9789147083763

Tema

012 345 6 9 7 8 8 012 765 9 345 987 678 9 6 5 4 3

Problemlösning

En av de viktigaste förmågorna i matematik är att kunna lösa problem.

För att nå framgång inom problemlösning behöver du som lärare skapa och stödja kommunikationen i klassrummet.

Tema problemlösning är ett material som ska stimulera eleverna och bidra till att öka deras kunnande och intresse för matematik. Genom att presentera olika lösningar på matematiska problem får du inspiration och nya idéer inför arbetet med eleverna.

Tema problemlösning kan också användas som ett fortbildningsmaterial för lärare som vill fördjupa sina kunskaper inom problemlösning.

Författare till Tema problemlösning är Doris Lindberg och Cecilia Christiansen.

Båda har tilldelats Kungliga vetenskapsakademins Ingvar Lindqvistspris i matematik.

Tema Problemlösning I MATEMATIK

0123 4567 89 0123 4567 89 0123 4567 89

Best.nr 47-08376-3 Tryck.nr 47-08376-3

Cecilia Christiansen Doris Lindberg

galler_tema prob_OMS.indd 1

10-02-18 08.53.24

Innehåll Inledning Hästbilder Vattna blommor Hallon Dricka milkshake Spela kula Sten, sax och påse Expressliften Pepparkakor Fotbollsbilder Löpning Pengar Djuraffären Pennor och sudd Dockskåpsmöbler Pärlor och knappar Emmas häst Karamellskålen Utflykt Kantareller Skolresan

3 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 33 36 39 42 45 48 51 54

ISBN 978-91-47-08376-3 © 2010 Cecilia Christiansen, Doris Lindberg och Liber AB Redaktör: Mirvi Unge Thorsén Formgivare: Ulrika Enehage Omslag: Marta Coronel Illustrationer: Sonja Reuterskiöld Produktion: Bertil Stålenmark Första upplagan 1 Repro: Repro 8 AB, Stockholm Tryck: Sahara Printing, Egypten 2010 Liber AB, 113 98 Stockholm Tfn 08-690 92 00 www.liber.se Kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se

KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUSavtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

UNDANTAG Kopiering är tillåten av de sidor som är markerade med Kopiering tillåten. Kopiering får dock endast ske till eleverna på den egna skolan, och kopiorna får inte på något sätt spridas utanför den egna skolans verksamhet.

Till dig, som har valt att använda Tema Problemlösning Vi är verkligen glada för att du har valt att arbeta med vårt läromedel. Du använder det naturligtvis på det sätt som passar dig bäst, men vi vill här berätta om de tankar som ligger bakom Tema Problemlösning.

Det finns två grundtankar bakom läromedlet: Vi vill erbjuda problem som ska stimulera eleverna och bidra till att öka deras kunnande och intresse för matematik.

Vi vill också att materialet ska användas av dig som lärare för att du ska fördjupa dina kunskaper i problemlösning. Genom att visa olika lösningar på matematiska problem kan du få inspiration och nya idéer inför arbetet med eleverna. Materialet är alltså tänkt som ett fortbildningsmaterial för dig själv eller tillsammans med kollegor.

Lesson Study Vi har de senaste åren arbetat med Lesson Study och upplevt det som ett mycket positivt sätt att fortbilda oss på. Idéerna om Lesson Study kommer från Japan men används nu i ganska många länder bl.a. de länder som ligger i topp i de internationella undersökningarna (TIMSS). Det finns flera forskare som anser att förklaringen till de mycket goda resultaten i dessa undersökningar i t.ex. Japan, Kina, Singapore och Sydkorea är att man där använder Lesson Study.

Tema Problemlösning kan du tillsammans med dina kollegor med fördel använda för att följa en arbetsgång som liknar den som används vid Lesson Studies. Ni bör då vara en grupp lärare (maximalt sex personer i varje grupp), som träffas regelbundet för att planera hur ni ska undervisa för att öka elevernas förståelse. Kortfattat kan arbetet gå till så här: 1. Välj ett problem.

2. Låt alla i gruppen få tid för att lösa problemet. Försök även att lösa problemet på så många olika sätt som möjligt. Diskutera tillsammans de olika lösningarna.

3. Gå sedan igenom de förslag på lösningar som finns i den här boken. Ta stöd av varandra om det är förklaringar som någon/några av er har svårigheter att förstå. Diskussionerna i gruppen leder ofta till ett behov att söka efter ytterligare information/kunskap i aktuell litteratur eller på nätet. NCM http://ncm.gu.se är här en guldgruva att ösa ur.

4. Låt elever i en klass få arbeta med problemet.

5. Studera tillsammans i lärargruppen vilka lösningar som eleverna kommit fram till och vad som har varit positivt och negativt med lektionen.

6. Vid Lesson Study filmas lektionen och kollegor sitter med i klassrummet för att studera lektionen. Både filmen och de direkta iakttagelserna används sedan vid diskussionerna angående hur lektionen kan förbättras. Samma tillvägagångssätt kan även användas vid arbetet med Tema Problemlösning, d.v.s. lektionen filmas och kollegor är med på varandras lektioner för att se hur eleverna arbetar med problemen.

7. Problemet förändras utifrån de iakttagelser som gjorts vid lösningen den första gången.

8. Det modifierade problemet löses av en annan klass/grupp.

3

Då du och dina kollegor väljer problem, hur ni ska arbeta med dem och vilka fördjupade kunskaper ni behöver, blir arbetet med Tema Problemlösning ett sätt att fortbilda dig/er på som känns meningsfullt. Du/ni väljer den fortbildning som ni har behov av, inte något som ni blir beordrade att göra.

Naturligtvis kan du använda det här materialet även om du inte har andra kollegor att samarbeta med. Genom att träna dig på att lösa problem ökar du upp en säkerhet som gör det möjligt för dig att våga följa eleverna i deras förslag på olika lösningar. Du kommer även att utveckla ditt kreativa tänkande i matematik och din förmåga att formulera egna matematiska problem till dina elever.

Vad är ett matematiskt problem?

När man arbetar med problemlösning bör man vara medveten om skillnaden mellan uppgift och problem. Uppgifter är något som eleven har träffat på tidigare och som kan lösas med vanliga standardmetoder. Ett matematiskt problem är något som eleven inte har träffat på tidigare, som upplevs som en utmaning, kräver ansträngning och som måste få ta tid. När vi arbetar med våra elever brukar vi poängtera denna skillnad för att uppmuntra eleverna att fortsätta att tänka när de vill ge upp för tidigt.

Det är viktigt att vara tydlig med eleverna om målen vid färdighetsträning respektive problemlösning. Vid färdighetsträning gäller det bland annat att automatisera t.ex. tabeller och då finns även tidsaspekten med. Vid problemlösning är det processen som är det viktiga och tidsfaktorn av helt underordnad betydelse. Färdighetsträning sker ofta individuellt, men vid problemlösning är kommunikationen central. Målet: kommunicera i tal, skrift och handling med användning av matematiskt språk, symboler och andra uttryckssätt, får eleverna träna när de arbetar med problemlösning.

I Tema Problemlösning finns det till de flesta problemen utvidgningar och möjlighet till generaliseringar för att alla elever ska få tillräcklig stimulans. Vår strävan har varit att problemen ska vara en utmaning för alla elever; att få eleverna ”att stå på” d.v.s. verkligen anstränga sig (Vygotsky: den proximala utvecklingszonen), och få känna glädjen att lyckas. När du arbetar med ett problem i klassen kan du även be eleverna att konstruera liknande problem, som det ni har arbetat med. Det är ett utmärkt sätt att kunna se om eleverna har förstått problemet.

Arbeta med problemlösningsstrategier Ett av de mål vi ska arbeta mot i matematik är: pröva, undersöka, använda och värdera strategier vid problemlösning. För att eleverna ska kunna nå det här målet måste de ges möjligheter att arbeta med olika problemlösningsstrategier.

Exempel på dem är: • Steg för steg • Gissa och pröva • Rita en bild • Arbeta bakifrån • Sätta upp en tabell

4

Använd olika uttrycksformer Vi har sett att eleverna använder olika sätt att utrycka sig då de löser ett problem. Ju flera uttrycksformer elever kan använda desto duktigare problemlösare blir de. Men eleverna behöver din hjälp för att bli framgångsrika problemlösare; du måste hjälpa dem att klargöra och utveckla sina tankar, värdera valda strategier och lösningar, samt erbjuda dem möjlighet att diskutera matematik.

En del elever tycker att det är lättast om de får använda ett konkret material, några vill helst uttrycka sig muntligt eller skriftligt medan andra ritar en bild.

Vi har valt att presentera uttrycksformerna efter modellen som presenteras på sidan 32 i boken Rika matematiska problem (Hagland, Hedrén och Taflin).

• Konkret • Logisk/språklig • Grafisk/geometrisk • Aritmetisk/algebraisk Alla uttrycksformer finns inte med i varje problem, men det hindrar naturligtvis inte dig från att ta upp andra än de vi har valt.

Använd konkret material Hästbilder

x

Vattna blommor

Logisk/språklig lösning

Rita en bild

Gissa och pröva

x

Gör en tabell

Grafisk lösning

Räkna aritmetiskt

x

x

x

x

Hallon

x

x

x

x

Dricka milkshake

x

x

x

x

Spela kula Sten, sax och påse

x x

x

x

x

x

Pepparkakor

x

x

x

Fotbollsbilder

x

x

x

Löpning

x x

Expressliften

x

x

Pengar

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Djuraffären

x

x

x

Pennor och sudd

x

x

x

Dockskåpsmöbler

x

x

x

Pärlor och knappar

x

x

x

Emmas häst

x

x

x

Karamellskålen

x

x

x x

x

x

Utflykt

Räkna algebraiskt

x

x x

x x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Kantareller

x

x

Skolresan

x

x

x

x x

x

x

x

Tanken med Tema Problemlösning är att alla elever i klassen ska kunna vara med och lösa problemet.

5

Förslag på arbetsgång i klassrummet: 1. Presentera problemet och försäkra dig om att alla elever förstår problemet.

Förtydliga problemet om det behövs.

2. Låt eleverna få ordentligt med tid för att försöka lösa problemet individuellt.

3. Eleverna får sedan berätta om sina lösningar för en eller några kamrater.

Du kan då lyssna på hur de tänker, formativ bedömning, och vet vilka olika lösningar som dina elever kommit fram till.

4. Olika lösningar presenteras för hela klassen. Lösningarna diskuteras. Ta gärna upp felaktiga lösningar till diskussion; inte som negativ kritik utan för att tillsammans hjälpas åt att se ”var det gick fel”.

Det här arbetet ger eleverna möjlighet att analysera, motivera och värdera val och slutsatser i tal och skrift vid matematiskt aktivitet vilket är ett mål i matematik.

Variera arbetsgången genom att uppmana eleverna att lösa ett problem med hjälp av så många olika uttrycksformer som möjligt.

Aktuell forskning visar att de undervisningsformer, som ger de bästa resultaten är: • När läraren ”modellerar” hur han/ hon löser ett problem, d.v.s. tänker högt och förklarar hur problemet löses. Det är viktigt att eleverna tränar sig att reflektera över vid vilken typ av problem en lösningsmetod är att föredra framför en annan.

• Den logisk/språkliga lösningen, d.v.s. att eleverna förklarar muntligt eller skriftligt vilken/vilka lösningsformer de använder och varför.

Att arbeta med matematiska problem ger både dig och dina elever utomordentliga utvecklingsmöjligheter och vi hoppas att Tema Problemlösning ska vara ett stöd för dig i det arbetet.

Lycka till!

Cecilia och Doris

Litteratur Behöver du hjälp med att hitta andra matematiska problem kan vi rekommendera Tema Matematik som innehåller många problem men även en del uppgifter.

Lindberg, D., Kuijl, B (2008-2010): Tema matematik 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Stockholm: Liber Vi rekommenderar också: Backman, B-L., Hedlund, J. (1997): Regula de tri – En undersökning som visar hur ett äldre matematiskt tankesätt kan påverka barns problemlösningsförmåga.

Examensarbete / Luleå tekniska universitet, Pedagogutbildningarna Emanuelsson, G. m.fl. (red.): NCM/ Nämnaren. Göteborg: Göteborgs universitet Hagland, K., Hedrén, R., Taflin, E. (2005): Rika matematiska problem. Stockholm: Liber Larsson, M. (2007): 32 Rika problem. Stockholm: Liber Polya, G. (1957): How to solve it, Princeton University Press Vaderlind, P. (2005): Klassisk och modern nöjesmatematik. Stockholm: Svenska förlaget.

Wyndhamn, J., Riesbeck, E., Schoultz, J. (2000): Problemlösning som metafor och praktik. Institutionen för tillämpad lärarkunskap. Linköping: Linköpings universitet 6

Några regler som kan vara användbara vid problemlösning Delbarhetsregler • • • • • •

Delbart med 2: Alla jämna tal är delbara med 2.

Delbart med 3: Alla tal vars siffersumma är delbar med 3, t.ex. talet 627 är delbart med 3 eftersom siffersumman 6 + 2 + 7 = 15 är delbar med 3.

Delbart med 4: Alla tal vars två sista siffror bildar ett tal som är delbart med 4, t.ex. talet 5912 är delbart med 4 eftersom 12 är delbart med 4.

Delbart med 5: Alla tal som slutar på 0 eller 5.

Delbart med 6: Alla tal som är delbara med både 2 och 3.

Delbart med 9: Alla tal vars siffersumma är delbar med 9, t.ex. talet 837 är delbart med 3 eftersom siffersumman 8 + 3 + 7 = 18 är delbar med 9.

Regula de tri Regula de tri är ett gammalt matematiskt tankesätt som i direkt översättning från latin betyder regeln om tre. Regeln går ut på att med hjälp av tre kända storheter ta reda på en fjärde okänd storhet.

Exempel: 14 kuddar kostar 882 kr. Vad kostar 23 kuddar?

14 kuddar

882 kr

23 kuddar

x kr

x = 23 · 882 14 x = 1449 kr Svar: 23 kuddar kostar 1449 kr.

(Ställ upp kuddar under kuddar och kr under kr. Starta sedan från x:et och räkna ut 23 · 882 dividerat med 14) Det man egentligen gör är att man räknar ut vad en kudde kostar (882/14) och sedan multiplicerar med 23.

Du kan läsa mera om Regula de Tri i en uppsats av Bo-Lennart Backman och Johan Hedlund Regula de tri – En undersökning som visar hur ett äldre matematiskt tankesätt kan påverka barns problemlösningsförmåga. http://epubl.luth.se/1402-1595/1997/080/LTU-PED-EX-97080-SE.pdf Regula falsi, Regeln om det falska antagandet Regula Falsi användes före 1700-talet, innan man hade algebra och det symboliska matematiska språket. Metoden går ut på att man gissar en lösning. Därefter undersöker man hur många gånger större eller mindre det svar man får är än det som står i uppgiften. Sedan dividerar eller multiplicerar man allt med det talet. Det är lättare att förstå om du tittar på exemplet på sidan 41.

7

Hästbilder

A) Hur många hästbilder kan Emma ha?

B) Om Emma hade fler bilder än 150 och fortsatte att räkna på samma sätt, vilket är då det minsta antal hästbilder hon kan ha?

8

KOPIERING TILLÅTEN | Tema problemlösning © Liber AB

Emma samlar på hästbilder. Hon har fler än 10 men färre än 150.

Om Emma räknar sina bilder fyra i taget får hon en bild över.

Räknar hon fem i taget så får hon två över. Om Emma räknar sex i taget är det en för lite.

LÄRARHANDLEDNING

Hästbilder

Gör en tabell

Liknande problem: Spela kula eller Kantareller

Använd konkret material a) Använd hästbilder, klossar eller annat plockmaterial samt stickor.

Lägg ut fyra + 1, fem + 2 och sex – 1 klossar under varandra. Avgränsa varje grupp med en sticka.

Vi ser att det finns för många klossar i den mellersta raden. Fyll på i de två övriga raderna med nya klossar.

Nu är det flest i den understa raden, fyll på i de två andra raderna.

Fortsätt på samma sätt tills det finns lika många klossar i alla tre raderna (stickorna sammanfaller).

Svar: Emma kan ha 17, 77 eller 137 hästbilder.

Logisk/språklig lösning

KOPIERING FÖRBJUDEN | Tema problemlösning © Liber AB

a) Då det ska vara en över när vi räknar fyra i taget börjar vi på fem. Alltså fem, nio, tretton o.s.v. När vi räknar fem i taget ska det vara två över: sju, tolv, sjutton, o.s.v. När vi räknar sex i taget ska det vara en mindre; fem, elva, sjutton o.s.v.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

fyrans tabell 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100 104 108 112 116 120 124 128 132 136 140 144 148 152

femmans tabell 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190

sexans tabell 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 126 132 138 144 150 156 162 168 174 180 186 192 198 204 210 216 222 228

fyrans tabell+1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97 101 105 109 113 117 121 125 129 133 137 141 145 149 153

femmans tabell+2 7 12 17 22 27 32 37 42 47 52 57 62 67 72 77 82 87 92 97 102 107 112 117 122 127 132 137 142 147 152 157 162 167 172 177 182 187 192

sexans tabell-1 5 11 17 23 29 35 41 47 53 59 65 71 77 83 89 95 101 107 113 119 125 131 137 143 149 155 161 167 173 179 185 191 197 203 209 215 221 227

a) Det är viktigt att elever verkligen gör tabellen upp till 150 för att därmed visa att de hittat alla möjliga lösningar.

Det första tal som är gemensamt är sjutton, nästa är sjuttiosju och det sista 137.

Svar: Emma kan ha 17, 77 eller 137 hästbilder.

Svar: Emma kan ha 17, 77 eller 137 hästbilder.

b) I tabellens sista kolumn ser vi att svaren sammanfaller var tionde gång. Räknar vi tio steg neråt från 137 i sista kolumnen hamnar vi på 197.

Man kan också tänka så här: Vi ser att skillnaden mellan de olika alternativt är 60.

137 – 77 = 60 77 – 17 = 60 För att få fram nästa alternativt adderar vi 60 till 137 och får fram 197.

Svar: Emma har 197 hästbilder.

9

Vattna blommor

A) Hur mycket vatten finns det i kannan när Oskar vattnat blommorna?

B) Hur mycket vatten måste Oskar fylla i för att kannan ska vara helt fylld?

10

KOPIERING TILLÅTEN | Tema problemlösning © Liber AB

Oskar ska hjälpa sin mormor att vattna blommor. Vattenkannan 3 1 rymmer sex liter. Kannan är fylld till 4 . Oskar använder 3 av vattnet i kannan till blommorna.

LÄRARHANDLEDNING

Vattna blommor Logisk/språklig lösning Vattenkannan rymmer sex liter. Tre fjärdedelar av kannan är fylld. Vi tar hälften av sex liter, det är tre liter, sedan tar vi hälften av tre liter, det är en och en halv liter, det är en fjärdedel. Nu behöver vi tre sådana, dvs. tre gånger en och en halv. Det är 4,5 liter.

Det finns 4,5 l vatten. Oskar använder en tredjedel av det för att vattna blommorna. En tredjedel av fyra och en halv liter är 1,5 l. Då har han kvar 4,5 – 1,5 = 3 liter. a) Eftersom kannan rymmer 6 liter så är den nu fylld till hälften. Oskar måste fylla kannan med ytterligare 3 liter för att den ska vara full.

Svar: Det finns 3 liter i kannan när Oskar har vattnat blommorna.

Rita en bild

4 4 3 4 2 4 1 4

1,5 l 1,5 l 1,5 l

4 4 3 4 2 4 1 4

1,5 l 1,5 l

1 b) Vattenkannan har delats in i fjärdedelar. 4 har mar1 kerats. En av dessa fjärdedelar (3 av vattenmängden) används till att vattna blommorna.

2 Då finns det vatten i 4 av kannan.

2 1 4=2 1 2 av 6 liter är 3 liter.

Svar: Oskar måste fylla på med ytterligare 3 liter för att kannan ska vara fylld.

KOPIERING FÖRBJUDEN | Tema problemlösning © Liber AB

Räkna aritmetiskt Från början 6 4 = 1,5 liter 1,5 · 3 = 4,5 liter 1 3 av vattenmängden för att vattna blommorna 4,5 3 = 1,5 liter vatten till blommorna Kvar i kannan 4,5 – 1,5 = 3 liter För att fylla kannan måste Oskar hälla i 6 – 3 = 3 liter vatten.

Svar: Han måste hälla i 3 liter för att fylla kannan.

11

Hallon

A) Hur mycket hallon är det i varje ask?

B) Hur många deciliter hallon måste Emma plocka för att askarna ska vara helt fyllda?

C) Mormor bestämmer sig för att ta bort en ask. Hur mycket hallon måste Emma nu plocka för att de fyra askarna ska vara helt fyllda?

12

KOPIERING TILLÅTEN | Tema problemlösning © Liber AB

Emma hjälper mormor att plocka hallon. Hon plockar 6 liter.

Mormor ber Emma att lägga hallonen i fem askar. Det ska vara lika mycket i varje ask. Askarna blir inte helt fulla. Det saknas en fjärdedel i varje ask.

LÄRARHANDLEDNING

Rita en bild

Hallon

Observera att ¾ motsvaras av 12 dl. För att få ¼ måste man dividera med 3 och inte med fyra som de flesta tror. Detta syns tydligt om man ritar bild.

Använd konkret material

6 liter ska fördelas på 5 askar

Det blir en liter i varje ask och en liter kvar att fördela.

1 liter = 10 deciliter. Det blir 2 dl i varje ask.

3 4 ask är 12 dl 3 4 Varje ask innehåller nu 12 dl.

En ask rymmer 16 dl.

4 dl 4 dl 4 dl 4 dl

3 = 12 dl. Det fattas 4 dl för att asken ska vara helt fylld.

4

Logisk/språklig lösning a) Om man delar upp sex liter i fem askar blir det först en liter i varje ask. Den återstående litern måste göras om till en mindre enhet; deciliter. Tio deciliter uppdelat i fem askar ger två deciliter i varje ask.

Svar: Det finns 1,2 l eller 1 l 2 dl eller 12 dl hallon i varje ask.

Räkna aritmetiskt 6 a) 5 = 1,2

KOPIERING FÖRBJUDEN | Tema problemlösning © Liber AB

Svar: Det är 1,2 liter i varje ask. b) Det saknas en fjärdedel för att asken ska vara fylld, alltså är tre fjärdedelar av asken fylld. Tre fjärdedelar motsvaras av 12 deciliter och för att ta reda på hur mycket en fjärdedel är dividerar man tolv med tre. En fjärdedel är därmed lika med 4 deciliter. Fem askar ska fyllas med fyra deciliter vardera. Det blir fem gånger fyra lika med tjugo deciliter.

Svar: Emma måste plocka 20 dl eller 2 l för att alla fem askarna ska vara fyllda. c) Alt. 1: Om det bara finns fyra askar så delar man upp sex liter på fyra. Det blir en och en halv liter i varje ask.

En ask innehöll först tolv deciliter och sedan fyllde man på med fyra deciliter för att få den fylld. När asken är fylld innehåller den sexton deciliter. I varje ask finns nu en och en halv liter. Det saknas därmed en deciliter för att asken ska vara fylld. Fyra askar ska fyllas. Alltså måste hon plocka ytterligare fyra deciliter.

Alt 2: Vi vet nu att en ask rymmer 1,6 l. Fyra askar rymmer 1,6 · 4 = 6,4 l. Emma har plockat 6 l. Då fattas 6,4 – 6 = 0,4 l för att askarna ska vara fyllda.

Svar: Emma måste plocka 4 dl för att askarna ska vara fyllda.

1 3 b) Det fattas 4 i varje ask, dvs. 4 av asken är fylld.

3 4 ask = 1,2 liter = 12 dl 1 12 Då är 4 ask 3 = 4 dl Totalt fattas 4 · 5= 20 dl Svar: Emma måste plocka 20 dl eller 2 l hallon för att askarna ska vara fyllda. c) 6 liter fördelas på fyra askar.

6 4 = 1,5 liter = 15 dl i varje ask En ask rymmer 12 + 4 = 16 dl (se b ovan) 16 – 15 = 1dl Det fattas 1 dl i varje ask, eftersom det är fyra askar måste hon plocka ytterligare 4 dl.

Svar: Hon måste plocka 4 dl till för att askarna ska vara helt fyllda.

13

Dricka milkshake

A) Hur lång tid skulle det ta att dricka upp milkshaken om de drack ur samma milkshake samtidigt och med samma hastighet som tidigare?

En annan dag tog det 4 minuter för Emma att dricka sin milkshake. För Oskar gick det fortfarande dubbelt så fort.

B) Hur lång tid skulle det nu ta om de drack ur samma milkshake samtidigt och med samma hastighet?

14

KOPIERING TILLÅTEN | Tema problemlösning © Liber AB

Det tog 6 minuter för Emma att dricka upp sin milkshake.

För Oskar gick det dubbelt så fort.

LÄRARHANDLEDNING

b) För Emma tar det 4 min och för Oskar 2 min att dricka en milkshake:

Dricka milkshake Eleverna måste vara medvetna om att det går snabbare om båda dricker ur samma glas samtidigt än om de dricker ur varsitt glas. Därför måste svaret i uppgift a) vara mindre än tre minuter (så lång tid som det tar för Oskar att själv dricka sin milkshake), och i b) mindre än 2 minuter.

EMMA

EMMA

EMMA

OSKAR

EMMA

EMMA OSKAR

3

EMMA

OSKAR

EMMA

EMMA

EMMA

EMMA

EMMA

OSKAR

Oskar

EMMA

EMMA

EMMA

1 min

1 min

OSKAR

OSKAR

EMMA

1 min

På en minut dricker Emma en fjärdedel och Oskar hälften av milkshaken.

GLAS MED MILKSHAKE 2

1 min Emma

Använd konkret material 1

1 min 1 min

Milkshake

OSKAR

EMMA

EMMA OSKAR

Emma

OSKAR

EMMA EFTER 1 MINUT

EFTER 2 MINUTER

Oskar

Logisk/språklig lösning a) Om de skulle dricka i 6 minuter skulle Emma hinna dricka upp en milkshake och Oscar 2 st. På sex minuter dricker de tre milkshake, men vi vill veta hur lång tid det tar för dem att dricka en milkshake. Då dividerar vi sex med tre, alltså 2 minuter.

1 min

Nu finns det en fjärdedel kvar som det tar en minut för Emma att dricka. Vi delar den i tre delar. Det tar då 20 sekunder för Emma att dricka en sådan del.

Svar: Det tar 2 minuter om de dricker ut samma milkshake samtidigt. b) Vi låter dem nu få dricka i 4 minuter. Emma hinner dricka en milkshake och Oscar 2 st., dvs. på fyra minuter dricker de tre milkshake. Men vi vill veta hur lång tid det tar för dem att dricka en milkshake. Då måste vi dividera fyra med tre. Att dividera fyra med tre går inte jämnt ut, så vi omvandlar minuterna till sekunder.

Fyra minuter är 4 · 60 = 240 sekunder. Vi dividerar 240 sekunder med 3 och får 80 sekunder som är lika mycket som 1 minut och 20 sekunder.

Svar: Det tar 1 minut och 20 sekunder om de dricker ut samma milkshake samtidigt.

Rita en bild a)

På 20 sekunder dricker de tillsammans det som finns kvar.

Emma

1 3 av 1 minut

Oskar

2 3 av 1 minut

Svar: Det tar 1 min och 20 sek om de dricker ut samma milkshake samtidigt.

KOPIERING FÖRBJUDEN | Tema problemlösning © Liber AB

Räkna aritmetiskt 1 1 a) På en minut dricker Emma 6 och Oskar 3 av milk1 1 1 2 3 1 shaken. Tillsammans dricker de 6 + 3 = 6 + 6 = 6 = 2 av milkshaken på en minut, dvs. på en minut dricker de halva milkshaken. Då tar alltså två minuter för dem att dricka hela.

Svar: Det tar 2 min om de dricker ut samma milkshake samtidigt.

1 1 b) På en minut dricker Emma 4 och Oskar 2 av milk1 1 1 2 3 shaken. Tillsammans dricker de 4 + 2 = 4 + 4 = 4 av 3 milkshaken på en minut. Om 4 tar en minut att dricka 1 måste det som är kvar, 4, ta 1min/3 = 20 sekunder.

Svar: Det tar 1 minut och 20 sekunder om de dricker ur samma milkshake samtidigt.

15

Spela kula Emma, Oskar, Victor och Alva ska spela kula. Emma delar på kulorna i sin påse så att de får lika många var. Alla får minst en kula och det blir en kula över.

Då kommer Charlie och vill vara med. Emma samlar ihop kulorna och delar sedan upp dem på fem. Fortfarande blir det en kula över.

A) Vilket är det minsta antal kulor som Emma kan ha i sin påse?

B) Vilket är det minsta antal kulor som Emma kunde ha haft i påsen om Oskar inte varit med?

C) Hur svarar du jämfört med uppgift a?

Varför tror du att det är så?

16

KOPIERING TILLÅTEN | Tema problemlösning © Liber AB

Så kommer Siri. Nu är de tvungna att dela upp kulorna på sex. Även den här gången blir det en kula över.

LÄRARHANDLEDNING

Svar: Det minsta antal kulor som Emma kan ha är 61.

Spela kula

c) Vi får samma svar i a) och b) därför att MGN för 4, 5 och 6 är densamma som för 3, 4 och 5.

Liknande problem: Hästbilder

Logisk/språklig lösning Varje gång de delar upp kulorna blir det en kula över. a) Antalet kulor minus ett måste vara jämnt delbart med fyra, fem och sex. Vi använder oss av delbarhetsreglerna. Talet är jämnt eftersom det är delbart med fyra. För att det ska vara delbart med fem måste talet sluta på noll eller fem. Då vet vi att talet måste sluta på noll, för annars är det inte jämnt. För att det ska vara delbart med sex måste talet, förutom vara jämnt, ha en siffersumma som är delbar med tre. Det första tal som kan bli aktuellt är 20 men då gäller bara regeln för fyra och fem. Samma sak gäller för 40. Därefter provar vi med 60 och för det antalet kulor gäller alla tre delbarhetsreglerna. Antalet kulor måste vara 61 eftersom det hela tiden skulle bli en kula över.

Svar: Det minsta antal kulor som Emma kan ha är 61. b) Varje gång de delar upp kulorna blir det en kula över.

Antalet kulor minus ett måste vara jämnt delbart med tre, fyra och fem. Vi använder oss av delbarhetsreglerna den här gången också. Talet måste ingå i fyrans tabell.

Det måste sluta på noll eller fem eftersom det är delbart med fem. Det kan inte vara fem eftersom det inte finns i fyrans tabell. För att det ska vara delbart med tre måste siffersumman vara delbar med tre. Det tal för vilket alla tre reglerna gäller är fortfarande 60. Antalet kulor är minst 61 stycken Svar: Det minsta antal kulor som Emma kan ha är 61.

Emma får alltid en kula över när hon delar upp dem. a) 4 spelare

5 spelare

6 spelare

4

·

2

= 8

5

·

2

= 10

6

·

2

= 12

4

·

3

= 12

5

·

3

= 15

6

·

3

= 18

4

·

4

= 16

5

·

4

= 20

6

·

4

= 24

4

·

5

= 20

5

·

5

= 25

6

·

5

= 30

4

·

6

= 24

5

·

6

= 30

6

·

6

= 36

4

·

7

= 28

5

·

7

= 35

6

·

7

= 42

4

·

8

= 32

5

·

8

= 40

6

·

8

= 48

4

·

9

= 36

5

·

9

= 45

6

·

9

= 54

4

·

10 = 40

5

·

10

= 50

6

·

10 = 60

4

·

11 = 44

5

·

11

= 55

4

·

12 = 48

5

·

12

= 60

4

·

13 = 52

4

·

14 = 56

4

·

15 = 60

60 + 1 = 61 Svar: Det minsta antal kulor som Emma kan ha är 61. b) 3 spelare

4 spelare

c) Det är samma svar i båda uppgifterna därför att det minsta tal som är jämnt delbart med 3, 4, 5 och 6 är 60.

En kula blev hela tiden över, alltså är antalet kulor 61.

3

·

2 = 6

4

· 2

= 8

5

· 2

= 10

3

·

3 = 9

4

· 3

= 12

5

· 3

= 15

3

·

4 = 12

4

· 4

= 16

5

· 4

= 20

Gissa och pröva

3

·

5 = 15

4

· 5

= 20

5

· 5

= 25

a) Antal kulor

3

·

6 = 18

4

· 6

= 24

5

· 6

= 30

3

·

7 = 21

4

· 7

= 28

5

· 7

= 35

3

·

8 = 24

4

· 8

= 32

5

· 8

= 40

3

·

9 = 27

4

· 9

= 36

5

· 9

= 45

3

· 10 = 30

4

· 10 = 40

5

· 10 = 50

3

· 11 = 33

4

· 11 = 44

5

· 11 = 55

3

· 12 = 36

4

· 12 = 48

5

· 12 = 60

3

· 13 = 39

4

· 13 = 52

3

· 14 = 42

4

· 14 = 56

Räkna aritmetiskt

3

· 15 = 45

4

· 15 = 60

a) 4 = 2 · 2

3

· 16 = 48

5=5·1

3

· 17 = 51

6=2·3

3

· 18 = 54

3

· 19 = 57

3

· 20 = 60

37 41 45 49 53 57 61 KOPIERING FÖRBJUDEN | Tema problemlösning © Liber AB

Gör en tabell

4 spelare 9 var 1 över 10 var 1 över 11 var 1 över 12 var 1 över 13 var 1 över 14 var 1 över 15 var 1 över

5 spelare 7 var 2 över 8 var 1 över 9 var 9 var 4 över

12 var 1 över

6 spelare 6 var 5 över

10 var 1 över

Svar: Hon kan ha minst 61 st kulor i påen.

MGN (minsta gemensamma nämnare) (4, 5, 6) = 2 · 2 · 3 · 5 = 60 60 + 1 = 61 Svar: Det minsta antal kulor som Emma kan ha är 61.

5 spelare

60 + 1 = 61 Svar: Det minsta antal kulor som Emma kan ha är 61.

b) 3 = 3 · 1 4=2·2 5=5·1

c) Vi får samma svar i a) och b) därför att MGN för 4, 5 och 6 är samma som för 3, 4 och 6.

60 + 1= 61

17

Tema

012 345 6 9 7 8 8 012 765 9 345 987 678 9 6 5 4 3

Problemlösning

En av de viktigaste förmågorna i matematik är att kunna lösa problem.

För att nå framgång inom problemlösning behöver du som lärare skapa och stödja kommunikationen i klassrummet.

Tema problemlösning är ett material som ska stimulera eleverna och bidra till att öka deras kunnande och intresse för matematik. Genom att presentera olika lösningar på matematiska problem får du inspiration och nya idéer inför arbetet med eleverna.

Tema problemlösning kan också användas som ett fortbildningsmaterial för lärare som vill fördjupa sina kunskaper inom problemlösning.

Författare till Tema problemlösning är Doris Lindberg och Cecilia Christiansen.

Båda har tilldelats Kungliga vetenskapsakademins Ingvar Lindqvistspris i matematik.

Tema Problemlösning I MATEMATIK

0123 4567 89 0123 4567 89 0123 4567 89

Best.nr 47-08376-3 Tryck.nr 47-08376-3

Cecilia Christiansen Doris Lindberg

galler_tema prob_OMS.indd 1

10-02-18 08.53.24