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Hugo Barranies Campos Esta obra es propiedad del sunu - UCR

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INTRODUCCION ALAS

ECUACIONES DIFERENCIALES

• EUNED

EDITORIAL UNIVERSIDAD

ESTATAl A DISTANCIA


Encargados de catedra Allan. Gen Palma Eugenio Rojas Mora Encargado de programa

Jose Alfredo Araya It'lla Correccion de estilo Gillette Duran Carrillo Diagramacion Hugo Barrantes

Producci6n acadernica y asesoria metodol6gica Mario Marin Romero

Diseno de portada: Luis Fernando

Campos

QuirOs Abarca

Coordinador de produeci6n editorial: Daniel Villalobos Gamboa Irnposicion digital:

O-fiC-in-a-d-~~~ SIBDI· UCR·

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© HUGO BARRANTES CAMPOS © Sobre la presente edicion Editorial Universidad

Estatal a Oistaneia

Giovanna Calderon Zuniga

SH';U:'>l'DA EJ)l(]ON

Editorial Universidad Estatal a Oistancia San Jose. Costa Rica, 20J 5

Esta unidad didactica fue confeccionada en la UNEO, en el ano 2014. para ser utilizada en la asignatura "Introduccion alas ecuaciones diferenciales", c6digo 192, que se imparte en el programa de Profesorado y Bachillerato en la Ensefianza de Ia Matematica.

24 MAY 2011 ISBN-978-9968-48-108-3

515.35 B-268i2

Barrantes Campos, Hugo Introduccion alas ecuaciones ciales / Hugo Barrantes Campos.

diferen-- 2. ed.

--San Jose, C.R : EUNEO, 2015. 328 p.

ISBN 978-9968-48-108-3 1. ECUACIONES LTftulo.

Impreso

DIFERENCIALES.

en Costa Rica.

Reservados todos los derechos. Prohibida la reproduccion no autorizada por cualquier del contenido

medio, mecanico 0 elecrronico, total 0 parcial de esta publicacion.

Hecho el deposito

de ley.


Contenido

1.

Conceptos basicos 1.1. Introducci6n.............................................................................................................. 1.1.1. LQue es una ecuaci6n diferencial? 1.1.2. Tipos de ecuaciones diferenciales.................................................................. 1.1.3. Soluci6n de una ecuaci6n diferencial............................................................ 1.1.4. Un problema geometrico............................................................................... 1.1.5. Un problema sobre crecimiento de poblaciones.......................................... 1.1.6. Un problema de vibraciones mecanicas 1.1.7. Un problema 6ptico-geometrico................................................................... 1.2. Ecuaciones lineales de primer orden 1.2.1. La ecuaci6n de Bernoulli................................................................................ 1.3. Existencia y unicidad de las soluciones................................................................... 1.4. Aplicaciones 1.4.1. Crecimiento y decaimiento exponencial............................................................... 1.4.2. Interes compuesto 1.4.3. Problemas varios.....................................................................................................

1 3 3 4 6 9 10 11 13 15 24 28 36 37 41 44

2.

Ecuaciones de primer orden no lineales....................... 2.1. Ecuaciones de variables separables......................................................................... 2.2. Ecuaciones homogeneas.i..; 2.3. Ecuaciones exactas 2.4. Factores integrantes.................................................................................................. 2.5. Aplicaciones 2.5.1. Crecimiento de poblaciones 2.5.2. Aceleraci6n gravitacional...............................................................................

53 55 60 67 77 84 84 87

VII


3.

Ecuaciones lineales con coeficientes constantes .. 3.1. Introducci6n a la teoria general............................................................................... 3.2. Ecuaciones lineales homogeneas con coeficientes constantes 3.2.1. Ecuaciones lineales homogeneas de primer orden...................................... 3.2.2. Ecuaciones lineales homogeneas de segundo orden 3.2.3. Ecuaciones homogeneas de orden mayor que dos...................................... 3.3. Ecuaciones no homogeneas. Variaci6n de parametres 3.4. Metodo de coeficientes indeterminados........... 3.5. Aplicaciones 3.5.1. Vibraciones mecanicas 3.5.2. Circuitos electricos..........................................................................................

4.

91 93 111 112 112 116 122 129 140 140 146

Transformada de Laplace.. 4.1. Integrales impropias.................................................................................................

155 157

4.1.1. Criterios de convergencia............................................................................... 4.2. Conceptos basicos de transformada de Laplace.................................................... 4.3. Propiedades de la transformada de Laplace 4.4. Transformada inversa y ecuaciones diferenciales................................................... 4.4.1. Transformada inversa 4.4.2. Soluci6n de ecuaciones lineales 4.5. Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden.................................................. 4.5.1. Algunos elementos basicos sobre sistemas 4.5.2. La transformada de Laplace para resolver sistemas

163 170 177 195 195 199 210 211 214

Respuestas a los ejercicios AI. Metodos numericos para ecuaciones diferenciales........................................................ Al.l. Metodo de Euler Al.2. Metodo de Taylor.................................................................................................... Al.3. Metodo de Runge-Kutta A2. Soluci6n de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias A2.1. Sucesiones y series................................................................................................. A2.1.1. A2.1.2. A2.2. Series A2.2.1. A2.2.2. A2.2.3.

Sucesiones Series infinitas con terminos constantes................................................... de potencias Propiedades de las series de potencias Operaciones con series de potencias Principio de identidad

A2.2.4. Series de Taylor A2.3. Soluci6n por series alrededor de un punto ordinario A2.4. Puntos singulares............................ VIII

223 237 239 246 252 259 261 261 266 276 280 282 283 283 286 298


Introducción a las ecuaciones diferenciales  
Introducción a las ecuaciones diferenciales  
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