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2K

DS de mathématiques 2h

calculatrice autorisée

19XI07

I) 1) Soient a et b deux réels quelconques, montrer que : a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2). 2) Soit P(x) = 2(x3 – 27) + 11(9 – x2) + 18(x – 3) avec x un réel quelconque. Factoriser P(x) sous la forme d’un produit de deux facteurs. 3) Résoudre dans : P(x) = (x – 3)(x2 – x –1). II) Déterminer les ensembles de définition des fonctions suivantes : –2x + 1 1) f : x (x + 3) (x – 1) 2) g : x

–x + 1 2x

3) h : x

(1 – x) (x + 6)

–3x x2 + 1 Déterminer l’ensemble de définition de f. Calculer les images de 0 puis de 3. a) Justifier rapidement pourquoi : x2 + 1 = 1 ⇔ x = 0 b) Résoudre par le calcul : f (x) = −3 x Tracer la représentation graphique de f dans un repère orthogonal (O;i ;j ) tel que ||i || = ||j || = 2cm. Résoudre graphiquement : a) f (x) < 1 Ne pas oublier d’ajouter au graphique du 4) les courbes et droites nécessaires aux résolutions graphiques cib) f (x) > −3 x contre. 2 c) f (x) = x Peut-on s’aider du graphique de la question 4) pour résoudre : – 3 x = x2 + 1 ?

III)Soit f la fonction définie par x 1) 2) 3) 4) 5)

6)

IV) La courbe Cf ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction f définie sur [–6 ; 10].

Cf j 0

i

(Il ne vous est pas demandé de reproduire le graphique ci-dessus sur votre copie)

1) Résoudre graphiquement l’équation f(x) = 2 2) Déterminer sans justifier le nombre de solutions de l’équation f(x) = m suivant les valeurs de m. BAREME PROBABLE :

I) 4pts

II) 3pts

III) 10pts

IV) 3pts


2des

Composition de mathématiques 2h

calculatrice autorisée

I) Soit p le produit de quatre entiers naturels consécutifs : p = n (n +1) (n + 2) (n + 3) avec n ∈ 1) Vérifier que : (n +1) (n + 2) = n (n + 3) + 2 2) On pose : a = (n +1) (n + 2) Exprimer p en fonction de a. 3) En déduire que p + 1 est un carré parfait. Rappel : Un carré parfait est le carré d’un nombre entier.

II) Soient a et b deux réels strictement positifs. 2 2 a − b = (a − b) Démontrer que ab b a

III)Traduire à l’aide d’inégalités : (On pourra s’aider d’un schéma) 1) x ∈ ]− ∞ ; − 2 [ [1 ; + ∞ [ 2) x ∉ ]− ∞ ; − 2 [ [1 ; + ∞ [ 1 3) x ∈ ]− ∞ ; 3] ]− ; 30 [ 5

3x x+1−1 Donner l’ensemble de définition Df de f. Calculer les images par f de 0 et de −2. Déterminer par le calcul les antécédents par f, s’ils existent, de −1 et de 2 ? Résoudre dans : f (x) 0

IV) Soit f : x 1) 2) 3) 4)

V) Résoudre dans : (E1) : x3 − x2 = 4 x − 4 2 2x+1 (E2) : x − 1 = 4 1 (I1) : x x x+1 1 x−1 (E3) : 4 − x + 1 = 2(x + 1) (x2 + 2 x + 1)2 4(x + 1) (I2) : (x + 1) (2 − x) (2 − x) Résoudre dans : 2 (I3) : 3 (x − 3) − 4 x

x 7 5 3−5

BAREME PROBABLE : I) 4pts

II) 1,5pts

III) 1,5pts

IV) 4pts

V) 9pts

22X07


2K

DS de mathématiques 2h

20XI06

calculatrice autorisée Nom :

I) Résoudre dans : 1) (x2 − 9) (x + 1) = (x + 3) (1 − x2) 1 4 2x − 2) 2 x+2 x−2 x −4

II) A) On a tracé dans le repère (O;i ;j ) ci-contre, la courbe Cf représentative d’une fonction f définie sur . 3 –3 1) Lire graphiquement les images par f de , 0 et . 2 2 2) Lire graphiquement le ou les antécédents par f de –1. 3) Résoudre graphiquement l’équation f (x) = 1. 4) Résoudre graphiquement l’inéquation f (x) 3.

Cf

B) La courbe Cf représentée ci-contre est en fait celle de la fonction f définie sur par f (x) = x3 – 3 x +1. –3 3 1) Calculer les images par f de , 0 et . 2 2 2) Résoudre par le calcul l’équation f (x) = 1. 3) Montrer que, pour tout x de , on a x3 − 3x − 2 = (x + 1)2 (x − 2). Résoudre par le calcul l’inéquation f (x) 3.

j O

i

III)Vous avez une société de transports et vous préparez un voyage pour l’un de vos cars. Vous savez que le 7000 coût total du trajet en euros sera : f (x) = x + 150 + x ou x désigne la vitesse moyenne du car en km.h−1. 1) Dans l’expression de f (x) ci-dessus, précisez sans justifier : a) le coût lié aux frais fixes (assurances, péages,…) b) le coût lié au carburant (proportionnel à la vitesse) c) le coût lié au salaire du chauffeur (inversement proportionnel à la vitesse) 2) Déterminez Df l’ensemble de définition de f 3) Tracez Cf la représentation graphique de f 4) En vous aidant de Cf, déterminez la vitesse optimale à laquelle vous allez conseiller au chauffeur de rouler. 1 IV)On pose pour x réel : f1 (x) = 1 − x 1 On définit ensuite : f2 (x) = f1 ( f1 (x)) = f1 1 − x =

1

1 1−1−x

1 x−1 =1−x−1= x ,

puis f3 (x) = f1 ( f1 ( f1 (x))), f4 (x) = f1 ( f1 ( f1 ( f1 (x))), etc … Déterminer f2006 (2006)

BAREME PROBABLE :

I) 4pts

II) 10pts

III) 4pts

IV) 2pts

1−x


2IK

Composition de mathématiques 2h

I) 1) Ecrire à l’aide d’intervalles : a) −2 x 1 et 0 < x 3 b) x 1 ou x −2 c) x < 3 et x > −2 et x > 1 d) x 1 ou (x −2 et x < 2) 2) Soit A = ]−5 ; −1[ [2 ; 4] et B= ]− Déterminer A B et A B

II) 1) Démontrer que 5 + 8 =

calculatrice autorisée

20X05

NOM :

; −4]

[−3 ; 0]

[4 ; + [

33 + 20 2

2

1 1 2 x+y 2) Démontrer que pour tous réels x et y non nuls : 2 + 2 + = xy x y xy 3) Démontrer que pour tout entier relatif n et tout réel x non nul : (xn + x−n)2 − (xn − x−n)2 = 4

III)Résoudre dans

:

1 1 + 2 x x+1 x2 − 8 1 1 4) = − (x − 3)(x − 2) x − 3 x − 2

1) (x − 1)(2 x − 3) − (1 − x2) = −x +1 2)

3)

x+1 4x−1 > x+8 2x−8

IV)La figure ci-dessous à droite représente une pièce métallique percée de deux trous circulaires. Le cercle extérieur a pour rayon 40mm. Les deux cercles intérieurs se touchent et ont respectivement pour diamètres x et 5x en mm. 1) Déterminer D, l’ensemble des valeurs que x peut prendre. (Justifier !) 2) Soit f la fonction définie sur D qui à x fait correspondre l’aire de la pièce métallique. Déterminer f (x). 3) On a tracé ci-dessous Cf, la représentation graphique de f. a) Préciser l’échelle directement sur le graphique. b) Résoudre graphiquement 2000 < f (x) < 3500. c) En déduire un encadrement de x entre deux entiers tels que l’aire de la pièce métallique soit comprise entre 20 et 35 cm². y Cf

O

BAREME PROBABLE :

x

I) 3pts

II) 4,5pts

III) 7pts

IV) 5,5pts


2JK

Composition de mathématiques 2h

I) Résoudre dans : 1) 9 x2 − 1 = 0 2) (x − 2)2 9 3) x2 + 0,3 x = 10−1 4) x3 2 x2 − x 2 6x−5 1 = 2 5) + x x−1 x −x 3x 6) x2 − x − >0 x+1 − x + 1 2 x2 − 2 7) x−3 2x−6

NOM :

y Cf

II) On donne ci-contre la représentation graphique de la fonction f définie sur par : x x3 − 3 x + 5 1) Tracer sur ce même graphique la courbe représentative de la fonction g définie sur par : x x+5 2) Résoudre graphiquement l' équation f (x) = 3 3) Résoudre graphiquement l' inéquation x3 − 3 x + 5 < x + 5

III) Vérifier que

21X04

calculatrice autorisée

est solution de l' équation : x2 + (2 − ) x − 2

j O

i

x

=0

IV) Résoudre l' équation : 2 x + 5 − a = a + x en considérant que : 1) x est l' inconnue et a un nombre donné. 2) a est l' inconnue et x un nombre donné. V) Les boites de conserves ont été inventées à une époque ou le métal était assez cher. Les fabricants ont donc cherché à minimiser la quantité de métal utilisée, et donc l’aire de la boite. On se propose de chercher le rayon x de la boite cylindrique de hauteur h contenant un litre. 1) Exprimer le volume v de la boite en fonction de h et de x. Comme ce volume est de 1 000 cm3, en déduire h en fonction de x. 2) Exprimer l’aire latérale de la boite (c’est un rectangle) et les aires des deux bases circulaires. 2000 En déduire que l’aire totale (en cm2) est : f (x) = 2 x2 + x 3) Tracer Cf (on choisira x ]0 ; 10]) 4) En déduire graphiquement le rayon x qui rend l' aire de la boite minimale. En déduire le diamètre approximatif, puis la hauteur de la boite. Quelle particularité observe-t-on ? VI) Soit f la fonction définie sur par : x a x2004 + b x4 + c x2 + 5 ou a, b et c sont des réels donnés. si f (−2004) = 2004, peut on en déduire f (2004) ? (justifier !!)

BAREME POSSIBLE :

I) 8pts

II) 3pts

III) 1pt

IV) 1pt

V) 5pts

VI) 2pts


2ADIJ

Composition de mathématiques 2h

calculatrice autorisée

10XI03

I) 1) Décomposer 496 et 2325 en produits de facteurs premiers. 2325 2) Le nombre est-il décimal ? (Justifier la réponse sans utiliser votre calculatrice) 496 3) Déterminer sans justifier le plus petit entier naturel k non nul tel que le nombre 2325×k soit le carré d' un entier. 4) Un nombre entier positif est dit parfait s' il est égal à la somme de ses diviseurs (à l' exception de lui même, mais 1 compris). Montrer que 496 est parfait. II) On donne : A(x) = 9 (2 x − 1)2 − (2 x + 4)2 et B(x) = 16 x2 − 49 − (4 x − 7) (x + 2) + (7 − 4 x) (2 x − 1) 1) Factoriser A(x) et B(x) 1 A(x) A(x) =4x+ c) >1 2) Résoudre successivement : a) A(x) = B(x) b) 2 B(x) B(x)

III) Résoudre dans

x−3 x−1 le système : x + 3 x −3 4 x2 − 49 0

IV) Soit f la fonction affine par intervalles définie sur

par :

1 3 f (x) = − x − si x − 1 2 2 f (x) = x si − 1 < x 2 f (x) = 6 − 2 x si 2 < x

1) Construire Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O;i ;j ) 2) Résoudre graphiquement f (x) = 0 puis f (x) 1 3) Tracer point par point la courbe d' équation y = x2 4) Résoudre graphiquement f (x) < x2

BAREME APPROXIMATIF :

I) 6pts

II) 5pts

III) 4pts

IV) 5pts


2DJ

DS de Mathématiques

2h

11 X 01

calculatrice autorisée

I) Simplifier sans calculatrice : 0,1−5 × (70 × 1,6)2 × 105 A= (0,28 × 15)2 × 100003 (1 + 10−15)2 − 1 C= 10−15

325 × 75 39 3 a (−a b)4 (−b)−2 D = 2 4 −2 (a b ) (−a b2)

II) Factoriser : E = 4 x3 − x (x − 1)2 G = 9 x2 − 6 2 x + 2

F = (x + 1)(2 x − 1) − 2 x + 1 – (1 − 2 x)2 H = 2 x2 − 9 x − 5

B=

(a

5 2 III) Parmi les nombres ci-dessous, y en a-t-il au moins un égal à : 6 − 3 ? 2 2 5 2 1 1 5 I= J= − K= 6− 3 6− 3 2

0;b

2 3

0)

5 6+

2 3

IV)1) Déterminer le nombre d' entiers premiers inférieurs à 10000 se terminant par 2 ? 2) Déterminer le nombre d' entiers premiers inférieurs à 100 se terminant par 3 ? 3) Peut-on trouver trois entiers premiers consécutifs ?

x+2 x2 − x 1) Déterminer l' ensemble de définition de f . 2) Déterminer par le calcul les images de −2 ; −1 ; 2

V) Soit f la fonction définie par x

VI) f est une fonction affine par parties définie sur [−1 ; 5]. 1) Sans justifier, définir f à partir de sa représentation graphique cicontre (si x ∈ … alors f (x) = …). 2) Déterminer graphiquement, le ou les antécédents de 0 ; 1 ; 4 3 3) Déterminer par le calcul, le ou les antécédents de 2

Cf 1 1

VII) Le nombre ci-dessous est-il entier ? (justifier bien sûr !!) 1 1 1 1 1 1 L= + + + + ...... + + 1+ 2 2+ 3 3+ 4 4+ 5 9998 + 9999 9999 + 10000

Bonne chance ! BAREME APPROXIMATIF :

I) 4pts

II) 4pts

III) 1pt

IV) 4pts

V) 1,5pts

VI) 4pts

VII) 1,5pts

2-ds-fonctions-1  

I) 1) Soient a et b deux réels quelconques, montrer que : a 3 – b 3 = (a – b) (a 2 + ab + b 2 ). 2) Soit P(x) = 2(x 3 – 27) + 11(9 – x 2 ) +...

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