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A EV ÓN NU ICI ED

20 Silvia Patricia Romero Hidalgo, Luz Arely Carrillo Olvera, Silvia Piña Romero, María del Pilar Piñones Contreras, Sharon Magali Valverde Esparza

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secundaria

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Matemáticas


DIRECCIÓN DE CONTENIDOS Felipe Ricardo Valdez González GERENCIA DE PUBLICACIONES ESCOLARES Agustín Ignacio Pérez Allende GERENCIA DE DESARROLLO DE PRODUCTO Jesús Arana Trejo AUTORES Silvia Patricia Romero Hidalgo, Luz Arely Carrillo Olvera, Silvia Piña Romero, María del Pilar Piñones Contreras, Sharon Magali Valverde Esparza COORDINACIÓN EJECUTIVA DE SECUNDARIA Y BACHILLERATO Áurea Ireri Madrigal Mondragón EDICIÓN Citlali Yacapantli Servín Martínez. Sócrates Bárcenas Armendáriz, Cristobal Bravo Marvan COORDINACIÓN DE CORRECCIÓN Abdel López Cruz CORRECCIÓN Cristina Sánchez Zepeda, Laura Martínez García DIRECCIÓN DE ARTE Y DISEÑO Quetzatl León Calixto DISEÑO DE LA SERIE Equipo SM DISEÑO DE PORTADA Claudia Adriana García Villaseñor COORDINACIÓN GRÁFICA César Leyva Acosta DIAGRAMACIÓN Maricarmen Martínez Muñoz, Martha Ramos Gómez, Genoveva Saavedra García ILUSTRACIÓN Armando Martínez COORDINACIÓN DE ICONOGRAFÍA E IMAGEN Ricardo Tapia García ICONOGRAFÍA Ricardo Tapia García DIGITALIZACIÓN E IMAGEN Carlos A. López FOTOGRAFÍA © Carlos A. Vargas Arteaga, 2018, © AFP, 2018, ©iStock 2018, Archivo SM ARCHIVO DIGITAL Lilia Alarcón Piña TECNOLOGÍA EDITORIAL Josué Lara Cortés PRODUCCIÓN José Navarro, Valeria Salinas

Matemáticas 1. Secundaria. Savia Primera edición, 2018 D. R. © SM de Ediciones, S. A. de C. V., 2018 Magdalena 211, Colonia del Valle, 03100, México, Ciudad de México Tel.: (55) 1087 8400 www.ediciones-sm.com.mx ISBN 978-607-24-2774-7 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro número 2830 No está permitida la reproducción total o parcial de este libro ni su tratamiento informático ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright. La marca Ediciones SM® es propiedad de SM de Ediciones, S. A. de C. V. La marca Savia® es propiedad de Fundación Santa María. Prohibida su reproducción total o parcial. Impreso en México/Printed in Mexico Matemáticas 1. Secundaria. Savia se terminó de imprimir en enero de 2018, en Editorial Impresora Apolo, S.A. de C.V., Centeno núm. 150, local 6, Col. Granjas Esmeralda, C.P. 09810 México, Ciudad de México


Presentación A los alumnos y a sus familias, ¡bienvenidos a Savia! Savia es el nuevo proyecto educativo integral de SM, que está presente en varios países de Iberoamérica, construyendo comunidad. Savia ofrece a los alumnos oportunidades para aprender más, mejor y de manera diferente los contenidos de las asignaturas del currículo oficial. Este proyecto se basa en un modelo de educación para la vida, sobre el que se construyen las actividades con las cuales se desarrollan las diferentes dimensiones de la persona. Para Savia, los aprendices del siglo xxi requieren adquirir no solo los conceptos y procesos tradicionales, sino desarrollar estrategias para aprender a pensar, para trabajar y para vivir plenamente en el mundo. Esto es lo que hace de Savia un proyecto emocionante y divertido que los impulsa a aprender y comprender para tomar decisiones. El proyecto Savia, asimismo, está pensado para que las escuelas se conviertan en zonas de reflexión sensibles a las necesidades particulares de todos; que estén llenas de un espíritu enérgico que centre a toda su comunidad —directores, docentes, padres y madres de familia y alumnos— en los procesos de enseñanza y aprendizaje que giran en torno al pensamiento y a la formación valoral. Además, el proyecto incorpora tecnología, de modo que las actividades y los contenidos interactivos enriquezcan las clases y faciliten tanto a aprendices como a profesores la comprensión de lo fundamental. Todo lo anterior se presenta en un rico entorno gráfico, atractivo y artístico, que constituye un ambiente propicio para crecer y desarrollarse. En los libros impresos y en los cibertextos (libro digital) de Savia hay contenidos, textos, actividades, cápsulas, talleres, entre otras secciones, que favorecen la aplicación de lo aprendido en una diversidad de contextos. El deseo de todos los que trabajamos en SM es que disfruten Savia tanto como nosotros lo hemos hecho al construirlo.

Savia,


Conoce tu libro ENTRADA DE CONTENIDOS

Mi acordeón Sección de consulta con información teórica

Secuencias Sección con 20 secuencias didácticas en las que se desarrollan los temas del periodo

Mi ac

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En la prime “Mi ra los ap acordeón” parte de rendiz se en secue listan ajes trabaj ncias del esperado s y las libro a cad una list a uno. Tam en las qu e que se a de las sec bién se inc se uenci trabaj luye as en espera a algún las apren do con diz el GeoG programa aje ebra.

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a se secuenci En cada  enidos varios cont era trabajan man ticos de evidente matemá hacer ea para ramas de las simultán entre las plo, en ejem la relación por ticas; aja con matemá a 1 se trab cias y enci secu uen la azar, frec ntes. juegos de es equivale fraccion

parte primera En esta rás encontra tica del libro diagnós uación r lo una eval ) para recupera mos riores, (Comenza grados ante adas ndiste en conform as que apre des secuenci s activida y veinte s con cuya contenidos ione por lecc ás los trabajar rama y prog diversas del ticos ndizajes matemá rás los apre alcanza s. esperado

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En est del lib a segunda ro acorde encontra parte rás “M ón”, consu i lta con una sec (defin inform ción de aci servir iciones y algori ón teóric á pa ra res a más tmos) difíci olver les de las act que te concep las lec ivida tos ap des cio rendid nes, rec anter ord iores ar o com os en gra prepa rar los o ayuda dos para exám cada enes perio de do.

La seg unda “M pa seccio i acordeón rte de teóric nes: una ” tiene do con inf s a qué es y definicio ormaci le llama la notación nes (por eje ón otra con “el periodo decimal o mplo, a qué de alg (por eje oritmos o un número” se proced mp ), y fracci ones lo, cómo en imientos núme equivalen contrar tes o ros de ub recta cimales en icar numé rica). la

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COMENZAMOS Es una serie de actividades para recuperar conocimientos previos relacionados con los contenidos que se estudiarán en el curso.

5

Comenzamos

Juega con las matemáticas Actividades que presentan cierto contenido de manera lúdica

1

CAS EN

ÁTI MATEM

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JUEGA CON LAS MATEMÁTICAS

La pulga y las trampas

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ACERTI

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rella 3? ¿Y la est ¿Y la 2? 1? la 1? estrella la estrel tiene la etro de el perím , ¿cuál es rella 4? drá la est de 27 cm rímetro lados ten ne un pe ¿Cuántos tie l cia ini ilátero ngulo equ Si el triá

36

lados ¿Cuántos

35

» Juega con un compañero. » Cada jugador necesita un objeto pequeño,

¿Y de la

que será su pulga, y otros cuatro objetos, que serán las trampas para la pulga del oponente. Los objetos pueden ser bolitas de papel, botones, semillas, etcétera.

» Ambas pulgas se colocan en la casilla de salida. » El jugador inicial toma sus trampas y las coloca en cuatro números distintos del tablero. » Una vez que las trampas estén

¿Con qué tamaños de salto las pulgas

caen en el 12? caen en el 17?

2?

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colocadas, el otro jugador decide cómo saltará su pulga para evitarlas: desde saltos de 2 en 2 hasta saltos de 9 en 9. » La pulga salta de acuerdo con la longitud deseada; si eligió, por ejemplo, saltar de 3 en 3, su pulga pasará por los números 3, 6, 9, 12... » Si la pulga cae en una trampa, quien la puso se anota un punto y se alternan los turnos. Si la pulga recorre todo el tablero sin caer en ninguna trampa, el punto es para el dueño de la pulga. » Jueguen cinco o seis veces y respondan.

¿Con qué tamaños de salto las pulgas

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Matemáticas en la vida diaria Situaciones o contextos cotidianos que incorporan conceptos matemáticos

usan par áticas se Las matem de la música. ad e Notas 1 a la mit important , _4 y dur que . 1 esta otra _ ; mismo Silencios valor; se llama 2 ncio dura lo a not ad de su sile La a la mit erior. El s. aument one que la ant aci o, se le as dur silenci 3 a o un estran otr 1 _ 1 _ una not _ = ). la se mu se sepaecha de es, que En la tab tas ( 4 + 8 8 der pas jun la a com suman y s to llamado lodía, se e un pun mo que duración, escrita una me se escrib a dura lo mis Cuando la misma está lo, la not entos de compás por ejemp en fragm er en qué escriben ales. Para sab se s . musicale as vertic mañanitas Las piezas otros con líne silencios. es de Las los s de notas y co compas ran uno s de las a hay cin los valore nte pentagram uie En el sig

¿Cómo inicias este curso?

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Acertijos, retos y desafíos Acertijos o problemas para poner en práctica las habilidades de resolución de problemas

Como habrás observado, hay números que solo atrapan a una pulga que da cierto tamaño de salto, mientras que hay otros números que atrapan a pulgas con distintos tamaños de salto. Escribe, en tu cuaderno, un ejemplo de cada caso.

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ENTRADA DE PERIODO Escenario gráfico Imagen de gran formato que relaciona algunos contenidos del periodo con determinado contexto

Número de periodo

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ndo En el mulones de mil de hay 490 del español, ente tes hablan aproximadamcomo la les los cua parte lo hab ántos ta la sex a lengua. ¿Cu tiene segund tes nativos ? ma hablan idio nuestro

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Lee y comprende, Observa y reflexiona Preguntas o actividades para reflexionar y discutir

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Hola

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iga Invest os de son otr cuáles idiomas que gen co los cin en la ima e cada estran se mu hablantes tien o, una os ánt cada cas parte y cu ribe, en e qué uno. Esc que indiqu ndial mu fracción población gua. len de la ha dic habla

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Y tú, ¿qué opinas? Reflexión final y preguntas abiertas para compartir puntos de vista

Ciao Mahalo

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Abre tu mirada Texto introductorio que sirve como motivación, o bien, como presentación del escenario gráfico

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Saluto

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91

Línea de secuencias didácticas Títulos de las secuencias del periodo

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SECUENCIAS DIDÁCTICAS Se identifican con un nombre y un número de secuencia; cada secuencia está formada por lecciones con inicio, desarrollo y cierre.

Número de la lección y título

Nombre de la secuencia

Número de la secuencia 10

SECUENCI

Dibujantes

A

LECCIÓN 1

Arte poligonal

El arte poligo nal consiste en crear repres gonos, como entaciones bellas las que a partir de políAdemás de dibujo se muestran en la imagen . s, se puede usar con diversos esta técnica materiales. Por para crear manua ejemplo, palitos mar polígonos. lidades de madera o palillos para for-

5

SECUE

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LECCIÓN

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el sigu alberga , México eza marina tortugas Por su riqu especies de tes s diferen long itude s. carey con marina uga de

Observa

• ¿Es posibl e

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Tort 62 cm. desde los

Inicio Actividad o situación para activar los conocimientos previos

• ¿Qué ocurre

si solo tenem os 15 triángulo con un lado del largo palillos y queremos nuevam ente un de ocho palillo s?

es la laúd que Tortuga do. de del mun más gran

na ga mari es la tortu lora que an Tortuga encuentr eña y se más pequ cm. s de 52 ejemplare

que se caguama ración Tortuga por su colo tas distingue adul especies rojiza; las cm. medir 104 llegan a

1. Forma equipo con tres compa las preguntas ñeros, hagan lo que se indica en su cuader no. y respondan a) Corten tiras de papel de 0.5 cm guientes longitu des. Hagan tres de ancho, de cada una de las sijuegos de cada medida. 3 cm 5 cm 6 cm

que mide golfina Tortuga de 75 cm. alrededor que se APRENDER blanca A PENSAR verde o Tortuga a de su ¿Qué diferen por la gras cia existe y llama así r verdoso entre los triángu de colo los de la cuerpo 139 cm.terna (3, 3, ir hasta 5) y el de la puede med terna (3, 5, 3)?

ER APREND IR A CONVIV

inas gas mar Las tortu peligro de están en n y enfrenta extinción presencia como la el agua riesgos en de plásticos y asfixian; atrapan agua que las ación del contamin s sustancias; ente ión por difer destrucc captura; consumo sy de nido os, y de huev sus ciones en construc anidación. zonas de

las tortubres de los nom . especie escribe érica y de cada ximado recta num año apro la en la a la esca erdo con el tam Complet acu inas de 184900_112-121-alu gas mar mno 112

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que

4. Reflexiona

y responde las preguntas en tu cuaderno. a) ¿Qué tipo de triángulo se forma con la terna (7, 7, 7)? b) ¿Cómo se puede escrib ir la terna de celes cuyo lado medidas para desigual mide un triángulo 5 cm y los lados isósiguales miden c) ¿Se puede 8 cm? formar un triángu lo que tenga dos ángulos agudos? d) ¿Y un triángu lo con dos ángulo s obtusos? e) ¿Qué repres enta la terna (60°, 30°, 90°)? f) ¿Cuántos triángu los distintos podrían formar se con la terna anterior?

8 cm 10 cm 12 cm b) Con la notaci ón (3, 5, 6) indica lado de 3 cm, mos las medid uno de 5 cm as de un triángu y otro de 6 triángulos de lo (un cm). Con las las siguientes tiras, formen (6, 8, 10), (6, medidas: (3, 8, 12), (5, 6, 8), (5, 5, 8), (5, 3, 5), (3, 5, 6), (3, 10, 12), 5, 5), (3, 6, 6)

112 PERIOD O2

partir de tres medidas de longitud.

APRENDER A APRENDER

Recuerda que la suma de los tres ángulo s internos de cualquier triángu equivale exactam lo ente a 180°.

150 22/01/18 16:52

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ODO 58 PERI

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los triángulos

formaron. ¿Cómo lados más peque ños respecto es la suma de al tercer lado los dos en esos triángu d) Usen las tiras los? para formar triángulos con 12) y (5, 5, las medidas 10). ¿Lograron (3, 5, 8), (6, formar un triángu ron? ¿Cómo 6, es la suma de lo o qué figura los dos lados tercer lado? formamás pequeños respecto al e) Consideren la construcción de triángulos 12), (3, 6, 10) con estas medid y (5, pequeños respec 5, 12). ¿Cómo es la suma as: (3, to al tercer lado? de los dos lados 5, más 2. Subraya, en cada caso, la frase que complete el enunciado. a) En las ternas con las que es posible constr las medidas de cualquier uir triángulos, par de lados la suma de tud del tercer es lado. que la longimayor menor igual b) En las ternas con las que no es posible constr hay un lado que es uir triángulos, siempre que la suma de los otros dos. menor o igual igual TIC mayor o igual 3. Tacha las ternas de medid Puedes corrob as con las que orar tus respuestas no se puede al trazar los formar un triángu (6, 7, 5) triángulos en lo. (4, 5, 10) GeoGebra. (3, 2, 3) Consulta el apartado “Mi (14, 3, 8) acordeón”, (4, 4, 11) (7, 5, 11) en la (9, 9, 7) 250, si tienes página (4, 3, 7) dudas sobre (7, 6, 13) cómo constr (18, 9, 10) uir triángulos a

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Desarrollo Dinámicas individuales o grupales para construir el conocimiento

Cierre Actividades para resolver problemas aplicando lo aprendido en la lección

5


fía

Infogra

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Se recupera el contenido que se revisó en la entrada de periodo. Promueve la lectura y el análisis de información para obtener conclusiones.

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11

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INFOGRAFÍA

a alguna , _2 habl mundial 3 unes. PERSASA PER blación com De la po lenguas más AYO MALAYO MAL de las 23

.

1. Susana y Mar tres. Si vuel io jugaron a los volados. ven a juga Lanzaron r, ¿quién 20 veces, ganará? de las cual a) No es es Mario posible sabe ganó 17 b) Mario, rlo porque y Susana, porque es solo c) Susana, mucho mejo es un juego de azar porque ya . r que Susa d) Mario, le porque está corresponde gana na. r. en racha. 2. Un vaso común tien e una capa esta capa cidad? cidad de 200 mL, es decir, 1 0.200 L. a) _ ¿De qué 5 L otra man 1 era se expr b) _ esa 3. ¿Qué 4 L 1 aparece c) _ en la pant 2 L alla de la d) 2 L calculad a) 0.22222 ora al divi dir 2 entr 222… b) 0.23232 e 3? 323… c) 0.33333 333… d) 0.66666 666… 4. ¿Cuál es la expr esión alge braica de la sucesión a) 5n 15, 20, 25, 30, 35…? b) 10n 5. ¿Cuál es el déci c) 5n + 10 mo térm ino de la d) 10n + sucesión 5 a) 233 cuya regl a es 23 + 3n? b) 53 6. ¿Con qué c) 36 números se obtiene el resultad d) 26 o mostrad a) 12 y –29 o? + = 17 b) –12 y 29 7. En un día labo c) 12 y 29 duerme siete ral, Juan distribuy d) –12 y horas; dedi __1 e su tiempo y cena en –29 de ca hora 30 minu 2 para aseo la siguiente man tos; se tras destina __3 era: personal lada ; desayuna trabaja la tercera 4 de hora para hacer las en 45 minutos a parte del su trabajo en 30 minutos, tareas con día; ¿Cuánto com y regresa sus hijos. tiempo le en 30 minu e en una hora sobra para tos a su otras acti casa; 1 vidades? a) 18 _ 2 horas. 1 b) 4 _ 2 horas. 1 c) 5 _ hora s. 2 1 d) 19 _ 2 horas.

PONTE A PRUEBA Reactivos de opción múltiple y de resolución de problemas.

88 PERI ODO 184900_086

MI ACORDEÓN

ón correcta

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Lee la info

rmación

Teorema

y efectúa

lo que se

indica.

de Pick

El matemáti co austriaco intersecci Georg Pick ones de una dedujo un cuadrícul método a. A cont para halla inuación r el área • Se cuen , se muestra de polígonos tan los punt el procedim cuyos vérti • Se hace os de la cuad iento. ces están lo mism rícula que o con los en las • El área están sobr puntos de se calcu la e los lado la cuad rícul con la fórm s del políg a dent ro ono. ula A = punto ____s____ en los lados del políg ____ ono. 2 + puntos interiores – 1; por Figura A ejemplo: Puntos en los Puntos inter lados = 8 Figura B iores = 9 A = __8 + 9 Puntos en – 1 = 12 2 los Puntos inter lados = 22 iores = 3 22 A = __ 2 + 3 – 1 = 13

Pregunta 1. en figuras Calcula el área de más simp la figura les) y veri B sin usar fica que se obtenga el teorema de Pick (por ejem el mismo plo, desc resultado. omp Pregunta

2. Calcula Figura C

el área de

las siguient es figuras.

Usa el mét odo que

Figura D

oniéndola

prefieras. Figura E

1

88

Es una sección de consulta en la que se reúnen los contenidos teóricos organizados de acuerdo con los aprendizajes esperados. Se responden las preguntas "¿Qué?", para definir un concepto matemático, y "¿Cómo?", para describir un procedimiento.

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do

gono rígi

◀ Polí o que no un polígon y permite genera do gono, esta permanece rígi ices sobre enta polí herrami vértices, sino que posible crear vért rígido, se ia de la sus gono , no es hasA diferenc ificarse desde r un polí por ello rmarlo, fijaría. Para crea ean los vértices mod de defo sin pue lo de se des y girarlo ios, pues eso clic don moverlo prev enta y dar o trazos sus puntos la herrami ccionar partir de ial. lineal a debe sele al vértice inic uelve variación rpreta y res ta regresar Inte ones de

242 Eje: análisis Eje: número,

álgebra y varia

ción

res. gráficas circula y lee datos en l cta, registra AE13. Recole tendencia centra medidas de un interpreta las el rango de en AE14. Usa e mediana) y aritmética y conviene más cuál de ellas (moda, media datos y decide conjunto de cuestión. en datos los a los el análisis de rios y registr mentos aleato probabilidad experi a o a la AE15. Realiz un acercamient resultados para frecuencial.

220

al a notación decim

decimales no decimales rte fracciones s fracciones ros AE1. Convie Aproxima algunaOrdena fracciones y núme 220 y viceversa. ón decimal. usando la notaci con números decimales. 222 suma y resta problemas de os y negativos. AE2. Resuelve decimales positiv y nes nes n con fraccio enteros, fraccio 224 multiplicació problemas de lve ales. Resue AE3. con decim y de división y los y decimales, operaciones de uía s jerarq naturales, entero ina y usa la AE4. Determ con números solo números operaciones n 227 paréntesis en licación y divisió (para multip y decimales mas de positivos). no tes en proble valores faltan constante natural, fracció 227 AE5. Calcula con lidad directa, ión). proporciona variac de r tablas tajes, de decimal (inclui 228 cálculo de porcen problemas de AE6. Resuelve y de cantidad base. lación y tanto por ciento 229 nte la formu problemas media lineales. iones AE7. Resuelve ecuac de aica solución algebr de variación a situaciones ra gráfic r, compa y entaciones tabula que se AE8. Analiza de sus repres 231 ve problemas lineal a partir resuel y Interpreta variación. y algebraica. a estos tipos de modelan con de primer grado algebraicas propiedades la expresiones 233 para analizar AE9. Formu iones y las utiliza. partir de suces representan que ión de la suces

io y medida

Eje: forma, espac

la construcción y unicidad en os de a la existencia y determina y usa criteri s AE10. Analiz y cuadrilátero de triángulos triángulos. de y del círculo congruencia de polígonos y a el perímetro iláteros desarrollando AE11. Calcul ulos y cuadr y áreas de triánglas. base sea aplicando fórmu rectos cuya de prismas y aplicando a el volumen desarrollando AE12. Calcul o un cuadrilátero un triángulo fórmulas.

de datos

Herramientas

242 243

. aci para situ fica y algebraica variación. s de liza y com r, grá AE8. Ana aciones tabula estos tipo an con represent s que se model problema

244

¿Qué?

245

GeoGebra

la construcción y unicidad en os a la existencia y determina y usa criteri s, AE10. Analiz y cuadrilátero de triángulos de triángulos. , y del círculo de congruencia de polígonos y a el perímetro iláteros desarrollando AE11. Calcul ulos y cuadr triáng de y áreas las. ión aplicando fórmu iones de variac a y compara situac ones tabular, gráfic entaci AE8. Analiza de sus repres mas que se lineal a partir resuelve proble Interpreta y variación y algebraica. estos tipos de la construcción modelan con y unicidad en usa criterios ncia existe y la a s, y determina AE10. Analiz y cuadrilátero de triángulos de triángulos. , y del círculo de congruencia de polígonos y a el perímetro iláteros desarrollando AE11. Calcul ulos y cuadr y áreas de triánglas. aplicando fórmu

245

246

247

248

249

234

¿Cómo? Encontrar el valor ▶ El producto cruzado permite conocer un valor faltante en una proporción. faltante en una Por ejemplo, si x es el valor faltante en la proporción __xa = __b , mediante el proporción c producto cruzado se obtiene que el valor de x es el producto de a por c diviac dido entre b, es decir, ___ .

234

239

b

Conocer la constante ▶ Si dos cantidades a y b varían de forma proporcional, su cociente es un valor de proporcionalidad constante. En

219

241

este caso, a = bk donde la literal k representa la constante de proporcionalidad.

247

18:40 Calcular el valor ▶ Si 22/01/18 por x número de artículos se pagan y pesos, la constante de proporcionaunitario lidad representa el costo de un artículo

218 22/01/18

18:40

22/01/18

y se le conoce como el valor unitario. Al multiplicar el valor unitario por cualquier cantidad de artículos se obtiene el costo de este.

umno 219

184900_216-252-al

AE6. Resuelve problemas de cálculo de porcentajes, de tanto por ciento y de cantidad base.

umno 218

Tasa: el tanto ▶ En problemas de cálculo de porcentajes, por ciento

la tasa es una de las tres cantidades involucradas (tasa, cantidad base y cantidad final) y corresponde al valor del porcentaje.

empleadas y corresponde a la cantidad

base es una de las tres cantidades inicial a la que se le aplica el porcentaje.

Porcentaje ▶ El porcentaje es una proporción expresada

en términos de una fracción con cada 100”.

¿Cómo? Escribir un porcentaje ▶ Al considerar 1 que 1% corresponde a _____ , se puede escribir el porcentaje como fracción decimal o como una fracción con denominador 100 100. número decimal 1 42 Por ejemplo: 42% = 42 × ______ = _____ . 100

100

Otra forma de escribir el porcentaje es dividir el numerador entre el deno42 minador, es decir, _____ = 0.42. 100

Encontrar la cantidad ▶ Se debe multiplicar la cantidad inicial por el porcentaje expresado en forma final decimal.

Ejemplo: 65% de 200 es 0.65 × 200 = 130. 228

184900_216-252-alumno 228 22/01/18 18:40

6

18:40

247

Al final se incluye una sección con las herramientas de GeoGebra, organizadas de acuerdo con su aparición en el libro y al aprendizaje esperado con que se relacionan.

Cantidad base ▶ En problemas de porcentajes, la cantidad

centésimos y quiere decir “tantos por

lumno

-252-a

184900_216

¿Qué?

184900_216-252-al

diente

un ◀ Pen recta o sobre una que se obdar clic el diente al esentativo en generade la pen repr pero no la medida á un triángulo al horizontal, imal. obtener erar Permite GeoGebra gen vertical respecto en notación dec . r la de segmento ción del avance sino con su valo es rela ni medir o razón, serva la esentar diente com puede repr rá la pen iz Gebra no s o ◀ Láp te que Geo gan nota a pendien s al eje y. La únic que se agre ccionar la lela con los sele as para te que rect men las libre ra. Hay ierdo del quejos GeoGeb o el botón izqu crear bos ajos en lea para a los trab talla manteniend Se emp lizadas persona por la pan rla to liza marcas obje lquier enta y des como cua herrami ionado. r o cam el trazo olo de luga ccionar ratón pres moviénd ible sele to o es pos cia, ya sea en obje cada traz su aparien ◀ Punto Al terminar a y modificar dar clic línea. ram hay que ento, del prog color o estilo de objeto; ido a un una recta, segm del su restring biando tes ser esté de lími los pue punto que el punto, erse dentro de crear un asignará ro rá mov cent pod Sirve para to al que se o do solo Medio obje tos. ◀ sobre el punto crea dos pun o, etc. El ento o en polígon ido. en un segm objeto eleg al dar clic to medio el rastro r el pun encontra ◀ Mostrar ite Perm s ubicacio distinta ir r de las hay que lla de colo el rastro, sobre el una hue arlo. Para ver cho clic dere to muestra o anim de un obje to al moverlo ento, o bien, dar se desee. n El rastro obje lla segú tiene el ración de un elem esta casi nes que de configu var o desactivar al menú acti y trazo punto o


CÁPSULAS

APRENDER A PENSAR

¿Qué caracteriza las fracciones que agrandan una cantidad al multiplicarla? ¿Qué fracciones disminuyen una cantidad al multiplicarla?

APRENDER A CONVIVIR

La congruencia es una característica que va más allá de las matemáticas. Cuando decimos que una persona es congruente nos referimos a que hay dos cosas que coinciden en él o ella. Cuando una persona hace coincidir sus palabras con sus acciones, decimos que es congruente y confiable. Procura que tus acciones sean congruentes con lo que dices y con tus valores.

Aprender a pensar Información matemática y preguntas relacionadas con el contenido de la lección. Propician la reflexión y la aplicación de los conocimientos

Aprender a aprender Sugerencias relacionadas con la búsqueda de información, la identificación de ideas importantes, así como el uso y el manejo de organizadores gráficos

APRENDER A APRENDER

Cuando nombramos un segmento, usamos el punto inicial y final; en este caso el segmento que se inicia en el vértice C y termina en el vértice B se llama segmento CB. El segmento BC es el mismo, pero considerado en la orientación opuesta.

Glosario Aprender a convivir Orientaciones en las que se relaciona el contenido de las lecciones con la convivencia escolar y los contextos ambiental, social y cultural

Glosario Definición de conceptos importantes

TIC Sugerencias de sitios de internet o uso de las TIC

diagonal ▶ segmento que une dos vértices no consecutivos.

TIC Ingresa en www.e-sm.com. mx/SSAVM1-149 e investiga la densidad de población del estado en que vives.

RECURSOS DIGITALES En la plataforma Savia Digital encontrarás recursos para ampliar, practicar, repasar o fortalecer lo que sabes acerca de algunos temas. Identificarás estos recursos con el siguiente icono:

Actividad interactiva

7


Índice Entrada de secuencias

10

Comenzamos

12

Periodo 1  Secuencia 1 ¿Qué nos gusta? Secuencia 2 Alimentación y salud

Secuencia 3 La ciencia de los patrones

Secuencia 4 Programas y programadores Secuencia 5 Naturaleza y clima

Secuencia 6 La vuelta al mundo en 80 días

Secuencia 7 El centro comercial

18 Lección 1

Los juegos con que nos divertimos

20

Lección 2

La música que oímos

23

Lección 1

Una buena dieta

28

Lección 2

Alimentación, sobrepeso y obesidad

33

Lección 1

Los patrones del genoma

38

Lección 2

El patrón geométrico de la citosina y la guanina

43

Lección 3

Los patrones de otros átomos

46

Lección 1

La base del diseño

48

Lección 2

El reto de la tortuga

52

Lección 3

Más piezas, menos gastos

55

Lección 1

La vida marina

58

Lección 2

A jugar

64

Lección 1

El inicio del viaje

68

Lección 2

Visitando las ciudades con el Sr. Frogg

71

Lección 3

La etapa final del viaje

74

Lección 1

La juguetería

78

Lección 2

Todo para el hogar

82

¿Alimento para todos?

86

Infografía Ponte a prueba 1

88

Periodo 2 

90

Secuencia 8 Adivinos o matemáticos Secuencia 9 Astronomía

Secuencia 10 Dibujantes

Secuencia 11 Alicia en el país de las maravillas

8

Lección 1

¿Qué número pensé?

92

Lección 2

¿Qué tipo de triángulo soy?

98

Lección 1

El día y la noche

102

Lección 2

La fuerza de gravedad

107

Lección 1

Arte poligonal

112

Lección 2

Figuras idénticas

114

Lección 3

Retrato hablado

116

Lección 4

Punto de fuga

119

Lección 1

Líquidos de colores

122

Lección 2

Las montañas del País de las Maravillas

125

Lección 3

El Sombrerero Loco

128


Secuencia 12 El Sistema Solar

Lección 1

¿Dónde pesas más?

130

Lección 2

¿A qué temperatura?

134

Lección 3

¿Cuántos años tienes?

136

Lección 1

¡Cuánta basura!

138

¿Basura en el agua?

141

Reduce, reutiliza y recicla

145

Lección 1

El territorio y sus pobladores

148

Lección 2

Las familias de antes y las familias de ahora

150

Lección 3

¿Cómo es el transporte de los mexicanos?

153

Lenguas de México y del resto del mundo

156

Secuencia 13 Dime qué tiras a la basura Lección 2 y te diré quién eres Lección 3 Secuencia 14 México: su población y territorio Infografía Ponte a prueba 2

158

Periodo 3 

160 Lección 1

Entre ruecas y poleas

162

Terratenientes

164

Lección 3

GeoGebra: la herramienta soñada por los griegos

167

Lección 1

La composición de la atmósfera

170

Lección 2

La composición del cuerpo humano

173

Lección 3

¿Cuánto pesa la atmósfera?

175

Lección 1

La Tsukán y la bruja Baba Yaga

178

Lección 2

De ogros y duendes

183

Lección 1

Clave de los mensajes secretos

188

Lección 2

Cifrar y descifrar

192

Lección 1

Palancas en todos lados

196

Lección 2

El plano inclinado

199

Lección 3

Mecanismos con GeoGebra

202

Lección 1

La kermés de fin de año

204

Lección 2

Los alimentos en la kermés

208

Atracción gravitacional

212

Secuencia 15 Érase una vez en Grecia… Lección 2

Secuencia 16 ¿De qué está hecho el mundo?

Secuencia 17 Criaturas fantásticas

Secuencia 18 Mensajes secretos

Secuencia 19 Máquinas y mecanismos

Secuencia 20 Fiestas populares Infografía Ponte a prueba 3

214

Mi acordeón

216

Bibliografía

253

9


Secuencias

En esta primera parte del libro encontrarás una evaluación diagnóstica (Comenzamos) para recuperar lo que aprendiste en grados anteriores, y veinte secuencias conformadas por lecciones con cuyas actividades diversas trabajarás los contenidos matemáticos del programa y alcanzarás los aprendizajes esperados.


se Ob

rva y reflexi

on

a

En cada secuencia se trabajan varios contenidos matemáticos de manera simultánea para hacer evidente la relación entre las ramas de las matemáticas; por ejemplo, en la secuencia 1 se trabaja con juegos de azar, frecuencias y fracciones equivalentes.

Las secuencias se conforman por varias lecciones que giran en torno a una temática común; por ejemplo, en la secuencia 2, las actividades de las lecciones trabajan los contenidos matemáticos en el contexto de la salud y la alimentación.


Comenzamos ¿Cómo inicias este curso?

1

JUEGA CON LAS MATEMÁTICAS

1

Salida

2

La pulga y las trampas

3 4

9 10 11 12

8

7

6

5

44 45 46 47 48 49 50 43 42 41 40 39 38

26 27 28 29 30 31 32 25 24 23 22 21 20

13 14 15 16 17 18 19

37 33

36 34 35

»» Juega con un compañero. »» Cada jugador necesita un objeto pequeño, que será su pulga, y otros cuatro objetos, que serán

las trampas para la pulga del oponente. Los objetos pueden ser bolitas de papel, botones, semillas, etcétera. »» Ambas pulgas se colocan en la casilla de salida. »» El jugador inicial toma sus trampas y las coloca en cuatro números distintos del tablero. »» Una vez que las trampas estén colocadas, el otro jugador decide cómo saltará su pulga para evitarlas: desde saltos de 2 en 2 hasta saltos de 9 en 9. »» La pulga salta de acuerdo con la longitud deseada; si eligió, por ejemplo, saltar de 3 en 3, su pulga pasará por los números 3, 6, 9, 12... »» Si la pulga cae en una trampa, quien la puso se anota un punto y se alternan los turnos. Si la pulga recorre todo el tablero sin caer en ninguna trampa, el punto es para el dueño de la pulga. »» Jueguen cinco o seis veces y respondan. ¿Con qué tamaños de salto las pulgas caen en el 12?  ¿Con qué tamaños de salto las pulgas caen en el 17?  Como habrás observado, hay números que solo atrapan a una pulga que da cierto tamaño de salto, mientras que hay otros números que atrapan a pulgas con distintos tamaños de salto. Escribe, en tu cuaderno, un ejemplo de cada caso.

12


2

JUEGA CON LAS MATEMÁTICAS

Quitafichas

2 6

10

4 3

1

5

7

9

12 11

8

»» Juega con un compañero. »» Necesitan un par de dados, dos tableros (cada quien el de su libro) y diez fichas pequeñas para

cada uno. »» Cada jugador coloca sus diez fichas en cualquier casilla de su tablero sin restrición alguna (puede colocar varias fichas en la misma casilla). »» Por turnos, cada quien lanza ambos dados y suma los puntos. Si la suma corresponde a una casilla con fichas en su tablero, quita una de ellas. »» Gana quien quite primero todas las fichas de su tablero; si se agota el tiempo asignado por su profesor para la actividad, gana quien tenga menos fichas en ese momento. »» Jueguen varias veces y respondan. ¿En qué números no conviene poner fichas? 

¿Por qué?  

¿En qué números sí conviene poner fichas y por qué?  

13


3

JUEGA CON LAS MATEMÁTICAS

Cuatro en línea »» Juega con un compañero. »» Cada jugador necesita cuatro fichas de un color diferente a las del oponente (pueden ser bolitas

de papel, botones, semillas, etcétera). »» El jugador inicial elige dos números, uno de las franjas verdes y otro del tablero azul, y los dice en voz alta. Si ambos son equivalentes (valen lo mismo), pone una de sus fichas en la casilla correspondiente del tablero azul y continúa el siguiente jugador; si sus dos números no son equivalentes, debe pasar el turno sin poner ficha. »» Gana quien coloque en línea recta cuatro fichas consecutivas (horizontal, vertical o diagonalmente). »» Es posible seleccionar los números de la franja verde tantas veces como se quiera, pero en el tablero azul no puede haber dos fichas en la misma casilla.

0.2

1 _ ​    ​  5

200 ​ _   ​  100

3 ​ _  ​  4

15 ​ _  ​  10

1 _ ​    ​  2

1 _ ​    ​  4

2

0.25

5 _ ​    ​ 2

15 ​ _ ​  3

50 ​ _  ​ 20

12 ​ _ ​  3

8 ​ _  ​  4

4 _ ​    ​  10

2.5

0.4

25   ​  ​ _ 100

30 ​ _ ​   2

750 ​ _   ​  100

2 _ ​    ​  10

30 ​ _ ​  4

75 ​ _   ​  100

4

0.5

500 ​ _ ​   100

5 _ ​    ​  10

10 _ ​   ​   5

90 ​ _ ​  6

150 ​  _  ​  100

25 ​ _  ​  10

5

0.75

2 _ ​    ​  5

80 ​ _ ​  20

6 ​ _  ​  8

20 ​ _ ​   5

3 ​ _  ​  6

40 ​ _  ​  100

7.5

1.5

3 ​ _  ​  2

15 ​ _ ​  2

2 _ ​    ​  8

150 ​  _ ​  10

30 ​ _ ​   6

20 ​ _  ​  100

15

15 ¿Cómo conviertes una fracción en un número en notación decimal, por ejemplo, ​ ____  ​?  2

 ¿Cómo conviertes un número decimal en fracción, por ejemplo, 0.25? 

14


4

MATEMÁTICAS EN LA VIDA DIARIA

El beisbol está lleno de números y muchos de ellos se relacionan con el número 3. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

C

H

E

VISITANTE

STRIKE

BOLA

OUT

LOCAL

90 ft 60 ft, 6 in

• Con 3 strikes se marca un out. • Las funciones de los equipos (ofensivo y defensivo) se alternan cada 3 outs. • En cada equipo hay 9 jugadores (3 × 3) y cada partido tiene 9 entradas. • La distancia entre las almohadillas de las bases es de 90 pies (3 × 3 × 10). • La distancia del pitcher a home es de 60 pies (ft) con 6 pulgadas (in). 3 • El promedio para un buen bateador es de 0.300 = ​ _  ​.  10

1 ¿Si 1 ft = 30.48 cm y 1 in = _ ​ 12  ​ ft, ¿cuál es la distancia en metros del pitcher al bateador?

 Algunos pitchers profesionales pueden hacer lanzamientos hasta de 160 km/h. A esa velocidad, ¿cuánto tarda en llegar la bola al bateador? ¿Qué distancia en metros recorre un bateador que pega un homerun? número de hits 300        ​, por ejemplo, un promedio de 0.300 = ​ _   ​   El promedio de bateo es la proporción ​ ___ 1 000 número de turnos al bat

=_ ​  10  ​ significa que el bateador da un hit en 3 de cada 10 turnos al bat. 3

¿Cuál es la mayor efectividad (promedio de bateo) posible? ¿Qué promedio de bateo tiene un jugador que ha logrado 49 hits en 140 turnos al bat? 

15


5

MATEMÁTICAS EN LA VIDA DIARIA

Las matemáticas se usan para escribir la duración de las notas y los silencios, que son una parte muy importante de la música. 1 1 La nota se llama ​ _   ​;  esta otra , ​ _  ​  y dura la mitad 4 2 que la anterior. El silencio dura lo mismo que .

1

​ _2  ​  1

​ _   ​  4 1

​ _   ​  8 1

​ _   ​  16 1

Notas Silencios

En la tabla se muestran otras duraciones.

Cuando se escribe un punto a la derecha de una nota o un silencio, se le aumenta la mitad de su valor; 3 1 _ 1 por ejemplo, la nota dura lo mismo que y juntas (​ _   ​ + ​  8  ​ = _ ​  8 ​ )  . 4 Las piezas musicales se escriben en fragmentos de la misma duración, llamados compases, que se separan unos de otros con líneas verticales. Para saber en qué compás está escrita una melodía, se suman los valores de las notas y los silencios. En el siguiente pentagrama hay cinco compases de Las mañanitas.

¿En qué compás está escrita la canción (cuánto dura cada compás)?

6

ACERTIJOS, RETOS Y DESAFÍOS

Analiza las siguientes estrellas; cada una se forma al dividir cada lado de la figura anterior en tres partes iguales y sustituir el segmento central por dos segmentos con la misma medida que él. Triángulo inicial

Estrella 1

¿Cuántos lados tiene la estrella 1?

¿Y la 2?

Estrella 2

Estrella 3

¿Y la estrella 3?

¿Cuántos lados tendrá la estrella 4? Si el triángulo equilátero inicial tiene un perímetro de 27 cm, ¿cuál es el perímetro de la estrella 1?

¿Y de la 2?

16


7

MATEMÁTICAS EN LA VIDA DIARIA

Las siguientes imágenes presentan dos construcciones famosas: el Partenón, en Atenas, y la catedral de Notre Dame, en París.

Calcula, mediante una división, la razón del largo respecto al ancho en cada uno de los rectángulos marcados en las imágenes. Anota, en tu cuaderno, tus resultados. Observa que, en estos rectángulos, la razón del largo respecto al ancho es cercana a 1.618. Esta razón recibe el nombre razón áurea y es interesante por su forma armoniosa y estética. Traza, en tu cuaderno, un rectángulo diferente a los que están aquí, cuya razón del largo respecto al ancho sea cercana a la razón áurea.

8

ACERTIJOS, RETOS Y DESAFÍOS

1 Anota los números 0.3, 0.4, 0.5, 0.6 y 0.7 de manera que la suma en cada lado del triángulo sea 1​ _  ​.  2

0.8

17


1

PERIODO

A b re

t u m i ra d a

Un reto para las generaciones futuras

A medida que la población mundial aumenta, se deberá utilizar más superficie terrestre para cultivar comida (cereales principalmente). Esta tarea no será sencilla, pues gran parte de los suelos no son aptos para la agricultura (tierras poco fértiles, terrenos accidentados o de difícil acceso, zonas contaminadas con residuos tóxicos...) y muchas zonas que sí lo son están cubiertas por bosques, son áreas protegidas o están ocupadas por asentamientos humanos.

Secuencias didácticas ¿Qué nos gusta?

Alimentación y salud

La ciencia de los patrones

Programas y programadores


Ob

se r v a

y reflex

ion

Si se calcula que hay otros 30 000 000 km2 aptos para la agricultura, ¿cuál es la superficie total del área cultivable?, ¿a qué parte de la superficie terrestre corresponde?

a

La superficie terrestre mide aproximadamente 149 000 000 km2, de los cuales, actualmente, se utilizan 15 000 000 km2 para cultivar comida. Aproximadamente, ¿en qué parte de la superficie terrestre se cultiva comida?

En la imagen, ¿qué parte del terreno se usa para cultivar?, ¿y para asentamientos humanos? Estima las dimensiones reales de la imagen y, con base en tu estimación, calcula cuántas hectáreas de cultivo hay en ese lugar.

Yt

ú, ¿qué opinas

?

La ciencia parece haber encontrado una solución para producir mayor cantidad de comida sin aumentar la superficie de cultivo: la ingeniería genética. Investiga en qué consiste esta tecnología y por qué su uso genera controversia.

Naturaleza y clima

La vuelta al mundo en 80 días

El centro comercial


1

¿Qué nos gusta?

SECUENCI A

LECCIÓN 1

Los juegos con que nos divertimos

Los juegos en los que interviene el azar son aquellos cuyo resultado no depende de la habilidad del jugador y, por tanto, no se puede predecir el resultado. Hay otro tipo de juegos en los que el resultado depende de factores como quién inició la partida o la habilidad de cada jugador, por ejemplo, el ajedrez. También hay juegos mixtos, en los que intervienen tanto el azar como la habilidad de jugador, como el dominó.

• ¿Qué juegos de mesa has jugado? 

 • ¿Se usan dados?

¿Se reparten cartas? 

1. Juega con un compañero para ver quién elige la fracción mayor. Para eso, escriban en seis tarjetas las siguientes fracciones y pónganlas boca abajo, de manera que no vean las fracciones. Revuelvan las tarjetas sobre la mesa y túrnense para elegir una carta. 13 7 1 5 5 _ ​    ​,  ​   ​   ​ _  ​ , ​ _  ​,  ​ _  ​,  _ 30 15 6 12 20

APRENDER A APRENDER

Un suceso aleatorio es el que depende exclusivamente del azar y cuyo resultado no se puede predecir, aun si se repiten las condiciones iniciales.

a) Determinen quién eligió la carta con la fracción mayor. Repitan el juego cinco veces. Gana el primero que haya elegido tres veces una fracción mayor que la del compañero. b) ¿En este juego se sabe de antemano quién ganará? ¿Interviene la habilidad del jugador?  20 PERIODO 1


2. Colorea de rojo las tarjetas en las que se indica algo que seguramente sucederá y de azul aquellas cuyo resultado no se conoce de antemano.

e dd da calle e la la de tar a en nos n u g on me Pre pers nga os ñ e una ue t 20 a 1 yq

que volado y Tirar un l caiga so

Obten de tre er un múltip s al tir lo ar un dado

Cono ce próxim r la fecha d o ecli pse s el olar

Saber

dónde c un ray aerá o

sultado r un re l tirar e n te b O te a que sie menor o a d un d

Ganar la lotería

Repar t de un ir siete ca rtas m azo y que salgan revuelto solo r ojas

Obtener solo mulas en un partido de dominó ué día de Saber en q caerá tu la semana mpleaños próximo cu

a hag l se rlo e p pa uema lq e un Qu izas a n e c

Qu

Ganar e n el jueg od serpiente s y escale e ras

ee l ag al c ua se ale nta evap ore rla

3. Organízate con un compañero para hacer una encuesta en el grupo. Pregunten a cada compañero cuál es su juego de mesa favorito. Anoten las respuestas en una tabla de dos columnas. En la primera columna escriban el nombre de cada juego mencionado en las respuestas, y en la segunda, la cantidad de compañeros que lo mencionen. Dibujen la tabla en el siguiente espacio.

a) ¿Cómo determinaron el total de filas de la tabla?  

b) ¿Cuál es el juego preferido en su grupo?  21

Atin arle en la al rojo rule ta


Secuencia 1

La tabla que elaboraron se conoce como tabla de frecuencias y sirve para organizar datos y presentarlos con mayor claridad. c) Determinen cuáles de los juegos mencionados por sus compañeros dependen del azar, en cuáles solo interviene la habilidad del jugador y cuáles son mixtos.  

4. Escribe tres experimentos en los que intervenga el azar, es decir, que tengan resultados aleatorios, y tres experimentos que no lo sean.   

5. ¿Qué otra información acerca de los gustos de tus compañeros de grupo se podría plasmar en una tabla de frecuencias? Diseña una encuesta con los datos que te interesa conocer y elabora en el siguiente espacio una tabla de frecuencias.

6. Juega con un compañero. Cada uno utilice un color diferente. Por turnos, unan los puntos con líneas rectas; eviten hacer un triángulo con lados del mismo color. Pierde el primero que haga un triángulo con lados de su color. En su cuaderno, repitan el juego cinco veces. Pongan atención en quién hace la primera tirada. a) ¿Este es un juego de azar? b) ¿Se puede predecir quién ganará?  22 PERIODO 1


¿Qué nos gusta?

LECCIÓN 2

Según algunas clasificaciones, hay más de 26 géneros musicales, entre los que se encuentran música clásica, folklórica, rock, pop, reggae, jazz, electrónica, salsa, hip hop.

• Reúnete con un compañero. Levanten una encuesta en el salón para

indagar qué música prefieren sus compañeros de grupo.

• A cada quien pídanle que elija una de las siguientes opciones. Llenen

la tabla de frecuencias con las respuestas. Género musical

Frecuencia

Electrónica Clásica Reggae Jazz Rock-pop Otros • ¿Qué hicieron para hallar el número que va en la columna “Frecuencia”?

 • En la tabla, ¿a qué se refiere el rubro “Otros” como género musical?

 23

La música que oímos


Secuencia 1

1. Si tuvieras que elegir la música que se tocará en una fiesta en la que participan todos los estudiantes de una escuela cuya población es de 100 alumnos con gustos musicales similares a los de tus compañeros de grupo… a) ¿A cuántos estudiantes de esos 100 les gustaría el rock-pop?  b) ¿A cuántos les gustaría la música clásica?  APRENDER A APRENDER

La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un dato y el número total de datos.

2. Al comparar los resultados de cuatro grupos se obtuvieron las siguientes frecuencias relativas. En la tabla solo se presentan los resultados de dos géneros. Género musical

Grupo 1

Grupo 2

Grupo 3

Grupo 4

Rock-pop

11 ​ _  ​  20

22 ​  _  ​  50

14 ​ _  ​ 25

3 _ ​    ​  10

Electrónica

5 _ ​     ​  20

12 ​  _  ​  50

9 _ ​    ​  25

5 ​ _  ​  10

Si sumas los numeradores de las frecuencias relativas del grupo 1, obtienes el número 16. Si el grupo consta de 20 estudiantes, ¿qué puedes inferir respecto al gusto musical de los otros cuatro estudiantes? 

3. Responde las preguntas. Considera que el grupo 2 tiene 50 estudiantes y que los grupos 3 y 4 tienen 25 y 10 estudiantes, respectivamente. a) ¿En qué grupo hay más estudiantes a los que les gusta el rock-pop?  b) En la tabla, escribe una frecuencia relativa como una fracción con denominador 100 que sea equivalente a cada frecuencia relativa de la tabla anterior. Observa el ejemplo. Género musical Rock-pop

Grupo 1

Grupo 2

Grupo 3

Grupo 4

44 ​  _  ​  100

Electrónica

c) ¿En cuál de los cuatro grupos hay, proporcionalmente, más estudiantes a los que les gusta el rock-pop?  24 PERIODO 1


¿Qué nos gusta?

d) ¿En qué grupo hay, en proporción, menos estudiantes a los que les gusta la música electrónica? e) Según la información de la última tabla, ¿se puede decir que hay 20 estudiantes en el grupo 4 que prefieren un género musical distinto al rock-pop o a la música electrónica? 

4. Relaciona ambas columnas, de manera que cada fracción se empareje con su fracción decimal equivalente. 15 4 _ ​ _  ​ ​      ​  5 100 3 12 _ _ ​    ​ ​       ​  20 1 000 45 7 _ ​ _  ​ ​       ​  50 1 000 3 8 _ ​ _    ​ ​      ​  250 10 9 14 _ _ ​     ​ ​      ​  200 100 5. La tabla muestra los gustos musicales del grupo 1º A. Género musical

Electrónica

Clásica

Reggae

Jazz

Rockpop

Otro

Total de estudiantes

Frecuencia

4

6

1

3

9

2

25

a) ¿Qué operación debes hacer para encontrar una fracción con denominador 1 000 equivalente a la frecuencia relativa del jazz? 

Escribe esa fracción. b) Si 1 000 alumnos inscritos en otras escuelas tienen gustos musicales similares a los de 1º A, ¿a cuántos de ellos les gustará el jazz?  ¿A cuántos la electrónica? 25

APRENDER A APRENDER

Las fracciones decimales son las que tienen como denominador 10, 100, 1 000 o cualquier potencia de 10.


Secuencia 1

6. Juega “tripas de gato” con un compañero. Cada uno elija un color y por turnos, unan las fracciones equivalentes. El juego consiste en no tocar las líneas que ya están trazadas. Pierde el primero que toque una línea o un número. 1 _ ​    ​  5

3 40

​ _  ​  22 _  ​  ​    100

14 25

​ _  ​  13 ​ _  ​  20

56 _  ​  ​    100 9 _ ​   ​  4 2 _ ​    ​  10

7 2

​ _ ​  225 100

​ _ ​ 

181 _  ​  ​    250 75 _  ​  ​    1 000

35 _ ​   ​     10

724 _  ​  ​    1 000 11 _ ​    ​  50

65 _  ​  ​    100 65 _  ​  ​    100

a) ¿Cualquier fracción puede ser escrita como una fracción decimal?  b) En caso de que tu respuesta sea “No”, escribe un ejemplo.  Compara tu respuesta con la de un compañero y coméntenla con el profesor.

7. Escribe V o F para cada enunciado, según sea verdadero o falso. Argumenta tu respuesta. ( ) P  ara saber cuál de dos fracciones es la mayor, se pueden comparar sus fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador. 

( ) Cualquier fracción puede ser expresada como una fracción decimal. 

( ) Para comparar dos fracciones es suficiente comparar sus numeradores. 

( ) P  ara comparar dos fracciones decimales con el mismo denominador, basta comparar sus numeradores.  26 PERIODO 1


¿Qué nos gusta?

8. En la tabla, escribe una ✔ junto a las fracciones que se puedan escribir como fracciones decimales y un ✘ junto a las que no se pueda. En la última columna escribe para las que tengan una ✔, una fracción decimal equivalente. Fracción

¿Se puede escribir como fracción decimal?

Fracción decimal equivalente

​ _   ​ 25 14

   ​ ​ _ 10 3

 ​  ​ _ 6 5

7  ​  ​ _ 4

Describe un procedimiento para escribir una fracción como fracción decimal. 9. Escribe junto a cada fracción decimal una fracción equivalente que tenga un denominador diferente a una potencia de 10. 5 a) ​ _  ​   10 9  ​d) ​ _  ​  10

27 b) ​ _  ​   100 80 e) ​ _  ​   100

984 c) ​ _   1 000 231 f) ​ _  ​  1 000

10. Juega “bruja” con un compañero. Para ello, elaboren doce tarjetas; en cada una, escriban alguna de las siguientes fracciones sin repetirlas. 248 _ 496 _ 85 17 900 _ 7 28 _ 1 500 _ 4 80 225 _ ​ _  ​,  ​ _  ​    ​ , ​    ​      ​  , ​    ​,  _ ​    ​, ​  , ​    ​,  ​ _  ​, _ ​   ​  , ​  , ​    ​, _ ​   ​   2 1 000 25 100 500 1 000 5 100 250 1 000 100 20 Reglas del juego • Se colocan las cartas bocabajo. Se elige una sin que ningún jugador vea la fracción. Esa carta será la “bruja”. • Se reparten las cartas restantes. Cada jugador revisa si puede formar una pareja con las cartas que recibió. Dos cartas son pareja si tienen fracciones equivalentes. • Si el jugador obtuvo una pareja, pone esas cartas sobre la mesa y explica la operación que hizo para comprobar que las fracciones son equivalentes. Esas cartas se quedan en la mesa. • Una vez que cada participante formó todas las parejas que pudo, le da a escoger una de sus cartas al otro, sin que vea cuál es. Si la carta que tomó forma pareja con alguna de las que tiene, pone ambas en la mesa y le da a elegir una de las que le quedaron al compañero quien, a su vez, revisa si se formó pareja. • En caso de que no haya formado pareja con la carta que tomó, le da a elegir al compañero una de sus cartas, sin que este vea cuál es. • El juego termina cuando uno de los participantes se queda con la carta que es pareja de la “bruja”, ese jugador pierde el juego. 27


2

Alimentación y salud

SECUENCI A

LECCIÓN 1

Una buena dieta Ingerir una dieta balanceada es fundamental para nuestra salud y bienestar. Una dieta adecuada no solo nos provee la energía que necesitamos para todas nuestras actividades, sino también los nutrientes que se requieren para el funcionamiento adecuado de todo el cuerpo. Tan importante como la calidad de nuestros alimentos es la cantidad en que los comemos, por eso los nutriólogos aconsejan llevar un control de porciones. Julia debe calcular las porciones para el desayuno de su familia y repartir equitativamente entre los seis integrantes de su familia 1 kg de yogur, una docena de huevos y 900 g de papaya picada. Para esta tarea cuenta con una báscula digital. APRENDER A PENSAR

Para simplificar una fracción se divide el numerador y el denominador entre el mismo número. ¿Por qué la fracción que resulta es equivalente a la primera?

• ¿Cuánto debe pesar cada porción de yogur? • ¿Cuántos huevos son para cada persona? • ¿Cuántos gramos de papaya debe tener cada porción? 

1. Para hacer un pastel de elote se requieren los siguientes ingredientes: a) ¿Qué cantidad de cada ingrediente se requiere para hacer dos pasteles? Expresa las cantidades en gramos (g) o mililitros (mL), según corresponda.

Pastel de elote 1 • ​ __   ​ 5 kg de mantequilla 1 __ • 3  ​kg de granos de elote __ • ​  41  ​L de leche

1 • ​ __   ​ 4 kg de azúcar 

 

b) ¿Cuántos kilogramos o litros, según el ingrediente, se necesitan para preparar cinco pasteles?

 

2. Completa la tabla que muestra la descomposición de un número decimal en unidades, décimos, centésimos y milésimos, y también como suma de fracciones decimales. Fíjate en el ejemplo. 28 PERIODO 1


Número

Unidades

Décimos

Centésimos

Milésimos

Suma

Fracción decimal

4.03

4

0

3

0

3 4 _ ​   ​  + _ ​     ​  1 100

403 ​ _  ​  100

6.715

1

5

5 3 2 ​ _  ​ + _ ​     ​ + ​ _    ​  10 100 100

1 987 ​  _   ​  1 000

1.987

1

8 1 4 _ 2 _ ​   ​  + _ ​    ​ + ​     ​ + ​ _    ​  1 10 100 1 000

¿Siempre es posible expresar un número decimal como fracción decimal? Justifica tu respuesta.  

3. Trabajen en parejas. En esta actividad determinarán las fracciones con las que se puede representar una expresión decimal finita, es decir, que se acaba, o una infinita periódica, que son las que continúan por siempre repitiendo un patrón. Completen la tabla. Para ello, tengan en cuenta las siguientes consideraciones. Después, hagan lo que se indica y respondan las preguntas. • En su cuaderno, resuelvan las divisiones necesarias para encontrar la expansión decimal de cada fracción. • En la segunda columna de la tabla, anoten los residuos de las divisiones hasta que este sea 0 o repita un patrón. • En las columnas “Expresión decimal finita” o “Expresión decimal infinita”, escriban el número decimal correspondiente a cada fracción. • Cuando terminen de llenar la tabla, compárenla con la de otras parejas. Si hay resultados diferentes, analicen cada caso y decidan cuál es correcto. 29

APRENDER A CONVIVIR

Conocer formas distintas de resolver problemas a las que usaron enriquece su comprensión del problema y sus nociones matemáticas. Por ello, es recomendable comparar sus métodos de solución con los de otros compañeros.


Secuencia 2

Fracción 1 _ ​    ​  1 1 _ ​    ​  2 1 _ ​    ​  3 1 _ ​    ​  4 1 _ ​    ​  5 1 ​ _  ​  6 1 ​ _  ​  7 1 _ ​    ​  8 1 _ ​    ​  9 1 ​ _   ​  10

Residuos

Expresión decimal finita

1, 1, ...

Expresión decimal infinita

0.33...

0 4, 4, … 3, 2, 6, 4, 5, 1, … 0 1, 1, … 0

a) ¿Cuál es el residuo de todas las fracciones con expresión decimal finita? b) Escriban todos los denominadores de las fracciones que tuvieron expresión decimal finita, deben ser seis.  c) Para cada número de la respuesta anterior, encuentren otro número que, al multiplicarlo, dé por resultado una potencia de 10. Escriban las multiplicaciones a continuación.  

d) Analicen los denominadores de las fracciones que no tienen una expresión decimal finita y elijan uno. ¿Pueden encontrar algún número que al multiplicarlo por el número elegido dé una potencia de 10?  e) Expliquen en un párrafo cómo se determina si a una fracción, a partir de su denominador, se le puede relacionar una expresión decimal finita.   30 PERIODO 1


Alimentación y salud

4. Escribe los signos <, > o =, según corresponda. Haz los cálculos mentalmente. a) ​ __25 ​ 

0.4

b) 0.5

16 ____ ​  30   ​

c) ​ __13 ​ 

0.35

d) 0.3

​ __14 ​

e) 0.13

__ ​  81 ​  

f) 0.11

1 ​ ____   ​  11

g) 0.66

​ __23 ​  

h) ​ __29 ​ 

0.22

5. En el mercado Juárez, tres vendedores de lácteos ofrecen productos en diferentes presentaciones. Determina en qué puesto es más económico cada producto y subráyalo. Producto

Puesto A

Puesto B

Puesto C

Crema

1 ​ _  ​ L en $35.00 2

1 ​ _  ​ L en $25.00 4

1 L en $80.00

Leche

1 galón (3.78 L) en $68.00

1 L en $15.00

1 _ ​    ​ L en $8.00 2

Yogur

100 mL en $5.00

1 _ ​    ​ L en $28.00 2

1 L en $48.00

Jocoque

1 _ ​    ​ kg en $11.00 4

1 kg en $45.00

1 ​ _  ​ kg en $25.00 2

Queso rallado

1 kg en $42.00

1 ​ _  ​ kg en $25.00 2

250 g en $15.00

6. Reúnete con un compañero para jugar memoria de números. Sigan las instrucciones y hagan lo que se indica. Para llevar a cabo esta actividad necesitarán 16 tarjetas de cartulina y marcadores. a) Hagan, en el cuaderno, una lista de ocho parejas de fracciones y números decimales que representen la misma cantidad. b) Escriban cada número de la lista en una tarjeta de cartulina. c) Coloquen todas las tarjetas sobre una superficie con el número hacia abajo. d) Para jugar, por turnos, cada participante volteará dos tarjetas de su elección. Si los números de las tarjetas representan la misma cantidad, el jugador se lleva las tarjetas y voltea otro par; si no, las regresa a su posición original. e) El juego termina cuando ya no queden tarjetas. Gana el jugador con el mayor número de tarjetas en su poder. 31


Secuencia 2

7. En algunos puestos del mercado se utilizan balanzas para pesar las mercancías. Las balanzas funcionan colocando pesas con valores conocidos de un lado y la mercancía del otro. a) Para pesar los productos con la balanza, se puede elegir entre dos juegos de pesas y variar la cantidad que se usa de cada una; por ejemplo, dos pesas de 1 kg, tres de ​ __21 ​ kg, etcétera. Analiza los datos de las tablas. Juego A

Juego B

Pesa (kg)

Cantidad

Pesa (kg)

Cantidad

1

4

1

3

1 _ ​     ​  10

9

1 ​ _  ​  2

2

1 _ ​     ​  100

10

1 _ ​    ​  3

3

b) Determina si las cantidades en kilogramos mostradas en la tabla pueden ser pesadas con los juegos A o B. Indícalo con un ✘. Cantidad (kg)

¿Se puede pesar con el juego A?

¿Se puede pesar con el juego B?

0.450 2 _ ​    ​  3 1.200 5 3.300

c) Escribe dos cantidades que solamente puedan ser pesadas por uno de los juegos de pesas y no por el otro.  32 PERIODO 1


Alimentación y salud

LECCIÓN 2

Según el reporte Obesity Update, en 2015 más de la mitad de los adultos y casi 1 por cada 6 niños padece sobrepeso u obesidad en países asociados a la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (ocde), organismo compuesto por 35 países. México es uno de los países con mayor prevalencia de obesidad en adultos, pues más de 1 por cada 3 adultos la padece, en contraste con la proporción 1 por cada 5 que se obtiene si consideramos a todos los países de la ocde. Reúnete con un compañero y respondan las preguntas en su cuaderno. • Si la población de México fuera de 300 habitantes, ¿cuántos de ellos,

al menos, padecerían de obesidad?

• Imagina que la población de todos los países de la ocde fueran 300

personas. ¿Cuántas de ellas esperaríamos que padecieran obesidad? • ¿Cuál es la cantidad de mexicanos obesos por cada 300 personas, que rebasa la estadística de todos los países? • ¿A qué fracción corresponde 40 de 300?

1. De acuerdo con la Encuesta de Ingresos y Gastos de los Hogares 2012, por cada $100.00 de gasto, $22.00 se usan para comprar carne, $19.00 para cereales, $11.00 en verduras, $9.00 en bebidas, $4.00 para huevo y $4.00 en frutas. a) ¿Qué fracción del gasto semanal se destina a la compra de frutas y verduras?  b) ¿Cuánto dinero usa una familia que gasta $350.00 semanales en… • verduras?

• huevo?

• carne? 

c) Describe el procedimiento para determinar el gasto semanal si se conoce cuánto se gasta en cereales.  d) Si una familia gasta $77.90 en la compra de cereales y sigue las proporciones de la encuesta, ¿cuál es su gasto semanal?  e) ¿Cuál es el gasto total por semana de un hogar que destina $4.50 semanal en comprar bebidas? 33

Alimentación, sobrepeso y obesidad


Secuencia 2

f) En un hogar se destinan $20.00 por cada $250.00 en adquirir productos lácteos. Describe las operaciones para encontrar el porcentaje de su gasto que corresponde a esta cantidad. 

g) ¿A qué fracción decimal equivale 20 de 250?  2. Une con una línea cada expresión con su fracción decimal correspondiente. 5 por cada 10

22 ​ _      ​ 1 000

15 ​ ​ _    100

8 por cada 200

35 ​ _    ​ 100

6 por cada 100

4      ​ _ ​ 100

80 por cada 100

1 por cada 4

50 _ ​      ​ 100

45 por cada 300

25 ​ _    ​ 100

6      ​ _ ​ 100

11 por cada 500

7 por cada 20

8 ​ _  ​  10

3. En cada caso, escribe la expresión decimal y el enunciado que le corresponde. Observa el ejemplo. 4   ​   a) ​ ____ 10

Notación decimal: 0.4

Enunciado: 40 por cada 100

52     ​ b) ​ _____ 100

Notación decimal:

Enunciado: 

4    ​ c) ​ ____ 20

Notación decimal:

Enunciado: 

1    ​ d) ​ ____ 25

Notación decimal:

Enunciado: 

6    ​ e) ​ ____ 40

Notación decimal:

Enunciado: 

4. A continuación se presentan algunas estadísticas acerca de la alimentación de menores que habitan zonas urbanas en México. Exprésalas de la manera que se pide. 34 PERIODO 1


Alimentación y salud

a) De toda la población del país, 80% vive en zonas urbanas; esto es, 8 por cada 10. Expresa esta proporción como fracción y como número decimal. b) De los niños menores de 6 meses de edad, 9 de cada 10 no son alimentados de acuerdo con la recomendación de la Organización Mundial para la Salud. Expresa esta proporción como porcentaje y como número decimal. c) De los adolescentes, 44% no desayuna todos los días. Expresa este porcentaje como “tantos por cada 100” y como número decimal. d) De los niños y adolescentes, 1 por cada 2 desayunan viendo la televisión. Escribe esta proporción como porcentaje y como número decimal. e) 25% de los niños preescolares no consume frutas habitualmente. Expresa este porcentaje como fracción y número decimal. 5. Trabaja con un compañero para responder las preguntas. Usen el cálculo mental; en caso de que sus resultados sean diferentes, hagan las operaciones necesarias para determinar cuál es el correcto. a) De un pastelillo que pesa 80 g, 40% es azúcar. • ¿Cuántos gramos son 10% de lo que pesa el pastelillo? • ¿Cuántos gramos son azúcar? APRENDER A PENSAR

b) Una guayaba de 50 g contiene 7 g de carbohidratos.

Si en vez de 50 g la guayaba pesara 100 g, es decir, el doble, 7 g corresponderían al doble, entonces el porcentaje buscado es…

• ¿Qué porcentaje de la guayaba son carbohidratos?

c) 5% de una taza de leche de 240 g son carbohidratos. • Calcula 1% de 240 g. • ¿Cuántos gramos de la taza de leche son carbohidratos?

d) Una porción de 100 g de frijoles negros cocidos tiene 9 g de proteína. • ¿Qué porcentaje es proteína? • Un plato de sopa de frijol tiene 13.5 g de proteína proveniente del

frijol. ¿Qué cantidad de frijol se usó para elaborar ese plato de sopa?

e) 11% de un plátano es azúcar y una taza de plátano rebanado pesa 150 g. • Calcula 10% de 150 g. • ¿Cuántos gramos de azúcar hay en una taza de plátano?

35


Secuencia 2

6. Continúen trabajando en parejas. Lean la información y respondan. En una dieta equilibrada, entre 12% y 20% de las calorías ingeridas deben provenir de proteínas; de 50% a 60% deben proceder de carbohidratos, y entre 20% y 30%, de grasas. Se sugiere que una mujer adulta consuma en promedio 1 800 calorías al día, mientras que para un hombre adulto se recomiendan 2 000 calorías. a) Transformen 20% en un número decimal y utilícenlo para calcular la cantidad de calorías provenientes de proteínas, que una mujer con una dieta balanceada debe consumir al día. 

b) ¿Cuántas calorías, como mínimo, deben proceder de proteínas en la dieta balanceada de una mujer?  APRENDER A PENSAR

Si 50% corresponde a la mitad de cualquier cantidad, entonces el mínimo de calorías procedentes de carbohidratos es…

c) Calculen la cantidad mínima y máxima de calorías procedentes de carbohidratos que debe tener una dieta balanceada para una mujer. 

d) ¿Cuántas calorías, como mínimo y máximo, deben provenir de grasas en la dieta de una mujer?  e) Elaboren una propuesta de repartición de calorías provenientes de carbohidratos, grasas y proteínas de modo que cumpla los requerimientos de una dieta balanceada para una mujer, es decir, que sume 1 800 calorías.

f) Si un hombre adulto que consume una dieta de 2 000 calorías ingiere 300 provenientes de proteínas, ¿queda dentro del rango recomendado? Justifiquen su respuesta.   36 PERIODO 1


Alimentación y salud

g) ¿Qué porcentaje de 2 000 calorías son 1 100?  h) Elaboren una dieta saludable para un hombre adulto. Para cada alimento, escriban la cantidad de calorías correspondiente.

7. Analiza cada situación y determina las cantidades correspondientes. Utiliza tu calculadora si es necesario. Según un estudio elaborado en la Universidad de Harvard en 2010, en México, una de cada tres personas padece diabetes. a) Si la población de nuestro país es de aproximadamente 119 938 500 personas, ¿cuántas de ellas tienen diabetes?  b) Si en el estadio Azteca caben 87 000 personas, ¿cuántos estadios como ese podrían llenarse con la población mexicana que padece diabetes? c) En 2010 fallecieron 184 000 personas por causas relacionadas con el consumo de bebidas azucaradas, de ellas, 132 000 murieron por diabetes, 44 000 por algún tipo de enfermedad cardiovascular y 6 000 por cánceres relacionados con el aumento de peso. De los fallecimientos por causas relacionadas con el consumo de bebidas azucaradas, ¿cuál es el porcentaje correspondiente a las muertes por diabetes y cuál por cánceres? 

d) En México se permite la publicidad para cualquier cereal que tenga hasta 30 g de azúcar por cada 100 g de ese alimento. Sin embargo, este porcentaje es seis veces más alto que lo recomendado por los estándares internacionales indicados, entre otros, por la Organización Panamericana de la Salud. ¿Cuántos gramos de azúcar por cada 100 g de cereal recomienda la Organización Panamericana de la Salud? 37


3

La ciencia de los patrones

SECUENCI A

LECCIÓN 1

Los patrones del genoma

La genómica estudia la secuencia y el análisis del genoma de un organismo. El genoma contiene la información biológica que necesita un individuo para mantenerse, replicarse y heredar sus características. La información que contiene está codificada en una cadena formada de cuatro elementos llamados nucleótidos: timina (T), citosina (C), guanina (G) y adenina (A). La cadena de ADN humana tiene 3 000 000 000 de nucleótidos. Cualquier individuo comparte 99.99% de la información de su genoma con otro; solo 0.01% lo hace único.

TIC Conoce más de las repeticiones en tandem en las páginas electrónicas: www.e-sm.com.mx/ SSAVM1-038a y www.e-sm.com.mx/ SSAVM1-038b

La variación en el genoma es una secuencia que repite un patrón en un intervalo conocido como repetición en tandem. Por ejemplo, un individuo tiene una secuencia ACGACGACGACG…, y otro tiene la secuencia ACGCACGCACGCACGC… Son los mismos cuatro nucleótidos con combinaciones distintas. Trabaja con un compañero. Observen los fragmentos de las cadenas de genoma y respondan. Individuo 1 C

A

G

T

C

A

G

T

C

A

G

T

C

A

G

T

A

C

G

C

A

C

G

C

A

C

G

C

A

C

G

C

Individuo 2

• ¿En qué lugares se encuentra la adenina (A) en la secuencia del primer

individuo? • ¿En qué lugares se encuentra la adenina (A) en la secuencia del

segundo individuo? • ¿Qué patrón sigue la adenina en la primera secuencia?

  • ¿Qué patrón sigue en la segunda secuencia?

  38 PERIODO 1


1. Observa que el patrón se mantiene en las siguientes figuras. Dibuja el término que sigue en la sucesión.

a) ¿Cuántos triángulos forman la figura que dibujaste?  b) Si la sucesión continúa, ¿cuántos triángulos forman las figuras que se encuentran en los lugares 11 y 20 de la sucesión?  c) Describe la relación entre el lugar que ocupa una figura y el número de triángulos que la forman.  

2. Completa la tabla con el número de cuadrados de cada figura de acuerdo con el lugar que ocupa en la sucesión.

Lugar

Número de cuadrados

1 2 3 4 10 20 500

¿Cuánto aumenta el número de cuadrados entre dos lugares consecutivos de la sucesión?  39


Secuencia 3

3. Analiza cada situación y haz lo que se indica. a) Escribe los primeros seis elementos de una sucesión cuyos términos aumenten de 5 en 5.  b) Escribe los primeros seis elementos de la sucesión que empieza en el número 2 y cuyos términos aumentan de 5 en 5.  c) Compara tu trabajo con el de tus compañeros. ¿Todos escribieron la misma sucesión en los incisos a) y b)?  4. Completa, en cada caso, los términos de la sucesión de acuerdo con el lugar que ocupan. APRENDER A PENSAR

El término que ocupa el lugar n de la sucesión es 3n porque 3 por n se escribe 3n.

a) Lugar 1 2 3 4 5 …. n Sucesión 3

6

….

b) Lugar 1 2 3 4 5 …. n Sucesión 7

14

….

c) Lugar 1 2 3 4 5 …. n APRENDER A APRENDER

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) es considerado uno de los mejores matemáticos de la historia. En 1784, cuando cursaba el segundo grado, la maestra de su grupo para tenerlo callado le pidió calcular la suma de los primeros 100 números naturales. Gauss respondió de inmediato.

Sucesión 5

10

….

d) Lugar 1 2 3 4 5 …. n Sucesión 6

11

16

….

5. Los griegos representaban los números mediante figuras geométricas formadas por piedras sobre la arena. Nombraban a estos números de acuerdo con el polígono que se forma. Los números triangulares los representaban de la siguiente manera.

Investiga en la red cómo hizo Gauss para responder a la profesora. Escribe y explica, en tu cuaderno, el procedimiento de Gauss.

40 PERIODO 1


La ciencia de los patrones

a) Dibuja el siguiente término de la sucesión. b) Construye una sucesión con el número de círculos que forma cada número triangular y escribe los primeros seis términos de la sucesión. 

c) ¿Qué número ocupa el lugar 10 de la sucesión? d) Describe cómo encontrar el término n de la sucesión. 

6. El enésimo término de una sucesión está dado por la regla 4n − 1. a) Escriban los primeros seis elementos de la sucesión.  b) ¿Qué número se encuentra en el lugar 91? c) Explica cómo encontraste el término. 

7. Une con una línea la expresión con la sucesión correspondiente. 2n + 1

8, 9, 10, 11, 12, ...

n + 7

3, 5, 7, 9, ...

7n + 1

7, 14, 21, 28, ...

7n

8, 15, 22, 29, ...

8. Completa cada tabla con los elementos de la sucesión correspondiente. 3n

3n + 1

3n + 2

3n + 3

1

1

1

1

2

2

2

2

3

3

3

3

4

4

4

4

5

5

5

5

a) ¿Qué diferencia hay entre la sucesión 3n y 3n + 3?  41


Secuencia 3

b) Describe cómo se modificó la sucesión 3n al sumar una unidad. 

9. La sucesión está formada por polígonos regulares. El primer término es un triángulo; el segundo, un cuadrado; el tercero, un pentágono, y así sucesivamente.

a) Escribe la sucesión formada por el perímetro de cada polígono si los lados miden n.  APRENDER A APRENDER

Leonardo de Pisa, matemático y escritor italiano presentó en su obra Liber abaci, en 1202, un problema sobre la descendencia que puede tener una pareja de conejos en un año, lo cual generó la sucesión que lleva su nombre y conocemos como sucesión de Fibonacci. Esta sucesión se relaciona con el concepto de belleza y está representado en muchas situaciones en la naturaleza.

b) ¿Qué representa la expresión 12n en este contexto? 

10. Trabajen por equipos. Copien las secuencias de la actividad de inicio de esta lección. En ambas sucesiones determinen los lugares donde la citosina coincide. Describan su ubicación mediante una regla general. a) Por parejas completen los primeros diez términos de la sucesión formada con el siguiente patrón, conocida como sucesión de Fibonacci: cada término es la suma de los dos términos anteriores, por ejemplo, el tercer término es la suma del primero y del segundo término. 1, 1, 2,

,

,

, ...

b) Determinen cómo encontraron el décimo término de la sucesión. 

TIC Revisa la relación entre la sucesión de Fibonacci y la naturaleza en www.e-sm.com.mx/ SSAVM1-042

c) ¿Cómo encontramos el término en el lugar 100? 

d) ¿Cómo encontramos el término en el lugar n?  42 PERIODO 1


La ciencia de los patrones

LECCIÓN 2

El ADN es una doble hélice en la cual se unen por puentes dos nucleótidos, por ejemplo, la citosina y la guanina. Su estructura se observa en la figura. ¿Qué polígonos reconoces en la ilustración? 

N

O

N N

H N

N H

N

N H

O

N

1. La siguiente figura está formada por tres cuadrados de lado m. Calca en una hoja blanca dos figuras iguales a esta y recórtalas. a) Forma con las dos piezas un polígono y determina su perímetro.  b) Forma tres polígonos diferentes al anterior y dibújalos en tu cuaderno. c) Determina el perímetro de cada polígono.  d) ¿Cuál es el menor perímetro y cuál es el mayor?  2. Considera que x es un número desconocido. Escribe en términos de x las siguientes expresiones. a) El doble del número: b) El triple del número: c) El número desconocido más 6: d) 5 menos el número: e) Un medio del número: f) El número aumentado en 2: 43

El patrón geométrico de la citosina y la guanina


Secuencia 3

3. Considera dos números desconocidos, a, b. Escribe las siguientes expresiones en términos de a y b. a) La suma de dos números desconocidos: b) El producto de dos números desconocidos: c) El doble de un número más el triple del otro: d) El producto del cuádruple de un número por el triple de otro número: e) La diferencia de dos números desconocidos: 4. Determina el perímetro de las siguientes figuras. a) Perímetro =

2

4

a

b) Perímetro = b

b

18

c) Perímetro =

x

44 PERIODO 1


La ciencia de los patrones

d) Perímetro =

a

b

5. El rectángulo verde tiene p de largo y q de ancho. Traza a partir del rectángulo verde las modificaciones que se indican.

q

p

a) Un rectángulo anaranjado del doble de largo b) Un rectángulo rojo del triple de ancho c) Un rectángulo azul del doble de ancho y el doble de largo d) Un rectángulo morado que tenga 2 cm más de largo e) Un rectángulo negro que tenga 1 cm menos de ancho 6. Representa con una expresión algebraica el largo, el ancho y el perímetro de cada rectángulo. Rectángulo

Largo

Ancho

Perímetro

45


Secuencia 3

LECCIÓN 3

Los patrones de otros átomos

El grafeno es un cristal de carbono cuyos átomos forman patrones regulares. • ¿Qué patrón siguen los átomos de grafeno?  • ¿Cuál es el perímetro y el área de uno de los polígonos? 

APRENDER A PENSAR

Cuenta La Eneida que la princesa Dido huyó de su hermano Pigmaleón hacia la costa de África. Para establecerse en ese lugar, le pidió al rey de los jarbas una porción de tierra. El rey le concedió el terreno que pudiera delimitar con la piel de un buey. Dido cortó la piel del buey en tiras muy delgadas y con ellas logró cercar la superficie suficiente para fundar la ciudad de Cartago. ¿Qué hubieras hecho tú en el lugar de Dido?

1. Analiza cada situación y haz lo siguiente. a) Toma una agujeta o un tramo de cuerda de 36 cm y pega sus extremos con cinta adhesiva para formar una sola pieza. b) Por parejas construyan cinco rectángulos de diferentes longitudes y determinen perímetro y área de cada uno. c) ¿Cómo son los perímetros entre sí? d) ¿Cuáles son las medidas del rectángulo con mayor área?  e) ¿Cuánto mide el rectángulo de área menor? f) ¿Cuánto suman el largo y el ancho de cada rectángulo? 2. Las siguientes figuras están formadas por triángulos equiláteros que tienen x de lado y h de altura. Determina el perímetro y el área de cada una. a)

Perímetro:

b)

Área:

c)

Perímetro: 46 PERIODO 1

Perímetro:

Área: 

d)

Área:

Perímetro:

Área: 


La ciencia de los patrones

3. Trabaja con un compañero. Analicen la figura y hagan lo que se indica. x

x

d

h

a) En una hoja calquen tres veces el rectángulo azul. b) Recórtenlos y corten por la línea gris en dos partes. c) A partir de uno de los rectángulos construyan un triángulo y determinen su perímetro y área.  d) Con otro rectángulo construyan un paralelogramo y determinen su perímetro y área.  e) Con el último rectángulo construyan un trapecio y determinen su perímetro y área. 

d

d

d

47


4

Programas y programadores

SECUENCI A

LECCIÓN 1

La base del diseño Actualmente usamos una gran variedad de aplicaciones digitales y de aparatos electrónicos que nos facilitan tareas o simplemente nos divierten. Quizá alguna vez imaginaste crear un robot que hiciera tu tarea o guardara tu ropa. Lo que tal vez no imaginaste es que tendrías que diseñarlo y programarlo para que hiciera lo que le pidieras. Programar es tan fácil como hacer una lista de instrucciones. En la siguiente imagen hay un robot que debe alcanzar un maletín. Reúnete con un compañero, observen y respondan las preguntas.

• ¿Qué debe hacer el robot para llegar al maletín? 

• ¿Qué forma tiene el camino que seguirá el robot?  • ¿Cómo es el cruce de la columna y la fila resaltadas en verde? 

TIC Descarga GeoGebra en tu computadora desde www.e-sm.com.mx/ SSAVM1-048a También puedes bajarlo a una tableta o celular, o usarlo directamente en la web si vas a la página www.e-sm.com.mx/ SSAVM1-048b

• ¿Cómo son las columnas resaltadas en anaranjado? 

• ¿Cómo es el cruce de las columnas anaranjadas? 

1. GeoGebra es un programa de cómputo que sirve para estudiar geometría y, por lo mismo, también nos permite conocer mejor las formas que constituyen la base de los diseños mecánicos. Inicia el programa e identifica las herramientas en la esquina superior izquierda de la pantalla. Luego haz lo que se pide. 48 PERIODO 1


a) En GeoGebra las herramientas se agrupan en menús. Haz clic sobre cualquiera de los recuadros para que veas las opciones.

b) Busca y anota el nombre de las herramientas de los siguientes iconos. •





2. Poco a poco aprenderás a utilizar todas las herramientas del programa. Ahora llegó el momento de empezar a construir. Si tienes dudas con el uso de alguna herramienta, consulta el apartado “Mi acordeón”, en la página 246. Por lo pronto, haz lo que se indica. a) Elige la herramienta “Punto” y marca dos de ellos sobre la pantalla del programa. b) Con la herramienta “Segmento” traza el que une los dos puntos anteriores. c) Selecciona “Recta” y traza la recta que pasa por los mismos dos puntos. d) ¿Cuál es la diferencia entre un segmento y una recta? 

e) ¿Cuántas rectas pasan por dos puntos?  3. Identifica la herramienta “Ángulo”

TIC Todos los programas cuentan con la opción de deshacer para corregir en caso necesario y GeoGebra no es la excepción. En la parte superior derecha encontrarás los botones “Deshace” y “Rehace” por si los llegas a necesitar.

y contesta.

a) ¿Qué objeto se crea con esta herramienta al hacer clic en la pantalla? 

b) ¿Qué elemento aparece en la pantalla al hacer otro clic con la misma

herramienta?   c) ¿Qué sucede al hacer clic por tercera vez? 

d) Si trazas los segmentos que unen el vértice con cada uno de los otros puntos creados, ¿qué obtienes?  49


Secuencia 4

4. Construye en GeoGebra un esquema similar al siguiente. Con ayuda de la herramienta “Punto” o “Intersección” , marca el punto donde se cruzan las rectas.

a) ¿Cuántos ángulos se forman cuando se cruzan dos rectas?  b) Usa la herramienta “Ángulo” y mide los ángulos que se formaron. Anota sus medidas. c) Compara las medidas de los ángulos opuestos, ¿cómo son?  d) ¿Cuánto suma la medida de un ángulo con el que está a su lado?  e) Anota cuánto suman las medidas de todos los ángulos juntos.  f) Con la herramienta “Elige y mueve”, haz clic y mueve uno de los puntos con los que construiste las rectas, ¿cuánto suman ahora dos ángulos con un lado común? g) ¿Hubo algún cambio con los ángulos opuestos? ¿Cómo son ahora? 

h) Comenta con un compañero si crees que siempre ocurrirá esto. 5. Identifica la herramienta “Paralela”

y sigue las instrucciones.

a) Traza una recta y marca un punto fuera de ella. b) Selecciona la herramienta “Paralela” y úsala para crear una recta paralela a la anterior que pase por el punto que marcaste. c) En tu cuaderno, responde las peguntas. • ¿Qué características cumplen dos rectas paralelas? • ¿Se pueden formar ángulos entre las rectas paralelas?, ¿por qué? • Si trazas dos rectas paralelas a una recta dada, ¿cómo son entre ellas las nuevas rectas? 50 PERIODO 1


Programas y programadores

6. Encuentra la herramienta “Perpendicular”

APRENDER A APRENDER

y haz lo que se indica.

a) Selecciona “Perpendicular”, haz clic sobre la primera recta y después sobre el punto que marcaste al inicio de la actividad 5. b) Con la herramienta “Ángulo” mide los ángulos que se formaron en las intersecciones. c) Responde las preguntas. • ¿Cómo son los ángulos que se formaron?, ¿cuánto miden?

 • ¿Qué característica cumplen las rectas perpendiculares?

  • ¿Cómo es la recta perpendicular respecto a la paralela que

trazaste en la actividad 5? 

7. En la imagen marca con… • • • • • •

rojo, un par de rectas paralelas. azul, un par de rectas perpendiculares. verde, ángulos agudos de la misma medida (opuestos por el vértice). anaranjado, ángulos obtusos con igual medida (opuestos por el vértice). morado, ángulos rectos. café, los segmentos.

8. Forma equipo con tres compañeros. Redacten y escriban en su cuaderno las definiciones para los siguientes conceptos: ángulo, ángulo agudo, ángulo recto, ángulo obtuso y ángulos opuestos por el vértice. Compárenlas con las de otros equipos para que corrijan o complementen si es necesario. 51

En realidad, podrías emplear solo una herramienta para generar tanto rectas paralelas como perpendiculares, aunque el procedimiento sería un poco más largo. ¿Cuál es esa herramienta?


Secuencia 4

LECCIÓN 2

El reto de la tortuga

Para programar no solo se necesita conocer las formas y saber construirlas; también es importante conocer sus características y relaciones. Por ejemplo, imagina que vas a desarrollar un videojuego. Para que los personajes en la pantalla se muevan de acuerdo con lo que se indique, en el programa debes dar instrucciones muy precisas de distancia y orientación. Trabaja con un compañero. Observen la imagen y respondan lo que se pide.

• El ángulo azul representa el grado de inclinación con el que se deberá

elevar nuestro personaje para atrapar todas las monedas. Si el ángulo marcado con rojo mide 40°, ¿cuánto deberá medir el ángulo azul para lograr el objetivo?

• ¿En qué se fijaron para determinar esta medida? 

1. Utiliza en GeoGebra las herramientas que ya conoces. Traza una recta y otras cinco paralelas a ella, después traza una recta que atraviese a las anteriores y responde las preguntas. a) ¿Se generaron ángulos entre las rectas paralelas y la recta transversal?

b) Identifica algunos con la herramienta “Ángulo”. ¿Algunos de esos ángulos tienen la misma amplitud?  52 PERIODO 1


Programas y programadores

2. En la imagen, señala con colores los ángulos que miden lo mismo que los dos que ya están marcados. Si tienes dudas, puedes medirlos haciendo un esquema similar en GeoGebra o con un transportador.

TIC 3. La barra “Entrada” en GeoGebra es un espacio como los chats en los videojuegos, donde puedes insertar comandos especiales. Para acceder a ella, sigue la ruta Archivo → Vista → Barra de Entrada.

a) En la barra “Entrada”, copia los siguientes comandos; respeta mayúsculas y minúsculas. Al terminar cada línea, teclea enter para introducir el comando. t=Tortuga() A=(5,5) TortugaAbajo(t) TortugaAvanza(t,5) TortugaIzquierda(t,90°) TortugaAvanza(t,5) b) Haz clic en el botón “Animar” , en la esquina inferior izquierda de la pantalla, y ve lo que sucede. 53

A veces, en GeoGebra las herramientas que conoces son insuficientes para alcanzar la precisión requerida para hacer los trazos. Entonces resulta útil la barra “Entrada”, que básicamente sirve para programar. Consulta el apartado “Mi acordeón”, en la página 246, si tienes dudas sobre este comando.

APRENDER A APRENDER

Presta atención a cada comando y sus partes. Por ejemplo, TortugaAvanza(t,5) lleva dos elementos: t que es el nombre breve que asignamos a la tortuga y 5, que nos dice el número de espacios que la tortuga debe avanzar.


Secuencia 4

4. Usa las herramientas que ya conoces en GeoGebra para reproducir el siguiente esquema. Escribe las instrucciones para programar que la tortuga vaya de su origen al punto A en línea recta y después al resto de los puntos en orden alfabético. Puedes hacer clic en “Animar” desde el comienzo para que puedas ir viendo tu progreso y deshacer si te equivocas. F = (–1, 11) 157.38°

10

8 E = (11, 6) 6

4

H

B = (5, 4)

C = (7, 4)

157.38°

2 36.87°

D = (11, 1)

A = (2, 0) 0

54 PERIODO 1

2

4

6

8

10

12


Programas y programadores

LECCIÓN 3

Si sigues estudiando las formas, podrás hacer diseños excelentes, y si aprendes más sobre programación, podrás generar un programa que te permita hacer cosas que quizá ahora solo imaginas y buscarás materiales para construir ese robot que ordene tu habitación. Los materiales no suelen ser baratos, así que también necesitarás aprender a sacar provecho de ellos.

Más piezas, menos gastos

En la imagen, cada figura representa una de las piezas que deben construirse en madera para hacer un mecanismo. En parejas, observen sus características y respondan las preguntas. Consideren que cada cuadrado de la cuadrícula equivale a una unidad cuadrada. 6

A

E

4 2

0

D B

C 2

4

6

8

10

12

14

16

• ¿Qué figura requiere más unidades cuadradas para su construcción?  • ¿Cuál será la que requiera menos material?  • Discutan acerca de lo que tienen en común todas las piezas. • ¿Creen que sea posible construir todas las piezas con un solo tablón

de madera rectangular cuyos lados midan 6 y 9 unidades de longitud? Comenten qué les hace pensar eso.

1. En realidad, si pudiéramos acomodar las piezas de modo que no quedaran sobrantes de madera entre ellas, necesitaríamos un tablón bastante pequeño, ya que los cuadriláteros de la imagen, en conjunto, ocupan poca superficie. Reúnanse en equipos de tres integrantes y hagan lo que se indica en esta y las actividades 2 y 3. a) ¿Cuántas unidades cuadradas mide la superficie de la figura B?  b) Si la cuadrícula no fuera visible y solo conocieran las medidas de los lados del cuadrado B, ¿qué harían para medir su superficie?  55

TIC Puedes reproducir las figuras en GeoGebra usando la herramienta “Polígono rígido”. Eso te permitirá moverlas, girarlas y reacomodarlas para ver si caben.


Secuencia 4

2. Observen la figura y respondan en su cuaderno.

APRENDER A APRENDER

Para que nos resulte más sencillo recordar el significado de las fórmulas matemáticas, solemos usar literales que nos den información. Por ejemplo, la diagonal mayor (más larga) de un rombo se indica con D, mientras que la diagonal menor (más corta) se señala con d.

a) ¿Cómo se llama esta figura? b) ¿A cuántas unidades cuadradas corresponde su área? c) ¿Cómo determinaron el área? d) ¿Pueden reacomodar las cuatro partes de esa figura para formar un rectángulo? Dibújenlo en su cuaderno. e) Comparen las diagonales de la figura original con los lados del rectángulo. ¿Qué relación encuentran? f) ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de cualquier rectángulo? g) ¿Cuál es entonces la fórmula para calcular el área de un rombo? 3. Hagan lo que se indica para los cuadriláteros. Tracen en su cuaderno. a) Papalote. Reacomoden las piezas para formar un rectángulo.

• Comparen los elementos originales con los lados del rectángulo y

escriban una fórmula para calcular el área del papalote.  • ¿Cuántas unidades cuadradas tiene la superficie de esta figura? 

b) Romboide. Reacomoden las piezas para formar un rectángulo.

• ¿En qué son distintos un rombo de un romboide?

 • Comparen los elementos originales con los lados del rectángulo y

escriban una fórmula para calcular el área de un romboide.  • ¿Cuántas unidades cuadradas ocupa su superficie? 

56 PERIODO 1


Programas y programadores

APRENDER A PENSAR

b: base menor

4. En tu cuaderno, usa dos trapecios isósceles para formar uno de los cuadriláteros estudiados en la actividad 3, como se muestra en la imagen.

h: altura

B: base mayor

a) ¿Qué cuadrilátero formaste?

b) Escribe una fórmula para calcular el área de la figura que formaste.

A los cuadrados, rectángulos, rombos y romboides también se les llama paralelogramos porque sus lados opuestos son paralelos. Observa sus ángulos e identifica cuáles tienen la misma medida.

Usa los nombres de las partes marcadas en el trapecio.  c) El área de la figura formada ocupa el doble que el trapecio original, pues se usaron dos trapecios para formarlo. ¿Cómo se debe escribir entonces la fórmula para calcular el área de un trapecio?  d) ¿Cuántas unidades cuadradas tiene la superficie de este trapecio?  e) Considera el planteamiento de la actividad 1. ¿Cuántas unidades cuadradas de madera se necesitan para construir todas las piezas?  f) ¿Cuántas unidades cuadradas de madera desperdiciarías si usaras el tablón de 6 × 9 unidades? 5. Calcula el área de cada cuadrilátero. Escríbela en la imagen.

Con el grupo, compara el método que empleaste para calcular las áreas. ¿Dividieron cada figura en triángulos? ¿Formaron rectángulos a partir de cada cuadrilátero? 57

APRENDER A PENSAR

¿Este mismo procedimiento servirá para calcular el área de trapecios rectángulos o de trapecios escalenos?


5

Naturaleza y clima

SECUENCI A

LECCIÓN 1

La vida marina Observa el siguiente cartel y haz lo que se pide.

Por su riqueza marina, México alberga diferentes especies de tortugas marinas. Tortuga de carey con longitudes desde los 62 cm.

Tortuga lora que es la tortuga marina más pequeña y se encuentran ejemplares de 52 cm.

Tortuga laúd que es la más grande del mundo.

Tortuga caguama que se distingue por su coloración rojiza; las especies adultas llegan a medir 104 cm. Tortuga golfina que mide alrededor de 75 cm.

Tortuga verde o blanca que se llama así por la grasa de su cuerpo de color verdoso y puede medir hasta 139 cm.

APRENDER A CONVIVIR

Las tortugas marinas están en peligro de extinción y enfrentan riesgos como la presencia de plásticos en el agua que las atrapan y asfixian; contaminación del agua por diferentes sustancias; captura; destrucción de nidos y consumo de huevos, y construcciones en sus zonas de anidación.

Completa la escala en la recta numérica y escribe los nombres de las tortugas marinas de acuerdo con el tamaño aproximado de cada especie.

50

60

58 PERIODO 1

70

80

90

100

120

130

140

150


1. A Mónica y a Luis les gustan los deportes extremos. En internet encontraron las atracciones que hay en Nueva Zelanda. Lee la información, después, responde.

Esquiar en el Monte Ruapehu Su pico principal se eleva a 2 797 metros. Aunque es un volcán activo, en los meses de junio a octubre tiene dos áreas de esquí tanto para expertos como para principiantes. La pista que está al sudoeste, Turoa, tiene una caída vertical de 722 metros.

Paracaidismo en Auckland Experimenta el salto en caída libre más alto en la Isla Norte aproximadamente a 5 029 m con 75 segundos de caída libre.

Nado con delfines

Buceo en Milford Sound

En varias regiones del país se puede nadar con delfines de diversas especies, como el nariz de botella y el de cabeza blanca, siempre y cuando se tenga cuidado de no lastimarlos ni alterar su hábitat natural. En muchas empresas, parte del precio se destina a la conservación de estos animales.

El agua que baja de las montañas se tiñe con el suelo del bosque y, al llegar al agua salada, queda encima de ella y forma una capa que bloquea la luz. Debido a esto, en Milford Sound las especies habitan a menor profundidad de la normal; por ejemplo, el coral negro suele vivir entre 200 m y 1 000 m de profundidad, pero aquí se encuentra a solo 10 m y el coral rojo, que normalmente crece en el océano profundo, aquí se puede observar desde los 15 m de profundidad.

Elaboración propia con datos de 100% Pure New Zeland, disponible en ‹https://www. newzealand.com/mx/›, fecha de consulta: 8 de enero de 2018.

¿Qué altura o profundidad le asignarías a la observación de delfines? Expli-

ca por qué.   59


Secuencia 5

2. Mónica y Luis hicieron los siguientes dibujos sobre las atracciones del viaje. En parejas, obsérvenlos y después respondan.

Luis

5 029 m

2 797 m

0m 10 m

Mónica +5 029 m

–10 m +2 797 m

Nivel del mar

a) ¿Qué representación les parece mejor para la altura y para la profundidad? Expliquen por qué.  

b) ¿Qué representación les pareció más adecuada para el nado con delfines? Argumenten.  

3. De manera individual ubica en la recta numérica tres actividades que se lleven a cabo a menor altura o profundidad. Coloca las alturas a la derecha del 0, las profundidades a la izquierda del 0 y el nivel del mar en el 0.

–18

–16

60 PERIODO 1

–14

–12

–10

–8

–6

–4

–2

0

2


Naturaleza y clima

4. La altitud mide la distancia vertical que existe entre el nivel medio del nivel del mar y un punto en la superficie terrestre y se expresa en metros sobre el nivel del mar (msnm). Escribe cada una de las altitudes o profundidades que aparecen en la tabla, usa signos más o menos según sea el caso. País

Lugar

Altura/profundidad

México

Monterrey

530 m sobre el nivel del mar

México

Lago de Chapala

1 530 m sobre el nivel del mar

República Dominicana

Lago Enriquillo

46 m bajo el nivel del mar

México

Popocatépetl

5 500 m sobre el nivel del mar

Argentina

Laguna del Carbón

105 m bajo el nivel del mar

México

Acapulco

30 m sobre el nivel del mar

EUA

Valle de la muerte

86 m bajo el nivel del mar

México

Laguna Salada

10 m bajo el nivel del mar

5. Localiza en la recta numérica la altitud de Laguna Salada, Lago Enriquillo y de Acapulco.

–50 –45 –40 –35 –30 –25 –20 –15 –10 –5

0

5

10

15

20

25

30

6. Utiliza la siguiente recta numérica para hacer lo que se indica. 0

a) Localiza los siguientes números: –6, 3, –1, 2 y –3. b) Escribe la distancia de cada número al 0. • –6 tiene una distancia al 0 de • 3 tiene una distancia al 0 de • –1 tiene una distancia al 0 de • 2 tiene una distancia al 0 de • –3 tiene una distancia al 0 de

unidades. unidades. unidades. unidades. unidades.

c) ¿Cómo puedes saber a qué distancia se encuentra cada número del 0?  61

Altitud (msnm)


Secuencia 5

7. El Servicio Meteorológico Nacional reportó para el jueves 23 de noviembre de 2017 las siguientes temperaturas máximas y mínimas registradas en algunos estados de la República Mexicana. Observa la siguiente tabla y responde las preguntas. Lugar

Temperatura máxima (°C)

Temperatura mínima (°C)

Monterrey, Nuevo León

23

6

Toluca, Edo. de México

17

0

San Luis Potosí, S. L. P.

18

2

Zacatecas, Zacatecas

14

–2

Guadalajara, Jalisco

24

3

CDMX

19

4

Chihuahua, Chihuahua

22

–3

Durango, Durango

18

–3

a) Sin hacer ningún cálculo, estima en qué estado la diferencia de temperaturas es mayor y en cuál es menor.  

b) ¿Cómo puedes calcular la diferencia de temperaturas en Toluca? 

8. Utiliza la información de la tabla de la actividad 7 y ubica las temperaturas máxima y mínima del estado de Durango en la recta numérica. a) Representa en la recta numérica la diferencia de temperaturas.

2

b) A la distancia de un número al 0 se le llama valor absoluto, escribe el valor absoluto de las temperaturas máxima y mínima de Durango. 

c) Escribe las operaciones necesarias para calcular la diferencia de temperaturas.  62 PERIODO 1


Naturaleza y clima

9. En cada caso representa la suma de los dos números en la recta numérica y escribe la operación con signos. a) 6 y 3

b) −6 y −3

–1

2

c) 6 y −3

0

d) −6 y 3 1

0

10. Con base en lo que has aprendido y con la información de la tabla de temperaturas de la actividad 7, completa la siguiente tabla. Valor absoluto temperatura máxima (°C)

Estado

Valor absoluto temperatura mínima (°C)

Diferencia de temperaturas (operación)

Los valores absolutos se…

Diferencia de temperaturas (°C)

Monterrey Toluca San Luis Potosí Zacatecas Guadalajara CDMX Chihuahua Durango

11. Reúnete con un compañero y a partir de los resultados de la actividad 10, hagan lo siguiente. a) Redacten las reglas que hay que seguir para sumar dos números con signos iguales. b) Redacten las reglas que hay que seguir para sumar dos números con signos diferentes. c) Compartan y comparen sus resultados con el grupo y redacten las reglas definitivas con ayuda de su profesor. 12. Reescribe las operaciones de la actividad 10, utilizando los mismos números y obteniendo los mismos resultados pero escribiendo las operaciones como restas. a) 6 y 3

b) −6 y ©3

c) 6 y −3

d) −6 y 3  63

APRENDER A PENSAR

Revisa los resultados de las actividades grupales y haz lo que se indica. • Escribe la relación que

encuentras entre la suma y la resta. • Compárala con la que aparece en el apartado “Mi acordeón”, en la página 222.


Secuencia 5

LECCIÓN 2

A jugar El suelo es la capa más superficial de la corteza terrestre. Es muy importante porque es el sustrato en el cual se desarrolla la vida vegetal y animal. Por su uso se clasifica en agrícola, forestal, industrial y habitacional. Los topos son animales que viven en el suelo, pasan la mayor parte de su vida en túneles subterráneos que ellos mismos construyen, se alimentan de lombrices y otros insectos y remueven las raíces de las plantas que encuentran a su paso. A Julián le gusta un juego en su celular que consiste en la aparición aleatoria de imágenes de topos y brotes de plantas, al pulsar con su dedo, un mazo aplasta lo que toca. Cada partida en el juego tiene un tiempo límite y se dan tantos golpes con el mazo como sea la velocidad de reacción de cada jugador. En la parte derecha de la pantalla aparece una bola de color verde si acertaste a un topo y una de color rojo si se le dio a un brote. Cada bola verde tiene puntuación +1 y cada bola roja tiene puntuación −1. Para evitar tener bolas rojas, debe esperar a que el brote desaparezca de la pantalla y no darle con el mazo.

–1 +1

A partir de las reglas del juego responde. • ¿Se puede obtener en el juego 0 como puntuación? Argumenta.

 • ¿Se puede obtener un número negativo como puntuación? Y si es

posible, explica cómo.  64 PERIODO 1


Naturaleza y clima

1. Los registros de los últimos cinco juegos de Julián se muestran en la tabla. En cada caso, escribe su puntuación. Número de partida

Resultados

Puntuación

1 2 3 4 5

2. Escribe las operaciones necesarias para sacar la puntuación de las partidas 1 y 5. 1:  5:  3. Observa los procedimientos de Daniela, Sebastián, Mariela y Ana y compáralos con el tuyo. Después, responde. Daniela (−2) + (4) = 2 Mariela Verdes 5 5 – 1 = 4 Rojas 1

Sebastián (3) + (−2) + (1) = 3 – 2 + 1 = 2 Ana −1 + 1 – 4 = −4

a) ¿Todos son correctos?, ¿por qué? 

b) ¿Qué procedimiento se parece más al que tú seguiste? 

c) A partir de la tabla escribe una conclusión.  

d) Comparte y compara tus resultados con un compañero y escriban una regla en general. Verifiquen sus conclusiones con las que aparecen en el apartado “Mi acordeón”, en la página 223. 65


Secuencia 5

4. Considera que en el tiempo establecido Julián dio nueve golpes con el mazo y para cada puntuación dibuja los puntos obtenidos en la partida. Puntuación

Partida

−5 3 1 –1 –3

5. Haz lo que se indica. a) Dibuja tres diferentes partidas de seis golpes en las que Julián obtenga 0 puntos y llena la tabla. Partida

Bolas rojas

Bolas verdes

1 2 3

b) ¿Qué tienen en común todas las partidas?  APRENDER A PENSAR

¿La relación que encontraste se cumplirá siempre? ¿Hay alguna diferencia en el resultado si las operaciones se escriben con paréntesis?

c) Si graficaras en la recta numérica las dos representaciones anteriores, ¿qué relación encuentras?  

6. Con el objetivo de crear conciencia acerca de la carrera que llevan a cabo las tortugas recién nacidas para llegar al mar, Esteban inventó el juego carrera de tortugas que consiste en lo siguiente. • Cada jugador elige el color de su tortuga. • Por turnos, cada jugador lanza dos dados, uno que indica el color de la tortuga que se mueve y el otro que indica el número de lugares que avanza si sale un número positivo, o que retrocede si sale un número negativo. Los jugadores deben registrar las operaciones de los movimientos de su tortuga. • Gana el jugador cuya tortuga llegue primero al mar y haya registrado correctamente las operaciones. 66 PERIODO 1


Naturaleza y clima

7. En equipos de seis integrantes jueguen carrera de tortugas. • Utilicen el tablero de esta página y elijan cualquier objeto de color

para que sea su tortuga.

• Utilicen dos dados convencionales y peguen etiquetas autoadheri-

bles en cada cara como se indica a continuación: en un dado peguen papelitos de los colores que representen a cada tortuga y en el otro peguen papeles con los siguientes números (+1, +2, +3, −1, −2, −3).

8. Si los movimientos de la carrera de tortugas son los siguientes, determina qué tortuga va adelante. ¿Cuáles van en segundo y tercer lugar?

+3

+1

+2

+2

−2

+3

−3

+3

+3

+3

+2

−1

+3

+1

+2

+1

+3

+2

+2

−3

−1

+3

+2

+1

Anota el avance total de cada tortuga.  

67


6

La vuelta al mundo en 80 días

SECUENCI A

LECCIÓN 1

El inicio del viaje ¿Te suenan conocidos los nombres de Phileas Fogg y Passepartout, su mayordomo? Son personajes de la novela La vuelta al mundo en 80 días que escribió Julio Verne en 1872. El primero era un caballero inglés que apostó que podría dar la vuelta al mundo en 80 días contra otros miembros de su club social que aseguraban que se requerían tres meses.

22

San Franciso 7

9

Nueva York

Londres 7

Suez

Calcuta Bombay

Yokohama 13

6

3 13

Hong Kong

Barco de vapor Elefante Trineo

Días de trayecto Ferrocarril Buque

El primer tramo del viaje sería por tren y el mayordomo fue a comprar los boletos. En la estación encontró el siguiente letrero: Compañía de tren

Información

Intramar

Se retrasa en solo 2 de cada 15 viajes.

Altaira

Sale a tiempo en 9 de cada 10 viajes.

Járkov

Sale a tiempo en 25 de 30 viajes.

• Considerando que el caballero inglés aprecia sumamente la

puntualidad, ¿en qué compañía crees que convendría comprar los boletos?

• ¿Cómo se expresa en fracción la proporción de viajes que hace a

tiempo la línea Intramar? • Escribe las fracciones correspondientes a la cantidad de viajes que

efectúa con retraso cada compañía.  68 PERIODO 1


• Reescribe las fracciones anteriores de manera que todas tengan el

mismo denominador y encierra la que sea menor.

• Escribe, en tu cuaderno, las operaciones que hiciste para que las tres

fracciones tuvieran denominadores iguales.

• Retoma la primera pregunta y ratifica o rectifica el nombre de la

compañía que hace viajes con mayor puntualidad.

1. Mientras que Passepartout, el mayordomo, consideraba que había que 7 llevar al viaje ​​ ____   ​​ partes del total de la fortuna del Sr. Fogg, este prefería 10 dejar en Londres dos de cada diez libras esterlinas. ¿Qué fracciones necesitas comparar para saber cuál de los dos quería llevar mayor cantidad de dinero y quién era esa persona?  2. Trabajen en parejas. Para no discutir más, decidieron llevar una fracción de la fortuna que estuviera entre las dos propuestas. A continuación, se muestra lo que cada uno dijo: Phileas Fogg 8 Yo quería llevar al viaje ____ ​​ 10    ​​de la fortuna.

Lo que quiere llevar el mayordomo es siete de cada diez libras esterlinas que haya en la cuenta, es decir, ____ ​​ 10   ​​de la fortuna. 7

Por lo tanto, como no existe ningún número entero entre el 7 y el 8 no será posible que nos pongamos de acuerdo. Insisto en que hay que dejar en el banco una de cada cinco libras esterlinas que haya en la cuenta.

Passepartout Yo opinaba que había que llevar siete de cada diez libras esterlinas. 8 El Sr. Fogg dice que es mejor llevar ​​ ____ 10   ​​de la fortuna.

Una unidad en la recta numérica puede ser dividida en cien partes, una cantidad entre las dos 75 fracciones es ​​ _____ 100   ​​.

75

7 ____ ​​  10  ​​ 

​​ _____ 100  ​​ 

Así que habrá que dejar en el banco una de cada cuatro libras esterlinas.

69

8 ​​ ____ 10  ​​ 


Secuencia 6

a) ¿Quién de los dos tiene razón? b) Si la cantidad que hay en el banco es de un millón de libras esterlinas, ¿cuánto dinero propone llevar el Sr. Fogg al viaje?  c) ¿Cuántas libras esterlinas quiere llevar Passepartout en su nueva propuesta?  APRENDER A APRENDER

Una forma de encontrar fracciones equivalentes es multiplicar numerador y denominador por 10, 100 o 1 000. Por ejemplo: 7 70 700 ____ ​​  10  ​​ = _____ ​​  100  ​​ = _______ ​​  1 000  ​​  

3. Reúnete con otro compañero, comparen sus respuestas y, después, 8 7 ____ escriban en su cuaderno cinco fracciones entre ____ ​​ 10   ​​ y ​​    ​​.  10 70 71     ​​ y _____ ​​  100     ​​. 4. Escriban cinco fracciones más, ahora, entre _____ ​​ 100

5. Con ayuda del profesor, comparen sus respuestas con las de otras parejas. Después, organicen un concurso en el grupo; ganará la pareja que 80 79 proponga la fracción más pequeña que se les ocurra entre _____ ​​ 100     ​​ y ​​ _____     ​​. 100

6. Colorea de verde las fracciones que estén entre __ ​​ 45 ​​ y __ ​​  34 ​​. 31 ​​ _   ​​ 40

7 _ ​​     ​​ 10

38 ​​ _  ​​ 50

13 ​​ _  ​​ 30

77 _ ​​    ​​  100

37 _ ​​    ​​  40

7. En parejas, ordenen de menor a mayor las fracciones del ejercicio anterior. 

8. Escriban cada una de las fracciones anteriores en forma decimal. 

9. Ubiquen los números en la recta numérica.

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

10. Comparen las respuestas de las actividades 6 y 7. Al escribir las fracciones en forma decimal pueden comprobar si las ordenaron correctamente. En caso de que no, platiquen dónde cometieron errores y qué deberían hacer para corregirlos. 70 PERIODO 1


La vuelta al mundo en 80 días

LECCIÓN 2

Visitando las ciudades con el Sr. Fogg

En el viaje que describió Verne, los protagonistas visitaron veinte ciudades de varios continentes. Algunas de ellas son Londres, París, Turín, Bríndisi, Suez, Mumbai, Allahabad, Benarés, Calcuta, Hong Kong, Chicago y San Francisco, entre otras. Hagamos un recorrido imaginario por algunas de las ciudades que visitaron el Sr. Fogg y su mayordomo Passepartout. La primera parada del viaje fue París, ciudad famosa por su repostería. Ahí, un antiguo socio del Sr. Fogg quiso agasajarlo con un gran pastel. Para prepararlo se requieren 4 kg de harina y en el estante del socio hay dos paquetes de ​​ __34 ​​kg, dos paquetes de ​​ __12 ​​ kg y dos de ​​ __41 ​​ kg. • ¿La harina que hay es suficiente para cocinar el pastel?  • Si faltara o sobrara harina, ¿de cuánto sería la diferencia respecto a lo

que se necesita para el pastel? 

1. Otra parada del viaje fue en Bríndisi, una tranquila ciudad costera italiana. Allí, Passepartout se comió __ ​​ 31 ​​ de pizza y Phineas Fogg, ​​ __14 ​​. a) ¿Qué porción de la pizza queda? b) Haz un dibujo que represente la repartición de la pizza.

71


Secuencia 6

250 mL 250 mL

1 2​​ _  ​​ L 4

2. Ambos viajeros estaban sedientos cuando llegaron al Cairo, en Egipto, después de haber pasado por el canal de Suez. Un vendedor les ofreció una jarra que contenía 2​​ __41  ​​L de agua y llenó dos vasos de 250 mL para cada uno y un vaso de ​​ __13 ​​L para él. ¿Cuánta agua quedó en la jarra? 3. Cuando viajaban hacia India, intrigados por las religiones que se practicaban en ese país, el Sr. Fogg y Passepartout entrevistaron a algunos viajeros que compartían el vagón de tren con ellos y obtuvieron las siguientes respuestas:

APRENDER A CONVIVIR

La importancia del Estado laico, como México, en el cual cada persona es libre de profesar o no alguna religión, consiste en el respeto a la diversidad cultural y social de las personas y a sus diferentes maneras de pensar.

• ​​ __14 ​​ de los entrevistados practicaba el budismo, • ​​ __16 ​​ el hinduismo, • ​​ __13 ​​ el islamismo • y el resto de los pasajeros no practicaba ninguna religión. ¿Qué parte del total de los entrevistados no practicaba ninguna religión?  

4. Después de India, los viajeros prosiguieron su viaje hacia Hong Kong. El mayordomo iría de compras para preparar el viaje.

Lista de compras 2

• 1​__ ​  5 ​​ kg de naranjas

• ​​ __43 ​​ kg de carne

• 580 g de jamón

• 1 lata de frutos secos de 425 gramos

• ​​ __51  ​​ kg de queso • 1.2 kg de pollo

• 1 jabón de tocador de 125 gramos

• ​​ __21  ​​ kg de pan

El mayordomo había tenido problemas con su columna y el médico le recomendó no cargar pesos superiores a 5.5 kg. a) ¿Estaría Passepartout respetando la recomendación del médico si carga las compras?  b) ¿Cuál es la diferencia entre la recomendación del médico y lo que cargó? 72 PERIODO 1


La vuelta al mundo en 80 días

5. Cuando llegaron a Hong Kong, el Sr. Fogg llevaba tres maletas con los siguientes pesos: una maleta de 11.5 kg, otra de 8​​ __14 ​​ kg y una tercera de 1​​ __34 ​​ kg. ¿Cuál es el peso total que lleva por las tres maletas?  6. Resuelve las siguientes operaciones, escribe los resultados como fracción y como decimal: ​​  12 ​​ = a) ​​ __35 ​​ + 1.4 + __ b) 2.5 − ​​ __52 ​​ + 1.2 = ​​ 18   ​​ = c) ​​ __34 ​​ − 1.5 − 4.6 + ____ 5 7. Relaciona ambas columnas: el problema con su respuesta. • De una bolsa de caramelos, Felipe tomó ​​ __41 ​​ parte y Luz, ​​ __12  ​​. 1 ¿Qué parte de los caramelos quedó en la bolsa?​​ _  ​​   40 ​​ 16 ​​. • Aidé comió ​​ __32 ​​de una barra de chocolate y Mónica comió __ 1 ¿Qué parte del chocolate comieron entre las dos?​​ _  ​​   4 • A Adriana le proponen que elija la bolsa de golosinas más pesada. La primera pesa 3​​ __38 ​​ kg y la segunda, 3.4 kg. 5 ¿Cuántos kilogramos pierde si elige la de menor peso?​​ _  ​​   6 8. Con tres vasos de __ ​​ 41 ​​  L y dos vasos de 200 mL cada uno, ¿se llena una botella de 1.5 L? Explica si se llena la botella de forma exacta, si falta o si sobra agua. 

9. Inventa un problema que se pueda resolver sumando o restando fracciones y decimales. 

a) Reúnete con un compañero. Cada uno resuelva el problema que el otro propuso. b) Comenten sus respuestas con el profesor. Analicen cómo pueden verificar que la respuesta sea correcta.

73


Secuencia 6

LECCIÓN 3

La etapa final del viaje

En la etapa final del viaje, el Sr. Fogg y Passepartout visitan las ciudades de Yokohoma en Japón, San Francisco en Estados Unidos y finalmente llegan al puerto de Liverpool, en Inglaterra, después de haber viajado en trineo y rescatado a Auda, una princesa india. Si quieres saber si al final logró completar la vuelta al mundo en 80 días, no te pierdas la lectura del libro. A su paso por Yokohama, en Japón, Passepartout hizo cuentas para saber cuánto dinero les quedaba para terminar el viaje. Para ello, consultó una libreta en la que había anotado lo siguiente.

Iniciamos el viaje con 900 000 libras esterlinas. Lo que se ha gastado hasta ahora es...

Concepto

Gasto (libras esterlinas)

Comida

150 000

Transportes

275 000

Hospedaje

250 000

• Sin hacer cuentas, ¿cuántas libras estimas que han gastado hasta este

momento? 

1. La princesa Auda, a la que habían rescatado en India, y el Sr. Fogg sugirieron a Passepartout cómo hacer las cuentas. a) Auda propuso hacer las siguientes operaciones. Completa los espacios.

900 − 150 = 

750 − 275 = 

475 − 250 = 

74 PERIODO 1


La vuelta al mundo en 80 días

b) Por su parte, el Sr. Fogg le recomendó que primero sumara todos los gastos y que al final averiguara cuánto faltaba para llegar a 900 000. Completa los espacios. 900 − (

+

+

) = 900 −

=

c) ¿Es igual el resultado que obtuviste con el último procedimiento?  d) Explica la diferencia entre los dos procedimientos.  

e) ¿Cuánto dinero queda aún para concluir el viaje?  2. Reúnete con otro compañero y resuelvan la siguiente operación: 45 − 253 + 27 − 384 + 128 − 157 a) Sigan el procedimiento que se propone en cada caso y efectúen las operaciones. Estudiante 1

45 + 27 + 128 − 253 − 384 − 157 = 72 + 128 − 253 − 384 − 157 =

Resultado:

Estudiante 2

(45 + 27 + 128) − (253 + 384 + 157) = (

)−(

)=

Resultado:

b) ¿Cómo son los resultados que obtuvieron?  c) Expliquen qué fue lo que hicieron diferente en cada procedimiento.    75


Secuencia 6

3. Durante el viaje en barco de Yokohama, Japón a San Francisco, el Sr. Fogg le contó a Auda que cuando estaban en India tuvieron que rentar un elefante para transportarse. Ahí, el dueño del elefante les explicó que el paquidermo había tenido problemas de salud y que estuvo en una dieta especial de hierbas durante siete semanas. El elefante fue pesado una vez a la semana y el dueño registró los resultados en la siguiente tabla. APRENDER A APRENDER

Recuerda que una tonelada es equivalente a 1 000 kg (1 t = 1 000 kg), por lo que 200 kg equivalen a __ ​​  51  ​​ t.

Semana Peso

1

2

3

4

5

6

7

inicial

subió

subió

bajó

bajó

subió

bajó

5 ​​ __21 ​​ t

200 kg

1 ​​ __ 4 ​​ t

0.75 t

1 ​​ __ 4 ​​ t

3

1 500 kg

0.8 t

a) Escribe las cantidades anteriores como fracción de tonelada. Semana Peso (t)

1

2

3

4

5

6

7

inicial

subió

subió

bajó

bajó

subió

bajó

5 ​​ __21 ​​

1 ​​ __ 4 ​​ 

b) Determina si el elefante subió o bajó de peso después de que transcurrieron las siete semanas. c) Escribe una fracción equivalente a la que obtuviste pero que tenga al número 1 000 como denominador. d) El dueño del elefante escribió 0.2 + 0.25 − 0.75 − 1.75 + 1.5 − 0.8. ¿En qué unidad de peso hizo la cuenta el dueño del elefante?  e) Escribe, en tu cuaderno, el resultado de la operación que hizo el dueño y compáralo con el que obtuviste al sumar las fracciones para cerciorarte de que son iguales. f) ¿El elefante subió o bajó de peso? Explica tu respuesta en tu cuaderno. 76 PERIODO 1


La vuelta al mundo en 80 días

4. Relaciona las tres columnas para encontrar el valor faltante; observa el ejemplo. 46 +

= 118

118 +

4 _ ​​   ​​  − 5

1 = −​​ _   ​​  10

118 − 46 =

46 −

= 118

4 1 _ ​​   ​​  + _ ​​     ​​ = 5 10

1 _ ​​    ​​ + 2

−360.92

3 1 _ ​​    ​​ = ​​    ​​ − _ 4 2

− 126.4

234.52 =

= 46

3 =_ ​​    ​​  4

126.4 +

72

1 _ ​​    ​​   4

360.92

= 126.4 + 234.52

−126.4 − 234.52 =

9 _ ​​    ​​   10

= −234.52

−72

5. Coloca los signos + o − en los espacios para obtener los resultados, siguiendo las flechas.

__ ​  41 ​ 

0.5

3 __ ​  4 ​ 

=

0

0.25

=

1

=

0.5

− 0.5

3 __ ​  4 ​ 

+

+

3 __ ​  4 ​ 

0.25

=

=

=

__ ​  21 ​ 

−​ __21 ​ 

3 __ ​  2 ​ 

__ ​  21 ​ 

77


7

El centro comercial

SECUENCI A

LECCIÓN 1

La juguetería En su primer aniversario, la juguetería de un centro comercial organizó un concurso que consiste en lo siguiente. Los primeros diez clientes menores de trece años de edad que determinen cuál de los prismas está construido con la mayor cantidad de bloques cúbicos y la cantidad de estos ganará un paquete promocional de bloques triangulares. a)

b)

c)

• ¿Cómo se puede saber qué prisma tiene la mayor cantidad de

bloques?  • Escribe una estrategia que te permita determinar rápidamente qué

prisma tiene la mayor cantidad de bloques cúbicos.   

78 PERIODO 1


APRENDER A APRENDER

La convocatoria pide el número de bloques cúbicos; para eso, ten en cuenta que

1. Reúnete con un compañero, lean la información y respondan. Julia: contar bloque por bloque. Fernando: contar los bloques en un piso y multiplicarlos por el número de pisos.

2

=

Marcela: multiplicar el número de bloques en el largo y el ancho de un piso y después multiplicar el resultado por el número de pisos. Rafael: contar los bloques que forman el largo, el ancho y el alto, y multiplicar las tres cantidades. a) Comenten cuál de los cuatro procedimientos se parece más a la estrategia que propusieron en la actividad inicial y por qué. b) Escriban en su cuaderno las diferencias y similitudes entre los procedimientos de los cuatro niños. 2. Completen la tabla de Fernando para resolver el problema del concurso. Prisma

A

B

C

Tipos de bloque que tiene Cantidad de bloques en un piso

y y 1 Si juntamos los medios bloques para formar cubos completos, en cada piso hay

6

1

Número de pisos

2

Bloques cúbicos totales

36

+

+

=

a) Consideren como unidad de medida un bloque cúbico (b3) y escriban el volumen de cada prisma. A:

B:

C:

b) Según la estrategia de Fernando, escriban una fórmula para calcular el volumen de cada edificio. Consideren que V es el volumen; p, el número de pisos; y n, la cantidad de bloques por piso.  79

=

APRENDER A PENSAR

¿Cambiaría el volumen de cada prisma si la unidad de medida es un bloque con forma de prisma triangular? ¿Cuál sería el nuevo volumen?


Secuencia 7

c) En el grupo, comparen las fórmulas que escribieron y, con ayuda del profesor, comenten si el procedimiento de Fernando es el más eficiente para determinar el número de bloques de cada prisma.

Glosario

• Una vez que estén de acuerdo, escriban una fórmula para

calcular el volumen de cualquier prisma recto y que utilice el área de la base del prisma y la altura de este.

prisma recto ▶ un prisma recto es aquel que tiene dos caras iguales paralelas (llamadas bases).



3. Calcula el volumen de cada prisma y completa la tabla. Considera que cada lado de un cubito (unidad de medida) mide 1 cm.

Prisma

Forma de la base Área de la base Altura

triángulo 16 cm2 12 cm

Volumen

4. En plenaria, compara los resultados con los de tus compañeros. Hagan lo siguiente. a) Expliquen cómo calcularon el área de la base del prisma triangular y cómo determinaron ambos volúmenes.   

b) Verifiquen que el volumen del prisma triangular es la mitad del volumen del prisma rectangular y expliquen por qué sucede esto.   80 PERIODO 1


El centro comercial

5. Calcula el volumen de los prismas. a) 

b)  25 dm

5 cm

8 dm 3 cm 7 cm

c)  3 cm

12 cm

8 cm

6. Analiza la informaciรณn y responde. Los dos prismas que se muestran se juntan para formar uno solo. 7 cm

35 cm

35 cm

15 cm

7 cm

10 cm

a) Explica si el objeto que se forma es un prisma recto.  

b) Calcula el volumen y explica tu procedimiento.   81


Secuencia 7

LECCIÓN 2

Todo para el hogar Samara quiere decorar su casa con velas aromáticas. En la tienda Todo para el Hogar, encontró el siguiente catálogo de moldes. Cubo

Prisma triangular

Prisma pentagonal

Lado de la base: 10 cm Base del triángulo: 6 cm Lado: 5.1 cm Altura del triángulo: Apotema: 3.5 cm Altura del prisma: 12 cm 2.8 cm Altura del prisma: 12 cm Prisma hexagonal

Lado: 4.4 cm Apotema: 3.8 cm Altura del prisma: 12 cm

Prisma octagonal

Lado: 4 cm Apotema: 4.8 cm Altura del prisma: 12 cm

• Sin hacer cálculos escritos, estima cuál de los moldes anteriores tiene

menos volumen y cuál, más.  • Calcula el volumen del molde con forma de cubo.  • Escribe una estrategia para calcular el volumen de los demás prismas.

  82 PERIODO 1


El centro comercial

1. Analiza la información y responde. Esteban acompañó a Samara a la tienda Todo para el Hogar. Él vive en un departamento pequeño, por lo que en la sección de muebles está buscando opciones para aprovechar todo el espacio disponible. Encontró un conjunto de asientos que se guardan debajo de la mesa de centro y otros que se juntan para tener un asiento más grande o que se separan para obtener tres asientos individuales.

a) Calcula el volumen de los bancos que se guardan bajo la mesa. Una pieza

Cuatro piezas 45 cm

45 cm

45 cm









b) Calcula el volumen de los asientos que se desarman. Una pieza

Tres piezas

40 cm

40 cm 80 cm







 83


Secuencia 7

2. Reúnete con un compañero y respondan o hagan lo que se indica. Consideren que el juego que se desarma forma un prisma con base hexagonal. a) ¿Con qué fórmula se calcula el área de un hexágono regular?  40 cm

80 cm

b) En el diagrama, anoten las medidas del lado del hexágono y de la apotema. Expliquen cómo las determinaron.  

c) Calculen el área de la base del hexágono.  d) Multipliquen el área anterior por la altura del juego que se desarma. 

e) Comparen el resultado del inciso d) con el volumen que obtuvo cada uno en la actividad 1. ¿Qué concluyen?   

3. Consulta de nuevo la actividad inicial de esta lección y calcula el volumen de los moldes que puede comprar Samara. Prisma triangular:

Prisma hexagonal: 

Prisma pentagonal:

Prisma octagonal: 

4. Julián está en la tienda Todo para el Hogar para comprar un frasco donde guardará su dulce favorito: pasas con chocolate. Hay dos recipientes que le gustan, cuya forma se muestra en la imagen. 6 cm 6 cm

6 cm

5.2 cm

6 cm

16 cm

16 cm

18 cm

84 PERIODO 1

Recipiente 1

6 cm

6 cm

Recipiente 2


El centro comercial

a) ¿Cómo se puede calcular el volumen de cada recipiente? 

b) Calcula el volumen de cada uno. Recipiente 1:

Recipiente 2: 

c) ¿A cuál de los dos recipientes le caben más pasas? 

5. Observa la plantilla de la derecha y responde. a) ¿Qué cuerpo geométrico se puede armar con ella? 4.8 m



b) ¿A qué medidas del prisma corresponden las líneas marcadas en el dibujo?  c) ¿Cuál sería el volumen del prisma armado? 

6. Trabaja con un compañero. Consideren que los polígonos mostrados son las bases de dos prismas.

4.3 cm

3.4 cm 5 cm

5 cm

a) Calculen el área de cada base. Pentágono:

Hexágono: 

b) Si ambos prismas tienen 12 cm de altura, ¿cuál es el volumen de cada uno? Prisma pentagonal:

Prisma hexagonal: 

c) ¿Cuáles tendrían que ser las alturas de los prismas hexagonal y pentagonal para que sus volúmenes fueran 1 032 cm3 y 765 cm3?  85

4m


Infografía

¿Alimento para todos? Nuestra necesidad de producir cada vez más y mejores alimentos ha provocado el desarrollo de diversas tecnologías.

Durante miles de años hemos manipulado las cruzas de organismos al elegir quién se aparea con quién o de dónde proceden las semillas que sembramos.

Se cruzan ejemplares de especies sexualmente compatibles y se seleccionan los descendientes con cualidades deseables para su posterior reproducción (por ejemplo, mayor resistencia a alguna enfermedad). Al repetir el proceso suficientes veces, aumenta la proporción de individuos con las características deseadas; esta técnica ya la conocían los romanos.

¿Qué significa que la proporción de individuos con ciertas características aumente al repetir el proceso suficientes veces?

Se usan agentes químicos o radiación para provocar cambios aleatorios en el ADN de los organismos y seleccionar las mutaciones con las características deseadas. Esta técnica se usa desde hace 80 años.

Sandía con semilla

Sandía sin semilla

Toronja rosada

Toronja roja

¿Cómo interviene el azar en la mutagénesis?

Actualmente consumimos más de 3 000 especies vegetales que en algún momento fueron modificadas por mutagénesis.


Los científicos aún no saben qué efecto pueden tener los alimentos genéticamente modificados en la biodiversidad.

Se agrega, modifica o quita información genética, incluso de especies no emparentadas, para crear una nueva variedad con características específicas.

Papaya susceptible a un virus

Papaya inmune al virus

Maíz susceptible a bajas temperaturas

Maíz resistente al frío

¿Por qué la modificación del ADN mediante ingeniería genética es menos azarosa o más controlada que la mutagénesis?

Maíz transgénico 3 En el ámbito mundial, ____ ​ 10   ​ del maíz que se produce está genéticamente modificado.

Los cultivos transgénicos más comunes en la industria alimentaria corresponden a variedades de soya y maíz.

Investiga qué porcentaje del maíz que se consume en México está genéticamente modificado. ¿Cómo

en forma de fracción?

se expresa esa cantidad


Ponte a prueba 1 Selecciona la opción correcta.

1. Susana y Mario jugaron a los volados. Lanzaron 20 veces, de las cuales Mario ganó 17 y Susana, solo tres. Si vuelven a jugar, ¿quién ganará? a) No es posible saberlo porque es un juego de azar. b) Mario, porque es mucho mejor que Susana. c) Susana, porque ya le corresponde ganar. d) Mario, porque está en racha. 2. Un vaso común tiene una capacidad de 200 mL, es decir, 0.200 L. ¿De qué otra manera se expresa esta capacidad? 1 a) _ ​   ​  L 5

1 b) _ ​   ​  L 4

1 c) _ ​   ​  L 2

d) 2 L

3. ¿Qué aparece en la pantalla de la calculadora al dividir 2 entre 3? a) 0.22222222… b) 0.23232323… c) 0.33333333… d) 0.66666666… 4. ¿Cuál es la expresión algebraica de la sucesión 15, 20, 25, 30, 35…? a) 5n

b) 10n

c) 5n + 10

d) 10n + 5

5. ¿Cuál es el décimo término de la sucesión cuya regla es 23 + 3n? a) 233

b) 53

c) 36

6. ¿Con qué números se obtiene el resultado mostrado? a) 12 y –29

b) –12 y 29

d) 26 +

c) 12 y 29

= 17 d) –12 y –29

7. En un día laboral, Juan distribuye su tiempo de la siguiente manera: trabaja la tercera parte del día; duerme siete horas; dedica __ ​ 12 ​hora para aseo personal; desayuna en 30 minutos, come en una hora y cena en 30 minutos; se traslada en 45 minutos a su trabajo y regresa en 30 minutos a su casa; destina ​ __34 ​de hora para hacer las tareas con sus hijos. ¿Cuánto tiempo le sobra para otras actividades? 1 a) 18​ _  ​ horas. 2

1 b) 4​ _ ​  horas. 2

88 PERIODO 1

1 c) 5​ _ ​  horas. 2

1 d) 19​ _ ​  horas. 2


Lee la información y efectúa lo que se indica.

Teorema de Pick El matemático austriaco Georg Pick dedujo un método para hallar el área de polígonos cuyos vértices están en las intersecciones de una cuadrícula. A continuación, se muestra el procedimiento. • Se cuentan los puntos de la cuadrícula que están sobre los lados del polígono. • Se hace lo mismo con los puntos de la cuadrícula dentro del polígono. puntos en los lados • El área se calcula con la fórmula A = ​  ____________    ​  + puntos interiores – 1; por ejemplo: 2 

Figura A

Figura B

Puntos en los lados = 8 Puntos interiores = 9 A = ​ __82  ​ + 9 – 1 = 12

Puntos en los lados = 22 Puntos interiores = 3 22 A = ​ __    ​ + 3 – 1 = 13 2

Pregunta 1. Calcula el área de la figura B sin usar el teorema de Pick (por ejemplo, descomponiéndola en figuras más simples) y verifica que se obtenga el mismo resultado.

Pregunta 2. Calcula el área de las siguientes figuras. Usa el método que prefieras. Figura C

Figura D

Figura E

  

89


2

Salut

Hej

PERIODO

Hei

Hola

Hallo Γειά σας

Hello Abre

Ciao Kaixo

t u m ir a d a

Ventajas de hablar más de una lengua

Zdravo

Tialij

Estudios científicos recientes indican que el cerebro de las personas bilingües filtra mejor la información irrelevante, lo que les proporciona mejor capacidad de concentración. Otros estudios sugieren que las personas que hablan o estudian idiomas distintos a su lengua materna son menos propensas a padecer enfermedades neurodegenerativas, como la de Alzheimer.

Sannu

Olá Secuencias didácticas Adivinos o matemáticos

Astronomía

Dibujantes

Alicia en el país de las maravillas


L ee

y compren

de

Dos de los idiomas que se muestran en la imagen son el ruso y el alemán, que tienen 166.1 y 78.1 millones de hablantes, respectivamente. ¿Cuántos hablantes en el mundo tienen estas dos lenguas juntas?

Привет

En el mundo hay 490 millones de hablantes del español, de los cuales aproximadamente la sexta parte lo habla como segunda lengua. ¿Cuántos hablantes nativos tiene nuestro idioma?

Merhaba

Investiga cuáles son otros de los cinco idiomas que se muestran en la imagen y cuántos hablantes tiene cada uno. Escribe, en cada caso, una fracción que indique qué parte de la población mundial habla dicha lengua.

Y tú

Hujambo

Saluton

El Sistema Solar

, ¿qué opina

s?

Hablar un idioma extranjero como el inglés o el francés generalmente es motivo de orgullo y satisfacción, pero en cambio, muchos mexicanos bilingües (que hablan español y alguna lengua indígena) no son igualmente reconocidos. ¿Por qué ocurre esto? ¿Cómo promoverías el respeto?

Dime qué tiras a la basura y te diré quién eres

México: su población y territorio

Mahalo


8

Adivinos o matemáticos

SECUENCI A

LECCIÓN 1

¿Qué número pensé?

APRENDER A APRENDER • Elabora nueve tarjetas

del mismo tamaño. En cada una escribe un dígito del 1 al 9. • Pide a un compañero que elija una tarjeta y la guarde sin mostrártela. • Con los números restantes, debe formar tres números y sumarlos. • Dile que anote el resultado en una hoja y te lo muestre. • Suma mentalmente los dígitos del número que escribió tu compañero. Repite la suma hasta obtener un número de una sola cifra. • El número guardado es la resta de 9 menos el número obtenido de una cifra. • ¿Cómo explicas este truco?

Para el siguiente truco de matemagia necesitarás una moneda de $10.00 y otra de $5.00. Di a un compañero que tome una con cada mano, sin mostrarte su lugar. Pídele que calcule el doble del valor de la moneda que tiene en la mano derecha y el triple del valor de la moneda que tiene en la mano izquierda, después que sume ambos números y que te diga el valor de la suma. Con este valor tú puedes definir qué moneda se encuentra en cada mano. • Investiga qué resultados pueden obtener.

 • Diseña un procedimiento para que, a partir del valor de la suma,

adivines qué moneda se encuentra en cada mano.  

• ¿Qué relación guardan el resultado y la moneda de la mano izquierda?

  

1. Trabaja con un compañero y adivinen el número que falta. a) Un número que sumado a 28 dé 44.  b) El doble del número más uno es igual a 79.  c) Si se resta ese número a 114, se obtiene 76.  d) El triple del número menos uno es igual a 17.  92 PERIODO 2


2. Trabaja con un compañero. a) La balanza se encuentra en equilibrio. Cada pelota pesa 1 kg y los cubos, x kg cada uno. ¿Cuánto pesa un cubo?

x

x

1

1

1

1

1

1 1

1

1

1

1 1

1

1

b) ¿Qué ocurre con el equilibrio de la balanza si quitas dos pelotas del lado derecho de la balanza? 

c) ¿Qué sucede con el equilibrio si quitas tres pelotas de ambos lados de la balanza? 

d) Completa el procedimiento. Si dos cubos equivalen a

pelotas, un

equivale a

pelotas. e) Selecciona la ecuación que representa la situación expresada en la balanza. • 3x + 2 = 11 • 2x + 3 = 11 • 2x + 3x = 11 f) En la tabla, completa el procedimiento para calcular el peso de cada cubo en la balanza mediante una ecuación. Escribe del lado derecho el procedimiento. Operaciones

Descripción

x + x + 3 = 11

El peso, en kilogramos, del platillo izquierdo es x + x + 3, y el del platillo derecho es 11. Dado que la balanza se encuentra en equilibrio, tenemos una ecuación.

2x + 3 = 11 2x + 3 − = 11 − 2x = 8

Se suman las literales: Se resta

.

de ambos lados de la igualdad.

8 ​ __22 ​x  = _ ​ 2 ​ 

Ambos lados de la igualdad se dividen entre

x=4

Se resuelve la ecuación.

.

93


Secuencia 8

3. Analiza la siguiente balanza y haz lo que se pide. a) La balanza se encuentra en equilibrio. Escribe la ecuación que representa la situación. x

x

x

1

1

1

1

1

1

1

1

b) Lee los pasos propuestos para resolver la ecuación que anotaste en el inciso a). Elige los que son útiles para encontrar el valor de x y escribe, en el paréntesis, un número que indique el orden que seguirías. (

) Dividir entre 3 ambos lados de la ecuación.

(

) Dividir entre 2 ambos lados de la ecuación.

(

) Sumar 1 en ambos lados de la ecuación.

(

) Restar 1 en ambos lados de la ecuación.

(

) Restar 7.

c) Completa el procedimiento para resolver la ecuación representada en la balanza. x+x+x+ 3x + 1 −

= =7−

=6 x=2

TIC

4. Representa en la balanza la ecuación 6x = 2x + 8.

Repasa la solución de ecuaciones en www.e-sm.com.mx/ SSAVM1-094

a) Redacta qué movimiento propones hacer en la balanza para conocer el valor de x.  94 PERIODO 2


Adivinos o matemáticos

b) Represéntalo en una ecuación y resuélvela. 

c) Si es necesario, revisa el manejo de términos semejantes en la sección “Mi acordeón” en la página 231. 5. Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones. a) 4x − 2 = 10



b) 5x − 4 = 1



c) 7x = 2x + 10



6. Analiza la información y responde en tu cuaderno. Una pizza individual sencilla cuesta x pesos; un refresco chico, y pesos, y una rebanada de pastel, w pesos. Si se agrega queso extra a la pizza, su valor aumenta $5.00; y un ingrediente adicional, $10.00. Sandra pagó $85.00 por una pizza individual con queso extra. Julia pagó $130.00 por una pizza individual sencilla y dos refrescos. Marina pagó $165.00 por un refresco y cuatro rebanadas de pastel. a) ¿Qué representa en el contexto del problema x + 5 = 85? b) Resuelve la ecuación anterior para calcular el valor de una pizza individual sencilla y anótalo a continuación. c) ¿Qué representa en el contexto del problema la ecuación x + 2y = 130? d) Sustituye, en la ecuación anterior, x por el valor de una pizza individual sencilla y escribe la ecuación resultante. e) Resuelve la ecuación que planteaste en el inciso anterior para calcular el valor de un refresco. Escribe tu procedimiento. f) Representa con una ecuación lo que Marina compró en la pizzería. g) La ecuación que escribiste relaciona el valor del refresco y del pastel. ¿Cuál de ellos conoces? Sustituye ese valor en la ecuación anterior y encuentra el valor de una rebanada de pastel. Resuelve la ecuación y escribe cada paso hasta llegar a la solución.

95

APRENDER A APRENDER

En el problema se emplean x, y y w para representar las incógnitas. Sin embargo, puedes usar otras letras más significativas para ti, por ejemplo, z para la pizza, r para el refresco y p para el pastel. Emplea estas literales y plantea las ecuaciones. Observa que obtienes los mismos resultados.


Secuencia 8

h) El paquete para fiesta incluye 12 pizzas individuales, 12 refrescos individuales y 12 rebanadas de pastel por $1 500.00. Determina el ahorro en el paquete y desarrolla tu procedimiento. ¿Cuál es el ahorro de comprar el paquete? 7. El cuadrado y el rectángulo de las figuras de la izquierda tienen igual perímetro. El cuadrado tiene 6 unidades (u) de lado. ¿Cuánto miden los lados del rectángulo? a) ¿Cuál es el perímetro del cuadrado? 

b) ¿Y el del rectángulo? 

x

c) ¿Cuánto mide el largo del rectángulo?  8

¿Y el ancho?  d) Escribe una ecuación que relacione las medidas del rectángulo con su perímetro y resuélvela. Escribe el procedimiento. 

e) ¿Cuánto mide el áncho del rectángulo?  8. En las figuras de la izquierda, el triángulo equilátero y el rectángulo tienen igual perímetro. Si el rectángulo mide 8 unidades de largo y 4 de ancho, ¿cuánto mide el lado del triángulo? a) ¿Cuál es el perímetro del rectángulo? 

b) ¿Cuál es el perímetro del triángulo equilátero?  c) ¿Con qué fórmula determinas el perímetro de un triángulo equilátero? 

c) Relaciona con una ecuación los perímetros de ambos polígonos. 

d) Resuelve la ecuación anterior y determina el lado del triángulo.  96 PERIODO 2


Adivinos o matemáticos

9. Los lados de un rectángulo con perímetro de 48 unidades satisfacen que el largo mide el triple que el ancho. ¿Cuánto miden sus lados? a) Si el ancho mide x, ¿cuánto mide el largo? b) Escribe una ecuación que relacione el perímetro del rectángulo en término de sus lados.  

c) Determina el valor de x y la medida del ancho y del largo del rectángulo.

APRENDER A PENSAR

El consecutivo del número 4 es el número 5, es decir 4 + 1.

 

10. Resuelve el problema en tu cuaderno. Las longitudes de los lados de un triángulo escaleno son tres números consecutivos. Si el perímetro del triángulo es 81 cm, ¿cuánto miden los tres lados del triángulo?

El consecutivo de x es x + 1. ¿Cuál es el consecutivo de x + 1?

a) Llama y a uno de los lados del triángulo. ¿Cuál es el número consecutivo de y? b) ¿Cuál es el consecutivo del número anterior? c) Relaciona con una ecuación el valor del perímetro con los lados, encuentra su solución y determina la medida de cada lado del triángulo. APRENDER A CONVIVIR

11. Carlos le dijo a Román: “Piensa un número. Toma el doble del número que pensaste y súmale 20. Divídelo entre dos y dime el resultado”. Carlos sabe que si resta 10 al resultado obtiene el número que pensó Román. a) Verifica si es cierto el procedimiento de Carlos para adivinar un número.

En 1562 se publicó el primer texto sobre magia recreativa en español Diálogos de aritmética práctica y especulativa de Juan Pérez de Moya. ¿Conoces algún libro que trate acerca de acertijos matemáticos o matemagia? Visita una librería o explora en internet para encontrar alguno.



b) Argumenta por qué funciona el procedimiento de Carlos.    97


Secuencia 8

LECCIÓN 2

¿Qué tipo de triángulo soy?

Soy el triángulo ABC. El ángulo B mide el doble que el ángulo A, y el ángulo C mide el triple que el ángulo A. • ¿Cuánto mide cada uno de mis ángulos?

 • ¿Qué tipo de triángulo soy? 

APRENDER A APRENDER

1. Haz los siguientes trazos con regla y escuadras sobre el triángulo ABC de la siguiente figura.

Recuerda o investiga a cuánto es igual la suma de los ángulos interiores de un triángulo.

D

C

E A

B

a) Traza una recta paralela al segmento AB que pase por C y una recta paralela a AC que pase por B. Llama D al punto donde se cortan las dos paralelas. Explora cómo son los ángulos interiores del triángulo BCD respecto a los ángulos interiores del triángulo ABC. Colorea del mismo tono los ángulos iguales y argumenta tu respuesta. b) Traza una paralela a BC que pase por D y que corte a la recta negra. Llama E al punto de intersección de esta paralela y la recta negra. Considera el triángulo DEB y explora la relación entre sus ángulos interiores respecto a los ángulos interiores de BCD. Argumenta tu respuesta. c) ¿Cuánto suman la medida de los tres ángulos que coinciden sobre el vértice B? d) ¿Qué relación hay entre estos tres ángulos y los ángulos interiores del triángulo ABC? 98 PERIODO 2


Adivinos o matemáticos

2. En cualquier triángulo la suma de los ángulos interiores es 180°. Utiliza este resultado en la siguiente actividad.

Glosario

a) Divide por medio de diagonales cada cuadrilátero en triángulos.

diagonal ▶ segmento que une dos vértices no consecutivos.

b) ¿En cuántos triángulos se dividió cada cuadrilátero? 

c) Discute con un compañero cómo utilizar la información de los ángulos interiores de un triángulo para determinar cuánto suman los ángulos interiores de un cuadrilátero. 3. Comparen sus ideas con las siguientes propuestas. C

a) Sandra trazó una diagonal y dividió el cuadrilátero ABCD en dos triángulos.

B

• Marca los ángulos interiores de cada triángulo. • ¿Cuánto suman los ángulos interiores del triángulo ABD? 

¿Y del BCD?

A

• ¿Qué relación hay entre los triángulos interiores de los

D

triángulos ABD y BCD con los ángulos interiores del cuadrilátero ABCD?

  • ¿Cuánto suman los ángulos interiores del cuadrilátero? 

99


Secuencia 8

b) Lorena dividió el cuadrilátero trazando las dos diagonales. C

• ¿En cuántos triángulos se dividió el cuadrilátero? 

B

• ¿Cuánto suman los ángulos interiores de los triángulos? 

O

• ¿Pertenecen los ángulos que se encuentran alrededor del punto O

a los ángulos interiores del cuadrilátero? 

A

• ¿Cuánto suman los cuatro ángulos alrededor del punto O? 

D

• Con la propuesta de Lorena se deduce que 720° −

360°. Por lo tanto, la suma de los ángulos interiores del cuadrilátero es .

=

4. Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno. • Elabora un diagrama o dibujo si es necesario. • Analiza con qué información cuentas, cuál es la cantidad

desconocida y qué relación hay entre la cantidad desconocida y la información que tienes. • Escribe una ecuación y encuentra su solución. • Comprueba que la solución sea correcta. a) Un triángulo equilátero tiene tres lados iguales y tres ángulos iguales. ¿Cuánto mide cada uno de sus ángulos? b) Si un ángulo de un triángulo rectángulo mide 55°, ¿cuánto miden los otros ángulos? 5. Todo triángulo isósceles tiene dos lados iguales y uno diferente. Sus ángulos guardan la misma relación: dos ángulos iguales y uno diferente. a) Si en un triángulo isósceles un ángulo mide 80°, ¿cuánto miden los demás?    

b) Compara tu trabajo con el de algunos compañeros. ¿Obtuvieron todos la misma respuesta? Redacten una conclusión en su cuaderno. 100 PERIODO 2


Adivinos o matemáticos

6. En el paralelogramo, un ángulo mide el doble que el otro. ¿Cuánto miden todos los ángulos del paralelogramo? Márcalos en la figura.

APRENDER A APRENDER

Investiga las propiedades de un paralelogramo. ¿Cómo son sus ángulos? ¿Y sus lados? ¿Un rectángulo puede ser un paralelogramo? ¿Y un cuadrado?



Traza en tu cuaderno las figuras y sus propiedades.



7. Determina la medida de los ángulos interiores del triángulo EFG. El triángulo DEF es equilátero y el triángulo EFG es isósceles. F 42°

D

G

E

 

8. Por parejas, inventen un problema como los anteriores (con una figura geométrica y que se resuelva con una ecuación) y determinen la solución. Después, intercambien su problema con otra pareja y resuelvan el que no es suyo. Una vez resuelto, regresen los problemas con solución a los autores y evalúen el trabajo de sus compañeros. Pongan atención en la ortografía, el procedimiento y la solución.

9. El hexágono amarillo y el triángulo rojo son polígonos regulares. Determina el valor de x. a) Delinea el triángulo que contiene a x como ángulo interno. b) De acuerdo con sus lados, ¿qué tipo de triángulo es?  c) Marca el otro ángulo que también mide x y determina su valor. 101


9

Astronomía

SECUENCI A

LECCIÓN 1

El día y la noche Desde tiempos remotos, ha sido de gran interés para la humanidad observar el cielo y los fenómenos que ahí ocurren. Uno de los que tienen mayor importancia para nuestra vida es el movimiento de rotación de la Tierra, pues al girar está sobre su propio eje, se suceden los días y las noches, aunque desde nuestra perspectiva parece que es el Sol el que se mueve, ya que al paso de las horas del día lo vemos desde una posición diferente. Sabiendo esto, observamos en el Sol un recorrido aparente de 180° en 12 horas, pero si consideramos que ese es solamente la mitad del recorrido, entonces serían 360° en 24 horas.

12 horas E

O

18:00 h

06:00 h

Oeste

Este

O

Movimiento de rotación terrestre

E

• ¿Cuántos grados recorre el Sol en una hora? APRENDER A APRENDER

En geografía, huso horario es cada una de las veinticuatro áreas en que se divide la Tierra. ¿Imaginas cómo se coordinaban los tiempos antes de que existiera esta convención?

1. La distancia que en apariencia recorre el Sol en una hora es relevante porque en un momento dado la posición en que lo vemos cambia de un lugar a otro. Esto origina lo que conocemos como husos horarios. ¿Has oído decir que si en México es de día, en China, al otro lado del mundo, es de noche? Esto sucede porque mientras los rayos del Sol inciden en una parte de la Tierra, la parte opuesta, no recibe los rayos del Sol en ese momento. Por convención, el Meridiano de Greenwich se toma como referencia para medir los husos horarios. 102 PERIODO 2


Eje de rotación Sol

Polo norte

Noche

Día

Polo sur

Ángulo de inclinación terrestre (23.5°)

a) Completa la tabla. Horas transcurridas

0:00

Grados recorridos

10:00 45°

75°

11:00

12:00

150°

15:00 255°

315°

b) Compara los grados avanzados con las horas transcurridas para cada valor de la tabla, excepto para el caso en que han transcurrido cero horas. • Para hacerlo puedes establecer una razón entre las dos

cantidades. Consulta su definición en la sección “Mi acordeón”, en la página 227. ​ ____ 3  ​= 15 45

c) ¿Cómo es la razón entre los datos y qué puedes concluir a partir de eso?  Campamento 1



Precios por persona



2. Santiago quiere observar el cielo nocturno con su telescopio, pero como la iluminación de la ciudad no permite apreciar con claridad las estrellas y los planetas por la noche, ha decidido acampar en un Parque Nacional en el estado de Hidalgo. La renta del espacio para acampar está a cargo de tres campamentos. Revisa los precios del campamento 1 y haz lo que se indica. 103

Por noche............ $98.00 Acceso a senderos con bicicleta........$128.00


Secuencia 9

a) ¿Cuánto tendrá que pagar Santiago por noche si invita a sus dos primos y a su hermano? b) Completa la tabla con la cantidad que pagará Santiago si él y sus invitados se quedan a pasar más de una noche en el campamento. Número de noches

1

2

Costo

7 $1 176.00

$1 960.00

c) ¿El número de noches y el costo varían proporcionalmente? Explícalo.  

3. Trabaja en parejas. Consideren que Santiago y su familia se quedan tres noches en el campamento y respondan en su cuaderno lo que se pide. a) Escriban la razón entre la cantidad pagada y el número de noches. b) Escriban la razón entre el número de noches y la cantidad pagada.  c) Escriban para qué pueden utilizar cada razón. APRENDER A APRENDER

Tengan presente que la relación es proporcional, entonces pueden escribir una proporción que les permita encontrar el valor faltante.

4. Utilicen las razones de los incisos a) y b) de la actividad anterior para calcular lo que Santiago pagará en una noche. Razón

​ _    ​  3 1 176

3 ______ ​  1 176      ​

Procedimiento

a) Analicen si coincide el resultado de los dos procedimientos. b) ¿Cuánto pagará Santiago en una noche?  104 PERIODO 2


Astronomía

5. Considerando los precios del campamento, responde las siguientes preguntas. a) ¿Cuánto pagarían 5 personas por pasar 4 noches en el campamento, sin tomar la opción del sendero en bicicleta? b) ¿Cuánto pagarían si además todos deciden llevar sus bicicletas?

c) Reúnete con un compañero y comparen sus procedimientos, ¿son iguales?

APRENDER A PENSAR

• Si son diferentes, ¿cuál de los dos consideran que es el mejor

¿Las proporciones pueden ser consideradas ecuaciones?

• Compartan los resultados en plenaria y con ayuda del profesor

¿El procedimiento de productos cruzados funciona para encontrar el valor faltante en cualquier proporción?

para responder las preguntas planteadas?, ¿por qué? Justifiquen en su cuaderno. determinen cuál es el mejor procedimiento para este caso.

6. Encuentra el valor faltante en cada proporción.

¿Cómo lo justificarías?

x ____ a) ____ ​  12   ​ = ​     ​   5 10

x=

b) ____ ​  28 ​ = __ ​  x  ​

x=

x 24 ____    ​ = ​   ​   c) ____ ​  12 18

x=

d) ____ ​  x   ​ = ____ ​ 18 ​  

x=

32

12

8

24

7. En el mismo parque hay otro campamento con diferentes promociones. A continuación se muestran los carteles de ambos. Campamento 1 Precios por persona Por noche............ $98.00 Acceso a senderos con bicicleta....... $128.00

Campamento 2 Membresía .........$400.00 Precios con membresía Noche por persona ............... $79.00 * Los precios incluyen el acceso con bicicleta a los senderos

105


Secuencia 9

a) Sin hacer ninguna operación, determina a qué campamento, 1 o 2, le conviene ir a un grupo de 12 personas. 

b) Completa la siguiente tabla con los precios por número de personas incluyendo el acceso a senderos con bicicleta del campamento 1. Número de personas

3

Cantidad a pagar ($)

5

8

12

640

c) ¿Consideras que los precios aumentan de manera proporcional al número de personas? 

 d) ¿Cómo podrías verificarlo?   

e) Completa la siguiente tabla con los precios del campamento 2. Número de personas

3

5

8

12

Cantidad a pagar ($)

f) ¿Hay variación proporcional? Justifica tu respuesta.  

8. Reúnete con un compañero para analizar y comparar las respuestas de la actividad 7. Respondan las siguientes preguntas en su cuaderno. a) Identifiquen las diferencias y similitudes entre cada procedimiento. En especial, expliquen el resultado del inciso d) de la actividad anterior. b) Expliquen qué campamento les conviene elegir de acuerdo con el número de personas.

106 PERIODO 2


Astronomía

LECCIÓN 2

La fuerza de gravedad

La fuerza de atracción gravitacional es una fuerza que atrae a dos o más cuerpos y está relacionada con la cantidad de materia (llamada masa y medida en kilogramos) de estos y la distancia que los separa. Esta fuerza es la responsable de que la Luna orbite alrededor de la Tierra. Nosotros sentimos el efecto de la fuerza de gravedad en el peso, que es la fuerza con que la Tierra atrae todos los objetos hacia su centro. Cuando aumenta la gravedad, aumenta el peso, y cuando disminuye la gravedad, disminuye el peso; también cuando aumenta la masa, aumenta el peso; si disminuye la masa, disminuye el peso. aL Los cambios en la gravedad no solamente los encontramos ejemplificados g en los libros de física o de astronomía, Distancia entre también en la ficción. En una conocida la Tierra y la Luna serie de animación japonesa, el personaje principal combatirá a su oponente en otro planeta. En esta situación, para hacerse más fuerte y luchar allí, el protagonista tuvo que entrenar durante su viaje Tierra espacial en una nave con una gravedad Rt distinta a la de la Tierra.

Luna

Esquema 1. Ilustración de la atracción mutua entre la Tierra y la Luna

¿Cómo crees que serán sus movimientos cuando entrena si… • la gravedad dentro de la nave es 2 veces la gravedad terrestre?

  • la gravedad dentro de la nave es la mitad de la gravedad terrestre?

 APRENDER A APRENDER

1. El peso es la fuerza que ejerce la Tierra sobre los objetos que se encuentran en su superficie, depende de la cantidad de materia (masa medida en kilogramos) del objeto y de la aceleración de la gravedad en nuestro planeta, la cual se mide en metros por segundo al cuadrado (m/s2). El peso se calcula como el producto de la masa por la aceleración de la gravedad, y para determinar el peso en cualquier planeta del universo se requiere conocer la constante de la gravedad de cada lugar. 107

El peso se mide en una unidad llamada Newton (N), nombrada así en honor al físico Issac Newton (1643-1727). Investiga su biografía y sus aportaciones a la ciencia.


Secuencia 9

a) Completa el siguiente esquema. Mi peso en la Luna es de aproximadamente 90 N.

Mi peso en la Tierra es de aproximadamente 560 N.

Mi masa es siempre

.

b) Completa la tabla con el peso de varios objetos. Masa (kg)

35

Peso (N)

50

10

15

100

65

70

98.1

7

11

686.7

c) ¿Hay variación proporcional entre la masa y el peso?   

d) ¿Cómo puedes saber cuánto vale la constante de aceleración de la gravedad en la Tierra?  APRENDER A APRENDER

De manera coloquial se utiliza el peso como equivalente de la masa, como cuando vas al mercado, pero en Matemáticas y Ciencias se miden con unidades diferentes. La masa se mide en kilogramos (kg), la aceleración de la gravedad se expresa en metros por segundo al m cuadrado (​ ___   ​) y el peso, s2 en Newtons (N). Observa que 1 N = 1 kg ___ ​ m  ​.  s2



2. Inventa el nombre de dos personajes. Imagina que pueden viajar por el espacio y combatir en diversos planetas. a) Escribe sus nombres a continuación: Personaje 1 (P1):

Personaje 2 (P2):

b) Supón que la masa de (P1) es 62 kg y la masa de (P2) es 56 kg. Calcula el peso de cada uno en la Tierra. Peso de Personaje 1

:

Peso de Personaje 2 

:

108 PERIODO 2


Astronomía

3. Completa la tabla con el peso de tus personajes en cada caso, según aumenta la gravedad terrestre dentro de la nave espacial. Escribe en la primera columna el nombre de cada uno. Gravedad de la Tierra aumentada… Peso de

2 veces

3 veces

4 veces

(N) Personaje 1

Peso de

(N) Personaje 2

Describe el procedimiento que seguiste para llenar la tabla. 

4. Reúnete con un compañero y respondan las siguientes preguntas. a) ¿Qué significa que la gravedad aumente 2.5 veces?   

b) Calculen el peso de 2.5 veces.

si la gravedad aumenta Personaje 2

   

c) Sin importar las veces que se consideren, ¿el peso siempre aumentará? 

d) Compartan sus resultados con el grupo y con ayuda del profesor respondan qué sucedería con el peso de una persona si la gravedad es menor que la de la Tierra. 5. Uno de los hechos más interesantes de la observación del cielo nocturno es que algunas de las estrellas que vemos ya no existen. Esto se debe a que la luz que percibimos viaja a una velocidad determinada y tiene que recorrer grandes distancias para que nosotros la percibamos. 109

5 veces

6 veces


Secuencia 9

a) Un ejemplo cercano a nosotros en el que se aprecia la velocidad de la luz sucede durante una tormenta eléctrica. ¿Alguna vez has visto el destello de un rayo y oído el trueno durante una tormenta? ¿Qué percibes primero? 

Esto se debe a que la luz y el sonido viajan a diferente velocidad: el sonido viaja más lento, pero gracias a eso podemos saber aproximadamente a cuánta distancia cayó el rayo, pues sabemos que el sonido recorre 0.344 kilómetros en un segundo (0.344 km/s). b) Completa la tabla con la distancia a la que impactó un rayo si es que transcurrieron t segundos entre el momento en que se vio el relámpago y se escuchó el trueno. Tiempo (s) Distancia (km)

3

5

15.5 3.784

18.2

4.128

c) ¿En este contexto, el tiempo y la distancia son proporcionales?  d) ¿Qué representa la constante de proporcionalidad? 

6. Considerando que la aceleración de la gravedad en la Tierra es 9.81 ___ ​ m  ​, s2 responde las siguientes preguntas. a) ¿Cuánto vale la constante de aceleración de la gravedad si se considera una gravedad de 10 veces la terrestre?  b) ¿Cuánto vale la constante de aceleración de la gravedad si se considera una gravedad de 100 veces la terrestre?  c) ¿Cómo calcularías la nueva constante de gravedad si esta se modifica a 0.1 veces la terrestre? 

d) Escribe con letra el nombre de cada número decimal. 9.81  110 PERIODO 2


Astronomía

0.1:  0.981:  e) Convierte cada decimal en fracción y multiplícalos. 9.81 =

0.1 =

9.81 × 0.1 = f) Compara los resultados de la multiplicación de las fracciones anteriores con los que se obtienen al multiplicar directamente los números decimales. ¿Cómo son? 

7. En parejas, discutan las estrategias que les permitan multiplicar con mayor facilidad los números decimales. • Acuerden cuál es la mejor y escriban, en su cuaderno, las

instrucciones de la multiplicación o elaboren un diagrama de pasos. • Ilústrenlo con un ejemplo. 8. Consigue dos dados de diferentes colores (o que puedas diferenciarlos) y nómbralos Dado A y Dado B. Lánzalos y registra, en las tablas, el número que obtengas en cada uno y su equivalencia correspondiente. Luego, haz la multiplicación, como se muestra en el ejemplo. Núm. dado A

Equivalencia (N1)

Núm. dado B

Equivalencia (N2)

1

2.75

1

6.15

2

5.45

2

2.04

3

0.03

3

0.45

4

2.001

4

2.1

5

0.18

5

0.28

6

0.75

6

1.1

Tirada Dado A

Equivalencia (N1)

Tirada Dado B

Equivalencia (N2)

Producto de las equivalencias N1 × N2

4

2.001

2

2.04

2.001 × 2.04 = 4.08204

111


10

Dibujantes

SECUENCI A

LECCIÓN 1

Arte poligonal El arte poligonal consiste en crear representaciones bellas a partir de polígonos, como las que se muestran en la imagen. Además de dibujos, se puede usar esta técnica para crear manualidades con diversos materiales. Por ejemplo, palitos de madera o palillos para formar polígonos.

• ¿Es posible construir un triángulo cuyo lado más largo tenga ocho

palillos de longitud usando solamente 17 palillos? ¿Cuántos palillos medirían sus lados?

 • ¿Qué ocurre si solo tenemos 15 palillos y queremos nuevamente un

triángulo con un lado del largo de ocho palillos?



1. Forma equipo con tres compañeros, hagan lo que se indica y respondan las preguntas en su cuaderno. a) Corten tiras de papel de 0.5 cm de ancho, de cada una de las siguientes longitudes. Hagan tres juegos de cada medida.

APRENDER A PENSAR

¿Qué diferencia existe entre los triángulos de la terna (3, 3, 5) y el de la terna (3, 5, 3)?

3 cm

5 cm

6 cm 8 cm

10 cm

12 cm

b) Con la notación (3, 5, 6) indicamos las medidas de un triángulo (un lado de 3 cm, uno de 5 cm y otro de 6 cm). Con las tiras, formen triángulos de las siguientes medidas: (3, 3, 5), (3, 5, 6), (3, 10, 12), (6, 8, 10), (6, 8, 12), (5, 6, 8), (5, 5, 8), (5, 5, 5), (3, 6, 6) 112 PERIODO 2


c) Observen los triángulos que formaron. ¿Cómo es la suma de los dos lados más pequeños respecto al tercer lado en esos triángulos? d) Usen las tiras para formar triángulos con las medidas (3, 5, 8), (6, 6, 12) y (5, 5, 10). ¿Lograron formar un triángulo o qué figura formaron? ¿Cómo es la suma de los dos lados más pequeños respecto al tercer lado? e) Consideren la construcción de triángulos con estas medidas: (3, 5, 12), (3, 6, 10) y (5, 5, 12). ¿Cómo es la suma de los dos lados más pequeños respecto al tercer lado? 2. Subraya, en cada caso, la frase que complete el enunciado. a) En las ternas con las que es posible construir triángulos, la suma de las medidas de cualquier par de lados es que la longitud del tercer lado. mayor menor igual b) En las ternas con las que no es posible construir triángulos, siempre hay un lado que es que la suma de los otros dos. menor o igual

igual

mayor o igual

3. Tacha las ternas de medidas con las que no se puede formar un triángulo. (6, 7, 5) (4, 5, 10) (3, 2, 3) (14, 3, 8) (7, 5, 11) (4, 4, 11) (9, 9, 7) (4, 3, 7) (7, 6, 13) (18, 9, 10)

TIC Puedes corroborar tus respuestas al trazar los triángulos en GeoGebra. Consulta el apartado “Mi acordeón”, en la página 249, si tienes dudas sobre cómo construir triángulos a partir de tres medidas de longitud.

APRENDER A APRENDER

4. Reflexiona y responde las preguntas en tu cuaderno. a) ¿Qué tipo de triángulo se forma con la terna (7, 7, 7)? b) ¿Cómo se puede escribir la terna de medidas para un triángulo isósceles cuyo lado desigual mide 5 cm y los lados iguales miden 8 cm? c) ¿Se puede formar un triángulo que tenga dos ángulos agudos? d) ¿Y un triángulo con dos ángulos obtusos? e) ¿Qué representa la terna (60°, 30°, 90°)? f) ¿Cuántos triángulos distintos podrían formarse con la terna anterior? 113

Recuerda que la suma de los tres ángulos internos de cualquier triángulo equivale exactamente a 180°.


Secuencia 10

LECCIÓN 2

Figuras idénticas La imagen que se muestra a continuación pertenece a la corriente cubista. Obsérvala e identifica cuál de las sombras triangulares de la derecha corresponde al triángulo que aparece en la nariz de la ilustración.

APRENDER A CONVIVIR

La congruencia es una característica que va más allá de las matemáticas. Cuando decimos que una persona es congruente nos referimos a que hay dos cosas que coinciden en él o ella. Cuando una persona hace coincidir sus palabras con sus acciones, decimos que es congruente y confiable. Procura que tus acciones sean congruentes con lo que dices y con tus valores.

Describe, en tu cuaderno, qué elementos observaste o mediste para determinar cuál era la sombra triangular congruente con la nariz.

1. Reúnete con un compañero y hagan lo que se indica. a) ¿Cuántos triángulos distintos (no congruentes) se pueden construir con una terna de longitudes? 

b) ¿Existe una solución única para construir un triángulo a partir de las medidas de sus tres ángulos? 

2. Observen cada par de triángulos y escriban las medidas de los lados y ángulos faltantes para que sean triángulos congruentes. a)

33º 125.8 57º 150

114 PERIODO 2

81.7


Dibujantes

170

74º

32º

93.72

3. En su cuaderno, expliquen por qué estos triángulos no pueden ser congruentes. 116º

46 40º

100

25º

100

4. Sin hacer construcciones, responde las preguntas en tu cuaderno. a) ¿Puede construirse un triángulo rectángulo con un ángulo de 100°? b) ¿Cuántos triángulos no congruentes se pueden construir con dos ángulos que midan 60° cada uno? c) ¿Se pueden construir tres triángulos distintos con un lado de 7 y otro de 9 cm? d) ¿Cuántos triángulos con un ángulo de 30° y otro de 40° se pueden construir, si el lado entre ellos mide 12 cm? e) ¿Cuántos triángulos distintos pueden construirse con un ángulo de 15°, un lado que mida 10 y otro, 7 cm, si ese ángulo no está entre ellos? 5. Dibuja en tu cuaderno los triángulos que respondiste que sí es posible trazar. 6. Formen equipos, después expliquen por qué no pudieron construir los triángulos que indicaron. Comparen los triángulos que sí trazaron y corrijan sus respuestas si es necesario. 115

TIC Recuerda que GeoGebra imita las herramientas que usamos para trazar figuras geométricas. Reproduce tus trazos en el programa para verificarlos.


Secuencia 10

LECCIÓN 3

Retrato hablado Las personas que hacen retratos hablados no tienen modelos para inspirarse o copiar; para hacer sus trazos, solo se valen del lenguaje y sus conocimientos previos. Copia una de las figuras pequeñas en los recuadros que prefieras de la cuadrícula izquierda, luego describe el resultado a otro compañero para que haga un “retrato hablado” en su cuadrícula derecha. Después haz un “retrato” con base en su descripción. En tu cuaderno, haz lo mismo con las demás figuras.

• Comparen los originales y las reproducciones; si hubo errores,

identifiquen si se deben a las descripciones o a su interpretación.

Ángulo β

1. Observa el triángulo guía. Sigue las instrucciones y, a partir de las ternas de medidas, construye triángulos distintos en GeoGebra.

Lado C Lado A Ángulo α

a) Ángulo γ: 30°, ángulo β: 45°, ángulo α: 105° • Como no están indicadas las medidas de los lados, traza cada

uno con la longitud que prefieras.

Lado B Ángulo γ

• Marca uno de los ángulos en el punto inicial y otro en el punto

final.

• Traza las rectas correspondientes a los lados y encuentra

el punto de intersección.

• Observa la imagen de la página siguiente.

116 PERIODO 2


Dibujantes

APRENDER A APRENDER

Recta correspondiente al lado del ángulo de 30°

Un ángulo va en sentido horario y el otro en sentido antihorario

30°

¿Es necesario que conozcas las medidas de los tres ángulos o basta con dos?

45° La longitud que quieras

b) Ángulo α: 73°, lado B: 20 cm, ángulo β: 21° • Traza el segmento con la longitud dada y los ángulos como en el

caso anterior.

c) Lado A: 4 cm, lado C: 7 cm, ángulo α: 26° • Traza el segmento con la medida del lado C. • Usa el punto inicial del segmento como centro de una

circunferencia cuyo radio mida lo indicado para el lado A.

• Marca el ángulo dado en el punto final del lado C. • Traza los segmentos necesarios para formar el triángulo.

Lado C

26°

Radio = 4 cm

APRENDER A PENSAR

d) Lado C: 15 cm, ángulo β: 65°, lado B: 8 cm • Traza el lado C. • Usa el punto final del lado para marcar el ángulo dado y

también como centro de una circunferencia que tenga por radio la longitud del lado B.

e) Lado A: 9 cm, lado B: 11 cm, lado C: 4 cm • Traza un lado y usa circunferencias para trazar los lados

restantes.

117

Para identificar los ángulos en una figura se pueden usar letras, signos o letras griegas: α (alfa), β (beta), γ (gamma)…


Secuencia 10

APRENDER A PENSAR

Si tienes las medidas de dos lados y el ángulo entre ellos, ¿es importante que el segundo lado esté a la derecha o a la izquierda del primer lado? ¿O en qué debes fijarte para trazarlo?

2. Observa que cada triángulo tiene un elemento con línea continua; resalta las líneas de otros dos elementos tales que al conocer esas tres medidas, puedas determinar el único triángulo que se genera con esos datos, es decir, que cualquier otro triángulo con esas medidas será congruente.

3. Sigue las instrucciones y haz lo que se indica para crear un dibujo. a) Usa la barra de entrada en GeoGebra e inserta los siguientes comandos. A=(0, 0) B=(80, 0) Polígono(B, A, 5) Ojo1=(0, −30) Ojo2=(50, −30) Nariz=(40, −60) Boca=(10, −80) b) Anota, en tu cuaderno, las ternas de datos para construir triángulos y crear un rostro triangular, como los cubistas. Utiliza los vértices indicados en el inciso anterior.

Ojo 1

Ojo 2

Nariz Boca

c) Sin mostrar tu dibujo, intercambia con un compañero los datos de sus ternas y reproduzcan el dibujo del otro como si se tratara de un retrato hablado. Comparen cada reproducción con el original para ver qué tan congruentes son. d) Repitan el ejercicio usando más triángulos y su creatividad artística. 118 PERIODO 2


Dibujantes

LECCIÓN 4

Punto de fuga Para que un dibujo o pintura se asemeje a la figura real que representa, se recurre a técnicas de perspectiva. Esto se basa en la utilización de un “punto de fuga”, en el que todas las paralelas parecen unirse, aunque en realidad no sea así. Observa la imagen y responde lo que se pide. Considera cómo son las líneas en la realidad, con independencia del efecto visual. • Si la vía del tren fuera infinita y recta, ¿cómo

serían entre sí los durmientes de madera? 

• ¿Y los rieles?

Durmiente

• ¿Cómo serían los segmentos formados por los durmientes respecto a

Rieles

las rectas que conforman los rieles? 

• ¿Cómo son entre sí los rectángulos formados entre cada par de

durmientes? 

1. Si los durmientes atravesaran los rieles en un ángulo distinto, la vía estaría formada por romboides continuos.

Lado A b a Lado B c d Lado D

a) El romboide es un paralelogramo. Obsérvalo en la imagen y define con tus palabras qué es un paralelogramo. Escribe tu definición en el cuaderno. 119

Lado C


Secuencia 10

b) ¿Qué lados del romboide miden lo mismo? 

c) ¿Qué ángulos del paralelogramo tienen la misma amplitud?  APRENDER A APRENDER

Recuerda que todos los paralelogramos comparten casi todas sus características, aunque por el tipo de ángulos o el tamaño de sus lados se les pueda clasificar en cuatro tipos. ¿Esas características son suficientes para que tus respuestas sean válidas para todos los paralelogramos posibles?

2. Traza una diagonal en cada paralelogramo y responde lo que se pide en cada caso

a) ¿En cuántos triángulos quedó dividido cada paralelogramo?  b) ¿Cuánto suman los tres ángulos internos de cualquier triángulo?  c) ¿Cuánto suman los cuatro ángulos internos de los paralelogramos anteriores? d) Explica cómo obtienes la suma anterior.   

e) ¿Cuánto suman los cuatro ángulos internos de cualquier cuadrilátero?  

3. Observa los triángulos en que se dividió el paralelogramo y analiza lo que se pide. A

D

η

A

δ α

ε β γ

B

120 PERIODO 2

C C


Dibujantes

a) Por ser ángulos alternos internos, ¿qué ángulo es congruente con α? 

b) ¿Cómo son los ángulos β y δ?  c) ¿Cómo es el resultado de la suma de α + γ respecto a la suma de η + ε? 

d) ¿Qué ángulo mide lo mismo que el ángulo marcado con γ? 

e) ¿Cuánto suman los ángulos α + β + γ?  f) Escribe cuál es el segmento que tiene la misma longitud que cada segmento dado. CB =

BA =

AC =

g) ¿Cómo son entre sí los triángulos ADC y CBA? Explica por qué. .

4. Trabaja con un compañero. Reflexionen y respondan las preguntas. a) ¿Es posible construir un paralelogramo que tenga un ángulo de 50° y otro de 130°? b) ¿Podemos encontrar un paralelogramo que tenga solo un par de ángulos rectos y no sea rectángulo? c) ¿Cuántos paralelogramos distintos pueden construirse de forma que tengan un ángulo de 60° y otro de 120°? 

d) Al dividir cualquier paralelogramo por su diagonal, ¿los triángulos resultantes son congruentes? Explica por qué.   121

APRENDER A APRENDER

Cuando nombramos un segmento, usamos el punto inicial y final; en este caso el segmento que se inicia en el vértice C y termina en el vértice B se llama segmento CB. El segmento BC es el mismo, pero considerado en la orientación opuesta.


11 SECUENCI A

Alicia en el país de las matemáticas LECCIÓN 1

Líquidos de colores En 1865, el escritor Lewis Carroll publicó la novela Alicia en el país de las maravillas, que trata de las aventuras de una niña que inicia un viaje por un mundo de fantasía, en el que la acompañan personajes como el Conejo Blanco y el Gato de Cheshire, entre otros. Esta lección está inspirada en algunos pasajes de esa obra, en los cuales Alicia aumenta o disminuye de tamaño. Durante una de sus aventuras, Alicia se encontró tres frascos en una alacena: uno contenía un líquido rojo; el otro, un líquido verde; y el último, uno azul.

Bebe una gota para 3 tener __ ​  4 ​ de tu tamaño.

Bebe una gota para 5 tener __ ​  3 ​ de tu tamaño.

Bebe una gota para 7 tener __ ​  6 ​ de tu tamaño.

• ¿Alguno de los líquidos puede hacer que Alicia disminuya de tamaño? 

 • ¿Cuál? • ¿Cómo lo sabes?  • Explica si tus respuestas anteriores dependen de la altura de Alicia en

el mundo real.  

• Comenta con tus compañeros cómo determinaste qué líquido

disminuye el tamaño de quien lo bebe.

122 PERIODO 2


1. Alicia mide 120 cm. Para saber cuánto mediría si bebe una gota del líquido rojo, el Conejo Blanco y el Gato de Cheshire hicieron lo siguiente. Conejo Blanco: multiplicó 5 × 120 y el resultado lo dividió entre 3. 120    ​ y el resultado lo multiplicó por 5. Gato de Cheshire: dividió ​ _____ 3

a) ¿Cómo se relacionan los resultados que obtuvieron el gato y el conejo? 

b) ¿Cuál sería la estatura de Alicia si toma una gota del líquido rojo?  

c) Escribe cómo calcularía cada personaje la estatura de Alicia si bebiera el líquido azul en lugar del rojo. Considera que cada animal repite el procedimiento que usó arriba. Conejo Blanco:  Gato de Cheshire:  d) De acuerdo con los procedimientos anteriores, ¿cuál sería la estatura final de Alicia después de beber el líquido azul? Conejo Blanco:  APRENDER A PENSAR

Gato de Cheshire:  e) ¿Cuánto medirá Alicia si toma el líquido verde?  2. Alicia quiere alcanzar una ventana que está a 4 m de altura desde el piso y decide usar el líquido rojo. El gato de Cheshire y el Conejo Blanco opinaron sobre el número de gotas que debe usar: Gato de Cheshire: debe usar dos gotas para alcanzar la ventana, pues, si bebe una gota la primera vez, medirá 200 cm y con la segunda gota duplicará su tamaño; es decir, alcanzará los 400 cm. Conejo Blanco: debe usar tres gotas, pues la segunda no duplica el tamaño anterior, sino que lo vuelve a multiplicar por ​ __53 ​.  a) Utiliza tu calculadora para decidir cuál de los dos animales fantásticos tiene razón. Anota tu conclusión en el cuaderno. 123

Cuando Alicia bebe de cada líquido, estos les permiten crecer. ¿Cuál le conviene usar para crecer más rápido?


Secuencia 11

APRENDER A PENSAR

¿Qué caracteriza las fracciones que agrandan una cantidad al multiplicarla? ¿Qué fracciones disminuyen una cantidad al multiplicarla?

3. Completa la tabla para indicar la longitud final de los objetos después de haber usado varios líquidos mágicos. Después, responde en tu cuaderno. Lápiz de 12 cm

Árbol de 2.40 m

3 Verde (​ __4 ​ del tamaño)

Azul (​ __6 ​ del tamaño) 7

Morado (​ ____ 10   ​del tamaño) 7

Amarillo (​ ___ 12  ​del tamaño) 17

a) ¿Qué líquidos agrandan los objetos? ¿Cuáles los achican? b) Reúnete con otro compañero y validen sus respuestas. En particular, comenten qué líquidos agrandan los objetos y cuáles los achican. 4. Imagina ahora que un líquido anaranjado revierte el efecto del morado; es decir, si se aplica una gota del líquido morado y después una del anaranjado, el objeto regresa a su tamaño original. ¿Qué debe decir la etiqueta del líquido anaranjado? 5. Resuelve las multiplicaciones a) ​ __38 ​ × 56 =

b) __ ​  4 ​ × 64 =

c) 91 × ​ __72 ​ =

d) 230 × ​ __  ​ = 5

9

6

Si no recuerdas cómo multiplicar fracciones, revisa el procedimiento usual en la página 224 de la sección “Mi acordeón”. 6. Analiza la información y responde en tu cuaderno. Un corredor de autos recorre ​ __53 ​partes de un circuito de 5.4 km de longitud en 50 segundos. En ese mismo tiempo, otro corredor recorre ​ __47  ​ partes de un circuito de 6 km. a) ¿Cuántos kilómetros ha recorrido el primer corredor sobre la pista? APRENDER A PENSAR

¿Para responder las preguntas de la actividad 6, es necesario conocer el tiempo del recorrido?

b) ¿Cuántos kilómetros le faltan al segundo corredor para terminar? c) ¿Efectuaste las mismas operaciones para resolver las preguntas anteriores? d) Si los dos corredores compitieran en la misma pista, ¿cuál supones que ganaría y por qué? 124 PERIODO 2


Alicia en el país de las matemáticas

LECCIÓN 2

Las montañas del País de las Maravillas

Alicia debe elegir entre tres caminos y en cada uno de ellos hay una montaña que necesita escalar para pasar. No le importa caminar mucho, pero quiere que la montaña no esté muy empinada para que el ascenso sea fácil. • ¿Consideras que conocer la altura de cada montaña es suficiente para

determinar cuál de ellas es la más empinada?  

• Además de la altura, ¿qué otro dato se requiere para determinar qué

tan empinada está una montaña?  

1. Cada esquema representa la inclinación de una de las montañas anteriores (y su respectivo camino). Observa que en todos los esquemas (montañas) la altura es la misma (3 unidades). Montaña A

Altura

Longitud de la montaña

Montaña B

Montaña C

Altura

Longitud de la montaña

Altura

Longitud de la montaña

125


Secuencia 11

APRENDER A PENSAR

La pendiente de una recta es una razón que indica qué tan inclinada está. Es decir, entre mayor sea la pendiente, la recta se parecerá más a una recta vertical. De manera análoga, las rectas con pendientes menores se parecen más a una recta horizontal. La pendiente de una recta se puede determinar con un cociente: Lo que avanzas en la vertical _________________________________ ​​  Lo        ​​ que avanzas en la horizontal

a) ¿Cuál de las montañas está más empinada?  b) Observa que los extremos de los tres caminos están a la misma altura. ¿Eso basta para decidir cuál tiene mayor inclinación?  

c) ¿Qué otro dato necesitas conocer? 

d) ¿Qué camino debe tomar Alicia para que sea más fácil escalar la montaña correspondiente? 

2. Completa el texto para determinar la pendiente de la recta.

B

Distancia vertical A Distancia horizontal

La distancia vertical que se avanza para llegar del punto A al B es 3; la distancia horizontal es .

Por lo tanto, la pendiente de la recta es __ ​​ 35 ​​.  3. Halla la pendiente de las rectas. Considera lo que hay que avanzar del punto A para llegar al B (horizontal y verticalmente). Recta 1

Recta 2

B B

A A

Pendiente:

Pendiente:

126 PERIODO 2


Alicia en el país de las matemáticas

Recta 3

Recta 4 B B

A A Pendiente:

Pendiente:

Ordena las pendientes de las rectas anteriores de la menor a la mayor y determina cuál es la más empinada y cuál, la menos. 

4. Calcula las pendientes para los tramos que se indican de la recta mostrada. Considera los avances vertical y horizontal en cada tramo y simplifica las fracciones lo más que se pueda. • Del punto A al B:

y 8

• Del punto A al C:

• Del punto A al D:

D

6

C

4

B

2

• Del punto B al C:

0

• Del punto B al D:

A

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

• Del punto C al D:

a) ¿Cómo son entre sí las pendientes de todos los tramos?  b) Elige otro punto E, distinto de los anteriores, pero que también esté sobre la recta trazada. Calcula las siguientes pendientes. • Del punto A al E:

• Del punto E al D:

c) Con base en tu respuesta anterior, ¿qué tienen en común las pendientes de tramos en la misma recta? Escribe tu conclusión en el cuaderno. 127


Secuencia 11

LECCIÓN 3

El Sombrerero Loco El Sombrerero Loco es conocido en El País de las Maravillas por su afición a los pasteles y a los tés de diversos sabores, colores y olores. Sus favoritos son el té de jazmín y el pastel de flores violetas.

A lo largo de la historia se han hecho muchas ilustraciones de Alicia en el país de las maravillas. Esta ilustración fue creada por sir John Tenniel en 1865 para la primera edición.

Para prepararlos, usa siempre las cantidades de ingredientes que se muestran en las tablas. Té de jazmín Cantidad de tazas

2 o menos

3

4 o más

Pétalos de jazmín

1

2

3

Pastel de flores violetas Número de rebanadas

2

4

5

Polvo de flores violetas

3.8 g

7.6 g

9.5 g

• Explica si el sabor del té o del pastel es siempre el mismo sin importar

cuántas porciones prepare El Sombrebrero Loco.    

• ¿En qué tabla la cantidad de ingredientes (pétalos o gramos de polvo)

y la de porciones (tazas o rebanadas) varían proporcionalmente? 

128 PERIODO 2


Alicia en el país de las matemáticas

1. Completa la tabla con la cantidad de polvo de flores que se requiere para cada cantidad de pastel. Número de rebanadas

1.5

3

3.5

Gramos de polvo de flores violetas

a) En tu cuaderno, describe brevemente cómo completaste la tabla y compara tu estrategia con la de tus compañeros. 2. Analiza la información y responde. El Conejo Blanco notó que, por cada rebanada de pastel, se requieren 1.9 g de polvo de flores; así que, para hallar los gramos que se deben usar para 3.5 porciones, hay que multiplicar 3.5 × 1.9. Entonces, para calcular 3.5 por 1.9, primero multiplicó 3 × 1.9 = 5.7, y al resultado le sumó el producto de 0.5 × 1.9; es decir, 0.95. Así, el resultado de 3.5 × 1.9 es 5.7 + 0.95 = 6.65. a) ¿Qué resultado obtienes al multiplicar 35 × 19?  b) ¿Qué relación tiene el resultado anterior con el de la multiplicación 3.5 × 1.9? 

3. Calcula para cuántas porciones de pastel alcanzan 100 g de polvo de flores. 

a) Describe el procedimiento que usaste. 

4. Resuelve las multiplicaciones; para ello, primero multiplica la parte entera y luego la parte decimal. a) 3.7 × 1.6 =  b) 4.19 × 2.5 =  c) 6.87 × 2.05 =  129

10


12 SECUENCI A

El Sistema Solar LECCIÓN 1

¿Dónde pesas más? Nuestro sol y el planeta Tierra forman parte del Sistema Solar, un conjunto de cuerpos celestes ubicados en la galaxia llamada Vía Láctea. A los cuerpos celestes que orbitan alrededor de los planetas se les conoce como satélites naturales; por ejemplo, la Luna es el satélite natural de la Tierra. Además de nuestra estrella, planetas y satélites, en el Sistema Solar hay asteroides, en su mayoría agrupados en el llamado cinturón de asteroides, entre Marte y Júpiter. La tabla muestra el diámetro de algunos cuerpos celestes en el Sistema Solar. Diámetro (km) Mercurio 4 879

Venus 12 104

Tierra 12 756

Luna 3 475

Marte 6 792

Júpiter 142 984

Saturno 120 536

Urano 51 118

Neptuno 49 528

Plutón 2 370

• ¿Qué cuerpos celestes de la tabla tienen el mayor y el menor diámetro

antes del cinturón de asteroides? 

• ¿Qué cuerpos celestes tienen el mayor y el menor diámetro después

del cinturón de asteroides? 

• ¿Qué cuerpo de la tabla tiene el mayor diámetro?  • ¿Qué cuerpo de la tabla es el más pequeño?  • Ordena los cuerpos de la tabla de acuerdo con su diámetro, del menor

al mayor. 

1. Completa la tabla con el radio de cada cuerpo celeste. Diámetro (km) Mercurio

Venus 6 052

Tierra

Luna

Marte

Júpiter

Saturno

Urano

Neptuno

Plutón

130 PERIODO 2


a) Responde con base en la información de la tabla anterior. • ¿Qué cuerpo celeste tiene el mayor radio?  • ¿Cuál tiene el menor radio? 

b) Ordena los cuerpos de la tabla anterior de acuerdo con su radio, del menor al mayor. 

c) Comprara tu respuesta anterior con el orden que anotaste en la actividad de inicio (según el diámetro) y responde. • ¿Cambió el orden?

Explica por qué.

 

d) Ubica en las rectas numéricas los radios de la Luna y Mercurio. 1 726

1 728

1 730

2 428

1 732

1 734

2 432

1 736

1738

2 436

1740

2440

e) Describe la estrategia que seguiste para ubicar los decimales en la recta.  

2. Analiza la información y responde. Como cada cuerpo celeste ejerce una gravedad distinta, el peso de un objeto no es el mismo en todos lados, sino que depende de qué tan masivo sea el cuerpo celeste sobre el que está el objeto. Por ejemplo, 4 el peso de una persona en la Luna es aproximadamente. ____ ​​ 25    ​​de su peso en la Tierra. La tabla muestra que fracción de su peso en la Tierra tiene un objeto en algunos lugares.

Peso de un objeto comparado con su peso en la Tierra.

Mercurio

Venus

Tierra

Luna

Marte

Júpiter

Saturno

Urano

Neptuno

6 ​​ _  ​​  16

​​ ____ 10  ​​

9

1

​​ ____ 25  ​​

4

​​ __  ​​ 8

3

​​ ____ 20 ​​

47

​​  ____ 25 ​​

23

22 ​​  ____ 25 ​​

28 ​​ ____ 25 ​​

131


Secuencia 12

a) ¿Qué tienen en común las fracciones de Saturno, Urano y Neptuno?  

b) Ordena esas tres fracciones de la menor a la mayor.  c) Escribe una estrategia que sirva para ordenar fracciones con el mismo denominador. 

3. Trabaja con un compañero. Analicen la información y respondan. Júpiter es el planeta más grande del Sistema Solar y se le conoce desde la antigüedad porque se puede ver sin necesidad de un telescopio. Este planeta tiene más de 50 lunas; una de ellas lleva el nombre de Europa, y ahí los objetos pesan ​​ __18 ​​de lo que pesan en la Tierra. a) Ubiquen en la recta numérica las fracciones que corresponden a los pesos de un objeto en Mercurio, Marte y Europa.

0

1

b) ¿Qué tienen en común los denominadores de las tres fracciones? 

d) ¿Qué procedimiento siguieron para ubicar las fracciones correspondientes a Europa y a Mercurio?  

f) Ordena de la menor a la mayor esas fracciones.  4. Escribe una estrategia para… a) ubicar en la recta numérica fracciones cuyos denominadores sean múltiplos uno del otro.   132 PERIODO 2


El Sistema Solar

b) ordenar fracciones cuyos denominadores sean múltiplos uno del otro.  

5. Reúnete con un compañero y comparen las estrategias que escribieron en la actividad anterior. Pónganse de acuerdo acerca de cuál es la mejor estrategia y úsenla para ubicar en la recta las fracciones correspondientes a Venus, la Luna y Júpiter.

0

1

2

3

6. Trabaja con un compañero. a) Completen la tabla, expresando los pesos anteriores en notación decimal. Redondeen a dos cifras decimales. Mercurio

Venus

Tierra

Luna

Marte

Júpiter

Peso de un objeto comparado con su peso en la Tierra.

b) En su cuaderno, describan el procedimiento para convertir fracciones en números decimales. c) ¿Cómo harían para ordenar fracciones y números decimales?

7. Completa los espacios en blanco con los signos <, > o =. 9 ​​ ____   ​​   Venus a) Urano 0.88 10 28   ​​ 1 Tierra b) Neptuno ​​ ____ 25 9   ​​   0.375 Marte c) Venus ​​ ____ 10 6 ​​ ____   ​​   Mercurio d) Marte ​​ __38 ​​ 16 28 ​​ ____  ​​ Neptuno e) Júpiter 2.35 25 23  ​​ 1 Tierra f) Saturno ​​ ____ 25 ​​ __81 ​​ Europa g) Luna 0.16

133

Saturno

Urano

Neptuno


Secuencia 12

LECCIÓN 2

¿A qué temperatura? Planeta Venus

En la Tierra, el clima puede ser muy extremo, por ejemplo, el 10 de julio de 1913 se registró una temperatura de 134 °F (la escala Fahrenheit se utiliza para medir temperatura además de la escala Celsius o centígrada) en el Valle de la Muerte, en California. Y del otro lado del termómetro, el 21 de julio de 1983 en la Antártida se registró una temperatura de −129 °F. En Venus, la espesa atmósfera mantiene el calor del Sol y las temperaturas de la superficie son de 900 °F.

Planeta Marte

En Marte hay grandes cambios de temperatura. Durante el día, las temperaturas pueden llegar a 80 °F y durante la noche, a −200 °F. Europa, una de las lunas de Júpiter, está cubierta de hielo y sus temperaturas son de alrededor de −328 °F. Otra luna helada es Tritón, un satélite de Neptuno, donde hay volcanes de hielo y la temperatura en la superficie puede ser de −391 °F.

Europa, luna de Júpiter

• ¿En cuál de los lugares que se mencionan en el texto se alcanzan

mayores temperaturas? 

• ¿Dónde es menor la temperatura?

 Tritón, satélite de Neptuno

1. En México no se suele utilizar la escala Fahrenheit para medir temperatura y en su lugar se utiliza la Celsius. Considera que C = ​​ __59 ​​  (F − 32) para hacer lo que se indica. a) Escribe las temperaturas de la actividad inicial en grados Celsius. Usa fracciones con denominador 9. Tierra Máxima

Mínima

Venus

Marte Día

Noche

Europa

Tritón

b) Calcula la diferencia entre las temperaturas máxima y mínima registradas en la Tierra.  134 PERIODO 2


El Sistema Solar

c) Calcula la diferencia de temperaturas entre Europa y Tritón. 

d) Calcula la diferencia de temperaturas entre la máxima de Marte y la temperatura de Venus. 

2. Convierte de Celsius a Fahrenheit (F = __ ​​ 95 ​​  C + 32) o de Fahrenheit a Celsius, según sea el caso. Escribe los resultados en decimal o fracción. Fahrenheit

Celsius

215.6 −​​ ___ 2  ​​  15

​​ ____ 3  ​​ 42

−248.32 −3.1

3. Escribe todas las temperaturas en forma decimal y completa la tabla de diferencias de temperaturas en cada caso. No es necesario hacer la conversión de temperaturas. Temperatura 1 (T1) 12.25 °C

Temperatura 2 (T2)

Diferencia (T2 − T1)

15 −​​ ___   ​​ °C = 6

75 ​​ ___ 4  ​​ °F =

48.3 °F 46 −​​ ____ 5  ​​ °C =

19 −​​ ___ 4  ​​ °F =

−17.45 °C −45.3 °F

39 ​​ ____ 12  ​​ °F =

219 °F

4. Fátima tiene una tienda y debe llevar el registro de los productos que consume diariamente su familia para que las cuentas sean claras. A continuación, se encuentra el registro que lleva del jamón consumido en una semana. Jamón __ ​ ​43  ​​ kg, __ ​ ​41   ​​ kg, __ ​ ​21  ​​ kg, 0.2 kg, 0.75 kg, 0.1 kg, 1.3 kg a) ¿Cuántos kilogramos de jamón consumieron en esa semana?  135


Secuencia 12

LECCIÓN 3

¿Cuántos años tienes?

El movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol origina las cuatro estaciones; su movimiento de rotación origina la sucesión del día y la noche. Así, la Tierra da una vuelta completa al Sol en 365 días, que son equivalentes a un año, y sobre su propio eje en 24 horas, que es la duración de un día.

N

Día

ión

c Trasla

Rotación

Noche S

• Completa la tabla con la equivalencia en años de cierta cantidad de

días y viceversa. Aproxima a cuatro decimales Días

1

36.5

365

Años

0.3

1

0.5

1. No todos los planetas tardan el mismo tiempo en dar una vuelta completa alrededor del Sol. Revisa la información de la tabla y haz lo que se indica. Cuerpo

Neptuno

Urano

Saturno

Júpiter

Marte

Venus

Mercurio

Duración de un año (días)

60 166

30 664

10 753

4 329

687

225

88

a) ¿Cuántos años terrestres hay en un año de Neptuno, Urano, Marte, Venus y Mercurio? Ten en cuenta dos decimales en cada división. Cuerpo

Neptuno

Urano

Marte

Venus

Mercurio

Duración en años terrestres

2. Reúnete con un compañero y determinen cuántos años terrestres hay en un año de Saturno y Júpiter.  136 PERIODO 2


El Sistema Solar

3. Considera que Patricia tiene 12 años en la Tierra. Haz lo que se indica y utiliza tres decimales en las divisiones. a) Escribe un procedimiento para saber cuántos años tiene en Venus.  

b) Completa la tabla con la edad que Patricia tendría en cada cuerpo celeste. Cuerpo celeste

Neptuno

Urano

Saturno

Júpiter

Marte

Venus

Mercurio

Edad de Patricia APRENDER A PENSAR

4. Haz las divisiones (redondea a dos decimales) y responde. a) 42.7 ÷ 0.25 =

b) 37.12 ÷ 2.1 =

c) 1.19 ÷ 0.05 =

b) 123.4 ÷ =

Calcula tu edad con un decimal, considerando los años completos y el número de días hasta hoy, y también calcula tu edad en cada cuerpo celeste.

• ¿En todas las divisiones el cociente era más pequeño que el

dividendo?

¿Se parecen tus resultados a los de Patricia?

 • ¿A qué piensas que se debe? 

¿Por qué crees que suceda?



Compara tus resultados con los de tus compañeros.

5. Completa la tabla. Número inicial (N1)

N2 (N1 × 10)

N3 (N2 × 100)

N4 Cuando multiplico por una (N3 ÷ 1 000) potencia de 10, en el número el punto decimal…

Cuando divido por una potencia de 10, en el número el punto decimal…

14.3265 0.548906 3 146.25

6. Reúnete con un compañero, comparen sus respuestas y describan una estrategia para dividir números decimales.

APRENDER A PENSAR

Recuerda que las potencias de 10 son 10, 100, 1 000, etcétera.

  137


13 SECUENCI A

Dime qué tiras a la basura y te diré quién eres LECCIÓN 1

¡Cuánta basura! ¿Te has preguntado dónde se deposita la basura que se genera diariamente en tu casa? La basura siempre ha representado una situación difícil para el ser humano; por ejemplo, en 1787, las calles de la Ciudad de México eran intransitables por la basura, incluso los peatones se ensuciaban los pies al caminar por ellas. El virrey Revillagigedo organizó el sistema de limpia de la ciudad y mandó a construir los primeros tiraderos de basura, la cual era recogida en carros tirados por mulas y llevada a lugares “muy lejanos”. • ¿Cuál consideras que es en la actualidad el problema de solo llevar

“muy lejos” la basura? 

En 2014 se calculó que cada habitante en la Ciudad de México producía en promedio 1.4 kg de basura por día. Considera estos datos para contestar las siguientes preguntas. • ¿Cuánta basura generaba al día una familia de cuatro personas en la

Ciudad de México? 

• Si actualmente en la Ciudad de México hay cerca de 8 600 000

habitantes, ¿cuánta basura se genera en un día aproximadamente? 

1. Analiza la información con un compañero y respondan las preguntas. De acuerdo con datos del Inegi, en nuestro país cada habitante produce, en promedio, 770 g de basura en un día.

TIC Conoce más datos sobre la basura que se genera en nuestro país en www.e-sm.com.mx/ SSAVM1-138

a) ¿Cuánto representa, en kilogramos, 770 g?  b) ¿A qué atribuyen la diferencia entre el promedio de basura generada por persona en el país respecto al promedio por persona en la Ciudad de México?  138 PERIODO 2


c) Completen la tabla con la cantidad de basura generada por familia en nuestro país. Cantidad de personas en una familia

2

4

5

6

8

12

Basura generada por familia en un día (kg)

d) ¿Cómo es la relación entre la cantidad de basura que producen cuatro personas en un día respecto a la que producen dos? 

e) ¿Cómo es la relación entre la cantidad de basura que producen cuatro personas en un día respecto a la que producen ocho personas? 

f) ¿La relación entre el número de habitantes y la producción de basura por día es una relación de variación directamente proporcional? 

2. Analiza la información y haz lo que se indica. Responde en tu cuaderno. La cantidad de basura que produce una persona varía en cada país. Sandra leyó en un periódico que en Estados Unidos de América (EUA) en promedio una persona produce más basura que en la Ciudad de México. a) Completa la tabla. Usa la información de la tabla que considera la producción de basura promedio en EUA. Cantidad de personas en una familia Basura generada por familia en un día (kg)

2

4

5

7.6

9.5

6

12 15.2

b) ¿Cuánta basura produce una persona en promedio al día en EUA?  c) ¿La relación entre el número de personas y la cantidad de basura que generan es una relación de variación directamente proporcional? d) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad en esta situación y qué representa? e) Comenta con tus compañeros a qué piensas que se debe que el promedio de cantidad de basura producida sea diferente en cada país. 139

APRENDER A PENSAR

Para saber si dos cantidades se relacionan de forma directamente proporcional, ¿es suficiente analizar que si una aumenta, la otra también?


Secuencia 13

3. Entre los países donde se produce la menor cantidad de basura por ha9 bitante está Nepal con ____ ​​ 20    ​​kg por día por persona. Con base en esta información, completa la tabla. Cantidad de personas en una familia

2

3

5

10

Basura generada por familia en un día (kg)

4. En África Subsahariana, una familia de ocho personas produce 5.2 kg de basura en un día. a) ¿Cuánta basura produce una familia de tres personas en esa parte de África? b) En el apartado “Mi acordeón”, en la página 228, revisa cómo calcular el valor faltante en una proporción y determina la cantidad de basura generada por una pareja sin hijos. c) ¿En qué lugar se produce menos cantidad de basura por día: en Nepal o en África Subsahariana? d) ¿Cuál es la diferencia en la producción de basura diaria entre los dos lugares?

5. En un artículo titulado el “Atlas de los desperdicios”, se menciona que la humanidad generó 9 000 millones de toneladas de basura en cinco años y presenta la siguiente gráfica, en la que se exponen los países que producen más basura en el mundo. 300 000 000

Toneladas

250 000 000 200 000 000 150 000 000 100 000 000 50 000 000 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Elaboración propia con datos de Waste Atlas [en línea], disponible en ‹http://www.atlas.d-waste.com/›.

1. China 2. EUA 3. India 4. Brasil 5. Indonesia 6. Alemania 7. Rusia 8. Japón 9. México 10. Francia 11. Reino Unido 12. Italia 13. Turquía 14. Canadá

a) En tu cuaderno, explica por qué la gráfica no permite saber en qué país se genera más basura por habitante. 140 PERIODO 2


Dime qué tiras a la basura y te diré quién eres

LECCIÓN 2

¿Basura en el agua? ¿Sabes adónde va el agua cuando jalas la palanca del baño, cuando te bañas o cuando lavas tu ropa? El agua que se va por la coladera llega hasta el drenaje, que es una red de tubos conectados y que seguramente llegará a algún río o al mar. El agua de los mares recibe, además del agua del drenaje, basura de las ciudades. En 1997 se descubrió una isla de basura en el océano Pacífico, entre California y Hawái. La isla tenía 2 200 km de largo, 800 km de ancho y una profundidad de 10 m. • ¿Qué volumen (en km3) tenía esa isla de basura? 

1. Trabaja con un compañero y hagan lo que se indica. Carlos tiene una piedra de la suerte con un ópalo y quiere saber su volumen para ver si le cabe en la mochila que llevará a un campamento. En la escuela le enseñaron a calcular el volumen de prismas con base rectangular o triangular, pero no el de una piedra. María Julia le propuso que sumerja la piedra en agua. Él introdujo la piedra en un recipiente cúbico cuyas aristas miden 10 cm y lo llenó de agua hasta el tope; después, sacó la piedra y calculó la cantidad de agua que quedó en el recipiente. a) ¿Cómo puede determinar el volumen de la piedra? 

b) Si el agua que quedó llega a 5.6 cm de altura en el recipiente, ¿cuál es el volumen de la piedra? 

2. Respondan las preguntas. a) ¿Qué es un decímetro cúbico? 

b) ¿Cuánta agua cabe en 1 dm3? c) ¿Cuántos decímetros cúbicos caben en 1 m3?  d) ¿Cuántos litros de agua caben en 1 m3?  141

10 cm


Secuencia 13

e) ¿Cuántos centímetros cúbicos tiene 1 dm3? f) ¿Cuál es la capacidad de 1 cm3?  g) ¿Cuál es la diferencia entre capacidad y volumen?  

3. La cantidad de agua que sale por el grifo no es la misma en todos lados. Para medir este caudal de agua en su casa o en la escuela, consigan un envase de 1 L, uno de __ ​​ 12 ​​ L y una taza medidora. Coloquen un recipiente bajo la llave, ábranla y midan cuánta agua se acumula durante 6 s; luego respondan las preguntas. 

a) ¿Cuánta agua caerá en un minuto?  b) ¿Cuánta se acumulará en una hora?  c) ¿Y en un día?  4. Preocupados por la falta de abastecimiento de agua, la familia de Carlos construyó una cisterna como la que se muestra en la imagen. 1m

a) ¿Con cuántos litros de agua se llena la cisterna? 

1m

1m

b) ¿En cuánto tiempo se llenará la cisterna con el caudal del grifo que midieron? 

c) Si la cisterna está vacía, ¿cuánta agua se junta en la cisterna con la llave abierta al máximo durante 1 ​​ __41  ​​ h?  5. Sandra midió que, en la llave de su casa, el agua sale a razón de 7.5 L/min. a) ¿En cuánto tiempo se llenaría la cisterna de la casa de Carlos con este caudal? 

b) ¿Cuánto tiempo tomará que la altura del agua dentro de la cisterna llegue a la mitad? 

142 PERIODO 2


Dime qué tiras a la basura y te diré quién eres

6. Claudia necesita una cisterna del doble de capacidad de la cisterna que hay en la casa de Carlos. a) Si Claudia encarga una cisterna del doble de ancho, el doble de largo y el doble de altura que la cisterna de la casa de Carlos, ¿su cisterna tendrá el doble de capacidad?  

b) ¿De qué manera Claudia debe modificar las medidas de la cisterna de Carlos para que la suya tenga el doble de capacidad? 

7. En Chile, país ubicado en el sur del continente americano, por una llave determinada salen 12 L de agua por minuto. a) Con base en la información anterior, completen la tabla. Tiempo (min)

Cantidad de agua que sale de la llave (L)

15 30 60 90 120

b) ¿En cuánto tiempo se llena una cisterna de 1 m3? 

c) Si la relación entre el tiempo y el agua que sale del grifo es de variación directamente proporcional, determinen la constante de proporcionalidad. En caso contrario, argumenten por qué no es variación directamente proporcional.  

d) Con la información de la tabla del inciso a), grafiquen, en su cuaderno, el llenado de la cisterna. e) ¿Qué forma tiene la gráfica?  143

APRENDER A CONVIVIR

En la Ciudad de México y su área metropolitana es donde más agua se desperdicia en el país. En gran parte se debe a las fugas de la red hidráulica. Comenta con tus compañeros cómo se desperdicia al agua en tu localidad y qué acciones pueden llevar a cabo de forma individual o colectiva para reducir el gasto innecesario.


Secuencia 13

8. Lean la información y hagan lo que se pide. Un aljibe es un depósito grande (bajo tierra) que sirve para conservar el agua de lluvia. A continuación, hay tres diseños de estos depósitos. a)

b)

c)

Las gráficas relacionan el tiempo (min) de llenado con el volumen (L) de los aljibes anteriores. ¿Qué gráfica corresponde a cada uno? Escriban, en cada una, la letra del aljibe que representa. L

L

L

min

a) ¿Cuánta agua cae en dos minutos en casa de Ismael? b) ¿La relación entre el tiempo y el agua es de variación directamente proporcional?

min

16 14 12 Agua (L)

9. Ismael trazó una gráfica con la información del llenado de la cisterna de su casa. Analízala y contesta las preguntas en tu cuaderno.

min

10 8 6 4 2 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 Tiempo (min)

c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? d) En el contexto del problema, ¿qué representa la constante de proporcionalidad? e) ¿Pasa la gráfica por el origen? f) ¿Qué representa el punto (0, 0) en el contexto del problema? 144 PERIODO 2


Dime qué tiras a la basura y te diré quién eres

LECCIÓN 3

El 19 de septiembre de 2017 tembló en algunos estados de la República Mexicana; a consecuencia de ello, varias familias quedaron sin casa. Muchos jóvenes se organizaron en brigadas para dar apoyo a los damnificados de diversas maneras. En el grupo de Sandra, después de trabajar la lección “¡Cuánta basura!”, se planteó una campaña para reciclar residuos con la idea de recolectarlos, venderlos y, con los fondos, comprar alimento para los centros de acopio. Sandra juntó en su casa una pila de papel tamaño carta de 16.5 cm de alto e investigó que por cada kilogramo de hojas de papel bond de ese tamaño pagan $2.50. Como referencia, Sandra pesó y midió la altura de un paquete de 500 hojas papel bond tamaño carta y obtuvo que su peso es 2.21 kg y mide 5 cm de altura.

Reduce, reutiliza y recicla APRENDER A CONVIVIR

La cantidad de basura que se genera en el mundo ha crecido en los últimos años y la única forma de detener este proceso es aplicando las tres R: reducir, reutilizar y reciclar. Reciclar permite utilizar de manera más eficiente los recursos. Actualmente, se reciclan muchos materiales, como papel, aluminio, PET, vidrio, entre otros.

a) ¿Cómo puede saber Sandra cuánto dinero recibirán por la pila de papel que reunió?   

b) En su grupo, juntaron 12.3 m de papel. ¿Cuánto dinero recibirán al venderlo? 

1. Una de las rectas de la gráfica representa el dinero que se recibe por reciclar papel bond y la otra por reciclar papel periódico. a) ¿De qué color es la recta que representa el pago por reciclar periódico? Argumenta tu respuesta. 

$ 7

b) Lee en la gráfica cuánto pagan por 2 kg de periódico y anótalo.

6

c) Revisa en el apartado “Mi acordeón”, en la página 231, cómo determinar la pendiente de una recta.

4

5

d) Determina la pendiente de la recta que representa el pago por reciclar periódico.

3 2 1 0

145

1

2

3

4

5

kg


Secuencia 13

APRENDER A PENSAR

d) Con la información de la gráfica, completa la tabla en la que x representa el peso en kilogramos y 1.5x el dinero en pesos que se recibe por reciclar x kilogramos de periódico.

Si llamamos y a la cantidad dinero que se recibe por reciclar x kilogramos de papel periódico, entonces y = 1.5x es la expresión que relaciona ambas cantidades.

1.5x

x

2.5 kg

4 kg

5.5 kg

6 kg

$6.00

2. Uno de los materiales con más ventajas para reciclar es el aluminio. Para juntar 1 kg de aluminio, se necesitan 65 latas. a) Completa la tabla con la relación entre el número de latas y el peso que representa. Número de latas

Peso (kg)

65 2 150 200 4

APRENDER A PENSAR

¿Cuántos kilogramos forman una tonelada? Si con 1 kg de papel se pueden hacer cuatro cuadernos de 100 hojas, ¿cuántos cuadernos se pueden hacer con 1 t de papel? De todos los árboles que se utilizan para la producción de papel, solo 15% proviene de granjas de árboles; el resto se obtiene de bosques que no se reforestan.

b) La gráfica relaciona el peso en kilogramos de aluminio con el dinero en pesos que se obtiene al venderlo. Con base en la gráfica, responde las preguntas. $

• ¿Cuánto dinero se obtiene por reciclar 4 kg de aluminio? 

120 100



80

• ¿Cuánto dinero se obtiene por reciclar 6 kg de aluminio? 

60 40



20 0

1

2

3

4

5

6

7

kg

• ¿Cuál es la pendiente de la recta?  • ¿Cuánto pagan por cada kilogramo de aluminio reciclado?   146 PERIODO 2


Dime qué tiras a la basura y te diré quién eres

3. Muchos compañeros de Sandra se enfocaron en recolectar aluminio por el gran valor de cambio que tiene; en total, recibieron $493.00. ¿Cuántos kilogramos recolectaron? a) Plantea una ecuación para este problema y resuélvela. 

4. Resuelve con tu calculadora. a) Si se producen 10 348 800 000 latas de aluminio al año y se pudieran reciclar todas, ¿cuántos kilogramos de aluminio se obtendrían?  b) ¿Puedes leer en la gráfica de la actividad 2 cuánto dinero se obtendría por vender todas las latas al año? 

c) ¿Cuánto dinero se obtiene si se recicla el total de aluminio producido? 

5. Reúnete con dos compañeros. Analicen la información y hagan lo que se indica. Respondan en su cuaderno. La cantidad promedio de basura que se produce está relacionada con la capacidad adquisitiva de las personas. Las rectas relacionan el número de personas con la cantidad de basura generada. Las clases económicas representadas son alta, media alta, media baja y baja. a) ¿Cuál es la pendiente de cada recta? b) ¿Qué representa la pendiente en el contexto del problema? c) ¿Qué color representa la clase económicamente alta y por qué? d) ¿Qué color representa la clase económicamente baja y por qué?

Promedio de basura generada (kg) 7 6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Número de personas

147

APRENDER A PENSAR

La expresión algebraica p = 17k indica el pago de reciclar k kilogramos de aluminio. Entonces, cualquier punto (x, y) de la recta que relaciona el peso del aluminio con el dinero obtenido tiene la forma y = 17x.


14 SECUENCI A

México: su población y territorio LECCIÓN 1

El territorio y sus pobladores

De los 32 estados que conforman el territorio nacional, Sonora e Hidalgo tienen poblaciones casi del mismo tamaño. Se estima que en Sonora hay aproximadamente 2 850 000 habitantes, mientras que en Hidalgo hay aproximadamente 2 858 000 habitantes; esto significa que la población de Hidalgo es apenas 0.28% mayor que la de Sonora. • Ubica y colorea Sonora e Hidalgo en el mapa de México.

• ¿En cuál de ellos la población tiene menos espacio?  • A simple vista, estima cuántas veces cabe el territorio de Hidalgo en

el de Sonora. 

1. Analiza la información y haz en tu cuaderno lo que se pide. El territorio de Sonora tiene una superficie de 179 355 km2 y el de Hidalgo es 158 542 km2 menor. a) ¿Cuál es el área del estado de Hidalgo? b) Imagina que todos los habitantes de Sonora se dividieran equitativamente el territorio de su estado. ¿Con qué operaciones calcularías cuánto le corresponde a cada uno? 148 PERIODO 2


c) Supón que se hace dicha repartición. Calcula cuánto territorio le correspondería a cada habitante de Sonora. d) Determina cuánto territorio más por habitante les correspondería a los sonorenses respecto a los hidalguenses. 2. Trabaja con un compañero y respondan las siguientes preguntas en su cuaderno. a) ¿Qué significa el número que se obtiene al dividir la población de un estado entre el área del territorio de ese mismo estado? b) Usen una calculadora y determinen cuántos habitantes por kilómetro cuadrado (hab/km2) habría en Sonora si todos los habitantes del estado estuvieran repartidos equitativamente en su territorio. A este número se le conoce como la densidad de población y es un indicador demográfico de mucha importancia. c) Usen su calculadora y obtengan la densidad de población de Hidalgo; para ello, dividan la población entre el territorio. d) Si sus cálculos de las preguntas anteriores fueron correctos, habrán observado que la densidad de población de Sonora es menor que la de Hidalgo, ¿qué significa esto? e) Comparado con Hidalgo, ¿cuántos habitantes menos por km2 tiene Sonora?

Glosario densidad de población ▶ relación entre un espacio determinado y el número de personas que lo habitan. Se expresa en habitantes por kilómetro cuadrado (hab/km2).

f) Discutan si les parece realista suponer que hay el mismo número de habitantes por kilómetro cuadrado en cada estado del país y justifiquen su respuesta.

TIC

3. Resuelve los problemas en tu cuaderno. a) El estado de Morelos tiene menos población que Sonora o Hidalgo, sin embargo, su densidad de población es mayor que la de ambos estados. ¿Cómo es posible? b) El estado de Querétaro tiene 174 hab/km2, mientras que Guanajuato tiene 191 hab/km2. Si consideras únicamente estos datos, ¿podrías determinar cuál tiene un territorio más grande? Justifica tu respuesta. c) Nayarit y Oaxaca tienen 42 hab/km2. ¿Se puede concluir que sus poblaciones son del mismo tamaño? 149

Ingresa en www.e-sm. com.mx/SSAVM1-149 e investiga la densidad de población del estado en que vives.


Secuencia 14

LECCIÓN 2

Las familias de antes y las familias de ahora

El Instituto Nacional de Geografía y Estadística (Inegi) es un organismo público encargado de los censos y las estadísticas para estudiar la población de México. Entre los datos que procesan se encuentran la composición de la población, empleo, ocupación, servicios de salud, finanzas públicas, transporte, etcétera. Según datos del Inegi, el número de hijos que tiene cada mujer ha disminuido rápidamente en los últimos 60 años. ¿Has notado si las familias de antes eran más numerosas que las de ahora? • Si en una sola familia el número de hijos por mujer disminuye de una

generación a otra, ¿es correcto afirmar que las familias son menos numerosas ahora? Argumenta tu respuesta. 

• ¿Consideras que hay un número mínimo de familias en las que se

presente este fenómeno para afirmar que las de ahora son menos numerosas?

Derechos Reservados © INEGI”.

1. Trabaja en equipo. Completen la tabla con la cantidad de hermanos que hay en cada generación por cada integrante del equipo; añadan la información de otros compañeros o amigos entrevistados hasta obtener diez registros. Generación 1 Tú y tus hermanos

Generación 2 Tu madre o padre y sus hermanos

Generación 3 Tu abuela o abuelo y sus hermanos

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2. Respondan las siguientes preguntas con base en los datos de la tabla anterior. 150 PERIODO 2


México: su población y territorio

a) ¿Cuál es el rango de hermanos por familia en cada generación de la tabla? 

b) Lean en “Mi acordeón” la entrada sobre la moda y determinen si los datos por columna, es decir, por generación, tienen moda. En caso afirmativo, escríbanlos a continuación. 

c) Describan las operaciones necesarias para calcular el promedio de hijos por familia.  

d) Obtengan el promedio de cada generación. 

3. A continuación se presentan tres rectas numéricas, una por generación. a) Para la primera de ellas, que corresponde a tu generación, sigue las instrucciones. • Ubica y marca con una línea vertical los 10 registros del número

de hermanos por familia.

• Marca con un círculo azul el dato mayor y el menor. • Marca con un tache rojo el promedio. • Marca en color verde la moda si la hay. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

b) Para las siguientes dos rectas (correspondientes a las otras generaciones) ubica y marca lo siguiente: • el promedio; • el dato menor y el mayor; • la moda si la hay. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

151

APRENDER A PENSAR

El rango es el intervalo entre el valor máximo y el valor mínimo de un conjunto de datos. Rango = Vmáx − Vmín


Secuencia 14

c) Completa la oración con los signos <, > o =. El promedio es

el dato menor y

el dato mayor.

d) ¿El promedio es un valor representativo del conjunto de datos? Justifica tu respuesta. 

4. Observa las tres rectas que construiste y describe cómo ha cambiado el rango de hermanos por familia. Responde en tu cuaderno. a) ¿En qué generación está el rango mayor y en cuál el menor? b) Ordena las generaciones de acuerdo con el promedio de hermanos por familia. APRENDER A PENSAR

Observa los símbolos que se emplean para indicar los elementos que pertenecen al conjunto de datos A. A = {Dato 1, Dato 2, Dato 3, …}

c) En caso de tener moda, compárala en las tres generaciones. 5. Sin plantear las ecuaciones correspondientes, determina qué número falta en los siguientes conjuntos de números, dado el promedio de cada uno. a) A = {8, 8, 9, 7, 6, 10, 10, 8,

} Promedio = 8

b) B = {2, 4, 6, 3, 5, 3, 2,

, 2}

Promedio = 3

c) C = {−7, 9, −5, 7, −8, 6,

}

Promedio = 0

6. Inventa dos conjuntos de cuatro números enteros que cumplan las siguientes condiciones. Si no es posible hacerlo, explica por qué. Responde en tu cuaderno. a) El promedio es igual a 7, su valor máximo es 8 y el rango es 6. b) El promedio es 8, su valor mínimo es 5 y el rango es 2.

7. Determina si el número de hijos por familia ha aumentado o disminuido de una generación a otra como pensabas. Redacta, en tu cuaderno, tu conclusión y compárala con la de un compañero. En caso de desacuerdo, determinen cuál es la más apropiada. 8. Discute con tu compañero cuáles pueden ser las causas y consecuencias de la disminución de hijos por familia. Busquen información en periódicos en la cual se analice este tema, por ejemplo, las campañas de planificación familiar, su relación con las pensiones, etcétera. 152 PERIODO 2


México: su población y territorio

LECCIÓN 3

De acuerdo con cifras del Inegi, en 2016 había 2 012 979 automóviles registrados en Jalisco. Un año más tarde, el 25 julio de 2017, el periódico El Informador publicó una nota con el título “Cada día se suman en Jalisco 368 autos al parque vehicular”. • ¿Te parece posible que todos los días se sumen exactamente 368

vehículos al parque vehicular?

. ¿Por qué? 

 • ¿Cómo debemos interpretar la nota de El informador?



1. En la oficina de registro y control vehicular de una pequeña ciudad, se matricularon los siguientes vehículos en las primeras dos semanas de noviembre. Semana 1 Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

Motocicletas

32

33

29

33

32

Automóviles

43

38

45

45

49

Semana 2 Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

Motocicletas

32

30

26

32

34

Automóviles

39

44

43

42

47

a) ¿En promedio, cuántas motocicletas se registran al día?  b) ¿Cuántos automóviles se registran, en promedio, al día?  c) A continuación, ordena del menor al mayor los datos de las motocicletas registradas en ese par de semanas. 

d) ¿Cuántos datos son menores que el promedio? e) ¿Y cuántos son mayores? 153

¿Cómo es el transporte de los mexicanos?


Secuencia 14

2. Lee en “Mi acordeón”, página 244, la entrada sobre la mediana y responde las siguientes preguntas en tu cuaderno. a) ¿Cuál es la mediana de los datos de las motocicletas registradas? b) ¿Cuántos datos son menores y cuántos mayores que la mediana? APRENDER A PENSAR

Observa que la mediana representa el valor que se encuentra en el centro de los datos ordenados. ¿Cambiaría el resultado si se ordenan del valor mayor al menor?

c) En este caso, ¿cuál sería un mejor representante de los datos: la mediana o el promedio? Explica por qué. 3. Calcula el promedio y la mediana de los siguientes conjuntos de números y determina, en cada caso, cuál es el mejor dato representativo. a) Conjunto A = {1, 3, 8, 2, 7, 9, 9, 8} Promedio:

Mediana:

Mejor valor representativo: b) Conjunto B = {3, 4, 2, 5, 3, 3, 4, 2} Promedio:

Mediana:

Mejor valor representativo: c) Conjunto C = {12, 12, 11, 1, 1, 10, 10, 13} Promedio:

Mediana:

Mejor valor representativo:

4. Trabajen en pareja y respondan en su cuaderno. Usen calculadora. Las siguientes tablas muestran la población y el número de automóviles registrados en Jalisco y Michoacán en un periodo de 20 años. Jalisco Año

Automóviles

Población

2015

1 910 000

7 845 000

2010

1 615 000

7 351 000

2005

1 149 000

6 752 000

2000

731 000

6 322 000

1995

609 000

5 991 000

154 PERIODO 2

Habitantes por automóvil


México: su población y territorio

Michoacán Año

Automóviles

Población

2015

1 052 000

4 584 000

2010

780 000

4 351 000

2005

479 000

3 966 000

2000

315 000

3 986 000

1995

202 900

3 871 000

APRENDER A CONVIVIR

Habitantes por automóvil

a) ¿Con qué operación determinarían el número de habitantes por vehículo en cada año? b) En las tablas, completen la cuarta columna. Determinen el número de personas por vehículo que hay en cada año mostrado; aproximen su respuesta a centésimos. c) Discutan si el dato de 4.11 habitantes por automóvil en Jalisco implica que los automóviles están repartidos equitativamente entre todos los habitantes. ¿Cómo suponen que es la repartición de automóviles entre la población? d) ¿Es posible que haya 12.65 habitantes por automóvil? e) Analicen los datos de las tablas y escriban una conclusión. Por ejemplo, observen cómo ha cambiado el número de habitantes por automóvil en cada estado o comparen los valores entre Jalisco y Michoacán. 5. En equipos lleven a cabo la siguiente actividad. a) Elijan un tema relacionado con el transporte. Por ejemplo, pueden preguntar a sus compañeros cuántos automóviles tiene su familia o cómo llegan a la escuela. • Definan qué datos deben incluir y elaboren las preguntas para

integrar un cuestionario y obtener la información.

• Determinen si preguntarán a sus compañeros de salón, de grado

o de toda la escuela.

b) Organícense para recolectar los datos. Registren la información en sus cuestionarios y después organícenla en una tabla. c) Analicen la información que obtuvieron. Determinen, por ejemplo, cuál es el transporte más empleado o cuál es el número de autos promedio por familia. ¿Qué valor es más representativo de sus datos: el promedio, la mediana o la moda? d) Expongan sus resultados ante sus compañeros. 155

El costo ambiental del incremento en el uso y la producción de automóviles es muy alto por su relación con el calentamiento global, pues estos aumentan la producción de gases de efecto invernadero, entre ellos el dióxido de carbono (CO2), debido a la quema de combustibles. México se encuentra entre los diez países con mayores emisiones de gases de efecto invernadero del mundo, y 45% de estas provienen del transporte motorizado. ¿Qué opciones de transporte puedes emplear para no contribuir al incremento en las emisiones de CO2?


Infografía

Lenguas de México y del resto del mundo

En el mundo se hablan más de 7 000 idiomas, de los cuales cerca de 300 son lenguas indígenas habladas en nuestro país.

Si en México hubiera 100 personas... 99 hablarían español.

10 7

hablarían más de un idioma.

1

tendrían una lengua materna distinta al español.

Si en 2010 había 112.3 millones de mexicanos, ¿aproximadamente

hablaría una lengua en peligro de extinción.

cuántos hablaban más de un idioma?

Vitalidad de algunas lenguas indígenas en México Estado

SALUDABLE

Ejemplos

tarasco, maya yucateco, huichol, chontal, tzeltal.

¿Quién lo habla? Todas las generaciones.

tzotzil, tarahumara.

Abuelos y padres; los niños lo hablan solo en casa.

EN RIESGO

zapoteco, otomí.

Abuelos y padres; los niños no lo hablan.

MORIBUNDA

jacalteco, mochó.

Abuelos; los padres lo hablan solo en casa; los niños no lo hablan.

VULNERABLE

¿Qué parte de los compañeros de tu escuela hablan dos o más lenguas?


2 De la población mundial, _ ​   ​ habla alguna 3 de las 23 lenguas más comunes. PERSA

MALAYO

La gráfica muestra la proporción de hablantes de esas lenguas.

MARATÍ JAPONÉS ITALIANO

INGLÉS

URDU HINDI ÁRABE

VIETNAMITA

RUSO TÉLEGU ALEMÁN

LAHNDA

JAVANÉS COREANO TAMIL PORTUGUÉS TURCO CHINO

ESPAÑOL

BENGALÍ

FRANCÉS

¿Qué parte aproximada de la gráfica corresponde a los hablantes de chino?

¿Qué parte de la población mundial habla dicho idioma?


Ponte a prueba 2

Secuencia 9

Selecciona la opción correcta.

1. ¿Qué figura se obtiene con las siguientes instrucciones? I. Marque dos puntos (A y B) separados a una distancia de 5 cm. II. Abra el compás 4 cm y apóyese en A para trazar una circunferencia. III. Con la misma apertura del compás, apóyese en B y trace otra circunferencia. IV. Marque un punto donde se cruzan las circunferencias y denomínelo C. V. Trace el polígono ABC. a) Se obtiene un triángulo equilátero que mide 5 cm de lado. b) Se obtiene un triángulo equilátero que mide 4 cm de lado. c) Se obtiene un triángulo isósceles en que dos lados miden 4 cm y el otro, 5 cm. d) Se obtiene un triángulo isósceles en que dos lados miden 5 cm y el otro, 4 cm. 2. Katia calentó en el laboratorio una sustancia a 60 °C para después enfriarla a –15 °C. ¿Cuál es la diferencia entre ambas temperaturas? a) 15 °C

b) 45 °C

c) 60 °C

d) 75 °C

3. Un depósito de agua a __ ​ 35 ​  de su capacidad tiene 1 200 L de líquido. ¿Cuál es la capacidad total del depósito? a) 2 000

b) 1 800 L

c) 800 L

d) 720 L

4. Una empresa de paquetería tiene las tarifas de la tabla. Peso del paquete (kg)

1

2

3

4

5

6

Costo ($)

80

150

220

290

360

430

¿Qué ecuación corresponde a la tarifa (t) para enviar un paquete de 25 kg? a) t = 25 + 70

b) t = 25 + 70 + 10

c) t = 25 × 70

d) t = 25 × 70 + 10

5. Los lados de dos terrenos cuadrados miden 2 m y 6 m, respectivamente. ¿Cuántas veces cabe el terreno pequeño en el grande? a) 3

b) 4

c) 8

d) 9

6. En un triángulo isósceles, uno de los ángulos mide 100°. ¿Cuánto pueden medir los otros dos ángulos? a) 80° y 100°

b) 40° y 40°

158158 PERIODO PERIODO 2 2

c) 50° y 30°

d) 30° y 30°


Número, algebra y variación

Lee la información y haz lo que se indica.

N

Navegar sin perder el rumbo En navegación, el rumbo es la medida del ángulo que forman la dirección norte-sur y el segmento que indica la trayectoria. Este ángulo se mide en el sentido de las manecillas del reloj.

N 104°

225°

Rumbo 104°

Rumbo 225°

Pregunta 1. Completa el texto a partir del diagrama.

Isla Montañosa

Isla Calavera

Isla de la Calma 2 km

Isla Tiburón

Isla Castillo

Salimos de nuestra guarida, en la isla Calavera, y recorrimos llegar a la isla Montañosa. Después, tomamos rumbo hasta

. Finalmente, recorrimos

km con rumbo

° hasta

° para pasar por la Isla de la Calma y llegar km con rumbo

° para regresar a

nuestra guarida. Pregunta 2. Mide lo necesario y escribe las instrucciones para llegar a isla Tiburón desde isla Castillo (puedes usar tu juego de geometría). No olvides indicar el rumbo y la distancia del viaje. 

Pregunta 3. Indica, en el diagrama, la ubicación de isla Ballena, que está a 5 km de isla Montañosa con rumbo 180°.

159


3

PERIODO

A b re t

u mira d

a

El Sol, ocho planetas y muchos otros objetos, como satélites, planetas enanos, asteroides y cometas, conforman nuestro Sistema Solar. Algunos científicos consideran que puede haber formas de vida simples fuera de la Tierra, por ejemplo, en las lunas de Júpiter o Saturno.

Secuencias didácticas Érase una vez en Grecia…

¿De qué está hecho el mundo?

Criaturas fantásticas


se Ob

rva y reflexio

na

La distancia entre el Sol y nuestro planeta vecino más cercano, Venus, es aproximadamente 0.72 veces la distancia entre la Tierra y el Sol. Si nuestro planeta está a 149.6 millones de kilómetros de nuestra estrella, ¿qué distancia nos separa de Venus?

El planeta más cercano al Sol no es el más caliente; investiga por qué. Investiga también cuáles son las temperaturas más altas y más bajas en nuestro Sistema Solar y compáralas con las de la Tierra. ¿Cuántos grados hay de diferencia?

El radio de nuestra estrella mide 109 veces lo que el de la Tierra, aproximadamente. Si representamos al Sol con una circunferencia de 1 m de radio, ¿de qué tamaño sería una circunferencia que represente a nuestro planeta con esa misma escala?

Y tú

, ¿qué opina

s?

A partir de la definición de planeta, que en 2006 decretó la Unión Astronómica Internacional, a Plutón se le considera solo un planeta enano. ¿Consideras justo que Plutón ya no sea planeta?, ¿cuál de las tres características que se necesitan para ser planeta no cumple Plutón?

Mensajes secretos

Máquinas y mecanismos

Fiestas populares


15

Érase una vez en Grecia…

SECUENCI A

LECCIÓN 1

Entre ruecas y poleas

En la mitología griega hay tres personajes que definen el destino de los hombres: las moiras. Cloto era la encargada de hilar con su rueca y el huso, el hilo resultante era la vida del ser humano que acababa de nacer. Láquesis tomaba el hilo entre sus manos y lo medía para determinar qué tan larga sería la vida de la persona en cuestión. Y al final llegaba Átropos con sus tijeras y cortaba el hilo en el momento de la muerte. Observa la imagen izquierda y responde las preguntas. • ¿Qué tamaño deberán tener los radios de madera de una rueca para que su circunferencia pueda rodearse con un hilo de 1 m de largo?

• ¿Y para que pueda rodearse con un hilo de 3 m de largo?

• ¿Qué procedimiento debes seguir para estimar el tamaño de la rueca?

1. Arquímedes fue un matemático e inventor del siglo III a. C. que hizo grandes cosas con sencillos círculos: las poleas. La historia dice que un día el rey de Siracusa había mandado construir un navío tan grande que no pudieron empujarlo al mar. No tenían a Hércules o a Sansón, pero tenían a Arquímedes que fue y ató el barco a un sistema de poleas y, con una sola mano, lo levantó y llevó hasta el agua. ¡Qué orgullo debía sentir de ser tan inteligente! Un sistema de poleas tiene círculos y cuerdas que se deslizan por las circunferencias de las ruedas. Escribe con tus palabras la diferencia entre círculo y circunferencia. 162 PERIODO 3


Circunferencia

2. Fíjate en la imagen del círculo y escribe, en tu cuaderno, una definición para cada elemento señalado. • Arco:

• Radio:

di

• Diámetro:

Reúnete en equipo con dos o tres compañeros. Compartan sus definiciones y corrijan o agreguen información si es necesario; después hagan lo que se indica en las actividades 3 y 4.

Cuerda

ro

o

Di ám et

• Centro:

Ra

Centro

3. Consigan una lata u otro objeto cilíndrico y un trozo de cordón. a) Con un plumón, marquen un punto sobre el borde de la tapa de la lata. Rodeen con el cordón la circunferencia de la lata, desde el punto marcado hasta volver a él. b) Corten el cordón de la medida de la circunferencia y con un poco de cinta adhesiva peguen en el piso uno de sus extremos. Tensen el cordón para que quede extendido en toda su longitud y fijen el otro extremo. c) Marquen, con ayuda de libros u otros objetos rectos, la longitud de la base de la lata; inicien en un extremo del cordón, como se muestra en la imagen. Esa medida es la misma que el diámetro de la lata. d) Sigan colocando la lata después de cada marca del libro que hagan para ver cuántas veces cabe en la longitud de la circunferencia. e) Comparen sus resultados con otros equipos.

Al número de veces que cabe el diámetro en la circunferencia le llamamos pi y se denota por la letra griega π.

4. Completa el texto. Pi veces la longitud del

APRENDER A APRENDER

equivale a la

correspondiente. La expresión algebraica que representa esta relación es

×

=

.

5. π no es un número que se pueda escribir con precisión porque tiene una cantidad infinita de cifras decimales, aunque es aproximable. Observa la imagen, calcula los perímetros y completa la desigualdad. a) Perímetro del hexágono =

TIC

b) Perímetro del círculo = c) Perímetro del cuadrado =

En el siguiente enlace encontrarás un compendio de datos sobre el círculo:

0.5

d) Como el perímetro del hexágono es menor que el del círculo y este, a su vez, es menor que el del cuadrado, tenemos que < < 163

www.e-sm.com.mx/ SSAVM1-163


Secuencia 15

LECCIÓN 2

Terratenientes El nombre geometría, nos lo dieron los griegos (se escribía γεωμετρία). Geo significa tierra y metron, medida; así que el origen de la geometría está en la medida de la tierra, por aquello de repartir terrenos y problemas semejantes. Imagina que un terreno como el de la imagen corresponde a un terrateniente griego que quiere dividirlo entre sus tres hijos de modo que cada uno tenga exactamente la misma cantidad de superficie. ¿Cómo debe dividirlo? Divídelo usando solo dos segmentos de recta; asegúrate de que cada parte tenga la misma cantidad de superficie.

y

x

• Anota las expresiones algebraicas que describen las áreas de las

tres partes para corroborar que son iguales.

Comprueba tus cálculos; para esto, considera que x = 16 m, y = 22 m.

1. Trabaja con un compañero. Hagan lo que se indica de la actividad 1 a la 6.

c

2

a

a) A simple vista, ¿cuál de los rectángulos b sombreados tiene mayor superficie?

d

1

b) También a simple vista, ¿qué es mayor, la suma de los perímetros de los rectángulos 1 y 2 o el perímetro del rectángulo que los contiene? c) Escriban la expresión que representa el perímetro de cada rectángulo. • Rectángulo 1 =

• Rectángulo 2 =

• Rectángulo que los contiene =

d) Escriban la suma de los perímetros 1 y 2 con el perímetro del rectángulo mayor para que verifiquen su respuesta a los incisos a) y b).

e) ¿Ya tienen elementos suficientes para responder a ciencia cierta cuál de los rectángulos sombreados tiene mayor superficie? Explíquenlo en su cuaderno. 164 PERIODO 3


Érase una vez en Grecia...

2. Recuerden que los rectángulos son un tipo de paralelogramo. Respondan. a) ¿Cómo son los lados opuestos de un rectángulo? b) ¿Cómo son los ángulos opuestos de un rectángulo? c) ¿Cuánto suman los ángulos internos de un rectángulo? d) Al partirlo por su diagonal, un rectángulo queda dividido en APRENDER A PENSAR

e) ¿Cómo son entre sí las figuras obtenidas con esa división?

No olvides que la base de un triángulo no tiene que estar siempre “abajo”, sino que es posible girar la figura e igualmente seguir siendo una base.

3. Observen el primer triángulo que resultó al dividir por su diagonal el rectángulo de la actividad 1. a) ¿Cuánto mide la base de este triángulo? b) ¿Cuánto mide su altura? c) ¿Qué expresión algebraica describe el área de este triángulo?

a

1

b

c

4. Anoten sobre las líneas las medidas correspondientes al segundo triángulo.

d

a) ¿Cuánto mide la base de este triángulo? b) ¿Cuánto mide su altura? c) ¿Cómo son entre sí las áreas del primero y segundo triángulos?

2

5. Observen los rectángulos pequeños que quedaron divididos por la diagonal. a) ¿También quedaron divididos en triángulos congruentes? b) ¿Cómo son las áreas de estos triángulos? 6. Para recapitular todo el análisis que han hecho, anoten sobre la línea la expresión algebraica correspondiente al área de cada figura.

=

Observen que cada triángulo se puede descomponer en partes. a) ¿Cómo son entonces las áreas del rectángulo 1 y del rectángulo 2? b) ¿Comprobaron su hipótesis?

AT1 =

A=

a b

AT2 =

2

A=

1

A=

c

d

A=

165


Secuencia 15

7. Reflexiona lo siguiente. y

y x

x

a) ¿Por qué las figuras congruentes tienen la misma área? b) ¿Estos triángulos tienen la misma cantidad de superficie?, ¿por qué?

8. Observa la imagen y responde. a) ¿Qué tienen en común los tres triángulos del dibujo? APRENDER A APRENDER

Revisa qué datos tienes y cuáles buscas para encontrar una relación entre ellos. ¿Qué fórmula establece una relación entre la altura y el área de un triángulo?

b) Si el área del triángulo más grande es de 110 m2, ¿cuánto mide su altura?

55

110 m2 20 m

15 m

m2 10 m

c) Explica cómo obtuviste ese resultado.

d) ¿Cuánto mide la altura del triángulo más pequeño? e) ¿Cuánto mide la superficie del triángulo sombreado? f) Anota tu procedimiento u operaciones.

9. Determina la longitud de las curvas. APRENDER A PENSAR

En este caso no tienes las medidas de cada una de las bases de los triángulos verdes, pero sí tienes la medida de todas las bases juntas. Usa literales para nombrar cada base y encuentra una relación entre estas y los datos que sí tienes.

6

10. Encuentra la medida de la superficie verde expresada en las medidas de longitud b y h que se ofrecen. Explica tu procedimiento para argumentar tu respuesta. 166 PERIODO 3

2

3

1

b

h


Érase una vez en Grecia...

LECCIÓN 3

Los griegos no tenían cuadernos, ni siquiera números como los nuestros. Así que estudiaban geometría haciendo dibujos sobre la arena. Cuando las tropas romanas conquistaron Siracusa encontraron a Arquímedes resolviendo un problema matemático en la arena. Le ordenaron que fuera a ponerse al servicio del general romano, pero Arquímedes estaba tan concentrado en sus dibujos que no hizo caso, sino que pidió a los soldados que no le estorbaran. Uno de ellos, molesto, terminó ahí mismo con la vida del sabio Arquímedes.

GeoGebra: la herramienta soñada por todos los griegos

• Usa GeoGebra como tu arena griega

y traza un polígono cualquiera. Selecciona la herramienta “Área” y haz clic en el interior del polígono para ver cuánto mide su superficie.

• Ahora intenta calcularla tú.

¿Crees que los griegos realmente habrían disfrutado usar GeoGebra?

1. Introduce los siguientes comandos en la barra “Entrada” de GeoGebra; mueve el deslizador para crear varios cuadrados y ver sus perímetros. n=deslizador(1,15,1) c=Polígono(A,B,4)

A=(0,0) p=Perímetro(c)

B=(n,0)

a) Según lo que sabes sobre el perímetro, ¿en qué valor debes detener el deslizador n para que el perímetro sea de 24 unidades? Compruébalo. b) Usa la herramienta “Área” y mide la superficie del cuadrado, ¿cuánto mide? 2. Escribe las expresiones algebraicas que describan el área de las siguientes figuras. a) Un rectángulo de lados a y l: b) Un triángulo de lado b y altura h: c) Un romboide de base b y altura a: 167

APRENDER A PENSAR

Los deslizadores en GeoGebra nos permiten graficar usando literales variables. Cada variable corresponde a un deslizador. Revisa el apartado “Mi acordeón” en la página 251 para que veas más detalles acerca de cómo funcionan. Si hablamos de perímetros, ¿los deslizadores pueden tener valores negativos? ¿Cuántos deslizadores deberíamos hacer para representar rectángulos y calcular sus áreas?


Secuencia 15

3. Sigue las sugerencias de construcción en GeoGebra y responde lo que se pide en cada caso. a) Crea un deslizador para la literal a y otro para l. Dale un valor máximo entre 20 y 30. Define los puntos que servirán como vértices del rectángulo (considera que es más fácil hacerlo si eliges el punto (0,0) como vértice inicial). Con la herramienta “Polígono” (o el comando) une los puntos. Usa las herramientas “Área” y “Distancia y longitud” para hacer clic sobre el polígono y obtener los datos correspondientes. Observa la imagen.

APRENDER A PENSAR

¿Qué sucedería si tienes solo el dato del perímetro y el área? ¿Qué estrategia usarías para encontrar las medidas de sus lados?

b) Aplica tus conocimientos de perímetros y áreas de rectángulos y completa la tabla. Usa el cálculo mental. Comprueba tus respuestas usando GeoGebra.

Lado l

Lado a

7

9

5

Perímetro

Área

36 u 5

35 u2

c) Con la herramienta “Elige y mueve”, selecciona el punto C y muévelo por la pantalla, verás que los deslizadores se mueven también de acuerdo con la posición que tomes. Busca rectángulos con 120 u2 de área. • ¿Cuántos rectángulos no congruentes pudiste encontrar?

• ¿Cómo son sus perímetros? Anótalos.

4. Genera la construcción del triángulo de lado b y altura h, y haz lo que se pide. a) Crea un deslizador para las literales b y h que tomen valores de 1 a 25. Genera un tercer deslizador n con valores de 0 al doble de la base. n=deslizador (0,2b) 168 PERIODO 3


Érase una vez en Grecia...

b) Define los vértices del triángulo: A=(0,0) B=(b,0) C=(n,h) c) Genera el polígono y usa sobre él las herramientas “Área” y “Distancia y longitud”. d) Completa la tabla. Usa el cálculo mental. Después usa tu construcción para verificar tus resultados. • ¿Qué hace la variable n?

Base b Altura h Variable n

• ¿Esta variable afecta

el área del triángulo?

10

11

2

7

12

6

6

4

1

6

7

10

Área

14 APRENDER A PENSAR

e) Fija el deslizador de la base en el valor b=4. Mueve el punto C y localiza triángulos con 4 unidades de área.

Nuestra construcción tiene límites para la variable n. Si le quitáramos esa restricción y el triángulo pudiera seguir deformándose, ¿cuántos triángulos con esta base podríamos encontrar que tengan 4 u2 de área?

• ¿Cuántos puedes encontrar? • De los triángulos que encontraste, ¿qué tipo de triángulo es el

que tiene menor perímetro?

5. Construye el romboide en GeoGebra;asigna valores de 1 a 15 a las variables y completa la tabla. Agrega una variable n con valores de 0 al doble de la base, como en el triángulo, para que pueda inclinarse. Completa la tabla. 6. ¿Cuánto debe medir la altura de las siguientes figuras para que su área sea de 81 cm2? Escribe la ecuación correspondiente y despeja el valor buscado. a) Un rectángulo con 27 cm de base.

Base Altura Variable n 4

7

5

10 5

9

30 u2 81 u2

6 13

Área

66 u2 143 u2 90 u2

b) Un triángulo con 3 cm de base. c) Un romboide con 9 cm de base.

169


16

¿De qué está hecho el mundo?

SECUENCI A

LECCIÓN 1

La composición de la atmósfera Composición de la atmósfera en… Tierra 1%

La atmósfera es una capa de gases que rodea algunos cuerpos celestes. Las gráficas muestran la composición de la atmósfera en tres cuerpos del Sistema Solar. • ¿Cuál es el elemento más abundante en la atmósfera terrestre?

• ¿Y en la de Venus?

• ¿Qué gas conforma aproximadamente la quinta parte de la atmósfera

21% 78%

terrestre?

• ¿En qué planeta es mayor la proporción de nitrógeno en la atmósfera?

Venus 4%

• ¿Qué fracción de la atmósfera de Plutón corresponde al dióxido de carbono?

96%

Plutón 2% 8%

1. Consulta el tema de gráficas circulares del apartado “Mi acordeón”, en la página 242, y responde las preguntas. a) ¿Cuántos grados mide el ángulo central de una circunferencia completa?

°

b) ¿Qué ángulo central le corresponde a un sector circular de 20%? 90%

Nitrógeno Oxígeno Dióxido de carbono Metano Otros gases

2. Traza, en el círculo mostrado, un ángulo central de 72° y colorea de azul la región correspondiente. Después, colorea de anaranjado la otra región del círculo. Finalmente, pon una etiqueta a cada sección con el porcentaje que representa.

170 PERIODO 3


3. Trabaja con un compañero. En su cuaderno, describan un procedimiento para… a) calcular la medida del ángulo central que corresponde a un porcentaje de x%. b) dibujar el sector circular correspondiente a un ángulo central de x grados. 4. Usa los procedimientos que describiste en la actividad anterior para dividir cada círculo en los sectores circulares que se indican. a) Un sector de 90% y otro de 10%

b) Un sector de 20% y uno de 30% ¿Qué porcentaje corresponde al restante?

5. Une las gráficas y los sectores con los porcentajes correspondientes. No uses transportador para verificar los ángulos. 60%, 20%, 20%

40%, 30%, 30%

33.33%, 33.33%, 33.33%

171

70% y 30%


Secuencia 16

6. Trabajen en equipo. La tabla muestra la composición de la atmósfera de diferentes cuerpos celestes en términos de porcentajes. Analícenla y hagan lo que se indica. Porcentaje de… Cuerpo

Dióxido Otros de Nitrógeno Oxígeno Argón Metano Sodio Hidrógeno Helio gases carbono

Sol

0

0

0

0

0

0

71

26

3

Mercurio

0

0

42

0

0

22

22

6

8

Luna

0

0

0

70

0

1

0

29

0

Marte

95

2.7

0

1.6

0

0

0

0

0.7

Júpiter

0

0

0

0

0

0

89.8

10.2

0

Saturno

0

0

0

0

0

0

96.3

3.2

0.5

Urano

0

0

0

0

2.3

0

82.5

15.2

0

Neptuno

0

0

0

0

1

0

80

19

0

a) Se quiere hacer gráficas circulares con la composición de la atmósfera de cada cuerpo celeste de la tabla anterior. Anoten la medida que debe tener el ángulo central correspondiente a cada elemento. Medida del ángulo central (en grados) para… Cuerpo

Dióxido Otros de Nitrógeno Oxígeno Argón Metano Sodio Hidrógeno Helio gases carbono

Sol Mercurio Luna

b) Copien la tabla en su cuaderno y complétenla para los demás planetas. c) Elaboren, en cartulina, la gráfica circular correspondiente a la atmósfera de cada cuerpo de la tabla anterior. Usen un mismo color para cada elemento en todas las gráficas (por ejemplo, anaranjado para el nitrógeno o verde para el dióxido de carbono).

7. Observa las gráficas, incluyendo las del inicio de la lección y clasifica los cuerpos celestes en grupos de acuerdo con la molécula que forma la mayor parte de la atmósfera. Anota una lista de cada grupo: 172 PERIODO 3


¿De qué está hecho el mundo?

LECCIÓN 2

El cuerpo humano está formado casi en su totalidad (98.5%) por seis elementos distintos. La gráfica muestra el porcentaje de cada elemento en un humano promedio.

La composición del cuerpo humano 3%

• ¿Cuál es el elemento más abundante en nuestro cuerpo? • Subraya el rango que corresponde al porcentaje de oxígeno en un

1.5%

1%

1.5%

10%

humano promedio. 40% y 50 %

50.1% y 60%

60.1% y 70%

70.1% y 80%

1. Analiza la información y haz lo que se pide. Otra manera de analizar la composición del cuerpo humano es mediante porcentajes de moléculas (proteínas, grasas, etc.) respecto a la masa total, como se muestra en la tabla. Molécula

Agua

Proteínas

Grasas

ARN

Otras

Porcentaje respecto a la masa total

65%

20%

12%

1%

2%

18% 65%

Oxígeno

Calcio

Carbono

Fósforo

Hidrógeno

Otros

Nitrógeno

En la tabla se indica que 65% de la masa total del cuerpo humano es agua. Así, si una persona pesa 50 kg, 65% de ese peso corresponde al agua. a) ¿Cuántos kilogramos son 65% de 50 kg? b) En una persona de 50 kg, ¿cuántos kilogramos son grasa? c) Si un adulto tiene 15 kg de proteína, ¿cuánto pesa esa persona? d) La gráfica muestra los porcentajes de la tabla anterior. Determina qué molécula corresponde a cada color y junto a su etiqueta. 2. Trabaja con un compañero. Analicen la información y respondan. A partir de un estudio efectuado en 1977 se tenía la idea de que en una persona promedio saludable había diez veces más células de bacterias que células humanas, es decir, que la proporción de células humanas y células bacterianas en el cuerpo era de 1:10. a) Si tuviéramos 1 000 células humanas, ¿cuántas células bacterianas habría? 173

APRENDER A APRENDER

En ocasiones no se cuenta con los porcentajes de la información que se quiere representar, sino con datos de encuestas, estudios, o bien, algún tipo de proporciones.


Secuencia 16

b) Elaboren una gráfica circular en la que se aprecie la cantidad de células humanas y células bacterianas en un cuerpo promedio, de acuerdo con el estudio de 1977. c) Describan el proceso para elaborar una gráfica circular a partir de una razón.

Glosario eritrocitos ▶ son los glóbulos rojos en el cuerpo humano encargados de transportar oxígeno hacia los diferentes tejidos del cuerpo.

Años más tarde, en 2106, un grupo de científicos llevó a cabo un experimento para determinar si esta proporción de 1:10 era correcta. Con el uso de nuevas tecnologías estimaron el número de células humanas en el cuerpo, determinaron que existen 30 000 000 000 000 000 000, es decir, 30 trillones de ellas. De esta cantidad, 84% corresponden a glóbulos rojos, también conocidos como eritrocitos. d) En el siguiente espacio elaboren una gráfica circular donde representen a los eritrocitos, respecto al total de células humanas. En el mismo estudio, se llegó a la conclusión de que la proporción de células bacterianas y células humanas es 10:13 y no 1:10. e) Elaboren la gráfica circular correspondiente a la relación 10:13 y compárenla con la que hicieron en el inciso b). f) ¿Cuál es el porcentaje de células humanas en el primero y segundo estudios?

3. Finalmente construye una gráfica circular en la que se aprecie la proporción de células bacterianas, eritrocitos y células humanas que no sean eritrocitos en la composición de un cuerpo promedio. 174 PERIODO 3


¿De qué está hecho el mundo?

LECCIÓN 3

Colócate en un lugar al aire libre y mira hacia arriba. Aunque no la veas, sobre de ti hay una columna de atmósfera formada por gases de aproximadamente ¡100 kilómetros de altura! Y aunque no lo sientas, el peso de estos gases te oprime en todas direcciones. Conforme ascendemos, por ejemplo, al escalar una montaña, la columna de aire sobre nosotros es más pequeña.

¿Cuánto pesa la atmósfera?

• ¿Qué sucederá con el peso de esta columna de aire sobre nosotros?

• Se sabe que la presión atmosférica en la cima del Pico de Orizaba es

de aproximadamente 0.48 atmósferas, en la cima del Ajusco de 0.61 y en el Iztaccíhuatl de 0.51. ¿Cuál de estas montañas es la más alta y cuál la más baja?

• ¿Cómo será la presión a la que es sometido un submarino conforme se

sumerge en el mar, menor o mayor que sobre la superficie?, ¿por qué?

1. Trabaja con un compañero. Analicen cada situación y hagan lo que se indica.

4 Presión (atm)

Los buzos deben conocer cómo aumenta la presión sobre ellos cuando se sumergen en el mar para controlar los gases en su tanque de oxígeno y respirar adecuadamente. Un mal cálculo puede ser fatal. La gráfica muestra la relación entre la profundidad que se sumerge un buzo en el mar y la presión a la que es sometido.

3 2 1 0

5

10

15

20

25

30

Profundidad (m)

a) ¿Cuál es la presión a cinco metros de profundidad? b) ¿Y a diez metros de profundidad? c) ¿A qué profundidad se registra una presión de tres atmósferas? d) ¿A qué profundidad hay una presión de seis atmósferas? 175

La presión atmosférica se mide en atmósferas (atm). Una atmósfera es la presión que experimenta un cuerpo al nivel del mar.


Secuencia 16

Profundidad (m)

Presión (atm)

0

1

2. En la tabla, escriban los datos faltantes de acuerdo con los datos de la actividad anterior. Luego, calculen los datos que se piden. a) La diferencia entre los valores consecutivos de profundidad mostrados en la tabla.

−5 −10 −15

b) La diferencia entre los valores consecutivos de presión en la tabla.

−20 −25

c) El cambio en la presión por cada metro que se sumerge un buzo.

−30

d) La ecuación de la gráfica de la presión contra la profundidad. e) El valor de la pendiente y qué representa este valor. f) Si un buzo se encuentra a dos atmósferas de presión y se sumerge otros diez metros más, ¿cuál es la presión a la que está ahora? 3. El buzo requiere hacer un presupuesto de viaje. Para ello, cuenta con los siguientes datos: • Hospedaje, $150.00 por noche. • Alimentos, $100.00 por día. • Renta de equipo de buceo, $300.00 por día. a) Ayúdenlo a calcular el dinero que requiere para viajar según la duración del viaje. Escriban, en la tabla, los datos faltantes. 800 700

Costo

600

Duración (días)

Hospedaje

1

0

Renta de equipo

Total 400

2

500

3

400

4

300

5 6

200

900 450 600

b) Escriban un ejemplo de relación proporcional que observen en la tabla y su constante de proporcionalidad.

100 0

Alimentos

1

2

3

4

5

6

Duración (días)

c) Grafiquen, en el pano cartesiano que se muestra, los datos correspondientes a hospedaje y alimentos. d) ¿Qué tipo de líneas se obtienen al graficar estos datos? 176 PERIODO 3


¿De qué está hecho el mundo?

e) Revisen la entrada acerca de variación lineal en el apartado “Mi acordeón”, en la página 231 y determinen qué columnas presentan una variación lineal. f) Determinen cuál es la razón de cambio en cada una de las columnas. g) Describan el procedimiento para calcular el costo de un viaje de diez días. 4. Continúen trabajando en parejas. Analicen cada situación y hagan lo que se pide. El buzo de la actividad anterior encuentra una compañía que tiene promociones en la renta del equipo de buceo. Esta compañía ofrece los costos mostrados en la tabla. Días de renta

1

2

3

4

5

6

Costo ($)

340

640

900

1 120

1 300

1 440

a) Discutan si la relación entre los datos corresponde a una variación lineal. ¿Por qué sí o por qué no? Justifiquen su respuesta. Renta de equipo de buceo 2 000 1 500 Costo

b) La gráfica muestra el presupuesto requerido para la renta de equipo de buceo. Determinen cuál corresponde a cada compañía.

1 000 500 0

1

2

3

4

5

6

Duración (días)

5. La tabla muestra la presión atmosférica para diferentes altitudes. Observa los datos y responde las preguntas. a) ¿Observas una variación lineal en el cambio de presión conforme aumenta la altitud? Investiga por qué esta variación no es lineal y en cambio la variación al sumergirse en el mar sí lo es.

Altitud (m)

Presión (atm)

0

1

500

0.942

1 000

0.887

1 500

0.834

2 000

0.785

2 500

0.737

3 000

0.692

177


17

Criaturas fantásticas

SECUENCI A

LECCIÓN 1

La Tsukán y la bruja Baba Yaga

En todas las culturas y épocas, han surgido leyendas que hablan de criaturas o animales fantásticos. En la mayoría de esos relatos se reflejan las alegrías, los miedos y las preocupaciones de los pueblos que los han creado. En la cultura maya, existe el mito de la serpiente Tsukán. Los campesinos creen que es la dueña y la guardiana de los cenotes. Algunos dicen que castiga a quienes se acercan a ella y que roba la comida y pertenencias de los viajeros que acampan alrededor de los cenotes. Para devolverles las pertenencias a un par de viajeros, la Tsukán les propuso unos acertijos; resuélvelos. • Estoy pensando un número: cuando le resto 6, obtengo 34. ¿Qué

número es?

• Explica el procedimiento que seguiste para hallar el número buscado.

• Si identificamos como n el número que está pensando la serpiente,

¿cuál es la ecuación que representa el acertijo? 6 − n = 34

n + 34 = 6

n − 6 = 34

34 − n = 6

n + 6 = 34

• Estoy pensando otro número: cuando lo multiplico por 7 y le resto 9,

obtengo 5. ¿Qué número es?

• Representa el segundo acertijo de la Tsukán como una ecuación. APRENDER A APRENDER

En esta secuencia, encontrarás referencias a cuentos, mitos y leyendas. Busca en internet o en la biblioteca algunos de ellos para ampliar tus horizontes; en este caso, conocerás más sobre literatura.

• ¿Puedes calcular mentalmente el número que estaba pensando la

serpiente?

1. En algunas regiones de Europa, se habla de un ser extraordinario llamado Koschei el inmortal, quien convirtió en rana a su propia hija Basilisa, pues esta era más lista que él. 178 PERIODO 3


Una de las pruebas que le puso el padre a la hija fue relacionar ambas columnas. ¿Podrás ayudarla a liberarse del sortilegio y relacionar correctamente las columnas? El triple de un número aumentado en 4

__ ​​  3a  ​​ − 4

La diferencia de la tercera parte de un número y 4

c   ​​(4) ​​ __ 3

Al tres restarle cuatro veces un número

3(4 + z)

El cociente de 4 y la diferencia de un número y 3

3x + 4

El producto de la tercera parte de un número y el 4

t+1    ​​  ​​ ______ 4

El triple de la suma de 4 y un número

__ ​​  4b ​​ − 3

El consecutivo de un número dividido entre 4

3 − 4y

2. En Alaska se cuenta que hay hombres pequeños con una fuerza increíble que recorren la fría tundra, evitando ser vistos. De vez en cuando, se aparecen ante los viajeros y entablan conversación con ellos. Durante un viaje, un grupo de hombres pequeños planteó la siguiente situación a los exploradores. Desde hace muchos siglos, al inicio de cada invierno, contamos a los integrantes de nuestro grupo para hacer las provisiones y hemos notado las siguientes reglas. • Cada uno necesitará dos abrigos. • En un trineo caben dos miembros de la tribu. • Debemos viajar siempre con 40 perros menos que el triple de la cantidad de personas que haya en la tribu. a) Con base en esa información, completa la tabla. Número de pobladores

Número de abrigos

Número de trineos

Número de perros

16

32

8

8

28

14 120 78

b) Si hay x cantidad de hombres pequeños en la tribu, escribe una expresión para cada cantidad. • Número de abrigos:

• Número de trineos:

179

Glosario tundra ▶ terreno abierto y llano, de clima muy frío y subsuelo helado, con suelo cubierto de musgos y líquenes, que se extiende por Siberia y Alaska.


Secuencia 17

3. Completa los espacios en blanco. APRENDER A PENSAR

Para obtener el valor de una variable en una ecuación, se emplean las operaciones inversas. Por ejemplo, la suma y la resta son inversas. ¿Cuál es la operación inversa de la multiplicación?

• La tribu de hombres pequeños llevaba 257 perros. Si llamamos m

al número de miembros de la tribu, el triple de los miembros se puede escribir como . Si a esa expresión le restamos 40, será igual al número de perros, es decir, a 257.

• Con base en el razonamiento anterior, se plantea la ecuación

3 • Sumando

= 257

de ambos lados de la ecuación se obtiene

3

− 40 +

= 257 +

• Como −40 + 40 = 0, entonces del lado izquierdo de la ecuación

solo queda 3m, y al sumar los términos del lado derecho se obtiene 297; es decir, queda

= • Como la división es la operación inversa de la multiplicación, se

dividen entre tres ambos lados de la expresión, con lo que se obtiene m __        3 ​​ ___  ​​ = ​​   ​​    3 3

3 • Observa que ​​ __ ​​= 1 por lo que se tiene que el valor de m es igual a 3

; es decir, que cuando la tribu viaja con 257 perros, hay miembros en la tribu.

APRENDER A APRENDER

Una forma de comprobar que un número es la solución a una ecuación, es sustituir ese número y hacer las operaciones para verificar que se cumple la igualdad.

4. Encierra, con un círculo azul, el número que sí soluciona la ecuación. a) 5x − 3 = 17

x = 17

x = 20

x=4

b) 28 − 3r = 13

r=4

r = 15

r=5

c) 9.1 + 8k = 27.5

k = 18.4

k = 2.3

k = 4.575

d) 7.2t − 5.2 = 20

t = 3.5

t = 25.2

t = 2.05

5. Reúnete con un compañero y jueguen “tripas de gato” de la siguiente página; para ello, unan cada ecuación con su solución, sin levantar el lápiz del papel. Pierde el primero que toca con su trazo cualquier número o ecuación o un trazo anterior. 180 PERIODO 3


Criaturas fantásticas

18 – k = 6

x=2 4x – 20 = 0

x=5 m=3

k = 12

14 = 16 – r -1 = 14 – 3m 4m + 2 = 14

r=0 k=1 13k + 1 = 14

3x – 1 = 5

m=5

r=2

6 = 3r + 6

6. En los cuentos típicos de Rusia, aparece la bruja Baba Yaga. En un pergamino con pociones, se borraron tres números de las cantidades de una receta. 2

Afortunadamente, Baba Yaga había guardado en otro lado un papel con las siguientes claves. • El número que está en el tercer lugar es el triple del número que

está en el primer lugar.

• Si al primer número le sumas 2, obtienes lo mismo que si al cuarto

número le restas el tercero.

• El segundo número y el cuarto suman 8.

a) Plantea una ecuación que represente el problema y resuélvela.

b) ¿Cuáles son los cuatro números del pergamino? 181


Secuencia 17

7. Resuelve las siguientes ecuaciones en tu cuaderno. Después, reúnete con un compañero para comparar sus respuestas. Si son diferentes, sustituyan los valores que obtuvieron para determinar quién llegó a la solución correcta. a) x + 7 = 29

b) 98 − t = 25

c) 5w = 340

d) 2x + 3 = 103

e) 70 − 3w = 10

f) 5(x + 4) = 25

g) 3(x − 7) + 9 = 18

h) 2x + 4 = x + 12

i) w + 3(w + 8) = 7w + 27

8. El Popol Vuh, libro de la cultura maya, cuenta la historia de Hunahpú e Ixbalanqué, dioses gemelos con innumerables poderes. Ayuda a cada uno a resolver la siguiente ecuación completando los espacios. 3(2x + 1) = 5x − 8 APRENDER A PENSAR

La propiedad distributiva combina multiplicación con suma o resta de la siguiente forma: a(b + c) = ab + ac

Hunahpú

Ixbalanqué

Hizo la multiplicación del lado izquierdo de la Hizo la multiplicación del lado izquierdo de la igualdad, aplicando la propiedad distributiva. igualdad, aplicando la propiedad distributiva. 6x + 3 = 5x − 8

6x + 3 = 5x − 8

Restó

Sumó

a ambos lados de la igualdad.

6x + 3 −

= 5x − 8 − 5x

de ambos lados de la ecuación.

6x + 3 + 8 = 5x − 8 +

Agrupó términos semejantes.

Hizo las operaciones con los números enteros.

6x − 5x + 3 =

6x +

−8

Al hacer las operaciones correspondientes obtuvo

Restó 6x + 11 −

+3=

= 5x de ambos lados de la ecuación. = 5x −

Restó 3 a ambos lados de la ecuación.

Agrupó términos semejantes.

x+3

6x − 6x +

= −8

= 5x − 6x

Para finalmente obtener el valor de x.

Resolvió las operaciones.

x=

11 = Resolvió la ecuación para x. 11 + 11 + x =

= −x + x x=

a) ¿Cómo son los resultados que obtuvieron los hermanos? b) Explica, en tu cuaderno, la diferencia entre los procedimientos seguidos por cada hermano. 182 PERIODO 3


Criaturas fantásticas

LECCIÓN 2

De ogros y duendes Una de las criaturas recurrentes en los cuentos de varias culturas son los ogros: extraños y enormes seres que, según algunas versiones, ¡son capaces de comer niños! • ¿Es lo mismo escribir: “Vamos a comer, niños” que “Vamos a comer

niños”? ¿Cómo se interpreta cada caso?

• ¿Qué frase usaría una mamá ogra que quiera llamar a comer a sus

hijos un platillo que está compuesto de niños?

• Lee las siguientes frases y comenta con tus compañeros si tienen el

mismo significado:

No, ¡me rendí!

¡No me rendí!

1. Así como sucede con el lenguaje escrito, en el caso de las matemáticas, el uso de los paréntesis puede cambiar las operaciones necesarias y, por ende, los resultados. Para mostrar esto, calcula mentalmente cada una de las siguientes operaciones. a) Si a 10 le sumas el doble de 3, ¿qué número da? b) Si el resultado de la suma de 10 más 2 lo multiplicas por 3, ¿cuánto obtienes? ¿Es el mismo resultado que el de la operación anterior? c) Si a 10 veces 2 le sumas 3, ¿cuál es el resultado? d) Calcula el producto de 10 por la suma de dos y tres. ¿Es igual a alguno de los resultados que habías obtenido? e) Anota en el paréntesis el inciso que corresponde a la expresión matemática de cada uno de los enunciados anteriores: (

) (10 + 2) × 3

(

) 10 × 2 + 3

(

) 10 + 2 × 3

(

) 10 × (2 + 3)

f) Compara tus respuestas con las de tus compañeros. En los cuatro casos, los números con que se opera son los mismos; sin embargo, el orden de las operaciones es diferente. 183


Secuencia 17

2. Observa cómo se resolvió la siguiente operación: 3 (10 + (12 − 8) ) = 3 (10 + 4) = 3 (14) = 42 a) ¿Cuál fue la primera operación que hiciste?

3. Completa las operaciones que faltan. 4 ( (3 + 7) − 2 ) = 4 ( (

)−2)=4(

)=

4. Escribe en los espacios el resultado de las operaciones que están dentro del paréntesis. Después, relaciona cada una con su resultado. 3 (2 + ( 7 − 5 ) ) = 3 (2 +

8

)

30

3 (2) + (7 − 5) = 3 (2) + (3 + 2) (7) − 5 = ( (3 + 2) + 7) (5) = (

12

)7−5

60

+ 7) (5)

a) Compara el resultado con los de tus compañeros y revisen si resolvieron el ejercicio de la misma forma. APRENDER A PENSAR

La multiplicación es una operación que considera solamente dos cantidades para operar; por tanto, antes de hacer cálculos, conviene que identifiques cuáles son los números que usarás. ¿En la división será importante el orden? ¿Cómo identificas el dividendo y el divisor?

5. Sigue los pasos que se sugieren para esta operación: 7 + (6) (9 − 3) ÷ 2 + 5 Paso 1. Resolver la resta que está dentro de los paréntesis.

9−

=

Paso 2. Efectuar primero la multiplicación de 6 por , porque de las operaciones de multiplicación y división, esta es la primera que aparece de izquierda a derecha. Paso 3. El resultado de esa

se debe dividir entre

por lo que el resultado es

÷

=

,

.

Paso 4. Finalmente, se calcula la suma de los tres números que quedaron: +

184 PERIODO 3

+

=


Criaturas fantásticas

6. Señala con una flecha la operación que hay que resolver primero y después haz el cálculo. a) 4 (5) − 7 + 8 =

b) 6 + 9 ÷ 3 + 8 =

c) 9 + 2(6) − 5 =

d) 1 − 7 + 6 ÷ 2=

e) 4(3) + 7 − 8 ÷ 2 = 7. Anota los signos +, −, × o ÷ en los espacios correspondientes para obtener los resultados. 4

8

=

0

8

4

=

4

+

+

+

8

4

=

10

×

2 −

2

×

+

2

=

=

=

16

−2

4

8. Víctor, Mariana y Ángel resolvieron la siguiente operación: 3 + 4 × 7.5 + (2.7 − 1.3) × 5 En las columnas se observa el procedimiento que siguió cada uno. Víctor

Mariana

Ángel

3 + 4 × 7.5 + (2.7 − 1.3) × 5

3 + 4 × 7.5 + (2.7 − 1.3) × 5

3 + 4 × 7.5 + (2.7 − 1.3) × 5

7 × 7.5 + 1.4 × 5 =

3 + 30 + 1.4 × 5 =

3 + 30 + 1.4 × 5 =

52.5 + 7 =

3 + 31.4 × 5 =

3 + 30 + 7 =

59.5

3 + 157 =

40

160

a) Señala el paso en que hayan cometido un error si es el caso y determina quién obtuvo el resultado correcto. b) Compara con tus compañeros lo que marcaste y coméntenlo con el profesor. Si hubo equivocaciones en algún procedimiento, describan cómo debieron efectuarse las operaciones para obtener el resultado correcto. 185


Secuencia 17

9. Escribe una operación que relacione los siguientes números anotando en los espacios paréntesis y signos de +, −, × o ÷. Resuelve la operación que escribiste. 7.5

__ ​​  34 ​​

5.28

6=

a) Reúnete con otro compañero y dale a conocer solo el resultado que obtuviste. Asimismo, pídele que te diga el suyo. Traten de descubrir cómo acomodaron los paréntesis y los signos para obtener la respuesta del otro. b) Comenten sus intentos con el profesor y los resultados que obtuvieron en cada uno de ellos. APRENDER A PENSAR

Para obtener los mismos resultados al efectuar operaciones, se acordó una jerarquía de operaciones: • primero, se resuelven

las multiplicaciones y las divisiones; • luego, se hacen las

10. Unos duendes desaparecieron los paréntesis en las siguientes operaciones. Escribe los paréntesis donde sea necesario para obtener el resultado que se indica. a) 10 + 7 × 4 + 1 = 45

b) 10 + 7 × 4 + 1 = 69

c) 10 + 7 × 4 + 1 = 39

d) 12 + 8 ÷ 2 + 4 = 20

e) 12 + 8 ÷ 2 + 4 = 14

f) 12 ÷ 8 − 2 + 4 = 6

sumas y restas; • las operaciones que tienen la misma jerarquía se solucionan de izquierda a derecha.

11. Escribe dos operaciones siguiendo los caminos que se indican con las flechas. Utiliza paréntesis al menos una vez y los símbolos de +, −, × o ÷. Las operaciones se inician con el número 3.28 y terminan con el 8. Resuélvelas. 3.28

9.15

−5

4.1

​​ __ 4 ​​

9

11 ​​ ___ 2  ​​

7 __ ​​  5 ​​

3

8

Operación 1: Operación 2: 186 PERIODO 3


Criaturas fantásticas

12. Resuelve las operaciones y encierra el resultado correcto. a) 8 − 5(6 − 2) + 9

−3

25

21

b) (8 − 5)(6) − 2 + 9

−3

25

21

c) (8 − 5)(6 − 2) + 9

−3

25

21

13. Escribe una expresión matemática para cada enunciado y resuelve la operación. a) Al triple de 4 le sumas la diferencia entre 9.6 y 5.27.

b) El resultado de la suma de 3.9 y 2.25 lo divides entre 5.

c) Al cociente de 14.86 entre 2 le restas 5. 5   ​​.  d) El producto de las diferencias de 7 y 5, y 9 y ____ ​​ 10

14. Trabaja con un compañero. Inventen una operación en la que utilicen los números de cada recuadro que se presenta enseguida. Cada jugador combina los cuatro números que se proporcionan, utilizando una sola vez cada número y cada signo de +, −, × o ÷ y colocando los paréntesis que crea necesarios para que se obtengan dos resultados: el mayor número posible como resultado de sus operaciones y el menor número posible. • Anoten en la tabla los números que obtuvieron.

Números

Jugador 1

Jugador 2

7 3.76, 5.27, ​​ __ 4 ​​, 9 3 1, 4.67, 6, __ ​​ 5 ​​ 9 2, 3, −2.45, − ​​ __ 4 ​​

• Con la guía del profesor, escriban en el pizarrón las operaciones

y los resultados de los números mayor y menor que obtuvo cada pareja del grupo. • Ganan las parejas que hayan obtenido los resultados con mayor y menor valor, siempre y cuando las operaciones sean correctas.

187


18

Mensajes secretos

SECUENCI A

LECCIÓN 1

Clave de los mensajes secretos

La necesidad de enviar mensajes que solo puedan ser leídos por el destinatario ha preocupado a las personas desde hace muchos siglos, por lo que se han inventado diversas maneras de enviar mensajes secretos. Por ejemplo, en la Grecia antigua, Histieo de Mileto, mientras estaba preso, envió un mensaje importante tatuado en la cabeza de un hombre afeitado (claro que esto lo hizo cuando al hombre le creció el cabello para que nadie lo notara). Por su lado, existe el método César de cifrado, que se nombró así en honor a Julio César (líder militar y político romano del año i a. C.), quien inventó un método que consistió en sustituir una letra del alfabeto por otra que se encontraba tres lugares más adelante (n + 3) en este. El siguiente texto está cifrado utilizando el método de César de seis posiciones y lo llamaremos n + 6, donde n es el lugar que ocupa una letra en el alfabeto original y (n + 6) representa la posición a la que se desplaza hacia la derecha. Reúnanse por parejas y descifren el siguiente mensaje. Considera que el alfabeto español tiene 27 letras. Ks kyzg ykiaksiñg bgy g kyzajñgx yaikyñusky

• ¿Por qué letra del alfabeto se sustituye la A?

• Describan cómo procedieron para descifrar el mensaje.

• ¿Cómo se escribe tu nombre con el método César de cifrado?

• ¿Qué dice el mensaje?

1. En parejas, hagan las actividades. a) Numeren las cuentas de izquierda a derecha. 188 PERIODO 3


b) En la tabla, escriban la posición que ocupa la primera, segunda, tercera, cuarta y quinta cuenta de cada color. Posición de la cuenta Primera

Color

Segunda

Tercera

Cuarta

Quinta

Turquesa Azul Morada Anaranjada

c) ¿Qué término se encuentra en el lugar n de la sucesión de las fichas turquesa? d) ¿El término 4n − 1 se encuentra en el lugar n de qué sucesión?

e) ¿El término 4n − 2 se encuentra en el lugar n de qué sucesión? 2. Escribe el término n de cada sucesión. a) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …,

b) 5, 10, 15, 20, 25, 30, …,

c) 9, 18, 27, 36, 45, …,

d) 12, 24, 36, 48, …,

3. Relaciona, con una línea, la sucesión con su expresión general. 6, 12, 18, 24, 30, …

6n + 2

8, 14, 20, 26, 32, …

6n + 6

10, 16, 22, 28, 34, …

6n

12, 18, 24, 30, 36, …

6n + 4

4. A partir de la regla general o de la expresión del término n de la sucesión, completa la tabla. 1

2

3

4

10

20

100

550

5n + 3 7n − 3

189


Secuencia 18

5. Analiza las siguientes sucesiones formadas por popotes y responde las preguntas.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

a) Determina los primeros cinco elementos de la sucesión formada por el número de popotes de cada figura. • ¿Cuál es el primer término de la sucesión? • ¿Cuál es el segundo término de la sucesión? • ¿Cuántos popotes aumentaron del primero al segundo término? • ¿Cuántos popotes aumentan del segundo al tercer término?

Figura 1

APRENDER A PENSAR

Observa que en una sucesión aritmética la diferencia entre dos términos cualquiera es constante.

Figura 2

Figura 3

Figura 4

b) Escribe los primeros seis términos de la sucesión formada por el número de popotes de cada figura. • ¿Cuál es el primer término de la sucesión? • ¿Cuántos popotes aumentan del primer término al segundo? • ¿Cuántos popotes aumentan del tercer término al cuarto?

6. En parejas, contesten las actividades con base en la sucesión formada por el número de popotes en cada figura.

Figura 1

190 PERIODO 3

Figura 2

Figura 3


Mensajes secretos

a) Escriban los primeros términos de la sucesión. b) ¿Cuál es la diferencia (d) entre dos términos consecutivos de la sucesión? c) Consulten en la sección “Mi acordeón”, en la página 233, la forma de determinar la expresión algebraica para encontrar el término n en una sucesión. d) Encuentren la expresión para determinar el número de popotes (an) que conforma la figura n; para ello, sustituyan el valor del primer término y la diferencia. Escriban su procedimiento. 7. Determina en cuáles de las siguientes sucesiones la diferencia entre dos términos consecutivos cualquiera es constante. Si existe, determina su valor. Escribe la respuesta en tu cuaderno. b) 9, 13, 17, 21, … a) 1, 8, 27, 64, … d) 10, 3, −4, −11, …

c) 1, 2, 2, 3, 5, 8, …

8. Escribe los primeros cinco términos de la sucesión que cumpla las condiciones solicitadas en cada caso y determina la expresión para calcular el término n de cada una. a) La diferencia entre sus términos debe ser de 6 e iniciar en 2. Términos: , , , , , ... Expresión: b) La diferencia entre sus términos debe ser de 5 e iniciar en 4. Términos:

,

,

,

,

, ... Expresión:

c) La diferencia entre sus términos debe ser de 8 e iniciar en 3. Términos:

,

,

,

,

, ... Expresión:

d) La diferencia entre sus términos debe ser de __ ​​ 12 ​​e iniciar en 1. Términos:

,

,

,

,

, ... Expresión:

9. La siguiente sucesión tiene un número equivocado. Descubre qué número es incorrecto y táchalo. A la derecha, escribe la sucesión correcta y la regla general. a) 11, 15, 19, 22, 27, …

Regla: 191


Secuencia 18

LECCIÓN 2

Cifrar y descifrar Glosario criptografía ▶ estudia la forma de escribir un mensaje en un código secreto.

Actualmente, varias ramas de las matemáticas se dedican al estudio de la criptografía y al criptoanálisis, sus conocimientos se aplican, por ejemplo, para garantizar la seguridad en internet durante las operaciones bancarias en línea o cuando se intercambia información importante entre personas, instituciones o gobiernos. El siguiente mensaje se ha cifrado con el método César.

criptoanálisis ▶ estudia la forma de decodificar un mensaje.

UB SUIURIF UJ SFCF LD CLJSLBF. SLQDTF UJKQ UD LJF DFJ JUDKYCFJ CLO RYUD. BQ SFCGIUDJYFD UJ QBUWIU.

APRENDER A APRENDER

Se cuenta con evidencias de mensajes encriptados en Grecia en el año 400 a. C. Los espartanos enviaban mensajes ocultos a las tropas mediante un escítalo, formado por una tira larga de cuero con un mensaje y un bastón para descifrarlo. Investiga en internet sobre este método.

• ¿Cómo podrías decodificarlo si no conocieras la clave; es decir, cómo

se desplazaron las letras del alfabeto? • A simple vista, ¿cuál es la letra que más veces aparece en el texto?

• Analiza un texto cualquiera de otro libro y responde qué letra es la

que más aparece en un párrafo.

• ¿Cómo puede servirte esta información para decodificarlo?

1. Para decodificar el mensaje, empieza por determinar la frecuencia de cada letra. a) Por parejas, completen la tabla de la frecuencia de cada letra en el texto. Tabla del mensaje encriptado Letra Frecuencia Letra Frecuencia Letra Frecuencia Letra Frecuencia APRENDER A PENSAR

La frecuencia de un elemento es el número de veces que se repite dicho elemento en el conjunto de datos que tenemos.

A

H

Ñ

U

B

I

O

V

C

J

P

W

D

K

Q

X

E

L

R

Y

F

M

S

Z

G

N

T

192 PERIODO 3


Mensajes secretos

b) ¿Qué letras tienen la mayor frecuencia? c) Comenta con tus compañeros si consideran que es suficiente la información de la tabla para determinar cómo se desplazaron las letras. d) Compara tu información con los resultados del siguiente estudio. Un estudio hecho por Enrique Fontanillo, editor español, acerca de la frecuencia de las letras en los textos publicados durante una semana en el periódico El País arrojó los siguientes resultados. Tabla de El País Frecuencia alta

Frecuencia media

Frecuencia baja

Letra

Frecuencia (%)

Letra

Frecuencia (%)

Letra

Frecuencia (%)

E

16.78

R

4.94

Y

1.54

A

11.96

U

4.80

Q

1.53

O

8.69

I

4.15

B

0.92

L

8.37

T

3.31

H

0.89

S

7.88

C

2.92

G

0.73

N

7.01

P

2.76

F

0.52

D

6.87

M

2.12

APRENDER A APRENDER

e) Explica, en tu cuaderno, si es posible comparar la información de la “Tabla del mensaje encriptado” con los resultados de la “Tabla de El País”. f) Para comparar la frecuencia de las letras en el texto encriptado utilizaremos la frecuencia relativa. Trabaja la siguiente sección en una hoja de cálculo.

APRENDER A APRENDER

g) Construye una tabla de cinco columnas. • En la primera columna escribe las letras. • En la segunda columna copia la frecuencia de la “Tabla del mensaje encriptado”. • En la tercera, escribe la frecuencia relativa (Fr) como fracción. • En la cuarta, escribe la frecuencia relativa (Fr) como decimal. • En la última columna escribe la frecuencia relativa como porcentaje. Letra

Frecuencia

Fr como fracción

Fr como decimal

La frecuencia relativa de un dato es el cociente de la frecuencia absoluta entre el total de datos. ¿Será posible expresarla como fracción? ¿Y como número decimal?

Fr como porcentaje

B C D

193

En la hoja de cálculo, para determinar mediante una fórmula la frecuencia relativa, escribe “=​​ __na ”, donde a es un dato (selecciona la celda con el dato) y n el número total de estos (escríbelo). Usa el tutorial para aprender cómo anotar los números como fracciones, decimales y porcentajes.


Secuencia 18

h) Compara tu procedimiento y resultado con el trabajo de otros compañeros. Si no obtuvieron todos los mismos resultados, verifiquen sus operaciones. i) ¿Qué letra tiene la mayor frecuencia relativa? j) ¿A qué lugar supones que se desplazó la letra A en el alfabeto? k) Comprueba tu respuesta y decodifica el texto inicial. Escríbelo en el recuadro. APRENDER A APRENDER

El mensaje es una cita de Carl Sagan, astrónomo y divulgador de la ciencia. Investiga algunas de sus contribuciones.

2. Para recopilar fondos para su graduación, los alumnos del último grado de secundaria de la escuela organizaron una carrera de 5 km. Imprimieron 200 números de identificación que repartirán en cuatro mesas para entregar a los participantes cuando se registren. El registro de las personas en las mesas para la entrega de números será por apellidos. La propuesta fue dividir el alfabeto en cuatro partes, como se muestra a continuación. Mesa 1

Mesa 2

Mesa 3

Mesa 4

De la A a la G

De la H a la M

De la N a la T

De la U a la Z

a) ¿Te parece que cada mesa recibirá el mismo número de personas con la propuesta? b) Para verificar si la distribución de los apellidos es adecuada, organícense en equipos y pregunten a 100 personas su apellido. c) Después, organicen su información respecto a la primera letra del apellido para completar la tabla de frecuencias. Con base en el ejemplo, elaboren la tabla en su cuaderno Letra A B C

194 PERIODO 3

Frecuencia

Fr como fracción

Fr como decimal


Mensajes secretos

c) Con base en la información de su tabla, respondan las siguientes preguntas en su cuaderno. • ¿Qué letra o letras tienen la mayor frecuencia relativa? • ¿Qué letra tiene la menor frecuencia relativa?

APRENDER A PENSAR

La frecuencia relativa de un dato es siempre un número entre 0 y 1.

d) Con base en los resultados, haz una propuesta de cómo distribuir las letras en las mesas. e) ¿Cuántas letras tiene cada mesa? 3. Con base en la actividad anterior, responde las preguntas. a) ¿Qué significa que la frecuencia absoluta o relativa de una letra sea 0? b) Si tenemos un conjunto de 100 datos, ¿puede la frecuencia relativa de un dato ser una fracción cuyo denominador sea menor que el numerador? Justifica tu respuesta. c) Si la frecuencia de la letra A y la letra G es igual, significa que, siempre que tengamos una lista de datos, habrá la misma cantidad de personas cuyo apellido empiece con A que el número de personas cuyo apellido empiece con G. ¿Estás de acuerdo? Justifica tu respuesta. d) ¿Cuál es la suma de las frecuencias relativas de todos los datos? 4. El interés del estudio de la frecuencia de las letras se ha extendido al estudio de la frecuencia de las palabras. El diccionario de la Real Academia Española (RAE) cuenta con una lista de las palabras más frecuentes. Antes de consultar la lista de la RAE, por equipos diseñen una forma de estudiar la frecuencia de las palabras en el español. Hagan su estudio y respondan las preguntas. a) ¿Cuáles fueron las tres palabras con mayor frecuencia? b) ¿Tu información coincide con los resultados de la RAE? 195

TIC Comparen los resultados de la actividad 4 con los publicados en www.e-sm.com.mx/ SSAVM1-195


19

Máquinas y mecanismos

SECUENCI A

LECCIÓN 1

Palancas en todos lados

A menudo pensamos en aparatos complejos cuando escuchamos la palabra máquina, pero también hay herramientas sencillas que llamamos máquinas simples; existen varios tipos, una de las que más utilizamos es la palanca. Esta consta de tres partes: la resistencia (fuerza que se vencerá), el punto de apoyo y la potencia (fuerza que se aplicará). Las distancias entre el punto de apoyo y las dos fuerzas se denominan brazos. Brazo 2

Brazo 1

Fuerza por aplicar Punto de apoyo Fuerza por vencer

Hay palancas en todos lados (tijeras, pinzas, balanzas de platillos, el brazo humano…), pero, sin duda, uno de los tipos de palanca más conocidos es el que está en los parques, llamado también subibaja.

APRENDER A APRENDER

La pendiente se define como la medida de inclinación de una recta o un plano.

• Si un subibaja está en equilibrio, ¿cuál es la pendiente de la recta que

pasa por los extremos (potencia y resistencia).

• ¿Es posible que un subibaja esté equilibrado aunque los pesos en los

extremos sean diferentes (por ejemplo, si en un extremo hay un niño y en el otro, un adulto que pesa más)?

196 PERIODO 3


1. Trabaja con un compañero. Analicen la información y respondan o hagan lo que se pide. En un subibaja estándar, el punto de apoyo está a la mitad entre la potencia y la resistencia; es decir, ambos brazos son del mismo tamaño. Para que se mantenga en equilibrio (y su pendiente sea 0), necesitamos que las fuerzas de potencia y resistencia (pesos de las personas) sean iguales. Esto se ejemplifica en el diagrama mostrado. P

R A

BP = BR BR

BP

P=R

P = Fuerza de potencia (peso de la persona 1) R = Fuerza de resistencia (peso de la persona 2) A = Punto de apoyo BP = Longitud del brazo de la potencia (distancia entre la persona 1 y el punto de apoyo) BR = Longitud del brazo de la resistencia (distancia entre la persona 2 y el punto de apoyo). De manera general, para que un subibaja esté equilibrado, se debe cumplir la siguiente relación. P × BP = R × B R a) Expliquen con sus palabras el significado de la ecuación anterior. b) ¿Por qué la ecuación anterior se cumple en un subibaja estándar (con brazos del mismo tamaño) si ambas personas tienen el mismo peso? 197


Secuencia 19

BP

2. Consideren que en otro subibaja la resistencia tiene el doble de fuerza que la potencia. Completen los textos para determinar dónde debe colocarse el punto de apoyo para que la barra se mantenga en posición horizontal.

BR

Potencia = 10 kg Apoyo

Resistencia = 20 kg

a) La potencia es P = 10 kg y la resistencia es R = kg (el doble). b) La tabla del subibaja mide 10 m, es decir, BP + = 10. c) Si despejamos BP de la ecuación anterior, se obtiene BP = . d) Al sustituir, en la ecuación P × BP = R × BR, los valores de BP y R encontrados, se obtiene la ecuación 10 × (10 − BR) = . e) Si multiplicamos para eliminar paréntesis, obtenemos la ecuación = 20BR. f) De la ecuación anterior, se obtiene que 30BR = 100, es decir, = 10/3. g) Entonces el brazo de resistencia debe medir m o, dicho en otras palabras, el punto de apoyo debe colocarse a 10/3 m de la .

3. En el esquema, remarca con verde los segmentos de recta que tienen pendiente positiva y con rojo los que tienen pendiente negativa. a) ¿Para qué pareja de puntos el segmento de recta correspondiente tiene mayor pendiente?

C E

B

F

D A

b) ¿Qué tipo de pendiente tiene el segmento de E a F: positiva o negativa? 4. Trabaja con un compañero. Completen la tabla indicando los datos faltantes para cada subibaja. Subibaja

Potencia Brazo de potencia

A

9 kg

3m

B

30 kg

5m

C

80 kg

D

198 PERIODO 3

3m

Resistencia

Brazo de resistencia

6 kg 5m 20 kg

8m

6 kg

15 m


Máquinas y mecanismos

LECCIÓN 2

El plano inclinado

Otra máquina simple muy común es el plano inclinado. El principio detrás del plano inclinado como herramienta es que una superficie con cierto grado de inclinación nos ayuda a subir o a bajar algo con menor esfuerzo. Un ejemplo de plano inclinado son las escaleras.

A

B

• ¿Cuál de las dos escaleras requiere un

mayor esfuerzo para llegar hasta arriba?

• ¿Cuál de las escaleras tiene menor

pendiente?

1. Analiza la información y responde. El mismo principio del menor esfuerzo en una escalera está presente en todos los planos inclinados; por ejemplo, cuando usamos rampas de carga. a) Considera que los esquemas representan rampas y anota, junto a cada una, la pendiente correspondiente. Rampa 1

Rampa 2

3 2

Rampa 3 3

4

Rampa 4 6

5

2

Rampa 5

4

2

3

b) Si usamos rampas con esas pendientes, ¿en cuál costará más trabajo subir un objeto pesado? c) ¿En cuál será más fácil subir algo? d) ¿Cuál es la de mayor pendiente? e) ¿Y la de menor pendiente? 199


Secuencia 19

f) Escribe con tus palabras qué es un plano inclinado y cómo influye la pendiente en su funcionamiento. 2. Trabaja con un compañero, observen nuevamente el esquema de la rampa 4 y respondan. a) ¿Cuántas unidades se avanza en el eje horizontal por cada unidad que se sube en el vertical? b) ¿Qué operación hicieron para saberlo? c) ¿Qué operación se efectúa para saber cuántas unidades se sube por cada unidad que se avanza horizontalmente? d) ¿Qué fracción simplificada representa la pendiente de la rampa 4? e) Usen la calculadora para expresar la pendiente anterior en notación decimal. 3. Responde o haz lo que se pide. 1 a) Cuando un plano inclinado tiene una pendiente de ​​ __  ​​ significa que 3 por cada unidad que se sube, se avanza tres en la horizontal. ¿Qué 2 significado tendría una pendiente de −​​ __  ​​? 3

b) Para verificar tu respuesta anterior, traza un segmento de recta que 2 tenga pendiente −​​ __  ​​. 3

200 PERIODO 3


Máquinas y mecanismos

4. Trabaja con un compañero. Para cada recta, determinen el punto donde cruza el eje vertical y su pendiente, y escriban su ecuación en la forma y = mx + b. Observen el ejemplo. a) Cruza el eje vertical en (0, 3).

5 4

Se bajan tres unidades por cada ocho que se avanzan; es decir, 3 la pendiente es −​​ __  ​​. 8

3 2 1

3  ​​ x + 3. La ecuación es y = −​​ __ 8

1

b) Cruza el eje vertical en Se suben

3

4

5

6

7

8

−2  −1  0  1

 2

 3

4

5

6

.

unidades por

5 4

cada cuatro que se avanzan;

3

es decir, la pendiente es

.

La ecuación es y =

.

c) Cruza el eje vertical en

2 1

.

Se baja una unidad por cada

5 4

que se avanzan; es decir, la pendiente es

3 2

.

La ecuación es y =

1

.

d) Cruza el eje vertical en

1

3

4

5

6

7

8

 1

2

 3

4

5

6

 7

4 3 2

que se avanzan; es decir,

La ecuación es y =

 2

5

.

Se suben tres unidades por cada

la pendiente es

 2

.

1 −1

.

201

8


Secuencia 19

LECCIÓN 3

Mecanismos con GeoGebra

Hablamos de mecanismos cuando reunimos varias máquinas simples y las acomodamos de manera que se combinen sus características para transmitir fuerzas y movimientos. La rueda es otra de las máquinas simples más usadas, pues nos facilita mucho los desplazamientos. Observa la figura y completa la tabla. y

4 C

B

D

2

A −2

0

x 2

4

−2

APRENDER A APRENDER

La pendiente queda definida por la relación entre la distancia que subimos respecto a la que avanzamos horizontalmente, pero si la recta es vertical nunca habrá un avance horizontal, por eso decimos que está indefinida, pues no corresponde con la definición.

Característica

Segmento(s) que la cumple(n)

Pendiente negativa

Segmento azul

Pendiente nula Pendiente indefinida Pendiente positiva Pertenece a la recta x = −0.5 Pertenece a la recta x = 1.5 Pertenece a la recta y = 3 Pertenece a la recta y = −x + 1.5

202 PERIODO 3


Máquinas y mecanismos

1. Haz lo siguiente para reproducir el esquema anterior en GeoGebra. • Traza el punto A de coordenadas (1.5, 0) y el B de coordenadas

(0.5, 2).

• Traza una circunferencia con centro en B y radio 1. • Traza un punto C sobre la circunferencia anterior y muévelo para

que sus coordenadas sean (−0.5, 3). • Traza dos circunferencias más: una con centro en C y radio 2, y otra con centro en A y radio 3. • Ubica el punto de intersección entre las dos últimas circunferencias y llámalo D. • Traza los segmentos AB, BC, CD y DA. • Haz clic con el botón derecho sobre el punto C y activa la casilla de animación. 2. Detén la animación y manualmente desliza el punto C sobre la circunferencia hasta que el segmento BC tenga pendiente 0. a) ¿Cuáles son ahora las coordenadas del punto C?

b) ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos B y C? c) ¿Qué segmentos tienen ahora pendiente positiva? d) ¿Y pendiente negativa?

3. Haz los siguientes trazos en GeoGebra (en orden). • Tres circunferencias con radio 2 y centros sobre el eje x en (3, 0),

(8, 0) y (13, 0).

• Un segmento que una los tres centros anteriores. • Un punto (D) sobre la primera circunferencia. • Un segmento que una el punto anterior con el centro de su

correspondiente circunferencia.

• Una paralela al segmento anterior que pase por el centro de la

segunda circunferencia y otra que pase por el centro restante.

• La intersección de cada una de las paralelas con su correspondiente

circunferencia.

• Los segmentos que unen las intersecciones con sus centros de

circunferencia respectivos.

• El segmento que une los tres puntos que están sobre las

circunferencias.

• Anima el punto D y activa el mecanismo. Puedes editar los trazos.

203


20

Fiestas populares

SECUENCI A

LECCIÓN 1

La kermés de fin de año

En la escuela de Gabriel, cada año se organiza una kermés para cerrar el ciclo escolar en la que se organizan juegos y se venden alimentos. Los recursos obtenidos se utilizan para becas o para hacer reparaciones a la propia escuela. Un comité organizador se encarga del proceso para seleccionar los juegos de la kermés, que consiste en proponerlos y probarlos antes del evento. • ¿Qué tipos de juego podrían resultar interesantes para una kermés?

• ¿Sería interesante un juego en el que se sepa con certeza quién ganará

antes de iniciar?

• ¿Cómo se llaman los fenómenos o experimentos en los que no es

posible predecir el resultado?

• Escribe un ejemplo de un experimento aleatorio. • Escribe un ejemplo de un fenómeno, juego o experimento en el que se

pueda predecir el resultado.

1. Uno de los juegos propuestos por el comité organizador se llama “Juego de pares y nones”. Reúnete con un compañero para jugarlo. a) Consigan un par de dados de seis caras, analicen las reglas del juego y, a partir de ellas, piensen en una estrategia para ganarlo; después, hagan lo que se indica y respondan las preguntas. El objetivo es acumular puntos sumando los puntos que resulten al lanzar dos dados simultáneamente. Dinámica • Se juega en parejas. Cada jugador elegirá si quiere que la suma ganadora para él sea un número par o uno non. Obviamente, si un jugador elige los pares, al otro le corresponden los nones. • Por turnos, cada jugador lanzará ambos dados. Entre los dos jugadores deberán completar 15 lanzamientos. • En cada tiro se calcula la suma de los puntos obtenidos con los dados. Si la suma resulta un número par, el jugador que eligió pares gana un punto; en caso contrario, el punto es para el otro jugador.

204 PERIODO 3


b) Comenten si se puede saber quién ganará antes de jugar. c) Escriban en la tabla si el ganador en cada ronda fue el que eligió pares o nones. Ronda

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Ganador

d) ¿Qué jugador suele ganar con mayor frecuencia?

APRENDER A PENSAR

e) Escriban todas las parejas de resultados posibles cuando se lanzan dos dados. El orden en que aparecen es irrelevante; por ejemplo, el resultado (2, 5) es equivalente a (5, 2).

Cuando se lanzan dos dados y se suman los puntos, los resultados posibles son 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. La única posibilidad para que la suma sea 2 es 1-1 (ambos dados caen en 1); en cambio, para que la suma sea 3 hay dos posibilidades: 1-2 y 2-1. ¿Cuál es la suma con más posibilidades, 2 o 3?

(1, 1) (1, 2), f) ¿Cuántos resultados posibles hay? g) En la lista anterior, subrayen todos los resultados cuya suma sea par. h) Calculen la suma de cada resultado posible. Con esa información, llenen la tabla. Consideren las frecuencias esperadas para cada resultado si repitieran 105 veces el experimento. Suma de puntos

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Frecuencia esperada

i) ¿Cuántos resultados podrían esperar que fueran pares en 105 lanzamientos?

TIC

j) ¿Qué jugador tiene más probabilidad de ganar? 2. Otro juego propuesto en la escuela de Gabriel se llama “1 es ninguno”. a) Forma equipo con tres compañeros. Pueden jugar todos con un solo dado o cada quien usar el suyo. Lean las instrucciones, jueguen y respondan las preguntas. El objetivo es acumular puntos a partir de los resultados obtenidos al lanzar un dado, por turnos, en cuatro rondas. Dinámica • Cada jugador tira un dado. Si el número en la cara superior del dado es diferente de 1, el jugador gana esos puntos y la oportunidad de seguir tirando el dado y acumular puntos de la misma manera. Cuando aparece un 1, pierde todos los puntos acumulados en ese turno. • Mientras el resultado sea diferente de 1, el jugador puede decidir si sigue lanzando o se detiene y pasa el dado al siguiente jugador. • Después de las cuatro rondas, se suman los puntos que obtuvo cada jugador. Gana quien acumule más puntos. 205

Los juegos de azar son populares desde hace cientos de años. Te invitamos a leer www.e-sm.com.mx/ SSAVM1-205 para averiguar de cuándo data el primer libro donde se analizan las matemáticas de los juegos de azar. Te sorprenderás.


Secuencia 20

a) Registren en la tabla los puntos acumulados por cada jugador en cada ronda. Ronda

Jugador 1

Jugador 2

Puntos Lanzamiento

Puntos

Jugador 3

Lanzamiento

Jugador 4

Puntos Lanzamiento Puntos

Lanzamiento

1 2 3 4 Total de puntos

b) ¿Interviene el azar en este juego? Justifiquen su respuesta.

c) Escriban un ✘ en el paréntesis que mejor describa qué tan probable es que suceda cada situación en el juego “1 es ninguno”. Situación

Muy probable

Probable

Poco probable

Obtener 1 después de 12 resultados diferentes a 1.

(

)

(

)

(

)

Que el resultado sea 1 en el primer lanzamiento de todas las rondas.

(

)

(

)

(

)

Obtener 1 en el tercer lanzamiento de la tercera ronda.

(

)

(

)

(

)

Todos los jugadores obtienen 1 en el primer lanzamiento.

(

)

(

)

(

)

Que cualquier jugador tenga una puntuación final superior a 3.

(

)

(

)

(

)

d) Repite diez veces el siguiente experimento: lanza un dado hasta obtener un 1 y registra en la tabla el número de lanzamientos que hiciste; luego, compárala con la de tus compañeros de equipo. Repetición Número de lanzamientos

206 PERIODO 3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


Fiestas populares

e) En su cuaderno, sinteticen los resultados de todos los integrantes del equipo en una tabla de frecuencias en la que se vea cuántos lanzamientos fueron necesarios para obtener un 1. f) Con base en la tabla que elaboraron, respondan los siguiente. • ¿Cuál fue el rango en el número de lanzamientos? • Calculen el promedio y la mediana del número

de lanzamientos registrados.

g) ¿Cómo pueden utilizar la información del inciso anterior para desarrollar una mejor estrategia de juego? Revisen las definiciones de promedio y mediana en la sección “Mi acordeón”, en la página 244.

h) Jueguen otras cuatro rondas para que comprueben sus propuestas. ¿Funcionaron? i) ¿Es posible desarrollar una estrategia infalible para ganar? Justifiquen su respuesta.

3. El juego “1 es ninguno” se puede extender para jugarse con dos dados. Analiza la información, responde las preguntas y haz lo que se indica. El objetivo del juego es el mismo: acumular puntos. La dinámica de juego es similar. Mientras no aparezca un 1, cada jugador acumula puntos y decide cuándo parar; si en algún lanzamiento obtiene 1 con alguno de los dados, el jugador pierde los puntos acumulados en ese turno; en el caso de obtener 1 en los dos dados, el jugador pierde todos los puntos acumulados en todos los turnos anteriores. a) ¿Cuántos resultados se pueden obtener con dos dados y cuántos de ellos te harían perder todos tus puntos? b) Lanza dos dados simultáneamente hasta obtener doble 1. ¿Cuántos lanzamientos tuviste que hacer? c) Explica cómo se pueden usar el promedio o la mediana para mejorar la estrategia de juego. 207

APRENDER A CONVIVIR

Para jugar es necesario respetar las reglas acordadas, pero también es posible inventar otras y ponerlas a consideración de los demás.


Secuencia 20

LECCIÓN 2

Los alimentos en la kermés

En la escuela de Gabriel, el comité organizador de la kermés de fin del ciclo escolar, además de hacer los cálculos del costo y la ganancia que obtendrán por los alimentos ofrecidos, también se preocupa por proporcionar opciones saludables que satisfagan algunos requerimientos nutrimentales de los asistentes.

• Si 100 g de manzana aportan 8% de la vitamina C requerida por un

adulto al día, ¿cuántos gramos de manzana completarían 100% del requerimiento de esa vitamina?

• El total (100%) del requerimiento diario de vitamina B6 se satisface

con 550 g de plátano. ¿Qué porcentaje se obtendría con una porción de 110 g?

• Una taza de fresas contiene 10% del ácido fólico que se recomienda

ingerir al día. Si solamente comieras fresas, ¿cuántas tazas deberías comer al día para cubrir las necesidades de ácido fólico?

1. Trabaja con un compañero. Analicen cada situación y respondan las preguntas. a) En el esquema, ¿qué proporción del área del cuadrado completo representa cada cuadro pequeño?

b) Coloreen los cuadros necesarios para representar 28% de todo el cuadrado. 208 PERIODO 3


Fiestas populares

c) ¿Qué porcentaje de un cuadrado grande representa toda la superfi cie coloreada?

d) Coloreen los cuadros necesarios para que toda la superficie con color corresponda a 164% de un cuadrado.

e) Supongan que cada cuadro del inciso anterior tiene un valor de 3. • ¿Cuál sería el valor de 164%? • ¿Cuál sería el valor de 100%?

f) Coloreen 116% de un cuadrado grande.

g) ¿Cuál es el valor de 100% si 116% equivale a 232? h) Describan el procedimiento para calcular 85% de una cantidad si saben que 116% es 232. 209

APRENDER A CONVIVIR

Ante una tarea matemática, cada uno puede probar varias maneras de resolverla. Por lo general, más de un método lleva a la respuesta correcta.


Secuencia 20

2. Uno de los puestos en la kermés ofrecerá ensaladas. Una porción de ensalada está compuesta por 100 g de lechuga, 60 g de pepino, 50 g de zanahoria y 35 g de jitomate. a) ¿Cuánto pesa una porción de ensalada?

b) Encuentra el porcentaje que representa cada ingrediente en una porción de ensalada.

c) La tabla contiene el porcentaje del requerimiento diario de algunas vitaminas que aportan 100 g de cada alimento. Porción (100 g)

Vitamina A

Vitamina C

Vitamina D

Vitamina K

Vitamina B6

Ácido fólico

Pepino

2%

7%

0%

12%

3%

5%

Lechuga

174%

40%

1%

128%

4%

34%

Zanahoria

334%

10%

3%

16%

7%

5%

Jitomate

17%

21%

3%

10%

4%

4%

d) Determina qué porcentaje del requerimiento diario de cada vitamina se completa con la ensalada descrita arriba y anótalo en la tabla. APRENDER A PENSAR

Observa que los 50 g de zanahoria incluidos en una ensalada corresponden a la mitad de los 100 g considerados en la tabla, y ya que esta última cantidad aporta 3% de la vitamina D recomendada por día, entonces la zanahoria en la ensalada aporta la mitad de…

Del requerimiento diario de cada nutriente, una ensalada aporta (%) Vitamina A

Vitamina C

Vitamina D Vitamina K Vitamina B6

Ácido fólico

e) El comité organizador estableció que el precio de venta de los alimentos debía ser 40% más caro que su costo original. Si esta ensalada se vende en $28.00, ¿cuál es el costo de los ingredientes? f) A continuación se muestran los precios de algunos alimentos. Determina el costo original de cada producto.

Ensalada $28.00 Agua de fruta $10.00 Palomitas de maíz $8.00

Sándwich Coctel de fruta Elote

$32.00 $25.00 $12.00

g) En total, los asistentes a la kermés pagaron $2 348.00 por alimentos. ¿De cuánto fue la utilidad? 210 PERIODO 3


Fiestas populares

3. Determina las cantidades que se piden. a) 88% de una cantidad es 220. ¿Cuál es esa cantidad? b) Si 360 es 90% de una cantidad, ¿cuánto es 130% de dicha cantidad? c) ¿Qué porcentaje de 340 es 289? d) ¿Qué porcentaje de 340 es 374? f) Si 1 001 es 1 001% de una cantidad, ¿cuál es 50% de esa cantidad? 4. El impuesto al valor agregado (IVA) se suma al valor de los productos o servicios. En México, este impuesto tiene una tasa de 16%, en Argentina de 21% y de 7% en Panamá. Con base en esa información, escribe los datos que faltan en la tabla. México Precio Bruto ($)

Argentina

Panamá

508.20

321.00

250.00

Precio con IVA ($)

5. Trabajen en ternas. Determinen en qué situaciones de la vida cotidiana tiene sentido un porcentaje mayor a 100%. Escriban un ✘ en los paréntesis correspondientes y respondan las preguntas. Sí

No

• Un descuento mayor a 100% en el

costo de un producto. ¿Por qué?

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

• Aumento en el precio de un producto

o servicio ¿Por qué?

• El contenido de agua de un alimento

¿Por qué?

211


Infografía

ATRACCIÓN GRAVITACIONAL Los objetos dentro del Sistema Solar se encuentran “atados” por la atracción gravitacional. Esta fuerza los mantiene girando alrededor del Sol y evita que salgan disparados mientras dan vueltas, como una cuerda de honda que mantiene a una piedra girando antes de lanzarla.

ÓRBITAS Las trayectorias que siguen los planetas al orbitar el Sol no son circunferencias sino elipses (formas parecidas a un óvalo), pero para fines prácticos se pueden considerar circulares.

*108 millones

MARTE

*228 millones de kilómetros

VENUS

de kilómetros

*Distancia promedio al Sol *57 millones

MERCURIO

de kilómetros

TIERRA

*150 millones de kilómetros

¿Qué distancia aproximada recorre cada planeta del esquema al dar una vuelta alrededor del Sol?


Análisis de datos

GRAVEDAD EN LA TIERRA Además de hacernos girar alrededor del Sol, la atracción gravitacional es también la que nos mantiene, literalmente, “con los pies en la tierra”. Esta fuerza de atracción se da entre cualesquiera dos cuerpos, y es más fuerte entre más masivos sean estos. Peso = 120 × 2.5 = 300 kg

Peso = 120 kg Peso = 120 ÷ 6 = 20 kg

Si una persona se pesa en la Tierra y la balanza marca x kg...

al pesarse en la Luna, esa misma balanza marcaría kg

y en Júpiter marcaría 2.5x kg.

Utiliza los datos anteriores para calcular cuál sería tu peso en la superficie lunar y cuál en la de Júpiter.

INVENTOS HUMANOS EN EL SISTEMA SOLAR El ser humano ha logrado vencer la atracción gravitatoria de la Tierra para mandar naves al espacio. Un ejemplo de esto es la Estación Espacial Internacional, construida con el esfuerzo conjunto de muchos países. Esta estructura se puso en órbita en 1998 y desde entonces muchos astronautas, hombres y mujeres, han ido a trabajar en ella.

141

44

7

7 Otros países

5

3

3

10

Elabora, en tu cuaderno, una gráfica, de barras o circular para presentar la información de la tabla. Explica la razón de tu elección.

213


Ponte a prueba 3

Secuencia 9

Selecciona la opción correcta.

1. Una jarra con x L de agua se reparte en 15 vasos de ​​ __51 ​​ L. ¿Qué ecuación sirve para saber cuánta agua tiene la jarra y cuál es su solución? a) 15x = __ ​​  15 ​​; x = 0.2 L

b) x = 15(​​ __15 ​​)  ; x = 3 L

c) 15x = __ ​​  15 ​​; x = 3 L

d) x = 15(​​ __15 ​​)  ; x = 0.2 L

2. En una maqueta, una calle de 24 m se representó con una línea de 18 cm. ¿Cuánto debe medir en la maqueta una calle de 25 m? a) 18.75 cm

b) 18.5 cm

c) 19 cm

3. Se hará un jardín en un terreno rectangular con la forma que se muestra, donde una parte se cubrirá con pasto y la otra, con mosaico. ¿Qué porcentaje del terreno se cubrirá con cada material?

d) 19.25 cm

Pasto 4m

a) 80% de pasto y 20% de mosaico. b) 77% de pasto y 33% de mosaico. c) 75% de pasto y 25% de mosaico. d) 60% de pasto y 40% de mosaico.

Mosaico 6m

4. ¿Cuánto mide la cuerda más grande que se puede trazar en una circunferencia cuyo radio mide 4 cm? a) 2 cm

b) 4 cm

c) 8 cm

d) 16 cm

5. ¿Qué significa que el número π sea aproximadamente 3.1416? a) Que el diámetro de la circunferencia mide poco más de tres unidades. b) Que el área del círculo es poco más del triple que su perímetro. c) Que el diámetro cabe poco más de tres veces en la circunferencia. d) Que el radio cabe poco más de tres veces en la circunferencia. 6. La gráfica muestra los resultados de una encuesta aplicada a la población económicamente activa de cierta localidad. Si se entrevistó a 500 personas, ¿cuántas dijeron ser empleados u obreros? a) 30 b) 70 c) 150 d) 350

214214 PERIODO PERIODO 3 3

70% empleados y obreros 4% jornaleros 3% patrones 18% trabajan por su cuenta 3% trabajo familiar sin pago 2% no especifican


Número, algebra y variación

Lee la información y efectúa lo que se indica.

Pisos a la medida Omar es dueño de una tienda de pisos. Un cliente le pidió un presupuesto para adoquinar un patio rectangular de 12.5 m × 6.2 m. Estos son los diseños que Omar le propuso. Cuadrado

Rombo

Hexágono

Dimensiones (cm)

Lado: 20

Diagonal mayor: 34.64 Diagonal menor: 20

Lado: 10 Apotema: 8.66

Costo de caja con 30 piezas ($)

400.00

350.00

300.00

Mano de obra por la colocación ($)

2 500.00

4 000.00

5 000.00

Tipo de mosaico

Pregunta 1. ¿Cuál es el área del patio en metros cuadrados?  ¿Y en centímetros cuadrados? Pregunta 2. ¿Cuánto mide la superficie de un adoquín de cada tipo? Cuadrado:

Rombo:

Hexágono:

Pregunta 3. ¿Cuántas cajas de cada adoquín se requieren para cubrir la superficie del patio? Cuadrado: Rombo:

Hexágono:

Pregunta 4. ¿Cuánto cuesta adoquinar el patio con cada opción? Cuadrado: Rombo:

Hexágono:

215


Mi acordeón

En esta segunda parte del libro encontrarás “Mi acordeón”, una sección de consulta con información teórica (definiciones y algoritmos) que te servirá para resolver las actividades más difíciles de las lecciones, recordar conceptos aprendidos en grados anteriores o como ayuda para preparar los exámenes de cada periodo.


En la primera parte de “Mi acordeón” se enlistan los aprendizajes esperados y las secuencias del libro en las que se trabaja cada uno. También se incluye una lista de las secuencias en las que se trabaja algún aprendizaje esperado con el programa GeoGebra.

La segunda parte de “Mi acordeón” tiene dos secciones: una con información teórica y definiciones (por ejemplo, qué es la notación decimal o a qué se le llama “el periodo de un número”), y otra con algoritmos o procedimientos (por ejemplo, cómo encontrar fracciones equivalentes o ubicar números decimales en la recta numérica).


Eje: número, álgebra y variación AE1. Convierte fracciones decimales a notación decimal y viceversa. Aproxima algunas fracciones no decimales usando la notación decimal. Ordena fracciones y números decimales.

220

AE2. Resuelve problemas de suma y resta con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.

222

AE3. Resuelve problemas de multiplicación con fracciones y decimales, y de división con decimales.

224

AE4. Determina y usa la jerarquía de operaciones y los paréntesis en operaciones con números naturales, enteros y decimales (para multiplicación y división solo números positivos).

227

AE5. Calcula valores faltantes en problemas de proporcionalidad directa, con constante natural, fracción o decimal (incluir tablas de variación).

227

AE6. Resuelve problemas de cálculo de porcentajes, de tanto por ciento y de cantidad base.

228

AE7. Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales.

229

AE8. Analiza y compara situaciones de variación lineal a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica. Interpreta y resuelve problemas que se modelan con estos tipos de variación.

231

AE9. Formula expresiones algebraicas de primer grado a partir de sucesiones y las utiliza para analizar propiedades de la sucesión que representan.

233

Eje: forma, espacio y medida

218

220

234

AE10. Analiza la existencia y unicidad en la construcción de triángulos y cuadriláteros y determina y usa criterios de congruencia de triángulos.

234

AE11. Calcula el perímetro de polígonos y del círculo y áreas de triángulos y cuadriláteros desarrollando y aplicando fórmulas.

239

AE12. Calcula el volumen de prismas rectos cuya base sea un triángulo o un cuadrilátero desarrollando y aplicando fórmulas.

241


Eje: análisis de datos

242

AE13. Recolecta, registra y lee datos en gráficas circulares.

242

AE14. Usa e interpreta las medidas de tendencia central (moda, media aritmética y mediana) y el rango de un conjunto de datos y decide cuál de ellas conviene más en el análisis de los datos en cuestión.

243

AE15. Realiza experimentos aleatorios y registra los resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial.

244

Herramientas GeoGebra

245

AE10. Analiza la existencia y unicidad en la construcción de triángulos y cuadriláteros, y determina y usa criterios de congruencia de triángulos.

245

AE11. Calcula el perímetro de polígonos y del círculo, y áreas de triángulos y cuadriláteros desarrollando y aplicando fórmulas.

246

AE8. Analiza y compara situaciones de variación lineal a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica. Interpreta y resuelve problemas que se modelan con estos tipos de variación

247

AE10. Analiza la existencia y unicidad en la construcción de triángulos y cuadriláteros, y determina y usa criterios de congruencia de triángulos.

248

AE11. Calcula el perímetro de polígonos y del círculo, y áreas de triángulos y cuadriláteros desarrollando y aplicando fórmulas.

249

219


AE1. Convierte fracciones decimales a notación decimal y viceversa. Aproxima algunas fracciones no decimales usando la notación decimal. Ordena fracciones y números decimales.

¿Qué? Notación decimal ▶ Una notación es la manera en que representamos algo. La notación decimal

es la forma habitual en que solemos presentar los números, pues usamos un sistema decimal; es decir, que se organiza en grupos de diez (base 10).

Potencia ▶ Una potencia es el producto de varios factores iguales. Una potencia de diez

es una potencia con base 10 (10, 100, 1000, 0.1, 0.01, etcétera).

Fracción decimal ▶ Una fracción decimal es aquella cuyo denominador es una potencia de diez. Periodo ▶ El periodo en un número es la cifra (o cifras) que se repite indefinidamente en

su expresión decimal; generalmente encontramos este periodo en una división no exacta entre dos números. El periodo se indica colocando una línea horizontal sobre las cifras que lo componen.

Expresión decimal ▶ Cuando una cantidad se expresa solamente con potencias de 10; por ejem-

plo: 321.5 = 3 × 102 + 2 × 101 + 1 × 10 0 + 5 × 10-1, se dice que está expresada en forma decimal. En el caso de fracciones, es el resultado de dividir el numerador entre el denominador.

Aproximación ▶ Una aproximación es una estimación de una cantidad o medida que, aunque

no es exacta, es suficientemente cercana a la cantidad o medida.

Recta numérica ▶ La recta numérica es una recta en la que a cada punto se le asocia un número. −3 −2 −1 0 1 2 3 4

Densidad ▶ Hablamos de densidad para referirnos a la cantidad de elementos que hay

en una determinada región o espacio.

Densidad ▶ La densidad de los racionales es la propiedad de estos números que estade los racionales blece que entre cualquier par de números racionales siempre se puede en-

contrar otro número racional. En otras palabras, es un proceso que podemos repetir hasta encontrar tantos racionales como queramos entre cualquier par dado.

220


¿Cómo? Se efectúa la división del numerador entre el denominador de la fracción. ◀◀ Aproximar la expresión Por ejemplo, la expresión decimal de __ ​​ 34 ​​  es 0.75 porque ese es el resultado decimal de una fracción de la división de 3 entre 4. Para comprobar que dos fracciones son equivalentes, se multiplica el nume- ◀◀ Saber que dos fracciones rador de la primera por el denominador de la segunda y se compara ese son equivalentes número con el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda, es decir, __ ​​ ba  ​​ = __ ​​  dc  ​​ si se cumple que ad = bc. Para encontrar una fracción entre otras dos se pueden escribir ambas como ◀◀ Encontrar una fracción sus fracciones equivalentes con el mismo denominador. Por ejemplo, para entre dos fracciones 3 __ 18 5 __ ____ hallar una fracción entre ​​ 5 ​​ y ​​  6  ​​, consideramos sus fracciones equivalentes ​​ 30 ​​   dadas 25 y ​​ ____  ​​, de modo que cualquier fracción que tenga denominador 30 y numera30 dor entre 18 y 25 estará entre __ ​​ 35  ​​ y __ ​​  56  ​​. Para ubicar números decimales en la recta numérica primero hay que iden- ◀◀ Ubicar decimales en la tificar entre qué enteros se encuentra nuestro decimal. Por ejemplo, 3.275 recta numérica se encuentra entre el 3 y el 4. −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7

Luego, hay que dividir en diez tramos iguales el fragmento de recta numérica entre los enteros para ubicar los décimos. Después, se determina entre qué décimos se encuentra el número en cuestión. Por ejemplo, 3.275 está entre 3.2 y 3.3. 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4

Posteriormente, se divide en diez partes iguales el segmento de recta entre los décimos seleccionados para ubicar los centésimos. Una vez que el segmento de recta esté dividido en centésimos, se determina entre qué centésimos se ubica el número que se desea localizar. Por ejemplo, 3.275 está entre 3.27 y 3.28. 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 3.2 3.21 3.22 3.23 3.24 3.25 3.26 3.27 3.28 3.29 3.3

Por último, se divide en diez tramos iguales el segmento de recta de los centésimos para ubicar los milésimos. Se continúa este procedimiento tantas veces como decimales tenga el número que se desea ubicar.

221


2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 3.2 3.21 3.22 3.23 3.24 3.25 3.26 3.27 3.28 3.29 3.3 3.27 3.271 3.272 3.273 3.274 3.275 3.276 3.277 3.278 3.279 3.28

AE2. Resuelve problemas de suma y resta con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.

¿Qué? Número negativo ▶ Un número negativo es un número menor a 0; los negativos se encuentran

en la recta numérica a la izquierda del 0.

Valor absoluto ▶ El valor absoluto |n| es el valor de un número sin importar su signo. Una

forma de verlo es como la distancia que hay, sobre la recta numérica, entre el número y el 0. Por ejemplo |−8| = |8| = 8 porque ambos números distan ocho unidades del 0.

Simétrico ▶ El simétrico de un número se nombra así por su posición en la recta numéde un número rica. Se encuentra a la misma distancia del 0 que el número en cuestión,

pero en el lado opuesto de la recta numérica, considerando el 0 como el centro; esto es, uno de ellos es positivo y el otro negativo. Por ejemplo, −5 es el simétrico de 5 porque ambos se encuentran a la misma distancia del 0: |−5| = |5| = 5.

Resta ▶ La resta es una operación inversa a la suma. Todas las restas se pueden

escribir como sumas y las sumas como restas. Por ejemplo: Suma: 3 + 5 = 3 − (−5) Resta: 3 − 5 = 3 + (−5)

Propiedades ▶ • El orden de los sumandos no altera la suma; es decir, el resultado de una suma será el mismo sin importar el orden en que estén colocados sus de la suma

elementos. Por ejemplo, 5 + 6 = 6 + 5.

• Al sumar 0 a cualquier número, el resultado seguirá siendo igual al núme-

ro inicial. Por ejemplo, 3 + 0 = 0 + 3 = 3. • Los números simétricos se anulan al sumarse. Por ejemplo, 5 + (−5) = 0. • Los números simétricos se anulan al sumarse. Por ejemplo, 5 + (−5) = 0.

222


¿Cómo? ◀◀ Sumar números

Para sumar números con signo hay que tener en cuenta dos casos.

con signo

1. Si los números tienen signos iguales… Se suman los valores absolutos de los números y el resultado tendrá el mismo signo que tenían los números antes de sumarse. Por ejemplo: −8 – 6 = −14 3+5=8 2. Si los números tienen signos diferentes… Se restan los valores absolutos de los números y el resultado tendrá el signo del número que tenía el mayor valor absoluto antes de sumarse. Por ejemplo: −3 + 7 = 4 8 – 12 = −4

Para sumar fracciones se buscan fracciones equivalentes a los sumandos ◀◀ Sumar fracciones que tengan el mismo denominador y después se suman los numeradores. Ejemplo: 10 31 21 ____ __ ​​  35 ​​ + __ ​​  27 ​​ = ____ ​​ 35  ​​ + ​​   ​​ = ____ ​​   ​​  35 35

Se acomodan los números decimales de manera vertical de modo que los puntos estén alineados. Por ejemplo, 3.45 + 1.7 se resuelve al acomodar así: + 3.45 1.7 5.15

223


AE3. Resuelve problemas de multiplicación con fracciones y decimales, y de división con decimales.

¿Qué? Notación decimal ▶ Para representar a los números no enteros en forma decimal se utiliza la nota-

ción decimal. Consiste en un número formado por una parte entera, el punto decimal y una parte decimal. En la notación decimal, cada dígito que se ubica después del punto recibe un nombre específico; por ejemplo, el número 56.318 está conformado por 56 enteros, 3 décimos, 1 centésimo y 8 milésimos. Parte entera

Punto decimal

Décimos

Centésimos

Milésimos

56

.

3

1

8

Multiplicación de ▶ La multiplicación entre decimales y entre fracciones no siempre es una operación que incrementa, pues no siempre es equivalente a una suma sudecimales y multiplicación de cesiva; en ocasiones también es una operación que reduce. En cuanto a la multiplicación de cualquier número por una fracción, por fracciones ejemplo, para multiplicar ​​ __25 ​​  × 3, se deben hacer dos operaciones: 2 × 3 y

dividir el resultado entre 5.

Elementos ▶ Los elementos de la división son dividendo, divisor, cociente y residuo . de la división

2 Divisor → 2 ∣ 5 − 4 1

← Cociente ← Dividendo ← Residuo

¿Cómo? Multiplicar fracciones ▶ El producto de dos fracciones tiene como numerador el producto de los

numeradores de los factores, y como denominador, el producto de los deno12 minadores de los factores. Por ejemplo: __ ​​ 53 ​​ × __ ​​  74 ​​ = ______ ​​  35 ×× 47  ​​ = ____ ​​  35  ​​ .

Multiplicar decimales ▶ Para multiplicar decimales primero se efectúa la multiplicación como si los

números no tuvieran punto decimal. Por ejemplo, para multiplicar 3.14 × 2.58: 3.14 ×2.58 25 12 1 5 7 0 6 2 8 81012

224


Luego, se cuentan las cifras que están después del punto en cada factor. 3.14 ×2.58 25 12 1 5 7 0 6 2 8 81012 El número total de cifras es el número de lugares a la izquierda del punto que se debe recorrer el resultado. 3 . 1 4 × 2 . 5 8 2 5  1 2 1 5 7 0 6 2 8 8 1 0 1 2

3.14 ×2.58 2 5  1 2 1570 6 2 8 8 . 1 0 1 2 ◀◀ Dividir decimales

1. Para dividir cuando solamente el dividendo es un número decimal. Se escribe el punto decimal en el cociente a la misma altura que aparece en el dividendo. Por ejemplo: . 35 ∣ 2 . 12 35 ∣ 2 . 12 Se quita el punto decimal del dividendo y se hace la división convencional. Por ejemplo:

. 06 35 ∣ 2 . 12 − 2 10 2 2. Para dividir cuando solamente el divisor es un número decimal. Por ejemplo: 2.12 ∣ 35 Se cuenta el número de cifras que hay después del punto decimal en el divisor. Al dividendo se le agregan tantos ceros a la derecha como cifras decimales se contaron en el divisor. . 2.12 ∣ 3500

225


Se hace la división. 16.5 2.12 ∣ 3500 − 212 1380 − 1272 1080 − 1060 20 3. Para dividir cuando el dividendo y el divisor son números decimales. Se cuenta el número de cifras que hay después del punto decimal en el divisor. Ejemplos: 2.61 ∣ 3.183

y 2.61 ∣ 318.3

Se recorre el punto decimal a la derecha en el dividendo y en el divisor tantos lugares como cifras decimales se contaron en el divisor. Si no hay suficientes cifras decimales y quedan lugares en blanco, se agregan ceros. . 2.61 ∣ 318.30 Si aún quedan cifras decimales, se escribe el punto decimal en el cociente a la misma altura que aparece en el dividendo y se quita el punto decimal del dividendo. . 2.61 ∣ 31830 Finalmente, se divide. 1 21.9 1.2 2.61 ∣ 318.30. 2.61 ∣ 3183 − 261 − 261 573 573 − 522 − 522 510 51 − 261 2490 − 2349 141

226


AE4. Determina y usa la jerarquía de operaciones y los paréntesis en operaciones con números naturales, enteros y decimales (para multiplicación y división solo números positivos).

¿Qué? Cuando en una operación hay paréntesis, no necesariamente se trata de ◀◀ Determinar una jerarquía una multiplicación, sino que muchas veces se usan para indicar el orden en de operaciones mediante que deben hacerse las operaciones. Para hacer una serie de operaciones de el uso de paréntesis suma y resta, primero se efectúan las que están dentro de los paréntesis. Ejemplo: 3 + (8 + (9 − 4)) − 7 = 3 + (8 + 5) − 7 = 3 + 13 − 7 = 9

¿Cómo? Cuando en una operación se pide que se efectúen varias sumas, restas, multi- ◀◀ Determinar cuál es el plicaciones o divisiones, primero se resuelven las multiplicaciones y las diviorden de las operaciones siones. Por ejemplo, en la expresión 4 + 5(7) − 9 ÷ 3 − 6, las primeras operaciones que se hacen son la multiplicación 5(7) y la división 9 ÷ 3, con lo que se obtiene 4 + 35 − 3 − 6 = 30.

AE5. Calcula valores faltantes en problemas de proporcionalidad directa, con constante natural, fracción o decimal (incluir tablas de variación).

¿Qué? Una razón es la relación entre dos cantidades. Por ejemplo, en el grupo ◀◀ Razón 1° A, tres de cada siete alumnos son mujeres; esto se expresa como “3 de cada 7” y se escribe __ ​​ 37 ​​ o 3:7. Una proporción es la igualdad entre dos razones. Por ejemplo, en el grupo ◀◀ Proporción 1° B, por cada 21 alumnos hay 9 mujeres; la proporción de mujeres en los 9 grupos 1° A y 1° B es ​​ __37  ​​ = ____ ​​  21   ​​ , que también se escribe 3:7 = 9:21 . En una proporción, los productos cruzados son iguales.

◀◀ Propiedad de los

productos cruzados

Cuando dos cantidades se relacionan de forma que el cociente entre ellas es ◀◀ Variación proporcional constante, se dice que se relacionan de forma directamente proporcional. Si dos cantidades varían de forma directamente proporcional, el cociente ◀◀ Constante de entre ellas es una constante k llamada constante de proporcionalidad. proporcionalidad

227


¿Cómo? Encontrar el valor ▶ El producto cruzado permite conocer un valor faltante en una proporción. Por ejemplo, si x es el valor faltante en la proporción ​​ __ax ​​  = ​​ __bc ​​,  mediante el faltante en una producto cruzado se obtiene que el valor de x es el producto de a por c diviproporción ac dido entre b, es decir, ​​ ___   ​​ . b Conocer la constante ▶ Si dos cantidades a y b varían de forma proporcional, su cociente es un valor constante. En este caso, a = bk donde la literal k representa la constante de de proporcionalidad

proporcionalidad.

Calcular el valor ▶ Si por x número de artículos se pagan y pesos, la constante de proporcionalidad representa el costo de un artículo y se le conoce como el valor unitaunitario

rio. Al multiplicar el valor unitario por cualquier cantidad de artículos se obtiene el costo de este.

AE6. Resuelve problemas de cálculo de porcentajes, de tanto por ciento y de cantidad base.

¿Qué? Tasa: el tanto ▶ En problemas de cálculo de porcentajes, la tasa es una de las tres cantidades involucradas (tasa, cantidad base y cantidad final) y corresponde al vapor ciento

lor del porcentaje.

Cantidad base ▶ En problemas de porcentajes, la cantidad base es una de las tres cantidades

empleadas y corresponde a la cantidad inicial a la que se le aplica el porcentaje.

Porcentaje ▶ El porcentaje es una proporción expresada en términos de una fracción con

centésimos y quiere decir “tantos por cada 100”.

¿Cómo? 1 ​​ 100      ​​, se puede escribir el porcentaje Escribir un porcentaje ▶ Al considerar que 1% corresponde a _____ como una fracción con denominador 100. como fracción decimal o número decimal 1 42 Por ejemplo: 42% = 42 × ______ ​​ 100      ​​= _____ ​​  100     ​​.

Otra forma de escribir el porcentaje es dividir el numerador entre el deno42 minador, es decir, _____ ​​ 100     ​​ = 0.42. Encontrar la cantidad ▶ Se debe multiplicar la cantidad inicial por el porcentaje expresado en forma decimal. final

Ejemplo: 65% de 200 es 0.65 × 200 = 130. 228


En problemas de porcentaje, se divide la cantidad final entre la tasa (expre- ◀◀ Determinar la cantidad sada como número decimal) para obtener la cantidad base. base 130     ​​= 200; por tanto, la cantidad base es 200. Ejemplo: ​​ ______ 0.65

En problemas de porcentaje, basta con dividir la cantidad final entre la can- ◀◀ Obtener el porcentaje tidad base para obtener la tasa en su forma decimal. 130    ​​= 0.65; por tanto, 130 es 65% de 200. Ejemplo: ​​ _____ 200

AE7. Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales.

¿Qué? En matemáticas, a las letras que representan números se les llama literales. ◀◀ Literal Una expresión algebraica es una cadena de números, letras y signos de ope- ◀◀ Expresión algebraica ración. Una ecuación es una igualdad en la que no conocemos todos los términos.

◀◀ Ecuación

A los valores que no conocemos en una ecuación les llamamos incógnitas.

◀◀ Incógnita

La solución de la ecuación es el número que al sustituir a la incógnita con- ◀◀ Solución firma la igualdad. Para encontrar la solución de la ecuación, es necesario despejar la incógni- ◀◀ Despejar ta, lo que significa dejarla sola. Es la propiedad de números y expresiones algebraicas que combina suma y ◀◀ Propiedad distributiva producto. Ejemplos: • Con números: 3(4 + 6) = 3(4) + 3(6) • Con expresiones algebraicas: 3(a + b) = 3a + 3b

¿Cómo? El lenguaje algebraico permite representar el lenguaje verbal con expresio- ◀◀ Traducir del lenguaje nes algebraicas. Por ejemplo, si x es un número cualquiera, es posible hacer verbal al algebraico las siguientes traducciones.

229


Lenguaje verbal

Lenguaje algebraico

El doble de x

2x

El triple de x

3x

La mitad de x o x medios

__ ​​  2x  ​​

La suma de x más 2 o x aumentado en 2

x+2

x disminuido en 5

x−5

Resolver una ecuación ▶ Para resolver una ecuación, despejamos la incógnita por medio de operaciones inversas. Observa los ejemplos. mediante operaciones inversas • Suma

x+2=5 x+2−2=5−2 x=3

• Resta

x − 4 = 11 x − 4 + 4 = 11 + 4 x = 7 + 15

• Multiplicación

3x = 15 3x ____ 15 ​​ ___   ​​ = ​​    ​​  3 3 x=5 • División

​​ __4x  ​​ = 6 4(​​ __4x  ​​) = 4(6) x = 24 Eliminar paréntesis ▶ Para eliminar los paréntesis al resolver una ecuación, se aplica la propiedad

distributiva. Por ejemplo, para resolver 3(x + 7) − 2 = 13, primero se multiplica 3 por x y 3 por 7, con ello se obtiene 3x + 21 − 2 = 13, es decir, 3x + 19 = 13, y finalmente se aplica el método de operaciones inversas para despejar x.

230


Los términos semejantes son aquellos que tienen variables y exponentes ◀◀ Reducir términos iguales, aunque sus coeficientes sean diferentes. Por ejemplo, 3y y −7y son semejantes términos semejantes. Para resolver una ecuación mediante reducción de términos semejantes, se opera con los coeficientes. Por ejemplo, para resolver 6x + 7 − 4x + 11 = 38, se restan los coeficientes de x: 6 – 4 = 2 y se suman los términos independientes: 7 + 11 = 18 con esto se obtiene 2x + 18 = 38. Finalmente, se aplican las operaciones inversas para despejar la variable x. Se sustituye en la ecuación el valor obtenido o propuesto para la incógnita ◀◀ Saber si la solución de y se verifica si se cumple la igualdad. una ecuación es correcta

AE8. Analiza y compara situaciones de variación lineal a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica. Interpreta y resuelve problemas que se modelan con estos tipos de variación.

¿Qué? Una variable en matemáticas es una letra que representa una cantidad ◀◀ Variable y que puede tomar diferentes valores. Dentro de un fenómeno, algunas cantidades dependen de otras. A las varia- ◀◀ Variable dependiente e bles o cantidades que nosotros hacemos variar libremente las conocemos independiente como variables independientes. En contraste, las variables cuyo valor depende de otras se llaman variables dependientes. ◀◀ Constante

Una constante es un número fijo que no cambia su valor.

Cuando un par de cantidades varían linealmente quiere decir que aumentan ◀◀ Variación lineal o disminuyen de forma constante. Por ejemplo, si por un disco se pagan $75.00, por dos, $150.00, por tres, $225.00 y así sucesivamente; las cantidades número de discos y dinero, 150 _____ varían linealmente. Se observa que ____ ​​ 75   ​​ = ​​     ​​ = constante. 1 2 La pendiente de una recta es la inclinación de una recta. Se expresa como ◀◀ Pendiente de una recta una fracción que tiene como numerador lo que se avanza en dirección vertical y como denominador lo que se avanza en dirección horizontal, para llegar de un punto a otro de la recta. lo que se avanza en y

Así, m = ​​  ______________________       ​​ para llegar de un punto a otro de la recta. lo que se avanza en x

231


Tipos de pendientes ▶ Una recta o plano puede tener cuatro tipos de pendientes según sus carac-

terísticas.

• Pendiente nula: no tiene grado de inclinación, se encuentra sobre la

horizontal.

• Pendiente positiva: es la medida de la inclinación de una recta que al

trasladar un punto de izquierda a derecha sobre ella, este sube.

• Pendiente negativa: es la medida de la inclinación de una recta que al

trasladar un punto de izquierda a derecha sobre ella, este baja.

• Pendiente indefinida. Cuando una recta es vertical, su pendiente es inde-

finida. Esto se debe a que, al comparar, vertical y horizontalmente, la y 2 – y1 distancia entre dos puntos mediante la razón ​​ ________   ​ , la diferencia en el x2 – x1   denominador es 0 y no es posible efectuar esa división.

Ecuación de la recta ▶ La ecuación de la recta es una ecuación que se satisface por todos los pun-

tos que pertenecen a una recta. Hay varias formas de presentar la ecuación de la recta dependiendo de qué deseemos identificar más rápidamente. Cuando la ecuación de la recta tiene la forma y = mx + b, se puede identificar fácilmente la pendiente y el punto de intersección de la recta con el eje y.

y = mx + b ▶ Cuando la ecuación de la recta tiene esta forma, el coeficiente de x corres-

ponde al valor de la pendiente de la recta y la constante b indica las coordenadas (0, b), que son el punto de intersección entre la recta y el eje y. Si la ecuación tiene la forma y = mx, la recta pasa por el origen. Si la ecuación tiene la forma y = b, representa una recta con pendiente 0, es decir, la recta es horizontal y pasa por el punto (0, b). Si la ecuación es del tipo 0 = mx + b, no se puede interpretar como las anteriores; primero hay que despejar x y convertirla en una ecuación del tipo x = c, que será una recta vertical que pasa por el punto (c, 0).

232


◀◀ Ordenada al origen

Es el punto donde una recta interseca al eje y.

Es la magnitud de cambio de una variable por unidad de cambio de la otra. ◀◀ Razón de cambio

¿Cómo? La razón de cambio se obtiene al dividir el cambio en la variable dependien- ◀◀ Encontrar la razón de te entre el cambio en la variable independiente. cambio Por ejemplo, si por un disco pagamos $75.00 y por dos, $150.00, la ra150 − 75 zón de cambio es ​​ __________     ​​ = 75.   2−1 Si se conocen dos puntos (p, q) y (r, t) de una recta, la pendiente es el co- ◀◀ Determinar la pendiente t–q ciente m = _____ ​​  r – p  ​​.  de una recta Se ubica el punto b sobre el eje y; a partir de ahí se localiza otro punto ◀◀ Trazar rectas de la forma que se encuentre sobre la recta considerando que la pendiente es a. Es y = ax + b decir, si se parte del punto (0, b), se busca otro punto de manera que para llegar de b a ese nuevo punto, el cociente de lo que se avanza en y sobre lo que se avanza en x sea a. avance en dirección vertical del punto (0, b) a un punto sobre la recta avance en dirección horizontal del punto (0, b) a un punto sobre la recta.

a = ​​  __________________________________________________________________________________              ​​

AE9. Formula expresiones algebraicas de primer grado a partir de sucesiones y las utiliza para analizar propiedades de la sucesión que representan.

¿Qué? A las colecciones de números a partir de una regla se les llama sucesiones. ◀◀ Sucesión Los elementos de una sucesión se llaman términos.

◀◀ Término

Es posible conocer cualquier término de una sucesión a partir del lugar que ◀◀ Regla general ocupa mediante una regla general. Las sucesiones que tienen una diferencia constante entre cualesquiera dos ◀◀ Sucesión aritmética términos consecutivos se les llama sucesiones aritméticas. Por ejemplo, la sucesión 5, 9, 13, 17, 21, 25,… es una progresión aritmética, pues la diferencia entre dos términos consecutivos es 4 o, dicho de otra manera, si a cualquier término de la sucesión le sumamos 4, obtenemos el término siguiente. El término n de una sucesión es la expresión algebraica que describe cómo ◀◀ Término n de una es un término respecto a la posición que ocupa. sucesión

233


Término n de una ▶ El término que ocupa el lugar n de una sucesión aritmética tiene la forma: an = a1 + (n − 1)d. sucesión aritmética

Donde: an es el término que ocupa el lugar n, a1 es el término que ocupa el primer lugar de la sucesión, d es la diferencia.

¿Cómo? Obtener un término a ▶ Para determinar el tercer término de la sucesión 2n − 1, sustituye n = 3 en la expresión algebraica, es decir, 2n − 1 = 2(3) − 1 = 6 − 1 = 5. partir de la expresión algebraica Determinar la expresión ▶ Dada la sucesión 3, 10, 17, 24, … hay que hacer lo siguiente para encontrar la regla general. algebraica de una sucesión que es una 1. Investiga si la diferencia entre cualesquiera dos términos consecutivos progresión aritmética

es constante. En el ejemplo, la diferencia d entre cualquier par de términos es 7, ya que d = 10 – 3 = 17 − 10 = 24 − 17,...

2. Identifica el primer término. En este caso es 3. 3. Sustituye d y el primer término en la expresión an = a1 + (n − 1)d. La expresión general es entonces 3 + (n − 1)7; simplificando 3 + 7n − 7 se obtiene 7n − 4.

AE10. Analiza la existencia y unicidad en la construcción de triángulos y cuadriláteros, y determina y usa criterios de congruencia de triángulos.

¿Qué? Ángulo ▶ Un ángulo es el tamaño de la abertura o la cantidad de giro que hay entre

dos segmentos de recta unidos por un vértice.

Paralelas ▶ Dos rectas son paralelas si se mantienen a una distancia constante, por lo

que, por más que se prolonguen, nunca se tocan.

Perpendiculares ▶ Dos rectas son perpendiculares si en el punto donde se cruzan dividen el

plano en cuatro ángulos del mismo tamaño, es decir, de 90°.

234


De acuerdo con su tamaño, los ángulos se clasifican en agudos, rectos, ob- ◀◀ Tipos de ángulos tusos, nulos y llanos. • Agudos: miden más de 0° pero menos de 90°. • Rectos: miden 90°. • Obtusos: miden más de 90° pero menos de 180°. • Nulos: 0°. • Llanos: miden 180°. Agudos 90°

Obtusos 90°

Recto 90°

Nulo

180°

Llano

180°

Dos figuras (o ángulos) son congruentes si podemos superponer una a la ◀◀ Congruencia otra y resultan ser idénticas. Los ángulos opuestos que se forman en la intersección de dos rectas (o ◀◀ Ángulos opuestos segmentos de recta) son congruentes, es decir, miden lo mismo. En cada por el vértice intersección se forman dos pares de ángulos opuestos por el vértice.

114.1° 65.9°

65.9° 114.1°

235


Ángulos alternos ▶ Cuando una recta o segmento atraviesa (o corta) a dos o más rectas o segmentos paralelos entre sí, genera ángulos congruentes llamados ángulos internos

alternos internos. Reciben este nombre porque se alternan, es decir, uno va a la derecha y el otro a la izquierda de la recta transversal.

50.22° 50.22°

Suma de los ángulos ▶ La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°. interiores de un triángulo Suma de los ángulos ▶ La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360°. interiores de un cuadrilátero Cuadrilátero ▶ Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Paralelogramo ▶ Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene lados opuestos paralelos.

Pueden ser rectángulos, cuadrados, rombos o romboides. Cualquier paralelogramo tiene dos pares de ángulos opuestos congruentes.

Triángulos ▶ Los triángulos son polígonos de tres lados y tres ángulos que pueden ser

clasificados de acuerdo con las medidas de sus lados o de sus ángulos.

Tipos de triángulos de ▶ • Escaleno: son los triángulos con las tres medidas de sus lados desiguales. • Isósceles: estos triángulos tienen al menos dos lados de la misma medida. acuerdo con sus lados • Equilátero: son los triángulos con los tres lados de la misma longitud.

Tipos de triángulos de ▶ • Acutángulo: en estos triángulos los tres ángulos internos miden menos de 90°. acuerdo con sus ángulos • Rectángulo: estos triángulos tienen un ángulo de 90°. • Obtusángulo: son los triángulos con un ángulo mayor que 90°.

Congruencia de ▶ Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes, la misma amplitud. En otras triángulos

palabras, se dice que dos triángulos son congruentes si tienen la misma forma y el mismo tamaño.

236


Los criterios de congruencia son como una lista de verificación que te ◀◀ Criterios de congruencia permiten saber si dos triángulos son congruentes. Existen tres criterios para triángulos de congruencia esencialmente distintos y se enuncian a continuación. • LLL (lado-lado-lado). Este criterio dice que dos triángulos son congruen-

tes si tienen sus tres lados de la misma longitud.

• LAL (lado-ángulo-lado). De acuerdo con este criterio, si dos triángulos

tienen dos lados y el ángulo entre ellos cuenta con las mismas medidas, entonces son triángulos congruentes. Es muy importante que el ángulo congruente sea el que está entre ambos lados y no otro.

• ALA (ángulo-lado-ángulo). Este criterio permite determinar la congruen-

cia de dos triángulos que tienen un lado homólogo congruente y dos ángulos homólogos que miden lo mismo. No importa cuál sea el par de ángulos, pues teniendo dos ángulos congruentes, el tercero también lo será.

¿Cómo? Para que un triángulo pueda construirse, ninguno de sus lados debe ser ◀◀ Saber que un triángulo mayor o igual que los otros dos juntos. puede construirse Por ejemplo, el triángulo con medidas (5, 6, 7) puede construirse, ya que 6 + 5 = 11 > 7; 6 + 7 = 13 > 5 y 7 + 5 = 12 > 6. Si al efectuar otra construcción con las mismas características se obtiene ◀◀ Saber que una solución es siempre una figura congruente a la primera construcción. única para una construcción

Para trazar un triángulo debes recurrir a regla, compás y transportador (o ◀◀ Trazar un triángulo a a un programa como GeoGebra) y proceder dependiendo de las medidas partir de algunas medidas que te den. A continuación, se mencionan algunos casos en que se tienen dadas datos conocidos. Las medidas de los tres lados • Traza un lado con ayuda de la regla. • Considera el punto inicial del primer lado como el centro de una circunfe-

rencia. El radio tendrá la longitud del segundo lado.

• Toma el punto final del primer lado como centro de otra circunferen-

cia ahora con la longitud del tercer lado como radio. • Une la intersección de ambas circunferencias con los puntos anteriores y obtendrás un triángulo. Este procedimiento es el mismo que se indicó para la barra de entrada de GeoGebra de la lección previa.

237


La medida de dos lados y un ángulo • Traza uno de los lados con ayuda de la regla. • En el punto inicial o final del lado coloca el centro del transportador y

marca el ángulo indicado.

30° 8 cm • Sobre el nuevo lado marcado del ángulo, traza con la regla el segundo

lado.

• Une los vértices que quedan libres para trazar el triángulo.

5 cm

30° 8 cm

La medida de un lado y dos ángulos • Con la regla traza el lado que te dieron. • Con el transportador marca un ángulo en un vértice y otro ángulo en el

otro vértice.

• Extiende las rectas de los lados de los ángulos que acabas de marcar has-

ta que se crucen. • Une la intersección de las rectas con los puntos extremos del primer lado.

30°

40° 8 cm

Suma de los ángulos ▶ La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es el producto de 180° por el número de lados disminuido en 2. interiores de un polígono de n lados

La fórmula es 180°(n − 2).

238


AE11. Calcula el perímetro de polígonos y el círculo, y de áreas de triángulos y cuadriláteros desarrollando y aplicando fórmulas.

¿Qué? Medida que indica el tamaño del contorno de una figura.

◀◀ Perímetro de

Suma de las longitudes de los lados del polígono.

◀◀ Fórmula para el cálculo

Medida que indica el tamaño de una superficie.

◀◀ Área

un polígono

del perímetro

◀◀ Fórmula para el cálculo

del área

h

b bh Triángulo = ​​ ___   ​​  2

h

b

Paralelogramo = bh

h b bh   ​​  Polígono regular de n lados = n × ​​ ___ 2

Los cuadriláteros con cuatro lados iguales se llaman rombos. La diferencia ◀◀ Rombo con un cuadrado es que los rombos tienen dos ángulos opuestos agudos e iguales y otro par de ángulos opuestos obtusos e iguales, mientras que los cuadrados tienen sus cuatro ángulos rectos. 239


Romboide ▶ Un romboide tiene dos pares de lados paralelos y de la misma longitud. Así

como el rombo, también tiene dos ángulos opuestos agudos que miden lo mismo y el otro par de ángulos opuestos obtusos e iguales.

Trapecio ▶ Los trapecios son cuadriláteros que solamente tienen dos lados paralelos.

Pueden ser trapecios isósceles si tiene dos pares de ángulos congruentes; trapecio rectángulo si tiene dos ángulos congruentes y rectos; o trapecio escaleno si no tiene ángulos congruentes. 90°

90° Trapecio rectángulo

Trapecio isósceles

Trapecio escaleno

Papalote ▶ Estos cuadriláteros cumplen con tener dos pares de lados con la misma

longitud; sus diagonales se cruzan perpendicularmente y tienen un par de ángulos opuestos congruentes sin lados paralelos.

Trapezoide ▶ Un cuadrilátero que no tiene lados paralelos se conoce como trapezoide; los

papalotes forman parte de este grupo.

Circunferencia ▶ Curva cerrada compuesta de todos los puntos que equidistan de un punto

llamado centro.

Círculo ▶ Superficie plana totalmente contenida dentro de una circunferencia. Radio ▶ Segmento que une al centro de un círculo con cualquier punto de su circun-

ferencia.

Diámetro ▶ Segmento que une dos puntos de una circunferencia pasando por el centro. Figura compuesta ▶ Se llama figura compuesta a aquella que puede dividirse en otras figuras

que resultan más familiares, como triángulos. El área de una figura compuesta es igual a la suma de las áreas de las figuras que la componen; sin embargo, el perímetro de una figura compuesta dependerá del nuevo contorno generado.

¿Cómo? Calcular el perímetro de ▶ A partir del radio: un círculo

A partir del diámetro:

240

Perímetro = 2 × π × radio Perímetro = π × diámetro


Para aproximar el valor de π, se calcula el perímetro de polígonos regulares ◀◀ Aproximar el valor de π con muchos lados, siempre que estos se encuentren inscritos en una circunferencia de radio 1 (puede ser 1 dm, 1 m o similar).

AE12. Calcula el volumen de prismas rectos cuya base sea un triángulo o un cuadrilátero, desarrollando y aplicando fórmulas.

¿Qué? El volumen de un cuerpo es una medida del espacio que ocupa.

◀◀ Volumen

Es la medida del espacio que puede contener un cuerpo.

◀◀ Capacidad

Un prisma recto es aquel que tiene dos caras llamadas bases iguales y ◀◀ Prisma recto paralelas. Por ejemplo:

h

b

a ◀◀ Fórmula para el cálculo

El volumen de un prisma recto se calcula con la fórmula:

del volumen de un prisma recto

V = área de la base × altura

¿Cómo? ◀◀ Encontrar el volumen de

Para calcular el volumen de un prisma recto se utiliza la fórmula:

un prisma recto

V = área de la base × altura. Es necesario identificar primero la forma que tiene la base del prisma para calcular su área. Por ejemplo, calcular el volumen del prisma en el que h = 32 cm, b = 16 cm y a = 6 cm.

h a b

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La forma de la base es un triángulo, por tanto, su área se calcula… ba   ​​ A = ​​ ____ 2

Al sustituir los valores conocidos, se obtiene… (16 cm)(6 cm)

96 cm     ​​  = ​​  _________     ​​ = 48 cm2 A = _________________ ​​  2 2 2

Una vez que se ha calculado el área de la base, se calcula el volumen. En el ejemplo, esto se resuelve de la siguiente manera: V = (48 cm2) × (32 cm) = 1 536 cm3

AE13. Recolecta, registra y lee datos en gráficas circulares.

¿Qué? Gráfica circular ▶ Una gráfica circular es una gráfica en la que el área de la circunferencia

completa representa 100% de una cantidad y las secciones corresponden a partes proporcionales a 100%.

Ángulo central ▶ El ángulo central es un tipo de ángulo cuyo centro es el vértice de una cir-

cunferencia y cuyos lados son dos radios de la misma circunferencia.

¿Cómo? Interpretar una gráfica ▶ Las secciones de una gráfica circular representan proporciones del total.

Por ejemplo, 80% de los estudiantes de una escuela practican algún deporte. En la gráfica, el área de toda la circunferencia representa a todos los estudiantes de la escuela y el área sombreada representa a 80% que practica deporte. No practican deporte 20%

Practican deporte 80%

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Primero, se deben calcular los ángulos centrales correspondientes a los por- ◀◀ Dibujar una gráfica centajes que se quieren mostrar; luego, se dibujan los sectores. circular a partir de Por ejemplo, para calcular el ángulo central correspondiente a 80%, se multiplica la medida del ángulo central completo (360°) por el porcentaje como decimal: 360° × 0.80 = 288°.

porcentajes

Luego, se traza un ángulo central de 288° delimitado por dos radios. Las proporciones deben transformarse en porcentajes y luego seguir las ◀◀ Hacer una gráfica circular instrucciones para dibujar una gráfica circular a partir de porcentajes. a partir de proporciones Por ejemplo, 1 de cada 5 partidos que juega un equipo termina en empate. • Transformar 1 de cada 5 en porcentaje: __ ​​ 5 ​​ = 0.2 • Calcular el ángulo central: 360° × 0.2 = 72° • Dibujar los sectores correspondientes 1

Empate 20% 72º

No empate 80%

AE14. Usa e interpreta las medidas de tendencia central (moda, media aritmética y mediana) y el rango de un conjunto de datos, y decide cuál de ellas conviene más en el análisis de los datos en cuestión.

¿Qué? La media aritmética o promedio es la suma de todos los datos dividida entre ◀◀ Media el número total de datos de un conjunto. La mediana es el dato central de un conjunto ordenado de datos. Si el con- ◀◀ Mediana junto tiene una cantidad par de datos, la mediana es el promedio de los dos datos centrales. En un conjunto de números, la moda es el dato que aparece con mayor ◀◀ Moda frecuencia.

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¿Cómo? Obtener la media ▶ Para obtener la media de un conjunto se suman todos los datos y se dividen

entre el número de datos.

Por ejemplo, la media del conjunto {3, 4, 10, 5} es (3 + 4 + 10 + 5) ____ _________________ ​​      ​​  = ​​  22   ​​ = 5.5. 4 4

Obtener la mediana ▶ Un conjunto de números puede tener una cantidad par o impar de elementos.

Primero se ordenan los números de menor a mayor. Después, si el número de elementos es impar, se selecciona la cifra que está en el centro; si la cantidad de datos es par, se seleccionan las dos cifras del centro y se calcula el promedio de estas. Para encontrar la mediana del ejemplo {3, 4, 10, 5}, se efectúa lo siguiente: • Se ordenan {3, 4, 5, 10} • Como tiene un número par de elementos, se seleccionan los dos datos

centrales: 4 y 5.

• Se calcula el promedio: ​​ ______    ​​ = 4.5. 2 4+5

Obtener la moda ▶ Se busca el número con mayor frecuencia.

En el ejemplo {3, 4, 1, 0, 5}, todos los elementos tienen frecuencia 1, por lo tanto, no hay moda.

AE15. Realiza experimentos aleatorios y registra los resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial.

¿Qué? Experimento aleatorio ▶ Es un experimento en el que interviene el azar. Puede tener varios resulta-

dos que no se conocen de antemano, aun manteniendo las condiciones iniciales. Por ejemplo, el resultado que se obtendrá al lanzar un dado.

Resultados posibles de ▶ Es el conjunto de resultados que se obtienen al llevar a cabo un experiun experimento mento.

Por ejemplo, el conjunto de resultados de lanzar una moneda es E = {sol, águila}.

Frecuencia absoluta ▶ En un conjunto de datos, la frecuencia absoluta de un elemento es el núme-

ro de veces que se repite el elemento en el conjunto de datos.

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La frecuencia relativa de un elemento es el cociente de la frecuencia abso- ◀◀ Frecuencia relativa luta entre el total de datos. La frecuencia esperada es la frecuencia de resultados que se desea obtener ◀◀ Frecuencia esperada al repetir un experimento aleatorio un determinado número de veces.

¿Cómo? Para encontrar la frecuencia esperada de obtener águila en 300 lanzamien- ◀◀ Calcular la frecuencia tos de una moneda, multiplicamos el número de lanzamientos por la probaesperada bilidad teórica de que ocurra el suceso. 1   ​​ = 150 Número de repeticiones × probabilidad teórica = 300 ×​​ ___ 2

Se divide la frecuencia absoluta de un elemento entre el número total de ◀◀ Calcular la frecuencia datos. relativa

AE10. Analiza la existencia y unicidad en la construcción de triángulos y cuadriláteros, y determina y usa criterios de congruencia de triángulos.

¿Qué? Permite seleccionar objetos al dar clic sobre ellos, así como arrastrarlos ◀◀ Elige y mueve para cambiarlos de lugar; también permite escoger varios elementos dando clic derecho y arrastrando para crear un recuadro de selección. Sirve para crear puntos libres al dar clic sobre la pantalla. También es posi- ◀◀ Punto ble crear puntos sobre rectas, segmentos, polígonos o circunferencias al dar clic sobre el trazo en cuestión. Estos puntos no serán libres, sino que solo se podrán mover sobre el trazo o figura donde se marcaron. Se emplea para trazar la recta que pasa por dos puntos al dar clic sobre ellos ◀◀ Recta y para crear una recta dando clic sobre la pantalla; los puntos se harán automáticamente. Permite dar clic sobre dos puntos para crear el segmento que los une, o ◀◀ Segmento bien, al igual que con la recta, para dar clic sobre la pantalla y crear un segmento cualquiera, de este modo se trazarán automáticamente los dos puntos extremos.

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Ángulo ▶ Se emplea para resaltar y medir ángulos de diversas maneras: • al dar clic en tres puntos, medirá el ángulo entre ellos, considerando al

segundo como vértice;

• al dar clic sobre dos segmentos (o rectas) de forma consecutiva, medirá el

ángulo de intersección entre ellos;

• al dar clic en el interior de un polígono medirá los ángulos del polígono.

Intersección ▶ Al seleccionar dos objetos con esta herramienta, se crearán los puntos don-

de se intersecan (los que llamamos comúnmente cruces) si es que existen. Otra manera de usar la herramienta es dando clic directamente sobre una intersección. La diferencia es que este segundo método solo crea el punto en la intersección seleccionada, mientras que el primero crea todos los puntos de intersección que puedan existir.

Paralela ▶ Se emplea para crear una recta paralela a otra (o a un segmento), para

ello, se debe dar clic sobre la recta y un punto por donde pasará la paralela; el orden al dar clic sobre la recta y el punto es indistinto.

Perpendicular ▶ Igual que en el caso de la paralela, para trazar una perpendicular se necesi-

ta un punto y una recta (o segmento) y al dar clic sobre ambos se obtiene la recta perpendicular que pasa por el punto elegido.

Tortuga[] ▶ Al introducir este comando en la barra de entrada, se crea una tortuga en el

punto (0, 0). El programa le asigna el nombre tortuga1 como predeterminado, pero es posible asignar el nombre deseado si se define al introducir el comando, por ejemplo: “t=Tortuga[]”, genera una tortuga de nombre t. También se puede nombrar Casiopea: “Casiopea=Tortuga[]”, pero será más complicado programar las instrucciones por tener un nombre largo.

AE11. Calcula el perímetro de polígonos y del círculo y áreas de triángulos y cuadriláteros desarrollando y aplicando fórmulas.

¿Qué? Polígono ▶ Permite delimitar un contorno para crear un polígono, para ello, hay que

seleccionar y dar clic en los sitios donde se desea que haya un vértice (punto común de dos lados) de la figura. El último clic se debe hacer sobre el primer vértice para cerrar el polígono. Una vez creado, se puede usar la herramienta “Elige y mueve” para modificar la ubicación de algún vértice.

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A diferencia de la herramienta polígono, esta genera un polígono que no ◀◀ Polígono rígido puede modificarse desde sus vértices, sino que permanece rígido y permite moverlo y girarlo sin deformarlo, por ello, no es posible crear vértices sobre puntos o trazos previos, pues eso lo fijaría. Para crear un polígono rígido, se debe seleccionar la herramienta y dar clic donde se desean los vértices hasta regresar al vértice inicial.

AE8. Analiza y compara situaciones de variación lineal a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica. Interpreta y resuelve problemas que se modelan con estos tipos de variación.

¿Qué? Permite obtener la medida de la pendiente al dar clic sobre una recta o un ◀◀ Pendiente segmento. GeoGebra generará un triángulo representativo en el que se observa la relación del avance vertical respecto al horizontal, pero no generará la pendiente como razón, sino con su valor en notación decimal. La única pendiente que GeoGebra no puede representar ni medir es la de las rectas paralelas al eje y. Se emplea para crear bosquejos libremente con los que se agregan notas o ◀◀ Lápiz marcas personalizadas a los trabajos en GeoGebra. Hay que seleccionar la herramienta y deslizarla por la pantalla manteniendo el botón izquierdo del ratón presionado. Al terminar cada trazo es posible seleccionar el trazo como cualquier objeto del programa y modificar su apariencia, ya sea moviéndolo de lugar o cambiando su color o estilo de línea. Sirve para crear un punto que esté restringido a un objeto; hay que dar clic ◀◀ Punto en objeto sobre el objeto al que se asignará el punto, puede ser una recta, segmento, polígono, etc. El punto creado solo podrá moverse dentro de los límites del objeto elegido. Permite encontrar el punto medio al dar clic en un segmento o en dos puntos. ◀◀ Medio o centro

El rastro de un objeto muestra una huella de color de las distintas ubicacio- ◀◀ Mostrar el rastro nes que tiene el objeto al moverlo o animarlo. Para ver el rastro, hay que ir al menú de configuración de un elemento, o bien, dar clic derecho sobre el punto o trazo y activar o desactivar esta casilla según se desee.

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Escala ▶ Una escala en matemáticas y en dibujo es una razón que relaciona las

longitudes de dos elementos (generalmente un modelo u origen y una representación de este) de forma tal que la relación entre sus dimensiones es siempre constante, es decir, que existe una relación proporcional entre ellas.

Tipos de escalas ▶ Hay escalas de ampliación, de reducción y la natural.

En una escala de ampliación, como 3:1, indicamos que por cada 3 unidades del modelo ampliado estamos representando 1 del modelo original. En una escala de reducción, como 1:100, por cada unidad de la representación se consideran 100 unidades de la realidad. Por ejemplo, esta escala en un plano nos diría que por cada centímetro del plano hay 1 m en la realidad. Una escala natural es 1:1, esto significa que el modelo y su representación son congruentes.

AE10. Analiza la existencia y unicidad en la construcción de triángulos y cuadriláteros, y determina y usa criterios de congruencia de triángulos.

¿Cómo? Mostrar los ejes ▶ Haz clic derecho sobre la pantalla para activar o desactivar los ejes y la cuadrícula según lo requieras. coordenados y la cuadrícula Crear un punto desde ▶ Asigna un nombre al punto seguido de las coordenadas. Prueba los siguientes: la barra de entrada

Inicio=(1, 2) Meta=(3, 4)

Indicar a la tortuga ▶ TortugaAvanza y TortugaRetrocede son los comandos que permiten estos movimientos. Siempre avanzará en la dirección a la que apunte su cabeza que avance o retroceda

y retrocederá en la dirección opuesta. Para ambos comandos necesitas dos datos: el nombre asignado a la tortuga que deseas mover y la distancia que deseas que avance, por ejemplo: Casiopea=Tortuga[] TortugaAvanza[Casiopea,6] TortugaRetrocede[Casiopea,4] Estos comandos harán que la tortuga llegue al punto (6, 0) y después regrese hasta el punto (2, 0). Recuerda que para ver en acción estos comandos debes dar clic en el botón “Animar” .

248


La tortuga puede girar hacia su derecha o izquierda con los comandos ◀◀ Indicar a la tortuga TortugaDerecha y TortugaIzquierda, respectivamente. Igual que en los que gire comandos para avanzar y retroceder, también necesitas indicarle al programa el nombre de la tortuga que deseas girar, seguido de la cantidad de grados que deberá hacerlo (recuerda colocar el signo de grados ° o GeoGebra no reconocerá la instrucción). Para indicar los giros, considera que una vuelta completa tiene 360°. Prueba, por ejemplo, la instrucción “TortugaDerecha[Casiopea,90°]”.

AE11. Calcula el perímetro de polígonos y del círculo, y áreas de triángulos y cuadriláteros, desarrollando y aplicando fórmulas.

¿Cómo? Para construir una circunferencia usa la herramienta “Circunferencia ◀◀ Construir una (centro-radio)”. Da clic en el punto donde quieres que se localice el cencircunferencia con un tro de la circunferencia y en el cuadro emergente anota la medida del radio definido radio. También puedes construirla directamente desde la barra de entrada usando el comando “Circunferencia[C,r]”, donde C debe haber sido definido como un punto y r es el valor del radio. Asigna valores de ejemplo a la terna (a,b,c); recuerda que puedes susti- ◀◀ Construir un triángulo tuirlos por los que desees. Para trazar el triángulo correspondiente a a partir de una terna la terna (5,6,7), usa la barra de entrada para escribir las instruccionesde medidas de longitud siguientes. • Define un punto que servirá como vértice. Por ejemplo, A= (0,0). • Traza un segmento de longitud a, en el punto A; en este caso, tendremos-

que ladoa=Segmento[A,5].

• Construye una circunferencia con centro en A y radio b.

c=Circunferencia[A,6]

• Crea una circunferencia con centro en B y radio c.

d=Circunferencia[B,7]

• Puedes recurrir a la herramienta intersección en el menú “Puntos” para

encontrar una de las intersecciones entre ambas circunferencias o insertar el comando Interseca[c,d]

• Crea el polígono formado por los vértices A, B y uno de los puntos de in-

tersección de las circunferencias.

249


Ocultar trazos auxiliares ▶ Al seleccionar la herramienta “Mostrar/ocultar objeto”, permitirá ocultar to-

dos los trazos a los que demos clic hasta cambiar de herramienta. También podemos dar clic derecho sobre el trazo y activar/desactivar la casilla “Mostrar el objeto”.

Cambiar u ocultar ▶ Tenemos la opción de usar la herramienta “Mostrar/ocultar etiqueta” o dar clic derecho sobre el elemento y activar o desactivar la casilla “Mostrar el nombre de un elemento

etiqueta”, según deseemos.

También, al dar clic derecho, aparece la opción “Propiedades”, donde podemos cambiar el nombre del elemento o elegir cómo mostrarlo. Para hacerlo debes activar la casilla “Mostrar etiqueta” y elegir del menú desplegable si quieres que se muestre el nombre, el valor, ambos o un rótulo adicional.

250


En la barra de entrada, define el punto donde quieres el centro, por ejemplo ◀◀ Construir una A=(0,0). Después, emplea el comando “Circunferencia”, usa el centro que circunferencia dado acabas de definir y el valor que desees para el radio, por ejemplo, 5. el centro y el radio Tus comandos deben quedar así: A=(0,0) C=Circunferencia[A,5] También se puede emplear el icono, para ello, se selecciona primero el centro y luego se especifica la medida del radio. • Determina el número de lados del polígono. Si quieres analizar varios, ◀◀ Construir un polígono

puedes crear un deslizador al escribir en la barra de entrada un comando como el siguiente. lados=Deslizador[3,50,1] Este dará valores desde 3 hasta 50, de uno en uno.

• Crea la circunferencia en la que inscribirás el polígono y marca un punto

B sobre ella, puedes hacerlo con la herramienta “Punto” o con el comando B=Punto[c].

• Define los grados alrededor del centro que corresponderán a cada lado

del polígono: grados=360/lados

• Inserta el comando de rotación para encontrar el primer lado del polígo-

no, para ello, primero debes indicar el punto que rotará; luego, la cantidad de grados y, finalmente, respecto a quién rotará; en este caso, A (el centro de la circunferencia): B2=Rota(B,grados°,A) Es importante que incluyas el signo de grados ° o el programa no lo leerá correctamente.

• Traza el polígono con el comando Polígono[B,B2,lados] • Mueve el deslizador para obtener todos los polígonos posibles. Puedes

ver sus perímetros con el comando Texto[Perímetro[polígono1]].

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inscrito en una circunferencia


Definir un deslizador ▶ Un deslizador permite dar distintos valores a un elemento. Para definirlo,

primero hay que asignar un nombre, por ejemplo a. Después, debemos elegir cuál será el valor mínimo que tomará y el máximo. Si queremos que vaya desde −10 hasta 20, escribimos el comando: a=Deslizador[−10,20] Al dar clic en animar, el valor de a cambiará a lo largo de esos valores avanzando una décima a la vez. Si queremos que avance solo en números enteros, le diremos que vaya de uno en uno, agregando un dato más: a=deslizador[−10,20,1] Si preferimos de dos en dos, entonces quedaría: a=deslizador[−10,20,2]

Medir superficies ▶ El primer paso es generar el polígono que queremos medir. Después, hay

que llevar a cabo el siguiente procedimiento. 1. Selecciona la herramienta “Área” medirá.

y da clic sobre la superficie que se

2. Si asignaste nombre al polígono (por ejemplo, P), entonces inserta el comando Área[P]. En este caso, obtendrás la medida dentro de la “Vista algebraica”, pero no se mostrará en tu construcción. Medir longitudes ▶ Con el polígono, curva o segmento que deseas medir puedes hacer lo si-

guiente.

1. Selecciona la herramienta “Distancia o longitud” objeto que se medirá.

y da clic sobre el

2. Si asignaste un nombre al trazo (por ejemplo, T), escribe el comando “Perímetro[T]”.

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Bibliografía Recursos para el alumno Bibliografía recomendada • Bosch, Carlos, Claudia Gómez, Una ventana a las formas, Biblioteca Juvenil Ilustrada, México, Santillana, 2003. • Enzensberger, Hans Magnus, El diablo de los números, Madrid, Siruela, 1997. • Perero, Mariano, Historia e historias de matemáticas, México, Grupo Editorial Iberoamérica, 1994. • Tahan, Malba, El hombre que calculaba, México, Noriega Editores, 1994. • VanCleave, Janice, Matemáticas para niños y jóvenes, México, Limusa, 1997.

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Recursos para el profesor Bibliografía recomendada • Alarcón, Jesús, Higinio Barrón, La enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria. Guía de estudio y lecturas, México, sep, 2001. • _____ et al., Libro para el maestro. Matemáticas, Educación Secundaria, México, sep, 2001. • Allen Paulos, John, Un matemático lee el periódico, España, Tusquets, 1996. • Ávila, Alicia, Silvia García Peña, Los decimales: más que una escritura. Materiales para apoyar la práctica educativa, México, inee, 2008. • Block, David, Eva Moreno, Patricia Martínez, Repartir y comparar. La enseñanza de la división entera en la escuela primaria. Somos Maestros, México, Ediciones SM, 2015. • _____ , Tatiana Mendoza, Margarita Ramírez, ¿Al doble le toca el doble? La enseñanza de la proporcionalidad en la educación básica. Somos Maestros, México, Ediciones SM, 2010. • Chevallard, Yves, Mariana Bosch, Josep Gascón, Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje, México, sep, 2000. • Courant, Richard, Herbert Robbins, ¿Qué son las matemáticas? Conceptos y métodos fundamentales, México, Fondo de Cultura Económica, 2002. • Espinosa, Hugo, Silvia García, Marco Antonio García, Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Secundaria, México, sep, 2000. • Fonseca Cárdenas, M. Teresa et al., PISA en el aula: Matemáticas. Materiales para apoyar la práctica educativa, México, inee, 2008. • Fuenlabrada, Irma et al., Juega y aprende matemáticas, México, sep, 1992. • García Peña, Silvia, Olga Leticia López Escudero, La enseñanza de la geometría. Materiales para apoyar la práctica educativa, México, inee, 2008. • Guillen, Michael, Cinco ecuaciones que cambiaron el mundo, México, Editorial de Bolsillo, 2008. • Gutiérrez Rodríguez, Ángel et al., Aprendizaje y enseñanza de las matemáticas escolares. Casos y perspectivas, México, sep, 2011. • Ifrah, Georges, Historia universal de las cifras (2 vols.), México, sep, 2000. • Itzcovich, Horacio, Iniciación al estudio didáctico de la geometría, Buenos Aires, Libros del Zorzal, 2005.

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Savia Matemáticas 1° secundaria  

Educar es hacer crecer. La educación, como la savia, nutre, genera vida y está en constante renovación. La educación es la savia nueva que...

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