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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Pert Probabilistico Lucas L´ opez Segovia

Sistemas Integrales y Apertura, S.A. de C.V, Departamento de Investigaci´ on y Desarrollo Villahermosa, Tabasco, M´ex. Pert Probabilistico

Lucas L´ opez Segovia: SIA Investigaci´ on y Desarrollo 1


Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Duraci´ on de una actividad Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

Aplicaci´ on Discusiones

Pert Probabilistico

Lucas L´ opez Segovia: SIA Investigaci´ on y Desarrollo 1


Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

Sea T la duraci´ on de una actividad A bajo incertidumbre.

Pert Probabilistico

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

Sea T la duraci´ on de una actividad A bajo incertidumbre. Caracteristicas: T es una variable aleatoria continua, T ≥ 0.

Pert Probabilistico

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

Sea T la duraci´ on de una actividad A bajo incertidumbre. Caracteristicas: T es una variable aleatoria continua, T ≥ 0. T tiene una funci´ on de densidad y una distribuci´ on.

Pert Probabilistico

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

Sea T la duraci´ on de una actividad A bajo incertidumbre. Caracteristicas: T es una variable aleatoria continua, T ≥ 0. T tiene una funci´ on de densidad y una distribuci´ on. Suposici´ ones basadas en la practica diaria:

Pert Probabilistico

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

Sea T la duraci´ on de una actividad A bajo incertidumbre. Caracteristicas: T es una variable aleatoria continua, T ≥ 0. T tiene una funci´ on de densidad y una distribuci´ on. Suposici´ ones basadas en la practica diaria: T pertenece a un intervalo (a, b) y en el mejor de los casos es c

Pert Probabilistico

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

Sea T la duraci´ on de una actividad A bajo incertidumbre. Caracteristicas: T es una variable aleatoria continua, T ≥ 0. T tiene una funci´ on de densidad y una distribuci´ on. Suposici´ ones basadas en la practica diaria: T pertenece a un intervalo (a, b) y en el mejor de los casos es c T tiene una desidad beta del tipo I caracterizada por los valores a, b, c

Pert Probabilistico

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

Sea T la duraci´ on de una actividad A bajo incertidumbre. Caracteristicas: T es una variable aleatoria continua, T ≥ 0. T tiene una funci´ on de densidad y una distribuci´ on. Suposici´ ones basadas en la practica diaria: T pertenece a un intervalo (a, b) y en el mejor de los casos es c T tiene una desidad beta del tipo I caracterizada por los valores a, b, c T entonces puede estimarse usando la E [T ]

Pert Probabilistico

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

Sea T la duraci´ on de una actividad A bajo incertidumbre. Caracteristicas: T es una variable aleatoria continua, T ≥ 0. T tiene una funci´ on de densidad y una distribuci´ on. Suposici´ ones basadas en la practica diaria: T pertenece a un intervalo (a, b) y en el mejor de los casos es c T tiene una desidad beta del tipo I caracterizada por los valores a, b, c T entonces puede estimarse usando la E [T ] El error (o desviaci´ on) que se comete puede medirse via su varianza, var [T ].

Pert Probabilistico

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

Sea T la duraci´ on de una actividad A bajo incertidumbre. Caracteristicas: T es una variable aleatoria continua, T ≥ 0. T tiene una funci´ on de densidad y una distribuci´ on. Suposici´ ones basadas en la practica diaria: T pertenece a un intervalo (a, b) y en el mejor de los casos es c T tiene una desidad beta del tipo I caracterizada por los valores a, b, c T entonces puede estimarse usando la E [T ] El error (o desviaci´ on) que se comete puede medirse via su varianza, var [T ]. Su u ´tilidad es valiosa en el calculo de la RUTA CRITICA en Gestion de Proyectos Pert Probabilistico

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

Densidad beta tipo I f (x) =

(x−a)p−1 (b−x)q−1 , (b−a)p+q−1 B(p,q)

Pert Probabilistico

a<x <b

p, q > 1

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

Densidad beta tipo I f (x) =

(x−a)p−1 (b−x)q−1 , (b−a)p+q−1 B(p,q)

a<x <b

p, q > 1

Figure: Beta density Pert Probabilistico

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

La densidad beta es una distribuci´ on unimodal, la moda m, es el punto sobre el eje x donde la derivada de la funci´ on se hace cero, esto es

f 0 (m) = 0

Pert Probabilistico

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

La densidad beta es una distribuci´ on unimodal, la moda m, es el punto sobre el eje x donde la derivada de la funci´ on se hace cero, esto es

f 0 (m) = 0

Resolviendo la ecuaci´on f 0 (x) = 0, resulta m=

b(p−1)+a(q−1) p+q−2

Pert Probabilistico

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Usando la transformaci´ on z =

x−a b−a ,

Pert Probabilistico

Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

la densidad beta se transforma

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Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Usando la transformaci´ on z = f (z) =

x−a b−a ,

z p−1 (1−z)q−1 , B(p,q)

Pert Probabilistico

la densidad beta se transforma

0<z <1

p, q > 1.

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Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Usando la transformaci´ on z = f (z) =

x−a b−a ,

z p−1 (1−z)q−1 , B(p,q)

la densidad beta se transforma

0<z <1

p, q > 1.

Donde E [z] =

p p+q

Pert Probabilistico

var [z] =

pq . (p+q)2 (p+q+1)

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Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Usando la transformaci´ on z = f (z) =

x−a b−a ,

z p−1 (1−z)q−1 , B(p,q)

la densidad beta se transforma

0<z <1

p, q > 1.

Donde E [z] =

p p+q

var [z] =

pq . (p+q)2 (p+q+1)

Como E [z] =

E [x]−a b−a

Pert Probabilistico

y

var [z] =

var [x] , (b−a)2

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Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Usando la transformaci´ on z = f (z) =

x−a b−a ,

z p−1 (1−z)q−1 , B(p,q)

la densidad beta se transforma

0<z <1

p, q > 1.

Donde E [z] =

p p+q

var [z] =

pq . (p+q)2 (p+q+1)

Como E [z] =

E [x]−a b−a

y

var [z] =

var [x] , (b−a)2

entonces E [x] =

pb+qa p+q Pert Probabilistico

var [x] =

(b−a)2 pq . (p+q)2 (p+q+1)

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

Observe que la media E [x] puede expresarse enterminos de la moda m.

Pert Probabilistico

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

Observe que la media E [x] puede expresarse enterminos de la moda m. En vista de que m=

b(p−1)+a(q−1) , p+q−2

y

E [x] =

pb+qa p+q ,

entonces

Pert Probabilistico

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

Observe que la media E [x] puede expresarse enterminos de la moda m. En vista de que m=

b(p−1)+a(q−1) , p+q−2

y

E [x] =

pb+qa p+q ,

entonces E [x] =

a+(p+q−2)m+b . p+q

Pert Probabilistico

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

Por otra parte, haciendo α = (p − 1) resulta el sistema de ecuaciones

α+γ =4

Pert Probabilistico

y

γ = (q − 1)

(α+1)(γ+1) α+γ+3

= 1.

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

Por otra parte, haciendo α = (p − 1) resulta el sistema de ecuaciones

α+γ =4

y

γ = (q − 1)

(α+1)(γ+1) α+γ+3

= 1.

Resolviendo para α y γ resultan las soluciones ( ( √ √ 3− 2 3+ 2 √ √ p= q= 3+ 2 3− 2

Pert Probabilistico

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

Observe que: Si p = 3 −

2

m=

y a+b 2

q =3+

2, entonces

+

Pert Probabilistico

2 4 (a

− b).

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

Observe que: Si p = 3 −

2

y

m= Por lo tanto,

m<

a+b 2

q =3+

2, entonces

+

2 4 (a

− b).

a+b 2 .

Pert Probabilistico

Lucas L´ opez Segovia: SIA Investigaci´ on y Desarrollo 8


Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

Observe que: Si p = 3 −

2

y

m= Por lo tanto,

m<

Si p = 3 +

a+b 2

q =3+

2, entonces

+

2 4 (a

− b).

a+b 2 .

2

m=

q =3−

y a+b 2

2, entonces

+

Pert Probabilistico

2 4 (b

− a).

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

Observe que: Si p = 3 −

2

y

m= Por lo tanto,

m<

Si p = 3 +

2

m>

2, entonces

+

2 4 (a

− b).

a+b 2 .

q =3−

y

m= Por lo tanto,

a+b 2

q =3+

a+b 2

2, entonces

+

2 4 (b

− a).

a+b 2 .

Pert Probabilistico

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

Si conocemos la moda (por experiencia), y m < b−a 2 , entonces tomar √ √ p = 3 − 2, q = 3 + 2.

Pert Probabilistico

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

Si conocemos la moda (por experiencia), y m < b−a 2 , entonces tomar √ √ p = 3 − 2, q = 3 + 2.

Figure: Beta density

Pert Probabilistico

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

Si conocemos la moda (por experiencia), y m > b−a 2 , entonces tomar √ √ p = 3 + 2, q = 3 − 2.

Pert Probabilistico

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

Si conocemos la moda (por experiencia), y m > b−a 2 , entonces tomar √ √ p = 3 + 2, q = 3 − 2.

Figure: Beta density

Pert Probabilistico

Lucas L´ opez Segovia: SIA Investigaci´ on y Desarrollo 10


Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

En cualquiera de los dos casos se tiene la misma media y la misma varianza, ambas dada como E [x] =

a+4m+b 6

var [x] =

Pert Probabilistico

(b−a)2 36

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Caracteristicas de T Densidad beta tipo I Propiedades de la densidad beta tipo I

Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

En cualquiera de los dos casos se tiene la misma media y la misma varianza, ambas dada como E [x] =

a+4m+b 6

var [x] =

(b−a)2 36

Son los valores con los que se basa el pert probabilistico

Pert Probabilistico

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Discusiones

Planteamiento del problema Suponga que hay tres compa˜ nias candidatas a realizar una actividad A, las compa˜ nias son H, S, B. En el planing cada una expecifica el tiempo que le llevaria en realizar la actividad.

Pert Probabilistico

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Discusiones

Planteamiento del problema Suponga que hay tres compa˜ nias candidatas a realizar una actividad A, las compa˜ nias son H, S, B. En el planing cada una expecifica el tiempo que le llevaria en realizar la actividad. H especifica que lo hace en un tiempo especifico T0 .

Pert Probabilistico

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Discusiones

Planteamiento del problema Suponga que hay tres compa˜ nias candidatas a realizar una actividad A, las compa˜ nias son H, S, B. En el planing cada una expecifica el tiempo que le llevaria en realizar la actividad. H especifica que lo hace en un tiempo especifico T0 . S aclara que la duraci´ on de la actividad estaria comprendida entre dos numeros (Tp , To ), donde Tp es la duraci´ on de la actividad en las peores condiciones y To es la duraci´ on de la actividad operando en las mejores condiciones.

Pert Probabilistico

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Discusiones

Planteamiento del problema Suponga que hay tres compa˜ nias candidatas a realizar una actividad A, las compa˜ nias son H, S, B. En el planing cada una expecifica el tiempo que le llevaria en realizar la actividad. H especifica que lo hace en un tiempo especifico T0 . S aclara que la duraci´ on de la actividad estaria comprendida entre dos numeros (Tp , To ), donde Tp es la duraci´ on de la actividad en las peores condiciones y To es la duraci´ on de la actividad operando en las mejores condiciones. B segun su experiencia expone que la duraci´ on de la actividad estara justamente entre (Tp , To ), pero que en circuntancias normales puede llevarle un tiempo Tn , donde Tp < Tn < To . Pert Probabilistico

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Discusiones

Qu´e compa˜ nia seleccionar?

Pert Probabilistico

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Discusiones

Qu´e compa˜ nia seleccionar? H es una muy mala opci´ on, Dios no juega a los dados, pero nosotros SI!!.

Pert Probabilistico

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Discusiones

Qu´e compa˜ nia seleccionar? H es una muy mala opci´ on, Dios no juega a los dados, pero nosotros SI!!. S es m´as prudente, sin embargo, si el intervalo (Tp , To ) es muy largo, nos deja igual (nos dice muy poco).

Pert Probabilistico

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Discusiones

Qu´e compa˜ nia seleccionar? H es una muy mala opci´ on, Dios no juega a los dados, pero nosotros SI!!. S es m´as prudente, sin embargo, si el intervalo (Tp , To ) es muy largo, nos deja igual (nos dice muy poco). B es una propuesta sensata (o prudente), dispone de su capacidad y experiencia.

Pert Probabilistico

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Discusiones

Qu´e consecuencias resultan?

Pert Probabilistico

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Discusiones

Qu´e consecuencias resultan? H nos dice el tiempo exacto, no tenemos ningun problema, no hay nada que hacer.

Pert Probabilistico

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Discusiones

Qu´e consecuencias resultan? H nos dice el tiempo exacto, no tenemos ningun problema, no hay nada que hacer. S nos muestra la monta˜ na, pero ´esta, tiene un fecto de pantalla que no deja ver el bosque.

Pert Probabilistico

Lucas L´ opez Segovia: SIA Investigaci´ on y Desarrollo 14


Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Discusiones

Qu´e consecuencias resultan? H nos dice el tiempo exacto, no tenemos ningun problema, no hay nada que hacer. S nos muestra la monta˜ na, pero ´esta, tiene un fecto de pantalla que no deja ver el bosque. B nos sit´ ua en la cima de la monta˜ na desde donde visualizamos el bosque

Pert Probabilistico

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Duraci´ on de una actividad Aplicaci´ on

Discusiones

Qu´e consecuencias resultan? H nos dice el tiempo exacto, no tenemos ningun problema, no hay nada que hacer. S nos muestra la monta˜ na, pero ´esta, tiene un fecto de pantalla que no deja ver el bosque. B nos sit´ ua en la cima de la monta˜ na desde donde visualizamos el bosque

b = T

Tp +4Tn +To 6

Pert Probabilistico

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Pert Probabilistico  

Lucas López Segovia Sistemas Integrales y Apertura, S.A. de C.V, Departamento de Investigaci on y Desarrollo Villahermosa, Tabasco, Mex.

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