matematik
Verner Gerholm Johan Skarp Kerstin Olofsson
2a
Sm a
kpro v!
Innehåll 1 Algebra
6
1.1 Uttryck, ekvationer och formler. . . . . . . . . . . 8 Algebraiska uttryck 8 Ekvationer 12 Ställa upp uttryck och formler 16 Budget för privatekonomi 19 Företagsekonomi och budgetering 22
1.2 Andragradsuttryck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Uttryck av andra graden 27 Kvadreringsreglerna 31 Konjugatregeln 34 Att faktorisera uttryck 36
1.3 Andragradsekvationer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Ekvationer av typen x2 = a 39 Faktorisering som lösningsmetod 42 pq-formeln 45 Problemlösning med andragradsekvationer 49 Kvadratkomplettering 53
Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Koll på kapitlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Samhälle och yrkesliv. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2 Räta linjer och
ekvationssystem
68
2.1 Koordinatsystem och linjära samband.. . 70 Koordinatsystem 70 Linjära samband 73
2.2 Räta linjens ekvation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Från ekvation till graf 77 Från graf till ekvation 81 Riktningskoefficienten för en rät linje 85 Bestämma räta linjens ekvation (k-form) 89 Parallella linjer och allmän form 93 Vinkelräta linjer 97
2.3 Ekvationssystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Grafisk lösning av ekvationssystem 100 Substitutionsmetoden 105 Additionsmetoden 109
Samhälle och yrkesliv. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koll på kapitlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113 114 116 119 122
3 Funktioner
124
3.1 Linjära funktioner och exponentialfunktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Vad är en funktion? 126 Definitionsmängd och värdemängd 134 Exponentialfunktioner 138
Grafen till en andragradsfunktion 144 Mer om grafen till en andragradsfunktion 149 Bestämma största eller minsta värde 155
5.1 Avståndsberäkningar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Pythagoras sats 250 Avståndsformeln 254
Symmetri 257 Symmetrier i koordinatsystem 261
5.3 Trigonometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
3.3 Potensfunktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Potenser och potenslagar 160 Fler potenslagar 164 Potenser med rationella exponenter 166 Potensekvationer 169 Potensfunktioner 172
4 Statistik
248
5.2 Symmetri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
3.2 Andragradsfunktioner.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Samhälle och yrkesliv. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koll på kapitlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Geometri
Tangens 266 Sinus och cosinus 270 Beräkna vinklar med trigonometri 273 Areasatsen 277
5.4 Vektorer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
177 178 180 184 188
Vad är en vektor? 280 Addition av vektorer 284 Vinkelräta komposanter 287 Vektorer i koordinatform 290
Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Samhälle och yrkesliv. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 Koll på kapitlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
190
4.1 Lägesmått.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Lägesmått 192 Lägesmått i diagram 197 Lägesmått i kalkylprogram 203
4.2 Spridningsmått och normalfördelning. 210 Spridning kring medianen 210 Percentiler 217 Spridning kring medelvärdet – standardavvikelse 221 Normalfördelning 228
Uppslaget. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Samhälle och yrkesliv. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Koll på kapitlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Facit
306
Register
336
3
Funktioner
I det här kapitlet får du inledningsvis repetera att du kan uu beskriva vad en funktion är uu tolka och använda skrivsättet f(x) uu beskriva vad som utmärker en
exponentialfunktion
När du är klar med kapitlet ska du kunna uu ställa upp exponentialekvationer och
lösa dem grafiskt
uu lösa andragradsekvationer grafiskt uu rita grafen till en andragradsfunktion
och bestämma nollställen, symmetrilinje och extrempunkt
uu använda potenslagarna uu lösa potensekvationer grafiskt och
algebraiskt
uu beskriva vad som utmärker en
potensfunktion
uu använda funktioner som matematiska
modeller
124
Du ska kunna
Vi inleder varje kapitel med att formulera lärandemål. Det hjälper eleven att själv ta ansvar för sina studier.
Gissa regeln Om vi matar in ett tal i den här maskinen, skriver den ut ett annat tal enligt en hemlig regel.
2
Matar vi in talet –2 skriver maskinen ut –4. Matar vi in talet 1 skriver maskinen ut talet 2, och matar vi in 13 får vi resultatet 26. Maskinens regel verkar vara att dubblera alla tal vi matar in.
In
Ut
–2
–4
1
2
13
26
uu Det går att programmera maskinen så att den använder
andra regler. Vilken regel använder maskinen när den ger följande tabell? In (x)
Inledande aktivitet
De inledande aktiviteterna ger eleverna inblick i vad kapitlet kommer att handla om. Aktiviteterna är utmärkta verktyg för att undersöka elevernas förkunskaper.
regel
Ut (y)
In (x)
regel
Ut (y)
1
3
0
0
2
4
1
3
3
5
2
6
4
6
5
15
In (x)
regel
Ut (y)
In (x)
regel
Ut (y)
0
0
1
2
1
1
2
4
2
4
3
8
3
9
4
16
10
100
uu Arbeta två och två. Hitta på en egen regel. Skriv ner några
olika värden på x och beräkna de värden på y som regeln ger. Kan din kompis gissa din regel? Byt roller.
125
Nivå 2
Starter
3341 Avgör om påståendena är sanna eller falska.
Vilka tal har samma värde? ____
√
3
____
√
103
(102 ∙ 102)1/4
√
102
A Tredjeroten ur 125 är 25.
1000,5
_____
0,12
B Fjärderoten ur 16 har samma värde som roten ur 4.
10–1
Starter
Nivå 1
3
C Tredjeroten ur –1 000 har samma värde som fjärderoten ur 10 000.
Uppgifterna inleds med en 3342 När Ali slår (–81)1/4 på räknaren får han ett Starter. Det är ofta en uppgift Förklara för Ali varför det 3334 Beräkna utan räknare. av öppen karaktär som felmeddelande. bjuder blir så. 1/2till olika lösningar och svar. a) 811/2 b) 1001/2 c) 49in Inte sällan är uppgiften konstruerad för att ge möjlig1 Skriv talet ___ 3 __ som en potens med basen 2. 3335 Vilken av pilarna A–F pekar på talet het att diskutera3343 vanliga 8 √ 3 ___ 3 ____ 3 ___ missuppfattningar.
a) √27
b) √125
2
c) √80
A
B CD
E
F
3
4
5
6
3344 För vilket värde på x är likheten sann? 7
3336 Beräkna utan räknare.
a)
271/3
c)
81/3
b) (–27) d)
c) 0,62/3
__
271/3 23 811/4 √9 21/2
a) x
·
x1/4
3/2
5/2
x b) ___ 1/2
x c) ___ 3/2
x
x
3340 Skriv som en potens med basen a 3 __
a) √a
168
b) 45/2
c) (–27)2/3
d) 81–1/2
3346 Förenkla uttrycket så långt som möjligt
(9a)1/2 · 2a2 · (4a)1/2
(Np Ma2a vt2015)
Nivå 3 3347 Vilket är talet b om
__ 3 ___
√√a = ab?
3348 Förenkla uttrycket så långt som möjligt
3339 Förenkla 1/4
d) (51/2)x = 25
Använd en liknande metod för att beräkna
3338 Vilka av talen har samma värde? 641/2 3
c) (x1/5)5 = 19
a) Beräkna värdet av 93/2 utan räknare.
(–8)1/3
decimaler. b) 3001/2
b) (13x/6)2 = 13
3345 Potensen 93/2 kan skrivas (91/2)3
1/3
3337 Beräkna med räknare och svara med två
a) 297/6
a) (71/x)4 = 72
__
b) a3 · √a
__
4 (√ a )3 c) _____ 1/4 a
FUNKTIONER u 3.3 pOTENsFUNKTIONER
5/6
1/3
1/3
x (x + 1)(x – 1) __________________ x1/6
x1/3
· (Np Ma2a vt15)
3349 Lös ekvationen 2 · 27x + 2 · 27x = 12 utan
att använda räknare.
Potensekvationer Sjukdomen ebola sprids snabbt i en stad. När vårdpersonal anländer har totalt 200 personer drabbats av smittan. Sju dagar senare har antalet smittade fördubblats. För att uppskatta hur snabbt smittan sprids kan vårdpersonalen beräkna med hur många procent antalet smittade ökar per dag. Potensekvation
Om vi antar att den procentuella ökningen är lika stor varje dag och att förändringsfaktorn är x, så kan vi ställa upp ekvationen 200 · x7 = 400
Teori och exempel
Efter 7 dagar har antalet smittade fördubblats
Den här typen av ekvation kallas potensekvation. När vi dividerar båda led med 200 får vi
Att veta vad matematiken används 7 När förändringsfaktorn verkar i 7 dagar innebär det en fördubbling till skapar motivation. I både teori x = 2 1 och exempel ger vi exempel på För att få x ensamt upphöjer vi båda led till __ . matematikens relevans. Teori7 genomgångarna är skrivna för att (x7)1/7 = 21/7 (x7)1/7 = x7 ∙ 1/7 = x7/7 = x1 = x vara lätta att följa, utan att för den x ≈ 1,10 Vi använder räknaren för att beräkna 21/7 skull väja för det som är svårt. Exemplen är rikligt kommenterade Förändringsfaktorn är 1,10. Antalet smittade ökade alltså med 10 % per och har utförliga förklaringar.
dag.
Lösning till en potensekvation
Antal lösningar
u
En potensekvation kan skrivas i formen xn = a, där x är det obekanta talet. Ett exempel är x7 = 2.
u
När a > 0 har ekvationen den positiva lösningen x = a1/n = √a .
n __
Potensekvationen x7 = 2, som vi löste här ovanför, har bara en rot. Det gäller alla potensekvationer där exponenten är ett udda tal. Om exponenten är ett jämnt tal kan ekvationen ha två rötter. Potensekvationen x4 = 81 har till exempel rötterna x1 = 3 och x2 = –3, eftersom både 34 = 81 och (–3)4 = 81.
FUNKTIONER u 3.3 pOTENsFUNKTIONER
169
3
1351 För att uppskatta en hästs vikt V kg kan
man mäta hästens bröstomfång b cm och dess längd l cm från halsens undersida till bärbensknölen och använda formeln l V = b2 ∙ ______ 11 900
Nivå 2 1355 Anita tjänar 24 500 kr per månad. Hon får
samma procentuella löneökning två år i rad och tjänar sedan 26 100 kr per månad. Hur stor var den procentuella ökningen varje år? 1356 Triangelns area är 54 cm2. Bestäm höjden x.
(cm)
x
a) Uppskatta vikten av en häst med bröstomfånget 204 cm och längden 170 cm.
1
x+3
1357 7 1nn Bromssträckan s meter för en bil beräknas
v2 med formeln s = ______ där v km/h är 250 ∙ f hastigheten och f är ett friktionstal som är 0,8 på torr asfalt och 0,1 på slät is. En höstdag hittar polisen 40 meter långa bromsspår vid en olycksplats. Hur snabbt körde föraren?
b) Vilket bröstomfång har en häst med längden 165 cm som väger 510 kg? Förstoringsglas 1352 Av 60 meter staket vill Charlie skapa en
Uppgifter med rastgård 200 kvadratmeter stor märkta rektangulär förstoringsglas är uppgifter till sin hund. Längden på rastgården ärdär eleverna själva får ta reda på x meter och bredden är 30 – x meter. Ge eller uppskatta den information två förslag påsom vad saknas. längden och bredden Uppgifterna övarkan vara. modelleringsförmågan och
1358 I en rektangel är höjden 7,0 cm kortare än
basen. Bestäm rektangelns omkrets, om dess area är 40 cm2.
lämpar sig för helklassarbete, eftersom olika antaganden leder 1353 En boll kastas från ett torn. Efter t sekunder till olika svar.
befinner sig bollen h meter över marken där h = 155 – 15t – 5t2 a) Från vilken höjd kastades bollen?
1359 För vilket värde på x är areorna lika stora?
b) Vilket värde har h när bollen slår i marken? c) Hur lång tid tar det för bollen att nå marken? 1354 Hur lång är rektangelns omkrets? (cm)
96 m2
51
2x
ALGEBRA u 1.3 andragradsekvationer
2x
1360 En halvcylinderformad bakform ska ha
längden 24 cm och rymma 2,0 liter deg. Vilken diameter ska formen ha? d=?
x–2
x+2
x+3
2x
24 cm
1361 Formeln y = −0,2x2 + x + 2,0 beskriver
1364 Ammar ska lägga klinker kring sin
4,0 × 8,0 meter stora pool. Han har 58 m2 klinker och klinkergången ska vara lika bred överallt. Beräkna bredden på klinkergången om all klinker går åt.
kastbanan för en basketboll, där y är bollens höjd i meter då den färdats x meter horisontellt. a) Vilken höjd har bollen då kastbanan startar?
1365 Låt x – 1, x och x + 1 vara tre positiva b) Hur långt har bollen färdats horisontellt heltal. Produkten av dem är fem gånger så Uppgifter på tre nivåer då den är på höjden 3,0 m? deras summa. Vilka är de tre Till varje avsnittstor finnssom rikligt talen?för den med uppgifter, både 1362 Bilden visar tre figurer av rutor. Fler figurer elev som behöver enkla kan bildas enligt samma mönster. ingångar och för den elev som 1366 Det finns två samband mellan rötterna till behöver utmaningar. en andragradsekvation och koefficienterna till ekvationen. Figur 1
Figur 2
Figur 3
a) Skriv ett uttryck för antalet rutor i figur n. b) Vilket nummer har den figur som har 53 592 rutor?
Nivå 3 1363 Begränsningsarean av en rak cirkulär
cylinder beräknas med formeln A = 2πr2 + 2πrh. Bestäm r om A = 300 cm2 och h = 10,0 cm.
Om x1 och x2 är lösningar till ekvationen x2 + px + q = 0, så är x1 + x2 = –p och x1 ∙ x2 = q Visa att a) x1 + x2 = –p b) x1 ∙ x2 = q
1367 Max har upptäckt att om q är negativt i
ekvationen x2 + px + q = 0, så är alltid den ena roten positiv och den andra negativ. Han kan inte riktigt förstå varför det blir så, men Mollie säger att det är enkelt. Hjälp Mollie att förklara för Max varför hans upptäckt stämmer. ALGEBRA u 1.3 andragradsekvationer
52
1
Normalfördelning När man slår en tärning många gånger blir utfallet ungefär lika många 1:or som 6:or. De möjliga utfallen är jämnt fördelade. Andel (%)
1
2
3
4
5
6
Utfall
Normalfördelning
När man undersöker längden hos alla 16-åringar i Sverige blir utfallet ett annat. De flesta 16-åringar har nämligen en längd nära medellängden, medan det är få 16-åringar som är extremt korta eller extremt långa. Antalet observationer är koncentrerade kring medelvärdet och avtar symmetriskt ju längre bort från medelvärdet man kommer. ObservaNya ämnesplaner Den nya upplagan av tioner som fördelar sig på det här sättet sägs vara normalfördelade.
4
Matematik Origo 2a är anpassad till ämnesplanen som träder i kraft 2021. 24 000 Bland annat innehåller 16 000 den ett helt nytt kapitel 8 000 om statistik. 0
228
Frekvens
150 155 160 165 170 175 180 185
STATISTIK u 4.2 SprIdnIngSMåTT och norMAlfördelnIng
Längd (cm)
Normalfördelningskurva
Varje normalfördelat statistiskt material kan beskrivas med en normalfördelningskurva. Den har formen av en kyrkklocka och är alltid symmetrisk kring medelvärdet. På x-axeln finns observationsvärdena, till exempel 16-åringarnas längd i centimeter. På y-axeln finns det ingen skala och man kan inte göra några 150 155 160 165 170 175 180 185 cm direkta avläsningar i y-led. Det enda man kan avläsa från en normalfördelningskurva är hur stor andel av observationerna som ligger mellan två observationsvärden, t.ex. hur 150 155 160 165 170 175 180 185 cm stor andel av alla 16-åringar som är mellan 150 cm och 160 cm långa. Det gör man genom att bestämma hur stor andel av arean under kurvan som ligger mellan de två observationsvärdena. Sådana beräkningar kan man göra med ett digitalt hjälpmedel. I det här avsnittet kommer vi inte att arbeta med digitala hjälpmedel, men vi kan ändå göra avläsningar från normalfördelningskurvan. För alla normalfördelade material gäller nämligen att
I ett normalfördelat material sammanfaller alltså medelvärdet med medianen
uu ca
50 % av observationerna ligger under respektive över medelvärdet
uu ca
68,2 % av observationerna finns inom ±1 standardavvikelse från medelvärdet
uu ca
95,4% av observationerna finns inom ±2 standardavvikelser från medelvärdet
uu ca
99,7 % av observationerna finns inom ±3 standardavvikelser från medelvärdet.
34,1 % 34,1 % 2,3 % __
13,6 %
x – 2s
__
x–s
__
x
__
13,6 %
x+s
2,3 %
__
x + 2s __
Medelvärdet betecknas ibland µ i stället för x
STATISTIK u 4.2 SprIdnIngSMåTT och norMAlfördelnIng
229
4
5124 Elias skriver ett datorprogram som får en
sköldpadda att röra sig i en bana mellan fem punkter i ritfönstret. Hur lång sträcka har sköldpaddan rört sig då den har gått ett varv runt banan? 200 150
(0, 150)
(150, 150)
5127 Andragradskurvan y = x2 och linjen
(–100, 0)
(150, 0)
–50 –50
som från punkten (1, 5). Bestäm talet a.
A = (5, 7), B = (9, 16) och C = (14, 11). Sträckan AD är höjden från A till sidan BC. Beräkna längden av AD.
50
5
5125 Punkten (3, a) ligger lika långt från origo
5126 En likbent triangel har hörnen i punkterna
y
100
–100
Nivå 3
50
100
150
x
y = 2x + 8 skär varandra i två punkter, A och B. Beräkna avståndet |AB|.
200
(0, –50)
5128 Två punkter på linjen y = 2x + 1 ligger på
avståndet 30 l.e. från origo. Bestäm punkternas koordinater. y
1Kommunikationsuppgifter x Varje delkapitel avslutas med
Resonemang och begrepp. Det är uppgifter som prövar elevernas begreppsförståelse och inbjuder eleverna att samtala om matematik.
Resonemang och begrepp Sant eller falskt
Avgör om påståendena är sanna eller falska. I en rätvinklig triangel är summan av ÓÓ kateterna lika med hypotenusan i kvadrat. Man kan rita en rätvinklig triangel med ÓÓ sidorna 20 cm, 21 cm och 29 cm. Längden av diagonalen i en rektangel kan ÓÓ beräknas med Pythagoras sats.
256
GEOMETRI u 5.1 AVsTåndsbERÄknInGAR
Fundera och förklara Förklara begreppen katet och hypotenusa ÌÓ för en kamrat. Vad menas med omvändningen av ÌÓ Pythagoras sats? Är avståndsformeln samma sak som ÌÓ Pythagoras sats? Förklara.
Programanpassning
5.2 Symmetri Avsnittet Symmetri finns även med i Matematik Origo 1a.
Symmetri Spegelsymmetri
Titta på fjärilen här nedanför. Om vi drar en linje rakt igenom den, ser vi att linjen delar fjärilen i två delar som är varandras spegelbilder. Vi säger att figuren är spegelsymmetrisk. Linjen som delar figuren kallas symmetrilinje. Bilden av fjärilen har bara en symmetrilinje, men en figur kan ha flera symmetrilinjer. Programanpassning
Rotationssymmetri
En del avsnitt har vi valt att markera som programanpassning. Det ger dig som lärare möjlighet att anpassa innehållet efter din elevgrupp och efter de karaktärsämnen Propellern har en annan form av symmetri. När propellern som eleverna läser. har snurrat
en tredjedels varv kommer den att se likadan ut som från början. A
C
fidget spinner
120°
B B
C
120°
A A
B
C
Den minsta vinkel som propellern behöver snurra för att propellern ska fidget fidget se likadan ut är
spinner
360° ____ = 120°
spinner
3
Man säger att propellern är rotationssymmetrisk med vinkeln 120°. Den punkt som figuren roterar runt kallas rotationspunkt eller mittpunkt. Translation
I det här mönstret med kakelplattor kan man också hitta en symmetri. Följer vi mönstret fyra plattor åt höger, ser vi att mönstret upprepar sig. Man säger att kakelplattorna är ett exempel på translationssymmetri. En translation innebär att en figur har förflyttats ett bestämt avstånd i en bestämd riktning. Många tapeter och tygmönster har translationssymmetri.
Asymmetri
En figur eller en bild som saknar symmetrier kallas asymmetrisk.
GEOMETRI u 5.2 syMMETRI
257
P
5
Uppslaget Vem har rätt?
Uppslaget
Problemlösning
Linjen y = x – 2 bildar tillsammans med 1 Oscar, Fabian och Victor har bestämt På Uppslaget1finns koordinataxlarna en triangel. En annan linjens ekvation. Har någon av dem gjortuppgifter som särskilt tränar de matematiska linje, som går genom punkten (0, 2), rätt? förmågorna. bildar tillsammans med koordinaty 2 axlarna en triangel med dubbelt så stor 1 x area. Bestäm den linjens ekvation. –3 –2 –1 –1
1 2 3 4 5
x y = – __ + 3 3 x Fabian: y = – __ + 1 3 Victor: y = –3x + 1 Oscar:
2
2 Sally, Siv och Vera ska lösa ekvationssystemet 2x + 3y = 1 x+y=8 De påbörjar lösningen på olika sätt. Förklara hur de kan ha tänkt. Sally: 2x + 3(8 – x) = 1 Siv:
2x + 3y = 1 –3x – 3y = –24
Vera: 2(8 – y) + 3y = 1 3 En rät linje går genom punkterna (2, 3) och (6, 9). Tre elever diskuterar den räta linjens ekvation. Lucas: Linjen måste ha positiv lutning eftersom båda punkterna har positiva koordinater. Lova: Linjen måste ha ett positivt värde på m eftersom båda punkterna har positiva koordinater. Matilda: Värdet på k är 1,5 eftersom 9 – 3 __ 6 _____ = = 1,5 6–2 4 Har någon av dem rätt? Motivera.
114
RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM u UPPSLAGET
y 3 2 P 1 –3 –2 –1 –1 –2 –3
x
1 2 3
2 Ett företag tillverkar och säljer två modeller av mobiltelefoner, modell A och modell B. Modell A är mer avancerad och har ett högre pris. Vinsten per såld mobil är 1 500 kr för modell A och 1 000 kr för modell B. En kontrollenhet genomför rutinmässiga kontroller av mobilerna. Detta tar i genomsnitt 4 minuter per mobil för modell A och 3 minuter per mobil för modell B. Hur många telefoner måste man tillverka och sälja av varje modell för att vinsten ska bli 16 miljoner kronor och kontrollenheten ska arbeta i 750 timmar?
Modellering 1 De båda ljusen tänds samtidigt. Brinnhastigheten för det tunnare ljuset är 2 cm/h. Du får själv uppskatta brinnhastigheten för det tjockare ljuset. Efter hur lång tid är de lika höga?
Matematik i användning Linjära samband används för att beskriva kostnader, intäkter och vinst i företag.
A (cm) B 16 8
2
uu Ställ upp formler som beskriver
4
2 I diagrammet ser du hur världsrekordet på 3 000 m hinder för herrar har förbättras med åren. Om man anpassar en rät linje till punkterna, kan den linjen vara en enkel modell för sambandet mellan världsrekordet och det årtal då det sattes. Tid
företagets kostnader respektive intäkter om de tillverkar och säljer x stycken T-tröjor. När företaget har sålt så många tröjor att intäkter och kostnader är lika stora, säger man att man nått break even. Då börjar företaget göra vinst. uu Beräkna hur många tröjor företaget ska
tillverka och sälja för att nå break even.
8.30
Vinsten som företaget gör är intäkterna minus kostnaderna.
8.20 8.10
uu Teckna och förenkla en formel för
8.00 7.50
Företaget Loppan & Lurman trycker och säljer T-tröjor. Kostnaden för att tillverka en tröja med tryck är 75 kr. Dessutom har företaget fasta kostnader på 45 000 kr. De säljer tröjorna för 250 kr per styck.
vinsten V kr när man tillverkar och säljer x stycken T-tröjor.
Anders Gärderud, 1976
7.40
Årtal
uu När Ebba beräknar vinsten för 80 st
T-tröjor får hon värdet –31 000. Har hon räknat fel? Tolka hennes svar.
1970 1980 1990 2000 2010 2020
a) Rita av diagrammet och dra en rät linje som ligger så nära punkterna som möjligt. b) När borde den första löparen komma under 7 minuter och 45 sekunder, enligt modellen? c) Vad borde världsrekordet vara år 2030 enligt modellen? d) Diskutera vilka begränsningar modellen har.
Relevans
I Matematik i användning får eleverna se konkreta exempel på hur matematiken används i samhället.
RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM u UPPSLAGET
115
2
Samhälle & yrkesliv
Normalfördelning som modell Gausskurva
4
Carl Friedrich Gauss och gausskurvan avbildade på en tysk tiomarksedel.
&
Normalfördelning är en viktig modell för statistiska presentationer och beräkningar. Mätresultat från naturen och från samhället visar sig till exempel ofta vara normalfördelade. Det beror på att verkliga parametrar ofta uppvisar små, oberoende, slumpmässiga variationer. Ett exempel på ett normalfördelat material är nyfödda bebisars vikt. De flesta har en vikt nära medelvärdet, men frekvensen minskar ju längre bort från medelvärdet man kommer. Tysken Carl Friedrich Gauss (1777–1855) var den som praktiskt visade hur normalfördelningskurvan kan användas som en matematisk modell. Därför kallas kurvan ibland för en gausskurva. Samhälle och yrkesliv
I avsnittet Samhälle och yrkesliv sätter vi matematiken i ett historiskt eller samhälleNär man mäter fysiska och psykiska egenskaper i en hel befolkning är ligt sammanhang och lyfter resultaten ofta normalfördelade. Det gäller till exempel egenskaper som fram hur den används i läsförmåga, längd, vikt och muskelstyrka. Om yrkeslivet. vi tar muskelstyrka som
Stanine-skala
exempel, så innebär det att de flesta har en muskelstyrka nära medelvärdet, medan det är få som är mycket svaga eller mycket starka. Ett sätt att visa fördelningen är att dela in befolkningen i en niogradig normalfördelad skala, med medelvärdet 5, enligt figuren här nedanför.
4 % 7 % 12 % 17 % 20 % 17 % 12 % 7 % 4 % 1
?
Normalfördelningskurvorna visar hur längderna hos mönstrande kvinnor och män fördelade sig år 2008. Vilken kurva visar männens längder och vilken visar kvinnornas?
238
2
3
4
5
6
7
8
x
9
Om vi skulle mäta hela befolkningens muskelstyrka, skulle alltså ca 20 % av befolkningen hamna i klass nummer 5, nära medelvärdet, medan bara 4 % skulle hamna högt över medelvärdet, i klass 9. Genom att låta enskilda individer eller mindre grupper genomföra testerna, kan man se hur individerna presterar jämfört med hela befolkningen. På så sätt kan man upptäcka om ett spädbarn är underviktigt och behöver vård, om en elev behöver extra hjälp med läsningen eller om en sökande till värnplikten är extra lämplig för att utbildas till jägare. Därför används stanine-skalor såväl inom vården och skolan som vid mönstringen till värnplikten.
STATISTIK u SAMHÄLLE OCH YRKESLIV
Koll på kapitlet Du ska kunna
4.1 Lägesmått
Själv skattning
Exempel s. 192–209
beräkna lägesmåtten medelvärde, median och typvärde utan digitala hjälpmedel
Observationer: 2, 5, 2, 7, 3 2 + 5 + 2 + 7 + 3 19 Medelvärde = ______________ = ___ = 3,8 5 5 Medianen är det mittersta värdet: 2, 2, 3, 5, 7 Typvärdet är det vanligaste värdet: 2 4 3
4
2 1 0
100 200 300 400
Medelvärde och median kan beräknas med klassmitten. 150 ∙ 4 + 250 ∙ 2 + 350 ∙ 1 Medelvärde = ______________________ ≈ 207 7 Median: 150
Det mittersta värdet (4:e observationen) ligger i den vänstra stapeln, vars klassmitt är 150
beräkna lägesmåtten medelvärde, median och typvärde med digitala hjälpmedel
Summan: =summa(B2:B5) Medelvärdet: =medel(B2:B5) Medianen: =median(B2:B5) Typvärdet: =typvärde (B2:B5)
4.2 Spridningsmått och normalfördelning bestämma spridningsmåtten variationsbredd och kvartilavstånd utan digitala hjälpmedel
s. 210–235
Observationer i storleksordning:Sammanfattning 62, 65, 70, 70, 71, 75, 75, 75, 78, 80
I Koll på kapitlet sammanfattar
Nedre kvartil iMedian Övre kvartil vi innehållet kapitlet utifrån
de lärandemål som formuleVariationsbredd är skillnaden mellan det största ochvidet minsta rade i inledningen. Till varje värdet: 80 – 62 = 18 lärandemål finnsdelar. både Kvartiler delar in observationerna i fyra lika stora
konkreta exempel och en
Kvartilavstånd är skillnaden mellan övre och nedre kvartil: självvärdering. 75 – 70 = 5
Kan inte
Känner mig ganska säker
Känner igen men behöver repetera
Är helt säker
STATISTIK u KOLL PÅ KAPITLET
239
Blandade uppgifter 5 År 2014 hoppade Mattias 420 cm i längd.
Nivå 1
Under en period därefter förbättrade han sitt personliga rekord med i genomsnitt 7 % per år. Skriv ett funktionsuttryck som visar hur hopplängden l cm beror av tiden t år efter år 2014.
1 Låt f(x) = –5x + 12.
a) Beräkna f(3). b) Beräkna f(–2). c) Lös ekvationen f(x) = 27.
Blandade uppgifter 6 Lös ekvationen 4,9x2 – 9,8x = 9,25 grafiskt.
I Blandade uppgifter finns extra övningsuppgifter till 2 Låt f(x) = – 7x – 4. Beräkna 7 Bestäm kapitlet. Här får eleverna öva extrempunkten till funktionerna. a) f(0) b) f(1) c) f(–2) på samtliga begrepp Ange och även om det är en maximipunkt eller en metoder i kapitlet, utan minimipunkt. någon inbördes ordning. 3 Använd figuren för att lösa uppgifterna.
3x3
3
a) f(x) = x2 – 4x + 3
b) g(x) = –x2 – 6x – 5
y
c) h(x) = 2x2 – 20x + 4
«
y = g(x) y = f(x)
8 En andragradsfunktion har ett nollställe för
1
x 1
x = –4 och symmetrilinjen x = 1. Vilket är funktionens andra nollställe? 9 Grafen visar en del av funktionen f. y
a) Bestäm f(0) och g(0). b) Lös ekvationen f(x) = 2. c) Lös ekvationen g(x) = 1. d) För vilket värde på x är f(x) = g(x)?
10 x 1
e) Vilken symmetrilinje har f(x)? f) Vilka koordinater har minimipunkten för g(x)? 4 Ett företag för ljudböcker använder
funktionen y = 21 000 · 1,08t för att uppskatta hur många användare företaget förväntas ha efter t månader. Vad står talen 21 000 och 1,08 för i funktionsuttrycket?
a) Ange funktionens symmetrilinje. b) Vilka är funktionens nollställen? 10 Trädgårdsföreningen köper en ny gräsklippare
för 15 000 kronor. Värdet minskar med 3 000 kronor per år. a) Skriv ett funktionsuttryck som visar gräsklipparens värde efter x år. b) Vilken är funktionens definitionsmängd och värdemängd?
184
FUNKTIONER u BLANDADE UPPGIFTER
11 Förenkla uttrycken med hjälp av potensla-
garna.
period där invånarantalet ökar med 1,5 % varje år. Hur många kommer att bo på orten om 10 år om ökningen håller i sig?
b2
b) b5 · __4 b x 3 d) __ 2
a) (a4)3
()
c) (10b2)4
18 Vilka nollställen har andragradsfunktionen
g(x) = 2x2 + 8x – 8? Svara exakt.
12 Skriv utan potenser
a) 5 · 2–1
17 En ort som har 200 000 invånare är inne i en
b) 2 · 5–1
c) 2–1 · 2–1
19 Utgå från exponentialfunktionen
f(x) = C · ax. 13 Skriv som en potens med basen 2
1 b) ___ 32
1 a) __ 2
a) Beskriv hur grafen till funktionen ser ut om C = 50 000 och a = 1,2.
c) 1
b) Beskriv hur grafen ändras om värdet på C ändras.
14 Lös ekvationerna
a)
x4
= 13
b)
x3 =
–8
c)
x6
= –11
15 Tanja och Nadja vill beräkna 1601/4. Tanja
slår 160^1/4 på miniräknaren, och får resultatet 40. Nadja skriver in 160^1/4 i GeoGebra och får resultatet 3,557.
c) Beskriv hur grafen ändras om a är mindre än 1.
Nivå 2 20 Ange värdemängd och definitionsmängd till
funktionen som är ritad här nedanför.
a) Vem har rätt?
y
b) Varför får den andra eleven fel resultat? 16 Funktionen N(t) = 5 000 · 1,3t beskriver
antalet bakterier i en odling efter t timmar. a) Hur många bakterier fanns i odlingen från början? b) Med hur många procent ökar antalet bakterier varje timme?
y = f(x) 1
x 1
21 Annas aktier är värda 5 000 kr. De minskar i
värde under en vecka (5 dagar) med 2,3 % per dag. Hur mycket är de värda efter den veckan?
FUNKTIONER u BLANDADE UPPGIFTER
185
3
«
Kapiteltest Del 1 1 Vilken punkt ligger inte på linjen
6 En rät linje skär y-axeln vid y = 7. Värdet på y
y = –8x + 10 ? 1
(0, 10)
X
(–2, –6)
2
(1, 2)
2 Vilken ekvation
2
beskriver en linje som är parallell med linjen i figuren? 1
y = 0,5x + 1
X
y = 2x + 2
2
y = 2x – 1
2 1 –2 –1 –1 –2
y x 1 2 3 4
3 Vilken är lösningen till ekvationssystemet? y = 3x + 1 y = –2x + 6 1
x = 3 och y = 10
X
x = 1 och y = 8
2
x = 1 och y = 4
x
y
–1
–2
1
y=x–3
X
y=x+2
0
–3
2
y = –x – 3
1
–4
5 Den räta linjen 4x – 2y + 18 = 0 är skriven i
allmän form. Hur skrivs samma linje i formen y = kx + m? X
y = –2x + 9
2
y = –2x – 9
122
som visas i figuren? x 1 y = __ + 3 3 x __ X y= –3 3 2 y = –3x + 3
3 2 1 –1 –1
y
x 1 2 3
per dygn under våren. Vilken formel beskriver snödjupet d cm efter n dagar?
Hur kan man beskriva sambandet med en ekvation?
y = 2x + 9
7 Vilken ekvation har linjen
8 Snödjupet är 150 cm och minskar med 3 cm
4 Tabellen visar ett samband mellan x och y.
1
minskar med 4 när x ökar med 3. Vilken linje beskrivs? 4x 1 y = ___ – 7 3 3x X y = – ___ + 7 4 4x ___ 2 y=– +7 3
RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM u KAPITELTEST
1
d = 150 – 3n
X
d = 3n – 150
2
d = 150n – 3
9 En rät linje kan beskrivas med ekvationen
y = kx + m där m > 0. Vilket av följande påståenden är falskt? 1
Linjen kommer att skära x-axeln.
X
Linjen kan gå genom origo.
2
Linjen kommer att skära y-axeln.
Del 2 10 En rät linje har riktningskoefficienten –2 och
går genom punkten med koordinaterna (1, 8). a) Bestäm linjens ekvation. b) Skriv koordinaterna för ytterligare en punkt på linjen. 11 Tabellen visar ett samband
mellan x och y.
x
y
14 I koordinatsystemet är linjerna y = x + 5
och y = –2x ritade. 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2
y
x 1 2
12
368
a) Förklara hur man kan se att sambandet är linjärt.
15
380
22
408
a) Bestäm skärningspunkten mellan linjerna.
b) Beskriv sambandet med en ekvation.
30
440
Linjerna bildar tillsammans med koordinataxlarna två trianglar, en röd och en blå.
12 Lös ekvationssystemet grafiskt. 2x + 2y – 10 = 0 2x – y = 4
b) Visa med beräkningar att den röda triangeln har dubbelt så stor area som den blå. 15 Ett ekvationssystem kan ha noll, en eller
13 På nöjesfältet Gröna Lund kan man välja
oändligt många lösningar.
mellan att köpa åkband eller att köpa kuponger. Två åkband och 20 kuponger kostar 1 070 kr. Tre åkband och fem kuponger kostar 1 130 kr.
a) Ge exempel på ett ekvationssystem som har en lösning och ett exempel på ett ekvationssystem som saknar lösningar. Motivera dina val av exempel.
a) Ställ upp ett ekvationssystem som hjälper dig att bestämma priset på en kupong respektiveKapiteltest ett åkband.
b) Bestäm talet t så att ekvationssystemet
Sist i varje kapitel ligger ett
b) Lös ekvationssystemet. test, som knyter an till lärande-
målen i kapitlets inledning. Det c) Hur mycket kostar ett åkband respektive ger eleverna möjlighet att själva en kupong? kontrollera sina kunskaper. Testet är indelat i två delar: en del med flervalsfrågor och en del där eleverna ska redovisa sina lösningar.
6x + 3y = 12 4x – ty = 26
saknar lösningar. c) Kan man välja t så att ekvationssystemet här ovanför får oändligt många lösningar? Motivera.
RÄTA LINJER OCH EKVATIONSSYSTEM u KAPITELTEST
123
2
2a Matematik Origo är moderna läroböcker skrivna för ämnesplanen som träder i kraft 2021 Utförliga förklaringar, lösta exempel och varierade övningsuppgifter Matematisk modellering, kommunikationsuppgifter och problemlösning för alla Målbeskrivningar, sammanfattning och test till varje kapitel Serien består av Matematik Origo 1a och 2a för yrkesprogrammen Matematik Origo 1b, 2b och 3b för Samhällsvetenskapsprogrammet, Ekonomiprogrammet, Humanistiska programmet och Estetiska programmet Matematik Origo 1c, 2c, 3c, 4 och 5 för Naturvetenskapsprogrammet och Teknikprogrammet
ISBN 978-91-523-6075-0