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Educação sem fronteiras

ADMINISTRAÇÃO

Autores Cristian Mara Mazzini Medeiros Patrício Fernando Conter Cardoso Luiz Manoel Palmeira Maria Massae Sakate Reinaldo Bazoni

5 www.interativa.uniderp.br Campo Grande, MS – 2008

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© 2008 Editora UNIDERP Proibida a reprodução total ou parcial por qualquer meio de impressão, em forma idêntica, resumida ou modificada, em língua portuguesa ou qualquer outro idioma. Depósito Legal na Biblioteca Nacional Impresso no Brasil 2008.

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Central da UNIDERP E24 Educação sem fronteiras: Administração / Cristian Mara Mazzini Medeiros Patrício ... [et al.]. -- Campo Grande: Ed. UNIDERP, 2008. 192 p.; 27,5 cm. Publicação da UNIDERP Interativa. Inclui bibliografia. ISBN 978-85-7704-075-9 1. Administração financeira 2. Administração de materiais 3. Pesquisa operacional 4. Administração - Estatística aplicada I. Patrício, Cristian Mara Mazzini Medeiros. II. Universidade para o Desenvolvimento do Estado e da Região do Pantanal. CDD 21. ed. 658.15 658.7

DIRETOR Prof. Dr. Ednilson Aparecido Guioti

Copyright © Cristian Mara Mazzini Medeiros Patrício, Fernando Conter Cardoso, Luiz Manoel Palmeira, Maria Massae Sakate, Reinaldo Bazoni

COORDENAÇÃO Prof. MSc. Wilson Buzinaro COORDENAÇÃO PEDAGÓGICA Prof. MSc. Terezinha Pereira Braz Prof. MSc. Gilse T. Lazzari Perosa Prof. MSc. Maria Massae Sakate SECRETARIA ACADÊMICA Janiel Romero Chaves / Elisangela Jará / Fabiana Santiago Bruno Gislayne Rocha Silva / Josiane Dias de Santana / Marcilene Braga da Silva PROJETO DOS CURSOS Administração: Prof. MSc. Wilson Correa da Silva Ciências Contábeis: Prof. Esp. Ruberlei Bulgarelli Enfermagem: Prof. MSc. Andrelisa Vendrami Parra Letras: Prof. MSc. Márcia Cristina Rocha Figliolini Pedagogia: Prof. MSc. Vivina Dias Sol Queiroz e Prof. MSc. Celi Correa Neris Serviço Social: Prof. Esp. Maria de Fátima Rubira de Assis Tecnologia em Gestão e Marketing de Pequenas e Médias: Prof. MSc. Fabiana Annibal Faria de Oliveira Tecnologia em Gestão e Serviços de Saúde: Prof. Irma Macário Tecnologia em Gestão de Turismo: Prof. Luis Carlos Morente

REITOR Prof. Pedro Chaves dos Santos PRÓ REITOR DE EXTENSÃO Prof. Ivo Ancângelo Vendrúsculo Busato PRÓ-REITOR DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO Prof. Dr. Raimundo Martins Filho PRÓ-REITORA DE GRADUAÇÃO Profa. Heloisa Helena Gianotti Pereira PRÓ-REITOR ADMINISTRATIVO Administrador Marcos Lima Verde Guimarães Júnior

EQUIPE DE PRODUÇÃO DE TV E VÍDEO Aurindo de Almeida Lima Junior / Patricia Rodrigues da Silva Alessandro Marcos Rocha dos Santos Silva / Fabia Campos Belo Emerson Arce / Emerson da Silva / Jacson Luiz Farias Areco / Luiz Ricci Neto Marcio Jose de Paula / Marcio Roberto Perez / Mario Eduardo G. Perez Onofre Oliveira de Almeida / Rogerio Marcal dos Santos Vildemar Fernandes / Wilton Araujo de Oliveira / Emiliano Leonardo de Souza EQUIPE DE DESENVOLVIMENTO WEB Thiago Chagas dos Reis / Eder Alessandro C. de Lima / Frederico da Costa Heleno Hernandes Martins de Oliveira / Odirley Franco de Oliveira / Pietro Navarro R. Claure EQUIPE DE MARKETING Ana Paula Silveira F. Alencar / Fernando Coelho Miralt / Paulo Alexandre R. Calado EQUIPE DE RECURSOS HUMANOS Ivania Freire da Silva / Irene Crivelaria da Silva / Karla Batista Nogueira EQUIPE ADMINISTRATIVO/FINANCEIRO Silvana Maciel Zirbes Hernande / Lais Helena Nantes Barbosa SECRETARIA DA DIRETORIA Ivy Priscila Viegas de Freitas / Yuli Hishie Boiko SECRETARIA DA COORDENAÇÃO DOS CURSOS Flaviana Mendonça Lopes / Luciana Rassanam Ibrahim / Paulo Roberto Soares da Silva

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CONSELHO EDITORIAL Ademir Kleber Morbeck de Oliveira - UNIDERP Edson Machado de Souza - IESB José da Cruz Machado - UFLA Juan Luiz Mascaró - UFRGS Marcos Rezende Morandi - UNIDERP Maria Alice Höfling - UNICAMP Maysa de Oliveira Brum Bueno (Presidente) - UNIDERP Roberto Claudio Frota Bezerra - CNE Roberto Macedo - USP Silvio Favero - UNIDERP Wilson Ayach - UNIDERP

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Apresentação ____________________ Bem-vindo(a) a nossa Universidade! Meus cumprimentos pela sua decisão em participar dos cursos oferecidos pela UNIDERP Interativa. A Universidade para o Desenvolvimento do Estado e da Região do Pantanal (UNIDERP), consolidada como a melhor universidade particular do Estado do Mato Grosso do Sul e da região Centro-Oeste, é também uma das melhores do País. Ela consiste em um grande complexo de ensino com quatro campi, oferece cursos presenciais de graduação, de pós-graduação lato e stricto sensu, e a distância, com diversos cursos de graduação. Seu corpo docente é reconhecidamente qualificado com mais de 60% de professores mestres e doutores, que atuam em ensino, pesquisa e extensão. A UNIDERP inovou ao implantar os cursos de Administração, Pedagogia, Letras, Ciências Contábeis, Serviço Social, Enfermagem, Tecnologia em Gestão e Marketing para Pequenas e Médias Empresas e Gestão em Serviços de Saúde na modalidade a distância, criando oportunidade de acesso para milhares de alunos. Trata-se de uma proposta inovadora no Estado de Mato Grosso do Sul, a qual ganhou novos contornos e expandiu-se a outras regiões do Brasil. Você faz parte dessa inovação! A metodologia adotada pela UNIDERP Interativa consiste em aulas ministradas por professores da Instituição em estúdio, transmitidas via satélite e mediadas por professor local. Neste livro você encontra o conteúdo das aulas e as atividades que deverão ser realizadas com o auxílio do seu professor local após a aula via satélite. Procure ler os textos antes de cada aula no intuito de melhor interagir no momento da transmissão e participar ativamente do momento de discussões locais. Além das atividades “presenciais”, a carga horária do curso é complementada com atividades de auto-estudo disponibilizadas em nosso Portal Acadêmico. Portanto, o seu compromisso com a aprendizagem é fundamental e dele depende a construção de sua autonomia intelectual, que será o marco distintivo de sua atuação profissional. SUCESSO!!! Professor Pedro Chaves dos Santos Filho Reitor

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Diretora-geral Maysa de Oliveira Brum Bueno Assessor Técnico Aloizo Rodrigues dos Santos Revisão Edmara Moraes Veloso Lúcia Helena Paula do Canto Aloizo Rodrigues dos Santos Produção de Arte Adalberto Sousa Alex Joboji Kátia Barbosa Ricardo Rojas Auxiliar Administrativo Eliane da Silva Lima Bibliotecária - Consultora ad hoc Regina Cláudia da Silva Fiorin Conselho Editorial Ademir Kleber Morbeck de Oliveira - UNIDERP Edson Machado de Souza - IESB José da Cruz Machado - UFLA Juan Luiz Mascaró - UFRGS Marcos Rezende Morandi - UNIDERP Maria Alice Höfling - UNICAMP Maysa de Oliveira Brum Bueno - UNIDERP Roberto Claudio Frota Bezerra - CNE Roberto Macedo - USP Silvio Favero - UNIDERP Wilson Ayach - UNIDERP EDITORA UNIDERP Rua Ceará, 333 • Bairro Miguel Couto Telefone: (67) 3348-8073 Campo Grande, MS • CEP: 79003-010 http://www.uniderp.br/editora editora@uniderp.br

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Autores ____________________ CRISTIAN MARA MAZZINI MEDEIROS PATRÍCIO Graduação: Curso Superior de Tecnologia Elétrica – Modalidade Telecomunicações/Centro de Ensino Superior Prof. Plínio Mendes dos Santos – CESUP, Campo Grande, MS/1994. Graduação: Engenharia Elétrica/Universidade para o Desenvolvimento do Estado e da Região do Pantanal – UNIDERP, Campo Grande, MS/2003. Mestrado: Engenharia Elétrica/Universidade Federal de Mato Grosso do Sul – UFMS, Campo Grande, MS/2005. FERNANDO CONTER CARDOSO Graduação: Economia/Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro – UFRRJ, 1983. Mestrado: Administração/Universidade Federal do Rio Grande do Sul – UFRGS, 2000. LUIZ MANOEL PALMEIRA Graduação: Tecnologia em Distribuição de Energia Elétrica/ Universidade Estadual Paulista – UNESP, Bauru, SP/1973. Graduação: Ciências Econômicas/Universidade Católica Dom Bosco – UCDB, Campo Grande, MS/1976. Graduação: Ciências Jurídicas/Universidade Católica Dom Bosco – UCDB, Campo Grande, MS/1992. Especialização: Direito Civil e Direito Processual Civil/ Universidade Estácio de Sá, Campo Grande/MS. Mestrado: Meio Ambiente e Desenvolvimento Regional/ Universidade para o Desenvolvimento do Estado e da Região do Pantanal – UNIDERP, Campo Grande, MS/2003. MARIA MASSAE SAKATE Graduação: Matemática/Universidade Federal de Mato Grosso do Sul – UFMS, Campo Grande, MS/1992 Especialização: Informática na Educação/Universidade Federal de Mato Grosso do Sul – UFMS, Campo Grande, MS/1998 Mestrado: Educação/Universidade Federal de Mato Grosso do Sul – UFMS, Campo Grande, MS/2003 REINALDO BAZONI Graduação: Engenheiro Agrônomo/Universidade Federal do Espírito Santo – UFES/1976. Especialização: Sementes/Universidade Federal de Pelotas – UFP/1986. Especialização: Iniciação a Pesquisa Cientifi ca/Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária – Embrapa/1981. Mestrado: Genética e Melhoramento de Plantas/Universidade Federal de Goiás – UFG-GO/1991.

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Sumário ____________________ MÓDULO – GESTÃO DE RECURSOS FINANCEIROS E MATERIAIS UNIDADE DIDÁTICA – ADMINISTRAÇÃO FINANCEIRA E ORÇAMENTÁRIA AULA 1 Administração financeira: conceitos básicos .....................................................................................

3

AULA 2 Os principais demonstrativos financeiros .........................................................................................

10

AULA 3 Gestão de circulantes ..........................................................................................................................

14

AULA 4 Análise da rentabilidade......................................................................................................................

18

AULA 5 Análise do equilíbrio ...........................................................................................................................

21

AULA 6 Gestão de crédito.................................................................................................................................

24

AULA 7 Estrutura de capital .............................................................................................................................

28

AULA 8 Custo de capital ...................................................................................................................................

31

AULA 9 Análise de investimentos.....................................................................................................................

36

AULA 10 O processo de orçamento de capital ..................................................................................................

41

UNIDADE DIDÁTICA – ADMINISTRAÇÃO DE RECURSOS MATERIAIS E PATRIMONIAIS AULA 1 Logística ...............................................................................................................................................

49

AULA 2 Custo de estoques ................................................................................................................................

53

AULA 3 Controle de estoque ............................................................................................................................

59

AULA 4 Armazenamento ..................................................................................................................................

65

AULA 5 Embalagem ..........................................................................................................................................

72

AULA 6 Administração de compras .................................................................................................................

75

LABORATÓRIO DE PRÁTICAS INTEGRADORAS .............................................................................

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MÓDULO – ANÁLISE QUANTITATIVA DE PROJETOS UNIDADE DIDÁTICA – PESQUISA OPERACIONAL AULA 1 Introdução à pesquisa operacional e à Programação Linear ............................................................

87

AULA 2 Modelagem de problemas de Programação Linear ...........................................................................

93

AULA 3 Solução de problemas de Programação Linear com duas variáveis – Método gráfico....................

98

AULA 4 Solução de problemas de Programação Linear – Método simplex .................................................. 109 AULA 5 Modelos equivalentes para o uso do método simplex ...................................................................... 117 AULA 6 Recursos computacionais para solução de problemas de Programação Linear – Solver ................ 127

UNIDADE DIDÁTICA – ESTATÍSTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO AULA 1 Introdução à estatística ....................................................................................................................... 135 AULA 2 Estatística descritiva – Obtenção e organização de dados ................................................................ 144 AULA 3 Representação gráfica dos dados estatísticos ..................................................................................... 150 AULA 4 Medidas de Posição – Tendência central ............................................................................................ 155 AULA 5 Medidas de dispersão – Estudo da variação dos dados ..................................................................... 162 AULA 6 Probabilidade ...................................................................................................................................... 169 AULA 7 Probabilidade, distribuição binomial, distribuição de Poisson e curva normal padrão ................. 175 LABORATÓRIO DE PRÁTICAS INTEGRADORAS ............................................................................. 184

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Módulo ANÁLISE QUANTITATIVA DE PROJETOS

Professora MSc. Maria Massae Sakate Professor MSc. Reinaldo Bazoni

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Unidade Didática — Estatística Aplicada à Administração

Apresentação Caro(a) acadêmico(a), A unidade didática Estatística Aplicada à Administração visa possibilitar a você conteúdos e um trabalho que ofereça condições para que possa compreender e interpretar a realidade, com entendimento de que o sucesso de um profissional está dentro de uma sociedade cada vez mais competitiva e globalizada. No entanto, também depende primordialmente do seu grau de desenvolvimento e competência, que são decorrentes de sua capacidade de assimilação e detenção dos conhecimentos técnico-científicos utilizados nas ciências que determinam a evolução dos grupos envolvidos nos diversos processos de emulação. Dessa forma, os estudos quantitativos e/ou qualitativos sobre um determinado acontecimento, seja ele numérico ou não, podem explicar a sua ocorrência e a sua representatividade e propiciar fundamentos para o estabelecimento de um modelo adequado para inferências em posições semelhantes ou aproximadas, refletindo-se na qualidade dos objetivos propostos. Assim, acreditamos que a inclusão da estatística no conjunto das ciências a serem aprendidas é imperiosa e servirá, com certeza, como excelente instrumento de avaliação e verificação de um grande volume de práticas e atividades intrínsecas e relativas ao processo evolutivo e de desenvolvimento da sociedade global.

Professora MSc. Maria Massae Sakate Professor MSc. Reinaldo Bazoni

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AULA 1 — Introdução à Estatística

AULA

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____________________ Conteúdo • Origem e importância da estatística na administração • Limitações e aplicabilidade da estatística • O que é a estatística • A estatística como pesquisa • A estatística como fonte de informação • A linguagem da estatística • Alguns conceitos de estatística

Competências e habilidades • Resolver problemas por meio das leituras dos dados e tratamento das informações • Utilizar o raciocínio lógico crítico e analítico • Interpretar e analisar criticamente os dados • Compreender as mudanças de demanda social • Ampliar a capacidade de comunicação interpessoal • Discenir a escolha da técnica mais eficaz para uma determinada situação • Reconhecer a validade e veracidade dos dados levantados em uma pesquisas • Refletir sobre os dados obtidos, fazendo a devida transposição para a vida cotidiana

Materiais para auto-estudo disponibilizados no Portal • Lista de atividades – na galeria da unidade didática • Texto de auto-estudo – na galeria da unidade didática

Duração 2 h/a – via satélite com o professor interativo 2 h/a – presenciais com o professor local 6 h/a – mínimo sugerido para auto-estudo

Unidade Didática – Estatística Aplicada à Administração

INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA

de para a utilização de algumas técnicas e resultados implementados pelas academias, dentre eles destacamos as grandes quantidades de informações, de

INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA

A evolução das ciências e também das tecnologias impulsiona, de forma generalizada, toda a socieda-

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Unidade Didática — Estatística Aplicada à Administração

meios de comunicações, desenvolvimentos de pesquisas, um aprimoramento na forma de gerenciar e adquirir outras formas de trabalho. Nesse contexto, a estatística, com a sua possibilidade de buscas, de representações e síntese de dados, desponta nos meios de comunicações e informações ampliando a maneira de acompanhar um dado acontecimento, verificar, sintetizar, resolver problemas e tomar novas decisões. Em administração, uma das grandes razões para coleta de dados, análises, apresentações e interpretações são: dar aos tomadores de decisões e gerentes um melhor entendimento do ambiente administrativo e econômico e, assim, uma possibilidade de decisão mais fundamentada.

a primeira vez que se observa o termo “estatística” como uma ciência. A partir dessa época, as tabelas e as representações gráficas ficaram mais significativas, com uma maior clareza. Os estudos da probabilidade fizeram com que a estatística não ficasse apenas na coletânea de dados numéricos, mas que desse uma visão sobre o todo, pelo estudo das partes. A teoria das probabilidades, no final do século XVII, aplicada à estatística existente, deu origem à estatística moderna, aplicada em todos os campos de pesquisa. Atualmente, tornou-se uma tecnologia quantitativa para a ciência experimental e observacional, que permite avaliar e estudar as incertezas e os seus efeitos no planejamento, possibilitando a interpretação de experiências e de observações de fenômenos da natureza e da sociedade.

Como surgiu a estatística

Desde a Antiguidade, os governos têm-se interessado por informações sobre suas populações e riquezas, para fins de controle e governabilidade, pois o registro de informações não se perde no tempo. Confúcio relatou levantamentos feitos na China mais de 2.000 anos antes da era cristã. No antigo Egito, os faraós fizeram uso de informações de caráter estatístico, conforme evidenciaram pesquisas arqueológicas. Os registros mostram que alguns povos já faziam controle de sua população, registrando as migrações, os nascimentos, os óbitos, e também das suas terras e das riquezas. Havia distribuições de terras de uma forma proporcional à quantidade de pessoas na família, e se faziam também registros dos patrimônios para melhor tributar os impostos. Os recenseamentos, como o mencionado na Bíblia, não passavam de controles militares, referentes à baixa de soldados, armas e cavalos, visando reorganizar o exército para novas conquistas e administrar as terras conquistadas. A partir do século XVI, começa a aparecer a análise, de forma mais sistematizada, de alguns fatos sociais, como casamentos, batizados, mortos, e também apresentação das tabelas com os primeiros números relacionados. No século XVIII, Gottfried Anchenwall dá os primeiros passos para que esses tipos de controle, por meio dos dados obtidos e organizados, tenham objetivos ou métodos que se relacionem com outras ciências. É também

Para resumir Estatística é uma tecnologia quantitativa para a ciência experimental e observacional, que permite avaliar e estudar as incertezas e também as certezas e os seus efeitos no planejamento, possibilitando a interpretação de experiências e de observações de fenômenos da natureza e da sociedade. Está relacionada com a matemática de uma forma dependente para se desenvolver, e com outras ciências é um complemento da pesquisa. Importância da estatística na sociedade

Adquirir conhecimentos e transformá-los foi uma das preocupações constantes dos homens na história da humanidade. Muitos desses conhecimentos que se transformaram em descobertas desfrutadas por nós todos os dias vieram de fontes ignoradas por muitos, como é o caso da estatística. A estatística é utilizada praticamente por todos os setores da pesquisa, tanto governamentais como os privados, das ciências humanas, sociais, aplicadas, exatas, enfim, por todos os ramos. Ela dá a possibilidade de visualizar e ampliar o conhecimento de uma forma mais generalizada, extrair as informações necessárias e também interferir nas diferentes localidades com as informações obtidas.

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AULA 1 — Introdução à Estatística

conceitos estatísticos e utilizam gráficos e tabelas de vários tipos para apresentarem as suas informações.

Um outro setor que se apropria das informações obtidas pelas pesquisas estatísticas é o da comunicação, pois a sua representação em tabelas e gráficos, com todas as suas técnicas, faz com que as informações sejam compreendidas mais rapidamente na sua totalidade. Essa maneira de transposição das informações cria uma nova forma de leitura das pesquisas acadêmicas e do mundo. Os profissionais, em sua maioria, necessitam dos conhecimentos de estatística para tomar decisões e para evitar “apresentações viciosas”. Isto implica que as academias proporcionem movimentos nos quais possam criar e fazer leituras das informações dos dados estatísticos, ampliando mais o conhecimento, desenvolvendo na formação acadêmica competências para visualizar com mais propriedade os fenômenos históricos, sociais, políticos e econômicos. A estatística contribui na formação profissional como uma excelente ferramenta administrativa para o desenvolvimento de métodos científicos. Entretanto, ela não pode provar nada, mas, sim, propiciar o cálculo da probabilidade da ocorrência de um evento dentro de uma determinada margem de acerto, ou, ainda, a hipótese relativa de se estar certo ou errado.

O papel do administrador requer com freqüência a capacidade de analisar e interpretar a realidade. A estatística tem essa função e possibilita o desenvolvimento das capacidades de argumentar e de se tomarem decisões que são de suma importância no fazer do administrador. O uso de recursos tecnológicos, mais especificamente de uma planilha eletrônica ou um software específico de estatística, dá a possibilidade de um enfoque maior nos conceitos estatísticos, superando, assim, as dificuldades que muitos têm em técnicas matemáticas para cálculos operatórios, permitindo trabalhar com dados mais complexos, sem arredondamentos, isto é, dados reais. Apesar da importância de se compreender os conceitos matemáticos, a estatística poderá ser mais significativa se o enfoque do ensino estiver mais centrado nos conceitos estatísticos do que nos cálculos matemáticos e probabilísticos. Mesmo reconhecendo a necessidade e a importância dos procedimentos, isto deverá ser o início de todo o processo; o desafio é ir muito mais além, ultrapassar os procedimentos e chegar à reflexão. A estatística deverá ser muito mais do que uma série de técnicas. O trabalho com os dados deve promover o desenvolvimento de hábitos de pensamento, pois se trata de um processo de reflexão para um maior entendimento sobre o mundo.

Importância da estatística no curso de Administração

A estatística tem se tornado parte integrante das nossas vidas. Basta apenas dar uma olhada nos diversos tipos de publicações como jornais, livros e revistas para perceber como a linguagem da probabilidade e da estatística está presente no cotidiano, e é constantemente utilizada tanto nas seções policiais, desportivas, informativas, como na meteorologia, em relatórios econômicos e financeiros, administrativos, sondagens de opinião, com caráter político ou publicitário, de produtos de consumo, ilustrando as informações com gráficos e tabelas dos mais diversos tipos, cujas leitura e interpretação pressupõem alguns conhecimentos estatísticos. Essa linguagem está na sociedade como um todo; as informações são apresentadas utilizando-se os métodos e a linguagem estatísticos. As publicações, de uma forma geral, recorrem, freqüentemente, a

A compreensão, de forma significativa, da preparação dos questionários, amostragens, coleta de dados, organização, representação gráfica de dados e da elaboração de previsões faz com que o pensamento estatístico seja utilizado na resolução de problemas do mundo real, obtendo a devida valorização, contribuindo, assim, para a conscientização sobre o seu papel na sociedade e a natureza do pensamento científico. Aplicabilidade da estatística na Administração

A estatística pode ser aplicada nas mais diversas áreas. Dentre elas, citamos as mais conhecidas pela sociedade: a) no censo, que é aplicado pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), que dá

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Unidade Didática — Estatística Aplicada à Administração

– uma firma de vendas de peças de carros poderá obter informações na região dos tipos de veículos e o acesso às peças que mais deterioram no local, para adequar as vendas e ter uma probabilidade maior de sucesso;

ao governo federal as informações, em diferentes aspectos, da população brasileira; b)na política, quando é feita a pesquisa de urna ou para saber as necessidades da população para que os políticos possam traçar as suas metas de campanha; c) na administração, proporciona visibilidade em algumas das seguintes questões: • sistema de informação para tomada de decisões gerenciais, como: – grau e tipo de formação de sua equipe de trabalho; – informações sobre produtos criados e manipulados; – qualidade na produção de um produto por meio da amostragem; – tipos de clientelas e localidades existentes para um determinado produto; – na empresa, para saber o grau de satisfação de seus funcionários; – grau de produtividade dos funcionários e o apontamento para a necessidade de superação; – tendência econômica do mercado; – identificação de problemas na aceitação de uma mercadoria; – prever situações e priorizar metas para um dado acontecimento; – no mercado, para saber quais são as necessidades de uma clientela; – na abertura de uma empresa, indica a necessidade de um produto em uma determinada região; – antes do lançamento de um produto novo, pode verificar o grau de validade e aceitação; – ao receber uma grande quantidade de mercadoria, verificar o grau de qualidade por meio de uma amostragem; – o auditor, ao fazer levantamento da contabilidade de uma empresa, por meio de livros, poderá utilizar os conceitos estatísticos de tiragem de amostras para fazer nela uma inferência;

– consultores financeiros utilizam as informações estatísticas para recomendações aos investidores nas bolsas de valores; – auxilia na definição de um produto ou serviço a serem oferecidos, e dos clientes e mercadorias a serem atendidos. Podemos já visualizar alguns pontos em que os administradores poderão fazer uso dos conceitos estatísticos para obter benefícios na sua profissão. Destacamos agora alguns pontos que devem ser analisados criticamente antes do uso da estatística. Limitações da estatística

A estatística tem sido utilizada na pesquisa científica para a otimização de recursos econômicos, para o aumento da qualidade e produtividade, na otimização em análise de decisões, em questões judiciais, previsões e em muitas outras áreas, porém pode haver erros na coleta dos dados. Por exemplo, um entrevistador pode cometer um engano ao registrar os dados obtidos, em vez de registrar a idade de uma pessoa com 24 anos, registra 42 anos, interferindo na transposição das informações. Com a finalidade de levantar dados para determinada pesquisa, é importante escolher uma fonte confiável de informações ou uma amostra adequada e utilizar instrumentos corretos de coleta de dados, como questionários ou entrevistas, dentre outros. Dependendo do assunto pesquisado, os dados resultarão em gráficos diferentes, bem como diferentes distribuições de freqüências. Ao colocarmos os valores em um gráfico, podemos obter as mais diversas configurações, e estas poderão afetar a leitura dos dados. Podemos também observar que, em alguns momentos, não temos disposição para a interpretação de uma pergunta – assim, a resposta poderá estar incorreta, causando erros nos tipos de resultados.

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AULA 1 — Introdução à Estatística

ção por meio de gráficos e tabelas. O seu objetivo é tornar as pesquisas mais fáceis de serem entendidas, relatadas, discutidas, facilitando a utilização dos resultados obtidos. Por exemplo: a) apresentação em uma tabela ou gráfico do perfil do administrador por meio da pesquisa nacional elaborada pelo Conselho Federal de Administração (CFA); b)dados da média anual de leituras de livros dos acadêmicos do curso de Administração da UNIDERP Interativa; e c) apresentação por meio de gráficos do índice de aceitação da popularidade do presidente da República.

A busca de informações por meio de uma pesquisa em toda a população torna-se dispendiosa em tempo e financeiramente. Assim, a alternativa é a busca de uma amostra, que deverá ter uma análise criteriosa e impessoal, senão poderá trazer informações que não representam a população. Exemplo: um político quer saber seu grau de aceitação na sociedade e busca informações apenas em seu partido político ou com os seus familiares. Até este momento falamos um pouco de estatística de uma forma generalizada, podendo verificar algumas noções de aplicações e limitações. A partir deste momento, faremos algumas conceituações dos termos e um trabalho mais prático.

Estatística... o que é mesmo?

A estatística inferencial é a continuidade da estatística descritiva, e consiste na análise e interpretação dos dados amostrais. Sua base está ligada à teoria das probabilidades, tornando possível a estimação de características de uma população a partir dos resultados amostrais. De uma forma mais simplificada, a estatística inferencial tenta ampliar o conhecimento, faz o uso da estimativa e testa hipótese sobre a característica da população, por exemplo.

É de suma importância estarmos atentos para ampliarmos nossa compreensão dos conceitos da estatística para que estes não passem apenas de apresentação de tabelas e gráficos dos dados, mas que possibilitem a interferência nas situações pesquisadas, e novos rumos poderão ser dimensionados. Vejamos, então, os diferentes conceitos. Estatística

A partir de agora, daremos uma maior ênfase à estatística descritiva, focalizando a elaboração de uma pesquisa estatística, para em um outro momento fazermos algumas imersões no uso do tratamento de dados estatísticos.

Segundo Rocha (1996, p. 256)1, estatística é: Ciência que tem por objetivo a observação, a captação, a classificação e análise das ocorrências coletivas ou de massa, bem como a indução de leis a que tais ocorrências obedeçam, e apresentação numérica em tabelas e gráficos dos resultados dessas observações. De uma forma mais simplificada, colocamos que é uma ciência que possibilita coletar, analisar, apresentar e interpretar os dados, isto é, uma parte da matemática aplicada que fornece métodos para a coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados e a utilização destes na tomada de decisões. A estatística está dividida em duas áreas ou fases: a descritiva e a inferencial. A estatística descritiva compreende as etapas da descrição, organização, tabulação e representa-

Alguns conceitos esclarecedores

É importante conhecer os conceitos estatísticos. Essa ciência nós dá possibilidade de uma visão maior e mais global dos acontecimentos e de sermos mais críticos nos resultados demonstrados pelas mídias impressas, televisivas ou digitais. Antes da elaboração dos questionamentos relacionados com um problema, é imprescindível decidir que parte da população será pesquisada. 1 ROCHA, Ruth. Dicionário língua portuguesa. São Paulo: Scipione, 1996, p. 256.

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Unidade Didática — Estatística Aplicada à Administração

que forma a população, isto é, se a população for formada por 70% do sexo masculino, a amostra deverá ter 70% desses elementos.

Exemplo

Queremos saber quantos acadêmicos do curso de Administração da UNIDERP Interativa estão atuando na área de sua formação, isto é, quem já tem o seu trabalho como gerente, administrador ou coordenador.

Para refletir • Para saber a temperatura da água da piscina, basta colocar um dedo; se houver a necessidade de uma maior precisão, basta colocar um termômetro. • Para saber se existe uma doença, o médico solicita exames. A proporção da quantidade de sangue retirado é bem menor que 10%. • Para saber se a sopa está boa, prova-se apenas uma pequena porção, mas se a sopa não for homogênea, teremos informações viciadas ou a amostragem dará uma visão distorcida da realidade.

Para obtermos a resposta para esse questionamento, necessitamos fazer a pergunta para os acadêmicos do curso de Administração da UNIDERP Interativa. Logo, a nossa população será: os acadêmicos do curso de Administração da UNIDERP Interativa, pois o resultado da pesquisa fornecerá dados para responder a questão de investigação. População é o conjunto de todos os elementos com as características que se deseja estudar, ou é o grupo sobre o qual se realiza um estudo estatístico. Depois de refletirmos e esquematizarmos uma pesquisa estatística, é importante conhecermos alguns conceitos utilizados nesta área.

O tamanho da amostra depende da área específica que está sendo pesquisada. O resultado de uma pesquisa da amostragem refletirá o todo. Uma maneira prática de se minimizarem os erros é evitar amostras muito pequenas que produzam uma estimativa pouco representativa da população; entretanto, amostras grandes demandam muito trabalho e tempo, elevando significativamente os custos. É importante ter alguns cuidados para que não ocorram erros viciosos, levando os dados observados, medidos ou avaliados à não-representatividade da realidade. Se a amostragem não for realizada conforme as técnicas experimentais, ela não representará a população e, conseqüentemente, a margem de erros tornar-se-á tão grande que a pesquisa poderá tornar-se inútil. Quando temos condições de saber quem e como vamos escolher nossos entrevistados, partiremos para verificar quais os tipos de variáveis e dados iremos buscar nos nossos questionários.

Ao aplicar as questões, devemos decidir quem as responderá. Nesse caso, se for para toda a população, daremos o nome de censo; se forem escolhidos alguns representantes, será apenas uma amostra. Amostra é a parte da população que se escolhe aleatoriamente para estudo, em outras palavras, deve ser escolhida obrigatoriamente ao acaso e refere-se a uma parte representativa da população. A amostra deverá ser no mínimo de 10% de elementos da população. As vantagens de se trabalhar com amostras representativas são: baixo custo, pouco tempo para realizar a pesquisa, facilidade e eficiência nos resultados obtidos. A escolha da amostragem poderá ser: a) amostragem aleatória simples – sorteia-se para o estudo pelo menos 10% da população; b)amostragem sistemática – sorteia-se um número de 1 a 10. Este será o primeiro, os próximos poderão ser os múltiplos do número sorteado ou a somatória de 5; enfim, deverá ser sistematizada uma forma para a escolha dos elementos;

Dados, elementos e variáveis

Os dados são os fatos e números coletados, analisados e sintetizados para a apresentação e interpretação; em outras palavras, qualquer característica que possa ser observada ou medida de alguma maneira. As matérias-primas da estatística são os dados observáveis e mensuráveis.

c) amostragem estratificada proporcional – a amostra é formada por estratos com um número de elementos proporcional ao de cada grupo

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AULA 1 — Introdução à Estatística

Os dados podem ser:

Exemplos:

a) primários, quando as informações são colhidas diretamente pelo pesquisador ou por seus auxiliares;

• idade; • altura; • peso;

b)secundários, quando os pesquisadores recorrem a relatórios, revistas, livros ou dados já coletados por instituições especializadas.

• tempo de serviço de um operário; • número de alunos em uma sala; • número de veículo em um posto de gasolina; • notas de avaliações;

O conjunto de dados é obtido por meio dos elementos da pesquisa. Estes fazem parte da amostra.

Os elementos são as entidades sobre as quais os dados são coletados, por meio de uma variável.

discretas: dados cujas variáveis podem assumir somente valores inteiros em um conjunto de valores: • número de alunos em uma sala;

Uma variável é um item do elemento da pesquisa, e as respostas de todos os itens fornecerão os dados que representarão o grupo pesquisado.

• número de veículos em um posto de gasolina. Se houver restrição apenas para números inteiros:

Exemplo

Em uma pesquisa para uma visualização do perfil dos acadêmicos do curso de Administração da UNIDERP Interativa, foram solicitadas algumas informações, como: idade, cor/raça, peso, altura, meio de transporte que mais utiliza, quantos livros lê por semestre, local de trabalho.

• número do sapato; • tempo de serviço de um operário; • idade; • peso; • notas de avaliações; –

Os entrevistados são os elementos da nossa amostra; os tipos de informações solicitadas são as nossas variáveis e, todas as informações coletadas são os nossos dados.

contínuas: aquelas variáveis que podem assumir um valor dentro de um intervalo de valores: • altura;

Os dados são obtidos na análise de cada variável para cada elemento do estudo. As características de determinada população podem ser classificadas em:

• idade; • peso; • notas de avaliações;

a) qualitativas: características de uma população que não podem ser medidas, isto é, dados nãonuméricos, que apenas designam adjetivos do elemento.

• número do sapato; e • tempo de serviço de um operário. As variáveis “discretas” só podem assumir valores inteiros (geralmente, contagens).

Exemplos: • sexo – masculino ou feminino;

Ex.: número de alunos em sala de aula, características raciais, número de animais e outros. É oportuno esclarecer, no entanto, que é comum e correto obterem-se valores não-inteiros para os resultados oriundos de análises estatísticas de variáveis discretas.

• cor/raça – branca, preta, amarela ou parda; • meios de transporte que mais utiliza: carro, bicicleta, ônibus e outros; b)quantitativas: características que podem ser quantificadas, e são classificadas em discretas e contínuas.

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Unidade Didática — Estatística Aplicada à Administração

Para resumir Variáveis

Tipos

Descrição

Exemplos

Nominal

Não existe ordenação

 Cor dos olhos  Sexo

Qualitativas ou categóricas

 Cor/raça Ordinal

Obedece a certa ordenação

 Grau de escolaridade  Classe social

Discreta Quantitativas

Contagem

 Quantidade de funcionário  Acidentes ocorridos durante um mês

Contínua

Medição

 Altura  Peso

• Perguntas de múltipla escolha são aquelas questões com opção de várias possibilidades. O participante pode fazer o uso de apenas uma dessas opções. Exemplo: Em que tipo de alojamento você está morando neste ano de estudo? ( ) Alojamento universitário ( ) Casa/apartamento próprio, com os seus pais ( ) Casa/apartamento alugado, com os seus pais ( ) Outro (favor especificar)______________

Já sabemos os tipos de dados existentes em uma coleta, mas como podemos coletar os dados? Sabemos que existem dois tipos de dados, os primários e os secundários; destacaremos a seguir os métodos de pesquisa. No método de coleta de dados primários, podem ser utilizadas algumas das seguintes formas: Entrevistas pessoais Entrevista por telefone Questionários

Dicotômica

Múltipla Envio por e-mail Tipos de perguntas escolha Deixados em lugares Aberta estratégicos Observação

Por que escolheu o curso de Administração? ( ) Preferência ( ) Falta de opção ( ) Não decidiu ainda ( ) Outro (favor especificar)______________

O questionário, geralmente enviado pelos Correios, e-mail ou deixado em lugares estratégicos, é a forma mais conhecida de pesquisa estatística. Atualmente, a entrevista por telefone e e-mail está substituindo o trabalho antes feito pelos Correios. A observação é o principal método empregado quando a população de interesse não está relacionada com as pessoas ou não requer resposta de pessoas. Exemplo: uma pesquisa sobre o tráfego. Esse método depende em grande parte do observador e, por sua natureza, geralmente consome mais tempo. Quanto aos tipos de perguntas, na elaboração do questionário, veja os detalhes. • Perguntas dicotômicas são aquelas que permitem apenas duas respostas. Exemplo: Você mora com os seus pais? ( ) sim ( ) não Você gosta ( ) ou não gosta de matemática ( )?

• Nas perguntas abertas, os participantes podem responder de qualquer maneira. A principal vantagem é que permitem um número infinito de respostas divergentes, mas, cuidado, pois são difíceis de serem processadas e analisadas. Seja prudente para não as utilizar demasiadamente. As perguntas abertas podem ser mais úteis em três áreas particulares: a) pesquisas-piloto – podem ser úteis para tentar alcançar todas as possíveis respostas para uma

142

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AULA 1 — Introdução à Estatística

• não devem ser muito pessoais ou ofensivas; • não devem sobrecarregar a memória; • não devem ser ambíguas.

determinada pergunta, tornando-a mais bem projetada para uma de múltipla escolha; b)investigações – para obter informações extras dependendo de uma escolha feita por uma resposta anterior; c) utilizadas no final do questionário, podem ser um meio de dar ao participante a chance de adicionar qualquer coisa que ele considere importante, mas não é mencionada nas perguntas citadas.

As perguntas devem ser colocadas em uma ordem lógica. O questionário deve ser disposto e construído de forma atraente. A maneira como as respostas serão analisadas deve ser considerada na etapa da elaboração do questionário.

As perguntas abertas podem dar mais credibilidade ao relatório final com o uso de respostas reais, como citações.

Atividade Observações importantes para a elaboração de um questionário

E agora, que tal aprender a fazer fazendo?

Após os detalhes e conceitos discutidos até então, podemos desenvolver algumas atividades para uma melhor compreensão e síntese dos estudos sobre estatística. • Construir um glossário: com exemplificações dos conceitos e inserção de imagem quando achar conveniente.

Ele deve ser o mais curto possível. As questões em si: • devem evitar o uso de termos complexos; • devem fazer sentido; • não devem ser muito técnicas ou envolver muitos cálculos;

*

ANOTAÇÕES

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Unidade Didática — Estatística Aplicada à Administração

Unidade Didática – Estatística Aplicada à Administração

AULA

2

____________________ ESTATÍSTICA DESCRITIVA – OBTENÇÃO E ORGANIZAÇÃO DE DADOS Conteúdo • • • • •

Obtenção e organização dos dados Tabulação dos dados brutos Classificação dos dados Organização dos dados Apresentação dos dados em tabelas

Competências e habilidades • Compreender qual a técnica que melhor se aplica a uma determinada situação e utilizá-la eficazmente na sua solução • Verificar de uma forma mais crítica as informações obtidas dos meios de comunicação • Ampliar a leitura das informações dos dados apresentados

Materiais para auto-estudo disponibilizados no Portal • Lista de atividades – na galeria da unidade didática • Texto de auto-estudo – na galeria da unidade didática

Duração 2 h/a – via satélite com o professor interativo 2 h/a – presenciais com o professor local 6 h/a – mínimo sugerido para auto-estudo

Os dados brutos ou absolutos são aqueles coletados por meio da pesquisa direta da fonte sem outra manipulação e estão divididos em dois tipos, que são os qualitativos e os quantitativos. Primeiro, trataremos dos dados qualitativos, que são expressos por atributos ou qualidade. Suponhamos que os dados a seguir relacionados são os dados brutos coletados de uma pesquisa sobre o estado civil dos 56 acadêmicos do curso de Administração do Pólo Forte União da UNIDERP Interativa.

DESCRIÇÃO E ORGANIZAÇÃO DOS DADOS

Na aula anterior, aprendemos a elaborar uma pesquisa e aplicá-la. Agora, após a elaboração e aplicação dos questionários e das entrevistas, temos uma nova fase que é a organização dos dados coletados. Temos diversos tipos de dados. Na estatística destacamos os dados brutos ou absolutos, que iremos verificar a partir deste momento.

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AULA 2 — Estatística Descritiva – Obtenção e Organização de Dados solteiro

casado

Casado

viúvo

casado

casado

solteiro

casado

solteiro

casado

solteiro

casado

casado

solteiro

divorciado

casado

casado

casado

solteiro

casado

viúvo

solteiro

casado

solteiro

solteiro

viúvo

viúvo

solteiro

casado

divorciado

casado

casado

casado

casado

casado

solteiro

casado

solteiro

casado

casado

divorciado

casado solteiro

casado casado

casado

Observa-se que 8 acadêmicos deixaram a questão em branco, isto é, não responderam. O primeiro passo é fazer o rol. Rol é o arranjo dos dados em uma determinada ordem. Como os dados são qualitativos, vamos organizar em ordem alfabética.

Como organizar as informações?

casado

casado

casado

casado

solteiro

solteiro

casado

casado

casado

casado

solteiro

solteiro

casado

casado

casado

casado

solteiro

solteiro

casado

casado

casado

divorciado

solteiro

solteiro

casado

casado

casado

divorciado

solteiro

viúvo

casado

casado

casado

divorciado

solteiro

viúvo

casado

casado

casado

solteiro

solteiro

viúvo

casado

casado

casado

solteiro

solteiro

viúvo

Por meio do rol, é possível verificar, de maneira mais clara e rápida, a composição do conjunto. Mas ainda fica difícil para se ter uma visão geral. Vamos agora apresentar esses dados em uma tabela. Já sabemos que temos acadêmicos nas categorias ou situação: casado, divorciado, solteiro e viúvo. Após a contagem de quantos há em cada situação, mostraremos essas informações em um quadro, uma representação tabular.

No final do texto desta aula, vocês encontrarão as regras e técnicas para a elaboração de uma tabela. No geral, no levantamento de todos os dados qualitativos, na forma de organização desses dados e na sua apresentação são utilizados procedimentos semelhantes. Mas, a leitura dos dados absolutos é de difícil interpretação. Mesmo trazendo um resultado fiel e exato, é necessário fazer uso de um conceito da estatística dos dados relativos. Estes têm por finalidade realçar ou facilitar as comparações entre quantidades. Os cálculos é que fazem comparações do todo com as situações ou categorias específicas, ou a razão entre o total e o específico.

Quadro 1 – Estado civil dos acadêmicos do curso de Administração do Pólo Forte União da UNIDERP Interativa da Turma 2009/1 Situação

Freqüência

Casado

27

Divorciado

3

Solteiro

14

Viúvo

4

Não responderam

8

casado solteiro

Podemos traduzir os dados relativos, de uma forma geral, por meio de porcentagens, índices, coeficientes e taxas. A seguir apresentaremos como será efetuado o cálculo e depois uma breve leitura dos dados.

Total 56 Fonte: Acadêmicos do curso de Administração do Pólo Forte União da UNIDERP Interativa da Turma 2009/1.

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Unidade Didática — Estatística Aplicada à Administração Quadro 2 – Estado civil dos acadêmicos do curso de Administração do Pólo Forte União da UNIDERP Interati-

va da turma 2009/1 Situação

Freqüência

Cálculo (rascunho)

Freqüência relativa

Cálculo (rascunho)

Freqüência percentual

Casado

27

27/56

0,482

0,482 * 100

48,20

Divorciado

3

3/56

0,054

0,054 * 100

5,40

Solteiro

14

14/56

0,250

0,250 * 100

25,00

Viúvo

4

4/56

0,071

0,071 * 100

7,10

Não responderam

8

8/56

0,143

0,143 * 100

14,30

Total

56

27/56+3/56+

1,000

0,482*100+0,054*100+

100,00

14/56+

0,250*100+0,071*100+

4/56+8/56

0,143*100

Obs.:

Quadro 3 – Estado civil dos acadêmicos do curso de

• As colunas Cálculo (rascunho) aparecem apenas para apresentarem como se faz o cálculo.

Administração do Pólo Forte União da UNIDERP Interativa da turma 2009/1

• Na freqüência relativa se utilizam até três casas na parte decimal. A freqüência relativa é simplesmente a proporção de representações de uma situação em relação ao total dessa variável. A freqüência percentual é a freqüência relativa multiplicada por 100.

Situação

Freqüência (%)

Casado

48,20

Divorciado

5,40

Solteiro

25,00

Viúvo

7,10

Não responderam

14,30

Total

100,00

Fonte: Acadêmicos do curso de Administração do Pólo Forte União da UNIDERP Interativa da turma 2009/1

Podemos concluir que: – 48,20% dos acadêmicos estão casados;

Para refletir

– 5,40%, divorciados;

Das informações descritas a seguir, qual seria a mais significativa para se realizar a leitura? Em qual delas seria mais fácil interpretar as informações?

– 25%, solteiros; – 7,10%, viúvos; – 14,30% não responderam ao questionário.

Na turma de Administração da UNIDERP, 27 dos acadêmicos estão casados.

Na turma de Administração da UNIDERP aproximadamente 48% dos acadêmicos estão casados.

Essas representações de valores dos dados são os fechamentos de conclusões da pesquisa descritiva e nos dão uma visão maior sobre a situação dos acadêmicos desse curso. Agora, iremos verificar como se faz quando se trata de dados quantitativos.

Você consegue sentir que os dados percentuais dão melhor visibilidade da situação? Quando apresentamos alguns dados, temos que ter essa preocupação. Qual a melhor forma para entender os dados apresentados?

Retomando

O que são dados brutos? São os dados obtidos diretamente da pesquisa, logo após a aplicação do questionário, sem nenhuma

Podemos apresentar também utilizando a tabela com os dados na freqüência percentual

146

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AULA 2 — Estatística Descritiva – Obtenção e Organização de Dados

Podemos, pelo rol, verificar de maneira mais clara e rápida a composição do conjunto, identificando o maior e o menor valor, além de alguns elementos que podem se repetir várias vezes, mostrando, assim, o comportamento dos dados. Como podemos organizar os dados no formato de tabela, se temos muitos valores diferentes?

interferência ou sem ter passado por processos de sínteses ou análises. Suponhamos os seguintes dados brutos (idade) que vieram da mesma pesquisa dos acadêmicos de Administração. 35

35

24

20

33

33

23

45

20

35

35

53

24

29

23

50

45

42

27

24

42

22

29

35

40

33

40

42

24

35

23

51

20

35

33

22

24

29

35

35

51

26

20

42

22

29

40

33

40

45

20

23

53

27

24

24

Para refletir Como podemos organizar os dados no formato de tabela, se temos muitos valores diferentes?

De imediato podemos verificar no rol que a menor idade é 20 e a maior, 53. Sabemos então que a idade varia de 20 a 53 e tem uma amplitude total de 33, pois: 53 – 20 = 33 Amplitude total é um conceito da estatística que mede a variação dos dados quantitativos. Essa variação é um parâmetro de medida e auxilia a construção de outras medidas. Nesses casos, utilizaremos as seguintes regras: construiremos as classes com os dados existentes e organizados. Sabemos que a pesquisa teve a participação de 56 acadêmicos, e regra para saber quantas classes devem ser utilizadas, fazemos o seguinte cálculo: 1) amplitude total = maior valor – menor valor da pesquisa (53 – 20 = 33); 2) quantidade de classes = raiz quadrada da quantidade de elementos da pesquisa ( 56 ≡ 7,48 ≡ 7) sempre será um número inteiro. Se der valor decimal, aproximar para o número inteiro menor; 3) o intervalo da classe é dado pela divisão entre a amplitude total e a quantidade de classes

Para que possamos visualizar os dados com mais clareza, fazer uma análise e também para apresentá-los para os acadêmicos, será necessário organizar as idades dos acadêmicos. Utilizaremos a primeira noção de organização de dados quantitativos. Rol são os arranjos dos dados em certa ordem. Nesse caso, por se tratar de dados quantitativos, utilizaremos a ordem crescente. Quadro 4 – Idades organizadas em ordem crescente 20

23

27

33

40

45

20

23

27

35

40

50

20

24

29

35

40

51

20

24

29

35

40

51

20

24

29

35

42

53

22

24

29

35

42

53

22

24

33

35

42

22

24

33

35

42

23

24

33

35

45

23

26

33

35

45

amplitude_total =5 = 33 ~ = 4,71 ~ quantidade_de_classe 7 ; sempre será arredondado para um valor maior, caso contrário o maior valor não será encaixado na última classe;

A colocação dos dados em ordem crescente facilita a retirada de algumas informações necessárias para a organização dos dados. Assim, será retirada uma informação que é a amplitude total.

147

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Unidade Didática — Estatística Aplicada à Administração

4) agora é só montar as classes. Como? Sabemos que o menor valor é 20, e o intervalo da classe, 5: a) a primeira classe será 20 a 25 e sua notação será 20 |–– 25, que terá o seguinte entendimento: a idade 20 pertencerá a esta classe, mas a 25 não; b) a segunda classe será 25 a 30 e sua notação será 25 |–– 30, que terá o seguinte entendimento: a idade 25 pertencerá a essa classe, mas a 30 não. Obs.: Intervalo fechado de um lado e aberto do outro lado; 5) quantos elementos têm a primeira classe? Como será a contagem? A contagem se dá manualmente após a elaboração do rol. Nesse caso, fizemos a apresentação dos valores do lado direito para melhor entendimento, com fins didáticos, mas na prática não existe a necessidade do desenvolvimento dessa forma.

Quadro 5 – Idade dos acadêmicos do curso de Administração do Pólo Forte União da UNIDERP Interativa da Turma 2009/1

20

20

20

20

22

22

22

23

23

23

24

24

24

24

24

24

24

29

29

35

23

20 |–– 25 19 25 |–– 30

7

26

27

27

29

29

30 |–– 35

5

33

33

33

33

33

35 |–– 40

9

35

35

35

35

35

35

35

35

40 |–– 45

8

40

40

40

40

42

42

42

42

45 |–– 50

3

45

45

45

50 |–– 55

5

50

51

51

53

53

Freqüência 19

25 |–– 30

7

30 |–– 35

5

35 |–– 40

9

40 |–– 45

8

45 |–– 50

3

50 |–– 55

5

Total

56

Para resumir De posse dos dados quantitativos: a) fazer o rol – colocar em ordem crescente; b)calcular a amplitude total = o maior valor – o menor valor; c) calcular quantas classes terá a representação tabular – calcular sendo n a quantidade de elementos da pesquisa – se necessário, arredondar para um valor inteiro e menor; d)calcular a amplitude da classe = amplitude total/quantidade de classes; se necessário, arredondar sempre para um valor maior; e) criar as classes e depois contar quantos elementos cada classe tem; f) apresentar os dados no formato de tabela. Já sabemos como apresentar os dados quantitativos na tabela; agora iremos criar também as freqüências relativas e percentuais.

Rascunho 20

Classe 20 |–– 25

Utilizando os dados anteriores e efetuando mais alguns cálculos, teremos logo as freqüências relativas e as percentuais.

Representação tabular dos dados dos acadêmicos em relação à idade. Classe

Freqüência

Cálculo (rascunho)

Freqüência relativa

Cálculo (rascunho)

Freqüência percentual

20 |–– 25

19

19/56

0,339

0,339 * 100

33,9

25 |–– 30

7

7/56

0,125

0,125 * 100

12,5

30 |–– 35

5

5/56

0,089

0,089 * 100

8,9

35 |–– 40

9

9/56

0,161

0,161 * 100

16,1

40 |–– 45

8

8/56

0,143

0,143 * 100

14,3

45 |–– 50

3

3/56

0,054

0,054 * 100

5,4

50 |–– 55

5

5/56

0,089

0,089 * 100

8,9

Total

56

19/56 + 7/56 + 5/56 + 9/56 + 8/56 + 3/56 + 5/56

1,000

0,339 * 100 + 0,125 * 100 + 0,089 * 100 + 0,161 * 100 + 0,143 * 100 + 0,054 * 100 + 0,089 * 100

100

148

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AULA 2 — Estatística Descritiva – Obtenção e Organização de Dados

3. cabeçalho – designa a natureza do conteúdo de cada coluna; 4. coluna indicadora – mostra a natureza do conteúdo de cada linha; b) elementos complementares (se necessário): 5. fonte – é o indicativo, no rodapé da tabela, da entidade responsável pela sua organização ou fornecedora dos dados primários; 6. notas – são colocadas no rodapé da tabela para esclarecimentos de ordem geral; 7. chamadas – são colocadas no rodapé; servem para esclarecer minúcias em relação às colunas ou linhas. Nenhuma célula da tabela deve ficar em branco, apresentando sempre um número ou sinal.

Retomando

A freqüência relativa é simplesmente a proporção de representações de uma situação em relação ao total dessa variável. A freqüência percentual é a freqüência relativa multiplicada por 100. A freqüência percentual dá uma visão mais apurada, isto é, além de dar visibilidade do todo, observa-se uma informação específica. Para analisar Na turma de Administração da UNIDERP, a maior concentração de idade está entre 20 e 25 anos, pois são 33,9% dos acadêmicos.

Na turma de Administração da UNIDERP, a maior concentração de idade está entre 20 e 25 anos, pois são 19 acadêmicos.

Das informações descritas, qual seria a mais significativa para se fazer uma leitura ou ouvir essas informações. Qual teria mais sentido? Em qual daria para entender melhor as informações?

Idade dos acadêmicos do curso de Administração do Pólo Forte União da UNIDERP Interativa da Turma 2009/1

1 3

Você percebe que as representações percentuais tornam-se mais significativas, pois é uma linguagem mais popular, além de demonstrar uma parcela do todo. Como fazer uma representação tabular

Fazer uma representação dos dados coletados por meio de tabelas, para dar uma visão mais clara do que ocorre com os dados observados.

Classe

Freqüência

20 |–– 25

19

25 |–– 30

7

30 |–– 35

5

35 |–– 40

9

40 |–– 45

8

45 |–– 50

3

50 |–– 55

5

Total

56

Fonte XXX

Para organizar uma série estatística ou uma distribuição de freqüências, existem algumas normas nacionais ditadas pela Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), de acordo com a publicação “Normas de Apresentação Tabular”, 3ª edição, 1993, do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), as quais devem ser respeitadas. Assim, toda tabela estatística deve conter:

5, 6 e 7

Atividade Verificar lista de exercício contida na Ferramenta da Galeria da Unidade Didática – Aula 2.

*

ANOTAÇÕES

a) elementos essenciais: 1. título – indica a natureza da pesquisa, as variáveis na análise do fato, o local e a época; 2. corpo – é o conjunto de linhas e colunas que contêm, respectivamente, as séries horizontais e verticais de informações;

149

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Unidade Didática — Estatística Aplicada à Administração

AULA

3

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS DADOS ESTATÍSTICOS à Administração

Unidade Didática – Estatística Aplicada

____________________

Conteúdo • Descrição gráfica da variável qualitativa, • Descrição gráfica da variável quantitativa

Competências e habilidades • • • •

Compreender qual representação gráfica que melhor transparece os dados de pesquisa Possibilitar a leitura dos dados de uma forma mais crítica Elaborar uma representação gráfica, utilizando os conceitos estatísticos Conhecer os métodos gráficos para representar uma distribuição de freqüência

Materiais para auto-estudo disponibilizados no Portal • Lista de atividades – na galeria da unidade didática • Texto de auto-estudo – na galeria da unidade didática

Duração 2 h/a – via satélite com o professor interativo 2 h/a – presenciais com o professor local 6 h/a – mínimo sugerido para auto-estudo

iniciaremos a elaboração de uma representação gráfica das variáveis qualitativas ou categóricas.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS DADOS ESTATÍSTICOS

Você já deve ter observado nas aulas anteriores que a organização de dados é importante para dar visibilidade para uma pesquisa. A representação gráfica amplia a visão do resultado de uma pesquisa. Por isso, os gráficos devem ser auto-explicativos e de fácil compreensão. Nesta aula, você terá oportunidade de ampliar seus conhecimentos. Até a aula anterior fizemos a representação dos dados estatísticos por meio de uma representação tabular, isto é, em tabelas, dos dados de uma variável. A partir deste momento

Que meio de transporte mais utiliza?

Qual é o seu estado civil?

Continuaremos a utilizar os dados da pesquisa simulada, da aula anterior. Já temos alguns dados da variável estado civil, representados no formato de tabela. Usaremos esses dados para fazermos representações gráficas.

150

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AULA 3 — Representação Gráfica dos Dados Estatísticos

apropriados, colocam-se retângulos sobre o eixo, e suas alturas representam, proporcionalmente, as freqüências das características observadas da variável em estudo.

Tabela 1 – Estado civil dos acadêmicos do curso de Administração do Pólo Forte União da UNIDERP Interativa da turma 2009/1 Situação

Freqüência

Casado

27

Figura 1 – Estado civil dos acadêmicos do curso de

Divorciado

3

Solteiro

14

Administração do Pólo Forte União da UNIDERP Interativa da turma 2009/1

Viúvo

4

Não responderam

8

Total

56

30

A c a d ê m i c o s

Fonte: Acadêmicos do curso de Administração do Pólo Forte União da UNIDERP Interativa da turma 2009/1.

FORMAS DE REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS

Às vezes, ficamos meio confusos ao escolher uma representação gráfica, por termos vários tipos de gráficos: de barras, de setores, de linhas e outros. Para conhecimento, veremos a seguir algumas representações dos dados.

25 20 15 10 5 0 Casado

Divorciado

Solteiro

Viúvo

Não responderam

Gráfico de setores

Todos os dados são representados por um círculo e cada categoria é representada por uma parte desse círculo – isto é um setor. Cada setor é representado por ângulos, e 360° representam o total de dados. O círculo representa o conjunto total de dados. Observe os dados a seguir e a representação proporcionada.

Gráfico de colunas

Para a elaboração de um gráfico de colunas, utilizamos o eixo cartesiano, sendo o eixo horizontal a base para a construção do gráfico. Com intervalos

Figura 2 – Registro em carteira profissional em Pesquisa 2006 do Conselho Federal do Administrador – Perfil, Formação, Atuação e Oportunidades de Trabalho do Administrador 6% 5% 2% 2%

Sim

68%

Não, estou desempregado 8%

Não, estou aposentado

9%

Não, sou empresário Não, sou autônomo Não, trabalho informalmente Não, exerço a função pública

Fonte: http://www.cfa.org.br/arquivos/

151

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Unidade Didática — Estatística Aplicada à Administração Gráfico de linha

Gráficos de barras

É o tipo mais utilizado para representar a evolução de uma variável ao longo do tempo. Observe a seguinte pesquisa e a forma de representação.

Para a elaboração de um gráfico de barras, utiliza-se o eixo vertical como base para a construção do gráfico, com intervalos apropriados. Colocam-se retângulos sobre o eixo, e suas extensões representam, proporcionalmente, as freqüências das características observadas da variável em estudo.

Gênero na profissão Administrador em pesquisa 2006 do Conselho Federal do Administrador – Perfil, Formação, Atuação e Oportunidades de Trabalho do Administrador Ano

Mulher

Homem

1994

21

79

1998

25

75

2003

30

70

2006

33

67

MOTIVO DE ESCOLHA DO CURSO DE ADMINISTRAÇÃO – PERFIL 2006 Motivo

2003

Natureza do seu projeto profissional, abrir empresa, ampliar negócio, carreira e outros

26,84

Existência de amplo mercado de trabalho

15,45

Formação generalista e abrangente

19,20

Vocação

14,08

Diversidade das alternativas de especialização

12,71

Influência de outro administrador (pais, amigos, parentes e outros)

5,50

Outro

6,22

Fonte: http://www.cfa.org.br/arquivos/

Os dados da tabela anterior, apresentados no gráfico a seguir, trazem uma grande contribuição na apresentação, pois ressalta-se a trajetória do gênero e é apresentada uma projeção. 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

Mulher Homem

Fonte: http://www.cfa.org.br/arquivos/

Figura 3 – Gráfico em colunas ou barras múltiplas (agrupadas) Natureza do seu projeto profissional, abrir empresa ampliar negócios, carreiras etc. Formação generalista e abrangente Existência de amplo mercado de trabalho Vocação Diversidade das alternativas de especialização Outro

2003

2006

Influência de outros administradores Promoção do curso no meio profissional e estudantil Preferência pela área de Ciências Sociais 0

5

10

15

20

25

30

152

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AULA 3 — Representação Gráfica dos Dados Estatísticos

É um tipo de gráfico útil para estabelecer comparações entre as grandezas de cada categoria dos fenômenos (variáveis) estudados. A modalidade de apresentação é chamada de gráfico de colunas ou barras remontadas, pois ele proporciona economia de espaços e é o mais indicado quando a série apresenta um número significativo de categorias. Motivo

2003

2006

Natureza do seu projeto profissional, abrir empresa, ampliar negócio, carreira e outros

26,84

24,97

Existência de amplo mercado de trabalho

15,45

13,91

Formação generalista e abrangente

19,20

21,52

Vocação

14,08

15,81

Diversidade das alternativas de especialização

12,71

7,43

Influência de outro administrador (pais, amigos, parentes e outros

5,50

5,01

Preferência pela área de Ciências Sociais

4,18

Promoção do curso no meio profissional e estudantil

1,36

Outro

6,22

Desafio para um bom observador

As representações que vimos até agora são os gráficos mais clássicos. Na elaboração dos gráficos, podemos utilizar outras formas de apresentações dos dados, mas não podemos perder de vista o que foi dito no início desta aula: a representação gráfica é usada para ampliar a visão do resultado de uma pesquisa e os gráficos devem ser auto-explicativos e de fácil compreensão. Para refletir Vimos diferentes tipos de gráficos, para a pesquisa do estado civil dos acadêmicos. No seu ponto de vista, qual seria a melhor forma de representação? Destacamos que o mais utilizado é o gráfico de colunas, por representar em escalas as informações. Na representação gráfica, observar: a) título, onde se destacam o fato, o local e o tempo; b)escala usada na sua elaboração, para que não se desfigurem os fatos ou as relações que se desejam destacar; c) a fonte de obtenção dos dados, caso não seja o próprio autor que tenha feito a coleta.

5,81 30

2003

2006

Com alguns exemplos, vamos entender também as representações gráficas das variáveis quantitativas. Nessas representações, os resultados referentes a variáveis contínuas freqüentemente são organizados em tabelas de distribuições de freqüências por intervalo. Três tipos de gráficos geralmente são utilizados nesse caso: histograma, polígono de freqüência e ogivas. Ainda fazendo uso dos dados das idades dos acadêmicos, levantados na aula anterior, observamos que os dados coletados das idades dos acadêmicos, demonstrados na tabela a seguir, podem ser apresentados pelos seguintes gráficos:

25

20

15

10

Outro

Influência de ou administr tros adores Promoção do curso n om profission al e estud eio antil Preferên cia pela á rea de Ciênci as Sociais

Vocação

e das alte rn de especi ativas alização

Diversida d

Natureza profission do seu projeto al, abrir e mpresa Formação generalist a e abrang ente Existência mercado de amplo de trabalh o

5

0

Histograma

É formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal. A altura dos retângulos representa um número de pessoas, nesse caso os acadêmicos, com as suas respectivas idades. As larguras dos retângulos

153

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Unidade Didática — Estatística Aplicada à Administração

são iguais às amplitudes dos intervalos de classe e devem ser proporcionais às freqüências das classes, sendo a amplitude dos intervalos igual.

Figura 5 – Idade dos acadêmicos do curso de Admi-

nistração do Pólo Forte União da UNIDERP Interativa da turma 2009/1

Considerando a distribuição de freqüência da seguinte tabela, apresentamos o histograma correspondente.

Classe

PM*

Freqüência

20 |— 25

22,5

19

25 |— 30

27,5

7

Figura 4 – Idade dos acadêmicos do curso de Admi-

30 |— 35

32,5

5

nistração do Pólo Forte União da UNIDERP Interativa da turma 2009/1

35 |— 40

37,5

9

40 |— 45

42,5

8

45 |— 50

47,5

3

50 |— 55

52,5

5

Classe

Freqüência

20 |— 25

19

Total

25 |— 30

7

*PM = Ponto médio

30 |— 35

5

35 |— 40

9

18

40 |— 45

8

16

45 |— 50

3

14

50 |— 55

5

12

Total

56

56

20

10 8 6

20

4

18

2

16

20 25 30 35 40 45 50 55

14

Polígono de freqüência acumulada

12

O polígono de freqüência acumulada é traçado marcando-se as freqüências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe.

10 8 6 4 2 20 25 30 35 40 45 50 55

Atividade Polígono de freqüência

Agora é com você

É um gráfico de linha em que, no lugar de barra para representar cada classe, colocamos o ponto médio da classe e a freqüência marcada sobre perpendiculares ao eixo horizontal, e unimos esses pontos da classe por meio de segmentos de retas.

Após a pesquisa do perfil dos acadêmicos do curso de graduação, tabule os dados da pesquisa e construa gráficos que melhor representam os dados. Verifique na ferramenta Galeria da Unidade Didática atividades da aula.

*

ANOTAÇÕES

154

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AULA 4 — Medidas de Posição – Tendência Central

AULA

4

____________________ MEDIDAS DE POSIÇÃO – TENDÊNCIA CENTRAL Média aritmética Média harmônica Média geométrica Moda Mediana

Competências e habilidades • Resolver problemas, incluindo a capacidade de reconhecer qual a técnica que melhor se aplica a uma determinada situação, e utilizá-la eficazmente na sua solução • Discernir os problemas a que a estatística pode ser aplicada ou não • Reconhecer qual a técnica que melhor se aplica a uma determinada situação e utilizá-la eficazmente na sua solução • Verificar de uma forma mais crítica as informações obtidas dos meios de comunicação • Ampliar as leituras de informações dos dados demonstrados e apresentados

Texto para auto-estudo disponibilizados no Portal • Lista de atividades – na Galeria da Unidade Didática

Duração 2 h/a – via satélite com o professor interativo 2 h/a – presenciais com o professor local 6 h/a – mínimo sugerido para auto-estudo

à Administração

• • • • •

Unidade Didática – Estatística Aplicada

Conteúdo

números, valores que resumem e representam uma característica da pesquisa. As medidas de posição são as médias aritméticas simples ou ponderada, a moda e a mediana. A partir de agora iremos abordá-las com mais detalhes.

INTRODUÇÃO

Nesta aula, daremos continuidade aos estudos das aulas anteriores. Já aprendemos a apresentar os dados de uma pesquisa no formato de tabelas e gráficos. Essas representações dos dados dão possibilidades de visualizar as características das concentrações das informações.

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL – MÉDIAS

Faremos agora os estudos das médias. Elas são as médias aritmética simples ou ponderada e a média harmônica.

Hoje vamos aprender a verificar as medidas de posição ou medidas de tendência central, que são

155

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Unidade Didática — Estatística Aplicada à Administração

Cálculo da média:

Média aritmética

A média aritmética é o valor com que temos mais contato. Como acontece a representação de uma nota apenas para todas as notas de uma determinada disciplina durante o semestre? Como é calculado esse valor? Este exercício para nós não exige muitos esforços. Constantemente, estamos calculando as nossas médias, e, na maioria das vezes, o valor é resultado da somatória de todas as notas, dividido pelo quantitativo de notas.

x=

1,7 + 1,6 + 1,8 + 1,8 + 1,7 + 1,7 + 1,5 + 1,6 + 1,6 + 1,7 + 1,9 + 1,8 12

A média das alturas dos acadêmicos é 1,55. Podemos observar que a altura que representa os doze acadêmicos é a média calculada. Sistematizando: Em uma pesquisa, temos uma amostra de 20 valores. Para obter a média, somamos os 20 valores e dividimos por 20. Se na amostra temos 1.000 valores, somamos todos os 1.000 valores e dividimos por 1.000.

Exemplo:

O aluno Júlio César, da 5ª série, teve as seguintes notas de aproveitamento na disciplina Artes Visuais: 7 – 8 – 5 – 10 e o cálculo efetuado resultou média final 7,5.

!

IMPORTANTE

O cálculo da média é X= Júlio César, qual foi a sua nota de Artes Visuais na 5ª série?

V1 + V2 + V3 + ... Vn N

Sendo a amostra de N valores, os valores são V1, V2, V3, ..., Vn-1, Vn, e X é a notação da média e também é o valor que, na maioria das vezes, representa toda a população.

A minha nota de Artes Visuais na 5ª série foi 7,5.

Até agora fizemos cálculos simples: somam-se todos os elementos (todos têm um mesmo peso) e eles são divididos pelo quantitativo de elementos. Mas como faremos a média se os elementos tiverem pesos diferentes? O peso equivale ao valor ponderal ou simplesmente ponderal, isto é, um valor (maior ou menor) que se quer dar ao elemento. Esse dado é importante quando o assunto é o cálculo da média aritmética ponderada ou média ponderada.

A criança e todos, de uma forma geral, não guardam todas as notas, mas guardam os resultados finais, que é a média aritmética simples ou ponderada. Verificamos que já existe uma primeira aproximação da estatística, mesmo não se tendo noção desse conceito. O cálculo da média aritmética simples ou média aritmética ou média é feita da seguinte forma: somam-se todos os valores divididos pela quantidade de valores.

Vamos agora compreender e aprender a fazer esse cálculo? Em muitos momentos na escola, as médias e notas são calculadas utilizando pesos, são multiplicadas por valores determinados, isto é, o primeiro contato se dá na escola quando se calcula a média com peso. A primeira nota é peso 1, a segunda é peso 2, a terceira é peso 3 e a quarta é peso 4.

Exemplo:

1) Altura 12 acadêmicos: 1,7

1,6

1,8

1,8

1,7

1,7

1,5

1,6

1,6

1,7

1,9

1,8

Vamos supor as seguintes notas obtidas pelo aluno Júlio César, da 5ª série, em Artes Visuais, nos quatro bimestres do ano letivo.

156

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AULA 4 — Medidas de Posição – Tendência Central Nota

Nº de

1º bimestre

7

meninas

2º bimestre

8

3º bimestre

5

4º bimestre

10

Dado importante: cada nota tem um peso diferente:

Fi*

Xi

Fi

Xi X Fi

0

2

0

2

0

1

6

1

6

6

2

10

2

10

20

3

12

3

12

36

4

4

4

4

16

Total

34

Total

34

78

a) a primeira, peso 1; b)a segunda, peso 2; c) a terceira, peso 3;

retomando

Período

d) a quarta, peso 4; 7 x 1 + 8 x 2 + 5 x 3 + 10 x 4 7 + 16 + 15 + 40 7,8 = x= = 10 10 A média ponderada de Júlio Cesar é 7,8.

!

IMPORTANTE

V1 x P1 + V2 x P2 + V3 x P3 + ... + Vn x Pn P1 + P2 + P3 + ... + Pn

nenhuma filha 6 famílias têm 1 filha 10 famílias têm 2 filhas 12 famílias têm 3 filhas 4 famílias têm 4 filhas 34 famílias têm 78 filhas

*São os números que indicam quantos dados existem em uma determinada categoria ou classe de uma variável. Funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética ponderada. Assim, para o cálculo da média ponderada, utilizaremos:

O cálculo da média ponderada é x=

2 famílias não têm

0 x 2 + 1 x 6 + 2 x 10 + 3 x 12 + 4 x 4 0 + 6 + 20 + 36 + 16 2,3 = = 34 34

Sendo a amostra de N valores, tendo valores:

Após o cálculo, concluímos que a pesquisa apontou que existe uma média de 2,3 meninas por família.

V1, V2, V3,... Vn-1, Vn e P os pesos dos respectivos valores P1, P2, P3,..., Pn

Com intervalos de classe

Alguns dados, cujas variáveis são contínuas, ao serem apresentados em tabelas necessitam de intervalos. Desta forma necessitamos, em cada intervalo ou classe, de um valor para ser o representante, ao qual denominamos ponto médio da classe. Utilizando ainda os dados da pesquisa da Aula 3, representamos as idades dos acadêmicos em uma tabela, para efetuar o cálculo da média ponderada.

Para refletir Os cálculos das médias aritméticas, simples ou ponderadas, dão valores diferentes, pois a média aritmética simples não tem peso, ou podemos colocar que ela sempre tem peso 1, e a ponderada tem pesos diferenciados. CÁLCULO DA MÉDIA COM DADOS AGRUPADOS

Idade dos acadêmicos do curso de MMM da UNIDERP da turma 2010/2

Sem intervalos de classe

Em uma pesquisa de 34 famílias, busca-se a média ponderada de filhas, tendo como uma das variáveis o número de meninas, coletadas e apresentadas em uma tabela. Calcularemos a quantidade média de meninas por família:

Classe

Freqüência

20 |— 26

15

26 |— 32

5

32 |— 38

8

38 |— 44

7

(continua)

157

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Unidade Didática — Estatística Aplicada à Administração (continuação)

Aprofundando mais um pouco

44 |— 50

2

50 |— 56

3

Total

40

Apresentaremos agora a média harmônica, que traz um grau maior de exatidão em alguns casos quando os valores dos extremos distoam muito, não representando a realidade. A intenção é apenas comparar as médias aritméticas com a média harmônica.

Anteriormente, antes da representação em tabela, sabíamos qual era a idade de todos os acadêmicos. Agora, temos as informações dos acadêmicos de forma geral, mas perdemos as suas particularidades, sabemos que na classe 20 |— 26 há 15 acadêmicos, mas não sabemos quem são. Necessitamos agora elencar um representante de cada classe, que será o ponto médio da classe – Xi, que também já vimos. Classe

Fi

Xi

Fi x Xi

20 |— 26

15

23

15x23 = 345

26 |— 32

5

29

5x29 = 145

32 |— 38

8

36

8x36 = 288

38 |— 44

7

41

7x41 = 287

44 |— 50

3

47

2x47 = 94

50 |— 56

4

53

3x53 = 159

Total

50

Média harmônica

É o inverso da média aritmética dos inversos. Média harmônica simples (para dados não agrupados): xh =

n , 1 + 1 + ... + 1 xn x1 x2

sendo x1, x2, ... xn, os dados da amostra e n é a quantidade de dados da amostra. Exemplificando

No trajeto para o trabalho, sempre gasto em torno de 10 a 20 minutos, mas um dia, além de o meu carro quebrar, enfrentei um congestionamento, enfim, gastei 100 minutos.

1.318

Todos os dias, na empresa onde eu trabalho, tenho que registrar em uma planilha quanto tempo gastei de casa para o trabalho. Nos três últimos dias, tive os seguintes tempos: 10, 20 e 100 minutos. A empresa fez o cálculo da média aritmética dos três últimos dias.

Escolhemos o ponto médio de cada classe, multiplicamos a freqüência pelo ponto médio, obtivemos uma somatória dos resultados dessa multiplicação, mas como faremos o cálculo da média aritmética ponderada?

Calculando pela média aritmética, foi verificado que a minha média de tempo gasto de casa para o trabalho é de

Para termos a média aritmética ponderada, faremos o seguinte cálculo: dividiremos o resultado da somatória pelo quantitativo dos acadêmicos,

x = 10 + 20 + 100 = 130 ~ 3 = 43 , 3

x = 1.318 = 32,95 40

aproximadamente 43 minutos, quando na realidade não gasto esse tempo, mas os dados foram influenciados pelo contratempo de um dia.

obtendo assim o valor da média ponderada, concluindo que a média aritmética ponderada é 32,95, aproximadamente 33 anos.

Utilizando o cálculo da média harmônica, a minha média de tempo gasto de casa para o trabalho não saiu fora daquilo que sempre gasto, isto é, não houve uma grande influência do contratempo do último dia.

Refletindo para escolher

Até este momento, já sabemos calcular a média, simples ou ponderada. A escolha da forma de como vamos fazer esses cálculos vai depender da forma como estão apresentados os dados.

Xh =

3 900 3 = = = 18,75 30 + 15 + 3 48 1 1 + 1 + 10 20 100 300

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AULA 4 — Medidas de Posição – Tendência Central

Média harmônica ponderada (para dados agrupados em tabelas de freqüências): Xhp =

nessa família o crescimento foi geométrico. Outra situação em que se usa a média geométrica é quando os dados são muitos eqüidistantes, pois ela nos permite obter valores médios mais conservadores. A média geométrica pode ser definida como a raiz de índice n do produto obtido entre os n valores assumidos pela variável X.

N , fn f2 f1 + ... + + xn x1 x2

sendo x1, x2,..., xn, os pontos médios da classe e, respectivamente, f1, f2,..., fn dados da amostra; e N é a quantidade de dados da amostra.

G = n X1 . X2 . X3 ... Xn

! ! IMPORTANTE

X = variável em estudo N = número de dados No exemplo acima, tem-se: Ano 1980-------------------62.000 habitantes Ano 2000 ------------------97.000 habitantes Lembre-se: como os anos crescem aritmeticamente, a média de: 1990=1980+2000/2=1990, enquanto a população cresce geometricamente:

A média harmônica é uma boa medida de posição quando existem valores que distoam da maioria e distorcem a realidade. A média harmônica sempre é menor que a média aritmética para valores da variável diferentes de zero (Xh < X). • A média harmônica não aceita valores iguais a zero como dados de uma variável. • A igualdade (Xh < X) ... ocorrerá somente quando todos os valores da variável forem iguais.

G = n X1 . X2 . X3 ... Xn G = 2 62.000 x 97.000

!

ATENÇÃO

G = 2 6.014.000.000

Por causa do cálculo extenso, apresentarei na aula o uso da planilha, para que seja resolvida essa questão.

= 77.549,998388. Como não existe meia pessoa, então o resultado é de 77.500 habitantes.

Média geométrica

!

Quando o problema ou uma situação pede para calcular a média, utiliza-se a media aritmética simples, ponderada ou geral. Entretanto, se o problema cita que os dados estão inversamente proporcionais, utiliza-se a média harmônica. A média geométrica é utilizada quando houve um crescimento geométrico. Vamos citar um exemplo: Suponha que em 1980 a população de uma cidade X foi de 62.000 habitantes, enquanto em 2000 foi de 97.000 habitantes. Admitindo que houve um crescimento geométrico, qual teria sido a população de 1990? Se analisarmos os anos, a média é aritmética, porque é somativo, por exemplo, depois de 2006 vem 2007, aumentou um ano (soma), enquanto a população é multiplicativa. Exemplo: supondo que um determinado casal tem 4 filhos, e cada filho desse casal tenha 4 filhos, então os avós têm 16 netos. Observa-se que

ATENÇÃO

Se for calcular a média geométrica de três números, tire a raiz cúbica, e não a quadrada. Medida de posição – moda

Como o próprio nome diz, por exemplo, calça Jeans está na moda, ou seja, tem mais gente usando (foi o que mais repetiu), em estatística é o valor que mais se repete – em outras palavras, é o valor que ocorre com maior freqüência nos dados de uma variável. Mo é o símbolo da moda

Desse modo, a nota modal dos alunos de uma certa turma e escola é aquela que mais se repete, a mais comum, isto é, a nota recebida pelo maior número de alunos dessa turma e escola.

159

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Unidade Didática — Estatística Aplicada à Administração

sendo o primeiro conjunto de menor valor e o segundo com os maiores valores: {2, 3, 5, 6, 7, 9, 10}, sendo assim, a Md é 6.

Moda – dados não agrupados

• É facilmente descoberta: basta procurar o valor que mais se repete. Exemplo: nas notas {7, 6, 8, 9, 10, 6, 5, 7, 7}, a moda é igual a 7. • Existem variáveis que não têm valor modal, isto é, não existe nenhum valor que apareça mais vezes que outro. Portanto, chamaremos de amodal. Exemplo: {2, 5, 9, 3, 8} • Existem casos em que pode haver dois ou mais valores com o mesmo número de repetição ou concentração – chamaremos de bimodal. Exemplo: {2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9}

Método prático para o cálculo da mediana

• O conjunto de dados com número ímpar de termos terá como valor mediano o termo de ordem dada pela fórmula: N+1 2 • O conjunto de dados com um número par de termos terá como valor mediano o termo de ordem dada pela fórmula: N + N+ 2 2 1 2

Como calcular a moda com dados agrupados

De uma forma mais breve, podemos colocar que a moda está representada pela classe ou categoria que contém um maior número de dados. Aquela que contém intervalo de classe, a representação modal, mais simples, é o ponto médio da classe.

!

Exemplificando:

Para calcular a mediana da série {1, 3, 1, 0, 2, 4, 1, 3, 5, 6} 1º Rol {0, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6} 2º N = 10, logo, a fórmula ficará:

IMPORTANTE 10 + 10 +1 2 2 = 5º + 6º = 2 +2 3 = 2,5, 2 2

A moda é utilizada quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição ou quando a medida de posição é o valor que mais caracteriza a distribuição. Já a média aritmética é a medida de posição que possui a maior estabilidade.

o valor mediano foi retirado (5º termo+ 6º termo) e dividido por 2, sendo que o 5° termo é 2 e o 6° termo é 3. 3º: o valor mediano é (2+3)/2, ou seja, Md = 2,5. A mediana no exemplo será a média aritmética do 5º e do 6º termos da série.

Medida de posição – mediana

A mediana de um conjunto de valores, dispostos segundo uma ordem (crescente ou decrescente), é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.

!

IMPORTANTE

• Quando o número de elementos da série estatística for ímpar, haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série. • Quando o número de elementos da série estatística for par, nunca haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série. O valor mediano será sempre a média aritmética dos dois elementos centrais da série. • Em um série, a mediana, a média e a moda não têm, necessariamente, o mesmo valor. • A mediana depende da posição e não dos valores dos elementos na série ordenada. Essa é uma das diferenças marcantes entre mediana e média (que se deixa influenciar, e muito, pelos valores extremos).

Mediana em dados não-agrupados

Nos dados: {3, 2, 6, 5, 9, 7, 10} calcular a mediana: Md é o símbolo da mediana

1º: fazer o rol, ou seja, a organização dos dados: {2, 3, 5, 6, 7, 9, 10}. 2º: no conjunto temos 7 dados; para destacar a mediana, basta conseguir separar ou dividir em dois conjuntos com a mesma quantidade de elementos,

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AULA 4 — Medidas de Posição – Tendência Central

____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________

Observe os seguintes dados: a) (3, 9, 10, 13, 15) – a média = 10 e a mediana = 10 b) (5, 7, 10, 13, 65) – a média = 20 e a mediana = 10 Concluindo

b)(9, 10, 13, 15, 120) _____________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________

A média do segundo conjunto de valores é maior do que a do primeiro, por influência dos valores extremos, ao passo que a mediana permanece a mesma. No item b a medida de posição que mais representa o conjunto de dados é o valor mediano 10. Agora é sua vez

1. Calcule a mediana e a média. Qual seria a melhor representação dos conjuntos de dados? a) (3, 8, 9, 10, 13, 15) _____________________

2. Verificar a lista de exercícios no Portal na ferramenta Galeria da Unidade Didática, da nossa Unidade Didática.

____________________________________ ____________________________________

*

ANOTAÇÕES

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Unidade Didática — Estatística Aplicada à Administração

AULA

5

Unidade Didática – Estatística Aplicada à Administração

____________________ MEDIDAS DE DISPERSÃO – ESTUDO DA VARIAÇÃO DOS DADOS Conteúdo • • • • • • • • • •

Introdução às medidas de dispersão Importância do estudo das medidas de dispersão Principais medidas de dispersão Amplitude total Variância Desvio-padrão Desvio-padrão e a curva normal Coeficiente de variação Erro-padrão da média Exercícios de aplicação

Competências e habilidades • Transformar dados em informações e estudar a variação dos dados visando verificar a homogeneidade ou heterogeneidade dos dados para contribuir como uma ferramenta importante para a tomada de decisões relevantes • Permitir ao acadêmico elaborar, desenvolver, analisar e interpretar os dados pesquisados e/ou ter conhecimento da interpretação dos resultados obtidos, especialmente no estudo da viabilidade dos dados, visando o maior entendimento sobre a confiabilidade dos dados, para as tomadas de decisões geralmente importantes

Materiais para auto-estudo disponibilizados no Portal • Lista de atividades e texto – verificar na Galeria da Unidade Didática

Duração 2 h/a – via satélite com o professor interativo 2 h/a – presenciais com o professor local 6 h/a – mínimo sugerido para auto-estudo

sumir e simplificar as informações nelas contidas. No entanto, devemos observar que elas nada nos informam sobre a variabilidade dos dados, ou seja, podemos afirmar que duas ou mais populações po-

MEDIDAS DE DISPERSÃO Introdução

Na aula anterior estudamos as medidas de posição (tendência central) que têm como objetivo re-

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AULA 5 — Medidas de Dispersão – Estudo da Variação dos Dados

dem ter a mesma média e muito diferirem em relação às variações dos seus valores. Essas assertivas serão demonstradas a seguir.

PRINCIPAIS MEDIDAS DE DISPERSÃO

• amplitude total; • variância; • desvio-padrão;

Importância do estudo das medidas de dispersão

• coeficiente de variação; • erro-padrão da média.

Consideremos as três amostras a seguir (diâmetro de parafusos em milímetros): A: 120; 122; 118; 124; 121 – XA (média) = 121 B: 121; 121; 121; 121; 121 – XB (média) = 121 C: 116; 125; 124; 120; 120 – XC (média) = 121 Vamos imaginar que nesse caso foi retirada uma amostra de 5 parafusos produzidos por uma determinada máquina (A), 5 de outra (B) e 5 de uma terceira máquina (C). Calculou-se a média e verificou-se que elas eram iguais. No entanto, diferentemente das demais amostras, vocês podem observar que a máquina B está perfeita, porque todos os parafusos têm os mesmos diâmetros, enquanto se observa variação considerável entre os produtos das máquinas A e C, determinando a necessidade de reparos nessas últimas. Problemas como estes são detectados por meio do estudo das medidas de dispersão. Um exemplo hipotético: um homem com a cabeça dentro de um forno ligado e com os pés em um congelador poderá estar sob uma temperatura média de 36,50oC (temperatura média ideal para o ser humano); no entanto, suas condições de vida estarão seriamente comprometidas (por razões óbvias). Tem-se aí uma situação típica na qual a média pouco poderá ser útil, principalmente para quem estiver nela colocado! Há uma elevada variação dos dados, demonstrando a importância do estudo da dispersão dos dados. Outro exemplo da necessidade de se estudar a variação dos dados: em um exame de estatística de uma determinada turma, a média foi 7, quando 40% da turma obteve notas acima de 9; 40%, notas abaixo de 5, e os 20% restantes obtiveram notas entre 5 e 9. Conclusão: houve uma grande variação de notas, determinando que nesta disciplina a turma apresenta-se extremamente heterogênea. Se, por outro lado, as notas tivessem variado entre 6 e 8, poderíamos afirmar que, em relação a essa disciplina, a turma seria significativamente homogênea.

Amplitude total – é a diferença entre a maior e a menor observação da amostra. Voltando ao exemplo citado anteriormente (três amostras de diâmetros de parafusos): A: 120; 122; 118; 124; 121 – XA = 121 B: 121; 121; 121; 121; 121 – XB = 121 C: 116; 125; 124; 120; 120 – XC = 121 Amplitude total A = 124 – 118 = 6 B = 121 – 121 = 0 C = 125 – 116 = 9 Analisando as medidas da amplitude, pode-se verificar que as máquinas A e C necessitam de reparos para fabricar parafusos de boa qualidade. • Vantagens da amplitude – apresentar facilidade de cálculos e ser de fácil interpretação. • Exemplo de utilização – controle de qualidade industrial. • Variância – pode ser definida como a soma dos quadrados dos desvios em relação à média, dividida pelo número de dados, para uma população e número de dados, menos a unidade para uma amostra. a2 = sqd/n – 1 Onde: a2: sigma minúsculo ao quadrado = variância sqd: soma dos quadrados dos desvios n: número de dados Exemplo: Calcular a variação dos dados a seguir: 124 118

122

120 121

média: 121

n: 5

Primeiro, temos que calcular os desvios, subtraindo a média de cada um dos dados:

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Unidade Didática — Estatística Aplicada à Administração

124–121:3 118–121:–3 120–121:–1 122–121:1 121–121:0

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

expressa na mesma unidade dos dados. É definido como a raiz quadrada da variância.

X1–X X2–X X3–X X4–X X5–X

 = 2 Considerando o exemplo, teremos: =

Existe uma outra forma para o cálculo do desviopadrão que pode facilitar os cálculos em algumas situações. Por essa razão, vamos deduzir a fórmula para facilitar e desenvolver os cálculos.

Observação: Se somarmos os valores resultantes desses cálculos (desvios), obteremos o valor zero, o que vale para qualquer amostra ou população. Para contornar essa situação, a estatística utilizou um artifício matemático, elevando ao quadrado cada um dos valores dos desvios. Para calcularmos a variância, devemos somar os desvios elevados ao quadrado e dividir o valor dessa soma por n – 1. Por que número de dados menos a unidade? No exemplo, o último dado é igual à média, (121 – 121= 0), levando a uma pressuposição de que sempre (em uma amostra) se terá um dado igual à média, definindo seu desvio como zero. Assim, definiu-se em Estatística o “Grau de Liberdade”, ou seja, em uma amostra, tem-se a liberdade de tirar uma unidade do número de dados. Isso posto, generalizou-se a utilização desse artifício de cálculo. Fórmula: (X1 – X)2 + (X2 – X)2 + ... + (Xn – X)2 σ2 = n–1 Logo: σ2 =

= 2,23

5

– Dedução da fórmula: Por definição, (X1  X)2 + (X2  X)2 + ... + (Xn  X)2 2 = n1 Aplicando-se as regras de somatórios, obtém-se 2 =

 (X  X)2 n1

Desenvolvendo-se o quadrado no numerador, obtém-se (X 2  2X . X + X 2) 2 =  n1 Aplicando-se novamente as regras de somatórios, obtém-se  X2  2  X . X + n . X 2 = n1 , o que pode ser representado por 2 =

 X2  2  X . X + n . X . X n1

 X como X = n , então se substitui para obter

(124 – 121)2 + (118 – 121)2 + (120 – 121)2 (122 – 121)2 + (121 – 121)2

5–1

2 =

(3)2 + (–3)2 + (–1)2 (1)2 + (0)2 4 9+9+1+1+0 σ2 = 4 20 σ2 = 4 2 σ =5 σ2 =

X X X  X2  2  X . n + n . n . n n1

, de onde, simplificando os n na terceira parcela do numerador, obtém-se  X 2  2  X .n X +  X .n X 2  = n1 . Resolvendo-se o numerador, obtém-se X  X2   X . n 2 = n1 ,

Desvio-padrão

É uma medida de dispersão absoluta que quantifica a variabilidade dos dados da amostra e vem

o que pode ser escrito como:

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AULA 5 — Medidas de Dispersão – Estudo da Variação dos Dados

Variância n1

2. Somando-se ou subtraindo-se cada dado pela mesma quantidade, o desvio-padrão não se altera.

 X 2  ( X)2/n

3. Multiplicando-se ou dividindo-se cada dado pela mesma constante (k), o desvio-padrão fica multiplicado ou dividido pela constante.

 X  ( X ) /n 2

2 =

2

Desvio-padrão =

n1

4. O desvio-padrão é influenciado por todos os valores da amostra, enquanto a amplitude só é influenciada pelos valores extremos.

Calculo da variância

Consideremos o mesmo exemplo feito anteriormente: 124 118 122 120 121 média: 121 n: 5 X

X2

124

15.376

118

13.924

122

14.400

120

14.884

121

14.641

Σ605

73.225

σ2 =

5. Os valores extremos exercem maior influência que os valores centrais situados próximos à média. 6. O desvio-padrão é um valor sempre positivo e é expresso na mesma unidade que os dados.

Logo: ?x = 605 ?x2 = 73.225

7. O desvio-padrão é, em geral, a medida menos afetada pelas flutuações das amostras.

N = número de dados = 5

Exercícios de aplicação

Em uma sala de aula foram escolhidos ao acaso 6 acadêmicos e a notas deles em Estatística foram 6, 8, 10, 8, 7, 9, e em outra sala, as notas de 6 alunos foram 10, 10, 10, 7, 4, 7. Pergunta-se: em qual turma as notas foram mais homogêneas, ou seja, onde foi menor a variação? Calcule o desvio-padrão de ambas as turmas e verifique o que menos variou entre elas.

Assim

Σ X2 – (Σ X)2/n

n–1 73.225 – 336.025/5 σ2 = 5–1 20 σ2 = 4 2 σ =5 Como o desvio-padrão é a raiz da variância, teremos  = 2 Considerando o exemplo, teremos: =

!

5

!

ATENÇÃO

Se os dados estiverem em uma distribuição normal, a média, a mediana e a moda coincidem. O desvio-padrão e a curva normal

= 2,23

ATENÇÃO 

Verifique que os resultados foram os mesmos desenvolvidos pelas duas fórmulas acima. Propriedades e características do desvio-padrão 1. O desvio-padrão de um conjunto de dados é mínimo, uma vez que os desvios são tomados em relação à média aritmética do conjunto.

–3

–2 –1

µ

1

2

3

Onde X representa a média da população, e σ, o desvio-padrão. – Particularidades da curva normal: 99,7% da área sob a curva encontra-se entre X

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Unidade Didática — Estatística Aplicada à Administração

tras se referirem à mesma grandeza e possuírem a mesma média. Por outro lado, quando as amostras estiverem expressas em diferentes unidades de medidas ou apresentarem médias diferentes, deve-se utilizar o coeficiente de variação.

– 3σ e X + 3σ 95% da área sob a curva encontra-se entre X – 2σ e X + 2σ 68% da área sob a curva encontra-se entre X – σ eX+σ Obs.: Essas assertivas podem ser comprovadas por meio do cálculo integral. Vejamos um exemplo: Considerando que em Mato Grosso do Sul a temperatura média nos últimos 100 dias foi de 25ºC, com um desvio-padrão de 4,5ºC, e admitindo-se que os dados estão distribuídos normalmente, qual teria sido a maior e a menor temperatura apresentada no período? E em 95% e 68% dos dias, quais foram os limites extremos? Menor temperatura: X – 3σ ⎯→ 25 – 3*4,5 25 – 13,5 = 11,5ºC Maior temperatura: X + 3σ ⎯→25 + 3*4,5 25 + 13,5 = 38,5ºC Em 95% Menor temperatura: X – 2σ ⎯→25 – 2*4,5 25 – 9 = 16ºC Maior temperatura: X + 2σ ⎯→25 + 2*4,5 ⎯→ 25 + 9 = 34ºC Em 68% Menor temperatura: – σ ⎯→ 25 – 4,5 = 20,5ºC Maior temperatura: + σ ⎯→ 25 + 4,5 = 29,5ºC

Segundo Jairo Simom da Fonseca: a) cv menor de 15% – baixa variabilidade b)cv de 15 a 30% – média variabilidade c) cv maior de 30% – alta variabilidade Baseado nessa escala, pode-se dizer que, quando o cv estiver abaixo de 15%, os dados amostrados apresentam-se homogêneos, e quando o cv estiver acima de 30%, os dados, de modo geral, são mais heterogêneos. Entre 15% e 30% o cv estará em uma faixa intermediária entre homogeneidade e heterogeneidade para os dados amostrados. Suponha que você saia de sua residência e vá para o local de trabalho gastando: 14’ 15’ 16’ 14’ 13’ 15’ 14’ 16’ 15’ e 60’ no trajeto. Observa-se que, exceto o último dia, no qual o pneu do carro furou e você foi trocá-lo, nos demais dias houve pouca variação do tempo. Assim, iremos calcular o coeficiente de variação de todos os dados exceto o último e, em seguida, com todos os dados. Pela fórmula anterior teremos cv = 100 σ/ Primeiro, para calcular o coeficiente de variação, tem-se que calcular a média e o desvio-padrão.

Coeficiente de variação

É uma medida de dispersão relativa que expressa o desvio-padrão em forma de porcentagem, ou seja, transforma a medida de dispersão absoluta em relativa. Se X ⎯→ 100 σ ⎯→ cv. Então teremos: cv = 100 σ/X X = média σ = desvio-padrão cv = coeficiente de variação Obs.: Para se comparar a variabilidade ou homogeneidade de duas ou mais amostras, deve-se utilizar o desvio-padrão ou variância quando as amos-

X

X2

14

196

15

225

16

256

14

196

13

169

15

225

14

196

16

256

15

225

132

Σ 1.944

Como a X = ΣX/n, onde n é o número de dados, então teremos X = 132/9 = 14,67 O desvio-padrão é dado pela fórmula

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AULA 5 — Medidas de Dispersão – Estudo da Variação dos Dados

=

 X2  ( X)2/n n1

=

 X2  ( X)2/n n1

=

1.944  (132)2/9 91

=

5.544  (192)2/10 10  1

=

1.944  17.424/9 91

=

5.544  36.864/10 10  1

=

=

1.944  1.936 8 8 8 = 1

=

=

=1

5.544  3.686,4 9 1.857,6  = 206,4 9

 = 14,37 Então, o coeficiente de variação será: cv = 100 σ/X cv = 100*14,37/19,2 cv = 1.437/19,20 cv = 74,84%

Então, o coeficiente de variação será cv = 100 σ/X cv = 100*1/14,67 cv = 100/14,67 cv = 6,82%. Assim, observando a classificação de Jairo Simom da Fonseca, um coeficiente de variação abaixo de 15% demonstra baixa variabilidade. Logo, os dados apresentam-se homogêneos.

!

ATENÇÃO

Nesse caso, o valor do cv de 74,84% está acima de 30%, determinando alta variabilidade. Conclusão: a estatística não vai falar que furou o pneu do carro, mas nesse caso ela está indicando que alguma coisa de errado aconteceu com os dados de tempo dos trajetos, definindo uma alta variação.

Agora iremos calcular o coeficiente de variação utilizando todos os dados. Primeiro, para calcular o coeficiente de variação teremos que definir a média e o desvio-padrão.

Erro-padrão da média X

X2

14

196

15

225

16

256

14

196

13

169

15

225

14

196

16

256

15

225

60

3600

192

Σ 5.544

É uma medida indicadora da precisão em que a média foi estimada. Sx = / N É inversamente proporcional à raiz quadrada do número de observações. Portanto, quanto maior for o n, menor será o erro, indicando, dessa forma, que a média está mais bem determinada e mais próxima da média da população. Vejamos o exemplo anterior, no qual n = 10 e σ = 14,37. Sx = 14,37/ 10 Sx = 14,37/3,33 Sx = 4,31

Como a X = ΣX/n, onde n é o número de dados, então teremos X = 192/10 = 19,20. O desvio-padrão é dado pela fórmula

O erro-padrão da média é mais utilizado para cálculo de intervalo de confiança, em que entre a média mais o erro-padrão e a média menos o erro-padrão fi-

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Unidade Didática — Estatística Aplicada à Administração

21,5, 22 e 11 horas. Calcule a média e o desviopadrão e verifique, por meio do coeficiente de variação, se essas marcas de lâmpadas apresentam confiabilidade. 7. Somando-se 5 unidades a cada um dos números do conjunto 3; 6; 2; 1; 7 e 5, obtém-se o conjunto 8; 11; 7; 6; 12 e 10. Mostre que os dois conjuntos têm o mesmo desvio-padrão, mas médias diferentes. 8. Se multiplicarmos cada número da série 3; 6; 2; 1; 7 e 5, por 2 e depois somarmos 5, obteremos 11; 17; 9; 7; 19 e 15. Qual é a correlação entre os desvios-padrão e a média de ambos os conjuntos? 9. Um experimento de competição de cultivares de soja apresentou o cv = 22% e a média do ensaio foi 1.980 kg/ha. Calcule os valores extremos desses dados, ou seja, a maior e a menor produção obtidas no experimento. 10. Um estudante obteve as seguintes notas: Matemática: 7 2 8 6 5 Estatística: 8 4 6 9 6 Em qual disciplina ele se apresentou mais irregular? 11. Em uma fábrica de postes de cimento, foram medidos os diâmetros e calcularam-se as seguintes médias: 35, 40, 46, 36, 44, 42 e 37 cm. Pergunta-se: qual foi a variação em porcentagem?

cará compreendida a verdadeira média da população. Atividade Exercícios de aplicação

Exercícios sobre medidas de dispersão – as respostas estão no final deste capítulo. 1. Dois estudantes A e B obtiveram as notas a seguir. Qual o estudante de atuação mais regular? A: 6 4 5 5; B: 8 8 3 1 Para esse caso, como a média do estudante A é igual à do estudante B, e os dados estão na mesma unidade, basta calcular a variância ou o desvio-padrão e o resultado mais baixo é o estudante mais regular. 2. A duração média de uma lâmpada incandescente é de 2.000 horas com um desvio-padrão de 500 horas, enquanto a duração média de uma lâmpada fluorescente é de 20.000 horas com um desvio-padrão de 530 horas. Pergunta-se: qual é a maior variação? Nesse caso, embora a unidade das lâmpadas esteja em horas, e as médias sejam diferentes, deve-se calcular o coeficiente de variação da lâmpada normal e da lâmpada incandescente e verificar qual apresentou maior variação. Conclusão: maior variação significa que apresenta menor estabilidade, ou seja, a lâmpada pode ter alta ou baixa duração. 3. Em que unidade vêm expressos o desvio-padrão, a variância e o coeficiente de variação? 4. As medidas de dispersão podem ter como resultado o valor nulo (zero)? 5. Em um determinado lote de postes pré-moldados de uma indústria, a média aritmética de diâmetro deles foi de 42 cm, e o desvio-padrão, de 2,3 cm. Estime os limites extremos, ou seja, qual foi o poste de maior e o de menor diâmetro, considerando que os dados assumem uma distribuição de freqüência aproximadamente normal. Qual foi o coeficiente de variação? 6. Em uma amostra com 12 lâmpadas de diferentes marcas, observou-se vida útil em mil horas de: 20, 25, 30, 28, 27, 22, 24, 24,5, 22,5,

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ANOTAÇÕES

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AULA 6 — Probabilidade

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____________________ PROBABILIDADE Conteúdo • • • • • • • • •

Probabilidade: conceitos e regras da probabilidade Aplicação da teoria dos conjuntos e probabilidade Experimentos aleatórios, eventos Regras da probabilidade Eventos mutuamente exclusivos Eventos não mutuamente exclusivos Evento complementar Probabilidade condicional Probabilidade de eventos independentes

Competências e habilidades • Estudar variabilidade e as incertezas por meio de modelos matemáticos a partir de hipóteses ou por meio de dados observados no passado em modelos probabilísticos para tomada de decisões de alta relevância. Prever os fatos que têm maior probabilidade de ocorrer e refletir sobre as decisões que poderão ser tomadas no momento • Tomar decisões em função dos fatos que têm maior possibilidade de ocorrer

Materiais para auto-estudo disponibilizados no Portal • Lista de atividades e textos – verificar na Galeria da Unidade Didática

Duração 2 h/a – via satélite com o professor interativo 2 h/a – presenciais com o professor local 6 h/a – mínimo sugerido para auto-estudo

Unidade Didática – Estatística Aplicada à Administração

AULA

x e a uma velocidade constante, pode-se, por meio de uma determinada fórmula, calcular o tempo que o veículo vai gastar para fazer a viagem. Modelo probabilístico é aquele que se baseia em resultados prováveis ou nas leis probabilísticas. Ex.: sexo de crianças ao nascer. A probabilidade constitui um dos ramos mais importantes da matemática moderna. Os acontecimentos na natureza ocorrem e se repetem segundo

PROBALIDADE

Todas as vezes em que se emprega a matemática para estudar alguns fenômenos de observação, deve-se essencialmente começar pela construção de um modelo matemático denominado determinístico ou probabilístico. Modelo determinístico é empregado nas condições sob as quais o experimento deve ser executado. Ex.: se um veículo vai da cidade A para B à distância

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determinadas normas e leis. O maior ou menor número de ocorrências de um acontecimento depende das circunstâncias nas quais ele se realiza. Dessa forma, não podemos assumir como certa a ocorrência de um acontecimento, uma vez que ele depende de uma série de fatores que afetam a sua ocorrência. Contudo, podemos tomar decisões baseadas em experiências anteriores, fundamentadas nos resultados mais prováveis. Essa tomada de decisão, quando o conhecimento da ocorrência de um determinado acontecimento não é exato, é feita por meio do cálculo de probabilidade. Exemplos: a) Um empresário deseja lançar um novo produto no mercado; ele precisará de informação sobre a probabilidade de sucesso para seu novo produto. b) Definição do tempo de duração de lâmpadas. c) Medição de peças em uma fábrica. d) Qual a probabilidade de amanhã o dia nascer chovendo? e) Jogar uma moeda 10 vezes e observar o número de coroas. f) Jogar um dado e observar o número mostrado na face de cima. g) Probabilidade de você conseguir falar pelo telefone na passagem do Ano Novo.

Evento

É um subconjunto do espaço amostral. Ex.: evento A – sair um número par em um lançamento de um dado: A = {2, 4, 6}. Símbolos usuais no cálculo de probabilidade

∪ união; ∩ interseção à complementar de A; θ conjunto vazio; ⇒ implica Considerando que todos os elementos do espaço amostral têm a mesma chance, ou seja, os resultados são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento [P(A)] pode ser definida como o número de casos favoráveis ao evento acontecer [NCF (A)] dividido pelo número de caso total de um determinado evento (NTC). P(A) = NCF (A)/NCT P(A) – probabilidade de um evento A NCF (A) – números de casos favoráveis ao evento A NCT – número de casos totais Exemplo1: qual a probabilidade de você ter nascido em um sábado? Solução: número de casos favoráveis na semana para ser sábado = 1, porque na semana só tem um sábado. Número de casos totais igual a 7 porque na semana tem 7 dias. Como a probabilidade é: P(A) = NCF (A)/NCT, então teremos: P(A) = 1/7 ou seja, 0,1428 multiplicado por 100 – teremos a chance de 14,28% de ter nascido no sábado.

Conceitos básicos Experimento aleatório

É aquele que poderá ser repetido indefinidamente e cujo resultado não pode ser previsto com certeza, mas todos os resultados são possíveis. Ex.: jogar 10 vezes um dado e verificar o número de resultados 5.

Exemplo 2: suponhamos que uma sacola contenha 3 bolas amarelas, 4 vermelhas e 6 brancas. Qual a probabilidade de tirarmos uma bola amarela? Solução: número de casos favoráveis para sair a bola amarela = 3. Número de casos totais = 13. P(A) = 3/13, ou 0,23076923, o que corresponde a 23% de chance.

Espaço amostral

É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento. Ex.: dos resultados possíveis em um lançamento de um dado, podem sair as seguintes faces viradas para cima: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Lançamento da moeda – o espaço amostral pode ser somente cara ou coroa.

Exemplo 3: em um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de retirarmos uma carta de um determinado naipe?

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AULA 6 — Probabilidade

P(A ∪ B) = 1/6+3/6 P(A ∪ B) = 4/6. Esse resultado permite dizer que em um lançamento de um dado há 4 possibilidade de sair a face 3 ou um número par. Para obtermos em percentual as chances de ocorrência desses eventos, dividimos 4 por 6 e multiplicamos por 100, obtendo 83,33% de chance de sair a face 3 ou um número par. Em outras palavras, se lançarmos um dado 100 vezes, teremos aproximadamente 83 faces 3 ou um número par. 5. Não mutuamente exclusivo A ocorrência de um evento particular qualquer, elimina a ocorrência de todos os outros possíveis, ou seja, se a intersecção do evento A com B for diferente de zero. (A ∩ B ≠ 0). Assim a fórmula será: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B). Exemplo 1. Em um lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair a face 3 ou um número ímpar? Vejamos o seguinte: 3 também é ímpar, então haveria coincidência. Assim, nesse caso houve intersecção. Utilizando a fórmula anterior, S={1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {3}, então P(A) = 1/6 e P(B) = {1, 3, 6}, 3/6. Quantas intersecções houve? Uma que foi a face 3, que saiu em ambos os eventos (1/6). P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B). P(A∪B) = 1/6 + 3/6 – 1/6 = 3/6. Exemplo 2. Em um restaurante, de cada 20 pessoas, 10 preferem pratos com carne (10/20), 6 preferem pratos com peixes (6/20) e três solicitam pratos com carne e peixes (3/20). Qual a probabilidade de uma pessoa entrar no restaurante e solicitar carne ou peixe? Utilizando a fórmula anterior, teremos: P(A ∪ B) = 10/20 + 6/20 – 3/20 = 13/20; se dividirmos 13 por 20 e multiplicarmos por 100 teremos 65%, ou seja, a cada 100 pessoas que entrar no restaurante, 65 irão pedir pratos com carne ou com peixe, enquanto as demais pedirão outros pratos que o restaurante oferece.

Solução: número de casos favoráveis para sair um determinado naipe = 13. Número casos totais = 52. P(A) = 13/52 = 1/4 = 0,25 = 25%. Regras do cálculo de probabilidades

1. A probabilidade de um evento qualquer sempre vai ser uma fração ou um número entre 0 e 1. Se multiplicarmos por 100, teremos a chance de o evento ter ocorrido e não a probabilidade. 2. A probabilidade do evento certo é igual a 1. P(s) = 1 Ex.: a probabilidade de uma pessoa ter nascido em um dia do ano é um evento certo. Mais adiante, nesta aula e na outra, iremos utilizar essa regra com muita freqüência. 3. A probabilidade do evento impossível é igual a zero. P(0) = 0 Ex.: a probabilidade de sair a face 7 em um lançamento de um dado de 6 faces é zero porque esse dado só tem 6 faces. 4. A probabilidade de que um grupo de eventos mutuamente exclusivos ocorra é a soma das probabilidades de ocorrência de cada evento. Dois eventos são ditos “mutuamente exclusivos” se a ocorrência de um deles exclui a possibilidade de ocorrência do outro evento. Em outras palavras, quando a intersecção do evento A com o B der zero, podemos afirmar que o evento é mutuamente exclusivo. (A ∩ B = 0). Assim sendo, a fórmula será: probabilidade do evento A união B é igual à probabilidade de o evento A ocorrer mais o evento B ocorrer. P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Ex.: no lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair a face 3 ou um número par? Número de casos totais S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Evento A = {3}. Para que o evento ocorra, tem-se apenas uma face 3 em um total de 6 faces. Evento B = {2, 4, 6}. Para que esse evento ocorra, há 3 faces pares em um total de 6 faces.

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Unidade Didática — Estatística Aplicada à Administração

8. Probabilidade de dois ou mais eventos independentes ocorrerem juntos Dois ou mais eventos são ditos independentes se a ocorrência de um deles não afeta a ocorrência dos outros. A) Produto das probabilidades individuais pode ser com ou sem reposição: P(A ∪ B) = P(A)*P(B) Exemplo: retiram-se, com reposição, duas bolas em uma urna contendo 6 bolas vermelhas, 4 brancas e 5 azuis; qual a probabilidade de que ambas as bolas sejam vermelhas? Número de casos favoráveis ao evento = 6 bolas vermelhas. Número de casos totais = 6 vermelhas + 4 brancas + 5 azuis = 15. P(A ∪ B) = P(A)*P(B) P(A ∪ B) = 6/15*6/15 = 36/225, aproximadamente 0,0267 – vezes 100, teremos 26,67%. B) Produto das probabilidades independentes, sem reposição, ou seja: P (A ∪ B) = P(A)*P(B) Exemplo: retiram-se, sem reposição, duas peças de um lote de 10 peças onde 4 são defeituosas. Qual a probabilidade de que ambas as peças sejam defeituosas? Evento A = {a 1ª seja defeituosa} = 4/10. Observa-se o seguinte: você tinha um total de 10 peças; ao retirar uma defeituosa, sobraram só 9, e como tinham 4 defeituosas menos 1 que você tirou, restaram 3. Evento B = {a 2ª seja defeituosa} = 3/9. P (A ∪ B) = P(A)*P(B) P (A ∪ B) = 4/10*3/9 = 12/90. Simplificando, teremos 3/15.

6. Probabilidade do evento complementar A Em um dado de 6 faces, qual a probabilidade de não sair a face 3? Vejamos: na regra número 2 anterior, a probabilidade do evento certo é igual a 1. Assim sendo, poderemos dizer que a probabilidade de ocorrer qualquer uma das faces do dado é igual a 1; diminuindo-se a probabilidade de sair a face 3, teremos o evento complementar. P(Ã) = 1 – P(A) P(Ã) = probabilidade do evento complementar P(A)= probabilidade do evento A Ex.: em um lançamento de um dado, qual a probabilidade de não sair a face 3? S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {3} P(Ã) = 1 – 1/6 6–1 P(Ã) = ------– = 5/6 6 7. Probabilidade condicional Se A e B são eventos de um espaço amostral S, com P(B) diferente de zero, então a probabilidade condicional do evento A, caso o evento B tenha ocorrido, é indicada por P (A/B) e definida pela relação: P(A/B) = P(A ∪ B)/P(B), então NCF ao evento A ∪ B NCT P(A/B) = = NCF ao evento A ∪ B NCF evento B NCF evento B NCT

Ex.: um número é sorteado ao acaso entre os inteiros de 1 a 15. Se o número sorteado for par, qual a probabilidade de que seja o número 6? Solução: S = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15) A = (o número ser 6) B = (o número ser par) – então, observa-se que a probabilidade do evento A, sem a informação de B, é: P(A) = 1/15 Ser par: S = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14) P (A/B) =

!

ATENÇÃO

Uma dica importante: em probabilidade, todas as vezes que for “OU”, utiliza-se a adição, e quando for “E”, utiliza-se a multiplicação.

NCF ao evento A ∪ B = 1/7 NCF (B)

Atividade Exercícios sobre probabilidades 1. O seguinte grupo de estudantes está em uma sala de aula:

Resposta: a probabilidade de sair o número 6, dado que o número é par, é igual a 1/7.

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AULA 6 — Probabilidade

5 homens maiores de 21 anos; 5 homens menores de 21 anos; 6 mulheres maiores de 21 anos, e 2 mulheres menores de 21 anos. Ao escolher alguém do grupo, qual a probabilidade de que: a) tenha mais de 21 anos? b) seja mulher?

b) a probabilidade de ambas as lâmpadas serem defeituosas; c) a probabilidade de pelo menos uma ser perfeita. 5. No problema anterior, considerando as duas lâmpadas retiradas sem reposição, calcule os itens a, b e c. 6. Uma pessoa tem quatro notas no bolso: uma de US$ 10,00, outra de US$ 20,00, outra de US$ 50,00 e outra de US$ 100,00. Qual a probabilidade de, tirando ao acaso duas notas do bolso, ao mesmo tempo, a soma ser de US$ 30,00?

2. Uma bola é retirada ao acaso de uma urna que contém 9 vermelhas, 3 amarelas e 7 brancas. Determine a probabilidade de ela: a) ser vermelha; b) ser amarela; c) ser branca; d) não ser vermelha; e) ser vermelha ou branca; f) Se forem retiradas duas bolas da urna, sem reposição, qual a probabilidade de ambas as bolas serem vermelhas?

Marque com um x a resposta certa

1. Dois jogadores disputam um jogo onde é lançado, uma única vez, um par de dados. O jogador A ganha se a soma dos resultados for 7, e B, se a soma for 8. Nessas condições, pode-se afirmar corretamente que: a. ( ) B tem mais chance de ganhar que A. b. ( ) A não tem chance de ganhar. c. ( ) A tem mais chance de ganhar que B. d. ( ) B não tem chance de ganhar. e. ( ) Ambos as jogadas têm as mesmas chances.

3. Dois dados são lançados: a) determine o espaço amostral; b) enumere o evento A = {soma dos pontos ser 6}; c) enumere o evento B = {soma dos pontos ser 12}; d) calcule a probabilidade de ocorrência do evento A; e) calcule a probabilidade de ocorrer o evento B; f) qual a probabilidade de não se obter como soma o valor 6? g) calcule a probabilidade de a soma ser 6 ou 7. h) se as duas faces mostram números diferentes, calcule a probabilidade de a soma ser 4? i) determine a probabilidade de a soma ser 5, visto que o primeiro dado mostra um número maior que o segundo.

2. Em um time de futebol de 11 jogadores, cada um tem uma camisa numerada, 1 a 11. Se retirarmos um jogador, qual a probabilidade de não ser o jogador com a camisa de número 7? a. ( ) 2/9 b. ( ) 1/10 c. ( ) 1/5 d. ( ) 9/11 e. ( ) 7/11 3. Um casal tem 2 filhos, qual a probabilidade de ambos os filhos terem nascido no 1º trimestre do ano? a. ( ) 1/48 b. ( ) 1/36 c. ( ) 1/24 d. ( ) 1/12 e. ( ) 1/16

4. Em uma caixa com 8 lâmpadas, 3 são defeituosas. São retiradas duas lâmpadas com reposição. Calcule: a) as probabilidades de ambas as lâmpadas serem perfeitas;

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Unidade Didática — Estatística Aplicada à Administração

4. A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar uma única bola de uma urna contendo 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis, é: a. ( ) 1/3 b. ( ) 1/2 c. ( ) 1/4 d. ( ) 1/12 e. ( ) 1/6

a. ( b. ( c. ( d. ( e. (

7. Uma urna contém 6 bolas brancas e 4 pretas. Retirando-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas, a probabilidade de sair bola preta e bola branca, nesta ordem, é de: a. ( ) 6/25 b. ( ) 1/5 c. ( ) 1/50 d. ( ) 4/15 e. ( ) 7/30

5. Em um grupo de 60 pessoas, sabe-se que 18 são torcedoras do São Paulo, 12 são torcedoras do Palmeiras e as demais, do Corinthians. Escolhido ao acaso um elemento do grupo, a probabilidade de ele ser torcedor do São Paulo ou do Palmeiras é: a. ( ) 40% b. ( ) 25% c. ( ) 50% d. ( ) 30% e. ( ) 33 %

8. Sorteando um número de 1 a 36, a probabilidade de que ele seja par ou múltiplo de 3 é: a. ( ) 3/4 b. ( ) 2/3 c. ( ) 1/6 d. ( ) 2/3

6. Uma urna contém 3 bolas brancas, 2 verdes e 4 azuis. Retirando-se uma bola da urna, qual a probabilidade de que seja branca ou verde?

*

) 4/7 ) 3/8 ) 5/9 ) 2/15 ) 3/7

ANOTAÇÕES

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AULA 7 — Probabilidade, Distribuição Binomial, Distribuição de Poisson e Curva Normal Padrão

AULA

7

PROBABILIDADE, DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL, DISTRIBUIÇÃO DE POISSON E CURVA NORMAL PADRÃO Conteúdo • • • • • • • • • • •

Introdução Distribuição binomial Função da distribuição binomial Aplicação da distribuição binomial em diferentes tipos de situações Distribuição de Poisson Introdução Diferenciação entre Poisson e binomial Aplicação dos diferentes módulos de distribuição de Poisson Curva normal e curva normal padrão Emprego da curva normal padrão em probabilidade Relação da distribuição normal com as de Poisson e binomial

Competências e habilidades • Estudar a variabilidade e as incertezas por meio de modelos matemáticos a partir de hipótese, ou por meio de dados observados no passado em modelos probabilísticos para a tomada de decisões de alta relevância • Resolver situações-problema que envolvem ocorrências da probabilidade de certos eventos de interesse teórico e prático

Materiais para auto-estudo disponibilizados no Portal • Lista de atividades e textos – verificar na Galeria da Unidade Didática

Duração 2 h/a – via satélite com o professor interativo 2 h/a – presenciais com o professor local 6 h/a – mínimo sugerido para auto-estudo

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

Unidade Didática – Estatística aplicada à Administração

____________________

pênalti, tem 3 situações: acertar o gol, acertar fora do gol ou acertar a trave. A distribuição binomial, no entanto, só leva em consideração acertar o gol ou não.

A distribuição binomial é utilizada somente quando houver apenas duas situações: sucesso ou fracasso. Por exemplo: um jogador, ao cobrar um

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Unidade Didática — Estatística Aplicada à Administração

Se uma pessoa irá submeter-se a uma cirurgia do coração, poderá restabelecer-se ou não. Se cruzarmos uma vaca preta com um boi branco, a cria nascerá branca ou não. Em genética são consideradas as probabilidades de ser ter uma cria com pelagem branca, preta ou malhada, o que faz com que essa situação não se enquadre na distribuição binomial. Para esse caso, usa-se a distribuição trinomial.

P = probabilidade do sucesso, q = p – 1 = probabilidade do fracasso e X = sucessos em N elementos. Cn,x = combinação de x em N elementos A aplicação da combinação da fórmula da distribuição binomial também pode ser encontrada utilizando-se o triângulo de Pascal.

A distribuição binomial é a resultante do desenvolvimento do binômio (p + q)n, onde n é o número de eventos considerados, p, a probabilidade de ocorrência de um evento, e q, a probabilidade de o evento alternativo ocorrer, sendo p + q = 1.

Construção do triângulo de Pascal

Os primeiros e os últimos números de uma linha são sempre iguais a 1; os demais são obtidos pela soma dos dois números da linha precedente que estão acima, imediatamente à esquerda e à direita.

Exemplo: Nascimento de uma criança – considerando-se a probabilidade de se ter uma criança do sexo masculino igual a p e sexo feminino igual a q, tem-se que a probabilidade para ocorrer cada um dos sexos da criança é igual a 1/2. O número de crianças nascidas na amostra é n. Considerando p a probabilidade que você deseja obter de sucesso em uma única criança, qual será a probabilidade de obtermos x sucessos em n crianças? A solução para esse tipo de problema é fornecida pela distribuição binomial.

Número de observações

Coeficientes binomiais

0

1

1

11

2

121

3

1331

4

14641

5

1 5 10 10 5 1

6

1 6 15 20 15 6 1

Um experimento se enquadra na lei binomial se as seguintes condições forem verdadeiras: a) Em cada experimento, pode acontecer um sucesso ou um fracasso. b) Os experimentos podem ser repetidos, nas mesmas condições, um número n de vezes. c) Os experimentos repetidos são independentes, ou seja, cada tentativa deve ser independente das demais.

Outros exemplos: a) uma peça produzida por uma máquina pode ser perfeita ou imperfeita; b) opinião favorável ou desfavorável; c) aprovação ou reprovação de um determinado candidato; d) indivíduo doente ou normal. Função de freqüência da distribuição binomial

Exercícios de aplicação

A forma adequada para expressar a função de freqüência dessa distribuição é o termo geral do desenvolvimento do binômio (p + q)n, ou seja,

1. Em uma loja de equipamentos eletrônicos, verificou-se que, entre os aparelhos por ela vendidos, 80% necessitarão de novos ajustamentos após as vendas. Considerando uma amostra de 5 equipamentos escolhidos ao acaso, qual a probabilidade de 4 equipamentos necessitarem de novos ajustamentos? Vamos analisar o problema. Afirma-se que 80% dos equipamentos necessitarão de novos ajustes. Se

C

N X

=

N! X! (N ? X)!

onde N = número de elementos considerados, N

F (X) = C X . PX . qN – X

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AULA 7 — Probabilidade, Distribuição Binomial, Distribuição de Poisson e Curva Normal Padrão

considerarmos como sucessos os aparelhos que necessitarão de reajustes, o nosso p será de 80/100 = 0,8.

Veja o seguinte: P = 8/10 = 0,8 q = 1 – 0,8 = 0,2, N = 5 e X, para a letra a do problema, é igual 5, porque se 5 pacientes vão ser operados todos devem se restabelecer. Esse é o valor de X. Aplicando ambas as fórmulas, teremos as seguintes respostas: a) 32,77%; b) 40,96%; c) 20,48%; d) 5,12%; e) 0,64%; f) 0,03%. Considerando todos os casos exceto a letra g, a soma será: P(A ∪ B ∪ C ∪ D ∪ E ∪ F) = 32,77 + 40,96 + 20,48 + 5,12 + 0,64 + 0,03 = 100%. No caso da letra g, que pergunta a probabilidade de pelo menos uma pessoa se restabelecer, concluímos que pode ser um ou mais pacientes. Para se definir essa probabilidade, deve-se diminuir de 100% a resposta da letra f (probabilidade de nenhum se restabelecer), que nada mais é do que a aplicação da regra da probabilidade complementar. Outra forma de se resolver o problema é somar as probabilidades das letras a, b, c, d, e, o que também dará o resultado de 99,97%. P(Ã) = 100 – P(A); P(Ã) = 100 – 0,03 = 99,97%. Uma observação muito importante! Para você identificar P, só existem quatro maneiras: a) Se a probabilidade vier em porcentagem, você divide o valor por 100. Exemplo: 80%, P vai ser 80/100 = 0,8. b) Se o problema citar, por exemplo, uma em cada 10 pessoas é apaixonada pela estatística, a probabilidade é de 1/10 = 0,1. c) Se vier em fração, por exemplo, a probabilidade de você estar vivo daqui a 30 anos é de 4/5, você simplesmente divide 4/5 = 0,8. d) Quando o problema já indica a probabilidade, por exemplo, a probabilidade de encontrar uma peça defeituosa em um lote x é de 0,2, P será de 0,2, não havendo nesse caso necessidade de se fazer qualquer operação para achar P.

Como p + q = 1, teremos: 0,8 + q = 1. Então q = 1 – 0,8 = 0,2. O número de casos considerados, nesse caso, é 5 (N = 5). A incógnita do problema (X) é a probabilidade solicitada, que neste caso é o 4. Então, teremos: P = 0,8; q = 0,2; N = 5; X = 4. Aplicando a fórmula, teremos C

N X

=

N! X! (N – X)!

Desenvolvendo a fórmula, teremos C

C

5 4

5 4

5! 4!(5  4)!

C

= 45 xx 34 xx 23 xx 12 xx 11

C

=

5 4

5 4

=

5! 4! . 1!

=

120 =5 24

Com o resultado dessa fórmula, podemos calcular a função da distribuição binomial utilizando a fórmula a seguir: • Multiplicando por 100 teremos 40,96%. N

F (X) = C

X

. PX. q N–X

F (4) = 5 . 0,84 . 0,2 5  4 F (4) = 5 . 0,4096 . 0,2 2. Sabe-se que 8 em cada 10 pessoas que se submetem a determinada cirurgia do coração se restabelecem. Supondo que amanhã serão operadas 5 pessoas em um determinado hospital, qual a probabilidade de restabelecimento? a) todas; b) 4; c) 3; d) 2; e) 1;

Atividade 1. Um aluno conhece bem 60% da matéria dada. Em um exame, com 6 perguntas sorteadas ao acaso

f) nenhuma; g) pelo menos uma.

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Unidade Didática — Estatística Aplicada à Administração

sobre a matéria, que probabilidade ele tem de responder corretamente a pelo menos 3 das questões? 2. Se 20% dos parafusos produzidos por uma máquina são defeituosos, determinar a probabilidade de, entre 4 parafusos escolhidos ao acaso: a) 1 ser defeituoso; b) 2 serem defeituosos; c) todos serem defeituosos; d) 2 ou menos serem defeituosos.

c) nº de acidentes fatais de trânsito em uma cidade; d) nº de ocorrências de fenômenos meteorológicos raros; e) nº de chamadas em uma central telefônica em um certo intervalo de tempo; f) nº de sementes de ervas daninhas entre sementes de trigo e arroz; g) nº de albinos em uma população; h) nº de ocorrência de canhotos, e outros.

3. Quais as probabilidades de se obter 9 pontos em 4 lances de um par de dados: a) 2 vezes; b) pelo menos 2 vezes. 4. A probabilidade de Joãozinho resolver problema é de 0,7. Se escolhermos aleatoriamente 5 problemas dessa natureza, qual a probabilidade de ele acertar a) todos; b) exatamente 3; c) não menos que 4; d) mais que 2.

A fórmula que possibilita calcular a probabilidade é: X F(X) = M e –m X! Obs.: Sendo 0 X ≤ ∞ M = média = NP X = 1, 2, 3,... e = 2,7183 = base do sistema de logaritmos neperianos (logaritmos naturais). Obs.: Os valores de e–m encontram-se na tabela inserida nos anexos. Ex.: uma máquina fabrica pregos com 1% de unidades defeituosas. Em uma amostra com 50 pregos, qual a probabilidade de nenhum prego ser defeituoso? M = NP, onde M = 50*0,01 = 0,5

5. Se 90% dos computadores produzidos por uma fábrica são perfeitos, determinar a probabilidade de, entre 5 unidades escolhidas ao acaso, a) exatamente todos serem perfeitos; b) nenhum ser defeituoso.

0 F (X) = 0,5 0!

DISTRIBUIÇÃO DE POISSON

e0,5 = 0,6065 = 60,65%

Ex.: sendo 2% a proporção de canhotos em uma população, qual a probabilidade de termos pelo menos 1 canhoto em uma classe de 60 alunos? M = NP, onde M = 60*0,02 = 1,2. (Analogamente ao exercício anterior, resolva-o.)

A distribuição de Poisson pode ser considerada como um caso particular da distribuição binomial, utilizada quando o número de experiências N é tão grande quanto possível e a probabilidade P do sucesso é baixa, tendendo para zero. O produto NP determina a média da distribuição. A distribuição de Poisson é específica para acontecimentos de baixa probabilidade (fenômenos raros). Na prática, qualifica-se um acontecimento como raro quando N > (maior ou igual) 50 e P < (menor ou igual) 0,1. Exemplos: a) nº de ocorrência de irmãos gêmeos; b) nº de peças defeituosas obtidas em um processo de produção;

F(X) =

1,21 e1,2 = 1!

Atividade 1. A probabilidade de um indivíduo sofrer uma reação nociva, resultante da infecção por um determinado soro, é 0,0001. Determinar a probabilidade de, entre 20.000 indivíduos, a) pelo menos 3 sofrerem a reação; b) exatamente 3 sofrerem a reação; c) pelo menos 19.998 não sofrerem a reação.

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AULA 7 — Probabilidade, Distribuição Binomial, Distribuição de Poisson e Curva Normal Padrão

seus clientes venham a estar incluídos em tais acidentes no próximo ano?

2. Se 3% das lâmpadas elétricas fabricadas por uma companhia são defeituosas, determinar a probabilidade de, em uma amostra de 100 lâmpadas, serem defeituosas: a) nenhuma; b) 1; c) 4; d) 2 ou menos.

8. Suponha que em um livro de 600 páginas há 30 erros tipográficos. Se esses erros estiverem aleatoriamente distribuídos pelo livro, qual a probabilidade de 60 páginas, escolhidas ao acaso, estarem com erros? 9. Em uma fábrica de cerveja apenas 0,04% das garrafas contém menos que 600 ml. Em uma amostra de 10.000 cervejas, qual a probabilidade de encontrarmos:

3. Sabe-se que, em uma cidade X, o número médio de acidentes ocorridos por mês é de 5 por 100.000 habitantes. Determinar a probabilidade de, em um grupo de 200 pessoas, ocorrerem exatamente 2 acidentes durante o próximo ano. Obs.: Para o cálculo, considerar 12 meses.

a) exatamente 2 garrafas abaixo de 600 ml? b) pelo menos 1 garrafa abaixo de 600 ml? c) todas as garrafas acima de 600 ml? DISTRIBUIÇÃO NORMAL

4. Entre as 12 h e as 14 h, o número médio de chamadas telefônicas por minuto atendidas pela mesa de ligação de uma companhia é de 2,5. Determinar a probabilidade de, durante um determinado minuto, haver: a) nenhuma; b) uma chamada; c) menos de 4.

É amplamente utilizada entre as distribuições de probabilidade, sendo aplicada em diversos fenômenos no desenvolvimento teórico das amostragens representadas pela população. É também conhecida como a distribuição de Gauss Laplace e se caracteriza por ter a forma aproximada de um sino em sua parte central. A curva normal é definida pela função:

5. Em um cruzamento de tráfego intenso, a probabilidade (p) de um carro sofrer um acidente é muito pequena, digamos, p = 0,0001. Contudo, durante certa parte do dia, por exemplo, das 14 às 18 horas, um grande número de carros passa no cruzamento (um valor com n = 1.000). Nessas condições, qual a probabilidade de 2 ou mais acidentes ocorrerem durante aquele período? 6. A probabilidade de uma peça produzida por uma determinada máquina ser defeituosa é 0,2. Se 10 peças produzidas por essa máquina forem escolhidas ao acaso, qual é a probabilidade de que não mais de 1 defeituosa ser encontrada? Empregue as distribuições binomial e de Poisson e compare as respostas. 7. Uma companhia de seguros descobriu que somente cerca de 0,01% da população está envolvida em certo tipo de acidente a cada ano. Se seus 15.000 segurados são escolhidos ao acaso na população, qual é a probabilidade de que não mais do que 2 de

y=

1

1 

2

.e

 2

.

x 

2

Onde: y representa a ordenada, ou seja, a altura da curva para um determinado valor da variável x; e = 2,71828 (base do sistema de logaritmos neperianos), π = 3,1416, µ representa a média da população e σ, o desvio-padrão. Não existe uma expressão matemática simples para determinar a probabilidade da ocorrência de um valor para uma dada distribuição normal. Entretanto, atualmente existem soluções práticas que facilitam consideravelmente os cálculos. Para isso, a distribuição normal deve ser transformada em outra, denominada de distribuição normal padrão. Essa transformação consiste em converter a variável x na variável z, utilizando a seguinte equação:

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Unidade Didática — Estatística Aplicada à Administração

gula, sendo neste caso o valor 0,3. O segundo decimal (6) será buscado nas demais colunas ( neste caso 0,06). Na interseção da linha que contém o valor 0,3 da primeira coluna com a coluna 0,06 encontra-se o valor procurado de P, que no caso é 0,1406.

Função da distribuição normal xx z= 

x Calcularemos a seguir um exemplo de probabilidade da curva normal: X = 46.000 X = 45.000 Σ = 2.760 X z= X z = 45.000  46.000 2.760

Análise da função da curva normal 1. A curva tem como parâmetros a média e o desvio-padrão. Se estes forem substituídos por um valor real maior que zero, a representação gráfica será uma curva normal. 2. Não há uma curva única, mas tantas curvas quantos forem os pares diferentes de valores numéricos para x e σ. 3. A curva é simétrica, e os valores da média, mediana e a moda são coincidentes. 4. A curva é assintótica em relação ao eixo dos x, ou seja, a curva jamais atingirá o eixo das abscissas, por maior (ou menor) que seja o valor de x. 5. A área total sob a curva é igual a 1 – o que pode ser demonstrado por meio do cálculo integral, ou seja, integrando-se a sua função no intervalo compreendido entre menos infinito e mais infinito (– ∞ e + ∞)].

Z = 1.000/2.760 = 0,36

0,09

0,08

0,07

0,06

0,05

0,04

0,03

0,02

0,01

Z

Uma determinada marca de um pneu tem duração média de 46.000 km, com um desvio-padrão de 2.760. Admitindo que os dados estão distribuídos normalmente, qual a probabilidade de durar entre 45.000 e 46.000 km? Dados Com esse resultado de Z = 0,36, iremos para a tabela de Z, para encontrar o valor de P.

0,1406

--

--

--

--

0,03

Atividade Obs.: A área de uma distribuição normal padrão encontra-se na tabela de z, nos anexos. 1. Em um experimento de competição de cultivares de soja, a média do ensaio foi de 2.300 kg/ha com um desvio-padrão de 100. Qual a porcentagem nessa distribuição de variedades com pesos superiores a 2.500 kg/ha? E abaixo da média? E entre 2.100 e 2.500 kg/ha?

Para se encontrar o valor P na tabela de valores de Z, por exemplo, 0,36, primeiramente procuramos pelo valor inteiro e a primeira casa decimal após a vir-

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AULA 7 — Probabilidade, Distribuição Binomial, Distribuição de Poisson e Curva Normal Padrão

é de 200 kg com desvio-padrão igual a 10 kg. Em 120 animais retirados ao acaso do curral, quantos pesarão mais de 185 kg? 4. O diâmetro médio de postes de cimento é de 35 cm, com um desvio-padrão de 2,5.

2. Suponha que, em uma sala de aula, a altura média da turma seja 150 cm e o desvio-padrão, igual a 10. Considerando que os dados estão distribuídos normalmente, qual a probabilidade de ocorrerem alturas abaixo de 145 cm? E entre 145 cm e a média? E entre 145 cm e 170 cm? 3. O peso médio de reses que se encontra em um determinado curral da Fazenda Boi Cotó

Admitindo-se que os dados estão distribuídos normalmente, qual a probabilidade de encontrarmos postes entre 30 e 33 cm de diâmetro?

TABELAS Tabela 1 – Tabela para valores de z: área de uma distribuição normal padrão Z

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,0

0,0000

0,0040

0,0080

0,0120

0,0160

0,0199

0,0239

0,0279

0,0319

0,0359

0,1

0,0398

0,0438

0,0478

0,0517

0,0557

0,0596

0,0636

0,0675

0,0714

0,0753

0,2

0,0793

0,0832

0,0871

0,0910

0,0948

0,0987

0,1026

0,1064

0,1103

0,1141

0,3

0,1179

0,1217

0,1255

0,1293

0,1331

0,1368

0,1406

0,1443

0,1480

0,1517

0,4

0,1554

0,1591

0,1628

0,1664

0,1700

0,1736

0,1772

0,1808

0,1844

0,1879

0,5

0,1915

0,1950

0,1985

0,2019

0,2054

0,2088

0,2123

0,2157

0,2190

0,2224

0,6

0,2257

0,2291

0,2324

0,2357

0,2389

0,2422

0,2454

0,2486

0,2517

0,2549

0,7

0,2580

0,2611

0,2642

0,2673

0,2703

0,2734

0,2764

0,2794

0,2823

0,2852

0,8

0,2881

0,2910

0,2939

0,2967

0,2995

0,3023

0,3051

0,3078

0,3106

0,3133

0,9

0,3159

0,3186

0,3212

0,3238

0,3264

0,3289

0,3315

0,3340

0,3365

0,3389

1,0

0,3413

0,3438

0,3461

0,3485

0,3508

0,3531

0,3554

0,3577

0,3599

0,3621

1,1

0,3643

0,3665

0,3686

0,3708

0,3729

0,3749

0,3770

0,3790

0,3810

0,3830

1,2

0,3849

0,3869

0,3888

0,3907

0,3925

0,3944

0,3962

0,3980

0,3997

0,4015

1,3

0,4032

0,4049

0,4066

0,4082

0,4099

0,4115

0,4131

0,4147

0,4162

0,4177

1,4

0,4192

0,4207

0,4222

0,4236

0,4251

0,4265

0,4279

0,4292

0,4306

0,4319

1,5

0,4332

0,4345

0,4357

0,4370

0,4382

0,4394

0,4406

0,4418

0,4429

0,4441

1,6

0,4452

0,4463

0,4474

0,4484

0,4495

0,4505

0,4515

0,4525

0,4535

0,4545

1,7

0,4554

0,4564

0,4573

0,4582

0,4591

0,4599

0,4608

0,4616

0,4625

0,4633

1,8

0,4641

0,4649

0,4656

0,4664

0,4671

0,4678

0,4686

0,4693

0,4699

0,4706

1,9

0,4713

0,4719

04726

0,4732

0,4738

0,4744

0,4750

0,4756

0,4761

0,4767

2,0

0,4772

0,4778

0,4783

0,4788

0,4973

0,4798

0,4803

0,4808

0,4812

0,4817

2,1

0,4821

0,4826

0,4830

0,4834

0,4838

0,4842

0,4846

0,4850

0,4854

0,4857

2,2

0,4861

0,4864

04868

0,4871

0,4875

0,4878

0,4881

0,4884

0,4887

0,4890

2,3

0,4893

0,4893

0,4898

0,4901

0,4904

0,4906

0,4909

0,4911

0,4913

0,4916

2,4

0,4918

0,4920

0,4922

0,4925

0,4927

0,4929

0,4931

0,4932

0,4934

0,4936

2,5

0,4938

0,4940

0,4941

0,4943

0,4945

0,4946

0,4948

0,4949

0,4951

0,4952

2,6

0,4953

0,4955

0,4956

0,4957

0,4959

0,4960

0,4961

0,4962

0,4963

0,4964

2,7

0,4965

0,4966

0,4967

0,4968

0,4969

0,4970

0,4971

0,4972

0,4973

0,4974

2,8

0,4974

0,4975

0,4976

0,4977

0,4977

0,4978

0,4979

0,4979

0,4980

0,4981

2,9

0,4981

04982

0,4982

0,4983

0,4984

0,4984

0,4985

0,4985

0,4986

0,4986

3,0

0,4987

04987

0,4987

0,4988

0,4988

0,4989

0,4989

0,4989

0,4990

0,4990

181

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Unidade Didática — Estatística Aplicada à Administração Tabela 2 – Tabela com valores de e–m m

e–m

m

e–m

m

e–m

0,01

0,9900

0,1

0,9048

1

0,3679

0,02

0,9802

0,2

0,8187

2

0,1353

0,03

0,9704

0,3

0,7408

3

0,0498

0,04

0,9608

0,4

0,6703

4

0,0183

0,05

0,9512

0,5

0,6065

5

0,0067

0,06

0,9418

0,6

0,5488

6

0,0025

0,07

0,9324

0,7

0,4966

7

0,0009

0,08

0,9231

0,8

0,4493

8

0,0003

0,09

0,9139

0,9

0,4066

9

0,0001

*

ANOTAÇÕES

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Referências

OLIVEIRA, F. E. M. Estatística e probabilidade. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1999. ROCHA, Ruth. Dicionário língua portuguesa. São Paulo: Scipione, 1996. STEVENSON, W. J. Estatística aplicada à administração. São Paulo: Haarbra, 2001. TRIOLA, M. F. Introdução a estatística. Tradução de Alfredo Alves de Farias. Rio de Janeiro: ABDR, 1999. VIEIRA, S. Elementos de estatística. 4. ed. São Paulo: Atlas, 2003.

Referências ANDERSON, D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS, Y. Estatística aplicada a economia e administração. 2. ed. São Paulo: Pioneira Thomsom Learning, 2002. DOWNING, D.; CLARK, J. Estatística aplicada. 2. ed. São Paulo: Saraiva, 2002. FONSECA, J. S.; MARTINS, G. Curso de estatística. 4. ed. São Paulo: Atlas, 1998. LAPPONI, J. C. Estatística usando excel 5 e 7. São Paulo: Lapponi Treinamento e Editora, 1997.

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Unidade Didática — Estatística Aplicada à Administração

Análise Quantitativa de Projetos

LABORATÓRIO DE PRÁTICAS INTEGRADORAS Caro(a) acadêmico(a), A unidade didática Laboratório de Práticas Integradoras visa a articulação das unidades existentes no módulo, objetivando a percepção da aplicação prática dos conteúdos ministrados. Por meio da interdependência adquirida com as unidades didáticas deste laboratório, o futuro profissional será capaz de articular a teoria, adquirida no ensino superior, com a prática exigida no cotidiano da profissão. Para tanto, é necessário o entendimento de que os conteúdos de cada Unidade Didática permitirão um estudo integrado, formando um profissional completo e compromissado com o mercado de trabalho. Ao desenvolver esta unidade, você deverá aplicar todos os conhecimentos adquiridos no decorrer do módulo, elaborando uma atividade. A atividade referente ao Laboratório Integrado está disponibilizada no Portal da Interativa. Bom trabalho! Professora MSc. Cristian Mara Mazzini Professora MSc. Maria Sakate Professor MSc. Reinaldo Bazoni

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Administração