Page 1

ANO

MATEMÁTICA 1 VOLUME 1

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS PALAVRA DO AUTOR


Matemática e suas tecnologias: Matriz de Referência (C1)

Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais. (H1)

Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações - naturais, inteiros, racionais ou reais.

(H2)

Indentificar padrões numéricos ou princípios de contagem.

(H3)

Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.

(H4)

Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.

(H5)

Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.


C

1

A PÍ LO TU

COMPETÊNCIAS:

C1

Conjuntos HABILIDADES:

H1, H2, H3, H4, H5

APRESENTAÇÃO Para o homem primitivo, contar significava fazer correspondência. Durante a caçada, por exemplo, para cada animal que conseguia abater, o caçador fazia uma marca em um pedaço de madeira. O homem primitivo contava dessa forma, estabelecendo uma correspondência entre os elementos de dois conjuntos distintos. No primeiro capítulo desta coleção, estudaremos a teoria dos conjuntos, que foi a primeira interação de comparação e de correspondência realizada entre elementos de um determinado grupo ou de um grupo diferente. Essas relações e operações entre os conjuntos (união, interseção, complementação) são a base do nosso capítulo e servirão como ferramenta essencial para entendermos outros assuntos, como, por exemplo, funções, lógica e probabilidade.


Capítulo 1 | Conjuntos

TÓPICO 1 • Noções básicas A teoria dos conjuntos foi desenvolvida por volta do ano 1872 pelo matemático alemão Georg Cantor (1845-1918) e aperfeiçoada no início do século XX por outros matemáticos. O que se estuda desse assunto no Ensino Médio é tão somente uma introdução elementar. Iremos nos contentar em associar que um conjunto é uma coleção de objetos chamados de elementos e que cada elemento é um dos componentes do conjunto. Exemplos: 1. Conjunto das espécies quanto aos reinos.

1.2 • Representação Geralmente, o conjunto é indicado por uma letra maiúscula e seus elementos por letras minúsculas. Podemos representar os conjuntos de três maneiras: 1. Por extenso (tabular): os elementos são colocados entre chaves e separados por vírgula ou por ponto e vírgula.

ANIMALIA

EUKARIA

A = {a, e, i, o, u}. B= {1,73; 2,94}.

FUNGI

PLANTAE

Shamuel Fiorentino

Exemplos: 1. Conjunto dos dias da semana = {domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado}. 2. Conjunto das letras da palavra Bernardo = {a, b, d, e, n, o, r}.

2. Por uma propriedade: os elementos são classificados de acordo com a característica que os definem.

PR

OT OC

A TIST OC OT R P

TIS T A

A = {x | x é vogal} = {a, e, i, o, u}. B = {x ∈  | 2 ≤ x ≤ 8} = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. 3. Pelo diagrama de Venn-Euler: os elementos são colocados internamente a uma linha fechada não entrelaçada.

PROKARYA

.e .a

B AC T É R I A S ( M o n e ra )

.o

.i .u

Imagem 1.1. Os cinco reinos

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Shutterstock.com

2. Conjunto das espécies quanto à sua classificação.

12

1.3 • Relação de pertinência A relação de pertinência indica se um determinado elemento pertence ou não a um determinado conjunto.

Elemento Imagem 1.2. Vertebrados

∈ ou ∉

Conjunto

Imagem 1.3. Invertebrados

1.1 • Conjunto É um conceito primitivo. Conceitos primitivos são aqueles que iniciam uma teoria e, por ainda não haver teoria, são aceitos sem definição. Na teoria dos conjuntos, os conceitos primitivos são: conjuntos, elementos de um conjunto e relação de pertinência entre elemento e conjunto. Portanto, conjunto exprime apenas uma ideia de coleção, de agrupamento de seus elementos.

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

.e .a .b

.o

.i .u

Exemplo: seja A = {a, e, i, o, u}; temos que u ∈ A (lê-se: u pertence a A), mas b ∉ A (lê-se: b não pertence a A).

1.4 • Tipos de conjuntos 1. Conjunto Finito: um conjunto é finito se for vazio ou se pudermos contar seus elementos um a um.


Capítulo 1 | Conjuntos

Exemplo: Conjunto das vogais A = {a, e, i, o, u} 2. Conjunto Infinito: é todo conjunto que não é finito. Exemplo: Conjunto dos números naturais

As imagens a seguir ilustram, em relação à quantidade de alunos, três situações: na (Imagem 1.4), temos um conjunto no qual a quantidade de alunos da sala representa o nosso conjunto universo. Já na (Imagem 1.5), destacamos exclusivamente um único aluno; portanto, com relação à quantidade de alunos, teremos um conjunto unitário. Por fim, na (Imagem 1.6), vemos a sala vazia, ou seja, a ausência de alunos, referindo-se, portanto, a um conjunto vazio. Shutterstock.com

Shutterstock.com

N = {0, 1, 2, 3, ...} 3. Conjunto Unitário: é aquele que apresenta apenas um elemento. Exemplo: A = {x | x é primo e par} = {2}

Imagem 1.4. Conjunto universo

Imagem 1.5. Conjunto unitário

Shutterstock.com

Conjunto Vazio: é o conjunto que não possui elementos. Representa-se por: { } ou ∅. Exemplo: A = {x | x ⋅ 0 = 5} = ∅

4. Conjunto Universo (U): é o conjunto de todos os possíveis valores que estão envolvidos num determinado estudo. Exemplo: A = {x ∈ N | x2 - x - 6 = 0} A = {3}

ESCLARECENDO Os elementos do conjunto A são os números naturais que satisfazem a condição de x2 - x - 6 = 0. Resolvendo a equação, encontramos os valores de x = -2 e x = 3. Como o conjunto universo é formado apenas por números naturais, então nosso conjunto A terá apenas um elemento, x = 3. Logo, A = {3}.

Imagem 1.6. Conjunto vazio

1.5 • Cardinalidade de um conjunto É o número de elementos de um conjunto. Representamos o número de elementos do conjunto A por n(A). Exemplos: A = {a, e, i, o, u}, então, n(A) = 5. B = {jan, fev, mar, ..., nov, dez}, então, n(B) = 12.

01. (PUC-RJ) Considere o conjunto A = {3, 5}. Sabendo que B ∩ A = {3} e B ∪ A = {1, 2, 3, 4, 5}.

02. (IFAL) Considerando-se os conjuntos A = {1, 2, 4, 5, 7} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8}.

Determine o conjunto B. a) B = {1, 2, 3} b) B = {1, 2, 4} c) B = {1, 2, 3, 4} d) B = {1, 2, 3, 5} e) B = {1, 2, 3, 4, 5}

Assinale a alternativa correta. a) B ⊃ A, logo A ∩ B = B b) A ∪ B = A, pois A ⊂ B c) A ∈ B d) 8 ⊂ B e) A ∪ B = B, pois A ⊂ B

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

EXERCITANDO EM AULA

13


Capítulo 1 | Conjuntos

03. (IFCE) Considere os conjuntos

b)

A = {0, 1, 3, 5, 9} B = {3, 5, 7, 9} X = {x ∈ N; x ≤ 13},

A

onde  é o conjunto dos números inteiros não negativos. O conjunto CXA∪B é igual a: a) {0, 1, 3, 5, 7, 8, 9} b) {2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13} c) {2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13} d) {2, 5, 7, 8, 12, 13} e) {0, 1, 7, 8, 9, 10, 12, 13}

04. (ESPM) Considere os seguintes subconjuntos de alunos de uma escola:

c)

B

C

A

d)

99 A: alunos com mais de 18 anos 99 B: alunos com mais de 25 anos 99 C: alunos com menos de 20 anos

B

Assinale a alternativa com o diagrama que melhor representa esses conjuntos:

C

B

C

A

e)

a)

C

A A

B

C

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

TÓPICO 2 • Subconjuntos

14

Dizemos que um conjunto B é subconjunto de um conjunto A quando todos os elementos de B forem também elementos de A. Sendo assim, dizemos que o conjunto B está contido no conjunto A, ou simplesmente que B é subconjunto de A. Para representarmos, usamos a notação B ⊂ A (lê-se: B está contido em A). Podemos interpretar também que o conjunto A contém o conjunto B. Sendo assim, usamos a notação A ⊃ B (lê-se: A contém B). Usando o diagrama de Venn, torna-se mais simples compreendermos esse conceito. A B

B

que B não é subconjunto de A, usamos a notação B ⊄ A (lê-se: B não está contido em A) ou A ⊄ B (lê-se: A não contém B). Usando o diagrama de Venn, torna-se mais simples compreendermos este conceito. A

B

B⊄A No diagrama a seguir, a região lilás representa os elementos comuns aos conjuntos A e B. A

B

B⊂A A⊄B Quando B não é um subconjunto de A, significa que nem todo elemento de B é também elemento de A, isto é, existe pelo menos um elemento de B que não é elemento de A. Para indicar

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

Observe que, existem elementos de A que não pertencem a B, representados pela área amarela. Assim, A ⊄ B.


Capítulo 1 | Conjuntos

Outros exemplos: a) Sendo B = {1, 2, 3} e A = {1, 2, 3, 4, 5}, temos B ⊂ A. b) Sendo B = {a, b, c} e A = {a, b, c}, temos A ⊂ B. c) Sendo Q o conjunto dos quadrados e R o conjunto dos retângulos, temos Q ⊂ R, pois todo quadrado é retângulo. d) Sendo B = { %, $, #, @ } e A = { ?, &, @ }, temos B ⊄ A.

A relação de inclusão indica se determinado conjunto está contido ou não em outro conjunto.

⊂ ⊄ ou ⊃ ⊄

A=B⇔A⊂BeB⊂A

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

2.1 • Relação de inclusão

Conjunto

Observação: Simbolicamente, a igualdade entre conjuntos fica definida como

Conjunto

2.2 • Conjunto das partes O conjunto das partes de um conjunto A, denotado por P(A), é aquele formado por todos os subconjuntos do conjunto A. Em outras palavras, é o conjunto dos subconjuntos de A. Exemplos: 1. Se A = {1, 2}, determine P(A). Solução: P(A) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}. 2. Se B = {1, 2, 3}, determine P(B). Solução: P(B) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.

ESCLARECENDO

2.3 • Igualdade de conjuntos

tamente os itens a seguir e marque V para as proposições verdadeiras e F para as falsas. a) 1 ∈ A (V) b) 1 ⊂ A (F) c) {1} ⊂ A (V) d) 3 ∈ A (F) e) {3} ∈ A (V) f) {3} ⊂ A (F) g) {{3}} ⊂ A (V) h) {3, 2} ∈ A (V) i) {3, 2} ⊂ A (F) j) ∅ ∈ A (F) k) ∅ ⊂ A (V)

02. Seja S = {dor, febre, enjoo} o conjunto de sintomas de uma determinada doença. Em geral, um portador dessa doença apresenta apenas um subconjunto não vazio de S. Assinale a única alternativa correspondente ao número de subconjuntos de S que poderão apresentar os pacientes portadores dessa doença. a) 7 b) 8 c) 16 d) 15 e) 14 Resolução: Existem 7 maneiras diferentes para o paciente apresentar algum tipo de sintoma. São elas: {{dor}, {febre}, {enjoo}, {dor, febre}, {dor, enjoo}, {febre, enjoo}, {dor, febre, enjoo}}, ou seja, de todos os 23 = 8 subconjuntos possíveis, apenas o conjunto vazio faria com o que o paciente não apresentasse qualquer sintoma. A resolução poderia ser feita apenas da forma 23 - 1 = 7.

Dois conjuntos A e B são iguais quando possuem os mesmos elementos. Dizemos, assim, que A = B. Exemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {3, 1, 2} e C = {1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3}. Como eles possuem os mesmos elementos, dizemos que A = B = C.

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

1. Entre os subconjuntos de um dado conjunto, estão o conjunto vazio e o próprio conjunto. Então: ∅ ⊂ A para qualquer que seja o conjunto A. A ⊂ A para qualquer que seja o conjunto A. 2. O número de subconjuntos de um conjunto A será dado por: n(P(A)) = 2n(A).

01. Dado o conjunto A = {1, {3, 2}, {3}, 4}, analise aten-

15


Capítulo 1 | Conjuntos

SAIBA MAIS 3. Quantos subconjuntos possui o conjunto P = {a, b, c}? Na formação de um subconjunto de P, para cada um dos elementos de P (a, b ou c) há duas possibilidades: ou o elemento pertencerá ao subconjunto a ser formado ou não pertencerá. Assim, um subconjunto de P estará determinado quando escolhermos, para cada elemento de P, uma das possibilidades: sim (S) ou não (N). Escolhida a alternativa S, o elemento fará parte do conjunto. Escolhida a alternativa N, o elemento não fará parte do conjunto. P = {a,

b,

4

N

S

S

{b, c}

5

S

N

N

{a}

6

N

S

N

{b}

7

N

N

S

{c}

8

N

N

N

Logo, podem ser formados 8 subconjuntos. Poderíamos calcular o número de subconjuntos de P simplesmente multiplicando os números de possibilidades de escolhas (S) sim ou (N) não de seus elementos: P = {a, número de possibilidades

c}

S N S N S N

b,

c}

S N S N S N 2 • 2 • 2

Assim, o número de subconjuntos de P é dado pelo produto: 2 · 2 · 2 = 23 = 8.

Temos, então, os seguintes subconjuntos: Quantidade

a

b

c

Subconjunto

1

S

S

S

{a, b, c}

2

S

S

N

{a, b}

3

S

N

S

{a, c}

Sendo assim, podemos generalizar: Seja P = {a1, a2, a3,..., an} um conjunto com n elementos. Para cada elemento temos duas opções (S) ou (N), logo o número de elementos dos subconjuntos de P será dado por 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ 2 = 2n.

EXERCITANDO EM AULA

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

05. (UEPG) Dados os conjuntos A = {x ∈  | -4 < x ≤ 0} B = {x ∈  | -1 ≤ x < 3}, analise a veracidade das afirmações:

16

I. II. III. IV. V.

0 ∈ (A ∩ B) {0, 1, 2, 3} ⊂ (A ∪ B) -3 ∈ (A - B) {1, 2} ⊂ (B - A) 1 ∈ (A ∩ B)

Está correto o que se afirma em: a) I, III e IV b) I, II e III c) III , IV e V d) I, II e IV e) II e V

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

06. (PUC-RJ) Sejam x e y números tais que os conjuntos {0, 7, 1} e {x, y, 1} são iguais. Então, podemos afirmar que: a) x = 0 e y = 5 b) x + y = 7 c) x = 0 e y = 1 d) x = 2 e y = 7 e) x = y 07. (UDESC) Seja X um conjunto com 6 elementos distintos e seja P(X) o conjunto das partes de X. O número de elementos de P(X) é: a) 62 b) 64 c) 6 d) 7 e) 63


Capítulo 1 | Conjuntos

TÓPICO 3 • Operações com conjuntos 3.1 • União ( ∪ ) Dados os conjuntos A e B, define-se o conjunto união como sendo aquele formado pelos elementos que pertecem ao conjunto A ou que pertencem ao conjunto B. Representamos por:

Propriedades da união A união de conjuntos obedece às seguintes propriedades: 1. Idempotente: A ∪ A = A 2. Elemento Neutro: A ∪ ∅ = A 3. Comutativa: A ∪ B = B ∪ A 4. Associativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

3.2 • Interseção ( ∩ )

A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}, (lê-se: A união B).

A união entre conjuntos pode ser representada pelos diagramas de Venn.

Dados os conjuntos A e B, define-se o conjunto interseção como sendo aquele formado pelos elementos que pertencem, simultaneamente, ao conjunto A e ao conjunto B. Representamos por:

Veja alguns exemplos: a)

A

B

A

b)

A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}, (lê-se: A interseção B).

B

A interseção entre conjuntos pode ser representada pelos diagramas de Venn. Veja alguns exemplos: A∪B

A∪B c)

B

d)

A

A

A

a)

B

A

b)

B

B

A∩B=∅ A∪B

c)

C

A∩B

B

d)

A

A

B

A∪B∪C O conjunto união está representado nas figuras anteriores pela área amarela. Na letra (a), os conjuntos A e B possuem alguns elementos em comum, o que não ocorre na situação da letra (b). Já na letra (c), A ∪ B = B, e, por fim, temos a união dos três conjuntos A, B e C no diagrama da letra (d).

A∩B=A C

A∩B∩C e)

f) B

A

B

Exemplo: sejam A = {0, 1, 3} e B = {3, 4, 5}, teremos: A ∪ B = {0, 1, 3, 4, 5}. B

A 4

0 3 1

5

Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos que pertencem somente ao conjunto A ou todos os elementos que pertencem somente ao conjunto B ou todos os elementos que pertencem aos dois conjuntos.

C

C

A∩C

B∩C

Nestes exemplos, o conjunto interseção está representado pelas áreas amarelas. a) Os conjuntos A e B não possuem elementos em comum, logo A ∩ B = ∅. b) A ≠ B, mas A e B possuem alguns elementos em comum, logo A ∩ B ≠ ∅.

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

A

17


Capítulo 1 | Conjuntos

c) A ⊂ B, logo A ∩ B = A.

A

Já nos diagramas das letras (d), (e) e (f) são mostradas as interseções A ∩ B ∩ C, A ∩ C e B ∩ C, respectivamente.

B

A

B

A

A

B

B

= A∪B

Desses diagramas, podemos concluir que: n(A ∪ B) = [n(A) - n(A ∩ B)] + n(A ∩ B) + [n(B) - n(A ∩ B)] Propriedades da Interseção A interseção entre conjuntos obedece às seguintes propriedades: 1. 2. 3. 4.

Idempotente: A ∩ A = A. Elemento Neutro: A ∩ U = A. Comutativa: A ∩ B = B ∩ A. Associativa: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

Portanto: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B). Observação1: No caso de A ∩ B = ∅ (conjuntos disjuntos), teremos: n(A ∪ B) = n(A) + n(B).

Exemplo: sejam A = {0, 2, 4, 5} e B = {4, 6, 7}, então A ∩ B = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B.

Observação2: No caso de termos 3 conjuntos, teremos: n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C).

3.4 • Diferença Observação: se A ∩ B = ∅, dizemos que os conjuntos A e B são disjuntos. A

B

Dados os conjuntos A e B, define-se o conjunto diferença (A - B) como sendo aquele formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A, mas não pertencem ao conjunto B. Representamos por: A - B = {x | x ∈ A e x ∉ B}, (lê-se: A menos B).

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

A∩B=∅

Propriedades da União e da Interseção A união e interseção de conjuntos estão inter-relacionadas pelas seguintes propriedades: 1. A ∪ (A ∩ B) = A. 2. A ∩ (A ∪ B) = A. 3. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). 4. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

3.3 • Número de elementos da união dos conjuntos A e B Seja n(A) o número de elementos de um determinado conjunto A e seja n(B) o número de elementos de um determinado conjunto B. Podemos, facilmente, determinar o número de elementos do conjunto A ∪ B, representado por n(A ∪ B), observando o diagrama a seguir:

Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo. Veja, nos diagramas a seguir, exemplos da diferença entre conjuntos que estão representadas pela região amarela. A

B

A−B A

A

B−A B

B A

B−A=A A B

B

A−B=∅ B

A

A−B C

(A ∪ B) − C

18

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1


Capítulo 1 | Conjuntos

Exemplos: a) Sejam A = {0, 5, 7} e B = {0, 7, 3}, temos que A - B = {5}. b) Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3}, então A - B = {4, 5}.

No diagrama, visualizamos melhor. Vejamos a seguir: A

a)

B

A-B

b)

A

B

A-B

EXERCITANDO EM AULA 08. (UFAL/MODIFICADO) O resultado de uma pesquisa realizada com alunos da Universidade Aberta do Brasil sobre a utilização dos navegadores Internet Explorer e Mozilla Firefox mostrou que, dos 200 alunos entrevistados, 160 usavam o primeiro e 115 usavam o segundo. Sabendo que todos os entrevistados usam pelo menos um dos navegadores, qual o número de alunos entrevistados que utilizam ambos os navegadores? a) 40 b) 45 c) 75 d) 85 e) 200

09. (PUC-RJ) Uma prova com duas questões foi dada a uma classe de quarenta alunos. Quinze alunos acertaram as duas questões, 20 acertaram a primeira e 22 acertaram a segunda questão. Quantos alunos erraram as duas questões? a) 15 b) 13 c) 22 d) 20 e) 12

Quantos alunos têm o curso? a) 120 alunos b) 250 alunos c) 350 alunos d) 420 alunos e) 620 alunos

11. Em uma prova de aptidão, 80 candidatos acertaram pelo menos um entre dois testes. Sabe-se que 70 candidatos acertaram o primeiro teste e 50 acertaram o segundo teste. Qual o número de candidatos que acertaram os dois testes?

20 30 40 50 60

12. Numa sala de aula há 35 meninos, 15 meninas que não usam óculos e 7 meninos que usam óculos. Se, ao todo, 18 alunos usam óculos, qual é a quantidade de alunos nessa sala? a) 60 b) 61 c) 62 d) 63 e) 64 13. Em uma sala de aula, 21 alunos falam francês, 20 não falam inglês, 32 só falam inglês e 45 só falam um desses dois idiomas. Qual o total de alunos da sala? a) 50 b) 60 c) 70 d) 80 e) 90

14. (UDESC) Uma empresa de telecomunicações oferece três serviços aos seus clientes: telefone fixo, internet e televisão a cabo. Um cliente dessa empresa pode contratar isoladamente cada um dos serviços, com exceção da internet, que, obrigatoriamente, deve estar associada à aquisição da telefonia fixa. Também há a opção do pacote combo, que inclui os três serviços simultaneamente. Em uma determinada cidade, essa empresa possui 10 mil clientes, sendo que, desse total, 18% utilizam apenas a telefonia e outros 33% utilizam apenas a televisão a cabo. Além disso, 41% do total de clientes são usuários da internet e, destes, 52% assinam o pacote combo. Com isso, o percentual total de clientes da empresa que são assinantes de exatamente dois dos serviços oferecidos é igual a:

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

10. (UEMA) Um curso que prepara candidatos para concurso nas disciplinas Matemática, Física e Química tem 200 alunos na disciplina Matemática, 240 alunos na disciplina Física e 180 alunos na disciplina Química. Desses, 80 alunos fazem Matemática e Física; 50, Matemática e Química; 100, Física e Química; e 30 alunos cursam as três disciplinas.

a) b) c) d) e)

19


Capítulo 1 | Conjuntos

a) b) c) d) e)

31,5%. 29,32%. 19,68%. 27,68%. 49%.

15. Uma pesquisa de mercado foi realizada para verificar a audiência de três programas de televisão, 1200 famílias foram entrevistadas e os resultados obtidos foram os seguintes: 370 famílias assistem ao programa A, 300 ao programa B e 360 ao programa C. Desse total, 100 famílias assistem aos programas A e B, 60 aos programas B e C, 30 aos programas A e C e 20 famílias aos 3 programas. Com base nesses dados, determine qual o programa de maior fidelidade, ou seja, cujos espectadores assistem somente a esse programa? a) 200 ao programa C b) 260 ao programa A c) 160 ao programa B d) 290 ao programa C e) 230 ao programa A 16. (FGV-SP) Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três marcas – A, B e C – de um determinado produto apresentou os seguintes resultados:

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

A: 48% B: 45% C: 50% A e B: 18% B e C: 25% A e C: 15% Nenhuma das três: 5%

20

De acordo com a pesquisa, qual porcentagem dos entrevistados consomem o produto A ou o produto B? a) 60 b) 70 c) 75 d) 80 e) 85

17. (SSA) Desde as primeiras décadas do século XX, sabe-se que a compatibilidade de doações sanguíneas é determinada pela presença ou ausência dos antígenos A e B e do fator Rh. As pessoas com antígeno A, apenas, são ditas com sangue do tipo A; e aquelas com antígeno B, apenas, são ditas com sangue tipo B. A presença dos dois antígenos torna a pessoa do tipo AB, e a ausência dos dois torna-a do tipo O. Em uma aldeia indígena com 131 habitantes, o antígeno A foi detectado em 96 delas, e o antígeno B, em 82. Sabendo-se que 55 delas possuem ambos os antígenos e que metade das que não possuem nenhum antígeno é do tipo + , ditas Rh +. A quantidade de índios com tipo sanguíneo O- é igual a: 1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

a) b) c) d) e)

8 indivíduos 4 indivíduos 23 indivíduos 38 indivíduos nenhum indivíduo

18. (PUC-RJ) Em uma pesquisa, constatou-se que, das 345 pessoas de um determinado local, 195 jogavam tênis, 105 jogavam tênis e vôlei, e 80 não jogavam nem vôlei nem tênis. Qual é o número de pessoas que jogavam vôlei e não jogavam tênis? a) 70 b) 75 c) 105 d) 180 e) 195

19. (IFSUL) Analisando os conteúdos nos quais os alunos possuem maiores dificuldades de aprendizagem em uma escola com 500 alunos, percebeu-se que: 208 têm dificuldades de aprendizagem em matemática; 198 em português; 154 em física; 62 em matemática e física; 38 em português e física; 52 em matemática e português; e 20 têm dificuldades nas três disciplinas. Por esse viés, o número de alunos que não têm dificuldades em nenhuma dessas disciplinas é de: a) 92 alunos. b) 72 alunos. c) 60 alunos. d) 20 alunos.

20. (IFSUL) Em uma enquete no centro olímpico, foram entrevistados alguns atletas e verificou-se que 300 praticam natação, 250 praticam atletismo e 200 praticam esgrima. Além disso, 70 atletas praticam natação e atletismo, 65 praticam natação e esgrima e 105 praticam atletismo e esgrima, 40 praticam os três esportes e 150 não praticam nenhum dos três esportes citados. Nessas condições, o número de atletas entrevistados foi: a) 1180 b) 1030 c) 700 d) 800


Capítulo 1 | Conjuntos

TÓPICO 4 • Complementar de um conjunto Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Dados dois conjuntos A e B, com a condição de que B ⊂ A, a diferença A - B chama-se complementar de B em relação a A. Simbologia: CBA= A - B.

Propriedades do Conjunto Complemetar O complementar de um conjunto A em relação ao conjunto universo U goza das seguintes propriedades: 1. (AC)C = A. 2. UC = ∅ e ∅C = U. 3. A ∪ AC = U e A ∩ AC = ∅. 4. Se A ⊂ B, então AC ⊃ BC. 5. (A ∪ B)C = AC ∩ BC. (Leis de Morgan) 6. (A ∩ B)C = AC ∪ BC.

}

Exemplos: 1. Se A = { 1, 2, 3, 4, 5 } e B = {1, 2, 3}, então, CBA = A − B = {4, 5}.

Teoria dos Conjuntos (Símbolos)

2. Se A = { 1, 2, 3 } e B = {1, 2, 3}, então, CBA = A − B = ∅. 3. Se A = { 1, 2, 3 } e B = ∅, então, CBA = A − B = {1, 2, 3}.

4. Se A = { 1, 2, 3 } e B = { 2, 3, 4 }, então, CBA = ∃ (não existe, ou seja, não é definido), pois B ⊄ A. 5. Se A = {1, 2, 3} e B = {4, 5}, então, CBA = ∃ (não existe, ou seja, não é definido), pois B ⊄ A. Observe que, nos dois últimos exemplos (4 e 5), apesar de haver a diferença A - B, não podemos classificá-las como complementar de B em relação a A, pois B ⊄ A. Perceba que, no exemplo 4, temos A - B = {1}, e, no exemplo 5, temos A - B = A.

Observação1: podemos representar o complementar de um conjunto A em relação ao conjunto universo U da seguinte forma: A

U

CUA = U - A = A = A’ = Ac.

: pertence : não pertence : está contido

: existe ∃ : não existe : para todo (ou qualquer que seja)

: não está contido ∅ : conjunto vazio : contém

 : conjunto dos números naturais

: não contém

 : conjunto dos números inteiros

/ : tal que

 : conjunto dos números racionais

⇒ : implica que

’= I : conjunto dos números irracionais

⇔ : se, e somente : conjunto dos números reais se

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS CUA = U − A

A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B) ou A ∆ B = (A - B) ∪ (B - A) A

B

A∆B

03. Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, determine: a) A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} b) A ∩ B = {3, 4, 5} c) A - B = {0, 1, 2} d) B - A = {6, 7, 8} e) A ∆ B = (A - B) ∪ (B - A) = {0, 1, 2} ∪ {6, 7, 8} = {0, 1, 2, 6, 7, 8} 04. Dados U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {0, 2, 5}, B = {1, 3, 5, 7, 8} e E = {3, 5, 7}, determine: a) B - E = {1, 8} b) CEB = B - E = {1, 8} c) A - B = {0, 2} d) CBA = A - B = (não existe), pois B A

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Observação2: o símbolo (A ∆ B) chama-se diferença simétrica entre A e B, que será dada por:

21


Capítulo 1 | Conjuntos

e) CBU

= U - B = {0, 2, 4, 6}

f) A ∪ B = U - (A ∪ B)

= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} - {0, 1, 2, 3, 5, 7, 8} = {4, 6}

05. Sejam A e B dois conjuntos tais que 13 elementos pertencem a A e não pertencem a B; 13 elementos pertencem a B e não pertencem a A e 39 elementos pertencem a A ou B. O número de elementos que pertencem a A e B é: a) 0 b) 13 c) 39 d) 26 e) 23 Resolução: Fazendo um diagrama, teremos: A 13

B x

13

Começaremos a resolver nossa questão pela quantidade de alunos que gostam de Física e Matemática ao mesmo tempo, que são dez alunos. U = 150 Mat.

Fís. 10

Gostam de Matemática e Física

Perceba que os dez alunos que gostam de ambas as matérias fazem parte tanto do conjunto dos que gostam de Matemática como do conjunto dos que gostam de Física. Sendo assim, como 80 alunos gostam de Matemática e já temos 10 alunos, sobram, portanto, (80 - 10 = 70) alunos que gostam apenas de Matemática. Da mesma forma, em Física, como 30 alunos gostam desta matéria e já temos 10 alunos, sobram, portanto, (30 - 10 = 20) alunos que gostam apenas de Física. No diagrama, ficaremos com: U = 150

De acordo com o diagrama, temos que: n (A) = 13 + x n (B) = 13 + x n (A ∪ B) = 39 Então, n(A ∪ B) = n (A) + n (B) - n (A ∩ B) 39 = 13 + x + 13 + x - x 39 = 26 + x x = 39 - 26 x = 13

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Poderíamos, simplesmente, ter feito o cálculo sem uso da fórmula, ou seja, 13 + x + 13 = 39 ⇒ x = 13.

22

06. Em uma classe de 150 alunos, 80 gostam de Matemática e 30 de Física. Sabendo que 10 gostam de Física e Matemática, quantos alunos não gostam nem de Física nem de Matemática? Resolução: Neste tipo de exercício, a resolução fica mais fácil e rápida se utilizarmos o diagrama de Venn. Perceba que: Total de alunos U = 150 Gostam de Matemática = 80 Gostam de Física = 30 Gostam de Física e Matemática = 10

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

Gostam somente de Matemática

Mat. 70

Fís. 10

Gostam somente de Física

20

Gostam de Matemática e Física

Como vemos no diagrama, 70 alunos gostam somente de Matemática, outros 20 somente de Física e ainda outros 10 gostam de ambas. Realizando a soma desses três conjuntos de alunos, temos o seguinte: 70 + 20 + 10 = 100. Observe que poderíamos ter usado a fórmula n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B ) n(A ∪ B) = 80 + 30 - 10 n(A ∪ B) = 100 Porém, queremos saber quantos alunos não gostam nem de Física nem de Matemática. Sendo assim, basta subtrairmos 150 - 100, e concluímos que 50 alunos não gostam nem de Física nem de Matemática.

07. (FVG-SP) Uma empresa entrevistou 300 de seus funcionários a respeito de três embalagens A, B e C para o lançamento de um novo produto. O resultado foi o seguinte: 99 160 indicaram a embalagem A; 99 120 indicaram a embalagem B; 99 90 indicaram a embalagem C;


Capítulo 1 | Conjuntos

99 99 99 99

A

30 indicaram a embalagem A e B; 40 indicaram as embalagens A e C; 50 indicaram as embalagens B e C; 10 indicaram as três embalagens.

100

Resolução: Usaremos os diagramas de Venn para facilitar nossos cálculos. Perceba que a interseção dos 3 conjuntos (A ∩ B ∩ C) é comum à interseção de 2 conjuntos, dois a dois: (A ∩ B), (A ∩ C) e (B ∩ C), que, por sua vez, também fazem parte da formação de cada conjunto A, B e C. Apenas A∩B B

Apenas B∩C

C

Sendo assim, uma dica importante: devemos começar a resolver o problema sempre pela interseção dos 3 conjuntos (A ∩ B ∩ C) e, após isso, ir subtraindo para obtermos as quantidades de elementos que compõem as outras partes dos conjuntos. Portanto, vamos começar pela interseção dos 3 conjuntos (A ∩ B ∩ C), que têm 10 elementos (funcionários). Como n(A ∩ B) = 30 e já colocamos 10 elementos, restam 20 elementos para completar a região (A ∩ B); da mesma forma que, para completar (A ∩ C), faltam 30; e para completar (B ∩ C) faltam 40. Assim, ficamos com: A

10

10 C

50 40

40

Perceba ainda que, ao somarmos cada partezinha colorida do diagrama, teremos o total de funcionários que votaram em pelo menos uma embalagem, ou seja, 100 + 20 + 50 + 30 + 10 + 40 + 10 = 260, e como o total de entrevistados foi 300, teremos então 40 pessoas que não têm preferência alguma por nenhuma das três embalagens analisadas. Agora, consultando o diagrama acima, podemos responder às questões: a) 100 pessoas indicaram apenas a embalagem A; b) 100 + 30 + 10 + 20 + 50 + 40 = 250 indicaram as embalagens A ou B; Observação: perceba que, ao falarmos (A ou B), estamos nos referindo ao conjunto (A ∪ B).

A∩B ∩ C

Apenas A∩C

20 30

Pergunta-se: a) Quantas pessoas indicaram apenas a embalagem A? b) Quantas pessoas indicaram as embalagens A ou B? c) Quantas não indicaram a embalagem C? d) Quantos não tinham preferência por nenhuma das três embalagens?

A

B

B

c) 100 + 20 + 50 + 40 = 210 não indicaram a embalagem C; d) 40 pessoas não tinham preferência por nenhuma embalagem.

APROFUNDAMENTO Existem infinitos com o mesmo número de elementos? Existem infinitos que podem ser contados? Veja o vídeo a seguir para obter essas respostas.

30

10

40

C

Agora nos resta apenas completar os conjuntos A, B e C; como n(A) = 160 e dentro do conjunto A já temos 20 + 30 + 10 = 60 elementos, resta-nos, portanto, 100 elementos para completá-lo. De modo análogo, restam 50 elementos para completar o conjunto B e 10 elementos para completar o conjunto C. Finalmente, montamos nosso diagrama:

Link sugerido • https://goo.gl/levBVt

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

20

23


Capítulo 1 | Conjuntos

CONECTANDO DISCIPLINAS O estudo da teoria dos conjuntos auxilia algumas empresas na tomada de decisões, bem como para saber como anda a utilização e aceitação de determinado produto no mercado consumidor. Podemos estudar também a regularidade das crianças em determinada campanha de vacinação ou a frequência de turistas que visitam as cidades brasileiras. Enfim, são vários os exemplos que poderíamos citar que relacionam quantidades de grupos distintos ou não. Exemplos: 1. Você permite que seus clientes paguem suas contas com periodicidade mensal ou bimestral. Além disso, o pagamento pode ser feito com cartão de crédito, com cheque ou em dinheiro. Você precisa reduzir suas opções de pagamento, mas para isso é importante saber como tal procedimento pode afetar a satisfação de seus clientes. Resolve, então, fazer um levantamento dos últimos pagamentos efetuados por 300 clientes e agrupa os resultados nos subconjuntos:

Tipo de Pagamento Período

Cartão de Cheque Crédito

Dinheiro

Total

Por mês

35

52

10

97

Por bimestre

65

108

30

203

Total

100

160

40

300

Responda com base na tabela: a) Quantas pessoas pagam com cartão de crédito? E com cheque? E em dinheiro? b) Quantas pessoas pagam por bimestre? E por mês? c) Quantas pessoas pagam mensalmente em dinheiro? d) Quantas pessoas pagam por mês ou em dinheiro? 2. Estamos acompanhando a vacinação de 200 crianças em uma creche. Analisando as carteiras de vacinação, verificamos que 132 receberam a vacina Sabin, 100 receberam a vacina contra sarampo e 46 receberam as duas vacinas. Vamos orientar os pais das crianças, enviando uma carta para cada um, relatando a vacina faltante. a) Quantos pais serão chamados para que seus filhos recebam apenas a vacina Sabin? b) Quantos pais serão chamados para que seus filhos recebam apenas a vacina contra sarampo? c) Quantos pais serão chamados para que seus filhos recebam as duas vacinas? d) Quantas crianças não serão vacinadas?

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

EXERCITANDO EM AULA

24

21. (MACKENZIE) Sendo A = {1, 2, 3, 5, 7, 8} e B = {2, 3, 7} , então o complementar de B em A é: a) ∅∅ b) {8} c) {8, 9, 10} d) {9, 10, 11...} e) {1, 5, 8} 22. (LONDRINA) Se A={1}, B={0;1} e E={0;1;2} então quanto vale complementar do conjunto E em relação ao conjunto A intersecção B é o conjunto: a) ∅∅ b) {0} c) {1} d) {0; 2} e) {1; 2} 1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

23. Seja o conjunto x complementar de um conjunto x qualquer, em relação ao conjunto universo U. Então, a parte destacada do diagrama abaixo corresponde a: A

B

C a)

(B ∪ C) ∪ A

b) A - (B ∪ C)


Capítulo 1 | Conjuntos

c)

(A - (B ∪ C)) ∪ (A ∩ B ∩ C)

d)

(A - B) ∪ (A ∩ B)

a) b) c) d)

e) A ∪ B ∪ C

24. Na figura a seguir têm-se os conjuntos não vazios A, B e C,

(F ∩ G) - E G - (E ∩ F) F∩G∩E (E ∩ G) - F

27. Considerando os conjuntos A, B e C na figura a seguir, a região hachurada representa:

contidos no universo U.

A

A

B

B

C C Se x é o complementar do conjunto x em relação ao universo ∪, então a região sombreada representa o conjunto: a) A - B b) A - B c) A ∩ C d) C ∪ A e) A - (B ∪ C)

25. Os muçulmanos não se limitam aos países de etnia árabe, como muitos imaginam. Por exemplo, a maior concentração de muçulmanos do mundo encontra-se na Indonésia, que não é um país de etnia árabe.

a) b) c) d) e)

B - (A - C) B ∩ (A - C) B ∪ (A ∩ C) B ∩ (A ∪ C) B - (A ∪ C)

28. Os conjuntos não-vazios M, N e P estão, isoladamente, representados a seguir. Considere a seguinte figura que estes conjuntos formam. M

N

P

Adaptado da Superinteressante, ed. 169, out. 2001.

26. No diagrama seguir, é correto afirmar que a parte sombreada representa: E

F

N M P

A região hachurada pode ser representada por: a) M ∪ (N ∩ P) b) M - (N ∪ P) c) M ∪ (N - P) d) N - (M ∪ P) e) N ∪ (P ∩ M)

G

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Considere T o conjunto de todas as pessoas do mundo; M o conjunto de todas aquelas que são muçulmanas e A o conjunto de todas aquelas que são árabes. Sabendo que nem toda pessoa que é muçulmana é árabe, pode-se representar o conjunto de pessoas do mundo que não são muçulmanas nem árabes por: a) T - (A ∩ M) b) T - A c) T - (A ∪ M) d) (A - M) ∩ (M - A) e) M - A

25


Capítulo 1 | Conjuntos

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO TÓPICO 1: Noções básicas Nível 1

01. Seja o conjunto A abaixo:

NÍVEL 2

05. (CFT-MG) Na figura a seguir, os conjuntos A, B, C e D estão representados por 4 quadrados que se interceptam. D C

A = {0, {0}, 1, {1}, {0,1}} B

É correto afirmar que: a) 0 ∉ A b) {0, 1} ∈ A c) {0, 1} ∉ A d) os elementos de A são 0 e 1. e) o número de subconjuntos de A é 22 = 4

02. Dado

o conjunto P = { {0}, 0, ∅, {∅} }, considere as afirmativas:

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Dessa forma, a região hachurada pode ser representada por: a) (B ∪ C) ∩ (A ∪ D)

I. {0} ∈ P II. {0} ⊂ P III. ∅ ∈ P

b) (A − B) ∪ (C − D)

Com relação a estas afirmativas, conclui-se que: a) todas são verdadeiras. b) apenas a I é verdadeira. c) apenas a II é verdadeira. d) apenas a III é verdadeira. e) todas são falsas.

d) (B ∪ C) − (A ∪ D)

03. Diga se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações.

26

A

a) b) c) d) e) f) g) h) i)

∅ ∈ A, ∀ A ∅ ⊂ A, ∀ A 0∈∅ ∅ ∈ {0} ∅ ⊂ {0} A ⊂ A, ∀ A A ⊂ ∅, ∀ A {5} ⊂ {∅, {1}, {5}, {1, 5}} {x} ∈ {x, {x, y}}

04. Complete com os símbolos ∈, ∉, ⊂, ⊄, ⊃ ou não está

contido as sentenças a seguir, de forma a torná-las todas verdadeiras: a) 5____ {2, 3, 4, 5, 6, 7} b) {7, 9} _____ {1, 2, 3, 4, 5, 6, ... } c) ∅ ___ {8} d) {5, 7} _____ {5}

c) (B ∩ C) − (A ∪ D)

06. (EPCAR/CPCAR) Em um jogo de videogame há uma etapa em que o personagem, para se livrar do ataque de monstros, precisa subir pelo menos 1 dos 20 andares de um prédio, utilizando, necessariamente, um elevador. O personagem encontra-se no térreo e pode escolher e acionar um dos 3 elevadores ali existentes. Todos eles estão em perfeito funcionamento e são programados de modo a parar em andares diferentes, conforme esquema a seguir: Elevador P

pares

T

múltiplos de 3

C

múltiplos de 5

Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) Verdadeira ou (F) Falsa, apenas para os andares de 1 até 20 ( ) ( ) ( )

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

Programado para parar apenas nos andares de números

Não há possibilidade de um mesmo andar receber os três elevadores P, T e C Em 6 andares desse prédio, chegam, exatamente, 2 elevadores. Se em x andares desse prédio chega apenas 1 elevador, então, x é menor que 7


Capítulo 1 | Conjuntos

Sobre as proposições, tem-se que a) apenas uma afirmação é verdadeira. b) apenas duas afirmações são verdadeiras. c) todas as afirmações são verdadeiras. d) nenhuma afirmação é verdadeira.

Os resultados obtidos por Lucas e Mateus foram os seguintes: • •

07. (EPCAR/CPCAR) Para dinamizar suas aulas no 8º ano a professora Luíza organizou um jogo distribuindo duas fichas contendo operações com os números reais. Dois alunos participaram da 1ª rodada do jogo: Lucas e Mateus. Aluno

Lucas

Mateus

Ficha 1 -1 0    0, 7 + 2 +  5       9  4   A =   3    -0, 5 - 4 2 - 2-1     

08. (CMRJ)

Ficha 2 3

B=

80,6 + 4 2 - 2

9

+ 90,5

1 - 2

1 -   49 

1

Mateus

Se Lucas e Mateus acertaram as operações nas suas duas fichas, então a) Lucas e Mateus acertaram todas as correspondências entre os números calculados e os conjuntos. b) Mateus acertou as duas correspondências e Lucas errou a correspondência de um dos números A ou B. c) Lucas e Mateus erraram uma das correspondências, cada. d) Lucas acertou as duas correspondências e Mateus errou a correspondência de um dos números C ou D.

4 (0, 333 …)3 ⋅ 1 + 2, 2 5 C= -1,1333 …

Aluno

Lucas

Lucas afirmou que A ∈ T e B ∈ W Mateus afirmou que C ∈ X e D ∈ T

1 1 2   -3  0    2 2   1   2  1     D =   ⋅ 0, 6 +    3    6  33 …  1,3      

P = � −� W = � −� X=�

∗ −

T = � −�

∗ + ∗ −

∩�

Disponível em:<< https://pt.wikipedia.org/wiki/Stan_Lee>>. Acesso em: 21 ago. 2018. (Adaptado)

Sabendo que Stan está vivo e ainda participa como figurante eterno em filmes dos heróis da Marvel, o número escrito em fatores primos, que representa a idade completa de Lee em 28 de dezembro de 2018, possui expoente a) 3 para o fator 2 b) 2 para o fator 3 c) 5 para o fator 2 d) 1 para o fator 5 e) 2 para o fator 7

+

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Depois de resolverem as operações, cada aluno deveria associar corretamente os resultados obtidos em cada ficha a somente um dos conjuntos a seguir.

Stanley Martin Lieber, nascido em Nova Iorque, em 28 de dezembro de 1922, mais conhecido como Stan Lee, é um escritor, editor, publicitário, produtor, diretor, empresário norte-americano e ator que, em parceria com outros importantes nomes dos quadrinhos, – especialmente os desenhistas Jack Kirby, Steve Ditko e John Romita – criou, a partir do início dos anos 1960, diversos super-heróis.

27


Capítulo 1 | Conjuntos

TÓPICO 2: Subconjuntos Nível 1

09. (UFC) Sejam M e N conjuntos que possuem um único elemento em comum. Se o número de subconjuntos de M é igual ao dobro do número de subconjuntos de N, o número de elementos do conjunto M ∪ N é: a) o triplo do número de elementos de M. b) o triplo do número de elementos de N. c) o quádruplo do número de elementos de M. d) o dobro do número de elementos de M. e) o dobro do número de elementos de N.

10. (UECE) Em um grupo de 200 estudantes, 98 são mulheres das quais apenas 60 não estudam comunicação. Se do total de estudantes do grupo somente 60 estudam comunicação, o número de homens que não estudam esta disciplina é a) 60. b) 80. c) 85. d) 75.

11. (UEG) Dados dois conjuntos, A e B, onde A ∩ B = {b, d}, A B = {a, b, c, d, e} e B - A = {a} e B - A = {a}. O conjunto B é igual a a) {a} b) {c, e} c) {a, b, d} d) {b, c, d, e} e) {a, b, c, d, e}

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Nível 2

28

12. (CFTRJ) Uma pequena indústria detectou falhas em seu maquinário que afetou a produção de algumas peças no tamanho e no peso. Para determinar o prejuízo decorrente dessas falhas, submeteu 180 peças produzidas a 2 testes. No teste de tamanho, 120 peças foram consideradas adequadas, enquanto, no teste de peso, 80 peças foram consideradas adequadas. Apenas 40 peças foram consideradas perfeitas, isto é, aprovadas em ambos os testes, e as peças reprovadas em ambos os testes foram descartadas. Os resultados dos testes foram entregues a 4 alunos do curso de Administração do CEFET-RJ para uma análise do fenômeno que afetou a produção. Cada aluno fez uma afirmação, conforme reproduzido a seguir: • Aldo: “Das peças aprovadas em pelo menos um teste, apenas 20% são perfeitas”. • Baldo: “O número de peças descartadas corresponde a 20% do número de peças aprovadas em pelo menos um teste”. • Caldo: “Exatamente 12% das peças submetidas aos testes são perfeitas”. • Daldo: “Aproximadamente 11% das peças submetidas aos testes foram descartadas”. 1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

O aluno que fez a afirmação correta ganhou um estágio remunerado na indústria, no cargo de analista de produção. O aluno que ganhou o estágio foi: a) Aldo b) Baldo c) Caldo d) Daldo

TÓPICO 3: Operações com conjuntos Nível 1

13. (IFSUL) Em uma consulta à comunidade acadêmica sobre a necessidade de melhorias na área física de um determinado campus do IFSul, foi obtido o seguinte resultado: 99 538 sugerem reformas nas salas de aula. 99 582 sugerem reformas na biblioteca. 99 350 sugerem reformas nas salas de aula e na biblioteca. 99 110 sugerem reformas em outras instalações. Quantas pessoas foram entrevistadas nessa consulta? a) 770 b) 880 c) 1.120 d) 1.580

14. Feito exame de sangue em um grupo de 200 pessoas, constatou-se o seguinte: 80 delas têm sangue com fator Rh negativo, 65 têm sangue do tipo O e 25 têm sangue do tipo O com fator Rh negativo. O número de pessoas com sangue diferente do tipo O e com fator Rh positivo: a) 40 b) 65 c) 80 d) 120 e) 135 15. Uma empresa entrevistou 300 de seus funcionários a respeito de 3 embalagens: A, B e C, para lançamento de um novo produto. O resultado foi o seguinte: 160 indicaram a embalagem A; 120 indicaram a embalagem B; 90 indicaram a embalagem C; 30 indicaram a embalagem A e B; 40 indicaram a embalagem A e C e 50 indicaram a embalagem B e C; e 10 indicaram as 3 embalagens. Dos funcionários entrevistados, quantos não tinham preferência por nenhuma das 3 embalagens? a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 50

16. Em uma enquete sobre a leitura dos livros selecionados para o processo seletivo, numa universidade de determinada


Capítulo 1 | Conjuntos

cidade, foram entrevistados 1200 candidatos. 563 destes leram “Você Verá”, de Luiz Vilela; 861 leram “O tempo é um rio que corre”, de Lya Luft; 151 leram “Exílio”, também de Lya Luft; 365 leram “Você Verá” e “O tempo é um rio que corre”; 37 leram “Exílio” e “O tempo é um rio que corre”; 61 leram “Você Verá” e “Exílio”; 25 candidatos leram as três obras e 63 não as leram. A quantidade de candidatos que leram apenas “O tempo é um rio que corre” equivale a a) 434. b) 484. c) 454. d) 424.

17. Dados do IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) baseados no PNAD 2012 (Pesquisa Nacional por Amostras de Domicílios) mostram que o número de jovens de 15 a 29 anos que não estudava nem trabalhava chegou a 9,6 milhões no país no ano de 2012, isto é, uma em cada cinco pessoas da respectiva faixa. • • •

21,6% somente estudam. 13,6% deles trabalham e estudam. 58,8% trabalham.

IBGE. Disponível em: http://noticias.uol.com.br/cotidiano/ultimasnoticias/2013/11/29/ um-em-cada-cinco-jovens-de-15-a-29-anos-nao-estudanem-trabalha-diz-ibge.htm. Acesso em: 18 dez. 2015 (adaptado)

A partir dos dados apresentados no texto, depreende-se que o percentual de jovens que somente trabalham e o de jovens que não trabalham nem estudam são, respectivamente, de a) 45,2% e 19,6%. b) 45,2% e 58,8%. c) 45,2% e 13,6%. d) 6,0% e 12,8%. e) 6,0% e 10%

18. A Teoria dos Conjuntos facilita a resolução de proble-

• • • • • • •

200 alunos gostam do Facebook. 40 alunos gostam das três redes sociais. 60 alunos gostam do Facebook e do Instagram. 50 alunos gostam do Facebook e do Twitter. 20 alunos gostam somente do Twitter. 120 alunos gostam do Instagram. Todos os alunos gostam de pelo menos uma rede social.

Com base nos dados obtidos na pesquisa e por meio da Teoria dos Conjuntos, é correto afirmar que há, nessa escola: a) 230 alunos.

240 alunos. 250 alunos. 270 alunos. 280 alunos.

19. Cabelo e vestuário são itens que se destacam no rol de preocupações das adolescentes que costumam frequentar qualquer “balada”– é o que aponta a pesquisa realizada com 650 meninas, na faixa etária entre 15 e 19 anos. Destas, 205 comparecem a esse tipo de festa se adquirem um traje inédito; 382 se fazem presentes após uma boa “escova” no cabeleireiro; 102 aparecem nos locais onde acontecem as “baladas” com traje inédito e depois de uma “escova” no cabeleireiro. Pergunta-se: quantas são as adolescentes consultadas que não se preocupam em ir ao cabeleireiro fazer “escova”, nem em vestir uma roupa inédita ? a) 39 b) 63 c) 102 d) 165 e) 177 20. Uma pesquisa foi realizada com alguns alunos da Fatec São Paulo sobre a participação em um Projeto de Iniciação Científica (PIC) e a participação na reunião anual da Sociedade Brasileira para o Progresso da Ciência (SBPC). Dos 75 alunos entrevistados: • • •

17 não participaram de nenhuma dessas duas atividades; 36 participaram da reunião da SBPC e 42 participaram do PIC.

Nessas condições, o número de alunos entrevistados que participaram do PIC e da reunião da SBPC é a) 10. b) 12. c) 16. d) 20. e) 22.

21. No IFPE Campus Olinda foi feita uma pesquisa com alguns alunos do curso de computação gráfica a respeito do domínio sobre três aplicativos. As repostas foram as seguintes: • • • • • • • •

78 dominam o Word; 84 dominam o Excel; 65 dominam o Powerpoint; 61 dominam o Word e Excel; 52 dominam o Excel e Powerpoint; 45 dominam o Word e Powerpoint; 40 dominam os três aplicativos; 03 não dominam aplicativo algum.

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

mas matemáticos que envolvem o comportamento de certos grupos, especialmente quando estes se intersecionam, isto é, quando um elemento se comporta de acordo com dois ou mais grupos. Considere, como exemplo, o seguinte caso. Em uma escola, foi realizada uma pesquisa para coletar, entre todos os alunos, a preferência pelo Facebook, Twitter e/ou Instagram. Os resultados obtidos foram os seguintes:

b) c) d) e)

29


Capítulo 1 | Conjuntos

Com base nas informações acima, o número de estudantes do curso de computação gráfica que responderam a essa pesquisa é a) 112. b) 227. c) 230. d) 111. e) 129.

22. (IFCE) Sobre os conjuntos finitos e não vazios A e B, são feitas as seguintes afirmativas: I. A ∪ B tem mais elementos que A. II. A ∩ B tem menos elementos que A. III. A - B tem menos elementos que A. Dentre as afirmativas acima, é(são) necessariamente verdadeira(s) a) apenas I e III. b) nenhuma delas. c) apenas I e II. d) apenas II e III. e) I, II e III.

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

23. (UEG) Em uma pesquisa sobre a preferência para o consumo de dois produtos, foram entrevistadas 970 pessoas. Dessas, 525 afirmaram consumir o produto A, 250 o produto B e 319 não consomem nenhum desses produtos. O número de pessoas que consomem os dois produtos é a) 124 b) 250 c) 525 d) 527 e) 775

30

24. (COTIL) Perguntou-se a 400 famílias de um bairro da cidade qual era o tipo de transporte utilizado em seu dia a dia. Segundo as respostas, 275 famílias fazem uso de transporte público; 100 famílias utilizam o transporte público e o transporte particular; e 105 usam exclusivamente o transporte particular. Quantas famílias não usam nenhum tipo de transporte? a) 20 b) 80 c) 120 d) 125 Nível 2

25. (FGVRJ) Em uma pesquisa para estudar a incidência de três fatores de risco (A, B e C) para doenças cardíacas em homens, verificou-se que, do total da população investigada, 99 15% da população apresentava apenas o fator A; 99 15% da população apresentava apenas o fator B; 99 15% da população apresentava apenas o fator C;

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

99 99 99 99

10% da população apresentava apenas os fatores A e B; 10% da população apresentava apenas os fatores A e C; 10% da população apresentava apenas os fatores B e C; em 5% da população os três fatores de risco ocorriam simultaneamente.

Da população investigada, entre aqueles que não apresentavam o fator de risco A, a porcentagem dos que não apresentavam nenhum dos três fatores de risco é, aproximadamente, a) 20%. b) 50%. c) 25%. d) 66%. e) 33%.

26. (IFPE) Com o objetivo de realizar um levantamento sobre o número de professores afastados para cursos de capacitação do campus Vitoria de Santo Antão, verificou-se que, de um total de 88 professores na instituição, 99 99 99 99 99 99 99

45 professores lecionam no Ensino Integrado; 35 professores lecionam no Ensino Superior; 30 professores lecionam no Ensino Subsequente; 15 professores lecionam no Integrado e Superior; 10 professores lecionam no Integrado e Subsequente; 10 professores lecionam no Superior e Subsequente; 5 professores lecionam no Integrado, Superior e Subsequente.

Sabe-se que o campus Vitória de Santo Antão apenas oferece essas três modalidades de ensino e que todos os professores que não estão afastados lecionam em, pelo menos, uma das três modalidades. Com base nestas informações, conclui-se que o número de professores que não estão lecionando em nenhuma das três modalidades por estarem afastados para curso de capacitação é: a) 20 b) 16 c) 12 d) 8 e) 10

27. Um jornaleiro vende os jornais “Estrela da manhã”, “Gazeta da Tarde” e “Boletim Diário”. De seus 600 fregueses, 590 compram algum jornal, 300 compram o Boletim, 131 somente o Estrela, 77 somente a Gazeta e 7 compram os 3 jornais. Nenhum freguês compra mais de um número do mesmo jornal. Quantos fregueses compram o Estrela e o Gazeta? a) 215 b) 293 c) 89 d) 82 e) 508


Capítulo 1 | Conjuntos

28. Uma nutricionista fez uma pesquisa para saber as preferências de frutas entre os 180 funcionários de uma fábrica. A pesquisa apontou que 95 gostam de maçã, 125 gostam de pera e 65 gostam de ameixa. Nessa mesma pesquisa, verificou-se também que 60 funcionários gostam de maçã e de pera, 40 gostam de maçã e de ameixa, 40 gostam de pera e de ameixa, e 20 funcionários gostam dessas três frutas. O número de funcionários da fábrica que não come nenhuma dessas frutas é a) 6. b) 15. c) 26. d) 31. e) 47.

Marcas vendidas

Número de compradores

S

35

N

40

A

40

SeN

15

S eA

12

N eA

10

S, N e A

5

Outras marcas

35

29. Em um grupo de 100 jovens, verificou-se que • • •

dos que usam óculos de grau, 12 usam aparelho ortodôntico. a metade dos que usam óculos de grau não usa aparelho ortodôntico. 70% dos que usam aparelho ortodôntico não usam óculos de grau.

Com base nessas informações, pode-se afirmar que o número de jovens que não usam óculos de grau e nem aparelho ortodôntico é igual a a) 36 b) 48 c) 62 d) 70 e) 88

30. Em uma enquete, com 500 estudantes, sobre a preferência

31. (UEPG-PSS 1) As marcas de celulares mais vendidas em um quiosque, em um certo mês, foram S, N e A. Os vendedores constataram que a venda se deu de acordo com a tabela a seguir.

( )

Som

TÓPICO 4: Complementar de um conjunto Nível 1

32. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {4, 5, 6, 7}; C - A = {7, 8, 9}; C - B = {3, 8, 9} e A ∩ B ∩ C = {4}. O número de elementos do conjunto C é: a) 6 b) 7 c) 3 d) 4 e) 5

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

de cada um com três tipos diferentes de sucos (laranja, manga e acerola), chegou-se ao seguinte resultado: 300 estudantes gostam do suco de laranja; 200 gostam do suco de manga; 150 gostam do suco de acerola; 75 gostam dos sucos de laranja e acerola; 100 gostam dos sucos de laranja e manga; 10 gostam dos três sucos e 65 não gostam de nenhum dos três sucos. O número de alunos que gosta dos sucos de manga e acerola é: a) 40. b) 60. c) 120. d) 50. e) 100.

A partir do que foi exposto, assinale o que for correto. (01) 115 compradores levaram apenas uma das marcas de celular. (02) 83 compradores não levaram a marca S. (04) 23 compradores não levaram a marca S e nem a N. (08) 22 compradores levaram apenas duas das marcas de celular.

31


Capítulo 1 | Conjuntos

33. Considere os seguintes subconjuntos de números naturais: N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} P = {X ∈  / 6 ≤ x ≤ 20} A = {X ∈ P / x é par} B = {x ∈ P / x é divisor de 48} C = {x ∈ P / x é múltiplo de 5} O número de elementos do conjunto (A - B) ∩ C é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

34. Dados dois conjuntos não vazios A e B, se ocorrer A ∪ B = A, podemos afirmar que: a) A ⊂ B. b) Isto nunca pode ocorrer. c) B é subconjunto de A. d) B é um conjunto unitário. e) A é subconjunto de B.

35. Se um conjunto A possui n elementos, então o conjunto

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

P(A), das partes de A, possui 2n elementos. Qual é o número de elementos do conjunto das partes de P(A)? a) 2n b) 4n n c) 22 n d) 8 e) 16n

32

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

Nível 2

36. (UEFS) Sejam A, B e C conjuntos contidos no conjunto dos números naturais, tais que A é o conjunto dos números menores do que 250, B é o conjunto dos números múltiplos de 4 e C é o conjunto dos números pares. Sendo AC BC e CC os conjuntos complementares respectivamente de A, B e C, o número 33 pertence a a) (AC ∪ B) ∩ CC b) AC ∩ BC ∩ CC c) (A ∩ B) ∪ (AC ∩ CC) d) (AC ∩ BC) ∪ (BC ∩ CC) e) (A ∪ BC) ∩ C 37. (ITA) Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U, em que [a,b] = {x ∈ : a ≤ x ≤ b} A\B = {x : x ∈ A e x ∉ B} AC: complementar do conjunto A. Das afirmações: I. (A \ BC) \ CC = A ∩ (B ∪ C); II. (A \ BC) \ C = A ∪ (B ∩ CC)C; III. BC ∪ CC = (B ∩ C)C,

é (são) sempre verdadeira(s) apenas a) I. b) II. c) III. d) I e III. e) II e III.


Capítulo 1 | Conjuntos

ANOTAÇÕES

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

33


Matemática e suas tecnologias: Matriz de Referência (C1)

Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais. (H1)

Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações - naturais, inteiros, racionais ou reais.

(H2)

Indentificar padrões numéricos ou princípios de contagem.

(H3)

Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.

(H4)

Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.

(H5)

Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.


C

2 A

PÍ LO TU

COMPETÊNCIAS:

C1

Conjuntos numéricos HABILIDADES:

H1, H2, H3, H4, H5

APRESENTAÇÃO Os números são “criação” dos homens ou “surgiram” da necessidade humana? Como será que os povos antigos faziam suas contagens antes de os números “existirem”? Você já parou para pensar nisso? Os números surgiram a partir do momento em que existiu a necessidade de contar objetos e coisas, e isso aconteceu há mais de 30.000 anos. Os homens nessa época viviam em cavernas e grutas, e não havia a ideia de números, mas eles tinham a necessidade de contar. Entretanto, dos tempos das cavernas até a nossa época, a maneira de viver foi se modificando. E, devido à essas mudanças, os homens passaram a plantar e criar animais para sua alimentação, dando início também a sua primeira forma de comercialização: as trocas; surgiu, então, a necessidade de contar, de medir, estabelecer quantidades. Hoje sabemos que não existe a menor possibilidade de vivermos sem os números, visto que eles estão presentes em o tudo que fazemos em nosso dia a dia. Vamos ver, neste capítulo, uma abordagem histórica e, logo em seguida, conheceremos como cada conjunto numérico surgiu diante das necessidades que foram aparecendo, bem como suas características e propriedades.


Capítulo 2 | Conjuntos Numéricos

Imagem 2.2. Shamuel Fiorentino

Imagem 2.3. Contagem registrada em ossos e pedras

Assis Leite

Como surgiram os números? Será que alguém inventou os números? Existe, atualmente, uma grande dúvida sobre como realmente a ideia de número surgiu. Alguns autores afirmam que os números surgiram da necessidade de contar, já outros acreditam que vieram da necessidade de medir. O que se sabe, ao certo, é que ambos devem estar com a razão, pois não se concebe a ideia de um sem a ideia do outro. O homem primitivo não precisava contar. Para sua sobrevivência, bastava ele retirar as coisas da própria natureza. Porém, ao sentir que era essencial adquirir um novo tipo de alimento, o homem se deslocava para outro local (era, portanto, nômade). Depois de muitos anos, ele percebeu que poderia se fixar na terra, principalmente perto de rios importantes, onde começou a desenvolver técnicas de agricultura, pesca, criação de animais e passou a querer controlar o tempo, as estações do ano (criou o calendário), as fases da Lua, a quantidade de alimentos, de animais, etc. Em razão disso, passou a fazer algumas associações entre essas quantidades com outro tipo de objeto (geralmente eram pedras, paus, ossos, etc.). Para controlar o rebanho de ovelhas, por exemplo, antes de soltar seus animais pela manhã, o homem estabelecia uma correspondência na qual cada animal equivalia a uma pedrinha, que, por sua vez, era guardada em um saco.

Samuel Florentino

TÓPICO 1 • Introdução histórica

1.1 • Representações numéricas antigas

36

Luiz Fernando

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Quando algumas civilizações (egípcia, babilônica, etc.) começaram a escrever, a quantidade que deu origem aos números passou a ser anotada pela repetição de traços verticais, dedos da mão (dígitos) e de figuras comuns à época, como, por exemplo, a flor de lótus, em substituição às pedrinhas.

Imagem 2.1.

Ao final do dia, quando os animais voltavam do pasto, era feita a correspondência inversa, ou seja, para cada um dos animais que voltava, uma pedrinha era retirada do saco. Caso sobrassem pedrinhas, significaria que animais poderiam ter se perdido; se a quantidade de pedrinhas fosse esgotada e ainda assim chegassem mais animais, significaria dizer que animais de outros rebanhos tinham se juntado ao grupo. É por isso que, quando queremos contar alguma coisa, dizemos que estamos fazendo um cálculo, palavra derivada do latim calculus, que significa pedrinha. Nessa época, existiam outras formas de representação numérica, como nós em cordas ou riscos feitos em ossos e pedras, sendo que habitantes de cada região utilizavam uma forma diferente.

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

Imagem 2.4. Representação numérica egípcia

Já os babilônicos (um dos povos mesopotâmicos) tinham uma maior habilidade e facilidade para efetuar cálculos, por utilizarem uma linguagem mais acessível que a dos egípcios, e também possuíam sua própria forma de escrita numérica.


Capítulo 2 | Conjuntos Numéricos

1

9                

2

3

4

   

     

10

20

36

               

Imagem 2.5. Representação numérica egípcia

br.pinterest.com

Para representar quantidades, o que era importante para o comércio, os babilônicos também utilizavam símbolos. Eles inventaram um sistema que formava grupos de 10 e de 60. Quem pensa que, atualmente, não utilizamos o sistema babilônico está enganado, pois a divisão do dia em 24 horas, da hora em 60 minutos e dos minutos em 60 segundos é uma herança dos babilônicos. O sistema babilônico utilizava a base 60 para a formação de seus numerais. Observe como eles representavam alguns números:

Imagem 2.6. Sistema babilônico

O interessante desse sistema de numeração é a ausência de uma letra relacionada ao número zero. Mas ao criar esse sistema de numeração, os romanos não estavam interessados na realização de cálculos. Eles simplesmente queriam números que representassem as quantidades. A representação numérica adotada pelos romanos foi, durante muitos séculos, a mais utilizada por toda a Europa. Com o desenvolvimento da expansão comercial, a utilização de cálculos matemáticos tornou-se uma questão primordial. A partir desse momento, os números romanos foram questionados em razão da ausência do zero e da representação de valores por letras. Essas características principais do sistema de numeração dos romanos dificultavam o desenvolvimento de técnicas matemáticas eficazes. Alguns estudiosos romanos tentaram relacionar o sistema numérico com a utilização do ábaco, mas os meios operantes requisitavam conhecimentos complexos. O algarismo zero, ausente no sistema de numeração dos romanos, foi introduzido pelo povo hindu para representar, inicialmente, a ausência de quantidade, bem como um novo sistema de numeração semelhante ao utilizado atualmente. Esse sistema consistia em uma base decimal em que dez algarismos ordenados entre si formavam e representavam qualquer número. O sistema criado pelos hindus foi divulgado por toda a Europa pelos árabes, e ficou conhecido como sistema de numeração indo-arábico, por meio de um grande matemático chamado al-Khowarizimi, que deu o nome aos mesmos de “algarismos”. Esses números contribuíram de forma significativa para a modernização dos cálculos matemáticos, em razão de sua praticidade simbólica e representação de quantidades. ghiorzi.org/

Shutterstock.com

Os romanos também tinham uma representação numérica especial. Os números criados pelos romanos foram relacionados a letras, diferentemente de outros povos, que criaram símbolos na representação numérica de algarismos. É um sistema de base 10 que é utilizado até hoje em numerações de séculos, capítulos de livros, relógios, nomes de reis e papas e outros tipos de representações oficiais. A tabela mostra as primeiras formas de grafia dos algarismos romanos. Imagem 2.8. Evolução dos algarismos arábicos

O primeiro número “inventado” foi o 1 (um). Ele representava o homem e sua unicidade. O segundo foi o 2 (dois), que representava a mulher da família — ­­ a dualidade. Já o número 3 (três) significava muitos, ou seja, a multidão. Na sequência, vieram os demais números. É interessante notar que o número 3 tem escrita similar em diversos idiomas. Nº

Grego Latim arcaico

Alemão

Inglês

Francês

Russo

1

en

unus

eins

one

un

odyn

2

duo

duo

zwei

two

deux

dva

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Numeração romana

Imagem 2.7. Numeração romana

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

37


Capítulo 2 | Conjuntos Numéricos

3

tri

tres

drei

three

4

tetra

quatuor

vier

four

5

pente quinque

fünf

five

cinq

piat

sechs

six

six

chest

6

hex

sex

trois

tri

quatre chetyre

de um algarismo para representar as centenas e dezenas, como 21 (vinte e um) e 201 (duzentos e um), entre outros. Por fim, eles reuniram tudo isso e criaram um único sistema numérico, cujo local em que o número se encontra determina o seu valor posicional. Veja a tabela a seguir: Número

7

hepta

septem

sieben

seven

sept

sem

8

octo

octo

acht

eight

huit

vosem

9

ennea

novem

neun

nine

neuf

deviat

10

deca

decem

zehn

ten

dix

desiat

hundred

cent

sto

tausend thousand

mille

tysiatsa

100 hecaton centum hudert 1000

xilia

mille

Milhares Centenas Dezenas Unidades

21

0

0

2

1

201

0

2

0

1

4305

4

3

0

5

4035

4

0

3

5

SAIBA MAIS ESCLARECENDO

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

A “invenção” do zero

38

O zero foi o último número a ser “inventado” e serviu para representar a ausência de tudo. Os hindus criaram um símbolo que expressa o vazio (sunya), que foi chamado de zero. Os documentos mais antigos conhecidos em que aparece o número zero não são anteriores ao século III antes de Cristo. Nessa época, os números continham, no máximo, três algarismos. Um dos problemas da humanidade foi a representação de grandes quantidades. A solução para isso foi instituir uma base para os sistemas de numeração. Os numerais indo-arábicos e a maioria dos outros sistemas de numeração usam a base dez. Isto porque o princípio da contagem se deu em correspondência com os dedos das mãos de um indivíduo (dígitos). Na base dez, cada dez unidades é representada por uma dezena, que é formada pelo número um e o número zero: 10. A cada 10 dezenas teremos a representação de uma centena, que é formada pelos número 1 e dois zeros: 100. De modo análogo, a cada dez centenas teremos uma milhar, que é representada pelo número 1 seguido de três zeros: 1000. Dessa forma, foi resolvido o problema da ausência

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

Alguns livros didáticos, artigos científicos e até mesmo monografias apresentam a ideia de que a escrita numérica indo-arábica inicial tinha relação com a quantidade de ângulos que existia nos números escritos. Observe no vídeo a seguir:

Link sugerido • https://goo.gl/ohb0Rp

Porém, apesar de ser bem interessante, existem controvérsias a respeito dessa definição, se ela é correta ou não. Alguns autores atribuem esse feito a um jovem marroquino que formalizou tal ideia.


Capítulo 2 | Conjuntos Numéricos

EXERCITANDO EM AULA 01. Os conjuntos numéricos foram surgindo à medida que certas operações aritméticas não eram fechadas dentro dos conjuntos em que eram realizadas. Assim, por exemplo, o conjunto dos números inteiros surgiu como extensão do conjunto dos números naturais. Embora a adição de dois números naturais resulte sempre em um número natural (a adição é fechada no conjunto dos números naturais), a subtração não é (a subtração de dois números naturais nem sempre resulta em um número natural). Assinale a afirmação verdadeira: a) Os números naturais são fechados em relação à divisão. b) Os números inteiros são fechados em relação à adição. c) Os números inteiros são fechados em relação à divisão. d) A adição de dois números irracionais sempre resulta em um número irracional. e) A subtração de dois números irracionais sempre resulta em um número irracional.

02. (UEL) Seja o número inteiro AB, onde A e B são algarismos das dezenas e das unidades, respectivamente. Invertendo-se a posição dos algarismos A e B, obtém-se um número que excede AB em 27 unidades. Se A + B é um quadrado perfeito, então B é igual a: a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. e) 7.

TÓPICO 2 • Naturais e inteiros 2.1 • Naturais ()

 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...}. Cada um desses símbolos representa uma quantidade, portanto, partindo do nada (zero), teremos uma unidade, duas unidades, etc.

I. II. III. IV. V.

O número 2 é primo. A soma de dois números ímpares é sempre par. Todo número primo multiplicado por 2 é par. Todo número par é racional. Um número racional pode ser inteiro.

Atribuindo V para as afirmações verdadeiras e F para as falsas, assinale a sequência CORRETA: a) V, V, V, V, V. b) V, F, V, V, V. c) V, F, V, V, F. d) F, F, V, V, V. e) V, F, V, F, F.

04. Seja R o número real representado pela dízima 0,999... Pode-se afirmar que: a) R é igual a 1. b) R é menor que 1. c) R se aproxima cada vez mais de 1 sem nunca chegar. d) R é o último número real menor que 1. e) R é um pouco maior que 1.

Quando formos representar o conjunto dos naturais não nulos (excluindo o zero), devemos colocar * ao lado do . Representamos assim: * = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}. Qualquer que seja o elemento de , ele sempre tem um sucessor. • 6 é o sucessor de 5. • 7 é o sucessor de 6. • 19 é antecessor de 20. • 47 é o antecessor de 48. Observe que, com exceção do zero, todo elemento de  também dera um antecesor. Como todo número natural tem um sucessor, dizemos que o conjunto  é infinito.

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

É o conjunto formado pelos números que representam as quantidades de elementos que obtemos no cotidiano, na natureza. São aqueles números que utilizamos para contar. Pertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos, incluindo o zero. Esse conjunto é representado pela letra . Os elementos dos conjuntos devem estar sempre entre chaves. São eles:

03. Considere as afirmações a seguir:

39


Capítulo 2 | Conjuntos Numéricos

Analisando de modo mais técnico, temos: sejam a e b dois números naturais, temos que: (a + b) ∈  (a ⋅ b) ∈  Ou seja, em  é sempre possível efetuar a adição e a multiplicação, ou seja, a soma e o produto de dois números naturais resultam sempre um número natural. Já a subtração e a divisão entre dois números naturais nem sempre é um número natural; a subtração 3 - 4, por exemplo, não é possível em , da mesma forma que a divisão de 7 por 5 (7 ÷ 5) também não é possível em . Daí a necessidade de ampliar o conjunto .

ropa. Para entender o significado das palavras de Fibonacci, consideremos, os exemplos: a) 68 = 6.10 + 8 . 1 = 6 . 101 + 8 . 100 b) 723 = 7 . 100 + 2 . 10 + 3 . 1 = 7 . 102 + 2 . 101 + 3 . 100 c) 5832 = 5 . 1000 + 8 . 100 + 3 . 10 + 2 . 1 = 5 . 103 + 8 . 102 + 3 . 101 + 2 . 100 De modo geral, todo número natural n pode ser escrito na forma: n = mk ⋅ 10k + mk−1 ⋅ 10k−1 + ... + m2 ⋅ 102 + m1 ⋅ 10 + mo

em que k é um número natural e mo, m1, ..., mk são números do conjunto de algarismos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

ADIÇÃO 4 + 5 = 9

Dito de outro modo, o número n possui mo unidades, m1 dezenas, m2 centenas, etc. Estes são os algarismos de n.

MULTIPLICAÇÃO 2 + 3 = 6

SUBTRAÇÃO

2.2 • Inteiros ( )

3 + 8 = ?

DIVISÃO 7 + 8 = ?

0

1

2

3

4

Samuel Florentino

Na reta, temos a seguinte representação para os números naturais.

Os números inteiros surgiram, cronologicamente, bem depois dos números racionais, quando já existia o comércio e, por meio dele, apareciam contas que, em princípio, eram consideradas impossíveis de serem resolvidas pelo simples fato de os comerciantes estarem diante de prejuízos que hoje em dia são sinalizados por números negativos e à époco, só terem a representação dos números naturais.

5

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

SAIBA MAIS

40

Por volta de 1200, o matemático italiano da Idade Média, Leonardo de Pisa, também conhecido como Leonardo Fibonacci, publicou o livro Liber Abaci, sendo a primeira vez que um cristão escreveu sobre Álgebra. As palavras iniciais que aparecem no livro dizem: Eis os símbolos dos hindus: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Com eles, junto com o símbolo 0, que em árabe é chamado zephiro, é possível a escrita de qualquer número... Dessa maneira, os algarismos foram introduzidos na Eu-

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

Imagem 2.9.

Os números inteiros são constituídos dos números naturais (0, 1, 2, 3, ...) e de todos os números negativos simétricos aos números naturais não nulos (−1, −2, −3, −4 ...). Dois números são simétricos se, e somente se, sua soma é zero. O


Capítulo 2 | Conjuntos Numéricos

   = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Todo número natural é um número inteiro.

Shutterstock.com

conjunto de todos os inteiros é representado por um , que vem do alemão Zahlen, que significa números, algarismos.

Observação2: todas as propriedades das operações em  continuam válidas em . Os chineses representavam os números negativos com uma bolinha vermelha em cima do número. Dizem que vem daí a associação entre estar negativo e ficar no vermelho. Imagem 2.10.

⊂ Há subconjuntos de Z: • * = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} conjunto dos inteiros não nulos. • + = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} conjunto dos inteiros não negativos. • - = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} conjunto dos inteiros não positivos. Analisando de forma mais técnica, temos: sejam a e b dois números inteiros, temos que:

(a + b) ∈  (a ⋅ b) ∈  (a - b) ∈ 

Os números inteiros são fechados para as operações de adição, multiplicação e subtração, ou seja, a soma, o produto e a diferença de dois números inteiros ainda é um número inteiro, mas não podemos dividir dois números inteiros e garantir que o resultado seja um número inteiro. Perceba que a divisão de dois números inteiros nem sempre resulta em um número inteiro: 99 (-8) : (+2) = -4 → é possível em . 99 (-7) : (2) = ? → não é possível em . Então, para “sanar essa falha”, surgem os números racionais.

Os números aumentam

-4

-3

-2

-1

0

+1

+2

+3

+4

Os números diminuem

Observação1: dois números são ditos opostos (ou simétricos) quando há uma simetria em relação ao zero. O oposto ou simétrico de 3 é -3, bem como o oposto de -3 é 3, valendo 3 + (-3) = 0.

A ideia sobre representar os sinais positivos (+) e negativos (-) vem dos antigos comerciantes.Vamos supor que um deles tivesse em seu estoque dois sacos de milho com 15 kg cada um. Se esse comerciante vendesse num dia 10 kg de milho, ele escrevia o número 10 com um traço (semelhante ao atual sinal de menos) na frente para não se esquecer de que no saco faltavam 10 kg de milho. Mas, se ele resolvesse despejar no outro saco os 5 kg que restaram, escrevia o número 5 com dois traços cruzados (semelhante ao atual sinal de mais) na frente, para se lembrar de que no saco havia 5 kg de milho a mais que a quantidade inicial. Com essa nova notação, os matemáticos poderiam não somente indicar as quantidades, mas também representar o ganho ou a perda dessas quantidades, por meio de números, com sinal positivo ou negativo.

Em nosso dia a dia vemos a presença dos números inteiros em determinadas situações: medições de temperatura acima ou abaixo de 0 ºC, para situar fusos horários de países, posições abaixo ou acima do nível do mar, identificar saldos bancários com crédito ou débito, saldo de gols dos times de futebol em um campeonato, desacelerações de corpos, etc.

2.2.1 • Operações com Inteiros a) Na adição e na subtração, utilizamos a seguinte definição: 1. Números com sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior: - 20 + 3 = - 17 | + 48 - 18 = + 30 2. Números com sinais iguais: soma e conserva o sinal: - 20 - 5 = - 25 | + 18 + 3 = + 21 b) Na multiplicação e na divisão entre números inteiros, é preciso utilizar o jogo de sinais. (+) (+) (-) (-)

. . . .

(+) (-) (+) (-)

= = = =

+ +

(+) (+) (-) (-)

: : : :

(+) (-) (+) (-)

= = = =

+ +

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Na reta, temos a seguinte representação para os números inteiros

SAIBA MAIS

41


Capítulo 2 | Conjuntos Numéricos

Exemplos: (+6) . (-5) . (-81) : (+100) :

(-2) (-9) (-3) (-10)

= -12 = +45 = +27 = -10

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Nova York +2*

9

3

6 sexta-feira, 14:25

Amsterdam

+4*

08. João depositou em sua conta bancária a quantia de R$ 300,00. Ao conferir o saldo de sua conta, notou que ainda possuía um valor negativo de R$ 70,00. Quanto João devia ao banco? Resolução: Ao depositar R$ 300,00 e continuar devendo R$ 70,00, podemos chegar à conclusão de que João devia ao banco R$ 370,00. Nos bancos, os saldos devedores são simbolizados pelo sinal (-). Podemos realizar a seguinte operação matemática: - 370 + 300 = - 70.

09. (UFSM-RS) Observe, a seguir, os relógios com os horários de diversas cidades pelo mundo e responda à questão adiante.

São Paulo 0*

12

9

9

3

3

6 sexta-feira, 16:25 +7,5

12

Buenos Aires 0*

12

Índia

9

3

6 sexta-feira, 16:25

Hong Kong

+10

12

9

Londres +3*

12

3

9

9

3

6 sexta-feira, 19:25 +11

12 3

12

Tokyo 12

9

3

6

6

6

6

sexta-feira, 20:25

sexta-feira, 23:55

sábado, 02:25

sábado, 03:25

Desconsiderando horários de verão locais, os horários permitem, também, deduzir que uma competição esportiva que ocorra em São Paulo, às 20 horas, seja assistida pela TV, ao vivo, em Londres à(s): a) 20 horas. b) 21 horas. c) 22 horas. d) 23 horas. e) meia-noite. Resolução: Como a diferença em relação a São Paulo é de apenas 3 horas a mais, temos que, em Londres, a prova passará às 23 horas.

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

EXERCITANDO EM AULA

42

05. (UFPI) Se x = 1,333... e y = 0,1666... então x + y é igual a:

06. Considere a sequência de operações aritméticas na qual

a) 7 5

cada uma atua sobre o resultado anterior. Comece com um nú3 mero x. Subtraia 2, multiplique por , some 1, multiplique por 5 2, subtraia 1 e finalmente multiplique por 3 para obter o nú-

b) 68 45 c) 13 9 4 3 3 e) 2 d)

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

mero 21. O número x pertence ao conjunto a) {1, 2, 3, 4} b) {-3, -2, -1, 0} c) {5, 6, 7, 8} d) {-7, -6, -5 ,-4}

07. Sejam x e y números tais que os conjuntos {0, 7, 1} e {x, y, 1} são iguais. Então, podemos afirmar que: a) x = 0 e y = 5 b) x + y = 7 c) x = 0 e y = 1 d) x + 2y = 7 e) x = y


Capítulo 2 | Conjuntos Numéricos

08. Sobre conjuntos numéricos são feitas as seguintes afirmações: I. II. III. IV. V.

Todo número natural é real; Todo número real é racional; Todo número racional é inteiro; Todo número inteiro é natural; Todo número natural é inteiro.

minada quantidade de notas musicais em que a soma das durações coincide com a fração indicada como fórmula do compasso. 1 Por exemplo, se a fórmula de compasso for , poderia ter um 2 compasso ou com duas semínimas ou uma mínima ou quatro col-

Qual(is) dessas afirmações é (são) verdadeiras? a) apenas I b) I e V c) apenas V d) II e III e) I e IV

09. A Música e a Matemática se encontram na representação dos tempos das notas musicais, conforme a figura seguinte: Semibreve Mínima

Semínima

Colcheia

Semifusa

Semicolcheia

Fusa

TÓPICO 3 • Racionais e irracionais 3.1 • Racionais ( ) Os números racionais surgiram da necessidade do homem de medir a Terra, ou seja, por meio da Geometria. Após deixar de ser nômade, o homem passou a se fixar perto dos rios para subsistência, dessa forma, ao terminar o período das cheias e secas dos rios. Deveriam medir o terreno novamente para se saber se houve perdas ou ganhos de terra. Porém, nem sempre essas medidas eram exatas e sentiu-se a necessidade de “fatiar”, de “fracionar” o inteiro, surgindo assim os números racionais.

conjunto de todos os números que podem ser representados p sob a forma de fração tal que p ∈  e q ∈ *. q

cheias, sendo possível a combinação de diferentes figuras. Um trecho musical de oito compassos, cuja fórmula é ser preenchido com: a) b) c) d) e)

3 , poderia 4

24 fusas. 3 semínimas. 8 semínimas. 24 colcheias e 12 semínimas. 16 semínimas e 8 semicolcheias.

10. Para todo número inteiro x, define-se uma operação # como: x# =2 - 3x.Nessas condições, o valor da expressão ((-2 ) #)# é a) -26 b) -22 c) -20 d) 22 e) 26

* - conjunto dos números racionais não nulos  + - conjunto dos números racionais não negativos  − - conjunto dos números racionais não positivos Em uma linguagem mais técnica, temos que: sejam a e b dois números racionais, temos que: (a ⋅ b) ∈   a    ∈ , sendo b ∈ * b 

(a + b) ∈  (a - b) ∈ 

Perceba que, a partir dos números racionais, as quatro operações fundamentais da Matemática ficam bem definidas.   

⊂⊂

p ,p ∈  e q ∈  *} q

O uso da letra  é derivado da palavra latina quotie(n)s, cujo significado é quantas vezes. No conjunto dos números racionais, podemos destacar alguns subconjuntos notáveis, como:

Note também que toda construção numérica feita para os números inteiros será aproveitada para os números racionais, ou seja, todo número inteiro é também um número racional, além dos decimais exatos e das dízimas periódicas, que também podem ser representadas por meio de uma fração, ou seja, também são classificados como números racionais.

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Assim, dizemos que o conjunto dos números racionais é o

 = { x |x =

Um compasso é uma unidade musical composta de deter-

43


Capítulo 2 | Conjuntos Numéricos

3.1.1.2 • Dízimas periódicas compostas (DPC)

Exemplos: INTEIROS

5=

−6 =

5 20 = 1 4

30 12 = 2 −5

DECIMAIS EXATOS

0, 43 =

−2, 4 =

43 100

12 −24 =− 10 5

São aquelas nas quais, imediatamente após a vírgula, aparece a parte não periódica para, em seguida, aparecer o período.

92 = 1, 0222... 90 Período: 2 Parte não periódica: 0 Parte inteira: 1 1039 = 1,15444... 900

0=

0 0 = 5 3

1345 269 1,345 = = 1000 200

ATENÇÃO: o resultado de 0 é dito indeterminado. 0

3.1.1 • Dízimas periódicas Chamamos de dízimas periódicas aos números decimais que não possuem representação decimal exata. Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente constituem o período dessa dízima. As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas. 3.1.1.1 • Dízimas periódicas simples (DPS) São aquelas nas quais o período aparece imediatamente após a vírgula.

Período: 4 Parte não periódica: 15 Parte inteira: 1

61 = 0,1232323... 495 Período: 23 Parte não periódica: 1 Parte inteira: 0

99 Consideramos parte inteira como sendo o número antes da vírgula. 99 Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre a vírgula e o período. 99 Podemos representar uma dízima periódica com um barra sobre a parte periódica.

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Exemplo1: 0,555... ou 0,5

44

5 = 0,555... (período : 5) 9

7 = 2,333... (período : 3) 3

4 = 0,1212... (período : 12) 33

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

Exemplo2: 0,1232323 ... ou 0,123

3.1.2 • Geratriz de uma dízima periódica Como vimos, dízimas periódicas são números racionais e, portanto, podem ser representadas por uma fração chamada de fração geratriz. Veremos agora como transformar uma dízima periódica na sua fração geratriz. 3.1.2.1 • Dízima periódica simples (DPS) a A geratriz de uma dízima simples é uma fração da forma , b tal que:


Capítulo 2 | Conjuntos Numéricos

99 o numerador (valor de a) corresponde à parte inteira, seguida do período, subtraída a parte inteira. 99 o denominador (valor de b) tem tantos noves quantos forem os algarismos do período. Exemplos:

Agora subtraia (II) - (I): 10x = 4, 444...  4 ⇒ 9x = 4 ⇒ x =   9  x = 0, 444... 2. Qual a fração geratriz de 2,383838... (DPS)?

0,777... =

07 − 0 7 = 9 9

1, 444... =

14 − 1 13 = 9 9

Chame a dízima de x, por exemplo: x = 2,383838... (I). Agora multiplique por 100 (pois o período tem 2 algarismos) ambos os membros da equação:

0, 2323... =

023 − 0 23 = 99 99

28,333... =

283 − 28 255 = 9 9

3.1.2.2 • Dízima periódica composta (DPC) n A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma , d tal que:

100x = 238,383838... (II) Agora subtraia (II) - (I):  100x = 238, 383838... → 99x = 236    236  x = 2, 383838... →x=  99 3. Qual a fração geratriz de 0,1555... (DPC)?

99 n é a parte inteira seguida da parte não periódica, seguida do período, subtraindo a parte inteira e não periódica. 99 d é formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período, seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.

Para determinar a fração geratriz de uma DPC, inicialmente devemos transformá-la em uma DPS, procedendo da seguinte forma: Chame a dízima de x, por exemplo:

Exemplos: x = 0,1555...

0, 4777... =

1,76555... =

1765 − 176 1589 = 900 900

1325 − 13 1312 04286 − 042 4244 0, 428686... = = = 9900 9900 990 990

Multiplique por 10 (número referente à quantidade de algarismos da parte não periódica) ambos os membros da equação: 10x = 1,555... (I). Esta nova dízima deixou de ser composta e passou a ser simples. Agora, procedemos do mesmo modo como se fôssemos transformar uma dízima simples: Multiplique por 10 (pois o período tem 1 algarismo) ambos os membros da equação: 100x = 15,555... (II) Agora, subtraia (II) - (I):

Na verdade, a conversão da dízima periódica em fração é dada da seguinte forma: 1. Qual a fração geratriz de 0,4444... (DPS)? Chame a dízima de x, por exemplo: x = 0,444...(I). Multiplique por 10 (pois o período tem 1 algarismo) ambos os membros da equação: 10x = 4,444... (II)

100x = 15,555...     10x = 1,555...

⇒ 90x = 14

⇒ ⇒

14 90 7 x= 45 x=

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

1,32525... =

047 − 04 43 = 90 90

45


Capítulo 2 | Conjuntos Numéricos

SAIBA MAIS Temos outro modo de escrever um decimal exato ou uma dízima periódica Por exemplo, 543,8714 representa o número obtido como resultado da expressão: 5 . 102 + 4 ⋅ 101 + 3 . 100 + 8 . 10-1 + 7 . 10-2 + 1 . 10-3 + 4 . 10-4 235 tem representação de999 cimal 0, 235235235… com uma infinidade de algarismos Por outro lado, a fração

à direita. Essa representação se traduz como resultado de uma expressão com infinitas parcelas: 2 . 10-1 + 3 . 10-2 + 5 . 10-3 + 2 . 10-4 + 3 . 10-5 + 5 . 10-6 + ... Essa expressão significa exatamente que, se quisermos aproximar

235 no sistema decimal, devemos somar os ter999

mos dessas parcelas que são, na verdade, a soma dos termos de uma Progressão Geométrica Infinita, assunto que será visto no 2º ano do Ensino Médio.

SAIBA MAIS

este belo animal que, em boa hora, aqui nos trouxe!” O espanto do companheiro de viagem, e dono do camelo que Beremiz oferecia, foi em princípio bem justificado. No entanto, a pedido de Beremiz e confiando na sua esperteza, cedeu o seu camelo para facilitar a partilha. “Vou, meus amigos – disse, dirigindo-se aos irmãos – fazer a divisão justa e exata dos camelos que são agora, em número de 36.” Voltando-se para o mais velho dos irmãos, disse: “Deverias receber, meu amigo, a metade de 35, isto é, 17 e meio. Receberás a metade de 36. Nada tens a reclamar, pois com 18 camelos saíste lucrando!” Dirigindo-se ao segundo herdeiro, continuou: “Tu deverias receber um terço de 35, isto é, 11 e pouco, recebendo um terço de 36, isto é, 12 camelos, saíste lucrando também com a divisão!” E disse ao mais moço: “E tu, jovem amigo, segundo a vontade do teu pai, receberias a nona parte de 35, isto é, 3 e tanto. Receberás a nona parte de 36, isto é, 4. O teu lucro foi igualmente notável!” Concluindo assim “Nesta vantajosa divisão, na qual coube 18 camelos ao primeiro, 12 ao segundo e 4 ao terceiro, dando como resultado 18 + 12 + 4 = 34, dos 36 camelos sobraram 2 camelos. Um deles, como vocês sabem, pertence ao meu amigo, o outro toca por direito a mim por ter resolvido, a contento de todos, o complicado problema.” Os irmãos, convencidos de que a partilha tinha sido justa, concordaram com as palavras de Beremiz, que, junto com seu amigo (agora cada um em seu próprio camelo), continuou a viagem.

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Curiosidades matemáticas

46

No seu livro O Homem que Calculava, Malba Tahan conta histórias sobre a vida de um jovem persa do século XII, Beremiz Samir, grande conhecedor da Matemática da sua época. No terceiro capítulo do livro, Beremiz e seu fiel amigo, ambos montados no mesmo camelo, chegam a um oásis no deserto. Encontram três irmãos numa acirrada disputa por uma herança de 35 camelos deixados pelo pai. O falecido estipulara que o filho mais velho ficaria com a metade da herança; o filho do meio, com um terço; e o mais moço, com um nono, segundo explicado a Beremiz pelo mais velho dos três. O motivo da discussão era porque a metade de 35 é 17 e meio e, similarmente, a terça e a nona partes de 35 também não são exatas. Foi então que Beremiz se ofereceu para resolver o problema com justiça: “Se me permitirem juntar aos 35 camelos da herança

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

Assim como os números naturais surgiram da necessidade de contar, os números racionais, que são expressos pela razão entre dois inteiros, surgiram da necessidade de medir. Medir é comparar. Para isso é necessário estabelecer um padrão de comparação para todas as grandezas da mesma espécie; por exemplo, 1 cm para comprimentos, 1 segundo para tempo, etc. Esse padrão estabelece uma unidade de medida da grandeza (comprimentos, áreas, tempo, etc). Medir, portanto, é determinar quantas vezes a unidade estabelecida cabe, por exemplo, no comprimento que se quer medir. O resultado dessa comparação, que é a medida da grandeza em relação à unidade considerada, deve ser expresso por um número. No conjunto Q, as quatro operações fundamentais são possíveis e valem todas as propriedades de soma, subtração, multiplicação e divisão que valem para os inteiros.


Capítulo 2 | Conjuntos Numéricos

Na reta, temos: − 52

−3

− 43

−2

I+=I − 21

−1

1 3

0

1 3 2 4

1

4

3 +1 2

3

I-=I

I ⋅  = I ( ≠ 0)

I /  = I ( ≠ 0)

(1 + 5) ⋅ 2

( 8 − 1) 2

2 −8

4. São igualmente irracionais : 3 4 , 3 7 , 4 2 , 5 8, etc. 5. São irracionais os números especiais:

Entre dois números inteiros nem sempre existe outro nú-

p=

mero inteiro. Entre dois racionais sempre existe outro racional. Por exemplo, entre os racionais 1 = 0, 25 e 3 = 0,75, podemos 4 4 encontrar infinitos racionais; entre eles 1 = 0, 625. Mas isso não 8 significa que os racionais preenchem toda a reta. Os números ra-

3,14159...

 = 2,71828... Φ = 1,61803...

cionais são insuficientes para medir todos os segmentos de reta. Por exemplo, a medida da hipotenusa de um triângulo re-

Observação: não são irracionais 4 16, 3 -8, 3

tângulo, de catetos medindo uma unidade, é um número não racional. Embora as quatro operações fundamentais (adição,

8 , etc. 27

SAIBA MAIS

subtração, multiplicação e divisão por um número diferente de zero) sejam sempre definidas em Q, uma equação como

Chamamos de números irracionais o conjunto de todos os números que não podemos representar na forma de fração. São as dízimas não periódicas. A existência de medidas ou quantidades que não podem ser expressas por números racionais foi percebida pela primeira vez pelos gregos da era pitagórica. Exemplos:

2. Números representáveis por dízimas infinitas não periódicas são irracionais. 1,4356789023454367...; 2,3547876453...; 3. São irracionais os resultados da soma, subtração, multiplicação e divisão de um número irracional com um número racional.

b

incertezas da percepção. Pitágoras foi o primeiro a fazer uma demonstração matemática da igualdade c2 = a2 + b2, entre as medidas dos comprimentos a e b dos catetos de um triângulo retângulo e o comprimento c da sua hipotenusa (lembre que a hipotenusa de um triângulo retângulo é o lado oposto ao ângulo reto). Esse resultado, chamado Teorema de Pitágoras, já era conhecido e utilizado na prática pelos babilônios e pelos chineses, mais de mil anos antes de Pitágoras. Para Pitágoras, a beleza da Matemática e da natureza por ela descrita era baseada na ideia de que os números 1 racionais poderiam descrever todos os fenômenos do nosso universo. Essa ma1 neira de pensar fez com que Pitágoras fechasse seus olhos a uma descoberta maravilhosa: segundo a história, Hipaso, um aluno da Irmandade Pitagórica, percebeu que a medida da hipotenusa do triângulo retângulo, cujos catetos medem uma unidade, não é um número racional. Note que esta é também a medida da diagonal do quadrado cujo lado mede uma unidade. Após a descoberta de Hipaso, a Irmandade começou

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

1. Todas as raízes quadradas de números naturais que não sejam quadrados perfeitos (quando a raiz quadrada de um número natural não for natural) são números irracionais. Logo, são irracionais 2 , 3, 5, 7 , 8, 10, n, com n natural, desde que não seja um quadrado perfeito.

b 2

a2

2

3.2 • Irracionais (I)

c a

=

mero não racional ou irracional.

c2

Pitágoras de Samos, que viveu na Magna Grécia, é um dos matemáticos mais conhecidos. Sendo também pioneiro em perceber a existência dos números, independentemente do mundo palpável, estudou-os livre das

d

x2 = 2 , não pode ser resolvida em Q, pois não existe racional  a 2 a tal que   = 2 .  b  b Surge, então, a necessidade de outro tipo de número, o nú-

47


Capítulo 2 | Conjuntos Numéricos

uma série de debates sobre o assunto. No entanto, Pitágoras não aceitou ver suas ideias sobre a concepção do universo destruídas e, sendo incapaz de contrariar Hipaso com argumentos lógicos, condenou-o à morte por afogamento. Dessa maneira, Pitágoras usou a força para não admitir que estava errado.

E 2 é mesmo irracional? Euclides provou que o número positivo cujo quadrado é 2, isto é, o número positivo x que satisfaz a equação x2 = 2, não é racional.

Portanto, p2 é par e p também é par; p pode ser escrito na forma p = 2k. Assim, (2k)2 = 2q2 ⇔ 4k2 = 2q2 ⇔ 2k2 = q2. Pela mesma razão que acabamos de expor, concluímos que q também deve ser par. Mas isso nos leva a uma contradição, pois p e q são primos entre si por hipótese! Assim, a suposição de que x=

p é racional nos leva a uma contradição e, portanto, deve q

ser descartada e considerada falsa. Chegamos à conclusão de que 2 , que é como representamos o número positivo cujo quadrado é 2, é um número irracional! Observe como podemos representar alguns números irracionais na reta:

1

Euclides argumentou da seguinte forma: Suponhamos que o número x satisfazendo a equação seja racional. Então, existem inteiros positivos p e q, primos entre si, tais que

p2 q

2

= 2, ou seja p2 = 2q2.

0

1

2

3

4

5

6 7 8

EXERCITANDO EM AULA 11. (IFCE)

Considere os seguintes números reais

23 7 47 11 4 11 , , ,1, , , . Colocando-se esses números em ordem 24 8 48 12 3 8 crescente, o menor e o maior deles são, respectivamente:

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

a)

48

23 e1 24

b)

11 4 e 12 3

c)

7 4 e 8 3

d)

7 11 e 8 8

e)

47 4 e 48 3

12. (UFRGS) Se x = 0,949494... e y = 0,060606..., então x + y é igual a: a) 1,01 b) 1,11 c)

10 9

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

d)

100 99

e)

110 9

13. (PUC-CAMP) Considere os conjuntos: , dos números naturais, , dos números racionais, +, dos números racionais não negativos, , dos números reais. O número que expressa: a) a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de +, mas não de . b) a medida da altura de uma pessoa é um elemento de . c) a velocidade média de um veículo é um elemento de , mas não de +. d) o valor pago, em reais, por um sorvete é um elemento de +. e) a medida do lado de um triângulo é um elemento de .


CapĂ­tulo 2 | Conjuntos NumĂŠricos

TĂ&#x201C;PICO 4 â&#x20AC;˘ Reais (ď&#x201A;Ą)

2. Na reta â&#x2C6;&#x2019; 2,3434...

Ă&#x2030; o conjunto dos nĂşmeros formados pela uniĂŁo dos nĂşmeros racionais com os irracionais.

...â&#x2C6;&#x2019;3

â&#x2C6;&#x2019;2

â&#x2C6;&#x2019;1

0

0,566...

1

â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2C6;&#x2019;0,123456...

O conjunto dos números reais possui uma infinidade de números, pois contempla todos os números que podem ser transformados em fração e todos os números que não podem ser transformados em fração. 1. Naturais 0 1 2 3 ...

2

â&#x2C6;&#x2019;19 10

...â&#x2C6;&#x2019;3

â&#x2C6;&#x2019;2

â&#x2C6;&#x2019; 0,999... 0,12

2

Exemplo: a equação x2 + 1 = 0 não apresenta solução no conjunto dos reais.

â&#x2C6;&#x2019; 2

()

3,15

ď&#x201A;Ľâ&#x160;&#x201A;ď&#x201A;˘â&#x160;&#x201A;ď&#x201A;¤â&#x160;&#x201A;ď&#x201A;Ąâ&#x160;&#x201A;ď&#x201A;Ł

1

2

â&#x2C6;&#x2019; 0,123456...

3 ...

4.1 â&#x20AC;˘ Intervalos reais

Ď&#x20AC;

3 1,47234...

Alguns subconjuntos de ď&#x201A;Ą podem ser representados de uma maneira bastante simplificada. SĂŁo os chamados intervalos reais.

5. Reais â&#x2C6;&#x2019; 2,3434...

...â&#x2C6;&#x2019;3

â&#x2C6;&#x2019;2

â&#x2C6;&#x2019;1

0

0,566...

â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2C6;&#x2019;0,123456...

â&#x2C6;&#x2019;  (irracionais)



3 ...

1,77...

0

Ď&#x20AC;

3

3 ...

4. Irracionais

â&#x2C6;&#x2019;1

...

REAIS ()

3. Racionais â&#x2C6;&#x2019;1 1 0

â&#x2C6;&#x2019;2

3,7

Observação: existe uma falha no conjunto dos reais, que são as raízes de índices pares de números negativos. Daí surgem novos tipos de números, chamados de números complexos, assunto que serå estudado em outra oportunidade.

 ...â&#x2C6;&#x2019;3

3



2. Inteiros â&#x2C6;&#x2019;1 1 0

â&#x2C6;&#x2019;2

2,4

1,47234...

ď&#x201A;Ą=ď&#x201A;¤â&#x2C6;ŞI

... â&#x2C6;&#x2019;3

2

1

2

2,4

3

3

3,7

...

Ď&#x20AC;

1. Intervalo aberto nas duas extremidades: a

b

1,47234...

Que pode ser representado tambĂŠm por ]a, b[ ou ainda por (a, b) ou tambĂŠm pelo conjunto {x â&#x2C6;&#x2C6; ď&#x201A;Ą | a < x < b}. 2. Intervalo fechado nas duas extremidades: a

Representação

b

1. No diagrama

 = I â&#x2C6;Ş  (Reais)

I(Irracionais)  (Racionais)  (Inteiros)  (Naturais)

Que pode ser representado por [a, b] ou ainda pelo conjunto {x ď&#x201A;Ą | a â&#x2030;¤ x â&#x2030;¤ b}. 3. Intervalo fechado em a e aberto em b: a

b

Que pode ser representado por [a, b[ = [a, b) ou ainda pelo conjunto {x ď&#x201A;Ą | a â&#x2030;¤ x < b}.

1Âş ANO - MATEMĂ TICA 1 | VOLUME 1

MATEMĂ TICA E SUAS TECNOLOGIAS

Representamos os nĂşmeros racionais por pontos azuis e os nĂşmeros irracionais por pontos vermelhos. O conjunto dos nĂşmeros reais ĂŠ formado pela uniĂŁo desses pontos, ou seja, a reta estĂĄ completa.

49


Capítulo 2 | Conjuntos Numéricos

4. Intervalo aberto em a e fechado em b: a

b

Solução: a)

Que pode ser representado por ]a, b] = (a, b] ou ainda pelo conjunto {x  | a < x ≤ b}.

A ∪ B = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 5} = [0, 5] 0

A

1

B

5. Intervalo fechado em a:

Que pode ser representado por [a, ∞ [ = [a, ∞) ou pelo conjunto {x ∈  | x ≥ a}.

b)

6. Intervalo aberto em a:

0

c) b

3

A - B = {x ∈ R | 0 ≤ x < 1} = [0, 1[ = [0, 1) 0

A

3 1

B

Que pode ser representado por ]-∞, b] = (-∞, b] ou pelo conjunto {x ∈  | x ≤ b}.

5

1

A ∩B

7. Intervalo fechado em b:

3 1

B

Que pode ser representado por ]a, ∞ [ = (a, ∞) ou pelo conjunto {x ∈  | x > a}.

3

A ∩ B = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 3} = [1, 3] A

a

5

1

A ∩B

a

3

0

A−B

5

1

8. Intervalo aberto em b: b

Que pode ser representado por ]-∞, b[ = (-∞, b) ou pelo conjunto {x ∈  | x < b}.

d)

B - A = {x ∈ R | 3 < x ≤ 5} = ]3, 5] = (3, 5] A B B− A

0

3 1

5 3

5

99 O símbolo ∞ significa infinito.

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

99 O intervalo fechado é representado por um colchete fechado [ ].

50

99 O intervalo aberto pode ser representado por um colchete aberto ] [ ou por um parêntese fechado ( ).

4.1.1 • Operações com intervalos Exemplo: Sendo A = [0, 3] e B = [1, 5] , determine: a) A ∪ B b) A ∩ B c) A − B d) B − A

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

APROFUNDAMENTO Números primos e suas curiosidades Definimos um número primo (P) como aquele que possui apenas 4 divisores: ±P e ± 1, ou seja, D (P) = { + P, -P, +1, -1 } Quando foram pensados pela primeira vez, muito provavelmente por Pitágoras, cerca de 530 a.C., a palavra primo não tinha relação de parentesco, mas sim de primário.


Capítulo 2 | Conjuntos Numéricos

A ideia de números primários, introduzida por Pitágoras, continua até hoje. Para Pitágoras, existiam os números primários e os números secundários. De maneira simplificada, os números primários ou primos são aqueles que não podem ser obtidos por multiplicação de outros números, e os secundários são aqueles que podem ser gerados pela multiplicação de outros números. Veja o vídeo e se encante com os números primos.

Link sugerido • https://goo.gl/33f7CQ

EXERCITANDO EM AULA 14. (PUC-MG) Considere os seguintes subconjuntos de números naturais:

15. (PUC-SP) Considerando:  = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}, 24 =n,n }e x B = {x  | 3x + 4 < 2x + 9}.

 = {0, 1, 2, 3, 4,...}. P = {x ∈  | 6 ≤ x ≤ 20}. A = {x ∈ P | x é par}. B = {x ∈ P | x é divisor de 48}. C = {x ∈ P | x é múltiplo de 5}.

A = {x * |

Podemos afirmar que: a) A ∪ B tem 8 elementos. b) A ∩ B tem 4 elementos. c) A ∪ B = A. d) A ∩ B = A. e) n.d.a.

O número de elementos do conjunto (A - B) ∩ C é: a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO TÓPICO 1: Introdução histórica

01. No esquema a seguir, o número 14 é o resultado que se pretende obter para a expressão final encontrada ao efetuar-se, passo a passo, a sequência de operações indicadas, a partir de um dado número x. (multiplicar (subtrair 5) por 6) x

(multiplicar (dividir por 7) por 2) 14

02. (ENEM) O artigo 33 da lei brasileira sobre drogas prevê a pena de reclusão de 5 a 15 anos para qualquer pessoa que seja condenada por tráfico ilícito ou produção não autorizada de drogas. Entretanto, caso o condenado seja réu primário, com bons antecedentes criminais, essa pena pode sofrer uma redução de um sexto a dois terços.

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Nível 1

O número x que satisfaz as condições do problema é: a) divisível por 6. b) múltiplo de 4. c) um quadrado perfeito. d) racional não inteiro. e) primo.

51


Capítulo 2 | Conjuntos Numéricos

Suponha que um réu primário, com bons antecedentes criminais, foi condenado pelo artigo 33 da lei brasileira sobre drogas. Após o benefício da redução de pena, sua pena poderá variar de a) 1 ano e 8 meses a 12 anos e 6 meses. b) 1 ano e 8 meses a 5 anos. c) 3 anos e 4 meses a 10 anos. d) 4 anos e 2 meses a 5 anos. e) 4 anos e 2 meses a 12 anos e 6 meses.

03. Os egípcios da Antiguidade criaram um sistema muito interessante para escrever números baseados em agrupamento. O número 1 é representado pelo bastão |, o número 2 por dois

mero 6 é um número perfeito, pois a soma de seus divisores (1, 2 e 3), excetuando-se o próprio número 6, é 6: 1 + 2 + 3 = 6. Quando a referida soma era menor que o número em questão, esse número era classificado como deficiente. E, quando a soma era maior que o número, então esse número era classificado como excessivo. Desse modo, podemos classificar, respectivamente, os números 9 e 12 como sendo: a) perfeito e excessivo. b) excessivo e deficiente. c) deficiente e perfeito. d) deficiente e excessivo. e) excessivo e perfeito.

05. O sistema de numeração egípcio utilizava os seguintes símbolos para representação.

bastões | | e assim por diante, até o número 9, representado por nove bastões em sequência | | | | | | | | |. Para o número 10, utiliza-se o símbolo

e alguns outros números múltiplos

de 10 estão descritos na tabela a seguir.

Desse modo, a representação

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Os números de 1 a 9 999 999 na numeração egípcia derivam dos símbolos da tabela, respeitando as devidas quantidades e posições (símbolos que representam números maiores são colocados à esquerda e de maneira decrescente, são colocados os demais símbolos à direita, até a soma deles chegar ao número desejado). Por exemplo, o número 321 é descrito por , pois 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 1 é igual a 321.

52

O número egípcio equivale ao número: a) 12 372 b) 1 230 072 c) 1 203 702 d) 1 230 702 e) 1 237 200

04. O famoso matemático e filósofo Pitágoras de Samos era o líder de uma espécie de sociedade que existi por volta de 530 a.C. Os pitagóricos, membros dessa sociedade, eram grandes estudiosos e descobriram fatos interessantes sobre os números. Chamavam de perfeito o número cuja soma de seus divisores, exceto ele mesmo, era o próprio número. Assim, o nú1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

Corresponde ao número a) 315. b) 3 015. c) 3 105. d) 30 005. e) 30 015.

Nível 2

06. (ENEM PPL) Em um jogo de tabuleiro, a pontuação é marcada com fichas coloridas. Cada ficha vermelha vale um ponto. Três fichas vermelhas podem ser trocadas por uma azul, três fichas azuis podem ser trocadas por uma branca, e três fichas brancas podem ser trocadas por uma verde. Ao final do jogo, os jogadores A, B e C terminaram, cada um, com as quantidades de fichas, conforme a tabela seguinte: Fichas verdes

Fichas brancas

Fichas azuis

Fichas vermelhas

Jogador A

3

1

1

4

Jogador B

2

4

0

9

Jogador C

1

5

8

2


Capítulo 2 | Conjuntos Numéricos

De acordo com essa tabela, as classificações em primeiro, segundo e terceiro lugares ficaram, respectivamente, para os jogadores a) A, B e C. b) B, A e C. c) C, B e A. d) B, C e A. e) C, A e B.

07. (ENEM) Em um aeroporto, os passageiros devem submeter suas bagagens a uma das cinco máquinas de raio-X disponíveis ao adentrarem a sala de embarque. Num dado instante, o tempo gasto por essas máquinas para escanear a bagagem de cada passageiro e o número de pessoas presentes em cada fila estão apresentados em um painel, como mostrado na figura.

Um passageiro, ao chegar à sala de embarque desse aeroporto no instante indicado, visando esperar o menor tempo possível, deverá se dirigir à máquina a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.

08. (ENEM) Um edifício tem a numeração dos andares iniciando no térreo (T), e continuando com primeiro, segundo, terceiro, até o último andar. Uma criança entrou no elevador e, tocando no painel, seguiu uma sequência de andares, parando, abrindo e fechando a porta em diversos andares. A partir de onde entrou a criança, o elevador subiu sete andares, em seguida desceu dez, desceu mais treze, subiu nove, desceu quatro e parou no quinto andar, finalizando a sequência. Considere que, no trajeto seguido pela criança, o elevador parou uma vez no último andar do edifício.

Das 4h às 18h. Das 8h às 16h. Das 10h às 16h. Das 10h às 12h.

10. Durante o processo seletivo de certa empresa, realizou-se uma dinâmica em grupo na qual os candidatos precisavam organizar folhas dentro de quatro pastas coloridas. Cada candidato tinha determinada quantidade de folhas para serem arquivadas de acordo com as regras a seguir: 1. Se o número constante na folha fosse ímpar, ela devia ser arquivada na pasta amarela. 2. Se o número constante na folha fosse par, ela devia ser arquivada na pasta azul. 3. Se o número constante na folha fosse racional, ela devia ser arquivada na pasta verde. 4. Se o número constante na folha fosse irracional, ela devia ser arquivada na pasta vermelha. As regras deveriam ser aplicadas na ordem de 1 a 4, e o arquivamento teria de ocorrer assim que a primeira regra fosse satisfeita. João tinha 10 folhas com os seguintes números: 2018; 2107; π3; −π2; 0,55; 40,5; 20,5; 23; 10001/3 e 250,5. Sabe-se que ele fez a distribuição corretamente. Desse modo, ao final da dinâmica, a quantidade de folhas arquivadas por João nas pastas amarela, azul, verde e vermelha era, respectivamente, de a) 0, 0, 7 e 3. b) 1, 2, 1 e 6. c) 1, 2, 0 e 7. d) 2, 4, 0 e 4. e) 2, 1, 4 e 3

11. Os mais importantes museus do mundo, como os de Paris, Berlim, Londres e universidades como a de Yale, Columbia e Pensilvânia contêm coleções de tábulas, como mostra a figura a seguir, que revelam muito da cultura dos povos babilônicos. A grande maioria das tábulas refere-se a textos estritamente matemáticos e supõe-se que datam de 2100 a.C.

09. (IFSUL) Três irmãos trabalham na mesma indústria, porém em turnos diferentes: um trabalha no intervalo das 8h às 16h; outro das 4h às 12h e o terceiro das 10h às 18h. Em qual intervalo de tempo esses irmãos trabalham juntos nessa indústria?

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

De acordo com as informações dadas, o último andar do edifício é o a) 16º b) 22º c) 23º d) 25º e) 32º

a) b) c) d)

53


Capítulo 2 | Conjuntos Numéricos

Com estas tábulas, pode-se inferir sobre o sistema de contagem utilizado pelos babilônicos, o sistema sexagesimal, utilizado até hoje para medir o tempo e a abertura de ângulos. Um símbolo parecido com a forma representava a unidade e, com a forma , representava uma dezena. Assim, o símbolo representa o número 22, do nosso sistema de numeração. Como no nosso sistema de numeração, o sistema de numeração babilônico também era posicional, ou seja, a posição de um símbolo é importante para a formação do número. Assim, para números maiores que 60, utilizava-se o símbolo da unidade antes do símbolo da dezena, por exemplo, para se representar o número 83, utilizava-se a seguinte sequência de símbolos: , em que o primeiro símbolo representa uma quantidade inteira de sessenta, os dois próximos duas quantidades de 10 e os três últimos, três unidades. Dessa forma, as representações referem-se, respectivamente, a: a) 12 e 24 b) 13 e 76 c) 42 e 62 d) 71 e 42 e) 23 e 45

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

12. Durante a Segunda Guerra Mundial, o exército alemão utilizava a chamada Máquina Enigma para codificar suas mensagens e impedir a sua interceptação pelos aliados A Enigma consistia basicamente de um teclado com 26 letras, um quadro com 26 lâmpadas e um dispositivo com 3 rotores (denominado scrambler). Cada tecla e cada lâmpada eram conectadas por 26 fios, e os rotores moviam-se de modo Independente de modo a produzirem uma correspondência entre a letra original e a letra cifrada. Cada comandante a alemão possuía um livro de códigos, com a sequência adequada para decodificar a mensagem.

54

Letra original

A

E

S

O

T

R

I

P

U

Letra cifrada

D

T

U

X

R

A

E

Q

J

De acordo com o padrão, a palavra crifrada “RAXQDU’ foi decodificada como a) TROPAS. b) TRATOS. c) TROCAS d) ADOPAS. e) RASTRO.

TÓPICO 2: Naturais e inteiros Nível 1

13. (ENEM) O quadro apresenta a ordem de colocação dos seis primeiros países em um dia de disputa nas Olimpíadas. A ordenação é feita de acordo com as quantidades de medalhas de ouro, prata e bronze, respectivamente. Se as medalhas obtidas por Brasil e Argentina fossem reunidas para formar um único país hipotético, qual a posição ocupada por esse país? País

Ouro

Prata

Bronze

Total

1º China

9

5

3

17

2º EUA

5

7

4

16

3º França

3

1

3

7

4º Argentina

3

2

2

7

5º Itália

2

6

2

10

6º Brasil

2

5

3

10

a) b) c) d) e) https://bit.ly/36z2bBH

Suponha que os aliados tenham interceptado um trecho de um livro de códigos da Máquina Enigma, conforme figura a seguir:

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

1ª. 2ª. 3ª. 4ª. 5ª.

14. No contexto da Matemática recreativa, utilizando diversos materiais didáticos para motivar seus alunos, uma professora organizou um jogo com um tipo de baralho modificado. No início do jogo, vira-se uma carta do baralho na mesa e cada jogador recebe em mãos nove cartas. Deseja-se formar pares de cartas, sendo a primeira carta a da mesa e a segunda, uma carta na mão do jogador, que tenha um valor equivalente


Capítulo 2 | Conjuntos Numéricos

àquele descrito na carta da mesa. O objetivo do jogo é verificar qual jogador consegue o maior número de pares. Iniciado o jogo, a carta virada na mesa e as cartas da mão de um jogador são como no esquema:

6 8

Carta da mesa

%

4,3

7,5

d) ( 5 + 1) ⋅ ( 5 − 1) é irracional e 0, 999... é irracional. e) ( 5 + 1) ⋅ ( 5 − 1) e 0, 999... não são números reais.

17. (ENEM) Nas construções prediais são utilizados tubos de diferentes medidas para a instalação da rede de água. Essas medidas são conhecidas pelo seu diâmetro, muitas vezes medido em polegada. Alguns desses tubos, com medidas em polegada, são os tubos de 1 , 3 , e 5 . 4 2 8

6 8

0,75

c) ( 5 + 1) ⋅ ( 5 − 1) é racional e 0, 999... é irracional.

4 3

34

Colocando os valores dessas medidas em ordem crescente, encontramos 6,8 4

3

a)

1 3 5 , , 2 8 4

b)

1 5 3 , , 2 4 8

c)

3 1 5 , , 8 2 4

d)

3 5 1 , , 8 4 2

e)

5 1 3 , , 4 2 8

4

75

%

3,

Cartas da mão

Segundo as regras do jogo, quantas cartas da mão desse jogador podem formar um par com a carta da mesa? a) 9 b) 7 c) 5 d) 4 e) 3

18. (UECE) A quantidade de números inteiros positivos n que satisfazem a desigualdade: 3 n 2 < < é 7 14 3

Nível 2

15. (ENEM) Deseja-se comprar lentes para óculos. As len-

19. (IFAL) Sobre a Teoria dos Conjuntos, assinale a alternativa INCORRETA. Se um número é Natural, ele também é a) Inteiro. b) Racional. c) Irracional. d) Real. e) Complexo.

TÓPICO 3: Racionais e irracionais Nível 1

16. Assinale a afirmação verdadeira: a) ( 5 + 1) ⋅ ( 5 − 1) é irracional e 0, 999... é racional. b) ( 5 + 1) ⋅ ( 5 − 1) é racional e 0, 999... é racional.

2. 3. 4. 5.

Nível 2

20. (IFAL) Marque a alternativa INCORRETA. a) b) c) d) e)

Todo número NATURAL é também INTEIRO. Todo número NATURAL é também RACIONAL. Todo número NATURAL é também IRRACIONAL. Todo número NATURAL é também REAL. Todo número IRRACIONAL é também REAL.

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

tes devem ter espessuras mais próximas possíveis da medida 3mm. No estoque de uma loja, há lentes de espessuras: 3,10 mm; 3,021 mm; 2,96 mm; 2,099 mm e 3,07 mm. Se as lentes forem adquiridas nessa loja, a espessura escolhida será, em milímetros, de: a) 2,099. b) 2,96. c) 3,021. d) 3,07. e) 3,10.

a) b) c) d)

55


Capítulo 2 | Conjuntos Numéricos

21. (IFPE) Chamamos uma fração de unitária se o numerador for igual a um e o denominador for um inteiro positivo, por exemplo: 1 1 1 , , . 3 7 2 Os antigos egípcios costumavam trabalhar com frações que poderiam ser obtidas como soma de frações unitárias diferentes, por exemplo: 5 1 1 = + . 8 2 8 Por esse motivo, esse tipo de fração, que pode ser obtido por soma de frações unitárias distintas, é conhecido por “frações egípcias”. O uso das frações egípcias facilitava as contas e comparações, especialmente num mundo onde não havia calculadoras. Encontre uma fração, F equivalente à soma F= a)

77 84

b)

51 56

c)

25 28

d)

73 84

e)

49 56

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

a distância entre duas cidades durante três dias. No primeiro dia, percorreu um terço da distância. No dia seguinte, mais um terço do que faltava. Que fração da distância ele necessita percorrer no terceiro dia para atingir sua meta? 1 a) 3

56

Nessas condições, podemos afirmar que o professor guardou, no armário do laboratório, um total de a) 10 lápis. b) 20 lápis. c) 30 lápis. d) 40 lápis. e) 50 lápis.

24. (CMRJ) O valor da expressão 37 × (0, 243243243... ÷ 1, 8) + 0, 656565...× 6, 6 3 é 11 × (1, 353535... - 0, 383838...) 8

1 1 1 1 + + + . 3 4 6 7

22. (UPE-SSA 3) Um ciclista estabeleceu a meta de percorrer

b) 2 3 2 c) 9 4 d) 9 e)

almoxarifado, encontravam-se 20 caixas de lápis, cada caixa 1 com 30 lápis. Ele precisava mandar dessas caixas para o 10 laboratório de matemática. Ao abrir as caixas que chegaram 5 ao laboratório, o professor de matemática colocou dos lá6 pis sobre as mesas, guardando o restante dos lápis no armário.

a) b) c) d) e)

TÓPICO 4: Reais Nível 1

25. (UEPG-PR) Considerando o intervalo real A = [-3, 6] e o conjunto P = A ∩ *, assinale o que for correto. I. {0, 1, 2} ⊂ P. II. -3 ∈ P III. P = [1, 6] IV. 5 ∈ P V. n(P) = 6 a) b) c) d) e)

5 9

4,666666... 4,252525... 4,333333... 4,25 4,5

I, II e II II e V III, IV e V I, II e V IV e V

26. (IFSUL) Considerando os intervalos de números reais, o resultado de

23. (IFPE) Pedro, um aluno do curso de Almoxarife do IFPE – Cabo, em seu estágio, se deparou com a seguinte situação: no

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

]5, 7[ ∩ [6, 9] é: a) ]5,9]


Capítulo 2 | Conjuntos Numéricos

b) c) d) e)

∅ [6, 7[ {6} {5, 6, 7}

28. (CPS) Observe a reta real:

Nível 2

27. (EPCAR/CPCAR) Considere os números reais representados na reta real abaixo.

Analise cada proposição a seguir quanto a ser (V) Verdadeira ou (F) Falsa. ( )

y-x 2

-z a _.

é, necessariamente, um número que pertence

( )

y2 é tal que 0 < y2 < 1.

( )

O inverso do oposto de x é um número compreendido entre 1 e 2.

Sobre as proposições, tem-se que a) apenas uma é verdadeira. b) apenas duas são verdadeiras. c) apenas três são verdadeiras. d) todas são falsas. Texto para a próxima questão: Leia o texto para responder à(s) questão(ões) a seguir.

De acordo com o texto, a porcentagem que se refere ao número de espécies identificadas pelos cientistas, até agora, é melhor representada, na reta real, pelo ponto a) P b) Q c) T d) X e) Y

29. (UPF) Considere os seguintes conjuntos de números reais: A = {x ∈  : 4 - 3x ≥ 6} e B = {x ∈  : x2 > 2x - 8} Qual dos conjuntos a seguir representa o conjunto A ∩ B?   2 a) - , + ∞  3   2 b) -∞,   3  2 c) -∞, -   3  d)  e) ∅

Não se sabe quantas espécies vegetais e animais existem no mundo, mas as estimativas são de que os cientistas identificaram apenas uma pequena fração (entre 1% e 10%) das espécies com as quais dividimos nosso planeta. Contudo, a diversidade biológica global vem sendo afetada pelas atividades humanas ao longo do tempo e, hoje, a perda de biodiversidade é um problema.

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Em 1988, o ecologista inglês Normam Myers identificou as áreas mais ameaçadas no mundo, as quais chamou de hotspots. Em 1999, embora representassem apenas 1,4% da área do planeta, os 25 hotspots identificados abrigavam 44% de todas as espécies de plantas e 35% das espécies de vertebrados terrestres. Para ser um hotspot, a área deve ter pelo menos 1.500 espécies de plantas endêmicas (que só existem naquela região) e ter 30%, ou menos, de sua vegetação original preservada. <https://tinyurl.com/yaofqe8z> Acesso em: 10.02.2019. Adaptado.

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

57


GABARITOS

GABARITOS Capítulo 1

Capítulo 2

EXERCITANDO EM AULA 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14.

(c) (e) (c) (d) (a) (b) (b) (c) (b) (d) (c) (b) (b) (d)

EXERCITANDO EM AULA 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28.

(d) (c) (b) (a) (b) (c) (e) (d) (c) (b) (c) (a) (e) (b)

21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37.

(a) (b) (a) (a) (e) (d) (c) (b) (b) (d) 10 (e) (a) (c) (c) (d) (c)

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

58

01. (b) 02. (a) 03. a) F b) V c) F d) F e) V f) V g) F h) F i) V 04. a) ∈ b) ⊂ c) ⊂ d) ⊄ 05. (c) 06. (b) 07. (d) 08. (c) 09. (e) 10. (b) 11. (c) 12. (d) 13. (b) 14. (c) 15. (c) 16. (b) 17. (a) 18. (e) 19. (d) 20. (d)

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08.

(b) (d) (a) (a) (e) (c) (d) (d)

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29.

(c) (a) (d) (d) (b) (d) (b) (c) (d) (e) (d) (a) (b) (e) (c) (b) (c) (b) (c) (c) (c) (d) (a) (e) (c) (c) (a) (a) (c)

09. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

(b) (b) (d) (d) (d) (a) (b)


Capítulo 1 | Conjuntos

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 03. (ENEM) Na teoria das eleições, o Método de Borda sugere

TÓPICO 1: Noções básicas Nível 2

01. (FGV) Observe o diagrama com 5 organizações intergovernamentais de integração sul-americana:

Organização do tratado de Cooperação Amazônica

Equador

Colômbia

Peru

Bolívia

Venezuela

tal en am es ern aís ov s p erg or do Prata Int tê enad a do i mi Co oord a Bac C d

Chile

Suriname

Guiana

que, em vez de escolher um candidato, cada juiz deve criar um ranking de sua preferência para os concorrentes (isto é, criar uma lista com a ordem de classificação dos concorrentes). A este ranking é associada uma pontuação: um ponto para o último colocado no ranking, dois pontos para o penúltimo, três para o antepenúltimo e assim sucessivamente. Ao final, soma-se a pontuação atribuída a cada concorrente por cada um dos juízes. Em uma escola houve um concurso de poesia no qual cinco alunos concorreram a um prêmio, sendo julgados por 25 juízes. Para a escolha da poesia vencedora foi utilizado o Método de Borda. Nos quadros, estão apresentados os rankings dos juízes e a frequência de cada ranking.

União das Nações Sul-Americanas

Brasil

Colocação

Paraguai Uruguai Argentina Mercado Comum do Sul

Dos 12 países que compõem esse diagrama, integram exatamente 3 das organizações apenas a) 4. b) 5. c) 6. d) 7. e) 8.

02. (ENEM) Em um jogo de tabuleiro, a pontuação é marcada

I

II

III

IV

Ana

Dani

Bia

Edu

Bia

Caio

Ana

Ana

Caio

Edu

Caio

Dani

Dani

Ana

Edu

Bia

Edu

Bia

Dani

Caio

Ranking

Frequência I

4

II

9

III

7

IV

5

A poesia vencedora foi a de a) Edu. b) Dani. c) Caio. d) Bia. e) Ana.

Fichas verdes

Fichas brancas

Fichas azuis

Fichas vermelhas

Jogador A

3

1

1

4

Jogador B

2

4

0

9

Nível 3

Jogador C

1

5

8

2

04. (OBM) Em um hotel há 100 pessoas, das quais 30 comem porco, 60 comem galinha e 80 comem alface. Qual é o maior número possível de pessoas que não comem nenhum desses dois tipos de carne? a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

De acordo com essa tabela, as classificações em primeiro, segundo e terceiro lugares ficaram, respectivamente, para os jogadores a) A, B e C. b) B, A e C. c) C, B e A. d) B, C e A. e) C, A e B.

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

com fichas coloridas. Cada ficha vermelha vale um ponto. Três fichas vermelhas podem ser trocadas por uma azul, três fichas azuis podem ser trocadas por uma branca, e três fichas brancas podem ser trocadas por uma verde. Ao final do jogo, os jogadores A, B e C terminaram, cada um, com as quantidades de fichas, conforme a tabela seguinte:

Ranking

1


Capítulo 1 | Conjuntos

05. (USP) Depois de n dias de férias, um estudante observa que: 99 99 99 99

b)

Choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde; Quando chove de manhã não chove à tarde; Houve 5 tardes sem chuva; Houve 6 manhãs sem chuva.

Então, n é igual a: a) 7. b) 9. c) 10. d) 11. e) 12.

c)

Nível 4

06. (ITA)

Sejam r1, r2 e r3 números reais tais que r1 - r2 e r1 + r2 + r3 são racionais. Das afirmações:

I. Se r1 é racional ou r2 é racional, então r3 é racional; II. Se r3 é racional, então r1 + r2 é racional; III. Se r3 é racional, então r1 e r2 são racionais.

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

É (são) sempre verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e II. e) I, II e III.

2

07. (UEFS) Em uma empresa com 33 funcionários,22 são fluentes em italiano, 14 são fluentes em alemão e 27 são fluentes em francês. Sabe-se que todos os funcionários são fluentes em pelo menos uma dessas línguas e que, no total, 18 desses funcionários são fluentes em exatamente duas dessas línguas. O número de funcionários nessa empresa que são fluentes nessas três línguas é a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6. TÓPICO 2: Subconjuntos Nível 2

08. (UFSJ)

O diagrama que representa o conjunto [(A ∩ B) - C] ∪ [(C ∩ B) - A] é

a)

d)

09. (UDESC) Foi solicitado que um grupo de 64 pessoas escolhesse um número natural maior do que 3. Após análise das escolhas, constatou-se que: 12 pessoas escolheram um número primo, 30 um número par, 14 um múltiplo de 3, e 6 um múltiplo de 6. O número de pessoas que escolheu um número ímpar, não múltiplo de 3, foi igual a: a) 14 b) 26 c) 12 d) 20 e) 34

Nível 3

10. Em certo ano, ao analisar os dados dos candidatos ao concurso vestibular para o curso de graduação em Administração de Empresas e Administração Pública, concluiu-se que • 80% do número total de candidatos optaram pela modalidade Administração de Empresas. • 70% do número total de candidatos eram do sexo masculino. • 50% do número de candidatos à modalidade Administração Pública eram do sexo masculino. Marque a opção que corresponde ao número de candidatos do sexo masculino que optaram pela modalidade Administração de Empresas.

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1


Capítulo 1 | Conjuntos

TÓPICO 3: Operações com conjuntos

2 400 2 700 3 000 3 300 3 600

a) b) c) d) e)

Nível 2

14. (FATEC-SP) Em uma pesquisa com alunos foram feitas, entre

11. Em uma pesquisa constatou-se que 75% das pessoas gostam de café, 80% gostam de suco e 77% gostam de refrigerante e sabendo que 10% das pessoas não gosta de nenhuma das três bebidas. A porcentagem mínima de pessoas que gostam simultaneamente de café, suco e refrigerante é a) 25% b) 32% c) 42% d) 52% e) 72%

outras, duas perguntas: •

Você se declara afrodescendente? Sim

Não

Você fez o ensino médio integralmente em escola pública? Sim

Não

Com os dados obtidos na pesquisa, foi construído o diagrama de Euler-Venn da figura. U

48 A

Nível 4

P 12

78

162

12. (UEM-PAS) Considere os seguintes subconjuntos de : A = {a | a é primo} B = b | b = 2n + 1,n ∈ } p q

C = {c | c = , p, q ∈ ,q ≠ 0} Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). 01) A ⊂ B. 02) Se b1 e b2 ∈ B, então (b1 + b2) ∈ B. 04) O conjunto complementar de B em relação ao conjunto  é D = {d | d = 2n, n ∈ }. p 08) Se C' ⊂ C é o conjunto dos números , tal que p = q · n, q n ∈ , então C' = . 16) (

2 ∈ C. 2

) Soma

De acordo com os dados do diagrama, o número de alunos consultados que responderam “Sim” às duas perguntas e o número dos que responderam “Não” às duas perguntas são, respectivamente, a) 78 e 162. b) 78 e 48. c) 90 e 60. d) 90 e 210. e) 174 e 270.

15. (UEL-PR) Em um dado momento, três canais de TV tinham, em sua programação, novelas em seus horários nobres: a novela A no canal A, a novela B no canal B e a novela C no canal C. Em uma pesquisa com 3000 pessoas, perguntou-se quais novelas agradavam. A tabela a seguir indica o número de telespectadores que designaram as novelas como agradáveis. Novelas A B C Ae B Ae C BeC A, B e C

Números de telespectadores 1450 1150 900 350 400 300 100

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

13. (ESC. NAVAL) A é um conjunto com n elementos e B é seu subconjunto com p elementos, com n > p e n, p ∈ . Determine o número de conjuntos X tais que B ⊂ X ⊂ A e assinale a opção correta. a) 2n - p b) 2n - p + 1 c) 2n + p d) 2n + p - 1 e) 2n - p - 1

No diagrama, considere que: • U é o conjunto universo da pesquisa; • A é o conjunto dos alunos que se declaram afrodescendentes; e P é o conjunto dos alunos que fizeram o ensino médio integralmente em escola pública.

Quantos telespectadores entrevistados não acham agradável nenhuma das três novelas?

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

3


Capítulo 1 | Conjuntos

a) b) c) d) e)

300 telespectadores. 370 telespectadores 450 telespectadores. 470 telespectadores. 500 telespectadores.

16. (UECE) Uma pesquisa com todos os trabalhadores da FABRITEC, na qual foram formuladas duas perguntas, revelou os seguintes números: 99 205 responderam à primeira pergunta; 99 205 responderam à segunda pergunta; 99 210 responderam somente a uma das perguntas; 99 um terço dos trabalhadores não quis participar da entrevista.

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Com estes dados, pode-se concluir corretamente que o número de trabalhadores da FABRITEC é a) 465. b) 495. c) 525. d) 555. e) 600.

4

17. (EMESCAM-ES) Um pesquisador em Medicina fez um estudo do tratamento de uma doença grave com um grupo homogêneo de 70 cobaias não humanas analisando três tipos de intervenções (vacina, medicamento sintético e medicamento fitoterápico). As cobaias foram aleatoriamente divididas em sete grupos com iguais quantidades de membros, sendo três desses grupos submetidos somente a um tipo de tratamento, outros três grupos submetidos a dois tipos simultâneos de tratamentos e um grupo foi submetido aos três tratamentos ao mesmo tempo. Dentre as cobaias que foram curadas da doença, o estudo revelou o seguinte resultado quanto ao uso do tratamento: 99 Dez foram submetidas aos três tratamentos simultaneamente; 99 Vinte e oito foram vacinadas; 99 Vinte e quatro tomaram medicamento sintético; 99 Vinte e um tomaram medicamento fitoterápico; 99 Dezoito foram vacinadas e tomaram medicamento sintético; 99 Seis usaram somente a vacina e o medicamento fitoterápico juntos; 99 Duas usaram somente medicamento sintético. Usando os dados acima, podemos afirmar que o número total de cobaias curadas foi de: a) 109 b) 99 c) 73 d) 56 e) 35

18. (UFPB) A prefeitura de certa cidade realizou dois concursos: um para gari e outro para assistente administrativo. Nesses dois concursos, houve um total de 6.500 candidatos inscritos. Desse total, exatamente 870 fizeram prova somente do concurso para gari. 1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

Sabendo-se que, do total de candidatos inscritos, 4.630 não fizeram a prova do concurso para gari, é correto afirmar que o número de candidatos que fizeram provas dos dois concursos foi: a) 4.630 b) 1.870 c) 1.300 d) 1.740 e) 1.000

19. (IFGO) Dos 50 candidatos para tirar a Carteira Nacional de Habilitação de uma autoescola, 15 foram reprovados na prova teórica e 25, na prática. Nove candidatos foram reprovados simultaneamente nas provas teórica e prática. Determine quantos candidatos não foram reprovados em nenhuma dessas provas. a) 19 b) 10 c) 40 d) 22 e) 31 20. (ESPCEX) Uma determinada empresa de biscoitos realizou uma pesquisa sobre a preferência de seus consumidores em relação a seus três produtos: biscoitos cream cracker, wafer e recheados. Os resultados indicaram que: 99 65 pessoas compram cream crackers. 99 85 pessoas compram wafers. 99 170 pessoas compram biscoitos recheados. 99 20 pessoas compram wafers, cream crackers e recheados. 99 50 pessoas compram cream crackers e recheados. 99 30 pessoas compram cream crackers e wafers. 99 60 pessoas compram wafers e recheados. 99 50 pessoas não compram biscoitos dessa empresa. Determine quantas pessoas responderam a essa pesquisa. a) 200 b) 250 c) 320 d) 370 e) 530

21. (IFSP) Uma empresa decidiu realizar uma pesquisa de mercado para o lançamento de um novo produto. Aos consumidores foi perguntado o que é levado em consideração na hora de comprar um produto: preço (P) e/ou qualidade (Q). Cada consumidor entrevistado poderia escolher mais de um item da pesquisa, como mostra a tabela a seguir: Característica do Produto

Número de Votos

P

60

Q

45

PeQ

35


Capítulo 1 | Conjuntos

Admitindo que todos os que foram entrevistados escolheram pelo menos um dos itens da pesquisa, o número de consumidores entrevistados foi de: a) 60 b) 65 c) 70 d) 75 e) 80

22. Em certo dia, em um posto de saúde, foram atendidas 136 pessoas com suspeita de dengue, apresentando um ou mais dos seguintes sintomas: febre, dor de cabeça e manchas na pele. A tabela seguinte foi composta a partir dos dados registrados nas fichas de atendimento dessas pessoas. Sintomas

Número de pessoas

Febre

80

Dor de cabeça

79

Manchas na pele

70

Febre e dor de cabeça

37

Febre e manchas na pele

38

Dor de cabeça e manchas na pele

40

Quantas pessoas apresentavam os três sintomas? a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22

24. Uma empresa de turismo programou uma série de atividades para um grupo de 96 turistas que visitavam a cidade de Paris. Entre as atividades de um dos dias, estavam previstas as visitas ao museu do Louvre e à Torre Eiffel. O funcionário da agência responsável pela agenda de atividades percebeu que: • Um quarto das pessoas que visitaram o museu do Louvre visitaram também a Torre Eiffel; • Um quinto das pessoas que visitaram a Torre Eiffel visitaram também o museu do Louvre;

Todos os participantes do grupo participaram de pelo menos uma das duas visitas.

Com base nessas informações, o número de pessoas que visitaram os dois lugares é um a) Múltiplo de 5. b) Número quadrado perfeito. c) Número primo. d) Divisor de 84. e) Número ímpar.

25. O banco estatal de um certo país abriu uma linha especial de financiamento para aquisição da casa própria por famílias de baixa renda. Para ter direito a esse financiamento, a família não poderia ter casa própria nem renda total acima de 4 salários mínimos e, além disso, ter filhos em idade escolar matriculados e cursando. Um levantamento comprovou que 48% das famílias desse país já possuíam casa própria e que 35% das famílias desse país tinham renda acima de 4 salários mínimos, sendo que 20% destas ainda não possuíam casa própria. Além disso, ficou comprovado que, entre as famílias que atendiam aos critérios de renda e de propriedade de casa própria, apenas 20% não tinham seus filhos matriculados na escola. De acordo com o texto, podemos concluir que a porcentagem de famílias que tinham direito ao financiamento era de: a) 48% b) 36% c) 52% d) 28% e) 42%

26. Um grupo de 100 professores pretende se reunir em frente de uma escola onde ocorrerá o processo seletivo (vestibular) na sexta-feira, no sábado e no domingo, com a finalidade de desejar uma boa prova aos candidatos e fazer propaganda de suas escolas. Para fazer a escala deles, chegou-se à conclusão de que: • 12 deles só podiam ir na sexta-feira; • 20 deles podiam ir apenas na sexta-feira ou no sábado, mas não nos dois dias; • Dos 35 professores que podiam ir no domingo, 5 deles podiam ir também na sexta-feira e no sábado; • 65 professores não podiam ir no domingo, sendo que 15 deles não podiam ir também nem no sábado e nem na sexta-feira; • Dos professores que podiam ir no domingo, 10 podiam ir na sexta também, porém não no sábado, e 5 podiam ir no sábado, porém não na sexta. Dessa maneira, o número de professores que podiam ir apenas no domingo é: a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 20

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

23. (PUC-RS) O número de alunos matriculados nas disciplinas Álgebra A, Cálculo II e Geometria Analítica é 120. Constatou-se que 6 deles cursam simultaneamente Cálculo II e Geometria Analítica e que 40 cursam somente Geometria Analítica. Os alunos matriculados em Álgebra A não cursam Cálculo II nem Geometria Analítica. Sabendo que a turma de Cálculo II tem 60 alunos, então o número de estudantes em Álgebra A é: a) 8 b) 14 c) 20 d) 26 e) 32

5


Capítulo 1 | Conjuntos

27. Uma consulta aponta que, dos 600 alunos de uma escola, 485 gostam de matemática, 386 gostam de física e 392 gostam de química. Qual o número mínimo de alunos da escola que gostam das três disciplinas? a) 23 b) 53 c) 63 d) 85 e) 70

28. (UECE) Dos 200 professores de uma universidade, 60 dedicam tempo integral a essa instituição e 115 são doutores. Se entre os doutores apenas 33 dedicam tempo integral, então o número de professores da universidade que não dedicam tempo integral e não são doutores é a) 107. b) 82. c) 58. d) 55. e) 60. 29. (IMED) Dos 500 alunos matriculados em uma escola, constatou-se que: 99 99 99 99

40% do total frequenta oficinas de xadrez; 35% do total frequenta oficinas de robótica; 75 alunos cursam, simultaneamente, xadrez e robótica; X alunos cursam outras oficinas.

Com base nessas informações, o número de alunos que frequentam outras oficinas é: a) 75. b) 100. c) 125. d) 200. e) 300.

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

30. Em um estudo realizado com 300 assinantes de um serviço

6

de televisão a cabo, sobre suas preferências de gêneros de filmes, obteve-se o seguinte resultado: • • • • • • •

130 preferem comédia; 110 preferem drama; 110 preferem terror; 30 preferem comédia e drama; 40 preferem drama e terror; 50 preferem terror e comédia; 60 preferem exatamente dois desses gêneros de filmes.

De acordo com esses dados, o número de assinantes que preferem apenas um desses gêneros de filme é: a) 350 b) 240 c) 170 d) 50 e) 10

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

31. (UFPR) Em uma pesquisa de opinião, eleitores foram perguntados se recordavam em quais candidatos a deputado (federal e estadual) haviam votado nas últimas eleições. Num grupo de 2018 eleitores entrevistados, constatou-se que: 1. 1492 eleitores recordavam para qual candidato a deputado federal haviam votado; 2. 1278 eleitores recordavam para qual candidato a deputado estadual haviam votado; 3. 347 eleitores não recordavam nenhum dos candidatos em que haviam votado. a) Quantos desses eleitores entrevistados se recordavam de pelo menos um candidato (deputado estadual ou deputado federal) em que haviam votado? b) Quantos eleitores recordavam os dois candidatos (deputado federal e estadual) em que haviam votado? E quantos recordavam apenas o candidato a deputado federal e apenas o candidato a deputado estadual em que haviam votado? Coloque os resultados obtidos na tabela a seguir. Recordaram os votos

Eleitores

Para ambos os cargos (deputado federal e estadual) Apenas para deputado estadual Apenas para deputado federal

32. (UFJF-PISM 3) Uma empresa oferece dois cursos não obrigatórios aos seus funcionários no momento da admissão: Primeiros Socorros e Prevenção de Incêndios. Essa empresa tem hoje 500 funcionários. Desses, 200 fizeram o curso de Primeiros Socorros,150 fizeram o de Prevenção de Incêndios e 70 fizeram os dois cursos. O Departamento de Pessoal da empresa está fazendo uma pesquisa sobre a qualidade dos cursos ofertados e sorteia aleatoriamente, dentre seus funcionários, aqueles que responderão a um questionário. Qual é a probabilidade de se sortear um funcionário que não tenha feito nenhum dos dois cursos? a) 86% b) 44% c) 42% d) 30% e) 6%


Capítulo 1 | Conjuntos

33. (FUVEST) Dentre os candidatos que fizeram provas de matemática, português e inglês num concurso, 20 obtiveram nota mínima para aprovação nas três disciplinas. Além disso, sabe-se que: I. 14 não obtiveram nota mínima em matemática; II. 16 não obtiveram nota mínima em português; III. 12 não obtiveram nota mínima em inglês; IV. 5 não obtiveram nota mínima em matemática e em português; V. 3 não obtiveram nota mínima em matemática e em inglês; VI. 7 não obtiveram nota mínima em português e em inglês e VII. 2 não obtiveram nota mínima em português, matemática e inglês. A quantidade de candidatos que participaram do concurso foi a) 44. b) 46. c) 47. d) 48. e) 49.

34. (FAC. ALBERT EINSTEIN - MEDICIN) Um grupo de 180 turistas estão hospedados em um mesmo hotel no estado de São Paulo. As regiões Norte, Sul e Sudeste são as regiões do Brasil que já foram visitadas por pelo menos um desses turistas. Desses turistas, 89 já estiveram na Região Sul e 78 já estiveram na Região Norte. Sabendo que 33 desses turistas só conhecem a Região Sudeste, o número desses turistas que já estiveram nas Regiões Norte e Sul é a) 10. b) 13. c) 17. d) 20. 35. (UEL) Um estudante fez uma pesquisa com um grupo de universitários para obter um panorama a respeito da utilização de três redes sociais. Ao computar as informações fornecidas pelas pessoas entrevistadas, constatou que: 55 utilizam Snapchat, Instagram e Facebook; 70 utilizam Snapchat e Facebook; 105 utilizam Snapchat e Instagram; 160 utilizam Instagram e Facebook; 180 utilizam Snapchat; 225 utilizam Instagram; 340 utilizam Facebook; 85 não utilizam qualquer uma das redes sociais da pesquisa.

A partir dessas informações, quantas pessoas foram entrevistadas? Justifique sua resposta, apresentando os cálculos realizados na resolução desta questão.

36. Considere um planeta fictício, chamado Paralator, habitado por 4 grupos étnicos: Armok (A), do qual descendem os demais, que são Boofr (B), Czartz (C) e Droxor (D). A análise do DNA dos paralatorianos, em termos de miscigenação, é indicada na tabela a seguir.

Quantidade de paralatorianos

B, C e D

2

BeC

12

B

50

BeD

10

CeD

37

D

102

C

50

Sabe-se, ainda, que 207 paralatorianos possuem DNA da etnia Armok. Desse modo, conclui-se corretamente que a quantidade de paralatorianos que possuem DNA somente armokiano é igual a a) 207. b) 62. c) 57. d) 35. e) 30

37. No Plano Nacional de Vacinação, algumas vacinas são de suma importância, e os postos de saúde de todo o Brasil têm à disposição, para os recém-nascidos (até 1 mês de vida), as vacinas BCG (dose única) e Hepatite B (1 a dose), que são obrigatórias. Em uma campanha de certo município, para atualizar o número de vacinas que seriam necessárias para essa faixa etária, constatou-se que, das famílias entrevistadas com filhos, 290 haviam dado a vacina da BCG ou da Hepatite B, 72 tomaram somente da Hepatite B, 84 tomaram ambas as vacinas e 10 ainda não haviam vacinado seus filhos. A porcentagem de famílias que deram apenas a BCG era de, aproximadamente, a) 25%. b) 35%. c) 45%. d) 55%. e) 65%

38. Em uma sala de espera de um aeroporto, há 100 pessoas. O número de mulheres é o dobro do número de pessoas que estão mexendo no celular. Um quarto dos homens e um terço das mulheres estão mexendo no celular. Assim, a quantidade de homens que estão mexendo no celular é representada por um número inteiro cuja soma dos algarismos é a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

• • • • • • • •

Possuem DNA dos grupos étnicos

7


Capítulo 1 | Conjuntos

39. Em um curral há vacas e bois. Se há 30 vacas, 21 animais magros, 13 bois não magros e 4 vacas magras, então, o número de bois magros é [...]: a) 17 b) 26 c) 13 d) 15 e) 20 Nível 3

40. Analisando-se as carteiras de vacinação das 84 crianças de uma creche, verificou-se que 68 receberam a vacina Sabin, 50 receberam a vacina contra o sarampo e 12 não foram vacinadas. Quantas dessas crianças receberam as duas vacinas? a) 11 b) 18 c) 22 d) 23 e) 46 41. (UFGD-MS) O Colégio Bombom realizou uma pesquisa sobre as atividades esportivas praticadas por seus alunos, obtendo-se o seguinte resultado:

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

30 jogavam vôlei; 30 jogavam basquete; 40 jogavam futebol; 17 jogavam vôlei e basquete; 15 jogavam futebol e basquete; 10 jogavam futebol e vôlei; 07 jogavam vôlei, basquete e futebol; 35 não praticavam nenhum esporte.

8

Selecionando-se aleatoriamente um aluno deste colégio, a probabilidade de ele jogar vôlei ou basquete é de a) 0,43. b) 0,60. c) 0,65. d) 0,70. e) 0,92.

42. Em uma sala de aula com 60 alunos, 11 jogam xadrez, 31 são homens ou jogam xadrez e 3 mulheres jogam xadrez. Podemos concluir que: a) 31 são mulheres. b) 20 são homens. c) 29 mulheres não jogam xadrez. d) 23 homens não jogam xadrez. e) 9 homens jogam xadrez. 43. (UEPG) Em uma pesquisa realizada com 60 pessoas sobre a preferência pelos produtos A e B, constatou-se que: 99 o número de pessoas que gostam somente do produto A é o dobro do número de pessoas que não gostam de nenhum dos dois produtos;

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

99 o número de pessoas que gostam somente do produto B é o triplo do número de pessoas que gostam de ambos os produtos; 99 o número de pessoas que gostam de pelo menos um dos produtos é 48. Nesse contexto, analise a veracidade das afirmações. I. O número de pessoas que gostam do produto B é 20. II. O número de pessoas que gostam do produto A é 30. III. O número de pessoas que não gostam de nenhum dos produtos é 12. IV. O número de pessoas que gostam de ambos os produtos é 6. É correto o que se afirma em: a) I e II. b) I, II e III. c) II, III e IV. d) II e III. e) Todas.

44. (UERN) Em um vestibular para ingresso no curso de engenharia de determinada universidade, foi analisado o desempenho dos 1472 vestibulandos nas provas de Português, Matemática e Física, obtendo-se o seguinte resultado: 99 254 candidatos foram aprovados somente em Português; 99 296 candidatos foram aprovados somente em Matemática; 99 270 candidatos foram aprovados somente em Física; 99 214 candidatos foram aprovados em Português e Física; 99 316 candidatos foram aprovados em Matemática e Física; 99 220 candidatos foram aprovados em Português e Matemática; 99 142 candidatos foram reprovados nas três disciplinas. O número de alunos aprovados nas três disciplinas, e, portanto, aptos a ingressarem no curso de engenharia, é a) 98. b) 110. c) 120. d) 142. e) 150.

45. (UEPA) De acordo com a reportagem da Revista Veja (edição 2341), é possível fazer gratuitamente curso de graduação pela Internet. Dentre os ofertados, temos os cursos de Administração (bacharelado), Sistemas de Computação (Tecnólogo) e Pedagogia (licenciatura). Uma pesquisa realizada com 1800 jovens brasileiros sobre quais dos cursos ofertados gostariam de fazer, constatou que 99 800 optaram pelo curso de Administração; 99 600 optaram pelo curso de Sistemas de Computação; 99 500 optaram pelo curso de Pedagogia; 99 300 afirmaram que fariam Administração e Sistemas de Computação; 99 250 fariam Administração e Pedagogia; 99 150 fariam Sistemas de Computação e Pedagogia e 99 100 dos jovens entrevistados afirmaram que fariam os três cursos.


Capítulo 1 | Conjuntos

Considerando os resultados dessa pesquisa, o número de jovens que não fariam nenhum dos cursos elencados é: a) 150. b) 250. c) 350. d) 400. e) 500.

46. (UECE) No colégio municipal, em uma turma com 40 alunos, 14 gostam de Matemática, 16 gostam de Física, 12 gostam de Química, 7 gostam de Matemática e Física, 8 gostam de Física e Química, 5 gostam de Matemática e Química e 4 gostam das três matérias. Nessa turma, o número de alunos que não gostam de nenhuma das três disciplinas é a) 6. b) 9. c) 12. d) 14. e) 5.

TÓPICO 4: Complementar de um conjunto Nível 2

49. (FATEC) Entre as pessoas que compareceram à festa de inauguração da FATEC Pompeia, estavam alguns dos amigos de Eduardo. Além disso, sabe-se que nem todos os melhores amigos de Eduardo foram à festa de inauguração. Considere: F: conjunto das pessoas que foram à festa de inauguração. E: conjunto dos amigos de Eduardo. M: conjunto dos melhores amigos de Eduardo. Com base nessas informações assinale a alternativa que contém o diagrama de Euler-Venn que descreve corretamente a relação entre os conjuntos. a)

Nível 4

47. Uma escola realizou uma pesquisa sobre os hábitos alimentares dos seus alunos. Alguns resultados dessa pesquisa foram: 99 82% do total de entrevistados gostam de chocolate 99 78% do total de entrevistados gostam de pizza; e 99 75% do total de entrevistados gosta de batata frita. Então, é correto afirmar que, no total de alunos entrevistado, a porcentagem do que gostam, ao mesmo tempo, de chocolate, de pizza e de batata frita é, pelo menos, de a) 25%. b) 30%. c) 35%. d) 40%. e) 45%.

48. Um evento cultural ofereceu três atrações ao público: uma

c)

d)

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

apresentação de dança, uma sessão de cinema e uma peça de teatro. O público total de participantes que assistiu a pelo menos uma das atrações foi de 200 pessoas. Sabe-se, também, que 115 pessoas compareceram ao cinema, 95 à dança e 90 ao teatro. Além disso, constatou-se que 40% dos que foram ao teatro não foram ao cinema, sendo que destes 25% foram apenas ao teatro. Outra informação levantada pela organização do evento foi que o público que assistiu a mais de uma atração é igual ao dobro dos que assistiram somente à apresentação de dança. Se apenas duas pessoas compareceram a todas as atrações, então a quantidade de pessoas que assistiu a somente uma das atrações é: a) 102 b) 114 c) 98 d) 120 e) 152

b)

e)

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

9


CAPÍTULO 1 | CAPÍTULO 2

Nível 3

Nível 4

50. (UPE) Dados A e B conjuntos, a operação de diferença simétrica (⊕) é definida por A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B). Se A = {1, {1}, ∅, a} e B = {1, 2, {∅}, a, b}, então o conjunto A ⊕ B é igual a a) {1, {1}, ∅, {∅}, 2, a, b}. b) {1, a}. c) {{1}, {∅}, 2, b}. d) {{1}, ∅, {∅}, 2, b}. e) ∅.

52. (OBM) João e Maria formam um casal muito estranho. Maria mente aos domingos, segundas e terças-feiras, dizendo verdade nos demais dias. Já João mente às quartas, quintas e sextas-feiras, dizendo verdade nos outros dias. Em certo dia, ambos declararam: “ontem foi dia de mentir”. Qual foi o dia da semana dessa declaração? a) segunda-feira b) terça-feira c) quarta-feira d) quinta-feira e) sábado

51. Sejam A e B subconjuntos de um conjunto X, tais que X - A = {0, 1, 5, 6} e X - B = {0, 4, 6}. Se A ∩ B = {2, 3}, então o conjunto P( A ∪ B) terá quantos elementos? a) 8. b) 16. c) 32. d) 64. e) 128.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS - CAPÍTULO 2 TÓPICO 1: Introdução histórica Nível 2

01. (UPE) Na cidade de São Paulo, os estacionamentos cobram a hora de forma bem diversificada. Vejam o preço nas tabelas:

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Estacionamento 1

10

Tempo

Valor (em reais)

1ª hora

8,00

2ª hora

+3,00

Hora adicional

+4,00

AVISO: Fração de hora é paga como hora inteira. Ex: 3h 20 = 4h Estacionamento 2 Tempo

Valor (em reais)

1ª hora

10,00

2ª hora

+5,00

Hora adicional

+3,00

AVISO: Fração de hora é paga como hora inteira. Ex: 5h 45 = 6h

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

Luíza e Manuela costumam utilizar, respectivamente, os estacionamentos 1 e 2 durante a semana. Com base nessas informações, analise as afirmativas seguintes: I. Se, na segunda‐feira, Luíza e Manuela estacionaram seus carros por 3 horas, então Luíza pagou 1 real a mais que Manuela. II. Na quarta‐feira, Luíza pagou 39 reais. Então, o seu carro ficou estacionado por um período de 7 horas. III. Na sexta‐feira, os seus carros ficaram estacionados por um mesmo período de tempo, e Manuela pagou 3 reais a menos que Luíza. Então, o período de estacionamento foi de 9 horas. IV. O estacionamento 2 é mais econômico, desde que o período de estacionamento seja maior que 6horas. Está CORRETO o que se afirma em a) I e II. b) II e III. c) III e IV d) I, II e III. e) II, III e IV.

02. (OBM) Na reta em umerada a seguir, os pontos indicados com balõezinhos representam números inteiros maiores do que 93 e menores do que 112. Exatamente três dos números marcados são múltiplos de 4.

Qual é o maior dos números indicados? a) 100. b) 102. c) 104.


Capítulo 2 | Conjuntos Numéricos d) 106. e) 108.

03. (ENEM) Para dificultar o trabalho de falsificadores, foi lançada uma nova família de cédulas do real. Com tamanho variável – quanto maior o valor, maior a nota – o dinheiro novo terá vários elementos de segurança. A estreia será entre abril e maio, quando começam a circular as notas de R$ 50,00 e R$ 100,00. As cédulas atuais têm 14 cm de comprimento e 6,5 cm de largura. A maior cédula será a de R$ 100,00, com 1,6 cm a mais no comprimento e 0,5 cm maior na largura. Disponível em: http://br.noticias.yahoo.com. Acesso em: 20 abr. 2010 (adaptado).

c) 18. d) 20. e) 30.

07. (ENEM) Em um projeto da parte elétrica de um edifício residencial a ser construído, consta que as tomadas deverão ser colocadas a 0,20 m acima do piso, enquanto os interruptores de luz deverão ser colocados a 1,47 m acima do piso. Um cadeirante, potencial comprador de um apartamento desse edifício, ao ver tais medidas, alerta para o fato de que elas não contemplarão suas necessidades. Os referenciais de alturas (em metros) para atividades que não exigem o uso de força são mostrados na figura seguinte.

Quais serão as dimensões da nova nota de R$ 100,00? a) 15,6 cm de comprimento e 6 cm de largura. b) 15,6 cm de comprimento e 6,5 cm de largura. c) 15,6 cm de comprimento e 7 cm de largura. d) 15,9 cm de comprimento e 6,5 cm de largura. e) 15,9 cm de comprimento e 7 cm de largura.

04. (ENEM) Desde 2005, o Banco Central não fabrica mais a nota de R$ 1,00 e, desde então, só produz dinheiro nesse valor em moedas. Apesar de ser mais caro produzir uma moeda, a durabilidade do metal é 30 vezes maior que a do papel. Fabricar uma moeda de R$ 1,00 custa R$ 0,26, enquanto uma nota custa R$ 0,17, entretanto a cédula dura de oito a onze meses. Disponível em: http://noticias.r7.com. Acesso em: 26 abr. 2010.

Com R$ 1.000,00 destinados a fabricar moedas, o Banco Central conseguiria fabricar, aproximadamente, quantas cédulas a mais? a) 1 667. b) 2 036. c) 3 846. d) 4 300. e) 5 882.

05. (ENEM) André, Carlos e Fábio estudam em uma mesma esco-

A ordenação dos estudantes de acordo com a ordem decrescente das distâncias de suas respectivas casas à escola é a) André, Carlos e Fábio. b) André, Fábio e Carlos. c) Carlos, André e Fábio. d) Carlos, Fábio e André. e) Fábio, Carlos e André.

Nível 3

06. (OBM) Dizer que uma tela de televisão tem 20 polegadas significa que a diagonal da tela mede 20 polegadas. Quantas telas de televisão de 20 polegadas cabem em uma de 60 polegadas? a) 9. b) 10.

08. (OBM) Qual é o dígito das unidades do número 31998 ? a) b) c) d) e)

1. 3. 5. 7. 9.

09. (OBM) A metade do número 211 + 48 é igual a a) b) c) d) e)

25 + 44. 25 + 28. 110 + 28. 215 + 45. 29 + 47.

Nível 4

10. (PUC-RJ) Escolha entre as alternativas aquela que mostra o maior número: a) (–1)3 b) (­–2)4 c) (–3)5 d) (–4)6 e) (–5)7 1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

la e desejam saber quem mora mais perto da escola. André mora a cinco vinte avos de um quilômetro da escola. Carlos mora a seis quartos de um quilômetro da escola. Já Fábio mora a quatro sextos de um quilômetro da escola.

Uma proposta substitutiva, relativa às alturas de tomadas e interruptores, respectivamente, que atenderá àquele potencial comprador é: a) 0,20m e 1,45m. b) 0,20m e 1,40m. c) 0,25m e 1,35m. d) 0,25m e 1,30m. e) 0,45m e 1,20m.

11


Capítulo 2 | Conjuntos Numéricos TÓPICO 2: Naturais e inteiros Nível 2

11. (OBM) A calculadora de Juliana é bem diferente. Ela tem uma tecla D, que duplica o número escrito no visor, e a tecla T, que apaga o algarismo das unidades do número escrito no visor. Assim, por exemplo, se estiver escrito 123 no visor e apertarmos D, teremos 246; depois, apertando T, teremos 24. Suponha que esteja escrito 1999. Se apertamos D depois T, em seguida D, depois T, teremos o número a) 96. b) 98. c) 123. d) 79. e) 99.

12. (CFTSC) Sendo a = 3 e b = 2 , então (a + b) e (a - b) são, res4

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

pectivamente, iguais a:

12

a)

5 3 e . 3 10

b)

5 23 e . 9 20

c)

23 15 e . 20 8

d)

15 3 e . 8 10

e)

23 7 e . 20 20

5

4 azulejos brancos, também cercado por azulejos pretos; e assim sucessivamente. Com 80 azulejos pretos, quantos azulejos brancos serão necessários para se fazer uma sequência de mosaicos como esta? a) 55. b) 65. c) 75. d) 85. e) 100.

15. (CFT-MG) A operação (∆) entre os conjuntos A e B é definida por: A ∆ B = (A - B) ∪ (B - A). Se: A = {x ∈ IR/2 ≤ x ≤ 8} e B = {x ∈ IR/6 < x ≤ 10} então (A ∆ B) é igual a: a) ∅ b) [0, 6[ ∪ [8, 10] c) [0, 2[ ∪ [6, 8] d) [2, 6] ∪ ]8, 10] e) [2,4]

Nível 4

16. (FGV) São dados os números x = 0,00375.10-6 e y = 22,5.10-8 . É correto afirmar que: a) y = 6x 2 y 3 2 c) y = x 3 b) x =

13. (UFJF) Define-se o comprimento de cada um dos intervalos [a, b], ]a, b[, ]a, b] e [a, b[ como sendo a diferença (b + a). Dados os intervalos M = [3, 10], N = ]6,14[, P = [5, 12[, o comprimento do intervalo resultante de (M ∩ P) ∪ (P - N) é igual a a) 1. b) 3. c) 5. d) 7. e) 9.

d) x = 60y e) y = 60x

TÓPICO 3: Racionais e irracionais Nível 2

17. (CESGRANRIO)

Ordenando os números racionais

Nível 3

p=

13 2 5 , q = e r = , obtemos 24 3 6

14. Com azulejos quadrados brancos e pretos, todos do mesmo tamanho, construímos os seguintes mosaicos.

a) b) c) d) e)

p < r < q. p < q < r. r < p < q. q < r < p. r < q < p.

18. (CFT-MG) Um grupo de alunos cria um jogo de cartas, em A regra para se construir estes mosaicos é a seguinte: inicialmente formamos um quadrado com 1 azulejo branco cercado por azulejos pretos; e em seguida, outro quadrado, este com

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

que cada uma apresenta uma operação com números racionais. O ganhador é aquele que obtiver um número inteiro como resultado da soma de suas cartas. Quatro jovens ao jogar receberam as seguintes cartas:


Capítulo 2 | Conjuntos Numéricos 1ª carta

2ª carta

22. (UFMG) Considere x, y e z números naturais. Na divisão de x

Maria

1,333... + 4 5

1,2 + 7 3

por y obtém-se quociente z e resto 8. Sabe-se que a representax ção decimal de é a dízima periódica 7,363636...

Selton

0,222... + 1 5

0,3 + 1 6

Tadeu

1,1111... + 3 10

1,7 + 8 9

Valentina

0,666... + 7 2

0,1 + 1 2

O vencedor do jogo foi a) Maria. b) Selton. c) Tadeu. d) Valentina.

ordem decrescente, teremos a sequência a) 3 , 1, 3 , 5 8 5

c) 1, 3 , 8 d) 1, 3 , 8 e)

3, 5

23. (UFSJ) Sejam r1 e r2 números racionais quaisquer e s1 e s2 números irracionais quaisquer, é INCORRETO afirmar que a) o produto r1 . r2 será sempre um número racional. b) o produto s1 . s2 será sempre um número irracional. c) para r1 ≠ 0, o produto s1 . r1 será sempre um número irracional. d) para r2 ≠ 0, a razão r1/r2 será sempre um número racional. 24. O diagrama de Venn é uma maneira de representar os conjuntos numéricos. A figura a seguir representa alguns dos conjuntos numéricos mais conhecidos

5

5, 3 5 5, 1, 3 8

20. (PUC-RIO) O valor de a) b) c) d) e)

5, 1, 3 e 3 , e em 5 8

5, 3 5 3, 5

Então, o valor de x + y + z é a) 190. b) 193. c) 191. d) 192. e) 194.

Nível 3

19. (UEG) Se colocarmos os números reais

b) 3 , 1, 8

y

2, 777... é

1,2. 1,666... . 1,5. 1 um número entre e 1. 2 3, 49.

Nesse diagrama de Venn, as quantidades de números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais representados são, respectivamente a) 5, 7, 5, 6 e 17. b) 5, 7, 17, 6 e 23. c) 5, 12, 5, 6 e 17. d) 5, 12, 12, 6 e 23. e) 5, 12, 17, 6 e 23.

A sequência correta é a) F - V - V. b) V - V - F. c) V - F - V. d) F - F - V. e) F - V - F.

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

21. (UFSM) Assinale verdadeira (V) ou falsa (F) em cada uma das afirmações a seguir. ( ) A letra grega π representa o número racional que vale 3,14159265. ( ) O conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais são subconjuntos dos números reais e possuem apenas um ponto em comum. ( ) Toda dízima periódica provém da divisão de dois números inteiros, portanto é um número racional.

13


Capítulo 2 | Conjuntos Numéricos

25. Observe alguns exemplos de números escritos no antigo sistema de numeração da China, que era decimal e posicional:

27. (ENEM) Um estudante se cadastrou em uma rede social na internet que exibe o índice de popularidade do usuário. Esse índice é a razão entre o número de admiradores do usuário e o número de pessoas que visitam seu perfil na rede. Ao acessar seu perfil hoje, o estudante descobriu que seu índice de popularidade é 0,3121212... O índice revela que as quantidades relativas de admiradores do estudante e pessoas que visitam seu perfil são a) 103 em cada 330. b) 104 em cada 333. c) 104 em cada 3.333. d) 139 em cada 330. e) 1.039 em cada 3.330. Nível 4

28. (UEL) O menor número inteiro n, estritamente positivo, que torna a expressão (3 500 · n) um cubo perfeito é a) 35. b) 49. c) 56. d) 98. e) 105. Tal sistema apresentava obstáculos associados a possíveis ambiguidades. Por exemplo, mesmo sem considerar números que, no nosso sistema, teriam algarismo zero na sua representação, II pode ser interpretado como os números 2 ou 11. Da mesma forma, IIII pode ser interpretado como oito números diferentes, cuja soma é a) 665 b) 669 c) 981 d) 1625 e) 1669

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

26. Na Matemática, existem números que, embora possam ser

14

escritos na forma de fração (em que o numerador e o denominador são números inteiros), quando escritos na forma decimal, apresentam uma parte que se repete indefinidamente: o período (por isso são chamados de dízimas periódicas). O número 4/3, por exemplo, na forma decimal, é igual a 1,3333..., que também pode ser escrito como 1,3 , no qual a barra sobre o algarismo 3 indica que ele se repete indefinidamente. Considerando a notação com a barra sobre os algarismos que se repetem em uma dízima periódica, a expressão 1, 36 + 2, 64 0, 02 + 0, 98 equivale a: a) 4 b) 3,97 c) 397/99 d) 27/7 e) 3,97979797........

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

TÓPICO 4: Reais Nível 2

29. (UERJ) O segmento XY, indicado na reta em umérica abaixo, está dividido em dez segmentos congruentes pelos pontos A, B, C, D, E, F, G, H e I.

Admita que X e Y representem, respectivamente, os números 1 3 e . O ponto D representa o seguinte número: 6 2

1 5 8 b) 15

a)

c)

17 30

d)

7 10

30. (UFJF) Na figura a seguir estão representados geometricamente os números reais 0, x, y e 1. A posição do número real x ⋅ y é: 0

a) b) c) d) e)

à esquerda do zero entre zero e x entre x e y entre y e 1 à direita de 1

x

y

1


Capítulo 2 | Conjuntos Numéricos

31. (UEPG) Com relação aos conjuntos a seguir, assinale o que for correto. A = { x ∈  || x |≤ 10 }

33. (UPE) Na reta real x da figura o segmento AB está dividido em partes iguais, e as abscissas dos pontos A e B são, respectivamente, iguais a 1 e 2 . 2

B = { x ∈  | x 2 - 2 x ≤ 3}

A

2

D = { x ∈  | x + 5x + 4 < 0 } (01) (02) (04) (08) (16)

A- B = D (A ∪ B) ∩ D = {x ∈  | x2 + 5x + 6 = 0} D ⊄Ae B ⊂A B ∩ D = {x ∈  | 2x + 7 = 5} O conjunto D admite exatamente 16 subconjuntos)

32. (ENEM) Em um jogo educativo, o tabuleiro é uma representação da reta em umérica e o jogador deve posicionar as fichas contendo números reais corretamente no tabuleiro, cujas linhas pontilhadas equivalem a 1 (uma) unidade de medida. Cada acerto vale 10 pontos. Na sua vez de jogar, Clara recebe as seguintes fichas:

Para que Clara atinja 40 pontos nessa rodada, a figura que representa seu jogo, após a colocação das fichas no tabuleiro, é: a)

b)

P

Q

B

x

Sendo xp e xq, respectivamente, as abscissas dos pontos P e Q, assinale a alternativa que corresponde ao valor de (xq)2 - (xp)2 : 7

a) 3 b)

49 36

c)

25 324

d)

21 36

e)

7 108

Soma: ( 

Nível 3

3

Nível 4

34. Para um número natural n definida por p(n) = n2 - n + 41. Analise as afirmações e determine sua veracidade. I. p(5) é primo. II. Considerando que p(0), p(1), p(2), p(3), ..., p(40) são primos temos que p(n) é primo para todo natural n. III. p(41) não é primo. IV. Existem infinitos valores de n para os quais p(n) não é primo. V. Para todo primo p existe natural n tal que p(n) = P. São verdadeiras a) I, III e IV. b) I, II e III. c) II e V. d) II, IV e V. e) I, III e V.

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

c)

d)

e)

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

15


GABARITOS

GABARITOS Capítulo 1

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

16

01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44.

(d) (d) (e) (d) (b) (e) (e) (b) (b) (c) (b) 12 (a) (b) (c) (a) (e) (e) (a) (b) (c) (e) (c) (d) (b) (d) (c) (c) (d) (c) a) 1671; b) 1099, 179, 393 (b) (e) (d) 550 (b) (c) (a) (a) (e) (a) (c) (c) (c)

1º ANO - MATEMÁTICA 1 | VOLUME 1

45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52.

(e) (d) (c) (a) (e) (d) (c) (c)

Capítulo 2 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34.

(c) (e) (c) (b) (d) (a) (e) (e) (d) (d) (d) (e) (c) (a) (d) (e) (b) (c) (c) (b) (d) (c) (b) (e) (d) (c) (a) (d) (d) (b) 03 (d) (e) (a)

Profile for Sistema GGE

SEPARATA 1º ANO MATEMATICA 1  

SEPARATA 1º ANO MATEMATICA 1  

Advertisement