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11.- Suma y diferencia de funciones hiperbólicas.

FUNCIONES HIPERBÓLICAS. 1.- Definición de las funciones hiperbólicas. −x

e −e 2 2 csch x = x e − e− x

senh x =

x

e −e e −1 = 2x x −x e +e e +1 e x + e −x e 2 x + 1 coth x = x = e − e −x e 2 x − 1

−x

e +e 2 2 sech x = x e + e −x cosh x =

x

tanh x =

−x

x

2x

2.- Funciones recíprocas. csch x =

1 senh x

sech x =

1 cosh x

coth x =

1 tanh x

 x+y  x− y   x−y x+ y senhx + senh y = 2 senh  cosh  senhx − senh y = 2 senh  cosh  2 2 2        2   x+y  x−y  x+y  x−y cosh x + cosh y = 2 cosh   cosh  cosh x − cosh y = 2 senh  senh   2   2   2   2  12.- Producto. senh x senh y = 12 [ cosh( x + y) − cosh( x − y) ] senh x cosh y = 12 [senh( x + y) − senh( x − y) ]

cosh x cosh y = 12 [cosh( x + y) + cosh( x − y)]

13.- Gráficos de las funciones hiperbólicas.

3.- Identidades hiperbólicas fundamentales. senh xcsch x = 1 tanh x =

senh x cosh x

tanh x coth x = 1

cosh xsech x = 1 coth x =

cosh x senh x

4.- Identidades pitagóricas. cosh2 x − senh2 x = 1 5.- Otras identidades.

tanh2 x + sech2 x = 1

coth2 x − csch 2 x = 1

coshx + senhx = ex coshx − senhx = e− x 6.- Suma y diferencia de dos ángulos. senh ( x ± y ) = senh x cosh y ± cosh x senh y

y = senh x

y = cosh x

y = tanh x

y = csch x

y = sech x

y = coth x

cosh ( x ± y ) = cosh x cosh y ± senh x senh y

7.- Angulo doble. senh 2 x = 2 senh x cosh x

cosh2 x = 2 cosh2 x − 1

cosh 2x = cosh 2 x + senh 2 x cosh2 x = 2 senh2 x + 1 2 tanh x tanh 2 x = 1 + tanh 2 x

8.- Angulo triple. senh 3 x = 4 senh 3 x + 3 senh x 3 tanh x + tanh 3 x tanh 3 x = 1 + 3 tanh 2 x

cosh 3 x = 4 cosh 3 x − 3 cosh x

14.- Equivalencia entre las funciones hiperbólicas.

9.- Angulo mitad. x senh  = 2

cosh x −1 2

cosh x + 1  x coth  = cosh x − 1  2 senh x  x tanh   =  2  cosh x + 1

 x cosh  = 2

cosh x + 1 2

 x  cosh x − 1 tanh   = senh x 2  x  cosh x + 1 coth  = senh x  2

2 1 x coth   = coth x + csch x senh x = 2 (cosh 2x − 1)  2

 x tanh   = 2

cosh x − 1 cosh x + 1

senh x  x coth  =  2  cosh x − 1 x tanh   = coth x − csch x 2 cosh x = (cosh 2 x + 1) 2

1 2

csch (− x) = − csch x tanh (− x) = − tanh x

senh x

senh x

1

cosh (− x) = cosh x coth (− x ) = − coth x

cosh x

cosh2 x − 1

tanh x

1 − tanh x

tanh x

csch x

1 csch x

1 − sech 2 x sech x

coth x − 1 2

csch x

senh x 1 + senh x 2

cosh x − 1 cosh x 2

1 1

2

1 coth x

tanh x

1 + senh2 x

cosh x

sech x

10.- Fórmulas de reducción. senh (− x) = − senh x sech (− x) = sech x

Hallar ? Dado ?

1 − tanh x 2

1 + csch 2x

1

1 sech x

1 − sech 2x

2

2

1 coth x

2

1 cosh x − 1 2

1 cosh x

cosh x − 1 2

1− tanh2 x

csch x

1

1 + csch x 2

sech x 1 − sech x 2

coth2 x − 1

1 − senh x senh x cosh x 2

1 + senh x

2

csch x

coth x

coth x

1

1 senh x

1 − tanh x tanh x

1 1 + csch x

coth x − 1

sech x

1 coth x − 1 coth x

1 tanh x

1 + csch 2 x

1 1 − sech x 2

2

1


15.- Derivadas de las funciones hiperbólicas. d dx d dx

(senh u ) = cosh u

du dx

(csch u ) = −csch u coth u

du dx

d du (cosh u ) = senh u dx dx

dx

d du (sech u) = − sech u tanh u dx dx

dx

d

d

(tanh u ) = sech u 2

y = senh −1 x

y = cosh −1 x

y = tanh −1 x

y = csch −1 x

y = sech −1 x

y = coth −1 x

du dx

(coth u) = −csch u 2

du dx

16.- Integrales de las funciones hiperbólicas.

∫ senh u d u = cosh u + C ∫ csch u d u = ln [tanh ( u )] + C ∫ sech u d u = tanh u + C ∫ csch u coth u d u = −csch u + C

∫ cosh u d u = senh u + C ∫ sech u d u = tan ( senh u ) + C ∫ csch u d u = −coth u + C −1

1 2

2

2

17.- Definición de las funciones hiperbólicas inversas. Definición Domino

∫ tanh u d u = − ln (sech u) + C ∫ coth u d u = ln( senh u ) + C ∫ sech u tanh u d u = −sech u + C

19.- Derivadas de las funciones hiperbólicas inversas. Rango

Seno hiperbólico inverso

senh x = ln ( x +

x +1 ) R

R

Coseno hiperbólico inverso

cosh −1 x = ln ( x +

x 2 − 1) [ 1 , ∝ )

[0,∝)

−1

2

1+ x 1− x  1+ x  −1 1 tanh x = 2 ln    1− x 

Tangente hiperbólica inversa tanh −1 x = ln

( -1 , 1 )

d (senh− 1u ) = dx

1

du u +1 d x

d (cosh −1 u ) = dx

2

d −1 du (csch− 1u ) = dx u 1+ u2 d x

1

du u −1 d x

d 1 du (tanh− 1 u ) = dx 1 − u2 d x

2

d −1 du (sech− 1u ) = dx u 1 − u2 d x

d 1 du (coth− 1 u ) = dx 1 − u2 d x

R

2 Cosecante hiperbólica inversa csch −1 x = ln  1 + 1 + x  ( -∝ , 0 ) ∪ (0 , ∝ ) ( -∝ , 0 ) ∪ (0 , ∝ ) 2 x x   1 + 1 + x 2   csch −1 x = ln    x   2   Secante hiperbólica inversa sech −1 x = ln  1 + 1 − x  ( 0 , 1 ] [0,∝) 2 x  x   2   1 + 1 − x  sech −1 x = ln    x   Cotangente hiperbólica inversa coth−1 x = ln x +1 ( -∝ , -1 ) ∪ ( 1 , ∝ ) ( -∝ , 0 ) ∪ ( 0 , ∝ ) x −1  x + 1 coth−1 x = 12 ln    x − 1

20.- Integrales de las funciones hiperbólicas inversas.

∫ senh

−1

x d x = x senh −1 x −

1 + x2 + c

∫ cosh

−1

x d x = x cosh −1 x −

x2 − 1 + c

21.- Integrales cuyas primitivas son funciones hiperbólicas inversas. du

u 2 + a2

u 2 − a2

∫a ∫u

du

du

= ln (u +

u 2 + a2 ) + C

u2 + a2

= ln (u +

u2 − a2 ) + C

u2 − a2

du

du 1  a +u  = ln   +C − u2 2a  a − u 

∫a

2

du 1  a −u  = ln  +C − a 2 2a  a + u 

∫a

2

2

2

∫u

du

1 = − ln a a +u

∫u

du

2

2

1 = − ln 2 2 a a −u

a +   

a 2 + u 2  +C  u 

∫u

a +   

a 2 − u 2  +C  u 

∫u

u +C a

= cosh −1

u +C a

du 1 u = tanh −1 + C − u2 a a du 1 u = coth− 1 + C − u2 a a du a 2 + u2 du

1 u = − csch −1 + C a a

1 u = − sech− 1 + C a a a −u

18.- Gráficos de las funciones hiperbólicas inversas. Autor:

= senh−1

Ing. Willians Medina.

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Mega formulario de Funciones Hiperbolicas