Page 1

Undervisa matematik hjälper dig att göra matematiken på mellanstadiet överskådlig, undervisningen tydlig och inlärningen lustfylld. Målet är att på ett stimulerande sätt hjälpa eleverna att utveckla sitt lärande i matematik så långt det är möjligt.

Eva Björklund

Undervisa matematik Genomgångar, strategier, tips och aktiviteter

ÅK 4–6

Eva Björklund är lärare i matematik, föreläsare och läromedelsförfattare. År 2014 tilldelades hon Kungliga Vetenskapsakademiens Ingvar Lindqvistpris för sin inspirerande undervisning i matematik och 2018 var hon en av pristagarna till Helgepriset, som delas ut av Helge Ax:son Johnsons stiftelse.

M AT E M AT I K

I boken finns det mesta du behöver veta om att undervisa i matematik i åk 4–6. Här beskrivs hur kursplanen är upplagd och vilka mål det centrala innehållet kan brytas ner i. Boken ger dig även en tydlig beskrivning av förmågorna i matematik och ger konkreta tips på hur du som lärare kan arbeta med formativ bedömning.

U N D E RV I SA

Undervisa matematik ger dig som är lärare eller lärarstudent handfasta tips på hur du kan lära ut matematik i årskurs 4–6. Boken utgår från kunskapskraven i Lgr11 och författaren delar generöst med sig av sin långa erfarenhet som lärare. Här hittar du genomgångar och aktiviteter som väcker lust och nyfikenhet hos eleverna. De matematiska begreppen och metoderna är valda utifrån perspektivet årskurs 4–6 och texten är skriven på ett klassrumsnära språk.

ÅRSKURS 4–6 ISBN: 978-91-523-5003-4

Sanoma Matematikbok - OMSLAG (Prickar).indd 1

2018-08-15 15:54


Sanoma Utbildning Postadress: Box 30091, 104 25 Stockholm Besöksadress: Alströmergatan 12, Stockholm Hemsida: www.sanomautbildning.se E-post: info@sanomautbildning.se Order/Läromedelsinformation Telefon 08-587 642 10 Telefax 08-587 642 02 Projektledare och redaktör: Emma Ackebo Bäcker Grafisk formgivning & illustrationer: Jonas Olsson, Mobile Design Omslag: Jonas Olsson, Mobile Design Foto: Shutterstock sida 53, 206, 214, 253

Undervisa matematik ISBN 978-91-523-5003-4

© 2018 Eva Björklund och Sanoma Utbildning AB, Stockholm Första upplagan Första tryckningen

Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-Copyright Access avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller BONUS-Copyright Access. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. Printed in Litauen by Balto Print, 2018

Sanoma Matematikbok.indd 2

2018-08-15 13:24


Innehåll

Innehåll Matematikundervisning

. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Vad är att undervisa?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Praktiska övningar i matematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 De matematiska förmågorna .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Matematiken och språket. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Planering, bedömning och medvetenhet om målen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Dokumentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Kunskapskrav i slutet av årskurs 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Taluppfattning och tals användning Algebra

..........................................................

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18 92

Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Sannolikhet och statistik .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Samband och förändring . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Problemlösning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Sökord/register. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

V

Sanoma Matematikbok.indd 5

2018-08-15 13:24


Innehåll

Taluppfattning och tals användning Talsystem .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Tom tallinje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Binära tal på fingrarna

.......................................................................

26

Rationella tal och deras egenskaper .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Växla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ............................................................................

34

......................................................................................

37

1 ................................................................... 2

41

...................................................................................

44

Närmast ett vinner

Vika papper

Jämföra bråk: utgå från

Enklaste form

Tal i procentform och deras samband med tal i bråk- och decimalform . . . . 45 Beräkningar .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Huvudräkning decimaltal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Kommutativa lagen

Mattebollar

Överslag med decimaler

Samband mellan räknesätten

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

...................................................................................... .................................................................... .............................................................

54 55 64 90

Arbeta med textuppgifter .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

VI

Sanoma Matematikbok.indd 6

2018-08-15 13:24


Innehåll

Algebra Likhetstecknet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Skapa likheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Uttryck .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Skriva uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.

Arbeta med förenklade uttryck

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103

Matematiska mönster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Mönster i talföljder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106. Ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Bönspelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Gör egna ekvationer till bönspelet

Skapa egna ekvationer

Spela med uttryck

......................................................

.....................................................................

...........................................................................

121 124 125.

Programmering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Koda för att träna koordinatsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Mer avancerad kod för att träna koordinatsystem

Rör er med blockkod

Programmering och begrepp

................................

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................

134 137 138.

VII

Sanoma Matematikbok.indd 7

2018-08-15 13:24


Innehåll

Geometri Geometriska objekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Konstruera en liksidig triangel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148.

Konstruera geometriska objekt

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150

Skala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Klassrumsskala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Skolgårdsskala

................................................................................

155

Symmetri .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Symmetri i bilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Jämförelse, uppskattning och mätning av storheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Kasta flygplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 ...........................................................

164

..................................................................

169

Enhetsomvandla med trolldeg

Träna enhetsbyte, massa

Uppskatta tid

Vika cirkel

Vinkelcirklar

Vinkelsumma

...................................................................................

171

.......................................................................................

178

................................................................................... ...................................................................................

179 182

Omkrets och area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Upptäcka pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Kontrollera pi

Uppskatta och beräkna area

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

189 191

VIII

Sanoma Matematikbok.indd 8

2018-08-15 13:24


Innehåll

Sannolikhet och statistik Sannolikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Uppskatta sannolikhet .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

Undersöka sannolikhet

.....................................................................

197

Kombinatorik .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200. Klädkombinationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202. Sortera, beskriva och tolka statistiskt material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Skapa frekvenstabeller och rita diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 214

Levande cirkeldiagram

Cirkeldiagram med pärlor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

.....................................................................

Lägesmått och spridningsmått . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

IX

Sanoma Matematikbok.indd 9

2018-08-15 13:24


Innehåll

Samband och förändring Koordinatsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Ange punkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Proportionella samband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Skapa egna proportionella samband i tabeller 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 ...................................

229

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

232

Skapa egna proportionella samband i tabeller 2

Undersöka priser i affären

Undersöka grafer 1

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

233

Undersöka grafer 2

..........................................................................

236

Procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237. Skriv textuppgift till redovisning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

X

Sanoma Matematikbok.indd 10

2018-08-15 13:24


Innehåll

Problemlösning Problemlösning som centralt innehåll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Att definiera en problemlösningsuppgift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Att lösa problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Jämföra och värdera strategier .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Matematisk formulering av frågeställning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 Egna frågeställningar utifrån ett befintligt problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

XI

Sanoma Matematikbok.indd 11

2018-08-15 13:24


Algebra

Sannolikhet och statistik

192

Sanoma Matematikbok.indd 192

2018-08-15 13:25


SANNOLIKHET OCH STATISTIK Centralt innehåll  Sannolikhet, chans och risk grundat på observationer, simuleringar eller statistiskt material från vardagliga situationer. Jämförelser av sannolikheten vid olika slumpmässiga försök.  Enkel kombinatorik i konkreta situationer.  Tabeller och diagram för att beskriva resultat från undersökningar, såväl med som utan digitala verktyg. Tolkning av data i tabeller och diagram.  Lägesmåtten medelvärde, typvärde och median samt hur de kan användas i statistiska undersökningar.

Kursplan i matematik (Skolverket, reviderad 2017)

193

Sanoma Matematikbok.indd 193

2018-08-15 13:25


Sannolikhet och statistik

Sannolikhet Sannolikhet anger hur stor chans eller risk det är att något händer och skrivs som ett tal mellan 0 och 1, i bråkform, i procentform eller i decimalform. Sannolikheten att 1 6  eleverna är lediga i juli är 100 %  slå en fyra med en tärning är  en katt ska fl ga är 0. Jag brukar börja med att ta upp hur vi till vardags pratar om sannolikhet. Vi använder ofta ”fifty-fifty” när det är 50 % chans att något händer. Vi använder oftast ordet chans när det är något positivt/neutralt som händer och risk när det är något negativt som händer. Det går också att hitta dåliga eller överdrivna exempel på hur sannolikhet används, som ”Jag är 120 % säker på det” eller ”I vote one billion percent yes!”. För att eleverna ska kunna göra försök eller lösa textuppgifter med sannolikhet behöver de ibland ytterligare förkunskaper, exempelvis hur en kortlek är uppbyggd, vad krona och klave betyder eller vilken slags tärning som ska användas. Den klassiska sannolikhetsdefinitionen säger att sannolikheten P för en händelse är P=

antalet gynnsamma utfall antalet möjliga utfall

194

Sanoma Matematikbok.indd 194

2018-08-15 13:25


Sannolikhet

När jag jobbar med elever i åk 4–6 brukar jag i stället säga: sannolikhet =

antalet valda möjligheter det totala antalet möjligheter

Visa gärna eleverna hur de kan använda formeln genom de här exemplen:

Exempel 1: På en vanlig tärning finns det 1 tvåa och 6 sidor totalt. Sannolikheten att slå en tvåa är alltså: 1 vald möjlighet 6 antal möjligheter

=

1 6

Exempel 2: I en kortlek finns det 52 kort. Sannolikheten att dra exempelvis hjärter tre är: 1 vald möjlighet 52 antal möjligheter

=

1 52

Sannolikheten att dra en spader är: 13 valda möjligheter 52 antal möjligheter

=

13 1 = 52 4

195

Sanoma Matematikbok.indd 195

2018-08-15 13:25


Sannolikhet och statistik

Uppskatta sannolikhet När eleverna har fått koll på vad sannolikhet innebär kan det vara roligt att gå vidare med en gemensam övning. Dela in eleverna i grupper. Hitta på och ge dem påståenden och låt dem tillsammans uppskatta sannolikheten för att ett påstående ska inträffa. Några exempel att utgå ifrån: Sannolikheten att  någon blir ett år yngre nästa år  ni tappar ett spelkort och det landar med baksidan upp  eleverna har ledigt i juli  det är soppa i skolmatsalen. Låt eleverna därefter skriva egna påståenden och uppskatta sannolikheten för dessa. Uppmuntra dem att få med 0 %, 50 % och 100 %, men också några där emellan. Några elevexempel: Sannolikheten att  en katt har en snabel är helt osannolik, 0 % 1  slå en fyra på en tärning är 6  få krona när man singlar slant är 50 %  nästa vecka har sju dagar är helt säkert, 100 %  det regnar i morgon (om det är under en regnig höstvecka) 87 %. Låt eleverna skriva sannolikheten i så många former de kan, av bråk-, procent- och decimalform till sina påståenden. Ni kan också sätta upp en stor tallinje från 0 till 1 på väggen och låta eleverna får placera sina påståenden på rätt ställe.

196

Sanoma Matematikbok.indd 196

2018-08-15 13:25


Sannolikhet

FÖRSÖK MED SANNOLIKHET Elever i åk 4–6 ska kunna observera och samla in statistiskt material genom att genomföra enkla simuleringar och bestämma sannolikheten. Att göra försök med sannolikhet är lite lurigt, då vi oftast inte tar oss tid att göra tillräckligt många försök för att den teoretiska sannolikheten ska sammanfalla med den experimentella sannolikheten. När eleverna har gjort något försök ensamma eller i par, kan det därför vara intressant att se vad som händer när ni lägger ihop klassens alla resultat.

Undersöka sannolikhet Låt eleverna utföra några enkla försök för att undersöka sannolikhet. Eleverna kan singla slant, dra kort ur en kortlek eller slå tärning. Efter försöken, lägg ihop klassens resultat och fundera på hur väl resultatet stämmer med den beräknade sannolikheten. Exempel: Sannolikheten

Mitt resultat

Klassens resultat

Singla slant 10 gånger och få klave

50 %

4 klave = 40 %

106 ≈ 48 % 220

Dra ett kort 10 gånger och få ett klöverkort

25 %

3 klöver = 30 %

53 ≈ 24 % 220

Kasta en tärning 10 gånger och få en sexa

1 ≈ 17 % 6

2 sexor = 20 %

34 ≈ 15 % 220

197

Sanoma Matematikbok.indd 197

2018-08-15 13:25


Sannolikhet och statistik

OLIKA UPPGIFTSTYPER När eleverna arbetar med sannolikhet i textuppgifter finns det förutom att beräkna just sannolikheten, några olika typer av uppgifter de kan stöta på.

Del av antal När vi arbetar med räkne- eller textuppgifter och sannolikhet handlar det oftast om att eleverna ska ta reda på del av antal. Eleverna får veta sannolikheten och ska räkna ut antalet valda möjligheter. Exempel: Det finns 24 pärlor i en burk. Sannolikheten att få en turkos pärla är 25 %. Hur många turkosa pärlor är det i burken?

Beräkna helheten Ibland är sannolikheten och antalet valda möjligheter givna och eleverna ska i stället beräkna det totala antalet möjligheter, alltså helheten. Exempel: I en påse med stenkulor är 3 kulor gröna. Hur många kulor är det totalt i påsen om det är 51 chans att ta en grön kula? Jag tycker att eleverna har lättare att förstå uppgifter av det här slaget om de ritar en bild till hjälp:

198

Sanoma Matematikbok.indd 198

2018-08-15 13:25


Sannolikhet

Uppgifter i flera steg, problemlösning Den svåraste varianten av sannolikhetsuppgifter brukar vara när eleverna ska jämföra sannolikhet, eller lösa uppgifter i flera steg. Exempel: Det är 10 % sannolikhet att få vinst i ett lotteri. Det finns 270 nitlotter. Hur många lotter är det i hela lotteriet? Här behöver de förstå texten ordentligt, vilket också kan underlättas genom att rita en bild. Eleverna behöver förstå att 270 lotter motsvarar 90 % och utgå från det. För att framgångsrikt kunna lösa textuppgifter i sannolikhet underlättar det om eleverna är säkra på att växla mellan tal i bråk-, procent- och decimalform. När man uttrycker sannolikhet i bråkform är det dessutom ofta bra att ange bråket i sin enklaste form, det vill säga det bråk som har så liten nämnare som möjligt (enklaste form av 39 är 31 och enklaste form 13 är 41 ). Detta underlättar när eleverna exempelvis ska jämföra sannoav 52 likhet. Därför brukar jag repetera tal i olika former strax innan vi arbetar med sannolikhet, så att det inte är det som står i vägen för förståelsen.

199

Sanoma Matematikbok.indd 199

2018-08-15 13:25


Sannolikhet och statistik

Kombinatorik Kombinatorik handlar om att ordna och kombinera. I åk 4–6 brukar det handla om att ta reda på antalet valmöjligheter eller möjliga kombinationer av olika saker. Min upplevelse är att de flesta elever på mellanstadiet brukar tycka att det är ganska lätt att konkretisera detta innehåll. I arbetet med kombinatorik brukar jag presentera tre olika metoder: rita/skriva, tabell och beräkna, där beräkna är den mest abstrakta metoden.

RITA/SKRIVA Den första metoden är väldigt konkret och är den jag brukar använda mig av när jag introducerar kombinatorik. Här ritar eleverna en bild och drar ett streck för varje kombination, eller namnger sina valmöjligheter och skriver kombinationerna. För att exempelvis ta reda på hur många kombinationer det går att skapa av två olika tröjor och tre par byxor kan man rita följande bild:

T1 B1

T2 B2

B3

T1 – B1 T1 – B2 T1 – B3 T2 – B1 T2 – B2 T2 – B3

200

Sanoma Matematikbok.indd 200

2018-08-15 13:25


Kombinatorik

TABELL För att lösa uppgifter i kombinatorik går det även att göra en tabell. Detta fungerar bäst då det bara är två kategorier som till exempel bilmodell och färg. Om det är fler kategorier, till exempel hattar, tröjor och byxor, är det svårt att göra en vanlig tabell. I vissa fall räcker det att rita upp själva tabellen så ser man svaret. När eleverna har jobbat med tabeller ett tag kan det räcka att visualisera tabellen för att se svaret. Det är dock viktigt att eleverna vänjer sig vid att de alltid måste redovisa hur de kommit fram till sitt svar, oavsett vilken metod de använt.

BERÄKNA Den mest abstrakta metoden för att lösa kombinatorikuppgifter är att beräkna. Men om eleverna redan har jobbat med rita/skriva/tabell och fått en förståelse för hur man kan ta reda på antalet kombinationer, så brukar det bara underlätta för eleverna att gå över till metoden beräkna. För att exempelvis räkna ut antalet kombinationer det går att göra med 3 hattar, 4 tröjor och 2 byxor kan vi i stället för att rita, räkna 3 ∙ 4 ∙ 2 = 24 Ju större antalet valmöjligheter vi arbetar med desto effektivare är det att beräkna i stället för att exempelvis rita.

201

Sanoma Matematikbok.indd 201

2018-08-15 13:25


Sannolikhet och statistik

I kombinatorik jobbar vi också med siffer­- och bokstavskombinationer. Eleverna kommer förmodligen att hitta ett mönster i de kombinationer de skapar, och utifrån det även göra beräkningar.

Klädkombinationer För att eleverna själva ska kunna lista ut, och se effektiviteten i att räkna ut kombinationer, kan du låta eleverna göra egna undersökningar. De kan undersöka hur många olika klädkombinationer de kan göra (eller något annat som de själva kommer på, till exempel dryck, varmrätt, efterrätt). Ni kan också utgå från första kolumnen i tabellen intill om ni vill. Låt eleverna föra in sina svar i en tabell som de själva skapar. Jämför sedan de olika gruppernas lösningar. Någon grupp kommer förmodligen redan ha kommit på att det går att räkna ut antalet kombinationer i stället för att rita/skriva. Låt grupperna kontrollera om de får samma svar genom att räkna ut svaren i stället. Några grupper kanske upptäcker fel de gjort med rita-metoden, eftersom det kan vara svårt att hålla ordning på alla kombinationer. De har då upptäckt att räkna är en effektivare metod.

202

Sanoma Matematikbok.indd 202

2018-08-15 13:25


Kombinatorik

Exempel på elevtabell: Antal kläder

Lösning

Antal kombinationer

2 tröjor 3 byxor

T1-B1 T1-B2 T1-B3 T2-B1 T2-B2 T2-B3

6

2 tröjor 3 byxor 2 par skor

12

3 tröjor 3 byxor 2 par skor

18

4 tröjor 3 byxor 2 par skor

4∙3∙2

24

203

Sanoma Matematikbok.indd 203

2018-08-15 13:25


Undervisa matematik hjälper dig att göra matematiken på mellanstadiet överskådlig, undervisningen tydlig och inlärningen lustfylld. Målet är att på ett stimulerande sätt hjälpa eleverna att utveckla sitt lärande i matematik så långt det är möjligt.

Eva Björklund

Undervisa matematik Genomgångar, strategier, tips och aktiviteter

ÅK 4–6

Eva Björklund är lärare i matematik, föreläsare och läromedelsförfattare. År 2014 tilldelades hon Kungliga Vetenskapsakademiens Ingvar Lindqvistpris för sin inspirerande undervisning i matematik och 2018 var hon en av pristagarna till Helgepriset, som delas ut av Helge Ax:son Johnsons stiftelse.

M AT E M AT I K

I boken finns det mesta du behöver veta om att undervisa i matematik i åk 4–6. Här beskrivs hur kursplanen är upplagd och vilka mål det centrala innehållet kan brytas ner i. Boken ger dig även en tydlig beskrivning av förmågorna i matematik och ger konkreta tips på hur du som lärare kan arbeta med formativ bedömning.

U N D E RV I SA

Undervisa matematik ger dig som är lärare eller lärarstudent handfasta tips på hur du kan lära ut matematik i årskurs 4–6. Boken utgår från kunskapskraven i Lgr11 och författaren delar generöst med sig av sin långa erfarenhet som lärare. Här hittar du genomgångar och aktiviteter som väcker lust och nyfikenhet hos eleverna. De matematiska begreppen och metoderna är valda utifrån perspektivet årskurs 4–6 och texten är skriven på ett klassrumsnära språk.

ÅRSKURS 4–6 ISBN: 978-91-523-5003-4

Sanoma Matematikbok - OMSLAG (Prickar).indd 1

2018-08-15 15:54

Profile for Smakprov Media AB

9789152350034  

9789152350034  

Profile for smakprov