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2K

DS de mathématiques 1h

calculatrice autorisée

−x2 + 1 Soit f la fonction définie par : x x2 + 1 1) Déterminer le domaine de définition de f. 2) Montrer que, pour tout x de Df : f (x) > −1 −1 est-il le minimum de f sur Df ? Pourquoi ? 3) Montrer que f admet un extremum sur Df en 0. 4) Etudier la parité de f. 5) Etudier les variations de f sur ]− ; 0]. En déduire les variations de f sur [0 ; + [. 6) Dresser un tableau de variations complet. 7) Tracer Cf dans un repère orthogonal (O;i ;j ) avec || i || = 2 cm et || j || = 4 cm. 8) Résoudre graphiquement f (x) x + 1. 9) Résoudre algébriquement f (x) > 0.

BAREME PROBABLE :

1+3+2+2+3,5+1+3,5+2+2

4II08


2IK

Composition de mathématiques 2h

12I06

calculatrice autorisée

NOM :

I) Première partie : On considère la fonction f définie par : x

3x x+3

Cf

1) Tous les réels ont-ils une image par f ? Préciser alors Df, l'ensemble de définition de f. 2) Le réel 3 a-t-il une image par la fonction f ? (Justifier par le calcul) 3) Le réel 3 a-t-il des antécédents par f ? (idem) 4) a) Sur le graphique ci-contre, tracer la droite d1 d'équation y = 3 et la droite d2 d'équation x = −3. b) Retrouver graphiquement les résultats des questions 2 et 3. 5) Déterminer le signe de f (x) − 3 en fonction de x. En déduire la position de Cf par rapport à d1.

j O

i

Seconde partie : On place deux conducteurs ohmiques R1 et R2 de résistances respectives 3 ohms et x ohms dans un montage 1 1 1 en parallèle. La résistance équivalente du montage Req est donnée par : = + Req R1 R2 3 6) Soit g la fonction telle que g (x) = Req. Déterminer Dg, l'ensemble de définition de g. 7) Exprimer g (x) en fonction de x. Que remarque-t-on ? 8) a) On place une résistance x = 2 . Quelle est la résistance équivalente ? x b) La résistance équivalente est de 1 . Quelle est la mesure de la résistance x ? 9) Peut-on espérer avoir une résistance équivalente de 4 ? Quelle est la plus grande résistance équivalente que l'on peut obtenir avec ce montage ? II) On considère un triangle ABC non aplati. Soit I le milieu du segment [AB] et J le milieu du segment [CB]. Soit D le symétrique du point B par rapport à A. Soit E le point d'intersection des droites (JD) et (IC) et m le réel tel que CE = m CI. Soit F le point d'intersection des droites (AC) et (JD) et n le réel tel que CF = n CA. 1) Justifier que (A; AB, AC) est un repère du plan. 2) Déterminer les coordonnées des points A, B, C, D, I et J dans ce repère. (Justifier) 3) a) Déterminer les coordonnées de E en fonction de m. b) En utilisant le fait que les points J, E et D sont alignés, déterminer la valeur de m. 4) Par une démarche analogue, déterminer la valeur de n. 5) En déduire les coordonnées de E et de F.

BAREME PROBABLE :

I) 10pts

II) 10pts


2ACDIJK

Composition de mathématiques 2h

calculatrice autorisée

25I05

Remarque : Le sujet étant un peu long, le barème est sur 21 points. 2 1 + x2 Déterminer l'ensemble de définition de f Démontrer que f admet un maximum ou un minimum en x = 0 sur Df Etudier la parité de f Déterminer les variations de f sur +, puis dresser le tableau de variations complet de la fonction. a) Quel est le signe de f (x) sur Df ? b) Recopier et compléter sans justifier : ……< f (x) …… Faire un tableau de valeurs et tracer Cf dans un repère orthogonal (O; i ; j ). (Choisir comme unités 2cm en abscisses et 4cm en ordonnées.) a) Résoudre graphiquement f (x) > 1 b) Vérifier par le calcul.

I) Soit f la fonction définie par x 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

6a x + 2 y = 2 3 x + a y = 1 où a est un réel donné et x et y les inconnues. 1) Pour quelles valeurs de a le système admet-il un unique couple solution ? Déterminer alors ce couple solution en fonction de a. 2) Résoudre également le système pour les autres valeurs de a, c'est à dire lorsqu'il n'admet pas un unique couple solution.

II) Soit le système (S) :

III)Soit un triangle ABC tel que AB = 7 cm ; AC = 5 cm ; BC = 9 cm.

1 1 On appelle I le milieu de [BC] et on considère le repère (A ; i ; j ) tel que : i = AB et j = AC. 7 5 1) Déterminer sans justifier les coordonnées des points A, B, C et I. (Attention : Si vous vous trompez ici, tout le reste de l'exercice sera faux !) 2) Soit J un point de [AI] et k le réel tel que AJ = k AI a) A quel intervalle k appartient-il ? (Dans la suite on supposera que k 0) b) Déterminer les coordonnées de J en fonction de k 3) La droite (CJ) coupe (AB) en P et (BJ) coupe (AC) en Q. 7k 5k Montrer que P et Q ont respectivement pour coordonnées : P ; 0 et Q 0 ; . 2−k 2−k 4) Déterminer les équations de (BC) et (PQ). Que peut-on dire de ces deux droites quand J se déplace sur [AI] ? Justifier. 5) Pour quelle valeur de k, les points P et Q sont-ils les milieux de [AB] et [AC] ? Calculer alors la distance PQ.

BAREME PROBABLE :

I) 8pts

II) 4pts

III) 9pts


2DJ

DS de Mathématiques 2h

I) Résoudre dans : x2 + 2 x + 1 1) =0 x2 – 1

2)

II) Soit f la fonction définie sur

5 + 12 x >0 3–2x

– {–1} par x

17 I 02

calculatrice autorisée

3) x – 3 +

4 =0 x+2

4)

x2 + x – 5 < –1 x2 + 2

3x+5 2x+2

Partie A 1) Etudier les variations de f sur ]–∞ ; –1[ puis sur ]–1 ; +∞[ 2) Représenter Cf dans un repère (O; i ; j ) 1 7 3) Résoudre graphiquement : f (x) = x + 4 4 5 4) Résoudre par le calcul : f (x) – x + puis vérifier graphiquement 2 Partie B : On remarque que le point I(–1 ; 3/2) semble être un centre de symétrie de la courbe Cf, c'est à dire semble vérifier la propriété suivante : "Tout point de la courbe à son symétrique par rapport I sur la courbe". 1) Soit M(x ; y) un point quelconque de Cf et M'(x' ; y') son symétrique par rapport à I. Exprimer x en fonction de x' puis y' en fonction de y. 2) En déduire l'expression de y' en fonction de x'. M' appartient-il à Cf ? Que vient-on de démontrer ? III) Sachant que les martiens sont soit verts, soit rouges, soit bleus, qu'ils ont de 2 à 5 mains, et qu'ils ont de 3 à 20 antennes, combien de martiens faut-il sélectionner au minimum pour être sûr de pouvoir constituer une équipe de 11 martiens parfaitement identiques pour un match de space-foot ?

BAREME PROBABLE :

I) 6pts

II) 8pts + 4pts

III) 2pts


2DJ

DS de Mathématiques 2h

calculatrice autorisée

6 XII 01

NOM :

I) Soit f la fonction définie sur par x − x2 + x + 5 1) En observant sa représentation graphique ci-contre, il semblerait que f admette un maximum. Pour quelle valeur de x ? 2) Vérifier par le calcul la réponse à la question 1) et caractériser ce maximum. 3) Peut-on déduire de la réponse à la question 2) les solutions de l'inéquation : f (x) < 6 ? 4) Résoudre graphiquement : (on complétera si nécessaire la figure ci-contre) a) f (x) = 0 b) f (x) 3 c) f (x) = x

II) Dans un repère (O; i ; j ), on donne les points : A(3 ; 2), B(−1 ; 5) et C(−2 ; −2). 1) Déterminer les coordonnées des points M, N et P définis par : 1 AM = BC BN = AC PA + PB + PC = 0 3 2) Quelle est la nature des quadrilatères AMCB et BNCA ? 2 3) Déterminer les coordonnées du milieu I de [BC] puis vérifier que AP = AI 3 Que représente le point P pour le triangle ABC ? III) ABCD est un parallélogramme. M ∈ [AB] et N ∈ [AD]. La parallèle à (BC) passant par M coupe (CD) en M’. La parallèle à (AB) passant par N coupe (BC) en N’. 1) Faire une figure 2) On pose AM = x AB et AN = y AD. À quels intervalles appartiennent les réels x et y ? 3) On se place dans le repère (A ; AB ; AD). Déterminer sans justifier les coordonnées des points de la figure. 4) À quelle condition sur x et y, les droites (MN’) et (NM’) sont-elles parallèles ? Montrer qu’elles sont alors parallèles à la droite (AC) IV) Clément écrit une suite de nombres. La somme de trois nombres consécutifs dans la suite est toujours égale à 29. Le deuxième nombre est 5, le septième est 8. Quel est le 2001ème ?

BAREME PROBABLE :

I) 6pts

II) 7pts

III) 5pts

IV) 2pts


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