Page 1

Matematik

8

88

Formula

Formula

Formula är ett basläromedel i matematik för grundskolans årskurs 7–9.

Uppgifterna i Formula stimulerar till att upptäcka mönster, se samband och förstå begrepp, kring vilka eleven aktivt kan bygga upp sitt kunnande. Aktiviteterna utvecklar förmågor och ger möjlighet till lärande i samspel med andra. Problemlösningssidorna och Tänk efter utvecklar problemlösningsstrategier. Diagnoser följs av individanpassad träning i olika spår. Läromedlet omfattar för varje årskurs 7–9: • Elevwebb • Lärarwebb

Bo Sjöström har i många år arbetat med Matematik och lärande vid Malmö högskola och med konstruktion av nationella prov i matematik.

Petra Svensson är lärare på Rosengårdsskolan i Malmö.

PETRA SVENSSON

Gert Mårtensson har mångårig erfarenhet från olika grundskolor i Malmö.

Matematik

BO SJÖSTRÖM

• Elevbok

GERT MÅRTENSSON

Läromedlet ingår i serien Prima – Prima Formula – Formula.

a l u m r Fo

ON RTENSS GERT MÅ TRÖM BO SJÖS N VENSSO PETRA S

88


Välkommen att arbeta med Formula Boken innehåller sju kapitel. Det sjunde kapitlet innehåller blandade provuppgifter som har tydlig koppling till bokens sex första kapitel. Provuppgifterna är hämtade från tidigare nationella prov i matematik och från TIMMS, ett internationellt test av matematikkunskaper. I slutet av boken finns 21 läxor som hör till bokens sju kapitel.

Kapitelmodell Varje kapitel inleds med en diskussionsbild som anknyter till kapitlets innehåll och en målbeskrivning som talar om vad vi hoppas att du kan när du arbetat med kapitlet. Kapitlets innehåll består av: Gemensamma spåret del 1

Aktivitet 1 hjälper dig att upptäcka och utveckla olika begrepp, metoder och samband. Teorirutor beskriver begrepp eller ger förslag på metoder. Uppgifter ökar din förståelse och din färdighet samt utvecklar din förmåga att lösa problem. Problemlösning 1 tränar dina förmågor och matematiska strategier. Tänk efter 1 ökar din förståelse genom att diskutera kring sådant som du nyligen arbetat med. Diagnos 1 ger dig en uppfattning om du uppnått målen i den gemensamma delen.

G Problemlösning 1 Tänk efter 1 Diagnos 1

1

Spår 1 behandlar baskunskaperna i Gemensamma spåret.

2 G

Det tillkommer inga nya moment. Spår 2 fördjupar och utvidgar det som tidigare behandlats.

Det är av mera utmanande karaktär. Gemensamma spåret del 2

Aktivitet 2 • Teorirutor • Uppgifter • Problemlösning 2 Tänk efter 2 • Diagnos 2 • Spår 1 • Spår 2 Utmaningar kluriga uppgifter, som du kan försöka lösa när

som helst under året.

Problemlösning 2 Tänk efter 2 Diagnos 2

Kapiteldiagnos hjälper dig att se om du nått målen för hela

kapitlet. Repetition omfattar och repeterar innehållet från kapitlets två

Gemensamma spåren. Det tillkommer inga nya moment.

1

2

Något extra är precis som Spår 2 fördjupande och av mera

utmanande karaktär.

Kapiteldiagnos

Kapitlet avslutas med en Sammanfattning. Vi hoppas att boken ska hjälpa dig att förstå matematik i skolan och i din omgivning, att du ska känna att du kan, och att detta kan vara både nyttigt och roligt.

Författarna

Repetition Något extra Sammanfattning

3


Innehåll

1 Tal och räknesätt

...............

5

Spår 2 186

G-spår 6

Repetition 4 192

Spår 1

16

Något extra 194

Spår 2

19

Sammanfattning 4 196

G-spår 21 Spår 1

35

Spår 2

41

5 Uttryck och ekvationer

G-spår

Repetition 1

46

Spår 1 209

Något extra

48

Spår 2 214

Sammanfattning 1

G-spår

50

2 Negativa tal och potenser

197

..............

241

218

Spår 1 227 51

....

Spår 2 230

G-spår 52

Repetition 5 236

Spår 1

59

Något extra 238

Spår 2

61

Sammanfattning 5 240

G-spår 66 Spår 1

74

Spår 2

77

6 Volym och area

G-spår

242

Repetition 2 84

Spår 1 253

Något extra 86

Spår 2 259

Sammanfattning 2

G-spår

88

3 Bråk och procent

262

Spår 1 270 ..............

89

Spår 2 273

G-spår 90

Repetition 6 278

Spår 1

105

Något extra 280

Spår 2

112

Sammanfattning 6 282

G-spår 116 Spår 1

128

Spår 2

133

7 Blandade provuppgifter

1 Tal och räknesätt 284

Repetition 3 138

2 Negativa tal och potenser 286

Något extra 140

3 Bråk och procent 288

Sammanfattning 3

4 Omkrets och area 291

142

4 Omkrets och area

5 Uttryck och ekvationer 293 ............

143

6 Volym och area 295

G-spår 144

4

......

198

Spår 1

161

Läxor

Spår 2

169

Facit

297 318

G-spår 175

Register

Spår 1

Bildförteckning 344

184

343

.....

283


l a t a v i t a Neg r e s n e t o och p

Mål:

etat med När vi har arb a du kunna detta kapitel sk är på områden d • ge exempel l er negativa ta det förekomm subtrahera med • addera och negativa tal l i potensform ora och små ta st va ri sk ch o • tolka tiopotensform gar med tal i in n äk er b a kl • göra en

22


2

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

Aktivitet 2:1

G

En stegtävling Ni behöver: två olikfärgade tärningar (t.ex. blå och röd), samt två spelpjäser (t.ex. olikfärgade häftstift).

A B

Rita en spelplan som på bilden. Placera era spelpjäser mitt för nollan.

10

Den röda tärningen visar positiv förflyttning (uppåt) och den blå negativ förflyttning (nedåt). Om ni t.ex. får röd femma och blå tvåa blir resultatet 3 steg uppåt. Om ni t.ex. får röd etta och blå femma blir resultatet 4 steg nedåt.

5

Turas om att slå båda tärningarna. Den som efter sex kast, ligger närmast talet –5 har vunnit.

C

Tävla fler gånger men nu väljer ni själva vilket tal ni ska försöka komma så nära som möjligt efter sex kast. Den av er som kommit närmast sitt tal vinner.

0

D Diskutera vilket tal som har störst chans att vinna. E

Skriv av och lös uppgifterna. Diskutera vilka mönster ni ser i era svar. –5

5–3= 5–4= 5–5= 5–6= 5–7= 5– = –3

2001

b 5 grader

c 10 grader

Temperaturen är –8 °C. Vilken blir temperaturen om den stiger

a 5 grader 52

–10

Temperaturen är 3 °C. Vilken blir temperaturen om den sjunker

a 3 grader

2002

–3 + 5 = –4 + 5 = –5 + 5 = –6 + 5 = –7 + 5 = + 5 = –3

b 8 grader

c 13 grader


2

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

Tal mindre än noll

G

Tal som t.ex. –5 och –2 kallas negativa tal och ligger till vänster om noll på tallinjen. Talet 0 är varken positivt eller negativt. Negativa tal –5

–4

–3

–2

Positiva tal –1

0

1

2

3

4

5

Motsatta tal

Av två tal är det störst som ligger längst till höger på tallinjen. Två tal som ligger lika långt från talet 0 , t.ex. –3 och 3, kallas motsatta tal.

2003

Vilka tal pekar pilarna A–D på? A B –15

2004

2009

b –5

–4

–6

15 –12

5

c0

1

–2

d –4

–6

4

–5

3,5

–2,5

10

5

–9

–6

Vilket tal ligger precis mitt emellan

a –3 och –1

2008

0

Vilka tal ska stå i rutorna?

a b

2007

–5

Ordna följande tal i storleksordning. Börja med det minsta. 6

2006

D

Välj rätt tecken (< eller >) i rutan.

a3

2005

–10

C

b –3 och 3

c –3 och 5 Insättning

Hugo har 250 kr på sitt bankkonto. Vad visar kontot när Hugo gjort ett uttag på 300 kr?

250 kr

Uttag

–300 kr

Saldo

? kr

Saras bankkonto visar –50 kr. Hon sätter in 230 kr på sitt konto.

a Vad visar Saras konto efter insättningen? b Efter insättningen tar Sara ut 200 kr. Vad visar hennes konto nu? 53


2

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

G

2010

Vatten från heta källor används på Island i bl.a. badanläggningar. Vattentemperaturen i bassängen är en vinterdag +26 °C medan lufttemperaturen är –17 °C. Hur stor är temperaturskillnaden?

2011

De första olympiska spelen hölls år –776 i antika Grekland men förbjöds år 393. Först år 1896 återupptogs de olympiska spelen i modern tappning i Aten. Hur många år

Årtal före vår tideräkning anges ofta med ett minustecken.

a före år 0 hölls de första spelen b varade de olympiska spelen i antika Grekland

2012

Den romerske härföraren Julius Caesar föddes år –100. Hur gammal var han då han mördades år –44?

2013

Högsta punkt på jorden är toppen på Mount Everest med 8 850 meter över havsytan (m.ö.h.) och den lägsta Döda Havet med en vattennivå på –417 m.ö.h. Hur stor är höjdskillnaden mellan dessa platser? Platser som ligger under havsytan betecknas på kartor med ett negativt tal.

54

Jerusalem

Döda havet – 417


2

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

Addition och subtraktion med positiva tal +5 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

1

G

+4 2

3

4

5

6

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0

(–2) + 5 = 3

1

2

3

4

5

6

5

6

(–6) + 4 = (–2)

Addition med ett positivt tal innebär en flyttning åt höger på tallinjen. –5 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

–4 1

2

3

4

5

6

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0

3 – 5 = (–2)

1

2

3

4

(–2) – 4 = (–6)

Subtraktion med ett positivt tal innebär en flyttning åt vänster på tallinjen. Oftast sätter man en parentes om ett negativt tal för att skilja det från ett subtraktionstecken.

2014

Vilka beräkningar visar bilderna?

a –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

2015

b 1

2

3

4

5

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

6

Teckna och beräkna den nya temperaturen. Temperaturen är –8 °C och

a stiger med 10 grader

2016

6

b sjunker med 10 grader

Artos bankkonto visar –150 kr. Teckna och beräkna vad kontot visar när

a Arto sätter in 200 kr

b Arto tar ut 80 kr

Beräkna

2017 a (–2) + 3

b (–3) + 5

c (–5) + 3

2018 a 2 – 3

b4–7

c 5 – 10

2019 a (–3) – 2

b (–3) – 5

c (–5) – 10

2020 a (–1,5) + 2,5

b (–1,8) + 2,3

c (–5,9) + 4,8

2021 a 3,5 – 4

b 2,4 – 3,6

c 5,5 – 10

2022 a (–2,5) – 1,5

b (–3,2) – 1,8

c (–4,5) – 9,5 55


2

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

Addition och subtraktion med negativa tal

G

Eftersom

3+2= 3+1= 3+0= 3 + (–1) = 3 + (–2) = 3 + (–3) = 3 + (–4) =

5 4 3 2 1 0 (–1)

är

5–2= 4–1= 3–0= 2 – (–1) = 1 – (–2) = 0 – (–3) = (–1) – (–4) =

3 3 3 3 3 3 3

Att addera med ett negativt tal ger samma resultat som att subtrahera med det motsatta talet. Exempel: 3 + (–1) = 3 – 1 = 2 och 3 + (–4) = 3 – 4 = (–1) Att subtrahera med ett negativt tal ger samma resultat som att addera med det motsatta talet. Exempel: 2 – (–1) = 2 + 1 = 3 och (–1) – (–4) = (–1) + 4 = 3

2023

Vilket tecken ska stå i rutan?

a 4 + (–3) = 4 c 1 – (–3) = 1

3=4

b 4 + (–5) = 4 5 = (–1) d (–4) – (–3) = (–4) 3 = (–1)

2024 a 8 + (–5)

b 5 + (–9)

c (–3) + (–2)

2025 a 2,5 + (–1,5)

b 1,2 + (–2,4)

c (–1,8) + (–2,2)

3=1

Beräkna

2026

Bilden visar temperaturskillnaden mellan + 10 °C och –3 °C. Teckna och beräkna temperaturskillnaden när temperaturen sjunker från

a +5 ° till –5 °

b +8 ° till –7 °

5

10 – (–3) = 10 + 3 = 13 0

c –3 ° till –9 °

Beräkna

56

°C 10

2027 a 5 – (–8)

b 11 – (–9)

c 15 – (– 25)

2028 a (–4) – (–6)

b (–7) – (–4)

c (–12) – (–12)

2029 a 1,4 – (–2,6)

b (–2,5) – (–5)

c (–3,2) – (–1,2)

-5

-10 °C

0


2

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

Problemlösning 2:1

P1 1

2

G

3

Detta är de tre första figurerna i ett mönster med kvadrater. Hur många blå kvadrater finns i figur nummer

a5

b 10

c 100

d 1 000

P2

Försök med ord eller uttryck beskriva hur många blå rutor som finns i figur nummer n.

P3

Hur många vita kvadrater finns i figur nummer

a5

b 100

c 20

d 200

P4

Försök med ord eller uttryck beskriva hur många vita rutor som finns i figur nummer n.

P5

Fyra på varandra följande positiva heltal har summan 386. Vilka är talen?

P6

Tre på varandra följande negativa heltal har summan –12. Vilka är talen?

P7

Fyra på varandra följande negativa udda heltal har summan –16. Vilka är talen?

P8

Medelvärdet av tre på varandra följande negativa heltal är –19. Vilka är talen?

P9

Medelvärdet av fyra på varandra följande udda heltal är –20. Vilka är talen?

P10

Medelvärdet av tre olika heltal är 0.

a Ge exempel på vilka talen kan vara. b Två av talen är motsatta heltal (se s. 53). Ge exempel på vilka de tre talen kan vara.

P11

Medelvärdet av fyra olika heltal är –0,5. Vilka är talen om

a de följer direkt efter varandra b det största talet är 4. Ge två olika exempel. 57


2

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

Tänk efter 2:1

G

T1

Förklara varför (–2) är större än (–5).

T2 a Förklara varför (–5) – 3 = (–8) och varför 5 – (–3) = 8.

b Vilka olika betydelser har minustecknen i 5 – (–3) = 8?

T3 a Vad menar man när man säger: ”plus minus noll”

b Vilken är lösningen till ekvationen x + 6 = 4?

c Det tog lång tid innan man började räkna med negativa tal, trots att man länge använt subtraktioner. Varför?

Diagnos 2:1

D1 Skriv talen i storleksordning. Börja med det minsta. 0,4

(–1,2) (–0,9)

0,07 0,12

(–0,125)

Tecknet ( – ) för negativa tal och räkning med negativa tal kom inte i bruk förrän på 1700-talet i Europa. Trots att man tidigare arbetat med både subtraktion och ekvationslösning ansåg många matematiker att tal som var mindre än noll inte fanns, och därför var omöjliga att räkna med. När man infört talet ”noll” med tecknet 0 för något som inte fanns, var det svårt att tänka sig att det fanns tal som var ännu mindre.

Beräkna

D2 a 12 – 15

b (–8) + 8

c (–15) – 5

D3 a 5 + (–3)

b (–2) + (–4)

c (–3) – (–5)

D4 Vilket tal ligger precis mitt emellan a (–7) och 3

b (–8) och 5

c (–3,5) och 2,5

D5 Ett prov gav ett pluspoäng för korrekt svar och ett minuspoäng för

felaktigt eller utelämnat svar. På ett prov med tio uppgifter fick Liam sex pluspoäng. Hur många korrekta svar hade Liam?

58


2

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

Negativa tal Negativa tal –5

–4

–3

Positiva tal

–2

–1

0

(–4) ligger till vänster om (–1) (–4) är mindre än (–1) (–4) < (–1)

2030

5

4 ligger till höger om 1 4 är större än 1 4>1

b1

(–3)

(–3)

12 (–15)

1

(–2)

c (–2)

(–5)

1

(–5)

1,5

(–3,5)

8

A

4 (–12)

(–9)

b 5 grader

°C °C 10 10

5

5

5

5

0

0 0

0

0

0 0

0

-5

-5

-5

-5

c 10 grader

Vilken blir temperaturen på termometer B om den stiger

a 3 grader

b 5 grader

B

°C °C 10 10

Vilken blir temperaturen på termometer A om den sjunker

a 3 grader

2034

4

Vilka tal ska stå i rutorna?

a b

2033

3

Ordna talen efter storlek. Börja med det minsta. 2

2032

2

Välj rätt tecken (< eller >) i rutan.

a2

2031

1

c 10 grader

2035

Vilken temperaturskillnad visar termometrarna?

2036

På Miguels kontobesked står att hans saldo är –175 kr vilket betyder han är skyldig banken 175 kr. Vilket blir Miguels saldo om han

-10 -10 °C °C

-10 -10 °C °C

a sätter in 200 kr b tar ut 50 kr

2037

En u-båt befinner sig på ett djup av 67 m, dvs. –67 m.ö.h. På vilket djup befinner sig u-båten om den

a stiger 15 m

b dyker 23 m 59


2

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

+7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

1

1

–7 2

3

4

5

6

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

(–3) + 7 = 4

4 – 7 = (–3)

Börja vid –3, gå 7 steg åt höger, resultatet blir 4

Börja vid 4, gå 7 steg åt vänster, resultatet blir –3

6

Beräkna

2038 a (–6) + 2

b (–5) + 4

c (–3) + 5

d (–1) + 1

2039 a 7 – 2

b2–7

c 3–5

d5–3

2040

Skriv av och gör beräkningarna klara.

a

2041

6+2=8 6+1= 6+0= 6 + (–1) = 6 + (–2) =

b

6–2 6–1 6–0 6 – (–1) 6 – (–2)

=4 =5 =6 = =

+–++ –+ –

Vilket tecken ska stå i rutan? Jämför med föregående uppgift.

a 7 + (–1) = 7 c 7 – (–1) = 7

1=8

b 7 + (–3) = 7 d 7 – (–3) = 7

3 = 10

2042 a 5 + (–2)

b 8 + (–5)

c (–4) + (–3)

d (–10) + (–5)

2043 a 5 – (–2)

b 8 – (–5)

c (–4) – (–3)

d (–10) – (–5)

1=6

3=4

Beräkna

2044

Teckna och beräkna temperaturskillnaden mellan

a 7 ° och –4 ° b –2 ° och –7 °

2045

60

På månens solsida är det 120 °C och på skuggsidan –160 °C. Beräkna temperaturskillnaden.

–160 °C

120 °C


2

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

Mer om negativa tal 2046

Ge exempel på två heltal som kan stå i rutorna. Ett av talen ska vara negativt.

a

2047

+

b

=0

c

=1

+

c

=5

b 10

c5

b 15

d0

c9

2050

Differensen av två tal är 8. Det ena talet är –5. Vilket kan det andra vara? Finns det mer än en lösning?

2051

Välj bland talen på sifferkorten.

2

d3

5

a Vilka två tal ger den största summan? b Vilka två tal ger den minsta summan?

–3

2053

= –5

Vilka sex tal som följer på varandra har summan

a 21

2052

= –1

Talen 4, 5, 6, 7 och 8 är fem på varandra följande tal vars summa är 30. Vilka fem tal som följer på varandra har summan

a 15

2049

+

Ge exempel på två negativa heltal som kan stå i rutorna.

a

2048

b

=0

–6

4

2

–1

Beräkna medeltemperaturen för den här veckan. Dag

Ti

On

To

Fr

Temp. °C

5

3

0

–1

–3

–5

–6

Den här pappskivan kan vikas ihop till en kubformad tärning. Summan av talen som ligger mittemot varandra är –2. Vilka tal står bokstäverna för?

aA

bB

cC

A C

B

0

3

6 61


2

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

2054

Rita av de magiska kvadraterna och fyll i de tal som saknas. Summorna ska bli samma lodrätt, vågrätt och diagonalt.

a

3

b

1

c

–2

–1 – 8

0

0 –1

2055

2

2

Talet i en ruta får du genom att subtrahera talen ovanför. Talet i nedersta rutan kallas bottental.

a Vilka tal saknas? ?

? 2

0

2 2 – 3 = (–1)

3 (–1)

1 3–1=2

2 (–3)

(–1) – 2 = (–3)

?

? 6

6

2056

2

b Vilka tal saknas? 5

?

–5

0 ?

8

Vid en tävling skulle man kasta boll i en korg. För varje kast i korgen fick man två pluspoäng (+2). Varje missat kast gav en minuspoäng (–1).

a Av 20 kast missade Lina 6 kast. Hur många poäng fick Lina? b I samma tävling fick Elena på sina 20 kast sammanlagt 16 poäng. Hur många kast i korgen hade Elena?

62


2

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

Multiplikation och division med negativa tal 2057

Jämför med 3 · 4 = 4 + 4 + 4 = 12 och beräkna

a 3 · (–4) = (–4) + (–4) + (–4) = b 4 · (–3) = (–3) + (–3) + (–3) + (–3) =

2058

Skriv av och gör mönstret färdigt.

a

2059

3·3= 9 2·3= 1·3= 0·3= (–1) · 3 = (–2) · 3 = (–3) · 3 =

b

3 · (–3) = (–9) 2 · (–3) = 1 · (–3) = 0 · (–3) = (–1) · (–3) = (–2) · (–3) = (–3) · (–3) =

2

Studera mönstret du fick i föregående uppgift. Blir produkten av

a ett positivt och ett negativt tal positiv eller negativ b två negativa tal positiv eller negativ Beräkna

2060 a 3 · (–5)

b (–5) · 3

c (–3) · (–5)

2061 a 4 · (–1,5)

b (–4) · 1,5

c (–4) · (–1,5)

2062

Vilket tal ska stå i rutan?

a 0,5 ·

2063

b

= (–1)

b 2a – 3b

Beräkna värdet av uttrycket om a = 2, b = (–3) och c = 4.

a a+b·c

2065

=2

Beräkna värdet av uttrycket om a = 3 och b = (–2).

a 2a + 3b

2064

c (–0,25) ·

· 5 = (–1)

b (a + b) · c

Rita av tabellen och fyll i det som saknas. x 3x – 2

–2

–1 –5

0

1

2

·

·

/ 63


2

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

6 = (–2) därför att (–2) · (–3) = 6 (−3)

(−6) = (–2) därför att (–2) · 3 = (–6) 3

(−6) = 2 därför att 2 · (–3) = (–6) (−3)

2066

Studera faktarutan ovan. Blir kvoten av

a ett positivt och ett negativt tal positiv eller negativ b två negativa tal positiv eller negativ Beräkna

2

2067 a

15 (−3)

b

(−15) 3

c

(−15) (−3)

2068 a

4 (−0, 5)

b

(−4) 0, 5

c

(−4) (−0, 5)

2069 a

1, 2 (−0, 2)

b

(−12) (−0, 2)

c

(−12) (−0, 02)

2070

Ge exempel på divisioner som ger kvoten

a (–2)

2071

b (–1,5)

Ge exempel på divisioner med två negativa tal som ger kvoten

a1

2072

b 0,2

c 0,25

Vilken av ekvationerna har x = –5 som lösning? 10 x−3 =2 C A (–5) + 4x = 10 B =4 x (−2)

D 10 – x = 5

x – y om x = 9 och y = (–3). y

2073

Beräkna värdet av

2074

Beräkna värdet av a · (a + b) –

2075

Talet i en ruta fås genom att de två talen ovanför divideras. Vilket bottental får du?

a

18

–3 –6

64

c (–0,5)

1

b

12

a om a = 4 och b = (–2). b

–4

–2

c

16

–8

–4


2

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

Aktivitet 2:2

A Pappersvikning

G

Ni behöver: Papper, t.ex. sida från en dagstidning.

1 Gör en tabell där ni kan föra in era resultat. Antal vikningar

Antal lager

Beräkning

Potensform

0

1

1

20

1

2

2

21

2

4

2·2

22

3 …

8 …

2·2·2 …

23 …

2 Vik papperet på mitten så många gånger ni kan. Teckna och beräkna hur många lager papper det blir efter varje vikning. 3 Läs på nästa sida hur man skriver tal i potensform. 4 Hur många lager skulle ni få med a 10 vikningar

b 11 vikningar

c 12 vikningar

B Muggtal

Hur många pärlor ska det ligga i de olika muggarna för att få fram alla tal 1–63?

Tips: I mugg 1 finns 1 pärla och i mugg 6 finns 32 pärlor. Talet 33 får ni som summan av antalet pärlor i mugg 1 och 6. C Stora tal

Vårt talsystem med 10 som bas är mycket användbart för att skriva stora tal i potensform. Tal

Faktorer

Talet i potensform

Tio

10

10

101

Ett hundra

100

10 · 10

102

Ett tusen

1 000

10 · 10 · 10

103

Ta reda på hur stora talen är och skriv talet både i potensform och på vanligt sätt.

a En miljon

b En biljon

c En triljon

d En kvadriljon 65


2

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

Potenser

G

2 · 2 · 2 · 2 kan enklare skrivas 24

24 utläses ” två upphöjt till fyra”.

En produkt med ett antal lika faktorer kan skrivas som en potens. I potensen 24 är siffran 2 bas och siffran 4 exponent.

24

Exponenten visar hur många faktorer som ingår i produkten.

2076

b4·4·4

c 5·5·5·5

Skriv potensen som produkt.

a 23

2078

bas

Skriv produkten i potensform.

a 3·3

2077

exponent

b 32

c 53

Detta är de tre första figurerna i ett mönster med kvadrater.

1

2

3

a Rita av och gör tabellen färdig. Figur nr

1

2

Antal små kvadrater

1

4

Antal små kvadrater i potensform

12

22

3

4

5

6

b Hur många små kvadrater finns i figur nr 30? c Vilket figurnummer har 400 små kvadrater?

2079

Skriv ett uttryck i potensform för kvadratens area.

a

(cm)

b

(cm)

66

s s

4,5

5

Dela först upp talet i två lika stora faktorer. Skriv sedan talet i potensform.

a 25

(cm)

4,5

5

2080

c

b 49

c 100

10


2

2081

Dela först upp talet i tre lika stora faktorer. Skriv sedan talet i potensform.

a8

2082

b 27

G

c 1 000

Vilken bas ska stå i rutan?

a

2083

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

2

b

=9

2

2

c

= 36

= 64

Vilken exponent ska stå i rutan?

a4

b2

= 16

c5

= 16

= 125

Beräkna värdet av

2084 a 22

b 62

c 302

2085 a 13

b 53

c 24

2086 a 0,12

b 0,22

c 0,52

2087 a 0,13

b 0,23

c 0,012

2088 a 23 + 32

b 33 – 24

c 34 + 43

2089

En bakterie delar sig varje halvtimme så att en bakterie blir två. Klockan 08.00 finns det två bakterier i en odling. Hur många bakterier finns det i odlingen

a klockan 10.00

b klockan 12.00

2090

Ordna talen i storleksordning. Börja med det minsta. 1 a 101 110 10 – 1 1 + 10 10 5 2 5 b 5 2 5·2 5+2 2

2091

Sätt ut rätt tecken i rutan. Välj mellan >, = eller <.

a 32 + 52

2092

(3 + 5)2

b 42 + 62

(4 + 6)2

Vilka tal ska stå i rutorna?

a

2

+

2

= 17

b

2

+

2

= 41

c

2

+

2

= 53

67


2

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

Tiopotenser

G

Stora tal kan enkelt skrivas i potensform med tio som bas. Ett tusen 1 000 = 10 · 10 · 10 = 103 En miljon 1 000 000 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 106 En miljard 1 000 000 000 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 109 Exponenten anger hur många nollor som talet slutar på. Talet 3 000 kan skrivas 3 · 1 000 = 3 · 103. Talet 3 500 kan skrivas 3,5 · 1 000 = 3,5 · 103. Talen är skrivna i grundpotensform. Faktorn framför tiopotensen skrivs med ett tal mellan 1 och 10.

2093

Skriv på vanligt sätt.

a 104

2094

c 101

b tio miljoner

c tio miljarder

Skriv i potensform

a tiotusen

2095

b 102

Beräkna och svara på vanligt sätt.

a 103 + 102

b 104 + 103

c 105 + 102

Skriv på vanligt sätt.

2096 a 4 · 103

b 5 · 103

c 4,5 · 103

2097 a 4,2 · 102

b 4,2 · 103

c 4,2 · 104

2098 a 1,5 · 102

b 3,7 · 103

c 4,25 · 104

2099

Vad ska stå i rutan?

a 7 800 =

· 103

b 54 000 = 5,4 ·

Skriv i grundpotensform.

68

2100 a 800

b 8 000

c 80 000

2101 a 860

b 8 600

c 86 000

2102 a 550

b 6 400

c 32 000

2103 a 27 000

b 27 500

c 299 000

c 2 750 =

· 103


2

2104

Skriv i grundpotensform. Faktorn framför tiopotensen ska då vara ett tal mellan ett och tio.

a 70 · 102

2105

2107

b 70 · 104

c 700 · 103

5,0 · 105

5,5 · 104

Tabellen visar några av världens större öar. Skriv öarnas storlek i grundpotensform. Skriv avstånden i grundpotensform. Avstånd från jorden till

a månen 380 000 km b solen 150 000 000 km

2108

d 700 · 105

Ordna följande tal i storleksordning. Börja med det minsta. 5,1 · 105

2106

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

G

1,5 · 106 Grönland

2 000 000 km2

Nya Guinea

800 000 km2

Borneo

750 000 km2

Madagaskar

590 000 km2

Island

100 000 km2

Kuba

47 000 km2

Skriv antalet invånare på vanligt sätt. Antalet är från 2012.

a Sverige 9,5 · 106 b Kina 1,3 · 109

2109

En del tiopotenser har särskilda namn som kallas prefix. Tabellen visar några vanliga prefix. Prefix

Förkortning Tiopotens

hekto

h

102

kilo

k

103

mega

M

106

giga

G

109

tera

T

1012

Skriv i grundpotensform. Hur många

a gram är 2 hektogram (2 hg) b meter är 5,2 kilometer (5,2 km) c watt är 7 megawatt (7 MW) d byte är 3 gigabyte (3 Gb)

Havanna, Kuba

69


2

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

Små tal i potensform

G

Små tal kan skrivas som tiopotenser med hjälp av negativa exponenter. Tal med vanligt skrivsätt

1 000 100

10

1

0,1

0,01

0,001

Tal i potensform

103

101

100

10–1

10–2

10–3

102

0,006 = 6 · 0,001 = 6 · 10–3 och 0,0065 = 6,5 · 10–3 Talen är skrivna i grundpotensform. Faktorn framför tiopotensen skrivs som ett tal mellan 1 och 10.

Skriv som en tiopotens.

2110 a en tiondel

b en hundradel

c en tusendel

2111 a en tiotusendel

b en hundratusendel

c en miljondel

2112

Beräkna och svara på vanligt sätt.

a 101 + 10–1

b 102 + 10–2

c 103 + 10–3

Skriv på vanligt sätt.

2113 a 5 · 10–1

b 5 · 10–2

c 5 · 10–3

2114 a 8,4 ·10–1

b 8,4 · 10–2

c 8,4 · 10–3

2115

Skriv av och fyll i det som saknas.

a 4 000 = 4 · 103

b 4 500 = 4,5 · 103

400 = 40 = 4 = 4 · 100 0,4 = 0,04 = 0,004 =

450 = 45 = 4,5 = 4,5 · 100 0,45 = 0,045 = 0,0045 =

Skriv i grundpotensform.

70

2116 a 0,02

b 0,002

c 0,000 2

2117 a 0,035

b 0,000 35

c 0,000 035


2

2118

Skriv i grundpotensform. Faktorn framför tiopotensen ska vara ett tal mellan 1 och 10.

a 70 · 10–4

2119

b 70 · 10–6

G

d 700 · 10–6

b 2,5 · 10–1 + 2,5 · 10–2

Vilket tal i potensform är tio gånger så stort som

a 102

2121

c 700 · 10–4

Beräkna och svara på vanligt sätt.

a 5 · 10–1 + 5 · 10-2

2120

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

b 10–2

Hur många gånger så stort är

a 10–2 jämfört med 10–3 b 101 jämfört med 10–1

2122

2123

Liksom tiopotenser för stora tal har också tiopotenser för små tal prefix. Tabellen visar några sådana prefix.

Prefix

Förkortning

Tiopotens

deci

d

10–1

centi

c

10–2

Skriv i grundpotensform. Hur många meter är

milli

m

10–3

a 2 centimeter (2 cm) b 2 millimeter (2 mm) c 2 mikrometer (2 µm) d 2 nanometer (2 nm)

mikro

µ

10–6

nano

n

10–9

Skriv i decimalform betydelsen av prefixet

a milli (m)

2124

c nano (n)

b 0,000 005 m

c 0,000 000 005 m

Skriv med prefix

a 0,005 m

2125

b mikro (µ)

Världens minsta fåglar är kolibrierna, där den minsta arten väger endast 1,6 g. Under en dag äter kolibrin nektar som motsvarar halva sin vikt. Ett ägg från fågeln väger ca 0,4 g. Skriv vikten som kilogram i grundpotensform för

a kolibrins vikt b kolibriägget c födan under en dag 71


2

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

Problemlösning 2:2

G

P1

1

2

3

Detta är de tre första figurerna i ett mönster med kvadrater. Hur många kvadrater finns det i figur nummer

a4

b9

c 99

Vilken figur i mönstret har

d 900 kvadrater

P2

e 1 000 000 kvadrater

Skriv upp nio tal i följd t.ex. 6

7

8

9

10

11

12

13

14

Ta kvadraten på mittentalet. I det här exemplet beräknar du då 102. Beräkna sedan produkterna 9 · 11, 8 · 12, 7 · 13 och 6 · 14. Jämför alla produkterna med kvadraten på mittentalet. Vilket mönster finner du? Får du samma mönster om du väljer nio andra tal i följd?

P3

Talföljderna A och B innehåller samma tal, skrivna i potensform och på vanligt sätt. Skriv av och fyll i talen som saknas. A: B:

P4

2 · 10–3

4 · 10–2

16 · 100 0,8

Medelvärdet av 4 olika heltal är –0,5. Vilka är talen om differensen av

a två närliggande tal är 1 b två närliggande tal är 5 c största och minsta talet är 5. Ge två olika exempel. d största och minsta talet är 9. Ge två olika exempel. 72

32 · 101


2

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

Tänk efter 2:2

T1

Samir påstår att

a 103 är hälften av 106 c 10–1 = –10

b 102 = 20 d 103 + 103 = 106

Hjälp Samir med de rätta svaren om han har fel.

T2

Vilket är störst, 102 eller 210?

T3

Förklara varför

G

a 25 · 103 har samma värde som 2,5 · 104 b 0,25 · 103 har samma värde som 2,5 · 102

Diagnos 2:2

D1 Skriv i potensform. a 1 000

b 10 000

c 0,001

D2 Skriv i grundpotensform. a 4 000

b 75 000

c 0,005

D3 Skriv på vanligt sätt. a 2 · 103

b 3,6 · 103

c 2 · 10–3

D4 Beräkna och skriv svaret på vanligt sätt. a 103 + 102 b 2 · 104 – 5 · 103 c 1,5 · 104 – 2,5 · 103

D5 Vilket tal i potensform är a tre gånger så stort som 33 b hälften så stort som 24

D6 En fullvuxen människa

tillverkar ca 9 · 109 röda blodkroppar i timmen. Hur många miljoner röda blodkroppar är detta?

73


2

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

Potenser exponent

En produkt av lika faktorer kan skrivas som en potens.

54

5 · 5 · 5 · 5 = 54 Potensen 54 utläses ” fem upphöjt till fyra”.

1

2126

Skriv produkten som en potens.

a 6·6

2127

b7·7·7

c 8·8·8·8

Skriv potensen som en produkt.

a 32

2128

bas

b 53

c 74

Skriv antalet rutor som en potens.

a

b

c

Skriv på vanligt sätt värdet av potensen.

2129 a 72

b 24

c 53

2130 a 102

b 152

c 202

2131

Vilket tecken (>, = eller <) ska stå i rutan?

a 12

2132

74

c 25

42

52

Ordna talen i storleksordning. Börja med det minsta. 4

2133

b 33

13

34

23

14

43

32

Rita av tabellen och fyll i det som saknas. Potens

12

0,92

Värde

1

0,81

0,82

0,72

0,62

0,52

0,42

0,32

0,22

0,12


2

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

Tiopotenser Stora tal kan enkelt skrivas i potensform med tio som bas. Tiopotenser En miljard En miljon Ett tusen

1 000 000 000 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 109 1 000 000 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 106 1 000 = 10 · 10 · 10 = 103

Tänk på att faktorn framför tiopotensen ska vara ett tal mellan 1 och 10.

Tal i grundpotensform Tre miljoner 3 000 000 = 3 · 1000 000 = 3 · 106 Tre och en halv miljon 3 500 000 = 3,5 · 1 000 000 = 3,5 · 106

2134

Skriv på vanligt sätt

a 103

2135

1

b 104

c 105

Skriv som tiopotens

a en miljon

b tio miljoner

c ett hundra miljoner

Skriv på vanligt sätt.

2136 a 5 · 103

b 6 · 103

c 5,5 · 103

2137 a 3,4 · 102 b 3,4 · 103 c

3,4 · 104

Skriv talen i grundpotensform.

2138 a 400

b 4 000

c 40 000

2139 a 350

b 3 500

c 35 000

2140

Ett vindkraftverk har effekten 2 MW (megawatt). Hur många gånger så stor effekt har vindkraftverket jämfört med en lågenergilampa på

a 20 watt

2141

b 5 watt

Antalet myror i en medelstor myrstack har uppskattats till 45 000. Skriv antalet myror i grundpotensform.

75


2

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

Tal mindre än ett kan skrivas i potensform med negativa exponenter.

1

Decimalform

0,1

0,01

0,001

0,000 001

Potensform

10–1

10–2

10–3

10–6

Prefix

deci (d)

centi (c)

milli (m)

mikro (µ)

Talet 0,005 skrivs i grundpotensform som 5 · 10-3 där talet framför tiopotensen ska vara ett tal mellan 1 och 10.

2142

Skriv i potensform.

a en tiondel c en tusendel

2143

b en hundradel d en miljondel

Skriv i grundpotensform.

a 0,5 c 0,005

b 0,05 d 0,000 005

Skriv på vanligt sätt utan tiopotens.

2144 a 10–3 c 10–5

2145 a 4 · 10–3 c 3 · 10–4

2146 2147

b 10–4 d 10–6 b 4,5 · 10–3 d 3,5 ·10–4

Ljusets hastighet är 3 · 105 km/s. Hur stor är hastigheten i m/s?

Buddhaskulpturen är klädd med bladguld.

1 g guld kan dras ut till en 3 000 m lång tråd med tjockleken 0,000 12 mm. Guld kan valsas ut till bladguld med tjockleken 0,000 1 mm. 1 000 l havsvatten innehåller 3,5 · 10–3 g löst guld. En guldatom väger 3 · 10–25 kg.

Svara i grundpotensform.

a Hur tjockt är bladguld uttryckt i millimeter? b Vilken tjocklek kan en guldtråd ha uttryckt i meter? c Hur mycket väger en guldatom uttryckt i gram? d Hur mycket guld finns i 1 000 l havsvatten uttryckt i kilogram? 76


2

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

Multiplikation och division med potenser 23 · 24 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 27

103

·

10–5 =

23

24

103+(–5) =

10–2

När man multiplicerar potenser med samma baser adderar man exponenterna.

36 3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3 = = 3 · 3 · 3 · 3 = 34 2 3 3⋅3

men

36 = 36–2 = 34

eller kortare

När man dividerar potenser med samma baser subtraherar man exponenterna.

10 3 = 103–(–5) = 108 10 −5 32 = 32–2 = 30 32

23 · 24 = 23+4 = 27

eller kortare

32 9 = =1 9 32

Alltså är 30 = 1

För alla potenser gäller att om exponenten är 0 har potensen värdet 1.

2

Beräkna och skriv som en potens.

2148 a 32 · 33

b 62 · 65

c 102 · 104

2149 a 2 · 22 · 23

b 6 · 62 · 64

c 100 · 102 · 103

2150 a 52 · 56 · 5–3

b 73 · 7–4 · 7–3

c 108 · 10–5 · 102

2151 a

46 43

b

58 53

c

10 6 10 2

2152 a

36 3−2

b

5 −4 53

c

10 −3 10 −7

2153 a

10 5 ⋅10 3 10 4

b

10 8 10 3 ⋅ 10 −2

c

10 −3 ⋅10 4 10 2 ⋅ 10 5

2154

Beräkna i potensform

a produkten av en miljon och en miljard b kvoten av en miljard och en miljon 77


2

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

Beräkna och svara i grundpotensform.

Tänk på att talet framför tiopotensen ska vara ett tal mellan 1 och 10.

6 · 102 · 4,5 · 103 = 6 · 4,5 · 102 · 103 = 27 · 105 = 2,7 · 106 3 ⋅ 10 6 = 0,375 · 103 = 3,75 · 102 8 ⋅ 10 3

Beräkna och svara i grundpotensform.

2

2155 a 3 · 102 · 2,5 · 104

b 4 · 103 · 8,5 · 104

2156 a 1,5 · 103 · 2,4 · 103

b 2,5 · 103 · 4,0 · 104

2157 a

4, 5 ⋅ 10 8 3 ⋅ 10 2

2158 a

8, 4 ⋅ 10 8 1, 2 ⋅ 10 2

2159

b

7, 2 ⋅ 10 6 3, 6 ⋅ 10 3

5 b 4, 5 ⋅ 103

9 ⋅ 10

Vilka tal ska stå i rutorna?

a 2 · 10 + 10 · 10 = 3 000 000 b 6,5 · 10 + 10 · 10 = 7 500 000

2160

En människa har ca 2,5 · 106 svettkörtlar. Varje körtel utsöndrar ca 2 · 10–7 l vatten varje dygn. Hur mycket vatten utsöndrar en människa per dygn?

2161

Ett hårstrå på huvudet växer 2,5 · 10–4 m per dygn. Hur många millimeter växer ett hårstrå på ett dygn? Skriv svaret på vanligt sätt.

2162

1 milliliter (ml) vatten innehåller ca 3,3 · 1022 st vattenmolekyler. Hur många vattenmolekyler finns det i ett glas med 0,2 liter vatten?

2163 78

Hur mycket väger en cell hos de olika däggdjuren?

Djur

Kroppsvikt (g)

Antal celler

Näbbmus

4

4 · 109

Människa

7 · 104

7 · 1013

106

3 · 1015

Elefant

Blåval

108

1017


2

2164

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

Vilket tal i grundpotensform är

a dubbelt så stort som 104

b hälften så stort som 104

2165

Vilket är det största tal du kan skriva med tre stycken tvåor?

2166

Beräkna 25 · 5. Svara i grundpotensform.

2167

Talet 81 kan i potensform skrivas som 34 eller 92. På vilka olika sätt kan talet 64 skrivas i potensform?

2168

Beräkna 102 + 101 + 100 + 10–1 + 10–2.

2169

Talet 6 561 kan i potensform skrivas som 812. Skriv 6 561 i potensform med tre som bas.

2170

Det går 109 nanosekunder på 1 sekund. Hur många nanosekunder går det på

a tio sekunder

2171

c en timme

Utgå från talet 1010. Vilket tal är

a dubbelt så stort

2172

b en minut

2

b hälften så stort

Vilket tal ligger precis mitt emellan

a 51 och 53

b 52 och 54

2173

Talet 56 kan skrivas som 2x · y. Vilka tal står x och y för?

2174

Bestäm vilka värden a och b har i uttrycken. xa · xb = x7 och (xa)b = x10 Beräkna och svara med ett vanligt tal om

2175

a = 4 · 102 och b = 2 · 10–1 a a a·b b c a+b b

2176 a a – b

b a2

c b2 79


2

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

Beräkna

2177 a (–1)2

b (–1)3

c (–1)4

d (–1)5

2178 a (–2)2

b (–2)3

c (–2)4

d (–2)5

2179 a (–3)2

b (–3)3

c (–3)4

d (–3)5

2180

Beräkna

a 5 · 102 + 5 · 101 + 5 · 100 + 5 · 10–1 b 2,5 · 102 + 2,5 · 101 + 2,5 · 10 –1 + 2,5 · 10–2

2181

Hur många procent är

a 102 av 103

2

2182

b 10–2

c 103

d 10–3

Vilket tal ligger precis mitt emellan

a 10–1 och 101

2184

b 10–1 av 101

Vilket tal är ett hundra gånger så stort som

a 102

2183

b 102 av 104

b 10–1 och 10–2

Sätt ut rätt tecken i rutan. Välj mellan >,<, och =.

a 23

32

b 2–3

3–2

2185

Ljusets hastighet är 3 · 105 km/s. Avståndet till solen är 1,5 · 108 km. Hur lång tid tar det för ljuset att gå från solen till jorden? Svara i minuter och sekunder.

2186

Tjockleken av varje blad i en bok är 5 · 10–3 cm. Pärmen fram är liksom pärmen bak 1,4 mm tjock. Hur tjock är hela boken om den innehåller 200 blad?

2187

Jelena har bestämt sig för att börja spara till en moped. Första veckan sparar hon 10 kr och dubblar sedan sparandet för varje vecka. Andra veckan sparar hon 20 kr, tredje veckan 40 kr osv. Hur mycket sparar Jelena

a den femte veckan b den åttonde veckan c Hur många veckor tar det för Jelena att spara till mopeden som kostar 10 000 kr?

80


2

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

2188 Anna får varje månad 100 kr i fickpeng. En dag får hon följande förslag: ”Första månaden får du 1 kr och de följande månaderna under ett år dubbelt så mycket som föregående månad”. Vilket av de två sätten lönar sig bäst för Anna? Motivera med beräkningar.

2189 En bakterie delar sig var 20:e minut. 1 bakterie blir alltså 2 på 20 minuter och 4 på 40 minuter osv. Hur många bakterier blir det efter 5 timmar?

2190 Ett mammutträd blir flera tusen år

gammalt och kan väga 1,2 · 106 kg. Fröet som trädet växt fram ur väger 6 mg. Hur många gånger har vikten ökat från frö till stort träd?

2191 12 = 1

2

22 = 1 +3

32 = 1 + 3+ 5

42 = 1 + 3 +5 +7

Jämför med exemplen ovan och skriv som en potens

a 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 b summan av de tjugo första udda talen 2192 102 – 92 = 100 – 81 = 19 och 122 – 112 = 23 Jämför med exemplen ovan och beräkna

a 152 – 142

b 202 – 192

2193 1

2

3

Detta är de tre första figurerna i ett mönster där antalet kvadrater ökar för varje figur.

a Skriv talföljden för antalet kvadrater i de fem första figurerna. b Uttrycket 4n–1 beskriver antalet kvadrater i figur nummer n. Använd uttrycket och miniräknare och beräkna antalet kvadrater i figur nummer 10.

81


2

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

Kapiteldiagnos 2

G

K1

K2

Vilka är nästa tre tal i talföljden a

15

10

5

0

b

10

7,5

5

2,5

Ordna talen i storleksordning. Börja med det minsta. 0,2

–0,19

0,19

–0,2

Beräkna

K3 a 3 – 7

b (–3) + 7

c (–3) – 7

K4 a 3 + (–7)

b (–3) + (–7)

c (–3) – (–7)

K5

Skriv som en potens.

a 7·7·7·7

K6

b 7 · 73

Skriv i grundpotensform.

a 4 000

K7

82

b 4 500

c 0,4

d 0,45

Ordna talen efter storlek. Börja med det minsta. 2,5 · 104

K8

c 72 · 72

250

2,5 · 10–3

0,25

2,5 · 10–2

År 1900 var jordens befolkning 1,7 · 109 och år 2012 hade den ökat till 7,0 · 109. Med hur många människor hade befolkningen ökat?


2

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

Utmaningar 2

U1 Sätt in talen 1 – 9 i cirklarna så

att summan av talen i en rad – vågrätt, lodrätt och diagonalt – blir lika stor. Placera talen så att summan blir

a så stor som möjligt b så liten som möjligt

U2 Skriv talen 1–9 med hjälp av fyra sjuor och de fyra räknesätten. Talet 4 kan du t.ex. skriva

77 – 7 = 4. 7

U3 En fader är fyra gånger så gammal som sin son. Summan av faderns

och sonens ålder är större än 50 men mindre än 60. Hur gamla är fader och son?

U4 Vilka siffror ska stå i rutorna? a

(

)3 =

7

b

(

)3 =

8

c

(

)3 =

5

U5 Antalet bakterier i en bakterieodling fördubblas varje dygn. Skålen som bakterierna odlas i är nu full. För hur många dagar sedan var den fylld till en fjärdedel?

83


2

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

Repetition 2 2194

Hanin tänker på ett negativt tal. Hon adderar talet med 9 och får då summan –3. Vilket tal tänker Hanin på?

2195

Tanja tänker på ett negativt tal. Hon subtraherar talet med –9 och får då differensen –3. Vilket tal tänker Tanja på? Beräkna

2196 a 11 – 15

b (–8) + 12

c (–10) – 5

2197 a 2 + (–5)

b (–3) + (–4)

c (–3) – (–2)

2198

Ett år sjönk temperaturen vid ett tillfälle i Montana, USA, under ett dygn med 55,5 °C. Vilken var den lägsta temperaturen det dygnet om den högsta var 6,7 °C?

2199

Beräkna medelvärdet av

a 5 b –15 c –1,5

2200

2

–1

–4

–7

–8

–1

6

13

–1

0

1

Talen 4 och –4 är två motsatta tal. Beräkna deras

a summa

b differens

2201 Ordna talen efter storlek. Börja med det minsta.

5,25 –5,5 5,1 –5,25 5,5 –5,1

2202

84

2,5

Världens högst belägna sjö är Titicacasjön mellan Peru och Bolivia som ligger på en höjd av 3 812 meter över havsytan (m.ö.h). Döda Havet som är värdens lägst belägna sjö ligger på en höjd av –417 m. ö. h. Beräkna höjdskillnaden mellan de båda sjöarna.

20 5


2

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

2203 Vilket tal ligger precis mitt emellan a –7 och 3

b –8 och 5

c –3,5 och 2,5

2204

Ett prov gav 2 pluspoäng för korrekt svar och 1 minuspoäng för felaktigt svar. På ett prov med 20 uppgifter fick Hamza 19 poäng. Hur många korrekta svar hade Hamza?

2205

Skriv i potensform.

a 1 000

2206

b 100 000

c 1 000 000

Skriv i potensform med 3 som bas.

a9

b 27

c 81

Skriv i grundpotensform.

2207 a 5 000

b 50 000

c 55 000

2208 a 0,5

b 0,05

c 0,005

2209

Enligt Världsnaturfonden använder vi i Europa toapapper från 25 miljoner träd per år. Skriv antalet träd i grundpotensform. Beräkna och svara på vanligt sätt.

2210 a 32 + 34

b 5 3 – 52

c 42 + 0,42

2211 a 103 – 102

b 104 – 103

c 105 – 104

2212

Beräkna och svara i grundpotensform.

a 20 · 20

2213

c 8 · 8 · 64

b 104

c 10–1

Potensen 210 har värdet 1 024. Vilket värde har

a 1011

2216

b 7 · 49

Hur mycket är häften av

a 24

2215

c 20 · 20 · 20 · 20

Skriv svaret i potensform.

a 5 · 25

2214

b 20 · 20 · 20

b 109

Ett kärnkraftverk har effekten 1,2 GW (gigawatt). Hur många gånger så stor effekt har kärnkraftverket jämfört med ett vindkraftverk på 2 MW?

85


2

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

Något extra 2

2217

År –89 blev Pompeji en romersk koloni och var en viktig handelsstad i det romerska riket. År 79 begravdes staden helt i aska efter ett kraftigt utbrott från den närliggande vulkanen Vesuvius. Hur många år var det mellan ovanstående årtal?

2218

I de här talföljderna får man nästa tal genom att addera de två föregående talen. Vilka tal ska stå i de tomma rutorna?

a –8 9 b c 5 16 d 15 3 e Ge exempel på fler talföljder som ger 21 som sjätte tal.

2219

1

b 2 – 5 · (–3)

1

2

3

5

8

c (2 – 5) · (–3)

Välj bland sifferkorten. Vilka två tal ger den

a största summan c största differensen 86

0

Beräkna

a 2 + 5 · (–3)

2221

21

Nästa tal i den här talföljden är summan av de två tidigare talen. Vilka tal ska stå i de tomma rutorna? 1

2220

15

b minsta summan d största produkten

–3

–4

2

–6

1 5

3

–5


2

2222

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

Summan av de fyra första udda talen 1, 3, 5 och 7 kan skrivas som potensuttrycket 42 = 16. Vilken potens visar summan av de

a tio första udda talen b femtio första udda talen

2223 a Ordna talen i storleksordning. Börja med det minsta. 23

32

34

43

45

54

b Vilket tror du är störst, 910 eller 109?

2224 x = 4 · 102 och y = 2 · 10–1. Beräkna och svara på vanligt sätt. a xy

2225

2 2 – 12 = 3 1

b

x y

3 2 – 22 = 5 2

c x+y 42 – 32 = 7 3

dx–y 52 – 42 = 9 4

Talföljden visar differensen av kvadraten på två heltal som ligger intill varandra. Teckna och beräkna differensen för den

a tionde termen b tjugonde termen c femtionde termen d Vilket uttryck gäller för term nummer n? e Vilket nummer i talföljden har differensen 501?

2226

Planeterna i tabell och på bild är ordnade efter deras avstånd till solen.

a Ordna planeterna efter vikt. Börja med den lättaste planeten. b Ordna planeterna efter storlek. Börja med den minsta planeten. c Hur många gånger så stor diameter har Saturnus jämfört med Venus? d Ungefär hur många gånger så stor massa har Jorden jämfört med Mars?

e Ungefär hur många gånger så stor massa har Jupiter jämfört med Jorden?

Planet

Massa (kg) Diameter (km)

Merkurius

3,3 · 1023

4,9 · 103

Venus

4,9 · 1024

1,2 · 104

Jorden

6,0 · 1024

1,3 · 104

Mars

6,4 · 1023

6,8 · 103

Jupiter

1,9 · 1027

1,4 · 105

Saturnus

5,7 · 1026

1,2 · 105

Uranus

8,7 · 1025

5,2 · 104

Neptunus

1,0 · 1026

4,9 · 104

87


2

N E G AT I VA TA L O C H P O T E N S E R

Sammanfattning 2

G

Negativa tal Negativa tal –5

–4

–3

–2

Positiva tal –1

0

1

2

3

4

5

Tal som ligger till vänster om 0 kallas negativa tal. Negativa tal sätts oftast inom parentes. 3 – 7 = (–4)

3 + (–7) = 3 – 7 = (–4)

3 – (–7) = 3 + 7 = 10

(–3) + 7 = 4

(–3) + (–7) = (–3) – 7 = (–10)

(–3) – (–7) = (–3) + 7 = 4

Att addera med ett negativt tal ger samma resultat som att subtrahera med ett positivt. Att subtrahera med ett negativt tal ger samma resultat som att addera med ett positivt.

Potenser 53 = 5 · 5 · 5 = 125

53 är en potens där 5 är bas och 3 exponent.

Tiopotenser 101 = 10

10–1 = 0,1

102 = 100

10–2 = 0,01

103 = 1 000

10–3 = 0,001

104 = 10 000

10–4 = 0,000 1

105 = 100 000

10–5 = 0,000 01

106 = 1000 000 10–6 = 0,000 001

Grundpotensform 4 000 = 4 · 1 000 = 4 · 103 45 000 = 45 · 1 000 = 45 · 103 = 4,5 · 104 0,040 = 40 · 10–3 = 4 · 10–2 0,045 = 45 · 10–3 = 4,5 · 10–2

3–7 16–9 3 43 56 –228–2

I grundpotensform ska faktorn framför tiopotensen vara ett tal som är större än 1 men mindre än 10.

88


Matematik

8

88

Formula

Formula

Formula är ett basläromedel i matematik för grundskolans årskurs 7–9.

Uppgifterna i Formula stimulerar till att upptäcka mönster, se samband och förstå begrepp, kring vilka eleven aktivt kan bygga upp sitt kunnande. Aktiviteterna utvecklar förmågor och ger möjlighet till lärande i samspel med andra. Problemlösningssidorna och Tänk efter utvecklar problemlösningsstrategier. Diagnoser följs av individanpassad träning i olika spår. Läromedlet omfattar för varje årskurs 7–9: • Elevwebb • Lärarwebb

Bo Sjöström har i många år arbetat med Matematik och lärande vid Malmö högskola och med konstruktion av nationella prov i matematik.

Petra Svensson är lärare på Rosengårdsskolan i Malmö.

PETRA SVENSSON

Gert Mårtensson har mångårig erfarenhet från olika grundskolor i Malmö.

Matematik

BO SJÖSTRÖM

• Elevbok

GERT MÅRTENSSON

Läromedlet ingår i serien Prima – Prima Formula – Formula.

a l u m r Fo

ON RTENSS GERT MÅ TRÖM BO SJÖS N VENSSO PETRA S

88

Profile for Smakprov Media AB

9789140682444  

9789140682444  

Profile for smakprov

Recommendations could not be loaded

Recommendations could not be loaded

Recommendations could not be loaded

Recommendations could not be loaded