WATERLOO SOS E XAM -AID: MATH237 where đ?‘…1,đ?‘Ž (đ?‘Ľ) = đ?‘“ (đ?‘Ľ) − đ??ż(đ?‘Ľ). By a theorem, it suffices to check the definition using the linear approximation, đ??ż(đ?‘Ž,đ?‘?) (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = ∂đ?‘“ đ?‘“ (đ?‘Ž, đ?‘?) + ∂đ?‘“ ∂đ?‘Ľ (đ?‘Ž, đ?‘?)(đ?‘Ľ − đ?‘Ž) + ∂đ?‘Ś (đ?‘Ž, đ?‘?)(đ?‘Ś − đ?‘?). For (0, 0), we must use the definition of partial derivatives: 0 đ?‘“ (0 + â„Ž, 0) − đ?‘“ (0, 0) ∂đ?‘“ 2 (0, 0) = lim = lim â„Ž = lim 0 = 0, ℎ→0 ℎ→0 â„Ž ℎ→0 ∂đ?‘Ľ â„Ž 0 ∂đ?‘“ đ?‘“ (0, 0 + â„Ž) − đ?‘“ (0, 0) 2 (0, 0) = lim = lim â„Ž = lim 0 = 0. ℎ→0 ℎ→0 â„Ž ℎ→0 ∂đ?‘Ś â„Ž
Since đ?‘“ (0, 0) = 0, the linear approximation is đ??ż(0,0) (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 0, and the error is { 2 đ?‘Ľ đ?‘Ś if (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∕= (0, 0), 2 2 đ?‘…1,(0,0) (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘“ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) − đ??ż(0,0) (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Ľ +đ?‘Ś 0 if (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = (0, 0), and the magnitude of displacement is âˆĽ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) − (0, 0)âˆĽ =
√ đ?‘Ľ2 + đ?‘Ś 2 .
Now along the line đ?‘Ś = đ?‘Ľ, we have 2
1 âˆŁ 2đ?‘Ľ đ?‘Ľ 2 âˆŁ âˆŁđ?‘…1,(0,0) (đ?‘Ľ, đ?‘Ľ)âˆŁ âˆŁđ?‘ĽâˆŁ 1 = √ đ?‘Ľ +đ?‘Ľ = √2 = √ ∕= 0, âˆĽ(đ?‘Ľ, đ?‘Ľ) − (0, 0)âˆĽ 2âˆŁđ?‘ĽâˆŁ 2 2 đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ2
so by definition, đ?‘“ is not differentiable at (0, 0).
E XAMPLE 2. Let đ?‘“ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = tan đ?‘Ľ − cos đ?‘Ś. (a) Find the first and second partial derivatives of đ?‘“ . đ?œ‹ (b) Find the linear approximation of đ?‘“ at ( 3đ?œ‹ 4 , 2 ). đ?œ‹ (c) Find the second degree Taylor polynomial of đ?‘“ at ( 3đ?œ‹ 4 , 2 ). đ?œ‹ 2 2 (d) Show that the error in the linear approximation is at most 2[(đ?‘Ľâˆ’ 3đ?œ‹ 4 ) + (đ?‘Ś − 2 ) ] if đ?œ‹ and 0 ≤ đ?‘Ś ≤ 2 .
S OLUTION.
3đ?œ‹ 4
≤đ?‘Ľâ‰¤đ?œ‹
(a) Differentiating, đ?‘“đ?‘Ľ = sec2 đ?‘Ľ, đ?‘“đ?‘Ľđ?‘Ľ = 2 sec2 đ?‘Ľ tan đ?‘Ľ,
đ?‘“đ?‘Ś = sin đ?‘Ś. đ?‘“đ?‘Ľđ?‘Ś = 0,
đ?‘“đ?‘Śđ?‘Ś = cos đ?‘Ś.
(b) We have 3đ?œ‹ đ?œ‹ 3đ?œ‹ đ?œ‹ đ?œ‹ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘“ ( đ??ż( 3đ?œ‹ 4 , 2 ) + đ?‘“đ?‘Ľ ( 4 , 2 )(đ?‘Ľ − 4 ,2) đ?œ‹ = tan( 3đ?œ‹ 4 ) − cos( 2 ) +
3đ?œ‹ 3đ?œ‹ đ?œ‹ đ?œ‹ 4 ) + đ?‘“đ?‘Ś ( 4 , 2 )(đ?‘Ś − 2 ) 3đ?œ‹ đ?œ‹ đ?œ‹ sec2 ( 3đ?œ‹ 4 )(đ?‘Ľ − 4 ) + sin( 2 )(đ?‘Ś − 2 )
3
= −1 + 2(đ?‘Ľ −
3đ?œ‹ 4 )
+ (đ?‘Ś − đ?œ‹2 ).