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UNIVERSIDAD FERM IN T ORO FACULT AD DE CIENCIAS ECONOM ICAS Y SOCIALES ANALISIS DE PROBLEM AS Y T OM A DE DECISIONES

M ET ODOS DET ERM INIST ICOS

AUT OR: SERGIO SANT INAT O BAQUISIM ET O, 16 DE FEBRERO DEL 2013.


METODOS DETERMINISTICOS.

Programación Lineal: La programación lineal da respuesta a situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones. Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc. Función objetivo En

esencia

(maximizar

o

la

programación

lineal

consiste

minimizar) una función objetivo, que

es

en optimizar una función

lineal de varias variables: f(x,y) = ax + by.

Restricciones La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales: a1x + b 1y ≤ c 1 a 2 x + b 2 y ≤c 2 ...

...

...

a n x + b n y ≤c n Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano.


Solución factible El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones, determina un recinto, acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona de soluciones factibles.

Solución óptima El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones la solución

factibles

óptima se

básicas y

el

llama solución

vértice

donde

máxima (o

se

presenta

mínima según

el

caso).

Valor del programa lineal El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se llama valor del programa lineal.


Aplicaciones La programación lineal constituye un importante campo de la optimización por varias razones, muchos problemas prácticos de la investigación de operaciones pueden plantearse como problemas de programación lineal. Algunos casos especiales de programación lineal, tales como los problemas de flujo de redes y problemas de flujo de mercancías se consideraron en el desarrollo de las matemáticas lo suficientemente importantes como para generar por si mismos mucha investigación sobre algoritmos especializados en su solución. Una serie de algoritmos diseñados para resolver otros tipos de problemas de optimización constituyen casos particulares de la más amplia técnica de la programación lineal. Del mismo modo, la programación lineal es muy usada en la microeconomía y la administración de empresas, ya sea para aumentar al máximo los ingresos o reducir al mínimo los costos de un sistema de producción. Algunos ejemplos son la mezcla de alimentos, la gestión de inventarios, la cartera y la gestión de las finanzas, la asignación de recursos humanos y recursos de máquinas, la planificación de campañas de publicidad, etc. Otros son: Optimización de la combinación de cifras comerciales en una red lineal de distribución de agua. Aprovechamiento óptimo de los recursos de una cuenca hidrográfica, para un año con afluencias caracterizadas por corresponder a una determinada frecuencia. Soporte para toma de decisión en tiempo real, para operación de un sistema de obras hidráulicas. Solución de problemas de transporte. Método Simplex: El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución. Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución.


El método Simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta. Deberá tenerse en cuenta que este método sólo trabaja para restricciones que tengan un tipo de desigualdad "≤" y coeficientes independientes mayores o iguales a 0, y habrá que estandarizar las mismas para el algoritmo. En caso de que después de éste proceso, aparezcan (o no varíen) restricciones del tipo "≥" o "=" habrá que emplear otros métodos, siendo el más común el método de las Dos Fases. Preparando el modelo para adaptarlo al método simplex: Esta es la forma estándar del modelo: Función objetivo:

c1·x1 + c2·x2 + ... + cn·xn

Sujeto a:

a11·x1 + a12·x2 + ... + a1n·xn = b1 a21·x1 + a22·x2 + ... + a2n·xn = b2 ... am1·x1 + am2·x2 + ... + amn·xn = bm x1,..., xn ≥ 0

Para ello se deben cumplir las siguientes condiciones: 

El objetivo es de la forma de maximización o de minimización.

Todas las restricciones son de igualdad.

Todas las variables son no negativas.

Las constantes a la derecha de las restricciones son no negativas.

Cambio del tipo de optimización: Si en nuestro modelo, deseamos minimizar, podemos dejarlo tal y como está, pero deberemos tener en cuenta nuevos criterios para la condición de parada (deberemos parar de realizar iteraciones cuando en la fila del valor de la función objetivo sean todos menores o iguales a 0), así como para la condición de salida de la fila. Con objeto de no cambiar criterios, se puede convertir el objetivo de minimizar la función F por el de maximizar F·(-1).


Ventajas: No deberemos preocuparnos por los criterios de parada, o condición de salida de filas, ya que se mantienen. Inconvenientes: En el caso de que la función tenga todas sus variables básicas positivas, y además las restricciones sean de desigualdad "≤", al hacer el cambio se quedan negativas y en la fila del valor de la función objetivo se quedan positivos, por lo que se cumple la condición de parada, y por defecto el valor óptimo que se obtendría es 0. Solución: En la realidad no existen este tipo de problemas, ya que para que la solución quedara por encima de 0, alguna restricción debería tener la condición "≥", y entonces entraríamos en un modelo para el método de las Dos Fases.

Conversión de signo de los términos independientes: Deberemos

preparar nuestro

modelo

de

forma

que

los términos

independientes de las restricciones sean mayores o iguales a 0, sino no se puede emplear el método Simplex. Lo único que habría que hacer es multiplicar por "-1" las restricciones donde los términos independientes sean menores que 0. Ventaja: Con ésta simple modificación de los signos en la restricción podemos aplicar el método Simplex a nuestro modelo. Inconvenientes: Puede resultar que en las restricciones donde tengamos que modificar los signos de las constantes, los signos de las desigualdades fueran ("=", "≤"), quedando ("=","≥") por lo que en cualquier caso deberemos desarrollar el método de las Dos Fases. Este inconveniente no es controlable, aunque nos podría beneficiar si sólo existen términos de desigualdad ("≤","≥"), y los "≥" coincidieran con restricciones donde el término independiente es negativo. Todas las restricciones son de igualdad: Si en nuestro modelo aparece una inecuación con una desigualdad del tipo "≥", deberemos añadir una nueva variable, llamada variable de exceso si, con la restricción si ≥ 0. La nueva variable aparece con coeficiente cero en la función objetivo, y restando en las inecuaciones.


Surge ahora un problema, veamos cómo queda una de nuestras inecuaciones que contenga una desigualdad "≥" : a11·x1 + a12·x2 ≥ b1

a11·x1 + a12·x2 - 1·xs = b1

Como todo nuestro modelo, está basado en que todas sus variables sean mayores o iguales que cero, cuando hagamos la primera iteración con el método Simplex, las variables básicas no estarán en la base y tomarán valor cero, y el resto el valor que tengan. En este caso nuestra variable xs, tras hacer cero a x1 y x2, tomará el valor -b1. No cumpliría la condición de no negatividad, por lo que habrá que añadir una nueva variable, xr, que aparecerá con coeficiente cero en la función objetivo, y sumando en la inecuación de la restricción correspondiente. Quedaría entonces de la siguiente manera: a11·x1 + a12·x2 ≥ b1

a11·x1 + a12·x2 - 1·xs + 1 ·xr = b1

Este tipo de variables se les llama variables artificiales, y aparecerán cuando haya inecuaciones con desigualdad ("=","≥"). Esto nos llevará obligadamente a realizar el método de las Dos Fases, que se explicará más adelante. Del mismo modo, si la inecuación tiene una desigualdad del tipo "≤", deberemos añadir una nueva variable, llamada variable de holgura si, con la restricción si "≥" 0 . La nueva variable aparece con coeficiente cero en la función objetivo, y sumando en las inecuaciones. A modo resumen podemos dejar esta tabla, según la desigualdad que aparezca, y con el valor que deben estar las nuevas variables. Tipo de desigualdad

Tipo de variable que aparece

- exceso + artificial

=

+ artificial

+ holgura

Desarrollando el método simplex: Una vez que hemos estandarizado nuestro modelo, puede ocurrir que necesitemos aplicar el método Simplex o el método de las Dos Fases. Véase


en la figura como debemos actuar para llegar a la soluci贸n de nuestro problema.


METODOS PROBABILISTICOS.

Logica Bayesiana. En los últimos años, como consecuencia del desarrollo de los métodos de Monte Carlo basados en cadenas de Markov (MCMC), el uso de la estadística bayesiana se ha ido popularizando en la investigación. Es cada día más común la resolución bayesiana de problemas de ámbito social, económico, sanitario y tecnológico. Esta conexión con disciplinas de carácter aplicado ha potenciado a la vez el desarrollo de nuevos modelos, más flexibles y también nuevos métodos de aproximación. El gran avance de la aplicación de este tipo de métodos, se debe fundamentalmente a las siguientes características: 

permiten combinar diferentes fuentes de información sin necesidad de grandes tamaños muestrales,

permiten el análisis eficaz de problemas con estructuras complejas, gracias a la gran flexibilidad permitida en la modelización,

proporcionan interpretaciones claras, sencillas e intuitivas,

favorecen de modo natural los modelos más sencillos,

proporcionan un marco óptimo para el tratamiento de los problemas de comparaciones múltiples,

hacen más sencillos los análisis secuenciales, y

se integran en un marco coherente de ayuda a la toma de decisiones.

desarrollo de modelos y algoritmos para el análisis de imagen médica funcional,

análisis y estudio de métodos para cuantificar la bondad de ajuste de modelos jerárquicos bayesianos,

desarrollo de modelos y algoritmos para la predicción e inferencia en sucesos extremos (huracanes, lluvias, pérdidas en bolsa, etc.) ,

métodos de inferencia bayesiana en colas de espera para mejorar y optimizar el diseño de la cola,

predicción de la fiabilidad en sistemas complejos HW/SW,y

aplicaciones en hidrología.


Análisis bayesiano de datos de lluvia Usando los datos y con los modelos bayesianos, obtenemos mapas de probabilidades sobre cantidades predichas de lluvia en T años por barrio.

Análisis bayesiano de imágenes médicas Teniendo en cuenta las grandes dimesiones de los datos provenientes de experimentos de neuroimagen y que en muchos casos se dispone de información previa acerca de la actividad neuronal (localización, forma, magnitud,…), la inferencia bayesiana, como teoría natural pero rigurosa para la combinación de información previa disponible y experimental, constituye sin duda, el marco ideal con el que analizar datos provenientes de experimentos de resonancia magnética funcional. En particular, en el DEIO estamos especialmente interesados en la modelización espacio–temporal de datos de resonancia magnética funcional, así como el desarrollo de algoritmos MCMC necesarios para la implementación de dichos modelos.


Predicción bayesiana en colas Podemos diseñar una cola de servicios usando la información disponible (servicios, tiempos entre fallos, unidades de repuesto, etc.), obteniendo la probabilidad de verificar un determinado servicio con unas ciertas garantías. Aplicamos estas técnicas al mantenimiento sistemas tecnológicos, al mantenimiento aeronáutico, mantenimiento naval, etc.

Predicción de la fiabilidad en sistemas complejos HW/SW Se están desarrollando métodos y software para predecir la fiabilidad de sistemas complejos formados por diversos módulos de hardware y de software. Aplicaciones en hidrología Se realizan diversas aplicaciones en hidrología incluyendo un sistema para una distribución más equitativa en la región de Tizi Ouzou en Argelia o la mejora de la gestión del río Kwanza en Angola.


Teoría de Juegos: La teoría de los juegos es una rama de la matemática con aplicaciones a la economía, sociología, biología y psicología, que analiza las interacciones entre individuos que toman decisiones en una marco de incentivos formalizados (juegos). En un juego, varios agentes buscan maximizar su utilidad eligiendo determinados cursos de acción. La utilidad final obtenida por cada individuo depende de los cursos de acción escogidos por el resto de los individuos. La teoría de juegos es una herramienta que ayuda a analizar problemas de optimización interactiva. La teoría de juegos tiene muchas aplicaciones en las ciencias sociales. La mayoría de las situaciones estudiadas por la teoría de juegos implican conflictos de intereses, estrategias y trampas. De particular interés son las situaciones en las que se puede obtener un resultado mejor cuando los agentes cooperan entre sí, que cuando los agentes intentan maximizar sólo su utilidad. La teoría de juegos fue ideada en primer lugar por John von Neumann. Luego, John Nash, A.W. Tucker y otros hicieron grandes contribuciones a la teoría de juegos. Juegos Se denomina juego a la situación interactiva especificada por el conjunto de participantes, los posibles cursos de acción que puede seguir cada participante, y el conjunto de utilidades. Estrategia Cuando un jugador tiene en cuenta las reacciones de otros jugadores para realizar su elección, se dice que el jugador tiene una estrategia. Una estrategia es un plan de acciones completo que se lleva a cabo cuando se juega el juego. Se explicita antes de que comience el juego, y prescribe cada decisión que los agentes deben tomar durante el transcurso del juego, dada la información disponible para el agente. La estrategia puede incluir movimientos aleatorios. Resultados de los juegos El resultado de un juego es una cierta asignación de utilidades finales. Se denomina resultado de equilibrio si ningún jugador puede mejorar su utilidad


unilateralmente dado que los otros jugadores se mantienen en sus estrategias. Un equilibrio estratégico es aquel que se obtiene cuando, dado que cada jugador se mantiene en su estrategia, ningún jugador puede mejorar su utilidad cambiando de estrategia. Alternativamente, un perfil de estrategias conforma un equilibrio si las estrategias conforman la mejor respuesta a las otras. Forma normal versus forma extensiva de los juegos En juegos de forma normal, los jugadores mueven simultáneamente. Si el conjunto de estrategias es discreto y finito, el juego puede ser representado por una matriz NxM (ver abajo). Un juego en forma extensiva especifica el orden completo de movimientos a través de la dirección del juego, generalmente en un árbol de juego. Juegos NxM Una forma de juegos de dos jugadores, en la cual un jugador tiene N acciones posibles y el otro tiene M acciones posibles. En un juego así, los pares de utilidades o pagos pueden ser representados en una matriz y el juego es fácilmente analizable. Los juegos NxM dan una idea de cómo puede verse la estructura de un juego más complejo. Matriz de resultados de un juego La matriz de resultados de un juego representa el resultado del juego en una matriz. Supongamos que dos personas, A y B, están jugando un sencillo juego. El juego consiste en lo siguiente: la persona A tiene la posibilidad de elegir “arriba” o “abajo”, mientras que B puede elegir “izquierda” o “derecha”. Los resultados del juego se representan en la matriz de resultados:

Izquierda

Derecha

Arriba

(50 , 100)

(0 , 50)

Abajo

(100 , 50)

(50 , 0)


Estrategia dominante Una estrategia dominante es aquella elección que realiza el jugador independientemente de lo que haga el otro. En el juego representado en la matriz de arriba, la estrategia dominante para A es elegir “abajo”, mientras que la estrategia dominante para B es elegir “izquierda”. Estas estrategias dominantes dan como resultado el equilibrio de estrategias dominantes del juego. Si cada jugador tiene una estrategia dominante se puede predecir el resultado del juego. Equilibrio de Nash El equilibrio de Nash fue formulado por John Nash, que es un matemático norteamericano, en 1951. Un par de estrategias es un equilibrio de Nash si la elección de A es óptima dada la de B y la de B es óptima, dada la de A. El equilibrio de Nash se diferencia del equilibrio de las estrategias dominantes en que, en el equilibrio de las estrategias dominantes, se exige que la estrategia de A sea óptima en el caso de todas las elecciones óptimas de B, y viceversa. El equilibrio de Nash es menos restrictivo que el equilibrio de estrategias óptimas. Un juego puede tener más de un equilibrio de Nash. Existen juegos en los no existe un equilibrio de Nash. Dilema del prisionero Considera la siguiente historia. Dos sospechosos de un crimen son puestos en celdas separadas. Si ambos confiesan, cada uno será sentenciado a tres años de prisión. Si sólo uno confiesa, el que confiese será liberado y usado como testigo contra el otro, quien recibirá una pena de diez años. Si ninguno confiesa, ambos serán condenados por un cargo menor y tendrán que cumplir una pena de sólo un año de prisión. Este juego puede ser representado por una matriz 2x2: Sospechoso B

Sospechoso B

confiesa

no confiesa

Sospechoso A confiesa

(3 , 3)

(0 , 10)

Sospechoso A no confiesa

(10 , 0)

(1 , 1)


Veamos cuál es la estrategia óptima para cada sospechoso. Si B confiesa, A preferirá confesar, ya que si confiesa obtendrá una pena de 3 años, y si no confiesa obtendrá una pena de 10 años. Si B no confiesa, A preferirá confesar, ya que de este modo será liberado, y si no confesara obtendrá una pena de un año. Entonces, A va a confesar, independientemente de lo que haga B. Análogamente, B también va a confesar independientemente de lo que haga A. Es decir, ambos sospechosos van a confesar y obtener entonces una pena de tres años de prisión cada uno. Este es el equilibrio del juego, que es ineficiente en el sentido de Pareto, ya que se puede reducir la condena de ambos si ninguno confesara. Este es el ejemplo más famoso de las situaciones en la que los equilibrios competitivos pueden llevar a resultados ineficientes. El dilema del prisionero ilustra la situación que se presenta en los cárteles. En un cártel, las empresas coalicionan (hacen un acuerdo) para reducir su producción y así poder aumentar el precio. Sin embargo, cada empresa tiene incentivos para producir más de lo que fijaba el acuerdo y de este modo obtener mayores beneficios. Sin embargo, si cada una de las firmas hace lo mismo, el precio va a disminuir, lo que resultará en menores beneficios para cada una de las firmas. La misma estructura de interacciones caracteriza el problema de la provisión de bienes públicos (problema del free rider), y del pago voluntario de impuestos.

Juegos de suma constante Juegos en los que para cada combinación de estrategias, la suma de los pagos (o utilidades) a cada jugador es la misma. Todas las situaciones de intercambio que no permiten la creación o destrucción de recursos son juegos de suma constante. Árbol de juegos El árbol de juegos es una representación de un juego que describe la estructura temporal de un juego en forma extensiva. EL primer movimiento del juego se identifica con un nodo distintivo que se llama la raíz del juego. Una jugada consiste en una cadena conectada de ramas que comienza en la raíz del árbol y termina, si el juego es finito, en el nodo terminal. Los nodos


representan los posibles movimientos en el juego. Las ramas que parten de los nodos representan las elecciones o acciones disponibles en cada movimiento. A cada nodo distinto del nodo terminal se le asigna el nombre de un jugador de modo que se sabe quién hace la elección en cada movimiento. Cada nodo terminal informa sobre las consecuencias para cada jugador si el juego termi na en ese nodo.

Juego repetido En un juego repetido un grupo fijo de jugadores juega un juego dado repetidamente, observando el resultado de todas las jugadas pasadas antes que comience la siguiente jugada. La posibilidad de observar las acciones y los resultados pasados antes de que comience la siguiente jugada permite que los jugadores penen o premien las acciones pasadas, de modo que surgen estrategias que no surgirían en los juegos simples no repetidos. Por ejemplo, repitiendo el juego del dilema del prisionero un número suficiente de veces da como resultado un equilibrio en el cual ambos prisioneros nunca confiesan.

METODOS HIBRIDOS.

Modelo de Transporte y Localización: Método del transporte Es una técnica de aplicación de la programación lineal, un enfoque cuantitativo que tiene como objetivo encontrar los medios menos costosos (óptimos) para embarcar abastos desde varios orígenes (fábricas, almacenes o cualquier otro de los puntos desde donde se embarcan los bienes) hacia varios destinos (cualquiera de los puntos que reciben bienes). En los problemas de localización, este método se puede emplear para el análisis de la mejor ubicación de un nuevo centro, de varios a la vez, y en general, para cualquier reconfiguración de la red. Para utilizar el método de transportación hay que considerar los siguientes pasos: 1. Los puntos de origen y la capacidad o abasto por período, para cada uno. 2. Los puntos de destino y la demanda por período para cada uno.


3. El costo de embarque por una unidad desde cada origen hacia cada destino. El primer paso en el procedimiento de este tipo de problema es establecer una matriz de transportación, la cual tiene como objetivo resumir de manera provechosa y concisa todos los datos relevantes y continuar los cálculos del algoritmo. Para crear la matriz de transportación deben seguirse los siguientes pasos: 1. Crear una fila que corresponda a cada planta (existente o nueva) que se este considerando y crear una columna para cada almacén. 2. Agregar una columna para las capacidades de las plantas y una fila para las demandas de los almacenes, e insertar después sus valores numéricos específicos. 3. Cada celda que no se encuentre en la fila de requisitos ni en la columna de capacidad representa una ruta de embarque desde una planta hasta un almacén. Insertar los costos unitarios en la esquina superior derecha de cada una de esas celdas. En muchos problemas reales, a veces sucede que la capacidad excede a los requisitos demanda de

unidades, se agrega una columna (un almacén ficticio) con una unidades y los costos de embarque en las nuevas celdas

creadas son igual a $0, pues en realidad esos embarques no se realizan, por lo que representan capacidad de planta no utilizada. Igualmente, si los requerimientos exceden a la capacidad por (una planta ficticia) con capacidad de

unidades, se agrega una fila más

unidades y se asignan costos de

embarque iguales a los costos faltantes de las nuevas celdas. Si estos últimos costos no se conocen o su valor es el mismo para todos los almacenes, se le asigna $0 por unidad a los costos de embarque de cada celda de la fila ficticia. La solución óptima no resulta afectada, pues el mismo faltante de

unidades

se necesita en todos los casos. Para lograr que la suma de todas las capacidades sea igual a la suma de todas las demandas es que se añade una planta ficticia o un almacén ficticio. Algunos paquetes de software los añaden automáticamente cuando el usuario introduce los datos. Cuando la matriz inicial está conformada, el objetivo es establecer el patrón de asignación de menor costo que satisfaga todas las demandas y agote todas las capacidades. Este patrón se determina mediante el método de transporte, el


cual garantiza que se hallará la solución óptima. La matriz inicial se completa con una solución que cumpla dos condiciones: sea factible y satisfaga las demandas de todos los almacenes y agote las capacidades de todas las plantas. Luego se crea una nueva matriz con una solución nueva, teniendo ésta un costo total más bajo. Este procedimiento iterativo se debe realizar hasta que no sea posible mejorar la solución anterior, cuando esto ocurra la solución óptima se ha encontrado. En este método es obligatorio que se cumpla que el número de embarques no iguales a 0 en la solución óptima nunca sea mayor que la suma del número de planta y almacenes menos 1. En el caso que se emplee un paquete de software sólo se introducen los datos correspondientes a la primera matriz.

Características del modelo de transporte Un modelo de transporte, debe cumplir ciertas condiciones básicas.1 

Ejecutable: Dependiendo del fenómeno que se quiera modelizar, de los resultados que se quieren obtener y de su precisión y exactitud, se debe seleccionar todas las variables relevantes que permitan recrear de forma racional la situación. Dentro de estas variables hay algunas que son indispensables y hay muchas más que, aunque puedan tener algún efecto, su aporte es mínimo o marginal y que de ser consideradas, complicarían sustancialmente el procesamiento del modelo.

Lógico y consistente: El modelo debe contener procesos lógicos. Los resultados deben ser coherentes entre sí, deban tener unidades y deberá evitar discrepancias. Por ejemplo, se esperaría que el aumento de población en una zona de análisis de tráfico, lleve a el aumento en la producción de viajes es esa zona.

Transparente: Los resultados que arroje el modelo se deben poder justificar con expresiones y términos matemáticos entendibles y controlables. Un modelo que no sea transparente implica que los resultados obtenidos sean difíciles de justificar y que exista incertidumbre en los parámetros del modelo.

Sensible a cambios: En los modelos de transporte cambios en los inputs deben generar cambios en los outputs.


Técnica de Montecarlo: El método de Monte Carlo es un método no determinístico o estadístico numérico, usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud. El método se llamó así en referencia al Casino de Monte Carlo (Principado de Mónaco) por ser “la capital del juego de azar”, al ser la ruleta un generador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de los métodos de Monte Carlo datan aproximadamente de 1944 y se mejoraron enormemente con el desarrollo de la computadora. El uso de los métodos de Monte Carlo como herramienta de investigación, proviene del trabajo realizado en el desarrollo de la bomba atómica durante la Segunda Guerra Mundial en elLaboratorio Nacional de Los Álamos en EE. UU. Este trabajo conllevaba la simulación de problemas probabilísticos de hidrodinámica concernientes a la difusión de neutrones en el material de fisión. Esta difusión posee un comportamiento eminentemente aleatorio. En la actualidad es parte fundamental de los algoritmos de Raytracing para la generación de imágenes 3D. En la primera etapa de estas investigaciones, John von Neumann y Stanislaw Ulam refinaron esta ruleta rusa y los métodos "de división" de tareas. Sin embargo, el desarrollo sistemático de estas ideas tuvo que esperar al trabajo de Harris y Herman Kahn en 1948. Aproximadamente en el mismo año, Enrico Fermi, Nicholas Metrópolis y Ulam obtuvieron estimadores para los valores característicos de la ecuación de Schrödinger para la captura de neutrones a nivel nuclear usando este método. El método de Monte Carlo proporciona soluciones aproximadas a una gran variedad de problemas matemáticos posibilitando la realización de experimentos con muestreos de números pseudoaleatorios en una computadora. El método es aplicable a cualquier tipo de problema, ya sea estocástico o determinista. A diferencia de los métodos numéricos que se basan en evaluaciones en N puntos en un espacio M-dimensional para producir una solución aproximada, el método de Monte Carlo tiene un error absoluto de

la estimación que decrece como

en virtud del teorema del límite central.


A continuación se describe el método Monte Carlo: 1. Identificar el experimento o sistema a simular. 2. Identificar el espacio muestral y definir la variable aleatoria. 3. Definir la función de probabilidad. 4. Construir la función acumulada de probabilidad. 5. Calcular o construir la tabla de la transformación inversa de la función acumulada de probabilidad. La transformación inversa utiliza la función acumulada de probabilidad de la variable aleatoria que se va a simular. Puesto que la función acumulada está definida en el intervalo (0,1), se puede generar un número aleatorio uniforme en (0,1) RND, y tratar de determinar el valor de la variable aleatoria para la cual su distribución acumulada es igual al valor de RND. 6. Generar un número aleatorio y ubicarlo en la tabla de transformada inversa para simular un valor específico de la variable aleatoria. En general, un modelo de simulación requiere de: 1. La definición del sistema con sus variables, parámetros, funciones de probabilidad, relaciones funcionales y medidas de efectividad. 2. La definición del estado del sistema, es decir, el establecimiento de las condiciones iniciales de operación. 3. La identificación de los posibles estados del sistema y sus componentes que pueden ocurrir. 4. La previsión de los posibles eventos que pueden cambiar el estado del sistema y de sus componentes. 5. La disponibilidad de un mecanismo que mida el transcurso del tiempo de simulación: el tiempo reloj (clock). 6. Procedimientos para la generación aleatoria de los diversos eventos. 7. Las relaciones lógicas que enlazaran transiciones de estado que son generadas por los diversos eventos que ocurren.


Técnicas e instrumentos para la toma racional de decisiones.