GEOGRAFISK INFORMATIONSBEHANDLING TEORI, METODER OCH TILLÄMPNINGAR
Lars Harrie (red.)
Denna titel har tidigare givits ut av Formas och utges från och med femte upplagan av Studentlitteratur AB.
Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access. Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.
Art.nr 36386 ISBN 978-91-44-13174-0 Upplaga 7:1 © Författarna och Studentlitteratur 2012, 2020 studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Omslagslayout: Francisco Ortega Omslagsbild: Kartdata från Lunds kommun Illustratör om ej annat anges: Lilian Johansson Printed by GPS Group, Austria 2020
3
INNEHÅLL
Förord 13 Författarpresentation 15 INTRODUK TION
1. Introduktion till geografisk informationsbehandling 19 L a r s H a r r i e & L a r s E k lu n dh 1.1 Inledning 21 1.2 Tillämpningar inom geografisk informationsbehandling 22 1.2.1 Användning av geografisk informationsbehandling 22 1.2.2 Tillämpningsområden för geografisk informationsbehandling 23 1.2.3 Värdet av geografisk informationsbehandling 25 1.3 Geografiska data 26 1.3.1 Konceptuella modeller av verkligheten 26 1.3.2 Egenskaper hos geografiska data 28 1.3.3 Terminologi 30 1.4 Programvaror för geografisk informationsbehandling 31 1.4.1 GIS-program 31 1.4.2 Andra programvaror inom geografisk informationsbehandling 32 1.4.3 Kommersiella och öppna program 33 1.5 Geografisk informationsbehandling – i går och i dag 33 1.6 Bokens syfte 35 1.7 Bokens struktur 35 1.7.1 Läsanvisningar 36 1.8 Lästips 36
© F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r
4
Innehåll
2. Infrastruktur för geografiska data 39 U l f S a n d gr e n, E wa R a n n e s t ig, C h r i s t i na Wa s s t röm & J e spe r M . Pa a s c h 2.1 Inledning 41 2.2 Vilka geografiska data finns? 43 2.2.1 Geografiska data från svenska myndigheter 43 2.2.2 Exempel på globala och europeiska geografiska myndighetsdata 46 2.2.3 Exempel på kommersiella geografiska data 46 2.2.4 Exempel på användarskapade geografiska data 46 2.3 Hur får jag tag på geografiska data? 48 2.3.1 Metadata 48 2.3.2 Geodataportaler 49 2.3.3 Öppna data 50 2.4 Hur får jag använda geografiska data? 51 2.4.1 Upphovsrätt och licensfrågor 51 2.4.2 Integritet och säkerhet vid behandling av data 51 2.5 Standarder, specifikationer och riktlinjer 52 2.5.1 Vad är en standard? 52 2.5.2 Behovet av standarder för geografisk information 53 2.5.3 Organisation av standardiseringsarbetet 53 2.5.4 Hierarki av standarder 54 2.6 Samordning av geografiska data 55 2.6.1 Den svenska infrastrukturen för geografiska data 55 2.6.2 Inspire-direktivet 55 2.6.3 Copernicus, GEO och UN-GGIM 57 2.7 Lästips 57 INSAMLING
3. Referenssystem och kartprojektioner 59 Jona s Ågr e n & H a n s H ausk a 3.1 Inledning 61 3.2 Att ange ett läge på jorden 61 3.3 Koordinater och koordinatsystem 63 3.3.1 Tredimensionella kartesiska koordinater 63 3.3.2 Jordellipsoiden och geodetiska koordinater 63 3.3.3 Geoidhöjd och höjd över havet 66 3.4 Kartprojektioner 66 3.4.1 Introduktion 67 3.4.2 Olika typer av kartprojektioner 68
© F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r
Innehåll
3.4.3 Egenskaper hos kartprojektioner 70 3.4.4 Några vanliga kartprojektioner 70 3.4.5 Kartprojektioner i Sverige 72 3.4.6 Kartprojektioner i Europa 73 3.5 Geodetiska referenssystem 74 3.5.1 Globalt anpassade tredimensionella referenssystem 74 3.5.2 Regionalt anpassade tvådimensionella referenssystem 77 3.5.3 Rutnätssystem 78 3.5.4 Höjdsystem 78 3.5.5 Landhöjningen 80 3.5.6 Geoidmodeller 81 3.5.7 Byte från kommunala till nationella referenssystem 82 3.6 Koordinattransformationer 82 3.6.1 Analytisk koordinattransformation 82 3.6.2 Empirisk koordinattransformation 83 3.7 Lästips 84
4. Insamling av geografiska data 85 L a r s E k lu n dh, Jona s Ågr e n, H å k a n Ol s s on, L a r s H a r r i e & Da n K l a ng 4.1 Inledning 87 4.2 Insamling av attributdata 87 4.3 Fjärranalys och fotogrammetri 88 4.3.1 Så fungerar fjärranalys 88 4.3.2 Sensorer för fjärranalys 91 4.4 Satellitbaserad fjärranalys 93 4.4.1 Fjärranalysbilder 93 4.4.2 Fjärranalyssatelliter 93 4.4.3 Förbearbetning av satellitbilder 98 4.5 Flygbilder och fotogrammetri 98 4.5.1 Flygbilder 99 4.5.2 Ortofoto 102 4.5.3 Georeferering av flygbilder 102 4.5.4 Digital fotogrammetri 103 4.5.5 Fotogrammetriska produkter 103 4.5.6 Bilder från drönare 105 4.6 Analys av fjärranalysdata 106 4.6.1 Manuell bildtolkning 106 4.6.2 Datorklassning av multispektrala bilder 107 4.6.3 Att skatta kvantitativa egenskaper med fjärranalys 109
© F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r
5
6
Innehåll
4.7 Laserskanning 109 4.7.1 Flygburen laserskanning 110 4.7.2 Förbearbetning av laserdata 112 4.7.3 Från punktmoln till raster 112 4.7.4 Några användningsområden för laserdata 112 4.8 Markbundna geodetiska mätningsmetoder 114 4.8.1 Vinkelmätning 115 4.8.2 Längdmätning 116 4.8.3 Polär mätning 116 4.8.4 Trigonometrisk höjdbestämning 117 4.8.5 Avvägning 117 4.8.6 Terrester laserskanning 118 4.9 Satellitbaserade geodetiska mätningsmetoder 119 4.9.1 GPS-systemet 120 4.9.2 Satellitsignalen 121 4.9.3 Kod- och fasmätning 121 4.9.4 Principer för GPS-mätning 122 4.9.5 Metoder för GPS-mätning 123 4.10 Integrerade och mobila mätsystem 126 4.11 Lästips 126 LAGRING OCH DISTRIBUTION
5. Lagring av geografiska data 129 L a r s H a r r i e , L a r s E k lu n dh, Pet t e r Pi l e sjö & Pe r S v e ns s on 5.1 Inledning 131 5.2 Lagring av tal och text i datorn 132 5.2.1 Binär lagring av data 132 5.2.2 Lagring av heltal 133 5.2.3 Lagring av decimaltal 133 5.2.4 Lagring av text 134 5.2.5 Lagring av information i datorn 134 5.3 Vektorstrukturen 135 5.3.1 Punktobjekt 136 5.3.2 Linjeobjekt 136 5.3.3 Ytobjekt 139 5.4 Databasteknik 142 5.4.1 Databashanterare 142 5.4.2 Relationsdatabas 144 5.4.3 Objektorientering och objektrelationella databaser 147
© F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r
Innehåll
5.5 Lagring av vektordata 149 5.5.1 Hybrida lagringssystem 149 5.5.2 Integrerade lagringssystem 151 5.6 Rasterstrukturen 154 5.6.1 Representation av geometriska objekt 156 5.6.2 Representation av kontinuerliga variabler 157 5.6.3 Lagring av rasterdata 157 5.7 Att välja raster- eller vektorstruktur 159 5.8 Höjddata 161 5.8.1 Höjddata i vektorform 161 5.8.2 Höjddata i rasterform 162 5.9 3D-data 163 5.10 Informationsmodellering 164 5.10.1 Modelleringsspråket UML 165 5.11 Lästips 167
6. Geografiska data på webben 169 A l e x a n de r Wa lt h e r & L a r s H a r r i e 6.1 Inledning 171 6.2 Karttjänster 171 6.2.1 Klient–server-modell 171 6.2.2 Standardiserade karttjänster 173 6.2.3 Utveckling av karttjänster 175 6.2.4 För- och nackdelar med karttjänster 177 6.3 Skapa karttjänster 178 6.3.1 Enkla visningstjänster 178 6.3.2 GIS-tjänster 179 6.3.3 Standardiserade karttjänster 179 6.3.4 Specialiserade kart- och GIS-tjänster 180 6.4 Lästips 181 ANALYS
7. Transformation av geografiska data 183 L a r s E k lu n dh & L a r s H a r r i e 7.1 Inledning 185 7.2 Digitalisering och skanning 186 7.2.1 Digitalisering 186 7.2.2 Skanning 188
© F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r
7
8
Innehåll
7.3 Geometrisk anpassning av data 189 7.3.1 Anpassning av vektordata 189 7.3.2 Anpassning av raster 190 7.3.3 Konvertering mellan vektor- och rasterstrukturerna 191 7.4 Georeferering 192 7.4.1 Typer av koordinattransformation 193 7.4.2 Val av passpunkter 195 7.4.3 Val av koordinattransformationstyp 195 7.4.4 Matematisk bakgrund till koordinattransformationer 197 7.5 Interpolation 199 7.5.1 Linjär interpolation mellan två punkter 200 7.5.2 Interpolation av ytor 200 7.5.3 Interpolation med trendytor 201 7.5.4 Avståndsviktad medelvärdesinterpolation 202 7.5.5 Närmaste granne-interpolation 203 7.5.6 Bilinjär interpolation 204 7.5.7 Spline-interpolation 205 7.5.8 Geostatistik och kriging 205 7.5.9 Rumslig prediktion med stödvariabler 207 7.5.10 Jämförelse mellan olika interpolationsmetoder 209 7.6 Lästips 210
8. Analys av geografiska data 213 Pet t e r Pi l e sjö, L a r s E k lu n dh, F r e dr i k L i n dbe rg, K a r i n L a r s s on & N ic k l a s Gu l då k e r 8.1 Inledning 215 8.2 Sökning i geografiska data 216 8.3 Geometriska operationer på vektordata 217 8.3.1 Beräkning av avstånd 217 8.3.2 Beräkning av linjelängd 218 8.3.3 Beräkning av polygonarea och polygonens tyngdpunkt 219 8.3.4 Avstånd mellan geometriska objekt 220 8.3.5 Korsning mellan linjer 220 8.3.6 8.3.6 Punkt i polygon 222 8.3.7 Buffertzoner 222 8.4 Överlagring av vektordata 223 8.4.1 Överlagring av punkter på polygoner 224 8.4.2 Överlagring av linjer på polygoner 224 8.4.3 Överlagring av polygoner på polygoner 224
© F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r
Innehåll
8.5 Analys av nätverk 227 8.5.1 Algoritm för att beräkna kortaste vägen i ett nätverk 228 8.6 Analys av rasterdata 230 8.6.1 Grundläggande geometriska rasteroperationer 230 8.6.2 Cellvisa operationer 232 8.6.3 Ytbaserade operationer 234 8.6.4 Filteroperationer 236 8.6.5 Friktionsytor 237 8.7 Analys av höjddata 239 8.7.1 Sluttningslutning 240 8.7.2 Sluttningsriktning 241 8.7.3 Hydrologiska tillämpningar 241 8.7.4 Siktlinjer och siktfält 243 8.8 3D-analys 244 8.9 Rumslig fördelning och geometrisk form 247 8.9.1 Statistik för punkter 248 8.9.2 Statistik för linjer 249 8.9.3 Statistik för polygoner 250 8.9.4 Statistik för rasterytor 252 8.10 Geografisk analys genom kombination av olika dataskikt 252 8.10.1 Analys av attributen 252 8.10.2 Förändringsstudier 253 8.10.3 Lokalisering 254 8.11 Oskarp logik 258 8.12 Dynamisk modellering 260 8.13 Uppskalning av geografiska data 260 8.14 Ett praktiskt exempel på analys med GIS 262 8.14.1 Problemformulering och syfte 264 8.14.2 Datatillgång och konceptuell lösning 264 8.14.3 Databearbetning, analys och presentation 265 8.14.4 Diskussion 270 8.15 Lästips 271
9. Kvalitetsaspekter 273 C h r i s t i na Wa s s t röm, Gu n h i l d L ön n be rg & L a r s H a r r i e 9.1 Inledning 275 9.2 Kvalitet på geografiska data 275 9.2.1 Standarder för kvalitet 277 9.2.2 Kvalitetsteman och kvalitetsparametrar 278
© F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r
9
10
Innehåll
9.3
9.4
9.5 9.6
9.2.3 Stickprovsteknik 279 9.2.4 Metoder för kvalitetsutvärdering 280 9.2.5 Redovisning av kvalitet av en datamängd 287 Fortplantning av osäkerheter 288 9.3.1 Analytisk fortplantning 289 9.3.2 Stokastisk simulering av fortplantningen 290 Brister i modellen 291 9.4.1 Brister i representationen hos geografiska data 292 9.4.2 Brister i modellering av det geografiska fenomenet 292 9.4.3 Effekter av gruppering av data 292 Exempel på kvalitetsanalys 293 Lästips 295
VISUALISERING
10. Kartografi och geovisualisering 297 Be ngt Rys t e d t, H a n na S t ig m a r , L a r s H a r r i e & Wolt e r A r n be rg 10.1 Inledning 299 10.2 Kartor 299 10.2.1 Olika typer av kartor 299 10.2.2 Olika medier för kartor 301 10.2.3 Kartor med olika grad av användarinteraktion 301 10.3 Kartografiska grundprinciper 302 10.3.1 Symbolisering 302 10.3.2 Textsättning 303 10.3.3 Höjdinformation 304 10.3.4 Skala och läsbarhet 304 10.3.5 Färg 305 10.3.6 Sammanhang i kartan – visuell hierarki 306 10.3.7 Information om kartan 308 10.4 Kartografisk kommunikation och design 309 10.4.1 Kartografisk kommunikation 309 10.4.2 Kartografisk design 309 10.5 Att skapa topografiska kartor 311 10.5.1 Urval 311 10.5.2 Klassificering 312 10.5.3 Generalisering 312 10.5.4 Symbolisering 314
© F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r
Innehåll
10.6 Att skapa tematiska kartor 314 10.6.1 Olika typer av tematiska kartor 315 10.6.2 Exempel på tillämpningar 315 10.6.3 Gruppering av statistiska data 319 10.7 Att skapa webbkartor 320 10.7.1 Generellt om webbkartor 320 10.7.2 Kartografi för bakgrundskartor 321 10.7.3 Kartografi för förgrundsinformation 323 10.7.4 Webbkartor för mobiltelefoner och andra små skärmar 325 10.7.5 Kartografiska aspekter på nedladdningstjänster 325 10.8 Geovisualisering 325 10.8.1 Dynamisk och animerad kartografi 326 10.8.2 3D-visualiseringar 326 10.8.3 Virtuell och förstärkt verklighet 330 10.9 Kartografens roll 331 10.10 Lästips 334
Referenser 335 Sakregister 345
© F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r
11
K APITEL 3
Referenssystem och kartprojektioner Jonas Ă…gren & Hans Hausk a
Z
P
X
61
3.1 Inledning I ett geografiskt informationssystem hanteras geografiska objekt med kända lägen. För att ange ett läge behövs en fast referens, relativt vilken objektets position kan anges. Man behöver därför ett referenssystem, som är ett koordinat system vars axlar har lagts fast i förhållande till jordens yta. Det är mycket viktigt att objekten i ett geografiskt informationssystem är bestämda i ett väldefinierat referenssystem. Referenssystem och koordinatsystem behandlas inom ämnesområdet geodesi, som är vetenskapen om jordens uppmätning. Kapitlet börjar med en övergripande diskussion i avsnitt 3.2, som förklarar vad ett referenssystem är och motiverar varför det behövs som grund för inmätning av geografiska objekt. I avsnitt 3.3 behandlas därefter de vanligaste typerna av koordinatsystem. För att trycka en karta på papper eller för presentation på en dataskärm behövs ett plant koordinatsystem. Detta ställer till problem eftersom jorden är rund och inte platt. För att avbilda den buktiga jordytan på ett plan används en kartprojektion. Grunderna för sådana kartprojektioner förklaras i avsnitt 3.4. Referenssystem tas därefter upp i avsnitt 3.5. Genom hela kapitlet ligger tyngdpunkten på att förklara de viktigaste referenssystemen, koordinatsystemen och kartprojektionerna som används i Sverige. Kapitlet avslutas i avsnitt 3.6 med en diskussion av några viktiga grundprinciper för transformationer mellan olika koordinat- och referenssystem.
3.2 Att ange ett läge på jorden Anta att vi ska starta från början och göra en noggrann karta över ett stort område av Sveriges storlek. Vi förutsätter att ingen tidigare karta eller annan information finns tillgänglig. Vi måste då på något sätt mäta in de objekt som ska finnas med på kartan och sedan hitta en metod för att rita ut objekten på rätt plats i kartan. Frågan är hur vi kan komma i gång med detta. © F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r
I kapitel 4 kommer vi att beskriva metoder för inmätning. Oavsett vilken av dessa mätmetoder vi väljer är det viktigt att observera att all mätning är relativ. Vi kan inte bestämma det ”absoluta läget”, utan all mätning sker relativt andra punkter som redan är kända. De kända punkterna benämner vi referenspunkter. För att vi ska kunna komma i gång med kartan, verkar det vara en god idé att välja ut ett antal referenspunkter som täcker hela vårt område, bestämma det inbördes läget mellan dessa och sedan lägga fast alltihop på lämpligt sätt. Vi behöver alltså först bestämma läget för referenspunkterna, vilka sedan i nästa steg betraktas som kända och används som en fast referens att mäta in alla andra objekt mot. Ovan har vi talat om att mäta in ett läge. En relevant fråga här är hur dessa lägen ska anges. För att representera en punkts läge behövs ett koordinatsystem, i vilket punktens läge kan uttryckas numeriskt (i siffror) genom projektion på ett antal koordinataxlar, till exempel i det tredimensionella rummet behövs tre axlar och i planet två. Det bör poängteras att ett koordinatsystem i sig inte är tillräckligt för att göra en karta. Beroende på hur koordinataxlarna förhåller sig till jorden får man olika koordinater på samma punkt. Ett koordinatsystem är en abstrakt matematisk konstruktion, ingenting annat. För att få entydighet behövs ett referens system, som är ett koordinatsystem som kopplats fast i förhållande till jorden. I praktiken bestäms ett referenssystem genom att referens punkternas lägen koordinatbestäms med hjälp av olika typer av geodetiska mätningar (se avsnitt 4.8–4.9). Eftersom all mätning är relativ räcker det inte med att bara mäta, utan man behöver också göra ett antal godtyckliga val, som var origo ska ligga och hur koordinat axlarna ska riktas. Proceduren att fastställa ett referenssystem är komplicerad och arbetskrävande. Som tur är behöver man inte i verkligheten börja från början och etablera ett referenssystem varje gång
62
KAPITEL 3 Referenssystem och kartprojektioner
en karta ska göras, utan sådana system finns redan etablerade på internationell, nationell och lokal nivå. Sammanfattningsvis: ett geodetiskt referenssystem består av ett koordinatsystem som har relaterats till jorden genom att koordinater har bestämts för ett referensnät (stomnät) av referenspunkter. Dessa koordinater sägs reali sera referenssystemet. Dessa begrepp illustreras på ett förenklat sätt i figur 3.1. En annan viktig fråga är vilket koordinatsystem som är lämpligt för att göra vår karta. Ett givet svar här kan tyckas vara att direkt använda ett tvådimensionellt plant koordinatsystem, som i figur 3.1. Ett sådant förslag stöter dock på problem. Jorden är så gott som rund; mer precist är den aningen tillplattad vid polerna. För att avbilda jorden bör vi använda ett koordinatsystem som är anpassat till den buktiga ytan. Det är alltså inte helt trivialt vilken typ av koordinater vi ska använda för att representera läget i ett
referenssystem, och hur vi ska få koordinater i ett plan, vilket krävs för att konstruera en karta. Detta är huvudanledningen till att exemplet i figur 3.1 är förenklat. Det är viktigt att vara medveten om att språkbruket rörande referenssystem varierar inom olika områden. Tidigare användes termen geodetiskt datum i stället för referenssystem, vilket i vissa sammanhang fortfarande förekommer. Distinktionen mellan koordinatoch referenssystem upprätthålls heller inte i alla sammanhang. På engelska används ofta två termer: reference system för den teoretiska definitionen och reference frame för vad man får när denna definition även har realiserats. (Den svenska termen referenssystem motsvarar snarast reference frame.) I denna bok kommer vi att använda referenssystem och koordinatsystem enligt ovanstående förklaringar, vilka illustreras i figur 3.1.
Figur 3.1 Förenklat exempel på hur ett referenssystem bestäms genom att koordinater (N, E) i ett koordinat-
system läggs fast för ett referensnät bestående av fem referenspunkter. För att bestämma de relativa lägena mellan referenspunkterna används olika typer av mätningar som t.ex. GPS-mätningar. Koordinatsystemets origo och axlarnas riktning väljs på lämpligt vis. © F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r
KAPITEL 3 Referenssystem och kartprojektioner
Z
3.3 Koordinater och
koordinatsystem
Huvudsyftet med detta avsnitt är att introducera de vanligaste typerna av koordinater och koordinatsystem. Det är dock svårt att helt hålla isär diskussionerna om koordinat- och referenssystem, men huvudindelningen är att detta avsnitt tar upp koordinatsystem. Plana koordinater behandlas därefter tillsammans med kartprojektioner i avsnitt 3.4. Avsnitt 3.5 går sedan in på referenssystem i detalj.
3.3.1 Tredimensionella kartesiska koordinater För att ange läget för en punkt i rummet behövs tre koordinater. Ett naturligt alternativ är att använda rätvinkliga, tredimensionella kartesiska koordinater X, Y, och Z. I figur 3.2 illustreras hur dessa koordinater fås med rätvinklig projektion på de tre koordinataxlarna. Detta kan också uttryckas som att koordinaterna är de rätvinkliga avstånden från de tre koordinatplanen: X-koordinaten är avståndet från YZ-planet etc. När ett referenssystem med ett dylikt koordinatsystem fixeras, eftersträvas vanligtvis att origo ska vara så nära jordens tyngdpunkt som möjligt, att Zaxeln ska gå genom nord- och sydpolerna (dvs. sammanfalla med jordens rotationsaxel) och att X- och Y-axlarna ligger i ekvatorplanet. X-axeln utgörs av skärningen mellan meridianplanet genom Greenwich (observatorium utanför London, se avsnitt 3.3.2) och ekvatorplanet, medan Y-axeln väljs med riktning enligt figur 3.2 så att ett så kallat högersystem erhålls. En fördel med tredimensionella kartesiska koordinater är att de är enkla att förklara. En klar nackdel är att ingen av axlarna har någon koppling till jordytan, vilket gör koordinaterna svårtolkade och direkt olämpliga för de flesta tillämpningar, exempelvis för att göra en karta. Det är således väl motiverat att introducera en annan typ av koordinater, som bättre beskriver en punkts läge i förhållande till jordytan. © F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r
63
p
Y
X Figur 3.2 Tredimensionellt kartesiskt koordinatsystem med
axlarna X, Y och Z. Punkten p har koordinaterna Xp , Yp och Zp.
3.3.2 Jordellipsoiden och geodetiska koordinater Vi behöver alltså ett koordinatsystem som uttrycker läget i förhållande till jordens yta. För att ange det horisontella läget behövs två koordinater som beskriver läget längs en utvald referensyta. Tyvärr är jordytan i sig alltför komplicerad för att användas som referensyta för lägesangivelse. I stället används en enklare så kallad jordmodell, som nära approximerar jordens form. Ett krav är att jordmodellen är så enkel i sin matematiska form att den tillåter beräkningar av horisontella lägen. Jorden sägs ofta vara rund: som en första approximation kan den betraktas som en sfär. I verkligheten är den dock aningen avplattad vid polerna, tillräckligt mycket för att en sfär inte ska duga för att ange horisontella lägen. Den jordmodell som därför har kommit att användas i stället är en så kallad rotationsellipsoid, vilken bildas genom att låta en ellips rotera runt sin lillaxel (se figur 3.3). Denna yta kallas också ofta för jordellipsoid, referensellipsoid eller bara ellipsoid. Vanligtvis förutsätter man att jord ellipsoidens lillaxel sammanfaller med Z-axeln i det tredimensionella kartesiska systemet, vilket illustreras i figur 3.3. Halva storaxeln betecknas
64
KAPITEL 3 Referenssystem och kartprojektioner
här med a och halva lillaxeln med b. Följande formel uttrycker jordellipsoidens yta i matematisk form: X2 + Y2 a 2
+
z2 = 1 b2
(3.1)
vilken uppfyller kravet att vara en enkel mate matisk yta. För att ange storleken på jord ellipsoiden krävs två oberoende kvantiteter. I vissa sammanhang används halva storaxeln a och halva lillaxeln b, men det är vanligare att använda halva storaxeln a tillsammans med avplattningen f, som definieras: f =
a–b a
(3.2)
Med en jordellipsoid kan havsytan och dess tänkta förlängning under kontinenterna (jfr avsnitt 3.3.3) approximeras mycket bättre än med en sfär. Den maximala avvikelsen minskar från ca 10 kilometer till under 100 meter när sfären byts ut mot en jordellipsoid. Det är dock inte självklart att stanna vid att använda en jord ellipsoid. Genom att ytterligare komplicera ytan kan man minska avvikelserna ännu mer. Priset för detta är dock att alla beräkningar blir mer komplicerade. Man har därför valt att använda jordellipsoiden för lägesangivelser och andra geodetiska tillämpningar. Z
b
a
a
Y
X Figur 3.3 Jordellipsoiden med halva storaxeln a och
halva lillaxeln b.
Att jorden är avplattad vid polerna har varit känt sedan länge. Redan i slutet av 1600-talet gjordes mätningar för att lösa den vetenskapliga tvisten om huruvida jorden är avplattad vid polerna eller vid ekvatorn. Dessa geo detiska mätningar utfördes både nära nordpolen (Tornedalen i Sverige) och ekvatorn (Peru). Alltsedan det blev känt att jorden är avplattad vid polerna har geodeter försökt bestämma så bra jordellipsoider som möjligt. Att jorden är avplattad är en följd av dess rotation. Betraktat över långa tidsrymder beter sig jorden som en mycket trögflytande vätska, vilket gör att centri fugalkraften under lång tid kan deformera jorden på detta karaktäristiska vis. Halva storaxeln a, halva lillaxeln b och den inversa avplattningen 1/f listas i tabell 3.1 för ett antal vanliga jordellipsoider. Som synes har storleken och formen på jordellipsoiderna varierat genom åren. Det beror på att de geodetiska mätningar som använts för att bestämma ellipsoiderna har varit behäftade med fel (mätfel) och på att mätningarna inte varit jämnt fördelade över hela jorden. Den för närvarande mest använda ellipsoiden är den internationellt rekommenderade GRS 80, som har bestämts med satellitmetoder. Den sammanfaller inom en millimeter med ellipsoiden WGS 84, som är den jordellipsoid som används för GPS (Global Positioning System). PZ-90 är motsvarigheten för det ryska satellitsystemet Glonass. I Sverige användes ändå fram till och med 2006 Bessels ellipsoid från 1841 för den allmänna kartläggningen. Clarkes ellipsoid används i USA och Krassovskys ellipsoid i det forna Sovjetunionen och alla före detta öststatsländer. Hayford var tidigare den internationella ellipsoiden och hade då samma status som GRS 80 har i dag. Den internationella trenden är för närvarande att byta till att använda GRS 80, men långt ifrån alla länder har ännu (2019) tagit detta steget. Jordellipsoiden antas ligga fixerad i förhållande till det kartesiska systemet med sitt centrum sammanfallande med origo och lillaxeln utefter © F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r
KAPITEL 3 Referenssystem och kartprojektioner
65
Tabell 3.1 Några vanliga jordellipsoider.
Jordellipsoid
Halva storaxeln (m)
Halva lillaxeln b (m)
1/avplattning (1/f)
Bessel 1841
6 377 397,155
6 356 078,963
299,1528128
Clarke 1866
6 378 206,4
6 356 583,800
294,9786982
Hayford 1910
6 378 388,0
6 356 911,946
297,0
Krassovsky 1940
6 378 245,0
6 356 863,019
298,3
PZ-90
6 378 136,0
6 356 751,362
298,257839303
GRS 80 (WGS 84)
6 378 137,0
6356752,314
298,257222101
Z-axeln enligt figurerna 3.3 och 3.4. Skärningskurvan mellan ett plan genom Z-axeln och ellips oiden kallas för en meridian, medan skärningskurvan mellan ett plan vinkelrätt mot Z-axeln och ellipsoiden kallas för en parallellcirkel. Den parallellcirkel som bildas av XY-planets skärning med ellipsoiden är ekvatorn. Dessa tre begrepp illustreras i figur 3.4. Nätet av parallellcirklar och meridianer kallas för gradnätet. Det horisontella läget på jordellipsoiden för en punkt P anges med hjälp av longituden (λ) och latituden (ϕ). Longituden är vinkeln mellan meridianen för P och den konventionella nollmeridianen genom Greenwich (se figur 3.4). En ellipsoidnormal är en linje som är vinkelrät mot ellipsoidens yta. Latituden ϕ
är vinkeln mellan ellipsoidnormalen för P och ekvatorplanet. Observera att ellipsoidnormalen inte går igenom centrum av jordellipsoiden. För att få läget i tre dimensioner behövs ytterligare en koordinat. Det är här naturligt att välja höj den över ellipsoiden h, som är avståndet längs ellipsoidnormalen mellan ellipsoidens yta och P. Koordinaterna latitud ϕ, longitud λ och höjd över ellipsoiden h kallas för geodetiska koordinater. Ibland används termen geogra fiska koordinater. Med geodetiska koordinater kan man uttrycka exakt samma sak som med de kartesiska motsvarigheterna i avsnitt 3.3.1. Eftersom ellipsoidens storlek och form är känd, går det att transformera (beräkna) mellan systemen enligt:
ϕ
λ
© F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r
Figur 3.4
Gradnätet, tredimensionella kartesiska koordinater (X, Y, Z) och geodetiska koordinater (ϕ, λ, h).
66
KAPITEL 3 Referenssystem och kartprojektioner
X = (N + h)cosϕ cos λ Y = (N + h)cosϕ sin λ Z = (N (1 – e2)+ h)sin ϕ
(3.3)
där den första excentriciteten e kan beräknas ur avplattningen med e2 = 2f – f 2 och N är den så kallade tvärkrökningsradien, som ges av: a N = √1 – e2 sin2 ϕ
(3.4)
En viktig slutsats av dessa formler är att det är möjligt att räkna fram och tillbaka mellan X, Y, Z och ϕ, λ, h med enkla matematiska formler. Geodetiska och tredimensionella kartesiska koordinater är dock inte jämförbara när det gäller överskådlighet och användbarhet. Det är mycket lättare att tolka geodetiska koordinater eftersom de separerar läget i horisontal- och vertikalled.
3.3.3 Geoidhöjd och höjd över havet Låt oss nu titta närmare på höjden. Av de geodetiska koordinaterna ϕ, λ, h, är det höjden över ellipsoiden h som anger läget i vertikalled. Vanligen används dock inte höjden över ellips oiden för höjdangivelser, utan höjden över geo iden, som mer vardagligt även brukar kallas för höjden över havet. Geoiden definieras som den ekvipotentialyta (nivåyta) i jordens tyngdkraftsfält som så bra som möjligt ansluter till havsytans medelnivå. Eftersom densiteten för jordens massor inte är lika stor överallt, varierar både tyngdkraften och tyngdkraftspotentialen med läget. En ekvipotentialyta är en yta med konstant lägesenergi (potential), vilket innebär att en stillastående, och i övrigt opåverkad, vatteny ta kommer att sammanfalla med en sådan yta. Förenklat kan man se geoiden som havsytan och dess tänkta förlängning in under kontinenterna. Vi använder alltså begreppet höjden över havet som synonym till höjden över geoiden, även fast det i strikt mening alltid borde heta höjden över geoiden. Det finns i huvudsak tre anledningar till
att det är lämpligt att använda geoiden som referens för höjdangivelser. För det första används höjdangivelser ofta för att på något sätt hålla reda på hur vattnet rinner. Ska till exempel ett avloppsrör byggas i ett flackt område är det viktigt att se till att vattnet verkligen rinner i rätt riktning, vilket kräver noggrann höjdbestämning. Används geoiden som höjdreferens rinner vattnet alltid från högt till lågt (detta är inte fallet om man använder höjden över ellipsoiden h). Den andra anledningen är att det känns naturligt att höjden för havsytan är noll (bortsett från havets variationer). Den tredje är att den noggrannaste höjdbestämningsmetoden avvägning (förklaras i avsnitt 4.8.5) resulterar i höjdskillnader relativt geoiden. Höjden i förhållande till geoiden betecknas med H (se figur 3.5). Geoidhöjden N är avståndet mellan ellipsoiden och geoiden. Genom att studera figuren inser man att följande samband råder:
h = N + H
(3.5)
Geoiden är en komplicerad yta som inte kan uttryckas med någon enkel matematisk formel. Den är trots det förhållandevis slät och avviker maximalt ungefär ±100 meter från en globalt anpassad jordellipsoid (jfr figur 3.12). En geoidmodell är en modell för hur geoidhöjden varierar. Med en sådan modell kan transformation göras mellan höjden över ellipsoiden h och höjden över havet H.
3.4 Kartprojektioner I avsnitt 3.3 visades att latitud ϕ och longitud λ används för att uttrycka det horisontella läget. Latitud och longitud har nackdelen att de anges i förhållande till en buktig yta (jordellipsoiden). Ska till exempel en karta ritas ut på papper eller visas på en dataskärm, måste den buktiga ytan först räknas om till ett plan. Detta görs med en kartprojektion. Eftersom kartprojektioner är ett © F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r
KAPITEL 3 Referenssystem och kartprojektioner
h
67
H N
Figur 3.5
Geoidhöjden N, höjden över havet H och höjden över ellipsoiden h.
stort ämne i sig, som dessutom är mycket viktigt i ett geografiskt informationssystem, behandlas kartprojektioner separat i detta avsnitt.
3.4.1 Introduktion I en kartprojektion projiceras latituden ϕ och longituden λ på ett plan, i vilket ett plant, tvådimensionellt kartesiskt koordinatsystem N, E (North, East) är definierat. Matematiskt kan alla kartprojektioner uttryckas på följande vis: N = fN (ϕ,λ) E = fE (ϕ,λ)
(3.6)
där f N (ϕ,λ) och f E (ϕ,λ) är matematiska funktioner. På samma sätt som det är möjligt att gå fram och tillbaka mellan koordinatsystemen X, Y, Z och ϕ, λ, h med matematiska formler, är det möjligt att räkna mellan ϕ, λ och de plana kartesiska koordinaterna N, E. Förutsatt ett referenssystem med en viss placering av jordellipsoiden (det tredimensionella kartesiska systemets axlar), kan det horisontella läget uttryckas med antingen ϕ, λ eller N, E. Detta innebär inte att alla kartprojektioner avbildar på samma sätt, utan bara att det går att räkna mellan koordinatsystemen med exakta formler. Det är tyvärr omöjligt att konstruera en perfekt kartprojektion; alla kartprojektioner innebär någon form © F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r
av deformation. Att det är teoretiskt omöjligt kan visas matematiskt, men också enkelt illustreras genom att försöka platta till en buktig yta utan att deformera den. Försök till exempel platta till skalet på en apelsin utan att det deformeras eller spricker upp! Olika kartprojektioner har olika egenskaper, vilka diskuteras vidare i avsnitt 3.4.3. Figur 3.6 visar ett exempel på en kartprojektion, nämligen den svenska projektionen Sweref 99 TM, som betecknar en av de projektioner (med bestämda parametrar) som ingår i referenssystemet Sweref 99 (se avsnitt 3.5.1). Något förenklat kan principen förklaras på följande sätt: Ett papper lindas runt jorden så att man får en cylinder, som tangerar ellipsoiden längs den så kallade medelmeridianen. Om man sedan projicerar varje punkt på ellipsoiden längs linjer från ellipsoidens centrum och därefter klipper upp papperet, är resultatet det plana kartesiska koordinatsystemet till höger. Observera särskilt i figur 3.6 att gradnätet (se avsnitt 3.3.2) inte avbildas som ett rektangulärt rutnät i projektionsplanet. Symboliskt kan alla kartprojektioner skrivas med matematiska funktioner enligt formel 3.6. Vi vill i detta kapitel få läsaren att förstå principerna, utan att beskriva den bakomliggande matematiken. För att förenkla framställningen kommer vi endast att behandla hur en sfär kan
68
KAPITEL 3 Referenssystem och kartprojektioner
Figur 3.6 Kartprojektionen Sweref 99 TM, som är en Transversal Mercatorprojektion med bestämda parametrar
för användning i referenssystemet Sweref 99. Latitud ϕ och longitud λ projiceras till plana koordinater N, E.
avbildas på ett plan och benämna denna sfär jor den. I mer strikt mening är det inte sfären utan jordellipsoiden som avbildas på kartan, men det görs i princip på ett liknande sätt.
3.4.2 Olika typer av kartprojektioner Benämningen kartprojektion antyder att den sfäriska jordytan på något sätt projiceras på en tvådimensionell yta (kartplanet). Det finns tre grundläggande typer av projektioner (se figur 3.7). Azimutala kartprojektioner: I detta fall läggs ett tänkt plan så att det tangerar jordklotet i en viss punkt. Dessutom tänker man sig ett projektionscentrum, till exempel i jordens mittpunkt eller i nadirpunkten till tangeringspunkten (dvs. punkten på andra sidan jorden; till exempel är Sydpolen nadirpunkten till Nordpolen). Därefter kan punkter på jordytan projiceras till detta plan genom att från projektionscentrum rita linjer genom dessa punkter (se figur 3.8). Man kan göra tankeexperimentet att placera en lampa i projektionscentrum och sedan observera var enstaka ljusstrålar träffar planet.
I figur 3.7a illustreras att om tangeringspunkten läggs i en av polerna och projektionscentrum i motsatta polen eller i jordens mittpunkt, kommer meridianerna att bilda räta linjer som strålar ut från centrum och parallellcirklarna att bli ett system av koncentriska cirklar som har olika inbördes avstånd beroende på ljuskällans placering. Deformationerna är minst närmast tangeringspunkten. Koniska kartprojektioner: Denna projektionstyp bygger på att en tänkt kon läggs över jordklotet. Om konen tangerar en parallellcirkel erhålls koncentriska parallellcirklar (jfr figur 3.7b). Denna projektion anses väl lämpad för att användas vid högre latituder, och deformationerna är minst nära den parallellcirkel där konen tangerar jorden, den så kallade standardparallellen. Cylindriska kartprojektioner: Det finns två huvudtyper av cylindriska kartprojektioner. En normal cylinderprojektion bygger på en stående cylinder vars symmetriaxel sammanfaller med jordens rotationsaxel (cylindern tangerar då ekvatorn). Meridianerna bildar här räta lin© F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r
KAPITEL 3 Referenssystem och kartprojektioner
a.
a.
b.
b.
c.
c.
Figur 3.7(a–c) Tre sätt att avbilda en sfärisk yta på ett plan:
(a) azimutal, (b) konisk och (c) cylindrisk projektion. Till vänster visas hur de geometriska figurerna ligger i förhållande till jorden vid projiceringen, och till höger visas hur meridianer och parallellcirklar kommer att avbildas på planet. Källa: Baserad på Ussisoo 1977.
Tangeringspunkt
jer med konstant avstånd från varandra och parallellcirklarna blir räta linjer vinkelrätt mot meridianerna (se figur 3.7c). För en transversal cylinderprojektion är cylindern liggande med en symmetriaxel vinkelrät mot jordens rotationsaxel (figur 3.9). Vid den transversala cylinderprojektionen tangerar cylindern en meridian, vilken brukar benämnas medelmeridian (se figur 3.6 och 3.9). Deformationerna blir minst i närområdet av där cylindern tangerar jorden. Ovan har kartprojektioner behandlats som projiceringar eller perspektiviska avbildningar. Att jordklotet projiceras på kartplanet innebär då att en rät linje kan dras mellan alla korresponderande punkter på klotets yta och kartplanet och att alla dessa linjer skär varandra i en och samma punkt (projektionscentrum). Detta blir exempelvis fallet då en lampa projicerar alla punkter enligt figur 3.8. Projiceringar är enkla att förstå och konstruera, men har ofta inte någon av de egenskaper som eftersträvas (se avsnitt 3.4.3). Detta motiverar att man gör små avsteg ifrån strikta projiceringar när en kartprojektion konstrueras. I figur 3.9 avbildas punkten a på jordytan på punkten A i kartplanet. Här har man gjort ett avsteg ifrån en sann projicering; linjen gör en liten riktningsändring vid jord ytan. Storleken på riktningsändringen bestäms matematiskt utifrån de önskade egenskaperna hos kartprojektionen.
Jordens mittpunkt
Nadirpunkt till tangeringspunkten
Figur 3.8 Azimutal projektion, där jordens
Figur 3.9 Transversal cylinderprojektion.
mittpunkt är projektionscentrum.
Se texten för förklaringar.
© F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r
69
70
KAPITEL 3 Referenssystem och kartprojektioner
Kartprojektionsparametrar En kartprojektion definieras entydigt med hjälp av ett antal numeriska parametrar. Till exempel behövs två parametrar för att placera in en liggande cylinder i förhållande till jordellipsoiden, medan två andra parametrar utnyttjas för att bestämma hur det tvådimensionella koordinatsystemet ska placeras i projektionsplanet. Exakt vilka parametrar som används och hur de definieras beror på den aktuella kartprojektionen. I avsnitt 3.4.4 diskuteras projektions parametrarna för den mycket vanliga projektionen Transversal Mercator.
3.4.3 Egenskaper hos kartprojektioner I många tillämpningar önskas som sagt att kartprojektionen ska ha vissa speciella egenskaper. De viktigaste av dessa är: ■ Vinkelriktighet (konformitet): I en
vinkelriktig kartprojektion bevaras vinklar i skärningspunkten mellan linjer som korsar varandra. Exempelvis ska vinkeln i korsningen mellan en väg och en järnväg vara lika stor på kartplanet som i verkligheten. Även formen på små objekt bevaras. Vinkelriktighet är numera den viktigaste egenskapen för de flesta kartorna. Alla grundläggande geografiska data i Sverige (avsnitt 2.2.1) baseras på vinkelriktiga projektioner. ■ Ytriktighet: I en ytriktig kartprojektion bevaras objektens area. Detta är en viktig egenskap för att kunna relatera storleken på olika geografiska områden till varandra. Ytriktiga kartprojektioner används ofta för världskartor och andra småskaliga kartor. Det går inte att kombinera vinkelriktighet och ytriktighet samtidigt. Detta skulle innebära en perfekt avbildning, och som tidigare nämnts är inte detta principiellt möjligt. Dessutom brukar längdriktighet användas
som en eftersträvansvärd egenskap, vilket innebär att längden på enstaka linjer bevaras i kartprojektionen. Observera att det bara är enstaka linjer som kan bli längdriktiga, vilket gör att egenskapen inte bör jämställas med vinkeloch ytriktighet. Till exempel avbildar vissa projektioner en meridian längdriktigt. Att avbilda alla linjer längdriktigt är principiellt omöjligt eftersom det är lika med en perfekt avbildning. Det går däremot att kombinera längdriktighet längs enstaka linjer med vinkelriktighet eller ytriktighet.
3.4.4 Några vanliga kartprojektioner Mercators projektion (vinkelriktig) Den mest kända normala cylindriska projektionen är Mercators projektion, som introducerades av Gerardus Mercator (1512–94). Här kan cylindern ställas antingen så att den tangerar ekvatorn, då blir skalan riktig längs ekvatorn, eller så att den skär igenom jorden och tangerar två parallellcirklar. Meridianerna blir räta linjer med lika avstånd från varandra, och parallellcirklarna blir räta linjer, vinkelräta mot meridianerna, men med ojämna avstånd sinsemellan (jfr figur 3.7c). Mercators projektion är utmärkt för klassisk navigation, eftersom den är vinkelriktig samt avbildar loxodromerna som räta linjer. En loxodrom är en linje med konstant azimut, dvs. den skär alla meridianer med samma vinkel. Mercators projektion avbildar områden i närheten av polerna som mycket större än områden nära ekvatorn. Det gör att man lätt får ett felaktigt intryck av geografiska områdens relativa storlek (se figur 3.10).
Gauss-Krügers projektion (vinkelriktig) Den transversala Mercatorprojektionen är en vinkelriktig transversal cylinderprojektion (jfr figurerna 3.6 och 3.9) som är utmärkt för nord-sydliga områden vilka inte sträcker sig alltför långt från medelmeridianen. Den introducerades för sfären av Johann Lambert (1728–77) och för ellipsoiden av Carl Friedrich © F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r
KAPITEL 3 Referenssystem och kartprojektioner
Gauss (1777–1855). Den vidareutvecklades av L. Krüger (1912). Den är därför även känd som Lamberts projektion för en sfär och som GaussKrügers eller Gauss konforma projektion för en ellipsoid. Projektionen är vinkelriktig. Fyra parametrar behövs för att definiera en GaussKrügerprojektion, nämligen: ■ medelmeridianens longitud; ■ förstoringsfaktorn (eller skalfaktorn längs
medelmeridianen);
■ koordinattillägg i N-led (nord-sydlig
riktning). Om tillägget är noll är N = 0 vid ekvatorn (se figur 3.6); ■ koordinattillägg i E-led (öst-västlig riktning). Om tillägget är noll är E = 0 vid medelmeridianen. I figur 3.6 används E = 500 000 meter (se tabell 3.2). Tilläggen väljs vanligtvis för att få positiva koordinatvärden överallt.
UTM (vinkelriktig) Universal Transversal Mercator (UTM) introducerades av det amerikanska försvaret 1947 i syfte att upprätta ett enhetligt projektionssystem för kartor över hela jordklotet. Jorden delas in i 60 zoner om 6° longitud var, mellan latituderna 84° N och 80° S. Zonernas numrering startar vid datumgränsen (180° E) och zonerna numreras österut, vilket gör att Sverige ligger i zonerna 32–35. Varje zon avbildas sedan med Gauss-Krügers projektion, med definierade parametrar för varje zon. UTM använder förstoringsfaktorn 0,9996, vilket innebär att medelmeridianen avbildas med en skalreduktion av 400 mm/km (1 000 m avbildas som 999,600 m). Anledningen till detta val är att de maximala värdena på projektionsfelen blir mindre för en viss zonbredd jämfört med om en längdriktig medelmeridian utnyttjats. För områdena i närheten av polerna används projektionen Uni versal Polar Stereographic (UPS), vilken är en vinkelriktig, azimutal projektion med projek© F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r
71
tionscentrum i tangeringspunktens nadirpunkt (dvs. när tangeringspunkten är Nordpolen ligger projektionscentrum i Sydpolen och vice versa).
Lamberts koniska konforma projektion (vinkelriktig) En vanlig vinkelriktig projektion lämplig för områden utsträckta i öst-västlig riktning och i närheten av polerna är Lamberts koniska konforma projektion. Den presenterades av Lambert 1772 med formler för både sfären och ellipsoiden. Projektionen är normal (jfr figur 3.7b). Vanligen skär konen jorden längs två parallellcirklar, vilka avbildas längdriktigt och kallas för standardparalleller. Som ett specialfall kan konen tangera jorden längs bara en standardparallell. Standardparallellerna väljs vanligtvis så att skalförändringen blir så liten som möjligt över hela området i fråga.
Mollweides projektion (ytriktig) En av de vanligaste ytriktiga projektionerna är Mollweides projektion. Den förekommer ofta i till exempel atlaser. Mollweide är inte strikt en cylinderprojektion, men har vissa egenskaper gemensamma med dessa (den kallas därför för pseudocylindrisk). Projektionen avbildar ekvatorn som en horisontell linje, och medelmeridianen som en lodrät linje med halva ekvatorns längd (figur 3.10).
Lamberts azimutala ytriktiga projektion Lamberts azimutala ytriktiga projektion är ytterligare en av de projektioner som Lambert presenterade 1772. Man låter här det azimutala projektionsplanet tangera jorden i en lämplig punkt, till exempel mitt i det område som ska karteras. Projektionen görs så att skalan mins kar i den radiella riktningen (dvs. bort från tangeringspunkten) när avståndet från tangeringspunkten ökar, samtidigt som skalan ökar i motsvarande grad i den motsatta riktningen (jfr figur 3.11). Eftersom en ytriktig projektion bevarar arean, behöver skalminskningen
72
KAPITEL 3 Referenssystem och kartprojektioner
i den radiella riktningen kompenseras av en lika stor skalökning i den motsatta riktningen, i varje punkt. Utöver dessa kartprojektioner finns ett stort antal projektioner för speciella syften. För ingående beskrivningar av dessa hänvisas läsaren till speciallitteraturen (se lästipsen nedan).
3.4.5 Kartprojektioner i Sverige Det finns kartprojektioner för de mest skiftande tillämpningar och för att välja en kartprojektion bör man ställa sig följande frågor: Hur stort är området som ska avbildas? Är området utsträckt i nord-sydlig eller öst-västlig riktning? Vilka egenskaper ska kartprojektionen ha? Ska den vara vinkelriktig eller ytriktig? Figur 3.10 illustrerar att avbildningen kan variera högst betydligt, beroende på vald projektion. Det är därför viktigt att välja projektion med omsorg. Figur 3.10 Världen avbildad med Mercators projektion
(vinkelriktig) ovan och med Mollweides projektion (ytriktig) nedan. Källa: Data från ESRI.
Figur 3.11
Projektion enligt Lamberts azimutala ytriktiga projektion för det fall tangeringspunkten är vid Nordpolen. De röda cirklarna/ellipserna visar hur en cirkel avbildas. Projektionen är felfri bara vid tangeringspunkten (Nordpolen i detta fall).
© F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r
KAPITEL 3 Referenssystem och kartprojektioner
Låt oss nu diskutera vilken kartprojektion som är lämplig i Sverige under förutsättning att den ska vara vinkelriktig (konform). Vinkel riktighet är en viktig egenskap för att formen på små objekt (hus, tomter etc.) inte ska förändras, vilket också innebär att motsvarande vinklar i kartplanet är lika stora som samma vinklar i verkligheten. Egentligen har en konform projektion denna egenskap bara för infinitesimalt (försumbart) små objekt, men även för ganska stora strukturer råder ungefärlig vinkelriktighet. För Sverige bör vidare en projektion med små deformationer för områden utsträckta i nord-sydlig riktning användas. En sådan projektion är till exempel en transversal cylinderprojektion, där jorden avbildas på en liggande cylinder (se figur 3.6 och 3.9). Deformationen är relativt liten nära medelmeridianen, vilket är fördelaktigt för områden som har nordsydlig utbredning. Eftersom vinkelriktighet är ett krav, är det alltså lämpligt att använda en vinkelriktig, transversal cylinderprojektion. En sådan kartprojektion är Gauss-Krügers projektion (transversal Mercator), som används som standardprojektion för både det gamla svenska referenssystemet RT 90 och för den nya motsvarigheten Sweref 99. (Dessa projektioner diskuteras i anslutning till beskrivningen av respektive referenssystem i avsnitt 3.5.) Eftersom avstånden från medel meridianen aldrig blir särskilt stora inom Sveriges gränser, går det vanligtvis bra att använda Gauss-Krügers projektion för både småoch storskaliga tillämpningar. Projektionen är ganska nära ytriktig i hela landet, vilket gör att den även fungerar hyfsat för de flesta tillämpningar som kräver ytriktighet.
3.4.6 Kartprojektioner i Europa För Europa blir läget ett annat eftersom kontinenten är betydligt utsträckt även i öst-västlig riktning. För gemensamma, paneuropeiska tillämpningar är det ingen god idé att använda en gemensam transversal cylinderprojektion. Skalfelen och deformationerna skulle bli all© F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r
73
deles för stora. Precis som på nationell nivå i Sverige finns dock fortfarande ett behov av vinkelriktighet, även för småskaliga paneuropeiska tillämpningar över större områden. Samtidigt finns det andra tillämpningar som kräver ytriktighet, t.ex. rumslig analys och presentation av administrativa statistiska databaser. Ett exempel här är att skapa ett regelbundet rutnät (raster) med antalet hackspettar per ruta, vilket sedan presenteras och analyseras. Det är då förstås bra om alla rutor täcker lika stor yta. Det är tyvärr inte möjligt att hitta en kartprojektion som uppfyller alla dessa krav sam tidigt. Inom Inspire-direktivet (se avsnitt 2.6.2) har man löst detta genom att specificera olika typer av kartprojektioner för olika typer av pan europeiska kontinentala tillämpningar: ■ För rumslig analys och presentation
som kräver ytriktighet ska Lamberts azimutala ytriktiga projektion användas, med tangeringspunkten på latituden 52° N och longituden 10° E (ungefär mitt i Tyskland). ■ För småskalig vinkelriktig kartläggning (skalor mindre än 1:500 000) ska Lamberts koniska konforma projektion användas, med standardparallellerna på latituderna 35° N och 65° N. ■ För storskalig vinkelriktig kartläggning (skalor större än 1:500 000) ska Gauss– Krügers projektion (transversal Mercator) i form av UTM med lämplig zon användas. Det kan nämnas att ett standardiserat europeiskt geografiskt rutnätssystem (indexsystem) har skapats i Lamberts azimutala ytriktiga projektion med tangeringspunkten enligt punktlistan ovan. Det används framför allt för statiska databaser och liknande tillämpningar där ytriktighet är av vikt (jfr avsnitt 3.5.3), t.ex. för den europeiska datamängden Corine (marktäckedata).
Bokens redaktör Lars Harrie, är professor vid Institutionen för naturgeografi och ekosystemvetenskap, Lunds universitet. Han forskar och undervisar om metoder för geografisk informationsbehandling, speciellt inom kartografi, stadsmodeller och algoritmutveckling. Övriga författare är Wolter Arnberg, Lars Eklundh, Nicklas Guldåker, Hans Hauska, Dan Klang, Karin Larsson, Fredrik Lindberg, Gunhild Lönnberg, Håkan Olsson, Jesper Paasch, Petter Pilesjö, Ewa Rannestig, Bengt Rystedt, Ulf Sandgren, Hanna Stigmar, Per Svensson Alexander Walther, Christina Wasström och Jonas Ågren, alla verksamma inom universitet och högskola, kommun och lantmäteri.
GEOGRAFISK INFORMATIONSBEHANDLING
TEORI, METODER OCH TILLÄMPNINGAR
Geografisk informationsbehandling baseras på insamling, lagring, analys och visualisering av geografiska data. Denna indelning utgör också grunden för bokens disposition. Boken är i första hand avsedd för introducerande kurser vid universitet och högskolor men vissa delar är lämpliga även på avancerad nivå. Den är också utmärkt för yrkesverksamma inom GIS som vill öka sina teoretiska kunskaper. Boken innehåller både teoretiska och praktiska delar, där de senare beskriver tillämpningar som exempelvis samhällsplanering, miljöövervakning och kommersiella tjänster. I insamlingsdelen beskrivs hur man anger en position genom att koppla ett koordinatsystem till jordytan. Därefter beskrivs de vanligaste metoderna att samla in geografiska data som satellitbaserade positioneringssystem, flygfotografering, satellitbaserad fjärranalys och laserskanning. Lagringsdelen behandlar hur dessa data lagras i databaser och distribueras via webben. Analysdelen innehåller beskrivningar av de vanligaste analysmetoderna samt kvalitetsfrågor. Resultatet av en geografisk analys visualiseras oftast i form av kartor, vilket är temat för den sista delen av boken. Denna sjunde upplaga har uppdaterats med nya aktuella tillämpningsexempel. Dessa är i denna upplaga beskrivna tillsammans med de teoretiska beskrivningarna för att stärka kopplingen mellan teori och tillämpningar. Dessutom har beskrivningen av webbtillämpningar utökats och utgör nu ett eget kapitel, och även texten om webbvisualiseringar har stärkts i kartografikapitlet. Vidare har det tillkommit beskrivningar av nya mättekniker samt texter om lagring, analys och visualisering av 3D geografiska data.
GIS-CENTRUM LUNDS UNIVERSITET
studentlitteratur.se
Art.nr 36386