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FONCTIONS 2 I) EXTREMA D'UNE FONCTION 1) Définition OBSERVATION DE LA COURBE

TRADUCTION MATHEMATIQUE

PROPRIETE DE LA FONCTION

Pour x ∈ [−2 ; 1], la plus grande valeur que prend f (x) est … Cette valeur est obtenue pour x = …

Pour tout x tel que : −2 x 1 On a : f (x) ..... f (−1)

On dit que la fonction f admet un maximum de 2 en x = −1 sur [−2 ; 1]

Pour x ∈ [−1 ; 3], la plus petite valeur que prend f (x) est … Cette valeur est obtenue pour x = …

Pour tout x tel que :

On dit que la fonction f admet

COURBE 2 x -1

-2

1 f (x)

f (x)

2

1

x

2) Dans les exercices Soit f la fonction définie sur

y

par x

2

x − 4 x + 2.

Cf

[D'après Cf, il semblerait que f admette un minimum en x = 2.] Démonstration : Pour tout réel x Déterminons le signe de f (x) − f (2) : f (x) − f (2) = x2 − 4 x + 2 − (22 − 4×2 + 2) = x2 − 4 x + 2 − (−2) = x2 − 4 x + 4 = (x − 2)2 or un carré est toujours positif ou nul donc f (x) − f (2) 0 donc f (x) f (2) (avec f (2) = −2) donc f admet un minimum de −2 en 2 sur

phrase d'hypothèse

j O i

mettre (x − 2) en facteur

phrase de conclusion p95 : 1(bcdfg) extrema de fonctions du 2nd degré f définie sur par x x2 − 5 x + 1 g définie sur par x (x + 2) (1 − x) h définie sur [−1 ; 2] par x x2 − 2 x + 3 p101 : 46, 49

x


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II) VARIATIONS D'UNE FONCTION 1) Définition OBSERVATION DE LA COURBE

TRADUCTION MATHEMATIQUE

PROPRIETE DE LA FONCTION

Pour x ∈ [0 ; 3], on remarque que la courbe monte : 2 nombres et leurs images sont toujours dans le même ordre

Pour tous x1 et x2 tels que : 0 x1 < x2 3 On a : f (x1) ..... f (x2)

On dit que la fonction f est strictement croissante sur [0 ; 3]

Pour x ∈ [0 ; 3], on remarque que la courbe descend : 2 nombres et leurs images sont toujours dans l’ordre ……..

Pour tous x1 et x2 tels que :

On dit que la fonction f est

COURBE f (x 2 ) f (x 1 )

x2

x1 f (x 1 )

f (x 2 ) x1

x2

2) Dans les exercices Soit f la fonction définie sur

par x

x2 − 4 x + 2.

[D'après Cf, il semblerait que f soit strictement décroissante sur ]− puis qu'elle soit strictement croissante sur [2 ; + [ ]

Démonstration : a) Variations sur ]− ; 2] Pour tous x1, x2 tels que x1 < x2 2 Déterminons le signe de f (x1) − f (x2) : f (x1) − f (x2) = x12 − 4 x1 + 2 − (x22 − 4 x2 + 2) = (x12 − x22) − 4 (x1 − x2) +2 − 2 = (x1 − x2)(x1 + x2) − 4 (x1 − x2) = (x1 − x2)(x1 + x2 − 4) or x1 < x2 donc x1 − x2 < 0 x1 < 2 et x2 2 donc x1 + x2 < 4 donc x1 + x2 − 4 < 0 donc f (x1) − f (x2) > 0 donc f (x1) > f (x2) donc f est strictement décroissante sur ]- ; 2]

; 2],

phrase d'hypothèse

mettre (x1 − x2) en facteur déterminer le signe de chacun des facteurs phrase de conclusion

b) Variations sur [2 ; + [ Pour tous x1, x2 tels que 2 x1 < x2 Déterminons le signe de f (x1) − f (x2) : f (x1) − f (x2) = (x1 − x2)(x1 + x2 − 4) or x1 < x2 donc x1 − x2 < 0 x1 2 et x2 > 2 donc x1 + x2 > 4 donc x1 + x2 − 4 > 0 donc f (x1) − f (x2) < 0 donc f (x1) < f (x2) donc f est strictement croissante sur [2 ; + [

études complètes de fonctions + 2-cmp-variations.html + p95 : 4, 5, 6, 8 p98 : 16, 22, 23 p99 : 25, 27, 28, 29 p124 : 46

c) Tableau de variations On a l'habitude de toujours conclure l'étude des variations d'une fonction par un tableau de variations : x f

2 −2

+


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III) PARITE D'UNE FONCTION 1) Fonction paire a) Exemple Soit f la fonction définie sur [– 3 ; 3] par x x4 + 2 – x2 Pour tout x de [– 3 ; 3] on remarque que f (– x) = (– x)4 + 2 – (– x)2 = .............................. = f (x) Une telle fonction est dite paire. En déduire SANS CALCULATRICE la moitié gauche du tableau de valeur ci-contre :

x – 3 – 2 –1,5 – 1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2 3 f (x) 1,4 1,2 0,7 0,4 0,25 0,1

En déduire SANS CALCULATRICE la moitié gauche de Cf : y

Cf j O

i

x

La représentation graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à ..............................................

Remarque : Si f n'avait été définie que sur [−1 ; 3], elle n'aurait pas été paire. Pourquoi ? En effet, montrer que f est paire, c'est montrer que pour tout x de Df, on a : f (− x) = f (x). Or si Df = [−1 ; 3], on remarque que 2 appartient à Df mais pas −2 : On ne peut donc ni calculer f (− 2) ni écrire f (− 2) = f (2) ! On voit donc que pour pouvoir calculer aussi bien f (−x) que f (x), il faut que pour tout x de l'ensemble de définition, (− x) appartienne aussi à cet ensemble . Un tel ensemble est dit centré en 0. b) Définition Lorsque pour tout x de Df, −x appartient aussi à Df et : f (− x) = f (x), on dit que f est paire. Remarques : • Il suffit alors d'étudier les variations de f sur une moitié de Df pour pouvoir les déduire sur Df tout entier • Dans un repère orthogonal, la courbe Cf est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées


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2) Fonction impaire a) Exemple Soit f la fonction définie sur Pour tout x de

* par x

x–

1 x

* on remarque que f (– x) = – x –

1 = .............................. = – f (x) –x

Une telle fonction est dite impaire. En déduire SANS CALCULATRICE la moitié gauche du tableau de valeur ci-contre :

x – 4 – 2 – 1 –0,5 –0,3 0,3 0,5 1 f (x) – 3 –1,5 0

2 4 1,5 3,75

En déduire SANS CALCULATRICE la moitié gauche de Cf :

y Cf j O i

x

La représentation graphique d'une fonction impaire est symétrique par rapport à ..........................................

b) Définition Lorsque pour tout x de Df, −x appartient aussi à Df et : f (− x) = − f (x), on dit que f est impaire. Remarques : • Il suffit alors d'étudier les variations de f sur une moitié de Df pour pouvoir les déduire sur Df tout entier • Dans un repère quelconque, la courbe Cf est alors symétrique par rapport à l'origine du repère p123 : 36, 37, 39 faire à la maison les exercices du §3 p124 : 44


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3) Dans les exercices Ex1 : Soit f la fonction définie sur Pour tout x de

− {−1 ; 1} par x

− {−1 ; 1}, −x appartient aussi à

1 x2 − 1 − {−1 ; 1} et f (−x) =

1 1 = = f (x) (−x)2 − 1 x2 − 1

donc f est paire.

Ex2 : Soit f la fonction définie sur par x x3 − x Pour tout x de , −x appartient aussi à et f (−x) = (−x)3 − (−x) = − (x3 − x) = − f (x) donc f est impaire. x+5 x+2 − {−2} n'est pas centré en 0 donc f n'est ni paire, ni impaire.

Ex3 : Soit f la fonction définie sur

− {−2} par x

x2 + x f (−1) On remarque que f (−1) = 0 et f (1) = 2 donc f (−1)

Ex4 : Soit f la fonction définie sur [−3 ; 3] par x

f (1) et f n'est pas paire −f (1) et f n'est pas impaire

Attention : • Ce ne sont pas f (x) ou Cf qui sont paires ou impaires mais la fonction f • Ce ne sont pas f ou f (x) qui présentent une symétrie mais la courbe Cf • Ce ne sont pas f ou Cf qui sont centrées en 0 mais l’ensemble Df !!

étude complète de : x x4 − 2 x2


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