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MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Matemática 1 9º ANO VOLUME 1

Palavra do autor

BASIS

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1º CAPÍTULO

Probabilidade e análise de gráficos estatísticos

Neste capítulo faremos o estudo de dois assuntos extremamente relevantes em estatística: probabilidade e análise de gráficos. Inicialmente, veremos como calcular a probabilidade de ocorrência de eventos dependentes e independentes. Em seguida, analisaremos os gráficos utilizados pela mídia, identificando as possíveis induções ao erro de leitura e interpretação. Na sequência, construiremos tabelas e gráficos estatísticos a partir dos dados coletados. Finalizaremos nosso estudo com o planejamento e a execução de uma pesquisa com apresentação de relatório com dados estatísticos.

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CHECKLIST DO ALUNO TÓPICO 1

CV CE ER DT CR

Probabilidade de ocorrência de eventos dependentes e independentes CV CE ER DT CR

TÓPICO 2 Análise de gráficos midiáticos

TÓPICO 3

CV CE ER DT CR

Construção de tabelas e gráficos estatísticos

TÓPICO 4

CV CE ER DT CR

Planejamento e execução de pesquisa com apresentação de relatório com dados estatísticos

LEGENDAS CV - CONTEÚDO VISTO EM SALA CE - CONTEÚDO ESTUDADO PELO ALUNO

FLIPPED

DT CR

- DÚVIDAS TIRADAS - CONTEÚDO REVISADO

ER

-

EXERCÍCIOS REALIZADOS

CLASSROOM

01.

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BASE NACIONAL COMUM CURRICULAR (BNCC)

UNIDADES TEMÁTICAS

Probabilidade e estatística

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OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

ƒƒ Análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e independentes.

(EF09MA20) Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos.

ƒƒ Análise de gráficos divulgados pela mídia: elementos que podem induzir a erros de leitura ou interpretação.

(EF09MA21) Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os elementos quepodem induzir, às vezes propositadamente, erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de informações importantes (fontes e datas), entre outros.

ƒƒ Leitura, interpretação e representação de dados de pesquisa expressos em tabelas de dupla entrada, gráficos de colunas simples e agrupadas, gráficos de barras e de setores e gráficos pictóricos.

(EF09MA22) Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, linhas), com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para apresentar um determinado conjunto de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central.

ƒƒ Planejamento e execução de pesquisa amostral e apresentação de relatório.

(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.

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TÓPICO

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Probabilidade de ocorrência de eventos dependentes e independentes Shutterstock.com

A probabilidade está presente em muitas situações cotidianas. Por exemplo, ao pensar nas chances de um projeto ter sucesso, ainda que não sejam feitos cálculos, considera-se a probabilidade dessa ocorrência. A probabilidade lida com a incerteza e com a perspectiva de resultados.

1.1 – Tipos de experimentos

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Todos nós sabemos, em condições normais, em qual temperatura a água ferve (100° C) e em qual temperatura a água se torna gelo (0° C).

Imagem 1.1

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Imagem 1.2

A esse tipo de experimento cujo resultado é previsível ou calculado pela ciência damos o nome de determinístico. Porém, existem alguns experimentos em que não conseguimos saber qual será o resultado antecipadamente. Por exemplo: em um jogo de futebol, o árbitro, ao começar uma partida, chama os capitães de cada equipe para realizar um sorteio para ver quem começa com a bola e quem escolhe o lado do campo. Para isso, ele realiza o famoso cara ou coroa.

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• Retirar, de olhos fechados, uma carta de um baralho com 52 cartas. Shutterstock.com

Imagem 1.3

Nesse experimento, sabemos apenas que pode ser cara ou coroa, mas não podemos precisar qual será o resultado. A esse tipo de experimento damos o nome de aleatório. O experimento aleatório é aquele experimento que, quando repetido em iguais condições, pode fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados que acontecem ao acaso.

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Exemplos: • jogar um dado e observar o número que aparece, na face superior;

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• o sorteio de um número na loteria;

Imagem 1.6

1.2 – Espaço amostral

Imagem 1.5

Chamamos de espaço amostral o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral é U. O número de elementos desse conjunto será representado por n(U).

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CAPÍTULO 1

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Exemplo: • No lançamento de um dado, temos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(U) = 6; • No lançamento de uma moeda, temos U = {cara, coroa} e n(U) = 2; • Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, temos: U = {cara e 1, cara e 2, cara e 3, cara e 4, cara e 5, cara e 6, coroa e 1, coroa e 2, coroa e 3, coroa e 4, coroa e 5, coroa e 6} e n(U) = 12; • Sorteando um número da Mega-Sena, temos U = {1, 2, 3, 4, ...., 59, 60} e n(U) = 60.

1.3 – Evento Chamamos de evento todo subconjunto de um determinado espaço amostral. Perceba que, para definirmos um evento, antes, necessariamente, precisaremos definir um espaço amostral. Assim, considerando o lançamento de um dado comum, como o nosso experimento aleatório, temos que o espaço amostral é U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Assim, podemos definir alguns eventos: • Evento 1: obter número ímpar. Temos que E1 = {1, 3, 5}. • Evento 2: obter número maior que 3. Temos que E2 = {4, 5, 6}. • Evento 3: obter número primo. Temos que E3 = {2, 3, 5}. • Evento 4: obter número quadrado perfeito. Temos que E4 = {1, 4}.

2. Evento impossível: é aquele que nunca ocorrerá, ou seja, E = ∅ e n(E) = 0. Exemplo: No lançamento de um dado, obter um número natural não nulo e maior que 7. É fácil perceber que, ao lançarmos um dado, jamais sairá um número maior que 7. Portanto, E = ∅ e n(E) = 0. 3. Eventos complementares: dizemos que dois eventos são complementares quando a união entre eles resulta no espaço amostral e a interseção entre eles resulta em um evento impossível. Exemplo: No lançamento de um dado, o evento obter um número par {2, 4, 6} é complementar do evento obter um número ímpar {1, 3, 5}, visto que: {2, 4, 6} ∪ {1, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = U e {2, 4, 6} ∩ {1, 3, 5} = ∅. 4. Eventos independentes: dizemos que dois ou mais eventos são independentes quando os resultados de algum dos eventos não interferem nos resultados de qualquer outro. Exemplo: No lançamento simultâneo de uma moeda e um dado comum, quais as possibilidades de a face para cima da moeda ser cara e a do dado ser um número maior do que 3? Shutterstock.com

Observe que, em cada caso, os eventos são subconjuntos do espaço amostral.

Observe que qualquer número que obtivermos no lançamento de um dado é menor que 7 e que suas possibilidades são E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Note também que n(E) = n(U).

Existem alguns eventos especiais que definiremos a seguir. Para facilitar o entendimento, consideramos o lançamento de um dado comum, onde o espaço amostral é U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então: 1. Evento certo: é todo evento que é igual ao espaço amostral, ou seja, n(E) = n(U). Exemplo: No lançamento de um dado, obter um número natural não nulo e menor que 7.

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Imagem 1.7

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Os eventos serão E1 = {cara} e E2 = {4, 5, 6}. Observe que os resultados de E1 não interferem nos resultados de E2 e vice-versa. Então, E1 e E2 são eventos independentes. 5. Eventos dependentes: dizemos que dois ou mais eventos são dependentes quando os resultados de algum dos eventos interferem nos resultados de qualquer outro. Exemplo: Uma urna tem 20 bolas, sendo 12 amarelas e 8 verdes. Sorteando 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição da primeira bola sorteada na urna, se a primeira bola sorteada for amarela, quais são as possibilidades de a segunda bola também ser amarela? E de a segunda bola ser verde? Observe que os resultados dos eventos “a segunda bola ser amarela” e a “segunda bola ser verde” são influenciados pelo resultado do sorteio da primeira bola. Dessa forma, os eventos citados são dependentes. O vídeo a seguir mostra os princípios básicos da probabilidade.

1.4 – Definição de probabilidade Seja U um espaço amostral finito e equiprovável e A um determinado evento, ou seja, um subconjunto de U, a probabilidade p(A) de ocorrência do evento A será calculada pela fórmula: p(A ) =

n(A ) n(U)

em que n(A) = número de elementos de A; n(U) = número de elementos do espaço amostral U. Em outras palavras, podemos definir a probabilidade de um evento como sendo a razão entre o número de casos favoráveis e o número de resultados possíveis, ou seja: p=

Número de casos favoráveis Número de casos possíveis

A seguir, nos exercícios resolvidos, vamos utilizar a ideia simples apresentada anteriormente.

ESCLARECENDO Um espaço amostral é chamado de equiprovável quando todos os seus elementos têm a mesma chance de ocorrer.

Link sugerido • https://goo.gl/QpRzji

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CAPÍTULO 1

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Considere o lançamento de um dado comum e não viciado. Calcule a probabilidade de: a) sair o número 3. b) sair um número par. c) sair um número múltiplo de 3. d) sair um número menor do que 3. e) sair um número quadrado perfeito. Resolução: a) Temos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(U) = 6. Temos também que A = {3} e n(A) = 1. Portanto, a probabilidade procurada será igual a 1 p(A ) = . 6 b) Agora o evento é A = {2, 4, 6} com 3 elementos, logo a probabilidade procurada será p(A ) =

3 1 = . 6 2

c) Agora o evento é A = {3, 6} com 2 elementos, logo a probabilidade procurada será 2 1 p(A ) = = . 6 3 d) Agora, o evento é A = {1, 2} com dois elementos. Portanto, p(A ) =

2 1 = . 6 3

e) Agora o evento A = {1, 4} com dois elementos. Portanto, p(A ) =

2 1 = . 6 3

02. Considere o lançamento de dois dados comuns e não viciados. Calcule a probabilidade de: a) sair a soma 6. b) sair a soma 2.

Resolução: a) Vamos iniciar descrevendo o espaço amostral. (1, 1),(1, 2 ),(1, 3),(1, 4 ),(1, 5),(1, 6 ),    ( 2 , 1),( 2 , 2 ),( 2 , 3),( 2,, 4 ),( 2 , 5),( 2 , 6 ), ( 3 , 1),( 3 , 2 ),( 3 , 3),( 3 , 4 ),( 3 , 5),( 3 , 6 ),  U =  ( 4 , 1), ( 4 , 2 ),( 4 , 3),( 4 , 4 ),( 4 , 5),( 4 , 6 ), ( 5 , 1),( 5 , 2 ),( 5 , 3),( 5 , 4 ),( 5,, 5),( 5 , 6 ),    (6 , 1),(6 , 2 ),(6 , 3),(6 , 4 ),(6 , 5),(6 , 6 )  Observe que, neste caso, o espaço amostral U é constituído pelos pares ordenados (i, j), onde i = número no dado 1 e j = número no dado 2. Podemos perceber que teremos 36 pares ordenados possíveis do tipo (i, j), onde i = 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, o mesmo ocorrendo com j. As somas iguais a 6 ocorrerão nos casos: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2) e (5, 1). Portanto, o evento “soma igual a 6” possui 5 elementos. Logo, a probabilidade procurada será igual a 5 . p(A) = 36 b) Neste caso, a única possibilidade é o par (1, 1). Portanto, a probabilidade procurada será igual a p(A) =

03. Uma urna possui seis bolas brancas, dez bo-

las azuis e quatro bolas verdes. Sorteando-se uma bola, calcule as probabilidades seguintes: a) sair bola branca. b) sair bola azul. c) sair bola verde. Resolução: Observe que a urna possui 20 bolas no total, sendo assim, a probabilidade de a) sair bola branca: p(A ) =

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1 . 36

6 3 = = 0 , 30 = 30% . 20 10

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b) sair bola azul: p(A ) =

As possibilidades são: • a primeira moeda é de 1 real e a segunda, de 50 centavos; ou • a primeira moeda é de 50 centavos e a segunda, de 1 real.

10 1 = = 0 , 50 = 50% . 20 2

c) sair bola verde: p(A ) =

1 4 = = 0 , 20 = 20% . 20 5

04. Gabriela, em seu porta-níquel, possui 6

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moedas de R$ 1,00 e 4 moedas de R$ 0,50. Mariana lhe pediu R$ 1,50 para comprar um sorvete na cantina da escola. Qual é a probabilidade de Gabriela, sem observar a moeda que está pegando, ao retirar do porta-níquel duas moedas, uma após a outra, obter exatamente R$ 1,50?

Portanto, considerando os princípios da contagem, a probabilidade será p=

8 6 4 4 6 24 ⋅ + ⋅ = 2⋅ = 10 9 10 9 90 15

É importante notar que o resultado obtido na primeira retirada interfere no resultado da segunda, caracterizando o fato de serem eventos dependentes.

05. Um baralho é formado por 52 cartas, divi-

didas em quatro naipes (ouros, copas, espadas e paus), cada um com 13 cartas. Qual é a probabilidade de uma carta retirada aleatoriamente ser um rei, sabendo que a carta é de copas? Resolução: Observe que foi dada uma condição: a carta é de copas. Dessa forma, o espaço amostral fica reduzido às cartas de copas, que são 13, e entre elas há apenas um rei. Temos, então,

Resolução: O espaço amostral é composto de 10 moedas: 6 de R$ 1,00 e 4 de R$ 0,50.

p(A) =

n(A) 1 = = 0 , 0769 ≅ 8% n(U) 13

EXERCITANDO EM AULA 01.

Descreva o espaço amostral relativo aos experimentos a seguir. a) Três lançamentos consecutivos de uma moeda comum.

b) Duas retiradas consecutivas, e sem reposição, de bolas de uma urna que contém uma bola branca, uma bola verde e uma bola amarela.

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02. Considerando o experimento: lançar uma

a) o espaço amostral U.

moeda comum e anotar o resultado e lançar, em seguida, um dado comum e anotar o resultado como um par (moeda, dado), descreva: a) o espaço amostral U.

b) o evento “a soma dos resultados”.

b) o evento “sair cara na moeda”.

c) o evento “os resultados são iguais”.

c) o evento “sair número par no dado”.

d) o evento “sair cara na moeda e número par no dado”.

e) o evento “sair coroa na moeda e número ímpar no dado”.

03. Considerando o experimento: fazer dois lan-

çamentos consecutivos de um dado comum e honesto e anotar a face que ficará voltada para cima, determine:

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d) o evento “o produto dos resultados é ímpar”.

04. Analisando os eventos a seguir, assinale D

quando forem dependentes e I quando forem independentes. ( ) Um aluno acertar todas as questões da prova de Biologia e não acertar todas as questões da prova de História. ( ) No lançamento de um dado, sair 2 e, em um segundo lançamento, sair 2 novamente. ( ) Lançar uma moeda e sair cara e, em um segundo lançamento, sair coroa. ( ) No metrô, sentar ao lado de um homem e ele ter olhos verdes. ( ) De uma caixa contendo dez bolas numeradas de 1 a 10, retirar uma bola contendo um número par e, sem repor a primeira bola, retirar uma outra contendo também um número par. a) b) c) d) e)

D-I-I-D-D I-I-I-D-D I-D-D-D-I D-D-I-I-D I-D-I-D-D

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05. Determine a probabilidade de cada evento

c) o número ser divisível por 4 e por 6.

ocorrer. a) Um número par aparecer no lançamento de um dado comum.

07. Dois dados comuns são lançados simultaneab) Uma figura aparecer ao se extrair uma carta de um baralho de 52 cartas.

c) Uma carta de ouros aparecer ao se extrair uma carta de um baralho de 52 cartas.

mente e são observados os números das faces superiores de cada um deles. Determine a probabilidade de: a) a soma dos números ser menor que 4.

b) a soma dos números ser 9.

c) o primeiro resultado ser maior que o segundo. d) Uma só coroa surgir no lançamento simultâneo de três moedas idênticas.

d) a soma dos números ser menor ou igual a 5.

06. Um número inteiro é escolhido aleatoria-

mente dentre os números 1, 2, 3, ..., 49, 50. Determine a probabilidade de: a) o número ser divisível por 5.

08. Um número inteiro entre 3 e 11 será escolhido ao acaso. a) Qual é a probabilidade de esse número ser ímpar?

b) o número terminar em 3. b) Qual é a probabilidade de esse número ser ímpar e divisível por 3?

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09. Um casal planeja ter três filhos. Determine a

probabilidade de nascerem: a) três homens.

b) dois homens e uma mulher.

10. Alice possui uma caixa com 36 lápis coloridos, sendo 10 em tons de verde, 8 em tons de azul, 6 em tons de vermelho, 4 em tons de amarelo, 4 em tons de violeta, 1 preto, 1 cinza, 1 dourado e 1 prateado.

a) Se ela retirar, aleatoriamente, um lápis da caixa, qual é a probabilidade de ele ser violeta?

b) Se ela retirar, aleatoriamente, um outro lápis da caixa sem repor o primeiro, qual é a probabilidade de o segundo lápis também ser violeta?

c) Se ela retirar, aleatoriamente, um segundo lápis da caixa sem repor o primeiro, qual é a probabilidade de o segundo lápis ser verde?

ANOTAÇÕES

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TÓPICO

Análise de gráficos midiáticos 2.1 – Introdução

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Para fazermos a leitura do mundo por meio de gráficos (ver Imagem 1.8 e Imagem 1.10 ), infográficos (ver Imagem 1.9 ) e tabelas, necessitamos conhecer uma parte da Matemática que estuda, analisa e interpreta tais situações. Custo% Satisfação% Ajudas%

Rentabilidade%

2

Chamamos de Estatística a parte da Matemática que reúne um conjunto de métodos especialmente apropriados para a compreensão de uma realidade específica. A Estatística, cuja nomenclatura é derivada do termo latino status (estado), tinha como objetivo analisar os registros de nascimentos e mortes. Era uma forma de o Estado ter controle da população. A necessidade, em todas as épocas, de conhecer quantitativamente as realidades política e social tornou a análise demográfica uma preocupação constante. A Estatística não se resume ao levantamento de dados populacionais, mas ela coleta, organiza, descreve e interpreta todos os tipos de dados, sendo uma ferramenta que nos permite tomar algumas decisões com maior precisão.

Tempo%

Aproveitamento%

Prioridades%

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CAPÍTULO 1

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Reprodução

Imagem 1.9 - Pesquisa realizada pela Secretaria de Comunicação Social da Presidência da República, em 2015

ANÁLISE

1

2

3

4

5

6

7

8

DECISÕES

Shutterstock.com /Adaptado

DADOS

700 600 500 400 300 200 100 0

9

Imagem 1.10

2.2 – Gráficos midiáticos O termo midiático é atribuído a um evento que chama a atenção dos meios de comunicação, particularmente jornais, telejornais e portais de notícia na internet, seja de forma espontânea ou planejada. Cada vez mais, a mídia utiliza dados estatísticos para reforçar as informações que deseja veicular. Por serem veículos muito rápidos de transmissão de informações, a ferramenta que favorece a divulgação desses dados são os chamados gráficos midiáticos, que permitem organizar, tabular, descrever, comparar e revelar vários dados em um pequeno espaço. Especialmente quando é de interesse dos meios de comunicação, as informações que nos são apresentadas nem sempre favorecem a nossa compreensão. Os gráficos, por exemplo, recurso frequentemente

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usado pela mídia, dependendo da intenção de quem está divulgando a informação, podem enfatizar, mascarar ou omitir determinados aspectos da notícia. Sendo assim, precisamos ter clareza dos acontecimentos a nossa volta, a fim de sabermos tratar as informações que nos são apresentadas de forma crítica para tomarmos decisões baseadas no que é verdadeiro.

2.3 – Identificando induções ao erro de leitura e interpretação dos gráficos A seguir, vejam algumas técnicas utilizadas que nos induzem ao erro de leitura e interpretação dos gráficos.

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

2.3.1 – Eixo vertical ( OY ) alterado Seja um gráfico de barras, de dispersão ou de linha, uma das formas mais fáceis de confundir a nossa interpretação é mexer com o eixo vertical. Estamos habi tuados a ler gráficos cujo eixo vertical OY apresenta valores crescentes, de baixo para cima, a partir de zero. Dessa forma, facilmente identificamos valores crescentes ou decrescentes. Entretanto, se invertemos o eixo OY , os valores diminuem de baixo para cima. O que também pode nos confundir é a mudança de escala. Essa técnica pode fazer com que alguns dados pareçam bem maiores do que são. Os dois gráficos a seguir (Imagem 1.11), por exemplo, apresentam os mesmos  dados, mas utilizam escalas diferentes para o eixo OY . Gráfico 1

Gráfico 2

Taxas de juros

Receita anual cumulativa R$ 3.000M R$ 2.500M R$ 2.000M R$ 1.500M R$ 1.000M R$ 500M R$ 0M

2009 2010

2011 2012

2014

Neste outro gráfico (Imagem 1.13), onde os dados não são cumulativos, mostrando os valores absolutos de cada ano, podemos observar que a receita apresenta diversas variações, tendo sido reduzida a menos da metade no período de dez anos. Receita anual

3.50%

R$ 300M

3.152%

3.00%

R$ 250M

3.150%

2.50%

R$ 200M

3.148%

2.00%

3.146%

1.50%

3.144%

1.00%

3.142%

0.50%

R$ 50M

0.00%

R$ 0M

2008 2009 2010 2011 2012

R$ 150M R$ 100M

2004 2005

2006 2007 2008

 No Gráfico 1, o intervalo utilizado no eixo dos OY é de 3,140% a 3,154%. Dessa forma, o tamanho

das barras nos leva a acreditar que as taxas de juros estão subindo rapidamente e que em 2012 são bem superiores às taxas de 2008.  No Gráfico 2, o eixo OY começa em 0 (zero). Desse modo, podemos verificar que a variação entre as taxas de juros é muito pequena, praticamente inexistente, demonstrando uma situação mais próxima da realidade.

2.3.2 – Gráficos cumulativos Pode-se falar em gráfico cumulativo quando, por exemplo, uma empresa opta por apresentar um gráfico da receita acumulada até os dias atuais em vez de um gráfico da receita trimestral. O gráfico cumulativo a seguir (Imagem 1.12) passa a ideia de que a empresa vai muito bem, com a receita sempre aumentando no período de dez anos (2004 a 2014).

2009 2010

2011 2012

2013

2014

Imagem 1.13

Imagem 1.11

ESCLARECENDO Gráfico cumulativo é aquele que apresenta os dados acumulados (somados), período a período. Exemplo: A tabela a seguir apresenta as despesas de um aluno na cantina da escola no primeiro semestre do ano. Mês

Valor (R$)

Valores acumulados (R$)

JAN.

70

70

FEV.

120

190

MAR.

200

390

ABR.

130

520

MAI.

150

670

JUN.

80

750

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2013

R$ 350M

Taxas de juros

2008 2009 2010 2011 2012

2006 2007 2008

Imagem 1.12

3.154%

3.140%

2004 2005

CAPÍTULO 1

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2.3.3 – Alterações em práticas padronizadas

Observe os gráficos a seguir: Gráfico 1: Valores 200 150 100 50

Meses JAN

FEV

MAR

ABR

MAI

JUN

Eleição presidencial de 2012 Candidatos do Partido Republicano

Valores

Apoiam Sarah Palin

800

Apoiam Mitt Romney

700

Apoiam Mike Huckabee

600 500

Freepik.com/Adaptado

Gráfico 2: cumulativo

Uma tática comum na construção de gráficos tendenciosos, que nos induzem a uma leitura errada dos dados apresentados, é modificar práticas padronizadas. Por exemplo, estamos acostumados com o fato de gráficos de pizza representarem partes de um todo, ou cronogramas que evoluem da esquerda para a direita. Assim, quando essas convenções não são cumpridas, torna-se difícil visualizar e entender as informações apresentadas. Veja, a seguir, um exemplo de um gráfico de pizza que um canal de televisão americano exibiu durante a corrida presidencial nos Estados Unidos em 2012:

400 300 200 100

Meses JAN

FEV

MAR

ABR

MAI

JUN Fonte: Opinions Dynamic

Imagem 1.14

Observe que os três setores somam mais do que 100%. Da forma como os dados foram apresentados, temos a impressão de que cada um dos candidatos tem aproximadamente um terço do apoio, o que não é verdadeiro, ou, ainda, que a parte que coube a Mike Huckbee é maior que a parte de Sarah Palin.

10%

28

20%

01

70%

9º ANO – Matemática 1

9o_Estatística_Ismaela_V1_2020.indd 28

02

03

04

05

VOLUME 1

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 06. A loja ABC Veículos organizou os números que representam a quantidade de carros vendidos no 1º semestre em um gráfico. Observe: CARROS VENDIDOS PELA ABC VEÍCULOS Quantidade

600

350

400

283

275

300

248

200 200

195

520

500

316

300 250

ram sobre a administração da cidade, escolhendo uma — e apenas uma — dentre as possíveis respostas: ótima, boa, regular, ruim e indiferente. O gráfico a seguir mostra o resultado da pesquisa.

202

190

130

80

100 0

150

Ótima

Boa

80

Regular Ruim Indiferente

100 50

0

Jan.

Fev.

Mar.

Abr.

Mai.

Jun.

Meses

A partir dos dados do gráfico, responda: a) Em que mês foram vendidos mais carros? b) Qual é a diferença de carros vendidos entre os meses de maio e fevereiro? c) Quantos carros foram vendidos no semestre? d) No mês de janeiro, quantos carros foram vendidos a mais do que no mês de março? Resolução: a) No gráfico, podemos observar que, no mês de maio, a quantidade chega a 316, sendo a maior alcançada quando comparada aos demais meses representados. b) 316 - 195 = 121. c) 248 + 195 + 202 + 275 + 316 + 283 = 1519. d) 248 - 202 = 46.

07. (UFRN) Numa pesquisa de opinião, feita para verificar o nível de aprovação de um governante, foram entrevistadas 1000 pessoas, que responde-

De acordo com o gráfico, pode-se afirmar que o percentual de pessoas que consideram a administração ótima, boa ou regular é de: a) 28%. b) 65%. c) 71%. d) 84%. e) 93%. Resolução: De acordo com o gráfico, podemos observar que a quantidade de pessoas que acharam a administração ótima foi igual a 130; 520 acharam a administração boa; e 190 acharam a administração regular; totalizando 840 pessoas. Como o total de entrevistados foi igual a 1000 pessoas, utilizando uma regra de três, temos que: 1000 pessoas → 100% 840 pessoas → x% 1000x = 84000 x = 84 Assim, x = 84%.

Probabilidade e análise de gráficos estatísticos

9o_Estatística_Ismaela_V1_2020.indd 29

CAPÍTULO 1

29

13/01/2020 16:10:19


EXERCITANDO EM AULA 11. (CP2) O quadro a seguir mostra o número de

vagas oferecidas pelo Colégio Pedro II para o ingresso de alunos no ano letivo de 2016. Modalidade

Nº de vagas

Grupamento I (3 anos)

24

Grupamento II (4 anos)

48

1º ano do Ensino Fundamental

481

2º ano do Ensino Fundamental

56

6º ano do Ensino Fundamental

346

1ª série do Ensino Médio Regular

580

1ª série do Ensino Médio Integrado

152

1ª série do Ensino Médio Integrado

16

1ª série do Ensino Médio Integrado

16

PROEJA - Técnico em Administração

216

PROEJA - Técnico em Informática

72

Disponível em: www.cp2.g12.br/noticias_destaque/ 3620-cpii-oferecemais-de-2-mil-vagas-para-novos-alunos. html. Acesso em 03 nov. 2015.

Quantas das modalidades acima apresentam uma quantidade de vagas maior que o número de vagas oferecido para o 6º ano do Ensino Fundamental? a) 1. b) 2. c) 3. d) 4.

12. (ENEM) Uma pesquisa de mercado foi reali-

zada entre os consumidores das classes sociais A, B, C e D que costumam participar de promoções tipo sorteio ou concurso. Os dados comparativos, expressos no gráfico, revelam a participação desses consumidores em cinco categorias: via Correios (juntando embalagens ou recortando códigos de barra), via internet (cadastrando-se no site da empresa/marca promotora), via mídias sociais (redes sociais), via SMS (mensagem por celular) ou via rádio/TV.

30

9º ANO – Matemática 1

9o_Estatística_Ismaela_V1_2020.indd 30

Participação em promoções do tipo sorteio ou concurso em uma região

Percentual 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

34

40

37

35

33

28

30 24

Correios

28

Internet

20

Mídias Sociais SMS Rádio/TV

A/B

C/D

Uma empresa vai lançar uma promoção utilizando apenas uma categoria nas classes A e B (A/B) e uma categoria nas classes C e D (C/D). De acordo com o resultado da pesquisa, para atingir o maior número de consumidores das classes A/B e C/D, a empresa deve realizar a promoção, respectivamente, via: a) Correios e SMS. b) internet e Correios. c) internet e internet. d) internet e mídias sociais. e) rádio/TV e rádio/TV.

13. (UFRGS) O gráfico a seguir mostra o re-

gistro das temperaturas máximas e mínimas em uma cidade, nos primeiros 21 dias do mês de setembro de 2013. temperatura (°C) 40 35 30 25 20 15 10 5 0

dia 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

temperatura máxima temperatura mínima

VOLUME 1

13/01/2020 16:10:20


Assinale a alternativa correta com base nos dados apresentados no gráfico. a) No dia 13, foi registrada a menor temperatura mínima do período. b) Entre os dias 3 e 7, as temperaturas máximas foram aumentando dia a dia. c) Entre os dias 13 e 19, as temperaturas mínimas diminuíram dia a dia. d) No dia 19, foi registrada a menor temperatura máxima do período. e) No dia 19, foi registrada a menor temperatura do período.

14. O gráfico a seguir, exibido por uma TV de

a) Assinale os erros identificados. b) Em seu caderno, faça um gráfico de barras verticais corrigindo as distorções identificadas.

15. (FGV) A média mínima para um aluno ser aprovado em certa disciplina de uma escola é 6. A distribuição de frequências das médias dos alunos de uma classe, nessa disciplina, é dada a seguir: 16 14

15

12 Número de alunos

10 6

6 4

grande audiência no Brasil, apresenta alguns equívocos nos dados apresentados.

9

8

2 0

3

2

4

4

3

4

6

5 6 Média

7

8

9

Desemprego

6%

Reino Unido

EUA

5,8% 5%

Alemanha

A porcentagem de alunos aprovados foi: a) 62%. b) 63%. c) 64%. d) 65%. e) 66%.

16. Interprete o gráfico a seguir e escreva o que você pode concluir a partir dos dados apresentados.

Coreia do Sul

3,5%

Chile

6,7%

Reservas dos países em comparação ao seu financiamento externo Reservas Internacionais Requisito de financiamento externo bruto Turquia

Chile

Indonésia

Índia

5,7%

Peru

$137bi

México

4,8%

Brasil

4,7% PNAD

6,8%

$150bi

África do Sul

$53bi

$41bi

$39bi

Hungria

$98bi

Brasil

$45bi

$272bi

$86bi

$234bi

Polônia

$369bi

$107bi

$44bi $27bi

$189bi

$51bi

Fontes: IBGE, Eurostat, OCDE

Probabilidade e análise de gráficos estatísticos

9o_Estatística_Ismaela_V1_2020.indd 31

CAPÍTULO 1

31

13/01/2020 16:10:21


17. Pesquise em jornais, revistas ou na internet

alguns gráficos que induzem ao erro de leitura e interpretação. Leve-os para a sala de aula e discuta com seus colegas e professor(a) a respeito dos dados. Comente sobre as conclusões a que vocês, juntos, chegaram.

ANOTAÇÕES

32

9º ANO – Matemática 1

9o_Estatística_Ismaela_V1_2020.indd 32

VOLUME 1

13/01/2020 16:10:21


TÓPICO

Construção de tabelas e gráficos estatísticos

curtimos alguma foto nas redes sociais ou quando vemos um filme etc. A Netflix divulgou, recentemente, um infográfico apontando em qual momento somos “fisgados” por uma série, ou seja, qual é a quantidade de episódios que precisamos assistir para que tenhamos vontade de acompanhar o programa. O infográfico divulgado faz uma comparação entre os espectadores brasileiros e os do resto do mundo.

Netflix

Uma das ferramentas que mais facilitam a análise e a interpretação de dados é a exposição da informação por meio de gráficos estatísticos, razão pela qual são muito explorados pelos meios de comunicação, tanto na mídia impressa quanto na televisiva. Esse recurso possibilita a elaboração de inúmeras ilustrações, tornando a leitura mais agradável. Somos, sem nem percebermos, monitorados o tempo todo. Quando respondemos a uma pesquisa,

3

Imagem 1.15

Probabilidade e análise de gráficos estatísticos

9o_Estatística_Ismaela_V1_2020.indd 33

CAPÍTULO 1

33

13/01/2020 16:10:22


que serão os nossos pesquisados. Quando vamos fazer uma pesquisa, o grupo que selecionamos geralmente é bastante numeroso; este grupo é chamado de população ou universo estatístico. Assim, quando este mesmo universo é muito grande ou simplesmente quando não é possível coletar os dados de todos os seus elementos, nós podemos selecionar uma parte representativa desse grupo. A esta parte damos o nome de amostra. Devemos levar em consideração que a amostra deve ser bem diversificada e representativa da população. Shutterstock.com (Adaptado por Fabiano Oliveira)

Você deve estar se perguntando como a Netflix conseguiu essas informações. Um outro questionamento natural é: por meio das informações, quais estratégias poderão ser adotadas pela plataforma de streaming? De fato, todas essas observações são baseadas em um processo de pesquisa e, por meio de levantamentos de dados, as tomadas de decisão poderão ser bem mais direcionadas. Essa pesquisa deve obedecer a alguns passos, como: • Qual é o objetivo da minha pesquisa? • Qual público-alvo estou atingindo ou devo atingir? • Quais variáveis serão analisadas? • Como organizar os dados coletados? • Como definir os valores centrais?

População

Amostra

Diante de tantos questionamentos, vamos definir alguns conceitos, de modo a nos organizarmos.

3.1 – Variável da pesquisa Chamamos de variável o objeto das nossas pesquisas. Devemos deixar claro o que se quer pesquisar. Exemplos: • Qual é o filme mais assistido? • Qual é a idade dos espectadores? • Qual é o horário com maior assiduidade? Entre as variáveis, podemos destacar:

3.1.1 – Variável quantitativa Chamamos de variáveis quantitativas aquelas numericamente medidas, como a idade, a altura, o peso etc.

Imagem 1.16

ESCLARECENDO • População: é todo conjunto de elementos que possuam pelo menos uma característica em comum, que é objeto do estudo. • Amostra: é uma parte dessa população que será avaliada a partir desse mesmo objeto comum.

3.1.2 – Variável qualitativa As variáveis qualitativas são aquelas que se baseiam em qualidades e não possuem medidas numéricas, como classe social, cor dos olhos, nível de escolaridade etc.

3.2 – População e amostra

3.3 – Dados brutos e rol Quando fazemos uma pesquisa, inicialmente coletamos os dados de maneira aleatória, sem nenhuma organização. Esses dados são chamados de dados brutos, ou seja, que ainda não foram devidamente organizados.

Já sabendo o que queremos pesquisar, devemos partir para o público-alvo, ou seja, aqueles

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VOLUME 1

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Exemplo: foi realizada uma pesquisa com 50 casais sobre a quantidade de filhos que gostariam de ter. A tabela a seguir apresenta os resultados: 4

6

4

6

2

6

3

6

3

3

3

2

3

5

2

3

1

0

3

3

2

5

1

5

1

0

3

1

2

1

0

5

6

0

4

2

6

2

4

6

1

1

2

3

3

4

2

2

0

4

Observe que os dados foram colocados de acordo com o que os casais iam respondendo, sem nenhuma organização prévia. Perceba que, desse modo, fica difícil interpretar determinadas situações, como: • Qual é a quantidade de filhos que prevaleceu? • Qual foi a maior quantidade de filhos tida pelos casais?

resumido, grande volume de informação. Diante disso, é comum utilizarmos a representação por meio de gráficos, tabelas ou infográficos para facilitar a compreensão por parte de quem lê. Portanto, faz-se necessário o entendimento de alguns conceitos prévios para facilitar o estudo.

3.4.1 – Frequência simples ou absoluta Para explicarmos o que significa uma frequência simples, podemos tomar como exemplo a situação a seguir: Um colégio resolveu fazer um estudo durante 30 dias letivos sobre o número de alunos que não compareciam às aulas. Depois de feito o levantamento, foram divulgados os dados: 3403102311 1100222401 0110002211 Shutterstock.com

Portanto, faz-se necessária uma organização desses dados. A essa organização, em ordem crescente ou decrescente, damos o nome de rol. Chamamos de rol a organização dos dados brutos, dos menores para os maiores valores, ou vice-versa.

Colocando em rol a tabela da quantidade de filhos tidos pelos casais, temos: 0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

4

4

4

4

4

4

5

5

5

5

6

6

6

6

6

6

6

Desse modo, temos uma visão mais clara dos dados obtidos.

3.4 – Frequências Como já sabemos, a Estatística é a parte da Matemática que obtém conclusões a partir de dados coletados. A sua função principal é apresentar, de modo

Imagem 1.17

Com essas informações, observamos que houve nove dias em que nenhum aluno faltou, ou seja, o número de faltas foi igual a zero. Da mesma forma, em dez ocasiões tivemos apenas 1 aluno faltoso. Observe que o objeto da pesquisa, a variável estudada, é o número de alunos faltosos durante 30 dias letivos. À quantidade de dias correspondente à determinada quantidade de faltas damos o nome de frequência simples ou absoluta.

Chamamos de frequência simples (fs) o número de vezes em que cada valor da variável aparece na pesquisa.

Probabilidade e análise de gráficos estatísticos

9o_Estatística_Ismaela_V1_2020.indd 35

CAPÍTULO 1

35

13/01/2020 16:10:25


3.4.2 – Frequência relativa

3.5.1 – Gráfico de barras

Denominamos de frequência relativa (fr) a razão entre a frequência simples (fs) e o número total de observações (n).

fr =

O gráfico de barras é um dos gráficos mais utilizados na Estatística. No eixo vertical, escrevemos a quantidade de faltas e, no eixo horizontal, a frequência simples das faltas obtidas. Faltas 4

fs n

3

Para que a frequência relativa se torne um valor percentual, basta multiplicar o seu resultado por 100 e acrescentar o símbolo %. Assim, ainda de acordo com o exemplo anterior, temos:

2 1 0

0

frequência simples (fs )

frequência relativa (fr)

0

9

9 = 0 , 30 = 30% 30

1

10

10 ≅ 0 , 33 ≅ 33% 30

2

6

6 = 0 , 20 = 20% 30

3

3

3 = 0 , 10 = 10% 30

Nº de dias 12

2 ≅ 0 , 07 ≅ 7% 30

8

2

4

6

8

Nº de

10

12 dias

Imagem 1.18

n° de faltas

4

2

3.5.2 – Gráfico de colunas (ou barras verticais) Juntamente aos gráficos de barra, os gráficos de colunas estão entre os mais utilizados na Estatística. Podemos inverter a ordem do gráfico de barras, ou seja, é possível escrever no eixo vertical a frequência simples com que as faltas foram obtidas e, no eixo horizontal, a quantidade de faltas.

10 6 4

Total

100%

n = 30

2 0

0

1

2

3

4

Faltas

Imagem 1.19

3.5 – Gráficos estatísticos As tabelas mostram uma melhor visualização da pesquisa. Porém, existe um modo de divulgarmos esse conteúdo de maneira mais organizada e com melhor visualização: os gráficos ou infográficos. Assim, ainda de acordo com os dados anteriores, é possível construir gráficos usando as frequências absolutas. Vejamos:

36

9º ANO – Matemática 1

9o_Estatística_Ismaela_V1_2020.indd 36

3.5.3 – Gráfico de linhas O gráfico de linhas é mais utilizado para demonstrar uma sequência numérica de alguns valores ao longo do tempo. É indicado para demonstrar evoluções (ou regressões) que ocorrem nos valores observados. Veja:

VOLUME 1

13/01/2020 16:10:27


Nº de dias

12

2

4

10

0 1 2 3 4

3

8

0

1

6 4 2 0

0

1

2

3

4

Imagem 1.21

Faltas

Imagem 1.20

3.5.4 – Gráfico de setores (ou de pizza) O gráfico de setores, também chamado de gráfico de pizza, é indicado para expressar uma relação de proporcionalidade, em que todos os dados somados compõem o todo de determinado aspecto da realidade.

Como podemos perceber, os gráficos são bem comuns em nosso cotidiano, seja na leitura de um jornal, de uma revista ou até mesmo para entendermos uma conta de energia, de telefone etc. Por esse motivo, interpretar corretamente os gráficos disponibilizados em textos, notícias, entre outras situações, é fundamental para compreender determinados fenômenos.

SAIBA MAIS

Shutterstock.com

Existem outros tipos de gráficos que têm presença marcante em revistas, jornais, mídias sociais e meios de comunicação: • Cartograma São gráficos que ilustram dados estatísticos relacionados às áreas geográficas ou políticas.

Número de profissionais

.

PICTOGRAMA DAS PROFISSÕES

6 5 4 3 2

Roraima Amapá

Pará

Amazonas

1 Rio Grande Ceará do Norte

Maranhão

Paraíba Pernambuco Alagoas Sergipe

Piauí

Acre Tocantins

Rondônia Mato Grosso

Bahia Distrito Federal Goiás

Mato Grosso do Sul

Região Norte Região Nordeste Região Centro-Oeste Região Sudeste Região Sul

Minas Gerais

São Paulo

Espírito Santo Rio de Janeiro

Paraná Santa Catarina

0

Enfermeira

Advogado

Pedreiro

Pizzaiolo

• Gráfico de dupla entrada Este tipo de gráfico é muito útil para mostrar dois ou mais tipos de dados estatísticos (como a comparação entre o desempenho previsto e o desempenho realizado) de determinado item. Previsto Realizado

7000

Rio Grande do Sul

Profissão

5000 3000

• Pictogramas São gráficos criados a partir de figuras (pictures) ou um conjunto de figuras que representam algo relacionado à pesquisa

1000 0

Semana 1

Semana 2

Semana 3

Probabilidade e análise de gráficos estatísticos

9o_Estatística_Ismaela_V1_2020.indd 37

Semana 4

CAPÍTULO 1

37

13/01/2020 16:10:31


EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

09. Um dado foi jogado 20 vezes. Em cada jo-

gada foram obtidos os seguintes pontos: 1, 5, 6, 5, 2, 2, 2, 4, 6, 5, 2, 3, 3, 1, 6, 6, 5, 5, 4, 2. a) Quantas vezes o número 3 foi obtido no dado? b) Quantas vezes o número obtido no dado foi menor que 5? c) Qual foi o índice, em porcentagem, em que o número 6 foi obtido no dado? Resolução: Novamente, vamos organizar os dados em rol, para uma melhor visualização.

38

9º ANO – Matemática 1

9o_Estatística_Ismaela_V1_2020.indd 38

4

x

Assim, x = 20%.

10. Os dados do gráfico foram coletados por meio da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios. Estudantes que possuem telefone móvel celular com idade de 10 anos ou mais 70 64 63 62 58 56 60 50 44 42 38 37 36 40 30 20 10 0

Possuíam Não possuíam

Regiões brasileiras

Centro-Oeste

A população é de 100 pessoas. A amostra obtida é de 20 pessoas. A variável da pesquisa foi a massa, em kg. Olhando para o rol, percebemos que o valor 65 kg apareceu duas vezes, o valor de 75 kg não apareceu; o valor de 80 kg apareceu três vezes e o valor de 87 kg apareceu uma única vez.

100

Sul

a) b) c) d)

%

20

Sudeste

Resolução: Inicialmente, colocaremos os dados em rol, para uma melhor visualização. Assim, teremos: 50, 52, 52, 65, 65, 68, 70, 70, 70, 70, 73, 77, 80, 80, 80, 81, 86, 87, 91, 91.

Aparições

Nordeste

Com base nos dados obtidos, responda: a) Qual é a população dessa pesquisa? b) Qual é a sua amostra? c) Qual é a variável nessa pesquisa? d) Quantas vezes apareceram os valores de 65 kg, 75 kg, 80 kg e 87 kg?

Norte

52, 73, 80, 65, 50, 70, 80, 65, 70, 77, 82, 91, 52, 68, 86, 70, 80, 86, 87, 91.

Assim, ficaremos com: 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6. a) O número 3 apareceu duas vezes. b) Apareceram números menores do que 5 onze vezes no lançamento do dado. c) Como o número 6 apareceu quatro vezes e 20 foi o número total de lançamentos, por uma regra de três temos que:

Porcentagem (%)

08. A massa (em quilogramas) de 20 trabalhadores de uma empresa com 100 funcionários está registrada a seguir:

Fonte: IBGE. Disponível em: http://www.ibge.gov.br. Acesso em: 28 abr 2019 (adaptado).

Supondo-se que, no Sudeste, 14.900 estudantes foram entrevistados nessa pesquisa, quantos deles possuíam telefone móvel celular? a) 5513 b) 6556 c) 7450 d) 8344 e) 9536

VOLUME 1

13/01/2020 16:10:32


Resolução: Observe que o gráfico apresenta a frequência relativa referente aos estudantes que possuíam telefone celular, ou seja, 56% do total de estudantes do Sudeste possuíam telefone celular. Assim, basta calcular : 56% de 14900 estudantes 56 ⋅ 14900 = 8344 estudantes. 100

a)

Trimestre

Notificações

4º T

135.335

3º T

171.523

2º T

154.866

1º T

249.743

4º T

13%

3º T 2º T

11. A tabela a seguir mostra a distribuição da

Número de famílias

0a5

24

6 a 10

45

10 a 20

11

22%

1º T

renda mensal de 80 famílias pesquisadas em uma pequena cidade. Renda familiar em salários-mínimos

25%

b)

4º T

40%

13% 22%

3º T 2º T

20% 45%

1º T

Determine a frequência relativa da renda familiar para cada uma das classes representadas. Resolução: Observe que os dados da tabela representam a frequência absoluta do número de famílias (total de 80 famílias) e a renda familiar em quantidade de salários-mínimos que recebem. Para calcular a frequência relativa, vamos efetuar as seguintes razões, em cada classe: • De 0 a 5 salários: 24 para 80 ou 24/80 ou 0,3 ou 30%; • De 6 a 10 salários: 45 para 80 ou 45/80 ou 0,5625 ou 56,25%; • De 10 a 20 salários: 11 para 80 ou 11/80 ou 0,1375 ou 13,75%.

12. (UFPR) O Centro de Estudos, Resposta e Trata-

mento de Incidentes de Segurança no Brasil (CERT. br) é responsável por tratar incidentes de segurança em computadores e redes conectadas à internet no Brasil. A tabela a seguir apresenta o número de mensagens não solicitadas (spams) notificadas ao CERT.br no ano de 2015, por trimestre. Qual dos gráficos a seguir representa os dados dessa tabela?

c)

4º T

17% 27%

3º T 2º T

23% 33%

1º T

d)

4º T

19% 24%

3º T

22%

2º T

35%

1º T

e)

4º T

11%

3º T

24%

2º T

23%

1º T

42%

Resolução: Considerando que o total de notificações é igual a 135.335 + 171.523 + 154.866 + 249.743 = 711.467,

Probabilidade e análise de gráficos estatísticos

9o_Estatística_Ismaela_V1_2020.indd 39

CAPÍTULO 1

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tem-se que: o percentual correspondente ao 4º trimestre é 135.335 ⋅ 100% ≅ 19%; 711.467

o percentual correspondente ao 2º trimestre é: 154.866 ⋅ 100% = 22%; 711.467

o percentual correspondente ao 1º trimestre é:

o percentual correspondente ao 3º trimestre é: 171.523 ⋅ 100% = 24%; 711.467

249.743 ⋅ 100% = 35%. 711.467

EXERCITANDO EM AULA 18.

Classifique as seguintes variáveis em (QL) qualitativa ou (QT) quantitativa: ( ) Cor dos olhos ( ) Número de filhos de um casal ( ) Peso de um indivíduo ( ) Altura de um indivíduo ( ) Número de alunos de uma escola ( ) Tipo sanguíneo ( ) Sexo ( ) Comprimento de um segmento de reta ( ) Área de um círculo ( ) Raça ( ) Quantidade de livros de uma biblioteca ( ) Escolaridade dos funcionários de uma empresa ( ) Religião ( ) Salário dos empregados de uma empresa ( ) Comprimento dos parafusos produzidos em uma fábrica ( ) Estado civil ( ) O nível socioeconômico dos residentes em um bairro de Ipatinga ( ) Tempo de vida de uma lâmpada ( ) Profissão ( ) Número de ações negociadas diariamente na bolsa de valores ( ) Volume de água contida em uma piscina ( ) A classificação dos alunos no último vestibular

19. Numere a segunda coluna de acordo com a

primeira e registre a opção correta: 1. Estudo de números associados a fenômenos. 2. Parte da população observada. 3. Denominação dada a atributos ou a quantida-

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9º ANO – Matemática 1

9o_Estatística_Ismaela_V1_2020.indd 40

des que variam quanto à grandeza. 4. Grupo de indivíduos ou coisas cujas características são estudadas em forma de um todo, não interessando um elemento em particular. 5. Cada valor observado de uma variável. ( ( ( ( (

) Amostra. ) Estatística. ) População. ) Variável. ) Dado.

Lendo de cima pra baixo, teremos: a) 5 -1 -4 -3 -2. b) 2 -3 -4 -1 -5. c) 3 -1 -4 -2 -5. d) 2 -1 -4 -5 -3. e) 2 -1 -4 -3 -5.

20. População, ou universo, é:

a) conjunto de pessoas. b) conjunto de indivíduos que apresentam características especiais. c) conjunto de elementos que apresentam uma característica comum. d) subconjunto confiável para um estudo qualquer. e) Nenhuma das anteriores.

21. Como se chama a parcela da população convenientemente escolhida para representá-la? a) Variável b) Rol c) Dados

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d) Amostra e) Atributo

22. (CP2) Uma das medidas ainda muito utiliza-

da para avaliar o peso de uma pessoa é o IMC (Índice de Massa Corporal), obtido dividindo-se seu peso (em quilogramas) pelo quadrado da sua altura (em metros). Essa medida é usada, por exemplo, para determinar em que categoria de peso a pessoa avaliada se encontra: abaixo do peso, peso normal, sobrepeso ou obesidade.

c) 200°. d) 230º. e) 250°.

24. (ENEM-2ªAPLICAÇÃO)

A diretoria de uma empresa de alimentos resolve apresentar para seus acionistas uma proposta de novo produto. Nessa reunião, foram apresentadas as notas médias dadas por um grupo de consumidores que experimentaram o novo produto e dois produtos similares concorrentes (A e B).

Foi feita uma pesquisa sobre o IMC em um grupo de 240 pessoas, e os resultados obtidos são apresentados no gráfico a seguir:

8,5 8,0

Categoria de pesos Obesidade 15%

Nota média

9,0

7,5

Abaixo do peso 10%

7,0 6,5 6,0

Forma Textura Cor Tamanho Sabor Odor Proposto

Peso normal 45%

Podemos afirmar que, nesse grupo estudado, há: a) mais de 30 pessoas abaixo do peso. b) menos de 72 pessoas com sobrepeso. c) exatamente 35 pessoas com obesidade. d) exatamente 108 pessoas com peso normal.

23. (PUC-RS) A matriz a seguir apresenta a dis-

tribuição das matrículas, por níveis, nas escolas de Porto Alegre. Nível

Matrículas

Pré-escolar

25.007

Fundamental

159.162

Médio

45.255

A

B

A característica que dá a maior vantagem relativa ao produto proposto e que pode ser usada, pela diretoria, para incentivar a sua produção é a/o: a) textura. b) cor. c) tamanho. d) sabor. e) odor.

25. (UFPA) O gráfico a seguir, retirado do Bo-

letim Epidemiológico de 2016 do Ministério da Saúde, registra os casos de dengue por semana, no Brasil, nos anos de 2014, 2015 e no início de 2016. 120.000

Fonte: Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais - Inep - Censo Educacional 2015.

Se esses dados forem organizados em um gráfico de setores, o ângulo central correspondente ao nível Fundamental será de, aproximadamente, a) 150°. b) 180°.

100.000 Número de casos

Sobrepeso 30%

80.000 60.000 40.000 20.000 0

1 3

5

7

9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53

Semana Epidemiológica de Início de Sintomas 2015 2016 2014

Fonte: Sinan Online (atualizado em a13/07/2015; b04/01/2016; c07/03/16). Dados sujeitos a alteração.

Figura - Casos prováveis de dengue, por semana epidemiológica de início de sintomas, Brasil, 2014a, 2015b e 2016c .

Probabilidade e análise de gráficos estatísticos

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CAPÍTULO 1

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Com base no gráfico, pode-se afirmar que: a) o maior número de casos de dengue ocorreu em 2014. b) o número de casos de dengue tem comportamento crescente próximo da vigésima segunda semana. c) os dados das 7 primeiras semanas de 2016 indicam uma diminuição do número de casos em relação a 2014 e 2015. d) o gráfico de 2015 permite afirmar que houve mais de um milhão de casos em 2015. e) o maior número de casos ocorre em cada ano na décima quarta semana.

c) No ano de 1991, o desmatamento foi maior comparativamente ao ano de 1990. d) Considerando os anos de 1992 e 1994, o desmatamento permaneceu constante. e) A área desmatada apresenta queda entre os anos de 1996 e 1997, voltando a subir no ano de 1998.

27. (ENEM-2ªAPLICAÇÃO) Uma empresa re-

gistrou seu desempenho em determinado ano por meio do gráfico, com dados mensais do total de vendas e despesas. 9

26. (IFSP) O gráfico a seguir apresenta o desma-

tamento da Amazônia, em km , durante o seguinte período: 1988-2011. Observe. 2

8 7 6 5

35.000

Desmatamento da Amazônia ao longo da história (em km2)

30.000 25.000 20.000 15.000 10.000

4

29.059 25.247 21.050

3

27.423

2

21.394

17.383 18.226 14.896 18.161 17.259 18.165 13.786 14.896 13.730 13.227 11.030 17.770

1

18.846 14.109

12.911 11.532 7.464

5.000

7.000 6.418

88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 Fonte: Sistema Prodes/Inpe Disponível em: <http://g1.globo.com/natureza/noticia/2012/06/amazonia-legal-tem-menor-indice-de-desmatamento-dos-ultimos-23-anos.html>. Acesso em 17 de junho de 2016.

Considerando as informações do gráfico, assinale a alternativa correta. a) O maior pico de desmatamento ocorreu no ano de 2004. b) Entre os anos de 2008 e 2010, ocorreu o menor pico de desmatamento.

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0

Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Total vendas Despesas

O lucro mensal é obtido pela subtração entre o total de vendas e despesas, nesta ordem. Quais os três meses do ano em que foram registrados os maiores lucros? a) Julho, setembro e dezembro. b) Julho, setembro e novembro. c) Abril, setembro e novembro. d) Janeiro, setembro e dezembro. e) Janeiro, abril e junho.

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TÓPICO

Planejamento e execução de pesquisa com apresentação de relatório com dados estatísticos

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Quando desejamos desenvolver um trabalho científico, na maioria das vezes, necessitamos fazer uma pesquisa estatística. Primeiramente, escolhemos o tema e o problema da pesquisa. O tema deve ter relevância social e ser de interesse geral. Já o problema é o que queremos esclarecer com a pesquisa. Geralmente é definido por uma pergunta a ser respondida com a conclusão do trabalho.

4

Para fundamentarmos o projeto de pesquisa, necessitamos de alguns conceitos básicos. No tópico anterior, vimos os conceitos de população e amostra. Neste tópico, vamos definir alguns métodos de amostragem que poderão nos auxiliar na obtenção dos dados para a pesquisa.

4.1 – Amostras não probabilísticas São aquelas em que há uma escolha deliberada dos elementos da amostra, habitualmente utilizadas para estudo de casos. Dessa forma, por não ser possível generalizar os resultados pesquisados, não garantem a representatividade da população. São as amostras acidentais e as amostras intencionais. • Amostras acidentais

Imagem 1.22

Em seguida, definimos o universo e o tipo de amostragem a ser trabalhado, bem como o instrumento a ser utilizado para a coleta dos dados.

São aquelas geralmente utilizadas em pesquisas de opinião. O pesquisador aborda as pessoas acidentalmente, até completar o tamanho definido para a amostra.

Probabilidade e análise de gráficos estatísticos

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• Amostras intencionais São aquelas geralmente utilizadas em pesquisas de opinião sobre temas específicos. Por exemplo, hábitos alimentares de uma determinada região do país. O pesquisador se dirige intencionalmente a grupos de pessoas das quais tem interesse em saber a opinião.

4.2 – Amostras probabilísticas São aquelas que garantem, tanto quanto possível, o acaso na escolha dos elementos da amostra. Dessa forma, podemos generalizar os resultados pesquisados, pois a aleatoriedade garante a representatividade da população. As amostras probabilísticas podem ser aleatórias, sistemáticas e estratificadas. • Amostra aleatória Os elementos que irão compor a amostra são sorteados. Por exemplo: sortear 20 alunos para responderem a um questionário sobre as atividades vivenciadas na escola. • Amostra sistemática

Por exemplo: deseja-se fazer a distribuição de alguns livros de História para alunos do 6º ano. Para que não sejam privilegiados os meninos ou as meninas, a quantidade de livros sorteados deve ser proporcional à quantidade de alunos e alunas do 6º ano.

4.3 – Amplitude da amostra (A) É a diferença entre o maior e o menor valor observado.

4.4 – Fases da pesquisa estatística São elas: • • • • •

Planejamento; Coleta de dados; Apuração de dados (construção de tabelas); Exposição das informações (construção de dados); Análise dos resultados (elaboração de relatórios).

4.4.1 – Planejamento É a primeira fase do trabalho estatístico e, talvez, a mais importante. Um bom planejamento otimiza o desenvolvimento da pesquisa. Shutterstock.com

A seleção dos elementos que irão compor a amostra é feita por um sistema (processo, método) determinado pelo pesquisador. Por exemplo: suponha que é preciso fazer uma pesquisa com 100 alunos sobre os laboratórios da escola. Utilizando o código de matrícula do aluno, sorteia-se o primeiro. Os demais serão aqueles que possuem os códigos de matrícula adicionando 10 ao código de matrícula do primeiro, em seguida mais 10, até completar a quantidade desejada de alunos. Imagem 1.23

• Amostra proporcional ou estratificada Quando a população se divide em estratos (subpopulações), a amostra é formada por meio de um sorteio em que o número de elementos a serem sorteados é proporcional ao número de elementos de cada um dos estratos.

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As etapas do trabalho, com a divisão das tarefas e responsabilidades, os recursos necessários e os existentes e o cronograma a ser cumprido devem estar muito bem planejados, evitando improvisações, que pode acarretar perda de tempo e gastos desnecessários.

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4.4.2 – Coleta de dados

4.4.3 – Apuração dos dados É a fase em que os dados são organizados em tabelas ou planilhas eletrônicas, mediante critérios de classificação.

Com base nas tabelas construídas na apuração dos dados, podemos expor os resultados apresentando gráficos ou relatórios, da maneira mais clara possível, a fim de facilitar o entendimento de todo o público-alvo.

ESCLARECENDO Planilhas eletrônicas Há programas de computador, como o Excel, que auxiliam na construção de gráficos e plani-

4.4.5 – Análise dos resultados São as conclusões sobre o trabalho realizado, baseadas nas tabelas e nos gráficos gerados pelos dados coletados, permitindo Imagem 1.25 uma comparação entre as hipóteses iniciais e as demonstradas nos resultados obtidos. A produção de um relatório de pesquisa que se fundamente em medidas de tendência central ou medidas de dispersão é de grande valia para amparar as conclusões obtidas com a análise dos resultados. Após a análise dos Imagem 1.24 resultados, devemos tomar decisões que definam ações de melhorias em relação à situação encontrada.

Probabilidade e análise de gráficos estatísticos

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4.4.4 – Exposição das informações

Link sugerido • https://bit.ly/30aDSYv

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A coleta de dados é fundamental para qualquer pesquisa, pois, sem ela, o estudo do problema fica reduzido a “achismos” e adivinhações. Por meio da coleta de dados, obtemos informações sobre o tema pesquisado. Depois de agrupadas e organizadas, elas facilitarão uma posterior análise do problema. Para obter os dados de que necessitamos, podemos utilizar fontes que já contenham tais informações. Por exemplo, se precisamos saber a idade dos alunos de determinado ano escolar, basta consultar o cadastro dos alunos da instituição de ensino. Esse processo de coleta é rápido e econômico. Podemos, também, utilizar questionários, que poderão ser respondidos por entrevista ou individualmente. Entretanto, alguns cuidados devem ser tomados na elaboração do questionário. Por exemplo: as perguntas devem ser claras e objetivas; as possíveis respostas devem estar impressas para que sejam apenas assinaladas; as perguntas devem estar ordenadas em uma sequência lógica de raciocínio e o questionário não deve ser extenso. Após a obtenção dos dados, é importante que eles sejam submetidos a uma crítica, ou seja, corrigidos visando afastar algum erro por parte de quem os coletou.

lhas. As planilhas eletrônicas são uma ferramenta de apoio para a matemática, na medida em permitem manejar dados com considerável agilidade. Especialmente no que se refere à matemática financeira, a apropriação desse recurso possibilita a resolução de dificuldades cotidianas, como a gestão das finanças domésticas, por exemplo. O vídeo a seguir mostra como é possível criar planilhas eletrônicas no Excel.

CAPÍTULO 1

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ESCLARECENDO 1. Média Chamamos de média a medida de tendência central que representa uma uniformidade no conjunto de valores apresentados. Em um conjunto de valores, encontraremos alguns altos, outros baixos; a média é o valor que vai representar justamente o equilíbrio entre esses valores. Entre os diferentes tipos de médias, destacaremos a média aritmética. Média aritmética é a soma dos valores de um determinado conjunto de medidas dividido pela quantidade dos valores que foram somados. Há dois tipos de média aritmética: simples e ponderada. • Média aritmética simples A média aritmética simples de um conjunto de valores é obtida dividindo a soma de todos esses valores pela quantidade destes. Sendo assim, suponhamos que exista uma quantidade n de dados (x1, x2, x3, ..., xn). A média aritmética simples desses dados será dada por:

MA =

x 1 + x 2 + x 3 + ... + x n n

Exemplo: No gráfico, está representada a quantidade de máquinas vendidas por uma indústria no primeiro semestre de um ano. 60 50 40 30 20 10 0

Janeiro Fevereiro Março

Abril

Maio

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M = 40. Assim, a média aritmética das vendas é de 40 máquinas por mês. • Média aritmética ponderada A média aritmética ponderada é muito parecida com a média aritmética simples. A diferença, entretanto, é que, na média aritmética simples, todos os valores contribuem com peso igual, enquanto que no cálculo da média aritmética ponderada leva-se em consideração a contribuição (peso) de cada termo, uma vez que existem termos que contribuem mais que outros. Sendo assim, vamos supor que tenhamos um conjunto com n dados (x1, x2, x3, ..., xn), em que cada dado receberá um peso, respectivamente (p1, p2, p3, ..., pn). A média aritmética ponderada entre esses dados será dada por:

MP =

x 1 ⋅ p1 + x 2 ⋅ p2 + ... + x n ⋅ pn p1 + p2 + ... + pn

Exemplo: Os salários dos funcionários de uma empresa estão dispostos de acordo com a tabela a seguir. Cargo

Quantidade

Salário

Presidente

1

R$ 20.000,00

Vice-presidente

1

R$ 14.000,00

Engenheiros

12

R$ 2.000,00

Estagiários

6

R$ 800,00

Junho

Com base nas informações do gráfico, vamos calcular a média aritmética das vendas mensais.

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20 + 30 + 40 + 40 + 60 + 50 6 240 M= 6 M=

Veja como podemos calcular o salário médio pago por essa empresa.

VOLUME 1

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O cálculo da média salarial deverá considerar os quatro valores distintos dos salários com suas respectivas quantidades. Os 12 engenheiros são os que dão maior peso à folha de pagamento, com um montante de R$ 24.000,00, ou seja, 12 x (R$ 2.000,00). Já os estagiários são os que dão menos despesa na folha, com 6 x (R$ 800,00) = R$ 4.800,00. Assim, considerando os 20 salários da empresa, em reais, temos: M=

20.000 + 14.000 + 12 × 2.000 + 6 × 800 1 + 1 + 12 + 6

M=

62.800 = 3.140 20

Então, o salário médio dessa empresa é R$ 3.140,00. 2. Moda Moda é o valor que aparece mais vezes em um conjunto de dados. Destaca-se por apresentar a maior frequência.

Exemplo: A tabela a seguir apresenta as notas em Matemática de uma turma de 30 alunos. Nota

4

4,5

5

5

2

6,5

3

7

6

8

5

9

4

10

1

Total

30

Chamamos de rol a ordenação do conjunto de dados em ordem crescente ou decrescente, conforme já vimos.

Para a determinação da mediana, devemos observar também a quantidade de elementos que temos no nosso conjunto de valores. Os exemplos a seguir nos mostrarão como devemos proceder quando tivermos uma quantidade de elementos ímpar ou quando essa quantidade de elementos for par. Vejamos: 1° caso: mediana de um conjunto de dados com número de elementos ímpar. Exemplo: considere o conjunto de dados abaixo, referentes aos salários dos funcionários de uma empresa, em reais. Salários: 1500; 1300; 1200; 1250; 1600; 1100; 1450; 1210; 1980. Shutterstock.com

3

Frequência (fi)

3. Mediana Chamamos de mediana o valor (pertencente ou não ao conjunto de dados) que divide o conjunto de dados ao meio, ou seja, em duas partes iguais. Para determinar a mediana de um conjunto de dados, é necessário, primeiro, colocar os valores obtidos em rol.

Imagem 1.26

Na coluna da esquerda, podemos ver as notas obtidas pelos alunos na disciplina de Matemática e, na coluna da direita, o quantitativo de alunos que obtiveram cada uma das notas. Note que 6 alunos obtiveram nota 7 e, dessa forma, a nota que mais aparece é 7. Assim, a moda desse conjunto de dados é 7. Conclusão: Mo = 7.

Observe que, nesse conjunto de dados, temos nove elementos, nove salários. Primeiro devemos montar o rol: Rol = {1100, 1200, 1210, 1250, 1300, 1450, 1500, 1600, 1980}. Quando o número de elementos do conjunto de dados for ímpar, a mediana é o valor central dos dados colocados em rol. 1100 , 1200 , 1210 , 1250, 1300 , 1450 , 1500 , 1600 , 1980     Md 4 elementos

4 elementos

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Portanto Md = 1300. Observe que à esquerda e à direita de 1300 existem 4 elementos, ou seja, 1300 é o valor que dividiu a amostra ao meio.

1100 , 1200 , 1210 , 1250, 1300 , 1420 , 1500 , 1600 , 1980    , 1450   4 elementos

valores centrais

4 elementos

Note que tanto à direita como à esquerda dos dois valores centrais há quatro elementos. Assim,

2° caso: mediana de um conjunto de dados com número de elementos par. Exemplo: considere o conjunto de dados a seguir, referente aos salários dos funcionários de uma empresa. Salários: 1500; 1300; 1200; 1250; 1600; 1100; 1450; 1210; 1980; 1420. Colocando em rol, teremos: Rol = {1100, 1200, 1210, 1250, 1300, 1420, 1450, 1500, 1600, 1980}. Nesse conjunto, existem dez elementos. Nesse caso, a mediana será a média aritmética dos dois valores centrais.

Md =

1300 + 1420 2720 = = 1360. 2 2

4. Medida de dispersão Por enquanto, veremos apenas a amplitude amostral. Futuramente, veremos as demais médias de dispersão. 5. Amplitude amostral É a diferença entre o maior valor e o menor valor relativos aos elementos que compõem a amostra.

CONECTANDO DISCIPLINAS O ambiente é fator importante para o crescimento da criança. As condições gerais que favorecem o desenvolvimento estão ligadas ao meio em que ela vive e aos recursos a ela destinados. É preciso considerar também os cuidados gerais que estão sendo tomados, incluindo o afeto, a atenção e dedicação da família e da sociedade. A seguir, a figura demonstra exatamente o que foi descrito no parágrafo anterior. São com-

parações das alturas médias de meninos de 5 anos de idade de países desenvolvidos e em desenvolvimento. É possível concluir que em todos os países desenvolvidos a estatura dos meninos é maior, se comparada a dos meninos dos países em desenvolvimento. No Brasil, foram avaliados meninos de classe alta e baixa, e o resultado expresso foi que os de classe alta têm maior estatura do que os de classe baixa.

Altura em centímetros

Estrato socioeconômico alto Estrato socioeconômico baixo

120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Países Guatemala Colômbia Costa Rica desenvolvidos

Chile

* No Brasil, os estratos socioeconômicos alto e baixo correspondem às classes de despesa 4 e 5, respectivamente. Fonte: Ministério da Saúde (2002).

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Índia

Nigéria

Jamaica

Luiz Fernando

Alturas médias de meninos de 5 anos de idade de países desenvolvidos e de estratos socioeconômicos altos e baixos de países em desenvolvimento*

BRASIL Nordeste urbano

Nordeste São Paulo São Paulo rural urbano rural

Fonte: Martorell, R. et al. Small Stature in Developing Nations: Its Causes and Implications, in margen, S. e R. A. Ogar. eds., Progress in Human Nutrition, Westport; A VI Publ., 1978 e IBGE, ENDEF. 1974-75.

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 13. Imagine que no 9º ano há 500 alunos e você

quer uma amostra de 2% desses alunos. Como você poderia obter uma amostra sistemática? Resolução Uma amostra de 2% dos 500 cadastros equivale a uma de tamanho 10. Para obter essa amostra, você pode dividir 500 por 10, obtendo 50. Sorteie, então, um número entre 1 e 50. Esse será o número do primeiro cadastro da amostra. Em seguida, a partir desse número, conte 50 cadastros e retire o último para constituir a amostra. Proceda dessa forma sucessivamente, até completar a amostra. Assim, se o número sorteado para iniciar a amostra for 2, ela será constituída pelos seguintes elementos: 2, 52, 102, 152, 202, 252, 302, 352, 402, 452.

14. É dada uma população constituída pelas 18

primeiras letras do alfabeto. Como você poderia obter uma amostra sistemática de três elementos?

Resolução Dividindo 18 por 3, obtém-se 6. Sorteie, então, uma das seis primeiras letras do alfabeto. Essa letra sorteada será a primeira da amostra. Depois, a partir dessa letra, conte seis e retire a sexta letra para a amostra. Repita o procedimento e retire mais uma letra de forma sucessiva.

15. (UPE-SSA1) As idades dos atletas que parti-

ciparam da Seleção Brasileira Masculina de Basquete, convocados para a preparação dos Jogos Olímpicos 2016, variaram de 24 a 36 anos, como se pode observar na tabela a seguir: Idade (anos)

24

26

28

30

32

33

35

36

Número de atletas

3

1

1

1

1

4

1

2

De acordo com a tabela, a mediana dessas idades é: a) 30,5; 32,5 e 33. b) 31; 32 e 33. c) 31,5; 31 e 33. d) 30,5; 31 e 24. e) 31; 24 e 33. Resolução O total de atletas é 14, pois: 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 4 + 1 + 2 = 14 Como 14 é um número par, a mediana será a média aritmética dos valores centrais, o sétimo e o oitavo. Pela tabela, verificamos que o sétimo termo é 32 e o 32 + 33 oitavo é 33. Assim, a mediana será = 32 , 5. 2

EXERCITANDO EM AULA 28. Um aluno fez uma pesquisa sobre atividades

extraclasse com todos os alunos do seu colégio. Para cada uma das amostras a seguir, informe o tipo de amostragem: ( P ) Amostragem probabilística ( NP ) Amostragem não probabilística

( ) Como a pesquisa é feita por meio de um aplicativo, ele selecionou todos os colegas da sua classe, por ter seus telefones e e-mails. ( ) Nas entradas do colégio, abordou todos os seus conhecidos. ( ) Ficou na entrada do colégio e, a cada 12 alunos que entravam, ele abordava um.

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( ) Conseguiu uma lista de todos os alunos da escola com uma ordenação aleatória e selecionou os 20 primeiros da lista. ( ) Conseguiu uma lista de todos os alunos da escola em ordem alfabética. Gerou 20 números aleatórios. Selecionou da lista de alunos aqueles que ocupavam posições equivalentes aos números aleatórios gerados.

29. Imagine que no 9º ano há 900 alunos e é preci-

so obter uma amostra de 10% desses alunos. Como você poderia obter uma amostra sistemática?

30. Como é possível obter uma amostra aleatória de 10 alunos entre os colegas da sua classe?

31. A tabela dada apresenta as notas de 20 alunos na última prova de Matemática. Determine a amplitude dessa amostra. 6

9

10

9

6

7

6

8

8

6

9

9

9

6

8

5

9

9

6

8

32. Informe se é verdadeiro (V) ou falso (F) o que

se afirma a seguir em relação às principais fases do método estatístico e depois assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. ( ) Coleta de dados, amostragem, construção de tabelas e apresentação gráfica e definição dos problemas. ( ) Definição do problema, planejamento, coleta dos dados, apuração, apresentação dos dados, análise e interpretação dos dados. ( ) Amostragem, apresentação tabular, apuração dos dados, interpretação dos dados e planejamento. ( ) Planejamento, definição do problema, coleta dos dados, apuração, apresentação dos dados, análise e interpretação dos dados.

50

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a) b) c) d) e)

FVVF FVFF VVFV VFVF FFVV

33. (UFJF-PISM2) Um nutricionista indicou três dietas diferentes para grupos de pacientes que gostariam de perder peso (em quilogramas). A tabela a seguir indica a perda de peso (em quilogramas) por paciente de cada grupo. Grupo 1

Grupo 2

Grupo 3

2

2

3

3

2

4

4

2

4

4

3

4

5

3

5

6

5

6

8

8

6

10

9

5

A partir desses dados, a média de perda de peso do grupo 1, a mediana de perda de peso do grupo 3 e a moda da perda de peso do grupo 2 são dadas, respectivamente, por: a) 5,25; 4,5; 2,0. b) 4,25; 4,5; 3,0. c) 4,75; 2,0; 4,0. d) 5,25; 3,0; 4,5. e) 4,75; 4,0; 4,5.

VOLUME 1

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QUESTÕES COMENTADAS

RESOLUÇÃO

01. (UFG) A análise de massas de um elemento químico demonstrou a existência de três isótopos, conforme representado na figura a seguir .

Intensidade relativa (%)

97

1 20

21

2 22

Massa (u.m.a.)

Considerando as abundâncias apresentadas, conclui-se que a massa média para esse elemento é: a) 20,05. b) 21,00. c) 20,80. d) 19,40. e) 20,40.

QUESTÕES COMENTADAS

RESOLUÇÃO

02. (UEL) Um dado não viciado foi lançado duas vezes, e em cada uma delas o resultado foi anotado. Qual é a probabilidade da soma dos números anotados ser maior ou igual a 7? a) 7/6 b) 1/4 c) 2/3 d) 7/16 e) 7/12

Probabilidade e análise de gráficos estatísticos

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CAPÍTULO 1

51

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QUESTÕES COMENTADAS

RESOLUÇÃO

03. (ENEM) Uma pesquisa sobre orçamentos familiares, realizada recentemente pelo IBGE, mostra alguns itens de despesa na distribuição de gastos de dois grupos de famílias com rendas mensais bem diferentes. Tipo de Despesa

Renda até R$ 400,00

Renda maior ou igual a R$ 6.000,00

Habitação

37%

23%

Alimentação

33%

9%

Transporte

8%

17%

Saúde

4%

6%

Educação

0,3%

5%

Outros

17,7%

40%

Considere duas famílias com rendas de R$ 400,00 e R$ 6.000,00, respectivamente, cujas despesas variam de acordo com os valores das faixas apresentadas. Nesse caso, os valores, em R$, gastos com alimentação pela família de maior renda, em relação aos da família de menor renda, são, aproximadamente: a) dez vezes maiores. b) quatro vezes maiores. c) equivalentes. d) três vezes menores. e) nove vezes menores.

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9º ANO – Matemática 1

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VOLUME 1

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO TÓPICO 1: Probabilidade de ocorrência de eventos dependentes e independentes Nível 1

01. (EPCAR/CPCAR) Você conhece o jogo chamado

presentados são diferentes entre si é igual a 75%. ( ) A probabilidade de se escolher a peça dentre todas as peças do jogo é maior que 3,5%. ( ) Dentre as peças que só têm representados números pares em ambas as metades, 40% são aquelas em que há um par de números iguais.

Dominó?

“Existem várias versões que tentam decifrar de onde veio o jogo, mas nenhuma delas até hoje pôde ser confirmada. Acredita-se, porém, que ele tenha surgido na China, inventado por um soldado chamado Hung Ming, que teria vivido de 243 a 181 a.C. (...) O nome dominó provavelmente deriva da expressão latina domino gratias, que significa “graças a Deus”, dita pelos padres europeus enquanto jogavam. Atualmente, o dominó é jogado em quase todos os países do mundo, mas é mais popular na América Latina.” (Disponível em: <<https://super.abril.com.br/mundo-estranho/ qual-ea-origem-do-domino/>> Acesso em: 26 de fevereiro de 2019.)

a) b) c) d)

Sobre as proposições, tem-se que apenas uma afirmação é verdadeira. apenas duas afirmações são verdadeiras. todas as afirmações são verdadeiras. nenhuma afirmação é verdadeira.

02. (CFTRJ) O Cefet/RJ oferece a seus alunos atividades extracurriculares para complementação de sua formação. No ano de 2018, 25% dos seus 1.440 alunos inscreveram-se nos cursos de Dança Contemporânea ou de Teatro. Dos alunos inscritos, 1/9 desistiu e não compareceu nem participou de nenhuma das aulas. Após inscrição e desistências, cada curso contou com a participação de 200 alunos. a) Quantos alunos não participaram de nenhuma das atividades extracurriculares apresentadas? b) Escolhendo-se ao acaso um aluno que participa das atividades extracurriculares apresentadas, qual a probabilidade de que ele participe tanto de Dança quanto de Teatro? 03. (IFAL) Em uma das salas de aula do IFAL com

Disponível em: <<https://br.depositphotos.com/64902345/stock-illustration-domino-set.html>> Acesso em: 26 de fevereiro de 2019.

As 28 peças de um dominó tradicional são divididas em duas metades. Nelas aparecem representados os números 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, geralmente pintados em quantidades de pontos, tal como a figura anterior. Analise cada proposição a seguir quanto a ser (V) Verdadeira ou (F) Falsa. ( ) Dentre todas as peças do jogo, a probabilidade de se escolher uma peça em que os dois números re-

50 estudantes, sendo 28 do sexo masculino e 22 do sexo feminino, foi sorteado, aleatoriamente, um estudante para ser o representante da turma. Qual é a probabilidade de o estudante sorteado ser do sexo feminino? a) 2%. b) 22%. c) 28%. d) 44%. e) 56%.

04. (IFSUL) Considerando o termo “neves”, pode-

mos afirmar que a probabilidade de escolhermos uma letra ao acaso deste termo e esta ser uma vogal é

Probabilidade e análise de gráficos estatísticos

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CAPÍTULO 1

53

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a) b) c) d) e)

1/4. 1/2. 1/5. 2/5. 3/3.

de uma determinada turma. Sabendo-se que a informação de todos os alunos consta nesse gráfico, e que não há aluno que leu mais de 3 livros, utilize-o para responder à questão.

05. Um casal planeja ter 4 crianças. A probabilidade

de que o casal tenha exatamente 3 meninos, dado que a primeira criança que nasceu é menina , é de a) 1/4. b) 1/8. c) 1/3. d) 1/2. e) 1/5.

06. (IFSUL) De acordo com a revista Veja, “um em cada cinco adolescentes pratica bullying no Brasil”, violência caracterizada por agressões verbais ou físicas, intencionais, aplicadas repetidamente contra uma pessoa ou um grupo. Disponível em: <http://veja.abril.com.br/noticia/educacao/um-em-cada-cinco-adolescentes-pratica-bullying-no-brasil/>. Acesso em: 26 out. 2015.

Com base em tais informações, afirma-se que a probabilidade de um adolescente praticar bullying no Brasil é de a) 10%. b) 20%. c) 30%. d) 50%. e) 60%.

07. (IFAL) Os Jogos Olímpicos de 2016, que foram

realizados no Brasil, contaram com a participação de 10.500 atletas. Considerando que desses atletas 8.400 são do sexo masculino, qual a probabilidade de que, em se escolhendo aleatoriamente um atleta, este seja do sexo feminino? a) 80%. b) 50%. c) 40%. d) 20%. e) 10%. Texto para a próxima questão: O gráfico a seguir apresenta informações sobre os números de livros lidos no mês passado pelos alunos

54

9º ANO – Matemática 1

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08. (IFSP) Escolhido aleatoriamente um aluno dessa turma, a probabilidade de o aluno escolhido não ter lido livro no mês passado é: a) 3,5%. b) 2,75%. c) 2,5%. d) 1,75%. e) 7,5%. Nível 2 Leia o texto para responder à(s) questão(ões) a seguir. O sequestro das palavras Gregório Duvivier

Vamos supor que toda palavra tenha uma vocação primeira. A palavra mudança, por exemplo, nasceu filha da transformação e da troca, e desde pequena servia para descrever o processo de mutação de uma coisa em outra coisa que não deixou de ser, na essência, a mesma coisa – quando a coisa é trocada por outra coisa, não é mudança, é substituição. A palavra justiça, por exemplo, brotou do casamento dos direitos com a igualdade (sim, foi um ménage): servia para tornar igual aquilo que tinha o direito de ser igual mas não estava sendo tratado como tal. No entanto as palavras cresceram. E, assim como as pessoas, foram sendo contaminadas pelo

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mundo à sua volta. As palavras, coitadas, não sabem escolher amizade, não sabem dizer não. A liberdade, por exemplo, é dessas palavras que só dizem sim. Não nasceu de ninguém. Nasceu contra tudo: a prisão, a dependência, o poder, o dinheiro –mas não se espante se você vir a liberdade vendendo absorvente, desodorante, cartão de crédito, empréstimo de banco. A publicidade vive disso: dobrar as melhores palavras sem pagar direito de imagem. Assim, você verá as palavras ecologia e esporte juntarem-se numa só para criar o EcoSport – existe algo menos ecológico ou esportivo que um carro? Pobres palavras. Não tem advogados. Não precisam assinar termos de autorização de imagem. Estão aí, na praça, gratuitas. Nem todos aceitam que as palavras sejam sequestradas ao bel prazer do usuário. A política é o campo de guerra onde se disputa a posse das palavras. A “ética”, filha do caráter com a moral, transita de um lado para o outro dos conflitos, assim como a Alsácia-Lorena, e não sem guerras sanguinárias. Com um revólver na cabeça, é obrigada a endossar os seres mais amorais e sem caráter. A palavra mudança, que sempre andou com as esquerdas, foi sequestrada pelos setores mais conservadores da sociedade – que fingem querer mudar, quando o que querem é trocar (para que não se mude mais). A Justiça, coitada, foi cooptada por quem atropela direitos e desconhece a igualdade, confundindo-a o tempo todo com seu primo, o justiçamento, filho do preconceito com o ódio. Já a palavra impeachment, recém-nascida, filha da democracia com a mudança, está escondida num porão: emprestaram suas roupas à palavra golpe, que desfila por aí usando seu nome e seus documentos. Enquanto isso, a palavra jornalismo, coitada, agoniza na UTI. As palavras não lutam sozinhas. É preciso lutar por elas. Texto publicado em 21 mar. 2016. Disponível em: <http://www1. folha.uol.com.br/colunas/gregorioduvivier/2016/03/1752170-o-sequestro-das-palavras.shtml>. Acesso em: 06 abr. 2016.

09. (IFSUL) No texto O sequestro das palavras, o au-

tor afirma que as palavras cresceram com o passar do tempo, sendo que, assim como as pessoas, elas foram contaminadas pelo mundo à sua volta. Segundo ele, as “[…] palavras, coitadas, não sabem escolher amizade, não sabem dizer não”. Nesse viés, foi escolhida

ao acaso uma letra do sobrenome do autor desse texto, a probabilidade dessa escolha ser uma consoante é a) 3/8. b) 37,5%. c) 50%. d) 5/8. e) 3,75%.

10. (IFSP) O gráfico representa o número de alunos

de uma escola distribuídos por idade. Sabe-se que os alunos com exatamente 15 anos correspondem à quinta parte do grupo de idade a que pertence. Se um aluno dessa escola é escolhido ao acaso, a probabilidade de esse aluno ter exatamente 15 anos é

60

número de alunos

de 9 a 11 anos de 12 a 14 anos

40

de 15 a 17 anos

20 idade (anos)

a)

2 . 5

4 . 15 2 c) . 9 9 d) . 50 2 e) . 45 b)

11. (EPCAR (CPCAR)) Em uma competição mate-

mática entre as esquadrilhas do Esquadrão Phoenix, atual 1º esquadrão do CPCAR, havia um desafio entre as duas duplas, A e B, finalistas. Tal desafio consistia em escolher uma caixa na qual poderia haver um objeto escondido. Foram colocadas 8 caixas, e em apenas uma encontrava-se o tal objeto desejado. Ganhava o desafio aquela dupla que apontasse a caixa na qual estivesse o objeto. Sabe-se que, na competição, as duplas alternariam na escolha da caixa e, caso a dupla errasse, a caixa seria eliminada.

Probabilidade e análise de gráficos estatísticos

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de 6 a 8 anos

CAPÍTULO 1

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Sorteada a ordem de competição, a dupla A fez a 1ª escolha e errou. A 2ª escolha foi feita pela dupla B, que também errou. No entanto, a dupla B foi a vencedora do desafio, o que só aconteceu na última caixa restante. Em relação à probabilidade de cada dupla ser vencedora do desafio no momento de escolha da caixa, é correto afirmar que a a) maior probabilidade de acerto que a dupla A teve numa de suas escolhas foi menor que 40%. b) probabilidade de acerto da dupla A em sua 3ª escolha foi maior que 15% e menor que 17%. c) probabilidade de acerto da dupla B era sempre o dobro da probabilidade de acerto da dupla A se consideradas duas escolhas consecutivas. d) 3ª maior probabilidade de acerto da dupla B foi de 20%. e) menor probabilidade de acerto da dupla B foi de 12,5%.

12. (IFPE) Em uma pesquisa realizada com 300 alunos dos cursos subsequentes do campus Recife, observou-se que 1/5 dos alunos atuam no mercado de trabalho em área diferente do curso escolhido, 3/8 do restante não estão trabalhando e os demais trabalham na mesma área do curso escolhido. Sorteando um destes alunos ao acaso, qual a probabilidade de ele estar trabalhando na mesma área do curso que escolheu? a) 0,5. b) 0,4. c) 0,2. d) 0,3. e) 0,8.

13. (IFSUL) Durante os séculos XVIII e XIX, muitos matemáticos se destacaram por suas contribuições na área da matemática. Dentre eles está Carl Friedrich Gauss (1777–1855), que ficou conhecido como “o príncipe da matemática” ou “o mais notável dos matemáticos”. Seu trabalho teve enorme importância, principalmente em áreas como a teoria da probabilidade. De posse dessa teoria, duas pessoas, A e B, decidem lançar um par de dados. Eles combinam que se a soma dos números dos dados for 7, A ganha, e, se 56

9º ANO – Matemática 1

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a soma for 10, B ganha. Cada par de dados é lançado uma única vez. A probabilidade de B ganhar é de 1 a) . 6 1 b) . 2 1 c) . 36 1 d) . 12 1 e) . 16

14. (CFTRJ) A figura a seguir mostra um esquema

que representa uma balança equilibrada com bolinhas e tijolinhos.

O numeral 53.432.655 foi representado em oito placas, cada uma contendo um algarismo, conforme a figura a seguir:

Escolhe-se ao acaso uma das oito placas. Qual é a probabilidade de que a placa escolhida contenha o algarismo que representa o número de bolinhas necessárias para equilibrar, em um esquema similar ao da figura, um tijolinho? a) 12,5% b) 25% c) 37,5% d) 50% e) 52,5%

TÓPICO 2: Análise de gráficos midiáticos Nível 1 O texto a seguir será utilizado nas questões de 15 a 17.

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O gráfico dado apresenta a audiência de duas TVs espanholas: Telecinco e Antena 3. 1.

Nível 2 Texto para as três questões seguintes. Os gráficos a seguir apresentam o desempenho acumulativo de dois alunos referente às notas de Estatística em 2019.

15. Você acha que a proporção utilizada no infográfico está correta? Justifique a sua resposta. 16. Na sua opinião, qual foi a intenção da mídia ao divulgar esse gráfico?

17. Como você faria o gráfico apresentado no texto? 18. Os gráficos a seguir são representações distintas referentes aos mesmos dados. Faça uma análise comparativa entre o primeiro e o segundo gráfico.

19. Apenas observando os gráficos, sem fazer ne-

nhum cálculo, diga qual foi o aluno que apresentou o melhor desempenho? Justifique a sua resposta.

20. Calcule a média das notas de cada um dos alunos. 21. A sua primeira observação coincidiu com o real desempenho dos alunos?

TÓPICO 3: Construção de tabelas e gráficos estatísticos Nível 1 Texto para a próxima questão: Com base na leitura e análise dos dados apresentados pelo infográfico a seguir, responda à questão seguinte. “Série histórica de número de casos humanos confirmados de febre amarela silvestre e a letalidade no Brasil, de 1980 a 2016.”

Probabilidade e análise de gráficos estatísticos

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CAPÍTULO 1

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O número total de casos humanos confirmados de febre amarela silvestre de 1980 a 2016

Texto para a próxima questão: Utilize as informações do gráfico a seguir para responder à questão. O gráfico apresenta informações referentes aos candidatos que se inscreveram para fazer uma prova. Na ficha de inscrição, os candidatos informaram se tinham ou não irmãos.

Disponível em: <<http://www.explorersid.com/wp-content/ uploads/2017/02/infografico_febre_amarela.png>>. Acesso em 20 jun 2018.

22. (CMRJ) O gráfico da taxa de letalidade mostra

que a quantidade de pessoas que vieram a óbito em a) 1993 é inferior à observada em 1992. b) 2010 é superior à observada em 2009. c) 2011 é a metade da observada em 2010. d) 2009 é a mesma que a observada em 2003. e) 2006 é a mesma que a observada em 2005.

23. O gráfico abaixo apresenta informações sobre os

números de livros lidos no mês passado pelos alunos de uma determinada turma. Sabendo-se que a informação de todos os alunos consta nesse gráfico, e que não há aluno que leu mais de três livros, calcule a média do número de livros lidos no mês passado por essa turma.

a) b) c) d) e)

58

2,6. 1,5. 1,9. 2,05. 1,73.

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24. (IFSP) Analisando as informações apresentadas no gráfico, pode-se afirmar corretamente que o número de homens com irmãos corresponde, do número de mulheres com irmãos, a: a) seis sétimos. b) três quartos. c) cinco sextos. d) dois terços. e) quatro quintos.

25. (G1-CPS) O gráfico apresenta uma comparação

entre as porções que os alunos pesquisados consomem dos grupos alimentares citados, bem como as porções recomendadas por nutricionistas.

A partir da análise dos dados do gráfico, pode-se concluir que

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a) o número de porções consumidas de óleo e gorduras é o triplo do número recomendado. b) o número de porções consumidas de leite, queijo e iogurte está acima do número recomendado. c) os alunos consomem doze porções de açúcares e doces para cada porção de verduras e legumes consumida. d) os adolescentes consomem, em quatro dos oito grupos alimentares citados, mais do que o dobro do recomendado pelos nutricionistas. e) o número de porções consumidas de carnes e ovos e de feijões e leguminosas supera o número de porções consumidas de arroz, pães, massa, batata e mandioca.

Essas atividades foram avaliadas conforme critérios estabelecidos no seguinte quadro:

26. (EPCAR-CPCAR) No dia 21 de maio de 2019,

Os resultados obtidos estão registrados no gráfico abaixo:

comemorou-se 70 anos da Escola Preparatória de Cadetes do Ar.

“A Escola Preparatória de Cadetes do Ar é uma instituição militar de Ensino Médio, com missão de preparar os alunos para ingresso no Curso de Oficiais Aviadores por meio do Curso Preparatório de Cadetes do Ar (CPCAr).” Disponível em: <<http://www2.fab.mil.br/epcar/>> Acesso em 30 de março de 2019.

“A sua história teve início em 1949, com a criação do Curso Preparatório de Cadetes do Ar (...) [Esta Escola] tem procurado cumprir sua missão de formar e honrar as suas tradições no ensino, com os pés no passado, as mãos no presente e os olhos no futuro.” Disponível em <<http://www2.fab.mil.br/epcar/>> Acesso em 30 de março de 2019.

Depois das comemorações dos 70 anos da EPCAR, foi feita uma pesquisa de opinião com os seus alunos sobre as atividades que ocorreram durante as comemorações.

Nota

Critérios de Notas

5

Ótima

4

Boa

3

Regular

2

Ruim

1

Indiferente

Se, nessa pesquisa, cada aluno opinou apenas uma vez, então, é INCORRETO afirmar que a) o número que representa a quantidade de alunos que participou dessa pesquisa possui mais de 20 divisores naturais. b) a nota média atribuída pelos alunos foi BOA. c) exatamente 30% dos alunos considerou a programação ÓTIMA. d) mais de 10% dos alunos opinaram com INDIFERENTE ou REGULAR em relação à programação.

27. (CMRJ) O gráfico a seguir mostra o resultado da

apuração dos votos do segundo turno de uma eleição entre os candidatos A e B. Sabendo que votos válidos são os votos dados a cada candidato, não sendo computados os votos brancos e nulos, qual alternativa melhor representa a situação dos candidatos A e B?

Probabilidade e análise de gráficos estatísticos

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CAPÍTULO 1

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Observe o infográfico:

a)

De acordo com o infográfico, o percentual de pessoas no mundo que são portadoras da diabetes e já tiveram a doença diagnosticada é de, aproximadamente, a) 41%. b) 47%. c) 53%. d) 64%.

b)

Nível 2

c)

29. (CFTRJ) Considerando as informações do grá-

fico abaixo, de 2010 a 2014 o número de turistas que chegaram ao Brasil cresceu ano após ano. Por exemplo, em 2010 chegaram 5,2 milhões de turistas ao Brasil e, em 2011, 5,4 milhões de turistas. Um aumento de 200 mil chegadas de turistas no Brasil.

d)

O aumento percentual de turistas que chegaram ao Brasil em 2014, comparado com o ano anterior, foi de aproximadamente: e)

28. (CP2) A diabetes é uma doença silenciosa que ataca milhões de pessoas ao redor do mundo. Existem dois tipos de diabetes, sendo o tipo 2 o de maior incidência.

60

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9o_Estatística_Ismaela_V1_2020.indd 60

a) b) c) d)

10,3% 12,5% 9,1% 13,2%

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30. (CP2) Observe com atenção o quadro a seguir.

Dados: Os ângulos a, b, c e d são tais que: c = 90º a + b = 90º a = 2b Em cada região do diagrama, tem-se: I. Nº de pessoas que votou no candidato A. II. Nº de pessoas que votou no candidato B. III. Nº de pessoas que votou no candidato C. IV. Nº de pessoas que votou em branco. V. Nº de pessoas que votou nulo.

IBGE: desemprego sobe mais entre jovens de 18 a 24 anos, chegando a 16,4%

O aumento do desemprego em maio foi maior entre os jovens, segundo o IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística). (Fonte: www.uol.com.br. Adaptado. Acessado em: 25/06/2015.)

No último censo, realizado em 2010, o IBGE estimava a população de jovens entre 18 e 24 anos em torno de 24 milhões. Supondo que o número não tenha se alterado e tomando-o por base, pode-se dizer que o número de desempregados nessa faixa, 18 a 24 anos, aumentou, no último ano em, aproximadamente a) 500 mil. b) 1 milhão. c) 1 milhão e meio. d) 2 milhões.

31. (EPCAR-CPCAR) Para as eleições para a Presi-

dência da República do Brasil, foi feita uma pesquisa com 2400 pessoas sobre suas preferências em relação aos candidatos A, B e C. Sabe-se que cada pessoa optou por um único candidato, ou votou em branco, ou votou nulo, e que o diagrama a seguir indica os resultados da pesquisa.

Sabe-se que a diferença entre o número de pessoas que votou nulo e o número de pessoas que votou em B é y. Então, y representa a/o a) quarta parte do total de entrevistados. b) metade do total de entrevistados. c) terça parte do total de entrevistados. d) dobro do número de pessoas que votou em C.

32. (CMRJ) Trezentos alunos do CMRJ responde-

ram a uma pesquisa sobre sua preferência em relação aos diversos esportes praticados nas aulas de Educação Física. Os alunos deveriam indicar o esporte de que mais gostavam, não sendo possível escolher dois ou mais esportes. A tabela a seguir consolida o resultado da pesquisa. Esporte

Número de Alunos

Futebol

90

Basquete

30

Natação

60

Judô

40

Handebol

40

Ginástica de Trampolim

40

Total

300

Os dados da tabela foram representados por meio de um gráfico de colunas divididas igualmente por retas horizontais. A opção que representa esse gráfico é:

Probabilidade e análise de gráficos estatísticos

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CAPÍTULO 1

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TÓPICO 4: Planejamento e execução de pesquisa com apresentação de relatório com dados estatísticos

a)

Nível 1

33. Junto às pessoas da sua convivência (parentes,

amigos, vizinhos, colegas da escola), pesquise um tema de interesse da maioria dessas pessoas. Dica: crie, no máximo, duas ou três opções de escolha, evitando, assim, o surgimento de muitos temas.

b)

34. Defina o tipo de amostragem que você irá

utilizar e, em seguida, faça uma coleta de dados. Dica: algumas redes sociais oferecem ferramentas de pesquisa de dados.

c)

35. Organize os dados coletados em tabelas. 36. Baseado nas informações obtidas, expo-

nha os resultados em gráfico (o que você julgar mais adequado).

37. Faça uma análise dos resultados. (Dica: os

d)

valores da média, moda e mediana poderão lhe auxiliar nessa fase)

Nível 2

38. Sobre a pesquisa feita por meio dos exercí-

e)

cios de fixação do nível 1 deste tópico, faça uma postagem em alguma das suas redes sociais.

39. Construa um gráfico setorial mostrando a quantidade de seguidores que visualizaram a sua postagem em relação ao total dos seus seguidores.

62

9º ANO – Matemática 1

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VOLUME 1

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ANOTAÇÕES

Probabilidade e análise de gráficos estatísticos

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CAPÍTULO 1

63

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2º CAPÍTULO

Comensurabilidade de segmentos e os números reais

Inicialmente, conversaremos sobre grandezas, definindo também algumas razões entre grandezas de mesma natureza e de naturezas distintas que são frequentes no nosso cotidiano. Em seguida, estudaremos grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais. Para finalizar, veremos os conceitos de segmentos comensuráveis e incomensuráveis, que nos levarão ao conjunto dos números reais.

T Á M E II MAT I T Á M E I MAT

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TICA

ICA

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CHECKLIST DO ALUNO TÓPICO 1

CV CE ER DT CR

Razão entre grandezas de mesma natureza e de naturezas distintas CV CE ER DT CR

TÓPICO 2 Grandezas diretamente e inversamente proporcionais

CV CE ER DT CR

TÓPICO 3 Segmentos comensuráveis e segmentos incomensuráveis

TÓPICO 4

CV CE ER DT CR

Números reais

LEGENDAS CV - CONTEÚDO VISTO EM SALA CE - CONTEÚDO ESTUDADO PELO ALUNO

FLIPPED

DT CR

- DÚVIDAS TIRADAS - CONTEÚDO REVISADO

ER

-

EXERCÍCIOS REALIZADOS

CLASSROOM

01.

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BASE NACIONAL COMUM CURRICULAR (BNCC)

UNIDADES TEMÁTICAS

Álgebra

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OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

ƒƒ Necessidade dos números reais para medir qualquer segmento de reta ƒƒ Números irracionais: reconhecimento e localização de alguns na reta numérica

(EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade).

ƒƒ Necessidade dos números reais para medir qualquer segmento de reta ƒƒ Números irracionais: reconhecimento e localização de alguns na reta numérica

(EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.

ƒƒ Razão entre grandezas de espécies diferentes

(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.

ƒƒ Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais

(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.

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x+y-

a b

9 y=3x+6 2+ 4 3 6

y 9 TÓPICO

1

0

X+Y=3

8

Me=X+B

1 + 3 5 6 n - Z 2

g

total de habitantes área

Denomina-se razão entre duas grandezas uma fração que tem para numerador e para denominador

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b

y 0

x

Me=X+B

n 2

-

g

2

Z

384 A B de mesma 153 Razão entre grandezas z natureza e de naturezas distintas 231

1.1 – Razão

68

a

Y=x

Antes de iniciarmos nossos estudos, é importante entendermos que grandeza é tudo o que pode ser medido, como massa, tempo, velocidade e comprimento. Quando queremos comparar grandezas de mesma natureza, utilizamos a razão entre os valores que representam cada uma das grandezas. Ao dividir o valor de uma grandeza pelo valor de outra, estamos comparando a primeira com a segunda, que passa a ser a base da comparação. Podemos ter, também, razão entre grandezas de naturezas diferentes. Por exemplo: a densidade demográfica de determinada região, que é a razão entre o número total de habitantes e a área da região considerada.

D=

E=mc

x-y

2

números que expressam as medidas dessas grandezas em uma mesma unidade, sendo o denominador diferente de zero. O numerador e o denominador da fração que representa a razão são chamados, respectivamente, de antecedente e consequente.

Razão entre a e b:

a , com b ≠ 0 b

Exemplo: Calcule a razão entre as alturas de dois atletas, sabendo que o primeiro possui uma altura h1= 1,60 m e o segundo possui uma altura h2= 2,00 m. A razão entre as alturas h1 e h2 é dada por: 1 , 60 m h1 1, 6 4 = = = h 2 2 , 00 m 2 , 0 5 Interpretando a razão acima, podemos chegar a algumas conclusões: • a altura do primeiro atleta é 4/5 da altura do segundo;

VOLUME 1

13/01/2020 16:11:13


• 4 cm da altura do primeiro atleta correspondem a 5 cm da altura do segundo atleta; • a cada 4 cm da altura do primeiro atleta, há uma diferença de 1 cm em relação à altura do segundo atleta. Assim, em 160 cm de altura, a diferença será de 40 cm.

SAIBA MAIS Confira algumas aplicações do conceito de razão. • Escala (E) é a razão entre o valor do desenho (D) pelo valor real (R). Assim, o conceito é dado pela seguinte razão: E=

desenho D = real R

• Velocidade média (VM) é a razão entre a distância percorrida por um móvel e o tempo total de percurso. A velocidade média será sempre acompanhada de uma unidade, que depende das unidades escolhidas para calcular distância e tempo. Alguns exemplos de unidades para a velocidade média são km/h, m/s e cm/s. VM =

distância ∆S = tempo ∆T

Chamamos de proporção simples a igualdade entre duas razões e representamos por a c = ou a : b = c : d b d

(lê-se “a está para b, assim como c está para d”); a e d são chamados de extremos, e b e c são chamados de meios. Exemplo: 3

3 15 = 5 255

ATENÇÃO Dizemos que uma proporção é simples quando temos a igualdade entre duas razões. Quando a igualdade envolve mais de duas razões, dizemos que a proporção é múltipla.

• Propriedade fundamental das proporções

• Densidade (D) de um corpo é a razão entre a sua massa e o seu volume. A densidade também será sempre acompanhada de uma unidade, que depende das unidades escolhidas para medir a massa e o volume. Alguns exemplos de unidades para a densidade são g/cm3 e kg/m3. D=

1.2 – Proporção

Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Ou seja, a c = ⇔ a ⋅d = b⋅ c b d Exemplo: 3 15 é uma proporção, pois 3 ⋅ 25 = 5 ⋅ 15 = 75 = 5 25

massa volume

Comensurabilidade de segmentos e os números reais

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CAPÍTULO 2

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. (ENEM) Boliche é um jogo em que se arre-

messa uma bola sobre uma pista para atingir dez pinos, dispostos em uma formação de base triangular, buscando derrubar o maior número de pinos. A razão entre o total de vezes em que o jogador derruba todos os pinos e o número de jogadas determina seu desempenho. Em uma disputa entre cinco jogadores, foram obtidos os seguintes resultados: • Jogador I: derrubou todos os pinos 50 vezes em 85 jogadas. • Jogador II: derrubou todos os pinos 40 vezes em 65 jogadas. • Jogador III: derrubou todos os pinos 20 vezes em 65 jogadas. • Jogador IV: derrubou todos os pinos 30 vezes em 40 jogadas. • Jogador V: derrubou todos os pinos 48 vezes em 90 jogadas. Qual desses jogadores apresentou maior desempenho? a) I b) II c) III d) IV e) V Resolução: O desempenho de cada jogador corresponde à razão entre o número de vezes em que todos os pinos foram derrubados e o número de jogadas. Assim, temos: 50 40 20 (I ) ≅ 0 , 59 ; (II ) ≅ 0 , 62 ; (III ) ≅ 0 , 31; 85 65 65 (IV)

48 30 ≅ 0 , 31;( V ) ≅ 0 , 53 40 90

Portanto, o jogador de maior desempenho foi o II.

02. (ENEM) Para uma atividade realizada no la-

boratório de Matemática, um aluno precisa construir

70

9º ANO – Matemática 1

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uma maquete da quadra de esportes da escola, que tem 28 m de comprimento por 12 m de largura. A maquete deverá ser construída na escala de 1 : 250. Que medidas de comprimento e largura, em cm, o aluno utilizará na construção da maquete? a) 4,8 e 11,2 b) 7,0 e 3,0 c) 11,2 e 4,8 d) 28,0 e 12,0 e) 30,0 e 70,0 Resolução: A escala é de 1 : 250, ou seja, 1 cm na maquete é igual a 250 na quadra real. Assim, em relação ao comprimento: Logo, X = 11,2 cm. Maquete Quadra 1 cm 250 cm X cm 2800 cm Em relação à largura: Y = 4,8 cm Maquete Quadra 1 cm 250 cm Y cm 1200 cm Portanto, as dimensões da maquete serão 11,2 cm e 4,8 cm.

03. Para fazer 100 pães, um padeiro gasta 10 kg

de farinha. Quantos pães ele consegue fazer com 25 kg de farinha? Resolução: A quantidade de farinha é proporcional à quantidade de pães. Assim, 100 10 = ⇒ 10 x = 25 ⋅ 100 ⇒ x 25 2500 ⇒ 10 x = 2500 ⇒ x = = 250 10 Portanto, com 25 kg de farinha, o padeiro consegue fazer 250 pães.

VOLUME 1

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EXERCITANDO EM AULA 01. Pedro tem 30 anos e Josefa, 45. Qual é a razão entre as idades de Pedro e Josefa?

02. Uma caixa de chocolate possui 250 g de peso líquido e 300 g de peso bruto. Qual é a razão do peso líquido para o peso bruto?

03. Pedrinho resolveu 20 problemas de Mate-

mática e acertou 18. Cláudia resolveu 30 problemas e acertou 24. Quem apresentou o melhor desempenho?

04. Em um exame, havia 180 candidatos. Tendo sido aprovados 60, determine a razão entre o número de reprovados e o de aprovados.

05. Em uma sala, há meninos e meninas. A razão entre o número de meninas e o total de crianças na sala é de 5 para 9. Responda: a) Qual é a razão entre o número de meninos e o total de crianças na sala? b) Qual é a razão entre o número de meninos e o número de meninas? c) Se houvesse 24 meninos na sala, qual seria o número de meninas? d) Se há 7 meninas a mais que o número de meninos, quantas crianças estão na sala?

06. Nos jogos internos da escola de Petrúcio, po-

dia-se disputar em várias modalidades. A tabela a seguir mostra a quantidade de atletas inscritos, por modalidade.

Modalidade

Número de atletas inscritos

Vôlei

75

Atletismo

30

Tênis de mesa

45

Natação

12

Basquete

20

Futebol

80

Queimado

60

a) Qual é a razão entre o número de atletas de natação e queimado? b) Qual é a razão entre o número de atletas de futebol e atletismo? c) Qual é a razão entre o número de atletas de basquete e tênis de mesa? d) Qual é a razão entre o número de atletas de vôlei e tênis de mesa? e) Qual é a razão entre o número de atletas de futebol e o total de atletas inscritos?

07. (SEJUS-ES) Em uma população carcerária

de 14.400 presos, há 1 mulher para cada 11 homens nessa situação. Do total das mulheres, 2/5 estão em regime provisório, correspondendo a a) 840 mulheres. b) 480 mulheres. c) 1200 mulheres. d) 640 mulheres. e) 450 mulheres.

08. (PM-SP) Uma pessoa comprou determinado

volume de suco de uva e bebeu 200 mL desse suco por dia. Se essa pessoa bebesse 150 mL por dia, com o mesmo volume comprado, poderia beber suco de uva por mais 5 dias. O volume de suco de uva, em litros, comprado por essa pessoa foi a) 2 b) 2,5 c) 3

Comensurabilidade de segmentos e os números reais

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CAPÍTULO 2

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12. (CFT-MG) A Volta Internacional da Pampu-

d) 3,5 e) 4

09. (BB-CESGRANRIO) Em uma pesquisa so-

bre acesso à internet, três em cada quatro homens e duas em cada três mulheres responderam que acessam a rede diariamente. A razão entre o número de mulheres e de homens participantes dessa pesquisa é, nessa ordem, igual a 1/2. Que fração do total de entrevistados corresponde àqueles que responderam que acessam a rede todos os dias? a) 5/7 b) 8/11 c) 13/18 d) 17/24 e) 25/36

10. Cerca de 20 milhões de brasileiros vivem na região coberta pela caatinga, em quase 800 mil km² de área. Quando não chove, o homem do Sertão e sua família precisam caminhar quilômetros em busca da água dos açudes. A irregularidade climática é um dos fatores que mais interferem na vida do sertanejo. Segundo esse levantamento, a densidade demográfica da região coberta pela caatinga, em habitantes por km², é de: a) 250. b) 25. c) 2,5. d) 0,25. e) 0,025. 11. (UTFPR) Considere que a velocidade média

do campeão da tradicional corrida de São Silvestre 2013 foi de, aproximadamente, 20 km/h. Pode-se afirmar que o percurso de 15 km foi realizado em: a) 1 h 45 min. b) 1 h 30 min. c) 1 h 15 min. d) 1 h. e) 45 min.

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lha é uma corrida tradicional de Belo Horizonte que ocorre nos finais de ano em torno dos seus 17,8 km de extensão. Em sua 13ª edição, em dezembro de 2011, a vitória foi dada ao queniano Kosgei, que conquistou seu bicampeonato, completando a corrida com o tempo de aproximadamente 53 minutos. A velocidade média desse atleta, em km/h, foi de aproximadamente a) 17. b) 18. c) 19. d) 20. e) 21

13. (EPCAR/CPCAR) Analise as proposições abaixo. 3 4 de leite a jarra pesa 19,5 hg. O peso da jarra 5 com de leite é y gramas. A soma dos algaris8 mos de y é igual a 13.

I. Uma jarra cheia de leite pesa 235 dag; com

3 de 0,6 da metade de 1 lata que com5 porta 20 L de tinta, um pintor consegue pintar

II. Com

uma área de 16 m2. Para pintar uma área 25% menor, é necessário 0,003 m3 de tinta. III. Um pedreiro prepara uma mistura com 1 kg de cimento e 600 mL de água. Em seguida, ele aumenta em 50% a quantidade de cimento e mexe até ficar homogênea a mistura, obtendo 1.800 mL dessa mistura. Se a densidade da água é 1 g/mL, então a densidade do cimento é igual a 1,25 kg/L. Tem-se que a) apenas I é verdadeira. b) apenas II é falsa. c) apenas I e II são falsas. d) I, II e III são verdadeiras. e) todas são falsas.

VOLUME 1

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TÓPICO

Grandezas diretamente e inversamente proporcionais 2.1 – Grandezas diretamente proporcionais Vamos refletir sobre a situação a seguir. Uma máquina produz, em média, 50 peças por minuto. Para prever o tempo que esta máquina gastará para produzir certa quantidade de peças, podemos construir a seguinte tabela. Nº de peças produzidas

Tempo de produção (em minutos)

50

1

100

2

150

3

200

4

250

5

300

6

Note que, quanto mais peças forem produzidas, mais tempo a máquina levará para concluir o serviço. Analogamente, quanto menos peças forem pro-

duzidas, menos tempo a máquina levará para concluir o trabalho. Observe, ainda, que as razões formadas pelos valores de uma grandeza e os valores correspondentes da outra grandeza são iguais. 50 100 150 200 250 300 = = = = = = 50 1 2 3 4 5 6 Podemos dizer, então, que as grandezas número de peças produzidas e tempo gasto para a produção são diretamente proporcionais. Desse modo, duas grandezas são diretamente proporcionais quando o aumento no valor de uma delas causa um aumento no valor da outra na mesma proporção, ou quando uma redução no valor de uma das grandezas causa uma redução no valor da outra na mesma proporção. Assim, duas grandezas são diretamente proporcionais se, e somente se, as razões formadas pelos valores de uma grandeza e os valores correspondentes da outra grandeza, na mesma ordem, são iguais. Ou seja, a razão entre os valores correspondentes das duas grandezas é constante e é chamada de constante de proporcionalidade.

Comensurabilidade de segmentos e os números reais

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2

CAPÍTULO 2

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Indicando por x o valor da 1ª grandeza, por y o valor da 2ª grandeza e essa razão por k, teremos x = k ⇒ x = k⋅y y Exemplo: Suponha que a sucessão de números (20, 30, 50, 60) sejam os valores da primeira grandeza e que a sucessão (4, 6, 10, 12) sejam os valores da segunda grandeza. Essas grandezas são diretamente proporcionais (ou proporcionais), pois, dividindo cada número da primeira sucessão por cada número correspondente da segunda sucessão, obtemos 5, que é a constante de 20 30 50 60 = = = = 5. proporcionalidade 4 6 10 12 • Divisão de um número em partes diretamente proporcionais Vamos analisar as situações relatadas a seguir. Situação 1 O gerente de uma loja resolveu premiar seus três vendedores – Pedro, Maria e João – por terem superado as metas de vendas estabelecidas por ele. Dessa forma, quer dividir R$ 1.200,00 em partes diretamente proporcionais ao tempo de cada um na empresa. Pedro, Maria e João têm, respectivamente, 2 anos, 3 anos e 5 anos de trabalho na loja. Quanto cada um receberá de prêmio? Vamos representar as quantias referentes a Pedro, Maria e João por P, M e J, respectivamente, e a constante de proporcionalidade por k. Como esses valores são diretamente proporcionais a 2, 3 e 5, podemos escrever o seguinte sistema: P + M + J = 1200  P M J  = = =k  2 3 5

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2 k + 3 k + 5k = 1200 10 k = 1200 1200 k= ⇒ k = 120 10 Como P = 2 k ⇒ P = 2 ⋅ 120 ⇒ P = 240 M = 3 k ⇒ M = 3 ⋅ 120 ⇒ P = 360 J = 5K ⇒ J = 5 ⋅ 120 ⇒ P = 600 Portanto, Pedro receberá R$ 240,00; Maria, R$ 360,00; e João, R$ 600,00. Situação 2 Alice, Gabriela e Mariana formaram uma sociedade. Alice investiu R$ 120.000,00, Gabriela entrou com R$ 200.000,00 e Mariana, com R$ 100.000,00. Após 1 ano, o lucro da empresa foi de R$ 1.260 000,00. As três sócias optaram por dividir o lucro em partes diretamente proporcionais ao que cada uma investiu inicialmente. Quanto coube a cada uma? Observe que a situação aqui descrita é muito semelhante à primeira, podendo ser resolvida de forma análoga. Entretanto, apresentaremos um outro método de resolução. Vamos representar as quantias que Alice, Gabriela e Mariana receberam por A, G e M, respectivamente. Como esses valores são diretamente proporcionais aos valores investidos, temos: A G M = = 120.000 200.000 100.000 Sabemos também que A + G + M = 1.260.000. Assim, formamos o sistema de equações seguinte:

Da segunda equação, temos:

74

P = k ⇒ P = 2k 2 M = k ⇒ M = 3k 3 J = k ⇒ J = 5k 5 Substituindo os resultados anteriores na primeira equação, temos

A + G + M = 1.260.000    G M  A  = =   120.000 200.000 100.000 

VOLUME 1

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Pela propriedade das proporções, podemos escrever  A + G + M = 1.260.000  G M  A = = =   120.000 200.000 100.000  A +G+M 1.260.000 = = =3  120.000 + 200.000 + 100.000 420.000 A = 3 ⇒ A = 120.000 ⋅ 3 ⇒ A = 360.000 120.000 G = 3 ⇒ G = 200.000 ⋅ 3 ⇒ G = 600.000 200.000 M = 3 ⇒ M = 100.000 ⋅ 3 ⇒ M = 300.000 100.000 Portanto, Alice recebeu R$ 360.000,00, Gabriela recebeu R$ 600.000,00 e Mariana recebeu R$ 300.000,00.

2.2 – Grandezas inversamente proporcionais Considere a seguinte situação: Mateus contratou um profissional para fazer a reforma de seu quarto. Esse profissional disse que consegue terminar o serviço em 60 dias, trabalhando sozinho. Mateus perguntou se o prazo poderia ser menor e quais as condições para que isso acontecesse. O profissional lhe disse que poderia contratar ajudantes, de mesma capacidade de trabalho, de maneira que, quanto mais trabalhadores Mateus puder contratar, em menos tempo o serviço será concluído. Observe a tabela que Mateus recebeu do profissional para análise. Mateus percebeu duas coisas interessantes analisando essa tabela: Prazo para conclusão (em dias)

Número de trabalhadores

60

1

30

2

20

3

15

4

12

5

10

6

6. O produto entre os valores correspondentes de cada uma das grandezas é constante. Observe: 60 ⋅ 1 = 30 ⋅ 2 = 20 ⋅ 3 = 15 ⋅ 4 = 12 ⋅ 5 = 10 ⋅ 6 = 60 7. As razões formadas por dois valores quaisquer de uma grandeza são inversas às razões formadas pelos dois valores correspondentes da outra grandeza. Observe: a. A razão formada pelos dois primeiros valores da 2 60 grandeza prazo é , que equivale a . Já a razão 1 30 formada pelos dois primeiros valores da grande1 za número de trabalhadores é . Note que as razões 2 2 1 e são inversas. 1 2 b. A razão formada pelos dois últimos valores da 12 6 grandeza prazo é , que equivale a . Já a razão 10 5 formada pelos dois últimos valores da grandeza 5 número de trabalhadores é . Novamente as razões 6 6 5 obtidas, e , são inversas. 5 6 Essas relações percebidas por Mateus acontecem sempre que as grandezas são inversamente proporcionais. Indicando por x o valor da 1ª grandeza e por y o 1 valor da 2ª grandeza, teremos x ⋅ y = k ⇒ x = k ⋅ y Podemos dizer, então, que duas grandezas são inversamente proporcionais quando o aumento no valor de uma delas causa uma diminuição no valor da outra na proporção inversa; ou seja, quando uma dobra de valor, por exemplo, a outra tem seu valor reduzido à metade. O mesmo podemos observar quando há redução no valor de uma das grandezas, causando um aumento no valor da outra na proporção inversa. Consequentemente, duas grandezas são inversamente proporcionais quando: • a razão formada por dois valores de uma das grandezas é igual ao inverso da razão obtida pelos dois valores correspondentes da outra grandeza; • a sequência de valores de uma grandeza é diretamente proporcional à sequência formada pelos inversos dos valores da outra grandeza. Ou seja,

Comensurabilidade de segmentos e os números reais

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CAPÍTULO 2

75

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y x z = = 1 1 1 ou x ⋅ a = y ⋅ b = z ⋅ c; a b c

Da definição, tem-se que: 1⋅8=x⋅1 x=8

• o produto entre valores correspondentes das duas grandezas é constante. Exemplo: Para encher um tanque, usam-se três mangueiras idênticas, de mesma vazão. Com apenas uma mangueira aberta, enche-se o tanque em 8 horas. a. Em quantos minutos as três mangueiras encheriam completamente o tanque? As grandezas são inversamente proporcionais, pois quanto mais mangueiras abertas houver, em menos tempo o tanque ficará cheio. Portanto, temos: Número de mangueiras

Tempo (em minutos)

1

480

3

x

Da definição, tem-se que: 1 ⋅ 480 = 3 ⋅ x 480 x= 3 x = 160 min Logo, as três mangueiras juntas encheriam o tanque em 160 minutos. b. Quantas mangueiras iguais a essa seriam necessárias para encher o tanque em 1 hora? Já sabemos que as grandezas são inversamente proporcionais. Então, temos:

76

Número de mangueiras

Tempo (em minutos)

1

8

x

1

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Logo, seriam necessárias oito mangueiras.

2.2.1 – Divisão de um número em partes inversamente proporcionais Vamos analisar a seguinte situação: Alexandre pretende gratificar seus três funcionários dividindo R$ 4.200,00 em partes inversamente proporcionais à quantidade de faltas que cada um dos funcionários teve durante o ano de 2019. Felipe teve três faltas, Priscila apenas uma falta e Rafaela faltou quatro dias durante o ano. Qual será a gratificação de Rafaela? Observe que, quanto menos faltas o funcionário tiver, maior será a sua gratificação, caracterizando que as grandezas gratificação e número de faltas são inversamente proporcionais. Então, o produto dos valores correspondentes de cada uma das grandezas é constante. Representando por F, P e R as respectivas gratificações de Felipe, Priscila e Rafaela, podemos escrever: Funcionários

Número de faltas

F

3

P

1

R

3

F P R F + P + R 4.200 = = 2.520 = = = 5 1 1 1 1 1 1 + + 3 3 3 3 3 R 1 = 2.520 ⇒ R = ⋅ 2.520 = 840 1 3 3 Portanto, a gratificação de Rafaela será de R$ 840,00.

VOLUME 1

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EXERCITANDO EM AULA Shutterstock.com

14. Divida o número 870 em partes diretamente proporcionais aos números 7, 10 e 12. 15. Divida 3.751 em partes diretamente propor3 cionais a 7 , 5 e . 4 8 2

16. Divida o número 325 em partes diretamente proporcionais aos números 0,4; 1,2; e 3,4.

22. O projeto do novo estádio do Castelão (CE) foi orçado em 520 milhões de reais. Shutterstock.com

17. Divida o número 870 em partes inversamente proporcionais aos números 3, 5 e 9.

18. Divida o número 3.161 em partes inversamente proporcionais a

2 4 7 , e . 3 5 8

19. Decomponha 760 em partes inversamente proporcionais a 0,4; 3,2; e 6,4.

20. Sabendo que os números a, 12 e 15 são direta-

Supondo que o consórcio responsável por essa construção era composto de quatro grandes empresas e que o valor total do orçamento foi dividido em cotas diretamente proporcionais aos números 11, 16, 18 e 20, determine os valores recebidos por cada uma dessas empresas.

mente proporcionais aos números 28, b e 20, determine os números que devem substituir a e b.

21. Uma barra de chocolate com 400 gramas foi

dividida entre João, Lucas e Thomas, em partes diretamente proporcionais às suas idades. Se João tem 11 anos, Lucas, 9 anos e Thomas, 5 anos, quantos gramas de chocolate coube a cada um?

Comensurabilidade de segmentos e os números reais

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CAPÍTULO 2

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TÓPICO

3

Segmentos comensuráveis e segmentos incomensuráveis

Para definirmos segmentos comensuráveis ou incomensuráveis, primeiramente precisamos entender o que é medida e como surgiu esse conceito. Assim como a maioria das descobertas ocorridas ao longo da história da humanidade, os sistemas de medidas surgiram em função das necessidades do homem nas suas tarefas diárias, como cálculo do material necessário para a construção de alguns utensílios no tamanho adequado, cálculo do tempo de viagem e da distância entre lugares, construção de habitações, confecção de roupas, entre outras atividades. Pesquisadores acreditam que os primeiros sistemas de medição foram criados pelos habitantes do Vale do Indo, subcontinente indiano, durante o período de 3000 a.C. a 1500 a.C. Eles defendem a tese de que o surgimento de tais sistemas, possivelmente, foi impulsionado pela cultura urbana e mercantilista da civilização dessa região, que era sustentada pelo comércio e pela agricultura. As unidades de medida eram criadas e adaptadas de acordo com a necessidade dos povos. Algumas dessas unidades ainda são utilizadas por determinados países até hoje. A Inglaterra e os Estados Unidos, por exemplo, utilizam a jarda como

78

9º ANO – Matemática 1

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medida de comprimento. Essa medida consiste na distância entre o nariz e a ponta do polegar, com o braço esticado, medindo aproximadamente 0,91 metro. Nos jogos de futebol, a jarda é utilizada nos momentos em que o juiz precisa marcar a distância entre a bola e a barreira; para isso, ele faz a medição contando passos, que é a medida aproximada de 1 jarda. Existem ainda as medições realizadas com base em partes do corpo, como o palmo, muito utilizado pelos egípcios. Atualmente o palmo é utilizado em medições caseiras e é medido pela distância em linha reta do polegar ao dedo mínimo (mindinho), com a palma da mão aberta.

Jarda

Imagem 2.1

VOLUME 1

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3.1 – Medida de um segmento de reta A medida de um segmento de reta é o número que se obtém comparando este segmento com um segmento padrão tomado como unidade de comprimento. Observe a figura a seguir, em que u é o segmento unitário. u B

A u

u

Verificamos, então, que a medida do segmento de extremos A e B é 2u. Dessa forma, a medida de um segmento qualquer é um número que exprime quantas vezes o segmento definido como unitário está contido no segmento considerado.

Na figura a seguir, XY é o segmento unitário, ou seja, sua medida é 1. Observe que XY cabe 5 vezes em AB (AB = 5) e 3 vezes em CD (CD = 3). Portanto, os segmentos AB e CD são comensuráveis, e a razão entre suas medidas é 5/3.

B

A C

D

X

Y

3.3 – Segmentos incomensuráveis Shutterstock.com

Dessa forma, desde a Antiguidade, os povos foram criando suas unidades de medida, cada um adotando sua própria unidade-padrão. O desenvolvimento do comércio tornava cada vez mais difícil a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Então, tornou-se necessário adotar um padrão de medida único para cada grandeza. Foi assim que, em 1791, época da Revolução Francesa, um grupo de representantes de vários países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas, surgindo, então, o sistema métrico decimal. Em anos anteriores, você teve a oportunidade de estudar as unidades de medida de comprimento. Neste tópico, você irá conhecer os conceitos de segmentos comensuráveis e incomensuráveis.

Os pitagóricos, grupo de matemáticos discípulos de Pitágoras, acreditavam que dois segmentos de retas quaisquer sempre seriam comensuráveis. Porém, quando utilizaram o Teorema de Pitágoras Imagem 2.2 para calcular a medida da diagonal de um quadrado, perceberam que nenhum segmento de reta contido um número inteiro de vezes no lado do quadrado poderia estar contido um número inteiro de vezes na diagonal desse quadrado. Assim, os segmentos que representam a diagonal do quadrado e o seu lado são incomensuráveis. Além disso, a medida da diagonal é um número irracional, não podendo ser escrito como razão entre dois números inteiros. Pelo Teorema de Pitágoras, temos: d 2 = 12 + 12

3.2 – Segmentos comensuráveis A palavra comensurável significa “aquilo que pode ser medido”. Os segmentos AB e CD, na figura a seguir, são ditos comensuráveis quando um terceiro segmento (u), definido como unitário, cabe exatamente um número inteiro de vezes nos segmentos AB e CD . Dizemos, ainda, que dois números reais que expressam as medidas de dois segmentos são comensuráveis quando a razão entre eles for um número racional.

d

1

d2 = 1 + 1 = 2 d= 2

1

Os segmentos AB e CD são ditos incomensuráveis quando não há um segmento (u), definido como unitário, que caiba um número inteiro de vezes nos segmentos AB e CD . Nesse caso, dizemos que dois números reais que expressam as medidas desses dois segmentos são incomensuráveis.

Comensurabilidade de segmentos e os números reais

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CAPÍTULO 2

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ESCLARECENDO “Em um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.” C

a2 = b2 + c2

cateto b

a sa nu te po hi

Possivelmente, um dos teoremas mais utilizado da Geometria seja o Teorema de Pitágoras. Posteriormente, no volume 2, esse teorema será demonstrado.

A

cateto c

B

EXERCITANDO EM AULA 23. Em seu caderno, desenhe um retângulo cujos

lados meçam 2 cm e 3 cm. Em seguida, trace a diagonal do retângulo. Sobre uma reta numerada, com o auxílio de um compasso, a partir do 0 (zero), marque as medidas dos lados e da diagonal, obtendo os segmentos OA , OB e OC , respectivamente. Agora, responda, justificando suas respostas: a) Que número corresponde ao ponto C? É um número racional?

24. Na figura a seguir, sobre uma reta numera-

da, foi construído um quadrado de 2 cm de lado, assinalando o segmento OB , que representa a medida da diagonal do quadrado.

4

B

O 0

1

2

B’

b) Os segmentos OA e OB são comensuráveis? Justifique que B’ é a representação geométrica de um número irracional. c) Os segmentos OB e OC são comensuráveis?

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5

2

7

xyz

123

4

0

1 9

3

Números reais

Ao longo da história da Matemática, os números foram surgindo para suprir as necessidades das civilizações. Inicialmente, da necessidade de contar, representar quantidades, surgiram os números naturais (). Em seguida, com o surgimento do comércio, nasceu a necessidade de representar ganhos e perdas, surgindo os números inteiros (). Posteriormente, em consequência de questões geométricas de representar partes de um inteiro, os egípcios criaram as frações, por volta do ano 1000 a.C., dando origem ao conjunto dos números racionais (). E, como vimos no tópico 3 deste capítulo, o estudo dos números incomensuráveis por meio da medida da diagonal do quadrado originou o conjunto dos números irracionais ( ). O conjunto dos números reais () é a união de todos esses conjuntos numéricos. O diagrama ao lado representa o conjunto dos números reais e permite visualizar as relações de inclusão entre os conjuntos numéricos como subconjuntos dos números reais.

6

TÓPICO

4

7 8

⊂⊂⊂ ⊂ ∪ =  ∩ =∅

Comensurabilidade de segmentos e os números reais

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4

CAPÍTULO 2

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ESCLARECENDO Número racional é todo número que pode ser a escrito na forma , com a ∈ , b ∈ *. Utilizando a b   a simbologia de conjuntos,  =  a ∈  e b ∈  * .  b  Exemplos: 2 • = 0 , 666 (dízima periódica simples) 3 • - 10 = -2 (inteiro) 5 0 • = 0 (inteiro) 3

• 3 , 251 = 3 , 2515151 (dízima periódica composta) Número irracional é aquele que não pode ser a escrito na forma , a ∈ Z, b ∈ Z*. São números cuja b representação decimal é infinita e não periódica. Exemplos: •

2 = 1 , 414213...

• - 10 = -0 , 632455... 5 • π = 3 , 141592...

81 9 = = 1 , 8 (decimal exato) 25 5

EXERCITANDO EM AULA 25. Escreva os números a seguir na forma de fração irredutível. a) 15 b) -7 c) 3,5 d) 0,005 e) 0,666... f) 12,03 g) -0,0002 h) -1,5222... i) 0, 21 j) -1,0222...

decimais. 2 a) 5

c)

82

1 10

15 2

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11 3

e)

135 1000

f)

33 5

g)

121 12

h)

1245 732

27. Classifique os números decimais do exercí-

26. Transforme as frações a seguir em números

b) -

d) -

cio anterior em exatos (E), não exatos (NE), dízimas periódicas simples (DPS) ou dízimas periódicas compostas (DPC). a) ( ) e) ( ) b) ( ) f) ( ) c) ( ) g) ( ) d) ( ) h) ( )

28. De acordo com os conjuntos numéricos, analise as afirmativas a seguir:

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I. Todo número natural é inteiro. II. A soma de dois números irracionais é sempre irracional. III. Todo número irracional é real. IV. Todo número racional é inteiro.

{ 21 , 9} 2 c) {-2 , 0 , π, } 3 b) -5 , 0 ,

d) São verdadeiras as afirmativas a) I e II. b) I e III. c) I e IV. d) II e III. e) III e IV.

29. Sobre os números racionais

3 , 64 , π, 2 }

e) -1, 0 , 3 , 1     3 

32. Escreva em ordem crescente, utilizando o símbolo > ou <, os números racionais

1 7 14 , e ,é 11 33 55

correto afirmar que a) apenas dois desses números, em sua forma decimal, são representados por dízimas periódicas. b) apenas um desses números, em sua forma decimal, é representado por uma dízima periódica simples. c) os três números, em sua forma decimal, podem ser representados por dízimas periódicas tais que o período de cada uma delas é um número primo. d) os três números, em sua forma decimal, podem ser representados por dízimas periódicas tais que o período de cada uma delas é um número divisível por 3. e) os três números, em sua forma decimal, podem ser representados por dízimas periódicas tais que o período de cada uma delas é um número divisível por 4.

30. Qual é o valor da expressão numérica 1 1 1 1 ? + + + 5 50 500 5000

a) b) c) d) e)

{

2 4 7 3 5 1 7 7 - , ,- ,- , ,- , e . 3 5 8 2 9 4 8 9

33. Um pesquisador tem à disposição quatro frascos com a mesma substância. No frasco I, há um quarto de litro dessa substância; no frasco II, há um quinto de litro dessa substância; no III, há um oitavo de litro dessa substância; e no frasco IV há um décimo de litro da substância. Se ele utilizar os dois frascos com maior quantidade dessa substância, ele terá utilizado, ao todo: a) dois nonos de litro. b) dois dezoito avos de litro. c) nove vinte avos de litro. d) nove quarenta avos de litro. e) um nono de litro. Assista ao vídeo a seguir para saber um pouco sobre a história do número π.

0,2222 0,2323 0,2332 0,3222 0,3333

31. Indique qual dos conjuntos a seguir é constituído somente de números racionais. a) -1, 2 , 2 , π .

{

}

Link sugerido • https://bit.ly/2PFcDSe

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CAPÍTULO 2

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QUESTÕES COMENTADAS

RESOLUÇÃO

01. (IFCE) O matemático indiano Madhava de Sangamagrama viveu durante os séculos 14 e 15. A ele

são atribuídos muitos feitos, dentre os quais citamos ter sido o primeiro a calcular o valor de π com mais de 10 casas decimais corretas, a saber: 3,14159265359. Na aproximação π = 22 o primeiro algarismo di7 ferente do valor exato é o a) primeiro depois da vírgula. b) segundo depois da vírgula. c) terceiro depois da vírgula. d) quarto depois da vírgula. e) quinto depois da vírgula.

QUESTÃO COMENTADA

RESOLUÇÃO

02. O preço unitário de um produto é de R$ 1,65. Na promoção, pagando 2 produtos, leva-se 3. Assinale a alternativa que apresenta a quantidade que se pode adquirir desse produto com R$ 132,00. a) 40. b) 80. c) 100. d) 120. e) 150.

QUESTÃO COMENTADA

RESOLUÇÃO

03. A super-heroína Garota-Abelha tem o poder de diminuir seu tamanho na escala de 1:140. Se, ao

utilizar seu poder, ela fica com apenas 12mm de altura, qual altura normal da heroína? a) 1,65 m. b) 1,68 m. c) 1,70 m. d) 1,52 m. e) 1,62 m.

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO TÓPICO 1: Razão entre grandezas de mesma natureza e de naturezas distintas

c) 650 gramas. d) 651 gramas. e) 652 gramas.

03. (CMRJ) A revista Tales of Suspense #39 traz a ori-

Nível 1

01. (CFTMG) Uma determinada receita de pão leva

gem do Homem de Ferro. (março de 1963).

Shutterstock.com

uma xícara e meia de chá de farinha de trigo. Para medir esse ingrediente, dispõe-se apenas de uma colher de sopa. Considere que uma xícara de chá de farinha de trigo equivale a 168 gramas e uma colher de sopa, a 12 gramas.

O número necessário de colheres de sopa de farinha para fazer essa receita é a) 15. b) 18. c) 19. d) 21. e) 23

02. (CP2/ADAPTADA) André trabalha no Centro

do Rio de Janeiro e almoça de segunda a sexta-feira nos restaurantes da região. Certo dia, ele encontrou um restaurante self service que oferecia duas modalidades de pagamento: R$ 29,90 “coma à vontade” (valor fixo, sem pesar o prato) ou R$ 46,00 por quilo (valor depende do consumo aferido na balança). Para a segunda modalidade de pagamento, a balança marcava apenas o número inteiro de gramas a ser consumido pelo cliente, excluindo-se o “peso” inicial do prato (sem alimento). É mais vantajoso para André optar pelo “coma à vontade” a partir de a) 648 gramas. b) 649 gramas.

Disponível em:<< https://super.abril.com.br/comportamento/a-cronologia-dos-super-herois/>>. Acesso em: 21 ago. 2018. (Adaptado)

A armadura do Homem de Ferro é repleta de tecnologia e está dividida em diversas partes. Em uma de suas primeiras idealizações, a armadura era dividida em quatro partes: 1ª parte, cabeça; 2ª parte, tronco; 3ª parte, dois membros superiores; e, por último, 4ª parte, dois membros inferiores. Considerando que todas as partes possuem a mesma quantidade de ferro e, na 3ª e 4ª partes, a quantidade de ferro é dividida igualmente entre os membros, qual fração representa a quantidade de ferro utilizada em um membro inferior da armadura? 1 a) 2 b)

1 3

c)

1 4

d)

1 6

e) 1 8

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CAPÍTULO 2

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04. (CMRJ) Nunca se olhou tanto para baixo. Na

fila, no parque, na escola, no trabalho, no museu, no ônibus e, perigosamente, no carro, as pessoas parecem só ter um interesse: a tela do smartphone. Nos Estados Unidos, um estudo do Pew Research Center apontou que aproximadamente 50% da população diz não conseguir viver sem seu celular com acesso à internet. Enzo, aluno do 6º ano do CMRJ, passa cerca de 10h 24 min por dia olhando para a tela do seu celular. Sabendo que, dentro das 24 horas do seu dia, ele dorme durante 8 horas, a fração referente ao tempo gasto por Enzo no celular enquanto está acordado é igual a

a) b) c) d) e)

13 30 13 20 11 20 11 30 2 3

05. (CPS) Segundo pesquisas, na história do planeta Terra, houve cinco grandes eventos cujos impactos sobre a biodiversidade foram tão devastadores que acarretaram extinções em massa, como a dos dinossauros. Suponha que um desses episódios foi causado por um impacto com um asteroide de 15 km de diâmetro, o que deixou em nosso planeta uma cratera de 200 km de diâmetro. Considere que a energia liberada pelo impacto de um asteroide é diretamente proporcional apenas ao cubo do diâmetro da cratera formada. Assinale a expressão que relaciona corretamente a energia liberada E, no fenômeno descrito, com o diâmetro do asteroide, na qual k representa a constante de proporcionalidade. a) E = k ⋅ 15 b) E = k ⋅ 200 c) E = k ⋅ 3.000 d) E = k ⋅ 33.750 e) E = k ⋅ 8.000.000

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06. (CFTMG/ADAPTADO)

Uma pessoa foi ao supermercado comprar o creme de leite de sua preferência e percebeu que o produto é vendido em quatro embalagens distintas. Os volumes e preços dessas embalagens estão representados no quadro abaixo: Creme de leite Embalagem

Volume (ml)

Valor (R$)

I.

200

3,80

II.

300

5,20

III.

500

7,80

IV.

800

11,20

V.

900

12,40

De acordo com esse quadro, a embalagem de creme de leite que proporciona o menor custo, por ml, é a a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V.

07. (CFTMG) No quadro a seguir, são apresentados

os ingredientes para o preparo de um bolo que serve exatamente 8 pessoas. Ingredientes

Quantidade

Ovos

3 unidades

Margarina ou Manteiga

50 g

Açúcar

150 g

Farinha de Trigo

200 g

Leite

200 ml

Fermento

50 g

Uma pessoa decidiu usar essa receita e preparar um bolo para 37 pessoas e, para isso, aumentou proporcionalmente os ingredientes para conseguir a

VOLUME 1

13/01/2020 16:11:44


Shutterstock.com

quantidade desejada. A farinha de sua preferência é vendida apenas em pacotes de 150 g.

A quantidade mínima de pacotes dessa farinha necessários para o preparo desse bolo é a) 5. b) 6. c) 7. d) 8. e) 9.

09. (CFTRJ) Um pequeno mercado oferece a promo-

ção leve 5 e pague 4, indicando que, por 5 unidades de um produto, o cliente paga apenas o preço referente a 4 unidades. Uma unidade do produto custa R$ 10,25 e Celso decide aproveitar a promoção levando 5 unidades. a) Quantos reais a menos Celso pagou por cada unidade que levou? b) Se a promoção fosse “Na compra de 5 produtos iguais, receba um desconto de x% no preço de cada unidade do produto”, quanto valeria x para que a promoção fosse equivalente à promoção original do enunciado?

10. (CMRJ) A Marvel publica a revista The X-Men 1, primeira a figurar o grupo de mutantes liderados pelo Professor Xavier (setembro de 1963). Wolverine surge em 1974 e, em 1975, passa a integrar o grupo de mutantes.

08. (CP2) Na entrada do Colégio Pedro II existe um

painel luminoso com as letras C, P, I e I, formado por lâmpadas incandescentes, conforme a figura a seguir:

Certo dia, ao se ligar o painel, percebeu-se que 18% das lâmpadas estavam queimadas e deveriam ser substituídas por lâmpadas de LED. A razão entre a quantidade de lâmpadas de LED e a quantidade de lâmpadas incandescentes que não queimaram é a) b) c) d) e)

7 32 9 41 9 50 50 9 32 7

Disponível em: <<https://super.abril.com.br/comportamento/a-cronologia-dos-super-herois/>>. Acesso em: 21 ago. 2018. (Adaptado)

Não há como negar que, de todos os X-Men, o mutante mais impactante da Marvel sempre foi o Wolverine. Os sentidos aguçados, as habilidades físicas aprimoradas, a capacidade regenerativa potente e três garras retráteis em cada mão são características que o fazem um dos super-heróis mais poderosos da Marvel. Levando em conta que tais poderes permitem que Wolverine pilote, com agilidade, sua moto, quanto tempo, em minutos, ele levaria para completar uma pista reta de 4 km de comprimento a uma velocidade (razão entre a distância percorrida e o tempo utilizado, nesta ordem) de 240 km/h? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Comensurabilidade de segmentos e os números reais

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CAPÍTULO 2

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11. (COTIL) Previsões indicam que, no ano de 2050,

Um agricultor alimenta suas vacas com ração. Com 800 kg de ração, ele alimenta certa quantidade de vacas por 25 dias. Assinale a alternativa que apresenta o número de dias que essa mesma quantidade de vacas será alimentada, considerando que, desta vez, ele as alimentará com 640 kg de ração. Shutterstock.com

a população mundial será de 9,6 bilhões de habitantes. Destes, 2/3 estarão vivendo nas cidades. Sendo assim, qual alternativa nos dá o número de habitantes que estarão nas cidades? a) 3,2 milhões de pessoas b) 64 bilhões de pessoas c) 6 milhões de pessoas d) 6,4 bilhões de pessoas e) 3,2 bilhões de pessoas

15. (IFSP/ADAPTADA)

12. (IFAL) Uma herança de R$ 320.000,00 foi dividi-

da entre 3 filhos na seguinte proporção: o mais novo recebeu 1/8 da herança e o mais velho recebeu 1/2 da herança. Qual foi o valor recebido pelo filho do meio? a) R$ 40.000,00. b) R$ 80.000,00. c) R$ 120.000,00 d) R$ 160.000,00. e) R$ 200.000,00.

13. (IFAL) Uma razão muito utilizada na Geografia é a densidade demográfica, que relaciona a população de uma dada região com a sua área, muito importante para avaliar a concentração de pessoas na localidade. O Estado de Alagoas, de acordo com pesquisa realizada em 2010, pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), possui população de aproximadamente 3.120.494 habitantes. Se a área da superfície do estado de Alagoas é de aproximadamente 27.779,343 km2, de acordo com essa pesquisa, a densidade demográfica do estado alagoano é de aproximadamente: a) 0,009. b) 112,331. c) 1.552,484. d) 3.092.714,657. e) 3.148.273,343.

a) b) c) d) e)

18 dias. 19 dias. 20 dias. 21 dias. 22 dias.

16. (UFAC/ADAPTADA) Um carro com uma velocidade de 80 km/h passa pelo km 240 de uma rodovia às 07h30 min. A que horas esse carro chegará à próxima cidade, que está situada no km 300 dessa rodovia? a) 08h15min b) 08h45min c) 09h d) 07h45min e) 10h 17. (FUVEST) No mapa a seguir, a distância, em linha reta, entre as cidades de Araçatuba e Campinas é de 1,5 cm.

14. (UTFPR) O preço unitário de um produto é de R$ 1,65. Na promoção, pagando 2 produtos, leva-se 3. Assinale a alternativa que apresenta a quantidade que se pode adquirir desse produto com R$ 132,00. a) 40. b) 80. c) 100. d) 120. e) 150.

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9º ANO – Matemática 1

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Na realidade, essa distância é de aproximadamente: a) 150 km. b) 167 km.

VOLUME 1

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c) 188 km. d) 250 km. e) 375 km.

18. (ENEM) Um biólogo mediu a altura de cinco ár-

vores distintas e representou-as em uma mesma malha quadriculada, utilizando escalas diferentes, conforme indicações na figura a seguir. A razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em relação ao total de cadeiras desse mesmo setor é a) 17/10 b) 17/53 c) 53/70 d) 53/17 e) 70/17 Qual é a árvore que apresenta a maior altura real? a) I b) II c) III d) IV e) V

20. (ENEM) Em um certo teatro, as poltronas são

divididas em setores. A figura apresenta a vista do setor 3 desse teatro, no qual as cadeiras escuras estão reservadas e as claras não foram vendidas.

21. (UTFPR) Um ciclista faz um percurso de 700 km

percorrendo 35 km/dia. Se pedalasse 10 km a menos por dia, faria o mesmo percurso em: Shutterstock.com

19. (ENEM) No monte de Cerro Amazones, no deserto de Atacama, no Chile, ficará o maior telescópio da superfície terrestre, o Telescópio Europeu Extremamente Grande (E-ELT). O E-ELT terá um espelho primário de 42 m de diâmetro, “o maior olho do mundo voltado para o céu”. Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora fez uma suposição de que o diâmetro do olho humano mede aproximadamente 2,1 cm. Qual é a razão entre o diâmetro do olho humano, suposto pela professora, e o diâmetro do espelho primário do telescópio citado? a) 1 : 20 b) 1 : 100 c) 1 : 200 d) 1 : 1000 e) 1 : 2000

Nível 2

a) b) c) d) e)

70 dias. 40 dias. 28 dias. 22,5 dias. 18 dias.

22. (IFSUL) Para se fabricar 20 camisas iguais são necessários 30 metros de um certo tecido. Quantos metros do mesmo tecido serão necessários para fabricar 50 camisas iguais às citadas? a) 45 b) 55 c) 65 d) 75 e) 85

Comensurabilidade de segmentos e os números reais

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23. (IFAL) Uma família compromete 3/8 de sua

renda mensal em gasto com a saúde. Sabendo que a renda mensal desta família é de R$ 2.400,00, qual o valor gasto mensalmente com a saúde? a) R$ 300,00. b) R$ 600,00. c) R$ 900,00. d) R$ 1.200,00. e) R$ 1.500,00.

24. (IFPE/ADAPTADO) O primeiro computador

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que surgiu foi o Eniac, sigla em inglês que significa Integrador e Computador Numérico e Eletrônico. Ele surgiu na década de 1940, durante a Segunda Guerra Mundial, para ajudar o exército americano a realizar cálculos de precisão necessários para o lançamento de mísseis e bombas, pois, por meio de cálculos manuais, os resultados eram obtidos em 12 horas. Com o Eniac, os mesmos cálculos levavam 30 segundos.

90

25. (IFSUL) A produção de lixo representa um importante tema ambiental. Cada pessoa de uma certa cidade com 72.000 habitantes produz, em média, 3 kg de lixo por dia. Para o transporte do lixo, da 4 cidade ao aterro sanitário, é utilizado um caminhão cuja capacidade de carga corresponde a 9.000 kg. Dessa forma, é correto afirmar que o número de caminhões que podem ser carregados com o lixo produzido diariamente nessa cidade é a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

26. (CFTRJ) O gráfico a seguir mostra as quantidades de unidades vendidas por cada tipo de docinho que Cecília faz para vender.

Disponível em: <http://redeetec.mec.gov.br/images/stories/ pdf/eixo_infor_comun/tec_man_sup/081112_manut_mont.pdf>. Acesso: 02 maio 2017 (adaptado).

O docinho mais vendido responde por qual fração do total de docinhos vendidos?

Com base no texto, em quantas horas os resultados manuais seriam obtidos, sabendo que, realizados no computador Eniac, os mesmos cálculos foram feitos em 5 minutos? a) 300 horas. b) 100 horas. c) 150 horas. d) 120 horas. e) 180 horas.

a)

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b) c) d) e)

3 13 4 13 5 13 6 13 7 13

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27. (COTIL) O velocímetro e o hodômetro são equi-

pamentos importantes em qualquer veículo, pois aferem, respectivamente, velocidade e distância percorrida. Ambos, em alguns carros, são regulados para fazer seus registros utilizando o número de giros da roda do carro.

Suponhamos que um automóvel venha com uma configuração de fábrica compatível com rodas de aro 15, que possui uma medida da circunferência do pneu de aproximadamente 200 cm Determine quantos giros a roda desse veículo realiza durante um intervalo de tempo de 2 minutos com uma velocidade de 120 km/h. a) 180.000 giros b) 2.000 giros c) 120 giros d) 1,2 giro e) 180 giros

28. (CMRJ) No dia 22 de março, é comemorado o

Dia Mundial da Água, data criada para nos conscientizar sobre a importância desse recurso fundamental para a vida no planeta. Em tempos de escassez de água, toda medida de economia é muito bem-vinda. Assim, ao pesquisar sobre consumo de água em residências, Maria descobre que, nos seus banhos diários de 15 minutos, são gastos 135 litros de água. Assustada com o desperdício, ela resolve reduzir seu banho para 9 minutos, obtendo uma economia considerável de água a cada banho. Se Maria tomar apenas um banho por dia, o volume economizado de água, em 30 dias, será de a) 1,62 m3 b) 2,43 m3 c) 162 m3

d) 4,05 m3 e) 243.000 cm3

29. (CFTRJ) No Cefet/RJ, há grupos de alunos de Informática e Mecânica que participam de campeonatos de robótica. Para divulgarem seus trabalhos, inscreveram um projeto a ser apresentado na SEPEX – Semana de Ensino, Pesquisa e Extensão. Para o projeto, os alunos de Mecânica fizeram o robô MEC3PO e os da informática fizeram o INFO2D2. Esses robôs participarão de uma corrida em uma pista oval de 500 cm. Ambos saem com velocidades constantes de uma linha de partidas, mas em sentidos opostos, e a corrida termina quando os dois robôs passarem juntos pela linha de onde partiram. Após 10 segundos, eles passam um pelo outro e, nesse momento, o INFO2D2 já havia percorrido 220 cm. Quantas voltas o MEC3PO completará ao fim da corrida? a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

30. (IFAL) Em uma certa turma de 49 alunos, o nú-

mero de homens corresponde a 3 do número de mu4 lheres. Quantos homens tem essa turma? a) 14. b) 21. c) 28. d) 35. e) 42.

TÓPICO 2: Grandezas diretamente e inversamente proporcionais Nível 1

31. (IFSUL) Os pares de números “18 e 10” e “15 e x”são grandezas inversamente proporcionais. Quanto vale x? a) 7 b) 8 c) 23 d) 27 e) 30

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32. (IFCE) Três números naturais são diretamente proporcionais a 2, 3 e 5. Se a soma dos quadrados desses números é 342, então os três números são a) 6, 9 e 15. b) 10, 30 e 50. c) 4, 6 e 10. d) 5, 8 e 12. e) 8, 12 e 20.

Texto para a próxima questão: “O sal de cozinha é o cloreto de sódio. Cada grama dele contém 0,4 g de sódio, íon essencial para o organismo porque facilita a retenção de água: para cada 9 g de sal ingeridas, o organismo retém um litro de água.”

33. (IFCE) Somando-se 3 ao numerador de uma fração, ela se torna equivalente a 1; somando-se 3 ao 2 denominador, ela se torna equivalente a , então a 3 fração é 15 a) 12 b)

12 15

Imagem disponível em: www.subirquadrado.blogspot.com. br/2010_04_01_archive.html Acesso: 13 out. 2013.

35. (IFSC) Usando as informações do texto, é COR-

c) -13 15 d)

15 13

e)

14 13

34. (CPS) Um artista pretende pintar uma tela que

tenha o formato de um retângulo áureo, por considerá-lo mais agradável esteticamente dentre todos os retângulos. Ele sabe que um retângulo é áureo quando a razão entre os comprimentos de seus lados é 1,618, aproximadamente. Assim sendo, se a medida do maior lado da tela for de 40 cm, então a medida do menor lado será, em centímetros, aproximadamente, a) 22,94. b) 24,72. c) 28,54. d) 36,26. e) 64,72.

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9º ANO – Matemática 1

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RETO afirmar que, se uma pessoa saudável consome 5 g de sal por dia, a quantidade de água que ficará retida em seu organismo é: a) 0,111 L b) 0, 444 L c) 0,333 L d) 0,222 L e) 0,555 L

36. Um carro gasta 14 litros de gasolina para fazer

um percurso de 154 quilômetros. Nessas condições, para percorrer 429 quilômetros, o carro gastará, em litros, uma quantidade de gasolina igual a a) 33. b) 34. c) 36. d) 39. e) 42.

37. (IFSP) A fotografia é uma forma de representa-

ção artística. Um fotógrafo deseja ampliar uma fotografia sem a distorcer, isto é, pretende produzir uma imagem semelhante à original. Se a fotografia original possui forma retangular de dimensões 12 cm x 16 cm e o fotógrafo pretende utilizar uma constante de proporcionalidade k = 2,5, então as dimensões da fotografia ampliada serão

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a) b) c) d) e)

8. 12. 16. 20. 24.

40. (CFTRJ) Anualmente, o Cefet/RJ, em seus di-

a) b) c) d) e)

versos campi, participa da Olimpíada Brasileira de Astronomia (OBA), tendo, este ano, diversos alunos selecionados para representar o Brasil nas olimpíadas internacionais no tema.

25 cm x 42 cm. 25 cm x 40 cm. 30 cm x 40 cm. 30 cm x 42 cm. 32 cm x 44 cm.

38. (IFPE) Na embalagem de uma lasanha industria-

lizada, constam as seguintes instruções de preparo: • Remova totalmente a parte superior da embalagem plástica. • Se o produto estiver descongelado, o tempo de aquecimento deve ser de 15 minutos no forno de micro-ondas ou de 45 minutos no forno a gás em temperatura média alta (220 ºC). Seguindo as instruções acima, Bira inicia o aquecimento de uma lasanha descongelada no forno a gás. Entretanto, após 30 minutos de espera, ele perde a paciência e decide então continuar o aquecimento no forno de micro-ondas. Quanto tempo será necessário no forno de micro-ondas para que a lasanha fique pronta? a) 5 minutos b) 10 minutos c) 12 minutos d) 15 minutos e) 20 minutos

39. (CFTMG) Seu Wagner, personagem do livro A

mocinha do Mercado Central, contratou uma equipe de artesãos para fazer um lote de bijuterias num prazo de 10 horas. Entretanto, 4 integrantes dessa equipe não puderam comparecer e o serviço demorou 5 horas a mais. Nessa situação, o número inicial de artesãos contratados era igual a

Em astronomia, é importante conseguir relacionar a influência que um corpo exerce sobre outro. A Lei da Gravitação Universal, por exemplo, afirma que dois corpos quaisquer de massas m1 e m2 se atraem com uma força F, medida em Newtons(N), que é proporcional ao produto de suas massas, medidas em kg, e inversamente proporcional ao quadrado da distância d, medida em metros, entre os corpos. A constante de proporcionalidade é chamada constante de gravitação universal, dada por G = 10-10

N×m 2 kg 2

Levando em conta apenas as relações de proporcionalidade descritas no texto, um aluno escreveu 2 expressões na tentativa de expressar a força F de atração. Expressão 1: F = G ×

Expressão 2: F = G ×

m1 ×m 2 d2

d2 m1 ×m 2

a) Qual das duas tentativas expressa a relação descrita no texto? b) Usando a expressão que você considerou correta, qual o valor aproximado da força, em Newtons, de atração entre a Terra e a Lua, considerando que a massa da Terra é aproximadamente 1025 kg, a massa da Lua é aproximadamente 1023 kg e a distância entre a Terra e a Lua é aproximadamente 108 m.

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41. (IFAL) Um técnico em edificações percebe que

42. (IFBA) Um produtor de cinema faz um documentário sobre os mistérios da natureza, composto por 60 curtas-metragens de 8 minutos cada. Se ele resolvesse utilizar curtas metragens com duração de 3 minutos, o número de curtas-metragens que comporiam o documentário seria de: a) 23 b) 60 c) 90 d) 160 e) 260 43. (IFAL) Uma editora utiliza 3 máquinas para produzir 1.800 livros em um certo período. Quantas máquinas serão necessárias para produzir 5.400 livros no mesmo período? a) 5. b) 6. c) 7. d) 8. e) 9.

44. (CFTMG) Em uma empresa, 10 funcionários produzem 150 peças em 30 dias úteis. O número de funcionários que a empresa vai precisar para produzir 200 peças, em 20 dias úteis, é igual a a) 18. b) 20. c) 22. d) 24. e) 26.

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medida de economia é bem-vinda. Em um banho de 15 minutos com chuveiro aberto são gastos cerca de 135 litros de água. Daniel resolveu reduzir seu banho para 9 minutos, obtendo assim uma economia de água a cada banho. Shutterstock.com

necessita de 9 pedreiros para construir uma casa em 20 dias. Trabalhando com a mesma eficiência, quantos pedreiros são necessários para construir uma casa do mesmo tipo em 12 dias? a) 6. b) 23. c) 15. d) 18. e) 21.

45. (CP2) Em tempos de escassez de água, toda

Se Daniel tomar apenas um banho por dia, em um mês ele terá economizado (considere 1 mês como tendo 30 dias). a) 1620 litros. b) 2510 litros. c) 5700 litros. d) 3250 litros. e) 1250 litros.

46. (IFSC) Um dos pratos típicos da Oktoberfest é “Marreco assado com purê de batata”. Considere que o prato servido contém 300 g de carne e 150 g de purê e que, em uma noite, foram servidas 1,35 ton desse prato, ao custo de R$ 20,00 cada unidade do prato servido. É CORRETO afirmar que, com esse prato, foi arrecadado um total de a) R$ 45.000,00. b) R$ 20.000,00. c) R$ 60.000,00. d) R$ 74.350,00. e) R$ 8.000,00. 47. Anderson pagou R$ 30,90 por 0,750 quilograma de um produto. Se ele tivesse comprado 1,250 quilograma desse produto, ele teria pago o valor de: a) R$ 52,40. b) R$ 50,60. c) R$ 51,50. d) R$ 53,70. e) R$ 49,80.

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48. (IFSUL) Médicos recomendam o consumo mo-

derado de refrigerante, considerando a quantidade elevada de açúcares presente nesse tipo de bebida. Observe os dados nutricionais de uma lata de refrigerante, conforme representado na tabela abaixo.

b) c) d) e)

3.500 kg 4.000 kg 4.500 kg 6.000 kg

Valor energético

149 kcal = 624 kJ

7

Açúcares

37 g

12

50. (IFPE) De acordo com o texto, qual seria a produção de mandioca no Pará para uma área de 20 ha (vinte hectares), em toneladas a) 200 t. b) 310 t. c) 468 t. d) 1.500 t. e) 600 t.

Sódio

18 mg

1

Nível 2

Informações nutricionais Para porção de 350 ml (2 copos) Quantidade por porção

a) b) c) d) e)

% Valor diário

51. (CFTMG) Em uma fábrica de peças de automó-

105,7 109,5 117,3 157,1 142,9

vel, 200 funcionários trabalhando 8 horas por dia produzem, juntos, 5.000 peças por dia. Devido à crise, essa fábrica demitiu 80 desses funcionários e a jornada de trabalho dos restantes passou a ser de 6 horas diárias.

Texto para as próximas 2 questões: Leia o texto para responder à(s) questão(ões). A agricultura migratória, baseada no processo neolítico da derruba e queima, é praticada por mais de 600 mil pequenos produtores na Amazônia e perpetua-se desde os primórdios da ocupação. A presença deste contingente, com baixo custo de oportunidade no uso da terra, tem sido atrativa para políticas ambientais ou sociais de cunho assistencialista. É muito baixa a produtividade da agricultura migratória. A da mandioca, no Pará (maior produtor), é de 15,5 t/ha, enquanto no Paraná (segundo produtor) os agricultores conseguem obter 23,4 t/ha, com melhor tecnologia. A de arroz é de apenas 1.500 kg/ha nas áreas derrubadas e queimadas, e com tecnologia pode-se obter mais que o triplo. Disponível em: <https://ainfo.cnptia.embrapa.br/digital/bitstream/item/112346/1/Apostila-Mandioca.pdf>.Acesso: 02 maio 2017.

49. (IFPE) Com base nas informações apresentadas

no texto, para um terreno quadrado cujas medidas de suas dimensões são metros, qual seria a produção de arroz cultivado na área total desse terreno? a) 2.000 kg

Nessas condições, o número de peças produzidas por dia passou a ser de a) 1.666. b) 2.250. c) 3.000. d) 3.750.

52. (CP2) A latinha de alumínio é o material mais reciclado nas grandes cidades. Um quilograma de latinhas é formado, em média, por 75 latinhas.

Considerando que o quilograma de latinhas pode ser vendido por R$ 4,50 e sabendo que o salário mínimo nacional tem um valor diário de aproximadamente R$ 27,00, então o número necessário de latinhas vendidas, por dia, para se atingir esse valor é de a) 225. b) 450.

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c) 500. d) 1250.

53. (IFSC) Consumo de chopp bate recorde dos últimos 20 anos Entre os dias 07 e 24 de outubro a 27ª Oktoberfest recebeu 578.870 pessoas nos setores do Parque Vila Germânica. O consumo de chopp surpreendeu a organização do evento: 583.681 litros foram consumidos, número superior ao registrado nos últimos 20 anos. Em 1990, a festa teve a marca de 774.672 litros. O público da Oktoberfest 2010 está mais qualificado do que nos anos anteriores. A organização da festa notou, ainda, um aumento de 30% a mais no consumo de chopp. Os tickets de refrigerante e água vendidos na festa somaram 182 mil, 30% a mais do que em 2009. Fonte: http://www.oktoberfestblumenau.com.br/oktoberfest/ edicoes-anteriores/2010-Consumo-de-chope-bate-recorde-dos-ultimos-20-anos

Curiosidades sobre o chopp Para produção de cada litro de chopp, são necessários 40 gramas de cevada. Isso equivale, mais ou menos, a 12 pés de cevada. Fonte: http://www.beerchopp.com.br/pg04.html

54. (EPCAR/CPCAR) Dois irmãos, Luiz e Guilher-

me, têm uma pequena fábrica de móveis de madeira. Luiz fabrica 20 cadeiras do modelo A em 3 dias de 4 horas de trabalho por dia. Já Guilherme fabrica 15 cadeiras do modelo A em 8 dias de 2 horas de trabalho por dia.

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55. (IFCE) Os números reais x, y e z são tais que x y z = = . Sabendo que xyz = 480, o valor de 2 5 6 2x2 + y-z é a) b) c) d) e)

42. 36. 30. 26. 22.

56. (CFTRJ) Uma organização não governamental

acolhe e alimenta gatos em situação de rua e abandono. João arrecadou junto às empresas preocupadas com o bem-estar dos animais dinheiro suficiente para comprar ração que alimente os 40 gatos acolhidos por 90 dias. A ração seria usada a partir do dia 1º de abril. Nesse dia, porém, 10 outros gatos foram acolhidos e alimentados diariamente com a mesma porção que os demais gatos já acolhidos. Shutterstock.com

Considerando que durante a Oktoberfest de 2010 foram disponibilizados ao público 800 mil litros de chopp para suprir a demanda, é CORRETO afirmar que, para a produção dessa quantidade de chopp, foram necessárias a) 32 toneladas de cevada. b) 2 toneladas de cevada. c) menos de uma tonelada de cevada. d) 14 toneladas de cevada. e) mais de 40 toneladas de cevada.

Uma empresa fez uma encomenda à fábrica de 250 cadeiras do modelo A. Para atender à demanda, os irmãos trabalharam juntos, no ritmo de 6 horas por dia, gastando, então, y dias para concluir o trabalho e entregar a encomenda. O número y é tal que a) possui raiz quadrada exata. b) divide 100. c) é divisor de 150. d) é múltiplo de 12.

A ração comprada com a arrecadação de João seria suficiente para alimentar todos os gatos até o dia: a) 10 de junho de 2018. b) 11 de junho de 2018. c) 12 de junho de 2018. d) 13 de junho de 2018.

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57. (CMRJ) Uma piscina na forma de um bloco re-

tangular tem suas dimensões representadas na figura abaixo. Após uma limpeza, a piscina encontra-se totalmente vazia.

Obedecidas as regras, o percentual de candidatos que faz jus à medalha de bronze na IMO é a) 12,5%. b) 16,7%. c) 20%. d) 25%. e) 33%.

60. (IFPE) Uma equipe de 12 agricultores leva 4 ho-

Considere que uma bomba jogue água dentro da piscina a uma vazão constante, isto é, o volume de água bombeado por minuto dentro da piscina é sempre o mesmo. Se em 10 minutos forem bombeados 250 litros de água para dentro da piscina, determine o tempo necessário, em horas, para que a piscina atinja 25% de sua capacidade total. a) 8 horas b) 9 horas c) 10 horas d) 12 horas e) 15 horas

ras para fazer a manutenção de 800 metros quadrados de terra. O tempo necessário para que 6 agricultores, com a mesma capacidade de trabalho, façam a manutenção de 600 metros quadrados de terra é de a) 12 horas. b) 8 horas. c) 10 horas. d) 6 horas. e) 4 horas.

58. (EPCAR/CPCAR) Uma prestadora de serviços

Nível 1

combina um prazo de 9 dias, utilizando 12 máquinas, para executar certo trabalho. Ao final do quarto dia, 4 máquinas estragam, não sendo substituídas e não havendo interrupção do trabalho. As máquinas levam 3 dias para serem consertadas, retornando ao trabalho no dia seguinte. Para que seja cumprido o prazo combinado no início, a prestadora coloca, além das 12 máquinas, mais x máquinas iguais às primeiras. É correto afirmar que x é igual a : a) 3 b) 4 c) 5 d) 6

59. (CMRJ) A IMO premia a metade dos partici-

pantes com medalhas. Essas medalhas – ouro, prata e bronze – são concedidas, respectivamente, na proporção de 1:2:3. Para incentivar o maior número possível de alunos a resolverem problemas completos, são concedidos certificados de menção honrosa àqueles estudantes que não receberam medalha, mas obtiveram 7 (sete) pontos em pelo menos um problema.

TÓPICO 3: Segmentos comensuráveis e segmentos incomensuráveis

61. (PROVA DO ESTADO – OFA) Os alunos Dora, Edson e Fábio encontraram em um livro uma demonstração do teorema de Tales. O texto informava que aquela demonstração era válida apenas quando envolvia segmentos comensuráveis. Eles passaram a discutir sobre os significados das expressões “segmentos comensuráveis” e “segmentos incomensuráveis”. Dora: Dois segmentos são comensuráveis quando a razão entre suas medidas for um número racional, caso contrário são incomensuráveis. Edson: Um segmento comensurável é aquele que pode ser medido por meio de um instrumento de medida, caso contrário, diz-se que o segmento é incomensurável. Fábio: Dois segmentos de reta são comensuráveis se existir um segmento de reta u, por menor que seja, tal que as medidas dos dois segmentos, tomando u como unidade, são números inteiros. Caso contrário, são incomensuráveis.

Adaptado de: https://www.imo2017.org.br/sobre-a-imo.html

Comensurabilidade de segmentos e os números reais

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É correto afirmar que o significado de segmentos comensuráveis a) não é conhecido pelos três alunos. b) é conhecido por Dora e Edson, apenas. c) é conhecido por Edson e Fábio, apenas. d) é conhecido por Dora e Fábio, apenas. e) é conhecido por Edson, apenas.

62. Dois segmentos de medidas 15,5 cm e 1,5 cm são

plantas e 35% das espécies de vertebrados terrestres. Para ser um hotspot, a área deve ter pelo menos 1.500 espécies de plantas endêmicas (que só existem naquela região) e ter 30%, ou menos, de sua vegetação original preservada. <https://tinyurl.com/yaofqe8z> Acesso em: 10.02.2019. Adaptado.

65. (CPS) Observe a reta real:

incomensuráveis? Justifique a sua resposta.

63. Dois segmentos de medidas 22 cm e 40 cm são comensuráveis? Justifique a sua resposta. Nível 2

64. Considere o quadrado ADEF de lado 3, em que

o lado AD foi dividido em três partes de mesma medida. Justificando sua resposta, cite: a) dois segmentos comensuráveis; b) dois segmentos incomensuráveis. F

E

3 A 1 B

C

D

TÓPICO 4: Números reais Nível 1 Leia o texto para responder à(s) questão(ões) a seguir. Não se sabe quantas espécies vegetais e animais existem no mundo, mas as estimativas são de que os cientistas identificaram apenas uma pequena fração (entre 1% e 10%) das espécies com as quais dividimos nosso planeta. Contudo, a diversidade biológica global vem sendo afetada pelas atividades humanas ao longo do tempo, e, hoje, a perda de biodiversidade é um problema. Em 1988, o ecologista inglês Normam Myers identificou as áreas mais ameaçadas no mundo, as quais chamou de hotspots. Em 1999, embora representassem apenas 1,4% da área do planeta, os 25 hotspots identificados abrigavam 44% de todas as espécies de

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De acordo com o texto, a porcentagem que se refere ao número de espécies identificadas pelos cientistas, até agora, é melhor representada, na reta real, pelo ponto a) P b) Q c) T d) X e) Y

66. (IFSP) No dia 11 de novembro de 2015, o site do

Banco Central do Brasil indicava que a taxa de câmbio para a compra do dólar era de R$ 3,7409. Nesse dia, Carlos precisou comprar dólares e pagou a taxa de câmbio indicada pelo Banco Central. Se ele tinha, ao todo, R$ 1.500,00 para realizar essa compra e comprou a maior quantidade inteira de dólares que foi possível, então é verdade que do valor que ele tinha disponível lhe sobrou: a) R$ 0,26. b) R$ 3,48. c) R$ 0,10. d) R$ 2,45. e) R$ 3,64.

67.

(CFTMG) Considere os conjuntos X e Y definidos por X = {x ∈ N | x é múltiplo de 3} e Y = {y ∈ Z | y é divisor de 8 Sobre o conjunto A = X Y, é correto afirmar que a) se n ∈ A então (-n) ∈ A. b) o conjunto A possui 4 elementos. c) o menor elemento do conjunto A é o zero. d) o maior elemento do conjunto A é divisível por 7. e) o conjunto A possui 12 elementos.

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68. (IFSUL) Sobre os números

25 36 e , 3 5

17 , afir-

ma-se que a) pertencem ao conjunto dos números naturais. b) pertencem ao conjunto dos números inteiros. c) pertencem ao conjunto dos números irracionais. d)

e)

25 36 < < 17 3 5 17 <

36 25 < 5 3

69. (IFCE) Considere os seguintes números reais

23 7 47 11 4 11 , , , 1, , , . Colocando-se esses núme24 8 48 12 3 8 ros em ordem crescente, o menor e o maior deles são, respectivamente, 23 a) e 1. 24 b)

11 4 e . 12 3

c)

7 4 e . 8 3

d)

7 11 e . 8 8

e)

47 4 e . 48 3

d) 40 lápis. e) 50 lápis

71. (IFAL) Analise as afirmações abaixo:

I. O conjunto dos Números Naturais é subconjunto dos Números Inteiros. II. O conjunto dos Números Naturais é subconjunto dos Números Racionais. III. O conjunto dos Números Naturais é subconjunto dos Números Irracionais. a) b) c) d) e)

Apenas a afirmação I é verdadeira. Apenas a afirmação II é verdadeira. Apenas a afirmação III é verdadeira. Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. Todas as afirmações são verdadeiras.

72. (EPCAR/CPCAR) Considere os números reais representados na reta real abaixo.

Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) Verdadeira ou (F) Falsa. ( )

70. (IFPE) Pedro, um aluno do curso de Almoxarife do IFPE – Cabo, em seu estágio, deparou com a seguinte situação: no almoxarifado, encontravam-se 20 caixas de lápis, cada caixa com 30 lápis. Ele preci1 sava mandar dessas caixas para o laboratório de 10 matemática. Ao abrir as caixas que chegaram ao la5 boratório, o professor de matemática colocou dos 6 lápis sobre as mesas, guardando o restante dos lápis no armário. Nessas condições, podemos afirmar que o professor guardou, no armário do laboratório, um total de a) 10 lápis. b) 20 lápis. c) 30 lápis.

y-x -z 2

é, necessariamente, um número que per-

tence a Q-. ( ) y2 é tal que 0 < y2 < 1. ( ) O inverso do oposto de x é um número compreendido entre 1 e 2. Sobre as proposições, tem-se que a) apenas uma é verdadeira. b) apenas duas são verdadeiras. c) apenas três são verdadeiras. d) todas são falsas. 2 . Se a soma 3 do numerador com o denominador dessa fração é 25,

73. (IFCE) Uma fração é equivalente a

o produto do numerador pelo denominador dessa fração vale a) 6. b) 96.

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CAPÍTULO 2

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76. (ESPM) O valor da expressão 2x3 -20x2 + 50x,

c) 54. d) 24. e) 150.

74. (ESPM) Segundo a Organização Mundial de Saúde (OMS), o Índice de Massa Corporal (IMC) ideal para um indivíduo adulto deve estar entre 18,5 e 25. peso Para o cálculo, usa-se a fór­mula IMC = . altura 2

77.

(UTFPR) Sabendo que a e b são números reais tais que -1 < a < 0 e 1 < b <3, então:

De acordo com o exposto, o peso ideal para um adulto de 1,70 m de altura deve estar entre: a) 54 kg e 65 kg b) 56 kg e 70 kg c) 48 kg e 67 kg d) 60 kg e 75 kg e) 54 kg e 72 kg

a)

75. (UERJ) Em uma atividade com sua turma, um professor utilizou 64 cartões, cada um com dois algarismos, x e y, iguais ou distintos, pertencentes ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. A imagem abaixo representa um tipo desse cartão.

e)

Um aluno escolheu um único cartão e efetuou as seguintes operações em sequência: I. multiplicou um dos algarismos do cartão escolhido por 5; II. acrescentou 3 unidades ao produto obtido em I; III. multiplicou o total obtido em II por 2; IV. somou o consecutivo do outro algarismo do cartão ao resultado obtido em III. Ao fim dessas operações, obteve-se no sistema decimal o número 73. O cartão que o aluno pegou contém os algarismos cuja soma x + y é: a) 15 b) 14 c) 13 d) 12

100

para x = 105, é igual a: a) 1,05 ⋅ 107 b) 2,1 ⋅ 107 c) 2,1 ⋅ 106 d) 1,05 ⋅ 106 e) 2,05 ⋅ 107

9º ANO – Matemática 1

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b) c) d)

1 > 1. a 1 < - 1. a 1 1 < < 2. a 1 = 0. a 1 1 < < 2. a

78. (IFSC) Para encher um reservatório de água, estão conectadas a ele duas torneiras com vazões diferentes. A primeira torneira enche esse reservatório em 15 horas; e, a segunda, em 10 horas. Qual a fração, em relação à capacidade total do reservatório, representaria a quantidade de água eliminada pelas torneiras se elas ficassem abertas ao mesmo tempo, durante 2 horas? Assinale a alternativa CORRETA. a) 1/3 b) 2/25 c) 1/150 d) 1/6 e) 2/15

Nível 2

79. (CMRJ) Em um campeonato de tiro ao alvo, Ar-

thur, Bruno e César começaram a atirar juntos, sempre efetuando disparos simultaneamente. Arthur foi o primeiro a acertar um tiro no alvo, em sua segunda tentativa. Em seguida, Bruno acertou o alvo ao disparar pela terceira vez. Por fim, César consegue acertar no alvo no seu quarto tiro.

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Após o primeiro tiro certo no alvo de cada competidor, observou-se o seguinte padrão: • Arthur: 3 tiros errados, seguidos de um tiro certo no alvo. • Bruno: 5 tiros errados, seguidos de um tiro certo no alvo. • César: 7 tiros errados, seguidos de um tiro certo no alvo. No campeonato, cada competidor disparou 420 tiros. O número de vezes em que os três competidores acertaram, simultaneamente, o alvo é igual a a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

80. (EPCAR/CPCAR) Para dinamizar suas aulas no 8º ano, a professora Luíza organizou um jogo distribuindo duas fichas contendo operações com os números reais. Dois alunos participaram da 1ª rodada do jogo: Lucas e Mateus. Ao jogarem, esses alunos receberam as seguintes fichas: Aluno

Ficha 1

Lucas

0  -1   0 , 7 + 2 +  5     9  4   A =   3  -1   -0 , 5 - 4 2 - 2   

Mateus

4 (0 , 333 …)3 ⋅ 1 + 2 , 2 5 C= -1, 1333 …

Aluno

3

Lucas

B=

W =  -  *+ X =  *- ∩  *T =  -+ Os resultados obtidos por Lucas e Mateus foram os seguintes: • Lucas afirmou que A ∈ T e B ⊂ W. • Mateus afirmou que C ∈ X e D ∈ T. Se Lucas e Mateus acertaram as operações nas suas duas fichas, então a) Lucas e Mateus acertaram todas as correspondências entre os números calculados e os conjuntos. b) Mateus acertou as duas correspondências e Lucas errou a correspondência de um dos números A ou B. c) Lucas e Mateus erraram uma das correspondências cada. d) Lucas acertou as duas correspondências e Mateus errou a correspondência de um dos números C ou D.

numerador for igual a um e o denominador for um 1 1 1 inteiro positivo. Por exemplo: , , . Os antigos 3 7 2 egípcios costumavam trabalhar com frações que poderiam ser obtidas como soma de frações unitárias diferentes. Por exemplo: 5 1 1 = + . 8 2 8

9

+ 90 ,5

1 - 2

1 -   49 

1

Mateus

P =  -

81. (IFPE) Chamamos uma fração de unitária se o

Ficha 2 80 , 6 + 4 2 - 2

Depois de resolverem as operações, cada aluno deveria associar corretamente os resultados obtidos em cada ficha a somente um dos conjuntos abaixo.

1 - 2 1  0  -3     2 2 1     1  2  D =   ⋅ 0 , 6 +      3  1, 33 …    6   

Por esse motivo, esse tipo de fração, que pode ser obtido por soma de frações unitárias distintas, é conhecido por “fração egípcia”. O uso das frações egípcias facilitava as contas e comparações, especialmente em um mundo em que não havia calculadoras. Encontre uma fração, F, equivalente à soma F=

1 1 1 1 + + + . 3 4 6 7

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CAPÍTULO 2

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a) b) c) d) e)

77/84. 51/56. 25/28. 73/84. 49/56.

82. (CFTRJ) No início de agosto de 2016, o jogo

Pokémon Go estava disponível nas lojas de aplicativos no Brasil. O jogo foi um grande fenômeno entre os jovens, que formavam grupos para “capturar” Pokémons. Não foi diferente com Alice, Bruno, Carla e Denis, que se juntaram para procurar e capturar Pokémons. Quando se reuniram novamente, Alice havia capturado mais Pokémons que cada um dos outros e Carla não foi a que capturou menos Pokémons.

O vencedor do jogo foi a) Maria. b) Selton. c) Tadeu. d) Valentina. e) Houve empate entre Tadeu e Valentina

84. (CMRJ) O valor da expressão 37 ×(0 , 243243243... ÷ 1, 8) + 0 , 656565...× 6 , 6 3 11 ×(1, 353535... - 0 , 383838...) 8

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é a) b) c) d) e)

4,666666... 4,252525... 4,333333... 4,25 4,5

85. (IMED) Maria e seu marido realizaram uma via-

Quem capturou mais Pokémons, os meninos ou as meninas? Justifique.

83. (CFTMG) Um grupo de alunos cria um jogo de cartas, em que cada uma apresenta uma operação com números racionais. O ganhador é aquele que obtiver um número inteiro como resultado da soma de suas cartas. Quatro jovens, ao jogar, receberam as seguintes cartas: 1ª carta Maria

1, 333...+

4 5

1, 2 +

7 3

Selton

0 , 222...+

1 5

0, 3 +

1 6

Tadeu

1, 111...+

3 10

1, 7 +

8 9

Valentina

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2ª carta

7 0 , 666...+ 2

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1 0, 1 + 2

gem ao Nordeste e, para maior comodidade, resolveram alugar um carro. Observe duas opções que eles encontraram. • 1ª opção: Locadora Quatro Rodas: Taxa fixa de R$ 140,00 mais R$ 1,40 por quilômetro rodado; • 2ª opção: Locadora Superveloz: Taxa fixa de R$ 90,00 mais R$ 1,50 por quilômetro rodado; Inicialmente, a empresa Superveloz oferece um plano mais atrativo ao cliente, mas, a partir de certa quilometragem, o valor da empresa Quatro Rodas passa a ser mais barato. Determine a partir de quantos quilômetros passa a ser mais vantajoso locar o carro na empresa Quatro Rodas e assinale a alternativa correspondente: a) quando a distância for superior a 80 km b) quando a distância for superior a 230 km c) quando a distância for superior a 27 km d) quando a distância for superior a 500 km e) quando a distância for superior a 2.300 km

86. (UNIFESP) Raquel imprimiu um número x de fotografias ao custo unitário de 54 centavos. Cada foto foi vendida ao preço de 75 centavos, sobrando, no fim do período de vendas, y fotografias sem vender, o que

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resultou em um prejuízo de 12 reais em relação ao custo total das impressões. a) Calcule quantas fotografias foram impressas, para o caso em que y = 100. b) Determine a expressão de y em função de x para a situação descrita no enunciado.

87. (UPE-SSA 3) O custo de uma corrida de táxi é

constituído por um valor inicial C0 (bandeirada), fixo, mais um valor que varia proporcionalmente à distância d percorrida nessa corrida (em quilômetros). No Recife, por exemplo, os dados para o cálculo do valor a ser pago em uma corrida são os seguintes: Tabela de corrida de Táxi Comum: R$ 4,32

Especial: R$ 5,24

Quilômetro Rodado

R$ 2,10 bandeira 1) ou R$ 2,54 (bandeira 2)

R$ 2,55 (bandeira 1) ou R$3,05 (bandeira 2)

Outras taxas: Tempo parado

R$ 14,87 por hora

R$ 14,87 por hora

Volume transportado

R$ 0,22 por volume

R$ 0,22 por volume

Taxa de atendimento personalizado

R$ 4,32

R$ 4,32

R$ 70,25 R$ 77,52 R$ 78,44 R$ 82,76 R$ 85,40

88. (UTFPR) O valor de x para que a expressão 2+ a) b) c) d) e)

2

2+

2 2+x

seja igual a 2 é:

-2. -1. 0. 1. impossível.

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Bandeirada

a) b) c) d) e)

Ao sair do supermercado com 10 volumes de compras, Lucas pagou R$ 52,25 por uma corrida comum, na bandeira 2, até sua residência. Se Ian, em atendimento personalizado, saiu de um hotel em uma corrida especial na bandeira 2 e fez um percurso de 6 km a mais que Lucas, quanto ele pagou pela corrida?

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CAPÍTULO 2

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GABARITOS CAPÍTULO 1 • Probabilidade e análise de gráficos estatísticos EXERCITANDO EM AULA 01. a) U = {(cara, cara, cara), (cara, cara, coroa), (cara, coroa, cara), (cara, coroa, coroa), (coroa, cara, cara), (coroa, cara, coroa), (coroa, coroa, cara), (coroa, coroa, coroa)} b) U = {(branca, verde), (branca, amarela), (verde, branca), (verde, amarela), (amarela, branca), (amarela, verde)} 02. a) S = {(cara, 1), (cara, 2), (cara, 3), (cara, 4), (cara, 5), (cara, 6), (coroa, 1), (coroa, 2), (coroa, 3), (coroa, 4), (coroa, 5), (coroa, 6)} b) E1 = {(cara, 1), (cara, 2), (cara, 3), (cara, 4), (cara, 5), (cara, 6)} c) E2 = {(cara, 2), (coroa, 2), (cara, 4), (coroa, 4), (cara, 6), (coroa, 6)} d) E3 = {(cara, 2), (cara, 4), (cara, 6)} e) E4 = {(coroa, 1), (coroa, 3), (coroa, 5)} 03. a) S = {(1,1), (1,2) (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), ... , (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} b) A = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} c) B = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} d) C = {(1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5)} 04. (b) 05. a) 1/2 b) 12/52 ou 3/13 c) 1/4 d) 3/8 06. a) 1/5 b) 1/10 c) 2/25 07. a) 1/12 b) 1/9 c) 5/12 d) 5/18 08. a) 5/9 b) 2/9

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09. a) 1/8 b) 3/8 10. a) 1/9 b) 3/35 c) 10/35 11. (b) 12. (b) 13. (e) 14. a) Resposta pessoal b) Demonstração 15. (e) 16. Resposta pessoal 17. Resposta pessoal 18. QL, QT, QT, QT, QT, QL, QL, QT, QT, QL, QT, QL, QL, QT, QT, QL, QL, QT, QL, QT, QT, QL 19. (e) 20. (e) 21. (d) 22. (d) 23. (e) 24. (d) 25. (d) 26. (c) 27. (a) 28. NP, NP, P, P, P 29. Selecionando 90 alunos ao acaso 30. Por exemplo, sorteando os nomes 31. 5 32. (a) 33. (a)

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. (c) 02. a) 1120 alunos b) 25% 03. (d) 04. (d) 05. (d) 06. (b) 07. (d)

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08. (e) 09. (c) 10. (e) 11. (d) 12. (a) 13. (d) 14. (b) 15. Não, pois, pelo tamanho das colunas, parece que a audiência da Telecinco é o dobro da audiência da Antena 3. 16. Induzir o telespectador a acreditar que a audiência da Telecinco é bem maior do que a da Antena 3 17. Resposta pessoal. 18. O gráfico de cima possui maior precisão. 19. Aluno 1 20. Aluno 1: 32,7; Aluno 2: 31,0 21. Resposta pessoal. 22. (c)

23. (c) 24. (c) 25. (d) 26. (c) 27. (c) 28. (c) 29. (a) 30. (b) 31. (a) 32. (d) 33. Resposta pessoal. 34. Resposta pessoal. 35. Resposta pessoal. 36. Resposta pessoal. 37. Resposta pessoal. 38. Resposta pessoal. 39. Resposta pessoal.

CAPÍTULO 2 • Comensurabilidade de segmentos e os números reais EXERCITANDO EM AULA 01. 2/3 02. 5/6 03. Pedrinho 04. 2/1 05. a) 4/9 b) 4/5 c) 30 d) 63 06. a) 1/5 b) 8/3 c) 4/9 d) 5/3 e) 40/161 07. (c) 08. (c) 09. (c) 10. (b) 11. (e) 12. (d) 13. (d) 14. 210, 300 e 360. 15. 1694, 605 e 1452.

16. 26, 78 e 221. 17. 450, 270 e 150. 18. 1218, 1015 e 928. 19. 640, 80 e 40. 20. a = 21 e b = 16. 21. 176 g, 144 g e 80 g. 22. 88 milhões, 128 milhões, 144 milhões e 160 milhões. 23. a) 13 número irracional b) Sim, pois podemos considerar o segmento unitário de 1 cm, que cabe 2 vezes no lado menor e 3 vezes no lado maior. c) Não, pois a medida da diagonal é um número irracional. 24. B = 2 2 . 25. a) 15/1 b) -7/1 c) 7/2 d) 1/200 e) 2/3 f) 1203/100 g) -1/5000 h) -137/90 i) 7/33 j) - 46/45

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26. a) 0,4 b) - 0,1 c) 7,5 d) - 3,666... e) 0,135 f) 6,6 g) 10,08333... h) 1,7008196721... 27. a) E b) E c) E d) DPS e) E f) E g) DPC h) NE. 28. (b) 29. (d) 30. (a) 31. (b) 7 2 1 5 7 4 7 3 32. - < - < - < - < < < < . 2 8 3 4 9 9 5 8 33. (c)

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. (d) 02. (d) 03. (e) 04. (b) 05. (e) 06. (e) 07. (c) 08. (b) 09. a) Celso pagou R$ 2,05 a menos em cada unidade b) 20% 10. (a) 11. (d) 12. (c) 13. (b) 14. (d) 15. (c) 16. (a) 17. (e) 18. (d) 19. (e) 20. (a) 21. (c)

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22. (d) 23. (c) 24. (d) 25. (a) 26. (b) 27. (b) 28. (a) 29. (a) 30. (b) 31. (d) 32. (a) 33. (b) 34. (b) 35. (e) 36. (d) 37. (c) 38. (a) 39. (b) 40. a) Expressão 1 b) 1,1 ∙ 1022 N 41. (c) 42. (d) 43. (e) 44. (b) 45. (a) 46. (c) 47. (c) 48. (a) 49. (e) 50. (b) 51. (b) 52. (b) 53. (a) 54. (a) 55. (c) 56. (b) 57. (c) 58. (d) 59. (d) 60. (d) 61. (d) 62. Não, pois podemos considerar um segmento unitário medindo 0,5 cm, que caberá 31 vezes no primeiro segmento e 3 vezes no segundo segmento. 63. Sim, pois podemos considerar um segmento unitário medindo 1 cm, que caberá 22 vezes no primeiro segmento e 40 vezes no segundo segmento.

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64. a) AD e DE , pois considerando AB como segmento unitário, podemos verificar que AB caberá 3 vezes em cada um dos segmentos citados. b) AD e AE são incomensuráveis pois sendo a medida de AE um número irracional, não há segmento que caiba um número inteiro de vezes em AD e AE. 65. (a) 66. (e) 67. (d) 68. (e) 69. (d) 70. (a) 71. (d) 72. (a) 73. (e) 74. (e) 75. (d) 76. (c) 77. (b) 78. (a) 79. (e) 80. (a) 81. (c) 82. meninas 83. (c) 84. (e) 85. (d) 86. a) 300 b) y = 0,28 x + 16 87. (d) 88. (e)

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