Issuu on Google+

Matematikboken

Länk E n FRÅN ÅK 9 TILL GY 1

Lennart Undvall • Kristina Johnson • Conny Welén


ISBN 978-91-47-10929-6 © 2014 Lennart Undvall, Kristina Johnson, Conny Welén och Liber AB Projektledare och redaktör: Sara Ramsfeldt Formgivning: Eva Jerkeman, Jan Holtz Bildredaktör: Mikael Myrnerts Illustrationer: Ingrid Magnusson Faktor: Adam Dahl Första upplagan 1 Repro: Exakta, Malmö Tryck: Kina 2014

Kopieringsförbud Detta verk skyddas av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares och elevers rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUSavtal är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/ universitet. Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuspresskopia.se. Liber AB, 113 98 Stockholm 08-690 92 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se

2

Bildförteckning Adam Haglund/TT 22(3) Ahlin, Ewa/Getty Images 125(1) Bally, Gaetan/Keystone/TT 78(2) BMJ/Shutterstock 125(3) Bresciani, Claudio/TT 100 Dahlström, Jan Håkan/TT 44 De Lossy, David/Photodisc/Thinkstock 111 Digital Vision/Thinkstock 65 Eisele, Johannes/Reuters/TT 39(3) Ever/Shutterstock 45(2) Fond, Magnus/Johner/Getty Images 60(1) Hemera/Thinkstock 30(1) Husmofoto/IBL 69(1) Istock/Thinkstock 18(2), 30(2), 37(1), 47, 74(2), 105, 108, 112, 115(1,2,3), 116(1), 118, 121, 123, 130, 133, 134 Mârtensson, Erik/TT 18(1) Maskot/Getty Images 43(3), 60(2,3), 125(2) McVay, Ryan/Digital Vision/Thinkstock 114 Miralle, Donald/World Press Photo/TT 12(3) Neumann, Simone/DPA/TT 12(1) Objects of Nature/Photodisc 37(2,3) Oreilly, John/Rex Features/IBL 78(3) Renneus, Ulf/Mary Square Pictures 9(2,3,4), 13(1,2,3), 14(1–4), 16(1,2), 17(1,2), 19, 20, 22(1,2), 29(1), 35(1–6), 40(1–4), 45(1), 48(1,2), 55(1), 59(1,2,4,5,6), 62(1), 63(1,2,3), 67(1), 68(1), 73(2), 76(1), 106, 113(4), 116(2), 117 Sandberg, Mona/TT 9(1) Steffen, Peter/DPA/TT 12(2), 76(3) Uster, Alan/Shutterstock 7 Walström, Susanne/Johner/Getty Images 43(1,2) Wikström, Jeppe/TT 39(1) Övriga: Haléns, Liber Arkiv, OPV Online, Photodisc, Shutterstock Omslag: Werner Nystrand/Folio


Så här använder du Länk E n Den här boken behandlar det centrala innehållet och de fem matematiska förmågorna i Lgr11. Målsättningen är att omfatta kravnivå E i årskurs 9. LänkEn, från åk 9 till gy 1, är skriven för att hjälpa dig som:

• riskerar att inte uppnå E-nivå i grundskolan • vill ha grundläggande träning inför de nationella proven • saknar E-betyg från grundskolan

Boken är indelad i sex kapitel i enlighet med kursplanens centrala innehåll. I varje kapitel finns ett antal avsnitt som inleds med en målbeskrivning och en fördiagnos ? . Till varje uppgift i fördiagnosen finns hänvisning till lämpliga träningsuppgifter ! . Ibland kanske du behöver träna mer än vad bokens träningsuppgifter ger möjlighet till. I lärarhandledningen finns därför kompletterande arbetsblad. I slutet av varje kapitel finns två avsnitt som du bör arbeta med oavsett hur det gått på fördiagnosen. Det första av dessa, Fundera och resonera  , innehåller uppgifter som tränar din resonemangsförmåga. Arbeta gärna tillsammans med en kompis kring dessa upp, gifter. I det sista avsnittet, Uppgifter av NP-karaktär p problemlösning finns uppgifter som påminner om de nationella proven. b begrepp För att ange vilka förmågor de uppgifterna främst träm metod r resonemang nar har vi markerat dem med symboler.

k kommunikation

Vad gäller kommunikationsförmågan så har vi i bokens exempelrutor ” visat hur du kan redovisa dina lösningar på ett bra sätt. I exemplens kommentarrutor finns centrala begrepp och förslag på resonemang som leder fram till lösningen.

De uppgifter som är lämpliga att lösa med miniräknare har vi markerat med en miniräknarsymbol. Diagnoser att göra efter varje kapitel finns i lärarhandledningen. Dessa har rubriken Testa dig själv. Diagnosuppgifterna är identiska med bokens typexempel. Om det är någon uppgift som du inte klarar så är det bara att slå upp sidan där typexemplet finns för att se hur vi valt att lösa uppgiften. Vi hoppas att du får stor nytta av LänkEn! Lennart, Kristina och Conny


Innehåll 11

Taluppfattning och tals användning

Siffror och tal 5 Avrundning och överslagsräkning 10 1.3 Att räkna med tal 17 1.4 Bråk 23 1.5 Negativa tal, potenser och kvadratrötter 30 1.6 Enheter 35 Fundera och resonera 43 Uppgifter av NP-karaktär 44 1.1

1.2

22 Algebra

Algebraiska uttryck 46 Mönster 50 2.3 Ekvationer 55 Fundera och resonera 60 Uppgifter av NP-karaktär 61 2.1

2.2

33 Geometri

Skala 62 Omkrets, area och volym 69 3.3 Vinklar och Pythagoras sats 79 3.4 Symmetri och likformighet 85 Fundera och resonera 90 Uppgifter av NP-karaktär 91 3.1

3.2

44 Sannolikhet och statistik

Sannolikhet och kombinatorik 93 4.2 Diagram 98 4.3 Lägesmått 103 Fundera och resonera 109 Uppgifter av NP-karaktär 110 4.1

55 Samband och förändring

Procent 112 5.2 Funktioner 119 Fundera och resonera 125 Uppgifter av NP-karaktär 126 5.1

66 Problemlösning

Tre strategier 128 Tre strategier till 132 Uppgifter av NP-karaktär 136

6.1

6.2

Facit 138 Begreppsregister 145


1

Taluppfattning och tals användning nar du på att esätten I avsnittet trä för de fyra räkn nda begrepp vä an h oc tå rm fo • förs d och decimal trycka tal i or l ta t • förstå och ut et i r ra te en en siffra repres • ange värdet tallinjer • avläsa tal på tal storleksordna • jämföra och

1.1

Siffror och tal

?

F ö r d i ag n o s

1001

Vilket eller vilka av talen nedan är en

UppgifTer

a) faktor

b) summa

15 + 6 = 21 1002

1007 – 1009

c) kvot 32 =8 4

7 · 12 = 84

Du har talet 23,81.

1010 – 1014

a) Vilken siffra är tiondelssiffra? b) Vilket värde representerar siffran 1? c) Hur mycket större värde representerar siffran 3 än siffran 8? 1003

Skriv talen med siffror.

1015 – 1019

a) sextiofemtusen tjugotvå 1004

Skriv talen i decimalform. a) sjutton hundradelar

1005

1020 – 1023

b) en hel och två tiondelar

Vilka tal pekar pilarna på? a

0,0 1006

b) två och en halv miljon

0,1

b

0,2

0,3

1024 – 1026

c

0,4

d

0,5

0,6

0,7

e

0,8

f

0,9

Vilket tal är störst och vilket är minst? 0,001

0,02

0,011

0,021

1,0

1,1 1027 – 1033

0,11

5


1 TaLUppfaTTning oCh TaLs användning

!

T r Ä na

DE FyrA rÄknESÄttEn

Addition

Subtraktion

54 + 39 = 93

125 – 97 = 28

term term summa

term term differens

Multiplikation

Division täljare

12 · 35 = 420 faktor faktor produkt

65 = 13 5

nämnare

kvot

POSitiOnSSyStEMEt

vilket värde en siffra representerar i ett tal beror på vilken plats siffran har i talet. Man säger att värdet beror på siffrans position.

tusentalssiffra hundratalssiffra tiotalssiffra entalssiffra

4000 300 20 + 7 4327

4 3 27 entalssiffra tiondelssiffra hundradelssiffra tusendelssiffra

2 0,3 0,05 + 0,006

Vilket eller vilka av talen nedan är en a) nämnare

b) differens

23 – 15 = 8 1008

2 ental 3 tiondelar 5 hundradelar 6 tusendelar

2,356

2,3 5 6

1007

4 tusental 3 hundratal 2 tiotal 7 ental

c) produkt 45 =9 5

7 · 12 = 84

a) Vilken är summan av termerna 17 och 7? b) Vilken är den andra faktorn om den ena faktorn är 7 och produkten är 28? c) Vilken är täljaren om nämnaren är 5 och kvoten är 3?

6

|

addition

|

subtraktion

|

multiplikation

|

division

|

term

|

summa

|

differens

|


1 Taluppfattning och tals användning

1009

Vilket eller vilka av talen nedan är en

a) term b) faktor c) kvot

15 – 5 = 10

63 =9 7

3 · 8 = 24

1010

Du har talet 25,39. Vilken siffra är

a) tiotalssiffra

1011

Du har talet 37,28. Vilket värde representerar siffran

a) 3

d) B  eräkna summan av det ursprungliga talet och det tal du får om entalssiffran byter plats med hundradelssiffran.

1012

Vilket tal saknas?

a) 72 548 = 70 000 + 2 000 + ? + 40 + 8

b) 6,23 = 6 + ? + 0,03

c) 56,91 = 50 + 6 + 0,9 + ?

1013

Du har talet 23 852.

a) Hur mycket större blir talet om siffran 3 ersätts med 7?

b) Hur mycket större värde representerar siffran 8 än siffran 5?

1014

Du har talet 72,53.

a) Hur mycket större blir talet om siffran 5 ersätts med 9?

b) Hur mycket större värde representerar siffran 2 än siffran 5?

b) tiondelssiffra

c) hundradelssiffra

b) 2

c) 8

Skriv talen med siffror. 1015

a) sjutusen tretton

b) niotusen tvåhundrasju

1016

a) elvatusen sextiotre

b) femhundraentusen sexhundra

1017

a) trettiofemtusen sjuhundrafyrtiotvå b) sexhundrafyratusen

1018

a) åtta miljoner sextiofemtusen

1019

Till månen är det trehundraåttiofyratusen fyrahundra kilometer. Skriv avståndet med siffror.

|

faktor

|

produkt

|

täljare

|

nämnare

b) tre och en halv miljon

| | kvot

position

|

7


1 Taluppfattning och tals användning

Skriv talen i decimalform. 1020

a) nio tiondelar

b) åtta hundradelar

1021

a) femtiotre hundradelar

b) fem tusendelar

1022

a) tre hela och femton hundradelar b) tjugofem tusendelar

1023

a) sextiofem hundradelar

b) fem hela och två tiondelar

Vilka tal pekar pilarna på? 1024

a

0

1

1025

3

a

0,0

0,1

1026

0,2

4

5

b

0,2

0,3

a

0

2

b

0,6

6

7

d

8

c

0,4

b

0,4

c

0,5

c

0,8

d

0,6

0,7

0,8

d

1,0

1,2

9

1,6

f

10

11

e

0,9

e

1,4

e

f

1,0

1,1

f

1,8

2,0

exempel

Vilket är störst och vilket är minst av talen nedan?

0,319

0,319

0,39

0,390

0,4

0,399

0,400

0,32

0,399

0,320

Skriv talen med lika många decimaler. Då är det lättare att se vilket tal som är störst och vilket som är minst.

Svar: Störst är 0,4 och minst är 0,319.

8

|

decimaler

|


1 TaLUppfaTTning oCh TaLs användning

1027

Vilket tal är störst? a) 3,9 eller 3,19

1028

c) 4,2 eller 4,15

b) 8,39 eller 8,4

c) 0,1 eller 0,01

Vilket tal är minst? a) 2,7 eller 2,17

1029

b) 0,699 eller 0,7

Signe är 1,3 m lång. Hennes kusin Amanda är 1,13 m lång. Vem av kusinerna är längst?

Vilket tal är störst och vilket är minst? 1030

1,49

1,5

1,51

1,149

1,199

1031

0,69

0,711

0,699

0,7

0,701

1032

Skriv talen i storleksordning med det största först. a) 0,3

1033

0,289

0,4

0,29

b) 2,61

2,6

2,698

2,65

Storleksordna vikterna med det paket som väger mest först.

0,375 kg

0,75 kg

0,5 kg

9


1 Taluppfattning och tals användning

nar du på att I avsnittet trä • avrunda tal erslagsräkning r • använda öv ika situatione ingsmetod i ol • välja beräkn

1.2 Avrundning

och överslagsräkning

?

F ö r d i ag n o s 

1034

Avrunda talen till tiotal.

a) 61,3

1035

Avrunda talen till tiondelar.

a) 6,78

1036

Avrunda talen till hundradelar.

a) 0,729 628

Uppgifter

1042 – 1046

b) 132

c) 568 1047 – 1049

b) 9,23

c) 0,49

b) 1,132 954

1050 – 1051

c) 2,765 271

Beräkna med överslagsräkning. 1037

a) 8,7 + 4,2 + 4,8

b) 688 − 319

c) 32,1 + 69,4 + 42,7

1052 – 1056

1038

a) 6,9 · 7,2

b) 5,8 ∙ 315

c) 49,5 ∙ 5,1

1057 – 1060

1039 a) 1040

24,7 91 246 b) c)  5,9 3,1 4,8

1061 – 1063

Du ska, utan att göra beräkningarna, avgöra vilket

1064 – 1067

eller vilka av uttrycken som ger ett svar som är

a) större än 1

10

A:

2,7 4

b) större än 0,5 men mindre än 1 B:

9,1 6,9

C:

2,3 7

D:

1 6,2 E: 0,89 7

1041

Till ett skoldisko ska 17,5 kg godis förpackas i påsar som ska innehålla 0,275 kg. Hur räknar man ut hur många påsar det blir? Välj ett av följande alternativ.

A: 17,5 ∙ 0,275

B:

17,5 C: 17,5 − 0,275 0,275

D:

1068 – 1070

0,275 17,5


1 TaLUppfaTTning oCh TaLs användning

!

T r Ä na

AVrUnDninGSrEGlEr

1. om siffran efter avrundningssiffran är 0, 1, 2, 3 eller 4 avrundar man nedåt. avrundningssiffran ändras inte. 2. om siffran efter avrundningssiffran är 5, 6, 7, 8 eller 9 avrundar man uppåt. avrundningssiffran ökas med 1.

exempel

Avrunda talen till heltal. a) 8,7

b) 31,27

a) 8,7 ≈ 9

c) 21,91 siffran 8 är avrundningssiffra. eftersom siffran efter den (7) är ”5 eller högre” ska du avrunda uppåt. du kan också tänka ”8,7 ligger närmare 9 än 8, därför avrundar jag till 9”.

b) 31,27 ≈ 31

här är 1 avrundningssiffra. om siffran efter avrundningssiffran är "4 eller lägre" ska du avrunda nedåt. du kan också tänka ”31,27 ligger närmare 31 än 32, därför avrundar jag till 31”.

c) 21,91 ≈ 22 Svar: a) 9

b) 31

c) 22

Avrunda talen till tiondelar. a) 5,68

b) 0,34

c) 8,25

a) 5,68 ≈ 5,7

avrundningssiffran är 6. siffran efter den är 8. avrunda därför uppåt.

b) 0,34 ≈ 0,3

här är avrundningssiffran 3. siffran efter den är 4. avrunda nedåt.

c) 8,25 ≈ 8,3 Svar: a) 5,7

|

avrundningsregler

b) 0,3

|

avrundning

c) 8,3

|

avrundningssiffra

|

11


1 TaLUppfaTTning oCh TaLs användning

1042

Avrunda talen till heltal. a) 4,9

1043

b) 17,2

c) 23,4

d) 34,8

Avrunda vikterna till tiotal kilogram. a)

b)

121,4 kg

27,8 kg

1044

Avrunda talen till hundratal. a) 312

1045

b) 584

12

b) 6 784

c) 17 850

d) 12 311

b) 5,12

c) 8,26

d) 12,32

Avrunda talen till hundradelar. a) 1,792 c) 2,089

1049

c)

Avrunda talen till tiondelar. a) 4,79

1048

b)

Avrunda talen till tusental. a) 3 176

1047

d) 723,4

Avrunda till hela grader. a)

1046

c) 296,5

b) 0,138 d) 6,179

Avrunda längden och bredden på pingisbordet till tiondels meter.

1,525 m 2,74 m


1 Taluppfattning och tals användning

1050

Avrunda talen till tiondelar.

a) 0,612 745

1051

Avrunda talen till hundradelar.

a) 0,218 466

b) 1,583 792 c) 2,735 621

b) 2,483 594 c) 1,172 598

d) 0,258 377

d) 0,625 163

exempel

Beräkna med överslagsräkning.

a) 7,9 + 14,3 + 8,7

b) 139 – 82

När du ska räkna ut ungefär hur mycket en beräkning är, gör du en överslagsräkning.

a) 7,9 + 14,3 + 8,7 ≈ 8 + 14 + 9 = 31

Avrunda termerna till heltal.

b) 139 – 82 ≈ 140 – 80 = 60

Här avrundar du termerna till tiotal.

Svar: a) 31 1052

b) 60

Ungefär hur mycket ska du betala om du köper alla tre plaggen?

119 kr

299 kr 395 kr

Beräkna med överslagsräkning. 1053

a) 58 kr + 73 kr + 21 kr c) 52,13 kr + 39,71 kr + 28,50 kr

1054

a) 128 kr – 49 kr

|

överslagsräkning

|

avrunda

b) 278 kr + 412 kr + 307 kr

b) 895 kr − 197 kr

|

term

|

c) 72,10 kr − 29,47 kr

13


1 Taluppfattning och tals användning

1055

Räcker 1 000 kr till att köpa varorna? Ungefär hur mycket pengar blir över eller fattas?

125 kr

670 kr

1056

Beräkna med överslagsräkning.

a) 879,2 − 385,5

280 kr

b) 278,9 + 96,5 + 407,2

c) 132,4 − 71,5

exempel

Beräkna med överslagsräkning.

a) 27 · 63

b) 6,8 · 32,5

a) 27 · 63 ≈ 30 · 60 = 1800

Avrunda båda faktorerna till tiotal.

b) 6,8 · 32,5 ≈ 7 · 30 = 210 Avrunda den första faktorn till heltal och den andra till tiotal.

Svar: a) 1800

b) 210

Beräkna med överslagsräkning.

14

1057

a) 3,9 · 8,1

b) 2,8 · 51

c) 5,2 · 187

1058

a) 21,3 · 19,1

b) 7,4 · 17,4

c) 482 · 3,2

1059

a) 19,5 · 31,2

b) 2,12 · 4 820

c) 385 · 5,2

1060

Ricardo köper 2,1 kg vindruvor. Ungefär hur mycket ska han betala?

38,90 kr/kg

|

avrunda

|

faktor

|


Begreppsregister A

addition 6 algebraiskt uttryck 46–49 andel 114–115, 118 antagande 59 areaskala 67 area 70 avrundning 11–16 avrundningsregler 11 avrundningssiffra 11 B

balansmetoden 56 bas 70 basyta 75, 77 bråk 23–29 bråkform 25, 113 C

centi 36 cirkel 73 cylinder 74 D

deci 36 decimaler 8 decimalform 25, 113 decimaltecken 19, 32 del 114–115, 118 det hela 114–115, 118 diameter 73 differens 6, 51 division 6 dygn 41

förlänga 20, 27 förminskning 63, 88 förstoring 63, 88 förändringsfaktor 116 G

geometrisk kropp 74 grader 80 graf 123 grundpotensform 32 gynnsamma utfall 94 H

hastighet 42 hekto 36 hypotenusa 83 höger led 56 höjd 70, 75 K

katet 83 kilo 36 klot 74 kombinatorik 97 kon 74 koordinater 122 koordinataxlar 122 koordinatsystem 122 korsmultiplikation 88 kvadrat 70 kvadratrot 34 kvadrera 83 kvot 6 L

ekvation 55–59 enklaste form 28, 99 exponent 32

likformighet 88 likhet 56 lägesmått 103–108 längdenheter 36 längdskala 63, 67, 68

F

M

faktor 6, 14 fast kostnad 123 formel 71, 77 funktion 119–124 fyrhörning 82 förenkla 49 förkorta 20, 28

medelvärde 104 median 104 milli 36 minsta gemensam nämnare 27 minut 41 multiplikation 6

E

månghörning 70 möjliga utfall 94 N

negativa tal 31 nämnare 6 O

obekant tal 56 omkrets 70 origo 122 P

parallellogram 70 parentes 21 position 6, 32 positionssystemet 6 prefix 36 prioriteringsregler 21 prisma 74 procent 112–118 procentform 113 produkt 6 proportion 88 proportionalitet 123 proportionell 73 prövning 56 pyramid 74 Pythagoras sats 83 R

radie 73 rektangel 70 romb 70 rot 83 ränta 117 räntesats 117 rät linje 123 rät vinkel 80 rätblock 74 rätvinklig triangel 83 rörlig kostnad 123 S

sannolikhet 94–96 sekund 41 skala 62–68 spegelbild 86, 87 speglingslinje 87

speglingspunkt 87 spetsig vinkel 80 spridning 104 spridningsmått 104 sträcka 42 subtraktion 6 summa 6 symmetri 86 symmetrilinje 86 T

talföljd 51 tallinje 31 term 6, 49 tid 42 tidsenheter 41 timme 41 tiopotens 32 triangel 70, 82 trubbig vinkel 80 typvärde 104 täljare 6 U

uttryck 48 V

variabel 47 variationsbredd 104 varv 80 viktenheter 38 vinkel 80 vinkelsumma 82 volymenheter 39 volymskala 68 vridning 80 vänster led 56 X

x-koordinat 122 Y

y-koordinat 122 Ö

överslagsräkning 13–16


E

LänkEn, FRÅN ÅK 9 TILL GY 1, är skriven för dig som: – riskerar att inte uppnå E-nivå i grundskolan – vill ha grundläggande träning inför de nationella proven – saknar E-betyg från grundskolan

Bokens kapitel är indelade efter det centrala innehållet i kursplanen i matematik: 1. Taluppfattning och tals användning 2. Algebra 3. Geometri 4. Sannolikhet och statistik 5. Samband och förändring 6. Problemlösning I varje kapitel finns övningar som tränar de fem matematiska förmågorna: • Problemlösningsförmågan • Begreppsförmågan • Metodförmågan • Resonemangsförmågan • Kommunikationsförmågan

LänkEn, FRÅN ÅK 9 TILL GY 1, finns även som onlinebok, en digital version av boken med interaktiva verktyg. Till boken finns en nedladdningsbar lärarhandledning med diagnoser, kompletterande arbetsblad och provräkningar. Om du har frågor om innehåll och metodik är du välkommen att kontakta Lennart Undvall. Telefon: 070-320 38 62 E-post: lennart.undvall@gmail.com

LänkEn grundbok

LänkEn onlinebok

LänkEn lärarhandledning

Best.nr 47-10929-6 Tryck.nr 47-10929-6


9789147109296