11. Relativit´e restreinte
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est un invariant. Explicitement, ceci signifie que A0 B 0 − A · B = A00 B 00 − A0 · B0
(11.68)
o` u les primes r´ef`erent aux composantes du quadrivecteur dans le r´ef´erentiel S 0 . Pour le d´emontrer, il suffit d’utiliser la transformation de Lorentz (11.65): A00 B 00 − A0 · B0 = γ 2 (A0 − βA1 )(B 0 − βB 1 ) − γ 2 (A1 − βA0 )(B 1 − βB 0 ) − A2 B 2 − A3 B 3 = A0 B 0 γ 2 (1 − β 2 ) − A1 B 1 γ 2 (1 − β 2 ) − A2 B 2 − A3 B 3
(11.69)
= A0 B 0 − A · B car γ 2 (1 − β 2 ) = 1. L’exemple le plus simple d’invariant est obtenu `a partir du quadrivecteur position : x · x = c2 t2 − r2
(11.70)
Il s’agit de l’intervalle discut´e pr´ec´edemment. Temps propre Consid´erons un objet qui se d´eplace dans l’espace-temps, comme une particule ou un voyageur sid´eral. Dans l’espace-temps, le mouvement de ce point trace une certaine trajectoire, correpondant a une suite continue d’´ev´enements successifs. On d´efinit le temps propre de cet objet comme le ` temps tel qu’il s’´ecoule dans le r´ef´erentiel propre `a cet objet. On note le temps propre τ . Si un objet se d´eplace ` a une vitesse constante v par rapport au r´ef´erentiel S, alors son temps proprepest simplement reli´e au temps t du r´ef´erentiel par la formule de dilatation du temps : τ = t 1 − v 2 /c2 . Par exemple, l’horloge en mouvement par rapport `a S a une p´eriode T0 en fonction de sonp temps propre, mais une p´eriode T telle que mesur´ee dans le r´ef´erentiel S, avec la relation T0 = T 1 − v 2 /c2 . Si un objet ne se d´eplace pas ` a une vitesse constante, le calcul de son temps propre en fonction du temps t est plus compliqu´e. On peut cependant affirmer que la diff´erentielle de temps propre dτ associ´ee ` a une diff´erentielle de temps dt est dτ =
p dt = dt 1 − v 2 /c2 γ
(11.71)
o` u v est la vitesse de l’objet ` a ce moment l`a (v d´epend du temps). Le temps propre ´ecoul´e depuis l’instant t = 0 est donc Z t p τ= dt1 1 − v(t1 )2 /c2 (11.72) 0
Le temps propre d’un objet est un invariant, puisque sa d´efinition, dans tout r´ef´erentiel, nous ram`ene n´ecesairement au r´ef´erentiel propre `a l’objet. Quadrivitesse Un autre quadrivecteur qu’il est possible de construire sur la trajectoire d’un objet est la quadrivitesse, d´efinie par dx dt dr u= = (c , ) dτ dτ dτ