algunas de las propiedades de la multiplicación y la división que se ejemplifican en el diagrama no valen para los números negativos. En cursos posteriores aprenderás por qué.

menor que 1,

el cociente es que el dividendo.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2: 

Ejemplo 3:

Ejemplo 4: 

163


SECUENCIA

24

Análisis de la regla de tres Lección 77.

La regla de tres

1. En las tablas se muestra cuánto vale el jamón en dos locales de un mercado. Anota, en la tercera columna de cada una, el resultado de dividir cada precio entre el número correspondiente de kilogramos.

Local A kg

Precio ($)

​​ __14 ​​

Local B Precio ​​ _____     ​​  kg

kg

Precio ($)

20.00

__ ​​  14 ​​

25.00

__ ​​  12 ​​

40.00

__ ​​  12 ​​

45.00

1

80.00

1

85.00

2

160.00

2

160.00

4

320.00

4

300.00

5

400.00

5

350.00

Precio ​​ _____     ​​  kg

2. Reúnete con un compañero y contesten. Anoten “Sí” o “No” en cada columna.

Local A

Local B

a) Entre más kilogramos se compran, ¿mayor es el precio total? 1 ​​kg cuesta la mitad de lo que cuesta 1 kg? b) ¿​​ __ 2

c) ¿5 kg cuestan cinco veces lo que 1 kg? d) ¿Se paga lo mismo si se compra 1 kg y luego 4 kg que si se compran de una sola vez 5 kg? e) ¿Es más barato el kilogramo entre más cantidad se compre? f) ¿El precio por kilogramo es siempre el mismo?

MÁS IDEAS Después de resolver un problema es recomendable valorar si el resultado es factible, si tiene sentido, si “suena lógico”. En caso de que nos parezca que no, es muy probable que hayamos usado una técnica equivocada o cometido un error de cálculo. 164

❋❋ En grupo, valida tus respuestas de la actividad anterior y después efectúen lo siguiente. •• Expliquen, entre todos, en qué local, A o B, la relación entre peso y precio es de proporcionalidad.

  •• Comenten la información del recuadro y úsenla para validar su respuesta del inciso anterior.


Número, álgebra y variación • Proporcionalidad Cuando las cantidades de un conjunto son proporcionales a las de otro, los cocientes que se obtienen al dividir una cantidad de un conjunto entre la cantidad correspondiente en el otro son iguales. Por ejemplo, en el local A: 20 ÷ __ ​​ 14 ​​ = 80; 1 ​​= 80; 160 ÷ 2 = 80; 320 ÷ 4 = 80; 400 ÷ 5 = 80… 40 ÷ ​​ __ 2 Este cociente se llama factor o constante de proporcionalidad. 3. En otro local, C, los precios del jamón también son proporcionales a las cantidades que se compran. Una persona pagó $455.00 por 7 kg. Si otra persona pagó $292.50, ¿cuántos kilogramos compró?  4. Trabaja en grupo. Comenten cómo resolvieron el problema anterior y analicen, en el recuadro, cómo hacerlo con la técnica llamada regla de tres.

Paso 1. Se escriben, en una tabla, los tres datos que se conocen y el dato desconocido (normalmente se denota con la literal x). Paso 2. Como las cantidades son proporcionales, los cocientes 455 ÷ 7 y 292.5 ÷ x deben ser iguales (son la constante de proporcionalidad). Los cocientes se pueden expresar con fracciones.

Kilogramos

Precio ($)

7

455.00

x

292.50

____ ​​  455    ​​ = _____ ​​  292.5 ​​  x    7

Paso 3. Ya que las fracciones son iguales, los productos cruzados también lo son.

(455)(x) = (292.5)(7)

Paso 4. Se despeja x y se obtiene la respuesta del problema: con $292.50 se compraron 4.5 kg de jamón.

x = ________ ​​  455    ​​  = 4.5

MÁS IDEAS El cociente de una división, por ejemplo, 3 entre 4, es igual a la fracción __ ​​  34 ​​. De manera general, a ÷ b = __ ​​  ab  ​​.

(292.5)(7)

5. Resuelve el problema en tu cuaderno mediante la regla de tres.

MÁS IDEAS

•• Luis y Jacinta arman torres con cubos sobre una mesa de 50 cm de alto. La torre de Jacinta, con seis cubos, alcanza una altura total, desde el piso, de 80 cm. La de Luis tiene tres cubos. ¿A qué altura del piso llega?

Cuando dos fracciones son equivalentes, los productos llamados “cruzados”, es decir, el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el del numerador de la segunda por el denominador de la primera, son iguales.

•• Un automóvil recorre 210 km en 7 h. Si sigue a la misma velocidad, ¿cuánto tiempo le falta para recorrer 120 km más?

Por ejemplo, __ ​​  12 ​​ = __ ​​  24 ​​y 1 × 4 = 2 × 2

Con 5 L de leche se obtienen 2 L de crema. ¿Cuántos litros de leche se necesitan 3 para ​​ __  ​​L de crema? 4 ❋❋ En grupo, discute si la regla de tres funciona para resolver los siguientes problemas. Si no logran ponerse de acuerdo, apliquen la regla de tres y determinen si la solución encontrada les parece o no factible.

•• Ángela ha leído 80 páginas de su libro. Le faltan 40 para terminarlo. ¿Cuántas le faltarán cuando haya leído 100 páginas?

​​  dc ​​,  En general, si ​​ __ab ​​ = __ entonces a × d = b × c.

165


Secuencia 24

Lección 78.

Un mismo problema, varias técnicas

1. A continuación se muestran cinco técnicas para resolver un problema de proporcionalidad. Anota los datos que faltan. Por un préstamo de $400.00 se pagaron al banco $300.00 de intereses en un año. ¿Cuánto se debe pagar de intereses en un año por un préstamo de $600.00?

ME COMPROMETO Hago buen uso del dinero: evito pedir prestado, compro solo lo que realmente necesito y tengo el hábito del ahorro.

Técnica 1 Calcular el valor unitario, es decir, cuánto se paga de interés por cada peso prestado.

Técnica 2 Calcular un valor intermedio distinto del unitario, por ejemplo, cuánto se paga por cada $200.00 prestados.

Cantidad prestada ($)

Intereses ($)

Cantidad prestada ($)

Intereses ($)

400.00

300.00

400.00

300.00

1.00

200.00

600.00

600.00

Técnica 3 Calcular qué número multiplicado por 400 da 300 o, dicho de otra forma, qué fracción de 400 es igual a 300 y multiplicar 600 por esa misma fracción.

Técnica 4 Usar la regla de tres.

Cantidad prestada ($)

Intereses ($)

400.00

300.00

600.00

x

× Cocientes iguales:

Cantidad prestada ($)

Intereses ($)

400.00

300.00

600.00

Productos cruzados iguales:

Solución: x =

Técnica 5 Calcular el valor de una razón interna, en este caso, qué número multiplicado por 400 da 600, y multiplicar 300 por ese mismo número.

Cantidad prestada ($)

Intereses ($)

400.00

300.00

×

× 600.00

166


Número, álgebra y variación • Proporcionalidad

MÁS IDEAS

Taller de matemáticas 1. Resuelve los problemas de proporcionalidad. Utiliza en cada uno la técnica que te parezca más sencilla. a) Anota las cantidades de ingredientes de un pastel para seis personas. Receta para un pastel de cerezas

Tazas de harina

Mantequilla

Cerezas

8

__ ​​  18 ​​ kg

1 ​​ __14 ​​ kg

Para 4 personas Para 6 personas

Saber resolver un problema de distintas maneras es bueno por varias razones: •• para cada problema, un método puede resultar mucho más sencillo que otro; •• si olvidas un método, puedes usar el otro; •• puedes resolver el problema con uno de los métodos y validar el resultado con el otro.

b) La figura A′ es una reproducción a escala de la figura A. Anota los datos que faltan.

Figura A

Figura A′

16 cm

4 cm

4 cm 20 cm 12 cm

c) Se han usado 96.4 L de pintura para pintar 400 m2 de una superficie que mide 600 m2. ¿Cuántos litros de pintura faltan para terminar de pintarla?  d) Luis viaja en automóvil a una velocidad constante de 80 km/h. A las 13:50 h pasa por Barranca Profunda y continúa su camino hasta llegar a Santa Rosa, a las 15:20 h. ¿Qué distancia hay de Barranca Profunda a Santa Rosa? 

DESCUBRO MÁS

2. Completa las tablas. En una de ellas las cantidades no son proporcionales. Cuota por uso de teléfono celular considerando la tarifa mensual más minutos adicionales

¿El tiempo durante el que se escucha un disco es proporcional al número de canciones escuchadas?

Costo por llamada de larga distancia nacional en un teléfono público

Minutos adicionales

Cuota ($)

Duración de la llamada (minutos)

Costo ($)

1

253.00

4

7.00

2

256.50

8

14.00

4

263.50

10

17.50

5

15

DESCUBRO MÁS Si el costo de un viaje en taxi es de $10.00 por kilómetro y no hay cuota inicial, ¿lo que se paga por viaje es proporcional a la distancia recorrida?

167


SECUENCIA

25

Variación lineal III Lección 79.

Comisiones por ventas

1. Considera estos esquemas de pago diario para los empleados de ventas de una compañía. Esquema A: no hay sueldo base, pero sí una comisión que corresponde a la mitad de las ventas diarias. Esquema B: hay un sueldo base de $50.00 más una comisión de la quinta parte de las ventas. Esquema C: el sueldo base es de $150.00 diarios; no hay comisión por ventas. a) Completa las tablas.

Esquema A Ventas ($) Pago ($)

Esquema B Ventas ($) Pago ($)

0.00 100.00

0.00

50.00

0.00

100.00

100.00

200.00

200.00

200.00

300.00

300.00

500.00

50.00

Esquema C Ventas ($) Pago ($)

250.00

1 000.00

110.00

150.00

300.00

500.00

500.00

1 000.00

1 000.00

150.00

b) Grafica las relaciones anteriores. Considera que x son las ventas y que y es el pago. y 250

Pago

200 150 100 50

0 100 200 300 400 500 Ventas

MÁS IDEAS La expresión y = 2x + 1 es un ejemplo de regla de correspondencia que relaciona la variable x con la variable y. 168

x

c) ¿En qué esquema el pago diario no depende de las ventas?  d) Escribe las reglas de correspondencia para los dos esquemas en los que el pago (y) sí depende de las ventas (x). y=

y=


Número álgebra y variación • Funciones 2. Considera otro esquema para la situación de la actividad anterior. Esquema D: se paga un sueldo base de $70.00 y una comisión por la sexta parte de las ventas. a) Subraya la regla de correspondencia de esta situación. y = 6x + 70

1 ​​x + 70 y = ​​ __

y = 70x + 6

1 ​​ y = 70x + ​​ __

6

6

b) Escribe cuál sería la regla de correspondencia si la comisión por ventas no varía, pero en lugar de $70.00, el sueldo base fuera… •• $60.00:

• $80.00: 

•• $100.00:

• $0.00: 

c) Antes de graficar las reglas de correspondencia del inciso b), anticipa qué afirmación es verdadera. •• Las gráficas correspondientes son rectas paralelas. •• Las gráficas son rectas que pasan por el punto (0, 70). 1 ​​). •• Las gráficas son rectas que pasan por el punto (0, ​​ __ 6

d) Grafica las rectas en tu cuaderno para verificar tu respuesta anterior. e) Anota la regla de correspondencia si el sueldo base es $70.00, pero la comisión es de… •• la quinta parte de las ventas:  •• la cuarta parte:

MÁS IDEAS

La expresión __ ​​  14 ​​x es equivalente a la expresión __ ​​  4x  ​​o a 0.25x.

• la tercera parte: 

f) Subraya la afirmación verdadera acerca de las gráficas de las reglas del inciso anterior. •• Son rectas paralelas. •• Son rectas que pasan por el punto (0, 70). •• Son rectas que pasan por el punto (70, 0). g) Grafica las rectas en tu cuaderno para verificar tu respuesta anterior. 1 ​​x + 60, ¿qué representa __ ​​ 1 ​​?  h) En la regla de correspondencia y = ​​ __ 6

¿Y el 60?

6

.

❋❋ Valida tus respuestas con tus compañeros. Comenten en qué casos las rectas que graficaron son paralelas y en cuáles no.

TIC MÁS Investiga cómo graficar con el programa GeoGebra la regla y = __ ​​  16 ​​x + 60. Usa la herramienta para trazar las rectas de esta lección.

169


Secuencia 25

Lección 80.

Gráficas y reglas de correspondencia

1. Considera la tabla y el plano cartesiano. y

Coordenadas x y M

−3

5

−3

N

P N

Punto

P

0

−5

x

5

Q M

R

−5

S a) Anota las coordenadas de N y P, y traza una recta que pase por esos puntos. Prolóngala lo más que se pueda. b) Escribe, en la tabla, las coordenadas de tres puntos, Q, R y S, que se ubiquen sobre la recta que trazaste. c) Subraya los puntos que estén sobre la recta anterior. •• T (−4, 4)

• U (1.5, 1.5)

• V (−3.2, −3.2)

1 ​​, ​​ __ 1 ​​) • W (−​​ __ 2 2

d) Completa las coordenadas de los puntos para que se ubiquen sobre la recta anterior. •• J (7.4, 

)

• K (

5 −​​ __  ​​) 8

• L (2.1, 

)

e) ¿Qué tienen en común las coordenadas de todos los puntos de la recta anterior?



DESCUBRO MÁS La expresión algebraica y = 3x indica que para cada punto de la recta, la ordenada es el triple de la abscisa. Si la abscisa de un punto vale 2, ¿cuánto vale su ordenada? Si la ordenada de un punto vale 21, ¿cuánto vale su abscisa?

f) Completa la regla de correspondencia que relaciona la abscisa (x) con la ordenada (y) de cualquier punto de la recta. y= g) ¿La regla de correspondencia anterior expresa una relación de proporcionalidad? 

 

170

Explica tu respuesta. 


Número álgebra y variación • Funciones 2. Considera la tabla y el plano. y

Coordenadas

x

y

A

C 5

B

B

Punto

C D

0

−5

5

x

E A

F

−5

G a) Observa que los puntos A, B y C están alineados. Traza una recta que pase por ellos y prolóngala lo más que se pueda. b) Anota en la tabla las coordenadas de los puntos A, B y C. c) Ubica otros cuatro puntos en la recta (los que tú quieras), nómbralos D, E, F, G y anota sus coordenadas en la tabla. d) Escribe la regla de correspondencia que relaciona la abscisa (x) con la ordenada (y) de los puntos de la recta.

 e) Verifica que las coordenadas de los puntos que ubicaste cumplan con la regla de correspondencia anterior. f) ¿La regla de correspondencia anterior expresa una relación de proporcionalidad?

DESCUBRO MÁS Expresa en lenguaje común la regla de correspondencia que anotaste, es decir, explica cómo se relacionan la abscisa y la ordenada de un punto cualquiera de la recta.

. Explica tu respuesta. 

    ❋❋ Reúnete con dos compañeros para validar las gráficas y las reglas de correspondencia que encontraron en las actividades de esta lección. Comenten lo siguiente. ¿Es posible saber si un punto pertenece o no a una recta solamente con las coordenadas y la regla de correspondencia (sin hacer trazos en el plano cartesiano)? Por ejemplo, ¿es posible saber si el punto (200, 400) pertenece a la recta cuya regla de correspondencia es y = 2x + 1? 171


Secuencia 25

Lección 81.

La ecuación de la recta

1. Trabaja con base en las actividades de las dos lecciones anteriores. Anota las reglas de correspondencia de las situaciones que se mencionan a continuación. •• Lección 79 (Comisiones por ventas), esquema A:  •• Lección 79 (Comisiones por ventas), esquema B:  •• Lección 80 (Gráficas y reglas de correspondencia), actividad 1:  •• Lección 80 (Gráficas y reglas de correspondencia), actividad 2:  a) Observa que las reglas que anotaste se parecen a la siguiente: y = mx + b. Una regla de correspondencia del tipo y = mx + b también se llama ecuación de la recta, pues al trazar la gráfica correspondiente, se obtiene precisamente una línea recta. 2. En pareja, efectúa lo siguiente. a) En cada fila de la tabla hay valores de m y b para la ecuación del tipo y = mx + b correspondiente. Escriban las ecuaciones que faltan.

m

b

y = mx + b

3

3

y = 3x + 3

3

−1

3

0

3

−2

b) ¿Qué tienen en común las cuatro ecuaciones?  c) ¿Y qué tienen en común las rectas correspondientes?  d) Grafiquen las rectas en su cuaderno para comprobar su respuesta anterior.

DESCUBRO MÁS En la recta y = 2x, la ordenada de cualquier punto vale el doble de la abscisa. ¿Cuánto vale la ordenada de cada punto en relación con la abscisa en la recta y = 0.5x? ¿Cuál de las dos rectas tiene mayor pendiente?

172

❋❋ Validen sus respuestas con el resto del grupo. Analicen la información del recuadro. En una ecuación del tipo y = mx + b el valor de m determina la inclinación de la recta; por ello se llama pendiente de la recta. Las gráficas de ecuaciones con la misma pendiente tienen la misma inclinación, es decir, son rectas paralelas. Por ejemplo… •• y = −5x

• y = −5x + 9

• y = −5x − 4


Número álgebra y variación • Funciones 3. Trabaja con un compañero. Completen las tablas. En cada una se muestra la ecuación de una recta y las coordenadas de tres de sus puntos.

y=x+2

x

y = 3x + 2

y

x

y = 2x + 2

y

x

−2

−2

−2

0

0

0

2

2

2

y

a) Grafiquen las ecuaciones anteriores en el plano cartesiano. y 5

−14 −12 −10 −8 −6 −4 −2

0 2 4 6 8 10 12 14

x

0

−5

b) Todas las rectas anteriores cortan al eje y en el mismo punto. ¿Cuáles son las coordenadas de ese punto?  c) De las siguientes ecuaciones de rectas, subrayen las que corten al eje y en el mismo punto del inciso anterior. •• y = −3x + 2

• y = x − 2

• y = 0.5x + 2

• y = 2x + 1

d) Escriban las ecuaciones de otras dos rectas que corten al eje y en ese mismo punto.  ❋❋ En grupo y con ayuda del profesor, validen sus respuestas. Analicen la información del recuadro. La recta y = mx + b corta el eje y en el punto (0, b); por esta razón la b se denomina ordenada al origen. Por ejemplo, en la recta y = 0.5x + 1, la ordenada al origen es 1; es decir, la recta corta al eje y en el punto (0, 1).

DESCUBRO MÁS ¿Cómo se nota en la ecuación de una recta el punto en el que la gráfica corta al eje y?

y 5

−5

0

5

x

173


Secuencia 25

Lección 82.

Aumenta o disminuye el valor

1. Trabaja en equipo. Analicen la información y respondan o hagan lo que se pide. ¿Qué otros objetos aumentan su valor con el tiempo?

Conforme pasa el tiempo, el valor de algunas cosas aumenta (por ejemplo, las casas o los terrenos), pero el de otras, al contrario, disminuye (por ejemplo, los automóviles). a) Dos de las gráficas representan productos cuyo valor aumenta con el tiempo; las otras dos, productos cuyo valor disminuye. Anoten, debajo de cada gráfica, “Aumenta” o “Disminuye”, según corresponde.

Producto A

Producto B

Valor

y

Valor

y

Tiempo

x

Tiempo



x



Producto C

Producto D

Valor

y

Valor

y

Tiempo



x

Tiempo

x



b) De los productos cuyo valor aumenta, ¿cuál lo hace más rápidamente?  c) De los productos que disminuye su valor, ¿cuál lo hace más rápidamente?  2. Para otros productos, el valor (y) respecto al tiempo (x) está dado por las ecuaciones en la tabla. Anoten si aumenta o disminuye su valor.

Producto

Ecuación

E

y = −5x + 100

F

y = 3x + 40

G

y = −0.6x + 10

H

y = 0.001x + 100

¿El valor aumenta o disminuye?

a) De los productos cuyo valor aumenta, ¿cuál lo hace más rápidamente?  174


Número álgebra y variación • Funciones

b) ¿El valor de qué producto disminuye más rápidamente?  ❋❋ Validen sus respuestas con otro equipo de compañeros. Concluyan cómo determinar, a partir de la gráfica o de la ecuación, si aumenta o disminuye el valor de algún producto. 3. Considera que las gráficas de las relaciones entre el tiempo y el valor de los productos J y K también son rectas. a) Traza una gráfica para el producto J, cuyo valor aumenta con el tiempo, y otra gráfica para el producto K, cuyo valor disminuye.

Producto J

Producto K

En este contexto de productos que aumentan o disminuyen de valor respecto al tiempo, ¿qué significa que la pendiente de una recta sea 0? ¿Cómo sería la ecuación correspondiente?

Valor

y

Valor

y

DESCUBRO MÁS

x

Tiempo

Tiempo

x

b) Anota la ecuación de un producto L, cuyo valor aumente con el tiempo, y otra para el producto M, cuyo valor disminuya al pasar el tiempo. Producto L:

Producto M:

Taller de matemáticas 1. Considera las siguientes situaciones que se refieren a tinacos de agua.

Situación A El tinaco está vacío y para llenarlo se abre una llave que deja caer 5 L de agua por minuto.

Situación B

Situación C

El tinaco contiene 25 L de El tinaco tiene 25 L de agua; agua y para llenarlo se abre la llave permanece cerrada una llave que deja caer 5 L de todo el tiempo. agua por minuto.

a) En tu cuaderno, haz una tabla para cada situación en la que a los minutos transcurridos (x) se le asocien los litros de agua (y) en el tinaco. Traza también las gráficas correspondientes. b) Anota la regla de correspondencia (ecuación de la recta) de cada situación. •• A:

• B:

• C:

2. En el tinaco D, con 100 litros de agua, se abre una llave que deja salir 5 L por minuto. ¿Cuál es la regla de correspondencia que relaciona los minutos transcurridos (x) con los litros de agua (y) en el tinaco? 

175


SECUENCIA

26

Congruencia de triángulos Lección 83.

Triángulos congruentes

1. Con tus instrumentos geométricos y un lápiz traza triángulos con las medidas que se indican. Al final, borra los trazos auxiliares que hayas hecho (solo deja el triángulo).

MÁS IDEAS

Triángulo 1: los lados del triángulo miden 5 cm, 4 cm y 3 cm.

En la lección 32, página 74, aprendiste a trazar triángulos a partir de las medidas de sus lados.

Triángulo 2: dos lados miden 6 cm y 4 cm, y el ángulo comprendido entre ellos es de 75°.

MÁS IDEAS En la lección 55, página 120, se muestra cómo trazar un triángulo si se conocen las medidas de sus ángulos.

176

Triángulo 3: los ángulos miden 45°, 75° y 60°.


Forma, espacio y medida • Figuras y cuerpos geométricos Triángulo 4: dos ángulos miden 115° y 35°, y el lado común a ambos mide 4 cm.

Triángulo 5: dos de sus lados miden 2 cm y 3 cm.

Triángulo 6: un lado mide 7cm y uno de sus ángulos mide 120°.

2. Reúnete con dos o tres compañeros para trabajar en equipo. Comparen los triángulos que trazaron en la actividad 1 y respondan. a) ¿Qué triángulos de los que trazaron son congruentes?  b) ¿Cuáles no son congruentes?  ❋❋ Comparen sus respuestas con las del resto del grupo. ¿Todos respondieron lo mismo en la actividad 2? Si no es así, discutan por qué.

figuras congruentes:

aquellas que se pueden poner una encima de la otra, de manera que todos sus lados y sus ángulos coincidan. 177


Secuencia 26

Lección 84.

¿Qué conviene preguntar?

1. Organízate en equipo con dos o tres compañeros para hacer lo siguiente.

ME COMPROMETO Durante los juegos es fácil decir que el ganador tuvo suerte y puede ser que sea así. Sin embargo, en el estudio los resultados dependen de ti, de tu esfuerzo y de tu constancia.

•• Necesitan un juego de geometría, una hoja blanca y media hoja para escribir preguntas al profesor. •• El profesor tiene un triángulo ABC que nadie puede ver, sino hasta el final de la actividad. •• Cada equipo debe trazar en su hoja un triángulo congruente con el que oculta el profesor. Para ello, escribirán preguntas en su media hoja solicitando la información que consideren necesaria. •• Solo pueden hacer preguntas que se respondan con “sí”, “no” o con una medida, por ejemplo, “6 cm” o “60°”. •• El profesor devolverá a cada equipo su media hoja, con las respuestas a sus preguntas. •• Los equipos trazarán el triángulo con la información recibida. •• Al terminar, cada equipo comparará su triángulo con el del profesor para verificar si son congruentes. ❋❋ Entre todos, analicen las preguntas de los diferentes equipos. Comenten lo siguiente. •• ¿En qué fallaron las preguntas de quienes no lograron trazar un triángulo congruente? ¿Les faltó información?, ¿cuál? •• ¿Algunas de las preguntas de quienes sí lograron reproducir el triángulo fueron innecesarias?, es decir, ¿podrían haberse eliminado sin afectar el resultado? 2. Reúnete para jugar con los mismos compañeros con los que resolviste la actividad 1. El juego es similar, pero esta vez el profesor tiene un triángulo escaleno CDE y hay una nueva regla: máximo pueden hacerse tres preguntas por equipo. ❋❋ En grupo y con ayuda del profesor, analicen las preguntas de los diferentes equipos. Respondan lo siguiente. •• ¿Cuántos equipos lograron construir un triángulo congruente al del profesor?

 •• ¿Qué preguntas hicieron?

   178


Forma, espacio y medida • Figuras y cuerpos geométricos 3. Analiza la información y responde. Los datos se refieren a ocho triángulos de vértices M, P y N.

Triángulo 1

Triángulo 2

Lado MN = 4 cm Lado NP = 3 cm Ángulo N = 67°

Lado MN = 6 cm Lado NP = 8 cm Lado PM = 10 cm

Triángulo 3

Triángulo 4

Ángulo M = 110° Ángulo N = 35° Ángulo P = 35°

Ángulo N = 62° Ángulo M = 33° Lado NM = 7.5 cm

Triángulo 5

Triángulo 6

Lado MN = 7 cm Lado NP = 8.2 cm

Ángulo N = 30° Ángulo P = 112°

Triángulo 7

Triángulo 8

Ángulo N = 81° Lado NM = 10 cm

Lado NP = 5 cm Ángulo N = 100° Ángulo M = 45°

MÁS IDEAS Como los ángulos interiores de cualquier triángulo siempre suman 180°, al fijar la medida de dos ángulos, la tercera queda determinada automáticamente (lo que les falta a las otras dos juntas para llegar a 180°).

a) Si cada uno de tus compañeros de grupo trazara los triángulos anteriores… •• ¿cuáles de ellos serían forzosamente triángulos congruentes?  •• ¿cuáles no serían necesariamente congruentes?  ❋❋ Valida con tus compañeros tus respuestas; si no están de acuerdo en qué triángulos serán forzosamente congruentes y cuáles no necesariamente, tracen las figuras correspondientes. En su cuaderno, anoten cuáles son los grupos de tres datos que deben conocerse para garantizar que todos los triángulos que se tracen con base en ellos serán congruentes. 179


Secuencia 26

Lección 85.

Criterios de congruencia de triángulos

1. Trabaja con un compañero. Anoten una ✔ junto a los textos que completan correctamente la siguiente afirmación. Dos triángulos son congruentes si… •• los tres lados de un triángulo miden lo mismo que los tres lados del otro.

•• dos lados de uno de los triángulos miden lo mismo que dos lados del otro.

•• los tres ángulos de un triángulo miden lo mismo que los tres ángulos del otro.

•• dos lados de un triángulo y el ángulo que forman miden lo mismo que los correspondientes del otro triángulo.

•• dos ángulos de un triángulo y el lado común a ambos miden lo mismo que los correspondientes del otro.

•• un lado y un ángulo de un triángulo miden lo mismo que un lado y un ángulo del otro.

❋❋ Comparen sus respuestas con las de otras parejas; si en alguna no están de acuerdo, argumenten por qué (pueden usar como ejemplos los triángulos de las dos lecciones anteriores). 2. Trabaja en equipo. Analicen la información y hagan lo que se pide.

MÁS IDEAS El criterio del recuadro requiere que los triángulos tengan tres elementos iguales: dos ángulos y el lado entre ellos. Por eso se denomina criterio ALA (ángulo, lado, ángulo).

La información mínima necesaria para trazar un triángulo congruente con otro se llama criterio de congruencia de triángulos. Un ejemplo de criterio de congruencia es el siguiente. Si dos ángulos de un triángulo y el lado común a ambos miden lo mismo que dos ángulos y el lado común a ambos de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes entre sí. a) Hay otros dos criterios de congruencia de triángulos. Identifíquenlos y anótenlos.

          180


Forma, espacio y medida • Figuras y cuerpos geométricos ❋❋ Comparen los criterios que ustedes formularon con los de sus compañeros de grupo. Acuerden una redacción común para los tres criterios de congruencia y anótenlos en su cuaderno. Tengan en cuenta que los criterios de congruencia de triángulos se denominan LLL, LAL y ALA, donde la A significa “ángulo” y L, “lado”. Identifiquen qué nombre corresponde a cada uno de los tres criterios que anotaron y expliquen por qué. 3. Trabaja con un compañero. En cada caso, tracen un triángulo congruente con el que se muestra, usando solo los tres datos que se dan, y anoten el criterio (LLL, LAL o ALA) que justifica que los triángulos son congruentes.

Figura original

Figura congruente

DESCUBRO MÁS En matemáticas, palabras como congruente tienen diferente significado al del habla cotidiana. Organiza, con el grupo, una discusión para identificar otras palabras cuyo significado en el lenguaje matemático difiera del usual.

Criterio

80.5° 4.5 cm

47°

2.5 cm

76.5° 4 cm

5.3 cm

3.7 cm

4.6 cm

❋❋ Comenten en grupo sus respuestas. Discutan lo siguiente: si se conocen las medidas suficientes para determinar que dos triángulos son congruentes, ¿se puede afirmar que las medidas que no se conocen forzosamente son iguales en ambos triángulos? 181


Secuencia 26

Lección 86. paralelogramo:

cuadrilátero con lados opuestos paralelos.

¿Qué criterio de congruencia se usa?

1. Trabaja con un compañero. En cada caso, justifiquen por qué los dos triángulos que dividen al paralelogramo son congruentes y mencionen el criterio de congruencia (LLL, LAL o ALA) que permite afirmarlo. Observen el ejemplo.

Paralelogramo

cuadrado:

paralelogramo con cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos.

Justificación de congruencia

ABCD es un cuadrado. D

• Lado AD = Lado CB, pues ambos son lados de un cuadrado.

C

• Lado DC = Lado AB, por la misma razón.

rombo:

paralelogramo con cuatro lados del mismo tamaño.

• BD es un lado común a ambos triángulos. Entonces, los dos triángulos son congruentes por el criterio LLL.

rectángulo:

paralelogramo con cuatro ángulos rectos (de 90°). punto medio de un segmento:

A

B

ABCD es un rombo. B

aquel que está a la misma distancia de los extremos del segmento. A

C

D

MÁS IDEAS En matemáticas, siempre hay más de una manera de resolver un problema; por ejemplo, para mostrar que los dos triángulos que dividen al cuadrado son congruentes, puede usarse el criterio LLL, pero también el LAL.

ABCD es un rectángulo. D

C

A

B

El triángulo ABC es equilátero y D es el punto medio de AB. C

A

182

D

B


Forma, espacio y medida • Figuras y cuerpos geométricos

Figura

Justificación de congruencia

ABCD es un cuadrado; E, F, G y H son los puntos medios de los lados. D

E

C

H

F

A

G

B

pentágono regular:

ABCDE es un pentágono regular.

polígono con cinco lados iguales y cinco ángulos de la misma medida.

D

C

E

A

B

El vértice común de los triángulos es el centro del círculo; los otros vértices de los triángulos están sobre la circunferencia. D

50° C 50°

A

E

B

❋❋ En grupo, corroboren sus respuestas. Si para alguna pareja de triángulos usaron criterios de congruencia distintos (por ejemplo, ALA y LAL), verifiquen que los distintos argumentos sean válidos; si para alguna pareja de triángulos todos usaron el mismo criterio de congruencia (por ejemplo, LLL), encuentren una manera de justificar la congruencia con un criterio distinto. 183


Secuencia 26

Lección 87.

Triángulos congruentes en cuadriláteros

1. Trabaja con un compañero. Analicen la figura y respondan o hagan lo que se pide. B

C

diagonal: segmento

que une dos vértices no consecutivos de un polígono.

A

MÁS IDEAS En la lección 53, página 116, aprendiste cómo son los ángulos que se forman al cortar dos rectas paralelas con una transversal.

D

a) Cuando se traza la diagonal de un paralelogramo cualquiera, ¿los dos triángulos que se forman son congruentes?  b) Completen los textos. •• Los ángulos marcados con rojo en ambos triángulos son iguales porque



.

•• Los ángulos marcados con azul en ambos triángulos son iguales porque

 •• El lado

. es común a ambos triángulos.

c) Consideren sus respuestas anteriores y subrayen el criterio de congruencia de que permite garantizar que los triángulos ABD y CDB son congruentes. •• LLL

• ALA

• LAL

❋❋ Comparen sus respuestas con las de otra pareja de compañeros. Expliquen por qué eligieron el criterio de congruencia que subrayaron y comenten la información del recuadro. Una manera de verificar si dos triángulos son congruentes es recortarlos y sobreponerlos para ver si sus lados y ángulos coinciden; otra es medir todos los lados y ángulos, pero ambos métodos son poco prácticos, no están exentos de imprecisiones al recortar o medir y, lo más importante, solo sirven para casos particulares. En cambio, los criterios de congruencia de triángulos permiten que todas las figuras con las mismas características sean congruentes (y no solo el paralelogramo de esta actividad). 184


Forma, espacio y medida • Figuras y cuerpos geométricos 2. Trabaja en equipo. Analicen la información y respondan o hagan lo que se pide. Se trazaron dos diagonales, AC y BD, del rectángulo mostrado. A

B

D

C

a) ¿Ambas diagonales tienen la misma medida o es diferente?  Una manera de comprobar si las diagonales de un rectángulo son iguales es medirlas, pero este método es impreciso y solo sirve para comprobarlo en un rectángulo particular. Con la congruencia de triángulos puedes comprobarlo para todas las figuras que tengan las mismas características. b) ¿Son congruentes los triángulos ADC y BCD?  c) ¿Qué criterio de congruencia lo garantiza?  d) Expliquen su respuesta anterior 

 

DESCUBRO MÁS En el rectángulo, hay otros triángulos congruentes a ADC y CBD. ¿Cuáles son?

 e) Si los triángulos ADC y BCD son congruentes, ¿entonces las diagonales del rectángulo son iguales?

¿Por qué? 

 

Taller de matemáticas 1. Trabaja en tu cuaderno. Usa la congruencia de triángulos para mostrar que… a) las diagonales de cualquier cuadrado siempre miden lo mismo. b) los ángulos opuestos de cualquier paralelogramo siempre tienen la misma medida. 185


SECUENCIA

27

Perímetro y área II Lección 88.

Polígonos regulares y círculo

1. Las figuras mostradas son polígonos regulares: todas tienen lados iguales y ángulos del mismo tamaño. En cada polígono, la medida de un lado está representada con una literal.

d c a

b

x

z y

a) Anota lo que falta en la tabla.

Nombre de la figura

Número de lados

Medida de un lado

Triángulo equilátero

Perímetro a + a + a = 3a

Pentágono regular d 8x 10 Dodecágono regular

DESCUBRO MÁS Si un polígono es irregular, ¿cómo se calcula su perímetro?

b) Completa el enunciado. El perímetro de un polígono regular se obtiene sus lados o

las medidas de

lo que mide un lado por el número de

.

c) Analiza la información y responde. El perímetro de un polígono regular es 48 cm y la medida de cada lado es un número entero. •• ¿Cuántos lados puede tener la figura?  •• Si el polígono tuviera 12 lados, ¿cuánto mediría cada uno?  186


Forma, espacio y medida • Magnitudes y medidas 2. Reúnete con dos compañeros. Trabajarán con seis círculos. Para agilizar el trabajo, cada uno puede encargarse de dos. a) Recorten seis círculos de cartulina con radios de 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm, 7 cm y 8 cm. b) Midan, con hilaza (o cualquier hilo resistente que no se estire), el contorno de cada círculo. c) Completen la tabla. Utilicen calculadora para las divisiones.

1

2

Círculo… 3 4

5

6

Medida del contorno (c)

DESCUBRO MÁS Si el contorno del círculo midiera 10 cm, ¿cuánto mediría su diámetro?

Medida del diámetro (d) c÷d d) Observen que los resultados de la última fila son muy parecidos. ¿Por qué piensan que sucede esto?

  e) Aproximadamente, ¿cuántas veces cabe el diámetro en el contorno del círculo?

  ❋❋ Valida tus resultados con otros equipos. Analicen por qué se puede concluir que la medida del contorno de un círculo es proporcional a la medida de su diámetro. Después, comenten la información del recuadro. En grados anteriores aprendiste que el contorno del círculo se llama circunferencia y que si la divides entre el diámetro obtienes un valor cercano al número Pi. Este número se simboliza con la letra griega π y vale 3.14, aproximadamente. π = _____________ ​​  circunferencia      ​​  = __ ​​  c ​​   diámetro

Circunferencia

d

Valor aproximado de π: 3.14

DESCUBRO MÁS Si P y d representan la circunferencia y el diámetro de un círculo cualquiera, ¿qué expresión algebraica relaciona ambas variables?

Diámetro

La fórmula para calcular el perímetro del círculo es perímetro del círculo = π × diámetro. Círculo

187


Secuencia 27

Lección 89.

Despeje de variables

1. Supon que el diámetro del círculo mostrado mide 1 cm. La flecha señala el 0 en una recta numérica.

0

a) ¿Qué número señalará la flecha cuando el círculo dé una vuelta a la derecha sobre la recta? b) ¿Qué número señalaría la flecha después de una vuelta si el círculo midiera 2 cm de diámetro?

DESCUBRO MÁS ¿Qué fórmulas sirven para responder las preguntas de la actividad 2?

2. Analiza la información y responde. a) La llanta de una bicicleta mide 49 cm de diámetro. ¿Cuánto avanza la bicicleta por cada vuelta que dan las llantas? b) Otra bicicleta más grande avanza 200.96 cm por cada vuelta que dan las llantas. ¿Cuánto mide el diámetro de cada llanta? ❋❋ Valida tus resultados con los compañeros del grupo. Revisen si usaron las mismas fórmulas y si efectuaron bien los cálculos. Después, comenten la información del recuadro. En las fórmulas matemáticas hay literales (letras) que se llaman variables porque pueden representar distintos valores. En algunas, también hay valores fijos que se llaman constantes (porque su valor no cambia). Por ejemplo, en la fórmula P = πd (perímetro es igual a pi por diámetro), P y d son variables y π es una constante. Si en la fórmula P = πd se conoce el valor de P y se quiere saber cuánto vale d, hay que hacer lo necesario para que d quede sola en un lado del signo igual, es decir, hay que despejarla. Paso 1 (opcional). Se intercambian los miembros derecho e izquierdo: πd = P P P __ __ Paso 2. Se dividen ambos miembros entre π: ___ ​​ πd π  ​​ = ​​  π ​​; d = ​​  π ​​

188


Forma, espacio y medida • Magnitudes y medidas 3. Completa el esquema para averiguar cuánto mide la base mayor (B) del trapecio. Fórmula inicial Intercambiar términos

(B + b)h ______ ​​  2    ​​ = A Multiplicar para eliminar paréntesis

Multiplicar por 2 todos los términos

b = 20 cm

A = 450 cm2

h = 18 cm

(B + b)h

A = ______ ​​  2    ​​ 

B = ¿? Restar bh en ambos miembros

__ ​​  Bh  ​​ = __ ​​  2A  ​​ – __ ​​  bh  ​​; B = __ ​​  2A  ​​ – b h h h h

¿Cuál es el valor de B en centímetros? 4. Trabaja en equipo. Supongan que desconocen la base menor (b) del trapecio. Hagan un proceso similar al de la actividad anterior para despejar b y calcular su valor. Fórmula inicial

MÁS IDEAS Cuando se quiere despejar una variable en una fórmula, conviene que esté en el primer miembro. Para ello, a veces es necesario intercambiar términos: lo que está en el primer miembro pasa al segundo y viceversa.

A = 450 cm2

h = 18 cm

b = ¿? cm

B = 30 cm

¿Cuántos centímetros mide b? 5. Anoten los datos que faltan en la tabla.

Fórmula inicial

Figura

Variable que se despeja

A = bh

b=

h=

  ​​ A = __ ​​  bh 2

b=

h=

  ​​ A = __ ​​  Dd 2

D=

d=

(B + b)h

​​  A = ______ ​​  2   

h=

P = πd

d=

❋❋ Comparen sus respuestas con las de otros equipos. En el caso del trapecio, usen los valores A = 450, B = 30, b = 20, sustitúyanlos en la fórmula que anotaron en la tabla y verifiquen que la altura correspondiente es 18 cm. 189


Secuencia 27

Lección 90.

Cálculo de medidas

1. Con base en el croquis del parque que se muestra, responde las preguntas. 25 m 6m

MÁS IDEAS

2m

La distancia mínima entre los lados paralelos de un trapecio es su altura.

2m

Pista

9m 26.6 m

Andador

20.7 m

7m

Quiosco 1.5 m

19.4 m

a) ¿Cuál es el área del parque?  b) ¿Cuál es el perímetro del quiosco?  c) ¿Cuál es el perímetro de la pista?  d) El parque tiene dos áreas verdes que están separadas por el andador. ¿Cuál es el área del andador?  e) El andador es un cuadrilátero que tiene solo dos lados paralelos, por tanto, es un trapecio. ¿Cuánto mide la altura del trapecio?  Esa medida es el ancho del andador. 2. Con tu regla, mide lo necesario para calcular el perímetro del semicírculo y el área del rombo. Anota debajo de cada figura los cálculos que hiciste.

190

Perímetro = 

Área = 






Forma, espacio y medida • Magnitudes y medidas

Taller de matemáticas 1. Analiza el esquema y completa las iguala dades. Considera que a, r y v representan las áreas de los rectángulos respectivos y r r v que las áreas rojas son iguales. Además, los cuatro rectángulos tienen la misma altura. a= ;r= ;v=a 2. El área de un trapecio es 10 cm2. ¿Cuáles pueden ser los valores de B, b y h? Encuentra al menos dos soluciones.

 3. El triángulo equilátero que se muestra es un dibujo a escala de la superficie de la mesa. La escala es 1:30, es decir, una unidad de longitud en el dibujo equivale a 30 unidades de longitud en la superficie de la mesa.

h

b

¿Cuánto mide la superficie de la mesa?  4. Calcula lo que se pide. Considera que la base mayor de cada trapecio mide 80 cm; la base menor, 40 cm; y la altura, 17.3 cm. a) Perímetro del hexágono exterior: 

MÁS IDEAS Un hexágono regular está formado por dos trapecios isósceles. Esta propiedad sirve para calcular el área de ese tipo de hexágono.

b) Perímetro del hexágono interior:

 c) Área total de los seis trapecios:

 d) Área del hexágono central:



191


SECUENCIA

28

Volumen de prismas II Lección 91.

Perímetro, área y volumen

1. Trabaja en equipo. Relacionen, con una línea, cada figura con la expresión que corresponde a su perímetro, su área o su volumen. A dos figuras les corresponde la misma expresión. a = 1.9 cm b = 1.9 cm

c = 0.8 cm

a = 0.7 cm

••

•• A = ___ ​​  ab  ​​ 2

•• •• V = abc

MÁS IDEAS Las literales de una fórmula pueden cambiar. Por ejemplo, el área de un rectángulo normalmente se representa A = bh, pero también puede ser A = ab; en ambos casos, el área es el producto de dos dimensiones: base por altura o largo por ancho.

b = 0.4 cm

•• a = 1.1 cm

•• P = πa d = 0.9 cm

b = 2 cm

••

c = 0.8 cm

ab •• V = (​​ ___   ​​)(c)

a = 3 cm

2

a = 2.2 cm

•• b = 1.3 cm

•• P = 4a

a = 0.6 cm

••

•• A = ab b = 0.4 cm

••

a = 1.5 cm

c = 0.7 cm

a = 1.5 cm

192

b = 0.8 cm

••

(a + b)(c) 2

    ​​ (d) •• V = _______ ​​ 


Forma, espacio y medida • Magnitudes y medidas 2. Con base en la actividad anterior, anota lo que falta en la tabla. Haz las operaciones en tu cuaderno (puedes usar calculadora).

Figura

Expresión de su volumen, área o perímetro

Valor numérico de las literales

Valor numérico de la expresión

a = 1.9 cm Prisma triangular

ab  ​​)(c) V = (​​ __ 2

b=

V=

c= Cuadrado

a=

a=

Romboide

b=

P=

A=

MÁS IDEAS

a= b=

Prisma trapezoidal

V=

c= d= a=

Rombo

El volumen se expresa en unidades cúbicas; el área, en unidades cuadradas; el perímetro, en unidades lineales.

A=

b= Circunferencia

a=

a=

Triángulo

b=

P=

A=

a= Prisma rectangular

b=

V=

c= ❋❋ Con el resto del grupo, valida tus resultados de las actividades 1 y 2. Si no coinciden, averigüen a qué se debe y corrijan lo necesario. 3. Una caja de cerillos tiene las siguientes medidas. Largo: 6.4 cm

Ancho: 4.2 cm

Altura: 0.9 cm

a) Dibuja la caja en tu cuaderno y anota las medidas donde corresponde. b) Calcula el volumen del cuerpo.  193


Secuencia 28

Despeje de literales en fórmulas de volumen Lección 92.

1. Trabaja en equipo. Consideren que el volumen del libro azul es 3 050 cm3.

DESCUBRO MÁS Si un libro tiene el doble de altura que otro, ¿también tiene el doble de volumen?

3.5 cm 16 cm

23 cm ?

30.5 cm

20 cm

a) Describan, en lenguaje común, un procedimiento para calcular el volumen del libro verde.

 b) Expresen, con una fórmula, el procedimiento descrito en el inciso anterior.

 c) Describan un procedimiento para calcular la altura del libro azul y anoten el resultado.   d) Expresen, con una fórmula, el procedimiento descrito en el inciso anterior.

 e) Anoten la fórmula para calcular el ancho del libro azul. Hagan la sustitución y los cálculos para verificar que a = 20 cm.



MÁS IDEAS Una misma fórmula se puede expresar de distintas maneras, dependiendo de la variable que interesa calcular. En el recuadro, la fórmula del volumen del prisma rectangular se expresó de cuatro maneras, una por cada variable. 194

❋❋ Validen sus respuestas con otros equipos. Vean si las fórmulas que anotaron coinciden y comenten cómo despejaron la altura y el ancho. Después, analicen la información del recuadro. La fórmula del volumen de prismas rectos rectangulares tiene cuatro variables: volumen (V), largo (l), ancho (a) y altura (h). Si se conocen tres valores, se puede conocer el cuarto valor con el despeje necesario: V = lah; l = ___ ​​  V  ​​;  a = __ ​​  V ​​;  h = __ ​​  V ​​   ah

lh

la


Forma, espacio y medida • Magnitudes y medidas 2. Analiza las medidas de la caja de chocolate y calcula lo que se pide .

Volumen: V = 396 cm3

CH OC OL AT ES

Lado de la base: a = 5.5 cm Altura de la base: b = 4.8 cm

a) ¿Cuánto mide el largo de la caja? b) Completa el esquema para verificar tu respuesta anterior . Fórmula inicial

ab  ​​)(c) V = (​​  __ 2 (Volumen de un prisma recto triangular)

396 = (​_______ ​ 5.5 2×  4.8    ​​)(c)

Sustituir valores conocidos

Efectuar cálculos

Despejar c

30 = c

Intercambiar miembros izquierdo y derecho (opcional)

3. Calcula el ancho de la rampa. Considera que su volumen es 50 625 cm3.



?

  

¿Para qué puede servir calcular el volumen de una rampa?

40 cm 30cm

 

95 cm

❋❋ Con el resto del grupo, valida tus resultados de las actividades 2 y 3. Hagan lo siguiente. •• Vean si hubo más de un procedimiento correcto. Por ejemplo, en la actividad (95 + 40)(30) 2

3, alguien pudo haber calculado primero el área de la base: __________ ​​      ​​  = 2  025 y luego buscar el número que multiplicado por esta cantidad da 50 625. •• Si hubo errores, averigüen si fue por usar una fórmula incorrecta, por no identificar la incógnita o por hacer mal el despeje. 195


Secuencia 28

Lección 93.

El dm3 y el litro

1. Con cartulina, construye un cubo de 1 dm de lado. Deja sin pegar una de las caras y recórtala para que el cubo se pueda usar como caja. Consigue un recipiente con 1 L de capacidad.

DESCUBRO MÁS Piensa en un cubo de 1 dm de lado, es decir, con un volumen de 1 dm3, dividido en cubitos de 1 cm de lado. ¿Cuál es la equivalencia entre el dm3 y el cm3? Dicho en otras palabras, ¿cuántos centímetros cúbicos caben en un decímetro cúbico?

a) ¿Cuál consideras que tiene mayor capacidad: el cubo de 1 dm de lado o el recipiente de 1 L?

 b) Verifica tu respuesta anterior. Llena el recipiente con semillas y luego vacíalas en el cubo. ¿La capacidad de una caja de 1 dm3 es mayor, menor o igual a 1 L?

 c) Imagina una caja en forma de cubo, de un metro de lado. •• ¿Cuántos cubos de 1 dm de lado le caben a lo ancho?  ¿Y a lo largo?

¿Y a lo alto?

•• ¿Cuántos cubos caben en total?  •• ¿Cuántos litros de maíz le caben a la caja de 1 m de lado? 

MÁS IDEAS El litro es una unidad de capacidad (lo que cabe en 1 dm3) que normalmente se utiliza para medir líquidos, pero también es correcto hablar de 1 L de maíz o de arena.

2. Considera los siguientes depósitos de agua. Todos tienen forma de prisma rectangular.

A

B

C

D

Largo

2.5 dm

25 dm

1 dm

1m

Ancho

2 dm

10 dm

1 dm

1m

Altura

2 dm

1.5 dm

5 dm

1.5 m

Indica con una ✔ en qué rango estimas la capacidad de cada uno de los depósitos anteriores.

A

B

C

D

Menos de 10 L Entre 10 L y 100 L Entre 100 L y 1 000 L Más de 1 000 L ❋❋ Compara tus respuestas con tus compañeros. Expliquen cómo hicieron sus estimaciones y discutan qué método les parece más eficaz. Comenten la información del recuadro. La capacidad de una caja de 1 dm3 es igual a 1 L. 196


Forma, espacio y medida • Magnitudes y medidas

Taller de matemáticas 1. Resuelve los problemas. a) El encargado de una tienda de peces menciona que por cada pez de 3 cm de largo se requieren 20 L de agua en la pecera. Si Pedro compró una pecera de 80 cm × 60 cm × 30 cm, ¿cuántos peces de 3 cm puede haber como máximo en ella? Resultado:  b) Un fabricante desea hacer un molde de 10 L de capacidad con la forma mostrada. Si la base mayor del trapecio mide 30 cm; la base menor, 20 cm; y la altura, 10 cm; ¿cuánto mide el lado marcado con x?

x

Resultado:  c) En una casa se construirá una cisterna para almacenar 6 000 L de agua.

DESCUBRO MÁS

Anota tres posibles medidas que puede tener la cisterna.

Largo

Ancho

Alto

Volumen

Opción 1 Opción 2 Opción 3

d) Todos los contenedores de carga tienen 2.3 m de ancho y 2.3 m de altura. El largo varía en tres tamaños: 12 m, 9 m y 6 m. ¿Cuántas cajas de 1.1 m × 1.1 m × 2.9 m caben en cada tipo de contenedor?

¿Qué sucede con la capacidad de la cisterna si se duplica su altura y las otras dos medidas se mantienen? Si se duplica la altura de la cisterna, ¿qué se necesita hacer con las otras medidas para que no cambie su capacidad?

Resultado

    

197


SECUENCIA

29

media aritmética o promedio: medida de

tendencia central que se calcula al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número de ellos. peso: por costumbre, se

le dice “peso” a lo que realmente es la masa de una persona (la cantidad de materia se mide en kilogramos). El kilogramo es la única unidad básica del Sistema Internacional de Unidades que emplea un prefijo (kilo).

Datos estadísticos II Lección 94.

En el elevador

1. Analiza la información y responde o haz lo que se pide. La media aritmética de los pesos de cinco personas que están en un elevador es de 60 kg. a) ¿Es posible saber el peso total de las seis personas juntas?  b) Si tu respuesta fue afirmativa, ¿cuánto pesan en conjunto?  c) Si todas las personas pesaran lo mismo, ¿cuál sería el peso de cada una?  d) Naturalmente, las personas no pesan lo mismo. Escribe tres posibles combinaciones para el peso de cada una.

Persona 1

Persona 2

Persona 3

Persona 4

Persona 5

e) Completa la tabla.

¿Sí o no?

Justifica tu respuesta

¿Es posible que una persona de 65 kg sea la de menor peso?

¿Es posible que una persona de 55 kg sea la de mayor peso?

Si la media aritmética es 60 kg, ¿esto significa que debe haber al menos una persona que pesa 60 kg? ❋❋ Compara tus respuestas con tus compañeros. En particular comenten si las respuestas del inciso d) son iguales, y si no lo son, ¿en qué sí coinciden? 198


Análisis de datos • Estadística 2. Resuelve los problemas. a) En otro elevador, la media aritmética de los pesos de cinco personas es 65 kilogramos. Si los pesos de cuatro de las personas es 48 kg, 55 kg, 60 kg y 90 kg, ¿cuál es el peso de la quinta persona?  b) El peso máximo que soporta otro elevador es 550 kilogramos. •• Si la media aritmética del peso de siete personas que van dentro es de 72 kg, ¿puede subir una persona más?  •• Si tu respuesta fue afirmativa, ¿cuánto es lo máximo que puede pesar esa persona?  c) En otro elevador van tres hombres y dos mujeres. La media aritmética de los pesos de los hombres es de 70 kg; la media aritmética de los pesos de las mujeres es de 60 kg. ¿Cuál es la media aritmética de las cinco personas en total?  3. Completa la tabla.

¿Sí o no?

DESCUBRO MÁS En el problema c), la media de las cinco personas no es 65 kg, es decir, no corresponde al promedio de 70 kg y 60 kg. ¿Por qué?

Justifica tu respuesta

Si se sabe la media aritmética de un conjunto de datos, pero no se sabe cuántos datos son, ¿se puede saber cuánto suman todos los datos? Si se sabe la media aritmética de un conjunto de datos y también se sabe el número de datos, ¿se puede saber con certeza el valor de cada dato? Si se sabe la media aritmética de ocho datos y se conoce el valor de siete de ellos, ¿se puede calcular el valor del dato que falta? ❋❋ En grupo y con ayuda del profesor, validen sus respuestas de la tabla. Ejemplifiquen entre todos cada una de las situaciones que se proponen en ella. 199


Secuencia 29

Lección 95.

¿Qué significa que la media sea 2.73 niños?

1. Analiza la información y responde o haz lo que se pide. Don Luis, antes de inaugurar la primera tienda de abarrotes que habrá en una unidad habitacional de 500 familias, hizo un estudio acerca del consumo semanal que estas tienen. En la tabla se muestran los datos recabados para tres productos.

Producto

Consumo promedio de la semana

Leche

4.2 L por familia

Huevo

16.8 piezas por familia

Cereal

0.7 cajas por familia

¿Cuánto se consume en total?

a) Anota, en la última columna de la tabla, la cantidad de cada producto que se consume semanalmente. b) ¿Para qué pueden servirle a don Luis los datos de la tabla? 

 2. En un periódico aparece la siguiente información.

LA MEDIA DEL NÚMERO DE NIÑOS EN EDAD ESCOLAR EN LA CIUDAD ES DE 2.73 NIÑOS POR FAMILIA.

DESCUBRO MÁS 2.73 también puede expresarse como ___ ​​  273   ​​; 100 esta fracción además se interpreta como razón: hay 273 niños en edad escolar por cada 100 familias. ¿Qué fracción con denominador 1 000 es equivalente a ___ ​​  273   ​​?, ¿y con denominador 100 10 000?

a) Propón tres opciones de cantidades de niños y de familias que correspondan a ese promedio. Para cada opción, anota en la tabla cuántos niños habría en edad escolar.

Primera opción

Segunda opción

Tercera opción

Número de familias Número de niños en edad escolar ❋❋ Compara tus resultados con los de tus compañeros. En grupo y con ayuda del profesor, lean y comenten la información del recuadro. En muchas situaciones, el valor de la media no tiene un significado literal. Por ejemplo, una media de 2.73 niños por familia no quiere decir, naturalmente, que haya familias con fracciones de niño; significa que, por ejemplo, por cada 100 familias hay, en promedio, 273 niños en edad escolar, o bien, 2 730 niños por cada 1 000 familias, etcétera.

200


Análisis de datos • Estadística 3. Nueve personas pesaron el mismo objeto y registraron los datos que se muestran:

8.1 g

8.1 g 8.5 g

8.2 g 8.6 g

8.3 g 8.7 g

8.4 g 28.9 g

a) ¿Qué medida consideras la más próxima al peso real del objeto y por qué?

 

MÁS IDEAS

b) ¿Cuál es la media aritmética de los pesos?  c) Observa que el último dato es muy diferente a los demás; si se omite, ¿cuál es la media aritmética?  d) A partir de tus respuestas anteriores, ¿cuál consideras que es una mejor aproximación del peso real del objeto? 

Cuando una medida es muy diferente a las que obtuvieron otras personas, es muy probable que se haya cometido un error de medición, por eso suele omitirse ese dato para el análisis.

4. Las calificaciones de un alumno en cuatro exámenes fueron 0, 0, 6, 10. ¿Cuál fue su promedio?  5. Anota falso (F) o verdadero (V) para cada afirmación. Cuando sea falsa, escribe un contraejemplo.

Afirmación El promedio siempre es un valor comprendido entre el menor y el mayor de los datos.

¿F o V?

Contraejemplo

MÁS IDEAS En la lección 31, página 73, aprendiste a qué se le llama contraejemplo en matemáticas.

La media de un conjunto de datos numéricos siempre es igual a alguno de ellos. El promedio de un conjunto de datos se ve afectado por los valores extremos. En ocasiones, el significado de la media no se puede interpretar de manera literal.

DESCUBRO MÁS Al calcular el promedio, no es necesario considerar los valores nulos.

¿Cuál es la media aritmética de 2, 3, 4, 6 y 10? ¿El promedio coincide con alguno de los datos? 201


Secuencia 29

Lección 96.

El valor de en medio

1. Analiza la información y responde. Justifica todas tus respuestas. a) Se suministró a once personas un analgésico para el dolor de cabeza para averiguar el tiempo que tardaba en hacer efecto. Los resultados, en minutos, fueron 9, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 13, 14 y 48. mediana: valor del centro

de un conjunto de datos numéricos (cuando están ordenados de menor a mayor o viceversa). Si el número de datos es par, la mediana se obtiene sumando los dos números centrales y dividiendo el resultado entre 2.

¿Cuál consideras que es más representativa de estos datos: la media aritmética o la mediana? 

 b) Un grupo de 15 alumnos resolvió 20 problemas aritméticos. El número de aciertos fue 0, 9, 9, 10, 12, 12, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15 y 16. ¿Elegirías la media aritmética o la mediana de los datos para determinar una cantidad de aciertos representativa del grupo?

  Cuando un valor de un conjunto de datos está muy distante de los demás (como el caso del 48 en el inciso a y el 0 en el b), la media aritmética se ve afectada. Por ello, muchas veces la mediana es una mejor representante del conjunto. 2. Resuelve los problemas. a) Se preguntó a un grupo de 30 estudiantes el tiempo que pasan frente a la computadora en un día. El menor tiempo fue 0 h y el mayor, 4.5 h. •• ¿Es posible que la mediana de los datos sea 5 h?  •• Explica por qué. 

   b) Se quiere calcular la mediana del número de personas que viven en los hogares de una comunidad. •• ¿Es posible que la mediana sea 5.5?  •• Ejemplifica tu respuesta anterior. 

   202


Análisis de datos • Estadística c) Se quiere saber la mediana de focos ahorradores en 85 escuelas de un estado.

ME COMPROMETO Consumo de manera responsable la electricidad: no la desperdicio y procuro usar focos ahorradores.

•• ¿Es posible que la mediana sea 5.5 focos?  •• Ejemplifica tu respuesta anterior.

   d) La mediana de un conjunto de datos es 45.

MÁS IDEAS

•• ¿Es posible que en ese conjunto de datos haya 15 datos menores que 45 y 16 datos mayores que 45?  •• Explica por qué. 

Si el número de datos es impar, ¿es necesario sumar los dos valores centrales para obtener la mediana?

   e) Bety preguntará a cada uno de sus compañeros hasta qué grado de escolaridad estudiaron sus papás. •• ¿Es posible que calcule la mediana de los datos que recopile?  •• Explica por qué. 

   ❋❋ Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Usen sus respuestas para completar la tabla y justificar si las afirmaciones son falsas o verdaderas.

¿F o V? La mediana siempre es un valor comprendido entre el dato menor y el mayor. La mediana cambia mucho cuando un dato es muy diferente a los demás. La mediana siempre es igual a uno de los datos del conjunto. La mediana puede ser un valor que no tenga sentido si se interpreta literalmente. Es posible calcular la mediana de cualquier conjunto de datos. Siempre hay tantos datos menores que la mediana, como datos mayores que ella. 203


Secuencia 29

Lección 97.

DESCUBRO MÁS ¿Qué característica tienen los datos a los que se les puede calcular la media aritmética?, ¿y para la mediana?, ¿y con la moda?

Más sobre la media y la mediana

1. Analiza la información y haz lo que se pide. Se investigarán algunas características de un grupo de alumnos. a) Anota “sí” o “no” junto a cada característica para indicar si será posible calcular la media aritmética. •• Edad:

• Género:

•• Tipo de música preferida:

• Materia preferida: 

• Número de hermanos:

b) Para las características en las que no se puede calcular la media, explica por qué en tu cuaderno. 2. En un concurso de aritmética se aplicaron cinco problemas a dos grupos. Los resultados se muestran en las gráficas.

Grupo 2º B

6

6

5

5

Número de alumnos

Número de alumnos

Grupo 2º A

4 3 2 1

4 3 2 1

0 1 2 3 4 5 Número de aciertos

0 1 2 3 4 5 Número de aciertos

¿A qué grupo le darías el premio y por qué? 

 3. Se investigarán las siguientes características en un grupo de personas. Señala con una ✔ aquellas en las que se pueda calcular la mediana; para las que no, explica en tu cuaderno por qué.

Dato que se investigará Si fuman o no La inicial de su nombre Partido político favorito Tiempo que ven televisión en un día Número de hijos

204

¿Es posible calcular la mediana?


Análisis de datos • Estadística

Taller de matemáticas 1. Anota un posible título para la primera columna de la tabla. Calcula la mediana de los datos y explica cómo interpretarla.

Frecuencia

Mediana:

0

3

1

3

Interpretación:

2

5

3

5

4

3

5

3

2. Analiza la información y responde.

Número de familias

Se encuestó a 50 familias sobre el número de hijos que tienen. La gráfica de barras muestra los resultados. 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

¿Cuántos hijos tienen tus papás? ¿Cuántos tuvieron tus abuelos?

Número de hijos por familia

0 1 2 3 4 5 Número de hijos

a) Calcula en tu cuaderno la media y la mediana y explica cómo se interpretan. 3. Trabaja en equipo. Organicen una investigación sencilla donde sea posible calcular alguna medida de tendencia central (media, mediana o moda) de los datos recopilados por medio de una encuesta. a) Determinen qué investigar y formulen una o dos preguntas adecuadas. b) Consulten a 30 personas. c) Presenten sus resultados en tablas o gráficas e indiquen la medida de tendencia central que eligieron para representarlos. Expliquen cómo se interpreta de acuerdo con el contexto de su investigación y por qué la eligieron.

205


SECUENCIA

30

experimento de azar:

aquel en el que…

Azar y probabilidad Lección 98.

Seguro, probable o imposible

1. Un ejemplo de experimento de azar es sacar, sin ver, una canica de una bolsa y registrar el color. Contesta con base en los dibujos.

no se puede predecir el resultado; se puede determinar el total de resultados posibles; se puede repetir en condiciones similares.

Bolsa A

Bolsa B

Bolsa C

a) ¿De qué bolsa es más probable sacar una canica roja?  ¿Por qué? 

 b) ¿De qué bolsa es imposible que salga una canica roja?  ¿Por qué?  c) ¿De qué bolsa es igualmente probable que salga una roja que una azul? . ¿Por qué? 

 d) ¿De cuál es seguro que salga una azul?

. ¿Por qué?

 e) ¿De qué bolsa es menos probable que salga una canica azul? ¿Por qué?  2. La bolsa D contiene 8 canicas rojas y 10 azules; la bolsa E, 6 rojas y 10 azules. Juan debe sacar, sin ver, una canica roja de cualquiera de las dos bolsas para ganar un premio. ¿Qué bolsa debería elegir?

. ¿Por qué? 

 8 canicas rojas por 10 azules es una razón o proporción, que se puede expresar con la fracción ___ ​​ 8  ​​.  La razón también puede establecerse entre una parte y el to10 8 tal, por ejemplo, 8 de 18 = ​​ ___   ​​ = __ ​​  4 ​​de todas las canicas son rojas. 18

206

9


Análisis de datos • Probabilidad 3. La bolsa F contiene 2 canicas rojas y 3 azules; la G, 3 rojas y 4 azules. Explica, en tu cuaderno, de qué bolsa es más probable sacar una canica roja. 4. Lee la situación y responde. En un juego de tiro al blanco hay tres tableros diferentes. Las casillas marcadas tienen premio.

Tablero A

Tablero B

Tablero C

a) ¿A qué tablero conviene tirarle para ganar un premio? Explica tu respuesta.

   5. Al sacar, sin ver, una canica de una bolsa que contiene canicas rojas y azules, el conjunto de resultados posibles es S = {roja, azul}. Analiza la información e indica, en cada caso, el conjunto de resultados posibles.

Bolsa 1

a) Se saca una canica de la bolsa 1 y se registra su color. Los resultados posibles son S = 

Bolsa 2

MÁS IDEAS Los conjuntos se suelen nombrar con letras mayúsculas y los elementos se encierran entre llaves. Por ejemplo, el conjunto de letras de la palabra pato sería S = {p, a, t, o}.

b) Se saca una canica de la bolsa 2, se registra su color, se regresa a la bolsa, se saca otra y también se registra su color. Un resultado posible es, por ejemplo, RA (roja en la primera extracción y azul en la segunda). Los resultados posibles son S =  6. Subraya la afirmación verdadera respecto al inciso b) de la actividad anterior. •• Es más probable que las dos canicas sean del mismo color. •• Es más probable que las dos canicas sean de distinto color. •• Es igualmente probable que las dos canicas sean del mismo o de distinto color. 207


Secuencia 30

Lección 99.

Resultados posibles

1. En el experimento que consiste en lanzar una moneda y ver qué cara queda arriba hay dos resultados posibles. a) Anota los dos resultados: {

}

b) ¿Cuáles son los resultados posibles cuando se lanzan dos monedas al mismo tiempo? 

DESCUBRO MÁS ¿Cuántos resultados posibles hay si se lanzan cinco monedas al mismo tiempo?

c) ¿Y si se lanzan tres monedas?  d) Completa los diagramas para verificar tu respuesta anterior. 3a M 1a Moneda

2a Moneda

2a M

1a M

A

S S

2. Se lanza un dado de seis caras y se registra el número que sale. Anota el conjunto S de resultados posibles: S = {

}

3. Un dado rojo y uno negro están numerados del 1 al 6. Se lanzan ambos y se suman los puntos.

4

10

a) Completa el diagrama con el total de resultados posibles. b) ¿Cuántos resultados hay en total?  c) ¿Qué resultado es más probable y por qué? 

 d) ¿Qué resultados son los menos probables?  Al conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio también se le llama espacio muestral del experimento. A cada elemento del espacio muestral se le conoce como evento o suceso simple. 208


Análisis de datos • Probabilidad 4. Reúnete con cuatro compañeros para trabajar en equipo. Hagan lo que se pide. a) Distribuyan el trabajo de manera equitativa para completar la tabla. Lancen diez volados (dos cada quien) y registren los resultados en el primer renglón; para el segundo renglón, lancen 50 volados (diez cada quien), y así sucesivamente.

Cantidad de volados

Frecuencia absoluta Águila (A) Sol (S)

Frecuencia relativa (%) Águila (A) Sol (S)

10 50

frecuencia absoluta de un evento: número de

veces que este se repite, por ejemplo, el número de veces que cae águila al lanzar varias veces una moneda. frecuencia relativa:

100 200 b) Tracen, en su cuaderno, cuatro gráficas circulares para mostrar las frecuencias relativas de águilas y soles que corresponden a cada cantidad de volados. c) ¿Qué sucede con las frecuencias relativas de águilas y soles a medida que aumenta la cantidad de volados?

cociente de la frecuencia absoluta entre el número de veces que se efectúa el experimento. La frecuencia relativa es una razón (también llamada proporción) y puede expresarse como fracción, decimal o porcentaje.

 5. Un aficionado registró los resultados de 50 partidos del futbol europeo. •• Victoria del equipo local: 35 •• Victoria del equipo visitante: 5 •• Empate: 10 Usa los datos para estimar la frecuencia relativa de que en futuros partidos del futbol europeo… a) gane el equipo local:  b) gane el equipo visitante:  c) los equipos empaten:  ❋❋ En grupo, valida tus respuestas. Comenten la información del recuadro. La frecuencia relativa de un evento es una estimación de su probabilidad; también se le llama probabilidad empírica o frecuencial del evento o suceso. A mayor cantidad de observaciones, corresponde una mejor estimación de su probabilidad. La fórmula es la siguiente: frecuencia absoluta del evento __________________________ probabilidad frecuencial =     ​​      ​​ número total de observaciones

209


Secuencia 30

Lección 100.

Probabilidad frecuencial

1. Analiza la información y responde. Con un programa computacional se repitió 24 veces el experimento de lanzar un dado. La gráfica muestra los resultados. a) Escribe tres datos que se obtengan de la gráfica. Primero:  Segundo:  Tercero:  b) ¿Cómo imaginas que se vería la gráfica si se hubieran hecho 1 000 lanzamientos en vez de 24?  c) Completa la tabla y responde.

MÁS IDEAS La probabilidad frecuencial de un evento es más cercana a la esperada a medida que se repite el experimento.

Resultado

Análisis de los 24 lanzamientos del dado Probabilidad frecuencial Frecuencia Fracción Decimal Porcentaje

1

4

2

9

3

4

4

3

5

2

6

2

•• ¿Qué información aporta la columna de frecuencia?

 •• ¿Y las columnas de probabilidad frecuencial?

 •• ¿Cuánto deben sumar las fracciones en la columna de probabilidad frecuencial?  210


Análisis de datos • Probabilidad

Taller de matemáticas 1. Ana, Abel y Javier debían lanzar, cada uno, 240 veces un dado y registrar los resultados. La tabla muestra lo que entregaron al profesor. Solo uno cumplió el encargo con precisión; dos inventaron los datos.

Frecuencias

Resultado del lanzamiento

Abel

Javier

Ana

1

42

40

26

2

37

40

33

3

48

40

27

4

36

40

96

5

36

40

34

6

41

40

24

a) ¿Quiénes inventaron los datos?  b) Justifica tu respuesta. 

  2. Un grupo de doce estudiantes hizo el siguiente experimento. Cada alumno arrojó, diez veces, dos monedas simultáneamente y registró el número de águilas obtenido. Por ejemplo, para el alumno E, de sus diez lanzamientos, en seis cayeron 2 águilas (2A); en tres, 1 águila (1A); y en uno, 0 águilas (0A).

Resultados de los 12 alumnos D E F G H I

Número de águilas

A

B

C

2A

1

4

1

3

6

5

2

2

1A

5

1

5

7

3

4

8

0A

4

5

4

0

1

1

0

Total

J

K

L

0

3

2

4

33

5

5

5

6

5

59

3

5

2

2

1

28

Con base en la información de la tabla, responde y haz lo que se indica. a) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de cada resultado? •• 2 águilas:

•• 1 águila:

DESCUBRO MÁS ¿Por qué supones que obtener 1 águila como resultado fue el que más se repitió? ¿Hubiera ocurrido lo mismo con más lanzamientos, por ejemplo, 1 000 en total?

•• 0 águilas: b) Con ayuda del profesor, haz el experimento en tu grupo. Registren los resultados en una tabla y vean si las probabilidades frecuenciales son similares. Anoten sus conclusiones en su cuaderno.

211


Evaluación

Primer periodo (Secuencias 1-10) 1. Relaciona las columnas. Anota, en el paréntesis, la letra que corresponde a la fracción equivalente a cada número decimal. Fracción

Número decimal

3 a) ​​ __  ​​ 4

(

) 0.8125

4  ​​ b) ​​ __ 5

(

) 0.7500

14   ​​ c) ​​ ___

(

) 0.7600

(

) 0.7000

(

) 0.8000

20 ___ d) ​​  13  ​​ 16 ____ ​​ e) ​​  76    100

2. Analiza la información y haz lo que pide. En una carrera de 100 metros los competidores obtuvieron los tiempos mostrados.

Corredor

Tiempo en segundos

Marcos

19.05

Guillermo

Diecinueve segundos con cinco décimos

Tania

19.60

Andrea

Diecinueve segundos con 15 centésimos

Lorenzo

19 __ ​​  15 ​​

Julia

19 __ ​​  34 ​​

a) Escribe los tiempos de los corredores en notación decimal y ordénalos de menor a mayor.

  b) Ubica en la siguiente recta numérica los tiempos de los corredores. Usa la letra inicial de cada uno; por ejemplo, M para Marcos.

19 20

3. Subraya las operaciones cuyo resultado es 0.

212

a) 5 + (−3) + 2

b) −4 − (−2) + 2

c) −7 + (−7)

d) (−7 + 3) + (7 − 3)

e) −13 + (−13) + 26

f) 15 − (−5 − 10)


4. Anota las fracciones que faltan en el cuadrado mágico, de manera que al multiplicar los tres números de cualquier fila, columna o diagonal, se obtenga el mismo resultado.

__ ​​  92 ​​

3

1 ​​ __34 ​​

9

5. Completa la tabla con base en el ejemplo de la primera fila.

¿Qué representa la x?

Expresión en lenguaje común

La edad actual de María

En tres años, la edad de María será el doble de la que tiene hoy.

El precio de un artículo

Por cinco artículos, hay que pagar $30.00 más de lo que se paga por tres.

Un número cualquiera El peso de Juan en kilogramos

Expresión en lenguaje algebraico x + 3 = 2x

2x − 5 Juan pesa 65 kg.

La medida de un lado de un triángulo equilátero

3x

6. Resuelve las ecuaciones. Anota la solución y tu procedimiento. a) 2x − 6 = 4 Procedimiento:   Solución: x = b) 3x – 3 = 3 Procedimiento:   Solución: x = c) x + 3 = 4 Procedimiento:   Solución: x =

213


7. Cada tabla corresponde a una relación entre dos conjuntos de cantidades. Analízalas y responde o haz lo que se pide.

Tabla 1 Peso de un objeto Peso del mismo objeto en la Tierra (kg) en la Luna (kg)

Tabla 2 Edad de Edad de Lucas Maricarmen (años) (años)

12

2

6

12

36

6

10

16

30

5

14

20

90

15

15

21

a) ¿Qué tabla corresponde a una relación de proporcionalidad directa?  b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?  c) Si x representa el peso de un objeto en la Tierra, escribe la expresión algebraica que corresponde al peso del objeto en la Luna.  d) Si x representa la edad de Maricarmen, escribe la expresión algebraica que corresponde a la edad de Lucas.  8. Anota ✔ para indicar si es posible o ✖ si es imposible construir un triángulo con las medidas propuestas.

Si los lados miden…

¿Es posible o imposible?

3 cm, 8 cm y 9 cm 1.5 cm, 4.3 cm y 6 cm 7 m, 2 m y 5 m ​​ __13 ​​ m, __ ​​  14 ​​ m y __ ​​  12 ​​ m 1 cm, 2 cm y 1.5 cm 13 m, 7 m y 19.9 m 9. Analiza la información y responde o haz lo que se pide. En tres tiendas se vende un mismo televisor con las ofertas que se muestran en la tabla.

Tienda

214

Precio original

Oferta

La esquina

$12 500.00

Descuento de 40% sobre el precio original más otro descuento de 10% sobre el precio ya rebajado.

La vitrina

$12 500.00

48% de descuento sobre el precio original.


a) Calcula cuánto se paga por el televisor en cada tienda. La esquina:

La vitrina:

b) ¿Qué conviene más: un descuento de 40% y luego otro de 10% o un solo descuento de 48%?  c) Representa algebraicamente los precios de oferta en cada tienda. Considera que x corresponde al precio original. La esquina:

La vitrina:

10. Completa la tabla a partir de la gráfica.

x

y

0

40

y

200

1

60

3

100

5

140

10

240

11

260

100

x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11. Calcula la media y la mediana de los datos.

Tiempo de ejercicio semanal de tres familias Familia A

Familia B

Familia C

Mario: 50 min Susana: 90 min Annalí: 2 h

Mauricio: 140 min Claudia: 70 min Mateo: 80 min Renato: 100 min

Luisa: 80 min Alejandra: 1 h Marco: 0 min Luis: 3 h Fabián: 120 min

Media:

Media:

Media:

Mediana:

Mediana:

Mediana:

215


Evaluación

Segundo periodo (Secuencias 11-20) 1. Resuelve los problemas. a) Leticia viajó en automóvil el fin de semana; el recorrido tuvo una duración de 2.4 h y la velocidad promedio fue de 75.3 km/h. ¿Qué distancia recorrió? Respuesta: b) Una ventana mide 50 cm de largo y 80 cm de alto. Si el metro cuadrado de vidrio cuesta $102.50, ¿cuál es el costo del vidrio para la ventana? Respuesta: c) Si el litro de gasolina cuesta $16.78, ¿cuánto hay que pagar por 18 L? Respuesta: 2. Anota el resultado de las multiplicaciones. a) 8.49 × 100 = c) 0.07 × 1 000 =

e) 2.35 × 6.4 =

d) 15.685 × 10 000 = f) 0.35 × 0.4 =

g) 12.3 × 5.23 = i) 1.1 × 1.1 =

b) 19.353 × 10 =

h) 17.17 × 6 = j) 2.2 × 2.2 =

3. Indica el número de cifras decimales que tendrá el resultado de cada multiplicación.

Multiplicación 143.17 × 10 0.025 × 1 000 0.01 × 0.01 2.35 × 640 0.5 × 0.4 12.35 × 21.5 0.05 × 0.4 35.52 × 67.74

216

Número de cifras decimales del resultado


4. Analiza la información y responde o haz lo que se pide. Un microscopio eléctrico tiene dos lentes: el primero aumenta 60 veces el tamaño de lo que se observa; y el segundo, 15 veces la ampliación del primer lente. a) ¿Cuál es el factor de escala si se usan ambos lentes, es decir, cuántas veces aumenta el tamaño de los objetos?  b) Completa la tabla indicando de qué tamaño se ven algunas células del cuerpo humano si se usan ambos lentes.

Célula

Tamaño real del objeto (en micras)

Glóbulo rojo

7

Célula del hígado

20

Espermatozoide

53

Ovocito

150

Tamaño visto en el microscopio (en micras)

c) Considera que una micra equivale a 0.001 mm, es decir, una milésima de milímetro. Anota, en milímetros, los tamaños de células vistos con el microscopio anterior. Glóbulo rojo:

Espermatozoide:

Célula del hígado:

Ovocito:

5. Analiza la sucesión de figuras y completa la tabla.

Figura 1

Número de figura

Figura 2

1

2

Figura 3

3

5

15

n

Cantidad de triángulos Cantidad de cuadrados Total de polígonos

217


6. Responde con base en las gráficas.

Distribución por nacionalidad de personas nacidas en el extranjero que residían en nuestro país en 2000 y 2010 2000 (Cantidad de personas por región)

2010 (Porcentaje por región)

34 190 E stados Unidos de América y Canadá

36 246

Sudamérica

42 385

Asia

5 017

Centroamérica

4% 349 559

3%

78%

7% 2% 6%

25 420

Europa Otros

a) A simple vista, ¿en qué regiones se incrementó el porcentaje de personas viviendo en México en 2010 respecto al 2000?

 b) En 2000, ¿qué porcentaje de los residentes extranjeros en México eran centroamericanos? c) ¿Qué porcentaje de europeos había en nuestro país en el año 2000?  7. Resuelve los problemas. a) Un examen de Historia tiene 20 preguntas. Por cada pregunta contestada correctamente, se suman tres puntos; y por cada fallo, se restan dos. Si Belén obtuvo 30 puntos, ¿cuántas preguntas acertó? Respuesta: b) La suma de tres números consecutivos es 51, ¿cuáles son estos números? Respuesta: c) Tres hermanos se repartirán una herencia de $1 300 000.00. El hermano mayor recibirá el doble que el de en medio; y el mediano, el cuádruple del menor. ¿Cuánto dinero recibirá cada hermano? Respuesta: 



218


8. Analiza la información y responde o haz lo que se pide. Tres motociclistas van por la misma carretera. Todos inician su recorrido al mismo tiempo, pero salen de diferente lugar y con distintas velocidades. El motociclista A lleva una velocidad promedio de 50 km/h y parte del kilómetro 55 de la carretera. El B sale del kilómetro 10 con una velocidad promedio de 60 km/h. El C va a 55km/h y parte del kilómetro 30. a) Escribe, para cada motociclista, la regla de correspondencia que relaciona el tiempo transcurrido en horas (x) desde que partió, con el kilómetro de la carretera en el que se encuentra (y).

Motociclista

A

B

C

Regla de correspondencia b) Si el lugar de llegada se encuentra en el kilómetro 300 de la carretera, ¿qué motociclista llegará al último?  9. Indica cuánto suman los ángulos interiores de cada figura.

10. Calcula el perímetro y el área de la figura. Perímetro: Área: 4.71 cm

8 cm 5 cm

219


Evaluación

Tercer periodo (Secuencias 21-30) 1. Anota, en cada recta, el número que corresponde al punto señalado. a) El segmento del 0 al 8 está dividido en 16 partes iguales.

0

8

b) El segmento del 0 al 9 está dividido en 6 partes iguales.

0

9

c) El segmento del 10 al 20 está dividido en 6 partes iguales.

10

20

d) El segmento del 1 al 4 está dividido en 7 partes iguales.

1

4

2. Analiza la información y responde. En un juego de mesa, el jugador lanza dos dados simultáneamente y suma los resultados de las caras. a) Completa el conjunto S de todas las sumas posibles, por ejemplo, la suma puede ser 2 si ambos dados caen en 1. S = {2,

}

b) ¿Qué suma es la más probable y por qué? 

  c) ¿Qué suma es la menos probable y por qué? 

 

220


3. Completa los cuadrados mágicos. En cada uno, la suma de los tres números en cualquier fila, columna o diagonal debe dar el mismo resultado. a) En este, las sumas deben dar 6.

−1

14

b) Ahora las sumas deben dar −4.5.

0.5

−5

2

0

−1

5

4. Indica, con una ✔ y sin usar calculadora, el intervalo donde está el cociente de cada división.

0y1

El cociente está entre 1y2 2 y 10 10 y 100

100 y 1 000

15 ÷ 0.5 1.3 ÷ 0.3 0.4 ÷ 100 9 ÷ 0.01 0.05 ÷ 0.001 0.1 ÷ 0.09 5. Resuelve los problemas. a) Para preparar pasta para 7 personas, Andrés usa 500 g de espagueti, 400 g de carne y 5 jitomates. ¿Qué cantidad aproximada de cada ingrediente debe usar para preparar pasta para 3 personas? Solución:  b) Marcela usa el coche para ir de la casa a su trabajo y de regreso. Si un tanque de gasolina de 50 L le alcanza para recorrer 700 km, ¿qué distancia alcanzará 3 a recorrer con ​​ __  ​​ de tanque? 4 Solución: 

221


6. Calcula el volumen de los cuerpos. a)

b)

2m 1m 1m

1 cm 2m

4 cm 7 cm

1m

Volumen =

c)

6 cm

3 cm

Volumen = d)

5 cm

4m

8 cm

5 cm 6m 10 cm

5m

3 cm

8m

Volumen =

Volumen =

7. Escribe un ejemplo de lo que se pide; si en algún caso es imposible, explica por qué. a) Un conjunto de datos numéricos donde haya tres valores mayores que la mediana, pero solo un valor menor que ella.

  b) Un conjunto de números cuyo promedio sea mayor que cualquiera de ellos.

  c) Un conjunto de datos numéricos en los que ningún valor coincida con la mediana.

 d) Un conjunto de números cuyo promedio coincida con todos los datos.



222


8. Responde o haz lo que se pide. a) Grafica las rectas cuyas ecuaciones son y = 2x – 4, y = –x + 5. y 4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 x

b) ¿En qué punto se cruzan ambas rectas?  c) ¿Cuál de las rectas es decreciente, es decir, cuando el valor de x aumenta, el de y disminuye?  d) ¿Cómo se nota en la ecuación que la recta es decreciente?   9. Redacta uno de los tres criterios que garantizan que dos triángulos son congruentes.

  10. Anota a qué figura corresponde cada fórmula para calcular el área.

Fórmula del área

Figura

A = __ ​​  bh   ​​ 2 (B+b)h

​​  A = _____ ​​  2    Dd  ​​ A = ​​ __ 2

A = bh

223


RESPUESTAS DEL TALLER DE MATEMÁTICAS

Lección 7 p. 25 1. a) R. T. −8, −4, −3, +3, −6, +5, +1 •• −12 − (−8) = −4 b) R. T. −3.2, +3.2, +7.4, +1.2, −5, +5, −7, +7, −8, +8 •• +8.6 − (−3.2) = +11.8 c) R. T. −​​ ​​ __23 ​​ ​​, −1, +​​ ​​ __12 ​​ ​​, −​​ ​​ __12 ​​ ​​, −2, +2, −3, +3 13   ​​ ​ •• −​​ ​​ __53 ​​ ​​ − (+​​ ​​ __12 ​​ ​​) = −​​ ​​ __ 6

d) R. T. −15.1, +2.8, −2.8 •• −15.1 − (−2.8) = −12.3

Lección 9 p. 29 1. a) 5

b) 2

c) 1

d) ​​ __12 ​​

e) __ ​​  13 ​​

f) ​​ __16 ​​

g) ​​ __23 ​​

1  ​​   h) __ ​​  10

1  ​​  i) ​​ __ 60

Lección 11 p. 33 1.

Total de barras ¿Cuánto recibe cada sobrino? Verificación

División

9 × __ ​​  19 ​​ = 1

1 ÷ 9 = ​​ __19 ​​

3

__ ​​  19 ​​ __ ​​  39 ​​

9 × __ ​​  39 ​​ = 3

3 ÷ 9 = ​​ ​​ __39 ​​ ​

Sábado 3

5

​​ ​​ __59 ​​ ​

9 × ​​ __59 ​​ = 5

5 ÷ 9 = ​​ ​​ __59 ​​ ​

Sábado 4

7

​​ ​​ __79 ​​ ​

9 × ​​ __79 ​​ = 7

7 ÷ 9 = ​​ ​​ __79 ​​ ​

Sábado 5

8

​​ ​​ __89 ​​ ​

9 × ​​ __89 ​​ = 8

8 ÷ 9 = ​​ ​​ __89 ​​ ​

Sábado 1

1

Sábado 2

2.

3.

a) 1 e) ​​ __17 ​​

b) f)

a) 1 e) 0.1

b) 2 f) 0.45

2

__ ​​  57 ​​

c) 2 g) ​​ __25 ​​

d) h)

c) 2 g) 0.4

d) 1 h) 0.75

1

__ ​​  34 ​​

Lección 14 p. 39 1. a) 4 − 1 + 2 = 5 c) 5 × 1 − 2 = 3 e) (5 − 4) ÷ (3 − 2) = 1

b) 3 + 2 − 1 = 4 d) (5 + 1) ÷ 3 = 2 f) 5 − 4 − 2 + 1 = 0

2. a) 3 × 3 ÷ 3 × 3 = 9 b) 3 ÷ 3 + 3 ÷ 3 = 2 c) 3 × 3 + 3 + 3 = 15 d) 3 + 3 + 3 ÷ 3 = 7 3. 12 4. a) 5 b) 3 c) 7 d) 9 5. a) R. T. 3 × 60 + 2 × 90 = 360 min b) R. T. 4(m − n) = 4m − 4n pesos c) R. T. 13 × 10 × 4 + (20 − 13) × 80 = 1 080 pasajeros

224


Lección 18 p. 47 1. a) R. T. 4x c) 12x 2.

b) R. T. 3x d) 8x

3x ___ 543 a) R. T. 2x + x = 543; 3x = 543; ​​ __   ​​ = ​​      ​​;  x = 181 3 3 El número es 181 b) R. T. x + 3x = 872; 4x = 872; __ ​​ 4x   ​​ = ___ ​​  872    ​​;  x = 218 4 4 x = costo del traslado = $218.00; 3x = costo de la mesa = 3(218) = $654.00

3. a) R. T. 3x + 75 = 435 b) 3x + 75 − 75 = 435 − 75; 3x = 360; __ ​​ 3x   ​​ = ___ ​​  360    ​​;  x = 120 3 3 c) 120

Lección 21 p. 53 1. a) La 2 d)

b) La 3

c) 4 y 5

Dibujo original

Copia 1

Copia 2

Copia 3

Copia 4

Copia 5

Factor de escala

1

​​ ​​ __43 ​​ ​​

​​ ​​ __65 ​​ ​​

2

​​ ​​ __32 ​​ ​​

​​ ​​ __32 ​​ ​​

Lado A

3

4

18  ​​ ​​ ​​ ​​ __ 5

6

​​ ​​ __92 ​​ ​​

__ ​​  92 ​​ ​​

Lado B

5

20  ​​ ​​ ​​ ​​ __ 3

6

10

15  ​​ ​​ ​​ ​​ __ 2

15  ​​ ​​ ​​ ​​ __ 2

Lado C

1

​​ ​​ __43 ​​ ​​

​​ ​​ __65 ​​ ​​

2

​​ ​​ __32 ​​ ​​

​​ ​​ __32 ​​ ​​

Lado D

4

16  ​​ ​​ ​​ ​​ __ 3

24  ​​ ​​ ​​ ​​ __ 5

8

6

6

Lado E

2

​​ ​​ __83 ​​ ​​

12  ​​ ​​ ​​ ​​ __ 5

4

3

3

Lección 24 p. 59

8

1.

Coordenadas

A

(1, 2)

B

(3, 6)

C

(4, 8)

D

R. T. (0, 0)

E

(2, 4)

F

(1.5, 3)

C

7 6 Eje de las ordenadas o eje y

Punto

y

B

5 4 F

3 2 1

E

A D 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x

Eje de las abscisas o eje x

c) Sí. R. T. Porque los puntos de esa recta son de la forma (x, 2x); es decir, la ordenada siempre vale el doble que la abscisa.

225


d) No. R. T. Porque 25 no es el doble de 15. e) 3, 2.2, 14, 1.5, 0, __ ​​ 34 ​​ f) y = 2x

Lección 25 p. 61 2. a) A partir de cuatro películas.

b) A partir de siete películas.

Lección 27 p. 65 1.

María

Ramón

Alejandra

Sergio

Pepe

Área total

5 400 m2

6 400 m2

4 800 m2

8 400 m2

8 000 m2

Área sembrada

1 080 m2

3 200 m2

1 200 m2

2 100 m2

800 m2

Tanto por ciento del área total que está sembrada

20%

50%

25%

25%

10%

Lección 32 p. 75 1. R. T. Porque dos de sus lados deben medir lo mismo, es decir, dos lados de 2 cm y un lado de 6 cm, o dos lados de 6 cm y un lado de 2 cm; pero si los lados iguales son los de 2 cm, el triángulo no se puede construir (2 + 2 < 6). 2. R. T. Porque varios números pueden ser la medida del tercer lado (1.1 cm, 2 cm, 5 cm, 6.9 cm...). 3. R. T. Porque el punto de intersección de las circunferencias sería el tercer vértice del triángulo, pero estas no se cortan.

Lección 37 p. 85 1.

a) Menor, 0.6 o __ ​​ 35 ​​​, 15.3 cm c) Más del doble, $1 144.125

b) 2.33 km, 0.233 km = 233 m d) 20.6 L, 800 km

Lección 40 p. 91 1. a)

Expresiones algebraicas

Ecuación y solución

Respuesta

Primer número: x Segundo número: 2x Tercer número: 2x + 3

x + 2x + 2x + 3 = 128 5x + 3 = 128 5x = 125x = 25

Los números son 25, 50 y 53, que suman 128.

Expresiones algebraicas

Ecuación y solución

Respuesta

Precio sin descuento: x Descuento: 0.3x

x − 0.3x = 350 0.7x = 350 x = 500

El precio sin descuento es $500.00.

b)

226


c)

Expresiones algebraicas

Ecuación y solución

Respuesta

Medida del primer lado: x Medida del segundo lado: 2x Medida del tercer lado: 6 cm

x + 2x + 6 = 18 3x + 6 = 18 3x = 12 x=4

Los lados miden 4, 6 y 8 cm, cuya suma es 18 cm.

2.

14

16

x

14 + x

16 + x 48

a) 14 + x + 16 + x = 48; 2x + 30 = 48; 2x = 18; x = 9 Los números de las casillas vacías son 23 y 25. b) A = 26 − x; B = 24 − x; 26 − x + 24 − x = 34; 50 − 2x = 34; 50 − 34 = 2x; 2x = 16; x = 8; A = 18; B = 16

Lección 43 p. 97 1.

×4

×2

× ​​ ​​ __13 ​​ ​

× ​​ ​​ __16 ​​ ​

× ​​ ​​ __13 ​​ ​

×2

× ​​ ​​ __15 ​​ ​

× ​​ ​​ __15 ​​ ​

J

K

L

M

N

O

3

6

12

15

5

1

1

2

4

30

10

2

× ​​ ​​ __16 ​​ ​

× __ ​​  12 ​​ ​

5  ​​ × ​​ __ ​​  6 ​

×1 ×5

× __ ​​  14 ​​ ​

×4

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

6

2

1

12

2

10

3

12

3

18

6

3

6

1

5

1

4

1

Lección 47 p. 105 1. a) y = 2.6x + 47, y = 2.3x + 64 b) R. T. El número por el que se multiplica la longitud del fémur. c) 164 cm, 167.5 cm d) 50 cm, 40 cm

227


Lección 49 p. 109 1.

Número de figura Cantidad de rombos Cantidad de triángulos Total de polígonos

1

2

3

1

2

3

4

5

50

100

R. T. n

4

6

8

10

12

102

202

2n + 2

5

8

11

14

17

152

302

3n + 2

Número de figura Cantidad de hexágonos Cantidad de triángulos Cantidad de cuadrados Total de polígonos

1

2

3

4

5

50

100

n

2

3

4

5

6

51

101

R. T. n + 1

2

4

6

8

10

100

200

2n

6

10

14

18

22

202

402

4n + 2

10

17

24

31

38

353

703

7n + 3

a) 10, 18

4

5

b) 33, 68

50

100

n

c) La 25, 102, 26

Lección 51 p. 113 1.

Número de figura Cantidad de hexágonos Cantidad de triángulos Cantidad de rombos Cantidad de trapecios Total de polígonos

1

2

3

4

5

n

1

2

3

4

5

n

4

6

8

10

12

2n + 2

4

8

12

16

20

4n

2

4

6

8

10

2n

11

20

29

38

47

9n + 2

b) 21 c) 10,40 d) No, R. T. La ecuación 9n + 2 = 100 no tiene solución entera.

Lección 53 p. 117 ∡A = 62∘

∡B = 118∘

∡G = 55∘

∡N = 55∘

∡H = 125∘

Lección 55 p. 121 1. a) 90° d) 36∘, 72∘, 108∘, 144∘

b) 75°, 105°

c) 45

2.

Características de la figura

228

¿Es posible o imposible?

¿Por qué?

Un triángulo con ángulos de 90, 20 y 60 grados.

Imposible

Las medidas suman menos de 180 grados.

Un cuadrilátero con dos ángulos rectos y dos obtusos.

Imposible

Las medidas suman más de 360 grados.

Un triángulo con ángulos de 1, 2 y 177 grados.

Posible

Las medidas suman 180 grados.

Un cuadrilátero con ángulos de 110, 70, 100 y 80 grados.

Posible

Las medidas suman 360 grados.


Lección 58 p. 127 1.

Figura

Fórmula del área

Fórmula del área con palabras

Fórmula del perímetro

A = bh

Área igual a base por altura

P = 2(b + h)

base: b altura: h

A = bh

Área igual a base por altura

No hay suficiente información

lado: l

A=l×l

Área igual a lado por lado

P = 4l

Área igual a base mayor más base menor, por altura, entre dos

No hay suficiente información

Dimensiones

base: b altura: h

h b

h b

l

b h

base mayor: B base menor: b altura: h

(B + b)h     ​​ ​​  A = ​​ ​​ ______ 2

B

D d

h

diagonal mayor: D diagonal menor: d

  ​ A = __ ​​  Dd 2

Área igual a diagonal mayor por diagonal menor, entre dos

No hay suficiente información

base: b altura: h

bh  ​​ ​​ A = ​​ ​​ __ 2

Área igual a base por altura, entre dos

No hay suficiente información

b

Lección 61 p. 133 1. V = ​​7 × 3 × __ ​​ 42 ​​ ​​ = 42

Lección 62 p. 135 1. 220 800 cm3

2. 37.19 cm3

229


Lección 73 p. 157 1.

−5

3

−1

−6

2

−2 0

−7

4 −2

−5

−9

−5

−14 −19

5

3 2

−1

6

4 −2

−7 11

−4 10

−17

−13

28 −41

2.

−5

−6

1

5

−2

−4

3

−1

0

−3

2

4

Lección 78 p. 167 1. a)

230

Tazas de harina

Mantequilla

Cerezas

Para 4 personas

8

__ ​​  18 ​​ kg

1 ​​ __14 ​​ kg

Para 6 personas

12

3  ​​   kg  ​​ __ 16

1 ​​ __78 ​​  kg


b)

Figura A

Figura A′

16 cm

4 cm

4 cm

1 cm

20 cm

5 cm

12 cm

3 cm

c) 48.2 L 2. Tabla 1: 267.00, Tabla 2: 26.25

d) 120 km

Lección 82 p. 175 1. b) y = 5x., y = 5x + 25, y xy = 25 2. y = −5x + 100

Lección 90 p. 191

1. a = 2r + v; r = ​ a – __ ​​  2v ​​ ​ ; v = a – 2r 2. R. T. B = 6, b = 4, h = 2; B = 3, b = 2, h = 4 3. 1 3500 cm2 4. a) 480 cm b) 240 cm

c) 6 228 cm2

d) 2 076 cm2

Lección 93 p. 197 1. a) 7 b) 40 cm d) 18 en el de 12 m, 13 en el de 9 m, 9 en el de 6 m

c) Volumen: 6 000 L

Lección 100 p. 211 2. a) Javier y Ana. b) R. T. En el caso de Javier, es poco probable que las frecuencias sean idénticas; en el de Ana, es poco probable que haya una frecuencia tan alta (96) para uno de los resultados. 3. a) 27.5%, 49.2%, 23.3%

231


BIBLIOGRAFÍA

Recursos recomendados para el alumno Libros recomendados Allen Paulos, John, Un matemático lee el periódico, España, Tusquets, 1996. Bosch, Carlos, Claudia Gómez, Una ventana a las formas, Biblioteca Juvenil Ilustrada, México, Santillana, 2003. Enzensberger, Hans Magnus, El diablo de los números, Madrid, Siruela, 1997. Perero, Mariano, Historia e historias de matemáticas, México, Grupo Editorial Iberoamérica, 1994. Pickover, A. Cliford, El libro de las matemáticas: de Pitágoras a las 57 dimensiones, España, Librero, 2012. Singh, Simon, Los Simpson y las matemáticas, España, Ariel, 2013. Tahan, Malba, El hombre que calculaba, México, Noriega Editores, 1994. VanCleave, Janice, Matemáticas para niños y jóvenes, México, Limusa, 1997.

Enlaces web recomendados (fecha de consulta: diciembre de 2017) Cuéntame. Página del Instituto Nacional de Estadística y Geografía cuentame.inegi.org.mx/ Descartes. Materiales didácticos interactivos para el aprendizaje de las matemáticas recursostic.educacion.es/descartes/web/indice_ud.php recursostic.educacion.es/descartes/web/indice_miscelanea.php DivulgaMAT. Centro Virtual de Divulgación de las Matemáticas de la Real Sociedad Matemática Española www.divulgamat.net/ Eduteka. Portal educativo con contenidos para docentes y directivos para enriquecer los ambientes escolares con el uso de las tic www.eduteka.org Eduteka. Simulaciones de matemáticas y física www.eduteka.org/instalables.php3 Ejercicios prácticos de matemáticas para secundaria aulavirtual.inaeba.edu.mx/ejercicios_practicos/paginas/ejercicios_sec_mate.html Matechavos. Proyecto para la enseñanza de las matemáticas asistida por computadora arquimedes.matem.unam.mx/PUEMAC/PUEMAC_2008/matechavos/html/index. html Matemáticas divertidas. Juegos interactivos www.matematicasdivertidas.com/Zonaflash/zonaflash.html Proyecto Cifras. Internet en el Aula. Ministerio de Educación de España recursostic.educacion.es/primaria/cifras/web/ Proyecto Gauss. Internet en el Aula. Ministerio de Educación de España recursostic.educacion.es/gauss/web/indice.htm Recursos interactivos sobre medida, fracciones y decimales www.juntadeandalucia.es/averroes/averroes/html/adjuntos/2007/12/05/0005/ indice.htm Red ILCE red.ilce.edu.mx/ 232


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