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Semestre 1 - 2014

UNIVERSIDAD CATÓLICA DE ORIENTE

CÁLCULO MULTIVARIABLE

Mis apuntes y ejercicios / Silvia Elena Arango


TABLA DE CONTENIDOS: 1. 2. 3. 4.

Presentación. Distancia entre dos puntos Fórmula de la esfera y del círculo Vectores: a) Vector posición b) Magnitud vector c) Ley del triángulo d) Ley paralelogramo 5. Producto punto o escalar 6. Producto vectorial o cruz 7. Triplo producto escalar 8. Superficies cuádricas 9. Función en dos variables 10. Bibliografía – cibergrafía


1. PRESENTACIÓN En la presente revista se hace un trabajo de repaso de cálculo multivariable a partir de los temas que he visto en mi curso. Encontrarás la definición del tema y unos ejercicios resueltos relacionados con éste.

Universidad Católica de Oriente (UCO) Facultad: ciencias de la educación Licenciatura en matemáticas Quinto semestre 2014


2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS:

La distancia entre dos puntos A y B está definida como la longitud del segmento que los separa. Sean los puntos y , su distancia se halla mediante la ecuación:

Ejercicios:  Sean los puntos

y

, hallar la distancia que los separa:

Solución:

 Hallar las distancia de los puntos

y

.


Solución:

3. FÓRMULA DE LA ESFERA Y DEL CÍRCULO: Esfera: Bola perfectamente redonda. Una esfera es un sólido cerrado delimitado por una superficie en la que todos los puntos se encuentran equidistantes de un punto central llamado centro. La formula de la esfera es:  

; si tiene su centro en el origen ; si tiene su centro está en el punto

Círculo: Curva cerrada, perfectamente redonda, en la que todos los puntos están equidistantes de un punto fijo de la curva, al que se llama centro. La fórmula del círculo es:  ; si tiene su centro en el origen  ; si tiene su centro está en el punto


Ejercicios:  A partir de la ecuación es una esfera, halle su centro y su radio.

Solución:

 Halle el centro y el radio de la siguiente ecuación:

Solución:

4. VECTORES: Su expresión geométrica consiste en segmentos de recta dirigidos hacia un cierto lado, asemejándose a una flecha. El vector está definido por un módulo y una dirección u orientación. Los vectores se encierran con

; demuestre que


a)

Vector posición: El vector posición es el que une el origen de un sistema de coordenadas con un punto

.

Dados dos puntos y halla la representación del vector posición: b)

, se

Magnitud vector: Es la longitud o tamaño del vector.

c)

Ley del triángulo:

d)

Ley paralelogramo: El concepto de paralelogramo sirve para identificar a un cuadrilátero donde los lados opuestos resultan paralelos entre sí.


Ejercicios:  Encuentre el vector y la magnitud del segmento rectilíneo cuyo punto inicial es y el punto terminal

Solución:

 Si

y

Halle:

Solución:

5. PRODUCTO PUNTO O ESCALAR: El producto punto o escalar de dos vectores es un numero real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. Expresión analítica del producto punto: Expresión analítica del módulo de un vector:

y


Ejercicios:  Dados los vectores módulos de y .

y

. Hallar el producto punto y los

Solución:

 Hallar el producto punto de los vectores

Solución:

6. PRODUCTO VECTORIAL O CRUZ: El producto cruz o vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de a . Su módulo es igual:

y

.


El producto cruz se puede expresar mediante un determinante:

Ejercicios:  Calcular el producto cruz de los vectores

Solución:

 Dados los vectores tiene por lados los vectores

Solución:

; hallar el área del paralelogramo que y


7. TRIPLO PRODUCTO ESCALAR: El triplo producto escalar es una operación entre tres vectores que combina el producto escalar con el producto vectorial para obtener un resultado escalar. Sean

los vectores. El producto

es el producto mixto de tres vectores.

Ejercicios:  Hallar el triplo producto escalar de los vectores

Solución:

,

y


 Dado los vectores escalar.

,

y

Hallar el triplo producto

Solución:

8. SUPERFICIES CUÁDRICAS: La gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables se conoce como superficies cuadráticas, salvo casos generados:

Las secciones cónicas: elipse, parábola e hipérbola tienen su generalización al espacio tridimensional en elipsoide, paraboloide e hiperboloide.


Ejercicios:  Diga que cual es la gráfica de la función y haga un bosquejo.  

Solución: 

Es un cono elíptico de dos hojas

Es un paraboloide hiperbólico


9. FUNCIÓN EN DOS VARIABLES: Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja de números reales un y sólo un número real El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla correspondencia da un número se llama dominio de la función. El conjunto de valores que corresponden a los pares ordenados se llama imagen o contra-dominio. Una función de dos variables se denota usualmente con la notación: se llaman variables independientes y se llama variable dependiente. Ejercicios:  Diga cuál es el dominio de las siguientes funciones:   

Solución: 

Las variables



10.BIBLIOGRAFÍA – CIBERGRAFÍA:  http://www.ecured.cu/index.php/Distancia_entre_dos_puntos  http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/s/sphere.htm  http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/c/circle.htm  http://www.vitutor.com/geo/vec/a_3.html  http://definicion.de/vector/  http://definicion.de/paralelogramo/  http://www.geoan.com/analitica/vectores/producto_punto.html  http://www.geoan.com/analitica/vectores/producto_cruz.html  http://clubensayos.com/Espa%C3%B1ol/TRIPLE-PRODUCTO-ESCALAR/600342.html  http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/SUPERIOR/t2-Funcionesde-variasvariables/6-superficiescuadraticas/  http://html.rincondelvago.com/funcion-de-dos-variables.html

Revista silvia  

Esta revista fue elaborada con el fin de retroalimentar el aprendizaje de Cálculo multivariable.

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