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GUÍA DEL PROFESOR

S E C U N DA R I A

MATEMÁTICAS

1

ROSA ISELA GONZÁLEZ POLO _ APOLO CASTAÑEDA ALONSO


DIRECCIÓN DE CONTENIDOS Y SERVICIOS EDUCATIVOS

Felipe Ricardo Valdez González AUTORES

Apolo Castañeda Alonso Rosa Isela González Polo GERENCIA DE PUBLICACIONES ESCOLARES

Agustín Pérez Allende GERENCIA DE DESARROLLO DE PRODUCTO

Jesús Arana Trejo COORDINACIÓN EJECUTIVA DE SECUNDARIA Y BACHILLERATO

Áurea Ireri Madrigal Mondragón EDICIÓN

Citlali Yacapantli Servín Martínez COORDINACIÓN DE CORRECCIÓN

Abdel López Cruz Laura Iliana Martínez García CORRECCIÓN

Ilayali Nayeli Antonio Hernández, Elvia Cristina Sánchez Zepeda DIRECCIÓN DE ARTE Y DISEÑO

Quetzatl León Calixto DISEÑO DE LA SERIE

Equipo SM DISEÑO DE PORTADA

Claudia Adriana García Villaseñor COORDINACIÓN GRÁFICA

César Leyva Acosta SUPERVISIÓN DE DIAGRAMACIÓN

Martha A. Ramos Gómez DIAGRAMACIÓN

Víctor Manuel Montalvo Flores Magón COORDINACIÓN DE ICONOGRAFÍA E IMAGEN

Ricardo Tapia García ARCHIVO DIGITAL

Lilia Alarcón Piña TECNOLOGÍA EDITORIAL

Josué Lara Cortés PRODUCCIÓN

Valeria Salinas, José Navarro

Matemáticas 1. Secundaria. Soy Protagonista. Guía didáctica Primera edición, 2018 D. R. © SM de Ediciones, S. A. de C. V., 2018 Magdalena 211, Colonia del Valle, 03100, Ciudad de México, México Tel.: (55) 1087 8400 www.ediciones-sm.com.mx ISBN en trámite Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro número 2830 No está permitida la reproducción total o parcial de este libro ni su tratamiento informático ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright. La marca Ediciones SM® es propiedad de SM de Ediciones, S. A. de C. V. La marca Soy Protagonista® es propiedad de Fundación Santa María. Prohibida su reproducción total o parcial. Impreso en México/Printed in Mexico

Matemáticas 1. Secundaria. Soy Protagonista. Guía didáctica se terminó de imprimir en


Presentación Las matemáticas nos permiten interpretar y entender lo que sucede en diversos ámbitos de nuestra vida, también nos ayudan a fundamentar nuestras opiniones y a tomar decisiones informadas. Esto implica que las matemáticas se transformen de un conjunto de definiciones, reglas y procedimientos, a una “matemática en acción” que favorece el razonamiento matemático y la capacidad de comprensión y reflexión. En Matemáticas se incorpora una amplia variedad de contextos, con el propósito de situar los conceptos matemáticos; explorar nociones e ideas; usar y aplicar diversos procedimientos, algoritmos y herramientas para describir, explicar y predecir situaciones donde tú eres el protagonista y no el espectador. Se consideraron cinco aspectos para concebir este libro: contribuir al desarrollo del razonamiento matemático implica pensar matemáticamente, primero, mediante ideas intuitivas y nociones preliminares y, luego, por medio de la identificación y uso de propiedades y procedimientos formales; motivar la comunicación de ideas y resultados de las actividades favorece la comparación de resultados, se establecen definiciones y se socializan ideas, se emplea el lenguaje específico de esta disciplina; fortalecer las habilidades de resolución de problemas comprende el uso de procedimientos formales e informales, motivando la reflexión; desarrollar la capacidad para hacer matemáticas conlleva a explorar e inventar procedimientos, modelar situaciones y explicar con argumentos matemáticos una situación en particular; finalmente, valorar las matemáticas como medio para formular explicaciones y modelos que nos ayudan a mejorar nuestro conocimiento del mundo y a construir una sociedad democrática y menos ingenua. Asumimos que el pensamiento matemático se desarrolla junto con un compromiso moral y ecológico para avanzar, como sociedad, en el cuidado, conservación y respeto a nuestro medioambiente. Y, por otra parte, con una base emocional y afectiva, que nos ayude a fortalecer nuestros valores humanos y contribuir al desarrollo de una sociedad más justa y equitativa. Lo anterior se ve reflejado en los diversos contextos de las actividades. Tu libro está estructurado en nueve experiencias de aprendizaje, cada una con cuatro secuencias que incorporan los tres ejes temáticos: “Número, álgebra y variación”, “Forma, espacio y medida” y “Análisis de datos”. Al concluir cada experiencia, encontrarás la sección “Experimenta” y un instrumento de evaluación de habilidades y actitudes relacionadas con las matemáticas. Al final del libro se presentan las secciones “Bitácora” y “Evaluación”, para poner a prueba tus conocimientos, estrategias, actitudes y valores adquiridos a lo largo del ciclo escolar. El libro fue creado pensando en ti, para que fortalezcas tus habilidades de pensamiento matemático y tu autoconfianza al reconocerte como protagonista de tu aprendizaje. Esperamos que lo disfrutes. Saludos, Apolo e Isela

3


Conoce tu libro SECUENCIAS El contenido temático de la materia está organizado en secuencias, las cuales constan de tres momentos didácticos: “Mis primeras ideas”, “Mi proceso de aprendizaje”, y “Mis nuevos conocimientos”.

SECUENCIA

00 23

jes

Porcenta

MIS PRIMERAS IDEAS Se presenta una situación cotidiana relacionada con las matemáticas, la cual resolverás aplicando diversas estrategias y con los conocimientos que ya tienes.

el muestra la que se er AS fica, en para sab iente grá ER AS IDE una ciudad MI S PR IMrevista se publicó la sigu listas de automovi ctuada a conocida En una . uesta efe nte enc ? lme una nte o de me an habitua resultad rutinaria sonas viaj to per s au nta en tu con cuá

¿Cuánta

nas viajan

s perso

Seis 0.41%

Cinco 1.65% Cuatro 9.07%

Una tor) (el conduc 41.65%

Tres 16.29%

stros de nue de En el caso de 40% dos, más o entrevista su vehícul s utilizan s quiene viajan solo

Dos 30.93%

MI PROCESO DE APRENDIZAJE Contiene dinámicas individuales o grupales para construir los conocimientos. Se resaltan los conceptos, algoritmos y la información importante.

sporte del tran s razones o 2015. eco, “La . 460, juni s de Prof idor, núm ia con dato Consum ión prop ista del Elaborac s. ”, en Rev ividade y privado viajan o las act

público

41% en a cab istados, perero y llev s entrev tidad de compañ conductore ica la can e con un total de o no ind que, del el artícul o señala embargo, El artícul sin lo; cuántos su vehícu erminen guntó. det solos en pre y s les se ductore al lado del las que 100 con ríbanlo sonas a fica. Esc istaron a en la grá se entrev an que señalado aucentaje a) Supong porción e. n cada por qué pro correspond ¿en les s, representa que r? conductore la gráfica o anterio do a 200 sector de ecto al cas entrevista hubiera sonas resp se per Si de b) d la cantida en mentaría respond as que cor de person cantidad riban la tabla. Esc leten la tadas sul c) Comp . con centaje Personas 1 000 a cada por 500 400

1. Reúnet

100%

#FU ENT E

per, Del 0 gins Coo Lynn Hug cómo entender ico, o ndes, Méx al infinito muuuy gra 5. números ciones, 201 SM de Edi s encontrará páginas re sob En estas es iosidad varias cur y la historia de los números s. tica las matemá

41% 31%

b) ¿Const

ruyeron triángulos iguales? diferentes triángulos, el otro, 6 de maner cm; y el a que uno tercer lad o tenga de sus lad leten la una medid os mida tabla. 8 cm; a entera : 1 cm, 2 cm, 3 cm… Lado a (cm) 8 Lado b 8 (cm) 8 6 8 Lado c 6 8 (cm) 6 8 1 6 8 ¿Se for 2 6 3 6 un triángma 4 6 ulo? 5

16%

c) Tracen

9% 2%

4

d) Comp

1%

MAT EMÁTIC

14/12/17

AS 1

17:27

140

40-145-a

170883-1

lumno

140

e) ¿Por

MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS Son problemas matemáticos más complejos que puedes resolver porque ya desarrollaste los conocimientos y las habilidades necesarias para ello.

6

qué hay

MI PR OC ES O

4. Usen su jue

triángulos

que no

se pueden

8 6

7

8 6

8

9

8 6 10

construir?

DE AP RE ND IZA

go de geo JE metría para res olver la uno trac actividad. e en su 8 cm, 6 cuaderno cm y 12 un triángu cm, resp lo cuyos ectivam aren sus lados a, ent e. triángulos, b y c mid ¿son igu an ales?

a) Cada b) Comp

c) ¿Cuánt

6 dm, 8

os marco dm y 12

s triangu

lares se

dm?

podrían

#RE FLEX ION

construir

con tiras

de mader

a de

5. Obser va

la siguie nte con pide y res strucción ponde ; a par las pregu tir de ella ntas. traza lo 2 que se

A

Si conoces la medida de un triá de dos lado ngu s puede tom lo y el tercer lado ar solamente cualquier valor (no entero), ¿cu triángulos ántos podrías traz ar?

3

4 3

3

MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS el resultado indicado. Utilicen únicamente cuatro números 4 y cualquier operación y signo de agrupación que se requiera, como en el ejemplo. R. T.

a) Reprod

=1

=6

=2

=7

=3

=8

=4

=9

=5

= 10

uce la con

paso.

b) Traza

• 4+4−4−4=0 •

2 4

2 4

12. En equipos, determinen las operaciones necesarias para obtener

strucció

n en tu

los triángu

cuaderno

y redact

los con » Triángu las medid lo 1 con as indicad segmento as. » Triángu s

a detalla

de 3 cm lo 2 con , 4 cm y segmento 6 cm s de 2 cm lo 3 con , 5 cm y segmento 8 cm s de 7 cm , 9 cm y 16 cm

dament

e cada

segm ento : porc que está ión de un delim a re itad cta a po r do s pu ntos .

» Triángu

SEC UEN CIA 170883-0

10-015-a

lumno

1

11

11

13. En parejas, analicen las figuras y escriban una expresión aritmética

#PROTAGONISTA

para obtener el valor del área sombreada.

R. T. 10

Existe más de un camino correcto para obtener un resultado. Algunas personas suelen descomponer el problema principal en otros más pequeños que sí saben cómo resolver. Esta estrategia es útil en este caso; por ejemplo, puedes iniciar con el área de las figuras más grandes y después restar las superficies de las figuras pequeñas. ¿Se te ocurre otra alternativa? ¿Y a tus compañeros?

4

1

4

14/12/17

7

10

12

4

26

15:57

5

10

MODALIDADES DE TRABAJO En las actividades se indican las modalidades de trabajo:

2

3 12

2 12

24

6

2

individual,

14. Resuelve las operaciones. • [(3 × 2) + 7] + {[(5.5 + 0.2) × 3] ÷ 4} + [(3 ÷ 2) + 7] =

• [(4 × 2.6) ÷ 4] + {[(5.5 × 3.2) + 2] ÷ 4} =

72

MATEMÁTICAS 1

170883-068-073-alumno 72

4

14/12/17 16:05

MATEMÁTICAS 1

en parejas,

en equipo y

en grupo.


ACTIVIDADES CON ENFOQUE ESPECÍFICO INTEGRO Las actividades de aprendizaje son en sí mismas una fuente de evaluación continua del aprendizaje. Se destacan algunas para que valores cuánto has aprendido y lo que requieres mejorar.

14. Obser va

la imag

en y co ntesta

las pregu

ntas.

a) ¿En cuá

ntos triá ngulos peq ueños se dividió el fracción triángulo del triáng ? ulo repres entan los fracción triángulo y decimal s amarillos represent ? d) ¿Qué an los número triángulo decimal s azules? rep resentan 15. En parejas, los triáng resuelva ulos verdes n los pro ? ble a) Floren mas. ce Griffit h, atleta estadou nidense, competen posee el cia de 10 récord mu 0 metro ndial en s planos, 49 centés #PR OTA GO la con un tiem imas. Exp NIS TA po de 10 resa su réc segundo ord en seg número sy ¿Se te difi undos, com decimal. culta com o fracción prender idea? Rec una uerda que y como b) Aprox un mismo concepto imadame se puede nte uno expresar dife de cada rentes ma de 10 mexic indígena neras: con palabras, anos pe . Expres fór rtenece a esta rela dibujos, dia mulas, esquemas a un ció pu n como fra eblo o número gramas, cción de Aprovecha tab decimal. cimal y estos rec las… desarrolla ursos par c) Una ne a r urona tar matemátic tu pensamiento da 5 mil o. isegund os en rec señal. Exp ibir resa este , proces ar y transm valor en segundo itir una número s, como decimal. fracción decimal y como d) Para grabar imá genes, las cámaras les en int de video ervalos de toman fot tiempo ografías #CO NTE XTO regulares individua fías por . Si una segundo cámara , ¿qué tiem captura 50 fotog po transc raurre entre dos fotog rafías? e) Existe n cámara s especi ales cap aces de segundo capturar . En este 5 000 fot caso, ¿cu ografías ál es el tiem por y otra? po que pasa en tre una 16. Anali fotograf En las rec cen, en ía eta grupo, cantidades s de cocina las decimale la utilid se expres ad de co s. Escrib números an en an, en su nvertir fra fraccion cuadern decimales. ccionarios y es en nú o, una Busca algu SEC UEN CIA co me ide nas nc ntifica las ros lusión ge 2 porciones recetas, neral. y escríbe indicad b) ¿Qué

c) ¿Qué

APRENDO Estas actividades se relacionan con el desarrollo de habilidades complejas como analizar, generalizar y aplicar diversas estrategias en la solución de problemas.

170883

-016-021

-alumno

SOY En la cápsula #Protagonista se promueve la reflexión sobre tu proceso de aprendizaje y el desarrollo de tus habilidades socioemocionales. Asimismo, relaciona tu conocimiento matemático con otros ámbitos de formación por medio de preguntas que guiarán tu acción.

las en tu as cua números decimales. derno con

21

21

14/12/17

15:33

EXPERIMENTA Son actividades tecnológicas o experimentales con las que pondrás en práctica tu creatividad en temas relacionados con lo aprendido.

EXP ERI ME NTA Núm eros deci male s y hoja de cálc ulo a) Abre una hoja de cálculo

EXP ERI ME NTA

de pape l lare s con tiras Polí gon os regu

s que los procedimiento lares mediante erno. polígonos regu untas en tu cuad onde las preg inuación. Resp

tres 1. Construye

b) Escribe el nume

rador y el deno minador de las columnas corre siguientes fracc spondientes. iones en las

se indican a cont

trucción 1

Cons de 3 cm Recorta una tira hoja de ancho de una tamaño carta.

los extremos de

Toma la tira y anúdalos.

e Aprieta suavement alo. el nudo y aplán

1_ ___ 4

3 ___

2 e Aprieta suavement alo. el nudo y aplán

Selecciona una o varias celdas

zos Recorta los peda sobrantes.

r o igual etro será mayo Estima si el perím ono obtuviste? tu estimación. ión 1. Verifica de la construcc

Cons

el doblez.

el Recorta siguiendo

significativas de los números

Elige el menú “Form ato/Celdas”

que

“Número” y camb ia

el valor de las

posiciones decim ales.

» ¿Qué suced e

cuando se selec ciona 12, 20, 25… ? posiciones decim ales permite traba jar la hoja de cálcu al? Comenta con lo? tus compañero s qué es. , corrige la respu esta del inciso d). f) En la ventana “Formato de celda s”, explora las Selecciona la altern opcio nes de “Fracción”. ativa adecuada para las colum ción decimal”. nas “Fracción” y “Fracg) En grupo, come nten sus observacio nes acerca de esta una conclusión actividad y escrib en la que menc an ionen , entre otros aspec » cuántas posic tos: iones decimales son necesarias para de un número identificar el perio decimal; do » cómo se aprox ima un número decimal periódico a décimos o a milés imos. » ¿Con cuántas

» ¿Notas algo inusu

» Si es necesario

doblez.

mide lados? ¿Cuánto nto miden sus obtuviste? ¿Cuá c) ¿Qué polígonos el perímetro de

5 ___ 17

números son decim ales exactos y cuále en cuántas cifras s son periódicos decimales . Fíjate

el del polígono

a por Aplana la figur

2 ___ 13

d) Analiza qué

En la ventana emer gente selecciona

trucción 3

7

se muestran. e) Cambia varia s veces el núme ro de cifras

b) ¿Qué políg

34 MATE MÁTI CAS 1

cada uno?

lares con tiras polígonos regu formar otros si es posible 2. Investiga a de papel. o una sola piez

128

4_ ___

decimales.

mos de Toma los extre alos. las tiras y anúd

lo sobrante y dóbla Utiliza el papel tra en la imagen. como se mues

2_ ___

entre el denomina la el cociente del dor. En la colum numena “Decimal” “=Numerador/D escribe la fórm enominador”. ula En la imagen se celdas de la prime usaron los valor ra fila: “=A2/B2”. es de las

su perímetro?

de 3 cm Recorta dos tiras hoja de ancho de una tamaño carta.

1_ ___

____ 6 8_ ___ 7 5_ ___ 5 10 c) Para convertir 8 9 3 una fracción en decimal, se calcu rador

zos

Recorta los peda sobrantes.

nto mide n sus lados? ¿Cuá ¿Cuánto mide ono obtuviste? a) ¿Qué políg Construcción

y nombra las colum nas como se mues tra.

170883-034-al

umno 34

14/12/17 15:58

MATE MÁTI CAS 1 14/12/17 16:17

umno 128 170883-128-al

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CÁPSULAS Para enriquecer tu aprendizaje, el libro presenta información adicional en cápsulas.

SECUENCIA 11

¿En qué orden resuelvo

las operaciones?

MIS PRIMER AS IDEAS

#FUENTE Sugiere lecturas que enriquecerán tu proceso de aprendizaje.

el so o electrónico un medio impre . b) Indaga en las matemáticas relacionado con su término criterio s y escriban, en con tus compañero elo discút , investigado den por criterio. c) Explicita lo de lo que entien acerca sión conclu n las cuaderno, una profesor, aclare del a ayud ación. Con grupo la inform 11. Lee con el . dudas que surjan y la medida sus lados es igual s si la medida de ulos es son congruente el caso de los triáng Dos polígonos es la misma. Para ángulos), correspondientes (tres lados y tres de los ángulos r de esos seis datos uentes. Estos caun número meno ulos son congr posible indicar triáng los que s se garantiza y de todos modo a. uenci ios de congr sos se llaman criter miden lo de dos triángulos si los tres lados Lado-Lado (LLL): Criterio Ladocongruentes. los triángulos son mismo, entonces triángulos milados de dos (LAL): si dos ulos son Ángulo-Lado entonces los triáng Criterio Ladoellos es igual, y el ángulo entre den lo mismo congruentes. s si dos uente congr ulos son (ALA): los triáng lo-Lado-Ángulo s. Criterio Ángu ellos son iguale comprendido entre ángulos y el lado

elementos Busca el libro Los ático de de Euclídes (matem ). Este fue la antigua Grecia de texto más uno de los libros historia. divulgados de la je con los lengua su Compara ahora. ¿Ha libros que tienes ? habido algún cambio

4

El profesor Javier organizó un torneo de cálculo mental con sus alumnos. Ganaba quien resolviera correctam ente las operaciones en menos tiempo, y eran propios compañeros quienes los validaban los resultados . Al usar una calculado se generaron controver ra, sias debido a que no se obtuvieron los mismos resultados. 5 1 8 2 3 5 5 3 7 5 6 3 2 × 2 4 4 +8÷4 × 1+4 1 ÷ 46 2 4 4 6 216 3 5 6− 2 8 1 8 1 2÷ 8 4 16 2 6 −5 7 3 3 2−3−2 8 3 − 1 × 35 2 + 41 6− 5 4 1 6 16 6 6 8 1. En parejas, hagan lo que se pide. Calculen mentalmente el resultado de cada operación. Consigan una calculado ra científica y verifique n los resultados. a) Si el resultado de la calculadora es distinto al que ustedes obtuviero qué piensan que se debe n, ¿a la diferencia?

#TIC T@C Busca una calculadora científica en internet o utiliza la que se encuentra en las aplicacione s de tu computadora. También puedes ingresar a redir.mx/SSPM1-068a

b) ¿Qué operaciones

obtuvieron?

condujeron a resultados

#DATO

lo ABC. ∆ABC indica triángu to que AD indica el segmen D. punto va del punto A al A. A indica ángulo

#DATO Contiene información interesante relacionada con el tema.

sus respuestas y proponga n una forma para indicar el orden de las operacion es anteriores.

d) Verifiquen si con ese

orden se obtiene el mismo resultado que con la calculadora científica. Efectúen las operacio

nes en diferente orden.

Operación Resultado Orden de las Resultad o 1 operaciones 2 −5 + 4 − 1

−2

−5 + 4 = −1 −1 − 1 = −2

ENTO S NUEV OS CONO CIMI

MI emas. lvan los probl por la es la altura y corta segmento CD es isósceles y el El triángulo ABC ulo ADC mitad al lado AB. robar que el triáng uencia para comp congr de os a) Usen los criteri rda. al triángulo BDC. leten el de la izquie es congruente en esquema. Comp del problema. la información del enunciado » Representen que se deduce la información » Identifiquen es el punto medio

resue 12. En parejas,

diferentes a los que ustedes

c) Analicen con el grupo

2. Completen la tabla.

Orden de las operaciones 4−1=3 −5 + 3 = −2

−2

4−1−5

cado de criterio.

se pide.

que ónico el signifi 10. Efectúa lo impreso o electr un diccionario ífico del a) Investiga en significado espec

#FUEN TE

1+4×3 4×3+1 4÷4×2

AD ≅ DB porqué de AB;

CD corta la mitad

a

; entonc es

ángulos ADC y BDC Por lo tanto, los a AB por ser altura. es perpendicular son rectos. ≅ CB. y ≅ es isósceles, A Como el triángulo el uencia usando b) Identifica los

la congr ten comprobar datos que permi . tus argumentos e en tu cuaderno

criterio LLL. Escrib

D

MATEM ÁTICA S 1

60

14/12/17 16:06

60

-alumno 170883-056-061

5×4÷2

68

MATEMÁTI CAS 1

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#TIC T@C Recomienda actividades relacionadas con las TIC.

#REFLEXIONA Da pistas o información de apoyo para recordar o ayudarte a resolver problemas.

#BITÁCORA Indica las actividades correspondientes a cada secuencia en la sección “Bitácora”.

13. Reú net

e con tre s compañ la secuen eros. Res cia de fig pondan uras. las

pregun

tas con

base en #BI TÁC ORA Resuelve la página 235 actividad de la , a esta sec correspondiente uencia.

Figura 1 a) En la

GLOSARIO Presenta el significado de palabras nuevas para ti.

»

?

triángulo único

170883-02

accionarios .

2-027-alum

?

no 27

27

triángulo único

14/12/17

ten finalmente, redac con el grupo y, su conclusión del profesor. final con ayuda una conclusión

derno

14/12/17 16:06

#ALGUIEN COMO YO Incluye historias de jóvenes como tú, que han sobresalido en diversas áreas gracias a su conocimiento matemático y su interés por la ciencia.

MATEMÁTICAS 1

15:56

en su cua-

d) Compartan

-alumno 58

170883-056-061

la figura

para trazar un se requieren mínimos que los elementos » ¿Cuáles son

MATEM ÁTICA S 1

58

6

de ellas.

idades 3 y 4. c) de las activ cciones las respuestas n en las instru 5. Analicen cambios haría datos que almente qué gulo con los Comenten grup r el mismo trián posible traza para que sea idad. se conocen. activ la n a cabo equipos y lleve grupo en dos o y forma que e 6. Dividan al ulo del tamañ ión qu trace un triáng a minac cada alumno nativ a deno a) En una hoja, o alter es un a com los demás lo vean. alias: que desee sin que ona us del triángulo os rs ángul pe y una as de los lados e. alias, y las medid nombr b) Anoten su a su  ulo, pero trazaron. adamente tu triáng y describe detall otros. alias tu e entre escrib , nombre, c) En otra hoja, ir medidas, forma . Puedes escrib sin hacer trazos de tu descripción ambia la hoja trazaste e interc triángulo que d) Guarda el o. del otro equip con un compañero entregaron. ipción que te do con la descr acuer de ulo que hizo e) Traza el triáng original con el aren el triángulo concluyan, comp f) Cuando todos iguales? ¿Son o. del otro equip su compañero ad de datos pocantid r meno escriban la le para ad, pero esta vez eran indispensab g) Repitan la activid ación que consid ulo. ra que sea la inform el mismo triáng sibles, de mane rio pueda trazar del equipo contra acuerdo con que el compañero corresponde de al. triángulo que les el origin el tracen con n la hoja, su triángulo h) Intercambie último comparen por y dadas s las indicacione iciones. algunas cond ior, cambiando ejercicio anter 7. Repitan el los ángulos. no se mencionan no nombres ni a) Condición: ángulos, pero ionar lados y se pueden menc b) Condición: triángulos. clasificación de conclusión sobre una ten YO #ALGU IEN COMO integrantes y redac equipos de tres preguntas. c) Reúnanse en las siguientes hani quería ser trazar un iores, atendiendo Maryam Mirzak se requieren para los ejercicios anter más grande se mínimos que escritora de niña, los elementos a mujer en ¿Cuántos son convirtió en la primer con un Fields ganar ls medalla geometría. trabajo acerca de el mundo tenga “No creo que todo pero muchos que ser matemático, una dan estudiantes no les matemáticas. las a oportunidad un par de En secundaria tuve , contó en notas” años con malas 2008, en la una entrevista en o para salir que agregó un consej áticas no matem las “Si te: adelan parecer sin te apasionan pueden Su belleza solo sentido y frías. ores seguid sus se muestra a más pacientes”.

Figu

ra 2 figura 2 se dividió el triángu Figura 3 lo en cua En la figu tro partes ra 3 se sele iguales y se sombre ccionó un ó una 2. Sigue triángulo el mismo y se rep itió el pro patrón y dibuja las ceso de b) Supón figu que el áre ras 4 y 5 a del triá en tu cua ngulo de derno. ¿Cuál es la figura el área som 1 corresp breada ond e a una de la figu c) ¿Qué unidad. ra 2? fracción del tota l represe la figura nta el áre #RE FLEX ION 3? a del triá A ngulo má s pequeñ d) ¿Qué o de Si el denomi parte del nador de total rep es un núm una fracción resenta Escribe ero par, la superfi tu respues en número deci ¿al convertirla cie som ta como breada decimal exac mal se obtendrá número de la figu e) ¿Qué dec un to o periódic ra 3? imal. parte del o? total rep resenta la superfi cie som breada de la figu f) Invente ra 4? n una pre gunta par a la figu 14. Tra bajen en ra 5 y resp equipo óndanla y respon en su cua dan las a) ¿Qué derno. pregun fracción tas. representa 15 min b) ¿Qué de 1 h? número decimal representa c) ¿Qué 45 min fracción respecto y número a 1 h? decimal representa n 6 h 30 min de un día? d) ¿Qué fracción representa #CO NTE XTO n cuatro e) ¿Qué días resp número ect o decimal a una sem representa ana? f) ¿Qué 12 h fracción respecto y número a un día semana ? decimal ? representa n dos día 15. Ide s con 6 ntifiquen h de una qué res presentar puestas de la act como un ividad puro o número anterio un periód decima r se pue l exacto ico mix encuen den reLa agrime to. En , un dec tren el el caso nsura es imal per periodo. 16. Analic de los una disc dedicada iódico en el uso iplina decima a la les per de la div superficies delimitación de ros dec iódicos, isión en y usa inst imales. como las la conver Ejemplifiq cintas mét rumentos puros y sión de uen núm ricas. mixtos. fra cciones eros dec ¿Qué car Mide las en núm imales dimensione acterística eSEC UEN CIA exa ctos, per tu habitac s de s tiene 3 ión iódicos el residu en números y exprésalas o y el coc decimales iente? y fr

APR ENDI ZAJE MI PRO CESO DE a los incisos

#CONTEXTO Es una actividad para que aprecies la relación de las matemáticas con otros ámbitos.


EVALUACIÓN Cada cuatro secuencias encontrarás una variedad de instrumentos con los cuales valorarás tus habilidades, actitudes y emociones durante tu proceso de aprendizaje. Puedes emplearlos tanto para la autoevaluación como para la coevaluación.

Instrumento para determinar la función predominante del expositor Descripción: con este instrumento determinarás la actitud predominante que adoptas al llevar a cabo una exposición.

B ITÁC ORA

Los youtubers no son expertos en todo tal como podrías pensar por su actitud llena de confianza ante la cámara. En ocasiones, detrás de ellos existe un equipo de trabajo que les ayuda a crear sus videos: hay expertos en contenidos que escriben los guiones; otros conocen de tecnología y editan los videos, agregan el audio y las imágenes; también hay camarógrafos, escenógrafos, maquillistas y utileros, así como algunos ayudantes. Podríamos decir que los youtubers son los protagonistas por su personalidad extrovertida y su habilidad para desenvolverse frente a la cámara. Otros de su equipo, a quienes podríamos llamar los especialistas, suelen ser más introvertidos, pero aportan conocimientos muy valiosos. Finalmente, están aquellos que asumen tareas menos especializadas que les son asignadas, a los que podríamos llamar seguidores. Desde luego, estas funciones no son las únicas ni son exclusivas de este ámbito. Existen diversas labores en diferentes ambientes, como el trabajo, la escuela y el hogar, en las que las personas pueden desempeñar diferentes funciones en cada situación, aunque, por lo general, alguna predomina en cada uno de nosotros.

Secuencia 1 1. Investiga qué 2. Traza la curva

Expresión corporal y verbal

Seguidor

BITÁCORA Estas actividades promueven la reflexión sobre tus estrategias de aprendizaje, el desarrollo de organizadores gráficos o la resolución de problemas más retadores. También funcionan como autoevaluación en la que aplicarás los aprendizajes desarrollados en el bloque.

Te diriges al público, pero no mantienes el contacto visual.

No te muestras nervioso.

Te muestras algo nervioso.

Prefieres no dirigirte al público y evitas el contacto visual. Te muestras muy nervioso.

Por momentos, captas la atención Captas la atención del público del público, pero no interactúas e interactúas con él. con él.

Es probable que captes la atención del público por la información que presentas, pero evitas la interacción.

Utilizas un lenguaje corporal apropiado y acorde al tema. Utilizas un lenguaje verbal apropiado.

Tu lenguaje corporal es limitado o no es acorde con el tema. Utilizas un vocabulario limitado, repites palabras. No improvisas, te basas en el guion.

Tu lenguaje corporal expresa incomodidad. Puedes utilizar lenguaje técnico, pero hablas poco. No improvisas, te basas en información fidedigna.

Comprendes el tema.

Tienes dominio del tema que se presenta, pero no te gusta exponer.

Eres capaz de improvisar. Uso de recursos

Especialista

Te diriges al público y mantienes el contacto visual.

Tienes dominio de la presentación y comprendes el tema. Usas de forma adecuada diferentes recursos audiovisuales.

Tienes un conocimiento básico del Usas adecuadamente diferentes uso de recursos audiovisuales. recursos tecnológicos.

Organizas la presentación del tema y asignas las tareas.

Provees el contenido de la exposición, pero prefieres no presentar.

Haces lo que te dicen.

cuaderno.

ento.

Estrategia: haz el siguiente ejercicio para determinar cuál es tu función o la de un compañero al exponer en equipo frente al grupo. Marca las conductas que comúnmente presentas en las exposiciones para saber si predominan las características de protagonista, seguidor o especialista.

Protagonista

es un fractal. de Koch en tu

a) Traza un segm

Resultado: ¿Identificas estas u otras funciones en tus compañeros? ¿Te re-

conoces en alguna actitud predominante? Precisa qué habilidades son tu fortaleza y cuáles puedes mejorar.

179

14/12/17 17:30

170883-179-alumno 179

b) Divídelo en tres

c) Reemplaza la

parte central por dos partes de igual longitud, forma ndo un ángulo de 60°.

partes iguales.

d) Repite el proce

dimiento con cada segmento result ante.

3. En tu cuad erno

, traza un trián gulo y repite lado. Hazlo varia los pasos de s veces y color la actividad 2 ea la figura resul con cada tante.

Secuencia 2 Los diagramas de pasos son útiles para que que estás apren evalúes la comp diendo. rensión de los procedimientos 1. Elabora un diagrama de pasos para trans decimal, y otro formar una para convertir fracción en un un número decim número al en una fracc 2. Compara ión. tus diagramas con los de tus sean claros; comp compañeros. lementen lo Verifiquen que que haga falta los pasos .

234 MATEM ÁTICA S 1 170883-234-235

-alumno 234

05/12/17 14:34

EVAL UA CI

ÓN 1

falsas (F). s (V) o es dadera lo único son ver un triángu oraciones cción de ulos. a si las la constru de sus áng rimos a os y uno nos refe de sus lad ulos que uno Cuando nos tres áng a) ocer al me celes, los con isós rio lo necesa triángu n de un strucció os rentes. En la con de sus lad n ser dife de uno b) an deberá medida ngulo, la lo conform s dos. lquier triá de los otro ostruir cua la suma Para con uiere con que req se nor c) me e con otro debe ser congruent siempre triángulo a struir un os. 6 . Seleccion ___ Para con contigu d) 64 y 18 16 ángulos ___ o y dos das de 4 , 4.38, 7 , 0.0 __ lad ena un ord s: cer s número 5 s equivalentes siguiente cantidade era los estra las 2. Consid mu que el inciso . a mayor 64 menor 219 , ____ ____ 857, 50 100 20 , 0.34, 2.2

EVALUACIONES FINALES Son una serie de preguntas que les servirán a ti y al profesor para evaluar tu desempeño en cuanto a los conocimientos y habilidades matemáticos adquiridos.

min 1. Deter

___

a) 25

219 ____

14, 50

2.2857 8 , 0.3, 0.8, ____

b) 125

220

7 ____

9, 130

8 , ____ , 2.2 ___ c) 0.34, 10 50

9 7 43.8_ , ____ , 2.2 ___ 33…, 10 130

0.3 d) 0.8,

cciones e las fra 3. Escrib imas. a centés

ero como núm

ima l. Aprox

decima

ado el result

23 ___

b) 15 =

9 __

a) 6 =

11 ___ d) 32 = de trece reunión 3 __ para una de 4 L, ponche de frutas ponche tarro de 75 L de sirvió un paró 15. o se le pre itad los 4. Car cada inv ró? as. Si a L sob 15 son tas d) per de fru ponche c) 6 L as de los ¿cuánto las medid b) 21 L o faltan segmenL nista, per hay dos a) 9.75 grama al moder En el dia o un vitr piezas. ulos. á armand los áng cortar las 5. Se est a de s par sCyD los valore ángulo ermina det ; alelos tos par C 24 ___ c) 9 =

A = 74° B = 82° C= D=

B A

EVALU ACIÓN 1 1. Lee la información y

¿Alguna vez participast e en una carrera de relevos? ¿Cuál fue la distancia que recorriste y en cuánto tiempo?

Pregunta 1

La primera decisión que deben tomar es determina r el orden de los relevos. decir, quién saldrá primero, Es quién en segundo, tercero y cuarto lugar. por qué?

D

• ¿Qué orden elegirías y

• Si salieran del más lento

MAT EMÁTIC

AS 1

haz lo que se indica.

Carrera de relevos Lidia, Victoria, Isolda y Julia son corredoras de 100 metros planos. Sus mejores marcas en esta competencia son 11.24 s, 11.78 s, 11.15 s y 11.95 s, respectiva mente. Deciden unir esfuerzos y conformar un equipo para participar en una carrera de relevos de 400 m (carrera 4 × 100).

05/12/17

14:25

• ¿Coincide ese orden con

222

al más veloz, ¿cuál sería

el orden?

tu elección?

Pregunta 2

no 222 2-223-alum

Para establecer su marca inicial, estiman que pasar el testigo les tomará medio segundo. ¿Cuál es el tiempo esperado para completa r el recorrido de 400 m?

170883-22

Pregunta 3

Se plantean como objetivo mejorar sus tiempos al correr. Por cada mes de entrenamiento, sus 19 tiempos serán ___ 20 de lo que eran el mes anterior, sin considerar el tiempo que toma pasar la estafeta. ¿Cuántos meses les tomará mejorar su marca inicial por lo menos 5 s? Antes de hacer cálculo, efectúa una estimació el n.

Asimismo, encontrarás situaciones problemáticas en las que pondrás en práctica tu creatividad y tus habilidades para resolver problemas.

Pregunta 4

Las siguientes son las marcas, en segundos, de su entrenamiento durante primer mes, y están ordenada el s cronológicamente. 48.01, 47.55, 47.29, 47.93, 46.69, 46.51, 46.93, 45.77, 45.4, 45.99 • Con base en estos datos, ¿el objetivo de reducir el tiempo de acuerdo con entrenamiento se cumplió? el Explica tu respuesta • Si la competencia se efectuara

ser el resultado, es decir,

224

170883-224-225-alumno

.

en ese momento, ¿cuál consideras que podría en cuánto tiempo completa rían el relevo?

MATEMÁTI CAS 1

224 05/12/17 14:26

7


Presentación Conoce tu libro Índice Secuencia 1 Secuencia 2 Secuencia 3 Secuencia 4

Secuencia 5 Secuencia 6 Secuencia 7 Secuencia 8

Secuencia 9 Secuencia 10 Secuencia 11 Secuencia 12

Secuencia 13 Secuencia 14 Secuencia 15 Secuencia 16

Secuencia 17 Secuencia 18 Secuencia 19 Secuencia 20

8

3 4 8

Exploración de triángulos Números fraccionarios y decimales I Números fraccionarios y decimales II Números con signo

10

Experimenta

34

Inventario de conductas que intervienen en mi proceso de aprendizaje

35

Ángulos y rectas Resolución de problemas con números con signo Multiplicaciones con números fraccionarios y decimales Promedios I

36

Experimenta

54

Rúbrica de trabajo en equipo

55

Criterios de congruencia de triángulos Divisiones con números decimales ¿En qué orden resuelvo las operaciones? Promedios II

56

Experimenta

80

Cuestionario para evaluar tu participación en una discusión grupal

81

Exploración de cuadriláteros ¿Letras o números? Tanto por ciento Gráficas circulares

82

16 22 28

40 44 50

62 68 74

86 92 98

Experimenta

104

Cuestionario para la detección del tipo de bloqueos al afrontar la resolución de problemas

105

Exploración de perímetros Proporcionalidad I Resolución de ecuaciones I Exploración de situaciones de variación

106

Experimenta

128

Rúbrica de trabajo individual

129

MATEMÁTICAS 1

112 116 122


Índice Secuencia 21 Secuencia 22 Secuencia 23 Secuencia 24

Secuencia 25 Secuencia 26 Secuencia 27 Secuencia 28

Secuencia 29 Secuencia 30 Secuencia 31 Secuencia 32

Perímetro del círculo Proporcionalidad II Porcentajes Interpretación de gráficas

130

Experimenta

152

Recomendaciones para elaborar y evaluar reportes

153

Áreas de triángulos y cuadriláteros Problemas de variación I Resolución de ecuaciones II Experimentos

154

Experimenta

178

Rúbrica para determinar la función predominante del expositor

179

Volumen de cubos Problemas de variación II Introducción a las sucesiones Registro de datos

180

Experimenta

200

Rúbrica para identificar las actividades de comprensión

201

Secuencia 33 Volumen de prismas Secuencia 34 Orden de fracciones y números decimales Secuencia 35 Propiedades de las sucesiones

134 140 146

160 166 172

184 190 194

202 208 214

Experimenta

220

Autoevaluación de logros en el desarrollo del pensamiento crítico, de la comunicación efectiva y del trabajo en equipo

221

Evaluación Evaluación 1 Evaluación 2 Evaluación 3 Bitácora Glosario Bibliografía

222 226 230 234 250 252

9


SECUENCIA SECUENCIA00 1

Exploración de triángulos

MIS PRIMERAS IDEAS Luisa desea construir marcos triangulares para adornar una pared con collages de fotografías. Ella tiene seis tiras de madera con las medidas siguientes: 4 dm, 6 dm, 8 dm, 10 dm, 12 dm y 15 dm. ística ica art n c é t a : es un er una collage compon n e sy e t sis ateriale que con rsos m e iv , d o iend s coller francé obra un l e d e n tos. Vie . elemen pegar” “ a nific que sig

1. Responde las preguntas; auxíliate con diagramas para representar

diferentes casos. a) ¿Podrá formar dos marcos triangulares con esas tiras?  b) ¿Podría combinar cualquiera de estos tres trozos para formar un marco

triangular?   c) Compara tus respuestas con un compañero y formula una conclusión. 2. Lleva a cabo lo que se pide y responde las preguntas. Necesitarás

algunos materiales. ºº Consigue seis palitos de madera, tiras de papel o cualquier otro

material rígido para representar los lados de un triángulo. ºº Recórtalos para que tengan las siguientes medidas: 4 cm, 6 cm, 8 cm, 10 cm, 12 cm y 15 cm. ºº Explora todas las posibles combinaciones con las que se forma un triángulo. a) Escribe las medidas de los triángulos que pudiste formar.    b) ¿Con qué combinaciones no es posible formar un triángulo?

  c) Explica por qué con las medidas anteriores no se logra formar un triángulo.

    d) Compara tus soluciones con tus compañeros. De forma grupal comple-

#TIC T@C

menten sus respuestas y, en caso de duda, repitan las construcciones con sus materiales. Lleguen a un acuerdo sobre la respuesta del inciso c).

Explora la página redir.mx/SSPM1-010a Usa el programa de geometría dinámica para reproducir las construcciones de la actividad 3.

10

3. En parejas, resuelvan lo que se pide y contesten las preguntas.

MATEMÁTICAS 1

a) Cada uno trace en su cuaderno un triángulo que mida del lado a = 8 cm,

y del lado b = 6 cm.


b) ¿Construyeron triángulos iguales?  c) Tracen diferentes triángulos, de manera que uno de sus lados mida 8 cm;

el otro, 6 cm; y el tercer lado tenga una medida entera: 1 cm, 2 cm, 3 cm… d) Completen la tabla.

Lado a (cm)

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

Lado b (cm)

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

Lado c (cm)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

¿Se forma un triángulo? e) ¿Por qué hay triángulos que no se pueden construir?

 

MI PROCESO DE APRENDIZAJE 4. Usen su juego de geometría para resolver la actividad. a) Cada uno trace en su cuaderno un triángulo cuyos lados a, b y c midan

8 cm, 6 cm y 12 cm, respectivamente. b) Comparen sus triángulos, ¿son iguales? 

#REFLEXIONA

 c) ¿Cuántos marcos triangulares se podrían construir con tiras de madera de

6 dm, 8 dm y 12 dm? 

Si conoces la medida de dos lados de un triángulo y el tercer lado puede tomar cualquier valor (no solamente entero), ¿cuántos triángulos podrías trazar?

5. Observa la siguiente construcción; a partir de ella traza lo que se

pide y responde las preguntas. 2 3

3 4

2 4

3 2 4

segmen

to: por ción de una re á delim cta itada p or dos puntos .

que est

a) Reproduce la construcción en tu cuaderno y redacta detalladamente cada

paso. b) Traza los triángulos con las medidas indicadas. »» Triángulo 1 con segmentos de 3 cm, 4 cm y 6 cm »» Triángulo 2 con segmentos de 2 cm, 5 cm y 8 cm »» Triángulo 3 con segmentos de 7 cm, 9 cm y 16 cm

SECUENCIA 1

11


c) ¿Qué observas en las construcciones anteriores?

  6. Trabaja en equipo. a) Comparen sus construcciones de la actividad anterior y observen si obtu-

vieron los mismos resultados. b) Con base en su análisis, completen la tabla.

Medida de los lados Triángulo

a

1 2

2

3

7

b

c

4

6

5

Suma de medidas a+b

a+c

b+c

¿Se puede trazar?

4+6 2+5

16

no 7 + 16

c) Escriban los símbolos > (mayor que), < (menor que) o = (igual que) según icas se atemát m n e : ra e ción qu conjetu afirma a n u a ro refiere era, pe verdad e n o p u . a se s probad ha sido que no

corresponda. Medida de los lados

Comparaciones

Triángulo a

b

1

3

4

2

2

3

c

a+b ¿? c a+c ¿? b b+c ¿? a 3+4>6

8 9

2+8>5

16

9 + 16 > 7

d) Redacten una conjetura de acuerdo con los resultados de sus construc-

ciones y la información de las tablas.    7. Subraya las medidas que permiten trazar un triángulo. ºº Pon a prueba la conjetura que redactaste en la actividad anterior.

#PROTAGONISTA Observa que existen palabras que adquieren un significado específico en matemáticas. Averigua qué es y cómo se elabora una conjetura en ciencias y en ética… ¿Hay similitudes? Forma tu glosario con las palabras nuevas que aprendes; incluye ejemplos.

12

ºº Efectúa mentalmente las operaciones necesarias. •• 3 cm, 2 cm, 5 cm

• 2 cm, 2 cm, 2 cm

• 9 cm, 4 cm, 1 cm

• 8 cm, 3 cm, 4 cm

•• 5 cm, 6 cm, 3 cm

• 11 cm, 20 cm, 18 cm

Para construir (trazar) un triángulo, la medida de uno de sus lados siempre debe ser menor a la suma de los otros dos.

MATEMÁTICAS 1


8. Reúnete con un compañero. Supongan que cuatro personas dibuja-

ron un triángulo y luego escribieron qué medidas podrían tener sus lados. A continuación, se muestran sus propuestas.

5 3

4 7 Triángulo A

5

4

4 Triángulo B

5

3

3

3 8

Triángulo C

Triángulo D

a) Observen que los diagramas no están a escala, pero representan posibles

construcciones. Algunos son correctos; descubran cuáles tienen errores. b) Señalen los triángulos que sí es posible construir. c) Expliquen por qué no es posible construir algunos de estos triángulos; analicen la medida de sus lados.   9. Las figuras indican los pasos de una construcción. Analícenlas y res-

pondan las preguntas.

#REFLEXIONA Hasta hace poco, la única forma de estudiar geometría era con instrumentos de geometría y papel. Ahora puedes emplear las computadoras e incluso los teléfonos celulares para visualizar las formas y figuras animadas; esto te ayuda a interpretar las relaciones geométricas desde una nueva perspectiva.

•• Elementos conocidos 3

65°

2 •• Construcción 3

2

3

65°

65°

65°

2

2

2

a) ¿Qué datos se tenían antes de iniciar la construcción?

 b) ¿Dónde se ubica el ángulo en relación con los dos lados conocidos?

 c) Reproduce la construcción en tu cuaderno y redacta detalladamente los

pasos que seguiste. Después, haz un diagrama de pasos.

SECUENCIA 1

13


10. Analiza la siguiente construcción, contesta las preguntas y haz lo

que se pide.

#BITÁCORA

• Elementos conocidos

En la página 234, explora otras construcciones interesantes hechas con triángulos.

80°

40°

3

• Construcción

80°

80°

40° 3

3

40° 3

a) ¿Qué datos se tenían antes de iniciar la construcción?

b) Reproduce la construcción en tu cuaderno y describe los pasos. Usa un

diagrama de pasos. c) ¿Cuántos datos se conocían antes de iniciar las construcciones de las

actividades 9 y 10?

d) ¿Cuántos lados tiene un triángulo?

¿Y cuántos ángulos?

MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS 11. Lleva a cabo la actividad. Requerirás de tu juego de geometría, tije-

ras y hojas recicladas, para trazar pares de triángulos iguales.

Traza dos triángulos iguales cuyos ángulos midan 80º, 60º y 40º.

Recorta los triángulos.

Pega un triángulo en el pizarrón.

a) ¿Todos los triángulos son iguales?

Traza dos triángulos iguales cuyos lados midan 7.5 cm, 8.5 cm y 9.5 cm.

Recorta los triángulos.

Pega un triángulo en el pizarrón.

b) ¿Todos los triángulos son iguales?

14

MATEMÁTICAS 1

Sobrepón el otro triángulo con los de tus compañeros. Explica por qué.

Sobrepón el otro triángulo con los de tus compañeros. Explica por qué.


12. Supón que tienes un triángulo cualquiera, pero no conoces sus di-

#REFLEXIONA

mensiones. a) Si desearas reproducirlo en tu cuaderno, ¿cuántos datos necesitarías?

¿Qué medidas conviene elegir para asegurarse de que los demás construyan el mismo triángulo?

A c

b

B

C

a

b) Prueba con diferentes datos y reproduce el triángulo en tu cuaderno. ¿Es

el único que puedes construir con los datos que seleccionaste? 13. Trabajen en equipo. Necesitarán su juego de geometría y hojas de

reciclaje. Sigan las instrucciones. 1. Por turnos, tracen un triángulo sin que sus compañeros lo vean. 2. Elijan solamente tres medidas y describan con ellas su triángulo.

4. Contrasten su dibujo final con el original. 3. Los demás integrantes del equipo trazarán, cada quien, un triángulo con estas indicaciones. a) Completen la tabla.

Triángulo

Elementos conocidos

A

Lado, lado, lado

B

Lado, lado, ángulo

C

Lado, ángulo, ángulo

D

Ángulo, ángulo, ángulo

¿Se puede construir?

Condición para construir un único triángulo

#CONTEXTO

Que el lado se encuentre entre los dos ángulos. Se necesita otro dato: la medida de uno de sus lados.

b) ¿Qué observas en relación con los elementos conocidos?

c) Al construir un triángulo con cada grupo de elementos conocidos, ¿se

obtiene un solo triángulo?

¿Por qué?

14. Discutan grupalmente cuántos y cuáles son los elementos mínimos

que necesitan para construir el mismo triángulo. Redacten una conclusión en su cuaderno.

SECUENCIA 1

El triángulo es un instrumento musical de percusión; pertenece a las orquestas y a las bandas de guerra. Se tienen registros de su uso desde la Edad Media (siglo XVI). Investiga sobre este original instrumento y busca videos en los que aprecies su sonido.

15


SECUENCIA 2

Números fraccionarios y decimales I

MIS PRIMERAS IDEAS

sable dispen rato in id h o b as; n: car s plant almidó llo de la o te r r a s de portan para el e una im y u s, it t n s uma o n con a los h r tambié a p ía g . de ener ereales fuente en en c m u s n o s lo c quiene

En un laboratorio científico se estudiaron las características y propiedades de un gránulo de almidón, el cual se encuentra presente en diversas variedades de plantas y cereales. Rosalba investigó sobre los gránulos de almidón que contiene el maíz y observó que los más pequeños miden hasta una millonésima 1     ​​m, lo que equivale a dividir un metro en parte de un metro, es decir, ​​ ________ 1 000 000 1 millón de partes. 1. Analiza y completa la tabla.

Unidad de medida

Equivalencia

Equivalencia en fracción

Equivalencia en decimal

decímetro

una décima parte de un metro

1  ​​  ​​ ___ 10

0.1

centímetro

una centésima parte de un metro

1   ​​  ____ ​​  100

milímetro

una milésima parte de un metro

sin nombre oficial

una diezmilésima parte de un metro

sin nombre oficial

una cienmilésima parte de un metro

#PROTAGONISTA Una parte importante de tu actividad matemática es comprender lo que lees. ¿Hay alguna palabra en este enunciado que no comprendas? Busca su significado en un diccionario o más información en internet. Por ejemplo, cómo es un gránulo, qué es un carbohidrato o qué es el almidón.

0.001

1   ​​  ______ ​​  10 000

0.00001

1   ​​  ________ ​​  1 000 000

micra

2. Reúnete con un compañero y expliquen, en su cuaderno, el procedi-

miento para pasar de ___ ​​ 1  ​​ a la expresión 0.1 10

3. Lee las siguientes expresiones y escribe como fracción el número

decimal que se menciona. a) Miguel comió una décima parte del pastel.  b) La pipa de agua está a diez centésimas partes de su capacidad total.



#ALGUIEN COMO YO En 1930, Venetia Douglas, de solo 11 años, sugirió el nombre Plutón para el cuerpo celeste que ese mismo año descubrió Clyde Tombaugh, astrónomo estadounidense. Investiga cómo logró que se adoptara Plutón como nombre oficial el 1 de mayo de 1930.

16

MATEMÁTICAS 1

c) Solo tres décimas partes del grupo aprobaron la evaluación diagnóstica.

 d) La luz del Sol llega a Plutón con una milésima parte de su potencia.

 e) Manuel compró 300 g de queso, lo que equivale a 

de kilogramo.


4. La fracción ____ ​​  15  ​​ se puede expresar como una descomposición 100

en fracciones.

15 5 1  ​​ + ____ ____   ​​ = ___ ​ ​10 ​​  100    ​​  ​​  100

a) ¿Qué número decimal corresponde a la fracción ____ ​​ 15  ​​?   100

b) Explica qué pasos seguiste para obtener el resultado anterior.

#DATO Recuerda que una fracción es todo número escrito de la forma _b​​ a ​​, donde a es el numerador y b (diferente a 0), el denominador. Toda fracción se puede interpretar como una división donde _b​​ a ​​ indica a ÷ b.

 c) Al expresar cierta fracción decimal como una descomposición, se obtie-

ne lo siguiente. 2  ​​ + ____ ​​  3   ​​ + _____ ​​  1   ​​  ​​ ___ 10 100 1 000

¿Cuál es la fracción decimal que generó esa descomposición?  306 d) Para la fracción _____ ​​ 1 000   ​​, Felipe obtuvo la descomposición ___ ​​  30   ​​ + ____ ​​  6   ​​. ¿Cuál 10 100 fue el error que cometió? Comenta con un compañero. 306 e) Escribe, en fracciones, la descomposición correcta de _____ ​​ 1 000   ​​  y el número decimal que se obtiene.  5. El cuadrado está dividido en 100 partes iguales.

#DATO Una fracción decimal tiene como denominador una potencia de 10 (con exponente igual o mayor que 1). ​​  28  ​​, ____ ​​  902  ​​ son Por ejemplo, __ ​​  9  ​​, ___ 10 100 1 000

fracciones decimales.

a) Colorea lo siguiente »» ____ ​​​​  1   ​​ de la superficie total con verde. 100

»» Una décima parte de la superficie total con rojo. »» 0.05 de la superficie total con azul. b) ¿Es posible colorear _____ ​​  1   ​​  de la superficie total?, ¿cómo lo harías? 1 000

  c) ¿Cuántas veces cabe un centésimo en un décimo?  10 ____

d) Colorea de amarillo ​​  1000  ​​ del total de la superficie. Después responde

lo siguiente.

»» ​Observa la superficie coloreada y escribe una fracción equivalente

a _____ ​​  10  ​​   . 1 000 »» Escribe una fracción equivalente a _____ ​​  100  ​​.  1 000

SECUENCIA 2

17


MI PROCESO DE APRENDIZAJE milésimas

diezmilésimas

cienmilésimas

millonésimas

4o orden

5o orden

6o orden

1 m = 10 dm

3er orden

décimas

centésimas

1er orden

2o orden

decenas

unidades

2o orden

Punto decimal

centenas 3er orden

Órdenes enteros

1er orden

decenas de millar

unidades de millar 4o orden

centenas de millar

6. Completa la tabla con base en las equivalencias.

Parte decimal

5o orden

6° orden

Parte entera

1 m = 100 cm

1 m = 1000 mm

Debido a que el metro es la unidad básica de longitud del Sistema Inter3    ​​ m y 79 cm, nacional de Unidades (SI), 3 mm se representan como _____ ​​  1 000 79 ​​ m. como ____ ​​  100    Cantidad

Fracción (m)

Número decimal (m)

Órdenes decimales

87 mm

Los números decimales se denominan de acuerdo con su valor posicional.

73 dm

137 cm

19 cm

9 dm

7. En parejas, lean la situación y resuelvan lo que se pide.

Orlando resolvió una prueba de 40 preguntas para valorar su nivel de inglés. La máxima calificación es 1; si obtuvo 0.6, ¿cuántos aciertos logró? a) Describan un procedimiento para responder la pregunta anterior y com-

párenlo con el de sus compañeros.   b) Completen la tabla.

18

Alumno

Calificación en decimal

Orlando

0.6

Nadia

0.7

Edna

0.45

Pedro

0.575

Pablo

0.8

MATEMÁTICAS 1

Calificación con letra

Calificación en fracción

Fracción reducida


8. Reúnete con tres compañeros y efectúen lo que se indica.

#REFLEXIONA

a) Comenten por qué es posible afirmar que 0.45 es igual a ___ ​​ 9  ​​.  b) Escriban la conclusión en su cuaderno y arguméntenla.

20

c) Deduzcan, a partir de los datos de la tabla de la actividad 7, el número

de aciertos que obtuvo cada alumno. d) Describan, en su cuaderno, el procedimiento que usaron. 9. Con la guía del profesor, comparte tus respuestas del ejercicio 8 con

Una fracción es equivalente a otra si al multiplicar o dividir el numerador y el denominador de una de ellas por un mismo número, se obtiene la otra fracción. Por ejemplo: 10 _____ ​​  25 ×× 55   ​​ = __ ​​ 25  ​​ ÷ 5 __ _____ ​​  10    ​​   = ​​ 2 ​​ 25 ÷ 5 5

el grupo. Comuniquen sus dudas y comenten cómo resolverlas. 10. En parejas, lean la siguiente información.

Para transformar un decimal exacto en una fracción (menor que la unidad), se escribe el decimal sin punto en el numerador. El denominador estará formado por un 1, seguido de uno o más ceros, según las cifras decimales que tenga el número inicial. Por último, se reduce a su mínima expresión. decima

408   ​​.  Por ejemplo, 0.408 se escribe como _____ ​​ 1 000

l exact o: la pa rte dec n núme imal r o conta de térm ble inos, co mo en 0.125 tiene u

408   ​​  = ____ ​​  204    ​​ = ____ ​​  102   ​​ = ____ ​​  51  ​​.  Al reducirlo se obtiene _____ ​​ 1 000 500 250 125

a) Observen que el procedimiento anterior funciona cuando la parte entera

del número decimal es igual a 0. ¿Cómo transformarían en fracción un número decimal que tiene una parte entera diferente de 0? Describan su propuesta en el cuaderno. b) En grupo y con ayuda del profesor, comparen sus procedimientos. Formulen una conclusión sobre el procedimiento más eficaz y escríbanlo en su cuaderno. Cuando el número decimal tiene una parte entera diferente de 0, se escribe el entero; y la parte decimal se transforma en fracción y se coloca a su de3 12    ​​, pero equivale a 7​​ ___    ​​si se reduce la recha. Por ejemplo, 7.12 es igual a 7​​ ____ 100 25 parte fraccionaria. De manera inversa, para convertir una fracción mixta en decimal, se escribe la parte entera seguida de un punto decimal; después, se suma el resulta3  ​​ es do de la división del numerador entre el denominador. Por ejemplo, 4​​ __ 5 igual a 4 + (3 ÷ 5), y se obtiene 4.6 donde el decimal es el resultado de la división. 11. Reúnete con un compañero y hagan lo que se pide. a) Transformen las fracciones en números decimales y localícenlos en la

recta numérica. » ___ ​​  9   ​​ =

2  ​​   = » 2​​ ___

»» ___ ​​  8  ​​ =

1  ​​   = » 1​​ ___

10 10

0

SECUENCIA 2

10 10

1

» ___ ​  4  ​​  = ​ 10

» ___ ​  3  ​​  = ​ 10

2

19


b) Conviertan las siguientes fracciones en fracciones decimales.

#BITÁCORA

3 » ___ =

1 » ___ =

5 ___ » 4 = 25

Resuelve la actividad de esta secuencia en la página 234.

2 6 ___ » = 20

7 = » ___ 50

47 = » ____ 125

12. Contesta las preguntas en tu cuaderno. Escribe tu respuesta como si

estuvieras explicándole a un compañero. Revisa su claridad. a) ¿Por qué 0.7 y 0.700 representan la misma cantidad? Explica tu respuesta. 7 ? Explica tu respuesta. b) ¿Por qué 0.700 equivale a ___ 10 70 7 y ____ c) Transforma ___ a números decimales. ¿Por qué se obtiene el mismo 10 100 resultado? 8 4 . ¿Cómo se logra esto? d) La fracción ___ se puede expresar como __ 5 10 80 4 ____ __ e) Convierte las fracciones y en números decimales. ¿Se obtiene el 100 5 mismo valor? Explica tu respuesta. f) Intercambia tus respuestas con un compañero. ¿Es clara su explicación? ¿Coinciden sus procedimientos? Con ayuda del profesor, revisen sus respuestas y corrijan sus escritos cuando sea necesario.

MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS 13. En la exposición final del taller de cocina al que asiste Emilio, presenta-

rá una tarta de queso preparada con los ingredientes de la receta.

Tarta de queso 0.150 kg de azúcar

0.500 kg de harina

0.250 kg de galletas

1.500 L de leche

0.200 kg de mantequilla

0.750 L de agua

0.050 kg de mermelada

0.005 kg de levadura

a) Expresa las anteriores cantidades decimales en forma de fracción decimal

y, si es posible, reduce las fracciones. » 0.150 =

» 0.250 =

» 0.200 =

» 0.050 =

» 0.500 =

» 1.500 =

» 0.750 =

» 0.04 0 =

b) Ordena las fracciones de menor a mayor. c) Ubica, de forma aproximada, las fracciones anteriores en la siguiente recta

numérica.

#TIC T@C

0

Resuelve el desafío de reescribir decimales como fracciones en redir.mx/SSPM1-020a

20

MATEMÁTICAS 1

1

d) Compara las respuestas con un compañero. Identifiquen coincidencias

y diferencias.


14. Observa la imagen y contesta las preguntas.

a) ¿En cuántos triángulos pequeños se dividió el triángulo? b) ¿Qué fracción del triángulo representan los triángulos amarillos? c) ¿Qué fracción y decimal representan los triángulos azules? d) ¿Qué número decimal representan los triángulos verdes? 15. En parejas, resuelvan los problemas. a) Florence Griffith, atleta estadounidense, posee el récord mundial en la

competencia de 100 metros planos, con un tiempo de 10 segundos y 49 centésimas. Expresa su récord en segundos, como fracción y como número decimal. b) Aproximadamente uno de cada 10 mexicanos pertenece a un pueblo

indígena. Expresa esta relación como fracción decimal y

#PROTAGONISTA ¿Se te dificulta comprender una idea? Recuerda que un mismo concepto se puede expresar de diferentes maneras: con palabras, fórmulas, esquemas o dibujos, diagramas, tablas… Aprovecha estos recursos para desarrollar tu pensamiento matemático.

número decimal. c) Una neurona tarda 5 milisegundos en recibir, procesar y transmitir una

señal. Expresa este valor en segundos, como fracción decimal y como número decimal.

#CONTEXTO

d) Para grabar imágenes, las cámaras de video toman fotografías individua-

les en intervalos de tiempo regulares. Si una cámara captura 50 fotografías por segundo, ¿qué tiempo transcurre entre dos fotografías?

e) Existen cámaras especiales capaces de capturar 5 000 fotografías por

segundo. En este caso, ¿cuál es el tiempo que pasa entre una fotografía y otra? 16. Analicen, en grupo, la utilidad de convertir fracciones en números

decimales. Escriban, en su cuaderno, una conclusión general.

SECUENCIA 2

En las recetas de cocina las cantidades se expresan en números fraccionarios y decimales. Busca algunas recetas, identifica las porciones indicadas y escríbelas en tu cuaderno con números decimales.

21


SECUENCIA SECUENCIA00 3

Números fraccionarios y decimales II

MIS PRIMERAS IDEAS Genaro ha diseñado cuatro modelos de ventana para la casa de Felipe.

Modelo 1

Modelo 2

Modelo 3

Modelo 4

1. Responde las preguntas con base en los modelos anteriores. a) Observa que todos los diseños tienen algo en común. ¿Qué es?

 b) Diseña, en tu cuaderno, cuatro modelos diferentes que estén divididos en

la misma cantidad de partes iguales que el modelo 4. c) ¿Qué parte del total representa una pieza del modelo 1? Exprésalo como

fracción y como decimal.  d) Diseña, en tu cuaderno, dos modelos de ventana que tengan seis partes

iguales. ¿Qué parte del total representa cada pieza de este nuevo modelo? Escribe tu respuesta como fracción y como decimal.  e) Propón un nuevo diseño de ventana dividido en partes iguales, de manera

que al tomar una parte del total y convertir esa fracción en un número decimal, el resultado sea exacto. 2. Responde cada planteamiento. a) Recorta seis tiras de papel del mismo tamaño; por ejemplo, de 2 cm de

ancho y 20 cm de largo. Ilumina cada una con un color distinto y divide la primera en medios, la segunda en tercios, y las demás en cuartos, quintos, sextos y décimos. 0

0.5

1

Medios b) Contesta las preguntas en tu cuaderno. Usa las tiras para comparar y ve-

rificar tus respuestas. »» ¿Cuántos sextos se necesitan para que la cantidad sea mayor que 0.6? »» ¿Cuántos sextos hay en dos tercios? »» ¿Es __ ​​  2 ​​ mayor que __ ​​  35 ​​? Explica tu respuesta. 6 »» ¿Es 0.5 menor que __ ​​ 35 ​​? Explica tu respuesta. 3. Reúnete con un compañero y resuelvan los problemas. a) Ximena tiene $200.00 y desea repartir el dinero equitativamente entre

sus seis sobrinos. »» ¿Qué cantidad le correspondería a cada uno?  »» Expliquen, en su cuaderno, el procedimiento que emplearon para resol-

ver el problema.

22

MATEMÁTICAS 1


b) El papá de Carlos desea repartir de manera equitativa 1 kg de chocolates

entre sus tres hijos. »» ¿Qué cantidad de chocolates le corresponderá a cada uno? Escriban la

respuesta en número decimal y en fracción.  »» En la respuesta anterior, ¿cuántas cifras decimales se necesitan para

que la cantidad sea precisa? Lleguen a un consenso con el grupo. c) La maestra entrega una barra de alegría a un equipo de nueve integrantes

para que la repartan equitativamente. »» ¿Cuánto recibirá cada quien?

 »» Propongan, en su cuaderno, cómo harían esa repartición. Consideren

que la cantidad que reciba cada estudiante deberá ser exacta. »» Luis es un integrante de ese equipo y concluyó que a cada uno le co-

rrespondería 0.1. ¿Están de acuerdo con el resultado que da Luis? En su cuaderno, anoten sus argumentos y pongan un ejemplo. d) Comparen sus respuestas. ¿Se hicieron los repartos de manera exacta?

Consideren que con un número decimal de expansión infinita nunca es posible escribir la última cifra. Expliquen su respuesta en su cuaderno y compártanla con el grupo. 4. Reúnete con tres compañeros. Lean el planteamiento y contesten

las preguntas. Una jarra contiene la misma cantidad que tres vasos grades o seis pequeños. a) ¿Qué fracción y decimal representa un vaso grande en relación con la jarra?

 b) ¿Qué fracción y decimal representa un vaso chico en relación con la jarra?



#REFLEXIONA Las fracciones pueden tener diferente significado dependiendo del contexto del problema. Por ejemplo, permiten representar una parte de un todo o un cociente (división), ser una razón entre cantidades o un operador. Con la práctica identificarás mejor su significado y le darás sentido, de acuerdo con el contexto.

c) Si se llena un vaso grande y uno chico, ¿qué cantidad de agua quedará en

la jarra?  d) ¿El contenido total de la jarra alcanza para llenar dos vasos grandes y

dos chicos? Argumenten su respuesta y escriban sus conclusiones en su cuaderno.

MI PROCESO DE APRENDIZAJE 5. En parejas, respondan las preguntas en su cuaderno. a) ¿Es posible escribir __ ​​ 1 ​​como fracción decimal, es decir, una fracción con 3

denominador 10, 100, 1 000, etcétera? Expliquen por qué.

SECUENCIA 3

23


b) Escriban cinco fracciones diferentes cuyo valor en número decimal sea

0.333… c) ¿Cuántas fracciones diferentes existen cuyo equivalente decimal sea

0.333…? d) Si __ ​​  1 ​​= 0.1666…, escribe el valor que hace que se cumpla la igualdad. 6

» 0.166666… ×

= __ ​​  23 ​​ » 0.166… ×

= __ ​​  13 ​​ » 0.1666… ×

=1

6. Analiza la tabla.

#REFLEXIONA ¿Conoces otro tipo de número decimal distinto a los descritos en la tabla? Propón un ejemplo.

Fracción

Decimal

Tipo de decimal

Característica de la parte decimal

1 ​​ ​​ __ 8

0.125

exacto

Tiene un número limitado de cifras decimales.

1 ​​ ​​ __ 3

0.333… = 0.3

1 ​​ ​​ __ 7

periódico Las cifras decimales después del puro punto se repiten indefinidamente. 0.142857142857… = 0.142857

___ ​​  11   ​​ 6

1.8333… = 1.83

1  ​​  ___ ​​  24

0.041666… = 0.0416

Las cifras decimales que se repiten periódico de manera indefinida no empiezan mixto inmediatamente después del punto decimal.

7. Expresa las fracciones como fracciones decimales. 3 » ​​ __  ​​ = 4

4 » ​​ __  ​​ = 8

7 » ​​ __  ​​ = 8

5 » ​​ ___   ​​ = 16

1 » ​​ __  ​​ = 2

1 » ​​ __    ​​ = 20

8. Lee la información del recuadro y compara el procedimiento con el

que empleaste para resolver la actividad anterior. Transformar una fracción en fracción decimal Paso 1. Dividir el numerador entre el denominador. Si el decimal es exacto, sí es posible convertir en fracción decimal. 5  ​​= 5 ÷ 8 = 0.625 ​​ __ 8 Paso 2. Colocar la parte decimal sin punto, como numerador de la nueva fracción. 625    ​​  ​​ ____

#FUENTE Hans Magnus Enzensberger, El diablo de los números, Madrid, Siruela, 2013. En esta divertida historia conocerás más sobre los números que has temido, pero fuera del contexto escolar.

24

?

Paso 3. Poner en el denominador el número 1 seguido de tantos ceros como el número de cifras del numerador. 625 _____     ​​ ​​  1 000 Paso 4. Escribir la fracción equivalente. 5 _____ 625  ​​ = ​​    ​​  ​​ __ 8 1 000

MATEMÁTICAS 1


9. Reúnete con un compañero y analicen los siguientes procedimientos.

Transformar un número decimal periódico puro en fracción

Transformar un número decimal periódico mixto en fracción

Paso 1. Identificar cuántas cifras decimales se repiten.

Paso 1. Multiplicar el número decimal n veces por 10 (10 × 10 × 10 × … ); donde n es igual a las cifras decimales que anteceden a la cifra periódica más las cifras que componen el periodo (cifras que se repiten).

En 0.333…, el número 3 se repite indefinidamente después del punto decimal. Fracción desconocida = 0.333… Para simplificar la igualdad anterior, se denomina la fracción desconocida con la letra x. x = 0.333… Paso 2. Multiplicar ambos lados de la igualdad por 10, ya que la cifra que se repite es de un dígito; si dos cifras se repitieran, se multiplicarían por 100, y así sucesivamente. 10 × x = 3.333 (se multiplican ambos lados de la igualdad por 10). Paso 3. Restar las igualdades. 10 × x = 3.333… − x = 0.333… 9 × x = 3

10 × 10 × 10 × 10 = 10 000 x = 0.041666… 10 000 × x = 416.66… Paso 2. Multiplicar el número decimal por 10, tantas veces como el número de cifras que anteceden al periodo (10 × 10 × 10 × …). Las cifras que anteceden al periodo son tres, por lo tanto se multiplica 10 × 10 × 10 × = 1 000. 1 000 × x = 41.666…

Paso 4. Dividir ambos lados de la igualdad entre el número que acompaña a x (en este caso se divide entre 9). 9 3  ​​ × x = ​​ __ ​​ ​​ __ 9 9 3  ​​ 1 × x = ​​ __ 9

En 0.041666… se repite una cifra: el 6; y las cifras decimales que le anteceden son tres: 041; por lo tanto, se multiplica por 4 veces 10:

1 ​​ x = ​​ __ 3

Paso 5. Con base en el procedimiento anterior, concluir que 0.333… es igual a __ ​​ 13 ​​.

Paso 3. Restar el resultado del punto 2 al del 1. 10 000 × x = 416.66… − 1 000 × x = 41.666… 9 000 × x = 375 Paso 4. Dividir ambos lados de la igualdad entre el número que acompaña a la x. En el ejemplo, se divide ambos lados entre 9 000 y se reduce la fracción. 375 15 1  ​​;  x = ___ 1  ​​    ​​  = ____ ​​  360   ​​ = ___ ​​  24 ​​  24 x = _____ ​​  9 000

10. En tu cuaderno, transforma los decimales en fracción. » 0.666…

» 1.1111…

» 1.363636…

» 0.58333…

» 0.074074074… a) Compara tus respuestas con un compañero y corríjanlas con ayuda del

profesor. Identifiquen qué dificultades tuvieron para aplicar los procedimientos para convertir un número decimal periódico en fracción, y cómo las solucionaron.

SECUENCIA 3

#TIC T@C Practica la conversión de decimales en fracciones en la página redir.mx/SSPM1-025a

25


MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS 11. En parejas, hagan lo siguiente.

#DATO Las fracciones también representan una división.

3 1 ​​ y ​​ ___ a) Conviertan las fracciones ​​ __   ​​ en números decimales. Hagan las divisio3

10

_ ​​  ab ​​ = a ÷ b

nes en su cuaderno. ¿Qué observan en el cociente y en el residuo?

Recuerda los elementos de la división.

 

Cociente

b) Conviertan en fracciones los números 0.1111… y 0.1. ¿Cómo son las

Divisor Dividendo

fracciones que se obtienen?

Residuo

  c) Estimen qué número es mayor: __ ​​ 2 ​​ o ___ ​​  2  ​​.  Justifiquen su respuesta. 9

10

 d) Ubiquen los números en la recta numérica para comprobar su estimación.

0

1

e) José Antonio piensa que 0.4444… y 0.4 se encuentran en el mismo pun-

to de la recta numérica. ¿Cómo lo convencerían de que no están en el mismo lugar? Escriban sus argumentos en el cuaderno. 12. En parejas, resuelvan las actividades. a) Coloreen la parte que representa 0.20 de cada figura, considerando que

cada una corresponde a una unidad de área.

#PROTAGONISTA ¿Recuerdas algún momento en el que no hayas estado de acuerdo con algún amigo o alguien de tu familia?, ¿cómo resolvieron sus diferencias? En matemáticas el diálogo es esencial para lograr acuerdos y se sustenta en argumentos, no en puntos de vista.

26

MATEMÁTICAS 1

b) Dibujen, en su cuaderno, diferentes figuras divididas en partes iguales

que les permitan colorear 0.5833… partes del área.


13. Reúnete con tres compañeros. Respondan las preguntas con base en

#BITÁCORA

la secuencia de figuras.

Resuelve la actividad de la página 235, correspondiente a esta secuencia.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

a) En la figura 2 se dividió el triángulo en cuatro partes iguales y se sombreó una

de ellas. En la figura 3 se seleccionó un triángulo y se repitió el proceso de la figura 2. Sigue el mismo patrón y dibuja las figuras 4 y 5 en tu cuaderno. b) Supón que el área del triángulo de la figura 1 corresponde a una unidad.

¿Cuál es el área sombreada de la figura 2? c) ¿Qué fracción del total representa el área del triángulo más pequeño de

la figura 3?

#REFLEXIONA Si el denominador de una fracción es un número par, ¿al convertirla en número decimal se obtendrá un decimal exacto o periódico?

d) ¿Qué parte del total representa la superficie sombreada de la figura 3?

Escribe tu respuesta como número decimal. e) ¿Qué parte del total representa la superficie sombreada de la figura 4?

f) Inventen una pregunta para la figura 5 y respóndanla en su cuaderno. 14. Trabajen en equipo y respondan las preguntas. a) ¿Qué fracción representa 15 min de 1 h? b) ¿Qué número decimal representa 45 min respecto a 1 h? c) ¿Qué fracción y número decimal representan 6 h 30 min de un día?

#CONTEXTO

d) ¿Qué fracción representan cuatro días respecto a una semana? e) ¿Qué número decimal representa 12 h respecto a un día? f) ¿Qué fracción y número decimal representan dos días con 6 h de una

semana? 15. Identifiquen qué respuestas de la actividad anterior se pueden re-

presentar como un número decimal exacto, un decimal periódico puro o un periódico mixto. En el caso de los decimales periódicos, encuentren el periodo. 16. Analicen el uso de la división en la conversión de fracciones en números decimales. Ejemplifiquen números decimales exactos, periódicos puros y mixtos. ¿Qué características tiene el residuo y el cociente?

SECUENCIA 3

La agrimensura es una disciplina dedicada a la delimitación de superficies y usa instrumentos como las cintas métricas. Mide las dimensiones de tu habitación y exprésalas en números decimales y fraccionarios.

27


SECUENCIA SECUENCIA00 4

Números con signo

MIS PRIMERAS IDEAS Hugo es ingeniero civil y está construyendo una vialidad elevada a 11 m del suelo para un tren urbano. Para lograrlo necesita pilotes, que deben cimentarse a varios metros debajo del nivel del suelo.

11

0

por uctivo, constr o t n e nde elem e se hu pilote: rro, qu ie h e d , dar los ejemplo consoli a r a p o rren cción. en el te onstru c a n u tos de cimien

10 1

2

3

4

1. Lee el siguiente planteamiento y redacta tu respuesta ampliamente. a) Explica la diferencia que hay entre 10 m sobre el nivel del suelo y 10 m

bajo el nivel del suelo.

b) Indica en el dibujo los metros sobre y bajo el nivel del suelo. El punto cero

es el lugar de referencia. c) ¿Cuántos metros en total tiene la construcción? d) Hugo escribió en su bitácora los problemas que tuvo cuando trabajaban

en el metro 5. Cuando su jefe revisó la bitácora, no sabía si eran bajo o sobre el nivel del suelo. ¿Cómo debió registrarlos para diferenciarlos?

2. En parejas, respondan las preguntas en su cuaderno.

Mariano es ingeniero y ha participado en la perforación de varios pozos petroleros en el Golfo de México. Considerando que el nivel del mar es el punto de referencia (0), ¿cómo podrían diferenciar entre la altura de la ciudad de Fresnillo, Zacatecas, a 2 190 m sobre el nivel del mar, y el pozo petrolero Kunah-1DL, a 2 190 m bajo el nivel del mar? a) Inventen un código para distinguir ambas distancias. b) Compárenlo con el de otras parejas. Identifiquen los elementos comunes. c) En grupo y con ayuda del profesor logren un consenso sobre las caracte-

rísticas en común y cuál es el sistema que consideran más claro.

28

MATEMÁTICAS 1


3. Analiza el planteamiento y contesta las preguntas.

El termómetro es un instrumento con el que se mide la temperatura. En nuestro país se usa la escala Celsius (ºC) cuya referencia es 0 ºC, que es el punto de congelación del agua. a) Lupita vive en una zona boscosa en las faldas del Nevado de Toluca, y

en diciembre es común que el termómetro registre temperaturas bajo 0. Explica qué significa −5 ºC.

b) En un día de invierno, la estación meteorológica del Nevado de Toluca

registró 3 ºC a la medianoche y −12 ºC a las 5:00. ¿Cuántos grados dis-

Existen diferentes tipos de termómetros. Investiga por qué en los termómetros clínicos se resalta la temperatura de 37 °C.

minuyó la temperatura entre esas horas? c) Otro día se registraron −2 ºC a las 9:00, pero a las 13:00 la temperatura

aumentó a 14 ºC. ¿Cuántos grados aumentó? 4. En parejas, resuelvan lo que se pide.

Omar es jugador aficionado del equipo de futbol Osos. Después de 17 jornadas, los equipos de su grupo tienen las estadísticas que se muestran en la tabla. La clasificación se hizo de acuerdo con los puntos obtenidos, y si había empate, el siguiente criterio fue ordenarlos con base en la diferencia de goles. Equipos

Partidos jugados

Partidos ganados

Partidos empatados

Partidos perdidos

Goles a favor

Goles Diferencia en contra

Tigres

17

5

3

9

18

13

Panteras

17

4

6

7

14

19

18

Osos

17

5

3

9

22

34

18

Lobos

17

4

6

7

14

25

18

5

Puntos 18

a) Obtengan la diferencia de goles para todos los equipos. ¿Los equipos

están ordenados correctamente? Justifiquen su respuesta.

b) Omar argumentó a la asociación de futbol que su equipo debería estar en

primer lugar, ¿es correcta su solicitud? Expliquen su respuesta.

c) ¿Los Tigres y las Panteras tienen la misma diferencia de goles?

#TIC T@C

d) ¿Qué significa que un equipo tenga una diferencia de 0 goles?

SECUENCIA 4

Visita la página redir.mx/SSPM1-029a, donde encontrarás una situación que requiere del uso de enteros positivos y negativos.

29


5. Ubica en la recta numérica las cantidades que se indican en el si-

guiente planteamiento. Francisco recolecta información de varias estaciones meteorológicas. El lunes pasado recibió los siguientes datos de la estación Nevado de Colima. −5 ºC, 5.5 ºC, 3.2 ºC, 4.5 ºC, −6 ºC, −3.3 ºC, 0.5 ºC, 6 ºC, −0.5 ºC, 1.2 ºC x

−x 0

a) Ordena de menor a mayor las temperaturas; auxíliate con la recta numérica.

b) ¿Qué temperatura fue menor?

¿Y mayor?

¿Cuál fue la variación de temperatura? En la recta numérica, para cada número ubicado a la derecha del 0, existe uno contrario que se localiza a la misma distancia, pero a la izquierda. Para distinguirlos, se denomina positivos a los números que están a la derecha del 0, y negativos a los que se encuentran a su izquierda (a estos últimos se les coloca el signo de menos). x

−x −72

Una estación meteorológica es una instalación destinada a medir y registrar regularmente diversas variables meteorológicas.

−10

0

10

72

MI PROCESO DE APRENDIZAJE 6. Reúnete con un compañero, analicen el planteamiento y respondan

las preguntas. Rodrigo tiene una tarjeta de crédito y recientemente recibió su estado de cuenta, donde aparecen reflejados sus movimientos.

Fecha

Concepto

Depósito/Abono (Pesos)

Saldo (Pesos)

4 400

5 000.00

05 feb

Pago de tarjeta

07 feb

Supermercado

920.00

4 080.00

10 feb

Pizza La Italiana

520.00

3 560.00

12 feb

Gas Comercial

1 250.00

2 310.00

15 feb

Restaurante Natural

750.00

1 560.00

20 feb

Pescadería San Juan

700.00

860.00

27 feb

Papelera 123

1 260.00

−400.00

28 feb

Recargos banco sobregiro

80.00

−480.00

a) ¿Cuánto gastó Rodrigo en compras durante febrero?

#REFLEXIONA

b) El 5 de febrero Rodrigo pagó su tarjeta, por lo que disponía de un saldo

Saldo inicial − Compras = Saldo final

30

Retiro/Cargo (Pesos)

MATEMÁTICAS 1

de $5 000.00. Después de hacer sus compras, ¿cuál es el saldo de su tarjeta al 27 de febrero?


c) El crédito del que dispone Rodrigo en su tarjeta es $5 000.00. Si sus gas-

tos rebasan esa cantidad, el banco le cobra una penalización de $20.00 por cada $100.00. Considerando ese recargo, ¿cuál es el saldo de su tarjeta al 28 de febrero?  d) Cuánto debe pagar Rodrigo en el siguiente ciclo mensual si quiere tener

un saldo disponible de $5 000.00? Considera que ya no compró nada después del 27 de febrero.

#REFLEXIONA Los números positivos y negativos generalmente se asocian con los siguientes verbos. Números positivos: tener, ganar, subir… Números negativos: deber, perder, gastar, prestar, comprar, bajar…

 e) Expliquen por qué en la columna de “Saldo” aparecen cantidades nega-

tivas. ¿Qué significan en el contexto de la situación?  f) Comparen sus respuestas con las de otros equipos; identifiquen a qué se

debió que tuvieran distintas soluciones y cuál es la correcta. 7. Contesta las preguntas.

Diana tiene una recaudería. Esta semana los jitomates llegaron muy maduros y a los pocos días tuvo que desecharlos, lo que ocasionó una pérdida de $2 000.00. Sin embargo, vendió muy bien los aguacates y tuvo una ganancia de $2 000.00.

recaud ería: tie nda o p de verd uesto uras.

a) ¿Qué fue mayor: la ganancia o la pérdida? Explica tu respuesta. b) Si con la ganancia paga la pérdida, ¿con qué cantidad de dinero se que-

dará? Explica tu respuesta. c) Si las ganancias se representan con números positivos y las pérdidas, con

negativos, representa en una recta numérica los datos de esta situación. x

−x 0

d) Compara tus respuestas con otro compañero y después lean la informa-

ción del recuadro. El opuesto de un número es aquel que, al sumarlo, da 0 como resultado. Por ejemplo: el opuesto de −5 es 5. Se cumple que −5 + 5 = 0 8. Lee la siguiente definición y resuelve la actividad.

El valor absoluto de un número se interpreta como la distancia que tiene respecto al 0. Dado que las distancias siempre son positivas, este valor también es positivo. Para indicarlo, se coloca el número entre dos barras verticales; por ejemplo: |​​5|​​= 5 y |​​−5|​​ = 5

#REFLEXIONA Observa en la recta numérica que el opuesto de un número es otro que se encuentra a la misma distancia del 0. distancia = 3 unidades

−3

−2

−1

0

1

2

3

distancia = 3 unidades

a) Calcula el valor absoluto de cada uno. »» |​​ −4|​​ = »» ​​|−2.5|​​ =

SECUENCIA 4

» ​​|20|​​ =

| 4|

3 » ​​ 1​ __  ​​​ =

» |​​ −1 050|​​ =

» » ​ |0|​​ =

31


MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS 9. Lee el enunciado y contesta lo que se pide.

Iván tiene una pequeña granja de pollos. Para llevar un control de sus finanzas, registra en una tabla los ingresos (venta de huevo y de pollo) y gastos (pago de luz, agua, vacunas y salarios). a) Obtén el balance semanal; sigue el ejemplo.

#REFLEXIONA

Semana

Ingresos (+) / gastos (−)

Balance semanal

1

+500, −150, −1 200, −45, +75

−820

2

+40, −30, +450, +700, −200, −15, +450, +500

3

+500, −400, −200, +1 403, −403, −234, −212, +700

4

−340, +280, −450, −340, −650, +1 200, +1 400, +2 300

5

−300, −500, −245, −349, +500, −650, −730

¿Es lo mismo sumar −3 y −2, que −2 y −3? Observa que la suma es conmutativa, es decir, los sumandos pueden aparecer en cualquier orden y el resultado es el mismo: (−3) + (−2) = (−2) + (−3) = −5.

b) ¿Qué significa que el balance semanal sea una cantidad negativa?

#DATO



Al sumar números negativos se usan paréntesis para evitar que los signos queden juntos.

c) ¿En qué semana se obtuvieron las mayores ganancias?



En el caso de los números positivos, no es necesario utilizar el signo +.

d) ¿En qué semana se tuvieron las mayores pérdidas?

 El balance de la primera semana se puede plantear como la siguiente suma: 500 + (−150) + (−1 200) + (−45) + 75 = −820 e) En la sexta semana, Iván registró 500, −120, −80, +340, −50, −158. Exprésalo como una suma y obtén su balance semanal.  •• Al sumar dos números del mismo signo, se suman los valores absolutos de

#BITÁCORA Resuelve los problemas correspondientes a esta secuencia en la página 235.

32

ambos, y el resultado conserva el mismo signo. Por ejemplo, (−3) + (−2), se obtienen los valores absolutos y se suman: |​​ −3|​​= 3 y |​​−2|​​= 2 , entonces 3 + 2 = 5. El resultado conserva el signo de los sumandos: −5. •• Al sumar dos números de distinto signo, el valor absoluto del mayor se le resta el valor absoluto del menor y el resultado tiene el signo del número con mayor valor absoluto. Por ejemplo: en la suma 3 + (−10), se obtienen los valores absolutos |​​ +3|​​ = 3 y |​​−10|​​= 10 y se resta el mayor menos el menor, 10 − 3 = 7. El resultado conserva el signo del número con mayor valor absoluto: −7.

MATEMÁTICAS 1


10. Lee el siguiente procedimiento.

#REFLEXIONA Una forma de interpretar −(−b) es considerar que el primer signo menos indica el opuesto de −b. Por ejemplo, −(−3) = 3 y −(3) = −3. 11. Lee la información del recuadro y después haz lo que se pide.

Observa que el signo menos (−) se usa para señalar que un número es negativo o para indicar una resta.

a) Obtén el opuesto de cada número y completa la operación como se

muestra en el ejemplo: » −(−5) = +5 , porque −5 + 5 = 0 » −(7) =

» −(4) =

, porque

» −(−8) =

, porque

» −(−1) =

, porque

, porque

b) ¿Esta propiedad funciona para todos los números? Propón tres ejemplos

en tu cuaderno. 12. Completa la tabla.

p

q

r

p−q

p+q+r

−1

−2

2

−1 − (−2) = 1

−1 + (−2) + 2 = −1

−2

−3

10

4

−3

−1

−10

0

1 __ 2

−40

−2

−17

−3

3

0

#DATO El signo menos (−) antes de los años indica que nació antes de Cristo. Cuando no lleva signo, el año es positivo; es decir, corresponde a nuestra era.

13. En parejas, completen la tabla y averigüen cuántos años vivió cada

personaje. Año Año en que en que nació murió

Personaje

Actividad

Pitágoras

Matemático griego

−582

−507

Cleopatra

Reina egipcia

−69

−30

Ovidio

Poeta romano

−43

17

Dionisio

Historiador griego

−60

7

Diferencia

Años que vivió

−507 − (−582)

a) Tracen una línea de tiempo en su cuaderno y representen estos datos. b) Comparen sus respuestas con las de otros compañeros. Corrijan cuando

sea necesario. 14. Organiza con tu grupo una lluvia de ideas para identificar las si-

tuaciones cotidianas en las que se emplean los números negativos. Escriban una conclusión sobre su uso.

SECUENCIA 4

#CONTEXTO

En Verkhoyansk, Rusia, se registró una temperatura mínima de −52 °C en diciembre de 2009, y durante el verano de ese mismo año se alcanzó una máxima de 30 °C. ¿Cuál es la diferencia entre ambas?

33


EXPERIMENTA Números decimales y hoja de cálculo a) Abre una hoja de cálculo y nombra las columnas como se muestra.

b) Escribe el numerador y el denominador de las siguientes fracciones en las

columnas correspondientes. _1_ __ 4

_1_ __ 6

_2_ __ 7

_4_ __ 5

3 ___ 10

_7_ __ 8

_8_ __ 9

_5_ __ 3

2 ___ 13

5 ___ 17

c) Para convertir una fracción en decimal, se calcula el cociente del nume nume-

rador entre el denominador. En la columna “Decimal” escribe la fórmula “=Numerador/Denominador”. En la imagen se usaron los valores de las celdas de la primera fila: “=A2/B2”.

d) Analiza qué números son decimales exactos y cuáles son periódicos. Fíjate

en cuántas cifras decimales se muestran. e) Cambia varias veces el número de cifras significativas de los números decimales. Selecciona una o varias celdas

Elige el menú “Formato/Celdas”

En la ventana emergente selecciona “Número” y cambia el valor de las posiciones decimales.

» ¿Qué sucede cuando se selecciona 12, 20, 25…? » ¿Con cuántas posiciones decimales permite trabajar la hoja de cálculo? » ¿Notas algo inusual? Comenta con tus compañeros qué es. » Si es necesario, corrige la respuesta del inciso d). f) En la ventana “Formato de celdas”, explora las opciones de “Fracción”.

Selecciona la alternativa adecuada para las columnas “Fracción” y “Fracción decimal”. g) En grupo, comenten sus observaciones acerca de esta actividad y escriban una conclusión en la que mencionen, entre otros aspectos: » cuántas posiciones decimales son necesarias para identificar el periodo de un número decimal; » cómo se aproxima un número decimal periódico a décimos o a milésimos.

34

MATEMÁTICAS 1


Inventario de conductas que intervienen en mi proceso de aprendizaje Descripción: con esta actividad reconocerás algunas conductas y activida-

des que empleas para aprender por cuenta propia. Además, determinarás cuáles están entre tus fortalezas y cuáles podrías integrar a tu proceso de aprendizaje. El ser humano aprende mejor y más rápido mediante el juego. En trabajos de alto riesgo —como la medicina o la industria aeroespacial, en los que es vital aprender rápida y efectivamente para evitar resultados desastrosos—, las personas aprenden experimentando, tomando riesgos y equivocándose al intentar una y otra vez superar desafíos en una especie de videojuegos llamados simuladores. Si un juego de video ha atrapado tu atención, seguramente sabes que, cuando juegas, eres capaz de afrontar desafíos, tomar decisiones para completar una hazaña, analizar una falla y reforzar una idea para alcanzar el objetivo más rápido o con un menor costo. El objetivo alcanzado no es más que el resultado de todo un proceso de aprendizaje. ¿Sabes qué actividades y conductas tienen lugar en este proceso y con qué frecuencia las usas? Estrategia: escribe el número 1 en la columna de la respuesta que sea más adecuada para ti.

Conductas y actividades que llevo a cabo

Nunca

Con poca Con mucha frecuencia frecuencia

Siempre

1. Afronto desafíos. 2. Exploro y experimento con varios procedimientos o estrategias. 3. Me permito equivocarme las veces que sea necesario. 4. Identifico las mejores rutas y herramientas. 5. Uso el conocimiento sobre las mejores rutas y herramientas para resolver el problema. 6. Uso el conocimiento que ya tengo para construir nuevo. 7. Comparto mis estrategias con otros, busco información y pido ayuda. 8. Invito a otros a resolver los desafíos conmigo. 9. Si completo un desafío, procuro resolverlo otra vez para volverme un experto. 10. Si completo un desafío, intento uno nuevo y distinto. Suma los números 1 por columna y anota el resultado. Resultado: escribe en tu cuaderno una conclusión acerca de las siguientes preguntas: “¿Qué cualidades nuevas conociste sobre ti?, ¿cómo puedes usar este conocimiento sobre ti mismo y sobre tus herramientas para alcanzar tus objetivos de aprendizaje?”. Recuerda que tú eres el principal responsable de tu aprendizaje y mientras más te conozcas, más fácilmente identificarás las estrategias que te ayudarán a lograrlo.

35


SECUENCIA SECUENCIA00 5

Ángulos y rectas

MIS PRIMERAS IDEAS En la casa de Denise hay un patio rectangular. Con motivo de las posadas, su papá colocó una serie de luces de colores, como se muestra en la figura 1. Serie

Patio

Figura 1 1. Analiza la figura 1 y contesta las preguntas. a) ¿Qué polígonos se formaron y cómo son entre sí?

 b) ¿Es perpendicular la recta que representa la serie de luces respecto a los

lados azules del patio?  c) ¿Cuántos ángulos se formaron entre la recta roja y las azules?  d) Marca en la figura 1 los ángulos que se formaron. Usa tu transportador y

mide los ángulos que marcaste. e) ¿Qué relación encuentras entre las medidas de los ángulos que acabas de

medir?  f) En la figura 1, marca con una misma letra minúscula los ángulos que tie-

nen igual medida. 2. Reúnete con un compañero. Efectúen lo que se pide y contesten las

preguntas. Observen que la figura 2 consta de dos segmentos paralelos cruzados por otro segmento.

E B A D C

F

Figura 2

a) Midan la distancia del punto A al punto C, y luego la del punto B

al punto D. b) ¿Cómo son entre sí las distancias AC y BD?  _ _

c) ¿Cómo son entre sí los segmentos AB​​ ​​  y ​​ CD​​ , de acuerdo con la distancia

entre ellos? #DATO



AB indica el segmento que va del punto A al punto C.

d) A la recta que pasa por los puntos E y F se le llama transversal de los

_ _ . ¿Cómo definen transversal? segmentos AB​​ ​​  y ​​CD​​ 

 e) Comenten su respuesta con el grupo, y entre todos redacten, en su cua-

derno, una definición.

36

MATEMÁTICAS 1


MI PROCESO DE APRENDIZAJE 3. En equipo, observen la figura 3. Lean, analicen y discutan las afirma-

E

ciones de los recuadros para contestar lo que se pide. A

En un par de líneas paralelas cortadas por una transversal, los ángulos opuestos por el vértice son parejas de ángulos que comparten un vértice, y los lados de uno son prolongación de los lados del otro. La medida de los ángulos opuestos por el vértice es la misma.

B

1

2 3

4

6 7

C

5

Figura 3

D

8 F

a) Escriban las cuatro parejas de ángulos opuestos por el vértice de la fi-

gura 3.

En un par de líneas paralelas cortadas por una transversal, los ángulos adyacentes son las parejas de ángulos que comparten un vértice y un lado. La suma de los ángulos adyacentes es igual a 180°. b) Escriban las ocho parejas de ángulos adyacentes de la figura 3.

En un par de líneas paralelas cortadas por una transversal, los ángulos alternos internos son parejas de ángulos que se encuentran entre las paralelas y los lados opuestos de la transversal; no comparten vértice, pero sí un lado, y tienen la misma medida.

ngulo. indica á ifica ∠ lo o El símb lo, ∠1 sign mp Por eje ”. 1 lo u “áng

# D AT O

Cuando se menciona una pareja de ángulos, n o importa e l orden; es dec ∠1 y ∠2 es lo mism ir, o que ∠2 y ∠1 .

c) Escriban las dos parejas de ángulos alternos internos.

En un par de líneas paralelas cortadas por una transversal, los ángulos alternos externos son parejas de ángulos que se encuentran fuera de las paralelas y de los lados opuestos de la transversal; no comparten vértice, pero tienen la misma medida. d) Escriban las dos parejas de ángulos alternos externos.

En un par de líneas paralelas cortadas por una transversal, las parejas de ángulos correspondientes están del mismo lado de la transversal; no comparten vértice, pero tienen la misma medida. e) Escriban las cuatro parejas de ángulos correspondientes.

f) Compartan sus respuestas con el grupo. Aprovechen esta oportunidad

para expresar sus dudas sobre las características de cada ángulo dado.

SECUENCIA 5

#PROTAGONISTA ¿Cuando tienes dudas sobre una actividad o un resultado, ¿qué sueles hacer? ¿Preguntar a un compañero? ¿Consultar al profesor? ¿Investigar por tu cuenta? Identifica cuál es tu estilo para aprender y aprovecha las oportunidades de trabajar en grupo para resolver tus dudas.

37


4. Deduce las medidas de los ángulos restantes de la figura 4 y comple-

ta las tablas de acuerdo con las características mencionadas. B C

F

2 6 3 5

Ángulo

1

∠2

∠3

∠4

∠5

∠6

∠7

∠8

Medida

7 4 8 = 114º E

∠1

Ángulo

A D

Medida

Figura 4

114º

Nombre

Parejas de ángulos ∠1 y ∠3, ∠2 y ∠4, ∠5 y ∠7, ∠6 y ∠8

ángulos alternos internos

ángulos correspondientes

ángulos adyacentes

MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS 5. Analiza la figura y contesta las preguntas en tu cuaderno.

En la figura 5 se muestra un mapa en el que se trazaron tres segmentos, de tal forma que sus intersecciones forman los vértices de un polígono. e f

a

b h

d

c

g j

k

l

Figura 5

#FUENTE Busca el cuento Los sueños en la casa de la bruja del escritor estadounidense H. P. Lovecraft. Los ángulos y los pasos entre dimensiones son el marco para un gran relato de terror.

38

i

MATEMÁTICAS 1

a) ¿Qué polígono se forma? b) ¿Qué ángulos están dentro del polígono? c) ¿Cuánto suman los ángulos b y c, e y h, y j e i? d) Identifica dos ángulos opuestos. e) Con la ayuda del profesor, revisen sus respuestas. Validen los resultados

y después lean la información del recuadro.


Un ángulo interno o interior se forma dentro del polígono, con dos lados consecutivos.

Ángulo interior

Un ángulo externo o exterior se forma fuera del polígono, con un lado y la prolongación del lado consecutivo.

Ángulo exterior

6. Reúnete con un compañero. Sigan las instrucciones y contesten las

A

preguntas.

B

a) Tracen un triángulo en una hoja. No importa el tipo de triángulo. C

b) Nombren los vértices de su triángulo. c) Recorten el triángulo. Luego córtenlo en tres partes, de manera que en

cada una quede un ángulo de los indicados. Posteriormente, peguen los pedazos en su cuaderno; hagan coincidir los vértices de los ángulos, como se muestra en las figuras 6 y 7. d) ¿Qué tipo de ángulo formaron los tres ángulos internos del triángulo?

Figura 6 B C

A

Figura 7 e) ¿Cuánto suman los ángulos internos de su triángulo? f) Comparen sus respuestas con las de sus compañeros. Redacten, en su

cuaderno, una conclusión. 7. Reúnete con dos compañeros. Observen la figura 8. Lean, analicen

#BITÁCORA

y respondan las preguntas. Por último, justifiquen sus respuestas. Figura 8

B

D

1

E

2

A

Resuelve la actividad de la página 235.

C

_

_

a) Si el segmento DE es paralelo al lado AC del triángulo, entonces… » ¿a qué ángulo es igual el ángulo A? » ¿a qué ángulo es igual el ángulo C?

#CONTEXTO

» ¿cuánto mide el ángulo B? » ¿a qué es igual la suma del ángulo 1, el ángulo 2 y el ángulo B? » ¿a qué es igual la suma del ángulo A, el ángulo B y el ángulo C? b) ¿Es posible generalizar el resultado para cualquier triángulo? Lleguen a

un consenso y redacten un enunciado: “La suma de los ángulos....”.

c) Revisen sus respuestas con ayuda de su profesor y validen los resultados. 8. En grupo y con ayuda del profesor, analicen el uso de los ángulos en

la vida cotidiana. Redacten, en su cuaderno, dos situaciones breves que lo ejemplifiquen.

SECUENCIA 5

Existen muchas estructuras formadas por triángulos unidos entre sí, lo que les otorga rigidez. Averigua a qué se debe este fenómeno. Busca ejemplos donde se usen estas estructuras en tu localidad.

39


SECUENCIA00 6 SECUENCIA

Resolución de problemas con números con signo

MIS PRIMERAS IDEAS Los alumnos de Artes Plásticas hicieron una investigación sobre el movimiento constructivista. Artistas como John Ernest o Anthony Hill son representantes de este movimiento, que manifiesta un profundo interés por la geometría y los números. En algunas obras se aprecia el equilibro, la complementariedad, el orden, y es posible observar sucesiones o patrones. Inspirados en este movimiento, los alumnos hicieron sus creaciones, como la de la figura 1. Figura 1

1. Trabaja en pareja. Si consideramos un cuadro azul como negativo y

un cuadro blanco como positivo, entonces se anulan y el resultado es 0, que en este contexto representaría el equilibrio. a) En el cuadro de la figura 2, ¿qué números se suman para obtener 0?

Escribe y resuelve la operación. b) Expresa la operación que representan las figuras. 

+

=

c) A partir de la operación anterior podemos establecer la igualdad Figura 2

= y usarla para representar una operación:

−1

=

le quito

obtengo

(−2)

=

+1

d) Observa que las operaciones con figuras y las operaciones con números

conducen al mismo resultado. Analiza cómo se representa el −1 con las figuras y describe, en tu cuaderno, cuál es el sentido de las operaciones con figuras.    e) Para las siguientes figuras, dibuja su resultado y escribe su operación.

=

Operación: −

=

Operación: − Operación:

40

MATEMÁTICAS 1

=


f) Obtén el resultado de cada operación y dibuja los cuadros azules y blan-

cos para representarla. »» 4 + (−2) =

»» −4 − (−2) =

»» 2 − (−1) =

MI PROCESO DE APRENDIZAJE 2. Lleven a cabo la actividad.

Antonio y Joaquín juegan serpientes y escaleras. Para hacer el juego más interesante, usan dos dados de seis caras: uno azul, que representa los números 1 al 6, y otro rojo, que representa los números −6 al −1. Al lanzar los dados, los puntos se suman para determinar las casillas que moverá cada jugador. Si el resultado es un número negativo, se retrocede; y si es positivo, se avanza. a) En la primera tirada, Joaquín obtuvo un 6 en el dado azul y un 3 en el rojo.

¿Cuántas casillas avanza o retrocede?  b) En su turno, Antonio obtiene un par de cuatros. ¿Cuántos lugares debe

avanzar?  c) ¿Cuál es la combinación de puntos que se debe obtener para avanzar el

mayor número de casillas?  d) Al tirar los dados, ¿qué combinación de puntos hace retroceder el máxi-

mo número de casillas?  e) ¿Cuáles son los casos en que el jugador se queda en su casilla?

 f) Como el juego avanzaba muy lento, Antonio propuso agregar otro dado

azul. En su siguiente tirada obtuvo 4, 5 y −6. ¿Cuántas casillas debe avanzar o retroceder?  g) Consigan un tablero de este juego y pinten los dados con azul y rojo.

Organicen varias partidas con otros compañeros.

SECUENCIA 6

#TIC T@C Busca en línea un tablero de serpientes y escaleras que puedas imprimir. Te sugerimos seleccionar la opción “Imágenes” en el buscador que emplees.

41


Pague antes de

Lugar de expedición Morelos 123, colonia Hidalgo C. P. 34958 Ciudad Lagos México

1 de septiembre de 2018 Saldo por pagar en ventanilla Fecha de corte: 31 de agosto de 2018 Núm. de cuenta: 003949554

3. Lee el siguiente planteamiento y responde las

preguntas. Eduardo contrató un plan para su teléfono celular. Al final de mes, el costo del servicio se refleja en su estado de cuenta. a) Este mes, en su estado de cuenta se indica que el

total del servicio (sin IVA) fue de $565.00. Sin embargo, Eduardo duda si es correcta la cantidad. Verifica y explica tus hallazgos.

Resumen del estado de cuenta Movimientos del mes Saldo anterior 401.55 Pago -402.00 Total saldo anterior $0.00 Resumen de movimientos y servicios contratados Servicio de telecomunicaciones Datos de internet (MB) Redes sociales SMS incluidos Consultas a buzón de voz Bonificación por equipo Falla de sistema (12 de agosto) Promoción de llamadas nocturnas Enlace a llamadas internacionales Excedente de pago mensual anterior Excedente de llamadas mensuales Excedente por datos mensuales Bonificación por cliente preferencial

250.00 50.55 0.00 25.00 18.28 −101.34 −64.34 −33.23 22.34 −0.45 78.04 123.44 −33.02

  b) ¿Cuál es la cantidad total de bonificaciones, des-

cuentos y abonos que recibió?  c) ¿Cuál es la cantidad total de gastos, contratos y

servicios contratados?  d) Ejemplifica, en tu cuaderno, otras situaciones re-

Saldo total $565.00

lacionadas con los estados de cuenta, en las que se empleen números positivos y negativos.

4. Reúnete con dos compañeros y respondan las preguntas.

Eugenio fue al rally de Guanajuato, donde participaron diez corredores en la categoría de autos ligeros. Esta carrera consiste en tres etapas; el tiempo obtenido por el ganador de la primera etapa sirve como referencia para establecer la diferencia de tiempo en la segunda etapa.

rtiva ia depo petenc m tas o c : tocicle rally es o mo il v ó m entes de auto n difer lebra e e c e s . que reteras s y car o in m a c

42

a) En la primera etapa el ganador fue el piloto Larios (La) con un tiempo de

6:18.3 (se lee “6 minutos, 18.3 segundos”). Con esta información, completa la siguiente tabla, que corresponde a la segunda etapa.

Piloto

Tiempo de la 2ª etapa

Diferencia con el competidor anterior

Diferencia con el primer lugar de la 2ª etapa

Diferencia con el primer lugar de la 1ª etapa

Guerra (G)

6:15.4

0

−2.9

Pérez (P)

6:15.6

+0.2

+0.2

−2.7

López (L)

6:16.7

+1.1

Juárez (J)

6:16.9

Larios (La)

6:17.3

Aguilar (A)

6:17.5

Molina (M)

6:17.9

Bolaños (B)

6:18.1

Solano (S)

6:18.3

Quiroz (Q)

6:18.5

MATEMÁTICAS 1


b) Para elaborar la tabla de posiciones de la segunda etapa, hay que considerar

las penalizaciones y el tiempo adjudicado, el cual se indica en la tabla. Incidencia

Pilotos

Sanción (segundos)

Una salida en falso

G/P/L/B/S

Se agregan 10 s.

Dos salidas en falso

La / A / M / Q

Se agregan 20 s.

Salirse del camino

P (4 veces) / L (1 vez) / La (2 veces) / M (1 vez) / B (3 veces) / Q (1 vez)

Se agregan 10 s por salida del camino.

Recoger banderines (b) en el camino

G (3 b) / P (2 b) / L (3 b) / J (3 b) / La (2 b) / A (3 b) / M (3 b) / B (1 b) / S (2 b) / Q (0 b)

Se quitan 10 s por banderín.

c) Con esta información, escribe en tu cuaderno la tabla de posiciones de la

segunda etapa, comenzando por el primer lugar. d) ¿Cuál es el tiempo de diferencia del ganador de la segunda etapa respec-

to al ganador de la primera etapa?

e) En el contexto de este problema, explica cuál es el sentido o significado

de los números positivos y negativos.

#BITÁCORA Resuelve la actividad de esta secuencia en la página 235.

MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS 5. Lee los siguientes problemas; plantea las operaciones y su resultado

en tu cuaderno. a) Un buzo trabaja en una plataforma petrolera haciendo reparaciones a las

estructuras sumergidas. 3 » Inicia su recorrido a 0 metros sobre el nivel del mar (msnm); baja 18 __ m 4 1 __ para llegar a su equipo de trabajo; desciende 5 2   m más para revisar 1  m para reparar una tubería. En ese momento, un soporte, y sube 10 __ 4 ¿a cuántos metros se encuentra? » Al día siguiente baja 19 m del nivel del mar para soldar una pieza;

#CONTEXTO

4 m para instalar un sensor térmico, y desciende 8 __ 1  m después, sube 4 __ 5 4 más para fijar una polea. ¿A cuántos metros se encuentra?

b) En una estación meteorológica se lanza un globo hacia la estratosfera a

40 km del nivel del mar para estudiar la variación de temperatura. » En la explanada del laboratorio se hace el primer registro, que resulta ser de 36 ºC; a los 10 km se registra un descenso de 72 ºC. ¿Cuál es la temperatura a esa altitud? » A los 18 km se registra una temperatura de −72 ºC. ¿Cuántos grados disminuyó desde la lectura anterior a los 10 km? 6. Organicen una competencia de cálculo mental de sumas y restas de

números enteros. De forma grupal, comenten cuál es la mejor estrategia para resolver operaciones con estos números.

SECUENCIA 6

Hasta fines del siglo XVIII los números negativos no eran aceptados universalmente; incluso hubo matemáticos que procuraron demostrar que su existencia era imposible. Investiga más sobre su historia. Busca noticias en el periódico donde se empleen cotidianamente.

43


SECUENCIA 7

Multiplicaciones con números fraccionarios y decimales

MIS PRIMERAS IDEAS

a mpaña que aco o t e ll o e f t en cto: pecialm prospe ctos, es u su d o r p explica ciertos que se l e cétera. n e e , as pleo, t m e e medicin d odo nal ernacio ición, m ma Int e compos t is S l l idad de otencia volt: un ide el p m e u q triz ades ctromo de Unid erza ele u f la , o eléctric ctrica. sión elé n e y la t

En la escuela varios alumnos y profesores tenían tos, y el médico de la enfermería les recetó un jarabe. En su prospecto indicaba que, al día, debían tomar máximo una cucharada (15 mL) por cada 25 kg de peso. 1. Responde las preguntas. a) De acuerdo con su peso, el profesor Toño debe tomar tres cucharadas. ¿A

cuántos mililitros equivalen? mente, el profesor?

¿Cuánto pesa, aproximada-

b) A Lupe le indicaron tomar la mitad de una cucharada. ¿Cuántos mililitros

tomó?  c) ¿Cuántos mililitros tomó Lupe después de 5 días?  2 ​​de cucharada de jarabe. ¿Cuántos mililitros d) A Pablo le indicaron tomar ​​ __

tomó? 

3

e) Describe el procedimiento o pasos que seguiste para obtener el resultado

anterior.  f) El médico indicó a Rodrigo que el primer día tomara una cucharada de 1 ​​; y el cuarto día, solo __ ​​ 41 ​​. ¿Cuántos jarabe; el segundo día, __ ​​ 34 ​​; el tercero, ​​ __ 2 mililitros tomó en total?

#PROTAGONISTA Una pila arrojada a la basura contamina grandes cantidades de agua. Las pilas se consideran una fuente de materias primas secundarias. Por ejemplo, entre los metales se pueden recuperar el níquel, el cobalto y la plata. ¿Cómo contribuyes al reciclaje de pilas? ¿Existe algún programa en tu localidad para reciclarlas?

 2. Resuelve los problemas. a) Raúl tiene un juguete de control remoto que funciona con cuatro pilas AA

de 1.5 volts cada una. ¿Cuántos volts requiere el juguete?  b) El papá de Raúl optó por comprar baterías recargables de litio, con el pro-

pósito de ahorrar dinero y disminuir el impacto ecológico. En la etiqueta se indica que cada pila suministra 3.7 volts. ¿Cuántos volts se obtienen de cuatro pilas?  c) Otro tipo de baterías recargables son las de níquel-metal hidruro, que pro-

porcionan 1.25 volts. ¿Cuántos volts se obtienen de cuatro pilas?  3. En parejas, contesten las preguntas.

#DATO De acuerdo con la Organización Mundial de la Salud (oms), el consumo de azúcares libres debería ser menor a 10% de la ingesta calórica total de un adulto; es decir, debería ser menor a 50 g.

Jesús compró 1 L de jugo procesado. En la información nutrimental se indica que cada porción de 0.1 L aporta 0.34 g de proteínas. a) ¿Cuántas proteínas aportan 3.5 porciones?

¿Y 7 porciones?

b) ¿Cuántos gramos de proteína hay en 0.65 L?  c) El mismo envase indica que en cada porción hay 7.9 g de azúcares.

¿Cuántas porciones se pueden consumir al día para no exceder el máximo de 50 g que recomienda la OMS? 

44

MATEMÁTICAS 1


4. Elijan una de las actividades anteriores y redacten, en su cuaderno,

dodecá gono: p olígono que tie ne doce lados.

sus procedimientos. Notarán que han trabajado con la multiplicación de diferentes tipos de números. ¿Qué números son? ¿Hay elementos comunes en sus procedimientos?

MI PROCESO DE APRENDIZAJE 5. Calculen el área indicada en cada figura. Observen que se han divi-

dido y subdividido en partes iguales. Consideren que cada figura es una unidad y completen las frases, como en el ejemplo. La sección rosa

La sección verde es

​​ __25 ​​

de

y su área es

__ ​​  14 ​​

es

___ ​​  1  ​​  10

de y su área es

del rectángulo.

del cuadrado.

La superficie violeta

El triángulo azul

es

es

de y su área es

de y su área es

del dodecágono.

del triángulo grande.

El triángulo rojo

La sección gris es

es

de

de y su área es

y su área

del pentágono.

del círculo.

6. Lee el siguiente planteamiento y responde las preguntas.

Regina cultiva sus vegetales en una hortaliza de forma cuadrangular, de 1 m  ×  1  m. Primero la dividió en cinco partes iguales, luego dividió una de esas franjas en cuatro partes iguales y en tres de ellas sembrará tomates, como se muestra en el esquema. a) Anota en el esquema las medidas

del área sombreada.

b) ¿Cuál es el área destinada para

sembrar tomates? 

#REFLEXIONA m

m

Una fracción de otra cantidad se puede representar por medio de una multiplicación. Por ejemplo, tres quintas partes de 15 se calcula así: __ ​​ 35 ​​× 15 = 9.

SECUENCIA 7

¿Existe una única forma de resolver __ ​​  35 ​​× 15? Observa que puedes dividir 15 en 5 partes y multiplicar el resultado por 3. O bien, multiplicar 15 por 3 y dividir el resultado entre 5. Efectúa las operaciones y comprueba si ambas son válidas.

45


7. En equipo, lean cada situación y respondan las preguntas en su

cuaderno. Describan sus procedimientos. a) Ignacio también tiene una hortaliza, la cual mide 2 m × 1 m. Dividió la

parcela en seis partes iguales; dividió una de esas secciones en cuatro partes iguales, y en dos de ellas quiere sembrar lechugas. Como se avecina el temporal de lluvias, necesita colocar una cubierta de plástico. »» Dibujen un esquema de la parcela y sus divisiones; señalen la superficie

que destinará a las lechugas. »» ¿Cuánto plástico necesita para cubrir el área destinada a las lechugas? b) Eusebio quiere sembrar tomates en una tercera parte de la sexta parte de

su terreno. »» Dibujen la superficie con las divisiones señaladas y coloreen la superficie

donde sembrará tomates. »» ¿Qué fracción del terreno destinará a los jitomates? c) Comparen sus respuestas y las estrategias empleadas. Con ayuda del pro-

#PROTAGONISTA

fesor, resuelvan las dudas.

Cuando no puedas resolver un problema de primera intención, prueba con otros casos más sencillos. Por ejemplo, aquí podrías calcular las dimensiones de una fotografía del doble o de la mitad del tamaño de la original, analizar la estrategia y después “identificar” el factor _​​ ba ​​

8. Reúnete con un compañero y respondan las preguntas.

Carmen trabaja en un estudio fotográfico que hace ampliaciones o reducciones. a) Una fotografía tamaño postal tiene dimensiones de 4 × 6 pulgadas. Un

cliente ha solicitado una réplica __ ​​ 34 ​​más pequeña. ¿Cuánto debe medir la nueva fotografía?   b) Expliquen el procedimiento que utilizaron para resolver el problema.

 Para multiplicar dos fracciones, se multiplican los numeradores entre sí, y los denominadores entre sí.

#REFLEXIONA Al multiplicar dos fracciones, también se puede identificar la relación de partes de otra cantidad; por ejemplo, tres quintos de dos sextos, __ ​​ 35 ​​ de __ ​​  26 ​​.

Para un entero y una fracción, a y ​​ __c  ​​ respectivamente, donde d ≠ 0, se tiene

El resultado es un producto que se representa como __ ​​ 35 ​​ × __ ​​  26 ​​.

​​  a × c  . ​​ que a × __ ​​  c ​​ = ____ d d

​​  c  ​​, con denominadores diferentes de 0 (b ≠ 0 y d ≠ 0), Para las fracciones __ ​​  a ​​ y __ b

d

​​  c ​​ = _____ ​​  a × c   ​​.  ​​ __a ​​ × __ b d b×d d

9. Reúnete con dos compañeros y respondan los planteamientos.

Francisca atiende el departamento de repostería en una tienda de autoservicio. La especialidad son los pasteles, que vende en rebanada o media rebanada. a) Para facilitar el cobro, elaboró una tabla; complétenla.

Tamaño (rebanadas) Costo (pesos)

46

1 ​​ ​​ __ 2

1 12.5

MATEMÁTICAS 1

1​__ ​  1 ​​ 2

2

2​__ ​  1 ​​ 2

3

3​__ ​  1 ​​ 2

4

4​__ ​  1 ​​ 2

5


b) ¿Cuál es el precio de un pastel completo de ocho rebanadas?  c) Si Beto compra __ ​​ 3 ​​de pastel, ¿cuánto pagará?  4

d) Contrasta con tus compañeros tu procedimiento o estrategia para com-

pletar la tabla. 10. Trabajen en equipo y respondan los siguientes planteamientos.

Una cámara digital puede capturar fotografías de diferente calidad según el número de pixeles o megapixeles que contiene. a) Completen la tabla y escriban su resultado usando dos cifras decimales.

Dimensiones de la imagen en megapixeles

Calidad en megapixeles

0.800 × 0.600

0.48

pixel: u

nidad m ás pequ forma eña qu parte d e e u na ima megap gen dig ixel: un ital. millón de pixe les.

0.320 × 0.240 0.040 × 0.200 0.720 × 0.360 1.280 × 0.800 1.920 × 1.080 b) Investiguen el tamaño en megapixeles que tienen las pantallas de diferen-

tes celulares o tabletas. Presenten un reporte a su grupo. c) Comparen con otros equipos las estrategias para multiplicar que emplea-

ron para resolver los incisos anteriores. Registren sus dudas y comenten de manera grupal cómo resolverlas. Después lean la información del recuadro. Para multiplicar dos números decimales se efectúa la operación sin que se considere el punto decimal de cada factor. En el resultado, se cuenta de derecha a izquierda el número de cifras equivalente a los decimales de los factores y se coloca el punto a la izquierda de la última cifra contada. 11. Contesta las preguntas, pero sin que efectúes las operaciones. a) Al multiplicar 0.034 por 0.2, ¿cuántas cifras decimales tendrá el resultado?

 b) Al multiplicar 0.89 por 0.1, ¿el resultado será mayor o menor que la

unidad?  c) Al multiplicar 1 por 0.8, ¿el resultado será mayor o menor que la unidad?

 d) Al multiplicar 0.1 por 1.1, ¿el resultado será menor o mayor que la unidad?



SECUENCIA 7

#REFLEXIONA Una estrategia para multiplicar es identificar el total de cifras decimales. Estas se retomarán hasta el resultado. Multiplicar 3.14 × 4.5 Tres cifras decimales 2 1 314 × 45 1 570 1 256

14.130 3

Multiplicando Multiplicador Resultados parciales Suma final

Tres cifras decimales

47


12. En equipo, efectúen las multiplicaciones de la actividad anterior y ve-

rifiquen sus estimaciones. Después lean la información del recuadro. Al multiplicar dos números naturales, el producto es mayor que los factores, pero al multiplicar dos números decimales, el resultado puede ser… •• Menor que ambos factores, si estos son menores que 1. •• Mayor que ambos factores, si estos son mayores que 1. •• Un número que se ubica entre ambos factores, si uno de ellos es mayor

que 1 y el otro, menor que 1.

MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS 13. Reúnete con un compañero, escriban una multiplicación que repre-

sente cada enunciado y calculen el producto. a) Dos quintos de tres séptimos.  b) Cuatro quintos de tres cuartos. 

#BITÁCORA

c) Un tercio de dos sextos. 

Ve a la página 236 y resuelve la actividad de esta secuencia.

d) Dos sextos de un tercio.  e) Un décimo de un quinto.  14. Resuelve los siguientes problemas. a) Toño es deportista y el fin de semana participó en un medio maratón; sin

embargo, al llegar a los __ ​​ 32 ​​del recorrido tuvo que salir. ¿Qué distancia de un maratón completo logró correr?  b) Mariana tiene un carrito de mandado que le permite transportar máxi-

mo 10 kg. En un supermercado, una bolsa de manzanas empacadas 1 ​​ kg. ¿Podrá cargar 4​​ __ 1 ​​bolsas? Explica por qué. pesa 2​​ __ 2 2  c) Un reloj de manecillas no funciona adecuadamente, pues se adelanta __ ​​  31 ​​min cada hora. ¿Cuánto se adelantará en media hora? 

d) El costo de una botella de agua de 600 mL es de $6.00 en promedio.

En cambio, la misma cantidad de agua, proveniente de la red pública de agua potable de la Ciudad de México, cuesta $0.0174. »» ¿Cuánto cuesta un litro de agua de cada tipo?

#PROTAGONISTA La escasez de agua es un problema mundial, y el desperdicio es un problema incluso mayor. ¿Cuánto paga tu familia por el agua?, ¿necesitan comprar pipas?, ¿van por ella a un pozo?, ¿qué acciones llevan a cabo para ahorrarla?

48

MATEMÁTICAS 1

 »» ¿Cuánto cuesta llenar un tinaco de 1 000 L de cada tipo de agua?

 e) Lucero fue a una tienda de telas y desea comprar __ ​​ 1 ​​m de franela de un rollo 2

que mide __ ​​ 43 ​​m de ancho. ¿Qué superficie de tela comprará? 


f) Lucero también comprará dos trozos de tela para confeccionar almoha1 m × 1 m y tiene un costo de $20.00 por m2; das. El primer trozo es de __ 4 1 m × 0.75 m, cuesta $16.00 por m2. ¿Cuánto pagará y y el segundo, de __ 2

qué superficie de tela comprará? 15. En parejas, lean el planteamiento y respondan las preguntas.

El oro de ley es una aleación de oro puro con otros metales, como la plata y el cobre. Para que sea considerado como tal, debe tener al menos 18 quila1 de la aleación. tes. Cada quilate significa ___ 24 a) Expresa en fracción la cantidad mínima de oro puro que debe existir en el

oro de ley. b) ¿Cuál es el peso en oro puro en 36 g de oro de 18 quilates? c) Si una moneda de 14 quilates pesa 20 g, ¿cuánto oro puro tiene? d) La Casa de Moneda tiene en su colección una moneda como la de la

Figura 1

figura 1. ¿Cuál es el peso de oro puro? e) Comprueben sus respuestas en grupo. ¿Siguieron el mismo procedimiento

para responder los incisos b) y c)? ¿Cuál fue la estrategia que emplearon? 16. Calcula mentalmente las operaciones y escribe dentro del paréntesis

V si la frase es verdadera o F si es falsa. a) El producto de 3.2 por 0.9 es menor que 3.2.

( ( (

) ) )

una cantidad mayor que 0.9 y menor que 1.2. (

) )

b) El producto de 1.3 por 1.3 es menor que 1.3. c) El producto de 0.8 por 0.8 es mayor que 0.8. d) El producto de 0.9 por 1.2 es igual a

e) El producto de 1.9 por 0.99 es mayor que 0.99. (

#TIC T@C Visita la página redir.mx/SSPM1-049a para practicar la multiplicación de fracciones.

17. Reúnete con un compañero y resuelvan el problema en su cuaderno.

Un prototipo de automóvil de tecnología híbrida puede recorrer 32.57 km por cada litro de gasolina. 3 a) ¿Cuántos kilómetros recorre con __ L?, ¿y con 0.3 L? 4

b) Elaboren una tabla para indicar los kilómetros recorridos con 5, 10, 15,

#CONTEXTO

20 y 25 litros de gasolina. c) Investiguen el consumo de combustible de otro automóvil y comparen

cuántos kilómetros avanzan con 20 L. d) Investiguen cuánto cuesta 1 L de gasolina y comparen el costo de viajar

1 000 km en ambos autos. 18. Organiza con tu grupo una puesta en común sobre las diferencias

y similitudes entre la multiplicación de números naturales, de decimales y de números fraccionarios. Analicen, por ejemplo, qué sucede en cada caso cuando los factores son menores que la unidad y mayores que 0. Escriban, en su cuaderno, una breve conclusión.

SECUENCIA 7

En el beisbol el infield o “cuadro interior” es un cuadrado de 90 pies de lado. En los vértices se encuentran ubicadas las tres bases y el plato de home. Investiga a cuántos metros equivale un pie. ¿Cuál es la distancia de home a primera base?

49


SECUENCIA SECUENCIA00 8

Promedios I

MIS PRIMERAS IDEAS Una empresa está incursionando en el diseño y elaboración de calzado escolar, y necesita determinar qué tallas de zapato utilizan los estudiantes de secundaria. Elsa, la jefa de producción, visitó una escuela para recopilar esa información; para ello, eligió un grupo de cada grado y registró qué talla de zapatos usaban. Estos fueron los resultados.

¿Cuáles datos serán más confiables: preguntar a los alumnos su talla de zapato o medirla directamente?

Primer grado (grupo 1)

Segundo grado (grupo 2)

Tercer grado (grupo 3)

25, 20.5, 23, 24.5, 21, 23.5, 22, 24, 21.5, 24, 22, 21, 22.5, 24.5, 22, 21, 22, 21.5, 22.5, 21.5, 22.5, 23, 23.5, 22.5, 23, 23.5, 24, 22.5, 23

22.5, 24, 20.5, 25.5, 23, 21, 22, 25, 24, 22.5, 24.5, 23.5, 21.5, 24, 22, 23.5, 22, 23, 24.5, 25, 22.5, 24.5, 23.5, 23, 24, 23.5, 23, 21.5, 23.5

24, 25, 21, 24.5, 23.5, 22.5, 23, 24, 24.5, 21.5, 23.5, 25, 25, 25.5, 24.5, 26, 23, 25.5, 21.5, 23.5, 24, 22.5, 22, 23.5, 24, 23, 23.5, 24.5, 23.5

1. Usa la información recopilada por Elsa para resolver lo que te piden. a) Completa la tabla relacionando la talla de zapatos con la cantidad

de estudiantes. Tabla 1. Grupo 1 Talla

20.5

21

21.5

22

22.5

23

23.5

24

24.5

25

Estudiantes b) Elabora, en tu cuaderno, una tabla similar para el grupo 2 (tabla 2) y

otra para el grupo 3 (tabla 3). c) ¿Cuál es la talla que aparece con más frecuencia en cada grupo?

Grupo 1:

Grupo 2:

Grupo 3:

d) ¿Cuántas tallas de zapatos se registraron en el estudio? Escríbelas.

e) Considera la información de los tres grupos. ¿Cuál es la talla de zapato

más pequeña y cuál, la más grande?

f) Considera la información de todos los grupos para completar la tabla 4.

Tabla 4. Todos los grupos Talla Estudiantes g) ¿Cuál es la talla que aparece con más frecuencia en la tabla 4? h) ¿Cuántas veces se repite ese dato? i) En tu cuaderno, traza una gráfica para representar los datos de la tabla 4.

50

MATEMÁTICAS 1


2. En parejas, respondan las preguntas; auxíliense con la gráfica que

elaboraron. a) Elsa formuló la siguiente conclusión: “Si nuestra empresa vendiera za-

patos a esta escuela, las tallas que más compraría serían 23, 23.5 y 24”. ¿Están de acuerdo con esta afirmación? Justifiquen su respuesta en el cuaderno. b) Cuáles serían las tallas menos vendidas? c) Presenten ante el grupo sus respuestas. Si hay diferencias, discutan sus justificaciones para llegar a un acuerdo, con la guía del profesor.

MI PROCESO DE APRENDIZAJE

#PROTAGONISTA Cuando presenten un trabajo ante el grupo, escriban en una tarjeta las ideas generales que desarrollarán; esto les servirá como guion para su exposición. En este caso es conveniente mostrar la gráfica que elaboraron en su cuaderno, para complementar sus respuestas con una representación visual.

3. Contesta lo que se pide. a) Considera las tallas registradas por Elsa y ordena los datos del menor

al mayor. Grupo 1:   Grupo 2:   Grupo 3:   b) ¿Qué dato queda exactamente en el centro de cada lista?

Grupo 1:

Grupo 2:

Grupo 3:

c) Reúnete con un compañero. Consideren los datos de todos los grupos

y propongan una estrategia para obtener el valor que se encuentra a la mitad de la lista. ¿Cuál es ese valor?  d) Lee, en grupo y con ayuda del profesor, la siguiente información.

Relaciónala con las actividades anteriores. Por ejemplo, ¿cuál es el valor obtenido en el inciso c)? La moda es el valor que aparece un mayor número de veces en un conjunto de datos. La mediana es el número que se localiza en el centro de un conjunto de datos ordenados del mayor al menor o viceversa. Por ejemplo, en el siguiente conjunto de datos… 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6 y 7 la moda es 2, porque es el dato que se repite un mayor número de veces, y la mediana es 4, porque es el valor que ocupa el lugar central. 4. Reúnete con un compañero. Usen la información de la tabla 4 para

resolver la actividad de la siguiente página.

SECUENCIA 8

#REFLEXIONA ¿Un conjunto de datos puede tener más de dos modas? Propón un ejemplo. Si todos los valores aparecen el mismo número de veces, entonces no existe la moda de ese conjunto, ¿o sí?

51


Elsa presentará un reporte a su jefe para informarle cuál es la talla promedio de zapato de las estudiantes de esa escuela. a) ¿Cuántos datos son en total? ¿Qué representa ese valor? Explica.   ra uial pa o coloq in m r é t a. dio: itmétic prome edia ar la m la r a moda y nombr ética, la m it r d a ia ipos e La med entes t r e if d datos. a son nto de median ju n o c n io de u promed

b) Sumen todos los datos y divídanlos entre el número total de datos. ¿Qué

valor obtienen?  La media aritmética o promedio se encuentra sumando los valores numéricos de un conjunto de datos y dividiendo este resultado entre el número total de datos. Por ejemplo, en el conjunto de datos 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6 y 7, el número total de datos es 9 y la media aritmética es 4.33 5 + 5 + 5 + 6 + 7 ___ _________________________   ​​ = ​​  39   ​​ = 4.33 Media aritmética =     ​​ 2 + 2 + 3 + 4 +    9 9

c) Consideren la definición de la media aritmética, y analicen el resultado del

inciso b) y los datos del problema. ¿Cuál es la talla promedio de zapatos?  d) En grupo, y con ayuda del profesor, analicen la necesidad de interpretar

el promedio con base en el contexto. En este caso, ¿es posible fabricar una talla de 23.17? #PROTAGONISTA

5. Trabaja con un compañero y resuelvan los problemas.

En los últimos años ha variado la cantidad de hijos que tienen las familias mexicanas. De acuerdo con el Inegi, en 2015 el promedio era de 1.7 hijos por familia. Por curiosidad, José Luis preguntó a algunos compañeros cuántos hermanos tienen, y obtuvo estos datos:

Investiga cuál es el promedio de hijos por familia en tu estado. ¿Se encuentra por encima o por debajo del promedio nacional? ¿A qué consideras que se debe esa diferencia?

2, 3, 1, 0, 4, 2, 3, 4, 5, 2, 1, 4, 2, 1 a) Ordenen los datos de menor a mayor para identificar el valor de la mediana. Mediana = b) Después llegaron sus amigos Toño y Felipe. Ellos tienen 3 y 4 hermanos,

respectivamente, y José Luis agregó esta información a su lista. ¿Cuál es ahora la mediana? Mediana = c) Lean la siguiente información y verifiquen la respuesta del inciso b). Co-

rrijan si es necesario. Si el total de datos es un número par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales de la lista.

52

MATEMÁTICAS 1


MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS 6. Resuelve el problema.

#TIC T@C

Daniel tiene una librería. Sus ventas de la semana pasada fueron $350.00, $500.00, $390.00, $510.00, $712.00, $560.00 y $800.00. a) ¿Cuál fue su venta total?

Visita la página redir.mx/SSPM1-053a para repasar los diferentes promedios.

b) ¿Cuál fue su venta promedio? c) ¿Cuánto necesitaría vender al siguiente cliente para que su venta pro-

medio fuera de 600.00? d) En la siguiente semana quiere ganar igual cantidad de dinero con la

misma venta en todos los días. ¿Cuánto debe vender por día para lograr su objetivo? e) Compara tus respuestas con las de algún compañero; presta atención al procedimiento que siguieron. Si sus respuestas son distintas, ¿cómo determinan cuál es la correcta?

#BITÁCORA

7. Resuelvan el problema en equipos.

Diez amigos crearon una cooperativa para operar una cafetería. Proponen organizarse de la siguiente forma: dos baristas, cuatro meseros, dos cocineros, un contador y un gerente. Puesto Salario por persona

barista

mesero

cocinero

contador

Ve a la página 236 y resuelve la actividad sobre promedios.

gerente

$3 685.00 $3 659.00 $4 434.00 $7 000.00 $11 599.00

a) Calculen los diferentes promedios.

Media: Mediana: Moda: b) De los valores anteriores, ¿cuál consideran que representa mejor el salario que ganan los miembros de la cooperativa? Expliquen sus motivos.

c) Clara pertenece a la cooperativa y observó que el salario del gerente ele-

va el valor de la media. Por ello, propone calcular la media sin incluir lo que gana el gerente, ya que de esa forma el promedio obtenido sí sería representativo de la cooperativa. ¿Están de acuerdo con esta afirmación? Calculen el promedio como propone Clara, para justificar su respuesta.

#CONTEXTO

d) Pablo dice que la brecha salarial es muy grande. Para nivelarlo, propone

que el sueldo del gerente sea el doble del salario más bajo, porque de esa forma el salario promedio sí sería representativo de lo que perciben todos en la cooperativa. ¿Están de acuerdo?

8. Comparen las respuestas de la actividad anterior. Organicen un de-

bate sobre cuál consideran que es un salario representativo y logren un acuerdo. Presten especial atención a su respuesta del inciso c). ¿Cómo afectan los valores extremos al calcular la media?

SECUENCIA 8

Los vehículos tienen diferente rendimiento de combustible. Investiga cómo se mide y qué tipo de valor se emplea para ello. ¿Cuál es el rendimiento del transporte que usas para llegar a la escuela?

53


EXPERIMENTA Análisis de estadísticas 1. Trabaja en pareja. Con esta actividad explorarán una aplicación del Inegi para

Mapa

Gráfica de barras

analizar cifras del tema “Accidentes de tránsito terrestres en zonas urbanas y suburbanas”. a) Ingresen en la dirección ‹http://www.beta.inegi.org.mx/app/statisticsexplorer/00/ index.html#story=1›; se mostrará la siguiente pantalla.

Barra de tiempo

Estados

Navegador de contenido

b) En la barra de tiempo muevan el cursor hasta el año 2015. Observen cómo cambian

año con año los datos de la gráfica de barras. c) Elaboren una tabla con los datos de la gráfica de accidentes de tránsito terrestre en

zonas urbanas y suburbanas. d) Calculen las medidas de tendencia central: media, mediana y moda. ¿Cuál conside-

ran que es un valor representativo de este conjunto de datos? Expliquen su respuesta. e) Observen que sobresalen los datos de los primeros tres estados: Nuevo León, Jalisco

y Chihuahua. Omitan estos valores y calculen nuevamente los valores de la media, la mediana y la moda. f) ¿Cómo se modificaron los valores, en especial la media? Expliquen a qué se debe. g) Analicen qué representan los colores del mapa. h) Escriban una conclusión en su cuaderno. 2. Exploren otro tema en el Navegador de contenido y busquen datos específicos

de su estado.

54

MATEMÁTICAS 1


Rúbrica de trabajo en equipo Descripción: con esta rúbrica podrás determinar el nivel de desarrollo que has alcanzado en cinco de las habilidades más relevantes para un satisfactorio trabajo en equipo. Úsala para autoevaluarte o coevaluar a un compañero de equipo.

El trabajo en equipo ayuda a salvar vidas, ganar campeonatos, derrocar gobiernos corruptos y crear vínculos entre las personas; hace realidad aquello que una sola persona no podría crear. La interacción armoniosa entre los individuos para alcanzar un objetivo común no es tarea sencilla ni inmediata: se requiere del desarrollo de ciertas habilidades a lo largo de la vida. ¿Conoces qué habilidades has desarrollado y sabes cuáles te gustaría mejorar? Estrategia: lee los cuatro niveles de cada habilidad y encierra o marca el que describe mejor tus conductas cuando trabajas en equipo.

Te cuesta escuchar, pero finalmente aceptas sugerencias y otros puntos de vista.

Buscas imponerte, aunque después de discutir aceptas incorporar algunas ideas.

Haces tu parte solo.

Asumes de forma eficiente la función de líder de equipo, sin imponer, y te haces cargo de los temas clave.

Eliges una función cuando aún no están definidas y eres capaz de negociar con tus compañeros.

Asumes la función que te asignan los miembros del equipo.

No cumples las funciones que te asignaron ni colaboras con el equipo.

Te reúnes puntualmente con tu equipo y llegas preparado con el trabajo y material asignado.

Llegas con algo de retraso a las reuniones o con el trabajo asignado algo desorganizado.

No asistes a todas las reuniones pero avisas y envías tu trabajo.

No asistes a las reuniones y tampoco envías el trabajo asignado.

Expresas y explicas claramente tus argumentos e ideas, escuchas y haces preguntas para profundizar.

Expresas ideas pero te cuesta trabajo comunicar argumentos. Escuchas y preguntas solo si no entiendes.

Compartes tímidamente tus ideas y escuchas, pero no cuestionas ni profundizas.

No te interesa escuchar a los demás ni compartir tus ideas y puntos de vista.

Aportas ideas e información valiosa, excediendo lo asignado.

Contribuyes con lo Aportas información asignado copiando e ideas adecuadas y cumples lo asignado. información de fuentes poco relevantes.

Flexibilidad

Compartes y aceptas puntos de vista, ideas y sugerencias.

Liderazgo

NOVATO 1

Compromiso

APRENDIZ 2

Comunicación efectiva

PRACTICANTE 3

Aportación

EXPERTO 4

No contribuyes o contribuyes muy poco.

Resultado: escribe, en tu cuaderno, una reflexión sobre tus habilidades, y una meta o sueño que desees alcanzar y para el cual se requiera trabajar en equipo. ¿Qué otras habilidades consideras que son deseables para trabajar en equipo?

55


SECUENCIA SECUENCIA00 9

Criterios de congruencia de triángulos

MIS PRIMERAS IDEAS Ana elaboró un memorama de triángulos. Para aumentar el reto, los pares de triángulos son iguales, aunque su orientación en la tarjeta no lo sea.

B

A

C

E

D

H

F

G

1. En parejas, respondan las preguntas. a) Relacionen las tarjetas con triángulos iguales. b) Comenten su estrategia para encontrar las parejas. c) Copien las tarjetas, recórtenlas y jueguen memorama. Si crean más tarje-

tas será mayor el reto. 2. Observa los triángulos y señala los que son iguales al triángulo rojo.

a) Explica por qué son iguales los triángulos que seleccionaste.

 

56

MATEMÁTICAS 1


3. Analiza el planteamiento y responde las preguntas.

Susana y su grupo de animadoras se pusieron de acuerdo para hacer banderines. Susana dio las siguientes instrucciones por teléfono: tracen un triángulo con un ángulo de 70º y dos de sus lados con medidas de 5 cm y 4 cm. A continuación, se muestran los banderines que elaboraron.

70°

4 cm

#BITÁCORA Ve a la página 236 y lleva a cabo la actividad correspondiente a esta secuencia.

5 cm

4 cm

70°

70° 5 cm 5 cm 4 cm Adriana Berenice Catalina

a) ¿Los triángulos son iguales?

 b) ¿Quién trazo el triángulo correctamente?

  c) ¿El orden de las medidas afecta la construcción?

 d) ¿El ángulo dado podría trazarse opuesto al lado que mide 4 cm? Haz el

trazo en tu cuaderno y justifica tu respuesta.   4. En parejas, observen las figuras y contesten las preguntas.

7

Germán diseñó un banderín y, en el chat de su equipo, envío el siguiente mensaje: “Tracen un triángulo de 6 cm, 3 cm y 7 cm”. A continuación, se muestran los banderines que elaboraron.

3

6 Germán

7 6

6

3

7 3 Diana Ernesto

7

3

6 Fernanda

a) ¿German y sus amigos tienen banderines iguales? Expliquen.

 b) En una hoja, tracen el triángulo con las medidas reales, recórtenlo y orién-

tenlo en las cuatro posiciones anteriores. c) ¿El orden de las medidas afecta la construcción? Expliquen por qué.

 

SECUENCIA 9

57


MI PROCESO DE APRENDIZAJE 5. Analicen las respuestas a los incisos c) de las actividades 3 y 4.

Comenten grupalmente qué cambios harían en las instrucciones para que sea posible trazar el mismo triángulo con los datos que se conocen. n que minació o n e d nativa s una o alter alias: e m o c a s rsona u una pe . mbre a su no

6. Dividan al grupo en dos equipos y lleven a cabo la actividad. a) En una hoja, cada alumno trace un triángulo del tamaño y forma que

desee sin que los demás lo vean. b) Anoten su alias, y las medidas de los lados y ángulos del triángulo que

trazaron. c) En otra hoja, escribe tu alias y describe detalladamente tu triángulo, pero

sin hacer trazos. Puedes escribir medidas, forma, nombre, entre otros. d) Guarda el triángulo que trazaste e intercambia la hoja de tu descripción

con un compañero del otro equipo. e) Traza el triángulo de acuerdo con la descripción que te entregaron. f) Cuando todos concluyan, comparen el triángulo original con el que hizo

su compañero del otro equipo. ¿Son iguales? g) Repitan la actividad, pero esta vez escriban la menor cantidad de datos po-

sibles, de manera que sea la información que consideran indispensable para que el compañero del equipo contrario pueda trazar el mismo triángulo. h) Intercambien la hoja, tracen el triángulo que les corresponde de acuerdo con

las indicaciones dadas y por último comparen su triángulo con el original. 7. Repitan el ejercicio anterior, cambiando algunas condiciones. a) Condición: no se mencionan los ángulos. b) Condición: se pueden mencionar lados y ángulos, pero no nombres ni

#ALGUIEN COMO YO

clasificación de triángulos.

Maryam Mirzakhani quería ser escritora de niña, más grande se convirtió en la primera mujer en ganar ls medalla Fields con un trabajo acerca de geometría. “No creo que todo el mundo tenga que ser matemático, pero muchos estudiantes no les dan una oportunidad a las matemáticas. En secundaria tuve un par de años con malas notas”, contó en una entrevista en 2008, en la que agregó un consejo para salir adelante: “Si las matemáticas no te apasionan pueden parecer sin sentido y frías. Su belleza solo se muestra a sus seguidores más pacientes”.

58

MATEMÁTICAS 1

c) Reúnanse en equipos de tres integrantes y redacten una conclusión sobre

los ejercicios anteriores, atendiendo las siguientes preguntas. »» ¿Cuántos son los elementos mínimos que se requieren para trazar un triángulo único?  »» ¿Cuáles son los elementos mínimos que se requieren para trazar un

triángulo único?    d) Compartan su conclusión con el grupo y, finalmente, redacten en su cua-

derno una conclusión final con ayuda del profesor.


8. Completa la tabla; considera los resultados anteriores. ºº Analiza si con cierta información es posible trazar cualquier triån-

gulo o un único triångulo. ºº En observaciones describe las condiciones de los datos que conoces.

Cantidad de elementos conocidos Lados

Ă ngulos

3

0

2

1

1

2

0

3

ÂżSe puede trazar un triĂĄngulo?

ÂżSe puede trazar un Ăşnico triĂĄngulo?

SĂ­

SĂ­

Observaciones

El ĂĄngulo debe estar comprendido entre los dos lados.

SĂ­

Dos triĂĄngulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ĂĄngulos correspondientes tienen la misma medida. Se usa el sĂ­mbolo â&#x2030;&#x2026; para indicar congruencia. 9. Observa los siguientes triĂĄngulos congruentes, identifica como se de-

nota la congruencia entre dos triĂĄngulos. Escribe, en tu cuaderno, la relaciĂłn de congruencia de otras parejas de triĂĄngulos. j

L

k

o

l

q

E

p

Q

C a

c

A

e F

O

C b

D

f d

J

entes: en mat emĂĄtic a â&#x20AC;&#x153;igua as, ld adâ&#x20AC;?, po dos fig r lo tan uras so to, n cong tienen ruente la mism s si a form aunque a y tam su posic aĂąo, iĂłn u o sean d rientac istinta iĂłn s. signific

P

B

congru

b

a B

B

i

A

đ?&#x161;ŤABC â&#x2030;&#x2026; đ?&#x161;ŤDEF Se lee â&#x20AC;&#x153;el triĂĄngulo ABC es congruente al triĂĄngulo DEFâ&#x20AC;?.

SECUENCIA 9

aâ&#x2030;&#x2026;d

bâ&#x2030;&#x2026;e

câ&#x2030;&#x2026;f

Aâ&#x2030;&#x2026; D

Bâ&#x2030;&#x2026; E

Câ&#x2030;&#x2026; F

59


10. Efectúa lo que se pide.

#FUENTE

a) Investiga en un diccionario impreso o electrónico el significado de criterio.

Busca el libro Los elementos de Euclídes (matemático de la antigua Grecia). Este fue uno de los libros de texto más divulgados de la historia. Compara su lenguaje con los libros que tienes ahora. ¿Ha habido algún cambio?

b) Indaga en un medio impreso o electrónico el significado específico del

término criterio relacionado con las matemáticas. c) Explicita lo investigado, discútelo con tus compañeros y escriban, en su

cuaderno, una conclusión acerca de lo que entienden por criterio. 11. Lee con el grupo la información. Con ayuda del profesor, aclaren las

dudas que surjan. Dos polígonos son congruentes si la medida de sus lados es igual y la medida de los ángulos correspondientes es la misma. Para el caso de los triángulos es posible indicar un número menor de esos seis datos (tres lados y tres ángulos), y de todos modos se garantiza que los triángulos son congruentes. Estos casos se llaman criterios de congruencia. Criterio Lado-Lado-Lado (LLL): si los tres lados de dos triángulos miden lo mismo, entonces los triángulos son congruentes. Criterio Lado-Ángulo-Lado (LAL): si dos lados de dos triángulos miden lo mismo y el ángulo entre ellos es igual, entonces los triángulos son congruentes. Criterio Ángulo-Lado-Ángulo (ALA): los triángulos son congruentes si dos ángulos y el lado comprendido entre ellos son iguales. #DATO ∆ABC indica triángulo ABC. AD indica el segmento que va del punto A al punto D. A indica ángulo A.

MI NUEVOS CONOCIMIENTOS 12. En parejas, resuelvan los problemas.

El triángulo ABC es isósceles y el segmento CD es la altura y corta por la mitad al lado AB. a) Usen los criterios de congruencia para comprobar que el triángulo ADC

es congruente al triángulo BDC. »» Representen los datos en un esquema. Completen el de la izquierda. »» Identifiquen la información que se deduce del enunciado del problema.

AD ≅ DB porqué CD corta la mitad a de AB;

; entonces

es el punto medio

es perpendicular a AB por ser altura. Por lo tanto, los ángulos ADC y BDC son rectos. Como el triángulo es isósceles, A ≅

≅ CB.

b) Identifica los datos que permiten comprobar la congruencia usando el

D

60

y

criterio LLL. Escribe en tu cuaderno tus argumentos.

MATEMÁTICAS 1


13. Usa los criterios de congruencia y averigua si AB ≅ CB. C

De la figura se deduce que... ≅ B

≅ Por lo tanto, son congruentes por el criterio . Como los triángulos ABD y CBD son congruentes,

D A

.

14. Inspírate en el estilo de Vasili Vasílievich Kandinski, pintor ruso de

principios del siglo XIX. Usa triángulos congruentes a los de esta reproducción para crear un diseño propio.

#TIC T@C Conoce más sobre la obra de Kandinski en el sitio redir.mx/SSPM1-061a Observa cómo evoluciona de paisajes realistas a representaciones abstractas.

Triángulos en una curva, 1927. Wassily Kandinsky (1866-1944)

#CONTEXTO

a) Elige uno de los triángulos de tu pintura y describe con argumentos

geométricos cómo aseguras que es congruente con el de la obra original. b) Intercambia tu descripción con un compañero y valoren si la argumenta-

ción es correcta. c) Si tienen diferencias de opinión, usen lo que han aprendido de congruen-

cia de triángulos para llegar a un consenso y corregir sus escritos. 15. Expongan su trabajo en una galería. Investiguen más sobre este ar-

tista y aprecien cómo se relacionan las matemáticas y el arte.

SECUENCIA 9

En el museo de Louvre hay dos pirámides. Cada cara está formada por triángulos. ¿Estos triángulos son congruentes entre sí?, ¿cómo podrías comprobarlo?

61


SECUENCIA 00 10

Divisiones con números decimales

MIS PRIMERAS IDEAS Omar se ha propuesto ser más cuidadoso al comprar su despensa a fin de obtener mayores ahorros. Para ello, comparará marcas, precios y cantidad de producto, ya que no todas tienen la misma presentación o contenido. da o de ca el cost s e : o i a la unitar . Facilit precio oducto r a p n u de la mism unidad osto de c l e d n iene ación s que v compar oducto r p e d d s. cantida amaño intos t t en dis

1. Completa la tabla y elige el producto más económico.

Contenido (Kg)

Precio ($)

Cereal azucarado (marca 1)

0.850

27.20

Cereal azucarado (marca 2)

0.5

18.50

Cereal azucarado (marca 3)

0.9

31.50

Chocolate en polvo (marca 1)

0.6

48.60

Chocolate en polvo (marca 2)

0.980

78.89

Leche en polvo (marca 1)

3.55

113.60

Leche en polvo (marca 2)

1.2

37.80

Producto

Precio ¿Qué marca unitario es la más ($/kg) económica?

2. Reúnete con un compañero. Efectúen lo que se pide y respondan los

planteamientos derivados de la tabla anterior. a) Redacten el procedimiento que siguieron para determinar qué producto

es el más económico.  b) Fernanda vende cereal a granel en el mercado y para preparar su mezcla

utiliza las tres marcas anteriores en partes iguales. Si se promedian sus precios, ¿cuánto costará __ ​​ 12 ​​kg del cereal compuesto?  c) Teresa trabaja en una cafetería, y para crear su famosa bebida de choco-

late, mezcla 750 g de leche en polvo de la marca 2 y 250 g de chocolate en polvo de la marca 1, ¿cuánto cuestan 250 g del producto mezclado?  d) Comparen sus respuestas con otros compañeros. Analicen el orden en

que efectuaron las operaciones para resolver los problemas. Identifiquen dudas y dificultades y comenten cómo resolverlas. 3. En parejas, lean y respondan al planteamiento.

Fuh-Hi (2858 a. C.-2738 a. C.) fue el mítico fundador de la civilización china y creador del primer cuadrado mágico. Esta figura tiene la característica de que al sumar sus diagonales, horizontales y verticales siempre se obtiene el mismo número. En el caso de un cuadrado de 3 × 3 con números del 1 al 9, el resultado es 15.

62

MATEMÁTICAS 1


a) Coloquen los números que hacen falta para que en diagonal, vertical y

horizontal sumen 15.

4 5 6 b) ¿Cómo cambia el resultado de la suma constante si a cada número del

cuadrado mágico lo multiplicamos por 2?  c) ¿Cómo cambia el resultado de la suma constante si a cada número del

cuadrado mágico lo multiplicamos por 0.2?  d) ¿Cómo cambia el resultado de la suma constante si a cada número del

cuadrado mágico lo dividimos entre 2?  e) ¿Cómo cambia el resultado de la suma si a cada número del cuadrado

original lo dividimos entre 0.2?  f) ¿Cuántos cuadrados mágicos diferentes se pueden crear?

  4. Resuelve los planteamientos. a) El diámetro de una moneda de $10.00 es de 2.8 cm. Si Julián formó con

monedas una fila que mide 14 cm, ¿cuántas hay en ella?  »» Una forma de expresar el problema anterior es mediante el uso de res-

tas sucesivas. 14 − 2.8 = 11.2 11.2 − 2.8 = 8.4 8.4 − 2.8 = 5.6 5.6 − 2.8 = 2.8 2.8 − 2.8 = 0 »» ¿Cuántas veces se restó 2.8?

 »» ¿Cómo se expresa esta resta reiterada mediante una división?



SECUENCIA 10

63


b) En una bolsa que pesa 413.2 g hay varias monedas de $10.00. Si cada

una pesa 10.33 g, ¿cuántas monedas habrá en la bolsa?  c) Supón que la moneda de $5.00 pesa la mitad que la de $10.00, ¿cuántas

monedas habría en la bolsa?  ado de o orden t n ju n cer mo: co iten ha algorit e perm u q s e ion ción operac la solu hallar o lo u un cálc a. roblem de un p

MI PROCESO DE APRENDIZAJE 5. Analiza el algoritmo y después resuelve los ejercicios en tu cuaderno.

Para dividir un número decimal entre otro que no lo es… •• se efectúa la división sin considerar el punto decimal, •• al cociente se le agrega el punto de-

cimal a tantas cifras (contándolas de Divisor derecha a izquierda) como tenga el dividendo, •• en caso de que exista residuo diferente

de 0, se agregan más ceros en el dividendo para obtener un resultado más exacto.

3.0 5 15.3 0.3

Cociente Dividendo Residuo

3.06 5 15.30 0 3 30 0

6. Resuelve los problemas. Efectúa las operaciones en tu cuaderno. a) El papá de Toño tiene un terreno y quiere cercar únicamente un lado cuya

longitud mide 19.5 m. Además, desea colocar siete postes separados a la misma distancia para sujetar un alambrado. ¿A qué distancia debe poner cada uno?  b) Patricia participó en las jornadas de reforestación en el parque de la co-

lonia. Le pidieron sembrar trece árboles en un extremo del parque, el cual mide 33.6 m. Una persona opina que debe sembrarse a 2.58 m de distancia, mientras que otra afirma que son 2.8 m los que separarán los árboles y una tercera considera que los separarán 2.4 m. ¿Con quién estás de acuerdo? Justifica tu respuesta.  #PROTAGONISTA



Una creencia es que las matemáticas tienen una sola respuesta correcta. Sin embargo, una situación puede interpretarse de diferentes maneras y desarrollar un pensamiento crítico te permitirá evaluar las opciones correctas.

64

MATEMÁTICAS 1

c) Charo comprará una serie de luces navideñas para adornar la fachada

de su casa. Desea que las luces estén a menos de 10 cm de separación entre ellas. Encontró una serie que mide 8.5 m y tiene 75 luces que están separadas a la misma distancia, ¿cumple con la condición?  


7. En parejas, resuelvan los problemas. a) Ana es ingeniera civil y coordina a un grupo de trabajadores que deberán

pintar una línea continua en un tramo de 5 655.6 m de una carretera. »» Primero cuenta con una cuadrilla de 10 trabajadores. Si se distribuyen la ta-

rea equitativamente, ¿cuántos metros le corresponderá pintar a cada uno?  »» Gracias a un presupuesto adicional, contratará un total de 100 trabaja-

dores para pintar el mismo tramo. En este caso, ¿cuánto le corresponderá pintar a cada uno?  »» Supón que, por alguna situación extraordinaria, como la proximidad del

periodo vacacional, Ana pudiera contratar a 1 000 trabajadores para pintar este tramo. ¿Qué distancia le correspondería pintar a cada uno?  »» Compara los resultados obtenidos en tres incisos anteriores. ¿Qué ob-

servas? Explica tu respuesta.  b) En una zona agrícola se asociaron 10 agricultores para comprar un tractor

que cuesta $389 650.50. »» Considera que todos deben aportar equitativamente, ¿cuánto dará cada uno?  »» Cada socio inicial se propuso invitar a 9 agricultores para reducir el

monto de cada aportación. Se lograron reunir 100 personas; considerando que todos deben aportar equitativamente, ¿cuánto dará cada uno para comprar el tractor?  c) Observen el comportamiento del punto decimal en los resultados ante-

riores. ¿Qué ocurre cuando una cantidad decimal se divide entre 10, 100, 1 000…?   8. Analicen los siguientes procedimientos.

Para dividir decimales, pueden usarse varias técnicas •• Resta iterativa 7.2 − 2.4 = 4.8 Se restó tres veces 2.4, por lo que 4.8 − 2.4 = 2.4 7.2 ÷ 2.4 = 3. 2.4 − 2.4 = 0 •• El ajuste decimal (cuando se divide una cantidad entre 10, 100, 1 000…)

0.5 ÷ 10 = 0.05 El punto decimal del dividendo se recorre a la iz0.5 ÷ 100 = 0.005 quierda tantos lugares como ceros tenga el divisor. 0.5 ÷ 1000= 0.0005 •• Conversión de fracciones en decimales, por ejemplo __ ​​ 12 ​​÷ 0.3 = 0.5 ÷ 0.3. •• El algoritmo convencional de la división.

SECUENCIA 10

65


9. Completa las operaciones como en el ejemplo.

#BITÁCORA

a) 48 ÷ 2 = 24

Ve a la página 237 y resuelve el reto de esta secuencia.

48 × 10 = 480

2 × 10 = 20 48 × 100 =

2 × 100 =

480 ÷ 20 = 24 ÷ 48 × 10 =

=

2×1= 48 × 1 = ÷

2 × 10 =

=

÷ = » ¿En qué operaciones se tuvo el mismo resultado que en la operación inicial: 48 ÷ 2 = 24? #REFLEXIONA

b) 450 ÷ 50 = 9

450 ÷ 10 =

Se piensa que la multiplicación es una operación cuyo resultado siempre aumenta y la división una operación que siempre disminuye, pero esto no es así; por ejemplo, el resultado de la siguiente división es más grande que el divisor y el dividendo:

50 ÷ 10 = 450 ÷ 1 = ÷

50 ÷ 10 =

= ÷

450 ÷ 100 =

0.6 ___ = 2. 0.3

÷

=

50 ÷ 100 =

=

450 ÷ 1 000 =

50 ÷ 1 000 =

÷ = » ¿Qué operaciones tuvieron el mismo resultado que la división 450 ÷ 50 = 9? c) Analiza qué sucede con los cocientes cuando se multiplica el dividendo

y el divisor por un mismo número. Escriban una conjetura en su cuaderno. d) Con la guía del profesor, prueben su conjetura. Escriban una división

y multipliquen el dividendo y el divisor por 2, 3, 4… ¿Fue correcta su deducción? De manera grupal escriban un enunciado con su conclusión.

MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS 10. Resuelve los problemas. a) Fernando tiene un paquete de 100 notas autoadheribles que tienen un es-

pesor de 0.8 cm, después de una semana de trabajo disminuyó a 0.6 cm. » ¿Cuántas notas tiene todavía? » ¿Cuál es el espesor de una nota autoadherible? » Otro paquete con 120 notas mide 0.9 cm. ¿Qué paquete tiene las hojas

más gruesas? 0.8 cm

66

MATEMÁTICAS 1


b) Federico vive en una ciudad en la que el transporte público se paga con

una tarjeta electrónica. Al iniciar la semana compró saldo y tenía disponible $84.50. » El costo del viaje en autobús es de $6.50. ¿Para cuántos viajes le

alcanza?

#TIC T@C Repasa la división con decimales y después resuelve los ejercicios en redir.mx/SSPM1-067a

» El costo del viaje en tren ligero es de $4.50. ¿Para cuántos viajes le

alcanza?

c) Investiga el costo de diferentes transportes en tu localidad y calcula cuán-

tos viajes puedes hacer con $100.00.

11. En parejas, lean y respondan al planteamiento.

La autonomía de un automóvil se define como la cantidad de kilómetros que puede recorrer empleando el volumen total de un tanque de gasolina. Así se obtiene la relación kilómetros por litro, la cual es una unidad de medida que determina el rendimiento de un automóvil. a) ¿Cuántos kilómetros recorre un vehículo todo terreno con un tanque de

65 L y un consumo de 12.52 km/L?

b) En las pruebas de laboratorio un vehículo compacto con tanque de 41.5 L

recorrió 767.75 km. ¿Cuántos kilómetros por litro ofrece este vehículo?

c) Al introducir al mercado un nuevo automóvil se hacen pruebas de ren-

dimiento para determinar el consumo de combustible, tanto en ciudad como en carretera. Un auto con tecnología híbrida logró recorrer 965.6 km en ciudad y 951.4 km en carretera con un tanque de 35.5 L. Determinen el promedio de consumo de gasolina en km/L.

#CONTEXTO

d) En Europa la unidad para medir el rendimiento de un auto es el total de

litros por 100 kilómetros. Si un auto recorre 990.67 km con un tanque de 55.5 L, ¿cuál es su rendimiento?

12. En grupo, propongan dos problemas: uno en que se divida una can-

tidad entre 10, 100 y 1 000, y otro donde se divida la misma cantidad entre 0.1, 0.01 y 0.001. a) Observen cómo cambia el punto decimal entre los diferentes resultados. b) Propongan un algoritmo para dividir una cantidad cualquiera entre 0.001,

0.01, 0.1, 10, 100, 1 000, etc. Descríbanlo en su cuaderno.

SECUENCIA 10

Pregunta a un conocido el rendimiento que tiene su vehículo. Si no lo sabe, propón una estrategia para que lo calcule. De forma grupal, comparen sus resultados y determinen cuál es el más eficiente.

67


SECUENCIA 11

¿En qué orden resuelvo las operaciones?

MIS PRIMERAS IDEAS El profesor Javier organizó un torneo de cálculo mental con sus alumnos. Ganaba quien resolviera correctamente las operaciones en menos tiempo, y eran los propios compañeros quienes validaban los resultados. Al usar una calculadora, se generaron controversias debido a que no se obtuvieron los mismos resultados.

5

1

8

2 5 4 4+8÷4

3

4

16

5 ×3 1+4 4 6 3 5 8 2 4 3 6 3 − 1 × 35 4 5

1

8 1

7

6 21

−5 + 2 41 6− 1 6

×2 ÷46

3

2

3 2

8

2−3−2

8

6

6

5

4 6− 2÷ 2 7 8 16

1

6

1. En parejas, hagan lo que se pide.

Calculen mentalmente el resultado de cada operación. Consigan una calculadora científica y verifiquen los resultados. a) Si el resultado de la calculadora es distinto al que ustedes obtuvieron, ¿a qué piensan que se debe la diferencia?

#TIC T@C Busca una calculadora científica en internet o utiliza la que se encuentra en las aplicaciones de tu computadora.

b) ¿Qué operaciones condujeron a resultados diferentes a los que ustedes

También puedes ingresar a redir.mx/SSPM1-068a

obtuvieron?

c) Analicen con el grupo sus respuestas y propongan una forma para indicar

el orden de las operaciones anteriores.

d) Verifiquen si con ese orden se obtiene el mismo resultado que con la

calculadora científica. 2. Completen la tabla. Efectúen las operaciones en diferente orden.

Operación −5 + 4 − 1 4−1−5 1+4×3 4×3+1 4÷4×2 5×4÷2

68

MATEMÁTICAS 1

Resultado Orden de las Resultado 1 operaciones 2

Orden de las operaciones

−5 + 4 = −1 −1 − 1 = −2

4−1=3 −5 + 3 = −2

−2

−2


3. Compara tus resultados con los de tus compañeros. Analicen por qué

en algunos casos se obtienen diferentes resultados.

#DATO

4. Analiza los problemas. Observa los planteamientos y describe, para

cada uno, el orden de las operaciones. a) Susana fue al mercado y compró 3 kg de aguacate a $60.00 por cada

kilogramo; después recordó que debía comprar otros 5 kg para que el guacamole alcanzara para su familia. »» Subraya los planteamientos que resuelven el problema. 3 ∙ 60 + 5 = 185 3 ∙ 60 + 5 ∙ 60 = 480 (3 + 5) ∙ 60 = 480

Para indicar la multiplicación, generalmente se usa el símbolo × o los paréntesis, sin embargo, también se usan los símbolos ∙ y *, como se ve en los ejemplos. 3 × 2 3(2) 3 ∙ 2 3*2

5 ∙ 60 + 3 = 303

b) Una sociedad rural inicia su temporada primavera-verano con la venta

de 20 toneladas de arroz a $8 000.00 por tonelada. Para la temporada otoño-invierno esperan vender otras 35 toneladas. Si vendieran todo el arroz, ¿cuánto obtendrían? »» Subraya las operaciones que representan el problema. 35 ∙ 8 000 + 20 = 280 020 20 ∙ 8 000 + 35 ∙ 8 000 = 440 000 20 ∙ 8 000 + 35 = 160 035

(20 + 35) ∙ 8 000 = 440 000

c) En grupo, analicen el orden en que se efectúan las operaciones anteriores

y expliquen, en su cuaderno, qué indican los paréntesis.

MI PROCESO DE APRENDIZAJE 5. Resuelve las operaciones.

Se resuelven las operaciones entre paréntesis.

Se efectúan las operaciones entre corchetes.

Se calculan las operaciones entre llaves. Se obtiene el resultado.

{[(3 + 2) × 5] − (5 − 3)} − 1

{[

× 5] −

{

}−1

− 2} − 1

−1

Por convención y para evitar confusiones, en algunas operaciones se usan signos de agrupación que indican el orden en que estas deben efectuarse. La jerarquía es la siguiente: ( ) primero: las operaciones indicadas dentro de los paréntesis, [ ] segundo: las operaciones entre corchetes, { } tercero: las operaciones entre llaves.

SECUENCIA 11

69


6. Resuelve las operaciones siguiendo la jerarquía de los signos de

agrupación. (3 · 2) + (4 · 1) − 4 (3 · 2)

a) (17 + 3) × 5 =

b) ______________ =

c) [(30 + 17) − 2] ÷ 5 =

d) ___________________ =

e) (5 · 5 ) − (6 + 7) =

f) {[(3 + 0.4) · 4] − 3} + 4.5 =

g) (17 + 3)0.5 + (2 · 2) =

h) [(0.5 + 0.3) − 2] + 6 · (3 + 2) =

i) 30 + (17 − 2) + 5 =

j) ______________________ =

[(3 + 4) − 3] + [(5 · 3) − 4] 5+3

[(7 − 0.5)2] − {[(5 + 3)2] − 4} 4·2+2

7. En parejas, analicen cada caso y coloquen los signos de agrupación

que requiere la operación, de tal forma que el resultado obtenido sea el indicado. a) 17 + 16 · 32 = 529

b) 14 + 1 · 2 = 30

c) 14 − 12 ÷ 4 = 0.5

d) 18 ÷ 9 + 2 = 4

e) 3.5 + 6.3 · 17 = 110.6

f) 16.3 − 7.75 · 3 = −6.95

g) 16 + 50 ÷ 5 = 26

h) 5.2 − 2.4 · 6.5 + 2 = 20.2

8. Analicen el siguiente planteamiento.

Carina y Marisol necesitan comprobar que la siguiente operación y su resultado sean correctos. 9.2 + 1.1 · 1.7 − 1.07 = 10 Carina piensa que necesita paréntesis para indicar el orden: 9.2 + (1.1 · 1.7) − 1.07 = 10. Marisol opina que es correcta tal y como está escrita. ¿Con quién están de acuerdo y por qué? Justifiquen la respuesta en su cuaderno. 9. Analiza el planteamiento y usa la jerarquía de las operaciones para

explicar cada situación. 6 (2 + 1). Efraín usó dos calculadoras diferentes para efectuar la operación __ 2 Se sorprendió porque los resultados no coinciden.

a) ¿Qué lógica sigue cada calculadora para obtener su resultado? Expliquen

en su cuaderno. b) ¿Cuál es el resultado correcto?

culadora científica.

70

MATEMÁTICAS 1

Compruébenlo usando una cal-


10. Reúnete con un compañero. Consigan una calculadora de operacio-

nes básicas y resuelvan lo que se pide. Carlos enfrenta algunas dificultades para resolver la siguiente operación con su calculadora. (3 · 2) + (6 + 3) ____________ = 5·3

Después de cuatro intentos, no sabe cuál es el resultado correcto, pues en cada caso obtuvo un valor distinto. a) Calculen el resultado de las cuatro operaciones que hizo Carlos. 3 » 3 · 2 + 6 + __ ·3=

3·2+6+3 » __________ ·3=

3 » 3 · 2 + 6 + ____ =

»3·2+6+3÷5÷3=

5

5·3

5

b) Relacionen y unan la secuencia de teclas pulsadas en una calculadora

científica con su correspondiente operación. 3 3 · 2 + 6 + __ ·3 5 3·2+6+3 __________ ·3 5 3 3 · 2 + 6 + ____ 5·3

3·2+6+3÷5÷3

c) ¿Cuál es la secuencia correcta de teclas que debe seguir Carlos? Expe-

rimenten con diferentes calculadoras y describan cómo determinaron la secuencia correcta.

11. Lean la información del recuadro y, con base en las actividades 9

y 10, reflexionen sobre la conveniencia de seguir un orden en las operaciones. Cuando aparecen juntas varias operaciones aritméticas básicas, es necesario seguir un orden para calcularlas.

operac

iones a ritmét icas bá mética sicas: , s e deno la sum m in a a, la re así a sta, la y la div multip licación isión. en arit

Primero se efectúan las que están entre signos de agrupación; si no hay, se resuelven primero las multiplicaciones y divisiones, y después las sumas y restas. Si hay operaciones con la misma jerarquía —por ejemplo, multiplicación y división—, la operación se resuelve de izquierda a derecha.

SECUENCIA 11

71


MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS 12. En equipos, determinen las operaciones necesarias para obtener

el resultado indicado. Utilicen únicamente cuatro números 4 y cualquier operación y signo de agrupación que se requiera, como en el ejemplo. • 4 + 4 − 4 − 4 = 0 •

= 1

= 6

= 2

= 7

= 3

= 8

= 4

= 9

= 5

= 10

13. En parejas, analicen las figuras y escriban una expresión aritmética

#PROTAGONISTA

para obtener el valor del área sombreada.

Existe más de un camino correcto para obtener un resultado. Algunas personas suelen descomponer el problema principal en otros más pequeños que sí saben cómo resolver. Esta estrategia es útil en este caso; por ejemplo, puedes iniciar con el área de las figuras más grandes y después restar las superficies de las figuras pequeñas. ¿Se te ocurre otra alternativa? ¿Y a tus compañeros?

10 4

1

4

7

10

12

4

5

26

10

2

3 12

2 12

24

6

14. Resuelve las operaciones. •• [(3 × 2) + 7] + {[(5.5 + 0.2) × 3] ÷ 4} + [(3 ÷ 2) + 7] =

•• [(4 × 2.6) ÷ 4] + {[(5.5 × 3.2) + 2] ÷ 4} = ​​ 

72

MATEMÁTICAS 1

2


[

] [ __1

7 __

]=

(5 × 3.5) + 2 + ( 2 + 2) + 3 • _____________________ 4

(3 · 6) + 1 (3 · 4) ÷ 2 • ________ − ________ = 2+3

3

[(3 · 2) + 2] − 1 = [(__36 + 0.75) − __41] + ____________ 1 + 2.1 4.4 + (__ ) 2

15. Compara con un compañero tus respuestas de la actividad anterior.

¿Siguieron el mismo procedimiento? ¿Obtuvieron las mismas respuestas? Usen la jerarquía de operaciones para corregir sus respuestas. 16. Resuelve los problemas. Ten presente la jerarquía de operaciones. a) El auditorio de la escuela mide 12 m de largo, 8 m de ancho y 3 m de

altura. Con esta información, determina el área del piso, de las paredes y del techo.

b) Doña Clara tiene un restaurante y para el menú de un día necesita

comprar 8 kg de pollo a $55.00 por kilogramo, 10  kg de jitomate a  $15.00 cada kilogramo y 3  kg de cebollas a $10.00 por kilogramo. ¿Cuánto deberá pagar?

#BITÁCORA Ve a la página 237 y resuelve las actividades de esta secuencia.

#CONTEXTO

c) El grupo de danza de la escuela, integrado por 6 mujeres y 6 hombres,

participará en el concurso estatal de danza folclórica, por lo que comprarán la siguiente indumentaria: 6 pantalones de manta de $35.00, 6 faldas bordadas de $96.00, 6 pares de botines de $170.00 y 6 pares de zapatillas de $150.00. ¿Qué presupuesto necesitan para el vestuario?

17. De forma grupal, discutan sobre los errores que se generan al usar

una calculadora no científica para resolver operaciones básicas; propongan ejemplos. Destaquen la importancia de respetar la jerarquía de las operaciones y signos de agrupación.

SECUENCIA 11

Los programadores de computadoras utilizan la jerarquía de los operadores para escribir sus códigos. Existen diferentes clases de operadores como los aritméticos, que incluyen +, −, ×, ÷ o los asociativos. Investiga algunos lenguajes de programación, como java o basic, y averigua si respetan la jerarquía de operaciones.

73


SECUENCIA 12

Promedios II

MIS PRIMERAS IDEAS

#PROTAGONISTA La Reserva de la Biosfera Mariposa Monarca es una de las áreas naturales protegidas del país y se encuentra en una región que comprende Michoacán y el Estado de México. Investiga qué reservas hay en tu estado y cómo puedes contribuir a su conservación.

Las páginas de las redes sociales y los blogs tienen herramientas para llevar las estadísticas de sus sitios. Entre los datos que analizan se encuentran el número de visitas o las personas alcanzadas; es decir, a las que ha llegado la información. Estos resultados ayudan a los creadores a mejorar la eficacia de la página y de sus contenidos. Durante los últimos catorce días, una página hizo una campaña para denunciar la tala ilegal en los santuarios de la Mariposa Monarca en Michoacán. Estas son las personas alcanzadas en ese periodo: 192, 124, 267, 209, 226, 117, 47, 199, 254, 254, 205, 245, 150, 181 1. Trabajen en equipos y hagan las actividades que se plantean. a) Analicen los datos anteriores y expliquen cómo determinarían a cuántas

personas alcanzó su campaña por día en ese periodo.   b) Calculen la media, la mediana y la moda de las personas alcanzadas. r e el valo ia entr c n e r e dif de un rango: mínimo r lo a v o y el máxim atos. to de d conjun que es vación r e s b o sto típico: e del re valor a distant e t n e icam numér atos. de los d

Media:

Mediana:

Moda:

c) ¿Qué medida consideran que es representativa de este conjunto de datos?

 d) Comparen su respuesta del inciso c) con el a). ¿Coincidieron? ¿Modifica-

rían su respuesta?   e) ¿Cuál es el rango de las personas alcanzadas?  f) Sebastián y Daniela graficaron los datos en una recta y observaron que el

valor 47 era un valor atípico. x 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260

Calculen nuevamente los promedios sin considerar el valor 47. Media: #REFLEXIONA

Moda:

g) Comparen sus respuestas con las del inciso b). ¿Qué promedio tuvo ma-

Cuando estudies, no hagas solamente los cálculos, plantéate preguntas con los resultados que obtienes: ¿Cómo se modificó la media al quitar el valor atípico? ¿Por qué no cambió el valor de la moda?

74

Mediana:

MATEMÁTICAS 1

yor variación? ¿Hubo algún promedio que quedara igual?  h) De forma grupal, analicen cuál sería el mejor valor para representar las

personas alcanzadas por día. Decidan primero si considerarán todos los datos o no contarán el valor atípico. Tengan en cuenta que usarán la media, mediana o moda. Escriban sus conclusiones en el cuaderno.


MI PROCESO DE APRENDIZAJE 2. Lee la situación y responde las preguntas.

Armando, Claudia y Julio están trabajando en un proyecto para determinar la cantidad de kilocalorías que contienen los alimentos que desayunan. Comenzaron con el yogur líquido para beber, por lo que fueron al supermercado de su zona y consiguieron 13 yogures de sabor fresa de diferentes marcas. Analizaron la información nutrimental que aparece en la etiqueta y encontraron el total de kilocalorías en 100 g, las cuales se muestran a continuación. 72, 84, 36, 41, 60, 33, 85, 59, 85, 76, 74, 77, 77

kilocalo

ría: un idad pa ra med d de en ir la e r gía que alimen aporta tos a n n los uestro que se organis consum m o o e en un activid a deter ad. minada cantida

a) ¿Cuál es el valor mínimo y valor máximo de kilocalorías de esta muestra

de yogures?  b) En este contexto, determina la mediana y explica qué significa

  c) ¿Cuál es la moda?  d) Con esta información, se preguntaron qué valor sería representativo de

los 13 tipos de yogures. Julio respondió que ese valor era 74. ¿Estás de acuerdo? 

#DATO La Organización Mundial de la Salud (oms) estima que un estudiante requiere 50 kilocalorías (kcal) por cada kilogramo (kg) de peso.

 e) Determina un valor representativo para los datos.

 f) Armando se preguntó si sería posible crear una mezcla de 2 yogures de

manera que en promedio tuvieran 30 kcal por 100 g. ¿Es posible? Explica tu respuesta.   3. Reúnete con un compañero. Analicen el siguiente planteamiento y

respondan las preguntas. Pedro tiene una distribuidora de semillas y cereales. Esta temporada compró maíz blanco para tortilla con diferentes agricultores, quienes le dieron los siguientes precios por kilogramo.

a) ¿Cuál es el precio mínimo y el precio máximo que pagó Pedro?



SECUENCIA 12

75


b) Cuando Pedro recibió el grano, mezcló el maíz en un mismo contenedor.

Si deseara venderlo, ¿cuál sería el precio mínimo de un kilogramo para no tener pérdidas?  c) Expliquen el procedimiento que siguieron para obtener ese valor.

  d) Determinen cuál es la moda y la mediana de este grupo de datos. Expli-

quen su respuesta.    e) Pedro compró este maíz a un precio preferente debido a que fue una

compra por mayoreo. Cuando se hace una compra al menudeo, el precio aumenta $1.00 por kilogramo. Sin hacer cálculos, estimen el nuevo precio promedio cuando todos los precios aumentan $1.00.  f) ¿Cómo cambiaría el precio promedio si a todos los productos se les au-

menta $0.50, $2.00, …? En grupo y con la guía del profesor, lleguen a una conclusión y escríbanla en su cuaderno. 4. Reúnete con un compañero. Lean el planteamiento y contesten las Días

preguntas. Eduardo inició su entrenamiento para una carrera de 15 km. Durante la primera semana de preparación, corrió las siguientes distancias en kilómetros: 10, 11, 10, 0, 12, 10, 13.

4 3 2

a) ¿Cuántos kilómetros recorrió la primera semana? 

1 0

b) ¿Cuántos kilómetros corrió esta semana en promedio?  0 km

3 km

10 km Distancia

La segunda semana de entrenamientos corrió las siguientes distancias: 3 m, 10 km, 10 km, 10 km, 10 km, 3 km y 0 km. c) Analicen y discutan qué medida de tendencia central (mediana, moda,

media) es la más representativa para este conjunto de datos   d) En la tercera semana, Eduardo quiere correr 90 km en total. Elabora un

plan de entrenamiento para que alcance su meta con las siguientes condiciones: que un día descanse y que al menos un día corra 15 km.  e) De acuerdo con sus datos, elijan qué promedio sería representativo de esa

semana de entrenamiento.  f) Comparen sus respuestas con sus compañeros. ¿Coincidieron en el inciso

c)? ¿Existe una respuesta única? En grupo, lleguen a una conclusión.

76

MATEMÁTICAS 1


5. Lean las propiedades de la media aritmética y respondan las pregun-

tas en su cuaderno. Propiedades de la media aritmética •• La media es un valor comprendido entre los extremos de los datos. •• La media no tiene por qué ser igual a uno de los valores de los datos. •• El valor obtenido de la media puede ser una fracción o número decimal y

se expresa en las mismas unidades de medida que los datos. •• Si a todos los datos se les suma un mismo número, la media aritmética

#REFLEXIONA Observa que la media aritmética puede dar valores que no tienen sentido en los contextos reales, como tener 1.7 hermanos en promedio. Por este motivo, es necesario analizar la situación e interpretar los resultados.

queda aumentada en dicho número. •• La media es una “representante” de los datos a partir de los que ha sido

calculada. a) Analicen si estas propiedades se cumplen para los datos de las actividades

anteriores. b) ¿Están de acuerdo con la siguiente afirmación? “La media aritmética o

promedio representa la equidad. Es el valor que tendrían los datos si todos ellos fueran iguales.” 6. Analiza el siguiente planteamiento y responde las preguntas.

Juan Luis es dueño de una tienda de productos italianos. Recientemente, actualizó su lista de espaguetis con las siguientes variedades y precios. Pasta (500 g)

Italiana

Integral

Con especias

Con espinaca

Vitaminada

Precio ($)

17.50

20.40

19.90

15.90

28.30

a) ¿Cuál es el costo promedio de las pastas que vende Juan Luis?

 b) ¿Cuál es la pasta más barata, la más cara y la de precio intermedio?

  c) Juan Luis también vende estas pastas en empaques de 250 g. ¿Cuál es el

precio promedio de dichas pastas?  d) Enuncia dos procedimientos para resolver el planteamiento anterior.

  e) Compara tus respuestas con tus compañeros. ¿Fueron similares los proce-

dimientos del inciso d)? Comprueben que se cumplen las propiedades de la media aritmética para este conjunto de datos.

SECUENCIA 12

77


7. Lee las propiedades de la mediana. En caso de dudas, coméntalas con

un compañero o propón una estrategia de cómo podrías resolverlas.

#TIC T@C Resuelvan las actividades sobre la media y la mediana que encontrarán en redir.mx/SSPM1-078a

Propiedades de la mediana • La mediana está ubicada entre el valor mínimo y el valor máximo de un

conjunto de datos. • Es el valor que divide al conjunto de datos en dos partes iguales; es decir,

deja el mismo número de datos antes y después que él. En otras palabras, es la mitad. • Como medida descriptiva, tiene la ventaja de no estar afectada por las

observaciones extremas, ya que no depende de los valores de los datos, sino de su orden.

MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS 8. En parejas, lean el planteamiento y respondan las preguntas.

En un taller de Ciencias se hace un montaje para medir cuánto tiempo dura la oscilación completa de un péndulo; es decir, el tiempo que demora el cuerpo al final del hilo en ir y volver al punto inicial. El grupo se organiza en equipos de siete integrantes para registrar el tiempo de la oscilación. pinza hilo regla

cronómetro masa soporte

a) Determinen el tiempo de una oscilación. Consideren las mediciones obte-

nidas por el primer equipo: 1.5 s, 1.45 s, 1.6 s, 1.52 s, 1.9 s, 1.5 s y 1.43 s.

b) Un miembro del equipo piensa que hay un error en la medición y que no

debería considerarse el valor de 1.9 s. ¿Están de acuerdo? Justifiquen su respuesta.

c) Investiguen qué es un valor atípico en una medición y cómo afecta el

cálculo de la media o la mediana.

78

MATEMÁTICAS 1


9. Organícense en equipos de más de cinco integrantes y hagan el ex-

#BITÁCORA

perimento de la actividad 8. Consigan el material del esquema: un objeto pequeño y pesado (una pesa, una piedra, una pelota), hilo, una regla, un soporte y un cronómetro (puede ser un reloj o el de un celular).

En la página 238, resuelve la actividad que corresponde a esta secuencia.

Armen el montaje de la actividad 8. a) Cada integrante del equipo debe hacer lo siguiente. » Colocar el péndulo a la misma altura inicial (para eso se ocupa la regla)

y soltarlo. » Medir el tiempo que tarda en completar 10 oscilaciones. » Registrar el tiempo medido en la tabla. Si es necesario, copien la tabla en

su cuaderno y agreguen tantas filas como integrantes haya en su equipo. Integrante

Tiempo de diez oscilaciones (s)

Tiempo de una oscilación (s)

1 2 3 4 5 b) ¿Cómo calcularon el tiempo de una sola oscilación?

c) Calculen el promedio de la columna “Tiempo de una oscilación”. ¿Qué

valor obtuvieron? d) Repitan el experimento sin cambiar el objeto ni la longitud del péndulo,

pero ahora inicien desde una altura diferente. Integrante

Tiempo de diez oscilaciones (s)

Tiempo de una oscilación (s)

#CONTEXTO

1 2 3 4 5 e) ¿Cuál fue el tiempo de oscilación en este segundo caso? f) Comparen los resultados de los incisos c) y e). ¿Qué observan?

10. Reflexionen sobre la necesidad de hacer varias mediciones al obser-

var y analizar un fenómeno. ¿Son las mediciones exactas? ¿En qué ayuda calcular la media de mediciones sucesivas? En grupo y con la guía del profesor lleguen a una conclusión.

SECUENCIA 12

Los comienzos de la estadística se remontan al antiguo Egipto, cuyos faraones recopilaron, hacia el año 3050 a. de C., datos relativos a la población y la riqueza del país. Investiga qué son los censos y conteos de población y vivienda que lleva a cabo el Inegi en nuestro país, así como qué información consideran.

79


EXPERIMENTA Geometría dinámica 1. Conoce GeoGebra©.

Existen diferentes programas de geometría dinámica. Nosotros emplearemos la versión en línea de GeoGebra© para geometría. a) Ingresa en la dirección ‹redir.mx/SSPM1-080a›. b) Explora las herramientas básicas. 2. Sigue las instrucciones para trazar un triángulo y explorar cuánto

suman sus ángulos interiores. a) Selecciona la herramienta “Punto”

y haz clic en tres lugares distintos del área de graficación. Aparecerán los puntos A, B y C.

b) Selecciona “Polígono”

y une los tres puntos para formar un triángulo. Da clic en el orden A, B, C y A. B A

C c) En el menú “Construcción” selecciona “Paralela”

. Luego, da clic en

el punto B y después en el segmento AC. d) En la línea paralela al segmento AC, coloca dos puntos. Uno a la izquierda

de B y otro a la derecha. D B E A

C

e) En el menú “Medición” selecciona “Ángulo”

y los puntos D, B y A. De esta forma, estás midiendo el ángulo formado por los segmentos DB y BA con vértice en B.

D 38.5°

A

38.5°

B

86.5° 55° 55°

E

C

f) Haz lo mismo para los ángulos con vértice en B y los ángulos internos del

triángulo. Selecciona la herramienta “Elige y mueve” los vértices del triángulo ABC.

y desplaza

g) Comprueba que se cumple tu conjetura sobre la suma de los ángulos

internos de un triángulo.

80

MATEMÁTICAS 1


Cuestionario para evaluar tu participación en una discusión grupal Descripción: con este cuestionario conocerás cuáles son tus actitudes y com-

portamientos predominantes como participante en una discusión grupal. Recuerda un anuncio o campaña publicitaria que haya llamado tu atención. Seguramente, las ideas que le dieron origen nacieron en una discusión grupal de creativos alrededor de un tema central, en la que cada uno aportó y defendió sus ideas y rebatió otras hasta obtener una o dos ganadoras que llevaron ante el cliente para que tomara la decisión final. De la misma forma, los grandes corporativos forman equipos de trabajo multidisciplinarios que se reúnen a discutir para tomar diferentes decisiones. Si has participado en una discusión grupal, sabes que en ellas todos los miembros del grupo tienen oportunidad de exponer y escuchar una variedad de puntos de vista y, aunque estas discusiones pueden ser intensas, están basadas en el contenido de las ideas, es decir, no caen en el terreno de lo personal. Estrategia: recuerda tus actitudes y comportamientos como participante en una discusión grupal y autoevalúate para conocer los aspectos en que puedes mejorar. También puedes llevar a cabo una coevaluación con uno de tus compañeros para saber cómo te perciben los demás. Considera la siguiente escala.

1 - Nunca

2 - Casi nunca

3 - A veces

4 - Casi siempre

Actitudes y comportamientos al hablar

5 - Siempre Actitudes y comportamientos al escuchar

Expresas tus ideas libremente y dices todo lo que piensas.

Escuchas con respeto las ideas que los demás expresan.

1 2 3 4 5 Presentas con confianza ideas novedosas o que aún no están completamente terminadas.

1 2 3 4 5 Estás abierto a escuchar ideas novedosas o que aún no están completamente terminadas.

1 2 3 4 5 Estás dispuesto a recibir las observaciones de los demás y las utilizas para reconsiderar o fortalecer tu postura.

1 2 3 4 5 Haces comentarios constructivos a los demás para ayudarlos a reconsiderar o fortalecer su postura.

1 2 3 4 5 Expones y discutes las ideas sin involucrar temas o creencias personales.

1 2 3 4 5 Enfocas tu escucha en las ideas sin involucrarte en discusiones personales.

1 2 3 4 5 Participas en la discusión sin buscar dominarla o imponer tus ideas.

1 2 3 4 5 Escuchas la discusión, pero participas a la par de los demás.

1

1

2

3

4

5

2

3

4

5

Motivas a tus compañeros para llegar a una conclusión grupal.

Aunque no estés de acuerdo con la conclusión a la que llegó el grupo, la aceptas y respetas.

1

1

2

3

4

5

2

3

4

5

Resultado: suma los resultados de cada tabla y compáralos para saber si eres más hábil exponiendo o escuchando. Es mayor mi habilidad

81


SECUENCIA 13

Exploración de cuadriláteros

MIS PRIMERAS IDEAS

#PROTAGONISTA Observa la pintura. ¿Qué sensación o emoción te produce verla? ¿Cuál consideras que fue el propósito del artista cuando creó esta obra? ¿Por qué empleó únicamente figuras geométricas y colores sólidos? La contemplación, descripción y creación de formas artísticas a partir de cuerpos, figuras y líneas es la base de la abstracción geométrica. Investiga más sobre este movimiento.

¿Has escuchado hablar del arte abstracto? Kazimir Malévich (1878-1935) fue un pintor ruso y uno de los pioneros de la abstracción geométrica, también fundó el movimiento suprematista a principios del siglo XX. La siguiente pintura es una obra suya que pertenece a este movimiento.

Composición suprematista Kazimir Malévich, 1916 Óleo sobre tela 1. Observa la pintura y responde las preguntas. a) ¿Qué cuadriláteros están representados?

b) Reproduce en tu cuaderno las figuras verde, azul y rosa de la obra de

Malévich y nombra cada una. c) Escribe en una tarjeta lo que conoces de esas figuras. 2. Trabaja con un compañero. Lean la situación y lleguen a un acuerdo.

Al observar la pintura anterior, Manuel dijo que la figura azul era un cuadrado, Katia replicó diciendo que era un rombo, mientras que Leonardo dijo que era un rectángulo. a) ¿Con quién están de acuerdo? Justifiquen su respuesta.

#TIC T@C Explora otras obras del movimiento suprematista en redir.mx/SSPM1-082a

82

MATEMÁTICAS 1


5

MI PROCESO DE APRENDIZAJE 3. Completa el crucigrama.

2

Verticales

3

4

1. Cuadrilátero que tiene los lados 6

paralelos dos a dos y los ángulos iguales dos a dos.

2. Polígono de cuatro lados.

3. Cuadrilátero que tiene los lados

1

paralelos dos a dos y cuatro ángulos rectos.

4. Paralelogramo que tiene los lados

y ángulos iguales dos a dos

5. Paralelogramo cuyos lados tienen

la misma longitud y cuyos ángulos son iguales.

Horizontales 6. Cuadrilátero que no tiene ningún lado igual ni paralelo y ángulos diferentes.

8

7

7. Cuadrilátero que tiene dos lados

paralelos llamados base mayor y base menor.

8. Paralelogramo que tiene los

cuatro lados iguales y ángulos iguales dos a dos. 4. En parejas, lleven a cabo la actividad. ºº En hojas recicladas, tracen y recorten las siguientes figuras: paralediagon al: segm ento qu dos vér e une tices n o conse cutivos . C

logramo, rectángulo, rombo, cuadrado, trapecio y trapezoide. ºº En cada cuadrilátero, tracen una diagonal y recorten la figura. a) ¿Qué polígonos obtuvieron? 

D

b) ¿Se obtiene el mismo tipo de polígono al recortar cualquier cuadrilátero?

Justifiquen su respuesta. 

Diagonal

 c) ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un triángulo? 

A

B

d) ¿Cuánto suman los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero? Justifi-

quen su respuesta.   

SECUENCIA 13

83


e) Midan los ángulos de las figuras que formaron y comprueben su respues-

#REFLEXIONA

ta anterior. f) Comparen sus respuestas con sus compañeros. Analicen si este experimen-

Al trazar las figuras, estás analizando casos particulares. Cuando los manipulas o mides, aseguras que se cumplen las propiedades para esos ejemplos, ¿cómo podrías asegurar que tu resultado se cumple para todos los cuadriláteros?

to con las figuras es suficiente para asegurar que la suma de los ángulos de un cuadrilátero es igual a 360º. 5. Analicen si son congruentes los triángulos que se forman al trazar la

diagonal de un paralelogramo. ºº Consideren las propiedades que conocen de cada figura. ºº Escriban el criterio de congruencia que usaron. D

•• El cuadrado

C

El cuadrado tiene los cuatro lados iguales: AB = BC = CD = DA #TIC T@C Repasa la congruencia de triángulos en redir.mx/SSPM1-084a

Se deduce que los siguientes lados de los triángulos son iguales: AB = CD y DA = BC A

B

BD es un lado común en los triángulos ABD y BCD. Por el criterio LLL, los dos triángulos son congruentes.

H

G •• El rectángulo

E

F

•• El rombo

O

P

M

N

S •• El paralelogramo T R Q

#BITACORA Resuelve la actividad de esta secuencia en la página 238.

84

6. En grupo, comparen si en la actividad anterior usaron los mismos

MATEMÁTICAS 1

criterios de congruencia. Si son distintos, verifiquen que su justificación sea correcta.


MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS 7. Analiza la siguiente explicación y completa la información de la tabla

para deducir cuánto suman los ángulos de un paralelogramo. • Al trazar una diagonal en un paralelogramo, se obtienen dos triángulos

que comparten un lado (la diagonal). • Al prolongar dos lados opuestos del paralelogramo, se obtienen dos para-

lelas y una transversal (diagonal), por lo que los ángulos alternos internos A D son iguales: 4 2 1= 2y 3= 4 • Por el criterio ALA, los triángulos son con-

1

gruentes.

3

B

C

Lo que se conoce

Deducciones

Los triángulos ABD y CDB son congruentes. Si 1=

y

=

4

Si

1+

4+

Si

A=

Se dedujo B+ A+

3+

1+

Si

3+

2,

C = 180º y

=

=

2+ 4+

1+

y +

A=

D=

+

entonces

=

Al sumar los ángulos del paralelogramo ABCD: B+ + A+ = 180º + A+

B+

C+

,

= 180º y

A+

3=

+

=

3,

C=

4+

2+

1=

C=

B+

entonces

Del paralelogramo ABCD D=

1+

C = 180º y

1+

entonces

Del triángulo ABD 1+

3+

entonces

Del paralelogramo ABCD B=

2+

=

D=

8. Trabaja en equipo. Resuelvan el problema en su cuaderno.

Demuestren que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio (E). Para ello, utilicen los criterios de congruencia de triángulos y determinen los triángulos congruentes de la siguiente figura. A

B

E D

C

9. Revisen la respuesta del inciso f) de la actividad 4 y compá-

renla con el procedimiento que hicieron en la actividad 8. ¿Con cuál de los métodos es posible definir una propiedad para todos los paralelogramos? Lleguen a un consenso y escriban sus conclusiones en el cuaderno.

SECUENCIA 13

#CONTEXTO

Las casas cubo son un conjunto habitacional construido en Holanda. Aprecia cómo se integra la arquitectura y las matemáticas en un diseño innovador. Busca edificios representativos de tu localidad e identifica las figuras congruentes.

85


SECUENCIA 14

¿Letras o números?

MIS PRIMERAS IDEAS Emilia quiere armar un móvil con botones para su presentación final en el taller de arte. Tiene dos tipos de botones y sabe también que el botón rojo pesa el doble que el negro.

1. Reúnete con un compañero y resuelvan la siguiente situación. a) Dibujen las piezas que hacen falta, de manera que guarden equilibrio y

utilicen la menor cantidad de botones. B

A

C

b) Emilia diseñó la

siguiente configuración: #REFLEXIONA Aunque se puede escribir 1r = 1n + 1n, es usual que solo se anoten las letras. Algo similar sucede cuando se tiene una multiplicación: es lo mismo escribir 2 × n que 2n.

Observen que se requieren dos botones negros en el lado derecho para equilibrar el móvil; esto lo podemos representar así: 1 rojo = 1 negro + 1 negro o bien, r =n+n

simplificando.

r = 2n c) A los siguientes modelos (escritos ahora con letras) se les agregaron nue-

vas piezas, tanto a la derecha como a la izquierda. Escribe cuántas piezas faltan en cada caso, a fin de que se mantenga el equilibrio y se utilice la menor cantidad posible de botones. r + r = 2n +

r = r + 2n

n + r + r = 2n

3n + r = 2n

d) Este móvil es un buen ejemplo para comprender el concepto igualdad, ya

que es necesario mantener el equilibrio; lo mismo sucede con esta operación. Escriban los números que faltan.

#REFLEXIONA

+ Es una creencia en matemáticas que solo existe una respuesta correcta. Observa que en este caso existe una infinidad de soluciones.

86

MATEMÁTICAS 1

=9

Es posible colocar muchos pares de números que cumplen o preservan la igualdad, pero, ¿cómo señalar que son diferentes? Se puede usar la letra x para indicar un número, y la letra y para indicar otro; la expresión anterior se reescribe. x+y=9


e) Expresen, con letras, que el número sobre los espacios es el mismo.

+

=9

f) Elaboren una conclusión sobre el sentido de la igualdad en este contexto.

2. Lee el siguiente planteamiento y responde las preguntas.

Sergio leyó en sus redes sociales el siguiente acertijo, pero lleva un buen tiempo intentando resolverlo, sin éxito. +

+

=

36

+

+

=

24

=

+

+

=

¿?

3

a) En el recuadro, reescribe las operaciones anteriores utilizando literales

en lugar de dibujos y obtén el valor de cada fruta para resolver el acertijo. f + f + f = 36 =f=

litera les: l etras una e que s xpres e emp i ón m lean ment atem en e par á tica, a r e g prese enera o una ntar lmagn un nú itud. mero

=n=

=c= b) Con los valores encontrados, completa las siguientes expresiones.

n = 42 » 4f − n = 42 » 4n + 12= »

f+

» 4c − 3f = » 5f + 5 = » f − n − 2c =

c) Considera que se cumple

+

+

1n + 5 = = 15. Resuelve __ 2

d) Determina para cada caso el valor de n. » Si 4n = 12, entonces n = 1 n + 1 = 6, entonces n = » Si __ 2

#REFLEXIONA ¿De qué depende el valor que adquiere n?

» Si 5n − 4 = 8.5, entonces n = » Si 1.5n − 1 = 8, entonces n = e) ¿Qué función tiene el signo de igual en este contexto? Explica tu respuesta.

SECUENCIA 14

87


3. En parejas, lean el siguiente planteamiento y respondan las preguntas.

Mario trabaja en una fábrica de azulejos para baño. Recientemente diseñó una nueva línea de azulejos en tres diferentes tamaños. A B C

El área de producción aún no ha definido las dimensiones exactas de los mosaicos, pero sí las relaciones entre ellos: la pieza C equivale a dos piezas B y a cuatro piezas A. La pieza B corresponde a dos piezas A. a) Se ha denominado provisionalmente x el lado del cuadrado A, ¿cuál es su

perímetro? Escriban la operación y su resultado. #TIC T@C

b) Determinen el perímetro de la pieza B y la pieza C. Escriban las operacio-

¿Alguna vez te has preguntado por qué x es la incógnita? Averígualo en redir.mx/SSPM1-088a

nes completas. B:

C:

c) El área de diseño ha elaborado diferentes combinaciones de las piezas pa-

ra un catálogo promocional. Escriban en su cuaderno las operaciones para calcular el perímetro de cada figura.

Perímetro =

Perímetro =

Perímetro =

Perímetro =

d) Una determinada combinación de piezas forma un rectángulo de 5x de

base y 14x de perímetro. ¿Cuánto mide la altura?

#FUENTE Tony Crilly, 50 cosas que hay que saber de matemáticas, Barcelona, Ariel, 2014. Descubre algunas de las ideas más importantes de las matemáticas, iniciando desde el cero y las fracciones. ¿Hablarán de las ecuaciones?

88

MATEMÁTICAS 1

Escriban la operación. e) Si aumentamos 2x a la base de la figura anterior y conservamos la misma

altura, ¿cuál es su nuevo perímetro? f) Obtengan el resultado de las siguientes operaciones. » 3x + 3x + 2x + 2x = » 4x + 8x =

1 x + __ 1 x + 2x + 2x = » __ 2

2


g) El área de diseño decidió que x podría tomar los siguientes valores en

centímetros: x = 10, 20, 30. Determinen el perímetro (P) de un rectángulo que mide 5x de base y 3x de altura. 

MI PROCESO DE APRENDIZAJE 4. Lee el siguiente planteamiento y responde las preguntas. a) Juan Carlos llevaba $1 200.00 cuando fue al supermercado. Después de

comprar varios artículos, le sobraron $405.00. ¿Cuánto gastó?  b) En el problema anterior hay dos cantidades conocidas y una desconocida.

Escribe cuáles son. Cantidades conocidas

Cantidad desconocida

c) ¿Qué tipo de cálculo efectuaste para resolver el problema? Escribe el

procedimiento.  Para resolver una ecuación, se debe encontrar un número con el que se cumpla la igualdad. En el caso anterior, si se nombra con la letra x la cantidad de dinero que gastó y se expresa el problema en lenguaje algebraico, se obtiene la siguiente ecuación: x + $405.00 = $1 200.00 Dinero que gastó Dinero que sobró Total de dinero que tenía

ncia a: a rest do = difere l e d ntos aen Eleme do − sustr endo n e minu do minu traen − sus rencia o dife resto

# D AT 5. Completa la tabla como en el ejemplo.

Expresión verbal

Valor de la incógnita

La suma de un número y seis es igual a nueve.

6

Expresión algebraica x+3=9

O

x − 405 = 910 La suma de dos números iguales es nueve. Un número sumado a un tercio es igual a once quinceavos.

2 ​​ ​​ __ 5 1 ​​ ​​ __ 2

a) Compara tus respuestas con otro compañero. ¿Coincidieron en la última

fila? Comprueben que la respuesta a su ecuación sea __ ​​ 12 ​​.

Es usual que el coeficie , en una ecuación , nte exponente 1 (al igual que el 1) no se e scriba. Por ejem plo, 1 se expres 1x + 2 = 10 a como x + 2 = 10 .

Una ecuación es una igualdad en la que hay, por lo menos, un número desconocido denominado incógnita. En una ecuación de primer grado, hay incógnitas con exponente 1. exponente coeficiente

constantes

3x + 5 = 30

variable o incógnita

SECUENCIA 14

2

operador

89


6. Reúnete con un compañero y completen la siguiente tabla, en la que

se describe el procedimiento para resolver una ecuación. Proceso de solución Se identifica la ecuación inicial.

Caso 1

Caso 2

12 + x = 20

x − 8 = 10

Se suma o resta la misma cantidad a cada lado de la igualdad.

Se obtiene el valor de x. Se comprueba que el valor de x es correcto, sustituyendo en la ecuación y resolviendo operaciones. 7. Calcula mentalmente el valor de las incógnitas de las siguientes ecua-

#PROTAGONISTA

ciones y haz las respectivas comprobaciones en tu cuaderno. • 3 + x = 17 • x + __ ​​  1 ​​ = 1 • 4.5 + x = 12 • 3.5 + x = 19 • x − 3.5 = 14

Responsabilizarte de tu propio aprendizaje implica que identifiques estrategias para validar si los resultados que obtuviste son correctos, así como desarrollar la capacidad de identificar equivocaciones y corregirlas.

8

Para resolver una ecuación La ecuación inicial se transforma en otras ecuaciones equivalentes más sencillas, hasta encontrar el valor de la incógnita.

tienen jantes: e m e s os cógnita términ eral (in t li e t r te a pa oeficien la mism ero el c p , ) e t t n ne ren e. y expo o o dife m is m l er e puede s mplo: x2 2 Por eje 3x y 3 b2 c 2 y 1.3a 58ab c

Se simplifican términos semejantes; es decir, se reducen los términos comunes para escribir una versión abreviada de la ecuación inicial.

2x − 5 + 4x = 19 2x y 4x son términos semejantes 6x − 5 = 19

Se agrupan los términos con la incógnita (x) en un lado de la igualdad, y las constantes en el otro lado.

6x − 5 + 5 = 19 + 5 6x = 24

Se efectúan las operaciones y se simplifica la igualdad. Se resuelve la ecuación para x. Para comprobar una ecuación En la ecuación inicial se sustituye la incógnita por el valor encontrado.

6  ​​  x = ___ ​​  24   ​​ ​​ __ 6 6

x=4

2x − 5 + 4x = 19 Solución x = 4 2(4) − 5 + 4(4) = 19 8 − 5 + 16 = 19

Se efectúan las operaciones.

Se verifica que se cumpla la igualdad.

19 = 19 El valor x = 4 satisface la ecuación.

8. En tu cuaderno, resuelve las ecuaciones, determina el valor de la

incógnita y comprueba tu solución. #BITÁCORA Practica la resolución de ecuaciones con la actividad de la página 239.

90

a) 2x − 2 = 16

b) 4x + 2 = 16

c) x − 2 = ___ ​​ 10  ​​

e) 16x − 4 = 32

f) 5x − 3 = 2x

d) 3x + 1 = 2x + 3

MATEMÁTICAS 1

2


MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS 9. En equipo, resuelvan los problemas. Escriban la ecuación, resuélvan-

la y comprueben la respuesta. Si es necesario, efectúen las operaciones en su cuaderno. Un cuadrado mide 2x por lado y tiene un perímetro de 16 unidades. ¿Cuál es el valor de x?

La base de un rectángulo mide 18 cm más que su altura, y su perímetro mide 76 cm. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

Antonio compró 3.5 kg de piña y pagó $42.00. ¿Cuál es el precio por kilogramo?

Andrea compró por internet los boletos para un concierto a $120.00 más una comisión extra de $20.00 por cada compra. Pensó en adquirir también los boletos de sus amigos y así pagar una sola vez la comisión extra. Si gastó $620.00 en total, ¿cuántos boletos compró?

10. Lee la situación y responde las preguntas.

Joaquín tenía una colección de 38 revistas de cómics, pero regaló algunas y le quedaron 23. ¿Cuántas revistas regaló? a) ¿Cuál es la cantidad desconocida? b) Analiza el esquema que representa geométricamente el problema. 23

x 38

En esta figura se observa que el total es de 38 revistas, y que 23 es parte de ese total. También, que hay una cantidad desconocida: x.

c) Escribe una ecuación que represente la situación anterior y determina el

valor de x. #CONTEXTO 11. Reúnete con un compañero y resuelvan los problemas en su cuaderno.

Representen cada problema con un esquema e identifiquen la incógnita, como en la actividad anterior. Planteen la ecuación y resuélvanla. a) En el supermercado, el kilo de queso blanco cuesta $145.00 y en el mer-

cado de la colonia cuesta $18.00 menos. ¿Cuánto cuesta el queso en el mercado de la colonia? b) Toño, Alfredo y Juan tienen, entre los tres, 181 tarjetas de animales fan-

tásticos. Toño tiene el doble que Alfredo y Juan tiene 28 tarjetas. ¿Cuántas tarjetas tiene Alfredo? 12. De forma grupal, discutan la diferencia de las siguientes expresiones:

2x; 2 + x; x + x. Escriban las conclusiones en su cuaderno.

SECUENCIA 14

Los acertijos matemáticos son un entretenimiento cuyo reto es encontrar la solución a un enigma por medio del razonamiento y, a veces, de la intuición. En la imagen se muestra un clásico acertijo con cerillas: haz que la igualdad sea correcta; para ello, mueve únicamente un cerillo y reacomódalo dentro del arreglo, con coherencia. ¿Lo lograste? ¿Conoces otros acertijos?

91


SECUENCIA 15

Tanto por ciento

MIS PRIMERAS IDEAS En la casa de Joaquín se paga anualmente el servicio de agua potable. Este año se han implementado descuentos por pronto pago y recargos por pago extemporáneo, bajo el siguiente esquema. Mes de pago

Monto aplicable

enero

−30%

febrero

−20%

marzo

−10%

abril

0%

mayo

+10%

junio

+20%

julio y posteriores

+30%

1. Reúnete con un compañero y lleven a cabo las actividades. a) ¿Qué significa que en abril se tenga un monto aplicable de 0%?

 b) Este año, el recibo de agua es por $800.00, pero la cantidad que se pa-

gará depende del mes en que se pague. Completen la siguiente tabla y compartan sus resultados con sus compañeros de grupo. Monto aplicable

Cantidad ($)

−30% −20% −10% 0% +10% +20% +30% c) Observen la columna “Cantidad” y determinen cuánto aumenta una can-

tidad respecto a la anterior.  d) Describan, paso a paso, el procedimiento que usaron para obtener cada

cantidad que se debe pagar. e) En este contexto, ¿qué significa tener un monto aplicable de −100%

y +100% en el pago del agua? Expliquen su respuesta. 

#ALGUIEN COMO YO Ana Gabriela Guevara conquistó el primer lugar de 400 m y 800 m en la Olimpiada Nacional Juvenil de México. Así comenzó su carrera en pruebas de pista, pues antes practicaba basquetbol. En los juegos olímpicos de Atenas, 2004, obtuvo la medalla de plata.

92

 2. Lee el siguiente planteamiento y responde las preguntas.

MATEMÁTICAS 1

Felipe tiene la clara intención de convertirse en un atleta de alto rendimiento y participar en competencias internacionales de atletismo. Así que se prepara entrenando, cuidando su alimentación y siguiendo las recomendaciones de su médico en relación con el esfuerzo físico y frecuencia cardiaca.


a) Completa la tabla, considerando que Felipe tiene 20 años de edad y su

capacidad máxima de latidos por minuto es de 200.

Esfuerzo físico

Esfuerzo físico (%)

Tiempo de entrenamiendo (min)

Latidos por minuto

máximo

90 - 100

0-2

180 - 200

fuerte

80 - 90

2 - 10

moderado

70 - 80

10 - 40

ligero

60 - 70

40 - 80

muy ligero

50 - 60

20 - 40

b) Don Gabriel, quien es papá de Felipe, también se ha entusiasmado con la

idea de practicar atletismo, y le ha pedido a su hijo que le diseñe su tabla de entrenamientos. Aprovechando la ocasión, construye en tu cuaderno cuatro tablas como la anterior para las siguientes edades. Edad

Máximo de latidos por minuto

30

190

40

180

50

170

60

160

3. Resuelve los siguientes planteamientos.

Saúl está armando un rompecabezas de 100 piezas y se ha propuesto registrar su avance diario. a) Completa la tabla. En la columna “Imagen” colorea la parte que corres-

ponde al porcentaje indicado. Porcentaje Fracción Decimal

34%

Imagen

0.34

__ ​​  12 ​​

SECUENCIA 15

93


b) Responde las preguntas. »» Al tercer día, Saúl ha armado __ ​​ 3 ​​partes del total. ¿Qué porcentaje le 4

corresponde?  »» Al cuarto día, ha completado 90%. Exprésalo como fracción y decimal.  »» En este contexto, ¿qué significa 0% y 100%?

 

MI PROCESO DE APRENDIZAJE 4. En parejas, analicen la gráfica y respondan en su cuaderno.

Hogares con internet, 2001 - 2016 Absolutos

Participación porcentual del total nacional

18

47.0 39.2

14 10 6 2 0

22.2

18.4

8 4

40

34.4

12

6.2 1.5 2001

7.5

8.7

1.8

2.3

2002 2004

9.0 2.3 2005

10.1 2.7

12.0

23.3

26.0

50

30.7 30 20

13.5

Porcentaje (%)

Millones de hogares

16

10 3.2

2006 2007

3.8

5.1

6.3

7.0

7.9

9.6

10.8

12.8

15.7

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

2015

2016

0

Elaboración propia con datos de Inegi, Encuesta nacional sobre disponibilidad y uso de las tecnologías de la información en los hogares, 2016

a) La gráfica anterior muestra, por año, la cantidad de hogares con internet

(en millones) y el porcentaje correspondiente del total nacional. ¿Cuál es el total de hogares en el año 2016? b) Obtengan el total de hogares en 2015. c) Comparen sus respuestas de los dos incisos anteriores: ¿es la misma cantidad de hogares?, ¿hubo nuevos hogares? Expliquen su respuesta. d) ¿Cuántos hogares representa 10% en los años de 2010 a 2016? e) Analicen la gráfica y hagan una predicción del porcentaje de hogares con internet para 2017. Un porcentaje indica una parte de cierta cantidad: 100% representa el total de la cantidad; así, 1% representa la centésima parte del total. Cuando se habla de tanto por ciento de una cantidad, se hace referencia a un porcentaje. Para obtener el porcentaje dado de cierta cantidad, se multiplica la cantidad por el porcentaje que se desea obtener y se divide entre 100. Por ejemplo, para calcular 20% de 1 750: (20)(1 750) ________ ​​  = 0.2(1 750) = 350 ​​  100   

94

MATEMÁTICAS 1


5. Lee el siguiente planteamiento y después responde las preguntas.

La familia de Pedro reparte sus ingresos de la siguiente forma: 50% para alimentación, 15% para la renta y el mantenimiento del hogar, 10% destinado a actividades de diversión y esparcimiento, 5% para transporte y el resto para el ahorro. a) Si el ingreso mensual de la familia es de $8 600.00, ¿cuánto dinero se

ocupa para la alimentación?  b) ¿Cuánto dinero se destina para la diversión familiar?  c) Del dinero destinado para el transporte, 20% se gasta en el transporte

urbano. ¿Cuánto dinero representa este gasto?  d) El fin de semana, la familia gastó $215.00 en el cine. ¿Qué porcentaje

representa del dinero asignado para la diversión familiar? ¿Qué porcentaje representa del ingreso total de la familia?  El porcentaje se puede obtener como regla de tres; por ejemplo, 15% de 80 se escribe como: ∙ 80 80 que es igual a x: x = ______ ​​  15100    ​​ = 12   100% x 15% Así, 15% de 80 es 12. Este procedimiento es útil cuando se conoce la cantidad de un porcentaje dado, pero se desconoce de qué porcentaje es. Por ejemplo, qué porcentaje representa 30 de 150 ∙ 100 150 que es igual a x: x = _______ ​​  30150     ​​  = 20% 100% 30 x Así, 30 representa 20% de 150.

6. Calcula los porcentajes. Usa el procedimiento del recuadro anterior. a) 5.5% de 35 =

Resuelve los ejercicios de porcentajes en redir.mx/SSPM1-095a

b) 33% de 1 256 =

c) ¿Qué porcentaje es 18 de 90?

#TIC T@C

d) ¿Qué porcentaje es 10 de 346?

7. Trabaja con un compañero y resuelvan los problemas. a) En enero del 2000, el precio del dólar estadounidense era de $9.39 pesos;

en enero de 2017, su precio era de $20.68. ¿Qué porcentaje aumentó en 17 años?  b) En 1910, México tenía una población de 13.6 millones de habitantes; se estima que en 2025, habrá 140 millones de habitantes. ¿Qué porcentaje aumentaría en 115 años?  c) Comparen sus respuestas anteriores y expliquen qué significan los porcentajes mayores a 100%. Busquen en diferentes medios informativos (revistas, periódicos, internet) ejemplos de porcentajes mayores a 100% y expliquen su significado dentro del contexto de la noticia.

SECUENCIA 15

#REFLEXIONA El porcentaje se refiere a partes proporcionales de 100; sin embargo, hay situaciones que nos llevan a considerar un valor mayor a 100%. Por ejemplo, la expresión 125% significa que se agrega 25% de un valor o magnitud dado a ese mismo valor o magnitud.

95


8. Resuelvan las situaciones sobre el cálculo del IVA. a) Irma comprará un horno de microondas. Si el precio de lista es $1 500.00

más 16% de IVA, ¿cuánto pagará en total?  b) Ana compró una computadora por $4 495.00, y el precio ya incluía el

#BITÁCORA

IVA. Para su declaración, necesita deducir el IVA. ¿Cuánto corresponde a 16% de IVA?

Ve a la página 240 y generaliza los procedimientos de los recuadros.

 c) Isidro desea comprar una bicicleta. En una tienda cuesta $2 500 más IVA

y en otra, en oferta, $2 999.00 con el IVA incluido. ¿En qué tienda le conviene comprar?  d) Comparen, con ayuda del profesor, sus respuestas y procedimientos.

MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS 9. Usa los datos del recuadro de información nutricional de una

caja de cereal para responder las preguntas. a) Al consumir 30 g de cereal, una persona ingiere 25% de la vitamina C

que necesita durante el día. ¿Cuántos gramos de cereal se necesitan para obtener 100%?  Información nutricional Vitaminas y minerales (cantidad diaria recomendada) Vitamina B1 Vitamina B2 Niacina Ácido fólico Vitamina B12 Vitamina C Ácido pantoténico Calcio Hierro Zinc

Por 30 g de cereal 48% 50% 46% 13% 12% 25% 38% 9% 22% 22%

Por 30 g de cereal

1 ​​ taza de b) ¿Qué porcentaje de vitamina C se cubre con ​​ __

1 __ con ​​ 2 ​​ taza de leche

semidescremada 55% 52% 47% 15% 34% 27% 38% 26% 23% 27%

leche descremada?

2

 c) ¿Cuántos gramos de cereal debería comer una persona

para consumir 100% de hierro necesario?  d) Luis consumió 50 g de cereal. ¿Qué porcentaje reco-

mendado ingirió de ácido pantoténico? 

#PROTAGONISTA

e) Al ingerir una taza de leche con 30 g de cereal, ¿qué por-

La información nutricional ayuda a decidir qué productos conviene elegir para llevar una alimentación saludable. Lee las etiquetas de tus alimentos favoritos, identifica los porcentajes recomendados y el aporte nutrimental que cada producto ofrece. Reflexiona si deberías disminuir el consumo de alguno de ellos, como los que contienen más azúcar.

96

centaje de zinc se consumió?  f) La ingesta diaria recomendada de vitamina C es de 60 mg. ¿Cuántos

miligramos de vitamina C aportan 50 g de cereal?  g) Presenta a tus compañeros de grupo el resultado del inciso anterior. Anali-

MATEMÁTICAS 1

cen las dificultades que afrontaron y propongan estrategias de solución.


10. En equipo, resuelvan los problemas en su cuaderno. a) El precio de una casa, en cierta zona de la ciudad, se ha incrementado

12%, 8.5% y 9% cada año, respectivamente, durante tres años. » ¿Cuál ha sido el porcentaje de aumento total en ese periodo? » Diana y Jorge ahorran $20 000.00 al año para comprar una casa.

Hace tres años, la vivienda costaba $300 000.00 y ellos tenían $78 000.00. Expliquen en qué situación se encuentran ahora para comprar la casa. b) Si aumentamos 25% a una cantidad cualquiera y después le disminui-

mos a la cantidad resultante 25%, ¿el resultado final es mayor, menor o igual a la cantidad cualquiera? Estimen el resultado y después verifiquen con ejemplos. c) Una chamarra que costaba $225.00 bajó 15% de precio. Dos semanas

después, bajó 15% sobre el precio ya rebajado. Una promoción menciona que la chamarra ha sido rebajada 30%. ¿Es cierto? Expliquen por qué.

10%

5%

d) Un comerciante calcula el precio de los productos que vende aumentando

30% al precio que ha pagado. Al costo incrementado se le carga 16% de impuestos. ¿Cuánto pagó el comerciante por un producto que vende por $105.56, con impuesto incluido?

15%

25%

e) Argumenten el procedimiento para encontrar la respuesta de los proble-

mas anteriores. Corrijan lo necesario.

20% 25%

11. Usar porcentajes facilita la interpretación y el análisis de informa-

ción. En parejas, analicen la gráfica y respondan las preguntas. Se consultó a los estudiantes de una escuela secundaria sobre el tipo de mascotas que tienen. La gráfica con los resultados apareció en el periódico mural sin más información que la mostrada.

gato

hámster

perro

tortuga

pez

ninguno

a) Si se considera que hay 360 estudiantes en la escuela, ¿cuántos prefieren

los gatos? b) ¿Cuántos estudiantes tienen tortugas o peces? c) ¿Cuántos estudiantes tienen mamíferos?

#CONTEXTO

d) ¿Cuántos estudiantes no poseen mascotas? e) ¿Cuántos grados del círculo le corresponden a los que tienen tortuga

como mascota? f) ¿Cuántos grados suman los poseedores de perros y gatos? g) Comparen sus respuestas con sus compañeros. Inventen otras preguntas

que puedan responder con la información de la gráfica. 12. ¿En qué otras situaciones se usan los porcentajes? Ejemplifiquen

y compartan su respuesta con sus compañeros de grupo.

SECUENCIA 15

Investiga el precio de la gasolina tipo Magna al principio del año y su costo actual. ¿Qué porcentaje aumentó?

97


SECUENCIA 16

Gráficas circulares

MIS PRIMERAS IDEAS Un entrenador de futbol debe elegir a uno de sus jugadores para darle el premio de “mejor jugador de la temporada”; para ello, ha concentrado la siguiente información de los tres mejores. Jugador A Acciones

Jugador B Puntaje

Acciones

Jugador C Puntaje

Acciones

Puntaje

Partidos jugados

10

Partidos jugados

7

Partidos jugados

10

Partidos como titular

8

Partidos como titular

7

Partidos como titular

6

Goles

3

Goles

7

Goles

4

Promedio de buenos pases

6

Promedio de buenos pases

10

Promedio de buenos pases

8

Asistencias

8

Asistencias

6

Asistencias

1

Faltas

8

Faltas

2

Faltas

9

Amonestaciones

1

Amonestaciones

0

Amonestaciones

2

Expulsiones

2

Expulsiones

0

Expulsiones

0

1. Reúnete con un compañero y resuelvan la siguiente situación. a) ¿Qué jugador consideran que es el mejor?  b) Expliquen su respuesta. 

El entrenador se reunió con otras dos personas relacionadas con el equipo para elegir al mejor jugador, pero ellas no comprendían la información de las tablas; por esa razón, el entrenador propuso que todo fuera evaluado por medio de la suma de los aspectos positivos y con la resta de los negativos. c) Completen la tabla. Puntaje

Acciones positivas

Jugador A Partidos jugados

10

Partidos como titular

8

Goles

3

Jugador B Jugador C

Promedio de buenos pases Asistencias Puntaje total

35

Faltas Acciones Amonestaciones negativas Expulsiones Puntaje total

1 2 11

Diferencia entre puntajes 35 – 11 = 24 d) De acuerdo con la tabla anterior, ¿qué jugador es el mejor? 

Expliquen su respuesta.  

98

MATEMÁTICAS 1


El entrenador elaboró la siguiente gráfica para sustentar ante el comité deportivo su elección del mejor jugador.

Desempeño 10 9 Jugador A

8

Jugador B

7

Jugador C

6 5 4 3 2 1 0

Partidos jugados

Partidos como titular

Goles

Promedio de buenos pases

Asistencias

Faltas

El comité solicitó al entrenador que presentara la información de manera más sintetizada. Para ello, elaboró las siguientes gráficas.

Jugador A

Jugador B

Amonestaciones

Expulsiones

#TIC T@C Entra en redir.mx/SSPM1-099a para crear gráficas circulares.

Acciones positivas

Acciones positivas

Acciones negativas

Acciones negativas

Jugador C Acciones positivas Acciones negativas

e) ¿Con cuál de las gráficas se facilita más la lectura para tomar la decisión

sobre el “mejor jugador”?   f) De acuerdo con las gráficas, ¿qué jugador consideran que es el mejor?

Expliquen su respuesta.  

SECUENCIA 16

99


MI PROCESO DE APRENDIZAJE 2. Lee el siguiente planteamiento y responde las preguntas.

El departamento administrativo de una empresa presentó una gráfica en la que se refleja la antigüedad de sus empleados. Con base en ella, se deducen las vacaciones como muestra la tabla.

#DATO En México, por ley, la edad mínima de admisión al empleo es de 15 años. Antes de esa edad, rige el derecho de los niños a la educación; sin embargo, de acuerdo con el Inegi, cuatro de cada diez (37%) menores de 5 a 17 años ocupados no asisten a la escuela.

Años de antigüedad 4%

Años de antigüedad

Días de vacaciones

1

6

2

8

3

10

4

12

5a9

14

20% 6%

40% 30%

1

2

3

4

5

a) Si en total hay 150 empleados, completa la tabla.

Años de antigüedad

1

2

3

4

5

Porcentaje

20%

6%

30%

40%

4%

Total

Empleados b) En tu cuaderno, describe el procedimiento que seguiste para dar solución. c) ¿Cuántos empleados tienen derecho a más de diez días de vacaciones?

d) Inventa dos preguntas que se puedan responder a partir de la gráfica. 3. Lee, interpreta y responde.

En el censo general de población y vivienda del año 2010, Inegi hizo un estudio acerca de los profesionistas en Hidalgo. A continuación, se muestra la gráfica sobre la distribución porcentual de los profesionistas según su municipio de residencia.

Distribución porcentual de los profesionistas que trabajan en Hidalgo según municipio de residencia en 2005 6.2%

En el mismo municipio En otro municipio 93.8%

100

MATEMÁTICAS 1


a) Supongamos que se habla de una población de 20 000 habitantes, ¿cuán-

tos profesionistas trabajan fuera de su municipio? b) ¿Qué porcentaje de profesionistas trabajan en su municipio? c) Mide con tu transportador el ángulo del sector azul, ¿cuántos grados mide?

 4. En parejas, lleven a cabo lo que se pide y respondan las preguntas.

Una asociación civil organizó una rifa para recaudar fondos con el objetivo de ayudar a personas de escasos recursos económicos que necesitan rehabilitación. El total de boletos fue distribuido para su venta como lo muestra gráfica.

# D AT O

Un sect or parte de circular es la un círcu lo por dos radios y limitada el arco que aba rcan.

Distribución de boletos B

Deportivo 15

A

Parque 40

20

Plaza comercial

25

Escuela

C

círculo al de un ado r t n e c lo min El ángu tá deter l que es es aque radios. por dos

a) ¿Cuántos boletos se distribuyeron en total?  b) Expliquen cómo calcularon la respuesta anterior.

 c) Midan los ángulos centrales de cada sector. d) Completen la tabla. Lugar de distribución

Cantidad de boletos

Porcentaje

Medida de ángulo

Deportivo Parque Plaza comercial Escuela Total e) ¿Cuántos grados mide el ángulo central (completo) de un círculo?

f) A partir del porcentaje, ¿pueden calcular la medida del ángulo central

del sector que representa cada sección? Justifiquen su respuesta.   

SECUENCIA 16

101


En la gráfica circular, los datos se muestran en sectores (como las rebanadas de un pastel), cuyo tamaño representa las frecuencias de cada dato. Los datos generalmente se expresan en porcentajes o grados. Para calcular la amplitud (grados) de cada sector, se dividen los 360º entre el número total de datos y se multiplican por la frecuencia de cada uno. 360º    ​​  × frecuencia de cada dato = amplitud del sector ​​ ___________ total de datos

MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS 5. En parejas, resuelvan el siguiente problema.

Laura tiene una veterinaria y desea surtir accesorios y alimentos, pero quiere tener la certeza de que los venderá lo más pronto posible; para ello, hizo una encuesta en su colonia sobre las mascotas que tienen sus vecinos: 9 personas tienen pájaros, en 42 casas hay perros, 21 vecinos tienen peces, 36 personas son dueñas de gatos y 12 tienen tortugas.

#ALGUIEN COMO YO Los estudiantes Gürkan Akpınar, Cemre Mat y Sait Fatih Karakay, de la ciudad turca de Izmir, desarrollaron una aplicación móvil que facilita el cuidado a distancia de las mascotas. Smart Pet Assistant es una estación de cuidado con mando remoto que sirve para controlar el nivel de alimento y agua de las mascotas; incluso se puede llamar al veterinario. Muchos jóvenes han desarrollado aplicaciones. ¿Tienes alguna idea innovadora para crear alguna?

a) Ordenen la información en la tabla de mayor a menor frecuencia y calcu-

len los porcentajes y la medida de ángulos que corresponde a cada uno. Mascota

Tortugas

Frecuencia

12

Porcentaje

10%

Amplitud b) Elaboren la gráfica circular correspondiente.

Mascotas

c) Con base en los datos, ¿se puede asegurar que las personas tienen sola-

mente un tipo de mascota? ¿Podrían tener como mascotas gatos y tortugas, por ejemplo? Comenten en grupo esta cuestión y analicen si la mejor representación es la gráfica circular o la de barras.

102

MATEMÁTICAS 1


6. En equipos, lleven a cabo la actividad que se presenta a continuación.

#BITÁCORA

La gráfica muestra información sobre la seguridad vial en 182 países, que corresponde a 99% de la población del mundo; es decir, aproximadamente 6 800 millones de personas. De toda la población, 1.24 millones de personas mueren cada año por accidente de tránsito.

Ve a la página 240 y crea tu repertorio de gráficas.

Muertes por accidentes de tránsito en función del tipo de usuario de la vía pública por región de la OMS. Mediterráneo Oriental

Europa 7%

18% 27% 4%

37%

50%

28% 14%

12% 3%

Asia Sudoriental 15% 36%

América África

17% 23%

Mundo 19%

3%

42%

15%

Pacífico Occidental

33% 12%

8%

4%

7%

25% 38%

43%

5%

7%

31%

8%

23% 35%

22% 23% 5%

Ocupantes de automóviles

Ocupantes de vehículos motorizados de 2 y 3 ruedas

Ciclistas

Peatones

Otros

Fuente: Organización Mundial de la Salud, Informe sobre la situación mundial de la seguridad vial 2013, OMS [en línea], disponible en ‹who.int/ violence_injury_prevention/road_safety_status/2013/report/summary_es.pdf›, fecha de consulta: 20 de octubre de 2017.

a) Comparen los valores representados en la gráfica de América respecto a

los de otras regiones. Propongan una interpretación de estos datos.

b) Investiguen datos de su localidad relacionados con los accidentes de trán-

sito y elaboren una gráfica en su cuaderno. 7. En grupo, comenten qué características deben cumplir los datos

para crear una gráfica circular y cuáles son las similitudes y diferencias con las gráficas de barras. Escriban una conclusión en su cuaderno y propongan ejemplos para sustentarla.

SECUENCIA 16

#CONTEXTO

El Breviario estadístico, publicado en 1801, contiene la primera gráfica circular. Esta la inventó William Playfair porque opinaba que los gráficos eran más explicativos que las tablas. ¿Qué tipo de gráficas has visto en televisión o medios impresos?

103


EXPERIMENTA Investigación estadística La estadística no solo es un medio para condensar datos y graficarlos, sino también una forma de generar conocimiento. Al leer cualquier periódico, seguramente encontrarás información con contenido estadístico.

Los niños quieren seguir siendo de mayores futbolistas y policías, y las niñas profesoras o doctoras, pero por primera vez también muchos aspiran a ser youtubers o influencers […] Así lo atestigua la XIII Encuesta ¿Qué quieres ser de mayor?, elaborada por Adecco, realizada a casi 2 000 niños y niñas españoles de entre 4 y 16 años. Como en anteriores encuestas, los niños quieren ser mayoritariamente futbolistas (un 18.2% del total), profesión que vuelva a recuperar el liderazgo perdido el año pasado en favor de los policías, que se quedan como segunda opción laboral en esta edición (15.3%). También repite en tercer lugar la profesión de maestro (6.4%). Pero la principal novedad de este año es la irrupción de los youtubers (5.1%) como cuarta preferencia

1. Lee la noticia.

Ramón Muñoz, “Los niños quieren ser futbolistas y profesores, pero también ‘youtubers’”, en El país, disponible en ‹https://elpais.com/economia/2017/08/09/ actualidad/1502272471_212416.html›, fecha de consulta: 20 de septiembre de 2017.

d) Análisis de la información: clasifiquen las respues-

a) ¿Sabrías decir a quiénes se hizo la encuesta y cuál

es su objetivo? Subraya, en el texto, las frases que hacen referencia a las preguntas que consideras que deben aparecer en el cuestionario. b) ¿Crees que es posible obtener la información de todos los niños de tu localidad o de tu estado? 2. Lleva a cabo las actividades en equipo; utilicen

el mismo tema de la noticia. a) Universo de estudio: ¿a quién le preguntarán?

Determinen el grupo de edad y entrevisten a 20 personas que encuentren en el parque, el mercado u otro lugar; no deben ser sus familiares. b) Diseño de la pregunta: formulen una interrogante relacionada con el tema. c) Recolección de datos: planteen la pregunta a las personas elegidas y registren las respuestas. Es importante aclarar que solo se permite una por persona.

104

de futuro, escalando cinco puestos respecto a la edición anterior. Las preferencias de las niñas permanecen más estables. Repiten las profesoras como la mejor opción, con una de cada cinco niñas encuestadas. A continuación, quieren ser doctoras (11.3%), veterinarias (6.6%), peluqueras (4.7%) y cantantes (3.9%). La mayor coincidencia entre géneros está en su rechazo a ser políticos: al 30.3% de las niñas y el 27.9% de los niños no desea ser de mayor un representante público.

MATEMÁTICAS 1

tas en una tabla. Escriban, en una columna, a qué se quieren dedicar y en otra, la frecuencia de personas que eligieron esa profesión. e) Disposición de los datos: consigan una cartulina y divídanla en dos partes. En una mitad elaboren una tabla como la del inciso anterior y en la otra, una gráfica. f) Discusión de los resultados: redacten un escrito en que describan el procedimiento general que siguieron para la investigación, interpreten los datos de la tabla y la gráfica, y obtengan una conclusión final. g) Expongan ante sus compañeros el procedimiento que siguieron para llevar a cabo la investigación. Presenten sus conclusiones y contrasten sus resultados con lo obtenido en España. h) ¿Qué otra investigación estadística harían? Propongan un tema e investiguen al respecto; sigan el procedimiento descrito.


Cuestionario para la detección del tipo de bloqueos al afrontar la resolución de problemas Descripción: con este cuestionario reconocerás si presentas bloqueos al

resolver problemas de matemáticas e identificarás de qué tipo son. A lo largo de nuestra vida, escuchamos afirmaciones respecto a las matemáticas y sobre nuestro desempeño. Cuando provienen de personas en las que confiamos, las asumimos como verdades. Si los comentarios son positivos, favorecen nuestra percepción de que somos capaces de resolver problemas matemáticos; sin embargo, cuando son negativos, pueden generar en nosotros inseguridad y desconfianza en nuestras capacidades, dando lugar a bloqueos en nuestro aprendizaje. Los bloqueos emocionales (EM) tienen que ver con cómo nos sentimos frente a las matemáticas; los bloqueos por conocimientos (CO) se refieren a carencias en nuestro aprendizaje, que provocan dificultades; finalmente, los culturales (CU) tienen que ver con las creencias de las personas en nuestro entorno, que hemos adoptado como nuestras. Estrategia: elige las tres respuestas que mejor describan tu sentir.

A) ¿Qué afirmaciones describen mejor tu reacción al resolver problemas matemáticos en el pasado? 3 Me sentía inseguro.

No sabía qué hacer.

Creía que era difícil resolverlos.

2 Me sentía despreocupado. Necesitaba ayuda pero lo resolvía.

Había una forma única de resolverlos.

1 Me sentía interesado.

Había varios caminos para resolverlos.

Generalmente lo resolvía solo.

B) ¿Qué afirmaciones describen mejor tu reacción al afrontar un problema matemático actualmente? 3 Me siento ansioso.

No entiendo el problema.

Recuerdo que todos los problemas son difíciles.

2 Me siento apático.

Lo entiendo pero tengo dudas.

Creo que hay un solo camino para resolverlo.

1 Me siento motivado.

Lo entiendo y sé cómo resolverlo.

Sé que puedo resolverlo por varios caminos.

C) ¿Cómo reaccionas si no logras resolver un problema? 3 Me siento frustrado.

Creo que no puedo resolverlo.

Confirmo que los problemas no son para mí.

2 Me siento indiferente.

Busco ayuda de un compañero.

Sin conocer el camino, no puedo resolverlo.

1 Me siento tranquilo.

Sigo intentando y pregunto al profesor.

Hay algo que no sé, pero puedo aprender.

D) ¿Cómo crees que será tu relación con las matemáticas en adelante? 3

Me sentiré inseguro.

Buscaré alejarme de las matemáticas. Seguiré pensando que es para los genios.

2 Me sentiré tranquilo.

Me daré la oportunidad de aprender.

La práctica hace al maestro.

1 Me sentiré motivado.

Resolveré problemas más complejos.

Lo que bien se aprende, nunca se olvida.

Resultado: cuenta el número de puntos que obtienes en cada columna.

Las respuestas en la primera columna son bloqueos EM, los de la segunda son CO y los de la tercera son CU. ¿Qué tipo de bloqueos presentas mayormente? El primer paso fue identificarlos; ahora, investiga estrategias para superarlos. Recuerda que existen tantas experiencias como personas en el planeta; construye la tuya.

105


SECUENCIA 17

Exploración de perímetros

MIS PRIMERAS IDEAS En un centro de exposiciones se impartirán conferencias sobre nuevos descu descubrimientos. Todas las salas son iguales y su pared frontal es como la de la foto fotografía. La sala 1 se utilizará como área de descanso y las cinco salas restantes se numerarán del 2 al 6 con cinta de colores para identificarlas rápidamente (como se aprecia en la fotografía). 1. Responde las preguntas. a) Si cada cuadro mide 10 cm de lado, ¿qué cantidad de cinta se ocupará

para la palabra Sala?

b) ¿Qué cantidad de cinta se ocupará para los números 2, 3, 4, 5 y 6?

c) Si en total son cinco salas, numeradas del 2 al 6, ¿qué cantidad de cinta

se requiere en total?

d) En su cuaderno, expliquen el procedimiento para responder las preguntas

anteriores. 2. Traza en tu cuaderno una cuadrícula que represente las figuras de las

fotografías. Lee la situación y responde las preguntas. En una de las salas se dará una conferencia y un taller sobre matemáticas, por lo cual los expositores decidieron adornar las ventanas y el piso con figuras geométricas. a) Completa los recuadros para indicar qué cantidad de cinta de cada color se

necesita. Considera que el lado de un cuadrado de las ventanas mide 10 cm. Amarilla

Roja

Verde

Rosa

Azul claro

Violeta

106

MATEMÁTICAS 1


b) Si las losetas del piso miden 30 cm de lado, ¿qué cantidad de cinta azul

oscuro se necesitará para las figuras de la pared y del suelo? c) Expliquen, en su cuaderno, el procedimiento que siguieron para calcular

cuánta cinta se requiere en las ventanas y en el suelo.

MI PROCESO DE APRENDIZAJE 3. Reúnete con un compañero y, sin usar fórmulas, redacten en su cua-

derno cómo medirían el contorno de las siguientes figuras.

El perímetro es el contorno de una superficie, figura o polígono. También se usa para designar la medida de dicho contorno. 4. Calcula el perímetro de las figuras de acuerdo con las condiciones

indicadas. a) Escribe las operaciones que efectuaste y el resultado.

Operaciones 4.24 cm

Resultado P= 4.12 cm

2 dm

2.24 cm

2 dm

Operaciones 2 dm

2 dm

Resultado P=

2 dm

2 dm

2m

2.24 m

5.66 m 2.24 m

Operaciones

3.16 m

Resultado 8m

SECUENCIA 17

P=

#REFLEXIONA Cuando resuelvas un problema, analiza los datos y las unidades en las que están indicados.

107


b) Observa que las dos figuras tienen 20 lados. Calcula el perímetro de cada

una; para ello, considera que el lado de un cuadrito mide 1 m y escribe todas las operaciones que efectuaste.

P=

P=

El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados. 5. Completa la tabla. Guíate por los ejemplos.

Polígono

Suma

Perímetro

a+a+a+a

4a

b+c+d+d

b + c + 2d

a a

a a c

d

d

#DATO Una literal (a, b, c… x, y, z) es una letra que expresa cantidades desconocidas y puede ser sustituida por valores numéricos.

b x y

y x m m

m

m

m m

6. En parejas, calculen el perímetro de los siguientes polígonos.

Resuelve la actividad de la página 240. Te ayudará a resolver las actividades del cálculo de perímetros.

108

j

x

#BITÁCORA x

m

y

k

n

2x

P =

MATEMÁTICAS 1

P =

P =


u m w

s

P =

P =

P =

7. Responde las preguntas con base en los polígonos regulares. a

n

a

P =

P =

P =

m x

m

P =

P =

P =

a) Calcula mentalmente el perímetro de los polígonos regulares y escribe la

expresión algebraica en la primera línea. b) Considera que a = 10 cm, m = 8 cm, n = 4 cm y x = 5 cm. Calcula men-

talmente el perímetro de cada polígono y escríbelo en la segunda línea. c) Describe cómo calcular el perímetro de un polígono regular si conoces el

número de lados (n) y la medida de uno de sus lados (m).  d) Escribe la expresión general para calcular el perímetro de un polígono

regular.  8. Comparen sus respuestas de las actividades 6 y 7. De forma grupal,

respondan las preguntas y redacten una conclusión en su cuaderno. a) ¿Obtuvieron las mismas expresiones algebraicas? b) Si fueron distintas, ¿cómo comprobarían cuál es la correcta? ¿Podrían ser

equivalentes? c) Comprueben que la expresión que encontraron para el perímetro de polígonos regulares les permita calcular el perímetro de un triángulo equilátero, un cuadrado, un rombo, un pentágono regular, etcétera.

SECUENCIA 17

#ALGUIEN COMO YO Gustavo García, de Tampico; Sergio Chapa, de Chihuahua; y Gabriel Chavelas, del Estado de México, obtuvieron el premio Grand Champion en el Campeonato Internacional de Cálculo Mental 2017, en Malasia. Los niños resolvieron una hoja con 70 operaciones aritméticas en menos de cinco minutos.

109


MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS 9. Deduce la medida de los lados faltantes y calcula el perímetro. Con-

#TIC T@C

sidera que los diagramas son representaciones y que, en este caso, los lados no son proporcionales.

Si se te dificulta resolver la actividad 9, consulta el video en redir.mx/SSPM1-110a

1

1

5 1 1

4

5 2

6

2

7

4

5

1

4

1 14

P =

P =

P =

10. Por equipos, resuelvan los problemas en su cuaderno. Si es necesa-

rio, tracen los polígonos. a) Calculen el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 8 cm y 6 cm. b) Calculen el perímetro de un rectángulo cuya base mide el doble de la

altura, y la altura mide 6 dm. c) ¿Cuánto mide el lado de un triángulo cuyo perímetro mide 54 cm y uno

de sus ángulos, 60º? d) Calculen el perímetro de un trapecio isósceles cuyas bases miden 10 cm

y 2 cm, y su altura es de 3 cm. e) Encuentren la medida del lado desigual de un triángulo isósceles cuyos

lados iguales miden el triple que la base y el perímetro es igual a 42 cm. 11. Observa la figura y contesta las preguntas.

a) Si el perímetro del hexágono es igual 42 cm, ¿cuánto mide cada lado del

hexágono?  b) Si el lado del triángulo equilátero es igual al lado del hexágono, ¿cuál es

su perímetro? 

110

MATEMÁTICAS 1


12. En parejas, resuelvan el problema.

La familia Pérez desea cercar con malla ciclónica dos de sus terrenos. A continuación, se muestran los croquis con las medidas de cada uno. 75 m

142 m

123 m

malla c

iclónic a: tejid pequeñ o de os anil lo s o esla de hier bones ro o de otro m etal.

53 m 54 m

27 m

38 m

42 m

123 m

20 m

47 m 118 m

59 m

72 m

41 m 42 m Terreno A

46 m

42 m

32 m

30 m 51 m

32 m

Terreno B a) ¿En qué terreno ocuparán más malla? Justifiquen su respuesta.

b) Si el metro de malla cuesta $46.00, ¿cuánto gastará en cercar cada te-

rreno?

c) ¿Qué operación usaron para calcular cuántos metros de malla requiere

cada terreno?

#CONTEXTO

d) Si el terreno fuera cuadrado y conocieran la medida de uno de sus lados,

¿qué operación usarían para calcular cuántos metros de malla ciclónica se necesitarían?

13. Comenten, mediante una lluvia de ideas, dónde se aplica el cálculo

de perímetros en algunos oficios. Si es necesario, pregunten a sus padres y vecinos o indaguen en internet. Registren sus hallazgos.

SECUENCIA 17

Diversas construcciones tienen formas geométricas. Elige alguna cancha o jardín de tu escuela y calcula su perímetro. Presenta tus datos ante el grupo.

111


SECUENCIA 18

Proporcionalidad I

MIS PRIMERAS IDEAS Fabiola llevó a imprimir una foto que se tomó en la fiesta de Alicia. En el estudio al que acudió le explicaron que la podía imprimir en diferentes tamaños. Tamaños disponibles para las impresiones de fotografías (en pulgadas) 0

medida ne es una : a d , provie a pulg es decir , a ic r t l e omé parte d antrop de una n ió ivale ic d q e ar. E u lg u de la m p l e o: human cuerpo m. a 2.54 c

4

5 6

10 12 15 18 20

F1 F2

F3

8

F4

F5

12

F6 B F7

16

A

Figura 1 1. En parejas, efectúen lo que se indica y contesten las preguntas. ºº Tracen los rectángulos de la figura 1 en papel periódico o recicla-

do, recórtenlos y escriban un nombre en cada uno para identificarlos: F1 para el más pequeño, F2 para el que le sigue, etcétera. ºº Acomódenlos como se muestra en la figura y sujétenlos con un clip. ºº Al vértice en el que todos coinciden, nómbrenlo O. a) Tracen un segmento desde el vértice O hasta el vértice A para formar una familia de rectángulos. ¿En qué rectángulos el segmento que trazaron pasa por dos vértices?  b) Para formar otra familia de rectángulos, tracen un segmento desde el vértice O hasta el vértice B. ¿En qué rectángulos ese segmento pasa por dos de sus vértices?  c) Completen la tabla. Determinen las medidas de otro par de rectángulos que pertenezcan a esta familia. Rectángulo

F1

F3

Altura (pulgadas)

8

Base (pulgadas)

10

F5

F7

F9

F11

d) ¿Cómo determinaron las medidas de los rectángulos F9 y F11? Explí-

quenlo en su cuaderno y compártanlo con el grupo. e) Establezcan la relación _____ ​​ altura   ​​para cada rectángulo y completen la tabla. base

Rectángulo _____ ​​ ​​  altura   base

F1

F3

F5

F7

F9

F11

8 ___ ​​  10   ​​ 

f) Calculen el cociente indicado en cada rectángulo de la tabla anterior.

Comparen todos los resultados. 

112

MATEMÁTICAS 1


MI PROCESO DE APRENDIZAJE 2. Consideren los rectángulos de la actividad anterior y respondan las

preguntas en su cuaderno. a) Completen la tabla con las medidas correspondientes de la segunda fa-

¯ milia de rectángulos: los que tienen dos vértices sobre el segmento OB​​ ​​  .  Rectángulo Altura (pulgadas) Base (pulgadas) _____ ​​  base   ​​  altura

b) ¿Qué característica comparten los valores que obtuvieron en la última

​(

)

​  base   ​ ​​de la tabla? fila ​ _____ altura c) ¿Cómo es la altura respecto a la base: más pequeña o más grande? En grupo, analicen el porqué de la respuesta anterior. 3. Completa la información del recuadro con base en los resultados de

las actividades 1 y 2. altura Cuando se escribe ​​ _____    ​​se indica que la base está relacionada con la altura. base En las impresiones de fotografías, la base es más grande que la altura. •• En el caso del rectángulo F3, basta multiplicar la medida de la base por __ ​​ 54 ​​ para obtener su altura. •• En los rectángulos de la segunda familia, la última fila de la tabla muestra cómo la altura se relaciona con la base: la primera es más pequeña que la segunda; por lo tanto, se debe multiplicar la altura del rectángulo F2 por __ ​​ 23 ​​ para conseguir la medida de su base.

#REFLEXIONA Una razón es la comparación de dos magnitudes. Por ejemplo, la altura de un rectángulo está a razón de __ ​​ 45 ​​respecto a su base; esto quiere decir que su altura siempre será __ ​​ 45 ​​de la medida de su base. Ob40 4 ​​ = ​​ ___   ​​ = serva que si la base mide 10 unidades, entonces la altura mide 10 × ​​ __ 5 5 4 __ 8 unidades; 8 es ​​ 5 ​​ de 10.

Una forma de representar una razón es con una fracción. Si la fracción es propia, significa que el valor buscado será menor que el conocido. ¿Qué sucede cuando la fracción es impropia?

4. Analiza el planteamiento y responde lo que se pide.

En una tienda de autoservicio se creó un fondo de ayuda humanitaria. Por cada $10.00 de consumo de los clientes, la tienda donará $1.00. a) ¿Cuál es la razón del consumo respecto a la donación?  b) Completa la tabla de acuerdo con la razón anterior (multiplica el consu-

mo por la razón). Consumo ($)

10

12

15

20

32

50

75.5

80

#REFLEXIONA Recuerda que debe ser una fracción propia porque el consumo es mayor que el donativo.

100

Donativo ($)

SECUENCIA 18

113


#PROTAGONISTA Pregunta a tus padres o familiares qué entienden por proporción. Después, investiga su significado en un diccionario. Finalmente, compara las respuestas con su definición matemática. Observa que algunas palabras tienen una definición precisa que puede ser distinta a su empleo coloquial.

La proporción es la igualdad de dos razones. Para que exista una relación 1  ​​ = ___ 2  ​​.  ​​  20 proporcional, se necesitan razones equivalentes; por ejemplo, ___ ​​ 10 c) Completa la frase de acuerdo con el contexto del problema. 1  ​​ = ​​ ___ 2  ​​ significa que por cada $10.00 de consumo se doLa proporción ​​ ___ 10 20

nará

, y por cada

, se donarán

.

Al resolver problemas de proporcionalidad, la razón determina un valor al que se denomina constante de proporcionalidad.

Para obtener un valor faltante en una relación de proporcionalidad, se multiplica la cantidad dada por la constante de proporcionalidad. Por ejemplo, en un consumo de $30.00 se donarán $3.00 porque 1  ​​ = ___ ​​  30  ​​ = 3. 30 × ​​ ___ 10 10

MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS 5. En parejas, resuelvan los problemas en su cuaderno. a) En la colonia donde vive Juan, hay una campaña que promueve el reciclaje. »» Esta semana se han estado entregando a los habitantes dos cuadernos

por cada 5 kg de periódico que recolecten y entreguen en el módulo. ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad? Si Juan juntó 15 kg de periódico, ¿cuántos cuadernos obtendrá? »» Si en el módulo de reciclaje pagan $70.00 por 73 latas, ¿cuánto paga-

rán por 34 latas? ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad de las latas respecto al precio? »» Se necesitan 3.2 kg de madera para fabricar 1 kg de papel de calidad

superior. ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad? ¿Qué cantidad de papel se producirá con 100 kg de madera? b) Para preparar un pastel para seis personas, se requieren 450 g de harina,

150 g de mantequilla, 6 huevos y 3 tazas de leche. Si se desea preparar un pastel para ocho personas, ¿qué cantidad de cada ingrediente se requiere? c) Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y lleguen a un con-

senso. Escriban una conclusión sobre el procedimiento utilizado. 6. Resuelvan el problema. Consideren los datos de la gráfica en la si-

guiente página. Una nota periodística muestra una gráfica sobre los gramos de CO2 (dióxido de carbono, uno de los principales contaminantes atmosféricos) que produce una persona al usar diferentes tipos de transportes.

114

MATEMÁTICAS 1


¿Cuál es el transporte en el que un pasajero produce menos gramos de CO2? Justifiquen su respuesta en el cuaderno. Vehículo y número de pasajeros

Gramos de CO2 por pasajero y kilómetro 12.7 1.2 1.5

#BITÁCORA Ve a la página 241 y resuelve la actividad de esta secuencia.

68 72 104 285

88

0 10 100 150 200 250 300 Fuente: elaboración propia con base en datos de TRACCS, 2013, y en el indicador TERM027.

7. Trabaja con cuatro compañeros y hagan lo que se pide.

Ramiro construyó en madera un rompecabezas como el del modelo, pero lo amplió de forma que la medida que valía cuatro unidades, en su rompecabezas vale cinco unidades. Distribuyan las piezas entre ustedes. En una cartulina tracen la pieza que les correspondió del rompecabezas, de manera que cumpla las condiciones descritas, y recórtenla.

6

2

8

En equipo, armen la ampliación del rompecabezas.

6 15

a) ¿Coincidieron todas sus piezas? En caso de que

no embonen todas las piezas, comenten con sus compañeros el procedimiento que emplearon para trazarlas y corrijan lo necesario.

12

6

b) Escriban los nombres que gusten sobre la lí-

nea punteada y analicen las propuestas. Como equipo, decidan con cuál están de acuerdo. »

»

10

dice que para ampliar este rompecabezas basta con conocer cuántas unidades se le aumentaron a uno de los lados de una pieza y sumar esa misma cantidad a todos los lados.

4

4

#CONTEXTO

piensa que es necesario establecer una relación entre la dimensión original y la nueva para calcular las dimensiones de las demás piezas.

c) Concluyan, grupalmente, cuál es el procedimiento que se debe seguir

para ampliar este rompecabezas. 8. Describe con tu grupo otras situaciones de la vida diaria cuyos valo-

res se relacionen por medio de razones y proporciones. Entre todos, elaboren un problema y resuélvanlo.

SECUENCIA 18

¿Cuál es el platillo típico de tu localidad? Investiga su receta e ingredientes. Calcula las cantidades que se requieren para 150 personas.

115


SECUENCIA 19

Resolución de ecuaciones I

MIS PRIMERAS IDEAS En las vacaciones, David visitó a sus primos en la ciudad de Guanajuato. Durante su estancia, usaron diferentes servicios de taxi para visitar algunas atracciones turísticas. 1. Reúnete con un compañero y resuelvan la siguiente situación. a) El primer tramo del recorrido fue al Museo de las Momias. Usaron el

servicio de Taxi Express, que les cobró $27.00 de banderazo inicial más $8.50 por kilómetro recorrido. Si pagaron $95.00, ¿cuántos kilómetros recorrieron? Propongan y resuelvan la ecuación correspondiente.

b) Después de visitar el museo, abordaron un vehículo de la empresa Taxi

Puma y fueron a la Presa de la Olla. La empresa les cobró un banderazo inicial de $10.00 más $10.00 por kilómetro; el costo total fue $106.00. ¿Cuántos kilómetros viajaron?

c) Al día siguiente, decidieron volver al Museo de las Momias, pero pensaron

que sería más barato si utilizaban el servicio de Taxi Puma. ¿Es correcta su apreciación?, ¿resulta más económico?

d) La empresa Taxi Seguro ofrece, por periodo vacacional, un cobro inicial

de $15.00 más $9.00 por kilómetro. ¿Les conviene esta opción para ir al Museo de las Momias?

#PROTAGONISTA Las matemáticas son útiles para tomar decisiones informadas. Un ejemplo es cuando cotizas costos de productos o servicios; incluso cuando estimas cuánto pagarás, por ejemplo, al transportarte en una ciudad. También sirven para elaborar presupuestos y ayudan a administrar mejor los recursos con los que cuentas. ¿Alguna vez te has propuesto la meta de ahorrar? ¿Cómo te sentiste al lograr tu objetivo?

116

MATEMÁTICAS 1

e) Consideren las tres tarifas. ¿Qué empresa conviene elegir para trasladarse

del museo a la presa? Justifiquen su respuesta.

f) Comparen sus respuestas con las de sus compañeros. ¿Cuál fue el proce-

dimiento que emplearon? ¿Quiénes plantearon ecuaciones? Con ayuda de su profesor, resuelvan sus dudas y acuerden cuáles son las soluciones correctas y cómo se puede comprobar.


2. En parejas, analicen la información y completen la tabla.

Planteamiento del problema

Figura

Lenguaje algebraico 2x + 2x + x + x = 30 6x = 30

x

2x Perímetro: 30 unidades (30 u) Dimensiones:

Encuentra las dimensiones de un triángulo isósceles, cuyos lados iguales miden el triple del lado desigual, y su perímetro es de 21 unidades.

x 3x Perímetro: 21 u Dimensiones:

Si el perímetro de un hexágono regular mide 15 unidades, ¿cuánto mide uno de sus lados?

Perímetro: 15 u Dimensiones:

Determina las __ ​​  32 ​​x dimensiones de un trapecio isósceles, cuya base menor es __ ​​ 23 ​​ de la base mayor; sus lados no x paralelos miden la tercera parte de la base mayor y Perímetro: 12.6 u su perímetro es 12.6.

__ ​​  13 ​​ x

Dimensiones:

SECUENCIA 19

117


MI PROCESO DE APRENDIZAJE 3. Resuelvan los problemas. Sigan los pasos propuestos.

#FUENTE

a) Un restaurante de comida rápida tiene tres empleados. El primero gana

Ricardo Berlanga, Carlos Bosh, Juan José Ravud, Las matemáticas, perejil de todas las salsas, México, Fondo de Cultura Económica, La ciencia para todos, 2003. Mediante ejemplos de lo que vivimos todos los días, incluso cepillarnos los dientes, los autores nos invitan a conocer las matemáticas más allá de su visión estereotipada.

$300.00 más que el segundo, y el segundo gana el triple que el tercero. Si el dueño paga $2 400.00 en total, ¿cuánto gana cada empleado? »» Representen los datos en un diagrama. Establezcan una cantidad de

referencia; por ejemplo, lo que gana el segundo empleado. 2o empleado x 1er

empleado $300.00

3er

empleado x ​​  ​​ __ 3

Al colocar todas las barras juntas, sabemos que son iguales a $2 400.00.

$2 400.00

»» Por el método que prefieran, determinen cuánto vale cada parte y res-

pondan la pregunta. »» Escriban una ecuación del planteamiento anterior; observen que lo que gana el segundo empleado se puede representar como x. Resuelvan la ecuación y escriban un enunciado con su solución.   »» Comparen los procedimientos que emplearon. Verifiquen que obtienen

la misma respuesta. b) La suma de las edades de dos hermanos es 61 años; se sabe que la edad

del segundo supera en 5 años la edad del primero. ¿Cuál es la edad de cada uno? »» La edad del primero es la referencia para elaborar el diagrama. 1er hermano

2o hermano 5

#PROTAGONISTA En ocasiones, creemos que no comprendemos porque no estamos empleando los recursos adecuados y esto puede generar frustración. Te sugerimos que emplees diagramas o esquemas para representar la información que conoces de los problemas. De esta forma, probablemente reconocerás nuevos caminos de solución.

118

MATEMÁTICAS 1

61 Al colocar las barras juntas, se obtiene 61.

»» Determinen cuánto mide cada parte y respondan la pregunta. »» Escriban una ecuación del planteamiento anterior. La edad del primer

hermano se puede representar como x. Resuelvan la ecuación.  


4. Resuelve los problemas. Si es necesario, emplea diagramas para re-

presentar la situación y formular una ecuación. a) Una pastelería vendió 8 gelatinas grandes y 10 pasteles, por lo que ovtu-

vo una ganancia de $2 800.00. Determinen el precio de cada producto sabiendo que los pasteles cuestan el doble que las gelatinas.  b) El grupo de una secundaria tiene 40 estudiantes, y hay 7 mujeres más que

el doble de hombres. ¿Cuántos hombres y mujeres hay en ese grupo?  5. Lean en grupo los procedimientos para resolver y verificar una ecua-

ción. Propongan otras ecuaciones y sigan los pasos descritos. Para resolver la ecuación Se transforma en otras ecuaciones equivalentes más sencillas hasta encontrar el valor de la incógnita. Esto se llama resolver la ecuación. Ejemplo: para resolver la ecuación 5x + 3x − 2 = 4x − 1, se despeja x como se muestra en la tabla. Paso

Operación Simplificar

Se simplifican términos semejantes.

5x + 3x = 8x

Se eliminan constantes del miembro de la izquierda de la igualdad. Se eliminan términos con la incógnita del lado derecho de la igualdad. Se simplifican términos semejantes.

Ecuación 5x + 3x − 2 = 4x − 1 8x − 2 = 4x − 1

#REFLEXIONA Observa que se usan operaciones inversas para eliminar constantes o incógnitas.

Sumar 2 en ambos 8x − 2 + 2 = 4x − 1 + 2 miembros

8x = 4x + 1

Restar 4x en ambos 8x − 4x = 4x + 1 − 4x miembros

Simplificar

8x − 4x = 4x + 1 − 4x 4x = 1

4x = 1 Se resuelve la ecuación para x 4 ​​x = ​​ __ 1 ​​ ​​ __ Dividir ambos 4 4 (se despeja x en el miembro miembros entre 4 1 __ x = ​​  4 ​​ de la izquierda de la igualdad). Para verificar la solución En la ecuación inicial se reemplaza la incógnita por el valor encontrado. Si se cumple la igualdad, entonces es el correcto. 5x + 3x − 2 = 4x − 1

() ()

() 5 __ 3  ​​ + ​​   ​​− 2 = 4(__ ​​  14 ​​) − 1 ​​ __ 4 4 ​​  41 ​​ + 3 __ ​​  14 ​​ − 2 = 4 __ ​​  14 ​​ − 1 5 __

SECUENCIA 19

0 = 0

#BITÁCORA Ve a la página 241 y trabaja en la actividad de esta secuencia.

119


6. En parejas, resuelvan los problemas. a) Determinen la cantidad de estudiantes de un grupo, considerando que

un tercio del total está en la biblioteca, una cuarta parte del total están en la cancha de basquetbol y los 25 restantes están en su salón de clase.  b) Antonio trabaja en una empresa y su salario diario es cuatro quintos de

lo que recibe Leonardo, quien a su vez gana la mitad de lo que percibe Gabino. Si Gabino recibe $1 150.00, ¿cuánto gana Antonio?  c) Miguel tiene una tortillería y vende, ya sea por kilogramo (y sus fracciones)

o por precio (pesos). El primer cliente compró 3 kg y pagó $37.50; y el segundo compró $5.00 y recibió 400 g. ¿Cuánto cuesta 1 kg de tortillas? cia que mpeten o c tes: : n atló diferen s e t r cuadri o p o de a cuatr o combin , ciclism anotaje c , n ió c nata n . medició ra a pie nto de y carre e m u r t tro: ins tal odóme ncia to la dista la u móvil. lc a que c por un a id r r l reco o parcia

  d) Ernesto participó en un cuadriatlón: la cuarta parte del total la efectuó

corriendo, la octava parte del total nadando, una quinta parte del resto remando y los 10 km restantes en bicicleta. ¿Qué distancia tiene cada prueba?   e) En su recorrido de 8 h desde Veracruz hasta la Ciudad de México, un ca-

mión que transportaba naranjas gastó un tanque de combustible de 60 L. Su recorrido inició cuando su odómetro marcaba 345 459 km y terminó cuando marcó 345 819 km. »» ¿Cuál fue el consumo en kilómetros por litro?

 »» ¿Cuál fue la velocidad promedio del viaje?

 f) Doña Elisa fue al mercado a vender tamales. Al primer cliente le vendió la

mitad de lo que llevaba; al segundo, una tercera parte de lo que le quedaba; y al tercer cliente, una cuarta parte de lo que quedaba. Si al terminar tenía seis tamales, ¿cuántos llevaba inicialmente? »» Seleccionen la ecuación que representa el problema. __ ​​  12 ​​x + __ ​​  31 ​​x + __ ​​  14 ​​x + 6 = x

( )

( )( )

__ ​​  12 ​​x + __ ​​  13 ​​ __ ​​  12 x​​ + __ ​​  14 ​​ __ ​​  13 ​​ __ ​​  21 x​​ + 6 = x

(

)

(

)

1 ​​x + __ ​​ __ ​​  31 ​​ x − __ ​​  12 ​​ + __ ​​  14 ​​ x − __ ​​  13 ​​ = 6 2

( )

( )( )

__ ​​  12 ​​x + __ ​​  13 ​​ __ ​​  12 x​​ + __ ​​  14 ​​ __ ​​  23 ​​ __ ​​  21 x​​ + 6 = x

»» Resuelvan la ecuación y escriban un enunciado con su respuesta.



120

MATEMÁTICAS 1


MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS

4x

7. Lee el siguiente planteamiento y efectúa lo que se pide.

2x

La figura de la derecha se forma con dos cuadrados sobrepuestos; cada lado de un cuadrado mide 4x y el perímetro es de 72 unidades. a) Escribe una ecuación para obtener el valor x.

b) Si el valor del perímetro aumenta a 144 unidades, ¿cuál será el valor de x?

c) Elabora una tabla en tu cuaderno donde se indiquen los valores para x,

del 1 al 10, y el perímetro que se obtiene para cada caso. 8. En parejas, resuelvan el problema en su cuaderno.

Julio trabaja en un museo donde se recrea una escena antigua. Para la ambientación, se usan dos velas de 60 cm; la primera (A) se consume en 8 h y la segunda (B), en 12 h. a) Determinen la altura de la vela cada hora. Completen las tablas en su

cuaderno. Agreguen tantas filas como sea necesario. Tamaño vela A (cm)

Tiempo (h)

60

0

0

1

1

2

2

0

Tamaño vela B (cm)

Tiempo (h)

0

b) Formulen una ecuación que permita determinar el tamaño de la vela en

relación con el tiempo transcurrido.

#CONTEXTO

c) ¿Cuántos centímetros se deberían aumentar a la vela A para que ambas

se consuman al mismo tiempo? 9. El siguiente problema aparece en el Papiro de Rhind.

Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24. a) Investiguen qué es el Papiro de Rhind. b) Escriban el problema en notación moderna y resuélvanlo. c) Preparen una exposición para presentar al grupo su investigación y la

solución del problema. Asegúrense de exponer todos sus argumentos. 10. Organiza con tu grupo un debate acerca de cómo identificar la in-

cógnita en problemas de una cantidad desconocida. Propongan dos casos y escriban en su cuaderno una breve conclusión.

SECUENCIA 19

La Frecuencia Cardíaca Máxima (FCM) es el máximo número de latidos que puede alcanzar el corazón en un minuto. Esto es, el límite físico soportado por el corazón. Se determina con la ecuación FCM = 207 − 0.7 × edad. Calcula tu FCM y el de tus familiares.

121


SECUENCIA 20

Exploración de situaciones de variación

MIS PRIMERAS IDEAS

#ALGUIEN COMO YO Arturo Dan (15 años), Sergio Vidal (14 años) y Alberto Barriga (12 años) obtuvieron el primer lugar general en el concurso de robótica International Air and Space Program de la NASA. Trabajaron 20 horas semanales durante tres meses para finalizar el proyecto con el que ganaron incluso a estudiantes de nivel superior. Conoce más en redir.mx/SSPM1-122a.

Raúl asiste a clases de robótica en las que le enseñan a programar pequeños robots armables. Debido a que se acerca la competencia regional de robots, se están probando nuevos diseños para valorar el desempeño de cada uno. El modelo A avanza a razón constante de 0.15 m/s, el modelo B avanza 1 m cada 5 s y el modelo C en 10 s recorre 2.5 m. 1. Reúnete con un compañero y lleven a cabo las actividades. a) Completen las tablas con base en la información anterior. Modelo A

Modelo B

Modelo C

Tiempo (s)

Distancia (m)

Tiempo (s)

Distancia (m)

Tiempo (s)

0

0

0

0

1

0.15

1

1

2

2

2

3

3

3

4

4

4

5

5

6

6

6

7

7

7

8

8

8

9

9

9

10

10

10

Expresión algebraica

Expresión algebraica

Expresión algebraica

1

Distancia (m)

5

b) ¿Qué tiempo le toma a cada robot recorrer 1 m?

Robot A: tre ción en d: rela a d i e c lo ve ncia qu o dista o io c a p l tiemp el es jeto y e b o n u recorre rrerlo. en reco a d r a t que

Robot B:

Robot C:

c) ¿A cuántos metros por segundo se mueve cada modelo de robot?

Modelo A:

Modelo B:

Modelo C:

d) ¿Cuál de los tres robots avanza con mayor velocidad? Expliquen por qué.

e) En su cuaderno, obtengan las diferencias de la columna “Distancia” de la

siguiente forma. Háganlo para los tres modelos y describan sus hallazgos.

El segundo renglón menos el primero

122

MATEMÁTICAS 1

El tercer renglón menos el segundo

Y así hasta terminar


f) Comparen su respuesta de los incisos c) y e); luego, anoten en su cuader-

no una conclusión al respecto. g) En la última fila de las tablas del inciso a), escriban una expresión alge-

braica que relacione la distancia recorrida por cada robot en función del tiempo. Para probar sus robots, Raúl los colocó en el siguiente orden: el robot C inicia en la línea de salida, el robot B sale 0.1 m más adelante y el robot A sale 0.2 m adelante de la línea de salida. h) En su cuaderno, elaboren una tabla para la distancia recorrida por cada

modelo. i) En la última fila de cada tabla, anoten la expresión algebraica que relacio-

na la distancia recorrida por cada robot en función del tiempo. 2. Lean el siguiente planteamiento y respondan las preguntas.

Beti es fanática de la música y compró una suscripción para escuchar música en su celular que cuesta $99.00 mensuales. Su plan telefónico cuenta con 1 GB (1 000 MB) de datos incluidos al mes (30 días), por lo que necesita hacer algunos cálculos para determinar cuántos minutos de música puede escuchar para no quedarse sin datos antes de que termine el mes.

# D AT O

Un giga byte (GB )e de alma cenamie s una unidad nto de in equivale fo nte a m il millon rmación (1 000 0 es de by 00 000) tes .

a) Completen la tabla considerando que cada minuto de música en baja

definición (96 KB/s) consume 0.7 MB por minuto.

Audio de baja definición (96 KB/s) Minutos

0

1

MB

0

0.7

2

3

4

5

6

7

8

9

3.5

10 7

b) A partir de la información de la tabla, determinen la cantidad de MB

consumidos por minuto para la música en alta definición (160 KB/s y 320 KB/s).

/s) undo (KB te por seg a Un kiloby id ed idad de m es una un locidad de e v la r la para calcu formación ncia de in transfere e internet. a través d

Audio de alta definición (160 KB/s o 320 KB/s) Minutos

0

1

MB

0

1.2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

6

c) ¿Cuáles son las dos variables que están relacionadas en la situación?



La músic a codifica digital está da en K B/s la calida d del so , lo que define nido. 96 KB/ s: s radio FM onido calidad d e 160 KB /s: sonid o 320 KB /s: máx superior a un C ima cali D dad

d) Si asignamos x a los minutos y y a los megabytes, entonces formamos pa-

rejas de números con la característica de que la segunda está en función de la primera. »» Para el caso de 96 KB/s, si x = 11, ¿qué valor le corresponde a y?  »» Si y = 7, ¿qué valor le corresponde a x? »» Si x = 1.5, ¿cuál es el valor que le corresponde a y?

SECUENCIA 20

123


Música a 96 KB/s x

y

(x, y)

0

0

(0, 0)

1

0.7

(1, 0.7)

2

1.4

(2, 1.4)

e) ¿Es posible que x tome cualquier valor? Elijan tres valores para x que se

encuentren entre 2 y 3 y determina el valor de y correspondiente. Anótenlos en su cuaderno. f) Usen la información de las tablas anteriores para formar pares de núme-

ros (x, y). Estos serán utilizados después para ubicar puntos en el plano coordenado. En su cuaderno, elaboren una tabla para cada tipo de música como en el ejemplo de la izquierda. g) En cada tabla elijan un valor de y (que no sea el primero) y réstenle el valor

anterior. Prueben con tres casos diferentes. Escriban en su cuaderno una conclusión sobre sus hallazgos. h) Escriban, en cada tabla, una expresión algebraica que les permita deter-

minar cualquier valor de y a partir de un valor x. i) En el plano coordenado, tracen con azul los puntos que corresponden

a la primera tabla y señalen con verde los puntos correspondientes a la segunda tabla. nte el siguie ) tienen do: y ,  x ( s a eja Las par l plano coorden ntal ne o e iz n r e o d h r o n el eje e o r a e ic m vert l x: nú en el eje o r e m ú y: n

# D AT O

12

y

10

8

6

El orige ne cartesia n el plano no es el punto (0 , 0).

4

2 x 0 2 4 6 8 10

j) Unan los puntos azules y observen qué trazo obtienen. k) Unan los puntos verdes y verifiquen que también obtienen una recta.

¿Cuál es la diferencia entre ambas?  l) Considerando que una canción promedio dura tres y medio minutos,

¿cuántas canciones nuevas en baja definición podría escuchar Beti con sus 1 000 MB?  m) Si escucha el mismo número de canciones por día, ¿cuántas podrá escu-

char antes de que se terminen sus datos?  n) Comprueben sus respuestas en grupo y con ayuda de su profesor.

124

MATEMÁTICAS 1


MI PROCESO DE APRENDIZAJE En ocasiones, es posible utilizar una expresión algebraica para relacionar unas cantidades que dependen de otras. Esto permite encontrar el valor de una de las variables cuando se conoce el valor de la otra. Generalmente, la literal x se usa para nombrar la cantidad variable cuyos valores se eligen de manera arbitraria (variable independiente). La letra y se emplea para la cantidad variable que depende del valor que tome  x (variable dependiente). 3. Lee el planteamiento y responde las preguntas.

En un laboratorio se está creando una nueva bebida para deportistas. En una probeta hay 50 cm3 de un concentrado de sabor lima-limón y cada hora se le agregan 2.5 cm3 de agua y endulzante para lograr una mezcla uniforme. a) Después de 2 horas, ¿cuánto líquido hay en la probeta? Probeta de 50 cm3 ¿A cuántos mililitros equivale?

b) En 12 horas, ¿cuánto líquido tendrá la probeta? c) Completa la tabla.

Tiempo (h)

0

1

Volumen (cm3)

50

52.5

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

d) ¿El volumen depende del tiempo o el tiempo depende del volumen?

Justifica tu respuesta en tu cuaderno. e) Utiliza la información de la tabla para formar pares de números (x, y) y ubi-

car los puntos en el plano coordenado. Traza la gráfica que une los puntos. (x, y) (0, 0)

100

y

#REFLEXIONA Las escalas numéricas de los ejes del plano varían de acuerdo con lo que se necesita representar.

(1, 52.5)

90 80 70 60 50

x 0

2

4

6

8

10

12

f) ¿En qué punto o coordenada la gráfica anterior cruza al eje y? g) Comenta tus respuestas con tus compañeros de grupo. Compartan sus

dudas para resolver posibles dificultades y escriban en su cuaderno una conclusión sobre el procedimiento que usaron para hallar la expresión.

SECUENCIA 20

#BITÁCORA Ve a la página 242 y resuelve la actividad que corresponde a esta secuencia.

125


4. Lee con tu grupo la siguiente información. Relaciónenla con los ejer-

cicios anteriores y propongan algunos ejemplos. Algunos fenómenos tienen asociada una expresión algebraica de la forma y = mx + b. Las gráficas que representan este tipo de expresiones son líneas rectas. Se denomina ordenada al origen a la distancia que existe entre el origen y el punto donde la gráfica cruza el eje y. En la expresión y = mx + b, la b determina la ordenada al origen. Para establecer el lugar donde la recta corta el eje x, la expresión algebraica se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta. y 5 4 3 2 1 x −2

−1

0

1

2

3

−1

Por ejemplo: y = 3x + 2 La ordenada al origen es 2, por lo que la gráfica corta el eje y en el punto (0, 2). Para obtener el punto de corte con el eje x, se iguala con 0 la expresión algebraica: 3x + 2 = 0 y se resuelve la ecuación: 3x = −2 2 ​​ x = − ​​ __ 3 2 ​​,  0 . La gráfica corta al eje x en el punto − ​​ __ 3

(

)

5. Enseguida, determina, sin tabular ni graficar, las coordenadas donde

se cruzan el eje y y el eje x en la gráfica.

#TIC T@C

•• y = 4x − 8

Explora y analiza una situación de variación lineal en redir.mx/SSPM1-126a

eje y:

eje y:

eje x:

eje x:

• y = 3x − 2

126

• y = 2x − 5

• y = 7.5x + 3.1

eje y:

eje y:

eje x:

eje x:

MATEMÁTICAS 1


MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS 6. Lee el planteamiento y responde las preguntas.

Para convertir grados Celsius (ºC) en grados Fahrenheit (ºF) se utiliza la expresión 1.8 (ºC) + 32 = ºF. a) Determina, sin graficar, el punto donde la gráfica de la expresión algebrai-

ca anterior interseca al eje y.

interse

se cort

car: cu

an o se

ando d os líne as cruzan entre s í.

b) Completa la tabla que relaciona los grados Celsius con los Fahrenheit.

ºC

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

ºF c) Escribe los pares de números con la forma (x, y) y después ubica sobre el

plano las coordenadas que obtuviste. Traza la gráfica que pasa por esos puntos. y 100

Analiza los datos y traza, en tu cuaderno, una gráfica con una escala que te permita ubicar los puntos con mayor precisión.

80

(x, y) (−40,

60

)

#REFLEXIONA

40 20 x −40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

−20 −40 −60 −80 −100

#CONTEXTO d) Determina el punto donde la gráfica interseca el eje x (horizontal) y escri-

be sus coordenadas en el plano. e) Explica qué utilidad tiene conocer las coordenadas donde se cruzan el

eje x y el eje y para definir la gráfica.

7. De forma grupal, propongan una situación que conduzca a una

expresión algebraica del tipo y = mx + b; determinen dos puntos y definan la recta que pasa por ellos.

SECUENCIA 20

Un avión que transporta a 520 pasajeros tiene un consumo de combustible de 1 200 L/100 km. Dado que la distancia en avión entre la Ciudad de México y Madrid es 9 000 km, ¿cuál es el consumo total de combustible en el viaje? ¿Cuál es el consumo por cada pasajero?

127


EXPERIMENTA Polígonos regulares con tiras de papel 1. Construye tres polígonos regulares mediante los procedimientos que

se indican a continuación. Responde las preguntas en tu cuaderno. Construcción 1 Recorta una tira de 3 cm de ancho de una hoja tamaño carta.

Toma los extremos de la tira y anúdalos.

Aprieta suavemente el nudo y aplánalo.

Recorta los pedazos sobrantes.

a) ¿Qué polígono obtuviste? ¿Cuánto miden sus lados? ¿Cuánto mide

su perímetro? Construcción 2 Recorta dos tiras de 3 cm de ancho de una hoja tamaño carta.

Toma los extremos de las tiras y anúdalos.

Aprieta suavemente el nudo y aplánalo.

Recorta los pedazos sobrantes.

b) ¿Qué polígono obtuviste? Estima si el perímetro será mayor o igual que

el del polígono de la construcción 1. Verifica tu estimación. Construcción 3 Utiliza el papel sobrante y dóblalo como se muestra en la imagen.

Aplana la figura por el doblez.

Recorta siguiendo el doblez.

c) ¿Qué polígonos obtuviste? ¿Cuánto miden sus lados? ¿Cuánto mide

el perímetro de cada uno? 2. Investiga si es posible formar otros polígonos regulares con tiras

o una sola pieza de papel.

128

MATEMÁTICAS 1


Rúbrica de trabajo individual Descripción: con esta rúbrica evaluarás tu habilidad para planear tu trabajo de manera individual para lograr tus objetivos.

Desde antiguas estrategias de guerra para expandir territorios hasta experimentos de laboratorio cuyos resultados serán validados para comprobar una hipótesis científica, muchas situaciones requieren de una planeación adecuada para minimizar los riesgos e incrementar la probabilidad de obtener éxito. Por ejemplo, la planeación de una estrategia de ataque contra un ejército montado en elefantes condujo a Alejandro Magno a grandes victorias. En contraste, un cambio en el procedimiento de un experimento llevaría a otro resultado y, generalmente, a la pérdida de grandes sumas de dinero. Con todo, la planeación no es tema solo de adultos, y tampoco necesitas perseguir objetivos enormes para beneficiarte de una planeación bien hecha. Estrategia: observa en la rúbrica algunos elementos que te ayudarán a medir tu nivel de planeación. Elige aquellos con los que te identificas.

Compromiso y responsabilidad

Organización

Gestión del tiempo

Objetivo

Experto Tienes claro el objetivo, el periodo en que debes alcanzarlo (fecha de entrega) y los beneficios que te traerá lograrlo (aprendizaje sobre un tema, obtener la máxima calificación, etcétera).

Practicante Tienes claro el objetivo y la fecha en que debes entregarlo, pero no tienes claros los beneficios.

Asignas el tiempo correcto Asignas tiempo a las tareas sin definir el inicio y el fin a cada tarea y agendas de cada una. el inicio y el término de cada una.

Aprendiz

Novato

Sabes que debes entregar una tarea en un tiempo determinado, pero no tienes claridad sobre la asignación.

Sabes que debes entregar algo, pero no le das importancia.

Dedicas un tiempo indeterminado a las tareas, con poca anticipación a la fecha de entrega.

Dedicas poco tiempo a las tareas, generalmente en la víspera de la fecha de entrega, solo para cumplir el requisito.

Defines las tareas sobre la marcha, cómo llevarlas a cabo y los materiales que necesitas.

Llevas a cabo las actividades en el último momento y con lo que tienes a la mano.

Defines las actividades que llevarás a cabo, la manera en que las harás y los materiales que requieres.

Eres capaz de definir las actividades y sabes cómo hacerlas, pero no preparas con anticipación los materiales.

Llevas a cabo las tareas en los tiempos asignados con todos los materiales necesarios, en un ambiente de trabajo que facilita tu concentración.

Empiezas a hacer las tareas Empleas periodos cortos para hacer las tareas y te con algo de retraso y no tienes todos los materiales distraes constantemente. requeridos. Algunas veces te cuesta concentrarte.

Tienes otras actividades prioritarias para ti, por lo que no le das importancia a las tareas.

Resultado: observa que el nivel experto es el ideal para cada elemento;

úsalo como referencia para comparar tu nivel y mejorar tu planeación.

129


SECUENCIA 21

Perímetro del círculo

MIS PRIMERAS IDEAS Federico trabaja en un pequeño taller donde se fabrican ruedas para las calandrias (carretas típicas de Guadalajara). Un cliente le ha pedido que ponga un revestimiento de hierro alrededor de una rueda para evitar que se desgaste. Federico no sabe cuánto material utilizará para revestir la rueda, así que se le ocurrió colocarla en el piso, hacerle una marca en la parte que toca el suelo y girarla hasta que esta coincida de nuevo con el piso. Por último, midió la huella que dejó la rueda, como se observa en el dibujo.

1. Responde las preguntas. a) ¿Es adecuado el procedimiento de Federico para obtener el perímetro de

la rueda? ¿Por qué?

b) La marca que ha dejado la rueda mide 2.99 m de longitud. Estima la me-

dida de su diámetro; puedes basarte en la imagen anterior.

c) El diámetro de la rueda mide alrededor de 0.95 m. ¿Cuál es la razón entre

este elemento y la circunferencia? 2. Reúnete con dos compañeros y hagan lo que se pide.

Consigan cinco objetos circulares, estambre, tijeras y regla. Rodeen cada objeto con el estambre, sin estirarlo, y córtenlo a la medida del perímetro. Midan los trozos de estambre y el diámetro de cada objeto. a) Completen la tabla con la información obtenida y la operación indicada. Objeto

Medida del perímetro

Medida del diámetro

Medida del perímetro/Medida del diámetro

b) Si aproximas los resultados de la división a dos decimales, ¿qué valor ob-

tienes? c) ¿Qué significa el resultado anterior?

d) Comparte tus respuestas con el grupo. Discutan la relación entre la medi-

da de la circunferencia y la del diámetro; anoten sus conclusiones.

130

MATEMÁTICAS 1


MI PROCESO DE APRENDIZAJE El perímetro de un círculo se denomina circunferencia. #DATO

Al dividir la longitud de la circunferencia de un círculo y su diámetro, se obtiene un valor constante que se denomina pi y se representa con la letra griega π.

El 14 de marzo es el día internacional de π.

Es decir, circunferencia      ​​  =π ​​ ___________ diametro

Al despejar, se obtiene: circunferencia = π ∙ diámetro 3. Escribe la respuesta correcta y anota la letra que corresponda dentro

de los paréntesis para identificar las partes del círculo. a) Perímetro de un círculo:  b) Punto del cual equidistan todos los puntos de

( (

la circunferencia: 

) (

c) Segmento que une el centro con cualquier

(

punto de la circunferencia: 

)

equidis tar: es tar a la distanc misma ia.

)

)

d) Segmento que une dos puntos de la circunfe-

rencia pasando por el centro:  e) Porción de la circunferencia: 

(

)

4. Investiga el valor de π. a) Propón algunas preguntas que desees responder; por ejemplo: ¿cuántas

cifras decimales tiene? ¿Con qué valor se aproxima generalmente? b) Comparte los resultados de tu investigación y, grupalmente, acuerden

cuál es el valor de pi (π) que utilizarán para resolver las actividades. 5. Resuelve los siguientes planteamientos.

#TIC T@C En la dirección redir.mx/SSPM1-131a encontrarás información interesante sobre π.

a) Calcula la circunferencia de un círculo cuyo diámetro mide 8 cm.

 b) Calcula la circunferencia de un círculo cuyo radio mide 12 cm.

 c) Si la longitud de una circunferencia mide aproximadamente 37.70 cm,

4 cm

¿cuánto mide el diámetro de la circunferencia?  d) Si la longitud de una circunferencia mide aproximadamente 53.4 m, ¿cuánto

mide el radio de la circunferencia?  e) Calcula el perímetro de los círculos de la figura 1. 



SECUENCIA 21

Figura 1

131


6. Reúnete con un compañero y lleven a cabo lo que se pide. a) Si el diámetro de un círculo mide el doble del diámetro de otro círculo, ¿la

circunferencia del primero también es el doble del segundo? Justifiquen su respuesta.   b) Observen los círculos de la figura 2. »» ¿Qué tienen en común? 

e d

»» Completen la tabla. c b

Circunferencia

a

Radio Diámetro Circunferencia

1 cm

a

1 cm

Perímetro entre diámetro

6.28 cm

b c d Figura 2

e »» En una calculadora científica, presionen la tecla π. ¿Qué valor obtienen? »» ¿Qué comportamiento observan en la tabla anterior en relación con la

medida de los radios, diámetros y circunferencias?   7. Trabaja con otro compañero y resuelvan los problemas. a) La figura 3 representa el yin y el yang. In-

vestiguen el significado y origen del símbolo. b) Calculen el perímetro de las superficies blan6 cm

cas y negras señaladas en la figura.   c) En el recuadro, describan cómo obtuvieron las

respuestas anteriores.

Figura 3

#PROTAGONISTA A veces, cuando identificas a simple vista los elementos para resolver un problema es más fácil resolverlo; pero cuando esto no sucede, tal vez experimentes ansiedad o disgusto. Para seguir avanzando, usa estrategias como descomponer el problema en otros más sencillos que sabes cómo resolver; por ejemplo, haz trazos auxiliares para identificar las formas geométricas que componen una figura.

132

8. Calculen el perímetro de la figura 4 si el perí-

metro del cuadrado es igual a 20 cm.

Figura 4 9. Expongan el procedimiento que siguieron para resolver las activi-

MATEMÁTICAS 1

dades 7 y 8. ¿Fue similar al de sus compañeros? Si hubo diferencias, ¿a qué se deben? ¿Cómo validan las respuestas correctas? 


MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS

#BITÁCORA

10. Resuelve los problemas. a) Las ruedas de un camión miden 45 cm de radio, ¿qué distancia recorrerá

el vehículo si las ruedas dan 50 vueltas?

Continúa practicando con las actividades de la página 242.

b) ¿Cuál es la medida de la circunferencia circuns-

2.89 cm

crita del triángulo (figura 5)? #REFLEXIONA Algunos problemas no se resuelven de forma inmediata, sino que es necesario buscar información. Por ejemplo, investiga qué es una circunferencia circunscrita o averigua las propiedades de las figuras, como las mediatrices del triángulo. ¡Observa bien! ¿Qué tipo de triángulo es?

Figura 5

c) Calcula el contorno rojo de la figura 6 si el

perímetro del cuadrado mide 8 cm.

Figura 6

d) Calcula el perímetro del área sombreada de

7 cm

la figura 7. #CONTEXTO

Figura 7

e) Calcula cuánto mide la circunferencia si

el perímetro de la parte sombreada de la figura 8 mide 17.85 cm.

Figura 8

11. Investiguen curiosidades del número π. Elaboren carteles con la in-

formación encontrada, preparen una exposición e inviten a compañeros de otros grados o grupos a visitar su exhibición. Durante la visita de sus compañeros, expongan sus carteles.

SECUENCIA 21

La medida de la circunferencia del planeta Mercurio es de aproximadamente 15 330 km. ¿Cuánto mide su diámetro? Investiga la circunferencia de los demás planetas y calcula la medida de su radio y diámetro.

133


SECUENCIA 22

Proporcionalidad II

MIS PRIMERAS IDEAS René diseñará un anuncio publicitario para una tienda de juguetes. El cliente pidió que la fotografía en la publicidad midiera 5 cm de base. Fotografía original 10 cm × 12.5 cm

1. Reúnete con un compañero y resuelvan la siguiente situación. a) René creó el anunció por computadora y, siguiendo la indicación del cliente, ajustó la

foto para que midiera 5 cm en la base, sin embargo, la fotografía ya no se parece a la original. ¿Qué fue lo que ocurrió? Explica tu respuesta.

b) ¿Qué debería hacer René para que la fotografía mantenga su proporción inicial?

c) Si la base de la nueva fotografía mide 5 cm, ¿cuánto debe medir el otro lado para que

la fotografía mantenga su proporción?

d) Si la nueva fotografía debiera reducirse a la mitad de su tamaño original, ¿cuáles

serían sus dimensiones?

1 la medida de cada lado de la foto original y comparen su respuese) Multipliquen por __ 2

ta con la de la pregunta anterior. ¿Qué observan?

1 . ¿Cuántas veces se redujo su f) René multiplicó las medidas de la foto original por __

tamaño?

3

g) Si quiere obtener una nueva imagen proporcional que sea la cuarta parte del original,

¿cuál es el factor que debe utilizar?

134

MATEMÁTICAS 1


h) En la figura 1 se muestran las dimensiones de otra fotografía; al aplicar

un ajuste en su tamaño, la figura 2 muestra las nuevas dimensiones de la fotografía.

Figura 1

#D AT O

Cuando se trat a de proporciones, la relación 10 ​​ 4__8 ​​ = ​​ __   5  ​​se lee: “ocho es a cuatro como di ez es a cinco”.

Figura 2

i) ¿Cuál fue el factor que aplicó René para obtener ese tamaño?

 j) De acuerdo con las figuras anteriores, se establece la siguiente relación: 10   ​​ = ___ ​​  2  ​​  10:7.5 :: 2:1.5 o bien, ​​ ___ 7.5 1.5

como ¡No debe leerse igual a es s to ar cu “ocho nque son diez quintos”! Au lentes, en va ui eq fracciones exto este caso el cont ad. id al on ci or op es pr

Comenten cómo se lee y qué significa la relación anterior. k) Obtengan el valor faltante en las siguientes proporciones. »» ___ ​​  10  ​​ = __ ​​  5x ​​  

»​ ​___ ​​  10  ​​ = ___ ​​  6.5 ​​   x   

7.5

x =

x =

x =

»» ___ ​​  10  ​​ = _____ ​​  x   ​​  7.5

»​ ​____ ​​  x   ​​ = ___ ​​  5  ​​ 

7.5

11.25

6.75

1.5

x =

10 »​ ​​ ___   ​​ = __ ​​  1x ​​ 

7.5

x =

l) Expliquen cómo resolvieron la actividad anterior.

  m) ¿Por qué es importante conocer y mantener la proporción en las imáge-

nes que se editan en una computadora?   2. Lee el siguiente planteamiento y responde las preguntas.

Juan José es comerciante y, para la temporada navideña, fue a surtirse a la Feria de la Esfera en Tlalpujahua, Michoacán. a) Primero compró 10 cajas con 6 esferas grandes cada una, por $360.00;

después adquirió 5 cajas de esferas chicas, con 6 piezas cada una, que 1 ​​ más pequeñas y __ ​​  41 ​​más baratas que las esferas grandes. Determina son ​​ __ 4 cuánto cuestan las esferas chicas, por caja y por unidad. 

#PROTAGONISTA Tlalpujahua forma parte de un programa que reconoce el esfuerzo de sus pobladores para proteger y guardar su riqueza cultural. ¿Cuáles son las principales riquezas naturales y culturales de tu localidad? ¿Qué hacen para preservarlas?

b) A partir de tu respuesta anterior, calcula cuánto pagará Juan José por las

cinco cajas de esferas chicas. 

SECUENCIA 22

135


c) En otra tienda, Juan José encontró las ofertas del cartel. » ¿Qué opción resulta más económica?

» ¿Cuánto cuesta la esfera de cada paquete?

Caja con 6 esferas grandes $36.00

» Explica cómo resolviste el problema.

d) En otro local, Juan José encontró esferas decoradas y lisas.

Compró 9 cajas con 6 esferas decoradas por $675.00 y 6 cajas con 8 esferas lisas por $648.00. » Estimen qué esferas son las más baratas.

Caja con 8 esferas grandes $48.00

» ¿Cuánto cuesta cada caja y cada esfera de las decoradas?

» ¿Cuánto cuesta cada caja y cada esfera de las lisas?

MI PROCESO DE APRENDIZAJE 3. Analiza la situación y responde las preguntas.

René fue contratado para elaborar una campaña publicitaria para una exposición en el Museo Municipal de Artes. Tiene la encomienda de crear un diseño en tamaño carta, que será utilizado para un cartel y para una tarjeta conmemorativa. a) El anuncio promocional mide 18 cm × 27 cm. ¿Cuáles serán las dimensiones 5 de su tamaño original? de la tarjeta si desea reducirla a __ 9

b) El encargado del museo también solicitó un separador de libros con la

imagen promocional de la exposición; para diseñarlo, René necesita redu2 del tamaño de la tarjeta. ¿Cuáles serán las dimensiones cir la imagen a __ 5

de la imagen en el separador? c) ¿Cuál es el factor que se le aplica a las medidas del diseño original Visita la casa de cultura o un museo de tu localidad, ¿qué exposiciones hay? ¿Cuáles son las dimensiones de los carteles?

(18 cm × 27 cm) para que se reduzca al tamaño para separador? d) El cartel que debe imprimir René es cinco veces el tamaño de la imagen

original. ¿Cuáles son las dimensiones del cartel? e) ¿Qué factor se debe aplicar a las medidas del diseño original para obte-

ner el cartel? f) En la entrada del museo quieren colgar una lona de 4 m de base con la

imagen promocional. ¿Qué dimensiones debe tener la lona para que se mantenga la proporción en la imagen?

136

MATEMÁTICAS 1


g) ¿Qué factor se le aplica a las medidas del diseño original para obtener las

dimensiones de la lona? h) Compara tus respuestas con las de algún compañero y después analicen

la información del recuadro. Si una figura se reduce o amplía con un factor de proporcionalidad y después se le aplica otro, entonces hay una aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad. Para obtener el factor final, se multiplican los factores que se han utilizado. 5 al original En la actividad anterior, se aplicó un factor de reducción de __ 9

2 para el separador; por lo tanto, para obtener la tarjeta, y después uno de __ 5

5 __ 10 __ el final es __ × 2 = ___ = 2 . El factor que se obtiene después de dos reduccio9 5 45 9 2. nes sucesivas es __ 9

#REFLEXIONA Cuando se aplica una reducción, el factor constante de proporcionalidad es una fracción propia; y cuando se trata de una ampliación, el factor de proporcionalidad es una fracción impropia.

4. Haz los trazos en tu cuaderno y contesta las siguientes preguntas. a) Traza en tu cuaderno un triángulo equilátero de 3 cm de lado y nómbralo A. b) Reproduce el triángulo A aplicando un factor constante de proporciona1 y nómbralo B. lidad de __ 2

c) ¿Cuáles son las medidas del triángulo B?

d) Reproduce el triángulo B aplicando un factor constante de proporcionali6 y nómbralo C. dad de __ 2

e) ¿Cuánto mide el triángulo C?

f) ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad del triángulo A al C?

g) Describe qué implica el aumento proporcional en esta situación.

5. En la imagen se muestra el contenido de la etiqueta de una lata de

leche en polvo. Analícenla y, con base en esta relación, respondan las preguntas de la siguiente página.

Agua

+ SECUENCIA 22

190 mL

= 137


a) ¿Cuántos mililitros de agua se necesitan si se utiliza solo una cucharada

de leche en polvo?

b) Determinen el factor de proporcionalidad: de cucharada de leche en pol-

vo a agua.

c) Expliquen cómo obtuvieron la respuesta anterior.

d) Determinen el factor de proporcionalidad: de agua a cucharadas.

e) Si debieran preparar un vaso de leche con 228 mL de agua, ¿cuántas

cucharadas de leche en polvo se necesitarían?

f) ¿Cuántas cucharadas se necesitan para preparar un litro de leche?

g) ¿En qué otros contextos se utilizan proporciones? Escriban un ejemplo en

su cuaderno. ación resent p e r : a í f ca infogra o expli resume e u q l visua . mación la infor

MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS 6. Completa la información faltante.

Clara es periodista y está elaborando una infografía sobre los precios del gas; sin embargo, solo dispone de los precios del cilindro de gas de 10 kg. Con esa información, completa los datos faltantes.

2 kg

6 kg

10 kg

20 kg

30 kg

40 kg

Los precios del gas en 2017 Gas ABC

Gas ABC

Gas ABC

Gas ABC

Gas ABC

Gas ABC

$176.40 Gas México Gas México Gas México Gas México Gas México Gas México $166.10 Gas Central Gas Central Gas Central Gas Central Gas Central Gas Central $164.40

138

MATEMÁTICAS 1


7. Reúnete con un compañero y resuelvan el siguiente planteamiento. a) El triángulo 2 se construyó a partir del triángulo 1. ¿Cuál es el factor de

#TIC T@C

proporcionalidad del triángulo 1 al triángulo 2? Explora los factores constantes de proporcionalidad en redir.mx/SSPM1-139a

Triángulo 2

Triángulo 1

#BITÁCORA En la página 243, resuelve la actividad correspondiente a esta secuencia.

b) Las dimensiones del triángulo 1 son 3, 4 y 5 unidades. Dibuja en la cua-

drícula un triángulo 3 que sea proporcional al 1 y cuya medida de la base sea 4.5 unidades. c) ¿Cuál es el factor constate de proporcionalidad del triángulo 1 al 3?

#CONTEXTO d) Reproduce las figuras en una hoja cuadriculada. Considera cada cuadro

como una unidad. » Dibuja un triángulo 4 que sea más grande y proporcional al triángulo 1.

Determina su factor de proporcionalidad.

» Dibuja un triángulo 5 que sea más pequeño y proporcional al triángulo 1.

Determina su factor de proporcionalidad.

8. Organiza con tu grupo un debate acerca del uso de la proporcionali-

dad en la ampliación y reducción.

SECUENCIA 22

Las copiadoras permiten ampliar o reducir de manera proporcional una imagen. Dibuja una figura, solicita en la papelería una ampliación y analiza cómo cambió. Establece la relación de proporcionalidad entre la ampliación y tu dibujo inicial.

139


SECUENCIA 23 00

Porcentajes

MIS PRIMERAS IDEAS En una conocida revista se publicó la siguiente gráfica, en la que se muestra el resultado de una encuesta efectuada a automovilistas de una ciudad para saber con cuántas personas viajan habitualmente.

¿Cuántas personas viajan en tu auto rutinariamente? Cinco 1.65%

Seis 0.41% Cuatro 9.07%

Tres 16.29%

Una (el conductor) 41.65%

En el caso de nuestros entrevistados, más de 40% de quienes utilizan su vehículo viajan solos

Dos 30.93%

Elaboración propia con datos de Profeco, “Las razones del transporte público y privado”, en Revista del Consumidor, núm. 460, junio 2015.

1. Reúnete con un compañero y lleven a cabo las actividades.

El artículo señala que, del total de conductores entrevistados, 41% viajan solos en su vehículo; sin embargo, el artículo no indica la cantidad de personas a las que se les preguntó. a) Supongan que se entrevistaron a 100 conductores y determinen cuántos

representan cada porcentaje señalado en la gráfica. Escríbanlo al lado del sector de la gráfica que les corresponde. b) Si se hubiera entrevistado a 200 conductores, ¿en qué proporción aumentaría la cantidad de personas respecto al caso anterior?  c) Completen la tabla. Escriban la cantidad de personas que corresponden

a cada porcentaje. Personas consultadas 400

#FUENTE Lynn Huggins Cooper, Del 0 al infinito o cómo entender números muuuy grandes, México, SM de Ediciones, 2015. En estas páginas encontrarás varias curiosidades sobre los números y la historia de las matemáticas.

140

MATEMÁTICAS 1

100% 41% 31% 16% 9% 2% 1%

4

500

1 000


d) Si 217 personas representan 31% de un total desconocido, ¿cuántas per-

# D AT O

sonas fueron consultadas?

Recuerda que para es porcenta je como d cribir un ecimal, s divide el e número e ntre 100 bien, se r ,o ecorre el punto de dos posic cima iones a la izquierda l . 25% = 0 .25 9.18% = 0.0918

e) Escriban una expresión algebraica a partir del planteamiento anterior;

después, resuélvanla.

2. Lee el siguiente planteamiento y responde las preguntas.

El teléfono de Agustín señala que su batería solo cuenta con 58% de la carga total. a) ¿Qué porcentaje ha gastado? b) Si Agustín ha usado su teléfono por seis horas continuas, ¿qué porcentaje

disminuye por cada hora? c) ¿En cuántas horas el teléfono agotará la carga de la batería?

#REFLEXIONA 3. Reúnete con un compañero y organicen un torneo de cálculo mental.

Determinen la cantidad desconocida en cada caso. • ¿25 es 20% de qué cantidad? • ¿10 es 5% de qué cantidad?

¡No te preocupes! Al principio puede ser un poco confuso, pero con la práctica todo mejorará. Tip: ¿qué parte de 100% es el porcentaje mencionado?

1 % de qué cantidad? • ¿15 es 33 __ 3

• ¿18 es 50% de qué cantidad? • ¿70 es 25% de qué cantidad? • ¿90 es 10% de qué cantidad? 4. Analiza el siguiente planteamiento

y responde las preguntas. Ramiro fue a comprar una computadora y encontró la oferta del siguiente cartel. a) Ramiro encontró un modelo de computadora que cuesta $10 000.00. ¿Cuál

será el precio de la computadora con el descuento del IVA?

b) Más tarde, Ramiro encontró otro modelo de computadora con un precio

publicado de $9 000.00 sin IVA. ¿Cuál es el precio final de la computadora?

c) ¿Cuál es el precio máximo que debe pagar Ramiro por una computadora para

que, al sumarle 16% de IVA, su precio iguale al de una computadora con un costo de $10 000.00 al que se le aplica su descuento del IVA?

SECUENCIA 23

141


d) Completa la tabla donde se aplica el descuento de 16% de IVA a los pre-

cios de las computadoras. Precio final por pagar ($) (−16%)

Precio con IVA ($) 10 000.00 10 200.00 10 500.00 12 000.00 13 200.00

15 800.00 e) ¿Cómo obtuviste el precio final?

 f) ¿Cuánto debe costar una computadora para que, al aplicarle el descuen-

to, Ramiro pague $10 000? 

MI PROCESO DE APRENDIZAJE 5. De manera grupal, lean la siguiente información. Determinen qué

estrategias usaron para resolver cada inciso de la actividad anterior. Al calcular un porcentaje, se tienen los elementos siguientes. Cantidad

Porcentaje

Cantidad base

10

es

20%

de

50

10

=

0.2

×

50

Dependiendo de los valores conocidos, se identifican tres casos. •• Se conoce la cantidad base y el porcentaje.

¿Qué número es 20% de 50?

x = 0.2 · 50 x = 10 cantidad = porcentaje · cantidad base

•• Se conoce la cantidad y la cantidad base.

10 = x · 50 ¿A qué porcentaje de 50 equivale 10?

10 x = ​​ ___   ​​ 50

x = 0.2, que es 20% cantidad    ​​  porcentaje = ​​ ___________ cantidad base

•• Se conoce la cantidad y el porcentaje.

¿10 es 20% de qué número?

10 = 0.20 · x 10 x = ____ ​​  0.20   ​​ = 50

cantidad cantidad base = ​​ ________    ​​  porcentaje

142

MATEMÁTICAS 1


6. Lee, en grupo, la siguiente información. Propongan varios ejemplos

para comprobar el funcionamiento de los procedimientos. Un procedimiento directo para calcular el precio de un producto con IVA incluido (con una tasa de 16%) es multiplicar la cantidad inicial por 1.16. Por ejemplo: Cantidad: $3 515.00 Tasa de IVA: 16%

3 515 × 1.16 = 4 077.40 Se pagará un total de $4 077.40

Un procedimiento directo para calcular el precio de un producto sin IVA (con una tasa de 16%) es dividir el total pagado (cantidad base) entre 1.16. Por ejemplo: Total: $116.00 Tasa de IVA: 16%

116 ÷ 1.16 = 100 El producto sin IVA cuesta $100.00

7. En parejas, analicen los datos y resuelvan los problemas. a) Emilio es ingeniero en sistemas computacionales y le dio servicio de man-

tenimiento a la red de computadoras de una empresa, por lo que cobrará $6 500.00. Para tramitar su pago, el contador le solicitó un recibo de horarios con el cálculo de impuestos. » Con base en el monto del servicio, determinen las cantidades necesarias para completar el recibo de honorarios. A Monto de servicio

$

(IVA) gregado a r lo a v nsumo, esto al El impu esto sobre el co r. ido pu es un im paga el consum lo , ir c e es d

# D AT O

6 500.00

Impuestos B IVA (16%)

$

Subtotal (A + B)

$

Retenciones 2

C Retención de IVA (__ 3 del IVA) FIRMA

$

D Retención de ISR (10% del monto) $ Total (A + B − C − D)

El impu est es un im o sobre la renta pu (I obtenida esto sobre la g SR) anancia .

$

Cantidad con letra

» ¿Cuál es el total que recibirá Emilio? b) Emilio había considerado obtener $6 500.00 libres de impuestos; es decir,

ya con las retenciones de IVA e ISR, por ello negoció con la empresa para obtener esa cantidad y aceptaron su propuesta. Para recibir $6 500.00, se necesita modificar el monto del servicio. El contador propuso a Emilio que en el apartado B (IVA 16%) colocara $1 090.91 y, a partir de esta cantidad, obtuviera las cantidades faltantes.

SECUENCIA 23

143


» Comprueben que es correcta la sugerencia que hizo el contador a

Emilio; para ello, completen los datos del recibo. A Monto de servicio

$

B IVA (16%)

$

Subtotal (A + B)

1 090.91

$

2 C Retención de IVA (__ 3 del IVA)

$

D Retención de ISR (10% del monto) $ Total (A + B − C − D) Cantidad con letra

FIRMA

$

c) Debido a que Emilio hizo un excelente trabajo, la empresa le pagará un

total de $7 000.00 con las retenciones de IVA e ISR ya incluidas. A partir de la ecuación A + B − C − D = 7 000 es posible calcular el monto de servicio que debe reportar Emilio en su recibo de honorarios. #PROTAGONISTA

» Si x representa el monto del servicio, la ecuación A + B − C − D =

7 000 se puede reescribir en términos de x. Completa la ecuación y resuélvela. A + B − C − D = 7 000

Las matemáticas funcionan igual en la escuela que en la vida diaria, pero es una creencia que lo aprendido en clase solo es útil en el salón. Cuando aprendas algo nuevo, procura relacionarlo con situaciones de tu entorno.

+

2 (0.16)x − − __ 3

=

x=

Por ejemplo, ¿conoces a alguien que use recibos de honorarios? Consigue uno y comprueba la ecuación del inciso c).

» En su cuaderno, comprueben la solución que obtuvieron. Para ello, de-

terminen los valores del recibo de honorarios.

MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS 8. Resuelve los problemas. a) Pepe trabaja en una mueblería. Por cada artículo que vende recibe una

comisión de 4.5% sobre el precio final que paga el cliente. » Si vende $80 000.00 en un mes, ganará un viaje. Este mes recibió

$3 453.00 por comisiones. ¿Pepe obtuvo el premio? Justifica.

» ¿Cuánto debe vender la siguiente quincena para recibir $4 000.00 en

comisiones? b) Tomás y Teresa fueron a la librería a comprarse el nuevo libro de la saga

Corre por el Laberinto. Al momento de pagar, ambos utilizaron su tarjeta de cliente frecuente, con la que reciben 5% del valor de cada compra. » Teresa tenía en su tarjeta $125.40 y Tomás, $79.80. ¿Cuánto han gas-

tado en libros?

144

MATEMÁTICAS 1


» Después de su compra, Teresa tiene $136.30 en su tarjeta. ¿Cuánto

#BITÁCORA

costó el libro?

Ve a la página 243 y lleva a cabo la actividad de esta secuencia. c) Un equipo de beisbol donará 75% de sus ingresos a los afectados por

un huracán en su estado. Si en total donó $1 469 560.50, ¿cuánto recaudaron por entradas?

d) Una tienda departamental ofrece una tarjeta de crédito con la promoción

permanente de regresar en efectivo 2% de las compras hechas para su reembolso anual. » Héctor recibió un total de $420.00 en el primer año. ¿Cuánto gastó en ese periodo?

» El uso de la tarjeta genera una comisión anual de $700.00. ¿Cuánto

debe comprar Héctor para que se bonifique el costo de la tarjeta?

e) Al estacionamiento de un centro comercial han entrado 85 vehículos y

está a 34% de su capacidad. ¿Cuántos autos entran al estacionamiento?

f) Una escuela presentó una obra de teatro y asistieron 105 personas, que

representan 84% de su capacidad. ¿Cuántos espectadores caben en el auditorio?

9. Analiza la etiqueta y responde las preguntas. a) De acuerdo con la etiqueta, 14 calorías de

grasa saturada representan 7% del total de grasas que una persona debe consumir al día. ¿Cuántas calorías de este tipo se deberían consumir al día?

#CONTEXTO

b) Obtén la cantidad total de otras grasas,

azúcares y sodio recomendadas para el consumo diario de una persona.

10. Analiza casos prácticos de cálculo de IVA y de cantidad base. Consi-

gue algunos folletos y llévalos a la clase para analizarlos entre todos.

SECUENCIA 23

Del total de agua del planeta, 97% está en los océanos y 3% es agua dulce. De esta, 69.7% es agua congelada, 30% es subterránea y 0.3% se encuentra en los ríos, lagos y pantanos. ¿Qué porcentaje representa el agua de los ríos, lagos y pantanos del total de agua del planeta?

145


SECUENCIA 24

Interpretación de gráficas

MIS PRIMERAS IDEAS Hoy se dieron a conocer los resultados de la Encuesta Nacional de Lectura y Escritura 2015 y los resultados que arrojó es que los mexicanos leemos 5.3 libros al año. La metodología que se siguió fue con base en 5 mil 845 cuestionarios contestados de la población urbana y rural a partir de los 12 años, en territorio nacional, dividido en seis regiones. Redacción, “5 gráficas sobre cuánto y qué leemos los mexicanos”, en El Financiero, 9 de noviembre de 2015.

En la gráfica se muestra uno de los resultados de la encuesta.

¿Por qué se leen libros? 50.0% Porcentaje de encuestados

44.3% 40.0% 30.5% 30.0% 20.0% 11.8%

11.2%

10.9%

Para informarme

Para trabajar

Porque les leo a mis hijos

10.0% 0.0%

Por entretenimiento

Para estudiar

1. Usa los datos de la gráfica para responder las preguntas. a) Elabora una tabla con los datos de la gráfica. ¿Por qué se leen libros? Por entretenimiento

44.3%

Para estudiar

30.5%

Para informarme

11.8%

Para trabajar

11.2%

Porque les leo a mis hijos

10.9%

b) Traza la gráfica circular.

#BITÁCORA Ve a la página 244 y resuelve la actividad correspondiente a esta secuencia.

146

MATEMÁTICAS 1

c) Compara tus respuestas con un compañero. Comenten si obtuvieron las

mismas gráficas.


d) Sumen los porcentajes de las gráficas de barras.  e) ¿Es posible trazar una gráfica circular cuando los datos suman más

del 100%? Expliquen por qué.  f) Con la guía del profesor, emitan sus conclusiones sobre las características

que deben tener los datos para trazar una gráfica circular. 2. En parejas, analicen la información de las gráficas y respondan lo

que se pide.

Distribución porcentual de la población según grandes grupos de edad, 1990, 2000 y 2010 70.0% 56.8%

60.0%

59.6%

#TIC T@C Explora otros datos sobre la población de México en redir.mx/SSPM1-147a

63.6% 1990

50.0%

2000

40.0% 38.3%

33.4%

30.0%

2010 28.9%

20.0% 10.0%

4.2% 4.9% 6.2%

0.0% 0 a 14 años

65 años y más

15 a 64 años

a) Identifiquen si la información de la gráfica está completa.

 Al pie de la gráfica aparecía el texto siguiente. Nota: La distribución porcentual no suma 100% porque no se grafica el “no especificado”. Fuente: Inegi,

xi

Censo General de Población y Vivienda 1990;

xii

Censo General de

Población y Vivienda 2000, cuestionario básico; Censo de Población y Vivienda 2010, cuestionario básico.

b) ¿Qué significa la nota anterior?

  c) Con esta información completen la tabla. Edad Año

0-14 años

15-64 años

65 años y más

No especificado

1900 2000 2010 d) Con los datos de la tabla, analicen nuevamente su respuesta del inciso a).

Complementen la información de ser necesario.

SECUENCIA 24

147


MI PROCESO DE APRENDIZAJE 3. Lee la información y elabora la gráfica circular correspondiente. a) De acuerdo con la Encuesta Intercensal del 2015, en nuestro país había

poco más de 119 millones de personas, de las cuales 61 millones son mujeres y 58 millones son hombres. Traza la gráfica circular Título: 

b) En 2015, BBC Mundo desarrolló una calculadora para averiguar qué tan

iguales son las mujeres y hombres en un determinado país. Por ejemplo, en nuestro país, la proporción de graduados universitarios que son hombres es 47%.

00 que cada $1 r r o p , o ic je En Méx , una mu hombre gana un 5. gana $8

# D AT O

Colombia , Fiji y F il los únic os paíse ipinas son s donde mujeres más qu cargos d e hombres ocu pan e altos fu n públicos , directiv cionarios os y legislad ores.

Título: 

c) La calculadora también indica que aproximadamente 2 de cada 5 altos

funcionarios públicos, directivos y legisladores son mujeres. Título: 

d) Compara tus respuestas con un compañero. ¿Usaron los mismos procedi-

mientos en los tres incisos? ¿Cuáles fueron las mejores estrategias?

148

MATEMÁTICAS 1


e) Exploren otros datos en la calculadora de igualdad. Seleccionen los que

llamen su atención y elaboren las gráficas circulares en su cuaderno. f) Elaboren un texto en el que mencionen cuál es la mayor diferencia entre

los sexos, cuál es la menor y qué posición ocupa nuestro país en desigualdad de género respecto al resto del mundo. g) Averigua información sobre tu localidad relacionada con los aspectos que

#TIC T@C En redir.mx/SSPM1-149a encontrarás una calculadora para averiguar qué tan iguales son mujeres y hombres.

exploraste en la calculadora de igualdad o sobre otros temas de igualdad de género. h) Para terminar tu texto, anota tu opinión acerca de estos datos. 4. En parejas, lean la información y respondan las preguntas.

En 2016, la Encuesta Nacional de Contenidos Audiovisuales arrojó los siguientes resultados para niños de 7 a 12 años. En México, 36% de los niños consume contenidos audiovisuales por internet. El porcentaje de quienes lo hacen sin un acompañante es de 39%. ¿Con quién ven programas de internet? Base: 323 niñas y niños que ven contenidos por internet

Sólo

39%

Acompañado

32%

Ambos

29%

a) En el siguiente espacio, tracen una gráfica en la que muestren la informa-

ción de con quién ven los niños los programas en internet.

#PROTAGONISTA b) Con base en la información anterior, respondan las siguientes preguntas. » ¿Qué porcentaje del total de niños no consume contenido de internet?

» ¿Qué porcentaje del total de niños ve programas en internet? » ¿Qué porcentaje del total ve contenido de internet acompañado?

» ¿Qué porcentaje del total de niños ve contenido de internet sin com-

pañía?

SECUENCIA 24

El uso de internet puede ser una herramienta de trabajo, un instrumento de ocio o un medio de comunicación. Si bien favorece la interacción virtual con otras personas, es importante cuidar que también te relaciones en el mundeo real y desarrolles tus habilidades sociales. Reflexiona sobre el tiempo que estás en línea y el que dedicas para convivir con tu familia o amigos cada día.

149


c) Organicen sus respuestas en la siguiente tabla. Comprueben que la

#REFLEXIONA

suma sea igual a 100%.

Observa cómo cambian los porcentajes respecto al total que se está considerando. Por ejemplo, 39% de los niños que ven contenido en internet lo hace solo, esto corresponde a 39% de 36% del total de niños encuestados.

No consumen Lo ven solos

14.04%

Sí consumen Lo ven acompañados Lo ven solos o acompañados d) Elaboren, en su cuaderno, una gráfica para presentar este resultado de

la encuesta.

MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS 5. Responde las preguntas con la información de la gráfica.

Para conocer la experiencia y la percepción de los usuarios hacia la publicidad, el Buró de Publicidad Interactiva de México dirigió un estudio en 2015 que arrojó, entre otros, los siguientes datos. #PROTAGONISTA

Que tanta atención ponen a la publicidad en internet

Cuando aparezca publicidad en internet, verifica que la información sea veraz y comprobable, así como los términos y condiciones, y la vigencia. Es importante que desarrolles criterios para validar la información que encuentras en internet, por ejemplo: ¿es verdadero todo lo que dicen los youtubers o lo que escriben los bloggeros? ¿Cómo podrías validarlo? Coméntalo con tus compañeros y lleguen a un acuerdo.

a) ¿Consideran que la gráfica es correcta?

Escriban sus argumentos.  

32%

b) ¿A qué se deberá la falta de informa-

25%

ción? Escriban sus argumentos. 

10% Algunas veces me detengo

 

Nunca me detengo Siempre me detengo



6. En parejas, analicen la información de las gráficas y hagan las activi-

dades en su cuaderno.

Población según condición de uso de celular, por tipo de equipo, 2015 Solo celular común 33.7% No utiliza celular 28.5%

Sí utiliza celular 71.5%

Smartphone 66.3%

Fuente: elaboración propia con datos del Inegi, ENDUTIH 2015

150

MATEMÁTICAS 1


Usuarios de celular inteligente, según conectividad a internet y tipo de conexión, 2015 # D AT O

En nuestro país hay 37 7.7 millones de personas usu arias del servicio de celular. No se conectan a internet 13.6%

Conexión móvil 67.1%

Sí se conectan a internet 86.4%

Solo conexión fija (WiFi) 32.9%

Fuente: elaboración propia con datos del Inegi, ENDUTIH 2015

a) Elaboren una sola gráfica para representar cada caso. Usen las siguientes

categorías. »» No utiliza celular, solo utiliza celular común, utiliza un smartphone. »» No se conecta a internet, usa conexión móvil para conectarse a inter-

net, solo usa internet con conexión fija (WiFi). b) Escriban por lo menos tres afirmaciones que se puedan deducir de las grá-

ficas anteriores. Por ejemplo: 2 de cada 3 usuarios cuentan con un celular inteligente o smartphone. c) Consideren que hay 77.7 millones de personas usuarias del servicio de

celular. Formulen tres preguntas que se puedan responder con la información de las gráficas e intercámbienlas con sus compañeros. 7. En equipos, diseñen una encuesta para obtener información so-

bre el uso que hacen de la tecnología. Por ejemplo, si tienen contratada televisión de paga o el uso que hacen del celular o del internet.

#CONTEXTO ¿Asistirá a la inauguración? No ha decidido

Probablemente sí Sí

a) Decidan el número y características (como sexo, edad, etcétera) de los

No

encuestados. Propongan dos preguntas que les harán. b) Decidan cuál es la mejor forma de presentar sus resultados: en gráfica de

barras, circular o en una tabla. Si usan una tabla, ¿usarán el número de personas encuestadas o porcentajes? c) Contrasten sus resultados con los que se obtuvieron en la Encuesta Nacio-

nal de Contenidos Audiovisuales. d) Presenten a sus compañeros los resultados de su encuesta. 8. Después de atender las presentaciones de sus compañeros, analicen

en qué casos convino usar una tabla o una gráfica para presentar la información.

SECUENCIA 24

Probablemente no

¿Notas cómo la perspectiva y el color hacen la diferencia al ver y analizar los datos? La estadística se utiliza para obtener conocimiento empírico mediante diversos métodos; entre ellos, las encuestas, donde las electorales son las más conocidas. Investiga cómo puede distorsionarse la lectura de las gráficas, por ejemplo, al manipular sus escalas.

151


EXPERIMENTA Gráficas con hojas de cálculo Las hojas de cálculo permiten elaborar tablas para organizar la información, así como diferentes tipos de gráficas para representarla.

Inegi, Encuesta de Cohesión Social para la Prevención de la Violencia y la Delincuencia (ECOPRED), 2014

a) Escribe en la tabla anterior los porcentajes relati-

» Selecciona la leyenda y da clic con el botón de-

vos en la celda correspondiente. Aproxima tu respuesta a dos cifras decimales.

recho del ratón. En la ventana emergente, elige la opción “Seleccionar datos”.

b) Escribe en la celda la fórmula para calcular el por-

centaje relativo. Se muestra un ejemplo.

c) Selecciona las celdas de la columna “Relativos” y

en el menú “Formato/Celdas” indica las opciones adecuadas en la opción “Número”.

» En la ventana “Seleccionar el origen de datos”

da clic en “Etiquetas del eje horizontal (categorías)”. En la primera columna, elige las celdas que corresponden al título de las leyendas.

d) Selecciona las celdas con la información que de-

seas graficar; por ejemplo, los datos de la columna G: “Mujeres/Relativos”. Después, en el menú “Insertar” elige la opción “Gráfico/Circular”.

» Presenta la gráfica.

f) Entra al sitio Cuéntame del Inegi en ‹redir.mx/ e) Personaliza la gráfica. Por ejemplo, agrega un títu-

lo o coloca nombre a las leyendas.

152

MATEMÁTICAS 1

SSPM1-152a›. Elige un tema de tu interés y selecciona los datos adecuados para representarlos con gráficas circulares.


Recomendaciones para elaborar y evaluar reportes Descripción: reforzarás y evaluarás tu conocimiento sobre los elementos

de un reporte escrito. ¿Has escuchado decir que las matemáticas son el lenguaje universal? Lo que esa frase significa es que, por ejemplo, un matemático en México puede entender lo que dice otro en Alemania con el lenguaje matemático, aunque uno hable español y otro, alemán. Por ello, es relevante aprender a comunicar por escrito planteamientos; explicar procedimientos; representar situaciones con fórmulas y ecuaciones; ejemplificar con gráficos, ilustraciones y tablas; e interpretar símbolos y resultados haciendo uso del lenguaje propio de las matemáticas de manera adecuada. Las matemáticas no solo se expresan mediante resultados numéricos, sino también con palabras que consideran al lector al que van dirigidas. Estrategia: en la tabla se describen los elementos esenciales de un reporte. Lee cada uno y escribe en la columna de la derecha cómo has empleado cada elemento en esta u otra asignatura: 1. Lo conozco y lo he integrado en mis reportes de esta y otras asignaturas; 2. Lo conozco poco o pocas veces lo he integrado en mis reportes; 3. No lo conozco o no lo integro.

Elementos de un reporte

Descripción de su uso

Valor

Fuentes de información Son confiables, variadas y múltiples. La información que aportan es relevante y está actualizada. Manejo de la información en el reporte Presenta todos los temas requeridos, con la amplitud y profundidad necesarios; está organizada coherentemente y no está manipulada. Incluye ejemplos. Ortografía y redacción No presenta errores de gramática ni de ortografía. Si se trata de una asignatura con un lenguaje y símbolos propios, úsalos de forma correcta en tu reporte. Imágenes, gráficas e ilustraciones Debe contener elementos visuales ilustrativos de los temas, no decorativos. Deben incluirse los créditos (nombres de los artistas, datos de las fuentes o bancos de imágenes). Conclusión Contiene una o varias ideas a las que llegaste después de considerar toda la información. Referencias Las fuentes están documentadas y citadas de acuerdo con las convenciones establecidas. Presentación Tiene una carátula con el título y la información de los autores, una estructura clara, está foliado y limpio. Es deseable entregarlo en fólder o engargolado. Resultado: observa aquellos elementos en los que escribiste la descripción

2 o 3; estos son en los que puedes enfocarte más para mejorar tus reportes. De esta forma, sabes hacia dónde dirigir tu esfuerzo de manera óptima. Recuerda siempre leer completo tu reporte antes de entregarlo.

153


SECUENCIA 25

Áreas de triángulos y cuadriláteros

MIS PRIMERAS IDEAS Un rompecabezas es un juego de mesa que consiste en componer una figura combinando determinadas piezas. ¿Sabías que al principio se usaban solamente para enseñar geografía? ¿O que en los primeros rompecabezas no se conocía cómo sería la figura que se formaría? 1. Para esta actividad necesitarás tu juego de geometría, papel recicla-

do y tijeras. ºº Crea las piezas de tu rompecabezas. Traza y recorta doce cuadra-

dos de 2 cm de lado y ocho triángulos rectángulos isósceles de 2 cm de base y 2 cm de altura, como los de la izquierda. ºº Con las piezas del rompecabezas, arma las figuras siguientes: cuadrado, rectángulo, triángulo, rombo, romboide, trapezoide, trapecio isósceles, trapecio rectángulo y trapecio escaleno. ºº Debes utilizar todas las piezas. Estas no deben sobreponerse ni debe haber espacio entre ellas. ºº En tu cuaderno, dibuja cómo armaste cada figura.

2 2

2

a) ¿Es posible formar todas las figuras? Explica por qué.

   b) Sin calcular el valor numérico, explica cómo es el área de las figuras que

formaste.   c) Compara tus figuras con las de tus compañeros. ¿Todos construyeron las

mismas figuras? Observen cómo son sus áreas: ¿son iguales o distintas? d) Lleguen a una conclusión grupal respecto al área de las figuras formadas. 2. Reúnete con dos compañeros y lleven a cabo lo que se pide para

Altura

responder las preguntas. ºº En papel cuadriculado, reproduzcan cinco veces el rectángulo de la izquierda y recorten las figuras. ºº Usen un cuadrito como unidad de medida para el área. a) Con base en la primera pieza, respondan las preguntas.

Base

»» ¿Cuántas unidades tiene de base?

¿Y de altura?

»» ¿Cuántos cuadritos hay en la figura?  »» Si giran 90º la figura, ¿cuántas unidades tiene de base?

¿Y de altura? »» Al girar la figura, ¿el área se altera o se conserva? 

Justifiquen su respuesta. 

154

MATEMÁTICAS 1


»» Describan cómo se calcula su área.  »» ¿Cuál es su área?  »» Péguenla en su cuaderno; indiquen su nombre, su área y la manera de

calcularla. b) Tomen una segunda pieza y recorten la base para que mida lo mismo que

Altura

su altura. »» ¿Qué figura obtienen?  »» ¿Cuántos cuadritos hay en la figura?  »» ¿Cómo calculan su área? 

Base

»» Si la base es igual que la altura, ¿cuántas unidades hay en la base?  »» ¿Cuál es el área de la figura?  »» Péguenla en su cuaderno, indiquen su nombre, su área y la manera

de calcularla. c) En la tercera pieza, tracen una diagonal y recórtenla por ella. »» ¿Qué figuras obtienen? 

diagon al: segm ento qu dos vér e une tices n o conse cutivos .

»» ¿Cuántos cuadritos hay dentro de cada figura?  »» ¿Cómo calculan el área de esa figura?  »» ¿Cuántos cuadritos tiene de base?  »» ¿Cuántos cuadritos tiene de altura?  »» ¿Cuál es el área de cada figura?  »» En su cuaderno, peguen las figuras, indiquen su nombre, su área y la

manera de calcularla. d) Para la cuarta figura, sigan el procedimiento.

Tracen los segmentos que unen los puntos medios de cada lado.

Unan los cuatro triángulos.

SECUENCIA 25

Recorten por los segmentos. En la figura central, tracen las diagonales.

Figuras resultantes

155


»» ¿Qué figuras obtienen? 

#BITÁCORA

»» ¿La diagonal mayor coincide con el tamaño de la base o de la altura de

Lleva a cabo la actividad de la página 244.

la figura original?  »» ¿Y la diagonal menor?  »» ¿Cómo calcularían el área de una de esas figuras?

 »» ¿Cuál es el área de cada figura?  »» Peguen las figuras en su cuaderno, indiquen su nombre, su área y la

manera de calcularla. e) Para la quinta figura, sigan el procedimiento y respondan las preguntas.

»» ¿Qué figura obtienen?  »» ¿Cuántas unidades tiene de base?

¿Y de altura?

»» ¿Cuál es su área?  »» Peguen la figura en su cuaderno, indiquen su nombre, la manera de

calcular su área y el valor de su área.

MI PROCESO DE APRENDIZAJE El área es la superficie comprendida dentro de un perímetro. No tiene espesor ni grosor. Su unidad de medida se expresa en unidades cuadradas, por ejemplo, centímetros cuadrados (cm2). 3. Observa el ejemplo e indica el área de acuerdo con las literales dadas.

h

Figura

Área

b

156

Con Base por altura palabras Con literales

A = bh

MATEMÁTICAS 1

m

h e

m j

r s


4. En parejas, escriban en cada figura las literales correspondientes a la

dimensión indicada en la fórmula.

A = ___ ​​  Dd   ​ 2

A = x2

bh A = ​​ ___   ​ 2

A = xy

A = ab

a) ¿Las medidas de los elementos de un polígono pueden ser representadas

por cualquier literal? Justifiquen su respuesta.  b) ¿Una fórmula debe escribirse usando siempre las mismas literales?

 5. En tu cuaderno, haz lo que se pide. a) Dibuja el polígono cuya área es igual a la medida de la base por la medida

de la altura. xy b) Dibuja el polígono cuya área se obtiene al calcular A = __ ​​  2  ​​. c) Compara tus trazos con los de tus compañeros. ¿Dibujaron los mismos polígonos? d) ¿Por qué un rectángulo y un romboide tienen la misma fórmula para calcular su área? e) ¿Por qué el área de un triángulo y un rombo se dividen entre 2?

#TIC T@C Si no sabes la respuesta de los incisos d) y e), explora las siguientes páginas: redir.mx/SSPM1-157a redir.mx/SSPM1-157b ¿Ahora ya sabes por qué?

6. Lee con tu grupo la información del recuadro. Identifica qué medida

representa cada literal. Fórmulas para calcular el área de triángulos y cuadriláteros Cuadrado: A = l 2

Triángulo: A = ___ ​​  bh   ​​ 2

Romboide: A = bh

Rectángulo: A = bh

  ​​ Rombo: A = ___ ​​  Dd 2

Trapecio: A = ​​ ______     ​​  2

(B + b)h

7. En parejas, resuelvan los ejercicios. a) Observen las figuras y divídanlas en la menor cantidad de triángulos o

cuadriláteros para calcular su área.

Figura 1

Área = 

SECUENCIA 25

Figura 2

Área = 

Figura 3

Área = 

157


b) Calculen el área de los polígonos.

f

d

b

a a A=

A= a

d e

f

A=

A= c

a

c

A=

A=

b c

f

e d

A=

A=

c) El valor de cada variable es el siguiente: a = 4 cm, b = 5 cm, c = 6 cm,

d = 7 cm, e = 8 cm y f = 9 cm. »» Escriban en su cuaderno las expresiones obtenidas en el inciso anterior. »» Sustituyan las literales por los valores dados. »» Calculen el área de cada polígono.

158

MATEMÁTICAS 1


MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS 8. Responde las preguntas. Considera que en la figura la diagonal me-

nor del rombo sombreado mide 5 cm y la diagonal mayor, 8.7 cm.

a) ¿Cuál es el área del rombo?

¿Y del hexágono?

b) ¿Cuál es el perímetro del hexágono? 9. En equipos, resuelvan el problema.

En Perú existen zonas naturales protegidas; sin embargo, están siendo deforestadas por el hombre para beneficio propio. Las imágenes satelitales del MAAP (Proyecto de Monitoreo de la Amazonía Andina) muestran algunas de estas zonas deforestadas.

defore star: d espojar terreno un de plan t a s f Se tala orestale n sus á s. rboles transfo para rmar e l terren zona d o en e cultiv o y pas toreo.

#CONTEXTO Fuente: “La deforestación en la región de Huánuco”, MAAP/Digital Globe (NextView) [en línea], disponible en ‹http://maaproject.org/2016/huanuco/›, fecha de consulta: 31 de octubre de 2017.

a) Calculen el área de cada zona deforestada. Para ello, usen la escala de la

fotografía. b) Investiguen si en su localidad hay registros (como este mapa) que les

permitan medir cómo se ha transformado su entorno a causa de la deforestación. 10. Expongan el resultado de su investigación y la solución de la activi-

dad anterior. ¿Obtuvieron el mismo resultado? ¿Cuál consideran que fue la mejor aproximación?

SECUENCIA 25

Una estrategia para calcular el área de figuras irregulares consiste en cuadricular una imagen a escala para obtener el área de cada sección. Consigue una imagen de satélite de un edificio o elemento natural (como un lago) representativo de tu localidad y determina su superficie.

159


SECUENCIA 26

Problemas de variación I

MIS PRIMERAS IDEAS

#PROTAGONISTA Investiga qué es tu huella de carbono y qué acciones puedes emprender, en conjunto con tu familia, para reducirla. En redir. mx/SSPM1-160a encontrarás una calculadora.

El CO2 (dióxido de carbono) es uno de los gases que se producen al quemar combustible, y es el responsable del calentamiento global. Los automóviles, por cada litro de gasolina quemada, producen 2.3 kg de CO2 y 2.6 kg por cada litro de diésel. 1. Reúnete con un compañero y lleven a cabo las actividades. a) Completen la tabla en la que se relacionan los litros de gasolina quemada

y los kilogramos de CO2. Litros de gasolina

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Kilogramos de CO2 b) Determinen cuántos litros de gasolina consumida por un auto producirá

el equivalente en dióxido de carbono al peso de cada uno de ustedes.  #DATO 1 tonelada = 1 000 kilogramos

c) El tanque de gasolina de un auto subcompacto es de 40 L. ¿Cuántos

kilogramos de dióxido de carbono produce?  d) ¿Cuántos litros de gasolina producen una tonelada de dióxido de carbono?

 e) Escribe una expresión algebraica que permita determinar la cantidad de

dióxido de carbono en función de los litros de gasolina.   f) En la tabla, determinen los kilogramos

de CO2.

Litros de gasolina

g) Escriban el procedimiento que usaron

24

para determinar los valores correspondientes. 

25

Kilogramos de CO2

 h) En la tabla, determinen los litros de

gasolina. i) Escriban el procedimiento que usaron

para determinar los valores correspondientes.  

160

MATEMÁTICAS 1

Litros de gasolina

Kilogramos de CO2 69 71.3


j) Determinen el par de datos enteros

que siguen a los indicados en la tabla.

Litros de gasolina

Kilogramos de CO2

40

92

Litros de gasolina

Kilogramos de CO2

37

85.1

k) Escriban el procedimiento que usaron

para determinar los valores faltantes.    l) Determinen el par de datos enteros,

anteriores a los indicados en la tabla. m) Escriban el procedimiento que usaron

para determinar los valores faltantes.   

n) Escriban, en su cuaderno, una conclusión sobre los cálculos de los cuatro

casos anteriores. Señalen coincidencias y diferencias. o) Escriban una conclusión sobre la cantidad de contaminantes que se gene-

ran al usar el automóvil de forma indiscriminada. 2. Lean la información del recuadro y relacionen los procedimientos

con las estrategias que emplearon para resolver la actividad 1. Regla de tres o cuarta proporcional ​​  c ​​,  entonces los productos cruzados En toda proporción se cumple que si ​​ __a ​​ = __ b d son iguales ad = bc. Para encontrar un valor desconocido o despejar cualquiera de los términos, es posible seguir cuatro procedimientos, que se indican enseguida. Valor desconocido Procedimiento

a

b

a = __ ​​  bc  ​​ d

b = __ ​​  ad c  ​​

c

d

ad c = ​​ __   ​​ b

d = __ ​​  bc a  ​​

MI PROCESO DE APRENDIZAJE 3. Resuelvan el problema.

Elsa ha ahorrado lo suficiente para comprar un celular e investigó cuáles son las características que conviene tener en cuenta. Averiguó que los componentes internos de un celular consumen determinada cantidad de energía para su funcionamiento, medida en watts-hora (Wh). La suma establece el consumo total de energía que necesita el celular para operar en diferentes condiciones.

SECUENCIA 26

161


a) Determinen la cantidad de watts-hora para cada caso.

Consumo de energía en un teléfono celular de modelo DELTA 1 En reposo (pantalla apagada) Pantalla: 0.1 Wh Procesador central: 0.2 Wh Comunicaciones: 0.2 Wh Total:

Pantalla encendida sin usar aplicaciones Pantalla: 1.1 Wh Procesador central: 1.1 Wh Comunicaciones: 0.5 Wh

Wh

Total:

Wh

Pantalla encendida con aplicaciones abiertas Pantalla: 1.1 Wh Procesador central: 2.7 Wh Comunicaciones: 1.2 Wh Total:

Wh

b) Completen la tabla con los datos de la pantalla “en reposo”.

En reposo (pantalla apagada) horas

watts-hora

1

0.5

c) La batería del celular DELTA 1 se muestra a la izquierda. ¿Qué capacidad

en watts-hora tiene? d) ¿Cuántas horas puede mantenerse en reposo el celular usando esta batería?

e) Completen las tablas.

Pantalla encendida sin usar aplicaciones

Pantalla encendida con aplicaciones abiertas

horas

watts-hora

horas

watts-hora

1

2.7

1

5

#REFLEXIONA Las horas se expresan en sistema sexagesimal, por lo que 1.5 horas no significa 1 hora 50 minutos, sino 1 hora 30 minutos.

162

MATEMÁTICAS 1

f) ¿Qué tiempo puede operar el teléfono con la pantalla encendida, pero

sin usar aplicaciones?


g) ¿Qué tiempo puede operar el teléfono con la pantalla encendida y con

aplicaciones en uso?  h) Elsa notó que la batería dura muy poco, por lo que compró una externa

de 20 Wh para extender el tiempo de uso. Considerando las baterías interna y externa, ¿cuál es el tiempo total de uso con la pantalla encendida y aplicaciones abiertas?  i) Organicen un debate grupal sobre cómo las matemáticas ayudan a tomar

decisiones sobre los productos tecnológicos que se compran. 4. Lee el siguiente planteamiento y responde las preguntas.

Anita tiene un puesto de flores en el mercado. Vende la cantidad de flores que necesite el cliente con los siguientes precios: rosas a $5.00, gerberas a $9.00 y tulipanes a $12.00. a) Un ramo mixto tiene 2 tulipanes, 4 gerberas y 6 rosas. ¿Cuánto cuesta un

ramo mixto?  b) Completa las tablas que indican la proporción de flores en los ramos.

Proporción de flores Tulipanes

Rosas

Proporción de flores Gerberas

1

2

2

4

Rosas

c) Construye en tu cuaderno otra tabla que relacione otra pareja de flores.

¿Qué flores elegiste?  d) Raúl quiere medio ramo mixto de flores. ¿Cuál es su precio? ¿Qué tipo

y qué cantidad de flores debe tener?  e) Emilia quiere un ramo que tenga 5 tulipanes y una cantidad proporcional

de las otras flores. ¿Cuál es su precio? ¿Qué tipo y qué cantidad de flores tendrá?  f) Valeria quiere un ramo con 6 gerberas y una cantidad proporcional de

las otras flores. ¿Cuál es su precio? ¿Qué tipo y qué cantidad de flores debe tener? 

SECUENCIA 26

163


g) Completa la tabla.

Ramos

1

2

Precio ($) h) ¿En qué otras situaciones de la vida diaria puedes emplear las tablas

de valores proporcionales? Propón un ejemplo y compártelo con tus compañeros. El cálculo para determinar el número de veces que una cantidad A es igual a una cantidad B implica determinar la razón numérica que guardan ambas cantidades. Esto se logra cuando: •• se compara o mide A respecto a B; •• existe una relación proporcional entre dos conjuntos, donde A y B son can-

tidades del primer conjunto y su razón se mantiene en el segundo conjunto (razón interna); •• A y B pertenecen a conjuntos diferentes y su razón es la constante que relaciona a todos los pares de cantidades. Una relación entre dos conjuntos de cantidades es proporcional… •• si al dividir una cantidad del primer conjunto entre el valor correspondiente

del segundo conjunto se obtiene siempre un valor constante. •• si al duplicar, triplicar, etc., un número del primer conjunto, también se duplica, triplica, etc., el valor correspondiente del segundo conjunto.

#BITÁCORA

MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS

Resuelve la actividad de la secuencia en la página 245.

5. Analiza el siguiente planteamiento y responde las preguntas.

Ulises compara información nutrimental de dos tipos de leche: la Plus contiene 3.6 g de proteína por cada 190 mL y la Delta, 7.5 g de proteína por cada 250 mL. Leche Plus Información nutrimental

Leche Delta Información nutrimental

Contenido energético

Por 100 g

Porción de 190 mL

Contenido energético

Porción de 250 mL

kcal

50

100

kcal

145.5 kcal

Composición media

Por 100 g

Porción de 190 mL

Composición media

Porción de 250 mL

Proteínas, g

1.8

3.6

Proteínas, g

7.5 g

Sodio, mg

71

140

Sodio, mg

98 mg

Calcio, mg

65

128

Calcio, mg

288.4 mg

Lípidos

1.2

2.4

Lípidos

7.5 g

a) ¿Cuántos gramos de proteína tendrán 95 mL y 380 mL de leche Plus?

 b) ¿Cuántos gramos de proteína tendrán 125 mL y 500 mL de leche Delta?



164

MATEMÁTICAS 1


c) Completa las tablas con la información anterior.

Leche Plus Leche (mL)

Proteína (g)

Leche Delta Leche (mL)

95

125

190

250

380

500

570

750

760

1 000

Proteína (g)

#TIC T@C Analiza las actividades y procedimientos que se muestran en el enlace redir.mx/SSPM1-165a

d) ¿Cuántos gramos de proteína habrá en 1 mL y en 5 mL de leche Plus?

e) ¿Qué tipo de leche tiene más proteínas por mililítros?

f) Determina una expresión algebraica que te permita determinar los gra-

mos de proteína en cada tipo de leche a partir de los mililitros de leche.

g) ¿Qué otra relación de proporcionalidad se puede extraer de la etiqueta

nutrimental de la leche? Expón a tu grupo otros ejemplos de relaciones.

6. En parejas, resuelvan los problemas. Usen una tabla de variación, la

regla de tres u otra estrategia. a) Si 250 g de jamón de pavo cuestan $48.75, ¿cuál será el precio de 1 250 g?

b) En una autopista recta, un automóvil tarda 45 min en recorrer 120 km.

¿Cuántos minutos tardará en recorrer 145 km? c) Rodrigo trabaja en una gasolinera; por cada 10 vehículos que atiende,

#CONTEXTO

le dan una comisión de $20.75 adicional a su salario. Si hoy atendió 70, ¿cuánto ganó de comisión? d) Si en 355 mL de refresco hay 70 mg de sodio, ¿cuántos miligramos habrá

en 2 L? e) En una familia, 625 g de cereal alcanzan para cinco días. ¿Cuánto cereal

se necesita para tres semanas? f) Comparen sus respuestas con tus compañeros, en especial, los procedi-

mientos que emplearon. 7. Organiza una lluvia de ideas con el grupo para analizar la similitud

que tiene la regla de tres con ecuaciones. Escriban, en su cuaderno, sus conclusiones.

SECUENCIA 26

En las taquillas del metro se exhiben tablas que indican el costo de un boleto y su precio. Algo similar sucede en las tortillerías: allí se relaciona el precio y el peso. Busca un tercer ejemplo; con esa información plantea y resuelve un problema.

165


SECUENCIA 27

Resolución de ecuaciones II

MIS PRIMERAS IDEAS Todos los viernes, la profesora Patricia organiza torneos de juegos matemáticos con sus estudiantes de 1° B. El viernes pasado jugaron cuadromáticas, que consiste en tomar una tarjeta del centro de la mesa y formar la figura geométrica con las características que en ella se describen. Para ello, emplean cuadritos de papel de colores cuyos lados miden x. x

x

Lucía extrajo la primera tarjeta

y formó la siguiente figura.

Forma un rectángulo tal que la medida de un lado sea el doble del otro lado.

1. Reúnete con un compañero y resuelvan el siguiente planteamiento. a) ¿La figura cumple las condiciones de la tarjeta? Expliquen su respuesta.

 b) ¿Cuántas figuras es posible construir con esta condición?

 c) Dibujen en su cuaderno otro par de figuras que cumplan esa condición. d) Determinen el perímetro de la figura que formó Lucía.

 e) Supongan que la medida del perímetro de la figura formada por Lucía es

18 unidades, ¿cuánto debe valer x?  f) Completen la tabla que relaciona la medida del perímetro con el valor de x.

Perímetro

12

Valor de x

21

30

2

39 3

g) Luis extrajo la siguiente tarjeta. Tracen en su cuaderno la figura resultante.

Forma un rectángulo cuyo perímetro esté definido por 2(3x) + 2(4x)

h) Observen que el perímetro varía en función de los valores que puede

tomar x. Completen la tabla. Perímetro Valor de x

166

MATEMÁTICAS 1

7

21 1

35 2

3


i) Lucía extrajo otra tarjeta; esta dice:

La expresión 2(2x) + 2(6x) = 16 indica el perímetro de un rectángulo. Determina el valor de x y después traza la figura. Dibujen en su cuaderno la figura resultante; para ello, resuelvan la ecuación y determinen el valor x. 2. Trabajen con otro compañero. Si es posible, reproduzcan las figuras;

para ello, necesitarán papel reciclado y tijeras. O bien, trácenlas en su cuaderno. El siguiente viernes de torneo, la profesora Paty modificó las reglas del juego cuadromáticas. Esta vez cada uno recibe un rectángulo en el que se indican las medidas de sus lados. A partir de esa figura, construyen otras nuevas, de acuerdo con las instrucciones señaladas en la tarjeta; para ello, utilizan serpentinas que miden una unidad de ancho y diversas unidades (x) de largo. 1 a) A Lucía le asignaron la siguiente figura.

3x

La primera tarjeta que tomó decía:

7x

A tu figura, debes agregar una unidad por lado para que formes un nuevo rectángulo. Así que formó esta figura.

»» Reproduzcan la figura con sus materiales o trácenlas en su cuaderno. »» Determinen su perímetro.  b) Luis recibió la siguiente figura.

La tarjeta que tomó decía: 4x 8x

A tu figura, agrega dos unidades al lado mayor y una unidad al lado menor, así formarás un nuevo rectángulo.

»» Formen la figura resultante o dibújenla en su cuaderno. »» Determinen la medida del perímetro. 

SECUENCIA 27

167


»» Consideren que el valor del perímetro varía en función de los valores

#BITÁCORA

que se asignen a x. Elaboren una tabla en su cuaderno.

Resuelve la actividad de la bitácora de la página 245.

Valor de x Perímetro

2 30

3

4

42

c) Lucía extrajo otra tarjeta. »» Formen la figura resultante o dibújen-

Forma un rectángulo cuyo perímetro esté definido por 2(3x + 2) + 2(4x + 1).

d) Luis extrajo la siguiente tarjeta. »» Formen la figura resultante

o dibújenla en su cuaderno. »» Determinen el valor de x.



la en su cuaderno. »» Simplifiquen la expresión algebraica.



La expresión 2(4x + 1) + 2(6x + 3) = 68 representa el perímetro de un rectángulo. Determina el valor de x y después construye la figura.

3. Por parejas, expongan sus respuestas. Analicen si formaron las mis-

mas figuras y los procedimientos que emplearon. De forma grupal y con ayuda del profesor, comprueben sus respuestas. 4. Resuelve las ecuaciones; desarrolla los procedimientos en tu cuaderno. a) 3(4x + 2) + 4(2x + 1) = 50 c) 4(5x + 2) + 2(2x + 2) = 180

b) 2(3x + 1) + 5(2x + 3) = 145 d) 3(7x + 5) + 8(4x + 2) = 296

e) 6(5x + 2) + 9(2x + 8) = 204

MI PROCESO DE APRENDIZAJE 5. Lee el siguiente planteamiento y responde las preguntas.

Bernardo es fanático de jugar “tarjetas de los elementos”. En este juego hay cuatro tipos de tarjetas: las de Agua, que valen el doble que las de Tierra; las de Viento, que valen el doble que las de Agua; y las de Fuego, que valen el doble que las de Viento. a) Justino intercambiará con Felipe una tarjeta de Fuego por tarjetas de

Agua. ¿Cuántas tarjetas de Agua recibirá?  b) Si las tarjetas de Fuego valen 8x (se lee “ocho poderes”), ¿cuánto valen

las tarjetas de Tierra, Agua y Viento? Tierra:

Agua: Viento:

Para responder las siguientes preguntas utiliza x en lugar de escribir la palabra poderes.

168

MATEMÁTICAS 1


c) Juan Carlos tiene 2 tarjetas de Tierra, 5 de Agua y 1 de Fuego. ¿Cuántos

poderes tiene en total?  d) Agustín quiere conseguir una tarjeta de Viento, ¿cuántas tarjetas de Tie-

rra debe emplear en la transacción?  e) Emilio tiene 2 tarjetas de Tierra y 2 de Agua. ¿Cuántos poderes necesita

para conseguir 2 de Fuego?  f) La siguiente expresión simplificada representa la colección de tarjetas que tiene Jesús: 2(x) + 3(2x) + 5(4x) + 2(8x). ¿Cuántas tarjetas tiene de cada tipo y cuántos poderes tiene?   g) Completa la tabla.

Tarjetas

Amigos

Tierra

Agua

Viento

Fuego

Rubén

2

3

2

2

Armando

3

2

2

2

Ulises

2

2

3

3

Néstor

3

3

2

2

Ignacio

2

2

3

2

Expresión simplificada

Total

Martín quiere integrarse al intercambio de tarjetas de los elementos y comprará algunas. Estas tienen un precio proporcional a los poderes, siendo las más baratas las de Tierra. Por otra parte, el precio de los poderes varía según la temporada y la demanda. h) Martín compró una tarjeta de Tierra en $15.00. ¿Cuánto cuestan las

demás tarjetas? Agua:

Viento: Fuego:

La siguiente semana cambió el precio de los poderes. Aunque Marcos no conoce el precio, puede determinarlo con la siguiente equivalencia: René tiene exactamente lo mismo que Rodolfo, pero este último tiene tarjetas y dinero. René Rodolfo 2(x) + 3(2x) + 3(4x) = 2(8x) + 72 i) Resuelve la ecuación para determinar el valor de un poder (valor de x).  j) Todas las semanas cambian el valor de cada poder, por lo que es necesa-

rio hacer cálculos para determinar su precio. Efectúalos en tu cuaderno. »» 6(5x + 2) + 9(2x + 8) = 204 » 2(x) + 2(2x) + 2(4x) = 2(4x) + 120 »» 3(x) + 2(8x) = 2(4x) + 2(2x) + 133

» 2(x) + 3(4x) = 6(2x) + 42

»» 2(x) + 6(4x) = 2(8x) + 2(2x) + 150

» 3(4x) + 3(2x) = 2(8x) + 60

SECUENCIA 27

#TIC T@C Visita la página redir.mx/SSPM1-169a y resuelve las ecuaciones. Primero comprueba, en tu cuaderno, los resultados y luego verifica las respuestas.

169


Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Resolver una ecuación consiste en determinar el valor o los valores de la incógnita que permiten que se cumpla la igualdad. Por ejemplo, en la ecuación 2x + 3 = x + 5, la incógnita x tiene como solución x = 2, pues al sustituir el valor se cumple la igualdad: • En la expresión 2x + 3, si x = 2, entonces 2(2) + 3 = 7 • En la expresión x + 5, si x = 2, se obtiene 2 + 5 = 7 • Se comprueba que con el valor de x = 2, la igualdad se cumple.

MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS 6. En parejas, lean el planteamiento y respondan las preguntas.

Para la clase de Física, Manuel y Miriam construyeron una balanza con un gancho para ropa y dos latas de atún vacías. Este instrumento también les sirvió para estudiar la igualdad en la clase de Matemáticas. Manuel tiene canicas de tres tamaños diferentes: la mediana pesa una y media veces lo que la pequeña, y la grande pesa dos y media veces lo que la pequeña. a) Si a la pequeña la denominamos x, escribe el peso de las otras canicas

respecto a la pequeña.

b) Manuel coloca en un lado de la balanza dos canicas grandes. ¿Cuántas cani-

cas pequeñas debe colocar para que la balanza esté equilibrada? c) En otro caso, Miriam coloca en un lado de la balanza siete canicas que se n

tiene tal que

de me piezas pesas: izado. tandar s e o s e un p

representan por 5(x) + 2(1.5x) ¿Qué debe colocar en el otro lado para que la balanza se mantenga en equilibrio?

Manuel reta a Miriam a que encuentre cuatro diferentes combinaciones de canicas para que la balanza se mantenga en equilibrio. 5(x) + 4(1.5x) + 2(2.5x)

d) En tu cuaderno, escribe las posibles soluciones del reto. e) Más tarde llegó Armando con unas pesas metálicas y les propuso a Ma-

#REFLEXIONA ¿Consideras que 3(3x) es una ecuación? Expón tus argumentos como si tuvieras que convencer a un compañero que opina lo contrario.

170

MATEMÁTICAS 1

nuel y a Miriam el reto siguiente: si el primer lado de la balanza pesa 50 g + 2(2.5x), ¿qué deben colocar en el segundo lado para que la balanza quede en equilibrio? Después de un rato, Manuel y Miriam propusieron 2(2.5x) + 2(1.5x) + 2(x) y concluyeron que… 2(2.5x) + 2(1.5x) + 2(x) = 50 + 2(2.5x)


A partir de esa ecuación, es posible determinar el valor de x. Resuélvanla y determinen el valor de cada canica.

f) En este contexto, el equilibrio de la balanza muestra la igualdad, es decir,

lo que hay en un lado es igual a lo que hay en el otro lado. Con base en el modelo de las pesas y las canicas, describan en su cuaderno qué representa la ecuación 5(2.5x) + 3(1.5x) + 3(x) +10 = 20 + 4(2.5x). g) Resuelvan la ecuación y determinen el valor de x. Desarrollen el procedi-

miento en su cuaderno.

h) Escriban una conclusión sobre el modelo de la balanza para interpretar el

concepto de ecuación. i) Comparen sus respuestas con otro compañero. Analicen las estrategias

usadas para resolver los problemas anteriores. ¿Hay alguna más eficiente que otras? 7. Resuelve la ecuación 3x + 5x − 2 = −4x + 4. a) Completa la tabla. En la columna “Operaciones”, describe las operacio-

nes efectuadas en ambos miembros de la igualdad, con el propósito de dejar de un lado de la igualdad los términos con la incógnita y del otro, los valores numéricos. Igualdad

Operaciones

Resultado

3x + 5x − 2 + 2 = −4x + 4 + 2

sumar 2

3x + 5x = −4x + 6

#CONTEXTO

b) ¿Cuál es el valor de la incógnita? 8. Reúnete con un compañero. Determinen un valor para x con el

que la igualdad se cumpla. Escriban las etapas, paso a paso, en su cuaderno. a) 3x + 10 = 10x − 2

b) 5x − 3 = 3x + 1

c) 5x − 5 = 23 − 2x

d) 4x − 2 = 2x + 6

e) 3x + 1 = 28 + 5x

f) 10x − 10 = 2x − 6

9. Debate de forma grupal acerca del concepto igualdad y cómo pre-

servarla, además de la equivalencia entre ambos miembros de una ecuación y las técnicas para despejar.

SECUENCIA 27

La sonda espacial New Horizons fue lanzada en 2006 para estudiar a Plutón y sus satélites. Llegó a su destino en 2015, después de nueve años y medio de viaje. En su primera etapa, la sonda viajó a 15 km/s. Escribe una ecuación para determinar la distancia recorrida en cualquier tiempo.

171


SECUENCIA 28

Experimentos

MIS PRIMERAS IDEAS La familia Pérez tiene tres hijos y todas las noches contienden entre sí para no ser el último en cepillarse los dientes, ya que a este le corresponde limpiar y ordenar.

#ALGUIEN COMO YO ¿Alguna vez has tenido problemas para colocar la pasta dental en tu cepillo? Para evitar este problema, Henry Hughes inventó el Diente O-Matic cuando tenía 12 años en 2015. No necesitas ser mayor para que tu creatividad se ponga en juego. Conoce otros diseños hechos por alguien como tú en redir.mx/SSPM1-172a.

Para evitar el conflicto, su mamá propuso el siguiente orden: el lunes y el jueves le corresponde limpiar al mayor, martes y viernes al hijo menor, y miércoles y sábado, al otro hijo. Como segunda opción, su papá les propuso jugar un disparejo, que consiste en que cada uno de ellos lance una moneda al aire y limpie el que obtenga un resultado diferente a los otros dos. Si todos obtienen el mismo valor, entonces se repite el lanzamiento. 1. Reúnete con dos compañeros. Lleven a cabo la actividad para simu-

lar la situación de la familia Pérez. a) Completen la tabla de acuerdo con la opción que les dio su mamá.

Día

Lunes

Martes

Mércoles

Jueves

Viernes

Sábado

Responsable

hijo mayor

hijo hijo de menor en medio

hijo mayor

hijo menor

hijo de enmedio

b) ¿Quién limpia más días?  c) Cada uno de los integrantes de su equipo representará a un hijo de la

familia Pérez. Consigan una moneda y lleven a cabo el experimento del disparejo. Registren los resultados en la tabla. Día

Lunes

Martes Miércoles

Jueves

Viernes

Sábado

Responsable d) Reúnan la información de todo el grupo y concéntrenla en una sola tabla.

Escriban cuántas veces salió como responsable cada hijo. Día

Lunes

Martes Miércoles

Jueves

Viernes

Sábado

Hijo mayor Hijo de en medio Hijo menor e) ¿Qué diferencias o similitudes observan entre las tres tablas anteriores?

¿Cuál de las dos opciones consideran que es la mejor? Comenten sus respuestas y lleguen a un acuerdo de manera grupal. f) Supongan que, al jugar disparejo, el hijo menor tuvo que limpiar cuatro

días de una semana, por lo que opina que este juego no es justo. ¿Están de acuerdo con él? Escriban por qué.  

172

MATEMÁTICAS 1


g) Propongan una alternativa para considerar también el domingo en la lim-

pieza. ¿Qué estrategia emplearían?   2. Responde las preguntas.

Por tradición, al comprar merengues puedes jugar a un volado: si ganas, no pagas; pero si pierdes, pagas el doble. Julieta e Ismael piensan que pueden practicar para ganar y están jugando a los volados; ganará el que acierte dos de tres lanzamientos. a) ¿Quién consideras que ganará?

Argumenta tu respuesta.

  b) Completa la tabla con un resultado del juego entre Julieta e Ismael. Jugador

Primer Segundo Tercer lanzamiento lanzamiento lanzamiento

Ganador

Julieta Ismael 3. Reúnete con un compañero. Jueguen a los volados y hagan lo que

se indica. a) ¿Quién de los dos tiene más posibilidades de ganar?  ¿Por qué?

 b) Completen la tabla con los resultados del juego. Jugador

Primer Segundo Tercer lanzamiento lanzamiento lanzamiento

Ganador

Julieta Ismael c) ¿Coincidieron sus resultados con los propuestos en la tabla de Julieta e

Ismael?

¿Por qué?

 d) Discutan con su grupo si es posible saber con anticipación quién ganará.

Escriban una conclusión.  

SECUENCIA 28

#FUENTE Poskitt, Kjartan, Esa condenada mala suerte, Ciudad de México, sep/Abrapalabra Editores, 2005. Descubre el secreto de las probabilidades.

173


MI PROCESO DE APRENDIZAJE 4. Un dado de seis caras tiene un número de 1 a 6 en cada una. Imagina

que lanzas quince veces un dado. a) ¿Cuáles son los resultados que obtendrás?

Lanzamiento

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Valor obtenido b) Ordena tus resultado en las tabla. Valor de la cara del dado

1

2

3

4

5

6

Frecuencia c) ¿Cuántas veces consideraste obtener el número 2? d) ¿Y el 6? e) Si lanzas más veces el dado, ¿obtendrás con mayor frecuencia un solo

¿Cuál?

número?

5. Consigue un dado de seis caras y efectúa lo que se pide. Responde

las preguntas. a) Lanza quince veces el dado y registra tus resultados en la tabla.

Lanzamiento

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Valor obtenido b) Ordena tus resultados en las tablas. Valor de la cara del dado

1

2

3

4

5

6

Frecuencia c) ¿Obtuviste los mismos resultados en las tablas de las actividades 4 y 5?

Explica tu respuesta.

#DATO La frecuencia es el número de veces que se repite un dato.

d) ¿Consideras que un número se obtendrá con más frecuencia sin importar

la cantidad de lanzamientos? Argumenta tu respuesta.

e) Confronta tus respuestas del inciso d) con tus compañeros. Identifiquen

dudas y dificultades, y comenten cómo resolverlas.

174

MATEMÁTICAS 1


6. Lanza dos dados de seis caras y suma los números que obtuviste. a) Completa la tabla de los resultados posibles al sumar los números que se

obtienen en el lanzamiento de dos dados. +

1

2

1

2

3

2

3

3

4

5

6

3 4 5 6 b) De acuerdo con la tabla, ¿qué valor se repite más?

¿Qué valor

se repite menos? c) Haz quince lanzamientos y registra tus resultados en la tabla.

Resultado

Lanzamiento 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Frecuencia

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 d) Conforme a los resultados, ¿qué valor se repitió más? e) ¿Qué valor se repitió menos? f) Si lanzaras los dados una vez más, ¿qué número elegirías para predecir el

resultado? Explica por qué.

SECUENCIA 28

175


Un experimento aleatorio es una situación en la que se conocen los resultados posibles, pero no se puede predecir exactamente el resultado final, ya que este no depende de la habilidad o destreza al ejecutar el experimento; por ejemplo, en un volado, se sabe que la moneda cae en sol o águila, mas no cuál será el resultado. 7. Reúnete con un compañero y hagan el experimento propuesto.

Supongan que tienen cinco tarjetas numeradas de 1 a 5 dentro de una bolsa: por turnos, sacan una tarjeta sin mirar, anotan su número y la regresan a la bolsa. La tabla muestra los resultados de los diez primeros turnos. Valor de la tarjeta

Turnos 1

2

3

4

1

5

6

8

9

X

10 X

2 3

7

X X

X

4 X

2 1

X

X

5

Frecuencia

3 X

2

X

2

a) Con base en los datos de la tabla, ¿pueden anticipar el resultado de la

¿Por qué?.

tarjeta que saldrá en el turno 11?   

b) Construyan las tarjetas y desarrollen el experimento. Concentren la infor-

mación obtenida en la tabla. Valor de la tarjeta

Turnos 11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Frecuencia

1 2 3 4 5 #BITÁCORA

c) Completen la tabla de frecuencias con los resultados de todas las parejas

Resuelve la actividad de la página 246 correspondiente a esta secuencia.

176

MATEMÁTICAS 1

del grupo. En su cuaderno, elaboren la tabla completa. d) Con base en los resultados, comenten si es posible anticipar el resultado

al sacar una tarjeta de la bolsa.


MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS 8. Lean la situación y respondan las preguntas.

Tecnología

Matemáticas

a) La orientadora está repasando todas las asignaturas con sus estudiantes

para hacer un examen final. Construyó una ruleta para elegir las preguntas que hará a cada uno. Patricia es muy buena en Matemáticas, pero al girar la ruleta, le flecha señaló Español. » ¿Podrían asegurar que la siguiente vez que Patricia gire la ruleta esta

Asignatura estatal Inglés

Español

Biología

señalará Matemáticas? Justifiquen su respuesta.

» ¿Qué resultados pueden salir al girar la ruleta?

b) En un supermercado, tienen una urna con ocho pelotas negras, cuatro

pelotas verdes, dos pelotas azules y dos rojas. Cada color representa un premio con un porcentaje de descuento para el cliente, pero el negro no otorga descuento. Julio tomó una pelota sin ver y sacó el color negro. » Julio va de compras otro día, pero decide no participar porque asegura que

no obtendrá ningún descuento. ¿Están de acuerdo? Expliquen por qué.

» ¿Qué color de pelota puede salir?

c) Investiguen qué es el espacio muestral y determinen cuál es el espacio

muestral de los experimentos de los incisos a) y b). 9. Lean nuevamente la actividad 1 y respondan las preguntas. a) ¿El juego del disparejo de la actividad 1 es un experimento aleatorio?

#CONTEXTO

Acuerden entre todos por qué.

b) ¿Cuál es el espacio muestral del disparejo?

10. Con base en las actividades de esta secuencia, redacten sus con-

clusiones acerca de los resultados anticipados de un experimento aleatorio y los que se obtienen al desarrollarlo; luego, compártanlas en grupo.

SECUENCIA 28

¿Podrías anticipar el resultado del lanzamiento de dados con más de seis caras? Consigue algunos y haz varios tiros hasta que obtengas doce puntos en una sola tirada. ¿Cuántas veces te tomó obtener esa cantidad?

177


EXPERIMENTA Áreas y multitudes

Informar sobre el tamaño de una multitud es un desafío que los periodistas de todo el mundo enfrentan al cubrir eventos como protestas o conciertos. Y los cálculos se vuelven aún más difíciles para los eventos políticos, ya que los bandos opuestos pueden convertir las estimaciones en herramientas de relaciones públicas. “Es muy poco común que debas informar sobre el tamaño de una multitud y que no exista un incentivo para exagerar de una forma o de otra”, dijo la matemática Hannah Fry a la BBC.

Contar “todas las cabezas directamente en una manifestación o un evento suele ser imposible”, escribieron Ray Watson y Paul Yip, en su artículo ampliamente citado sobre cómo calcular multitudes.

Jessica Weiss, “Técnicas para calcular el número de personas en una multitud”, en International Center for Journalist (Ijnet)

Cuando la ciudadanía se concentra en grandes cantidades en un lugar determinado, es difícil saber cuántas personas se encuentran ahí reunidas. Entonces, ¿cómo se puede asegurar que asistieron 10 000, 100 000 o 1 000 000 de personas a determinado acto? Existen varias propuestas para responder a la pregunta: se puede contar a cada persona mediante las fotografías —método poco práctico—; también es posible aplicar las matemáticas; para ello, se puede usar el área de la superficie ocupada y analizar si la multitud es fluida o densa para estimar la cantidad de personas que hay. La idea general de este método es determinar la superficie del espacio, cuántos metros cuadrados son y qué proporción está ocupada: ¿es de 100%, de 75% o solo la mitad? a) Elige un acontecimiento importante para ti, por ejemplo, una manifesta-

ción o un concierto, y determina cuántas personas asistieron. b) Estima cuántas personas pueden situarse en 1 m2. Propón dos formas en

que podrías averiguarlo. c) Investiga la fórmula de Herbert Jacobs. Te sugerimos visitar los siguientes si-

tios para complementar tu investigación: ‹redir.mx/SSPM1-178a›, ‹redir.mx/ SSPM1-178b›, ‹redir.mx/SSPM1-178c›. d) Determina la superficie donde se localizaron las personas. Busca el dato en

internet o usa los mapas de Google© en ‹redir.mx/SSPM1-178d› para localizar el área en cuestión. Elige la vista de “Satélite” para tener un acercamiento de la zona y emplear la escala que se muestra en la imagen satelital. e) Si fuera una multitud fluida, ¿cuántas personas cabrían en el lugar? f) Si fuera una multitud densa, ¿cuántas personas estarían en ese sitio?

178

MATEMÁTICAS 1


Instrumento para determinar la función predominante del expositor Descripción: con este instrumento determinarás la actitud predominante que adoptas al llevar a cabo una exposición. Los youtubers no son expertos en todo tal como podrías pensar por su actitud llena de confianza ante la cámara. En ocasiones, detrás de ellos existe un equipo de trabajo que les ayuda a crear sus videos: hay expertos en contenidos que escriben los guiones; otros conocen de tecnología y editan los videos, agregan el audio y las imágenes; también hay camarógrafos, escenógrafos, maquillistas y utileros, así como algunos ayudantes. Podríamos decir que los youtubers son los protagonistas por su personalidad extrovertida y su habilidad para desenvolverse frente a la cámara. Otros de su equipo, a quienes podríamos llamar los especialistas, suelen ser más introvertidos, pero aportan conocimientos muy valiosos. Finalmente, están aquellos que asumen tareas menos especializadas que les son asignadas, a los que podríamos llamar seguidores. Desde luego, estas funciones no son las únicas ni son exclusivas de este ámbito. Existen diversas labores en diferentes ambientes, como el trabajo, la escuela y el hogar, en las que las personas pueden desempeñar diferentes funciones en cada situación, aunque, por lo general, alguna predomina en cada uno de nosotros. Estrategia: haz el siguiente ejercicio para determinar cuál es tu función

o la de un compañero al exponer en equipo frente al grupo. Marca las conductas que comúnmente presentas en las exposiciones para saber si predominan las características de protagonista, seguidor o especialista.

Expresión corporal y verbal

Protagonista

Especialista

Te diriges al público y mantienes el contacto visual.

Te diriges al público, pero no mantienes el contacto visual.

Prefieres no dirigirte al público y evitas el contacto visual.

No te muestras nervioso.

Te muestras algo nervioso.

Te muestras muy nervioso.

Por momentos, captas la atención Captas la atención del público del público, pero no interactúas e interactúas con él. con él.

Es probable que captes la atención del público por la información que presentas, pero evitas la interacción.

Utilizas un lenguaje corporal apropiado y acorde al tema. Utilizas un lenguaje verbal apropiado.

Tu lenguaje corporal es limitado o no es acorde con el tema. Utilizas un vocabulario limitado, repites palabras. No improvisas, te basas en el guion.

Tu lenguaje corporal expresa incomodidad. Puedes utilizar lenguaje técnico, pero hablas poco. No improvisas, te basas en información fidedigna.

Comprendes el tema.

Tienes dominio del tema que se presenta, pero no te gusta exponer.

Eres capaz de improvisar. Uso de recursos

Seguidor

Tienes dominio de la presentación y comprendes el tema. Usas de forma adecuada diferentes recursos audiovisuales. Organizas la presentación del tema y asignas las tareas.

Tienes un conocimiento básico del Usas adecuadamente diferentes uso de recursos audiovisuales. recursos tecnológicos. Haces lo que te dicen.

Provees el contenido de la exposición, pero prefieres no presentar.

Resultado: ¿Identificas estas u otras funciones en tus compañeros? ¿Te re-

conoces en alguna actitud predominante? Precisa qué habilidades son tu fortaleza y cuáles puedes mejorar.

179


SECUENCIA 29

Volumen de cubos

MIS PRIMERAS IDEAS La mamá de Emilio es ingeniera. Un día Emilio escuchó a su mamá decirle a un contratista de obra que calculara cuántas unidades cúbicas se necesitaban rellenar con concreto para terminar los pilares de un puente. 1. Observa las imágenes y responde las preguntas.

Emilio sacó sus cubos y consideró que cada uno era una unidad cúbica. Después, armó las siguientes figuras.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

a) ¿Cuántas unidades cúbicas tiene la figura 1?  b) ¿Cuántas unidades cúbicas tiene la figura 2?  c) ¿Cuántas unidades cúbicas hay en la base de la figura 3?  d) ¿Cuántas unidades cúbicas tiene de alto la figura 3?  e) ¿Cuántas unidades cúbicas tiene la figura 3?  f) ¿Cuántas unidades cúbicas tiene la base de la figura 4?  g) ¿Cuántas unidades cúbicas forman la altura de la figura 4?  h) ¿Cuántas unidades cúbicas tiene la figura 4?  i) Si cada cubo que forma la figura 4 tiene un volumen de 1 cm3, ¿cuál es el

volumen total de la figura?  j) Verifica, en grupo y con ayuda del profesor, las respuestas de la activi-

dad 1. Comenten el significado de volumen de un cuerpo y escriban una conclusión.   k) Lean la siguiente información. Expresen sus dudas y resuélvanlas con ayu-

da de su profesor. El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa. Cuando se habla de medir el volumen, se entiende que se hace una comparación del espacio que ocupa el cuerpo respecto a un espacio conocido; es decir, se calcula el número de unidades cúbicas que caben en su interior. #TIC T@C

2. En parejas, respondan las preguntas. Consideren lo que hicieron en

Si necesitas ayuda para visualizar la figura que se forma con caras iguales, revisa el siguiente enlace: redir.mx/SSPM1-180a

180

MATEMÁTICAS 1

la actividad anterior. a) ¿Cuántos cubos se necesitarían para formar una figura en la que todas

las caras sean iguales? 


b) Si tuvieras 27 cubos acomodados de tal manera que las caras fueran

iguales… »» ¿qué figura se formaría? cara: c



ada un a de la s super (polígo ficies n os) que un sóli limitan do. a arista: línea q ue se f interse orma c cción d on la e dos c aras. planas

»» ¿cuántos cubos tendría en cada arista?

 »» ¿qué forma tendría la base?

 »» ¿qué forma tendría una cara lateral?

 c) Si el volumen de cada cubo es de 1 cm3, ¿cuál es el volumen del cubo

grande?  d) ¿Qué relación hay entre el volumen y el número de cubos en cada arista?

  e) Dibujen, en su cuaderno, el cubo obtenido. 3. Supongan que la arista de cada cubo mide 1 m. Calculen el volumen

de las figuras y respondan las preguntas.

V =

V =

V =

a) Describan cómo calcularían el volumen de esas figuras sin necesidad de

contar todos los cubos.   b) Si la base fuera un cuadrado, ¿cómo calcularían el volumen del cubo?

 c) Propongan una expresión algebraica para calcular el volumen de un cubo.

 d) Compara tu respuesta con la de tus compañeros. ¿Obtuvieron la misma

expresión? Acuerden, de forma grupal, una expresión para calcular el volumen de un cubo.

SECUENCIA 29

#ALGUIEN COMO YO Lucas Etter, de 14 años, logró resolver el cubo de Rubik ¡en tan solo 4.904 s! Así fue que en 2015 estableció el récord mundial de la especialidad; su marca fue certificada por la World Cube Association y el World Guinnes Records. Lucas participa en competencias desde que tenía 10 años. Conoce más en redir.mx/SSPM1-181a

181


MI PROCESO DE APRENDIZAJE

#BITÁCORA A partir de un cubo, la NASA ha elaborado una prueba muy interesante. Ve a la página 246 para conocerla.

El cubo es un cuerpo geométrico formado por seis caras cuadradas iguales. También es conocido como hexaedro.

Vértice

Las caras de un cubo son cuadradas; por lo tanto, Acara = l 2, donde l es el lado del cuadrado.

Cara Arista El área total del cubo también es conocida como el área superficial del cubo. Atotal = 6l 2

El volumen del cubo se calcula por… V = l 3, donde l es la arista del cubo. 4. Reúnete con un compañero y contesten las preguntas. a) ¿Cuántos vértices tiene un cubo? b) ¿Cuántas caras tiene un cubo?

¿Y cuántas aristas?

c) La arista de un cubo mide 5.1 m. Calcula lo siguiente. » Acara:

» Atotal:

» Volumen:

d) Completen mentalmente la tabla.

Medida de una arista

Área de una cara

Área superficial

Volumen

2m 64 cm3 150 cm2 100 cm2 5. Reúnete con dos compañeros. Consigan los materiales para llevar a

cabo la actividad y respondan las preguntas. Construyan con cartón grueso un cubo sin tapa cuya arista mida 10 cm y refuércenlo con cinta adhesiva. Coloquen dentro del cubo una bolsa de plástico, acomódenla de manera que quede lo más pegada posible a las caras del cubo. Viertan agua dentro de la bolsa hasta que llegue al límite del cubo, como se muestra en la imagen de la izquierda. a) ¿Qué cantidad de agua cupo en el cubo?

b) ¿Cuál es el volumen del cubo?

182

MATEMÁTICAS 1


c) Redacten una conclusión y compártanla con el grupo.

MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS 6. Reúnete con un compañero. Observen los cuerpos geométricos para

responder las preguntas; justifiquen su respuesta. a) ¿Son iguales?

b) ¿Ambos son cubos?

c) ¿Ambos cuerpos geométricos tienen el mismo volumen?

d) Si conocieran la medida de la arista, ¿podrían calcular el volumen? Expli-

#REFLEXIONA Si se les dificulta comprender el comportamiento del volumen del cubo, construyan uno sin tapas y manipúlenlo.

quen por qué.

e) Revisen, con ayuda de su profesor, sus respuestas. Compara tus respues-

tas con las de tus compañeros. Construyan las figuras para verificar sus respuestas. 7. Resuelve los problemas. a) ¿Cuántos litros de agua caben en un cubo con 20 cm de arista? b) Si se quiere almacenar 64 000 L de agua…

#CONTEXTO

» ¿qué volumen debe tener el cubo para almacenarla? » ¿cuánto debe medir su arista? » Expresen la medida de la arista en metros. » Expresen el volumen en metros cúbicos. c) Redacta un procedimiento para transformar centímetros cúbicos en me-

tros cúbicos.

8. En grupo, comenten la relación entre el volumen expresado en cen-

tímetros cúbicos y la capacidad expresada en litros. Incluyan la relación entre otras unidades de medida, por ejemplo, metros cúbicos. Redacten, en su cuaderno, una conclusión.

SECUENCIA 29

El cubo de Rubik es un rompecabezas mecánico tridimensional. Investiga su historia y la de otros inventos del mismo creador. Consigue un cubo de Rubik de 2 × 2 × 2 y descubre o investiga los pasos para resolverlo. Después, organicen una competencia.

183


SECUENCIA 30

Problemas de variación II

MIS PRIMERAS IDEAS Esteban vende tortas ahogadas. Para surtirse del pan que utilizará durante el día, tiene tres opciones: la panadería de la colonia, la del centro de la ciudad y el supermercado. 1. Reúnete con un compañero, lean el siguiente planteamiento y respondan las

preguntas. a) En la panadería de la colonia el pan blanco cuesta $2.00 la pieza. Escriban una expre-

sión que relacione cuánto pagará (y) con el número de piezas (x) que compra.  b) Completen la tabla que relaciona las piezas de pan (x) con el total que paga (y). Pos-

teriormente, anoten los pares de números con la forma (x, y). x (piezas de pan)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

y ($) (x, y)

(0, ) (1, ) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

)

c) Tracen la gráfica. Total ($) y 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 x 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 Piezas de pan

d) Cuando no encuentra pan blanco en la panadería de la colonia, Esteban va al super-

mercado. Allí el pan cuesta $2.00 la pieza, pero gasta $5.00 adicionales en estacionamiento. Modifiquen la expresión del inciso a) para determinar cuánto gastará en total. 

184

MATEMÁTICAS 1


e) Completen la tabla; luego, tracen la gráfica en el plano del inciso c).

x (piezas de pan)

#REFLEXIONA 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

y (pesos) f) Esteban prefiere la panadería del centro porque el pan tiene una mejor

consistencia y textura. El pan cuesta $2.00 la pieza y el estacionamiento, $10.00. Modifiquen la expresión que escribieron en el inciso a) y anótenla.

La inclinación se refiere al declive o la pendiente que tiene la gráfica respecto al eje x. Por ejemplo, en el siguiente plano, la recta roja tiene una inclinación más pronunciada que la verde. y

 g) Elaboren una tabla con valores de 0 a 10; posteriormente, tracen la gráfi-

x

ca en el plano de la página anterior. h) Comparen las tres gráficas obtenidas. Describan, por ejemplo, cómo es la inclinación de las gráficas.   i) Completen la tabla. Escriban cada expresión obtenida y la ordenada al

origen de su gráfica. Expresión

Ordenada al origen (lugar donde la gráfica cruza el eje y)

j) Sin elaborar una tabla ni definir parejas, tracen en su cuaderno la gráfica

para una situación en la que el estacionamiento cueste $12.00. k) De forma grupal,

inventen una situación para la siguiente gráfica.

20



16



14

     

y

18

12 10 8 6 4 2 x 0 1 2 3 4 5 6 7

l) Determinen una expresión general para calcular cuánto gastaría Esteban

si las piezas de pan cuestan $2.00 y b es el precio del estacionamiento. 

SECUENCIA 30

185


MI PROCESO DE APRENDIZAJE 2. Lee el planteamiento y resuelve. a) Observa que en el plano hay varias gráficas; analízalas y escribe la expre-

sión que le corresponda a cada una. 10

y

A: 

A

5

B:

B

 C

#TIC T@C −10

Visita la página redir.mx/SSPM1-186a para practicar con la gráfica y su expresión algebraica.

−5

0

x

D

E

5

C:

10

−5

 D:  E:

−10



b) Sin elaborar una tabla ni definir pares de números (x, y), grafica en el pla-

no la expresión y = x + 1. c) Comparte tus respuestas con el grupo. Analicen sus diferencias, comen-

ten sus confusiones y anoten en su cuaderno un procedimiento para determinar las expresiones a partir de las gráficas. En la expresión y = mx + b, el término b determina el lugar donde la gráfica intersecta al eje y. Si varía b, es decir, si tiene diferentes valores, entonces la gráfica tendrá un efecto de desplazamiento vertical sobre el plano. 3. En parejas, resuelvan la actividad en su cuaderno.

#REFLEXIONA Para graficar, es necesario analizar los datos para decidir la escala adecuada que permita representar la información.

Un vendedor de arreglos florales ofrece rosas de invernadero. Las de color melón cuestan $12.00 cada una; las rosadas, $11.00; y las rojas, $10.00. El vendedor añade un costo extra de $20.00 de propina para el repartidor. a) Anoten, para cada caso, la expresión que relaciona el número de flores

y la propina para el repartidor con el costo total. b) Tracen las gráficas en un plano. c) Observen las gráficas anteriores. ¿Coinciden en algún punto? ¿Cuál es? d) De acuerdo con el comportamiento de cada gráfica, ¿se cruzarán en al-

gún otro punto? ¿Por qué? e) ¿Cuál es la expresión cuya gráfica tiene una inclinación mayor (respecto al

eje x)?

186

MATEMÁTICAS 1


f) ¿Cuál es la expresión cuya gráfica tiene menor inclinación (respecto al eje x)? g) Si en la expresión y = mx + 20 varía m, es decir, se le asignan diferentes

valores, ¿qué efectos se observan en la gráfica? h) ¿Qué efectos se observan en la gráfica cuando en la expresión y = mx + 20

la m toma valores menores que 1? Grafiquen en el plano diferentes casos. i) Compartan la respuesta con sus compañeros de grupo y escriban una

conclusión sobre los efectos de variar el valor de m. 4. Lee con tu grupo la siguiente información. Relaciónenla con lo visto

anteriormente y con las gráficas que trazaron. Expongan sus dudas y resuélvanlas con ayuda del profesor. En la expresión y = mx + b el término m determina la inclinación de la recta. Si m es negativa, entonces la gráfica tiene una pendiente negativa, como se muestra en el ejemplo. 5

y

5

y

5

x −5

0

5

x −5

−5

Gráfica con un valor de m negativo

y

0

5

x −5

0

−5

5

−5

Gráfica con un valor de m muy pequeño mayor que 0

Gráfica con un valor de m muy grande

Cuando m = 0, la gráfica es paralela al eje x. Al aumentar el valor de m, la gráfica tiende a ser paralela al eje y. Al variar m en la expresión y = mx + b, se obtiene una familia de rectas que pasan por el mismo punto, pero cuya inclinación es diferente. A este efecto se le llama de rotación. 5. Completa la tabla y traza la gráfica en tu cuaderno.

Expresión

Pendiente

Ordenada al origen

Lugar donde cruza con el eje x

y = 3x + 1 y = 2x − 6 y = 0.5x + 7 y = 5x − 5 6. Propón una expresión algebraica y traza, en tu cuaderno, una familia

de rectas a partir de ella.

SECUENCIA 30

#BITÁCORA Lleva a cabo la actividad de la página 246, correspondiente a esta secuencia.

187


MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS 7. En parejas, lean el planteamiento, analicen la gráfica y respondan

las preguntas. Juan compró una computadora y la pagó con su tarjeta de crédito a 12 meses sin intereses. y 3 000

Cantidad total abonada

2 500

2 000

1 500

1 000

500 x 0 2 4 6 8 10 12 Meses

a) ¿Cuánto ha pagado en el cuarto mes?

 b) Una vez que paga el cuarto mes, ¿cuánto le falta pagar para saldar su

deuda?  c) ¿Cuánto habrá abonado al banco en el décimo mes?

 d) ¿Cuál es el precio de la computadora?

 e) A partir de la información de la gráfica inicial, elabora, en tu cuaderno,

una tabla donde se indiquen los meses (x) y la cantidad que falta por pagar (y); posteriormente, traza una nueva gráfica. #FUENTE

188

f) Juan aprovechó la promoción de 12 meses sin intereses para comprar

una impresora con valor de $900.00. Traza la gráfica en el plano anterior.

William Whitehead, El dinero y cosas peores. Gastar y ahorrar en familia, Ciudad de México, Ediciones SM, 2017.

g) Elabora en tu cuaderno una nueva tabla donde se indiquen los meses (x)

Descubre y aprende sobre la gran variedad de cosas en las que tu familia gasta el dinero; por ejemplo, en tu educación.

h) De forma grupal, escriban una conclusión sobre el uso de las gráficas

MATEMÁTICAS 1

y la cantidad total pagada (y), incluyendo la computadora y la impresora. Traza, en tu cuaderno, la gráfica en la escala apropiada.

para representar situaciones de compra de productos. Propongan una situación diferente, elaboren su tabla y tracen la gráfica correspondiente.


8. Resuelve el problema en tu cuaderno.

#PROTAGONISTA

En el municipio donde vive Ismael, el servicio de agua se paga mensualmente. El servicio tiene un costo fijo de $35.00 más $15.00 por cada metro cúbico empleado. Si se contrata un medidor digital, se deben agregar $10.00 al pago mensual. La ventaja de este dispositivo es que permite establecer límites en el consumo de agua. a) Escribe una expresión algebraica que te posibilite determinar el pago que

efectúa Ismael con el medidor estándar. b) Elabora una tabla, determina las parejas ordenadas y traza la gráfica para

Una persona emplea en promedio 380 L de agua por día en nuestro país. Contar con agua en cantidad y calidad suficientes es un reto cada vez más complejo. ¿Cómo es el acceso al agua potable en tu localidad? ¿En qué usos, además de domésticos, la emplean? ¿Qué acciones llevan a cabo para cuidarla?

el caso del servicio de agua con el medidor estándar. c) Escribe una expresión algebraica que te permita determinar el pago que

haría Ismael al cambiar al medidor digital. d) Elabora una tabla, determina las parejas ordenadas y traza la gráfica

en el plano cartesiano anterior para el caso del servicio de agua con el medidor digital. e) Trabaja con un compañero. Hazle preguntas que se puedan responder

mediante la gráfica o las expresiones encontradas. 9. Formen equipos. Investiguen diferentes situaciones que se modelan

por medio de rectas; luego, formulen preguntas y resuélvanlas. A continuación, se presenta un ejemplo. Toda actividad física que efectúa una persona requiere una determinada cantidad de energía, que se mide a través de la unidad llamada MET; esta equivale a la cantidad mínima de energía que requiere un organismo cuando está en reposo. Es decir, si una persona hace una actividad física de 5 MET, significa que la intensidad del ejercicio utiliza cinco veces la energía que ocuparía la persona en estado de reposo.

Valores MET Actividad física por minuto

a) Investiguen qué son los MET.

Ciclismo (moderado) 7.5 Ciclismo (vigoroso) 14 Caminar rápido 6 Correr 8 Labores de jardinería/ trabajos doméstricos 4

#CONTEXTO

Subir escaleras 5

b) Averigüen cuántos MET requiere el deporte que practican. c) Tracen una gráfica para relacionar la cantidad de MET empleados, de

acuerdo con el tiempo de entrenamiento. 10. Analicen de manera grupal los efectos que se aprecian en la gráfica

al variar los valores para m y para b; partan de la expresión y = x + 1. ¿Qué valores se necesita asignar a m y b para que la gráfica coincida totalmente con el eje x? ¿Y con el eje y?

SECUENCIA 30

Investiga en tiendas locales las promociones de pagos semanales o mensuales. Compara el precio final contra el que pagarías al contado. Elabora una gráfica para representar los pagos hasta cubrir la deuda.

189


SECUENCIA 31

Introducción a las sucesiones

MIS PRIMERAS IDEAS Uno de los videojuegos preferidos de Saúl es Mundo Cubo. El objetivo de este juego es construir escenarios a partir de cubos o hexaedros. 1. Reúnete con un compañero y resuelvan el planteamiento. a) Saúl propuso a sus amigos reunirse para jugar en línea después de ter-

minar la tarea de matemáticas. El reto del día fue construir diversas sucesiones de figuras. Luis propuso la primera sucesión y Fabiola dijo que era muy fácil determinar el número de piezas de cualquier figura. ¿Cuántas ¿Y la figura 12 (f12)? piezas tiene la octava figura (f8)?

f1

f2

f3

f4

b) Después, Elsa propuso hacer otra sucesión modificando la primera, aun-

que solo construyó las primeras cuatro figuras. Con esta información, completen la tabla donde se relaciona la figura y el número de piezas que la componen. Figura (n)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Número de piezas (a)

f1

f2

f3

f4

c) Establezcan una fórmula o expresión algebraica que les ayude a determi-

nar el número de piezas para cualquier figura.  d) Prueben su fórmula obteniendo algunos de los términos contenidos en la

tabla anterior; por ejemplo, para n = 4, a =  Después, utilicen su fórmula para obtener los siguientes casos.

190

MATEMÁTICAS 1

»» para n = 15, a =

» para n = 20, a =

»» para n = 25, a =

» para n = 35, a =

»» para n = 55, a =

» para n = 100, a =


e) Emilia construyó otra sucesión agregando un nuevo elemento. Comple-

ten la tabla.

#FUENTE Mike Goldsmith, Matemática Mente, ¡Conviértete en un genio de las mates!, Madrid, Dorling Kindersley, 2013.

f1

Figura (n)

1

f2

2

3

f3

4

5

Aquí encontrarás datos interesantes sobre el mundo de las mates, además de actividades para desarrollar tus habilidades matemáticas.

f4

6

7

8

9

10

Número de piezas (a) f) Establezcan una fórmula o expresión algebraica que les ayude a determi-

nar el número de piezas para cualquier figura.  g) ¿Cuál es la diferencia entre esta sucesión y la anterior? 

 h) Francisco utilizó la sucesión anterior para crear una nueva. Completen la

siguiente tabla donde se relaciona la figura y el número de piezas que la componen.

f1

Figura (n)

f2

1

2

f3

3

4

5

f4

6

7

8

9

10

Número de piezas (a) i) Determinen una fórmula o expresión algebraica que les permita calcular

el número de piezas para cualquier figura.  j) ¿Cuál es la diferencia de piezas entre la figura 4 y la figura 3?  k) ¿Esta diferencia es la misma para todos los casos? Compruébenlo deter-

minando la diferencia entre una figura de la sucesión y la anterior.  l) La fórmula o regla de una sucesión de figuras es 5n + 1. ¿Cuál es valor

constante de la diferencia entre una figura y otra? 

SECUENCIA 31

#PROTAGONISTA Al aprender, no esperes a que el profesor haga todas las preguntas. Plantéate nuevos retos a partir de lo visto en clase. Por ejemplo, en el videojuego, el espacio para construcción de figuras es ilimitado. ¿Cuántas figuras se pueden construir en ese espacio?

191


MI PROCESO DE APRENDIZAJE La sucesión o progresión aritmética es una secuencia de números donde cada uno se diferencia del anterior (excepto del primer término) por una cantidad constante denominada diferencia común. Por lo tanto, cada nuevo término de la sucesión se obtiene sumando o restando un valor constante. 2. Analiza el procedimiento para obtener la regla de la sucesión aritmé-

tica y completa la tabla. A. Obtener la diferencia común de la sucesión: restar a un término el anterior.

Sucesión

6, 8, 10, 12, …

B. Restar la diferencia común al primer término de la secuencia.

C. Regla: multiplicar el lugar del término por la diferencia común y sumarle el resultado anterior.

Diferencia común (A)

Diferencia (B)

Regla (C)

Término en el lugar 18

2

6−2=4

Multiplicar el lugar del término por 2 y sumar 4 al resultado

18 × 2 + 4 = 40

8, 13, 18, 23, …

5, 6, 7, 8, …

3. Analiza la siguiente sucesión numérica y responde las preguntas.

−1, −8, −15, −22, −29, −36, −43, … a) Calcula la diferencia común.

#BITÁCORA

b) Dada la regla −7n, escribe los primeros siete términos de la sucesión. En la página 246, encontrarás una interesante actividad relacionada con las sucesiones.

−7,

,

,

,

,

,

,…

c) Compara término a término (uno a uno) la sucesión inicial y la sucesión que

acabas de escribir. ¿Qué operación aritmética debes efectuar en cada término de la segunda sucesión para que sea igual a la primera?  d) Escribe la regla general de la primera sucesión, con base en esa informa-

ción.  4. Relaciona cada sucesión con su regla o expresión algebraica.

#TIC T@C Visita la página redir.mx/SSPM1-192a y determina los términos de las sucesiones que se indican.

192

MATEMÁTICAS 1

a) −10, −20, −30, −40, −50, −60, …

−10n

b) 3, 7, 11, 15, 19, 23, …

−3n

c) 6, 7, 8, 9, 10, 11, …

4n − 1

d) −3, −6, −9, −12, −15, −18, …

n+5


MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS 5. Reúnete con un compañero y averigüen cuál es el menor número de

triángulos que se pueden trazar dentro de un polígono regular. Observa que para dibujar un triángulo necesitas tres lados. Si trazas un cuadrado, puedes dibujar dos triángulos agregando una diagonal. Traza otros polígonos regulares y experimenta trazando sus diagonales. a) Elaboren una tabla donde se relacione el número de lados de un polígono

regular (n) y el número mínimo de triángulos que se pueden construir. Número de lados de un polígono Triángulos b) Averigüen la expresión algebraica que les permita determinar el número

de triángulos para cualquier polígono. c) Prueben su fórmula para el caso de n = 1, n = 2, ¿qué sucede? Argumen-

ten su respuesta.

d) Con la información anterior, completen la tabla. Dibujen el menor número

de triángulos en los siguientes polígonos, además, coloquen los nombres y el número de triángulos en cada caso. Polígono

Figuras

Número de triángulos #CONTEXTO

Polígono

Figuras

Número de triángulos 6. Completa la tabla.

a

b

an + b

Primeros ocho términos de la sucesión

2n − 30 −2n − 3 8, 6, 4, 2, 0, −2, −4, −6 3, −1, −5, −9, −13, 7. Organiza un debate, de manera grupal, relacionado con las carac-

terísticas de las sucesiones estudiadas en esta secuencia. Recuerden ser respetuosos con las opiniones expresadas por sus compañeros.

SECUENCIA 31

En la naturaleza es posible identificar sucesiones numéricas como la de Fibonacci. Investiga qué es esta sucesión y en qué plantas del jardín puedes observarla. Un ejemplo se aprecia en la piña de los pinos; averigua por qué.

193


SECUENCIA 32

Registro de datos

MIS PRIMERAS IDEAS La profesora Katia levantó una encuesta entre sus alumnos acerca de lo que desean estudiar en un futuro. Obtuvo los siguientes datos: derecho, administración, derecho, medicina, derecho, derecho, administración, medicina, medicina, informática, derecho, derecho, danza, medicina, medicina, informática, derecho, informática, administración y derecho. 1. Reúnete con un compañero. Completen la tabla y contesten las

preguntas. Estudios

Frecuencia

a) ¿A cuántos alumnos les gusta la informática?

 b) ¿Cuántos quieren estudiar danza?  c) ¿Cuántos estudiantes desean ser médicos?

 d) ¿A cuántos les interesa el derecho?  e) ¿Cuántos prefieren estudiar administración? Total

 f) ¿Cuál es la suma de las frecuencias? 

g) Comparen el resultado de la suma de las frecuencias con el total de es-

tudiantes que respondieron la encuesta. Comenten con el grupo por qué deben ser iguales estos valores. 2. Lee los planteamientos y efectúa lo que se solicita. a) Se preguntó a 30 personas cuántas veces comen al día. Sus respuestas

fueron las siguientes: 3, 5, 4, 3, 3, 2, 3, 2, 4, 5, 3, 3, 3, 5, 5, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 4, 6, 3, 4. »» Ordena los datos de menor a mayor valor. »» En tu cuaderno, elabora una tabla con la frecuencia absoluta de cada dato. »» ¿Qué número de comidas por día tiene mayor frecuencia? ¿Cuál tiene

menor frecuencia? b) Se encuestó a 43 personas respecto al número de horas que duermen al

día. La información recopilada fue la siguiente: 8, 8, 9, 4, 5, 8, 8, 8, 7, 9, 6, 5, 8, 9, 10, 5, 7, 8, 8, 8, 9, 8, 7, 9, 8, 8, 8, 7, 7, 9, 5, 8, 8, 10, 6, 9, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 7. »» Ordena los datos de menor a mayor valor. »» En tu cuaderno, elabora una tabla de frecuencia absoluta con estos datos. »» ¿Qué número de horas tiene mayor frecuencia absoluta? c) Comenta con el grupo qué ventajas tiene ordenar los datos de mayor a

menor valor o en una tabla. Registren sus conclusiones en su cuaderno.

194

MATEMÁTICAS 1


3. Pregunta a tus compañeros cuántos focos incandescentes y cuántos

ahorradores tienen en su casa. a) Organiza la información en dos tablas de frecuencias. Copia las tablas en

tu cuaderno y agrega las filas que requieras. Número de focos incandescentes

Frecuencia

Número de focos ahorradores

Frecuencia

b) ¿Qué tipo de focos usa la mayoría de sus compañeros? c) Si apareciera un 0 en la frecuencia, ¿qué significaría? d) ¿Cuáles son las ventajas de usar focos ahorradores? e) ¿Qué harías para promover su uso? 4. Organícense en equipos. Registren la información en sus cuadernos

y preparen una exposición.

#TIC T@C

a) Elijan un espacio público donde se reúnan las personas de su localidad;

por ejemplo, el quiosco, una alameda o un parque. b) Seleccionen algunas características de las personas que asisten a ese espacio

y que sea posible observar y registrar. Consideren los ejemplos siguientes. »» Edad: niños, jóvenes o adultos »» Género: hombres o mujeres »» Actividad: hablan por teléfono, están comiendo, pasean, están senta-

dos en las bancas…

Mensajeros Urbanos es una organización no gubernamental que hace experimentos sociales. Escribe en un buscador “mensajeros urbanos experimento social corrupción” y ve el video de este grupo. Analiza la situación que presentan. ¿Es posible obtener datos y generar conclusiones a partir de este experimento?

c) Describan lo que hay a su alrededor. »» ¿Cuántos comercios hay y de qué tipo? Restaurantes, tiendas, farmacias. »» Si hay lámparas, ¿cuántas hay y cuántas funcionan correctamente? »» Si hay bancas, ¿cuántas están completas o rotas? d) Seleccionen otro aspecto que les interese y sea posible observar en el

espacio que eligieron. e) Asistan, en compañía de un adulto, al espacio que eligieron y registren

los aspectos que definieron en los incisos b), c) y d). f) Elaboren las tablas de frecuencias de los datos que registraron y descri-

ban cómo es el espacio público. g) Presenten sus resultados ante el grupo y hagan una propuesta de lo que

podrían mejorar considerando la población que asiste a ese espacio. 5. En agrupo, analicen las similitudes y diferencias entre la forma de

obtener los datos en las actividades 1 y 2, respecto a las actividades 3 y 4. Escriban sus conclusiones en su cuaderno.

SECUENCIA 32

195


MI PROCESO DE APRENDIZAJE 6. Analiza la tabla y contesta las preguntas. Materia

El profesor Arcadio les preguntó a sus alumnos cuáles eran sus materias preferidas. La tabla muestra las respuestas que obtuvo.

Frecuencia

Español

9

Matemáticas

2

b) ¿A cuántos alumnos les preguntó? 

Inglés

7

c) ¿Cuál es la razón del número de alumnos a los que les gusta Matemáti-

Tecnología

18

Ciencias

4

a) ¿Cuál es la frecuencia absoluta de Matemáticas? 

cas y la cantidad total de ellos?  d) Expresa, con una fracción, la relación anterior.  e) Expresa, con un decimal, la relación del inciso c) . f) Transforma el decimal anterior en porcentaje. g) ¿Qué porcentaje de los alumnos prefieren Matemáticas? 

#REFLEXIONA ¿Cómo diseñarías una encuesta para obtener información de la materia preferida de tus compañeros de escuela? ¿Incluirías otras preguntas? ¿Es relevante la edad, el grado escolar o si es niño o niña?

La frecuencia relativa de un dato es el cociente de la frecuencia absoluta fa    ​​,  donde de este entre el número total de elementos; es decir, fr = ​​ ___________ total de datos fr es la frecuencia relativa y fa, la frecuencia absoluta. 7. Lee el planteamiento, completa la tabla y contesta las preguntas.

El primer bimestre del ciclo escolar pasado, 50 alumnos de tercer grado de la escuela secundaria “Vicente Guerrero” reprobaron una materia. En la tabla se muestran las materias reprobadas. Frecuencia relativa Materia

Frecuencia

Porcentaje Fracción

Matemáticas

18

Química

12

Historia

9

Español

7

Tecnologías

4

Decimal

Total a) ¿Qué materia tuvo la mayor frecuencia absoluta?  b) ¿Qué materia tuvo la mayor frecuencia relativa?  c) ¿Qué porcentaje reprobó historia?  d) ¿Cuánto suman las frecuencias relativas expresadas con números decimales?



196

MATEMÁTICAS 1


e) ¿Cuánto suman las frecuencias relativas expresadas como fracciones?  f) ¿Cuánto es lo máximo que pueden sumar los porcentajes?  8. Analiza la tabla y responde las preguntas en tu cuaderno. Preferencia en frutas Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Porcentaje

Plátano

16

0.33

32%

Naranja

7

0.14

14%

Fresa

11

0.22

22%

Sandía

6

0.12

12%

Mango

9

0.18

18%

Total

50

0.98

100%

Fruta

a) ¿Cuánto suma la frecuencia absoluta? ¿Cuál es el error? b) ¿Es correcto que la suma de frecuencias relativas sea 0.98? Escribe los

valores correctos. c) Quien hizo el registro se equivocó en la cantidad de mangos, pero el

total es correcto. Con esta información, escribe los valores correctos de la tabla. d) ¿La suma de las frecuencias relativas y la de los porcentajes siempre darán

el mismo resultado? e) Escribe una estrategia para identificar si una tabla es correcta.

MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS 9. Lleven a cabo la siguiente actividad en parejas. Cada uno necesitará

una moneda para lanzar volados.

A A

a) Completen el diagrama de la derecha con los posibles resultados de los

volados. b) Escriban el espacio muestral de lanzar dos monedas.

S

 c) Si gana el juego quien elija la combinación que saldrá más veces, ¿cuál

elegirían?  d) Lleven a cabo el siguiente experimento: lanzar el par de monedas

20 veces. Registren los resultados en su cuaderno.

SECUENCIA 32

197


e) Completen la tabla.

Resultado

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa Fracción

Porcentaje

AA AS SA SS Total f) En el pizarrón, elaboren una tabla como la anterior de manera que con-

centre los resultados de todas las parejas. g) Comparen los resultados de la frecuencia relativa, ¿qué observan? ¿A qué

número consideran que se acercarán si lanzan el par de monedas 100, 200 o 1 000 veces? En su cuaderno, escriban una conclusión. 10. Trabaja con dos compañeros. Necesitarán una moneda cada quien.

#BITÁCORA

a) Determinen las combinaciones que se obtienen al lanzar tres monedas. Si

Ve a la página 247 y resuelve la actividad correspondiente a esta secuencia.

es necesario, elaboren un diagrama en su cuaderno.  b) Supongan que están en un concurso y ganará quien elija la combinación

que salga más veces en 20 lanzamientos. Cada uno seleccione la combinación que considere ganadora y descríbala; por ejemplo: caen únicamente soles o se tendrán dos águilas y un sol. Estudiante 1:  Estudiante 2:  Estudiante 3: c) Escriban a continuación 20 posibles resultados de lanzar las tres monedas.

   d) Simulen el concurso; para ello, lancen 20 veces las tres monedas y regis-

tren los resultados en su cuaderno. e) Completen la información de la tabla de la siguiente página.

198

MATEMÁTICAS 1


Predicciones (inciso c)

Predicciones (inciso d)

Frecuencia relativa

Frecuencia absoluta

Fracción

Porcentaje

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa Fracción

Porcentaje

Tres águilas Dos águilas y un sol Un águila y dos soles Tres soles Total f) Comparen las columnas de frecuencia relativa de las predicciones y el re-

sultado de la simulación. ¿Qué aprecian? Comenten con sus compañeros.

g) Revisen su respuesta del inciso b). ¿Qué opción elegirían ahora para tener

mayor posibilidad de ganar?

11. Reúnete con un compañero y lleven a cabo la actividad. a) Elaboren fichas de dominó en pequeños rectángulos de papel. b) Sumen los puntos de cada ficha y completen las tablas. Suma

0

1

2

3

4

5

6

Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Suma

7

8

9

10

11

12

Frecuencia absoluta

#CONTEXTO

Frecuencia relativa c) Coloquen las fichas dentro de una bolsa, saquen una sin ver, registren la

suma en su cuaderno y vuelvan a meter la ficha. Hagan este experimento 50 veces. d) En su cuaderno, elaboren una tabla como la del inciso a) y complétenla. e) ¿Obtuvieron resultados muy diferentes o similares a la frecuencia relativa

que calcularon en el inciso b)? 12. Analicen los diferentes tipos de actividades de esta secuencia. En

grupo, comenten las características de cuando se obtienen datos por medio de la observación, una encuesta o un experimento.

SECUENCIA 32

¿Conoces a alguna persona que trabaje en una fábrica o industria? Pregúntale si cuentan con control de calidad de los productos; es decir, con procesos para identificar errores en los productos, generalmente de un conjunto seleccionado al azar.

199


EXPERIMENTA Papiroflexia y geometría

f) Dobla las esquinas izquierda y derecha hacia el cen-

Material: una hoja cuadrada de papel a) Dobla el cuadrado de papel a la mitad, de manera horizontal. Marca el doblez y luego desdóblalo.

tro del diamante. Repite este paso con el otro lado.

g) Dobla hacia abajo y a la mitad los triángulos pe peb) Dobla la hoja a la mitad de forma vertical para

crear otro doblez y vuelve a desdoblar el cuadrado.

queños izquierdo y derecho para que se unan en el centro. Haz lo mismo con el otro lado.

c) Dobla el cuadrado a la mitad por su diagonal

h) Desdobla los lados más grandes (izquierdo y de de-

(que la esquina superior izquierda toque la esquina inferior derecha), marca el doblez y desdobla. Después, dobla el cuadrado por su otra diagonal; luego, marca el doblez y desdobla.

recho) y dobla hacia abajo los triángulos peque pequeños (los mismos triángulos que doblaste un par de pasos atrás). Repite este paso con el otro lado.

i)

Mete los triángulos pequeños como se muestra en la imagen. Repite este paso con el otro lado.

j)

Sopla en el hueco que quedó en la parte inferior hasta que el cubo se infle.

d) Dobla hacia adentro los dos dobleces laterales

hasta que formes una pirámide.

e) Dobla las esquinas del triángulo hacia arriba para

que se junten en el punto superior. Repite el proceso con el otro lado del triángulo.

200

MATEMÁTICAS 1


Rúbrica para identificar las actividades de comprensión Descripción: por medio de esta rúbrica podrás determinar el nivel de comprensión de los conceptos de matemáticas con base en las actividades que llevas a cabo.

Podemos decir que “una persona comprende cuando es capaz de pensar y actuar a partir de lo que sabe”. Estas actividades de comprensión van más allá de los ejercicios rutinarios de la memorización, pues utilizan la explicación, ejemplificación, aplicación, justificación, comparación, contextualización y generalización. Si observas con detenimiento, verás que eres capaz de efectuar varias de estas actividades de comprensión, las cuales indican que tu aprendizaje y conocimiento de las matemáticas va en aumento. Estrategia: para determinar tu nivel de comprensión, lee cada actividad y elige el nivel que mejor te describe. Si lo prefieres, escoge un par de conceptos o un tema en particular y responde la rúbrica.

Generalizar Contextualizar Comparar Justificar

Aplicar Ejemplificar Explicar

Domino la actividad

Estoy en el proceso de lograrlo

Intento desarrollar ideas o conceptos, Puedo desarrollar o aclarar ideas o conceptos con mis palabras, sin alejarme pero hay partes que no tengo claras y tomo algunas palabras de sus de su significado. definiciones para explicarlos. Puedo reconocer y usar ideas similares a los conceptos que conozco en diferentes situaciones.

Reconozco y uso ideas similares a un concepto que conozco, pero solo en el mismo contexto o situación original.

Creo tener claridad sobre algunos conUso o pongo en práctica mis conocimientos sobre un concepto para explicar ceptos, pero no sé cómo usarlos. o resolver otras situaciones.

Necesito ayuda para lograrlo No comprendo la idea o concepto y solo repito su definición.

No comprendo algunos conceptos, por lo que no distingo ideas ni situaciones similares a ellos.

No comprendo algunos conceptos, ni para qué sirven ni cómo usarlos.

Uso elementos o evidencias reales y suficientes para fundamentar ideas o explicaciones.

No tengo fundamentos o pruebas para Las evidencias que uso para justificar explicar algunas ideas o situaciones. solo sustentan una parte de alguna idea; me faltan elementos o no sé si son los adecuados.

Observo e identifico claramente las diferencias y similitudes entre dos o más conceptos o ideas, lo cual me ayuda a establecer una relación entre ellos.

Observo e identifico solo algunas diferencias y similitudes, pero me es difícil usarlas para establecer alguna relación entre ideas o conceptos que conozco.

No comprendo a fondo los conceptos o ideas, y no sé con certeza en qué son similares o diferentes.

Comprendo cómo se relaciona algún concepto o idea con otros que ya conozco.

Conozco diferentes conceptos vinculados, pero no comprendo totalmente cómo se relacionan entre sí.

Conozco algunos conceptos, pero considero que no están relacionados.

Comprendo cómo se relacionan algunos Encuentro rasgos o características similares de alguna idea o concepto conceptos o ideas en diferentes en diferentes disciplinas, pero no disciplinas o asignaturas. puedo explicarlas.

No identifico similitudes ni cómo se relacionan conceptos o ideas en diferentes disciplinas o asignaturas.

Resultado: observa qué actividades de comprensión son más sencillas

para ti y en cuáles requieres más práctica.

201


SECUENCIA 33

Volumen de prismas

MIS PRIMERAS IDEAS El padre de Angélica es arquitecto y en uno de sus planos representó la vista superior de un edificio. Al verlo, Angélica se preguntó cuál sería la forma y la altura de este. 1. Responde las preguntas.

Angélica tomó sus cubos para hacerse una idea de la situación. a) La figura 1 corresponde a un sólido visto desde arriba. ¿Qué polígono es esa cara?  b) Si cada cuadrito mide 1 cm de lado, ¿cuál es su área?  c) Si lo rotamos un poco, se aprecia la figura 2. ¿Qué cuerpo geométrico es?

Figura 1

 d) ¿Cuántos cubos lo conforman?  e) ¿Cuál es su volumen?  f) Al aumentar otra capa, ¿cuántos cubos forman el prisma?  g) ¿Cuál es su volumen?  Figura 2

h) Considerando que el tamaño de la base se conserva, ¿qué procedimiento

seguiste para responder los incisos e) y g)?  i) Completa la tabla. Considera que la base es la misma que la de la figura 2.

Figura 3

Forma de la base

Área de la base

Número de capas

Rectangular

10 cm2

1

Rectangular

10 cm

2

2

Rectangular

10 cm2

3

Rectangular

10 cm2

5

Rectangular

10 cm2

10

Volumen del cuerpo geométrico

j) Si el prisma final tiene las medidas de la figura 4, ¿cuál es su volumen?

 k) Describe cómo obtuviste la respuesta anterior. 5

  l) Comparte tu respuesta con tus compañeros y redacten en conjunto una

5 2

Figura 4

conclusión sobre cómo calcularon el volumen.   

202

MATEMÁTICAS 1


2. En parejas, comprueben la conclusión del ejercicio anterior. Para ello,

consideren que las medidas están en centímetros y calculen el volumen de los prismas. Prisma 1 Volumen = 4 cm 2

Prisma 2 3

Volumen = 8 cm3 2

2

2

1

0.5 6

6

Prisma 4

Prisma 3 Volumen = 32 cm 2

3

Volumen del prisma = 36 cm3 2

2

4

2

4.5

6

6

a) ¿Cuál es la fórmula para calcular su área?  b) ¿Cuál es el área de la base? 

#TIC T@C

c) Verifiquen el volumen de cada uno de los prismas. d) ¿Es correcta la conclusión a la que llegaron en el ejercicio anterior? Si es

necesario, modifiquen su conclusión. 

Explora el volumen de un prisma triangular y resuelve los ejercicios en redir.mx/SSPM1-203a

 3. Analicen las figuras y respondan las preguntas. 8 4 4

3

3 3

Prisma 1

3

8 3

3 3

3

Prisma 2 Prisma 3 Prisma 4

a) ¿Qué forma tienen las bases de los prismas?

 b) ¿Qué relación guardan entre sí las bases?

. c) Calculen el volumen de cada uno de los prismas. Efectúen las operaciones

en su cuaderno. d) Acuerden, con ayuda del profesor, qué relación guardan los volúmenes de

ambos prismas. Escriban una conclusión en su cuaderno.

SECUENCIA 33

203


MI PROCESO DE APRENDIZAJE

#BITÁCORA

4. Discute, con el grupo y con ayuda del profesor, la siguiente información.

En la página 247, trabaja una actividad relacionada con los prismas.

Un prisma recto es un sólido con dos bases paralelas de los mismos tamaño y forma; puede ser cualquier polígono. Otra característica es que sus caras laterales son rectangulares.

La altura de un prisma recto es la distancia entre las dos bases. El volumen de todo prisma recto se calcula multiplicando el área de su base por la altura. V = Abase × h a) ¿La afirmación sobre el volumen es verdadera sin importar la forma de la

#REFLEXIONA El primer impulso al resolver un problema es efectuar operaciones, pero primero conviene analizar las unidades en las que están expresados los datos.

base? Justifiquen la respuesta en su cuaderno. b) Propongan varios casos en los que usen la información del recuadro anterior. Busquen ejemplos en su salón o en la escuela. Con la ayuda del profesor, escriban una conclusión en su cuaderno. 5. Reúnete con un compañero. Calculen el volumen del siguiente pris-

ma y expresen el resultado en las unidades de medida solicitadas.

500 mm

V=

mm3

V=

cm3

V=

dm3

V=

m3

4 dm 20 cm

a) Subrayen la igualdad que es verdadera. » 1 L = 1 m3

» 1 L = 1 dm3

» 1 L = 1 cm3

b) ¿Qué cantidad de líquido puede almacenar el prisma? c) Comparen sus respuestas con las de sus compañeros, en especial el

procedimiento que emplearon para convertir las unidades cúbicas; por ejemplo, metros cúbicos en decímetros cúbicos, milímetros cúbicos en centímetros cúbicos, entre otros. d) Escriban una conclusión en su cuaderno.

204

MATEMÁTICAS 1


La unidad básica del volumen es el metro cúbico (m3); sus múltiplos y submúltiplos se muestran a continuación. Multiplicamos sucesivamente por 1 000 × 1 000

km3

× 1 000

hm3

÷ 1 000

× 1 000

m3

dam3

÷ 1 000

× 1 000

÷ 1 000

× 1 000

× 1 000

dm3

÷ 1 000

cm3

÷ 1 000

mm3

÷ 1 000

Dividimos sucesivamente entre 1 000

#PROTAGONISTA

6. En parejas, resuelvan los problemas. a) Hay diferentes tipos de albercas, sin embargo, para una competencia se ne-

cesita cumplir con ciertas condiciones y una de ellas son sus medidas. Una alberca olímpica mide 50 m de largo, 21 m de ancho y 2 m de profundidad. » ¿Qué volumen tiene una alberca olímpica? » Si se duplican las medidas de la alberca, ¿qué cantidad de agua le cabría?

» ¿La cantidad de agua también se duplicó?

Investiga las dimensiones de una alberca de tu localidad. ¿Cuánta agua se necesita para llenarla? Averigua cuál es la cantidad mínima necesaria de agua para uso doméstico y, con ese dato, calcula a cuántas personas se podría beneficiar con el agua de una alberca. Escribe un ensayo sobre tus reflexiones.

b) Supongan que una alberca tiene

la forma mostrada en la imagen. El área de la base es de 43 m2 y el volumen, de 86 m3. Con esta información, respondan las siguientes preguntas. » ¿Qué altura tiene la alberca?

Abase = 43 m2

» ¿Qué volumen de agua contendría si esta llegara a una altura de 1.5 m?

» Si el área de la base aumenta al doble, ¿el volumen de la alberca tam-

bién aumenta al doble? Expliquen y hagan los cálculos necesarios en su cuaderno.

c) Corroboren, en grupo y con ayuda de su profesor, los resultados anterio-

res. Escriban, en su cuaderno, una conclusión sobre el cálculo de volumen y las relaciones que encontraron en los incisos anteriores.

SECUENCIA 33

205


MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS 7. Resuelve los problemas. a) Las dimensiones de un prisma rectangular son 10 dm, 12 dm y 20 dm. »» ¿Cuál es su volumen?  »» Al reducir sus medidas a la mitad, ¿cuál es su volumen?  »» ¿El volumen se redujo a la mitad del volumen original? Expliquen y ha-

gan los cálculos necesarios en su cuaderno.   b) La arista de un cubo mide 14 cm. »» Si se duplican sus dimensiones, ¿cuál es el volumen del nuevo cubo? 

  »» ¿Qué porcentaje aumentó su volumen?  c) Analicen grupalmente las respuestas anteriores y redacten una conclusión

en su cuaderno. 8. Trabaja con tres compañeros y lleven a cabo las actividades. a) Una empresa fabricará envases en forma de prisma cuadrangular para 1 ​​L y 1 L. Calculen la medidistribuir jugo en sus tres presentaciones: __ ​​ 14 ​​ L, ​​ __ 2 da de la arista de la base; aproximen su respuesta a décimos. Envase de __ ​​  14 ​​ L

Envase de __ ​​  1 ​​ L

Envase de 1 L

h = 12 cm

h = 18 cm

h = 30 cm

l =

2

l =

l =

b) Consigan diferentes envases de productos líquidos como jugo, crema,

salsas. »» Seleccionen los que tienen forma de prisma. »» Tomen sus medidas y regístrenlas en su cuaderno. »» Calculen el volumen de cada envase. »» Comprueben que el volumen corresponda a la capacidad indicada en el envase. 9. Calcula mentalmente el volumen de los prismas rectangulares. •• 6 cm, 4 cm y 10 cm  •• 20 dm, 50 dm y 80 dm  •• 0.03 m, 0.05 m y 0.07 m  •• 50 cm, 5 dm y 0.5 m 

206

MATEMÁTICAS 1


10. Trabajen en equipo y calculen los datos faltantes. Diagonal mayor = 6 dm

Diagonal menor = ¿?

Base menor = 2 cm Base mayor = 4 cm

Altura = 10 dm Altura = 8 cm

Capacidad = 60 L Volumen del prisma = 60 dm3

Capacidad = 0.048 L Volumen del prisma = 48 cm3

Diagonal menor = Altura = 2 m

Altura del trapecio = Base = 5 m

Altura del prisma = ¿?

Altura del triángulo = 1.7 cm

Altura del prisma = 5 cm Base = 2 cm Capacidad = 72 000 L

Capacidad = ¿?

Volumen del prisma = 72 m3

Volumen del prisma = ¿?

Altura del prisma =

Capacidad =

Comparen sus respuestas con sus compañeros. Identifiquen los errores, si los hubo, y propongan una estrategia de solución. 11. En parejas, analicen la siguiente situación y respondan en su cua-

derno. Una línea aérea, en su contrato de prestación de servicios, menciona la siguiente restricción para el equipaje documentado.

#CONTEXTO

El peso máximo por pieza de equipaje documentado no deberá exceder de 30 kg, y sus dimensiones no deben ser mayores a 2.73 m3 por cada pieza (calculado mediante la suma de las medidas de longitud, anchura y altura). a) Escriban tres posibles medidas de una maleta que cumplan esa restricción. b) ¿Es correcta la aclaración que se encuentra entre paréntesis? Expliquen

por qué. c) Investiguen las restricciones de varias aerolíneas sobre el equipaje documentado. Después, corrijan la redacción del enunciado. 12. En grupo, y con ayuda de su profesor, debatan acerca del uso y la utilidad del cálculo de volúmenes en la vida cotidiana. Redacten una conclusión en su cuaderno.

SECUENCIA 33

Las Torres de Satélite son un conjunto escultórico de cinco prismas triangulares. Elige un monumento representativo con forma de prisma e investiga dónde se ubica, el autor del diseño, su significado, sus medidas y su volumen.

207


SECUENCIA 00 34

Orden de fracciones y números decimales

MIS PRIMERAS IDEAS 1. Lee el siguiente planteamiento y responde las preguntas.

Isabel es bióloga y está haciendo un estudio sobre el maíz. Para su investigación necesita clasificar por tamaño las diferentes variedades, por lo que utiliza un instrumento graduado en centímetros.

#TIC T@C

a) Primero midió un grano de maíz palomero toluqueño.

Visita la página del Centro Internacional de Mejoramiento de Maíz y Trigo (CIMMYT) en redir.mx/SSPM1-208a

¿Cuál es su medida aproximada?

Observa las variedades criollas del maíz de México.

b) Para medir con mayor precisión, elaboró una regla con

nuevas graduaciones a partir de la anterior. ¿Cuánto mide aproximadamente el grano? 0.7

0.8

c) Explica cómo elaboró esta segunda regla a partir de la primera.

d) ¿Es posible obtener una nueva regla para medir con más precisión

el grano de maíz? #ALGUIEN COMO YO

¿Cómo lo harías?

e) Isabel registró en una tabla las medidas de otros granos de maíz. Traza

Adonis Isaí Pérez forma parte del Programa Adopte un Talento (PAUTA), un proyecto científico para niños auspiciado por el Conacyt y la UNAM. A los 12 años desarrolló un vaso desechable que no contamina y se degrada en un mes. ¿Te imaginas con qué material? ¡Con olotes! Busca en internet más información sobre su proyecto.

en tu cuaderno una recta numérica y ubica los diferentes tipos de maíz. Tipo de maíz

Dulce

Ratón

Bolita

Azul

Ancho

Medida (centímetros)

9 ___ 10

0.55

0.95

8 ___ 10

7 ___ 10

3 de centímetro. f) El maíz zamorano amarillo tiene un tamaño de __ 5

¿Es mayor, menor o de igual tamaño que el maíz ratón? 2. Analiza el siguiente planteamiento y responde las preguntas. 3 a) Ernesto necesita __ L de leche para pre4

4 L para parar un pastel y Silvia requiere __ 5 un pay. ¿Quién necesita más leche para preparar su postre?

Lleno

b) Señala las fracciones anteriores sobre el

envase para indicar el contenido de leche y comprueba tu resultado anterior. c) Paco horneará otro pastel. Después de

hacer sus cálculos para definir las porciones, determinó que necesitará 700 mL de leche. Señala esta medida sobre el envase. d) ¿Quién requiere mayor cantidad de leche

para preparar su postre?

208

MATEMÁTICAS 1

Vacío


3. Reúnete con un compañero. Transformen las fracciones en números

decimales; después, localícenlos en la recta numérica. 4= • __ 5

1 = • __ 2

4 = • ___ 10

1 = • ___ 10

3 __ • = 5

3 ___ • = 10

0

1

a) Si se considera su denominador común, ¿en cuántas partes se debe

dividir la recta numérica para situar las fracciones? Argumenten su respuesta. #REFLEXIONA

1 o su equivalente decimal (0.25), ¿en cuántas b) Si ubicaran la fracción __ 4

Al multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número (excepto el 0), se obtiene una fracción equivalente.

partes dividirían la unidad en la recta numérica? Argumenten su respuesta y coloquen la fracción en la recta numérica anterior. c) En grupo y con ayuda de su profesor, comenten sus respuestas. Deter-

minen cuáles son viables y lleguen a un acuerdo. 4. Reúnete en equipo para efectuar esta actividad.

En la escuela se ha organizado una feria matemática. Uno de los juegos es la “recta fraccionaria”. Este consiste en girar una ruleta con diez colores y, una vez definido el color, escribir sobre el globo una fracción equivalente al lugar donde está ubicado en la recta.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

a) Escriban al menos tres fracciones en cada globo. b) Localicen una nueva fracción que esté ubicada entre dos globos conse-

cutivos. c) Localicen dos números decimales que estén ubicados entre dos globos

seguidos. d) Comparen sus respuestas con las de otros equipos. ¿Propusieron los mis-

mos números fraccionarios y decimales?

SECUENCIA 34

209


MI PROCESO DE APRENDIZAJE 5. En equipo, analicen el planteamiento y efectúen lo que se pide.

Para ubicar 0.3 y 0.7 en la recta numérica, necesitamos dividir la unidad en diez partes iguales. 0

0.3

0.7

1

Para localizar 0.32 (treinta y dos centésimos) no es necesario dividir la unidad en cien partes; basta partir en diez el espacio comprendido entre 0.3 y 0.4.

0.32

0.30

0.34

0.36

0.38

0.40

Observen que en la primera recta numérica dividimos la unidad en diez partes, y en la segunda tomamos una décima parte de la primera y la volvimos a segmentar en diez. 0

0.30

0.3

0.32

0.7

0.34

0.36

1

0.38

0.40

a) En su cuaderno, tracen otra recta numérica y dividan el segmento com-

prendido entre 0.32 y 0.33 en diez partes para ubicar el decimal 0.328. b) ¿Es posible repetir este proceso indefinidamente? c) Consideren marcar la división que hay entre 0 y 1 en una sola recta.

¿Cuántos números decimales podrían encontrar? d) Discutan sus respuestas con el profesor y sus compañeros. 6. Determina cuáles son las fracciones señaladas sobre la recta numéri-

ca. Ubica una fracción que esté comprendida entre los puntos.

0

1

0

1

−1

0

−1

0

0

1

210

MATEMÁTICAS 1


7. Trabaja en pareja. Efectúen, en su cuaderno, lo que se indica. 3 ​​ __  ​​ 5

1 ​​ __  ​​ 4

1 ​​ y __ a) Escriban dos fracciones ubicadas entre ​​ __ ​​  3 ​​, y expliquen el procedimien-

to que usaron para encontrarlas.

4

5

1 ​​ y __ b) ¿Cuántas fracciones es posible localizar entre ​​ __ ​​  3 ​​? Escriban algunas que 4

5

hayan encontrado y comparen sus respuestas con el grupo. c) ¿Quién encontró más fracciones? Es posible situar un número indetermina-

do de fracciones. ¿Pueden explicar por qué? Básense en el inciso anterior. 3 d) Expliquen qué pueden hacer para que las fracciones __ ​​ 1 ​​ y ​​ __  ​​tengan un co4

5

mún denominador. Consideren que, si ambas comparten el mismo denominador, es más fácil compararlas en la recta numérica y encontrar otras fracciones entre ellas. 1 ​​ y __ e) Conviertan ​​ __ ​​  35 ​​en fracciones equivalentes con denominador común 4

y mencionen cinco fracciones que se ubiquen entre ellas.

1 ​​ y __ f) Conviertan ​​ __ ​​  3 ​​en números decimales y mencionen cinco números que 4

5

se ubiquen entre ellos.

#REFLEXIONA ¿Es posible colocar un número entero entre dos enteros consecutivos? Utiliza la recta numérica para validar tu respuesta.

8. Comparen sus respuestas del ejercicio anterior con el grupo, lean la

siguiente afirmación y discútanla. Entre dos números fraccionarios hay siempre otro situado en la recta numérica; a esta propiedad se le llama densidad. a) Analicen, con ayuda del profesor, si esta propiedad se cumple también en

los números decimales. Redacten una conclusión grupal en su cuaderno. 9. Carmen necesita vacunar a su mascota. Con una aplicación del celular

encontró a qué distancia de su casa se encuentran varias veterinarias.

0.646 km

0.1472 km

0.9 km

0.082 km

0.91 km

a) Su hermana propuso ir a la más próxima y las ordenó de la siguiente

forma: Patitas (0.91 km), Hospital animal (0.082 km), Centro veterinario (0.9 km), Alikan (0.646 km) y ZooSalud (0.1472 km). ¿Cuál piensas que fue el error que cometió?   b) ¿Cuál es la veterinaria más cercana?

¿Y la más

lejana? c) Escribe, en tu cuaderno, cómo ordenar números decimales positivos. Com-

para tu respuesta con un compañero y complementa el procedimiento.

SECUENCIA 34

211


MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS

#FUENTE

10. Lee el siguiente planteamiento y responde en tu cuaderno.

Jaime piensa que una estrategia que siempre funciona para encontrar un número decimal entre dos números es encontrar su media aritmética.

Marván, Luz María, Andrea y las fracciones, Ciudad de México, sep/Editorial Santillana, 2003. Su lectura te invita a conocer y entender las fracciones: qué son, para qué sirven, cómo se utilizan en la vida cotidiana.

a) ¿Estás de acuerdo? Propón un ejemplo. b) ¿Esta estrategia funcionará también para una fracción? Explica por qué. 11. Resuelve los problemas. a) Identifica cinco números decimales diferentes en la recta numérica. 1.410

1.420

b) Escribe un número decimal que sea mayor que 0.311, pero menor que 0.312.

 c) Ubica __ ​​ 4 ​​, 0.9, 0.6, 1.1 y ___ ​​ 11  ​​, __ ​​ 2 ​​en la recta numérica. 5

6 3

d) Ordena los números del inciso anterior de mayor a menor.

 12. Reúnete con un compañero y efectúen lo que se indica. a) ¿Qué número es menor: 0.5 o __ ​​ 3 ​​? 5

 b) Describan el procedimiento que emplearon para encontrar la respuesta

anterior.   c) Ubiquen en la recta numérica 0.5 y __ ​​ 3 ​​. 5

d) ¿Qué número es mayor: 1.023 o ____ ​​ 128 ​​?  125

 e) Describan el procedimiento que emplearon para encontrar la respuesta

anterior.   f) Ubiquen en la recta numérica 1.023 y ____ ​​  128 ​​   .​

#BITÁCORA

125

En la página 248, resuelve la actividad de esta secuencia.

212

MATEMÁTICAS 1


13. A partir de las fracciones señaladas, ubica la posición del 0 y del 1.

#REFLEXIONA 1 __ 9

1 __ 3

1 ___ 10

Es posible colocar el 0 en la recta numérica donde mejor convenga, sin olvidar que los números positivos están a su derecha de manera creciente y que el espacio entre cada división debe ser el mismo.

1 __ 2

13 ___ 18

1 __ 3

a) Compara tus respuestas con un compañero y explica cómo ubicaste el 0

y el 1. ¿Usaron el mismo procedimiento? Lleguen a un acuerdo sobre qué procedimiento seguir para resolver esta clase de problemas, y anótenlo en su cuaderno. 14. Compara los números fraccionarios y decimales; utiliza los símbolos

> (mayor que), < (menor que) o = (igual a), según corresponda. a) 0.309 c)

4 __ 6

e)

1 −__ 3

g) 4.6005

0.56

1 __ 2

0.42

b)

0.7

d) −1 000

0.001

−0.3

f)

3.7

3.701

4.710

h) −4.6005

#TIC T@C Practica la comparación de fracciones en redir.mx/SSPM1-213a Compara los siguientes pares: 5 __ 10 __ 9 __ y 2 , __ y 6 , __8 y __ . 6 3 6 4 9 11

−4.710

15. En parejas, resuelvan el siguiente problema.

Javier es aprendiz de mecánica y una de sus tareas es acomodar la herramienta por tamaños para que estén listas para su uso. En el taller hay llaves españolas estándar (medida en pulgadas) y milimétricas con las siguientes medidas. 3 __ 5 __ 9 __ 19 __ 3 7 , __ 1 , ___ 11 , __ , 1 , ___ , 3 , ___ , 5 , ___ , 5 , ___ , Llave española estándar (pulgadas): ___ 16 4 16 8 16 2 16 8 32 8 16 4 13 ___ 15 ___ y . 16 16

#CONTEXTO

a) Escribe el orden en que debe colocar las herramientas en el tablero.

b) Compara tu respuesta con un compañero y corrijan si es necesario. Co-

menten las dificultades a las que se enfrentaron y cómo las resolvieron. 16. De manera grupal, lleguen a una conclusión sobre cómo determinar

qué número es mayor que otro utilizando la recta numérica; escríbanla en su cuaderno. Prueben su procedimiento para los siguientes casos. a) Comparar dos números decimales (positivos o negativos). b) Comparar dos fracciones (positivas o negativas). c) Comparar un número decimal y una fracción.

SECUENCIA 34

La imagen muestra un canon, es decir, una regla que de acuerdo con Policleto —escultor griego del siglo V a. C.— muestra las proporciones ideales del cuerpo humano. Observa que en un bebé el cuerpo mide 4 cabezas. ¿Cuánto mide tu cabeza? ¿Corresponde a __17 parte de tu estatura?

213


SECUENCIA 35

Propiedades de las sucesiones

MIS PRIMERAS IDEAS Mario llegó a su casa y encontró a Horacio, su hermanito, jugando con sus bloques armables. 1. Reúnete con un compañero y resuel-

1

van lo que se pide. a) Horacio construyó cuatro edificios.

1 __ 2

Mario le preguntó cómo sería el siguiente. Con base en la imagen, describan el próximo edificio.

1 __ 2

1 __ 4

Mario se integró al juego y modificó los edificios que había construido su hermanito. b) Consideren los valores

asignados a cada pieza y completen la tabla.

Piezas (n)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Valor (a)

c) Determinen una fórmula o expresión algebraica para obtener el valor de

cualquier edificio que pertenezca a la sucesión de la tabla anterior.

Llegó el turno de Horacio, quien construyó una nueva sucesión de edificios. d) ¿Cuántas piezas se necesitan para

armar el edificio 7?

214

MATEMÁTICAS 1


e) ¿Qué valor tiene la figura 7?  f) ¿Qué valor tiene el edificio 13?  g) Determinen una fórmula o expresión algebraica para obtener el valor de

cualquier edificio.  2. Analiza la siguiente información y responde las preguntas. Utiliza

monedas o semillas para formar las siguientes figuras. Para fin de curso, los alumnos de primer grado de la escuela “Horacio Zúñiga” presentarán una tabla gimnástica. Ellos se irán incorporando a la presentación para formarse en V: en el primer momento, solo estará un estudiante, pero en los siguientes, se integrarán los demás de dos en dos. Momento

1

2

3

4

5

1

3

5

7

9

Formación

Número de alumnos

a) ¿Cuántos alumnos habrá en la formación en los momentos 6 y 7?

 b) ¿En qué momento de la presentación habrá quince estudiantes?

 c) ¿Cuántos alumnos habrá en la formación en el momento 10?

 d) Escribe una expresión algebraica que te permite determinar la cantidad

de estudiantes para cualquier momento.  e) Describe, en tu cuaderno, el procedimiento que seguiste para encontrar

las respuestas anteriores. f) Comparte con el grupo tu procedimiento y comenten sus dudas. Con

ayuda de su profesor, intercambien ideas para aclararlas.

MI PROCESO DE APRENDIZAJE 3. Trabajen en parejas. Lean la situación y resuelvan lo que se pide.

El encargado de Recursos Humanos de la tienda Todo Barato es responsable del control de asistencia de los empleados: cada semana, recoge las tarjetas de registro, donde anotan sus horas de entrada y salida. En el departamento de abarrotes, las tarjetas están foliadas como se indica en la tabla de la siguiente página.

SECUENCIA 35

215


Empleado

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Folio

418

421

424

427

430

433

436

439

442

445

448

451

a) En este mes, tres personas entraron a trabajar en el área de abarrotes.

¿Qué folio les corresponderá si son los empleados 13, 14 y 15, respectivamente?  b) Describan el procedimiento que emplearon en el inciso a).

 c) ¿Qué folio corresponderá al empleado 20?  d) Redacten el procedimiento que usarían para encontrar el folio del

empleado 100.   En el departamento de juguetería, se manejan los folios que se muestran en la tabla. Empleado

1

2

3

4

5

6

7

8

Folio

706

707

708

709

710

711

712

713

e) Describan el procedimiento necesario para encontrar el folio de cada

empleado.   f) ¿Qué folio le corresponderá al empleado 53?  4. Analiza la sucesión 4, 7, 10, 13, 16, … y responde las preguntas. a) ¿Qué número ocupará la décima posición?  b) ¿Cuál es la regla que sigue la sucesión?  c) Observa que la sucesión tiene un orden dado por una regla. En tu

cuaderno, inventa una sucesión de diez términos, describe con palabras la regla que se sigue y escribe la expresión algebraica. d) Elijan, grupalmente, una sucesión y verifiquen entre todos la regla propuesta. La sucesión o progresión aritmética es una secuencia de números en la que cada uno se diferencia del anterior (excepto del primer término) por una cantidad constante denominada diferencia común. Por ejemplo: 7, 11, 15, 19, … es una sucesión o progresión aritmética porque la diferencia común entre un término y el anterior es constante, que en este caso es 4.

216

MATEMÁTICAS 1


e) Verifiquen que las sucesiones propuestas por sus compañeros en el

#REFLEXIONA

inciso d) sean una progresión aritmética.

¿Es posible que n tome valores negativos? Observa que indica la posición del término en la sucesión, por lo que siempre tomará valores positivos.

La expresión general para determinar cualquier término de una progresión aritmética es an = a1 + d(n − 1) donde: an = término de la sucesión a1 = primer término de la sucesión d = diferencia entre dos términos de la sucesión n = posición del término en la sucesión 5. Lee el siguiente planteamiento y responde las preguntas.

Agustín se prepara para competir en una carrera de caminata. Su plan de entrenamiento contempla aumentar 1.5 km cada día. a) Si el primer día recorrió 3 km, ¿cuántos kilómetros hará al día siguiente para cubrir su objetivo?  b) Completa la tabla en la que se muestra el plan de entrenamiento de

Agustín. Día (n)

1

Kilómetros (a)

3

2

3

4

5

6

7

8

9

10

c) ¿Cuántos kilómetros deberá recorrer en el día 15? 

¿Y en el día 23? d) ¿Cuál es la expresión que determina el número de kilómetros que

deberá recorrer Agustín para un determinado día n? Subraya la respuesta correcta. 1.5n 3n + 1.5

1.5n + 3

1.5n + 1.5

1.5n − 1.5

e) Explica cómo comprobar que la expresión que elegiste es la correcta.



camina ta o m archa: consist carrera e en ca que m in a r con un rápidam o de los e nte pies sie contac mpre e to con n el suelo .

f) Escribe una lista de los primeros 20 términos que genera la expresión

que elegiste en el inciso d).   Por su parte, Ignacio inicia su plan de entrenamiento con 10 km y cada día subsecuente aumentará 0.5 km. g) ¿Qué modificaciones necesitas hacer en la expresión del inciso d) para obtener los kilómetros que deberá recorrer este deportista? Anota la nueva expresión. 

SECUENCIA 35

217


h) Pablo se prepara para la misma competencia, pero su plan de

entrenamiento está determinado por la expresión 7.5 + n. Explica en qué consiste su plan.

#TIC T@C Resuelve las actividades de la página redir.mx/SSPM1-218a

 i) Completa la tabla a partir de la expresión del inciso anterior.

Día (n)

1

Kilómetros (a)

8.5

2

3

4

5

6

7

8

9

10

j) ¿Cuántos kilómetros deberá recorrer en el día 39?  k) ¿La distancia de 88 km corresponde o forma parte de un día de

entrenamiento? Explica tu respuesta.   l) Ulises efectuó el siguiente plan de entrenamiento: 2, 3.5, 5, 6.5, 8, …

¿Qué expresión algebraica determina los kilómetros que deberá recorrer el deportista para un determinado día n? #BITÁCORA



Ve a la página 249 y resuelve el último reto.

m) Comparte tu respuesta anterior con tus compañeros. Comenten si las

expresiones tienen sentido para cualquier valor de n en estos ejemplos de entrenamiento de un marchista.

MIS NUEVOS CONOCIMIENTOS 6. Analiza el procedimiento para obtener la regla de la sucesión aritmé-

tica y completa la tabla. a) Obtener la diferencia común de la sucesión: restar a un término el anterior. b) Restar al primer término de la secuencia dicha diferencia común. c) Regla: multiplicar el lugar del término por la diferencia común y sumarle el resultado anterior. Sucesión

Diferencia común (a)

Diferencia (b)

Regla (c)

Término en el lugar 15

6, 8, 10, 12, 14, …

2

6−2=4

Multiplicar el lugar del término por 2 y sumar 4 al resultado

15 × 2 + 4 = 34

4

−3 − 4 = −7

−4

8 − (−4) = 12

8, 13, 18, 23, … 5, 6, 7, 8, …

218

MATEMÁTICAS 1


7. Resuelve los planteamientos. a) Determina la regla de la sucesión –4, –9, –14, –19, … b) Escribe la regla de la sucesión 7, 12, 17, 22, 27, … c) Anota la regla de la sucesión −3, −10, −17, −24, −31, … 8. Completa la tabla. Encuentra la regla para el número de puntos que

compone cada figura. Sucesión figurativa

Sucesión numérica

Diferencia entre términos

Regla

9. En parejas, analicen la regla general que aparece en el término ené-

simo de la sucesión en la siguiente tabla; después, respondan las preguntas. Posición

Término de la sucesión

1

−10

2

−15

3

−20

4

−25

5

−30

n

−5n − 5

#CONTEXTO a) ¿La regla −5(n − 1) − 10 genera los mismos términos de la sucesión de

la tabla? Expliquen su respuesta.

b) Determinen el término de la sucesión que se localiza en la posición 20.

Expliquen su procedimiento.

c) Comparen con el resto del grupo los procedimientos que utilizaron. 10. En su cuaderno, propongan dos ejemplos de sucesiones que no sean

aritméticas. a) Expliquen con qué regla la formaron y justifiquen por qué no son aritméticas. b) Comparen sus respuestas con sus compañeros. 11. Busquen o inventen ejemplos de progresiones aritméticas, expónganlas en clase y juntos determinen la regla de la sucesión.

SECUENCIA 35

Los números naturales, los pares y los impares son ejemplos de sucesiones aritméticas. En la naturaleza, la manera en que crece la población de algunos organismos también forman sucesiones, por ejemplo, la bipartición de las bacterias. Investiga cómo es este proceso y explica si la población generada a partir de una bacteria forma una sucesión aritmética.

219


EXPERIMENTA ¡Eureka! 1. ¿Cómo se calcula el volumen de un objeto dentro del agua? a) Busca un recipiente en forma de prisma en el que puedas verter agua. Lle3 partes de agua y calcula el volumen del recipiente na aproximadamente __ 4 tomando como altura el nivel de esta. Fíjate en el ejemplo.

Alto Ancho

Largo

b) Busca una piedra que pueda ser cubierta en su totalidad por el agua que

se encuentra en el recipiente y colócala dentro de este.

Alto Ancho

Largo

c) ¿Qué sucede con el nivel del agua? Explícalo en tu cuaderno. d) Ahora, calcula el volumen del recipiente con la nueva medida de la

altura. e) Resta los volúmenes. f) Argumenta por qué el resultado del inciso e) es el volumen de la piedra. 2. Trabaja con un compañero. Respondan las preguntas en su cuaderno. a) Si colocan un hielo totalmente cubierto por el agua en lugar de la pie-

dra, ¿podrán obtener el volumen del hielo? Justifiquen su respuesta. b) Si dejan derretir el hielo, ¿qué ocurrirá con el nivel del agua? c) Si el hielo no fuera totalmente cubierto por el nivel del agua, ¿podrían calcular el volumen del hielo? Expliquen su respuesta. d) Si dejan derretir el hielo que no fue cubierto en su totalidad por el nivel del agua, ¿qué sucederá con el nivel del agua? e) En grupo, comparen y discutan sus respuestas. Argumenten sus resultados. 3. Investiguen la anécdota de Arquímedes de Siracusa y la exclamación

“¡Eureka!”; luego, elaboren un cómic al respecto.

220

MATEMÁTICAS 1


Autoevaluación de logros en el desarrollo del pensamiento crítico, de la comunicación efectiva y del trabajo en equipo Descripción: con esta autoevaluación determinarás cuáles son tus avances respecto a tres habilidades fundamentales: pensamiento crítico, comunicación efectiva y trabajo en equipo.

Durante el curso has trabajado con diversos instrumentos de evaluación, con los que has comprobado cómo vas desarrollando tus habilidades, tanto de pensamiento como de comunicación, además de las sociales, y que te han ayudado a comprender y aprender mejor los contenidos de este curso. Ahora es momento de resolver la última evaluación, para que midas tus avances y premies tus logros. Si hay aspectos en los que aún no logras un avance significativo, no te preocupes, mejor tenlos en cuenta para seguir ejercitándolos. Estrategia: determina qué dificultad implicaba cada una de las activi-

dades de la tabla (traza una paloma en el recuadro correspondiente) y cómo las percibes actualmente (dibuja una estrella en tu sentir actual). Del mismo modo, revisa con qué frecuencia las pones en práctica cuando gestionas tu aprendizaje; usa la siguiente escala: 1 nunca o casi nunca; 2 algunas veces; 3 casi siempre o siempre.

Trabajo en equipo

Comunicación

Pensamiento crítico

Aspecto

Dificultad Fácil

Regular

Frecuencia Difícil

1

2

3

Cuando resuelvo un problema, me enfoco en comprender la situación y en identificar los datos, antes de efectuar operaciones. Encuentro alternativas para resolver un problema. Aplico diversas estrategias. Interpreto las gráficas que acompañan los textos y hago resúmenes, mapas mentales o esquemas. Evalúo los efectos positivos y negativos de una situación o acción para decidir de forma autónoma y responsable. Recibo retroalimentación y opiniones diferentes a la mía sin controlar la conversación. Juzgo solo el contenido y no a los interlocutores, y comunico mis opiniones y emociones. Escucho, hago preguntas y, al exponer, mantengo interesada a mi audiencia. Soy flexible para aceptar y compartir diferentes puntos de vista, ideas y sugerencias. Demuestro compromiso, preparo mi material y soy propositivo, no solo hago “mi parte”. Reconozco la aportación de cada compañero y celebro con ellos el trabajo bien hecho.

Resultado: escribe una reflexión acerca de tus logros y lo que necesitas

ejercitar. ¿Qué aspecto trabajarás en el próximo curso?

221


EVALUACIÓN 1 1. Determina si las oraciones son verdaderas (V) o falsas (F). a)

Cuando nos referimos a la construcción de un triángulo único es necesario conocer al menos uno de sus lados y uno de sus ángulos.

b)

En la construcción de un triángulo isósceles, los tres ángulos que lo conforman deberán ser diferentes.

c)

Para construir cualquier triángulo, la medida de uno de sus lados siempre debe ser menor que la suma de los otros dos.

d)

Para construir un triángulo congruente con otro se requiere conocer un lado y dos ángulos contiguos.

16 6 4 ​​, 4.38, ​​ ___ 2. Considera los siguientes números: ​​ __   ​​, 0.064 y ​​ ___  ​​.  Selecciona 5

7

18

el inciso que muestra las cantidades equivalentes ordenadas de menor a mayor. a) ___ ​​  20  ​​, 0.34, 2.2857, ____ ​​  219   ​​, ____ ​​  64  ​​  25

50

100

b) ____ ​​  8   ​​ , 0.3, 0.8, 2.285714, ____ ​​  219   ​​  125

50

8 ____ 220 7   ​​  c) 0.34, ​​ ___   ​​,  ​​     ​​, 2.29, ____ ​​  130 10 50

43.8 ____ d) 0.8, 0.333…, ​​ ____    ​​,  ​​  7   ​​, 2.29 10

130

3. Escribe las fracciones como número decimal. Aproxima el resultado

a centésimas. a) __ ​​  9 ​​ =

b) ___ ​​  23  ​​ =

c) ___ ​​  24  ​​ =

d) ___ ​​  11  ​​ =

6

9

15 32

4. Carlos preparó 15.75 L de ponche de frutas para una reunión de trece 3  ​​ L, personas. Si a cada invitado se le sirvió un tarro de ponche de ​​ __ 4 ¿cuánto ponche de frutas sobró?

a) 9.75 L

b) 21 L

c) 6 L

d) 15 L

5. Se está armando un vitral modernista, pero faltan las medidas de los

ángulos C y D para cortar las piezas. En el diagrama hay dos segmentos paralelos; determina los valores de los ángulos. C A = 74° B = 82° C = D =

B A

222

MATEMÁTICAS 1

D


6. Para una reunión, 16 estudiantes han comprado cinco pizzas a

$112.80 cada una. Cada pizza está dividida en ocho rebanadas iguales. ¿Cuántas rebanadas completas le corresponden a cada uno y cuántas rebanas enteras sobrarán? ¿Cuánto pagarán si quieren ser equitativos? Rebanadas de pizza por estudiante: Rebanadas sobrantes: Aportación individual: 7. En la tabla se muestran las calificaciones de un alumno. ¿Cuál es la

calificación mínima que debería obtener en Lengua Extranjera para lograr un promedio de, por lo menos, 8.5? Asignatura

Calificación

Matemáticas

9.4

Español

7.7

Historia

8.3

Lengua Extranjera Formación Cívica y Ética

10

Biología

9.4

Educación Física y Artística

7.2

Orientación Educativa

9.3

Computación

8.8

a) 8.5

b) 6.4

c) 5.7

d) 6.0

8. Dos triángulos son congruentes si… a) dos lados y el ángulo opuesto al menor de ellos son iguales. b) dos lados y el ángulo determinado por ellos, respectivamente, son iguales. c) dos ángulos y el lado adyacente a uno de ellos son iguales. d) se cumplen todas las condiciones anteriores. 9. Relaciona las columnas. a) 5(3.2 + 7.5) − 2(2.1 + 4.3) =

[5

(5 )] =

w) −50.6

b) 8 __ ​​  3 ​​ − __​​  2 ​​ + 3 __​​  9 ​​ − 4

x) −810

c) 5[(9.2 + 7.5) – 9(7.4 + 12.5)] + 2

y) 40.7

6

(5

)

3 d) 8​​ __  ​​ − 5 __ ​​  9 ​​ − __ ​​  2 ​​ + 3 = 5

3

z) −12.06

10. Claudia trabaja siete horas durante cuatro días a la semana y el sa-

lario que recibió la quincena anterior fue de $5 100.00. Si este pago incluyó un bono especial por $650.00, ¿cuál es la expresión algebraica para calcular cuánto gana por hora?

a) 56x = 5 100 − 650

b) 28x − 650 = 5 100

c) 28x + 650 = 5 100

d) 56x − 650 = 5 100

223


EVALUACIÓN 1 1. Lee la información y haz lo que se indica.

Carrera de relevos Lidia, Victoria, Isolda y Julia son corredoras de 100 metros planos. Sus mejores marcas en esta competencia son 11.24 s, 11.78 s, 11.15 s y 11.95 s, respectivamente. Deciden unir esfuerzos y conformar un equipo para participar en una carrera de relevos de 400 m (carrera 4 × 100). ¿Alguna vez participaste en una carrera de relevos? ¿Cuál fue la distancia que recorriste y en cuánto tiempo?

Pregunta 1

La primera decisión que deben tomar es determinar el orden de los relevos. Es decir, quién saldrá primero, quién en segundo, tercero y cuarto lugar. • ¿Qué orden elegirías y por qué?

• Si salieran del más lento al más veloz, ¿cuál sería el orden?

• ¿Coincide ese orden con tu elección?

Pregunta 2

Para establecer su marca inicial, estiman que pasar el testigo les tomará medio segundo. ¿Cuál es el tiempo esperado para completar el recorrido de 400 m?

Pregunta 3

Se plantean como objetivo mejorar sus tiempos al correr. Por cada mes 19 de lo que eran el mes antede entrenamiento, sus tiempos serán ___ 20 rior, sin considerar el tiempo que toma pasar la estafeta. ¿Cuántos meses les tomará mejorar su marca inicial por lo menos 5 s? Antes de hacer el cálculo, efectúa una estimación.

Pregunta 4

Las siguientes son las marcas, en segundos, de su entrenamiento durante el primer mes, y están ordenadas cronológicamente. 48.01, 47.55, 47.29, 47.93, 46.69, 46.51, 46.93, 45.77, 45.4, 45.99 • Con base en estos datos, ¿el objetivo de reducir el tiempo de acuerdo con el

entrenamiento se cumplió? Explica tu respuesta . • Si la competencia se efectuara en ese momento, ¿cuál consideras que podría

ser el resultado, es decir, en cuánto tiempo completarían el relevo?

224

MATEMÁTICAS 1


2. Lee la situación y efectúa lo que se pide.

Mesa elevador En la imagen se muestra una mesa de trabajo tipo elevador. Consta de una base (que en este caso tiene ruedas), de la plancha o mesa de trabajo, y de soportes deslizables en diagonal, para ajustar su altura.

1.5 m

Pregunta 1

La mesa mide 1.5 m de largo y la estructura se puede cerrar por completo hasta la base con ruedas. • ¿Cuál es la medida de los soportes que están en forma diagonal? 1.5 m

• ¿A qué distancia de los extremos de los soportes se ubica la unión entre

ellos? Justifica tus respuestas.

Pregunta 2

Explica por qué la plancha de trabajo se mantiene siempre horizontal, sin importar qué tan cerrados o abiertos estén los soportes. Auxíliate con el siguiente diagrama. 1.5 m G E

F

A

1.5 m

C

B

Pregunta 3

¿Cuánto miden los ángulos de elevación de los soportes (ángulos FAC y FCA en la figura anterior) cuando el apoyo está justo a la mitad de la base (C es el punto ¯ en la figura anterior)? Explica tu respuesta. medio de AB

Pregunta 4

El cuadrilátero ACEG se forma uniendo los puntos de apoyo de los soportes. Si el ángulo entre los soportes mide 90° (ángulo AFC), ¿qué tipo de cuadrilátero es el ACEG? Justifica tu respuesta.

225


EVALUACIÓN 2 1. Completa la oración con la respuesta correcta.

Dos cuadriláteros son congruentes… a) si los lados en ambas figuras son del mismo tamaño. b) si los ángulos en ambas figuras y su posición son iguales. c) si los lados y los ángulos son iguales en ambas figuras. d) si la posición de ambas figuras es igual. 2. Para montar el escenario de una obra de teatro, Karla adquirió 15 pliegos de cartulina de colores y gastó $64.00; Pedro compró 4 m2 de tela y 1 tarro de pegamento de $25.00, y gastó en total $485.00; y Luis compró 24 m de listón y 6 botes de pintura de $15.00 cada uno, y gastó en total $540.00. Determina el precio de los productos. a) Pliego de cartulina de color: b) Metro cuadrado de tela: c) Metro de listón: 3. Los juegos paralímpicos del 2016 se celebraron en Río de Janei-

ro, Brasil. La tabla muestra los primeros diez países del medallero. De acuerdo con estos resultados, relaciona la descripción con su porcentaje. Lugar

Países participantes

Oro

Plata

Bronce

107

81

51

1

China

2

Reino Unido

64

39

44

3

Ucrania

41

37

39

4

Estados Unidos de América

40

44

31

5

Australia

22

30

29

6

Alemania

18

25

14

7

Países Bajos

17

19

26

8

Brasil

14

29

29

9

Italia

10

14

15

10

Polonia

9

18

12

Descripción Porcentaje a) De las medallas de oro, las ganadas por países europeos:

Casos de acoso escolar

b) De las medallas de plata, las ganadas

por países latinoamericanos: c) Todas las medallas ganadas por Ucrania respecto al total: d) De las medallas de bronce, las ganadas por Australia:

4

13

6

w) 8.6% x) 12.1% y) 46.5% z) 10%

4. De acuerdo con una investigación, se presentaron varios casos de

8 10

, que juntos correspondieron aproximadamente a

7 1˚ 4˚

226

2˚ 5˚

acoso escolar en diferentes grados de una primaria. Completa el reporte con la información de la gráfica. Los tres grados en que se presentaron más casos de acoso fueron , y

su parte, 3˚ 6˚

MATEMÁTICAS 1

y

los casos. Por

grados presentaron 27.08%. Por último, solamente

de los casos corresponden a

grado.


5. Relaciona la descripción del polígono con su perímetro. Descripción

Perímetro

Triángulo isósceles con dos lados de 3.2 cm y uno de 2.6 cm a)

P = 23.3 cm P = 9 cm P = 16.8 cm P = 18.5 cm

b) Rectángulo con lados de 5.6 cm y 2.8 cm c) Pentágono regular de 3.7 cm de lado d) Trapezoide cuyos lados miden 4.2 cm, 6.3 cm, 7.7 cm y 5.1 cm 6. Se elaboraron 10 piñatas para una posada. En las 3 primeras se utili-

zaron 45 pliegos de papel de colores, 150 mL de pegamento y 5.4 kg de fruta para rellenarlas. ¿Cuánto material se necesitará para las faltantes? a) Pliegos de papel: b) Pegamento: c) Fruta: 7. Una estudiante gastó $243.00 en la compra de 8 cuadernos y 1 juego

de geometría. Si el juego de geometría costó $53.00, ¿le alcanzarán $100.00 para comprar 5 cuadernos más? Cada cuaderno cuesta , por lo cual le alcanzará. 8. El Departamento Meteorológico reportó la variación de la velocidad

del viento de tres huracanes durante las últimas siete horas. Escribe el nombre del huracán a un lado de su expresión algebraica. 240

y

220 200 180 Velocidad (km/h)

a) y = 0.8x − 40

b) y = 0.2x + 56

160 140 120

Irma

100 80

c) y = 0.5x + 90

60

40

Karina José

20 x 0

20 60 100 140 180 220 40 80 120 160 200 240 Tiempo (min)

9. Completa el reporte meteorológico con base en la gráfica anterior.

Transcurrida la primera hora, los vientos del huracán Irma alcanzaron una velocidad de

km/h. Tres horas más tarde, el huracán José tenía vientos de

km/h y el huracán ría 4. Por su parte,

llegaba a los 210 km/h, cambiando a categono rebasó los 160 km/h, limitándose a la categoría 2.

45 cm

10. Andrea diseñó una falda circular como la que se muestra en el pa-

trón. Si cosiera un listón del mismo color en la cintura y en el dobladillo, ¿cuántos metros necesitaría? Necesitaría m de listón.

35 cm

227


EVALUACIÓN 2 1. Lee la información y haz lo que se indica.

Bicicleta y automóvil Olga y Laura usan diferentes vehículos para transportarse dentro de la ciudad. A Olga le gusta usar la bicicleta porque no contamina. Laura prefiere el automóvil, pues le agrada ir cómoda y piensa que es un medio de transporte seguro. Ambas siguen la misma ruta para ir al trabajo. Después de haber salido, las posiciones de Olga a los 2, 3, 4 y 5 minutos son 0.72, 1.08, 1.44, y 1.8 km; mientras que las posiciones de Laura son 1.6, 1.85, 2.1 y 2.35 kilómetros. Pregunta 1 En algunas ciudades, para

distancias menores a 7.5 km suele ser más eficiente trasladarse en bicicleta que en automóvil o transporte público.

¿Olga y Laura partieron del mismo lugar? Explica tu respuesta; auxíliate con las tablas siguientes. • Olga Tiempo (min)

0

1

Distancia (km)

2

3

4

5

3

4

5

0.72

• Laura

Tiempo (min) Distancia (km)

0

1

2

1.85

Pregunta 2

Elabora una gráfica de los recorridos y empléala para hacer una descripción de los trayectos. Considera lo siguiente: • incluye la información de quién iba más rápido (velocidad de cada una) y explica por qué; • menciona, por ejemplo, quién va por delante; si piensas que las dos coincidirán en un momento, o bien, si una adelantará a la otra; • sustenta tus observaciones con datos numéricos obtenidos de la gráfica.

Pregunta 3

Elabora una gráfica de los recorridos y empléala para hacer una descripción de los trayectos. Considera lo siguiente: • Si el destino de su viaje está en el kilómetro 12, estima quién llegará primero. • Comprueba tu estimación y determina cuánto tiempo tardará cada una.

228

MATEMÁTICAS 1


Pregunta 4

En caso de encontrarse, Olga piensa reducir su velocidad para ir junto a Laura. ¿Qué porcentaje de su velocidad debería disminuir?

2. Lee la situación y efectúa lo que se pide.

Rueda, rueda y rueda El esquema representa la transmisión de una bicicleta. El punto A es el eje de la llanta trasera, y el B es el punto al que están sujetos los pedales. La bici es rodada 700, es decir, el diámetro de sus llantas es de 70 centímetros. Transmisión de la bicicleta C D 4 cm

10 cm

97.72° A

45 cm

B

Pregunta 1

Eli tiene un taller en el que arma los cuadros de bicicleta. En sus diseños requiere conocer el perímetro del cuadrilátero ABCD. Calcula ese perímetro considerando que la longitud de la cadena es de 134.7955 cm. Explica tu respuesta.

Pregunta 2

Si se da una pedalada completa, es decir, si el disco grande da una vuelta completa, ¿qué distancia avanza la bicicleta?

Pregunta 3.

Si hicieras una carrera ciclista sin subidas, ¿te convendría un disco delantero grande o pequeño? Argumenta tu elección.

Pregunta 4

Si se desea avanzar seis metros de una pedalada y se mantiene la medida de 4 cm de radio del disco menor, ¿cuánto debe medir el radio del disco mayor?

229


EVALUACIÓN 3 1. Completa la tabla con la información que se solicita. Aproxima tu

respuesta a centésimas. Descripción de la figura geométrica

Área

Triángulo equilátero cuya base mide 6 cm y su altura es de 5.2 cm. Rectángulo cuyo perímetro mide 28.8 cm y uno de sus lados, 8.2 cm. Trapecio isósceles de bases 4.2 y 2.8 cm y con una distancia entre ambas bases igual a 5.6 cm. 2. Un panadero compró un horno eléctrico y decidió probar el tiempo

que tarda en calentarse y llegar a los 250 °C. El panadero midió la temperatura cada cinco minutos y la registró en una tabla. Minutos

x

0

5

10

15

20

25

Temperatura (°C)

y

20

40

60

80

100

120

a) ¿Cuántos minutos transcurrieron hasta que el horno alcanzó 250 ∘C?

 b) ¿Qué temperatura había a los tres cuartos de hora?  c) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el aumento de la tem-

peratura?  3. Relaciona la ecuación con su resultado . a) 5x − 7 = 8x − 23

u) x = ___ ​​  95  ​​

b) 5(x + 4) = 17

v) x = 72

c) 8(6x − 13) = 32x − 9

w) x = −4.9

d) 6(x − 12) = 4(x + 18)

y) x = ___ ​​  16  ​​

e) 7x − 8 = 9(3x + 10)

z) x = −0.6

16

3

4. Se lanzan nueve volados y salen nueve águilas consecutivas. Si se

lanza un décimo volado, ¿qué caerá: águila o sol? Selecciona la respuesta correcta. a) Águila, porque hay una racha de águilas. b) Sol, porque todas las anteriores han sido águilas. c) Es imposible saber. d) Las dos tienen la misma posibilidad de salir.

230

MATEMÁTICAS 1


5. La expresión algebraica 470x + 12 568 muestra la tendencia en el nú-

mero de usuarios al mes de una aplicación de juegos por teléfono. De acuerdo con esta expresión, completa el siguiente reporte de ventas. a) La cantidad de usuarios identificados al inicio del año alcanzaba los usuarios. Durante los meses que duró el estudio de mercado, se agregaron un promedio de usuarios al mes. De continuar con la misma tendencia, en dos años a partir del inicio del estudio, se espera que haya usuarios. 6. Determina la expresión algebraica de la sucesión: 11, 14, 17, 20, … Comprueba si el número 40 pertenece a la sucesión.   7. Analiza la tabla y contesta las preguntas.

Calificación

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Porcentaje

10

2

0.1

10%

9

6

8

4

0.2

7

3

0.15

30%

6

25%

a) ¿Cuántos estudiantes había en el grupo?  b) ¿Cuál es la frecuencia absoluta de 6 de calificación?  c) ¿Cuál es la frecuencia relativa de 9 de calificación?  d) ¿Cuál es el porcentaje de 7 de calificación? 

5.8

8. Calcula el volumen de un prisma triangular de 7.2 cm de altura. Las

dimensiones de su base se muestran en la figura. a) 146.8 cm3 b) 94.7 cm3 c) 12.5 cm3 d) 189.5 cm3 9. Una familia desea construir un depósito donde se puedan almacenar 50 L de agua de lluvia. Si el espacio del que se dispone para colocar el depósito tiene un área de 160 cm2, ¿cuál deberá ser la altura del recipiente? La altura deberá medir

4.7 5.6

6.5

8 8 16 10. Ordena los siguientes números de menor a mayor: ​​ __  ,​​ −2.34, − ​​ __ ​​, ​​ ___ ​​  

y −0.4.

5

3

7



231


EVALUACIÓN 3 1. Lee la información y haz lo que se indica.

Lapiceras Marcela elaborará una lapicera en forma de prisma. Dispone de un material bonito, pero costoso, para las caras laterales y de un material económico, pero adecuado, para las bases. Está indecisa entre elegir una base cuadrada o una de triángulo equilátero, pues quiere aprovechar al máximo el material costoso. El material que usará para las caras laterales es un pliego rectangular. El extremo que acoplará a la base de la lapicera mide 12 cm de largo, el otro lado mide 15 cm. Así que la base, triangular o cuadrada, tendrá ese perímetro. Además, Marcela considera que la mejor manera de aprovechar el material es construir la lapicera de mayor volumen. Pregunta 1

Marcela no sabe cómo calcular el área de la base triangular; investiga en un libro y encuentra la información siguiente.

660

1

0.8

La altura de un triángulo equilátero es directamente proporcional a su perímetro

1

1

90°

• Si usa este criterio, ¿cuál será el área de la base triangular?

• ¿Cuál es el volumen de la lapicera?

Pregunta 2

A Maricarmen le sorprendió la relación de proporcionalidad de altura y perímetro en el triángulo equilátero. Por lo que buscó otras relaciones, por ejemplo, para el área del triángulo equilátero en términos de su perímetro. Encuentra una expresión para representar la relación anterior.

Pregunta 3

¿Cuál es volumen de la lapicera si emplea la base cuadrada?

Pregunta 4

¿Cuál de las dos opciones le conviene?

232

MATEMÁTICAS 1


2. Lee la situación y efectúa lo que se pide.

Tanque de agua En la figura se muestra un tanque de agua portátil de forma cúbica. Para revisar que no tenga fugas, se hace un registro de la altura que alcanza el nivel del agua al momento de llenarlo.

Pregunta 1

Después de 4, 6 y 8 min la altura del nivel del agua en el tanque era de 1.3, 1.4 y 1.5 m, respectivamente. • ¿Había agua en el tanque cuando se empezó a introducir el agua?

• Si el tanque no estaba vacío, ¿cuál era la altura inicial del nivel del agua?

Márcala sobre el tanque. Pregunta 2

Si el llenado del tanque se mantiene al mismo ritmo, ¿cuál es la velocidad con la que sube el nivel del agua?

Pregunta 3

Considera que el ritmo de llenado es el mismo que en la pregunta anterior. Si la altura del tanque es de 2.5 m, ¿en cuánto tiempo terminará de llenarse si han transcurrido 1.7 min desde que comenzó el llenado del tanque vacío?

Pregunta 4

El largo del tanque mide 2.5 m y el ancho 1.6 m. ¿Cuántos litros de agua puede almacenar?

233


B itácora Secuencia 1 1. Investiga qué es un fractal. 2. Traza la curva de Koch en tu cuaderno. a) Traza un segmento.

b) Divídelo en tres partes iguales.

c) Reemplaza la parte central por dos

d) Repite el procedimiento con cada

partes de igual longitud, formando un ángulo de 60°.

segmento resultante.

3. En tu cuaderno, traza un triángulo y repite los pasos de la actividad 2 con cada

lado. Hazlo varias veces y colorea la figura resultante.

Secuencia 2 Los diagramas de pasos son útiles para que evalúes la comprensión de los procedimientos que estás aprendiendo. 1. Elabora un diagrama de pasos para transformar una fracción en un número

decimal, y otro para convertir un número decimal en una fracción. 2. Compara tus diagramas con los de tus compañeros. Verifiquen que los pasos

sean claros; complementen lo que haga falta.

234

MATEMÁTICAS 1


B itácora Secuencia 3 1. Elabora un diagrama de pasos para transformar un número decimal periódico

en una fracción.

Secuencia 4 El huso horario es cada una de las veinticuatro áreas en que se divide la Tierra; están delimitadas por los meridianos, que son semicircunferencias imaginarias que van de polo a polo. En 1912, las naciones acordaron que el meridiano de Greenwich sería el horario de referencia o tiempo universal. 1. Responde las preguntas. a) Elabora (o consigue) un mapa del mundo en el que se representen los husos hora-

rios. Si es necesario, investiga más sobre este sistema de referencia. b) La ciudad de Mérida, Yucatán, se encuentra en el huso horario oficial UTC −7; y la Ciudad de Anchorage, Alaska, en el UTC −9. ¿Cuántas horas de diferencia hay entre estas ciudades? c) Investiga el huso horario en el que te encuentras. ¿Cuántas horas de diferencia hay respecto a Greenwich?

Secuencia 5 En la actividad 7 dedujiste que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. Este resultado te será muy útil para resolver problemas y llevar a cabo otras demostraciones. 1. Trabajen en equipo. Averigüen a cuánto equivale la suma de los ángulos inte-

riores de un cuadrilátero. a) Un camino es trazar varios cuadriláteros y medir sus ángulos cuidadosamente, para averiguar cuánto suman; pero ¿existirá otra forma de generalizar el resultado que obtengan? b) Prueben otra estrategia. Por ejemplo, analicen casos particulares, como el cuadrado, el rectángulo, el trapecio, etcétera. c) Dibujen un cuadrilátero cualquiera y, a partir de sus propiedades, encuentren el valor de la suma de sus ángulos interiores. Sugerencia: divídanlo en dos triángulos. d) Comparen su respuesta y argumentos con los de un compañero. ¿Coincidieron? Escriban una explicación de manera conjunta. e) Con la guía del profesor, lleguen a una conclusión y completen el enunciado: “Los ángulos interiores de un cuadrilátero…”.

Secuencia 6 1. En diversos medios encontrarás retos mentales. Lee el enunciado y, sin escribir

las operaciones, respóndelo. Después verifica el resultado. a) Un caracol cae a un pozo de 5 m de profundidad. Si en el día asciende 3 m y en la noche resbala 2 m, ¿en cuántos días saldrá del pozo?

235


B itácora Secuencia 7 1. Reflexiona sobre los procedimientos o estrategias que aprendiste para resolver los problemas que implican multiplicaciones. a) Elabora diagramas de pasos para multiplicar dos números cualesquiera. Puedes hacer uno para cada tipo de situación que hayas identificado. b) Prueba tus diagramas con los siguientes casos: »» multiplicar dos números naturales, »» multiplicar dos fracciones, »» multiplicar dos decimales, »» multiplicar un número entero por una fracción, »» multiplicar un número entero por un decimal. c) En equipos, analicen sus diagramas y, después de ponerlos a prueba, corrijan lo que sea necesario. Vean si pueden sintetizar algunos de sus procedimientos. d) ¿Cómo multiplicarían una fracción por un número decimal? 2. Busca en tu casa los dispositivos electrónicos que funcionen con pilas. Identifica el voltaje que se indica para su funcionamiento, investiga el tiempo de duración de las pilas en cada equipo electrónico y haz una estimación de cuánto dinero gastas al año en las pilas. Finalmente, explica la importancia de desechar las pilas en lugares apropiados y no directamente en la basura.

Secuencia 8 1. Reúnanse en parejas y resuelvan lo que se pide. a) ¿Cuáles son las similitudes y las diferencias entre la media, la mediana y la moda? b) Elaboren una tabla que muestre el procedimiento que deben seguir para obtener cada valor. c) Investiguen qué son las medidas de tendencia central. ¿La media, la mediana y la moda son medidas de tendencia central? Expliquen por qué. d) ¿Cuál de esos tres valores es el mejor representante de todo el conjunto de datos? Sustenten su respuesta con un ejemplo. e) Comparen su ejemplo con los de otras parejas y, con ayuda del profesor, lleguen a una conclusión.

Secuencia 9 1. Aprecia la geometría que hay a tu alrededor. En tu próximo paseo, identifica dónde hay triángulos; podrías descubrirlos en edificios, al cruzar un puente peatonal o incluso sobre el suelo en el que caminas. a) Toma varias fotografías y después clasifícalas en aquellas que muestran triángulos congruentes y las que no. b) Señala sobre las fotografías un par de triángulos congruentes. Explícale a un compañero cómo determinaste que son congruentes. c) Otra alternativa es buscar en internet algunos ejemplos, descargar las fotografías (imágenes) y clasificarlas. d) También puedes trabajar con las fotografías de la página siguiente.

236

MATEMÁTICAS 1


B ITÁCORA

» Visita los sitios ‹redir.mx/SSPM1-237a›, ‹redir.mx/SSPM1-237b›, y ‹redir.mx/

SSPM1-237c›. Allí encontrarás algunas imágenes para iniciar tu investigación.

Secuencia 10 1. En parejas, resuelvan el siguiente reto. El reto consiste en seguir las líneas y efectuar las operaciones de manera que se obtenga el resultado más grande. Reglas • La ruta debe ser continua, es decir, debe seguirse sin levantar el lápiz del papel. • No se puede repetir un camino.

Salida

÷0.3 ÷10

×0.5

÷0.5 ÷0.2 ×0.3

÷0.6

×0.5

÷0.5 ÷0.2 ×0.1

×0.8

÷0.4

¿Están listos?

×0.7

Meta

÷0.6 ×0.7

a) El primer valor de salida es 0.5. b) El segundo valor de salida es 3.5.

Secuencia 11 1. Sintetiza en el organizador gráfico que prefieras lo que aprendiste sobre los signos de agrupación y la jerarquía de las operaciones. a) Cópialo en una tarjeta para que lo consultes cuando tengas duda sobre el orden en el que debes efectuar una operación. b) A continuación, escribe tres ejemplos de operaciones que usen paréntesis, llaves y corchetes, y que integren las cuatro operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división. Resuelve los ejemplos. c) Usa una calculadora científica para verificar tus resultados.

237


B itácora

Secuencia 12 Las redes sociales son un medio de comunicación para estar en contacto con tus amigos, con tu familia o con personas que comparten intereses contigo, pero también son un medio para estar informados. 1. Lleva a cabo las siguientes actividades en equipo. a) Visiten la página oficial “Inegi Informa” en Facebook en ‹redir.mx/SSPM1-238a›. b) Elijan una publicación en la que se hable de promedios. A continuación, tienes algunos ejemplos. »» #DíaDeLaMúsica en ‹redir.mx/SSPM1-238b›. »» #DíaInternacionalDeLaNiña en ‹redir.mx/SSPM1-238c›. »» #DíaInternacionalDeLaMujer en ‹redir.mx/SSPM1-238d›. »» #DíaInternacionalDelHombre en ‹redir.mx/SSPM1-238e›. c) Interpreten los promedios que muestran. Por ejemplo, ¿qué quiere decir un promedio de escolaridad de 9.3 años? ¿Significa que estudió hasta los 9 años y 3 meses? ¿Que estudió 3 años de preescolar, 6 de primaria y unos meses de secundaria? d) Busquen información acerca de su localidad y compárenla con los promedios nacionales que investigaron. e) Redacten sus conclusiones.

Secuencia 13 1. Observa y analiza las siguientes construcciones, reprodúcelas en tu cuaderno y, posteriormente, haz lo que se pide. • Construcción 1

60º

60º

60º

• Construcción 2

50º

50º

238

MATEMÁTICAS 1

50º


B itácora

• Construcción 3

80º

80º

a) Identifica qué cuadrilátero se forma en cada construcción. b) Redacta en tu cuaderno los pasos para cada construcción, compáralos con tus compañeros y de manera grupal escriban las indicaciones para cada una. 2. Traza una diagonal en cada cuadrilátero de las construcciones anteriores. a) En cuáles construcciones se forman dos triángulos congruentes. b) Usa los criterios de congruencia para comprobar tus respuestas.

Secuencia 14 En un cuadrado mágico, la suma de las diagonales, horizontales y verticales siempre da el mismo resultado. Para determinar los números que corresponden a cada casilla, se debe hallar el valor de x. • Suma las expresiones de cada renglón, columna y diagonal (en total son ocho sumas). • El resultado de cada una de las sumas debe ser 15. • Resuelve las ecuaciones que formulaste y determina los números de cada casilla.

2x − 2

4x −19

5x − 19

6x − 27

5x − 20

7x − 28

3x − 11

10x − 41

7x − 33

a) ¿Cuál es el valor de x? b) Sustituye el valor que encontraste en cada una de las ecuaciones y verifica que se cumplan las condiciones del cuadrado mágico.

239


B itácora Secuencia 15 1. Lee nuevamente la información de los recuadros de la página 93. En ellos se muestran dos procedimientos que consideran el IVA de 16%. a) En Uruguay se cobra un impuesto similar al IVA (impuesto al valor agregado) que corresponde a 22%. Determina el procedimiento directo para calcular el precio con IVA y otro para calcular el precio de un producto sin IVA. b) En Panamá se cobra 7% de IVA. Modifica los procedimientos para hacer los cálculos directos con este valor. c) Imagina que viajarás por el mundo donde los precios del IVA varían de un país al otro. ¿Cómo quedarían los procedimientos si quisieras emplearlos para cualquier tasa de IVA? Por ejemplo, para un IVA de 27% como el que se cobra en Hungría (uno de los impuestos más caros del mundo). d) Compara tus procedimientos con tus compañeros. Observen si todos obtuvieron la misma generalización.

Secuencia 16 1. Reúnete con dos compañeros para formar un equipo. Recolecten periódicos y revistas en las que se presenten gráficas circulares. a) Construyan un portafolio con la información encontrada; para ello, recorten las gráficas y la información que las acompaña. b) Interpreten la información presentada. ¿Para qué se utiliza este tipo de gráfica? ¿De qué trata cada una? Escriban un texto breve al respecto. c) Presenten la información encontrada ante el grupo. d) Con el resto del grupo, redacten una conclusión sobre cómo se pueden emplear las gráficas, en especial las circulares, para distorsionar la información que se presenta en los diferentes medios de comunicación.

Secuencia 17 1. Lee la información del recuadro. Considérala para trabajar con las expresiones para calcular los perímetros de las figuras geométricas. En un término algebraico se distingue el coeficiente numérico, que se compone de un signo y un número (entero, fracción o decimal), y la parte literal. 2x2 Simplificar términos algebraicos consiste en sumar los coeficientes de los términos que son semejantes. 2x + x + 8x = (2 + 1 + 8)x 2x + x + 8x = 11x

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B ITÁCORA 2. Haz lo que se pide. a) Identifica las palabras que desconoces y busca su definición. b) Propón ejemplos de términos semejantes. c) Comenta con tus compañeros cómo se relacionan las expresiones algebraicas con las fórmulas sobre el perímetro. 3. Analiza los siguientes ejemplos. • A pesar de tener la misma variable, no se pueden simplificar porque tienen diferente exponente. 4x2 + 9x + 5x2 − 4x − x = (4 + 5)x2 + (9 − 4 − 1)x 4x2 + 9x + 5x2 − 4x − x = 9x2 + 4x • Se simplifican los términos con la misma variable. 3x + 2y + 3x + 2y = (3 + 3)x + (2 + 2)y 3x + 2y + 3x + 2y = 6x + 4y

Secuencia 18 1. Retoma la actividad 7 de la página 115. Ahora se desea construir el mismo rompecabezas, pero más pequeño. Las diagonales de los trapecios, que miden cinco unidades, deberán medir cuatro unidades. ¿Cuáles serán las dimensiones de las demás piezas? 5 6 5 2

8

10

18

6

12

15 6

10

4

4

Secuencia 19 1. Crea tu repertorio de procedimientos para resolver ecuaciones lineales. Para ello, elaborarás una ficha para los diferentes tipos de ecuación. a) Observa el siguiente ejemplo. Para despejar la incógnita x en la ecuación ax = b se divide cada lado de la igualdad entre el coeficiente de la incógnita x. ax = b a b __ __ a∙x= a b x = __ a

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B itácora b) Te sugerimos incluir ejemplos en tu ficha. Caso 1

Caso 2

Ecuación inicial

4x = 54

2 ​​x = 16 ​​ __ 3

División en ambos miembros

__ ​​  44 ​​x = ___ ​​  54   ​​ 4

__ ​​  32 ​​ ÷ __ ​​  23 ​​x = 16 ÷ __ ​​ 23 ​​ 6  ​​x = ___ ​​  48   ​​ ​​ __ 6 2

Valor para x

x = 13.5

x = 24

c) Crea una ficha para las ecuaciones con las siguientes fórmulas: »» x + a = b »» ax = c »» ax + b = c

Secuencia 20 1. Forma equipo con algunos compañeros. Investiguen ejemplos de fenómenos físicos e identifiquen cuáles tienen un comportamiento lineal. a) A continuación, te presentamos algunas posibilidades. »» El movimiento rectilíneo uniforme »» El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado »» La ley de elasticidad de Hooke »» El principio de Arquímedes b) Analicen la expresión matemática que modela el fenómeno. Determinen cuáles se pueden representar con una recta. En aquellos cuya expresión algebraica no sea lineal, argumenten cómo lo determinaron. c) Preparen una exposición con lo que han investigado.

Secuencia 21 1. ¿Por qué se utiliza el mismo valor de π para calcular tanto cantidades pequeñas como cantidades muy grandes? 2. Trabaja en parejas. La siguiente figura es muy similar al símbolo de una compañía. a) Calculen el perímetro de la parte sombreada. b) Para verificar su respuesta, tomen un estambre y háganlo coincidir con el perímetro de la parte sombreada; posteriormente, estírenlo y mídanlo. c) Desarrollen todo el procedimiento algorítmico para calcular el perímetro de la parte sombreada.

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MATEMÁTICAS 1

5 cm


B ITÁCORA Secuencia 22 Observa la imagen y contesta las preguntas. a) ¿Cuál es el factor de proporcionalidad del triángulo rojo al anaranjado? b) ¿Cuál es factor de proporcionalidad del triángulo verde al rojo? c) ¿La proporcionalidad se calcula a partir del área de una figura o de la medida de sus lados?

Secuencia 23 1. Busquen en periódicos noticias como la siguiente. La Secretaría de Hacienda y Crédito Público indicó que, con la actualización de los precios de las gasolinas, se reflejarán incrementos de hasta 20.1% en los costos, esto en los primeros dos meses de 2017 en comparación con el máximo que se registre en diciembre de 2016. La dependencia federal detalló que, de enero al 3 de febrero, los costos vigentes serán de: • $15.99 para gasolina Magna • $17.79 para gasolina Premium • $17.05 para diésel

Lo cual representa incrementos de: • 14.2% adicional al costo de Magna • 20.1% más para Premium • 16.5% más por el costo del diésel

Adaptado de Redacción, “Costo de gasolina se incrementará hasta un 20% en enero”, en Excelsior [en línea], disponible en ‹http://www.excelsior.com.mx/nacional/2016/12/27/1136468#imagen-1›, fecha de consulta: 24 de octubre de 2017.

a) Formulen preguntas sobre lo que leyeron, por ejemplo: ¿cuál era el costo de cada tipo de combustible? b) Busquen información actualizada y analicen cuál ha sido el incremento de un producto. Puede ser de gasolina o de otro que sea importante para la economía de su localidad. 2. Análisis de la información a) Cuando lean noticias, analicen las cifras y hagan los cálculos para corroborar los datos. b) Contrasten los datos en fuentes oficiales, por ejemplo, páginas del Inegi, de la Profeco o de sitios oficiales de gobierno. c) Investiguen en sitios de internet que se dedican a analizar las cifras dadas en medios de comunicación y contrastarlas con información oficial. Por ejemplo, el sitio, ‹redir.mx/SSPM1-243a›.

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B ITÁCORA Secuencia 24 1. Reúnete con un compañero para hacer lo siguiente. Los pictogramas son cada vez más utilizados en los medios de comunicación, principalmente en infografías. ¿Han visto alguno? a) Investiguen qué es un pictograma. b) Elijan un tema (comida, deportes, cine, teatro, etcétera). Procuren que sea diferente al que trabajen los demás equipos. » Diseñen un cuestionario de diez preguntas relacionadas con el tema que seleccionaron y encuesten a diez personas cada uno. » Organicen la información en una tabla. » Elaboren un pictograma a partir de la información recolectada. » Expongan su trabajo ante el grupo. c) Redacten con el resto del grupo una breve conclusión sobre las ventajas y desventajas del uso de pictogramas. d) Comparen el tipo de datos que pueden representar en pictogramas, en gráficas de barras y en gráficas circulares.

Secuencia 25 1. Trabaja en equipo. a) Lean el enunciado del teorema de Pick. Si tenemos un polígono simple, cuyos vértices tienen coordenadas enteras, es decir, que están sobre los nodos de una cuadrícula, y llamamos I al número de vértices (puntos) de la cuadrícula que quedan dentro del polígono y B al número de puntos que están en el borde, entonces el área A del polígono se puede calcular con la fórmula B – 1. A = I + __ 2 b) Interpreten el enunciado. Busquen la definición de las palabras que desconozcan, como las resaltadas. c) Analicen las figuras. Seleccionen en cuál pueden emplear la fórmula del teorema de Pick.

d) Escriban qué representa cada literal: A, B e I.

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B itácora e) ¿Pueden emplear esa fórmula para calcular el área de triángulos? ¿Y la de cuadriláteros? f) En una hoja cuadriculada, tracen varios cuadriláteros y triángulos. Consideren que cada cuadrito es una unidad y calculen su área. ¿Funcionó la fórmula?

Secuencia 26 En muchas situaciones, hay relaciones proporcionales que se resuelven con la regla de tres. 1. Pide a personas de tu familia o vecinos que te den un ejemplo de casos en los que aplican la regla de tres. 2. Analiza los siguientes modelos y determina cuál has empleado para resolver los problemas de proporcionalidad que viste en la secuencia. a

b

a

b

x = ____ ​​  b a∙  ​​c    c

x = ____ ​​  a c∙  b​​    

x

c

x

Secuencia 27 1. Analiza la figura y responde las preguntas.

x

1

a) Determina el valor de su perímetro. b) Considera que su perímetro tiene un valor de 31 unidades. ¿Cuál es el valor de x? c) Propón un problema similar y resuélvelo. 2. Completa tu repertorio de procedimientos para resolver ecuaciones lineales. Recuerda la actividad de la bitácora correspondiente a la secuencia 19. a) Elabora una ficha para las ecuaciones con las siguientes fórmulas. »» ax + b = cx + d »» a(x + b) = c »» a(x + b) = cx + d »» a(x + b) = c(x + d)

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B ITÁCORA Secuencia 28 1. Elabora una ficha para describir cada uno de los métodos que aprendiste para recolectar información: observación, encuesta y experimento aleatorio.

Secuencia 29 Cuando el astronauta británico Tim Peake aún era aspirante, tuvo que resolver el siguiente reto basado en un cubo, el cual debía manipular mentalmente.

La prueba empieza con un punto en la cara inferior. Primero el cubo gira hacia adelante (en dirección hacia la persona), luego hacia la izquierda, después otra vez a la izquierda, sigue un nuevo giro hacia adelante, luego a la derecha, después hacia atrás y por último hacia la derecha. ¿Dónde queda el punto del cubo en relación con la persona que lo está manipulando? a) Resuelve el enigma. b) Elabora un cubo con las características mencionadas. Sigue las instrucciones dadas y comprueba tu respuesta.

Secuencia 30 1. Elabora un mapa mental en el que integres lo que has aprendido sobre las situaciones de variación. Incluye sus diversas representaciones: tabular, algebraica y gráfica.

Secuencia 31 1. ¿Cuánto suman los primeros diez términos de una sucesión? Por ejemplo, para la sucesión 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 se obtienen cinco sumas que dan el mismo resultado (observa las imágenes). 2

3

8

4

7

2+9 10

1

5

246

3+8

9

MATEMÁTICAS 1

6

4+7

1 + 10 5+6


B itácora 2. Prueba con la suma de los términos de la sucesión 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30. 3. Investiga la anécdota de la suma del 1 al 100 resuelta por Carl Friedrich Gauss cuando era un niño y dibuja un cómic para narrar la historia.

Secuencia 32 1. Analiza las siguientes frases y selecciona aquellas con las que estás de acuerdo. a) Considera que al lanzar nueve veces una moneda obtienes AAAAAAAAA, ¿qué obtendrás en el décimo lanzamiento? Subraya la opción con la que estés de acuerdo. »» Sol, porque no ha salido antes. »» Águila, por la racha. »» Es menos probable que salga águila porque ha salido en los nueve tiros anteriores. »» Es más probable que salga sol porque no ha salido en las tiradas previas. b) Compara tus respuestas con las de un compañero. ¿Coincidieron? c) Analicen la siguiente afirmación. En un juego de azar, las probabilidades de que algo suceda la próxima vez no están necesariamente relacionadas con lo que ya sucedió. ¿Están de acuerdo? ¿Cambiarían lo que respondieron en el inciso a)?

Secuencia 33 Una habilidad matemática es desarrollar tu percepción e imaginación espacial. 1. Observa el desarrollo plano para construir un prisma recto cuadrangular. a) ¿Cómo son las caras laterales de un prisma recto? 2. En tu cuaderno, dibuja cómo será el desarrollo plano para la construcción del siguiente prisma oblicuo cuadrangular.

a) ¿Cómo son las caras de un prisma oblicuo? b) ¿Cómo son las caras de un cubo oblicuo?

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B itácora

Secuencia 34 En parejas, lleven a cabo el siguiente reto. • Cada jugador escribe un número. • En el primer turno, un jugador escribe un número que se encuentre entre los dos

iniciales. • Al siguiente turno, el segundo jugador escribe un número que se encuentre entre el suyo y el último que dijo su compañero. • Así, por turnos, continúan escribiendo números comprendidos entre los dos anteriores, como se muestra en la siguiente tabla. • Pierde el que ya no sepa decir un número que se encuentre entre los dos previos. Jugador 1 5

Jugador 2 7

¿Número entre 5 y 7? 6 ¿Número entre 6 y 7? 6.5 ¿Número entre 6 y 6.5? 6.3 ¿Número entre 6.3 y 6.5? 6.4 ¿Número entre 6.3 y 6.4? … a) Nivel principiante: los números iniciales son dos enteros positivos. b) Nivel elemental: se inicia con un número positivo y uno negativo. c) Nivel básico: empieza con dos números decimales positivos. d) Nivel intermedio: se inicia con dos números fraccionarios positivos. e) Nivel avanzado: uno dice un número decimal y el otro una fracción. f) Nivel experto: se juega con cualquier tipo de número, tanto positivo como negativo.

248

MATEMÁTICAS 1


B ITÁCORA Secuencia 35 1. Observa la sucesión de figuras y responde las preguntas. a) ¿Cuántas piezas tiene la figura 12?

Figura 1

Figura 2

Figura 3

b) Dibuja las figuras 4, 5 y 6 de la sucesión. c) Determina una fórmula o expresión algebraica para obtener el número de piezas de cualquier figura de esta serie. 2. En parejas, resuelvan el siguiente reto. Con 13 cerillos se construyeron 6 figuras cerradas. Quita un cerillo y reorganiza los que quedan, pero consigue que se sigan formando 6 figuras cerradas.

Reflexión final A lo largo del año, resolviste varias actividades de tu bitácora. 1. Organiza los materiales que se relacionan entre sí; para ello, considera los siguientes ejemplos. a) Fichas con las técnicas de resolución de los sistemas de ecuaciones: revisa que incluyan todas las estrategias que aprendiste este año e incorpora algunos ejemplos. Te serán de utilidad en tu próximo curso. b) Revisa los organizadores gráficos que elaboraste. Agrega los que se relacionan con aquellos procedimientos que se te dificultaron. 2. Elige el trabajo que más te haya gustado y que ilustre la relación de las matemáticas con algún aspecto de tu entorno: describe, en una cuartilla como máximo, por qué es significativo para ti y qué aprendiste al hacerlo. 3. En una cuartilla, escribe cuáles fueron tus logros en matemáticas. a) Reflexiona sobre las actitudes que desarrollaste hacia esta disciplina, tus capacidades para comunicar tus ideas o cómo te sientes al resolver un problema. b) Menciona los conceptos que más se te dificultaron aprender y qué estrategias empleaste para lograrlo.

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Glosario Algoritmo: conjunto ordenado de operaciones que permiten hacer un cálculo o hallar la

solución de un problema. Ángulo: amplitud entre dos líneas que coinciden en un punto común denominado vértice .

Se mide en grados. Ángulo central: ángulo de un círculo que está determinado por dos radios. Ángulo complementario: ángulo que, sumado a otro, forma un ángulo recto (90°). Ángulo consecutivo: es el que está más cercano a otro, pues ambos comparten un lado. En un

polígono, todo ángulo tiene dos ángulos consecutivos. Ángulo suplementario: ángulo que, sumado a otro, forma un ángulo llano (90°). Área: medida de la superficie comprendida dentro de un perímetro. No tiene espesor ni grosor. Arista: línea que se forma con la intersección de dos caras. Azar: combinación de circunstancias que no se pueden prever. Cara: cada una de las superficies planas o polígonos que limitan a un sólido. Cuadrado: paralelogramo cuyos lados tienen la misma longitud y cuyos ángulos son iguales. Congruencia: significa “igualdad”. Dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su posición u orientación sean distintas. Conjetura: en matemáticas, se refiere a una afirmación que se supone verdadera, pero que no

ha sido probada. Cuadrilátero: polígono de cuatro lados. Diagonal: segmento que une dos vértices no consecutivos. Ecuación: igualdad matemática entre dos miembros en la que hay valores conocidos e incógnitas relacionados entre sí. Equidistante: estar a la misma distancia. Fracción: número de la forma _​​ ab  ​​, donde a y b son enteros y b ≠ 0 . El numerador a indica las

partes que se toman de la unidad o el entero y el denominador b , el número de fragmentos en los que se divide. Frecuencia: cantidad de veces que se repite un valor determinado. Frecuencia absoluta: número de veces que se repite un dato. Frecuencia relativa: resultado de dividir la frecuencia absoluta de un dato entre el total de

datos. Gráfica circular: gráfica en la que los datos se representan con sectores circulares, cuyo ángulo

central es proporcional al valor que representa. Gráfica de barras: gráfica formada por barras de manera que la longitud de las barras es

proporcional al dato que representan.

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MATEMÁTICAS 1


Incógnita: en matemáticas, número que se desconoce en una ecuación. Intersecar: cuando dos líneas se cortan o se cruzan entre sí. Literales: letras que se emplean en una expresión matemática, generalmente para representar

un número o una magnitud. Número negativo: cualquier número cuyo valor es menor que cero. Operaciones aritméticas básicas: en aritmética, se denomina así a la suma, la resta, la

multiplicación y la división. Par ordenado: pareja de números (x , y ) que tienen el siguiente orden en el plano coordenado:

x es el número en el eje horizontal y y el número en el eje vertical. Paralelogramo: cuadrilátero que tiene los lados paralelos dos a dos y los ángulos iguales dos

a dos. Perímetro: línea o conjunto de líneas que forman el contorno de una superficie o una figura.

También se denomina perímetro a la suma de las longitudes de ese conjunto de líneas. Plano cartesiano: el plano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares. La recta

horizontal es el eje de las abscisas (x ) y la recta vertical es el eje de las ordenadas (y ). Polígono: figura geométrica cerrada que se forma por segmentos de recta denominados lados . Precio unitario: es el costo de cada unidad de un producto. Permite una fácil comparación del

costo de la misma cantidad de productos que vienen en distintos tamaños. Prisma: cuerpo geométrico formado por dos bases (caras con forma de polígonos) paralelas e

iguales, y tantas caras rectangulares como lados tiene cada base. Promedio: término coloquial para nombrar la media aritmética. La media aritmética, la moda y la mediana son diferentes tipos de promedio de un conjunto de datos. Probabilidad: medida de la frecuencia con la que ocurre un resultado posible. Progresión aritmética: secuencia de números en la que cada término se obtiene al sumar una

cantidad constante al anterior (excepto al primero). Proporción: igualdad entre dos razones. Rango: diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de un conjunto de datos. Rectángulo: cuadrilátero que tiene los lados paralelos dos a dos y cuatro ángulos rectos. Rombo: paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales y ángulos iguales dos a dos. Romboide: paralelogramo que tiene los lados y ángulos iguales dos a dos. Sector circular: parte de un círculo limitada por dos radios y el arco que abarcan. Segmento: porción de una recta que está delimitada por dos puntos. Sucesión: conjunto de elementos o términos que aparecen de forma consecutiva. Trapezoide: cuadrilátero que no tienen ningún lado igual ni paralelo y ángulos diferentes.

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Bibliografía Bibliografía para el alumno (Biblioteca Escolar y Biblioteca de Aula) Andradas, Carlos, Póngame un kilo de matemáticas, Madrid, sm de Ediciones, 2006. Bosch, Carlos, Claudia Gómez, Una ventana a las formas, Ciudad de México, sep/ Editorial Santillana, 2002. _____, Una ventana a las incógnitas, Ciudad de México, sep/Editorial Santillana, 2002. _____, Una ventana al infinito, Ciudad de México, sep/Editorial Santillana, 2002. De la Peña, José Antonio, Geometría y el mundo, Ciudad de México, sep/Editorial Santillana, 2002. Hernández, Carlos, La geometría en el deporte, Ciudad de México, sep/Editorial Santillana, 2003. Lamm, Emma, Elena de Oteyza, El álgebra es divertida, Ciudad de México, sep/ Editorial Santillana, 2009. Marván, Luz María, Andrea y las fracciones, Ciudad de México, sep/Editorial Santillana, 2003. Poskitt, Kjartan, Esa condenada mala suerte, Ciudad de México, sep/Abrapalabra Editores, 2005. Ruiz, Concepción, Crónicas algebraicas, Ciudad de México, sep/Editorial Santillana, 2002.

Bibliografía para el alumno Alsina, Claudi, Vitaminas matemáticas, Ciudad de México, Planeta, 2011. Ball, Johnny, Piensa un número. Una mirada fascinante al mundo de los números, 2ª ed., México, Ediciones sm, 2005. Barozzi, Graziella et al., Matemáticas en la vida real, Madrid, Editorial Octaedro, 2011. Bellos, Alex, Alex en el país de los números, Barcelona, Grijalbo, 2010. Blatner, David, El encanto de Pi, Ciudad de México, Aguilar, 2003. Crilly, Tony, Grandes cuestiones: matemáticas, Madrid, Ariel, 2011. Enzensberger, Hans, El diablo de los números, Madrid, Siruela, 1997. Hersh, Reuben y Vera John-Steiner, Matemáticas: Una historia de amor y odio, Madrid, Crítica, 2012. Long, Lynette, Matemáticas divertidas, Madrid, Planeta, 2011. Meavilla-Seguí, Vicente, El lobo, la cabra y la col, Madrid, Almuzara, 2011. Paenza, Adrián, Matemática… ¿Estás ahí? Sobre números, personajes, problemas y curiosidades, Buenos Aires, Siglo xxi Editores, Ciencia que ladra…, 2005

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MATEMÁTICAS 1


Stewart, Ian, El laberinto mágico. El mundo a través de ojos matemáticos. Madrid, Crítica, 2011. Szpiro, George, La vida secreta de los números, Madrid, Books4pocket, 2009. Tahan, Malba, El hombre que calculaba, Ciudad de México, Editorial Limusa, 2005. Wells, David, El curioso mundo de las matemáticas, Barcelona, Gedisa, 2000.

Bibliografía electrónica para el alumno (fecha de consulta: octubre de 2017) Abreu, José Luis et al., Proyecto Arquímedes. Recursos interactivos desarrollados para la Telesecundaria y adaptados a Descartes JS ‹arquimedes.matem.unam.mx/lite/2013/1.3_RecursosAdaptados/Telesecundaria/1_ primero/1_Matematicas/index.html› Cuéntame. Página del Instituto Nacional de Estadística y Geografía ‹cuentame.inegi.org.mx› Educ.ar. Sitio para el alumno, portal educativo del Ministerio de Educación de la Nación (Argentina) ‹www.educ.ar/recursos/buscar?tema=20&audiencia=2› Geogebra. Programa para el aprendizaje de las matemáticas ‹web.geogebra.org› La Red Educativa Digital Descartes. Materiales didácticos interactivos para el aprendizaje de las matemáticas ‹proyectodescartes.org/EDAD/mat_1eso_cast.htm› TED Talks. Videos de conferencias sobre temas matemáticos. ‹https://www.ted.com/talks?sort=newest&language=es&topics%5B%5D=math› Universo matemático. Radio y Televisión españolas ‹www.rtve.es/television/la-aventura-del-saber/documentales/universo-matematico/›

Bibliografía para el profesor Alagia, Humberto, Ana María Bressan, Patricia Sadovsky, Reflexiones teóricas para la educación matemática, Buenos Aires, Libros del Zorzal, 2005. Alsina, Claudi, Carme Burgués, Josep Fortuny, Invitación a la didáctica de la geometría, Madrid, Síntesis, 1997. Ávila, Alicia, “Los profesores y los decimales. Conocimientos y creencias de un contenido de saber cuasi invisible”, en Educación Matemática, vol. 20, núm. 2, agosto de 2008, pp. 5-33. Block, David, Tatiana Mendoza, Margarita Ramírez, ¿Al doble le toca el doble? La enseñanza de la proporcionalidad en la educación básica, Somos Maestros, México, Ediciones sm, 2010.

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Brousseau, Guy, Iniciación al estudio de la teoría de las situaciones didácticas, Buenos Aires, Libros del Zorzal, 2007. Chevallard, Yves, Marianna Bosch y Josep Gascón, Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje, Biblioteca del normalista, México, sep, 1998. De la Peña, José Antonio, Álgebra en todas partes. La ciencia para todos. México, fce, 1999. Parra, Cecilia, Irma Saizå, Didáctica de matemáticas. Aportes y reflexiones, Madrid, Paidós, 1994. Sadovsky, Patricia, Enseñar matemáticas hoy, Buenos Aires, Libros del Zorzal, 2005. Santos, Luz Manuel, La resolución de problemas matemáticos. Fundamentos cognitivos, México, Trillas, 2007. Sessa, Carmen, Iniciación al estudio didáctico del álgebra. Orígenes y perspectivas, Buenos Aires, Libros del Zorzal, 2005.

Bibliografía electrónica para el profesor (fecha de consulta: octubre de 2017) Comité Latinoamericano de Matemática Educativa ‹www.clame.org.mx/› Educ.ar. Sitio para el docente, Portal educativo del Ministerio de Educación de la Nación ‹www.educ.ar/recursos/buscar?tema=20&audiencia=1› Eduteka. Portal educativo con contenido para docentes y directivos para enriquecer los ambientes escolares con el uso de las TIC ‹eduteka.icesi.edu.co/› Geogebra. Geometría dinámica. ‹geogebra.org/webstart/geogebra.html› Números. Revista de Didáctica de las Matemáticas ‹http://www.sinewton.org/numeros/› Procomun, Red de Recursos Educativos en Abierto ‹procomun.educalab.es/› Real Sociedad Matemática Española. Divulgamat. Centro virtual de divulgación de las matemáticas ‹www.divulgamat.net/› Red de Revistas Científicas de América Latina y el Caribe, España y Portugal ‹redalyc.uaemex.mx› Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa ‹www.clame.org.mx/relime.htm› TED Talks. Videos de conferencias sobre temas matemáticos. ‹https://www.ted.com/talks?sort=newest&language=es&topics%5B%5D=math›

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El alumno al centro en el proceso de aprendizaje

Soy PROTAGONISTA es la innovadora colección de Ediciones SM que enfatiza la noción de colocar al alumno al centro, de acuerdo con el Nuevo Modelo Educativo. Esta propuesta acompaña al estudiante para que adquiera gradualmente mayor autonomía y se apropie de su proceso de aprendizaje. La serie se estructura con base en cuatro ejes: • Aprendo: orientado al desarrollo de habilidades cognitivas superiores, como analizar, aplicar y crear. • Integro: que considera a la evaluación constante, como parte del proceso de aprendizaje. • Soy: que recupera las habilidades socioemocionales que favorecen el aprendizaje. • Protagonista: relacionado con el perfil de egreso propuesto por el Nuevo Modelo Educativo Recursos didácticos • Libro de texto impreso • Redes sociales En Facebook y Twitter continuamente se publicarán materiales complementarios del aprendizaje.

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Soy protagonista Matemáticas 1  

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