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PRÉ-ENEM Matemática 3 VOLUME 1

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS PALAVRA DO AUTOR


Matemática e suas tecnologias: Matriz de Referência C1

Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais. H1

Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações - naturais, inteiros, racionais ou reais.

H3

Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.

H5

Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.


C

1

A PÍ LO TU

COMPETÊNCIAS:

C1

Aritmética (parte 1) HABILIDADES:

H1, H3, H5

APRESENTAÇÃO Neste capítulo, vamos aprender sobre a teoria dos números, assunto que tem vasta aplicabilidade, chegando, inclusive, a solucionar uma guerra. O seu desenvolvimento vem do acúmulo, ao longo de séculos, de soluções para problemas práticos do cotidiano; e atualmente sua maior aplicabilidade encontra-se na criptografia e em sistemas de segurança, principalmente em sistemas de informação com influência sobre grande número de pessoas, como bancos de dados de agências de inteligência de governos. No tópico 1, veremos os sistemas de numeração, o processo de agruparmos em base dez (de dez em dez), bem como outros tipos de agrupamentos. No tópico seguinte, veremos o processo de divisão, chamado de aritmética dos inteiros; veremos quais são os múltiplos e divisores de um número e números primos. No tópico 3, estudaremos a divisibilidade, ou seja, quando um número poderá ser dividido por outro para obtermos um número inteiro. Encerrando o conteúdo do capítulo, no tópico 4 abordaremos MMC (mínimo múltiplo comum) e MDC (máximo divisor comum), um conteúdo com diversas aplicabilidades em nosso dia a dia.


Capítulo 1 | Aritmética (Parte 1)

TÓPICO 1 • Sistema de numeração O sistema de numeração utilizado no nosso cotidiano para representar os números naturais é o sistema decimal posicional ou, simplesmente, sistema decimal (ou de base 10). Esse sistema teve sua origem na Índia, por volta do final do século V, sendo desenvolvido na China e, mais tarde, divulgado na Europa. Entre os outros sistemas de numeração em uso, podemos destacar o sistema binário (ou de base 2), bastante utilizado na computação.

1.1 • Sistema decimal No sistema decimal, todo número é representado por uma sequência formada pelos algarismos (digitos): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ele é chamado de decimal por serem dez os algarismos usados. O sistema decimal tem como princípio básico dez unidades de uma ordem formando uma unidade de ordem imediatamente superior. Isso quer dizer que todo algarismo escrito à esquerda de outro vale dez vezes mais do que se ocupasse a posição à direita.

valor absoluto é o valor do algarismo considerando-o isoladamente; já o valor relativo é o valor do algarismo levando-se em conta sua posição dentro do número. Exemplo: considere o número 5.834. O algarismo 8 tem valor absoluto igual a 8 e valor relativo igual a 800.

1.1.1 • Mudança de um número na base 10 para uma base b qualquer Para mudarmos um número natural n da base 10 para uma base b, dividimos o número n por b; em seguida, dividimos o quociente obtido por b, e assim sucessivamente, até obtermos um quociente menor do que b. Logo, o número n escrito na base b será formado pelo último quociente obtido seguido dos restos encontrados nas divisões, considerados na ordem contrária à que foram obtidos. n r

b x r

b x

Exemplo: o número 23.528, na base 10, é a representação de: Exemplo: mude o número 2.857 (base 10) para a base 6.

2 ⋅ 104 + 3 ⋅ 103 + 5 ⋅ 102 + 2 ⋅ 101 + 8 ⋅ 100 Observe também que se o algarismo 3 estivesse na posição do 5 ele valeria 300, mas na posição em que ele se encontra vale 3.000. Cada algarismo de um número possui uma ordem que é contada da direita para a esquerda. Cada terna de ordens, também contadas da direita para a esquerda, forma uma classe. Exemplo: observe o número 6.754.328.

2857 6 1 476 2

6 79 1

6 13 1

6 2

Logo, 2.857 (base 10) = 21.121 (base 6). 6

7

5

4

3

2

8

7ª ordem

6ª ordem

5ª ordem

4ª ordem

3ª ordem

2ª ordem

1ª ordem

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Classe

Classe das milhares

Classe das unidades

SAIBA MAIS •

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O algarismo 0 (zero) é denominado algarismo não significativo, enquanto os demais algarismos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) são chamados de algarismos significativos. Em qualquer número, cada algarismo significativo possui dois valores: o valor absoluto e o valor relativo. O

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1.1.2 • Mudança de um número na base b, diferente de 10, para a base 10 Considere um número natural qualquer, com n algarismos, escrito em uma base b qualquer, diferente de 10, representado genericamente por: an - 1 an - 2 an - 3 … a2 a1 a0. Para mudarmos o número acima para a base 10, faremos: a0 ⋅ b0 + a1 ⋅ b1 + a2 ⋅ b2 + … + an - 3 ⋅ bn - 3 + an - 2 ⋅ bn -2 + an - 1 ⋅ bn - 1 Exemplo: mude o número 2.015 (base 3) para a base 10. Da esquerda para direita, temos: 5 ⋅ 30 + 1 ⋅ 31 + 0 ⋅ 32 + 2 ⋅ 33 = 62 (base 10)


Capítulo 1 | Aritmética (Parte 1)

Em seguida, mudamos 11 (base 10) para a base 5:

Se quisermos mudar um número escrito em uma base não 10 para uma outra base não 10, devemos mudar o número dado para a base 10 e, em seguida, mudar o resultado obtido para a segunda base não 10.

11 5 1 2 Assim, 11 (base 10) = 21 (base 5). Portanto, 1.011 (base 2) equivale a 21 (base 5).

Exemplo: mude o número 1.011 (base 2) para a base 5. Primeiro mudamos 1.011 (base 2) para a base 10: 1 ⋅ 20 + 1 ⋅ 21 + 0 ⋅ 22 + 1 ⋅ 23 = 11 (base 10).

EXERCITANDO EM AULA 01. Um número é formado de dois algarismos cuja soma é 10. Somando 54 ao número, ele fica escrito em ordem inversa. Calcule esse número. a) 12 b) 21 c) 28 d) 82 e) 46

Figura 1, o quipus representa o número decimal 2.453. Para representar o “zero” em qualquer posição, não se coloca nenhum nó. O número da representação do quipus da Figura 2, em base decimal, é:

02. Um número natural N tem três algarismos. Quando dele subtraímos 396, resulta o número que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Se, além disso, a soma do algarismo das centenas e do algarismo das unidades de N é igual a 8, então o algarismo das centenas de N é: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 03. Um número é composto de dois algarismos cuja diferença 4 é 3. Escrevendo-se o número em ordem inversa, obtêm-se 7 do número dado. Calcule esse número. 36 46 53 63 83

04. (ENEM) Os incas desenvolveram uma maneira de registrar quantidades e representar números utilizando um sistema de numeração decimal posicional: um conjunto de cordas com nós denominado quipus. O quipus era feito de uma corda matriz, ou principal (mais grossa que as demais), na qual eram penduradas outras cordas, mais finas de diferentes tamanhos e cores (cordas pendentes). De acordo com a sua posição, os nós significavam unidades, dezenas, centenas e milhares. Na

a) b) c) d) e)

364 463 3.064 3.640 4.603.0

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

a) b) c) d) e)

Disponível em: www.cultura peruana.com.br. Acesso em: 13 dez. 2012.

05. Qualquer número de quatro dígitos, em que os dígitos das unidades é igual ao das centenas, e o dígito das dezenas é igual ao dos milhares, é divisível por: a) 83 b) 87 c) 89 d) 97 e) 101

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Capítulo 1 | Aritmética (Parte 1)

TÓPICO 2 • Aritmética dos inteiros 2.1 • Divisão euclidiana Mesmo quando um número natural b (b ≠ 0) não divide o número natural a, é possível efetuar a divisão de a por b, com resto. Esse processo é chamado de divisão euclidiana. Esquematicamente, temos:

a

b

r

q

⇒ a=q ⋅ b + r

Em que: a → dividendo b → divisor q → quociente r → resto

2.2 • Múltiplos Definição em : quando um número natural a (a ∈ ) é divisível (divisão exata) por um número natural b, dizemos que a é múltiplo de b.

Exemplos: I. 42 é múltiplo de 6 , pois 42 6 0 7 II. 24 é múltiplo de 8, pois 24 8 0 3

Definição em : sejam a e b dois números inteiros (a, b ∈ ). Dizemos que a é múltiplo de b se existir um inteiro k, tal que a = k ⋅ b.

Exemplos: I. -18 é múltiplo de 3, pois -18 = (-6) ⋅ 3 II. -56 é múltiplo de -8, pois -56 = 7 ⋅ (-8)

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Dado um número n (natural ou inteiro), indicamos o conjunto dos múltiplos de n por M(n).

99 O conjunto dos múltiplos de um número é um conjunto infinito. 99 O zero é múltiplo de todo número (natural ou inteiro). 99 Todo número é múltiplo de si mesmo.

2.3 • Divisores Definição em : quando um número natural a (a ∈ ) é divisível (divisão exata) por um número natural b, dizemos que b é divisor de a.

Exemplos: I. 4 é divisor de 28, pois 28 4 0 7 II. 3 é divisor de 18, pois 18 3 0 6

Definição em : sejam a e b dois números inteiros (a, b ∈ ). Dizemos que b é divisor de a se existir um inteiro k, tal que a = k ⋅ b.

Exemplos: I. -3 é divisor de -9, pois -9 = 3 ⋅ (-3) II. 5 é divisor de -125, pois -125 = (-25) ⋅ 5 Dado um número n (natural ou inteiro), indicamos o conjunto dos divisores (naturais ou inteiros) de n por D(n). Exemplos: I. Divisores naturais de 24: D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. II. Divisores inteiros de 24: D(24) = {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24}.

Exemplo: os múltiplos naturais de 4: M(4) = {0, 4, 8, 12, 16 …}. Para obtermos o conjunto dos múltiplos de um número natural (ou número inteiro), multiplicamos o número dado pelos números naturais 0, 1, 2, 3, 4, … (ou pelos números inteiros …, -2, -1, 0, 1, 2, …). Exemplos: I. Múltiplos naturais de 3: M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, …}. II. Múltiplos inteiros de 3: M(3) = {…, -6, -3, 0, 3, 6, …}.

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99 O zero não é divisor de nenhum número (natural ou inteiro). 99 O zero possui infinitos divisores. 99 O conjunto dos divisores de um número (natural ou inteiro) é um conjunto finito. 99 1 é divisor de todo número (natural ou inteiro).


Capítulo 1 | Aritmética (Parte 1)

2.3.1 • Números primos Definição em : um número natural x (x ∈ ) é primo quando só é divisível por 1 e ele mesmo.

Exemplos: I. 3 é primo, pois D(3) = {1, 3}. II. 11 é primo, pois D(11) = {1, 11}.

Definição em : dado um número inteiro n (n ∈ ), dizemos que n é primo quando os divisores de n são apenas 1, -1, n, e -n.

Exemplos: I. 5 é primo, pois D(5) = {1, -1, 5, -5}. II. -7 é primo, pois D(-7) = {1, -1, 7, -7}. 99 O número 2 é o único número par que é primo. 99 O número 1 não é primo.

2.3.2 • Números compostos Definição em : um número natural n é composto se possui outros divisores além de 1 e ele mesmo.

Exemplo: 8 é um número composto, pois D(8) = {1, 2, 4, 8}.

Definição em : um número inteiro n é composto quando possui outros divisores além de 1, -1, n e -n.

SAIBA MAIS Distribuição dos números primos

Crivo de Eratóstenes Escrevem-se todos os números naturais de 1 a 120. Eliminam-se, de maneira sistemática, todos os números compostos da tabela, seguindo o seguinte roteiro: a) Risque todos os múltiplos de 2, com exceção deste, já que nenhum deles é primo, a saber: 4, 6, 8, 10, … b) O segundo número não riscado é 3, que é primo. Risque todos os múltiplos de 3 maiores do que 3, pois esses não são primos. c) O terceiro número não riscado é 5, que é primo. Risque todos os múltiplos de 5 maiores do que 5, pois esses não são primos. d) O quarto número não riscado é 7, que é primo. Risque todos os múltiplos de 7 maiores do que 7, pois esses não são primos. Procedemos assim até que, após uma série de cancelamentos, o primeiro múltiplo a cancelar seja maior que o limite superior da lista, ou seja, maior que 120. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

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MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Exemplos: I. 16 é um número composto, pois D(16) = {±1, ±2, ±4, ±8, ±16}. II. -9 é um número composto, pois D(-9) = {±1, ±3, ±9}.

dada ordem. O matemático grego Eratóstenes, que viveu por volta de 230 anos antes de Cristo, desenvolveu um método chamado de Crivo de Eratóstenes, que permite determinar todos os números primos até a ordem que desejar, o que, porém, não é prático para ordens muito elevadas. A seguir, vamos elaborar a tabela de todos os números primos menores que 120.

Os números primos menores do que 120 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109 e 113. Divisão por números primos menores

Euclides, no livro IX de Elementos, mostrou que existem infinitos números primos. Agora que sabemos que existem infinitos números primos, nos perguntamos como podemos obter uma lista contendo os números primos até uma

Para determinar se um número natural dado é primo, podemos usar o seguinte método prático. Dividimos o número dado pelos números primos menores que ele em ordem

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Capítulo 1 | Aritmética (Parte 1)

crescente (2, 3, 5, 7, …), até obtermos um quociente menor ou igual ao divisor. Se nenhuma das divisões for exata, o número é primo. Exemplos: I. Verifique se 23 é primo. 23 2 1 11

23 3 2 7

23 5 3 4

23 11 1 2

23 13 10 1

23 17 6 1

Observe que nenhuma divisão foi exata; logo, 23 é um número primo. II. Verifique se 91 é primo. 91 2 1 45

91 3 1 30

91 5 1 18

91 7 0 13

Observe que uma das divisões foi exata; logo, 91 é um número composto.

2.3.3 • Decomposição de um número natural em fatores primos Os números primos são os mais simples do ponto de vista de uma estrutura multiplicativa. Apesar disso, são suficientes para gerar todos os números naturais, conforme veremos a seguir. Todo número natural maior do que 1 se escreve de modo único (a menos da ordem dos fatores) como um produto de números primos. Assim, todo número composto pode ser decomposto em uma produto de fatores primos. Exemplo: 120 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 Na prática, dividimos o número dado pelo menor número primo que seja seu divisor e procedemos assim com o quociente até encontrarmos quociente igual a 1. Exemplo: Decompondo 120 em fatores primos, teremos: 120 60 30 15 5 1

2 2 2 3 5

120 = 23 ⋅ 3 ⋅ 5

EXERCITANDO EM AULA 06. (ENEM) Os números de identificação utilizados no cotidiano (de contas bancárias, de CPF, de Carteira de Identidade etc.) usualmente possuem um dígito de verificação, normalmente representado após o hífen, como em 17326-9. Esse dígito adicional tem a finalidade de evitar erros no preenchimento ou digitação de documentos. Um dos métodos usados para gerar esse dígito utiliza os seguintes passos: •

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• • •

Multiplica-se o último algarismo do número por 1, o penúltimo por 2, o antepenúltimo por 1, e assim por diante, sempre alternando multiplicações por 1 e por 2. Soma-se 1 a cada um dos resultados dessas multiplicações que for maior do que ou igual a 10. Somam-se os resultados obtidos. Calcula-se o resto da divisão dessa soma por 10, obtendo-se assim o dígito verificador.

O dígito de verificação fornecido pelo processo acima para o número 24685 é a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

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07. Na turma do sexto ano de um determinado colégio, a professora Rita propôs a seus alunos o seguinte problema: “Em uma divisão, o quociente é igual ao divisor, e o resto é o maior possível. Sabendo que a soma do divisor com o quociente é 20, qual o dividendo?” Nenhum dos alunos da sala soube responder corretamente ao problema. O dividendo da divisão proposta pela professora é: a) 110 b) 109 c) 108 d) 101 e) 100

08. Nosso calendário atual é baseado no antigo calendário romano, que, por sua vez, tinha como base as fases da lua. Os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro possuem 31 dias, e os demais, com exceção de fevereiro, possuem 30 dias. O dia 31 de março de certo ano ocorreu em uma terça-feira. Nesse mesmo ano, qual dia da semana será o dia 12 de outubro ? a) Domingo b) Segunda-feira c) Terça-feira


Capítulo 1 | Aritmética (Parte 1)

10. Um dos reservatórios de água de um condomínio empresa-

d) Quinta-feira e) Sexta-feira

09. Qual dígito ocupa a centésima casa decimal na expansão decimal da fração a) b) c) d) e)

5 ? 7

1 2 4 5 7

rial apresentou um vazamento a uma taxa constante, às 12h do dia 1º de outubro. Às 12h dos dias 11 e 19 do mesmo mês, os volumes de água no reservatório eram, respectivamente, 315 mil litros e 279 mil litros. Dentre as alternativas seguintes, qual delas indica o dia em que o reservatório esvaziou totalmente? a) 16 de dezembro b) 17 de dezembro c) 18 de dezembro d) 19 de dezembro e) 20 de dezembro

TÓPICO 3 • Divisibilidade Dados dois números inteiros a e b, com b ≠ 0, dizemos que b divide a, quando na divisão euclidiana obtemos quociente inteiro e resto zero. Diremos, neste caso, que a divisão é exata. Exemplos: 64 16 0 4

−56 7 0 −8

Um número inteiro é par se for divisível por 2. Caso contrário, diremos que o número é ímpar. Exemplos: I. São pares 346, 128, 310 etc. II. São ímpares 415, 23, 211 etc.

3.1 • Critérios de divisibilidade

3.1.2 • Divisibilidade por 3 Um número natural é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é divisível por 3.

Exemplo: 21.723 é divisível por 3, pois 2 + 1 + 7 + 2 + 3 = 15 que é divisível por 3. Observação: o resto da divisão de um número natural por 3 é igual ao resto da divisão da soma dos valores absolutos de seus algarismos por 3. Exemplo: 1.343 dividido por 3 deixa resto igual a 2. Isso acontece porque 1 + 3 + 4 + 3 = 11, e 11 dividido por 3 deixa resto igual a 2.

3.1.3 • Divisibilidade por 4

São critérios que permitem verificar, sem efetuar a divisão, se um determinado número natural é divisível por outro.

3.1.1 • Divisibilidade por 2

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Um número natural é divisível por 2 quando é par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6, ou 8.

Um número natural é divisível por 4 quando o numeral formado pelos dois últimos algarismos da direita é divisível por 4.

Exemplos: I. 1.516 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4. II. 4.300 é divisível por 4, pois 0 é divisível por 4.

Exemplos: 46, 302, 1.174, 310. Caso o número não seja par, o resto da sua divisão por 2 é sempre igual a 1. Exemplo: 213 1

2 106

Observação: o resto da divisão de um número natural por 4 é igual ao resto da divisão do numeral formado pelos dois últimos algarismos da direita por 4. Exemplo: 21.319 dividido por 4 deixa resto igual a 3, pois 19 dividido por 4 deixa resto igual a 3.

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Capítulo 1 | Aritmética (Parte 1)

3.1.4 • Divisibilidade por 5 Um número natural é divisível por 5 quando o último algarismo da direita é 0 ou 5.

Exemplos: I. 634.240 é divisível por 8, pois 240 é divisível por 8. II. 46.000 é divisível por 8, pois 0 é divisível por 8. Observação: o resto da divisão de um número natural por 8 é igual ao resto da divisão do numeral formado pelos três últimos algarismos da direita por 8.

Exemplos: 3.720, 4.315. Observação: o resto da divisão de um número natural por 5 é igual ao resto da divisão do último algarismo da direita por 5. No entanto, se o algarismo das unidades for menor que 5, o resto será ele mesmo. Exemplos: I. 6.238 dividido por 5 deixa resto igual a 3, pois 8 dividido por 5 deixa resto igual a 3. II. 7.512 dividido por 5 deixa resto igual a 2, pois 2 é menor que 5.

3.1.5 • Divisibilidade por 6 Um número natural é divisível por 6 quando é divisível por 2 e 3, simultaneamente.

Exemplo: 234 é divisível por 6, pois é divisível por 2, porque é par, e é divisível por 3, porque 2 + 3 + 4 = 9 é divisível por 3. Observação: o resto da divisão de um número natural por 6 é igual ao resto da divisão do número formado pela soma do último algarismo da direita com o quádruplo da soma de todos os outros algarismos por 6. Exemplo: 2.758 dividido por 6 deixa resto igual a 4, por que 8 + 4 ⋅ (2 + 7 + 5) = 64 dividido por 6 deixa resto igual a 4.

3.1.6 • Divisibilidade por 7

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Um número natural é divisível por 7 quando o dobro do último algarismo da direita subtraído do numeral formado pelos algarismos restantes dá como resultado um número divisível por 7.

Exemplo: 371 é divisível por 7, pois 37 - 2 = 35 que é divisível por 7.

3.1.7 • Divisibilidade por 8 Um número natural é divisível por 8 quando o numeral formado pelos três últimos algarismos da direita é divisível por 8.

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Exemplo: 76.243 dividido por 8 deixa resto igual a 3, pois 243 dividido por 8 deixa resto igual a 3.

3.1.8 • Divisibilidade por 9 Um número natural é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é divisível por 9.

Exemplo: 32.418 é divisível por 9, pois 3 + 2 + 4 + 1 + 8 = 18 é divisível por 9. Observação: o resto da divisão de um número natural por 9 é igual ao resultado dos “noves fora” do número.

3.1.9 • Divisibilidade por 10 Um número natural é divisível por 10 quando o último algarismo da direita é igual a 0.

Exemplo: 3.430. Observação: o resto da divisão de um número por 10 é igual ao último algarismo da direita. Exemplo: 34513 dividido por 10 deixa resto igual a 3.

3.1.10 • Divisibilidade por 11 Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem par é igual a um múltiplo de 11.

Exemplo: O número 246.521.451 é divisível por 11. Isso acontece porque (1 + 4 + 2 + 6 + 2) - (5 + 1 + 5 + 4) = 15 - 15 = 0, que é um múltiplo de 11. Observação: o resto da divisão de um número por 11 é igual ao resultado da diferença citada acima. Caso o resultado da diferença mencionada seja negativo, adicionamos a ele tantos múltiplos de 11 quantos forem necessários para tornar possível a subtração.


Capítulo 1 | Aritmética (Parte 1)

3.1.11 • Divisibilidade por 12 Um número é divisível por 12 quando ele é divisível por 3 e por 4, simultaneamente.

Em seguida, multiplicamos todos os fatores primos à esquerda do traço vertical pelos que estão à direita do traço vertical acima dele. Os resultados que se repetirem são escritos apenas uma vez. Exemplo: determine os divisores positivos de 36. 1

Exemplo: 38.112 é divisível por 12, pois é divisível por 3 e por 4, simultaneamente.

3.2 • Número de divisores positivos de um número natural É possível determinar o número de divisores positivos de um número natural sem antes determinar todos os divisores. Para obtermos o número de divisores positivos de um número natural N, fatoramos o número dado, em seguida, somamos 1 a cada expoente dos fatores primos que aparecem na decomposição de N, e finalmente multiplicamos os resultados obtidos. Podemos indicar o número de divisores positivos de N por n(D).

36

2

2

18

2

4

9

3

3, 6, 12

3

3

9, 18, 36

1

Para determinar o conjunto de todos os divisores (positivos e negativos) de um número inteiro, basta determinar os divisores positivos e tomar, também, seus simétricos.

Exemplo: determine o número de divisores positivos de 1.800. 1.800 900 450 225 75 25 5 1

2 2 2 3 3 5 5

1.800 = 23 ⋅ 32 ⋅ 52 n(D) = (3 + 1) ⋅ (2 + 1) ⋅ (2 + 1) = 36

Assim, os divisores positivos de 36 são: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36.

APROFUNDAMENTO Número de divisores ímpares positivos de um número natural Para obtermos o número de divisores ímpares positivos de um número natural N, fatoramos o número N e, em seguida, adicionamos 1 a cada expoente dos fatores primos ímpares que aparecem na decomposição de N.

O número de divisores inteiros de um número é igual ao dobro do número de divisores positivos do número, pois contamos, também, os divisores negativos.

Exemplo: I. Determine o número de divisores ímpares positivos de 1.800.

Exemplo: determine o número de divisores inteiros de 72. 2 2 2 3 3

72 = 23 ⋅ 32 n(D) = (3 + 1) ⋅ (2 + 1) = 12 O número de divisores inteiros de 72 é: 2 ⋅ 12 = 24.

3.3 • Determinação dos divisores Para obtermos todos os divisores positivos de um número natural, decompomos o número dado em fatores primos; colocamos um traço vertical à direita dos fatores primos e, acima, à direita do traço vertical, escrevemos o número 1 (que é o primeiro dos divisores).

2 2 2 3 3 5 5

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

72 36 18 9 3 1

1.800 900 450 225 75 25 5 1

1.800 = 23 ⋅ 32 ⋅ 52 n(D)ímpares = (2 + 1) ⋅ (2 + 1) = 9

Número de divisores pares positivos de um número natural Para obtermos o número de divisores pares positivos de um número natural N, fatoramos o número N e em seguida adicionamos 1 a cada expoente dos fatores primos que

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

139


Capítulo 1 | Aritmética (Parte 1)

aparecem na decomposição de N, exceto ao expoente do fator primo 2. Exemplo: I. Determine o número de divisores pares positivos de 720. 720 360 180 90 45 15 5 1

2 2 2 2 3 3 5

720 = 24 ⋅ 32 ⋅ 5 n(D)pares = 4 ⋅ (2 + 1) ⋅ (1 + 1) = 24

Exemplo: I. Determine o número de divisores pares positivos de 720. 2 2 2 2 3 3 5

720 = 24 ⋅ 32 ⋅ 5 n(D) = (4 + 1) ⋅ (2 + 1) ⋅ (1 + 1) = 30 n(D)ímpares = (2 + 1) ⋅ (1 + 1) = 6 n(D)pares = 30 − 6 = 24

Observação I: números de divisores positivos de um número natural N que são múltiplos de um número natural P

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

720 : 12 = 60 60 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 n(D) = (2 + 1) ⋅ (1 + 1) ⋅ (1 + 1) = 12

Observação II: soma dos divisores positivos de um número natural n

n

n Seja N = p11 ⋅ p 22 ⋅ p 33 ⋅ ... ⋅ pr r, onde p1, p2, …, pr são os fatores primos que aparecem na decomposição de N. A soma dos divisores positivos de N é dada por:

n +1

n +1

n +1

- 1 p 22 - 1 p 33 - 1 pnr +1 - 1 ⋅ ... ⋅ r ⋅ ⋅ p1 - 1 p2 - 1 p3 - 1 pr - 1

p11

S (D) = Exemplo:

99 Podemos determinar o número de divisores pares positivos de um número natural calculando a diferença entre o número de divisores positivos e o número de divisores ímpares positivos.

Para determinarmos o número de divisores positivos de um número natural N que são múltiplos de um número natural P, calculamos o número de divisores positivos do resultado da divisão de N por P. Exemplo: II. Determine o número de divisores positivos de 720, que são múltiplos de 12.

140

2 2 3 5

n

99 Um número natural admite divisores pares se, e somente se, o número natural for par.

720 360 180 90 45 15 5 1

60 30 15 5 1

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

I. Calcule a soma dos divisores positivos de 180. 180 90 45 15 5 1

2 2 3 3 5

180 = 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5

S(D) =

2 2+1 - 1 3 2+1 - 1 51+1 - 1 ⋅ ⋅ = 546 2 -1 3 -1 5 -1

Observação III: produto dos divisores positivos de um número natural Dado um número natural N, o produto dos divisores positivos de N é igual a N elevado à metade do número de divisores positivos de N, isto é: P (D) = N

n(D) 2

Exemplos: I. Calcule o produto dos divisores positivos de 36. 36 18 9 3 1

2 2 3 3

n(D) = (2 + 1) ⋅ (2 + 1) = 9 P(D) = 369/2 = (36)9/2 = 69 36 = 22 ⋅ 32

II. Calcule o produto dos divisores positivos de 20. n(D) = (2 + 1) ⋅ (1 + 1) = 6 P(D) = 206/2 = 203 = 8.000 20 = 22 . 5


Capítulo 1 | Aritmética (Parte 1)

EXERCITANDO EM AULA 11. O número de divisores naturais do produto 42 ⋅ 20 é: a) b) c) d) e)

6 24 32 48 52

12. O número natural N = 272 ⋅ 77p possui 700 divisores positivos ou naturais. Assim, temos que o valor de p é: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

a) b) c) d) e)

68 70 72 74 76

14. O produto das idades de três amigos adolescentes (entre 12 e 19 anos) corresponde a 4080 anos. Qual a soma de suas idades em anos? a) 48 b) 49 c) 50 d) 51 e) 52

13. Um número de cartão de crédito é formado por 13 dígitos. Se a soma de quaisquer três dígitos consecutivos do número do cartão é 17, e, contados da esquerda para a direita, o segundo dígito é 4 e o décimo segundo dígito é 7, qual a soma dos dígitos do número do cartão de crédito? 4

7

TÓPICO 4 • MDC e MMC 4.1 • Máximo divisor comum (MDC) O máximo divisor comum de dois ou mais números é o maior número que os divide exatamente. Caso não haja nenhum número que os divida exatamente além do número 1 e ele mesmo, o máximo divisor comum será igual a 1.

Os divisores comuns de 56 e 84 são: 1, 2, 4 e 14, logo, o máximo divisor comum entre 56 e 84 é igual a 14. Quando o máximo divisor comum de dois ou mais números é igual a 1, dizemos que os números são primos entre si ou coprimos.

1º modo: para calcularmos o MDC de dois ou mais números, fatoramos os números dados, separadamente, e, em seguida, multiplicamos os fatores primos comuns de menores expoentes. Exemplo: determine o MDC entre 2.480, 1.320 e 1.640. 2.480 1.240 620 310 155 31 1

2 2 2 2 5 31

2.480 = 24 ⋅ 5 ⋅ 31

1.320 660 330 165 55 11 1

2 2 2 3 5 11

1.320 = 23 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11

1.640 820 410 205 41 1

2 2 2 5 41

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Exemplo: determine o máximo divisor comum entre 56 e 84. D(56) = {1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56} D(84) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 18, 21, 42, 84}

4.1.1 • Processos para o cálculo do MDC de dois ou mais números

2.480 = 24 ⋅ 5 ⋅ 31

MDC (2.480, 1.320, 1.640) = 23 ⋅ 5 = 8 ⋅ 5 = 40

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

141


Capítulo 1 | Aritmética (Parte 1)

2º modo: para calcularmos o MDC de dois números, podemos também utilizar o processo das divisões sucessivas (algoritmo de Euclides). A saber: a) Dividimos o maior número pelo menor; b) Se a divisão for exata, o MDC é o menor número; c) Se a divisão não for exata, dividimos o menor número pelo resto da primeira divisão; d) Se a divisão for exata, o resto que serviu de divisor é o MDC procurado; e) Se a divisão não for exata, dividimos o primeiro resto pelo segundo e assim por diante, até obtermos o resto igual a zero. O último divisor é o MDC.

2º modo: para calcularmos o MMC de dois ou mais números podemos, também, fatorá-los simultaneamente e, em seguida, multiplicarmos os fatores primos que aparecem na decomposição dos números. Exemplo: determine o MMC (24, 36, 60). 24, 36, 12, 18, 6, 9, 3, 9, 1, 3, 1, 1, 1, 1,

Exemplo: determine o MDC entre 34 e 24. 2

2

2

O passo a passo é o seguinte:

34 24 10

4

2

34 24 10 1

10

0

1

4

2

24 10 4 2

10 4 2 2

4 0

2 2

SAIBA MAIS

Logo, MDC (34, 24) = 2

Relações entre o MMC e o MDC de dois números naturais

O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números é o menor número, diferente de zero, divisível pelos números dados.

I. O produto de dois números naturais, não nulos, A e B é igual ao produto do MMC pelo MDC entre A e B, ou seja,

Exemplo: determine o mínimo múltiplo comum entre 4 e 6. M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, …} M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, …} Os múltiplos comuns a 4 e 6 são 0, 12, 24, 30, … , logo, o mínimo múltiplo comum a 4 e 6, diferente de 0, é igual a 12.

4.2.1 • Processos para o cálculo do MMC de dois ou mais números

A ⋅ B = MMC (A, B) ⋅ MDC (A, B) II. Quando dois ou mais números naturais são primos entre si (ou coprimos), o MMC entre eles é igual ao produto dos números e o MDC é igual a 1. Exemplo: 9 e 25 são primos entre si, logo:

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

1º modo: para calcularmos o MMC de dois ou mais números, fatoramos os números dados separadamente e, em seguida, multiplicamos os fatores primos comuns e não comuns de maiores expoentes. Exemplo: determine o MMC (24, 36, 60). 2 2 2 3

24 = 23 ⋅ 3

36 18 9 3 1

2 2 3 3

36 = 22 ⋅ 32

60 30 15 5 1

2 2 3 5

60 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5

MMC (24, 36, 60) = 23 ⋅ 32 ⋅ 5 = 8 ⋅ 9 ⋅ 5 = 360

142

2 2 2 3 3 5

MMC (24, 36, 60) = 23 ⋅ 32 ⋅ 5 = 360

4.2 • Mínimo múltiplo comum (MMC)

24 12 6 3 1

60 30 15 15 5 5 1

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

MMC (9, 25) = 9 . 25 = 225 MDC (9, 25) = 1 III. Quando em um conjunto de dois ou mais números naturais, um dos números é múltiplo dos demais, o MMC é este número. Exemplo: Considere os números 6, 8 e 24. Observe que 24 é múltiplo de 6 e 8, logo: MMC (6, 8, 24) = 24


Capítulo 1 | Aritmética (Parte 1)

EXERCITANDO EM AULA 15. No alto de uma torre de uma emissora de televisão, duas luzes piscam com frequências diferentes. A primeira pisca 15 vezes por minuto e a segunda pisca 10 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente? a) 12 b) 10 c) 20 d) 15 e) 30 16. Dois pilotos, em seus respectivos carros, percorrem uma pista circular no mesmo sentido e começando no mesmo ponto de partida. O primeiro piloto completa uma volta em 24 minutos, e o outro, em 30 minutos. Se os dois pilotos saíram no mesmo instante e mantêm a mesma velocidade, em quanto tempo eles voltam a se encontrar no ponto de partida, pela primeira vez? a) 1h b) 1h20min c) 1h30min d) 1h40min e) 2h 17. Um auxiliar de enfermagem pretende usar a menor quantidade possível de gavetas para acomodar 120 frascos de um tipo de medicamento, 150 frascos de outro tipo e 225 frascos de um terceiro tipo. Se ele colocar a mesma quantidade de

frascos em todas as gavetas e medicamentos de um único tipo em cada um delas, quantas gavetas serão necessárias? a) 33 b) 48 c) 75 d) 99 e) 165

18. Rosinha quer enfeitar a igreja, em seu casamento, utilizando rosas brancas, amarelas e vermelhas. A floricultura disponibilizou 60 rosas brancas, 72 rosas amarelas e 108 vermelhas. Se ela quer fazer arranjos iguais, utilizando todas essas flores, o número máximo de plantas por canteiro a) 6 b) 12 c) 30 d) 120 e) 1.080

19. A quantidade de números naturais que são divisores do mínimo múltiplo comum entre os números a = 540, b = 720 e c = 1.800 é igual a: a) 75 b) 18 c) 30 d) 24 e) 60

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO TÓPICO 1: Sistema de numeração Nível 1

02. Tiago trabalha em um grande depósito de materiais para construção. Ele recebeu quatro pedidos diferentes para compra de parafusos. Veja a quantidade de parafusos em cada pedido:

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

01. Achar um número de dois algarismos, sabendo que a soma desses algarismos é 6 e que subtraindo 36 unidades do número, ele fica escrito em ordem inversa. a) 15 b) 31 c) 41 d) 51 e) 13

Se considerarmos a quantidade total de parafusos dos quatro pedidos, deveremos chegar ao número: a) 6.589 b) 6.859 c) 60.589 d) 60.859 e) 65.089

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

143


Capítulo 1 | Aritmética (Parte 1)

03. (CMRJ) Observe a tabela, a seguir, que mostra dados relativos aos estádios da Copa do Mundo de futebol da Rússia: Sedes Arena de Ecaterimburgo Arena Kazan

Cidades

Capacidade Partidas 33.061

4

Cazã

42.873

6

Arena Rostov

Rostov do Don

43.472

5

Arena Volgogrado

Volgogrado

43.713

4

Estádio de Fisht Estádio de Kaliningrado Estádio de Níjni Novgorod Estádio de São Petersburgo Estádio Lujniki

Sóchi

44.287

6

Caliningrado

33.973

4

05. (UEG) Dada a sequência numérica -2, 10, 12, -60, -58, ..., verifica-se que o 12º termo é um número a) ímpar entre -40.000 e -30.000 b) par entre -40.000 e -30.000 c) ímpar entre 30.000 e 40.000 d) par entre 30.000 e 40.000 e) par acima de 40.000

Níjni Novgorod

43.319

6

Nível 2

64.468

6

06. A soma dos dois algarismos de um número é 15. Inverten-

78.011

6

Estádio Spartak

Moscovo

44.190

5

Mordovia Arena

Saransk

41.685

4

Samara Arena

Samara

41.970

6

do-se a ordem desses algarismos, formam-se um segundo nú23 do primeiro. Calcule esse número. mero que vale 32 a) 28 b) 69 c) 86 d) 96 e) 98

São Petersburgo Moscovo

Na cidade de Moscovo (Moscou), os estádios apresentaram uma taxa de ocupação de 100% em todos os jogos, totalizando, em números absolutos, um público de a) 685.432 pessoas b) 687.146 pessoas c) 689.016 pessoas d) 691.426 pessoas e) 693.356 pessoas

04. (CMRJ) TABELA DOS VALORES NOMINAIS DO SALÁRIO MÍNIMO

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

R$ 6.313,00 R$ 6.297,00 R$ 6.256,00 R$ 6.221,00 R$ 6.193,00

Ecaterimburgo

Disponível em: https://bit.ly/2O1qqjV. Acesso em: 19 ago. 2018.

07. Um número primo e positivo é formado por 2 algarismos não nulos. Se, entre esses algarismos, colocarmos um zero, o número ficará aumentado em 360 unidades. Dessa forma, a soma desses 2 algarismos pode ser: a) 8 b) 7 c) 6 d) 9 e) 10 08. Em uma aula sobre multiplicação de números naturais, o

VIGÊNCIA

VALOR MENSAL

De 01/01/2018 a 31/12/2018

R$ 954,00

De 01/01/2017 a 31/12/2017

R$ 937,00

De 01/01/2016 a 31/12/2016

R$ 880,00

professor Adalberto desafiou seus alunos a efetuar o mais rápido possível a seguinte conta: A4B5 × 3 4C7D Depois de um tempo pensando, sua aluna Aline acabou sendo a

De 01/01/2015 a 31/12/2015

R$ 788,00

primeira aluna a encontrar uma resposta, acertando-a. O valor

Disponível em: https://bit.ly/2NzWoVy. Acesso em 18 ago. 2018. (Adaptado)

Rodrigo, ex-aluno do CMRJ, cursa Psicologia na Universidade Federal do Rio de Janeiro. Em janeiro de 2015, começou um estágio na sua área, recebendo a remuneração mensal de um salário mínimo. Pensando no futuro, resolveu fazer algumas economias e poupou um salário mínimo em 2015; dois salários mínimos em 2016; três salários mínimos em 2017 e um salário mínimo em 2018. Com base nos valores do salário mínimo de cada ano, apresentados na tabela acima, verifica-se que suas economias totalizaram

144

a) b) c) d) e)

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

da soma dos números A, B, C e D encontrado por ela é igual a: a) b) c) d) e)

8 9 10 11 12


Capítulo 1 | Aritmética (Parte 1)

09. Justapondo-se 36 à direita do inteiro positivo X, obtém-se o número Y; justapondo-se 82 à esquerda de X, obtém-se o número Z. Se Y + Z = 1.563, o número X é divisível por: a) 3 b) 4 c) 5 d) 7 e) 11

a) b) c) d) e)

33 34 29 35 28

13. Observe a figura

10. Sobre um número natural n formado por dois algarismos, sabe-se que: • •

o algarismo das unidades excede o triplo do das dezenas em 1; a inversão da ordem dos algarismos produz um número que excederá o dobro do original em 18 unidades.

A soma dos algarismos do número n, que atende as condições acima, é a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 12

TÓPICO 2: Aritmética dos inteiros Nível 1

11. Chama-se persistência de um número inteiro e positivo o número de etapas necessárias para, através de operações sucessivas, obter-se um número de um único algarismo. Como é mostrado no exemplo seguinte, a persistência do número 1 642 é 3: 1 642   → 48   → 32   →6 1×6×4×2

4×8

3×2

12. Descubra os valores desconhecidos no esquema a seguir. 23.145

=

A

×

15

+

+

57

?

B

÷

C

=

32

O valor numérico que substitui corretamente o sinal de interrogação é

14. No alfabeto oficial da língua portuguesa é fiada a ordem que cada letra ocupa: A

B

C

D

E

1a

2a

3a

4a

5a

...

V

W

X

Y

Z

22a 23a 24a 25a 26a

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Com base na definição e no exemplo dados, é correto afirmar que a persistência do número 27.991 é: a) menor que 4 b) 4 c) 5 d) 6 e) maior que 6.

A figura mostra parte de um controle remoto de uma televisão. A seta indica o botão de “avanço” e “recuo” de canais, representado pela sigla CH, do inglês channel. Se a televisão estiver ligada, por exemplo, no canal 25, ao apertar o botão de “avanço”, o canal será mudado para o seguinte, ou seja, 26. Caso a televisão possua os canais de 1 a 30, estando ligada no canal 30, ao apertar o botão “avançar”, irá para o canal 1. Suponha que o aparelho de televisão de Catarina tenha os canais de 1 a 40. Ela ligou a televisão no canal 15 e apertou 2015 vezes o botão “avançar”. Nesse caso, em qual canal ficou a televisão de Catarina? a) 25 b) 30 c) 35 d) 38 e) 39

Se as letras do alfabeto oficial fossem escritas indefinida e sucessivamente na ordem fixada − A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I ... −, a letra que ocuparia a 162a posição seria a) B b) C c) F d) K e) N

15. Uma senhora tinha entre trinta e quarenta ações de uma empresa para dividir igualmente entre todos os seus netos. Em PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

145


Capítulo 1 | Aritmética (Parte 1)

certo ano, quando tinha 3 netos, se a partilha fosse feita, deixaria 1 ação sobrando. No ano seguinte, nasceu mais um neto e, ao dividir igualmente entre os quatro netos o mesmo número de ações, ela observou que sobrariam 3 ações. Nesta última situação, quantas ações receberá cada neto ? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

Nível 2

16. Um grupo de pessoas gastou 120 reais em uma lanchonete. Quando foram pagar a conta, dividindo-a igualmente, notaram que duas pessoas foram embora sem deixar dinheiro e as pessoas que ficaram tiveram que pagar cinco reais a mais que pagariam se a conta fosse dividida igualmente entre todos os membros do grupo inicial. Quantas pessoas pagaram a conta? a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10 17. Em Teoria dos Números, um dos ramos de estudo da matemática superior, a função representa o conjunto dos números reais, é definida por Π(x) = quantidade de números primos positivos maiores ou iguais a 2 e menores ou iguais a x. Nessas condições, é CORRETO afirmar que a) Π(11) = 1 e Π(10) = 0 b) Π(20) - Π(10) = 2 Π(3) c) Π(100) > Π(99) d) Π(2x) = 2Π(x) qualquer que seja x real e) Π(x + 1) = Π(x) qualquer que seja x real

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

18. Dois ciclistas A e B partem simultaneamente numa pista circular, em sentidos contrários. O ciclista A dá 4 voltas em 840 segundos e o ciclista B dá 6 voltas em 1.170 segundos. O número de voltas que os ciclistas A e B devem dar para se encontrarem pela primeira vez no ponto de partida é, respectivamente: a) 65 e 70 b) 13 e 14 c) 39 e 28 d) 19 e 17 e) 35 e 48 19. (EPCAR-CPCAR) Dona Lourdes trabalha em uma livraria, precisa guardar 200 livros em x caixas e vai utilizar todas elas. Se em 30 das x caixas ela guardar 4 livros em cada caixa e, nas demais, guardar 5 livros em cada caixa, então, sobrarão alguns livros para serem guardados.

146

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

Entretanto, se em 20 das x caixas ela guardar 4 livros em cada caixa e 5 livros em cada uma das demais, então, não haverá livros suficientes para ocupar todas as caixas. Assim, a soma dos algarismos do número x é igual a a) 8 b) 9 c) 10 d) 11

20. (UECE) Se o resto da divisão do número inteiro positivo b por 7 é igual a 5, então, o resto da divisão do número b² + b + 1 por 7 é igual a a) 2 b) 4 c) 3 d) 5 TÓPICO 3: Divisibilidade Nível 1

21. Júnior entrega pizzas para um restaurante. Ele recebe R$ 3,00 por cada hora trabalhada, adicionada de R$ 3,00 por cada pizza entregue. Na semana passada, Júnior trabalhou 35 horas e recebeu R$ 195,00. Nesta semana, Júnior pretende trabalhar o mesmo número de horas da semana passada e receber R$ 240,00. Em relação à semana passada, quantas pizzas adicionais Júnior precisa entregar nesta semana, para receber o valor pretendido? a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

22. O número de um cartão de crédito tem 15 dígitos, a serem escritos nos quadrados da faixa a seguir. O produto de quaisquer três dígitos consecutivos do número é 210, o primeiro dígito é 7 e o penúltimo é 6, como indicado abaixo. Qual dígito ocupa a sexta posição (da esquerda para a direita)? 7 a) b) c) d) e)

6 2 3 5 8 9

23. Determinar o valor de N na igualdade N = 2x ⋅ 34, para que o número N tenha 20 divisores positivos. a) 72 b) 216 c) 324 d) 648 e) 656


Capítulo 1 | Aritmética (Parte 1)

24. O número total de divisores positivos de 10! é igual a a) b) c) d) e)

c) 6 d) 7 e) 8

15 270 320 1.024 10!

25. Para quantos valores inteiros de x o número

X 3 + 36 X2

inteiro ? a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16

é

30. No conjunto {101, 1 001, 10 001, ..., 1.000.000.000.001},

Nível 2

26. Qual o inteiro mais próximo da simplificação da expressão: 2

(5555)

1234321 a) b) c) d) e)

29. Considere a e b dois números inteiros, tais que a - b = 23, sendo b > 0. Sabendo-se que, na divisão de a por b, o quociente é 8 e o resto é o maior valor possível nessa divisão, então a + b é igual a a) 29 b) 26 c) 32 d) 36 e) 40

4 9 16 25 36

cada elemento é um número formado pelo algarismo 1, nas extremidades e por algarismos 0, entre eles. Alguns desses elementos são números primos, e outros, compostos. A quantidade de números múltiplos de 11 é igual a: a) 11 b) 4 c) 3 d) 5 e) 6

TÓPICO 4: MDC e MMC

27. Em uma atividade escolar, qualquer número X, inteiro e positivo, é submetido aos procedimentos matemáticos descritos abaixo, quantas vezes forem necessárias, até que se obtenha como resultado final o número 1. Se X é múltiplo de 3, deve-se dividi-lo por 3. Se X não é divisível por 3, deve-se calcular X - 1. A partir de X = 11, por exemplo, os procedimentos são aplicados quatro vezes. Veja a sequência dos resultados obtidos: 10

9

3

1

28. Na divisão de dois inteiros positivos, o quociente é 16 e o resto é o maior possível. Se a soma do dividendo e do divisor é 125, o resto é a) 4 b) 5

31. Em uma árvore de Natal, há lâmpadas vermelhas e verdes. As lâmpadas vermelhas permanecem 10 segundos apagadas e 30 segundos acesas, alternadamente; as lâmpadas verdes, também de maneira alternada, permanecem 10 segundos apagadas e 40 segundos acesas. O número mínimo de segundos que se leva para que ambas voltem a apagar no mesmo instante é: a) 200s b) 190s c) 160s d) 150s e) 120s

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Iniciando-se com X = 43, o número de vezes que os procedimentos são utilizados é igual a: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 15

Nível 1

32. Fernanda estava com uma forte inflamação na garganta e foi consultar um especialista. O médico receitou-lhe dois antibióticos. O primeiro deve ser tomado a cada uma hora e trinta minutos e o segundo a cada duas horas e trinta minutos. Sabendo que Fernanda iniciou o tratamento às 7h30min da manhã, tomando os dois medicamentos ao mesmo tempo então ela tomará à noite, os dois medicamentos juntos às: a) 20h b) 21h c) 21h30min d) 22h e) 22h30min PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

147


Capítulo 1 | Aritmética (Parte 1)

33. Nas últimas eleições, três partidos políticos tiveram direito, por dia, a 90 s, 108 s e 144 s de tempo gratuito de propaganda na televisão, com diferentes números de aparições. O tempo de cada aparição, para todos os partidos, foi sempre o mesmo e o maior possível. A soma das aparições diárias dos partidos na TV foi de: a) 15 b) 16 c) 17 d) 19 e) 20 34. Luisinho mora em um bairro distante do centro. Nesse bairro, a coleta de lixo é feita de dois em dois dias e o carteiro faz entregas de três em três em dias. No primeiro dia de outubro houve coincidência na coleta de lixo e na entrega de correspondências. Sabe-se que o mês de outubro possui 31 dias. Em que dia haverá a última coincidência desse mês? a) 30 b) 28 c) 29 d) 25 e) 31

35. Um lojista dispõe de 3 peças de um mesmo tecido, cujos comprimentos são 48 m, 60 m e 80 m. Nas 3 peças, o tecido tem a mesma largura. Se o lojista deseja vender o tecido em retalhos iguais, cada um tendo a largura das peças e o maior comprimento possível, de modo a utilizar todo o tecido das peças, quantos retalhos ele deverá obter? a) 12 b) 15 c) 35 d) 47 e) 60

Nível 2

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

36. Para distribuir 105 litros de álcool, 120 litros de azeite e 75 litros de água em barris de mesma capacidade, de modo que a quantidade de barris seja a menor possível, a capacidade de cada barril, em litros, deve ser de: a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 37. Vivaldo costuma sair com duas garotas: uma a cada 6 dias e outra a cada 9 dias. Quando as datas coincidem, ele adia os encontros com ambas para 6 e 9 dias depois, respectivamente. Se em 18/05/2018 ele adiou os encontros com as duas, em vir-

148

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

tude da coincidência das datas, a próxima vez em que ele teve que adiar os seus encontros foi em: a) 15/06/2018 b) 04/06/2018 c) 05/06/2018 d) 12/06/2018 e) 06/06/2018

38. Deseja-se revestir uma área retangular, de 198 cm de comprimento e 165 cm de largura, com um número exato de lajotas quadradas, de tal forma que a medida do lado dessas lajotas, expressa por um número inteiro em cm, seja o maior possível. Quantas lajotas deverão ser usadas? a) 27 b) 30 c) 33 d) 36 e) 38 39. (CP2) Roberto, ao escolher os números de sua aposta numa loteria, procedeu da seguinte forma: • 1º passo: escolheu os números 6, 12 e 20, que são as idades, em anos, de seus três filhos; • 2º passo: escolheu mais dois números, que são o MMC e o MDC dos números escolhidos no 1º passo; • 3º passo: escolheu a média aritmética dos dois maiores números já escolhidos nos dois passos anteriores. A soma de todos os números escolhidos por Roberto é a) 100 b) 120 c) 140 d) 160 40. (IFBA) O supermercado “Preço Baixo” deseja fazer uma doação ao Orfanato “Me Adote” e dispõe, para esta ação, 528 kg de açúcar, 240 kg de feijão e 2.016 kg de arroz. Serão montados kits contendo, cada um, as mesmas quantidades de açúcar, de feijão e de arroz. Quantos quilos de açúcar deve haver em cada um dos kits, se forem arrumados de forma a contemplar um número máximo para cada item? a) 20 b) 11 c) 31 d) 42 e) 44


Capítulo 1 | Aritmética (Parte 1)

ANOTAÇÕES

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

149


Matemática e suas tecnologias: Matriz de Referência C3

C4

Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano. H10

Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.

H11

Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.

H12

Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.

H13

Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.

H14

Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.

Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano. H15

Identificar a relação de dependência entre grandezas.

H16

Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

H17

Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.

H18

Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.


C

2 A

LO TU

COMPETÊNCIAS:

C3, C4

Aritmética (parte 2) HABILIDADES:

H10, H11, H12, H13, H14, H15, H16, H17, H18

APRESENTAÇÃO Dando continuidade à teoria dos números, neste capítulo estudaremos assuntos de extrema relevância em nosso cotidiano, cobrados nos principais vestibulares do país. No tópico 1, veremos as unidades de medida e suas transformações. Esse assunto é importante não apenas na Matemática, mas também na Química e na Física. Na sequência, abordaremos razão e proporção, assuntos dos mais cobrados no Enem. Faremos um estudo bem direcionado e com muitos exercícios. No tópico 3, veremos as divisões proporcionais e a regra da sociedade, ou seja, como fazer uma divisão mais equilibrada, dependendo da forma como será realizada, se de modo diretamente proporcional, inversamente proporcional ou de ambos os modos.Encerraremos o capítulo estudando os diversos tipos de médias, desde as mais simples, como a média aritmética simples, passando pelas médias aritmética ponderada, harmônica e geométrica.


Capítulo 2 | Aritmética (Parte 2)

TÓPICO 1 • Unidades de medida

1.2 • Unidades de área

Para compreender o mundo e seus fenômenos, os físicos precisaram sistematizar e quantificar as grandezas observadas nos fenômenos da natureza. Dessa forma, foi necessário definir a unidade de medida, que seria a medição específica de uma determinada grandeza física, e que seria base para outras medidas. Do conjunto de unidades de medidas, surgiu o Sistema Internacional de Unidades, em que foram padronizadas as unidades que seriam tomadas como base para cada tipo específico de fenômeno. Esse sistema foi criado em 1960, resolvendo o grande conflito que existia, uma vez que cada país adotava o sistema que mais lhe fosse conveniente. Seguem alguns exemplos de medidas: Grandeza

Unidade

Símbolo

Comprimento

metro

m

Massa

quilograma

kg

Tempo

segundo

s

Corrente elétrica

ampère

A

Temperatura

kelvin

K

Quantidade de matéria

mol

mol

Intensidade luminosa

candela

cd

1.1 • Unidades de comprimento

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Tomando o metro como unidade base, temos a seguinte tabela comparando as diferentes métricas. Quilômetro

Hectômetro

Decâmetro

Metro

km

hm

dam

m

1.000 m

100 m

10 m

1m

Decímetro

Centímetro

Milímetro

dm

cm

mm

0,1 m

0,01 m

0,001 m

Exemplo: João quis usar uma fita em seu embrulho de presente. Após uma rápida aferição, notou que bastavam 50 cm (cinquenta centímetros). No entanto, a loja só vendia a fita por R$ 4,00 o metro. Quanto João teve que pagar para comprar a fita? Solução: Sabemos que: 1 cm = 0,01 m, portanto 50 cm = 0,5 m. Daí, João necessita de 0,5 m. Sendo assim, como 1 m custa R$ 4,00, então 0,5 m custará apenas R$ 2,00.

152

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

Tomando o metro quadrado como unidade base, temos a seguinte tabela comparando as diferentes métricas: Quilômetro Quadrado

Hectômetro Quadrado

Decâmetro Quadrado

Metro Quadrado

km2

hm2

dam2

m2

1.000 m x 1.000 m = 1.000.000 m2

100 m x 100 m = 10.000 m2

10 m x 10 m = 100 m2

1mx 1m= 1 m2

Decímetro Quadrado

Centímetro Quadrado

Milímetro Quadrado

dm2 0,1 m x 0,1 m = 0,01 m2

cm2 0,01 m x 0,01 m = 0,0001 m2

mm2 0,001 m x 0,001 = 0,000.001 m2

Exemplo: Um empresário ocupou o chão do banheiro de seu escritório de 2 x 3 metros com uma cerâmica que custa R$ 0,10 o cm2. Quanto o empresário deverá pagar para comprar a cerâmica? Solução: Se o chão tem forma retangular, basta multiplicar os lados para descobrir sua área, portanto 6 m². Dessa forma, temos: 0,00001 m² = 1 cm² então 1 m² = 10.000 cm², portanto, 6 m² = 60.000 cm². Como cada cm² custa R$ 0,10, então 0,1 ⋅ 60.000 = 6.000. Ou seja, o empresário gastará R$ 6.000.

1.3 • Unidades de volume Tomando o metro cúbico como unidade base, temos a seguinte tabela comparando as diferentes métricas. Quilômetro Cúbico

Hectômetro Cúbico

Decâmetro Cúbico

Metro Cúbico

km3

hm3

dam3

m3

1.000 m x 1.000 m x 1.000 m = 1.000.000.000 m3

100 m x 100 m x 100 m = 1.000.000 m3

10 m x 10 m x 10 m = 1000 m3

1mx 1mx 1m= 1 m3

Decímetro Cúbico

Centímetro Cúbico

Milímetro Cúbico

dm3

cm3

mm3

0,1 m x 0,1 m x 0,1 m = 0,001 m3

0,01 m x 0,01 m x 0,01 m = 0,000.001 m3

0,001 m x 0,001 m x 0,001 = 0,000.000.001 m3


Capítulo 2 | Aritmética (Parte 2)

Exemplo: Um triturador absorve até 10 m³ por vez. Se restam 0,015 hm³ de material a ser triturado, quantas triturações serão necessárias para absorver o material?

Solução: Com auxílio da tabela, temos 1 hm³ = 1.000.000 m³, daí temos um material de 0,015 ⋅ 1.000.000 = 15.000 m³. Se uma trituração absorve 10 m³, então 15.000 ÷ 10 = 1.500 viagens.

EXERCITANDO EM AULA 01. Na figura vemos a mamadeira de Zezé antes e depois de ele mamar. Quantos mililitros ele mamou ?

03. Leia o trecho adaptado abaixo para responder à questão. “O aie-aie vive em Madagascar e se alimenta de larvas, insetos, frutos e nozes. É o maior primata noturno do mundo, passando o dia enrolado em ninhos (similares a esferas), feitos de galhos e folhas. Estes mamíferos são leves, pesando por volta de 2kg, e podem ter um comprimento de até 61 cm (contando com a cauda).”

a) b) c) d) e)

125 130 145 160 175

02. Guilherme está medindo o comprimento de um selo com um pedaço de uma régua, graduada em centímetros, como mostra a figura. Qual é o comprimento do selo?

3 cm 3,4 cm 3,6 cm 4 cm 4,4 cm

Assinale a alternativa que apresenta o comprimento deste mamífero em hectômetros. a) 610 hm b) 0,61 hm c) 0,0061 hm d) 0,061 hm e) 6,100 hm

04. Um aluno de Ensino Médio vai até o açougue, a pedido de seus pais, comprar 5 kg de carne para um churrasco em sua casa. Além da carne, ele compra 8 litros de refrigerante para oferecer aos convidados. Qual das alternativas a seguir possui os valores da quantidade de carne e de refrigerante, respectivamente, nas unidades tonelada (t) e mililitro (mL)? a) 0,005 t e 0,008 mL b) 5000 t e 0,008 mL c) 0,005 t e 8.000 mL d) 5.000 t e 8.000 mL e) 0,005 t e 0,8 mL

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

a) b) c) d) e)

O aie-aie real e sua versão cinematográfica

153


Capítulo 2 | Aritmética (Parte 2)

TÓPICO 2 • Razão e Proporção 2.1 • Razão Em uma proporção, é válida a seguinte propriedade: O conceito de razão é uma forma mais comum e prática de fazer a comparação relativa entre duas grandezas. Ao dividir uma grandeza por outra, estamos, na verdade, comparando a primeira com a segunda, que passa a ser o referencial da comparação. Por exemplo, qual o tamanho do Sol? Quando dizemos que a massa do Sol é 333.000 vezes maior que a da Terra ou que seu raio médio é de 696.000 km, cerca de 109 vezes o raio da Terra, ou até mesmo que o seu volume é 1.304.000 vezes maior que o do nosso planeta, estamos comparando o Sol com a Terra e, nesse caso, estamos usando a Terra como o nosso referencial. Esse exemplo é uma comparação muito significativa e fácil de ser feita. Assim, chama-se razão entre duas grandezas (ou dois números) uma fração que tem para numerador uma das grandezas (ou um dos números) e para denominador a outra grandeza (ou o outro número diferente de zero). O numerador e o denominador da fração que representam a razão são chamados, respectivamente, de antecedente e consequente. Exemplos: I. Determine a razão entre 4 e 6. 4 2 Razão = = 6 3 2 é o antecedente e 3 é o consequente. II. Determine a razão entre 1000 litros e 2m3. 1.000 litros 1 = 2 000 2 . litros 2m 1 é o antecedente e 2 é o consequente. Razão =

1.000 litros 3

a c = ⇔ a⋅d = b⋅c b d Que significa dizer que, em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

2.2.1 • Outras propriedades das proporções 1. a = c ⇒ a ± b = c ± d c b d a 2. a = c ⇒ a ± b = c ± d d b d b 3. a = c ⇒ a ± c = a = c b d b±d b d 4. a = c = e = a + c + e b d f b+d+f 2 2 5. a = c ⇒ a ⋅ c = a = c 2 b d b⋅d b d2

2.2.2 • Definições importantes I. Proporção contínua: é uma proporção que tem os meios iguais, isto é:

=

a A razão entre a e b (b ≠ 0) é indicada por ou a : b b lê-se: “a está para b”.

a x = x b

II. Quarta proporcional: é o quarto termo de uma proporção dados os outros três.

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Exemplo:

2.2 • Proporção Chama-se proporção a igualdade entre duas ou mais razões. Podemos representar uma proporção das seguintes formas:

2 8 segue que 2 ⋅ x = 3 ⋅ 8, logo x = 12. = 3 x

a c = ou a ÷ b = c ÷ d b d

III. Terceira proporcional: é o quarto termo de uma proporção contínua. Montamos a proporção da seguinte maneira: o primeiro número está para o segundo assim como o segundo está para a terceira proporcional.

lê-se: “a está para b assim como c está para d”. a c = ou a ÷ b = c ÷ d, a e c são chamados b d de antecedentes, b e d são chamados de consequentes, a e d Na proporção

são chamados de extremos e b e c são chamados de meios.

154

Determine a quarta proporcional entre 2, 3 e 8.

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1


Capítulo 2 | Aritmética (Parte 2)

Exemplo:

CONECTANDO DISCIPLINAS

Determine a terceira proporcional entre 2 e 8. 2 8 segue que 2 ⋅ x = 8 ⋅ 8, logo x = 32. = 8 x IV. Média proporcional: é o meio comum de uma proporção contínua. Assim, os números dados serão os extremos da proporção.

No vídeo a seguir, você vai se deslumbrar com a grandeza do Sol em relação ao planeta Terra, e, ao mesmo tempo, com a sua pequenez com relação às outras estrelas do universo.

Exemplo: Determine a média proporcional entre 2 e 8. 2 x 2 = segue que x = 16, logo x = 4. x 8

A média proporcional de dois números positivos é a raiz quadrada do produto desses números. Link sugerido • https://goo.gl/fdh7bN

EXERCITANDO EM AULA 05. Em um mapa, duas cidades A e B têm distância igual a 5 cm. Nesse mapa, utiliza-se a escala 1 :25 000 000. A distância real, em metros, entre as duas cidades é igual a a) 1,25 · 106 m b) 1,25 · 103 m c) 1,25 · 105 m d) 1,25 · 107 m e) 1,25 · 104 m

a identificação de suas dimensões principais. Suponha que os pneus de um carro têm o código 195/60R15. Sabendo que uma polegada corresponde a 25,4 mm, pode-se concluir que o diâmetro externo (D) desses pneus mede

07. Para trocar os pneus de um carro, é preciso ficar atento ao código de três números que eles têm gravado na lateral. O primeiro desses números fornece a largura (L) do pneu, em milímetros. O segundo corresponde à razão entre a altura (H) e a largura (L) do pneu, multiplicada por 100. Já o terceiro indica o diâmetro interno (A) do pneu, em polegadas. A figura abaixo mostra um corte vertical de uma roda, para que seja possível

a) b) c) d)

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

06. Em uma loja de eletrodomésticos, no início de determinado mês, o número de aparelhos de TV estava para o número de computadores assim como 4: 5. No final do mês, depois que 160 TVs e 220 computadores foram vendidos, os números de TVs e computadores remanescentes na loja ficaram iguais. Quantos eram os computadores na loja, no início do mês? a) 300 b) 310 c) 320 d) 330 e) 340 1.031 mm 498 mm 615 mm 249 mm

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

155


Capítulo 2 | Aritmética (Parte 2)

08. Um pesquisador, observando um ribossomo por meio de

Texto para próxima questão:

O tamanho das organelas A célula é uma estrutura viva composta por diferentes subunidades. A construção de um modelo celular deve levar em conta a forma e o tamanho de cada uma delas, como representado na tabela a seguir. Por serem muito pequenas, tanto as células como as subunidades celulares são medidas em mícrones. O mícron é representado pelo símbolo µ, sendo 1 µm = 10-6 m = 10-3 mm. O tamanho das estruturas celulares Célula 30µm Núcleo

7,5 - 10 µm

Nucléolo Mitocôndria Lisossomo

2,5 µm ( 3 - 10) 1 µm 2 µm Tamanho variável (50-80% do volume celular); 15 × 20 µm 0,025 µm 3 µm 0,009 µm de espessura 1-2 µm de espessura 0,7 0,007 µm (diâmetro) 0,02 µm (diâmetro)

Vacúolo central Ribossomo Peroxissomos Membrana plasmática Parede celular Microfilamentos (citoesqueleto) Microtúbulos (centríolo)

um microscópio eletrônico, enxerga essa organela com 7,5 cm. Considerando essa informação e as contidas na tabela, qual é o fator de aumento do microscópio ? a) 3 x 1010 b) 3 x 109 c) 3 x 108 d) 3 x 107 e) 3 x 106

09. Em determinada lanchonete, uma vitamina é feita da seguinte maneira: 600 g de leite, 300 g de banana e 100 g de aveia. Para melhorar sua receita, o dono da lanchonete decide alterar a proporção dos ingredientes utilizados, mantendo a quantidade de vitamina e de aveia, em gramas, de tal forma que a razão entre leite e banana seja 3 : 2. A quantidade de leite, em gramas, passa a ser de a) 500 b) 520 c) 540 d) 560 e) 580

Disponível em <http://www.bteduc.bio.br>. Acesso em: 02 dez 2016.

TÓPICO 3 • Divisão proporcional 3.1 • Números ou grandezas diretamente proporcionais

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Definição: dizemos que duas sucessões de números são diretamente proporcionais (ou proporcionais) quando a razão entre um número qualquer da primeira sucessão e o seu correspondente na segunda sucessão é constante. A razão entre dois números correspondentes de duas sucessões de números proporcionais chama-se constante de proporcionalidade.

Exemplo: as sucessões de números (2, 3, 5 e 6) e (4, 6, 10, e 12) são diretamente proporcionais (ou proporcionais), pois, dividindo cada número da primeira sucessão por cada número correspondente da se1 gunda sucessão, obtemos , que é a constante de proporcionalidade. 2

156

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

2 3 5 6 1 = = = = 4 6 10 12 2

3.1.1 • Gráfico cartesiano de duas grandezas, x e y, diretamente proporcionais É dado a partir de uma função linear. y y3

y =k→ y =k⋅x x

y2

y1 y y = 2 = 3 = ... = k x1 x 2 x3

y1 x x1

x2

x3

Semirreta ascendente no 1º quadrante


Capítulo 2 | Aritmética (Parte 2)

3.2 • Números ou grandezas inversamente proporcionais Definição: dizemos que duas sucessões de números são inversamente proporcionais quando o produto de um número qualquer da primeira sucessão pelo seu correspondente na segunda sucessão é constante. 99 Dizer que duas sucessões de números são inversamente proporcionais é o mesmo que dizer que os números de uma delas são diretamente proporcionais ao inverso dos números correspondentes na outra sucessão. 99 O produto constante obtido é a constante de proporcionalidade.

Exemplo: dividir 180 em partes diretamente proporcionais a 3, 4 e 5. Solução: inicialmente dividimos o número 180 pela soma dos números 3, 4 e 5. 180 180 = = 15 (constante de proporcionalidade) 3 + 4 +5 12 Em seguida, multiplicamos o resultado obtido (constante de proporcionalidade) pelos números 3, 4 e 5. 15 ⋅ 3 = 45 15 ⋅ 4 = 60 15 ⋅ 5 = 75 Assim, as partes procuradas são 45, 60 e 75.

3.3.2 • Divisão inversamente proporcional Dado um número N, para dividi-lo em partes inversamente

Exemplo: as sucessões de números (2, 4 e 5) e (20, 10 e 8) são inversamente proporcionais, pois, multiplicando-se cada número da primeira sucessão por cada número correspondente da segunda sucessão, obtemos 40, que é a constante de proporcionalidade. 2 ⋅ 20 = 4 ⋅ 10 = 5 ⋅ 8 = 40

3.2.1 • Gráfico cartesiano de duas grandezas, x e y, inversamente proporcionais É dado a partir de uma curva chamada de hipérbole equilátera:

proporcionais a x, y, z, ..., dividimos o número N em partes di1 1 1 retamente proporcionais a , , ,... Em seguida, multiplicax y z mos o resultado da divisão por

1 1 1 , , ,..., respectivamente. x y z

Exemplo: Dividir 45 em partes inversamente proporcionais a

1 1 e . 2 3

Solução: como vimos, a divisão solicitada deve ser diretamente proporcional ao inverso dos números dados, que são 2 e 3. Dividimos o número 45 pela soma dos números 2 e 3. 45 45 = = 9 (constante de proporcionalidade) 2+3 5

y y1 x1 ⋅ y1 = x2 ⋅ y2 = x3 ⋅ y3 = ... = k y2

Em seguida, multiplicamos o resultado obtido (constante de proporcionalidade) por 2 e 3. 9 ⋅ 2 = 18 9 ⋅ 3 = 27

y3 x1

x2

x3

x

3.3 • Divisão proporcional 3.3.1 • Divisão diretamente proporcional Dado um número N, para dividi-lo em partes diretamente proporcionais a x, y, z, ... , dividimos o número N pela soma x + y + z + ... , e em seguida multiplicamos o resultado da divisão por x, y, z, ... , respectivamente.

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Ramo de uma hipérbole equilátera

Assim, partes procuradas são 18 e 27.

3.3.3 • Divisão proporcional composta Dizemos que uma divisão é proporcional composta quando dividimos um número N em partes diretamente ou inversamente proporcionais a x1, y1, z1, ... e diretamente ou inversamente proporcionais a x2, y2, z2, ... , e, para realizá-la, mudamos o que é inversamente para diretamente, dando o inverso de cada número, o que já é diretamente permanece. Em seguida multiplicamos os números obtidos. Após isso, realizamos a divisão em partes diretamente proporcionais aos resultados obtidos com as multiplicações. Por fim, multiplicamos o resultado da divisão pelos valores encontrados na etapa anterior.

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

157


Capítulo 2 | Aritmética (Parte 2)

5 Exemplo: divida 135 em partes diretamente proporcionais a , 4 5 6 e 4, e ao mesmo tempo inversamente proporcionais a , 3 e 2. 4 Solução: Inicialmente, passamos o que é inversamente para diretamente. D.P.

I.P.

D.P.

I.P.

5 4

5 4

5 4

4 5

5 4 ⋅ =1 4 5

6

3

6

1 3

6⋅

1 =2 3

4

2

4

1 2

4⋅

1 =2 2

Agora, dividimos 135 em partes diretamente proporcionais a 1, 2 e 2. 135 = 27 (constante de proporcionalidade). 1+ 2 + 2 Finalmente, multiplicamos o resultado obtido, 27 (constante de proporcionalidade), pelos números 1, 2 e 2. 27 ⋅ 1 = 27 27 ⋅ 2 = 54 27 ⋅ 2 = 54 Assim, as partes procuradas são 27, 54 e 54.

2. Os capitais são iguais e empregados por tempos diferentes: divisão de lucros ou prejuízos feita diretamente proporcional aos tempos. 3. Os capitais são diferentes e empregados durante o mesmo período de tempo: divisão de lucros ou prejuízos feita diretamente proporcional aos capitais. 4. Os capitais são diferentes e empregados também por períodos de tempos diferentes: divisão de lucros ou prejuízos feita diretamente proporcional ao produto dos capitais pelos respectivos períodos de tempos. Exemplo: dividir o lucro de R$ 300.000,00 entre três associados, cujos capitais são: R$ 20.000,00; R$ 25.000,00 e R$ 30.000,00. Solução: o lucro de R$ 300.000,00 deve ser dividido em partes diretamente proporcionais a 20.000, 25.000 e 30.000. 300.000 = 4 (constante de proporcionalidade) 20.000 + 25.000 + 30.000 4 ⋅ 20.000 = 80.000 4 ⋅ 25.000 = 100.000 4 ⋅ 30.000 = 120.000 O lucro de cada sócio é: R$ 80.000,00; R$ 100.000,00 e R$ 120.000,00; respectivamente.

ESCLARECENDO

3.4 • Regra de sociedade Uma Regra de Sociedade é uma aplicação de divisão proporcional que visa à distribuição dos lucros ou prejuízos de uma sociedade entre os seus sócios. Temos quatro casos a considerar: 1. Os capitais são iguais e empregados durante o mesmo tempo: divisão, de lucros ou prejuízos, feita em partes iguais.

Razão/proporção e divisão proporcional são dois temas que se interconectam em uma via de mão dupla: a partir de uma razão entre grandezas, chega-se a uma proporção, e vice-versa.

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

EXERCITANDO EM AULA 10.

Uma herança de R$ 150.000,00 será dividida entre Ricardo, Pedro e João em partes diretamente proporcionais aos seus patrimônios e inversamente proporcionais às suas idades. Se Ricardo, Pedro e João têm patrimônios respectivos de R$ 50.000,00, R$ 70.000,00 e R$ 90.000,00 e idades de 25, 28 e 30 anos, respectivamente, quanto receberá Ricardo? a) R$ 36.000,00 b) R$ 38.000,00 c) R$ 40.000,00 d) R$ 42.000,00 e) R$ 44.000,00

158

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

11. Seja m =

x y z onde x, y e z são números = = y+z x+z x+y

reais cuja soma é não nula.Nessas condições, qual o valor de m? −3 2 b) -1 a)

c) 0 1 2 e) 1 d)


Capítulo 2 | Aritmética (Parte 2)

12. Ao pesquisar uma receita de panetone, Ana observou que os ingredientes frutas cristalizadas, uvas-passas sem semente e castanhas de caju trituradas apareciam na proporção, em massa, 3 : 1 : 2, respectivamente. Se, para produzir o panetone, Ana utilizou 500 gramas de castanha de caju triturada, a soma das massas de frutas cristalizadas e uvas-passas sem semente utilizadas, de acordo com a receita, em quilogramas, deve ser a) 0,75 b) 0,8 c) 1 d) 10 e) 1000 13. Dois funcionários de uma repartição pública foram incumbidos de arquivar 164 processos e dividiram esse total na razão direta de suas respectivas idades e inversa de seus respectivos tempos de serviço público. Se um deles tem 27 anos e 3 anos de tempo de serviço e o outro 42 anos e está há 9 anos no ser-

TÓPICO 4 • Médias

viço público, então a diferença positiva entre os números de processos que cada um arquivou é: a) 48 b) 50 c) 52 d) 54 e) 56

14. Seu Alcides deixou uma herança de R$ 183.000,00 para seus três filhos e resolveu realizar a partilha de maneira inversamente proporcional à idade de cada um. O filho mais novo tinha 16 anos, o do meio 20 anos e o mais velho 25 anos. Nessas condições, o filho do meio recebeu: a) R$ 48.000,00 b) R$ 50.000,00 c) R$ 54.000,00 d) R$ 60.000,00 e) R$ 64.000,00

4.2 • Média aritmética ponderada

Chamamos de média o valor que dará o equilíbrio entre os valores apresentados, por exemplo: Avaliando as notas das várias provas de um aluno no semestre, podemos registrar seu aproveitamento com apenas uma nota, que é a sua média, ou, a partir da altura das pessoas de um grupo, podemos estabelecer uma única altura que caracteriza o grupo todo; essa altura pode ser representada pela média das alturas. Nas situações como as que citamos acima, o número obtido é o que chamamos de média. A média aritmética é a medida de tendência central mais conhecida. Além da média aritmética, vamos tratar aqui da média ponderada, da média harmônica e da média geométrica.

Quando calculamos a média de vários números com pesos diferentes, ou seja, com graus de importância diferentes, a média é chamada de média aritmética ponderada, ou simplesmente média ponderada (MP). Exemplo: um estudante realiza várias provas com pesos distintos, ou seja, com graus de importância diferentes. Se na primeira prova obteve 7,5 (peso 2); 5,5 na segunda prova (peso 2) e na terceira prova obteve 4 (peso 1), a sua média, que é a média aritmética ponderada, é: MP =

7, 5 ⋅ 2 + 5, 5 ⋅ 2 + 4 ⋅ 1 15 + 11 + 4 30 = = =6 2 + 2 +1 5 5

Assim, generalizando, sejam a1, a2, a3, ... , an n números dados, cujos pesos são, respectivamente, p1, p2, p3, ..., pn. A média ponderada (MP) desses n números é definida como sendo:

4.1 • Média aritmética simples

n

a ⋅ p + a 2 ⋅ p 2 + a3 ⋅ p3 + ... + a n ⋅ p n MP = 1 1 = p1 + p 2 + p3 + ... + p n

∑ ai ⋅ pi

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Chamamos média aritmética simples, ou simplesmente média aritmética, de n números dados, o resultado obtido quando dividimos a soma desses n números por n. Assim, generalizando, podemos afirmar que, dados os n valores a1, a2, a3, … , an, a média aritmética (MA) desses n números é definida como sendo:

i=1 n

∑ pi i=1

n

MA =

a1 + a 2 + a3 + ... + a n = n

∑ ai i=1

n

Exemplo: considerando um grupo de pessoas com 11, 12, 14 e 15 anos, observamos que a média dessas idades é: MA =

11 + 14 + 15 + 12 = 13 4

4.3 • Média harmônica Considerando os n números a1, a2, a3, ..., an, em que todos são diferentes de zero. A média harmônica (MH) desses n números é definida como sendo o inverso da média aritmética dos inversos do n números, ou seja:

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

159


Capítulo 2 | Aritmética (Parte 2)

MH =

1 1 1 que é o mesmo que 1 1 + + + ... + a1 a 2 a 3 an n MH =

n = 1 1 1 1 + + + ... + a1 a 2 a3 an

1

∑ ai i=1

Exemplo: determine a média harmônica entre os números 4, 6 e 8. MH =

1. MA = x + y ⇒ x + y = 2 MA 2 2 2. MG = x ⋅ y ⇒ x⋅ y = M G

n n

vamente, temos:

3 3 3 72 = = = 1 1 1 6+4+3 13 13 + + 4 6 8 24 24

3. MH =

2 ⇒ MH = 2 ⇒ MH = 2xy x+y 1 1 x+y + xy x y

Substituindo (1) e (2) em (3) temos: MH = 2

2 MG 2 ⇒ M G = M A ⋅ MH 2M A

Desigualdade entre as médias aritmética, harmônica e geométrica

4.4 • Média geométrica Definimos a média geométrica como sendo o resultado obtido da extração da raiz n-ésima do produto dos n números dados. Assim, generalizando, considere os n números positivos a1, a2, a3, ... , an. A média métrica (MG) desses n números é dada por: M G = n a1 ⋅ a 2 ⋅ a3 ⋅ ... ⋅ a n = n

n

∏ ai i=1

É demonstrável que as médias aritmética, harmônica e geométrica possuem a seguinte relação de desigualdade: MH ≤ MG ≤ MA 99 Nessa relação, a igualdade só ocorre se, e somente se, os números forem todos iguais, pois nesse caso todas as médias são iguais e iguais ao próprio número.

Exemplo: determine a média geométrica dos números 4, 6 e 9. 3

3

M G = 3 4 ⋅ 6 ⋅ 9 = 2 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 2 = 2 3 ⋅ 33 = 2 ⋅ 3 = 6

SAIBA MAIS

99 As desigualdades acima podem ser usadas para resolver problemas que envolvam máximo e mínimo. Exemplo: dos dois números cuja soma é 20, determine aqueles de produto máximo. Sabemos que MG ≤ MA e que x + y = 20, logo:

Relação entre as médias aritmética, harmônica e geométrica de dois números

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Sejam x e y números diferentes de zero. Determinando suas médias aritmética, geométrica e harmônica, respecti-

x⋅y ≤

20 x+y = = 10 , ou seja x ⋅ y ≤ 10 2 2

Portanto, o produto x ⋅ y será máximo quando for igual a 100, mas a igualdade ocorre somente se x = y = 10.

EXERCITANDO EM AULA 15.

Um século atrás, as maiores cidades concentravam-se nas nações mais ricas. Hoje, quase todas as megalópoles (aglomerados urbanos com mais de 10 milhões de habitantes) estão localizadas em países em desenvolvimento. O quadro lista alguns valores das populações nas grandes áreas metropolitanas das dez maiores cidades, em milhões de habitantes, em 2007.

160

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

Tóquio, Japão

Nova York, EUA

Cidade do México, México

Mumbai, Índia

35,7

São Paulo, Brasil

18,8

Nova Déhli, Índia

15,9


Capítulo 2 | Aritmética (Parte 2)

Xangai, China

15

Calcutá, Índia

14,8

Daca, Bangladesh

13,5

10º

Buenos Aires, Argentina

12,8

Veja, 16 abril 2008.

Sabendo-se que em 2007 Nova York, Cidade do México e Mumbai tinham as populações iguais, e que a média aritmética das populações das cinco maiores megalópoles era igual a 22,3 milhões de pessoas, pode-se concluir que a população de Mumbai, na Índia, era, em 2007, de: a) 18,9 milhões de habitantes b) 19,0 milhões de habitantes c) 19,8 milhões de habitantes d) 20,3 milhões de habitantes e) 20,7 milhões de habitantes.

c) 3,5 d) 4,0 e) 4,5

18. O gráfico a seguir ilustra o resultado de uma pesquisa sobre o nível de colesterol, em mg/dl, de um grupo de 300 pessoas. Na horizontal, estão marcados os níveis de colesterol, e, na vertical correspondente, o número de pessoas com aquele nível de colesterol. Os dados também figuram na tabela a seguir.

16. Durante uma viagem, Fagundes abasteceu seu carro flex em três postos de combustível diferentes. Foram 25 litros de gasolina no posto A, 15 litros de álcool no posto B e 10 litros de gasolina no posto C. A tabela a seguir mostra os preços praticados por esses postos: Posto

Preço do litro de álcool (R$)

Preço do litro de gasolina (R$)

Nível de colesterol (em mg/dl)

Nº de pessoas

205

40

A

2,10

3,20

210

80 60 120

B

1,80

2,90

215

C

2,00

2,80

220

Considerando-se o gasto total com o abastecimento, o preço médio do litro de combustível pago por ele é igual a a) R$ 2,30 b) R$ 2,50 c) R$ 2,70 d) R$ 2,80 e) R$ 2,90

Quantida de clientes 52 98

Notas 1 2

460

3

78 312

4 5

A média das notas obtidas foi de a) 2,5 b) 3,0

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

17. Um laboratório de análises clínicas realizou uma pesquisa de satisfação com 1.000 clientes, os quais atribuíram notas de 1 a 5 à qualidade do atendimento oferecido. A tabela a seguir mostra os resultados obtidos:

Admitindo as informações, assinale a alternativa INCORRETA. a) A média do nível de colesterol destas pessoas é inferior a 215 mg/dl. b) O número de pessoas com nível de colesterol superior a 210 mg/dl é 180. c) O número de pessoas com nível de colesterol inferior a 220 mg/dl é 180. d) A média do nível de colesterol destas pessoas é superior a 214 mg/dl. e) 30% das pessoas têm nível de colesterol 220 mg/dl.

19. A Empresa Pernambuco S/A. tinha um determinado número de empregados e uma folha F de pagamentos. Após estudos realizados no setor de produção, a empresa dispensou 20% de seus empregados e concedeu, na folha F de pagamento, um aumento de 10%. O salário médio da empresa variou de: a) 20% b) 25,7% c) 27,5% d) 35,7% e) 37,5%

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

161


Capítulo 2 | Aritmética (Parte 2)

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO TÓPICO 1: Unidades de medida Nível 1

03. De acordo com o que João leu no manual do proprietário, ele deve fazer a revisão do seu carro com 10.000 km.

01. (UERJ) A população de uma espécie animal fica multiplicada pelo mesmo fator após intervalos de tempo iguais. No período de 1984 a 1996, essa população passou de 12.500 para 25.000 indivíduos. Considere que, para o mesmo intervalo de tempo nos anos seguintes, o fator permanece constante. O número de indivíduos dessa população em 2032 será aproximadamente igual a: a) 100.000 b) 120.000 c) 160.000 d) 200.000

02. (COTIL) O velocímetro e o hodômetro são equipamentos importantes em qualquer veículo, pois aferem, respectivamente, velocidade e distância percorrida. Ambos, em alguns carros, são regulados para fazer seus registros utilizando o número de giros da roda do carro.

Observando o que marca o hodômetro, João sabe que, para a revisão, ainda faltam: a) 195.000 m b) 19.500 m c) 1.950 m d) 195 m e) 19,5 m

04. Depois do rompimento de duas barragens em Mariana, cidade histórica de Minas Gerais, foi relatado o seguinte fato: “De acordo com o Ibama, o volume extravasado das barragens no último dia 5 foi estimado em 50 milhões de metros cúbicos, quantidade que encheria 20 mil piscinas olímpicas. A lama é composta principalmente por óxido de ferro e areia.” Disponível em: http://noticias.uol.com.br. Acesso em: 01 dez. 2016.

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Suponhamos que um automóvel venha com uma configuração de fábrica compatível com rodas de aro 15, que possui uma medida da circunferência do pneu de aproximadamente 200 cm. Determine quantos giros a roda desse veículo realiza durante um intervalo de tempo de 2 minutos com uma velocidade de 120 km/h a) 180.000 giros b) 2.000 giros c) 120 giros d) 1,2 giros

De acordo com o texto, o volume máximo, em litros, de lama que pode ser colocado em uma piscina olímpica é igual a a) 2,5 ∙ 103. b) 2,5 ∙ 104. c) 2,5 ∙ 105. d) 2,5 ∙ 106. e) 2,5 ∙ 107.

05. Você provavelmente nunca viu ninguém pedir ao garçom para descer mais um pint de chope no Brasil, mas não estranharia se ouvisse a expressão na Europa ou nos Estados Unidos. Por lá, o pint, que também é conhecido aqui como quartilho, é uma medida de volume muito usada, mas seu valor pode variar — equivale a 568 ml no Reino Unido e 473 ml nos EUA, por exemplo. Disponível em: https://super.abril.com.br. Acesso em: 21 nov. 201 8 (Adaptação) .

As razões de 1 ml em relação ao pint dos Estados Unidos e de 1 ml em relação ao pint do Reino Unido apresentam variação de, aproximadamente,

162

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1


Capítulo 2 | Aritmética (Parte 2)

a) b) c) d) e)

95. 9,5. 0,4. 0,04. 0,0004.

Texto para próxima questão:

Fases da Lua

06. As tabelas a seguir se referem a projeções para o setor de energia no Brasil até o ano de 2022.

Fase da Lua como vista por um observador voltado para o sul, tendo o leste à sua esquerda e o oeste à sua direita.

Alta tensão Diversidade

Ainda limpa

Usinas a contratar em mil megawatts* Hidrelétricas PCH Eólicas Solar Termelétricas a biomassa Termelétricas fósseis

11 1 a 1,5 4a6 2a3 4a5 3a5

*2015/2018 - Fonte: EPE

Matriz energética, em % dez/2012 dez/2016* dez/2022*

Hidro Térmica Biomassa PCH Nuclear Eólica

71 15 7 4 2 1

67 14 7 4 1 7

65 12 7 4 2 10

*Projeção - Fonte: Mercado e EPE

Disponível em: https://www.cartacapital.com.br/especiais/infraestrutura/brasil-um-pais-em-busca-de-luz (Adaptado)

Com base nos dados, a partir da usina com maior expectativa de crescimento até o ano de 2022, qual a média de kW que será contratada? a) 4 milhões. b) 5 milhões. c) 6 milhões. d) 10 milhões. e) 11 milhões.

Nível 2

Disponível em: <http://astro.if.ufrgs.br/lua/lua.htm>.Acesso em: 25 fev. 2014.

08. De acordo com o texto anterior, o ciclo completo da lua dura, aproximadamente: a) 42.480 minutos b) 41.760 minutos c) 40.320 minutos d) 21.240 minutos e) 20.880 minutos

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

07. Há diversas técnicas para se medir uma multidão. Uma das mais conhecidas é o chamado “método de Jacobs”, criado por um professor universitário de jornalismo chamado Herbert Jacobs, nos anos 1960. De acordo com o método, para “contarmos uma multidão”, basta calcularmos a área do local, estimarmos o número de pessoas por m² e multiplicarmos os dois números. Se um evento foi realizado em uma área de 10 dam², com uma média de 3 pessoas por m², utilizando o método de Jacobs, o número aproximado de pessoas presentes é igual a a) 3 b) 30 c) 300 d) 3.000 e) 30.000

À medida que a Lua viaja ao redor da Terra ao longo do mês, ela passa por um ciclo de fases, durante o qual sua forma parece variar gradualmente. O ciclo completo dura aproximadamente 29,5 dias. Esse fenômeno é bem compreendido desde a Antiguidade. Acredita-se que o grego Anaxágoras (~430 a.C.) já conhecia sua causa, e Aristóteles (384-322 a.C.) registrou a explicação correta do fenômeno: as fases da Lua resultam do fato de que ela não é um corpo luminoso, e sim um corpo iluminado pela luz do Sol.

09. (UEG) Uma companhia tem 4 filiais distribuídas nos estados de Goiás, São Paulo, Bahia e Rio de Janeiro. O quadro a seguir apresenta a porcentagem de produção de cada filial em relação ao total da companhia e o lucro da filial por peça produzida. Filial

% da produção

Lucro por peça

GO

30%

R$ 20,00

SP

40%

R$ 15,00

BA

10%

R$ 25,00

RJ

20%

R$ 20,00

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

163


Capítulo 2 | Aritmética (Parte 2)

Baseando-se nessas informações, o lucro médio dessa companhia é a) R$ 41,00 b) R$ 25,00 c) R$ 20,00 d) R$ 18,50 e) R$ 16,50

10. (COTIL) Leia o trecho da reportagem Por que o transporte ferroviário é tão precário no Brasil? da Revista Superinteressante, de 24 de maio de 2018. “O País se afastou dos trilhos nos anos 1950, com o plano de crescimento rápido do presidente Juscelino Kubitschek, que priorizou rodovias. A construção de ferrovias era lenta para fazer o Brasil crescer ‘50 anos em cinco’, como ele queria. ‘Em seis meses, você faz 500 quilômetros de estrada de terra. Isso em ferrovia leva três anos’, diz Fabiano Pompermayer, técnico de planejamento e pesquisas do Ipea. Além disso, o lobby das rodovias foi forte. Desde a era JK, os investimentos e subsídios no setor são grandes, não só para abrir estradas como para atrair montadoras.” Usando as informações do texto, aponte qual é, aproximadamente, a taxa de construção de uma ferrovia, em metros, por mês? a) 13,9 m/mês b) 139 m/mês c) 1,39 ∙ 104 m/mês d) 1390 m/mês

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

11. (CMRJ) No dia 22 de março, é comemorado o Dia Mundial da Água, data criada para nos conscientizar sobre a importância desse recurso fundamental para a vida no planeta. Em tempos de escassez de água, toda medida de economia é muito bem-vinda. Assim, ao pesquisar sobre consumo de água em residências, Maria descobre que, nos seus banhos diários de 15 minutos, são gastos 135 litros de água. Assustada com o desperdício, ela resolve reduzir seu banho para 9 minutos, obtendo uma economia considerável de água a cada banho. Se Maria tomar apenas um banho por dia, o volume economizado de água, em 30 dias será de a) 1,62 m³ b) 2,43 m³ c) 162 dm³ d) 4,05 m³ e) 243.000 cm³

164

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

TÓPICO 2: Razão e proporção Nível 1 Texto para próxima questão

Bandeira de Maceió

A bandeira de Maceió é um dos símbolos oficiais do município de Maceió, capital do estado brasileiro de Alagoas. Foi sancionada em 29 de maio de 1962 pela Lei Municipal nº 868. Consiste em um retângulo de proporção largura-comprimento de 7:10. A bandeira é dividida em três faixas horizontais de igual largura na seguinte sequência, a partir de cima: verde, branco e azul. A faixa branca busca representar a restinga característica da orla de Maceió, com suas areias brancas. A divisa ondulada na cor vermelha simboliza o Riacho Salgadinho, que corta grande parte da cidade e possui um aspecto barrento resultante do transporte de aluviões de suas margens. As faixas nas cores verde e azul aludem ao Oceano Atlântico e à Lagoa Mundaú, respectivamente. No centro há um disco branco contendo o brasão de armas do município.

12. Considerando estritamente as informações que estão contidas no texto e que o disco branco é sobreposto às faixas, quantos metros quadrados de tecido serão utilizados para a confecção da faixa verde de uma bandeira de Maceió de 6 m de comprimento? a) 25,20 b) 8,40 c) 4,20 d) 1,96 e) 1,40 13. Um estudante, analisando um mapa, verificou que a distância entre duas cidades, P e Q, era de 3 cm. Por achar que a distância era dada por um número inteiro, entrou em um site de buscas, na internet, e verificou que a distância real entre as duas cidades era de 1,2 km. Com esses dado, pode-se afirmar que a escala usada no mapa é a) 1:40 b) 1:400 c) 1:4 000 d) 1:40 000 e) 1: 400 000


Capítulo 2 | Aritmética (Parte 2)

14. Analise o desenho.

Tendo em vista que, na planta acima, a quadra A possui uma área de 1800 m2, a escala numérica da planta é: a) 1:10000 b) 1:1000 c) 1:100 d) 1:10

A faixa de Gaza é um território situado no Oriente Médio, limitado a oeste pelo mar Mediterrâneo, a norte e a leste por Israel e ao sul pelo Egito. Ela recebe esse nome porque seu formato é praticamente o de uma faixa de terra com cerca de 41km de comprimento. É um dos territórios mais densamente povoados do planeta, com 1,4 milhão de habitantes para uma área de aproximadamente 370km2. Infelizmente a Faixa de Gaza, há muito tempo, é foco de notícias no mundo por causa de conflitos entre israelenses e palestinos A figura ao lado mostra um mapa da região. Supondo que o formato da região fosse retangular, de acordo com o texto, qual a largura aproximada da faixa? a) 9 metros b) 90 metros c) 9 00 metros d) 9000 metros e) 90 000 metros

17. Os veículos são as principais fontes de poluição por partículas finas nas grandes cidades. O quadro compara os níveis de emissão desses poluentes por parte de caminhões, motos e carros.

teles ganhou medalha de ouro nos 200 m rasos na categoria T44. Usou novas próteses, que alongaram o comprimento de seus membros inferiores em 6 cm. O comprimento de seus membros inferiores com as antigas próteses era de 79 cm e, com estas, ele corria os 200 m em 23 s. Considerando que os outros fatores (peso, preparo físico etc.) não se alterem, seu tempo ao correr os 200 m rasos com as novas próteses deve diminuir, em segundos, aproximadamente: a) 1,0 b) 1,2 c) 1,4 d) 1,6 e) 2,8

No caso específico das partículas finas, podemos afirmar que um carro e uma moto juntos poluem o equivalente a 1 a) do caminhão 6

16.

b)

1 do caminhão 5

c)

1 do caminhão 4

d)

1 do caminhão 3

e)

1 do caminhão 2

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

15. Na paraolimpíada de 2012, o corredor paraense Alan Fon-

18. Todo atleta tem como rotina o controle do seu Índice de Massa Corporal (IMC). Esse índice, que é apenas um indicador de massa ideal, será conhecido ao realizar-se a divisão da massa (em quilogramas) pelo quadrado da altura (em metros). Um atleta A possui IMC = 25, enquanto que um atleta B, de outra modalidade de esporte, apresenta um IMC = 36. Sabendo que ambos possuem a mesma massa, a razão entre as alturas do primeiro e do segundo é 1 a) 6

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

165


Capítulo 2 | Aritmética (Parte 2)

b)

5 6

c)

6 5

c) 2 d) 2,3 e) 3

25 d) 36 e)

36 25

Texto para próxima questão

Conheça o smartphone mais compacto do mundo Empresa Huawei lançou nesta semana o Ascend P1 S com apenas 6,68 milímetros. O fabricante chinês Huawei lançou o smartphone mais compacto do mundo. O dispositivo tem apenas 6,68 milímetros de espessura. Até então, o posto era do Motorola RAZR, com 7,1 milímetros. O anúncio da Huawei foi feito na Consumer Electronics Show (CES), em Las Vegas (EUA).

21. Em um voo de Lisboa a Londres, João vê, no monitor de sua poltrona, que a distância real percorrida em linha reta entre essas cidades é de 1.890 km. A companhia aérea disponibilizou um mapa no qual João pode perceber, utilizando uma régua, que a distância entre essas cidades é de 9 cm. A escala utilizada no mapa é a) 1: 210.000 b) 1: 360.000 c) 1: 2.100.000 d) 1: 3.600.000 e) 1: 21.000.000 22. Uma xícara está cheia de uma mistura de amendoins e castanhas, em quantidades iguais. Outro recipiente, tendo o dobro da capacidade da xícara, está preenchido com quantidades iguais de amendoins, castanhas e pistacho. Misturando os conteúdos da xícara e do recipiente, qual a fração de castanhas nesta nova mistura? a)

5 18

b)

1 3

c)

7 18

d)

4 9

e)

1 6

Fonte://revistagalileu.globo.com/Revista?common/0,,EMI288638-17770,00-CONHECA+O+SMARTPHONE+MAIS+COMPACTO+DO+MUNDO.html (Acesso em 12/01/2012)

19. Quantas vezes, aproximadamente, o aparelho Ascend P1 S é menor que o concorrente Motorola RAZR? a) 0,42 b) 0,66 c) 1,06 d) 15,9 e) 16,9 Nível 2 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

20. No ano de 1969, foi criado, em uma conferência na cidade de Seattle, nos Estados Unidos, o termo oficial da Síndrome de Morte Súbita, para especificar a morte por causas não explicadas de bebês aparentemente saudáveis. Segundo estudos da época, a frequência de mortes em uma grande população era estimada em uma morte repentina para cada 8.500 crianças. Com base na estimativa apresentada nos manuais da época, era possível prever a quantidade de crianças que poderiam vir a óbito por essa causa. O valor estimado de óbitos esperados pelos especialistas, em milhar, para uma população de 17 milhões de crianças era de a) 0,85 b) 1,20

166

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

23. Um antigo problema hindu afirma: “De uma quantidade de puras flores de lótus, uma terça parte, um quinto e um sexto foram oferecidas aos deuses Siva, Vishnu e Sol. Um quarto da quantidade original foi ofertada a Bhavani. Os seis lótus restantes foram dados ao venerável preceptor”. Resolvendo esse problema, conclui-se que a quantidade oferecida ao deus Bhavani é: a) 20 b) 24 c) 30 d) 40 e) 120 24. Para que alguém sem problemas de visão possa distinguir um ponto separado de outro, é necessário que as imagens desses pontos, que são projetadas em sua retina, estejam separadas uma da outra a uma distância de 0,005 mm


Capítulo 2 | Aritmética (Parte 2)

.

d) 14 e) 10

27. Na física, a força centrípeta Fcp, que é a força que aponta para o centro da curva durante uma trajetória curvilínea, é mV 2 , onde m é a massa do corpo, V é dada pela fórmula Fcp = R o módulo do vetor velocidade e R é o raio da trajetória. A partir Adotando-se um modelo muito simplificado do olho humano no qual ele possa ser considerado uma esfera cujo diâmetro médio é igual a 15 mm, calcule a maior distância x, em metros, que dois pontos luminosos, distantes 1 mm um do outro, podem estar do observador, para que este os perceba separados. a) 3000 b) 300 c) 30 d) 3 e) 0,3

TÓPICO 3: Divisão proporcional Nível 1

25. Na imagem vê-se um pescador fazendo pose para uma foto. Os óculos do pescador têm 16 cm de largura. Na tela da máquina fotográfica, os óculos do pescador e o peixe medem, respectivamente, 2 cm e 9 cm. Considerando que o peixe e os óculos do pescador pertencem a um plano paralelo ao plano da lente da máquina, determine o comprimento do peixe.

dessa fórmula, podemos afirmar que o raio da trajetória é a) diretamente proporcional ao módulo do vetor velocidade. b) inversamente proporcional ao módulo do vetor velocidade. c) diretamente proporcional ao quadrado do módulo do vetor velocidade. d) inversamente proporcional ao quadrado do módulo do vetor velocidade. e) inversamente proporcional à raiz quadrada do módulo do vetor velocidade.

28. Um pai dividiu certa quantia entre seus filhos, em partes inversamente proporcionais às idades. Sabendo que os filhos tinham 2, 4 e 8 anos, e que o filho mais novo recebeu R$ 8.000,00, qual quantia foi dividida? a) R$ 14.000,00 b) R$ 16.000,00 c) R$ 18.000,00 d) R$ 24.000,00 e) R$ 20.000,00 29. (ENEM) O índice de eficiência utilizado por um produtor de leite para qualificar suas vacas é dado pelo produto do tempo de lactação (em dias) pela produção média diária de leite (em kg), dividido pelo intervalo entre os partos (em meses). Para esse produtor, a vaca é qualidicada como eficiente quaqndo esse índice é, no mínimo, 281 quilogramas por mês, mantendi sempre as mesmas condições de manejo (alimentação, vacinação e outros). Na comparação de duas ou mais vacas, a mais eficiente é a que tem maior índice. A tabela apresenta os dados coletados de cinco vacas:

23 cm 55 cm 65 cm 72 cm 80 cm

26. Tertulino irá viajar e deseja guardar seus CDs de arrocha em sacolas plásticas. Para guardar os CDs em sacolas que contenham 60 unidades, serão necessárias 15 sacolas plásticas. Na mesma proporção, se os CDs forem guardados em sacolas com 75 unidades, quantas sacolas serão necessárias? a) 11 b) 13 c) 12

Dados relativos à produção das vacas Vaca

Tempo de lactação (em dias)

Produção média diária de leite (em kg)

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

a) b) c) d) e)

Intervalo entre partos (em meses)

Malhada

360

12,0

15

Mamana

310

11,0

12

Maravilha 260

14,0

12

Mateira

310

13,0

13

Mimosa

270

12,0

11

Após a análise dos dados, o produtor avaliou que a vaca mais eficiente foi a

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

167


Capítulo 2 | Aritmética (Parte 2)

a) b) c) d) e)

Nível 2

Malhada Mamana Maravilha Mateira Mimosa

33. Analise a tabela, adaptada da cartilha “Práticas de utilização consciente da energia elétrica”, da CPFL.

30. Antônio, Bernardo e Cláudio, trabalhadores com o mesmo salário, possuem 26, 20 e 18 horas, respectivamente, no “banco de horas extras” de uma empresa. A empresa ofereceu comprar o total de horas extras dos três por R$ 2.000,00, cabendo a cada funcionário a parte desse valor diretamente proporcional ao número de horas extras acumuladas por ele. Sendo aceita a proposta, Cláudio receberá uma quantia, em R$, igual a: a) 11,11 b) 284,25 c) 396,40 d) 425,60 e) 562,50

31. (FATEC) Um grupo de alunos do curso de Jogos Digitais da FATEC inicia a produção de um jogo. Após 6 horas de trabalho, verificam que conseguiram finalizar apenas 24% do jogo. Para poder concluir o restante dele, esse grupo de estudantes pede ajuda a alguns amigos, conseguindo duplicar o tamanho da equipe. Assinale a alternativa que apresenta o tempo total de produção do jogo. a) 9h 30min b) 9h 50min c) 12h 30min d) 15h 30min e) 15h 50min 32. (CFTMG) Uma pessoa foi ao supermercado comprar o creme de leite de sua preferência e percebeu que o produto é vendido em quatro embalagens distintas. Os volumes e preços dessas embalagens estão representados no quadro abaixo:

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Creme de leite Embalagem

Volume (ml)

Valor (R$)

I

200

3,80

II

300

5,20

III

500

7,80

IV

800

11,20

De acordo com esse quadro, a embalagem de creme de leite que proporciona o menor custo, por ml é a a) I. b) II. c) III. d) IV.

168

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

Aparelhos elétricos

Potência média

Dias estimados de uso

Média de utilização

Consumo médio mensal

Som

80 watts

20 no mês

3 h / dia

4,8 kwh

Chuveiro

3.500 watts

30 no mês

Ferro de passar

1.000 watts

12 no mês

1 h / dia

12,0 kwh

Micro-ondas

1.200 watts

30 no mês

20 min / dia

12,0 kwh

Geladeira

300 watts

-

-

80,0 kwh

Lâmp. Fluorescente

15 watts

30 no mês

5 h / dia

9,0 kwh

Lâmp. Incandescente

60 watts

30 no mês

5 h / dia

9,0 kwh

12 no mês

1 h / dia

6,0 kwh

Lavadora

70,0 kwh

Computador

120 watts

30 no mês

3 h / dia

10,8 kwh

Rádio relógio

5 watts

30 no mês

24 h / dia

3,6 kwh

Secador de cabelos

1.400 watts

10 min / dia

7,0 kwh

Por um descuido, alguns “pingos” de água caíram sobre três informações dessa tabela. Para que se pudesse verificar se o consumo de energia elétrica mensal era condizente com os aparelhos elétricos da casa, foi necessário recuperar tais informações. A média de tempo de utilização, por dia, em minutos do chuveiro, a potência média, em watts, da lavadora de roupas e a estimativa do número de dias de uso no mês do secador de cabelos, respectivamente, são a) 40 minutos, 50 watts e 20 dias b) 40 minutos, 550 watts e 12 dias c) 40 minutos, 500 watts e 30 dias d) 20 minutos, 500 watts e 30 dias e) 20 minutos, 50 watts e 20 dias

34. A tabela a seguir informa alguns valores nutricionais para a mesma quantidade de dois alimentos, A e B. Alimento

A

B

Quantidade

20g

20g

Valor energético

60kcal

80kcal

Sódio

10mg

20mg

Proteína

6g

1g

Considere duas porções isocalóricas (de mesmo valor energético) dos alimentos A e B. A razão entre a quantidade de proteína em A e a quantidade de proteína em B é igual a a) 4 b) 6


Capítulo 2 | Aritmética (Parte 2)

c) 8 d) 10 e) 12

TÓPICO 4: Médias

35. Certa empresa de contabilidade recebeu um grande malote de 115 documentos para serem arquivados. O gerente pediu que André, Bruno e Carlos realizassem esse arquivamento. Para tentar favorecer os funcionários mais antigos, o gerente decidiu que a distribuição do número de documentos que cada um dos três ficaria responsável em arquivar seria inversamente proporcional ao seu tempo de serviço na empresa. André era o mais novo na empresa, com 3 anos de contratado; Bruno era o mais antigo, com 16 anos de contratado; e Carlos tinha 12 anos de contratado.Com isso, Carlos ficou responsável por arquivar a) 25 documentos b) 15 documentos c) 20 documentos d) 30 documentos e) 80 documentos

38. Admita-se que N é a nota final de um vestibulando; E, a

Nível 1

36. Karla, Luisa e Raquel são as funcionárias que mais venderam no último ano na empresa em que trabalham. Ao final do ano, a chefia liberou um bônus de R$6.000,00 para ser divido entre as três de modo diretamente proporcional ao total de vendas de cada uma e inversamente proporcional à quantidade de faltas que cada uma teve, conforme a tabela abaixo. Funcionária Vendas (em reais) Faltas (em dias)

Karla

Luisa

220.000 210.000 2

3

Raquel 180.00

nota obtida no ENEM e M, a média aritmética das provas do vestibular. Suponha-se que a nota do ENEM tem peso 2,0 e a média das provas do vestibular tem peso 8,0 (oito). Um vestibulando obtém 7,0 (sete) na nota do ENEM e sua nota final foi 8,0 (oito). Considerando N, M e E com aproximação de duas casas decimais, pode-se afirmar que a média M das provas do vestibular do candidato foi: a) 8,00 b) 7,50 c) 8,50 d) 8,10 e) 8,25

39. Em grande parte dos restaurantes, o cliente paga de acordo com a quantidade de comida colocada no prato. A tabela seguinte relaciona a distribuição da quantidade de comida em quilogramas colocada nos pratos dos clientes que frequentaram esse restaurante em um determinado dia. Quantidade de comida em quilogramas colocada no prato [0,1; 0,3[ [0,3; 0,5[ [0,5; 0,7[ [0,7; 0,9[ [0,9, 1,1[ [1,1; 1,3[

Número de clientes 40 70 50 20 10 10

3

37. Três amigos, A, B e C, saíram em um passeio de bicicleta. A levou 5 litros de água, B levou 7 litros, e C esqueceu de levar a sua água. Os amigos resolveram dividir igualmente a água trazida por A e B entre os três. Se C pagou um total de 20 reais a A e a B pela água que usou, quanto desta quantia cabe a B? a) R$ 15,00 b) R$ 14,00 c) R$ 13,00 d) R$ 12,00 e) R$ 11,00

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Com base nas informações, assinale a alternativa CORRETA. a) Raquel receberá 250 reais a menos que Karla b) Luisa receberá 500 reais a mais que Raquel c) Karla receberá 1.000 reais a mais que Luisa d) Raquel receberá 1.000 reais a menos que Luisa e) Karla receberá mais que Luisa e Raquel juntas

Dessa maneira, a quantidade média de comida, em gramas, que foi colocada nos pratos desses clientes foi: a) 412 b) 480 c) 510 d) 520 e) 595

40. Em uma cidade, o número de casos de dengue confirmados aumentou consideravelmente nos últimos dias. A prefeitura resolveu desenvolver uma ação contratando funcionários para ajudar no combate à doença, os quais orientarão os moradores a eliminarem criadouros do mosquito Aedes aegypti, transmissor da dengue. A tabela apresenta o número atual de casos confirmados, por região da cidade. Região Casos confirmados Região Casos confirmados Oeste 237 Noroeste 160 Centro 262 Leste 278 Norte 158 Centro-Oeste 300 Sul 159 Centro-Sul 278

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

169


Capítulo 2 | Aritmética (Parte 2)

A prefeitura optou pela seguinte distribuição dos funcionários a serem contratados: I. 10 funcionários para cada região da cidade cujo número de casos seja maior que a média dos casos confirmados. II. 7 funcionários para cada região da cidade cujo número de casos seja menor ou igual à média dos casos confirmados.

a) b) c) d) e)

Quantos funcionários a prefeitura deverá contratar para efetivar a ação? a) 59 b) 65 c) 68 d) 71 e) 80

primeiras 6 canecas, e R$ 1,20 por caneca, para o número de canecas que ultrapassar 6. Se o preço médio pago pela caneca de chope foi de R$ 1,40, quantas canecas foram consumidas? a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

41. (ENEM) Tragédias, causadas pelas forças da natureza ou pelo homem, acontecem em todo lugar. Na maioria das vezes, nem há como prevê-las, mas muitas vezes elas acontecem pela falta de recursos para evitá-las, pela falta de infraestrutura para minorar suas consequências ou simplesmente por ignorância da população e falta de uma política de segurança mais rígida. A seguir, tem-se um gráfico que mostra a estatística de naufrágios de navios nas costas brasileiras.

0 1 2 3 4

43. Um bar cobra R$ 1,50 por uma caneca de chope, para as

44. (COTIL) Algumas empresas de transporte privado urbano que se conectam aos seus usuários por celular possuem uma estratégia chamada “preço dinâmico”: quanto mais pessoas de um bairro fizerem uso do serviço, maior será o preço da corrida. Havendo, naturalmente, a diminuição das chamadas pelas pessoas desse bairro, equilibra-se, consequentemente, a quantidade de carros por toda a cidade. Na tabela abaixo, temos a quantidade de veículos desse serviço em um certo bairro da cidade, durante um período de 2,5 horas. Tempo Quantidade de carros

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Observando o gráfico, é correto afirmar que os tipos de acidentes que estão acima da média de acidentes são a) guerra, mau tempo e acidentes diversos. b) acidentes diversos, incêndios e explosão. c) encalhe, choque e guerra. d) encalhe, choque, guerra e mau tempo. e) incêndio e explosão.

42. Na figura, x é a média aritmética dos números que estão nos quatro círculos claros e y é a média aritmética dos números que estão nos quatro círculos escuros. Qual é o valor de x − y?

170

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

1ª meia 2ª meia 3ª meia 4ª meia 5ª meia hora hora hora hora hora 52

47

58

50

x

O valor limite, para que não haja aumento no valor da tarifa do serviço, é de 50 carros, durante o intervalo de tempo analisado. Qual deve ser o valor de x para que não haja acréscimo no valor da tarifa? a) 100 b) 83 c) 43 d) 10

45. (ESPM) Em um escritório trabalhavam 15 pessoas. Em um certo ano o funcionário mais velho se aposentou, sendo substituído por um jovem de 20 anos. Se a média de idade dos funcionários desse escritório diminuiu 3 anos, a idade do funcionário que se aposentou era: a) 63 b) 60 c) 67 d) 65 e) 58


Capítulo 2 | Aritmética (Parte 2)

50. (IFPE) Na disciplina de matemática do curso de Operador

Nível 2

46. O número de gols, marcados nos 6 jogos da primeira rodada de um campeonato de futebol, foi 5, 3, 1, 4, 0 e 2. Na segunda rodada, serão realizados 5 jogos. Qual deve ser o número total de gols marcados nessa rodada para que a média de gols, nas duas rodadas, seja 20% superior à média obtida na primeira rodada? a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19

de Computador do IFPE - Barreiros, o professor Pedro resolveu fazer 5 atividades para compor a nota final. Wagner, um aluno dessa disciplina, tirou 5,4; 6,2; 7,5 e 4,1 nas quatro primeiras atividades. Sabendo que, para ser aprovado por média, o aluno precisa obter média 6,0 nessas cinco atividades, Wagner precisa obter, para aprovação por média, nota mínima de a) 5,8 b) 6,8 c) 6,2 d) 5,2 e) 6,0

47. Uma pesquisa sobre o consumo de bebida alcoólica de um grupo de 20 estudantes, em um período de 30 dias, produziu o seguinte resultado: Número de unidades de bebida alcoólica

Número de estudantes que consumiram

De 0 a 10

12

De 11 a 20

8

Acima de 20

0

Qual o valor máximo que a média do número de unidades alcoólicas consumidas pelos estudantes no período pode atingir? a) 9,6 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16

48. A turma A tem 48 alunos e a turma B tem 32. As duas tur-

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

mas fizeram uma prova e a média aritmética das notas dos alunos da turma A foi de 5,7 e dos alunos da turma B foi de 6,5. Qual é a média aritmética das notas de todos os 80 alunos ? a) 6,02 b) 6,06 c) 6,1 d) 6,14 e) 6,18

49. Um minério A tem massa igual a 5 kg e contém 72% de ferro; um minério B, de massa M, contém 58% de ferro. A mistura desses minérios contém 62% de ferro. Qual a massa M, em kg? a) 10 b) 10,5 c) 12,5 d) 15,5 e) 18,5

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

171


GABARITOS

GABARITOS Capítulo 1

Capítulo 2

EXERCITANDO EM AULA 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10.

(c) (c) (d) (c) (e) (e) (b) (b) (b) (e)

EXERCITANDO EM AULA 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.

(c) (e) (d) (a) (a) (e) (a) (b) (e)

21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40.

(e) (c) (d) (d) (a) (d) (a) (c) (a) (d) (a) (e) (d) (e) (d) (e) (c) (b) (c) (b)

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (d) (c) (c) (a) (b) (d) (b) (c) (d) (c) (a) (d) (b) (c) (b) (b) (b) (b) (b) (c)

172

(e) (b) (c) (c) (a) (a) (c) (e) (c) (c)

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.

(d) (c) (c) (d) (b) (c) (c) (e) (e)

27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50.

(c) (a) (d) (e) (d) (d) (c) (c) (c) (c) (d) (e) (d) (d) (c) (e) (c) (c) (d) (d) (d) (a) (c) (b)

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10.

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26.

(d) (b) (a) (d) (e) (b) (d) (a) (d) (c) (a) (b) (d) (b) (d) (d) (c) (c) (c) (c) (e) (c) (c) (d) (d) (c)


Capítulo 1 | Aritmética (Parte 1)

EXERCÍCIOS PROPOSTOS - CAPÍTULO 1 TÓPICO 1: Sistema de numeração

03. (FCC) O esquema abaixo apresenta a subtração de dois nú-

Nível 2

meros inteiros e maiores que 1 000, em que alguns algarismos foram substituídos por letras.

01. Em Alexandria viveu Diofante, entre os anos 325 e 409, e a pe-

A15B −2CD3

quena parte de sua obra que chegou até nossos dias revela a mais antiga prática de abreviações na Matemática. Na história da álgebra, no período anterior a Diofante, expressões são apresentadas só com palavras, inclusive os números. Com Diofante surge a álgebra, na qual algumas expressões são escritas e outras, abreviadas. Adaptado de GUELLI, Oscar. Uma aventura do pensamento. Sexta série. Editora Ática.

Na linguagem de Diofante, por exemplo, “u 3” significa 3 unidades, “M” significa menos, e, quando não há nenhum sinal, significa uma adição. As frases abaixo estão escritas em símbolos de Diofante. • x u 3 é igual a u 6 • x M u 7 é igual a u 10. Em símbolos atuais, as frases podem ser escritas, respectivamente, por a) x + 3 = 6 e x - 7 = 10 b) 3x = 6 e x - 7 = 10 c) x + 3 = 6 e 7x - 10 = 0 d) 3 - x = 6 e 7x = 10 e) 3 - x = 6 e 7x + 7 = 0

02. (UEL) Uma das características da sociedade moderna é a identificação cada vez mais precisa dos indivíduos. Um exemplo é o CPF (Cadastro de Pessoa Física), um registro na Receita Federal composto por 11 dígitos, sendo os dois últimos verificadores, para se evitarem erros de digitação. O número do CPF tem a seguinte configuração: N1N2N3N4N5N6N7N8N9 - N10N11

Se a diferença indicada é a correta, os valores de A, B, C e D são tais que: a) A < B < C < D. b) B < A < D < C. c) B < D < A < C. d) D < A < C < B. e) D < A < B < C.

04. Cada um dos símbolos □ e ∆ representa um único algarismo. Se a multiplicação indicada a seguir está correta, então o valor do produto do quadrado pelo triângulo vale  2  ×  ∆ 6 ∆ a) b) c) d) e)

12 15 27 39 45

Nível 3

05. Os maias desenvolveram um sistema de numeração vigesimal que podia representar qualquer número inteiro, não negativo, com apenas três símbolos. Uma concha representava o zero, um ponto representava o número 1 e uma barrinha horizontal, o número 5. Até o número 19, os maias representavam os números como mostra a Figura 1:

Matemática e suas tecnologias

N1 a N8 são os números-base e N9 define a região fiscal, por exemplo, N9 = 9 para Paraná e Santa Catarina. N10 e N11 verificam os números anteriores. O algoritmo para obter o dígito verificador N11 é calculado a partir da soma:

4218

S10 = 11N1 + 10N2 + 9N3 + 8N4 + 7N5 + 6N6 + 5N7 + 4N8 + 3N9 + 2N10 Dividindo S10 por 11, obtém-se o resto R desta divisão. Se R = 0 ou R = 1, então N11 = 0, caso contrário, N11 = 11 - R Considerando o número de CPF 094.610.079−9X, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o valor de X. a) 0 b) 3 c) 6 d) 8 e) 10

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

47


Capítulo 1 | Aritmética (Parte 1)

Nas condições dadas, b ⋅ c −a é igual a a) 0 b)

1 16

c)

1 8

d) 1 Disponível em: http://mdmat.mat.ufrgs.br Acesso em: 13 ago. 2012 (adaptado).

Números superiores a 19 são escritos na vertical, seguindo potências de 20 em notação posicional, como mostra a Figura 2. Ou seja, o número que se encontra na primeira posição é multiplicado por 200 = 1, o número que se encontra na segunda posição é multiplicado por 20¹ = 20 e assim por diante. Os resultados obtidos em cada posição são somados para obter o número no sistema decimal. Um arqueólogo achou o hieroglifo da Figura 3 em um sítio arqueológico: O número, no sistema decimal, que o hieróglifo da Figura 3 representa é igual a a) 279 b) 539 c) 2 619 d) 5 219 e) 7 613

06. A sequência −6, 12, −18, 24, −30, 36, ... é obtida a partir

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dos múltiplos positivos de 6, multiplicando-se os termos nas posições ímpares por −1. Observe na figura que a soma dos dois primeiros termos da sequência é igual a 6 e a soma dos três primeiros termos é igual a −12. Quantos termos consecutivos dessa sequência devemos somar, a partir do primeiro, para obter 180 como resultado ?

a) b) c) d) e)

30 60 90 120 180

07. Considere a, b e c algarismos que fazem com que a conta a seguir, realizada com números de três algarismos, esteja correta. 4 a 5 1 5 b c 7 7

48

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

e) 16

08. Considere os números inteiros abc e bac em que a, b e c são algarismos distintos e diferentes de zero, e a > b. A diferença abc - bac será sempre múltiplo de: a) 4 b) 8 c) 9 d) 12 e) 20

09. (UEL) Seja o número XYZ, no qual X é o algarismo das centenas; Y, o das dezenas; e Z, o das unidades. Invertendo-se a ordem dos algarismos, obtém-se o número ZYX, que excede XYZ em 198 unidades. Se a soma dos três algarismos é 15 e o produto dos algarismos extremos é 8, então o número XYZ está compreendido entre: a) 250 e 300 b) 300 e 350 c) 400 e 450 d) 500 e 550 e) 550 e 600 Nível 4

10. (UFPE) Considere um número com três dígitos, abc, representado no sistema de numeração decimal e com a > c e c ≠ 0. Faça a diferença entre abc e o número obtido de abc permutando os dígitos a e c. Em seguida, permute o dígito das unidades com o das centenas da diferença e adicione o valor encontrado à diferença. Qual é o valor da soma? a) 1089 b) 1098 c) 1890 d) 1809 e) 1980 11. A soma dos algarismos de x com a soma dos quadrados dos algarismos de x é igual a x. Sabe-se que x é um número natural positivo. O menor x possível está no intervalo: a) (0, 25] b) (25, 50] c) (50, 75] d) (75, 100] e) (100, 125]


Capítulo 1 | Aritmética (Parte 1)

12. (IME) Seja x um número natural maior que 2. Se a represen-

na tirinha a seguir, ela é considerada:

tação de um numeral N na base x é 1.041 e na base x - 1 é 1.431, então a sua representação na base binária é: a) 10001111 b) 11011011 c) 11100111 d) 11011110 e) 11110001

13. (PUC-SP) A soma dos quatro algarismos distintos do número N = abcd é 16. A soma dos três primeiros algarismos é igual ao algarismo da unidade e o algarismo do milhar é igual à soma dos algarismos da centena e da dezena. O produto dos algarismos da dezena e da centena é a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 Daiquiri, Caco Galhardo

14. (UNINASSAU) O segredo para abertura do cofre de uma seguradora é um número formado por 5 algarismos. O proprietário da seguradora esqueceu do número, mas lembrou que, se colocasse o algarismo 1 à direita do número que corresponde ao segredo do cofre, obteria um número que é o triplo do número obtido se colocasse o algarismo 1 à esquerda do número que corresponde ao segredo do cofre. Qual é a soma dos dígitos do número que forma o segredo do cofre? a) 26 b) 30 c) 32 d) 38 e) 41

a) b) c) d) e)

magra saudável com sobrepeso obesa de grau I obesa de grau II

16. Nas figuras abaixo, as embalagens de mesmo formato têm pesos iguais. Essas embalagens se equilibram conforme indicam as balanças representadas pelas figuras 1 e 2.

TÓPICO 2: Aritmética dos inteiros Nível 2

< 18,5

Magreza

18,5 - 24,9

Saudável

25,0 - 29,9

Sobrepeso

30,0 - 34,9

Obesidade grau I

35,0 - 39,9

Obesidade grau II (Severa)

> 40,0

Obesidade grau III (Mórbida)

Esse índice é calculado por meio da expressão IMC =

m

em que h2 m e h são, respectivamente, a massa (em quilogramas) e a altura

Assim, as embalagens do tipo ∆ têm o mesmo peso de quantas ●: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

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15. O IMC (Índice de Massa Corporal) de uma pessoa serve para classificá-la como magra, saudável ou obesa, segundo a tabela seguinte. IMC Classificação

17. Benjamim passava pela praça de Santana do Agreste quando viu o relógio da praça pelo espelho da bicicleta, como mostrado na figura. Que horas o relógio estava marcando? a) 5h 15min b) 5h 45min c) 6h 15min d) 6h 45min e) 7h 45min

da pessoa (em metros). Pelo IMC da nova mulher de Reginaldo,

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49


Capítulo 1 | Aritmética (Parte 1)

18. Um granjeiro detectou uma infecção bacteriológica em sua criação de 100 coelhos. A massa de cada coelho era de, aproximadamente, 4 kg. Um veterinário prescreveu a aplicação de um antibiótico, vendido em frascos contendo 16 mL, 25 mL, 100 mL, 400 mL ou 1 600 mL. A bula do antibiótico recomenda que, em aves e coelhos, seja administrada uma dose única de 0,25 mL para cada quilograma de massa do animal. Para que todos os coelhos recebessem a dosagem do antibiótico recomendada pela bula, de tal maneira que não sobrasse produto na embalagem, o criador deveria comprar um único frasco com a quantidade, em mililitros, igual a a) 16 b) 25 c) 100 d) 400 e) 1.600 19. O “Sudoku” é um jogo de desafio lógico inventado pelo Matemático Leonhard Euler (1707-1738). Na década de 1970, este jogo foi redescoberto pelos japoneses, que o rebatizaram como Sudoku, palavra com o significado “número sozinho”. É jogado em um quadro com 9 por 9 quadrados, que é subdividido em 9 submalhas de 3 por 3 quadrados, denominados quadrantes. O jogador deve preencher o quadro maior de forma que todos os espaços em branco contenham números de 1 a 9. Os algarismos não podem se repetir na mesma coluna, linha ou quadrante. LEÃO, S. Lógica e estratégia. Folha de Londrina, Especial 14, 17 de setembro de 2006.

a) b) c) d) e)

1836 1862 1911 1937 1986

21. (PUC-RIO) Quantos ancestrais tetravós (que são os pais dos trisavós, que são os pais dos bisavós, que são os pais dos avós) pode uma pessoa ter? Suponha que não haja casamento entre pessoas da mesma família. a) 32 b) 16 c) 12 d) 10 e) 8 22. (ENEM) João decidiu contratar os serviços de uma empresa por telefone através do SAC (Serviço de Atendimento ao Consumidor). O atendente ditou para João o número de protocolo de atendimento da ligação e pediu que ele anotasse. Entretanto, João não entendeu um dos algarismos ditados pelo atendente e anotou o número 1 3  9 8 2 0 7, sendo que o espaço vazio é o do algarismo que João não entendeu. De acordo com essas informações, a posição ocupada pelo algarismo que falta no número de protocolo é a de: a) centena. b) dezena de milhar. c) centena de milhar. d) milhão. e) centena de milhão.

Nível 3

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23. (ENEM) Um marceneiro recebeu a encomenda de uma passarela de 14,935 m sobre um pequeno lago, conforme a Figura I. A obra será executada com tábuas de 10 cm de largura, que já estão com o comprimento necessário para instalação, deixando-se um espaçamento de 15 mm entre tábuas consecutivas, de acordo com a planta do projeto na Figura II. 15 mm

Com base nessas informações, o algarismo a ser colocado na casa marcada com no quadro anterior é: a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

20. (ENEM) O cometa Halley orbita o Sol numa trajetória elíptica periódica. Ele foi observado da Terra nos anos de 1836 e 1911. Sua última aparição foi em 1986 e sua próxima aparição será em 2061. Qual é o ano da segunda aparição do cometa anterior ao ano de 2012? 50

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

14,935 m 10 cm

Figura 1

Figura II

Desconsiderando-se eventuais perdas com cortes durante a execução do projeto, quantas tábuas, no mínimo, o marceneiro necessitará para a execução da encomenda? a) 60 b) 100 c) 130 d) 150 e) 598


Capítulo 1 | Aritmética (Parte 1)

24. A figura indica o empilhamento de três cadeiras idênticas e perfeitamente encaixadas umas nas outras, sendo h a altura da pilha em relação ao chão.

lucro de R$ 6,00 nem lucro nem prejuízo prejuízo de R$ 6,00 lucro de R$ 6,50

27.

Um álbum de figurinhas possui 35 páginas, cada uma com 25 figurinhas, distribuídas em 5 linhas e 5 colunas. As figurinhas estão ordenadas e numeradas de 1 até 875. Nesse álbum, são consideradas figurinhas especiais a 7ª, 14ª, 21ª, 28ª e assim sucessivamente. A figura ilustra a primeira página desse álbum. Depois que o álbum for completado com todas as figurinhas, a última página que se iniciará com uma figurinha especial é a de número

44 cm 3 cm

h

a) b) c) d)

48 cm

A altura, em relação ao chão, de uma pilha de n cadeiras perfeitamente encaixadas umas nas outras, será igual a 1,4 m se n for igual a a) 14 b) 17 c) 13 d) 15 e) 18

25. Antônio é um botânico que desenvolveu em seu laboratório três variedades de uma mesma planta, V1, V2 e V3. Esses exemplares se desenvolvem cada um a seu tempo, de acordo com a tabela a seguir.

Variedade

Tempo de germinação (em semanas, após o plantio)

Tempo de floração (em semanas, após a germinação)

Tempo para uma única colheita (em semanas, após a floração)

V1

5

3

1

V2

3

2

1

V3

2

1

1

26. Um investidor dispõe de R$ 200,00 por mês para adquirir o maior número possível de ações de certa empresa. No primeiro mês, o preço de cada ação era R$ 9,00. No segundo mês, houve uma desvalorização e esse preço caiu para R$ 7,00. No terceiro mês, com o preço unitário das ações a R$ 8,00, o investidor resolveu vender o total de ações que possuía. Sabendo que só é permitida a negociação de um número inteiro de ações, podemos concluir que com a compra e venda de ações o investidor teve

27 28 32 33 34

Nível 4

28. (UNINASSAU) Para desbloquear o seu celular, Daniel desliza o dedo horizontalmente ou verticalmente por um quadro numérico, semelhante ao representado na figura abaixo, descrevendo um código de 7 algarismos, sem nunca passar duas vezes pelo mesmo algarismo. Por exemplo, para indicar o código 1478523, Daniel percorre o caminho indicado na figura. 1

2

4

5

Matemática e suas tecnologias

Considere um experimento em que as três variedades serão plantadas inicialmente no mesmo dia e que, a cada dia de colheita, outra semente da mesma variedade será plantada.Com base nos dados da tabela, o número mínimo de semanas necessárias para que a colheita das três variedades ocorra simultaneamente será a) 36 b) 24 c) 18 d) 16

a) b) c) d) e)

3

6

9 7

8

Daniel esqueceu do seu código, mas lembra que é um número divisível por 9. Admitindo que o celular de Daniel permita que as tentativas de códigos possam ser feitas sucessivamen-

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

51


Capítulo 1 | Aritmética (Parte 1)

te sem intervalos de tempo entre uma tentativa e outra, e que Daniel leva em média 3 segundos por cada tentativa, qual o tempo máximo, em segundos, que Daniel levará para desbloquear seu celular? a) 20 b) 25 c) 36 d) 48 e) 56

31. (ENEM) Para o reflorestamento de uma área, deve-se cercar totalmente, com tela, os lados de um terreno, exceto o lado margeado pelo rio, conforme a figura. Cada rolo de tela que será comprado para confecção da cerca contém 48 metros de comprimento. 190 m

81 m

81 m

29. (UNINASSAU) Raul ficou sabendo que vai haver um show de sua banda predileta em sua cidade. Como ele é menor, só pode ir ao show acompanhado de um responsável, então resolveu pedir a seu pai para ir com ele. Seu pai disse que iria caso Raul resolvesse uma determinada lista de exercícios proposta por ele. Raul topou na hora o desafio, só que, como o show será no domingo, Raul terá até o sábado para resolver a lista proposta por seu pai. Raul resolveu fazer a lista da seguinte maneira: nos primeiros dois dias resolver algumas questões e em cada um dos dias restantes resolver tantas questões quantas as resolvidas no total dos dois dias anteriores. Sabendo que Raul resolveu no sábado 24 questões e com isso terminou todas as propostas por seu pai, o total de questões resolvidas por Raul é um número: (Considere que Raul iniciou a resolução na segunda) a) Primo b) Quadrado perfeito c) Ímpar d) Múltiplo de 8 e) Múltiplo de 15

TÓPICO 3: Divisibilidade Nível 2

30. Observe:

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A água faz parte do patrimônio do planeta. Cada continente, cada povo, cada nação, cada religião, cada cidade, cada cidadão é plenamente responsável aos olhos de todos. De acordo com a Organização das Nações Unidas, cada pessoa necessita de 3,3 m³ de água por mês para atender às necessidades de consumo e higiene. Gastar mais do que isso por dia é jogar dinheiro fora e desperdiçar nossos recursos naturais. No entanto, no Brasil, o consumo por pessoa chega a mais de 200 litros/dia. (CARTILHA, 2010).

De acordo com o texto, para se adequar ao que a ONU recomenda, cada brasileiro, em média, deve economizar, por mês, um volume de água, em m³, pelo menos, igual a: a) 2,4 b) 2,5 c) 2,6 d) 2,7 e) 2,8

52

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

Rio A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar esse terreno é a) 6 b) 7 c) 8 d) 11 e) 12

32. (FCC) Existe um ramo da matemática chamado “Teoria dos Números”, que trabalha com operações especiais de divisibilidade, bem como formação de sequências numéricas estranhas. Alguns resultados curiosos podem ser observados em algumas operações matemáticas realizadas em teoria dos números, como mostra o exemplo seguinte: 92 = 81 992 = 9 801 9992 = 998 001 9 9992 = 99 980 001 … O exemplo dado permite que se conclua corretamente que a soma dos algarismos do número 9 999 999 9992 é um número: a) maior que 100. b) quadrado perfeito. c) divisível por 12. d) múltiplo de 6. e) ímpar.

33. Se um número, representado no sistema de numeração decimal, tem todos os seus dígitos iguais a 7 e é divisível por 99, qual seria o menor número de dígitos que ele pode ter? a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21 34. (UFPE) Na nota de compra de certo produto, aparece o número de unidades adquiridas e o preço total pago. O número de unidades foi 72, mas dois dígitos do preço pago estão ilegíveis e aparece R$ _13,3_. Determine os dígitos ilegíveis e assinale seu produto.


Capítulo 1 | Aritmética (Parte 1)

a) b) c) d) e)

35.

5. 6. 15. 30. 45. (ENEM) Considere os algarismos zero e 4 e os números for-

mados apenas com os mesmos. O número x representa o menor x possui múltiplo positivo de 15, dentre os descritos acima. Se 30 um número a de divisores positivos, então a é igual a : a) b) c) d)

4. 6. 8. 10.

36. (ENEM) Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão 2x ⋅ 5y ⋅ 7z na qual x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7. O número de divisores de N, diferentes de N, é: a) x ⋅ y ⋅ z. b) (x + 1) ⋅ (y + 1). c) x ⋅ y ⋅ z - 1. d) (x + 1) ⋅ (y + 1) ⋅ z. e) (x + 1) ⋅ (y + 1) ⋅ (z + 1) - 1. 37.

(UNIVASF) Quantos são os divisores naturais do número 1.003.003.001 = (103 + 1)3 ? a) 64. b) 60. c) 56. d) 52. e) 48.

Nível 3

39. Certo jornal publicou uma matéria em que foi citado o tempo de duração da Primeira Guerra Mundial em dias, incluídos o primeiro e o último dia em guerra. O e-mail de um leitor, no entanto, informou erro no cálculo, o que levou a redação a publicar

O número de dias publicado na errata, correspondente ao tempo de duração da Primeira Guerra Mundial, foi a) 1.565 b) 1.566 c) 1.567 d) 1.568 e) 1.569

40. No armazém de uma pastelaria, há 6 tonéis distintos de 15, 16, 18, 19, 20 e 31 litros. Um tonel está cheio de nata e os restantes estão cheios de leite ou de chocolate líquido, havendo, no total, duas vezes mais leite do que chocolate. A capacidade do tonel que tem a nata é de a) 16 litros b) 18 litros c) 19 litros d) 20 litros 41. (IFSC) Três amigas resolvem fazer exercícios físicos e matriculam-se na academia. No dia da 1ª avaliação física, o instrutor pergunta a meta de emagrecimento de cada uma e elas respondem: “O produto dos três pesos a serem perdidos é 36”. Instrutor: “Com esses dados, não é possível saber a resposta”. Amigas: “Como uma de nós quer perder mais peso, tem feito uma dieta mais rigorosa. Além disso, esse valor mais alto é menor que a soma da meta de emagrecimento das outras duas amigas”. Instrutor: “Obrigado pelas informações, já sei a perda de peso desejada por vocês”. Considere que a meta de emagrecimento de cada amiga é um número natural e que não há dois valores corretos para a perda de peso desejada por cada amiga. Em relação aos dados acima, assinale a soma da(s) CORRETA(S). (01) Uma das amigas deseja emagrecer 3 kg. (02) Duas amigas desejam emagrecer a mesma quantidade. (04) A amiga que está fazendo a dieta rigorosa deseja emagrecer uma quantidade maior que as outras duas amigas juntas. (08) Uma das amigas deseja emagrecer 4 kg. (16) A amiga que está fazendo a dieta rigorosa deseja emagrecer 9 kg.

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38. Uma campanha de supermercado permite a troca de oito garrafas vazias, de qualquer volume, por uma garrafa de 1 litro cheia de guaraná. Considere uma pessoa que, tendo 96 garrafas vazias, fez todas as trocas possíveis. Após esvaziar todas as garrafas que ganhou, ela também as troca no mesmo supermercado. Se não são acrescentadas novas garrafas vazias, o total máximo de litros de guaraná recebidos por essa pessoa em todo o processo de troca equivale a: a) 12 b) 13 c) 14 d) 15

uma errata com a informação correta. A matéria forneceu as seguintes informações: • Primeiro dia em guerra – Dia da invasão da Sérvia pelo Império Austro-Húngaro, em 28 de julho de 1914; • Último dia em guerra – Dia da assinatura do armistício pelo Império Austro-Húngaro e pela República da Alemanha, em 11 de novembro de 1918. Além disso, sabe-se que 1916 foi um ano bissexto.

Portanto, a soma correta é: a) 03 b) 06 c) 09 d) 11 e) 28

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

53


Capítulo 1 | Aritmética (Parte 1)

42. (UFPI) A soma de 11 inteiros consecutivos é N. Qual é o maior desses números em termos de N? a) b) c) d) e)

N +5 5 N + 10 5 N + 10 6 N +5 11 N + 10 11

Nível 4

43. No nosso calendário, os anos têm 365 dias, com exceção dos anos bissextos, que têm 366 dias. Um ano é bissexto quando é múltiplo de 4, mas não é múltiplo de 100, a menos que também seja múltiplo de 400. Quantas semanas completas possuem 400 anos consecutivos? a) 20.871 b) 20.868 c) 20.870 d) 20.867 e) 20.869

44.

(UFTM) A sequência de inteiros maiores do que 1, dada por (x, 569, y, ...), é tal que cada termo, depois do primeiro, é um a menos do que o produto dos termos imediatamente anterior e sucessor. Em tais condições, a quantidade de números diferentes que x pode assumir é igual a: a) 14. b) 24. c) 36. d) 44. e) 56.

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45. No dia do aniversário de casamento, Gauss foi almoçar com sua esposa em seu restaurante preferido. No restaurante, cada pessoa tinha que escolher uma entrada e um prato principal. Ele observou que, com as opções disponíveis, havia 133 maneiras distintas de escolher o almoço. Na semana seguinte, Gauss foi novamente ao restaurante para uma reunião: ao pedir o cardápio, ele percebeu que o dono do restaurante havia mudado duas opções de pratos principais para entradas. Com essa troca, passou a haver 153 maneiras diferentes de escolher o almoço. Quantas opções de pratos principais havia no dia em que Gauss e sua esposa almoçaram no restaurante ? a) 7 b) 9 c) 17 d) 19 e) 20

54

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

46. Para as operações apresentadas na tabela a seguir, Pedro registrou os resultados obtidos utilizando uma calculadora. Assim como nos números 8 e 13, envolvidos nas operações, os resultados apresentam um padrão com os algarismos 7 e 1. Operação matemática

Resultado

Linha 1:

8 × 8 + 13 =

77

Linha 2:

8 × 88 + 13 =

717

Linha 3:

8 × 888 + 13 =

7117

Linha 4:

8 8888 + 13 =

71117

Admitindo que sua tabela seja válida para toda linha n(n ∈ ), em que linha da tabela, pela primeira vez, o resultado apresentado tem mais de 2016 dígitos e é múltiplo de 3? a) 2016 b) 2017 c) 2018 d) 2019 e) 2020

TÓPICO 4: MDC e MMC Nível 2

47. Uma cidade tem quatro igrejas e cada igreja tem um relógio. O relógio da igreja A bate a cada hora, o da igreja B bate a cada 2 horas, o da igreja C bate a cada 3 horas e o relógio da igreja D bate a cada 5 horas. Todos os relógios estavam parados e foram acionados, simultaneamente, à zero hora do dia 10 de outubro de 2005. Com base nos dados descritos, podemos concluir que os quatro relógios baterão juntos, pela primeira vez:

a) b) c) d) e)

48.

no dia 10/10/05 – 6 horas no dia 10/10/05 – 22 horas no dia 11/10/05 – 6 horas no dia 11/10/05 – 18 horas no dia 11/10/05 – 22 horas

Numa pista circular de autorama, um carrinho vermelho dá uma volta a cada 72 segundos e uma carrinho azul dá uma volta a cada 80 segundos. Se os dois carrinhos partem juntos, quantas voltas terá dado o mais lento até o momento em que ambos voltaram a estar lado a lado no ponto de partida ?


Capítulo 1 | Aritmética (Parte 1)

a) b) c) d) e)

6 7 8 9 10

49. João atualiza o antivírus do seu computador a cada 22 dias, e Maria atualiza o antivírus a cada 25 dias. Em certa segunda-feira, os dois atualizaram o antivírus no mesmo dia. Na próxima vez em que os dois atualizarem o antivírus no mesmo dia, qual será o dia da semana ? a) Segunda-feira b) Terça-feira c) Quarta-feira d) Quinta-feira e) Sexta-feira 50. Uma espécie de cigarra que existe somente no leste dos EUA passa um longo período dentro da terra alimentando-se de seiva de raízes, ressurgindo após 17 anos. Em uma revoada, os insetos dessa espécie se acasalam e produzem novas ninfas que irão compor o novo ciclo de 17 anos. Em 2004, ano bissexto, os EUA presenciaram outra revoada dessas cigarras. O próximo ano bissexto em que ocorrerá a revoada da futura geração de cigarras será: a) 2008 b) 2021 c) 2068 d) 2072 e) 2076

52. Do Parque Halkfeld partem, às 5 horas da manhã, três ônibus, A, B e C. Sabendo-se que os ônibus A, B e C voltam ao ponto de partida, respectivamente, a cada 30, 45 e 50 minutos, o próximo horário, após as 5 horas, em que os três ônibus partirão juntos será às: a) 7 horas e 30 minutos b) 12 horas e 30 minutos c) 15 horas d) 20 horas e) 11 horas da manhã do dia seguinte.

(UPE) Três colegas caminhoneiros, Santos, Yuri e Belmiro, encontraram-se numa sexta-feira, 12 de agosto, em um restaurante de uma BR, durante o almoço. Santos disse que costuma almoçar nesse restaurante de 8 em 8 dias, Yuri disse que almoça no restaurante de 12 em 12 dias, e Belmiro, de 15 em 15 dias. Com base nessas informações, analise as afirmativas seguintes: I. Os três caminhoneiros voltarão a se encontrar novamente no dia 13 de dezembro. II. O dia da semana em que ocorrerá esse novo encontro é uma sexta-feira. III. Santos e Yuri se encontrarão 4 vezes antes do novo encontro dos três colegas. Está CORRETO o que se afirma, apenas, em: a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) II e III.

54. (PUC-RIO) A Editora do livro “Como ser aprovado no Vestibular” recebeu os seguintes pedidos de três livrarias: Livraria

Número de exemplares

A

1300

B

1950

C

3900

A Editora deseja remeter os três pedidos em n pacotes iguais, de tal forma que n seja o menor possível. Calcule o número n. a) 11. b) 13. c) 21. d) 43. e) 65.

Nível 3

55. A conjunção entre dois astros fecha um ciclo e dá origem a um novo movimento que se desenvolve continuamente e é pontuado por etapas relativas aos aspectos que, durante o ciclo, os dois planetas formam entre si. Esses aspectos correspondem a estágios de evolução, em que cada um tem relação com a etapa anterior e a posterior. Em 1982 ocorreu uma conjunção entre os planetas Júpiter e Saturno, o que significa que podiam ser vistos bem próximos um do outro quando avistados da Terra. Se Júpiter e Saturno dão uma volta completa ao redor do Sol aproximadamente a cada 12 e 30 anos, respectivamente, em qual dos anos seguintes ambos estiveram em conjunção no céu da Terra? a) 1840 b) 1852 c) 1864 d) 1922 e) 1960 PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

Matemática e suas tecnologias

51. Para dar banho em seu irmãozinho, Isabel abriu o chuveiro durante 1 minuto e 20 segundos para deixá-lo molhado. Passado esse tempo, ela fechou totalmente o chuveiro e começou a ensaboá-lo durante 4 minutos e 40 segundos. Depois de ensaboar o irmãozinho, o chuveiro foi aberto novamente para enxágue final e finalmente desligado. Sabe-se que o banho todo durou 9 minutos e 10 segundos e que esse chuveiro, quando ligado, gasta 3 litros de água a cada 50 segundos. Logo, a quantidade de água, em litros, que foi gasta nesse banho foi de: a) 15 b) 15,8 c) 16 d) 16,2 e) 16,8

53.

55


Capítulo 1 | Aritmética (Parte 1)

56. (ENEM) Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de 1.080 cm, todas de mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor que 2 m. Atendendo ao pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir a) 105 peças b) 120 peças c) 210 peças d) 243 peças e) 420 peças 57. (ENEM) O gerente de um cinema fornece anualmente ingressos gratuitos para escolas. Este ano, serão distribuídos 400 ingressos para uma sessão vespertina e 320 ingressos para uma sessão noturna de um mesmo filme. Várias escolas podem ser escolhidas para receberem ingressos. Há alguns critérios para a distribuição dos ingressos: 1. cada escola deverá receber ingressos para uma única sessão; 2. todas as escolas contempladas deverão receber o mesmo número de ingressos; 3. não haverá sobra de ingressos (ou seja, todos os ingressos serão distribuídos). O número mínimo de escolas que podem ser escolhidas para obter ingressos, segundo os critérios estabelecidos, é a) 2 b) 4 c) 9 d) 40 e) 80

58.

Matemática e suas tecnologias

Isabela, de cinco anos, estava com febre e muita tosse. Ana, sua mãe, resolveu levá-la ao pediatra, que prescreveu o seguinte tratamento: • xarope “A”, de dez em dez horas, somente enquanto a tosse persistisse; • antitérmico “B”, de seis em seis horas, apenas enquanto a febre perdurasse; • antibiótico “C”, de oito em oito horas, durante dez dias ininterruptos.

a) b) c) d)

A, B e C Ae B BeC Ae C

59. A campanha de uma renomada ONG (Organização Não Governamental) de coleta e distribuição de livros didáticos às comunidades carentes tem sido um grande sucesso. Foram arrecadados 72.000 livros de matemática, 10.080 de gramática e 97.200 de ciências. Todos esses livros serão empacotados e enviados seguindo os critérios: em cada pacote haverá sempre a mesma quantidade de livros; não poderá haver livros de disciplinas diferentes em cada pacote; deveremos ter a menor quantidade possível de pacotes. Utilizando esses dados, são feitas as afirmações: I. Cada pacote vai conter 720 livros. II. Haverá ao todo 249 pacotes. III. Haverá apenas 14 pacotes contendo livros de gramática. IV. Os pacotes contendo livros de ciências superam em 35 unidades os pacotes contendo livros de matemática. Dentre essas afirmações: a) todas são falsas. b) apenas uma é correta. c) apenas duas são corretas. d) apenas três são corretas. e) todas são corretas.

Nível 4

60. (FCC) Se os números naturais A e B são tais que: • •

MMC (A, B) = 840 MDC (A, B) = 12

A = 2x ⋅ 15 e B = 2y ⋅ 21, com x > y, então A + B é igual a a) 204. b) 900. c) 490. d) 852. e) 432.

61. (MACKENZIE) Observe a figura a seguir:

8

Sua mãe, muito precavida, logo após comprar toda a medicação, começou o tratamento, dando à menina uma dose (simultânea) dos três medicamentos, às 16 horas do dia 1º/10/2016. Ana também elaborou uma tabela, em que ia anotando todos os horários em que a filha tomava cada um dos remédios. Sabe-se que a febre desapareceu ao final do terceiro dia completo de tratamento (72 horas), mas a tosse só acabou definitivamente após cinco dias inteiros de uso do xarope. Sendo assim, podemos afirmar que, no dia 03/10/2016, às 16 horas, a menina tomou, simultaneamente, os medicamentos

56

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

36

20

O número mínimo de cubos de mesmo volume e dimensões inteiras que preenchem completamente o paralelepípedo retângulo da figura é a) 64. b) 90. c) 48. d) 125. e) 100.


Capítulo 2 | Aritmética (Parte 2)

EXERCÍCIOS PROPOSTOS - CAPÍTULO 2 TÓPICO 1: Unidades de medida Nível 2

01. (IFPE) Bruno, aluno do curso de Agricultura do IFPE - Vitória, começou um estágio na sua área recebendo a remuneração mensal de um salário mínimo. Ele resolveu fazer algumas economias e decidiu poupar dois salários em 2017 e três salários em 2018. Se Bruno economizar exatamente o que planejou, tomando como base o salário mínimo, mostradona imagem abaixo, podemos afirmar que ele poupará

e depois presidente da ISO, a Organização Internacional para Padronização (“International Organization for Standardization”). Sabendo que Oliver Smoot tinha 5 pés e 7 polegadas de altura na ocasião da medida, desprezando o erro de +/-1 orelha, e assumindo 1 pé = 30,5 cm e 1 polegada = 2,5 cm, o comprimento da ponte é: a) 600 m b) 619,48 m c) 633,51 m d) 111,14 m e) 117,85 m

03.

(ENEM) Em alguns países anglo-saxões, a unidade de volume utilizada para indicar o conteúdo de alguns recipientes é a onça fluida britânica. O volume de uma onça fluida britânica corresponde a 28,4130625 mL. A título de simplificação, considere uma onça fluida britânica correspondendo a 28 mL. Nessas condições, o volume de um recipiente com capacidade de 400 onças fluidas britânicas, em cm3, é igual a a) 11.200 b) 1.120 c) 112 d) 11,2 e) 1,12 Disponível em: http://salariominimo2016.blog.br/tabela-salario-minimo-2017/. Acesso em: 04 out. 2017.

a) b) c) d) e)

04. (ENEM) Uma pessoa ganhou uma pulseira formada por pérolas esféricas, na qual faltava uma das pérolas. A figura indica a posição em que estaria faltando esta pérola.

R$ 4.726,60 R$ 3.789,60 R$ 4.747,40 R$ 5.684,40 R$ 3.810,40

Matemática e suas tecnologias

02. (UDESC) Em 1958, como trote para os calouros da Universidade de Harvard, nos Estados Unidos, um grupo de estudantes precisou medir o comprimento da ponte de Harvard (entre Boston e Cambridge, em Massachusetts), usando como padrão de medida um dos próprios estudantes, um rapaz chamado Oliver R. Smoot. Após horas de medição, com o estudante deitando-se no chão e levantando-se sucessivas vezes para as medidas, concluiu-se que a ponte tinha 364,4 smoots, +/-1 orelha. A brincadeira fez tanto sucesso e a medição tornou-se tão popular que, na década de 1980, a ponte foi reformada pela prefeitura, que encomendou blocos de concreto personalizados de 1 smoot de comprimento para a reforma, eternizando as marcações colocadas no solo, que hoje já constam até no sistema de conversão de medidas da ferramenta Google. Ainda mais interessante é o fato de que, alguns anos após formado, Oliver Smoot tornou-se diretor da ANSI, o Instituto Nacional Americano de Padrões (“American National Standards Institute”),

Ela levou a joia a um joalheiro, que verificou que a medida do diâmetro dessas pérolas era 4 milímetros. Em seu estoque, as pérolas do mesmo tipo e formato, disponíveis para reposição, tinham diâmetros iguais a: 4,025 mm; 4,100 mm; 3,970 mm; 4,080 mm; e 3,099 mm. O joalheiro então colocou na pulseira a pérola cujo diâmetro era o mais próximo do diâmetro das pérolas originais. A pérola colocada na pulseira pelo joalheiro tem diâmetro, em milímetro, igual a a) 3,099 b) 3,970 c) 4,025 d) 4,080 e) 4,100

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

57


Capítulo 2 | Aritmética (Parte 2)

05. (IFPE) Use a tabela para responder à questão. Campus Modalidade

Curso Inscritos Técnico em opeBarreiros Proeja rador de compu144 tador - Noite Técnico em Barreiros Integrado agropecuária – 209 Integral Técnico em refrigeração e Recife Proeja 322 climatização – Noite Técnico em refrigeração e Recife Subsequente 448 climatização Noite Vitória Técnico em de Santo Integrado agropecuária – 415 Antão Integral Vitória Técnico em zoode Santo Subsequente 136 tecnia – Manhã Antão Vitória Técnico em de Santo Proeja agricultura – 28 Antão Noite Técnico em Vitória manutenção e de Santo Proeja 78 suporte em inforAntão mática – Noite

Vagas 40

140

40

40

120

40

32

32

Disponível em: <http://cvest.ifpe.edu.br/vestibular2017_1/arquivos/Concorrencia_sem_tipo_ de_cota.pdf>. Acesso: 02 maio 2017 (adaptado).

Matemática e suas tecnologias

Com base nos dados apresentados na tabela acima, podemos afirmar que o total de candidatos inscritos no vestibular do IFPE 2017.1, modalidade Proeja, foi de a) 472 b) 969 c) 572 d) 1.078 e) 948

Nível 3

06. (IFSP) Na figura, estão representadas 5 barras em uma malha quadriculada.

Tomando-se a barra 1 como unidade, pode-se concluir que os nú-

58

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

meros racionais associados às medidas das barras 2, 3, 4 e 5 são, respectivamente, 2 5 7 a) , , 2 e . 3 3 6 b)

3 3 1 6 , , e . 2 5 2 7

c)

1 1 1 1 , , e . 2 2 7 4

d)

2 5 6 7 , , e . 3 3 3 3

e) 2 , 3 , 2 e 7 . 3 5 6

07. (ENEM) Um show especial de Natal teve 45.000 ingressos vendidos. Esse evento ocorrerá em um estádio de futebol que disponibilizará 5 portões de entrada, com 4 catracas eletrônicas por portão. Em cada uma dessas catracas, passará uma única pessoa a cada 2 segundos. O público foi igualmente dividido pela quantidade de portões e catracas, indicados no ingresso para o show, para a efetiva entrada no estádio. Suponha que todos aqueles que compraram ingressos irão ao show e que todos passarão pelos portões e catracas eletrônicas indicados. Qual é o tempo mínimo para que todos passem pelas catracas? a) 1 hora. b) 1 hora e 15 minutos. c) 5 horas. d) 6 horas. e) 6 horas e 15 minutos. 08. (ENEM) O aquífero Guarani localiza-se no subterrâneo dos territórios da Argentina, do Brasil, Paraguai e Uruguai, com extensão total de 1.200.000 quilômetros quadrados, dos quais 840.000 quilômetros quadrados estão no Brasil. O aquífero armazena cerca de 30 mil quilômetros cúbicos de água e é considerado um dos maiores do mundo. Na maioria das vezes em que são feitas referências à água, são usadas as unidades metro cúbico e litros, e não as unidades já descritas. A Companhia de Saneamento Básico do Estado de São Paulo (SABESP) divulgou, por exemplo, um novo reservatório cuja capacidade de armazenagem é de 20 milhões de litros. Disponível em: http://noticias.terra.com.br. Acesso em: 10 jul. 2009 (adaptado).

Comparando as capacidades do aquífero Guarani e desse novo reservatório da SABESP, a capacidade do aquífero Guarani é: a) 1,5 ⋅ 102 vezes a capacidade do reservatório novo. b) 1,5 ⋅ 103 vezes a capacidade do reservatório novo. c) 1,5 ⋅ 106 vezes a capacidade do reservatório novo. d) 1,5 ⋅ 108 vezes a capacidade do reservatório novo. e) 1,5 ⋅ 109 vezes a capacidade do reservatório novo.


Capítulo 2 | Aritmética (Parte 2)

Nível 4

09. Uma empresa fabrica um único produto a um custo variável por unidade igual a R$ 60,00 e um custo fixo mensal de R$ 12.000,00. Em períodos normais, a capacidade máxima de produção é de 500 unidades por mês, e a produção é totalmente vendida; nessas condições, o preço de venda é fixado em 40% acima do custo médio de produção. Em períodos de recessão, as vendas caem, atingindo apenas 80% da capacidade máxima de produção. Mantendo-se na recessão o mesmo preço vigente em períodos normais, ele será x% superior ao novo custo médio por unidade. O valor de x é aproximadamente igual a: *O custo médio de produção é igual ao custo total dividido pela quantidade produzida. a) b) c) d) e)

39% 37% 35% 33% 31%

10.

A ANAC diz que para viagens com saída e chegada ao Bra-

sil uma mala pode ter no máximo 32 kg e 158 cm (somando altura, comprimento e largura). As bagagens de mão não devem exceder 115 cm, tendo ainda que caber no compartimento de bagagem ou sob a poltrona. No caso de viagens para a América do Sul, a regra garante pelo menos 20 kg por passageiro viajando na classe econômica. Mesmo assim, na hora da compra do bilhete, é necessário checar se o voo está sujeito a essas regras, pois as companhias aéreas podem acrescentar tarifas, dependendo da rota. Antônio faz frequentemente o trajeto Recife – São Paulo com uma mala de 60 cm de comprimento, 40 cm de largura e x cm de altura, pesando exatos 32 kg. Sua mala é a maior possível que pode ser levada, de acordo com as normas da ANAC. Ele pretende, agora, viajar para Buenos Aires. Para isso, compra y cm de altura. Considerando que o peso da mala é proporcional ao seu volume e que para Buenos Aires Antônio levará os 20 kg de x bagagem a que tem direito, o valor de é: y a) 1 b)

37 89

c) 174 145 d) 125 164 e) 164 125

Nível 2

11. (ENEM) O quadro apresenta dados sobre viagens distintas, realizadas com o mesmo veículo, por diferentes motoristas. Em cada viagem, o veículo foi abastecido com combustível de um preço diferente e trafegou com uma velocidade média distinta.

Motorista

Custo por litro de combustível (R$)

Distância percorrida (km)

Velocidade média (km/h)

1

2,80

400

84

2

2,89

432

77

3

2,65

410

86

4

2,75

415

74

5

2,90

405

72

Sabe-se que esse veículo tem um rendimento de 15 km por litro de combustível se trafegar com velocidade média abaixo de 75 km/h. Já se trafegar com velocidade média entre 75 km/h e 80 km/h, o rendimento será de 16 km por litro de combustível. Trafegando com velocidade média entre 81 km/h e 85 km/h, o rendimento será de 12 km por litro de combustível e, acima dessa velocidade média, o rendimento cairá para 10 km por litro de combustível. O motorista que realizou a viagem que teve o menor custo com combustível foi o de número a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

12. (ENEM) Em uma de suas viagens, um turista comprou uma lembrança de um dos monumentos que visitou. Na base do objeto há informações dizendo que se trata de uma peça em escala 1:400 e que seu volume é de 25 cm3. O volume do monumento original, em metro cúbico, é de a) 100 b) 400 c) 1.600 d) 6.250 e) 10.000

Matemática e suas tecnologias

uma nova mala com 60 cm de comprimento, 30 cm de largura e

TÓPICO 2: Razão e Proporção

Vulcão Puyehue transforma a paisagem de cidades na Argentina Um vulcão de 2 440 m de altura, no Chile, estava “parado” desde o terremoto em 1960. Foi o responsável por diferentes contratempos, como atrasos em viagens aéreas, por causa de sua fumaça. A cidade de Bariloche foi uma das mais atingidas pelas cinzas. Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 25 jun. 2011 (adaptado).

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

59


Capítulo 2 | Aritmética (Parte 2)

13.

(ENEM) Na aula de Geografia de determinada escola, foram confeccionadas pelos estudantes maquetes de vulcões, a uma escala 1 : 40 000. Dentre as representações ali produzidas, está a do Puyehue, que, mesmo sendo um vulcão imenso, não se compara em estatura com o vulcão Mauna Loa, que fica no Havaí, considerado o maior vulcão do mundo, com 12.000 m de altura. Comparando as maquetes desses dois vulcões, qual é a diferença, em centímetros, entre elas? a) 1,26 b) 3,92 c) 4,92 d) 20,3 e) 23,9

16. (ENEM) Um pequeno caminhão dispõe de dois reservatórios vazios, cada um com capacidade de 2.000 kg, os quais serão utilizados para transportar a produção de milho e soja até um centro consumidor. No centro de abastecimento, abre-se o registro de um primeiro silo às 12 horas para alimentar o reservatório 1 com milho, numa taxa de 120 kg por minuto. Passados cinco minutos, abre-se o registro de um segundo silo para alimentar o reservatório 2 com soja, numa taxa de 80 kg por minuto. Considere que a encomenda de milho no centro consumidor seja de 1 800 kg e que, pela lei rodoviária local, a carga máxima a ser transportada por caminhão seja de 3.400 kg. Silo 1

Silo 2

14. A diretoria do Clube de Campo Pinheirinho comemora o fechamento do ano de 2011 com 600 sócios a mais em relação a 2010. Para fazer propaganda de tal feito, lançou o seguinte panfleto: Reservatório 1 Milho

Reservatório 2 Soja

Clube de Campo

PINHEIRINHO Número de sócios

2010 2011

Assim, é correto afirmar que o Clube Pinheirinho fechou o ano de 2011 com: a) 1.500 sócios. b) 2.700 sócios. c) 300 sócios. d) 2.100 sócios. e) 900 sócios.

15.

Matemática e suas tecnologias

(ENEM) Durante uma epidemia de uma gripe viral, o secretário de saúde de um município comprou 16 galões de álcool em gel, com 4 litros de capacidade cada um, para distribuir igualmente em recipientes para 10 escolas públicas do município. O fornecedor dispõe à venda diversos tipos de recipientes, com suas respectivas capacidades listadas: • Recipiente I: 0,125 litro • Recipiente II: 0,250 litro • Recipiente III: 0,320 litro • Recipiente IV: 0,500 litro • Recipiente V: 0,800 litro O secretário de saúde comprará recipientes de um mesmo tipo, de modo a instalar 20 deles em cada escola, abastecidos com álcool em gel na sua capacidade máxima, de forma a utilizar todo o gel dos galões de uma só vez. Que tipo de recipiente o secretário de saúde deve comprar? a) I b) II c) III d) IV e) V

60

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

Nessas condições, em que instantes devem ser fechados os registros dos silos 1 e 2, respectivamente, para que a quantidade de soja transportada seja a máxima possível? a) 12h15min e 12h20min. b) 12h15min e 12h25min. c) 12h15min e 12h27min30seg. d) 12h15min e 12h30min. e) 12h15min e 12h32min30seg.

17. (ENEM) A figura a seguir mostra as medidas reais de uma aeronave que será fabricada para utilização por companhias de transporte aéreo. Um engenheiro precisa fazer o desenho desse avião em escala de 1:150.

28,5 metros

36 metros

Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel, deixando uma margem de 1 centímetro em relação às bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em centímetros, que essa folha deverá ter? a) 2,9 cm x 3,4 cm. b) 3,9 cm x 4,4 cm. c) 20 cm x 25 cm. d) 21 cm x 26 cm. e) 192 cm x 242 cm.


Capítulo 2 | Aritmética (Parte 2)

18.

(ENEM) A estimativa do número de indivíduos de uma popu-

lação de animais frequentemente envolve a captura, a marcação e, então, a liberação de alguns desses indivíduos. Depois de um período, após os indivíduos marcados se misturarem com os não marcados, realiza-se outra amostragem. A proporção de in-

Texto II Esse medicamento, que é vendido em forma de comprimidos efervescentes, mistura, em sua fórmula, ácido ascórbico(AA) mais zinco(Zn).

divíduos desta segunda amostragem que já estava marcada pode

(REDOXON-ZINCO, 2014)

ser utilizada para estimar o tamanho da população, aplicando-se m n a fórmula: 2 = 1 n2 N

20. Suponha que um técnico, do laboratório fabricante desse medicamento, manipule recipientes que contêm misturas dessas duas substâncias (AA e Zn). Embora os volumes das misturas sejam iguais, em um dos recipientes a proporção de ácido ascórbico para zinco é de um para dois, enquanto, no outro, é de três para quatro. Se esse técnico juntar os dois conteúdos das duas misturas em um único recipiente, a proporção de ácido ascórbico para zinco passará a ser de

Onde: • n1 = número de indivíduos marcados na primeira amostragem; • n2 = número de indivíduos marcados na segunda amostragem; • m2 = número de indivíduos da segunda amostragem que foram marcados na primeira amostragem; • N = tamanho estimado da população total. SADAVA, D. et al. Vida: a ciência da biologia. Porto Alegre: Artmed, 2010 (adaptado).

Durante uma contagem de indivíduos de uma população, na primeira amostragem foram marcados 120; na segunda amostragem foram marcados 150, dos quais 100 já possuíam a marcação. O número estimado de indivíduos dessa população é: a) 188. b) 180. c) 125. d) 96. e) 80.

Nível 3

8 13

b)

9 13

c)

7 11

d)

4 11

e)

5 11

21.

Uma campanha nacional promoveu dois dias de vacinação intensiva e estabeleceu um horário-limite para encerrar o atendimento nos Postos de Saúde da rede pública a cada dia. No segundo e último dia, atingido esse horário, em um dos postos ainda havia uma fila de pessoas a serem atendidas, havendo uma prorrogação do horário até que todas fossem vacinadas. As primeiras seis pessoas dessa fila eram mulheres e, após serem vacinadas, verificou-se que a razão entre o número de pessoas restantes passou a ser de três mulheres para cinco homens. As duas pessoas seguintes na fila eram homens, e, depois de vacinados, a razão entre o número de pessoas restantes na fila passou a ser de duas mulheres para três homens. Nessas condições, o número de pessoas na fila, quando o horário limite de atendimento foi atingido, era igual a:

Matemática e suas tecnologias

19. (ENEM) Em um folheto de propaganda foi desenhada uma planta de um apartamento medindo 6 m × 8 m, na escala 1: 50. Porém, como sobrou muito espaço na folha, foi decidido aumentar o desenho da planta, passando para a escala 1: 40. Após essa modificação, quanto aumentou, em cm2, a área do desenho da planta? a) 0,0108 b) 108 c) 191,88 d) 300 e) 43 200

a)

Texto I “O mais rápido ser humano da história chega a 43,9 km/h. O mais sedentário germe, em um espirro, chega a, pelo menos, 160 km/h. Os germes estão muito evoluídos.” Esse é o mote da campanha de um dos medicamentos mais consumidos no país. Ele foi o primeiro suplemento de vitamina C que combinou as propriedades dessa substância às do Zinco, combinação que ajuda o organismo a utilizar todo o seu potencial de defesa. O Zinco auxilia na multiplicação das células de defesa, enquanto a Vitamina C ajuda no funcionamento adequado dessas mesmas células. (BAYERCONSUMER, 2014).

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

61


Capítulo 2 | Aritmética (Parte 2)

a) b) c) d) e)

20 24 31 38 45

22. Uma exposição de Ron Mueck é um evento incomum e fez sucesso por onde passou, Japão, Austrália, Nova Zelândia, México, Buenos Aires e Rio de Janeiro. (...) O detalhe de suas figuras humanas é meticuloso, com mudanças surpreendentes de escala que estão longe do realismo acadêmico, hiper-realismo ou da pop art. (...) Em diferentes escalas, o artista amplia ou reduz muito o tamanho dos corpos para criar situações que movimentam o espectador. Disponível em: www.pinacoteca.org.br.

Esse é um trecho da descrição da exposição do australiano Ron Mueck, que estava em cartaz na Pinacoteca, em São Paulo, até o início de 2015.

Quantos carrinhos, no máximo, cabem em cada uma das prateleiras? a) 2. b) 3. c) 7. d) 9. e) 10.

Nível 4

24. Há muito tempo, quando poucas pessoas eram versadas na arte de contar, houve uma grande tempestade no oceano. Um navio, colhido pelo tufão, foi salvo graças ao trabalho excepcional de dois marinheiros. Terminada a tormenta, o capitão, decidido a recompensar seus dois comandados pelo serviço bem executado, anunciou que dividiria entre eles no dia seguinte o conteúdo de um pequeno baú com moedas de ouro, tendo encarregado o seu imediato desta tarefa. Acontece que os dois marinheiros eram muito amigos e, querendo evitar o constrangimento de uma partilha pública, um deles teve a ideia na madrugada de pegar a sua parte do prêmio. Indo ao baú, este marinheiro separou as moedas em dois grupos idênticos e, para surpresa sua, sobrou uma moeda. Não sabendo como proceder, jogou-a ao mar para agradecer aos deuses a sua sobrevivência e pegou

Nessas fotos, temos um exemplo de uma das obras do australiano feita em escala 1:3. Se o casal ocupa aproximadamente 2400 cm² da superfície da mesa, quanto ocuparia em uma situação real, sem redução? a) 1,2 m² b) 1,8 m² c) 2,16 m² d) 2,4 m² e) 2,6 m²

a parte que lhe cabia. Porém, mais tarde, o segundo marinheiro teve

23.

e tomou para si a moeda restante como paga pelos seus cálculos. Sa-

Matemática e suas tecnologias

(ENEM) Um jornaleiro irá receber 21 revistas. Cada uma terá um carrinho na escala de 1:43 do tamanho real acompanhando-a em caixinha à parte. Os carrinhos são embalados com folga de 0,5 cm nas laterais, como indicado na figura. Assim, o jornaleiro reservou três prateleiras com 95 cm de comprimento por 7 cm de largura, onde as caixas serão acomodadas de forma a caberem inteiramente dentro de cada prateleira. Além disso, sabe-se que os carrinhos são cópias dos modelos reais que possuem 387 cm de comprimento por 172 cm de largura.

exatamente a mesma ideia. Indo ao baú, ele separou as moedas em dois montes iguais e, para sua surpresa, sobrou uma moeda. Jogou-a ao mar como agradecimento pela sua sorte e tomou a parte que lhe cabia da recompensa. Pela manhã, os dois marinheiros se sentiram constrangidos em comunicar o procedimento noturno. Assim, o imediato separou as moedas do baú em dois grupos e verificou que sobrava uma. Deu a cada um dos marinheiros a sua parte do prêmio bendo-se que a razão entre as moedas ganhas pelo primeiro e pelo 29 , então o número de moedas que havia segundo marinheiro foi de 17 originalmente no baú era: a) b) c) d) e)

75 85 95 105 115

25.

Três viajantes chegaram a um albergue e encomendaram,

cada um, 1 prato de batatas. Quando o hoteleiro chegou trazendo a encomenda, encontrou os três dormindo, pois uma longa viagem os tinha deixado esgotados. Um dos viajantes acordou e comeu todas as batatas de seu prato, dividiu as batatas dos outros dois pratos em 1 de cada um deles em seu prato em três partes iguais e colocoi 3 seguida readormeceu. O segundo viajante, não sabendo que o pri-

62

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1


Capítulo 2 | Aritmética (Parte 2)

meiro tinha já comido a sua parte, quando acordou comeu todas as batatas de um dos pratos, dividiu as batatas dos outros dois pratos em três partes iguais e colocou uma das partes naquele que acaba-

28. (ENEM) O governo de um estado irá priorizar investimentos financeiros, na área de saúde, em uma das cinco cidades apresentadas na tabela.

ra de comer, tendo logo depois readormecido. Por fim, o terceiro, quando acordou, embora verificando que a porção de cada prato

Cidade M X Y Z W TOTAL

era muito pequena, comeu apenas as batatas do prato que estava 1 de cada um dos outros dois a sua frente e logo depois colocou 3 no que havia deixado vazio, readormecendo em seguida. Quando o hoteleiro veio “levantar a mesa”, encontrou 8 batatas em cada prato, e os viajantes dormindo. Qual foi o total de batatas que ele

Nº total de habitantes 136.000 418.000 210.000 530.000 108.000 1.402.000

Nº total de médicos 340 2.650 930 1.983 300 6.203

preparou inicialmente para os três viajantes? a) b) c) d) e)

A cidade a ser contemplada será aquela que apresentar a maior razão entre número de habitantes e quantidade de médicos. Qual dessas cidades deverá ser contemplada? a) M b) X c) Y d) Z e) W

60 78 80 81 90

TÓPICO 3: Divisão proporcional

29.

Nível 2

26. (ENEM) Três alunos, X, Y e Z, estão matriculados em um curso de inglês. Para avaliar esses alunos, o professor optou por fazer cinco provas. Para que seja aprovado nesse curso, o aluno deverá ter a média aritmética das notas das cinco provas maior ou igual a 6. Na tabela, estão dispostas as notas que cada aluno tirou em cada prova. Aluno

1ª prova

2ª prova

3ª prova

4ª prova

5ª prova

X

5

5

5

10

6

Y

4

9

3

9

5

Z

5

5

8

5

6

27.

Três amigos, X, Y e Z, saem para jantar em um restaurante. Na hora de pagar a conta, que deveria ser dividida igualmente entre os três, X percebeu que não tinha dinheiro e Y e Z pagaram a conta, Y contribuindo com três quintos do total. Mais tarde, X pagou a Y e Z a quantia de R$ 34,00, o valor que lhe correspondia na conta. Quanto desse valor caberá a Z? a) R$ 6,80 b) R$ 10,70 c) R$ 14,60 d) R$ 18,50 e) R$ 22,40

30. (ENEM) A disparidade de volume entre os planetas é tão grande que seria possível colocá-los uns dentro dos outros. O planeta Mercúrio é o menor de todos. Marte é o segundo menor: dentro dele cabem três Mercúrios. Terra é o único com vida: dentro dela cabem sete Martes. Netuno é o quarto maior: dentro dele cabem 58 Terras. Júpiter é o maior dos planetas: dentro dele cabem 23 Netunos.

Matemática e suas tecnologias

Com base nos dados da tabela e nas informações dadas, ficará(ão) reprovado(s) a) apenas o aluno Y. b) apenas o aluno Z. c) apenas os alunos X e Y. d) apenas os alunos X e Z. e) os alunos X, Y e Z.

Márcia, Rosa e Vitória resolveram abrir uma loja de roupas juntas, formando uma sociedade. Entraram, respectivamente, com os seguintes capitais na abertura da loja de roupas: R$ 40.000,00 e R$ 50.000,00. No final do primeiro ano da sociedade, a loja de roupas teve um lucro de R$ 30.000,00. Assinale a alternativa que apresenta qual foi o lucro respectivo das sócias Márcia, Rosa e Vitória de acordo com o capital investido por cada uma delas. a) Márcia teve R$ 12.000,00 de lucro; Rosa teve R$8.000,00 de lucro; e Vitória teve R$10.000,00 de lucro. b) Márcia teve R$ 10.000,00 de lucro; Rosa teve R$ 11.000,00 de lucro; e Vitória teve R$ 9.000,00 de lucro. c) Márcia teve R$ 15.000,00 de lucro; Rosa teve R$ 9.000,00 de lucro; e Vitória teve R$6.000,00 de lucro. d) Márcia teve R$ 9.000,00 de lucro; Rosa teve R$ 8.000,00 de lucro; e Vitória teve R$ 13.000,00 de lucro.

Revista Veja. Ano 41, nº 25, 25 jun. 2008 (adaptado).

Seguindo o raciocínio proposto, quantas Terras cabem dentro de Júpiter? a) 406. b) 1.334. c) 4.002. d) 9.338. e) 28.014.

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

63


Capítulo 2 | Aritmética (Parte 2)

31. (FATEC) Argamassa é uma mistura de cimento, cal, areia e água a qual serve para o assentamento de tijolos, revestimento de superfícies e execução de juntas. Uma mistura de cimento, cal e areia será preparada de modo que para cada parte de cimento haja duas partes de cal e nove partes de areia. Usando como unidade de medida uma lata de 18 litros, a quantidade de areia para preparar 300 latas dessa mistura será, em metros cúbicos, a) 1,80. b) 2,25. c) 2,78. d) 4,05. e) 4,34. 32.

Em um dia, um banco de sangue recebeu determinado nú-

mero de doadores e constatou que a razão entre o número de doadores de sangue tipo O e o número de doadores dos demais 1 tipos de sangue foi . Se esse banco de sangue tivesse recebido 8 mais quatro doadores de sangue tipo O, a razão entre o número de doadores tipo O e o número de doadores dos demais tipos te1 ria sido . O número total de doadores de sangue recebidos por 6 esse banco, nesse dia, foi a) b) c) d) e)

112. 118. 84. 96. 108.

33.

Os pesquisadores buscam estabelecer disparadores e seme-

lhanças entre vários grupos musculares, e um dos parâmetros é a velocidade de condução do sinal excitório do potencial de ação muscular. As fibras musculares atriais, ou as ventriculares, possuem velocidades(v) de condução de 0,4 m/s que representam 1 da velocidade (υ1) das fibras nervosas mais calibrosas. A ve250 1 da velocidade locidade(v) das fibras atriais possui valor de 10 (υ2) das fibras musculares esqueléticas. Suponha que um pesqui-

Matemática e suas tecnologias

sador precisa encontrar o valor da soma das velocidades de υ1 e υ2, em metros por segundo. O valor encontrado por ele é igual a

c) 104 d) 105 e) 108

Nível 3

34.

(ENEM) Para uma temporada das corridas de Fórmula 1, a capacidade do tanque de combustível de cada carro passou a ser de 100 kg de gasolina. Uma equipe optou por utilizar uma gasolina com densidade de 750 gramas por litro, iniciando a corrida com o tanque cheio. Na primeira parada de reabastecimento, um carro dessa equipe apresentou um registro em seu computador de bordo acusando o consumo de quatro décimos da gasolina originalmente existente no tanque. Para minimizar o peso desse carro e garantir o término da corrida, a equipe de apoio reabasteceu o carro com a terça parte do que restou no tanque na chegada ao reabastecimento. Disponível em: www.superdanilof1page.com.br. Acesso em: 6 jul. 2015 (adaptado).

A quantidade de gasolina utilizada, em litro, no reabastecimento, foi 20 a) 0, 075 b)

20 0, 75

c)

20 7, 5

d) 20 × 0,075 e) 20 × 0,75

35.

(ENEM) Para a construção de isolamento acústico numa parede cuja área mede 9 m2, sabe-se que, se a fonte sonora estiver a 3 m do plano da parede, o custo é de R$ 500,00. Nesse tipo de isolamento, a espessura do material que reveste a parede é inversamente proporcional ao quadrado da distância até a fonte sonora, e o custo é diretamente proporcional ao volume do material do revestimento. Uma expressão que fornece o custo para revestir uma parede de área A (em metro quadrado), situada a D metros da fonte sonora, é

a)

b)

a) 96 b) 102

64

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

500 ⋅ 81 A ⋅ D2 500 ⋅ A D2

c)

500 ⋅ D2 A

d)

500 ⋅ A ⋅ D2 81

e)

500 ⋅ 3 ⋅ D2 A


Capítulo 2 | Aritmética (Parte 2)

36. Quando um veículo em movimento necessita acionar os freios de maneira brusca para fazer o carro parar, a distância percorrida pelo carro do exato instante em que se aciona o freio até o instante em que o carro para é denominada de distância de frenagem. Para freios convencionais, quando se aplica uma desaceleração constante, pode-se dizer que a distância de frenagem é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade do carro no exato instante em que o freio é acionado. A distância de frenagem de um veículo é proporcional ao quadrado de sua velocidade inicial. A seguir, apresenta-se um gráfico que descreve a distância de frenagem de um veículo, em metros, em função da velocidade inicial, que está em km/h.

a) b) c) d) e)

I II III IV V

38. (COVEST) Quatro amigos (A, B, C e D) jantam em um restaurante e deveriam dividir a conta em partes iguais. No momento de pagar a conta, D observa que esqueceu sua carteira e os outros três pagam a conta da seguinte forma: A paga 5/19 da conta, B paga 6/19 e C paga o restante. No dia seguinte, D paga R$ 19,00 aos amigos e esta quantia deve ser dividida em partes proporcionais ao que cada um pagou de seu jantar. Quanto, em reais, caberá a C? a) 13. b) 15. c) 19. d) 38. e) 76. Nível 4

39. Com a herança deixada pelo pai, seus três filhos decidiram construir uma empresa em sociedade e fizeram o seguinte acordo: apenas quando a empresa completasse 2 anos de existência, o lucro seria dividido entre eles em partes proporcionais ao caA distância de frenagem para esse carro foi de 160 metros. A velocidade que o carro estava quando os freios foram acionados é: a) 80 km/h b) 100 km/h c) 120 km/h d) 130 km/h e) 140 km/h

37.

Máquinas

Total de peças

Peças defeituosas

I

1,07 T

1,07 D

II

1,4 T

0,7 D

III

0,7 T

1,4 D

IV

1,07 T

(1,07)2 D

V

(1,07)2 T

1,07 D

A máquina que manteve o mesmo índice de desempenho do semestre anterior foi a

investiu, no início do empreendimento, toda a parte que lhe coube. O segundo filho investiu, 4 meses depois, valor corres4 do capital aplicado pelo irmão mais velho. E 5 pondente a 5 meses depois do investimento feito pelo segundo filho, o caçula 1 do valor correspondente a essa aplicação. Se o lucro investiu 3 a ser dividido for de R$ 264.000,00, a quantia que caberá ao caçula, em reais, será de : a) b) c) d) e)

R$ 144.000,00 R$ 120.000,00 R$ 96.000,00 R$ 60.000,00 R$ 24.000,00

Matemática e suas tecnologias

Uma indústria utiliza um índice de desempenho para as suas máquinas que é diretamente proporcional à quantidade total de peças produzidas e inversamente proporcional ao quadrado da quantidade de peças defeituosas produzidas. Em um semestre, cinco máquinas produziam a mesma quantidade T de peças, sendo D delas defeituosas. No semestre seguinte, houve uma alteração na quantidade total de peças produzidas por cada máquina e também na quantidade de peças defeituosas, de acordo com o quadro.

pital aplicado e ao tempo de sua aplicação. O filho mais velho

40. Um grupo de pesquisadores, composto por 6 médicos e seus 19 orientandos, recebeu, ao final de um projeto, como bonificação, uma quantia, em notas de R$ 100,00, a ser dividida entre eles de tal modo que metade fosse dividida, igualmente, entre os médicos e a outra metade fosse dividida, igualmente, entre os orientandos.Com base nessas informações, pode-se afirmar que a diferença entre os valores recebidos por um médico e um orientando foi, no mínimo, igual a a) R$ 1.300,00 b) R$ 1.500,00 c) R$ 2.000,00 d) R$ 2.400,00 e) R$ 3.000,00 PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

65


Capítulo 2 | Aritmética (Parte 2)

43.

TÓPICO 4: Médias Nível 2

41. Em uma escola, a Turma B, composta por 20 alunos, teve a média de 7,6 na disciplina Matemática, já a Turma D teve a média de 7,5. Se fosse retirada a nota do aluno Prudêncio, que é da turma B, a média da sua turma seria idêntica à média da Turma D. Com base nesSas informações, pode-se afirmar que a nota do aluno Prudêncio foi o valor × compreendido no intervalo: a) 5 x < 6 b) 6 ≤ x < 7 c) 9 ≤ x < 10 d) 7 ≤ x < 8 e) 8 ≤ x < 9 42. (ENEM) A avaliação de rendimento de alunos de um curso universitário baseia-se na média ponderada das notas obtidas nas disciplinas pelos respectivos números de créditos, como mostra o quadro: Avaliação

Média de notas (M)

Excelente

9 < M ≤ 10

Bom

7≤M≤9

Regular

5≤M<7

Ruim

3≤M<5

Péssimo

M<3

Quanto melhor a avaliação de um aluno em determinado período letivo, maior sua prioridade na escolha de disciplinas para o período seguinte. Determinado aluno sabe que se obtiver avaliação “Bom” ou “Excelente” conseguirá matrícula nas disciplinas que deseja. Ele já realizou as provas de 4 das 5 disciplinas em que está matriculado, mas ainda não realizou a prova da disciplina I, conforme o quadro. Disciplinas

Notas

I

Matemática e suas tecnologias

II

Número de créditos 12

8,00

4

III

6,00

8

IV

5,00

8

V

7,50

10

Para que atinja seu objetivo, a nota mínima que ele deve conseguir na disciplina I é a) 7,00 b) 7,38 c) 7,50 d) 8,25 e) 9,00

66

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

(ENEM) Um concurso é composto por cinco etapas. Cada etapa vale 100 pontos. A pontuação final de cada candidato e a média de suas notas nas cinco etapas. A classificação obedece à ordem decrescente das pontuações finais. O critério de desempate baseia-se na maior pontuação na quinta etapa. Candidato

Média nas quatro primeiras etapas

Pontuação na quinta etapa

A

90

60

B

85

85

C

80

95

D

60

90

E

60

100

A ordem de classificação final desse concurso é a) A, B, C, E, D b) B, A, C, E, D c) C, B, E, A, D d) C, B, E, D, A e) E, C, D, B, A

44. (ENEM) O gráfico mostra a média de produção diária de petróleo no Brasil, em milhão de barris, no período de 2004 a 2010.

Estimativas feitas naquela época indicavam que a média de produção diária de petróleo no Brasil, em 2012, seria 10% superior à média dos três últimos anos apresentados no gráfico. Disponível em: http://blogs.estadao.com.br. Acesso em: 2 ago. 2012.

Se as estimativas tivessem sido confirmadas, a média de produção diária de petróleo no Brasil, em milhão de barris, em 2012, teria sido igual a a) 1,1940 b) 2,134 c) 2,167 d) 2,420 e) 6,402

45. (ENEM) Um posto de saúde registrou a quantidade de vacinas aplicadas contra febre amarela nos últimos cinco meses: • 1º mês: 21; • 2º mês: 22; • 3º mês: 25; • 4º mês: 31; • 5º mês: 21


Capítulo 2 | Aritmética (Parte 2)

No início do primeiro mês, esse posto de saúde tinha 228 vacinas contra febre amarela em estoque. A política de reposição do estoque prevê a aquisição de novas vacinas, no início do sexto mês, de tal forma que a quantidade inicial em estoque para os próximos meses seja igual a 12 vezes a média das quantidades mensais dessas vacinas aplicadas nos últimos cinco meses.

IPA-M

Para atender a essas condições, a quantidade de vacinas contra febre amarela que o posto de saúde deve adquirir no início do sexto mês é a) 156 b) 180 c) 192 d) 264 e) 288

46. (ENEM) A permanência de um gerente em uma empresa está condicionada à sua produção no semestre. Essa produção é avaliada pela média do lucro mensal do semestre. Se a média for, no mínimo, de 30 mil reais, o gerente permanece no cargo, caso contrário, ele será despedido. O quadro mostra o lucro mensal, em milhares de reais, dessa empresa, de janeiro a maio do ano em curso. Janeiro

Fevereiro

Março

Abril

Maio

21

35

21

30

38

Qual deve ser o lucro mínimo da empresa no mês de junho, em milhares de reais, para o gerente continuar no cargo no próximo semestre? a) 26 b) 29 c) 30 d) 31 e) 35

INCC

IPC-M

Mês/Ano

Índice do mês (em %)

Mês/Ano

Índice do mês (em %)

Mar/2010

0,45

Mar/2010

0,83

Fev/2010

0,35

Fev/2010

0,88

Jan/2010

0,52

Jan/2010

1,00

Índice do mês (em %)

Mar/2010

1,07

Fev/2010

1,42

Jan/2010

0,51

A partir das informações, é possível determinar o maior IGP-M mensal desse primeiro trimestre, cujo valor é igual a a) 7,03%. b) 3,00%. c) 2,65%. d) 1,15%. e) 0,66%.

48. (PUC-SP) A média aritmética de 100 números é igual a 40,19. Retirando-se desses números a média aritmética dos 99 números restantes, passará a ser 40,5. O número retirado equivale a: a) 9,5% b) 75% c) 95% d) 765% e) 950% Nível 3

49. (ENEM) Ao final de uma competição de ciências em uma escola, restaram apenas três candidatos. De acordo com as regras, o vencedor será o candidato que obtiver a maior média ponderada entre as notas das provas finais nas disciplinas química e física, considerando, respectivamente, os pesos 4 e 6 para elas. As notas são sempre números inteiros. Por questões médicas, o candidato II ainda não fez a prova final de química. No dia em que sua avaliação for aplicada, as notas dos outros dois candidatos, em ambas as disciplinas, já terão sido divulgadas. O quadro apresenta as notas obtidas pelos finalistas nas provas finais. Candidato

Química

Física

I

20

23

II

x

25

III

21

18

Matemática e suas tecnologias

47. (ENEM) O IGP-M é um índice da Fundação Getúlio Vargas, obtido por meio da variação dos preços de alguns setores da economia, do dia vinte e um do mês anterior ao dia vinte do mês de referência. Ele é calculado a partir do Índice de Preços por Atacado (IPA-M), que tem peso de 60% do índice, do Índice de Preços ao Consumidor (IPC-M), que tem peso de 30%, e do Índice Nacional de Custo de Construção (INCC), representando 10%. Atualmente, o IGP-M é o índice para a correção de contratos de aluguel e o indexador de algumas tarifas, como energia elétrica.

Mês/Ano

A menor nota que o candidato II deverá obter na prova final de química para vencer a competição é a) 18 b) 19 c) 22 d) 25 e) 26

50. (ENEM) Um vendedor de assinaturas de TV a cabo teve, nos 7 primeiros meses do ano, uma média mensal de 84 assinaturas vendidas. Devido a uma reestruturação da empresa, foi exigido PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

67


Capítulo 2 | Aritmética (Parte 2)

que todos os vendedores tivessem, ao final do ano, uma média mensal de 99 assinaturas vendidas. Diante disso, o vendedor se viu forçado a aumentar sua média mensal de vendas nos 5 meses restantes do ano. Qual deverá ser a média mensal de vendas do vendedor, nos próximos 5 meses, para que ele possa cumprir a exigência da sua empresa? a) 91 b) 105 c) 114 d) 118 e) 120

53.

51. (PUC-RIO) Na década correspondente aos anos de 1989 a 1998, a média anual de chuva em uma região foi de 430 mm, enquanto, na década de 1990 a 1999, a média foi de 428 mm. Se, em 1999, a média de chuva foi de 432 mm, qual foi a média de chuva em 1989? a) 452 mm. b) 412 mm. c) 410 mm. d) 406 mm. e) 402 mm.

54. (COVEST) Em um exame, a média aritmética de todos os alunos foi 5,2, enquanto a média dos aprovados foi 5,9 e a dos reprovados foi 4,3. Descoberto um erro na elaboração de uma das questões, a banca resolveu adicionar 1,0 à nota de cada um dos alunos. Observou-se então que a média dos aprovados subiu para 6,5 e a dos reprovados subiu para 4,8. Sabendo-se que o número de alunos que participaram do exame é inferior a 300, calcule o número de alunos que inicialmente estavam reprovados, mas que foram aprovados depois do acréscimo às notas. a) 69 b) 71 c) 79 d) 80 e) 83

52. (ENEM) As notas de um professor que participou de um processo seletivo, em que a banca avaliadora era composta por cinco membros, são apresentadas no gráfico. Sabe-se que cada membro da banca atribuiu duas notas ao professor, uma relativa aos conhecimentos específicos da área de atuação e outra, aos conhecimentos pedagógicos, e que a média final do professor foi dada pela média aritmética de todas as notas atribuídas pela banca avaliadora. Notas (em pontos)

20 18 16 14

19

18 16

17

16 13

14

14 12

12

Conhecimentos específicos

10

Matemática e suas tecnologias

8

Conhecimentos pedagógicos

6 4 2

1

0 Avaliador A Avaliador B Avaliador C Avaliador D Avaliador E

Utilizando um novo critério, essa banca avaliadora resolveu descartar a maior e a menor notas atribuídas ao professor. A nova média, em relação à média anterior, é a) 0,25 ponto maior. b) 1,00 ponto maior. c) 1,00 ponto menor. d) 1,25 ponto maior. e) 2,00 pontos menor.

68

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

Num exame, a média aritmética das notas dos alunos aprovados foi 75 e a dos alunos reprovados, 40. Se a média de todos os examinados foi de 45, assinale o inteiro mais próximo da porcentagem de reprovados. a) 46. b) 50. c) 78. d) 85. e) 86.

Nível 4

55. (UNE-SP) A média aritmética dos elementos de um conjunto formado por n valores numéricos diminui 4 unidades quando o número 58 é retirado. Quando o número 57 é adicionado ao conjunto original, a média aritmética do elemento desse novo conjunto aumenta 3 unidades em relação à média inicial. Qual é o valor da soma dos elementos originais do conjunto? a) 240. b) 540. c) 740. d) 940. e) 134.


Capítulo 2 | Aritmética (Parte 2)

ANOTAÇÕES

Matemática e suas tecnologias

PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

69


GABARITOS

GABARITOS Capítulo 1

Capítulo 2

EXERCÍCIOS PROPOSTOS (a) (a) (c) (c) (d) (a) (d) (c) (a) (a) (d) (e) (b) (a) (a) (c) (a) (c) (b) (c) (a) (c) (c) (b) (a) (a) (e) (c) (e) (d) (c)

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61.

(d) (d) (d) (b) (e) (a) (b) (d) (d) (d) (d) (a) (a) (d) (c) (c) (d) (e) (d) (d) (b) (c) (a) (d) (e) (c) (c) (e) (a) (b)

Matemática e suas tecnologias

01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.

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PRÉ-ENEM - Matemática 3 | VOLUME 1

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(c) (b) (a) (c) (c) (a) (b) (e) (e) (c) (d) (c) (e) (a) (c) (b) (d) (b) (b) (a) (d) (c) (b) (c) (d) (b) (a) (a) (a) (b) (c)

32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55.

(e) (c) (c) (b) (b) (e) (a) (e) (a) (c) (d) (b) (b) (b) (e) (d) (e) (a) (e) (a) (b) (e) (b) (a)

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SEPARATA 3º ANO MATEMÁTICA 3  

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