Issuu on Google+

lena Alfredsson Kajsa Br책ting Patrik erixon hans heikne

Matematik

5000 Kurs 1bc Vux l채robok

natur & Kultur

Kurs 1bc Vux.indb 1

2013-07-11 15:07


Kurs 1bc Vux.indb 2

2013-07-11 15:07


Välkommen till Matematik 5000 Matematik 5000 är en läroboksserie för gymnasieskolan och vuxenutbildningen. Den är inriktad på färdigheter, förståelse, kommunikation och problemlösning och erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning.

Varje kapitel avslutas med:

Matematik 5000 ger eleverna goda förutsättningar att utveckla de förmågor och nå de kunskapsmål som beskrivs i den nya ämnesplanen.

• K an du det här? och Diagnos som tillsammans

Denna bok, Kurs 1bc Vux lärobok, riktar sig till elever som studerar på komvux och liknande utbildningar. Kapitel 1, 2, 3, 4, 5 och 6 motsvarar kurs 1b. Kapitel 1, 2, 3, 4.1, 4.2, 5, 6 och 7 motsvarar kurs 1c.

Hur är boken upplagd? • T eoriavsnitten utgår ofta från konkreta exempel

som framställs och förklaras på ett sätt som ger eleverna möjlighet att förstå och upptäcka matematiken. Teorin avslutas med flera lösta exempel som belyser det viktigaste. Därefter kommer övningsuppgifter i tre nivåer, a, b och c, i stigande svårighetsgrad.

• Aktiviteterna ger stora möjligheter att variera

undervisningen. De finns i fem olika kategorier: Upptäck, Undersök, Diskutera, Laborera och Modellera. De flesta är avsedda för arbete i grupp. I varje kapitel finns dessutom en kort Inledande aktivitet som introducerar delar av kapitlets innehåll.

• I Teman finns teori och uppgifter anpassade

till ekonomi-, estetiska-, humanistiska- och samhällsvetenskapsprogrammet samt till vuxenutbildningen. I Historik, med tillhörande uppgifter, sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.

• På många sidor blandas uppgifter av standard-

karaktär med uppgifter som kräver matematisk problemlösning. Uppgifter av den senare typen finns även samlade i speciella avsnitt som heter Problemlösning.

förord

Kurs 1bc Vux.indb 3

• E n Aktivitet som uppmuntrar till kommunika-

tion: Sant eller falskt?

• E n kort Sammanfattning av kapitlet.

ger eleverna en god möjlighet till egen kunskapskontroll. I Kan du det här? kan eleverna i par eller smågrupper värdera sina kunskaper om matematiska begrepp och strategier och i Diagnos kan de enskilt testa sina grundläggande kunskaper. Till dessa diagnoser finns fullständiga lösningar i svarsdelen.

• O m en elev behöver repetera delar av kapitlet

finns Repetitionsuppgifter i slutet av boken. Repetitionsuppgifterna är texten till de lösta uppgifterna i bokens teoriavsnitt. Efter dessa repetitionsuppgifter finns sex diagnoser. De har ett liknande innehåll som diagnoserna i varje kapitelslut.

• T vå olika varianter av Blandade övningar av-

slutar varje kapitel. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel. Blandade övningar består av tre delar: Utan räknare, Med räknare och Utredande uppgifter.

I Svarsdelen till denna bok, Kurs 1bc Vux Lärobok, finns ledtrådar och lösningar till ett större antal av uppgifterna jämfört med Kurs 1b Grön lärobok. Till läroboken finns en lärarhandledning med kommentarer, ytterligare aktiviteter och övningsuppgifter samt en provbank. Med Matematik 5000 inbjuder vi lärare och elever till en variation av arbetssätt och arbetsformer och erbjuder många olika möjligheter för eleverna att utveckla sina matematiska förmågor. Mer information om läromedlet och digitalt material finns på www.nok.se/matematik5000

3

2013-07-11 15:07


Innehåll 1.

Aritmetik – Om tal 6 Inledande aktivitet: Lägga tal

2.2 Procentuella förändringar och jämförelser Förändringsfaktor 96 Flera procentuella förändringar 99 Förändringar och jämförelser 102 Problemlösning 105 Tema: Moms 106 Procentenheter 108 Tema: Är skolan jämställd? 109

7

1.1 Positiva tal 8 Naturliga tal 8 Räkneordning 11 Primtal och delbarhet 14 Tal i decimalform 17 Aktivitet: Undersök – Tiondelar och hundradelar Multiplikation och division med tiondelar och hundradelar 20

2.3 Lån, ränta och amortering Ränta 110 Amortering 112 Avgifter 114 Index 116

19

1.2 Negativa tal 22 När används negativa tal? 22 Addition och subtraktion med negativa tal 24 Multiplikation och division med negativa tal 26 Tema: Tidszoner 28 Tema: Vinst eller förlust? 30

1.4 Tal i potensform 44 Vad menas med 35? 44 Några potenslagar 46 Grundpotensform 48 Enhetsbyten 50 Prefix 52 Talsystem med olika baser 54 Historik: Två historiska talsystem

Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? Sammanfattning 1 70 Kan du det här? 1 72 Diagnos 1 73 Blandade övningar kapitel 1 74 2.

Procent 78 Inledande aktivitet: Pärlorna

69

79

2.1 Andelen, delen och det hela 80 Beräkning av andelen i procentform 80 Beräkningar då vi vet procentsatsen 83 Tema: Försäljningspris, pålägg och marginal 86 Historik: Varifrån kommer procenttecknet? 89 Procent utan räknare 90 Promille och ppm 91 Tema: Alkohol och promille 94

4

Kurs 1bc Vux.indb 4

3.

120

Algebra 130 Inledande aktivitet: Beräkna värdet 131

3.1 Uttryck och ekvationer 132 Uttryck 132 Aktivitet: Diskutera – Vilka uttryck är lika? 135 Aktivitet: Undersök – Hur många stickor är det i asken? 136 Vad menas med en ekvation? 137 Att lösa ekvationer 140 Ekvationer med flera x-termer 143 Aktivitet : Undersök – Ekvationsbilder 144 3.2 Potensekvationer 148 Kvadrater och kvadratrötter Ekvationen xn = a 150

57

1.5 Problemlösning 58 Avrundning och värdesiffror 58 Överslagsräkning 60 Tema: Läkemedel 62 Aktivitet: Diskutera – Det är inte bara svaret som räknas Tillämpningar 65 En problemlösningsstrategi 67

110

Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? Sammanfattning 2 121 Kan du det här? 2 122 Diagnos 2 123 Blandade övningar kapitel 2 124 Blandade övningar kapitel 1–2 126

1.3 Tal i bråkform 32 Hur stor andel? 32 Aktivitet: Undersök – Jämföra bråktal 34 Förlängning och förkortning 35 Addition och subtraktion av bråk 37 Multiplikation och division av bråk 40

96

64

148

3.3 Formler och mönster 152 Beräkningar med formler 152 Ställa upp och tolka formler och uttryck Tema: Hastighet – sträcka – tid 158 Lösa ut ur formler 160 Aktivitet: Undersök – Bakom varje formel finns ett mönster 162 3.4 Olikheter och problemlösning Olikheter 163 Problemlösning 166

155

163

3.5 Undersök och bevisa 169 Uttryck och ekvationer med parenteser Faktorisera 171 Ta bort parenteser 172 Beskriva, troliggöra och bevisa 174 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? Sammanfattning 3 179 Kan du det här? 3 180 Diagnos 3 181 Blandade övningar kapitel 3 182 Blandade övningar kapitel 1–3 185

169

178

innehåll

2013-07-11 15:07


4.

6.

Geometri 188 Inledande aktivitet: Omkrets och area

189

4.1 Grundläggande geometri 190 Omkrets och area 190 Areaenheter 194 Omkrets och area av en cirkel 196 Historik: Talet π – Historiska fakta 198 Aktivitet: Laborera – Bygg en låda 199 Volymenheter 200 Volym 202 Aktivitet: Laborera – Slösar du med vatten? 207 Begränsningsarea av rätblock, cylinder och klot 208 4.2 Geometri och algebra 210 Aktivitet: Undersök – Trianglar och månghörningar 210 Vinklar och vinkelsumma 211 Geometri och bevis 215 Implikation och ekvivalens 218 Pythagoras sats 220 Aktivitet: Modellera – Hur många och hur länge? 224 4.3 Likformighet och symmetrier 225 (kurs 1b) Likformighet och skala 225 Tema : Det gyllene snittet 228 Mönster och symmetrier 230 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? Sammanfattning 4 236 Kan du det här? 4 238 Diagnos 4 239 Blandade övningar kapitel 4 240 Blandade övningar kapitel 1–4 243 5.

5.1 Enkla slumpförsök 248 Inledning 248 Den klassiska sannolikhetsmodellen Experimentella sannolikheter 252

5.2 Slumpförsök med flera föremål eller steg 254 Försök med två föremål 254 Aktivitet: Laborera – Kasta två tärningar 256 Träddiagram 257 Aktivitet: Laborera – Lika eller olika färg? 261 Beroende händelser 262 Komplementhändelse 264 Tema: Kombinatorik 266

Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? Sammanfattning 5 289 Kan du det här? 5 290 Diagnos 5 291 Blandade övningar kapitel 5 292 Blandade övningar kapitel 1–5 295 innehåll

Kurs 1bc Vux.indb 5

Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? Sammanfattning 6 341 Kan du det här? 6 342 Diagnos 6 343 Blandade övningar kapitel 6 344 Blandade övningar kapitel 1–6 346 Komplettering till kurs 1c

349

7.2 Trigonometri 358 Inledning 358 Räkna med tangens 360 Sinus och cosinus 364 Blandade uppgifter 367 7.3 Vektorer 369 Definitioner och räkneoperatorer 369 Komposanter, koordinater och vektorlängd Tema: Krafter och hastigheter 375

Repetitionsuppgifter

382

384

Extra diagnoser med svar

393

Svar, ledtrådar och lösningar Register

372

378

Blandade övningar kapitel 7

288

340

7.1 Aritmetik och algebra 350 Avrundning och gällande siffror 350 Tema: Makrokosmos och mikrokosmos 352 Algebraiska uttryck 354 Ekvationer 355 Potensekvationer 356 Formler och mönster 357

7.4 Geometri 378 Några bevis med vinklar Problemlösning 380

5.3 Statistik 267 Vad handlar statistik om? 267 Tolka tabeller och diagram 268 Medelvärde och median 273 Rita diagram med kalkylprogram 276 Vilseledande statistik 278 Tema: Hästar i Sverige 280 Tema: Spel om pengar i Sverige 281 Tema: Länder och befolkning 284 Tema: Risker i trafiken 286

307

6.2 Funktioner 316 Funktionsbegreppet 316 Aktivitet: Upptäck – Räta linjer 320 Linjära funktioner 321 Skillnader mellan begreppen algebraiskt uttryck, ekvation, olikhet och funktion 325 Aktivitet: Upptäck – Exponentialfunktionen y = C · a x 328 Exponentialfunktioner 329 Potensfunktioner 332 Grafisk lösning av ekvationer och olikheter 334 Olika matematiska modeller 337

7.

249

299

6.1 Grafer och proportionalitet 300 Koordinatsystem 300 Formel, värdetabell och graf 302 Aktivitet: Laborera – Väg –tid–diagram 306 Tolka grafer som beskriver vardagliga förlopp Proportionalitet 310 Grafritande räknare 313

235

Sannolikhetslära och statistik 246 Inledande aktivitet: Kasta kapsyler 247

Grafer och funktioner 298 Inledande aktivitet: Finn regeln

402

458

5

2013-07-11 15:07


1

ARITMETIK − OM TAL

Centralt innehåll ✱ Metoder för beräkningar med tal skrivna i olika former. ✱ primtal, delbarhet och olika talbaser. ✱ strategier för problemlösning. ✱ Matematiska begrepp och metoder i situationer kopplade till samhällsvetenskap, ekonomi, vardags- och samhällsliv.

Kurs 1bc Vux.indb 6

2013-07-11 15:07


894789475849

89478947584

238876744

112 777

482398678567

7547 55

15343274

Inledande aktivitet LÄGGA TAL Arbeta tillsammans två och två. Skaffa fyra papperslappar och skriv siffrorna 2, 5, 1 och 7 på lapparna.

2 5

1 7

1 Med hjälp av lapparna kan du lägga olika fyrsiffriga tal. Lägg dem så att du får a) ett så stort tal som möjligt b) ett så litet tal som möjligt c) ett tal så nära 5 000 som möjligt d) ett tal så nära 6 000 som möjligt e) ett tal så nära 1 400 som möjligt. 2 Välj bland lapparna och lägg dem så att summan + blir så

3 Välj bland lapparna och lägg dem så att produkten ∙ blir så a) liten som möjligt b) stor som möjligt c) nära 100 som möjligt. 4 Multiplikation beräknas före addition. Välj bland lapparna och lägg dem så att + ∙ blir så a) liten som möjligt b) stor som möjligt c) nära 20 som möjligt. 5 Skaffa nio papperslappar med siffrorna 1 till 9. Kan du lägga lapparna så att alla tre beräkningarna stämmer? Du får bara använda varje siffra en gång. +

=

=

=

a) liten som möjligt b) stor som möjligt c) nära 60 som möjligt.

Kurs 1bc Vux.indb 7

2013-07-11 15:07


1.1 Positiva tal Naturliga tal Exempel

Sveriges befolkning var 9 393 648 personer den 1 augusti 2010. När vi ska skriva och läsa stora tal är det praktiskt att börja bakifrån och skriva siffrorna tillsammans tre och tre.

9 393 648 nio miljoner trehundranittiotre tusen sexhundrafyrtioåtta

I talet ovan har 3:an längst till vänster värdet 300 000. Vilket värde har den andra 3:an? positionssystem

miljon och miljard

8

Kurs 1bc Vux.indb 8

Ett talsystem där siffrans värde bestäms av siffrans plats i talet kallas ett positionssystem. 9 miljoner =

9 000 000

9,4 miljoner = 9 400 000

9 miljarder =

9 000 000 000

9,4 miljarder = 9 400 000 000

1.1 positiva tal

2013-07-11 15:07


naturliga tal

Det finns många olika typer av tal, t ex heltal, decimaltal och tal i bråkform. När vi som barn började räkna använde vi talen 0, 1, 2, 3, 4, 5, … De kallas naturliga tal och består av de positiva heltalen och talet noll. Vi repeterar de fyra räknesätten och några matematiska begrepp. Addition

Subtraktion

termer

termer

5 + 13 = 18

18 – 5 = 13 differens

summa

Fyra räknesätt Multiplikation

Division

faktorer

täljare

400

5 · 80 = 400 produkt

1101

5

= 80

nämnare

kvot

Antalet kvinnor i Sverige den 30 juni 2010 var 4 706 622. a) Skriv talet 4 706 622 med bokstäver. b) Vilket värde har de två 6:orna i talet 4 706 622? a) Fyra miljoner sjuhundrasex tusen sexhundratjugotvå. b) Den vänstra 6:an visar att det är 6 tusental. Värdet är 6 000. Den högra 6:an visar att det är 6 hundratal. Värdet är 600.

1102

Ge två olika exempel på a) en addition av tre tal där summan är 1 200. b) en multiplikation av två tal där produkten är 1 200. a) T ex 900 + 100 + 200 = 1 200 och 400 + 400 + 400 = 1 200 b) T ex 30 · 40 = 1 200 och 2 · 600 = 1 200

1.1 positiva tal

Kurs 1bc Vux.indb 9

9

2013-07-11 15:07


Lös följande uppgifter utan räknare. 1103 Skriv med siffror

a) addition av tre tal där summan är 40 000

a) tjugofem tusen b) tjugofem tusen tre hundra c) två miljoner d) två miljoner femhundra tusen e) tre miljarder 1104 Vilka tal saknas? a) 378 = 300 +

1112 Ge två olika exempel på en

1113 Angela har glömt sin portkod. Men hon kommer ihåg att första siffran är en 1:a och att siffrorna 3, 5 och 7 också finns med i den fyrsiffriga koden. Vilka är de möjliga koderna?

+8

b) 1 026 = 600 +

b) multiplikation av två tal där produkten är 40 000.

+ 26

c) 55 804 = 48 000 +

+ 804

1105 Beräkna a) 3 000 kr – 500 kr b) 30 000 kr – 5 000 kr c) 30 000 kr – 500 kr d) 3 000 kr – 50 kr 1106 Beräkna a) 4 ∙ 8 b) 400 ∙ 8

c) 400 ∙ 80 d) 2 ∙ 4 ∙ 8

1107 I vilket räknesätt beräknar man en differens? 1108 Skriv med bokstäver a) 86 400 (antal sekunder på ett dygn) b) 720 000 (antal fritidsbåtar i Sverige) c) 36 000 000 000 (kostnaden i kr för den svenska gymnasieskolan 2008) 1109 Vilket värde har siffran 3 i talet a) 237

c) 375 000

b) 13 066

d) 83 000 000?

1110 Vid multiplikation spelar ordningen ingen roll, t ex 4 ∙ 7 = 7 ∙ 4. Gäller det alla räknesätt? 1111 Steve skulle skriva 3 850 kr, men skrev fel. Siffrorna 3 och 5 bytte plats med varandra.

1114 År 2008 gick det 460 000 barn i förskolan i Sverige. Den totala kostnaden per barn var ca 100 000 kr per år. Ungefär hur stor var den totala kostnaden för förskolan i Sverige år 2008? Svara i miljarder. 1115 Produkten 16 ∙ 40 = 640. Vad är då a) 17 ∙ 40

b) 16 ∙ 41

c) 40 ∙ 15

1116 Ett naturligt tal som slutar på 1, 3, 5, 7 eller 9, är ett udda tal. Leon påstår att det finns 12 udda tresiffriga heltal där hundratals siffran är dubbelt så stor som tiotalssiffran. Är det sant?

Hur mycket större blev beloppet? 10

Kurs 1bc Vux.indb 10

1.1 positiva tal

2013-07-11 15:07


Räkneordning När vi ska beräkna en summa spelar det ingen roll i vilken ordning vi adderar termerna. 31 + 86 = 86 + 31. Denna räknelag kan skrivas: a + b = b + a När vi ska beräkna en produkt spelar det ingen roll i vilken ordning vi multiplicerar faktorerna. 31 ∙ 86 = 86 ∙ 31. Denna räknelag kan skrivas: a ∙ b = b ∙ a eller ab = ba. Spelar det någon roll i vilken ordning vi räknar när flera räknesätt är inblandade? Exempel

På ett gym kostar det 700 kr per år att vara medlem. Ett träningspass kostar 85 kr.

Kostnaden (kr) att bli medlem och gå på 10 träningspass kan skrivas som 700 + 10 ∙ 85. Här måste vi beräkna multiplikation före addition. 700 + 10 ∙ 85 = 700 + 850 = 1550 Skulle vi beräkna additionen först, får vi ett annat resultat!

Vid beräkningar med flera räknesätt: 1. Först parenteser Räkneordning

2. Därefter upphöjt till (potenser) 3. Sedan multiplikation och division 4. Sist addition och subtraktion.

1.1 positiva tal

Kurs 1bc Vux.indb 11

11

2013-07-11 15:07


1117

Beräkna utan räknare a) 12 – 7 + 3

b) (4 + 5) · 7

c) 4 + 5 · 7

a) Vi kan räkna på olika sätt. Alternativ 1: 12 – 7 + 3 = 5 + 3 = 8 Alternativ 2: 12 – 7 + 3 = 15 – 7 = 8 b) Parentesen först: (4 + 5) · 7 = 9 · 7 = 63 c) Multiplikationen först: 4 + 5 · 7 = 4 + 35 = 39

1118

Beräkna med räknare a)

775 + 415

b)

122 − 87

8 208 19 · 6

När vi använder räknare till dessa beräkningar måste vi sätta ut parenteser. a) b)

775 + 415 122 − 87

= (775 + 415) / (122 – 87) = 34

8 208 = 8 208 / (19 ∙ 6) = 72 19 · 6

1119 Beräkna utan räknare a) 8 – 5 + 1

c) 6 + 3 · 2

b) 3 · 8 – 6

d) 30 – 10 · 2

1120 Beräkna utan räknare a) 150 – 30 + 10

c) 40 + 30 · 2

b) 10 · 8 – 5

d) 800 – 300 · 2

1121 Beräkna utan räknare a) 2 + 5 · 8

c)

b) (5 + 2) · 4

d)

16 + 14

b) (25 + 25) · 6 12

Kurs 1bc Vux.indb 12

Beräkna utan räknare kostnaden för en grupp på a) 10 barn och 4 vuxna b) 4 barn och 10 vuxna. 1124 Malin har handlat några av de frukter som bilden visar.

2 20 + 12 5 +3

1122 Beräkna utan räknare. Kontrollera sedan dina svar med räknare. a) 25 + 25 · 6

1123 Entrépriserna till Kolmårdens djurpark år 2010 var 150 kr för barn och 250 kr för vuxna.

kr/st 3 3kr/st

4 4krkr/st /st

kr/st 5 5kr/st

Vad har hon köpt om hon ska betala

c) 30/5 – 2

a) 2 · 5 + 3

c) 4 + 7 · 3 + 5

d) 30 /(5 – 2)

b) 2 · (5 + 3)

d) 9 · 4 + 7 · (3 + 5) 1.1 positiva tal

2013-07-11 15:07


1125 Lenny använder sin räknare till beräkningen 9 +6 .

1130 Beräkna utan räknare. Kontrollera dina svar med räknare.

2 +1 Han trycker 9 + 6 / 2 + 1. a) Vilket resultat visar räknaren? b) Vilket fel gör Lenny?

b)

327 − 149

87 + 69

d)

13

76 659

5· 6 +2·7

∙ 8 + 2 = 50

d) 30 + 5 ∙

= 20 = 70

a) 50 · 6 + 4 · 50 – 10

23 · 33

b) 450 – 50 · 6 + 2 · 15 40 + 40 · 7 c) 5 200 · 25 + 5 · 800 d) 5 · 20 + 25 · 4

Hur många bitar får varje barn om de delar lika? 4·3 18

3

1132 Beräkna utan räknare. Kontrollera dina svar med räknare.

1127 Jasmine köper 4 godispåsar till sina 3 barn. Varje påse innehåller 18 godisbitar.

A:

d)

b)

4 272

c)

37 + 65

b) 13 – 3 · 2 + 2

6 +3·7

1131 Vilket tal ska stå i rutan? a) 5 + 5 ∙ = 20 c) 4 ∙ 8 – 2 ∙

1126 Beräkna 1 326

c)

3 +1

c) Vilket är rätt svar?

a)

a) 7 · 5 + 3 · 5

C: 4 · 18 · 3 1133

B: 4 · 18 3

D: 4 + 3 · 18

1128 I en hiphop-förening kostar det 250 kr att vara medlem. För medlemmar är priset per konsert 150 kr. Hassan är medlem i föreningen och går på fem konserter. Genomsnittskostnaden per konsert kan beräknas med

250 + 5 · 150 5

Beräkna genomsnittskostnaden a) utan räknare b) med räknare. 1129 Beräkna utan räknare a)

7 · 60 20

b)

60 · 40 30

På en lunchrestaurang kostar Dagens rätt 79 kr. Om man köper ett rabatthäfte får man 10 lunchkuponger för 700 kr. Lovisa skriver (10 ∙ 79 – 700) / 10. Vad är det som Lovisa vill beräkna?

1.1 positiva tal

Kurs 1bc Vux.indb 13

13

2013-07-11 15:07


Primtal och delbarhet Exempel

primtal

En lärare ska dela upp 17 elever i grupper. Hur hon än gör är det omöjligt att dela upp eleverna så att de blir lika många i varje grupp. Talet 17 går bara att dela med 1 och 17. Positiva heltal som bara går att dela med 1 och sig självt kallas primtal. De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11 och 13. Talet 1 räknas inte som primtal.

sammansatta tal primtalsfaktorer

Alla heltal större än 1 är antingen primtal eller sammansatta tal. Alla sammansatta tal kan delas upp i primtalsfaktorer, dvs faktorer som är primtal. Talet 30 är ett sammansatt tal. 30 = 2 ∙ 3 ∙ 5 primtalsfaktorer (=primfaktorer)

Redan Euklides, som var en grekisk matematiker på 300-talet f Kr, visade att listan på primtal aldrig tar slut. Det finns alltså hur stora primtal som helst! Primtal används idag inom datasäkerhet för att kryptera känsliga data. Krypteringen sker med ett mycket stort tal som är en produkt av två 100-siffriga primtal. Även med dagens datorer är det tidsmässigt omöjligt att identifiera det 200-siffriga talet och knäcka koden! När du gör bankaffärer över nätet används primtal för att kryptera informationen.

14

Kurs 1bc Vux.indb 14

1.1 positiva tal

2013-07-11 15:07


delbarhet

Ett sammansatt tal är alltid delbart med primfaktorerna och deras produkter. Talet 18 kan delas upp i primfaktorerna 2 ∙ 3 ∙ 3 Produkter av dessa tal är 2∙3=6 3∙3=9 18 är alltså delbart med 2, 3 , 6 och 9 (förutom 1 och 18). Detta innebär också att kvoterna 18/2, 18/3, 18/6 och 18/9 är heltal. Ytterligare några delbarhetsregler: 1 Vilka tal är delbara med 2? Svar: Alla jämna tal, t ex 18, 280 och 6 590.

642 har siffersumman 6 + 4 + 2 = 12

2 Vilka tal är delbara med 3? Svar: Alla tal vars siffersumma är delbara med 3, t ex 201 och 642.

Delbarhetsregler

3 Vilka tal är delbara med 5? Svar: Alla tal som slutar på 0 eller 5, t ex 45, 920 och 1 015.

1134

a) Dela upp talet 42 i primfaktorer. b) Vilka positiva tal är 42 delbart med (utöver 1 och 42)? a) Faktoruppdelningen underlättas om vi ritar ett s k faktorträd. De kan se olika ut, men resultatet blir detsamma. 42

42

2

42 = 2 · 21

21 3

7

6 2

7

42 = 6 · 7

3

Vi avläser primfaktorerna 42 = 2 ∙ 3 ∙ 7 b) 42 är delbart med 2, 3 och 7 och produkter av dessa tal. 2∙3=6

2 ∙ 7 = 14

3 ∙ 7 = 21

Svar: 42 är delbart med 2, 3, 6, 7, 14 och 21.

1.1 positiva tal

Kurs 1bc Vux.indb 15

15

2013-07-11 15:07


1135 Är talet ett primtal eller ett sammansatt tal? a) 9

b) 11

c) 21

d) 23

1136 Vilka av talen 165, 168 och 170 är a) delbara med 2

b) delbara med 5?

1137 Rasmus skriver 60 = 2 ∙ 5 ∙ 6. Har Rasmus delat upp talet 60 i primfaktorer? Motivera.

1138 a) Rita av faktorträdet och fyll i de tal som saknas.

1142 Är talet ett primtal eller ett sammansatt tal? a) 63

b) 19

c) 592

d) 327

Förklara hur du tänker.

1143 Vilka av talen 135, 235, 448, 640 och 2010 är delbara a) med 3

b) med 5

c) med 15?

1144 a) Rita av faktorträdet och skriv tal i rutorna. 48

54 6

b) Dela upp talet 48 i primfaktorer. b) Dela upp talet 54 i primtalsfaktorer.

c) Vilka positiva tal är 48 delbart med?

1139 Vilka primtal finns mellan 10 och 30?

1145 Varför måste ett tal som är delbart med 10 också vara delbart med både 2 och 5?

1140 a) Rita av faktorträdet och fyll i de tal

1146 Vilket är det största tvåsiffriga primtalet?

som saknas i rutorna. 24 2

1147 Summan av tre på varandra följande heltal är alltid delbar med 3. a) Visa med ett eget exempel att detta är sant. b) Förklara varför detta är sant.

b) Dela upp talet 24 i primfaktorer. c) Vilka postiva tal är 24 delbart med (förutom 1 och 24)?

1141 a) Vilken siffersumma har talet 231? b) Är 231 delbart med 3?

1148 Inför en temadag på en skola ska eleverna delas upp i grupper. Om eleverna delas upp i par, så blir det en elev över. Likadant blir det om antalet elever i grupperna är 3, 5 eller 7. Antalet elever på skolan är mindre än 500. Vilket är antalet?

c) Vilken siffersumma har talet 521? d) Är 521 delbart med 3?

16

Kurs 1bc Vux.indb 16

1.1 positiva tal

2013-07-11 15:07


Tal i decimalform

Exempel 1

Vid VM i friidrott 2009 vann Usain Bolt löpning 100 m på den nya världsrekordtiden 9,58 sekunder. Decimalerna i talet 9,58 kan uttryckas på olika sätt:

9,58

9,58

eller

5 tiondelar 8 hundradelar

58 hundradelar

Talet 9,58 kan visas på två olika tallinjer. 9,0

9,1

9,2

9,3

9,4

9,5

9,6

9,7

9,8

9,9

10,0

9,00

9,10

9,20

9,30

9,40

9,50

9,60

9,70

9,80

9,90

10,00

Hundradelar

Exempel 2

tiondelar

Vi jämför talet 9,58 med talet 9,6. Vilket är störst? 9,6 kan skrivas som 9,60 eftersom 6 tiondelar = 60 hundradelar. 9,6 är större än 9,58.

1.1 positiva tal

Kurs 1bc Vux.indb 17

17

2013-07-11 15:07


1149

Skriv som ett tal i decimalform

1150

a) 7 hundradelar

b) 45 tusendelar

a) 7 hundradelar = 0,07

b) 45 tusendelar = 0,045

Beräkna utan räknare a) 2,1 + 4,65

a) 2,1 + 4,65 = 2,10 + 4,65 = 6,75

b) 0,4 – 0,38

b) 0,4 – 0,38 = 0,40 – 0,38 = 0,02

1157 Vilket tal pekar pilarna A och B på?

1151 Skriv som ett tal i decimalform a) 2 tiondelar

A

B

b) 4 hundradelar c) 24 hundradelar

0,1

d) 4 tiondelar och 5 hundradelar.

1158 Anna sprang 100 m på 14,76 sekunder. a) Belinda sprang två tiondelar snabbare. Vilken var Belindas tid?

1152 Skriv talen i storleksordning med det minsta talet först. a) 7,1

7,08

7,15

7,2

7,18

b) 2,01

2,005

2,105

2,11

2,015

c) 0,9

0,87

0,902

0,099

0,805

2

a)

2

1

d)

1154 Beräkna utan räknare a) 0,3 + 0,25

c) 0,65 + 0,2

b) 0,3 – 0,25

d) 0,65 – 0,2

1155 Skriv med ord a) 0,009

b) 75 tusendelar 18

Kurs 1bc Vux.indb 18

1160 Kostnaden för sjukvården i ett landsting beräknades ett år till 6,3 miljarder kr. De verkliga kostnaderna blev 500 miljoner kr större. Hur stora blev de verkliga kostnaderna? 1161 Vilket tal ligger mitt emellan a) 0,4 och 1,4 b) 0,02 och 0,03 c) 0,02 och 0,2 ?

b) 0,072

1156 Skriv som ett tal i decimalform a) 5 tusendelar

c) Dolores sprang 35 hundradelar snabbare än Anna. Vilken var Dolores tid?

1159 Vilket samband finns mellan begreppen tiondel och hundradel?

b)

c)

b) Carlos sprang sju hundradelar långsammare än Anna. Vilken var Carlos tid?

d) Eric sprang 82 hundradelar snabbare än Anna. Vilken var Erics tid?

1153 Vilket tal pekar pilen på? 1

0,2

c) 175 tusendelar.

1162 Beräkna utan räknare differensen mellan a) en tiondel och en hundradel b) en hundradel och en tusendel c) tre hundradelar och fjorton tusendelar. 1.1 positiva tal

2013-07-11 15:07


Aktivitet

UNDERSÖK

Tiondelar och hundradelar Materiel: Räknare 1 Du har fyra tal: 24

50 3,8

0,42

Undersök med hjälp av miniräknare: a) Dividera talen med 10. Skriv upp divisionen och svaret. b) Multiplicera talen med 0,1. Skriv upp multiplikationen och svaret. c) Vad kan du säga om resultatet då ett tal divideras med 10 jämfört med resultatet då samma tal multipliceras med 0,1? d) Skriv en regel som visar hur decimalkommat flyttas då ett tal multipliceras med 0,1 eller divideras med 10. e) Använd din regel för att med huvudräkning beräkna följande uppgifter: 45 10

0,1 ∙ 750

2,5 ∙ 0,1

0,5 10

0,3 ∙ 0,1

0,85 10

Skriv upp divisionen/multiplikationen och svaret. Kontrollera sedan svaren med räknaren.

1.1 positiva tal

Kurs 1bc Vux.indb 19

2 Välj två heltal och två decimaltal. Undersök med hjälp av räknare: a) Multiplicera talen med 100. Skriv upp multiplikationen och svaret. b) Dividera talen med 0,01. Skriv upp divisionen och svaret. c) Vad kan du säga om resultatet då ett tal divideras med 0,01 jämfört med resultatet då samma tal multipliceras med 100? d) Skriv en regel som visar hur decimalkommat flyttas då ett tal multipliceras med 100 eller divideras med 0,01. e) Använd din regel för att med huvudräkning beräkna följande uppgifter: 2 0,01

100 ∙ 7,5

3,8 0,01

0,008 ∙ 100

0,35 ∙ 100 0,045 0,01

Skriv upp divisionen/multiplikationen och svaret. Kontrollera sedan svaren med räknaren.

19

2013-07-11 15:07


Kan du det här? 1 Moment

Begrepp som du ska kunna använda och beskriva

Positiva tal

Summa och differens Produkt och kvot Täljare och nämnare Primtal och sammansatt tal ”Delbart med” och siffersumma

Du ska ha strategier för att kunna • skriva stora heltal och tal i decimalform med siffror och bokstäver • göra beräkningar med flera räknesätt • multiplicera och dividera tal med tex 100 och 0,01 utan räknare • dela upp ett sammansatt tal i primtalsfaktorer • bestämma vilka tal ett positivt heltal (inte alltför stort) är delbart med.

Negativa tal

Negativa tal

• jämföra negativa tal • använda räkneregler för negativa tal.

Tal i bråkform

Andel

• skriva och jämföra tal i bråkform

Bråkform

• skriva tal i bråkform på olika sätt

Förlänga och förkorta

• ställa upp ett förhållande

Enklaste form

• beräkna summan, differensen, produkten och kvoten av tal i bråkform.

Blandad form Förhållande Gemensam nämnare Inverterat tal Tal i potensform

Potensform, bas och exponent Tiopotens Grundpotensform Enhet Prefix

Problemlösning

• skriva och tolka tal i grundpotensform • omvandla mellan olika enheter • skriva och tolka tal skrivna i talsystem med andra baser än tio.

Närmevärde

• avrunda tal och göra överslagsberäkningar

Överslagsräkning

Kurs 1bc Vux.indb 72

• använda potenslagarna

Olika talbaser

Avrundning

72

• tolka och beräkna värdet av ett tal i potensform

• lösa matematiska problem • utifrån en realistisk situation använda en matematisk modell.

1 ARITMETIK – OM TAL

2013-07-11 15:09


Diagnos 1 Positiva tal 1 Danmarks befolkning är 5,5 miljoner. Skriv detta tal med siffror. 2 Beräkna utan räknare a) 2 ∙ 32 – 8 + 2

b) 18/(3 + 6) – 1

3 Beräkna med räknare 87 · 26 + 16 b) 88 – 7 · 3

2 975 a) 7 · 25

4 a) Vad menas med en faktor? b) Visa med några exempel vad det är för skillnad på ett primtal och ett sammansatt tal. 5 Vid en tävling i löpning hade Erik tiden 48,16 sekunder. a) Peter var två tiondelar snabbare än Erik. Vilken tid hade Peter? b) Jimmy var åtta hundradelar långsammare än Erik. Vilken tid hade Jimmy? Negativa tal 6 På kvällen var temperaturen 4,3ºC. Det blev en kall natt. På morgonen var temperaturen –8,2 ºC. Med hur många grader sjönk temperaturen under natten? 7 Beräkna utan räknare a) 8 – 5 + 1 b) –5 + (–7)

c) 5 ∙ (–0,01) –8 d) –0,1

Tal i bråkform 8 Ett rektangulärt rum har bredden 300 cm och längden 480 cm.

9 För vilka räknesätt krävs gemensam nämnare vid räkning med bråk? 10 Beräkna utan räknare 3 1 7/2 b) a) + 5 15 3 Tal i potensform 11 Ge exempel på två faktorer som ger produkten 1010. 12 Skriv i grundpotensform a) 75 000

c) 12 miljoner

b) 0,0265

d) 12 tusendelar.

13 Skriv med hjälp av ett prefix. a) Effekten är 3 ∙ 106 W b) Tiden är 0,005 s 14 Skriv sjutio med basen tre. Problemlösning 15 Ebba har ordinerats 400 mg av ett läkemedel tre gånger per dygn. Hur länge räcker 30 tabletter med styrkan 200 mg/tablett? 16 4,0 hg godis kostar 27,60 kr. a) Hur mycket kostar 2,5 hg godis? b) Hur många kg godis får man för 60 kr? 17 Hampus har fyra olika sorters serietidningar i en väska. Hälften av dem är Kalle Anka, en fjärdedel är Katten Gustaf, en åttondel är Fantomen och resten är Spindelmannen. Han har fyra Spindelmannen. Hur många tidningar har han totalt i väskan?

Skriv i enklaste form förhållandet mellan bredden och längden. Om du behöver repetera delar av kapitlet så finns repetitionsuppgifter på sidan 384. Efter repetionsuppgifterna finns en extra diagnos till kapitlet på sidan 393. 1 ARITMETIK – OM TAL

Kurs 1bc Vux.indb 73

73

2013-07-11 15:09


Kurs 1bc Vux.indb 348

2013-07-11 15:21


7

KOMPLETTERING TILL KURS 1C

1

Centralt innehåll ✱ begreppen definition, sats och bevis. ✱ metoder för beräkningar av vinklar och längder i rätvinkliga trianglar. ✱ begreppet vektor och beräkningar med vektorer.

700

Kurs 1bc Vux.indb 700

2013-07-11 15:21


7.1 Aritmetik och algebra Avrundning och gällande siffror mätresultat gällande siffra

Exempel

Om vi mäter en sträcka och skriver dess längd som 2,451 m, så är mätresultatet angivet som ett närmevärde med 4 gällande siffror. Istället för gällande siffra används ibland även uttrycken signifikant siffra eller värdesiffra. Tal

Antal gällande siffror

2,451

4

309

3

84,700

5

0,0025

2

95 000

?

Antalet gällande siffror i ett tal beräknas så här: 1 Alla siffror skilda från noll är gällande (som i 2,451). 2 Nollor är gällande a) inuti ett tal (som i 309) b) i slutet av ett tal med decimaler (som i 84,700). 3 Nollor är inte gällande i början av ett tal med decimaler (som i 0,0025). 4 Nollorna i slutet av ett heltal (som i 95 000) kan vara gällande. Det får avgöras från fall till fall. Hur många siffror av de vi får i en beräkning ska vi ta med i ett svar? Räknar vi med exakta tal är det ofta bäst att svara exakt. Vid beräkningar med närmevärden brukar följande tumregler användas:

Avrundning och svar

Vid multiplikation och division av närmevärden: Låt det närmevärde som har minst antal gällande siffror bestämma antalet siffror i slutresultatet. Vid addition och subtraktion av närmevärden: Låt det närmevärde som har minst antal decimaler bestämma antalet decimaler i slutresultatet.

Observera att då vi byter enhet i ett mätresultat så ändras antalet decimaler men antalet gällande siffror är detsamma: 2,451 m = 24,51 dm = 245,1 cm = 2451 mm 350

Kurs 1bc Vux.indb 350

7.1 Aritmetik och AlgebrA

2013-07-11 15:21


7101

Den tid som en bil behöver för att passera en sträcka på 525 m uppmättes till 23 s. Beräkna bilens hastighet. Använd räknaren och avrunda därefter till ett lämpligt antal siffror. Hastigheten =

sträckan tiden

(v = ts )

Räknaren ger 525 = 22,82608696... 23 Nämnaren har minst antal gällande siffror (2 st) och styr avrundningen. Vi avrundar till två gällande siffror i svaret. Svar: Bilens hastighet var 23 m/s.

7102

Beräkna den sammanlagda längden av tre sträckor som är 57,13 m, 60,2 m och 40,54 m. Längden = 57,13 m + 60,2 m + 40,54 m = 157,87 m ≈ 157,9 m Det minsta antalet decimaler i något närmevärde är 1. Vi avrundar därför resultatet till en decimal. Svar: Längden är 157,9 m.

7103 Avrunda 80,6046 så att antalet gällande siffror blir a) 2

b) 3

c) 4

d) 1

7104 Hur många gällande siffror har följande närmevärden? a) 207,3

c) 21,0

e) 0,034

b) 0,035

d) 0,34

f) 675,0

7105 700 kan vara ett närmevärde avrundat till ental, tiotal eller hundratal. Hur många gällande siffror har 700 i de olika fallen? 7106 Avståndet till månen är ungefär 384 400 km. Omvandla till mil och avrunda till två gällande siffror.

7.1 Aritmetik och AlgebrA

Kurs 1bc Vux.indb 351

7107 Använd räknaren och avrunda till ett lämpligt antal siffror. a) Beräkna omkretsen av en rektangel med sidorna 30,47 m och 67 m. b) Nina mäter att en bil passerar en sträcka av 509 m på 22 s. Beräkna bilens hastighet. c) Jossan håller en jämn fart av 5,9 m/s. Hur lång tid behöver hon för att springa 1 engelsk mil som är 1 609 m? d) Silver har densiteten 10,5 g/cm3 (dvs 1 cm3 silver väger 10,5 g). Vilken volym har ett silverstycke som väger 241,5 g? 7108 Beräkna volymen av en låda med måtten a) 1,50 m × 1,25 m × 0,90 m. b) 1,5 m × 1,25 m × 0,9 m.

351

2013-07-11 15:21


Tema

Makrokosmos och mikrokosmos Enligt Big Bang-teorin bildades universum för ca 14 miljarder år sedan. I naturvetenskapen är makrokosmos de delar av universum där föremål är större eller lika stora som en människa. Mikrokosmos är den atomära världen. En atom är den minsta del av ett grundämne som har ämnets kemiska egenskaper. Atomen består av en kärna som är omgiven av elektroner. Atomkärnan är sammansatt av protoner och neutroner.

Diameter (km)

Massa (kg)

Jorden

12 740 5,974 ∙ 1024

Månen

3 476 7,349 ∙ 10

Solen

22

1,392 ∙ 106 1,989 ∙ 1030

Massa (kg) Elektron

9,1094 ∙ 10 –31

Proton

1,6726 ∙ 10 –27

Neutron

1,6749 ∙ 10 –27

Formel Sträcka

s=v∙t

Hastighet

v=

Tid

t=

352

Kurs 1bc Vux.indb 352

I luft (m/s) Ljusets hastighet

2,9979 ∙ 108

I rymden (m/s) 2,9979 ∙ 108

s t s v

7.1 Aritmetik och AlgebrA

2013-07-11 15:21


1 Skriv universums ålder, 14 miljarder år, med siffror och i grundpotensform. 2 Hur många gånger större är a) jordens diameter än månens b) solens diameter än jordens c) jordens massa än månens d) solens massa än jordens? 3 Det kortaste avståndet mellan jorden och planeten Mars är 78 miljoner kilometer. Hur lång tid tar det att färdas denna sträcka med ett rymdskepp vars hastighet är 20 km/s? Svara i dygn. 4 a) Medelavståndet mellan solen och jorden är 1,496 ∙ 108 km. Hur lång tid tar det för ljuset att färdas denna sträcka? Svara i minuter och sekunder. b) Solljuset innehåller ljus med olika våglängder. Ljus med våglängden 590 nm är gult till färgen. Hur många våglängder av detta ljus är det per millimeter? 5 Hur många celler finns det i din kropp? Den övervägande delen av din kropp består av celler. En cell i människokroppen väger i genomsnitt 1 nanogram. Om du dividerar din kroppsvikt med den genomsnittliga cellvikten får du ett närmevärde på det totala antalet celler i din kropp.

7.1 Aritmetik och AlgebrA

Kurs 1bc Vux.indb 353

6 I universum finns ca 100 olika grundämnen. Ett av de dyrbaraste är guld. 197 g rent guld innehåller 6,02 ∙ 1023 atomer. Hur många atomer finns det i 1 g guld? 7 Hur många gånger större är protonens massa än elektronens? 8 Ett ljusår är den sträcka ljuset färdas på ett år. I april 2007 spreds nyheten att en ny jordliknande planet upptäckts 20,5 ljusår från jorden. Hur lång tid skulle det ta för en rymdsond från jorden att nå planeten, om sondens hastighet är 4,0 ∙ 104 km/h? 9 Laser kan användas vid precisionsmätningar. Avståndet till månen kan mätas med en felmarginal på bara ett par centimeter. Mätapparaturen mäter hur lång tid det tar för ljuset att färdas till månen fram och tillbaka. Noggrannheten ges av hur exakt tidmätningen är. Med vilken noggrannhet måste tiden mätas för att sträckan (fram och tillbaka) ska kunna mätas med 4 cm felmarginal? 10 Vår galax Vintergatan innehåller ett par hundra miljarder stjärnor. Hur många år skulle det ta att räkna dem för hand, om vi antar att vi räknar tre stjärnor i sekunden och att antalet är 300 miljarder? Vintergatans närmaste granne bland galaxerna är Andromedagalaxen. Avståndet till galaxen är mer än 2 miljoner ljusår.

353

2013-07-11 15:21


Algebraiska uttryck 7109

Förenkla a)

2x x + 6 2

a)

2x x 2x x · 3 2x 3x 5x + = + = + = 6 6 2 6 2·3 6 6

b)

3 1 3 5 1·x 5·2 x 3 10 x + 13 + + = + + = + + = 2 2x x 2 · x 2x x · 2 2x 2x 2x 2x

b)

7110 En bil bromsar in så att hastigheten (m/s) ändras enligt 20 – 1,5t där t är tiden i sekunder. Beräkna och tolka uttryckets värde då t = 2,0 s. 7111 Lufttrycket, i mbar, avtar med höjden enligt 1 013 ∙ 0,887 x där x är antalet kilometer över havet. a) Beräkna lufttrycket på 8 800 meters höjd. b) Vad är lufttrycket vid havsytan? 7112 Beräkna utan räknare för a = 0,5 a a) 2

1 c) 2a

1 b) 2 a

2 d) a

7113 Förenkla a) 5 a – a 4 2 a b) – a 3

354

Kurs 1bc Vux.indb 354

7115 Vilka uttryck kan förenklas och till vad? A (2a + 8)/8

C

a a+a+a

D

B

7116 Förenkla förhållandet 2 a) 4π · r · r 8π · r 3

7117 Förenkla

2(a + a) a2 a+4 a

1 2 a ·b 2 b) 1 ab · a 3

a) a(a + b) – b(a – 7b) b) 4y(3 + x) – 4x(1 – y) c) 4( x2 + x – 3) – 3(2x2 – 3x – 6)

7118 Skriv som ett bråk ab ba a) + 2 2 x 1 b) – 3 3x

c) 1 + 1 a a 1 d) + 1 a 2a

b) ab 4 b

Förläng till gemensam nämnare.

d) 5t(t2 – 2t – 1) – t2(t – 3) + 2t3

c) x + 5 3 2x 1 1 d) – a b

7119 Skriv och förenkla ett uttryck för summan av tre på varandra följande heltal, då det mellersta talet är 2 n.

7114 Förenkla a) 1 ab 4 b

1 3 5 + + 2 2x x

c) 1 ab b

7120 Ida tittar på uttrycket 6(a + 1) – 5(a + 1) och säger direkt, utan att ställa upp och räkna ut, att uttrycket kan förenklas till (a + 1). Förklara hur Ida kan ”se” det utan att räkna! 7.1 Aritmetik och AlgebrA

2013-07-11 15:21


Kurs 1bc Vux.indb 355

2013-07-11 15:21


Komposanter, koordinater och vektorlängd I ett rätvinkligt koordinatsystem skär två tallinjer, koordinataxlarna, varandra i origo O. Om vi genom en punkt P drar linjer parallella med koordinataxlarna, får vi koordinaterna för P.

y P

2 1

Vi kan skriva P = (3, 2)

x 0

En vektor kan alltid delas upp i två komposanter längs två givna riktningar. I ett rätvinkligt koordinatsystem kan vektorn v delas upp i en komposant vx i x-axelns riktning och en komposant vy i y-axelns riktning.

komposanter

1

v = 3 · ex + 2 · e y = (3, 2)

3

y vy

v

1 x

v = vx + vy

Om vi inför två vektorer ex och e y med längden 1, som figuren visar, kan vektorn v skrivas

2

1

vx

2

y 2 ey

v

ey x ex

Talen 3 och 2 kallas vektorn v :s koordinater med avseende på basvektorerna ex och e y . Talen är desamma som vektorspetsens koordinater då vektorn placeras med utgångspunkt i origo.

koordinater

3 ex

• Varje vektor v kan skrivas v = x · ex + y · ey = (x, y) där ex och ey är två vektorer, som ej är parallella.

Sammanfattning

• Talen x och y kallas vektorn v :s koordinater med avseende på basvektorerna ex och ey .

• Vektorerna v x = x · ex och v y = y · ey kallas vektorn v :s komposanter.

372

Kurs 1bc Vux.indb 372

7.3 vektorer

2013-07-11 15:22


Hur ska vi nu räkna med vektorer i koordinatform?

y 5

v1

Vi väljer v1 = (2, 5) och v2 = (4,–1) och bestämmer summan v1 + v2 med parallellogrammetoden. Vi får v1 + v2 = (6, 4)

v1 + v2

1

Samma resultat ger beräkningen v1 + v2 = = (2, 5) + (4,–1) = (2 + 4, 5 – 1) = (6, 4)

x 1

v2

5

Vi kan på liknande sätt genomföra beräkningar för multiplikation av en vektor med ett tal och för subtraktion av vektorer. Detta ger tre räknelagar för vektorer i koordinatform. ( (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) Räknelagar

(x1, y1) – (x2, y2) = (x1 – x2, y1 – y2) k (x, y) = (kx, ky) Längden av en vektor som är given på koordinatform i ett rätvinkligt koordinatsystem, kan beräknas med Pythagoras sats.

vektorlängd

Vektorn v = (a, b) har längden |v | = a2 + b 2 . Längden av vektorn v1 = (2, 5) i figuren ovan är |v1| = 22 + 52 = 4 + 25 = 29

7308

Vektorerna a = (1,– 3) och b = (– 2, 3) är givna. a) Bestäm koordinaterna för a – b b) Bestäm i exakt form längden av 2a+5b a) a – b = (1,–3) – (–2, 3) = (1 + 2, –3 – 3) = (3, –6) b) 2a + 5b = 2(1,–3) + 5(–2, 3) = (2,–6) + (–10,15) = = (2 – 10, –6 + 15) = (–8, 9) 2

Svar: Längden = (–8) + 9 2 = 64 + 81 = 145

7.3 vektorer

Kurs 1bc Vux.indb 373

373

2013-07-11 15:22


7309 Skriv vektorerna i koordinatform. y

v1

7313 Bestäm i exakt form längden av vektorerna u och v . y

v5

u v2

1

x

1

x

1 v4

1

v3 v

7310

y

1

x

7314 Vektorerna a = (2, 1) och b = (1,–2) är givna. Bestäm i exakt form längden av vektorerna

1 u

a) a b) 3a + b

a) Rita vektorn u och komposanterna ux och uy i ditt räknehäfte. b) Vilken längd har ux ? c) Skriv ux i koordinatform. d) Vilken längd har uy ? e) Skriv uy i koordinatform. 7311 Vektorerna u = (3, 2) och v = (4, 6) är givna. Bestäm koordinaterna för a) u + v

c) u – v

b) 2u + 3v

d) –2u – 4v

7312 Vektorerna a = (1, 4), b = (– 4, 2) och c = (3,– 4) är givna. Bestäm koordinaterna för

374

Kurs 1bc Vux.indb 374

a) a + b + c

c) 2a + 4b

b) a – b – c

d) 2a – 4b

c) a – b d) 3a – 4b

7315 Lös ekvationerna, dvs ange x och y. a) (x, y) = 5(3, 1) + 2(4,–5) b) (15, 12) = (x,10) + (23, y) 7316 Om u = k · v , så är vektorerna u och v parallella. Vilka av följande vektorer är parallella med u= (2,–3)? a) (6,–9)

c) (10, 15)

b) (–8, 16)

d) (–12, 18)

7317 Vektorerna u = (–2, 3) och v = (3,–1) är givna. Bestäm talen a och b så att au + v = (0, b). 7318 Vektorn k · v har längden 1. Beräkna längden |v | och talet k, om a) v = (6, 8)

c) v = (3, 1)

b) v = (3, 4)

d) v = (a, b)

7.3 vektorer

2013-07-11 15:22


13 a) 3 MW Ledtråd: Tiopotensen 106 kan skrivas med prefixet M (mega). b) 5 ms Ledtråd: 0,005 = 5 tusendelar Tusendelar (10 –3) kan skrivas med prefixet m (milli). 14 21tre Lösning: 7tio ska skrivas med basen 3:

••• •••

2 tregrupper + 1 ental skrivs 21tre 15 5 dygn Lösning: En tablett innehåller 200 mg Per gång: 2 tabletter Per dygn: 2 · 3 tabl = 6 tabl 30 Antal dygn: =5 6 16 a) 17,25 kr Lösning: Jämförpris: 27,60 kr = 6,90 kr/hg 4,0 hg

5 a) 9 6

17 32 tidningar Lösning: Andel Spindelmannen : 1 1 1 8 4 2 1 1 1– – – = – – – = 2 4 8 8 8 8 8 8 1 motsvarar 4 tidningar. 8 Antalet tidningar: 8 · 4 = 32.

c) 50

8 a) x = 5

b) x = –3

9 En siffras värde beror på dess placering i talet. T ex i talet 372 har siffran 7 värdet 70. 10 45 min

1 40,3 2 a) –2º

b) –9º

3 a) 0,029

b) 530 000 000

4 5 4 a) T ex + 8 8

3 3 b) T ex · 2 4

svar, LEDTrÅDar och Lösningar

Kurs 1bc Vux.indb 411

b) 2, 3, 6, 11, 22 och 33 Ledtråd: Sammansatta tal är delbara med primtalsfaktorerna och produkter av dessa faktorer. 20 10fem Ledtråd: Endast siffrorna 0,1,2,3, och 4 används i basen fem. 21 a) x = 2 22 2,5 ∙ 10 –3

b) T ex 0,007 Ledtråd: Ett tal mellan 0,001 och 0,010. 12 15 min eller 0,25 h 13 a) T ex a = 5 ger 3 · 5 = 15 och 5 + 5 + 5 =15 b) T ex a = –4 ger 3 · (–4) = –12 och (–4) + (–4) + (–4) = –12 1 1 3 ger 3 · = och 5 5 5 1 1 1 3 + + = 5 5 5 5

23 a) 0,05

3 52 och 4 100 Förklaring: Täljaren är större än halva nämnaren. Täljaren är dessutom mindre än nämnaren.

25

16 23 17 Talet 53 är ett tal i potensform. Basen är 5 och exponenten är 3. Exponenten anger antalet faktorer som ska multipliceras då talet skrivs i faktorform. 53 = 5 · 5 · 5 18 29 °C

c) 3 8

10 5 = 16 8 Ledtråd: Hur många rutor är det som inte är färgade?

26 a) Andelen barn i Sverige = delen 2 1 = = ≈ det hela 10 5 Förhållandet mellan antalet barn och antalet vuxna 2 1 ≈ = 8 4 Förhållandet är 1: 4. b)

15 T ex a) –2 + (–3) = –5

b) 1 6

24 kl 11.50 Los Angeles-tid Ledtråd: När planet landar är klockan i New York 13.50.

c) T ex a =

14

b) x = 3 1 10 –2 0,02 101 200

Ledtråd: 1/200 är hälften av 1/100 dvs 0,005.

11 a) T ex 0,092 Ledtråd: Ett tal mellan 0,090 och 0,100.

b) –9 – (–4) = –5

Blandade övningar kapitel 1

19 a) 2 · 3 · 11

1 3

7 4 liter Ledtråd: 3 flaskor innehåller tillsammans 1 liter.

2,5 hg kostar: 2,5 · 6,90 kr = 17,25 kr b) 8,7 hg Lösning: 60 kr = 8,695 ≈ 8,7 hg 6,90 kr/hg

b) 81

27

2 5

3 36 h= h = 36 min och 5 60 7 35 h= h = 35 min 12 60

28 Resultatet blir 30 000. Ledtråd: Talet är 150. 29 Hälften Ledtråd: De som åker buss är 5/8 av de som inte cyklar.

411

2013-07-11 15:23


30 a) 2,52

b) 0,55

31 a) 64 slag b) ca 3 800 slag (3 840) c) ca 92 000 slag (92 160) d) ca 34 000 000 slag 32 Anna betalade 5 kr mindre. 33 a) 1 700 kr

b) 59 h (58,8)

34 a) 550 000

b) T ex 2 ∙ 10

43 5,4 km Ledtråd: Beräkna hur långt Amina joggar på 5 min.

2107 a) 50 %

d) 26 %

b) 33 %

e) 30 %

c) 73 %

f) 20 %

44 De kan antingen dela pengarna efter hur lång tid de arbetat: Maja 3 och Malcolm 2 eller 5 5 efter hur många broschyrer de

2108 a) 12 %

delat ut: Maja 11 och Malcolm 9 20 20

–2

35 a) Gör om talen till decimalform.

45

b) Skriver om bråken så de får samma nämnare och jämför sedan täljarna. 36 W34 L32 37 a) 314,09 kr b) 210 min = 3 h 30 min 38 a) 1990 var det 4,5 barn per anställd. 2008 var det 5,3 barn per anställd. b) Ca 97 000

År

Modell A

Modell B

0

78 000

78 000

1

67 200

62 400

2

56 400

49 900

3

45 600

39 900

4

34 800

31 900

5

24 000

25 600

6

13 200

20 400

7

2 400

16 400

8

13 100

9

10 500

10

8 400

39 42 Lösning: 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 =42

Enligt modell B sjunker bilens värde snabbt de första åren och sedan allt mindre.

40 a) 129 dollar (128,73 …) Lösning: 100 euro = 100 ∙ 9,085 = 100 · 9,085 dollar 7,057

Enligt modell A sjunker bilens värde lika mycket varje år. Efter drygt 7 år är bilen inte värd någonting. Efter 4–5 år ger båda modellerna samma värde.

b) 11 700 yen (11 742,09 …) 41 Du får en lite större bit vid bord A. Motivering: Bord A 4 pizzor = 0,4 pizzor/person 10 personer Bord B 3 pizzor = 0,375 pizzor/person 8 personer 42 Robin hade störst reskassa från början. Förklaring: 3 Louis har kvar. 4 Robin har

3 kvar. 5

2

b) 40 %

2109 5,1 % 2110 Figur A 9 a) 25 Figur B 3 a) 8

b) 0,36

c) 36 %

b) 0,375

c) 37,5 %

2111 a) 18 % (17,5) b) 32 % (31,8) Ledtråd: Tänk på att både ”delen” och ”det hela” ökar. 2112 a) 47 % Ledtråd: ”Det hela” = 90 g + 100 g = = 190g b) 53 % 2113 a) 80 % b) 120 % 2114 Räddningsprocent: 13 ≈ 0,48 = 48 % Adde 27 19 Filip ≈ 0,44 = 44 % 43 2115 210 % Ledtråd: Alessandro arbetar 84 timmar/vecka. 2116 a) 10 %

b) 30 % 2105 a) 0,65 b) 0,70 2106 a) 25 %

b) 3,5 %

c) 0,07

2117 I Persboda. Motivering: 9 Persboda = 0,12 = 12 % 75 165 = 0,11 = 11 % Västerstad 1 500

d) 0,703

2118 a) Ca 17 %

2103 40 % 2104 a) 42 %

c) 3,5 %

c) 3 % d) 30,5 %

c) 10 %

b) 12,5 % d) 5 % Ledtråd: Börja med att skriva talen i decimalform. Använd räknare om du behöver.

b) 120 % Ledtråd: Beräkna 53 g av 44g. 2122 180 kr Lösning: 0,24 · 750 kr = 180 kr 2123 a) 6 944 kr b) 14 756 kr

412

Kurs 1bc Vux.indb 412

svar, LEDTrÅDar och Lösningar

2013-07-11 15:23


Kurs 1bc Vux.indb 413

2013-07-11 15:24


Kurs 1bc Vux.indb 460

2013-07-11 15:25


9789127435056