9789147085477

Matematikboken

Lennart Undvall • Kristina Johnson • Conny Welén

ISBN 978-91-47-08547-7 © 2012 Lennart Undvall, Kristina Johnson, Conny Welén, Svante Forsberg, Karl-Gerhard Olofsson och Liber AB Projektledare och redaktör: Sara Ramsfeldt Formgivning och layout: Eva Jerkeman och Monica Schmidt/Exaktaprinting Bildredaktör: Marie Olsson Illustrationer: Björn Magnusson och Ingrid Magnusson Faktor: Adam Dahl Fjärde upplagan 1 Repro: Exaktaprinting AB, Malmö Tryck: People Printing, Kina 2012

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildnings­ samordnare, t.ex. kommuner och universitet.

Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/ förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet.

Läs mer på www.bonuspresskopia.se.

Liber AB, 113 98 Stockholm 08-690 92 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se

Y_Framvagn.indd 2

11-12-21 07.56.20

Så här använder du din Y-bok Boken innehåller sex kapitel som i sin tur är uppdelade i avsnitt. I varje avsnitt finns det uppgifter på fyra nivåer. På nivå ett finns lätta uppgifter medan uppgifterna på nivå fyra ger rejäla utmaningar.

Du kan starta på olika nivåer i olika avsnitt eller kapitel, men ta för vana att räkna minst två nivåer. Om du tycker att nivå ett är för svår finns Bashäfte Y med enklare uppgifter. Om nivå fyra inte är tillräckligt utmanande finns en bok som heter Utmaningen Y. Sista uppgiften på varje nivå är en ”pratbubbleuppgift”. Den är tänkt som en diskussionsuppgift som du kan lösa med en kamrat.

Pratbubbleuppgifterna har inget facit. De uppgifter där du bör an­ vända miniräknare är markerade med en streckad linje.

I varje kapitel återkommer följande avsnitt: Målsida: Här beskrivs vad du får möjlighet att utveckla i kapitlet.

Aktiviteter: Inleder flera av bokens avsnitt och belyser centrala begrepp. Det är ofta praktiska uppgifter att lösa i par eller grupp.

Taluppfattning och huvudräkning: Träning av grundläggande matematik. Påminner om en av delarna i nationella provet.

Räkna och häpna: Spännande beräkningar från vardagslivet som ­kräver noggrannhet eftersom svaren ofta är oväntade.

Resonera och utveckla: Uppgifter av undersökande karaktär. Börjar med enklare deluppgifter för att mot slutet bli mer krävande. Påminner om en av delarna i nationella provet.

Kan du begreppen?: Ger dig möjlighet att kolla att du har förstått ­centrala begrepp.

Kan du förklara?: Här övar du på att förklara och använda begreppen för att parvis lösa uppgifter.

I varje kapitel finns en sammanfattning. När du har räknat Blandade uppgifter från hela kapitlet och gjort en Diagnos går du vidare till T ­ räna mera eller Tema. Temat påminner om en av delarna i nationella provet. Varje kapitel avslutas med Problemlösning. Här kan ni tillsammans komma på egna lösningar till kluriga problem.

I avsnittet Repetition är uppgifterna hämtade från bokens lösta t­ yp­exempel. Om du behöver hjälp kan du titta tillbaka på exemplet. ­Boken avslutas med Läxor. Det finns fyra läxor till varje kapitel.

I läxorna finns även repetition från tidigare kapitel.

Lennart, Kristina och Conny

3

Matematikboken Y - s 1-384.indb 3

11-12-20 17.19.12

11

Bråk och procent

6

Andelen 8 Höjning och sänkning 17 Taluppfattning och huvudräkning 24 1.3 Hur stor är delen? (I) 25 Räkna och häpna 30 1.4 Hur stor är delen? (II) 31 1.5 Det hela 38 Resonera och utveckla 43 1.6 Ränta 44 Sammanfattning 50 Blandade uppgifter 51 Kan du begreppen? 55 Kan du förklara? 55 Träna mera 56 Tema: Storbritannien och Sverige 59 Problemlösning 61

22

Bråk och potenser

62

Jämföra och räkna med bråk 64 Addition och subtraktion av bråk 70 Taluppfattning och huvudräkning 76 2.3 Multiplikation av bråk 77 2.4 Division av bråk 81 Resonera och utveckla 87 2.5 Potenser 88 Räkna och häpna 91 2.6 Tiopotenser 92 Sammanfattning 98 Blandade uppgifter 100 Kan du begreppen? 102 Kan du förklara? 102 Träna mera 103 Tema: Guld 105 Problemlösning 107

1.1

2.1

1.2

2.2

33

Algebra och mönster

108

Uttryck med variabel 110 3.2 Mönster 117 Taluppfattning och huvudräkning 123 3.3 Förenkling av uttryck 124 3.4 Uttryck med parenteser 131 3.5 Multiplikation av parenteser 137 Räkna och häpna 143 3.6 Uttryck med potenser 144 Resonera och utveckla 148 Sammanfattning 149 Blandade uppgifter 150 Kan du begreppen? 152 Kan du förklara? 152 Träna mera 153 Tema: Tanzania – ett land i Afrika 157 Problemlösning 159 3.1

4

Matematikboken Y - s 1-384.indb 4

11-12-20 17.19.14

44

Geometri

160

Omkrets och area 162 Taluppfattning och huvudräkning 172 4.2 Cirkelns area 173 Räkna och häpna 177 4.3 Rätblock och kub 178 4.4 Enheter för volym 184 Resonera och utveckla 190 4.5 Prisma och pyramid 191 4.6 Cylinder, kon och klot 198 Sammanfattning 207 Blandade uppgifter 208 Kan du begreppen? 211 Kan du förklara? 211 Träna mera 212 Tema: Egypten – Faraonernas land 215 Problemlösning 217 4.1

55 Ekvationer

218

Ekvationslösning 220 Ekvationer med obekanta i båda leden 228 5.3 Problemlösning med ekvationer (I) 233 Räkna och häpna 238 5.4 Ekvationer med flera termer och parenteser 239 Taluppfattning och huvudräkning 243 5.5 Problemlösning med ekvationer (II) 244 Resonera och utveckla 250 Sammanfattning 251 Blandade uppgifter 252 Kan du begreppen? 254 Kan du förklara? 254 Träna mera 255 Tema: En resa till New York 257 Problemlösning 259 5.1 5.2

66

Sannolikhet och statistik

260

Hur stor är sannolikheten? 262 Taluppfattning och huvudräkning 269 6.2 Sannolikhet i flera steg 270 Räkna och häpna 276 6.3 Tabeller och diagram 277 Resonera och utveckla 285 6.4 Relativ frekvens 286 6.5 Cirkeldiagram 293 Sammanfattning 297 Blandade uppgifter 299 Kan du begreppen? 301 Kan du förklara? 301 Träna mera 302 Tema: På skidor i Åre 304 Problemlösning 306 6.1

Repetition Läxor 315 Facit 363

307

Begreppsregister 382

5

Matematikboken Y - s 1-384.indb 5

11-12-20 17.19.16

4

Geometri I det här kapitlet får du lära dig:

u utföra beräkningar med formler för omkrets, area och volym u använda lämpliga enheter för omkrets, area och volym u undersöka, resonera och argumentera kring geometriska begrepp

u rita tredimensionella objekt u göra uppskattningar och jämförelser av egenskaper hos cirklar, månghörningar och tredimensionella objekt

u värdera lösningsmetoder och matematiska resonemang u förklara och motivera utifrån dina kunskaper om begreppen

Pa ra lle llo gr am Re kt an ge l

Ar ea

Di am et er Ra die

rk el Ci

Om kr et s

EP

BE

GR

repp Vilka beg till du r e nn kä are? g di ti sedan d rklara va fö du n a K r? de de bety

P

i kapitlet

160

Y - s 160-217 - kap 4.indd 160

11-12-21 10.24.29

Kl ot

nt ely ta Ma

sy ta Ba

Ko

n

de r lin Cy

id ra m Py

ism Pr

Ku

b

a

loc k Rä tb

el Tr ian g

Kv ad ra t

Ro

m

b

av historiens Platon är en vde sofer. Han le lo viktigaste fi h oc 7 ellan 42 i Grekland m tom filosofi ru Fö r.

K 347 f. atik n med matem arbetade ha bok n enskap. I si och naturvet hur on at river Pl Timaios besk l ta av s yr m st hela universu olika m fe du r se och mått. Här så polyedrar, de regelbundna a. rn pa op onska kr kallade plat r ha er ed ly po den kropparna I en regelbun . pplade ihop ko rm fo on a at m ent Pl m a. sa lika stor ystiskt elem alla sidoytor r är dessutom t ett femte m la m sa nk n vi h tte oc va och Alla kanter jord, eld, luft elementen, med de fyra eter. som kallades er? av dessa form m har någon so en et gh li ker i verk a av?

Har du sett sa a uppbyggd ska kropparn on at pl a ik de ol ör ningar är Vilka mångh parna? atonska krop på de fem pl en rn hö i an nkelsumm as fler?

Hur stor är vi det inte finn r. Varför kan pa op kr a sk aton fler än fem pl Det finns inte

161

Y - s 160-217 - kap 4.indd 161

11-12-21 10.24.40

NP

NP

NP

NP

NP

NP

TALUPPFATTnInG Och hUVUDRäKnInG

NP

NP

1 Hur långa är TV-programmen?

a)

NP

10 9

11 12 1

2 3

8

7 6

NP

5

NP

b) 10 9

4

8

11 12 1

11

2 3

7 6

Börjar

5

12 1

8

4 7

Slutar

5

6

12 1 2

10 3

9

4

11

2

10

Börjar

3

9 8

4 7

6

5

NP

Slutar

2 Skriv längderna i meter.

a) 375 cm

NP

3 a) 28 + 12 / 2

b) 12 km

c) 900 mm

b) (28 + 12) /2

c) 28 / (12 – 2)

NP

NP

4 Skriv talen med siffror.

NP NP

a) en och en halv miljon

b) en halv miljard

c) en kvarts miljon

d) tre kvarts miljon

NP

5 Du har talet 25 479. Hur mycket mindre blir talet, om

a) siffran 5 ersätts med siffran 3 b) siffran 7 ersätts med siffran 1

NP

NP

6 Hur mycket är

a)

2 av 120 kr 3

b) 30 % av 120 kr c) 200 % av 120 kr

NP

7 Skriv talen i grundpotensform.

NP

a) 780 000

b) 4 900

NP

c) fem miljoner

8 Vilka av bråken är större än 1 och vilket bråk är störst?

NP

7

5

9

33

17

6

4

11

35

15

9 Hur mycket är hälften av

1 a) 2

NP

NP 6 kg

6 b) 7

3 c) 5

NP

10 Katten Måns äter 0,3 kg torrfoder varje dag.

Hur länge räcker förpackningen?

NP

NP 172

4 • Geometri

NP Y - s 160-217 - kap 4.indd 172

NP

NP NP

NP NP

NP

11-12-21 10.24.54

4.2

NP

Cirkelns area aReaN aV eN CIRKel

NP

Materiel: Aktivitetsblad 2, sax, tejp Antal deltagare: 1–2 st

NP

NP

A Cirkelns radie är r.

a) Teckna ett uttryck för diametern. b) Teckna ett uttryck för cirkelns omkrets.

AKTIVITET

På aktivitetsbladet och här ser du en cirkel som är inskriven i en 12-hörning. Som du ser är 12-hörningens area ungefär lika med cirkelns area. r s

B Klipp ut de tolv trianglar som 12-hörningen består av. c Placera trianglarna sida vid sida på det sätt som bilden visar.

Tejpa ihop bitarna med varandra.

NP

P

NP

D De 12 trianglarna bildar en parallellogram. Parallellogrammens

area är ungefär är lika med cirkelns area. Basen är ungefär lika lång som cirkelns halva omkrets. a) Teckna ett uttryck för basens längd. b) Teckna ett uttryck för parallellogrammens höjd. c) Teckna ett uttryck för parallellogrammens area.

E Med vilket uttryck kan man beräkna en cirkels area?

NP 4 • Geometri

173

NP Y - s 160-217 - kap 4.indd 173

11-12-21 10.24.55

cirkelns area Precis som omkretsen så beräknas arean (A) av en cirkel med hjälp av talet π. Men när vi beräknar arean är det ytans storlek vi vill ta reda på.

Då multipliceras cirkelns radie (r) med sig själv och sedan med π.

Arean = π · radien · radien A = π · r · r = π · r2 där A = arean och r = radien

Hur stor area har hålet i fågelholken?

Avrunda till hela kvadratcentimeter.

A=π·r·r

Radien är hälften så lång som diametern.

r = 5 / 2 cm = 2,5 cm

5 cm 2

2

2

A = π · 2,5 · 2,5 cm = 19,63... cm ~ 20 cm Svar: Arean är 20 cm2.

4037 a) Hur lång är medaljongens diameter?

Mät i hela centimeter.

b) Hur lång är radien? c) Beräkna medaljongens area.

Avrunda till hela kvadratcentimeter.

4038 Den blå ögonskuggan har formen av en cirkel.

a) Hur lång är radien?

3,2 cm

b) Beräkna arean. Avrunda till hela kvadratcentimeter.

4039 Hur stor area har

kiwiskivan? Avrunda till hela kvadratcentimeter.

4,8

174

cm

4 • Geometri

Y - s 160-217 - kap 4.indd 174

11-12-21 10.24.56

4040 Kvadratens area är 16 cm2.

a) Hur lång är cirkelns radie? b) Hur stor area har cirkeln?

Avrunda till hela kvadratcentimeter.

X

4041 De fyra figurerna har lika lång omkrets. Vilken tror du har den största

arean? Förklara hur du tänker.

4042 a) Hur lång är cirkelns radie?

Mät i hela centimeter.

b) Beräkna arean och avrunda till hela kvadratcentimeter.

4043 Hur stor är Wolf Creek-kraterns area? Avrunda till tiotusentals

kvadratmeter.

Wolf Creek Crater är en krater i Australien som bildats vid ett meteroit­nedslag.

Kratern har en diameter på 900 m.

4044 En normal fotbollsplan har längden 110 m och bredden 70 m. Hur

många hela fotbollsplaner motsvarar kraterns area?

4 • Geometri

Y - s 160-217 - kap 4.indd 175

175

11-12-21 10.25.00

(m)

4045 Beräkna det färgade områdets omkrets och area.

Avrunda till tiondelar.

2,7

4046 En cirkel har arean 75 cm . ”Då är radien 2

ungefär 5 cm”, säger Emma efter några sekunder.

Hur tror du att hon tänkte för att räkna ut det så fort?

4047 Några bönder i USA påstår att de har fått sina åkrar förstörda av

UFO:n. En bonde sa att ett flygande tefat hade bränt bort allt vete i ett cirkelformat område med diametern 72 m. Hur mycket vete gick förlorad om 3 m2 åkermark ger 1 kg vete? Avrunda till tiotal kilogram. (cm)

4048 Beräkna arean av det lila området.

Avrunda till tiondels kvadratcentimeter.

1,8 3,0 (m)

4049 2,35

Ett kyrkfönster ser ut som på bilden.

Räkna ut fönstrets a) omkrets b) area Avrunda till tiondelar.

1,2

4050 Mät i hela centimeter och beräkna

teatersalongens omkrets och area.

Avrunda till tiotal.

Skala 1:1 000

4051 En kvadrat har lika lång sida som diametern i en cirkel. Hur kan du,

utan att hitta på ett räkneexempel, veta att kvadratens area är större än cirkelns?

176

4 • Geometri

Y - s 160-217 - kap 4.indd 176

11-12-21 10.25.00

180

4052 Hur många säckar gräsfrö går

(m)

det åt för att så gräs på hela idrottsplanen? En säck väger 20 kg och 1 kg gräsfrö räcker till 40 m2.

100

4053 De fyra cirklarna är lika stora. Kvadratens sida

är 6 cm. Beräkna arean av det gröna området.

Avrunda till tiondels kvadratcentimeter.

4054

2,8 m

Mitt på husväggen sätter Alfred ett rep som är 6,4 m långt. Den andra änden av repet fäster han vid sin get Bruse. Hur stor area har den yta Bruse kan röra sig på?

Avrunda till tiotal kvadratmeter. (cm)

4055 Hur många procent större area

har det gröna området än det vita?

Avrunda till hela procent.

3

4

4056 När man ska räkna ut arean av en halvcirkel

π ⋅r ⋅r .

2 Men när man ska räkna ut omkretsen av

Talet

en halvcirkel räcker det inte att använda π ⋅d formeln O = .

2 Förklara varför.

INGEN Y UTMAN 9 s. 36—4

Y - s 160-217 - kap 4.indd 177

Räkna och häpna

kan man använda formeln A =

π

En dator räknade år 2002 ut det hittills gällande rekordet i antal decimaler på π. Det är ungefär 1 250 miljarder stycken. Tänk dig att alla dessa siffror skulle skrivas ut i en lång rad på ett papper.

Hur långt papper skulle behövas? Hur lång tid skulle det ta att säga alla siffror?

11-12-21 10.25.02

NP

NP

NP

NP

NP

NP

RESOnERA Och UTVEcKLA

NP

NP

SaMBaNDeT MellaN eN lÅDaS BOTTeNaRea, HÖJD OCH VOlYM

Tänk dig att du har ett styvt papper som är 15 cm långt och 10 cm brett. I vart och ett av de fyra hörnen är en kvadrat bortklippt.

NP

NP

NP

10 cm

NP 15 cm

NP

1 a) Hur stor area hade papperet från början?

NP

b) Hur stor area har det papper som finns kvar om de bortklippta kvadraterna har sidan 1 cm?

NP

2 Tänk dig nu att papperet viks så att det bildas en låda.

NP

a) Hur lång är lådan? b) Hur bred är lådan? c) Hur hög är lådan?

NP

NP

3 Vilken volym har lådan?

4 Om man klipper bort kvadrater med en annan storlek får lådan en

NP

NP

annan volym.Vilken är den största volym en låda kan få, om man utgår från ett papper med måtten 15 cm x 10 cm? a) Rita av tabellen och räkna ut de tal som saknas.

NP

b) Vilket av värdena på kvadratens sida ger största volymen?

NP

Kvadratens sida 0,5 cm 1 cm

NP

Rätblockets Rätblockets längd bredd

Rätblockets höjd

NP

Volym

1,5 cm

NP

2 cm 2,5 cm 3 cm

NP

NP

5 a) Teckna ett uttryck för lådans volym om kvadratens sida är x cm.

b) Vilket är det största värde som x kan ha?

NP

NP 190

4 • Geometri

NP Y - s 160-217 - kap 4.indd 190

NP

NP NP

NP NP

NP

11-12-21 10.25.27

4.5

NP

Prisma och pyramid Prisma

NP

Ett prisma har en månghörning som basyta. Sidoytorna är rektanglar.

Ett rätblock är ett fyrsidigt prisma. tresidigt prisma

femsidigt prisma

kant (höjd) basyta

NP

Volymen av ett prisma räknas ut på samma sätt som volymen av ett rätblock, det vill säga basytans area (B) multipliceras med höjden (h).

V=B·h

NP

Rita ett prisma Vi ska rita ett prisma där basytan är en triangel med basen 4 cm och höjden 3 cm. Prismats höjd ska vara 2,5 cm.

1

NP

P

NP

2

3

Vi börjar med att rita basytan.

Först ritar vi basen (4 cm). Därefter ritar vi basytans höjd hälften så lång som den är i verkligheten (1,5 cm). Höjden ritas i 45° vinkel.

De sista två kanterna streckas eftersom de kommer att vara skymda.

1

2

3

(cm)

Prismats höjd ritas i sin fulla längd från de tre hörnen. Kanten längst bak streckas eftersom den är skymd.

Till sist drar du streck mellan ändpunkterna på de tre sidokanterna.

2,5 3 4

NP 4 • Geometri

191

NP Y - s 160-217 - kap 4.indd 191

11-12-21 10.25.27

Pyramid Även i en pyramid är basytan en månghörning, men sidoytorna är trianglar. topp höjd sidokant sidoyta basyta

Om en pyramid har samma höjd och samma basyta som ett prisma, så är pyramidens volym 1/3 av prismats volym. Formeln för pyramidens volym är alltså: V=

B⋅h 3

I formeln är B = basytans area och h = pyramidens höjd.

Rita en pyramid Vi ska rita en pyramid där basytan är kvadratisk med sidan 3 cm.

Pyramidens höjd ska vara 4 cm.

1

Vi börjar med att rita basytan på samma sätt som vi gjort tidigare.

Två av kanterna kommer att vara skymda och ritas därför streckade. Basytans mittpunkt får vi genom att dra diagonalerna i basytan.

2

Höjden ritas i sin fulla längd från mittpunkten.

3

Rita sidokanterna mot höjdens topp. Sidokanten ”längst bort” streckas eftersom den är skymd. (cm)

3

1

4

2 3 3

192

4 • Geometri

Y - s 160-217 - kap 4.indd 192

11-12-21 10.25.27

Beräkna prismats volym. Avrunda till hela kubikcentimeter. (cm)

Eftersom basytan är en triangel beräknas b⋅h basytans area med formeln B = .

2

4 , 5 · 3 ,6 2 cm = 8,1 cm2 2 V=B·h

5,0

B=

3

3,6 3

3

V = 8,1 · 5,0 cm = 40,5 cm ~ 41 cm

4,5

Svar: Volymen är 41 cm3.

Beräkna pyramidens volym.

Avrunda till tiondels kubikdecimeter.

(cm)

Här är basytan en rektangel och arean beräknas med formeln B = b · h.

18,6

B = 23,5 · 16,4 cm2 = 385,4 cm2 B·h V= 23,5 3 385 ,4 ·18 ,6 3 V= cm = 2389,48 cm3 ~ 2400 cm3 = 2,4 dm3 3

16,4

Svar: Volymen är 2,4 dm3.

(cm)

4100 a) Hur stor area har basytan?

b) Beräkna prismats volym.

2,5 3 (cm)

4 4

4101 a) Hur stor area har basytan?

b) Beräkna pyramidens volym.

6 6

4 • Geometri

Y - s 160-217 - kap 4.indd 193

193

11-12-29 15.31.06

4102 a) Rita en pyramid där basytan är en rektangel med sidorna 4 cm och

3 cm. Pyramidens höjd ska vara 5 cm.

b) Beräkna pyramidens volym.

4103 Hur stor volym har prismat?

(dm)

25 B = 42 dm2

4104 Du har en oregelbunden behållare av plåt. Ge ett förslag

på hur du kan ta reda på hur stor volym den har.

4105 Glasprismats basyta har formen av en liksidig triangel. Höjden i

basytan är 2,6 cm och är markerad med en streckad linje. Hur många kubikcentimeter glas innehåller prismat? Avrunda till heltal.

3,0 cm

5,8 cm

Om vitt ljus lyser genom ett prisma delas ljuset upp i dess olika våglängder. Det är därför du ser alla regnbågens färger.

(cm)

4106 Beräkna pyramidens volym. Svara i kubikdecimeter

21,5

och avrunda till tiondelar.

14,0 14,0

194

4 • Geometri

Y - s 160-217 - kap 4.indd 194

11-12-21 10.25.30

4107 Johan har tillverkat en 6,5 cm hög pyramid i slöjden. Basytan

i pyramiden är en kvadrat med sidan 3,6 cm. a) Rita en bild av pyramiden.

b) Johan fyller pyramiden med smält tenn. Hur många deciliter tenn går det åt för att gjuta 10 st tennpyramider? Avrunda till hela deciliter.

4108 Hur många liter rymmer akvariet?

Det är ganska vanligt med akvarium som har en basyta som är en hexagon. Det här akvariet har en basyta på 900 cm2 och höjden 50 cm.

4109 Hur kan du direkt se att rätblockets volym är tre gånger så stor som

pyramidens?

4 • Geometri

Y - s 160-217 - kap 4.indd 195

195

11-12-21 10.25.32

(cm)

4110 Hur mycket choklad rymmer asken

om 20 % av askens volym är luft?

Svara i kubikcentimeter och avrunda till heltal.

3,0

21

3,5

4111 Ett pyramidformat ljus är 8,5 cm högt. Basytan är kvadratisk med

sidan 6,2 cm.

a) Rita en bild av ljuset. b) Hur mycket stearin går det åt till 100 ljus? Avrunda till hela liter.

4112 En åker har de mått som bilden visar.

En dag föll det 42 mm regn. Hur många kubikmeter vatten hamnade på åkern?

Avrunda till tiotal kubikmeter.

4113 En pyramid i glas har volymen 27 cm3.

(m)

170 85

85

125

Basytan är en triangel vars höjd är 2,5 cm och area är 9 cm2.

a) Hur lång är basen i basytan? b) Rita en bild av pyramiden.

4114 Vem har rätt?

Motivera ditt svar.

DET ÄR ETT PRISMA!

DET ÄR ET RÄTB T LOCK !

Johan

DET ÄR BÅDE ETT RÄTBLOCK OCH ETT PRISMA!

Klara Simon

196

4 • Geometri

Y - s 160-217 - kap 4.indd 196

11-12-21 10.25.37

4115 Tältet har formen av ett femsidigt prisma. Av luftens volym är

ungefär 20 % syre. Hur mycket väger syret i tältet om syres densitet är 1,4 kg/m3? Avrunda till tiondels kilogram.

Densitet är ett mått på hur många gram 1 cm3 av ett ämne väger.

(m)

1,8

0,6 2,0

2,5

4116

1,6

(m)

Bilden visar hur ett dike ser ut från sidan.

Dikets längd är 200 m. a) Hur många kubikmeter jord togs bort när diket grävdes?

0,8

0,4

b) Hur många ton vägde all jord om densiteten för jord är 1,5 kg/dm3? (cm)

10

4117 Bilden visar en järnvägsskena i genomskärning.

a) Beräkna volymen av en skena som är 1 m lång.

Svara i kubikdecimeter. Avrunda till en decimal. b) Skenan är gjord av järn. Järn har densiteten 7,9 kg/dm3.

Hur mycket väger en skena som är 1 m lång? Avrunda till hela kilogram.

2

10

18

4118 Hur många kubikcentimeter trä består träbiten nedan av?

Avrunda till tiotal.

4119 Evelina påstår att träbiten är ett prisma.

Tänker hon rätt? Hur tänker du?

INGEN Y

UTMAN 9 s. 36—4

8

9

3

3 9

9

(cm) 2

4 • Geometri

Y - s 160-217 - kap 4.indd 197

197

11-12-21 10.25.38

VOLYMEN AV TVÅ CYLINDRAR Materiel: 2 st A4-papper, linjal, miniräknare, tejp Antal deltagare: 2 st eller fler

AKTIVITET

Om du buktar ett A4-papper och för ihop sidorna kan du skapa en cylinder. Faktum är att du kan göra två olika cylindrar, den ena med kortsidan som höjd och den andra med långsidan som höjd. Den första cylindern blir bred och låg och den andra smal och hög. I båda fallen använder du ett A4-papper med lika stor area. Innebär det också att volymen av de båda cylindrarna blir lika stora? Det ska ni ta reda på med hjälp av den här aktiviteten.

A Mät sidorna på A4-papperet

och anteckna måtten.

B Bilda de två möjliga

cylindrarna av A4-papperen med hjälp av tejp, den ena med papperets kortsida som höjd och den andra med papperets långsida som höjd.

C Innan ni räknar ut svaret så

gissar ni var och en om någon av cylindrarna har större volym än den andra eller om de har lika stor volym.

200

D När alla har gissat räknar ni ut

volymen av cylindrarna.

Avrunda till tiotal kubikcentimeter. Tänk på att den ena cylinderns basyta har samma omkrets som kortsidans längd och den andra samma som långsidans.

E Vem hade rätt? Spelar det någon

roll för volymens storlek vilken sida av papperet som används som höjd?

4 • Geometri

Y - s 160-217 - kap 4.indd 200

11-12-29 15.31.46

SAMMAnFATTnInG Månghörningar

Kvadrat

Rektangel höjd (h)

A=b·h

s

A=s·s

bas (b)

s Romb

Parallellogram A=b·h

A=b·h

h

h b b

Triangel A=

b⋅ h 2

Omkretsen av en månghörning får man genom att addera alla sidornas längder.

h

b

cirkeln radie

diameter

O=π·d

Volym

A = π · r · r eller A = π · r²

Rätblock

Pyramid

Prisma

h

h

h B

B

B

V=B·h

V=B·h

V=

Kon

Cylinder

Klot

r

h B

r

V= B·h där B = π · r²

B·h 3

B

r

B·h 3 där B = π · r² V=

V=

4 · π · r³ 3

Enheter för volym

1 liter = 10 dl = 100 cl = 1 000 ml 1 dl = 10 cl = 100 ml 1 cl = 10 ml

1 m3 = 1 000 dm3 1 dm3 = 1 000 cm3 1 cm3 = 1 000 mm3

1 m3 = 1 000 liter 1 dm3 = 1 liter 1 cm3 = 1 ml 4 • Geometri

Y - s 160-217 - kap 4.indd 207

207

11-12-21 10.25.53

Blandade uppgifter 4144 Mät i hela centimeter. Beräkna omkrets och area.

a)

b)

4145 Beräkna brunnslockets

omkrets och area. Avrunda till heltal.

4146 Skriv volymerna i liter.

6 dm

a) 15 dl b) 3 dm3 c) 120 cl d) 1 m3 4147 a) Rita en kub med kanten 5 cm.

b) Beräkna kubens volym.

6

4148 a) Hur stor volym har koppen?

(cm)

Avrunda till tiotal kubikcentimeter.

b) Hur stor är volymen uttryckt i milliliter?

6

c) Hur många centiliter ryms i koppen?

4149 a) Rita en pyramid med höjden 6,5 cm.

Basytan är en kvadrat med sidan 3,6 cm.

b) Beräkna volymen. Avrunda till hela kubikcentimeter.

208

4 • Geometri

Y - s 160-217 - kap 4.indd 208

11-12-21 10.25.53

4150 En stjärngosses strut är 45 cm hög och har en diameter på 25 cm.

Beräkna strutens volym och avrunda till tiondels kubikdecimeter.

4151 Skriv volymerna i kubikcentimeter.

a) 1 400 mm3

b) 50 ml

c) 0,9 dm3

d) 0,7 dl

4152 Mät biljardkulans diameter i

hela centimeter. Hur stor volym har kulan? Avrunda till hela kubikcentimeter.

4153 En bonde köper in 120 m stängsel. Av stängslet gör han tre kvadratiska

fårhagar på det sätt som bilden visar. Hur stor area har varje hage?

20

4154 Beräkna arean av figuren.

26

(m)

20

(cm)

20

4155 Hur mycket ostsås finns det i paketet?

Avrunda till hela deciliter.

11,0

4156 En stålkula har radien 15 mm. Hur mycket väger

kulan om stålets densitet är 7,8 g/cm3? Avrunda till tiotal gram.

4,7

6,2

4 • Geometri

Y - s 160-217 - kap 4.indd 209

209

11-12-21 10.25.54

(cm)

4157 Hur mycket stearin består ljuset av?

Avrunda till tiotal kubikcentimeter.

Glö mi att nte r en fi ita gur !

4158 Ett tak av glas har formen av en pyramid

9,5

med volymen 1 880 m3. Basytan är kvadratisk med sidan 20 m. Hur hög är pyramiden? Avrunda till hela meter.

4159 Det har läckt in vatten i familjen Perssons

källare. Mamma räknar ut att det är 5 000 liter vatten i källaren. Källarväggarna är 7,5 m och 4,2 m långa. Hur högt står vattnet i källaren? Svara i hela centimeter.

5,7

68

(mm)

4160 Glaset på bilden är uppbyggt av ett halvklot

och en cylinder. Hur många centiliter rymmer glaset? Avrunda till heltal.

46

4161 En kub av aluminium har kanten 12,4 cm.

Av kuben tillverkas ett så stort klot som möjligt. Hur många procent av kuben blev aluminiumspån? Avrunda till hela procent.

4162 En igloo har formen av ett halvklot. Invändigt är diametern 1,6 m.

Väggarna är 25 cm tjocka. Hur mycket snö består igloon av? Svara i kubikmeter och avrunda till en decimal.

4163 En glaskula har radien 2,0 cm. Kulan sänks ner i ett mätglas som

har formen av en cylinder med radien 2,5 cm. Mätglaset är fyllt med vatten till ungefär hälften. Hur mycket stiger vattenytan när glaskulan sänks ner? Svara i tiondels centimeter.

INGEN Y UTMAN 9 s. 36—4

210

4 • Geometri

Y - s 160-217 - kap 4.indd 210

11-12-21 10.25.55

KaN DU BeGRePPeN?

Vet du vad de olika begreppen står för? Ett av begreppen finns inte med i kapitlet. Vilket är det?

Klot

Blandad form

Rätblock

Pyramid Radie

En kubikdecimeter

Area

Diameter

Kub cylinder

Kon Volym

KaN DU FÖRKlaRa? 1 Vad menas med att två linjer är parallella?

2 Förklara varför man kan säga att en kvadrat också är en rektangel.

3 Du vet ett bords diameter. Hur kan du då lätt räkna ut ungefär hur

lång omkretsen är?

4 Vad menas med en kub?

5 Förklara varför 1 cm3 är lika med 1 ml.

6 Förklara vad som skiljer en kon och en pyramid.

7 Många blandar ihop bas (b) och basyta (B) i geometrin. Förklara

DIAGNOS 4

vad de båda begreppen betyder.

tt med Fortsä ller MERA e TRÄNA n re Lära TEMA. . d e k s e ger b

4 • Geometri

Y - s 160-217 - kap 4.indd 211

211

11-12-21 10.25.56

TRÄNA MERA

a)

(cm)

(cm)

b)

1

3,9 9,5

7,0

2,3

7,2

8,4

UPPGIFT

4164 Beräkna trianglarnas omkrets och area.

2,0

1,9

4165 Bilden visar Guyanas flagga.

(dm)

Beräkna arean av

a) den röda triangeln b) det gula området

10

7

16 UPPGIFT

4166 Beräkna stekpannans omkrets och area.

Avrunda till tiotal.

2 28 cm

4167 En damm är cirkelformad med radien 4 m. Beräkna dammens

omkrets och area. Avrunda till heltal.

a) 2,5 liter

b) 25 cl

c) 5 cl

d) 80 ml

3

4169 Skriv volymerna i liter.

a) 5 dm3

212

b) 3 500 cm3

UPPGIFT

4168 Skriv volymerna i deciliter.

c) 2,5 m3

d) 0,3 m3

4 • Geometri

Y - s 160-217 - kap 4.indd 212

11-12-21 10.25.57

NP

NP

NP

NP

NP

NP

TEMA

NP

NP

NP

NP NP

NP NP

NP

NP

eGYPTeN – FaRaONeRNaS laND

NP

FAKTA

NP

Folkmängd

80 miljoner

huvudstad

Kairo, 17 miljoner invånare

Area

1 001 450 km2

NP

Vid floden Nilen utvecklades för cirka 5 000 år sedan en av jordens första civilisationer, Egypten. I gamla tider styrdes landet av en kung som kallades Farao. Under faraonernas tid byggdes de stora pyramiderna. De byggdes främst som gravar till faraonerna. Den största och mest kända av Egyptens pyramider är Cheopspyramiden.

Den är 137 m hög och har en kvadratisk basyta med sidan 230 m.

NP

NP

NP NP NP

4183 Hur stor volym har Cheopspyramiden? Avrunda till hundratusental

kubikmeter.

NP

4184 Idag är Egypten ett mycket stort turistland. Årligen besöks landet av

ungefär 9 miljoner turister. Av dessa kommer ungefär 240 000 från de nordiska länderna. Hur många procent motsvarar det? Avrunda till tiondels procent.

NP

NP

4185 Flertalet av de stenar som användes för att bygga Cheopspyramiden

NP

är kubformade med sidan 1 m. Hur mycket väger en sådan kub om stenens densitet är ungefär 2,5 kg/dm3? Svara i ton.

NP

NP

NP

NP NP NP

Y - s 160-217 - kap 4.indd 215

NP

4 • Geometri

215

NP

NP

11-12-21 10.26.02

NP

NP

NP

NP

NP

NP

TEMA

NP

NP

NP

4186 En majoritet av Egyptens befolkning bor längs floden Nilen. Där

bor ungefär 70 % av alla egyptier på en yta vars area endast är 3 % av Egyptens hela area. Hur många invånare bor per kvadratkilometer längs Nilen? Avrunda till hundratal.

NP

4187 De flesta faraonerna begravdes inte i pyramider utan i gravkammare

NP

NP

som låg i Konungarnas dal nära Luxor. Hur långt är det från Luxor till Kairo? Mät på kartan i hela centimeter.

NP

NP

NP

NP NP

NP NP

NP

NP

Skala 1:12 500 000

NP

4188 I norra Egypten finns den berömda Suezkanalen. Den förbinder

NP

Medelhavet med Röda Havet och är världens längsta kanal. Genom byggandet av kanalen minskade sjövägen mellan England och Indien med 35 % till 1 300 mil. Hur lång var sjövägen tidigare?

NP

NP

4189 Suezkanalen är 160 km lång.

a) På en karta är Suezkanalen 2 cm lång. I vilken skala är kartan ritad? b) Hur lång tid tar det för ett fartyg att passera genom Suezkanalen om fartygets hastighet är 10 knop? Avrunda till timmar och tiotal minuter.

NP

NP

1 knop = 1,852 km/h

NP

NP 216

4 • Geometri

NP Y - s 160-217 - kap 4.indd 216

NP

NP NP

NP NP

NP

11-12-21 10.26.06

PROBLEMLÖSNING NP

NP

1 I ridhuset

5 Vilka tal saknas?

Sara och Elin gillar att rida. Sara rider var tredje dag och Elin var femte dag. Tisdagen den 3 maj är de samtidigt på ridskolan. Vilken veckodag och vilket datum är de där samtidigt nästa gång?

Vilka två tal saknas?

1 3 7 ? 21 31

2 Fyll i rutorna

Vilka siffror ska stå i rutorna i räkneuppställningarna nedan? a)

NP

4 .

7 3 0 52

c) 1 0

NP

??

–

b)

.

?9?

6 4188

? 0?

9? 6

9032

6 Sätt in rätt tecken

Sätt in tecken mellan siffrorna så att uträkningarna stämmer. Välj mellan addition, subtraktion och multiplikation. a) b) c) d)

1 1 1 1

2 2 2 2

NP

P

4 Den som gräver en grop …

NP

En grop i marken har formen av ett rätblock med sidorna 15 dm, 5 dm och 4 dm. Hur mycket jord finns i gropen?

3 3 3 3

4 4 4 4

5 5 5 5

6=0 6=1 6=2 6=3

7 Liksidiga trianglar

Genom att flytta på de fyra tändstickor som är markerade kan du åstadkomma en figur som består av tre liksidiga trianglar. Hur gör du?

A

3 Bonden Paavo

Bonden Paavo har 200 m stängsel och ska göra en hage till sina kalvar.

Området ska vara fyrkantigt och arean ska vara så stor som möjligt.

Hur stor area får kalvarna att beta på?

?

B

D C

8 Problem in English

How many kilometres per hour is a car travelling, if the wheels have a diameter of 8 dm and are turning 600 times a minute? Give an approximate answer.

INGEN Y UTMAN 9 s. 36—4

NP 4 • Geometri

217

NP Y - s 160-217 - kap 4.indd 217

11-12-29 15.32.21

Bildförteckning Omslag: Helena Johnsson/Folio 7 Mikael Andersson/Mira/NordicPhotos 16 Lars Epstein/DN/Scanpix 17 Eduardo Valenzuela/Scanpix 18 Maja Suslin/Scanpix 19 Kristoffer Sahlén/Naturfotograferna/IBL 20 Fredrik Persson/Scanpix 21 (1) Lars Andersson/Scanpix 21 (2) Kai Jensen/Scanpix 22 Tommy Svensson/Scanpix 23 Lennart Undvall 27 Graham Thornton/Spectrum/Scanpix 28 Mark Earthy/Scanpix 30 ImageState/IBL 33 Ingvar Karmhed/SvD/Scanpix 34 Adam Warzawa/EPA/Scanpix 35 Sven-Olof Ahlgren/Scanpix 37 (1) Zoltan Gavai/Scanpix 37 (2) Nikolaj Jakobsen/Scanpix 38 Taco Meeuwsen/Getty Images 39 Tommy Holl/IBL 40 Ulf Palm/Scanpix 42 Novastock/Stock Connection/Rex/IBL 44 Joakim Berglund/Fotoflyget/Scanpix 45 Sören Andersson/Scanpix 47 Anders Wiklund/Scanpix 48 Andrzej Poniatowski/Scanpix 53 Jim Cole/AP/Scanpix 54 Göran Algårds samling/IBL 57 T ier Und Naturfotografie J & C Sohns/ Getty Images 60 David Pearson/Rex Features/IBL 63 Tuomas Marttila/Lehtikuva/Scanpix 67 Janerik Henriksson/Scanpix 69 Morten Rasmussen/Biofoto/Scanpix 73 H arry Potter. Daniel Radcliffe, John Cleese. Warner Brothers/Everett Collection/IBL 74 KCS Presse/IBL 75 Leif Kullman/Scanpix 76 Hussein El-Alawi/Sydsvenskan/Scanpix 80 Sven Persson/sydpol.com/IBL 86 Mary Evans/IBL 87 Biosphoto/NordicPhotos 88 Erich Lessing/IBL 96 Robert Gendler/NASA

97 NASA 100 Li Shaobai/REX/IBL 101 IBL 104 Håkan Sandbring/sydpol.com/IBL 105 Matti Kolho/Lehtikuva/Scanpix 109 Klaus Rose/Scanpix 110 Trons/Scanpix 112 Xinhua/Scanpix 115 Trons/Scanpix 116 Wally Santana/AP/Scanpix 126 Anup Shah/NPL/IBL 127 Conny Welén 129 Eva Tedesjö/Scanpix 130 BE&W agencja fotograficzna/Alamy 145 Linda Forsell/SvD/Scanpix 153 Jeppe Gustafsson/Scanpix 155 Bernd Wüstneck/Scanpix 157 Mark Duffey/Lonely Planet/Scanpix 158 Bertil Hertzberg/NordicPhotos 161 Atlantic s.n.c./Age/Scanpix 165 Edward Pond/Masterfile/Scanpix 166 Science Photo Library / IBL 168 Husmofoto/IBL 170 AFP/Scanpix 171 Jefferson Bernardes/AFP/Scanpix 174 (1) Trons/Scanpix 175 Jean-Paul Ferrero/Auscape/Scanpix 180 H. Schmid/Corbis/Scanpix 181 Jorma Valkonen/IBL 182 Stefan Jerrevång/Scanpix 188 Jörgen Larsson/Scanpix 189 Vikki Hart/Getty Images 194 IndexStock/Scanpix 195 Kathy Martin 197 Tue Fiig/Scanpix 202 (1) Henryk T. Kaiser/Rex/IBL 202 (2) Fabrice Coffrini/AFP/Scanpix 205 Anders Wiklund/Scanpix 206 André Maslennikov/Scanpix 208 (1) Mark Earthy/Scanpix 210 (1) Dan Hansson/SvD/Scanpix 214 Guntmar Fritz/Masterfile/Scanpix 215 Jorma Valkonen/IBL 219 David Muscroft/Age/Scanpix 236 Thomas Karlsson/Scanpix 237 Janerik Henriksson/Scanpix

383

Y - s 382-384 Bakvagn.indd 383

11-12-20 17.32.45

246 Göran Ärnbäck/Scanpix 249 (1) Bertil Ericson/Scanpix 249 (2) Erik Abel/Scanpix 253 Beatrice Lundborg/Scanpix 258 Emmanuel Dunand/AFP/Scanpix 261 Cecilia Mellberg/Scanpix/Bildhuset 263 David Muir/Masterfile/Scanpix 265 Karin Grip/SvD/Scanpix 267 Tore Hagman/Scanpix 268 Mikael Wallerstedt/Scanpix 289 Patric Söderström/Scanpix 291 Lennart Undvall 292 Cecilia Mellberg/Scanpix 294 Johanna Hanno/Scanpix/Bildhuset 295 Johan Wingborg/Scanpix/Bildhuset 296 Sven Halling/Scanpix 303 Fredrik Johansson/Photomedia.se/ Scanpix 308 (1) Maja Suslin/Scanpix 308 (3) Taco Meeuwsen/Getty Images 309 Sören Andersson/Scanpix

312 Trons/Scanpix 318 Sven-Olof Ahlgren/Scanpix 320 Mats Kockum/Scanpix 322 (1) Stephen Shaver/UPI/IBL 324 (1) Eva Tedesjö/DN/Scanpix 326 Sydsvenskan/Scanpix 330 (1) Greg Mathieson/Time & Life/Getty Images 330 (2) Erik Simonsen/Getty Images 332 Jonas Abrahamsson/Scanpix 334 Mark Sutherland/SWNS/Scanpix 340 Mikael Sjöberg/XP/Scanpix 347 Trons/Scanpix 348 Carl de Souza/AFP/Scanpix Uppdragsfotografering: Ulf Rennéus/Mary Square Images, sidorna 8, 31, 70, 118, 124, 200, 203, 228, 262, 279, 272 och 286. Övriga bilder: Haléns, Liber arkiv, OPV Online, Photodisc och Shutterstock.

384

Y - s 382-384 Bakvagn.indd 384

11-12-20 17.32.45

I Matematikboken Y hittar du: • • • • • • • • •

Centralt innehåll i enlighet med kursplan 2011 Tydlig struktur Målsidor Gemensamma genomgångar med typexempel Uppgifter på fyra svårighetsnivåer Väl avvägd progression Sammanfattningar av begrepp och formler efter varje kapitel Träning av olika matematiska kompetenser Uppgifterna är av varierande karaktär och växlar mellan: Färdighetstränande | Kommunikativa | Laborativa | Undersökande | Problemlösande | Tematiska Bokens baksida

Matematikboken Y

Bashäfte

Utmaningen

Lärarhandledning

Onlinebok

Matematikboken går att använda genom hela grundskolan, från förskoleklass till årskurs 9. Matematikboken X, Y och Z är avsedda för årskurs 7– 9. I varje årskurs finns en grundbok, ett enklare bashäfte, en utmaningsbok med mer avancerad matematik och en lärarhandledning. Grundboken finns som onlinebok, en digital version av boken med interaktiva verktyg. Du hittar också en hel del tips och extramaterial på www.matematikbokenxyz.se.

Har du frågor om metodik eller innehåll är du välkommen att kontakta Lennart Undvall på mail eller telefon, lennart.undvall@gmail.com respektive 070-320 38 62.

Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 93 30.

Best.nr 47-08547-7 Tryck.nr 47-08547-7