Page 1

ÂÓÇÎÂÑÊÎ-ÀÊÀÄÅÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÎËÈÌÏÈÀÄÀ 2008  2009 Ó×. ÃÎÄ 6-é  7-é ÊËÀÑÑ 6  7.1. à) Ñóùåñòâóåò ëè òð¼õçíà÷íîå ÷èñëî, âñå öèôðû êîòîðîãî îäèíàêîâû, íî ïðè íàïèñàíèè åãî ñëîâàìè ðóññêîãî ÿçûêà âñå ýòè ñëîâà íà÷èíàþòñÿ ñ ðàçíûõ áóêâ? á) Ñóùåñòâóåò ëè òð¼õçíà÷íîå ÷èñëî, âñå öèôðû êîòîðîãî ðàçëè÷íû, íî ïðè íàïèñàíèè åãî ñëîâàìè ðóññêîãî ÿçûêà âñå ýòè ñëîâà íà÷èíàþòñÿ ñ îäíîé è òîé æå áóêâû?

6  7.2. (Èç ìàòåðèàëîâ Êèøèí¼âñêîé ãèìíàçèè 1879 ãîäà.) Òðè ìóæà Àíäðåé, Èâàí è Ñòåïàí ïîøëè ñî ñâîèìè æ¼íàìè - Àííîé, Åêàòåðèíîé è Îëüãîé çà ïîêóïêàìè. Êàæäûé ïëàòèë çà êàæäóþ âåùü ïî ñòîëüêó ðóáëåé, ñêîëüêî îí êóïèë âåùåé. Àíäðåé êóïèë áîëüøå Àííû íà 23 âåùè, Èâàí áîëüøå Åêàòåðèíû íà 11 âåùåé, à Ñòåïàí ìåíüøå Îëüãè íà 23 âåùè. Îïðåäåëèòü, êòî íà êîì æåíàò, åñëè êàæäûé èç ìóæåé èçðàñõîäîâàë íà 63 ðóáëÿ áîëüøå, ÷åì åãî ñîáñòâåííàÿ æåíà. 6  7.3. Ðàññòàâüòå ÷èñëà â ïóñòûõ êëåòêàõ òàáëèöû 17

20

òàê, ÷òîáû ñóììà ÷èñåë â ëþáûõ òð¼õ ñîñåäíèõ êëåòêàõ áûëà îäèíàêîâà, à ñóììà âñåõ äâåíàäöàòè ÷èñåë ðàâíÿëàñü 200.

6  7.4.  ãîðîäñêîé äóìå ãîðîäà N ðîâíî 60% äåïóòàòîâ ñ÷èòàþò ââåäåíèå ÅÃÝ

ïîëåçíîé ìåðîé, 30%  âðåäíîé, à îñòàâøèåñÿ 10% ïóòàþò ÅÃÝ ñ ÃÈÁÄÄ. Îäíàêî îñòàëüíûå âçðîñëûå æèòåëè ãîðîäà N (íå ÿâëÿþùèåñÿ äåïóòàòàìè) èìåþò äðóãîå ìíåíèå: ëèøü 10% èç íèõ ñ÷èòàþò ÅÃÝ ïîëåçíûì, 20%  âðåäíûì, à îñòàëüíûå 70% äóìàþò, ÷òî ýòî ÿâëåíèå âðåìåííîå. Ñêîëüêî ïðîöåíòîâ âñåõ âçðîñëûõ æèòåëåé ãîðîäà ñ÷èòàþò ÅÃÝ ïîëåçíûì, åñëè âðåäíûì åãî ñ÷èòàþò ðîâíî 20,01% èç íèõ?

6  7.5. Èç êëåò÷àòîé äîñêè 6 × 6 âûðåçàëè ïðîèçâîëü-

íûì îáðàçîì 11 êëåòîê. Äîêàæèòå, ÷òî èç îñòàâøåéñÿ ÷àñòè äîñêè ìîæíî âûðåçàòü õîòÿ áû îäíó èç äâóõ óêàçàííûõ ôèãóð. (Ôèãóðû ìîæíî ïîâîðà÷èâàòü è ïåðåâîðà÷èâàòü).

6  7.6. Òðåáóåòñÿ çàïèñàòü â ñòðî÷êó (â êàêîì-òî ïî-

ðÿäêå) òðè ñåì¼ðêè è îäíó åäèíèöó è ðàññòàâèòü ìåæäó íèìè ñêîáêè è çíàêè ÷åòûð¼õ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé (+, ,  ×, :) òàê, ÷òîáû 1) ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ öèôðàìè ñòîÿë õîòÿ áû îäèí çíàê, 2) ïîñëå âû÷èñëåíèÿ ïîëó÷èëîñü ÷èñëî 50. Âîçìîæíî ëè ýòî? Åñëè îòâåò ïîëîæèòåëüíûé, òî óêàæèòå ïðèìåð òàêîé çàïèñè, åñëè îòâåò îòðèöàòåëüíûé  ïðèâåäèòå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà. √ 7 (Çàìå÷àíèå. Çàïèñè âèäà 1 + 7 · 7, 7 · 7 × 7 + 1 è ò.ï. íå ðàçðåøåíû, òàê êàê îïåðàöèè âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü, èçâëå÷åíèå êîðíÿ è èì ïîäîáíûå íå îòíîñÿòñÿ ê ÷åòûð¼ì àðèôìåòè÷åñêèì äåéñòâèÿì.)


ÂÓÇÎÂÑÊÎ-ÀÊÀÄÅÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÎËÈÌÏÈÀÄÀ 2008  2009 Ó×. ÃÎÄ 8-é ÊËÀÑÑ 8.1. Íà øîó Ïîñëåäíèé ãåðîé îñòðîâèòÿíå ñëó÷àéíî íàøëè ñêëàä îïåðàòîðîâ

òåëåâèäåíèÿ, ãäå õðàíèëîñü íåñêîëüêî áóòûëîê ãàçèðîâêè. Íî÷üþ ó÷àñòíèêè øîó ïðèøëè íà ñêëàä è âûïèëè 10 áóòûëîê, ïðè÷¼ì âñå ïðèøåäøèå âûïèëè ïîðîâíó. Óòðîì ó íåêîòîðûõ îñòðîâèòÿí ïðîñíóëàñü ñîâåñòü, ïîýòîìó ñëåäóþùåé íî÷üþ íà ñêëàä ïðèøëè òîëüêî ñåìåðî. Îíè äîïèëè îñòàâøóþñÿ ãàçèðîâêó, ïðè÷¼ì êàæäîìó èç íèõ äîñòàëîñü íàïèòêà âäâîå ìåíüøå, ÷åì íàêàíóíå. Ñêîëüêî áóòûëîê ãàçèðîâêè áûëî íà ñêëàäå äî ïðèõîäà íåæäàííûõ ïðèøåëüöåâ?

8.2. Ñîêðàòèòå äðîáü x2 (y 3 − z 3 ) + y 2 (z 3 − x3 ) + z 2 (x3 − y 3 ) . x(y 2 − z 2 ) + y(z 2 − x2 ) + z(x2 − y 2 )

8.3. Ïóñòü çàïèñü a¤b îáîçíà÷àåò íàèáîëüøåå èç ÷èñåë 2a è a + b, à çàïèñü a♦b  íàèìåíüøåå èç ÷èñåë a + b è 2b. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ: a) x¤3 = 5¤x á) x♦3 = 5♦x â) (x♦1)♦2 = 2¤(1¤x). 8.4.  ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ABC ñ îñíîâàíèåì AC ïðîâåäåíà áèññåê-

òðèñà CD óãëà C . Íà ïðÿìîé AC âçÿòà òî÷êà E òàê, ÷òî ∠EDC = 90◦ . Íàéòè EC , åñëè AD = 1.

8.5. Íåçíàéêà íàïèñàë íà äîñêå íåñêîëüêî ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë è

ïîäåëèë â óìå èõ ñóììó íà èõ ïðîèçâåäåíèå. Ïîñëå ýòîãî îí ñò¼ð ñàìîå ìàëåíüêîå ÷èñëî è ïîäåëèë (îïÿòü â óìå) ñóììó îñòàâøèõñÿ ÷èñåë íà èõ ïðîèçâåäåíèå. Âòîðîé ðåçóëüòàò îêàçàëñÿ âòðîå áîëüøå ïåðâîãî. Êàêîå ÷èñëî ñò¼ð Íåçíàéêà?

8.6. Òðåáóåòñÿ çàïèñàòü â ñòðî÷êó (â êàêîì-òî ïîðÿäêå) òðè ñåì¼ðêè è îäíó åäè-

íèöó è ðàññòàâèòü ìåæäó íèìè ñêîáêè è çíàêè ÷åòûð¼õ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé (+, ,  ×, :) òàê, ÷òîáû 1) ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ öèôðàìè ñòîÿë õîòÿ áû îäèí çíàê, 2) ïîñëå âû÷èñëåíèÿ ïîëó÷èëîñü ÷èñëî 50. Âîçìîæíî ëè ýòî? Åñëè îòâåò ïîëîæèòåëüíûé, òî óêàæèòå ïðèìåð òàêîé çàïèñè, åñëè îòâåò îòðèöàòåëüíûé  ïðèâåäèòå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà. √ 7 (Çàìå÷àíèå. Çàïèñè âèäà 1 + 7 · 7, 7 · 7 × 7 + 1 è ò.ï. íå ðàçðåøåíû, òàê êàê îïåðàöèè âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü, èçâëå÷åíèå êîðíÿ è èì ïîäîáíûå íå îòíîñÿòñÿ ê ÷åòûð¼ì àðèôìåòè÷åñêèì äåéñòâèÿì.)


ÂÓÇÎÂÑÊÎ-ÀÊÀÄÅÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÎËÈÌÏÈÀÄÀ 2008  2009 Ó×. ÃÎÄ 9-é ÊËÀÑÑ 9.1. Íåçíàéêà ñêàçàë, ÷òî åñëè ñëîæèòü âñå ÷èñëà, êîòîðûå ìîãóò ïîëó÷èòüñÿ

ïðè âû÷¼ðêèâàíèè ëþáûõ 5 öèôð ñåìèçíà÷íîãî íîìåðà åãî òåëåôîíà, òî ïîëó÷èòñÿ 2009. Äîêàæèòå, ÷òî Íåçíàéêà îøèáñÿ â âû÷èñëåíèÿõ.

9.2. Íà ñòîðîíàõ CB è CD êâàäðàòà ABCD âçÿòû òî÷êè M è K ñîîòâåòñòâåííî. Îêàçàëîñü, ÷òî ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà CM K ðîâíî â äâà ðàçà ìåíüøå ïåðèìåòðà êâàäðàòà. Íàéäèòå óãîë M AK . 9.3. Ïóñòü a, b, c, d, A, B, C, D  ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà. µ α = max

¶ µ ¶ a+c b+d a+b c+d , β = min . , , A+C B+D A+B C +D

Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî α > β.

9.4. Êîò Ìàòðîñêèí êàê-òî ïîä Íîâûé ãîä ðàçäåëèë âñå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà ìåæäó ñîáîé è Øàðèêîì òàê, ÷òî 1) ñóììà ëþáûõ äâóõ ÷èñåë Ìàòðîñêèíà  ÷èñëî Ìàòðîñêèíà; 2) ñóììà ëþáûõ äâóõ ÷èñåë Øàðèêà  ÷èñëî Ìàòðîñêèíà; 3) ñóììà ëþáûõ ÷èñëà Øàðèêà è ÷èñëà Ìàòðîñêèíà  ÷èñëî Øàðèêà. Êàêèå ÷èñëà äîñòàëèñü Øàðèêó? 9.5. Èçâåñòíî, ÷òî ïðîèçâîëüíîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî a îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâèìî

â âèäå a = [a] + {a}, ãäå [a]  öåëîå ÷èñëî (öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà a), à {a}  äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëà a, 0 6 {a} < 1. Ïðî íåêîòîðîå ÷èñëî x èçâåñòíî, ÷òî {32x} = {200x}, {2x} = {100x}. Äîêàæèòå, ÷òî {x} = {155x}.

9.6. Òðåáóåòñÿ çàïèñàòü â ñòðî÷êó (â êàêîì-òî ïîðÿäêå) òðè ñåì¼ðêè è îäíó åäè-

íèöó è ðàññòàâèòü ìåæäó íèìè ñêîáêè è çíàêè ÷åòûð¼õ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé (+, ,  ×, :) òàê, ÷òîáû 1) ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ öèôðàìè ñòîÿë õîòÿ áû îäèí çíàê, 2) ïîñëå âû÷èñëåíèÿ ïîëó÷èëîñü ÷èñëî 50. Âîçìîæíî ëè ýòî? Åñëè îòâåò ïîëîæèòåëüíûé, òî óêàæèòå ïðèìåð òàêîé çàïèñè, åñëè îòâåò îòðèöàòåëüíûé  ïðèâåäèòå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà. √ 7 (Çàìå÷àíèå. Çàïèñè âèäà 1 + 7 · 7, 7 · 7 × 7 + 1 è ò.ï. íå ðàçðåøåíû, òàê êàê îïåðàöèè âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü, èçâëå÷åíèå êîðíÿ è èì ïîäîáíûå íå îòíîñÿòñÿ ê ÷åòûð¼ì àðèôìåòè÷åñêèì äåéñòâèÿì.)


ÂÓÇÎÂÑÊÎ-ÀÊÀÄÅÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÎËÈÌÏÈÀÄÀ 2008  2009 Ó×. ÃÎÄ 10-é ÊËÀÑÑ 10.1. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë a, b, c âûïîëíåíû íåðàâåí-

ñòâà a + b + c > 0, ab + bc + ac > 0, abc > 0, òî âñå ýòè ÷èñëà ïîëîæèòåëüíûå.

10.2. Âû÷èñëèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ µ min

x∈[−1,1]

´¶

³ max

min |x + y + z|

y∈[−1,1] z∈[−1,1]

.

10.3. Ðàññìàòðèâàþòñÿ âñåâîçìîæíûå ïðÿìîóãîëüíûå òðåóãîëüíèêè ó êîòîðûõ çàôèêñèðîâàíà âåðøèíà ïðÿìîãî óãëà, à ñóììà êàòåòîâ ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé (ïóñòü äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè îíà ðàâíà d). Íàéäèòå ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì êâàäðàòà, ïîñòðîåííîãî íà ãèïîòåíóçå ýòîãî òðåóãîëüíèêà âíå åãî. 10.4. Þíîøåé è äåâóøåê íà áàëó áûëî ïîðîâíó. Âî âðåìÿ áàëà êàæäûé þíîøà

òàíöåâàë âàëüñ ñ äåâóøêîé ëèáî áîëåå êðàñèâîé, ëèáî ñ áîëåå óìíîé, ÷åì òà, ñ êîòîðîé îí òàíöåâàë òàíãî. À îäèí þíîøà òàíöåâàë âàëüñ ñ äåâóøêîé îäíîâðåìåííî è áîëåå êðàñèâîé è áîëåå óìíîé. Ìîãëî ëè òàêîå áûòü?

10.5. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî íàçîâåì ñâîèì, åñëè îíî ïðåäñòàâèìî â âèäå ñðåäíåãî

àðèôìåòè÷åñêîãî êâàäðàòîâ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Âåðíî ëè, ÷òî âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà ñâîè? Ðåøèòü çàäà÷ó â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî èìååòñÿ ââèäó ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå à) â òî÷íîñòè äâóõ êâàäðàòîâ; á) íåñêîëüêèõ (âîçìîæíî, îäíîãî) êâàäðàòîâ.

10.6. Òðåáóåòñÿ çàïèñàòü â ñòðî÷êó (â êàêîì-òî ïîðÿäêå) òðè ñåì¼ðêè è îäíó åäèíèöó è ðàññòàâèòü ìåæäó íèìè ñêîáêè è çíàêè ÷åòûð¼õ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé (+, ,  ×, :) òàê, ÷òîáû 1) ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ öèôðàìè ñòîÿë õîòÿ áû îäèí çíàê, 2) ïîñëå âû÷èñëåíèÿ ïîëó÷èëîñü ÷èñëî 50. Âîçìîæíî ëè ýòî? Åñëè îòâåò ïîëîæèòåëüíûé, òî óêàæèòå ïðèìåð òàêîé çàïèñè, åñëè îòâåò îòðèöàòåëüíûé  ïðèâåäèòå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà. √ 7 (Çàìå÷àíèå. Çàïèñè âèäà 1 + 7 · 7, 7 · 7 × 7 + 1 è ò.ï. íå ðàçðåøåíû, òàê êàê îïåðàöèè âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü, èçâëå÷åíèå êîðíÿ è èì ïîäîáíûå íå îòíîñÿòñÿ ê ÷åòûð¼ì àðèôìåòè÷åñêèì äåéñòâèÿì.).


ÂÓÇÎÂÑÊÎ-ÀÊÀÄÅÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÎËÈÌÏÈÀÄÀ 2008  2009 Ó×. ÃÎÄ 11-é ÊËÀÑÑ 11.1. Ïóñòü x, y, z - äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà è A = sin x cos y + sin y cos z + sin z cos x.

Íàéòè íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ÷èñëà A.

11.2. Äëÿ äâóõ áåñêîíå÷íûõ â îáå ñòîðîíû, âîçðàñòàþùèõ àðèôìåòè÷åñêèõ ïðî-

∞ ãðåññèé A = {an }∞ n=−∞ è B = {bm }m=−∞ áóäåì ïèñàòü, ÷òî B v A, åñëè ñóììà ëþáûõ äâóõ ÷ëåíîâ ïðîãðåññèè B  ýëåìåíò ïðîãðåññèè A. Ïóñòü èçâåñòíî, ÷òî A v B , B v A. à) Äîêàæèòå, ÷òî ðàçíîñòè ýòèõ ïðîãðåññèé ðàâíû. á) Ïðîãðåññèÿ A ñîäåðæèò ÷èñëî 2009. Óêàæèòå âñå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, êîòîðûå íå ìîãóò ÿâëÿòüñÿ ýëåìåíòàìè B . Îòâåò îáîñíóéòå.

11.3. Äîêàæèòå äëÿ âñåõ ðàçëè÷íûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë a, b íåðàâåíñòâî: √

ab <

a−b a+b < ln a − ln b 2

11.4. Îñòðûé óãîë ïàðàëëåëîãðàììà ABCD ðàâåí 45◦ . Íà äèàãîíàëè AC îòìå÷å-

íà òî÷êà K , òàê ÷òî óãîë BKD ðàâåí 90◦ . Äîêàæèòå, ÷òî ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ AK · KC .

11.5. Ïî÷òàëüîí Ïå÷êèí ïîäåëèë âñå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà ìåæäó êîòîì Ìàò-

ðîñêèíûì è Øàðèêîì òàê, ÷òî 1) ïðîèçâåäåíèå ëþáûõ äâóõ ÷èñåë Ìàòðîñêèíà  ÷èñëî Ìàòðîñêèíà; 2) ïðîèçâåäåíèå ëþáûõ äâóõ ÷èñåë Øàðèêà  ÷èñëî Ìàòðîñêèíà; 3) ïðîèçâåäåíèå ëþáûõ ÷èñëà Øàðèêà è ÷èñëà Ìàòðîñêèíà  ÷èñëî Øàðèêà. Èçâåñòíî, ÷òî ÷èñëî −π äîñòàëîñü Øàðèêó. Êîìó äîñòàëèñü îñòàëüíûå ÷èñëà?

11.6. Òðåáóåòñÿ çàïèñàòü â ñòðî÷êó (â êàêîì-òî ïîðÿäêå) òðè ñåì¼ðêè è îäíó

åäèíèöó è ðàññòàâèòü ìåæäó íèìè ñêîáêè è çíàêè ÷åòûð¼õ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé (+, ,  ×, :) òàê, ÷òîáû 1) ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ öèôðàìè ñòîÿë õîòÿ áû îäèí çíàê, 2) ïîñëå âû÷èñëåíèÿ ïîëó÷èëîñü ÷èñëî 50. Âîçìîæíî ëè ýòî? Åñëè îòâåò ïîëîæèòåëüíûé, òî óêàæèòå ïðèìåð òàêîé çàïèñè, åñëè îòâåò îòðèöàòåëüíûé  ïðèâåäèòå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà. √ 7 (Çàìå÷àíèå. Çàïèñè âèäà 1 + 7 · 7, 7 · 7 × 7 + 1 è ò.ï. íå ðàçðåøåíû, òàê êàê îïåðàöèè âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü, èçâëå÷åíèå êîðíÿ è èì ïîäîáíûå íå îòíîñÿòñÿ ê ÷åòûð¼ì àðèôìåòè÷åñêèì äåéñòâèÿì.).

Olimp  

this is the tasks of olimp.

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you