9789152361955

matematik

Attila Szabo Niclas Larson Daniel Dufåker Roger Fermsjö

3b

matematik

Attila Szabo Niclas Larson Daniel Dufåker Roger Fermsjö

3b

SANOMA UTBILDNING

SANOMA UTBILDNING Postadress: Box 38013, 100 64 Stockholm Besöksadress: Rosenlundsgatan 54, Stockholm Hemsida: www.sanomautbildning.se E-post: info@sanomautbildning.se Order /Läromedelsinformation Telefon 08-587 642 10

Redaktion: Lena Bjessmo, Thomas Aidehag Grafisk form: Typoform/Andreas Lilius Layout/produktion: Typoform/Sabina Högnäs Illustrationer: Typoform/Jakob Robertsson.

Matematik Origo 3b ISBN 978-91-523-6195-5 © 2022 Attila Szabo, Niclas Larson, Daniel Dufåker, Roger Fermsjö, Gunilla Viklund, Mikael Marklund och Sanoma Utbildning AB, Stockholm Tredje upplagan Första tryckningen

Kopieringsförbud!

Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus Copyright Access, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för ­utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet ­hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller Bonus Copyright Access. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Tryck: Livonia Print, Lettland 2022

Till läsaren Matematik Origo 3b är skriven för dig som ska läsa matematik kurs 3b på Samhällsvetenskapsprogrammet, Ekonomiprogrammet, Humanistiska programmet eller Estetiska programmet. Boken är helt ­anpassad efter den reviderade ämnesplanen 2021. För oss som har skrivit den här boken är matematik så mycket mer än att bara räkna. Därför har vi valt att i Matematik Origo lyfta fram problemlösning, förståelse och det matematiska samtalet. Vår förhoppning är att Matematik Origo ska förmedla samma nyfikenhet och glädje som vi känner inför matematikämnet. u

u

u

u

Matematik Origo 3b är indelad i sex kapitel. Varje kapitel inleds med att ange de Förkunskaper som du behöver, det Centrala innehåll som kapitlet tar upp och vad du ska kunna när du har arbetat färdigt med kapitlet. Det gör det lättare för dig att själv ta ansvar för dina studier. I början av varje kapitel finner du också ett eller flera matematiska problem.

Varje teorigenomgång följs av lösta Exempel som belyser teorin och förklarar viktiga matematiska färdigheter. I samband med exemplen finns kortfattade instruktioner till hur du kan använda ett digitalt verktyg. Vi utgår från GeoGebra.

Till varje avsnitt finns uppgifter av olika karaktär på tre nivåer. På varje nivå finns uppgifter som tränar din förmåga till problemlösning. Öppna uppgifter är uppgifter som inte har ett givet svar och som många gånger kräver en matematisk ­diskussion.

Dessa är markerade med en tonad ruta .

Efter varje delkapitel kommer Resonemang och begrepp. Där kan du tillsammans med dina kamrater och din lärare utveckla förmågan att förstå och använda matematiska begrepp, att föra matematiska resonemang och att kommunicera matematik.

u

I de flesta kapitel finns en eller flera aktiviteter med titeln Programmering. Där får du se exempel på hur programmering kan användas som verktyg, bland annat vid problemlösning. Du får också själv prova att programmera med utgångspunkt i färdiga program.

u

I slutet av varje kapitel finner du Uppslaget.

Där finns uppgifter som ger möjlighet att utveckla olika matematiska förmågor. Bland annat finns en större uppgift av tematisk karaktär, som vi har valt att kalla Problemlösning och modellering.

I Undersök finner du lite mer omfattande och utmanande uppgifter. Där får du träna på problemlösning och ett undersökande arbetssätt. I Rätt eller fel? får du tillfälle att resonera om kapitlets viktiga begrepp.

u

I slutet av varje kapitel finns ett avsnitt om ­Historia som beskriver matematikens utveckling ur ett idéhistoriskt och kulturellt perspektiv.

u

Tankekartan visar hur de olika matematiska begreppen hänger ihop och kan ses som en ­sammanfattning av kapitlet.

u

I Blandade uppgifter finns uppgifter på tre nivåer. Uppgifterna behandlar moment både från det innevarande och de föregående kapitlen.

Det ger dig möjlighet att kontinuerligt befästa dina kunskaper.

u

Sist i varje kapitel finns ett Kapiteltest. Där har du möjlighet att själv kontrollera dina kunskaper.

Testet är uppdelat i två delar, en del som ska lösas utan digitalt verktyg och en del där du får använda ett digitalt verktyg.

Lycka till med dina matematikstudier!

Författarna

Innehåll 1 Algebraiska uttryck

6

1.1 Polynom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Värdet av ett polynom 8 Multiplikation av polynom 11 Faktorisering av polynom 13

kvot och derivata

64

2.1 Linjär optimering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

1.2 Polynomekvationer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Enkla polynomekvationer 15 Mer om polynom­ ekvationer 18 Grafen till en polynomfunktion 22 Faktorer och nollställen 25

1.3 Rationella uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Förkortning och förlängning av rationella uttryck 30 Addition och subtraktion av rationella uttryck 34 Multiplikation och division av rationella uttryck 36 Gränsvärden 38 Kontinuerliga funktioner 44 Symbolhanterande hjälpmedel 48

Programmering: Kan man gissa i matematik?. . . . . . . . . . . .

Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Historia: Sophie German och Fermats sista sats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tankekarta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Linjär optimering, ändrings­

53 54 56 58 59 62

Räta linjens ekvation och lösning av ekvations­ system 66 Olikheter och system av olikheter 71 Linjär optimering 75

2.2 Sekanter och tangenter. . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Sekantens lutning 83 Tangentens lutning 87

2.3 Derivata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Derivatans definition 93 Att använda derivata 97 Villkor för deriverbarhet 101

Historia: Att bestämma en tangent. . .

Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tankekarta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Deriveringsregler

105 106 108 109 112 114

3.1 Deriveringsregler för potensoch polynomfunktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Derivatan av enkla potensfunktioner 116 Derivatan av polynomfunktioner 120 Mer om derivatan av potensfunktioner 122

3.2 Exponentialfunktioner och tillämpningar av derivata. . . . . . . . . . . . . . . 126 Derivatan av ex 126 Derivatan av ekx och ax 131 Derivatans tillämpningar 135 Tillämpningar av derivata med digitalt hjälpmedel 139

Programmering: Newton-Raphsons metod. . . . . . . . . . . . .

Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Historia: Newton, Leibniz och derivatan.. . . . . . .

Tankekarta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144 146 148 149 150 154

4 Extremvärden, grafen och derivatan

156

4.1 Samband mellan funktionens graf och derivata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Växande eller avtagande funktion 158 Derivatans nollställen 162

Största och minsta värde i ett intervall 167 Andraderivatan och funktionens graf 171 Andraderivatan och lokala extrempunkter 175 Extremvärdesproblem 179 Extremvärdesprolem med digitalt hjälpmedel 182

5 Integraler

185 186 188 189 194 196

5.1 Primitiva funktioner.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Vad är en primitiv funktion? 198 Primitiva funktioner till potensfunktioner och exponentialfunktioner 202 Primitiva funktioner med villkor 205

5.2 Integraler och areor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Arean under en kurva 208 Samband mellan derivata och integral 213 Beräkna integraler med digitalt hjälpmedel 218

5.2 Mer om integraler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

Arean av området mellan två kurvor 224 Tillämpning av integraler i verklighetsbaserade situationer 228

Programmering: Integraler – numerisk metod.. . . . . . . . .

Historia: Integralkalkylens historia.. . .

Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tankekarta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

244

6.1 Geometriska talföljder. . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Talföljder och mönster 246 Geometriska talföljder 249 Nuvärde 252

6.2 Geometriska summor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Geometrisk summa 254 Annuitetslån 259

4.2 Extremvärden och derivatan. . . . . . . . . . . 167

Historia: Fermats metod för extrempunkter..

Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tankekarta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Geometrisk summa

232 233 234 236 237 242

Historia: Intelligenstest. . . . . . . . . . . . . . . . .

Programmering: Geometrisk talföljd och geometrisk summa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Olika typer av lån. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tankekarta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

261

262 263 264 266 267 272

Facit

274

Register

302

1

Algebraiska uttryck

Delkapitel 1.1 Polynom 1.2 Polynomekvationer 1.3 Rationella uttryck

Förkunskaper ■ Grundläggande algebra ■ Konjugatregeln och kvadrerings­

reglerna

■ Andragradsekvationer ■ Potenser ■ Bråkräkning ■ Funktionsbegreppet

Centralt innehåll ■ Begreppet rationella uttryck.

­Hantering av rationella uttryck.

■ Begreppet polynom och egen­

skaper hos polynomfunktioner.

Metoder för att lösa enklare poly­ nomekvationer.

■ Begreppet gränsvärde.

■ Användning av digitala verktyg,

även symbolhanterande, för att effektivisera beräkningar och kom­ plettera metoder, till exempel vid ekvationslösning, derivering, inte­ grering och hantering av algebra­ iska uttryck.

6

A

lgebra är ett av matematikens huvudområden. Utvecklingen av den algebra vi använder i dag har skett under lång tid. Den händelse som kommit att kallas den symboliska abstraktionen inledde i början av 1600-talet utvecklingen av det matematiska språket mot det sätt att beteckna tal med bokstäver som vi gör i dag.

I det här kapitlet får du en repetition av några grundläggande algebraiska färdigheter. Vi går sedan vidare och arbetar med egenskaper hos funktioner, polynom och rationella uttryck.

När du är klar med kapitlet ska du kunna u

förenkla och använda uttryck med polynom

u

lösa polynomekvationer av högre grad med algebraiska, grafiska och digitala metoder

u

använda polynomekvationer vid problemlösning

u

rita grafer till polynomfunktioner för hand och med digitala verktyg

u

ställa upp, förenkla och använda rationella uttryck

u

bestämma definitionsmängd, värdemängd och nollställen till rationella funktioner

u

bestämma gränsvärden

u

känna till vad som menas med en kontinuerlig funktion

u

avgöra om en funktion är kontinuerlig eller diskontinuerlig

Skoj på hoj Wingströms uthyrning erbjuder olika fordon till turisterna. Att hyra en elsparkcykel kostar 10 kr i grundavgift och 2,50 kr/minut. u

Hur mycket kostar det att hyra en elsparkcykel i en timme?

u

Bestäm kostnaden per minut om man hyr elsparkcykel i 14 minuter.

u

Skriv ett uttryck för den genomsnittliga hyreskostnaden K(x) kr/minut, om man hyr elsparkcykeln i x minuter.

Ängen Familjen Åkerholm har på sina ägor en äng, som är nästintill rektangulär. De vet att ängens långsida är 48 meter längre än kortsidan och att ängens area är 8 500 m2. u

Teckna en ekvation som kan användas för att bestämma ängens längd och bredd.

u

Lös ekvationen.

u

Bestäm ängens längd respektive bredd.

7

ordboken

1.1 Polynom Polynom kommer från de grekiska orden polys som betyder många och nom som betyder namn. Polynom kan sägas betyda många namn eller många termer.

Värdet av ett polynom En bils koldioxidutsläpp beror av farten som bilen färdas med. Om koldioxid­utsläppet p mäts i gram per kilometer och bilens fart v i kilometer per timme, så kan sambandet beskrivas med uttrycket p(v) = 0,045v2 − 6,75v + 393 för 30 ≤ v ≤ 120

1

Polynom

Konstantterm

2x4 + 4x3 + 5 Koefficient

Variabel

g/km

p

250 p(v)

200 150 100 50

v 20

40

60

80 100 120 km/h

Uttrycket 0,045v2 − 6,75v + 393 är ett exempel på ett polynom. Ett annat exempel på polynom är 2x4 + 4x3 + 5. Båda uttrycken innehåller ett antal termer. I uttrycket 2x4 + 4x3 + 5 är termerna 2x4 och 4x3 variabel­termer och termen 5 kallas konstantterm. Variabeltermerna består av produkter av en koefficient och en potens med variabeln x som bas och ett positivt heltal som exponent. Detta polynom är av fjärde graden eftersom 4 är den högsta exponenten. På samma sätt ser vi att polynomet 0,045v2 − 6,75v + 393 är ett andragrads­polynom.

2 Uttrycket ​​ __2 ​​ är däremot inte ett polynom, eftersom det kan skrivas 2x−2 och x exponenten då inte är ett positivt heltal.

Polynomfunktion

Eftersom 0,045v2 − 6,75v + 393 är ett polynom kallas funktionen p för en polynom­funktion. Definitionsmängden 30 ≤ v ≤ 120 betyder att sambandet gäller för hastigheter från och med 30 km/h till och med 120 km/h.

Polynom Ett polynom är en summa av konstant- och variabeltermer, där varje variabelterm är en produkt av ett tal och en variabel med positiv heltalsexponent.

Ett polynom kan allmänt skrivas i formen anxn + an − 1xn − 1 + … + a2x2 + a1x + a0 där n är ett positivt heltal och an, an − 1, …, a2, a1, a0 är konstanter.

Om n är den högsta exponenten i polynomet, så säger man att polynomet är av grad n.

8

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.1 Polynom

Exempel: Låt p(x) = x3 + 5x2 − 7 och bestäm a) p(3)

b) p(−2)

c) polynomets grad

Lösning: a) p(3) = 33 + 5 ∙ 32 − 7 = 65 b) p(−2) = (−2)3 + 5 ∙ (−2)2 − 7 = 5 c) Eftersom den största exponenten är 3 så är det ett tredjegradspolynom.

Exempel: Markus hyr slalomskidor. Kostnaden för att hyra skidorna beskrivs av K(x) = 350 + 80x, där K(x) är kostnaden i kr för att hyra skidorna i x dagar. a) Vad kostar det att hyra skidorna i 7 dagar?

1

b) Hur många dagar kan han hyra skidorna för 750 kr?

Lösning: a) Vi ska beräkna värdet av K(x) = 350 + 80x för x = 7.

K(7) = 350 + 80 ∙ 7 = 910 Svar: Det kostar 910 kr att hyra skidorna i 7 dagar. b) Vi ska lösa ekvationen K(x) = 750.

350 + 80x = 750

Eftersom K(x) = 350 + 80x

80x = 400 400 x = ____ ​​ ​​ 80 x=5 Svar: Markus kan hyra skidorna i 5 dagar.

Nivå 1

1105 Kostnaden för en taxiresa kan skrivas

1101 Låt p(x) = 2x2 + 3x − 7 och beräkna a) p(0)

b) p(3)

c) p(−2)

1102 Beräkna värdet av polynomet x3 − 2x + 5 för a) x = 0

b) x = 1

c) x = 5

d) x = −7

a) Vad kostar taxiresan om man åker 1,5 mil? b) Hur långt kan man åka för 200 kr?

1106 Vilka av alternativen A–E visar ett polynom?

A x−2 + x − 3 B x5 + x2 + 4x

1103 Bestäm x om p(x) = 0. a) p(x) = 40 − 10x

K(x) = 55 + 22x, där K(x) är kostnaden i kr och x är antalet kilometer som man åker.

_1

b) p(x) = x2 − 25

1104 Ge exempel på ett polynom av tredje graden.

C ​​x​​ 2 ​​​ + x3 D x2 + 4x − 8 E 0,5x3 + 0,2x2 + 5

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.1 Polynom

9

1107 I en rektangel är längden 3 gånger så lång som bredden.

a) Kalla rektangelns bredd för x och teckna ett uttryck för rektangelns omkrets. b) Beräkna rektangelns omkrets om x = 1,7 cm.

under matematiklektionen. Mohammad säger att han inte riktigt förstått vad ett polynom är. Ali bestämmer sig för att förklara genom att ge exempel på några polynom och jämföra dem med uttryck som inte är polynom. Hjälp Ali genom att ge exempel på vad han kan nämna i respektive grupp.

1109 Kurvorna visar temperaturen under en dag

x timmar efter midnatt på två olika platser, A och B. T

1113 Ge exempel på en polynomfunktion f av

tredje graden, för vilken gäller att f(2) = 6.

1114 För vilka värden på x är f(x) = g(x) om a) f(x) = 2x2 + 3x − 4 och g(x) = 2x2 − 5x + 2 b) f(x) = 2x2 + 1,5x + 1 och g(x) = 5 + 1,5x

1115 Bestäm det andragradspolynom p som ger följande värdetabell: x

1

2

3

4

p(x)

2

5

10

17

1116 Kostnaden K kronor för att hyra en bil kan

skrivas K(x) = 1 140 + 12x, där x är antalet körda mil.

40 30

a) Teckna ett uttryck för genomsnittskostnaden per körd mil.

T = fB(x)

20

T = fA(x)

10

x 2

4

6

8

10

12

14

Tid kl.

Bestäm a) fB(8) b) x så att fA(x) = 20 c) x så att fA(x) = fB(x)

1110 Ett äpple faller från ett träd. Den sträcka som

äpplet faller från grenen kan beskrivas med polynomet s(t) = 4,9t2, där t är tiden i sekunder och s(t) är sträckan i meter. a) Hur långt har äpplet fallit på 0,2 s? b) Hur länge dröjer det innan äpplet når marken om det hängde på höjden 2,7 m?

1111 Låt f(x) = x3 − 2x + 1 a) Beräkna f(3) − f(2) b) Teckna ett uttryck för f(a) − f(b)

10

a) f(5) c) värdet av x då f(x) = 0

1108 Ali och Mohammad arbetar med polynom

°C

1112 Låt f(x) = x2 − 4x och bestäm b) f(−1)

c) Beräkna rektangelns längd om omkretsen är 1,6 m.

1

Nivå 2

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.1 Polynom

b) Med hur mycket minskar genomsnittskostnaden per mil då körsträckan ökar från 100 mil till 200 mil?

Multiplikation av polynom Om man multiplicerar två polynom med varandra, så blir produkten ett nytt polynom. Vi tittar på ett exempel med polynomen 3x3 + 1 och x2 − 4: (3x3 + 1)(x2 − 4) = 3x5 − 12x3 + x2 − 4 Binom

Första kvadreringsregeln

Polynomen 3x3 + 1 och x2 − 4 kallas för binom eftersom de består av två termer. Det första binomet är av tredje graden och det andra av andra graden.

Produkten är ett polynom av femte graden. Vid multiplikation av binom är konjugat- och kvadreringsreglerna bra att kunna.

Första kvadreringsregeln används när man ska kvadrera ett binom av typen a + b. (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2

Andra kvadreringsregeln

Andra kvadreringsregeln används när man ska kvadrera ett binom av typen a − b. (a − b)2 = (a − b)(a − b) = a2 − 2ab + b2

Konjugatregeln

Uttryck som a + b och a − b kallas konjugerade binom och regeln för att multiplicera ihop sådana uttryck kallas därför konjugatregeln. (a + b)(a − b) = a2 − b2

(a + b)(a − b) = a2 − ab + ab − b2 = a2 − b2

a − b är det konjugerade binomet till a + b, det kallas även för konjugatet till a + b.

Exempel: a) Teckna ett polynom som beskriver skillnaden mellan de två kvadra­ternas areor. b) Ange polynomets grad.

x

x+6

x

c) Beräkna polynomets värde för x = 2 och förklara vad det betyder.

x+6

(cm)

Lösning: a) (x + 6)2 − x2 = (x2 + 12x + 36) − x2 = 12x + 36 Den större kvadratens area

Den mindre kvadratens area

b) Polynomet 12x + 36 är av första graden, eftersom 12x = 12x1 exponenten i x-termen är 1. c) Om x = 2, så är sidorna i de två kvadraterna 2 cm och 8 cm. Då blir ­skillnaden i area 12x + 36 = (12 ∙ 2 + 36) cm2 = 60 cm2.

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.1 Polynom

11

1

Exempel: Multiplicera ihop polynomen och förenkla produkten så långt som möjligt. a) (x + 1)(x2 − 4x)

b) (2x − 3)(2x + 3) − (x + 3)(x − 2)

Lösning: a) (x + 1)(x2 − 4x) = x ∙ x2 − x ∙ 4x + 1 ∙ x2 − 1 ∙ 4x = = x3 − 4x2 + x2 − 4x = x3 − 3x2 − 4x Här använder vi konjugat­ regeln och förenklar sedan så långt som möjligt.

1

b) (2x − 3)(2x + 3) − (x + 3)(x − 2) = ((2x)2 − 32) − (x2 − 2x + 3x − 6) = = 4x2 − 9 − x2 + 2x − 3x + 6 = 3x2 − x − 3

Nivå 1

1124 Vad ska stå i rutan för att likheten ska stämma?

Multiplicera ihop och förenkla följande uttryck.

1117 a) x(x − 3)

b) x3(2 − 3x)

c) 2x2(3x3 − 4x)

d) 5x4(2x2 − 1)

1118 a) (x + 3)(x + 7)

b) (2x + 3)(x − 1)

c) (2x2 − 4x)(3x + x2)

d) (4a − b)(5ab − a2)

1119 Utveckla uttrycken med hjälp av konjugat­ regeln och kvadreringsreglerna a) (x + 3)2

b) (3x − 1)2

c) (x + 3)(x − 3)

d) (1,2 − 0,1x)2

1120 Teckna och förenkla uttryck för figurernas area. b)

a) 2x + 5

x+3

3x + 1

2x + 5

1121 Förenkla följande uttryck. a) (x + 1)2 − (x − 1)2

b) x2 − (x + 2)(x − 2)

c) (a − 2)2 + (a − 3)2 − 2a2

1122 Agnes multiplicerar ett polynom av grad 4

med ett polynom av grad 2. Vilken grad kommer produkten att ha?

1123 Förenkla följande uttryck. a) x(x14 + 3x) + 3x15 − x2 b) x(x + 4)(x − 4) + x3 c) 25 − (x4 + 5)(x4 − 5)

12

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.1 Polynom

a) x2 + 18x + 81 = (x +

)2

b) y2 − 12y + 36 = (y +

)2

1125 Lös ekvationerna a) (x + 2)(x − 2) = x(x − 3) b) (2x − 1)2 = 0,5x(8x − 10) c) x(x2 − 4) = 4(2 − x)

Nivå 2 1126 Förenkla uttrycket (x + 1)(x − 1) − x(2x + 1) och beräkna dess värde för x = −3.

1127 Elliot har läst att produkten av två polynom

alltid är ett nytt polynom, men han förstår inte riktigt varför. Han frågar Matthis om hjälp. Ge förslag på hur Matthis kan förklara detta för Elliot.

1128 Utveckla följande uttryck: a) (a + b)3

b) (a − b)3

1129 Låt p och q vara polynom av grad 3 och r

ett polynom av grad 4. Avgör om följande påståenden är sanna. a) pq är ett polynom av grad 6 b) p + q är ett polynom av grad 6 c) p + q är ett polynom av grad 3 d) p − q är ett polynom av grad 3 e) pqr är ett polynom av grad 10 f ) p + r + q är ett polynom av grad 4

Faktorisering av polynom Polynomet x2 + x går att faktorisera genom att bryta ut faktorn x. x2 + x = x(x + 1) Faktorform

Polynomet är nu skrivet i faktorform. En fördel med att faktorisera polynomet till x(x + 1) är att man direkt ser att polynomets värde är noll då x = 0 eller x = −1, eftersom en av faktorerna då är noll.

En annan fördel med att skriva ett polynom i faktorform är när man ska x3 − 2x förenkla uttryck som ​​ _______ ​​ x x3 − 2x ________ x(x2 − 2) _______ ​​ ​​ = ​​ ​​ = x2 − 2 x

x

Vi bryter först ut x och förkortar sedan med x

Man kan även faktorisera polynom med hjälp av konjugatregeln och kvadreringsreglerna.

Exempel: Faktorisera polynomen a) 3x3 + 6x

b) x2 + 8x + 16

Lösning: a) 3x3 + 6x = 3x(x2 + 2)

c) 9x3 − 6x2 + x Bryt ut den gemensamma faktorn 3x

b) x2 + 8x + 16 = (x + 4)2

Använd första kvadrerings­ regeln

c) 9x3 − 6x2 + x = x(9x2 − 6x + 1) = x(3x − 1)2

Bryt ut x och använd sedan andra kvadreringsregeln

2x2 + 4x Exempel: Faktorisera och förenkla uttrycket ​​ ________ ​​ x+2 2x(x + 2) 2x2 + 4x ________ ​​ = ​​ ​​ = 2x Lösning: ​​ ________ x+2 x+2

Nivå 1 1130 Bryt ut 5x ur följande polynom. a) 5x2 + 35x

Bryt ut 2x ur täljaren och förkorta med x + 2

Faktorisera följande polynom med hjälp av konjugat­ regeln, kvadreringsreglerna eller genom att bryta ut en gemensam faktor.

1132 a) x2 − 1

b) 30x3 − 45x

c) x2 − 14x + 49

c) 20x3 + 15x2 + 5x

1133 a) 16y2 − 4

1131 Faktorisera uttrycken a) 4x + 20

b) 2x + 4x2

c) 15x2 − 25x

d) 2xy − x2y

c) x3 + 2x2 + x

b) a2 + 6a + 9 d) 4x2 − 25 b) 2y2 − 8 d) 3x3 − 6x2 + 3x

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.1 Polynom

13

1

1134 Faktorisera och förenkla uttrycken 6x2 + 12x a) ​​ _________ ​​ 3x

15x2 + 20x ​​ b) ​​ __________ 5x2

1135 Faktorisera och förenkla följande uttryck.

6x − 3 a) ​​ ______ ​​ 2x − 1 5x − 10y c) ​​ ________ ​​ x2 − 2xy

(2x + 4)2 b) ​​ ________ ​​ 4x + 8 x2 + x d) ​​ _______ ​​ 2x2 − x

1136 I en fabrik tillverkas stickade halsdukar. Den

totala kostnaden i kronor kan beskrivas med uttrycket K(q) = 103q + 0,0002q2

1

där q är antalet stickade halsdukar. Bestäm ett uttryck för kostnaden per halsduk och förenkla det så långt som möjligt.

Nivå 2 1138 Faktorisera uttrycken a) a(2 + b) + 3(2 + b) b) xy(1 + x) − (1 + x)

1139 Binomet 2x + 1 är en faktor i uttrycket

12x2 − 3. Vilka är de två övriga faktorerna?

1140 Arean av en rektangel kan skrivas

A(x) = x2 + 6x, där x cm är rektangelns bredd.

Hur mycket längre är längden än bredden?

1141 På ett matematiktest gavs uppgiften: Faktorisera och förenkla uttrycket 6x − x2 − 9 __________ ​​ ​​

2x2 − 18 Här ser du tre lösningar som lämnades in: −1(x + 3)2 x+3 A ​​ __________ ​​ = −​​ _______ ​​ 2(x2 − 9) 2(x − 3) −1(x − 3)2 −1(x − 3) ​​ = ​​ _________ B ​​ _____________ ​​ 2(x − 3)(x + 3) x+3 −1(x − 3)2 ________ −(x − 3) _______ 3−x C ​​ __________ ​​ = ​​ ​​ = ​​ ​​ 2(x2 − 9) 2(x − 3) 2(x − 3)

1137 Juanita försöker faktorisera polynomet

x2 − 6x − 9 med hjälp av andra kvadreringsregeln och får resultatet (x − 3)2. Bianca säger att Juanitas svar inte stämmer. a) Varför stämmer inte Juanitas förslag på faktorisering?

Är någon av lösningarna korrekt? Motivera ditt svar.

1142 Längden av hypotenusan i en rätvinklig tri___________

angel kan skrivas ​​√2x2 + 2x + 1 ​​cm. Den ena kateten är x cm. Hur lång är den andra kateten?

b) Bestäm det polynom som kan faktoriseras till (x − 3)2.

Resonemang och begrepp 4 u Varför är p(x) = __ ​​ 3 ​​ inte ett polynom? x u Hur beräknar man värdet av ett polynom? u Vad är det som bestämmer ett polynoms grad? u Förklara varför produkten av två polynom också är ett polynom. u I vilka sammanhang är det lämpligt att ha ett polynom skrivet på faktorform? u Ge exempel på några olika metoder som man kan använda för att faktorisera ett ­uttryck.

14

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.1 Polynom

1.2 Polynomekvationer Enkla polynomekvationer Ekvationer där båda leden är polynom, som till exempel 2x3 − 7x2 = 18 − 18x, kallas polynomekvationer. Ofta väljer man att samla alla termer i vänstra ledet och låta det högra ledet vara lika med noll. Ekvationen här ovanför får då formen 2x3 − 7x2 + 18x − 18 = 0. Allmänt kan en polynomekvation skrivas p(x) = 0, där p(x) är ett polynom.

I tidigare kurser har du löst polynomekvationer av grad 1 och 2. Det vill säga ekvationer som 3x − 7 = 0 och x2 − 10x + 3 = 0. Att lösa ekvationer av grad 3 eller 4 algebraiskt är för det mesta mycket svårare. Ekvationer av grad 5 eller högre är oftast omöjliga att lösa med algebraiska metoder.

Andragradsekvationer

Ekvationen x2 = a

Faktorisering

Ett viktigt moment i kurs 2 var att lösa andragradsekvationer. Det har du nytta av även i kurs 3. Vi ska repetera olika metoder för att lösa andragradsekvationer algebraiskt. I det här avsnittet genom roturdragning och faktorisering och i nästa avsnitt genom kvadratkomplettering och med hjälp av pq-formeln.

Ekvationen x2 = 36 kan vi lösa genom att dra kvadratroten ur 36, vilket ger x = ±6. Vi kan också lösa ekvationen genom att först skriva om den som x2 − 36 = 0 och sedan faktorisera VL med konjugatregeln. Då får vi (x − 6)(x + 6) = 0. För att produkten i vänstra ledet ska bli noll, måste antingen x = 6 eller x = −6. Rötterna är därför x = 6 och x = −6.

Andragradsekvationen 2x2 − 9x = 0 saknar konstantterm och kan därför lösas genom faktorisering. Först skriver man om ekvationen till x(2x − 9) = 0.

För att produkten i vänstra ledet ska vara noll, måste antingen x = 0 eller 9 2x − 9 = 0 gälla. Rötterna är därför x = 0 och x = __ ​​ ​​.

2

Exempel: Lös andragradsekvationerna a) 13x − x2 = 0

b) (x + 3)(x − 8) = 0

Lösning: a) 13x − x2 = 0

Bryt ut x ur VL

x(13 − x) = 0

VL är en produkt som är 0

x = 0 eller 13 − x = 0

13 − x = 0 ger x = 13

Svar: x1 = 0 och x2 = 13 b) (x + 3)(x − 8) = 0 x + 3 = 0 eller x − 8 = 0 x = −3

VL är redan faktoriserat Någon av faktorerna måste vara noll

x=8

Svar: x1 = −3 och x2 = 8

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.2 Polynomekvationer

15

1

Exempel: Lös andragradsekvationerna. a) x2 = 49 b) 4x2 − 192 = 0 c) (x + 5)2 = 36 Lösning: a) x2 = 49

Vilka tal i kvadrat är 49?

x = ±7

Eftersom både 72 = 49 och (−7)2 = 49

Svar: x1 = 7 och x2 = −7 b) 4x2 − 192 = 0 4x2 = 192

1

x2 = 48

___

x = ±​​√48 ​​

__ ___ ______ ___ __ __ x = ±4​​√3 ​​ ​​√48 ​​ = ​​√16 ∙ 3 ​​= √ ​​ 16 ​​ · √ ​​ 3 ​​ = 4​​√ ​​ 3 __

__

Svar: x1 = 4​​√3 ​​ och x2 = −4​​√3 ​​ c) (x + 5)2 = 36 x + 5 = ±6

Antingen är x + 5 = 6 eller x + 5 = −6

x + 5 = 6 eller x + 5 = −6 x=1

x = −11

Svar: x1 = 1 och x2 = −11

Nivå 1

1204 Lös ekvationerna a) x(x − 15) = 0

Lös ekvationerna

1201 a) x = 9 2

c) x2 = 0,01

1202 a) x2 = 46 c) y2 − 169 = 0

b) x(4 − 8x) = 0 2

b) y = 64 1 d) y2 = __ ​​ ​​ 4 b) x2 = −16

c) 2y(y + 7) = 0

1205 Använd graferna för att lösa ekvationerna a) f(x) = 0 y

d) 2y2 = 100

1203 Pernilla säger till Anja att lösningen till ekvationen x2 = 16 är x = 8. Anja inser att Pernilla har gjort fel. a) Lös ekvationen x2 = 16. b) Vilket fel har Pernilla troligen gjort? c) Hjälp Anja att förklara för Pernilla hur hon kan tänka för att kunna lösa ekvationen.

16

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.2 Polynomekvationer

b) f(x) = g(x)

1

x 1

y = f(x)

y = g(x)

Lös ekvationerna

1217 Enligt första kvadreringsregeln gäller att

(x + 3)2 = x2 + 6x + 9. Använd det för att lösa ekvationen x2 + 6x + 9 = 25.

1206 a) (x − 3)(x + 5) = 0 b) x(x + 2)(2x − 12) = 0 c) x(x2 − 4) = 0

1207 a) x2 − 20x = 0 c) 4y2 + 3y = 0

1208 a) (x − 5)2 = 4 2

c) (y − 17) = 0

1218 Ett rör med cirkulär tvärb) 3x2 − 15x = 0 d) y2 = 6y b) (x + 8)2 = 100 d) (3 − 2y)2 = 25

(mm)

snittsarea har innerdiame28 tern 28 mm. Hur stor ska rörets ytter­diameter vara, om tvärsnittsarean (det skuggade området) av rörets vägg ska bli 4,5 cm2?

1209 Beräkna radien av en cirkel med arean 23 cm2.

Nivå 3

1210 I en rätvinklig triangel är de två kateterna 3 dm

1219 Lös ekvationerna utan att använda digitalt

respektive 5 dm. Hur lång är hypotenusan?

1211 Ge exempel på en andragradsekvation som har en dubbelrot, det vill säga två likadana rötter.

1212 Grafen till funktionen y = x2 − 9x skär

x-axeln för x = 0. Skär grafen x-axeln för något annat värde på x? I så fall vilket?

Nivå 2

hjälpmedel och utan att använda pq-formeln. a) x2 + 2x + 1 = 16

b) x2 − 6x + 9 = 4

1220 Ringo är stjärngosse och hans mössa har formen av en rak cirkulär kon med höjden 4,0 dm och volymen 2,5 dm3. Den storlek som brukar anges på hattar är den inre omkretsen mätt i centimeter. Vilken storlek har Ringos mössa enligt denna princip?

1213 Lös andragradsekvationerna a) 3(x − 7)2 = 75 b) 4(y + 15)2 + 20 = 0 c) 2(3z − 4)2 − 162 = 0

1214 Om den ena sidan i en kvadrat förlängs så att den blir 1,5 gånger längre, så bildas det en rektangel med 8 cm2 större area än kvadratens area. Bestäm kvadratens sida.

1215 Ange ett värde på a för vilket ekvationen x2 + a = 25

a) saknar reella lösningar b) har exakt en lösning

1216 I en rätvinklig likbent triangel är den längsta sidan 96 cm. Bestäm triangelns area.

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.2 Polynomekvationer

17

1

Mer om polynomekvationer Polynomekvationer av grad två kallas ofta för andragrads­ekvationer. Andragradsekvationer som x2 − 8x + 5 = 0 innehåller såväl x2-term, x-term som konstantterm. De kan lösas algebraiskt med hjälp av kvadratkomplettering eller genom att använda pq-formeln.

pq-formeln En andragradsekvation i formen x2 + px + q = 0 har rötterna ________ p p 2 x = −​​ __ ​​ ± ​​ ​​ ​ __ ​ ​​ ​ − q ​​ 2 2

√( )

För polynomekvationer av högre grad än två finns det ingen enkel algebraisk lösningsformel. En del av dem kan dock lösas via faktorisering eller med hjälp av variabelsubstitution.

1

Faktorisering

Variabelsubstitution

Vi kan lösa tredjegradsekvationen x3 − 8x2 + 5x = 0 med faktorisering genom att skriva den som x(x2 − 8x + 5) = 0. Om produkten ska bli noll måste någon av faktorerna vara noll. Den ena faktorn ger oss direkt x = 0 som rot. Att den andra faktorn kan vara noll ger oss andragradsekvationen x2 − 8x + 5 = 0, som ger ytterligare rötter till den ursprungliga ekvationen.

Ekvationen x4 − 2x2 − 8 = 0 kan lösas med hjälp av variabelsubstitution.

Om vi ersätter x2 med t får vi andragradsekvationen t2 − 2t − 8 = 0. Vi kan lösa den ekvationen på vanligt sätt och får då rötterna t1 = −2 och t2 = 4.

Eftersom t = x2 får vi två nya ekvationer: x2 = −2 och x2 = 4. Ekvationen x2 = −2 har inga reella rötter, medan ekvationen x2 = 4 har rötterna x = ±2.

Rötterna till den ursprungliga fjärdegradsekvationen är alltså x = ±2.

De polynomekvationer som vi inte kan lösa med algebraiska metoder går dock ofta att lösa med grafiska eller numeriska metoder.

Exempel: Lös ekvationen x2 + 12x = 28 Lösning: Vi löser ekvationen med hjälp av kvadratkomplettering Vi kan även använda pq-formeln för att lösa ekvationen.

x2 + 12x = 28 x2 + 12x + 36 = 28 + 36 (x + 6)2 = 64 x + 6 = ±8

Vi får två lösningar

x+6=8

x + 6 = −8

x=2

x = −14

Svar: x1 = 2 och x2 = −14

18

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.2 Polynomekvationer

Vi adderar 36 till båda leden och kan därmed skriva VL som en kvadrat

Exempel: Lös andragradsekvationen 4x2 − 24x + 8 = 0 exakt.

Lösning: Vi löser ekvationen med hjälp av pq-formeln.

4x2 − 24x + 8 = 0

Vi dividerar båda leden med 4 för att få ekvationen i formen x2 + px + q = 0

x2 − 6x + 2 = 0

Vi använder pq-formeln

_________

x=3±√ ​​ (−3)2 − 2 ​​ Hälften av −6 med ombytt tecken

Konstanttermen med ombytt tecken

Hälften av −6 i kvadrat

__ __ x = 3 ± ​​√7 ​​ ​​√7 ​​kan inte uttryckas exakt i decimalform __ __ Svar: x1 = 3 + √ ​​ 7 ​​ och x2 = 3 − √ ​​ 7 ​​

Exempel: Lös ekvationerna a)

x3

+

x2

− 6x = 0

b)

Lösning: a) x3 + x2 − 6x = 0

x4

−

2x2

−3=0

Vi bryter ut x ur VL

2

x(x + x − 6) = 0 ger x = 0 eller x2 + x − 6 = 0 x2 + x − 6 = 0

________

√( )

Vi använder pq-formeln

_______

√

___

√

1 1 2 1 1 24 25 1 1 5 x = −​​ __ ​​ ± ​​ ​​ ​ __ ​ ​​ ​+ 6 ​​ = −​​ __ ​​ ± ​​ __ ​ ​ + ___ ​ ​ ​​ = −​​ __ ​​ ± ​​ ___ ​ ​ ​​ = −​​ __ ​​ ± ​​ __ ​​ 2

2

2

4

4

2

4

2

2

1 5 1 5 x = −​​ __ ​​ + ​​ __ ​​ = 2 och x = −​​ __ ​​ − ​​ __ ​​ = −3 2 2 2 2 Svar: x1 = 0; x2 = 2; x3 = −3 b) x4 − 2x2 − 3 = 0 Om vi först sätter x2 = t, så blir x4 = t2 och vi får ekvationen t2 − 2t − 3 = 0

_________

t=1±√ ​​ (−1)2 + 3 ​​

Vi använder pq-formeln

t=1±2 t1 = 3; t2 = −1 Lösningarna till den ursprungliga ekvationen får vi nu genom att utnyttja att x2 = t för t1 och t2. t1 = 3 ger x2 = 3

__ x = ±​​√3 ​​

t2 = −1 ger x2 = −1 Ekvationen saknar reella lösningar

__

__

Svar: Ekvationen har två reella lösningar: x1 = √ ​​ 3 ​​; x2 = −​​√3 ​​

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.2 Polynomekvationer

19

1

Exempel: Lös ekvationen x2 − 4x + 6 = x3 − 3x grafiskt.

Lösning: Vi betraktar VL som y1 = x2 − 4x + 6 och HL som y2 = x3 − 3x och ritar graferna till y1 och y2 i GeoGebra.

Vi skriver in funktionsuttrycken i inmatningsfältet i GeoGebra.

Lösningen till x2 − 4x + 6 = x3 − 3x är x-värdet för grafernas skärningspunkt, dvs. det x som ger samma y-värde för båda graferna. För att och bestämma skärningspunkten väljer vi skärning mellan objekt klickar sedan på grafen till den ena kurvan och därefter på grafen till den andra kurvan. Koordinaterna för skärningspunkten anges då i algebrafönstret. Lösningen till ekvationen är x-koordinaten till skärningspunkten.

1 Svar: Ekvationen har lösningen x = 2.

Nivå 1

1224 Bestäm koordinaterna för skärningspunkterna mellan kurvorna

1221 Lös ekvationerna

a) y = 4x − 2x2 och y = 6 − 4x

a) x2 − 18x − 19 = 0

b) y = x2 − 1 och y = 4x + 2

b) x2 − 9x + 8 = 0

1225 Lös ekvationerna genom att först faktorisera

c) x2 + 20x + 51 = 0

vänsterledet med hjälp av kvadreringsreglerna.

1222 Lös ekvationerna a) x2 − 16x + 15 = 0

b) x2 + 2x − 63 = 0

1 c) x2 − x + __ ​​ ​​ = 0 4

d) 2x2 − 8x − 24 = 0

1223 Bestäm rektangelns mått. x

x+7

20

b) x2 + 16x + 64 = 1 c) x2 + 9x + 20,25 = 100

1226 Vilka tal ska adderas till båda leden i ekvatio(cm)

Area = 49 cm2

a) x2 − 4x + 4 = 9

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.2 Polynomekvationer

nerna för att det vänstra ledet ska vara möjligt att faktorisera med hjälp av kvadrerings­ reglerna? a) x2 − 4x = 5

b) x2 + 10x = 11

1227 Lös ekvationerna 2

a) y + 13 = 14y b) 4x2 − 16x − 20 = 0

1228 Lös följande ekvationer grafiskt, t.ex. med ett digitalt verktyg. a) 2x3 + 2x = 4 b) x3 − 5x + 6 = x2 − 4x + 9

1229 För vilket värde på a har ekvationen

x2 − 2x + a = 0 roten x = 4? Vilken är då ekva­tionens andra rot?

1230 Koldioxidutsläppet från en lastbil kan beskri-

vas med C(v) = 0,045v2 − 6,75v + 393, där C(v) är utsläppet i gram per kilometer och v är hastigheten i kilometer per timme. Vid vilken hastighet är utsläppet 200 g/km?

Nivå 2 1231 Marie tar en åktur på sin motorcykel. Hastig-

heten v km/h är en funktion av tiden t i sekun­ der enligt v(t) = 37t − 2,0t2 tills motor­cykeln har nått maxfart. a) Hur lång tid tar det för motorcykeln att nå 100 km/h? b) Bestäm motorcykelns högsta möjliga fart.

1232 I en romb är höjden 3,2 dm kortare än sidan.

Arean är 86 dm2. Bestäm rombens omkrets.

1233 När man minskar längden av alla sidor i en

viss kub med 1 cm, så minskar volymen med 91 cm3. Bestäm längden av sidan i den ursprungliga kuben.

1234 Lös ekvationerna a) x3 + 6x2 − 7x = 0 4

c) −x +

7x3

−

6x2

b) x4 − 16x2 = 0

=0

1235 Man kan lösa vissa polynomekvationer

genom att göra en variabelsubstitution.

Genom att i ekvationen x4 − 6x2 + 5 = 0 göra substitutionen x2 = t får man ekvationen t2 − 6t + 5 = 0. a) Lös ekvationen t2 − 6t + 5 = 0.

b) Bestäm rötterna till ekvationen x4 − 6x2 + 5 = 0 med hjälp av resultatet i a).

Nivå 3 1236 Lös ekvationerna med variabelsubstitution. a) x4 − 8x2 + 7 = 0

b) 2x4 − 12x2 − 54 = 0

1237 I en parallellogram är basen 4,9 cm längre än höjden. Bestäm den minsta möjliga omkrets parallellogrammen kan ha, om dess area är 77 cm2.

1238 Finns det något värde på a som leder till att

ekvationerna saknar reella lösningar? Motivera ditt svar. a) x2 − 8x + a = 0

b) x2 + ax − 1 = 0

c) x2 + ax + 9 = 0

d) ax2 + 2x + 1 = 0

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.2 Polynomekvationer

21

1

Grafen till en polynomfunktion y y = g(x) 1

x 1

y = f(x)

Nollställen

y

1

y = x3 − 3x 1

x 1

Funktionen h har nollställen där h(x) = 0 y y = x3 + 1 1 k(x) = 0

x 1

Funktionen p med p(x) = 6x3 + 2x2 − 3x − 5 är ett exempel på en polynomfunktion, eftersom funktionsuttrycket är ett polynom. Polynomet är av grad 3, eftersom den högsta exponenten till variabeln x är just 3.

Ett polynoms grad har stor betydelse för grafens utseende, vilket du ser i grafen till vänster. Grafen till ett förstagradspolynom, som till exempel f(x) = 4x + 1, är alltid en rät linje. Andragradspolynom som g(x) = x2 − 3x + 2 beskriver däremot en parabel.

Att finna nollställen till en polynomfunktion p, innebär att man bestämmer de värden på x som ger p(x) = 0. Det betyder alltså att man ska lösa en polynom­ekvation. Det kan man göra algebraiskt eller grafiskt som i förra avsnittet. Vi kan bestämma polynomfunktionens nollställen genom att undersöka var dess graf skär x-axeln. Av graferna i den övre figuren framgår det att f har ett nollställe och att g har två. En polynomfunktion av första graden har alltid exakt ett nollställe. En polynomfunktion av andra graden har antingen två, ett eller inget nollställe alls. En polynomfunktion av tredje graden kan ha upp till tre nollställen. Det framgår av grafen till h(x) = x3 − 3x som du ser här till vänster.

Men om vi ritar grafen till k(x) = x3 + 1, så ser vi att inte alla tredjegrads­ funktioner har tre nollställen. Den här funktionen har bara ett nollställe. En tredjegradsfunktion kan alltså ha upp till tre nollställen, men den har alltid minst ett nollställe.

Fjärdegradsfunktionen i figuren nedanför har fyra nollställen och femtegradsfunktionen har fem nollställen. Antalet nollställen är aldrig fler än polynomets grad.

Grafen till ett fjärdegradspolynom

Grafen till ett femtegradspolynom

y

y

1 1

x

x 1

1

Antal nollställen och antal rötter En polynomfunktion av grad n har högst n stycken nollställen.

En polynomekvation av grad n har högst n stycken rötter.

22

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.2 Polynomekvationer

Exempel: Hur många nollställen har följande polynom? a) p(x) = x2 + 2x + 3

b) q(x) = x3 − 5x2 + 9

c) r(x) = 0,7x − 5

Lösning: Vi ritar grafen till respektive funktion med graf­ritande hjälpmedel, till exempel GeoGebra.

a) Polynomet är av grad två. Vi ser direkt att parabeln inte skär x-axeln.

1

Svar: Polynomet p(x) saknar nollställen. b) Vi ser i ritområdet att q(x) har tre nollställen. Eftersom ett tredjegrads­ polynom kan ha maximalt tre nollställen, så finns det inga fler.

Svar: Polynomet q(x) har tre nollställen. c) Polynomet r(x) är av första graden och har därför precis ett nollställe.

Svar: Polynomet r(x) har ett nollställe.

Exempel: Bestäm nollställena till p(x) = −2x2 + 6x + 8 och q(x) = x2 − 3x − 4 ­algebraiskt. Kontrollera resultatet med grafritande hjälpmedel.

Lösning: Först löser vi andragradsekvationen p(x) = 0. −2x2 + 6x + 8 = 0 2

x − 3x − 4 = 0

Delar båda led med −2 för att få ekvationen på normalform Ekvationen är nu identisk med q(x) = 0

Vi löser ekvationen med hjälp av pq-formeln _________ __________ ___ 3 2 3 3 2 16 25 __ __ ​ ​ ​​ = ​​ ​ ____ ​ ​​ x = ​​ ​​ ± ​​ ​​ −​ ​ ​​ ​ + 4 ​​ ​​ ​​ −​ __ ​ ​​ ​ + ____ 2 4 4 2 2

√( )

3 5 x = __ ​​ ​​ ± ​​ __ ​​ 2 2

√( )

√

x = 4 och x = −1 Nollställena är x = 4 och x = −1.

Vi ser att ekvationen q(x) = 0 har samma rötter som p(x) = 0.

Polynomen q(x) = x2 − 3x − 4 och p(x) = −2x2 + 6x + 8 har alltså samma nollställen, men de är inte samma polynom. Det syns tydligt när vi ritar dem med GeoGebra.

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.2 Polynomekvationer

23

Nivå 1

1245 Figuren visar grafen till f(x) = x3 − 3x2 + 4.

1239 Graferna till två

y

y

funktioner är ritade i figuren.

Vilka nollställen har funktionerna?

y = f(x)

y = f(x)

1

x 1

1

x 1 y = g(x)

1

1240 Vilken graf hör till vilket funktions­uttryck?

A f(x) = x2 − 6x − 8 B g(x) = x3 + 4x + 6 C h(x) = x5 − 3x4 − 4x3 + 12x2 y I

II

a) Ange rötterna till f(x) = 0. b) Ändra konstanttermen i funktions­ uttrycket, så att ekvationen f(x) = 0 får endast en rot. c) Ändra konstanttermen i funktions­ uttrycket, så att ekvationen f(x) = 0 får tre rötter.

1246 Ge exempel på en polynomfunktion med fem

III

nollställen, t.ex. genom att prova dig fram på ett digitalt verktyg.

x

1247 Jonna har ritat grafen till en tredjegradsfunk-

tion med sitt grafritande hjälpmedel. Hon säger till Songül att funktionen saknar nollställen. Songül säger att det inte kan stämma.

1241 Hur många nollställen har funktionerna? a) f(x) = 7x − 21

b) g(x) = −x2 + 13

c) h(x) = 3x3 + 1

d) k(x) = x3 − 3x2 + 4

1242 Ge exempel på en andragradsfunktion som a) saknar nollställen

Nivå 2 1243 Ett tredjegradspolynom kan allmänt skrivas

i formen p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, där a ≠ 0.

Hur påverkas grafen till p av tecknet på a, det vill säga om a är positivt eller negativt?

1244 Bestäm rötterna till ekvationerna med graf­ ritande hjälpmedel.

b) 4x2 − 6x = 0

c) x3 + 3x2 − 7x − 2 = 0

24

b) Ge en tänkbar förklaring till varför Jonna kan ha dragit den felaktiga slutsatsen.

Nivå 3 1248 Figuren visar en del av grafen till

b) har precis ett nollställe

a) 5x4 = 0

a) Förklara varför Songül kan vara så säker på sin sak.

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.2 Polynomekvationer

f(x) = −x3 + 30x2 − 297x + 976. Philippe säger att han utifrån den figuren direkt kan dra slutsatsen att funktionen har precis ett nollställe. y

f

5

x 2

4

6

8

a) Förklara varför Philippe kan dra den slutsatsen. b) Bestäm funktionens nollställe.

Faktorer och nollställen Faktorform och nollställen

Ekvationer av högre grad

Faktorisera polynom

Polynomet p(x) = (x + 1)(x − 1)(x − 3) är skrivet i faktorform. Om man multiplicerar ihop faktorerna, så får man p(x) = x3 − 3x2 − x + 3. När polynomet är skrivet i faktorform, är det enkelt att se att polynomet har nollställena x = −1, x = 1 och x = 3. Sätter man in x = −1, så blir värdet i den första parentesen lika med noll och därmed gäller att p(−1) = 0. På samma sätt ser man att p(1) = p(3) = 0.

Samma resonemang gäller även för polynomekvationer. Den till synes besvärliga fjärdegradsekvationen x4 − 6x3 + 7x2 + 6x − 8 = 0 är mycket enklare att lösa om VL i stället står i faktorform. Då har samma ekvation utseendet (x + 1)(x − 1)(x − 2)(x − 4) = 0 och vi kan enkelt se att rötterna är x1 = −1, x2 = 1, x3 = 2 och x4 = 4.

Genom att finna rötterna till en polynomekvation p(x) = 0, får vi även nollställena till polynomet p(x). Dessa nollställen kan användas som hjälp för att faktorisera polynomet. Eftersom q(x) = x2 − 10x − 11 har nollställena x = −1 och x = 11, så kan polynomet skrivas i faktorform som q(x) = (x + 1)(x − 11).

y 4 x = −1

x 2

x = 11

y = x2 − 10x − 11

Nollställen till polynomet p(x)

Det betyder att om vi känner till samtliga nollställen till ett polynom, så kan vi faktorisera polynomet. Om a är ett nollställe till polynomet p(x), så är (x − a) en faktor i p(x).

Nollställen ger polynomet

Om vi vill bestämma ett polynom och vet att ett nollställe är x = 2, så är f(x) = x − 2 ett polynom som uppfyller kravet. Men det finns även andra polynom som uppfyller kravet, t.ex. g(x) = 3x − 6, q(x) = −x2 + 4 och r(x) = (x − 2)3. För att kunna bestämma polynomet p(x) måste vi veta mer.

Om vi vet att det sökta polynomet är av grad 1, så kan vi skriva polynomet som p(x) = k(x − 2), där k är en konstant. Om vi dessutom vet värdet av polynomet för något x förutom nollstället, så kan vi bestämma k. Är till exempel p(0) = 4, så får vi k(0 − 2) = 4, som ger k = −2. I detta fall är det sökta polynomet p(x) = −2(x − 2) = −2x + 4.

Polynom på faktorform Ett polynom p(x) av grad n, som har nollställena x1, x2, …, xn kan skrivas p(x) = k(x − x1)(x − x2)…(x − xn) där k är en konstant.

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.2 Polynomekvationer

25

1

Faktorisera polynom

Om vi vill faktorisera polynomet p(x) = x4 − 10x3 + 9x2, så inleder vi med att bestämma rötterna till ekvationen p(x) = 0. Ekvationen x4 − 10x3 + 9x2 = 0 kan vi lösa genom att börja med att bryta ut x2 i VL. x2(x2 − 10x + 9) = 0 Vi får då x2 = 0, som har dubbelroten x = 0 och x2 − 10x + 9 = 0, som har rötterna x = 1 och x = 9.

Ekvationen x4 − 10x3 + 9x2 = 0 har rötterna x = 0, x = 1 och x = 9. Det innebär att VL i ekvationen har faktorerna x, (x − 1) och (x − 9). Eftersom x = 0 är en dubbelrot till ekvationen, så ingår faktorn x två gånger i polynomet p(x) = x4 − 10x3 + 9x2.

1

Faktoriseringen ger alltså p(x) = x2(x − 1)(x − 9)

Exempel: För ett andragradspolynom p(x) gäller att p(−1) = p(3) = 0 och p(0) = 9.

Bestäm polynomet p(x).

Lösning: Eftersom polynomet p(x) är av grad två har det endast två nollställen, x = −1 och x = 3. Det betyder att vi kan skriva p(x) = k(x + 1)(x − 3), för något tal k.

Eftersom vi vet att p(0) = 9, så sätter vi in x = 0 i uttrycket och får k(0 + 1)(0 − 3) = 9 −3k = 9 k = −3 Därmed har vi att p(x) = −3(x + 1)(x − 3) Svar: p(x) = −3(x + 1)(x − 3) = −3x2 + 6x + 9

Exempel: Lös ekvationen x5 + 12x4 + 11x3 = 0 Lösning: I VL i ekvationen x5 + 12x4 + 11x3 = 0 kan vi bryta ut faktorn x3 x3(x2 + 12x + 11) = 0

Det betyder att x3 = 0 eller x2 + 12x + 11 = 0

x3 = 0 ger trippelroten x = 0 x2 + 12x + 11 = 0 ger med hjälp av pq-formeln

________

x = −6 ± ​​√36 − 11 ​​= −6 ± 5 x = −1 och x = −11 Svar: Ekvationens rötter är x1 = 0 (trippelrot), x2 = −1 och x3 = −11

26

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.2 Polynomekvationer

Exempel: Faktorisera polynomen a) p(x) = x2 + 12x − 28

b) q(x) = 4x3 − 24x2 + 40x

Lösning: a) Vi bestämmer först nollställen till p(x) genom att lösa ekvationen p(x) = 0. x2 + 12x − 28 = 0

_______

x = −6 ± √ ​​ 62 + 28 ​​

Lös andragradsekvationen med någon metod Vi väljer att lösa ekvationen med hjälp av pq-formeln

___ x = −6 ± 8 ​​√64 ​​ = 8

x1 = 2 och x2 = −14 Med hjälp av nollställena kan p(x) faktoriseras som k(x − x1)(x − x2) = k(x − 2)(x + 14).

Eftersom (x − 2)(x + 14) = x2 + 12x − 28 = p(x), så är k = 1.

Svar: p(x) = (x − 2)(x + 14) b) Om vi bryter ut 4x ur q(x), så får vi q(x) = 4x(x2 − 6x + 10) x2 − _______ 6x + 10 = 0 ger

x2

​​ 32 − 10 ​​, där 32 − 10 x=3±√ kallas diskriminant

För att gå vidare med faktoriseringen sätter vi − 6x + 10 = 0. Eftersom diskriminanten 32 − 10 < 0, så saknar andragradsekvationen reella lösningar. Uttrycket x2 − 6x + 10 kan därmed inte faktoriseras. Faktoriseringen är färdig.

Svar: q(x) = 4x(x2 − 6x + 10)

Exempel: Grafen i figuren visar polynomfunktionen p, som är av tredje graden.

y y = p(x)

a) Vilka är polynomfunktionens nollställen? b) Bestäm polynomet p(x).

2

x 1

Lösning: a) Vi läser av funktionens nollställen i grafen.

Svar: Polynomfunktionens nollställen är x = −4, x = 1 och x = 3. b) Med hjälp av nollställena vet vi att p(x) = k(x + 4)(x − 1)(x − 3), för något värde på k. Eftersom grafen skär y-axeln för y = 6, så kan vi dra slutsatsen att p(0) = 6. Vi sätter in x = 0 i uttrycket och löser ut k. k(0 + 4)(0 − 1)(0 − 3) = 6 k ∙ 4 ∙ (−1) ∙ (−3) = 6 12k = 6 1 k = __ ​​ ​​ 2

1 Svar: p(x) = __ ​​ ​​(x + 4)(x − 1)(x − 3) 2

Kan också skrivas p(x) = 0,5x3 − 6,5x + 6

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.2 Polynomekvationer

27

1

Nivå 1

1257 För ett andragradspolynom p(x) gäller att

p(−1) = p(3) = 0 och p(2) = −6. Bestäm p(x).

1249 Bestäm funktionernas nollställen. a) f(x) = x − 3

2

andragrads­funktion är ritad i figuren.

Bestäm funktions­ uttrycket.

b) g(x) = (x − 2)(x + 1) c) h(x) = x(x + 3)(x − 3) d) k(x) = x2 − 5

1250 Ge exempel på ett andragradspolynom med

nollställena x = 2 och x = 5 skrivet på faktorform.

1

1258 Grafen till en

1251 Faktorisera andragradspolynomen a) p(x) = x2 − 14x + 13 b) q(x) = x2 + 2x − 15

y

x

1 y = f(x)

1259 Ett tredjegrads­polynom har nollställena x = −2, x = 1 och x = 2. Man vet också att p(0) = −8. Vilket är polynomet?

Nivå 2 1260 Låt p(x) = x3 − 15x2 + 62x − 72

c) r(x) = x2 + 6x + 10

1252 Ett andragradspolynom har nollställena x = 4 och x = 2. Ge ett exempel på hur polynomet kan se ut i formen ax2 + bx + c.

1253 Bestäm rötterna till följande polynom­ ekvationer.

a) Bestäm rötterna till polynomekvationen p(x) = 0 grafiskt, t.ex. med grafritande hjälpmedel. b) Skriv polynomet p(x) i faktorform.

1261 Grafen i figuren visar polynomfunktionen p, som är av tredje graden. y

a) (x − 2)(x − 5) = 0 b) x(x + 4)(x − 1) = 0

x

2

1254 Grafen till p(x) = x3 + 3x2 − x − 3 är ritad

i figuren. Bestäm rötterna till ekvationen x3 + 3x2 − x − 3 = 0 med hjälp av figuren. y

2

a) Vilka är polynomfunktionens nollställen? b) Bestäm polynomet p(x).

y = p(x) x

1 1

1255 Lös ekvationerna a) x3 − 8x2 + 7x = 0 b) 2x4 + 12x3 + 10x2 = 0

1256 För ett förstagradspolynom p(x) gäller att

p(5) = 0 och p(1) = 8. Vilket är polynomet?

28

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.2 Polynomekvationer

1262 I Klaras mattebok står det: ”Ett andragrads­

polynom har nollställena x = −6 och x = 2.

Dessutom gäller att p(0) = 0. Vilket är poly­ nomet?”

Klara vill inte lösa uppgiften eftersom hon anser att något inte stämmer. Har Klara rätt?

Motivera ditt svar.

1263 Bestäm ett tal A och ett tal B så att tredjegrads-­

2 ekvationen x(x + A)(​​ __ ​​ + Bx) = 0 får lösningarna 5 7 x1 = 0, x2 = 5 och x3 = −​​ __ ​​.

3 (Np Ma3b ht 2014)

1264 I ekvationen x3 − x2 − 17x − 15 = 0 kan VL skrivas som produkten (x − 5)(x2 + 4x + 3).

Bestäm ekvationens samtliga rötter.

1265 Faktorisera polynomen så långt som möjligt.

1270 I figuren har vi ritat graferna till två polynomfunktioner. Funktionen p har i faktorform utseendet p(x) = (x − 1)(x − 4)2. Att (x − 4)2 är faktor betyder att x = 4 är ett dubbelt nollställe till polynomet.

a) r(z) = −z3 + 4z2 − 3z

y

y = p(x)

2

b) q(t) = 2t − 14t − 36 c) p(x) = −x2 + 10x + 25

1266 Vilka nollställen har polynomet p(x) = 5x(x + 2)3 − 2(x + 2)3 ?

1267 Ge exempel på ett tredjegradspolynom med endast två nollställen, x = 2 och x = 7.

1268 Låt p(x) = 2x3 − 37x2 + 176x − 240 a) Bestäm rötterna till polynomekvationen p(x) = 0 grafiskt, t.ex. med graf­ritande hjälpmedel. b) Skriv polynomet p(x) i faktorform.

Nivå 3 1269 Enligt faktorsatsen gäller bland annat att ”Om x − a är en faktor i polynomet p(x), så är p(a) = 0.”

Visa att påståendet är sant.

2

x 1 y = q(x)

a) Vilken iakttagelse kan du göra med hjälp av grafen om det dubbla nollstället för p(x), där x = 4? b) Vilket tredjegradspolynom visar grafen y = q(x)?

1271 Ett tredjegradspolynom har ett nollställe för x = −1 och ett dubbelt nollställe för x = 3.

Grafen går genom punkten med koordinaterna (1, 16). Bestäm polynomet.

1272 Låt p(x) = −x4 + 3x3 + 68x2 + 6x + 140 a) Bestäm två rötter till polynomekvationen p(x) = 0 grafiskt med grafritande verktyg. b) Skriv polynomet p(x) i faktorform om du vet att (x2 + 2) är en faktor i p(x). c) Ditt grafritande verktyg hjälpte dig inte att bestämma faktorn (x2 + 2). Förklara varför.

Resonemang och begrepp u Varför kan man inleda med att dividera p(x) med 2 om man ska lösa ekvationen p(x) = 0, men inte när man ska beräkna värdet p(5)? u Vilket är det minsta respektive största antalet nollställen ett sjättegradspolynom kan ha? u Förklara hur man kan använda faktorisering av polynom för att på ett enkelt sätt konstruera en andragradsekvation med rötterna x = 2 och x = 5. u Varför räcker det inte med att känna till polynomets nollställen och gradtal för att kunna bestämma polynomet? u Vilket samband finns det mellan nollställena till polynomet p och rötterna till ekvationen p(x) = 0?

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.2 Polynomekvationer

29

1

1.3 Rationella uttryck Förkortning och förlängning av rationella uttryck

3x2 + 1 Om vi har två polynom 3x2 + 1 och x − 2 och bildar kvoten ​​ _______ ​​ så har x−2 vi bildat ett rationellt uttryck.

Rationella uttryck p(x) Ett rationellt uttryck är ett uttryck av formen ​​ ____ ​​ där p(x) och q(x) är q(x) polynom och q(x) ≠ 0.

Ett rationellt uttryck har liknande egenskaper som ett bråk. Ett bråk är inte 3x2 + 1 ​​ är alltså inte definierat definierat när nämnaren är noll. Uttrycket ​​ _______ x−2 för x = 2.

1

För att förenkla ett rationellt uttryck använder man liknande metoder som när man förenklar bråk. Man kan förkorta ett bråk genom att dividera både täljare och nämnare med en gemensam faktor. På samma sätt kan man förlänga ett bråk genom att multiplicera täljare och nämnare med samma tal.

7 ____ 5 ∙ 7 ___ 35 12 12/6 2 När man förkortar eller förlänger __ ​​ = ​​ ​​ = ​​ ​​ ​​ ___ ​​ = ​​ _____ ​​ = ​​ __ ​​ ​​ påverkas inte bråkets värde 3 5 ∙ 3 15 18 18/6 3 Samma princip används för att förkorta eller förlänga rationella uttryck.

5 5(x − 3) 5x − 15 _____ ​​ = ​​ __________ ​​ ​​ ​​ = ​​ ____________ x+1

(x + 1)(x − 3)

x2 − 2x − 3

Här har vi förlängt med x − 3

Vissa rationella uttryck behöver man faktorisera innan man kan förkorta. x3 − x ________ x(x2 − 1) _____________ x(x + 1)(x − 1) ______ ​​ ​​ = ​​ ​​ = ​​ ​​ = x(x − 1) x+1

x+1

x+1

Vi har först brutit ut x, sedan använt konjugatregeln och slutligen förkortat med x + 1

Ett uttryck som inte kan förkortas längre är skrivet i sin enklaste form.

Rationell funktion

Definitionsmängd

En rationell funktion är en funktion som definieras av ett rationellt uttryck.

3x2 + 1 Ett exempel på en rationell funktion är alltså f(x) = ​​ _______ ​​. x−2 x2 − 1 Eftersom uttrycket ​​ ______ ​​ inte är definierat för x = 1 så är den rationella x−1 x2 − 1 ​​, inte heller det. Definitionsmängden för f är funktionen f, där f(x) = ______ ​​ x−1 alla värden på x som inte gör att nämnaren blir noll, dvs. definitionsmängden är alla x ≠ 1.

Det är typiskt för rationella funktioner att det kan finnas x-värden som funktionen inte är definierad för. Dessa värden kan vi hitta genom att bestämma nollställena till polynomet i nämnaren.

30

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.3 Rationella uttryck

Värdemängd

Värdemängden för funktionen f är alla värden som funktionen antar då x väljs ur definitionsmängden. Det kan vara lite krångligt att bestämma värdemängden till en rationell funktion algebraiskt, men man kan alltid rita grafen till funktionen för att få en uppfattning om värdemängden.

3x2 − 3x Exempel: Förkorta det rationella uttrycket ​​ ________ ​​ 2x − 2 3x är gemensam faktor i täljaren

3x 3x2 − 3x 3x(x − 1) ___ ​​ ​​ = ​​ ​​ Lösning: ​​ ________ ​​ = ________ 2x − 2 2(x − 1) 2 2 är gemensam faktor i nämnaren

Vi faktoriserar uttrycket för att sedan kunna förkorta

Förkorta med x − 1

1

10x + 50 ​​ Exempel: Förenkla uttrycket ​​ ________ 25 − x2 10 är gemensam faktor i täljaren

10(x + 5) 10x + 50 ____________ 10 ​​ = ​​ ​​ = _____ Lösning: ​​ ________ ​​ ​​ 25 − x2 (5 + x)(5 − x) 5 − x

aktorisera nämnaren med hjälp av F konjugatregeln. Förkorta med 5 + x.

x ​​ Exempel: Figuren visar grafen till f(x) = _____ ​​ x−1 a) För vilket värde på x är funktionen inte ­definierad? b) Hur kan man se svaret till deluppgift a) i grafen?

y y = f(x) x

1 1

c) Grafen skär x-axeln i origo. Hur kan man se det i funktionsuttrycket?

Lösning: a) Division med 0 är inte definierad. Alltså kan nämnaren inte vara 0.

Om x = 1 så är nämnaren 0 Funktionen är inte definierad för x = 1. b) Vi ser att grafen går mot −∞ när x går mot 1 från vänster och grafen går mot ∞ när x går mot 1 från höger. c) Funktionen har ett nollställe där täljaren är lika med 0, dvs. där x = 0.

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.3 Rationella uttryck

31

x2 − 2x − 8 Exempel: Rita grafen till f(x) = __________ ​​ ​​ och ange funktionens definitionsmängd, x−2 värdemängd och nollställen.

Nämnaren x − 2 är 0 då x = 2.

Eftersom division med 0 inte är definierad, så är funktio­ nen inte definierad för x = 2.

Lösning: Definitionsmängden är alla reella tal x ≠ 2.

Vi ritar grafen med hjälp av digitalt verktyg. Vi ser att när x närmar sig 2 från den negativa sidan växer funktionen och antar mycket stora positiva värden. När x närmar sig 2 från den positiva sidan antar funktionen mycket stora negativa värden.

1

20

y

15 10 5 −6

−4

Av grafens utseende och av resonemanget ovan drar vi slutsatsen att funktionens värdemängd är alla reella tal.

−2

−5

x 2

4

6

−10 −15

Funktionen antar värdet noll när täljaren är noll. x2 − 2x − 8 = 0

_________

Använd pq-formeln

x=1±√ ​​ (−1)2 + 8 ​​ x=1±3

__

Eftersom x = 1 ± √ ​​ ​​ 9

x = 4 och x = −2 Svar: Definitionsmängden är alla reella tal utom x = 2 och värdemängden är alla reella tal. Funktionens nollställen är x = 4 och x = −2.

Nivå 1

1303 Förenkla uttrycken

1301 För vilka värden på x är följande uttryck inte definierade?

3 a) ​​ __ ​​ x

x b) ​​ _____ ​​ x+2

5 c) ​​ ______ ​​ x2 − 9

1302 Vilket eller vilka av följande uttryck är inte definierade för x = 2?

32

1 A ​​ _____ ​​ x+2

2x B ​​ ______ ​​ 3x − 6

5 + 2x C ​​ ______ ​​ x2 − 4

x D ​​ _______ ​​ 6x + 12

x2 + 7x E ​​ _______ ​​ 2x

2x − 4 F ​​ ______ ​​ 4 − 2x

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.3 Rationella uttryck

10a2 a) ​​ _____6 ​​ 15a

3x − 1 b) ​​ ______ ​​ 6x − 2

x2 − 9x c) ​​ _______ ​​ 3x

4(a + 3) ​​ d) ​​ ____________ (a + 3)(a − 1)

x2 + 2x + 1 e) ​​ __________ ​​ x+1

a2 − 9 f ) ​​ ______ ​​ a+3 1 x

1304 a) Rita grafen till f(x) = __ ​​ ​​ med ett digitalt verktyg.

b) Bestäm funktionens definitionsmängd. c) Bestäm funktionens värdemängd.

1305 Bestäm nollställe och definitionsmängd för 2+x f(x) = _____ ​​ ​​. x−4

1306 Ge exempel på ett rationellt uttryck som

­varken är definierat för x = 4 eller x = −4.

x2 + 1 x−1 a) Bestäm funktionens definitionsmängd.

1313 Vi har f(x) = ______ ​​ ​​.

b) Förklara varför funktionen inte har något nollställe.

1314 Bestäm funktionernas definitionsmängd.

1307 Mikael har löst uppgiften:

Förenkla uttrycket så långt som möjligt. x2 + 6x + 9 _________ ​​ ​​ 2 x + 3x

x+3 a) f(x) = ______ ​​ 2 ​​ x −9 x2 + 4 ​​ b) f(x) = ___________ ​​ 2 x − 6x − 27

Han fick svaret 2x + 9. Han tittar i facit och ser att han har fått fel svar.

x2 − 5x + 6 2x − 4 a) Rita grafen till funktionen f och bestäm funktionens definitionsmängd.

a) Vad kan han ha gjort för fel?

b) Förklara grafens utseende.

b) Lös uppgiften korrekt.

2(x2 − 4) a) ​​ ________ ​​ 4x + 8

x y _______ ​​ ​​ + ​​ _______ ​​

x2 − 4x + 4 b) ​​ __________ ​​ x2 − 4

1309 Ge exempel på ett funktionsuttryck som

beskriver en funktion som inte är definierad för a) x = −3

b) x = ±8

c) x = 2 och x = 3

d) x = ±​​√2 ​​

__

1310 Ange en rationell funktion som inte är definierad för x = 1 och som har nollställena x = 2 och x = −6.

1311 Förläng uttrycken så att de får en gemensam nämnare.

x2 + 3 x2 + 3x a) ​​ ______ ​​ och ​​ _______ ​​ 2x 1+x x −1 x + 3 b) ​​ _____ ​​ och ​​ ______ ​​ 2−x 2x − 4

1312 Förklara varför f(x) > 0 för alla x där 1 f(x) = ______ ​​ 2 ​​ x +1

1

1316 Anta att du vill skriva uttrycket

Nivå 2 1308 Förenkla uttrycken

1315 Vi har f(x) = __________ ​​ ​​ .

2x + 2y 2x − 2y med en gemensam nämnare. Du förlänger det första bråket med uttryck A och det andra med uttryck B. Vilka av följande uttryck ska du välja för A och B? I A = x och B = y II A = 2x och B = 2y III A = x − y och B = x + y

1317 Det finns flera rationella uttryck som uppfyller följande villkor:

u

Uttrycket har värdet 0 endast då x = −5

u

Uttrycket är inte definierat för x = 10

Ge ett exempel på ett rationellt uttryck som uppfyller båda villkoren.

(Np Ma3b ht 2014)

Nivå 3 1318 Bestäm konstanterna A och B så att 4x + 7 A B ____________ ​​ ​​ = ​​ _____ ​​ + ​​ _____ ​​ (x + 1)(x + 2)

x+1

x+2

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.3 Rationella uttryck

33

Addition och subtraktion av rationella uttryck Vid addition och subtraktion av rationella uttryck gäller samma räkneregler som vid bråkräkning. Bråk med samma nämnare kan adderas eller subtraheras direkt. Bråk som har olika nämnare måste först förlängas eller förkortas, så att nämnarna blir lika innan bråken kan adderas eller subtraheras. Detsamma gäller alltså för rationella uttryck. Om vi till exempel vill utföra subtraktionen 2 x+4 __ ​​ ​​ ​​ ​​ − _____ x

x+2

så måste vi förlänga uttrycken så att de får samma nämnare. En gemensam nämnare är x(x + 2).

Eftersom det är minustecken framför den andra termen, så måste vi i nästa led sätta parentes runt uttrycket i täljaren

Vi får

1

2(x + 2) _______ x(x + 4) _______ 2x + 4 _______ x2 + 4x 2 x + 4 _______ __ ​​ ​​ = ​​ ​​ − ​​ ​​ = ​​ ​​ − ​​ ​​ = ​​ ​​ − _____ x

x+2

x(x + 2)

x(x + 2)

x(x + 2)

2

x(x + 2)

2

2x + 4 − x − 4x __________ 4 − 2x − x2 (2x + 4) − (x + 4x) ______________

​​ = ​​ ​​ = ​​ ​​ = _________________ ​​ x(x + 2) x(x + 2) x(x + 2) Exempel: Skriv med gemensam nämnare och förkorta om det är möjligt.

6 2x a) ​​ _____ ​​ + ​​ _____ ​​ x+3 x+3

2 4 ​​ b) ​​ __ ​​ + _____ ​​ x x−1

1 1 c) ​​ _____ ​​ − ​​ _____ ​​ x−2 2−x

2x 6 + 2x 2(3 + x) 6 ​​ = 2 Lösning: a) ​​ _____ ​​ + ​​ _____ ​​ = ​​ ______ ​​ = ​​ _______ x+3 x+3 x+3 x+3 Termerna har samma nämnare.

Täljarna kan adderas direkt.

Bryt ut 2 ur täljaren och förkorta med x + 3

4 2 4(x − 1) 2x b) ​​ __ ​​ + _____ ​​ ​​ = ​​ _______ ​​ + _______ ​​ ​​ = x x − 1 x(x − 1) x(x − 1)

En gemensam nämnare är x(x − 1).

Förläng första termen med x − 1 och den andra med x.

4(x − 1) + 2x __________ 4x − 4 + 2x _______ 6x − 4

= ​​ ____________ ​​ = ​​ ​​ = ​​ ​​ x(x − 1) x(x − 1) x(x − 1)

Eftersom täljare och nämnare saknar gemensam faktor, så är det inte möjligt att ytterligare förkorta uttrycket

1 1 1 (−1) · 1 1 −1 c) ​​ _____ ​​ − ​​ _____ ​​ = ​​ _____ ​​ − ​​ __________ ​​ = _____ ​​ ​​ − ​​ ______ ​​ = x − 2 2 − x x − 2 (−1)(2 − x) x − 2 −2 + x Vi förlänger den andra termen med −1

1 1+1 2 1 ​​ + ​​ _____ ​​ = ​​ _____ ​​ = _____ ​​ ​​ = _____ ​​ x−2 x−2 x−2 x−2

34

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.3 Rationella uttryck

−1 −1 ​​ _____ ​​ = ____ ​​ ​​ −2 + x x − 2

1 1 1 Exempel: Lös ekvationen ​​ _____ ​​ + ​​ _____ ​​ = ​​ __ ​​ x−1 x+2 2 Lösning: Uttrycken i ekvationen är definierade för x ≠ 1 och x ≠ −2.

1 1 1 ​​ _____ ​​ + ​​ _____ ​​ = ​​ __ ​​ x−1 x+2 2

En gemensam nämnare är 2(x − 1)(x + 2)

Om vi multiplicerar alla termer med den gemensamma nämnaren 2(x − 1)(x + 2), så kan vi direkt förkorta bort nämnarna.

2(x − 1)(x + 2) ∙ 1 _______________ 2(x − 1)(x + 2) ∙ 1 _______________ 2(x − 1)(x + 2) ∙ 1

​​ _______________ ​​ + ​​ ​​ = ​​ ​​ x−1 x+2 2 2(x + 2) + 2(x − 1) = (x − 1)(x + 2)

Utför multiplikationerna och förenkla

2x + 4 + 2x − 2 = x2 + 2x − x − 2 4x + 2 = x2 + x − 2

Skriv om ekvationen så att HL = 0

x2 − 3x − 4 = 0

Lös ekvationen med hjälp av pq-formeln

__________

x = 1,5 ± √ ​​ (−1,5)2 + 4 ​​ x = 1,5 ± 2,5

Uttrycken i ekvationen är definierade för både x = 4 och x = −1. Alltså är dessa tal ekvationens rötter.

Svar: x1 = 4 och x2 = −1

Nivå 1

1322 Erika, Josefin och Sofia har utfört additionen

Skriv med gemensam nämnare och förenkla.

1319 a) ​​ __ ​​ + ​​ __ ​​

x x 2 3 4 x ​​ ​​ c) ​​ __ ​​ + __ x 3

2a a b) ​​ ___ ​​ + ​​ __ ​​ 5 3 7 5 d) ​​ _____ ​​ + ​​ __ ​​ 2+x x

x+1 x 1320 a) ​​ _____ ​​ − ​​ __ ​​ 5−x 3 5x − 1 3x + 1 c) ​​ ______ ​​ + ​​ ______ ​​ x+2 x+2 3x x + 3 ​​ + _____ ​​ ​​ e) ​​ _____ 2 4+x

2x + 1 _____ 6 b) ​​ ______ ​​ + ​​ ​​ x x+3 3 2 ​​ d) ​​ __ ​​ − _____ ​​ x x−1 x 1 f ) ​​ _____ ​​ − ​​ _____ ​​ x+1 x−1

1321 Lös ekvationerna 8 a) ​​ __ ​​ + 4 = 0 x 1 x−1 _____ ​​ = −​​ __ ​​ c) ​​ x x+5

1 3 b) ​​ _____ ​​ + 2 = ​​ _____ ​​ x−3 x−3 x2 9 d) ​​ _____ ​​ − ​​ _____ ​​ = 0 x+3 x+3

x y _____ ​​ ​​ + ​​ _____ ​​ men alla har fått olika resultat. x+y

x−y x2 + y2 x2 − y2 ​​, Josefin fick ​​ _______ ​​ och Erika fick ​​ _______ 2 2 x +y x2 − y2 x2 + y2 Sofia fick ​​ _______ ​​. Vem har fått rätt resultat? y2 − x2

1323 Skriv med gemensam nämnare och förenkla.

2 3 a) ​​ _______ ​​ + ​​ _______ ​​ 5x − 15 4x − 12 2 1 x + 1 _____ ​​ − ​​ ​​ + ​​ __ ​​ b) ​​ ______ x2 − x x − 1 x

Nivå 2 1324 Lös ekvationerna x 10 3 a) ​​ _____ ​​ − ​​ _______ ​​ = ​​ __ ​​ x − 2 x2 − 2x x 3 4 2 b) ​​ _____ ​​ − ​​ _____ ​​ = ​​ _____ ​​ x−1 x−2 x+1 ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.3 Rationella uttryck

35

1

Multiplikation och division av rationella uttryck För att vi ska kunna analysera alla typer av rationella funktioner så är det bra att även kunna hantera multiplikation och division av rationella uttryck.

Multiplikation

När vi multiplicerar två rationella uttryck, så multiplicerar vi täljare och nämnare var för sig, på samma sätt som när vi multiplicerar två bråk. x 7 − x2 _________ x ∙ (7 − x2) _______ 7x − x3 _____ ​​ ​​ ∙ ​​ ______ ​​ = ​​ ​​ = ​​ ​​ 2+x

Division

5

(2 + x) ∙ 5

10 + 5x

Division av två rationella uttryck följer samma mönster som division av två bråk.

/

x x + 3 x − 1 _____________ (x + 3) ∙ (x − 1) _____________ (x + 3) ∙ (x − 1) _____ x+3 x+3 ​​

​​ = ​​ ______ ​​ · ​​ _____ ​​ = ​​ ​​ = ​​ ​​ = ​​ ​​ ​​ ______ ​​ _____ 2x − 2 x − 1 2x − 2 x (2x − 2) ∙ x 2 ∙ (x − 1) ∙ x 2x

1

3x + 6 x2 − 4 Exempel: Multiplicera ​​ ______ ​​ med ​​ ______ ​​ och förkorta så långt som möjligt. x−2 3 Multiplicerar täljare och nämnare för sig

Faktoriserar x2 − 4 med hjälp av konjugatregeln x2 − 4 = (x − 2)(x + 2)

3x + 6 x2 − 4 ______________ (3x + 6)(x2 − 4) ______________ 3(x + 2)(x2 − 4) Lösning: ​​ ______ ​​ ∙ ​​ ______ ​​ = ​​ ​​ = ​​ ​​ = x−2 3 (x − 2) ∙ 3 (x − 2) · 3 3(x + 2)(x + 2)(x − 2)

​​ = (x + 2)(x + 2) = (x + 2)2 ​​ = ___________________ (x − 2) ∙ 3 Förkortar med 3 och med x − 2

x − 2 _____ 1 Exempel: Lös ekvationen ​​ _____ ​​ − ​​ ​​= 2. Ange rötterna i exakt form. x x+1 Lösning: Nämnaren får inte vara noll i något av uttrycken i ekvationen. Uttrycken är därför inte definierade för x = 0 och x = −1.

Vi börjar med att skriva om ekvationen så att vi får en ekvation utan bråkuttryck. Det gör vi genom att multiplicera båda led med produkten av nämnarna, alltså med x ∙ (x + 1), och sedan förkorta.

1 ∙ x ∙ (x + 1) (x − 2) ∙ x ∙ (x + 1) ___________ _______________ ​​ − ​​ ​​= 2 ∙ x ∙ (x + 1) ​​ x

x+1

Förkorta

(x − 2) ∙ (x + 1) − 1 ∙ x = 2 ∙ x ∙ (x + 1)

Förenkla

x2 + x − 2x − 2 − x = 2x2 + 2x

För samman likadana termer

x2

− 2x − 2 =

2x2

x2 + 4x + 2 = 0

______

+ 2x

__

x = −2 ± √ ​​ 22 − 2 ​​ ger x = −2 ± √ ​​ 2 ​​

Lös med hjälp av pq-formeln Rötterna hör till definitionsmängden

__

__

Svar: Ekvationen har lösningarna x1 = −2 + √ ​​ 2 ​​ och x2 = −2 − √ ​​ 2 ​​.

36

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.3 Rationella uttryck

Nivå 1

1332 Förenkla följande uttryck

(

Förenkla följande uttryck.

1 x2 x 2 5 __ c) ​​ ​ 5​ x

x b) 4 ∙ ___ ​​ ​​ 16 4x2 3 ​ d) ​​ ____ ​​ ∙ __ ​​ ​ 15 x4

x 2 y c) ​​ __ ​​ 4

3x x + 5 b) ​​ ___ ​​ ∙ _____ ​​ ​​ 8 3 7 ​ y + 1 ____ _____ ​ d) ​​ ​​ ​​ 2y 3y2

1325 a) ​​ __ ​​ ∙ __ ​​ ​​

/

5x 9 5 ___ ​​ ​​ 2y

1326 a) ​​ __ ​​ ∙ ​​ ___ ​​

/

/

1327 Lös följande ekvationer.

5 x a) ​​ __ ​​ = __ ​​ ​​ x 2

x + 1 __ 2 b) ​​ _____ ​​ + ​​ ​​ = 2 x 5

x x+5 c) ​​ _____ ​​ = ​​ _____ ​​ x−2 x

x2 + 2x + 3 ______ 9 − 3x d) ​​ __________ ​​ = ​​ ​​ x−1 x−1

1328 Förenkla följande uttryck.

3x2y 5 a) ​​ _____ ​​ ∙ ___ ​​ ​​ 15 xy

/(

) __ )/

1 1 1 ​ ​ ​​ b) ​​ ___ ​​ ​​ ​ __ ​ + __ ab a b

(3 + h)2 − 32 c) ​​ ___________ ​​ h

1 1 d) ​​ ​ _____ ​ − ​ ​ ​​ h 2+h 2

(

1333 Två av sidorna i en rektangel är lika långa

som sidorna i en kvadrat. Förhållandet mellan kvadratens och rektangelns areor är x2 _______ ​​ ​​ x(x + 3) Teckna och förenkla uttrycket som beskriver förhållandet mellan ­kvadratens och rektangelns omkretsar.

1334 Förenkla följande uttryck.

1 1 ​ __2 ​ − ​ ___2 ​ x y b) ​​ _______ ​​ x+y _____ ​ ​ x

1 a + __ ​ ​ a a) ​​ ______ ​​ a2 + 1

b c) ​​ ________ ​​ 1 ___ 1 ___ ​ ​ + ​ ​ 2b 2b

a−b b−a

1335 Visa att ​​ _____ ​​ = −1 om b ≠ a.

3x3 5x + 10y ​ _________ ​ ∙ ​​ b) ​​ ________ ​​ 2 x 10x + 20y 3x 2x c) ​​ _____ ​​ ∙ ​​ _______ ​​ x − y 2x + 2y

1329 Vilket av alternativen A–C får man som resultat 2x2 − 2 ​​ ? om man utför divisionen ​​ _______ 2x2 1 C 0 A −1 B 1 − __ ​​ 2 ​​ x

3 − 2x 1 x x För vilket eller vilka värden på x är f(x) = g(x)?

1330 Låt f(x) = ______ ​​ ​​ och g(x) = __ ​​ ​​

Nivå 2

1336 Förenkla uttrycken

(

)

1 1 −1 a) ​​​ ​ __ ​ + __ ​ ​ ​ ​​ a a 7 c ​​ ​​ c) ​​ _______6 ​​ + _______ (7 + c) (7 + c)6

3 b b) ​​ _____ ​​ + ​​ _____ ​​ b−3 3−b

(x + 8)6 − (x + 8)5 (x + 8) Svara exakt.

​ då x = 2,7.

1337 Beräkna ​​ ________________

5 ​

6 x−3

18 x(x − 3)

(Np Ma3b vt 2013)

1338 Lös ekvationen ​​ _____ ​​ − ​​ _______ ​​ = 2 (Np Ma3b ht 2013)

1339 Lös ekvationerna

1331 Förenkla följande uttryck.

/

4x a) 16x2 ___ ​​ ​​ y

/

2a2 10a5 ​​ ​​ b) ​​ ____3 ​​ _____ 5b 3b

/ ______ ______ /

x2 − 4 ​ 2x − 4 ​ ______ ​​​ ​ c) ​​ ______ x2

d) ​​

)

a b _____ ab a) ​​ ​ __ ​ − __ ​ ​ ​​ · ​​ ​​ b a a−b

x4

2

ab + a b − 1 ​​ ​​ ​​ b−1 a

2x − 2 x+2 a) ​​ __________ ​​ = ​​ __________ ​​ x2 − 2x + 1 x2 + 4x + 4 x2 − 9 3 + x ​​ b) ​​ ______ ​​ = ​​ _____ 2x − 6 x

Nivå 3 1 − a2 − 2ab − b2 1+a+b

1340 Förenkla uttrycket ​​ ________________

​​

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.3 Rationella uttryck

37

1

ordboken

Gränsvärden

lim är en förkortning av latinets limes, som betyder gräns eller gränslinje. ­Jämför även med engelskans limit.

x2 − 1 Vi har i tidigare avsnitt sett att den rationella funktionen f(x) = ​​ ______ ​​ inte x−1 är definierad för x = 1, eftersom nämnaren då får värdet noll. Funktionen är alltså definierad för x ≠ 1.

Gränsvärde

3

x närmar sig talet 1 från vänster

y

2

y = f(x)

1 −2

1

−1

−1

Vi kan undersöka funktionen i närheten av x = 1 genom att låta x2 − 1 x-värdena i f(x) = ​​ ______ ​​ närma sig 1 från båda hållen. x−1

x 1

2

x

0,9

0,99

0,999

f(x)

1,9

1,99

1,999

x närmar sig talet 1 från höger 1

1,001

1,01

1,1

2,001

2,01

2,1

Vi ser att oavsett från vilket håll vi närmar oss x = 1 så verkar det som att funktionsvärdena kommer allt närmare 2. Man kan inse att mönstret fortsätter. Ju närmare x = 1 man kommer, desto närmare 2 kommer värdet av f(x).

Vi säger att f har gränsvärdet 2, när x går mot 1. Det skrivs f(x) → 2 när x → 1 eller ​​lim ​​ f(x) = 2, som utläses ”limes av f(x), när x går mot 1, är 2”.

x→1

Som vi ser kan en funktion som inte är definierad i en viss punkt ändå ha ett gränsvärde i den punkten. För att funktionen ska ha ett gränsvärde i en punkt, så måste funktionsvärdena gå mot samma tal både från vänster och från höger.

När vi närmar oss 1 från vänster så kommer vi allt närmare talet 2 och vi säger därför att vänstergränsvärdet är 2. På samma sätt är även höger­gräns­ värdet 2. Eftersom både vänster- och högergränsvärdet är 2, så existerar gränsvärdet för x = 1.

Gränsvärde när x går mot oändligheten

y

x

1 1 Funktionsvärdet går mot −∞

38

Funktionsvärdet går mot ∞

1 Funktioner som till exempel g där g(x) = ​​ __ ​​, kan ha gränsvärden både när x x går mot ett visst värde eller när x går mot oändligheten. Till exempel när x blir 1 allt större i g(x) = __ ​​ ​​, så blir g(x) allt mindre. x Vi säger att funktionsvärdet går mot 0 när x går mot oändligheten eller att gränsvärdet för funktionen är 0 när x går mot oändligheten. Det kan vi skriva 1 1 som ​​l im ​​ ​ __ ​ = 0. På samma sätt ser vi att ​​ lim ​​ __ ​ ​ = 0. x→∞ x x → -∞ x Vi ser att funktionsvärdena g(x) går mot oändligheten när x närmar sig 0 från höger. På samma sätt så kan vi se att att funktionsvärdena g(x) går mot minus oändligheten när x närmar sig 0 från vänster. Funktionen g saknar alltså gränsvärde för x = 0.

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.3 Rationella uttryck

På förra sidan undersökte vi gränsvärdet genom att beräkna funktionsvärden för x-värden som ligger allt närmare det aktuella talet. Gränsvärdet går också att bestämma på ett mer direkt sätt. Om vi återgår till vårt första exempel och förkortar med hjälp av konjugatregeln, så får vi (x + 1)(x − 1) x2 − 1 ____________ ​​ = ​​ ​​ = x + 1 f(x) = ______ ​​ x−1 x−1 I det förenklade uttrycket kan vi direkt bestämma att gränsvärdet är 2 när x går mot 1, eftersom ​​l im ​​ (x + 1) = 1 + 1 = 2 x→1

Om man vill bestämma gränsvärdet till ett uttryck, så är det därför en vanlig metod att man först förkortar uttrycket.

8x − 3 Uttryck som inte kan förenklas direkt, som till exempel ​​ ______ ​​ , kan hanteras 2x − 1 genom att man dividerar täljare och nämnare med den högsta ingående potensen av x på följande sätt: 3 8x − 3 ​ ​ ​ ______ ​ 8 − __ − 3 8x x x ​​ ______ ​​ = ​​ _______ ​​ = ​​ ______ ​​ 2x − 1 1 2x − 1 ______ ​ ​ ​ ​ 2 − __ x x 1 3 Både ​​ __ ​​ och ​​ __ ​​ går mot 0 när x går mot oändligheten. Alltså gäller: x x 3 8 − ​ __ ​ 8 8x − 3 x __ ______ ______ ​​ = ​ ​= 4 ​​ ​ ​​ lim ​ = ​​ lim ​​ ​​ x → ∞ 2x − 1 x→∞ 1 2 __ 2 − ​ ​ x Exempel: Bestäm gränsvärdena a) ​​lim ​​ 2x x→5

b) ​​ lim ​​ (x − 2) x → −3

c) ​​lim

​​ 2−x → x ∞

Lösning: a) I detta uttryck kan vi direkt undersöka gränsvärdet när x är 5. ​​lim ​​ 2x = 2 ∙ 5 = 10 Vi ersätter x med 5 i uttrycket

x→5

b) Även för uttrycket x − 2 kan vi direkt undersöka gränsvärdet när x = −3. ​​ lim ​​ (x − 2) = −3 − 2 = −5

x → −3

Vi ersätter x med −3 i uttrycket

1 c) Uttrycket 2−x är definierat för alla x och kan skrivas om till __ ​​ x ​​.

2 1 Eftersom 2x växer obegränsat när x går ​​lim ​​ ​ __ ​ = 0 ​​l im ​​ 2−x = 1 x→∞ x → ∞ 2x mot oändligheten, så måste ___ ​​ ​​ gå mot 2x noll då x går mot oändligheten.

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.3 Rationella uttryck

39

1

x2 + 3x Exempel: Bestäm ​​ lim ​​ ​ _______ ​ x→0 x x2 + 3x ​​ är inte definierat för x = 0, eftersom division med 0 inte Lösning: Uttrycket ​​ _______ x är definierad. Därför försöker vi förkorta uttrycket och inleder med att f­ aktorisera i täljaren. x(x + 3) x2 + 3x _______ ​​ = ​​ ​​ = x + 3 ​​ _______ x x

x2 + 3x ​​ ______ x ​​ och x + 3 har samma gränsvärde när x närmar sig noll

Nu kan vi enkelt inse att uttrycket x + 3 närmar sig 3, när x närmar sig 0. x2 + 3x

Vi ersätter x med 0 i uttrycket ​ = ​​lim ​​ (x + 3) = 3 ​​lim ​​ ​ _______ x→0 x→0 x

1

x+5 Exempel: Funktionen f(x) = _____ ​​ ​​ är inte definierad för x = 6. x−6 a) Har funktionen f något gränsvärde när x → 6 och vilket är i så fall gränsvärdet? b) Har funktionen f något gränsvärde när x → ∞ och vilket är i så fall gränsvärdet?

Lösning: a) Vi testar med att sätta in värden nära 6.

10,9999 f(5,9999) = ​​ ________ ​​= −109 999 −0,0001 11,0001 f(6,0001) = ________ ​​ ​​= 110 001 0,0001 Funktionsvärdet blir stort negativt när x är strax under 6 och stort positivt när x är strax över 6. Det är därmed rimligt att anta att f(x) går mot +∞ när x närmar sig 6 från höger och −∞ när x närmar sig 6 från vänster. Eftersom värdena är olika, så har funktionen inget gränsvärde i punkten x = 6.

y

y = f(x) x

5 5

Svar: Gränsvärde saknas för x = 6.

5 1 + ​ __ x + 5 ______ x+5 x ​ _____ _____ ​​. ​​ med x och får då f(x) = ​​ ​​ = ​​ b) Vi förkortar f(x) = ​​ 6 x−6 x−6 1 − __ ​ ​ x

5 6 Vi ser nu att när x närmar sig oändligheten så kommer ​​ __ ​​ och ​​ __ ​​ att närma sig noll. Vi har alltså att 5 1 + ​ __ 1 + 0 __ x+5 1 x ​ _____ ______ _____ ​ = ​ ​​ f(x) = l ​​

im ​​ ​

​​ ​ ​ = l ​​ im ​ = ​ ​= 1 ​​l im x→∞ x→∞ x − 6 x→∞ 6 1−0 1 __ 1 − ​ x ​ Svar: ​​lim ​​ f(x) = 1 → x ∞

40

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.3 Rationella uttryck

x

x

Exempel: Låt f(x) = x2 + 2x + 4. f(x + h) − f(x) a) Teckna uttrycket ​​ ____________

​​ och förenkla det så långt som möjligt. h f(x+ h) − f(x)

​ b) Bestäm ​​ lim ​​ ​ ___________ h h→0 Vi sätter in x + h i stället för x i funktionsuttrycket

(x + h)2 + 2(x + h) + 4 − (x2 + 2x + 4) f(x + h) − f(x) ________________________________

​​ = ​​ ​​ = Lösning: a) ​​ _____________ h h x2 + 2xh + h2 + 2x + 2h + 4 − x2 − 2x − 4 ____________ 2xh + h2 + 2h

​​ = ____________________________________ ​​ = ​​ ​​ = h h h(2x + h + 2)

​​ = 2x + h + 2 = ____________ ​​ h

1

f(x + h) − f(x) ​​ ​ _____________

b) ​​lim ​ = ​​l im ​​ (2x + h + 2) = 2x + 2 h h→0 h→0 Eftersom det är h som närmar sig 0 så kan gränsvärdet vara ett uttryck som innehåller x

Nivå 1

1345 I figuren nedan är grafen y = f(x) ritad. y

1341 Bestäm följande gränsvärden. ​​ (4 + x) a) ​​lim x→3

2

d) ​​ lim ​​ (x − 1)

x → −2

4

​​ ​ __ ​ a) ​​lim x→∞ x

)

−1

−1

1

x → −2

b) Har f något gränsvärde när x → 2? Motivera ditt svar.

1344 Bestäm följande gränsvärden.

x ∞

−2

c) Vad är ​​ lim ​​ f(x)?

2 x−2 a) Rita grafen till f med ett digitalt verktyg.

​​ c) ​​lim →

−3

b) Bestäm högergränsvärdet för x = −2.

1343 Låt f(x) = _____ ​​ ​​

5x

−4

x

a) Bestäm vänstergränsvärdet för x = −2.

4

​​ ​ _____ ​ b) ​​lim x→∞ x + 3 4

​​ ​ ​ __ ​ + 3 ​ c) ​​lim x→∞ x

x→0

1

x → −3

1342 Bestäm följande gränsvärden.

a) ​​lim ​​ 5x

2

x→0

c) ​​ lim ​​ 2x

(

y = f(x)

b) ​​lim ​​(5 + 2x)

3 b) ​​lim ​​ ​ __x ​ x→0 5 3 d) ​​l im ​​ ​ __ ​ x → ∞ 5x

1346 Bestäm följande gränsvärden om de existerar.

12 a) ​​ lim​​ ___ ​ ​ y → 3 2y x2 + 14x ​​ ​ ________ c) ​​lim ​ x→0 x

4 ​ b) ​​ lim ​​ _____ ​ x → −3 x + 3 1 d) ​​l im ​​ ​ __ ​ x → ∞ x2

1347 Bestäm följande gränsvärden.

​​ 3−x a) ​​lim → x ∞

c) ​​lim

​​ 5 · → x ∞

3−x

b) ​​lim

​​ (3−x + 5) → x ∞

4 d) ​​l im ​​ ​ _______ ​ x → ∞ 3−x + 5

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.3 Rationella uttryck

41

2x2 − 10x x a) Varför är inte funktionen f definierad för x = 0?

1348 Låt f(x) = _________ ​​ ​​

b) Förklara varför f(x) har gränsvärdet −10, när x går mot 0.

1349 Ge exempel på en funktion f som har ​​lim ​​ f(x) = 1.

x→4

a

​​ ​ ______ ​ = 5 ​​lim x→∞ 4 2 + __ ​ ​ x

(x − 4)2 a) ​​lim ​​ ​ _______ ​ x→4 x − 4 (x + 7)(x − 7) ​ ​ b) ​​ lim ​​ ____________ x → −7 x+7

1356 Bestäm gränsvärdet till funktionen

5x + 4 g(x) = ______ ​​ ​​ när x → ∞ genom att 3 + 2x a) först dividera både täljare och nämnare med x

1357 I figuren nedan är grafen y = f(x) ritad. y 2

x2 − 25 ​​ ​ _______ c) ​​lim ​ x→5 x − 5

1 −4

2

x + 10x + 25 ​ d) ​​ lim ​​ ____________ ​ x → −5 x+5 x2 − 6x + 9 1351 Funktionen g(x) = __________ ​​ ​​ är inte definiex−3

rad för x = 3.

(Np Ma3b vt 2014)

b) och sedan låta x gå mot oändligheten

1350 Bestäm följande gränsvärden.

1

1355 Bestäm värdet på konstanten a så att

−3

−2

−1

−1

x 1

−2

a) Bestäm vänstergränsvärdet för x = −1. b) Bestäm högergränsvärdet för x = −1.

Har g något gränsvärde när x → 3?

c) Existerar gränsvärdet ​​ lim ​​ f(x)? Motivera x → −1 ditt svar.

(2 + h)2 − 4 1352 a) Bestäm ​​ lim ​​ ​ ___________ ​

h 2 + 4(3 + h) − (32 + 4 · 3) (3 + h) 1358 Avgör om funktionerna har något gränsvärde

​ b) Bestäm ​​ lim ​​ ​ ___________________________ h h→0 när x → 4. Ange i så fall detta gränsvärde. c) Bestäm ​​lim ​​ (5h − 6x) x+1 h→0 ​​ a) f(x) = _____ ​​ x −4 5 __ 2 ​​lim ​​ ​ 2x + 3xh − h + ​ ​ ​ d) Bestäm x2 − 6x + 8 x h→0 b) f(x) = __________ ​​ ​​ x−4 h→0

(

)

Nivå 2

1359 Funktionen f är definierad av f(x) = x2 + 6x + 4.

1353 Bestäm följande gränsvärden. x−4 a) ​​lim ​​ _______ ​​ ​​ x → 4 x2 − 16 x−3 ​ ​​ ​ _________ ​+ 2 ​​ b) ​ lim x → ∞ 2x3 − 6x2

(

)

1354 Låt f(x) = x2 + 3x. f(4 + h) − f(4) a) Teckna uttrycket ​​ ____________

​​ och h förenkla det så långt som möjligt. f(4 + h) − f(4) ​​ ​​ b) Bestäm ​​ lim​​ ____________ h h→0

42

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.3 Rationella uttryck

f(2 + h) − f(2) a) Teckna uttrycket ​​ ____________

​​ och h ­förenkla det så långt som möjligt. f(2 + h) − f(2)

b) Bestäm ​​ lim ​​ ​ ____________ ​ h h→0 f(x + h) − f(x)

​ och ­ c) Teckna uttrycket ​ ____________ h förenkla det så långt som möjligt. f(x + h) − f(x)

d) Bestäm ​​ lim ​​ ​ ___________ ​ h h→0

______

√

5x + 4 1360 Bestäm gränsvärdet ​​ lim ​​ ​ ______ ​ ​ ​ x→∞

2x

1361 Enligt en enkel modell kan antalet bakterier 26 ​ i en odling beskrivas med N(t) = ________ ​​ −0,4t ​

4+2 där N är antalet bakterier i tusental och t är tiden i timmar från kl. 12.00, då mätningen började. a) Hur många bakterier fanns det i odlingen kl. 12.00 b) Enligt modellen kommer antalet bakterier att närma sig en övre gräns. Bestäm denna övre gräns för antalet bakterier med hjälp av modellen. x−1 x−6

1362 Sofia ritar upp grafen till f(x)= _____ ​​ ​​, se figur nedan.

40

Antag att du ringer x samtal under en viss månad. Den totala kostnaden i kr under denna månad är då 0,69x + 49. a) Skriv ett uttryck för kostnaden per samtal under månaden. b) Kostnaden per samtal under en månad närmar sig en undre gräns då antalet samtal ökar. Ange denna undre gräns. Svara i kronor (Np Ma3b vt 2014)

1364 Ange en funktion f som inte är definierad för x = 0 och som uppfyller ​​ lim ​​ f(x) = 3.

20

x→0

y = f(x)

10

−10

fast månadsavgift på 49 kr och en öppningsavgift på 69 öre per samtal. Inga andra avgifter tillkommer.

Nivå 3

y

30

0

1363 Mobiltelefonabonnemanget RingUpp har en

1365 För en funktion g gäller att ​​ lim ​​ g(x) = 5. x→∞

x 2

4

6

8

10

Ge ett exempel på vad g(x) kan vara.

12

Ax 4x + A

1 7

1366 Bestäm konstanten A så att ​​ lim ​​ ______ ​ ​ = __ ​ ​. x→∞

−20

(Np Ma3b ht 2013)

−30

a) Sofia påstår att: ”Största värdet nås när x = 6” Har hon rätt? Motivera. b) Sofia påstår att: ”För x > 6 är funktionens minsta värde 1” Har hon rätt? Motivera.

(Np Ma3b ht 2014)

1367 Funktionen f är definierad av f(x) = ax2 + bx + c.

f(x + h) − f(x) a) Teckna uttrycket ​​ ____________

​​ och h förenkla det så långt som möjligt. f(x + h) − f(x)

​ b) Bestäm ​​ lim ​​ ​ ____________ h h→0 ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.3 Rationella uttryck

43

1

Kontinuerliga funktioner Kontinuerlig funktion

1

Styckvis definierad funktion

Polynomfunktioner, som till exempel p(x) = x3 − 4x + 4, är definierade för alla x, dvs. definitionsmängden är alla värden på x. En polynomfunktions graf är sammanhängande.

Det innebär att grafen hänger ihop och inte har några språng. Man kan därför rita grafen till funktionen utan att lyfta pennan. Ett vanligt kännetecken för en kontinuerlig funktion är just att man för varje sammanhängande del av definitionsmängden kan rita grafen utan att lyfta pennan.

{

Kontinuerlig i en punkt

y = p(x) 1

x 1

Kontinuerlig funktion

Om vi vill att en funktion f ska utgöras av linjen y = x + 2 för x ≤ 1 och av parabeln y = (x − 1)2 − 2 för x > 1, så kan vi definiera funktionen f i två delar enligt x + 2 för x ≤ 1

​​​ f(x) = ​​ ​ (x − 1)2 − 2 för x > 1​ Grafen till funktionen kan vi se i figuren här till höger.

Diskontinuitet

y

y

x

1 1

Diskontinuerlig funktion

Vi ser att funktionen är definierad för x = 1 och där har funktionsvärdet 3, dvs. f(1) = 3. Sedan gör grafen ett språng. Grafen är alltså inte samman­ hängande trots att den är definierad för alla x. Vi säger att funktionen har en diskontinuitet för x = 1. I grafen kan vi också se att att vänster- och höger­ gränsvärdena är olika för x = 1. Vänstergränsvärdet är 3 och högergräns­ värdet är −2. Funktionen saknar alltså gränsvärde för x = 1.

För att en funktion ska vara kontinuerlig i en punkt så ska den alltså vara definierad i punkten, gränsvärdet ska existera och dessutom vara lika med funktionsvärdet i den punkten. Vi sammanfattar det lite mer formellt här nedanför.

Kontinuitet En funktion f är kontinuerlig i punkten x = a om ​​ lim ​​ f(x) = f(a). → x a

En funktion som är kontinuerlig för alla punkter i sin definitionsmängd är en kontinuerlig funktion.

44

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.3 Rationella uttryck

Rationella funktioner är kontinuerliga

x2 + 1 Den rationella funktionen f(x)= ​​ ______ ​​ är inte y x definierad för x = 0, och funktionens definitions­ mängd är därför alla x ≠ 0. Studerar vi grafen 1 här till höger kan vi dock se att grafen till funkx2 + 1 1 ​​ y = _______ ​​ x tionen är sammanhängande i hela definitionsmängden. Grafen till funktionen gör visserligen ett språng vid x = 0, men eftersom detta värde Rationell funktion inte ingår i definitionsmängden är funktionen kontinuerlig för alla x i definitionsmängden. Alltså är f en kontinuerlig ­funktion. På liknande sätt kan man resonera sig fram till att alla rationella funktioner är kontinuerliga funktioner.

x

I stort sett alla funktioner vi har behandlat hittills i gymnasiematematiken, som till exempel polynomfunktioner, exponentialfunktioner och ­rationella funktioner, är kontinuerliga funktioner. De uppfyller villkoren för kontinuitet för samtliga punkter i hela sin definitionsmängd.

x2 − 4 ​​, så ser vi att den liknar linjen Exempel: Om vi ritar grafen till g(x) = ______ ​​ x−2 y = x + 2. x2 − 4 y a) Visa att för x ≠ 2 så kan uttrycket ​​ ______ ​​ x−2 förenklas till x + 2. lim ​​ g(x). b) Bestäm gränsvärdet ​​ x→2

x2 − 4 y = _______ ​ ​ x−2

1

c) Ange funktionens definitionsmängd.

x 1

d) Är funktionen kontinuerlig för x = 2? e) Är g en kontinuerlig funktion?

Lösning: a) Vi använder konjugatregeln för att förenkla uttrycket: x2 − 4 (x + 2)(x − 2) ​​ ______ ​​ = ​​ ____________

​​ = x + 2 x−2 x−2 x2 − 4 ​​ g(x) = ​​l im ​​ ​ ______ ​ = ​​l b) ​​lim im ​​ (x + 2) = 4 x→2 x→2 x − 2 x→2 c) Funktionens definitionsmängd är alla x ≠ 2 eftersom nämnaren är noll för x = 2. d) Funktionen är inte kontinuerlig för x = 2 eftersom den inte är definierad för x = 2. e) För alla x = a i definitionsmängden gäller att ​​ lim ​​ g(x) = g(a), dvs. funk→ x a

tionen g uppfyller villkoret för kontinuitet. Därmed är g en kontinuerlig funktion.

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.3 Rationella uttryck

45

1

Exempel: Visa att funktionerna f och g inte är kontinuerliga.

{ 1 för x ≠ 2 ​​​

b) g(x) = {​​ ​ −1 för x = 2​

−1 för x ≤ ​ 2 ​​ a) f(x) = ​​ ​

1 för x > 2 ​

Lösning: a) För funktionen f saknas gränsvärde när x går mot 2, eftersom vänstergränsvärdet är −1 och högergränsvärdet är 1 när x närmar sig 2 från vänster respektive höger. Funktionen är definierad för x = 2, men den är inte kontinuerlig där. Funktionen är alltså inte kontinuerlig för alla x i sin definitionsmängd och är därför inte heller en kontinuerlig funktion.

Svar: Funktionen f är inte kontinuerlig.

1

im ​​ g(x) = 1, men g(2) = −1. Gränsvärdet b) För funktionen g gäller att ​​l x→2

för g(x) när x närmar sig 2 är inte detsamma som funktions­värdet i x = 2. Funktionen är alltså inte kontinuerlig för x = 2 och är därmed inte kontinuerlig för alla x i sin definitionsmängd.

Svar: Funktionen g är inte kontinuerlig.

Nivå 1

1370 Rita för hand grafen till funktionen

1368 Vilka av funktionerna är ­kontinuerliga? y = g(x)

{

2x + 4 för x < 3 ​​​ a) f(x) = ​​ ​

−2x + 4 för x ≥ 3​

{

x2 − 3x _______ ​ ​ för x ≠ 3 b) g(x) = 2x − 6 ​ ​​ ​ ​​

y

x

1 för x = 3

​

1371 Är funktionerna f och g från uppgift 1370 kon-

y = k(x)

tinuerliga för x = 3?

{

y

2x + 4 för x < 3 ​​​ a) f(x) = ​​ ​

−2x + 4 för x ≥ 3​

y = f(x) x y = h(x)

{

x2 − 3x _______ ​ ​ för x ≠ 3 b) g(x) = 2x − 6 ​​ ​ ​​ ​ 1 för x = 3

​

1 x

1372 Rita grafen till f(x) = __ ​​ 2 ​​ med ett digitalt 1369 Vilken eller vilka av funktionerna är konti­ nuerliga?

a) Bestäm funktionens definitionsmängd.

A f(x) = 10x − 5

b) Bestäm funktionens värdemängd.

B g(x) = 4x2 + 3x − 2 C h(x) = x3

46

­verktyg.

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.3 Rationella uttryck

c) Är funktionen kontinuerlig?

x2 − 4x 2x − 8 Definiera h(x) för x = 4, så att funktionen h blir kontinuerlig för alla x.

1373 Låt h(x) = _______ ​​ ​​ för x ≠ 4

1374 För en funktion f gäller att u

vänstergränsvärdet då x närmar sig 2 är 15

u

högergränsvärdet då x närmar sig 2 är 15

u

f(2) = 15

Är funktionen f kontinuerlig för x = 2? ­Motivera ditt svar.

1375 Bestäm konstanten a så att funktionen f blir kontinuerlig för x = 3.

{

2x − 4 för x ≤ 3 ​​​ f(x) = ​​ ​

−x + a för x > 3​

1376 Ge något exempel från verkligheten som

skulle kunna beskrivas matematiskt med en styckvis definierad funktion.

1377 För en funktion g gäller att u

vänstergränsvärdet då x närmar sig 3 är 5

u

högergränsvärdet då x närmar sig 3 är −2

u

f(3) = 5

Nivå 2 1379 Avgör om följande funktioner är kontinuerliga.

{

2x för x ≤ 3 ​ ​​ a) f(x) = ​​ ​ 6 för x > 3 ​

{

5x2 − ​ ____ ​för x ≠ 0 b) g(x) = x ​ ​​ ​​ ​ 0 för x = 0 ​

{

< 1 ​​ x2 + 1 för x ​

c) h(x) = ​​ ​ x för x ≥ 1 ​

1380 Bestäm konstanten k så att funktionen blir kontinuerlig för alla x.

{ för x ≤ 4 b) g(x) = ​​ ​kx

​​​ { x − 1 för x > 4​

x + 1 för x < 2 ​​​ a) f(x) = ​​ ​

−x + k för x ≥ 2​ 2

1381 För en funktion f gäller att både vänster- och

högergränsvärdet är 7 då x närmar sig 4. Emil påstår att eftersom vänster- och högergräns­ värdena är lika, så måste funktionen vara kontinuerlig för x = 4. Har Emil rätt? Motivera ditt svar.

Är funktionen f kontinuerlig för x = 3? ­Motivera ditt svar.

1378 Grafen y = f(x) i figuren här nedanför kan beskrivas med funktionsuttrycket

{

−x − 1 för x ≤ ​ 1 ​​ f(x) = ​​ ​

x − 3 för x > 1 ​ Beskriv grafen y = g(x) med ett liknande funktionsuttryck. y y = f(x) 1

y = g(x)

x 1

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.3 Rationella uttryck

47

1

ordboken

Symbolhanterande hjälpmedel

CAS är en förkortning av Computer Algebra System och är ett symbolhanterande verktyg eller system.

Multiplikation i CAS-fönstret

1

I tidigare kurser har vi löst ekvationer grafiskt med grafritande hjälpmedel.

I de flesta matematikprogram och på en del räknare ingår ofta ett så kallat datoralgebrasystem som kan hantera algebra symboliskt. De datorprogram och avancerade räknare som har den här funktionen kallas därför symbolhanterande hjälpmedel. Matematikprogrammet GeoGebra har en inbyggd CAS-funktion som bland annat kan lösa ekvationer algebraiskt, faktorisera och förenkla algebraiska uttryck, och beräkna gränsvärden. Vi kan komma åt CAS-funktionen i GeoGebra genom att i menyn välja Visa, CAS. Med CAS kan man bland annat snabbt utföra arbetskrävande algebraiska beräkningar, t.ex. multiplicera ihop (x + 2)(2x − 5)(2 + x2). För att utföra operationen skriver man bara (x + 2)(2x − 5)(2 + x2) i en rad CAS-fönstret . Vi får då: och klickar på knappen expandera

Vi ser alltså att (x + 2)(2x − 5)(2 + x2) = 2x4 − x3 − 6x2 − 2x − 20. Det här är ett exempel på hur CAS-funktionen underlättar vid beräkningar. I exemplen som följer visar vi ytterligare situationer där man kan använda CAS-funktionen i GeoGebra.

Exempel: Faktorisera polynomet p(x) = x4 + 3x3 − 12x2 − 6x + 20.

Lösning: Vi definierar polynomet p genom att skriva in p(x) := x4 + 3x3 - 12x2 - 6x + 20 i GeoGebras CAS-fönster. Vi har nu definierat polynomet p och kan då använda definitionen för att göra ytterligare beräkningar i CAS-fönstret.

I CAS-fönstret måste man definiera en funktion med hjälp av :=.

Man skriver : före likhetstecknet för att funktionen ska bli definierad på rätt sätt.

Vi faktoriserar polynomet p i GeoGebra genom att skriva Faktorisera(p) i CAS-fönstret.

Svar: Polynomet kan faktoriseras till p(x) = (x − 2)(x + 5)(x2 − 2).

48

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.3 Rationella uttryck

Exempel: Vi fortsätter att titta på polynomet p(x) = x4 + 3x3 − 12x2 − 6x + 20.

__

a) Bestäm polynomets värde för x = √ ​​ 5 ​​. Svara först exakt och ange sedan ett närmevärde med tre decimaler. b) Bestäm polynomets nollställen. Svara exakt.

Lösning: Vi definierar polynomet p genom att skriva in p(x) := x4 + 3x3 - 12x2 - 6x + 20 i GeoGebras CAS-fönster. Vi har nu Om du redan har skrivit in p(x) definierat polynomet p och kan använda definitionen för att göra i det förra exemplet, behöver du inte göra det igen ytterligare beräkningar i CAS-fönstret.

__

a) Vi skriver in p(​​√5 ​​ ) i en ny rad i CAS-fönstret och får ut ett exakt uttryck.

Klicka sedan på det givna uttrycket och på knappen för numerisk för att få ett närmevärde. beräkning

__

__

Svar: p(​​√5 ​​) = 9​​√5 ​​− 15 är det exakta värdet och 5,125 är ett närmevärde med tre decimalers noggrannhet. b) Vi kan ta reda på polynomets nollställen genom att faktorisera poly­ nomet, som vi visade i exemplet på förra sidan. Här visar vi ett annat sätt att bestämma polynomets nollställen.

Vi löser ekvationen p(x) = 0 i GeoGebra genom att skriva Lös(p(x)=0) i CAS-fönstret.

Jämför gärna nollställena till p(x) med faktoriseringen av samma polynom i det förra exemplet

__

__

Eftersom polynomets värde är noll för x = −5, x = −​​√2 ​​, x = √ ​​ 2 ​​ och x = 2 så är detta nollställena till polynomet.

__

__

​​ 2 ​​ och x = 2.

Svar: Polynomets nollställen är x = −5, x = −​​√2 ​​, x = √

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.3 Rationella uttryck

49

1

_1

Exempel: Givet funktionen f(x) = ​​(4 − π)​​ x ​​​. a) Bestäm ett exakt värde på ​​ lim ​​ f(x). Ange också ett närmevärde med fyra x→5 decimalers noggrannhet. b) Undersök gränsvärdena ​​ lim ​​ f(x) och ​​ lim ​​ f(x). → x ∞

x→0

_1

Lösning: Vi definierar funktionen f i GeoGebra genom att skriva f(x):= (4 ​​ - π)​​ x ​​​ i CAS-fönstret.

a) Vi skriver in Gränsvärde(f, 5) i CAS-fönstret och får då ett exakt svar.

Vi beräknar sedan ett närmevärde genom att klicka på knappen för numerisk beräkning.

1

Eftersom f är kontinuerlig i x = 5 är ​​ l im​​ f(x) = f(5)

$2 är en hänvisning till rad 2

x→5

_1

Svar: ​​lim ​​ f(x) = ​(4 − π)​​ 5 ​​ och 0,9699 är ett närmevärde med fyra x→5

decimalers noggrannhet. b) Vi skriver Gränsvärde(f, ∞) respektive Gränsvärde(f, 0) i var sin rad CAS-fönstret och GeoGebra returnerar Tecknet för oändlighet, ∞ hittar du om du klickar på knappen

på tangent­-

bordet i GeoGebra.

Gränsvärdet när x → 0 kan däremot inte beräknas, eftersom gräns­ värdet inte existerar. Genom att studera grafen till funktionen ser vi att gränsvärde saknas när x går mot 0. ​​ f(x) = 1, men funktionen saknar gränsvärde när x går mot 0. ​​lim Svar: → x ∞

50

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.3 Rationella uttryck

Nivå 1

1387 Lös ekvationen x2 + px + q = 0 med symbol-

1382 Bestäm följande gränsvärden, både utan och med symbolhanterande hjälpmedel. a) ​​lim ​​ (4 + x)

b) ​​lim ​​(5 + 2x)

c) ​​ lim ​​ 2x

x d) ​​ lim ​​ ______ ​ ​ x → −3 x2 − 9

x→3

x → −2

4x + 7 3x − 13 a) ​​ lim ​​ f(x)

b) ​​ lim ​​ f(x)

c) ​​lim

​​ f(x) →

d) ​​ lim ​​ f(x) →

1388 Låt f(x) = _______ ​​ ​​ och bestäm

x→0

1383 Faktorisera andragradspolynomen, både utan och med symbolhanterande hjälpmedel. a) p(x) = x2 − 14x + 13

x → 78 x ∞

x → 43

x -∞

1389 Ett fjärdegradspolynom har nollställena

b) q(x) = x2 + 2x − 15

x = 3, x = 5, x = −2 och x = 7. Ge ett exempel på hur polynomet kan se ut i formen ax4 + bx3 + cx2 + dx + e.

2

c) r(x) = x + 5x + 6

1384 Låt p(x) = x4 − 6x3 + 4x2 + 30x − 45.

hanterande hjälpmedel. Jämför din lösning med den lösning du får när du använder pqformeln.

__

​​ 3 ​​. a) Bestäm polynomets värde för x = √ Svara först exakt och sedan med ett närmevärde med tre decimaler.

b) Bestäm polynomets nollställen. Svara först exakt och sedan med närmevärden med tre decimaler.

1385 Temperaturen för det nybryggda kaffet kan

enligt en enkel modell beskrivas av T(t) = 23 + 71 · 0,96t, där T(t) är kaffets temperatur i °C, t minuter efter att kaffet färdigbryggts. a) Vilken temperatur hade kaffet från början? b) Vilken temperatur får kaffet efter lång tid om det lämnas i koppen? c) Ange definitionsmängd och värdemängd för funktionen T.

1390 För ett förstagradspolynom p(x) gäller att

p(5) = 0 och p(1) = 8. Bestäm polynomet på formen ax + b. Lös uppgiften både för hand och med symbol­hanterande hjälpmedel.

Nivå 2 1391 Låt p(x) = x3 − 15x2 + 62x − 72. a) Bestäm rötterna till polynomekvationen p(x) = 0. b) Skriv polynomet p(x) i faktorform.

1392 Bestäm funktionernas definitionsmängd. x4 + 3x + 15 a) f(x) = ___________ ​​ ​​ x3 − 9x x2 + 4

b) f(x) = __________________ ​​ ​​ 3 x − 3x2 + 27x − 81

1393 I en stad som till en början haft en stark

befolkningstillväxt som sedan gradvis avtagit för att slutligen avstanna kan folkmängden beskrivas med hjälp av 65 000 ​ N(t) = ________ ​​ ​ , där N(t) är antalet invånare 2 + 3−0,5t t år efter år 2010. Lös uppgiften både med och utan symbolhanterande hjälpmedel.

1386 Ett andragradspolynom har nollställena x = 4 och x = 2. Ge ett exempel på hur polynomet kan se ut i formen ax2 + bx + c. Lös uppgiften både för hand och med symbolhanterande hjälpmedel.

a) Hur många invånare hade staden enligt modellen år 2010? b) Hur många invånare kommer staden att ha på lång sikt enligt modellen?

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.3 Rationella uttryck

51

1

_1

1394 Låt h(x) = ​​(1 + x)​​ x ​​​.

1398 Om vi sätter in K kr på ett bankkonto med en

fast räntesats på r %, så kan behållningen B kr på kontot efter ett år beräknas med formeln r B = K​​ 1 + ____ ​ ​ ​​.

100

a) Bestäm ​​ lim ​​ h(x). Svara exakt. x→0

(

b) Gränsvärdet du har bestämt här ovanför är ett av flera olika sätt att bestämma ett närmevärde till talet e. Ange ett närmevärde på talet e med fyra decimalers noggrannhet.

a) Förklara varför behållningen kan beräknas med formeln ovan.

c) Bestäm ​​ lim ​​ (ex + 14).

b) I den givna formeln räknar man med att räntan betalas ut en gång per år. Hur skulle motsvarande formel för behållningen efter ett år se ut om räntan i stället betalades ut två gånger per år till halva årsräntan?

x→0

d) Bestäm ​​ lim ​​ (e−x + 3). → x ∞

7x2 + 3x 3x − 1 a) Bestäm funktionens definitionsmängd.

1395 Låt f(x) = ________ ​​ 2 ​​

c) Teckna en formel som beskriver behållningen på kontot efter ett år om räntan betalas ut n gånger under året till en n:te-del av årsräntan.

b) Bestäm ​ ​ lim ​​ f(x)

1

x → 12

c) Bestäm ​​ lim ​​ f(x) → x ∞

d) Vi sätter in 1 kr på kontot och års­räntan är 100 %. Vilket tal kommer behållningen på kontot efter ett år att närma sig om antalet utbetalningar n går mot oändligheten?

​ lim d) Bestäm ​ ​​ f(x) → x -∞

1396 Låt p(x) = x4 + x3 − 16x2 − 4x + 48. a) Faktorisera polynomet p(x). b) Använd resultatet i a) för att lösa ekvationen p(x) _____ ​​ = 0 utan digitalt hjälpmedel. ​​ x+4

)

1399 Låt p(x) = −x4 + 3x3 + 68x2 + 6x + 140.

Nivå 3 1397 Ett tredjegradspolynom har ett nollställe för

x = −1 och ett dubbelt nollställe för x = 3.

Grafen går genom punkten (1, 16). Bestäm polynomet. Lös uppgiften både för hand och med symbolhanterande hjälpmedel.

a) Bestäm två rötter till polynomekvationen p(x) = 0 med hjälp av ett grafritande verktyg. b) Skriv polynomet p(x) i faktorform om du vet att x2 + 2 är en faktor i p(x). c) Faktorn x2 + 2 går inte att bestämma med hjälp av grafritande verktyg. Förklara varför.

Resonemang och begrepp u Varför måste man ta hänsyn till nämnarens nollställen i ett rationellt uttryck? u Vad är skillnaden mellan en rationell funktion och en polynomfunktion? u Hur bestämmer man nollställen till en rationell funktion? u Vad menas med höger- respektive vänstergränsvärde? u Nämn några anledningar till att en funktion kan vara diskontinuerlig i en viss punkt. u Vad menas med gränsvärdet till f(x) när x → 7? u Varför kan man inte alltid direkt sätta in x = 0 i ett funktionsuttryck om man ska beräkna uttryckets gränsvärde när x går mot 0?

52

ALGEBRAISKA UTTRYCK  1.3 Rationella uttryck

Programmering

Kan man gissa i matematik? y

(g2, f(g2)) x = g1 y = f(x)

x

x = g2

(g1, f(g1))

I boken ”Nio böcker om räknekonsten” sammanfattas den matematik som användes i Kina under århundradet före Kristus. I ett kapitel presenteras metoden dubbel falsk position för att lösa ekvationer på formen f(x) = 0.

Metoden går ut på att utifrån två gissningar x = g1 och x = g2 samt funktionsvärdena f(g1) och f(g2) bestämma en bättre gissning till lösningen.

Anta att vi vill lösa en ekvation där f(x) = ax + b. Då kan lösningen till ekvationen bestämmas på följande sätt: g2 · f1 − g1 · f2 x = ____________ ​​ ​ ​ f1 − f2 där g1 och g2 är de två gissningarna samt f1 = f(g1) och f2 = f(g2).

Följande program använder metoden dubbel falsk position för att lösa ekvationen 3x − 8 = 0.

Text efter # är kommentarer i koden

print skriver ut text eller värdet på variabler

int(input()) låter en användare mata in ett heltal

#Ekvationer på formen ax + b = 0 a = 3 b = -8 g_1 = int(input("Gissa lösningen till ekvationen: ")) g_2 = int(input("Gissa en gång till: ")) f_1 = a * g_1 + b #Beräknar värdet av vänsterledet med första gissningen f_2 = a * g_2 + b #Beräknar värdet av vänsterledet med andra gissningen x = (g_2 * f_1 - g_1 * f_2) / (f_1 - f_2) #Dubbel reguala falsi print("Lösningen är x = ", x)

1 Kopiera programmet och kör det. Arbeta tillsammans med en kompis

och kör programmet ett par gånger. Fungerar programmet oavsett vad ni gissar på?

2 Ändra i programmet så att det i stället löser ekvationen 5x − 17 = 0.

ALGEBRAISKA UTTRYCK  PROGRAMMERING

53

1

>

Uppslaget Rätt eller fel?

1

Polynomet p(x) = 5x3 + 3x2 + 6x − 1 är av grad 5.

Om p(−2) = 0, så är x − 2 en faktor i p(x).

Varje kontinuerlig funktion är definierad för alla värden på x.

Varje tredjegradspolynom har minst ett noll­ ställe.

Produkten av ett tredjegradspolynom och ett andragradspolynom är ett sjättegrads­ polynom.

Värdemängden anger funktionsvärdena som en funktion f(x) antar, om man låter x anta alla värden i definitionsmängden.

Summan av två tredjegradspolynom är alltid ett nytt tredjegradspolynom.

Det finns rationella uttryck som inte kan ­förkortas.

Undersök Grafen till rationella funktioner

u Besvara föregående frågor när i stället x → −∞.

Hur ser grafen till en rationell funktion ut? Vi har sett exempel på när funktionen går mot ett gräns­ värde när x går mot ett visst värde eller mot oändligheten. Men det finns även rationella funk­ tioner där grafen närmar sig en viss linje när x går mot ∞ eller −∞. Här ska du undersöka hur grafen till några rationella funktioner ser ut. Ta hjälp av grafritande verktyg.

Hittills har grafen närmat sig ett visst värde, dvs. en vågrät linje. I vissa fall närmar sig grafen i stäl­ let en lutande linje.

u Vilket värde närmar sig grafen när x → ∞?

x−3 ​​ ​​ A y = ______

x x−5 ______ ​​ C y = ​​ x−3 5x + 2 ​​ E y = ________ ​​ x+1

x B y = ______ ​​ ​​

x−3 2x − 3 ________ D y = ​​ ​​ x x−4 F y = ________ ​​ ​​ 3 − 2x

u Vilken generell slutsats kan du dra om det

värde som grafen närmar sig när x → ∞? ax + 2 ax + b G y = ________ ​​ ​​ H y = ________ ​​ ​​ x cx + d

54

ALGEBRAISKA UTTRYCK  UPPSLAGET

u Figuren visar

grafen till x2 + 3x − 2 y = ____________ ​​ ​​ x Vilken linje ­närmar sig grafen när x → ∞ eller när x → −∞?

y x2 + 3x − 2 ​​ y = ____________ ​​ x

1

x 1

u Vilken linje närmar sig grafen när x → ∞?

x2 − 2x + 3 ​​ I y = _____________ ​​ x

6x2 − 4x − 1 J y = ______________ ​​ ​​ 2x

Problemlösning och modellering En golfspelare slår ett slag från tee (som är nam­ net på utslagsplatsen i golf). Som modell för golf­ bollens bana kan man använda parabeln i figuren. m

Höjd

30 20 10

Längd 40

x 90 för en golfboll som slås från x = 0. Hur långt blir slaget?

u Uttrycket g(x) = ____ ​​ ​​(58 − x) beskriver boll­banan

Golf och golfare

80

120

m

Bollens bana beskrivs av 124x − x2 ​​ f(x) = __________ ​​ 130 där f(x) m är höjden efter att bollen nått x m. Om vi faktoriserar funktionsuttrycket, så får vi x f(x) = ​​ ____ ​​(124 − x) 130 vilket gör det enkelt att hitta funktionens två nollställen, nämligen x = 0 och x = 124. Detta kan tolkas som att golfspelaren står vid tee (origo i koordinatsystemet) och bollen tar mark 124 meter längre bort.

u Laura slår ut bollen från tee på hål 17, ett

131 m långt par 3-hål. Hon ”slicar” tyvärr bollen som får en bana som i höjdled följer 110x − x2 h(x) = ____________ ​​ ​​ 110 Göran kommenterar tävlingen och står i boll­ banan 108 m från tee. Han hör inte att Laura skriker ”fore”, som betyder ”se upp” på golf­ språk. Kommer Göran att träffas av bollen?

u Konstruera grafen till ett funktionsuttryck som

beskriver banan för en golfboll som slås från tee och tar mark efter 75 meter. Vilken blir bollens maximala höjd med din funktion?

u Konstruera ett funktionsuttryck som beskriver

banan för en golfboll som slås 46 meter från tee, tar mark 131 meter längre fram och har en maximal höjd på 15 m.

u Konstruera ett funktionsuttryck som beskriver

banan för en golfboll som slås n meter från tee, tar mark efter k meter och har en maximal höjd på h meter.

ALGEBRAISKA UTTRYCK  UPPSLAGET

55

1

Historia

Sophie Germain och Fermats sista sats Sophie Germain och den franska revolutionen

1

Sophie Germain (1776–1831)

Sophie Germain föddes i Paris år 1776. Den franska revolutionen bröt ut år 1789 och ledde till att Sophie Germain fick vistas en stor del av sin ungdomstid inomhus. Familjen hade ett stort bibliotek där den unga Sophie Germain tillbringade mycket tid. Det sägs att hon blev fascinerad av historien om Arkimedes liv. Den grekiske filosofen, astronomen och matematikern Arkimedes (ca 287–212 f.Kr.) lär ha blivit dödad av en romersk soldat när han studerade ett geometriskt problem som han ritat upp i sanden. ­Arkimedes hade inte svarat på soldatens tilltal, och när soldaten kom framstörtande mot honom i vredesmod ska han ha skrikit ”Rubba inte mina cirklar!”.

Sophie Germain förstod att det var något speciellt med ett ämne som kunde fånga en människa så till den grad att det ledde till döden. Hon började läsa böcker om matematik och blev själv uppfylld av ämnet.

På den tiden ansågs det inte lämpligt för en flicka att studera matematik och hennes föräldrar motarbetade hennes nya intresse. De försökte hindra Sophie Germain från att läsa på nätterna och tände därför inte brasor eller ljus. Till slut förstod föräldrarna att de inte kunde stoppa henne och de kom senare att finansiera hennes forskning.

Studier med förhinder

Joseph-Louis Lagrange (1736–­1813)

École Polytechnique öppnades i Paris år 1795. Där skulle nationens nya matematiker och naturvetare utbildas. Fast kvinnor var inte välkomna.

Sophie Germain lyckades få föreläsningsanteckningar utsmugglade av sina vänner och kunde på så vis följa undervisningen. Hon använde till och med en manlig students identitet för att kommunicera med skolan. I det namnet fick hon uppgifter och meddelanden skickade till sig och kunde också själv skicka in lösningar på problem. Det dröjde inte länge förrän hennes briljanta lösningar tilldrog sig uppmärksamhet från den fransk-italienske matematikern Joseph-Louis Lagrange (1736–1813). Han krävde att få träffa den duktige studenten och Sophie Germain blev avslöjad. Tvärtemot vad hon trott, så blev Lagrange förtjust över att den okände studenten var en kvinna. Sophie hade för första gången en lärare som kunde hjälpa och inspirera henne.

Fermats sista sats Till en början arbetade Sophie Germain främst med talteori, den del av matematiken som behandlar egenskaperna hos de hela talen. Tidigt kom hon i kontakt med det påstående av den franske juristen och matematikern Pierre de Fermat (1601–1665) som brukar kallas Fermats sista sats. Man kan säga

56

ALGEBRAISKA UTTRYCK  HISTORIA

Pythagoras sats I en rätvinklig triangel är summan av kvadraterna av kateterna lika med ­kvadraten av hypotenusan x2 + y2 = z2

c2 = 25 c a b

a2 = 9

att påståendet bygger vidare på Pythagoras sats x2 + y2 = z2, det vill säga att summan av kvadraterna på kateterna i en rätvinklig triangel är lika med kvadraten på hypotenusan. Fermats sista sats säger att ekvationen xn + yn = zn, där n är ett heltal större än 2, inte har några heltalslösningar skilda från noll.

I marginalen till en bok antecknade Fermat att ”Jag har ett i sanning underbart bevis för detta påstående, men marginalen är alltför trång för att rymma detsamma”. Anteckningen hittades först ett par år efter Fermats död. Han tog alltså beviset med sig i graven. Det saknade beviset kom att gäcka matematiker i över 350 år.

Fermat hade i sina anteckningar bevisat att ekvationen saknar heltals­ lösningar för n = 4 och i början av 1700-talet bevisade den schweiziske matematikern Leonhard Euler (1707–1783) detsamma för n = 3.

b2 = 16

Sophie Germains bevis Fermats sista sats Ekvationen xn + yn = zn där n är ett heltal större än 2, saknar heltalslösningar skilda från 0.

Sophie Germain läste Eulers bevis och förstod att det inte skulle gå att komma fram till ett bevis som gällde alla värden på n om man skulle bevisa för ett tal i taget. Det fanns ju fortfarande ett oändligt antal värden på n kvar som satsen inte var bevisad för. Sophie Germain insåg att man måste behandla grupper av tal. Hon lyckades bevisa att ekvationen saknade lösningar för vissa primtalsvärden på x, y, z och n. Under 1800-talet kom hennes metod att användas för att bevisa Fermats sats för både n = 5 och n = 7.

Sophie Germain dog av bröstcancer år 1831 och hann inte ta emot det hedersdoktorat som hon förärats av Göttingens universitet genom hennes vän, den tyske matematikern Carl Friedrich Gauss (1777–1855).

Ett bevis till slut

Andrew Wiles (född 1953)

?

Ett primtal p kallas ett Sophie Germainprimtal om 2p + 1 också är ett primtal.

De första Sophie Germain­ primtalen är 2, 3 och 5. Ange de 10 följande.

?

Ge förslag på lösningar x, y, z till ekvatio­ nen xn + yn = zn för n = 2.

Fermats sista sats fortsatte att förbrylla och utmana matematiker genom århundradena. Den som till sist lyckades utföra beviset var engelsmannen Andrew Wiles. Han föddes år 1953 i Cambridge och han blev tidigt fascinerad av Fermats sista sats. Andrew Wiles började studera matematik med ambitionen att granska alla försök till bevis, hitta deras brister och försöka rätta till dem. Med tiden blev han professor vid Princeton University och fick andra problem att arbeta med.

Men det som låg och gnagde i bakhuvudet var Fermats sista sats. Efter många års arbete presenterade han resultatet på en internationell matematik­ konferens år 1993. Ryktet hade spridit sig att Fermats sista sats skulle bevisas och salen var proppfull av nyfikna och upphetsade åhörare. Det 70 sidor långa beviset visade sig dock innehålla en osäkerhet, vilket gjorde att det underkändes. Nedslagen, men inte knäckt, bestämde sig Andrew Wiles för att göra ett nytt försök och i maj år 1995 publicerade han det 130 sidor långa slutgiltiga beviset till Fermats sista sats.

ALGEBRAISKA UTTRYCK  HISTORIA

57

1

Tankekarta

Algebraiska uttryck Algebra

Polynomfunktioner

u uttryck

u kontinuerliga funktioner

u polynom

u nollställen och faktorer

u ekvationer

u definitionsmängd och värdemängd

u funktioner

u andragradsfunktion

tredjegradsfunktion

y

1

y

x

1

x

1

1

1

u faktorsatsen

Polynom u variabel, koefficient och

­konstantterm

u gradtal u polynomfunktion u polynomekvation u gradtalet ger högsta antal noll­

ställen

Polynomekvationer u faktorisering u pq-formeln u kvadratkomplettering u grafisk lösning u en polynomekvation av grad n har högst n rötter

Rationella uttryck

Rationella funktioner

u polynom i täljaren och nämnaren

u definitionsmängd

u ej definierade för 0 i nämnaren

u värdemängd

u förkortning, förlängning och

y 1

1 y = __ ​ x ​

x

1

­förenkling

u rationella funktioner

Gränsvärden

Kontinuitet

u limes

u funktioner med sammanhängande graf i hela sin

u om vänster- och högergräns­

värdena är lika för x = a så existerar gränsvärdet ​​ lim ​​ f(x) → x a

definitionsmängd är kontinuerliga

u för kontinuerliga funktioner gäller att

för varje punkt i definitionsmängden

ALGEBRAISKA UTTRYCK  TANKEKARTA

x→a

u för diskontinuerliga funktioner gör grafen minst

ett språng inom sin definitionsmängd

58

​​lim ​​ f(x) = f(a)

Blandade uppgifter Nivå 1

10 I en mattebok finns följande uppgift:

1 Låt f(x) = x2 − 3x + 2 och bestäm a) f(0)

b) f(−2)

c) x när f(x) = 0

2 Utför multiplikationen och förenkla där det går. a) (5x2 − 3)(7 − 2x) b) (x2 − 4)(x − 5)

3 Kajsa har löst andragradsekvationen

x2 + 9x = −20 och fått ekvationens rötter till x1 = 4 och x2 = 5. Pontus säger att det är fel trots att han inte har löst ekvationen. Förklara hur han kan se det.

a) 8a2 − 12a

b) 4x2y − 2x2y2

c) 3x2y + 12xy

d) 12ab + 9b2 + 3a2b

5 För vilka värden på variabeln x är uttrycken inte definierade?

x3 − 8 c) ​​ ______ ​​ 5x + 1

x b) ​​ ______ ​​ x2 − 9

6 Bestäm a) ​​lim ​​ (2x + 7) x→5

(

)

2 b) ​​ lim​​ ​ ​ __ ​ + 4 ​ h→∞

x

f(x) = 0,5(x + 2)(x − 7) koordinataxlarna?

8 Vilket av alternativen A–E visar ett polynom?

(

)

9 Bestäm

​​ 2−x a) ​​lim → x ∞

11 Lös polynomekvationerna med hjälp av

1

­grafritande verktyg.

B x2 + x2,5 D

4x3

b) x3 − 5x2 + 2x = −10

«

12 Lös andragradsekvationerna a) x2 − 4x + 4 = 0

b) x2 + x = 30

13 Bromssträckan för en bil bestäms vid ett visst

tillfälle av s(v) = 0,25v + 0,02v2, där s(v) är sträckan i meter och v är bilens hastighet i km/h. a) Bestäm s(90) − s(70) b) Vad innebär resultatet i a)?

14 Bestäm definitionsmängden för de rationella

7 I vilka punkter skär grafen till

4 A ​​ __3 ​​ + 4x3 x 1 3 C ​​​ 2 + __ ​ ​ ​ ​​ x 5x E ​​ ________2 ​​ 12x − x

Ola och Mia har löst uppgiften men de har fått helt olika svar. Ola har fått två rötter x1 = −1 och x2 = 4. Mia har bara fått en rot x = −2. När de tittar i böckerna ser de att i Mias bok är parenteser utsatta som inte finns i Olas bok.

Sätt ut parenteser i uppgiften så att du får samma svar som Mia.

a) x3 + 10x2 + 13x − 24 = 0

4 Faktorisera uttrycken

7 + 4x a) ​​ ______ ​​ x

Lös ekvationen x − ​4/x​− 1 = 2

+

2x2

(Np Ma3b ht 2012)

funktionerna

x2 − 3x + 5 a) f(x) = __________ ​​ ​​ 2x − 1

x2 + 6x + 2 b) f(x) = __________ ​​ ​​ x(x − 3)

15 I Klaras mattebok står det: Ett andragradspolynom p(x) har nollställen i punkterna (0, 4) och (0, −2). Den skär y-axeln där y = −8. Vilket är polynomet? Klara vill inte lösa uppgiften, utan menar att något är fel. Har Klara rätt och vilket är i så fall felet? y

16 Vilket polynom av

(7, 18)

grad 2 visar grafen?

b) ​​lim

​​ (2−x + 3) → x ∞

24 c) ​​lim

​​ ​ _______ ​ x → ∞ 2−x + 3

2

(4, 0)

(10, 0)

x

2

ALGEBRAISKA UTTRYCK  BLANDADE UPPGIFTER

59

17 Ange en rationell funktion som har nollställe

för x = 4 och som har definitionsmängden x ≠ 5.

18 Rita grafen till funktionen som definieras av

{ < 2 ​​ + 3 för x ​

b) g(x) = {​​ ​−x 2x för x ≥ 2 ​ + 3 för x < 2 2x ​

​​ a) f(x) = ​​ ​ x + 5 för x ≥ 2 ​

1

«

c) Är funktionerna kontinuerliga eller diskontinuerliga?

19 Förenkla följande uttryck så långt som ­möjligt.

Nivå 2 22 Ulf och Janne åker Vasaloppet. Ulf kan beskriva den sträcka i kilometer, som han har kvar till målet med uttrycket sU(t) = 90 − 11t + 0,08t2, där t är tiden i timmar efter starten.

Motsvarande uttryck för Janne är sJ(t) = 90 − 10t − 0,05t2.

De angivna funktionsuttrycken är förenklade matematiska modeller som inte tar hänsyn till t.ex. uppehåll, uppförsbackar och utförslöpor.

a) 16 + (x3 + 4)(x3 − 4)

a) Använd något av funktionsuttrycken för att bestämma hur långt Vasaloppet är.

x 4 b) ​​ _______9 ​​ + ​​ _______9 ​​ (x + 4) (x + 4)

b) Beräkna sU(4) − sJ(4) och tala om vad du beräknat.

(Np Ma3b ht 2013)

c) Vilken åktid hade Janne?

20 I figuren nedan är grafen y = f(x) ritad. Lös uppgifterna med hjälp av figuren.

23 I figuren nedanför är grafen y = f(x) ritad. Svara på uppgifterna med hjälp av figuren.

y

6 1

x

4

1

2

a) Bestäm f(−2).

x 2

b) Bestäm gränsvärdet ​​ lim​​ f(x) x→3

c) Existerar gränsvärdet ​​ lim ​​ f(x)? Motivera x → −2 ditt svar. d) Är funktionen kontinuerlig?

21 Viggo tillverkar ljusstakar. Han har fasta kostnader på 1 450 kr. Kostnaden för att tillverka en ljusstake är 84 kr.

a) Ange ett funktionsuttryck som visar Viggos kostnader K(x) kr, för att tillverka x stycken ljusstakar. b) Ange ett funktionsuttryck som visar genomsnittskostnaden G(x) kr, för att tillverka x st ljusstakar.

60

y

ALGEBRAISKA UTTRYCK  BLANDADE UPPGIFTER

4

6

a) Bestäm vänstergränsvärdet för x =2. b) Bestäm högergränsvärdet för x =2. c) Existerar gränsvärdet ​​ lim​​ f(x)? x→2

24 Grafen till ett andragradspolynom tangerar x-axeln i punkten (8, 0) och skär y-axeln i (0, −4). Vilket är polynomet?

25 Bestäm gränsvärdena med och utan symbolhanterande hjälpmedel.

2x + 4 a) ​​lim

​​ ______ ​ ​ x→∞ 3x 2x + 4

​​ ______ ​ ​ c) ​​lim x → ∞ 3x + 8

2x + 4 ​ b) ​​ lim ​​ ______ ​ x → −∞ 3x 2x + 4 ​ d) ​​ lim ​​ ______ ​ x → −∞ 3x + 8

x+1 x +1

26 Förklara varför uttrycket ​​ ______ ​​ är definierat 2 för alla x.

27 För en funktion f gäller att funktionsvärdet

närmar sig 4 när x närmar sig 5 från vänster, och att funktionsvärdet närmar sig 7 när x närmar sig 5 från höger.

Skissa grafen till en funktion som uppfyller dessa villkor och dessutom är definierad för x = 5.

28 Hur många nollställen har en polynomfunktion

av andra graden? Motivera genom att ge exempel.

29 Ange en rationell funktion där nämnaren inte är ett konstant polynom, men där den rationella funktionen är definierad för alla x.

30 För en funktion f gäller att

​​lim​​ f(x) = 11 x→3

Åke påstår att eftersom gränsvärdet existerar för x = 3 så måste funktionen vara kontinuerlig för x = 3. Har Åke rätt? Motivera ditt svar.

34 Summan av längden och bredden i en rektangel är 18,00 cm. Beräkna längden om arean är 74,75 cm2.

5x 1 6 6 symbolhanterande hjälpmedel.

35 a) Faktorisera uttrycket x2 + ___ ​​ ​​ + __ ​​ ​​ med ett 5x 1 b) Lös ekvationen x2 + ___ ​​ ​​ + __ ​​ ​​ = 0 utan digitalt 6 6 hjälpmedel. c) Bestäm nollställena till funktionen 5x 1 f(x) = x2 + ___ ​​ ​​ + __ ​​ ​​.

6 6 d) Faktorisera 2x3 + x2 − 7x − 6 med ett symbolhanterande hjälpmedel. e) Lös ekvationen 2x3 + x2 − 7x − 6 = 0 utan digitalt hjälpmedel. f ) Ange ett uttryck på formen ax3 + bx2 + cx + d 2 som har nollställen för x = 2, x = __ ​​ ​​ 3 7 och x = −​​ __ ​​.

5

Nivå 3 36 Faktorisera polynomet p(x) = 2x4 − 8x2 − 24

31 Låt f(x) = x2 + 4x + 2. f(5 + h) − f(5) a) Teckna uttrycket ​​ ____________

​​ och förenkla h det så långt som möjligt. f(5 + h) − f(5) ​ ​ b) Bestäm ​​ lim​​ ____________

med hjälp av variabelsubstitution.

37 a) Faktorisera uttrycket x2 − 1 utan ett digitalt hjälpmedel

h f(x + h) − f(x)

c) Teckna uttrycket ​​ ____________ ​​ och förenkla h det så långt som möjligt.

b) Faktorisera uttrycket x4 − 1 utan ett digitalt hjälpmedel

f(x + h) − f(x) ​ ​ d) Bestäm ​​ lim​​ ____________ h h→0

d) Faktorisera uttrycket x7 − 1 med ett symbolhanterande hjälpmedel.

h→0

32 Har uttrycken något gränsvärde när x → −3?

Motivera ditt svar. x2 + 3 a) ​​ ______ ​​ x+3 x2 + 6x + 9 __________ ​​ c) ​​ x+3

x2 − 9 b) ​​ ______ ​​ x+3 x2 − 6x + 9 __________ d) ​​ ​​ 3−x

33 Låt p(x) = x4 + 5x3 + 5x2 − 5x − 6. a) Faktorisera p(x) med symbol­hanterande hjälpmedel.

c) Faktorisera uttrycket x3 − 1 med ett symbolhanterande hjälpmedel.

e) Formulera en regel för faktoriseringen av uttryck på formen xn − 1 om n är ett udda tal.

38 En möbeltillverkare beskriver kostnaden K

kronor för en serie stolar med formeln K(x) = 9 000 + 20x + 0,8x2, där x är antalet stolar och 100 ≤ x ≤ 500. Hur många stolar finns i serien om han beräknar att varje stol i genomsnitt kostar 200 kr att tillverka?

b) Lös ekvationen p(x) = 0.

ALGEBRAISKA UTTRYCK  BLANDADE UPPGIFTER

61

1

«

Kapiteltest Del 1 Utan digitalt hjälpmedel 1 Ett polynom bestäms av p(x) = x3 − 4x2 + 8. Beräkna a) p(1)

b) p(−2)

2 Bestäm gränsvärdet av f(x) = 3x − 7 när x → 5.

3 Förenkla uttrycket så långt som möjligt.

6a2 ___ 3 a) ​​ ____ ​​ · ​​ ​​ 5 2a

5x3 − 25x2 ​​ b) ​​ __________ 5x2

x2 − 4 c) ​​ _______ ​​ x2 + 2x

4 Vad ska stå i rutan för att uttrycket ska kunna faktoriseras med kvadreringsreglerna?

1

a) x2 − 18x +

b) 4x2 +

x+9

5 Ange definitionsmängd och nollställen till funktionen x2 − 4x − 5 f(x) = __________ ​​ ​​ x−1

6 Lös ekvationerna a) x3 + x2 − 2x = 0

1 5 1 b) ​​ ___ ​​ − ​​ ___ ​​ = ​​ ___ ​​ 3x 6x 10

7 Skriv uttrycket som en kvot av två polynom 2x − 1 4 − x a) ​​ ______ ​​ − ​​ _____ ​​ x+3 x−2

a a2 − b2 b) ​​ _____ ​​ · ​​ _______ ​​ a−b 2b

/

x2 − 4 (x − 2)2 ______ c) ​​ _______ ​​ ​​ ​​ x x

8 I ekvationen x3 − 17x2 + 71x − 55 = 0 kan VL skrivas som produkten (x − 1)(x2 − 16x + 55). Bestäm ekvationens samtliga rötter.

9 Ge exempel på en polynomfunktion av andra graden som saknar nollställen.

10 Doris har fått uppgiften att finna vilket andragradspolynom p som har nollställena x1 = −2 och x2 = 3 och som uppfyller p(0) = 6.

Här ser du hennes lösning:

Nollställena x = −2 och x = 3 ger att polynomets faktorer är (x + 2) och (x − 3). p(x) = (x + 2)(x − 3) = x2 − x − 6 Svar: p(x) = x2 − x − 6 Ge Doris återkoppling på lösningen.

62

ALGEBRAISKA UTTRYCK  KAPITELTEST

Del 2 Med digitalt hjälpmedel 11 Figuren visar grafen till en funktion f. a) Ange definitionsmängd och värdemängd för funktionen.

y

b) Ange vänster- och högergränsvärdet för x = 2.

1

c) Bestäm f(2).

x 1

d) Är funktionen kontinuerlig? Motivera ditt svar.

12 Kostnaden K kronor för att framställa ett reklamblad kan beskrivas med K(x) = 1 100 + 0,1x + 0,0005x2, där x är antalet blad som trycks. a) Beräkna K(1 000).

1

b) Beskriv med ord vad K(1 000) betyder. c) Hur många reklamblad kan man trycka för 10 000 kr?

13 Bestäm följande gränsvärden. x4 − 16 a) ​​lim ​​ _______ ​ ​ x → 2 x2 − 4

(3 + h)2 − 9 ​​ ___________ ​ b) ​​lim ​ h h→0

14 Polynomet p ges av p(x) = x3 + 2x2 − 25x − 50. a) Fakorisera polynomet. b) Ange polynomets nollställen.

15 Johanna jobbar extra i en korvkiosk. I januari är hennes timlön x kr och hon får totalt 2 520 kr i lön. I februari höjs timlönen med 3,50 kr per timme men hon jobbar färre timmar och hon tjänar totalt 2 394 kr. Teckna ett uttryck för antalet timmar, som hon har jobbat under de två månaderna. Skriv som ett rationellt uttryck.

16 Här nedanför har vi ritat graferna som bestäms av polynomen f(x), g(x) och h(x). y

y

y y = g(x)

y = f(x)

1

y = h(x)

x 1

1

x 1

1

x 1

u

Förklara hur man med hjälp av grafen y = f(x) kan bestämma polynomet f(x) = (x + 1)(x − 1)(x + 3).

u

Bestäm polynomet g(x) med hjälp av grafen y = g(x).

u

Bestäm polynomet h(x) med hjälp av grafen y = h(x).

ALGEBRAISKA UTTRYCK  KAPITELTEST

63

2

Linjär optimering, ändringskvot och derivata

Delkapitel 2.1 Linjär optimering 2.2 Sekanter och tangenter 2.3 Derivata

Förkunskaper ■ Algebraiska uttryck ■ Ekvationslösning ■ Räta linjens ekvation ■ Funktioner och deras grafer ■ Begreppet gränsvärde

Centralt innehåll ■ Metoder för linjär optimering.

■ Begreppet gränsvärde. Begreppen

sekant, tangent, förändringshastig­ het, ändringskvot och derivata för en funktion.

■ Villkor för deriverbarhet.

■ Grafiska och digitala metoder för

att derivera funktioner.

64

O

m man åker bil och samtidigt tittar på bilens hastighetsmätare, så ser man hur hastigheten ändras både vid inbromsningar och vid omkörningar. Hastighetsmätaren visar inte bilens medelhastighet, den visar bilens hastighet i ett visst ögonblick. För att matematiskt kunna beskriva hastigheten i ett visst ögonblick, använder man derivata, som är ett mått på förändringshastighet.

Om förändringshastigheten är konstant, så kan man beskriva sambandet med en rät linje. I ekonomiska tillämpningar använder man räta linjer för att beskriva produktionsbegränsningar och för att bestämma de optimala villkoren. Metoden kallas därför linjär optimering.

I det här kapitlet får du inledningsvis repetera att du kan u

bestämma och tolka en linjes ekvation

u

lösa ekvationssystem med grafiska och algebraiska metoder

När du är klar med kapitlet ska du kunna u

använda linjär optimering i ekonomiska och samhällsvetenskapliga tillämpningar

u

förklara och använda begreppen lutning, ändringskvot och derivata

u

bestämma ändringskvot och derivata med hjälp av en graf eller ett funktionsuttryck

u

beräkna genomsnittliga förändringshastigheter

u

bestämma förändringshastigheten i ett givet ögonblick

u

beräkna derivatan genom att använda derivatans definition

u

avgöra om en funktion är deriverbar i en viss punkt

Loppisförsäljning Ellen och Roger ska sälja marshmallows och hemmagjord kola på en lopp­ marknad. De räknar med att en påse marshmallows säljs för 20 kr och en påse kola för 10 kr. På väg till loppisen har de begränsat utrymme på sin flak­ moppe. De kan bara ta med 40 kg varor och volymen får inte överstiga 70 liter.

En påse marshmallows väger 250 g och har volymen 0,5 liter och en påse kola väger 100 g och har volymen 1 dl. Ellen och Roger bestämmer sig för att ta med 80 påsar marshmallows och 200 påsar kola. u

Bestäm volym och vikt för 80 påsar marshmallows och 200 påsar kola.

u

Hur stora blir intäkterna om de säljer alla de medtagna påsarna?

u

Kan de få en större intäkt genom att ta med sig andra mängder påsar av kola respektive marshmallows? Vilka mängder ska de i så fall ta med?

65

2.1 Linjär optimering Räta linjens ekvation och lösning av ekvationssystem Optimering

2

Företag vill oftast göra så stora vinster som möjligt. Ett företag som tillverkar sängar måste till exempel ta hänsyn till att kostnad, tillverkningstid och vinst är olika för olika sängmodeller och att det finns begränsningar i form av tillgängliga arbetstimmar och ekonomiska resurser. För att vinsten ska bli så stor som möjligt, behöver företaget bestämma hur många sängar av varje modell som bör ­tillverkas. De behöver göra vad som kallas optimering av vinsten. Senare i kapitlet kommer vi att lösa den här typen av problem grafiskt med hjälp av räta linjer. Vi börjar därför med att repetera räta linjens ekvation och hur man löser ekvationssystem.

Rät linje

Lösningar till räta linjens ekvation y = kx + m, där k och m är konstanter, är par av tal x och y. Om man markerar alla dessa talpar (x, y) i ett koordinat­ system, så får man en rät linje.

Skärning med koordinataxlarna

y

Linjen skär y-axeln i punkten där x = 0 och x-axeln i punkten där y = 0.

(0, m)

Värdet av konstanten m i y = kx + m är y-koordinaten för punkten där linjen skär y-axeln.

Riktningskoefficient

x

En rät linje har samma lutning längs hela linjen. Lutningen kan anges med linjens riktningskoefficient k. Riktningskoefficienten k beräknas enligt Δy förändring i y-led ___

​ = ​ ​ k = ________________ ​ förändring i x-led Δx Med hjälp av koordinaterna (x1, y1) och (x2, y2) för två punkter på linjen kan ­riktningskoefficienten k beräknas med formeln

y (x2, y2) ∆y = y2 − y1

(x1, y1)

y − y2 Δy y2 − y1 _______ ​ = ​ 1 ​ ​ k = ___ ​ ​ = _______ Δx x2 − x1 x1 − x2

1

Ju större värde på k, desto mer lutar linjen. Om k < 0, så lutar linjen nedåt.

Riktningskoefficienten k = 0 innebär att linjen är parallell med x-axeln. k-form och allmän form

66

Räta linjens ekvation kan skrivas på olika sätt: u

y = kx + m är räta linjens ekvation i k-form

u

ax + by + c = 0 är räta linjens ekvation i allmän form

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.1 Linjär optimering

∆x = x2 − x1 x 1

Räta linjens ekvation Ekvationen y = kx + m, där k och m är konstanter, kallas räta linjens ekvation.

Riktningskoefficienten k beskriver linjens lutning och m är y-koordinaten för den punkt där linjen skär y-axeln.

y

∆y k = ​ ____ ​ ∆x

y = kx + m

∆y x

∆x (0, m)

Ekvationerna 2x − y = −1 och x + y = 4 har två obekanta, x och y. Lösning­ arna till ekvationerna är par av tal. Till exempel har ekvationen x + y = 4 lösningarna x = 1, y = 3 Grafisk lösning av ekvationssystem

x = 2, y = 2

x = 3, y = 1

2

Att lösa ekvationssystemet

{

2x − y = −1 ​ ​ ​ ​ x+y=4 ​

innebär att bestämma ett talpar x och y som är en gemensam lösning till båda ekvationerna. Var och en av ekvationerna beskriver en rät linje. Alla linjer som inte är parallella, dvs. som inte har samma värde på riktnings­ koefficienten k, skär varandra i en punkt. Om vi vill lösa ett ekvations­system grafiskt, så löser vi först ut y ur de båda ekvationerna och ritar sedan de två linjerna i samma koordinatsystem. Koordinaterna för linjernas skärnings­ punkt kommer att ge den gemensamma lösningen till de båda ekvationerna.

{

y = 2x + 1 ​ ​ ​ ​ y = −x + 4​

Här har vi löst ut y ur båda ekvationerna

I koordinatsystemet till höger kan vi avläsa att linjerna skär varandra för x = 1, y = 3. Vi har nu grafiskt bestämt att lösningen till ekvations­systemet är

{

= 1 ​​ ​ ​x y = 3​ Algebraisk lösning av ekvationssystem

Man kan också lösa ekvationssystemet med hjälp av grafritande verktyg

y

y = 2x + 1 y = −x + 4

1

x

1

Att lösa ett ekvationssystem grafiskt har begränsningar främst när det gäller noggrannheten i lösningen. Om man vill bestämma exakta värden på lösningarna, så kan man i stället använda en algebraisk metod. I kurs 2 presenterade vi substitutionsmetoden och additionsmetoden för att algebraiskt lösa ekvationssystem. I två exempel på nästa uppslag kan du se likheter och skillnader mellan de båda metoderna.

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.1 Linjär optimering

67

Exempel: Ange ekvationen för den räta linje som går genom punkterna (1, −3) och (4, 3).

Lösning: Vi börjar med att beräkna riktningskoefficienten k.

3 − (−3) __ y − y1 ________ 6 ​​ = ​​ k = _______ ​​ 2 ​​ = ​​ ​​ = 2 3 x2 − x1 4−1 Man kan också välja att använda punkten (1, −3) eftersom ekvationen gäller för alla talpar på linjen

(x1, y1) = (1, −3) och (x2, y2) = (4, 3)

Sedan bestämmer vi linjens ekvation genom att sätta in k = 2 och koordi­ naterna för punkten (4, 3) i räta linjens ekvation y = kx + m. y = kx + m 3=2∙4+m

y = 3, k = 2 och x = 4

3=8+m

2

m = −5 Nu får vi linjens ekvation genom att sätta in k = 2 och m = −5 i y = kx + m.

Det ger y = 2x − 5.

Svar: Linjens ekvation är y = 2x − 5.

Exempel: Lös ekvationssystemet

{

y = −2x ​ ​ ​​ 2x − 2y = −6​

Lösning: Det är ofta praktiskt att börja med att numrera ekvationerna i ekvations­ systemet

{

y = −2x (1) ​ ​​ ​ ​​ ​ ​ 2x − 2y = −6​ (2) Här är det smidigt att lösa ekvationssystemet med substitutionsmetoden eftersom vi direkt kan substituera y i ekvation (2) med −2x.

2x − 2 · (−2x) = −6 2x + 4x = −6

Substituera betyder att byta ut eller ersätta med

x = −1 Vi sätter sedan in x = −1 i någon av ekvationerna (1) eller (2) för att bestämma värdet på y. Vi väljer att sätta in x = −1 i ekvation (1). y = −2 · (−1) = 2

{

x = −1 ​ ​ Svar: Lösningen till ekvationssystemet är ​ ​ y=2 ​

68

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.1 Linjär optimering

Exempel: I en kurs i gymnasieskolan ingår undervisning i både helklass och halv­ klass med samma lärare. Undervisningen ska fördelas så att eleverna får 80 undervisningstimmar i kursen och att läraren undervisar totalt 100 timmar. Hur många timmar undervisning i helklass respektive halvklass får varje elev?

Lösning: Vi börjar med att beteckna antalet undervisningstimmar i helklass med x och antalet undervisningstimmar i halvklass med y. Den totala undervis­ ningstiden för eleverna är 80 timmar. Det ger ekvationen x + y = 80. Dess­ utom vet vi att den totala undervisningstiden för läraren är 100 timmar, som består av undervisning i helklass och undervisning i två halvklasser.

Det ger ekvationen x + 2y = 100. Vi har alltså ekvationssystemet

{

x + y = 80 (1) ​ ​​ ​ ​​ ​ ​ x + 2y = 100​ (2)

Vi löser ekvationssystemet med additionsmetoden. För att x-termerna ska ta ut varandra när vi adderar ekvationerna ledvis, så multiplicerar vi båda leden i ekvation (1) med −1.

{

−1 · (x + y) = −1 ∙ 80 (1) ​

​​ ​​ ​ x + 2y = 100 ​ (2) Vilket ger

{

−x − y = −80 ​​ ​ ​ ​​ x + 2y = 100 ​ Vi adderar sedan ekvationerna ledvis. −x − y + x + 2y = −80 + 100

−x − y = −80

+ x + 2y = 100 y = 20

y = 20

För att bestämma värdet av x sätter vi in y = 20 i någon av ekvationerna (1) eller (2). Vi väljer att sätta in y = 20 i ekvation (1). x + 20 = 80 x = 60 Lösningen av ekvationssystemet blir

{

= 60 ​ ​ ​x y = 20 ​Svar: Varje elev får 60 timmar undervisning i helklass och 20 timmar ​ i halvklass.

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.1 Linjär optimering

69

2

Nivå 1

2109 Skriv linjens ekvation i k-form.

2101 Bestäm koordinaterna för punkten där linjen y = −3x + 4 skär y-axeln.

1 b) y = __ ​ ​x − 1 2

och y = −x + 5 ritade. Lös följande ekvations­ system med hjälp av figuren.

{

2

{

y y = 2x − 4 1

{

y = 2x − 4 ​ c) ​ ​ ​ y=4 ​

x 1

y = −x + 5

2104 Lös följande ekvationssystem

{

{

2y = −2x + 8 3y − 3x = 12 ​ ​

​ b) ​ ​

​ a) ​ ​ y=x+2 y+x=2 ​ ​

2105 En rät linje går genom punkterna (4, −3) och (2, 1). Bestäm linjens ekvation.

2106 Kostnaden y kronor för att anlita en platt­

sättare kan beskrivas med y = 500 + 320x, där x är antalet timmar som hon arbetar. a) Ange linjens riktningskoefficient och för­ klara vad den betyder. b) Rita grafen som beskriver kostnaden för att anlita en plattsättare.

2107 Ett företag har bokat in 50 personer på ett

konferenshotell. Företaget har bokat 34 rum, fördelat på enkelrum och dubbelrum. I de 34 rummen finns totalt 50 sängar. Hur många enkelrum är bokade?

2108 Bestäm linjernas skärningspunkter med ­koordinataxlarna.

70

2111 Frans jobbar som timanställd på en bensin­

station. Grundlönen är x kr/h och gäller på vardagar. På helger är lönen y kr/h. En vecka jobbar han 18 timmar med grundlön och 7 timmar med helglön. Frans lön under den veckan är 2 667 kr. Nästa vecka jobbar han 22 timmar med grundlön och 4 timmar med helglön. Hans lön blir då 2 672 kr. Bestäm Frans grundlön och helglön.

2112 Linjerna y = −x + 6 och y = −2x + 8 begränsar tillsammans med y-axeln ett område. Bestäm områdets area.

Nivå 3 2113 I ett koordinatsystem utgör sträckan mellan

punkterna (1, 2) och (5, 6) basen i en likbent triangel. a) I vilken punkt möter triangelns höjd basen? b) Triangelns höjd är en del av en linje.

Bestäm den linjens ekvation.

2114 För vilket värde på konstanten a har ekva­ tionssystemet oändligt många lösningar?

{

3x + y = 5 ​ ​ ​​ ax + 2y = 10​

2115 För vilket eller vilka värden på konstanterna a och b gäller att ekvationssystemet

Nivå 2

a) 5y − 3x + 12 = 0

2

för att få en ny blandning. Den ena sorten kostar 135 kr/kg och den andra 168 kr/kg.

Hur mycket ska man blanda av varje sort för att blandningen ska kosta 150 kr/kg?

2103 I figuren här nedanför är linjerna y = 2x − 4

y = 2x − 4 a) ​ ​ ​​ y = −x + 5​ y = −x + 5 ​ ​ b) ​ ​ x=2 ​

5

2110 I en teaffär blandar man två olika sorters te

2102 Ligger punkten (4, −1) på följande linjer?

1 a) y = −​ __ ​x + 1 2

4x + 3 ______ 4y − 2 ______ ​ ​ = ​ ​

b) x + 6y + 3 = 0

{

ax + 2y = 7 ​​ ​ ​ bx + 3y = 14​ a) har precis en lösning b) helt saknar lösning

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.1 Linjär optimering

Olikheter och system av olikheter Ett företag tillverkar två modeller av leksaksbilar: Ronnie som är en tävlings­ bil och Ernie som är en brandbil med fler detaljer. Monteringstiden per bil är därför olika för de två modellerna.

Ronnie

Ernie

Ronnie

Tillverkningstid av delar (min/bil)

1

1

Monteringstid (min/bil)

2

1

Personal- och maskinresurserna på företaget är begränsade. Det finns endast 100 timmar monteringstid och 80 timmar tillverkningstid att tillgå per vecka.

Tillverkningstid, monteringstid och begränsningarna i produktionen kan sammanfattas i ett system av olikheter där alla olikheter ska gälla samtidigt.

Om x är antalet Ernie-bilar som tillverkas per vecka och y är antalet Ronniebilar som tillverkas per vecka, så får vi följande olikheter

Ernie

{

Tillverkningstid per vecka är 80 · 60 min = 4 800 min x + y ≤ 4 800 Monteringstid per vecka är 100 · 60 min = 6 000 min 2x + y ≤ 6 000

​ ​​​ ​ ​ ​​ ​ Man kan inte tillverka ett negativt antal bilar. Därför är x≥0 x ≥ 0 och y ≥ 0. y≥0 ​

Vi börjar med att betrakta olikheterna var för sig x≥0

y≥0

Ekvationen x = 0 kan beskrivas i ett koordinatsystem av en rät linje som motsvarar y-axeln. Olikheten x ≥ 0 betyder i det här fallet alla punkter där x-koordinaten är större än eller lika med noll, det vill säga alla punkter som ligger i området till höger om linjen x = 0 samt på själva linjen.

y x≥0 x

På motsvarande sätt kan vi inse att villkoret y ≥ 0 kan tolkas som alla punkter som ligger i området ovanför x-axeln samt på x-axeln.

y y≥0 x

För att grafiskt åskådliggöra olikheterna x + y ≤ 4 800 och 2x + y ≤ 6 000 löser vi ut y ur båda olikheterna.

Vi får y ≤ −x + 4 800 y ≤ −2x + 6 000 y ≤ −x + 4 800

Vi börjar med att titta på olikheten y ≤ −x + 4 800.

Likheten y = −x + 4 800 motsvaras av en rät linje i ett koordinatsystem. Vi ritar linjen och inser att olikheten y ≤ −x + 4 800 motsvarar alla punkter som ligger på linjen och i området som har mindre y-värde än linjen, dvs. området under linjen.

y

y = −x + 4 800 1 000

x 1 000

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.1 Linjär optimering

71

2

y ≤ −2x + 6 000

På samma sätt kan vi inse att olikheten y ≤ −2x + 6 000 motsvaras i ett koordinatsystem av linjen y = −2x + 6 000 och hela området under den linjen.

y y = −2x + 6 000 1 000

x 1 000

De villkor som begränsar produktionen för leksaksföretaget ska vara uppfyllda på samma gång, dvs. hela systemet av olikheter ska gälla samtidigt.

{

y ≤ −x + 4 800 y ≤ −2x + 6 000

​ ​​​ ​ ​ ​​ ​ x≥0 y≥0 ​

2

Vi markerar alla dessa områden i ett och samma koordinatsystem och ser att villkoren svarar mot ett begränsat gemensamt område där punkterna uppfyl­ ler alla fyra olikheter. y

y

y = −2x + 6 000

y = −2x + 6 000 y = −x + 4 800

y = −x + 4 800 1 000

x

1 000

1 000

Alla villkor är markerade i samma koordinatsystem.

I området med mörkast färg är alla villkor uppfyllda samtidigt.

x 1 000

Här har vi markerat endast det område där alla villkor är uppfyllda samtidigt.

I nästa avsnitt kommer vi att visa hur man utifrån liknande system av olik­ heter kan optimera till exempel ett företags vinst. I det här avsnittet kommer vi endast att studera systemen av olikheter i sig.

Exempel: Markera i ett koordinatsystem det område som motsvaras av olikheten y ≤ −3x + 5.

Lösning: Vi börjar med att rita linjen y = −3x + 5 i ett koordinatsystem. Linjen tillsammans med de y-värden som ligger under linjen utgör det område som motsvaras av olikheten y ≤ −3x + 5.

72

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.1 Linjär optimering

y

y = −3x + 5 1

x 1

Exempel: Markera i ett koordinatsystem det område där följande system av olikheter är uppfyllt:

{

x≥1 ​​​ ​​ ​y ≥ 2​ y < −x + 7​

Lösning: Vi börjar med att rita linjerna x = 1, y = 2 och y = −x + 7 i ett koordinatsystem och markerar sedan området där detta system av olikheter är uppfyllt. Vi har ritat linjen y = −x + 7 streckad för att markera att de vär­ den som ligger på linjen inte är lösningar till vare sig olikheten eller systemet av olikheter.

y

y = −x + 7 y=2 x

1 1

x=1

2

Exempel: Markera i ett koordinatsystem det område som uppfyller följande system av olikheter:

{

y ≤ −3x + 10 2y + x ≤ 6 ​ ​​​ ​ ​ ​​ ​ x≥0 y≥0 ​

Lösning: Vi löser först ut y ur den andra olikheten.

1 Det ger y ≤ −​ __ ​x + 3.

2 Sedan ritar vi linjerna y = −3x + 10 och 1 y = −​ __ ​x + 3. Linjerna y = 0 och x = 0 2 motsvaras av x-axeln respektive y-axeln.

Därefter markerar vi det område som uppfyller systemet av olikheter.

Nivå 1

y

y = −3x + 10 1 y = − ​ __ ​x + 3 2

x

1 1

2117 Markera i ett koordinatsystem det område som uppfyller olikheten

2116 Beskriv det markerade området i figuren med hjälp av en olikhet. a) 1

x 1

b) x < −1

b)

y

a) y ≥ 2

y

c) y > −3 d) x ≥ 2

1

x 1

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.1 Linjär optimering

73

2118 Markera i ett koordinatsystem det område

som uppfyller följande system av olikheter.

{

a) ​​ ​x ≥ 1 ​​​ y ≤ 3​

b)

{

y≤4 y≥1 ​​ ​ ​​ ​​ x≤6 x ≥ 1​

2119 Beskriv det markerade området i figuren med hjälp av en olikhet. a)

x

2124 En möbelhandlare ska köpa stolar och bord

b)

från en tillverkare. Stolarna kostar 299 kr/st och borden 1 196 kr/st. Beteckna antalet sto­ lar med x och antalet bord med y. Inköpen bestäms av det tillgängliga kapitalet som är 25 000 kr och att möbelhandlaren vill att antalet stolar ska vara minst 4 gånger så stort som antalet bord.

y 1

x 1

2120 Markera i ett koordinatsystem det område som uppfyller olikheten. a) y − 2x ≤ 3

b) y − 2x ≥ 3

Nivå 2 2121 Ange ett system av olikheter som avgränsar ett område med arean 4 a.e.

2122 Markera i ett koordinatsystem området som uppfyller följande system av olikheter. a)

74

a) Markera i ett koordinatsystem det område som uppfyller systemet av olikheter.

c) Vilken eller vilka av följande punkter är lösning till systemet av olikheter?

(3, 3), (1, 3), (2, 2), (1, 2)

1

2

{

2x − y ≥ 0 x+y≥3 ​​ ​ ​ ​ ​ ​​​ x≤3 y≥1 ​

b) Bestäm koordinaterna för områdets hörn­ punkter.

y

1

2123 Betrakta följande system av olikheter.

{

{

x b) y ≤ −3x + 10 y ≥ −​ __ ​+ 100 2 ​​ ​x ​​​ ≥ 0​ ​ ​​ ​x ​​​ ≥ 0​ ​ y≥0 ​ y≥0 ​

a) Markera i ett koordinatsystem de möjliga värdena på antalet stolar respektive bord. b) Kan möbelhandlaren köpa 10 bord och 50 stolar? Motivera ditt svar med hjälp av markeringarna i koordinatsystemet från deluppgift a).

2125 Det markerade

området i figuren kan beskrivas med hjälp av ett system av olikhe­ ter. Bestäm syste­ met av olikheter.

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.1 Linjär optimering

y

100

x 100

Linjär optimering Vi återgår nu till företaget som tillverkar leksaksbilar som vi beskrev i föregå­ ende avsnitt.

Företaget har beräknat att vinsten för varje såld enhet av modellen Ernie är 3 kr och och att vinsten för varje såld enhet av Ronnie är 2 kr. Om x är antalet Ernie-bilar som tillverkas per vecka och y är antalet Ronnie-bilar, så ges före­ tagets vinst V kr per vecka av funktionen V = 3x + 2y Begränsningarna i tillverkning, montering och produktion sammanfattade vi till:

{

x + y ≤ 4 800 Max 4 800 minuters tillverkningstid per vecka 2x + y ≤ 6 000 Max 6 000 minuters monteringstid per vecka

​ ​​​ ​​ ​ ​ ​ x≥0 Antalet tillverkade leksaksbilar kan inte vara negativt y≥0 ​

I föregående avsnitt såg vi att begränsningarna i produktionen kan beskrivas med hjälp av ett område i ett koordinatsystem. Det vill säga alla de punkter (x, y) som ligger i det skuggade området i figuren, är lösningar till systemet av olikheter här ovanför.

2

y y = −2x + 6 000 y = −x + 4 800 1 000

x 1 000

Företaget vill naturligtvis optimera vinsten. Vi vill alltså bestämma vilka möjliga värden på x och y som ger det största värdet på vinsten V. För att göra det behöver vi hitta den punkt (x, y) i det begränsade området som ger det största möjliga värdet på V. V är en funktion av två variabler, x och y. För varje vinst V gäller sambandet V = 3x + 2y. Vi undersöker om vinsten kan vara t.ex. 4 000 kr eller 8 000 kr: V = 4 000 ger 4 000 = 3x + 2y V = 8 000 ger 8 000 = 3x + 2y

y A

B

y = −2x + 6 000

För varje vinst bildar de punkter (x, y) som uppfyller sambandet en rät linje. För att rita linjerna, börjar vi med att lösa ut y.

3 y = −​​ __ ​​x + 2 000 (A) 2 3 y = −​​ __ ​​x + 4 000 (B) 2

y = −x + 4 800

1 000

x 1 000

Sedan ritar vi linjerna i samma koordinatsystem som det markerade området.

Vi kan nu se att båda linjerna innehåller punkter i det begränsade området.

Alltså är både 4 000 kr och 8 000 kr möjliga vinster. Vi kan även inse att ett större värde på V än 8 000 kr innebär en linje som är parallellförflyttad uppåt i koordinatsystemet.

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.1 Linjär optimering

75

Företagets största möjliga vinst kan alltså bestämmas genom att parallell­ förflytta linjen så långt som möjligt uppåt i koordinatsystemet. Linjen måste dock fortfarande innehålla minst en punkt inom det begränsade området.

Vi ser att det i detta fall blir en linje vars enda punkt i det begränsade området är hörnpunkten (1 200, 3 600). För x = 1 200 och y = 3 600 antar vinst­ funktionen värdet

y

(0, 4 800)

y = −2x + 6 000 (1 200, 3 600) y = −x + 4 800

1 000 (0, 0)

x 1 000

(3 000, 0)

V = 3 · 1 200 + 2 · 3 600 = 10 800 Ingen annan punkt inom det begränsade området ger ett högre värde på V. Det innebär att företaget bör tillverka 1 200 bilar per vecka av modellen Ernie och 3 600 bilar per vecka av modellen Ronnie för att optimera sin vinst. Den maximala vinsten är då 10 800 kr.

2

Notera att linjens lutning avgör vilken eller vilka punkter i det begränsade området som ger det maximala värdet på V. Linjens lutning bestäms i sin tur av funktionen V. Oavsett lutning på linjen antar V dock sitt största värde i någon av hörnpunkterna.

Linjär optimering

Att bestämma det största eller minsta värdet för en funktion av den här typen kallas för linjär optimering. Funktionen som ska optimeras kallas målfunktion.

Det gäller allmänt att målfunktionen antar sitt största eller minsta värde i någon av hörnpunkterna till det område som begränsas av de angivna villkoren.

Arbetsgång vid linjär optimering 1. Definiera variablerna x och y.

I vårt exempel var detta antalet tillverkade bilar av de två olika modellerna.

2. Definiera en målfunktion uttryckt med hjälp av de två definierade variab­

lerna x och y.

I vårt exempel var målfunktionen V = 3x + 2y.

3. Uttryck de begränsningar som finns för t.ex. produktionen och samman­

ställ detta i ett system av olikheter.

I vårt exempel hade vi

{

x + y ≤ 4 800 2x + y ≤ 6 000 ​ ​​​ ​ ​ ​​ ​ x≥0 y≥0 ​

4. Markera det område i ett koordinatsystem som motsvarar begränsningarna.

5. Optimera värdet på målfunktionen inom detta område genom att utnyttja

att det största eller det minsta värdet antas i någon av områdets hörn­ punkter.

I detta kapitel begränsar vi oss till problem med två variabler, eftersom dessa kan lösas grafiskt med hjälp av räta linjer i ett koordinatsystem. Med hjälp av datorer kan man lösa optimeringsproblem med ett stort antal variabler.

76

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.1 Linjär optimering

Exempel: Vinsten per dag för ett företag som tillverkar x enheter av produkten A och y enheter av produkten B bestäms av målfunktionen V = 5x + 3y. Antalet enheter som totalt kan tillverkas av de två produkterna under en dag bestäms av följande system av olikheter:

{

2x + y ≤ 600 x + 2y ≤ 800 ​ ​ ​​​ ​​ ​ x≥0 y≥0 ​ Bestäm företagets största möjliga vinst per dag och hur många enheter man då ska tillverka av de två produkterna.

Lösning: Vi börjar med att lösa ut y ur de båda översta olikheterna

{

{

y ≤ −2x + 600 2x + y ≤ 600 x x + 2y ≤ 800 y ≤ − ​ __ ​+ 400 ​ ​ ​ ​ ​​ ​ ⇔ ​​ ​

​ ​ ​​ ​​ ​ 2 x≥0 x≥0 y≥0 ​ y≥0 ​ Du kan också använda ett graf­­ritande hjälmedel. I nästa exempel visar vi hur man kan lösa ett liknande problem med hjälp av GeoGebra.

2

Vi markerar sedan lösningen till systemet av olikheter i ett koordinat­ system och söker den punkt i området som ger maximal vinst.

Linjerna y = −2x + 600 och x y = −​​ __ ​​+ 400 skär varandra där 2 x −2x + 600 = −​​ __ ​​ + 400 2 3 __ Vi tar reda på x-koordinaten ​​ ​​x = 200 2 genom att lösa ekvationen 400 x = ____ ​​ ​​ 3

Vi använder ekvationen för en av lin­ jerna för att bestämma y-koordinaten: 1 000 400 ​​ y = −2 · ____ ​​ ​​ + 600 = ​​ ______ 3 3

y y = −2x + 600 (0, 400)

(

)

400 1 000 ​ ​ ​ ​ ____ ​ ​, ______ 3 3 x y = −​ __ ​+ 400 2

100 (0, 0)

(300, 0)

x

100

Eftersom vi vet att funktionen V = 5x + 3y kommer att anta sitt största värde i någon av det markerade områdets hörnpunkter, så beräknar vi direkt värdet av V i dessa fyra hörnpunkter. x = 0 och y = 0 ger V = 5 · 0 + 3 · 0 = 0 x = 0 och y = 400 ger V = 5 · 0 + 3 · 400 = 1 200 1 000 400 1 000 400 ​​ ​​ ger V = 5 · _______ ​​ ​​ + 3 · ​​ ______ ​​≈ 1 670 x = ____ ​​ ​​ och y = ______ 3 3 3 3 x = 300 och y = 0 ger V = 5 · 300 = 1 500 Svar: Företagets maximala vinst är ca 1 670 kr/dag och företaget bör till­ verka ca 133 enheter av A per dag och ca 333 enheter av B per dag för att uppnå denna vinst.

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.1 Linjär optimering

77

Exempel: Bestäm minsta värde för målfunktionen M = 4x + 3y med följande villkor

{

x+y≥5 2x + 3y ≥ 12 ​ ​ ​ ​​​ ​​ ​ x≥0 y≥0 ​

Lösning: Vi börjar med att skriva in olikheterna i GeoGebra för att hitta området som uppfyller alla olikheter, och kan konstatera att alla olikheter är upp­ fyllda i det mörkblå området. Området är obegränsat uppåt och högerut, men för större värden på x och y blir funktionsvärdet för M allt högre.

2

För att hitta hörnpunkterna ändrar vi olikhetstecknen till likhetstecken och använder sedan verktyget

Vi kan nu undersöka funktionsvärdet för M i de tre punkterna A, B och C. Punkten A har koordinaterna (0, 5) och när du skriver M(A) tolkas det som M(0, 5), dvs. x = 0 och y = 5

För större värden på x och y blir funktionsvärdet allt högre. Vi ser att det minsta värdet blir 15. Det får vi för punkt A, dvs. då x = 0 och y = 5.

Svar: Målfunktionens minsta värde är 15.

78

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.1 Linjär optimering

Nivå 1

2128 Bestäm det största värdet som målfunktionen

2126 Den totala vinsten V kronor för ett företag

som tillverkar och säljer två olika modeller av kepsar (A och B) kan beskrivas av målfunk­ tionen V = 20x + 30y, där x är antalet sålda kepsar av modell A och y är antalet sålda kep­ sar av modell B.

a) Hur stor är företagets vinst per såld keps av modell A respektive modell B?

M = 2x + y antar i det område som begränsas av följande system av olikheter:

{

x≥0 y≥0 ​​ ​ ​ ​ ​​​ y+x≤5 x≤4 ​

2129 En jordbrukare har 35 ha (hektar) mark där

han odlar potatis och grönsaker. Förutom odlingsmarkens storlek begränsas han också av den tid som han kan använda för att skörda. Att odla potatis kräver mindre arbete, men ger också lägre vinst. I koordinatsyste­ met visas hur stor areal jordbrukaren kan använda om han odlar potatis på x ha och grönsaker på y ha.

b) Hur stor är företagets totala vinst om man säljer 40 stycken kepsar av modell A och 80 stycken av modell B? c) Det markerade området i figuren här ned­ anför visar hur många av vardera modell A och B som företaget kan producera. Bestäm den maximala vinsten för företaget med hjälp av figuren.

y

x

5 5

a) Ställ upp en funktion för den sammanlagda vinsten V kronor om han tjänar 35 000 kr/ha på potatisen och 52 000 kr/ha på grönsa­ kerna?

y

100

b) Hur mycket potatis ska jordbrukaren odla för att ­vinsten ska bli så stor som möjligt om han räknar med att kunna sälja hela skörden?

x 100

2127 Bestäm det största möjliga värdet som funk­

tionen M = 120x + 180y kan anta för de ­möjliga värdena på x och y som är markerade i koordinatsystemet. y

x

100 100

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.1 Linjär optimering

79

2

2130 När Marit ser turister från ett kryssningsfartyg

som stiger i land i den lilla fiskebyn får hon en affärsidé. Hon köper tröjor och koftor och stäl­ ler upp ett stånd vid hamnen. För tröjorna betalar hon 300 kr och för koftorna 400 kr.

Hon vill köpa maximalt 30 plagg och hon har 10 000 kr som hon kan använda för inköpen.

För varje såld tröja tjänar hon 600 kr och för varje kofta 800 kr.

Marit vill beräkna hur många plagg av varje sort som hon ska köpa för att förtjänsten ska bli så stor som möjligt. Därför ställer hon upp följande system av olikheter:

{

x + y ≤ 30 300x + 400y ≤ 10 000 ​​ ​ ​ ​ ​ ​ x≥0 y≥0

2

​​där x är antalet tröjor och y är antalet koftor. a) Markera i ett koordinatsystem det område ​ som uppfyller förutsättningarna. b) Bestäm koordinaterna för områdets hörn­ punkter. c) Ställ upp en funktion som beskriver Marits förtjänst. d) Beräkna Marits maximala förtjänst under förutsättning att hon får sälja alla plagg.

2132 Ett hembageri producerar två typer av eko­

produkter: rågsnittar och hälsobullar. Till varje rågsnitt räknar man med att det går åt 30 g vetemjöl och 15 g rågmjöl. Till varje hälso­ bulle används 10 g vetemjöl och 40 g rågmjöl.

Det är inte alltid så lätt att få tag på ekologiskt mjöl och en dag finns bara 30 kg vetemjöl och 36 kg rågmjöl hemma. Vinsten på rågsnittar är 4,50 kr/st och på hälsobullar 2,50 kr/st. a) Ställ upp funktionen som beskriver hem­ bageriets totala vinst. b) Om man bakar x rågsnittar och y hälso­ bullar, så går det åt 30x + 10y gram vete­ mjöl och 15x + 40y gram rågmjöl. Teckna olikheterna som bestäms av de mjölmäng­ der som finns hemma. c) Hur många bröd av varje slag ska man baka för att vinsten ska bli så stor som möjligt? d) Hur många hälsobullar kan man baka om man vill baka 900 rågsnittar?

2133 En återförsäljare av hundmat bestämmer sig för att köpa in endast två sorter av ett visst fabrikat: Original och det betydligt dyrare Ris och lamm. Återförsäljaren får inte plats med fler än 50 säckar i sitt lager och vill inte betala mer än 16 000 kr för inköpet.

Antal säckar

Inköpspris

Försäljnings­ pris

Ris och lamm

x st

400 kr/säck

500 kr/säck

Original

y st

200 kr/säck

280 kr/säck

≤ 50 st

≤ 16 000 kr

Totalt

Nivå 2

a) Använd tabellen och ställ upp de olikheter som begränsar återförsäljarens inköp.

2131 Bestäm det minsta värdet som målfunktionen

b) Markera i ett koordinatsystem det område som systemet av olikheter begränsar.

M = 60x + 50y antar i det område som begränsas av följande system av olikheter:

{

8x + 16y ≥ 200 60x + 40y ≥ 960 ​​ ​2x ​ ​

+ 2y ≥ 40​ ​ ​​​ x≥0 y≥0 ​

80

c) Hur många säckar ska återförsäljaren köpa av varje sorts hundmat för att vinsten ska bli så stor som möjligt, under förutsättning att alla säckar säljs?

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.1 Linjär optimering

2134 Sture har ett enmansföretag som köper in

f­ ärdiga trädetaljer i furu. Han tillverkar enbart två produkter, pallar och byråer. Stures arbetsuppgifter består av att montera och lacka dessa, vilket han inte kan göra samti­ digt. Följande data gäller för hans produktion:

2136 En guldsmed tillverkar två olika sorters pryd­

nadsföremål: fågel och blomma. Guldsmeden har tillgång till 300 g silver och 100 g guld.

Till varje fågel behövs 10 g silver och 5 g guld och till varje blomma 15 g silver och 2,5 g guld. Båda föremålen tar ungefär lika lång tid att tillverka. Vinsten per såld fågel är 1 100 kr och per blomma 900 kr. a) Hur många föremål av vardera slaget ska guldsmeden tillverka för att få så stor vinst som möjligt? b) Hur stor blir vinsten om guldsmeden säljer allt som han har tillverkat?

Pall

2137 Bosse köper under en helg i september blå­

Byrå

Arbetstimmar (h) Pall

Byrå

Tillgängliga arbets­timmar per vecka (h)

Montering

0,25

0,50

15

Lackning

0,40

1,00

25

150 kr

320 kr

Vinst per produkt

bär och hjortron. Han betalar 22 kr/kg för hjortronen och 14 kr/kg för blåbären. På grund av lagringsutrymme och transport kan han inte köpa in mer än 10 ton bär. Han har tillgång till 180 000 kr. Bosse säljer hjortronen vidare för 35 kr/kg och blåbären för 20 kr/kg.

Bestäm hans maximala intäkt.

Antag att Sture tillverkar x pallar och y byråer under en vecka. a) Sture får en order på 40 pallar och 10 byråer.

Hinner han tillverka dessa under en arbetsvecka? b) Bestäm den maximala vinst som Stures företag kan göra under en arbetsvecka.

(Np Ma3b ht 2012)

2135 När våren närmar sig köper en affär in ute­

möbler. Man bestämmer sig för att satsa på två olika möbeltyper. Den ena kostar 900 kr i inköp och vinsten vid försäljningen är 600 kr.

Den andra kostar 1 500 kr och vinsten är 800 kr. Det tillgängliga kapitalet för möbel­ köpet är 150 000 kr och lagerutrymmets ­storlek gör att man inte kan köpa fler än 120 möbler.

Hur många möbler ska man köpa av vardera sort för att vinsten ska bli så stor som möjligt, under förutsättning att man får sälja alla möbler?

2138 En bonde ska gödsla sin åkermark och använ­ der två olika produkter, Bio-Aqua och Bio-Flow.

Produkt

Fosfor (kg/ton)

Svavel (kg/ton)

Pris (kr/ton)

Bio-Aqua

0,28

0,38

3 000

Bio-Flow

0,42

0,32

2 000

Marken behöver 2,3 kg fosfor och 2,4 kg svavel.

Bestäm hur mycket bonden ska köpa av respek­ tive produkt för att minimera sina kostnader.

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.1 Linjär optimering

81

2

Nivå 3

2140 Ett företag tillverkar och säljer mobiltelefonerna

2139 Ett företag tillverkar och säljer två model­ler av

datorer: Krom 1 och den billigare Krom 2.

Företaget kan totalt tillverka 400 datorer under en arbetsvecka. I tabellerna visas data (omräknat i kr) rörande de anställda vid före­ taget och om tillverkningen.

Titel

2

Antal Arbets­ anställda beskrivning Veckolön

Arbetstid/ vecka

Montör

100

Sätta ihop datorerna

5 000 kr

36 timmar

Inspektör

1

Testa datorerna

6 000 kr

36 timmar

Datormodell

Krom 1

Krom 2

12 timmar

6 timmar

7 min

5 min

Kostnad för komponenter per dator

8 000 kr

6 400 kr

Försäljningspris per dator

12 000 kr

8 800 kr

Monteringstid per dator Tid för inspektion per dator

A-fon och B-fon. Vinsten för företaget är 150 kr för varje A-fon och 100 kr för varje B-fon.

Avdelningen som tillverkar A-fon kan till­ verka maximalt 30 000 telefoner per månad, medan avdelningen som tillverkar B-fon kan tillverka som mest 42 000 telefoner per månad. För att säkerställa att telefonerna hål­ ler hög kvalitet kontrolleras funktionerna på telefonerna. Det tar i genomsnitt 3 minuter per telefon för A-fon och 2 minuter för B-fon.

Den totala arbetstiden i kontrollenheten upp­ går till 2 200 timmar per månad.

Undersök hur många telefoner av respektive modell som företaget ska tillverka per månad för att vinsten ska bli maximal.

a) Anta att företaget tillverkar x st Krom 1 och y st Krom 2 och ställ upp det system av olikheter med x och y som ger u

t otala antalet datorer som företaget kan tillverka och sälja per vecka

u

onteringstiden för datorerna och den m totala arbetstiden för montörerna

u

i nspektionstiden och den totala arbets­ tiden för inspektörerna

b) Ange ett samband som beskriver vinsten per vecka och bestäm sedan den maximala vinsten med hjälp av detta samband och systemet av olikheter.

Resonemang och begrepp u När passar det bäst att lösa ett ekvationssystem med substitutionsmetoden? u Förklara vad som är skillnaden mellan olikheterna x < 3 och x ≤ 3. u Du har fått i uppgift att optimera funktionen M på ett område som bestäms av ett system av olikheter. Förklara hur du går till väga för att göra detta. u Förklara vad en målfunktion är. u Vad menas med att två ekvationer med två obekanta har en gemensam lösning?

82

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.1 Linjär optimering

2.2 Sekanter och tangenter ordboken

Sekantens lutning Sekant kommer från det

latinska ordet secare, som betyder skära.

y Sekant x

En sekant är en rät linje som skär en kurva i två punkter

En rät linje har samma lutning överallt. En kurvas lutning kan däremot variera.

En rät linje som går genom två punkter på en kurva kallas sekant. Med hjälp av en sekant kan vi bestämma en kurvas genomsnittliga lutning i ett intervall.

Kurvan i diagrammet till höger visar hur antalet fåglar y av en viss art i ett område ändras med tiden x år. Av kurvans form ser vi att förändrings­ hastigheten för antalet fåglar inte är lika stor hela tiden.

Om vi vill bestämma den genomsnittliga förändringshastigheten av antalet fåglar mellan tidpunkterna 15 och 25 år, så drar vi först en sekant genom de punkter på kurvan där x = 15 och x = 25.

Sedan avläser vi de y-värden som motsvarar x = 15 och x = 25 i diagrammet och beräknar sekantens riktningskoefficient: 700 Δy 1 100 − 400 ____ ___ ​​ ​​ = ​​ ​​ = 70 ​​ ​​ = ___________ Δx

25 − 15

10

Kurvans genomsnittliga lutning i intervallet är 70. Det betyder att den genomsnittliga förändringshastigheten i tidsintervallet mellan 15 och 25 år är 70 fåglar per år. Ändringskvot

y

st 1 200 1 000 800 600 400 200

x 5

10

15

20

25

30 år

y

st 1 200 1 000 800 600 400 200

x 5

10

15

20

25

30 år

Δy Den genomsnittliga förändringshastigheten ​​ ___ ​​ kallas ändringskvot eller Δx differenskvot och beskriver kurvans genomsnittliga lutning i ett intervall.

Ändringskvot En sekant som går genom punkterna (x1, y1) och (x2, y2) på kurvan y = f(x) Δy y2 − y1 har lutningen ​​ ___ ​​ = _______ ​ ​​ Δx x2 − x1 ​ Δy y2 − y1 __________ f(x ) − f(x1) Kvoten ​​ ___ ​​ = _______ ​​ = ​​ 2 ​​ ​​ Δx x2 − x1 x2 − x1

y

y = f(x) ∆x = x2 − x1

1

∆y = y2 − y1 x

1

kallas ändrings­kvoten för funktionen f mellan x1 och x2.

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.2 Sekanter och tangenter

83

2

Exempel: Ett äpple faller från ett träd. Sträckan som äpplet faller kan beskrivas med grafen till höger, där y är sträckan i meter och x är tiden i sekunder. Bestäm äpplets medelhastighet i intervallet 0,1 s ≤ x ≤ 0,2 s.

2

m 0,2

0,1

Lösning: Medelhastigheten får vi genom att först dra en sekant som skär kurvan där x1 = 0,1 och x2 = 0,2.

Sedan avläser vi y-koordinaterna och beräknar sekantens riktningskoefficient.

0,2 − 0,05 ____ 0,15 Δy y2 − y1 _________ ​​ = ​​ ​​ ​​ = ​​ ​​ = 1,5 k = ​​ ___ ​​ = _______ Δx x2 − x1 0,2 − 0,1 0,1

y

x 0,1 0,2 s

Enheten för k är m/s

Svar: Äpplets medelhastighet mellan 0,1 och 0,2 sekunder är 1,5 m/s.

Exempel: Bestäm ändringskvoten för f(x) = x2 + 2, då x ändras från 3 till 3 + h.

Lösning: Metod 1 Ändringskvoten blir

För x = 3 + h är f(3 + h) = (3 + h)2 + 2

f(3 + h) − f(3) _____________________ f(x2) − f(x1) ____________ ((3 + h)2 + 2) − (32 + 2) ​ ​​ __________ ​​ = ​​ ​​ = ​ = ​​ x2 − x1 (3 + h) − 3 h

Använd kvadreringsregeln och förenkla

(9 + 6h + h2 + 2) − 11 _______ 6h + h2 _______ h(6 + h)

= ​​ _____________________ ​​ = ​​ ​​ = ​​ ​​ = 6 + h h h h Bryt ut h i täljaren och förkorta

Svar: Ändringskvoten är 6 + h.

Metod 2

Vi definerar funktionen f i CAS och skriver sedan in ändringskvoten.

Svar: Ändringskvoten är 6 + h.

84

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.2 Sekanter och tangenter

Exempel: Ekvationen y = 3x2 + 2x beskriver en kurva. Bestäm ekvationen för den sekant som går genom punkterna där x1 = −1 och x2 = 1.

Lösning: Metod 1 Vi börjar med att beräkna y-värdena för x1 = −1 och x2 = 1. y1 = 3 ∙ (−1)2 + 2 ∙ (−1) = 1 y2 = 3 ∙ 12 + 2 ∙ 1 = 5 Sedan beräknar vi riktningskoefficienten k y − y1 ________ 5−1 4 k = _______ ​​ 2 ​​ = ​​ ​​ = ​​ __ ​​ = 2 x2 − x1 1 − (−1) 2 Koordinaterna för punkten (1, 5) och k = 2 sätts in i räta linjens ekvation.

2

y = kx + m 5=2∙1+m m=3 Svar: Sekantens ekvation är y = 2x + 3.

Metod 2

Vi börjar med att skriva in funktionsuttrycket y = 3x2 + 2x i GeoGebra och bestämmer sedan koordinaterna för punkterna där x1 = −1 och x2 = 1.

Därefter kan vi bestämma sekantens ekvation med kommandot Linje Du kan också välja verktyget

Linje

Om vi vill få ekvationen i k-form, så högerklickar vi på uttrycket och väljer

Ekvation y = kx + m Vi får då

Svar: Sekantens ekvation är y = 2x + 3.

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.2 Sekanter och tangenter

85

Nivå 1

2207 Beräkna ändringskvoten mellan x = 1 och x = 1,1 för f(x) = 0,7x.

2201 Bestäm riktningskoefficienterna för sekan­ terna s1 och s2.

Hon startar högst upp i en backe och rullar ner för backen. Sträckan s meter som hon rör sig kan beskrivas med funktionsuttrycket s(t) = 0,15t2, där t är tiden i sekunder. Beräkna hennes medelhastighet under de första 20 sekunderna.

y s1

s2 1

2208 Lisa har fått en lådbil i födelsedagspresent.

x 1

2209 Använd ett symbolhanterande verktyg (CAS)

2

2202 En sekant går genom punkterna (2, 4) och

(5, −2) på en kurva. Bestäm sekantens ekvation.

2203 En sekant går genom punkterna (0, −1) och

(2, 3) på kurvan y = x2 − 1. Bestäm sekantens Δy ändringskvot ​​ ___ ​​ . Δx

2204 Josefin har satt in 6 000 kr på ett bankkonto.

Efter 4 år har hon 6 885 kr på kontot. Med hur många kronor har kapitalet ökat i genomsnitt per år?

2205 Albin hade sått broccoli. Han valde ut den

planta som först kom upp och mätte höjden på den varje dag under en period. Hans resul­ tat ser du i diagrammet. cm

a) f(x) = x2 − 3 b) f(x) = 2x2 + 4x c) f(x) = 7 d) Förklara resultatet du fick i deluppgift c).

Nivå 2 2210 Beräkna ändringskvoten för f(x) = 3x2, då x ändras

a) från 2 till 2,01

b) från 2 till 2 + h

2211 Beräkna ändringskvoten för f(x) = x3 då x ändras från x till x + h

a) utan digitalt verktyg b) med digitalt verktyg

Höjd

25

2212 Ett ämne bryts ner enligt formeln y = 12 · 0,95x,

20

där y är mängden i gram av ämnet som åter­ står och x tiden i månader. Bestäm den genomsnittliga nedbrytningshastigheten under det första året.

15 10 5

Tid 5

10

15

20

25

dagar

a) Hur mycket växte plantan i genomsnitt per dag de första 10 dagarna? b) Hur mycket växte plantan i genomsnitt per dag från den 10:e dagen till den 20:e?

2206 Värdet av ändringskvoten för y = f(x) mellan x = −1 och x = 1,5 är 4. Bestäm Δy.

86

för att bestämma ändringskvoten för funktio­ nen f, då x ändras från 4 till 4 + h om

Nivå 3 2213 Linjen y = kx + m är sekant till kurvan

f(x) = 20,5x. Skärningspunkterna har y-koordi­ naterna 1 respektive 10.

a) Bestäm sekantens ekvation. b) Förklara varför kurvan y = f(x) inte kan ha två sekanter som är vinkelräta mot varandra.

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.2 Sekanter och tangenter

Tangentens lutning ordboken

Tangent och tangeringspunkt Tangent kommer från det latinska ordet tangens som betyder röra vid.

Förändringshastigheten i ett visst ögonblick kallas ibland för momentan­hastighet

x

I föregående avsnitt bestämde vi den genomsnittliga förändringshastigheten genom att beräkna en kurvas genomsnittliga lutning i ett intervall, dvs. en sekants lutning i ett intervall. Om vi i stället vill ta reda på förändringshastig­ heten i ett givet ögonblick, så måste vi bestämma kurvans lutning i en given punkt. Det kan vi göra genom att beräkna tangentens lutning i den givna punkten.

Vi vill ta reda på förändringshastigheten av antalet fåglar vid tidpunkten x = 15 år. Det innebär att vi måste bestämma kurvans lutning för x = 15.

Ett sätt att göra det är att så noga som möjligt rita en tangent till kurvan i punkten med koordinaterna (15, 400) och sedan bestämma den tangentens riktningskoefficient.

Tangentens riktningskoefficient

y

En tangent är en rät linje som vidrör kurvan endast i en punkt. Den punkt där tangenten vidrör kurvan kallas tangeringspunkten. Av detta följer att kurvans lutning i en punkt motsvarar tangentens lutning i samma punkt.

Eftersom vi endast har en given punkt på tangenten, så måste vi läsa av koordinaterna för ytterligare en punkt för att kunna beräkna riktningskoeffi­ cienten. Vi väljer punkten (25, 800) och får 400 ∆y 800 − 400 ____ ​​ ​​ = ​​ ​​ = 40 k = ​​ ___ ​​ = __________ ∆x 25 − 15 10 Förändringshastigheten efter 15 år är alltså ungefär 40 fåglar/år.

st

y

1 200 1 000 800 600 400

(15, 400)

200

x 5

st

10

15

20

25

30 år

y

1 200 1 000 800

(25, 800)

600 400

(15, 400)

200

x 5

10

15

20

25

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.2 Sekanter och tangenter

30 år

87

2

Från sekant till tangent

Närma sig betyder, i det här fallet, att vi väljer en rad olika punkter som ligger närmare och närmare P1

2

Svårigheten med att rita en tangent till en kurva är att hitta en linje med rätt lutning och som bara har en punkt gemensam med kurvan.

För att bestämma tangentens lutning kan man utgå från en sekant och låta avståndet mellan de två skärningspunkterna bli mindre och mindre genom att stegvis flytta den ena skär­ ningspunkten närmare den andra. Se figur.

y

y = f(x) P2 = (x2, f(x2)) Sekant

Tangent P1 = (x1, f(x1))

x

Om vi vill beräkna tangentens riktningskoefficient i punkten P1 = (x1, f(x1)) på kurvan, så kan vi låta en annan punkt P2 = (x2, f(x2)) närma sig P1. När punkterna till slut sammanfaller, så övergår sekanten till en tangent.

Tangentens riktningskoefficient får vi genom att beräkna sekanternas rikt­ ningskoefficienter och därefter undersöka vilket värde de närmar sig.

En tangent till kurvan y = x2

Vi söker lutningen i punkten (2, 4) på kurvan y = f(x), där f(x) = x2. Se figuren till höger. Punkten (2, 4) är given. Som andra punkt väljer vi först punkten med x = 2,1.

Genom de två punkterna drar vi en sekant och beräknar riktningskoefficienten.

y = f(x)

y (2,1; 4,41)

4

(2, 4)

2,12 − 22 ____ 0,41 f(2,1) − f(2) ________ ​​ = ​​ ​​ = ​​ ​​ = 4,1 ​​ __________ 2,1 − 2 2,1 − 2 0,1

2

x 2,1

Därefter väljer vi punkter som ligger närmare och närmare den givna punkten (2, 4) och beräknar de nya sekanternas riktningskoefficienter.

x = 2,001 ligger närmare x = 2 än vad x = 2,01 gör

Derivata

En kurvas lutning

88

2,012 − 22 f(2,01) − f(2) _________

​​ = ​​ ​​ = 4,01 ​​ ____________ 2,01 − 2 0,01

Vi har valt x = 2,01

f(2,001) − f(2) ​​ _____________

​​= 4,001 2,001 − 2

Vi har valt x = 2,001

f(2,0001) − f(2) ​​ ______________

​​= 4,0001 2,0001 − 2

Vi har valt x = 2,0001

Vi ser att värdet av sekanternas riktningskoefficient närmar sig 4. Detta värde är riktningskoefficienten för tangenten i punkten (2, 4) och kallas funktio­ nens derivata i punkten där x = 2. Derivatan av funktionen f i den punkt där x = 2 skrivs f’(2) och utläses ”f prim två”.

Funktionens derivata beskriver en kurvas lutning i en punkt. Om derivatan i en punkt på kurvan är negativ, så lutar kurvan nedåt. Om derivatan är positiv, så lutar kurvan uppåt. Där kurvan är horisontell, dvs. parallell med x-axeln, är derivatan noll.

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.2 Sekanter och tangenter

y

y = f(x)

x

Exempel: För vilket eller vilka värden på x har kurvan i figuren en tangent med riktningskoefficienten noll?

y

1

x

Lösning: Där en kurva har en tangent med riktnings­ koefficienten noll är tangenten parallell med x-axeln. Det inträffar oftast där kurvan vänder.

Det gäller här för x = 2 och x = −2.

1

Exempel: För vilka x är tangentens riktingskoefficient positiv, noll respektive negativ?

y 1

Lösning:

Kurvan lutar uppåt i intervallen x < −1,5 och x > 0. Tangentens riktningskoefficient är positiv i dessa intervall.

u

Kurvan är parallell med x-axeln för x = −1,5 och x = 0. Där vänder ­kurvan. Tangentens riktningskoefficient är 0 i dessa punkter.

u

Kurvan lutar nedåt i intervallet −1,5 < x < 0. Tangentens riktnings-­ koefficient är negativ i intervallet.

Exempel: I figuren syns tangenten till kurvan y = f(x) i punkten (0,5; 2). a) Bestäm ekvationen y = kx + m för tangenten.

2

x

u

−1

1

y 4 2

b) Bestäm f’(0,5).

x 1

2

Lösning: a) Vi läser av koordinaterna för ytterligare en punkt på tangenten. Eftersom tangenten är en rät linje kan vi välja vilken punkt som helst på linjen. Vi väljer (0; −0,5) och beräknar tangentens riktnings­ koefficient k.

2 − (−0,5) _______ 2 + 0,5 ___ 2,5 y − y1 _________ ​ = ​​ ​​ = ​​ ​​ = ​​ ​​ = 5 k = _______ ​​ 2 x2 − x1 ​ 0,5 − 0 0,5 0,5 Vi avläser värdet av m ur grafen. m = −0,5

Linjen skär y-axeln i punkten (0; −0,5)

Sätt in k = 5 och m = −0,5 i räta linjens ekvation y = kx + m. y = 5x − 0,5 Svar: Tangentens ekvation är y = 5x − 0,5. b) Derivatan f’(0,5) har samma värde som riktingskoefficienten för tang­ enten i punkten (0,5; 2).

Svar: f’(0,5) = 5

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.2 Sekanter och tangenter

89

Exempel: Diagrammet beskriver sträckan som funktion av tiden för ett tåg som just startat från en station. ­Vilken är tågets hastighet efter exakt en minut?

m

Sträcka

1 000 800 600 400 200

Tid 10

Lösning: Eftersom det frågas efter tågets ­ hastighet i ett visst ögonblick, det vill säga 60 sekunder efter start, så ritar vi en tangent till kurvan där x = 60, dvs. i punkten (60, 850).

2

Hastigheten bestäms av tangen­ tens riktningskoefficient. Därför måste vi avläsa koordinaterna för ytterligare en punkt på tangenten.

Vi avläser (40, 300).

m

20

30

40

50

60 s

Sträcka

1 000 (60, 850)

800 600 400

(40, 300)

200

Tid 10

20

30

40

50

60 s

550 850 − 300 ____ ​​ = ​​ ​​ = 27,5 Tangentens riktningskoefficient är ​​ __________ 60 − 40 20 27,5 · 3 600 ​​ Hastigheten är 27,5 m/s = ___________ ​​km/h = 27,5 · 3,6 km/h = 99 km/h 1 000 Svar: Tågets hastighet en minut efter starten är ca 100 km/h.

Nivå 1

2215 Diagrammet visar en motorcykels hastighet

2214 Figuren visar grafen till en tredjegradsfunktion. y

som funktion av tiden. En tangent till kurvan är dragen i punkten (5,5; 12,5). m/s

Hastighet

20 x

1 1

För vilka värden på x är kurvans lutning

90

10

Tid 2

4

6

8

s

a) noll

a) Vilken fråga kan du få svar på genom att bestämma tangentens lutning?

b) positiv

b) Bestäm tangentens lutning.

c) negativ

c) Är kurvans lutning vid tiden 8 s större eller mindre än vid tiden 5 s?

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.2 Sekanter och tangenter

2216 Bestäm riktningskoefficienten för tangenten i figuren.

y

2219 Vid testkörning av en bil ville man veta hur

snabbt den accelererade. Man avsatte därför hastigheten som funktion av tiden i ett diagram. m/s

Hastighet

15 x

1

10

1

5

Tid 2

2217 Höjden av en tall, h(t) meter, mättes varje år

efter plantering. Grafen beskriver tallens höjd under t år. m

4

6

8

10

s

Bestäm accelerationen vid tidpunkten 2 sekunder.

Nivå 2

Höjd

6

2220 Kurvorna visar nedbrytningen av glukos efter

4 2

Tid 5

10

15

20

25 år

Bestäm förändringshastigheten vid t = 15 år.

ett glukosbelastningsprov hos en person med lindrig diabetes jämfört med en person som inte har diabetes. Hur skiljer sig nedbrytnings­ hastigheterna åt en timme efter provets start? g/l

Glukos i blodet

2

2218 Rita grafen till y = −x2 + 3x. a) Dra en tangent till kurvan i punkten (1, 2) och bestäm tangentens riktningskoefficient. b) I vilken eller vilka punkter på kurvan är tangentens riktningskoefficient noll? c) För vilka värden på x är tangentens rikt­ ningskoefficient negativ?

person med diabetes person som ej har diabetes

1

Tid efter provets start 1

2

h

2221 Derivatan i punkten (2, 3) på en andragrads­ kurva är noll. För x < 2 är derivatan positiv.

Skissa en kurva som uppfyller dessa villkor.

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.2 Sekanter och tangenter

91

2

2222 Derivatan till en funktion är noll i punkterna (−1, 2) och (1, 0). Skissa två olika förslag på hur grafen till funktionen kan se ut.

2223 Johanna ___ vill bestämma lutningen för kurvan

y=√ ​​ 5x ​​ då x = 3. Hon bestämmer ett närme­ värde till derivatan genom att beräkna änd­ ringskvoten

______

____

√​ 5 · 3,1 ​− ​√ ​​ 5 · 3 ​ ______________ ​​

3,1 − 3 Teckna en ny ändringskvot som bör ge ett bättre närmevärde till derivatan.

2

2224 Kurvan y = x2 − 1 har en tangent i punkten

(0, −1). Bestäm ekvationen för den tangenten.

2225 Punkten P ligger på kurvan y = x2 − x. Tangen­ ten i P har ekvationen y = 3x − 4. Bestäm koordinaterna för punkten P.

2226 Ett föremål faller s(t) meter på t sekunder

enligt s(t) = 5t2. Rita en graf i intervallet 0 ≤ t ≤ 5 och bestäm hastigheten vid t = 3.

Nivå 3 2227 Låt f(x) = −x2 + 5x − 1. Bestäm f’(2) genom att beräkna ändringskvoten

f(b) − f(2) _________ ​​ ​​

b−2 för några lämpliga värden på b.

Resonemang och begrepp u Varför är det lättare att rita en sekant än att rita en tangent till en kurva? u På vilket sätt kan man bestämma en kurvas medellutning i ett intervall? u På vilket sätt kan man bestämma en kurvas lutning i en punkt? u En rät linje kan i vissa fall vara både en sekant och en tangent till en kurva. Hur kan grafen till en sådan funktion se ut? u I vilka verkliga situationer kan man vara intresserad av att veta lutningen på tangenten till en kurva i en viss punkt?

92

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.2 Sekanter och tangenter

2.3 Derivata ordboken

Derivatans definition Ordet derivata kommer närmast från franskans dérivée och betyder ungefär härledd. Härledd innebär i det här fallet som en naturlig följd av något.

För att bestämma en kurvas lutning i en punkt behöver vi bestämma tangen­ tens lutning i den punkten. Det har vi löst i tidigare avsnitt genom att låta sekanterna övergå till en tangent. Sekanternas lutning ger en följd av ändrings­ kvoter som närmar sig ett visst värde. Det värdet är riktningskoefficienten för tangenten och kallas för funktionens derivata i den givna punkten. y = f(x)

y

2

x

Derivatan i en punkt

Funktionsuttrycket s(t) = 4,9t2 beskriver sträckan s(t) meter, som en sten faller under tiden t sekunder. Vi söker stenens hastighet när den fallit exakt 1 sekund.

Derivatan beskriver hastigheten vid en given tidpunkt. Vi söker alltså s’(1), derivatan av s för t = 1 s. För att bestämma derivatan börjar vi med att teckna ändringskvoten som beskriver lutningen för en sekant genom punkterna (1, s(1)) och (1 + h, s(1 + h)), där h är ett litet tal.

m

20

s

(1 + h, s(1 + h)) ∆s = s(1 + h) − s(1)

10 (1, s(1))

∆t = (1 + h) − 1 1

2

t 3

s

s(1 + h) − s(1) Δs s(1 + h) − s(1) _____________ ___ ​​ ​​ = ​​ ​​ ​​ ​​ = _____________ Δt (1 + h) − 1 h Derivatan som gränsvärde

Värdet av h ska vara så litet som möjligt. Men vi kan inte sätta h = 0, eftersom division med 0 inte är definierad. Om vi i stället låter h bli mindre och mindre, så kommer sekantens lutning att närma sig tangentens lutning. Om värdet av h går mot noll, så kommer sekanten att sammanfalla med tangenten i punkten (1, s(1)). Detta gränsvärde av ändringskvoten är derivatan av s i punkten t = 1. Vi skriver det som s(1 + h) − s(1)

​​ s’(1) = ​​l im ​​ ​​ _____________ h h→0 På nästa sida visar vi hur man kan bestämma s’(1) genom att utveckla uttrycket för ändringskvoten.

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.3 Derivata

93

Vi får att Δs s(1 + h) − s(1) 4,9(1 + h)2 − 4,9 ∙ 12 s’(1) = ​​lim ​​ ​​ ___ ​​ =

​​lim ​​ ​​ _____________ ​​ = ​​l im ​​ ​​ __________________ ​​ = → → → h h h 0 Δt h 0 h 0 4,9(12 + 2h + h2) − 4,9 4,9 + 9,8h + 4,9h2 − 4,9

​​ = ​​lim ​​ ​​ _____________________ ​​ = im ​​ ​​ ____________________ = ​​l h h h→0 h→0 9,8h + 4,9h2 h(9,8 + 4,9h)

​​ = ​​lim ​​ ​​ ____________ ​​ = ​​lim ​​(9,8 + 4,9h) = 9,8 = ​​l im ​​ ​​ ___________ h h h→0 h→0 h→0 Alltså är

Förkorta så att h försvinner från nämnaren

s’(1) = 9,8

Värdet för 9,8 + 4,9h går mot 9,8 när h går mot 0

Derivatan s’(t) i punkten där t = 1 är 9,8. Det betyder att stenens hastighet vid tiden 1 sekund är 9,8 m/s.

2

Derivatans definition f(a + h) − f(a) Gränsvärdet ​​ lim ​​ ​​ ____________

​​ är derivatan av funktionen f h h→0 Alla exempel i detta avsnitt går även att lösa med digitala hjälp­ medel, men vi väljer här att lösa dem för hand.

i punkten där x = a och betecknas f’(a), dvs. f(a + h) − f(a)

​​ f’(a) = ​​lim ​​ ​​ ____________ h h→0

Exempel: Beräkna följande gränsvärden. ​​ 4h a) ​​lim h→0

b) ​​lim ​​ (6h + 14) h→0

Lösning: a) När h går mot 0 går värdet av 4h också mot 0.

(4 + h)2 − 42 c) ​​lim ​​ ​​ ___________ ​​ h h→0 Eftersom 4 · 0 = 0

Svar: ​​lim ​​ 4h = 0 h→0

b) När h går mot 0 går värdet av 6h + 14 mot 14.

Eftersom 6 · 0 + 14 = 14

​​lim ​​ (6h + 14) = 14 Svar: h→0

c) Här finns h i nämnaren. För att beräkna gränsvärdet, är det enklast att först förkorta med h för att sedan låta h gå mot 0.

Utveckla med kvadrerings­ regeln och förenkla

Låt beteckningen lim stå med tills gränsvärdet är beräknat

(4 + h)2 − 42 (16 + 8h + h2) − 16 8h + h2 ​​lim ​​ ​​ ___________

​​ = ​​l im ​​ ​​ _________________ ​​ = ​​lim ​​ ​​ _______ ​​ = h h h h→0 h→0 h→0 h(8 + h) = ​​lim ​​ ​​ _______ ​​ = ​​lim ​​ (8 + h) = 8 Bryt ut h och förkorta h h→0 h→0

94

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.3 Derivata

Exempel: Låt f(x) = 2x2 − 3 och beräkna f’(5), det vill säga derivatan av f för x = 5.

Lösning: Vi beräknar f’(5) med hjälp av derivatans definition Utveckla (5 + h)2

f(5 + h) − f(5) (2(5 + h)2 − 3) − (2 ∙ 52 − 3) f’(5) = ​​lim ​​ ​​ ____________

​​ = ​​l im ​​ ​​ ________________________ ​​ = h h h→0 h→0 (2(25 + 10h + h2) − 3) − (50 − 3) 50 + 20h + 2h2 − 3 − 47

= ​​l im ​​ ​​ _____________________________ ​​ = ​​lim ​​ ​​ ______________________ ​​ = h h h→0 h→0 Faktorisera täljaren

20h + 2h2 h(20 + 2h) ​​ = ​​lim ​​ ​​ __________ ​​ = ​​lim ​​(20 + 2h) = 20 ​​lim ​​ ​​ _________ = h h h→0 h→0 h→0 Svar: f’(5) = 20.

Förkorta med h

2

20 + 2h går mot 20 när h går mot noll

Exempel: Grafen y = f(x) har en tangent i punkten (2, 3). Bestäm tangentens rikt­ ningskoefficient om f(x) = x3 − 5.

Lösning: Riktningskoefficienten för kurvans tangent är derivatan av f(x) = x3 − 5 i punkten (2, 3). Vi beräknar derivatan med hjälp av definitionen (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

f(2 + h) − f(2) ((2 + h)3 − 5) − (23 − 5)

f’(2) = ​​lim ​​ ​​ ____________ ​​ = ​​l im ​​ ​​ _____________________ ​​ = h h h→0 h→0 (23 + 3 ∙ 22 ∙ h + 3 ∙ 2 ∙ h2 + h3 − 5) − (8 − 5)

im ​​ ​​ _____________________________________ = ​​l ​​ = → h h 0 Bryt ut h

8 + 12h + 6h2 + h3 − 5 − 3 12h + 6h2 + h3

​​ = ​​lim ​​ ​​ _____________ ​​ = = ​​lim ​​ ​​ ________________________ h h h→0 h→0 h(12 + 6h + h2)

im ​​ ​​ ______________ = ​​l ​​ = ​​l im ​​(12 + 6h + h2) = 12 h h→0 h→0 Förkorta med h

12 + 6h + h2 går mot 12 när h går mot 0

Svar: Tangentens riktningskoefficient är 12.

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.3 Derivata

95

Nivå 1

2310 Robin och Sander har fått i uppgift att

bestämma i vilken punkt grafen till f(x) = x2 − 8x + 13 har en horisontell tangent.

Sander säger att man kan undersöka deri­ vatan i punkten där x = a och se vilket värde som ger f’(a) = 0. Därför ställer han upp uttrycket f(a + h ) − f(a) f’(a) = ​​lim ​​ ​​ _____________

​​ h h→0 a) Bestäm f’(a).

2301 Beräkna följande gränsvärden. ​​ (h + 1) a) ​​lim h→0

b) ​​lim ​​ (2h − 5) h→0

​​ (h2 + 3) c) ​​lim h→0

(8 + h)2 − 82 d) ​​l im ​​ ​​ ___________ ​​ h h→0

b) För vilket värde på a gäller f’(a) = 0?

2302 Låt f(x) = 2x och bestäm f(5 + h).

2

c) Vilka koordinater har punkten där f’(a) = 0?

f(3 + h) − f(3) h

2303 Bestäm f’(3) = ​​lim ​​ ​​ ____________

​​ för f(x) = 5x. h→0

d) Hjälp Sander att förklara för Robin varför grafen har en horisontell tangent i den punkten.

2304 Låt f(x) = −2x2.

e) För vilka värden på x har grafen positiv ­respektive negativ lutning?

a) Bestäm f(1 + h). f(1 + h) − f(1) b) Förenkla ​​ ____________

​​ så långt som h ­möjligt. f(1 + h) − f(1) c) Bestäm ​​ lim ​​ ​​ ____________

​​ h h→0 d) Vad har du fått svar på genom de beräk­ ningar du gjort i deluppgifterna b) till c)? f(1 + h) − f(1) h

2305 Beräkna f’(1) = ​​lim ​​ ​​ ____________

​​ h→0

för f(x) = x2 − 4x. f(3 + h) − f(3) 2306 Beräkna f’(3) = ​​lim ​​ ​​ ____________

​​ om h h→0 a) f(x) = 2x + 1

2311 Bestäm f’(1) för f(x) = x3 med hjälp av deriva­ tans definition.

2312 Visa att y = 2x − 3 är en tangent till grafen f(x) = 0,5x2 − 1.

2313 Visa att derivatan i punkten där x = 4 är lika

för både f(x) = x2 + 3x och g(x) = x2 + 3x + 8.

Nivå 3 2314 Låt f(x) = x3 + C, där C är en konstant. Visa att derivatan i punkten x = a är oberoende av värdet av konstanten C.

b) f(x) = x2 c) f(x) = x2 + 2x

2315 Derivatan i den punkt där x = a kan även

definieras som f(b) − f(a) f’(a) = ​​l im ​​ ​​ _________ ​​ . Använd denna definib−a b→a tion för att visa att f’(a) = 2a om f(x) = x2.

Nivå 2 2307 Låt y = 3x2 + 5 och bestäm med hjälp av

derivatans definition kurvans lutning i den punkt där x-koordinaten är −2.

2316 Låt f(x) = x3 − 12x + 1. Använd derivatans

definition för att ta reda på vilka värden på a som ger f’(a) = −6.

f(a + h) − f(a) h

2308 Låt f(x) = x2 och bestäm ​​ lim ​​ ​​ ____________

​​. h→0

2309 Ange två olika funktioner som har derivatan 2 för x = 0.

96

1 1+x 1 derivata i punkten (1, __ ​​ ​​) med hjälp av derivat­ 2 ans definition.

2317 Låt f(x) = _____ ​​ ​​ och beräkna funktionens

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.3 Derivata

Att använda derivata Att kunna skapa matematiska modeller som beskriver förändringar är centralt inom många vetenskaper. Till exempel kan en fysiker vilja veta hur hastigheten hos ett föremål förändras i ett visst ögonblick, en biolog vill kanske ta reda på tillväxthastigheten hos en bakteriekultur vid en viss tidpunkt och en socionom vill känna till befolkningens tillväxthastighet vid ett visst årtal. Man kan säga att de alla vill veta förändringshastigheten hos någon företeelse vid en viss tidpunkt. De vill alla bestämma en given funk­ tions derivata i en punkt.

Om f(x) till exempel beskriver den sträcka som en kropp har färdats, antalet bakterier i en bakteriekultur eller befolkningens storlek, så kan förändrings­ hastigheten i x = a betecknas som f(a + h) − f(a)

​​ f’(a) = ​​lim ​ ​ ​​ ____________ h h→0 Kroppens hastighet efter 4 s, bakteriekulturens tillväxt efter 4 h eller befolk­ ningstillväxten efter 4 år kan i detta fall beräknas med f(4 + h) − f(4)

​​ ​​lim ​​ ​​ ____________ f’(4) = h h→0 Det är tidskrävande att beräkna ett värde på derivatan med hjälp av en serie ändringskvoter eller genom att använda derivatans definition. Med ett digitalt hjälpmedel blir beräkningarna ofta enklare att utföra. Det digitala hjälp­ medlet har en inbyggd funktion för numerisk derivering, som beräknar deri­ vatans värde.

Med ditt digitala hjälpmedel

Om du vill beräkna derivatan av f(x) = x3 + 3x för x = 5 med hjälp av GeoGebra, skriver du först in funktionsuttrycket i inmat­ ningsfältet och trycker på Enter. Därefter skriver du f’(5) i inmatningsfältet och derivatans värde visas direkt.

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.3 Derivata

97

2

Exempel: En varmluftsballong stiger mot himlen. Ballongens höjd s(t) meter över marken beskrivs av funktionsuttrycket s(t) = 0,0076t2 + 0,6t, där t är tiden i sekunder. a) Beräkna s’(10).

b) Förklara med ord vad du har beräknat i a).

Lösning: a) Metod 1 Vi använder derivatans definition för att beräkna s’(10) s(10 + h) − s(10)

s’(10) = ​​lim ​​ ​​ _______________ ​​ = h h→0 (0,0076(10 + h)2 + 0,6(10 + h)) − (0,0076 ∙ 102 + 0,6 ∙ 10)

​​ = ​​lim ​​ ​​ __________________________________________________ = h h→0 0,0076(100 + 20h + h2) + 6 + 0,6h − 0,76 − 6 im ​​ ________________________________________ = ​​l

​​

​​ = h h→0 0,76 + 0,152h + 0,0076h2 + 0,6h − 0,76

= ​​lim ​​ ​​ ___________________________________ ​​ = h h→0 0,752h + 0,0076h2 h(0,752 + 0,0076h)

​​lim ​​ ​​ _________________ = ​​ = ​​lim ​​ ​​ _________________ ​​ = h h h→0 h→0

2

​​lim ​​(0,752 + 0,0076h) = 0,752 = h→0

Värdet av 0,752 + 0,0076h går mot 0,752 när h går mot 0

Metod 2

Vi använder GeoGebra för att beräkna s’(10).

Vi skriver in funktionen i algebrafönstret och trycker Enter. Därefter skriver vi s’(10) på raden nedanför. Värdet 0,752 visas då direkt i algebra­fönstret. b) s’(10) ≈ 0,75 betyder att ballongen stiger med hastigheten 0,75 m/s vid tidpunkten t = 10 sekunder.

Exempel: En skola har 732 elever. Antalet elever N(t) kan beskrivas med N(t) = 732 ∙ 0,95t för 0 ≤ t ≤ 6, där t är tiden i år. a) Vad kommer att hända med elevantalet under de kommande 6 åren? b) Martin har beräknat N’(3), som är ungefär −32. Förklara vad det är som Martin har räknat ut.

Lösning: a) Förändringsfaktorn är 0,95, det innebär en minskning med 5 % per år.

Svar: Elevantalet kommer att minska med 5 % per år under de när­ maste 6 åren. b) Derivatan visar förändringshastigheten av elevantalet vid en viss tid­ punkt. N’(3) ≈ −32 betyder att elevantalet minskar med 32 elever/år vid tidpunkten t = 3 år efter att mätningen startade.

98

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.3 Derivata

Exempel: Grafen till f(x) = 3x2 har en tangent i punkten (−1, 3). Bestäm tangentens ekvation.

Lösning: Riktningskoefficienten k för kurvans tangent i en punkt är detsamma som funktionens derivata i den punkten. Derivatan av f(x) = 3x2 i punkten (−1, 3) är enligt derivatans definition f(−1 + h) − f(−1) 3(−1 + h)2 − 3 ∙ (−1)2

f’(−1) = ​​lim ​​ ​​ _______________ ​​ = ​​l im ​​ ​​ ___________________ ​​ = h h h→0 h→0 3(1 − 2h + h2) − 3 3 − 6h + 3h2 − 3

= ​​l im ​​ ​​ ________________ ​​ = ​​lim ​​ ​​ _______________ ​​ = h h h→0 h→0 −6h + 3h2 h(−6 + 3h) ​​lim ​​ ​​ _________ = ​​ = ​​lim ​​ ​​ __________ ​​ = ​​lim ​​(−6 + 3h) = −6 → h h h 0 h→0 h→0 Förkorta med h

2

Värdet av −6 + 3h går mot −6 när h går mot 0

Riktningskoefficienten för grafens tangent i punkten (−1, 3) är −6.

Vi sätter in k = −6, x = −1 och y = 3 i räta linjens ekvation. y = kx + m 3 = −6 · (−1) + m m = −3

Sätt in k = − 6 och m = −3 i y = kx + m

Tangentens ekvation är y = −6x − 3.

Svar: Tangenten i punkten (−1, 3) har ekvationen y = −6x − 3.

Man kan också lösa uppgiften med hjälp av GeoGebra, som vi visar till höger.

Nivå 1

2320 Kurvan visar

2318 Värdet av en bil kan beskrivas med

V(t) = 137 000 ∙ 0,85t, där V(t) är värdet i kr och t är bilens ålder i antal år. Vad betyder V’(3)?

2319 Den sträcka s(t) meter som Ewa cyklar är en

funktion av tiden t sekunder. Tolka följande uttryck. a) s(10) = 48

viktökningen hos en kattunge under de första månaderna.

Vad beskriver tangentens rikt­ ningskoefficient i figuren?

g

Vikt

400 300 200 100

Ålder 10

20

30

40 dagar

b) s’(10) = 5,6 LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.3 Derivata

99

2321 Antalet bakterier N(t) i en försöksodling kan

beräknas med hjälp av N(t) = 1 200 ∙ 1,08t, där t är tiden i timmar efter det att man startat odlingen. Vad betyder N’(4) = 126?

2322 Om man släpper en tennisboll från toppen av

2327 Grafen till f(x) = 2x2 + 2 har en tangent i punkten (0, f(0)). Bestäm tangentens ­ekvation.

Nivå 2

Eiffeltornet, så tar det ungefär 8 sekunder innan den når marken. Sträckan s(t) meter som en kropp faller under t sekunder kan beskrivas med formeln s(t) = 4,9t2.

2328 Kurvan till ekvationen y = −4x2 + x + 5 har

a) Vilken hastighet har bollen efter 5 sekunder?

2329 Om Salomon blåser upp en rund ballong,

en tangent i den punkt där x = −1. Bestäm tangentens ekvation.

så ändras ballongens diameter d cm enligt _ d(t) = 12,4​​3√t ​​, där t är tiden i sekunder.

b) Vilken hastighet har bollen just innan den tar mark?

2

2323 Temperaturen en sommardag är T °C x tim­ mar efter midnatt. Skriv ett uttryck för

Hur tolkar man d’(1) ≈ 4,1?

2330 En rät linje går genom punkten (3, 0) och är parallell med tangenten till kurvan y = 2x3 i punkten (1, 2). Bestäm linjens ekvation.

a) kl. 7.00 är temperaturen 14 °C b) kl. 18.00 sjunker temperaturen med 2 °C per timme

2324 När en sten faller från en hög klippa kan

­stenens hastighet v(t) m/s beskrivas med ­formeln v(t) = 9,8t, där t är tiden i sekunder. a) Beräkna v’(1) och v’(3). b) Vad är det som du har beräknat i a)? c) Vad kan du dra för slutsats av resultatet i a)?

2325 Elin cyklar till kiosken. Diagrammet visar hennes hastighet som funktion av tiden. m/s

Hastighet

10

2331 Abebe springer ett maratonlopp. Hans löp­

tempo beskrivs av funktionsuttrycket s T(s) = 5,22 + ___ ​​ ​​ 60 där T(s) är hans kilometertid i enheten minuter per kilometer, när han sprungit s km av loppet.

8 6 4 2

Tid 50

100

a) Vilken kilometertid har Abebe när han har sprungit två mil?

s

b) Hur förändras Abebes kilometertid vid s = 35 km?

a) Bestäm v’(120) med hjälp av grafen. b) Vad har du beräknat i deluppgift a)?

c) Hur kan du teckna resultatet i b) med hjälp av derivata?

2326 Funktionen f ges av f(x) = x2 − 6. a) Beräkna f’(−2). b) Bestäm ekvationen för tangenten i punkten (−2, −2).

100

2332 Låt y = x2. Bestäm skärningspunkten mellan

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.3 Derivata

tangenterna till kurvan i (−1, 1) och (2, 4).

Villkor för deriverbarhet För att man ska kunna bestämma derivatan av en funktion i en punkt där f(a + h) − f(a) x = a, måste det vara möjligt att bestämma gränsvärdet ​​l im ​​ ​​ ____________

​​. h h→0 Om gränsvärdet existerar, så är funktionen deriverbar i den punkten.

De flesta funktioner vi behandlar i gymnasiematematiken är deriverbara för alla x. Det gäller till exempel alla polynomfunktioner. Även alla rationella funk­ tioner är deriverbara för alla x i sin definitionsmängd, men de går förstås inte att derivera i punkter där de inte är definierade. Till exempel är funktionen f där x2 + 2x f(x) = ​​ _______ ​​ deriverbar för alla x ≠ 1. x−1 y

2

2

Vid x = 1 är f(x) inte definierad och därför inte deriverbar

y = f(x) x 2

I förra kapitlet introducerade vi styckvis definierade funktioner. Dessa funk­ tioner kan innehålla diskontinuiteter. Till exempel har funktionen g där

{

2 för x ≤ 0 ​​​ g(x) = ​​ ​ 4 för x > 0​ en diskontinuitet för x = 0. y y = g(x)

1

Vid x = 0 gör grafen till g ett språng, dvs. g är inte kontinuerlig i den punkten.

x 1

Vi undersöker funktionens derivata där x = 0, g(0 + h) − g(0) dvs. g’(0) = ​​ lim​​ _____________ ​ ​ . På det sättet upptäcker vi att vänstergränsh h→0 värdet är 0 medan högergränsvärdet går mot oändligheten. h närmar sig 0 från vänster

Observera att t.­ex. g(-0,1) = g(0) = 2 och g(0,1) = 4

h

−0,1

−0,01

−0,001

g(0 + h) − g(0) ____________ ​​ ​​

0

0

0

h

h närmar sig 0 från höger 0

0,001

0,01

0,1

2 000

200

20

Gränsvärdet existerar alltså inte och funktionen g är därmed inte deriverbar för x = 0. Vi kan allmänt säga att om en funktion inte är kontinuerlig i en punkt, så är den inte deriver­bar i den punkten.

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.3 Derivata

101

För att en funktion ska vara deriverbar i en viss punkt, krävs det att den är kontinuerlig i denna punkt. Det finns dock funktioner som är kontinuerliga, men inte deriverbara för alla x. Vi tittar nu på grafen till funktionen f, där

{

−x för x < ​ 0 ​​ f(x) = ​​ ​ x för x ≥ 0 ​ y y = |x| 1

x 1

Funktionsuttrycket skrivs vanligen f(x) = |x|, dvs. absolutbeloppet av x. Funk­ tionen är kontinuerlig eftersom den uppfyller villkoret för kontinuitet i varje punkt, även för x = 0. Funktionsvärdet går mot noll både när x närmar sig 0 från höger, respektive från vänster. Om vi däremot undersöker funktionens f(0 + h) − f(0)

​ , så ser vi att högergränsvärdet ​​lim​​ ​ _____________ derivata där x = 0, dvs. f’(0) = h h→0 är 1, medan vänstergränsvärdet är −1.

Grafen till f(x) = IxI är spetsig i origo och funktionen är därför inte deriverbar i den punkten.

2

h närmar sig 0 från vänster h

−0,1

−0,01

−0,001

f(0 + h) − f(0) ____________ ​​ ​​

−1

−1

−1

h

h närmar sig 0 från höger 0

0,001

0,01

0,1

1

1

1

Alltså existerar inte gränsvärdet där x = 0 och därmed är inte funktionen ­deriverbar för x = 0.

Om vi tittar på funktionens graf, så ser vi att den har en spets i punkten (0, 0).

Det förklarar varför det är omöjligt att dra en tangent i denna punkt. Det finns helt enkelt ingen rät linje som beskriver lutningen i punkten (0, 0). Vi kan allmänt säga att en funktion inte är deriverbar i en punkt där grafen är spetsig.

Exempel: Figurerna visar graferna till två funktioner. För vilka x är funktionerna deriverbara? a)

b)

y

1

x 1

y

1

x 1

Lösning: a) Funktionen är definierad och kontinuerlig i alla punkter, eftersom grafen inte har några avbrott. Kurvan har bara ”mjuka” svängar. Funktionen är därmed deriverbar i alla punkter.

Svar: Funktionen är deriverbar för alla x. b) Funktionen är diskontinuerlig för x = 3 och därmed är den inte deriver­ bar för x = 3. Funktionen har även en spets för x = −2 och är ­därmed inte heller deriverbar för x = −2.

Svar: Funktionen är deriverbar för alla x utom x = −2 och x = 3.

102

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.3 Derivata

Exempel: Använd ett symbolhanterande verktyg för att undersöka om funktionen

{

x2 + 2x när x < 0 ​​​

f(x) = ​​ ​ 3x − x2 när x ≥ 0​ a) är kontinuerlig för x = 0 b) är deriverbar för x = 0 Lösning: Vi skriver in funktionsuttrycket i GeoGebras CAS-fönster som f(x) := Om(x < 0, x^2 + 2x, 3x - x^2). Vi ser då grafen i ritfönstret. ­Grafen ser ut att vara sammanhängande och inte ha några spetsar, men vi kan undersöka detta mer noggrannt. a) Funktionen är kontinuerlig för x = 0 om ​​ lim​​ f(x) = f(0). Vi undersöker x→0 villkoren i CAS-fönstret: För att skriva in styckvis definierade funktioner i GeoGebra används funktionen Om()

Vi ser nu att gränsvärdet är samma som funktionsvärdet i punkten.

Svar: Funktionen f är kontinuerlig för x = 0. b) Eftersom funktionen är kontinuerlig så kan den vara deriverbar. Vi undersöker genom derivatans definition om derivatan existerar då x = 0.

GeoGebra svarar med ett frågetecken, vilket betyder att det gränsvärde vi frågar efter inte existerar.

Svar: Eftersom gränsvärdet för derivatan inte existerar där x = 0 är funktionen ej deriverbar för x = 0.

Nivå 1

2334 Figuren visar grafen till en funktion. För vilka värden på x är funktionen inte deriverbar?

2333 Figuren visar grafen till en funktion. Är funk­

y

tionen deriverbar för alla x? Motivera ditt svar. y 1

x 1

1

x 1

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.3 Derivata

103

2

2335 Figurerna visar grafer till två funktioner. Varför är funktionerna inte deriverbara för alla x? a)

2340 Vilka av följande funktioner är deriverbara i punkten där x = 0?

{ 0 ​​ −x för x < ​ g(x) = ​​ ​ { x för x ≥ 0 ​ 2 ​​ −x för x < ​ h(x) = ​​ ​ { x för x ≥ 2 ​ −x för x < 0 ​ ​​ f(x) = ​​ ​ x2 för x ≥ 0 ​

y

2

1

2

x 1

2

2

b)

y

2341 Är följande funktioner deriverbara i origo?

Motivera ditt svar.

x

1

{ x för x ≤ 0 ​ ​​ b) y = {​​ ​ x för x > 0 ​ x2 för x ≤ 0 ​ ​​ a) y = ​​ ​ 0 för x > 0 ​

1

2

2

2336 Undersök om

{

2x − 2 för x < 1 ​​​ f(x) = ​ ​

−2x + 2 för x ≥ 1​ a) är kontinuerlig för x = 1

{ x + 3x − 3 för x ≥ 2​

7 för x < 2 2342 Låt g(x) = ​​ ​

​​​ 2

b) är deriverbar för x = 1

Vilket eller vilka av följande påståenden är korrekta? Motivera dina svar.

2337 Ge exempel på två funktioner som är deriver­

A g är kontinuerlig, men inte deriverbar över­ allt.

bara för alla x.

B g är deriverbar överallt, men inte kontinu­ erlig överallt.

Nivå 2

C g är kontinuerlig och deriverbar överallt.

2338 Ge exempel på två funktioner som inte är

D Det finns en punkt där g varken är kontinu­ erlig eller deriverbar.

deriverbara för alla x samt i vilken eller vilka punkter de inte är deriverbara.

2339 Undersök om

{

för x < 0 ​ ​​

x f(x) = ​​ ​__ ​ ​ för x ≥ 0 3 ​

Nivå 3

y

x2

y = f(x) 1

x

{

2

x ≥ 4 ​​ x − x − 1 för ​ 2343 Låt f(x) = ​​ ​

1

a) är kontinuerlig för x = 0 b) är deriverbar för x = 0

g(x) för x < 4

​ a) Ge ett exempel på g(x) så att f är kontinuer­ lig för x = 4. b) Bestäm g(x) på formen kx + m så att f är deriverbar för x = 4.

Resonemang och begrepp u Vilket samband finns mellan en funktions derivata och lutningen hos dess graf? u Hur kan man använda derivata för att bestämma hastigheten i ett givet ögonblick? u Vad är det för skillnad mellan medelhastighet och momentanhastighet? f(a + h) − f(a) u Vad beskriver gränsvärdet ​​l im ​​ ​​ ___________ ​​ ? h h→0

104

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  2.3 Derivata

Historia

Att bestämma en tangent Euklides, Apollonios och Descartes Den grekiske matematikern Euklides (ca 325–265 f.Kr.) beskriver i sitt verk Elementa en tangent till en cirkel som den räta linje som vidrör cirkeln i en punkt utan att skära den. Euklides landsman Apollonios (ca 262–190 f.Kr.) utgick från detta när han ställde upp två krav för att en rät linje skulle god­ kännas som tangent till en kurva.

1. Linjen ska ha en punkt gemensam med kurvan.

2. Inga andra punkter på tangenten ligger på kurvan.

Apollonios bestämde sedan en tangent till en kurva genom att med linjal och passare konstruera en linje som uppfyllde de villkoren. Nya metoder arbetades fram först långt senare. En av dem som intresserade sig för saken var den franske filosofen och matematikern René Descartes (1596–1650).

Descartes var framför allt filosof, men i ett appendix till hans bok Discours de la Métode från år 1637 beskriver han sin metod att hitta tangenten till en kurva. Han bestämde tangenten till en kurva genom att söka en cirkel med samma tangent i tangeringspunkten. För att bestämma tangenten drog han normalen till kurvan i tangeringspunkten. Därför kallas hans metod normalmetoden. Det är en arbetsam metod, men den ledde fram till en intressant diskussion bland 1600-talets matematiker och har haft stor betydelse för matematikens utveckling.

Isaac Barrow (1630 –1677)

Isaac Barrow y

R

__

y=√ ​​ x ​​

e

a

y x

P

O

x

Q

?

Visa hur man kan bestämma riktningskoeffi­ cienten till alla tangenter __ till kurvan y = √ ​​ x ​​ med hjälp av Isaac Barrows slutsats, dvs. att PO i figuren är lika med OQ.

?

Rita en kurva med en tangent som inte uppfyller Apollonios krav på en ­tangent.

Isaac Barrow (1630–1677) var professor i Cambridge och lärare till bland __ annat Isaac Newton. Han bestämde år 1669 en tangent till kurvan y = √ ​​ x ​​ genom att först bestämma läget av P, tangentens skärningspunkt med x-axeln. Se figuren till vänster.

__

​​ x ​​ ger y2 = x y=√ (y + a)2 = x + e

För små värden på a och e

y2

Eftersom y2 = x kan man subtrahera y2 från VL och x från HL

+ 2ya +

a2

=x+e

2ya + a2 = e

Dividera alla termer med a

e 2y + a = __ ​​ ​​ a e 2y = __ ​​ ​​ a

a försummas i VL eftersom det är litet

PQ e PQ ​​ ___ ​​ = __ ​​ ​​ ger ​​ ___ ​​ = 2y a y y

e På grund av likformiga trianglar och likheten ​​ __ a ​​ = 2y

PQ = 2y2 = 2x

Eftersom y2 = x

Det innebär att PO = OQ = x och tangenten kan bestämmas.

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  HISTORIA

105

2

Uppslaget Rätt eller fel?

Vid linjär optimering antar målfunktionen ­alltid sitt maximala värde endast i en av hörn­ punkterna till det begränsade området. Δy Differenskvoten ​​ ___ ​​ beräknas med formeln Δx x2 − x1 ​​ ______ ​​ . y2 − y1

2

Derivatan i en punkt är lika med kurvans ­lutning i den punkten.

Derivatan definieras som gränsvärdet av Δy ändrings­kvoten ___ ​​ ​​ när Δx → 0. Δx

Sekantens lutning är lika med kurvans medel­ lutning i intervallet.

För att beräkna derivatan numeriskt räcker det med att bestämma en enda ändringskvot om man väljer ett tillräckligt litet värde på h.

En kurvas lutning i en punkt är lika med sekantens riktningskoefficient.

Om en funktion är kontinuerlig i en punkt är den också deriverbar i punkten.

Undersök Samband funktion – derivata u Till en funktion kan man skissa derivatans graf

genom att bestämma värdet av derivatan i olika punkter på grafen till funktionen.

Uppskatta värdet av derivatan f' i minst fem punkter på kurvan y = f(x).

u Du vet följande om funktionen g.

g'(−1) = g'(3) = −3, g'(0) = g'(2) = 0, g'(1) = 2, g(0) = −2 och g(2) = 2

Skissa grafen till funktionen. u Grafen visar derivatan h' av en funktion h.

Skissa en möjlig graf till funktionen h. y

y y = f(x) 1

y = h'(x) 1

x 1

nvänd de värden du fått till att skissa A ­derivatans graf.

106

x 1

u Vilket samband tycks finnas mellan graden av en

polynomfunktion och graden av dess derivata?

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  UPPSLAGET

Problemlösning och modellering HB HomeSafe

u Hur ser funktionen ut som beskriver vinsten

Patrik och Klara har läst kursen Ung Företagsam­ het. Där fick de en inblick i hur ett företag drivs.

När de nu har gått ut gymnasiet bestämmer de sig för att bilda ett handelsbolag. De kallar före­ taget HB HomeSafe och där ska de montera och sälja enklare hemlarm. De börjar med att ta reda på priset på de delar som behövs och får sedan hjälp med att göra en budget. Funktionen K(q) = 1 500 + 600q − 0,02q2 beskriver kostnaden K(q) kr för att tillverka q st larm. Efter en enkel marknadsundersökning bestämmer de sig för att sätta försäljningspriset av sina larm till 995 kr/st.

För att få en uppfattning om företagets ekono­ miska förutsättningar ska du hjälpa dem genom att göra följande beräkningar: u Beräkna genomsnittskostnaden för de 25 först

tillverkade larmen.

om de tillverkar och säljer q st larm?

u Hur många larm ska de tillverka för att vinsten

ska bli 15 000 kr, under förutsättning att de säljer alla larm de sätter ihop?

u Hur stor är den genomsnittliga vinstökningen

per larm om försäljningen ökar från 100 till 200 larm?

Marginalkostnad är en ekonomisk term som anger den extra kostnad som tillkommer till totalkostnaden för att tillverka ytterligare en enhet av en produkt. u Bestäm marginalkostnaden vid en produktion

av 200 enheter.

u Beskriv hur marginalkostnaden förändras när

produktionen ändras.

u Hur förändras vinsten om försäljningspriset

ökar med 20 % och man fortfarande säljer alla larm?

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  UPPSLAGET

107

2

Tankekarta

Linjär optimering, ändringskvot och derivata Räta linjens ekvation

Linjär optimering

u y = kx + m

u linjära ekvationssystem

u linjens riktningskoefficient

u system av linjära olikheter

x2 − x1 u sekant

u bestämt område i koordinatsystem

u tangent

u värde i hörnpunkter

y2 − y1 k = ______ ​​ ​​

2

u målfunktion

u optimering

Sekant u rät linje u skär en kurva i två punkter u sekantens riktningskoefficient är

∆y ändringskvoten ___ ​​ ​​ ∆x u medellutning

Deriverbarhet u funktionen är definierad u funktionen är kontinuerlig

u genomsnittlig förändringshastighet

u grafen till funktionen är inte spetsig

Tangent

Derivata

u rät linje

u en kurvas lutning i en given punkt

u vidrör en kurva i en punkt

u gränsvärde av en ändringskvot

u förändringshastigheten i en punkt

u derivatan av f(x) i

u en kurvas lutning i en punkt

u derivatans definition

u tangentens riktningskoefficient är

värdet av derivatan

x = a skrivs f'(a)

f(a + h) − f(a) ​​ f'(a) = ​​lim ​​ ​​ ___________ h h→0

Tillämpningar u tangentens lutning u hastigheten i ett givet ögonblick u förändringshastighet i en punkt

108

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  TANKEKARTA

Blandade uppgifter Nivå 1

7 Diagrammet visar den sönderfallskurva för

1 Markera i ett koordinatsystem det område som uppfyller systemet av olikheter. a)

{

b)

x≥0 ​​ ​y ≥ 0​ ​​​ y ≤ −3x + 12​

{

kol-14 som används för att datera gamla föremål.

1017 st

Antal partiklar i ett prov

30

x≥0 y≥0 ​​ ​ ​ ​​​ x y ≤ −​ __ ​+ 200 3 ​

20

2 I diagrammet ser du en kurva med en utritad

10

sekant. Bestäm sekantens lutning. y

Tid 10 000

1

b) Hur många partiklar sönderfaller i genom­ snitt per år under de första 5 000 åren?

1

8 Tabellen visar antalet bakterier N(t) i en bakterie­

3 Vad ska stå i a) (2x + b) (

30 000 år

a) Vilket typ av samband beskriver grafen?

x

)2

20 000

odling vid några tidpunkter t timmar.

för att likheterna ska gälla? =

4x2

+ 12x + 9

+ 4) = 16x2 − 16

− 4)(

4 Mia och Andreas har vägt sin baby varje månad under det första halvåret och antecknat resulta­ tet. Så här blev resultatet x (mån)

0

1

2

3

4

5

6

y (kg)

3,6

3,8

4,7

5,6

6,1

6,8

7,4

a) Bestäm Δy för hela perioden. b) Bestäm Δx för hela perioden. c) Hur stor var babyns genomsnittliga vikt­ ökning per månad under det första halvåret?

5 Faktorisera polynomen a) p(x) = x2 − 12x − 13

b) q(x) = 2x2 + 4x − 48

c) r(x) = x2 − 64

d) s(x) = x5 − 9x

t

2

4

6

8

10

N(t)

5 000

15 000

40 000

109 000

300 000

Använd tabellen till att ge en så bra uppskatt­ ning som möjligt av N’(7), dvs. uppskatta tillväxthastigheten vid tiden t = 7 timmar.

(Np MaC ht 2000)

9 Grafen i diagrammet nedan beskriver kör­

sträckan för en rallybil under en del av en täv­ ling. Efter tiden t sekunder har bilen hunnit sträckan s(t) meter. Beräkna med hjälp av dia­ grammet följande två uttryck och förklara vad värdena säger om bilens rörelse.

s(12) − s(10) a) ​​ ____________

​​ b) s’(5) 12 − 10 c) Hur tror du att den del av rallybanan som motsvaras av diagrammet ser ut? s/m

6 I figuren är kurvans tangent i punkten (1, 2) ­utritad. Bestäm tangentens ekvation.

220 180 140

y

100 1

x 1

60 20 2

4

6

8

10

12 t/s (Np MaC ht 1996)

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  BLANDADE UPPGIFTER

109

2

«

2

«

10 Ett andragradspolynom har nollställena x = −5 och x = 7. Grafen skär y-axeln i punkten (0, −35). Vilket är polynomet?

11 I koordinatsystemet nedan är grafen till funktio­ _5

nen f(x) = ​​x ​ ​2 ​​​ ritad. Bestäm f’(0,6) med hjälp av grafen och numeriskt med ett digitalt verktyg. y

15 Ett snickeri tillverkar spjälsängar och gung­

hästar till ett varuhus. Tillgänglig arbetstid i snickeriet är 300 arbetstimmar/vecka och i måleriet 120 timmar/vecka. Den tid som krävs för varje produkt visas i tabellen.

Snickeriet

Måleriet

Säng

3h

1,5 h

Gunghäst

5h

1h

Anta att snickeriet gör x spjälsängar och y gung­ hästar.

0,2

a) Ställ upp olikheten som gäller för arbetstiden i snickeriet.

x 0,2

b) Ställ upp olikheten som gäller för arbetstiden i måleriet.

12 Förenkla så långt som möjligt (x − 3)(x + 2) a) ​​ ____________

​​ 2x − 6

x2 + 8x + 16 b) ​​ ___________ ​​ 2x2 − 32 (Np Ma3b ht 2012)

13 En sekant skär kurvan y = x2 + 2x − 3 i x1 = −3 och x2 = 2. Bestäm sekantens ekvation.

14 Agrin ska faktorisera p(x) = x3 + 6x2 − 9x − 14 och har inlett med att skriva om p som p(x) = (x − 2)(x2 + 8x + 7). Hjälp Agrin att full­ följa faktoriseringen.

110

c) Ange det system av olikheter som måste gälla för x och y. d) Rita in systemet av olikheter i ett koordinat­ system. e) Bestäm koordinaterna för områdets hörn. f ) Beräkna största möjliga vinst om vinsten på sängen är 129 kr och på gunghästen 250 kr.

16 Bestäm följande gränsvärden: ​​ (x2 + x) a) ​​lim x→5

h2 + 3h ​​ ​​ _______ b) ​​lim ​​ → h h 0

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  BLANDADE UPPGIFTER

17 Ett företag säljer två olika typer av mobiltelefoner:

M1 och M2. Deras tillverkningsmöjligheter är begränsade på ett sådant sätt att de endast kan tillverka 8 000 mobiltelefoner per vecka.

Beteckna antalet tillverkade M1 per vecka med x och antalet tillverkade M2 per vecka med y.

Markera i ett koordinatsystem de kombinationer av x och y som är möjliga för företaget att till­ verka.

Nivå 2

21 Ett polynom av grad 2 har sina nollställen i

x = −4 och x = 2. Polynomets minsta värde är −27. Vilket är polynomet?

f(2 + h) − f(2) 22 Låt f(x) = x2 + 3x och förenkla ____________

​​ ​​. h

23 Josefins mormor har satt in 10 000 kr i en fond

vars värde har vuxit med 6 % för varje år under 5 år. Bestäm den genomsnittliga ökningen uttryckt i kronor per år.

24 Låt p(x) = lg x och q(x) = x ∙ p(x) −1. Lös ekvatio­

18 Faktorisera polynomet p(x) = 3x + 3x − 18.

2

19 Bestäm det största värde som x + y kan anta om följande system av olikheter ska gälla. x≥0 y≥0 ​​ ​ ​ ​​​ 2x + 3y ≤ 24 5x + 3y ≤ 30​

{

20 Markus ska leverera både sallad och kryddor

från sitt växthus till en affär varje vecka. Han har avsatt ett område på 5,0 m2 där han placerar krukorna. Varje kruka med kryddor beräknas uppta 25 cm2 och varje kruka med sallad 30 cm2.

Kryddorna levereras i krukor, men salladen läggs i plastpåsar (en kruka per påse). Allt packas tätt i en transportbox vars volym är 0,8 m3. Där upptar en kryddkruka ca 500 cm3 medan en ­salladspåse kan tryckas ihop till ca 200 cm3.

Hur stor kan hans vinst som mest bli varje vecka om han tjänar 7 kr på varje kryddkruka och 5 kr på varje salladspåse?

nen p(x) = q(x) med symbolhanterande verktyg och svara med tre decimalers noggrannhet.

Nivå 3 25 När ett tåg bromsar in, så beskrivs sträckan

tåget färdats sedan inbromsningens början av s(t) = 25t − 0,2t2, där s(t) är sträckan i meter och t är tiden i sekunder. a) Vilken är tågets hastighet när det bromsat i 3 sekunder? b) Hur lång tid tar inbromsningen? c) Hur lång är bromssträckan? d) Bestäm medelhastigheten under inbroms­ ningen.

26 Maja köper potatis som kostar x kr/kg och

morötter som kostar 3 kr mer per kg. Hon beta­ lar 36 kr för potatisen och 27 kr för morötterna.

Tillsammans väger potatisen och morötterna 9 kg. Hur mycket kostar potatisen per kg? f(b) − f(a) b−a

27 Låt f(x) = 2x2 och bestäm ​​ lim ​​ ​​ _________ ​​ b→a

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  BLANDADE UPPGIFTER

111

2

«

Kapiteltest Del 1 Utan digitalt verktyg 1 Grafen visar hur temperaturen varierar under en sommardag i Stockholm. a) I vilket intervall är grafens lutning positiv? b) Bestäm den genomsnittliga temperaturändringen per timme mellan klockan 14.00 och 16.00.

°C

Temp

30 20 10

Tid

8.00

12.00

16.00

20.00 kl.

x2 4

2 Punkterna (2, 1) och (4, 4) ligger på kurvan y = ​​ __ ​​ Δy a) Bestäm ___ ​​ ​​ mellan de givna punkterna. Δx b) Förklara med ord vad du har beräknat i deluppgift a).

2

3 Bestäm det största värdet som funktionen

y

M = 5x + 7y kan anta för de möjliga värdena på x och y som är markerade i koordinatsystemet.

x

1 1

4 Grafen till en funktion har negativ lutning i intervallen x < −3 och x > 5,

lutningen är noll i punkterna där x = −3 och x = 5, och i intervallet −3 < x < 5 är lutningen positiv. Skissa en graf som uppfyller dessa villkor.

5 Antalet råttor i en population efter att man har lagt ut råttgift kan beskrivas med funktionsuttrycket N(t) = 200 ∙ 0,98t, där N(t) är antalet råttor och t är tiden i dagar efter det att giftet placerades ut. Beskriv vad N’(3) betyder.

6 Beräkna ändringskvoten mellan x = 1 och x = 3 för f(x) = x2 + 2.

{ 2x0,5xförförx ≥x <2 2​

7 Undersök om f(x) = ​​ ​

​​ ​ a) är kontinuerlig för x = 2 b) är deriverbar för x = 2

8 För V(x) = x3 + 2x2 − 4x + 2 gäller att h3 + 2h2 − 4h + 2 − 2 V’(0) = ​​l im​​ ___________________ ​​ ​​ h h→0 Bestäm V’(0).

112

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  KAPITELTEST

Del 2 Med digitalt hjälpmedel 9 På Kalles chokladfabrik har man ett par dagar före semestern kvar 7,5 kg

kakaomassa och 10 kg kakaosmör. Fabriken stänger under semestern och man vill därför använda råvarorna så att vinsten blir så stor som möjligt.

Man ska tillverka två sorters chokladkakor med olika smak. I tabellen sammanfattas vad som gäller om man tillverkar x kakor med apelsinsmak och y kakor med mintsmak.

Kakaomassa/kaka

Kakaosmör/kaka

Vinst/kaka

Apelsinsmak

50 g

40 g

5 kr

Mintsmak

25 g

40 g

7 kr

50x + 25y ≤ 7 500

40x + 40y ≤ 10 000

Villkor

a) Markera i ett koordinatsystem det område som begränsas av olikheterna under förutsättning att både x och y är större än eller lika med noll. b) Hur många chokladkakor av vardera sort ska man tillverka för att vinsten ska bli så stor som möjligt? c) Hur stor blir vinsten?

10 Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan f(x) = x2 − 2 för x = −2.

11 Bestäm riktningskoefficienten till tangenten i punkten där x = −2. y

1

x 1

12 Låt f(x) = 2x2 − 7. f(5 + h) − f(5) a) Bestäm f’(5) = ​​lim​​ ____________ ​​ ​​ h h→0 b) Förklara vad det är som beräknas i deluppgift a).

13 Figuren visar grafen till y = f(x) där f(x) = x2. u

Bestäm ekvationen för grafens tangent i origo.

u

Bestäm ekvationen för grafens tangent för x = 1.

u

Bestäm ekvationen för tangenten för ytterligare några positiva heltals­värden på x. Vilka slutsatser kan du dra?

y

x

1 1

LINJÄR OPTIMERING, ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA  KAPITELTEST

113

2

Facit 1 Algebraiska ­uttryck

1101 a) −7

=

1117 a) x2 − 3x

b) 20

1102 a) 5

c) −5

b) 4

c) 120

1 140 + 12x x b) 5,70 kr

1116 a) ​​ ___________ ​​

c) 6x5 − 8x3

1118 a)

d) −324

1104 T.ex. x3 + 2

d) 21a2b − 4a3 − 5ab2

1119 a) x2 + 6x + 9 c) x2 − 9

d) 1,44 − 0,24x + 0,01x2

1120 a) 6x2 + 17x + 5

1107 a) 8x

b) x2 + 5,5x + 7,5

b) 13,6 cm

1121 a) 4x

c) 0,6 m

1108 Exempel på uttryck som är ­polynom:

x4 − 5x3 + 3 5x − 7 Exempel uttryck som inte är polynom: 1 __ ​​ ​​

x2 5x − 7 ______ ​​ ​​ x 7 − x2,3 + 3 2x

1122 Grad 6 1123 a) 4x15 + 2x2

b) 2x3 − 16x

1124 a) 9

b) −6

c) Ca kl. 07.00

1110 a) 0,20 m

b) 0,74 s b3

4 3 c) x = 2

1125 a) x = ​​ __ ​​ −x2

b) x = −1

− x − 1; −7

1127 Termerna i faktorerna är

b) Ca kl. 04.45 och 12.30

− 2a −

c) 13 − 10a

1126

1109 a) Ca 28 °C

b)

b) 4

c) 50 − x8

8

a3

+ 10x + 21

c) 2x4 + 2x3 − 12x2

b) 6,6 km

1106 B, D och E

1111 a) 17

d) 10x6 − 5x4

b) 9x2 − 6x + 1

1105 a) 385 kr

antingen en konstant (ett tal) eller av formen ajx j, där j är ett positivt heltal. Därför måste även produkten ha termer som är på någon av dessa former.

1128 a) a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 b) a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

+ 2b

dukten av två polynom av grad 3 är alltid ett polynom av grad 6.

b) 2x3 − 3x4

b) 2x2 + x − 3

1103 a) x = 4 b) x = 5 och x = −5

x2

1129 a) Påståendet är alltid sant, pro­

b) Påståendet är falskt, summan av två polynom av grad 3 kan aldrig vara ett polynom av grad 6. c) Påståendet kan vara sant.

Koefficienten för tredjegrads­ termen kan dock bli 0, vilket leder till ett polynom av lägre grad. d) Påståendet kan vara sant.

Koefficienten för tredjegrads­ termen kan dock bli 0, vilket leder till ett polynom av lägre grad. e) Påståendet är alltid sant, ­produkten av polynomen ger ett nytt polynom som är av grad 10. f ) Påståendet är alltid sant, eftersom det bara finns en term av grad 4 så kommer den alltid finnas med i summan.

1130 a) 5x(x + 7) c)

5x(4x2

b) 5x(6x2 + 9)

+ 3x + 1)

1131 a) 4(x + 5) c) 5x(3x − 5)

1132 a) (x + 1)(x − 1) b) (a + 3)2

b) 2x(1 + 2x) d) xy(2 − x) c) (x − 7)2

d) (2x + 5)(2x − 5)

1133 a) 4(2y + 1)(2y − 1) b) 2(y + 2)(y − 2) c) x(x + 1)2

d) 3x(x − 1)2

1134 a) 2(x + 2)

3x + 4 b) ​​ ______ ​​ x

c) x = 0 och x = 4

1135 a) 3

1113 T.ex. p(x) = x3 − 2

5 c) ​​ __ ​​ x

2x + 4 b) ​​ ______ ​​ = x + 2 2 x+1 d) ​​ ______ ​​ 2x − 1

1112 a) 5

3 1114 a) x = ​​ __ ​​ 4

b) 5

__ b) x = ±​​√2 ​​

1115 p(x) = x2 + 1

274

FACIT  1. Algebraiska ­uttryck

q(103 + 0,0002q) q = 103 + 0,0002q

1136 ​​ ________________

​​ =

1137 a) Enligt kvadreringsregeln är (a − b)2 = a2 − 2ab + b2. ­Juanitas faktorisering kan därför inte stämma.

b) x2 − 6x + 9

1138 a) (a + 3)(2 + b) b) (xy − 1)(1 + x)

1139 3 och 2x − 1 1140 Rektangelns längd är 6 cm längre än bredden.

1141 Alla tre svar är fel. Rätt svar: 3−x ​​ _______ ​​ 2(x + 3)

1212 Ja, för x = 9 1213 a) x1 = 12; x2 = 2 b) Saknar reella lösningar 13 5 c) z1 = ___ ​​ ​​; z2 = −​​ __ ​​ 3 3

1201 a) x1 = 3; x2 = −3 b) y1 = 8; y2 = −8 c) x1 = 0,1; x2 = −0,1 1 1 ​​ ​​; y2 = −​​ __ ​​ d) y1 = __ 2 2

___ 1202 a) x = ±​​√46 ​​

b) Saknar reella lösningar c) y = ±13

___ __ d) y = √ ​​ 50 ​​ = ±5​​√2 ​​

1203 a) x = ±4 b) Hon kan ha misstolkat ekva­ tionen och löst 2x = 16. c) Sök de tal vars kvadrat är 16.

1204 a) x1 = 0; x2 = 15

1 ​​ ​​ b) x1 = 0; x2 = __ 2 c) y1 = 0; y2 = −7

1205 a) x1 = −3; x2 = 2 b) x1 = −1; x2 = 3

1206 a) x1= 3; x2 = −5

1238 a) Ja, för a > 16

b) a = 25

b) Nej

1216 2 300 cm (2 304) 2

1217 x1 = 2; x2 = −8

b) x1 = 5; x2 = 1

d) y1 = 0; y2 = 6

1208 a) x1 = 7; x2 = 3 b) x1 = 2; x2 = −18 c) y = 17 d) y1 = −1; y2 = 4

1209 2,7 cm ___ 1210 ​​√34 ​​dm ≈ 5,83 dm

d) Ja, för a > 1 x2 = 2

Nollställen till g: x1 = −2; x2 = 1 och x3 = 3

1220 Storlek 49

1240 A–III; B–I; C–II

1221 a) x1 = 19; x2 = −1

1241 a) Ett

b) Två

c) Ett

d) Två

b) x1 = 8; x2 = 1 c) x1 = −3; x2 = −17

1222 a) x1 = 15; x2 = 1 b) x1 = 7; x2 = −9 1 c) x = __ ​​ ​​ 2 d) x1 = 6; x2 = −2

1223 Basen ≈ 11,3 cm Höjden ≈ 4,3 cm

1242 a) T.ex. f(x) = x2 + 1 b) T.ex. f(x) = x2

1243 Grafen kan göra svängningar på

vägen men allmänt gäller att om a > 0, så går grafen med stigande värden på x från stora negativa tal till stora positiva tal.

T.ex.

1224 a) (1, 2) och (3, −6)

y

b) (−0,65; −0,58) och (4,65; 20,6)

x

1225 a) (x − 2)2 = 9

x1 = −1; x2 = 5

b) (x + 8)2 = 1 x1 = −9; x2 = −7 c) (x + 4,5)2 = 100 x1 = 5,5; x2 = −14,5

1227 a) y1 = 13; y2 = 1

4

c) Ja, för −6 < a < 6

1239 Nollställen till f: x1 = −2 och

1218 37 mm

c) x1 = 0; x2 = −2; x3 = 2

3 c) y1 = 0; y2 = −​​ __ ​​

b) x1, 2 = ±3

1215 a) T.ex. a = 26

1226 a) 4

b) x1 = 0; x2 = 5

__ 1236 a) x1, 2 = ±​​√7 ​​; x3, 4 = ±1

1237 36,4 cm (en rektangel)

b) x1 = 0; x2 = −2; x3 = 6

1207 a) x1 = 0; x2 = 20

och x4 = −1

1214 4 cm

1219 a) x1 = 3; x2 = −5

1142 (x + 1) cm

1235 a) t1 = 5 __och t2 = 1__ b) x1 = √ ​​ 5 ​​, x2 = −​​√5 ​​, x3 = 1

a < 0: grafen går med stigande värden på x från stora positiva tal till stora negativa tal.

T.ex.

x

b) x1 = 5; x2 = −1

1228 a) x = 1

b) x ≈ 2,13

1229 a = −8; x2 = −2 1230 38 km/h och 112 km/h 1231 a) 3,3 s

y

b) 25

b) 170 km/h

1232 44 dm (sidan 11,0 dm) 1233 6 cm 1234 a) x1 = 0; x2 = 1; x3 = −7 b) x1, 2 = 0; x3 = 4; x4 = −4

1244 a) x = 0 b) x1 = 0 och x2 = 1,5 c) x1 ≈ −4,5; x2 ≈ −0,3 och x3 ≈ 1,7

1245 a) x1 = −1 och x2, 3 = 2

b) T.ex. f(x) = x3 − 3x2 + 5

c) T.ex. f(x) = x3 − 3x2 + 3

1246 T.ex. f(x) = x5 − 5x3 + 4x

c) x1, 2 = 0; x3 = 1; x4 = 6

1211 T.ex. (x − 31)2 = 0 som har ­dubbelroten x = 31.

FACIT  1. Algebraiska ­uttryck

275

=

1247 a) En tredjegradekvation har

minst en reell rot. Därmed har en tredjegradsfunktion alltid minst ett nollställe.

b) Hon har troligen ritat grafen utan att fundera över om de väsentliga delarna av grafen syns på skärmen. Efter till­ räcklig utzoomning kommer hon att hitta minst ett noll­ ställe.

1248 a) En tredjegradsfunktion har

minst ett nollställe och högst tre nollställen. En tredjegrads­ funktion där koefficienten framför x3-termen är negativ går, med stigande värde på x, från stora positiva värden till stora negativa värden. Av bilden kan vi därför dra slut­ satsen att funktionen har endast ett nollställe (som ligger till höger i bild).

=

y

1261 a) x = −2, x = 2 och x = 10

polynom kan inte ha tre noll­ ställen.

7 3

2 25

1263 A = ​​ __ ​​ och B = −​​ ___ ​​ 6 eller A = −5 och B = ___ ​​ ​​ 35

1264 x1 = 5, x2 = −1 och x3 = −3 1265 a) r(z) = z(z − 3)(z − 1) b) q(t) = 2(t − 9)(t + 2) c) p(x) = __ __ = −(x − 5 − 5​​√2 ​​)(x − 5 + 5​​√2 ​​) 2 5

1266 x1 = __ ​​ ​​ och x2 = −2 1267 T.ex. p(x) = (x − 7)(x − 2)2 b) p(x) = 2(x − 2,5)(x − 4)(x − 12)

1269 Enligt förutsättningen är b) x ≈ 12,36

1249 a) x = 3 b) x1 = −1 och x2 = 2 c) x1 = 0, x2 = 3 och x3 = −3

__

__

d) x1 = −​​√5 ​​ och x2 = √ ​​ 5 ​​

1250 T.ex. (x − 2)(x − 5) 1251 a) p(x) = (x − 1)(x − 13) b) q(x) = (x − 3)(x + 5) c) Går ej att faktorisera

1252 T.ex. x2 − 6x + 8 1253 a) x = 2 och x = 5 b) x = −4, x = 0 och x = 1

1254 x = −3, x = −1 och x = 1 1255 a) x = 0, x = 7 och x = 1 b) x = 0, x = −1 och x = −5

1256 p(x) = −2(x − 5) = −2x + 10 1257 p(x) = 2(x + 1)(x − 3) = = 2x2 − 4x − 6

1258 f(x) = x2 + 3x − 10 1259 p(x) = −2x3 + 2x2 + 8x − 8 1260 a) x1 = 2, x2 = 4 och x3 = 9 b) p(x) = (x − 2)(x − 4)(x − 9)

276

FACIT  1. Algebraiska ­uttryck

y

1

x 1

1262 Klara har rätt. Ett andragrads­

1268 a) x1 = 2,5; x2 = 4 och x3 = 12 x

1304 a)

b) p(x) = = −0,05(x + 2)(x − 2)(x − 10) kan även skrivas p(x) = = −0,05x3 + 0,5x2 + 0,2x − 2

p(x) = (x − a) ∙ q(x), där q(x) är något polynom av en grad lägre än p(x). Då gäller p(a) = (a − a) ∙ q(a) = 0 ∙ q(a) = 0, v.s.b.

1270 a) Grafen skär inte x-axeln utan

tangerar den i det dubbla nollstället x = 4. Funktionen har en extrempunkt (minimi­ punkt) för x = 4.

b) q(x) = 2(x + 1)2(x − 2)

1271 p(x) = 2(x + 1)(x − 3)2 = = 2x3 − 10x2 + 6x + 18

1272 a) x = −7 och x = 10

b) p(x) = −(x2 + 2)(x + 7)(x − 10)

c) Man kan endast bestämma reella rötter till en ekvation grafiskt och faktorn x2 + 2 har inga reella rötter.

1301 a) x = 0

b) x = −2

c) x = ±3

1302 B, C och F 2 3a x−9 c) ​​ _____ ​​ 3 e) x + 1

1303 a) ​​ ____4 ​​

1 b) ​​ __ ​​ 2 4 d) ​​ _____ ​​ a−1 f) a − 3

b) Definitionsmängd: x ≠ 0 c) Värdemängd: f(x) ≠ 0

1305 Definitionsmängd: x ≠ 4 Nollställe: x = −2 1 x − 16

1306 T.ex. ​​ _______ ​​ 2 1307 a) Han har förmodligen inte fak­ toriserat först, utan direkt strukit x2 i täljaren mot x2 i nämnaren och även 6x mot 3x och fick då 2x. Det stäm­ mer inte. (x + 3)2 _____ x+3 _______ b) ​​ ​​ = ​​ ​​ x(x + 3) x x−2 2

x−2 b) ​​ _____ ​​ x+2

1308 a) ​​ _____ ​​

(x − 2)(x + 6) x+3 3 ____________ b) T.ex. f(x) = ​​ ​​ (x − 8)(x + 8) x+6 c) T.ex. f(x) = ____________ ​​ ​​ (x − 3)(x − 2) 16 d) T.ex. f(x) = ______ ​​ 2 ​​ x −2

1309 a) T.ex. f(x) = ​​ ____________

​​

(x − 2)(x + 6) x−1

1310 T.ex. f(x) = ​​ ____________

​​ x3 + x2 + 3x + 3 2x3 + 6x2 1311 a) ​​ ______________

​​ och _________ ​​ 2 ​​ 2 2x + 2x

2x + 2x

2x + 6 1−x b) ​​ ______ ​​ och ​​ ______ ​​ 4 − 2x

4 − 2x

1312 Både täljaren och nämnaren är

positiva för alla x. Värdet på x2 kommer alltid att vara ett posi­ tivt tal ­oavsett värde på x vilket medför att funktionen endast kommer att anta positiva värden.

1313 a) x ≠ 1 b) Täljaren är positiv för alla x.

Därför blir funktionsvärdet aldrig 0.

1314 a) x ≠ ±3 b) Alla x utom x = 9 och x = −3

___ 1327 a) x = ±​​√10 ​​___ 9±√ ​ 41 ​ ________

1315 a) Definitionsmängd: x ≠ 2 y

1

b) x = ​​

x 1

1344 a) 1

​​ 2

10 c) x = ___ ​​ ​​ 3

d) 0

d) x = −6

1345 a) Vänstergränsvärdet för x = −2

3x b) ​​ ___ ​​ 2

1328 a) x

är 1

b) Högergränsvärdet för x = −2 är 1

2

3x ​​ c) ​​ _______ x2 − y2 x2 − 5x + 6 ____________ (x − 2)(x − 3) b) ​​ __________ ​​ = ​​ ​​ =

2x − 4 2(x − 2) x−3 = _____ ​​ ​​ som är en linje.

2 Men det ursprungliga uttrycket är inte definierat för x = 2, så den punkten ingår inte i grafen.

1316 III 2(x + 5) x − 10

5x 6 12 + x2 _______ c) ​​ ​​ 3x

b) Saknar gränsvärde

3 b) ​​ _______ ​​ 25a3b2 2 a d) ​​ __________ ​​ b2 − 2b + 1

1331 a) 4xy 2

2x c) ​​ _____ ​​ x+2

c) 14

1347 a) 0

11a b) ​​ ____ ​​ 15 12x + 10 ________ d) ​​ ​​ x(2 + x)

3 − 2x + x2 3(5 − x) 2x2 + 13x + 3

b) ​​ ____________ ​​ x(x + 3) 8x c) ​​ _____ ​​ x+2 −x − 2 ______ x+2 ​​ d) ​​ ______ ​​ = ​​ x2 − x x − x2 2 + 13x + 12 x e) ​​ ____________

​​ 8 + 2x 2 − 2x − 1 x f ) ​​ __________ ​​ x2 − 1 b) x = 4

c) Saknar lösning

1 a

a−b b−a

a 2

1336 a) ​​ __ ​​

x→0

1 c) ​​ _______5 ​​ (7 + c)

1337 9,7 1338 Ekvationen saknar lösning. b) x1 = 2 och x2 = −3

1340 1 − a − b

1351 Ja, g(x) → 0 då x → 3 1352 a) 4

b) 10 5 d) 2x + ​​ __ ​​ x

1353 a) ​​ __ ​​

b) 2

1354 a) 11 + h

b) 11

1355 a = 10

1341 a) 7

b) 5

c) −4

1342 a) 0

b) 0

c) 3

1343 a)

4 5 + ​ __ x ​

d) 8

1356 a) ​​ ______ ​​ 3 __ ​ ​ + 2 x

y

5 b) ​ __ ​ 2

1357 a) Vänstergränsvärdet för x = −1 b) Högergränsvärdet för x = −1 är 2

b) 0

b) Ekvationen saknar reella rötter. x 2 1 c) ​​ __ ​​ x

x b) ​​ __ ​​ 4 4 d) ​​ ____2 ​​ 5x

5x2 18 y2 ___ c) ​​ ​​ 10

x2 + 5x b) ​​ _______ ​​ 8 2 + 3y 3y d) ​​ ________ ​​ 14

1326 a) ​​ ____ ​​

b) −14 d) 0

är −1

1324 a) x1 = 4; x2 = −1

1325 a) ​​ __ ​​

c) 10

1 8

1339 a) x = −5

1322 Josefin 23 20x − 60

1350 a) 0

c) −6x

d) x = 3

1323 a) ​​ ________ ​​

4 __ d) ​​ ​​ 5

1349 T.ex. f(x) = 2x − 7

−(b − a) b−a

b) −1

c) 0

2x2 − 10x ​​ b) Därför att ​​l im ​​ _________ ​​ = x→0 x x(2x − 10) ​​ ​​ = = ​​lim ​​ __________ x→0 x im ​​ (2x − 10) = −10 = ​​l

1335 VL = ​​ _____ ​​ = ​​ ________ ​​ = −1 = HL, v.s.v.

b) 5

nierad.

y − x​ b) ​​ _____ ​ c) b2 xy2

1334 a) ​​ __ ​​

d) 0

1348 a) Division med 0 är inte defi­

1 b) ​​ _____ ​​ a+b 1 d) −​​ ______ ​​ 4 + 2h

1332 a) a + b

2x + 3

1320 a) ​​ __________ ​​

1321 a) x = −2

1346 a) 2

1330 x = 1

2x 1333 ​​ ______ ​​

1318 A = 3 och B = 1 1319 a) ​​ ___ ​​

c) 1

1329 B

c) 6 + h

1317 T.ex. ​​ ________ ​​

b) 3

c) ∞ (Saknar egentligt gräns­ värde)

1

x 1

c) Gränsvärdet existerar inte eftersom vänstergränsvärdet inte är lika med högergräns­ värdet.

1358 a) Gränsvärdet existerar inte. b) 2 b) ±∞, beroende från vilket håll man närmar sig x = 2, så det saknas ett gränsvärde för x = 2.

1359 a) h + 10 c) h + 2x + 6

__ 5 __ 1360 ​​ ​ ​ ​​

√2

b) 10 d) 2x + 6

FACIT  1. Algebraiska ­uttryck

277

=

(

)

26 000 1361 a) 5 200 st ​​ ​ _______ ​ ​​

5 b) 6 500 st (gränsvärdet då t går mot oändligheten är 6 500)

1362 a) Nej, Sofia har fel. Funktionen

är inte definierad för x = 6 och kan således inte ha något funktionsvärde för x = 6.

Dessutom växer funktionsvär­ dena obegränsat då x-värdena närmar sig 6 från höger så funktionen har inte något största värde.

=

b) Nej, Sofia har fel. Gränsvärdet för funktionen då x går mot oändligheten är visserligen 1, men funktionen antar dock aldrig värdet 1.

0,69x + 49 x b) 0,69 kr (Gränsvärdet för 0,69x + 49 ​​ __________ ​​ då x går mot x oändligheten är 0,69)

1363 a) ​​ __________ ​​

1372 a) Definitionsmängd: x ≠ 0 b) Värdemängd: f(x) > 0 c) Ja, eftersom funktionen är kontinuerlig för alla punkter i sin definitionsmängd.

1374 Ja, funktionen är kontinuerlig för

1387 Lös(x2 + px + q_______ = 0) i GeoGebra

x = 2. Eftersom vänster- och högergränsvärdet är lika, så är gränsvärdet 15 när x närmar sig 2.

Och eftersom f(2) = 15, så är funk­ tionen kontinuerlig i punkten.

1375 a = 5 1376 T.ex. hur månadshyran ökar för en lägenhet. Hyreshöjningar sker ju normalt en gång per år och är sedan konstant under hela året fram tills nästa hyres­ höjning.

{ x + 3 för x > 0 ​

2x + 3 för x ≤ ​ 0 ​​ 1378 g(x) = ​​ ​

5x + 2 1365 T.ex. g(x) = ​​ ______ ​​

1379 a) Ja, den är kontinuerlig.

x

b) Ja, den är kontinuerlig.

4 7

1366 A = ​​ __ ​​

c) Nej, den är inte kontinuerlig.

(Vänstergränsvärdet för x = 1 är 2 medan högergränsvärdet och funktionsvärdet för x = 1 är 1)

1367 a) ah + 2ax + b b) 2ax + b

1368 g och h

15 b) k = ​​ ___ ​​ 4

1369 A, B och C är kontinuerliga

1380 a) k = 5

1370 a)

1381 Nej funktionen behöver inte

y

2

vara kontinuerlig för att vänster­ gränsvärdet = högergränsvärdet.

Det är ett nödvändigt villkor men inte ett tillräckligt villkor. För att den ska vara kontinuerlig i x = 4 så behöver f(4) = 7 också gälla.

x 1

1382 a) 7 b)

b) 5

c) −4

d) Gränsvärde saknas

y

1383 a) p(x) = (x − 13)(x − 1) b) q(x) = (x − 3)(x + 5)

1

x 1

1371 a) Nej. Funktionen är inte kontinu­erlig för x = 3.

b) Nej. Funktionen är inte kontinu­erlig för x = 3.

278

FACIT  1. Algebraiska ­uttryck

c) Definitionsmängd: t ≥ 0 Värdemängd: 23 < T(t) ≤ 94

1386 T.ex. 5x2 − 30x + 40

erlig eftersom högergränsvärdet inte är lika med f(3).

3x x

b) 23 °C (gränsvärdet då t går mot oändligheten är 23)

1373 h(4) = 2 för x = 4

1377 Nej. Funktionen är inte kontinu­

1364 T.ex. f(x) = ​​ ___ ​​

1385 a) 94 °C

c) r(x) = (x + 2)(x + 3)

__ __ 1384 a) Exakt: p(​​√3 ​​) = 12​​√3 ​​ − 24 Närmevärde med tre decima­ __ ler: p(​​√3 ​​) ≈ −3,215 __ __ b) Exakt: x = −​​√5 ​​, x = √ ​​ 5 ​​ och x = 3. Närmevärde med tre decimaler: x ≈ −2,236; x ≈ 2,236 och x = 3,000

−p − √ ​ p2 − 4q ​

ger x = ​​ _____________ ​​ och 2 _______

−p + √ ​ p2 − 4q ​

x = _____________ ​​ ​​. Det är 2 samma resultat som man får med pq-formeln fast skrivet i en annan form.

319 221 4 __ c) ​​ ​​ 3

1388 a) ​​ ____ ​​

179 b) ​​ ____ ​​ 116 4 d) ​​ __ ​​ 3

1389 T.ex.

x 4 − 13x3 + 41x2 + 37x − 210

1390 p(x) = −2x + 10 1391 a) x = 2, x = 4 och x = 9 b) p(x) = (x − 2)(x − 4)(x − 9)

1392 a) Alla x utom x = 0 och x = ±3 b) x ≠ 3

(

)

65 000 3 b) 32 500 (gränsvärdet då t går mot oändligheten)

1393 a) Ca 21 700 st ​​ ​ _______ ​ ​​

1394 a) e c) 15

b) e ≈ 2,7183 d) 3 1

__ ​​ 1395 a) Definitionsmängd: x ≠ ±​​ ___ √ ​ 3 ​ b) Ca 2,42

7 c) ​​ __ ​​ 3

7 d) ​​ __ ​​ 3

1396 a) p(x) = (x − 3)(x − 2)(x + 2)(x + 4) b) x1 = −2, x2 = 2, x3 = 3

1397 2(x + 1)(x − 3)2

1398 a) Om räntesatsen t.ex. är 2 % så

(

)

2 får vi K​​ 1 + ____ ​ ​ ​​ = K · 1,02, så 100 värdet i parentesen ger alltså förändringsfaktorn för en ökning på r %. r 2 b) K​​​ 1 + ____ ​ ​ ​​ ​​ 200 n r c) K​​​ 1 + ______ ​ ​ ​​ ​​ n · 100 1 n d) ​​​ 1 + __ ​ ​ ​ ​​ är en formel som n beskriver räntan. Gränsvärdet då n går mot oändligheten blir då e.

(

( (

)

)

)

1 2

14 a) x ≠ __ ​​ ​​

b) x ≠ 0; x ≠ 3

inte vara nollställen eftersom de ligger på y-axeln (och inte i origo).

16 −2x2 + 28x − 80 x−4 x−5

17 T.ex. f(x) = _____ ​​ ​​ 18 a)

c) x1 = 1; x2 = 2

2 a) −10x3 + 35x2 + 6x − 21 b) x3 − 5x2 − 4x + 20

3 VL > 0 om x > 0 4 a) 4a(2a − 3)

resp. y = x2 − 1. x+3 x +1

29 T.ex. ______ ​​ 2 ​​ 1

c) 3xy(x + 4)

1

b)

t.ex. inte vara definierad för x = 3. b) 14

c) 2x + 4 + h

y

d) 2x + 4

32 a) Nej b) Ja, gränsvärdet är −6 c) Ja, gränsvärdet är 0

1

x

d) Ja, gränsvärdet är 6

33 a) (x − 1)(x + 1)(x + 2)(x + 3)

1

c) Funktionen i uppgift a) är konti­ nuerlig men funktionen i uppgift b) är diskontinuerlig.

19 a) x6

1 b) ​​ _______8 ​​ (x + 4)

20 a) 1

b) 3

21 a) K(x) = 84x + 1 450

5 a) x = 0

84x + 1 450 ​​ b) G(x) = ___________ ​​ x

b) x = 3 och x = −3 1 c) x = −​​ __ ​​ 5

b) −1,92. Ulf ligger 1,9 km framför Janne fyra timmar efter starten.

b) 4

y-axeln i (0, −7)

c) 8 h 38 min (8,63 h)

23 a) 2

8 D c) 8

11 a) x1 = −8; x2 = −3; x3 = 1 b) x1 ≈ −1,1; x2 ≈ 2,4; x3 ≈ 3,8 b) x1 = −6; x2 = 5

13 a) 69 b) Det innebär att bromssträckan blir 69 meter längre om hastigheten ökar från 70 km/h till 90 km/h.

c) Nej

x2 24 −​​ ___ ​​ + x − 4 16

2 3

25 a) ​​ __ ​​

10 (x − 4)/(x − 1) = 2

b) 6

2 b) ​​ __ ​​ 3

2 c) ​​ __ ​​ 3

34 6,5 cm eller 11,5 cm 3x + 1 6 1 1 __ b) x1 = −​​ ​​; x2 = −​​ __ ​​ 2 3 1 1 c) x1 = −​​ __ ​​; x2 = −​​ __ ​​ 2 3 d) (x − 2)(x + 1)(2x + 3)

35 a) (2x + 1) · ______ ​​ ​​

3 e) x1 = 2; x2 = −1; x3 = −​​ __ ​​ 2 19 12 28 f ) x3 − ___ ​​ ​​x2 − ___ ​​ ​​x + ​​ ___ ​​ 15 5 15

36 p(x) = 2(x2 − 6)(x2 + 2)

22 a) 90 km

7 x-axeln i (−2, 0) och (7, 0);

12 a) x1,2 = 2

30 Åke har fel. Funktionen behöver 31 a) 14 + h

d) Nej

d) 3b(4a + 3b + a2)

b) 3

x

c) Nej. Högergränsvärdet är 3, men vänstergränsvärdet är 1.

b) 2x2y(2 − y)

9 a) 0

1

b) x1 = 1; x2 = −1; x3 = −2; x4 = −3

b) 12

6 a) 17

x

28 0, 1 eller 2. T.ex. y = x2 + 1, y = x2

Blandade uppgifter

1 a) 2

1 y

b) p(x) = (x2 + 1)(x + 7)(x − 10)

«

y

15 Klara har rätt. (0, 4) och (0, −2) kan

1399 a) x1 = −7 och x2 = 10

c) Den går inte att bestämma eftersom x2 + 1 inte kan bli 0 om x är ett reellt tal. Därmed medför inte den faktorn att grafen skär x-axeln på fler ställen.

27 T.ex.

2 d) ​​ __ ​​ 3

37 a) (x + 1)(x − 1)

b) (x + 1)(x − 1)(x2 + 1)

c) (x − 1)(x2 + x + 1) d) (x − 1)(x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1) e) xn − 1 = (x − 1)(xn − 1 + xn − 2 + … + x3 + x2 + x + 1) om n är udda.

38 150 st

Kapiteltest

26 Både täljaren och nämnaren är defi­ nierade för alla x och nämnaren är aldrig 0, eftersom x2 + 1 ≥ 1 för alla värden på x.

1 a) 5

b) −16

2 8 9a 5

3 a) ​​ ___ ​​ 4 a) 81

b) x − 5

x−2 c) ​​ _____ ​​ x

b) 12

FACIT  1. Algebraiska ­uttryck

279

=

5 Definitionsmängd: x ≠ 1 Nollställen: x1 = 5 och x2 = −1

6 a) x1 = 0; x2 = 1; x3 = −2

2 Linjär ­opti­mering, ändrings­kvot och derivata

b) x = −5 3x2 − 6x − 10 x +x−6 a(a + b) x−2 _______ b) ​​ ​​ c) ​​ _____ ​​ 2b x+2

7 a) ​​ ____________

​​ 2

8 x1 = 1, x2 = 5 och x3 = 11 9 T.ex. p(x) = x2 + 2 10 Doris polynom har korrekta nollstäl­

=

len men uppfyller inte villkoret p(0) = 6. Ett korrekt polynom skulle vara p(x) = −x2 + x + 6. Dvs. Doris förslag ska multipliceras med −1.

11 a) Definitionsmängd: Alla x

Värdemängd: f(x) ≤ 3 och f(x) = 4

b) Vänstergränsvärdet för x = 2 är 3 och högergränsvärdet för x = 2 är 4.

c) 4 120 st

13 a) 8

2116 a) x ≥ 2

b) y < 3

4 914x + 8 820 x + 3,5x

Om f(x) har ett nollställe för x = a, så är (x − a) en faktor i f(x).

Med hjälp av grafen kan vi alltså se att f(x) har faktorerna (x + 1), (x − 1) och (x + 3). Och eftersom f(0) motsvarar grafens skärning med y-axeln, så kan vi dra slut­ satsen att f(x) är det avbildade polynomet.

u

g(x) = −0,25(x − 4)(x + 1)(x + 3) = = −0,25x3 + 3,25x + 3

u

h(x) = (x − 2)(x − 1)(x + 2) + 3 = = x3 − x2 − 4x + 7

y

{ y = 2​ { 2104 a) ​​ { x​y == 13 ​​​​

1

{

x 1

b)

y

{

x​ = −1 b) ​​ ​ ​​ y=3 ​

1

2105 y = −2x + 5 320 och den betyder i det här sammanhanget att kostnaden per timme för att anlita en plattsättare är 320 kr.

c)

y 1

x 1

b) kr

x 1

2106 a) Linjens riktningskoefficient är

Kostnad

4 000

d)

y

3 000 2 000

b) 6

15 ​​ ______________

​​ 2

1

1 000 2

4

6

8

10

h

2118 a)

2107 18 enkelrum (och 16 dubbelrum)

y 1

2108 a) (0; −2,4) och (4, 0)

x 1

b) (0; −0,5) och (−3, 0) 2 5

x 1

Tid

4 5

2109 y = ​​ __ ​​x + __ ​​ ​​

b)

y

2110 0,55 kg av tesorten som kostar

135 kr/kg och 0,45 kg av tesorten som kostar 168 kr/kg.

2111 Grundlönen är 98 kr/h och helg­ lönen är 129 kr/h.

2112

x 1

Arean = 2 a.e.

FACIT  2. Linjär ­opti­mering, ändrings­kvot och derivata

1

x 1

2119 a) y ≤ 2x + 1

y

1

280

2b b) a = ​​ ___ ​​ 3

b) ​​ x ​ = 2 ​​​ y = 3​

c) ​​ x ​ = 4 ​​​ y = 4​

b) x = 5, x = −5 och x = −2



2115 a) a ≠ ​​ ___ ​​

b) Nej x​ = 3 ​​​ 2103 a) ​​

14 a) p(x) = (x − 5)(x + 5)(x + 2)

16

2114 a = 6

2117 a)

2102 a) Ja

c) f(2) = 3

b) Det kostar 1 700 kr att trycka 1 000 blad.

b) y = −x + 7

2b 3

2101 (0, 4)

d) Eftersom högergränsvärdet inte är lika med f(2) så är funktionen inte kontinuerlig.

12 a) 1 700

2113 a) (3, 4)

b) y > x − 2

2120 a)

2124 a)

y

2132 a) V = 4,50x + 2,50y

y

b)

10 1

10

x 1

b)

b) Nej, talparet x = 50 och y = 10 hamnar utanför det markerade området och är alltså inte en möjlig kombina­ tion av antal stolar och bord.

(Att köpa in 50 stolar och 10 bord skulle kosta 26 910 kr och möbelhandlaren har endast 25 000 kr.)

y

1

x 1

2125

2121 T.ex.

{

y≤3 x≤3 ​​ ​ ​​ ​​ y≥1 x ≥ 1​

2122 a)

x

{

1 y ≤ −​ __ ​x + 350 2 5 __ ≤ −​ ​ ​ ​x + 750​ ​​​

​​ ​y 2 x≥0 y≥0 ​

{

30x + 10y ≤ 30 000 15x + 40y ≤ 36 000 ​​ ​ ​ ​ ​​​ x≥0 y≥0 ​

c) Man ska baka 800 rågsnittar och 600 hälsobullar för att vinsten ska bli så stor som möjligt. d) Man kan baka 300 hälsobul­ lar om man bakar 900 råg­ snittar.

2133 a)

{

400x + 200y ≤ 16 000 x + y ≤ 50 ​​ ​ ​ ​ ​​​ ​ x≥0 y≥0 ​

b)

=

y

2126 a) 20 kr/keps för modell A och

y

30 kr/keps för modell B.

b) 3 200 kr 10

c) Den maximala vinsten är 6 000 kr.

2127 120 000 1

c) Maximal vinst är 4 600 kr och nås vid inköp och försäljning av 20 säckar Original och 30 säckar Ris och lamm.

2128 9

x

2129 a) Förtjänsten V ges av

1

V = 35 000x + 52 000y

b) Han ska odla potatis på 30 ha för att förtjänsten ska bli så stor som möjligt (förtjänsten blir då 1 310 000 kr).

b) y 100

2130 a)

y

y

x 10

b) Koordinaterna för hörnpunk­ terna blir (0, 25), (20, 10) och (30, 0). c) Förtjänsten V ges av V = 600x + 800y

1

b) (1, 2), (2, 1), (3, 1) och (3, 6) c) (3, 3), (2, 2) och (1, 2)

2135 Man ska köpa 70 st av den som

b) Vinsten blir 25 500 kr.

10

x

till.

b) Maximal vinst är 9 100 kr.

2136 a) 15 fåglar och 10 blommor

100

1

2134 a) Nej, arbetstiden räcker inte

är dyrare i inköp och 50 av den billigare.

x

2123 a)

x 10

d) Den maximala förtjänsten blir 20 000 kr.

2131 1 080

2137 Ca 286 400 kr 2138 Det räcker att köpa 7,5 ton av

Bio-Flow för att minimera kost­ naden.

2139 a)

{

x + y ≤ 400 12x + 6y ≤ 3 600 7x ​ ​ 5y ​ ​ ​​​ ​​ ___ ​​

​ + ​ ___ ​≤ 36 60 60 x≥0 y≥0 ​

b) Vinsten per vecka ges av V = 4 000x + 2 400y − 506 000.

Den maximala vinsten per vecka blir då 710 000 kr om man tillverkar 280 Krom 1 och 40 Krom 2.

FACIT  2. Linjär ­opti­mering, ändrings­kvot och derivata

281

2140 Den maximala vinsten är

6 600 000 kr. Den fås om man tillverkar mellan x = 16 000 och x = 30 000 enheter av A-fon och samtidigt y = −1,5x + 66 000 enheter av B-fon, där både x och y är heltal.

2218 a) k = 1

2304 a) −2 − 4h − 2h2 b) −4 − 2h

y

c) −4

1

d) Funktionens derivata där x = 1 och tangentens lutning i punkten där x = 1.

x 1

2305 −2

2201 s1 har k = −1, s2 har k = 1 2202 y = −2x + 8

( )

3 9 b) ​​ ​ __ ​, __ ​ ​ ​​

Δy Δx

2203 ​​ ___ ​​ = 2

2 4

2205 a) Ca 0,7 cm/dag b) 1,5 cm/dag

2206 Δy = 10 Δy Δx

2207 ​​ ___ ​​ ≈ −0,25

betes är nedbrytningshastigheten ca 0,5 g per timme, för en med diabetes är den ca 0,2 g per timme. y

2208 3 m/s 2209 a) h + 8

1

x

b) 2h + 20

1

c) 0 d) Eftersom funktionen f är kon­ stant blir ändringskvoten 0.

2210 a) 12,03 2211 a)

3x2

+ 3xh +

2222 T.ex.

b) 12 + 3h 1

x

b) Se svar i a)

1

lg 512 2 b) Om två linjer är vinkelräta är k1 ∙ k2 = −1, men eftersom funktionen växer hela tiden kan grafen aldrig ha en sekant med negativ riktningskoeffi­ cient.

2214 a) x = 0 och x = 2 b) x < 0 och x > 2

_______

3,01 − 3

2224 y = −1

9 4

60 t 1

3

5

7

s

2227 f’(2) ≈ 1 (0,999 för b = 2,001) 2301 a) 1

b) −5

c) 3

d) 16

2302 10 + 2h 2303 5

282

c) (4, −3) d) Grafen har en horisontell tangent i punkten (4, −3) eftersom derivatan till funk­ tionen är noll för x = 4, vilket innebär att tangenten i den nämnda punkten har rikt­ ningskoefficienten noll.

2311 f’(1) = 3 2312 Sätt 2x − 3 = 0,5x2 − 1 för att

h→0

20

c) Mindre

2216 k = ​​ __ ​​ = 2,25 2217 Ca 0,5 m/år

s

140

vid 5,5 s.

b) a = 4

((4 + h)2 + 3(4 + h)) − (42 + 3 ∙ 4) ​​

​​ lim​​ _____________________________ = ​​ = h h→0 2 + 12 + 3h − 28 16 + 8h + h ​​

= ​​ lim​​ _________________________ ​​ = h h→0 2 + 11h h h(h + 11) ​​ ​​ lim​​ ________ = ​​ ​​ = ​​ lim​​ _________ ​​ = h h h→0 h→0 = ​​ lim​​ (h + 11) = 11

2226 30 m/s

2215 a) Motorcykelns accelerationen

2310 a) 2a − 8

2313 f’(4) =

2225 (2, 2)

100

c) 0 < x < 2

b) k ≈ 5

____

√​ 5 ∙ 3,01 ​ − ​√5 ∙ 3 ​ 2223 T.ex. ​​ ________________

​​

m

g(x) = 2x − 3

visa att kurvan och linjen har punkten (2, 1) gemensam. I den punkten har kurvans tangent riktningskoefficienten 2, som är lika med linjens (y = 2x − 3) ­riktningskoefficient.

2212 0,46 g/mån 2213 a) y = ______ ​​ ​​x + 1

2309 T.ex. f(x) = 2x + 5 och

e) För x > 4 har grafen positiv lutning och för x < 4 har grafen negativ lutning.

y

h2

c) 8

2308 2a

2220 För en person som inte har dia­

2221 T.ex.

b) 6

2307 −12

2

2219 Ca 1,3 m/s2

2204 221 kr (221,25)

=

2306 a) 2

3 c) x > ​​ __ ​​

FACIT  2. Linjär ­opti­mering, ändrings­kvot och derivata

g’(4) = ((4 + h)2 + 3(4 + h) + 8) − (42 + 3 · 4 + 8)

​​

​ lim​ _______________________________ ​​ = h h→0 2 16 + 8h + h + 12 + 8 + 3h − 36 ​​

= ​​ lim​​ ____________________________ ​​ = h h→0 h2 + 11h h(h + 11) ​​ ​​ = ​​ lim​​ ________ ​​ = ​​ lim​​ _________ ​​ = h h h→0 h→0 = ​​ lim​​ (h + 11) = 11 h→0

Alltså f’(4) = g’(4) = 11

v.s.v.

2314 f’(a) =

(a + h)3 + C) − (a3 + C) lim​​ ____________________ = ​​ ​​ ​​ =

h a3 + 3a2h + 3ah2 + h3 + C − a3 − C _______________________________

​ lim​ ​​ ​​ = h h→0 2 3a h + 3ah2 + h3 ​​ lim​​ _______________ = ​​ ​​ → h h 0 Det sista ledet innehåller inte C, alltså är derivatans värde obero­ ende av värdet på C. h→0

b2 − a2 2315 f’(a) = ​​l im ​​ ​​ ________ ​​ = b→a b − a

2331 a) 5,55 min/km

2341 a) Funktionen är deriverbar

c) T’(35) =

(

)

35 + h 35 5,22 + ______ ​ ​ ​ ​ ​ − ​ 5,22 + ___

60 60 = ​ lim​ __________________________ ​​

​​

2332 (0,5; −2) 2333 Ja, funktionen är deriverbar

eftersom den är kontinuerlig och grafen inte är spetsig.

2334 Funktionen är ej deriverbar för

= ​​lim ​​ (b + a) = a + a = 2a v.s.v.

2335 a) Funktionen är inte kontinuer­

__ 2316 a = ±​​√2 ​​

b) Funktionen är inte deriverbar för x = 0, eftersom ändrings­ kvotens gränsvärde är 1 när x närmar sig 0 från höger, men 0 när x närmar sig 0 från vän­ ster.

h

h→0

(b + a)(b − a)

= ​​l im ​​ ​​ ____________ ​​ = b−a b→a b→a

eftersom funktionen är konti­ nuerlig för x = 0 och ändrings­ kvotens gränsvärde är 0 när x närmar sig 0 både från höger och från vänster.

b) Den förändras 0,017 min/km per km när han sprungit 35 km.

2342 A är korrekt.

x = 3 och x = 7.

B är inkorrekt.

C är inkorrekt.

lig för x = 3.

D är inkorrekt.

b) Funktionen är inte definierad för x = 0.

1 2317 f’(1) = −​​ __ ​​ 4

2318 Hur snabbt bilens värde ändras per år efter 3 år.

2319 a) Den sträcka som Ewa cyklat efter 10 sekunder.

b) Ewas hastighet efter 10 sek­ under.

2320 Hur snabbt vikten ökar efter ca 2 veckor.

2321 Att förändringshastigheten efter

4 timmar är 126 bakterier/timme.

2322 a) 49 m/s

b) 78 m/s

2323 a) T(7) = 14

b) T’(18) = −2

2324 a) v’(1) = v’(3) = 9,8 b) Accelerationen efter 1 respek­ tive 3 sekunder. c) Att accelerationen är kon­ stant.

2325 a) v’(120) ≈ 0 b) Elins acceleration efter 2 minuter är ungefär 0 m/s2 (dvs. ingen acceleration).

2326 a) f’(−2) = −4 b) y = −4x − 10

2327 y = 2 2328 y = 9x + 9 2329 Diameterns förändringshastig­

Funktionen är kontinuerlig för alla x, även för x = 7. Funktions­ värdet g(x) närmar sig 7 när x närmar sig 2 både från höger och från vänster. Funktionen är dock inte deriverbar för x = 7, eftersom ändringskvotens gräns­ värde är 7 när x närmar sig 2 från höger, men är 0 när x närmar sig 2 från vänster.

2336 a) Funktionen är kontinuerlig

för x = 1 eftersom f(x) närmar sig 0 när x närmar sig 1 både från höger och från vänster.

b) Funktionen är inte deriverbar för x = 1, eftersom ändrings­ kvotens gränsvärde är −2 när x närmar sig 1 från höger, men är 2 när x närmar sig 1 från vänster.

2337 Till exempel f(x) = g(x) = x3.

x2

och

1 2338 Till exempel f(x) = ​​ __ ​​ som inte

x är deriverbar för x = 0 och __ g(x) = √ ​​ x ​​ som inte är deriverbar för x = 0 (och inte ens definierad för x < 0).

2343 a) T.ex. g(x) = 11 b) g(x) = 7x − 17

«

Blandade uppgifter

1 a)

y

2339 a) Funktionen är kontinuerlig

för x = 0 eftersom f(x) närmar sig 0 när x närmar sig 0 både från höger och från vänster.

b) Funktionen är inte deriverbar för x = 0, eftersom ändrings1 kvotens gränsvärde är ​​ __ ​​ när x 3 närmar sig 0 från höger, men 0 när x närmar sig 0 från vänster.

1

x 1

b)

2340 Funktionerna g och h. (Funktio­

y

nen h är dock inte deriverbar för x = 2.)

100

het efter 1 s är 4,1 cm/s.

x 100

2330 y = 6x − 18 2 2 3 a) 3

b) 4x och 4x (eller −4x och −4x)

FACIT  2. Linjär ­opti­mering, ändrings­kvot och derivata

283

=

4 a) Δy = 3,8 kg. Babyns viktökning

under hela 6-månadersperioden.

17

7 a) Funktionen är inte kontinuerlig

y

för x = 2 eftersom f(x) närmar sig 1 när x närmar sig 2 från vänster och f(2) = 4.

b) Δx = 6 månader c) 0,63 kg/månad

b) Funktionen är inte deriverbar för x = 2, eftersom funktionen inte är kontinuerlig för x = 2.

5 a) p(x) = (x − 13)(x + 1) b) q(x) = 2(x + 6)(x − 4) c) r(x) = (x + 8)(x − 8)

1 000

d) s(x) = x(x2 + 3)(x2 − 3)

1 000

6 y = 2x 7 a) Ett exponentiellt samband, grafen visar en exponentialfunktion.

b) Ca 3 ∙

1014

9 a) Ca 25 m/s

18 p(x) = 3(x − 2)(x + 3)

21 3x2 + 6x − 24

100

22 h + 7

x

23 676 kr/år

b) Man ska tillverka enbart choklad­ kakor med mintsmak, 250 stycken mintkakor, och inga kakor med apelsinsmak.

b) 62,5 s

c) 780 m

x 2

12 a) ​​ _____ ​​ (eller ​​ __ ​​ + 1)

100

24 x ≈ 0,082 och x ≈ 3,059 25 a) 23,8 m/s

11 f’(0,6) ≈ 1,2

d) 12,5 m/s

26 6 kr/kg

c) Vinsten blir 1 750 kr.

27 4a

13 y = x + 3

10 y = −4x − 6

Kapiteltest

14 p(x) = (x − 2)(x + 1)(x + 7)

11 −3 12 a) f’(5) = 20

1 a) Från kl. 8.00 till kl. 13.00

15 a) 3x + 5y ≤ 300 b) 1,5x + y ≤ 120

{

Δy 3 Δx 2 b) Kurvans medellutning mellan punkterna.

2 a) ​​ ___ ​​ = __ ​​ ​​

x≥0 y≥0 ​​ ​ ​ ​ ​​​ 3x + 5y ≤ 300 1,5x + y ≤ 120​

3 91

d)

4 T.ex.

y

y

1

x 1

x 10

(

)

5 Förändringshastigheten av antalet råttor efter 3 dagar.

6 4

200 e) (0,0), (0, 60), ​​ ​ ____ ​, 20 ​​och (80, 0) 3 f ) Den största möjliga vinsten är 15 000 kr.

16 a) 30

284

b) Tangentens riktningskoefficient i punkten där x = 5 är 20.

b) −2,5 °C/h

10

y

20 12 300 kr

b) Ca 11 m/s

10 x2 − 2x − 35

c)

9 a)

26 3

c) Bilens hastighet minskar efter ca 5 s för att sedan öka igen. Därför är det troligt att det är en kurva (eller en kraftig backe) på banan.

x+2 2 x+4 b) ​​ _______ ​​ 2(x − 4)

8 V’(0) = −4

19 ​​ ___ ​​

st

8 34 500 bakterier/h

=

x

b) 3

FACIT  2. Linjär ­opti­mering, ändrings­kvot och derivata

13



Tangentens ekvation i origo är y=0

u

x = 1 ger tangentens ekvation y = 2x − 1

u

x = 2 ger tangentens ekvation y = 4x − 4 x = 3 ger tangentens ekvation y = 6x − 9 x = 4 ger tangentens ekvation y = 8x − 16 Slutsats: k = 2x och m = −x2

3b Matematik Origo är moderna läroböcker skrivna för den reviderade ämnesplanen 2021 Utförliga förklaringar, lösta exempel och varierade övningsuppgifter Matematisk modellering, kommunikations­uppgifter och problemlösning för alla Målbeskrivningar, sammanfattning och test till varje kapitel Serien består av Matematik Origo 1a och 2a för yrkesprogrammen Matematik Origo 1b, 2b och 3b för Samhällsvetenskapsprogrammet, Ekonomiprogrammet, Humanistiska programmet och Estetiska programmet Matematik Origo 1c, 2c, 3c, 4 och 5 för Natur­vetenskapsprogrammet och Teknikprogrammet

ISBN 978-91-523-6195-5