Issuu on Google+

www.seipub.org/ijc                                                International Journal of Communications (IJC) Volume 1 Issue 1, December 2012  

Analysis and Comparative Study of Synthesis  Methods of Digital Signals with Special  Correlation Properties  Alexey Smirnov   Department of Software, Kirovohrad National Technical University, Kirovohrad, Ukraine   assa_s@mail.ru    Abstract 

Analysis of Known Signals Synthesis

The  synthesis  methods  of  digital  signals  with  special  correlation  properties  are  studied.  It  is  determined  that  the  most promising are the synthesis methods based on a group  code  circular  orbits  section  that  allow  to  generate  a  set  of  sequences with the predetermined remote properties and to  algebraically  build  large  assemblies  of  digital  signals  with  multi‐level function of auto‐ and cross‐correlation.  

of

Digital

Let’s  analyze  the  known  methods  of  digital  signals  synthesis  that  can  be  used  in  digital  communication  systems  providing  multiple  access  based  on  code  channels  division  technology,  and  conduct  a  comparative  study  of  assembly  and  correlation  properties of the generated sequences. 

Keywords 

Review  of  the  known  methods  of  synthesis  of  digital  signals is shown in Figure  1 [11 – 19]. 

Digital Communications; Code Channels Division; Digital Signals  

Introduction

Currently, the digital signals synthesis methods based  on  the  use  of  recurrent  transformations  and  the  corresponding  linear  and  nonlinear  recurring  sequences are  the  most developed.  The  procedures  of  formation  of  such  sequences  can  be  easily  implemented  through  the  use  of  simple  switching  circuits with shift registers. 

The  conducted  analysis  showed  that  the  provision  of  the  required  quality  of  digital  communication,  increase  of  multiple  access  subscriber  capacity,  providing  noise  immunity,  and  mimic  resistance  of  radio  channels  control  can  be  achieved  through  the  use  of  digital  signals  with  improved  assembly,  correlation and structural properties [1 – 22]. 

Linear  recurrent  sequences  are  generated  through  using shift registers with linear feedback and with the  appropriate  choice  of  the  feedback  function  can  provide the maximum period generated sequences. In  the literature such signals are called maximum period  linear  recurrent  sequences  or  m‐sequences  [11 – 19].  Many other classes of signals are formed on their basis:  the  sequences  of  Legendre,  Paley‐Plotkin,  Barker’s  signals and many others. 

Effective  functioning  of  digital  communication  systems  with  providing  of  multiple‐access  on  code  channels  division  technology  is  directly  related  to  the  assembly,  correlation  and  structural  properties  of  the  generated  digital  signals.  A  promising  direction  for  further  research  in  this  respect  is  the  development  of  the methods of synthesis of digital signals with special  correlation  properties  [18, 19].  The  values  of  correlation  function  side  discharges  for  these  signals  are  defined  by  rigid  analytical  ratios  and  are  directly  related  to  structural  and  group  properties  of  discrete  sequences assemblies. 

In  studies  [11 – 17],  the  synthesis  methods  of  discrete  signals  with  actual  components  of  solving  basic  equations  system  on  the  correlation  properties  of  the  signals are investigated. Multiphase signals, including  Frank’s  multi‐phase  signals  are  investigated  in  study  [18].Studies [11, 12, 15, 17, 19] are dedicated to solving  problems  of  the  synthesis  of  orthogonal  signals  derivatives  and  sequences’  composites.  It  is  shown  that  the  assembly,  correlation  and  structural  characteristics  of  the  synthesized  sequences  have  improved properties.  

The  purpose  of  this  article  is  the  analysis  and  comparative  study  of  the  synthesis  methods  of  discrete  signals  with  special  correlation  properties,  as  well as  the substantiation  of  the  ways of  their further  development. 

12

Methods

 

 


International Journal of Communications (IJC) Volume 1 Issue 1, December 2012                                                www.seipub.org/ijc 

Synthesis methods of digital signals

Synthesis methods based on recurrent sequences

Synthesis methods of signals with real c omponents

Synthesis methods based on recurrent sequences

Nonlinear recurrent sequences

Synthesis methods of multiphase signals

Walsh-Hadamard orthogonal digital signals

Linear recurrent sequences

Synthesis methods of signals on predetermined correlation properties

Simplex Digital signals

m- sequences

Composite signals

Sub-orthogonal, biorthogonal digital signals

Legendre sequences

Derivatives of orthogonal signals

Gold’s sequences

Paley-Plotkin sequences

Barker’s sequences

Large and small Kasami multitude  

FIG. 1 KNOWN SYNTHESIS METHODS OF DIGITAL SIGNALS 

Synthesis Methods of Digital Signals with Special Correlation Properties

At  the  same  time,  the  values  of  correlation  function  side  discharges  for  synthesized  classes  of  signals  are  determined  by  statistical  methods,  such  signals  have  no  rigorous  proof  and  analytical  relations  describing  the correlation properties. 

Digital  signals  with  special  correlation  properties  include [14, 18, 20 – 22]:  orthogonal  digital  signals,  including  Walsh‐ Hadamard  signals,  simplex  sequences,  for  which  the  correlation  coefficient  is  zero.  Functions’  side  discharges  of  auto‐  and  cross‐correlation  are  analytically undetermined; 

A  promising  area  of  research  is  the  method  of  synthesis  of  digital  signals  with  special  correlation  properties  [14, 18, 20 – 22].  The  values  of  correlation  function  side  discharges  for  suchlike  signals  are  defined  by  rigid  analytical  ratios  and  are  directly  related  to  the  structural  properties  of  assemblies  and  group  sequences.  In  other  words,  the  correlation  properties  of  synthesized  signals  are  determined  by  predetermined  values  of  correlation  function  side  discharges  and  postulated  strict  mathematical  relationships [14, 18, 20 – 22]. 

m‐sequences  sub‐orthogonal  signals,  for  which  side  discharge  of  periodic  autocorrelation  function  take  one  value  1 / n ,  where  n  – the  length  of  the  sequence.  Side  discharge  of  cross‐ correlation  functions  are  analytically  undetermined;  bi‐orthogonal  discrete  signals,  for  which  cross‐ correlation  coefficient  is  zero  or  n .  This  assembly  of  discrete  signals  can  be  seen  as  an  extension  of  orthogonal  signals  assembly  by  adding  a  multitude  of  opposite  sequences.  Functions’  side  discharges  of  auto‐and  cross‐

Let’s  consider  the  main  methods  of  synthesis  of  discrete  signals  with  special  correlation  properties,  analyze  the  main  analytical  relations  for  values  of  correlation  function  side  discharges,  and  justify  the  promising directions for further research. 

 

 

13


www.seipub.org/ijc                                                International Journal of Communications (IJC) Volume 1 Issue 1, December 2012  

The  values  of  the  correlation  vector  when 

correlation  of  bi‐orthogonal  discrete  signals  are  analytically undetermined; 

i  0(mod M 

Legendre  and  Paley‐Plotkin  sequences,  Barker’s  signals  synthesized  on  the  basis  of  m‐sequences  and  for  which  the  analytical  relations  for  the  values  of  side  discharges  of  some  correlation  functions; 

pn  1 )  depend on what kind of  (p  1) / 2   p 1

characters are replaced with +1 [18].  Let’s now assume that:  s   j  F(si )   i  ,  p

Gold’s sequences, large and small Kasami signals’  multitude. These classes of signals have improved  (compared  to  m‐sequences)  assembly  properties,  they  obtained  analytical  relations  for  the  quantities  of  side  discharge  of  some  correlation  functions. 

s  where   i   – Legendre  symbol  of  number  p calculated by the rule: 

sj

,  is 

( p1) / 2  1mod(p),  si   1, (si )        p   1, (si )( p1) / 2  1mod(p).

Legendre sequences, Barker’s signals and Paley‐ Plotkin sequences 

If  k is  a  primitive  root  of  a  model  unity  p ,  we  have  s j M  ks j .  Thus,  the  sequence    ( 0 , 1 ,...,  n 1 )  is 

Let’s  fix  a  finite  field  GF(p) and  a  primitive    polynomial  f ( x ) of  m degree with coefficients of GF(p) . 

divided  into  (p  1) / 2 periods,  and  each  period    consists of two half‐periods, corresponding symbols of  which differ only with the sign [14, 18]. 

Linear  feedback  shift  register,  set  by  appropriate  coefficients f ( x ) , form a linear recurrent sequence of a  maximum  period  of  (m‐sequence)  s  (s 0 , s1 ,..., s n 1 ) , 

Consequently,  the  maximum  side‐lobe  level  of  the  normalized  periodic  correlation  function  of  Legendre  sequences is defined by the ratio [14, 18]: 

i : s i  GF( p)  with the period of  n  p m  1  [14, 18]. 

For  each  p  character  s i , i  0,...n  1  of  linear  recurring  sequence  of  maximal  period  s  (s 0 , s1 ,..., s n 1 ) ,  let’s 



associate a symbol: 

p m1 ,  n  (pm  1) ,  p, m Z .  n

Let’s  consider  the  correlation  properties  of  the  Legendre  symbol  sequences  with  m = 2.  If  s  (s 0 , s1,..., s n 1 )  is the linear recurring sequence with 

 1,   i  F(si )   0,     1. 

and  a  maximum  period  of  n = p2 – 1    ( 0 , 1 ,...,  n 1 )  is  corresponding  to  it  sequence  of 

As  follows  from  [14, 18],  the  sequence    ( 0 , 1 ,...,  n 1 )  is  periodic,  with  the  period  less 

Legendre symbols with a half‐period of  

than or equal to  n . 

p2  1  p  1 .  p 1

As  a  signal  any  half‐period  of  the  sequence    ( 0 , 1 ,...,  n 1 )  may be used. 

If the rule  F(si )  is structured so that the null character  of  sequence  s  (s 0 , s1,..., s n 1 )  is  replaced  by  zero,  any 

The  number of different  recurrent  linear  sequences of 

(p  1) / 2  characters  are  replaced  with  +1,  the 

remaining  (p  1) / 2  characters  are  replaced  with  ‐1, 

a  maximum  period  is  (p 2  1) / 2 ,  where  ( x )  is  the 

than the correlation vector is equal to zero. 

Euler  function  number  of  x  [14, 18].  Each  sequence  corresponds  to  the  characteristic  polynomial 

Indeed,  if   0  0 ,  1, ,  p 1  are  the  elements  of 

M( x )  x 2  x   ,  and  ν  is  a  primitive  root  of  the 

GF(p) ,  while  among  the    dyads  s j ,  s ji ,  the  dyads 

like   i  j (i  0, j  0)  occur  p

m2

module unit р. Some of the maximal μ, however, lead  to  the  same  sequence  of  Legendre  symbols.  The  number  of  different  signals  of  this  class  is  given  by  [14, 18]: 

 times.  Therefore, 

[14, 18]:  p m2

p 1

 F(i )F( j )  0 . 



i, j1

14

 

p  1 (p 2  1) .  8 (p  1)

 


International Journal of Communications (IJC) Volume 1 Issue 1, December 2012                                                www.seipub.org/ijc 

S(i)  Ai ; s (i)  B j ,  then the components (factors) 

For р = 3, 5, 7, 11, 13 of Legendre sequence correspond  1 to Barker’s signals, for which     [14, 18].  p

of the correlation vector are equal to zero.  The  task  of  constructing  the  group  signal,  which  consists of n n‐positioned impulses, is thus reduced to  the  problem  of  the  generalized  Hadamard  matrix.  In  the  studies  [11 – 13, 15, 17, 19]  it  is  shown,  that  if  we  find  a  vector,  a  periodic  correlation  of  which  has  lateral  components  equal  to  zero,  then  this  vector  together  with  its  cyclic  permutations  forms  a  generalized  Hadamard  matrix.  I.e.  as  the  rows  of  the  Hadamard matrix, the cyclic permutation of the vector  ( s0 , , sn 1 ) ,  corresponding  to  the  period  n = 2m‐1 

Now let’s consider the linear recurrent sequence with  a maximum period of n = р with the coding rule of:  s j    s j1

(  0)          (1) 

When μ = 1, the rule (1) forms a natural numbers row,  taken  following  the  module  р.  Paley  and  Plotkin  [14, 18] show, that if:   sj   j    ,  p

binary linear recurrent sequence of maximal period or  period  of  Paley‐Plotkin  sequence  (n = р = 4к – 1),  and  the correspondence between  s q  and  sq  must be set so 

a zero symbol null character is replaced with +1 or ‐1,  then:  p1

  1, i  0, mod p,    p, i  0, mod p.

  j ji   j0

that  the  lateral  components  of  the  vector’s  cyclic  correlations are equal to zero.  It  is  also  easy  to  see  that  ʺcircularʺ  half‐periods  of  Legendre  sequence  symbols  associated  with  a  linear  recurrent sequence of maximal period may be used as  the rows of Hadamard matrix: 

Sequences  of  Paley‐Plotkin  have  the  property,  that  among the duals of  (  j ,  ji ) j  0, , p  1 the duals like  (1.1), (1, ‐1), (1, 1) occur k times, and the duals like (‐1,  ‐1)  occur  k – 1  times.  Thus,  the  maximum  side‐lobe  level  of  the  periodic  function  of  Paley‐Plotkin  1 correlation  sequences  is  defined  by  the  ratio   , p  

1,  ,  M 2 ,  M 1,   0 ,  ,  2 , ,  M 1,   0 ,  , A 1          M 1,   0 , ,   M 3 ,   M 2 ,

p  Z . For a given р, there are Ω = р of Paley‐Plotkin 

signals  forming  an  assembly  of  signals  with  special  correlation properties. 

M

Orthogonal, Bi‐orthogonal, Sub‐orthogonal, Derived  Orthogonal and Composite Signals 

If  the  elements  of  A  matrix  take  the  values  of  +1,  ‐1,  and the rows of the matrix are orthogonal, the matrix  A  is  a  Hadamard  matrix.  Hadamard  matrices  are  studied  in  many  works,  including  the  fundamental  work  of  Paley  [11 – 13, 15, 17, 19].  Overview  of  the  results  for  different  n  is  provided  in  [18].  Hadamard  matrix exists for all n = 4k, k = 1, 2, ... [11 – 19].  

position  vectors  S(l)  (s0(l) ,, sn(l)1). The  two  vectors    S( k )  and  S(l)  are orthogonal if their scalar composition  is zero [11 – 19]:  n 1

n 1

i 0

i 0

 si(k ) si(l)   si(k )si(l)  0.  

Matrix consisting of the complex elements of order N ×  N is called a generalized Hadamard matrix, if any two  of its lines are orthogonal. 

The  assembly  of  bi‐orthogonal  digital  signals  is  an  extension  of  orthogonal  sequences  on  account  of  the  opposing signals. Practically, the bi‐orthogonal signals  are  constructed  from  half‐length  rows  of  Hadamard  matrix.  Simplex  signals  correspond  to  sequences,  equidistant  to  each  other  in  the  Hamming’s  metric.  Orthogonal  Walsh‐Hadamard  signals  belong  to  the  class  of simplex  sequences.  The  correlation  coefficient  of sub‐orthogonal discrete signal is equal to ‐1/n, these  sequences  can  be  synthesized  from  the  rows  of 

If:   A0  A  a ij      B0 ,, Bn 1    A n 1 

 

a generalized Hadamard matrix. If a group signal  is  built  on  one  of  the  two  rules 

 

pn 1 . p 1

Elements of the matrix (2) are ternary numbers taking  the values of ‐1, 0, 1. 

Let’s  consider  the  group  codes  consisting  of  N  N‐

s ( k )S(l)S(l) 

 (2) 

 

15


www.seipub.org/ijc                                                International Journal of Communications (IJC) Volume 1 Issue 1, December 2012  

Hadamard  matrix  by  deleting  the  first  column  of  the  matrix [11 – 19]. 

Composite signals are proposed in the studies [11 – 19],  in their synthesis basis is a combination (preparation)  of  the  individual  sequences  in  a  long  digital  signal.  Correlation  and  assembly  properties  of  composite  signals  are  determined  by  relevant  characteristics  of  the  constituent  sequences.  In  their  properties  composite  sequence  are  close  to  derived  orthogonal  signals,  and  do  not  also  belong  to  the  class  of  sequences  with  special  correlation  properties  [11 –  13, 15, 17, 19].  

Obviously, the orthogonal, bi‐orthogonal, simplex and  sub‐orthogonal  signals  are  generated  by  the  rows  of  Hadamard matrix, so the power of respective signals’  assemblies  cannot  exceed  the  number  M A  of  non‐ isomorphic Hadamard matrices. In [11 – 13, 15, 17, 19],  we  obtain  some  estimates  of  the  power  of  this  multitude,  which  are  listed  in  table 1.  The  above  estimates  give  an  estimate  of  the  power  of  the  assemblies  of  Walsh‐Hadamard  digital  signals  and  some other sequences. 

Gold’s Sequences and Kasami Signals  Digital  sequences  of  Gold  and  Kasami  are  formed  on  the  basis  of  linear  recurrent  sequences  of a  maximum  period.  Thus,  the  studies  [11 – 19]  show  that  for  the  formation  of  Gold  sequences  with  a  three‐level  correlation  function,  it  is  necessary  to  select  a  certain  ʺpreferredʺ  dual  of  primitive  polynomials f1 ( x ) ,  f 2 ( x )  

TABLE 1 THE NUMBER OF NON‐ISOMORPHIC HADAMARD  MATRICES 

64  100  256  512  1024  2000  4000

M A   19 

54 

102 

162 

16 

10000 10 

of  m  degree with the coefficients from the field  GF(2) . 

For increasing the power of digital signals assemblies,  the  studies [11 – 13, 15, 17, 19]  propose procedures for  the  synthesis  of  orthogonal  signals  systems  that  are  based on the use of the matrix  G A :   w11h1 w12 h 2   w h w 22 h 2 G A   21 1 ... ...  w h w h n2 2  n1 1

Using two linear  shift register, the feedback functions  of  which  set  the  corresponding  coefficients  of  f1 ( x )   and  f 2 ( x ) ,  and  therefore,  the  formation  of  Gold 

... w1n h n   ... w 2n h n  ... ...  ,   ... w nn h n 

sequences  is  performed  through  the  addition  of  two  linear  recurrent  sequences  of  a  maximum  period  that  are  being  formed,  with  one  of  the  linear  recurrent  sequences  of  a  maximum  period  is  rotated  by  an  arbitrary  number  of  elements.  In  other  words,  the  Gold’s  sequences  are  synthesized  by  summing  up,  following  the  module 2,  of  two  m‐sequences  of  the  same length that are shifted relatively to each other by  an  arbitrary  number  of  elements.  Gold’s  result  codes  have  the  same  length  n = 2m  − 1,  as  the  original  m‐ sequences,  the  power  of  generated  digital  signals  assemblies is 2m + 1, where m is he shift register length  [11 – 13, 15, 17, 19].  

where  w ij  are  the  elements  of  the  Hadamard  matrix,  h j  are  the  elements  of  the  template  vector,  which  set 

the properties of the synthesized system of derivative  signals.  Assembly  and  correlation  properties  of  orthogonal  systems  derived  signals  are  shown  in  table 2,  which  shows  that  they  have  improved  performance.  At  the  same  time,  side  discharges  of  correlation  function  is  analytically  determined,  the  estimates   ,  given  in 

Table 3. shows the preferred duals of m‐sequences for  the  synthesis  of  Gold  codes,  the  number  M  of  the  generated  sequences  and  the  values  of  side  discharges(SD)  of a  periodic  function of  a  correlation.  Preferred  pairs  of  m‐sequences  are  presented  in  the  form of the corresponding primitive polynomials f1 ( x ) , 

table 2, were obtained through statistical methods, i.e.  derivative  orthogonal  signals  do  not  belong  to  the  class  of  sequences  with  special  correlation  properties  [11 – 13, 15, 17, 19].  TABLE 2 ENSEMBLE AND CORRELATION PROPERTIES OF THE  DERIVATIVES OF ORTHOGONAL SIGNALS SYSTEMS 

64 

128 

256 

512

M   103  104  106  107

 

16

2.1 n

 

2.5 n

 

2.9 n

 

f 2 ( x )  of  m  degree.  The  table  also  shows  the  level  of 

side  discharges  of  correlation  function  in  the  percentage  ratio  to  the  length  of  the  sequence.  The 

1024  2048  4096 108 

109  1010

3.2

3.5

3.8

n

n

 

n

 

analysis  of  Table  3.  shows  that  the  Gold’s  sequences  have  a  three‐level  periodic  correlation  function.  Side  lobe  level  relative  to  the  length  of  the  sequence  with  increasing length of the code is reduced. 

3.9 n

 

 


International Journal of Communications (IJC) Volume 1 Issue 1, December 2012                                                www.seipub.org/ijc 

TABLE 3. ASSEMBLY AND THE CORRELATION PROPERTIES OF GOLD’S CODES 

М 

Pairs of m‐sequences 

31 

33 

[5,3][5,4,3,2] 

7

‐1 

‐9 

‐29% 

63 

65 

[6,1][6,5,2,1] 

15

‐1 

‐17 

‐27% 

127 

129 

[7,3,2,1][7,5,4,3,2,1] 

15

‐1 

‐17 

‐13% 

255 

257 

[8,7,6,5,2,1][8,7,6,1] 

31

‐1 

‐17 

+12% 

511 

513 

31

‐1 

‐33 

‐6% 

63

‐1 

‐65 

‐6% 

63

‐1 

‐65 

‐3% 

[9,4][9,6,4,3]  [9,6,4,3][[9,8,4,1] 

SD 

Level   

[10,9,8,7,6,5,4,3][10,9,7,6,4,1]  10 

1023 

1025 

[10,8,7,6,5,4,3,1][10,9,7,6,4,1]  [10,8,5,1][10,7,6,4,2,1] 

11 

2047 

2049 

[11,2][11,8,5,2]  [11,8,5,2][11,10,3,2] 

  The  mathematical  apparatus  of  polynomial  rings  theory is also used for the synthesis of Kasami signals  with  the  length  of  n = 2m‐1  [11 – 13, 15, 17, 19].  Each  sequence of this class is formed by adding the periodic  samples  of  m‐sequences  with  rotated  sequences.  The  samples  are  taken  over  every  s = 2m / 2 + 1  elements  of  m‐sequence  to  form  a  periodic  sequence.  Then  the  formed  sequence  is  summed  up,  following  the  module 2,  to  the  original  m‐sequence.  The  power  of  Kasami sequences assembly s = 2m / 2 , cross‐correlation  function of two Kasami sequenes takes the values [‐1, ‐ s, s – 2]. 

orthogonal, sub‐orthogonal, simplex signals, sequence  generated using the theory of finite fields, in particular  the  theory  of  polynomial  rings:  m‐sequences,  Legendre,  Paley‐Plotkin,  Barker  signals,  Gold’s  sequence, large and small Kasami multitude, etc. [11 –  19].   The  results  of  a  comparative  analysis  of  some  of  the  methods  of  synthesis  of  signals  with  special  correlation  properties  are  given  in  Table  4.  The  comparison is performed on the following parameters:  the  length  n of  the  generated  sequences’  period,  the  power  M  of  the  generated  digital  signals’  assemblies,  the  maximum  absolute  value  of  the  correlation  function’s side lobes  . 

Thus,  the  theory  of  finite  fields’  elements  application  lets  to  synthesize  digital  signals  with  special  correlation  properties.  Power  of  the  assembly  of  formed  digital  signals  and  magnitudes  of  side  discharge  correlation functions  are determined  by  the  properties of primitive polynomials used. 

The  conducted  analysis  shows  (see  Table  4)  that  the  digital signals with special correlation properties allow  for a given level of communication’s noise immunity.  Side discharges of correlation function of these signals  take  finite  known  in  advance  values,  so  they  can  be  used  at  different  stages  of  the  organization  of  digital  communication,  including  channel  synchronization  and radiolocation. 

Let’s conduct a comparative study of methods for the  synthesis  of  digital  signals  with  special  correlation  properties,  the  results  of  which  will  justify  the  direction of their further development. 

The main disadvantage of the known methods for the  synthesis  of  digital  signals  with  specific  properties  is  low  power  of  the  generated  assembly  sequences.  For  example,  the  number  of  linear  recurrent  sequences  of  the  maximum  period  of  Legendre,  Paley‐Plotkin  and  other  sequences  are  determined  by  the  number  of 

Comparative Studies of Methods for the Synthesis of Digital Signals with Specific Properties The  above  analysis  shows  that  discrete  signals  with  special  correlation  properties  include  orthogonal,  bi‐

 

 

17


www.seipub.org/ijc                                                International Journal of Communications (IJC) Volume 1 Issue 1, December 2012  

irreducible  polynomials  (Euler  function)  that  defines  the rule of forming the sequences. 

sequences  n  of the loss in the correlation properties is  1 negligible (   ). Consequently, the construction of  n large  assemblies  of  discrete  signals  using  the  developed mathematical apparatus of finite fields and,  in  particular,  the  theory  of  polynomial  rings  is  a  promising direction for further research. 

The  considered  classes  of  discrete  signals  (linear  recurrence  sequence  of  maximal  period,  Legendre,  Paley‐Plotkin  and  others)  have  improved  correlation  properties,  but  because  of  the  assemblies’  low  power  their  use  in  modern  radio  systems  is  unpromising.  This  finding  is  also  true  for  the  systems  of  steganographic  data  protection,  built  on  the  technology of direct spectrum spreading. 

The  methods  based  on  the  use  of  algebraic  and  structural  properties  of  group  codes  are  the  most  important  in  this  sense.  Thus,  studies  [10 – 12]  show  that  sub‐orthogonal  digital  signals,  three‐level  Gold’s  signals are a special case of n‐level discrete sequences  formed by the section of the cyclic orbits of the group  binary  code  and  can  be  analytically  formalized  using  mathematical  apparatus  of  the  theory  of  finite  fields,  and, in particular, the theory of polynomial rings. 

A  comparative  analysis  shows  that  Gold  sequences  and small and large sequences of Kasami (see Table 4)  have improved assembly properties.  The  power  of  such  signals’  assemblies  is  significantly  increased.  The  value  of  the  lateral  lobes  of  the  correlation  function    for  these  sequences  is  also  increased,  however,  with  the  increasing  length  of  the   

TABLE 4.  ASSEMBLY AND CORRELATION CHARACTERISTICS OF SOME DIGITAL SIGNALS WITH SPECIFIC PROPERTIES 

Signal class  m‐sequences 

Legendre sequences 

2m  1 , 



n  (pm  1) ,  p, m Z  

M  (p m  1) / 2m  



p  1 ,  

p  1 (p 2  1)   8 (p  1)

  1/ p  

p  1 (p 2  1)   8 (p  1)

  1/ p  

  1/ p  

m Z  

р = 3, 5, 7, 11, 13 

Legendre sequences,  m  2  

p  1 ,  p  Z ,  

р  3, 5, 7, 11, 13 

Gold’s signals 

p ,  p  Z  

2m  1 ,   m  2p  1 ,  p  Z  

2m  1 ,   Gold’s signals 

m  2p ,  p  Z  

18



2 1  



2m / 2  

m  2p ,  p  Z  

2m  1 ,   Large Kasami multitude 

2m  1  

m

2m  1 ,   Small Kasami multitude 

1

(2 m  1) / 2m  

Legendre sequences with  m  2 , Barker’s signals  

Paley‐Plotkin signals 

    

М  

2m / 2 (2m / 2  1)  

m  2p ,  p  Z  

 

 

p m1 n  

1  2( m 1) / 2 2m  1 1  2( m  2 ) / 2 2m  1





2 1 m

1  2m / 2 2m  1

 

 

1  2( m  2 ) / 2 2m  1

 

 

 


International Journal of Communications (IJC) Volume 1 Issue 1, December 2012                                                www.seipub.org/ijc 

ACKNOWLEDGMENT

Thus,  a  promising  direction  in  the  development  of  methods  for  the  formation  of  discrete  signals  is  an  approach  based  on  the  algebraic  and  structural  properties  of  cyclic  orbits  of  group  codes,  which  allows  the synthesis  of  new  classes  of discrete  signals  with multi‐level correlation function [10 – 12]. 

The authors thank Kuznetsov A.A., Gorbenko I.D and  Dolgov  V.I.  for  their  valuable  comments,  which  have  helped to improve the paper. 

Conclusions

Amiantov I. N. Selected Problems of the Statistical Theory of 

REFERENCES��

Communication. Moscow: Soviet Radio. – 1971. – 416p. 

The  effectiveness  of  functioning  of  digital  communication  systems  providing  multiple  access  technology  CDMA  is  directly  dependent  on  the  assembly,  correlation  and  structural  properties  of  the  used  digital  signals.  The  methods  for  the  synthesis  of  digital  signals  with  special  correlation  properties,  the  values  of  the  side  discharge  correlation  function  of  which  are  determined  by  rigorous  analytical  ratios  and are directly connected to the structural properties  of  digital  sequences  assemblies  are  promising  in  this  regard. The conducted analysis of the methods for the  synthesis  of  digital  signals  with  special  correlation  properties  showed  that  the  use  of  the  generated  sequences  allows  ensuring  a  given  level  of  communication’s  noise  immunity.  Side  discharge  of  the correlation function of digital signals with specific  properties take the final predetermined values, so that  they  can  be  used  at  different  stages  of  organizing  of  digital  communication.  At  the  same  time,  the  main  drawback of suchlike methods is the low power of the  generated  sequences  assemblies.  For  example,  the  number of linear recurrent sequences of the maximum  period,  of  Legendre,  Paley‐Plotkin  and  other  sequences is determined by the number of irreducible  polynomials  that  define  a  rule  of  forming  the  sequences.  Gold’s  sequences,  as  well  as  large  and  small  Kasami  multitude  of  sequences  have  improved  assembly  properties.  Their  construction  is  based  on  the  use  of  advanced  mathematical  apparatus  of  the  theory  of  finite  fields  and,  in  particular,  the  theory  of  polynomial  rings,  which  allows  associating  the  correlation properties of the generated sequences with  the  group  and  structural  properties  of  signals  assemblies.  The  methods  for  the  synthesis  based  on  the section of cyclic orbits of the group code allowing  to  generate  a  multitude  of  sequences  with  pre‐given  properties  and  to  algebraically  build  large  assemblies  of  discrete  signals  with  multi‐level  function  of  auto‐ and  cross‐correlation  are  the  most  promising  in  this  regard. 

Araya  M,  Harada  M  and  Kharaghani  H  (2004)  Some  Hadamard matrices of order 32 and their binary codes,  Journal of Combinatorial Designs, 12 (2): 142‐146.  Ang, R., Seberry, J., Wysocki, B.J., Wysocki, T.A.:Application  of nega‐cyclic matrices to generate spreading sequences.  ISCTA’2003, Ambleside, U.K., (2003).  Digital  techniques  in  space  communications.  /Ed.  by  S.  Golomb. – M: Communications, 1969. – 272p.  Evangelaras  H,  Koukouvinos  C  and  Seberry  J  (2003)  Applications 

of 

Hadamard 

matrices, 

Telecommunications and IT, 2:2‐10.  Gorbenko  I.  D.,  Stasev  Y.  V.  Analysis  of  Derivatives  of  Orthogonal  Signal  Systems  //  Radiotekhnika. – 1989. –  # 9 – P. 16 – 18.   Gorbenko  I.  D.,  Stasev  U.  V.,  ZamulaA.  A.    The  Theory  Of  Discrete  Signals.  Orthogonal  Signals.  USSR  Ministry  of  Defense, 1988, – 119p.   Gryanik  M.  V.,  Vladimir  Frolov.  CDMA  Technology – The  Future  of  Mobile  Systems  in  Ukraine. – The  World  of  Communication, 1998, #3. – P. 40‐43.   Kharaghani, H., Tayfeh‐Rezaie: A Hadamard matrix of order  428. http//www.cs.uleth.ca/ hadi/ h428.pdf, 2004.  Kuznetsov  A.  A.,  .  Smirnov  A.  A.,  Sai  V.  N.  Formation  of  Discrete  Signals  with  Multi‐Function  Correlation  //  Information processing systems. –Kh. : KhAFU. – 2011 –  Vol. 5 (95). – P. 50‐60.   Naumenko, N. I., StasevY. V., Kuznetsov, O. O., Jevseev S. P.  Theory 

of 

Signal‐Code 

Constructions. 

Kh. :KhAFU, 2008r. – 489.  Sverdlik M. B. Optimal Discrete Signals. – Sov. Radio, 1975. –  200p.  Stasev Y., Kuznetsov A., Sai V., Karpenko O. Discrete Signals  with  Multi‐Level  Correlation  Function  //  Statistical  Methods  of  Signal  and  Data  Processing  (SMSDP‐2010):  Proceedings. – Kiev:  National  Aviation  University  “NAU‐Druk” Publishung House – 2010. – pp. 176 – 179.  

 

 

19


www.seipub.org/ijc                                                International Journal of Communications (IJC) Volume 1 Issue 1, December 2012  

Stasev  Y.,  Naumenko  N.,  Kuznetsov  A.  The  Derivative 

V. Anil Kumar, Abhijit Mitra and S.R. Mahadeva Prasanna –

Orthogonal  Signals  Systems  //  International  Journal  of 

 On  the  Effectivity  of  Different  Pseudo   – Noise  and 

Engineering  Practical  Education.  IJEPE  Volume 1, 

Orthogonal  sequences  for  Speech  Encryption  from 

Issue 1, August 2012 PP. 15‐20. 

Correlation 

Stasev  Y.  V.  Basics  of  signal  building  theory. – Kh.  : 

Properties. 

International 

journal 

of 

information technology 2007. 

KhMU, 1999. – 87p.  

Welch,  L.  R.,    ʺLower  Bounds  on  the  Maximum  Cross 

Seberry, J.R., Wysocki, B.J., Wysocki, T.A.: On a use of Golay 

Correlation  of  Signals,ʺ  IEEE  Trans.  IT, 20(3),  397‐399  (1974). 

sequences for asynchronous DS CDMA applications. In:  Wysocki  TA,  Darnell  M,  Honary  B  (eds)  Advanced 

Wysocki,  B.J.,  Wysocki,  T.A.:  Modified  Walsh‐Hadamard 

digital  signal  processing  for  communication  systems, 

sequences for DS CDMA wireless systems. Int. J. Adapt. 

KluwerAcademic 

Control Signal Process., 16 589–602 (2002). 

Publishers,   

Boston/Dordrecht/London, 2002, pp 182‐196  Seberry,  J.,  Wysocki,  B.J.,  Wysocki,  T.A.:  Williamson‐

Alexey  Smirnov  Graduated  from  Kharkiv  Military  University  with  a  degree  in  “Automated  Control  Systems”  in  1999.  Candidate  of  Technical  Sciences  (PhD).  Professor  of  Department of Software of Kirovohrad  National Technical University. Field of  interest:  information  security  and 

Hadamard  spreading  sequences  for  DS  CDMA  applications. J. Wireless Commun. Mobile Comput. 3(5),  597–607 (2003)  Shenoi,  K.  Digital  signal  processing  in  telecommunications,  Prentice Hall, Inc., 1995.  Varakin  L.  E.  The  theory  of  signal  systems. – Sov. 

routing issues. 

Radio, 1978. – 304p.     

20

 

 


Analysis and Comparative Study of Synthesis Methods of Digital Signals with Correlation Properties