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FUNCIONES TRIGONOMÉ TRICAS. 1.- Identidades Trigonométricas. senθ =

Catetoopuesto Hipotenusa

cosθ =

Catetoadyacente Hipotenusa

tan θ =

Catetoopuesto Catetoadyacente

cotθ =

1 Cateto adyacente = tanθ Catetoopuesto

2.- Funciones recíprocas. csc θ =

1 Hipotenusa 1 Hipotenusa = secθ = = senθ Catetoopuesto cosθ Catetoadyacente

3.- Identidades trigonométricas fundamentales. senθ cscθ = 1

cosθ sec θ = 1

tan θ cot θ = 1

y = sen x

y = cos x

y = tan x

y = csc x

y = sec x

y = cot x

cos θ cot θ = sen θ

senθ tan θ = cosθ

4.- Identidades pitagóricas. sen 2 θ + cos 2 θ = 1

tan2 θ + 1 = sec2 θ

5.- Suma y diferencia de dos ángulos. cos (θ ± φ ) = cosθ cosφ m senθ senφ

Acosθ + B sen θ =

cot 2 θ + 1 = csc 2 θ sen (θ ± φ ) = sen θ cosφ ± cosθ senφ

tan (θ ± φ ) =

A2 + B2 sen (θ + φ )

tanθ ± tan φ 1 m tanθ tan φ

A cosθ + B sen θ =

φ = tan −1 ( A / B)

cot (θ ± φ ) =

A2 + B2 cos(θ + φ)

−1 , φ = tan (− B / A)

cos2 θ = 12 (1 + cos 2θ )

6.- Angulo doble.

sen 2 θ = 2 sen θ cosθ

cos 2θ = 2 cos 2 θ − 1

cos 2θ = 1 − 2 sen 2 θ

sen2 θ = 12 (1 − cos 2θ )

cos2θ = cos2 θ − sen 2θ

cos 2θ = (cosθ + senθ ) (cosθ − senθ )

tan 2θ =

7.- Angulo triple. sen 3 θ = 3 senθ − 4 sen3 θ θ  sen   = 2

8.- Angulo mitad. θ  cot   = 2

cotθ cotφ m1 cot φ ± cotθ

1 + cosθ 1 − cosθ

cos 3θ = 4 cos 3 θ − 3 cos θ

1 − cosθ 2

θ  cos   = 2

tan 3θ =

1 + cosθ 2

3 tanθ − tan 3 θ 1 − 3 tan 2 θ

θ  1 − cosθ tan   = 2 1 + cosθ  

senθ θ  cot   =  2  1 − cosθ

 θ  1 − cosθ tan   = senθ  2

 θ  1 + cosθ cot   = sen θ 2

2 tanθ 1 − tan 2 θ

θ  senθ tan   =  2  1 + cosθ

θ  cot   = csc θ + cotθ 2

θ  tan   = cscθ − cotθ 2

13.- Dominio y rango de las funciones trigonométricas, para que la función inversa exista. Función. Domino Rango 1 1 [–1,1] y = sen x [ − π , π ] 2 2 Seno [–1,1] y = cos x [0, π ] Coseno 1 1 R y = tan x (− 2 π , 2 π ) Tangente Cosecante

y = csc x

[− 12 π , 0 ) ∪ (0 , 12 π ]

( -∝ , – 1 ] ∪ [1 , ∝ )

Secante

y = sec x

[ 0 , 12 π ) ∪ ( 12 π , π ]

( -∝ , – 1 ] ∪ [1 , ∝ )

R y = cot x ( 0 ,π ) Cotangente 14.- Ley de los senos y de los cosenos. En estas fórmulas a , b y c representan las medidas de los lados de un triángulo; α , β y γ denotan las medidas de los ángulos opuestos a los lados de medidas a , b y c respectivamente. 15.- Ley de los senos. sen α sen β sen γ = = a b c

a b c = = senα sen β senγ

16.- Ley de los cosenos. a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cosα

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos β

9.- Fórmulas de reducción. sen ( −θ ) = − sen θ

csc ( −θ ) = − csc θ

cos ( −θ ) = cosθ

sec ( −θ ) = sec θ

tan (−θ ) = − tanθ

cot ( −θ ) = − cotθ

sen ( 12 π ± θ ) = cosθ

17.- Límites trigonométricos.

sen (π −θ ) = senθ

cos ( 12 π ±θ ) = m senθ

cos (π − θ ) = − cosθ

tan ( π ± θ ) = m cot θ

sen x =1 x x→ 0

tan (π − θ ) = − tan θ

tan ( 14 π ± 12 θ ) = secθ ± tgθ

tan ( 14 π ± 12 θ ) = cot ( 14 π m 12 θ )

tan ( 14 π + θ ) =

1 + tan θ 1 − tan θ

1 2

1 ± sen θ cos θ 1 − cotθ 1 tan ( 4 π − θ ) = 1 + cotθ tan ( 14 π ± 12 θ ) =

10.- Suma y diferencia de funciones trigonométricas.

11.- Producto.

sen (k x) =1 kx x→ 0 lim

lim

lim

x→0

senn ( k x) ( k x) n

=1

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cosγ

lim

x→0

1 − cos x =0 x

18.- Signo de las funciones trigonométricas en los cuadrantes. Son positivas: Primer cuadrante: Todas. S egundo cuadrante: El S eno y su recíproco. Tercer cuadrante: La Tangente y su recíproca. Cuarto cuadrante: El Coseno y su recíproca. Obsérvese la “regla” de la inicial del nombre del cuadrante con la inicial del nombre de la función positiva en dicho cuadrante. 19.- Valores notables de las funciones trigonométricas. Para n∈ Z : El seno de un múltiplo de pi es cero. sen (n π ) = 0

θ +φ  θ −φ  senθ + sen φ = 2 sen   cos    2   2 

 θ +φ   θ −φ  senθ − senφ = 2 cos   sen    2   2 

θ +φ   θ −φ  cosθ + cosφ = 2 cos   cos  2  2    

 θ +φ  θ −φ  cosθ − cosφ = −2 sen   sen  2  2    

sen [(4 n + 1) π2 ] = 1

cosθ cosφ = 12 [ cos (θ − φ ) + cos (θ + φ ) ]

cos[( 2 n + 1) ] = 0

El coseno de un múltiplo impar de pi medio es cero.

senθ senφ = 12 [ cos (θ − φ ) − cos (θ + φ ) ]

cos(2 n π ) = 1

El coseno de un múltiplo par de pi es 1. El coseno de un múltiplo impar de pi es –1.

senθ cosφ = 12 [ sen (θ − φ ) + sen (θ + φ ) ]

π 2

cos[(2 n + 1)π ] = −1

sen [( 4 n + 3) π2 ] = −1 El seno de un múltiplo impar de pi medio es 1 o –1.


θ (rad)

θ (º)

senθ

cosθ

tan θ

cscθ

sec θ

cot θ

0

0

1

0

1

1 6 1 4 1 3 1 2 2 3 3 4 5 6

π

30°

π

45°

π π π

π π π

7 6 4 3 3 2 5 3 11 6

π π π

π π 2π

1/2 1/

3/ 2

2

60°

3/ 2

90°

1

120º

1/

1/

1/2

3

0

∞ −

−1/

2

150º

1/2

− 3 /2

180°

0

–1

210º

– 1/2

− 3 /2

240º

− 3 /2

– 1/2

270°

–1

0

300º

− 3 /2

1/2

330º

– 1/2

360°

0

3

0 1/

−2/

3

−1/

3/ 2

1

3

−2/

–2

3

1/

−1/ 3

1

senθ

senθ

1

cosθ

tan θ cscθ sec θ cot θ

cosθ 1 − sen 2θ

1

tanθ

1

2

tan θ + 1

1 cscθ

csc2 θ − 1

2

cscθ 1 sec θ cotθ

sec θ − 1 2

sec θ 1

cot θ + 1 2

sen θ 1− sen 2θ

1 − cos θ 2

1 − cos2 θ

tan θ + 1

tan θ

cot2 θ + 1

cscθ

sec θ

1 sen θ 1

1− sen 2θ

1 − cos2 θ

cosθ

tan 2 θ + 1

1

tan θ

1

1

csc2 θ − 1 sec2 θ − 1 1 cot θ

sec θ sec θ − 1 2

cot2 θ + 1

1

1 cos θ

tan2 θ + 1

cscθ csc θ − 1 2

1 cot2 θ + 1 cotθ

22.- Derivadas de las funciones trigonométricas. d du (sen u ) = cos u dx dx d du 2 (cot u ) = − csc u dx dx

d du (cos u) = −sen u dx dx d du (sec u ) = sec u tan u dx dx

d du (tan u) = sec 2 u dx dx d du (csc u ) = − csc u cot u dx dx

23.- Integrales de las funciones trigonométricas.

∫ cos u d u = sen u + C ∫ sec u d u = ln sec u + tan u ∫ sec u tan u d u = sec u + C

+C

∫ tan u d u = − ln cos u + C ∫ csc u d u = ln csc u − cot u ∫ csc u d u = − cot u + C 2

+C

∫ sen u d u = − cos u + C ∫ cot u d u = ln sen u + C ∫ sec u d u = tan u + C ∫ csc u cot u d u = − csc u + C 2

( -∝ , -1 ] ∪ [1 , ∝ ) [− 12 π , 0 ) ∪ ( 0 , 12 π ] ( -∝ , -1 ] ∪ [1 , ∝ ) [ 0 , 12 π ) ∪ ( 12 π , π ]

si y sólo si sec y = x si y sólo si cot y = x ( -∝ , ∝ ) y = cot x 25.- Gráficos de las funciones trigonométricas inversas.

( 0 ,π )

3

y = sen − 1 x

y = cos−1 x

y = tan −1 x

y = csc −1 x

y = sec − 1 x

y = cot− 1 x

3

− 3

21.- Equivalencia entre las funciones trigonométricas. Hallar ? Dado ?

( − 12 π , 12 π )

3

2

0

( -∝ , ∝ )

−1

3

3

0

2/

si y sólo si tan y = x si y sólo si csc y = x

[0, π ]

− 3

∞ 3

Rango [ − 12 π , 12 π ]

–2

–1 3

3

−2/

Domino [ -1 , 1 ] [ -1 , 1 ]

–1

–1

–2

3

−2/

Definición si y sólo si sen y = x si y sólo si cos y = x

y = sec − 1 x

3

−1/

− 2

2

3

y = csc −1 x

0

–2

2

−1/

1/

∞ 3

y = tan x

3

1

2

3

2/

3

2

1

–1

2

2/

2 2/

y = cos−1 x −1

2

3

1

2

– 1/2

3/ 2

135º

1/

y = sen − 1 x

cot θ

26.- Identidades trigonométricas inversas.

1 − sen 2θ

sen−1θ =

sen θ cosθ

1 − cos2 θ 1 tanθ

csc2 θ − 1

1 sec θ − 1 2

1

tan−1θ =

 θ π − cos−1 θ = tan −1   1 −θ 2 2 

π − cot−1θ = sen−1 2

1 csc−1 θ = sen−1   θ 

θ

   

cos−1 θ =

π − sen −1θ = cot−1 2

θ 1 −θ 2

1+ θ 2 1 sec−1 θ = cos−1  θ 

1 cot −1θ = tan −1  θ 

27.- Derivadas de las funciones trigonométricas inversas. d (sen −1u ) = dx

1 du 2 1− u d x

d −1 du (csc−1 u) = 2 dx u u −1 d x

d (cos −1 u ) = dx d (sec −1 u) = dx u

−1 d u 2 1− u d x 1 du 2 u −1 d x

d 1 du (tan −1 u) = dx 1+ u2 d x d −1 d u (cot −1 u ) = dx 1+ u2 d x

28.- Integrales cuyas primitivas son funciones trigonométricas inversas.

du a2 − u2

= sen −1

u +C a

∫a

du 1 u = tan −1 + C + u2 a a

2

∫u

du u2 − a2

Autor: Ing. Willians Medina.

=

1 u sec − 1 + C a a


Mega formulario de funciones trigonometricas