Equações Lineares

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Teorema 8.21 cond2 (AT A) = [cond2 (A)]

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Demonstra¸ cËœ ao: Como AT A ´e uma matriz SPD, entËœ ao os seus valores pr´ oprios sËœ ao todos positivos e Îťmax (AT A) cond2 (AT A) = Îťmin (AT A) onde Îťmax (B) e Îťmin (B) representam o maior e o menor valores pr´ oprios de B respectivamente. Por outro lado cond2 (A)

= ||A||2 ||A−1 ||2 = Îťmax (AT A) Îťmax (AT A)−1 3 ! Îťmax (AT A) Îťmax (AT A) = = ! Îťmin (AT A) Îťmin (AT A)

O resultado ´e agora consequˆencia imediata destas duas igualdades. Assim o n´ umero de condi¸cËœao ´e ainda mais importante para a obten¸cËœao de uma boa solu¸cËœao do sistema Ax = b. Por isso ´e imperioso o uso de t´ecnicas de precondicionamento muito eďŹ cazes capazes de reduzir o efeito do condicionamento da matriz A. Apesar de em alguns casos ter sido poss´Ĺvel resolver eďŹ cientemente o sistema (8.46) pelo m´etodo dos gradientes conjugados com precondicionamento, em geral o algoritmo tem diďŹ culdades em convergir. Da´Ĺ ter havido nos u ´ltimos anos grande investiga¸cËœao no desenvolvimento de t´ecnicas generalizadas de gradientes conjugados que procuram resolver o sistema Ax = b sem explorar a redu¸cËœao a (8.46). No entanto, nao iremos discutir esses processos neste trabalho, sugerindo [Axelsson] como uma boa referˆencia nesses assuntos. ´ ainda de notar como consequˆencia deste resultado, que o n´ E umero de condi¸cËœao de uma matriz SPD se pode calcular a partir do n´ umero de condi¸cËœao da matriz L da sua decomposi¸cËœao LLT . Com 2 efeito, como A = LLT , entËœ ao cond2 (A) = [cond2 (L)] . De igual modo, como A = LDLT , vem ) + 2 1 cond2 (A) = cond2 (LD 2 ) . Estes resultados sËœ ao importantes, pois como referimos anteriormente o estimador LINPACK ´e mais eďŹ ciente para matrizes triangulares.

8.6

A t´ ecnica de Precondicionamento

Se S ´e uma matriz nËœao singular e Aˆ = SAS T , ˆb = Sb ˆ = ˆb se e s´o se x a haver entËœ ao x ˆ ´e solu¸cËœao de Ax ÂŻ = S T xˆ ´e solu¸cËœao de Ax = b. Portanto poder´ ˆ ˆ vantagem em resolver o sistema Ax = b em vez de Ax = b, desde que ˆ < cond(A) cond(A)

(8.47)

A t´ecnica de precondicionamento consiste exactamente em considerar uma matriz S tal que a ˆ = ˆb em vez de Ax = b. A escolha dessa desigualdade (8.47) se veriďŹ que e resolver o sistema Ax matriz S nËœ ao ´e f´ acil de fazer na pr´atica. Seguidamente apresentaremos duas hip´ oteses poss´Ĺveis para essa escolha. ˆ = 1. Do ponto de vista da redu¸cËœao (i) S = A−1/2 . Neste caso temos Aˆ = In e portanto cond(A) do n´ umero de condi¸cËœao, esta ´e sem d´ uvida a situa¸cËœao ideal. Contudo, para calcular ˆb, teremos ´ evidente que a diďŹ culdade da resolu¸cËœao que resolver um sistema envolvendo a matriz A1/2 . E de um sistema com essa matriz ´e semelhante `a da resolu¸cËœao do sistema com a matriz A. ˆ (ii) S = D = diag(A). Neste caso Aˆ = DAD, bastando portanto escalonar A para obter A. Este processo poder´a dar bons resultados para problemas especÂ´ÄąďŹ cos, mas em geral nËœao ´e aceit´avel. 200

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