Page 1

ANO

MATEMÁTICA 1 VOLUME 1

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS PALAVRA DO AUTOR


Matemática e suas tecnologias: Matriz de Referência C1

Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.

C4

Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.

C5

Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.

H2 H17 H20

Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem. Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação. Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.


C

1

A PÍ LO TU

COMPETÊNCIAS:

C1, C4, C5

Introdução ao estudo das matrizes HABILIDADES:

H2, H17, H20

APRESENTAÇÃO Embora o termo matriz talvez não seja tão difundido, seu uso está presente em diversas situações do cotidiano. Uma planilha de gastos, com linhas e colunas detalhando despesas, é um exemplo de matriz, assim como uma tabela com a classificação dos times em um campeonato de futebol, trazendo dados como quantidade de gols marcados e sofridos etc. Ou seja, mesmo que o nome matriz não costume ser utilizado em casos assim, ambos são exemplos típicos de matrizes. Utilizamos as matrizes sempre que é preciso trabalhar informações em números, organizando-os em forma de tabelas, planilhas. Inicialmente, elas surgiram para solução de sistemas lineares e, atualmente, utilizamos as matrizes em diversas áreas do mundo moderno. Toda vez que você ligar o computador, retirar o smartphone do bolso ou registrar um momento em uma foto, estará diante de aplicações do conceito de matrizes. Veremos, neste capítulo, um breve estudo sobre as matrizes e algumas de suas principais aplicações no dia a dia.


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

TÓPICO 1 • Introdução ao estudo das matrizes O crescente avanço da tecnologia e, consequentemente, o maior uso dos computadores, têm tornado a teoria das matrizes cada vez mais aplicada em algumas áreas, como Engenharia, Computação, Economia, Matemática, Logística, Administração, entre outras.

Quadro de Medalhas - Olímpiadas Rio 2016

Exemplo: Quando organizamos os dados em uma tabela, conseguimos visualizar e interpretar melhor aquilo que nos é informado. Por exemplo, olhando a tabela a seguir, percebemos que os países se encontram nas linhas e as colunas representam a quantidade de medalhas de ouro, prata e bronze que cada país obteve, respectivamente. Posição

País

TOTAL

1º Lugar

Estados Unidos

46

37

38

121

2º Lugar

Reino Unidos

27

23

17

67

3º Lugar

China

26

18

26

70

4º Lugar

Rússia

19

18

19

56

5º Lugar

Alemanha

17

10

15

42

6º Lugar

Japão

12

8

21

41

7º Lugar

França

10

18

14

42

8º Lugar

Coreia do Sul

9

3

9

21

9º Lugar

Itália

8

12

8

28

8

11

10

29

10º Lugar Austrália

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Portanto, se quisermos saber a quantidade de medalhas de prata que a China obteve, basta olharmos para a 3ª linha e a 2ª coluna e verificarmos que foram 18 medalhas de prata. Já se quisermos saber quantas medalhas de ouro obteve a Alemanha, basta olharmos para a 5ª linha e a 1ª coluna e constatar que foram 17 medalhas de ouro.

1.1 • Definição De forma geral, denomina-se de matriz m×n (lê-se m por n) uma tabela retangular de m ⋅ n elementos dispostos em m linhas (filas horizontais) e n colunas (filas verticais). Na maioria das vezes, esses elementos são números que podem ser organizados a partir de uma matriz do tipo A m × n, conforme a representação a seguir.

A m×n

12

 a11 a12 ... a1n    a   21 a 22 ... a 2n   . . . .  =  . . . .    . . . .     a m1 a m2 ... a mn   

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

Exemplos:  3 2    4 é uma matriz 3×2, pois tem três linhas e duas a)  2   colunas. -1 -5  4 -1 7  é uma matriz 2×3, pois tem duas linhas e b)  2 -5 três colunas.  3  9   c) -7  é uma matriz 3×1, pois tem três linhas e uma coluna.  2   d) 5 7 1 é uma matriz 1×3, pois tem uma linha e três colunas. e)

5 4 é uma matriz 2×2, pois tem duas linhas e duas colunas. 2 3

f) [3] é uma matriz 1×1, pois tem apenas uma linha e uma coluna.

1.2 • Representação de uma matriz Consideremos uma matriz A do tipo m×n. Um elemento qualquer dessa matriz é representado por aij, em que o índice i indica a linha em que se encontra tal elemento e o índice j indica a coluna em que se encontra o elemento. Numerando as linhas de cima para baixo e as colunas da esquerda para a direita, uma matriz do tipo m×n é representada por:  a11 a12 ... a1n   a11 a12 ... a1n       a a 21 a 22 ... a 2n  21 a 22 .... a 2n      A = ......................  ou A = ......................  ou      a m1 a m2 ... a mn  a m1 a m2 ... a mn            a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2n A = ...................... . a m1 a m2 ... a mn

Podemos representar, também, a matriz A por extenso, do seguinte modo: A = (aij); i ∈ {1, 2, ..., m} e j ∈ {1, 2, ..., n} ou, simplesmente, por A = (aij)m×n. Exemplo:

2 5 7 0   Seja a matriz A = 3 1 4 -2:   8 6 1 2 a) Quantos elementos ela possui? b) Complete: a13 = ____, a22 = ____,a34 = ____. c) Se aij = 0, então i = ____e j = ____ . Solução: a) Ela possui 3 ⋅ 4 = 12 elementos. b) a13 = 7 ,a22 = 1, a34 = 8. c) Na matriz, a14 = 0 e daí, i = 1 e j = 4.


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

1.3 • Lei de formação

b) 3 5 -7 1

Chama-se lei de formação de uma matriz m × n a uma função que permite obter para cada i(1 ≤ i ≤ m) e cada j(1 ≤ j ≤ n) o valor do elemento aij desta matriz.

1.4.2 • Matriz coluna

Exemplo: Determine a matriz A definida por: A = (aij)2×2, para qual aij = 2i + 3j.

Exemplos:

Solução: Como aij = 2i + 3j é uma lei de formação de matriz, se desejarmos montar uma matriz A 2×2 por meio dela, basta calcular seus quatro elementos a partir da relação dada. a a  A =  11 12  a21 a22  Pela fórmula, teremos: 99 99 99 99

É a matriz constituída por uma única coluna.

 0   -3 b)    3  0  

 1   a) -1  3  

1.4.3 • Matriz nula É uma matriz cujos elementos são todos iguais a zero. A matriz nula será representada por 0. Exemplos:

0 0 0   b) 0 = 0 0 0   0 0 0

0 0 0 a) 0 =   0 0 0

c) 0 =

0 0 0 0

O elemento a11 tem i = 1 e j = 1. Assim, a11 = 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 = 5. O elemento a12 tem i = 1 e j = 2. Logo, a12 = 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 = 8. O elemento a21 tem i = 2 e j = 1. Logo, a21 = 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 1 = 7. O elemento a22 tem i = 2 e j = 2. Assim, a22 = 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 = 10.

1.4.4 • Matriz quadrada de ordem n

5 8  Portanto, A =  . 7 10

É uma matriz do tipo n × n, ou seja, é toda matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas.  a11  a  21 a  31  ...    an1

ESCLARECENDO O vídeo a seguir nos mostra um outro exemplo de como obter os elementos de uma matriz, por meio da sua lei de formação.

ACESSE O LINK! Link sugerido • https://bit.ly/35eoGuA

Exemplos:

a12 a22 a32 ... an2

a13 a23 a33 ... an3

... ... ... ... ...

a1n   a2n  a3n  ....   ann 

 0 4 3   b)  2 0 1 -1 7 0  

1 3 a)   5 7

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Observação: As matrizes quadradas do tipo n×n são ditas matrizes de ordem n. Assim, uma matriz 2×2 é de ordem 2. Já a matriz 3×3 tem ordem 3 e assim por diante. 1.4.4.1 • Diagonal principal

1.4 • Algumas matrizes importantes

Seja A =  aij 

n×n

uma matriz quadrada de ordem n.

O conjunto dos elementos a11, tais que i = j, chama-se diagonal principal.

1.4.1 • Matriz linha É a matriz constituída por uma única linha. Exemplos: a) 5 -1 0

 a11  a  21 A =  a31  ...    an1

a12 a22 a32 ... an2

a13 ... a1n   a23 ... a2n  a33 ... a3n  ... .... ...   an3 ... ann 

Diagonal principal

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

13


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

Exemplo:

Exemplos:  5  -1 A =   0  3 

2 4 1 1 7 2 5 1

0  0 1 3

 3 −2 5     0 1 −3   0 0 2   Triangular superior

Diagonal principal

1.4.4.2 • Diagonal secundária Seja A =  aij 

n×n

uma matriz quadrada de ordem n.

O conjunto dos elementos a11, tais que i + j = n + 1, chama-se diagonal secundária.  a11  a  21  A =  a31    ...   an1 

a12 ... a1, n-2

a1, n-1

a21 ... a2, n-2

a2, n-1

a31 ... a3, n-2

a3, n-1

... ... ... an2 ... an, n-2

... an, n-1

a1n   a2n   a3n    ...   ann  

1 2 1 2 1 2 1 2

0  0 0 0

A transposta de uma matriz A, representada por A t, é obtida transformando linhas em colunas. O efeito disso é que o elemento que ocupava a posição ij passa a ocupar a posição ji, ou seja, se A = (aij)m × n,. então A t = (a ji )n x m.  2 -1    2 -10 5  , então A t =  -10 Se A =  3  -1 3 4    5 4  

Observação: Seja A uma matriz quadrada e At sua matriz transposta.

Diagonal secundária

Teremos: a) Se A = At, então dizemos que a matriz A é simétrica. b) Se A = -At, dizemos que a matriz A é antissimétrica.

1.4.4.3 • Matriz diagonal

1.6 • Igualdade de matrizes

É a matriz quadrada na qual os elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero. Exemplos: -5 0 a)    0 3

1.5 • Matriz transposta

Exemplo:

Exemplo: 0  0 A =  0 0 

 3 0 0    4 1 0   −2 5 6    Triangular inferior

2 0 0   b)  0 0 0  0 0 1  

6 0 0 c) 0 1 0 0 0 5

0  0 d)  0 0 

0 0 0 0

0 0 0 0

0  0 0 0

1.4.4.3.1 • Matriz identidade

Duas matrizes de mesmo tipo m×n são iguais quando todos os seus elementos correspondentes (elementos de mesmo índice) são iguais. Exemplos:     a)  1 -3 =  1 -3 8 -1 8 -1     b) Determine os valores de a, b, c e d de modo que se tenha:

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

É toda matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1. A matriz identidade de ordem n será indicada por In. Exemplos :  1 0  a) I2 =   0 1  

 1 0 0   b) I3 =  0 1 0  0 0 1  

1.4.4.4 • Matriz triangular É toda matriz quadrada cujos el ementos situados “de um mesmo lado” da diagonal principal são iguais a zero. A = (aij) é triangular, se aij = 0 para i < j ou aij = 0 para i > j.

14

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

 a 1  2 1     b + 1 = 1 1  1     d  6 3 c - 2 Solução:

 a 1  2 1     b + 1 = 1 1  1     d  6 3 c - 2

Igualando os elementos correspondentes, temos: a=2 b +1= 1⇒ b = 0 c -2 = 6 ⇒ c = 8 d=3


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

EXERCITANDO EM AULA 01. Dadas as matrizes: 2 2 x  6  e B =  7 - 4  y - x 

x+y A =  2 x - y y

Se A = B, então o valor de x é : a) 4 b)

1 3

2 3 d) -1 e) 8

é antissimétrica, o valor da expressão (x + y + z)a + b + c é igual a: Observação: a matriz antissimétrica vale At = -A. a) 0 b) 1 c) 2 d) 11 e) - 11 aij = 2i - j, se i ≠ j

03. A matriz 2 × 3, com 

0 -1 0

0   0 1 

1 0 1

- 1  1  0

1  d) 0  0

0 -1 0

0   0 1 

0  e) 1  1

- 1 - 1  0 - 1 1 0 

i= j

, é:

- 1 -1 1 11 11 -1 1  1 11 1 -11 11 -1 1  1 

i - j, se i > j  aij = 2i + 3j, se i = j  i + j, se i < j

0  c) 1  -1

, se i ≠ j  0 , se i = j 

06.A0 matriz - 3 A-=8(aij)2×3 tem elementos definidos pela -31 a) 00 811j.2. Portanto, a matriz A é expressão aij43= i370 -a) 8. a) 1 0 -1 a) 70 - 43 81. 10 a) 7 4 -43 1 -0811.. a) 7 a) 0 74 261 7 b) 0 26. 3 477 23  b) 10 26 0 0 ..  47 23 b) 03 26 . b)   b) 3 4 23 0 7 26  b) 1 230. -3 - 4 b) 0  0-3 43 23 0 00 -43. 1  c) 70  3 c) 26 70 43. -23 c) c) 00 7 43 . 1 26 23 4 .- 1 c) 7   26 23 c) 7 4  c) 126 023. 1  0 7  26 23 0 13 1 47. 0 d)  0 7  d) d) 3 471. 08  d) 03 0 4471.. 0  -18 d) 3  8 -41. 0 d) 0-3 d) - 1  8 1 0 8 -1 -12. e) 001 e) 0 1 - 0 - 21 e) 10 2. -1 - 21. e) 10 -01 e) 010 --011 --21. 0 -11. e) 1 1 0 e) 0 - 11 f) 1  1 0  1

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

0 0 0  40 4 04 41 1 41 1 133 3 43 4 3 4 41 1 41 1 133 3 4 3 4 34 41 1 41 1 100 0 4 0 4 04 4 400 0 40 4 04 4 4

aij = i + j, se 

04. Determine a soma de todos os elementos da matriz, definida por: A = (aij)3×3, tal que

a) 44 b) 45 c) 46

i+ j

1  b) 0  0

x - 2 a - 3    Sabendo que a matriz A =  5 y - 5 c     b - 2 z - 4

2 2 23 a) 2 23 -1 3 3 1 3 1 2 11 2 2 2 b) 20 0 0 10 1 01 12 2 12 0 2  0 2  c) 0 1 0 01   1 1 3 1 3 3 d) 333 3 3 22 3 2 32 3 e) 23 3 3

 05. A matriz A = (aij)3×3, é definida tal que (-1) então A é igual a: 0 -1 1   a) -1 0 - 1  -1 0  1

c)

02.

d) 47 e) 48

07. Se A é uma matriz quadrada, define-se traço de A como a soma dos elementos da diagonal principal de A. Nessas condições, o traço da matriz A = ( aij )3×3, onde aij = 2i - 3j, é igual a: a) 6 b) 4 c) -2 d) -4 e) -6

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

15


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

TÓPICO 2 • Operações com matrizes

Exemplos:

2.1 • Adição

0 2 -1 7  1 5 eB= . a) Dadas as matrizes A =  3   1 -2 6 0 8    

Sejam as matrizes A = [aij]m×n e B = [bij]m×n. Denomina-se soma de A com B a matriz C = [cij]m×n, em que cij = aij + bij, para todo i e todo j.

Determine a matriz A - B. Solução:

Exemplos:

2 - 0 -1- 1 7 - 5  2 -2 2  =  A -B =   3 - 1 0 - (-2) 8 - 6 2 2 2    

a) Dadas as matrizes  3 5 -4 1     1 , A =  2 0 e B = 2     4 -1 -2 3

5 6  0 5  e B =  . b) Dadas as matrizes A =  4 2 -1 4 Calcule a matriz A - B.

calcule A + B. Solução: Solução:  3 1 5 -4  3 + 5 1 + (-4)  8 -3         A + B =  2 1 0 + 1  = 4 0 + 2 1 =  2 + 2         2 4 -1 + 3 -2 + 4  2 -1 -2 3 0 2 1 2 3 0 , B =  eC= , b) Dadas as matrizes A =  5 -1 2 -6 3 5        calcule A + B + C.

2 3  0 0 2 1 = + + A +B+C=  5 -1 2 -6 3 5       2 + 0 + 2 3 + 0 + 1   4 4 =  = 5 + 2 + 3 -1- 6 + 5 10 -2     

2.2 • Subtração Seja a matriz A = [aij]m×n. Chama-se oposta de A a matriz representada por -A, tal que A + (-A) = O, em que O é a matriz nula do tipo m × n.

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

2.3 • Multiplicação de um número real por uma matriz Seja a matriz A = [aij]m × n e k um número real. A multiplicação de k por A é definida como a matriz B = [bij]m × n, tal que B = k ⋅ A, em que bij = K ⋅ aij. Isto quer dizer que B é obtida de A,

Solução:

Exemplos:  1 -3  -1 3  ⇒-A =   a) A =  2  -2 -5 5     0 2 -1  0 -2 1 b) A =    ⇒ - A =  5 0 -3 -5 0 3 Sejam as matrizes A = [aij]m × n e B = [bij]m × n. Definimos a matriz diferença A - B como a soma de A com a oposta de B. Assim, temos: A - B = A + (-B).

16

 5-0 6 - 5  5 1 A - B =   =   4 - (-1) 2 - 4 5 -2

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

multiplicando-se todos os seus elementos por k. Exemplos:

 1 0   a) Dada a matriz A =  3 -5 . Calcule 2 ⋅ A. -1 3  Solução:

 1 0  2 ⋅ 1 2⋅0   2 0       2 ⋅ A = 2 ⋅  3 -5 =  2 ⋅ 3 2 ⋅ (-5) =  6 -10 -1 3 2 ⋅ (-1) 2 ⋅ 3  -2 6 

0 -1 -2 1 1 -1     1 0 e B =  0 0 0 . b) Dadas as matrizes A =  2  3 -1 0  2 1 2     Determine a matriz 3 ⋅ A + 5 ⋅ B. Solução: -1 -2 1 0 1 -1     3 ⋅ A + 5 ⋅ B = 3 ⋅  2 1 0 + 5 ⋅  0 0 0 =  2  3 -1 0 1 2     0 3 -3 -5 -10 5 -5 -7 2        =  6 3 0 . 3 0 +  0 0 0 =  6  9 -3 2 10 0  10 5 10  19 


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

SAIBA MAIS ACESSE O LINK! Propriedades Quaisquer que sejam as matrizes A e B do tipo m × n e a e b números reais, o produto de um número por uma matriz apresenta as seguintes propriedades: • • • •

Link sugerido • https://bit.ly/2CVPxj6

Exemplo:

a ⋅ (b ⋅ A) = (a ⋅ b) ⋅ A a ⋅ (A + B) = a ⋅ A + a ⋅ B (a + b) ⋅ A = a ⋅ A + b ⋅ A 1 ⋅A=A

2.4 • Multiplicação de matrizes Sejam as matrizes A = [aij]m × n e B = [bij]n × p. Define-se o produto de A por B como sendo a matriz C = [cij]m × p, tal que C = A ⋅ B, em que um elemento qualquer cij é obtido da seguinte forma: 1. Tomamos ordenadamente os n elementos da linha i da matriz A: ai1, ai2 , ..., ain . (I) b1k , b2k , ..., bnk 2. Tomamosaordenadamente os n elementos da coluna k da , a , ..., a ci1 =i2ai1 ⋅ b1kin+ ai2 ⋅ b2k + ...... + ain ⋅ bnk matriz B: b1ik . (II) , b , ..., b k 2k nk cik = ai1 ⋅ b1k + ai2 ⋅ b2k + ...... + ain ⋅ bnk 3. Multiplicamos o 1º elemento de (I) pelo 1º elemento de (II), o 2º elemento de (I) pelo 2º elemento de (II) e, assim, sucessivamente. ai1, ai2 , ..., ain 4. Somamos os produtos obtidos na etapa anterior. b1k , b2k , ..., bnk Logo: cik = ai1 ⋅ b1k + ai2 ⋅ b2k + ...... + ain ⋅ bnk .

ESCLARECENDO

Am × n ⋅ Bn × p = Cm × p Garante a existência do produto

O vídeo a seguir nos mostra como e quando devemos realizar uma multiplicação de matrizes.

3 1 2 0 3   A = 2 0 e B =  e a matriz A⋅ B. , determine 7 5 8   4 6 Solução: Como a matriz A é do tipo 3×2 e a matriz B é do tipo 2×3, o produto A ⋅ B (multiplicação) pode ser realizado, pois o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Sendo assim, teremos, como resultado, uma matriz C do tipo 3×3, a qual chamaremos de:  L1C1 L1C2 L1C3    C = L2C1 L2C2 L2C3   L3C1 L3C2 L3C3 Em que L1C1 é o somatório do produto dos elementos da linha 1 da matriz A pelos elementos da coluna 1 da matriz B, termo a termo. Já L3C2 é o somatório do produto dos elementos da linha 3 da matriz A pelos elementos da coluna 2 da matriz B, termo a termo, e assim por diante. Dessa forma, teremos:  L1C1 L1C2 L1C3  3 1    2 0 3  2 0  = L2C1 L2C2 L2C3   ⋅     7 5 8  L3C1 L3C2 L3C3 4 6

L1C1 = 3 ⋅ 2 + 1 ⋅ 7 = 13 L1C2 = 3 ⋅ 0 + 1 ⋅ 5 = 5 L1C3 = 3 ⋅ 3 + 1 ⋅ 8 = 17 L2C1 = 2 ⋅ 2 + 0 ⋅ 7 = 4 L2C2 = 2 ⋅ 0 + 0 ⋅ 5 = 0 L2C3 = 2 ⋅ 3 + 0 ⋅ 8 = 6 L3C1 = 4 ⋅ 2 + 6 ⋅ 7 = 50 L3C2 = 4 ⋅ 0 + 6 ⋅ 5 = 30 L3C3 = 4 ⋅ 3 + 6 ⋅ 8 = 60.

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

1. O produto das matrizes A e B só existe se, e somente se, o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. 2. A matriz C = A ⋅ B é uma matriz cujo número de linhas é igual ao número de linhas de A, e o número de colunas é igual ao número de colunas de B.

Sejam as matrizes

Portanto, a matriz produto C será igual a: 13 5 17   C =  4 0 6   50 30 60

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

17


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Dadas as matrizes

 1 −2  2 3 1   A =  e B = 5 .   0 −1 0 2   1 4

SAIBA MAIS O produto de duas matrizes também pode ser dado pela notação de somatórios, como segue:

Determine, se existirem, as matrizes A ⋅ B e B ⋅ A.

Sejam

Resolução:

A = (aij)m × p e B = (bij)p × n

Como A é do tipo 2×3 e B é do tipo 3×2, segue que A ⋅ B existe e é do tipo 2×2. Assim, temos:  1 -2  2 3 1   A ⋅ B =  5 =  ⋅  0 -1 0 2   4 1  2 ⋅ 1+ 3 ⋅ 0 + 1⋅ 4 2 ⋅ (-2) + 3 ⋅ 5 + 1⋅ 1  6 12 =  = . -1⋅ 1+ 0 ⋅ 0 + 2 ⋅ 4 -1⋅ (-2) + 0 ⋅ 5 + 2 ⋅ 1 7 4 Como B é do tipo 3×2 e A é do tipo 2×3, segue que B ⋅ A existe e é do tipo 3×3. Assim, temos:  1 -2    2 3 1 B ⋅ A =  0 5 ⋅  =   -1 0 2 1 4 1⋅ 2 + (-2) ⋅ (-1) 1⋅ 3 + (-2) ⋅ 0 1⋅ 1+ (-2) ⋅ 2   =  0 ⋅ 2 + 5 ⋅ (-1) 0⋅3+5⋅ 0 0 ⋅ 1+ 5 ⋅ 2  =   4 ⋅ 3 + 1⋅ 0 4 ⋅ 1+ 1⋅ 2   4 ⋅ 2 + 1⋅ (-1)  4 3 -3   = -5 0 10.   6  7 12

02. Dadas as matrizes a seguir, determine o produto A ⋅ B ⋅ C.  1 0  1 0 −3 2 −1   A =   , B = −4 1 e C =  . 2 1  3 4 4    0 2 Resolução:

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

 1 0  1 0 -3   A ⋅ B =   ⋅ -4 1 = 2 1  4    0 2 1⋅ 1+ 0 ⋅ (-4) + (-3) ⋅ 0 1⋅ 0 + 0 ⋅ 1+ (-3) ⋅ 2 =  =  2 ⋅ 1+ 1⋅ (-4) + 4 ⋅ 0 2 ⋅ 0 + 1⋅ 1+ 4 ⋅ 2 

Então, C = A ⋅ B é a matriz C = (cij)m × n, definida por: p

cij =

-16 -25 =    23 38

18

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

k =1

A notação de somatório é utilizada para evitar escrever expressões grandes, resumindo-as em um símbolo curto. A expressão acima significa que os índices i e j são mantidos fixos, enquanto que o índice k varia desde k = 1 até k = p; em outras palavras: cij = ai1b1j + ai2b2 j + ai3b3 j + ... + aipbpj ; Dessa maneira, o elemento c11 é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna de B e somando-se esses produtos. O produto feito dessa maneira é chamado, em matemática, de produto escalar. Observações: 1. A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, A ⋅ B = B ⋅ A não é necessariamente verdade. 2. Se A e B são matrizes tais que A ⋅ B = B ⋅ A, dizemos que A e B comutam. Uma condição necessária, mas não suficiente, para A e B comutarem é que sejam quadradas e de mesma ordem. 3. A implicação A ⋅ B = 0 ⇒ A = 0 ou B = 0 não é verdadeira para matrizes. Isto quer dizer que podem existir duas matrizes não nulas cujo produto é a matriz nula.

Propriedades •

 1 -6 =  . -2 9  1 -6 2 -1 A ⋅ B ⋅ C = ( A ⋅ B) ⋅ C =  ⋅ = -2 9 3 4 1⋅ 2 + (-6) ⋅ 3 1⋅ (-1) + (-6) ⋅ 4  =  = (-2) ⋅ 2 + 9 ⋅ 3 (-2) ⋅ (-1) + 9 ⋅ 4

∑ aikbkj.

Quaisquer que sejam as matrizes A = [aij]m×n,B = [bik ]n×p e C = [cki ]p×r temos: (A ⋅ B) ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C)

Quaisquer que sejam as matrizes A = [aij]m×n,B = [bij]m×n e C = [c jk ]n×p temos: (A + B) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

â&#x20AC;˘

Quaisquer que sejam as matrizes

â&#x20AC;˘

Quaisquer que sejam as matrizes A = [aij]mĂ&#x2014;n,B = [b jk ]nĂ&#x2014;p

A = [aij]mĂ&#x2014;n,B = [bij]mĂ&#x2014;n e C = [Ckl ]pĂ&#x2014;m

e o nĂşmero real k, temos:

temos: C â&#x2039;&#x2026; (A + B) = C â&#x2039;&#x2026; A + C â&#x2039;&#x2026; B

(k â&#x2039;&#x2026; A) â&#x2039;&#x2026; B = A â&#x2039;&#x2026; (k â&#x2039;&#x2026; B) = k â&#x2039;&#x2026; (A â&#x2039;&#x2026; B)

2.5 â&#x20AC;˘ Potenciação de matrizes

Solução:  2 0  2 0 A2 =  â&#x2039;&#x2026; = -2 3 -2 3

Seja A uma matriz quadrada, definimos: A0 = I

 2 â&#x2039;&#x2026; 2 + 0 â&#x2039;&#x2026;-2 2 â&#x2039;&#x2026; 0 + 0 â&#x2039;&#x2026; 3   = -2 â&#x2039;&#x2026; 2 + 3 â&#x2039;&#x2026; (-2) -2 â&#x2039;&#x2026; 0 + 3 â&#x2039;&#x2026; 3

A1 = A

A2 = A â&#x2039;&#x2026; A 

 4 0 =   -10 9

An = A â&#x2039;&#x2026; A â&#x2039;&#x2026; A... â&#x2039;&#x2026; A , com n > 0  n vezes

Observação: Na potenciação de matriz, não podemos elevar cada elemento ao expoente dado. Portanto, jamais faça  22 02  4 0 , A2 =  =  (-2)2 32  4 9  

Exemplo:  2 0 Seja A =  . Determine A2. -2 3

EXERCITANDO EM AULA 08. Se 1 M= 0 

2 2  e N=  1 2 

0  1 ,

 2 - 2 a) 2 - 2 entĂŁo  NĂ&#x2014;M ĂŠ: --22a) 12MĂ&#x2014;N a) 12 -22 2 a) 12 -22 1 a) 0 a) 0 b) 10 - 20  0 00 b) 0 0 b) 0 0 0 0 b) b) 00 0 b) 10 000  0  c) 1  10 c) 0 1 10 c) c) 10 0 1 c) 10 0 c) 40 211  d) 04 d)  12 d) 14 2 d) 14 21  1 1 d) 4  1 1 212  d) e) e) 1-1 12  1 02 e) 1 2 0 -1 e) 1 -11 20 e) 1 0 0 e) -1 0  e B =  09. Sejam  matrizes A =  -1 0as 1 2 - 1 2 2 matriz A + B ĂŠ: 1 4 a) a)  5 10  0 b)  1

2  3 

2  , então a 3 

MATEMĂ TICA E SUAS TECNOLOGIAS

pois estĂĄ completamente errado. 1 4 a) 1 4 a) 51 104 a) 15 104 a) 5 10 0 2 5 10 b) 0 2  b) 10 32 b) 10 32 b) 1 3 b) 1 32 c) 1 2 c) 31 122  c) 3 12   c) 1 2 c) 3 12 3 12 6  d) 3 6 d) d) 33 126 12 d) 3 3 6  d) 3 12 3 102  e) e) 3 01 e) 33 01  e) 3  3 0  1 e) 3  3 1 10. A e B sĂŁo matrizes e At ĂŠ a matriz transposta de A. 1  2 - 3       y  e B = 2 , entĂŁo a matriz At â&#x2039;&#x2026; B serĂĄ nula para: Se A = 1 1  x 2     a) x + y = -3 b) x â&#x2039;&#x2026; y = 2 x = -4 c) y d) x â&#x2039;&#x2026; y2 = -1 y e) = -8 x

2Âş ANO - MATEMĂ TICA 1 | VOLUME 1

19


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

11. Dadas as matrizes

13. Dadas

1 3   0 1 A = 2 4  e B =  -1 2  3 0  

2 . 0

1 3 5 a) t1 3 5 0  transposta de A, então (At - B) é: Se é a6matriz a) A 21 3 05 2 6 a) 1  36 5 05 a) 12 3  a) 12 16 01 a) b) 1 2 16 10 b) 41 21 01 4 12 01 b) 1 b) b) 14 12 01 1 b) 4 22 02 c) 1 4 222 320 c) 3 1 2 2 3 22 32 c) 1 c)  c) 13 2 2 32 c) 13 24  3  13 242 3  d) 1  d) 1 11 0 24 d) 1  1 1 042 d) 1 4 d) 1 1 20  d) 11 2 0  2 1  1 0 2  e) e) 3 6  1 62 e) 5 3 0  513 0262 e) 1 e) 35 60 e) 53 06 2 4 - 1 -1 2 1     , então a ma eC= , B =  12. Se   5 A0= 2 1   1  3 1 0       28 1 X-A B+X a) X28 1 2, tal que triz de ordem = + C, é igual a:  24 3  a) 28  2 3  1  24 3 a) 28  24 31 a) 28 11 28  24 3  a) a) b) 24 28 331 b) 23  28 1 3  b) 23 28 1 23 3 b) b) 28 28 23 311 b) c) 23 28 331 c) 25 28 31  25 c)   c) 28 25 31 c) 28 1 28 31 25 c) d) 25 28 331 d) 30 d) 28 31  d) 30 28 30 31 d) 28 1 28 31 30 d) e) e) 30 28 331  e) 22 28 31  e) 22 28 31 22 e) 28 1 e) 22 3 22 3

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

TÓPICO 3 • Matriz inversa

Seja A = [aij] uma matriz quadrada de ordem n. A é uma matriz inversível se existir uma matriz B, tal que: A ⋅ B = B ⋅ A = In Observação: Se A não é uma matriz inversível, ela é denominada de matriz singular.

20

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

i + 2j as matrizes A = (a ij) 2×2, onde, aij = j 0 t  , pode-se afirmar que a matriz X , onde 1

1 5  6 e B= a) 5 16 a)2 5 5 X 5 =562A,  é: B a) +5  65 a) 5 5  5 56 b) 5 5 a) a) 6 5 b) 5 6 5 5 5   b) 5 5  6   b) 2 5 b) 65 5 c) b) 32 05 c) 6 505 2  c) c) 3 2 3 50  c) 2 3 32 05 d) c) 52 63 d) d) 32 03 d) 52 63  d) 35 66 52 63 e) e) d) 53 56 e) 553 566 e) 3 6  a 1 b 1  e) 5 5  53 56as 14. Dadas  e B =   matrizes A = -1 1 e)  a  0 5 5    3 4 sabe-se que A ⋅ Bt =  . O valor de a + b é: -2 1 a) 3 b) 7 c) 10 d) 11 e) 12

-1 1

0 , 0 

 2 1  e T =  . Se M×T é a ma - 1 q triz nula 2×1, então p ⋅ q é igual a :

15. Sejam as matrizes M = p3 a) b) c) d)

-12 -15 -16 -18

16. Determine x e y de modo que a igualdade seja verdadeira:  2 x -3  2 x   11 2 x2 - 3y  = ⋅    x - 1 y  -1 y  2 x - y - 2 11      

Exemplo: 3 1 Obter a matriz inversa da matriz A =   , se existir. 2 1 Solução: a b Supondo que B =   é a matriz inversa da matriz A, temos: c d

3 1a b 1 A ⋅ B =   = 2 1c d 0 3a + c 3b b + d 1 0  =  2a + c 2b + d 0 1

0  1


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

Assim:

APROFUNDAMENTO

 3a + c = 1 3b + d = 0  e   2a + c = 0  2b + d = 1  Resolvendo os sistemas: a = 1, b = -1, c = -2 e d = 3

 1 -1  Portanto: B =  -2 3

1. Traço de uma matriz quadrada Seja A = [aij] uma matriz quadrada de ordem n. Definimos o traço de A e indicamos tr(A) como sendo a soma dos elementos da diagonal principal.

 1 -13 1 1 0 Calculando: B ⋅ A =   =  -2 32 1 0 1

Exemplos:  1 3 A =   ⇒ tr( A) = 1+ 2 ⇒ tr( A) = 3 −5 2  1 0 1   A = 2 −2 0 ⇒ tr( A) = 1+ (−2) + (−3)   0 −3 7 ⇒ tr( A) = −4

Portanto, a matriz A é inversível e sua inversa é a matriz:  1 -1 B = A-1 =   -2 3

EXERCÍCIO RESOLVIDO

2. Matriz ortogonal

03. Determine, caso exista, a matriz inversa de: 0 1  A=  2 −1   Resolução: a b  a matriz tal que A ⋅ A-1 = I2. Seja então A-1 =   c d   Assim, temos: 0 1  a b   1 0  ⋅ =   2 -1  c d   0 1       Calculando o produto das matrizes do primeiro membro, temos:  c d   1 0  =  2a - c 2b - d   0 1    

Exemplo: Mostre que a seguinte matriz é uma matriz ortogonal:  cos θ −senθ 0   A =  senθ cos θ 0  0 0 1  Primeiramente, vamos montar a matriz transposta de A, ou seja:  cos θ senθ 0   t A = −senθ cos θ 0  0 0 1  Multiplicando as matrizes A ⋅ A t , teremos:  cos θ −senθ 0  cos θ senθ 0     A ⋅ A =  senθ cos θ 0 ⋅ −senθ cos θ 0  =  0 0 1  0 0 1   cos2 θ + sen2θ cos θ ⋅ senθ − senθ ⋅ cos θ 0     =  senθ ⋅ cos θ − cos θ ⋅ senθ sen2θ + cos2 θ 0 .    0 0 1   t

A partir da igualdade das matrizes, montamos dois sistemas:

Resolvendo esses dois sistemas, encontramos: 1 1 c = 1, a = , d = 0, b = 2 2 1  2

0 

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

 c = 1  d = 0 e   2a - c = 0 2b - d = 1

1 Logo, a matriz A é inversível e A-1 =  2 1

Denominamos de matriz ortogonal toda matriz quadrada A, de ordem n, que satisfaz a relação A ⋅ A t = A t ⋅ A = I.

Sabendo que sen2θ + cos2 θ = 1 , então:  1 0 0    0 1 0 = I    0 0 1   Analogamente, podemos verificar que At ⋅ A = I portanto, como A ⋅ At = At ⋅ A = I, então a matriz A é chamada de ortogonal.

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

21


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

CONECTANDO DISCIPLINAS

Dessa forma, utilizando-se a mesma matriz-chave C, a decodificação da mensagem 51 81 9 14 será compreendida pelo batalhão como a transmissão da palavra:

Matrizes e criptografia

( A ) LUTE ( B ) FOGO

Veremos, a partir de um exemplo simples, como os serviços de inteligência dos países, os bancos e outras instituições fazem para mandar mensagens importantes, sem que sejam identificadas a sua origem e a sua intenção. Exemplo: Um batalhão do exército resolveu codificar suas mensagens por meio da multiplicação de matrizes. Primeiramente, associou as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência a seguir considerada: A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

L

X

M

Y

N

Z

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Desta forma, supondo que o batalhão, em questão, deseja enviar a mensagem “PAZ”, pode-se tomar uma matriz 2×2, da forma: P A     Z − , a qual, usando-se da tabela acima, será dado por:   15 1 . M= 25 0   Tomando-se a matriz-chave C para o código, isto é, 2 3   , transmite-se a mensagem “PAZ” pela da mulC= 1 2   tiplicação das matrizes M e C, ou seja: 15 1 2 3   31 47  ⋅ =  M⋅C =  25 0  1 2  50 75       

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

ou através da cadeia de números 31 47 50 75, que formaria uma mensagem totalmente sem sentido, que seria FWZZ.

( C ) AMOR ( D ) VIDA

( E ) FUGA

Solução: Esta é uma das inúmeras aplicações das matrizes: escrever mensagens em códigos, de modo que somente pessoas autorizadas possam decifrá-las (criptografia básica). Como a matriz C codifica a mensagem, para decodificar temos que multiplicar por uma matriz D, que desfaz o que matriz C faz, ou seja, temos que multiplicar pela matriz D inversa de C. Para construir a Matriz D, vamos usar o fato de que D é a matriz inversa de C se, e somente se, C ⋅ D = D ⋅ C = I, em que I é matriz identidade. Depois resolvemos os dois sistemas de equações resultantes. 2 3  a b  ,C =   e D = C-1 Temos que: D =   c d 1 2     Sendo assim, temos: 2 3   a b  2a + 3c 2b + 3d   1 0  ⋅ = =   1 2   c d   a + 2c b + 2d   0 1         2a + 3c = 1 ⇒ a + 2c = 0 2b + 3d = 0 ⇒ ⇒ a = 2;b = -3; c = 1; d = 2 b + 2d = 1 2 −3  . E, agora, decodificando a mensagem Logo, D =  2 2   51 81 9 14, encontramos:

51 81  2 −3 102 − 81 −153 + 162  21 9  ⋅ = =   9 14  −1 2   18 − 14 −27 + 28   4 1      Logo, a mensagem 51 81 9 14 será compreendida como 21 9 4 1, correspondendo à palavra VIDA.

EXERCITANDO EM AULA 17. Se

 1 2 3 1  eB=  , determine x = (A ⋅ B)-1. A= 2 1  0 2     2 1 1 1  , determine a  eB= 0 3  1 0    

18. Dadas as matrizes A = 

-1

matriz x de ordem 2 tal que A + B ⋅ x = A sa A.

22

-1

, sendo A

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

a inver-

19. Dadas as matrizes  a 10 2 -1 3 0  ,  eB = 1   ,P =  A= 3 5   0 -2  13 75 b      determine os valores de a e b, tais que B = P ⋅ A ⋅ P-1


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

TÓPICO 4 • Determinantes Sabemos que uma matriz quadrada é aquela que tem o mesmo número de linhas e de colunas. Dizemos que uma matriz quadrada tem ordem n quando ela possui n linhas e n colunas. A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.

• •

Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

Exemplo: Sendo M =

Entre as aplicações dos determinantes na Matemática, temos: Solução de alguns tipos de sistemas de equações lineares; Cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices.

Representamos o determinante de uma matriz A por det A ou, simplesmente, colocando a matriz A entre duas barras horizontais A , que não têm o significado de módulo.

2 3 2 3 , temos: det M = = 2 ⋅ 5 - 3 ⋅ 4 = -2 . 4 5 4 5

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 04. Calcule o determinante da matriz

6 −4 A =  . 3 2

Resolução: Exemplo:

det A =

Shutterstock.com (Adaptado)

Seja A uma matriz 2×2, podemos representar seu determinante por:

05. Calcule o determinante da matriz

4 −1 A =  .  3 2

Resolução: ou det A

Imagem 1.1.

4.1 • Determinante de 1ª ordem Dada uma matriz quadrada M = [a11], de 1ª ordem, o seu determinante é o número real a11:

det M = a11 ou a11 = a11

M = [5] ⇒ det M = 5 ou 5 = 5 M = [-3] ⇒ det M = -3 ou -3 = -3

4.2 • Determinante de 2ª ordem a a  Dada a matriz M =  11 12  , de ordem 2, por definição, o dea  a  21 22  terminante associado a M, determinante de 2ª ordem, é dado por:

det M =

a11 a12 = a11 ⋅ a22 - a12 ⋅ a21 a21 a22

det A =

4 -1 = 4 ⋅ 2 - (-1) ⋅ 3 = 8 + 3 = 11 3 2

4.3 • Determinante de 3a ordem 4.3.1 • Regra de Sarrus O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus. Exemplo:

a11 a12 Dada a matriz A3×3 = a21 a22 a31 a32

a13 a23 . a33

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Exemplo: • •

6 -4 = 6 ⋅ 2 - (-4) ⋅ 3 = 12 + 12 = 24 3 2

Procedemos do seguinte modo: 1º passo: repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:

a11 a12 a21 a22

a13 a11 a12 a23 a21 a22

a31 a32

a33 a31 a32

2º passo: encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

23


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

a11 a12 a21 a22 a31 a32

0 det A = 2 5

a13 a11 a12 a23 a21 a22 a33 a31 a32

diagonal principal

-1 4 -2

0 1 = 0 + (-5) + 0 - 0 + 6 - 0 = 1 3

paralelas

ESCLARECENDO

+ (a11 ⋅ a22 ⋅ a33 + a12 ⋅ a23 ⋅ a31 + a13 ⋅ a21 ⋅ a32 ) 3º passo: encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal negativo):

a11 a12 a21 a22

a13 a11 a12 a23 a21 a22

a31 a32

a33 a31 a32

Observe que o sinal das multiplicações oriundas das “diagonais principais” permanece o mesmo. Já o sinal das multiplicações vindas das “diagonais secundárias” é invertido.

APROFUNDAMENTO

diagonal secundária paralelas

-(a13 ⋅ a22 ⋅ a31 + a11 ⋅ a23 ⋅ a32 + a12 ⋅ a21 ⋅ a33 )

Determinante de ordem n ≥ 3 Assim, o determinante da matriz será dado por:

a11 a12 a21 a22 a31 a32

a13 a11 a12 a23 a21 a22 a33 a31 a32

= +(a11 ⋅ a 22 ⋅ a33 + a12 ⋅ a 23 ⋅ a31 + a13 ⋅ a 21 ⋅ a32 ) - (a13 ⋅ a 22 ⋅ a31 + a11 ⋅ a 23 ⋅ a32 + a12 ⋅ a 21 ⋅ a33 )

Exemplo:

 1  a) Calcule o determinante da matriz A =  5   1 Solução:

3 2 4

4   -3.  2 

1 3 4 1 3 5 2 -3 5 2 1 4 2 1 4

Assim, teremos: 1

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

det A =

5 1

 5  a) Seja A =  2  −1 

Mantém o sin al doproduto

3 4 2 -3 = 4 - 9 + 80 - 8 + 12 - 30 = 49 4 2

 0 -1  b) Calcule o determinante da matriz A =  2 4  5 -2  Solução: 0 -1 0 0 -1 2 4 1 2 4 5 -2 3 5 -2

0 0  + 6 

Muda o sinal do produto

24

0 - 50 

Repete o sinal do produto

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

I. Menor complementar Seja A uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 e seja a11 um elemento de A. Definimos como menor complementar do elemento a11 e indicamos por Dij o determinante associado à matriz obtida suprimindo a linha i e a coluna j, que contêm o elemento a11 considerado. Exemplos:

8 +12 - 30 4 - 9 + 80    +  Inverte o sinal doproduto

Quando uma matriz é de ordem superior ou igual a 3, existem outras maneiras de obter o determinante. Uma delas é empregar o Teorema de Laplace para chegar a um determinante de ordem menor e, depois, aplicar a regra de Sarrus ou o determinante de uma matriz de 2ª ordem. Para isso, precisamos de algumas definições. São elas:

0  1 . 3

3 1  1 2  . Calcule D11 e D32 . 4 −3

Solução: 1. Dij será o determinante da matriz quando retirarmos a linha 1 e a coluna 1. Assim:

 5 3 1   1 2  2 1 2  ⇒ D11 =  4 −3  −1 4 −3  = 1⋅ (−3) − 2 ⋅ 4 = −3 − 8 = −11 2. D12 será o determinante da matriz quando retirarmos a linha 3 e a coluna 2. Assim:  5 3 1   5 1  2 1 2  ⇒ D32 =  2 2  −1 4 −3  = 5 ⋅ 2 − 1⋅ 2 = 10 − 2 = 8


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

5 7   . Determine D22 e D21. b) Considere A =  2 8    1. D22 será o determinante da matriz quando retirarmos a linha 2 e coluna 2. Assim: 5 7    ⇒ D22 = 5 = 5 2 8    5 7   ⇒ D21 = 7 = 7  2 8  2. D21 será o determinante da matriz quando retirarmos 5 7   1. Assim: ⇒ D22 = 5 = 5 a linha 2 e coluna 2 8    5 7   ⇒ D21 = 7 = 7  2 8   

Solução: 1. Sabemos que A22 = (−1)2+2 ⋅ D22 . Sendo assim:

A22 A22 A22

2. Sabemos que A 41 = (−1)4+1 ⋅ D41. Sendo assim:  3 2 0   1 −1 5   3 4 −2  −2 3 4 

II. Cofator (ou complemento algébrico) Seja A uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 e seja a11 um elemento de A. Definimos cofator de a11 (ou complemento algébrico de a11) e indicamos por A11 o número assim obtido:

A ij = (−1)

i+ j

0 0 5 1⇒ 4 −2 0

Exemplos:

A 41 = (−1) ⋅ (0 + 0 + 0 − 0 + 4 + 0) ⇒

 2 1 3   a) Considere A =  −1 0 2 e calcule A11 e A23.   −4 2 5

 2 1 3   0 2 = −4  −1 0 2 ⇒ D11 = 2 5   −4 2 5

A 41 = (−1) ⋅ 4 ⇒ A 41 = −4

Teorema de Laplace O determinante de uma matriz quadrada, m ≥ 2, pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores. Assim, fixando J ∈ N tal que 1 ≤ j ≤ m, temos:

det M =

Portanto, A11 = (−1)2 ⋅ (−4) = −4

m

em que

 2 1 3   2 1 =8  −1 0 2 ⇒ D23 = 4 2 −   −4 2 5 Portanto,

5

A23 = (−1) ⋅ 8 = −8

 3 2 0 0    1 −1 5 1 . Calcule A22 e A 41. b) Seja A =  4 −2 0  3 −2 3 4 1 

m

∑ aijAij i=1

∑ é o somatório de todos os termos de índice i, i=1

variando de 1 até m, m ∈ N. Exemplos: a) Calcule o determinante da matriz M = Solução: Escolhendo a 1ª linha, temos:

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

2. Agora, calcularemos o cofator D 23. Sabemos que A23 = (−1)2+3 ⋅ D23. Sendo assim, devemos calcular D23.

0  1 ⇒ A 41 = (−1)4+1 ⋅ D41 ⇒ 0 1

2 A 41 = (−1)5 ⋅ −1

⋅ Dij

Solução: 1. Inicialmente, calcularemos o cofator A11. Sabemos que A11 = (−1)1+1 ⋅ D11. Sendo assim, devemos calcular D11.

0  1 ⇒ A22 = (−1)2+2 ⋅ D22 ⇒ 0 1 3 0 0 = (−1)4 ⋅ 3 −2 0 ⇒ −2 4 1 = −6 + 0 + 0 − 0 − 0 − 0 ⇒ = −6

 3 2 0   1 −1 5   3 4 −2  −2 3 4 

−1 0 2 1 −2 3 . 2 1 1

−1 0 2 1 −2 3 2 1 1 det M = (−1) ⋅ A11 + 0 ⋅ A12 + 2 ⋅ A13 det M = −A11 + 2 ⋅ A13

(I)

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

25


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

Mas: A11 = (−1)1+1 ⋅ D11 =

−2 3

A13 = (−1)1+3 ⋅ D13 =

1 1 1 −2 2

= −2 − 3 = −5

1

= 1− (−4) = 5

P1) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo. Exemplo: a)

Substituindo o resultado dos cofatores em (I), teremos:

det M = (−1) ⋅ (−5) + 2 ⋅ 5 = 15 Se quiser, pode-se comprovar utilizando a regra de Sarrus.

7 4 9 0 0 0 3 2 -1 18 12 9

2 0 =0 3 3

1 0 15 5 0 -3 = 0 -3 0 7

b)

P2) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.

b) Calcule o determinante da matriz:  1  −1 A =  2 0 

0

3 2 1 0 −1 0

1

0  2  1  −1

Solução: Escolhendo a 2ª coluna, temos:

 1  −1 A =  2 0 

0 3 0  2 1 2  0 −1 1  0 1 −1

det (A) = 0 ⋅ A12 + 2 ⋅ A22 + 0 ⋅ A32 + 0 ⋅ A 42 det ( A) = 2 ⋅ A22 (I) Mas: A22 = (−1)2+2 ⋅ D22 1 3 0

A22 = 2 −1 1 = 1+ 0 + 0 − 0 − 1+ 6 = 6 0 1 −1 Substituindo em (I), temos: det ( A) = 2 ⋅ 6 = 12

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Observação: Uma boa dica para calcularmos o determinante através do teorema de Laplace é escolhermos uma fila (linha ou coluna) com a maior quantidade de zero, visto que realizaremos menos cálculos.

Exemplo:

L1

5 L3 4 5 9

3 2 3 7

1 9 1 4

2 8 =0 2 3

P3) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo. Exemplo: 1 4 2 3 1 6 =0 4 2 8 C3 = 2 ⋅ C1 P4) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo. Exemplo: a) 1 4 5

2 5 7 =0 3 1 4 C1 + C2 = C3

b) 3

4 1 1 2 3 =0 7 10 5 2L1 + L2 = L3

P5) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais. det A = det A t Exemplo:

4.4 • Propriedades dos determinantes Mostraremos, agora, algumas propriedades que podem facilitar o cálculo dos determinantes de algumas matrizes. Lembrando que só existe determinante das matrizes quadradas.

26

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

1 2 5 1 2 2 det A = 2 1 3 = k det A t = 2 1 -2 = k 2 -2 3 5 3 3 P6) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

Exemplos:

Exemplo:  4 2  1 0 2 1    e A ⋅B =  , B =  Se A =  11 8  2 2  3 4        det A = 2 ⋅ 4 - 3 ⋅ 1 = 8 - 3 = 5 det B = 1⋅ 2 - 0 ⋅ 2 = 2 - 0 = 2 det( A ⋅ B) = 4 ⋅ 8 - 11⋅ 2 = 32 - 22 = 10

4 2 -3 a) Se 2 1 -1 = k. 3 2 1 Multiplicando C1 por 2, teremos a matriz 8 2 3 4 1 -1 , cujo determinante será 2 ⋅ (k) = 2k. 6 2 1 5 -10 0 b) Se 3 7 4 = M. 2 0 -1 Multiplicando L1 por

Assim, det(A ⋅ B) = detA ⋅ detB P10) Determinante da Matriz Inversa Como sabemos, para obtermos a matriz inversa de A, deve existir uma matriz A-1 (inversa de A), tal que: A ⋅ A-1 = I

1 , teremos 5

Aplicando o determinante dos dois lados da equação, teremos: det ( A ⋅ A-1) = det I det A ⋅ det A-1 = 1

1 -2 0 1 M 3 7 4 , cujo determinante será ⋅ M = . 5 5 2 0 -1 P7) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal, ou seja, é multiplicado por (-1) a 2 a 3 2

b 3 1 -1 = N. Trocando as posições de L1 e L2 , b 3 2 1 1 -1 = N. Trocando as posições de L1 e L2 ,

3 1 2 teremos 2 a b 2 1 3 2 a b

-11 3 , cujo deterrminante será igual a - (N) = -N. -1 1 3 , cujo deterrminante será igual a - (N) = -N.

3 2

det A−1 =

1 det A

Portanto, só existirá a matriz inversa de A, se detA ≠ 0. Exemplo: 5 2   .Qual o valor do det A-1 ? Dada amatriz A =   4 3   Solução : 1 Temos que det A = 15 - 8 = 7,logo det A-1 = . 7 Perceba que não precisamos obter a matriz inversa de A para calcularmos o seu determinante. P11) Seja k ∈ R e A uma matriz quadrada de ordem n, então:

1

P8) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.

det (k ⋅ A) = kn ⋅ det A Exemplo:

2 4 c

x -3 4 b) 0 y 7 = x ⋅ y ⋅ z 0 0 z

Dessa forma, o determinante de toda matriz identidade será sempre igual a 1. P9) Teorema de Binet: Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n,

det ( A ⋅ B) = det A ⋅ det B

 2 1  . Calcule o determinante da matriz 3A. Seja A =   4 5   Solução: Podemos obter a matriz 3A, ou seja, a matriz

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Exemplo: a 0 0 a) 1 b 0 = a ⋅ b ⋅ c

2

1  6 3  =  4 5 12 15

3

e calcularmos seu determinante, que será 6 ⋅ 15 - 3 ⋅ 12 = 90 - 36 = 54, mas podemos também utilizar a propriedade, ou seja, como n = 2 e K = 3, teremos: det(3A) = 32 ⋅ detA det(3A) = 9 ⋅ (2 ⋅ 5 - 4 ⋅ 1) = 9 ⋅ 6 = 54.

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

27


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

EXERCITANDO EM AULA 20. Calcule o valor de x de modo que o determinante da matriz seja nulo. 1 2 1    4 9 4    6 x x - 7 a) 5 b) 6 c) 13 d) 15 e) 20 2 1 3 21. A equação 4 -1 n -1 = 12 tem como conjunto solução: n 0 n a) {-6,2} b) {-2,6} c) {2, 6} d) {-6, 6} e) {-2,2} 22. Calcule x e y, de maneira que: 1 0 1 3 1 x 2 4 6 = 0 e 2 y -1 = 47 x y 5 0 3 5 a) x = 1 e y = 3 b) x = 2 e y = 2

c) x = 3 e y = 2 d) x = 4 e y = 3 e) x = 2 e y = 5

23. A soma x -1 0

a) b) c) d) e)

e o produto das raízes da equação dada por 2 0 x 1 são, respectivamente: 1 -2 = -5 2 3 x

-1 e 2. -4 e 5. 3 e -1. -5 e -4. -6 e -5.

x 24. Considere a equação 12 5

0 x 0

1 0 5 47 + = 0, 2 10 1

em que x pertence ao conjunto dos números reais. A soma das soluções dessa equação é igual a a) 0 b) -5 c) 5 d) 10 e) -10

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO TÓPICO 1: Introdução ao estudo das matrizes Nível 1

01. Uma matriz quadrada é simétrica se, e somente se, AT = A. MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

2   Se a matriz A =  1  -1  é simétrica, então o valor de a) -1 b) 3 c) 1 d) 4 e) 0

28

x2 x   0 5 - y  1  y -3 

x+y é: 3

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

 5 x2  y 02. Sabendo que a matriz  49 -1 - 21  transposta, o valor de x + 2y é: a) b) c) d) e)

2 - y  3x  é igual à sua 0  

-20 -1 1 13 20

03. A distribuição dos n moradores de um pequeno prédio de apartamentos é dada pela matriz 4 x 5    1 , 3 y   6 y x + 1  onde cada elemento Aij representa a quantidade de moradores do apartamento j do andar i. Sabe-se que, no 1º andar, moram 3 pessoas a mais que no 2º e que os apartamentos de


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

número 3 comportam 12 pessoas ao todo. O valor de n é: a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34

04. (UEM) Em uma região, populações de espécies de insetos pertencentes às ordens Hymenoptera (abelhas, E1, e formigas, E2) e Isoptera (cupins, E3) vivem em três locais diferentes (1, 2 e 3), com os organismos de cada população mantendo algum grau de cooperação e de divisão de trabalho. Considere a matriz que representa o número de populações desses insetos, em que a entrada aij dessa matriz é a população da espécie Ej no local i, e assinale o que for correto. 24 19 21   15 11 18   12 16 14  

05. (IMED) Em uma grande cidade, para estudar o nível de ruído a que estavam expostos os habitantes, a prefeitura realizou quatro medições diárias durante cinco dias em um cruzamento de grande movimento. Cada elemento aij da matriz a seguir representa o nível de ruído, em decibéis (dB) registrado na medição i do dia j. 68 72 71 63

44 48 52 40

 0 7 26  b)  -3 4 23  0 -3   c)  7 4    26 23  0 7    -3 4    d)  -8 -1

63  68 62 69

De acordo com a Organização Mundial de Saúde (OMS), 50dB é o nível máximo recomendável à exposição do ouvido humano. Com as informações apresentadas, determine o nível médio de ruídos registrados no quarto dia e assinale a alternativa correta: a) 46 dB b) 46,5 dB c) 52 dB d) 65,5 dB e) 68,5 dB

Nível 2

07. (EPCAR-CPCAR) Um jogo consiste na disputa de dois adversários que, em um tabuleiro quadrado, dividido em 16 outros quadrados menores e congruentes, conforme figura seguir, devem conseguir alinhar VERTICALMENTE, HORIZONTALMENTE ou em DIAGONAL, quatro algarismos iguais.

Tabuleiro do jogo Cada jogador, após escolher o algarismo com o qual irá preencher os quadrados menores, escreve um número por vez, em qualquer quadrado menor do tabuleiro, e passa a vez para o adversário. Vence o primeiro que alinhar os quatro algarismos iguais. No quadrado abaixo, estão registradas, numa partida desse jogo, as jogadas de Lucas, que escolheu o algarismo 5, e as jogadas de Mateus, que escolheu o algarismo 7. 5

7

7

5

7

7

5

7

7

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

62 49 52 45

pressão aij = i3 - j2 Portanto, a matriz A é: 0 -3 -8  a)  7 4 -1

0 -1 -2  e)   1 0 -1

(01) O número de populações de insetos dessa região é 150. (02) A quantidade de populações de cupins dessa região é 53. (04) Nessa região, o número de populações de insetos pertencentes à ordem Hymenoptera é 97. (08) As populações de abelhas, de formigas e de cupins são exemplos de espécies coloniais. (16) As populações de abelhas, de formigas e de cupins constituem parte da comunidade dessa região. ( ) Som

45   51  39   51 

06. (IFAL) A matriz aij(2×3) tem elementos definidos pela ex-

5 5

5

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

29


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

Analise cada proposição a seguir quanto a ser (V) Verdadeira ou (F) Falsa. ( ) Se o próximo jogador for Lucas, ele não terá chance de ganhar o jogo, nessa jogada. ( ) Se o próximo jogador for Mateus, então, para garantir a vitória nessa jogada, ele poderá escrever o algarismo 7 em duas posições. ( ) Se Mateus for o próximo a jogar e NÃO escrever o algarismo 7 em um quadrado que dê a vitória a ele, então, Lucas poderá ganhar a partida na jogada seguinte à de Mateus. Sobre as proposições, tem-se que a) apenas uma é falsa. b) todas são verdadeiras. c) apenas duas são falsas. d) todas são falsas.

2 0 2 2 0

0 2 0 2 1

2 1 1 0 1

2  0 1 0  0

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Com base nessas informações, o banco que transferiu a maior quantia via TED é o banco a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.

09. (IFPE) Anselmo (1), Eloi (2), Pedro (3) e Wagner (4) são matemáticos e, constantemente, se desafiam com exercícios. Com base na matriz D, a seguir, que enumera cada elemento aij representando o número de desafios que “i” fez a “j” assinale, respectivamente, quem mais desafiou e quem foi mais desafiado. 0 5 2 7   6 0 4 1   D = 1 7 0 3   2 1 8 0 30

Anselmo e Pedro. Eloi e Wagner. Anselmo e Wagner. Pedro e Eloi. Wagner e Pedro.

10. (IFSUL) A temperatura da cidade de Porto Alegre – RS foi medida, em graus Celsius, três vezes ao dia, durante 6 dias. Cada elemento aij da matriz  9, 4 8,1 12, 4 15,7 13 11,7    A = 12, 2 10,5 15 18, 2 14, 2 13,1 15,7 13, 2 17,5 21 16,3 18,5   corresponde à temperatura observada no tempo i do dia j. Com base nos dados da matriz A, analise as seguintes proposições:

08. (ENEM) A Transferência Eletrônica Disponível (TED) é uma transação financeira de valores entre diferentes bancos. Um economista decide analisar os valores enviados por meio de TEDs entre cinco bancos (1, 2, 3, 4 e 5) durante um mês. Para isso, ele dispõe esses valores em uma matriz A = [aij] em que 1 ≤ i ≤ 5 e 1 ≤ j ≤ 5, e o elemento aij corresponde ao total proveniente das operações feitas via TED, em milhão de real, transferidos do banco i para o banco j durante o mês. Observe que os elementos aij = 0, uma vez que TED é uma transferência entre bancos distintos. Esta é a matriz obtida para essa análise: 0  0  A =  1 0   3

a) b) c) d) e)

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

I. A temperatura mínima registrada está na posição a12. II. A maior variação de temperatura registrada entre os tempos 1 e 2 aconteceu no primeiro dia. III. A temperatura máxima registrada está na posição a34. Estão corretas as afirmativas a) I e III apenas. b) I e II apenas. c) II e III apenas. d) I, II e III.

11. (INSPER) Em um papel quadriculado n×n, com n par,

pode-se escrever todos os números inteiros de 1 a n2 em sequência, como no exemplo da figura 1, em que se escolheu n = 4. Em seguida, dobrando o papel ao meio duas vezes, uma na direção vertical e outra na horizontal, faz-se com que alguns dos números escritos se sobreponham. Observe que, no caso em que n = 4, os números 1, 4, 13 e 16 iriam se sobrepor no canto superior esquerdo da folha dobrada, como mostrado na figura 2.

Figura 1


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

2a dobra

1a dobra

Números sobrepostos

Figura 2

elementos da matriz da figura 2 com seus correspondentes na matriz da nova configuração de malha viária, a quantidade de elementos que mudarão de valor é igual a a) 5. b) 6. c) 7. d) 8. e) 9.

13. A soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secundária da matriz A2×2 = Repetindo o procedimento descrito acima para um papel quadriculado 50×50, um dos números que ficaria sobreposto ao número 2016 é a) 435. b) 436. c) 484. d) 485. e) 536.

12. (FGV) Os marcos A, B, C e D de uma cidade estão conectados por pistas de rodagem, conforme mostra a malha viária indicada no diagrama da figura 1. A figura 2 indica uma matriz que representa as quantidades de caminhos possíveis de deslocamento entre os marcos (dois a dois). Considera-se um caminho entre dois marcos qualquer percurso que não viole o sentido da pista, que não passe novamente pelo marco de onde partiu e que termine quando se atinge o marco de destino final pela primeira vez. As flechas da figura 1 indicam o sentido das pistas de rodagem. Figura 1

Figura 2 B

D A

A 0  1  3  1 

B C D 1 4  1 1 0 4  1 0 

2 0 3 2

C

Pista de mão dupla Pista de mão simples Durante período de obras na malha viária descrita, a pista de rodagem entre os marcos A e D passou a ser de mão simples (sentido de A para D) e a pista do marco C para o marco D, ainda que tenha permanecido com mão simples, teve seu sentido invertido, passando a ser de D para C. Comparando os 16

17 15 16 12 18

14. Seja a matriz A = (aij)2×3, cuja lei de formação é dada a seguir: 3i + j, se i ≠ j aij =  2i - 3j, se i = j É correto afirmar que: -1 - 5   a) A =  6 7  9  2 -1 7    b) A = -5 2     6 - 9 -1 c) A =   6

7 5  2 9

-1 5 6  d)   7 - 2 9 

15. (UEG) A matriz triangular de ordem 3, na qual aij = 0 para i > j e aij = 4i - 5j + 2 para i ≤ j é representada pela matriz

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

A B C D

a) b) c) d) e)

{aij = i 2+ 1, (i = j) {aij = 2i + j,(i ≠ k ) é:

 1 -4 -9   a) 0 0 -5   0 0 -1  1 -4 -9   b) 0 1 -5   0  0 0 3 8 13   c) 0 4 9    0 0 5 

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

31


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

1 3 a matriz -2 A + B - C é igual a: 2 2

 3 0 0   d)  8 4 0   13 9 5  1 0 0    0  e) -4 0   -9 -5 -1

16. (FAC. ALBERT EINSTEIN - MEDICIN) Uma matriz B possui i linhas e j colunas e seus elementos são obtidos a partir da expressão bij = i - 2j. Seja uma matriz A = (aij)2×3 cujos elementos da primeira coluna são nulos e I2 a matriz identidade de ordem 2, tal que AB = I2. O valor numérico do maior elemento da matriz A é igual a a) 0. b) 1. c) 2. d) 3 .

17. Sejam

duas matrizes A e B: A = (a ij) 3×3, tal que i ⋅ j, se i ≤ j aij =  e B = A2. Assim, a soma dos elementos i + j, se i > j da diagonal secundária de B é a) 149. b) 153. c) 172. d) 194. 0 1  1 3  o pro eB= (EEAR) Dadas as matrizes A =   1 2 2 0     duto A ⋅ B é a matriz

18.

3 7   a)  2 2  

 b) -17  0

18 17

19   - 12

-11 c)  -12

13 19   11 - 6

-17 d)  -12

18 - 3  11 - 6 

 7 - 11 6  e)   18 0 - 12

A matriz M ⋅ N tem em sua segunda coluna elementos cujo produto vale a) 56. b) 28. c) 0. d) 48. e) -8

21. (IFPE) Rodrigo, Otavio e Ronaldo gostam muito de comida japonesa e saíram para comer temaki,também conhecido como sushi enrolado à mão, cujo o formato lembra o de um cone. Foram, então, visitando vários restaurantes, tanto no sábado quanto no domingo. As matrizes a seguir resumem quantos temakis cada um consumiu e como a despesa foi dividida: 2 3 0 3 2 0     S -  1 1 2 e D - 0 2 1  1 0 2  0 3 2    

4 7  b)   2 2  

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

- 3  - 6

 1 -1 2  0 2 3        M = -2 0 3 e N =  1 1 -1 2  0 -1 2  1 1   

Nível 1

3 7  c)  0 2   4 4  d)   0 2

19. Sendo as matrizes

32

13 17

20. (IFCE) Considere as matrizes

TÓPICO 2: Operações com matrizes

-1 0 - 4  -8 , B =  A=  3 - 6 1   0

-11 a)   0

2 4

 6 -8 - 1 e C= -4 - 2 10 

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

7 , 6 

S refere-se às quantidades de temakis de sábado e D às de domingo. Cada elemento aij nos dá o número de cones que a pessoa i pagou para a pessoa j, sendo Rodrigo o número 1, Otávio, o número 2 e Ronaldo, o número 3 ((aij) representa o elemento da linha i e da coluna j de cada matriz). Assim, por exemplo, no sábado, Rodrigo pagou 3 temakis que ele próprio consumiu (a11), 2 temakis consumidos por Otávio (a12) e nenhum por Ronaldo (a13), que corresponde à primeira linha da matriz S. Quantos temakis Otávio ficou devendo para Rodrigo neste fim de semana?


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

a) b) c) d) e)

3 2  1 -2   e B =  A =  -1 3  1 1

nenhum 1 2 3 4 

22. Se A = 14 

respectivamente. A matriz em que se escreve a mensagem é 1 0 2  é igual a:  ,então A2 + 2A - 11I, onde I =  0 1 - 3 

1 2   a)  0 0

F U V  M =  E S T  que, numericamente, corresponde a 6 21 22  M =  5 19 20

1 0  b)   0 0

Para fazer a codificação da mensagem, é feito o produto de matrizes

0 0  c)  0 0

3 2 6 21 22 28 101 106  ⋅   =   N = A ⋅ M =  1 1 5 19 20 11 40 42 

0 1  d)  0 0

O destinatário, para decifrar a mensagem, deve fazer o produto da matriz decodificadora com a matriz codificada recebida:

0 1 e)   1 0

23. Uma agência de serviço secreto codifica suas mensagens da seguinte forma: primeiramente, substitui cada letra pelo número de sua posição no alfabeto e com tais números forma uma matriz M. Por exemplo, nesta primeira fase, a palavra 2 9 bica é dada pela matriz M =  . 3 1 Depois, para aumentar o nível de segurança, envia cada mensagem de 4 letras na forma de um produto M ⋅ A de matrizes, 2 3 sendo a matriz A =  . -1 1 13 Márcio recebeu a mensagem   7 a) face. b) cabe. c) gafe. d) faca. e) fica

22  , que dizia 23

24. (FUVEST) A multiplicação de matrizes permite codificar mensagens. Para tanto, cria-se uma numeração das letras do alfabeto, como na tabela abaixo. (O símbolo * corresponde a um espaço).

Como exemplo, suponha que a mensagem a ser transferida seja FUVEST, e que as matrizes codificadora e decodificadora sejam

1 1  e a mensagem a ser a) Se a matriz codificadora é A =  1 2 transmitida é ESCOLA, qual é a mensagem codificada que o destinatário recebe? 1 1  e o destinatário reb) Se a matriz codificadora é A =  1 2 cebe a matriz codificada 33 9 8 48  N =  47 13 9 75 qual foi a mensagem enviada? c) Nem toda matriz A é uma matriz eficaz para enviar men2 -7   encontre 4 sesagens. Por exemplo, se A =  4 -14 quências de 4 letras de forma que as respectivas matrizes 0 0 codificadas sejam sempre iguais a  . 0 0

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Nível 2

6 21 22  M = B ⋅ N =  5 19 20

25. (FATEC) João, Sílvia e Pedro são funcionários de uma empresa. Considere as matrizes: 25 40 12 32   A = (10 12 8) e 15 22 30 30   30 25 25 18 99 a matriz A representa o valor, em reais, recebido por hora trabalhada de João, Sílvia e Pedro, respectivamente;

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

33


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

99 a matriz B representa a quantidade de horas trabalhadas por semana dos mesmos funcionários, em cada uma das quatro primeiras semanas no mês de julho de 2018; 99 na matriz B, as linhas 1 a 3 são para João, Sílvia e Pedro, respectivamente; e as colunas de 1 a 4 são, nessa ordem, para as quatro primeiras semanas do mês de julho, de modo que, por exemplo, o elemento b13 é a quantidade de horas que João trabalhou na terceira semana desse mês. O valor pago pela empresa pelas horas trabalhadas por esses três funcionários na segunda semana de julho de 2018 será a) R$ 670,00. b) R$ 680,00. c) R$ 864,00. d) R$ 980,00. e) R$ 984,00.

26. (UERN) Considere a seguinte operação entre matrizes: 6 2 -6   ⋅ K =    1  4 3

veram os resultados registrados na tabela a seguir.

Equipe

Vitórias por 3x0

Vitórias por 3x2 ou 3x1

Derrotas por 3x2 ou 3x1

Derrotas por 3x0

A

7

4

2

0

B

3

5

3

2

C

1

2

6

4

D

0

4

4

5

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Sabendo-se que cada resultado, pelo regulamento do torneio, tem a pontuação correspondente segundo a tabela a seguir, a matriz que corresponde à pontuação total no torneio de cada equipe é

34

Vitórias por 3x0

3

Vitórias por 3x2 ou 3x1

2

Derrotas por 3x2 ou 3x1

1

Derrotas por 3x0

0

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

 31   22 c)   13   12  31   19 d)   13   12

28. (UEL) Leia o texto a seguir.

27. (UEG) Em um torneio de vôlei, as equipes A, B, C e D obti-

Número de pontos

31   19 b)   13   17

 31   22 e)   20   17 

A soma de todos os elementos da matriz K é: a) 1. b) 3. c) 4. d) 7.

Resultado

 31   22 a)   13   17 

Segundo o Sistema de Informações sobre Mortalidade (SIM), do Ministério da Saúde, em 2014 houve 59.627 homicídios no Brasil, o que representa 4,9% do total de óbitos do mesmo ano. Restringindo esses dados ao sexo masculino, obtemos que 7,9% desse novo total de óbitos são homicídios. De forma análoga, se restringirmos os dados ao sexo feminino, observamos que aqueles causados por homicídio representam 0,9% desse total. (Adaptado de: Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada e Fórum Brasileiro de Segurança Pública. Atlas da Violência 2016. p. 6).

Um pesquisador decide representar as informações presentes no texto através do uso de incógnitas de acordo com a tabela a seguir. Incógnita

Significado

M

Número de óbitos do sexo masculino

F

Número de óbitos do sexo feminino

m

Número de homicídios do sexo masculino

f

Número de homicídios do sexo feminino

Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a forma matricial do sistema de equações lineares que representa as informações contidas no texto.


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

a)  0  49  103   79  2 10   0  b)  0  49  10 2   79  2 10   0 

0 49 103 0 9 10

3

0 49 10 2 0 9 102

1    0 0   M 59.627        F  59.627   ⋅   =  -1 0  m  0        f   0   0 -1  1

1 1   9.627 0 0  M 59        F  59.627     ⋅  =  1 0 m  0        f   0   0 1 

a) b) c) d) e)

9 40 41 50 81

1 3   0 1 2    , a equação matricial A = 2 4  e B =  -1 2 0    3 0    a b - 2 - c   2  , então a + b + c é: x = 2(AT - B), onde x =   4a b  0   4 a) 1 b) -4 c) 0 d) 8 e) 4

31. Se

1 0 0   M 59.627 c)  1       0   F  59.627 0, 049 0, 049 0     ⋅  =  0 -1 0  m  0  0, 079       0, 09 0 -1  f   0   0

1 32. Sendo A = -2

d)  0  49  103    0    0 

-7 9  b)   0 - 8

0 0 -1 9 103

0 e)  0  4, 9 1  0  0   0 0, 9

1 49 103 1 0

1    0   M 59.627       F  59.627  79  ⋅   =   m  0    3    10        f   0  1  

1 1   M 59.627      0 4, 90   F  59.627  ⋅   =   1 -7, 9 m  0       0 1   f   0 

29. (UNICAMP) Sejam a e b números reais tais que a matriz

a) b) c) d)

-2. -1. 1. 2.

    30. Considere as matrizes A = 1y xz , B = 11 21 e     4 5  , com x, y e z reais. Se A ⋅ B = C, a soma dos eleC= 36 45 mentos da matriz A, é:

3 - 1 7  e B=  , então a matriz x, tal  4 0 4 

 x-A x + 2B que , é igual a: = 2 3 -1 4 a)   3 7 

-1 2 c)   4 9   9 17  d)  10 12 -7 - 8 e)    9 12 

33. Se A = 1a 

a) b) c) d) e)

 9 - 4 2  e A2 =   , o valor do produto a ⋅ b é: -8 17  b

-4 -6 -8 -12 17  

34. Seja a matriz A = 10 A100 é: a) b) c) d) e)

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

 1 2  satisfaz a equação A2 = a ⋅ A + b ⋅ I, em que I é a A= 0 1   matriz identidade de ordem 2. Logo, o produto é igual a

1 . A soma dos elementos da matriz 1

102. 118. 150. 175. 300.

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

35


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

35. Tatiana e Tiago comunicam-se entre si por meio de um código próprio dado pela resolução do produto entre as matrizes A e B, ambas de ordem 2×2, em que onde cada letra do alfabeto corresponde a um número, isto é, a = 1, b = 2, c = 3, ..., z = 26. 1 13   , logo a Por exemplo, se a resolução de A ⋅ B for igual a  15 18 mensagem recebida é amor. Dessa forma, se a mensagem rece1 - 1  , então a matriz A é bida por Tatiana foi flor e a matriz B =  2 1 -8 7   a)  -8 10 -6 6 b)   -7 11 -8 c)  -7

 2 , en3 4 tão o elemento da matriz oposta ou simétrica da adjunta de M, associado ao a21 é

afirmar que a soma dos elementos da matriz A é: a) 46 b) 48 c) 49 d) 47 e) 50

TÓPICO 3: Matriz inversa

-3 -2 -1 2 3

Nível 1

39. (UDESC) Analise as proposições a seguir.

37. (UEPA) Leia o texto para responder à questão. Uma loja de vendas de celulares realizou o levantamento das quantidades de três aparelhos vendidos no mês de outubro. A tabela I mostra o preço desses três aparelhos e a tabela II apresenta os resultados encontrados nos 5 primeiros dias do mês de outubro, a partir do levantamento realizado: Tabela 1 - Preços de aparelhos celulares (em Reais)

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

tras em que cada elemento da matriz representa uma letra do alfabeto. A fim de dificultar a leitura da palavra, por se tratar de in 3 - 1  obtendo-se a matriz codificada B ⋅ A. B= -5 2  -10 27   , podemos Sabendo que a matriz B ⋅ A é igual a   21 - 39 

5  11

36. Se M = (aij), tal que i = 1, 2 e j = 1, 2, é a matriz 1

Aparelhos

X

Y

Z

Preço

679,00

1.340,00

2.490,00

Tabela 2 - Quantidade de aparelhos vendidos Dia

Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. c) Somente a afirmativa II é verdadeira. d) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. e) Todas as afirmativas são verdadeiras. 

02

03

04

05

Aparelho X

2

1

0

1

3

Aparelho Y

1

0

2

3

1

Aparelho Z

0

1

1

2

0

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

I. O produto de uma matriz linha por uma matriz linha é uma matriz linha. II. Uma matriz identidade elevada ao quadrado é uma matriz identidade. III. O produto de uma matriz por sua transposta é a matriz identidade.

40. Seja A = (Aij)2×2 definida por: Aij = i

01

Aparelho

36

38. Uma matriz A de ordem 2 transmite uma palavra de 4 le-

formação secreta, a matriz A é multiplicada pela matriz

-6 - 7   d)  6 11

a) b) c) d) e)

Nestas condições, o valor total das vendas, nos 5 primeiros dias de outubro, em reais, foi de: a) 19.340,00 b) 20.271,00 c) 21.896,00 d) 22.563,00 e) 24.093,00

2

+ j, se i ≤ j i  + 2j, se i > j

Sabendo que o traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal, podemos afirmar que o traço da matriz At ⋅ A-1 é: a) b) 0

1 2


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

44. (UERJ) Observe a matriz A, quadrada e de ordem três.

5 4 2 d) 3 c)

 0,3 0, 47 0, 6    A = 0, 47 0, 6 x    x 0,77  0, 6

e) 1

41. (FGV) Uma fábrica decide distribuir os excedentes de três produtos alimentícios A, B e C a dois países da América Central, P1 e P2. As quantidades, em toneladas, são descritas mediante a matriz Q: A ↓

B ↓

C ↓

200 100 150  ← P1  Q= 100 150 200 ← P 2   Para o transporte aos países de destino, a fábrica recebeu orçamentos de duas empresas, em reais por toneladas, como indica a matriz P:

Considere que cada elemento aij dessa matriz é o valor do logaritmo decimal de (i + j). O valor de x é igual a: a) 0,50 b) 0,70 c) 0,77 d) 0,87

TÓPICO 4: Determinantes Nível 1

45. (COVEST- ADAPTADO) Considerando a matriz 3×3

500 300 ← 1ª empresa  P= 400 200 ← 2ª empresa   a) Efetue o produto das duas matrizes, na ordem que for possível. Que elemento da matriz produto indica o custo de transportar o produto A, com a segunda empresa, aos dois países? b) Para transportar os três produtos aos dois países, qual empresa deveria ser escolhida, considerando que as duas apresentam exatamente as mesmas condições técnicas? Por quê?

Nível 2

42. (EEAR) Se

 1 a b -1     -1 2 e  x 2k  são matrizes opostas, os

 a 0 , onde a e b são 43. (UNICAMP) Considere a matriz A =   b 1 2 números reais. Se A = A e A é invertível, então a) b) c) d)

a = 1 e b = 1. a = 1 e b = 0. a = 0 e b = 0. a = 0 e b = 1.

para i , j ∈ {1, 2, 3}, podemos afirmar que: a) O determinante de A é 5. b) A2 = 3A. c) A é simétrica, isto é, para todo i, j ∈ {1, 2, 3} temos aij = aji. d) A soma dos elementos da diagonal principal de A é −1. e) A soma de todos os elementos de A é 5. 3 3    a a - b b   46. (ESPCEX-AMAN) Considere a matriz M = a a3 0  2 5 3  

Se a e b são números reais não nulos det(m) = 0 e então o valor de 14a2 - 21b2 é igual a a) 15. b) 28. c) 35. d) 49. e) 70.

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

valores de a, b, x e k são respectivamente a) 1, -1, 1, 1 b) 1, 1, -1, -1 c) 1, -1, 1, -1 d) -1, -1, -2, -2

 1, se i ⋅ j > i + j A = (aij), tal que aij = −1, se i ⋅ j ≤ i + j 

47. (ESPCEX-AMAN) Uma matriz quadrada A de ordem 3 é definida por i - j, se i > j . aij =  (-1)i+ j, se i ≤ j  Então detA-1 é igual a a) 4. b) 1. c) 0.

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

37


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

1 4 1 e) 2 d)

48. (UDESC) Sejam A, B, X e Y matrizes quadradas de ordem 2 tais que,

1 2   0 2 e B= . A= 3 -2 -1 4    

Texto para a próxima questão:

A soma dos determinantes das matrizes X e Y sabendo que 2X - 2Y = A ⋅ B e -X + 2Y = Ar é igual a: a) -4 b) -72 c) -144 d) -24 e) -102 1 2  49. (UEFS) Se M = (aij), i = 1, 2, e j = 1, 2, é a matriz  3 4 então o elemento da matriz oposta ou simétrica da adjunta de M, associado ao a21 é a) -3. b) -2. c) -1. d) 2. e) 3.

Concentração dos suplementos Alimnetares (g/kg)

Nutriente

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

O salário total ST(x) de um funcionário de certa empresa é composto de duas partes, uma fixa no valor de R$ 1.230,00 e outra que varia de acordo com a função s(x) = 10x + detA, sendo x o tempo de serviço, em anos, do funcionário na empresa, com 1 x x2      A = 2 1 0    3 5 1   

a) b) c) d)

vida uma mistura alimentícia composta por três tipos de suplementos alimentares: I, II e III. Esses suplementos, por sua vez, contêm diferentes concentrações de três nutrientes: A, B e C. Observe as tabelas a seguir, que indicam a concentração de nutrientes nos suplementos e a porcentagem de suplementos na mistura, respectivamente.

38

Utilize o fragmento de texto abaixo para responder à(s) questão(ões).

51. (IFSUL) A função que descreve o salário total do funcionário é:

50. (UERJ) Para combater a subnutrição infantil, foi desenvol-

I

II

III

A

0,2

0,5

0,4

B

0,3

0,4

0,1

C

A quantidade do nutriente C, em g/kg, encontrada na mistura alimentícia é igual a: a) 0,235 b) 0,265 c) 0,275 d) 0,295

0,1

0,4

0,5

ST(x) = 7x2 + 8x + 1.231 ST(x) = 7x2 + 10x + 1.230 ST(x) = 7x2 + 10x + 1.231 ST(x) = 7x2 + 8x + 1.230

p 2 2   4 4 é igual a −18,   p 4 1

52. (UESP) Se o determinante da matriz p

p −1 2   então o determinante da matriz p −2 4 é igual a:   p −2 1 a) −9 b) −6 c) 3 d) 6 e) 9

Nível 2 a -2   1 1  com a ∈ . Sabe-se que  2 -3 1   2 det(A - 2A + I) soma dos valores de a que satisfazem essa  1 

53. (IME) Seja A = a - 2

Suplemento Alimentar

Quantidade na Mistura (%)

I

45

condição é:

II

25

III

30

Observação: det(X) denota o determinante da matriz X a) 0 b) 1

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

c) 2 d) 3 e) 4

54. (FAC. ALBERT EINSTEIN - MEDICIN) Uma matriz quadrada de ordem n é chamada triangular superior se aij = 0 para i > j. Os elementos de uma matriz triangular superior T, de ordem 3, onde i ≤ j, são obtidos a partir da lei de formação tij = 2i2 - j. Sendo A = -1 1 1 uma matriz de ordem 1×3 e At sua transposta, o produto A ⋅ T ⋅ At é a matriz 1×1 cujo único elemento vale a) b) c) d)

0. 4. 7. 28.

55. (IFSUL) Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos da diagonal principal. Supondo que o traço da matriz quadrada A, de ordem 3, seja 11, e o determinante dessa matriz seja 16, os elementos x e y da matriz

a) b) c) d)

5e5 4e4 2e8 1e9

 1 2 3   A = 0 x z  valem: 0 0 y   

 X 2  1 x eB= , a  −1 2  1 1     diferença entre os valores de x, tais que det (A ⋅ B) = 3x,

56. (ESPM) Dadas as matrizes A =  pode ser igual a: 3 −2 −4 5 1

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

a) b) c) d) e)

 senx − cos x determinante da matriz A =   é cos x senx  equivalente a:

57. O

a) tg2 x b) sec2 x c) 1 d) zero e) sen2 x − cos2 x

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

39


Matemática e suas tecnologias: Matriz de Referência C1

Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.

C4

Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.

C5

Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.

H2 H17 H20

Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem. Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação. Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.


C

2 A

LO TU

COMPETÊNCIAS:

C1, C4, C5

Sistemas lineares HABILIDADES:

H2, H17, H20

APRESENTAÇÃO A teoria de sistemas lineares é a base da álgebra linear e parte fundamental dela, sendo um tema que é usado na maior parte da matemática moderna, vista, em sua maioria, apenas no nível superior. Deve-se observar, em primeiro lugar, o que é uma equação linear e, logo após, verificar o que é um sistema de equações lineares. O sistema linear também pode ser conceituado como um sistema de equações do primeiro grau, ou seja, um sistema no qual as equações possuem apenas polinômios em que cada parcela tem apenas uma incógnita. Em outras palavras, em um sistema linear, não há potência diferente de um ou zero e tampouco pode haver multiplicação entre incógnitas. Também, na Matemática aplicada, podemos encontrar vários usos de sistemas lineares. Outros campos com aplicação são a física, a economia, a engenharia, a biologia, a geografia, a navegação, a aviação, a cartografia, a demografia e a astronomia. Algoritmos computacionais são, por encontrar as soluções, uma parte importante da álgebra linear numérica e desempenham um papel proeminente em engenharia, física, química, ciência da computação e economia. Tais métodos têm uma grande importância para tornar mais eficientes e rápidas as soluções dos sistemas.


Capítulo 2 | Sistemas lineares

TÓPICO 1 • Equação linear

ESCLARECENDO

1.1 • Um breve histórico Relatos históricos nos remetem à solução de problemas ligados ao sistema de equações lineares 250 anos antes de Cristo. O livro chinês chamado Chiu–chang Suan–shu (Nove capítulos sobre Aritmética) Traz o seguinte texto: “Três fardos de uma boa colheita, dois fardos de uma colheita medíocre e um fardo de uma colheita ruim foram vendidos por 39 dou. Dois fardos da boa, três da medíocre e um da ruim foram vendidos a 34 dou; um da boa, dois da medíocre e três da ruim foram vendidos a 26 dou. Qual o preço recebido pela venda de cada fardo associado à boa colheita, à colheita medíocre e à colheita ruim?” Muitos anos se passaram até que os sistemas de equações lineares fossem ganhando forma de arranjos numéricos ordenados por linhas e colunas, como são atualmente representados. Para o problema, originalmente formulado pelos chineses, tem-se, na forma atual, a seguinte representação.

3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34   x + 2y + 3z = 26 A solução deste tipo de problema foi sistematizado pelo matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), tornando-se conhecido como método de eliminação de Gauss.

1.2 • Equação linear Antes de começarmos a estudar os sistemas lineares, vamos entender o que é uma equação linear. Chamamos de equação linear a uma equação da forma:

a1 x1 + a 2 x 2 + a3 x 3  + a n x n = b

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Em que: x1, x2, ..., xn são as variáveis; a1, a2, ..., an são os coeficientes (reais ou complexos); b é o termo independente (número real ou complexo). Exemplos: Coeficientes : 2, -1 e 1  a) 2 x - y + z = 5 ou  Variáveis : x, y e z  Termo independen nte : 5 Coeficientes : 1,1 e 1  b) x + y + z = 20  Variáveis : x, y e z  Termo independente : 20 Coeficientes:2 e - 3  c) 2 x - 3y = 6 Variáveis : x e y  Termo independente:6

42

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

a) Quando o termo independente for nulo, trata-se de uma equação linear homogênea; Exemplo: 2x + 3y = 0 b) Toda equação linear tem o expoente de todas as incógnitas iguais a 1; c) Uma equação linear não apresenta termo misto (xy, xz, ...). Não são equações lineares: x x + 3y = −4 ou x2 + y2 = 9 ou 2 x + 3xy − 7z = 10

1.2.1 • Solução de uma equação linear Uma sequência ordenada ou n-upla de números reais (α1, α2, ..., αn) é solução da equação a1x1 + a2x2 + anxn = b se, e somente se, a expressão a1α1+ a2α2 + ... anαn = b for verdadeira. Exemplos: 1. Verifique se o par ordenado (3, 5) é solução da equação 2x + 7y = 41. Solução: Por se tratar de um par ordenado (x, y), ao substituirmos, na equação, o valor de x por 3 e, ao mesmo tempo, o valor de y por 5, teremos: 2 ⋅ 3 + 7 ⋅ 5 = 41 6 + 35 = 41 41 = 41 De fato, quando tivermos x = 3 e y = 5, o lado esquerdo da equação ficará igual ao lado direito, ou seja, o par (3,5) é solução da equação. 2. Verifique se o terno ordenado (1, 3, −2) é solução da equação 5x − 2y + 5z = 30. Solução: Por se tratar de um terno ordenado (x, y, z), ao substituirmos, na equação, o valor de x por 1 e, ao mesmo tempo, o valor de y por 3, assim como z por −2, teremos: 5 ⋅ 1 - 2 ⋅ 3 + 5 ⋅ (-2) = 30 5 − 6 - 10 = 30 -11 = 30 De fato, quando tivermos x = 1, y = 3, z = -2, o lado esquerdo da equação não ficará igual ao lado direito, ou seja, o terno (1, 3, -2) não é solução da equação.


Capítulo 2 | Sistemas lineares

EXERCITANDO EM AULA 01.

O mostrador do nível de combustível de um carro indica 1 que o tanque está preenchido com de sua capacidade. De9 pois de o tanque receber 23 litros de combustível, o mostrador 3 indica que o tanque está preenchido com de sua capacida4 de. Qual a capacidade do tanque, em litros? a) 30 litros b) 32 litros c) 34 litros d) 36 litros e) 38 litros

02. A idade de um pai ultrapassa em 5 anos a soma das idades de seus três filhos. Daqui a 10 anos, ele terá o dobro da idade do filho mais velho, daqui a 20 anos, o dobro da idade do 2º e, daqui a 30 anos, o dobro da idade do mais novo. Quando o pai tiver com 57 anos, o filho mais velho terá: a) 22 anos b) 27 anos c) 31 anos d) 35 anos e) 37 anos

TÓPICO 2 • Sistema de equações lineares Um sistema é um conjunto de elementos, de modo a formar um todo organizado. É uma definição que existe em várias áreas do conhecimento, como biologia, medicina, informática, administração, matemática. Originário do grego, o termo sistema significa “combinar”, “ajustar”, “formar um conjunto”.

03. (IFBA) Tertulino irá viajar e deseja guardar seus CDs de arrocha em sacolas plásticas. Para guardar os CDs em sacolas que contenham 60 unidades, serão necessárias 15 sacolas plásticas. Na mesma proporção, se os CDs forem guardados em sacolas com 75 unidades, quantas sacolas serão necessárias? a) 11 b) 13 c) 12 d) 14 e) 10

04. Um atacadista vende café do Brasil a R$ 13,00 o quilo e café da República Dominicana a R$ 16,00 o quilo. Quantos quilos de café brasileiro devem ser misturados a café dominicano de modo a se obter 90 kg de uma mistura com preço de R$ 14,00 o quilo? a) 50 kg b) 55 kg c) 60 kg d) 40 kg e) 45 kg

Um sistema de equações lineares, ou sistema linear, consiste em um conjunto de m equações lineares com n incógnitas. a x + a x + ... + a x + ... + a x = b  12 2 1j j 1n n 1   11 1           ai1x1 + ai2 x2 + ... + aijx j + ... + ain xn = bi           a x + a x + ... + a x + ... + a x = b  m2 2 mj j mn n m  m1 1  i = 1, 2,..., m e j = 1, 2,..., n

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

shutterstock.com

Exemplos: 1. Sistema linear com duas equações e duas variáveis. x + y = 3  x - y = 1 2. Sistema linear com duas equações e três variáveis.

2 x + 5y - 6z = 24  x - y + 10z = 30 3. Sistema linear com três equações e três variáveis. Imagem 2.1.

Imagem 2.2.

Na Matemática, um conjunto de equações lineares recebe o nome de sistema de equações lineares.

x + 10y - 12z = 120   4 x - 2z - 20z = 60     -x + y + 5z = 10

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

43


Capítulo 2 | Sistemas lineares

4. Sistema linear com três equações e quatro variáveis. x - y - z + w = 10 2 x + 3y + 5z - 2 w = 20   4 x - 2 y - z + w = 16

2.1 • Solução de um sistema linear A solução de um sistema de equações lineares é a sequência de números (α1, α2, ..., αn), tal que satisfazem, identicamente, a todas as equações desse sistema linear. Ao conjunto de todas as soluções possíveis, daremos o nome de conjunto solução. Exemplos: 1. Dado o sistema: x + y = 3  x - y = 1 Dizemos que a solução deste sistema é o par ordenado (2,1), pois ele satisfaz as duas equações do sistema linear. Observe que, para x = 2 e y = 1, teremos

As soluções de um sistema de equações lineares podem ser bem determinadas, como mostram os exemplos acima. Porém, nem sempre isso acontece, como ocorre no caso de um sistema linear formado por apenas uma equação e duas incógnitas: x+y=8 De imediato, podemos dizer que existe mais de uma solução possível (x,y) = (1,7) ou (2,6) ou (9,-1) e assim sucessivamente. Percebemos, então, que esse sistema possui infinitas soluções. Por outro lado, podemos ter um sistema que não admita nenhuma solução, como, por exemplo: x + y = 10  2 x + 2 y = 5 Perceba que, como x somado com y é igual a 10, espera-se que o dobro de x somado com o dobro de y seja igual a 20, e não igual a 5, como dito na questão. Sendo assim, não teremos valores de x e de y que satisfaçam, simultaneamente, as duas equações. A quantidade de soluções de um sistema de equações lineares implica em uma classificação dos sistemas lineares, mostrada no esquema a seguir:

2 + 1 = 3  2 - 1 = 1 2. Dado o sistema:

2 x + 2 y + 2z = 20  2 x - 2 y + 2z = 8  2 x - 2 y - 2z = 0 Podemos dizer que o trio ordenado (5, 3, 2) é solução do sistema, pois ele satisfaz as três equações do sistema linear. Veja:

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 2 = 20 → 10 + 6 + 4 = 20 → 20 = 20 2 ⋅ 5 - 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 2 = 8 → 10 - 6 + 4 = 8 → 8 = 8 2 ⋅ 5 - 2 ⋅ 3 - 2 ⋅ 2 = 0 → 10 - 6 - 4 = 0 → 0 = 0

Desse modo, percebemos que um sistema linear pode ter ou não ter solução, sendo denominado de sistema possível ou impossível, respectivamente. Entre os sistemas que admitem solução, existem os que têm, apenas, uma única solução (determinados) e outros que podem apresentar um conjunto infinito de soluções (indeterminados). Os sistemas possíveis também podem ser chamados de consistentes ou compatíveis, e os impossíveis, de inconsistentes ou incompatíveis.

EXERCITANDO EM AULA 05. Quatro amigos, A, B, C e D, compraram um presente que custou R$ 360,00. Se: • A pagou metade do que pagaram juntos B, C e D, • B pagou um terço do que pagaram juntos A, C e D, e • C pagou um quarto do que pagaram A, B e D

Quanto pagou D, em reais? a) 72 b) 78 c) 90 d) 120 e) 360

06. A idade de uma mãe, atualmente, é 28 anos a mais que a de sua filha. Em dez anos, a idade da mãe será o dobro da ida-

44

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1


Capítulo 2 | Sistemas lineares

de da filha. Indique a soma das idades que a mãe e a filha têm hoje. (Observação: as idades são consideradas em anos). a) 61 b) 62 c) 63 d) 64 e) 65

07. Um laboratório tem em seu acervo besouros (com seis pernas cada um) e aranhas (com oito pernas cada uma). Se o número total de pernas excede em 214 o número de besouros e aranhas, e o número de aranhas é inferior em 14 ao número de besouros, quantas são as aranhas? a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 11 08. Se o numerador de uma fração é acrescido de uma unida-

2 de, o valor da fração resultante é . Se ambos, numerador e 3 denominador, são acrescidos de 5 unidades, o valor da fração 7 resultante é . Indique o produto do numerador pelo denomi10 nador da fração original. a) 64 b) 65 c) 125 d) 135 e) 145

09. Três cubos laranjas idênticos e três cubos azuis idênticos estão equilibrados em duas balanças de pratos, também idênticas, conforme indicam as figuras.

TÓPICO 3 • Métodos de solução de um sistema linear

3.1 • Adição Exemplos: Resolva os sistemas abaixo:

3x + y = 5 a)  2 x - 3y = -4 O método da adição consiste em eliminarmos uma das incógnitas e, para isso, devemos ter os coeficientes opostos da incógnita que nos propusermos a eliminar. Diante desse fato, se

A massa de um cubo laranja supera a de um cubo azul em exato a) 1,3 kg. b) 1,5 kg. c) 1,2 kg. d) 1,4 kg. e) 1,6 kg.

10. Segundo os nutricionistas, uma vida saudável é consequência de uma série de fatores, como alimentação balanceada e exercícios físicos. Suponha que um paciente precise consumir 3,5 mg de cálcio, 50 mg de ferro e 410 mg de magnésio. Os alimentos X, Y e Z possuem, por porção, respectivamente: 0,5 mg, 0,4 mg e 0,3 mg de cálcio; 6 mg, 6 mg e 8 mg de ferro e 50 mg, 60 mg e 30 mg de magnésio. A tabela a seguir apresenta as quantidades de cálcio, ferro e magnésio, em uma porção dos alimentos X, Y e Z. X

Y

Z

Cálcio (em mg)

0,5

0,4

0,3

Ferro (em mg)

6

6

8

Magnésio (em mg)

50

60

30

Se o paciente deve obter as quantidades exatas de cálcio, ferro e magnésio alimentando-se de porções dos alimentos X, Y e Z, quantas porções de X o paciente precisa consumir ? a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4

quisermos eliminar a incógnita y, podemos multiplicar a primeira equação por 3 e, assim, ficaremos com:

9x + 3y = 15    2 x - 3y = -4 

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Basicamente, podemos resolver um sistema de equações de três maneiras:

3 kg

2 kg

Agora, somando as duas equações, obtemos: 11x = 11 x =1 Substituindo x = 1, em qualquer uma das equações acima, (vamos fazê-lo na equação 1), ficaremos com: 3 ⋅ 1+ y = 5 y=2 Portanto, o sistema tem solução única (1, 2) sendo possível e determinado. Geometricamente, teremos duas retas concorrentes, como mostra o gráfico a seguir.

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

45


Capítulo 2 | Sistemas lineares

y

y

5

x - 2y = 3 3x - 6y = 15

y=

2

2x + 4 3

3

5

-3/2

-2

-5/2

x

1

Antes de apresentarmos o segundo método de solução de sistemas, vamos mostrar que podemos associar um sistema a uma matriz.

y = -3x + 5 x + 2 y = 7 b)  2 x + 4 y = 14

3.1.1 • Matrizes associadas a um sistema linear

Vamos eliminar a incógnita y. Portanto, vamos multiplicar a primeira equação por −2: -2 x - 4 y = -14  2 x + 4 y = 14

Dado um sistema linear de m equações e n incógnitas: a11x1 + a12 x2 + a13x3 + ... + a1n xn = b1  a21x1 + a22 x2 + a23x3 + ... + a2n xn = b2 a x + a x + a x + ... + a x = b  31 1 32 2 33 3 3n n 3  .................................................. am1x1 + am2 x2 + am3x3 + ... + amn xn = bm 

e agora, somando as duas equações, obtemos: 0=0 Isso significa que as equações são idênticas e, portanto, existe uma infinidade de valores que satisfazem o sistema. Portanto, o sistema é possível e indeterminado. Geometricamente, teremos duas retas coincidentes, como mostra o gráfico a seguir. y=

x

Podemos associar-lhe as seguintes matrizes: •

 a11 a12  a  21 a22 A =  a31 a32  ... ...    am1 am2

y

-x 7 + 2 2

Matriz incompleta É a matriz formada pelos coeficientes das incógnitas.

7 2

a13 a23 a33 ... am3

... a1n   ... a2n  ... a3n  .... ...   ... amn 

7

x

Matriz completa É a matriz formada pelos coeficientes das incógnitas mais a coluna dos termos independentes.  a11 a12  a  21 a22  A B  =  a31 a32    ... ...    am1 am2

3x - 6y = 15 c)  x - 2 y = 3

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Vamos eliminar a incógnita y. Dessa forma, vamos multiplicar a segunda equação por −3:

3x - 6y = 15     -3x + 6y = -9 E agora, somando as duas equações, obtemos: 0=6 Isso significa que não existe nenhum valor de x e nenhum valor de y que satisfaçam, ao mesmo tempo, ambas as equações. Portanto, estamos diante de um sistema impossível.

46

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

... a1n b1   ... a2n b2  ... a3n b3  ... ... ...   ... amn bm 

Matriz das incógnitas É uma matriz coluna cujos elementos são as incógnitas do sistema.  x1    x   2 X =  x3          xn  •

Geometricamente, teremos duas retas paralelas distintas, como mostra o gráfico a seguir.

a13 a23 a33 ... am3

Matriz dos termos independentes É uma matriz coluna cujos elementos são os termos independentes.


Capítulo 2 | Sistemas lineares

 b1    b   2 B =  b3         bm 

c) Matriz das incógnitas: x   y X =   z t  

Exemplo:

 3x + x 2 - x 3 = 6   1 Considere o sistema linear:  2 x1 - x2 + 2 x3 = 8 .    x1 + 2 x2 + x3 = 2

d) Matriz dos termos independentes: 5   6 X =   10 0  

As seguintes matrizes estão associadas ao sistema acima: a) Matriz incompleta: 3 1 -1    A = 2 -1 2  1 2 1   b) Matriz completa: 3 1 -1 6    A B  = 2 -1 2 8     1 2 1 2   c) Matriz das incógnitas:  x1    X =  x2  x   3  d) Matriz dos termos independentes: 6    B = 8  2    Exemplo:

x - y + z + t = 5   3x - 9y + 5z - 2t = 6 Considere o sistema linear:   x - 3y + 3z + 5t = 10      2 x + y - z + 2t = 0

 1 -1 1 1     3 -9 5 -2   A =  5   1 -3 3 -2 1 -1 2    b) Matriz completa:  1 -1 1 1 5    3 -9 5 -2 6   A B =    1 -3 3 5 10  -2 1 -1 2 0 

Seja o sistema linear de m equações e n incógnitas:

a11x1 + a12 x2 + a13x3 + ... + a1n xn = b1 a x + a x + a x + ... + a x = b 2 22 2 23 3 2n n  21 2 a31x1 + a32 x2 + a33x3 + ... + a3n xn = b3  .................................................. am1x1 + am2 x2 + am3x3 + ...+ amn xn = bm  Se A, X e B são as matrizes incompletas, das incógnitas e dos termos independentes, respectivamente, do sistema linear acima, podemos escrevê-lo da seguinte forma:  a11 a12  a  21 a22 A ⋅ X = B ou  a31 a32  ... ...    am1 am2

a13 a23 a33 ... am3

... a1n   x1   b1       ... a2n   x2  b2  ... a3n  ⋅  x3  =  b3  ... ...             ... amn   xn  bn 

A forma na qual o sistema acima foi escrito é denominada de forma matricial do sistema. 5x1 + x3 = 18  7 x 4 x3 = 0 +  2  a) A forma matricial do sistema 3x1 - 7 x2 + 13x = 16 Exemplos:

5 0 1   x1  18       é  0 7 4  ⋅  x2  =  0  5x - 3y + 2 z + t = 0   3 -7 13  x3  16 2 y + 5z - 2t = 2   x + 5y - 2z + t = 0 5 0 1   x1  18 x + 3y - z + 2t = 1        b) A 0forma matricial 0  =sistema  ⋅  x do 7 4   2     3 -7 13  x  16 5 -3 2 1   x   0  t =3 0    5x - 3y + 2z +         0 2 5 2   y  2  é  2 y + 5z - 2t = 2   1 5 -2 1  ⋅  z  =  0 x + 5y - 2z + t = 0       x + 3y - z + 2t = 1  1 3 -1 2   t   1        + x3 = 18 5x1  7 x 2 + 4 x3 = 0   3x1 - 7 x2 + 13x = 16

5 -3 2 1   x   0       0 2 5 -2   y  2    1 5 -2 1  ⋅  z  =  0        1 3 -1 2   t   1      

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

As seguintes matrizes estão associadas ao sistema acima: a) Matriz incompleta:

3.1.2 • Expressão matricial de um sistema linear

47


Capítulo 2 | Sistemas lineares

c) Antônio foi à feira e comprou 2 maçãs e 5 laranjas pagando por isso R$9,60. Já sua irmã comprou 23 maçãs e 18 laranjas, pagando a quantia de R$54,31.

Exemplos: a) Resolva o sistema a seguir utilizando a regra de Cramer.

3x + 2 y = 5    -x - 4 y = 0 

Organizando, matricialmente, a situação descrita, teremos: 2 maçãs +5 laranjas = R$9, 60  23 maçãs +18 laranjas = R$54,31

Solução: Inicialmente, calculamos o determinante da matriz A dos coeficientes

 2 5   maçãs   9, 60    ⋅ =  23 18 laranjas  54,31      

 3 2  ⇒ det( A) = -10 A= -1 -4   

3.2 • Método de Cramer

Logo após, calculamos o determinante da matriz A1, trocando os elementos da coluna 1 pelos termos independentes

3.2.1 • Sistema de Cramer Seja (S) um sistema linear com n equações e n incógnitas:  a11x + a12 x2 + a13x3 + ...  1 a x + a x 22 2 + a23 x3 + ...  21 1 (S) = a31x1 + a32 x2 + a33x3 + ...   ... ... ... ... ... ... ... a x + a x n2 2 + an3 x3 + ...  n1 1

+

a1n xn

=

b1

+ a2n xn = b2 + a3n xn = b3 ... ... ... ... + ann xn = bn

Se a matriz incompleta A, do sistema (S) considerado, é tal que det(A) ≠ 0, definimos (S) como Sistema de Cramer. Note que, se um sistema linear é um sistema de Cramer, o número de equações é igual ao número de incógnitas e o determinante da matriz incompleta do sistema é diferente de zero. Exemplos:

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

-2 x + 3y - z = 1  a) x + 2 y - z = 4  -2 x - y + z = -3

x - 3y - z = -6 b) x + 4 y + 7z = 17   -x + 6y + 6z = 19

-2 3 -1   A =  1 2 -1   -2 -1 1 

 1 -3 -1   4 7  A =  1  6  -1 6

det( A) = -2

det( A) = 11

3.2.1.1 • Propriedade Se um sistema linear é um sistema de Cramer, então o sistema será possível e determinado, isto é, terá solução única k1, k2, k3, ..., det (A i ) kn, em que k i = , para todo i ∈ {1, 2, 3, ..., n}, e det(Ai) é det ( A) o determinante da matriz obtida de A, trocando-se a i—ésima coluna pela coluna dos termos independentes das equações do sistema.

48

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

5 2  ⇒ det( A1) = -20 A1 =   0 -4    Do mesmo modo, obtemos o determinante da matriz A2 trocando os elementos da coluna 2 pelos termos independentes.  3 5  ⇒ det( A2 ) = +5 A2 =  -1 0   Assim, temos: det( A1) -20 ⇒x= ⇒x=2 det( A) -10 det( A2 ) 5 1 y= ⇒= ⇒ y =det( A) -10 2 x=

   1   Logo: S =  2,-      2     b) Resolva o sistema abaixo utilizando a regra de Cramer. x + y - z = 0  x - y - 2 z = 1  x + 2 y + z = 4 Solução: De modo análogo ao que fizemos na matriz 2×2, temos: 1 1 -1   A = 1 -1 -2  ⇒ det( A) = -3 1 2 1  0 1 -1   A1 =  1 -1 -2  ⇒ det( A1) = -15 4 2 1  1  A2 = 1 1  1  A3 = 1 1 

0 -1  1 -2  ⇒ det( A2 ) = -6 4 1 1 0  -1 1 ⇒ det( A3 ) = -9 2 4 


Capítulo 2 | Sistemas lineares

Assim, temos: det( A1) -15 ⇒x= ⇒ x =5 de( A) -3 det( A2 ) 6 y= ⇒y= ⇒ y = -2 det( A) -3 det( A3) -9 z= ⇒z= ⇒z=3 det( A) -3 x=

3. Adição, membro a membro, de uma equação a uma outra, esta previamente multiplicada por um número. Exemplo:

 x-y+z = 4   Dado o sistema  3x + 2 y + z = 0    5x + 5y + z = 8

Logo: S = {(5, -2, 3)}.

São equivalentes ao sistema acima os seguintes sistemas, obtidos a partir da aplicação de operações elementares no sistema dado:

3.3 • Escalonamento

a)

Com o auxílio de operações elementares sobre filas (linhas ou colunas), podemos resolver sistemas lineares. Vamos mostrar como funciona esse processo.

 3x + 2 y + z = 0   x - y + z = 4     5x + 5y + z = 8

b)

3x - 3y - 3z = 12 (multiplicação da linha 1 por 3) 3x + 2 y + z = 0   5x + 5y + z = 8

3.3.1 • Sistemas lineares equivalentes Dizemos que dois sistemas lineares (S1) e (S2) são equivalentes quando toda solução de S1 é solução de S2 e toda solução de S2 é solução de S1. Para indicar a equivalência entre dois sistemas lineares, (S1) e (S2), escrevemos: (S1) ∼ (S2 ) Note que sistemas equivalentes têm as mesmas soluções ou ambos não têm nenhuma solução. Exemplos: São equivalentes os seguintes pares de sistemas: x + y = 5 2 x + y = 8 a)  e  2y = 4 x - y = 1  x + 2 y = 3 x + 2 y = 3 b)  e  2 x + y = 1  - 3y = -5

 x + 2y + z = 9 x + 2 y + z = 9   c)  e 2 x + y - z = 3 -3x - 3z = -15   3x - y - 2z = -4   3x - y - 2z = -4

3.4 • Transformações elementares Dado um sistema linear (S1), podemos obter um sistema linear (S2), equivalente a (S1), efetuando operações elementares em (S1). As operações elementares são as seguintes: 1. Troca de posições de duas equações quaisquer. 2. Multiplicação de todos os termos de uma equação por um número real k, em que k ≠ 0.

x − y + z = 4   x + 4 y − z = −8 5x + 5y + z = 8

Substituímos a 2ª equação pela soma dela com a 1ª equação multiplicada por (-2), ou seja, fizemos:

-2 x + 2 y - 2z = -8   3x + 2 y + z = 0   x + 4 y - z = -8

e substituímos pela 2ª equação

3.5 • Sistema escalonado Um sistema escalonado é aquele em que buscamos escrever cada equação com um número de incógnitas menor, deixando, quando possível, a última equação com apenas uma incógnita. x + 2 y - z = 10  Exemplo:   5y + z = 4  z = -1 

3.6 • Como escalonar um sistema MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Propriedades: • (S) ~ (S), para todo (S) • Se (S1) ~ (S2), então (S2) ~ (S1) • Se (S1) ~ (S2) e (S2) ~ (S3), então (S1) ~ (S3)

c)

(troca de posição)

Para transformarmos um sistema linear em um outro, equivalente e escalonado, seguimos os seguintes passos: 1. Inicialmente, utilizando as transformações elementares, colocamos, preferencialmente, como 1ª equação aquela que tem o coeficiente da 1ª incógnita igual a 1. 2. Anulamos o coeficiente da 1ª incógnita de todas as equações (exceto a 1ª), substituindo a i—ésima equação (i > 1) pela soma dela com a 1ª multiplicada por um número conveniente. O número conveniente deve ser tal que se anulem os coeficientes da 1ª incógnita, em todas as equações que queremos anular o coeficiente. 3. Em seguida, abandonamos a 1ª equação e repetimos o 1º e 2º passos para as demais equações.

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

49


Capítulo 2 | Sistemas lineares

2 x - y - z = -9  -4 x+ y- 5 z = -29

SAIBA MAIS

-2 x - 6z = -38

Matriz escalonada

e, como x = 1, teremos: Seja a matriz A = [aij]m × n. Dizemos que A é uma matriz escalonada se o número de zeros que precedem o primeiro elemento não nulo de uma linha aumenta, linha para linha, até que restem, casualmente, apenas linhas nulas.  4 2 5 6   a) A =  0 1 2 3 0 0 3 5   6  0 b) B =  0 0  1  0 c) C =  0 0 

3 5 0 0 1 0 0 0

4º Passo: substituímos os valores de “x” e de “z” encontrados em qualquer uma das equações e acharemos o valor de “y”. Por exemplo, substituindo na primeira equação, teremos:

4  1  2  0  2 5 0 0

-2 ⋅ 1- 6z = -38 -6z = -36 z=6

3 ⋅ 1 + y + 6 = 14 y =5

3 0 0 0

4  7  2  0 

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Assim sendo, estamos diante de um sistema possível e determinado, cuja solução é o terno (1, 5, 6). 2 x + y − 2z = 2   x + y + z = 1

02. Resolva o sistema 4 x − 3y + 2z = 30

Resolução: Usando escalonamento:

01. Consideremos o sistema com 3 equações e 3 incógnitas. 3x + y + z = 14 2 x − y − z = −9   −4 x + y − 5z = −29

1º passo: perceba que a última equação é aquela cujo coeficiente da incógnita “x” apresenta o menor valor. Sendo assim, colocaremos a última equação como sendo a primeira.  x + y + z = 1 2 x + y - 2z = 2   4 x - 3y + 2z = 30

Resolução:

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

1º Passo: escolhemos uma equação para ser a equação referencial, através dela faremos algumas operações. Escolhemos, também, a incógnita que queremos eliminar. No nosso caso, vamos escolher a primeira equação e eliminar a incógnita y. 2º Passo: para isso, poderemos somar a primeira equação com a segunda equação e, logo, perceberemos que obteremos o valor de x, visto que conseguiremos eliminar também a incógnita z.

Agora, tome como base a primeira equação e como meta eliminar a incógnita “x”. Multiplique a primeira equação por (-2), some com a segunda equação, depois multiplique a primeira equação por (-4) e some com a terceira equação. Assim, teremos: -2 x - 2 y - 2z = -2  2 x + y - 2z = 2 -y - 4z = 0

-4 x - 4 y - 4z = -4  4 x - 3y + 2z = 30

Assim, ficaremos com: 3x + y + z = 14  2 x - y - z = -9 5x = 5 ⇒ x = 1 3º Passo: somando, também, a segunda equação com a terceira equação, ficaremos com:

50

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

-7 y - 2z = 26

Então, teremos:  x + y + z = 1  - y - 4z = 0    - 7 y - 2z = 26


Capítulo 2 | Sistemas lineares

-y - 4z = 0 ⇒  7 y + 28z = 0   -7 y - 2z = 26 -7 y - 2z = 26

Assim, obtemos:

26z = 26

x = 3, y = 1 + α, z = α

z =1

Logo: S = {(3,1 + α, α)}

2º passo: Multiplicamos a segunda equação por (-7) e somamos com a terceira.

Portanto, o sistema é possível e indeterminado.

3º passo: substitua o valor de “z” na segunda equação para achar o valor de “y”:

04. Resolva o sistema 5x + y + 4z = 12

-y-4⋅1=0 -y=4 y = -4

4º passo: finalmente, substituímos o valor de “y” e “z” na primeira equação: x + y + z =1 x - 4 +1= 1 x=4

Logo, o sistema é possível e determinado, e sua solução é (4, -4, 1). x − y + z = 2 03. Resolva o sistema 2x + y − z = 7 x + 2 y − 2z = 5 

 x + 3y − 2z = 8   3x + 2 y + z = 4

Resolução: 1º passo: tome como base a primeira equação e como meta eliminar a incógnita “x”. Multiplique a primeira equação por −5 e some com a segunda equação. Logo após, multiplique a primeira equação por −3 e some com a terceira equação. Sendo assim, ficaremos com: -5x - 15y - 10z = -40  5x + y + 4z = 12 -14 y + 14z = -28

-3x - 9y + 6z = -24  3x + 2 y + z = 4 -7 y + 7z = -20

Resolução: 2º passo: analisando as equações resultantes, teremos: 1º passo: tome como base a primeira equação e como meta eliminar a incógnita “x”. Multiplique a primeira equação por −2 e some com a segunda equação. Logo após, multiplique a primeira equação por −1 e some com a terceira equação.

 -14 y + 14z = -28    -7 y + 7z = -20

Ao dividimos a primeira equação por −2, ficaremos com: Sendo assim, ficaremos com: -2 x + 2 y - 2z = -4  2 x + y - z = 7 3y - 3z = 3

0 = -6

Dessa forma, concluímos que o sistema é impossível.

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

-x + y - z = -2   x + 2 y - 2z = 5

7 y - 7z = 14  -7 y + 7z = -20

3y - 3z = 3

2º passo: perceba que ficamos com duas equações idênticas a: 3y − 3z = 3. Dividindo ambos os lados por 3, ficaremos com y − z = 1 ou, simplesmente, y = 1 + z. Atribuindo a z um valor real qualquer igual a α, obtemos y = 1 + α. 3º passo: substituindo os valores de y e z na primeira equação, ficaremos com:  y = 1 + α   x - (1 + α) + α = 2 ⇒ x = 3

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

51


Capítulo 2 | Sistemas lineares

EXERCITANDO EM AULA 11. Em uma festa junina, uma barraca de tiro ao alvo oferece R$ 15,00 ao participante cada vez que acertar o alvo. Entretanto, se errar, o participante paga R$ 10,00. O indivíduo deu 30 tiros e recebeu R$ 175,00. Nessas condições, o número de vezes que ele errou o alvo foi: a) 11 b) 13 c) 17 d) 19 e) 21 12. Um trem, ao iniciar uma viagem, tinha em um de seus vagões um certo número de passageiros. Na primeira parada não subiu ninguém e desceram desse vagão 12 homens e 5 mulheres, restando nele um número de mulheres igual ao dobro do de homens. Na segunda parada não desceu ninguém, entretanto subiram, nesse vagão, 18 homens e 2 mulheres, ficando o número de homens igual ao de mulheres. Qual o total de passageiros no vagão no início da viagem? a) 42 b) 65 c) 68 d) 73 e) 75

TÓPICO 4 • Sistemas lineares homogêneos

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Um sistema linear é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos. Todo sistema linear homogêneo admite, pelo menos, a solução trivial, que é a solução identicamente nula. Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo de sistema poderá ser determinado se admitir, somente, a solução trivial, ou indeterminado, se admitir outras soluções além da trivial. Exemplo:

 2 x - y + 3z = 0   O sistema  4 x + 2 y - z = 0    x - y + 2 z = 0 é determinado, pois possui apenas a solução x = 0, y = 0 e z = 0.

13. O dono de uma barraca de feira livre vende, todos os dias, um determinado número de sacos de laranjas, os quais devem ser transportados em várias bicicletas cargueiras. Cada saco contém cinco dúzias da fruta. O transporte diário pode ser feito de duas maneiras. Na primeira, se dois sacos forem transportados em cada bicicleta, sobram 13 sacos na barraca que precisarão ser transportados posteriormente. Na segunda, se três sacos forem colocados em cada bicicleta, três delas não precisarão ser utilizadas. Quantas dúzias de laranjas são vendidas diariamente nessa barraca ? a) 110 b) 285 c) 684 d) 1.320 e) 3.420

14. Júnior comprou pinhas, a R$ 0,30 a unidade, melões, a R$ 0,70 a unidade, e abacaxis, a R$ 0,80 a unidade, totalizando R$ 10,00 em compras. Se o número total de frutas foi 20, quantas foram as pinhas compradas? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

CONECTANDO DISCIPLINAS Utilizamos os sistemas de equações lineares para resolvermos problemas ligados a outras disciplinas, como, por exemplo: Na Física • Circuitos elétricos (descobrir as correntes) I1 − I2 + I3 = 0 4I + I = 8  1 2  I2 + 4I3 = 16

I1

A 4Ω

I2 I3

C I 1 8V 1Ω

I2

2Ω B

D I 3

16V

Na Química • Balanceamento de equações químicas wNH3 + xO2 → yN2 + zH2O w = 2 y  3w = 2z  2 x = z

A solução desses problemas requer conhecimentos estudados neste capítulo.

52

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1


Capítulo 2 | Sistemas lineares

APROFUNDAMENTO

Já vimos que os sistemas de equações lineares do tipo 2x2 possuem, em sua resolução, uma representação geométrica, que nada mais é do que uma representação no plano cartesiano R2. Por se tratar de uma equação do tipo ax + by = c, quando marcamos todos os pares (x, y) ∈ R2 que satisfazem tal equação, o gráfico resulta em uma reta. Assim, se tivermos duas equações dessa forma, teremos duas retas no plano e suas soluções serão representadas de acordo como essas retas se comportarão nesse mesmo plano. Sabemos que duas retas em um plano podem ser: 1. Paralelas: o sistema não tem solução; 2. Concorrentes: o sistema tem uma única solução; 3. Coincidentes: o sistema tem infinitas soluções.

1.

2.

1.

2.

3.

Dois planos coincidentes

Já, se tivermos três equações, consequentemente, três planos, que podem ser: 1. paralelos dois a dois: o sistema não tem solução; 2. dois coincidentes e o outro paralelo: o sistema não tem solução; 3. coincidentes: o sistema tem infinitas soluções, descritas pelo plano; 4. dois coincidentes e o outro concorrente: o sistema tem infinitas soluções, descritas por uma reta; 5. se intersectar em uma reta: o sistema tem infinitas soluções, descritas por uma reta; 6. dois paralelos e outro concorrente: o sistema não tem solução; 7. se intersectar dois a dois determinando três retas paralelas: não tem solução; 8. se intersectar dois a dois determinando três retas que se intersectam em apenas um ponto (visualizar o canto de uma sala): tem uma única solução. 1.

2.

3.

Três planos coincidentes

3. Dois planos coincidentes

5.

4.

Dois planos coincidentes

7.

6.

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Já quando tivermos um sistema linear maior que do tipo 2x2, aí a representação geométrica se torna um pouco mais complicada. Veremos agora como representar um sistema 3×3. Por se tratar de uma equação do tipo ax + by + cz = d, quando marcamos todos os pontos (x, y, z) ∈ R3 que satisfazem tal equação, o gráfico resulta em um plano. Assim, se tivermos duas equações dessa forma, teremos dois planos no espaço, e se tivermos três equações dessa forma, teremos três planos sendo representados no espaço. As suas soluções serão representadas de acordo como esses planos se comportarão nesse mesmo espaço, ou seja, precisamos cada vez mais de uma noção geométrica mais apurada. Observem as possíveis interpretações geométricas: Se tivermos apenas duas equações, consequentemente, haverá dois planos, que podem ser:

8.

1. Paralelos: o sistema não tem solução; 2. Concorrentes: o sistema tem infinitas soluções, descritas por uma reta; 3. Coincidentes: o sistema tem infinitas soluções, descritas pelo próprio plano.

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

53


Capítulo 2 | Sistemas lineares

EXERCITANDO EM AULA 15. Em um cassino, uma pessoa introduz em uma máquina um determinado número de fichas e recebe dela o dobro da quantidade original, decrescendo-lhe 10 unidades. Em uma segunda máquina, coloca essa nova quantidade e recebe novamente o dobro, mais agora decrescendo de 30 unidades. Finalmente em uma 3ª máquina, coloca a nova quantidade obtida e recebe mais uma vez o dobro, menos 40 unidades. Coincidentemente, o valor final é o mesmo que a quantidade introduzida na 1ª máquina. Essa quantidade original de fichas era de: a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 16. Três fios flexíveis, medindo 16 cm, 18 cm e 20 cm são arrumados, respectivamente, como os arcos AC, BA e CB de uma circunferência, descritos no sentido horário, como ilustrado a seguir.

Qual a medida do arco AB, em cm, no sentido horário? a) 7 cm b) 9 cm c) 11 cm d) 13 cm e) 15 cm

17. Um grupo de pessoas gastou 120 reais em uma lanchonete. Quando foram pagar a conta, dividindo-a igualmente, notaram que duas pessoas foram embora sem deixar dinheiro e as pessoas que ficaram tiveram que pagar cinco reais a mais que pagariam se a conta fosse dividida igualmente entre todos os membros do grupo inicial. Quantas pessoas pagaram a conta? a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10

A

B

C

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO TÓPICO 1: Equação linear Nível 1 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

01. Um jogador esteve em três casas de apostas durante uma noite: na primeira, ele dobrou a quantia que possuía ao chegar e, posteriormente, gastou R$ 30,00. Na segunda, ele triplicou a quantia que tinha ao chegar e, posteriormente, gastou R$ 54,00 e, na terceira, ele quadruplicou a quantia que tinha ao chegar, então gastou R$ 72,00 e observou que lhe restavam R$ 48,00. Qual a quantia, em reais, que ele tinha ao chegar à primeira casa de apostas? a) 28 b) 29 c) 30 d) 35 e) 40

54

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

02. (UECE) Um hotel possui, exatamente, 58 unidades de hospedagem assim distribuídas: m quartos duplos, p quartos triplos e q suítes para quatro pessoas. A capacidade máxima de lotação do hotel é 166 pessoas, sendo que, destas, 40 lotam completamente todas as suítes. A diferença entre o número de quartos triplos e o número de quartos duplos é: a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 15 03. (UNICAMP) Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$ 5,00, o quilo de castanha de caju, R$ 20,00 e o quilo de castanha-do-pará, R$ 16,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$ 5,75. Além disso, a


Capítulo 2 | Sistemas lineares

quantidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas. Nesse caso, as quantidades de cada ingrediente por lata são a) 270 g de amendoim, 125 g de castanha de caju e 105 g de castanha-do-pará. b) 270 g de amendoim, 172,5 g de castanha de caju e 57,5 g de castanha-do-pará. c) 250 g de amendoim, 125 g de castanha de caju e 125 g de castanha-do-pará. d) 228 g de amendoim, 100 g de castanha de caju e 72 g de castanha-do-pará.

a) b) c) d) e)

10 20 40 15 30

08. (COVEST) Uma fábrica de automóveis utiliza três tipos de aço, A1, A2, A3 na construção de três tipos de carros, C1, C2, C3. A quantidade dos três tipos de aço, em toneladas, usados na confecção dos três tipos de carro, está na tabela a seguir: C1

C2

C3

A1, A2 , A3 2 3 4 (FEI) Num depósito, estão armazenados três tipos de peA1, A2 , A3 1 1 2 ças. O triplo da quantidade de peças do primeiro tipo é igual ao dobro da quantidade de peças do segundo tipo. A quanti- A1, A2 , A3 3 2 1 dade total de peças é igual ao dobro da quantidade de peças do terceiro tipo. A diferença entre as quantidades de peças do Se foram utilizadas 26 toneladas de aço do tipo A1 , A 112 ,tonelaA3 A , A , A segundo e do primeiro tipo é igual a 11. Qual a quantidade todas do tipo e 19 toneladas do tipo , qual o total de carros A1, A 2 , A 3 1 2 3 C tal de peças? construídos (dos tipos C1,CC1,2 ,Cou 2 ,3 C3)? a) 55 a) 8 b) 60 b) 9 c) 66 c) 10 d) 110 d) 11 e) 120 e) 12

04.

Nível 2

TÓPICO 2: Sistema de equações lineares

05. Em uma clínica trabalham médicos, enfermeiros e fisioterapeutas, totalizando de 14 profissionais. O número de médicos é igual à soma do número de enfermeiros e fisioterapeutas. Sabendo que a diferença entre o número de enfermeiros e fisioterapeutas, nessa ordem, é 1, o número de médicos mais o número de fisioterapeutas supera o número de enfermeiros em a) 5. b) 6. c) 7. d) 3. e) 4

massa de 310 g. A massa do copo com 3/5 da água é: a) 160 g b) 225 g c) 260 g d) 295 g e) 300 g

07. Uma pessoa vendeu três tipos de doces, num total de 80, e arrecadou R$ 115,00. Sabe-se que um brigadeiro custa R$ 1,00, um bombom, R$ 2,00 e um olho de sogra R$ 1,50 e que a quantidade de brigadeiros vendidos é igual à soma dos outros dois doces vendidos. O número de bombons que a pessoa vendeu é igual a:

09. Juntos, Paulo e Joana possuem 50 gibis. Juntos, Paulo e Marcos possuem 104 gibis. Se Marcos possui quatro vezes a quantidade de Joana, qual a diferença entre o número de gibis que Marcos e Paulo possuem? a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40 x 1 será igual a , se o numerador for aumentay 2 do de 2 unidades e o denominador aumentado de 1 unidade;

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

06. Um copo cheio tem massa de 385 g; com 2/3 de água, tem

Nível 1

10. A fração

entretanto, se o numerador for aumentado de 1 unidade e o denominador diminuído de 2 unidades, a fração ficará igual a 3 . Dessa forma, xy é igual a: 5 a) 32 b) 64 c) 128 d) 81 e) 121

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

55


Capítulo 2 | Sistemas lineares

11. Há cinco anos, a idade de um pai era o quádruplo da idade de seu filho. Daqui a cinco anos será o dobro. Quanto vale, hoje, a soma das idades do pai e seu filho? a) 28 b) 30 c) 35 d) 40 e) 45 Nível 2

12. Uma certa quantia será repartida entre Júnior, Daniela e Eduardo. Sabendo-se que Júnior e Daniela receberão juntos R$ 5.000,00, Júnior e Eduardo receberão R$ 4.500,00 e Daniele e Eduardo receberão R$ 3.500,00. Podemos afirmar que Eduardo receberá: a) R$ 3.000,00 b) R$ 2.000,00 c) R$ 1.500,00 d) R$ 2.500,00 e) R$ 3.500,00 13. Em 2008, no dia de seu aniversário, a idade de Jennifer era o dobro da idade de Jéssica. Passados três anos, a partir do aniversário de 2008, a soma das idades das duas será 54 anos. Se sobreviver até os 70 anos, em qual ano Jennifer completará esta idade? a) 2046 b) 2044 c) 2042 d) 2040 e) 2038 14. Numa lanchonete, 2 copos de refrigerantes e 3 coxinhas

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

custam R$ 5,70. O preço de 3 copos de refrigerantes e 5 coxinhas é R$ 9,30. Nessas condições, é verdade que cada copo de refrigerante custa: a) R$ 0,70 a menos que cada coxinha. b) R$ 0,80 a menos que cada coxinha. c) R$ 0,90 a menos que cada coxinha. d) R$ 0,80 a mais que cada coxinha. e) R$ 0,50 a menos que cada coxinha.

TÓPICO 3: Métodos de solução de um sistema linear Nível 1

15. Numa festa estão presentes rapazes e moças. Depois que 5 rapazes se foram, ficam 2 rapazes para cada moça. A seguir, chegam mais 10 rapazes, saem 5 moças, e temos então 3 rapazes para cada moça que restou. Quantos eram os presentes no início da festa?

56

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

a) b) c) d) e)

40 60 70 80 90

16. “Bom dia, minhas cem pombas”, disse o gavião a um bando de avezinhas que passavam. “Cem pombas não somos nós”, disse uma delas. “Para sermos cem é necessário outro tanto de nós, mais metade de nós, mais a quarta parte de nós, e contigo, gavião, cem aves seremos nós”. Há no bando: a) 36 pombas b) 96 pombas c) 40 pombas d) 101 pombas e) 46 pombas

17. Em um restaurante, existem mesas de 3, 4 e 6 cadeiras, com um total de 16 mesas. Ocupando todos os lugares nas mesas de 3 e 4 cadeiras, 36 pessoas ficam perfeitamente acomodadas. Sabendo-se que o restaurante acomoda, no máximo, 72 pessoas, quantas mesas de cada tipo (3, 4 e 6), respectivamente, existem? a) 6, 4 e 6 b) 6, 6 e 4 c) 4, 6 e 6 d) 3, 7 e 6 e) 3, 5 e 9

Nível 2

18. Fábio possui 95 cédulas que formam um total de R$ 575,00. As cédulas são de um, cinco e dez reais. Juntas, o número de cédulas de um e dez reais excede em 5 o dobro do número de cédulas de cinco reais. Quantas são as cédulas de dez reais? a) 40 b) 60 c) 70 d) 80 e) 90

19. Um cavalo e um burro caminhavam juntos, levando sobre os lombos pesadas cargas. Lamentava-se o cavalo do seu revoltante fardo, ao que humildemente fala o burro: “De que te queixas? Se eu te tomasse um saco, minha carga passaria a ser o dobro da tua. Por outro lado, se eu te desse um saco, tua carga igualaria a minha !”. Quantos sacos levava o cavalo? a) 8 b) 3 c) 7 d) 9 e) 5


Capítulo 2 | Sistemas lineares

20. Adicionando, dois a dois, três inteiros, obtemos os valores 42, 48 e 52. Qual o produto dos três inteiros? a) 12.637 b) 12.376 c) 12.673 d) 12.367 e) 12.763 21. Uma transportadora entrega, por meio de caminhões, 60 toneladas de açúcar por dia. Em um certo dia, cada caminhão foi carregado com 500 kg a menos que o usual, sendo necessário, naquele dia, alugar mais 4 caminhões. Quantos caminhões foram necessários naquele dia? a) 28 b) 26 c) 24 d) 23 e) 22

TÓPICO 4: Sistemas lineares homogêneos Nível 1

22. Considere o quadro a seguir, que apresenta alguns dados comparativos referentes ao processo de obtenção de álcool (etanol), a partir da cana-de-açúcar e do milho. Cana

Milho

Preço de venda/litro

US$ 0,42

US$ 0,92

Uma usina brasileira utilizou toda a cana plantada em 800 hectares (ha) para a produção de álcool e vendeu todo o volume obtido. Para que uma usina estadunidense que utiliza apenas milho na produção de álcool tenha lucro equivalente ao da usina brasileira, a região correspondente ao plantio do milho deverá ter área de aproximadamente: a) 635,5 ha b) 550 ha c) 435,5 ha d) 350 ha e) 235,5 ha

23. João disse para Maria: “Se eu lhe der um quarto do que tenho, você ficará com metade do que vai me sobrar”. Maria acrescentou: “E eu lhe daria 5 reais, se lhe desse a metade do que tenho”. Juntos, os dois possuem: a) 80 reais b) 90 reais c) 100 reais d) 120 reais e) 130 reais 24. Num escritório de advocacia, trabalhavam, apenas, dois

8 mil litros/ha

3 mil litros/ha

Gasto de energia fóssil para produzir 1 litro de álcool

1.600 kcal

6.600 kcal

Balanço energético

Positivo: gasta-se 1 caloria de combustível fóssil para a produção de 3,24 calorias de etanol

Negativo: gasta-se 1 caloria de combustível fóssil para a produção de 0,77 caloria de etanol

US$ 0,28

US$ 0,45

Custo de produção/litro

advogados e uma secretária. Como Dr. André e Dr. Carlos sempre advogam em causas diferentes, a secretária, Cláudia, coloca um grampo em cada processo do Dr. André e dois grampos em cada processo do Dr. Carlos, para diferenciá-los facilmente no arquivo. Sabendo-se que, ao todo, são 78 processos, nos quais foram usados 110 grampos, podemos concluir que o número de processos do Dr. Carlos é igual a: a) 64 b) 46 c) 40 d) 32 e) 45

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Produção de etanol

25. (PUC-CAMP) Um certo número de alunos fazia prova em uma sala. Em um dado momento, retiraram-se da sala 15 moças, ficando o número de rapazes igual ao dobro do número de moças. Em seguida, retiraram-se 31 rapazes, ficando na sala igual ao número de moças e rapazes. O total de alunos que fazia prova nessa sala era a) 96. b) 98. c) 108.

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

57


Capítulo 2 | Sistemas lineares

30. (MACK) Uma herança de R$ 270.000,00 foi distribuída en-

d) 116. e) 128.

26. (COVEST) Perguntado sobre a idade de seu filho Júnior, José respondeu o seguinte: “Minha idade, quando somada à idade de Júnior, é igual a 47 anos; e, quando somada à idade de Maria, é igual a 78 anos. As idades de Maria e Júnior somam 39 anos”. Qual é a idade de Júnior? a) 2 anos b) 3 anos c) 4 anos d) 5 anos e) 10 anos

tre 3 irmãs, de modo que a filha do meio recebeu metade do que recebeu a filha mais nova e a mais velha recebeu o equivalente à metade do que receberam juntas a mais nova e a do meio. Em reais, a filha mais velha recebeu a) 70.000 b) 80.000 c) 75.000 d) 90.000 e) 65.000

31. (UFG) Em um determinado parque, existe um circuito de caminhada, como mostra a figura a seguir.

Nível 2

27. Em um campeonato de futebol de salão, as equipes X, Y e Z marcaram, juntas, 143 gols. A equipe X marcou 7 gols a mais que a equipe Y, e a equipe Z marcou 1 gol a mais que a equipe Y. Quantos gols a equipe Y marcou? a) 43 b) 44 c) 45 d) 46

Pinta 2

28. Um laboratório utiliza, na fabricação de um determinado

lago

remédio, as substâncias A e B. Sabendo que 1 ml da substância A custa R$ 0,03 (3 centavos), 1 ml da substância B custa R$ 0,05 (5 centavos), e que um frasco de 100 ml do remédio custa R$ 3,60 (três reais e sessenta centavos), quantos ml da substância A têm no frasco? a) 70 b) 65 c) 50 d) 60 e) 30

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

29. (IFPE) Milena e Larissa foram a uma lanchonete logo depois da aula. Lá, pediram dois sanduíches, no valor de R$ 7,70 cada, dois sucos, no valor de R$ 3,60 cada, e uma fatia de torta, no valor de R$ 4,40. Na hora de pagar a conta, decidiam dividir igualmente entre elas o valor a ser pago. Cada uma possuía uma nota de R$ 20,00. Ao chegar ao caixa para efetuar o pagamento, o responsável por receber avisou que, naquele momento, só teria moedas de R$ 0,25 para passar troco. Assim sendo, quantas moedas cada uma das meninas recebeu como troco? a) 20 b) 26 c) 13 d) 8 e) 7

58

Pista 1 Ponte

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

Um atleta, utilizando um podômetro, percorre em um dia a pista 1 duas vezes, atravessa a ponte e percorre a pista 2 uma única vez, totalizando 1157 passos. No dia seguinte, percorre a pista 1 uma única vez, atravessa a ponte e percorre a pista 2 também uma única vez, totalizando 757 passos. Além disso, percebe que o número de passos necessários para percorrer sete voltas na pista 1 equivale ao número de passos para percorrer oito voltas na pista 2. Diante do exposto, conclui-se que o comprimento da ponte, em passos, é: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 15


Capítulo 2 | Sistemas lineares

ANOTAÇÕES

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

59


GABARITOS

GABARITOS Capítulo 1 EXERCITANDO EM AULA 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

(b) (b) (e) (c) (a) (a) (e) (a) (d) (d) (b) (b) (b) (d) (d) x = 2; y = -1

 2 5     17. x =  9 18   1 1 -    3 6   1 1     18. x =  2 6   1  0 -   3  19. 20. 21. 22. 23. 24.

a = 24; b = -11 (c) (b) (c) (e) (c)

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23.

(c) (b) (c) 31 (a) (a) (a) (a) (a) (d) (d) (b) (c) (d) (a) (b) (a) (c) (a) (b) (e) (c) (c)

20 31 4  24. a)  35 43 5 b) Segunda c) Respostas Possíveis: GNBD, NGDB, GEBB E VNFD

60

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41.

(c) (a) (c) (a) (a) (b) (e) (d) (d) (a) (b) (e) (e) (d) (c) (c) a) M21 b) empresa 2

42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57.

(c) (b) (b) (d) (c) (d) (b) (e) (d) (a) (e) (d) (d) (c) (d) (c)

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

(e) (a) (b) (b) (d) (d) (b) (b)

17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.

(c) (a) (e) (c) (c) (a) (b) (d) (c) (c) (c) (a) (b) (d) (c)

Capítulo 2 EXERCITANDO EM AULA 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09.

(d) (b) (c) (c) (b) (d) (d) (d) (d)

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

(b) (c) (c) (d) (b) (d) (e) (b) (e) (c) (c) (c) (a) (c) (d) (a)


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

EXERCÍCIOS PROPOSTOS - CAPÍTULO 1 TÓPICO 1: Introdução ao estudo das matrizes

des envolvendo matrizes fornecidas a seguir, a única que relaciona, corretamente, esses preços unitários com os dados da tabela é

Nível 2

01. (UNESP) Considere três lojas, L1, L2 e L3, e três tipos de pro-

dutos, P1, P2 e P3. A matriz a seguir descreve a quantidade de cada produto vendido por cada loja na primeira semana de dezembro. Cada elemento aij da matriz indica a quantidade do produto Pi vendido pela loja Lj, tais que i, j = 1, 2, 3.

L1  P1 30  P2 15 P3 12

b)

 x  5 5 3   96         y  ⋅  6 3 3  = 105 .        z   4 5 2   79       

c)

5 5 3     6 3 3  ⋅  x y z  = 96 105 79 .       4 5 2  

d)

5 5 3   x   96         6 3 3  ⋅  y  = 105 .        4 5 2   z   79       

e)

 x   96  5 5 3         y  ⋅ 105 =  6 3 3  .        z   79   4 5 2       

L2 L3 19 20  10 8  16 11

Analisando a matriz, podemos afirmar que a) a quantidade de produtos do tipo P2 vendidos pela loja L2 é 11. b) a quantidade de produtos do tipo P1 vendidos pela loja L3 é 30. c) a soma das quantidades de produtos do tipo P3 vendidos pelas três lojas é 40. d) a soma das quantidades de produtos do tipo Pi vendidos pelas lojas Li , tal que i = 1,2,3, é 52. e) a soma das quantidades dos produtos dos tipos P1 e P2 vendidos pela loja L1 é 45.

02. (UEL) Sobre as sentenças: I. O produto de matrizes A3×2. B2×1 é uma matriz 3×1. II. O produto de matrizes A5×4. B5×2 é uma matriz 4×2. III. O produto de matrizes A2×3. B3×2 é uma matriz quadrada 2×2.

03. (INSPER) Três amigos foram a uma papelaria para comprar material escolar. As quantidades adquiridas de cada produto e o total pago por cada um deles são mostrados na tabela. Quantidades compradas de cadernos

canetas

lápis

Total pago (R$)

Júlia

5

5

3

96,00

Bruno

6

3

3

105,00

Felipe

4

5

2

79,00

Os preços unitários, em reais, de um caderno, de uma caneta e de um lápis são, respectivamente, x, y e z. Dessa forma, das igualda-

04. (UFPE) Um grupo de alunos dos cursos 1, 2 e 3 solicita transferência para outro curso, escolhido entre os mesmos 1, 2 e 3. A matriz a seguir representa o resultado obtido após as transferências: 99 para i ≠ j, na interseção da linha i com a coluna j, encontra-se o número de estudantes do curso i que se transferiram para o curso j; 99 para i = j, na interseção da linha i com a coluna j, encontra-se o número de estudantes do curso i que permaneceram no curso i. 132 7 8     12 115 13   14 15 119

Matemática e suas tecnologias

é verdade que a) somente I é falsa. b) somente II é falsa. c) somente III é falsa. d) somente I e III são falsas. e) I, II e III são falsas.

Amigo

a)

5 5 3     x y z  ⋅  6 3 3  = 96 105 79 .       4 5 2  

Admitindo que cada aluno pode se matricular em apenas um curso, analise as afirmações seguintes, de acordo com as informações acima. I. Antes das transferências, existiam 147 alunos no curso 1. II. Após as transferências, existem 137 alunos no curso 2. III. Foram transferidos 26 alunos para o curso 3. IV. O total de alunos transferidos é 69. V. O total de alunos nos cursos 1, 2 e 3 é de 363 alunos. Marque a alternativa correta: a) F, V, V, F, V b) V, V, F, F, V c) V, V, V, F, V d) V, V, F, V, F e) V, F, F, V, F

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

1


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

05. (ENEM) Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas

06. (UFSM)

de suas disciplinas numa tabela. Ele observou que as entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4×4 e que poderia calcular as médias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir.

1º bimestre

2º bimestre

3º bimestre

4º bimestre

Matemática 5,9

6,2

4,5

5,5

6,5

8,4

7,8

9,0

Português 6,6

7,1

O diagrama dado representa a cadeia alimentar simplificada de um determinado ecossistema. As setas indicam a espécie de que a outra espécie se alimenta. Atribuindo valor 1, quando uma espécie se alimenta de outra, e zero, quando ocorre o contrário, tem-se a seguinte tabela: Urso

Esquilo

Inseto

Planta

Urso

0

1

1

1

Esquilo

0

0

1

1

Inseto

0

0

0

1

Planta

0

0

0

0

Geografia 8,6

6,8 História

6,2

5,6

5,9

7,7

Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por: 1 a)  2

1 2

1 2

1  2 

1 b)   4

1 4

1 4

1  4 

1   1 c)   1   1  

Matemática e suas tecnologias

0, se i ≤ j a) aij =  1, se i > j 0, se i = j b) aij =  1, se i ≠ j 0, se i ≥ j c) aij =  1, se i < j d) a = 0, se i ≠ j ij 1, se i = j

 1   2     1   d)  2     1   2     1   2 

0, se i < j e) aij =  1, se i > j

07. (EPCAR-AFA) Uma montadora de automóveis prepara três modelos de carros, a saber:

1   4   1 e)   4   1   4   1   4

2

A matriz A=(aij)4×4, associada à tabela, possui a seguinte lei de formação:

MODELO

1

2

3

CILINDRADA (em litro)

1.0

1.4

1.8

Essa montadora divulgou a matriz a seguir em que cada termo aij representa a distância percorrida, em km, pelo modelo i, com um litro de combustível, à velocidade 10j km/h.

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

6 7, 6 7, 2 8, 9 8, 2 11 10 12 11, 8   5 7,5 7 8,5 8 10,5 9,5 11,5 11    3 2,7 5, 9 5,5 8,1 7, 4 9, 8 9, 4 13,1   Com base nisso, é correto dizer que a) para motoristas que somente trafegam a 30 km/h, o carro 1.4 é o mais econômico. b) se, durante um mesmo período de tempo, um carro 1.4 e um 1.8 trafegam a 50km/h, o 1.4 será o mais econômico. c) para motoristas que somente trafegam a velocidade de 70 km/h, o carro 1.8 é o de maior consumo. d) para motoristas que somente trafegam a 80 km/h, o carro 1.0 é o mais econômico. Texto para a próxima questão Uma tela de computador pode ser representada por uma matriz de cores, de forma que cada elemento da matriz corresponda a um 1pixel na tela. Numa tela em escala de cinza, por exemplo, podemos atribuir 256 cores diferentes para cada pixel, do preto absoluto (código da cor: 0) passando pelo cinza intermediário (código da cor: 127) ao branco absoluto (código da cor: 255).

Sobre essa matriz de cores, pode-se afirmar que ela a) terá o mesmo número de pixels brancos e cinzas. b) terá o mesmo número de pixels brancos e pretos. c) terá o mesmo número de pixels pretos e cinzas. d) terá uma diagonal com cinco pixels brancos. e) terá uma diagonal com cinco pixels cinzas.

09. Dadas as matrizes A = (aij)5×2, onde aij = i + j, B = (bij)2×2, onde bij = 2j e C = A ⋅ B, então o elemento c22 da matriz C é: a) 28 b) 24 c) 20 d) 16 e) 12 10. (UNIFOR-CE) Seja A = (a ij) a matriz quadrada de 2ª ordem definida por:

ij, se i > j  aij = i + j, se i = j  -i, se i < j Nestas condições:

1

Menor elemento em uma tela ao qual é possível atribuir-se uma cor. Suponha que na figura estejam representados 25 pixels de uma tela.

08. Uma matriz M = (aij) quadrada de ordem 5, em que i representa o número da linha e j representa o número da coluna, é definida da seguinte forma: 0, se i = j  aij = 127, se i > j  255, se i < j

 0 0  A=  0 0  

b)

1 -1  A= 1 2   

c)

-1 2   At =   4 2  

d)

-2 1   A-1 =  -2 -4   

e)

 2 -6  A2 =  12 14   

11. Uma matriz quadrada A se diz ANTISSIMÉTRICA se A = - At. Nessas condições, se a matriz A mostrada na figura adiante é uma matriz antissimétrica, então x + y + z é igual a

Matemática e suas tecnologias

A matriz numérica correspondente às cores da figura apresentada é dada por 255 0 127 0 255    0 127 0 255 0   127 0 255 0 127    0 255 0 127 0     0 255 255 0 127

a)

 x y z    A =  2 0 -3 -1 3 0    a) b) c) d) e)

3. 1. 0. -1. -3.

A matriz M corresponde a uma matriz de cores em escala de cinza, descrita pelo texto, em uma tela.

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

3


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

Nível 3

Tabela 1 - Produção de armários em outubro de 2005

12. (UEL) Uma reserva florestal foi dividida em quadrantes de 1m2 de área cada um. Com o objetivo de saber quantas samambaias havia na reserva, o número delas foi contado por quadrante da seguinte forma: Número de samambaias por quadrante

0    1   2    A7 x1 =  3    4    5     6 

Número de quadrante

8   12    7    B7 x1 = 16    14    6    3 

O elemento aij da matriz A corresponde ao elemento bij da matriz B (por exemplo, 8 quadrantes contêm 0 (zero) samambaia, 12 quadrantes contêm 1 samambaia). Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a operação efetuada entre as matrizes A e B que resulta no número total de samambaias existentes na reserva florestal. a) At x B b) Bt x At c) A x B d) At x Bt e) A + B

13. (PUC-SP) No projeto Sobremesa Musical, o Instituto de Cultura Musical da PUC-RS realiza apresentações semanais gratuitas para a comunidade universitária. O número de músicos que atuaram na apresentação de número j do i-ésimo mês da primeira temporada de 2009 está registrado como o elemento aij da matriz a seguir:

Matemática e suas tecnologias

43 12 6 6 5    43 5 5 12 12   43 13 20 13 0    3 5 54 43 43  A apresentação na qual atuou o maior número de músicos ocorreu na _________ semana do _________ mês. a) quinta – segundo b) quarta – quarto c) quarta – terceiro d) terceira – quarto e) primeira – terceiro

14. (UFRRJ) Uma fábrica de guarda-roupas utiliza três tipos de fechaduras (dourada, prateada e bronzeada) para guarda-roupas em mogno e cerejeira, nos modelos básico, luxo e requinte. A tabela 1 mostra a produção de móveis durante o mês de outubro de 2005, e a tabela 2, a quantidade de fechaduras utilizadas em cada tipo de armário no mesmo mês.

4

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

Madeira Modelo

Básico

Luxo

Requinte

Mogno

3

5

4

Cerejeira

4

3

5

Tabela 2 - Fechaduras usadas em outubro de 2005 Tipo

Madeira

Mogno

Cerejeira

Dourada

10

12

Prateada

8

8

Bronzeada

4

6

A quantidade de fechaduras usadas nos armários do modelo requinte nesse mês foi de: a) 170 b) 192 c) 120 d) 218 e) 188

15. (UEL) Uma indústria utiliza borracha, couro e tecido para fazer três modelos de sapatos. A matriz Q fornece a quantidade de cada componente na fabricação dos modelos de sapatos, enquanto a matriz C fornece o custo unitário, em reais, destes componentes. B 2  Dados: Q = 1  2

C T 1 1 mod elo 1  2 0 mod elo 2  0 2 mod elo 3

10  Borracha    C = 50 Couro   30 Tecido

A matriz V que fornece o custo final, em reais, dos três modelos de sapatos é dada por: 110   a) V = 120    80   90    b) V = 100    60   80    c) V = 110    80  120   d) V = 110   100


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

100   e) V = 110    80 

3 3 4    1 2 3 e) 2 3 5  ⋅     2 2 2 4 1 3

16. Rodrigo, Otavio e Ronaldo gostam muito de comida japonesa e saíram para comer temaki, também conhecido como sushi enrolado à mão, cujo formato lembra o de um cone. Foram, então, visitando vários restaurantes, tanto no sábado quanto no domingo. As matrizes a seguir resumem quantos temakis cada um consumiu e como a despesa foi dividida: 3 2  S − 1 1  0 3

2 0   2 e D −  0   2 1

3 2 0

0  1  2

S refere-se às quantidades de temakis sábado e D, às de no domingo. Cada elemento aij nos dá o número de cones que a pessoa i pagou para a pessoa j, sendo Rodrigo o número 1, Otávio, o número 2 e Ronaldo, o número 3 ((aij) representa o elemento da linha 1 e da coluna j de cada matriz). Assim, por exemplo, no sábado, Rodrigo pagou 3 temakis que ele próprio consumiu (a11), 2 temakis consumidos por Otávio (a12) e nenhum por Ronaldo (a13), que corresponde à primeira linha da matriz S. Quantos temakis Otávio ficou devendo para Rodrigo neste fim de semana? a) Nenhum b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

3  a) 2  4

3 3 1

4  1 2   5  ⋅ 2 2   3 3 2

3  b) 3  4

2 3 5

4 1 2   1 ⋅ 2 2  3 3 2

3  c) 2  4

3 3 1

4  1 2  5  ⋅ 2 2  3 3 2

1 2 3 3 4      d) 2 2 ⋅ 2 3 5      3 2 4 1 3

18. Um instituto de pesquisa realizou uma enquete em cinco capitais brasileiras, A, B, C, D e E, respectivamente, sobre a audiência de duas emissoras de TV (I e II) às sextas-feiras à noite, durante três semanas consecutivas (semanas M, N e P, respectivamente). As matrizes M, N e P indicam o número de domicílios, em milhares, que estavam sintonizados em uma das emissoras nessas cinco capitais, em cada uma das semanas pesquisadas. As linhas indicam qual emissora estava sintonizada, e as colunas, em qual capital isso ocorreu. 8 11 9 9 10 M =  9 9 6 12 8  11 7 9 10 8  N =  10 13 10 11 7 5 6 P =  9 9

7 2

4 7

9  5 

Somando os domicílios nas três semanas de pesquisa, a emissora II teve maior audiência na capital: a) A b) B c) C d) D e) E

19. Considere as matrizes A = (aij)4×3, onde aij = 2i + j e B = (bij)3×4, onde bij = i2. Sabendo que A ⋅ B = C, o elemento c23 da matriz C é: a) 80 b) 87 c) 92 d) 106 e) 119 TÓPICO 2: Operações com matrizes

Matemática e suas tecnologias

17. Um artesão fabrica bonecos utilizando peças acrílicas dos tipos A, B e C. O boneco Bolinha é montado com 3 peças do tipo A, 3 do tipo B e 4 do tipo C. O boneco Palitinho é montado com duas peças do tipo A, 3 do tipo B e 5 do tipo C. O boneco Borrachinha é montado com 4 peças do tipo A, uma do tipo B e 3 do tipo C. Existem dois fornecedores (I e II) dessas peças que atendem ao artesão para que ele fabrique os bonecos. No fornecedor I, as peças do tipo A, B e C custam, respectivamente, em reais, 1, 2 e 3. No fornecedor II, as peças do tipo A, B e C custam, respectivamente, em reais, 2, 2 e 2. A matriz que fornece o preço de cada boneco, usando peças de cada um dos fornecedores, é:

Nível 4

Nível 2 Texto para a próxima questão:

1  1 1

Arquimedes, candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUC-RS para colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade entre Engenharia e Matemática.

20. (PUC-RS) Numa aula de Álgebra Matricial dos cursos de Engenharia, o professor pediu que os alunos resolvessem a seguinte questão:

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

5


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

1 2   , então A2 é igual a Se A =  3 4    a)

1 3    2 4   

b)

1 4    9 16  

c)

 7 10    15 22   

d)

 5 11   11 25  

e)

5 5   25 25  

21. (UFSM) Ao comprar os produtos necessários para fazer uma feijoada, uma dona de casa resolveu pesquisar preços em três supermercados. A matriz P dos preços está representada a seguir. A primeira linha mostra os preços, por kg, do supermercado A; a segunda, do supermercado B; a terceira, do supermercado C. Esses preços são relativos, respectivamente, aos produtos feijão, linguiça, tomate e cebola. 5    2, 05 9, 89 2, 48 1,78  3    Q =   P =  1, 93 11, 02 2, 00 1, 60 2   1,70 10, 80 2, 40 1, 20  3     Sabendo que a matriz Q representa as quantidades necessárias, respectivamente, de feijão, linguiça, tomate e cebola, a dona de casa economizará mais se efetuar as compras no supermercado: a) A b) B c) C d) A ou B indiferentemente e) A ou C indiferentemente

Matemática e suas tecnologias

22. (UPE) Dan, Rebeca e Eduarda foram a uma certa loja e cada qual comprou camisas escolhidas entre três tipos, gastando, nessa compra, os totais de R$ 134,00, R$ 115,00 e R$ 48,00, respectivamente. x 0 3 4      Sejam as matrizes: A =  1 0 5  e X =  y  , tais que os ele2 1 0  z     mentos de cada linha de A correspondem às quantidades dos três tipos de camisas compradas por Dan (1ª linha), Rebeca (2ª linha) e Eduarda (3ª linha); os elementos de cada coluna de A correspondem às quantidades de um mesmo tipo de camisa; os elementos de X correspondem aos preços unitários, em reais, de cada tipo de camisa.

6

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

Nessas condições, o total a ser pago pela compra de uma unidade de cada tipo de camisa é: a) R$ 53,00 b) R$ 55,00 c) R$ 57,00 d) R$ 62,00 e) R$ 65,00

23. (UEL) Conforme dados da Agência Nacional de Aviação Civil (ANAC), no Brasil, existem 720 aeródromos públicos e 1814 aeródromos privados certificados. Os programas computacionais utilizados para gerenciar o tráfego aéreo representam a malha aérea por meio de matrizes. Considere a malha aérea entre quatro cidades com aeroportos por meio de uma matriz. Sejam as cidades A, B, C e D indexadas nas linhas e colunas da matriz 4×4 dada a seguir. Coloca-se 1 na posição X e Y da matriz 4×4 se as cidades X e Y possuem conexão aérea direta; caso contrário, coloca-se 0. A diagonal principal, que corresponde à posição X = Y, foi preenchida com 1. A B C D

A 1  0  0  1

B 0 1 1 1

C 0 1 1 0

D 1  1  0  1

Considerando que, no trajeto, o avião não pode pousar duas ou mais vezes em uma mesma cidade nem voltar para a cidade de origem, assinale a alternativa correta. a) Pode-se ir da cidade A até B passando por outras cidades. b) Pode-se ir da cidade D até B passando por outras cidades. c) Pode-se ir diretamente da cidade D até C. d) Existem dois diferentes caminhos entre as cidades A e B. e) Existem dois diferentes caminhos entre as cidades A e C.

24. Considere a seguinte operação entre matrizes: 6 2 −6  ⋅ K =   4 3  1  A soma de todos os elementos da matriz K é: a) 1. b) 3. c) 4. d) 7.

25. (PUC-RS) Dada a matriz 1 1  A= 1 1   e a função f definida no conjunto das matrizes 2×2 por f(x) = x2 - 2x, então f(A) é: -1 -1  a)   -1 -1


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

29. (UEA) Dada a matriz B = (bij)3×2, onde bij = i - 2j + 2, e sua transposta Bt, seja a matriz M = B ⋅ Bt. A soma dos elementos da diagonal principal da matriz M é igual a a) -16. b) -8. c) 0. d) 8. e) 16.

 0 0  b)   0 0   1 c) =  A 1  2 A d) =  2

1  1 2  2 

3 3  e)   3 3

Nível 3

26. (PUC-SP) O elemento c22 da matriz C = A ⋅ B, onde

a) b) c) d) e)

0 2 6 11 22

1  A= 5  −1

7  2 3 4  8 6 7 8 e B =   5 0 0 1  4 

30. (UFPE) Um método para enviar mensagens codificadas e de difícil decifração é o seguinte: a cada letra do alfabeto associa-se um número, como na tabela a seguir.

1 2  1 1  , é: 0 0 0 1 

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

L

Y

M

Z

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

4 − 3x 7 − x     3 − 4    − 10 , B = 5 27. Considere as matrizes A =  0 0 ,    − 5 − 4 2 2     0 10   x x + 1  e D = 10 5 . O valor de x para que se tenha C =   1 x − 1  4  1 A + B ⋅ C = D é: a) b) c) d) e)

A

Para codificar uma palavra de seis letras, dividimos a palavra em dois grupos de três letras, preservando a ordem, e substituímos as letras pelos números correspondentes na tabela, obtendo uma matriz 3×1 para cada grupo. Em seguida, multiplicamos esta matriz pela matriz seguinte 1 1 1   1 0 1   1 1 0

0 2 6 11 22

28. (UEA) Um lojista está fazendo um orçamento sobre o pre-

P M G

Tamanhos

12 18 24

Loja 1

30

P

A = 10 16 23

Loja 2

B = 20

M

13 15 20

Loja 3

50

G

A diferença entre o maior e o menor orçamento é a) R$ 80,00. b) R$ 150,00. c) R$ 230,00. d) R$ 290,00. e) R$ 320,00.

Matemática e suas tecnologias

ço de determinada camiseta. A matriz A representa o preço, em reais, dessa camiseta de acordo com o tamanho: pequeno (P), médio (M) ou grande (G), em três lojas diferentes, e a matriz B representa a quantidade de camisetas, por tamanho, que o lojista pretende comprar

Finalmente, substituímos os inteiros da matriz obtida pelas letras correspondentes na tabela e esta é a codificação do grupo de três letras. Por exemplo, se o grupo ordenado de letras for BEM, temos que a matriz correspondente é  2     5  13 que, quando multiplicada pela matriz acima, resulta 20   , 15  7  que corresponde à codificação TOG. Suponha que a codificação de certa palavra foi ZUWTNO. Sendo assim, a palavra original encontrada foi: a) RECIFE b) MACEIÓ c) OLINDA d) MANAUS e) PARANÁ

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

7


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

31. A matriz C fornece, em reais, o custo das porções de arroz, carne e salada consumidas num restaurante. A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada consumidas na composição dos pratos tipo P1, P2 e P3 desse restaurante. 20 arroz   C = 15 carne    7  salada

 arroz carne salada   2 1 1  prato P1  P =  1 2 1  prato P2    2 2 0  prato P3 

A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P1, P2 e P3, está indicada na alternativa: 62 a) 57   70

Cada letra do alfabeto é substituída pelo número de sua posição, assim como mostrado na imagem a seguir: 1

2

A B •

3

4

8

9 10 11 12 13 14 15 ... 26

5

6

7

C D E

F

G H I

J

K

L M N O ... Z

Obtendo-se os números da mensagem, forma-se a matriz  1ª LETRA M= 3 ª LETRA

2 ª LETRA  . 4 ª LETRA 

Por exemplo, se 1 , 1

a mensagem é BALA. Para maior segurança na comunicação entre os agentes, cada mensagem de 4 letras é enviada na forma M ∙ A, em que 2 − 1 . A= 1 1 

 9    c) 11    4 

Nesse sentido, se um agente recebeu a matriz 21 3   ,  7 − 2

2   d) 6   8

a mensagem codificada é a) SAIA. b) SUBA. c) MATE. d) FICA. e) BATA.

2   e) 2   4 

32. (UESC) O fluxo de veículos que circulam pelas ruas de mão dupla 1, 2 e 3 é controlado por um semáforo, de tal modo que, cada vez que sinaliza a passagem de veículos, é possível que passem até 12 carros, por minuto, de uma rua para outra. Na matriz  0 90 36   S = 90 0 75 ,   36 75 0 

Matemática e suas tecnologias

2 M= 12

4   b) 4   4 

cada termo sij indica o tempo, em segundos, que o semáforo fica aberto, num período de 2 minutos, para que haja o fluxo da rua i para a rua j. Então, o número máximo de automóveis que podem passar da rua 2 para a rua 3, das 8h às 10h de um mesmo dia, é: a) 432 b) 576 c) 900 d) 1.080 e) 1.100

8

33. Os agentes de um serviço secreto recebem e mandam mensagens codificadas utilizando os seguintes critérios:

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

34. Sendo  a b  A= c d uma matriz quadrada de ordem 2, a soma de todos os elementos da matriz M = A ⋅ At é dada por: a) a2 + b2 + c2 + d2 b) (a + b + c + d)2 c) (a + b)2 + (c + d)2 d) (a + d)2 + (b + c)2 e) (a + c)2 + (b + d)2

35. Sabendo que a inversa de uma matriz A é  3 − 1  e A −1 =  −5 2    que a matriz X é solução da equação matricial X ⋅ A = B, em que B = [8 3], podemos afirmar que a soma dos elementos da matriz X é: a) 7. b) 8. c) 9. d) 10. e) 11.


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

36. (FUVEST) Uma matriz real A é ortogonal se

A ⋅ A t = I , onde t A ⋅ A = I I indica a matriz identidade e indica a transposta de A. 1   x   é ortogonal, então x2 + y2 + z2 é igual a: Se A = 2    y z  a)

1 4

z  18 26 a ⋅ d)   =   w  12 18  b

z  26 4  a ⋅ e)   =   w  62 10 b

( 3) 4 7 c) 4 b)

d)

z   32 64  a ⋅ c)   =   w  128 256 b

40. (UEA) Considere as matrizes

( 3)

a   5    A = (aij)2×3, com aij = i , B =   e C = b 2   c  j

2

3 e) 2  A = (a ) , a = ij ij 4 X3 ij

37. Sejam as matrizes a seguir  Se C = A ⋅ B, então C22 vale: a) 3 b) 14 c) 39 d) 84 e) 258

i B = (bij)3x 4 , bij = j

.

com a, b e c números reais. Sabendo que A ⋅ C = B e que b + c = 0, o valor de a ⋅ b ⋅ c é igual a a) -40. b) -20. c) -10. d) 0. e) 5.

41. (UEA) Considere as matrizes −b 1 a    1  b    e C =  2 A = 2 − 2, B =  −1 − 2    1 3 1 

38. (UNICAMP) Sendo a um número real, considere a matriz 2017

Então, A

é igual a

1 a  . 0 − 1

1 0 . a)  0 1  1 a . b)  0 − 1 1 c)  1

1 . 1

 d) 1 0

a2017 .  − 1 

− 4   a − 1, b 

tais que A ⋅ B = 2 ⋅ C. O valor é ba é a) 28. b) 30. c) 32. d) 34. e) 36.

Nível 4

 x  2 3 a   =  ⋅  y  5 7 b e

z  6 5 a ⋅ a)   =   w  11 7  b z  −2 1 a ⋅ b)   =   w  −1 7 b

 x´  cos α -senα   x   = ⋅   y´  senα cos α   y       

z  4 2  x    =  ⋅  w  6 0   y 

  qual das alternativas a seguir apresenta a matriz z  em  w  a função da matriz   ? b

Matemática e suas tecnologias

39. De acordo com as equações matriciais

42. (ESPM) A rotação de um ponto P(x, y) do plano cartesiano em torno da origem é um outro ponto P’(x’, y’), obtido pela equação matricial:

onde α é o ângulo de rotação, no sentido anti-horário. Desse modo, se P = a) (−1, 2)

(

b) −1, 3 c)

(

)

3, 1 e α = 60º, as coordenadas de P’ serão:

)

(0, 3 )

d) (0, 2) e) (1, 2)

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

9


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

43. Para acessar suas contas correntes via Internet, os clientes de um banco devem informar x: número do banco; y: número da agência; r: número da conta corrente; s: senha de acesso. Para garantir a segurança desses dados, que trafegam pela Internet, a matriz de informação  x y  2 -3 I =   é pré-multiplicada por A =  .  r s  0 5  Assim, a informação que trafega pela rede é a matriz B, tal que B = I ⋅ A. Se um cliente digitar x = 1, y = 57, r = 819 e s = 1.346, qual será a informação que trafegará pela Internet?  2 282   a) B =  1638 4273  10 228   b) B =  1368 4137  20 230   c) B =  1502 4158  20 230   d) B =  1682 3860  2 290   e) B =  1640 4276

44. (UECE) Se o produto das matrizes  x 1 1 p  eK=  M= q 1  1 y  satisfaz a condição M ⋅ K = K ⋅ M, então a expressão pq - xy é igual a a) p2 - x2 ou -xy. b) p2 + x2 ou -xy. c) p2 - q2 ou -x2.

TÓPICO 3: Matriz inversa Nível 2

46. (EFOMM) Determine uma matriz invertível P que satisfaça 1 − 2 5 0  .  , sendo A =  a equação P-1 ⋅ A =  0 − 2 3  3 5 10    3 9 a) P =   2 − 2   9 3 2 10   b) P =  6 − 15 c) P =

 2 2 − −   9 3 d) P =   10 5  −   3  9 1   1  5 e) P =   3 − 3   2 5

47. (EFOMM) Determine uma matriz invertível P que satisfaça a 5 0   1 −2   sendo A =  . equação P−1 ⋅ A =   0 −2  3 3       5 10      a) P =  3 9  2 2 −    3 9  2 10   b) P =  6 −15  

Matemática e suas tecnologias

d) p2 + q2 ou -x2.

45. Sejam A, B, X e Y matrizes quadradas de ordem 2 tais que, 1  0 2 2  eB =  . A= 3 − 2 −1 4  A soma dos determinantes das matrizes X e Y sabendo que 2X - 2Y = A ⋅ B e -X + 2Y = A é igual a: a) -4 b) -72 c) -144 d) -24 e) -102

1 2 10   10 3 − 3 

c) P =

1 2 10  10 3 −3

 2 2 − −   9 3 d) P =    10 5  −   9 3  1   1  5  e) P =   3 3 −    5 2 

48. (FGV) Seja A = (aij)22 uma matriz tal que −ji , se i = j  . A ij =  (−i)i , se i ≠ j 

10

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

A inversa da matriz A, denotada por A-1 é a matriz: a)

 1  −2   2     1  1 −   2 

b)

 −2     −1 

1  2  1  2 

c)

 −2     −1 

1  2  1  2 

d)

 1 2 − −   6 3    1 2    3   6

e)

Nível 4

51. (UEL) Leia o texto a seguir. Segundo o Sistema de Informações sobre Mortalidade (SIM), do Ministério da Saúde, em 2014 houve 59.627 homicídios no Brasil, o que representa 4,9% do total de óbitos do mesmo ano. Restringindo esses dados ao sexo masculino, obtemos que 7,9% desse novo total de óbitos são homicídios. De forma análoga, se restringirmos os dados ao sexo feminino, observamos que aqueles causados por homicídio representam 0,9% desse total. (Adaptado de: Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada e Fórum Brasileiro de Segurança Pública. Atlas da Violência 2016. p. 6).

 2 1 − −   3 6    1 1 −   6   3

Um pesquisador decide representar as informações presentes no texto através do uso de incógnitas de acordo com a tabela a seguir.

Nível 3

49. Se A e A representam, respectivamente, a transposta e a inversa da matriz T

É(são) sempre VERDADEIRA(S) a) apenas I. b) apenas III. c) apenas I e II. d) apenas I e III. e) todas.

-1

2 A=  4

3 , 8

então o determinante da matriz B = AT - 2A-1 é igual a:

97 d) 2 e) 62

50. (ITA) Considere as seguintes afirmações a respeito de matrizes A de ordem n × n inversíveis, tais que os seus elementos e os de sua inversa sejam todos números inteiros: I. |det(A)| = 1 II. AT = A-1 III. A + A-1 é uma matriz diagonal.

Significado

M

Número de óbitos do sexo masculino

F

Número de óbitos do sexo feminino

m

Número de homicídios do sexo masculino

f

Número de homicídios do sexo feminino

Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a forma matricial do sistema de equações lineares que representa as informações contidas no texto.  0   49   3 a) 10  79  3 10   0   0   49  10 2 b)   79  2 10   0 

0 49 103 0 9 103 0 49 10 2 0 9 102

1    0 0   M 59.627        F  59.627     ⋅   =  −1 0  m  0        f   0   0 −1  1

Matemática e suas tecnologias

−111 2 −83 b) 2 c) -166 a)

Incógnita

1 1   9.627 0 0  M 59         F  59.627   ⋅   =  1 0 m  0        f   0   0 1 

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

11


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

 1 1 0 0   M 59.627       0, 049 0, 049 0 0   F  59.627 c)   ⋅   =   0, 079 0 −1 0  m  0           0 0, 09 0 −1  f   0   0   49  103  d)   0    0 

0

1 49

0

103

−1

1

9

0

103

0  0  4 , 9 1 e)   0 0   0 0, 9

cujos determinantes são, respectivamente, iguais a 63 e 49. Sendo y = x + 3, então a soma dos valores de x e y é a) 7. b) 8. c) 10. d) 12.

1    0   M 59.627        F  59.627      ⋅ = 79      m  0    3    10       f   0   1  

54. (ESPCEX-AMAN) Seja x um número real, I a matriz identidade de ordem 2 e A a matriz quadrada de ordem 2 cujos elementos são definidos por aij = i − j. Sobre a equação em x definida por det(A - x ⋅ I) = x + det A, é correto afirmar que: 1 a) as raízes são 0 e . 2 b) todo x real satisfaz a equação. c) apresenta apenas raízes inteiras. d) uma raiz é nula e a outra, negativa. e) apresenta apenas raízes negativas.

1 1   M   59.627       0 4, 90   F   59.627  = ⋅ 1 −7, 9   m   0       0 1   f   0 

55. (UPE/ADAPTADO) Considerando as matrizes, julgue os itens a seguir:

 2 1 1 −1  , então MNT - M-1 N é  e N=  −1 3  2 0    

52. (ITA) Se M =  igual a

3 5  −   2 2 a)   5 3 −    2 2 

I. II. III. IV. V.

3 1  −   2 b)  2  7 5 −    2 2 

Matemática e suas tecnologias

3 5  −   2 d)  2   13 3 −    2 2 

56. (UDESC) Considerando que A é uma matriz quadrada de ordem 3 e inversível, se det(3A) = det(A2 ), então det(A) é igual a: a) 9 b) 0 c) 3 d) 6 e) 27

3 11  −  2 e)  2   13 3 −   2   2

TÓPICO 4: Determinantes Nível 2

53. Sejam as matrizes 3  A=x  −1

det (M) = det (N). det (M) + det (N) = 1. det (M) + det (N) = 0. det (2.M) = 8. det (M). det (M.N) = [det (M)]2.

São verdadeiros os itens: a) I, IV e V b) I, II e III c) III e IV d) IV e V e) I, II, III, IV, V

3 11  −  2 c)  2   13 5 −   2   2

12

 850 750 120  −200 18 81 324     M = −200 181 324 e N =  850 750 120     190 320 450  190 320 450

1 4 6

6 y 2   4 1 e B = 1   y   x − 1

2  3  1

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

57. Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos da diagonal principal. Supondo que o traço da matriz quadrada A, de ordem 3, seja 11, e o determinante dessa matriz 1 2 3    A = 0 x z    0 0 y 


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

seja 16, os elementos x e y da matriz valem a) 5 e 5 b) 4 e 4 c) 2 e 8 d) 1 e 9

é nulo, então: a) x = -3 7 b) x = − 4

58. Em uma universidade, há uma disciplina optativa com gru-

d) x = 0 7 e) x = 4

c) x = -1

pos de estudo que pesquisam vários aplicativos matemáticos para aplicações em diferentes áreas. Atualmente, um dos grupos está desenvolvendo um aplicativo que permite ao usuário visualizar padrões geométricos, estabelecendo suas conclusões. y

1 x  2 e B =  as matrizes A =  5 1  4

1 , a soma das x 

raízes da equação det (A x B) = -28 é: P2

4 3

61. Dadas

a)

5 11

b)

3 11

P1

P3

1 1

3

5

P2 = (x2,y2) e P3 = (x3,y3), por meio do determinante da matriz y1 y2 y3

1 1. 1

A partir dessas informações, pode-se afirmar que o valor da área da figura apresentada é a) 2 cm2. b) 4 cm2. c) 7 cm2. d) 9 cm2. e) 15 cm2.

x 2 1    A =  1 -1 1 2 x -1 3  

d) −

11 3

e)

11 5

Nível 3  3 a12  62. (UPE) Seja A = 10 a22   5 a32

7   a23  uma matriz tal que a  a33 

soma dos números em cada linha, coluna e diagonal é sempre a 1  mesma. Por isso, o determinante da matriz  ⋅ A é igual a  2  a) 30. b) 20. c) 54. d) 45. e) 40.

Matemática e suas tecnologias

59. Seja A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = |i - j|. Então, o determinante de A é: a) Um número ímpar b) Um múltiplo de 5 c) Um número maior que 6 d) Um divisor de 8 e) Um número menor que 3 60. (UEL) Se o determinante da matriz:

4 5

x

O grupo de pesquisa está testando o cálculo da área 1 a = . det D de um triângulo, em centímetros quadra2 dos, considerando as coordenadas dos vértices P1 = (x1, y1), x1 D = x2 x3

c) −

63. Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de 500 crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se que o peso médio p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A, em que: 1 −1 1 3 0 −x 2 0 2 3 Com base na fórmula p(x) = det A, determine o peso médio de uma criança de 7 anos e a idade mais provável de uma criança cujo peso é 30 kg.

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

13


CAPÍTULO 1 | CAPÍTULO 2

a) b) c) d) e)

22 kg e 11 anos 14 kg e 10 anos 16 kg e 12 anos 21 kg e 11 anos 20 kg e 10 anos

a) b) c) d) e)

64. (CFT-MG) Na matriz real A, ilustrada a seguir, x1 e x2 são raízes da função quadrática representada pela parábola no gráfico.

67. (PUC-PR) Considere as seguintes desigualdades: I.

2 2 3 4 > -1 4 1 5

II.

3 -6 4 7 < 5 -2 -1 5

III.

8 1 9 -2 > -2 -6 -1 -7

y x 5  A= 1 3 x  2 

0

1

x

3

O valor de det(A) é: a) -12 b) -8 c) 8 d) 12 e) 15

65. Seja a matriz

Matemática e suas tecnologias

É correto afirmar que: a) São verdadeiras apenas as desigualdades I e II. b) São verdadeiras apenas as desigualdades II e III. c) São verdadeiras apenas as desigualdades I e III. d) As três desigualdades são verdadeiras. e) As três desigualdades são falsas.  

68. Sendo A = 20

1  A = a  c

a b 12

5   c   x + 5

Nível 4

66. Se a matriz é:  a 2a+1   b A =  4a  log (bc) 6 

1 2 −4 − 2 1 , então det  e C =  , B =  − 1 3 4   5 − 2

[(A + B)t ⋅ (B + C)t] é igual a: a) -256 b) 256 c) 96 d) -66 e) 66

em que a, b, c são constantes reais positivas e x é uma variável real. Considerando que, ordenadamente, as sequências de termos das duas primeiras linhas de A constituem progressões aritméticas, enquanto que as sequências de termos das duas primeiras colunas constituem progressões geométricas, então, se det A = 18, o valor de 30 ⋅ log8x a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

  (b − c)!  c   1

é simétrica, então indique o valor do determinante de A é: (sabe-se que a matriz simétrica é aquela em que At = A)

14

-15 -12 -10 -21 -65

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

 1 a   A = a−2 1 69. Seja  −3  2

− 2  1   1 

com a ∈ . Sabe-se que det(A2 -2A + I) = 16. A soma dos valores de “a” que satisfazem essa condição é: Observação: det(X) denota o determinante da matriz X a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 1 1 0  1 0 0 0 0 0       70. Se A = 0 1 0 , B = 0 1 0 , C = 0 0 0       0 0 1  0 0 1  0 0 0 2 e os inteiros x e y são tais que A + x ⋅ A + y ⋅ B = C, então a) x = 0 b) x = 1 c) x = -2 d) x = -1 e) x = 2


Capítulo 1 | Introdução ao estudo das matrizes

71. (MACKENZIE ) Se A é uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2

73. A toda matriz não nula [x y] corresponde um ponto P(x; y) no

com elementos

plano cartesiano, diferente da origem. Ao se multiplicar essa matriz pela matriz

cos(i + j)π , se i = j  aij =   sen π i, se i ≠ j

 0 1   -1 0, o ponto P:

então, qualquer que seja n, det A é sempre igual a: a) n 2 b) 1 c) 0 d) n2

a) b) c) d) e)

Sofre uma rotação anti-horária de 90º em torno da origem. É projetado ortogonalmente no eixo das abscissas. Sofre uma reflexão em torno do eixo das abscissas. Sofre uma reflexão em torno do eixo das ordenadas. Sofre uma rotação horária de 90º em torno da origem.

e) 2n2

72. Na igualdade: log3 [det ( 2 ⋅ A-1)] = log27 [det (2A)-1], A

é uma matriz quadrada de quinta ordem com determinante não nulo. Então, det A vale: a) 25 b) 210 c) 35 d) 310 e) 65

EXERCÍCIOS PROPOSTOS - CAPÍTULO 2 TÓPICO 1: Equação linear Nível 2

01. (UNICAMP) Recentemente, um órgão governamental de pesquisa divulgou que, entre 2006 e 2009, cerca de 5,2 milhões de brasileiros saíram da condição de indigência. Nesse mesmo período, 8,2 milhões de brasileiros deixaram a condição de pobreza. Observe que a faixa de pobreza inclui os indigentes.

30%

Pobreza

26%

Leia o texto e os gráficos:

21%

0%

Texto para a próxima questão:

Indigência

20%

10%

Matemática e suas tecnologias

O gráfico a seguir mostra os percentuais da população brasileira enquadrados nessas duas categorias, em 2006 e 2009.

Após determinar a população brasileira em 2006 e em 2009, resolvendo um sistema linear, verifica-se que: a) o número de brasileiros indigentes passou de 19,0 milhões, em 2006, para 13,3 milhões, em 2009. b) 12,9 milhões de brasileiros eram indigentes em 2009. c) 18,5 milhões de brasileiros eram indigentes em 2006. d) entre 2006 e 2009, o total de brasileiros incluídos nas faixas de pobreza e de indigência passou de 36% para 28% da população. e) o total da população brasileira em 2006 é igual ao total da população brasileira em 2009.

10% 7%

2006

2009

Segundo a pesquisadora e socióloga Patrícia Villen, o aumento crescente de imigrantes rumo ao Brasil entre 2006 e 2014 é nítido. Isso é explicado, em parte, pelo momento econômico do país. Nesse período, a taxa de desemprego no país passou de dois dígitos para apenas um, atingindo o menor índice da série histórica do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). Atualmente, com a crise econômica e os índices de desemprego em alta, o Brasil pode não parecer mais tão atraente, mas Villen destaca: “Comparado com o Haiti ou algum país africano, por exemplo, o Brasil se torna uma alternativa boa, principal-

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

15


Capítulo 2 | Sistemas lineares

mente diante de países europeus ou dos Estados Unidos, que têm políticas agressivas em relação aos imigrantes”. Número de imigrantes que chegaram ao Brasil, por ano 117 745 45 124 2006

2015

Ranking dos dez países com maior número de imigrantes que chegaram ao Brasil, em 2015 Haiti

14 535

Bolívia

8 407

Colômbia 6147

China

5 798

Portugal

4 861

Paraguai

4 841

Estados Unidos

4 747 4 598

Uruguai

4 403

Peru

<http://tinyurl.com/h6om6by> Acesso em: 03.02.2017. Adaptado.

02. (FATEC) Dentre os países listados no ranking, o número de imigrantes que chegaram ao Brasil provenientes de países localizados fora do continente americano é igual a a) 9.001. b) 9.608. c) 10.659. d) 15.406. e) 18.312.

03. (UFRGS) Para os jogos da primeira fase da Copa do Mundo de 2014 na sede de Porto Alegre, foram sorteados ingressos entre aqueles que se inscreveram previamente. Esses ingressos foram divididos em 4 categorias, identificadas pelas letras A, BV, C e D. Cada pessoa podia solicitar, no máximo, quatro ingressos por jogo. Os ingressos da categoria D foram vendidos somente para 1 residentes no país sede e custaram, cada um, do valor unitário 3 do ingresso da categoria C.

Matemática e suas tecnologias

04. Um grande número de problemas de Matemática está relacionado com sequências de símbolos. Esses problemas consistem em descobrir qual símbolo ocupa determinada posição em uma sequência dada. Certo dia, Luísa deparou com a seguinte sequência de símbolos:

7 653

Argentina

No quadro a seguir, estão representadas as quantidades de ingressos, por categoria, solicitados por uma pessoa, para cada um dos jogos da primeira fase, e o valor total a ser pago.

16

Se essa pessoa comprasse um ingresso de cada categoria para um dos jogos da primeira fase, ela gastaria, em reais: a) 860 b) 830 c) 800 d) 770 e) 740

Jogo

A

B

C

D

TOTAL (em R$)

1

2

0

2

0

1.060,00

2

1

3

0

0

1.160,00

3

0

1

3

0

810,00

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

Seu pai a esperou observar um pouco a sequência e lhe fez a seguinte pergunta: “Se essa sequência se repetir seguindo sempre o mesmo padrão, qual será o símbolo que ocupará a posição de número 90 764? A resposta de Luísa deve ser: a) Ω b) ∇ c) ∆ d) ∇ e) 

05. Leia o texto abaixo e observe a figura a seguir. Entenda seu hidrômetro! A leitura do hidrômetro é o registro do volume de água acumulado, que determina o consumo a ser cobrado em sua fatura mensal. Você pode aprender a ler facilmente seu hidrômetro da seguinte forma: – No ‘relógio’ do hidrômetro, você vai encontrar alguns números. Basta anotar os algarismos na cor preta. Os números em cinza claro representam a contagem de litros e não são considerados na medição. – Para saber quanto você consumiu no mês, em metros cúbicos (a unidade em que se mede a água), basta subtrair a leitura que você acaba de anotar da leitura do mês anterior, que você encontra em sua fatura de água.


Capítulo 2 | Sistemas lineares

Exemplo 3 534 (Leitura atual) 3 512 (Leitura anterior) Observe que, no exemplo dado anteriormente, não é apresentado o consumo em litros, mas somente o consumo em m3. O consumo em litros obtido a partir da diferença da leitura atual e da leitura anterior do exemplo é: a) 220 L b) 2 200 L c) 22 000 L d) 3 400 L e) 1 200 L

06. Maria foi ao mercado com R$ 80,00 na carteira. Chegando lá, descobriu que se quisesse comprar 5 quilos de arroz e 8 quilos de feijão faltariam R$ 3,50. Ela resolveu comprar 6 quilos de arroz e 6 quilos de feijão e ainda lhe restaram R$ 5,00. Qual o preço do quilo de arroz ? a) R$ 5,10 b) R$ 5,20 c) R$ 5,30 d) R$ 5,40 e) R$ 5,50 Nível 3 Texto para a próxima questão:

Lucy caiu da árvore

Uma das principais dúvidas sobre a vida de Lucy é a seguinte: ela já era um animal terrestre, como nós, ou ainda subia em árvores? Muitos ossos de Lucy foram encontrados quebrados, seus fragmentos espalhados pelo chão. Até agora, se acreditava que isso se devia ao processo de fossilização e às diversas forças às quais esses ossos haviam sido submetidos. Mas os cientistas resolveram estudar em detalhes as fraturas. As fraturas, principalmente no braço, são de compressão, aquela que ocorre quando caímos de um local alto e apoiamos os membros para amortecer a queda. Nesse caso, a força é exercida ao longo do eixo maior do osso, causando um tipo de fratura que é exatamente o encontrado em Lucy. Usando raciocínios como esse, os cientistas foram capazes de explicar todas as fraturas a partir da hipótese de que Lucy caiu do alto de uma árvore de pé, se inclinou para frente e amortizou a queda com o braço. Uma queda de 20 a 30 metros e Lucy atingiria o solo a 60 km/h, o suficiente para matar uma pessoa e causar esse tipo de fratura. Como existiam árvores dessa altura onde Lucy vivia e muitos chimpanzés sobem até 150 metros para comer, uma queda como essa é fácil de imaginar. A conclusão é que Lucy morreu ao cair da árvore. E se caiu era porque estava lá em cima. E se estava lá em cima era porque sabia subir. Enfim, sugere que Lucy habitava árvores. Mas na minha mente ficou uma dúvida. Quando criança, eu subia em árvores. E era por não sermos grandes escaladores de árvores que eu e meus amigos vivíamos caindo, alguns quebrando braços e pernas. Será que Lucy morreu exatamente por tentar fazer algo que já não era natural para sua espécie? Fernando Reinach. Adaptado de O Estado de S. Paulo, 24/09/2016.

07. (UERJ) Segundo os paleontólogos, Lucy tinha 1,10 m de altura e 30 kg de massa corporal, sendo possível calcular seu Índice de Massa Corporal (IMC). Considere a classificação a seguir: IMC

Classificação

< 16

Magreza grave

16 a 16,9

Magreza moderada

17 a 18,4

Magreza leve

18,5 a 24,9

Peso adequado

25 a 29,9

Pré-obesidade

30 a 34,9

obesidade leve

35 a 39,9

obesidade severa

≥ 40

Obesidade mórbida

Matemática e suas tecnologias

Conta a lenda que, na noite de 24 de novembro de 1974, as estrelas brilhavam na beira do rio Awash, no interior da Etiópia. Um gravador K7 repetia a música dos Beatles “Lucy in the Sky with Diamonds”. Inspirados, os paleontólogos decidiram que a fêmea AL 288-1, cujo esqueleto havia sido escavado naquela tarde, seria apelidada carinhosamente de Lucy. Lucy tinha 1,10 m e pesava 30 kg. Altura e peso de um chimpanzé. Mas não se iluda, Lucy não pertence à linhagem que deu origem aos macacos modernos. Ela já andava ereta sobre os membros inferiores. Lucy pertence à linhagem que deu origem ao animal que escreve esta crônica e ao animal que a está lendo, eu e você. Os ossos foram datados. Lucy morreu 3,2 milhões de anos atrás. Ela viveu 2 milhões de anos antes do aparecimento dos primeiros animais do nosso gênero, o Homo habilis. A enormidade de 3 milhões de anos separa Lucy dos mais antigos esqueletos de nossa espécie, o Homo sapiens, que surgiu no planeta faz meros 200 mil anos. Lucy, da espécie Australopithecus afarensis, é uma representante das muitas espécies que existiram na época em que a linhagem que deu origem aos homens modernos se separou da que deu origem aos macacos modernos. Lucy já foi chamada de elo perdido, o ponto de bifurcação que nos separou dos nossos parentes mais próximos.

massa (kg) Sabendo que IMC = e com base na tabela, a classi2 2 ficação de Lucy é: (altura) (m ) a) pré-obesidade b) magreza grave c) peso adequado d) obesidade mórbida

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

17


Capítulo 2 | Sistemas lineares

08. (IFSC) Um cinema recebeu R$ 663,00 (seiscentos e sessenta e três reais) pela venda de ingressos (entrada), durante uma única sessão. Nessa sessão, o número de ingressos vendidos para adultos foi o triplo do número de ingressos vendidos para crianças. O ingresso para adulto custava R$ 12,00 (doze reais) e o das crianças, R$ 3,00 (três reais). Considere que x seja o número de ingressos vendidos para os adultos e y, o número de ingressos vendidos para as crianças.

a) b) c) d) e)

6 5 4 3 2

10. (UFRGS) Uma pessoa tem, no bolso, moedas de R$ 1,00, de R$ 0,50, de R$ 0,25 e R$ 0,10. Se somadas as moedas de R$ 1,00 com as de R$ 0,50 e com as de R$ 0,25, têm-se R$ 6,75. A soma das moedas de R$ 0,50 com as moedas de R$ 0,25 e com as de R$ 0,10 resulta em R$ 4,45. A soma das moedas de R$ 0,25 com as de R$ 0,10 resulta em R$ 2,95. Das alternativas, assinale a que indica o número de moedas que a pessoa tem no bolso. a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 26 11. (UNICAMP) As companhias aéreas costumam estabelecer um limite de peso para a bagagem de cada passageiro, cobrando uma taxa por quilograma de excesso de peso. Quando dois passageiros compartilham a bagagem, seus limites são considerados em conjunto. Em um determinado voo, tanto um casal como um senhor que viajava sozinho transportaram 60 kg de bagagem e foram obrigados a pagar pelo excesso de peso. O valor que o senhor pagou correspondeu a 3,5 vezes o valor pago pelo casal.

Assinale a alternativa que expressa corretamente a equação que permite determinar o número de ingressos vendidos para crianças, bem como para os adultos. x = 3y  a)     12x + 3y = 663 x = 3y  b)     x + y = 663 x = y + 3 c)  x + y = 663

Matemática e suas tecnologias

x = 3y d)  12x + 3y = 663

x = 3y  e)     3x + 12y = 663

09. (IFAL) A taxa de inscrição para o cargo de Professor de Matemática do concurso público realizado pela IFAL é de R$ 80,00. Um candidato que se inscreveu para esse cargo foi ao banco para efetuar o pagamento da sua taxa de inscrição com notas de R$ 2,00, de R$ 5,00 e de R$ 10,00, totalizando 13 notas. Sabendo-se que a quantidade de notas de R$ 5,00 é igual à quantidade de notas de R$ 10,00, e que ele recebeu R$ 1,00 de troco, o número de notas de R$ 2,00 que ele utilizou para efetuar esse pagamento foi:

18

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

Para determinar o peso excedente das bagagens do casal (x) e do senhor que viajava sozinho (y), bem como o limite de peso que um passageiro pode transportar sem pagar qualquer taxa (z), pode-se resolver o seguinte sistema linear: x + 2z = 60  a) y + z = 60  3,5x - y = 0 x + z = 60  b) y + 2z = 60  3,5x - y = 0 x + 2z = 60  c) y + z = 60  3,5x + y = 0 x + z = 60  d) y + 2z = 60  3,5x + y = 0

Nível 4

12. (VUNESP) Uma lapiseira, três cadernos e uma caneta custam, juntos, 33 reais. Duas lapiseiras, sete cadernos e duas canetas custam, juntos, 76 reais. O custo de uma lapiseira, um caderno e uma caneta, juntos, em reais, é:


Capítulo 2 | Sistemas lineares

a) b) c) d) e)

15. (UPE) Uma lanchonete vende três tipos de doce, conforme a

11 12 13 17 38

tabela abaixo: Doce

Valor Unitário

Brigadeiro

R$ 1,00

Bem-Casado

R$ 2,00

Surpresa de Uva

R$ 3,00

13. (FATEC) Um engenheiro, estudando a resistência de uma viga de certo material, obteve os seguintes dados: Peso (em N)

Deformação (no ponto médio, em mm)

0

0

6

9

18

45

O engenheiro suspeita que a deformação D pode ser dada em função do peso x por uma expressão do tipo D( x) = ax 2 + bx + c. Usando os dados da tabela, ele escreve um sistema de equações lineares e determina os valores dos coeficentes a, b, c. O valor de a é: a) 9 b) 3 1 c) 3 1 d) 12 e) 36

TÓPICO 2: Sistema de equações lineares Nível 2

14. (UPE) No quadro a seguir, observa-se o balanço de vendas das três vendedoras da Perfumaria Soxeiro para os três perfumes mais vendidos no último sábado. Perfumes (nº de vidros)

Faturamento

Alfa

Beta

Gama

Amanda

7

3

4

1.950

Bruna

5

10

8

3.600

Carol

4

5

6

2.350

Total

16

18

18

7.900

16. (FATEC) Os números naturais de 0 a 3.000 foram dispostos, consecutivamente, conforme a figura, que mostra o começo do processo. 4

5ª linha

3

4ª linha

2

3ª linha 2ª linha 1ª linha 0

1

12 5

11 6

10 7

9

20 13

19 14

18 15

8

21 22

17 16

.... ....

Nessas condições, o número 2.017 está na a) 1ª linha. b) 2ª linha. c) 3ª linha. d) 4ª linha. e) 5ª linha.

17. (FGV-RJ) Prudêncio dirige seu carro a 60 km/h quando não está chovendo e a 40 km/h quando está chovendo. Certo dia, Prudêncio dirigiu seu carro pela manhã, quando não estava chovendo, e no final da tarde, quando estava chovendo. No total ele percorreu 50 km em 65 minutos. O tempo, em minutos, que Prudêncio dirigiu na chuva foi a) 40. b) 35. c) 30. d) 45. e) 25.

Matemática e suas tecnologias

Vendedora

Maria está nessa lanchonete e vai gastar R$ 10,00, comprando, pelo menos, um doce de cada tipo. Quantas são as possibilidades de compra de Maria? a) 10 b) 8 c) 6 d) 4 e) 3

18. Luiza e Tatiana são irmãs. Luiza, a mais velha, não querendo De acordo com esses dados, quanto custa um vidro do perfume Beta? a) R$ 100,00 b) R$ 150,00 c) R$ 160,00 d) R$ 180,00 e) R$ 200,00

expor sua idade, passou a usar expressões matemáticas para dizer quantos anos ela tem. Em determinado dia, perguntaram: — Luiza, você é quantos anos mais velha do que Tatiana? Luiza, fugindo da pergunta, respondeu: — A razão entre a diferença dos quadrados das nossas idades e a diferença das duas idades equivale a 50.

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

19


Capítulo 2 | Sistemas lineares

22. Em 2016, o Brasil foi sede das Olimpíadas e acabou sendo

Com essa resposta, Luiza quis dizer que: a) a diferença entre as suas idades é de 50 anos. b) a soma das idades das irmãs é de 50 anos. c) ela é 50 anos mais velha que Tatiana. d) se Tatiana tem 30 anos, ela tem 20. e) se Tatiana tem 50 anos, ela tem 70.

Nível 3

19. (COVEST) Um nutricionista pretende misturar três tipos de alimentos (A, B e C) de forma que a mistura resultante contenha 3.600 unidades de vitaminas, 2.500 unidades de minerais e 2.700 unidades de gorduras. As unidades por grama de vitaminas, minerais e gorduras dos alimentos constam da tabela a seguir: Vitaminas

Minerais

Gordura

40

100

120

B

80

50

30

C

120

50

60

A

Quantos gramas de alimento C devem compor a mistura ? a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

Matemática e suas tecnologias

20. (UFG) Para se deslocar de casa até o seu trabalho, um trabalhador percorre 550 km por mês. Para isso, em alguns dias, ele utiliza um automóvel e, em outros, uma motocicleta. Considerando que o custo do quilômetro rodado é de 21 centavos para o automóvel e de 7 centavos para a motocicleta, calcule quantos quilômetros o trabalhador deve andar em cada um dos veículos, automóveis e motos, respectivamente, para que o custo total mensal seja de R$ 70,00. a) 225 e 325 b) 200 e 350 c) 250 e 300 d) 325 e 225 e) 240 e 310 21. (COVEST) Maria e Joana foram a uma loja comprar um presente. Juntas, elas tinham 43 reais e 60 centavos e, depois de comprado o presente, restaram 16 reais e 10 centavos. Se Maria 3 2 gastou do seu dinheiro e Joana gastou do seu, quanto restou 3 5 a Maria depois da compra do presente? a) b) c) d) e)

20

R$ 9,00 R$ 9,10 R$ 9,20 R$ 9,30 R$ 9,40

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

palco da quebra de alguns recordes mundiais e olímpicos. O recorde na corrida de 200 m, de 19 segundos e 19 centésimos, foi batido em 20/8/2009 e pertence a Usain Bolt, considerado o homem mais rápido do mundo. Nesta olimpíada, o tempo de Bolt na corrida de 200 metros foi de 19 segundos e 78 centésimos. Com base nessas informações, para conseguir bater seu próprio recorde, quanto tempo ele deveria ter sido mais rápido? a) 60 segundos b) 30 centésimos c) 1 minuto d) 60 centésimos e) 2 minutos

23. (ESPM) Um garoto está construindo uma sequência de polígonos formados por 8 palitos de fósforo cada um, como mostra a figura abaixo:

Sabendo-se que ele dispõe de 225 palitos, ao formar a maior quantidade possível desses polígonos, o número de palitos restantes será igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Nível 4

24. Dois blocos idênticos foram posicionados em uma mesa de altura h, conforme indica a figura 1. Em seguida, a posição dos blocos foi modificada, conforme indica a figura 2.

87 cm h

57 cm h

figura 1

figura 2

Nas condições dadas, a altura h da mesa, em cm, é igual a: a) 85 b) 78 c) 76 d) 72 e) 66


Capítulo 2 | Sistemas lineares

25. Problemas matemáticos encontrados em diversas tábuas da

28. (CFT-MG) Um restaurante serve um prato especial com dois

Antiga Babilônia, sobretudo as registradas no texto cuneiforme intitulado Plimpton 322 (por volta de 1800 a.C.), mostram que essa civilização já conhecia o Teorema de Pitágoras e o utilizava para estudar os lados, a e b, de um retângulo, a sua área, A, e sua diagonal, d.

tipos de comida, A e B, cujas quantidades de carboidratos e gorduras por porção encontram-se indicadas na tabela a seguir.

d

b a

Uma instrução encontrada nesse texto cuneiforme é a seguinte: I. Multiplique a área por dois. II. Eleve ao quadrado a diagonal. III. Subtraia do valor encontrado em II o encontrado em I. IV. Extraia a raiz quadrada desse resultado e o divida por dois. V. Ache a quarta parte do valor encontrado em III, adicione a área e extraia a raiz quadrada do resultado. VI. Some o valor encontrado em IV com o encontrado em V. Efetuando o processo descrito acima, encontra-se uma expressão que pode ser escrita, em função de a e b, como: a) a b) ab c) a2 + b2 d) 3a − b 2 e)

6ab − a2 − b2

26. O

TÓPICO 3: Métodos de solução de um sistema linear Nível 2

27. O sistema:

a) b) c) d) e)

5x + 3y − 11z = 13   4 x − 5y + 4z = 18     9x − 2 y − 7z = 25

só apresenta a solução trivial. é possível e determinado não tendo solução trivial. é possível e indeterminado. é impossível. admite a solução (1; 2; 1)

Carboidratos (g)

Gorduras (g)

A

20

2

B

5

1

O nutricionista prepara esse prato de forma que contenha 60 g de carboidrato e 8 g de gordura. Se x e y são os números de porções A e B, respectivamente, usadas pelo nutricionista, então a solução desse problema é um par ordenado que pertence ao gráfico da função a) y = -3x + 1. b) y = 5x -6. c) y = 4x. d) y = x - 2. e) y = 3x + 4.

29. (UPE) Em uma floricultura, é possível montar arranjos diferentes com rosas, lírios e margaridas. Um arranjo com 4 margaridas, 2 lírios e 3 rosas custa 42 reais. No entanto, se o arranjo tiver uma margarida, 2 lírios e uma rosa, ele custa 20 reais. Entretanto, se o arranjo tiver 2 margaridas, 4 lírios e uma rosa, custará 32 reais. Nessa floricultura, quanto custará um arranjo simples, com uma margarida, um lírio e uma rosa? a) 5 reais b) 8 reais c) 10 reais d) 15 reais e) 24 reais

30. Jéssica comprou 4 camisetas de R$ 15,50 cada uma e pagou a loja com 4 notas de R$ 20,00. Assinale a alternativa que apresenta quanto ela recebeu de troco. a) R$ 5,00. b) R$ 6,00. c) R$ 8,00. d) R$ 15,00. e) R$ 18,00.

Matemática e suas tecnologias

preço por unidade de maçãs, peras e mangas é R$ 0,30, R$ 0,70 e R$ 0,50 respectivamente. Júnior comprou um total de 20 unidades dessas frutas e gastou R$ 12,00. Em quanto o número de pêras excede o número de maçãs. a) 08 b) 09 c) 10 d) 12 e) 15

Comidas

31. (IFPE) Uma indústria de refrigerante possuía, ano passado, 1.320 funcionários trabalhando 8 horas diárias e conseguia produzir 5.280 litros de refrigerante por dia. Devido à crise econômica em que o país se encontra, decidiu demitir 520 funcionários e diminuir a carga horária diária de trabalho para 6 horas, visando à diminuição de custos. Levando em consideração que todos os trabalhadores têm a mesma eficiência, quantos litros de refrigerante essa empresa passará a produzir por dia depois dessas mudanças? a) 1.200 b) 2.400 c) 2.000 d) 2.200 e) 1.600 2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

21


Capítulo 2 | Sistemas lineares

Campús

Modalidade

Curso

Barreiros

Proeja

Técnico em operador de computador – Noite

Barreiros

Integrado

Técnico em agropecuária – Integral

Recife

Proeja

Técnico em refrigeração e climatização – Noite

Recife

Subsequente

Técnico em refrigeração e climatização – Noite

Vitória de Santo Antão

Integrado

Técnico em agropecuária – Integral

Vitória de Santo Antão

Subsequente

Técnico em zootecnia – Manhã

Proeja

Técnico em agricultura – Noite

Proeja

33. Uma omelete feita com 2 ovos e 30 gramas de queijo contém 280 calorias. Uma omelete feita com 3 ovos e 10 gramas de queijo contém, também, 280 calorias. Quantas calorias possui um ovo? a) 80 b) 56 c) 84 d) 120 e) 150

36. IFPE) Use a tabela para responder à questão.

Vitória de Santo Antão

32. Em uma fazenda, é necessário transportar um número de sacos de soja utilizando carros que serão alugados para a prestação de serviço. O produtor calculou que, se transportasse 40 kg de soja em cada carro, sobrariam 4 carros daqueles que planejava alugar. Por outro lado, transportando 35 kg por carro, ainda sobrariam 10 kg de soja para serem transportados. Nessas condições, o número de carros que o produtor planeja alugar e a quantidade total, em quilogramas de soja a serem transportadas, são, respectivamente: a) 34 e 1 200. b) 34 e 1 500. c) 32 e 1 200. d) 32 e 1 500. e) 36 e 1 200.

Técnico em manutenção e suporte em informática – Noite

34. Um jogador de basquete fez o seguinte acordo com seu clube: cada vez que ele convertesse um arremesso, receberia R$ 10,00 do clube e, cada vez que ele errasse, pagaria R$ 5,00 ao clube. Ao final de uma partida em que arremessou 20 vezes, ele recebeu R$ 50,00. Pode-se afirmar que o número de arremessos convertidos pelo jogador foi: a) 0 b) 5 c) 10 d) 15 e) 20

35. (UFRGS) Rasgou-se uma das fichas onde foram registrados o Matemática e suas tecnologias

consumo e a despesa correspondente de três mesas de uma lanchonete, como indicado a seguir.

Nessa lanchonete, os sucos têm um preço único e os sanduíches também. O valor da despesa da mesa 3 é: a) R$ 5,50 b) R$ 6,00 c) R$ 6,40 d) R$ 7,00 e) R$ 7,20

22

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

Vitória de Santo Antão

Nível 3

Insc.

Vagas

144

40

209

140

322

40

448

40

415

120

136

40

28

32

78

32

Disponível em: <http://cvest.ifpe.edu.br/vestibular2017_1/arquivos/Concorrencia_sem_tipo_ de_cota.pdf>. Acesso: 02 maio 2017 (adaptado).

Com base nos dados apresentados na tabela mostrada, podemos afirmar que o total de candidatos inscritos no vestibular do IFPE 2017.1, modalidade proeja, foi de a) 472. b) 969. c) 572. d) 1.078. e) 948.

37. (ENEM) O governo de um estado irá priorizar investimentos financeiros, na área de saúde, em uma das cinco cidades apresentadas na tabela.


Capítulo 2 | Sistemas lineares

Cidade

Número total de habitantes

Número total de médicos

M

136.000

340

X

418.000

2.650

Y

210.000

930

Z

530.000

1.983

W

108.000

300

Total

1.402.000

6.203

A cidade a ser contemplada será aquela que apresentar a maior razão entre número de habitantes e quantidade de médicos. Qual dessas cidades deverá ser contemplada? a) M b) X c) Y d) Z e) W

38. Uma família fez uma pesquisa de mercado, nas lojas de eletrodomésticos, à procura de três produtos que desejava adquirir: uma TV, um freezer e uma churrasqueira. Em três das lojas pesquisadas, os preços de cada um dos produtos eram coincidentes entre si, mas nenhuma das lojas tinha os três produtos simultaneamente para a venda. A loja A vendia a churrasqueira e o freezer por R$ 1.288,00. A loja B vendia a TV e o freezer por R$ 3.698,00, e a loja C vendia a churrasqueira e a TV por R$ 2.588,00. A família acabou comprando a TV, o freezer e a churrasqueira nessas três lojas. O valor total pago, em reais, pelos três produtos foi de: a) 3.767,00 b) 3.777,00 c) 3.787,00 d) 3.797,00 e) 3.807,00 Nível 4

59 56 55 53 51

40. Uma dieta de emagrecimento atribui a cada alimento um certo número de pontos, que equivale ao valor calórico do alimento ao ser ingerido. Assim, por exemplo, as combinações abaixo somam, cada uma, 85 pontos: • • • •

4 colheres de arroz + 2 colheres de azeite + 1 fatia de queijo branco. 1 colher de arroz + 1 bife + 2 fatias de queijo branco. 4 colheres de arroz + 1 colher de azeite + 2 fatias de queijo branco. 4 colheres de arroz + 1 bife.

Note e adote:

1 colher de arroz

1 colher de azeite

1 bife

Massa de alimento (g)

20

5

100

% de umidade + macronutriente minoritário + micronutrientes

75

0

60

% de macronutriente majoritário

25

100

40

São macronutrientes as proteínas, os carboidratos e os lipídeos. Com base nas informações fornecidas, e na composição nutricional dos alimentos, considere as seguintes afirmações: I. A pontuação de um bife de 100 g é 45. II. O macronutriente presente em maior quantidade no arroz é o carboidrato. III. Para uma mesma massa de lipídeo de origem vegetal e de carboidrato, a razão 1,5.

Matemática e suas tecnologias

39. Suponha que no século XVI, (n - 23) anos antes do ano n2, Leonardo da Vinci pintou o famoso quadro Mona Lisa. Se Leonardo nasceu em 1452 e morreu em 1519, então quantos anos ele tinha ao pintar esse quadro?

a) b) c) d) e)

número de pontos do lipídio é número de pontos do carboidrato

É correto o que se afirmar em a) I, apenas. b) II, apenas. c) I e II, apenas. d) II e III, apenas. e) I, II e III.

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

23


Capítulo 2 | Sistemas lineares

TÓPICO 4: Sistemas lineares homogêneos Nível 2

41. (CEFET-MG) Analise o esquema seguinte.

a) b) c) d) e)

2 1 4 8 5

44. Uma pessoa é deixada num certo ponto sobre uma pista quadriculada, como mostra a figura, com um cartão contendo instruções para chegar do outro lado da pista. 1kg 1kg

1kg

Se os pratos da balança estão equilibrados, então a soma dos pesos dos objetos , e , em kg, é a) menor que 1. b) maior que 2,5. c) maior que 1 e menor que 1,5. d) maior que 1,5 e menor que 2. e) maior que 2 e menor que 2,5.

42. (ESPCEX - AMAN) A figura a seguir é formada por um dispositivo de forma triangular em que, nos vértices e nos pontos médios dos lados, estão representados alguns valores, nem todos conhecidos. Sabe-se que a soma dos valores correspondentes a cada lado do triângulo é sempre 24.

INSTRUÇÕeS Início: Ande 3 passos para frente Vire à direita Repita 2 vezes: Ande 2 passos para frente Vire à esquerda N = resto da divisão de 19 por 5 Se 19 é primo faça: Ande N passos para frente Senão faça: Ande N/2 passos para frente Vire à direita Ande 3 passos Fim

A B C D

Começando a partir do ponto indicado pela seta da área quadriculada, de frente para a pista, caminhando apenas sobre as linhas e seguindo as instruções fornecidas, responda qual a alternativa cuja letra corresponde ao ponto final desta trajetória (cada passo significa passar de um vértice ao outro de um mesmo lado do quadrado no qual se encontra). a) A. b) B. c) C. d) D. e) E.

Matemática e suas tecnologias

45. Na França, três destes turistas trocaram por euros (€), no mesmo dia, as quantias que lhes restavam em dólares, libras e reais, da seguinte forma: Assim, o valor numérico da expressão x − y ⋅ z é: a) −2 b) −1 c) 2 d) 5 e) 10

43. Uma balança de dois pratos está em equilíbrio, havendo num dos pratos bolinhas verdes com massas iguais e, no outro, bolinhas azuis com massas iguais, tais que a massa de uma bolinha verde é o dobro da massa de uma azul. Se passarmos 2 bolinhas verdes para o outro prato, quantas bolinhas azuis precisaremos colocar no prato das verdes para restituirmos o equilíbrio?

24

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

⇒ 1º turista: 50 dólares, 20 libras e 100 reais por 108,5 €. ⇒ 2º turista: 40 dólares, 30 libras e 200 reais por 152,2 €. ⇒ 3º turista: 30 dólares, 20 libras e 300 reais por 165,9 €. Calcule o valor de uma libra, em euros, no dia em que os turistas efetuaram a transação. a) 1,10 b) 1,20 c) 1,30 d) 1,40 e) 1,50


Capítulo 2 | Sistemas lineares

46. (IFPE) Bruno, aluno do curso de Agricultura do IFPE - Vitória, começou um estágio na sua área recebendo a remuneração mensal de um salário mínimo. Ele resolveu fazer algumas economias e decidiu poupar dois salários em 2017 e três salários em 2018. Se Bruno economizar exatamente o que planejou, tomando como base o salário mínimo, na imagem a seguir, podemos afirmar que ele poupará

a) b) c) d) e)

R$ 4.726,00. R$ 3.789,60. R$ 4.747,40. R$ 5.684,40. R$ 3.810,40.

47. A figura indica o empilhamento de três cadeiras idênticas e perfeitamente encaixadas umas nas outras, sendo h a altura da pilha em relação ao chão.

48. Os maias desenvolveram um sistema de numeração vigesimal que podia representar qualquer número inteiro, não negativo, com apenas três símbolos. Uma concha representava o zero, um ponto representava o número 1 e uma barrinha horizontal, o número 5. Até o número 19, os maias representavam os números como mostra a Figura 1:

Números superiores a 19 são escritos na vertical, seguindo potências de 20 em notação posicional, como mostra a Figura 2. Ou seja, o número que se encontra na primeira posição é multiplicado por 200 = 1, o número que se encontra na segunda posição é multiplicado por 20¹ = 20 e assim por diante. Os resultados obtidos em cada posição são somados para obter o número no sistema decimal. Um arqueólogo achou o hieróglifo da Figura 3 em um sítio arqueológico:

Matemática e suas tecnologias

A altura, em relação ao chão, de uma pilha de n cadeiras perfeitamente encaixadas umas nas outras será igual a 1,4 m se n for igual a a) 14. b) 17. c) 13. d) 15. e) 18.

Nível 3

Disponível em: http://mdmat.mat.ufrgs.br. Acesso em: 13 ago. 2012 (adaptado).

O número, no sistema decimal, que o hieróglifo da Figura 3 representa é igual a a) 279 b) 539 c) 2.619 d) 5.219 e) 7.613

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

25


Capítulo 2 | Sistemas lineares

49. (UEPA) A produção na atividade agrícola exige escolhas racionais e utilização eficiente dos fatores produtivos. Para administrar com eficiência e eficácia uma unidade produtiva agrícola é imprescindível o domínio da tecnologia e do conhecimento dos resultados dos gastos com os insumos e serviços em cada fase produtiva da lavoura. Um agricultor decidiu diversificar a plantação nas três fazendas que possui plantando feijão, milho e soja. A quantidade de sacos de 60 kg produzidos com as colheitas de feijão, milho e soja por fazenda e a receita total obtida em cada uma das fazendas estão registradas no quadro a seguir.

Fazendas

Quantidade de sacos de 60kg produzidos

Receita total por fazenda (em R$)

52. Para o almoço de domingo, Renata decide preparar uma salada de tomate, alface, rúcula e cenoura. Como não possui nenhum desses ingredientes, ela consulta os três mercadinhos perto de sua casa e obtém os seguintes preços: Mercadinho

A

B

C

Tomate (kg)

R$ 2,98

R$ 3,12

R$ 3,30

Milho

Soja

A

1.200

800

1.500

206.000,00

Alface (unidade)

R$ 1,23

R$ 1,19

R$ 1,45

B

800

600

1.200

151.000,00

Rúcula (unidade)

R$ 2,32

R$ 2,25

R$ 2,47

C

1.500

1.000

2.000

265.000,00

Cenoura (kg)

R$ 2,66

R$ 2,84

R$ 1,96

50. Em uma cidade, os ônibus de determinada empresa partem de um ponto A e chegam a um ponto B, onde todos os passageiros são obrigados a descer. Entre os pontos A e B, existem n pontos de parada para a subida e descida de passageiros. O preço da passagem dos ônibus dessa empresa, nessa cidade, é de R$ 3,70. Um dos ônibus da empresa, em determinada viagem, parte de A com 15 passageiros. Durante o trajeto, em cada um dos n pontos de parada, subiam quatro novos passageiros e saía um antigo passageiro. Ao chegar em seu destino B, havia 51 passageiros. O total arrecadado, nesta viagem, por esse ônibus foi a) R$ 55,50 b) R$ 133,20 c) R$ 177,60 d) R$ 188,70 e) R$ 233,10

Matemática e suas tecnologias

4.839 m 4.918 m 5.000 m 5.200 m 6.000 m

Feijão

Tomando por base as informações contidas no quadro, esse agricultor vendeu o saco de milho por: a) R$ 25,00 b) R$ 40,00 c) R$ 60,00 d) R$ 65,00 e) R$ 80,00

51. Os autódromos de Fórmula 1, geralmente, não apresentam uma extensão específica, e existe grande variação do comprimento das pistas. No GP (Grande Prêmio) de Cingapura, realizado em setembro de 2016, o alemão Nico Rosberg ganhou a corrida, efetuando 61 voltas completas no autódromo. Desde a largada até a bandeirada final, o alemão percorreu aproximadamente 300 km e mais uma volta. Qual o comprimento aproximado da pista do GP de Cingapura? 26

a) b) c) d) e)

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

Sabendo que, para a salada, Renata precisa de meio quilograma de tomate, uma unidade de alface, uma unidade de rúcula e meio quilograma de cenoura, analise as afirmações a seguir: I. Para gastar o menor valor possível, Renata precisa ir aos três mercadinhos. II. Se Renata decidir ir a apenas um dos três mercadinhos, aquele em que ela gastará menos é o mercadinho A. III. Se Renata desistir de comprar cenoura e decidir ir a apenas um dos três mercadinhos, aquele em que ela gastará menos é o mercadinho A. Podemos afirmar que está(ão) correta(s) a) todas as afirmações. b) apenas as afirmações I e II. c) apenas as afirmações I e III. d) apenas as afirmações II e III. e) apenas a afirmação I.


Capítulo 2 | Sistemas lineares

Nível 4

53. O indiano Bhaskara, que, no século XII, aprendeu matemática com o próprio pai, deixou muitas obras mundialmente conhecidas sobre matemática e astronomia. Em seu mais famoso livro, Lilavati, ele expõe problemas em forma de enigmas e versos. Em um desses, ele propõe: De um grupo de abelhas pretas, a raiz quadrada de metade foi para a árvore malati. De novo, oito nonos das abelhas foram para a árvore malati. Das duas restantes, uma foi apanhada numa flor de lótus, cuja fragrância a cativou; ele começou a lamuriar-se e a sua amada respondeu. Então, ó amada, quantas abelhas havia? Considerando o problema proposto por ele, é correto inferir que o número inicial de abelhas estava entre: a) 40 e 50. b) 50 e 60. c) 60 e 70. d) 70 e 80. e) 80 e 90

ANOTAÇÕES

Matemática e suas tecnologias

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

27


GABARITOS

GABARITOS Capítulo 1

Capítulo 2

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Matemática e suas tecnologias

01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37.

28

(e) (b) (d) (d) (e) (c) (d) (a) (a) (e) (d) (a) (d) (d) (e) (e) (a) (b) (c) (c) (c) (a) (a) (a) (b) (d) (b) (c) (e) (a) (a) (c) (d) (e) (a) (c) (d)

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73.

(b) (d) (b) (c) (d) (a) (a) (b) (e) (e) (e) (b) (a) (a) (c) (a) (c) (c) (e) (c) (b) (d) (e) (e) (c) (a) (a) (b) (a) (b) (d) (d) (c) (b) (a) (a)

2º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42.

(c) (c) (a) (e) (c) (e) (c) (d) (d) (a) (a) (c) (d) (b) (d) (b) (d) (b) (b) (a) (e) (d) (c) (d) (a) (c) (d) (b) (d) (e) (b) (a) (a) (c) (a) (c) (a) (c) (d) (e) (e) (a)

43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53.

(d) (b) (e) (c) (b) (d) (a) (e) (c) (b) (d)

Profile for Sistema GGE

SEPARATA 2º ANO MATEMÁTICA 1  

SEPARATA 2º ANO MATEMÁTICA 1  

Advertisement