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Matemรกtica Bรกsica Semana 5 Sistemas de ecuaciones


Ecuaciones lineales con dos variables a. Resuelva la siguiente ecuación: x + y = 7. Hay varias soluciones: x=3, y=4; x=5, y=2; x=-1, y=8. b. Resuelva la siguiente ecuación: x − y = 3. Hay varias soluciones: x=4, y=1; x=5, y=2; x=8, y=5. ¿Existe alguna solución común para ambas ecuaciones?

Sí: x=5, y=2.


Sistemas de ecuaciones Un sistema de ecuaciones es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas. Ejemplos: 14 x −11 y = −29 13 y − 8 x = 30

2x3 − 2 y + z = 8 21 y 2 + 5 = 89 z − y = 32


Solución de un sistema de ecuaciones 

La solución de un sistema de ecuaciones es un grupo de valores de las incógnitas que satisface todas las ecuaciones del sistema.

Para resolver un sistema de ecuaciones es necesario llegar a una sola ecuación con una sola incógnita.


Métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas En este curso veremos tres métodos: Método de igualación Método de sustitución Método de reducción o eliminación


MÉTODO DE IGUALACIÓN 5 x − 3 y = 8 Resuelva el sistema:  4 x + 7 y = −3 Despejamos de las dos ecuaciones la misma variable, igualamos y obtenemos una ecuación con una sola variable, y luego resolvemos dicha ecuación. Verificamos las respuestas.


5 x − 3 y = 8 Resuelva el sistema:  4 x + 7 y = −3 Despejemos x de las dos ecuaciones: 5x = 3 y + 8

4 x = −7 y − 3

3y + 8 − 7 y − 3 = 5 4 

3y + 8 x= 5

− 7y − 3 x= 4

4(3 y + 8) = 5( −7 y − 3) 12 y + 32 = −35 y −15

La solución es un par 42 y = −42 ordenado: (1; -1).

y = −1 x =1


MÉTODO DE SUSTITUCIÓN 7 x − 2 y = 325 Resuelva el sistema:  4 x + y = 25 Despejamos una variable de una de las ecuaciones, la sustituimos en la otra y resolvemos la ecuación. Verificamos las respuestas.


7 x − 2 y = 325 Resuelva el sistema:  4 x + y = 25 2 y + 325 x= 7

Despejemos x de la primera ecuación:

Sustituyamos este valor de x en la segunda ecuación: 4( 2 y + 325 ) + y = 25 7

4(2 y + 325) + 7 y = 175

8 y + 1300 + 7 y = 175 15 y = −1125

y = −75

La solución es un par ordenado: (25; -75).

x = 25


MÉTODO DE REDUCCIÓN o ELIMINACIÓN

5 x − 3 y = −36 Resuelva el sistema:  2 x + 5 y = 29 Multiplicamos las dos ecuaciones por dos números distintos con la intención de reducir o eliminar una de las variables al sumar las ecuaciones resultantes. Verificamos las respuestas.


 5 x − 3 y = − 36 Resuelva el sistema:  2 x + 5 y = 29  

Si queremos eliminar las “y” multiplicaremos la primera ecuación por 5, que es el coeficiente de “y” en la segunda ecuación; y multiplicaremos la segunda ecuación por 3, que es el coeficiente de “y” en la primera ecuación.  5(5 x − 3 y = −36)   3(2 x + 5 y = 29)

 25 x − 15 y = −180   6 x + 15 y = 87

Al sumar las dos ecuaciones resultantes se eliminan las “y” y queda que: 31x = -93, lo cual nos da que x = -3; con lo cual obtenemos que y = 7, lo cual nos da el par ordenado (-3; 7).


Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones

2 x + 5 y = 16  − 3 x + 4 y = −1  2x− 5 4(y+2) + =x   3 5   3x− 5 − y+3 = 3   4 6


2 x + 5 y = 16 Resuelva el sistema:  − 3 x + 4 y = −1 

Utilizaremos el método de eliminación y eliminaremos las “y”.

2 x + 5 y = 16  − 3x + 4 y = −1  8 x + 20 y = 64  15 x − 20 y = 5

 4(2 x + 5 y = 16)  − 5(−3 x + 4 y = −1)  23 x = 69  x =3  

y=2

La solución es un par ordenado: (3; 2).


 2x− 5 4(y+2) + =x   3 5 Resuelva el sistema:   3x− 5 − y+3 = 3   4 6 

Lo primero que haremos es escribir cada una de las ecuaciones en una forma más simple. Vamos a multiplicar ambos miembros de la primera ecuación por 15 y ambos miembros de la segunda ecuación por 12.


2x−5 4(y+2) + =x   3 5  3x−5− y+3=3   4 6  5(2 x − 5) +12( y + 2) = 15 x   3(3 x − 5) − 2( y + 3) = 36

 10 x − 25 + 12 y + 24 = 15 x   9 x − 15 − 2 y − 6 = 36

 −5 x +12 y =1   9 x − 2 y = 57

 49 x = 343 x = 7 y = 3   Par ordenado = ( 7; 3)

 − 5 x + 12 y = 1   6(9 x − 2 y = 57)

− 5 x + 12 y = 1 54 x − 12 y = 342


Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones

9 x + 15 y = 24  10 y − 16 = −6 x 12 x + 18 y = 42  10 x = −15 y + 30


9 x +15 y = 24 Resuelva el sistema:  10 y −16 = −6 x

9 x + 15 y = 24  6 x + 10 y = 16

 10(9 x + 15 y = 24)   − 15(6 x + 10 y = 16)

 90 x + 150 y = 240   − 90 x −150 y = −240 Al sumarse las dos ecuaciones, se eliminan las dos variables, y queda 0 = 0, lo cual es verdadero, lo que implica que el sistema de ecuaciones tienen infinitas soluciones formadas por pares ordenados.


12 x + 18 y = 42 Resuelva el sistema:  10 x = −15 y + 30 12 x + 18 y = 42  10 x + 15 y = 30

 10(12 x +18 y = 42)   −12(10 x +15 y = 30)

 120 x + 180 y = 420   − 120 x − 180 y = −360) Al sumarse las dos ecuaciones, se eliminan las dos variables, y queda 0 = 60, lo cual es falso lo que implica que el sistema de ecuaciones no tiene solución.


Modelaciones con sistemas de ecuaciones


Modelaciones con sistemas de ecuaciones 1.

En el cine Tumi, los días martes y jueves, el boleto para adultos cuesta $ 7 y para niños cuesta $ 5. Para una determinada función se venden en total 172 boletos. Si se recaudó en total $ 1130, ¿cuántos adultos y cuántos niños asistieron al cine?


1. Solucionario: Supongamos que se compran “x” boletos para adultos e “y” boletos para niños.

x + y = 172 7 x + 5 y =1130 Al resolver este sistema de ecuaciones por alguno de los métodos vistos en las diapositivas anteriores (podría ser eliminación) se obtiene que x = 135, y que y = 37, con lo cual podemos afirmar que asistieron al cine 135 adultos y 37 niños.


Modelaciones con sistemas de ecuaciones 2. La gerente de un restaurante desea adquirir 200 juegos de platos. Un diseño cuesta $ 25 por juego y otro cuesta $ 45 por juego. Si ella sólo desea gastar $ 7400, ¿cuántos juegos de cada diseño debe adquirir?


2. Solucionario: Supongamos que se compran “x” juegos de $ 25 e “y” juegos de $ 45.

x + y = 200 25 x + 45 y = 7400 Al resolver este sistema de ecuaciones por alguno de los métodos vistos en las diapositivas anteriores (podría ser sustitución) se obtiene que x = 80, y que y = 120, con lo cual podemos afirmar que se compraron 80 juegos de $ 25 cada uno y 120 juegos de $ 45 cada uno.


Modelaciones con sistemas de ecuaciones 3. El perĂ­metro de un cuarto rectangular es de 18 m; se sabe que 4 veces el largo equivale a 5 veces el ancho. Calcule las dimensiones del cuarto.


Modelaciones con sistemas de ecuaciones 3. Solucionario: Supongamos que el ancho mide “x” metros y que el largo mide “y” metros. Las dos ecuaciones que se forman son:

2 x + 2 y = 18

x+ y =9

y =9− x

4 y = 5x

4(9 − x) = 5 x

El cuarto mide 5 metros de largo y 4 metros de ancho.

36 − 4 x = 5 x 36 = 9 x x =4 y =5


Modelaciones con sistemas de ecuaciones 4.

El perímetro de una sala rectangular es de 56 m. Si el largo se disminuye en 2 m y el ancho se aumenta en 2 m, la sala se hace cuadrada. Calcule las dimensiones de la sala. Solucionario 4: Supongamos que el ancho mide “x” metros y que el largo mide “y” metros. Las ecuaciones que se forman son:

2 x + 2 y = 56; x + y = 28 y −2 = x +2 Al resolver el sistema de ecuaciones se obtiene x = 12 e y = 16; con lo cual el ancho mide 12 metros y el largo mide 16 metros.


Modelaciones con sistemas de ecuaciones

5. Si sumamos 8 a ambos términos de una fracción obtenemos una fracción equivalente a 9/11, y si en cambio restamos 3 a ambos términos de la fracción obtenemos una fracción equivalente a 8/11. Calcule la fracción original.


5. Solucionario:

x Supongamos que la fracción original es: y 11( x + 8) = 9( y + 8) x+8 9 = y + 8 11

x−3 8 = y − 3 11

11x + 88 = 9 y + 72 11x −9 y = −16 11( x − 3) = 8( y − 3)

11x − 33 = 8 y − 24 11x −8 y = 9

Al resolver el sistema se obtiene x = 19; y = 25.


Modelaciones con sistemas de ecuaciones 6. El señor Rodríguez deposita un total de $ 8000 en dos cuentas de ahorro. Una cuenta le paga una tasa de 10% de interés anual y la otra cuenta le paga una tasa de 8% de interés anual. Encuentre la cantidad colocada en cada cuenta si recibe por concepto de intereses un total de $ 750 al cabo de un año.


Modelaciones con sistemas de ecuaciones Solucionario 6: Supongamos que el Señor Rodríguez deposita “x” dólares a la tasa de 10% de interés anual e “y” dólares a la tasa de 8% de interés anual. Las ecuaciones que modelan el problema son:

x + y = 8000

10 x 8y + = 750 100 100 Al resolver el sistema se obtiene x = $ 5500; y = $ 2500.


Modelaciones con sistemas de ecuaciones 7. Una agencia especializada en alquilar vehículos cobra una tarifa diaria y una tarifa por kilómetro recorrido. El señor Gálvez pagó $ 85 por dos días y 100 kilómetros y el señor Montes pagó $ 165 por tres días y 400 kilómetros. ¿Cuál es la tarifa diaria de la agencia y cuál es su tarifa por kilómetro?


Modelaciones con sistemas de ecuaciones Solucionario 7: Supongamos que la tarifa diaria de la agencia es de “x” dólares y que la tarifa por kilómetro es de “y” dólares. Las ecuaciones que modelan el problema son:

Gálvez : 2 x + 100 y = 85 Montes : 3x + 400 y = 165 Al resolver el sistema se obtiene x = $ 35; y = $ 0,15.


Modelaciones con sistemas de ecuaciones 8. Un vendedor de electrodom茅sticos gana mensualmente un salario fijo m谩s un porcentaje de las ventas como comisi贸n. Cierto mes su ingreso por ventas valorizadas en $ 4000 fue de $ 660. En el mes siguiente su ingreso por ventas valorizadas en $ 6000 fue de $ 740. Encuentre el salario mensual fijo y el porcentaje de comisi贸n del vendedor.


Modelaciones con sistemas de ecuaciones Solucionario 8: Supongamos que el vendedor tiene un salario mensual fijo de “x” dólares y que su comisión de ventas es de “y%”. Las ecuaciones que modelan el problema son: y x+ ⋅ 4000 = 660 100 y x+ ⋅ 6000 = 740 100

Al resolver el problema se obtiene que x = 500 y que y = 4; con lo cual el salario fijo del vendedor es de 500 dólares y gana 4% de comisión en las ventas que hace.


Ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadrรกticas


Ecuaciones de segundo grado (o ecuaciones cuadráticas)

Son ecuaciones donde el mayor exponente de la incógnita es dos, es decir, son ecuaciones de la forma general:

a x +bx + c = 0 2

Término cuadrático

Término lineal

Término independiente

donde a, b y c son coeficientes numéricos cualesquiera con a ≠ 0; y donde “x” es la incógnita o variable.


Ejemplos de ecuaciones cuadráticas a. b. c. d.

x2 + 24 = − 5x 2x2 + 3x = 65 5x2 = 20 4x2 = 9x

a. x2 + 5x + 24 = 0 b. 2x2 + 3x − 65 = 0 c. 5x2 − 20 = 0 d. 4x2 − 9x = 0

En todos las ecuaciones de arriba observamos que se tiene a la variable o incógnita “x” elevada al cuadrado en alguno de sus términos. Todas estas ecuaciones se pueden expresar en la forma general de una ecuación cuadrática.


Ejemplos de ecuaciones cuadráticas Determine los valores de a, b y c en las ecuaciones de la diapositiva anterior. x2 + 5x + 24 = 0;

a = 1; b = 5; c = 24

2x2 + 3x − 65 = 0;

a = 2; b = 3; c = − 65

5x2 − 20 = 0;

a = 5; b = 0; c = − 20

4x2 − 9x = 0;

a = 4; b = − 9; c = 0


Propiedad básica de ecuaciones El producto de dos factores es igual a cero si y sólo si alguno de los factores es igual a cero. A×B=0 ⇔ A=0 ó B=0


Resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas

Caso 1:

ax + c = 0 2

;

b=0

x = 81 2 Se expresa la ecuación en su forma general: x − 81 = 0 Resuelva la siguiente ecuación:

2

Se factoriza por diferencia de cuadrados: Se aplica la propiedad básica: Se resuelve cada ecuación:

x+ 9 = 0

x1 = − 9

La ecuación dada tiene dos raíces:

( x + 9)( x − 9) = 0

ó

x1 = − 9

ó

x −9 = 0

x2 = 9 ó x2 = 9


Resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas Otra forma de resolver la ecuación:

x 2 = 81

x = ± 81 2

x = ±9 La ecuación dada tiene dos raíces:

x1 = − 9

ó x2 = 9


Resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas

Caso 1:

ax + c = 0 2

Resuelva la siguiente ecuación:

;

4 x = 25 2

Se expresa la ecuación en su forma general: Se factoriza por diferencia de cuadrados: Se aplica la propiedad básica:

b=0

4 x 2 − 25 = 0

( 2 x + 5 ) (2 x − 5 ) = 0

2x+ 5 = 0

ó 2 x −5 = 0

5 5 Se resuelve cada ecuación: x1 = − = −2,5 ó x2 = = 2,5 2 2 La ecuación dada tiene dos raíces: x1 = − 2,5 ó x2 = 2,5


Resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas Otra forma de resolver la ecuación:

4 x = 25 2

25 x = = 6,25 4 2

25 x =± = ± 6,25 4 2

x = ±2,5 La ecuación dada tiene dos raíces:

x1 = − 2,5

ó x2 = 2,5


Resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas

Caso 2:

ax + bx = 0 2

;

x = 5x 2

Resuelva la siguiente ecuación:

x 2 − 5x = 0

Se expresa la ecuación en su forma general: Se factoriza por factor común:

x ( x − 5) = 0

Se aplica la propiedad básica:

x=0

Se resuelve cada ecuación:

c=0

x1 = 0

La ecuación dada tiene dos raíces:

ó x −5 = 0 ó x2 = 5

x1 = 0

ó x2 = 5


Resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas

Caso 2:

ax + bx = 0 2

Resuelva la siguiente ecuación:

;

2 x = −3 x 2

2 x 2 + 3x = 0

Se expresa la ecuación en su forma general: Se factoriza por factor común:

x ( 2x + 3) = 0 ó 2x + 3 = 0

x=0

Se aplica la propiedad básica: Se resuelve cada ecuación:

c=0

x=0

La ecuación dada tiene dos raíces:

ó

x1 = 0

2 x2 = − 3 ó x2 = −1,5


Propiedades 

Se observa que las ecuaciones incompletas de la forma: ax2 + c = 0, tienen dos raíces numéricamente iguales pero de signo contrario.

Se observa que las ecuaciones incompletas de la forma: ax2 + bx = 0, tienen dos raíces, de las cuales una vale cero.


Resolución de ecuaciones cuadráticas completas

Caso 3: Factorización por aspa simple Resuelva la siguiente ecuación:

x 2 − 14 x = −40

Se expresa la ecuación en su forma general: Se factoriza por aspa simple: Se aplica la propiedad básica: Se resuelve cada ecuación:

x 2 − 14 x + 40 = 0

( x − 4) ( x − 10) = 0 x−4 = 0

ó x − 10 = 0

x1 = 4

x2 = 10

ó

La ecuación dada tiene dos raíces: x1 = 4;

x2 = 10


Resolución de ecuaciones cuadráticas completas

Caso 3: Factorización por aspa simple Resuelva la siguiente ecuación:

6 x 2 − 11x = 35

Se expresa la ecuación en su forma general: Se factoriza por aspa simple: Se aplica la propiedad básica: Se resuelve cada ecuación:

6 x 2 − 11x − 35 = 0

( 3 x + 5) ( 2 x − 7 ) = 0 3x + 5 = 0 ó 2 x − 7 = 0

5 x1 = − 3

ó

7 x2 = 2

2 La ecuación dada tiene dos raíces: x1 = −1 ; x 2 = 3,5 3


Resolución de ecuaciones cuadráticas completas

Caso 4: Factorización por trinomio cuadrado perfecto x 2 + 9 = −6 x x2 + 6x + 9 = 0 Se expresa la ecuación en su forma general: Resuelva la siguiente ecuación:

( x + 3) 2 = 0

Se factoriza por trinomio cuadrado perfecto: Se aplica la propiedad básica: Se resuelve cada ecuación:

x +3 = 0

x1 = − 3

ó x+3 = 0

ó x2 = − 3

La ecuación dada tiene dos raíces repetidas: x1 = x2 = −3


Resolución de ecuaciones cuadráticas completas

Caso 4: Factorización por trinomio cuadrado perfecto 36 x 2 − 60 x = −25 2 Se expresa la ecuación en su forma general: 36 x − 60 x + 25 = 0 Resuelva la siguiente ecuación:

Se factoriza por trinomio cuadrado perfecto: Se aplica la propiedad básica: Se resuelve cada ecuación:

(6 x − 5) 2 = 0

6x − 5 = 0 ó 6x − 5 = 0 5 5 ó x2 = x1 = 6 6

5 La ecuación dada tiene dos raíces repetidas: x1 = x 2 = 6


Resolución de ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula general 2 a x + b x + c = 0, Toda ecuación de la forma:

tiene dos raíces que se pueden determinar utilizando la fórmula general:

− b ± b − 4ac x= , 2a 2

donde la cantidad b2 − 4ac se conoce como el discriminante de la ecuación y se representa por Δ.


Resolución de ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula general Consecuentemente si:

∆ = b 2 − 4ac,

la fórmula general se puede reescribir de la siguiente manera:

−b± ∆ x= . 2a


Vamos a resolver algunas de las ecuaciones que ya hemos resuelto factorizando, pero con la ayuda de la fórmula general para que vean que obtenemos las mismas raíces. 2 x − 14 x = −40 Resuelva la siguiente ecuación: 2 Primero igualamos la ecuación a cero: x − 14 x + 40 = 0

Luego identificamos los valores de: a = 1; b = −14; c = 40 Calculamos el determinante: Δ = b2 − 4ac

∆ = (−14) − 4(1)(40) = 36 2


Resolución de ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula general Consecuentemente como ya sabemos que:

∆ = 36,

las raíces las obtenemos con la fórmula general:

− b ± ∆ − (−14) ± 36 14 ± 6 x= = = 2a 2(1) 2

14 − 6 8 14 + 6 20 x1 = = = 10; x 2 = = =4 2 2 2 2 La ecuación dada tiene dos raíces: x1 = 10; x2 = 4.


Resuelva la siguiente ecuación: 6 x − 11x = 35 2

Primero igualamos la ecuación a cero: 6 x − 11x − 35 = 0 2

Luego identificamos los valores de: a = 6; b = −11; c = − 35 Calculamos el determinante: Δ = b2 − 4ac

∆ = (−11) − 4(6)(−35) = 961 2

x=

− b ± ∆ − (−11) ± 961 11 ± 31 = = 2a 2(6) 12

11 + 31 42 7 11 − 31 − 20 5 2 = = − = −1 x1 = = = = 3,5; x2 = 12 12 3 3 12 12 2


Resuelva la siguiente ecuación: 36 x − 60 x = −25 2

2 36 x − 60 x + 25 = 0 Primero igualamos la ecuación a cero:

Luego identificamos los valores de: a = 36; b = − 60; c = 25 Calculamos el determinante: Δ = b2 − 4ac

∆ = (−60) − 4(36)(25) = 0 2

− b ± ∆ 60 ± 0 60 ± 0 x= = = 2a 2(36) 72

60 5 60 5 x1 = = ; x2 = = 72 6 72 6


Resuelva la siguiente ecuación: x = 81 2

Primero igualamos la ecuación a cero:

x 2 − 81 = 0

Luego identificamos los valores de: a = 1; b = 0; c = − 81 Calculamos el determinante: Δ = b2 − 4ac

∆ = 0 − 4(1)(−81) = 324 2

− b ± ∆ 0 ± 324 0 ± 18 x= = = 2a 2(1) 2

0 + 18 18 0 − 18 − 18 = = −9 x1 = = = 9; x2 = 2 2 2 2


Resuelva la siguiente ecuación: x = 5 x 2

Primero igualamos la ecuación a cero:

x 2 − 5x = 0

Luego identificamos los valores de: a = 1; b = −5; c = 0 Calculamos el determinante: Δ = b2 − 4ac

∆ = (−5) − 4(1)(0) = 25 2

− b ± ∆ 5 ± 25 5 ± 5 x= = = 2a 2(1) 2

5 + 5 10 x1 = = = 5; 2 2

5−5 0 x2 = = =0 2 2


Caso especial de ecuaciones cuadráticas 2 x + 25 = 0 Resuelva la siguiente ecuación:

En esta ecuación muchos alumnos me responden que:

x1 = 5

ó

x2 = −5

Lo cual no es cierto ya que: 52 + 25 = 25 + 25 = 50 ≠ 0; y también tenemos que: (−5)2 + 25 = 25 + 25 = 50 ≠ 0. Estamos en el Caso 1 con lo cual se podría escribir: Con lo cual:

Pero

x = ± − 25

− 25 no es un número real.

x 2 = − 25


Leonhard Euler resuelve en el año 1777 el impasse surgido con las raíces cuadradas de números negativos al definir la unidad imaginaria “i” de la siguiente manera:

i = −1 Con lo cual : i 2 = ( − 1) 2 = −1 Leonhard Euler inventa los números imaginarios y los escribe en términos de “i”.


Con la definición dada por Euler para el número “i” se pueden elevar números imaginarios al cuadrado y obtener números negativos.

(7i ) = 7 ⋅ i = 49(−1) = −49 2

2

2

(−8i ) = (−8) ⋅ i = 64(−1) = −64 2

2

2


Con la definición dada por Euler para el número “i” se puede calcular la raíz cuadrada de números negativos. − 144 = 144(−1) = 144 ⋅ − 1 = 12i − 256 = 256(−1) = 256 ⋅ −1 = 16i


Resuelva la ecuación: x + 25 = 0 2

2 Se puede escribir: x = − 25

x = ± − 25 = ±5i 2

x1 = −5i ; x2 = 5i


Resolución de ecuaciones cuadráticas Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas.

1.

x + 2 x −1 = 0 2

x(10 x −11) 2. = −1 3 3. 4.

4 x − 4 x +1 = 0 2

( 4 x − 1)( 2 x + 3) = ( 3x + 1)( x − 5) + 26 x 5.

x − 8 x + 20 = 0 2


Resolución de ecuaciones cuadráticas 1.

x + 2 x −1 = 0 2

a = 1; b = 2, c = −1

∆ = 2 − 4(1)(−1) = 4 + 4 = 8 2

−2 ± 8 −2 ± 4⋅2 −2 ± 2 2 x= = = 2(1) 2 2 −2±2 2 −2 2 2 x= = ± = −1 ± 2 2 2 2

x1 = −1 − 2 ; x 2 = −1 + 2 Estas dos raíces son números irracionales.


Resolución de ecuaciones cuadráticas

x(10 x −11) 2. = −1 3

10 x −11x + 3 = 0 2

x(10 x − 11) = −3 a = 10; b = −11; c = 3

∆ = (−11) − 4(10)(3) = 1 2

11 ± 1 11 ± 1 x= = 20 20

10 1 12 3 = x1 = = ; x2 = 20 2 20 5


Resolución de ecuaciones cuadráticas 3.

4 x − 4 x +1 = 0 2

a = 4; b = −4; c = 1

∆ = (−4) − 4(4)(1) = 0 2

− (−4) ± 0 4 ± 0 1 x= = = = 0,5 2( 4) 8 2

Cuando en una ecuación el discriminante sale cero es porque el trinomio es un trinomio cuadrado perfecto y las raíces son repetidas.


Resolución de ecuaciones cuadráticas

( 4 x − 1)( 2 x + 3) = ( 3x + 1)( x − 5) + 26 x

4.

8 x + 12 x − 2 x − 3 = 3 x − 15 x + x − 5 + 26 x 2

2

8 x + 10 x − 3 = 3 x + 12 x − 5 2

5x − 2x + 2 = 0 2

2

∆ = (− 2) − 4(5)(2) = − 36 2

2 ± − 36 2 ± 6i x= = = 0,2 ± 0,6i 10 10


Resolución de ecuaciones cuadráticas 5.

x − 8 x + 20 = 0 2

∆ = (−8) − 4(1)(20) = −16 2

8 ± − 16 8 ± 4i x= = = 4 ± 2i 2 2

x1 = 4 − 2i ; x 2 = 4 + 2i Estas dos raíces que tienen una parte real y una parte imaginaria se llaman raíces complejas conjugadas.


Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas

x( x −1) − 5( x − 2 ) = 2

( x − 2)

2

+ ( x − 4 ) = 34

x 2 x2 − = 2 3 6

2

x1 = 4 ; x 2 = 2

x1 = 7 ; x 2 = −1

3+ 7i 3− 7 i x1 = ; x2 = 2 2


Propiedades del discriminante Si el discriminante es positivo (Δ > 0) la ecuación tiene dos raíces reales distintas. Si el discriminante es igual a cero (Δ = 0) la ecuación tiene dos raíces reales iguales y el trinomio es un trinomio cuadrado perfecto. Si el discriminante es negativo (Δ < 0) la ecuación tiene dos raíces imaginarias o dos raíces complejas conjugadas.


Propiedades del discriminante Si el discriminante es un cuadrado perfecto el trinomio se puede factorizar y las raíces son números racionales. Si el discriminante no es un cuadrado perfecto el trinomio no se puede factorizar y las raíces son números irracionales.


Modelaciones con ecuaciones cuadráticas 1. Alfredo es 11 años mayor que Rosita y la suma de los cuadrados de ambas edades es 4385. Calcule ambas edades. Supongamos que Rosita tiene “x” años con lo cual Alfredo tendrá “x + 11” años. La ecuación que modela la pregunta es: x 2 + ( x + 11) 2 = 4385 Al resolver esta ecuación se obtienen dos valores para x: x1 = −52; x2 = 41. Se elimina la respuesta negativa ya que una edad no puede ser negativa, con lo cual Rosita tiene 41 años y Alfredo tiene 52 años.


2. La longitud de un rectángulo excede al triple del ancho en 5 m y el área mide 182 metros cuadrados. Calcule el perímetro del rectángulo. Si consideramos que el ancho del rectángulo mide “x” metros, entonces el largo medirá “3x + 5”, con lo cual la ecuación que modela la pregunta será:

x (3 x +5) =182 Al resolver esta ecuación se obtienen dos valores para x: x1 = −8,6666….; x2 = 7. Se elimina la respuesta negativa ya que una dimensión de un rectángulo no puede ser negativa, con lo cual el ancho mide 7 metros y la longitud mide 26 metros. El perímetro mide 66 metros.


3. La suma de dos números es 37 y su producto es 322. Calcule los números. Supongamos que los números son “x” e “y”; con los datos de la pregunta se formará un sistema de ecuaciones. x + y = 37 xy = 322 37 x − x 2 = 322 x1 = 23; y1 = 14

y = 37 − x x (37 − x ) = 322 0 = x − 37 x + 322 2

x2 = 14; y2 = 23


4. César compra una determinada cantidad de artículos por un total de $ 450. Después de un tiempo regresa a comprar con la misma cantidad de dinero, pero se da con la sorpresa que cada artículo ha subido $ 3, por lo que se vio obligado a comprar 5 artículos menos. Determine la cantidad de artículos que compró al inicio y su precio. César compró al inicio “x” artículos a “y” dólares cada uno; con los datos de la pregunta se formará un sistema de ecuaciones.

xy = 450 ( x − 5)( y + 3) = 450


xy = 450

( x − 5)( y + 3) = 450

xy + 3 x − 5 y −15 = 450 450 + 3 x − 5 y −15 = 450 3 x − 5 y −15 = 0 5 y +15 ( ) ⋅ y = 450 3 5 y +15 y −1350 = 0

5 y +15 x= 3 5 y +15 y = 1350 2

2

y + 3 y − 270 = 0

y1 = 15; y2 = −18

y = 15; x = 30

2


5. Un colegio parroquial necesita un total de $ 3600 para obras y un grupo de alumnos del primer ciclo de CPEL decide hacer la donación en partes iguales. Enterados los del tercer ciclo, dos de ellos ofrecen colaborar y con ello se reduce el aporte de cada uno en $ 150. Determine el total de alumnos que realizaron la donación. Supongamos que inicialmente son “x” alumnos y que cada uno aporta “y” dólares. Las ecuaciones que modelan el problema son:

xy = 3600

( x + 2)( y −150) = 3600

Al resolver el sistema se obtiene que x = 6 e y = 600; lo cual significa que al principio eran 6 alumnos que iban a aportar $ 600 cada uno. Al final fueron 8 alumnos que realizaron la donación y cada uno aportó $ 450.


prueba usil