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Si

LÍMITES Y CONTINUIDAD.

m

y

b

son

dos

constantes

cualesquiera,

. lim m x + b = m a + b

entonces resultado φ ( x) y finalmente, al evaluar el límite por sustitución lim

x → a 1.- Definición de límite de una función. 1.1.- Definición intuitiva del límite de una función. 2.6.- Límite de la suma y de la diferencia de dos funciones. La noción de que las imágenes de una función f (x) tiende a un Si y lim g ( x) = M , entonces lim f ( x) = L x → a x → a número L ( f ( x) → L ) cuando x tiende a un número x 0 ( x → x 0 ) [ f ( x ) ± g ( x )] = lim f ( x) ± lim g ( x) = L ± M se puede establecer de la siguiente manera: Si f (x) puede xlim → a x → a x → a aproximarse arbitrariamente a un número finito L, tomando a x 2.7.- Límite de la suma y de la diferencia de n funciones. suficientemente cercano pero distintos de un número x 0 , tanto por el Si , ... y lim f ( x) = L , entonces lim f 1 ( x) = L 1 lim f 2 ( x) = L 2 n n x →a x →a x →a lado izquierdo como por el lado derecho entonces lim f ( x) = L .

x → x0

− 0

Notación: x → x : Indica que “x” tiende a

x → x 0+ : Indica que “x” tiende a

x 0 por la izquierda. x 0 por la derecha.

__________ x 0 __________

x → x 0− En

este

para

( x) ± f ( x) ± K ± f ( x)] = L ± L ± K ± L 2

n

1

2

n

2.8.- Límite del producto de dos funciones. Si lim f ( x) = L y lim g ( x) = M , entonces x → a

x → a

lim [ f ( x) . g ( x)] = lim f ( x). lim g ( x ) = L . M

x → x 0+

caso,

lim [ f 1

x →a

x → a

que

lim f ( x) = L x → x0

x → a

x → a

entonces 2.9.- Límite del producto de n funciones. Si lim f ( x) = L , lim f ( x) = L ... y lim f ( x) = L , entonces 1 2 n

lim f ( x ) = lim + f ( x) = lim f ( x) x → x0− x → x0 x → x0

x →a

lim [ f 1

x →a

1

x →a

2

( x) . f ( x) K f ( x)] = L 2

n

x →a

1

n

.L 2 K L n

Observación: La existencia del límite de una función f en x = x 0 no 2.10.- Límite de la n-ésima potencia de una función. depende de si f está definida en x = x 0 sino solamente si f está Si lim f ( x) = L y n es cualquier número real positivo, entonces x → a

definida para valores cercanos a x 0 tanto por la derecha como por la n izquierda.   n n. [ f ( x )] = f ( x) lim lim 1.2.- Definición formal del límite de una función. x → a  = L x → a Sea f una función definida en cada número de algún intervalo abierto 2.11.- Límite del cociente de dos funciones. que contiene a a, excepto posiblemente en el número a mismo. El Si y , entonces lim f ( x) = L lim g ( x) = M límite de f (x) conforme x se aproxima a a es L, lo que se escribe x → a x → a como lim f ( x) = L si la siguiente proposición es verdadera: f ( x) x→a f ( x) xlim L si M ≠ 0 . →a = = lim Dada cualquier ε > 0 , no importa cuán pequeña sea, existe una x → a g ( x) M lim g ( x ) x→a δ > 0 tal que f ( x) − L < ε siempre que 0 < x − a < δ . 2.12.- Límite de la raiz n-ésima de una función. 2.- Teoremas sobre límites de funciones. Si lim f ( x) = L , entonces lim n f ( x) = n lim f ( x) = n L con 2.1.- Límite de una función constante. x →a x → a x → a Si c es una constante, entonces para cualquier número a lim c = c . la restricción de que si n es par, L > 0 . x →a 3.- Cálculo de límites indeterminados. 2.2.- Límite de la función identidad. Para calcular límites indeterminados, es necesario simplificar la indeterminación y luego aplicar los teoremas dados anteriormente. lim x = a x →a En la mayoría de los casos de cálculo de límites algebraicos es 2.3.- Límite de la n-ésima potencia de x. necesario realizar operaciones de factorización y racionalización, o Si n es cualquier número real positivo, entonces lim x n = a n . una combinación de ellas. x →a

2.4.- Límite del producto de una constante por una función. Si c es una constante cualesquiera, entonces . lim c f ( x) = c lim f ( x) → a

x → a

2.5.- Límite de una función lineal.

Si se desea calcular lim f ( x) , en el cual por sustitución se obtiene x →a

g ( x)

f ( x) 0 (indeterminado), el objetivo es crear una expresión = g ( x) 0 de la forma lim ( x − a ) φ ( x) , que al ser simplificada proporciona el x → a ( x − a ) γ ( x) lim

x →a

γ ( x) se tiene lim f ( x) = φ ( a ) con φ (a ) y γ (a ) no iguales a cero x → a g ( x) γ (a ) x →a

simultáneamente. 3.1.- Caso 1. Numerador: Polinomio. Denominador: Polinomio. Se procede a factorizar ambos polinomios. Se recomienda la factorización aplicando el Método de Ruffini (excepto si se trata de polinomios de grado 1, pues estos ya están factorizados), probando en primer lugar con el valor al cual tiende la variable independiente tanto en el caso del numerador como del denominador. Es necesario verificar que la raíz no se repita, y si fuere el caso, debe determinarse dicha raíz tantas veces como exista. Una vez hecha la simplificación de los factores que generan los ceros tanto en el numerador como en el denominador, se aplican los teoremas de evaluación de límites. Fórmulas útiles de factorización: Diferencia de cuadrados: a 2 − b 2 = (a + b ) (a − b ) Diferencia de cubos: a 3 − b 3 = ( a − b ) (a 2 + a b + b 2 ) 3.2.- Caso 2. Suma o diferencia de dos términos donde al menos uno es una raíz cuadrada. Se procede a racionalizar el elemento (numerador o denominador) que contenga a la raíz cuadrada. En este caso, el procedimiento se aplica indistintamente si la raíz cuadrada aparece en el numerador o en el denominador. El objetivo es eliminar el radical, para posteriormente realizar la simplificación de los factores que generan los ceros tanto en el numerador como en el denominador (Caso 1). La forma de racionalización más común es la de binomios, por lo cual es necesario multiplicar y dividir por la conjugada del elemento que contiene el radical. En caso que el radical aparezca tanto en el numerador como en el denominador, se deben racionalizar ambos simultáneamente. En caso de aparecer polinomios, se deben factorizar, ubicando los factores que contienen a la variable independiente (x) menos el valor al cual ésta tiende. La fórmula que se aplica en este caso es el producto de la suma de dos números por su diferencia para generar una diferencia de cuadrados: (a + b ) ( a − b ) = a 2 − b 2 . 3.3.- Caso 3. Suma o diferencia de dos términos donde al menos uno es una raíz cúbica ó una raíz quinta. Se procede a racionalizar el elemento (numerador o denominador) que contenga a la raíz cúbica (ó quinta). En este caso, el procedimiento se aplica indistintamente si la raíz cúbica (ó quinta) aparece en el numerador o en el denominador. El objetivo es eliminar el radical, para posteriormente realizar la simplificación de los factores que generan los ceros tanto en el numerador como en el denominador (Caso 1). La forma de racionalización más común es la de binomios, por lo cual es necesario multiplicar y dividir por el complemento del elemento que contiene el radical. En caso que el radical aparezca tanto en el numerador como en el denominador, se deben racionalizar ambos simultáneamente. En caso de aparecer polinomios, se deben factorizar, ubicando los factores que contienen a la variable independiente (x) menos el valor al cual ésta tiende.


La fórmula que se aplica en este caso es el producto de la suma (o Si f y g son dos funciones continuas en el número a, entonces  0 Si n < m diferencia) de dos números por su complemento para generar una i.- f + g es continua en a. ii.- f − g es continua en a;  a n suma (o diferencia) de cubos (ó quintos): Si n = m lim f ( x ) =  iii.- f . g es continua en a; x →+∞ bn 3 3  (a + b) (a 2 − a b + b 2 ) = a + b 123 iv.- f / g es continua en a, considerando que g ( a ) ≠ 0 . 144244 3  ∞ Si n > m Complemento Suma de 7.Límites infinitos. cubos Si a es cualquier número real y si lim f ( x) = 0 y lim g ( x) = c , 10.- Asíntota horizontal. 2 2 3 (a − b) ( a + a b + b ) = a −3 b3 x → a x → a La recta y = b es una asíntota horizontal de la gráfica de la función 1 2 144244 3 donde c es una constante diferente de 0, entonces: Complemento Diferencia f si al menos una de las proposiciones siguientes es verdadera: de cubos i.- Si c > 0 y f ( x) → 0 a través de valores positivos de f (x) , i., y para algún número N, si x > N , entonces lim f ( x) = b 5 (a + b ) ( a 4 − a 3b + a 2b 2 − a b 3 + b 4 ) = a1 +3 b5 2 14444 4244444 3 Suma de Complemento quintos

(a − b) (a + a b + a b + a b + b ) = a12 −3 b 14444 4244444 3 Diferencia Complemento de quintos 4

3

2 2

3

4

5

5

entonces lim

x→a

g (x ) f ( x)

x → +∞

= +∞

f ( x) ≠ b .

ii.- Si c > 0 y f ( x) → 0 a través de valores negativos de f (x) ,

entonces lim g ( x) = − ∞ x → a f (x ) 3.4.- Caso 4. Suma o diferencia de dos términos donde existe una iii.- Si c < 0 y f ( x) → 0 a través de valores positivos de f (x) , raíz cuadrada y una raíz cúbica, en elementos diferentes. Se procede a racionalizar el elemento (numerador o denominador) entonces lim g ( x) = − ∞ x → a f (x ) que contenga tanto a la raíz cuadrada como a la raíz cúbica. Se aplica iv.- Si c < 0 y f ( x) → 0 a través de valores negativos de f (x) , una combinación de los casos 3.1, 3.2 y 3.3. 3.5.- Caso 5. Suma o diferencia de dos términos donde existe una entonces lim g ( x) = +∞ raíz cuarta. x → a f (x ) Se procede a racionalizar el elemento (numerador o denominador) El teorema anterior también es válido si se sustituye “ x → a ” por que contenga a la raíz cuarta. Se aplica el caso 2 en una primera oportunidad para reducir la raíz cuarta a una raíz cuadrada, luego al “ x → a + ” ó “ x → a − ”. resultado obtenido, se le aplica el caso 2 nuevamente. Posteriormente 8.- Asíntota vertical. se procede como en el caso 1. Cualquier radical de índice 2 o 3 que La recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de la función f si genere indeterminación y aparezca en el elemento que no contiene a al menos uno de los siguientes enunciados es verdadero: la raíz cuarta, debe trabajarse como se explicó anteriormente. i.- lim f ( x) = +∞ ii.- lim f ( x) = − ∞ 4.- Un límite importante. + + x → a x → a El tipo de limite empleado para definir la pendiente de una recta iv.- lim f ( x) = − ∞ tangente a una curva es uno de los más importantes en Cálculo. Este iii.- lim− f ( x) = +∞ − x →a x →a límite es de uso frecuente y recibe el nombre específico. Para determinar las asíntotas verticales, se deben calcular los valores f ( x + ∆ x) − f ( x) m = lim de x que anulan el denominador. Estos valores son las posibles ∆x→ 0 ∆x asíntotas verticales de la gráfica de f (x) . 5.- Límites laterales. El lim f ( x) existe y es igual a L si y sólo si lim f ( x) y Una vez conocidos los valores de x que representan posibles asíntotas verticales, se determinan los límites por la derecha y por la + x → a x → a izquierda de éstos valores. Si alguno de los límites calculados son existen y son iguales a L. infinitos, entonces el valor indicado de x es una asíntota vertical de la lim f ( x) − → a gráfica de la función. Si el límite no es infinito, entonces el valor indicado de x no es una asíntota vertical de la gráfica de la función. 6.- Continuidad. 9.- Límites al infinito. 6.1.- Definición de continuidad en un número. Se dice que la función f es continua en el punto a si y sólo si se Para todo k constante y n ≥ 1 se cumple: satisfacen las tres condiciones siguientes: k k = 0 y lim n = 0 lim i.- f (a ) existe. ii.- lim f ( x) existe. n x →+ ∞ x x →− ∞ x x → a

iii.- lim f ( x) = f (a ) . x → a

Sea

f ( x) =

n−1

a n x + a n −1 x + ... + a1 x + a 0 b m x m + bm −1 x m−1 + ... + b1 x + b0 n

Si una o más de estas tres condiciones no se cumplen en a, entonces bn ≠ 0 , se tiene: se dice que la función f es discontinua en a. Una función polinomial es continua en todo número. Una función racional es continua en todo número de su dominio.

donde

an ≠ 0

ii.-

lim

x → −∞

f ( x) = b , y para algún número N, si x < N , entonces

f ( x) ≠ b 11.- Asíntota oblicua. La gráfica de la función f tiene la recta y = m x + b como una asíntota oblicua si alguna de las proposiciones siguientes es verdadera: i.- lim [ f ( x) − ( m x + b ) ] = 0 y para algún número M > 0 x → +∞

f ( x) ≠ m x + b siempre que x > M . ii.-

y para algún número lim [ f ( x) − (m x + b ) ] = 0

f ( x) ≠ m x + b siempre que x < M . Las constantes m y b se determinan mediante las ecuaciones: m = lim

x→ + ∞

f ( x) x

b = lim [ f ( x) − m x ] x →+ ∞

12.- Límites trigonométricos.

sen n (k x) sen (k x) = 1 =1 lim lim x →0 x →0 (k x) (k x )n

sen x =1 lim x → 0 x

13.- Límites trigonométricos con cambio de variables. El objetivo es determinar lim f ( x ) , donde a ≠ 0 y f ( x) contiene x →a

funciones trigonométricas. Los límites de funciones trigonométricas en los cuales la variable independiente tiende a un valor distinto de cero y la indeterminación no se elimina mediante simplificación, se determinan aplicando un cambio de variables. El cambio de variable consiste en introducir una nueva variable, definida como u = x − a , de tal manera que si x → a , entonces u → 0 , luego lim f ( x) = lim g (u ) . x →a

u →0

n Los límites lim sen u = 1 , lim sen ( k u ) = 1 y lim sen (k u ) = 1 n u→0

u

u→ 0

(k u )

u→0

(k u )

se pueden aplicar ahora para calcular el límite propuesto. y

M <0

x → −∞

Autor:

Ing. Willians Medina.


Mega formulario de limites de funciones