Page 1

GEOGRAFISK INFORMATIONSBEHANDLING TEORI, METODER OCH TILLÄMPNINGAR

Lars Harrie (red.)


Denna titel har tidigare givits ut av Formas och utges från och med femte upplagan av Studentlitteratur AB.

  Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access. Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Studentlitteratur har både digital och traditionell bok­utgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 36386 ISBN 978-91-44-13174-0 Upplaga 7:1 © Författarna och Studentlitteratur 2012, 2020 studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Omslagslayout: Francisco Ortega Omslagsbild: Kartdata från Lunds kommun Illustratör om ej annat anges: Lilian Johansson Printed by GPS Group, Austria 2020


3

INNEHÅLL

Förord  13 Författarpresentation  15 INTRODUK TION

1.  Introduktion till geografisk informations­behandling  19 L a r s H a r r i e & L a r s E k lu n dh 1.1 Inledning 21 1.2 Tillämpningar inom geografisk informationsbehandling  22 1.2.1 Användning av geografisk informationsbehandling  22 1.2.2 Tillämpningsområden för geografisk informationsbehandling  23 1.2.3 Värdet av geografisk informationsbehandling  25 1.3 Geografiska data  26 1.3.1 Konceptuella modeller av verkligheten  26 1.3.2 Egenskaper hos geografiska data  28 1.3.3 Terminologi 30 1.4 Programvaror för geografisk informationsbehandling  31 1.4.1 GIS-program 31 1.4.2 Andra programvaror inom geografisk informationsbehandling  32 1.4.3 Kommersiella och öppna program  33 1.5 Geografisk informationsbehandling – i går och i dag  33 1.6 Bokens syfte  35 1.7 Bokens struktur  35 1.7.1 Läsanvisningar 36 1.8 Lästips 36

©  F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r


4 

Innehåll

2.  Infrastruktur för geografiska data  39 U l f S a n d gr e n, E wa R a n n e s t ig, C h r i s t i na Wa s s t röm & J e spe r M . Pa a s c h 2.1 Inledning 41 2.2 Vilka geografiska data finns?  43 2.2.1 Geografiska data från svenska myndigheter  43 2.2.2 Exempel på globala och europeiska geografiska myndighetsdata  46 2.2.3 Exempel på kommersiella geografiska data  46 2.2.4 Exempel på användarskapade geografiska data  46 2.3 Hur får jag tag på geografiska data?  48 2.3.1 Metadata 48 2.3.2 Geodataportaler   49 2.3.3 Öppna data  50 2.4 Hur får jag använda geografiska data?  51 2.4.1 Upphovsrätt och licensfrågor  51 2.4.2 Integritet och säkerhet vid behandling av data  51 2.5 Standarder, specifikationer och riktlinjer  52 2.5.1 Vad är en standard?  52 2.5.2 Behovet av standarder för geografisk information  53 2.5.3 Organisation av standardiseringsarbetet  53 2.5.4 Hierarki av standarder  54 2.6 Samordning av geografiska data  55 2.6.1 Den svenska infrastrukturen för geografiska data  55 2.6.2 Inspire-direktivet 55 2.6.3 Copernicus, GEO och UN-GGIM  57 2.7 Lästips 57 INSAMLING

3.  Referenssystem och kartprojektioner  59 Jona s Ågr e n & H a n s H ausk a 3.1 Inledning 61 3.2 Att ange ett läge på jorden  61 3.3 Koordinater och koordinatsystem  63 3.3.1 Tredimensionella kartesiska koordinater  63 3.3.2 Jordellipsoiden och geodetiska koordinater  63 3.3.3 Geoidhöjd och höjd över havet  66 3.4 Kartprojektioner 66 3.4.1 Introduktion 67 3.4.2 Olika typer av kartprojektioner  68

©  F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r


Innehåll  

3.4.3 Egenskaper hos kartprojektioner  70 3.4.4 Några vanliga kartprojektioner  70 3.4.5 Kartprojektioner i Sverige  72 3.4.6 Kartprojektioner i Europa  73 3.5 Geodetiska referenssystem  74 3.5.1 Globalt anpassade tredimensionella referenssystem  74 3.5.2 Regionalt anpassade tvådimensionella referenssystem  77 3.5.3 Rutnätssystem 78 3.5.4 Höjdsystem 78 3.5.5 Landhöjningen 80 3.5.6 Geoidmodeller 81 3.5.7 Byte från kommunala till nationella referenssystem  82 3.6 Koordinattransformationer 82 3.6.1 Analytisk koordinattransformation  82 3.6.2 Empirisk koordinattransformation  83 3.7 Lästips 84

4.  Insamling av geografiska data  85 L a r s E k lu n dh, Jona s Ågr e n, H å k a n Ol s s on, L a r s H a r r i e & Da n K l a ng 4.1 Inledning 87 4.2 Insamling av attributdata  87 4.3 Fjärranalys och fotogrammetri  88 4.3.1 Så fungerar fjärranalys  88 4.3.2 Sensorer för fjärranalys  91 4.4 Satellitbaserad fjärranalys  93 4.4.1 Fjärranalysbilder 93 4.4.2 Fjärranalyssatelliter 93 4.4.3 Förbearbetning av satellitbilder  98 4.5 Flygbilder och fotogrammetri  98 4.5.1 Flygbilder 99 4.5.2 Ortofoto 102 4.5.3 Georeferering av flygbilder  102 4.5.4 Digital fotogrammetri  103 4.5.5 Fotogrammetriska produkter  103 4.5.6 Bilder från drönare  105 4.6 Analys av fjärranalysdata  106 4.6.1 Manuell bildtolkning   106 4.6.2 Datorklassning av multispektrala bilder  107 4.6.3 Att skatta kvantitativa egenskaper med fjärranalys  109

©  F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r

5


6 

Innehåll

4.7 Laserskanning 109 4.7.1 Flygburen laserskanning  110 4.7.2 Förbearbetning av laserdata  112 4.7.3 Från punktmoln till raster   112 4.7.4 Några användningsområden för laserdata  112 4.8 Markbundna geodetiska mätningsmetoder  114 4.8.1 Vinkelmätning 115 4.8.2 Längdmätning 116 4.8.3 Polär mätning  116 4.8.4 Trigonometrisk höjdbestämning  117 4.8.5 Avvägning 117 4.8.6 Terrester laserskanning  118 4.9 Satellitbaserade geodetiska mätningsmetoder  119 4.9.1 GPS-systemet  120 4.9.2 Satellitsignalen 121 4.9.3 Kod- och fasmätning  121 4.9.4 Principer för GPS-mätning  122 4.9.5 Metoder för GPS-mätning  123 4.10 Integrerade och mobila mätsystem  126 4.11 Lästips 126 LAGRING OCH DISTRIBUTION

5.  Lagring av geografiska data  129 L a r s H a r r i e , L a r s E k lu n dh, Pet t e r Pi l e sjö & Pe r S v e ns s on 5.1 Inledning 131 5.2 Lagring av tal och text i datorn  132 5.2.1 Binär lagring av data  132 5.2.2 Lagring av heltal  133 5.2.3 Lagring av decimaltal  133 5.2.4 Lagring av text  134 5.2.5 Lagring av information i datorn  134 5.3 Vektorstrukturen 135 5.3.1 Punktobjekt 136 5.3.2 Linjeobjekt 136 5.3.3 Ytobjekt 139 5.4 Databasteknik 142 5.4.1 Databashanterare 142 5.4.2 Relationsdatabas 144 5.4.3 Objektorientering och objektrelationella databaser  147

©  F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r


Innehåll  

5.5 Lagring av vektordata  149 5.5.1 Hybrida lagringssystem   149 5.5.2 Integrerade lagringssystem   151 5.6 Rasterstrukturen 154 5.6.1 Representation av geometriska objekt  156 5.6.2 Representation av kontinuerliga variabler  157 5.6.3 Lagring av rasterdata  157 5.7 Att välja raster- eller vektorstruktur  159 5.8 Höjddata 161 5.8.1 Höjddata i vektorform  161 5.8.2 Höjddata i rasterform  162 5.9 3D-data 163 5.10 Informationsmodellering 164 5.10.1 Modelleringsspråket UML  165 5.11 Lästips 167

6.  Geografiska data på webben  169 A l e x a n de r Wa lt h e r & L a r s H a r r i e 6.1 Inledning 171 6.2 Karttjänster 171 6.2.1 Klient–server-modell 171 6.2.2 Standardiserade karttjänster  173 6.2.3 Utveckling av karttjänster  175 6.2.4 För- och nackdelar med karttjänster  177 6.3 Skapa karttjänster  178 6.3.1 Enkla visningstjänster  178 6.3.2 GIS-tjänster 179 6.3.3 Standardiserade karttjänster   179 6.3.4 Specialiserade kart- och GIS-tjänster   180 6.4 Lästips   181 ANALYS

7.  Transformation av geografiska data  183 L a r s E k lu n dh & L a r s H a r r i e 7.1 Inledning 185 7.2 Digitalisering och skanning  186 7.2.1 Digitalisering 186 7.2.2 Skanning 188

©  F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r

7


8 

Innehåll

7.3 Geometrisk anpassning av data  189 7.3.1 Anpassning av vektordata  189 7.3.2 Anpassning av raster  190 7.3.3 Konvertering mellan vektor- och rasterstrukturerna  191 7.4 Georeferering   192 7.4.1 Typer av koordinattransformation  193 7.4.2 Val av passpunkter  195 7.4.3 Val av koordinat­transformationstyp  195 7.4.4 Matematisk bakgrund till koordinattransformationer  197 7.5 Interpolation 199 7.5.1 Linjär interpolation mellan två punkter  200 7.5.2 Interpolation av ytor  200 7.5.3 Interpolation med trendytor  201 7.5.4 Avståndsviktad medelvärdesinterpolation  202 7.5.5 Närmaste granne-interpolation  203 7.5.6 Bilinjär interpolation  204 7.5.7 Spline-interpolation   205 7.5.8 Geostatistik och kriging  205 7.5.9 Rumslig prediktion med stödvariabler  207 7.5.10 Jämförelse mellan olika interpolationsmetoder  209 7.6 Lästips 210

8.  Analys av geografiska data  213 Pet t e r Pi l e sjö, L a r s E k lu n dh, F r e dr i k L i n dbe rg, K a r i n L a r s s on & N ic k l a s Gu l då k e r 8.1 Inledning 215 8.2 Sökning i geografiska data   216 8.3 Geometriska operationer på vektordata  217 8.3.1 Beräkning av avstånd  217 8.3.2 Beräkning av linjelängd  218 8.3.3 Beräkning av polygonarea och polygonens tyngdpunkt  219 8.3.4 Avstånd mellan geometriska objekt  220 8.3.5 Korsning mellan linjer  220 8.3.6 8.3.6 Punkt i polygon  222 8.3.7 Buffertzoner 222 8.4 Överlagring av vektordata  223 8.4.1 Överlagring av punkter på polygoner  224 8.4.2 Överlagring av linjer på polygoner  224 8.4.3 Överlagring av polygoner på polygoner  224

©  F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r


Innehåll  

8.5 Analys av nätverk  227 8.5.1 Algoritm för att beräkna kortaste vägen i ett nätverk  228 8.6 Analys av rasterdata  230 8.6.1 Grundläggande geometriska rasteroperationer  230 8.6.2 Cellvisa operationer  232 8.6.3 Ytbaserade operationer  234 8.6.4 Filteroperationer 236 8.6.5 Friktionsytor 237 8.7 Analys av höjddata  239 8.7.1 Sluttningslutning   240 8.7.2 Sluttningsriktning 241 8.7.3 Hydrologiska tillämpningar  241 8.7.4 Siktlinjer och siktfält  243 8.8 3D-analys 244 8.9 Rumslig fördelning och geometrisk form  247 8.9.1 Statistik för punkter  248 8.9.2 Statistik för linjer  249 8.9.3 Statistik för polygoner  250 8.9.4 Statistik för rasterytor  252 8.10 Geografisk analys genom kombination av olika dataskikt  252 8.10.1 Analys av attributen  252 8.10.2 Förändringsstudier 253 8.10.3 Lokalisering 254 8.11 Oskarp logik  258 8.12 Dynamisk modellering   260 8.13 Uppskalning av geografiska data  260 8.14 Ett praktiskt exempel på analys med GIS   262 8.14.1 Problemformulering och syfte  264 8.14.2 Datatillgång och konceptuell lösning  264 8.14.3 Databearbetning, analys och presentation  265 8.14.4 Diskussion 270 8.15 Lästips 271

9.  Kvalitetsaspekter  273 C h r i s t i na Wa s s t röm, Gu n h i l d L ön n be rg & L a r s H a r r i e 9.1 Inledning 275 9.2 Kvalitet på geografiska data  275 9.2.1 Standarder för kvalitet  277 9.2.2 Kvalitetsteman och kvalitetsparametrar  278

©  F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r

9


10 

Innehåll

9.3

9.4

9.5 9.6

9.2.3 Stickprovsteknik 279 9.2.4 Metoder för kvalitetsutvärdering  280 9.2.5 Redovisning av kvalitet av en datamängd  287 Fortplantning av osäkerheter  288 9.3.1 Analytisk fortplantning  289 9.3.2 Stokastisk simulering av fortplantningen  290 Brister i modellen  291 9.4.1 Brister i representationen hos geografiska data  292 9.4.2 Brister i modellering av det geografiska fenomenet  292 9.4.3 Effekter av gruppering av data  292 Exempel på kvalitetsanalys  293 Lästips 295

VISUALISERING

10.  Kartografi och geovisualisering  297 Be ngt Rys t e d t, H a n na S t ig m a r , L a r s H a r r i e & Wolt e r A r n be rg 10.1 Inledning 299 10.2 Kartor 299 10.2.1 Olika typer av kartor  299 10.2.2 Olika medier för kartor  301 10.2.3 Kartor med olika grad av användarinteraktion   301 10.3 Kartografiska grundprinciper  302 10.3.1 Symbolisering 302 10.3.2 Textsättning 303 10.3.3 Höjdinformation 304 10.3.4 Skala och läsbarhet  304 10.3.5 Färg 305 10.3.6 Sammanhang i kartan – visuell hierarki  306 10.3.7 Information om kartan  308 10.4 Kartografisk kommunikation och design  309 10.4.1 Kartografisk kommunikation  309 10.4.2 Kartografisk design  309 10.5 Att skapa topografiska kartor  311 10.5.1 Urval 311 10.5.2 Klassificering 312 10.5.3 Generalisering 312 10.5.4 Symbolisering 314

©  F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r


Innehåll  

10.6 Att skapa tematiska kartor  314 10.6.1 Olika typer av tematiska kartor  315 10.6.2 Exempel på tillämpningar  315 10.6.3 Gruppering av statistiska data  319 10.7 Att skapa webbkartor  320 10.7.1 Generellt om webbkartor  320 10.7.2 Kartografi för bakgrundskartor  321 10.7.3 Kartografi för förgrundsinformation  323 10.7.4 Webbkartor för mobiltelefoner och andra små skärmar  325 10.7.5 Kartografiska aspekter på nedladdningstjänster  325 10.8 Geovisualisering 325 10.8.1 Dynamisk och animerad kartografi  326 10.8.2 3D-visualiseringar 326 10.8.3 Virtuell och förstärkt verklighet  330 10.9 Kartografens roll  331 10.10 Lästips 334

Referenser  335 Sakregister  345

©  F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r

11


K APITEL 3

Referenssystem och kartprojektioner Jonas Ă…gren & Hans Hausk a

Z

P

X


61

3.1  Inledning I ett geografiskt informationssystem hanteras geografiska objekt med kända lägen. För att ange ett läge behövs en fast referens, relativt vilken objektets position kan anges. Man behöver därför ett referenssystem, som är ett koordinat­ system vars axlar har lagts fast i förhållande till jordens yta. Det är mycket viktigt att objekten i ett geografiskt informationssystem är bestämda i ett väldefinierat referenssystem. Referenssystem och koordinatsystem behandlas inom ämnesområdet geodesi, som är vetenskapen om jordens uppmätning. Kapitlet börjar med en övergripande diskussion i avsnitt 3.2, som förklarar vad ett referenssystem är och motiverar varför det behövs som grund för inmätning av geografiska objekt. I avsnitt 3.3 behandlas därefter de vanligaste typerna av koordinatsystem. För att trycka en karta på papper eller för presentation på en dataskärm behövs ett plant koordinatsystem. Detta ställer till problem eftersom jorden är rund och inte platt. För att avbilda den buktiga jordytan på ett plan används en kartprojektion. Grunderna för sådana kartprojektioner förklaras i avsnitt 3.4. Referenssystem tas därefter upp i avsnitt 3.5. Genom hela kapitlet ligger tyngdpunkten på att förklara de viktigaste referenssystemen, koordinatsystemen och kartprojektionerna som används i Sverige. Kapitlet avslutas i avsnitt 3.6 med en diskussion av några viktiga grundprinciper för transformationer mellan olika koordinat- och referenssystem.

3.2  Att ange ett läge på jorden Anta att vi ska starta från början och göra en noggrann karta över ett stort område av Sveriges storlek. Vi förutsätter att ingen tidigare karta eller annan information finns tillgänglig. Vi måste då på något sätt mäta in de objekt som ska finnas med på kartan och sedan hitta en metod för att rita ut objekten på rätt plats i kartan. Frågan är hur vi kan komma i gång med detta. ©  F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r

I kapitel 4 kommer vi att beskriva metoder för inmätning. Oavsett vilken av dessa mätmetoder vi väljer är det viktigt att observera att all mätning är relativ. Vi kan inte bestämma det ”absoluta läget”, utan all mätning sker relativt andra punkter som redan är kända. De kända punkterna benämner vi referenspunkter. För att vi ska kunna komma i gång med kartan, verkar det vara en god idé att välja ut ett antal referenspunkter som täcker hela vårt område, bestämma det inbördes läget mellan dessa och sedan lägga fast alltihop på lämpligt sätt. Vi behöver alltså först bestämma läget för referenspunkterna, vilka sedan i nästa steg betraktas som kända och används som en fast referens att mäta in alla andra objekt mot. Ovan har vi talat om att mäta in ett läge. En relevant fråga här är hur dessa lägen ska anges. För att representera en punkts läge behövs ett koordinatsystem, i vilket punktens läge kan uttryckas numeriskt (i siffror) genom projektion på ett antal koordinataxlar, till exempel i det tredimensionella rummet behövs tre axlar och i planet två. Det bör poängteras att ett koordinatsystem i sig inte är tillräckligt för att göra en karta. Beroende på hur koordinataxlarna förhåller sig till jorden får man olika koordinater på samma punkt. Ett koordinatsystem är en abstrakt matematisk konstruktion, ingen­ting annat. För att få entydighet behövs ett referens­ system, som är ett koordinatsystem som kopplats fast i förhållande till jorden. I praktiken bestäms ett referenssystem genom att referens­ punkternas lägen koordinatbestäms med hjälp av olika typer av geodetiska mätningar (se avsnitt 4.8–4.9). Eftersom all mätning är relativ räcker det inte med att bara mäta, utan man behöver också göra ett antal godtyckliga val, som var origo ska ligga och hur koordinat­ axlarna ska riktas. Proceduren att fastställa ett referenssystem är komplicerad och arbetskrävande. Som tur är behöver man inte i verkligheten börja från början och etablera ett referenssystem varje gång


62 

KAPITEL 3  Referenssystem och kartprojektioner

en karta ska göras, utan sådana system finns redan etablerade på internationell, nationell och lokal nivå. Sammanfattningsvis: ett geodetiskt referenssystem består av ett koordinatsystem som har relaterats till jorden genom att koordinater har bestämts för ett referensnät (stomnät) av referens­punkter. Dessa koordinater sägs reali­ sera referenssystemet. Dessa begrepp illustreras på ett förenklat sätt i figur 3.1. En annan viktig fråga är vilket koordinatsystem som är lämpligt för att göra vår karta. Ett givet svar här kan tyckas vara att direkt använda ett tvådimensionellt plant koordinatsystem, som i figur 3.1. Ett sådant förslag stöter dock på problem. Jorden är så gott som rund; mer precist är den aningen tillplattad vid polerna. För att avbilda jorden bör vi använda ett koordinat­system som är anpassat till den buktiga ytan. Det är alltså inte helt trivialt vilken typ av koordinater vi ska använda för att representera läget i ett

referenssystem, och hur vi ska få koordinater i ett plan, vilket krävs för att konstruera en karta. Detta är huvudanledningen till att exemplet i figur 3.1 är förenklat. Det är viktigt att vara medveten om att språkbruket rörande referenssystem varierar inom olika områden. Tidigare användes termen geodetiskt datum i stället för referenssystem, vilket i vissa sammanhang fortfarande förekommer. Distinktionen mellan koordinatoch referenssystem upprätthålls heller inte i alla sammanhang. På engelska används ofta två termer: reference system för den teoretiska defini­tionen och reference frame för vad man får när denna definition även har realiserats. (Den svenska termen referenssystem motsvarar snarast reference frame.) I denna bok kommer vi att använda referenssystem och koordinatsystem enligt ovanstående förklaringar, vilka illustreras i figur 3.1.

Figur 3.1  Förenklat exempel på hur ett referenssystem bestäms genom att koordinater (N, E) i ett koordinat-

system läggs fast för ett referensnät bestående av fem referenspunkter. För att bestämma de relativa lägena mellan referenspunkterna används olika typer av mätningar som t.ex. GPS-mätningar. Koordinatsystemets origo och axlarnas riktning väljs på lämpligt vis. ©  F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r


KAPITEL 3  Referenssystem och kartprojektioner  

Z

3.3  Koordinater och

koordinatsystem

Huvudsyftet med detta avsnitt är att introducera de vanligaste typerna av koordinater och koordinatsystem. Det är dock svårt att helt hålla isär diskussionerna om koordinat- och referenssystem, men huvudindelningen är att detta avsnitt tar upp koordinatsystem. Plana koordinater behandlas därefter tillsammans med kartprojektioner i avsnitt 3.4. Avsnitt 3.5 går sedan in på referenssystem i detalj.

3.3.1  Tredimensionella kartesiska koordinater För att ange läget för en punkt i rummet behövs tre koordinater. Ett naturligt alternativ är att använda rätvinkliga, tredimensionella kartesiska koordinater X, Y, och Z. I figur 3.2 illustreras hur dessa koordinater fås med rätvinklig projektion på de tre koordinataxlarna. Detta kan också uttryckas som att koordinaterna är de rätvinkliga avstånden från de tre koordinatplanen: X-koordinaten är avståndet från YZ-planet etc. När ett referenssystem med ett dylikt koordinatsystem fixeras, eftersträvas vanligtvis att origo ska vara så nära jordens tyngdpunkt som möjligt, att Zaxeln ska gå genom nord- och sydpolerna (dvs. sammanfalla med jordens rotationsaxel) och att X- och Y-axlarna ligger i ekvatorplanet. X-axeln utgörs av skärningen mellan meridianplanet genom Greenwich (observatorium utanför London, se avsnitt 3.3.2) och ekvatorplanet, medan Y-axeln väljs med riktning enligt figur 3.2 så att ett så kallat högersystem erhålls. En fördel med tredimensionella kartesiska koordinater är att de är enkla att förklara. En klar nackdel är att ingen av axlarna har någon koppling till jordytan, vilket gör koordinaterna svårtolkade och direkt olämpliga för de flesta tillämpningar, exempelvis för att göra en karta. Det är således väl motiverat att introducera en annan typ av koordinater, som bättre beskriver en punkts läge i förhållande till jordytan. ©  F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r

63

p

Y

X Figur 3.2  Tredimensionellt kartesiskt koordinatsystem med

axlarna X, Y och Z. Punkten p har koordinaterna Xp , Yp och Zp.

3.3.2  Jordellipsoiden och geodetiska koordinater Vi behöver alltså ett koordinatsystem som uttrycker läget i förhållande till jordens yta. För att ange det horisontella läget behövs två koordi­nater som beskriver läget längs en utvald referensyta. Tyvärr är jordytan i sig alltför komplicerad för att användas som referensyta för lägesangivelse. I stället används en enklare så kallad jordmodell, som nära approximerar jordens form. Ett krav är att jordmodellen är så enkel i sin matematiska form att den tillåter beräkningar av horisontella lägen. Jorden sägs ofta vara rund: som en första approximation kan den betraktas som en sfär. I verkligheten är den dock aningen avplattad vid polerna, tillräckligt mycket för att en sfär inte ska duga för att ange horisontella lägen. Den jordmodell som därför har kommit att användas i stället är en så kallad rotationsellipsoid, vilken bildas genom att låta en ellips rotera runt sin lillaxel (se figur 3.3). Denna yta kallas också ofta för jordellipsoid, referensellipsoid eller bara ellipsoid. Vanligtvis förutsätter man att jord­ ellipsoidens lillaxel sammanfaller med Z-axeln i det tredimensionella kartesiska systemet, vilket illustreras i figur 3.3. Halva storaxeln betecknas


64 

KAPITEL 3  Referenssystem och kartprojektioner

här med a och halva lillaxeln med b. Följande formel uttrycker jordellipsoidens yta i matematisk form: X2 + Y2 a 2

+

z2 = 1 b2

(3.1)

vilken uppfyller kravet att vara en enkel mate­ matisk yta. För att ange storleken på jord­ ellipsoiden krävs två oberoende kvantiteter. I vissa sammanhang används halva storaxeln a och halva lillaxeln b, men det är vanligare att använda halva storaxeln a tillsammans med avplattningen f, som definieras: f =

a–b a

(3.2)

Med en jordellipsoid kan havsytan och dess tänkta förlängning under kontinenterna (jfr avsnitt 3.3.3) approximeras mycket bättre än med en sfär. Den maximala avvikelsen minskar från ca 10 kilometer till under 100 meter när sfären byts ut mot en jordellipsoid. Det är dock inte självklart att stanna vid att använda en jord­ ellipsoid. Genom att ytterligare komplicera ytan kan man minska avvikelserna ännu mer. Priset för detta är dock att alla beräkningar blir mer komplicerade. Man har därför valt att använda jordellipsoiden för lägesangivelser och andra geodetiska tillämpningar. Z

b

a

a

Y

X Figur 3.3  Jordellipsoiden med halva storaxeln a och

halva lillaxeln b.

Att jorden är avplattad vid polerna har varit känt sedan länge. Redan i slutet av 1600-talet gjordes mätningar för att lösa den vetenskapliga tvisten om huruvida jorden är avplattad vid polerna eller vid ekvatorn. Dessa geo­ detiska mätningar utfördes både nära nordpolen (Torne­dalen i Sverige) och ekvatorn (Peru). Alltsedan det blev känt att jorden är avplattad vid polerna har geodeter försökt bestämma så bra jordellipsoider som möjligt. Att jorden är avplattad är en följd av dess rotation. Betraktat över långa tidsrymder beter sig jorden som en mycket trögflytande vätska, vilket gör att centri­ fugalkraften under lång tid kan deform­era jorden på detta karaktäristiska vis. Halva storaxeln a, halva lillaxeln b och den inversa avplattningen 1/f listas i tabell 3.1 för ett antal vanliga jordellipsoider. Som synes har storleken och formen på jordellipsoiderna varierat genom åren. Det beror på att de geodetiska mätningar som använts för att bestämma ellipsoiderna har varit behäftade med fel (mätfel) och på att mätningarna inte varit jämnt fördelade över hela jorden. Den för närvarande mest använda ellipsoiden är den internationellt rekommenderade GRS 80, som har bestämts med satellitmetoder. Den sammanfaller inom en millimeter med ellipsoiden WGS 84, som är den jordellipsoid som används för GPS (Global Positioning System). PZ-90 är motsvarigheten för det ryska satellitsystemet Glonass. I Sverige användes ändå fram till och med 2006 Bessels ellipsoid från 1841 för den allmänna kartläggningen. Clarkes ellipsoid används i USA och Krassovskys ellipsoid i det forna Sovjetunionen och alla före detta öststatsländer. Hayford var tidigare den internationella ellipsoiden och hade då samma status som GRS 80 har i dag. Den internationella trenden är för närvarande att byta till att använda GRS 80, men långt ifrån alla länder har ännu (2019) tagit detta steget. Jordellipsoiden antas ligga fixerad i förhållande till det kartesiska systemet med sitt centrum sammanfallande med origo och lillaxeln utefter ©  F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r


KAPITEL 3  Referenssystem och kartprojektioner  

65

Tabell 3.1  Några vanliga jordellipsoider.

Jordellipsoid

Halva storaxeln (m)

Halva lillaxeln b (m)

1/avplattning (1/f)

Bessel 1841

6 377 397,155

6 356 078,963

299,1528128

Clarke 1866

6 378 206,4

6 356 583,800

294,9786982

Hayford 1910

6 378 388,0

6 356 911,946

297,0

Krassovsky 1940

6 378 245,0

6 356 863,019

298,3

PZ-90

6 378 136,0

6 356 751,362

298,257839303

GRS 80 (WGS 84)

6 378 137,0

6356752,314

298,257222101

Z-axeln enligt figurerna 3.3 och 3.4. Skärningskurvan mellan ett plan genom Z-axeln och ellips­ oiden kallas för en meridian, medan skärningskurvan mellan ett plan vinkelrätt mot Z-axeln och ellipsoiden kallas för en parallell­cirkel. Den parallellcirkel som bildas av XY-planets skärning med ellipsoiden är ekvatorn. Dessa tre begrepp illustreras i figur 3.4. Nätet av parallellcirklar och meridianer kallas för gradnätet. Det horisontella läget på jordellipsoiden för en punkt P anges med hjälp av longituden (λ) och latituden (ϕ). Longituden är vinkeln mellan meridianen för P och den konventionella nollmeridianen genom Greenwich (se figur 3.4). En ellipsoidnormal är en linje som är vinkelrät mot ellipsoidens yta. Latituden ϕ

är vinkeln mellan ellipsoidnormalen för P och ekvatorplanet. Obser­vera att ellipsoidnormalen inte går igenom centrum av jordellipsoiden. För att få läget i tre dimensioner behövs ytterligare en koordinat. Det är här naturligt att välja höj­ den över ellipsoiden h, som är avståndet längs ellipsoid­normalen mellan ellipsoidens yta och P. Koordinaterna latitud ϕ, longitud λ och höjd över ellipsoiden h kallas för geodetiska koordinater. Ibland används termen geogra­ fiska koordinater. Med geodetiska koordinater kan man uttrycka exakt samma sak som med de kartesiska motsvarigheterna i avsnitt 3.3.1. Eftersom ellipsoidens storlek och form är känd, går det att transformera (beräkna) mellan systemen enligt:

ϕ

λ

©  F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r

Figur 3.4 

Gradnätet, tredimensionella kartesiska koordinater (X, Y, Z) och geodetiska koordinater (ϕ, λ, h).


66 

KAPITEL 3  Referenssystem och kartprojektioner

X = (N + h)cosϕ cos λ Y = (N + h)cosϕ sin λ Z = (N (1 – e2)+ h)sin ϕ

(3.3)

där den första excentriciteten e kan beräknas ur avplattningen med e2 = 2f – f 2 och N är den så kallade tvärkrökningsradien, som ges av: a N =  √1 – e2 sin2 ϕ

(3.4)

En viktig slutsats av dessa formler är att det är möjligt att räkna fram och tillbaka mellan X, Y, Z och ϕ, λ, h med enkla matematiska formler. Geodetiska och tredimensionella kartesiska koordi­nater är dock inte jämförbara när det gäller överskådlighet och användbarhet. Det är mycket lättare att tolka geodetiska koordinater eftersom de separerar läget i horisontal- och vertikalled.

3.3.3  Geoidhöjd och höjd över havet Låt oss nu titta närmare på höjden. Av de geodetiska koordinaterna ϕ, λ, h, är det höjden över ellipsoiden h som anger läget i vertikalled. Vanligen används dock inte höjden över ellips­ oiden för höjdangivelser, utan höjden över geo­ iden, som mer vardagligt även brukar kallas för höjden över havet. Geoiden definieras som den ekvipotentialyta (nivåyta) i jordens tyngdkraftsfält som så bra som möjligt ansluter till havsytans medelnivå. Eftersom densiteten för jordens massor inte är lika stor överallt, varierar både tyngdkraften och tyngdkraftspotentialen med läget. En ekvipotentialyta är en yta med konstant lägesenergi (potential), vilket innebär att en stillastående, och i övrigt opåverkad, vatten­y ta kommer att sammanfalla med en sådan yta. Förenklat kan man se geoiden som havsytan och dess tänkta förlängning in under kontinenterna. Vi använder alltså begreppet höjden över havet som synonym till höjden över geoiden, även fast det i strikt mening alltid borde heta höjden över geoiden. Det finns i huvudsak tre anledningar till

att det är lämpligt att använda geoiden som referens för höjdangivelser. För det första används höjdangivelser ofta för att på något sätt hålla reda på hur vattnet rinner. Ska till exempel ett avloppsrör byggas i ett flackt område är det viktigt att se till att vattnet verkligen rinner i rätt riktning, vilket kräver noggrann höjdbestämning. Används geoiden som höjdreferens rinner vattnet alltid från högt till lågt (detta är inte fallet om man använder höjden över ellipsoiden h). Den andra anledningen är att det känns naturligt att höjden för havsytan är noll (bortsett från havets variationer). Den tredje är att den noggrannaste höjdbestämningsmetoden avvägning (förklaras i avsnitt 4.8.5) resulterar i höjdskillnader relativt geoiden. Höjden i förhållande till geoiden betecknas med H (se figur 3.5). Geoidhöjden N är avståndet mellan ellipsoiden och geoiden. Genom att studera figuren inser man att följande samband råder:

h = N + H

(3.5)

Geoiden är en komplicerad yta som inte kan uttryckas med någon enkel matematisk formel. Den är trots det förhållandevis slät och avviker maximalt ungefär ±100 meter från en globalt anpassad jordellipsoid (jfr figur 3.12). En geoidmodell är en modell för hur geoidhöjden varierar. Med en sådan modell kan transformation göras mellan höjden över ellipsoiden h och höjden över havet H.

3.4  Kartprojektioner I avsnitt 3.3 visades att latitud ϕ och longitud λ används för att uttrycka det horisontella läget. Latitud och longitud har nackdelen att de anges i förhållande till en buktig yta (jordellipsoiden). Ska till exempel en karta ritas ut på papper eller visas på en dataskärm, måste den buktiga ytan först räknas om till ett plan. Detta görs med en kartprojektion. Eftersom kartprojektioner är ett ©  F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r


KAPITEL 3  Referenssystem och kartprojektioner  

h

67

H N

Figur 3.5 

Geoidhöjden N, höjden över havet H och höjden över ellipsoiden h.

stort ämne i sig, som dessutom är mycket viktigt i ett geografiskt informationssystem, behandlas kartprojektioner separat i detta avsnitt.

3.4.1  Introduktion I en kartprojektion projiceras latituden ϕ och longituden λ på ett plan, i vilket ett plant, tvådimensionellt kartesiskt koordinatsystem N, E (North, East) är definierat. Matematiskt kan alla kartprojektioner uttryckas på följande vis: N = fN (ϕ,λ) E = fE (ϕ,λ)

(3.6)

där f N (ϕ,λ) och f E (ϕ,λ) är matematiska funktioner. På samma sätt som det är möjligt att gå fram och tillbaka mellan koordinatsystemen X, Y, Z och ϕ, λ, h med matematiska formler, är det möjligt att räkna mellan ϕ, λ och de plana kartesiska koordinaterna N, E. Förutsatt ett referenssystem med en viss placering av jordellipsoiden (det tredimensionella kartesiska systemets axlar), kan det horisontella läget uttryckas med antingen ϕ, λ eller N, E. Detta innebär inte att alla kartprojektioner avbildar på samma sätt, utan bara att det går att räkna mellan koordinatsystemen med exakta formler. Det är tyvärr omöjligt att konstruera en perfekt kartprojektion; alla kartprojektioner innebär någon form ©  F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r

av deformation. Att det är teoretiskt omöjligt kan visas matematiskt, men också enkelt illustreras genom att försöka platta till en buktig yta utan att deformera den. Försök till exempel platta till skalet på en apelsin utan att det deformeras eller spricker upp! Olika kartprojektioner har olika egenskaper, vilka diskuteras vidare i avsnitt 3.4.3. Figur 3.6 visar ett exempel på en kartprojektion, nämligen den svenska projektionen Sweref 99 TM, som betecknar en av de projektioner (med bestämda parametrar) som ingår i referenssystemet Sweref 99 (se avsnitt 3.5.1). Något förenklat kan principen förklaras på följande sätt: Ett papper lindas runt jorden så att man får en cylinder, som tangerar ellipsoiden längs den så kallade medelmeridianen. Om man sedan projicerar varje punkt på ellipsoiden längs linjer från ellipsoidens centrum och därefter klipper upp papperet, är resultatet det plana kartesiska koordinatsystemet till höger. Observera särskilt i figur 3.6 att gradnätet (se avsnitt 3.3.2) inte avbildas som ett rektangulärt rutnät i projektionsplanet. Symboliskt kan alla kartprojektioner skrivas med matematiska funktioner enligt formel 3.6. Vi vill i detta kapitel få läsaren att förstå principerna, utan att beskriva den bakomliggande matematiken. För att förenkla framställningen kommer vi endast att behandla hur en sfär kan


68 

KAPITEL 3  Referenssystem och kartprojektioner

Figur 3.6  Kartprojektionen Sweref 99 TM, som är en Transversal Mercatorprojektion med bestämda parametrar

för användning i referenssystemet Sweref 99. Latitud ϕ och longitud λ projiceras till plana koordinater N, E.

avbildas på ett plan och benämna denna sfär jor­ den. I mer strikt mening är det inte sfären utan jordellipsoiden som avbildas på kartan, men det görs i princip på ett liknande sätt.

3.4.2  Olika typer av kartprojektioner Benämningen kartprojektion antyder att den sfäriska jordytan på något sätt projiceras på en tvådimensionell yta (kartplanet). Det finns tre grundläggande typer av projektioner (se figur 3.7). Azimutala kartprojektioner: I detta fall läggs ett tänkt plan så att det tangerar jordklotet i en viss punkt. Dessutom tänker man sig ett projektionscentrum, till exempel i jordens mittpunkt eller i nadirpunkten till tangeringspunkten (dvs. punkten på andra sidan jorden; till exempel är Sydpolen nadirpunkten till Nordpolen). Därefter kan punkter på jordytan projiceras till detta plan genom att från projektionscentrum rita linjer genom dessa punkter (se figur 3.8). Man kan göra tankeexperimentet att placera en lampa i projektionscentrum och sedan observera var enstaka ljusstrålar träffar planet.

I figur 3.7a illustreras att om tangeringspunkten läggs i en av polerna och projektionscentrum i motsatta polen eller i jordens mittpunkt, kommer meridianerna att bilda räta linjer som strålar ut från centrum och parallellcirklarna att bli ett system av koncentriska cirklar som har olika inbördes avstånd beroende på ljuskällans placering. Deformationerna är minst närmast tangeringspunkten. Koniska kartprojektioner: Denna projektionstyp bygger på att en tänkt kon läggs över jordklotet. Om konen tangerar en parallellcirkel erhålls koncentriska parallellcirklar (jfr figur 3.7b). Denna projektion anses väl lämpad för att användas vid högre latituder, och deformationerna är minst nära den parallellcirkel där konen tangerar jorden, den så kallade standardparallellen. Cylindriska kartprojektioner: Det finns två huvudtyper av cylindriska kartprojektioner. En normal cylinderprojektion bygger på en stående cylinder vars symmetriaxel sammanfaller med jordens rotationsaxel (cylindern tangerar då ekvatorn). Meridianerna bildar här räta lin©  F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r


KAPITEL 3  Referenssystem och kartprojektioner  

a.

a.

b.

b.

c.

c.

Figur 3.7(a–c)  Tre sätt att avbilda en sfärisk yta på ett plan:

(a) azimutal, (b) konisk och (c) cylindrisk projektion. Till vänster visas hur de geometriska figurerna ligger i förhållande till jorden vid projiceringen, och till höger visas hur meridianer och parallellcirklar kommer att avbildas på planet. Källa: Baserad på Ussisoo 1977.

Tangeringspunkt

jer med konstant avstånd från varandra och paral­lellcirklarna blir räta linjer vinkelrätt mot meridianerna (se figur 3.7c). För en transversal cylinderprojektion är cylindern liggande med en symmetriaxel vinkelrät mot jordens rotationsaxel (figur 3.9). Vid den transversala cylinderprojektionen tangerar cylindern en meridian, vilken brukar benämnas medelmeridian (se figur 3.6 och 3.9). Deformationerna blir minst i närområdet av där cylindern tangerar jorden. Ovan har kartprojektioner behandlats som projiceringar eller perspektiviska avbildningar. Att jordklotet projiceras på kartplanet innebär då att en rät linje kan dras mellan alla korresponderande punkter på klotets yta och kartplanet och att alla dessa linjer skär varandra i en och samma punkt (projektionscentrum). Detta blir exempelvis fallet då en lampa projicerar alla punkter enligt figur 3.8. Projiceringar är enkla att förstå och konstruera, men har ofta inte någon av de egenskaper som eftersträvas (se avsnitt 3.4.3). Detta motiverar att man gör små avsteg ifrån strikta projiceringar när en kart­projektion konstrueras. I figur 3.9 avbildas punkten a på jordytan på punkten A i kart­planet. Här har man gjort ett avsteg ifrån en sann projicering; linjen gör en liten riktningsändring vid jord­ ytan. Storleken på riktningsändringen bestäms matematiskt utifrån de önskade egenskaperna hos kartprojektionen.

Jordens mittpunkt

Nadirpunkt till tangeringspunkten

Figur 3.8  Azimutal projektion, där jordens

Figur 3.9  Transversal cylinderprojektion.

mittpunkt är projektionscentrum.

Se texten för förklaringar.

©  F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r

69


70 

KAPITEL 3  Referenssystem och kartprojektioner

Kartprojektionsparametrar En kartprojektion definieras entydigt med hjälp av ett antal numeriska parametrar. Till exempel behövs två parametrar för att placera in en liggande cylinder i förhållande till jordellipsoiden, medan två andra parametrar utnyttjas för att bestämma hur det tvådimensionella koordinatsystemet ska placeras i projektionsplanet. Exakt vilka parametrar som används och hur de definieras beror på den aktuella kartprojektionen. I avsnitt 3.4.4 diskuteras projektions­ parametrarna för den mycket vanliga projektionen Transversal Mercator.

3.4.3  Egenskaper hos kartprojektioner I många tillämpningar önskas som sagt att kartprojektionen ska ha vissa speciella egenskaper. De viktigaste av dessa är: ■ Vinkelriktighet (konformitet): I en

vinkelriktig kartprojektion bevaras vinklar i skärningspunkten mellan linjer som korsar varandra. Exempelvis ska vinkeln i korsningen mellan en väg och en järnväg vara lika stor på kartplanet som i verkligheten. Även formen på små objekt bevaras. Vinkelriktighet är numera den viktigaste egenskapen för de flesta kartorna. Alla grundläggande geografiska data i Sverige (avsnitt 2.2.1) baseras på vinkelriktiga projektioner. ■ Ytriktighet: I en ytriktig kartprojektion bevaras objektens area. Detta är en viktig egenskap för att kunna relatera storleken på olika geografiska områden till varandra. Ytriktiga kartprojektioner används ofta för världskartor och andra småskaliga kartor. Det går inte att kombinera vinkelriktighet och ytriktighet samtidigt. Detta skulle innebära en perfekt avbildning, och som tidigare nämnts är inte detta principiellt möjligt. Dessutom brukar längdriktighet användas

som en eftersträvansvärd egenskap, vilket innebär att längden på enstaka linjer bevaras i kartprojektionen. Observera att det bara är enstaka linjer som kan bli längdriktiga, vilket gör att egenskapen inte bör jämställas med vinkeloch ytriktighet. Till exempel avbildar vissa projektioner en meridian längdriktigt. Att avbilda alla linjer längdriktigt är principiellt omöjligt eftersom det är lika med en perfekt avbildning. Det går däremot att kombinera längdriktighet längs enstaka linjer med vinkelriktighet eller ytriktighet.

3.4.4  Några vanliga kartprojektioner Mercators projektion (vinkelriktig) Den mest kända normala cylindriska projektionen är Mercators projektion, som introducerades av Gerardus Mercator (1512–94). Här kan cylindern ställas antingen så att den tangerar ekvatorn, då blir skalan riktig längs ekvatorn, eller så att den skär igenom jorden och tangerar två parallellcirklar. Meridianerna blir räta linjer med lika avstånd från varandra, och parallellcirklarna blir räta linjer, vinkelräta mot meridianerna, men med ojämna avstånd sinsemellan (jfr figur 3.7c). Mercators projektion är utmärkt för klassisk navigation, eftersom den är vinkelriktig samt avbildar loxodromerna som räta linjer. En loxodrom är en linje med konstant azimut, dvs. den skär alla meridianer med samma vinkel. Mercators projektion avbildar områden i närheten av polerna som mycket större än områden nära ekvatorn. Det gör att man lätt får ett felaktigt intryck av geografiska områdens relativa storlek (se figur 3.10).

Gauss-Krügers projektion (vinkelriktig) Den transversala Mercatorprojektionen är en vinkelriktig transversal cylinderprojektion (jfr figurerna 3.6 och 3.9) som är utmärkt för nord-sydliga områden vilka inte sträcker sig alltför långt från medelmeridianen. Den intro­ducerades för sfären av Johann Lambert (1728–77) och för ellipsoiden av Carl Friedrich ©  F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r


KAPITEL 3  Referenssystem och kartprojektioner  

Gauss (1777–1855). Den vidareutvecklades av L. Krüger (1912). Den är därför även känd som Lamberts projektion för en sfär och som GaussKrügers eller Gauss konforma projektion för en ellipsoid. Projektionen är vinkelriktig. Fyra parametrar behövs för att definiera en GaussKrüger­projektion, nämligen: ■ medelmeridianens longitud; ■ förstoringsfaktorn (eller skalfaktorn längs

medelmeridianen);

■ koordinattillägg i N-led (nord-sydlig

riktning). Om tillägget är noll är N = 0 vid ekvatorn (se figur 3.6); ■ koordinattillägg i E-led (öst-västlig riktning). Om tillägget är noll är E = 0 vid medelmeridianen. I figur 3.6 används E = 500 000 meter (se tabell 3.2). Tilläggen väljs vanligtvis för att få positiva koordinat­värden överallt.

UTM (vinkelriktig) Universal Transversal Mercator (UTM) introducerades av det amerikanska försvaret 1947 i syfte att upprätta ett enhetligt projektionssystem för kartor över hela jordklotet. Jorden delas in i 60 zoner om 6° longitud var, mellan latituderna 84° N och 80° S. Zonernas numrering startar vid datumgränsen (180° E) och zonerna numreras österut, vilket gör att Sverige ligger i zonerna 32–35. Varje zon avbildas sedan med Gauss-Krügers projektion, med definierade parametrar för varje zon. UTM använder förstoringsfaktorn 0,9996, vilket innebär att medelmeridianen avbildas med en skalreduktion av 400 mm/km (1 000 m avbildas som 999,600 m). Anledningen till detta val är att de maximala värdena på projektionsfelen blir mindre för en viss zonbredd jämfört med om en längdriktig medelmeridian utnyttjats. För områdena i närheten av polerna används projektionen Uni­ versal Polar Stereographic (UPS), vilken är en vinkelriktig, azimutal projektion med projek©  F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r

71

tionscentrum i tangeringspunktens nadirpunkt (dvs. när tangeringspunkten är Nordpolen ligger projektionscentrum i Sydpolen och vice versa).

Lamberts koniska konforma projektion (vinkelriktig) En vanlig vinkelriktig projektion lämplig för områden utsträckta i öst-västlig riktning och i närheten av polerna är Lamberts koniska konforma projektion. Den presenterades av Lambert 1772 med formler för både sfären och ellipsoiden. Projektionen är normal (jfr figur 3.7b). Vanligen skär konen jorden längs två parallellcirklar, vilka avbildas längdriktigt och kallas för standardparalleller. Som ett specialfall kan konen tangera jorden längs bara en standardparallell. Standardparallellerna väljs vanligtvis så att skalförändringen blir så liten som möjligt över hela området i fråga.

Mollweides projektion (ytriktig) En av de vanligaste ytriktiga projektionerna är Mollweides projektion. Den förekommer ofta i till exempel atlaser. Mollweide är inte strikt en cylinderprojektion, men har vissa egenskaper gemensamma med dessa (den kallas därför för pseudocylindrisk). Projektionen avbildar ekvatorn som en horisontell linje, och medelmeridianen som en lodrät linje med halva ekvatorns längd (figur 3.10).

Lamberts azimutala ytriktiga projektion Lamberts azimutala ytriktiga projektion är ytterligare en av de projektioner som Lambert presenterade 1772. Man låter här det azimutala projektionsplanet tangera jorden i en lämplig punkt, till exempel mitt i det område som ska karteras. Projektionen görs så att skalan mins­ kar i den radiella riktningen (dvs. bort från tangeringspunkten) när avståndet från tangeringspunkten ökar, samtidigt som skalan ökar i motsvarande grad i den motsatta riktningen (jfr figur 3.11). Eftersom en ytriktig projektion bevarar arean, behöver skalminskningen


72 

KAPITEL 3  Referenssystem och kartprojektioner

i den radiella riktningen kompenseras av en lika stor skalökning i den motsatta riktningen, i varje punkt. Utöver dessa kartprojektioner finns ett stort antal projektioner för speciella syften. För ingående beskrivningar av dessa hänvisas läsaren till speciallitteraturen (se lästipsen nedan).

3.4.5  Kartprojektioner i Sverige Det finns kartprojektioner för de mest skiftande tillämpningar och för att välja en kartprojektion bör man ställa sig följande frågor: Hur stort är området som ska avbildas? Är området utsträckt i nord-sydlig eller öst-västlig riktning? Vilka egenskaper ska kartprojektionen ha? Ska den vara vinkelriktig eller ytriktig? Figur 3.10 illustrerar att avbildningen kan variera högst betydligt, beroende på vald projektion. Det är därför viktigt att välja projektion med omsorg. Figur 3.10  Världen avbildad med Mercators projektion

(vinkelriktig) ovan och med Mollweides projektion (ytriktig) nedan. Källa: Data från ESRI.

Figur 3.11 

Projektion enligt Lamberts azimutala ytriktiga projektion för det fall tangeringspunkten är vid Nordpolen. De röda cirklarna/ellipserna visar hur en cirkel avbildas. Projektionen är felfri bara vid tangeringspunkten (Nordpolen i detta fall).

©  F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r


KAPITEL 3  Referenssystem och kartprojektioner  

Låt oss nu diskutera vilken kartprojektion som är lämplig i Sverige under förutsättning att den ska vara vinkelriktig (konform). Vinkel­ riktighet är en viktig egenskap för att formen på små objekt (hus, tomter etc.) inte ska förändras, vilket också innebär att motsvarande vinklar i kartplanet är lika stora som samma vinklar i verkligheten. Egentligen har en konform projektion denna egenskap bara för infinitesimalt (försumbart) små objekt, men även för ganska stora strukturer råder ungefärlig vinkelriktighet. För Sverige bör vidare en projektion med små deformationer för områden utsträckta i nord-sydlig riktning användas. En sådan projektion är till exempel en transversal cylinderprojektion, där jorden avbildas på en liggande cylinder (se figur 3.6 och 3.9). Deformationen är relativt liten nära medelmeridianen, vilket är fördelaktigt för områden som har nordsydlig utbredning. Eftersom vinkelriktighet är ett krav, är det alltså lämpligt att använda en vinkelriktig, transversal cylinderprojektion. En sådan kartprojektion är Gauss-Krügers projektion (transversal Mercator), som används som standardprojektion för både det gamla svenska referenssystemet RT 90 och för den nya mot­svarigheten Sweref 99. (Dessa projektioner diskuteras i anslutning till beskrivningen av respektive referens­system i avsnitt 3.5.) Eftersom avstånden från medel­ meridianen aldrig blir särskilt stora inom Sveriges gränser, går det vanligtvis bra att använda Gauss-Krügers projektion för både småoch storskaliga tillämpningar. Projektionen är ganska nära ytriktig i hela landet, vilket gör att den även fungerar hyfsat för de flesta tillämpningar som kräver ytriktighet.

3.4.6  Kartprojektioner i Europa För Europa blir läget ett annat eftersom kontinenten är betydligt utsträckt även i öst-västlig riktning. För gemensamma, paneuropeiska tillämpningar är det ingen god idé att använda en gemensam transversal cylinderprojektion. Skalfelen och deformationerna skulle bli all©  F ö r fat ta r n a o c h S t u d en t li t t e r at u r

73

deles för stora. Precis som på nationell nivå i Sverige finns dock fortfarande ett behov av vinkelriktighet, även för småskaliga paneuropeiska tillämpningar över större områden. Samtidigt finns det andra tillämpningar som kräver ytriktighet, t.ex. rumslig analys och presentation av administrativa statistiska databaser. Ett exempel här är att skapa ett regelbundet rutnät (raster) med antalet hackspettar per ruta, vilket sedan presenteras och analyseras. Det är då förstås bra om alla rutor täcker lika stor yta. Det är tyvärr inte möjligt att hitta en kartprojektion som uppfyller alla dessa krav sam­ tidigt. Inom Inspire-direktivet (se avsnitt 2.6.2) har man löst detta genom att specificera olika typer av kartprojektioner för olika typer av pan­ europeiska kontinentala tillämpningar: ■ För rumslig analys och presentation

som kräver ytriktighet ska Lamberts azimutala ytriktiga projektion användas, med tangeringspunkten på latituden 52° N och longituden 10° E (ungefär mitt i Tyskland). ■ För småskalig vinkelriktig kartläggning (skalor mindre än 1:500 000) ska Lamberts koniska konforma projektion användas, med standardparallellerna på latituderna 35° N och 65° N. ■ För storskalig vinkelriktig kartläggning (skalor större än 1:500 000) ska Gauss– Krügers projektion (transversal Mercator) i form av UTM med lämplig zon användas. Det kan nämnas att ett standardiserat europeiskt geografiskt rutnätssystem (indexsystem) har skapats i Lamberts azimutala ytriktiga projektion med tangeringspunkten enligt punktlistan ovan. Det används framför allt för statiska databaser och liknande tillämpningar där ytriktighet är av vikt (jfr avsnitt 3.5.3), t.ex. för den europeiska datamängden Corine (marktäckedata).


Bokens redaktör Lars Harrie, är professor vid Institutionen för naturgeografi och ekosystemvetenskap, Lunds universitet. Han forskar och undervisar om metoder för geografisk informationsbehandling, speciellt inom kartografi, stadsmodeller och algoritmutveckling. Övriga författare är Wolter Arnberg, Lars Eklundh, Nicklas Guldåker, Hans Hauska, Dan Klang, Karin Larsson, Fredrik Lindberg, Gunhild Lönnberg, Håkan Olsson, Jesper Paasch, Petter Pilesjö, Ewa Rannestig, Bengt Rystedt, Ulf Sandgren, Hanna Stigmar, Per Svensson Alexander Walther, Christina Wasström och Jonas Ågren, alla verksamma inom universitet och högskola, kommun och lantmäteri.

GEOGRAFISK INFORMATIONSBEHANDLING

TEORI, METODER OCH TILLÄMPNINGAR

Geografisk informationsbehandling baseras på insamling, lagring, analys och visualisering av geografiska data. Denna indelning utgör också grunden för bokens disposition. Boken är i första hand avsedd för introducerande kurser vid universitet och högskolor men vissa delar är lämpliga även på avancerad nivå. Den är också utmärkt för yrkesverksamma inom GIS som vill öka sina teoretiska kunskaper. Boken innehåller både teoretiska och praktiska delar, där de senare beskriver tillämpningar som exempelvis samhällsplanering, miljöövervakning och kommersiella tjänster. I insamlingsdelen beskrivs hur man anger en position genom att koppla ett koordinatsystem till jordytan. Därefter beskrivs de vanligaste metoderna att samla in geografiska data som satellitbaserade positioneringssystem, flygfotografering, satellitbaserad fjärranalys och laserskanning. Lagringsdelen behandlar hur dessa data lagras i databaser och distribueras via webben. Analysdelen innehåller beskrivningar av de vanligaste analysmetoderna samt kvalitetsfrågor. Resultatet av en geografisk analys visualiseras oftast i form av kartor, vilket är temat för den sista delen av boken. Denna sjunde upplaga har uppdaterats med nya aktuella tillämpningsexempel. Dessa är i denna upplaga beskrivna tillsammans med de teoretiska beskrivningarna för att stärka kopplingen mellan teori och tillämpningar. Dessutom har beskrivningen av webbtillämpningar utökats och utgör nu ett eget kapitel, och även texten om webbvisualiseringar har stärkts i kartografikapitlet. Vidare har det tillkommit beskrivningar av nya mättekniker samt texter om lagring, analys och visualisering av 3D geografiska data.

GIS-CENTRUM LUNDS UNIVERSITET

studentlitteratur.se

Art.nr 36386

Profile for Smakprov Media AB

9789144131740  

9789144131740  

Profile for smakprov

Recommendations could not be loaded

Recommendations could not be loaded

Recommendations could not be loaded

Recommendations could not be loaded