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Vectores  Un    vector    en    el    plano,    se    denota    por    un    par    ordenado    de    números    reales    y    la     notación  x, y    se  emplea  en  lugar  de   ( x, y)  para  evitar  la  confusión    entre  vector  y  punto.   V2  es  el  conjunto  de  todos  los  pares  ordenados  (x,  y).   Un  vector  en  el  plano  es  un  par  ordenado  de  números  reales x, y  ,  Los  números  x  y  y  son   las  componentes  del  vector x, y  .   Sea    el    vector    A    el    par    ordenado    de    números    reales   a1, a2      Si    A    es    el    punto   (a1, a2 )  ,   entonces    el    vector    A    puede    representarse    geomÊtricamente    por    el    segmento     dirigido    OA  este  segmento  dirigido  es  una  representación  del  vector  A.   La    representación    particular    de    un    vector    con    su    punto    inicial    en    el    origen    se     denomina  representación  de  posición  del  vector.   El    vector   0, 0  ,    se    denomina    vector    cero    y    se    denota    por    0;    esto    es,   0 = 0, 0   cualquier  punto  es  una  representación  del  vector  cero.    

 Para  escribir  en  los  vectores  en  r2  se  utilizan  varias  notaciones.   Forma  vectorial:   đ?‘Ľ = đ?‘?đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ  đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘œđ?‘?đ?‘–đ?‘‘đ?‘œ + đ?‘Ąđ?‘‘   đ?‘Ś Forma  ParamĂŠtrica:   đ?‘Ľ = đ?‘?! + đ?‘Ąđ?‘‘!   đ?‘Ś =   đ?‘?!   +  đ?‘Ąđ?‘‘!   Forma  normal:   đ?‘› ∙ đ?‘Ľ = đ?‘› ∙ đ?‘?   Forma  general:   đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś = đ?‘?  

          

Â


Definición  de  vector:  Segmento  de  recta  dirigido  que  representa  el  desplazamiento  de  un  punto   inicial  a  un  punto  final.  

Suma  de  vectores   đ?‘‰ = [đ?‘Ž, đ?‘?]              đ?‘ˆ = [đ?‘?, đ?‘‘]     đ?‘… = [đ?‘Ž + đ?‘?, đ?‘? + đ?‘‘]  

Resta  de  vectores   đ?‘‰ = [đ?‘Ž, đ?‘?]              đ?‘ˆ = [đ?‘?, đ?‘‘]   đ?‘… = [đ?‘Ž − đ?‘?, đ?‘? − đ?‘‘]  

Magnitud  de  un  vector   � = [�, �]                 � =   � ! + � !  

Producto  escalar   đ?‘‰ = [đ?‘Ľ, đ?‘Ś]              Un  escalar  k   đ?‘… = [đ?‘˜đ?‘Ľ, đ?‘˜đ?‘Ś]  

Producto  Punto   đ?‘‰ = [đ?‘Ž, đ?‘?]              đ?‘ˆ = [đ?‘?, đ?‘‘]   R =   (a ∗ c)   +   (b ∗ d)    

Producto  Cruz   Solo  existe  para  vectores  en  R3  y  el  vector  resultante  es  ortogonal  a  ambos.     đ?‘‰ = [đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?]              đ?‘ˆ = [đ?‘‘, đ?‘’, đ?‘“]   đ?‘… = [ đ?‘?đ?‘“ − đ?‘?đ?‘’ , đ?‘?đ?‘‘ − đ?‘Žđ?‘“ , đ?‘Žđ?‘’ − (đ?‘?đ?‘‘)]  

         Vector  Unitario  


Tiene  tamaùo    1.          Formula:      

! |!|

Â

Angulo  entre  dos  vectores        cos !! (

!∗! ! ∗| ! |

)   

Distancia  entre  dos  vectores    

|đ?‘ˆ − đ?‘‰| Â

Proyecciones  Si  el  ångulo  formada  entre  los  dos  es  igual  a  cero  entonces  la  proyecciĂłn  nos  da  el  vector  cero,  de   lo  contrario  nos  da  el  vector  formado  por  la  proyecciĂłn  de  U  en  V.   đ?‘ƒđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ś  đ?‘Ł  đ?‘ˆ =

đ?‘ˆâˆ—đ?‘‰ đ?‘‰âˆ—đ?‘‰

∗ đ?‘‰ Â

Ejemplos  1. Determine  el  årea  del  paralelogramo  con  vertices  P=(2,2,-­â€?1)  Q=(3,0,5)  R=(-­â€?2,0,7)   đ?‘ƒđ?‘„ = [1, −2,6]   đ?‘„đ?‘… = [−5,0,2]   Ă rea  =  ||đ?‘ƒđ?‘„  đ?‘Ľ  đ?‘„đ?‘…||      

     Ejercicios  para  practicar  

Â

    


Respuestas  1. A(7,-­�1)   2. � =

! !

3. D(0,1)  4. 26    

!

, − ! Â

Rectas en R3

Una recta en R3 es la intersecciĂłn de dos planos. Forma Normal: đ?‘›! ∙  đ?‘Ľ! =   đ?‘›! ∙   đ?‘ƒ!  (đ?‘ƒđ?‘™đ?‘Žđ?‘›đ?‘œ  1) đ?‘›! ∙   đ?‘Ľ! =   đ?‘›! ∙   đ?‘ƒ!  (đ?‘ƒđ?‘™đ?‘Žđ?‘›đ?‘œ  2) Forma General: đ?‘Ž! đ?‘Ľ +   đ?‘?! đ?‘Ś +   đ?‘?! đ?‘§ =   đ?‘‘!  (đ?‘ƒđ?‘™đ?‘Žđ?‘›đ?‘œ  1) đ?‘Ž! đ?‘Ľ +   đ?‘?! đ?‘Ś +   đ?‘?! đ?‘§ =   đ?‘‘!  (đ?‘ƒđ?‘™đ?‘Žđ?‘›đ?‘œ  2) Forma Vectorial: đ?‘‘! đ?‘ƒ! đ?‘Ľ đ?‘Ś =   đ?‘ƒ! +  đ?‘Ą đ?‘‘! đ?‘§ đ?‘ƒ! đ?‘‘! Forma ParamĂŠtrica: đ?‘Ľ =   đ?‘ƒ! +  đ?‘Ąđ?‘‘! đ?‘Ś =   đ?‘ƒ! +  đ?‘Ąđ?‘‘! đ?‘§ =   đ?‘ƒ! +  đ?‘Ąđ?‘‘! Ecuaciones SimĂŠtricas: đ?‘Ľ −   đ?‘ƒ! đ?‘Ś −   đ?‘ƒ! đ?‘§ − đ?‘ƒ!   =   =   đ?‘‘! đ?‘‘! đ?‘‘! Ejercicio de ejemplo:


Obtenga la ecuaciĂłn en forma vectorial de la recta en R3 que pasa por los puntos A(2,3,1) y B(-2,5-1). Para expresar la ecuaciĂłn en forma vectorial es necesario un punto conocido y el vector direcciĂłn. El vector direcciĂłn (  đ??´đ??ľ =   đ?‘‘) se encuentra con la resta de las componentes de los puntos dados. Por lo tanto el vector direcciĂłn es: đ?‘‘=

−2 − 2 , 5 − 3 , −1 − 1

= [−4,2, −2]

Utilizamos cualquiera de los puntos dados, por conveniencia escogemos el punto A. La ecuaciĂłn queda asĂ­: đ?‘Ľ 2 −4 đ?‘Ś =  3 +  đ?‘Ą 2 đ?‘§ 1 −2 đ?‘ƒđ?‘™đ?‘Žđ?‘›đ?‘œđ?‘   đ?‘’đ?‘›  â„?!  

Â Ă˜ďƒ˜  Tiene  2  parĂĄmetros  y  2  vectores  direcciĂłn  los  cuales  no  son  paralelos  entre  sĂ­   Ă˜ďƒ˜ Formas:   o Forma  vectorial   !

o

Â

=

!

+đ?‘

!

+đ?‘Ą

!

Â

Ecuaciones  paramĂŠtricas     đ?‘Ľ = đ?‘?! + đ?‘ đ?‘˘! + đ?‘Ąđ?‘Ł!   đ?‘Ś = đ?‘?! + đ?‘ đ?‘˘! + đ?‘Ąđ?‘Ł!   đ?‘§ = đ?‘?! + đ?‘ đ?‘˘! + đ?‘Ąđ?‘Ł!  


o

Forma  normal   = ×   !

! !

o

o

!

!

∙ = ∙  ! !

Forma  general   đ?‘Ž đ?‘Ľ đ?‘Ž đ?‘?! đ?‘? ∙ đ?‘Ś = đ?‘? ∙ đ?‘?!   đ?‘? đ?‘§ đ?‘? đ?‘?! đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘?đ?‘§ = đ?‘‘   Ecuaciones  paramĂŠtricas     đ?‘Ľ −đ?‘?! đ?‘Ś −đ?‘?! đ?‘§ −đ?‘?! = = = đ?‘Ą   đ?‘‘! đ?‘‘! đ?‘‘!

       Ă˜ďƒ˜ Distancia  de  un  punto  fuera  del  plano  al  plano    

 đ??ˇđ?‘–đ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘?đ?‘–đ?‘Ž = đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ś            

!

!!!

Â


 Encontrar  los  nombres  de  las  diferentes  formas  de  los     đ?‘ƒđ?‘™đ?‘Žđ?‘›đ?‘œđ?‘   đ?‘’đ?‘›  â„?!   P  

Q Â

W  E  

R Â

T Â

Y Â

U Â

I Â

O Â

P Â

G  A  

L Â

A Â

B Â

Z Â

I Â

Q Â

U Â

Z Â

G Â

E Â

X Â

E Â

K Â

W  R  

U Â

N Â

S Â

Y Â

X Â

F Â

D Â

S Â

N  D  

J Â

D Â

P Â

A Â

Q Â

W  T  

C Â

S Â

C Â

W  E  

F Â

N Â

M  O  

B Â

M  E  

R Â

V Â

A Â

V Â

A Â

R Â

F Â

O Â

J Â

I Â

Y Â

V Â

E Â

C Â

T Â

O Â

R Â

I Â

A Â

L Â

R Â

S Â

U Â

A Â

R Â

Q Â

T Â

Z Â

X Â

G Â

Q Â

L Â

G Â

M  R  

T Â

P Â

A Â

Q Â

Y Â

R Â

p Â

T Â

B Â

V Â

H Â

A Â

T Â

F Â

S Â

E Â

E Â

R Â

F Â

I Â

S Â

N Â

C Â

J Â

L Â

G Â

J Â

A Â

H Â

H Â

J Â

O Â

P Â

C Â

M  X  

K Â

D Â

B Â

S Â

F Â

U Â

C Â

K Â

Q Â

Q Â

A Â

A Â

L Â

Â

                          

Z Â

S Â


Editores   Sergio  Gómez-­‐13423   Roberto  Chiroy-­‐13027   Daniel  Orozco-­‐13312   Diego  Jacobs-­‐13160  

Vector diario- vol 1  
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