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La raíz cuadrada

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Aritmos 2001 - Matemáticas 2º ESO

Recuerda. Raíz cuadrada exacta Observa la figura: Tiene 36 puntos colocados en forma de cuadrado. El número 36 es un cuadrado perfecto: 36 = 62 y puede asociarse a un cuadrado con 6 puntos en cada lado. Decimos que la raíz cuadrada de 36 es 6. Lo escribimos así:

36 = 6

La raíz cuadrada de un número es otro número que elevado al cuadrado es igual al primero. 36 = 6 porque 62 = 36

49 = 7 pues 72 = 49.

81 = 9 pues 92 = 81.

El signo se llama radical. El número que está bajo el signo radical se llama radicando.


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Recuerda. Raíz cuadrada entera El número 23 no es un cuadrado perfecto porque 42 = 16 y 52 = 25. Por tanto, 23 está comprendido entre 42 y 52

42 = 16

16 = 4

23

<

23

52 = 25

<

25 = 5

Solamente los cuadrados perfectos tienen raíz cuadrada exacta.


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Raíz cuadrada entera El número 41 no es un cuadrado perfecto. Por tanto, no representa un cuadrado ni tiene raíz cuadrada exacta. Sin embargo podemos pensar en: • El lado del mayor cuadrado que puede representarse con el número 41. • El mayor número cuyo cuadrado es menor que 41.

62 = 36 41 72 = 49 < < Luego el número buscado es 6. Decimos que 6 es la raíz cuadrada entera de 41. Se escribe 41 =6. El resto de la raíz es 41 – 62 = 5 La raíz cuadrada entera de un número es el mayor número entero cuyo cuadrado es menor que el primero. 73 =8, porque 82 < 73 < 92

El resto de la raíz es la diferencia entre el radicando y el cuadrado de la raíz cuadrada entera. 73 =8, resto 73 – 82 = 9


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El mayor valor del resto Observa:

17 = 4 Resto: 17 – 42 = 1

18 = 4 Resto: 18 – 42 = 2

19 = 4 Resto: 19 – 42 = 3

20 = 4 Resto: 20 – 42 = 4

La raíz es la misma y el resto va aumentando. ¿Hasta qué número puede aumentar el resto? Para pasar de un cuadrado (por ejemplo 42) al siguiente (52) hay que añadir: Una fila de puntos (4) Una columna de puntos (4) En total: el doble del lado del primer cuadrado más 1. El punto de la esquina (1) El resto de la raíz cuadrada entera de un número debe ser menor que el doble de la raíz más uno.


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Aproximaciones de la raíz cuadrada entera (I) Número de cifras de la raíz Vamos a estimar el valor de las siguientes raíces: Fíjate en las siguientes desigualdades: 102 < 975 < 1002

975 , 57431, 360972

975 es un número comprendido entre 10 y 100. 975 es, por tanto, un número de dos cifras: 975 = ? ?

1002 < 57431 < 10002

57431 es un número de tres cifras:

1002 < 360972 < 10002

360972 es un número de tres cifras: 360972 = ? ? ?

Dos cifras

975 = ? ? 8453 = ? ?

Dos grupos 9 75 84 53

Tres cifras

57431 = ? ? ? 360972 = ? ? ?

57431 = ? ? ?

Tres grupos 5 73 41 36 09 72

El número de cifras de la raíz cuadrada de un número coincide con el número de grupos de dos cifras que, empezando por la derecha, pueden formarse con el número inicial. No importa que el último grupo tenga solamente una cifra.


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Aproximaciones de la raíz cuadrada entera (II) Primera cifra de la raíz cuadrada Vamos a estimar el valor de las siguientes raíces: 975 , 8453 , 57431, 360972 Fíjate en las siguientes desigualdades: 302 < 975 < 402

30 < 975 < 40

902 < 8453 < 1002

90 < 8453 < 100

975 es un número que empieza por 3. 8453 es un número que empieza por 9.

2002 < 57431 < 3002

200 < 57431 < 300

57431 empieza por 2.

6002 < 360972 < 7002

600 < 360972 < 700

360972 empieza por 6.

Observa: Primera cifra de la raíz Raíz del último grupo

975 = 3 ?

8453 = 9 ?

57431 = 2 ? ?

360972 = 6 ? ?

9 =3

84 = 9

5 =2

36 = 6

La primera cifra de la raíz cuadrada de un número coincide con la raíz del número formado por el último grupo que se forma con sus cifras.


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Cálculo de la raíz cuadrada. Esquema El algoritmo utilizado para el cálculo de la raíz cuadrada entera de un número requiere una organización específica que indicamos a continuación. Para calcular la raíz de un número, por ejemplo

3452

1º. Se hacen grupos de dos cifras en el radicando empezando por la derecha: 34 52

34 52

2º. Se trazan líneas que faciliten la aplicación de la regla.

34 52

Lugar para la raíz

Espacio para operar

Espacio para pruebas y tanteos

3º. Esta regla tiene pasos parecidos a los empleados en la división; también se restará y se bajarán cifras, pero en este caso por grupos de dos 4º. El último paso consistirá en la comprobación: en la prueba de la radicación:

resto

3452 = (raíz)2 + resto


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Cálculo de la raíz cuadrada Calculemos 3452 1. Hacemos grupos de dos cifras. Se trazan las líneas auxiliares.

2. b) Hallamos el cuadrado de 5: 52 = 25, y lo restamos al primer grupo: 34 – 25 = 9. 3. b) Se escribe el doble de la raíz: 5 × 2 = 10.

4. b) Se escribe 8 junto a la primera cifra de la raíz: junto al 5. Se resta 952 – 864 = 88

34 52 – 25 9 52 – 8 64 88

2. a) Calculamos la raíz cuadrada del primer grupo de la izquierda: de 34. 34 = 5 5 es la primera cifra de la raíz. 58

3. a) Bajamos el segundo grupo de cifras: 52.

108 10 × 8 = 864

4. a) Se busca el mayor

La raíz entera de 3452 es igual a 58 y el resto es 88.

Comprobación: 582 + 88 = 3364 + 88 = 3452

número de una cifra ? tal que 10 ? × ? se pueda restar de 952: 107 × 7 = 749 108 × 8 = 864 109 × 9 = 981 (se pasa) Luego ? = 8 La segunda cifra de la raíz es 8.


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Cálculo de la raíz cuadrada. Para practicar Para practicar hagamos otra raíz: 411588 2.º El cuadrado de 6 es 36. Se resta a 41.

1.º La raíz cuadrada del primer grupo de cifras: de 41. Es 6. 3.º Se baja el segundo grupo de cifras: 15 5.º Se resta: 515 – 496. 7.º Se baja el tercer grupo de cifras: 88. 9.º Se resta: 1988 – 1281 = 707

Por tanto, Prueba:

41 15 88 –36 5 15 –4 96

6 41 124 12 · 4 = 496 1281 · 1 = 1281 128

19 88 – 12 81 707

411588 = 641; el resto es 707 6412 + 707 = 410881 + 707 = 411588

4.º El doble de 6 es 12. A su derecha se coloca otro número (12d), de modo (12d × d), dé un número lo más próximo a 515, sin superarlo Ese número es 4: 124 × 4 = 496. 6.º Se coloca 4 a la derecha del 6: 64 8.º Se toma el doble de 64, 128. Se procede como en 4.º Cabe a 1: 1281 × 1 = 1281 10.º La cifra 1 se coloca a la derecha de 64: 6 4 1


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Raíz cuadrada de un producto Calculamos la raíz cuadrada de 25 × 9:

25 × 9= 52 × 32 = (5 × 3) 2 = 5× 3

Descomponemos en factores primos

Observa que: Luego:

Potencia de un producto

La raíz cuadrada de un cuadrado perfecto es igual al número.

25 × 9= 5× 3= 25 × 9 25 × 9= 25 × 9

La raíz cuadrada de un producto es igual al producto de las raíces cuadradas. Para practicar

121 Escribe y calcula como producto de raíces: a) 81× 49 ; b) 169 × a)

81 × 49

81 × 49 = 81 × 49 = 9× 7= 63

b)

169 × 121

169 × 121 = 13 2 × 112 = 13 2 × 112 = 13 × 11 = 143


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Raíz cuadrada de una potencia de exponente par Cualquier potencia de exponente par se puede escribir en forma de una potencia al cuadrado. Esta propiedad facilita la radicación de potencias de exponente par. Ejemplos:

7 6 = 7 3×2 = (7 3 ) 2 =7 3 Potencia de una potencia

La raíz cuadrada de un cuadrado perfecto es igual al número.

310 = 3 5×2 = (3 5 ) 2 =3 5 Potencia de una potencia

Observa que 3 = 6 : 2

Observa que 5 = 10 : 2

La raíz cuadrada de un cuadrado perfecto es igual al número.

La raíz cuadrada de una potencia de exponente par es igual a otra potencia con: • La misma base. • El exponente igual a la mitad del exponente de la potencia de partida.


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Técnicas y estrategias PROBLEMA

El Everest es el monte más alto del mundo. La raíz cuadrada entera de su altura, en metros, es igual a 94, y si midiera 177 metros más sería un cuadrado perfecto. ¿Cuál es la altura del Everest? LEE EL ENUNCIADO: ¿QUÉ TE DAN Y QUÉ TE PIDEN?

La raíz cuadrada de la altura del Everest vale 94: altura = 94, resto = r. Si midiera 177 metros más sería un cuadrado perfecto. Se desea saber su altura. ELIGE UNA ESTRATEGIA

Sabemos que: altura = 942 + resto. Además, la altura más 177 es un cuadrado perfecto: altura + 177 = n2 resto < 177. El resto es menor que 2 × 94 + 1: resto < 189. Por tanto, el número n debe ser el siguiente de 94. Esto es, n = 95. RESUELVE EL PROBLEMA

altura = 942 + resto. altura + 177 = n2; n = 95

942 + resto + 177 = 952 resto = 12 altura = 942 + 12 = 8848 metros.

COMPROBACIÓN

8848 = 94, resto = 12

8848 + 177 = 9025 = 952

RAIZ CUADRADA  

El signo se llama radical. El número que está bajo el signo radical se llama radicando. 636 = 636 = porque 6 2 = 36 Lo escribimos así: 2 L a...

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