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P a r a r e s o l v e r l a e c u a c i ó n a g r u p a l o s n ú m e r o s a u n l a d o

TEMA 2 Polinomios y ecuaciones LLAMAMOS EXPRESIÓN ALGEBRAICA a toda combinación de letras y números ligados por los signos de las operaciones aritméticas. Cada una de las letras se llama variable.

UN MONOMIO es una expresión algebraica formada por el producto de un factor numérico, a, y un factor que es la variable elevada a un exponente natural, xn: axn. • El factor numérico a se llama coeficiente del monomio. • La variable x recibe también el nombre de indeterminada. • El exponente natural n de la variable se llama grado del monomio. • La variable con su respectivo exponente, xn, se llama parte literal. Dos monomios que tienen la misma parte literal, axn y bxn, reciben el nombre de monomios semejantes.

OPERACIONES CON MONONIOS

La suma o diferencia de monomios semejantes es otro monomio semejante, cuyo coeficiente es la suma o diferencia de los coeficientes. axn ± bxn = (a ± b) xn El producto de monomios cualesquiera es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes y cuya parte literal es el producto de las partes literales, luego su grado es la suma de los grados. axn ⋅ bxm = (a ⋅ b)(xn ⋅ xm) = (a ⋅ b) xn+m ⇒ axn ⋅ bxm = (a ⋅ b) xn++m El cociente de dos monomios, cuyo dividendo tiene grado mayor o igual que el del divisor, es otro monomio cuyo coeficiente es el cociente de los coeficientes y cuya parte literal es el cociente de las partes literales, luego su grado es la diferencia de los grados. axn : bxm = (a : b)(xn : xm) = (a : b) xn−m ⇒ axn : bxm = (a : b) xn−−m con n ≥ m 1


La potencia de exponente un número natural m de un monomio es otro monomio cuyo coeficiente es la potencia de exponente m del coeficiente y cuya parte literal es la potencia exponente m de la parte literal, luego su grado es el producto de su grado por m. (axn)m = am(xn)m = amxn⋅m ⇒ (axn)m = amxn⋅⋅m

UN POLINOMIO en la indeterminada x es una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de dos o más monomios en la misma indeterminada. • Término de un polinomio es cada uno de los monomios que lo forman. Al monomio de grado cero se le llama término independiente del polinomio. Así, binomio es un polinomio de dos términos y trinomio un polinomio de tres términos, en los demás casos se dice un polinomio de tantos términos. • El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los términos que lo forman. • Un polinomio es completo cuando tiene todos los términos desde el término de grado cero hasta el término de mayor grado. • Un polinomio está ordenado cuando los grados de los términos van creciendo o decreciendo. Normalmente se ordenan los grados de mayor a menor. Valor numérico de un polinomio P(x) para un valor de la indeterminada x = a, es el resultado obtenido de sustituir x por a y efectuar las operaciones indicadas. Lo denotamos por P(a).

OPERACIONES CON POLINOMIOS La suma o diferencia de polinomios se reduce a sumar o restar sus monomios semejantes

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Para multiplicar dos polinomios se multiplican todos los monomios del primero por cada uno de los del segundo, o viceversa Multiplicamos A(x) = x2 - 3x – 5

y

B(x) = 4x – 2

x2 - 3x – 5 4x – 2 2 -2x +6x+10 3 4x -12x2-20x 4x3-14x2-14x+10

Veamos, con el siguiente ejemplo, como se dividen polinomios, siendo los polinomios D(x) = 3x3 - 2x2 + 5x – 12 y d(x) = x2 - 3x – 5.

3x3 - 2x2 + 5x – 12 -3x3+9x2+15x 7x2+20x-12 -7x2+21x+35 41x+23

x2 - 3x – 5 -3x-7

DIVISIÓN DE POLINOMIOS POR X − A. REGLA DE RUFFINI. 1.º Se colocan los coeficientes del polinomio dividendo ordenados en forma decreciente (escribiendo ceros en los lugares de los términos que faltan) y el término independiente del divisor. 2.º El primer coeficiente del cociente es igual al primer coeficiente del dividendo. Cada uno de los demás coeficientes del cociente se obtiene multiplicando el coeficiente anterior por a y sumando este producto al coeficiente siguiente del dividendo. 3.º El resto es igual al producto del último coeficiente del cociente por a más el término independiente del dividendo. 4.º No debes olvidar que el grado del cociente, en estas divisiones, es una unidad inferior al grado del dividendo: grado c(x) = grado D(x) - 1. Además, el resto de estas divisiones es un polinomio de grado cero, es decir, un número: r(x) = r. Dividir por Ruffini D(x) = x4 + 3x3 - 3x2 - 11x - 6 entre d(x) = x + 3 (en este caso a = -3) 3


IGUALDADES NOTABLES El cuadrado de la suma de dos monomios es igual al cuadrado del primero más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 El cuadrado de la diferencia de dos monomios es igual al cuadrado del primero menos el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 La suma de dos monomios por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados. (a + b)(a - b) = a2 – b2

En las operaciones con polinomios resultan muy útiles las igualdades notables, así por ejemplo: (2x + 3)2 = (2x)2 + 2 ⋅ 2x ⋅ 3 + 32 = 4x2 + 12x + 9 (2x − 3)2 = (2x)2 − 2 ⋅ 2x ⋅ 3 + 32 = 4x2 − 12x + 9 (2x + 3)(2x − 3) = (2x)2 − 32 = 4x2 − 9 RAÍZ DE UN POLINOMIO Diremos un número es raíz de un polinomio si al sustituir la indeterminada por ese número el valor del polinomio es 0. P(x)= x3-5x2+2x+12

¿Es el 3 raíz?

33-5.32+2.3+12=27-45+6+12=0 El 3 sí que es raíz de este polinomio 4


FACTORIZAR UN POLINOMIO Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de factores. Para ello debemos encontrar las raíces del polinomio. Las raíces de un polinomio deben dividir al término independiente. Factoricemos P(x)= x4-2x3-7x2+20x-12 Posibles raíces serán +/- 1, +/- 2, +/-3, +/-4, +/-5, +/-6, +/- 12 Se va probando y cuando llegamos a una ecuación de segundo grado podemos seguir utilizando este procedimiento o aplicar la fórmula para resolver las ecuaciones de segundo grado.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Una ecuación es una igualdad entre letras y números relacionados por las operaciones aritméticas. Las letras en este caso se llaman incógnitas. Una ecuación de primer grado con una incógnita es una ecuación que, después de haber realizado las operaciones indicadas, tiene una incógnita cuyo exponente es 1. Las soluciones o raíces de una ecuación son los valores que pueden tomar las incógnitas, tales que al sustituirlos en la ecuación hacen que la igualdad sea cierta.

RESOLVER UNA ECUACIÓN ES HALLAR LAS SOLUCIONES O RAÍCES DE LA MISMA. Para resolver la ecuación agrupa los números a un lado del = todos los términos que tengan la incógnita (x) y junta en el otro todos los términos que no tienen (x). Para hacer esta trasposición los signos que van delante de cada número cambian. Así, el que está sumando en un lado pasa al otro restando y viceversa; y el que está multiplicando en un lado pasa al otro dividiendo. Ejemplo: 4x + 1= 2x + 7 Trasposición 4x - 2x = 7 - 1 Resuelve de forma separada las operaciones de cada lado del igual. Es decir para resolver la ecuación de primer grado deber resolver las operaciones hasta dejar un número a cada lado del igual. Resultado: 2x = 6

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Finalmente para resolver la ecuación de primer grado el número que esta multiplicando a la x pasa a dividir el valor del otro lado del igual, en nuestro caso: x=6/2 x=3

ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Una ecuación de primer grado con dos incógnitas es una ecuación del tipo: ax + by = c Los números a y b se llaman coeficientes de las incógnitas x e y. El número c se llama término independiente. Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas o sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos ecuaciones en las que las incógnitas representan los mismos valores. Los sistemas de ecuaciones se escriben así: ax + by = c dx + ey = f · Resolver un sistema de ecuaciones es hallar los valores posibles de x e y que verifican a la vez las dos ecuaciones.

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES Método de sustitución, igualación y reducción Visiona el tutorial que te enseñará como resolver estos sistemas www.youtube.com/watch?v=p67jKue1pZM

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Llamamos ecuación de segundo grado con una incógnita a toda ecuación que se puede transformar en otra equivalente del tipo: ax2 + bx + c = 0, siendo el número a # 0 Las soluciones de una ecuación de segundo grado son los valores de x que al sustituirlos en el primer miembro verifican la ecuación. 6


ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS Si en la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0 alguno de los coeficientes b o c es cero, se dice que es una ecuación incompleta. Estas ecuaciones se resuelven directamente. · Si b = c = 0, la ecuación es de la forma ax2 = 0. Se resuelve despejando la incógnita x. 3x2=0 x2=0/3 x2= 0

x=0

· Si b = 0, la ecuación es de la forma ax2 + c = 0. Se resuelve despejando la incógnita x. 2x2- 8=0 2x2= 8 x2= 8/2 x2=4 x= +/- √4

= +/- 2

· Si c = 0, la ecuación es de la forma ax2 + bx = 0. Se resuelve sacando factor común e igualando a cero los factores. 3x2 – 12x =0 x.(3x-12)=0 Si el producto da cero uno de los factores debe ser 0. Primera solución.

x=0

Segunda solución

3x-12=0 3x=12 x=12/3 x=4

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ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO COMPLETA. RESOLUCIÓN GENERAL La ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0 es completa cuando todos los coeficientes son distintos de cero. Se resuelve aplicando la siguiente fórmula

RESOLUCIÓN INCÓGNITAS

DE

SISTEMAS

DE

ECUACIONES

CON

TRES

MÉTODO DE GAUSS El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.

1º Ponemos como primera ecuación la que tenga como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.

2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

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3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.

4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.

5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

6º Encontrar las soluciones. − y + 4 ·1 = −2

y=6

x + 6 −1 = 1

x = −4

z=1

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Tema 2 polinomios y ecuaciones